МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

1917-1937

6

НАРКОМПРОС -МОСКВА УЧПЕДГИЗ

Пролетарий всех стран, соединяйтесь!

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

6

НОЯБРЬ-ДЕКАБРЬ

1937

НАРКОМПРОС — УЧПЕДГИЗ

О ДНЕ ВЫБОРОВ В ВЕРХОВНЫЙ СОВЕТ СССР

Постановление Центрального Исполнительного Комитета СССР

На основании постановления Чрезвычайного VIII Съезда Советов и ст. 72 «Положения о выборах в Верховный Совет СССР» об установлении дня выборов в Верховный Совет СССР не позднее, чем за два месяца до срока выборов и в нерабочий день, Центральный Исполнительный Комитет СССР постановляет:

1. Назначить выборы в Верховный Совет СССР НА 12 ДЕКАБРЯ 1937 ГОДА.

2. Объявить начало избирательной кампании по выборам в Верховный Совет СССР с 12 октября 1937 г.

Председатель Центрального Исполнительного Комитета СССР

М. КАЛИНИН.

За Секретаря Центрального Исполнительного Комитета СССР

Член Президиума ЦИК СССР Москва, Кремль. 11 октября 1937 г. А, АНДРЕЕВ.

ОБ УТВЕРЖДЕНИИ СОСТАВА ЦЕНТРАЛЬНОЙ ИЗБИРАТЕЛЬНОЙ КОМИССИИ ПО ВЫБОРАМ В ВЕРХОВНЫЙ СОВЕТ СССР

Постановление Центрального Исполнительного Комитета СССР

На основании ст.ст. 34 и 35 «Положения о выборах в Верховный Совет СССР», Центральный Исполнительный Комитет СССР постановляет утвердить Центральную избирательную комиссию по выборам в Верховный Совет СССР в составе следующих представителей общественных организаций и обществ трудящихся:

Председатель Центральной избирательной комиссии Москатов Петр Георгиевич — от Всесоюзного центрального совета профессиональных союзов.

Заместитель председателя Центральной избирательной комиссии Шмидт Отто Юльевич — от Профессионального союза работников высшей школы и научных учреждений.

Секретарь Центральной избирательной комиссии Маленков Георгий Максимилианович — от Профессионального союза работников политико-просветительных учреждений.

Члены Центральной избирательной комиссии:

Хрущев Никита Сергеевич — от Московской коммунистической организации,

Угаров Александр Иванович — от Ленинградской коммунистической организации,

Мехлис Лев Захарович — от коллектива работников газеты «Правда»,

Шолохов Михаил Александрович — от Союза советских писателей.. Косарев Александр Васильевич — от Всесоюзного ленинского коммунистического союза молодежи,

Горшенин Павел Сидорович — от Центрального Совета общества содействия обороне и авиационно-химическому строительству СССР (Осоавиахим),

Шаповалова Татьяна Петровна — от колхозников колхоза «Большевик», Воронежской области,

Колесник Николай Филиппович — от рабочих, служащих и инженеров Харьковского тракторного завода,

Симонженкова Матрена Кузминична — от рабочих, служащих и инженеров фабрики им. «Октябрьской Революции»,

Шаповалов Евдоким Илларионович — от колхозников колхоза «Новый Мир», Краснодарского края,

Евтушенко Дмитрий Матвеевич — от Киевской коммунистической организации,

Юсупов Усман — от Узбекской коммунистической организации.

Председатель Центрального Исполнительного Комитета СССР

М. КАЛИНИН.

За Секретаря Центрального Исполнительного Комитета СССР

Член Президиума ЦИК СССР

А. АНДРЕЕВ.

Москва, Кремль. И октября 1937 г.

Об избирательных округах по выборам в Совет Союза и Совет Национальностей

На основании статей 34 и 35 Конституции СССР и статей 21, 22, 23 и 24 «Положения о выборах в Верховный Совет СССР», ЦИК СССР 11 октября с. г. постановил образовать 569 избирательных округов по выборам в Совет Союза и 574 избирательных округа по выборам в Совет Национальностей.

20 ЛЕТ ВЕЛИКОЙ ПРОЛЕТАРСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ В СССР

I

20 лет прошло с тех пор, как рабочий класс нашей страны, под руководством партии Ленина — Сталина взял власть в свои руки и стал строить новое социалистическое общество. Великая социалистически революция в России — первая решающая победа международного пролетариата и всех трудящихся в их борьбе за освобождение от гнета эксплоататорских классов. К XX годовщине Социалистической Пролетарской революции народы Великого Советского Союза, ставшие полновластными творцами своей жизни, приходят с громадными победами. Особенно богат событиями, свидетельствующими о замечательных достижениях народов нашей страны, этот XX год пролетарской диктатуры — год принятия Сталинской Конституции, самой демократической в мире конституции. Новая Сталинская Конституция, в обсуждении которой принимали участие десятки миллионов людей, вся страна «...представляет собой итог пройденного пути, итог уже добытых завоеваний» (Сталин). То, что записано в Сталинской Конституции не является задачей, подлежащей разрешению в будущем, а «...регистрацией и законодательным закреплением того, что уже добыто и завоевано на деле» (Сталин). Новая Сталинская Конституция подвела итог достижениям и победам, одержанным за первые двадцать лет Великой Пролетарской Революции народами нашей страны, претворяющими в жизнь учение основоположников марксизма, гениальных Маркса — Энгельса — Ленина — Сталина о построении социалистического общества. Достижения, с которыми наша страна приходит к XX годовщине Социалистической революции, являются блестящим подтверждением правильности и гениальности марксизма-ленинизма. Энгельс в свое время в ответ оппортунистам и предателям рабочего класса, издевавшимся над учением о диктатуре пролетариата и утверждавшим, что она невозможна, ибо ее никто не видал, указывал на пример Парижской Коммуны, осуществившей диктатуру пролетариата. СССР и его новая Сталинская Конституция являются для всего мира наглядным образцом того, как эксплоатируемые и угнетаемые массы, сбросив иго капитализма и взяв власть в свои руки, могут, под руководством партии пролетариата — большевистской партии, построить прекрасную, счастливую жизнь, имя которой — социализм.

1937 г., двадцатый год Великой Социалистической революции, знаменателен тем, что в этом году построенное на одной шестой части земного шара социалистическое государство рабочих и крестьян впервые в истории человечества будет избирать Верховный орган управления страной на основе действительно свободного волеизъявления народа, на основе последовательного, до конца выдержанного демократизма. Постановление ЦИК СССР о дне выборов в Верховный Совет СССР встречено многомиллионными массами трудящихся нашей страны с огромной радостью, с величайшей гордостью за свою родину, с глубочайшей благодарностью творцу Конституции товарищу Сталину. Во всех уголках нашей необъятной родины развернулась огромная работа по подготовке к выборам. Миллионы людей изучают Сталинскую Конституцию и положение о выборах в Верховный Совет СССР. 12 декабря 1937 г.,— в этот исторический день,— народы страны Советов будут выбирать на основе всеобщего, равного и прямого избирательного права при тайном голосовании лучших людей страны в Верховный Совет СССР. В этот день наша многонациональная страна еще раз продемонстрирует свою преданность большевистской партии, свою любовь великому учителю Сталину, свою готовность и непреклонную волю к дальнейшей борьбе за построение коммунистического общества.

II

За эти 20 лет — весьма короткий исторический отрезок времени — в нашей стране, бывшей при царизме страной отсталой, построена первоклассная промышленность, которая «...базируется теперь на новой, богатой современной технике с сильно развитой тяжелой индустрией и еще более развитым машиностроением» (Сталин). Наша индустрия, растущая из года в год невиданными в истории темпами, стала по общему объему производства промышленной продукции самой мощной в Европе индустрией и заняла уже в 1935 году после Америки второе место в мире.

Стоимость валовой продукции крупной промышленности России в 1913 году равнялась 10,25 миллиардов рублей. В 1928 году (начало Сталинских пятилеток) валовая продукция промышленности СССР составляла 15,74 миллиарда руб., в 1936 году она достигла колоссальной цифры в 80,8 миллиарда руб., а по плану 1937 года стоимость валовой продукции выразится в сумме 103 миллиардов руб. Объем продукции нашей крупной промышленности вырос по сравнению с 1913 г. более чем в 10 раз.

1937 год — год двадцатилетия Великой Социалистической Революции является особо знаменательным. К 1-му апреля этого года промышленность в целом выполняла за 474 гида второй пятилетний план. Железнодорожный транспорт, являвшийся в первые годы второй пятилетки узким местом в народном хозяйстве нашей страны, стал сейчас передовым участком, выполнял вторую пятилетку в 4 года и перевыполняет задание 1937 г. по пятилетнему плану.

В. И. Ленин указывал, что «производительность труда, это, в последнем счете, самое важное, самое главное для победы нового общественного строя»*. Мы имеем на этом важнейшем участке значительные достижения. Благодаря стахановскому движению, предусмотренный вторым пятилетним планом рост производительности труда перевыполнен. В 1935 г. производительность труда выросла на 15%; в 1936 г. на 22%. В 1937 году завершается разрешение главнейшей хозяйственной задачи второй пятилетки — техническая реконструкция всего народного хозяйства страны.

Насколько быстро осуществляется лозунг партии «Догнать и перегнать в технико-экономическом отношении передовые капиталистические страны» видно хотя бы на том факте, что половину всех заводов СССР составляют сейчас новые заводы, построенные за последнее десятилетие и находящиеся на уровне современной мировой техники.

III

При таком гигантском росте промышленности, в стране социализма—СССР, где производственные мощности используются полностью и дальнейший прогресс не только не тормозится никакими общественными помехами, но стимулируется созданными социалистическими общественными отношениями, совершенно иную картину представляет собой развитие промышленности в капиталистических странах.

В то время, как в СССР успешно выполнялись и перевыполнялись первая и вторая пятилетка, капиталистические страны переживали небывалый по глубине, длительности и разрушительной силе экономический кризис и затем депрессию особого рода. В опубликованном в 1936 г. Международным бюро труда при Лиге Наций исследовании «...Социальные последствия экономического кризиса» указывается, что «общие потери мировой экономической системы между 1930 и 1934 годами, обусловленные кризисом производства, торговли и транспорта, составляют в круглых цифрах от 149 до 179 миллиардов докризисных долларов... роковая цифра, равная общей стоимости великой войны 1914—1918 годов»*. Эти цифры бесспорно еще преуменьшают потери капиталистического хозяйства за годы кризиса. Наблюдающееся сейчас оживление в промышленности капиталистических стран идет чрезвычайно неравномерно, как в отношении отдельных стран, так и в отношении отдельных отраслей промышленности. Очень важным фактором, обусловливающим нынешний рост производства в капиталистических странах, особенно в фашистских, является бешеная гонка вооружений и подготовка войны. Это идет за счет невероятного ограбления рабочего класса и трудящихся масс. Глубочайшая неравномерность развития капитализма, выступающая сейчас с наибольшей остротой, дальнейшее углубление противоречий капиталистического общества поведут к взрыву нового экономического кризиса, что вызывает уже сейчас тревогу в капиталистическом мире. Чтобы сравнить пути, пройденные промышленностью капиталистических стран и промышленностью СССР, достаточно указать, что ежегодный

* Ленин, т. XXIV, стр. 342, изд. 3-е.

* Цитируется по журналу «Большевик», № 10 за 1937 г.

прирост промышленного производства в капиталистических странах в среднем за период с 1913 г. составляет всего 1,5% (это при 27% ежегодного прироста в среднем промышленного производства в СССР!).

IV

Совершенно преобразовалось за эти 20 лет наше сельское хозяйство, в котором «...вместо океана мелких единоличных крестьянских хозяйств с их слабой техникой и засилием кулака мы имеем теперь самое крупное в мире машинизированное, вооруженное новой техникой производство в виде всеобъемлющей системы колхозов и совхозов» (Сталин). Изменился облик всего сельского хозяйства. Коллективизация охватила уже на 1 января 1937 г. 92% крестьянских хозяйств. По плану 1937 г., единоличники сохраняют только 0,8% посевной площади (в яровых посевах)!

Машинно-тракторные станции, осуществляющие техническую реконструкцию сельского хозяйства, обслуживают 90% всех колхозов. На наших полях работают сотни тысяч тракторов (к концу 1937 г. тракторный парк в сельском хозяйстве составит 9400 тысяч лошадиных сил!); большое количество комбайнов, грузовых машин и других всевозможных сельскохозяйственных машин.

Старой деревенской сохи (в 1910 г. было в России 8,1 миллиона сох, а в 1928 г. их оставалось еще 4,6 миллиона) нет сейчас и в помине! Ее заменил стальной плуг. В различных отраслях сельского хозяйства введены новые машины, выполняющие наиболее трудоемкие работы и во много раз облегчающие человеческий труд.

Ленин в бессмертных своих заветах партии указывал: «Социализм есть уничтожение классов.

Чтобы уничтожить классы, надо, во-первых, свергнуть помещиков и капиталистов. Эту часть задачи мы выполнили, но это только часть и при том не самая трудная. Чтобы уничтожить классы, надо, во-вторых, уничтожить разницу между рабочим и крестьянином, сделать всех — работниками. Этого нельзя сделать сразу. Это — задача несравненно более трудная и, в силу необходимости, длительная. Это — задача, которую нельзя решить свержением какого бы то ни было класса. Ее можно решить только организационной перестройкой всего общественного хозяйства, переходом от единичного, обособленного, мелкого товарного хозяйства к общественному крупному хозяйству»*.

Одним из величайших итогов двадцатилетия Великой Пролетарской Революции в СССР является выполнение партией под руководством великого Сталина — этого завета В. И. Ленина. Все больше и больше уничтожается различие между городом и деревней. Богатейший урожай настоящего двадцатого года социалистической революции является новым доказательством для всего мира и для каждого крестьянина в нашей стране преимуществ колхозного строя. Этот богатейший урожай, полученный нашим колхозным крестьянством и являющийся основой для их еще более счастливой и зажиточной жизни, показывает, как освобожденный от пут эксплоатации народ, воодушевленный лозунгом своего вождя т. Сталина о борьбе за 7—8 миллиардов пудов хлеба, по-новому использует природу.

V

«Таким образом,— говорил т. Сталин в своем докладе о проекте Конституции Союза СССР на Чрезвычайном VIII Всесоюзном съезде Советов,— полная победа социалистической системы во всех сферах народного хозяйства является теперь фактом.

А что это значит?

Это значит, что эксплоатация человека человеком уничтожена, ликвидирована, а социалистическая собственность на орудия и средства производства утверждена, как незыблемая основа нашего советского общества. (Продолжительные аплодисменты.)

В результате всех этих изменений в области народного хозяйства СССР мы имеем теперь новую, социалистическую экономику, не знающую кризисов и безработицы, не знающую нищеты и разорения и дающую гражданам все возможности для зажиточной и культурной жизни».

Все эксплоататорские классы в нашей стране ликвидированы, грани между рабочим классом и крестьянством все больше и больше стираются: «Союз Советских Социалистических Республик есть социалистическое государство рабочих и крестьян» (Конституция СССР, статья 1).

Из года в год, изо дня в день увеличивается материальное благосостояние народов нашей страны. Растет реальная зарплата рабочих и служащих, увеличиваются доходы колхозников, систематически снижаются цены на продукты питания и предметы широкого потребления. Все это создает зажиточную, счастливую жизнь. Центральный орган нашей партии («Правда» № 269 от 29 сентября

* Ленин, т. XXIV, стр. 511, изд. 3-е.

1937 г.) приводит следующий характерный для рабочих и служащих всей нашей страны факт.

«Свердловское областное управление народнохозяйственного учета систематически изучает бюджет 472 рабочих семей. Результаты чрезвычайно показательны. Они говорят о колоссальном росте благосостояния рабочих.

В 1932 г. годовая заработная плата главы семьи составляла в среднем 3 764 руб., в 1936 г.— 7 884 руб., а за 8 месяцев этого года — 8 359 руб. Заработная плата членов обследованных семей в 1937 г. по сравнению с 1932 годом выросла на 329 проц.

Как же эти деньги расходуются? На питание в 1932 г. каждая семья в среднем тратила 2 220 руб., а за 8 месяцев этого года израсходовано 5 934 руб. Этот рост объясняется резким улучшением питания, главным образом за счет жиров, молочных продуктов и фруктов. В два с лишним раза выросли расходы на покупку одежды и мебели. Затраты на театр, кино и приобретение литературы выросли за пять лет на 236 проц.»

На основе социалистического колхозного труда и роста доходов совершенно преобразуется жизнь в деревне, меняются потребности и запросы колхозных масс. В область преданий отошло то время, когда в деревне лишь кулаки и сельская буржуазия носила городскую покупную одежду, а крестьянин в массе своей носил лапти и домотканную одежду. Сейчас трудно отличить по внешнему вицу колхозника от городского жителя: рабочего и служащего. До огромных размеров вырос спрос колхозников на высококачественную одежду и обувь, патефоны, пианино, велосипеды, мебель и т. д.

VI

Какой невероятный контраст представляет счастливая жизнь наших колхозников по сравнению с угнетаемым и эксплоатируемым крестьянством капиталистических стран. В фашистской Германии 1,7 млн. хозяйств имеют участки размером от 0,1 до 0,5 га, примерно 2,7 млн. хозяйств имеют участки в пределах от 0 5 до 20 га.

2,5 млн. трудящихся крестьян, или 73,6% всех хозяйств, располагают 19% всей обрабатываемой земли. 17 тысяч крупных землевладельцев, или 1% всех хозяйств, имеют свыше 13,4 млн. га, или 32,5% всей обрабатываемой земли. 16 земельных магнатов владеют вместе 550 684 га земли. В Италии из 4,2 миллиона хозяйств 3,3 миллиона являются хозяйствами бедняцкими. Если к этому добавить огромные налоги, которые взимаются с крестьян, их полное бесправие, то станет очевидным жуткая нищета крестьян капиталистических стран. Вот как описывает председатель венгерской партии независимых мелких земледельцев, Экгарт, жизнь крестьян Венгрии: «существование свыше 3 миллионов мелких крестьян и батраков находится на «голодном уровне». У крестьян нет ни хлеба, ни топлива, а очень часто даже соли и спичек. О мясе не может быть и речи, так как мясо вообще не является продуктом питания для венгерских крестьян. Потребление сахара сведено к такому минимуму, что для крестьян сахар — редкость, нечто вроде тропических фруктов. Дети не получают молока. Подрастающее поколение вследствие недоедания вырождается...

В деревнях колодцев не роют. Крестьяне пьют грязную почвенную воду. Жилища крестьян тесные, сырые и грязные. Вследствие этого наблюдается массовая смертность грудных детей и рост туберкулезных заболеваний. Жизнь трудящегося крестьянства в нашей стране представляет собою бесконечную цепь лишений, голода и социальных болезней».

VII

С огромными достижениями приходят народы Советского Союза к XX годовщине Великой Социалистической Революции в области народного просвещения и культурного строительства. В царской России в 1914 г. начальной и средней школой охватывалось лишь 7,8 млн. детей. Число же учащихся в начальной и средней школе в 1937 г. превышает у нас 30 миллионов. Благодаря неустанным заботам партии и правительства и лично т. Сталина о школе все время повышается качество ее работы.

Школа все лучше и лучше начинает выполнять свою задачу воспитания грамотных, культурных, подлинных строителей коммунистического общества. Колоссально возросло число учащихся в высших учебных заведениях: вместо 125 тысяч в 1914 г., мы имеем сейчас в наших вузах больше 500 тысяч студентов. Все наше население тянется к науке, к знаниям: используются очные и заочные формы обучения, создаются всевозможные школы, кружки и курсы. Не так легко сейчас в нашей стране найти человека, особенно из молодежи, который бы не учился. Значительно возросла сеть кино, клубов, изб-читален, библиотек, театров. Они все больше и больше проникают в гущи народных масс. Появилась новая интеллигенция в городе и на селе, новые профессии и спе-

циальности. Все реже и реже можно сейчас встретить универсального земледельца-крестьянина, который совмещал в себе ранее все профессии, требовавшиеся в мелком крестьянском хозяйстве: пахаря, сеяльщика, косаря, молотильщика, плотника и т. д. Тракторист, комбайнер, конюх, доярка, яровизатор, лаборант — вот лишь некоторые из профессий современного социалистического сельского хозяйства.

Характерным для людей, носителей этих новых профессий, является близкое общение с наукой, со знаниями, стремление строить свою работу в соответствии с данными науки и техники.

Великая Социалистическая Революция сняла оковы, в которые были закованы царизмом народы наш й страны, дала простор и создала неограниченные возможности для развития творческих способностей этих народов. Наши музыканты являются лучшими в мире музыкантами. Это было достаточно убедительно доказано на недавно прошедших международных конкурсах скрипачей и пианистов. Нашим театральным и вокальным искусством восторгается весь цивилизованный мир. Об этом свидетельствуют проводившиеся в Москве театральные фестивали, недавние гастроли Московского ордена Ленина Художественного театра на Международной выставке в Париже и гастроли Краснознаменного ансамбля красноармейской песни и пляски во Франции и Чехословакии, превратившиеся в подлинный триумф советского искусства. Наши кинокартины вызывают восхищение зрителей во всех капиталистических странах, где бы эти картины ни демонстрировались.

Большие победы одержаны за эти 20 лет всеми народами, населяющими нашу страну, в деле развития своей социалистической по содержанию и национальной по форме культуры. Огромное количество талантливейших людей выявилось из самой гущи народных масс.

Завоевание северного полюса экспедицией героя Советского Союза орденоносца О. Ю. Шмидта, организация там советской полярной станции на льдине, беспосадочные перелеты героев Советского Союза Чкалова, Байдукова и Белякова; Громова, Юмашева и Данилина по сталинскому маршруту Москва — Северный полюс — Северная Америка— воистину показали, что «нет таких крепостей, которых большевики не могли бы взять» (Сталин) и вписали еще одну чудесную страницу в замечательную книгу побед, с которой Советский Союз приходит к XX годовщине Великой Октябрьской социалистической революции.

VIII

Все победы Советского Союза за 20 лет одержаны партией в непримиримой борьбе с врагами нашего народа — троцкистско-зиновьевскими и бухаринскими мерзавцами, о которых т. Сталин в своем заключительном слове на пленуме ЦК ВКП(б) в марте 1937 г. говорил: «Теперь, я думаю, ясно для всех, что нынешние вредители и диверсанты, каким бы флагом они ни маскировались, троцкистским или бухаринским, давно уже перестали быть политическим течением в рабочем движении, что они превратились в беспринципную и безыдейную банду профессиональных вредителей, диверсантов, шпионов, убийц. Понятно, что этих господ придется громить и корчевать беспощадно, как врагов рабочего класса, как изменников нашей родине».

С этими злейшими врагами социализма, пособниками фашистской буржуазии партия вела непрерывную борьбу на протяжении всех лет революции. Это они, желая во что бы то ни стало разоружить рабочий класс и партию в их борьбе за социализм, с бешеной пеной на губах кликушествовали о невозможности построения социализма в одной стране.

В 1917 г. Зиновьев и Каменев предательски выдали план Октябрьского восстания. Еще до Октябрьской Социалистической революции Ленину и Сталину пришлось вести ожесточенную борьбу с Бухариным, проповедывавшим враждебное отношение ко всякому государству, в том числе и к государству рабочего класса, к пролетарской диктатуре. Этим своим враждебным отношением к диктатуре пролетариата Бухарин отличался и после Великой Социалистической Революции. В период Брестского мира партии пришлось бороться против авантюристической, предательской политики Троцкого и Бухарина, в результате которой наша страна оказалась тогда на краю пропасти. Лишь гениальная прозорливость Ленина и Сталина спасли тогда нашу молодую советскую страну. Не было ни одного решающего этапа в развитии нашей революции, когда бы эти предатели дела рабочего класса не пытались затормозить победоносное строительство социализма, не пытались бы свернуть нашу страну на путь реставрации капитализма. В последний же период эти гнусные мерзавцы превратились в банду презренных убийц и диверсантов, наемных японо-германских шпионов. «Реставрация капитализма, ликвидация колхозов и совхозов, восстановление системы эксплоатации, союз с фашистскими силами Германии

и Японии для приближения войны с Советским Союзом, борьба за войну и против политики мира, территориальное расчленение Советского Союза с отдачей Украины немцам, а Приморья — японцам, подготовка военного поражения Советского Союза в случае нападения на него враждебных государств и, как средство достижения этих задач,— вредительство, диверсия, индивидуальный террор против руководителей советской власти, шпионаж в пользу японо-немецких фашистских сил,— такова развернутая Пятаковым, Радеком и Сокольниковым политическая платформа нынешнего троцкизма»*.

Партия разоблачила и в значительной мере разгромила эту презренную шайку фашистских псов. Однако, не все еще притаившиеся последыши этой банды выведены на чистую воду. Задача и обязанность каждого честного гражданина помочь нашему славному НКВД обезопасить страну от этих японо-германских шпионов.

IX

Победы народов Советского Союза, с которыми они приходят к двадцатилетию Великой Октябрьской Социалистической революции, являются в то же время и победами пролетариата и трудящихся масс всего мира. Сейчас, когда грозовые тучи войны сгущаются над миром, все взоры трудящихся масс всего мира обращены к верному и последовательному защитнику мира — СССР.

Вот уже больше года длится фашистская интервенция Италии и Германии в Испании. Потоками льется кровь испанских рабочих и крестьян, варварски уничтожаются фашистами целые города и селения, сносятся с лица земли ценнейшие памятники культуры. Страны Европы даже демократические ведут половинчатую политику, фактически направленную против законного республиканского правительства и испанского народа и на поддержку Франко и его итало-германских хозяев.

Консервативное английское правительство Чемберлена, стремясь под различными предлогами и внешними разговорами о невмешательстве договориться с фашистскими интервентами в Испании за счет испанского народа, стремится заставить и Францию итти по тому же пути. В этих условиях с особой силой звучит голос Советского Союза, систематически на всех международных конференциях, на всех заседаниях Лиги наций разоблачающий фашистских интервентов, противодействующий всяким сделкам и махинациям, направленным против испанского народа. Вот уже второй месяц, как началась долго подготовлявшаяся японским империализмом война против китайского народа. Это самая наглая, самая преступная разбойничья война, какую только знала история: японские озверелые империалисты стремятся поработить 400-миллионный китайский народ.

И в этом случае, СССР — верный страж мира, со всей присущей ему последовательностью, смелостью и силой разоблачает агрессора, возглавляет и организует силы, стремящиеся сохранить мир. Фашизм — это символ войны, символ разрушения культуры и цивилизации. СССР — символ мира и содружества народов. СССР, опираясь на свои первоклассные промышленность и сельское хозяйство, на мощь своей доблестной Красной Армии, лучшей в мире армии, играет сейчас колоссальную роль на международной арене в деле объединения всех сил, борющихся против войны и против агрессоров. Народы всего мира не хотят войны и жаждут мира. Вот почему их симпатии на стороне СССР.

Бешено вооружающийся фашизм готовится к нападению и на СССР, но мы знаем и убеждены, на основе реального учета своих сил, что кто бы ни посмел на нас напасть — будет уничтожен. Наша славная Красная Армия и народы Советского Союза свято выполнят слова своего любимого вождя т. Сталина о том, что «ни одной пяди чужой земли мы не хотим. Но и своей земли, ни одного вершка своей земли не отдадим никому».

X

В свете задач борьбы против фашизма и войны, огромное значение имеют победы единого пролетарского и народного фронта в ряде стран. Два года прошло со времени VII Всемирного конгресса Коминтерна, наметившего центральной задачей Коминтерна и всех братских компартий борьбу за осуществление единого пролетарского и антифашистского народного фронта. На этом конгрессе т. Димитров, говоря о готовности коммунистов пойти на совместные действия с другими партиями, борющимися против фашизма, закончил эту часть своей речи следующими словами: «Мы готовы все это сделать, потому что мы хотим в странах буржуазной демократии загородить путь реакции и наступлению капитала и фашизма, помешать ликвидации буржуазно-демократических свобод, предупредить террористическую расправу фашизма с пролетариатом и революционной частью

* И. В. Сталин, Доклад на пленуме ЦК ВКП(б) 3-5 марта 1937 г.

крестьянства и интеллигенции, избавить молодое поколение от физического и духовного вырождения. Мы готовы все это сделать, потому что мы хотим в фашистских странах подготовить и ускорить свержение фашистской диктатуры. Мы готовы все это сделать, потому что мы хотим спасти мир от фашистского варварства и ужасов империалистической войны».

Единый пролетарский и антифашистский народный фронт одержали за эти два года ряд крупных побед. Жизнь подтвердила правильность вышеприведенных слов т. Димитрова. Только благодаря созданию по инициативе компартии народного фронта во Франции, там не пришел к власти фашизм. Только благодаря этой политике там осуществлено единство профдвижения и наступлению капитала противостоит сейчас пятимиллионная профсоюзная армия. Благодаря политике единого пролетарского и антифашистского народного фронта, рабочие Франции добились улучшения своего материального положения: повышения зарплаты, сокращения рабочей недели и некоторого сдвига в социальном законодательстве. Силу единого пролетарского и народного фронта прекрасно оценили рабочие и трудящиеся массы Франции и стойко противодействуют попыткам его разрушения как со стороны реакционной буржуазии и фашистов, так и со стороны правых элементов радикальной и социалистической партий.

Возглавляемый коммунистами народный фронт в Испании вписал уже яркую страницу в историю защиты испанского народа от фашистского варварства. Сторонники демократической республики одержали там победу над силами реакции и фашизма во время выборов в кортесы в начале 1936 г. только благодаря народному фронту.

Народный фронт в Испании организовал массы на отпор фашистам, создал боевую, доблестную армию, которая не только приостановила у Мадрида продвижение армии мятежников, но сейчас, когда приходится воевать по существу с объединенными итало-германскими интервенционистскими силами, одерживает над последними ряд крупных побед (Гвадалахара, восточный арагонский фронт). Нынешнее правительство народного фронта успешно организует тыл, освобождая его от троцкистских и иных агентов Франко. Народный фронт в Испании уже достаточно закален в борьбе и безусловно приведет испанский народ к окончательной победе над злейшими врагами человечества как испанскими фашистами, так и итало-германскими полчищами.

Зачатки движения единого пролетарского и народного фронта имеются уже и в других странах, в том числе даже в фашистских Германии и Италии. Симпатии широчайших народных масс на стороне народного фронта и в этом залог его дальнейших успехов.

Взоры всего цивилизованного мира прикованы сейчас к развертывающейся борьбе китайского народа против озверелого японского империализма. Китайскому народу предстоит тяжелая, упорная и вероятно длительная борьба за свою родину, свободу и национальное существование. Тем большее значение имеет там антиимпериалистический единый фронт, за создание и укрепление которого борется Китайская компартия. Первые шаги к созданию этого фронта в Китае уже сделаны и недавние победы, одержанные восьмой китайской армией, под командованием Чжу Дэ над японцами в провинции Шаньси, являются несомненно результатом создающегося единого антиимпериалистического фронта.

* * *

Неисчислимы победы, которые одержали народы нашей страны за 20 лет Великой Социалистической Революции под руководством нашей партии, под руководством лучшего друга и учителя всего передового человечества т. Сталина. Наши победы воодушевляют трудящиеся массы всего мира на борьбу против капитализма, против угнетателей, против фашистского варварства.

Народы же Советского Союза, гордые своими победами, встречают радостный праздник Великой Социалистической Революции в полной решимости к дальнейшей борьбе с врагами и уверенности в новых грядущих победах коммунизма!

Школа № 23 Фрунзенского района, Москва

ШКОЛА, УЧИТЕЛЬ И УЧЕНИК В СОВЕТСКОЙ СТРАНЕ

А. БАРСУКОВ

I

Двадцатилетняя диктатура пролетариата изменила до неузнаваемости лицо нашей страны. Из страны земледельческой она превратилась в страну крупной индустрии. Из страны мелкособственнического, распыленного, крестьянского хозяйства она превратилась в страну коллективизированного, крупного, механизированного сельского хозяйства. Из страны темной, невежественной, неграмотной она превратилась в страну сплошной грамотности, всеобщего обязательного обучения, в страну, покрытую колоссальной сетью низших, средних и высших учебных заведений и научно-исследовательских институтов. Преобразилось и самое лицо нашей школы.

Старая школа «...была целиком превращена в орудие классового господства буржуазии, она была вся проникнута кастовым буржуазным духом, она имела целью дать капиталистам услужливых холопов и толковых рабочих» (Ленин, т. XXIII, стр. 199).

Эта старая школа исчезла. На ее месте построена новая школа, школа советская, школа, воспитывающая поколение, «способное окончательно установить коммунизм» [из программы ВКП (б)].

Наша школа не та уже по своему внешнему виду. Можно было найти хорошие школьные здания и в царской России. Но эти хорошие здания были построены буржуазией только для своих детей. Они находились в центре города, плата за обучение в них была особенно высокой. На городских окраинах можно было видеть лишь убогие начальные школы; гимназий и вообще средних учебных заведений окраина не знала.

Не то теперь. В Москве, Ленинграде, других городах не найдешь уже такой окраины, где не красовалось бы вновь построенное Советской властью прекрасное школьное здание, рассчитанное на тысячи детей, светлое, просторное со специальными помещениями для кабинетов, лабораторий и пр.*. Нужно ли говорить о деревне? Средней школы она не знала совершенно. Убогая, состоящая из одной комнаты (часто в церковной сторожке) церковно-приходская школа; в самом лучшем случае, трехкомплектная земская начальная школа — вот все, чем должна была довольствоваться деревня.

Теперь, как правило, каждый район имеет по крайней мере одну среднюю школу и две-три неполных средних школы.

Наша школа уже не та и по своему учебному оборудованию. Прошли те времена, когда в деревенской школе разрезная азбука, арифметический ящик, иногда классные счеты, одна-две географических карты составляли все ее богатство. Почти в каждой школе вы найдете хотя бы маленький «живой уголок», вы найдете коллекции, элементарные, может быть сконструированные педагогом вместе с учениками приборы...

* Мы помещаем несколько фото, заснятых в одной из таких «окраинных» школ — школы № 23 Фрунзенского р. Москвы (на Усачевке) Школа построена в 1930 г.

Перейдем к средней школе. Вспомним, что в царские времена в деревне их совсем не было. Вспомним, что даже лучшие гимназии и реальные училища могли похвастаться лишь богатым набором приборов по физике и химии для демонстрации тех или иных опытов. О том, чтобы эти опыты, подтверждающие тот или иной закон* делались всем классом, чтобы на основе физического или химического закона всем классом производились те или иные измерения — об этом старая школа и не помышляла.

Теперь рядовая, массовая школа с оборудованием среднего качества и количества, имеет необходимый минимум приборов и материалов для проведения таких фронтальных экспериментальных работ. Наша массовая средняя школа в значительной уже мере имеет необходимое для того, чтобы осуществить директиву партии о применении всего разнообразия методов преподавания для усвоения учащимися основ наук.

Наша школа уже не та, и это самое главное, по своей идеологической направленности. Школа наша готовит не рабов и приказчиков капитала, а свободных граждан свободной страны. Она воспитывает нашу молодежь в духе коммунизма, в духе материализма. Она не только изгнала религию, как предмет преподавания, она борется с религией, ведя антирелигиозную работу среди учащихся, а через них влияя на родителей, на взрослое население, еще не освободившееся от религиозных предрассудков.

На необъятном пространстве нашей страны мы найдем еще немало школ, стоящих ниже того уровня, который нами дан выше.

Еще остались, как наследие прошлого, ветхие малоприспособленные школьные здания, еще есть школы с убогим оборудованием, еще есть школы, где идейная, воспитательная сторона не стоит на должной высоте.

Но страна растет, крепнет, богатеет и все интенсивнее развертывает новое школьное строительство особенно за последние годы.

Мы производим и по количеству и по ассортименту неизмеримо боль ше приборов, наглядных пособий, чем царская Россия, и недостаток в них объясняется только лишь бурным ростом школьной сети, только тем, что в производстве оборудования мы еще отстаем от спроса, растущего быстро вместе с ростом сети и с повышением качества преподавания.

Аттестация учителей, грандиозные мероприятия по их подготовке и повышению их политического и педагогического уровня ликвидируют недочеты в постановке учебно-воспитательной работы и в отставших школах.

II

С недоверием встретило Октябрьскую революцию учительство, «...с самого начала представлявшее из себя организацию, в громадном большинстве, если не целиком, стоящую на платформе, враждебной Советской власти» (Ленин, т. XXIV, стр. 421). Дело доходило до открытого саботажа, прекращения занятий в школах, враждебных выступлений.

Но,— дело рабочего класса побеждало всюду, побеждало оно и здесь. Уже в 1919 г. тов. Ленин мог констатировать: «Нельзя сомневаться в том, что громадное большинство учительского персонала, который стоит близко к рабочему классу и к трудящейся части крестьянства, что оно в громадном большинстве убедилось теперь, как глубоки корни социалистической революции, как неизбежно она распространяется на весь мир,

Коридор первого этажа

и я думаю, что теперь громадное большинство учительства несомненно искренне встанет и будет становиться на сторону власти трудящихся и эксплуатируемых, в борьбе за социалистический переворот и в борьбе с той частью учительства, которая до сих пор, оставаясь на почве старых буржуазных предрассудков и старых порядков и лицемерии, воображала, что может что-нибудь сохранить от этих порядков».

Неуклонно продолжался этот переход учительства на сторону Советской власти, переход, который в конце концов привел «к совместной борьбе пролетариата и учительства за победу социализма» (Ленин, т. ХХIII, стр. 66).

Сейчас, в XX годовщину Великого Октября мы смело можем сказать: да, наш учитель—это подлинно советский учитель, вместе со всеми трудящимися строящий социализм!

Как изменился облик учителя! Исчез тот старый учитель, которого в деревне давила власть урядника, попа, волостного старшины, писаря, земского начальника и пр. и пр.; над которым в городе висело «недремлющее око» инспектора, директора, попечителя учебного округа. Исчез и учитель-чиновник, формалист, засушивающий преподаваемую им дисциплину, ненавидящий своих учеников и ненавидимый ими, находящийся в состоянии непрерывной войны с учащимися. Наш учитель не похож на них. Наш учитель—это новый, советский учитель.

1. Наш учитель — прежде всего гражданин Советского Союза. Вместе со всеми трудящимися, под руководством коммунистической партии он строит первое в мире социалистическое государство. Член партии, комсомолец или просто беспартийный большевик— он осуществляет политическое воспитание масс. Он следит за политическими событиями у нас и за границей и разъясняет их. Он руководит кружками по изучению Сталинской Конституции, Положения о выборах в Верховный Совет.

Член сельсовета, райисполкома и т. д. вплоть до ЦИК СССР — он принимает непосредственное участие в управлении Советским государством.

Педагог, воспитатель детей и юношества — он проводит в жизнь требование программы коммунистической партии о превращении школы «из орудия классового господства буржуазии в орудие полного уничтожения деления общества на классы, в орудие коммунистического перерождения общества» [из программы ВКП (б)].

Он — патриот Советской страны. Он предан своей социалистической родине, он помогает росту ее боевой и хозяйственной мощи. Вместе со всеми честными трудящимися он помогает Советской власти выявить и разоблачить врагов рабочего класса, двурушников, шпионов и изменников своей родине.

Словом, наш учитель — полноправный и активный член единой рабочей семьи, борющейся за счастье всего человечества.

2. Наш учитель — общественник. Он борется за коллективизацию деревни. Член правления колхоза — он укрепляет колхозы, он осуществляет лозунг товарища Сталина «сделать всех колхозников зажиточными». Он — основной работник в борьбе за ликвидацию неграмотности. Он — опорная сила в работе избы-читальни. Во всяком общественном мероприятии мы увидим фигуру учителя, борющегося за его наилучшее проведение.

3. Наш учитель — воспитатель молодого поколения. Обучая нашу молодежь, помогая ей овладеть «основами наук», давая ей знания, необходимые для будущих строителей коммунистического обще-

Кабинет биологии

ства, он одновременно воспитывает наше молодое поколение в коммунистическом духе, борется со всякой враждебной идеологией, которой враги все еще пытаются опутать нашу молодежь.

4. Наш учитель — друг детей, друг юношества. Вражды между учителем и учеником, так характерной для старой школы, у нас нет и в помине. Наш учитель любит своих учеников, — он для них первый и близкий руководитель, помощник и друг. Он — активный участник всех культурных начинаний учащихся — кружков, экскурсий. Он ближайший помощник и руководитель в организации культурного отдыха, культурных развлечений.

5. Наш учитель — не «человек в футляре», для которого и наука и методы ее преподавания приняли определенные, раз навсегда установленные, застывшие формы. Он знает, что наука непрерывно движется вперед, знает, что методы преподавания еще далеко несовершенны. И он борется за повышение своей политической и научной квалификации, борется за повышение своего педагогическою мастерства. Он — слушатель вечерних и заочных курсов, педтехникумов и педвузов. Он с радостью едет на курсы, на конференции, чтобы повысить свои знания, получить ответы на возникшие в связи с его педагогической или общественной деятельностью вопросы. Он хватается за каждую вышедшую книгу по его специальности, за каждый номер журнала. Он жалуется лишь на то, что наш книжный рынок пока еще не в состоянии удовлетворить полностью запросы учительства.

6. Наконец, наш учитель не прежний бедняк-труженик, борющийся за кусок хлеба, смотрящий на свой труд прежде всего и только с этой точки зрения, а потому и относящийся к нему без всякого энтузиазма, а подчас и с ненавистью, как к труду принудительному. Заботами партии и правительства, заботами Сталина поднято материальное благосостояние нашего учительства. Ему уже не приходится перегружать себя уроками, искать работы «на стороне» для того, чтобы обеспечить себе и своей семье прожиточный минимум. Его заработная плата такова, что он имеет время и для своей учебы и для отдыха.

Таков облик нашего советского учителя. Мы не говорим, конечно, что таково все учительство, на все сто процентов. В многотысячной учительской семье, найдутся и учителя, плохо справляющиеся со своей учебной работой, учителя — необщественники, учителя чиновники, бездушные формалисты, наконец, учителя, находящиеся еще в плену чуждой нам идеологии. Но в массе своей учитель именно таков, каким мы его описали выше и каким он и должен быть в Советской стране. Таково громадное большинство учительства и таким все более и более становится остальная его часть.

III

Изменилась школа, изменился учитель, изменился, конечно, и ученик. Советский ученик — это не старый ученик, смотрящий на учение, как на тяжелый крест; видящий в ученьи лишь печальную необходимость, поэтому равнодушный к школе и к учителю в лучшем случае; видящий в среднем и высшем образовании лишь средство к достижению больших или меньших личных благ.

Наш ученик смотрит на школу, на образование, как на необходимую ступень для того, чтобы быть участником социалистического строительства, быть достойным и активным гражданином Советской Республики.

Он преодолевает трудности той или иной дисциплины не «страха ради», а сознавая

Библиотека

Живой уголок

важность приобретения знаний, необходимых в его дальнейшей практической работе.

Он любит свою школу, заботится об ее благоустройстве, помогает личным трудом обогащению школы наглядными пособиями, приборами, коллекциями и пр. Он с доверием относится к педагогу, обращается к нему в трудных случаях, помогает ему в постановке опытов, в изготовлении таблиц и приборов и пр.

Наш ученик старается получить высшее образование прежде всего не из личных выгод, а стремясь дать как можно больше своей родине. Он хочет быть инженером, чтобы строить заводы, фабрики, чтобы укреплять советскую промышленность. Он хочет быть летчиком, чтобы завоевать для советской страны еще неизведанные пространства Арктики. Он хочет быть парашютистом, танкистом, чтобы защищать от врагов свою родину.

Наш ученик интересуется политической жизнью своей и других стран. Он изучает Сталинскую Конституцию, Положение о выборах в Верховный Совет. Он с горячим участием следит за всеми этапами борьбы героического испанского народа за свою независимость и свободу. Он глубоко возмущается варварским нападением фашистской Японии на Китайскую республику.

Наш ученик горячо любит свою социалистическую родину. Он радуется каждому новому рекорду, поставленному нашими стахановцами. Он ликует по поводу каждого нового успеха, нового подвига наших летчиков, наших парашютистов, наших героев-пограничников.

Наш ученик уже сейчас в меру своих сил участвует в социалистическом строительстве, участвует в охране своей родины от врагов; он помогает пограничникам в обнаружении иностранных шпионов и диверсантов. Он уже сейчас совершает подвиги, за которые страна награждает его орденом. Да, мы действительно имеем учащихся-орденоносцев! Это ли не гордость для школы, для учителя, для учащихся?! Да, наш ученик — это новый советский ученик.

Немало еще недочетов в нашей школе. Их можно и нужно ликвидировать. Но самое трудное уже позади. Впереди — широкая творческая работа по дальнейшему улучшению нашей советской школы.

Опираясь на гигантски растущую политическую и экономическую мощь нашей страны, в борьбе с внешними и внутренними врагами социализма, наша школа, наши учителя и наша учащаяся молодежь бодро и радостно шествуют навстречу счастливому будущему всего человечества.

Кабинет физики

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ КОНСТРУКТИВНЫХ ЗАДАЧ ГЕОМЕТРИИ ТРЕУГОЛЬНИКА*

В. Б. ФУРСЕНКО (Москва)

§ 4. Задачи, в которых даны сторона и соответственная высота (а, h0).

46) a, ha , Ьь — (А) — Определяем С из условия sin С = — , после чего задача сведется к (я, Ct ha)=(a, В, ha).

47) a, ha , ma — (Г. M.— III) — Проводим две параллельные прямые MN и MW на расстоянии ha одна от другой. Из произвольной точки А на MW как из центра описываем радиусом, равным та, дугу до пересечения в D с MN. Откладываем от D на MN в обе стороны отрезки, равные —а. Полученные точки В и С соединяем с А. Д ABC искомый. Решение возможно, если tna>ha.

48) a, ha, Шь — (Г. M.— III) — Проводим две параллельные MN и M'N' на расстоянии ha одна от другой. Из произвольной точки В на MN как из центра описываем дугу радиусом, равным 2тъ, до пересечения ее в точке F с M'N1. Соединяем конец С отрезка ВС = а на MN с точкой F, а из В проводим В А параллельную CF до пересечения в А с M'N'. Соединяем А с С. Д ABC искомый. Решение возможно, если ть > — йа.

49) a, ha, bA—(Г. M.-III+VI) —Проводим две параллельные MN и MW на расстоянии Äa одна от другой. Из произвольной точки F на M'N' как из центра описываем радиусом, равным Ьа , дугу до пересечения в D и Е с ММ Соединяем Z7 с D и Е и продолжаем Я/7 на некоторое расстояние FE\

Проводим через F прямую, перпендикулярную к МЛ/, до пересечения в С с MN и продолжаем CF на равное расстояние до точки /С. На MN от С откладываем СВ — а и соединяем В с К. Строим на В К дугу, вмещающую угол DFE'. Точку А ее пересечения с M'N' соединяем с В и С. Д ABC искомый. Решение возможно, если Ьа > /*а .

50) a, ha, Ьв — Неразрешима.

51) а, ha, R — (Г. M.— III) — Описываем данным радиусом окружность и вписываем в нее хорду ВС = а. На расстоянии ha от нее проводим ей параллельную до пересечения в А с окружностью. Соединяем А с В и С. Д ABC искомый. Решение возможно, если hn^R+-^ \/4R2—~ä*.

52) a, ha, г — (А) — Определяем А из условия tor— —--, после чего задача сведется к а> А, ha (формулы 95 и 99). 53) a, ha , ra—(А) — Определяем г на условия г =-—— , после чего задача сведется к a, ha, г, a через нее к а, A, ha (формула 167а).

* Окончание. См. журнал «Математика в школе» № 5.

54) a, ha , rb—(А) — Определяем угол А из условия ig— =----, после чего задача сведется к а, А, ha (формулы 97, 100, 105).

55) a, ha, 2р—(А) — Определяем г из условия г = —5, после чего задача сведется к я, /га, r, a через нее к a, A, ha (формула 99).

56) a, ha , Д — Если Д = — , задача неопределенная, а если г^ф—^-* то задача противоречивая.

§ 5. Задачи, в которых даны сторона и высота, проведенная из вершины на данной стороне (a, hb).

57) a, hb , hc — (A) — Определяем С из условия sin С«= — и В из условия sin В = —-, после чего задача приведется к а, а В, С (формула 91)*.

58) a, hb , ma — (А) — Определяем С из условия sin С = —-, после чего задача сведется к {а, С, та) = (а, В, та).— Формула 91 (см. примечание к задаче a, hb, hc).

59) a, hb , mb—(А) — Определяем С из условия sin С = —- , после чего задача сведется к (а, С, тъ) = (а, В, тс) — формула 91 (см. примечание к задаче д, hb> hc).

60) a, hb , mc—(А) — Определяем С из условия sin С = —-, после чего задача сведется к (а, С, тс) = (а, В, тъ) — формула 91 (см. примечание к задаче a, hb, hc).

61) a, hb , Ьд —Неразрешима.

62) a, hb , Ьв — (А) — Определяем С из условия sin С = —, после чего задача сведется к (а, С, Ьв) = {а, В, Ье)— формула 91 (см. примечание к задаче a, hb, /гс).

63) a, hb , be—(А)—Определяем С из условия sin С = , после чего задача сведется к (а, С, Ьс) = {а, В, Ьв) — формула 91 (см. примечание к задаче a, hb, hc).

64) a, hb , R — (А) — Определяем С из условия sinC^-^-, после чего задача сведется к (а, С, R) = (a, В, R) — формула 91 (см. примечание к задаче а, А&,

65) a, hb , г — (А) — Определяем С из условия sin С = , после чего задача сведется к (я, С, г) = (а, В, г) — формула 91 (см. примечание к задаче a, hb, hc).

66) a, hb , га — (А) — Определяем С из условия sin С = , после чего задача сведется к (я, С, га) = (а, В, га) — формула 91 (см. примечание к задаче a, hb, hc).

67) a, hb , rb — (А)— Определяем С из условия sin С = , после чего задача сведется к (я, С, гъ) = (а, By гс) — формула 91 (см. примечание к задаче a, hb, hc).

68) a, hb , rc—(А) — Определяем С из условия sinC=-^-, после чего задача сведется к (я, С, гс) = (а, В, гь) — формула 91 (см. примечание к задаче a, hb, hc).

69) a, hb , 2р— (А) — Определяем С из условия sinC = -^-, после чего задача сведется к (я, С, 2р) = (я, В, 2р) — формула 91 (см. примечание к задаче я, hb, he).

70) a, hb , Д—(А) — Определяем Ь из условия Ь = —jj—, после чего задача сведется к я, Ь, Д — формула 100 (см. примечание к задаче я, таУ д).

* Все задачи § 5 могут быть сведены к ранее решенным задачам методом построения по частям, так как необходимый угол С, определяемыи равенством slnC = —, можно построить, например, следующим образом. Из произвольной точки С произвольной прямой MN как из центра радиусом, равным а, описываем дугу до пересечения в В с прямой, параллельной MN и отстоящей от нее на расстоянии, равном hb. Опустив из В перпендикуляр BD на MN, получим прямоугольный треугольник, острый угол С которого является искомым. Таким образом мы видим, что вместо символа (А) в заголовке задачи мы могли бы, лишь немногим изменив текст решения, поставить символ (ППЧ). Это замечание относится почти ко всем задачам, решаемым алгебраическим методом. Во всяком случае получение геометрического решения для задач § 5 не составляет никакого труда.

§ в. Задачи, в которых дана сторона и соответственная медиана (а, ша ).

71) а, Ша , ть—(ППЧ) — Строим треугольник BDM по трем сторонам BD = (Задача а, Ь, с). Продолжим BD на равное ему расстояние до точки с, a DM на вдвое большее расстояние до точки А. Соединяем А с В и С. Д ABC искомый. Решение возможно, если Ать—2та<За<САть+2та.

72) а, Ша , Ьа — (А)—Из формул Ь\ = (51) и (47) определяем b и с, после чего задача сведется к а, Ь, с. Последовательность вычислений такова. Обозначим Ь+ с через х и be через у2; откуда о2+с2 = х2— 2у2. Исключая у2 из формул (51) и (47), придем к биквадратному уравнению

корни которого можно построить, после чего определим из (47) у2 и получим квадратное уравнение z2 — zx +у2 — 0 для определения b и с. Так как построение корней биквадратного уравнения в распространенных курсах теории геометрических построений не излагается, мы покажем последовательность построения, которая необходима в данном случае.

Решение биквадратного уравнения удобнее всего представить в таком виде

Строим последовательно:

73) а, та , Ьв — Неразрешима.

74) а, та , R 1° — (А) — Определяем А из условия sin А = —, после чего сведем задачу к а, А, та (формула 93).

2° —(Г. М. — VI+ ППЧ) — Из точки В окружности О радиуса R как из центра опишем дугу радиуса а до пересечения в С с окружностью О. Соединяем В и С. Из середины К отрезка ВС как из центра описываем дугу радиуса m до пересечения в С с окружностью О. Соединяем А с С и В. Д ABC искомый. Решение возможно, если

* По существу оба эти решения представляют собою одно и то же, так как решение 2° начинается с построения геометрического места VI, определяющего дугу, вмещающую угол А, синус которой равен — . Это замечание относится ко всем задачам, содержащим в числе данных а и R или Ли/?. Построением дуги, вмещающей угол А, определяемой отрезками а и R, или соответственно отрезка а, определяемого А и R, подобная задача сведется к одной из задач § 2. Поэтому в дальнейшем мы для задач подобного типа будем указывать только одно, алгебраическое, решение, которое при желании легко может быть заменено геометрическим, как показано для данного случая: я, л*а, R.

75) a, ma > г—Неразрешима.

76) а, Ша , га — Неразрешима.

77) а, та , Гь—Неразрешима.

78) а, та, 2р — (А) — Определяем из формул та = — V2b2-\~ 2с2 —а2 (47) и a+ b+c = 2p стороны b и £, после чего задача сведется к a, Ь, с. Исходная система:

откуда видно, что b и с являются корнями квадратного уравнения

Дальнейшее очевидно.

79) а, та , Д — 1°. (А) — Определяем /^ из условия д =—- (формула 100), после чего задача приведется к a, hai та.

2° — (Г, М. — III+ППЧ). Из конца В и середины D отрезка ВС = а как из центров радиусом k = j/д описываем дуги до их взаимного пересечения в точке F. Соединяем F с D и из середины FD восставляем перпендикуляр к FD до пересечения в Е с продолжением СВ. Из D как из центра описываем дугу радиуса та до пересечения в А с прямой, параллельной ВС и отстоящей от нее на расстоянии, равном DE. Соединяем А с В и С. Д ЛВС искомый. Решение возможно, если m — >—a*.

§ 7. Задачи, в которых даны сторона и медиана другой стороны (а, mb).

80) а, mb , шс — (ППЧ) — Строим Д ВМС по трем сторонам В M = — mb, МС= — тс и ВС = а. Продолжаем ВМ на расстояние, равное его половине, до точки D и СМ на расстояние, равное его половине, до точки Е. Проведя прямые BE и CD до их взаимного пересечения в точке А, получим искомый треугольник ABC. Решение возможно, если ть — те <

<— а<ть+тс.

81) а, ть , Ьа — Неразрешима.

82) а, ть , Ьв — Неразрешима.

83) а, ть , be—Неразрешима.

84) а, ть , R — (А) — Определяем А из условия sin А = —, после чего задача сведется к а, А, тъ. (См. также примечание к задаче а, та, R.)

85) а, ть , г —-Неразрешима.

86) а, ть , га—'Неразрешима.

87) а, ть , Гь — Неразрешима.

88) а, ть , гс—Неразрешима.

89) а, ть,2р— (А) —Из формул

Определив из этого квадратного уравнения с и найдя Ь = 2р — а — с, сведем задачу к a, Ь, с.

90) а, ть , д — (А) — Определяем ha из условия д=г^2 (формула 100), после чего задача сведется к a, ha, ть. (См. также примечание к задаче а, таУ д).

§ 8. Задачи, в которых даны сторона и одна из биссектрис (а, Ьа) пли (а, Ьв).

91) а, Ьд , Ьв —Неразрешима.

92) а, Ьа , R —(А) — Определяем А из

* По существу оба эти решения являются одним и тем же, так как решение 2° начинается с построения ha = DE. Этот способ построения ha (насколько я мог проследить) является новым, публикуемым впервые. Он проще обычного, изложенного в учебниках, способа построения третьей пропорциональной. После того как ha определено, решение ничем не отличается от приведенного в задаче я, ha, та. Это замечание относится ко всем задачам, содержащим в числе данных a и А или ha и Д. Построением а или ha подобная задача сведется к решению одной из задач § 4. Поэтому в дальнейшем мы для задач этого типа будем указывать только одно, алгебраическое, решение, которое при желании легко может быть заменено геометрическим как показано на примере задачи л, та, Д.

условия sin А = , после чего задача сведется к а, А, Ьа . (См. также примечание к задаче я, та, R.)

93) а, Ьа , г —Неразрешима.

94) а, Ьа > га—Неразрешима.

95) а, Ьа , Гь—Неразрешима.

96) а, ЬА , 2р — (Г. M.—IX). Строим аполлониеву окружность точек, отношение расстояний которых от концов отрезка АК = Ьа равно (2/7 — а): я. Впишем в окружность хорду M N = а и проведем окружность, концентрическую первой, касательную к MN. Из точки К проведем касательную к внутренней окружности, которая пересечет аполлониеву окружность в точках В и С, которые соединим с А и получим искомый треугольник ABC.

Решение возможно, если

97) а, Ьа , Д—(А) —Определяем ha из условия Д = ^ (формула 100), после чего задача приведется к a, ha) Ьа . (См. также примечание к задаче я, та, Д.)

98) а, Ьв , Ьс —Неразрешима.

99) а, Ьв , R —Неразрешима.

100) а, Ьв , г —Неразрешима.

101) а, Ьв , га — Неразрешима.

102) а, Ьв , гь—Неразрешима.

103) а, Ьв , гс—Неразрешима.

104) а, Ьв , 2р— (А) — Из формул Ьъ = 4- Ь+с = 2р определяем Ь и с, после чего сведем задачу к а, Ь, с. Последовательность вычислений такова. Пусть Ь — с = а — 2х;

Построив X, получаем Ь = р+х; с = р — — а+х и приходим к задаче (а,Ь,с).

105) а, Ьв, Д — Неразрешима.

§ 9. Задачи, в которых даны сторона и один из следующих элементов: радиусы описанной, вписанной или вневписанных окружностей, периметр и площадь.

106) а, ß, г — (А) — Определяем А из условия sin А = -7Г-— , после чего задача приведется к а, А, г (см. примечание к задаче я, та% R).

107) a, R, га—(А) — Определяем А из условия sin А = -—-, после чего задача приведется к я, А, га (см. примечание к задаче я, та9 R).

108) a, R, Гь — (А) — Определяем А из условия sin А=—— , после чего задача приведется к а, А, гъ (см. примечание к задаче я, таУ R).

109) a, R, 2р — (А) — Определяем А из условия sin А =777) » после чего задача при ведется к а, А, 2р (см. примечание к задаче я, >паУ R).

110) a, R, Д—(А) — Определяем hn из условия Д =(формула 100), после чего задача приведется к a, ha, R (см. примечание к задаче а, та, Д).

111) а, г, га — 1° — (А) — Определяем ha из условия —g =-- (167а), после чего задача сведется к a, ha, г, а через нее к я, А, ha.

— 2° — (А) — Можно свести задачу непосредственно к я, А, г, если воспользоваться формулой 93а, согласно которой ig — = —-, откуда легко получить геометрическое решение 3°.

— 3° (Г. М. — IV) — Опишем две окружности радиусов г и га, касательных в кон-

пах D и Е отрезка DE = а, и проведем общую внешнюю касательную КА к окружности до пересечения в А с продолжением ED и общую внутреннюю касательную до пересечения с АК и DE в точках В н С. Д ABC искомый. Решение возможно, если r + ra^V(.ra-r)* + a*.

112) а, г, Гь—(А) — Определяем hb из условия hb =--— (167а), после чего задача приведется к a, hb1 гъ, а через нее к а, В, гс (см. также решение 2° задачи а, г* га).

113) а, г, 2р — 1 ° — (А)—Определяем ha из условия aha — 2pr (формула 99), после чего задача сведется к a, hay г, a через нее к а, А, ha.

— 2° — (А) — На сторонах произвольного угла В откладываем от его вершины отрезки ВС = а и BE = р. На продолжении ВС откладываем CF—2r и через F проводим параллельную СЕ до пересечения с продолжением BE в точке О.

Откладываем на EG от Е отрезок ЕН= CF и из точек H и К середины Но радиусом г описываем дуги до их пересечения в L. Из середины LK восставляем к нему перпендикуляр до пересечения в M с ВО. Восставляем из С перпендикуляр CN к ВС, равный КМ и соединяем точку В с точкой N. На ВС строим дугу, вмещающую угол, равный удвоенному углу NBCy до пересечения в А с прямой, параллельной ВС и отстоящей от нее на EG. Соединяем А с В и С. Д ABC искомый. Решение возможно, если г2 <“ -л—(р—а)*.

114) а, г, Д — (А) — Определяем ha из условия Д = (формула 100), после чего задача приведется к a, ha, r, a через нее к а, А, ha. (См. также примечание к задаче я, та, Д.)

115) а, га, Гь — (А) — Из формулы а = (101) определяем после чего задача сведется к а, г, га.

116) а, га , 2р — (А) — Определяем г из формулы га = -—— (102), после чего задача сведется к а, г, га (см. также решение 2° задачи а, г, га, геометрическое построение гп (р — а) г = —-—-- элементарно).

117) а, га, Д—(А) — Определяем ha из условия Д = —~ (формула 100), после чего задача сведется к a, ha, га (см. примечание к задаче а, та, Д).

118) а, гь, гс—(Г. M.—IV) —Опишем две окружности О и О1 радиусов гъ и гс, касающиеся с разных сторон концов D и Е отрезка DE = a. Из точки А пересечения прямой, проходящей через О и О', и прямой DE проведем касательную АК к окружности О и общую внешнюю касательную к О и О', которая пересечет продолжения ED и АК в точках В и С. Д ABC искомый. Решение возможно всегда.

119) а, Гь , 2р — (А) — Определяем угол С из формулы (р — а) ctg — =гь (97), после чего задача сведется к (а, С, гь) =(а, В, гс). Геометрическое построение очевидно.

120) а, Гь , Д — (А) — Определяем ha из условия д=-^ (формула 100), после чего задача сведется к a, ha, г6. (См. примечание к задаче а, та, Д.)

* Легко видеть, что это геометрическое решение является не чем иным, как осуществлением 1°.

121) а, 2р, Д— (А) — Определяем ha из условия Д=~2£ (формула 100), после чего задача сведется к a, ha, 2 р. (См. примечание к задаче а, та, д.)

§ 10. Задачи, в которых даны два угла (А, В)

122) А, В, С — Если А + # + С = тс, задача неопределенная, а если А + В + - С =^= тт, то задача противоречивая.

123) А, В, ha—(Г. M.—III) — Проведем прямую, параллельную одной из сторон угла В, на расстояние ha от нее до пересечения в А со второй стороной угла В. На ВА строим при А угол ВАЭ — ^А, сторона которого А D в пересечении со второй стороной угла Б даст точку С. Д ABC искомый. Решение возможно, если А+В<Ск.

124) А, В, hc —(Г. М.—III) —Проведем прямую, параллельную одной из сторон угла Bt на расстояние hc от нее до пересечения в точке С с другой стороной угла В. Из С проводим прямую под углом А ко второй стороне угла В до пересечения с нею в точке А. Д ABC искомый. Решение возможно, если А -I-

125) А, В, та — (тг)— При концах произвольного отрезка АЕ строим углы, равные А и В с общей стороной АЕ. Точку пересечения их вторых сторон обозначим через О.

На прямой, проходящей через А и середину GE, отложим AD = ma и через D проведем прямую, параллельную GE, которая пересечет стороны угла А в точках В и С. Д ABC искомый. Решение возможно, если А++ В<тг.

126) А, В, те — (П) — При концах произвольного отрезка DE строим углы, равные А и Ву с общей стороной DE. Точку С пересечения их вторых сторон соединяем с серединой С отрезка DE и продолжаем СО до точки С“ так, чтобы СС“=тс. Через С“ проводим прямую, параллельную DE до пересечения в А и В с продолжениями сторон CD и DE. 1\АВС искомый. Решение возможно, если A + В <[ тт.

127) А, В, ЬА — (П) — На произвольной прямой MN построим данный угол А и проведем биссектрису его, на которой отложим часть А О = Ьа - На стороне AB угла А при какой-нибудь точке Е построим / AEF = ^В и через D параллельно EF проведем прямую, которая пересечет стороны угла А в точках В и С. Д ABC искомый. Решение возможно, если А + В < тт.

128) А, В, Ьс — (П) — При концах произвольного отрезка DE строим углы, равные А и Б, с общей стороной DE. На биссектрисе угла при точке С их пересечения откладываем отрезок CF=bc Через F проводим прямую, параллельную DE, которая пересечет стороны угла С в точках А и В. Д ABC—искомый. Решение возможно, если еще к окружности две касательные под углом А и В к EF. Эти три касательные пересекутся в точках А, В и С. Д ABC искомый. Решение возможно, если А+ В <тт.

131) А, В, Га—(П) — Впишем в угол А окружность /а радиуса га. Через произвольную точку N одной из сторон угла А проведем под углом В к ней прямую MN и из центра 1а опустим перпендикуляр на MN.

129) А? В, В — (А) — Определяем а из условия a = 2R sin А, после чего задача сведется к а, А, В (см. примечание к задаче а,у та, R).

130) А, В, г — (П. П. Ч.) — Опишем окружность радиуса г и через какую-либо точку ее D проведем касательную EDF; проведем

Через точку пересечения его продолжения с окружностью /о проведем прямую, параллельную MNj которая пересечет стороны угла А в точках В и С. Д ABC искомый. Решение возможно, если А + В<к.

132) А, В, гс — (П) — Впишем в угол тс— А — В, вершину которого обозначим через С, окружность 1С радиуса гс. Через произвольную точку одной из сторон угла С проведем под углом В к ней прямую NM и из центра 1С опустим перпендикуляр на MN. Через точку пересечения его продолжения с окружностью 1С проведем прямую, параллельную MN, которая пересечет стороны угла С в точках А и В. Д ABC искомый. Решение возможно, если А+ В <к.

133) А, В, 2р — (П. П. Ч.)—Строим треугольник CDE по стороне DE = 2p и двум углам Е = — и D = —- (задача а, В, С).

Из середин сторон CD и СЕ восставляем перпендикуляры, пересекающие DE в точках А и В. Соединяем С с А и В. Д ЛВС искомый. Решение возможно всегда.

134) А, В, Д — (те + А) — Строим треугольник А'В'С по произвольной а' и данным А и В и определяем ВС = а из пропорции

= где К высота Д Л'Б'С, k = ]/д, после чего задача сведется ка,/1,Б. Решение возможно всегда.

§ 11. Задачи, в которых даны угол и соответственная высота (A, hf()

135) A, ha , hb — 1° (П. П. Ч) — Строим прямоугольный треугольник BAD по катету BD = hb и противолежащему острому углу А (задача а, А, В). На гипотенузе AB как на диаметре описываем окружность и из точки А радиусом ha описываем дугу до пересечения с окружностью в точке Е. Проводим прямую BE до пересечения с продолжением AD в точке С. Д ABC искомый.

Решение возможно, если

2° — (А) — Определяем с из условия с =-т^^-(формула 91), после чего задача приведется к (с, А, ha) = ay В, hb.

136) A, ha, ma —(П. П. Ч.) —На АЕ = та как на диаметре строим полуокружность и из А как из центра радиусом ha описываем дугу до пересечения в D с полуокружностью. Продолжаем АЕ на равное ему расстояние EF и строим на AF дугу, вмещающую угол тс — А. Точку пересечения прямой, проходящей через D и Е, с этой дугой обозначим через С и продолжим СЕ на равное ему расстояние ЕВ. Соединим В и С с А./\АВС искомый. Решение возможно, если tna“^ha.

137) A, ha, mb— (П. П?Ч.) — На DE = 2mb как на диаметре строим полуокружность и из точки Е как из центра описываем дугу радиуса ha до пересечения в F с окружностью. На ME — -i- DE строим дугу, вмещающую угол А, и находим точку А в ее пересечении с прямой, проходящей через D и F. Соединяем Е с А и продолжаем ЕА на равное ему расстояние AB. Из В проведем прямую, параллельную DF, до пересечения в С с прямой, проходящей через M и А. Д ABC искомый. Решение возможно, если ha<2mbs\n А.

138) А, Ьа, Ьа—(П. П. Ч.) —На биссектрисе данного угла А отложим часть AD = Ьа у на которой опишем как на диаметре полуокружность. Из А как из центра радиусом ha опишем дугу до пересечения с полуокружностью в точке Е. Через D и Е проведем прямую до пересечения в В и С со сторонами угла А. Д ABC

искомый. Решение возможно, если ha< <bk.

139) A, ha, Ьв — Неразрешима.

140) A, ha, R—(А) — Определяем а из условия a = 2R sin А, после чего задача сведется к a, А, ha (см. примечание к задаче я, пга1 R).

141) А, ha, г —(Г. M.—IV) —Вписываем в угол А окружность / радиуса г и из Л как из центра описываем окружность радиуса ha. Проводим общую касательную ВС к окружностям / и А до пересечения в В и С со сторонами угла А. Треугольник ABC искомый.

Решение возможно, если

142) A, ïia, Га— (Г. M.—IV) —Впишем 8 данный угол А окружность радиуса га и из А как из центра опишем окружность радиуса Ла. Проведем общую внутреннюю касательную к этим окружностям, которая пересечет стороны угла А в точках В и С. Д ABC искомый. Решение возможно, если

143) А, ha, гь—(Г. M.— IV) — Впишем в угол тс — А окружность радиуса гь; из Л как из центра опишем окружность радиуса ha и проведем общую внешнюю касательную к этим окружностям, которая пересечет стороны угла А в точках В и С. Д ABC искомый. Решение возможно, если ha<

144) А, ha, 2р — 1 ° — (А) — Составляем отношение

откуда

Присоединяя к этому уравнению =—-—, находим — и — , после чего задача приводится к А, В, ha (формулы 91, 93, 107).

2о_(Гжм. —Ill+ +VI) — Строим на EF = 2p дугу, вмещающую угол—-—. Точку А ее пересечения с прямой параллельной EF и отстоящей от нее на расстоянии ha, соединяем с Е и F. Из середин отрезков АЕ и и AF восстановляем перпендикуляры до их пересечения в точках В и С с EF. Соединяем В и С с А. Д ABC искомый. Решение возможно, если ha < р sec — I 1 — sin — J.

145) A, ha, А — (А) — Определяем а из условия ^^ = д (формула 100), после чего задача сведется к я, А, ha. (См. примечание к задаче а, таУ Д.)

§ 12. Задачи, в которых дан угол и высота из вершины другого угл i (А, Ьь )

146) А, hb, he —(Г. M.—III) —Проводим прямые, параллельные сторонам угла ВАС = А на расстоянии hc от AB и hb от ЛС. Соединим точки В и С пересечения этих прямых со сторонами AB и ЛС угла ВАС. Д ABC искомый. Решение возможно всегда.

2° — (А) — Определяем с из условия hb = csinA (формула 91), после чего задача сведется к (г, А, hc)r=:(a, В, ha)*.

* По существу оба эти решения являются одним и тем же, так как решение 1° начи-

147) A, hc , ma — (A) — Определяем с из условия hb = c sin А (формула 91), после чего задача сведется к (с, А, та) = (а, В, ть). См. примечание к задаче А, hb, hc.

148) А, Ьь , Шь — (А) — Определяем сиз условия hb = csmA (формула 91), после чего задача сведется к (с, А, тъ) = (а, В, тс) (см. примечание к задаче А, hbi hc).

149) А, Ьь , mc — (А) — Определяем сиз условия hb = csm А (формула 91), после чего задача сведется к (с, А, тс) = (а, В, та) (см. примечание к задаче А, hb, hc).

150) А, Ьь , bA — (А) — Определяем сиз условия hb = с s\n А (ф)рмула 91), после чего задача сведется к (с, А, Ьа ) = (а, В, Ьв ).

151) А, Ьь, Ьв — (А) — Определяем с из условия hb = c sin А (формула 91), после чего задача сведется к (с, А, &в) = (я, В, Ьс) (см. примечание к задаче А, hb, hc).

152) А, Ьь, be —Неразрешима.

153) А, Ьь, К — (А) — Определяем а из условия a = 2R sin А, (93), после чего задача сведется к а, А, hb (см. примечание к задаче а, та, R).

154) А, Ьь, г—(А) — Определяем с из условия hb = cs'mA (91), после чего задача сведется к (с, А, г) = (а, В, г) (см. примечание к задаче А, hb, hc).

155) А, Ьь, га — (А) — Определяем с из условия hb = csm А (91), после чего задача сведется к (с, А, г J = (a, Bf гь) (см. примечание к задаче А, hb, hc).

156) А, Ьь, Гь — (А) — Определяем с из условия hb = csmA (91), после чего задача сведется к (с, А, гь) = (а, В, гс) (см. примечание к задаче А, hb, hc).

157) А, Ьь, Гс — (А) — Определяем с из условия hb = csinA (91), после чего задача сведется к (с, А, гг) = (а, Ву га) (см. примечание к задаче А, hb9 hc).

158) A, hb, 2р — (А) — Определяем с из условия hb = csmA (91), после чего задача сведется к (с, А, 2р) = (а, В, 2р) (см. примечание к задаче А, hbf hc).

159) À, Ьь, A — (A) — Определяем b из условия Д = ^ (100), после чего задача сведется к (Ь, А, Д) = (а, В, Д) (см. примечание к задаче а, та, Д).

§ 13. Задачи, содержащие угод и соответствующую медиану (Л, та)

160) А, та, Шь — (Г. M. — VI) — На BD = mb опишем дугу ВЕЧ, вмещающую угол А, и на В1 отложим часть BF = -g- mb. Из F как из центра опишем дугу радиусом — та, которая пересечет дугу BED в А, а на продолжении AD отложим DC = DA. Соединим В с А и С. Д ABC искомый. Решение возможно, если

161) А, та, Ьд — (А) — Преобразуем формулу (47) та = у у2Ь2 + 2с2 — а2 к виду 4/иа2 = [1+COS2 А + 2 cos А cos (В—C)]AR2, пользуясь соотношениями a = 2R sin А, b = 2R sin Л; с = 2/? sin С (93). Аналогична получим из (51) для биссектрисы

и составим отношение:

Обозначив В — С через х, получим квадратное уравнение относительно х> решив которое, найдем для cos л: следующее выражение

Определив отсюда х = В — С, найдем

откуда

и задача приведется к А, В, та*

нается с построения с. Это замечание относится ко всем задачам, содержащим в числе данных А и hb. Построением с она сведется к одной из задач § 3. Поэтому в дальнейшем мы для задач подобного типа будем указывать только одно, алгебраическое, решение, которое при желании легко может быть заменено геометрическим, как показано для данного случая А, hb) hc.

162) A, ma, Ьв—Неразрешима.

163) A, ma, R — (А) — Определяем а из условия а = 2R sin А, после чего задача сведется к а, А, та (см. также примечание к задаче а, та, /?).

164) A, nia , г — (А) — Преобразуем формулы (47) и (151) к виду

используя зависимость

Обозначив

придем к следующему уравнению

решив которое, получим для cos —-— следующее выражение

из чего определяем D = B— С. Далее, так как jB+C = tt — А, получаем

и задача приводится к А, В, та.

165) A, nia, га — (А) — Пользуясь формулами непрерывных преобразований, получаем для cos —~— следующее выражение

(см. задачу Ау та, г)

Построив угол D = B — С, находим

и задача сводится к А, В, та.

166) А, та, гь —(А) — Преобразуем формулы (47)

и (62)

используя зависимости

а = 2/? sin Ау £ = 2Rsinß, c=2Rs'mC (93) к виду

и обозначив sin--- через х, придем к уравнению

решив которое, получим для sin —-— выражение

Определив В — С = D из условия

и присоединив jB+C = 7C — А, получим

после чего задача сведется к А, В, та.

167) А, та, 2р — (А) — Определяем га из условия (163) га = рig — , после чего задача сведется к А, та, га, а через нее к А, В, та.

168) A, ma,, А—(А) — Преобразуем формулу (47) к виду

используя зависимости

а = 2R sin A, b=2R sin B,c = 2R sin С (93),

и присоединим к ней формулу (158)

д = 2R2 sin A sin В sin С, после чего придем к уравнению первой степени относительно cos (В — С). Определив cos (В— С) =

и задача приводится к А, В, та.

§ 14. Задачи, содержащие угол и медиану прилежащей к данному углу стороны (A, mb)

169) A, mb, mc—(Г. M. — VI) — Разделим отрезок BE = 2mb пополам в точке D.

На DE построим дугу DCE, вмещающую угол А. На DB отложим часть Вг = —- тъ и из F ;сак из центра опишем дугу радиуса те до пересечения в С с дугой DCE. Проведем CD и продолжим его на равное ему расстояние до точки А. Соединим В с С и А. Д ABC искомый. Решение возможно, если

170) А, гль, Ьа—Неразрешима.

171) А, ть, Ьв — Неразрешима.

172) А, ть, Ьс—Неразрешима.

173) А, ть, К — (А) — Определяем а из условия a = 2R sin А (93), после чего задача сведется к а, А, ть (см. примечание к задаче а, та, R).

174) А, ть, г — Неразрешима.

175) А, ть, Га — Неразрешима.

176) А, ть, Гь—Неразрешима.

177) А, ть, Гс — Неразрешима.

178) А, ть 2р— Неразрешима.

179) А, ть , А—(Г. М. — VI + III + П. П. Ч.+ А) — Строим на В Э = тъ дугу, вмещающую угол А, и проводим прямую, параллельную BD, на расстоянии — от нее до пересечения с дугою в точке А. Соединяем Ле В и D и продолжаем А D на равное ему расстояние до точки С. Соединяем В и С Треугольник ABC искомый. Решение возможно, если

(Построение отрезка, равного —, см. в решении задачи я, та, А).

§ 15. Задачи, содержащие угол и одну из биссектрис (А, Ьа ) или (А, Ьв)

180) А, Ьа, Ьв — Неразрешима.

181) А, Ьа, R —(А) — Определяем а из условия a = 2R sin А (93), после чего задача сведется к а, А, £А (см- примечание к задаче а, та, R).

182) А, Ьа, г —(Г. М.—IV)+-(n. П. Ч.)—

На одной из сторон AN угла MAN=— откладываем от его вершины отрезок AD = Ьа и проводим параллельную ко второй стороне

на расстоянии г от нее до пересечения в S с АЭ. Строим на SO полуокружность и из точки 5, как из центра, проводим дугу радиусом г до пересечения в L с полуокружностью. Строим при А на АО угол — и проводим его вторую сторону до пересечения в Б с продолжением DL. Продолжаем LD до пересечения в С с продолжением AM. /\АВС — искомый. Решение возможно, если

183) А, ЬА, га —(Г. M.— IV) — Впишем в угол А окружность радиуса га. На биссектрисе угла А отложим АЭ = Ьан через D проведем касательную к окружности, которая пересечет стороны угла А в точках В и С. Д ABC — искомый. Решение возможно, если Ьа~\-, . А

184) А, ЬА, гь — (Г. M.—IV) —Впишем в угол те—А окружность радиуса г6. На биссектрисе угла А отложим AD = Ьа и через D проведем касательную к окружности, которая пересечет стороны угла А в точках В и С. Д ABC—искомый. Решение возможно, если

185) А, Ьа, 2р —(Г. M. —IV) —На сторонах угла А отложим отрезки АК — AL = р и впишем окружность, касающуюся сторон угла А в точках К и L. На биссектрисе утла А отложим АЭ — Ьд и из О проведем третью касательную к окружности, которая пересечет стороны угла А в точках В и С. Д ABC — искомый. Решение возможно, если

186) А, ЬА, Д —(ППЧ + А) —На биссектрисе угла А отложим AM = Ьа . Через M проведем параллельную одной из сторон угла А до пересечения в Е со второй стороной этого угла. Из Е восставим перпендикуляр EF к АЕ и опустим на него перпендикуляр из М. Получим в пересечении перпендикуляров точку о. Восставим в А перпендикуляр к АЕ и проведем биссектрису полученного прямого угла до пересечения в Р с EF и определим у из условия РЕ у2 = À • -. Проведем через Р перпендикуляр к EF и отложим на нем от Р в сторону, противоположную вершине угла Л, отрезок PN = -—!-—---, на котором как на диаметре построим полуокружность. Через точку В пересечения этой полуокружности с АЕ и точку M проведем прямую до пересечения в С со второй стороной угла А. Д ABC—искомый. Решение возможно, если Д > Ьа tg — •

187) А, Ьв, Ьс—Неразрешима.

188) А, Ьв R — Неразрешима.

189) А, Ьв' г —(А + Г. M.—VI + IV) — На BD = Ьв строим дугу, вмещающую угол А, и через середину BD проводим диаметр Ах Е J_B1. Соединяем В с Е и At с В н D, после чего вписываем в угол Ах = А окружность данного радиуса г с центром в /. На Al как на диаметре описываем окружность К. Проводим через At касательную A1F=BE к дуге и через F и К проводим прямую, пересекающую окружность К в точках О и И. Из Е как из центра радиусом FG описываем дугу до пересечения в L с ВЭ и проводим через Е и L прямую до пересечения

в А с дугою, вмещающей угол А. Соединяем А с В и проводим через А и D прямую до пересечения в С с прямой, составляющей с BD угол, равный углу DBA. /\ ABC—искомый. Решение возможно, если

190) А, Ьв, га — Неразрешима.

191) А, Ьв, Гь — (А) — Преобразуем формулу (82) при помощи соотношения (93) к виду

после чего придем к уравнению

откуда

Построив С, сведем задачу к (А, С, #в ) = (Л, В, Ье).

192) А, Ьв, Гс—Неразрешима.

193) А, Ьв, 2р — Неразрешима.

194) А, Ьв, А — Неразрешима.

§ 16. Задачи, в которых даны угол и один из следующих элементов радиусы описанной, вписанной или вневписанных окружностей, периметр и площадь.

195) А, R, г — (А) — Определяем а из условия a = 2R sin А (93), после чего задача сведется к а, А, г (см. примечание к задаче а, та, R).

196) A, R, га — (А) — Определяем а из условия a = 2R sin А (93), после чего задача сведется к а, А, га (см. примечание к задаче а, та, /?).

197) A, R, Гь — (А) — Определяем а из условия a = 2R sin А (93), после чего задача сведется к а, А, гъ (см. примечание к задаче а, та, R).

198) A, R, 2р— (А) — Определяем а из условия a — 2R sin А (93), после чего задача сведется к а, А, 2р (см. примечание к задаче а, таУ R).

199) A, R, А — (А) — Определяем а из условия a = 2R sin А (93), после чего задача сведется к а, А, Д (см. примечание к задаче я, та, /?).

200) А, г, Га —(Г..M.—IV) —Впишем в данный угол А окружности 1а радиуса га и / радиуса г и проведем к ним общую внутреннюю касательную, которая пересечет стороны угла в точках В и С. Решение возможно, если

201) А, г, гь — (А) — Определяем hb из условия hb =-- (167а), после чего задача приведется к А, г, а через нее к а, В, г (см. также решение 2° задачи

202) А, г, 2р— (Г. M.-IV).—На стороне данного угла А откладываем AD = р и вписываем в А две окружности / радиуса г и 1а касательную в D к AD. Проводим ВС — общую внутреннюю касательную к

окружностям / и /а, которая пересечет стороны угла А в точках В и С. Д ABC — искомый. Решение возможно, если

203) А, г, А — (А). — Определяем р из условия д = /7г (173), после чего задача сведется к предыдущей А, г, 2р.

2° — (А+Г. M. — IV). — На одной из сторон угла откладываем ADf== г и из точек А и D' как из центров радиусом & = |/д описываем дуги до их взаимного пересечения в Е. Из средины отрезка АЕ восставляем к нему перпендикуляр до пересечения в D с продолжением AD'. Вписываем в А две окружности: / радиуса г и 1а касательную в D к АО. Проводим ВС — общую внутреннюю касательную к окружностям / и /а, которая пересечет стороны угла А в точках Б и С. /\АВС—искомый. Решение возможно, если

204) А, га> гь — 1 ° — (А) — Определяем h из условия — ==--— (167), после чего задача сведется к (Л, /гг, га) = (Л, /г6, га), a через нее к (я, В, гъ).

2° — (Г. М.— IV) — Геометрическое решение здесь крайне просто. Впишем в угол А окружность радиуса ra, а в смежный с ним угол окружность радиуса гь. К обеим этим окружностям проведем общую внутреннюю касательную, которая пересечет стороны угла А в точках В и С. /\АВС — искомый. Решение возможно всегда.

205) А, га, 2р—Если га = р ig— , то задача неопределенная, если ra=f=pig~, то задача противоречивая.

206) А, га, А — (А) — Определяем г из условий Д = рг (173) и ra = pig —- (163), после чего задача приведется к А, г, га. Геометрическое решение легко получить, так как определение г из формулы г = — ig — требует построения четвертой пропорциональной к отрезкам k, k ig — и гаУ где k данный отрезок, равный |^Д.

207) А, гь, гс —(Г. M. —IV) —Вписываем в два вертикальные угла, равные те — по окружности радиусов гь и гс и проводим к ним общую касательную, которая пересечет стороны угла А в точках В и С. Д ABC—искомый. Решение возможно всегда.

208) А, Гь, 2р — 1° — (А) — Определяем с из условия (р — £) ctg — = гь (формула 97), после чего задача приводится к (с, А, гъ) = (а, В, гс).

2Q — (Г. М. — IV) — Вписываем в угол Tz — А окружность радиуса гь и откладываем от точки F касания по стороне угла к его

* Легко видеть, что решение 2° является ни чем иным как геометрическим осуществлением 1°. Отрезок р построен способом, указанным в примечании к задаче а, та> А. После того как р определено, решение ничем не отличается от решения задачи А, г, 2р. Это замечание относится ко всем задачам, содержащим г, А и р, Д. Построением г или р задача сведется к одной из задач, содержащих риг. Поэтому в дальнейшем изложении мы в задачах подобного типа будем указывать только одно алгебраическое решение. Соответственное геометрическое решение вытекает из него и найти его можно способом, разъясненным на задаче А, г, Д.

вершине отрезок FB = р. Из В проводим касательную к окружности, которая пересечет вторую сторону угла в точке С. Д ABC — искомый. Решение возможно, если

209) А, Гь, А — (А) — Определяем а из условий

откуда

после чего задача сведется к а, А, гь. Построение а требует определения суммы двух отрезков rbtg— и —, из которых первый можно построить обычным способом, а второй способом, указанным в примечании к задаче я, таУ Д.

210) А, 2р, Д — (А)—Определяем г из условия д=/7г (^73), после чего задача сведется к А, г, 2р (см. примечание к задаче А, г, Д).

§ 17. Задачи, в которых даны две высоты

211) ha, Ьь, hc — (A+П) —Из формулы (75) aha ==: bhb = chc находим

откуда

Строим Д А' ВС по сторонам С'Л'=/га, BC=hb и А*В = -^-±. На высоте BD1 этого треугольника откладываем BD = ha и через точку D проводим прямую, параллельную А'С*, до пересечения в точках А и С со сторонами В А1 и ВС. [\АВС—искомый. Решение возможно, если

212) ha, hb, nia — (П. П. Ч.) —Отложив на произвольной прямой отрезок СЕ — 2та, опишем из Е как из центра две окружности радиусами hb и ha и проведем к первой из них касательную из точки С, а ко второй касательную из точки К середины отрезка СЕ. Точку А пересечения этих касательных соединим с Е и продолжим ЕА на равное ему расстояние AB.

Соединим В и С. Д ABC—искомый. Решение возможно, если ha^ma и hb<: тъ, причем одновременно равенства ha = ma и hb = тъ не осуществляются.

213) ha, hb, mc — (П. П. Ч.) — На CD = 2тс как на диаметре строим полуокружность и из концов С и D как из центров проводим дуги радиусами МС= ha и ND = hb до пересечения в точках M и N с полуокружностью. Из точки А пересечения прямых NC и MD проводим медиану АО треугольника CAD и продолжаем ее на равное расстояние OB. Соединяем В и С. Д ЛВС—искомый. Решение возможно, если 2mc^ha и 2mc^hb, причем одновременно ha и hb не равны 2тс.

214) ha hb Ьа—Неразрешима.

215) ha, Ьь, bc— (А + П + Г. M.— III)—

Проводим CA1 [I С В' на расстоянии , а от другой. Из точки С как из центра радиусом Ьс проводим дугу до пересечения в Е с другой параллелью. При С на СЕ строим угол, равный Al СЕ. Точку В пересечения его второй стороны с параллелью, отстоящей от CA1 на расстоянии hb, соединяем с Е и продолжаем BE до пересечения с CA* в А. Д Л£С— искомый. Решение возможно, если

216) ha , Ьь , R — Неразрешима.

217) ha , hb , г — 1° — (А) — Используя формулы /?г = Д (173), A = ya6sinC (73) nha = asir\B (91), составляем следующие уравнения

Вычитая из второго уравнения первое и прибавляя 1, получим

после чего построить угол С очень легко и задача приведется к (С, ha, hb) = (Л, hb, hc).

2° —(A+П) —Из формул (173) и (75) имеем

Строим треугольник AFG по сторонам

Опустим из А перпендикуляр АО на FG и отложим на нем часть AE = ha. Через Е проведем прямую, параллельную FG, которая пересечет стороны угла FAG в точках В и С. Д ABC — искомый. Решение возможно, если hahb<2r (ha+hb).

218) ha, Ьь, га — (А) — Определяем г из условия

(167а);

откуда

после чего задача сведется к ha, hb9 г. Построение г как четвертой пропорциональной к ha, га и (2ra-\~ha) очень просто.

219) ha, hb, rc — (А) — Определяем га из условия

(167),

откуда

после чего задача сведется к ha, hb, ra, а через нее к ha, hbi г. Отрезок га строится как четвертая пропорциональная к hbi гс и

220) ha, hb, 2р — Неразрешима.

221 ) ha, Ьь, Д—(А) — Определяем а из условия ^~ = Д(Ю0), после чего задача сведется к а9 ha, hb (см. примечание к задаче я:, гпау Д).

§ 18. Задачи, в которых даны высота и медиан I.

222) ha, ma, mb—(Г. M. —VI) —На АЕ = та как на диаметре строим полуокружность и из А как из центра радиусом hu проводим дугу до пересечения в D с полуокружностью. На ЕА отложим часть

и из точки M как из центра опишем дугу радиусом — тЪу которая пересечет продолжение Е О в точке В. Отложим на продолжении DE часть ЕС = BE. Соединим В и С с А. Д ABC— искомый. Решение возможно, если wa>Aa<2mö.

223) Ьд, mä, Ьа— (П.П.Ч) — Ha прямой MN в точке D восставляем к ней перпендикуляр DA = ha и из А как из центра проводим дуги радиусами Ьа и та до пересечения в К и L с МАЛ Через А проводим перпендикуляр кМЛ/т до пересечения в Р с продолжением АК. Через середину ЛР проводим перпендикуляр до пересечения в О с продолжением PL. Из О как из центра описываем окружность радиуса ОР, которая пересечет MN в точках В и С. Соединяем ß и С с А. Д Л£С — искомый. Решение возможно, если Аа < #л <С та-

224) ha, m3, Ьв—Неразрешима.

225) ha, Ша' R — (П. П. Ч.) — На АЕ = mŒ как на диаметре строим полуокружность и из А как из центра проводим дугу до пересечения в D с полуокружностью.

Из Е восстановляем перпендикуляр до пересечения в О с дугою радиуса /?, описанной из А как из центра. Описываем из О как из центра дугу до пересечения в точках В и С с прямой, проходящей через D и Е. Соединяем В и С с А. Д ABC — искомый. Решение возможно, если 2/?>/иЛ>А..

226) ha, ma, г —(А + П. П. Ч.) — Построив прямоугольный треугольник AMN по гипотенузе AM = та и катету AN = k (так как в предыдущей задаче — АЛ, та9 R — построен Д ADE), откладываем на MN отрезок а из точки Q восстановляем перпендикуляр QJ = г. Из / как из центра радиусом г описываем окружность и из А проводим касательные к этой окружности, которые пересекутся с продолжением MN в точках В и С. Д ABC — искомый. Решение возможно, если /гса>Ав>2г.

227) ha , ma , Га - (А + П. П. Ч.) — Строим на AM = та как на диаметре полуокружность. Из А как из центра радиусом ha проводим дугу до пересечения в N с полуокружностью. Через точки M и N проводим прямую. От точки M на продолжении NM откладываем M Q=MN-r-^- и из Q восставляем к M Q перпендикуляр Qla = r , Из Ia как из центра радиусом га описываем окружность и из точки А проводим к ней касательные, которые пересекут продолжение MN в точках В и С Д ABC — искомый. Решение возможно, если tnn>ha.

228) ha, ma, rb — (А) — Из равенств (47) (38), находим

Далее из формулы (105) получаем

Подставляя в формулу (47),

получим уравнение, квадратное относительно с, решив которое, получим

Построив с, сведем задачу к {с, ha, та) = (a,hb, тъ), а через нее к я, В, тс.

229) ha, Ша, 2р — Неразрешима.

230) ha< ша, А — (А) — Определяем а из условия ^^ = д (формула 100), после чего задача сведется к а, та, А (см. примечание к задаче а, та, Д).

231) ha, mb>, nie — (П. П. Ч.) —Ha как на диаметре строим полуокружность и из Е как из центра радиусом ha проводим дугу до пересечения в F с полуокружностью. Из середины К стороны DE опишем дугу радиуса тс до пересечения в N с прямой, проходящей через D и F.

Соединяем К с N и из D проводим прямую, параллельную KN, до пересечения в С с прямой, проходящей через Е и N. Точку А пересечения прямой, проходящей через К и С, и прямой DN соединяем с Е и продолжаем ЯЛ на равное расстояние Л/?. Соединяем В и С. Д Л£С — искомый. Решение возможно, если 2mb^ha и 2mc^ha, причем одновременно 2тс и 2/я& не равно ha.

232) ha, Шь, Ьа—Неразрешима.

233) ha, Шь, Ьв — Неразрешима.

234) ha, Шь, Ьс — Неразрешима.

235) ha, mb, R —Неразрешима.

236) ha> ть, г —Неразрешима.

237) ha> ть, га —Неразрешима.

238) ha Шь, Гь — Неразрешима.

239) lia> ть, гс — Неразрешима.

240) ha, ть, 2р —Неразрешима.

241) ha, mt>< Д— (А) — Определяем а из условия —- = Д (формула 100), после чего задача приведется к a, hai тъ (см. примечание к задаче а, та, А).

§ 19. Зад 1чи, в которых даны высота и биссектриса.

242) ha Ьа, Ьв — Неразрешима.

243) ha, Ьа, R — (П. П. Ч.) — Из точки H произвольной прямой MN восстановляем к ней перпендикуляр АН = ha и из точки Л как из центра радиусом Ьа описываем дугу до пересечения в D с MN. Строим на AD угол DAO = ^DAH и на стороне АО откладываем AO = R. Из О как из центра описываем радиусом, равным /?, окружность. Точки В и С ее пересечения с MN соединяем с А. Д ABC — искомый. Решение возможно, если Ьа ^ha>R.

244) ha, bA, г—(П. П. Ч.) —Из точки D произвольной прямой MN восстановляем к ней перпендикуляр DA = ha и из точки А как из центра радиусом Ьа описываем дугу до пересечения в Dx с MN. На расстоянии г от MN проводим к ней параллельную М1АГ1 до пересечения в S с DtA. Из S как из центра описываем окружность радиуса г и из точки А проводим касательные к этой окружности до пересечения в В и С с MN. /\АВС — искомый. Решение возможно, если 2r<ha<bA.

245) ha, bA, Га —(П. П. Ч.) —Из точки D произвольной прямой MN восставляем к ней перпендикуляр DA =/гя и из точки А как из центра радиусом Ьа описываем дугу до пересечения в Di с MN. На расстоянии га от MN по другую ее сторону проводим к ней параллельную M1N1 до пересечения в 1а с продолжением DXA. Из /а как из центра описываем окружность радиуса га и из точки А проводим касательные к этой окружности до пересечения в В и С с MN. Д ABC — искомый. Решение возможно, если Ьа > ha.

246) ha, bA, гь—(П. П. Ч.) —Из точки D произвольной прямой MN восставляем к ней перпендикуляр DA = ha и из А как из центра радиусом Ьа описываем дугу до пересечения в Dt с MN. На расстоянии гь от MN проводим к ней параллельную М1М1 до пересечения в 1Ъ с перпендикуляром к DXA из А. Из /& как из центра описываем окружность радиуса гъ и через А проводим к ней касательные, которые пересекутся в точках В и С с MN. ДЛ5С—искомый. Решение возможно, если Ьа >ha> rh.

247) ha> bA, 2р —(А+ ППЧ). —(Чертеж задачи ha9 Ьа , О — Из точки D произвольной прямой MN восставляем к ней перпендикуляр DA = ha и из А как из центра радиусом Ьа описываем дугу до пересе-

чения в Dt с MN. Продолжаем ADt до точки 1а так, чтобы и из точки 1а как из центра описываем окружность, касательную прямой MN. Из А проводим две касательные к окружности, которые пересекут MN в точках В и С. Д ABC— искомый. Решение возможно, если

248) ha, Ьд, А — (А) — Определяем а из условия-^ = Д (формула 100), после чего задача сведется к a, ha, Ьд. (см. примечание к задаче а, та, Д).

249) ha, Ьв, Ьс — Неразрешима.

250) he, Ьв, R— Неразрешима.

251) ha, Ьв, г — Неразрешима.

252) ha, Ьв, га—Неразрешима.

253) ha, Ьв, Гь—Неразрешима.

254) ha> Ьв, гс — Неразрешима.

255) ha, Ьв, 2р — Неразрешима.

256) ha, Ьв, А — Неразрешима.

§ 20. Зад 1чи, в которых даны высота и один из следующих элементов: радиус описанной, в и и с LH ной пли вневписанной окружности, периметр или площадь.

257) ha, R, г —(А) —Из формул

(99)

(163) (93)

(167а)

получаем

(161а),

после чего задача сведется к А, /га, R.

258) ha, R, ra — (А) — Определяем г из условия

после чего задача сведется к А0, R, г, а через нее к А, А0, R.

259) ha, R, гь —(А) —Из формулы (62) путем использования зависимостей типа a = 2R sin А (93) приходим к формуле

Кроме того имеем (167)

После несложных преобразований получим

Построив угол А, сведем задачу к А, ha, /?, а через нее к я, А, ha.

260) ha, R, 2р — (А) — Используя формулы (77) bc = 2haR, и (100) аАа = 2д, приходим к уравнению, квадратному относительно a, a именно

коэфициенты которого зависят только от Äe, R и 2р. Построив я, определяемую через

сведем задачу к a, ha, R,- а через нее к а, А, ha.

261) ha, R, Д — (А) — Определяем а из условия я/га = 2д (100), после чего сведем задачу к a, ha, R, а через нее к a, A, ha (см. примечание к задаче а, та, Д).

262) ha, Г, Га — ЕСЛИ = , то задача неопределенная, если —s ф-, то задача противоречивая.

263) ha, г, Гь — Определяя hb из условия = —(167а), сведем задачу к Аа, Аь, г, 2 гъ — г решаемой алгебраическим методом. Геометрическое решение получить несложно, построив четвертую пропорциональную к отрезкам 2г, гь и гь — г и использовав решение 2° задачи ha, hb, г.

264) ha, г, 2p — (А) — Определяем а из условия -^=рг (формула 173), после чего задача сведется к а, Аа, 2р, a через нее к а, А, ha. См. примечание к задаче А, г, Д.

265) ha, г, Д—(А) — Определяем а из условия д/га = 2Д (формула 100), после чего задача сведется к a, ha, г. См. примечание к задаче а, та> Д

266) ha, ra, Гь — (A + П) — Из формул (100) и (105) aha = 2b и га = _А_ выведем пропорцию

Строим ДЛО£ со сторонами

и на перпендикуляре, опущенном из А на DE, откладываем AF — ha. Через F проводим прямую, параллельную DE, которая пересечет стороны угла А в точках В и С. Д ABC—искомый. Решение возможно всегда.

267) ha, га, 2р — (А) — Определяем угол А из условия tg —=— (163), после чего задача сведется к А, Аа, га. Геометрическое решение здесь очевидно.

268) ha, ra, Д — (А) — Определяем а из условия аАа = 2д (формула 100), после чего задача приведется к a, ha, га. См. примечание к задаче а, та, Д.

269) ha, гь, Гс Если ha= 2rfc то задача неопределенная, а если па =f= —+— , то задача противоречивая.

270) ha, гь, 2р — (А) — Определяем В из условия tg—=-5 (формула 163), после чего задача приведется к (В, ha, гь) = (Л, hb, rc), а через нее к œ, В, гъ. Геометрическое построение угла В очевидно.

271) Ьа , Гь , Д — (А) — Определяем а из условия а/га = 2д (формула 100), после чего задача сведется к a, ha, гь, a через нее к а, А, ha. См. примечание к задаче а, та, Д.

272) ha, 2р, Д—(А) — Определяем а из условия я/га = 2д (формула 100), после чего задача сведется к a, ha, 2р, а через нее к а, А, ha. См. примечание к задаче а, та, Д.

§ 21. Задачи, в которых даны две медианы.

273) та, ть, тс—(П. П. Ч.) — Строим Д OGC по трем сторонам (задача а, Ь, с) и дополняем его до параллелограма AOCG. Проводим в этом параллелограме диагональ АС и продолжаем АО до точки D так, чтобы А D = тау и СО до точки Е так, чтобы СЕ — тс. Проведя прямые АЕ и CD, получаем в их пересечении вершину В. Треугольник ABC—искомый. Решение возможно, если

274) та, Шь, Ьа—Неразрешима.

275) та, Шь, Ьс —Неразрешима.

276) та, Шь, R —Неразрешима.

277) ща, Шь, г —Неразрешима.

278) та, ть, га —Неразрешима.

279) та, ть, гс —Неразрешима.

280) та ть 2р — Неразрешима.

281) та! Шь, Д —(А — П. П. Ч.) — Проведем прямую MN, параллельную DE = 2тъ, на расстоянии 3-* от нее; из точки Е как Щ из центра радиусом, равным 2та, проводим дугу до пересечения в С с MN. Соединяем С с серединой G отрезка DE и Ее серединой О отрезка прямой, проходящей через С и D. Продолжаем ЛО, где А есть точка пересечения ОЕ и CG на равное ему расстояние OB. Соединяем В и С. Д ABC — искомый. Решение возможно, если

§ 22. Задачи, it которых даны медиана и биссектриса.

282) та, ЬА , Ьв — Неразрешима.

283) та, Ьа , R —(A)—Из формулы (166)

получаем

и задача приводится к ha, та, Ьа .

284) Ша, ЬА, г —Неразрешима.

285) та, Ьа, га —Неразрешима.

286) Ша, Ьа, Гь —Неразрешима.

287) та, Ьа, 2р—Неразрешима.

288) та, Ьа, Д —Неразрешима.

289) та, Ьв, Ьс —Неразрешима.

290) та, Ьв, R —Неразрешима.

291) та, Ьв, г —Неразрешима.

292) Ша, Ьв, га —Неразрешима.

293) та, Ьв, Гь —Неразрешима.

294) юа, Ьв, Гс —Неразрешима.

295) ша, Ьв, 2р —Неразрешима.

296) та, Ьв, А —Неразрешима.

§ 23. Задачи, в которых даны медиана и один из следующих элементов: радиус описанной, вневписанной пли вписанной окружности, периметр или площадь

297) ша, R, г —Неразрешима.

298) ma, R, га —Неразрешима.

299) Ша, R, Гь —Неразрешима.

300) ma, R, 2р —Неразрешима.

301) та, R, А —Неразрешима.

302) та, г, га —(А) — Определяем^ из условия (167а) после чего задача приведется к ha, та, г. Геометрическое построение ha очевидно.

303) Ша, г, Гь —Неразрешима.

304) гаа, г, 2р —Неразрешима.

305) Ша, г, Д —Неразрешима.

306) nia, га, Гь — Неразрешима.

307) Ша, га, 2р —(А) — Определяем Л из условия ra = ptg— (формула 163), после чего задача приведется к А, та> гя, а через нее к А, В, та. Геометрическое построение А очевидно.

308) ша, га, Д — Неразрешима.

309) ша, Гь , Гс —(А) — Определяем А, из условия ha =-~f~~ Об?)» после чего задача приведется к Аа, та, гъ, а через нее к о, В, тс.

310) та , Гь , 2р —Неразрешима.

311) Ша , Гь , Д —Неразрешима.

312) та , 2р, Д —Неразрешима.

§ 24. Задачи, в которых даны биссектрисы в комбинации с радиусами описанной, вписанной и вневписанной окружности, периметром и площадью.

313) Ьа, Ьв, Ьс —Неразрешима.

314) Ьа, Ьв, R —Неразрешима.

315) Ьа, Ьв, г —Неразрешима.

316) Ьа, Ьв, *а —Неразрешима.

317) Ьа, Ьв, гс —Неразрешима.

318) Ьа, Ьв, 2р —Неразрешима.

319) Ьа, Ьв, Д —Неразрешима.

320) Ьа, R, г —Неразрешима.

321) Ьа, R, га —-Неразрешима.

322) ЬА, R, Гь —Неразрешима.

323) Ьа, R, 2р —Неразрешима.

324) Ьа, R, Д —Неразрешима.

325) ЬА, г, га —(А) — Определяем ha из условия ha =--— (167а), после чего задача сведется к ha1 bA, г. Геометрическое построение ha очевидно.

326) Ьа, г, Гь —Неразрешима.

327) ЬА г, 2р —(A) —Из формул (173), (51)'и (60), а именно

выводим уравнение, квадратное относительно а

Решив его, получим для построения а выражение

после чего задача сведется к а, ЪА , 2р.

328) Ьа, г, Д — (А) — Определяем р из условия (173)

А = рг,

после чего задача сведется к Ьа , г, 2р, а через нее к а, Ьа , 2р. Геометрическое построение р очевидно.

329) Ьд, га, Гь — Неразрешима.

330) Ьа, га, 2р—(А) — Определяем А из условия (163)

после чего задача сведется к А, Ьа , га. Геометрическое построение угла А очевидно.

331) Ьа, Га, А — Неразрешима.

332) Ьа, Гь, гс—(А) — Определяем ha из условия (167)

после чего задача приведется к ha, Ьа, гь. Геометрическое построение ha очевидно.

333) Ьа, Гь, 2р— Неразрешима.

334) Ьа, Гь, А — Неразрешима.

335) Ьа', 2р, А—(А) — Определяем г из условия (173)

А = рг,

после чего задача сведется к Ьа, г, 2ру а через нее к я, Ьа , 2р. См. примечание к задаче А, г, Д.

§ 25. Задачи, в которых даны только радиусы описанной, вписанной и вневписанной окружности, периметр и площадь.

336) R, г, га — (А) — Определяем ha из условия (167а)

после чего задача сведется к ha, R, г, а через нее к A, ha> R. Геометрическое построение ha очевидно.

337) R, г, 2р — Неразрешима.

338) R, г, А — Неразрешима.

339) R, га, Гь — (А) — Из формул типа (62)

путем использования зависимостей типа a = 2R sin А (93), приходим к формуле

Построив угол С, придем к задаче

340) R, га, 2р — (А) — Определяем А из условия tg —=— (163), после чего задача сведется к А, R, ra, а через нее к а, А, га. Геометрическое построение А очевидно.

341) R, га, А — Неразрешима.

342) R, 2р, А — Неразрешима.

343) г, Га, Гь — (А + П).— Из формул (173) А-рги (105) гю = -А_ выводим следующую пропорцию:

откуда

Построив треугольник A1BiCl по сторонам BiCt = ra — г, А^ = га—Г-^ и AtBt = r+-^r. из точки / пересечения биссектрисы угла Лх и прямой, параллельной В±С± и отстоящей от нее на расстоянии г, опишем окружность радиуса г, после чего проведем касательные к этой окружности, параллельные сторонам Л1С1 и A±Bt треугольника Л1Б1С1, которые пересекутся в точке А и пересекут продолжение В1С1 в точках В и С. /\АВС — искомый. Решение возможно, если га—гр>—

344) г, г3| 2р — (П. П. Ч.) — Восставляем к AD = р перпендикуляр О О == га. Из точки О как из центра опишем окружность радиуса га

и из А проведем к ней касательную ЛЕ. В угол EÄD радиусом, равным г, впишем вторую окружность и проведем общую внутреннюю касательную к двум построенным окружностям, которая пересечет стороны угла EAD в точках В и С. Д ABC—искомый. Решение возможно, если

345) г, га, А — (А) — Определяем р из условия Д =рг (173), после чего задача приведется к г, га, 2р (см. примечание к задаче А, г, А).

346) г, 2р, А. Если А == рг, то задача неопределенная, а если А ф рг, то задача противоречивая.

347) га , Гь , гс 1° — (А) — Определяем ha из формулы ha = —(167), после чего задача приведется к ha, го, гъ.

20—(А + П). Из формул типа (105)

выводим пропорции

откуда

и, наконец,

построим треугольник DEF со сторонами

подобный искомому Д ABC. Дальнейшее очевидно. Решение возможно всегда.

348) Га, Гь, 2р 1° —(А) —Определяем угол А из условия (163) ig — =—, после чего задача приведется к А, га, гъ.

2° —(П. П. Ч.) — Опишем окружность радиуса га и проведем к ней касательную AT =р. Из А проведем вторую касательную к этой же окружности. Впишем в угол тс — 4, где А угол между касательными, окружность радиуса гъ и проведем общую внутреннюю касательную к двум построенным окружностям, которая пересечет стороны угла А в точках В и С. Д ABC — искомый. Решение возможно всегда.

349) га, Гь, А—(А) — Определяем из формулы — =-+-(104) сторону с, после чего задача сведется к {с, га, гъ) = (а, rb) гс). Геометрическое построение

где k = |/д, очевидно.

350) га 2р, А — (А) — Определяем а из формулы (105) га =--, после чего задача

сведется к a, ra, 2р, a через нее к а, г, га. Геометрическое построение

где k = ]/Д, очевидно.

16. Заключение

Подводя итоги работы, результаты которой представлены в настоящей статье, автор хотел подчеркнуть некоторые обстоятельства. В статье рассмотрены все случаи построения остроугольного треугольника по трем его элементам, а следовательно работа автора заключалась в том, что он, во-первых, составил из данных 22 элементов треугольника все возможные комбинации по три; во-вторых, удалил из этих 1 540 комбинаций все тождественные. Это оказалось возможным благодаря применению лексикографического метода, т. е. установлению определенной иерархии между элементами треугольника и последующему расположению всех троек элементов по нисходящим степеням этой иерархии.

В-третьих, был рассмотрен вопрос о том, какие из оставшихся 350 троек дают комбинации элементов, достаточные для построения треугольника циркулем и линейкой, что потребовало (исключая очевидные случаи, известные из школьного курса) исследования около 300 уравнений на их приводимость. О том, каков объем этой стадии работы, можно составить себе представление, если учесть, что, например, для суждения о неразрешимости задачи А, тъ, г потребовалось исследовать на приводимость следующую резольвенту

/(/) = /з_838 /2 _|_ зуд!оо 3 611 159 296.

Критерий Эйзенштейна здесь неприменим, а потому для суждения о неприводимости пришлось бы испытать делимость f(+ 1) = — 3 610 781 033 и/(— 1) = 3 611 539 235 на все делители числа 3 611 159 296, причем по делении этого числа на 28 получается 14 106 091, что превосходит самые большие в мире таблицы делителей Буркхардта. Помогла случайность: легко проверить, что /(0), /(— 1) и /(+1) не делятся на 3, а это, как мне удалось подметить, является достаточным признаком неприводимости всякого кубического уравнения. В конце концов оказалось, что из 350 комбинаций многие приводят к задачам, неразрешимым циркулем и линейкой. Разумеется, что в такой кропотливой работе над большими числами (а единственным достоверным и практически осуществимым критерием неразрешимости конструктивной задачи является доказательство неприводимости ее уравнения, если оно степени неравной 2Л) можно было сделать ошибку, а поэтому не исключена возможность, что какая-нибудь задача, охарактеризованная автором как неразрешимая, в действительности допускает решение. Если это имеет место, то в очень небольшом числе случаев, так как все вычисления проделаны автором дважды и независимо один раз от другого, а появление ошибки при таких условиях маловероятно, хотя и не исключено.

В-четвертых, осталось решить те задачи, которые допускают решение. Владея алгебраическими решениями всех 350 задач, автор, тем не менее, старался привести для разрешимых задач решение геометрическое или указать, по крайней мере, путь геометрического решения, следуя которому можно освободить чертеж от отрезков, посторонних геометрической сущности задачи, но которые необходимо возникают, если получается квадратное или биквадратное уравнение с более или менее сложными коэфициентами. Однако, не везде автору удалось это сделать и существующие задачники очень мало могли ему в этом помочь. Поэтому возможно, что существует более простое, изящное решение многих задач, решенных автором, что впрочем уже подчеркивалось в рубрике I настоящей статьи. За все указания, направляемые в редакцию журнала, касающиеся улучшения методов решения или вскрывающие незамеченные автором погрешности и ошибки, автор будет весьма признателен.

Во избежание недоразумений считаем необходимым еще раз напомнить, что данное исследование касается преимущественно разносторонних, остроугольных треугольников. Прямоугольные и равнобедренные треугольники могут быть решены проще, и очень многие задачи, неразрешимые в общем виде, в случае прямоугольного или равнобедренного треугольника допускают простое решение.

Поправка. В первой части работы (jvß 5 журнала) в списке формул имеются три опечатки: в (47) вместо 2В2 должно быть 2S2; в (20) вместо d должно быть а; в (153) в знаменателе должно быть AR2, а не 2R*. Кроме того, в сноске на стр. 8 допущено искажение в определении содержания геометрии треугольника. Следует читать:... «основное содержание которой складывается из теории так называемых трансверсалей и чевиан. Некоторые из чевиан делят противоположную сторону»... и т. д. Автор.

О МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ

Проф. Д. И. КАРГИН. (Ленинград)

1. Введение

Различного рода геометрические задачи в пространстве можно подразделить на следующие три типа задач:

1. Задачи на вычисления.

2. Задачи на определение различных зависимостей и свойств между геометрическими элементами.

3. Задачи на построения в пространстве.

К первому типу задач можно отнести, например, все численные метрические задачи на вычисление квадратур и кубатур.

К второму типу задач относятся доказательства различных теорем. При решении таких задач, вспомогательные построения делаются произвольными, не считаясь с возможностью выполнения их; да это и не требуется поставленными целями.

Третий тип задач, подобно задачам планиметрии на построения, должен решаться чертежными инструментами, допускаемыми геометрией Евклида. Подобно задачам планиметрии стереометрические задачи на построение разрешаются умозрительно посредством логической цепи отдельных элементарных построений. Составляемый при этом эскиз чертежа последовательных построений, а отличие от планиметрического, приходится изображать условным наглядным чертежом, близким к перспективе или же к одному из видов аксонометрии (так называемой параллельной перспективе). Этот момент и является главным моментом в процессе решения той или другой задачи.

Гаспар Монж своим методом ортогональных проекций свел решение всех стереометрических задач к построениям на плоскости посредством евклидовских циркуля и линейки. Способ ортогональных проекций незаменим в инженерной практике; однако, при пользовании этим способом метод решения той или другой задачи может значительно отличаться от того способа, который мы применили бы, если бы решение осуществляли непосредственными дозволенными геометрией Евклида приемами и построениями в пространстве. В дальнейшем изложении мы будем иметь в виду этот последний способ решения стереометрических задач, тем более, что он предшествует также и способу изложения задачи в проекциях по методу Г. Монжа.

2. Чертежные инструменты по Евклиду

При выполнении какой-либо планиметрической задачи на построение нам необходимо иметь: циркуль, линейку, плоский лист бумаги и графит карандаша или же какое-либо другое приспособление, способное оставлять след окружности и прямой линии на бумаге. Рассмотрим, какую же именно ,,конструкцию“ должны иметь по Евклиду эти ,,инструменты“. Для проведения окружности, один конец ножки циркуля мы должны поместить в какую-либо точку (заданную или произвольную), а другим концом ,,прочертить“, т. е. оставить след окружности на бумаге. Всмотримся внимательнее, что представляет собой центр окружности.

По Евклиду это —математическая точка, отнюдь не углубление, постепенно разрабатываемое острием ножки циркуля в толще бумаги. Возможно ли мыслить себе какую-либо физическую конструкцию, удовлетворяющую требованиям геометрии. Разумеется нельзя. Следовательно, циркуль по Евклиду — это умозрительная конструкция, удовлетворяющая условию, чтобы две точки (концы ножек) могли находиться на любом заданном одна от другой расстоянии и как-то жестко между собою связанными: при этом одна из точек может оказаться в плоскости неподвижной, а другая оставлять в той же плоскости след математической окружности. Из такой формулировки очевидно, что евклидовский циркуль не ограничен в своих размерах.

Что такое идеальная линейка? В практике чертежного дела проведение отрезка прямой линии по линейке основано на инстинктивном использовании: трения (иногда и силы и тяжести) и инерции. Самая же линейка, как минимум, должна иметь один из краев в виде возможно точного ребра двугранного угла. Разумеется — это не идеальная линейка Евклида. Физическими свойствами ее нельзя наделять: иначе при проведении линии через заданную точку, мы можем сделать это безошибочно только случайно, так как, вообще, рассчитать остановку движения ее в точности на данной точке не представляется возможным в силу закона инерции. Умозрительная евклидовская линейка должна, таким образом, удовлетворять следующим условиям: это есть жесткая прямая

линия неограниченной длины, не обладающая инерцией при движении, могущая совмещаться в любых направлениях с плоскостью чертежа и точно прикладываться к одной или двум точкам этой плоскости, оставляя видимый след математической линии.

Какой должна быть идеальной чертежная бумага? Разумеется, ни один из сортов бумаги и ни другая какая-либо поверхность чертежа не удовлетворяют условиям геометрии, которые требуют, чтобы поверхность чертежа была бы идеальной плоскостью неограниченных размеров, воспринимающей след линейки и ножки циркуля.

3. Инструменты для стереометрических построений

Как же обстоит дело с инструментами при стереометрических построениях? Обратимся к ,,Началам Евклида“ и посмотрим, какие он дает в этом отношении указания. Об инструментах он нигде не говорит. Самые же построения, кроме тех, которые встречаются в планиметрии, он дополняет построениями: плоскости и поверхностей: круговых прямых цилиндра и конуса, а также шаровой сферы*).

Рассмотрим основные построения. Начнем со следующей задачи: построить в пространстве произвольную точку.

Для решения этой задачи мы должны отметить какую-либо точку пространства, наделив ее способностью быть жестко связанной с остальными точками этого пространства и не менять своего относительного положения при прикладывании к ней линейки, плоскости или же другой какой-либо поверхности. Она должна жестко сохранять свое положение и в том случае, если в процессе построений должна послужить, например, в качестве центра окружности, проводимой в какой-либо плоскости, с которой совпадает центр.

Мы не задумывались над аналогичной задачей построения произвольной точки, когда решали задачи на планиметрию. Чертежный лист бумаги бессознательно наделял плоскость чертежа физическими свойствами из области механики. Теперь же мы эту задачу и на плоскость должны трактовать аналогичным образом с построением в пространстве, а именно: если в пространстве задача произвольная плоскость, то построение в ней произвольной точки следует понимать в смысле выделения некоторой точки ее, которая оказалась бы жестко связанной с остальными точками не только плоскости, но и пространства, и могли бы служить не изменяя своего положения, например, центром проводимой окружности и т. д. При этом помещение ножки циркуля в точку не разрушает плоскости, т. е. не выводит точки из плоскости.

Как понимать следующую задачу: провести произвольную прямую через заданную точку пространства.

Процесс решения аналогичной задачи сводился к движению линейки по плоскости чертежа до совпадения края линейки с заданной точкой. При идеальных построениях мы условились исключить из этого процесса элемент инерции и мыслить себе возможность точного совпадения прямой и точки. Также умозрительно можно представить себе точное совпадение идеальной линейки с произвольной или заданной точкой пространства и оставление видимого следа этой линейки.

В первом случае плоскость чертежа является как бы направляющей для скользящей в ней прямой, которая непременно встретит точку. Остановка движения прямой на данной точке контролируется «умственным» глазом.

Никто не помешает нам представить, что направление движения прямой в пространстве также контролируется умственным глазом, который, собственно, в конечном счете и: является критерием точности построений.

К основным задачам следует отнести также задачу проведения прямой через две данные точки пространства. На плоскости процесс решения этой задачи сводится к прикладыванию линейки сначала к одной из точек, а затем к вращению линейки вокруг этой точки до совпадения края линейки с другой точкой. Этот же процесс можно распространить и на стереометрическую задачу, учитывая сказанное нами о предшествующей задаче проведения прямой через одну точку. Таким образом считаем возможным в стереометрии прикладывать идеальную линейку к двум данным точкам, оставляя в пространстве след прямой линии, проходящей через две данные точки.

Из изложенного очевидна возможность решения задачи: продолжить прямую, заданную отрезком. Решение сводится к прикладыванию линейки к двум произвольным точкам заданного отрезка.

*) См. например: „Эвклидовых начал восемь книг“, пер. с греческого. О. Петрушевского. Санкт-Петербург, 1819.

Равным образом задача построения произвольной точки на заданной прямой считается возможной, так как сводится к ,,уколу“ ножкой циркуля какой-либо точки примой. Процесс же укола этого ничем не будет отличаться от задачи на плоскости.

Решение задачи построения произвольной плоскости в пространстве или же плоскости, проходящей через заданную точку сводится к построению тех геометрических элементов, которые определяют точное положение плоскости: две пересекающиеся или параллельные прямые, точка и прямая, три точки.

Некоторые авторы считают, что если мы имеем налицо одно из условий, определяющих точное положение плоскости, то тем самым можно считать, что плоскость нам дана вполне и мы имеем возможность вполне ею распоряжаться, производя любые в ней построения, т. е. как бы имея готовый лист чертежа этой плоскости. Линия пересечения плоскостей считается известной, если плоскости определены одним из основных условий и т. д.

Для примера укажем, что если плоскость задана, например, двумя пересекающимися прямыми в данной точке пространства, то задача построения какой-либо произвольной точки этой плоскости не всегда, практически, легко вытекает из предположения, что плоскость уже имеется и что легко перескочить начальное условие. Решение будет более четким и определенным, если определение остальных геометрических элементов плоскости будет исходить из заданного условия, т. е. из тех пересекающихся прямых, которыми собственно и определяется плоскость и с которыми мы можем связать определенные элементы. Однако Евклид оперирует именно с плоскостью, вводя неявно тем самым новый стереометрический ,,чертежный инструмент“, а именно идеальную плоскость неограниченных размеров, обладающую жесткостью. Это уподобить можно следующему.

Предположим, что плоскость определяется двумя пересекающимися прямыми. Мы можем считать, что тем самым задана вся плоскость, так как мы можем приложить к этой системе прямых жесткий плоский лист бумаги и получим требуемую плоскость, на которой возможно циркулем и линейкой воспроизводить любые планиметрические построения. Если же ограничить себя только циркулем и линейкой, то каждое последующее построение надо связывать с элементами задания плоскости: например, если плоскость задана тремя точками А,В,С (черт. 1), то построение произвольной точки M в этой плоскости будет сделано так:

1) проводим линии AB и АС;

2) через точки D и Е на АС и AB проводим прямую DE;

3) M—искомая точка.

Разумеется о плоскости, как об «инструменте», можно говорить только условно. Это есть поверхность математическая, реально мыслимая в пространстве, как геометрическое место, не наделенная физическими свойствами: она может свободно рассекать геометрические тела, не разрушая их; она допускает возможность делать в ней умственно реальные построения циркулем и линейкой; прямая пронизывает плоскость и тела, подобно лучу света, пронизывающему прозрачные тела, не разрушая их.

Задача откладывания данного отрезка на данной прямой от заданной на ней точки на плоскости решается посредством помещения (укола) острия ножки циркуля в данную на прямой точку и проведения дуги окружности, пересекающей данную прямую. В пространстве это сводится к уколам обеими ножками циркуля точек данной прямой. На основании изложенных выше положений это можно считать допустимым. Евклид вводит новый «инструмент», а именно: шаровую сферу. Центр этой сферы совпадает с точкой, заданной на прямой; радиус сферы равен длине данного отрезка. Искомая точка представляет собою точку пересечения прямой и поверхности сферы. Однако можно свести задачи на применение сферы к построениям циркулем и линейкой.

4. Основные задачи стереометрии

Ниже излагаются основные задачи стереометрии в систематической последовательности от самых элементарных до задач такой сложности, которой некоторые авторы начинают изложение задач на построение, считая

Черт. 1

предшествующие трудности как бы не существующими, и даже такие задачи, как построение перпендикуляров к плоскости, считают элементарными.

Задача. Найти на прямой AB (черт. 2) точку D, отстоящую от заданной точки С на расстоянии г.

Черт. 2

На основании предшествующей задачи растворением циркуля, равным г, от С откладывается отрезок г до точки D. Другой способ: D— пересечение шаровой сферы с AB; С —центр сферы; г — радиус ее.

Задача. Через точку А провести прямую параллельную данной прямой ВС.

Решение (черт. 3). А соединяем с произвольной точкой D прямой ВС. Строим Е так, чтобы KE=KD. На КЕ откладываем КМ=АК. Прямая AM—искомая.

Задача. Из точки А опустить перпендикуляр на ВС.

Построение (черт. 4): AD—AE; DK=EH; AM—искомый перпендикуляр.

Задача. Опустить перпендикуляр из точки А на плоскость Р (черт. 5).

Построение. В, С, D — произвольные три точки плоскости Р. Высота пирамиды ABCD есть AM. Точка M— основание искомого перпендикуляра лежит на пересечении ME и КМ, перпендикуляров к CD и BD; точки Е и К— основание перпендикуляров АЕ и АК к линиям CD и BD (на разверстке).

Задача. Из точки А провести прямую так, чтобы ее отрезок от А до плоскости Р равнялся бы данной величине (черт. 6).

Построение. AB— перпендикуляр к Р. Отрезок ВС=АВ. В прямоугольном треугольнике BCD гипотенуза DC равна данной ве-

Черт. 3

Черт. 4

Черт. 5

Черт. 6

личине. Если соединить любую точку Е окружности радиуса BD с данной точкой А, то ЛЕ искомая.

Задача. Из точки А, заданной на плоскости Р, восстановить к плоскости перпендикуляр (черт. 7).

Построение. Из С опускаем перпендикуляр CD на плоскость Р. Из А проводим искомый перпендикуляр AB параллельно CD.

Задача. Построить точку пересечения прямой AB с плоскостью Р (черт. 8).

Черт. 7

Черт. 8

Построение. Из А и D опускаем перпендикуляры АК и DE на плоскость Р. Точка С— искомая.

Задача. Построить линию пересечения плоскостей Р и Q (черт. 9).

Построение. Соединяем А и С; А лежит на Q, С лежит на Р. Опускаем перпендикуляры: AB на Р и CD на Q. Искомая линия пересечения —DB.

Задача. Разделить данный отрезок AB пополам (черт. 10).

Построение. Проводим АЕ параллельно КВ.

Черт. 9

Черт. 10

Делаем АЕ=КВ. Точка С— искомая точка деления отрезка AB.

Задача. Данный отрезок AB разделить в отношении т\п (фиг. 11).

Построение. Решение аналогично предыдущей задаче, если АЕ : КВ=т : п. Искомая точка С делит AB так, что АС : СВ=т : п.

Черт. 11

Задача. Восстановить перпендикуляр к AB в какой-либо ее точке С (черт. 12).

Построение. Проводим A D; делаем ОЯ=Ла Строим BE II AD и АЕ || DB; получаем KD, как перпендикуляр к AB в точке К. Искомый перпендикуляр получим СМ параллельно ED.

Черт. 12

Задача. Построить плоскость Р перпендикулярно AB в точке С (черт. 13).

Построение. Проводим перпендикуляры CD и СЕ к AB в точке С. Искомая плоскость определяется этими перпендикулярами, как двумя пересекающимися линиями.

Задача. Построить плоскость Р, параллельную данной плоскости M (черт. 14).

Построение. Проводим в данной плоскости M две пересекающиеся прямые DE и КБ, а затем из точки В проводим AB параллельно DE и СВ параллельно КЕ. Две пересекающиеся прямые AB и СВ и определяют искомую плоскость Р.

Задача. Построить плоскость Р, перпендикулярную данной плоскости M в точке А (черт. 15).

Построение. Из точки А восставляем перпендикуляр АС к плоскости М. Этот перпендикуляр совместно с произвольной прямой AB в плоскости M и определяет искомую плоскость Р.

Черт. 13

Черт. 14

Черт. 15

Задача. Построить плоскость, проходящую через точку А и перпендикулярную к прямой ВС (черт. 16).

Построение. Из А опускаем на ВС перпендикуляр AD. Из точки D восстановляем перпендикуляр DE к ВС, который совместно с АО и определяет искомую плоскость.

Задача. По трем данным сторонам построить треугольник (черт. 17).

Черт. 16

Черт. 17

Построение. Если А и В две вершины искомого треугольника, то третья вершина С лежит на линии пересечения двух шаровых сфер, радиусы которых равны АС и ВС, а центры расположены в точках А к В.

Эта задача вводит понятие о новом «поверхностном инструменте», а именно о шаровой сфере. Если же поверхность отнести не к разряду инструментов, а к разряду геометрических мест, подобно тому, как это получается на плоскости при решении той же задачи, где геометрическими местами будут окружности,— то необходимо определить, каким же инструментом оказывается возможным построить это геометрическое место. Если в точке А укрепить одну из ножек циркуля, то острие другой ножки, при любом положении этого острия, будет находиться на шаровой сфере радиуса АС. Следовательно можно допустить, что геометрическое место точек, отстоящих от заданной точки на одно и то же расстояние, т. е. шаровая сфера, может быть образована совокупностью бесконечного числа точек, являющимися, каждая в отдельности, одним из уколов второй ножки циркуля. Это допущение возможно сделать в том только случае, если указанным использованием циркуля мы сможем построить необходимые нам элементы. Например, задачу построения любой точки С (черт. 17) пересечения двух сфер, показанного на чертеже пунктирной линией круга в перспективе, можно осуществить, как сведение в одну точку вторых ножек двух циркулей, иначе говоря, допустить возможность одновременного действия двумя чертежными инструментами. Если же отвергнуть возможность таких «манипуляций», то тогда придется также отвергнуть, хотя и выполняемое в строгой последовательности, построение точки на данной прямой или же одновременно выполняемое на плоскости проведение прямой через две заданные точки. Последний пример, по характеру своему, является примером, аналогичным сведению двух ножек циркуля в одну точку. Другим аналогичным примером является проведение на плоскости прямой через заданную точку.

Задача. Построить 3-гранную пирамиду по данным ее ребрам (черт. 18).

Построение. Пусть M ABC—искомая пирамида и MD— ее высота. DK_\_BC и DH_\_АВ в плоскости основания ABC. Пусть в той же плоскости построены ВС К и DBH— развертки боковых граней соответственно ВС M и АВМ. Из этого вытекает следующий ход решения : строим треугольник ABC по трем данным сторонам и развертки ВСК и АВИ также по трем данным сторонам: точка D—пересечения DK и HD: определив точку D, строим перпендикуляр DM: точка M находится на расстоянии MC от точки С.

5. Задачи на геометрические места

Основные геометрические места стереометрии, преимущественно поверхности,— следующие:

а) Г. м. точек, удаленных на одинаковое расстояние от данной точки, есть шаровая сфера.

б) Г. м. точек, удаленных на одинаковое расстояние от данной прямой, есть цилиндрическая поверхность.

в) Г. м. пучка прямых, наклоненных под одним и тем же углом к данной прямой, есть коническая поверхность.

г) Г. м. точек, равноудаленных от двух данных точек, есть плоскость, перпендикулярная к середине отрезка, соединяющего данные точки.

д) Г. м. точек, находящихся на одинаковом удалении от данной плоскости, есть параллельная плоскость.

е) Поверхность цилиндра есть обертка плоскостей, одинаково удаленных от его оси.

ж) Шаровая сфера есть обертка прямых линий и плоскостей, одинаково удаленных от данной точки.

з) Коническая поверхность есть также обертка плоскостей, одинаково наклонных к оси конуса и т. д. и т. п.

Рассмотрим некоторые типичные задачи на приложение метода геометрических мест.

Задача. Построить плоскость Р на расстоянии г от данной прямой AB (черт. 19).

Черт. 18

Построение. Искомая плоскость — касательна к прямому круговому цилиндру, окружность основания которого имеет радиус, равный г, а осью служит данная прямая. Построение следующее: СО=г и перпендикулярно Л£;образующая СО и прямая СМ_[_АВ определяют искомую плоскость.

Черт. 19

Задача. Построить прямую на расстоянии г от данной прямой AB (черт. 20).

Построение. Любая прямая, проведенная в плоскости Р, непараллельная CD, (предыдущая задача черт. 19) является искомой прямой. Построение следующее (черт. 20) : OMJ^AB; MHJ_OM=r. Касательная к цилиндру прямая МН— искомая.

Задача. Провести прямую на расстоянии г от заданной точки О (черт. 21).

Черт. 20

Черт. 21

Построение. Любая прямая, касательная к шаровой сфере радиуса г и центра О, будет искомой. Пусть МО=г; МНХ.ОМ или MPJ_OM— искомые.

Задача. Провести прямую, наклоненную к плоскости под углом а (фиг. 22).

Черт. 22

Построение. Построим треугольник ABC с углом С=а. Проведем окружность на плоскости Р из центра О радиусом ОМ=ВС. Восстановим к плоскости перпендикуляр ОН=АВ. Если соединить точку H с любой точкой окружности, то всякая прямая МН будет искомой.

Задача. Через точку M на прямой AB провести к ней другую прямую под углом а (фиг. 23).

Черт. 23

Построение В треугольнике ABC угол Л=а. Возьмем МО = AB. Из О, как из центра, описать радиусом ОН = ВС окружность, плоскость которой была бы перпендикулярна AB. Любая образующая конуса M H будет искомой.

Задача. Построить плоскость Р под углом а к плоскости М.

Построение. Искомая плоскость касательна к конусу К и определяется пересекающимися прямыми: образующей конуса АК и линией AB, проведенной в плоскости Ai и касательной в точке А к круговому основанию прямого конуса.

Черт. 24

Задача. Построить плоскость, наклоненную к прямой AB под углом а (черт. 25).

Построение. Искомая плоскость определяется двумя пересекающимися линиями:

образующей СО конуса с вершиной С и касательной DE к основанию конуса, проведенной в плоскости згою основания.

Черт. 25

Черт. 26

Из изложенного видно, что при стереометрических построениях допустимо проведение круга циркулем на какой-либо плоскости из «центра» вне этой плоскости. В этом случае круг будет основанием конуса, а «центр» его вершиной. Истинным же центром круга будет точка на плоскости. На основании этого положения задача опускания перпендикуляра из точки на плоскость может быть решена следующим образом (черт. 26). Из данной точки А, как из центра (вершина конуса), в данной плоскости Р проводится круг BCD, по трем произвольным точкам окружности: В, С и D находится ее центр О.

Линия АО — искомый перпендикуляр.

6. Примеры сложных стереометрических задач

А. Задачи на построение плоскостей

а) Построить плоскость, касательную к двум данным шарам и проходящую через данную точку.

Замечая, что оберткой плоскостей, касательных к шарам, будет поверхность конуса, огибающая оба шара,— сведем задачу к построению плоскости, касательной к поверхности этого конуса и проходящей через заданную точку. Если построить круговое сечение конуса плоскостью, проходящей через данную точку и перпендикулярное его оси (т. е. линии центров шаров), то искомая плоскость определится двумя пересекающимися линиями: касательной, проведенной из данной точки к кругу сечения и прямой, соединяющей вершину конуса с данной точкой.

б) Построить плоскость, касательную к трем данным шарам.

Попарно шары образуют две обертывающие поверхности конусов. Следовательно искомая плоскость проходит через прямую, соединяющую вершины конусов. Таким образом задача сводится к предыдущей.

в) Построить плоскость, проходящую через две данные точки и касательную к данному шару.

Через центр шара надо провести плоскость, перпендикулярную к линии, соединяющей данные точки. Касательная к кругу сечения, проведенная из точки пересечения прямой с плоскостью, и линия, соединяющая данные точки — определяют искомую плоскость.

г) Построить плоскость, наклоненную к дачной прямой по данным углам и проходящую через заданную точку вне прямой и через точку на прямой.

Задача сводится к построению плоскости, касательной к обертывающему конусу с вершиной в данной на прямой точке.

Б. Задачи на построение прямых

а) Провести прямую, касательную к шару, проходящую через данную точку и наклоненную к данной прямой под данным углом.

Проводим через данную точку прямую, параллельную заданной и принимаем ее за ось конуса, поверхность которого будет служить геометрическим местом наклоненных прямых: вершина конуса в данной точке. Построим второй конус, обертывающий шар: вершина та же. Две конические поверхности пересекаются по искомым образующим. Для построения их надо построить шаровую сферу с центром, совпадающим с вершиной конусов: круги пересечения сферы пересекаются между собою в точках, принадлежащих искомым образующим.

б) Провести прямую через данную точку на данном расстоянии от данной прямой и наклоненную к ней под данным углом.

Построим обертку — поверхность цилиндра, осью которого служит заданная прямая, а радиусом основания — заданное расстояние. Затем построим геометрическое место прямых наклоненных под данным углом к данной прямой, т. е. конус с осью, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой. Через ось проходит плоскость, касательная к цилиндру, в которой лежит искомая прямая. Пересечение этой плоскости с поверхностью конуса дает искомую образующую.

в) Построить прямую, касательную к двум шарам и наклоненную к данной прямой под данным углом.

Задача сводится к определению двух образующих пересекающихся конических поверхностей с общей вершиной.

В. Задачи на построение шаров

а) Построить шаровую сферу, проходящую через данные точки.

Любые три точки лежат на круге, проведенном по поверхности шара, следовательно, центр этого круга лежит на перпендикуляре, опущенном из центра шара на плоскость круга. Отсюда заключаем, что искомый центр сферы лежит на пересечении перпендикуляров, восставленных из двух центров кругов, описанных вокруг двух треугольников, вершинами которых служат любые три точки из четырех данных.

б) Построить шаровую сферу, проходящую через данную точку и касательную к трем данным плоскостям.

Задача решается методом подобия. Сначала строится произвольная сфера, вписанная в данный трехгранный угол, сторонами которого служат данные плоскости. Центр такой сферы лежит на линии пересечения биссекторных плоскостей двугранных углов. Затем вершину угла соединяем прямой линией с данной точкой и находим точку пересечения этой линии со сферой, и соединяем ее с центром шара (радиус). Искомый центр получим, как точку пересечения линии центров (биссекторной линии) и линии, проведенной через данную точку параллельно радиусу.

в) Построить шаровую сферу, проходящую через три данные точки и касательную к двум данным плоскостям.

Искомый центр сферы лежит на пересечении биссекторной плоскости данных плоскостей и перпендикуляра, восставленного из центра круга, описанного вокруг треугольника, вершинами которого служат три данные точки.

7. Заключение

Целью настоящего исследования является, с одной стороны, освещение одного из забытых уголков элементарной математики; с другой же стороны, мне хотелось бы еще раз обратить внимание педагогов средней школы на серьезную сторону решения задач на построение, как развивающих пространственные представления. А их-то и недостает, в значительной степени у поступающих в высшие технические учебные заведения. Особенно ярко это обнаруживается на первых же ступенях самостоятельной работы студентов, приступающих к изучению начертательной геометрии и вынуждающих высшую школу снижать степень преподавания начертательной геометрии, отводя некоторое время на заполнение пробелов средней школы.

Мне хотелось бы подчеркнуть особое педагогическое значение практики решения задач, изложенным в настоящей статье методом. Метод ортогональных проекций Гаспара Монжа будет, следовательно, уже второй ступенью развития пространственных представлений, без которых немыслима творческая деятельность инженера.

В заключение отмечу еще одну важную сторону, на которую надо обратить внимание, а именно: на исчерпывающее исследование условий возможности решения задачи на построение, числа возможных решений и разновидности их в зависимости от частных случаев задания.

ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН И ПЛОЩАДЕЙ НА ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО

Проф. Н. Иовлев (Москва)

„Чистый анализ без всякой уже примеси синтеза не прежде может начинаться в геометрии, как после того, когда всякая зависимость представлена будет уравнениями и для всякого рода геометрической величины будут даны выражения“.

И. И. Лобачевский

В третьем очерке по геометрии Лобачевского («Физика и математика в школе», № 6, 1936 г.) мы вывели основные тригонометрические соотношения между сторонами прямоугольных и косоугольных треугольников, трехсторонников и четыреугольников Саккери и Ламберта.

В настоящем очерке мы дадим выражения для длин простейших кривых, для площадей фигур, ограниченных прямыми линиями и площади круга.

§ 1. Величины, которые можно измерить, должны удовлетворять следующим требованиям или постулатам:

1. Если даны две однородные величины А и В, то всегда можно установить:

а) равны они или не равны и

б) если они не равны, то которая из них больше и которая меньше.

2. Каждую величину можно разделить на равные части.

3. Однородные величины можно складывать и вычитать.

4. Величины,которые можно измерить, должны удовлетворять аксиоме Архимеда: как бы мала ни была величина а по сравнению с однородной величиной А, но, повторив а слагаемым достаточное число (п) раз, можно получить в сумме величину (п-а), которая больше А.

§ 2. Длина кривой линии

В геометрии Лобачевского длина дуги кривой линии определяется совершенно таким же образом, как и в геометрии Евклида. Именно длиной дуги AB называется предел, к которому стремится периметр Я ломаной линии, вписанной в эту дугу и имеющей с ней общие концы, когда число сторон этой ломаной увеличивается до бесконечности, а длина каждой стороны уменьшается до пул я.

Возьмем на дуге AB произвольный ряд точек At, А2 , As ,..., и соединим их последовательно хордами AAt=Д Sv АгА2 = /\S2,

Тогда длина 5 дуги AB будет равна

Из этого определения следует, что вычисление- длин дуг кривых линий вообще возможно только при помощи анализа бесконечно малых. Однако, в некоторых случаях длину кривых линий возможно определить и элементарно, при помощи метода пределов.

В элементарной геометрии Евклида вычисляется длина только одной кривой линии — круга, ибо эта — единственная кривая, которая там изучается, а в геометрии Лобачевского, как мы знаем, кроме обыкновенных кругов существуют еще предельные круги, центры которых лежат на бесконечности.

Но кроме этих двух кривых, как мы видели в первом очерке,* существует еще третья кривая — «линия равных расстояний», представляющая собой геометрическое место точек, равноудаленных от одной и той же прямой. Мы здесь покажем, что и линии равных расстояний можно рассматривать как круги особого рода.

* «Физика и математика», № 6, 1935 г., стр. 13, § 5, 4.

§ 3, Бесконечно удаленные точки на плоскости Евклида

На плоскости Евклида всякие две прямые, не параллельные между собою, имеют одну из точек плоскости общую, они пересекаются только в одной этой точке. Эти точки называются «собственными» точками плоскости. Совокупность всех прямых плоскости, проходящих через и «собственную» точку, образует «собственный» пучок с «центром» в этой точке.

Каждый «собственный» пучок вполне определяется его центром, а последний — пересечением двух его прямых или лучей, причем через каждую точку плоскости проходит только один луч этого пучка.

Эти свойства пучка сохраняются, если мы станем передвигать его вершину К по одному из его лучей. Они сохраняются и тогда, когда прямые пучка сделаются параллельными между собой, и перпендикулярны к одной и той же прямой AB. При этом совершенно безразлично, будем ли мы удалять вершину пучка вправо или влево по лучу ВК (черт. 3), мы получим совокупность тех же самых параллельных между собой прямых. Поэтому условились считать, что совокупность всех прямых, параллельных данной прямой, образует пучок лучей, имеющий вершину в «несобственной» или «бесконечно удаленной» точке, которая является общей точкой этих прямых.

Положение «несобственной» вершины пучка параллельных линий вполне определяется положением двух его лучей, и через каждую точку плоскости проходит только одна прямая пучка (параллельная всем остальным его лучам). Говорят также, что у каждой прямой на плоскости Евклида имеется только одна бесконечно удаленная точка и что параллельность двух прямых не зависит от направления этих прямых. Совокупность всех бесконечно удаленных точек на плоскости Евклида образует одну «бесконечно удаленную прямую». Совсем иначе обстоит дело на плоскости Лобачевского.

§ 4. «Собственные» и «несобственные» точки и пучки прямых на плоскости Лобачевского

Возьмем прямую линию ВВ' и параллельные ей линии, проходящие через точки Av

А2>--> Ап (черт. 4).

Мы знаем (очерк 2, т. VII), что все прямые, параллельные В В1 в одном и том же направлении, являются предельными положениями наклонных к ВВ' прямых А±К, А2К, • • •, АпК, когда точка К неограниченно удаляется (черт. 4) по прямой ВВ* в направлении параллельности этих прямых. Поэтому говорят, что все линии, параллельные между собой в одном и том же направлении пересекаются в одной и той же «несобственной» или бесконечно удаленной точке (Б) плоскости Лобачевского. Эта бесконечно удаленная точка является «предельным положением» точки К при удалении последней в направлении параллельности наших прямых. При удалении же точки К в противоположном направлении, мы получим другой пучок параллельных прямых, не совпадающий с первым, как на плоскости Евклида, а следовательно и другую бесконечно удаленную точку прямой Б*.

Совокупность всех прямых, параллельных прямой ВВ' в одном и том же направлении, называется, поэтому, «несобственным пучком» прямых, вершиной которого является предельная «несобственная» или бесконечно удаленная точка, определяемая направлением этих прямых. Как и на плоскости Евклида, «собственные» пучки прямых определяются следующими двумя основными свойствами:

1) через каждую точку плоскости проходит одна и только одна прямая пучка;

2) любые две прямых пучка вполне определяют вершину этого пучка и следовательно и самый пучок.

Но легко видеть, что этими свойствами обладают и прямые «несобственного пучка».

В самом деле:

1) Через каждую точку плоскости проходит одна и только одна прямая, параллельная данной прямой ВВ' в данном направлении;

2) любые две прямые «несобственного пучка» определяют направление параллельности прямых пучка, а следовательно, и «несобственную вершину этого пучка», которая лежит в направлении параллельности прямых пучка.

Теперь предположим, что через «собственную» точку О на плоскости Лобачевского проведены все возможные прямые пучка, имеющего вершину в этой точке. Тогда окружность радиуса R с центром в О мы можем определить, как геометрическое место точек прямых пучка, стоящих от О на расстоянии R. Это определение сохраняет свою силу для всякого R.

Если мы станем увеличивать радиус круга R до бесконечности, оставляя его центр в точке О, то придем к заключению, что геометрическое место всех несобственных точек на плоскости Лобачевского есть предельный круг, лежащий на бесконечности. В самом деле, в каком бы направлении мы ни провели прямую через любую точку на плоскости, эта прямая «встретит» предельный крут в двух точках, которые и будут двумя «несобственными точками» этой прямой*.

Таким образом, у каждой прямой на плоскости Лобачевского имеется две «несобственные» или бесконечно удаленные точки. Следствием этого и является то, что через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести к этой прямой не одну параллельную линию, как на плоскости Евклида, а две. Поэтому говорят иногда, что прямая, проходящая через данную точку и параллельная данной прямой, соединяет эту точку с бесконечно удаленной («несобственной») точкой, лежащей на этой прямой в направлении параллельности.

Говорят также, что две параллельные линии «пересекаются» или «встречаются» в бесконечно удаленной точке, лежащей на бесконечно удаленном «предельном круге».

На основании всего изложенного выше мы можем определить предельную линию, лежащую на конечном расстоянии, как окружность, центр которой лежит на бесконечно удаленной предельной окружности плоскости.

§ 5. Идеальные точки и пучки

Возьмем две прямые, не параллельные, но и не пересекающиеся между собой. Как мы знаем, такие две прямые перпендикулярны к одной и той же прямой, причем длина их общего перпендикуляра является кратчайшим расстоянием между этими прямыми*.

Таким образом, каждые две непараллельные и не пересекающиеся прямые линии вполне определяют и положение их общего перпендикуляра. С другой стороны, из каждой точки плоскости всегда можно опустить на прямую один и только один перпендикуляр. Таким образом, совокупность всех этих перпендикуляров обладает двумя основными свойствами, определяющими понятие пучка. Поэтому можно еще более расширить понятие о пучке, предположив, что система (совокупность) всех не пересекающихся ни в «собственной», ни в «несобственной» точке прямых, имеющих общий перпендикуляр, определяет одну общую всем этим прямым «точку», которая называется «идеальным центром» этой системы прямых, а самая система называется «идеальным пучком».

Теперь возникает вопрос: где же находятся эти идеальные точки?

Чтобы ответить на этот вопрос, припомним, как Саккери пришел к понятию о «предельных», т. е. параллельных линиях на плоскости, на которой недействителен постулат Евклида.

Именно, возьмем прямую / и через точку А вне ее проведем (черт. 5) секущую AB; затем станем вращать прямую AB около точки А, при этом точка В — пересечения прямой / с AB будет удаляться и когда прямая AB и / сделаются параллельными, их общая точка В совпадет с «несобственной» точкой плоскости В и окажется на бесконечно удаленном предельном круге.

Это предельное положение прямой Л5, при котором она встречает прямую /. При дальнейшем вращении AB (в том же направлении) около точки А она не встретит прямой / ни внутри предельного круга, ни на его окружности, но будет иметь с ней общий перпендикуляр. Следовательно, если мы допустим, что у прямых AB и / все-таки есть общая точка /, то эта «идеальная» точка может находиться только вне предельного круга (черт. 5).

Таким образом, плоскость Лобачевского дополняется еще бесконечным числом точек,

* На плоскости Евклида «предельным кругом» является прямая линия, геометрическое место всех «несобственных» точек плоскости Эвклида есть бесконечно удаленная прямая.

* В самом деле, если бы наши прямые сближались все время, то они были бы параллельны (см. очерк 2, «Физика и математика», 1936 г. № 2, теоремы 11 и 13).

которые не принадлежат ни к «собственным» ни к «несобственным» точкам этой плоскости и которые образуют целую область, так называемых «идеальных точек» плоскости, лежащую за ее предельным кругом.

§ 6. Линия равных расстояний и ее основные свойства

Линия равных расстояний появляется в геометрии Лобачевского вследствие того, что в этой геометрии параллельные прямые не отстоят друг от друга на равных расстояниях. Поэтому геометрическое место точек, равноотстоящих от данной прямой, будет не прямая, а некоторая кривая линия, которая и называется поэтому «линией равных расстояний»*.

Пусть ABC — линия равных расстояний от прямой Ох (черт. 6). Прямую Ох мы будем называть «осью линии равных расстояний».

Пусть далее аЛ — ЬВ = сС — перпендикуляры, опущенные из точек А, В, С линии разных расстояний на ее ось, а А DC— хорда дуги ABC.

Перегнув чертеж по оси ОХ, получим с другой ее стороны другую ветвь линии равных расстояний, АхВхСи симметричную ABC и отстоящую от оси Ох на том же расстоянии.

Если В — середина дуги А С, а Вх — середина дуги Л1В1С1, то прямая BBit соединяющая эти середины, будет перпендикулярна к оси OA и к хордам ADC и Л161С1 и разделит эти хорды пополам. В этом легко убедиться, перегнув чертеж по перпендикуляру ВВ± к оси ОХ.

При вращении нашей фигуры вокруг перпендикуляра BBV прямые СЛ, CtAt и ось Ох опишут плоскости, перпендикулярные к BBt, а две ветви линий равных расстояний ABC и A1B1CV опишут некоторую поверхность, называемую «поверхностью равных расстояний», все точки которой находятся от плоскости, описанной осью ОХ> на равных расстояниях и попарно симметричны относительно этой плоскости.

Точки AtC (и ЛХСА) опишут окружности, лежащие одновременно в плоскости, описанной АС (и Л1С1), на «поверхности равных расстояний».

§ 7. Основные свойства линии равных расстояний

Если мы станем передвигать хорду АС (черт. 6) перпендикулярно к ВВ± (вверх), то длина ее будет уменьшаться, концы хорды А и С будут приближаться к ее середине D и в пределе совпадут с ней и с серединой дуги В в тот момент, когда секущая ADC совпадает с касательной IBK в точке В. Отсюда следует, что:

1. Касательная к линии равных расстояний перпендикулярна к перпендикуляру, опущенному на ось этой линии из точки касания.

2. Из самого определения линии равных расстояний следует, что она может скользить сама по себе — подобно прямой, окружности и предельной линии.

В самом деле, если мы станем двигать саму по себе ось линии равных расстояний, Ох, вместе с перпендикуляром Ла, то увидим, что его вершина А все время будет оставаться на линии равных расстояний, так как аА = ЬВ = сС=...

3. Если хорды дуг или проекций хорд на ось линии равных расстояний равны, то и дуги их тоже равны.

И обратно, если дуги равны, то и хорды и их проекции на ось Ол; тоже равны.

В этом легко убедиться, передвигая фигуру так, чтобы ось Ол: скользила сама по себе, пока не совпадут концы равных дуг или их хорд или их проекций (черт. 7).

4. Проекции на ось двух дуг линии равных расстояний находятся в том же отношении, что и сами дуги:

(I)

* См. очерк I, резюме («Физика и математика», 1935 г. № 6, § 15, 4).

Допустим сначала, что дуги AB и CD соизмеримы, т. е. что есть такая дуга этой линии (w АА^), которая укладывается и на дуге AB и на дуге CD целое число раз без остатка, например, m раз на ^ AB и п раз на ^CD.

Тогда и

откуда

Опустим из точек деления дуг на ось линии Ох перпендикуляры Л^,..., А2а2... Согласно свойству 3, расстояния между основаниями этих перпендикуляров также равны: Аа1 = а1а2 =... так что проекция ab дуги AB разделится на m равных частей, а проекция cd дуги CD — на п таких же частей, т. е.

откуда

Сравнивая ($) и (а), находим

что и требовалось доказать.

В случае несоизмеримости дуг AB и CD теорема легко доказывается по методу пределов. Переставив в пропорции (I) крайние члены, имеем:

а это значит, что:

5. У линии равных расстояний отношение дуги и ее проекции на ось этой линии есть величина постоянная, не зависящая от длины дуги.

Также и:

6. Отношение длин окружностей, описанных точкой А и ее проекцией а на ось ОХ при вращении фигуры АВСС1В1А1 около ее средней линии ВВХ (черт. 6), есть величина постоянная, не зависящая от длины их радиусов.

В самом деле, из трех прямоугольного четыреугольника ADba имеем*:

(*)

а так как*

(II)

(аА = const, как расстояние линии равных расстояний AB от ее оси OA).

7. Если в концах дуги линии равных расстояний проведем касательные, то они образуют с хордой этой дуги равные углы. Иначе хорда линии р. р. образует с ее дугой равные углы**.

Мы видели, что линия равных расстояний состоит из двух ветвей, симметрично расположенных относительно ее оси. Легко убедиться в справедливости следующего свойства:

8. Прямая MN, соединяющая любые две точки линии равных расстояний, лежащие на разных ее ветвях, делится осью этой линии пополам и образует с ее ветвями равные внутренние накрестлежащие углы**.

* См. очерк 3. (XVI), стр. 24 «Физика и математика» 1936 г., № 6.

** Углом между кривой и прямой называется угол между этой прямой и касательной к кривой в точке их пересечения.

В самом деле, опустим из точек M и N (черт. 9) на ось Ох перпендикуляры Мт и Nn. Эти перпендикуляры равны, по определению линии равных расстояний. Также равны и вертикальные углы Мрт и Npn.

Следовательно и прямоугольные треугольники Мрт и Npn будут равны; равны будут и их гипотенузы: Мр = pN. Проведем в точках M и N касательные МК и NK' к ветвям линии равных расстояний; эти касательные образуют с перпендикулярами к оси (Mm и Nn) прямые углы*, а так как углы рМт и pNn равны, то равны и углы КМр и K'Np, что и требовалось доказать.

Если мы на двух ветвях линии равных расстояний возьмем две равных дуги AB и СО (черт. 10) и соединим их концы двумя (не пересекающимися) прямыми линиями, то получим фигуру ABCD, обладающую свойствами параллелограмма на плоскости Евклида. В самом деле, легко убедиться в том, что:

9. Прямолинейные стороны нашего четыреугольника равны между собою и делятся осью ОХ пополам в точках (а и Ь) их пересечения с осью, так что ось Ох является «средней линией» этого четыреугольника.

10. Диагонали четыреугольника делят друг друга пополам и пересекают его «среднюю линию» ab в середине последней с.

11. Каждая диагональ четыреугольника делит его на две одинаковых треугольных фигуры, причем:

12. Сумма внутренних углов в каждой из этих фигур равна 2d.

Таким образом, если одной из сторон треугольной фигуры ACD служит дуга CD одной из ветвей линии равных расстояний, а противолежащая этой дуге вершина А расположена на другой ветви этой линии, то сумма внутренних углов такой фигуры равна 2d.

13. Сумма внутренних углов в четыреугольнике АВЭС равна \d.

14. Обе диагонали делят четыреугольник на четыре треугольника, попарно равных между собою.

Итак, на плоскости Лобачевского существуют три вида кругов:

а) круги с центрами, лежащими на конечном расстоянии;

б) предельные круги (орициклы или предельные линии, центры которых находятся на бесконечности (на окружности бесконечно-удаленного предельного круга);

в) линии равных расстояний — круги, центрами которых являются идеальные точки, лежащие за бесконечно удаленным предельным кругом.

Вычислим теперь длины дуг этих кривых элементарным способом при помощи метода пределов.

§ 8. Длина окружности

Возьмем окружность радиуса R, разделим ее на п равных частей и соединим соседние точки деления между собою и с центром круга. Означим 2 р — длину каждой хорды и опустим на них из центра перпендикуляры. Получим ряд прямоугольных треугольников, гипотенуза каждого из них будет радиусом круга (=/?), меньший катет — половиной хорды (=р), а противолежащий этому катету угол

2ти_ 7Г ^п = 2 п п

Применяя к каждому из этих треугольников основную формулу (IX), получим*:

* £ тМК = L nNKf = 90°. На чертеже эти углы не прямые, так как на плоскости Евклида линия равных расстоянии не кривая, а прямая линия.

* См. очерк 3, «Физика и математика», № 6, 1936 г., стр. 22.

Если мы сделаем п очень большим, то р и — сделаются очень малыми, и мы можем заменить sh и sin— их аргументами

Получим:

Но 2 рп есть не что иное, как периметр нашего вписанного в круг многоугольника, а когда число его сторон (п) увеличивается беспредельно, периметр многоугольника стремится к длине окружности s и в пределе сольется с нею, т. е.

(III)

или*

(IV)

Если мы вместо п возьмем столько (т) сторон нашего многоугольника, сколько их заключается в дуге sep, стягивающей угол ? = /гсфп, то получим для дуги выражение:

(V)

§ 9. Длина дуги предельной линии Возьмем дугу предельной линии AB = s, проведем через ее концы А и В оси АА' и ББ'**, соединим их хордой АВ = 2р, а из точки В на прямую АА' опустим перпендикуляр BF=v (черт. 12).

Наконец, из середины С хорды AB восставим перпендикуляр СО. Как известно этот перпендикуляр разделит дугу AB пополам и сам будет осью предельной линии, т. е. параллелен осям АА' и ВВ', а потому

угол же ^ FBB' = П (BF) = П (у).

Значит, в прямоугольном треугольнике АВЬ острый угол ABF = Z.АВВ' — Z.FBß' > или

Далее, по формуле (X), прямоугольного треугольника* имеем:

а потому, подставляя эти значения в предыдущее равенство и сокращая, находим:

** Т. е. прямые, пересекающиеся в «несобственном центре» этого предельного круга.

* См. там же.

откуда:

(*)

Возьмем теперь дугу ACt — половину дуги AB и проделаем с ней и ее хордой АСХ = — 2 р1з все те построения и выводы, которые мы сделали с целой дугой AB. При этом роль перпендикуляра у = BF будет играть р=АС= ~ AB, а 2 р заменится через 2 рг = ACV Поэтому, и в конечной формуле (*) надо заменить у через /?, а р — через рх\ получим:

(**)

а следовательно.

Повторяя произвольное число раз эту операцию, получим ряд равенств:

и наконец, после п операции,

Если число п сделается очень большим, то sh ^п ~~1 мы можем заменить его аргументом —— и писать:

где хорда 2 pn_i сторона вписанной в дугу AB ломаной линии.

Но с увеличением числа сторон (ri) ломаной линии, вписанной в дугу AB, периметр ее 2П. рп _ ;, будет стремиться слиться с дугой AB = s, а потому в пределе,

откуда

(VI)

§ 10. Длина дуги равных расстояний

В § 7, 6° мы нашли, что (формула*):

(*)

где AD = pt — половина хорды АС дуги линии равных расстояний, ab — —--половина проекции ас той хорды на ось линии, а аА — = h — расстояние точек нашей линии от ее оси (черт. 13).

Вставляем эти обозначения в равенство (Г), находим:

Проведем теперь хорду w AB (половины дуги АС) и означим ее длину через 2 р2. Опустим из середины хорды AB на ось перпендикуляр D'b\ Мы получим четыреугольник AD'b'a с тремя прямыми углами:

а) ЬУ и b'D'A, причем*

Прилагая к четыреугольнику AD'b'a формулу (*), находим:

Повторяя подобную операцию п раз, получим:

Когда число п сделается очень большим, хорда 2 рп и ее проекция х сделаются очень

* См. свойства линии равных расстояний, § 6 и 7.

малыми и мы можем заменить sh — и Sh2^k их аргументами

Получим (по сокращении):

2w./?n^*.chA+ k

где рп — половина стороны вписанной в дугу АС ломаной линии с 2я сторонами, а 2п-р— периметр этой линии. В пределе, при периметр ломаной сольется с дугой AB = s, а х = ab и h = аА остаются неизменными. Следовательно,

(VII)

Измерение площадей

Измерение площадей основано в геометрии на положениях:

1-е. Площади равны, когда они составляются из одинаковых частей, хотя бы и расположенных в другом порядке.

2-е. Площадь менее другой, если она в этой второй помещается, оставляя часть не закрытой.

3-е. Площадь (треугольника) уменьшается до бесконечности (т. е. до нуля), когда хоть один бок ее так уменьшается, а другие не выходят за известную границу.

Начнем с треугольников, как таких фигур, из которых составляются все прочие прямолинейные. (Н. И. Лобачевский, «О началах геометрии»).

§ 11. Часть поверхности, занимаемая фигурой, называется площадью этой фигуры

1. Площади удовлетворяют тем четырем условиям, которым должны удовлетворять величины для того, чтобы их можно было измерить. В самом деле: 1) можно определить, равны площади или нет; 2) можно определить, которая из площадей больше и которая меньше; 3) можно площади складывать, вычитать и делить на равные части; 4) наконец, можно самую маленькую площадь повторить слагаемым столько раз, что полученная сумма сделается больше любой другой площади. (Аксиома Архимеда.)

Итак, площади суть величины, которые можно измерить.

2. Две фигуры называются конгруэнтными или равными, если они при наложении совпадают. Очевидно, что две конгруэнтные фигуры имеют одинаковую площадь.

3. Две фигуры называются равновеликими, если онд имеют одинаковую площадь, но при наложении не совпадают.

Очевидно, что две фигуры, составленные из частей, попарно конгруэнтных, будут равновелики, ибо если к равным прибавим равные, то и суммы получим равные.

4. Дефицитом* или недостатком треугольника называется разность между 2d и суммой внутренних углов этого треугольника на плоскости Лобачевского.

Дефицитом любой прямолинейной фигуры (ограниченной замкнутой ломаной линией) называется разность между суммой внутренних углов этой фигуры на плоскости Евклида и суммой углов той же фигуры на плоскости Лобачевского.

5. Основной критерий равновеликости прямолинейных фигур.

Две прямолинейные фигуры можно разложить на части, попарно равные, если дефициты** этих фигур равны.

Чтобы обосновать это положение, необходимо доказать следующие теоремы.

§ 12. Теорема 1

Две фигуры А и В, равносоставленные с третьей фигурой С, будут равносоставленными и одна относительно другой.

Доказательство. По условию можно провести систему линий (/), разделяющих фигуру С на части, из которых можно составить фигуру А.

Другая система линий (//) разбивает фигуру С на части, из которых можно составить В. Проведем теперь обе системы линий и (/) и (//) одновременно. Этим мы разобьем С на более мелкие части. Из этих мелких частей составляются части, полученные от проведения линий (/) и образующие фигуру А. Но из этих же мелких частей составляются части, обусловленные проведением линий (//) и в другом расположении, образующие фигуру В. Отсюда ясно, что фигуры А и В равносоставлены (из этих более мелких частей).

Основные фигуры, которыми мы будем пользоваться при обосновании нашего критерия, это треугольник и трехпрямоугольный четыреугольник Ламберта.

Как мы знаем, условия равенства треугольников в геометрии Лобачевского те же, что и в геометрии Евклида, так как доказательство этих условий совершенно не зависит от постулата Евклида.

* Дефектом.

** Дефекты.

Далее мы знаем*, что сумма внутренних углов в треугольнике меньше двух прямых углов и изменяется вместе с изменением площади треугольника, причем «недостаток» (дефицит) этой суммы до 2d возрастает вместе с увеличением площади треугольника**.

Мы здесь прежде всего и займемся установлением зависимости между этими двумя величинами: площадью треугольника и дефицитом*** суммы его углов.

Чтобы легче было понять дальнейший ход рассуждений, припомним из геометрии Евклида некоторые теоремы и построения, аналогичные тем, которые мы сейчас докажем на плоскости Лобачевского. Именно:

1. Треугольники, имеющие одно и то же основание (AB), равновелики, если противолежащие основанию вершины треугольников (С и Ct) расположены на прямой, параллельной основанию и средней линии треугольников (EF). При этом:

2. Эти треугольники равновелики с прямоугольником АВаЬ, который получим, опустив из вершины общего основания AB треугольников на их общую среднюю линию EF перпендикуляры Аа и ВЬ. (Черт. 14.)

В геометрии Лобачевского роль параллельных прямых AB и CCV проходящих через вершины треугольников и равноотстоящих от их «средней линии», играют две ветви «линии равных расстояний», осью которой служит средняя линия треугольников, причем одна ее ветвь проходит через их общие вершины А и В, а другая — через третьи вершины треугольников С и Ct (черт. 15).

Теорема 2. Два треугольника равносоставлены и имеют одинаковые дефициты, если они имеют общее основание (AB)t причем две общие вершины их (А и В) лежат на одной ветви линии равных расстояний, а третьи вершины (С и Ct) — на другой ее ветви.

Доказательство. Проведем ось нашей линии равных расстояний Ох и опустим на нее перпендикуляры из всех вершин наших треугольников.

а) По свойству 8 линии равных расстояний, стороны наших треугольников, соединяющие их вершины, лежащие на различных ветвях линии равных расстояний, делятся осью этой линии пополам. Следовательно, ось ОХ нашей линии p.p. пройдет через середины Е, F, О и H сторон наших треугольников и будет их общей средней линией.

Отсюда легко видеть, что попарно равны (конгруэнтны) между собою следующие прямоугольные треугольники:

б) Пользуясь этими равенствами, легко доказать, что Д ABC и Д АВС± равновелики (равносоставлены) с четыреугольником Ламберта ABba, a следовательно, они равновелики и между собою.

В самом деле, у Д ABC и четыреугольника АаЬВ часть AEFB — общая, а остальные части — Д АаЕ = Д СсЕ, Д BbF = Д CcF, по доказанному.

Точно так же у Д АСХВ и четыреугольника АаЬВ часть АКВ — общая. Чтобы получить четыреугольник АаЬВ (черт. 16), мы должны прибавить к Д АКВ Д AaG и отнять затем Д bKG.

Так как Д C^G равен Д AaG, а 1\СхсхН = ВЬНу то все равно, прибавим ли мы к АВК

* См. очерк 1, «Физика и математика» 1935 г., 6, § 11—15.

** См. там же, § 11, первое доказательство Лежандра.

*** Дефектом.

Д CctG или Д AaG, мы получим одну и ту же площадь; а отняв от этой площади bKG, мы получили площадь, равную площади четыреугольника АаЬВ.

Но если мы прибавим к Д АВК треугольник GHC и ВЬН* (= Д CcxG), а затем отнимаем Д bKG, то получим Д ЛВС^. Следовательно, площадь и этого треугольника равна площади четыреугольника АаЬВ.

в) Итак, мы доказали, что треугольники ABC и АВСХ равносоставлены (равновелики) с четыреугольником АаЬВ, следовательно (теорема I) и треугольники ABC и ABCt равносоставлены и равновелики друг к другу, что и требовалось доказать.

г) Докажем теперь вторую часть теоремы, что дефициты (и суммы углов) у этих треугольников также равны (черт. 17).

С этой целью рассмотрим треугольные фигуры А1ВС и AiBCx, у которых стороны одинаковы со сторонами наших треугольников, а общим основанием служит дуга (AiB) линии равных расстояний, стягиваемая хордой AB.

По свойству (12) линии равных расстояний, сумма углов в каждой из этих треугольных фигур равна ти:

Saibc = SAiBCi = тс. (а)

Сумма углов в прямолинейном треугольнике ABC отличается от суммы углов в треугольной фигуре AiBC на сумму углов iAB = TAB и IBA = ТВА, образуемых дугой AiB с ее хордой ЛБ**. Но такая же разница существует между суммами углов треугольника АВСХ и фигуры AiBCv

Следовательно, суммы углов и дефициты прямолинейных треугольников ABC и АВСХ также равны, что и требовалось доказать.

Обратная теорема 3. Если два треугольника ABC и АВСХ с общими основаниями AB имеют равные площади, то их вершины расположены на двух ветвях линии равных расстояний, ось которой делит стороны этих треугольников пополам.

Доказательство (от противного). Проведем среднюю линию EF одного из этих треугольников ABC, з. через его вершины — линию равных расстояний от EF. Нам надо доказать, что эта линия проходит также и через вершину С± второго треугольника (черт. 18).

С этой целью допустим противное, т. е. предположим, что вершина Ct лежит внутри линии равных расстояний (или вне ее). Затем продолжим ветвь линии равных расстояний, проходящую через С, до пересечения ее со стороны BCt или ее продолжением в точке С и соединим эту точку с вершиной А. Получим треугольник ABC, который согласно только что доказанной теореме, будет равносоставлен и равновелик с треугольником ABC, т. е.

т. е. часть равна целому, что невозможно.

Таким образом наше допущение, что теорема неверна, привело нас к нелепости. Следовательно, теорема верна.

Следствие. Дефициты и суммы внутренних углов двух равносоставленных или равновеликих треугольников с общим основанием равны.

В самом деле, вершины таких треугольников должны лежать на ветвях линии равных расстояний от средней линии EF, а потому, в силу теоремы (3), дефициты их должны быть равны.

Теорема 4. Всегда можно построить треугольник, равносоставленный с данным треугольником ABC и имеющий с этим треугольником одну общую сторону AB, причем другая его сторона АС (или ВС9) может быть сколь угодно велика (АС > АС).

Доказательство. В самом деле, приняв вершину А за центр, мы можем описать около нее окружность сколь угодно большого

* Д ВЬН = Д С&Н, Д С,с, G = Д СхсхИ + Д CXHG = &ВЬН + A C,HG.

** ТА и ТВ — касательные ЬА и В.

радиуса г, причем, если г>АС, то эта окружность пересечет верхню.о ветвь линии равных расстояний в двух точках С и С“. Соединив одну из этих точек, например, С с А и В, получим треугольник ABC, имеющий с треугольником ABC одинаковую площадь, один и тот же угловой дефицит и потому, согласно теореме (2), составленный из одинаковых с ним частей, что и требовалось доказать.

§ 13. Теорема 5. Равновеликие треугольники всегда имеют одинаковые суммы углов и одинаковые угловые дефициты.

Доказательство. Предположим, что у равновеликих треугольников ABC и А1В1С1 нет равных сторон, прич.м А^^АВ. Но тогда по предыдущей теореме (4) мы можем преобразовать Д A1B1Ci в другой равновеликий с ним и с Д ABC, треугольник A1BtCt, у которого сторона А' В' равнялась бы стороне AB, а треугольник ABC и А,В1С1 — равновелики, то (согласно теореме 3) они имеют равные дефициты и равные суммы внутренних углов, что и требовалось доказать.

Следствие. Два равновеликих треугольника ABC и А*В'С равносоставлены, т. е. их можно разделить на одинаковое число частей, попарно равных конгруэнтных.

В самом деле, согласно теореме (4), один из этих треугольников, например A'ß'C, мы можем преобразовать в равносоставленный треугольник А1В1С1, имеющий одну сторону (Л1Б1) одинаковую со стороной AB треугольника ABC CAB> А'В* > А1 С), а другую, равную В'С.

В силу теоремы (2), треугольник А1В1С1 будет равносоставлен и с Д ABC и с Д Л'Б'С; откуда (теорема 1) эти треугольники также равносоставлены между собой, что и требовалось доказать.

Теорема 6. Площади двух треугольников относятся между собою, как их дефициты (недостатки до к суммы их внутренних углов).

Доказательство. Возьмем какие-нибудь треугольники ABC и А'В'С* и означим суммы их внутренних углов соответственно буквам S и S'. Нам надо доказать, что

(VIII)

а) Предположим, что площади наших треугольников соизмеримы, т. е. что они относятся, как целые числа т и т', т. е.

(а)

Разделим (черт. 19) площадь треугольника ABC на m равных частей прямыми, проходящими через какую-нибудь его вершину, например, через А, а треугольник AfB'C разделим на т[ равных частей а' прямыми, проходящими через его вершину А1 получим,

откуда

(à)

Сравнивая равенства (а) и (Ь), находим:

т. е. площади, а следовательно и суммы внутренних углов (и дефициты) треугольников а и а' равны между собою. Означим те — е сумму углов в треугольниках а и а'. Треугольник ABC состоит из m треугольников а, a потому сумму 5 его внутренних углов А, В и С мы получим, если из суммы углов всех m треугольников а вычтем сумму m—1 смежных углов, прилежащих к m—1 прямым, которые делят Д ABC на m равных треугольников а. Имеем:

откуда

Также и

а потому

(с)

Сравнивая равенства (а) и (с), видим, Что

(VIII)

что и требовалось доказать.

b) Когда площади треугольников несоизмеримы, теорема доказывается обычным способом по методу пределов.

Следствие 1. Отношение площади треугольника к его дефициту есть величина постоянная.

В самом деле, переставив средние члены в пропорции (VIII), находим

что и требовалось доказать. Из этого равенства находим:

Площадь Д ABC = k2 (г,— s\ (IX)

где

k2 = const.

Следствие 2. Площадь всякого треугольника на плоскости Лобачевского пропорциональна дефициту суммы его внутренних углов.

Следствие 3. Если треугольники ABC и А1 ВИС1 равновелики, т. е. если площадь Д АЭС = площади Д А В* С, той т~т', т. е. два равновеликих треугольника всегда можно разложить на одинаковое число частей, попарно равновеликих, а следовательно, и равносоставленных между собою.

§ 14. Площадь многоугольника

Возьмем ломаную линию ABCD...HI. Если отрезки, составляющие эту ломаную (ее стороны), не пересекаются между собою и ни одна вершина ее не лежит на стороне, не ограниченной этой вершиной, то ломаная линия называется простой.

Можно вполне строго доказать, что замкнутая простая ломаная линия делит плоскость на две части: внутреннюю (конечную) и внешнюю (бесконечную), причем перейти по плоскости из внутренней части во внешнюю, не встретив ломаной линии, нельзя.

Внутренняя часть плоскости, ограниченная простой ломаной линией, называется многоугольником, а ломаная линия — границей или контуром многоугольника.

Во всяком многоугольнике с простым контуром всегда можно провести диагональ, все точки которой, кроме ее концов, лежат внутри многоугольника. Очевидно, что такая диагональ разделит наш многоугольник на два многоугольника, контуры которых также будет простые. Каждый из этих двух многоугольников также обладает диагональю, лежащей внутри его и делящей его на два многоугольника с простыми контурами и т. д. Мы можем продолжать наше деление до тех поп, пока не разобьем наш многоугольник на треугольники, вершины которых являются в то же время и вершинами многоугольника.

Теорема 7. Площадь многоугольника с простым контуром пропорциональна ее угловому дефициту.

Доказательство: Возьмем многоугольник, ограниченный простым контуром. Как мы только что показали, его можно разбить на несколько треугольников, вершины которых совпадают с вершинами многоугольника, а потому и сумма внутренних углов во всех этих треугольниках равна сумме всех внутренних углов нашего многоугольника.

Пусть m — число треугольников, дх, д2... д,п — их площади, a su s2, sm — суммы их внутренних углов. Тогда сумма внутренних углов нашего многоугольника на плоскости Лобачевского будет равна

5==514-52 + ... + 5Я1,

а на плоскости Евклида она будет равна m -Tz. Следовательно, угловой дефицит многоугольника будет равен

Но площадь

Сумма же их площадей составляет площадь нашего многоугольника to, т. е. со = 4-

(X) (Х')

где miz — 5 — угловой дефицит многоугольника, что и требовалось доказать.

Следствие 1. Площади coj и со2 двух прямолинейных фигур, ограниченных простыми контурами, относятся между собою, как их угловые дефициты Ь± и Ь2.

В самом деле, в силу предыдущей теоремы

откуда — = çi, что и требовалось доказать.

Следствие 2. Две прямолинейные фигуры, ограниченные простыми контурами, равновелики и равносоставлены, если их угловые дефициты равны, и обратно.

§ 15. Площади криволинейных фигур

Понятие о мере площади фигуры, ограниченной кривой линией, можно определить так:

Возьмем замкнутую кривую линию С не пересекающую сама себя. Эта линия разделяет плоскость на две части: 1) конечную, лежащую внутри контура С и 2) бесконечную, расположенную вне этого контура. Возникает вопрос, как измерить площадь внутренней конечной части?

Впишем в кривую С замкнутую ломаную линию A±A2AS... ЛпА±; если стороны этой ломаной будут достаточно малы, то они не будут пересекаться внутри ломаной линии, так что эта ломаная будет простой. Означим площадь многоугольника А1А2...АпА1 буквой (0я.

Если, при неограниченном увеличении числа п сторон этого многоугольника и одновременном уменьшении длины каждой стороны до нуля, площадь соп многоугольника стремится к некоторому пределу со, то этот предел и называется мерой площади (или просто площадью), ограниченной кривой линией С.

Площадь со, определенная таким образом, удовлетворяет всем требованиям, которым должны удовлетворять величины, допускающие их измерение. В самом деле, можно определить равенство и неравенство двух площадей, причем при сложении двух криволинейных фигур и меры их площадей также складываются.

Значение постоянной k2 в формулах (IX) и (X)

Возьмем прямоугольный треугольник АБС, в котором угол С = 90°, а катеты and противолежат углам А и В. Согласно формулам (IX), (X) и (XI) Очерка 3 («Физика и математика» № 6, .1936 г.) имеем:

откуда

а по сокращении

Пусть о —т. — А — В — С — дефицит треугольника; так как С = -^,то 8 = -~ — (А+В), а потому sin 5 = cos (А+В), так что

(XI)

Формула эта сохраняет свою силу и для треугольников с бесконечно-малыми сторонами, но тогда** мы можем заменить тригонометрические и гиперболические синусы их аргументами, а сп - — единицей, получим

** Пренебрегая бесконечно малыми высших порядков.

Подставляя эти значения я, Ь, с в формулу (XI) к замечая, что

откуда

Таким образом, для бесконечно малого треугольника произведение дефицита треугольника Ь на k2 совпадает с выражением площади треугольника на плоскости Евклида; поэтому постоянную k2 в выражениях (IX) и (X) можно считать одинаковой с постоянной F входящей в тригонометрические формулы геометрии Лобачевского. Этим определяется выбор единицы для измерения площадей на плоскости Лобачевского.

§ 16. Площадь круга

Площади кривых, на плоскости Лобачевского (или на плоскости Евклида) вычисляются при помощи интегрального исчисления; вычисление их элементарным способом, по методу пределов, вообще весьма затруднительно. Поэтому мы изложим здесь только вычисление площади круга.

Как и в геометрии Евклида мы вписываем в круг правильный многоугольник с п сторонами и соединяем его вершины с центром круга радиусами.

Таким образом мы разобьем площадь многоугольника на п равных треугольников, каждый из которых делится его высотой (апофемой многоугольника) на два равных прямоугольных треугольника. Возьмем один из них, например Д О АС его гипотенуза с = OA = г (радиусу круга), CD = Д /*, а катеты: а = ОС = ОЭ — СО = г—/\г. АС = Ь = половине стороны вписанного в круг многоугольника.

получим:

Далее замечая, что:

и сокращая находим:

Но угол а = 9— . a потому

Если теперь станем увеличивать число сторон (п) многоугольника до бесконечности, то площадь его будет неограниченно приближаться к площади круга и в пределе, при п = оо, сольется с ней. Но когда п сделается очень большим, мы можем заменить их аргументами, а в пределе Д г положить = 0. Получим:

Откуда площадь со круга радиуса г равна:

(XII)

или так как:

(ХII')

или*

(XII“)

КАК ДРЕВНИЕ ВАВИЛОНЯНЕ ЧЕТЫРЕ ТЫСЯЧИ ЛЕТ НАЗАД ВЫЧИСЛЯЛИ КВАДРАТНЫЕ КОРНИ

Проф. С. ЯНОВСКАЯ (Москва)

Издательство ОНТИ недавно выпустило, хотя и спорную кое в чем, но очень интересную книжку известного немецкого историка математики, вынужденного как антифашиста жить за пределами Германии, О. Нейгебауэра. Книжка называется «Лекции по истории античных математических наук. Том I. Догреческая математика». Чтобы дать о ней несколько более конкретное, чем это делается в обычной рецензии, представление и показать, как она может быть использована (например, для школьных математических кружков), приведу из нее один пример, который постараюсь, правда, изложить в несколько более популярной форме, имея в виду показать, что книжку можно использовать уже в VII классе. Речь идет о вычислении вавилонянами иррациональных квадратных корней (стр. 50—55 книги).

Древние вавилоняне не решали еще, конечно, задач специально на извлечение квадратных корней. Задача извлечь квадратный корень из некоторого числа — это уже очень отвлеченная задача. Но вавилонянам приходилось решать такие конкретные задачи, которые в известном смысле равносильны требованию извлечь квадратный корень. Такова, в первую очередь, задача, в которой нужно найти диагональ прямоугольника по его длине и ширине. Правда, даже и так сформулированная задача выглядит довольно отвлеченно. И действительно, у вавилонян она облечена в еще более конкретную форму: речь идет не о прямоугольнике, а о «воротах», имеющих определенную вышину и ширину.

Предварительно заметим, что вавилоняне пользовались шестидесятиричной системой счисления и широко применяли таблицы. В частности, большим распространением пользовались у них таблицы умножения и обратных величин. Значение последних будет понятно, если мы вспомним, что деление сводится к умножению на обратное число. Располагая таблицами, вавилоняне старались не производить каждый раз действия над числами, а подготовить их предварительно так, чтобы, где возможно, заимствовать из таблицы готовый результат. (О том, как пришли они к шестидесятиричной позиционной системе и как удалось им составить таблицы, хорошо рассказано в той же книжке Нейгебауэра. К сожалению, это трудно передать в краткой форме).

На обломке одной из глиняных клинописных табличек, находящемся в Берлине, приведена задача, в которой требуется вычислить диагональ ворот в 0; 40 гар вышиною и 0; 10 гар шириною (гар — мера длины, равная, примерно, 6 м). Числа 0;40 и 0;10 следует читать при этом как «нуль целых, сорок шестидесятых» и «нуль целых, десять шестидесятых». Конечно, вавилоняне их писали не так. Вообще, у них можно отличить один разряд от другого (в шестьдесят раз большего или меньшего), но лишь из контекста удается установить, где кончается целая часть и начинается дробная. В данном случае трудно допустить, чтобы ворота имели в вышину 240 м, почему и приходится предполагать, что мы имеем дело именно с шести десятиричными дробями: — и — , а не с целыми числами 40 и 10. В дальнейшем мы будем записывать числа по шестидесятиричной систе-

ме следующим образом: целую часть будем отделять от дробной точкой с запятой, а отдельные разряды друг от друга запятыми, так чго, например, 0;27, 30 будет обозначать у нас

и точно так же

Наоборот, 100 в шестидесятеричной системе изобразится как 1,40 (= 1 • 60 + 40); как

Итак, вышина ворот — 0; 40 гар, ширина их — 0; 10 гар. Как найти диагональ?

Табличка дает на этот счет определенное предписание — рецепт, который, в очень свободном, правда, как отмечает сам Нейгебауэр, переводе на современный математический язык, гласит:

«Возведем в квадрат ширину 0; 10. Получится 0; 1,40. Помножим затем обратную величину числа 0; 40 на 0; 1,40. Получится 0; 2,30, а половина этого 0; 1,15. Эти 0; 1,15 надо прибавить к высоте 0; 40. Получится 0; 41, 15, — длина диагонали»*.

Чтобы выяснить сущность этого предписания, раньше всего переведем его на язык формул (преимущество этого языка состоит в том, что в нем результат не скрывает пути, к нему ведущего).

С этой целью обозначим вышину ворот (т. е. 0; 40) через Ä, ширину (0; 10) через W, искомую диагональ через d. Тогда приведенное нами предписание примет вид:

«Возведем в квадрат ширину W. Получится W2. Помножим затем обратную величину числа h на V72. Получится ~ • W2, а половина этого Это надо прибавить к высоте h. Получится ^ + 2/Г»— Диагонали». Итак,

Так ли это? Если не так, то какова ошибка? И, наконец, как могли вавилоняне прийти к подобной формуле (точнее, к равносильному ей предписанию)?

Из таблички этого непосредственно узнать нельзя. Вавилонский математик ограничивается тем, что дает рецепт решения, но отнюдь не рассказывает, как он к нему пришел. Нейгебауэр пытается вскрыть этот путь и высказывает на этот счет остроумную догадку, которую мы сейчас и приведем.

Не приходится сомневаться в том, что вавилонянам была известна теорема Пифагора, т. е. чго они знали, что квадрат искомой диагонали должен быть равен сумме квадратов вышины и ширины, как мы бы теперь сказали,

d2 = /г2 + W2,

или

d = Y h2 + W2.

Итак, речь действительно идет об извлечении квадратного корня, и при том из суммы двух квадратов.

Как это сделать, однако, если (как в данном случае) подкоренное число не является полным квадратом и, значит, не находится непосредственно с помощью таблицы квадратов?

Найти точный квадратный корень из некоторого числа А это значит представить число А в виде произведения двух равных множителей. Если же представить число А в виде произведения двух неравных множителей, то корень из А должен лежать между ними.

Так, 12 = 3X4, и |/“ 12 лежит между тремя и четырьмя, т. е. должен быть больше трех, но меньше четырех (множитель 3 можно принять при этом за приближенное значение корня с недостатком, а множитель 4 за приближенное значение с избытком). Именно эта простая идея и лежит, с точки зрения Нейгебауэра, в основе предписания вавилонского математика.

В самом деле, диагональ прямоугольника больше большей из его сторон. В качестве первого приближения допустим, что она равна ей, т. е. что d~h (^означает «приближенно равно»).

Но h во всяком случае не может быть одним из тех двух равных множителей, на которые

* О. Нейгебауэр. Лекции, стр. 52.

нужно разложить сумму h2 + чтобы отыскать ее точный корень. Если же принять h за один из двух неравных множителей этой суммы (и притом, очевидно, за меньший), то второй будет равен

или

Итак, подкоренное количество h2 + ^2 может быть представлено в виде произведения двух неравных множителей:

Между ними, следовательно, и должен лежать искомый корень. Проще всего предположить, что он лежит как раз посредине, т. е. что разность между ними, -—, поделена пополам и половина эта прибавлена к меньшему (ее можно было бы отнять от большего),— иными словами, что искомый корень (во втором приближении) равен

Это в точности соответствует предписанию вавилонского математика. Правда, мы не знаем теперь, в каких именно выражениях приходилось ему проводить то рассуждение, которое привело его к этому результату (быть может, он и вообще не умел еще так проанализировать свое решение, чтобы явно сформулировать его предпосылки), однако, самая идея настолько проста, что, повидимому, действительно могла быть использована в очень глубокой древности.

Нетрудно использовать ту же идею для получения все лучших и лучших приближений. В самом деле, пусть ах есть первое приближение к корню из А. В таком случае и Ьл—~ представляет собой приближенное значение того же корня (с избытком, если аг — корень с недостатком, и с недостатком, если а± — корень с избытком). Беря среднее арифметическое двух приближенных значений ал и ди мы получим новое, лучшее, приближение

Но в таком случае и

должно быть приближенным значением того же корня (опять-таки с избытком, если а2 — корень с недостатком, и с недостатком/если а2 — корень с избытком). А так как

то

т. е. Ь2 есть не что иное, как так называемое среднее гармоническое между обоими первыми приближениями а± и bv

Продолжая дальше ту же процедуру последовательного нахождения средних арифметических и средних гармонических, мы скоро начнем получать хорошие приближения к искомому корню. Прием этот был известен еще в классической древности.

Нужно отметить только, что, хотя произведенная Нейгебауэром реконструкция выглядит вполне убедительно, вопрос о том, в какой мере вавилоняне осознавали сами всю эту процедуру в целом, остается невыясненным. Раньше всего неясно, почему наряду с приведенным выше правилом вычисления диагонали по формуле

та же табличка содержит еще одно решение, где вместо деления W2 на 2h производится умножение, т. е. диагональ вычисляется по формуле

d = fiA- 2h-W2.

Попытка Нейгебауэра истолковать это выражение как второе из двух приближенных значений искомого корня,— именно как Ь, (точнее некоторое к нему приближение), оставляет все же впечатление натяжки.

МЕТОДИКА

НЕРАВЕНСТВА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Я. МЕЖИРОВСКИЙ (Полтава)

Неравенства входят в программу по математике VII — X классов, довольно часто встречаются во всем курсе математики средней школы и играют важную роль в неопределенном анализе. Методики преподавания неравенств, однако, почти нет.

С терминологией неравенств далеко не благополучно: иногда говорят просто о неравенствах, иногда же различают безусловные и условные неравенства, признавая несовершенство последних названий. В самом деле, понятие «условное неравенство» вызывает в представлении образ неравенства, справедливого лишь при некотором условии. Возьму например неравенство

X5 +уъ > х*у + лгу4

при условии, что je —f— у> 0. Ведь именно такое содержание приписано термину «условные равенства». Но, как известно, совсем не этот смысл вкладывается во взятое понятие. Мне кажется, что следует остановиться на терминах «тождественные неравенства» и «неуравнения», причем последний будет соответствовать французскому термину inéquation.

Известно, с каким напряжением приходится работать учителю и учащимся, чтобы VII класс глубоко усвоил программный материал по алгебре. Вот почему очень важно использовать каждый удобный момент для повторения. Весьма эффектно повторение теории при решении задач, но не менее полезно повторение предыдущих тем при изучении новой. В центре внимания VII класса находится учение о равенствах и уравнениях. Вот почему мы и базируем изучение неравенства на повторении равенств и уравнений. Свойства неравенств здесь (VII класс) проверяются на числовых примерах и сравниваются со свойствами равенств, а решение неуравнения сводится к решению уравнения. Подробное изложение нашей темы переносится в X класс, где мы считаем невозможным ограничиться лишь апелляцией к проверке при изучении свойств неравенств, как это сделано в стабильном учебнике. Доказательство этих свойств мы ведем по принципу перехода от неравенства к равенству. Что же касается теорем об эквивалентности неуравнений, то они будут следствиями теорем об эквивалентности уравнений, которые в X классе надо не только повторить, но и более строго доказать.

При решении неуравнений первой степени, как видно из дальнейшего, мы считаем полезным рассмотреть несколько примеров неуравнений высших степеней, решение которых очень просто.

Перейдем к изучению темы в VII классе.

VII класс Общие понятия:

Если число а больше числа «£» на 3 единицы, то мы это записывали так:

а==Ь+3 или b = а — 3.

Очень часто нам известно, что одно число больше другого, но неизвестно, на сколько единиц. Бывают еще случаи, когда нам интересно подчеркнуть только понятия «больше», «меньше», «неравно», не вдаваясь в более близкое сравнение.

Пусть а, Ь, с... обозначают какие угодно величины. Желая обозначить, что а неравно Ь, пишут a=f=b или а^Ь. Итак, знаки =^=, ^ указывают только на отсутствие равенства между а н Ь. Будем говорить, что а больше Ь, и писать а> Ь, если a = b+k, где k — положительное число (неизвестное нам или не интересующее нас). Точно так же будем говорить, что а меньше Ь, и писать а<Ь, если а = b— k, где k — снова положительное число.

Два выражения, соединенные зкаком = (равенства), составляют равенство.

Два выражения, соединенные знаком > (больше) или < (меньше), составляют неравенство.

Как и для равенства, будем различать левую и правую часть неравенства.

Довольно часто пользуются двойным неравенством: вместо двух неравенств

пишут а> b>c. Аналогично a<b<c обозначает, что одновременно

Поскольку положительное число а можно записать, как а = 0 + а, то пишут а>0. Такое обозначение положительного числа очень распространено, и его надо запомнить. Аналогично отрицательное число кратко обозначается так: Ь<0.

Числовое равенство или равенство, справедливое при любых значениях, входящих в него букв, называется тождеством.

Всякое равенство, не тождество, называется уравнением.

Числовое неравенство или неравенство, справедливое при любых значениях входящих в него букв, называется тождественным неравенством.

Примеры:

Всякое не тождественное неравенство называется неуравнением. Примеры:

Обращаем внимание учителя на то, что лучшее определение уравнения и неуравнения связано с понятием о функции, почему оно трудно для учащихся VII класса.

Свойства неравенств

Следующие свойства неравенств предлагаем сравнить со свойствами равенств и проверить на числовых примерах:

I. Если а = b и Ь = с, то а = с.

II. Если а = Ь, то Ь = а.

III. Если а = Ь, то a + m = b + m и a — m = b— m.

I. Если a>by a b>c, то a>c.

II. Если a> b, то b<a> т. е., переставляя части неравенства, необходимо изменить знак неравенства на противоположный, иначе говоря, когда неравенство имело знак то оно будет иметь знак < и наоборот).

III. Если а> Ь, то а + m b + m и a — — m> b — m (здесь на m не накладывают никаких ограничений; в противном случае мы это оговорим).

IV. Если а = b, то ат = Ьт.

IV. Если то

Итак: 1) при умножении неравенства на нуль оно обращается в тождество;

2) при умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства изменяется на противоположный.

V. Если а = b, то

V. Если а> Ь, то

при делении неравенства на отрицательное число знак неравенства изменяется на противоположный.

VI. Если

то

VII. Если

то

VI. Если

то

но складывать неравенства противоположных знаков нельзя.

VII. Если

а неравенства одинаковых знаков вычитать нельзя.

Все эти свойства предлагаем учащимся формулировать словами. Особое внимание обращаем на те случаи, когда свойства неравенства не совпадают со свойствами равенства. Следим за тем, чтобы учащийся не смешивали понятий «знак числа» и «знак неравенства». Дома, повторяя, ученики пишут те же свойства, исходя из неравенства противоположного знака (а<Ь).

Решение неуравнений Решать неуравнение учащимся до X класса придется очень редко. Не стоит поэтому перегружать детей изучением теорем об экви-

валентности неуравнений. Однако, с другой стороны, вряд ли целесообразно там, где этого легко избегнуть, давать правила и обещать, что в будущем они будут доказаны. Во всяком случае любознательная часть детворы последним совершенно не удовлетворится. Поэтому решение неуравнений мы сводим на этой стадии изучения к решению уравнений.

Примеры:

1) Решить неуравнение

Пусть &>>0, тогда мы можем данное неуравнение переписать так:

jc<C — 1 называется решением, или корнем, данного неуравнения. Это значит, что значением х может быть любое целое или дробное число, которое меньше —1, например:

—1,7; —2; —3; —100; —9,0358;...

Таким образом, неуравнение, собственно говоря, имеет бесчисленное множество решений, а мы лишь указали границу увеличения X.

2) Решить неуравнение

поэтому X > 9 —. Здесь х может иметь значение любого, целого или дробного положительного числа, большего 9 —. 3) Решить неуравнение

Неуравнение невозможно, так как при любых значениях х левая часть неуравнения меньше правой.

4. Решить неуравнение

Пишем

может иметь своим значением какое угодно положительное или отрицательное число (целое или дробное), меньше 7 —.

X КЛАСС

Общие сведения

В VIII, IX, X классах придется давать учащимся добавочные сведения о неравенствах. Так, например, ученики встретятся со знаками ^ и с заменой двух неравенств а > — 1 и а<М одним 1 (|sin х\<\) и т. д.

Теперь наши задачи следующие:

1) повторить известное; 2) дополнить и углубить его; 3) все положения доказать и 4) строго систематизировать.

Повторяя обозначения, обращаем внимание учащихся на то, что запись

а > b или a~>b (а^Ь)

обозначает, что а не меньше о, т. е. равно или больше Ь. Аналогично

а b или a^b (azË^b)

обозначает, что а не больше Ь.

Затем еще раз подчеркиваем, что двойное неравенство а> Ь>с заменяет два неравенства

о>с,

а неравенство \а\ < 5 обозначает то же, что и неравенство 5>а>—5, т. е.

5>а 5<а.

Встречающаяся иногда запись а = Ь>с заменяет следующие три положения:

Ь>с а>с а = Ь.

Ученики сами легко объяснят, почему часто принимают определения:

1) а> Ь, если а — £>>0 (а — b = k;

a = b-^ky £>0)

2) a<b, если а — /?<0 (а — Ь =— k;

a = b — k, &>0)

На вопрос, какими числами в неравенстве а> b (a<b) могут быть а и Ь, некоторые учащиеся дадут правильный ответ:

«В неравенстве а> Ь (a<b) а и b могут быть только действительными числами, так как комплексные числа не принято сравнивать по величине».

Свойства неравенств

Доказываем свойства неравенств:

I. Еслиа> £...(1) и£>с... (2),тоа>г.

Из (1) имеем а = Ь+а... (3), где а>0 и из (2) * = <r+ß... (4), где ß>0.

Подставив в (3) значение b из (4) получим:

я = (£ + Р) + а = с + (« + Р)> т. е. а>с, так как a + ß > 0.

Поэтому двойное неравенство а>Ь>с собственно обозначает

II. Пусть а>Ь, тогда Ь<а.

Имеем: а =? b+ а (а > 0) b = а — а, /;<а.

III. Если а> by то а -Ь ;/г>> & + /я. Действительно:

IV. Пусть а> Ь. Докажем, что

деление невозможно.

В самом деле: а-0 — b-O и значит неравенство превращается в равенство. При тфО пишем а = Ь+а (а>0);

Когда /я>0, /па>0 и — > 0, следовательно

Когда же m <Г0, wa<0 и - <“ 0, значит

V. Если

Заменим данные неравенства равенствами: а = b+а, c = d-{ ß, где а >0 и ß>0.

Сложение дает а+с = £ + d+ (а+ Р/. или а+ с> b+ d.

Замечание. Легко показать, почему неравенства противоположных знаков нельзя складывать.

Если сложить равенства

то получим а+с = b+d+{cL — ß). Но мы не можем сказать, положительна, отрицательна или равна нулю разность а — ß, a поэтому нельзя узаконить сложение неравенств а> b и c<rf без перехода к неравенствам одинаковых знаков.

VI. Пусть а > b и с < d, тогда

а — с> b — d.

Имеем

но a + ß > 0, следовательно я — <: > b — d.

Аналогично предыдущему показываем, что неравенства одинаковых знаков нельзя вычитать. Это значит только, что мы не можем сравнить а — с и b — öf, если а> b и c>d.

Однако, если задано вычесть одно неравенство из другого, то мы это выполнить можем; достаточно только записать их так:

Свойства V и VI вытекают еще из таких соображений. Если а> Ь, то, прибавляя к большей величине большую, а к меньшей — меньшую, мы еще усиливаем данное неравенство, записывая а+ с> b-^-d, где c>d. Вычитая от меньшей величины больше, чем от большей, мы так же усиливаем неравенство. Следовательно, а — с > b — df если а >> b и с << d,

VII. Если заменить в неравенстве его части на величины обратные, то знак неравенства 1) изменится на противоположный, когда эти части одинаковых знаков и 2) не изменится, когда а и b противоположных знаков. Пусть

Тогда

Но ab имеет тот же знак, что и — • —; кроме того а и — , b и — суть взаимнообратные величины, значит теорема доказана.

Довольно усложняется закон ьозвышения в степени (целую и положительную) неравенства. Можно на примерах показать, что следует различать при возвышении в степень неравенства с положительными, отрицательными и противоположными по знаку частями, что отдельно следует рассмотреть возвышение в четную и нечетную степень. Точно так же учащиеся убеждаются, что нельзя дать общего правила для умножения и деления неравенств.

Считаем полезным рассмотреть соответственные случаи для неравенств с положительными частями.

Чтобы повторение не было механическим, предлагаем учащимся дома доказать свойства неравенств, исходя из неравенств противоположного знака по отношению к тем неравенствам, которые брались на уроке.

Например, свойство I будет доказано в такой постановке вопроса. Если

а<Ь и Ь<Су то а<с.

Свойства неравенств с положительными частями

I. Возвышение неравенства с положительными частями в целую положительную степень дает неравенство того же знака.

Если

а>Ь, то a = £+a(a>0, я>0, ft>0) и

ат= (о + «Г = Ьт + mir-1 а + ...., где все члены положительны, следовательно ат>Ьт.

II. Перемножив неравенства одинаковых знаков, части которых положительны, получим равенство того же знака.

Пусть а> b и c>d, т. е. я = £+а, c = d+$,

где я, Ь9 с, d, ßa—положительные числа. Перемножив последние два равенства, получим

ас — bd+ у, где y = rfa + ^ß + aß > °> следовательно, ас> bd.

Замечание. Неравенство (с положительными частями) противоположных знаков множить нельзя, что вытекает из того, что при умножении равенств а = b+ а и с = d — ß, получаем ас = bd + ad — $ b — aß и ничего неизвестно о знаке суммы d a — b ß — aß.

III. Неравенства противоположных знаков, части которых положительны, можно делить; полученное неравенство будет иметь знак неравенства, которое делится на другое неравенство.

Если а> b и c<d, то а = Ь+Яу c=zd — ß (a, bf Су d, a, ß— положительные числа) и — = . Сделаем преобразования

Аналогично легко показать, что неравенства (с положительными частями) одинаковых знаков делить нельзя.

Снова полезно заметить, что свойства II и III вытекают и из других соображений. Пусть а > b и c>dy тогда ас > bd есть усиленное первое (или второе) неравенство, так как мы большую величину умножим на большую, а меньшую — на меньшую.

Если a> b и c<d, то —■ — есть усиление первого неравенства делением большей величины на меньшую и меньшей — на большую.

Неуравнения Даны две функции от x:F(x) и f(x) и спрашивается:

1) существуют ли такие значения xt при которых F(x)>f(x)?

2) если существуют, то какие это значения л;?

В таком случае мы будем говорить о неуравнений F (х)> f (X).

Третий вопрос — сколько таких значений х, который имел место для уравнений, здесь отпадает, так как х имеет бесчисленное множество значений, если вообще их имеет.

Понятия «части неуравнения», «эквивалентные неуравнения» вполне аналогичны соот-

ветственно понятиям «части уравнения», «эквивалентные уравнения». Совсем не то мы имеем по отношению к термину «решить неуравнение». Решить неуравнения это значит найти границу или границы для значений неизвестного, а этих значений, удовлетворяющих неуравнению, будет бесчисленное множество. И если последнее относится и к тригонометрическим уравнениям, то все же здесь есть и различие. В решении х = k tz ЧЬ — значений X бесконечное множество, но эти значения зависят от £, которое может быть произвольным целым числом. В решении же х>—12 значения х суть какие угодно — положительные или отрицательные, целые или дробные числа, но большие—12.

Решение неуравнений основывается на теоремах об эквивалентных неуравнениях.

Первая теорема. Если к обеим частям неуравнения прибавить одно и то же выражение, то получится неуравнение, эквивалентное данному и того же знака.

Пусть F (х) > / (х) и А — произвольное число или выражение (в частности функция от неизвестного).

Тогда F{x) — k=f{x) (А>0) и F{x)+ А — k=f(x)+A (на основании теоремы об эквивалентных уравнениях), т. е. неуравнение F (х) + А > / (х) + А эквивалентно данному.

Следствия. 1°. Вычитая от обеих частей неуравнения одно и то же число или выражение, получим эквивалентное неуравнение того же знака.

2°. Члены неуравнения можно переносить из одной части в другую, переменив знаки этих членов на противоположные.

3°. Если в разных частях неуравнения имеются одинаковые величины того же знака, то эти величины взаимно уничтожаются.

Доказательство этих следствий не затруднит учащихся и должно быть сделано ими дома.

Вторая теорема. Обе части неуравнения можно умножить на выражение постоянного знака (=^=0), получая неуравнение, эквивалентное данному

а) одного знака с последним, если это выражение положительно, и

б) противоположного знака, если это выражение отрицательно.

Пусть F(x)>f(x), т. е. F (*)=/(*)+

Сравним выражения А/ (х) и AF(x). 1) Если Л>0, то AF(x) = Af(x)+Ak (по теореме об эквивалентных уравнениях), но Л&>0, т. е. неуравнение AF(x) > Af(x) эквивалентно данному.

2) Если же А < 0, то принимая во внимание, что Ak<0, получаем неуравнение AF(х) < А/(х), эквивалентное данному.

3) При А = 0 получаем тождество

O.F(x) = Of(x).

Следствия: 1) Деля обе части неуравнения на выражение постоянного знака (ф 0), получим эквивалентное данному неуравнение; знак неуравнения не изменится или изменится на противоположный соответственно тому, будет ли это выражение положительным или отрицательным;

2) при изменении всех знаков членов неуравнения на противоположные, получится неуравнение противоположного знака, эквивалентное данному;

3) неуравнение можно сократить на выражение известного знака (=^=0);

4) дробное неуравнение можно преобразовать в целое, если знак общего знаменателя известен.

С эквивалентными неуравнениями не следует смешивать совместные неуравнения.

Два или несколько неуравнений мы будем называть совместными, если для всех их требуется найти общее решение. Рассмотрим несколько примеров:

1) *>3, jc>2, х>— 1, х>1,72. Здесь общим решением будет х>3.

2) лг<5, лг< — 4,5, *<7, jc<0.. Общее решение здесь х< — 4,5

3) х<Ь, jc>1, общим решением и будут оба решения, что можно записать так:

4) *<С4, л;>8,3; здесь общего решения нет.

Учащихся не затруднит сделать соответствующие выводы, но сделать это необходимо.

Решение неуравнений

Мы будем решать только неуравнения с одним неизвестным и, главным образом, первой степени.

Неуравнение F(x) > f(x) при условии, что F(x) и / (л:) суть линейные функции от хг называется неуравнением первой степени с одним неизвестном.

Процесс решения такого неуравнения вполне подобен решению уравнения первой степени с одним неизвестным.

Примеры: 1) 9 х +8 < 15 + 7 х\

Умножить обе части неуравнения на ле — 2 нельзя, так как знак этого выражения неизвестен. Решаем так:

^__2>0; ——- >0,

но дробь положительна в двух случаях: когда ее компоненты оба положительны, или когда они оба отрицательны. Итак:

5) (х—3) (х—7)<5(jc — 3).

Так как знак выражения л: — 3 неизвестен, то сокращать на него неуравнения нельзя. Поступаем следующим образом

Понятно, что возможны лишь следующие два случая:

6) (Зх— 1)-(4 — X) (2х — 3)2<0.

Выражение (2х — 3)2> 0 при любых значениях л:, и поэтому не влияет на знак левой части неуравнения. Остается два случая:

Данное неуравнение удовлетворяется таким образом значениями или меньшими или большими 4.

Интересно решение неуравнения по принципу исследования знака функции. Я здесь не могу ограничиться ссылкой на французский учебник алгебры (о котором я уже говорил выше), где употребляется этот метод, так как редкий читатель в состоянии будет эту книгу найти. Поэтому я кратко изложу суть метода.

Сперва рассматривается следующая теорема.

Двучлен первой степени относительно х изменяет знак, становясь нулем при единственном значении а икса; для всех значений х<а двучлен имеет знак, противоположный знаку коэфициента при х; для всех значений x>ol имеет тот же знак, что и его коэфициент. Этой теоремой авторы затем и пользуются для решения неуравнения. Вот один из примеров.

Решить неуравнение

После предварительных преобразований получается

U + 2) (2* —8)<0. .. (2).

Множители X + 2 и 2лг — 8 становятся нулями с переменой знака соответственно при

X = — 2 и jc = 4.

Однако оба множителя отрицательны при х<—2, а их произведение тогда положительно. Продолжение рассуждений дано в таблице:

Теперь видно, что данное неравенство удовлетворяется значениями х, заключенными между числами — 2 и + 4, включая и эти два числа.

Этот метод полезно употреблять на занятиях математического кружка.

Доказательство тождественности неравенств Учащиеся доказывали тождественность равенств в тригонометрии. И если в алгебре редко говорят о «доказательстве тождества», то фактически такие доказательства очень распространены: вывод известной формулы алгебры доказательства равносильности двух правильных ответов (различных учеников или ученика и задачника), вывод вспомогательных формул для устного счета — все это, но далеко не только это, есть не что иное, как доказательство тождественности равенств. Те же примеры подчеркивают разнообразность методов, которыми пользуются для таких доказательств.

Неравенства и в этом сходны с равенствами: нельзя указать общего правила для доказательства тождественности неравенств. Мы здесь приведем несколько примеров, не настаивая на том, чтобы все они были разобраны на уроке.

Часть из них может быть рассмотрена на занятиях математического кружка или при выполнении домашнего задания. Для последнего, конечно, следует использовать в первую очередь стабильный задачник.

среднее арифметическое двух неравных чисел, каковы бы ни были их знаки, всегда заключено между ними. Доказательство:

Можно дать геометрическую иллюстрацию.

Две точки на числовой оси могут быть размещены, как показано на следующих рисунках

Пусть ОА = а, ОВ = Ь> а > b и пусть с = й~^2^ • Тогда точка С, определяемая равенством ОС = с, всегда находится между точками А и В.

Сделав преобразования а2+Ь2— 2ab>0 (а—£)2>0, мы пришли к очевидному неравенству, следовательно, и исходное неравенство справедливо.

III. Доказать, что всякая дробь, сложенная со своей обратной величиной, дает в сумме число большее 2 (имеется в виду дробь с положительными и неравными компонентами).

В самом деле,

(Геометрическое доказательство известно учащимся). Действительно

V. Если сумма двух переменных величин постоянна, то наибольшее их произведение получается при условии равенства этих величин.

Доказательство дано в § 70 II ч. стабильного учебника по алгебре.

Следует обратить внимание учеников, что эта истина имеет следующее геометрическое содержание:

из всех прямоугольников, имеющих данный периметр, наибольшая площадь у квадрата.

VI. Доказать, что

х5+у5— х*у— ху*>0у

если X и у положительные числа. Имеем:

когда X +у > 0. Достаточно уже последнего, чтобы данный многочлен был >0 (одновременно неравенство проверено).

VII. a2 + b2+ c2>ab + bc + ac? (а, Ьи с — неравные между собой числа).

Доказательство основывается на II примере

Используем пример IV.

Перемножая неравенства с положительными частями, получим требуемое.

(а какое угодно вещественное число).

Постараемся получить очевидное неравенство:

и тождественность данного неравенства доказана.

X. Пусть —*> — и все данные положительны. Доказать, что

Имеем:

ОБРАТНЫЕ КРУГОВЫЕ ФУНКЦИИ (АРКУСЫ) В ШКОЛЕ

В. СЕВБО (Чернигов)

Обратные круговые функции (аркусы) впервые появились в работах английского математика Грегори (1638— 1675 г.) — современника знаменитого Исаака Ньютона (1642—1727 г.). Под влиянием последнего, Грегори ввел в употребление бесконечные ряды и в результате своих исследований дал разложение, которое в современных обозначениях аркусов можно записать формулой:

Чтобы оценить значение обратных круговых функций в математике, достаточно обратить внимание на то обстоятельство, что сама история развития обратных круговых функций связана с чрезвычайно важной математической задачей вычислений те. И действительно, уже следом за Грегори Лейбниц (1646—1716), нашедший самостоятельно упомянутое разложение arctg jc, применил его к вычислению гс по формуле:

Однако, этот ряд (так называемая «формула Лейбница») был неудобен для вычисления ти из-за своей слабой сходимости. Недаром Ньютон, в письме к Лейбницу, заметил, что потребовалась бы тысяча лет для вычисления 20 десятичных знаков тг с помощью этой формулы.

Более удобную формулу дал впоследствии знаменитый математик XVIII в. Леонард Эйлер (1707—1783). Он доказал, что - = arctg + arctg — и, с помощью разложения в ряд arctg и arctg пришел к формуле:

известной под названием «формулы Эйлера».

* Для вывода этого разложения производим вычисления: arctg х = s л ^Х „ = s(\ — х2 + х4— Так как arctg 0 = 0, то полагая в этом равенстве X = 0, найдем: с = 0. Тогда окончательно получим:

Отметим, кстати, что Эйлер первый ввел современную символику обратных круговых функций, он же исследовал главнейшие свойства этих функций и связал их с другими трансцендентными функциями — тригонометрическими, показательными и логарифмическими. Можно, поэтому, без преувеличения сказать, что именно Эйлер был творцом современной теории обратных круговых функций.

Что касается вычисления тс, то позднее Эйлера, Мехином была найдена формула, еще более удобная для этой цели. Мехин, исходя из доказанного им тождества:

и использовав разложение в ряд

пришел к выводу:

С помощью этого ряда, отличающегося наиболее сильной сходимостью, английский математик В. Шанкс в 1873 г. вычислил значение те с непревзойденной до сих пор точностью: 707 десятичных знаков.

Трудности изучения аркусов в средней школе В общем курсе тригонометрии средней школы аркусы, вместе с тригонометрическими уравнениями, составляют заключительный и наиболее сложный раздел гониометрии.

Так как проработка этого раздела требует постоянного применения большинства предыдущих гониометрических понятий, формул и преобразований, то изучение его именно в десятом классе как нельзя лучше, соответствует важной цели повторения и закрепления всего курса гониометрии для подготовки учащихся к высшей школе. Отсюда, тем более ответственной становится задача преподавателя добиться полной проработки и твердого усвоения этого раздела учащимися.

Практика показывает, что учащиеся средней школы с большими трудностями усваивают понятие аркусов, их символику и вычисления с ними.

Главнейшие трудности, с которыми они встречаются здесь, вытекают из специфической природы новых гониометрических функций — их обратности и многозначности.

Первая специфическая особенность аркусов— их обратность — составляет тот пример трудностей, который угрожает потерей ориентации, направления. Благодаря этому, при нечетном усвоении понятий о прямых и обратных круговых функциях, учащийся может притти к путанице в этих понятиях, а далее и к таким грубым ошибкам:

Вторая трудность связана с многозначностью аркусов. Недостаточное либо поверхностное изучение ее приводит к непониманию роли параметра «k» в общих формулах аркусов типа:

В результате, мы иногда наблюдаем механическое употребление общих формул аркусов, связанное с неумением использовать их для отыскания многих значений каждого данного аркуса.

К упомянутой второй трудности, вытекающей из многозначности аркусов, примыкает третья трудность, вытекающая из задачи ограничения многозначности и установления однозначности аркусов в некоторых границах. Мы имеем в виду задачу установления интервалов для так называемых главных значений аркусов. По этому поводу различные авторы учебников и задачников рассуждают по-разному; например, Рыбкин в стабильном учебнике рекомендует для главных значений арккотангенса интервал ^--— , + —^, в то время, как Б. Я. Березовский в своем задачнике для техникумов* вполне резонно вводит для арккотангенса интервал (0, те).

Несомненно, этот последний интервал более удобен по многим веским причинам, в числе которых главной является полное соответствие требованиям высшей школы, рассматривающей изменение арккотангенса в интервале непрерывного и монотонного изменения его аргумента. Добавим еще, что, при введении интервала (0, те) для арккотангенса, известное свойство:

* Б. Я. Березовский. Сборник задач по прямолинейной тригонометрии, ОНТИ, 1936 г.

остается справедливым не только при положительном, но и при всяком значении аргумента х.

Очевидно, преподаватель должен внести полную ясность в вопрос о выборе интервалов для главных значений аркусов и требовать той же ясности от учащихся, иначе у последних может сложиться неприятное ощущение неуверенности в этом вопросе, ведущее иногда к произволу в определении главных значений. Учащийся начинает, скажем, искать главное значение аркуса, как наименьшее положительное значение его и, таким образом, приходит к неупотребляющимся главным значениям, вроде

Четвертой, так сказать, формальной причиной трудностей в усвоении аркусов является сложная символика их. Иногда она приводит к такому большому нагромождению символов, перед которым теряется недостаточно подкованный учащийся. Для примера приведем выражение:

arctg {ctg [aresin (cos 60°)]},

отпугивающее часто учеников своим внешним видом. Между тем, вычисление этого выражения, при условии четкого овладения понятиями и символикой аркусов, является делом вовсе несложным. Необходимо лишь преподавателю заблаговременно позаботиться о деятельном освещении роли и значения символов, употребляемых в теории аркусов. Следует добиться того, чтобы учащиеся четко осознали значение этих символов и совершенно свободно, уверенно оперировали ими. В противном случае, можно встретиться и с такими грубыми ошибками учащихся, как сокращение обеих частей уравнения на символ аркуса. Пример ошибки — уникума — сделанной при решении уравнения № 794 из стабильного задачника:

arecos (х — 1) = 2 arecos х\

отсюда: х— 1 =2х (сокращение на символ аркуса), следовательно: х = — 1.

Наконец, некоторые трудности в операциях над аркусами связаны с потребностью мобилизации всего комплекса предыдущих формул гониометрии, а также многих разделов из алгебры, в частности, действий над радикалами и уравнений высших степеней. Очевидно, единственным средством преодоления этих трудностей явится одновременное повторение соответствующих разделов тригонометрии и алгебры. Тем самым, эти трудности, в конце концов, приведут к положительному результату; они послужат активным фактором, стимулирующим повторение курса математики, так необходимое учащимся десятого класса.

Введение понятия об аркусах, как обратных функциях

Совершенно ясно, что первым и непременным условием правильного преподавания аркусов должно быть полное и четкое выяснение самой сути понятия об обратных круговых функциях (аркусах) в связи с понятием об известных уже прямых тригонометрических функциях.

С самого начала придется возобновить в памяти учащихся ряд конкретных примеров на прямые и обратные функции из области геометрии и алгебры.

Рассматривая, например, формулу длины окружности:

С = 2тг/?,

выясняем, что каждому значению радиуса окружности соответствует определенное значение ее длины; следовательно, длину окружности надо понимать, как функцию ее радиуса. Предыдущая формула выражает общий закон, характеризующий изменение функции С при изменении аргумента R (закон прямой пропорциональности). Вместе с тем, эта же формула дает возможность непосредственно вычислить значение функции — длины С окружности—-по какому угодно данному значению аргумента—радиуса R.

Однако, могут быть задачи обратного характера: найти радиус окружности, имеющей данную длину. Дан, например, кусок железа для обручей; нужно найти радиус обруча, какой можно сделать из этого куска железа. В этом случае, вопрос меняет свое содержание на обратное: длина окружности начинает играть роль аргумента, а радиус — функции, и формула:

дающая возможность вычислить радиус окружности по данной ее длине, одновременно служит выражением радиуса окружности, как функции ее длины (аргумента). В данном случае, радиус мы должны назвать обратной функцией.

Второй пример из алгебры — показательная и логарифмическая функции. В показательной функции:

V = ах

мы ставим вопрос о вычислении любой степени у данного основания а. Эта степень у

является прямой функцией своего переменного показателя х (аргумента), так как каждому значению последнего соответствует определенное значение у.

Наоборот, в примере логарифмической функции:

имеем задачу обратного типа — вычисление показателя х любой данной степени (числа) у при основании а. Этот показатель степени X, называемый логарифмом, является обратного функциею числа у (степени), служившего ранее прямой функцией показателя (показательной функцией).

Если принять за основание степени число 10, то отыскание численных значений логарифма (обратной функции) каждого данного числа и числа (прямой функции) по данному логарифму производим с помощью таблиц логарифмов чисел.

Следует подчеркнуть, что распределение функций на прямые и обратные имеет условный характер. Можно, скажем, условиться радиус окружности считать прямой функцией ее длины, и тогда самую длину окружности придется считать обратной функцией радиуса. Точно так же можно условиться считать прямой функцией логарифм данного числа, а самое число — обратной функцией своего логарифма. Кстати, так и случается в алгебре при изучении логарифмов. После того, как понятие логарифма целиком усвоено, в связи с изучением показательной и логарифмической функций, мы молчаливо начинаем понимать логарифм X, как прямую функцию соответствующего числа у : х = \gy, а действие логарифмирования, как прямое действие. Самые таблицы логарифмов, в которых первая графа с надписью N (Numerus — число) отведена для числа, как аргумента, очевидно составлены для такого же молчаливого предположения. Вот почему, когда впоследствии отыскиваем число у по данному его логарифму, мы рассматриваем эту операцию, как обратное действие — потенцирование, а искомое число у, как обратную функцию своего логарифма и, соответственно этому, называем это число антилогарифмом.

Можно было бы ввести такое (неточное) обозначение для искомого числа—антилогарифма:

у — Numerus (lg = лг), или, сокращенно: y = N\gx,

которое надо было бы читать: у равно числу (Numerus), логарифм которого равен х. Однако, такое обозначение не привилось в алгебре, ввиду опасности неправильного понимания символического выражения Nlgx. Действительно, его можно было бы ошибочно толковать, как произведение числа N на логарифм числа X. Между тем, имелось в виду понимать букву N лишь как обозначение слова «число» (а не самого числа) и \gx (lg = х) — как символ, сокращенно передающий слова: «логарифм которого равен х» (а не величину самого логарифма числа л:).

Благодаря условности распределения функций на прямые и обратные, каждую пару переменных величин, связанных между собою некоторой функциональной зависимостью, можно называть взаимно-обратными функциями.

Обращаем внимание на опасность смешения учащимися понятия взаимно-обратных функций с понятием взаимно-обратных величин, произведение которых, как известно, равно единице. Употребляемое здесь различение терминов: «обратные функции» и «обратные величины» не всегда является достаточным и даже законным. В самом деле, тангенс и котангенс одной дуги (угла) являются функциями, произведение которых равно единице при любом значении аргумента, но назвать их «обратными функциями» нельзя. Чтобы внести ясность в этот вопрос, целесообразно в некоторых случаях уточнять терминологию и отличать функции «обратные по величине» (тангенс и котангенс) от функций «обратных по содержанию» (длина окружности и радиус ее; впоследствии — тангенс и арктангенс). Существует, впрочем, один случай, когда две функции являются обратными как по величине, так и по содержанию. Это — частный случай функций обратной пропорциональности:

После упомянутой предварительной подготовки можно, с помощью совершенно аналогичных рассуждений, ввести и понятие об обратных круговых функциях — аркусах.

Прямые тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс и т. д. представляют собою отношения длин соответствующих тригонометрических линий к длине радиуса окружности и выражаются абстрактными числами, не зависящими от величины радиуса, но зависящими исключительно от дуги (угла). Следовательно, для прямых тригонометрических функций аргументом служит дуга (угол). Это и выражается такими формулами:

где X — дуга (угол), служащая аргументом;^ — значение тригонометрической функции; sin, cos, tg, ctg, sc, esc — знаки (названия) тригонометрических функций.

Для всякой дуги (угла) можем найти соответствующее значение тригонометрической функции, пользуясь хотя бы натуральными таблицами тригонометрических функций.

Если постановить обратную задачу об отыскании дуги (угла), соответствующей данному значению тригонометрической функции, придем к соответствующей обратной круговой функции — аркуса.

Например, если прямая функция будет синусом дуги, т. е.: ^ = sin;c, то соответствующей обратной круговой функцией будет дуга X, синус которой равен у. Эту дугу мы называем латинским словом «arcus» — дуга (арка) и для обозначения ее, как обратной функции, употребляем сокращенную запись:

X = arcsin у у

где у — величина аргумента; х — величина обратной функции (дуги); «arcsin» — знак (название) этой обратной функции. Выражение arcsin у сокращенно передает слова: дуга (аркус), синус которой равен у. Это выражение равносильно такой неточной записи:

х = arcus (sin =y)t

аналогичной упомянутому выше обозначению:

у = Numerus (lg == je)

для антилогарифма.

Полезно тут же проделать несколько упражнений на отыскание дуги (аркуса) по данному значению ее синуса, например: чему равна дуга arcsin -^-? arcsin 1? arcsin ( — 1)? и т. д.

Аналогичным путем вводим понятие и об иных обратных круговых функциях. В результате приходим к выражению всех аркусов с помощью формул:

Определение понятия обратных круговых функций, усваиваемое учащимися с достаточно большими трудностями, требует усиленного внимания преподавателя. Спешить и комкать вопрос здесь никак не приходится, тем более, что, при дальнейшем прохождении материала, нередко наблюдаются случаи рецидива — повторного непонимания, либо забывания, основных понятий и символики аркусов. Поэтому введение понятия об аркусах должно быть проведено размеренным темпом в четкой системе выкладок преподавателя и в живой беседе его с учащимися. Беседа имеет целью добиться четкого усвоения учащимися понятий об аркусах, как обратных функциях, и правильного понимания введенной символики аркусов.

Можно рекомендовать такие контрольные вопросы к учащимся: Как записать формулой выражение дуги х через значение у ее котангенса? Как передать словами содержание написанной формулы? Какая разница между символами: «arcetg» и «arcetg у»? В чем состоит различие между выражениями:

и т. д. Следом за контрольными вопросами нужно проработать достаточное количество практических упражнений и задач, целью которых явится закрепление усвоенного материала и приобретение навыков в употреблении аркусов.

Примеры упражнений и задач: 1) Записать с помощью обратных круговых функций равенства:

* Интересно отметить, что в английских учебниках употребляются такие более краткие обозначения аркусов:

sin““1 у; cos-1 у; tg““1 у; ct~l у; se““1 у; esc-1 у, в которых знак (—1) заменяет нашу приписку «arc»; формальная неверность этих обозначений может приводить к неправильному пониманию аркусов, как отрицательных степеней прямых тригонометрических функций:

Тогда будем иметь ошибку, тождественную с вышеупомянутым смешением понятий взаимно-обратных функций и взаимно-обратных величин.

2) Найти без таблиц значения (в радианах):

3) Выразить с помощью обратных круговых функций углы а и р прямоугольного треугольника через данный его катет а и гипотенузу с.

4) Площадь равнобедренного треугольника равна s. Боковая сторона Ь. Определить угол «а» при вершине равнобедренного треугольника.

5) Объем правильной четыреугольной пирамиды равен v. Сторона основания а. Определить угол ср, образуемый боковым ребром с плоскостью основания.

Многозначность и общие формулы аркусов

В стабильном учебнике К. Рыбкина, как и в большинстве иных учебников тригонометрии, понятию аркусов предшествует изучение общего вида углов, соответствующих данному значению тригонометрической функции. По существу, это есть изучение многозначности обратных круговых функций без понятия и символики этих функций. Нам кажется нецелесообразным такое традиционное распределение материала. Гораздо последовательнее начать с понятия об аркусах, как обратных функциях, а затем углубить и расширить это понятие изучением многозначности, как второго основного свойства аркусов.

К изучению этого свойства можно приступить, исходя из практических упражнений на построение аркусов.

Построив, например, дугу (угол)

получим два ее значения:— и - (соответственно в I и II квадрантах тригонометрической окружности).

А далее, приняв во внимание легко напоминаемую из чертежа периодичность синуса (с периодом 2 тс), приходим к выводу, что arcsin -i- имеет бесчисленное множество значений, записанных с помощью двух строк:

(1)

(2)

При этом, простейшее из найденных значении: — называем главным значением данного арксинуса.

Совокупность всех дуг (углов), записанных в первой строке (I), можем выразить одной формулой общего вида:

(1а)

в которой букве п (параметру) мы должны приписывать последовательно все целые значения, включая нуль (при котором получаем главное значение арксинуса). Точно так же вторую строку дуг (2) выразим общей формулой:

(2а)

Формулы (1а) и (2а) дают две следующие директивы, которые нужно выполнить, чтобы получить все значения arcsin — :

1) Прибавлять главное значение ^т. е. ^ ^ ко всякому четному количеству те, т. е. к 2 п те (формула 1а);

2) Вычитать главное значение ^—j от всякого нечетного количества те, т. е. от (2лг —[— 1) те (формула 2а). Однако обе эти директивы можно выразить одной замечательной формулой:

(3)

в которой букве к (параметру) мы должны последовательно приписывать все целые значения, включая нуль. При этом, вышеупомянутая операция прибавления или вычитания главного значения будет автоматически управляться знаком степени (— 1)к при четном или нечетном значении параметра к.

Таким образом убеждаемся в том, что арксинус является функцией многозначной. Ибо каждому значению синуса соответствует бесчисленное множество значений дуг (углов), записанных одной общей формулой типа (3).

Изучение многозначности арксинуса следует сопровождать повторением пределов и характера изменения соответствующей прямой функции — синуса, служащего аргументом для арксинуса. В результате повторения, выясняем, в частности, что значения аргумента арксинуса (т. е. синуса) не могут выходить за пределы интервала (—1, —[— 1 ); следовательно, выражение aresin 2 было бы бессодержательным. Далее, констатируем, что в IV и I квадрантах тригонометрической окружности, т. е. для дуг от I--— 1 до ^+ — j синус последовательно проходит через все возможные для него численные значения, меняясь однообразно — в одном направлении (монотонно), а именно, все время возрастая. В этом интервале однообразного (монотонного) изменения синуса (--~>~Ь ~ j мы и условливаемся отыскивать простейшее или так называемое главное значение арксинуса. Попутно подчеркиваем, что в упомянутом интервале непременно существует одно и только одно главное значение для любого данного арксинуса; следовательно, главное значение арксинуса в этом интервале ^—j ~^~^) является однозначным- Для иллюстрации берем конкретный пример, скажем, отрицательного значения аргумента

и находим главное значение арксинуса:

Далее указываем, что, с целью отличать главные значения арксинуса от бесконечной совокупности всех его значений, условились записывать символ главного значения с малой буквы (arcsin), а всю совокупность значений — с большой буквы (Arcsin).

Поэтому, для предыдущего примера имеем:

Вообще, если обозначим аргумент арксинуса буквой у, а его главное значение — буквою «а», то будем иметь такую общую формулу арксинуса:

Необходимо тут же отметить, что в математике, особенно в высшей, под значением аркуса обыкновенно понимают его радианную меру. Следовательно, учащихся с самого начала нужно приучать выписывать главные значения и общие формулы аркусов в радианных единицах дуг (углов).

Совершенно аналогично изучаем многозначность остальных аркусов. В частности, чтобы изучить многозначность арккотангенса, делаем построение, скажем, arectg (—1). Далее, принимая во внимание периодичность котангенса, которую легко усматриваем из чертежа, выписываем бесконечное множество значений Arectg (— 1):

Совокупность всех этих значений объединяем формулой:

При этом, исходя из исследования изменения котангенса, выясняем, что котангенс изменяется монотонно (а именно, все время убывает) в интервале (0, тс), и последовательно проходит в этом интервале все возможные значения от + со до — со (без разрыва непрерывности). Поэтому, главное значение

каждого данного арккотангенса условимся искать в упомянутом интервале (0, те). После этого делается ясным: почему из двух построенных значений arectg (— 1): — и I--— 1 мы выбрали, в качестве главного значения, первое. В конце концов, приходим к общей формуле арккотангенса: Arcetg у = k те -)- а, где а — главное значение арккотангенса для данного значения аргумента у, выбранное в интервале (0, те).

Таким путем выводим общие формулы всех аркусов:

в которых буквой «а» обозначены главные значения аркусов, найденные в интервале ^j для арксинуса, арктангенса, арккосеканса и в интервале (0, те) — для остальных аркусов. Выбором этих интервалов, руководствуясь критерием монотонного изменения аргумента соответствующего аркуса*, определяем и главное значение аркуса, как значение аркуса в интервале монотонного изменения его аргумента.

В последующих занятиях с учащимися надо добиться правильного и четкого понимания выведенных общих формул аркусов и соответствующих навыков в отыскании главных значений их. С этой целью можно провести ряд упражнений на построение аркусов и последующий вывод общих формул их при заданном значении аргумента. Особенное внимание полезно уделить случаям отрицательного и нулевого значения аргумента, например:

Нужно стремиться к тому, чтобы учащиеся, исходя из каждого выполненного построения, смогли собственными силами повторить вывод общей формулы данного аркуса. Соответствующая беседа с ними должна проверить и обеспечить правильное понимание выведенных общих формул. Сугубое внимание следует обратить на четкое понимание значения и роли параметра k в общих формулах аркуса. По этому поводу полезно напомнить учащимся общие формулы показателей степеней числа / из теории комплексных чисел:

Учащемуся должно стать ясным, что именно наличие параметра k в общих формулах аркусов является формальным признаком их многозначности.

Небесполезно обратить еще внимание учащихся на то, что многозначность обратных круговых функций отнюдь не является новинкой либо исключительным фактом в математике. В самом деле, и алгебраическая функция: X = }Гу> обратная квадратной функции: у = X2, представляет собой пример двузначной функции, поскольку всякий квадратный корень из числа у имеет два значения— действительных или мнимых. Позднее: после изучения двучленных уравнений типа хп — а = О, можно показать, что функция:

X = у~ имеет п значений действительных и комплексных.

Для окончательного усвоения многозначности обратных круговых функций можно использовать построение графиков этих функций. Графики послужат тем прекрасным иллюстративным средством, которое намного повысит правильное понимание характера изменения и многозначности аркусов.

Наконец, изучение многозначности аркусов заключаем рядом практических упражнений, имеющих целью закрепление усвоенного материала и приобретение навыков в употреблении общих формул аркусов.

Примеры упражнений:

1. Записать в виде общих формул значения аркусов:

* В стабильном учебнике Н. Рыбкина принят для этой цели критерий наименьшей абсолютной величины аркуса.

2. Вычислить и записать в виде общих формул значения выражений:

3. Отыскать и записать общей формулой все значения «#» из уравнений:

Примечание. При решении вышеупомянутых уравнений со сложным аргументом тригонометрической функции имеет место опасность такой ошибки учащихся: выписывание стереотипной общей формулы аркуса не для всего сложного аргумента данной тригонометрической функции, а сразу для искомой дуги x. Примеры ошибок:

1) cos \0х = —1; ошибочный ответ: х = 2 kn ^гк вместо правильного:

ошибочный ответ:

вместо правильного:

Решение задач на аркусы

Все задачи на аркусы, помещенные в стабильном задачнике Н. Рыбкина, можно свести к трем основным группам:

1) задачи на вычисление выражений с аркусами, имеющими данное значение аргумента;

2) задачи на доказательство тождеств, выражающих отдельные свойства аркусов и элементарные действия с ними;

3) задачи на решение уравнений, в которых неизвестное стоит под знаком аркуса.

Решение всех задач базируется на предварительном усвоении понятий об аркусах, как обратных функциях, и использование известных гониометрических формул, связывающих прямые тригонометрические функции.

Что касается задач первой группы — на вычисление выражений, то именно в этих задачах можем встретиться иногда с наибольшим нагромождением символов прямых и обратных круговых функций. Поэтому вычисление выражений с аркусами является наилучшим средством проверки, уточнения и закрепления понятий и символики аркусов.

Простейшие выражения, заданные для вычисления, содержат в себе единственный аркус, к тому же, известный нам без таблиц, например выражение:

Такие выражения вычисляются путем непосредственной подстановки известного значения аркуса. Например, в данном выражении подставляем значение:

Тогда будем иметь:

Из других выражений в первую очередь обращаем внимание на такие, где мы должны выполнить две взаимно-обратные операции. Например, в выражении sin (arcsin b) мы должны: 1) по данному значению b синуса найти дугу (аркус); 2) далее, наоборот, по найденному значению дуги (аркуса) найти снова синус этой дуги.

Нетрудно показать учащимся, что две взаимно-обратные операции, последовательно выполненные над данною величиною, не изменят этой величины. Поэтому:

sin (arcsin b) = b.

Аналогично:

arcsin (sin a) = a.

Некоторое усложнение имеем при вычислении выражений типа: sin (arccos b).

Здесь можно применить два способа вычисления:

1-й способ (сокращенного обозначения аркуса) :

Следовательно:

2-й способ (использования взаимно-обратных операций):

В более сложных задачах первой группы имеем под знаком искомой тригонометрической функции выражение, состоящее из нескольких аркусов, неизвестных нам непосредственно. Такие задачи лучше всего решать с помощью предварительного сокращенного обозначения аркусов и последующего применения соответствующих тригонометрических формул сложения, умножения или деления дуг (углов).

Для примера приводим схему вычисления выражения:

1. Вводим предварительные сокращенные обозначения аркусов:

(1)

2. Преобразовываем данное выражение с помощью соответствующих тригонометрических формул, имея целью свести задачу к вычислению тригонометрических функций упомянутых аркусов:

(2)

3. После этого делается очевидною необходимость в дополнительных вычислениях, которые выполняем, исходя из принятых обозначений (1):

(3)

4. Наконец, подставляем значения (1) и результаты дополнительных вычислений (3) в найденное выражение

Вторую группу задач на аркусы (доказательство тождеств) можно начать с доказательства основной зависимости между аркфункциями и арккофункциями одного аргумента, выражаемой формулами:

Содержание приведенных формул можно передать словами в виде правила: «Сумма аркфункций и соответствующей арккофункции одного аргумента равна —». Для доказательства любой из этих формул используем известные зависимости между прямыми тригонометрическими функциями и кофункциями взаимно-дополнительных дуг.

Например, чтобы доказать первую формулу, вводим обозначение:

arcsin X = а, (4)

т. е. sin а = х.

С другой стороны, имеем:

следовательно

(5)

Складывая почленно равенство (4) и (5), будем иметь:

Для дальнейших упражнений следует ввести доказательство тождеств, с помощью которых одна из обратных круговых функций выражается через другую. Доказательство выпол-

* Как уже упоминалось выше, вторая из этих формул остается справедливою при отрицательных значениях х лишь при условии выбора интервала (0, п) для главных значений арккотангенса.

няем на основании соответствующих тригонометрических формул, связывающих прямые тригонометрические функции одной и той же дуги (угла). Например, чтобы доказать тождество:

вводим обозначение

(6)

и отыскиваем:

(7)

Сравнивая равенство (6) и (7), приходим к тождеству, которое нужно было доказать.

Полезно обратить внимание учащихся на то обстоятельство, что буквенные тождества, с помощью которых один из аркусов выражается через другой, не всегда остаются справедливыми при отрицательных значениях аргументов, например, в тождестве:

при b =--—, левая часть дает (--— | в то время, как правая часть будет равна ^ и —- .

Мало того, более сложные буквенные тождества, с помощью которых выражаются элементарные действия над аркусами, могут оказаться несправедливыми даже при некоторых положительных значениях аргумента.

Например тождество:

имеет место лишь при условии:

Поэтому, при упражнениях на доказательство тождеств, следует осторожно подходить к тем примерам тождеств, в которых аргументы аркусов имеют буквенное выражение. Эти тождества могут оказаться несправедливыми при некоторых значениях букв.

Методы доказательства более сложных тождеств основаны на использовании соответствующих тригонометрических формул. Для иллюстрации этих методов приведем доказательства упомянутого во вступлении тождества Мехина:

1. Вводим обозначения:

(8)

2. Переписав данное тождество в новых обозначениях:

отыскиваем выражение тангенса левой его части:

(9)

3. Производим дополнительные вычисления, требующиеся последним выражением (9):

4. Подставляем значения (8) и (10) тангенсов в выражение (9):

5. Отсюда получаем:

или, возвратившись к первоначальным обозначениям,

Последнюю группу задач на аркусы составляют уравнения, в которых неизвестное входит под знаком аркуса. Наиболее простой

* По этому поводу см. Гибш. Элементарная математика. Общий курс Учпедгиз, 1936 г.

общий прием решения этих уравнений состоит в освобождении обеих частей уравнения от знаков аркусов и сведении задачи к решению соответствующего алгебраического уравнения. Начинаем решение с того, что берем некоторую одноименную тригонометрическую функцию от обеих частей данного уравнения*. При этом, наиболее удобным оказывается взять от обеих частей уравнения ту тригонометрическую функцию, обратными которой являются аркфункций, встречаемые в уравнении.

Для иллюстрации приводим схему решения уравнения:

1. Вводим обозначения:

(11)

2. Берем тангенс от обеих частей уравнения, записанных в новых обозначениях:

или, окончательно:

(12)

3. Подставляя в последнее равенство (12) выражения (11) для тангенсов, приходим к алгебраическому уравнению третьей степени:

4х* — х = 0; (13)

Откуда находим:

В заключение заметим, что введение сокращенных обозначений, употребляемое при решении всех трех типов задач на аркусы, таит в себе одну опасность. Оно приводит к стереотипности, следовательно, и к некоторой механизации выкладок, а отсюда к тому, что учащиеся нередко перестают сознательно обдумывать содержание и методы решения каждой данной задачи. В результате, иногда наблюдаем, что учащийся, решающий задачу достаточно быстро и уверенно, на самом деле не отдает себе ясного отчета в целесообразности и законности выполняемых им операций над обеими частями уравнения, либо в логичности операций, употребляемых при доказательстве тождества. Чтобы избегнуть этого, преподаватель должен каждый раз требовать от учащегося соответствующих устных рассуждений и пояснений к решаемой задаче. Полезно, при этом, практиковать контрольные вопросы, имеющие целью проверять сознательное понимание смысла задачи и методов ее решения, а также умение формулировать свои рассуждения и вытекающие из них следствия.

Вопросы можно формулировать примерно так: Для чего, при решении уравнения, мы берем тангенс от обеих частей его? На каком основании мы имеем право это делать? К чему эта операция приводит? С какой целью, при доказательстве тождества (Мехина), мы отыскиваем тангенс левой части его? Каким образом, найдя этот тангенс, мы убеждаемся в справедливости тождества? и т. д.

При этом не следует забывать каждый раз проверять умение читать и понимать содержание каждого сложного выражения с аркусами—в целом и по частям. Например, что представляет собою выражение:

arctg {ctg [arcsin (cos 60°)]} —

дугу (угол) или значение тригонометрической функции? А выражение в фигурных скобках?—в квадратных скобках? и т. д.

С помощью подобных контрольных вопросов преподаватель сумеет добиться сознательного понимания учащимися решаемых ими задач, сложных выражений с обратными круговыми функциями и всей теории этих функций.

* Указанная операция основана на том, что из равенства двух дуг (аркусов) вытекает также равенство одноименных тригонометрических функций этих дуг.

ИЗ ОПЫТА

ИСТОРИЯ ОДНОЙ ШКОЛЫ

Ясно-Полянская школа имени А. Н. Толстого

НЕСКОЛЬКО ИСТОРИЧЕСКИХ СПРАВОК

(вместо введения)

И. ЛЕВЧЕНКО (Ясная Поляна)

Утром одного из осенних дней 1859 г. у крыльца господского дома графов Толстых можно было наблюдать не совсем обычную картину: группа ребят в новых лаптях и длинных чистых рубахах, переминаясь с ноги на ногу и шушукаясь между собою, вопросительно и с некоторой тревогой поглядывала на дверь, откуда должен был вот-вот появиться сам молодой «граф». Сзади стояли их родители, крестьяне Ясной Поляны. По наказу графа они привели своих детей учиться грамоте. Граф открыл школу, бесплатную школу, в своем доме, на свои средства и, что самое удивительное, сам будет учить ребят. До того времени никакой школы в Ясной Поляне не было, а вот граф уж второй раз собирает крестьянских ребят к себе в дом. Десять лет назад, еще будучи совсем молодым человеком, он поручил было своему дворовому Фоке Демидычу обучать двадцать яснополянских ребят. И старый Фока, музыкант покойного отца молодого барина, старательно учил их азбуке, счету и священной истории.

Но недолго продолжалась учеба: уехал граф на службу куда-то далеко, на Кавказ, и ребята перестали ходить...

Теперь в осенний день 1859 г. снова стала существовать Яснополянская школа, основанная уже признанным писателем, автором «Детства, отрочества и юности» и «Севастопольских рассказов», А. Н. Толстым, решив-

шим, что «не нам нужно учиться, а нам нужно Марфутку и Тараску выучить, хотя немного, тому, что мы знаем».

Тараска Фоканов, Морозов, Макаров и Козлов, Ромашка Богданов, Игнатка Макаров, Поля Зябрева, Васька Михеев, Сенька Резунов, прадеды теперешних учеников Яснополянской средней школы, составляли первый набор школы Толстого и первый ее выпуск.

Вот как довольно красочно описывает Толстой занятия в Яснополянской школе (Л. Н. Толстой — «О значении описаний школ и народных книг», т. VIII, стр. 31).

«Учитель приходит в комнату, а на полу лежат и пищат ребята, кричащие: «Мала куча!» или: «Задавили, ребята!», или: «Будет, брось виски-то» и т. д. «Петр Михайлович!— кричит снизу кучи голос входящему учителю: вели им бросить». «Здравствуйте, Петр Михайлович», — кричат другие, продолжая свою возню. Учитель берет книжки, раздает тем, которые с ним пошли к шкафу; из кучи на полу верхние, лежа, требуют книжку. Куча понемногу уменьшается. Как только большинство взяло книжки, все остальные уже бегут к шкафу и кричат: «И мне, и мне!», «Дай мне вчерашнюю!», «А мне кольцовую!» и т.п. Ежели останутся еще какие-нибудь два, разгоряченные борьбой, продолжающие валяться на полу, то сидящие с книжками кричат на них: «Что вы тут замешались? Ничего не слышно. Будет!» Увлеченные покоряются и, запыхавшись, берутся за книги и только в первое время, сидя за книгой, поматывают ногой от неулегшегося волнения. Дух войны улетел, и дух чтения воцаряется в комнате».

Совершенно исключительное для тех времен предприятие Толстого вызвало большое удивление и даже возмущение среди помещиков, его соседей. Становой пристав был до крайности возмущен поведением живущего в его «стане» графа Толстого, о чем громогласно заявлял своим знакомым. Однако, даже наперекор резким суждениям такого «авторитета», в результате деятельности А. Н. Толстого, как мирового посредника, вокруг Ясной Поляны организовалось более десятка школ, работающих по методам Яснополянской и под ее руководством.

В деревни Бабурино, Ясенки, Ломинцево и другие, ближайшие к Ясной Поляне, приехали новые люди, учителя, приглашенные Толстым.

Недолго просуществовала открытая Толстым школа в Ясной Поляне. Иные цели и устремления овладели кипучей натурой Толстого.

Женитьба и работа над новым монументальным произведением, снискавшим мировую славу Толстому, романом «Война и мир», надолго отвлекли Толстого от педагогической деятельности и непосредственной работы в школе. Ушли недоучившимися и занялись суровым, безрадостным крестьянским трудом первые ученики Яснополянской школы. «Васька-кот», Василий Морозов, любимый ученик Толстого, и Игнатка Макаров поступили батраками в имение своего бывшего учителя и за 6 рублей в месяц пасли барских лошадей, пока не провинились и были удалены,

Прошло несколько лет. Росли неграмотными ребята в Ясной Поляне. И вот в 1872 г., через десять с лишком лет после открытия первой Яснополянской школы, снова в доме Толстого ребята, снова открыта школа. Однако эта школа значительно отличается от первой и количеством обучающихся в ней, и составом учителей, и целями преподавания. Вот как о ней вспоминает один из учеников, М. Д. Зорин. «Я уже порядочный был, когда объявили, что на барском дворе будут ребят учить. Пошли мы учиться вместе с товарищами.

Учили нас Лев Николаевич, Софья Андреевна, Татьяна Львовна, Сергей Львович, даром, что маленькие были, а нас больших учили. Учились мы больше вечерами. Поступил я совсем неграмотным, но за зиму стал заниматься, как следует. Учились по группам, мне пришлось заниматься с «дядей Костей». Он нам читал сказки «О рыбаке и рыбке» и о «курочке рябе». Писали на грифельных

И. И. Левченко, зав. учебной частью

досках. Лев Николаевич читал нам сказку и заставлял рассказывать. Проучился я одну зиму. На другую зиму открылась школа в деревне. Но только у Льва Николаевича учиться было лучше, понятливее учили. А еще в деревне секли розгами, а у Льва Николаевича не наказывали».

Мы не останавливаемся на изложении и критике в целом реакционных педагогических взглядов Толстого. Нам хотелось бы только подчеркнуть, что педагогические идеи Толстого целиком совпадали с его социальными и религиозно-философскими идеалами.

Начав с идеи «свободного» воспитания, раскритиковав современную ему теорию воспитания и образования и педагогическую практику русской школы, заявив в письме к студенту Дворянскому в 1899 г., что «преподавание так называемого закона божия детям, которое совершается среди нас, есть самое ужасное преступление, которое только можно представить себе; истязание, убийство изнасилование — ничто в сравнении с этим преступлением», Толстой довольно быстро и весьма непоследовательно эволюционирует их в своих взглядах, постепенно отказывается от принципиальных положений своей педагогики и в конце жизни, собрав в последний раз яснополянских ребят, слабым, старческим, слезливым голосом проповедует им евангельские притчи в непротивленческой толстовской интерпретации.

Великий колосс русской и мировой литературы, гений художественного слова, беспощадно срывающий «всех и всяческие» маски, художественные шедевры которого в наше социалистическое время читаются миллионами трудящихся, Толстой как педагог и моралист бесконечно далек и враждебен нам. Его теория «свободного» выбора наук для образования враждебна нам, ибо мешает итти по пути создания нового свободного человека-коммуниста. Его «новая» религия и мораль, которыми проникнуты педагогические идеи Толстого, противостоят нашей основной жизненной цели — завершить построение социалистического общества и подлинной школы коммунистического воспитания.

Однако в педагогике Толстого мы находим и не мало ценных и полезных для нас черт. И первое,что особенно хочется подчеркнуть,— это замечательная способность Толстого сурово критически подходить к методам и приемам своей работы с детьми. Толстой умел собирать факты своей педагогической практики, умел их анализировать и обобщать. Он с исключительным вниманием, с величайшей осторожностью и подлинным знанием детей подходит к созданию «Азбуки», сказок и рассказов и научно-популярных статей для детского чтения.

В марте 1872 г. Толстой пишет H. Н. Страхову: «Азбука моя кончена и печатается очень медленно и скверно у Риса, но я по своей привычке все мараю и переписываю по 20 раз». «Азбука моя не дает мне покоя для другого занятия,— пишет он в письме к Фету.— «Печатанье идет черепашьими шагами, а я все еще прибавляю и изменяю» (Бирюков — Биография А. Н. Толстого, т. II, стр. 54).

Толстой умел заинтересовать детей и прекрасно их знал. Он настойчиво искал и успешно применял различные приемы для возбуждения и поддержания интереса у ребят, и сам долго и упорно готовился к работе с детьми. Желая интересно рассказать ребятам об астрономии, Толстой не одну ночь напролет просидел на балконе, наблюдая и изучая звездное небо. Этому прекрасному педагогическому качеству мы, безусловно, должны учиться у Толстого.

Бывшая церковно-приходская школа

СОВЕТСКАЯ ШКОЛА В ЯСНОЙ ПОЛЯНЕ

В. В. ВЕРБИЦКИЙ (Ясная Поляна)

Не сразу возникла нынешняя Яснополянская школа. Она росла и крепла вместе с ростом и укреплением всей нашей страны. Оглянемся назад. Возвратимся к первым годам после Великой Октябрьской Социалистической революции и проследим весь путь развития нашей школы за последние 20 лет. Посмотрим, как вопреки материальным трудностям первых лет, преодолевая срывы и ошибки в идейной и методической направленности работы, в Ясной Поляне выросла советская средняя школа.

1. Рождение советской школы

До 1921 г. в Ясной Поляне существовала одна школа УОНО. В маленьком деревянном здании бывшей церковно-приходской школы двое учителей обучали 97 учащихся.

Работа в этой школе велась очень слабо и нерегулярно. В том же 1921 г. в доме Волконских в усадьбе А. Н. Толстого И. С. Мельников и И. Д. Щепкин организуют художественно-промышленные мастерские для подростков.

10 июня 1921 г. явилось важной исторической датой в истории Ясной Поляны и Яснополянской школы.

Советская страна победно заканчивала гражданскую войну и намечала планы мирного хозяйственного и культурного строительства.

10 июня 1921 г. Президиум ВЦИК под председательством М. И. Калинина принял специальное решение о Ясной Поляне.

В этом постановлении усадьба «Ясная Поляна» объявлялась государственной собственностью, подлежащей сохранению в историческом и неприкосновенном виде, а хранителю «Ясной Поляны» вменялось в обязанность создать в Ясной Поляне культурно-просветительный центр.

Непосредственным результатом этого постановления явилось то, что Наркомпрос в начале 1922 г. принимает решение об организации в Ясной Поляне, на базе школы УОНО и художественно-промышленных мастерских, Яснополянской школы. Заведующей школой была назначена А. А. Толстая, хранитель усадьбы «Ясная Поляна».

Что же представляла собой в то время наша школа? Предоставим слово современнику-очевидцу.

В конце 1922 г. работник Наркомпроса, известный педагог Н. В. Чехов, обследовал школу. Вот, что рассказывает он о ее состоянии: «Материальная база обоих училищ ниже всякой критики. Начальная школа помещается в бывшей церковно-приходской школе, состоящей из классной комнаты очень небольших размеров и с неправильным освещением и крошечной комнаты для учительницы. Так как в школе свыше 100 человек учащихся, то в прошлом году учение велось в две смены, причем каждая смена занималась через день. В нынешнем году для школы отведена еще одна кирпичная изба в деревне, тоже состоящая из одной комнаты и холодных сеней. Обстановка классов самая убогая. Во вновь отведенном помещении имеются вместо ученических парт длинные столы на козлах с наклоненной верхней доской самого нелепого вида и совершенно неудобной для занятий. Раздевальни нет. Дети сидят в полушубках».

Но не лучше обстояло дело со вторым учреждением. «Художественно-промышленные мастерские» не соответствовали своему громкому названию.

«Школа для подростков помещается в усадьбе в одном здании с хлевом. Чтобы пройти в эту «вторую ступень», как ее здесь называют, надо пройти через хлев по навозной жиже, и тогда внутри этого хлева вы увидите дверь с надписью: «Вход в художественные мастерские воспрещен».

Оборудование мастерских вполне соответствовало их окружению и было до крайности убогим.

2. Яснополянская школа в 1923—29 гг.

Прошел год после первого обследования опытной школы в Ясной Поляне.

В. В. Вербицкий, преподаватель истории

Рабоче-крестьянская Красная Армия вышвырнула за границу охвостье интервентов и белогвардейщины. Советское государство начало залечивать раны империалистической и гражданской войны. В ноябре 1923 г. в своей докладной записке в Наркомпрос А. А. Толстая сообщает: «Из намеченного плана по превращению Ясной Поляны в культурный центр в настоящее время имеется школа I и II ступени на 184 учащихся, амбулатория для детей и всего местного населения, народная библиотека-читальня (4 000 томов), мастерские: деревообделочная, слесарная, швейная и переплетная.

Где же помещалась школа II ступени?

Неужели в тех двух убогих зданиях, о которых писал в своем отчете Чехов? — Нет. К осени 1923 г., в дополнение к двум прежним, школа получила еще одно новое здание.

Приехавшие осмотреть имение великого писателя американцы, для того чтобы порисоваться своей щедростью, собрали деньги и выстроили новое школьное здание.

Правда, щедрость еврейско-американской организации Джойнт имела свои весьма определенные пределы, и построенное ею здание имело довольно-таки неказистый вид и производит жалкое впечатление в сопоставлении с каменной школой-дворцом, выстроенной впоследствии советским правительством.

Мичуринский участок

Даже в те годы это помещение школы никак не могло удовлетворить запросов учителей и учащихся.

«Здание «американки» было очень неудобным для занятий. Холодное, тесное. На уроках мы часто сидели одетыми», так пишет в своих воспоминаниях бывшая ученица школы (а теперь врач Яснополянской больницы А. Т. Брусова),

Не лучше характеризует «американку» и другой бывший ученик школы.

«Вспоминается маленькая деревянная школа, одиноко стоявшая на горе... Аудитории были неудобными для занятий, в маленький узкий коридор было страшно входить. Задержавшиеся в аудиториях преподаватели с трудом пролезали в маленькую полную дыма учительскую».

Так обстояло дело вплоть до 1928 г.

В содержании школьной работы до 1924 г. первое место занимала работа в ремесленных мастерских. Но, начиная с 1924 г., на первый план выдвигается сельскохозяйственный уклон. Агрономы (вначале Смидович, а потом И. В. Долинино-Иванский) и учащиеся школы ведут в 1924—1928 гг. агрономическую пропаганду в окружающих деревнях.

Эта пропаганда способствовала тому, что деревни: «Ясная Поляна», «Телятинки», «Грумонт» и «Воробьевка» переходят от трехполья к многополью. Помимо этого, учащиеся школы под руководством агронома ставят опыты по рациональному кормлению скота и организуют применение минеральных удобрений.

К 1928 г., как мы это видим из докладной записки А. А. Толстой от 11 декабря 1927 г., сельскохозяйственный уклон является основным и профессиональным уклоном школы:

«Школа девятилетка готовит ребят к поступлению в сельскохозяйственные вузы и техникумы и, кроме того, дает им возможность работать в деревне в качестве лесных старост, контроль-ассистентов, помощников агрономов и в разных видах кооперации».

Характеризуя работу школы в промежуток с 1924 г. по 1929 г., нельзя не указать и того, что в эти же годы школа вела культурно-просветительную работу среди населения. Работали кружки по ликвидации неграмотности, в народном доме неоднократно ставились силами учащихся сценические постановки, и под руководством работника школы С. А. Грацианской был создан хоровой кружок из крестьянской молодежи.

Однако, в идейно-политическом направлении работы школы существовали в этот период

Живой уголок

крайне значительные пробелы. Руководитель школы А. А. Толстая стремилась держать школу вне политики, отгораживалась от окружающей партийно-комсомольской общественности села, пропагандируя «толстовство», отказываясь от проведения антирелигиозной и военной работы в школе.

Однако создать «китайскую стену» между школой и растущей общественно-политической активностью советской страны оказалось невозможным. Уже в 1924 г. в стенах школы появляются комсомольцы и пионеры. Характерно однако, что школа не имела своей комсомольской ячейки и своего пионеротряда, а отдельные учащиеся вступали в соответствующие организации на селе.

Отрыв школы от общественно-политической жизни, слабое выполнение ею задачи коммунистического воспитания подрастающего поколения подчеркивались в ряде очень резких выступлений и на Тульской конференции в 1924 г.

Характеризуя этот исключительно серьезный прорыв в работе школы в 1924—1929 гг., мы, однако, далеки от того, чтобы обвинять весь педагогический коллектив школы в антикоммунистических настроениях, и тем более не считаем, что подобного рода настроения были привиты большинству учащихся школы. Так, например, комсомольское влияние в школе росло из года в год вопреки желанию отдельных руководящих работников школы, и к 1928 г. в школе было уже 22 комсомольца и 63 пионера. 1928 г. проходил в истории Яснополянской школы под знаком подготовки и проведения 100-летнего юбилея со дня рождения Толстого. Сильно выросла к этому времени школа.

Помещение «американки» ни в какой мере не удовлетворяет потребностям растущей школы.

И вот советское правительство принимает решение о постройке к столетнему юбилею Толстого большой школы-памятника.

На «кабацкой горе», где в старину стоял кабак, развертывается строительство школы.

Быстро растут стены просторного двухэтажного здания. А немного поодаль и влево как символ скудости филантропии ютится тесное, неприглядное строение пресловутой «американки».

В своем отчете за 1928 г. А. А. Толстая вынуждена была констатировать, что «Государство не пожалело средств на строительство школы-памятника Льву Николаевичу Толстому. Здание построено большое, светлое, оно состоит из 9 классов, раздевальни, комнаты для сторожа и большой залы».

А один из педагогов школы (Синицына) в своих воспоминаниях пишет: «Терпели мы

неудобства, тесноту помещения 5 лет. К концу февраля 1928 г. была готова новая каменная школа к большой трудно передаваемой радости учеников, родителей и педагогов. Чувствовалось, что случилось что-то хорошее, светлое, что вот оно с нами на многие, долгие годы....

Советская власть, несмотря на тяжелое экономическое положение страны, щедро дала средства для памятника своему мировому писателю, художнику слова, А. Н. Толстому».

В сентябре 1928 г., в дни юбилея, происходит торжественное открытие нового здания школы.

3. Яснополянская школа в 1929—1936 гг.

Период 1929—1931 гг. может быть охарактеризован, как период организационного разбухания школы; VIII и IX классы школы девятилетки ликвидируются, а над семилеткой надстраивается сельскохозяйственный техникум с тремя отделениями: 1) животноводческим, 2) садово-огородным и 3) агрономическим. В окружающей сельской жизни происходят в это время большие социально-экономические сдвиги.

Рушится вековое единоличное хозяйство.

К лету 1931 г. уже во всех деревнях Яснополянского сельсовета образуются колхозы.

Студенты сельскохозяйственного техникума вед т разъяснительную работу по коллективизации и помогают новым колхозам в составлении производственных планов и в налаживании счетной работы.

Как живет в эти года школа семилетка?

В школьной работе этого времени значительный вес имеют элементы «левацкого» прожектерства.

Педагогические советы просиживали до 2 часов ночи, «осмысливая» метод проектов и разрабатывая планы бригадно-лабораторных занятий.

Резкий отпор методическому прожектерству был дан в постановлении ЦК ВКП(б) от 5 сентября 1931 г.

1931/32 учебный год главное внимание было обращено на борьбу с «коренным недостатком», на борьбу за систематические знания и навыки. Новое в жизни школы заключалось также и в том, что впервые в истории школы начинают проводиться военные занятия. Пережитки «толстовского» отношения к военному делу были ликвидированы.

1932/33 учебный год явился для школы годом борьбы за качество урока как основного звена в учебной работе.

Постановление ЦК ВКП(б) от 26 августа 1932 г. подчеркивало, что урок является «основной формой учебной работы в начальной и средней школе».

Яснополянская школа в 1932 г. объявила поход за качество урока.

Педагогическим коллективом школы были разработаны общие педагогические и дидактические требования к уроку. На выполнение этих требований школа мобилизовала все силы, от которых в большей или меньшей степени зависит качество урока. Учителя, учащиеся, родители, технические служащие., а также административно-технический аппарат, вступая в поход, давали свои обязательства.

Социалистическое соревнование подняло энтузиазм в работе педагогического коллектива и в работе учащихся.

Это способствовало поднятию качества работы, повышению успеваемости. Однако в организации этого хорошего и нужного для школы начинания дело не обошлось без погони за громкой фразой, без игры в словечки, без перегибов.

Так, например: если вся борьба за качество урока была оформлена как «поход» за урок, то в соответствии с этим совещания в ходе социалистического соревнования носили названия «привалов», а итоговое совещание именовалось «финишем».

В школе в 1932/33 учебном году обучалось уже 305 учащихся, в среде которых было уже 164 пионера и 33 комсомольца. Рост количества учащихся делает узким местом в работе опытной школы интернат. Дело в том, что значительный процент учащихся старших классов (VIII—IX, а затем и X) падал на приезжих детей. Их надо было устраивать и с квартирой и с питанием. Ни того ни другого школа в достаточной мере обеспечить не могла. Квартиры для учащихся снимались в крестьянских избах, расположенных в разных местах деревни. Это создавало много неудобств.

Во-первых, квартирная плата ложилась большим дополнительным бременем на бюджет школы.

Во-вторых, существовавшая практика «рассыпного» интерната никак не способствовала ведению планомерной воспитательной работы с учащимися вне школы.

В-третьих, материально-бытовые условия учащихся оставляли желать много лучшего: комнаты были зачастую темные, тесные, не приспособленные для общежития. Топка печей входила в обязанность самих учащихся, да и дрова завозились в дальние «филиалы»

интерната не совсем регулярно (особенно в периоды весенней и осенней распутицы).

Иногда можно было даже наблюдать такую картину. Ученик, прозанимавшись 5—6 уроков, возвращается в общежитие и тащит книги, тетради и... вязанку дров, предусмотрительно захваченную из школы.

Вопрос о постройке интерната встал перед школой во весь рост.

К концу 1933/34 учебного года здание интерната было построено. Это улучшило материально-бытовые условия учащихся, тем более что одновременно с новым интернатом была открыта и столовая. Все это вместе взятое создавало условия для подъема всей учебно-воспитательной работы школы.

Определенным и несомненным сдвигам в налаживании учебно-воспитательной работы сопутствовало и изменение внешнего облика школьной усадьбы.

На склонах бывшей «кабацкой горы» планируется посадка многообразного по количеству представленных в нем древесных пород парка. 1935/36 г. вновь, как и 1928, был связан с толстовской годовщиной. В этом году школа отметила 25-летие со дня смерти великого писателя. Готовясь к встрече гостей, школа развернула в классах и коридорах большую фотовыставку, отражающую воспитательную работу и работу над методикой отдельных учебных дисциплин. Толстовские дни прошли с большим оживлением.

Впечатления, оставшиеся от школы у гостей, посетивших ее в 1935 г., сильно разнятся от аналогичных высказываний в 1928 г. Все посетители отмечают не только хорошее внешнее оформление школы и содержательную учебно-воспитательную работу, но (в отличие от 1928 г.) не высказывают никакого сомнения и в правильности общественно-политической линии в работе школы.

Прошли юбилейные дни, и школа вновь углубилась в упорную, повседневную будничную работу.

Перед школой стояла в 1935/36 учебном году трудная и ответственная задача — решительно поднять грамотность учащихся школы. Помимо специальной и углубленной работы на уроках русского языка, борьбой за грамотность была пронизана вся учебно-воспитательная работа школы.

Из других участков школьной работы значительно окреп и вырос в 1935/36 учебном году участок работы с юными натуралистами. Юннаты нашей школы участвовали в ряде сельскохозяйственных выставок, были дважды премированы.

Наконец, в этом же году было положено начало и строительству нового здания школы, закончившемуся к середине 1936/37 учебного года.

За » оды своего существования в Ясной Поляне школа дала для вузов не один десяток хорошо подготовленных юношей и девушек.

Многие бывшие учащиеся Яснополянской школы, уже находясь в вузе, с уважением и любовью вспоминают свою школу и своих учителей.

Особым вниманием со стороны учащихся школы пользуется учительница математики М. И. Змиева, работающая в нашей школе уже свыше 12 лет.

«Из преподавателей наибольшим авторитетом и любовью пользовалась среди нас Мария Ивановна Змиева. Математика при ее способах преподавания являлась у нас вполне доступным и интересным предметом»,— так пишет в своих воспоминаниях одна из бывших учениц школы.

Бывшая «американка»

ШКОЛА СЕГОДНЯ

И. ТЕЛЕГИН (Ясная Поляна) (директор школы)

В ясный солнечный день любого времени года Ясная Поляна при въезде в нее особенно представляется ясной.

Среди отдельно расположенных перелесков, парков, садов и небольших горок с лощинами между ними вашему взору сразу представляется несколько полян. На одной из них расположено селение Ясная Поляна — колхоз «Путь Ильича».

Л. Н. Толстой, несомненно, удивился бы, если бы увидел теперь настоящую, сегодняшнего дня, Ясную Поляну, измененную руками рабочего класса и трудящегося крестьянства.

Вместо захудалой деревушки с двумя кабаками и чрезвычайно грязной дорогой Ясная Поляна превратилась в культурный уголок Советского Союза. Имение графа А. Н. Толстого, расположенное на другой поляне, за прудом, превращено в Музей А. Н. Толстого. Народный дом, прекрасная, изящно и культурно обставленная больница им. А. Н. Толстого, шоссейная дорога, электрическое освещение, водопровод и палисадники у крытых черепицей (вместо прежних соломенных крыш) домов колхозников и, наконец, детский сад Наркомпроса и средняя школа им. А. Н. Толстого совершенно изменили лицо Ясной Поляны, превратив ее под руководством ВКП(б) и советской власти в действительно культурный уголок Советского Союза.

Два белых толстых столба у бывшей усадьбы А. Н. Толстого обозначают начало входа в усадьбу-музей А. Н. Толстого.

Почти против бывшей усадьбы Толстого, немного левее ее, за овражком, точнее — против фруктового сада бывшего имения А. Н. Толстого, на возвышенной поляне, на бывшей так называемой «Кабацкой горе», где стоял грязненький кабачишко, теперь гордо красуется большое двухэтажное белое каменное здание школы-памятника А. Н. Толстому.

После Великого Октября диктатура пролетариата неузнаваемо изменила проклятую кабацкую горку.

Прекрасное здание, памятник великому писателю А. Н. Толстому, заменило грязненький кабак. Голая бывшая пьяная горка теперь засажена прекрасным дендрологическим парком с двумястами пород различных деревьев и кустарников средней и южной полосы СССР. Дорожки, цветы и клумбы придают молодому парку симпатичный и культурный вид. Самая разнообразная растительность— клен американский, уксусное дерево, каштан конский, бархат, серебристый тополь, герга, роза, сирень рябинолистная, белая акация, барбарис, местные породы деревьев и т. д. и т. п. делают парк интересным и ценным и с точки зрения изучения естествознания и географии в школе.

Мичуринский участок и школьный опытный участок с массой сортов мичуринских яблонь, винограда и прочего дополняют эту культурную ценность усадьбы-школы.

В 1918 г. американское общество «Джойнт», руководствуясь «альтруистическими» чувствами и желая «помочь» русскому народу, выстроило на кабацкой горке новую деревянную, с двумя классными комнатами, школу.

До сих пор еще стоит это здание и напоминает о своем происхождении его прозвищем «американка». Однако каким убожеством эта «американка» выглядит по сравнению с новым зданием школы, выстроенным советской властью в 1928 г. и увеличенным пристройкой в 1936 г.

Новая школа-памятник А. Н. Толстому говорит о том, как советская власть умеет чтить великих людей, говорит о развернувшейся подлинной социалистической культурной революции, охватившей рабочий класс и трудящееся крестьянство, говорит о возросшей мощи Советского Союза, строящего социализм.

И. Н. Телегин, директор школы

Полная средняя школа с 13 классными комнатами, 3 кабинетами — естествознания, физики и химии, состоящими каждый из 2— 3 комнат, с большим залом, пионерской комнатой, библиотекой из 2 больших комнат, учительской, педагогическим кабинетом, столовой и другими комнатами, всего в количестве 43 комнат, — вот что представляет собой новая Яснополянская школа.

Можно с уверенностью сказать, что в Ясной Поляне, в школе, есть все необходимые условия для учебы и учебно-воспитательной работы.

Основным контингентом учащихся Яснополянской школы являются дети крестьян-колхозников селения Ясная Поляна и окружающих деревень. Рост учащихся за последние годы говорит о развертывающейся по всему Советскому Союзу культурной революции и введении всеобщего обязательного обучения. По годам рост учащихся по школе виден из следующих цифр:

1929/30 г.....—216

1932/33 г.....—268

1935/36 г.....—360

1937/38 г.....—499

Школа имеет два входа и два вестибюля— парадный и рабочий вход для постоянного хождения в школу.

В вестибюле парадного входа стоит трехметровая скульптура писателя А. Н. Толстого работы скульптора Королева.

Две лестницы с цветочными плошками на барьерах, что придает лестницам очень красивый вид, ведут прямо из вестибюля на второй этаж здания. Цветы на барьерах лестниц приучают учащихся аккуратно ходить по лестницам, не бегать, не хвататься за барьеры и не кататься по ним. Стрелки на лестницах указывают направление движения по лестницам.

В вестибюле постоянного входа устроена раздевальня для учащихся. На лестнице этого входа, на площадке перед вторым маршем лестницы, на подставке, обитой полотном, стоит бюст Ленина.

В коридорах первого и второго этажей — у окон цветы, на стенах — портреты вождей.

Тов. Сталин изображен на портрете с девочкой Гелей Маркизовой с букетом цветов. Характерным для Яснополянской школы, что редко встретишь в других школах, является то, что в школе имеется довольно большое количество портретов революционных деятелей и деятелей науки и искусства. Так, например, в коридоре второго этажа имеются портреты (в рамках на полотне) революционных деятелей: Марата, Пестеля, Чернышевского, Халтурина, К. Либкнехта и др. Дальше идет ряд портретов географов: О. Ю. Шмидта, Кука, Васко-де-Гама, Магеллана, Колумба, Пржевальского.

В зале школы кроме портретов вождей — Ленина, Сталина, Молотова, Калинина, Ворошилова и Буденного — есть портреты композиторов: Глинки, Бетховена, Римского-Корсакова, Чайковского и др.

Зал представляет собою вообще большую ценность для школы. В зале имеется сцена и прекрасные дубовые, обитые дермантином стулья в количестве 300 шт. У сцены стоит рояль. В зале проходят уроки пения и музыки, вот почему здесь портреты композиторов. В этом же зале ставятся кинокартины.

Осенью 1936 г. школа приобрела звуковое кино. С тех пор учащиеся Яснополянской школы получили возможность смотреть и слушать 3—4 звуковых картины в месяц. Ассортимент кинокартин подбирается специально в учебно-воспитательных целях.

Учащиеся любят кино и с удовольствием его посещают. Часто перед картинами преподаватели школы делают вступительное или объясняющее слово.

В каникулы, в целях лучшего культобслуживания учащихся, количество кинокартин увеличивается. Учащиеся уже имели возможность видеть и цветные фильмы.

Особенно приятно в школе выглядят классные комнаты. В классах, как правило, дубовые парты цвета натурального дуба (не окрашенные и лишь проолифленные). Размер парт соответствует возрасту учащихся данного класса. По середине класса стоит дубовый стол учителя и дубовое кресло. На стенах — 2—3 портрета вождей. Большая классная доска, покрытая черным линолеумом, висит на стене. В углу стоит дубовый шкаф учителя для учебных и наглядных пособий. Вся мебель и парты содержатся в чистоте. За учащимися закреплены определенные места. Учащиеся берегут свои парты и не допускают помарок их чернилами. В каждом классе имеется также дубовая подставка для вывешивания географических карт и карт по истории. Во время перемены учащиеся выходят из класса, и дежурный учащийся согласно школьному режиму открывает форточки.

Классная комната X класса, где по русскому языку изучается, главным образом, литература, оборудована портретами писателей: Пушкина, Толстого (60-х годов), Гете, Шиллера, Сервантеса, Данте и Мольера. На

В кабинете биологии

стенах имеются также фотографии и других писателей.

И, наконец, гордостью школы являются ее учебные кабинеты: естествознания, физики и химии.

В отличие от классов кабинеты оборудованы столами. Столы, табуретки, демонстрационный стол учителя, шкафы для наглядных пособий и лабораторного оборудования сделаны также из чистого неокрашенного дуба.

В каждом кабинете портреты мировых ученых в данной отрасли науки.

В кабинете естествознания — портрет любимого детворой и всеми трудящимися Советского Союза Ивана Владимировича Мичурина, портреты Дарвина, Павлова и Тимирязева.

Вдоль окон кабинета на скамейке стоят цитрусовые (лимоны). Многие из них цветут, распространяя по кабинету прекрасный аромат. Есть завязи и уже довольно крупные новые лимончики. В кадках лимонов стоят этикетки с фамилиями учеников-юннатов, которые ухаживают за деревцами и ведут об этом дневник.

Большую ценность представляет и живой уголок кабинета естествознания. Довольно разнообразен мир живого уголка: растения в плошках и комнатной теплице, аквариумы с рыбками, местными и южными, — золотой рыбкой, телескопом и др.; много птичек, есть белка и хорек в клетках, морские свинки, белые крысы, в террариумах — ужи, лягушки, в банках — аксолотли и т. д. и т. п.

Учащиеся очень любят живой уголок и всегда в него заходят.

«Крупный скот» живого уголка, в виде кроликов, помещается в особом здании вне школы.

Кроме живого уголка, при кабинете имеется также лаборантская комната с шкафами для лабораторного оборудования и наглядных пособий.

Яснополянская школа имеет довольно приличный запас оборудования и наглядных пособий. Так, например, кабинет естествознания имеет 17 микроскопов и соответствующий набор материалов и инструментов для лабораторных работ.

Наглядные пособия и лабораторное оборудование занимают в кабинете 9 больших шкафов.

Такими же прекрасными кабинетами является и кабинет физики и химии. Та же чистого дуба мебель. Дубовые столы вместо парт. Дубовые шкафы и довольно солидней запас оборудования. Достаточно сказать, что в кабинетах по физике и химии есть полный запас оборудования для проведения всех лабораторных работ по физике и химии, предусмотренных программой Наркомпроса для VI—X класса средней школы.

В кабинете физики — портреты Ньютона, Галилея, Джемс-Уотта, Эдисона.

В кабинете химии — Менделеева, Ломоносова, Лавуазье.

Видя такую школу с ее оборудованием, многие посещающие школу товарищи, естественно, высказывают мысль о том, что «вот, в такой школе я с удовольствием бы поучился».

Яснополянскую школу посещают и иностранные представители. Некоторые из них, зная о наименовании школы именем А. Н. Толстого, спрашивают: а что же из педагогических идей Толстого вы проверяете в опыте своей работы? Мы отвечаем — ничего. Педа-

готические идеи Толстого в их идеологической части с теорией свободного воспитания неприемлемы для советской школы. Наша школа-памятник писателю А. Н. Толстому представляет из себя самую обыкновенную советскую школу, работающую по программам Наркомпроса и отличающуюся от массовых школ лишь тем, что отдельные темы программ Наркомпроса мы проверяем на опыте своей работы и пишем об этом соответствующие заключения, статьи.

Из других комнат школы особого внимания заслуживает библиотека, учительская и пионерская комнаты.

Библиотека школы насчитывает с пополнениями 1937 г. в круглых цифрах 28 тыс. томов. Библиотека занимает две равные классам комнаты. Такая библиотека необходима как для учеников, так и в особенности для учителей, занимающихся научной работой.

Учительская комната в отличие от классов и кабинетов оклеена обоями, обставлена мягкой мебелью и на стенах имеет, кроме портретов вождей, портреты великих педагогов: Ж. Ж. Руссо, Г. Песталоцци, Яна Амоса Коменского и К. Д. Ушинского.

Пионерская комната оборудована столами и играми для занятий учащихся во время отдыха. Здесь проводятся пионерские сборы, занятия с пионерами по подготовке к выступлениям в дни революционных и школьных праздников.

Здесь же имеются музыкальные инструменты, шахматы, шашки и пр. На стенах— фотогазеты, плакаты и портреты вождей.

Дети любят эту комнату. В перемены между уроками и по вечерам, в свободное время от подготовки к урокам, они приходят сюда на пионерские сборы или поиграть в имеющиеся здесь игры.

Учащиеся Яснополянской школы и население любят свою школу, но не менее их любят свою школу и педагоги Яснополянской школы.

В Яснополянской школе хорошо учиться, хорошо и работать. В Яснополянской школе имеется дружный, хорошо сплоченный педагогический коллектив. Многие педагоги в Яснополянской школе работают по 5— 10—15 лет.

Больших трудов стоило педколлективу создать такую школу, но «нет таких крепостей, которые бы большевики не могли взять» сказал товарищ Сталин, и педколлектив выполнил задачу по постройке и по созданию самой школы и примет все меры к тому, чтобы выполнять другое указание партии — о выпуске учащихся, более подготовленных для поступления в вузы и техникумы. Огромнейшая работа проводится школой в борьбе за грамотность. Хорошо подготовленные уроки и повышающаяся успеваемость учащихся говорят об этом. У педагогов вошло в правило систематически готовиться к урокам. И днем и вечером мы всегда видим педагогов в школе, в кабинетах или занимающихся с отстающими учениками. В некоторых классах у нас нет второгодников. Общий процент второгодников за 1936/37 учебный год выражается в 3%.

В кабинете химии

КАК Я ГОТОВЛЮСЬ К УРОКУ

М. И. ЗМИЕВА (Ясная Поляна)

На советского народного учителя партия и правительство возлагают почетнейшую и ответственнейшую задачу — обучить и воспитать молодое поколение строителей социализма. Эта задача может быть с успехом разрешена лишь в том случае, если каждый педагог, честно работающий в школе, будет систематически, изо дня в день, из года в год, работать над своим предметом, изучать и проверять методику своего преподавания и, самое главное, тщательно обдумывать решительно каждый шаг своей деятельности. Самоуспокоенность, отсутствие критического отношения прежде всего и, главным образом, к самому себе всегда вредно отзываются на результатах работы.

Преподавателю математики, как и любому работнику школы, надо предъявить со всей решительностью требование самым тщательным образом готовиться к уроку. Сколько бы лет ни работал педагог, каким бы опытом преподавания он ни обладал, но успех его работы всегда зависит от того, насколько он подготовлен к уроку, насколько он уверен в том, что то, что он делает, он делает правильно. Нет необходимости доказывать, что степень подготовленности педагога к занятиям сказывается буквально с первых же минут урока. Учащиеся — это довольно остро чувствующий барометр, безошибочно во многих случаях определяющий сегодняшнюю «погоду» на уроке. И если учитель путается в приемах, если у него нет под руками материала, если он не выработал для себя необходимого темпа работы, если он отвлекается, не умеет втянуть всех учащихся в работу, одним словом, если он не подготовлен к уроку,— это сразу же передается классу. Скука заволакивает глаза детей мутной пеленой, руки их тянутся к другой книге, мысли их направлены в другую сторону, ибо они не получили в самом начале правильного направления или сбиты были с определенного пути неловкостью учителя — и урок пропал. Какое горькое разочарование постигает учителя, когда он пытается проверить результаты своей работы! Лучшие ученики путаются в ответах, вопросы учителя не вызывают почти никакой реакции. И если учитель, отрешившись от мысли, что виноваты дети, которые сегодня «как с ума сошли», станет продумывать и критически пересматривать каждый свой шаг, он всегда придет к выводу, что виноват по существу он сам, что дети здесь не при чем, что в процессе подготовки к уроку он опустил одну, оказавшуюся важной, деталь и эта забытая деталь сорвала весь ход работы.

Опытом своей работы по математике в части подготовки к урокам я хочу поделиться в этой статье. Я преподаю математику более 20 лет и с первого же года начала составлять планы и конспекты уроков, причем вначале я неодинаково готовилась к каждому классу: ежегодно я брала один класс и конспектировала каждый урок только этого класса, учитывая все недочеты, которые встречались при проведении урока; подготовка же к урокам в остальных классах состояла только в составлении схематического плана и в подборе задач.

На следующий год разрабатывала конспекты всех уроков другого класса, исправляя в то же время предыдущие.

Начну с плана на четверть. План на четверть и конспект на каждый урок имеют решающее значение как для проработки программы, так и для успеваемости учащихся.

Для того чтобы с наибольшей продуктивностью использовать время, отведенное для занятий по математике, необходимо прежде всего определить объем программного материала, который необходимо изучить. Программа дает указания только относительно теории. Что же касается задач, упражнений,

М. И. Змиева

примеров, то ни программа, ни задачники, ни учебники не дают точных указаний относительно того, сколько и какие упражнения надо сделать, чтобы у ученика выработался определенный навык. Поэтому я прежде всего уточняю содержание каждого урока и в зависимости от этого разбиваю уроки на следующие типы:

1. Уроки, на которых, главным образом, изучается новый материал.

2. Уроки, на которых закрепляется новый материал и указывается применение его к решению задач и примеров.

3. Уроки, посвященные приобретению навыков, на которых главное внимание обращается на упражнения в решении примеров и задач.

4. Контрольные уроки, состоящие или из письменных работ или из устного опроса по теории по определенным темам.

На каждом уроке независимо от типа его я провожу повторение прежде изученного, устные упражнения, опрос по теме данного урока и даю задание на дом.

После того, как намечены типы и план каждого урока, приступаю к обдумыванию содержания и объема материала, который надо изучить в данной теме на четверть. Прежде всего просматриваю учебники и методики, потом распределяю теоретический материал по урокам, продумываю, какая часть теории должна быть проработана в классе, какая часть должна быть дана для самостоятельного изучения учениками дома по учебнику, и, наконец, делаю наметку, в какое время в течение четверти буду производить опрос как для закрепления, так и для повторения изученного.

Это — первая часть плана на четверть. Вторая часть плана относится к задачам и упражнениям.

Задачи и примеры необходимо подобрать на всю тему заранее, чтобы их равномерно по степеням трудности распределить по урокам. При подготовке к каждому уроку без предварительного подбора задач по всей теме могут быть взяты задачи случайного характера или на часть задач может нехватить времени. Поэтому при составлении плана на четверть я просматриваю задачи и примеры, данные в задачниках, в методических статьях, в журн. «Математика в средней школе», в учебниках и т. д., отбираю их, распределяю по степеням трудности и после этого примерно распределяю задачи по урокам.

Эта часть плана может быть изменена в процессе работы, может быть, придется на одной части задач остановиться дольше, подобрать еще или составить новые такого же типа. Поэтому я подбираю задачи в большем количестве, чем смогу использовать в работе, при этом я имею в виду сильных учеников, которым даю более трудные.

Третья часть плана заключает в себе повторение. На повторение я отвожу 5—10 минут на каждом уроке и начинаю повторение с самого начала учебного года. В первой четверти я повторяю с учениками основной материал курса предыдущего года. Во второй четверти мы повторяем изученное в первой четверти и т. д. В четвертой четверти я отвожу часть времени специально на повторение всего курса.

Повторение, так же как и решение упражнений, не должно быть случайным: оно должно проводиться систематически, и поэтому его надо спланировать заранее.

Материал для повторения по содержанию различен в курсах алгебры и геометрии.

Повторение в курсе алгебры направлено, главным образом, на закрепление навыков. Поэтому при составлении плана на четверть учебного года я подбираю типичные примеры по пройденному разделу курса и систематизирую их: часть примеров, наиболее легких, отношу к устным упражнениям на уроке, часть примеров — намечаю к решению на уроках и, наконец, часть упражнений составляю для задания на дом. Кроме этих упражнений, я подбираю в систематическом порядке упражнения для задания на дом менее и более подготовленным ученикам. Первым составляю упражнения или на отдельную часть раздела курса, которую каждый из них слабо усвоил, или на весь раздел в систематическом порядке, причем примеры даю легкие, но необходимые для закрепления основ раздела. Упражнения составляю на каждый день. Более подготовленным ученикам составляю упражнения, содержащие трудные примеры, большею частью такие, которые в классе не решаем, например, найти величину выражения:

Целью таких упражнений является развитие у учеников способности ориентировки в решении более сложных задач, а отсюда и повышения математического развития. В плане на четверть я не распределяю эти примеры по урокам, но в течение четверти составляю отдельные задания на дом из отобранных примеров на определенный срок — одну, две недели.

Повторение в геометрии я использую для закрепления и уточнения знаний учеников по вопросам теории и умения применять изученное теоремы к решению задач. Поэтому повторение и ведется в этих двух направлениях. При планировании повторения теории в течение четверги я выбираю основные теоремы и в систематическом порядке распределяю их по урокам. Отмечаю те теоремы, которые учащимся трудны и которые слабо усвоены, для того, чтобы обязательно повторить их на уроке. Теоремы, более доступные для учеников данного класса, и теоремы, хорошо усвоенные, намечаю для повторения только дома.

Для повторения применения теории к решению задач подбираю для устных упражнений на каждом уроке простейшие задачи и чертежи, на которых ученики должны показать знание той или иной теоремы, например, в VIII классе для повторения подобия треугольников в третьей четверти я даю чертеж, на котором ученики должны найти подобные треугольники.

Затем подбираю на каждый урок ряд несложных задач для решения их в классе и дома. Кроме этого, так же как и в алгебре подбираю ряд задач для менее и более подготовленных учеников.

В процессе работы изменения в намеченном плане могут произойти, во-первых, оттого, что определенная часть изученного раздела окажется забытой, тогда придется подобрать ряд новых задач для того, чтобы восстановить забытое в памяти учащихся; во-вторых, оттого, что новый материал окажется неожиданно более затрудняющим учащихся, чем я предполагала, так что нехватит времени на повторение. Тогда придется часть намеченных задач оставить нерешенными.

В плане на четверть я намечаю также и те наглядные пособия, которые должны быть изготовлены для проведения того или иного урока.

Таким образом, план на четверть, охватывая все разделы работы в целом, является основой, на которой строится каждый урок.

ПЛАН

на четверть по геометрии в VIII классе Тема «Метрические соотношения в треугольнике и круге»

Содержание урока

Повторение на уроке

Повторение на дом

Отметка о выполнении

1. Соотношения в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора

2. Решение задач. Задачник Рыбкина, § 10, № 1, 2, 3,7,8,9

3. Решение задач. Задачник Рыбкина, § 10, № 14, 15, 17, 18, 21/3/, 23

4. Решение задач № 25, 26, 27, 33, 36, 37, 38

5. Задачи № 40, 41,49,53, 54, 57/3/. Письменная работа (10 — 15 минут)

6. Соотношения в остроугольном и тупоугольном треугольниках

7. Решение задач № 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87

8- Решение задач № 88, 89,90, 91

Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника

Свойство параллельных прямых, пересекающих стороны угла

Обратная теорема о свойстве параллельных прямых, пересекающих стороны угла

Подобие треугольников

Построение четвертого пропорционального

Деление отрезка в данном отношении

Задача на подобие

Свойство параллельных прямых, пересекающих стороны угла. Задача на подобие треугольников

Свойство параллельных прямых, пересекающих стороны угла (обратная теорема). Задача на подобие

Задача на подобие треугольников

Свойство биссектрисы угла треугольника. Задача на подобие

Построение четвертого пропорционального

Деление отрезка в данном отношении

Свойство прямой, параллельной стороне треугольника

3 признака подобия треугольников

Продолжение

Содержание урока

Повторение на уроке

Повторение на дом

Отметка о выполнении

9. Свойство квадратов диагоналей параллелограма. Опрос доказательства теорем, изученных в третьей четверти

10. Решение задач № 102, 103, 104, 105

11. Решение задач №106, 107, 108

12. Формула Герона

13. Формула Герона

14. Решение задач № 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66

15. Письменная работа

16. Пропорциональные линии в круге

17. Решение задач № 1, 2, 3, 4, 5, 6

18. Решение задач № 10, 11, 14, 15, 19

19. Решение задач № 20, 21, 22, 33, 34, 35

20. Деление отрезка в крайнем и среднем отношении

3-й признак подобия треугольников

3-й признак подобия прямоугольных треугольников. Задача на подобие

Задача на подобие; свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника

Отношение площадей подобных треугольников

Подобные треугольники

Свойство биссектрисы угла треугольника

Подобные треугольники

Подобие прямоугольных треугольников

Свойство высот подобных треугольников

Отношение площадей подобных треугольников

Задача на подобие

Задачи на подобие и свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника

Задача на подобие

Задачи на свойство биссектрисы угла треугольника

Примечание. Из намеченных задач часть решается в классе, часть дома.

Задачи для слабо подготовленных учащихся

1-й урок. Даны два треугольника ABC и DE К, у которых L А = L D, L В = / Е, АВ=10 см, АС= 10 см, ВС=12 см, DE=4 см. Найти остальные стороны треугольника DEK.

Написать, на чем основано решение этой задачи.

2-й урок. Даны два прямоугольных треугольника, у которых острый угол А равен острому углу D. Гипотенуза AB = 20 см, катет АС = 10 см. Гипотенуза DE —2 см. Найти катет DK.

3-й урок. В треугольниках ABC и DEK LA = L О и LC = LK. Основание АС = 40 см, соответствующая высота равна 20 см. Основание треугольника DE К— DK =15 см. Найти высоту треугольника DE К.

Написать, на чем основано решение этой задачи. 4-й урок. Даны два подобных треугольника, две сходственные стороны которых 18 см и 6 см. Как относятся площади этих треугольников?

Написать, на чем основано решение этой задачи. 5-й урок. Стороны треугольника 12 см, 15 см, 18 см. Меньшая сторона подобного ему треугольника 6 см. Найти периметр второго треугольника.

Написать, на чем основано решение задачи.

6-й урок. Две стороны AB и ВС треугольника ABC пересечены в точках К и M прямой, параллельной АС. Сторона АС = 2 м, КМ = 75 см, отрезок MC = 60 см. Найти ВС.

Написать, на чем основано решение задачи.

7-й урок. Прямая КМ пересекает стороны треугольника ABC параллельно основанию АС и отстоит от вершины В на расстоянии 15 см. Определить высоту треугольника ABC, если ЛС = 1 м, КМ = — 25 см.

Написать, на чем основано решение задачи.

8-й урок. Прямая КМ, равная 42 см, пересекает стороны треугольника ABC параллельно основанию АС, которое равно 120 см. КМ отстоит от основания на расстоянии 87 см. Найти высоту треугольника ABC.

Написать, на чем основано решение задачи.

9-й урок. Отрезок DE, равный 40 см, пересекает стороны треугольника ABC параллельно основанию АС. Высота треугольника ABC равна 50 см. На каком расстоянии от основания проходит отрезок DE, если АС = 1 м.

Написать, на чем основано решение задачи. 10-й урок. Отрезок, проведенный параллельно основанию треугольника, отстоит от него на расстоянии 90 см. Определить этот отрезок, если основание треугольника 1,25 м, а соответственная высота 1,5 м.

Написать, на чем основано решение задачи.

11-й урок. Две сходственные стороны подобных треугольников 15 см и 3 см. а) Как относятся площади этих треугольников? б) Как относятся периметры этих треугольников?

Написать, на чем основано решение задачи.

12-й урок. Основания трапеции относятся, как 5 :9, а одна из боковых сторон равна 1,6 дм. На сколько надо продолжить эту последнюю, чтобы она встретилась с продолжением другой боковой стороны?

Написать, на чем основано решение задачи.

13-й урок. Распределить при помощи циркуля и линейки отрезок, равный 5 см в отношении 3:4,

14-й урок. ABCD — трапеция, причем ВС \\ [| АО; О — точка пересечения диагоналей, АО = 1 дм, ОС =15 см, BD — 20 см. Определить OB и OD.

Написать, на чем основано решение задачи. 15-й урок. ABCD — трапеция, причем ВС \\ II AD. О — точка пересечения диагоналей; АО : ОС = — : 0,4.

Найти отношение ВО: OD. Написать, на чем основано решение задачи. 16-й урок. ABCD—трапеция, причем ВС || II AD.0—точка пересечения диагоналей, ВО: OD =9 : 20. Средняя линия трапеции = 29 см. Найти основания трапеции.

Написать, на чем основано решение задачи. 17-й урок. Построить при помощи циркуля и линейки отрезок, пропорциональный отрезкам: а = 5 см Ь = Ъ см, с = 6 см. 18-й урок. ABCD — параллелограм. Из вершины В опущены перпендикуляры ВМ и BN на стороны AD и DC. Определить ВМ, если AB = 10 см, AD = 20 см, BN = 14 см.

Написать, на чем основано решение задачи.

Для устного повторения на уроках

1. Сходственные стороны подобных треугольников равны 8 см и 3 см. а) Как относятся площади этих треугольников? Ь) Как относятся периметры этих треугольников?

2. Сходственные стороны двух подобных прямоугольников равны 7 см и 2 см (8 см и 2 см). Как относятся площади прямоугольников? периметры прямоугольников?

3. Стороны ромба и квадрата пропорциональны. Подобны ли эти фигуры?

4. Подобны ли квадрат и прямоугольник?

5. Подобны ли два равносторонних треугольника?

6. Разносторонний треугольник, сторона которого 0,1 мм, рассматривается под микроскопом, дающим увеличение в 100 раз. Чему равна сторона увеличенного треугольника?

Во сколько раз при этом увеличивается сторона?

Во сколько раз увеличивается угол?

7. Стороны треугольника увеличили в 5 раз. Во сколько раз при этом увеличился угол треугольника?

8. Коэфициент подобия двух подобных квадратов равен 6. Во сколько раз увеличены стороны квадрата? Во сколько раз увеличены углы?

9. Коэфициент подобия двух подобных шестиугольников равен 7. Во сколько раз увеличены стороны? Во сколько раз увеличены углы?

10. Коэфициент подобия двух подобных восьмиугольников = -i-. Во сколько раз увеличены стороны? Во сколько раз увеличены углы?

11. Будут ли подобны треугольники со сторонами а) 8 см, 12 см, 10 см и 4 см, 5 см, 6 см.

б) 6 см, 15 см, 18 см и 3 см, 6 см, 10 см.

в) 10 см, 4 см, 16 см и 30 см, 12 см, 48 см.

12. По условиям, данным на чертеже, найти

Объяснить решение.

13. По условиям, данным на чертеже, найти OD и объяснить решение.

14. По условиям, данным на чертеже, найти АЕ и объяснить решение.

15. По условиям, данным на чертеже» найти AD.

16.

Найти BD.

18. Найти подобные треугольники на рисунке.

Какие проведены касательные?

Какие проведены касательные?

Повторение в классе и дома

Задачник Рыбкина, § 9, № 2, 5, 12, 19, 25, 26, 28, 29, 30, 32, 36, 42,43, 44, 47 (изменить данные).

Задачи для более подготовленных учеников

1. Доказать, что биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противоположной стороны в точке, расстояния которой от концов этой стороны пропорциональны двум другим сторонам.

2. Доказать, если стороны одного треугольника параллельны сторонам другого, то такие треугольники подобны.

3. Доказать, если стороны одного треугольника перпендикулярны сторонам другого, то такие треугольники подобны.

4. Доказать, если три высоты одного треугольника пропорциональны трем высотам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

5. Доказать обратную теорему о свойстве биссектрисы внутреннего угла треугольника: если точка Е делит сторону AB треугольника ABC на две части BE и ЕА, так что ВЕ:ЕА = ВС :АС, то прямая СЕ — биссектриса угла С, лежащего против стороны AB.

6. Периметр треугольника ABC = 170 см. Отрезки АЭ и DC, образуемые биссектрисой BD, равны 22,5 см и 27,5 см. Определить стороны треугольника.

7. Стороны треугольника ABC равны а, Ьу с. Найти проекцию биссектрисы угла А на одну из сторон этого угла.

8. В прямоугольник, стороны которого относятся, как 3:4, вписан ромб со стороною в 25 см. Найти площадь ромба.

Ответ. 600.

9. Перпендикуляры, опущенные из точки, лежащей в плоскости треугольника, на стороны его, определяют на сторонах его шесть отрезков таких, что сумма квадратов трех несмежных равна сумме квадратов трех других.

10. В равнобедренной трапеции большее основание равно--—, все остальные стороны равны между собою, а диагональ равна большему основанию. Найти остальные стороны трапеции.

Ответ. 1.

11. Перпендикуляр, опущенный из центра тяжести треугольника на высоту, равен 6, а основание треугольника равно 20. Найти отрезки, образуемые высотою на основании.

Ответ. 1 и 19.

Подготовка к каждому уроку

Так как содержание каждого часа имеется в плане на четверть, то при подготовке к уроку я обращаю главное внимание на методику проведения его. Для этого в большинстве случаев просматриваю еще раз изложение соответствующего места в методиках и составляю конспект урока.

Как я уже сказала, первой частью урока является повторение, на которое я отвожу 5 —10 минут, давая 2—3 примера по алгебре, 1—2 задачи по геометрии или доказательство теорем и провожу устные упражнения. Для повторения я беру приготовленные вопросы из плана на четверть, иногда несколько изменяя их в зависимости от предыдущих занятий, и намечаю учеников, которых я спрошу на данном уроке. В большинстве случаев на уроке спрашиваю сразу двух учеников. Один решает пример или задачу вслух и объясняет решение, другой ученик решает заданный ему пример самостоятельно. Класс решает первый пример. После того как первый ученик ответил, второй объясняет вслух решение своего примера или задачи, после чего классу даются контрольные вопросы для того, чтобы выяснить, насколько внимательны были ученики и как они поняли решение примера.

В том случае, когда нехватает времени, второй ученик не дает подробного объяснения своего решения. Я только просматриваю решенный пример и даю несколько вопросов как тому ученику, который отвечает, так и другим ученикам. Все эти вопросы мною подготовляются заранее при составлении конспекта.

Вторым этапом урока является опрос по изученной теме. При опросе по геометрии я вызываю двух учеников к доске, которые подготовляют доказательство теорем. В это время всему классу я задаю вопросы и устные упражнения. После того как вызванные ученики подготовили и вслух доказали данные им теоремы, я опять даю 2—3 вопроса по существу доказанных теорем всему классу.

По алгебре в большинстве случаев опрос сводится к вопросам по теории и устным упражнениям по текущему материалу, которые даю всему классу.

Следующий этап зависит от типа урока.

Если урок первого типа, то по геометрии сообщение нового материала — доказательство теорем — я в большинстве случаев даю вопросо-ответным методом. Поэтому тщательно продумываю каждый вопрос, порядок вопросов, которые мною будут предложены учащимся. Такая подробная запись помогает не разбрасываться на уроке и сохраняет время. Например, для проработки в VII классе свойства отрезков параллельных прямых, заключенных между параллельными, мною составлен следующий конспект.

Самым важным моментом при доказательстве теоремы о свойстве отрезков параллельных являются выбор треугольников и нахождение равных элементов для доказательства равенства этих треугольников. Поэтому 1) при решении устных задач даются чертежи, содержащие элементы чертежа доказываемой теоремы. 2) При доказательстве теоремы учащимся предлагается рассмотреть полученные треугольники. Преподаватель записывает на доске все равные элементы, которые находят ученики.

Этапы урока I. Опрос

1. Доказать свойство острых углов с перпендикулярными сторонами.

В то время как ученик готовит доказательство, всему классу даются вопросы:

а) Каковы признаки параллельности прямых?

б) Каково свойство углов при параллельных прямых и секущей?

в) Каково свойство углов с параллельными сторонами?

г) Каково свойство углов с перпендикулярными сторонами?

2. Мы доказали теорему о свойстве острых углов с перпендикулярными сторонами на основании суммы острых углов прямоугольного треугольника. Теперь второй ученик докажет эту же теорему другим способом.

II. Устное решение задач

Теперь решим несколько задач устно.

1. Один из внутренних односторонних углов на 30° больше другого. Найти меньший угол.

а) Прежде, чем решать, сделайте на доске рисунок.

б) Теперь решите в уме.

После решения задачи даются вопросы всему классу:

а) Как решили задачу?

б) Какую теорему применили?

2. Дан чертеж:

Найти £ В.

а) На основании какой теоремы решается эта задача?

б) На основании чего доказывается эта теорема?

3. На чертеже из отмеченных углов найдите равные.

III. Свойство отрезков параллельных прямых между параллельными прямыми (изложение нового материала)

А. Подготовительная работа. Сейчас мы приступаем к последнему разделу о параллельных прямых.— Это раздел о свойстве отрезков параллельных прямых.

Сначала рассмотрим отрезки параллельных прямых, которые связаны с параллельными прямыми.

1. Проведите 2 параллельные прямые AB и CD.

2. Проведите еще 2 параллельные прямые PQ и MN, которые пересекали бы прямые AB и CD.

3. Обведите чернилами отрезки параллельных прямых и обозначьте точки пересечения, начиная снизу, с левой стороны, буквами Е, F, К, L.

4. Отрезки EF и KL заключены между параллельными прямыми AB и CD. Отрезки же FK и EL заключены между параллельными PQ и МАЛ

5. Посмотрим на чертеж (чертеж висит на стене). Найдите отрезки, заключенные между параллельными прямыми.

6. Как вам кажется на-глаз, каким свой-

ством обладают отрезки EF и KL1 Отрезки FK и KÜ.

7. Как сформулировать это свойство?

Б. Доказательство теоремы. Нам кажется на-глаз, что отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными, равны. Надо доказать, что это действительно так.

1. Что дано? Что надо доказать?

2. Как мы поступаем, если надо доказать равенство отрезков?

3. У нас треугольников нет. Что же мы должны сделать?

4. Как построить треугольники?

5. Какие треугольники будем рассматривать?

6. Что же вы видите в этих треугольниках?

7. Какой вывод можно сделать о треугольниках?

8. Что следует из равенства треугольников?

9. Доказана ли теорема?

Все ответы учеников преподаватель записывает на доске, в результате получается схема.

Дано: AB || CD, PQ || MN. Доказать: EF=KL, EL = FR.

Доказательство:

11, Каким способом доказывается теорема о свойстве отрезков параллельных прямых, заключенных между параллельными?

Эта теорема имеет большое значение: она дает новый способ доказывать равенство отрезков. До сих пор мы для доказательства равенства отрезков старались получить треугольники, в которые входили искомые отрезки, и доказывали равенство треугольников. Теперь же мы сможем доказывать равенство отрезков и на основании свойства отрезков параллельных прямых, заключенных между параллельными прямыми.

IV. Задание на дом

Раскройте учебник на стр. 50. Дома выучите § 9 пункта 1. Это — теорема, которую мы доказывали в классе. Пункт 2—следствие. (Ученики читают следствие. Выясняется, чем определяется расстояние от точки до прямой и расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой.) Следствие докажите дома и составьте схему доказательства.

Решите задачу из задачника Рыбкина § 4, № 30.

По алгебре при сообщении нового материала я даю ряд примеров, после решения которых подвожу учеников к определенной формуле и к тому или иному правилу. Поэтому подбор примеров имеет решающее значение. Я эти примеры подбираю в различных задачниках, составляю сама и записываю в конспект.

Второй тип урока — закрепление нового материала и применение его к решению задач и примеров — требует постановки ученикам таких вопросов, которые уточняли бы и обобщали изученное, и подбора таких задач и примеров, которые ярко показали бы ученикам применение изученных теорем, формул и правил. Здесь большое значение имеет, кого из учеников спросить, правильно поставленные вопросы, подбор типичных задач и примеров, расположенных по нарастающей степени трудности. На таких уроках я чаще спрашиваю сильных и средних учеников. При подготовке особенно тщательно приходится подбирать материал для применения теории, продумывать анализ решения задач и примеров, продумывать каждый вопрос, чтобы не было лишних или подсказывающих вопросов, чтобы не пропустить нужных вопросов. Приходится тщательно проанализировать, как дать четкое обобщение теоремы и ее применение, поэтому в конспекте записываю не только задачи и фамилии учеников, но и все вопросы, необходимые для анализа задачи и ее решения, а также вопросы, относящиеся к уточнению теоремы и ее доказательства.

Для проведения третьего типа урока — приобретение навыков — самое главное — систематический подбор упражнений (задач или примеров). При проведении этого типа уроков я применяю два способа. Первый способ заключается в следующем: один или два

ученика делают упражнения у доски с объяснением, а остальные — в тетрадях. После решения одного-двух примеров даю такое же упражнение всему классу для самостоятельного решения с последующим выяснением при помощи контрольных вопросов, как учащиеся понимают проделанное упражнение. Затем опять проводится упражнение у доски. Второй способ заключается в том, что всему классу даю только задание для самостоятельного решения упражнений. В первом случае в конспекте, кроме подобранных упражнений, намечаю и контрольные вопросы. Во втором случае в конспекте намечаются ученики, за работой которых необходимо проследить, и готовятся вопросы, которые им даются для выяснения, насколько сознательно данный ученик выполняет упражнение.

Подготовка к проведению контрольной работы состоит в составлении различных упражнений, так как этой работой я выявляю максимальные знания и навыки каждого ученика.

Большое значение для усвоения имеет материал, даваемый на дом. При повторении, как уже сказано, я диференцирую задания на дом. Точно так же даю индивидуальные задания и при проработке нового текущего материала. Мало подготовленным ученикам даю упражнения по содержанию такие же, какие решались в классе. Для средних учеников даются упражнения, которые по содержанию имеют новый момент по сравнению с упражнениями, решенными в классе.

Например, при упражнениях в применении теоремы Пифагора в классе решаем задачу: диагонали ромба равны 6 см и 8 см. Определить сторону. На дом одной группе учеников, менее подготовленной, дается задача из задачника Рыбкина § 10, № 26 (1), которая отличается от задачи, решенной в классе только тем, что диагонали выражены другими числами: 24 см и 70 см.

Другая группа учеников должна решить задачу № 26 (2), где для определения диагоналей ромба дается их отношение и периметр ромба. И, наконец, третья группа учеников, кроме задачи № 26 (2), должна доказать, что в прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна разности квадратов оснований (задачник Рыбкина § 10, № 31 (1).

Такие индивидуальные задания даются не всегда и, главным образом, по геометрии. Таким образом, подготовка к заданию на дом состоит в выборе задач.

При задании на дом самостоятельной проработки того или иного теоретического вопроса необходимо в классе указать вехи, по которым ученики должны проработать данный им вопрос. В этом случае подготовка состоит в разработке указаний, как работать дома.

Например, в классе на уроке выводится площадь ромба; на дом дается задание проработать площадь трапеции с указанием, что площадь трапеции находится так же, как и площадь ромба, т. е. сначала находятся площади треугольников. После этого ученикам ставятся вопросы:

1. Как разбить трапецию на треугольники?

2. Указать основание и высоту обоих треугольников?

Затем даются указания, что требуется сделать дальше: 1) доказать, что высоты обоих треугольников равны; 2) чтобы получить площадь трапеции, надо сложить площади треугольников; .3) найти площадь трапеции в зависимости от средней линии. Наконец, указывается параграф в учебнике.

Техническая подготовка к урокам состоит в том, что приходится писать задания для самостоятельных упражнений, для контрольных работ в классе и для домашних упражнений.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

К ВОПРОСУ О ПОСТРОЕНИИ УЧЕБНИКА ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Проф. А. В. ЛАНКОВ (Пермь)

Влияние Евклида на изложение учебников геометрии*

Курс геометрии, который принято называть систематическим, занимает исключительное положение среди всех разделов элементарной математики. По образному выражению Ф. Клейна, «в настоящее время на преподавании геометрии болезненно сказывается бремя традиций»**. Над геометрией тяготеет авторитет Евклида, талантливого творца «Начал». Евклид создал аксиоматический курс геометрии, идея которого заключается в чисто логическом выводе всех геометрических положений на основе наперед установленных предпосылок (определения, постулаты, аксиомы). В этом состоит громадная историческая заслуга Евклида. Курс Евклида не свободен от пробелов: определения Евклида туманны и расплывчаты; отсутствуют основные (неопределяемые) понятия, что дает повод думать, что с Евклиду чуждо осторожное или самоограничительное толкование вещей» (Ф. Клейн); система аксиом (и постулатов) не полна — отсутствуют, например, аксиомы расположения; недостаточно охарактеризованы свойства величин (сравнимость, непрерывность) и т. д. Все это является источником значительного количества логических скачков и не вполне обоснованных (но не ошибочных) выводов. Короче говоря, в изложении Евклида играет большую роль и интуиция.

Ф. Клейн, несомненно, слишком суров в своей критике Евклида. Особенно это заметно, когда Ф. Клейн сравнивает Евклида с Архимедом: «Архимед был великим исследователем и пионером, в каждой своей работе он продвигал область нашего знания на шаг вперед, а в «Началах» Евклида речь идет только о собрании и систематизации уже имеющегося материала» (Ф. Клейн, стр. 314).

Ф. Клейн прав в том, что Евклид является систематизатором, но Евклида можно причислить к гениальнейшим систематизаторам, работы которых составляют целую эпоху в науке ; таковы Линней — в ботанике, Менделеев— в химии и др. Евклид создал систему геометрии, опередив свое время на две с лишком тысячи лет. Не случайно в науке привились понятия: «евклидова система», «евклидово пространство», «евклидова модель». По евклидову пути пошли знаменитые геометры— аксиоматики XIX века (Паш, Пиери, Пеано, Гильберт), закончившие стройное здание геометрии; Евклид послужил трамплином великим творцам неевклидовых систем (Лобачевский, Риман и др.). В другом месте Ф. Клейн сознается, что путь Евклида был творческим путем, что Евклид является ученым, исследователем в области геометрии: «Удивительно то, — говорит Клейн, — что не только исследователь, ученый изучал геометрию в таком направлении, но что выработался взгляд, согласно которому «Начала» Евклида являются подходящим учебником для начального преподавания» (Ф. Клейн, стр. 346).

То обстоятельство, что Евклид признан был идеальным учебником геометрии для средней школы, действительно поразительный факт, не имеющий аналогии в истории школы. На Евклиде, вернее, по Евклиду, учились Англия, Италия, Россия; под сильным влиянием Евклида находились Германия и Франция.

Для английской средней школы создан был английский школьный Евклид, содержавший не только первые 6 книг (планиметрия), но и 11 и 12 книг (начала стереомет-

* В порядке обсуждения.

** Ф. Клейн. Элементарная математика с точки зрения высшей, т. II, стр. 345.

рии) в дословном переводе. Больше того, даже современные идеи геометрии в Англии старались отлить в форму Евклида и создали таким образом «Продолжения Евклида». Такова книжка Кези, изданная в Дублине в 1900 г. о начатках проективной геометрии (для средней школы).

В Италии проводником изложения Евклида в школе является А. Кремона, серьезнейший математик-геометр. В результате «Записки» Кремона (1867 г.), доказывающей, что в средней школе должен строиться строго логический, замкнутый в себе курс геометрии, по образцу Евклида, в Италии появляется ряд учебников, представляющих более или менее удачные переработки Евклида (Бетти и Бриоски вышел в 1867 г., Санниа и д'Овидио вышел в 1869 г.; Веронезе «Начала геометрии», 1904 г. и др.).

Во Франции судьбу школьного курса геометрии на долгое время определяют «Начала геометрии» Лежандра, выпущенные в 1794 г. Лежандр принимает целиком принципиальные позиции курса Евклида, но как в форме изложения, так и в объеме материала проводит некоторые изменения. В учебнике Лежандра интуиции отводится большая роль, чем у Евклида; Лежандр свободно пользуется арифметикой, допускает прикладные моменты, более подробно останавливается на теории параллельных, пытаясь исключить здесь возможность гиперболической геометрии.

Все упомянутые выше учебники выходили десятками изданий и господствовали в школе в течение всего XIX века: Лежандр в 1893 г. вышел 33-м изданием, Бетти и Бриоски — в 1901 г.— 36-м изданием. Германия считается страной, наиболее свободной от традиций Евклида в школьном преподавании. Ф.Клейн, например, в своей статье «Преподавание в Германии» (Ф. Клейн, стр. 380) совсем не освещает роль Евклида для своей страны и особенно подчеркивает влияние идей Песталоцци и Герберта. М. Симон («Дидактика и методика математики в средней школе») старается, наоборот, доказать, что вообще Евклид не имел влияния на изложение геометрии в средних школах Германии, причем аргументы почтенного методиста-математика не всегда дышат убедительностью. Перечисляя учебники, которые не шли по стопам Евклида, Симон отмечает, что «нельзя также судить о преподавании в Германии по учебникам, потому что, по крайней мере, до сих пор имелось довольно много лиц, самостоятельно продумывавших и избиравших свой путь» («Дидактика», стр. 147). Откровеннее высказывается П. П. Трейтлейн («Методика геометрии»). В введении автор прямо отмечает: «В существенном следует еще и теперь (книга вышла в 1911 г.) за великим александрийцем, который начинал с точки и прямой и позднее доходил до изучения тел. Хотя строгому плану Евклида предпосылается,— реже по предписанию начальства,— чаще благодаря здравому смыслу и чутью преподавателя, служа как бы введением к нему — краткий, ограниченный несколькими часами или неделями, подготовительный курс. Дальше оно следует во всем существенном по стопам, по точным указаниям первой, второй и т. д., кончая двенадцатой и тринадцатой книги Евклида» («Введение», стр. 14).

Итальянский геометр Лориа в 1893 г. опубликовал работу «Deila varia fortuna di Evclide», в которой убедительно доказывает, что роль Евклида в школьном преподавании Германии столь же велика, как и в других странах. Передовые немецкие педагоги-математики стесняются говорить открыто о громадном влиянии Евклида на немецкую школу, но приведенные выше соображения свидетельствуют, что и здесь Евклид удержал свои позиции. И даже склонный к дискуссии М.Симон неожиданно приводит отрывок из письма Ф. Мейера: «Впрочем Евклид отчасти косвенно, отчасти непосредственно остается нашим учителем, и по праву. Его чисто логическую, кажущуюся мертвенной, схему опытный учитель без особого труда сумеет объединить с более живой точкой зрения преобразований» («Дидактика», 147 стр.).

В России 4-классные гимназии были открыты в 1804 г. и соответствовали старшим классам средней школы*. В этих гимназиях на чистую и прикладную математику и опытную физику отводилось 18 часов в неделю. В уставе гимназий от 5 ноября 1804 г. было прямо сказано, что «учитель математики приобучает учеников к главнейшем действиям практической математики». Но такое положение продолжалось недолго. Не успели даже появиться учебники, соответствовавшие духу «устава». Учебник Румовского («Сокращенная математика», 1760 г.) содержит лишь элементы геометрии. Полный курс математики Я. Фусса проникнут уже новыми влияниями. В 1819 г. вводится «Уваровский план». В качестве вершителей судеб школы появляются на сцену мрачные тени Магницкого и Рунича. Учебники подвергаются цензуре Ученого комитета. В 1823 г. попытка

* До этого времени существовали лишь так называемые университетские гимназии при трех университетах.

H. И. Лобачевского создать курс геометрик, свободный от принятого в Западной Европе трафарета, терпит неудачу — рукопись не разрешается к печати. Формально-схоластическую систему преподавания не удается преодолеть даже крупному авторитету академика М. В. Остроградского.

Составляется ряд учебников геометрии пропедевтического характера (Фан-дер-Флит. Курс элементарной геометрии, 1867 г.; Косинский, Наглядная геометрия, 1871 г.; Борышкевич, Курс элементарной геометрии с практическими задачами, 1876 г.), но они не имеют большого распространения.

На смену ему приходят популярные учебники Давидова (в 1913 г, вышло 33-е издание) и Киселева (в 1916 г. вышло 25-е изд.), которые были приняты и в первые годы после Октябрьской революции.

Далее начинается период «рабочих книг», отражающих идеи лабораторного плана комплексной и комплексно-проектной системы обучения. В 1933 г. в качестве стабильных учебников по геометрии для советской средней школы выпускается книга «Гурвиц и Гангнус, Систематический курс геометрии».

Учебники Давидова и Киселева и Гурвица и Гангнуса в основном построены также по схеме Евклида.

Влияние Евклида распространилось также и на Соединенные Штаты Америки. В 1913 г. на русском языке вышла книга «Филипс и Фишер. Элементарная геометрия», отражающая тенденции американского приспособления Евклида.

Борьба с влиянием Евклида в элементарной геометрии

Борьба с формально-логическим направлением изложения элементарной геометрии, борьба со схемой Евклида, была начата на рубеже XX века и возглавлялась тем направлением, которое принято называть реформистским и отождествлять с именем Ф. Клейна. В статье «О преподавании геометрии» (Ф. Клейн, стр. 346) Клейн предъявляет ряд требований к здоровому школьному преподаванию геометрии. Кратко их можно выразить так:

1. «Сперва нужно аппелировать к живому конкретному созерцанию и позволительно лишь постепенно выдвигать на первый план логические элементы».

2. «Не будет защитой плоского утилитаризма, если мы скажем, что цель современной школы в том, чтобы сделать широкие круги способными морально и умственно к сотрудничеству в современной культурной работе, направленной главным образом на практическую деятельность».

3. Необходимо «помешать одностороннему усовершенствованию в планиметрии при одновременном пренебрежении развитием трехмерной пространственной интуиции».

Сам автор не считает возможным «предложить какой-нибудь определенный выбор материала», считая, что это — дело учителя-практика (Ф. Клейн, стр. 348).

Меранская программа, широкая деятельность IMUK (Internationale Mathematische Unterrichtskommission) и авторитет Ф. Клейна, горячего сторонника реформ, создали могучий импульс к пересмотру освященных традицией точек зрения на изложение курса геометрии.

Учебники геометрии, не укладывавшиеся в прокрустово ложе евклидовой схемы, конечно, появлялись и в XIX и даже в XVIII веках. Мы совершенно, например, не будем касаться работ, излагающих пропедевтический по существу курс геометрии (Франция— Клеро, элементы геометрии, 1741 г.; Англия — Bert. A first notion of expérimentale Geometry, 1886 г.; Италия — Веронезе. Элементарные сведения по наглядной геометрии, конец XIX века; США — Hornbrook, Concrete Geometry, 1894 г. и др.).

Имеется значительное количество работ по систематическому курсу геометрии, уже отошедших от схемы Евклида до эпохи реформ, особенно в Германии. Назовем: Гольцмюллера «Методический курс элементарной математики», 1894 г., начинающий изложение любого отдела геометрии с черчения и построений и включившего в изложение элементы проективной геометрии; Генрици и Трейтлейна «Учебник элементарной геометрии», 1882 г., расположивших материал по классам геометрических преобразований ; Ш. Мерэ (Франция) «Новые начала геометрии», 1874 г., осуществившего слияние планиметрии со стереометрией; Бретшнейдера «Курс низшей геометрии», 1844 г., построенного по идее преобразований, и т. д.

В результате «движения за реформу» поток таких работ увеличился. Однако, большинство работ лишь считаются с реформой, но не «проводят» ее (см. доклад Шиммака «О развитии реформы преподавания математики в Германии», 1911 г.).

Наиболее ярко отражают новые течения книги: Борель (профессор Сорбонны) — вышла на русском языке в 1912 г., перевод с немецкого издания, обработанного проф. Штеккелем; К. Бурле «Начала геометрии», Париж, 1908 г.; Берендсен и Геттинг, «Учеб-

ник математики, построенный на современных принципах», Лейпциг, 1908 г., Лицман, при участии Фишера, Циндлера и Цюльке, «Курс обучения математике для средних мужских учебных заведений», Лейпциг, 1920 г. (для старшей ступени).

Остановимся на первой книге Бореля — Штеккеля «Элементарная математика, т. II, Геометрия», изд. Матезис, 1912 г. В предисловии к немецкому изданию автор заявляет, что в соответствии с современными взглядами «элементарная геометрия эквивалентна исследованию группы движений».

Книга состоит из введения, соответствующего курсу начальной школы (первый концентр), и трех частей, предназначенных для средней школы (второй концентр). Для специального математического класса Борель рекомендует «Учебник геометрии» Адамара (в 1924 г. вышел 8-м изд.).

Содержание второго концентра следующее: ч. Г, «Окружность и прямая» (примерно, тот материал, который содержится в первых двух книгах Евклида), ч. II, «Плоскость и круглые тела». Здесь предложения первой части распространяются на пространство и развиваются те свойства плоскости, многогранников и круглых тел, которые могут быть выведены без помощи методов, изложенных в третьей части, ч. III—«Алгебраическая геометрия» содержит пропорциональные величины, измерение площадей и объемов.

В дополнительных статьях автор освещает некоторые кривые (эллипс, парабола, циссоида, конхоида) и дает специальное приложение о «межевании». Желая создать геометрию, которая была бы «ближе к действительности», Борель строит доказательства главным образом на движениях и зеркальных отображениях, которые представляются автору более простыми и понятными, чем евклидовы. «Всюду качественное исследование должно предшествовать количественному», говорит автор в предисловии и, следовательно, учебник нельзя обвинить в плоском утилитаризме.

В. Каган (редактор русского издания) отмечает, что книга Бореля «единственное руководство, являющееся ярким выразителем тенденций «реформы», на которой в настоящее время сосредоточен весь интерес дидактической литературы по математике».

Так ли это?

По объему материала книга действительно весьма близко связана с меранской программой: до VII класса (obersecunda) включительно материал последовательно развивается в духе этой программы. Но меранская программа больше по объему. Уже в VII классе она содержит «ознакомление с гармоническим соответствием* и с началом новой геометрии». Далее, в VIII классе идет «Стереометрия в связи с важнейшими началами проективной геометрии. Упражнения в стереометрическом черчении. Простейшие приложения сферической тригонометрии. Математическая геометрия, включая изучение о картографии» и, наконец, в IX классе имеются «Элементарные приложения к астрономии». Весь этом материал отсутствует в труде Бореля.

Интересен метод изложения:

Охарактеризовав свойства плоскости, Борель дает определение конгруэнтных и симметрических фигур и затем излагает симметрию относительно оси. В дальнейшем эти понятия все время фигурируют в доказательствах и вместе с тем диктуют необходимость совершенно определенного расположения материала. Симметрия, как стержень, вслед за равнобедренным треугольником требует введения ромба квадрата и понятия о геометрических местах. Отдел VI первой части озаглавлен «Кратчайшие пути». Это: теоремы о стороне треугольника, ломаные линии, кратчайший путь от точки до прямой. Отдел XI «Параллельное перенесение. Параллельные прямые» сразу начинается с определения этого рода движения. А далее «две различные прямые называются параллельными, если их можно совместить при помощи параллельного перенесения». Ясно отсюда, что непересекаемость параллельных прямых здесь доказывается (предложение 10) и затем вводится новая фигура—параллелограм. В связи с идеей движения естественно нельзя обойти направление. Направление у Бореля появляется вместе с полупрямой: «полупрямая определяет собой направление». Угол определяется, как большее или меньшее отклонение между двумя направлениями, причем и здесь различается направление. В отделе XIII определяется вращательное движение и проводится сравнение параллельного перенесения с вращением. Далее излагается измерение углов и дуг, хорды и дуги, симметрия относительно центра — с нею связаны углы при параллельных линиях, сумма углов треугольника и выпуклого многоугольника, построение и конгруэнтность треугольников, углы при окружности, задачи на построение и правильные многоугольники (симметрия, сети). Отдельно рассматривается симметрия четырехугольников

* У Бореля имеется лишь упоминание о гармонических точках (стр. 232).

и свойства треугольников (замечательные точки). Такое содержание первой части.

Вторая часть изложена аналогично первой. После общих замечаний о прямых и плоскостях излагается параллельное перенесение в пространстве и параллельность плоскостей, далее идет вращение вокруг оси и перпендикулярность. Весьма подробно исследуются поверхности вращения, симметрия относительно оси, плоскости и точки, конгруэнтность трехгранных углов и симметрия высшего порядка. Третья часть начинается пропорциональностью отрезков, причем с пропорциональностью связывается знакомство с тригонометрическими функциями острых и тупых углов, затем излагается подобие треугольников, степень точки относительно окружности, свойства биссектрис треугольников, перспектива в плоскости и в пространстве, площади и объемы.

В основном «Геометрия» Бореля дает весь материал по программе нашей средней школы, но по совершенно иной схеме и б иной трактовке.

Чтобы дать понятие о методе изложения, возьмем теорему «две параллельные прямые, пересекаемые третьей» (теорема 15).

Имеем параллельные прямые АА' и ВВ' и секущую SS', которая пересекает параллельные прямые в точках С и D. «Если О есть середина отрезка CD, то фигура, состоящая из трех прямых, очевидно, симметрична самой себе относительно точки О, так как при повороте на 180° вокруг центра О точка С упадет в точку D, точка D — в С, прямая АА' упадет на прямую В* В и ВВ'— на А'А. Отсюда заключаем, что различные углы вокруг точки С соответственно равны различным углам вокруг точки D. Но углы вокруг точки С попарно равны, а углы неравные являются пополнительными. Мы можем поэтому высказать следующее предложение:

Теорема 15

Когда две параллельные прямые пересекаются секущей, то она образует с ними различные углы, из которых одни острые, а другие — тупые. Острые углы все равны между собой и точно так же все тупые углы равны между собой. Кроме того, каждый острый угол является пополнительным по отношению к каждому тупому углу». Далее Борель дает всем углам общепринятые названия и устанавливает соотношения между ними (стр. 70).

Строя геометрию на основе преобразований, Борель оперирует исключительно с евклидовой группой преобразований (симметрия и перемещения) и, следовательно, не выходит за пределы евклидова пространства. Но, рисуя евклидово пространство, Борель выбирает совершенно иной метод изложения: он не вульгаризирует идеи движения, как это часто делают школьные эпигоны Евклида*, вместе с тем он не накладывает на геометрические факты новой алгебры группы движений. Конечно, Борель интуицией пользуется больше, чем логикой. Это дает ему возможность построить более связное, целостное изложение. Может быть роль интуиции у Бореля даже переоценена. Несомненно имеются и неясности в изложении. Но опыт Бореля представляет ценный опыт. Бурле, учебник которого принят в средних школах Францией**, идет дальше Бореля: он дает понятие о группе движений и рассматривает геометрические величины, как ее инварианты. Противником реформы преподавания геометрии считают обычно М. Симона.

Строя свою схему в основном по Евклиду, М. Симон ее значительно расширяет. Он решительно выходит за пределы кантовского понимания пространства и считает, что «понятие преобразования, если подчинить ему принцип двойственности (взаимности), играет в геометрии столь же существенную роль, как понятие функции в арифметике» («Дидактика», стр. 148). В свой курс он включает проективные и полярные преобразования.

Логический фундамент в учебниках евклидовой схемы

Для исследования мы берем три учебника, наиболее характерные по содержанию и распространению:

1. Ю. О. Гурвиц и Р. В. Гангнус. Систематический курс геометрии. Учебник для средней школы. Часть первая. Планиметрия. Изд. 1934 г.

2. А. Киселев. Элементарная геометрия для средних учебных заведений. Изд. 25-е, 1916 г. (первое издание вышло в 1892 г.),

3. Филипс и Фишер. Элементарная геометрия. Изд. 1913 г.

Книга А. Киселева характеризует изложение курса геометрии в русской средней школе на рубеже Октябрьской Социалистической революции. Книга Гурвица и Гангнуса является стабильным учебником и отражает, следовательно, методические идеи последних

* См. об этом В. Каган.— Задача обоснования геометрии, изд. Матезис, 1908 г. (стр. 6 — пример из Киселева).

** Elements de Géométrie.

лет (эпоху систематических программ). Наконец книга Филипса и Фишера—«не аксиоматический курс и не абстрактная геометрия, но и не «реформаторский» курс (отзыв редактора В. Р. Мрочека) интересна как образец «исканий» в русле Евклида, которые были весьма популярны и у нас в России к началу Октябрьской Социалистической революции.

Авторы стабильного учебника Гурвиц и Гангнус обосновывают идеи, на которых строится их курс, в своей книге «Геометрия. Методическое пособие для высших педагогических учебных заведений и преподавателей средней школы. Часть первая. Планиметрия. Изд. 1934 г.».

В § 5 («Построение элементарного курса геометрии») читаем: «можно было бы следовать системе, принятой Евклидом, в которой, повидимому, нет «провалов», в которой каждая теорема вытекает из предыдущего; у Евклида каждая теорема занимает свое определенное место; теоремы, которые, хотя и имеют самостоятельную ценность, но не служат для обоснования другой теоремы, им не рассматриваются... Также почти не встречаем мы у Евклида определений и доказательств, основанных на движении... Идея движения должна быть введена с самого начала курса геометрии». Далее, «несомненно, систематическому курсу геометрии должен предшествовать хотя бы краткий пропедевтический курс»... «На этой ступени развития учащиеся ценят конкретный образ выше определения» и потому на этой ступени «необходимо по преимуществу ограничиться интуицией».

Но «начиная с VI класса учащимся дается систематический преимущественно логически построенный элементарный курс геометрии». Приведенные выше «обоснования» свободно можно отнести к любому курсу, к любому изложению, построенному на «евклидовой модели». Разница в некоторых деталях: «у Евклида отсутствует теорема: диагонали параллелограма взаимно делятся пополам; в его системе она ему не нужна» (Гурвиц и Гангнус).

Такие теоремы, которые отсутствуют у Евклида и имеются в учебниках «по Евклиду», не вносят диссонанса в схему. Можно привести примеры теорем, которые имеются у Евклида и не введены в учебники. В учебниках не встречается, например, второе предложение Евклида: «из данной точки А провести прямую, равную данной прямой ВС». Ясно, что современный учебник элементарной геометрии не игнорирует циркуля и линейки, применяет вычислительные операции. Далее, «идея движения должна быть введена с самого начала курса» (Гурвиц и Гангнус) Но... Богомолов («Основания геометрии», стр. 21) прямо указывает, что «с легкой руки автора «Начал» движение, в качестве особого приема доказательства заняло прочное положение в курсах геометрии». Наличие идеи движения у Евклида не отрицают и Клейн, и Цейтен; на это указывает и седьмая аксиома «совмещающиеся друг с другом равны». Несомненно, что «Начала геометрии» Лежандра более резко расходились с Евклидом, чем любой из вышеназванных курсов». «При изучении геометрии мы, конечно, не можем целиком следовать отвлеченной евклидовой форме изложения (Гурвиц и Гангнус, Методическое пособие, стр. 24); мы значительно отклоняемся от окаменевших за период в две тысячи лет евклидовых форм и в целом ряде случаев заменяем догматический метод Евклида эвристическими приемами».

Но отсюда очевидно, что эвристические приемы изложения рекомендуются учителю, а не учебнику. Надо прямо отметить одну чрезвычайно странную особенность, вернее, тенденцию «методического пособия». Приведя цитату из Юнга, что и геометрия представляет собой науку живую и растушую, авторы «методического пособия» и в изложении своего учебника и в самом «пособии» совсем не стремятся вскрыть и обнаружить этот рост. В изложении авторов буквально исчезли все те новые и интересные идеи в области преподавания элементарной геометрии, которые так волновали методическую мысль в конце XIX и в начале XX века. Ведь, стабильный учебник для средней школы и «методическое пособие», в свою очередь, допущенное НКПросом для высших педагогических учебных заведений, являются своего рода «законодательными актами» в области преподавания. Прочитав «методическое пособие», преподаватель вправе сделать вывод, что в основном евклидова схема изложения элементарной геометрии — это самое новое, что мы имеем, что геометрическая мысль за две с лишком тысячи лет настолько мало сдвинулась с мертвой точки, что школьное изложение курса в сущности должно стоять на «греческом этапе» своего развития, итти по ортодоксальному, хорошо протоптанному пути.

Н. Ф. Четверухин прав, высказывая в своем докладе («Вопросы элементарной геометрии и ее преподавание») ряд упреков. Но очень жаль, что значительная часть упреков падает на преподавателя (взять хотя

бы в качестве «итога» цитату из М. Симона). Преподаватель может знать работы Гильберта, Паша, Веронезе и др. и, к своему удивлению, не найдет точек приложения новых идей в своей школьной работе, так как «методический кодекс» и стабильный учебник предписывают ему совершенно определенную линию поведения. Борель правильно отметил, что всякая реформа в области преподавания «становится совершенной лишь спустя поколение. Надо, чтобы преподаватели сами получили это образование для того, чтобы его удачно насаждать в школе. Этот путь предопределен роковым образом».

А наши преподаватели в средней школе воспитываются на Евклиде, а в высшей педагогической школе работают в области методики также по Евклиду. В результате курсы «оснований геометрии» и «высшей геометрии» для них представляются совершенно оторванными от теории и практики преподавания.

Перейдем к учебникам.

Принято думать, что «геометрия признает только строгие доказательства, т. е. логически безупречные» (В. Ф. Каган).

Интересно проследить тот формальный аппарат, которым пользуются учебники элементарной геометрии: аксиомы, определения, теоремы, следствия. Мы пытаемся выполнить эту задачу в отношении некоторых учебников лишь в части планиметрии. Нас прежде всего интересует количественная характеристика «логического вооружения» учебника элементарной геометрии. Картина этого «вооружения» может быть получена из следующей таблицы:

№ по пор.

Автор и название учебника

Число стр.

аксиома

определ.

прямая

обратная

следств. из теоремы

теорема задача

Всего предложений

1

Гурвиц и Гангнус. Систематический курс геометрии, часть I.....

164

4

152

131

11

64

26

388

2

Киселев, Элементарная геометрия планиметрия .............

270

7

181

138

30

61

38

455

3

Филипс и Фишер. Элементарная геометрия планиметрия .........

214

16

104

104

9

68

26

327

4

Рашевский. Систематический курс геометрии, изд. 4. Планиметрия ....

169

7

115

110

17

26

17

292

В рубрике «аксиомы» мы указываем лишь те из них, которые приводятся автором в тексте. Эта рубрика особенно четко представлена в книге Филипса и Фишера: здесь прямо дано в особом перечне 13 общих аксиом, 3 геометрических (аксиома прямой, аксиома параллелей и аксиома наложения).

Более неопределенной представляется аксиоматика в стабильном учебнике: общие аксиомы не даются, но авторы ими, конечно, пользуются в доказательствах. Но зато дано 3 аксиомы прямой и аксиомы параллелей.

Киселев дает лишь две аксиомы прямой и аксиому пространства («наложения»).

Рашевский приводит 4 общих аксиомы и 2 аксиомы прямой.

По Филипсу и Фишеру «аксиома есть истина, которая принимается, как очевидная». Киселев определяет аксиомы, как «истины», которые вследствие своей очевидности принимаются без доказательств.

По Рашевскому «аксиомой называется истина, очевидная сама по себе, которую нельзя доказать». Гурвиц и Гангнус определяют аксиому, как «суждение об основных свойствах геометрической фигуры, которые установлены в практике», причем «аксиомы принимаются без доказательств».

Мы уже видим, что в «логических» курсах геометрии даже в определении такого понятия, как аксиома, вносится разнобой и путаница: в одном случае оказывается, «аксиому нельзя доказать», а в другом «она принимается без доказательства», так как представляет суждение, которое «установлено в практике». Совершенно ясно, что любая аксиома одной системы может быть теоремой в другой системе; это с одной стороны. С другой стороны, если практика установила, что «через точку, взятую вне прямой, можно провести к этой прямой лишь одну параллельную», то как же тогда смотреть на

соответствующие аксиомы гиперболической и римановой геометрии («можно провести две параллельных», «нельзя провести ни одной параллельной»). Самый перечень аксиом у любого автора не составляет «системы» и, как логический фундамент, является более несовершенным, чем у первоисточника (Евклида).

Предложение «отрезок прямой есть кратчайшее расстояние между двумя точками» Гурвиц и Гангнус вносят в число аксиом (3-я аксиома прямой). Этой аксиомы нет у Киселева и у Рашевского, а американские авторы ограничиваются даже одной аксиомой прямой «через всякие две точки в пространстве можно провести одну и только одну прямую». Очевидно, к системе аксиом учебника элементарной геометрии нельзя предъявить требования полноты и независимости.

Киселев и Рашевский правы, не помещая третьей аксиомы прямой — она доказывается Revue de Métaphyzique, I (стр. 77, 1893 г.).

В таблице мы не выделили «основных понятий», с которыми оперируют учебники. Гурвиц и Гангнус говорят, что дать определение прямой нельзя. Понятие о прямой нужно считать основным; это понятие человек получает непосредственно из опыта. В методическом пособии (стр. 41) к основным понятиям авторы относят также точку, плоскость, пространство, направление.

Филипс и Фишер вводят четыре основных понятия: тело, поверхность, линия, точка. Прямую линию они определяют: «Прямая линия есть та, которая является кратчайшей между любыми двумя из ее точек» (в стабильном учебнике это — третья аксиома). Киселев и Рашевский не определяют прямой линии, но у того и другого автора имеется определение плоскости. Следовательно, и в этом случае логически фундамент учебника не является твердым. А между тем основные понятия, «полученные путем абстракции, и некоторые связывающие их свойства, выражаемые аксиомами, составляют основной фундамент», на котором строится здание геометрии (Н. Ф. Четверухин).

Из краткого сравнения учебников мы убеждаемся, что этот фундамент не представляет солидности и прочности. Перейдем к определениям. Учебники Киселева и стабильны, и особенно богаты определениями. Их общее количество не поражает чрезмерностью: 152 определения на 200 час. курса — это не так много. Но если обратить внимание на плотность размещения определений по разделам курса, то картина резко изменится в неблагоприятную сторону; на первые 15 часов работы по стабильному учебнику приходится 59 определений (почти 4 определения в час).

Стабильный учебник безусловно допускает излишества в определениях. Рекомендуя в «методическом пособии» плоскость, как основное понятие, авторы в самом учебнике дают определение плоской поверхности (стр.5). Вряд ли имеется необходимость вводить смешанную линию (стр. 7). Определение операций «измерить отрезок» дается два раза (стр. 10 и 109); «измерить площадь» встречается 1 раз (стр. 70), а операция «измерить угол» — не определяется. Иногда бывает и так, что понятие встречается значительно раньше его определения. «Общая мера» определяется на стр. 107, а встречается уже на стр. 71. Итак в отношении определений в «логических» учебниках мы встречаемся с таким же произволом, как и в отношении аксиом и основных понятий.

Система теорем в учебниках евклидовой схемы

Та или иная система теорем прежде всего характеризуется определенной последовательностью материала. В этом отношении между отдельными авторами нет большой разницы, так как схема Евклида является для них «ведущей» схемой. Но необходимо отметить одну особенность стабильного учебника, которая отличает его от всех других книг этого рода. «Измерение площадей» по Киселеву последняя глава, по Рашевскому — предпоследняя глава (последняя — «вычисление длины окружности и площади круга»). По Филипсу и Фишеру это четвертая книга (предпоследняя в планиметрии). В стабильном учебнике «измерение площадей» прямолинейных фигур ставится сразу же после четырехугольников. Это нововведение стабильного учебника во всяком случае не является его достижением. Характерно, что в своем «методическом пособии» авторы стабильного учебника ставят эту главу так же, как и другие авторы на одном из последних мест.

Своеобразная расстановка материала в стабильном учебнике ведет к тому, что здесь приходится оперировать с неизвестным еще понятием «общая мера» и в то же время излагать отдел крайне неудачно (не включается, например, случай несоизмеримости сторон прямоугольника). Подобная планировка материала сильно бьет по логике стабильного учебника.

Теперь перейдем к теоремам.

Принято думать, что «логическая выдержанность» изложения элементарной геометрии наиболее четко характеризует математи-

ческий метод, что здесь мы имеем цепь последовательных умозаключений, причем в этой цепи все звенья необходимы и достаточны. Но это только так кажется. В целях выяснения логической значимости отдельных звеньев цепи (теорем) мы провели такого рода исследование: подсчитали, на какие предшествующие теоремы опирается вывод каждой из теорем, приведенных в учебнике. Получились весьма интересные результаты. В стабильном учебнике имеется около 40% теорем, на которые вообще нет ссылок при доказательстве последующих теорем, 20% теорем фигурируют в ссылках лишь по одному разу. С другой стороны, имеются «популярные» теоремы, ссылки на которые встречаются особенно часто. На теорему о «смежных углах» имеется 15 ссылок, на теорему «о противоположных углах»—11 ссылок, на теорему «в треугольнике против равных углов лежат равные стороны» содержится также 11 ссылок, на теоремы «первый случай равенства треугольников» и «об измерении вписанного угла» имеется по 9 ссылок и т. д. В логической структуре учебника отдельные звенья — теоремы вообще не равноценны. В любом изложении встречаются теоремы, на которые в дальнейшем вообще нет ссылок. Например, в учебнике Давыдова таких теорем имеется до 12%. Стабильный учебник в этом отношении является наиболее уязвимым.

Сложность логической структуры теоремы находится в зависимости от ряда условий: 1) от количества ссылок на предшествующие звенья логической цепи (аксиомы определения, теоремы), 2) от количества неявных, «скрытых звеньев», 3) от количества следствий, 4) от характера доказываемого предложения и, конечно, 5) от формулировки текста.

Логически наиболее простой и ясной представляется теорема, содержащая лишь одну ссылку. Такова, например, теорема о «сумме внутренних углов четырехугольника». Наоборот, теорема «о средней линии треугольника» содержит ссылки на 4 теоремы. Совершенно ясно, что в педагогическом отношении доказательство этой теоремы представляет серьезные затруднения; «скрытыми», неявными звеньями в особенности характерен стабильный учебник.

Возьмем теорему «во всяком треугольнике против большей стороны лежит больший угол». Приводим дословно доказательство (стр. 37): «Отложим на большей стороне АС отрезок CD=CB и соединим точку D с вершиной В, получим равнобедренный треугольник CBD, в котором углы при основании равны, zl1=Z.2; Zl1 как внешний угол треугольника ADB больше угла А, £ 1 > А ; с другой стороны, ^/ 1 = £ 2, а потому и ^/.2>Zl^; но^/2 составляет только часть / AB С, следовательно, ABC больше, чем / А, У В> У Л».

Фраза «но ,/2 составляет только часть /ABC* составляет ссылку на общую аксиому, которая отсутствует в учебнике. Кстати сказать, конструкция текста вообще крайне неудачна и затрудняет работу. Взять хотя бы заключительную фразу а^АВС больше, чем / А. / Д> / Л». Маленькая деталь: один и тот же угол назван и </_АВС и /_В, и это заставляет задумываться.

Та же теорема конструктивно проще изложена у Филипса и Фишера (стр. 33): «На ВС откладываем BD = В А и проводим AD, тогда х = х'; § 71 (как углы при основании равнобедренного треугольника).

(Внешний угол треугольника больше каждого из противоположных внутренних углов). Подставляя х вместо х\ лГ>я, но

т> x акс. 10

отсюда

m ]> п акс. 13.

Изложение здесь таково, что вся логическая цепь ясна.

Следствия из теорем трудно запоминаются, особенно, когда список их велик и, кроме того, нередко связь следствия с теоремой не вполне ясна, а между тем доказательства не приводятся.

Теорема: «сумма углов всякого треугольника равная двум прямым» у Киселева содержит 5 следствий, у Филипса и Фишера — 6 следствий и в стабильном учебнике — 7 следствий. Два следствия из семи Гурвиц и Гангнус принуждены доказывать, а именно: «сумма внешних углов треугольника равна Ы и в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы».

Вряд ли целесообразно ставить эти две теоремы в число следствий тем более, что на доказательство последнего следствия авторы тратят больше места, чем на доказательство основной теоремы. Таких примеров много: «теорема о площади треугольника» имеет также 7 следствий (стр. 75) и два последние следствия — выражение площади ромба и площади квадрата через диагонали оставляют не меньшее сомнение.

Характер доказываемого предложения имеет очень большое значение для процесса усвоения доказательства. Общеизвестен факт, что трудная теорема Пифагора скорее осознается, чем доказательство простого предложения, что «все прямые углы равны между собой».

Интуиция в учебниках элементарной геометрии

«Чистая математика имеет своим предметом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, т. е. весьма реальное содержание. Чтобы изучить пространственные формы и количественные отношения в их чистом виде, следует оторвать их совершенно от их содержания, устранить его, как нечто безразличное для дела». (Энгельс). Приведенная цитата одного из основоположников марксизма с достаточной четкостью определяет природу и метод математики. И, поэтому, как парадокс, звучит утверждение, что «сама она (математика) является произведением только человеческой мысли, независимо от всякого опыта» (А, Эйнштейн, Геометрия и опыт). Даже такой строгий аксиоматик, один из творцов современной аксиоматики, как Д. Гильберт, признается, что «ныне наглядное понимание играет первенствующую роль в геометрии, и притом не только как обладающее большой доказательной силой при исследовании, но и для понимания и оценки результатов исследования» (из предисловия к книге «Наглядная геометрия», написанного в 1932 г.).

Иначе и быть не может. «От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике — таков диалектический путь познания истины» (Ленин). Учебник элементарной геометрии, обосновывающий изложение материала на логике, не может отвергнуть и другой путь. Руководствуясь непосредственным созерцанием, мы сможем уяснить многие геометрические факты и постановку вопросов и, благодаря этому, во многих случаях мы сможем также изложить в наглядной форме методы исследований и доказательств, которые приводят к пониманию теорем без введения в рассмотрение деталей «абстрактных теорий и выкладок» (Д. Гильберт, 1932 г.). «Живое созерцание», непосредственное утверждение истинности математических предложений, известно в литературе под именем интуиции. Творческий путь последовательного аксиоматика и формалиста Д. Гильберта весьма поучителен. Совершенно очевидно, что если Д. Гильберт встал на такую позицию в научном исследовании по геометрии, то тем более должна быть велика роль интуиции в изложении элементарной геометрии. И мы видим, что последователи «реформ» признавали ее открыто, а сторонники евклидовой схемы лишь терпели, как «необходимое зло». Авторы стабильного учебника, например, в своем «методическом пособии» (стр. 17) утверждают: «они (учащиеся) должны понимать, что всякое доказательство обосновывается или при помощи основных суждений — аксиом или при помощи уже доказанных суждений — теорем», и в другом месте (стр. 23) они сознаются, что «систематический курс геометрии, проводимый в средней школе, все же не есть строго логический курс геометрии в полном смысле этого слова. В строго логическом курсе геометрии нет места интуиции... такие курсы, конечно, недоступны учащимся средней школы. Но мы видим, что ни один учебник не дает полной системы аксиом, что несовершенная аксиоматика Евклида, по соображениям дидактического порядка, становится еще менее удовлетворительной у последователей Евклида. В. Каган («Задача обоснования геометрии», стр. 6) приводит весьма характерный пример доказательства теоремы «из точки на прямой можно на плоскости восставить к ней один и только один перпендикуляр», где автор (Киселев) под личиной логической строгости дает типично интуитивное доказательство. В цитируемом нами 25-м изд. Киселева уже нет этого доказательства, но и «новое» доказательство логически не является более сильным (стр. 14), автор даже оговаривается «мы принимаем за очевидное, что биссектриса угла может быть только одна». В любом учебнике такие псевдологические доказательства можно найти в большом количестве. Такие фразы, как «следует заметить, что два равновеликих многоугольника могут быть составлены из одинакового числа равных частей» (стр. 74, стабильный учебник) или, «если вращать общую сторону (смежных углов) OB вокруг вершины О, то она займет и такое положение О 3, когда оба смежных угла станут равными» (стр. 20, там же)—весьма типичны для «логического учебника».

Общие выводы

С несомненной ясностью можно установить» что в области изложения элементарной геометрии, более чем в любой другой области элементарной математики, имеется значительное количество спорных вопросов, неразрешенных положений, идей, которые настоятельно требуют своего осуществления.

Советская средняя школа медленно и неуклонно идет к победам, к достижениям, которых не видела дореволюционная школа. Рамки элементарной геометрии, старательно скопированные по старому серьезно изношенному шаблону, становятся тесными для советского ученика и советского учителя. Наша теоретическая и методическая литература по вопросам элементарной геометрии, вообще говоря, чрезвычайно бедная в количественном и качественном отношении, серьезно отстает от тех требований, которые ставятся современной научной мыслью и жизненной практикой. Изложение элементарной геометрии необходимо привести в соответствие с научными данными. Что для этого требуется преодолеть?

Евклидов мир тесен для современного советского ученика, пытливость и творческий дух которого находят себе самое разнообразное применение.

Прежде всего рамки школьного курса элементарной геометрии должны быть расширены включением в него некоторых новых вопросов или, как принято выражаться, основных идей «Новой геометрии». Средние школы Западной Европы и США уже имеют в этом направлении немалый опыт.

Необходимо основательно изучить этот опыт и взять из него все, что будет соответствовать нашим условиям и требованиям.

Совершенно ясно, что включение нового материала не может быть механическим — это не привесок, не заплата к старому обветшавшему платью. Перед нами во весь рост встает проблема пересмотра всего материала элементарной геометрии. Весьма вероятно, что Бурле прав, утверждая, что «геометрия должна опуститься ниже в первом цикле и подняться выше — во втором».

Эту же мысль высказывает и Н. Ф. Четверухин («Материалы совещания», стр. 62), развивая идеи «предгеометрии». Хотя бы краткий пропедевтический курс (Гурвиц и Гангнус, «Методическое пособие»), сводящийся практически к потере времени, должен быть заменен серьезным подробным, научно обоснованным курсом — создание базы для подлинного систематического курса геометрии. На этой стадии изучения геометрии опыт, интуиция и логика равноценны. Вторая ступень (начинается, примерно, с VIII—IX класса)—курс геометрии, согласованный с научными требованиями.

«Оживление мертвенной схемы Евклида» возможно лишь на почве отказа от этой схемы. Педагогическая мысль не может мириться с построением формально-логического, аксиоматического курса геометрии в VI классе средней школы. Это схоластическое наследство, доставшееся нам от буржуазной дореволюционной школы, нужно решительным образом пересмотреть. Мы не отказываемся от логики и в изложении первого концентра геометрии, как не отказываемся от нее и в изложении арифметики и алгебры, но, наряду с логикой, в изложение учебника включаются интуиция и опыт.

Следовательно, это не тот курс, который одно время имел «хождение» под названием «наглядного», «опытного» и т. д. В изложении этого курса возможно придется отказаться от искусственного разобщения планиметрии и стереометрии. Только при этом условии можно добиться от учащихся знания стереометрии. «Преподавание геометрии в средней школе сплошь и рядом ограничивается одним бесконечным вычислением поверхностей и объемов... учащийся натаскивается на применении этих формул, но даже самое простейшее соотношение фигур в пространстве для него остается совершенно недоступным и совершенно непонятным» (из доклада проф. П. С. Александрова, «Материалы совещания»). Дело здесь не только в неопытности учителей, так было и в дореволюционной средней школе. Разгадка кроется в системе изложения геометрии.

Второй концентр геометрии должен дать учащимся понятие о тех глубоких геометрических идеях, которые развиты и исследованы в XIX веке. Это прежде всего — проективные свойства пространства и затем вообще выход в неевклидовы пространства. Должен ли этот второй концентр быть строго логическим? Нам кажется, что нет. Здесь должны иметь место и логика и интуиция. В рамках средней школы целесообразнее отказаться от строгого аксиоматического изложения. При современном положении элементарной геометрии в средней школе авторам приходится отказываться от аксиоматического изложения вопросов высшей геометрии даже в учебниках для высшей школы. Примером может служить книга Н. Ф. Четверухина «Введение в высшую геометрию» для педвузов. И это совершенно правильно, так как средняя школа не создает необходимого фундамента в области геометрии для высшей школы. Поскольку геометрия есть наука о преобразованиях, образующих группы, несомненно, что учебник элементарной геометрии для второго концентра должен строиться на идее преобразований. Только при этом условии

учащиеся в высшей школе не будут «переучиваться» тому, чему они учились в средней школе, и разрыв между средней и высшей школой устранится.

Конечно, те выводы, к которым мы приходим, были бы более полноценными и наглядными, звучали бы более убедительно, если бы к ним приложить пару новых учебников. Но это — тривиальное возражение. Расчистка и выяснение новых путей изложения элементарной геометрии требует громадной исследовательской работы. Вопрос об учебнике является в данном случаен программным вопросом, а это уже непосильно для одного человека, но мы считаем необходимым со всей категоричностью поставить этот вопрос. Нельзя перекладывать разрешение этого вопроса на учителя, как это принято нередко делать. «Если преподаватели сами с этими идеями ознакомятся,— говорит проф. П. С. Александров, — они сумеют в процессе разъяснения учащимся тех или иных совершенно элементарных вопросов изложить в понятной форме многие элементы больших геометрических идей» (из доклада на совещании). Эти «большие геометрические идеи» оторваны от текущего курса геометрии. Преподаватель в своей работе связан программами и учебником. Наркомпрос не очень ценит инициативу учителя. В «инструкции» к тестам выборочного обследования средних школ, проводившегося Наркомпросом в конце 1935 г., было прямо сказано, что определения, строящиеся не по учебнику, должны рассматриваться как неполноценные, хотя бы они и были верны (таково, например, определение призмы). Учителя должны работать над собой и фактически много работать, но естественно они не могут вносить изменений в программы.

Поправка. В статье т. Яновской «О рядах» в № 4 за 1937 г, допущены следующие опечатки.

К ВОПРОСУ О СОСТАВЛЕНИИ РУКОВОДСТВА ПО МЕТОДИКЕ СИСТЕМАТИЧЕСКОГО КУРСА АРИФМЕТИКИ*

Проф. К. М. ЩЕРБИНА (Одесса)

Методика систематического курса математика разработана чрезвычайно мало; и в нашей и в иностранной литературе мы имеем крайне ограниченное число работ этого рода. Это и понятно: для того, чтобы дать ценную работу по методике математики, недостаточно иметь основательную теоретическую подготовку в •области математики, нужно еще иметь основательную теоретическую и практическую подготовку и в области педагогики; такое сочетание встречается не часто. Лучше всего разработана до настоящего времени методика пропедевтического курса арифметики: по этому курсу имеется значительное число работ, заслуживающих внимания. Но и в этих работах, как и в большей части работ по методике математики, сказывается сила рутины и шаблона. Можно смело утверждать, что нигде в преподавании рутина и шаблон не давали и не дают себя чувствовать в такой степени, как в преподавании элементарного курса математики, начиная с содержания учебного материала, терминологии и кончая методами преподавания и даже дидактическим материалом. А все это, естественно, отражается на построении методики элементарного курса математики вообще и методики арифметики в частности, что мы и постараемся показать в дальнейшем.

1. Структура учебника

Какова же должна быть структура руководства по методике систематического курса арифметики, если это руководство предназначается для высшей педагогической школы и учителей средней школы?

Прежде всего, следует иметь в виду, что изучение методики должно проходить три этапа. В первую очередь, необходимо, имея уже надлежащую подготовку по педагогике, основательно познакомиться с дидактическими вопросами в области преподавания математики (характерные особенности курсов пропедевтического и систематического, активизация учебного процесса, наглядность и наглядные пособия, классные и внеклассные занятия, письменные работы и пр.), а главное — рассмотреть с методической стороны общие принципы построения пропедевтического и систематического курса, причем эти принципы должны иллюстрироваться возможно большим числом соответственных примеров из всего курса математики. Это является первым этапом в изучении методики математики. Только изучивших все это можно считать подготовленными к первой специальной педагогической практике, которая является вторым очень важным этапом в изучении методики, и должна проходить под наблюдением опытного руководителя. После этого только следует приступить к изучению в определенной системе методики различных отделов математики, закрепляя во время второй практики,—если она бывает, — знания, приобретенные при изучении теоретического курса методики.

Ясно, что в руководстве по методике должны найти свое место вышеуказанные вопросы, изучаемые на первом и на третьем этапах при подготовке учительских кадров.

2. Объем учебника

Составляя руководство по методике систематического курса арифметики, естественно, нельзя иметь в виду только те вопросы, которые указаны программой V и VI классов средней школы, и в том объеме, в каком они трактуются в этих классах. Во-первых, курсом этих классов не ограничивается систематический курс арифметики даже средней школы (взять хотя бы, например, вопрос о десятичных периодических дробях, о нахождении наибольшего общего делителя последовательным делением, расширение понятия о числе в последующих классах и т. п.), а во-вторых, учителю V и VI классоз должны быть открыты более широкие горизонты: он должен знать, куда вести своего ученика, он должен возможно глубже изучить каждый вопрос, входящий в круг его работы (например, теорию сокращения дробей и разные подходы к этому вопросу, условие, необходимое и достаточное для обращения обыкновенной дроби в десятичную, и т. п.).

Излагая те или иные вопросы частной методики, следует иметь в виду различные направления, имеющиеся в разработке этих вопросов. Само собой разумеется, нужно останавливаться только на типичных направлениях, подвергая их четкому анализу, дающему возможность читателю выбрать из этого материала тот, который более всего подойдет к условиям его работы, конечно, если указываемые в данном случае пути равноценны и не имеют серьезных дефектов.

Отсюда ясен вывод: нельзя в курсе, носящем название методики, ориентироваться на один определенный учебник (теоретический куре), хотя бы он и был в настоящее время наилучшим. В этом случае мы будем иметь не руководство но методике, а методическое пособие к данному учебнику; цель и цена такой работы будет совсем иная. Такого методического пособия нельзя будет читать, не имея под руками этого учебника, и оно будет мало пригодным для учителей тех школ, где пользуются иным учебником арифметики (мы имеем в виду кроме средней школы еще педагогические училища, рабфаки и т. н.). Если рекомендуемый учебник применяется только в V и VI классах средней школы, то такое пособие мало даст для учителей остальных классов и вообще для учителей, желающих углубить свои знания в области методики. Ориентировка же на учебник, недостаточно выдержанный или малограмотный в математическом отношении, в значительной степени обесценивает методическое руководство. Осуществлять одновременно две различные задачи, т. е. дать вообще методиче-

* В порядке обсуждения.

ское руководство и в то же время показать, как пользоваться определенным учебником, является делом нецелесообразным.

3. Пропедевтический и систематический курс арифметики

Наконец, необходимо отметить еще одно существенное требование к методике как систематического, так и пропедевтического курса. Это требование касается чрезвычайно важного вопроса о характерных особенностях этих курсов— вопроса, который является слабым местом и в педагогической практике и в литературе—методической и учебной. Только при четкой постановке этого вопроса, мы не будем итти ощупью, с закрытыми глазами в разработке большей части методических проблем. Прежде всего, мы должны уяснить себе, что, с одной сто юны, между пропедевтическим и систематическим курсами не должно быть непроницаемой перегородки, а с другой стороны, нужно ясно представлять, где подача учебного материала должна носить пропедевтический характер, а где характер (неудачно названного) систематического курса, и где должна быть переходная ступень. Нужно твердо помнить, что в пропедевтическом курсе мы главным образом заняты выработкой и некоторым оформлением тех понятий, которыми придется пользоваться в систематическом курсе (понятий о целых и дробных числах, о некоторых свойствах и действиях над этими числами). Следовательно, определения, те или другие свойства действий, правила действий и т. п. являются в пропедевтическом курсе результатом длительной работы. В систематическом же курсе мы пользуемся всем этим: отшлифовываем, расширяем, углубляем, обобщаем и в то же времи закрепляем (а не механически повторяем) накопленный материал, логически оперируя с ним и по мере надобности вводя все новые и новые понятия (например, наименьшее кратное, умножение на дробь и т. п.).

Если при прохождении систематического курса будут встречаться пробелы из курса пропедевтического,— а они обязательно будут встречаться,—то эти пробелы должны быть заполнены, причем сам преподаватель должен четко отличать эту работу от работы систематического курса. Он должен иметь отчетливое представление о том, какова роль простых задач в выработке понятий о действиях (решение и придумывание простых задач), каково должно быть расположение учебного материала в пропедевтическом и в систематическом курсе, какую роль играют наглядность и наглядные пособия в этих курсах, как нужно относиться к учебнику и пр.

Центральным вопросом методики систематического курса арифметики нужно признать учение о дробях, т. е. первое расширение понятия о числе в связи с расширением понятия о действиях над числами новой природы. Поэтому преподаватель должен быть глубоко осведомлен в этом вопросе и иметь четкое представление о нем.

4. Учебники по методике арифметики

Мы имеем по методике систематического курса арифметики всего собственно две работы: из прежних работ — С. И. Шохор-Троцкий, Методика арифметики (пособие для учителей средней школы, изд. 5-е переработанное, Учпедгиз М. 1935) и из новых — Е. С. Березанская, Методика арифметики для педагогических институтов и учителей средней школы под редакцией пооф. И. И. Чистякова, Учпедгиз М. 1934, стр. 239, ц. 3 р. 95 к.

Мы имеем в виду в данном случае ограничиться разбором книги Е. С. Березанской: эта работа является последней в хронологическом порядке и по большей части заключает в себе то, что сделано предшественниками, а поэтому, анализируя работу Е. С. Березанской, мы лучше всего ответим на вопрос о том, как должно быть составлено, по нашему мнению, руководство по методике систематического курса арифметики.

5. Положительные моменты

Уже беглого просмотра названной работы достаточно, чтобы сказать, что автор усердно ознакомился с литературой по интересующему его вопросу и взял оттуда все, что счел нужным. Нам кажется только, что он недостаточно уделил внимания методам построения элементарного курса арифметики — методологии арифметики, логической стороне ее, что отразилось, как мы покажем ниже, и на изложении вс^го анализируемого нами руководства.

Обыкновенно автор старается рассматривать теорию вопроса в связи с методикой его, и часто теоретическое освещение этих вопросов дается правильное. Таких мест в руководстве довольно много. Укажем для примера некоторые из них: правильное отношение к законам действий с целыми числами (стр. 31, 54—56); признание условности аЛ =а (стр. 53) и а: 1 = а (стр. 83 и 106); правильный взгляд на то, что проверка действий является упражнением для закрепления понимания зависимости между компонентами и результатом действий (ст ). 43); указание на проверку действий при помощи округления данных (стр. 43); ссылка на закон перманентности действий (стр. 123); указание на то, что нельзя пользоваться без оговорок в применении к дробям свойствами частного, выведенными или могущими быть выведенными для целых чисел (стр. 128); упоминание о том, что вопрос об увеличении и уменьшении дроби в несколько раз является вопросом умножения и деления дроби на целое число. Но выводы по этому последнему вопросу, как и по некоторым другим, не сделаны до конца.

Далее в руководстве дается много ценных методических и дидактических указаний по большей части практического характера. Видно, что эти указания дает педагог — большой практик; но и тут рутина и шаблон, как мы покажем в дальнейшем, оставляют свои следы. Отметим, что здесь обращено внимание на таблицы всех четырех действий, на составление учениками простых задач, на оба случая деления с целыми числами (стр. 70), на правильное употребление тех или иных терминов («числа натурального ряда», вместо «целых чисел», когда не введены еще дроби, «запись или обозначение числа» вместо «число», «величина» в двояком смысле, «данные в календарном значении»—стр. 49 и т. п.). Дано много очень полезных практических указаний относительно решения различного ро-

да задач (стр 207—236), и в частности относительно решения задач способом приведения к единице (стр. 209-212), относительно методов обучения решению задач (стр. 253—254); обращено серьезное внимание на запись действий, на запись решения задач и на запись пои этом наименований. На каждом шагу указываются те ошибки, какие обыкновенно допускают ученики, и вскрываются часто причины этих ошибок. Даются каждому отделу примерные вопросы и задачи для контрольных работ. Наконец, обращается внимание на устный счет (например, стр. 83, 93, 95, 115), хотя в этом случае есть значительные пробелы, которые мы также отметим ниже. Не упущены, между прочим, из виду и такие дидактические требования, как требования к речи учителя и ученика (стр. 6), дается важный практический совет, относящийся к форме обучения, который лучше всего охарактеризовать словами «дать подумать» (Гаудиг).

К достоинствам рассматриваемой работы нужно отнести также помещение в ней исторических замечаний и справок к каждому отделу; но, к сожалению, в тех отделах, где в особенности это необходимо (десятичные дроби, пропорции, задачи) даются справки очень краткие.

Наконец, отмечается материал, пригодный для занятий учащихся в математических кружках.

6. Целевая установка

Можно признать приемлемыми те цели обучения арифметике, какие намечены автором в первой главе (стр. 3) его руководства. Что же касается задачи, какую ставит себе автор при изложении методики арифметики, предназначенной для педагогических институтов и учителей средней школы (подчеркнуто нами), мы считаем точку зрения автора по соображениям, указанным нами выше, нецелесообразной.

«Методику арифметики» Е. С. Березанской, с одной стороны, нельзя назвать методическим пособием к учебнику арифметики И. Попова, а с другой стороны, эта книга не является полноценной методикой арифметики по одному тому, что она тесно связана с указанным учебником и притом с учебником, совершенно безграмотным в научном и методическом отношении. Автор «Методики» говорит: «формулировки правил выполнения арифметических действий, за некоторыми исключениями, не приводятся в «Методике арифметики», так как они изучаются в школе по принятому в ней учебнику» (стр. 2) или «формулировку признаков делимости, как всегда, следует прочитать и выучить по имеющемуся учебнику» (стр. 102) или «определения и правила заучиваются (!) по учебнику» (стр. 129, сокращение дроби) и т. д. А между тем все эти правила и определения далеко не безукоризненны; их нужно было бы проанализировать, осветить; кроме того, странно звучат в руководстве по методике математики слова вроде «заучиваются» (не лучше ли было бы сказать: «усваиваются»).

7. Структура и содержание учебника

Обратимся теперь к структуре рассматриваемого нами руководства. В нем 13 глав. 1 глава «Вместо предисловия» и ХШ «задачи» представляют собой вкратце тот материал, который мы относим к первой части методики, только заглавие 1-й главы не соответствует содержанию ее: здесь в кратком изложении (на 8 страницах) затронуты вопросы дидактического характера (урок, домашняя работа, тетрадь, ликвидация недочетов, кружковая работа и пр.) и между прочим, всего полстраницы отведено таким важным вопросам для систематического курса, как правила и определения (почему-то об аксиомах, теоремах, законах действий здесь не упоминается), и эти вопросы рассматриваются только с методической стороны. В остальных 11 главах (II —XII) изложена методика преподавания арифметики в V и VI классах по большей части в той последовательности, в какой расположен материал в учебнике арифметики, начиная с нумерации и оканчивая отношениями и пропорциями в связи с решением задач, куда входят пропорциональные величины.

Отметим, что в той части методики, которую мы назвали первой, вовсе нет разработки двух чрезвычайно важных для преподавателя систематического курса математики вопросов*, а то что имеется, изложено крайне бегло.

8. Особенности систематического курса арифметики

Прежде всего, здесь ничего не говорится об особенностях систематического курса арифметики, о его отличиях от пропедевтического, а это, само собой разумеется, неблагоприятно отразилось на содержании и характере изложения того материала, который должен быть предложен учащимся, на четкости изложения самой методики. «Приступая к занятиям по арифметике с учащимися V класса,— говорит автор (стр. 3),— надо прежде всего учесть знания и уменья учащихся, вынесенные ими из курса начальной школы», а мы думаем, что, приступая и к изложению методики, нужно также учесть не только то, что должно быть уже дано учащимся в начальной школе, но и то, каким образом все это было дано. При таких только условиях можно четко излагать требуемый материал, отмечая каждый раз, как поступать учителю, если предполагаемых знаний и предполагаемого развития у учащихся не имеется, и ограничиваясь при этом по большей части принципиальными указаниями; при этом лучше всего в таких случаях отсылать читателя к методике пропедевтического курса арифметики. Автор же в подобных местах, не отмечая этого, вводит читателя в область пропедевтического курса и начинается излишняя трата времени, излишнее топтание на месте в руководстве по методике систематического курса. Образчиком такого изложения может служить, например, стр. 69, где трактуется о задачах, решаемых делением. Здесь рассматриваются вопросы, которые должны быть уже хорошо выяснены учащимися в начальной школе, а именно: 1) «что деление есть последовательное вычитание от данного целого равных частей»; 2) «что непосредственный процесс отсчитывания крайне утомителен» и т. д. и т. д.; 3) «что могут быть случаи, когда дано

* Почти ничего не сказано о наглядности и наглядных пособиях, о методике домашних занятий, об организации и проведении занятии в математических кружках, о домашних и классных письменных работах и проч.

для распределения такое число тетрадей между столькими учащимися, что выполнить это действие нацело невозможно», и далее приводится пример такого деления. Конечно, на все эти вопросы нужно обращать внимание и в систематическом курсе, но это, как мы сказали, нужно делать иначе. Подобных мест немало во всем курсе методики Е. С. Березанской,— и понятно: автор из практики знает, что в V класс обычно являются учащиеся без надлежащих знаний, но это не может служить оправданием тому, чтобы нарушать правильную систему изложения методики и тем вводить в заблуждение неопытного читателя.

Укажем еще на нахождение дроби числа (другими словами, нескольких час1ей числа) и на обратную задачу. Это — по существу также вопросы пропедевтического курса и в более простых случаях прорабатываются в начальной школе. В V классе эти вопросы должны быть проработаны не одновременно с умножением и делением на дробь и не непосредственно перед умножением и делением др бей, а возможно раньше, чтобы, приступая к обобщению понятия об умножении и делении дробей, можно было воспользоваться этим хорошо усвоенным материалом. Заслуживает внимания с этой же точки зрения план урока о счете (стр. 17), но об этом еще будет речь впереди.

Отметим здесь же, между прочим, что только ненадлежащим отношением к характеру и объему пропедевтического и систематического курсов объясняется обычная излишняя постановка очень простого и ясного вопроса о том, что раньше проходить — обыкновенные или десятичные дроби.

9. Принципы построения систематического курса арифметики

Второй вопрос, которому нужно было уделить серьезное внимание прежде чем приступить к частной методике арифметики, это — вопрос об основных принципах построения систематического курса арифметики. Этот вопрос нужно было рассмотреть и с методической и методологической точки зрения; нужно было остановиться на анализе методов систематического курса арифметики — на методологии арифметики, логической стороне ее. И учителей V класса должно интересовать, что такое—определение, теорема, аксиома или постулат, что такое правило, почему в систематическом курсе геометрии у нас всегда упоминаются те или иные аксиомы, а в систематическом курсе арифметики обычно ничего о них не говорится, чю можно в курсе арифметики принимать без доказательств и чего нельзя (хотя бы мы этого с учениками и не доказывали), что с логической точки зрения мы вправе сделать или сказать и чего не вправе, какие требования следует предъявлять к определениям, что значит доказать, чем доказательства в V классе (если они встретятся, например, доказательство коммутативной) закона при умножении двух чисел) отличаются от доказательств в X классе* и т. п. Отсутствие ответов на такие вопросы в руководстве по методике систематического курса дает себя знать почти на каждом шагу.

Обращаясь к научно-теоретическому обоснованию какого-либо вопроса, автор многое оставляет неясным, недоведенным до конца, не говорит многого, что нужно было бы дать уже читателю V класса в «Методике»; часто нет четкости в изложении: у автора нехватает смелости пойти против установившейся рутины, против принятого шаблона, а иногда даются автором и совсем неверные заключения. Чтобы не быть голословным, приведем фактический материал. Остановимся на более существенном.

10. Определения

Говоря о величине, автор, между прочим, приводит, «три основные аксиомы» (стр. 23), имеющие, по его мнению, «общее значение» и меж ту ними третью аксиому; «целое больше своей части». Во-первых, эта аксиома не имеет общего значения: имея в виду, например что (— 3) + (—5) = —8, где — 3 и —5 являются частями числа — 8, мы не можем сказать вообще, что целое больше своей части; а во-вторых, в такой аксиоме в настоящее время нет никакой надобности, потому что для каждого рода величин в отдельности, а следовательно и для чисел разного рода, должны быть введены определения равенства и неравенства этих величин, определение их суммы и пр., ими и пользуются в необходимых случаях. Отсюда ясно, что в методике нужно обратить внимание на необходимость с логической точки зрения дать, в зависимости от характера систематического курса, конкретные или формальные определения равенства и неравенства сначала чисел натурального ряда, а затем и дробных чисел, причем в V классе с дидактической точки зрения определения равенства и неравенства чисел натурального ряда можно не давать. Что же касается равенства и неравенства лробей (стр. 125, § 7), то в изложении этого параграфа в рассматриваемом нами руководстве нет необходимой четкости: нельзя сказать, дается ли здесь определение или доказательство рассматриваемых положений; здесь не подчеркивается, что употребление наглядных пособий полезно только постольку, поскольку оно показывает целесообразность таких определений.

Рассматривая вопрос об определении сложения чисел (очевидно, не вообще, а целых чисел) автор, обращаясь к довольно обширной литературе, относящейся к этому вопросу, приходит к верному заключению, что никакого определения в обычном смысле давать ученикам V класса не следует, но он не доводит разъяснения и решения этого вопроса до конца, а поэтому оставляет малоопытного читателя в неведении,— чем же данное понятие, хотя бы и простое, выделяется из ряда другах понятий или другими словами, как оно определяется с математической точки зрения. В данном случае необходимо было указать, что во всякой науке и в математике есть понятия основные, элементарные, которые не могут быть определены так, как требует того формальная логика. К таким понятиям можно отнеси: чисто натурального ряда, единицу, величину, сложение двух чисел натурального ряда, точку, прямую, длину, площадь, объем и т. п. Такие понятия определяются в математическом смысле имплицитно, т.е. при помощи аксиом-постулатов и так сказать вспомогательных определений. Например, если речь

* В X классе при изучении вопроса «расширение понятия о числе» нужно на арифметику обратить особое внимание.

идет о числе, то к обычным постулатам величины еще нужно присоединить определения равенства и неравенства этих чисел, суммы, разности и проч. Далее, нужно было подчеркнуть, что если сумма двух целых чисел устанавливается, как постулат, то сумму трех и более чисел можно уже определить в зависимости от суммы двух чисел. Сложение же двух целых чисел, очевидно, определяется, кроме постулата о сумме, законами коммутативным (в случае двух слагаемых) и ассоциативным (в простейшем случае).

11. Понятия «больше» и «меньше»

Теперь обратимся к понятиям «больше и меньше на несколько единиц или в несколько раз», а в сзязи с этим к понятиям «увеличение и уменьшение на несколько единиц или в несколько раз» (стр. 35, 43, 44—45, 63, 67, 71, 72, 73—74, 8/—90, 127, 128, 145}. Здесь, кроме недочетов логического характера, кроме недолжного отношения к определениям, дает себя знать сила рутины и шаблона — общепринятое изложение, и этим дело еще более осложняется. Обычно в практике и в учебной литературе, не думая о последующих обобщениях, отожествляют понятия о действиях над целыми числами с понятиями увеличения или уменьшения и—что еще хуже — более простые понятия (придать, отнять, умножить и пр.) сводят к более сложным понятиям (увеличить или уменьшать определенным образом*. Кроме того, во всех формулировках, где идет вопрос об изменении результатов действий в связи с изменением компонентов, а также и в дробях на первый план вместо формулировок, связанных с действиями, выдвигают фомулировки, связанные опять-таки с понятиями увеличить и уменьшить. Все эти формулировки в дальнейшем окажутся непригодными: их при первых же обобщениях понятия о числе придется перестраивать, а главное—это является неприятным тормозом, когда приходится обобщать понятия о действиях.

Конечно, понятия «больше и меньше в. обще» относятся к понятиям очень простым, элементарным, которые очень рано возникают в сознании человека и которые при научном изложении обыкновенно постулируются, но понятия больше и меньше на несколько единиц и в несколько раз являются уже понятиями, требующими для их усвоения четких определений и тщательной работы с ними. Эти понятия следует вводить (в V классе определять) в зависимости от понятий более простых, какие должны уже быть у учащихся и притом в отчетливом виде, т. е. в зависимости от понятий придать, отнять, повторить слагаемым (другими словами умножить), и пр., а не наоборот; и вообще не следует излагать весь курс арифметики так, чтобы у учащихся складывалось убеждение, что, например, умножить на какое бы то ни было число это значит увеличить число в соответствующее число раз или, другими словами, получить новое числе, в соответствующее число раз большое данного числа. Автор, к сожалению, идет по проторенным уже путям и на эту сторону изложения не обращает никакого внимания; только в одном месте (стр. 127), говоря об увеличении и уменьшении дроби, он мимоходом отмечает, что «вопрос об увеличении и уменьшении в несколько раз» является «вопросом умножения и деления на целое число», но это ничуть не повлияло на изложение автора. Несмотря на такое замечание, он и здесь идет шаблонным путем, благодаря чему теряется четкость в изложении, и создаются большие затруднения для учащихся, когда они «переходят к изучению дробей, а потом в алгебре к отрицательным числам и проч. Особенно характерной в этом отношении является таблица на стр. 74—75, по нашему мнению, ни для кого ненужная и вредная с педагогической точки зрения, представляющая собой остаток схоластики в преподавании. В этой таблице говорится, что целью сложения и умножения является увеличение, а вычитания и деления — уменьшение и что «искомое показывает число большее» в одном случае и «меньшее» в другом случае. А между тем нужно было, имея в виду дальнейшее развитие понятия о сложении и сумме, об умножении и произведении и проч. подчеркивать, что для целых чисел сложение имеет целью присчитывание соответственного числа единиц, а умножение — повторение данного числа (множимого) слагаемым соответственное число раз. Еще хуже, когда при выяснении умножения на дробь (стр. 145) говорится: «здесь ученик встречается с таким фактом, когда некоторому вполне определенному и известному слову — умножить (по существу увеличить) придается совершенно иной смысл, даже противоречащий его первоначальному значению. Да, если все время при действиях над целыми числами внушать учащимся, вколачивать в сознание их, что умножить значит увеличить, а разделить — уменьшить; если везде при рассмотрении вопроса об изменении результатов в связи с изменением компонентов ударение делается на увеличении и уменьшении (от чего впоследствии приходится отказываться), а не на соответствующих действиях,—то после всего этого не удивительно, что как говорит автор (стр.145), умножение на дробь (а мы прибавим от себя: и деление на дробь) «представляет большие затруднения для понимания учащихся».

12. Определение дроби

Уже из сказанного видно, что если бы вопрос об определении и о требованиях к нему с логической и с методической стороны, а также о других логических понятиях в арифметике был предварительно разработан в первой части методика, то изложение частной методики арифметики было бы более четкам и сжатым, в ней было бы меньше недочетов, а учитель, изучающий эту методику, был бы более вооружен для своей самостоятельной, сознательной работы, для того чтобы выполнить одну из важных задач преподавания математики — научить ученика логически мыслить. Ведь нужно же твердо помнить, что определение в системати-

* Например, часто говорят, умножить значит увеличить в несколько раз, а при объясненли решения задачи на умножение обычно требуется, чтобы необходимость применения умножения объяснялась, примерно, так: <1 яблоко стоит 5 коп., а 7 яблок в 7 раз больше»; вместо того, чтобы сказать: «1 яблоко стоит 5 коп., а 7 яблок— 7 раз по 5». Это — непривычно, но несравненно проще. То же самое нужно сказать и о задачах на деление.

ческом курсе должно быть отправным пунктом работы (как к нему подходить-—это иной вопрос).

Если мы обратимся к методике дробей (стр. 120, § 3, стр. 121—§ 4, стр. 124—125 §6), те здесь мы найдем, что дробь можно рассматривать и как результат измерения, и как результат деления (только напрасно автор говорит—результат деления меньшего числа на большее), и как числовую пару (стр. 123) «первой степени»* и тем не менее читатель остается в неведении, какого же определения держаться в курсе арифметики V класса и как оно должно быть формулировано, что принять за определение и что после этого можно вывесть: нельзя же с логической точки зрения одновременно держаться двух-трех различных определений. Конечно, ученик V класса может еще не разбираться в этих вопросах, но учитель в этом случае должен четко мыслить. Та же нечеткость замечается, как мы уже сказали, и по отношению к определению равенства и неравенства дробей, по отношению к моменту чрезвычайно важному для чисел новой природы; и это тем более удивительно, что тот же вопрос относительно целых чисел, где это для V класса не так важно, как относительно дробей, разработан в «Методике» (стр. 18) основательно. Кроме того, тут для учителя ничего не сказано о том, что в данном случае, как и во многих иных, можно пользоваться или так называемым конкретным определением или же формальным, и что в курсе V класса следует держаться определения конкретного.

Нечеткость в изложении особенно бросается в глаза, когда автор говорит (стр. 122): «новое обогащенное понятие числа содержит в себе все, что было известно раньше о числе». Что это значит? Если закон или принцип перманентности действий и требует, чтобы действия в расширенной известным образом числовой области подчинялись тем же основным законам, что и действия с целыми числами, то во всяком случае логика не позволяет выражаться так, как сказано здесь**. Далее, совершенно недопустимым нужно признать выражение (стр. 122) «новые числа (т. е. дробные, а затем отрицательные, иррациональные, комплексные) — это только символы, которые устанавливаются для того, чтобы выразить результаты обратных действий»... Спрашивается, результатом каких обратных действий являются числа те и е и т. п., а затем разве целые числа — это не символы в том же смысле, в каком и остальные числа являются символами; с другой стороны, разве новые числа не имеют конкретного применения?

Отметим еще ряд недоговоренностей и недочетов, имеющих своим основанием, главным образом, логическую сторону вопросов. При рассмотрении вопроса о смешанном числе и о преобразовании его в неправильную дробь дается несколько маловажных методических указаний, но нигде не отмечается, что это первый случай, требующий от нас расширения понятия о действии — о сложении; дальше ничего не говорится также, что при обращении смешанного числа в неправильную дробь мы встречаемся уже здесь с умножением дроби на целое число и с сложением дробей с одинаковыми знаменателями, о чем по традиции дают понятие только значительно позже, а здесь обходят это, нарушая без всякой необходимости требования логической последовательности (и это в систематическом курсе). При исключении целого числа из неправильной дроби также почему-то не указывается, что мы пользуемся в данном случае делением (по содержанию) дроби на дробь с одинаковыми знаменателями. Среди методических замечаний, к сожалению, здесь нет указания на необходимость предупреждать учеников, чтобы при решении задач они не приступали к соответственным преобразованиям, не посмотревши, какое действие будет в задаче дальше.

Что касается сокращения дробей, то и здесь опять даются некоторые методические указания и говорится (стр. 129): «определения и правила заучиваются (!) по учебнику» (очевидно И. Попова). В учебнике же не говорится, что называется несократимой дробью, и вообще этот вопрос изложен совершенно неосновательно. Читателя следовало отослать не к учебнику, а к теории этого вопроса (хотя бы но руководствам А. Серре или же Серре и Комберус) и сказать, что, если несократимой дробью назвать дробь, в которой числитель и знаменатель числа взаимно-простые, то можно доказать тогда, что из бесконечного ряда равных дробей, числитель и знаменатель несократимой дроби выразятся числами наименьшими, и наоборот, если это последнее принять за определение несократимой дроби, то можно доказать, что числитель и знаменатель несократимой дроби будут числами взаимно-простыми.

13. Умножение и деление на дробь

Считаем необходимым заметить, что ученику V класса впервые можно дать «почувствовать», как следует, необходимость расширения и обобщения понятия о действии, приступая к умножению на дробь, но учитель должен знать, что мы уже расширяем понятие о действии, когда вводим смешанные числа и имеем дело с сложением дробей с разными знаменателями, а следовательно, и при вычитании дробей в соответственных случаях.

При изложении умножения и деления на дробь нечеткость, а иногда и ошибочность утверждений обусловливается не только неправильным с логической и методической стороны отношением к понятиям «увеличить» и «уменьшить», но и отсутствием четкого представления о том, что является при данных условиях логической необходимостью, а что вызывается требованием только целесообразности.

Приведем примеры недооценки автором требований логической необходимости. Автор совершенно правильно находит недопустимым (стр. 147) «без всяких оговорок свойства действия умножения на целые числа переносись на случаи умножения на дробь». Но тут же ниже он помещает замечание, подтверждающее нашу точку зрения: «эта постановка вопроса прием-

* Обычно такую пару чисел называют числовой парой «второй ступени».

** Логический недосмотр: дробь — понятие более широкое по объему, следовательно оно должно быть более узким по содержанию,— ведь нельзя, например, утверждать, что параллелограм (аналогично ему дробное число) имеет все свойства прямоугольника (аналогичного целому числу).

лема тогда, когда рассматривают умножение на дробь, как умножение на частное, причем вместо того, чтобы умножить на частное, умножают на делимое и полученное произведение делят на делитель». Конечно, если частное представляет собой целое число, то приведенное замечание будет справедливым, но если оно является числом новой природы—дробью, то такое заключение по законам логики нужно признать ошибочным. Говоря далее о подходе В. А. Евтушевского к умножению на дробь (стр. 148), автор отмечает, что основная мысль заключается в том, что с изменением данных чисел в конкретной задаче определенного типа не может изменяться действие, которым она решается, и далее, не обращая внимания на логическую сторону вопроса, приводит с своей стороны бессодержательное возражение: «по существу задача, решаемая умножением на целое число, — задача простая, при дробном множителе—это задача сложная». Дело вовсе не в том, что с точки зрения действий с целыми числами первая задача решается одним действием, а вторая —двумя действиями. Ведь действия с какими бы тони было числами всегда сводятся к действиям с целыми числами, да даже в области целых чисел выполнение, например, деления сводится к умножению и вычитанию. И что же, нельзя этого действия назвать делением? В. А. Евтушевским допущена логическая ошибка, извинительная для его времени, а именно: он ошибочно допускает, что независимо от тех или иных чисел существует уже действие умножение, не подозревая того, что такое понятие вне определенных чисел является бессодержательным, т. е. иными словами, пустым местом. Вот еще образчик логического недосмотра. «Полезно в качестве упражнения,— говорит автор (стр. 153—154),—предоставить самим учащимся применить общее правило к частным случаям умножения дробного числа на целое (правило было известно) и целого числа на дробь, для которого особого правила не было дано. Но после того (но не ранее, как учащиеся убедились в справедливости переместительного свойства произведения для случая умножения дробных чисел, можно вывести правило умножения целого на дробь на основании того, что ~ . с= с . —-—». Автор упускает, очевидно, из виду, что убедиться в справедливости переместительного свойства произведения в случае дробных чисел можно лишь только после того, как будет выведено или принято без вывода правило умножения на дробь*, а следовательно, поступать так, как указывает автор, нельзя (будем иметь так называемый «порочный круг»),

14, О сознательном усвоении Указанные нами недочеты главным образом обусловливаются, как мы и показали, отсутствием планомерной разработки научной, логической стороны построения систематического курса арифметики, а в связи с этим, конечно, пострадала и методическая сторона этого курса. Теперь перейдем к рассмотрению других сторон этой работы.

Автор совершенно правильно говорит (стр. 3): «вычисления должны выполняться сознательно, быстро, верно и уверенно, а также вполне четко и последовательно»; при дальнейшем изложении эта мысль подчеркивается не один раз, причем особенное внимание обращается на «осознание всех отдельных операций при выполнении действия» (стр. 31, 46, 79 и др.).

Что касается сознательного усвоения процессов сложения и вычитания целых чисел, то мы утверждаем, что применение сочетательного и переместительного законов при выводе правил сложения и вычитания в том вице, как это указано на стр. 38, не будет доступно для учащихся V класса: эти указания полезны для читателя «Методики», но они не дойдут до сознания ученика в таком виде, и их следует изменить (не обращаться при этом к записям в строку).

Кстати заметим, что наглядное пособие, рекомендуемое в «Методике» для лучшего понимания учениками сложения и вычитания целых и дробных чисел (стр. 29, 41, 138, 139) нам представляется непоказательным и совершенно излишним и для систематического и для пропедевтического курсов (чего нельзя сказать о счетах и абаке).

Особенно слабо разрешается вопрос о сознательном усвоении учениками деления целых чисел, несмотря на то, что азтор имеет в виду «подвести учащихся к осознанию и прочному навыку в выполнении сложного процесса деления многозначных чисел» (стр. 79).

Как мы уже указывали, не может быть четкости в изложении, если мы не различаем пропедевтического курса от систематического, если мы сами не даем себе отчета, что должен учащийся уже знать и что новое нужно ему дать (стр. 69, 78 и др.) Ученики могут схватить только внешнюю техническую сторону действия, если не подчеркнуть сущность письменного приема выполнения действия (правила деления), а именно: при делении на однозначное или на многозначное число при многозначном частном сущность процесса заключается в том, что мы последовательно разбиваем делимое на такие группы, от деления которых получаем единицы каждого разряда отдельно, начиная с единиц высшего разряда. В «Методике» это вскользь указано (стр. 78-79), но почему-то не подчеркнуто, что именно в этом и заключается сущность письменного приема деления. Наконец, в «Методике» нет четких указаний, какое из определений деления следует принимать за исходное при выводе правил деления—общее или одно из частных и как провести рассуждения, исходя из того или иного определения; те рассуждения, какие мы находим на стр. 80—81 совершенно недостаточны, не выясняют сущности правила деления.

Не лучше обстоит дело относительно сознательного усвоения правил умножения и деления обыкновенных дробей, а также деления десятичных дробей. Что касается умножения на дробь и деления обыкновенных дробей, то при отсутствии, как мы уже видели, четкости в изложении не обращено должного внимания на то, что эти новые понятия, как

* Более обстоятельно об умножении и делении на дробь изложено в нашей статье, напечатанной в № 4 1937 г «Математика в школе», а также в нашей работе «О преподавании систематического курса обыкновенных дробей», напечатанной в «Киевских университетских известиях» за 1911 г., в отчетах Киевского Физико-Математического Общества за 1911 г., в юбилейном сборнике, посвященном проф. Г. К. Суслову, и отдельным изданием.

бы к ним ни подходить, вырабатываются только путем решения большого числа разнообразных простых задач, а главное — путем составления самими учащимися таких задач. Об этом в «Методике» говорится (стр. 154, п. 7), но только опять-таки между прочим; тогда как в данном случае не только полезно, но необходимо этим заниматься. В особенности же, когда уже введено понятие о делении на дробь (в обоих случаях), чрезвычайно полезно заставлять учеников составлять простые задачи, в которых пришлось бы умножать дробь на дробь и затем, пользуясь теми же числовыми данными и результатом, к каждой из таких задач на умножение составлять две обратные задачи на деление.

Не доведено до конца в смысле воспитания у учащихся сознательного отношения к своей работе в области арифметики, когда автор дает методические указания в главе VII («Свойства чисел. Делимость чисел»),— тем более, что этот отдел важен не только для «развития в учащихся интереса к изучению состава числа». При правильной с методической стороны постановке его, мы создаем прочную базу не только для прохождения обыкновенных и десятичных дробей, но и для различного рода операций в алгебре и геометрии. Этот отдел еще важен тем, что подготовляет учащихся к применению дедуктивных способов доказательств в дальнейшем курсе математики (в VI классе). Кроме общего признака делимости, который дается автором, нужно было для углубления знаний учителей и лиц, готовящихся быть учителями, уделить теории в связи с методикой значительно больше места, нежели сделал это автор (стр. 98—100, 114). Тут совершенно отсутствует неразрывно связанная с методикой теория простых чисел, теория наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя, и почти совсем не разработан алгорифм Евклида (стр. 114). Наконец,-— и это самое существенное,— хотя автор и обращает внимание на устные упражнения в этом случае (стр. 108—109), он останавливается на полпути и не требует, чтобы учащиеся прежде всего твердо усвоили разложение чисел, представляющих собой степени 2, 3, 5, 7, в пределах, по крайней мере, ста, разложение разрядных единиц, а затем устно же раскладывали числа однозначные и двузначные, начиная с чисел, входящих в таблицу умножения. Наконец, необходимо, чтобы полученные таким образом знания обязательно применялись к обыкновенным и десятичным дробям.

Для сознательного усвоения признаков делимости следовало бы обратить внимание на двоякий способ формулировки признаков делимости, а именно, в зависимости от записи числа и независимо от нее. То же следует иметь в виду и при выводе в иных случаях различных правил при операциях с десятичными дробями.

Не может способствовать сознательному усвоению учениками материала, предлагаемого учителем, если он будет допускать согласно указаниям «Методики» такие выражения: «В редких случаях в длине или ширине комнаты будет целое число метров» (стр. 24, очевидно, автор опустил: при измерении с известной степенью точности) или «результат измерения в огромном большинстве случаев не может быть выражен точно целым числом» (стр. 121). Нельзя забывать, что результат измерения на практике никогда не выражается точным числом, но при известной степени точности этот результат измерения может выражаться и числом целым, и только в теории могут представиться случаи, когда в результате измерения получатся числа или целые, или дробные, или иррациональные. Только теоретически может существовать прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5, а на практике такого треугольника соорудить нельзя. Если же в одном метре в точности заключается 100 см и т. п., то это результат установки, а не измерения. Имея в виду сказанное, преподаватель должен в данном случае при разработке соответствующих вопросов выражаться осторожнее, осмотрительнее (в виде условия или допущения), чтобы впоследствии не пришлось отказываться от своих слов.

15. Нумерация

Автор в начале своего курса (стр. 16) говорит: «учащиеся во время обучения должны оценить главные достоинства десятичной системы счисления— мы их подчеркиваем при выяснении правила выполнения каждого действия». Нам же кажется, что помимо этого нужно было сосредоточить значительно больше внимания на этом важнейшем вопросе арифметики в главе о нумерации, где, если не принимать в расчет приводимых автором исторических сведений и материала для занятий в кружке, нумерации отведено всего около трех страниц. Из этих трех страниц только на одной (стр. 18) даются сведения, необходимые для преподавателя; на стр. же, например, 17, излагается план первого урока, посвященного счету, на котором ученикам V класса выясняется, что «ученик может, прикоснувшись к одному объекту, сказать «один», а затем, прикоснувшись ко второму объекту, закончить: «один да еще один —два» и т. д. и что 1) сколько бы раз и 2) в каком бы порядке они (учащиеся) ни повторили счет предметов одной совокупности, они будут постепенно произносить те же слова «один», «два» и т. д., и число получится каждый раз одно и то же. Такие разговоры и притом в течение целого урока для учеников V класса являются мало вразумительными («к чему все это»,—подумает ученик V класса) и поэтому совершенно излишни. А вместо этого нужно было остановиться на том, какую задачу (троякую) ставит себе десятичная нумерация, и как эта задача осуществляется, в чем сказывается рутинное отношение к этому вопросу и вообще дать методику этого основного отдела, имея в виду, что в нумерации слабы не только ученики средней школы. В материалах для занятий в кружке (стр. 20) делаются указания учащимся, как записывать одно и то же число в различных системах счисления, и этим кончается знакомство с иными системами счисления, а между тем для выяснения сущности и значения нумерации необходимо было дать еще указание и относительно действий над числами, записанными по иным системам счисления, а также относительно признаков делимости чисел по различным системам счисления и относительно дробей, аналогичных десятичным. Это следовало дать не только в интересах работы в математическом кружке, но и в интересах самих преподавателей.

16. «Проверка» действий

Далее, мы рассмотрим, хотя бы бегло, несколько вопросов, в разрешении которых особенно сказывается влияние традиции, влияние рутины.

Прежде всего отметим вопрос о проверке действий с целыми числами. Когда идет речь о дробях, то о проверке действий над дробями обыкновенно ничего не говорят и правильно в этом случае поступают. Пора уже обратить внимание на то, что проверка действий с целыми числами в том виде, как она обычно излагается в учебниках арифметики, не имеет практического значения, но что этот отдел заслуживает особенного внимания и должен быть хорошо проработан совершенно с иной точки зрения, а именно— для установления зависимости, во-первых, между действиями, а во-вторых, между компонентами и результатом каждого действия. На это должно быть и сделано ударение в первую очередь, а не на проверку действий, между тем как в «Методике» Е. С. Березанской вопрос о проверке действий излагается обычным путем, и только мимоходом (стр. 43) упоминается о том, что проверку действий можно рассматривать «в качестве упражнений, имеющих целью закрепление у учащихся навыка в использовании зависимости между компонентами действии ».

17. Скобки

Обратимся к другому вопросу. Скобки в пропедевтическом курсе арифметики удерживаются также по традиции. К сожалению, к скобкам обращаются иногда при действиях над числами даже в пределах первой сотни. Ясно, прежде всего, что скобки при решении задач необходимы там, где действий на самом деле выполнять нельзя, а можно только обозначить (т. е. в алгебре, в геометрии); мы считаем безусловно преждевременным и нежелательным, чтобы ученики в начальной школе составляли формулы решения задач, где могут понадобиться скобки. Далее, употребление скобок образовательного значения само по себе не имеет. Наконец, правильное пользование ими основано на ряде условий или соглашений, усвоение которых доступно только при развитии более высоком, чем развитие учеников начальной школы. Не случайным нужно признать тот факт, что до последнего времени почти во всех учебниках алгебры вопрос об употреблении скобок излагался неудовлетворительно. Само собой разумеется, что примеры со скобками для учеников начальной школы должны быть заменены рядом отдельных простых примеров на те же действия той же ценности. Что касается систематического курса арифметики, от которого непосредственно переходят к изучению алгебры, то здесь следует постепенно вводить скобки, как пропедевтическую подготовку к дальнейшему курсу математики. Автор не выяснил (стр. 91—93), откуда и когда явилась необходимость в употреблении скобок, почему и для чего к ним обратились, а поэтому и не сделал надлежащих отсюда выводов, а, говоря о проведенной по этому поводу проверке учеников и об ошибках, вскрытых при этом, замечает (стр. 92): «у учеников создан неверный навык, и практически результат их работы по изучению действий как с целыми, так и с дробными числами обесценен...» и только. Вывод же следовало продолжить: неверные навыки прививаются прежде всего в начальной школе (у нас есть многочисленные факты, подтверждающие это); кроме того ученики, приступая к этому вопросу в V классе, не уделяют ему того внимания, какое требуется в данном случае; им кажется, что они это хорошо знают.

А отсюда ясно, что скобки должны быть совершенно исключены из курса арифметики начальной школы: от этого, кроме пользы для дела, ничего другого получиться не может.

18. Пропорции

Только силой традиций, силой рутины и шаблона в области преподавания математики можно объяснить, что пропорции, уже один раз устраненные из программы арифметики средней школы, вновь появились в этой программе. Конечно, автору «Методики арифметики» нужно было включить этот вопрос в свое руководство, но ему же необходимо было, говоря о месте преподавания пропорций (стр. 196), не ограничиваться наивными, ничего незначащими мотивами каких-то сторонников исключения пропорций из курса арифметики, а привести те серьезные, неотразимые соображения, которые обыкновенно высказываются в данном случае, подкрепив их ссылками на историю этого вопроса. А сверх того, нужно было показать, как давать понятие о пропорциональности, ничего не говоря предварительно о пропорциях.

Говоря о процентном транспортире (стр. 238), автор только вскользь упоминает о диаграммах h графиках, не останавливая внимания на этом вопросе, совершенно так, как это было и прежде. Между тем вопрос о диаграммах и графиках должен быть поставлен в тесную связь с выработкой понятия о простейших функциональных зависимостях (прямой и обратной пропорциональности и т. п.); по крайней мере, эта мысль должна быть подчеркнута для преподавателей и должна была найти отражение в курсе «Методики». Нужно было рассмотреть различные виды диаграмм и показать, как от линейных диаграмм перейти к графикам, и вообще дать методические указания, относящиеся к этому вопросу.

19. Мелкие замечания

Прежде чем перейти к разбору последней главы о задачах, сделаем еще несколько отдельных мелких замечаний.

Останавливаясь на определении десятичной дроби (стр. 168), автор правильно отмечает, что встречаются по существу только два вида определений: в одном определении указывается способ записи десятичной дроби, а в другом не указывается. Автор придерживается первого определения, но он не анализирует этих определений, а главное — не находит нужным обратить внимание на то, какие методические замечания должны быть сделаны в связи с этими определениями, а также не подчеркивает, что теперь, после знакомства с обыкновенными дробями, все свойства, принадлежащие обыкновенным дробям, применимы и к десятичным дробям, как к частному виду обыкновенных дробей.

Непонятно, почему определение процента какого-нибудь числа, как сотой доли этого числа (стр. 224), названо современным. Таким определением пользовались и раньше особенно в пропедевтическом курсе арифметики.

Говоря о «буквенной записи» при решении задач на проценты (стр. 229), как и раньше в других случаях, автор правильно предостерегает от преждевременного увлечения «буквенными формулами», но нигде не подчеркивает, что буквенное обозначение можно давать только

в том случае, когда у учеников будет выработано понятие об общем (неявном) числа.

Обращаясь к языку, каким написана. «Методика», отметим, что не следует злоупотреблять термином «правило» (стр. 89 и др.) не только потому, что этот термин часто является неуместным, но и потому, что употребление этого термина, да еще и некстати, вредно в методическом отношении. Вообще же руководство написано безукоризненным языком, поэтому особенно бросается в глаза такая фраза (стр. 88): «учитель со всей осторожностью должен отнестись к скороспелым обобщающим умозаключениям на основе пары (!) рассмотренных частных случаев». Такие выражения чужды литературному русскому языку: частных случаев парами не считают.

20. Задачи

Задачам вообще отводит автор, как это и необходимо, много места. Кроме последней главы, много внимания уделяется задачам во всем курсе «Методики» и в особенности в двух предыдущих главах, где рассматриваются задачи на тройное правило, на деление в данном отношении и на проценты.

Остановимся на последней главе «Методики», озаглавленной «Задачи» (стр. 238—274). Здесь наблюдаются те же достоинства и те же недостатки, что и во всей работе.

Автор довольно тщательно ознакомился с литературой по этому вопросу. Он рассмотрел различные приемы решения сложной задачи, подготовку к решению сложной задачи, дал примеры решения их, остановился на классификации и на приемах решения задач по каждому отделу (целые числа, обыкновенные дроби, десятичные дроби), обратил внимание на самостоятельное составление задач учениками и, наконец, на задачи с конкретным содержанием. Здесь дается много дельных детальных методических указаний, которые могут иной раз показаться мелочами, но в действительности при обучении они имеют чрезвычайно важное значение и изобличают очень опытного преподавателя. К таким замечаниям, например, относятся указания: при составлении плана решения задачи дать ученикам подумать раньше, чем приступать к решению; не ставить в задачнике «прозрачных заголовков», которые подсказывали бы решение; не брать в задачах больших чисел, если мы хотим выяснить какой-нибудь теоретический вопрос; приучать к анализу задачи, пользуясь для этого уже решенной задачей, а мы от себя прибавим, — и незамысловатой и т. п. Особенно ценными являются замечания, которые даются в § 3 — «Подготовка учащихся к решению сложных задач», причем чутье опытного педагога подсказало верный путь для ответа на довольно трудный и до сих пор только, так сказать, ощупью разрешаемый вопрос, а именно— каких методов или приемов держаться, чтобы при активном участии учащихся, без чьей-либо помощи, при наименьшей затрате энергии ученики самостоятельно могли решать задачи. Но и здесь, в последней главе, как и во всем предыдущем изложении, недостает четкости, кое-что остается недосказанным; и причиной этому является игнорирование логической стороны вопроса.

21 .Методика решения задач

Несомненно, центральным пунктом этого отдела нужно признать вопрос о методах решения задач. Нас часто спрашивают, какого метода следует придерживаться, чтобы наилучшим образом осуществить решение предложенной задачи. Но ставящему подобный вопрос нужно прежде всего самому четко выяснить себе, какие собственно методы или приемы в данном случае интересуют его. Ведь нужно иметь в виду,—и это очень важно, — что для достижения различных целей при решении одной и той же задачи применяются и различные методы, различные приемы. Правда, эти методы до известной степени связаны между собой, но во всяком случае нужно различать, интересуют ли нас при решении задачи только процессы мышления, общий ход его, т. е. логическая сторона его, или же специальные, арифметические приемы, какими мы пользуемся в этом случае, арифметическая сторона решения, или же, наконец, чисто педагогическая сторона решения, т. е. те приемы, которые дают возможность ученику самостоятельно без подсказываний и подталкиваний со стороны учителя или учебника притти к решению предложенной работы. Нам кажется, что эти последние приемы, или, если можно так выразиться, методы решения с педагогической точки зрения и интересуют главным образом учителя, когда он ставит вопрос, какого метода лучше всего придерживаться при решении задач. А поэтому все споры, которые давно уже велись и теперь иногда ведутся, а именно: что лучше для осуществления последней цели — аналитический метод, или синтетический, или аналитико-синтетический, или синтетико-аналитический — являются результатом недоразумения результатом ненадлежащего отношения к вопросу о методах решения задач.

Итак, к методам решения задач и к методам доказательства теорем следует подходить не с одной только точки зрения, а с разных и в данном случае с трех точек зрения: с логической, с арифметической и с педагогической. С логической точки зрения, как известно, обыкновенно при решении задач различают два метода: аналитический и синтетический. Что касается арифметической стороны решения, то нужно сказать, что этот вопрос еще очень мало разработан; между прочим, указывают (И. Александров, Д. А. Волковский и др.) методы: приведения к единице, приведения к общей мере, отношений, подобия, предположения или допущения и пр. Наконец, если подходить к методам решения задач с педагогической точки зрения, интересуясь этой стороной дела, то независимо от методов логических и арифметических, необходимо, по нашему мнению, придерживаться приемов, которые мы назовем методом подготовительных задач или лучше — методом подготовительных упражнений.

Вот эта точка зрения в методике и должна нас больше всего интересовать, потому что в употреблении логических и арифметических методов мы очень ограничены, и они в нашей работе мало нам помогают в педагогических целях. Ведь нужно иметь в виду, что на практике анализ и синтез неотделимы (так учит нас и диалектика), что споры о том, какой из

этих методов лучше применять при решении задач с педагогической точки зрения, есть результат поверхностного отношения к этому вопросу. Ясно, что одним аналитическим методом решить задачу нельзя, — нужно обязательно после анализа применить еще и метод синтетический; с другой стороны, и синтетический метод без аналитического или чего-либо такого, что заменяло бы собой анализ (указание учителя, учебника и пр.) на практике не может осуществиться, потому что по таким путям идет наше мышление, и от нашей воли, от нашего желания не зависит изменение в этом смысле хода нашего мышления, а поэтому тратить усилия на то, чтобы выяснить необходимость синтетико-аналитического или аналитико-синтетического метода при решении задачи, значит ломиться в открытую дверь, не замечая этого. Мы вполне согласны с автором, что лучше всего нри решении задачи итти синтетико-аналитическим путем; но напрасно думать, что это и есть ответ на вопрос о том, как лучше всего подойти к решению задачи с педагогической точки зрения. И вот на вопрос о том, каких приемов держаться, какой метод применять при решении задачи, чтобы ученик мог совершенно самостоятельно решить задачу, — конечно, если она для него посильная, — другого ответа быть не может, как — метод подготовительных упражнений. В чем же он должен состоять — тут не место останавливаться на этом; достаточно только сказать, что автор, не замечая этого, как очень опытный педагог, вплотную подошел к этому вопросу в § 3 (стр. 246—249), где говорится о подготовке учащихся к решению сложных задач. К сожалению, наши задачники по арифметике не считаются с вышеуказанным педагогическим требованием и наряду с другими требованиями не уделяют этому последнему никакого внимания.

22. Классификация задач

Нет четкости и в § 5 «Классификация задач, решаемых в курсе арифметики». О разделении задач на примеры и на задачи в узком смысле этого слова, затем о задачах простых и сложных сказано раньше в § 1 этой же главы, а здесь говорится только о различии задач, «чисто арифметических» и «алгебраических», а также о распределении задач по типам и по методам их решения (с арифметической точки зрения).

Вопрос о том, какие задачи называются алгебраическими, по нашему мнению, остается открытым, потому что интересные соображения по этому вопросу, высказанные одним из крупнейших методистов А. И. Гольденбергом и другими авторами методик, не дают ответа на поставленный вопрос, равно как и соображения по этому поводу Е. С. Березанской не помогают разрешить этот, по нашему мнению, неразрешимый вопрос. Е. С. Березанская говорит (стр. 254): «все рассмотренные нами выше задачи, простые и сложные, решаемые общими приемами синтеза и анализа, обычно называют задачами «чисто арифметическими» в противоположность другой группе задач, так называемых «замысловатых», которые не могут быть решены применением указанных общих приемов (подчеркнуто нами). Эти задачи обычно называются задачами «алгебраическими». Здесь, вероятно, неточно выражена автором мысль, что ученик собственными силами не может решить эти задачи, применяя указанные общие приемы. Утверждать же, что существуют задачи, которые вообще не могут быть решены применением общеизвестных логических методов, нельзя, потому что синтетический прием (если анализ при этом заменен чем-либо иным) или аналитический прием (если мы, например, применяем уравнение), или синтетико-аналитический прием (если ученика надлежащим образом подготовили к решению задачи арифметическим способом, пользуясь для этого методом подготовительных упражнений), конечно, в таких случаях всегда применимы. Мы держимся того мнения, что можно и нужно различать арифметический и алгебраический способы решения задач, но нельзя, и нет в этом особой надобности, разделять задачи на арифметические и алгебраические, т. е. вводить классификацию, впервые введенную А. И. Гольденбергом и поддержанную (хотя будто бы с некоторыми поправками) С. И. Шохор-Троцким.

Очень слабо разработана методика самостоятельного составления учениками задач.

В «Методике» почему-то не обращено надлежащего внимания на важный вопрос, как научить учеников самих проверять решение задач.

Наконец, следовало бы, если не в первой части «Методики» то, по крайней мере, здесь сказать несколько слов о необходимости повести нелегкую борьбу с общераспространенным имеющим пагубные последствия злом — при решении задач предъявлять учителю только переписанное начисто решение, а все необходимые вспомогательные переделки выполнять в стороне на отдельных листках, на клочках бумаги, на промокательной бумаге и т. п. Работа должна выполняться в тетрадях чернилами, и ученики должны представлять учителю всю свою работу со всеми выполненными переделками, чтобы виден был весь процесс этой работы. Насколько это требование имеет важное значение, понятно всякому опытному преподавателю.

23. Заключение

«Методика арифметики» Е. С. Березанской не вполне отвечает тем требованиям, какие мы должны предъявлять к методике систематического курса арифметики, к руководству по методике для педагогических высших учебных заведений и для учителей средней школы, но в этой книге читатель найдет много ценных детальных методических указаний.

Чтобы это руководство вполне отвечало своему назначению, оно должно быть несколько переработано. Необходимо, чтобы в нем было ясно показано, чем систематический курс арифметики отличается от пропедевтического, что дается в нем нового по сравнению с курсом начальной школы и чем и как углубляется и расширяется прежний материал (подобно тому, как это, например, указано на стр. 246). Тот методический материал, который относится к начальной школе, следует опустить или, по крайней мере, отметить, напечатав его мелким шрифтом. Но самое главное — должно быть обращено более серьезное внимание на научную, логическую сторону изложения.

ВОПРОС О НУЛЕ

Н. ИЗВОЛЬСКИЙ

(Москва)

В № 4 за 1937 г. журнала «Математика в школе» напечатана статья проф. Щербины «К вопросу о составлении стабильного учебника по арифметике». В этой статье имеется одно положение, с которым нельзя согласиться. Проф. Щербина говорит: «Ясно, что в арифметике (как ее трактуют у нас), где рассматриваются только действия над целыми и дробными числами, совершенно излишним является понятие о числе нуль; здесь нужна только цифра нуль для того, чтобы отметить, при письменном обозначении чисел, место, не занятое единицами того или другого разряда».

Прежде всего заметим, что, согласно данной выше выписке из статьи проф. Щербины, получается странное положение: мы пишем, например, 7—7 = 0 (а такие вычитания, даже если выкинуть из упражнений случаи, приводящие к ним, постоянно встретятся хотя бы при вычитаниях многозначных чисел), и тогда, согласно проф. Щербине, пришлось бы говорить, что в этих случаях разность равна цифре нуль.

В научной арифметике число нуль играет важную роль: это есть модуль сложения, без введения этого числа теория сложения явилась бы незаконченной. И нет никаких оснований для отказа от введения этого числа в курс арифметики: никаких непреодолимых (и даже легко) затруднении здесь нет и быть не может. Ведь приходится же в курсе арифметики рассматривать умножения вида аЛ или 1-а— а единица есть модуль умножения,— так почему же надо урезать сложение и отказаться от рассмотрения сложений вида а + 0 или 0 + я?

Если это введение числа нуль в курс арифметики провести основательно, то учащимся будет оказана большая помощь: они не будут в дальнейшем делать ошибки вроде 7-0 = 7 и т. п.

Основательность здесь требует: 1) остановиться на сложениях вида a + 0 = а или 0 + ß = а, 2) на основе определения вычитания, как действия обратного сложению, из только что написанных равенств получить а — а = 0, 3) остановиться на умножениях видая-0=0 или 0-а = 0 и 4) при изучении деления обратить внимание на то, что из умножений 3-0 = 0, 27-0 = 0, 0» 121 = 0 и т. д. вытекает, что деление нуля на нуль дает неопределенность и что целение, например, пяти на нуль невозможно, так как когда один из множителей равен нулю, то произведение не может равняться пяти (произведение в этом случае всегда равно нулю).

Таким образом мое мнение таково: надо, необходимо надо, вводить в курс арифметики число нуль и надо развить возможно полнее (в соответствии с теми рамками, которые имеют место в арифметике) моменты, относящиеся к такому введению.

Проф. Щербина в скобках дает «как она у нас трактуется», — это замечание говорит за то, что проф. Щербина не прочь трактовать курс арифметики несколько глубже, чем это принято. Думается, что это и пора сделать.

ОБЗОР НОВЫХ КНИГ

С. И. НОВОСЕЛОВ (Москва)

Д. ГИЛЬБЕРТ и С. КОН-ФОССЕН. НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ- Перевод с немецкого. ОНТИ НКТП. 1936 г. Стр. 302. Цена в перепл. 3 руб.

В основу получившей мировую известность книги «Наглядная геометрия» положены лекции, читанные гениальным современным математиком Давидом Гильбертом в Геттингенском университете. Как отмечает в предисловии Гильберт, задачей книги является рассмотрение геометрии в ее современном состоянии с наглядной стороны. Авторы, намеренно избегая вычислений, останавливают внимание читателя на основных результатах современной геометрии, стараясь на основе живого и наглядного представления уяснить геометрическую сущность и взаимоотношения, связывающие эти результаты. Вполне естественно, что при таком построении книги авторам приходится оперировать с многими геометрическими фактами, отказавшись от проведения их доказательств. Однако это нельзя рассматривать как недостаток книги. Дело в том, что в современной математике благодаря длинным и утомительным вычислениям и доказательствам нередко бывает трудно сразу уловить геометрическую сущность дела, хотя она может быть и весьма простой. Показать читателю методы и основные результаты современной геометрии в их внутренней связи, освобожденными от вспомогательных построений и деталей абстрактных выкладок — вот та цель, которая была поставлена авторами книги. Книга содержит шесть глав, в которых рассмотрены следующие вопросы: кривые и поверхности второго порядка, правильные точечные системы, геометрические конфигурации, элементы диференциальной геометрии, кинематика и элементы топологии. Отметим, что для чтения отдельных глав не требуется полного знания материала предшествующих разделов. Читателю, интересующемуся геометрией, книга, безусловно, принесет пользу; по ней можно ознакомиться с многими вопросами (правильные точечные системы, топология, геометрические конфигурации), мало освещенными в математической литературе на русском языке. Хотя книга рассчитана на читателя, не имеющего специальной подготовки, однако ее нельзя назвать легкой. Серьезность затронутых вопросов и глубина мысли требуют от читателя достаточно высокого уровня математического развития.

В. ШВАН. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ТОМ I. ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ. Перевод с немецкого. Пособие для студентов педвузов и преподавателей средней школы. Учпедгиз. Москва. 1937 г. Стр. 340. Цена в перепл. 4 р. 95 коп.

В книге Швана дано значительно более строгое изложение основ элементарной планиметрии, чем в обычных учебниках элементарной математики. Изложение ведется на основе весьма важных понятий современной математики, какими являются понятия группы, геометрического преобразования, оператора, вектора, изоморфизма и пр. В обосновании планиметрии автор придерживается аксиоматической точки зрения. Как весьма большое достоинство книги необходимо отметить, что автор не дает голого перечня геометрических аксиом и вытекающих из них следствий; аксиомы вводятся постепенно, лишь после того как с достаточной четкостью уяснена действительная необходимость во введении той или иной аксиомы. Благодаря этому автору удается вполне отчетливо вскрыть роль, которую играет каждая из аксиом в построении планиметрии. В книге уделяется достаточно места описанию опытов, подтверждающих теоретические выводы. Заслуживает внимания подход к рассмотрению основных геометрических преобразований с точки зрения понятия группы преобразований (группа движений, группа преобразований подобия и пр.), что дает возможность читателю оценить значение этого важного понятия современной математики. Автор уделяет много внимания выяснению связи геометрии с арифметикой в главах, посвященных арифметизации геометрических величин. Можно вполне согласиться с характеристикой книги Швана, данной в предисловии проф. Яновской: «Работа Швана не учебник по элементарной геометрии, который можно положить в основу школьного преподавания, но педагог, проработавший ее, будет смотреть на свой предмет с действительно высшей точки зрения». Необходимо заметить, что книга Швана трудна и ее проработка связана с большой затратой времени. Однако можно с уверенностью сказать, что польза, которую принесет учителю работа над книгой, вполне окупит затраченные время и энергию.

Г. РАДЕМАХЕР и О. ТЕПЛИЦ. ЧИСЛА И ФИГУРЫ. Перевод с немецкого. ОНТИ НКТП. 1936 г. Юношеская научно-популярная литература. Стр. 236. Цена в перепл. 2 р. 60 к.

Книга «Числа и фигуры» написана с тем расчетом, чтобы быть доступной читателю, владеющему только лишь основными сведениями из курса элементарной математики. Она содержит двадцать семь небольших глав, каждая из которых посвящена рассмотрению отдельной небольшой арифметической или геометрической темы и является законченным математическим этюдом. Большинство рассмотренных авторами вопросов являются серьезными вопросами, не требующими, однако, для своего решения сложного математического аппарата. Чтобы дать понятие читателю о содержании этих тем, назовем некоторые из них: элементы теории множеств, проблема Варинга, топологическая проблема о четырех красках, принципиальные основы задач на максимум, кривые постоянной ширины, доказательство невозможности построения центра окружности или двух не пересекающихся окружностей при помощи только одной линейки, периодические десятичные дроби. Элементарность изложения не мешает авторам тщательно избегать вульгаризации. Доказательства, которые приводятся в книге являются достаточно строгими. При этом авторы уделяют надлежащее внимание уяснению поста-

новки вопросов и методов исследования. Многие рассуждения сопровождаются тонкими замечаниями по поводу принципиально важных моментов. Книга Радемахера и Теплица может быть с успехом использована педагогом для работы с учениками, интересующимися математикой. То обстоятельство, что каждая из глав обладает известной законченностью и не требует для своей проработки знания материала других глав, весьма удобно при подборе тем для работы школьных математических кружков. Книга Радемахера и Теплица даст для молодежи, интересующейся математикой, не только новый и занимательный материал, но, что самое главное, она даст подготовку к восприятию идей современной математики, а также будет способствовать воспитанию вкуса к строгому математическому доказательству и повышению уровня математического развития.

Ф. ХАУСДОРФ. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ. Перевод с немецкого. ОНТИ НКТП. 1937 г. Стр. 204. Цена в перепл. 9 руб.

Книга известного современного математика Феликса Хаусдорфа «Теория множеств» пользуется мировой известностью как одно из классических произведений математической литературы. Эта книга является капитальным руководством по теории множеств, где читатель может ознакомиться с этой важной ветвью математики в ее современном развитии. Автор в своем изложении не касается той дискуссии, которая развернулась по вопросу об обосновании теории множеств и которая была вызвана антиномиями (противоречиями), полученными в процессе развития этой дисциплины. Некоторые главы книги Хаусдорфа были подвергнуты в русском издании переработке под руководством профессоров Московского университета Александрова и Колмогорова, благодаря чему читатель сможет найти в книге современное изложение теории топологических пространств. Для чтения книги Хаусдорфа не требуется специальной подготовки, однако необходимо, чтобы читатель обладал достаточно высоким уровнем математического развития и основательными навыками в абстрактном мышлении. Поэтому для первоначального знакомства с теорией множеств книга мало пригодна. Прежде чем приступить к изучению книги Хаусдорфа, читателю, интересующемуся теорией множеств, можно рекомендовать предварительно ознакомиться с первыми четырьмя главами книги Александрова и Колмогорова «Введение в теорию функций действительного переменного», а также с книжкой Курт Греллинга «Теория множеств».

П. Г. ЛЕЖЕН ДИРИХЛЕ. ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ. В обработке с добавлениями Р. Дедекинда. Перевод с немецкого. С приложением статьи проф. Делоне «Геометрия бинарных квадратичных формъ. ОНТИ НКТП 1936 г. Стр. 403. Цена в перепл. 8 р. 50 к.

Книга знаменитого математика середины прошлого столетия Дирихле «Лекции по теории чисел» уже давно пользуется мировой славой, как одно из лучших классических произведений по теории чисел. Несмотря на то, что в основу книги положены обработанные Дедекиндом лекции Дирихле, читанные в средине прошлого столетия, книга не потеряла интереса до настоящего времени. В ней читатель найдет обстоятельное рассмотрение следующих вопросов: теория делимости, теория сравнений, теория квадратичных вычетов и квадратичных форм. Изложение указанных выше вопросов теории чисел обладает ясностью, отчетливостью и строгостью. Для чтения книги Дирихле не требуется специальной подготовки, только лишь в пятой, последней, главе автор пользуется методами математического анализа. Книга Дирихле является серьезным научным трудом и требует от внимательного читателя немалой работы. Приложенная в русском издании статья проф. Делоне «Геометрия бинарных квадратичных форм» знакомит читателя с элементами дискретной геометрии, а также с геометрической интерпретацией арифметической теории квадратичных форм.

А. Я. ХИНЧИН ЦЕПНЫЕ ДРОБИ. ОНТИ НКТП. 1935 г. Стр. 104. Цена 1 р. 30 к.

В книге проф. Хинчина «Цепные дроби» изложены основы теории непрерывных дробей. Три главы, содержащиеся в книге, посвящены рассмотрению следующих вопросов: элементарные свойства непрерывных дробей и изображение и аппроксимация (приближение) действительных чисел при помощи непрерывных дробей и метрическая теория непрерывных дробей. Материал первых двух глав доступен читателю, знакомому лишь с элементарной математикой. В третьей главе, посвященной метрической теории непрерывных дробен, от читателя предполагается знакомство с элементами современного анализа. В книге Хинчина впервые на русском языке дано элементарное изложение вопроса о применении непрерывных дробей к изучению арифметической природы иррациональностей и к аппроксимации действительных чисел. Заметим, что читателю, не знакомому с теорией рядов и бесконечных произведений, является малодоступным данное в главе 1, § 3 доказательство признака сходимости непрерывных дробей, однако применительно к дробям с натуральными элементами, о которых только и идет речь в последующем, сходимость непосредственно следует из элементарных рассуждений следующего параграфа. Книга Хинчина представляет интерес тем, что в современной математической литературе на русском языке слишком мало источников, по которым можно ознакомиться с теорией непрерывных дробей.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, помещенных в № 3 журнала «Математика в школе» за 1937 г.

41. Показать, что выражение

Эта несложная задача интересна, во-первых, тем, что она не выдумана автором (А. Бутомо), а встретилась ему при вычислении одного интеграла; во-вторых, выбором преобразований, которые, по мнению решающего эту задачу, являются наиболее легкими. Этот выбор оказался очень разнообразен. Приведем некоторые решения.

1. Большинство перемножало числители и знаменатели данных дробей и преобразовывали каждое из полученных выражений. Например;

Раскрыв скобки, отделив члены, содержащие ]/*2 от остальных и взяв |/1Гза скобки получим:

Получилось выражение, независимое от х. 2. Перемножив числители и знаменатели, группируем члены в обоих полученных выражениях не относительно |/2“(как в первом случае), а относительно j^l + х2. Вынеся в остальных членах за скобку х, придем к выражению (в числителе)

или

Легко видеть, что первый многочлен разлагается на множители. Окончательно получим для числителя

Аналогично получим для знаменателя

По сокращении получим искомое выражение.

3. Многие из решавших шли по пути уничтожения иррациональности по отношению к х в знаменателях обеих данных дробей. Например, умножив члены первой дроби на (х2 + 2 —]/2) — X у\ + X2, а второй на у2х2+2 — х9 получим:

Легко видеть, что числитель первой дроби является произведением су ммы двух выражений {х2 + 2) и (j/T+ ;cj/l 4- X2) на их разность. Произведя одновременно упрощения в знаменателе, найдем:

Раскроем скобки в числителе и разложим на множители знаменатель первой дроби (соединяя 1-й член с 3-м и 2-й с 4-м). Получим после приведения:

Замечаем, что числитель всей данной дроби представляет собой произведение суммы двух выражений на их разность. Имеем дальше:

Этот способ интересен тем, что в нем все время применяются формулы сокращенного умножения.

4. Наконец, автор задачи пошел несколько более оригинальным путем, уничтожив иррациональность по отношению к х в числителе для первой дроби и в знаменателе для второй, т. е. умножив члены первой дроби на дг2+2+}/~2—“ —• х~у 1 + ле2, а второй на ]/ 2х2+2 — х. После соответствующих преобразований приходим к выражению:

что по сокращении дает 3+2j/£ Были даны и другие способы решения.

42. Решить треугольник по радиусу вписанного круга г и высотам ha и hb.

Приведем наиболее короткое решение.. Из формул:

(1)

найдем:

(2)

(3)

Отсюда:

По формуле Герона находим площадь треугольника:

Отсюда:

Из формул (2) и (3) легко находятся стороны a, b и с

аналогично для b и с. Углы можно найти из формул:

2s = ab sin с = be sin A = ас sin В. Получим, например, для sin с

Формулы несколько упрощаются, если считать Ьс известным, вычислив его из соотношения

Многие (в том числе и автор задачи) решали задачу с помощью тригонометрических уравнений, что несомненно гораздо сложнее, как это и показывают многочисленные и громоздкие преобразования, встречающиеся в этих решениях. Приведенный выше способ по существу чрезвычайно прост. Впечатление громоздкости создают длинные, хотя очень несложные по конструкции, формулы.

43- Доказать тождество

Громадное большинство решений шло более или менее шаблонным путем, используя формулу суммы косинусов, например:

Делая подстановку в левую часть, после подобных же преобразований получаем величину-g- •

Другие использовали формулы косинуса суммы и разности

Применяя формулу, получим разность квадратов двух выражений и т. д.

Лишь меньшинство пошло по пути кратчайшего и изящного решения, заключающегося (с небольшими вариантами) в следующем: умножим и разделим левую часть данного выражения на 2sin2o°. Будем иметь последовательно:

Видоизменением этого способа является следующий. Напишем три тождества:

sin 40° = 2 sin 20° cos 20°, sin 80° = 2 sin 40° cos 40°, sin 160° = 2 sin 80° cos 80°.

Перемножив и произведя сокращения, найдем: sin 160° = 8 sin 20° cos 2j° cos 40° cos 80°. Отсюда:

44. Найти двузначное число, квадрат которого равен сумме факториалов его цифр.

Обозначив цифру десятков через х и единиц через у, будем иметь

(10* + у)* = х\ + у\

1. Выражение х\ + yl как квадрат двузначного числа может быть числом трехзначным или четырехзначным. Так как 81 = 40320, то:

*<8, У<8.

2. Так как при д:<5 и у<5

^!+у!< 48,

то одно из чисел должно быть больше или равно

X ^ 5. или у^Ъ.

3. Если одновременно х ^5 и у ^5, то х\ +* у\ делится на 10, но при любых комбинациях чисел 5<д:<8 и5<у<8 не делится на 100. Следовательно х\ -Ь у\ = 10 т, где m не делится на 10, и значит х\ + у\ не может быть точным квадратом. Следовательно одно из чисел должно быть меньше 5. В результате имеем следующие возможности х = 5, 6, 7 у=1, 2,3, 4

или

х = 1, 2, 3, 4 у = 5, 6, 7.

Берем 5! =120 и прибавляем к нему последовательно 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24. Точного квадрата не получаем. Продолжая так же дальше найдем, что условию удовлетворяют лишь числа

X = 7, у = 1.

Действительно

712 = 50П = 7!+ 1!

Можно было бы дальнейшими рассуждениями еще сузить число испытаний. Так при х = 5,6, 7 не может быть у = 2, так как квадрат целого числа не может оканчиваться на два и т. д.

45. Решить уравнение

Перенеся второй член вправо и возведя в четвертую степень, получим

(1)

Возводим обе части в куб:

или по упрощении:

(2)

В левой части имеем квадрат разности:

Отсюда

Проверка показывает, что х = 9 является корнем данного уравнения.

Такой способ решения является наиболее естественным для иррационального уравнения и вполне элементарен и доступен для ученика VIII класса. Однако большинство решений осложнялось введением нового неизвестного. Один из радикалов обозначался через у. Пусть например

Отсюда

После подстановки приходим к выражению, аналогичному (2):

Отметим еще один прием. Представив (1) в

виде

(3)

возводим обе части в куб. Получим:

Приняв во внимание (3) и произведя упрощения получим:

По возвышении в куб

46. Построить прямоугольный треугольник по биссектрисе прямого угла t и гипотенузе с

Приведем наиболее простое решение (М. Беневольский).

Пусть АСВ — искомый треугольник, в котором AB = с и CD = /, £ ACD = 2, DCB.

Опишем около треугольника окружность и проведем диаметр КЕ±АВ.

Биссектриса / делит дугу АЕВ пополам, т. е. проходит через точку Е. Соединим С с К*

Из подобия прямоугольных треугольников DOE и КСЕ (имеют общий острый угол СЕК) находим:

Отсюда находим ЕС.

По условию задачи надо взять радикал со знаком плюс.

Таким образом отрезок ЕС находится элементарными построениями. Отсюда вытекает решение задачи.

На данном отрезке AB = с, как на диаметре, строим окружность. Проводим диаметр КЕ JL AB.

Из точки Е радиусом равным

делаем на окружности засечки с и cv

Треугольники АСВ и АСВ будут искомыми. Задача возможна и имеет два решения, если

или

Задача имеет одно решение (равнобедренный прямоугольный треугольник) при 21 = с и не имеет решений при 2J>c.

Приведем еще чисто геометрическое решение, данное автором задачи (Ф. Горбушин).

Строим прямой угол С и на его биссектрисе откладываем отрезок CA = I. Из точки А опускаем перпендикуляры AB и AD на стороны угла. На продолжении В А откладываем отрезок AQ = с. Радиусом DQ проводим полуокружность FQH. На AF, как на диаметре строим полуокружность, пересекающую сторону угла С в точках M и Мх. Проведя через А прямые MN и MtNt (N и Nt точки пересечения с другой стороной угла С) получим треугольники MCN и MtCNlt удовлетворяющие условиям задачи.

Для доказательства соединим M с F и проведем ME_\_AF. Самое доказательство предоставляем читателям.

Исследование дает те же результаты, что и в первом построении.

Задача получила много решений, по преимуществу алгебраических и очень сложных.

47. Найти сумму п членов ряда:

Имеем

(1)

Давая k значения 1, 2, 3, п, получим:

Складывая правые и левые части полученных тождеств и сделав приведение, найдем:

Отсюда

так как:

и следовательно:

Другой способ: складываем первые два члена ряда. Получим:

Складывая полученное выражение с третьим членом ряда, получим

48- Через точку D, данную вне треугольника ABC, провести секущую так, чтобы сумма отрезков, прилегающих к углам А и С, была равна отрезку секущей, заключенному между сторонами AB и ВС. Приведем построение автора (Ф. Горбушин).

Отложим на ВС (или ее продолжении) отрезок

Проводим окружность, касательную к ВС в точке Е и к AB. (Центр этой окружности будет лежать на пересечении перпендикуляра к ВС в точке Е и биссектрисы угла ABC).

Из точки D проводим касательную к этой окружности. Секущая DMN и является искомой.

Доказательство:

МК = MF и NE = NF, как касательные, проведенные из одной точки.

Далее:

AM = МК + AK = MF+ AK, CN = NE —CE = NF—CE.

Отсюда

AM + CN = MF + AK + NF — CE = MN + AK — CE. (1)

Докажем, что AK = СЕ. Имеем

По сложении получим:

Но тогда равенство (1) примет вид: AM + CN = MN, что и требовалось доказать.

49. Показать, что, если в треугольнике угол А = 30°, то

Я = V iTa — г) (гь + гД где R, г, га, гъ и гс — соответственно радиусы описанного, вписанного и вневписанных кругов. Воспользуемся формулами

Находим:

Отсюда:

Из формулы

а = 2 Я sin А находим, принимая во внимание, что А = 30°;

Тождество доказано. Ряд читателей использовал формулы

и получил гораздо более громоздкое решение.

50- Доказать, что если углы треугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью в 45°, то:

1) Радиус круга, описанного около этого треугольника, есть среднее геометрическое наименьшей и наибольшей сторон треугольника.

2) Тот же радиус равен удвоенной высоте треугольника, опущенной на среднюю (по величине) сторону.

1. Легко находим углы треугольника: Пусть А = х, В = (ж + 45°), с = х + 90°, X + (X + 45°) + [X + 90°) = 180°, Зх = 45°; х = 15°, А = 15°; В = 60°; С = 105°.

Наименьшая и наибольшая стороны будут а и с. Из формул

с а = 2 R sin А; = 2 R sin с

находим

ßc = 4#2sinl5 sin105° = 4Я2 sinl5° cosl5° = 2R2 sin30° = R2.

Отсюда

R = yäcT

2 Имеем

Большинство прислало гораздо более сложные решения.

51. Найти четырехзначное число abed, являющееся точным квадратом, такое, что если квадратный корень из него равен ху, то

Приведем решение т. Бройт, требующее наименьшее количество испытаний:

1. Так как с5^99, а “ху = ^-cd, то ху £^66.

С другой стороны, так как abed число четырехзначное, то ху2 ^=1000 и ху ^=32. Итак, 22 <х}< 66. (1)

2. По условию имеем:

100 ab + cd = Ту2.

Отсюда:

100 яБ = х_у2 — cd = xjJ2 — уху.

200 аЬ = ху (2 Ту-3). (2)

3. Так как 2х_у — 3 число нечетное, то ху делится на 4. Но тогда оно не может делиться на 25, так как в этом случае ху делилось бы на 100, что противоречит неравенству (1). Итак, 2 ху — 3 должно делиться по крайней мере на 5 и, следовательно, как число нечетное, должно оканчиваться цифрой 5. Следовательно 2 ху оканчиваются цифрой 8, а ху цифрой 4 (у — четное число). Приняв во внимание (1) мы должны испытать числа

34, 44, 54, 64.

Из них только последнее удовлетворяет условию задачи. Искомое число 4096

]/1096 = 64: ^96 = 64+ у*

52. Дан правильный тетраэдр ABCD, ребро которого равно а.

На АС дана точка Е на расстоянии m от С и на AD точка F на расстоянии п от D. Вычислить стороны треугольника BEF.

Совершенно элементарная задача.

Дано СЕ = т и DF = п.

Из Д ВСЕ находим:

53- Доказать, что общая касательная двух пересекающихся ортогонально окружностей есть средняя пропорциональная между их общей хордой и расстоянием между центрами.

Дано ОМ — R, Ofl = г, МЫ —- общая касательная, OA J_ OtA, в силу ортогональности окружностей. Проведем OxD \\ MN и, следовательно, перпендикулярную к ОМ.

1) Из Д ОАОх находим:

00\ = & + г (1)

2) Из тр-ка ODOs

Отсюда

MN2 = 2 Rr. (2)

3) Найдем площадь А ОАО1 двумя способами:

Отсюда:

2Rr = OOt-AB. (3)

И, наконец, принимая во внимание (2), имеем:

54. Найти двузначное число, разность кубов цифр которого равна удвоенному самому числу.

Обозначим большую цифру двузначного числа (пока неизвестно десятков или единиц) через х, меньшую через у. По условию задачи имеем

х3—у8 = 20х + 2у, (1)

или

Xs — у* = 20 у + 2 x. (2)

Проведем ряд рассуждений ограничивающих поле наших исследований.

1. Не может быть х= у, так как тогда левая часть равенств (1) и (2) равнялась бы нулю, а правая не равна нулю.

2. Оба числа х и у одновременно или четны или нечетны, так как их разность четна.

3. Не может быть х = 9 и х = 8 и х = 7, т. к. даже 73 — 53 = 218 больше двухсот, тогда как удвоенное двузначное число меньше 200. Разности между 9, 8 и ближайшими к нему числами 7 и 6 (вспомним вывод 2) еще больше.

4. Число не может оканчиваться нулем, так как тогда в (1) х3=20х. Правая часть оканчивается нулем, а левая, как куб однозначного числа, не может оканчиваться на нуль. Во (2) в левой части получилось бы отрицательное число.

5. Пусть x и у четные числа: x = 2xt и у = 2уъ тогда в (1) левая часть делится на 8, в правой части 20 х так же делится на 8, следовательно и 2 у должно делиться на 8, т. е. у должно делиться на 4. Принимая во внимание замечания 3 и 4, заключаем, что у может быть равно четырем: j' = 4.

Но при у = 4 равенство (1) принимает вид: х3 — 84=20x4-8,

или

X2 — 20 X — 72 = 0.

Полагая x = 2xv и сократив на 8, получим

*13 — 5*! — 9 = 0.

Легко видеть, что единственно возможные здесь числа 1 и 3 не удовлетворяют уравнению.

6. Совершенно аналогичным рассуждением найдем для (2), что х может быть равен лишь 4. Тогда подстановка дает

уг — 20 j> —56 = 0 или, так как у = 2у1:

У1* — 5у — 7 = 0.

Но 1 не удовлетворяет нашему уравнению (число 7 не может быть, так как тогда у = 2х = \4).

Итак наши равенства не удовлетворяются ни одной парой четных чисел.

7. Пусть X и у нечетны. Они должны быть взаимно простыми, т. к. общий множитель однозначные нечетные числа могут иметь лишь при X = 9 и у = 3. Случай же х = 9 отпадает (замечание 3).

8. Преобразуем равенство (1) так:

хз у3 = 20 (X — v) + 22 у ; деля на х — уфО (замечание 1), получим:

х* + ху + у* = 20+ (3)

Аналогично для (2) получим:

X2JrXy+y2=z2 + ^JL (4)

Выражение -— должно быть целым числом.

Так как хау числа взаимно простые, то у и X — у числа взаимно простые. Следовательно 22 должно делиться на х — у, т. е. х — у может быть равно лишь 1 л 2.

9. Подставив в (1) и (2) X = у -И и х = у + 2, получим квадратные уравнения:

ЗУ* — 19 ^ — 19 = 0, (5)

S у2 — Ьу — 16 = 0, (6)

3j>2- 19 3^— 1=0, (7)

3j>2 — 5у + 2 = 0. (8)

Из этих уравнений только (8) дает целое значение для у. Именно У=1. Тогда лг = 3. Итак искомое число единственное. Оно равно 13.

Понятно, что цепь рассуждений может быть и иной, как это и имеет место у многих, решивших задачу. Но в ряде решений имеются произвольные допущения, при которых анализ задачи является неполным.

55. В прямоугольном треугольнике с катетами а н b найти на гипотенузе такую точку, чтобы произведение расстояний от нее до катетов равнялось бы данной величине k2.

Согласно условию имеем:

mn = k\ (1)

Из подобия треугольников АСВ и DNB находим:

или Отсюда:

(2)

Решив систему уравнений (1) и (2), получим:

Для построения отрезков т и п выгоднее представить эти выражения в таком виде

аналогично и второе решение. Все построения элементарны.

Задача возможна и допускаем два решения при я262>4 abk2, т. е. при я&>4 k2. При аЪ — Ak2— одно решение.

56а Найти прямоугольник, стороны которого выражаются целыми числами, а площадь (в квадратных единицах) численно равна учетверенной сумме основания, высоты и диагонали прямоугольника (измеренных в соответственных линейных единицах).

Обозначив стороны прямоугольника через X и J', будем иметь для диагонали выражение

~[/~х2 + у2.

По условию задачи

ху = 4 (х + у + ух2 + J2)

или

ху — 4 x + 4 у = Ух2 + у2.

Возведя обе части в квадрат, после приведения и сокращения на ху (хфО и уфО) получим ху — 8х — 8^ + 32 = 0.

Это выражение различными способами приводится к виду, удобному для анализа. Приведем некоторые.

Наиболее простым и изящным нам представляется прием т. Бройт. Прибавив к обеим частям по 32, получим:

ху — 8 X — 8у + 64 = 32

или

С*-8) (>• — 8) = 32.

Т. к. X — 8 и у — 8 должны быть целыми числами, то (при симметричности хну) имеем три случая

Это дает следующие три решения

Отрицательные делители не годятся, так как при x — 8 равном — 1,— 2 или — 4 выражение у— 8 будет отрицательно или равно 0.

Другой прием (т. Беневольского):

Так как - должно быть целым числом, то у — 8 может быть равно 1,2, 4, 8, 16 и 32. Приходим к тем же трем решениям. Другие выражения:

Особо стоит второе решение т. Яглома (давшего решение приведенным выше способом). Он исходит из того же условия

ху = 4 (х+ у + у х2+у2) (1)

Так как х и у, а следовательно и ху, — числа целые, то и правая часть должна быть целым числом. Для этого Ух2 + у2 Должен быть целым числом. Таким образом две стороны прямоугольника и диагональ составляют пифагоров треугольник. Тогда по известной формуле:

X = а2 — Ь2; у = 2ab; ]/ х2 + у2 = а2+ Ь2, (2)

где а и b— целые числа. Подставив эти выражения в равенство (1), найдем:

Так как b и а — b числа целые и b > 0, то имеем

Отсюда

Подставляя эти значения в (2), получаем для X и у те же три решения.

57« В треугольнике, вписанном в окружность радиуса /?, одна сторона равна стороне правильного вписанного шестиугольника, другая — стороне правильного вписанного треугольника, Определить третью сторону и площади сегментов, отсекаемых сторонами треугольника.

Дуга АС = 120°, дуга СВ = 60°, следовательно AB — диаметр AB =2.

1. Площадь сектора АОС равна площади круга:

Площадь тр-ка АОС:

Отсюда:

2. Площадь сектора СОВ равна -L площади круга

Площадь равностороннего Д СОЯ:

Отсюда:

3. Площадь третьего сегмента (полукруга) равна . Как видно задача совершенно элементарная.

58. Найти шестизначное число, которое, будучи умножено на 2, 3, 4, 5 и 6 дает в результате числа, составленные из тех же шести цифр, что и данное.

Задача решается весьма просто, если припомним, что дробь р. при Р простом обращается в периодическую десятичную дробь с периодом в Р — 1 цифр и что при умножении А- на 2, 3, 4... (Р — 1) будут получаться периодические десятичные дроби с периодом, состоящим из тех же цифр, расположенных в другом порядке. В данном случае шесть цифр: число 7 простое. Следовательно именно дробь _L при обращении ее в десятичную даст искомое шестизначное число. Действительно

Искомое число: 142857.

Однако небезынтересно попытаться найти это число непосредственно. И такие решения даны многими читателями, которые пришли к числу 142857 путем более или менее остроумных рассуждений. Не имея возможности поместить хотя бы некоторые из этих решений вследствие из длинноты (что в данном случае неизбежно) укажем на пути, которыми шли большею частью решавшие задачу.

1. Устанавливается, что первая цифра должна быть 1, так как всякая другая цифра при умножении на 5 и б дала бы семизначное число.

2. Устанавливается, что последняя цифра должна быть 7. Способы доказательства могут быть различны. Например, можно доказать, что последняя цифра не может быть четной, так как при умножении на 5 дала бы на последнем месте нуль (что нуль не входит в число шести искомых цифр доказывается раньше). По той же причине не может быть последней цифрой 5 (так как 5. 2 и 5. 4 дают для единиц нуль). Остаются числа 3, 7 и 9, из которых 3 и 9 не годятся, так как они при умножении на 2, 3, 4, 5 и 6 дают пять различных цифр, кроме уже имеющихся 1 и 3 или 9. Остается для единиц число 7.

3- Умножая 7 на 2, 3, 4, 5, 6 получаем для единиц цифры: 4, 1, 8, 5, 2. Итак между 1 и 7 расположены цифры 2, 4, 5 и 8.

4. Путем рассуждений устанавливается порядок цифр 2, 4, 5 и 8. Например, после четырех может стоять только 2, так как в противном случае при умножении искомого числа на 2 получили бы цифру 9, которой не должно быть (цифры 5 и 8, стоя за цифрой 4 дали бы при умножении на 2 одну единицу следующего разряда, и мы имели бы 4-2 + 1=9). Аналогичными рассуждениями приходят в конце концов к числу 142857.

59. Дано неравенство:

ах2 — (а—\) х + а>0.

1) Определить значения а, при которых неравенство справедливо для любых значений х.

2) Определить значения я, при которых число 1 заключено между корнями данного трехчлена.

1. Так как при достаточно больших значениях x трехчлен будет иметь знак первого члена, то для справедливости данного неравенства при любых значениях х прежде всего необходимо, чтобы было:

а>0.

Во-вторых, необходимо, чтобы корни трехчлена были мнимы. Решая уравнение:

ах2 — (а — х) X + а = О,

найдем:

Итак, чтобы данное неравенство имело место три всех значениях необходимо, чтобы:

\—2а — 3а2<0

или

+ (1-За)<0.

Отсюда:

1 +ß<0 и 1 — 3а>0

или

1 + я> 0 и 1 — Зд <0,

Первые два неравенства дают:

Так как я>0, то имеем решение:

Вторая пара неравенств дает:

что невозможно.

В случае действительных и равных корней будем иметь

1 — 2а — За2 = 0.

Откуда

я = -L и а — — 1.

При этих значениях трехчлен принимает вид a {x — xj2, т. е. положителен.

Так как а>0, то годится лишь значение а —

Итак трехчлен положителен для любых значений X при a^5-L. 2. Условие задачи требует, чтобы

(Знак неравенства зависит от знака а. При умножении на 2а при я>0 неравенства остаются, при а<0 знак неравенства меняется. Следовательно по умножении на 2а оба неравенства совпадут.)

Умножив неравенства на 2а, получим:

Отсюда:

а- + 2а + 1< 1 — 2а — За2

или:

4а2 + 4я<0,

или:

а (а+ 1X0. Следовательно или:

я>0, а + 1 <0,

что невозможно; или:

а < 0, а + 1 > 0,

т. е.

— 1 < а < 0.

Эти значения а удовлетворяют второму условию задачи.

60. Вычислить с точностью до 0,1 квадратные корни из чисел ±г, 0,8 и 0,9. Отметить особенность корней квадратных из 0,8 и 0,9 (вычисленных с недостатком) и найти дроби с знаменателем 100, обладающие той же особенностью. По условию

Так как нам требуется извлечь корень из с точностью до 1,

Следовательно,

Извлекая таким же способом корень квадратный из 0,8 и 0,9 получим:

YÖS 5= 0,8; “J/Ö9 = 0,9 (с недостатком).

Таким образом, особенность этих чисел в том, что квадратный корень из них (с недостатком) равен самим числам.

Дробь со знаменателем 100, обладающая таким же свойством должна удовлетворять неравенству:

Первое из неравенств дает: х<100.

Из второго неравенства находим:

X2 — 98л: + 1 > 0. Решая его, получаем:

Искомые числа будут:

ОТ РЕДАКЦИИ; Фамилии решивших будут помещены в следующем номере.

ИТОГИ КОНКУРСА ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ЗА 1936 г.

В конкурсе 1936 г. приняло участие значительно большее, чем прежде, количество читателей, и это количество росло от номера к номеру. Особенностями в решениях задач этого года было, во-первых, большее разнообразие приемов в решениях, отличавшихся иногда оригинальностью и изяществом; во-вторых, уменьшение количества неверных присланных решений (за исключением отдельных задач, имевших большее количество неверных, чем верных, решений, как, например, задачи 11 и 14 в № 5). Наличие оригинальных решений было одним из мотивов, вызвавших предложения об изменении условий конкурса, о чем будет речь ниже.

По конкурсу 1936 г. редакция премирует 19 товарищей, решивших наибольшее количество задач. Премии выдаются книгами по заказу премируемых. Выбор книг предоставляется самим премируемым. Рекомендуется, кроме основного списка, на указанную ниже сумму дать еще дополнительный (составленный в порядке очередности) список на случай отсутствия на книжном рынке той или иной книги из основного списка. Помещаем фамилии премированных с указанием решенных задач.

Некоторые цифры, приводимые в сводках, здесь исправлены на основании заявления товарищей и вторичной проверки решений (в частности, в сводке по № 6 была переврана фамилия т. Гольдберг).

Число задач Премия

1. М. Яглом (Москва). ... 104 100 ру б,

2. А. Гольдберг (Ленинград) 100 70 »

3. Г. Бройт (Ленинград) . . 97 40 »

4. Г. Знаменский (Ялта) ... 97 40 »

5. К. Кириллов (Казань) • . 95 40 »

6. П. Сергиенко (Зяпорожье) 95 40 у>

7. Б. Сосницкий (Калуга) . . 95 40 »

8. М. Шевелев (Казань) . . 95 40 »

9. А. Логашов (Саловка) . . 93 40 »

10. О. Ханчарлян (Краснодар) 92 40 »

11. H. Кулаков (Бугуруслан) 88 20 »

12. Б. Кобылин (Галич) ... 87 20 »

13. В. Камендровский (Оренбург) 86 20 »

14. В. Барановский (Одесса) ... 84 20 »

15. А. Иванов (Торопец)..... 84 20 >

16. В. Голубев (Кувшиново) ... 82 20 »

17. С. Колесник (Харьков) .... 82 20 »

18. К. Агринский (Москва) ... 81 20 »

19. Г. Ржавский (Фролов). . . . 81 20 »

Всех поименованных товарищей редакция просит не задержать присылкой заказа на книги.

О дальнейших конкурсах. В редакцию поступил ряд предложений об изменении условий конкурса. Для 1937 г. это будет уже поздно, но так как скоро начнется конкурс 1938 г., то редакция хотела бы знать об этом мнение

читателей, особенно принимающих участие в конкурсе. Приведем некоторые предложения.

1. За более трудные задачи, по которым прислано мало правильных решений, засчитывать по 2—3 очка.

2. Засчитывать 2—3 очка за оригинальные, наиболее короткие и изящные решения.

3. За задачу, помещенную в журнале, засчитывать автору от 2 до 5 очков в зависимости от качества задачи.

4. Предлагается оставить право на получение премии (но не на участие в конкурсе) только за преподавателями средней школы.

Редакция просит читателей высказаться по этим предложениям, а также выдвигать новые.

Небезынтересно для редакции также мнение читателей о системе премирования: премировать ли большее количество лиц хотя бы и в небольшой сумме (как это сделано для 1936 г.) или, наоборот, сократить количество премируемых, но повысить сумму премии. Последний вопрос будет иметь значение и для конкурса 1937 г.

В заключение редакция еще раз просит оказать ей помощь в трудном и кропотливом деле» просмотре присылаемых решений, точным соблюдением правил. Напомним их.

1. Решения задач должны присылаться отдельно от всякой другой корреспонденции (статьи, запросы, задачи для помещения в журнале и пр.).

2. Решения по каждому номеру журнала должны присылаться отдельно.

3. В начале или в конце решений дать имя, фамилию и адрес. Если решения посылаются на отдельных листках, необходимо подписать каждую задачу.

4. Особенно убедительная просьба — писать разборчиво, не посылать черновых решений с зачеркиваниями и помарками. Иногда бывает почти невозможно проследить, правильно решена задача или нет.

Соблюдение всех этих условий облегчит работу редакции и предотвратит возможные ошибки в оценке того или иного решения.

Редакция

ЗАДАЧИ

91. Дано

sin2(/z + 1)« = sin2/*« + s'm2(n — 1)а,

где (п + 1)а, m и (п— 1)а — углы треугольника. Найти целые значения для п.

С. Городов (Ленинград)

92. Решить уравнение:

С. Городов (Ленинград)

93. При целых а и п и при л>0 показать, что (а + 1) 2п + 1 + ап + * делится на а2 + а + 1.

С. Городов (Ленинград)

94. При каких целых и положительных значениях X число

24^-Ы — Зч* + Бх + {-6х делится на 23?

8. Ураевский (Кузнецк)

95. Решить уравнение:

В. Ураевский (Кузнецк)

(Срок присылки решений 1-е февраля)

96. Дана окружность О (центр) и вне ее точка Р. На отрезке ОР найти точку M такую, чтобы касательная, проведенная из этой точки к окружности была равна MP.

Я. Шульман (Москва)

97. Дана окружность и на ней две точки А и В. На той же окружности найти точку С, удовлетворяющую условию:

AB2 = АС-ВС.

Я. Шульман (Москва)

98. Решить уравнение

(х+10а) (х + 20а) {х + 30 а) (* + 40а) = Ь* Ф. Саблуков (ученик X класса, Москва)

99. Решить уравнение

И. Яглом (ученик X класса, Москва) 100. Найти сумму п членов ряда

COS« + 2C0S2« + 3C0s3a +----}-ЛС08Ла.

И. Яглом (ученик X класса, Москва)

Поправка В № 4 журнала «Математика в школе» в задаче № 73 ошибочно напечатано: 116л+ 1, следует: ll6/î + 3 + 1.

Отв. ред. А. Н. Барсуков Техредактор Е. М. Зеф

Адрес редакции: Москва, Столешников пер., 5, Учпедгиз, Периодсектор, журн. сМатем. в школе».

Сдано в производство 15 X 1937 г. Подписано к печати 29/XI 1937 г.

Учгиз №9245. Объем Э'/г П»л* *8 авт. л. Тираж 44500.

Bln. л. 76.000 зн. Бумага 70Xl05Vie' • Уполномочен. Главлита РСФСР Зак. 1344. «Nt Б-30358

18-я типография треста «Полиграфкнига», Москва, Шубинский, 10.

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ К № 6 ЗА 1937 г.

К ЯНВАРСКИМ УЧИТЕЛЬСКИМ КОНФЕРЕНЦИЯМ

К педагогической деятельности более, чем к какой-либо другой, приложима поговорка: «Кто не идет вперед, тот двигается назад».

Здесь менее всего допустимы раз навсегда выработанные, застывшие формы работы, шаблон, трафарет. Это и понятно. Живая, непрерывно изменяющаяся, растущая качественно аудитория (возраст, предварительная подготовка по данной дисциплине, общее развитие); опыт, ошибки и недочеты в работе предыдущего учебного года; недостаточная разработанность методики преподавания больших и важных разделов школьной программы— все это неминуемо толкает преподавателя к работе над собой, над повышением своего педагогического мастерства, к поискам новых путей и приемов, ведущих к наилучшему пониманию и усвоению учащимися той или иной темы, к внесению новых деталей в приемы и методы, уже оправдавшие себя.

Формы этой работы преподавателя над повышением своей педагогической квалификации разнообразны: повышение своего научного уровня, чтение методической литературы (книги и журналы), посещение методкабинета и переписка с ним, посещение уроков лучших преподавателей, экспериментальная проверка того или иного приема и т. п.

Периодически созываемые учительские конференции должны занять немаловажное место в этой работе. Надлежащим образом подготовленные, организованные, оборудованные, насыщенные актуальной тематикой — эти конференции смогут оказать самую существенную помощь педагогу. Работа конференции преподавателей математики может быть разложена на следующие элементы.

1. Научные доклады. Темами таких докладов могут быть:

а) углубленное изложение и научное обоснование отдельных вопросов элементарной математики (относительные числа, теория

иррациональных чисел, комплексные числа, теория пределов и пр.);

б) научно-популярные доклады, излагающие основы (элементы) новых математических дисциплин, мало знакомых педагогу (векторный анализ, теория множеств, теория групп, обзорные доклады о развитии математики за несколько десятилетий и пр.);

в) доклады по истории математики.

Ценность таких докладов едва ли нужно доказывать. Они повышают математическую культуру педагога; повышают интерес к новейшим математическим достижениям; побуждают к дальнейшим занятиям математической наукой; повышают качество преподавания, усиливая позиции педагога в изложении той или иной темы, создавая в нем чувство уверенности в своих силах, давая возможность критического выбора в обосновании, а следовательно, и в изложении темы. Кратковременность конференции не позволяет широко развернуть этот раздел работы, но один-два доклада должны быть обеспечены.

2. Методические доклады. Сюда относятся доклады опытных педагогов-методистов на темы:

а) общеметодического характера (дидактика урока, домашние задания, контрольные работы, система оценки знаний, наглядные пособия, математический кружок и пр.);

б) по вопросам частных методик.

Существенной особенностью в постановке таких докладов является наличие живой аудитории, которая повысит ценность доклада тем, заставит докладчика довести до предельной ясности вопросы, слабо освещенные в докладе и недостаточно понятые слушателями, уточнить места, кажущиеся сомнительными, исправить возможные ошибки и пр. В этом громадное преимущество таких докладов в сравнении хотя бы с журнальной статьей на ту же тему. Понятно, что такие

доклады являются стержнем всей работы конференции.

3. Обмен опытом. Как в выступлениях по докладам, так и в личных беседах учителя поделятся своим опытом, своими достижениями при прохождении той или иной темы. Они расскажут о новых приемах, о новых мелких деталях, вносимых в урок и влиявших на его качество. Здесь педагог расскажет и о неудачных моментах, о «прорывах», имевших место в его практике, и с помощью товарищей вскроет причины этих прорывов и наметит пути к их ликвидации. Здесь, наконец, он получит ответы на те десятки мелких и мельчайших возникших у него вопросов: неясность или неточность в доказательстве теоремы в учебнике; способ решения определенной задачи и пр. и пр. — все те «мелочи», с которыми педагог сталкивается на каждом шагу своей работы и по которым часто не с кем посоветоваться на месте.

Вот этой возможностью непосредственного живого обмена опытом, коллективного обсуждения всевозможных «недоуменных» вопросов, вплоть до самых мелких, особенно ценны конференции.

Крайне желательно: 1) чтобы каждый преподаватель заранее записал все крупные и мелкие вопросы, возникшие у него хотя бы за предыдущее полугодие (еще лучше систематически вести такую запись в течение всего учебного года); 2) чтобы такие записи собирались президиумом конференции. Этот материал окажет существенную помощь в планировании тематики следующей конференции.

4. Выставка. Содержанием ее явятся:

а) наглядные пособия (таблицы, модели, приборы);

б) методразработки отдельных тем;

в) стенограммы образцовых уроков.

Конечно, основной материал выставки должен быть подобран и подготовлен заранее. Но одновременно организаторы конференции должны обратиться с призывом к педагогам привезти на конференцию все те материалы, которые заслуживают некоторого внимания с той или иной точки зрения. Это даст существенное и ценное пополнение выставки.

5. Витрина математической литературы. Сюда должны войти: а) научная и особенно научно-популярная литература по отдельным отраслям математики; б) методическая литература; в) литература для учащихся; г) списки книг и журнальных статей по отдельным темам; д) аннотации и рецензии на книги. Отметим, что наличие рецензий и аннотаций на ту или иную книгу все же не заменяет самой книги. Непосредственный просмотр ее учителем скорее поможет ему определить степень нужности и доступности ее. Поэтому витрина должна включать максимальное количество книг, особенно вышедших за последние годы. (Списки таких книг и аннотаций на них можно найти в журналах «Математика в школе» и «Математическое просвещение».)

Из этого краткого перечня основных элементов конференции уже достаточно видно все значение подготовительной организационной работы по созыву такой конференции. Органы народного просвещения, методические и педагогические кабинеты, лучшие учителя области и района — все они отвечают за все плюсы и минусы конференции.

Тематика предстоящей январской учительской конференции естественно определяется программой второго полугодия 1937/38 учебного года и примыкающими к ней темами конца первого полугодия. Ниже мы помещаем материалы в помощь конференции, разработанные группой математики Центрального научно-исследовательского института средней школы по заданию Наркомпроса. Этим же темам посвящен ряд статей, печатавшихся в нашем журнале. Отметим некоторые из них.

V КЛАСС

И. Браун — Основные типы арифметических задач—1936 г., № 5.

VI КЛАСС

Г. Сегалович — Методика процентных вычислений —1936 г., № 2.

VII КЛАСС

М. Гребенча — Функции и уравнения — 1935 г., № 4.

Н. Островский — Метод составления уравнений первой степени с одним неизвестным—1934 г., № 3.

П. Сапунов — Решение задач методом составления уравнений первой степени с одним неизвестным—1934 г., № 3.

М. Змиева — Опыт подготовки учащихся к составлению уравнений 1-й степени — 1935 г., № 5.

3. Костина — Первоначальные упражнения на составление уравнений — 1935 г., № 5.

И. Браун — О составлении уравнений — 1936 г., № 5.

П. Маергойз — К методике составления уравнений по условиям задач—1936 г., № 5.

Германов — О составлении уравнений с одним неизвестным—1936 г., № 5.

П. Ларичев — Система уравнений 1-й степени — 1934 г., № 1.

М. Таль — Замечания и дополнения к статье П. Ларичева—1935 г., № 2.

Н. Извольский — Геометрическое учение о площадях—1935 г., № 2.

Е. Загоскина — Площади прямолинейных фигур — 1934 г., № 1.

VIII КЛАСС

И. Чистяков — О квадратных уравнениях— 1934 г., № 4.

П. Ларичев — Квадратные уравнения — 1934 г., № 1.

Л. Штюмпель — Графический метод решения квадратных уравнений—1936 г., № 5.

И. Альтшуллер — Методика иррациональных уравнений — 1935 г., № 2.

В. Рутковский — О посторонних корнях алгебраических уравнений—1937 г., № 1.

A. Бернолайко — Теорема о квадрате стороны, лежащей против острого или тупого угла— 1935 г., № 2.

И. Бра ун—Задачи на построение в средней школе — 1936 г., № 4.

Н. Извольский — Вопросы построимости линейкой и циркулем — 1936 г., № 3 и № 4.

П. Сапунов — Тригонометрия острого угла — 1935 г., № 1.

IX КЛАСС

М. Осмоловский — К проработке темы о логарифмах— 1935 г., № 3.

Т. Туманьян — К методике проведения логарифмических вычислений— 1935 г., № 1.

К. Краевский — К методике проведения логарифмических вычислений — 1936 г., № 2.

B. Матышук — Учение о логарифмах в средней школе— 1936 г., № 1.

М. Филистович — Из истории и теории логарифмов — 1937 г., № 1.

П. Макаревич — Метод моделирования в преподавании стереометрии— 1936 г., № 3.

К. Краевский—Трудности при прохождении курса стереометрии в IX классе средней школы —1937 г., № 4.

X КЛАСС

A. Школьник — Исследование системы линейных неравенств—1937 г., № 2.

Межировский — Неравенства в средней школе — 1937 г., № 6.

B. Ефремов — Первые уроки при прохождении тригонометрических уравнений— 1934 г., № 4.

А. Круповецкий — К методике решения тригонометрических уравнений—1937 г., № 2.

М. Берг — Обратные круговые функции в в средней школе— 1934 г., № 4.

Д. Маергойз — К методике обратных тригонометрических функций —1937 г., № 2.

Севбо — Обратные круговые функции — 1937 г., № 6.

Значение и ценность учительских конференций ясны из всего изложенного выше. К сожалению, до сих пор ни органы Наркомпроса, ни педкабинеты, ни педагогические журналы и газеты (в том числе и «Математика в школе») не позаботились о том, чтобы изучить опыт организации таких конференций, сделать соответствующие обобщения и, главное, выводы, которые в значительной мере определяли бы и организационную сторону и содержание работы последующих конференций. К сожалению, всего этого не было.

Вот поэтому редакция журнала «Математика в школе» обращается ко всем участникам конференций с просьбой помочь подведению итогов январских конференций. Что нам нужно? Все материалы, дающие картину работы конференции: организационные моменты (заблаговременное извещение, подготовка помещения для заседаний, общежития, выставки и пр.); подбор докладчиков и качество докладов (присылка лучших докладов для напечатания в журнале, критика со стороны участников конференции); все отзывы и замечания членов конференции о том, как была организована конференция, какие были доклады, что в докладах было ценного и что недоговоренного или ошибочного; какие вопросы, интересующие учителей, не были затронуты на конференции; как нужно лучше организовать и какие темы следует обсудить на предстоящей августовской конференции и пр.

Все материалы и замечания направлять в редакцию журнала «Математика в школе» по адресу:

Москва. Орликов 3. Периодсектор Учпедгиза.

V КЛАСС

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДРОБИ

Пункт программы «Бесконечные периодические дроби» содержит понятие о периодических дробях и обращение периодических дробей, чистых и смешанных, в обыкновенные. Бесконечные десятичные дроби необходимы для введения иррациональных чисел в VIII классе.

Понятие о бесконечной (десятичной) дроби и о бесконечной периодической дроби возникает в связи с обращением обыкновенных дробей в десятичные.

При обращении обыкновенных дробей в десятичные надо различать следующие три случая.

1. Знаменатель обыкновенной дроби есть степень 10. Такие обыкновенные дроби являются конечными десятичными. Запись их в виде десятичных дробей никаких затруднений не представляет.

2. Знаменатель обыкновенной дроби не есть степень 10, но имеет делителями только 2 или 5, или то и другое. Такие обыкновенные дроби тоже обращаются в конечные десятичные дроби.

В самом деле, пусть знаменатель обыкновенной дроби содержит m множителей, равных 2, и п множителей, равных 5, т. е. равен 2m'5n, причем пусть для определенности т>п. От умножения на какое число знаменатель 2w-5n представит степень 10? Так как 10=: 2 -5, то оба сомножителя 2 и 5 должны входить в степени числа 10 с одинаковыми показателями, притом оба должны иметь наибольший из показателей т и п, т. е. m, а потому надо знаменатель умножить на 5m-nf тогда получим:

Отсюда получается соответствующий прием для обращения в десятичную дробь обыкновенной дроби, знаменатель которой содержит множителями только двойки и пятерки. Пример:

Этот пример надо показать учащимся не в общем виде, а на конкретных числовых примерах.

3. Не все обыкновенные дроби имеют знаменатели, представляющие произведения только двоек и пятерок. В состав знаменателей могут входить и другие простые множители, кроме двоек и пятерок. Все такие обыкновенные дроби не могут быть обращены в равные им конечные десятичные дроби, так как нельзя подобрать целых множителей, которые от умножения на числа, отличные от двоек и пятерок, дали бы в произведении 10 или степени 10. Пусть, например, в состав знаменателя входит множитель 3. Для примера возьмем обыкновенную дробь со знаменателем 6; 6 = 2-3. Первый множитель 2 при умножении на 5 дает 10, но нет целого числа, которое при умножении на второй множитель 3 дало бы в произведении 10 или степень 10. Отсюда невозможность обратить обыкновенную дробь, знаменатель которой имеет множителем число, отличное от 2 и 5, в конечную десятичную дробь; получаются бесконечные десятичные дроби.

Обыкновенные дроби со знаменателем, представляющим произведение первоначальных чисел, отличных от 2 и 5, при обращении в десятичные дроби дают бесконечные десятичные дроби и притом периодические.

Для выяснения причины этого явления рассмотрим пример: обратим в десятичную дробь обыкновенную дробь у; переход в десятичную дробь осуществляется делением числителя на знаменатель по правилу деления десятичных дробей.

При делении 50 на 7 в остатке получается 1, а потом последовательно получаются остатки 3, 2, 6, 4, 5; далее должны повторяться те же частные и те же остатки. Да это и понятно: так как делитель 7, а остаток всегда меньше делителя, то могут получиться только остатки 1, 2, 3, 4, 5, 6, а если все эти остатки уже были, то один из них должен снова повториться; снова повторяется то делимое, которое уже было, и повторяются все вычисления.

Из разбора этого примера видно, что наибольшее число цифр в периоде на единицу меньше знаменателя обыкновенной дроби, но, конечно, число цифр может быть и меньше.

Для примера возьмем дробь ^. Наибольшее число возможных цифр в периоде 36, но в

данном случае число их меньше: = 0,(027).

Дается определение бесконечной периодической дроби, чистой периодической дроби и смешанной периодической дроби.

Период начинается не непосредственно после запятой в тех случаях, когда в состав знаменателя обыкновенной дроби входят, кроме других множителей, еще двойки или пятерки.

Пример:

Как известно, строго научный вывод правила обращения периодических дробей в обыкновенные можно дать только после того, как будет пройден предел суммы бесконечно-убывающей геометрической прогрессии. Поэтому в V классе придется дать следующий нестрогий вывод.

Обратим в десятичные дроби обыкновенные дроби:—, —, — и т. д., получим

и т. д. и обратно.

Чтобы обратить в обыкновенную дробь какую-либо чистую периодическую, например 0,(5) или 0,(73), сравним ее с той дробью таблицы, у которой столько же цифр в периоде:

Показав учащимся, что дробь 0,(5) в 5 раз больше 0,(1) и дробь 0,(73) в 73 раза больше дроби 0,(01), получают, что 0,(5)= —

Обращение периодических дробей в обыкновенные может быть объяснено и следующим образом. Обратим в обыкновенную дробь 0,(7)77...

Пусть л: = 0,(7)77. (1) Умножив на 10, получим:

10JC = 7(7)7. (2)

Вычитая равенство (1) из равенства (2), получим

Это объяснение было известно уже в древности; оно основано на умножении бесконечной периодической дроби на 10.

Конечную десятичную дробь можно рассматривать как сумму ее слагаемых. Например:

Умножение дроби на 10 равносильно умножению каждого слагаемого на 10:

Отсюда становится понятным правило переноса запятой на один знак вправо при умножении на 10. Можно ли это правило распространить на бесконечные дроби? Оказывается, что бесконечную дробь можно рассматривать, как сумму бесконечного числа слагаемых и для умножения бесконечной дроби на 10 можно умножить каждое слагаемое на 10; правило умножения конечной десятичной дроби на 10 путем переноса запятой на один знак вправо применимо и к умножению на 10 бесконечной периодической дроби.

Обращение смешанной периодической дроби в обыкновенную объясняется следующим образом.

Возьмем такой пример: обратить смешанную периодическую дробь 0,2 (73) в обыкновенную; чтобы свести эту задачу к уже известной задаче выражения чистой периодической дроби в виде обыкновенной, поступают как указано ниже:

Учитель должен избежать двух неточностей в учебнике Попова в разделе о бесконечных дробях: во-первых, неточно определение десятичной дроби как такой, в которой цифры повторяются; во-вторых, могут вызвать неправильное понимание слова «периодическая

дробь обозначается многоточием, поставленным после периода»; ибо, во-первых, многоточие обычно ставится после нескольких повторений периода, например, 0(7) = 0,777...; во-вторых, многоточие не всегда свидетельствует о периодичности дроби, а часто указывает просто на то, что ряд цифр не закончен, например, тс = 3,14159... Следует обратить внимание учащихся на то, что в математике многоточие всегда изображается тремя точками, и приучить их следовать этому обычаю.

Упражнения. Выразить в виде обыкновенных дробей следующие периодические:

0,(36); 0,(21);0,(03);0,(120);0,(72); 0,(036); 0,(1251); 13,(0144); 0,(621); 0,(714285); 14,41(6); 0,23(5); 0,12(54); 0,04(6); 0,2(3); 0,0(6); 1,1(6); 12,10(6); 5,1(36).

Кроме того, полезно и в дальнейшей работе пользоваться периодическими дробями. Так например, в отделе «Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями» можно дать примеры:

При решении пропорций можно дать примеры :

При пропорциональном делении можно дать упражнения вида:

1. Разделить 5 890 на части, пропорциональные 0,(3);— и 0,58(3).

2. Число 14 520 разделить обратно пропорционально числам:-^-, 0,75 и 0,8(3).

VI КЛАСС

ПРОЦЕНТЫ

Основные три типа задач на проценты рассматриваются в тесной связи с умножением и делением дробей, а именно:

1. Нахождение процентов числа рассматривается как нахождение дроби от данного числа. Дробь от числа отыскивается умножением числа на дробь, а умножение на дробь состоит из умножения на числитель и деления на знаменатель, который равен 100. При наличии умножения и деления последовательность действий безразлична. Делить раньше на 100 особенно выгодно в тех случаях, когда данное число оканчивается двумя или более нулями.

2. Нахождение числа по процентам рассматривается как нахождение числа по дроби. Число по данной дроби отыскивается делением на дробь, а деление на дробь состоит из деления на числитель и умножения на знаменатель, т. е. на 100.

Поэтому для нахождения числа по процентам надо делить данное число на число процентов и результат умножить на 100.

3. Нахождение процентного отношения двух чисел рассматривается как нахождение отношения двух чисел. Отношение двух чисел отыскивается делением одного числа на другое. Переход от отношения двух чисел, выраженного дробью, к процентному отношению этих чисел совершается умножением на 100; поэтому для нахождения процентного отношения двух чисел надо разделить одно

число на другое и результат умножить на 100.

Совершенно безразлична последовательность действий, т. е. умножить ли раньше на 100 и потом делить на число, или раньше делить на число, по отношению к которому ищется процент, и потом умножить на 100.

Основное затруднение при решении задач на проценты состоит в неумении разобрать, какое число должно быть делимым, какое делителем, т. е. то же затруднение, что и в задачах на дроби.

Наконец, надо из задач на денежные расчеты решать задачи на операции сберегательных касс и на государственные займы; при этом надо помнить следующее:

а) сберегательные кассы в настоящее время платят 3% по вкладам частных лиц;

б) процентные деньги, выплачиваемые держателям государственных займов, называются доходом, а не прибылью;

в) простые проценты начисляются только на суммы, находившиеся в сберегательных кассах в течение до одного года, т. е. в промежутке от 1/1 какого-либо года до 1/1 следующего года. Вклады, лежащие больше одного года, оплачиваются по сложным процентам.

ЦЕЛЫЕ ОДНОЧЛЕННЫЕ И МНОГОЧЛЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ

Вопрос об изучении в VI классе целых одночленных и многочленных выражений в методическом отношении не представляет особых затруднений.

Можно рекомендовать такую последовательность изучения темы: «Целые одночленные и многочленные выражения»: I. Алгебраическое выражение. Одночлен. Целые и дробные одночлены. Многочлен как алгебраическая сумма одночленов. Основные свойства многочлена. Подобные члены. Приведение подобных членов (примерно 4 часа).

II. Тождественные выражения. Смысл тождественных алгебраических преобразований. Сложение одночленов и многочленов. Вычитание одночленов и многочленов. Раскрытие скобок. Заключение в скобки (примерно 6 час).

III. Умножение двух или нескольких степеней одного и того же основания. Умножение одночленов. Умножение многочлена на одночлен, одночлена на многочлен, многочлена на многочлен. Расположение многочлена по степеням какой-нибудь буквы. Умножение расположенных многочленов. Высший и низший члены произведения и число членов произведения. Возведение в квадрат и куб произведения, дроби, степени одночлена (7 час).

IV. Формулы сокращенного умножения: 1) (я + Ь) (а - Ь); 2) (а ± bf\ 3) (а ± bf ;

умножение двух двучленов с одинаковыми первыми членами (10 час).

V. Деление степеней одного и того же основания. Деление одночленов. Случаи невозможности деления нацело. Деление многочлена на одночлен; запись частного от деления одночлена на многочлен. Деление многочлена на многочлен. Признаки невозможности деления без остатка. Зависимость между делимым, делителем и остатком (6 час).

VI. Формулы сокращенного деления:

При изучении темы «Целые одночленные и многочленные выражения» преподавателю нужно иметь в виду следующее. При изучении тождественных алгебраических преобразований нельзя забывать арифметики. Нужно показывать аналогию между алгебраическими преобразованиями и арифметическими вычислениями. Например: 1) изучение вопроса об умножении расположенных многочленов удобно начать с рассмотрения умножения многозначных чисел, записанных в виде сумм; 2) в начале изучения деления многочлена на многочлен тоже можно рассмотреть процесс деления двух чисел и т. п.

Существуют два определения одночлена: 1) алгебраическое выражение, не содержащее действий сложения и вычитания, 2) алгебраическое выражение, у которого последнее действие не сложение и не вычитание. Из этих определений в учебной литературе наиболее распространено второе. Это определение, которое требует выражение (За2 b — 4ab+-\*bab2)c называть одночленом, неудачно. Лучше всего приучить учеников рассматривать выражение ^kam Ьп как одночлен, алге-

браическую сумму таких выражений как многочлен.

Для последующего изучения алгебры целесообразно познакомить учащихся с измерением одночлена, а также с однородными многочленами. При изучении формул сокращенного умножения этими понятиями уже можно будет воспользоваться для предупреждения некоторых распространенных ошибок.

Большое внимание следует уделять нахождению числовых значений алгебраических выражений и, в частности, при выполнении тождественных алгебраических преобразований важно проверять результат путем подстановки числовых значений.

5) При изучении формул сокращенного умножения следует приучать учащихся к применению этих формул для устных вычислений. Много простых преобразований, таких, как возвышение в квадрат или куб одночленов, перемножение одночленов, деление одночленов, целесообразно выполнять устно.

ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННЫЕ. РАВЕНСТВО ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Изучение материала, относящегося к данному разделу, займет 3—4 часа. Приступая к вопросу о сравнительной длине перпендикуляра и наклонных, надо дать учащимся понятие о проекции (ортогональной) точки и отрезка на прямую линию. Учащиеся должны научиться строить проекцию отрезка на прямую при любом взаимном расположении отрезка и оси проекций, а также при любом расположении чертежа на доске и в тетради (ось проекций не имеет горизонтального направления).

В учебнике Гурвица и Гангнуса теорема о единственности перпендикуляра, опускаемого из данной точки на данную прямую, доказывается на основании того, что в треугольнике сумма двух углов меньше 2d, это же положение можно показать проще, как следствие из теоремы о внешнем угле треугольника. Теоремы о перпендикуляре и наклонных обычно легко усваиваются учащимися, и изложение их не представляет затруднений для преподавателя.

Надо следить за точностью формулировки текста теорем учащимися, подчеркивая, что при изучении сравнительной длины перпендикуляра и наклонных они проводятся из одной и той же точки к одной и той же прямой. Необходимо указать учащимся, что расстояние от точки до прямой линии измеряется длиной перпендикуляра, и дать упражнения на нахождение расстояния точки от прямой при различном расположении чертежа. Две обратные теоремы о наклонных и их проекциях можно предложить учащимся сформулировать и показать самостоятельно.

Согласно программе в связи с данным разделом изучается лишь случай равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе, остальные же случаи изучаются непосредственно после равенства косоугольных треугольников. Однако, если работа строится по учебнику Гурвица и Гангнуса, сюда же следует отнести и случай равенства треугольников по гипотенузе и острому углу; доказательство этого случая опирается на теорему о единственности перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Равенство треугольников, имеющих равные гипотенузы и по равному катету, может быть доказано двумя способами: 1) путем приложения одного треугольника к другому и ссылки на свойства равнобедренного треугольника; 2) путем наложения и применения свойств равных наклонных. Полезно в данном разделе повторить с учащимися все ранее изученные признаки равенства прямоугольных треугольников.

В § 4 гл. VI учебника Гурвица и Гангнуса имеются упражнения, которые желательно решить с учащимися. Кроме того, решаются задачи из соответствующих разделов § 3 задачника Рыбкина.

Некоторые методические указания по данному разделу учитель найдет в методическом пособии по геометрии Гурвица и Гангнуса (гл. II, § 10, раздел 6).

VII КЛАСС

ТОЖДЕСТВА И УРАВНЕНИЯ

При изучении темы «Тождества и уравнения» можно взять какую-либо задачу, например, следующую: «Летело стадо гусей. Навстречу им летит гусь и кричит: «Здравствуйте 100 гусей». Гуси ему отвечают: «Нас не 100 гусей. Если бы нас было столько, сколько есть, да еще столько, да полстолько, да четверть столько, да ты с нами, гусь, тогда нас было бы 100 гусей». Сколько летело гусей?»—Эта задача решается сначала арифметически, а потом составляют уравнение из условия задачи и решают его на основании свойств действий.

На основании ряда конкретных примеров, например: 5+10 и 9+6; a+b и Ъ + а\ 1 + а и а + 1 и т. п., даются определения равенства и неравенства.

На конкретных же примерах изучаются основные свойства равенств; для этого учащиеся решают ряд примеров, в которых к обеим частям равенства прибавляют (отнимают) равные числа и, наблюдая за результатами, приходят к определенным свойствам равенства; если к обеим частям равенства прибавить или от обеих частей равенства отнять равные части, то равенство не нарушится; и если обе части равенства умножить или разделить на равные числа, то равенство не нарушится.

Приступить к изучению тождеств и уравнений можно также на конкретных примерах: рассматривая результаты подстановки в данные равенства, например в равенства: (a—b)2=a2 — 2ab+№, ab = ba, За + 5 = 2a+6 и т. п., каких угодно числовых значений букв, входящих в эти равенства, ученики узнают о существовании двух видов равенств. Даются определения тождества и уравнения, корня уравнения, а также выясняется, что значит решить уравнение. Затем решаются простейшие уравнения на основании зависимостей между данными и результатами действий.

На этих примерах учащиеся узнают, какие уравнения называются равносильными, и знакомятся со свойствами уравнений, на которых основано решение уравнений. Только после достаточного ряда упражнений перед учащимися ставится вопрос о еще большем упрощении решения уравнений и изучаются следствия, которыми учащиеся и пользуются при дальнейшем решении уравнений.

Последовательность упражнений:

1. Уравнения, в которых члены, содержащие неизвестное, входят только в одну часть уравнения : ах + Ьх + сх = m + п.

2. Уравнения, в которых члены, содержащие неизвестное, входят в обе части уравнения, но свободный член только в одной части: ах + Ьх = m + сх + п.

3. Уравнения, в которых члены, содержащие неизвестное, и свободные члены входят в обе части уравненя: ах + m — Ьх = сх + р.

4. Уравнения, все члены которых можно сократить на один и тот же множитель: ах + am = abx + an.

5. Уравнения, содержащие выражения со скобками.

6. Уравнения, в которые входят дроби со знаменателями, не содержащими неизвестное.

7. Уравнения, которые содержат выражения целые, дробные, записываемые со скобками и т. д.

Для приучения учеников к контролю своей работы необходимо требовать от них проверки решенных уравнений.

Уравнения с буквенными коэфициентами можно решать после каждого из указанных типов уравнений с числовыми коэфициентами.

При решении уравнений, особенно вначале, следует требовать, чтобы учащиеся объяснили, на каком основании они делают преобразования.

Только после того, как учащиеся твердо усвоили решение уравнений и составление уравнений из условия задач всех указанных видов, можно перейти и к решению уравнений с дробными членами, знаменатель которых содержит неизвестное. При этом надо выяснить возможность появления посторонних корней при освобождении уравнения от дробей и необходимость испытания полученных корней.

На этой же ступени математических знаний учеников надо приступать и к решению более сложных задач по задачнику Шапошникова и Вальцова ч. I. Кроме этого задачника, можно использовать задачник по алгебре: Лебединцев ч. I.

Статьи по данному вопросу имеются в журнале «Математика и физика в средней школе» № 5 за 1935 г. и № 5 за 1936 г.

ПЛОЩАДИ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ФИГУР

Изучение данной темы занимает, примерно, 10 час, распределяемых следующим образом:

1. Площадь прямоугольника и квадрата.

Решение задач — 2 часа.

2. Понятие о равновеликих фигурах. Площадь параллелограма, треугольника, прямоугольного треугольника, ромба — 2 часа.

3. Площадь трапеции — 1 час.

4. Площадь многоугольника — 1 час.

5. Превращение прямоугольных фигур в равновеликие им фигуры — 1 час.

6. Решение задач на вычисление площадей — 2 часа.

7. Контрольная письменная работа — 1 час.

Приступая к изучению данной темы, следует восстановить в памяти учащихся имеющиеся сведения об измерении площадей прямоугольника и квадрата; необходимо внести четкость в их знания по вопросу о квадратных мерах, земельных мерах, добиться того, чтобы они легко и отчетливо выполняли раздробление и превращение квадратных мер. Если эти вопросы затруднят учащихся, следует дать им соответствующее домашнее задание.

Формула для вычисления площади прямоугольника выводится для двух случаев: ^когда высота и основание — целые числа, 2) когда они выражены дробными числами.

Затем рассматривается площадь квадрата как прямоугольника с равными сторонами. Здесь могут быть решены следующие задачи из § 13 задачника Рыбкина: № 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13. Задача № 11, где требуется извлечение квадратного корня из целого числа, может быть решена при помощи таблиц. При решении задач надо обращать внимание на правильную постановку наименований, приучая учащихся пользоваться обозначениями как кв. м, кв. см и т. д., так и м2, см2 и т. д.

Понятие о разновеликости фигур сопоставляется с понятием о равенстве (конгруэнтности); чтобы помочь учащимся усвоить это понятие, полезно применить самодельные модели из картона или фанеры. Формула для площади параллелограма выводится путем замены его разновеликим прямоугольником, формула площади треугольника, как половина площади параллелограма. На вывод последней формулы следует обратить особое внимание, подчеркивая, что площадь треугольника составляет половину площади параллелограма, откуда и получается в формуле соответствующий множитель —,

Возможно дать и иной вывод, а именно: путем дополнения до прямоугольника вывести формулы для вычисления площади прямоугольного, а затем косоугольного треугольника; формулу же площади параллелограма вывести путем разбивки его на треугольники. Ромб разбивается на два равнобедренных треугольника или двумя диагоналями на 4 прямоугольных треугольника. Дается выражение для площади квадрата через его диагональ.

На вычисление площади параллелограма могут быть решены следующие №№ задач из § 13: 4, 15, 16—-20 (для решения задач № 182,з требуется знание теоремы Пифагора).

На вычисление площади треугольника: № 24, 29, 301}2, 33, 34, 45lf 48, 51, 133,142.

Формула для площади трапеции выводится с помощью разбивки ее на два треугольника. На применение этой формулы решаются следующие задачи из § 13: № 71—76, 78, 79, 82, 83, 89.

На вычисление площади многоугольника путем разбивки его на треугольники, прямоугольники или трапеции могут быть решены задачи: № 90, 91, 92.

В связи с выводом формул площадей ставится вопрос об отношении площадей прямоугольников, параллелограмов и треугольников и решаются соответствующие задачи с числовыми данными.

Основные задачи на превращение прямолинейных фигур в равновеликие им фигуры преподаватель найдет в § 9 гл. IX учебника Гурвица и Гангнуса. Сюда же относятся задачи: № 31, 32, 38, 49, 50 из § 13 задачника Рыбкина.

Вопрос о равновеликости освещается также задачами: № 11, 23 и 108—114.

В связи с изучением вопроса об измерении площадей, необходимо дать учащимся для решения достаточное число задач, связанных с конкретной действительностью: вычисление площади земельного участка и посевной площади; расчет урожайности на единицу площади; расчеты площадей сечения деталей, нормы световой площади и пр.

Надо указать учащимся на зависимость величины площади фигуры, например параллелограма, от величины основания и высоты и приучать их на числовых примерах сле-

дить за изменением результата (площади) в связи с изменением данных линейных элементов.

Нужно ставить задачи на нахождение неизвестных элементов фигуры по данной ее площади и другим данным элементам.

В результате изучения темы учащиеся должны :

1 ) уметь вывести формулы для вычисления площадей прямолинейных фигур, твердо знать эти формулы, точно формулировать их словами и правильно читать их;

2) уметь применять изученные формулы к решению задач и разрешению вопросов, возникающих из практики;

3) уметь установить зависимость между отдельными величинами, входящими в формулу, и определить из формулы любую из входящих в нее величин;

4) понять значение термина «равновеликий», четко знать разницу между равными и равновеликими фигурами и уметь преобразовать в несложных случаях данную прямолинейную фигуру в равновеликую ей.

Указанные знания, приобретаемые учащимися, проверяются путем устного опроса в процессе изучения темы и заключительной письменной работой.

Литература для учителя. Гангнус и Гурвиц—«Геометрия». Методическое пособие, гл. II, §18. Адамар—«Планиметрия», кн. 4, гл. I и II.

VIII КЛАСС

МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

Из общего числа часов (примерно 24 часа), отводимых на изучение темы «Метрические соотношения в треугольнике и круге», данный раздел должен занять 5—6 час.

В рассматриваемой теме геометрические образы самым тесным образом связываются с числом. Здесь учащийся встречается с терминами: «произведение отрезков», «квадрат гипотенузы» и т. п., точный смысл которых он должен хорошо понимать.

Приступая к доказательству теорем, устанавливающих соотношения между элементами прямоугольного треугольника, учащиеся должны хорошо знать признаки подобия треугольников, уметь находить сходственные стороны подобных треугольников и составить пропорцию, вытекающую из подобия фигур. Необходимо на первом же уроке по данной теме восстановить в памяти учащихся понятие о проекции отрезка на прямую и выполнить построение проекции стороны треугольника на другую его сторону. Надо также напомнить учащимся о среднем пропорциональном между двумя величинами как о повторяющемся члене непрерывной геометрической пропорции и как о квадратном корне из произведения данных величин. Уместно также повторить с учащимися все те зависимости между величиной сторон и величиной углов треугольника, которые им известны из ранее пройденного курса.

Порядок изучения данного раздела по учебнику геометрии Гурвица и Гангнуса следующий :

1. Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит треугольник на 2 треугольника, подобных данному и друг другу.

2. Высота, опущенная на гипотенузу, есть средняя пропорциональная между отрезками гипотенузы.

3. Каждый катет есть средняя пропорциональная между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу.

4. Теорема Пифагора.

5. В решении задач приходится пользоваться теоремой: «Произведение катетов равно произведению гипотенузы на высоту, опущенную на гипотенузу». Эту теорему необходимо доказать одним из двух возможных способов.

Однако может быть использован и другой порядок (согласно учебнику Киселева), а именно: до теоремы о высоте доказывается лишь подобие тех двух треугольников, на которые рассекается этой высотой данный треугольник.

При доказательстве соответствующих теорем надо особенно тщательно следить за тем, чтобы учащиеся для составления требуемых пропорций сознательно выбирали сходственные стороны в подобных треугольниках.

Вопрос о построении средней пропорциональной между двумя данными отрезками может быть поставлен в данном разделе темы, если свойства перпендикуляра, восстановленного из точки диаметра, и свойство хорды, как средней пропорциональной между диаметром и ее пропорцией на диаметр, рассмотреть как следствия из теорем, доказанных для прямоугольного треугольника.

В связи с построением средней пропорциональной стоит построение квадратного корня из любого целого числа, которое необходимо показать учащимся.

Общеизвестный алгебраический вывод теоремы Пифагора обычно легко усваивается учащимися. Значение теоремы Пифагора в курсе средней школы крайне велико, так как она находит применение при решении разнообразных практических задач, дает возможность решать геометрические задачи, приводящие к квадратным уравнениям, широко используется при решении задач на построение алгебраическим методом. Поэтому желательно познакомить учащихся и с геометрическим доказательством этой теоремы, раскрыв ее смысл как теоремы о площадях. Учитель может сообщить учащимся краткие исторические сведения о теореме Пифагора, а также сообщить о разнообразии методов ее доказательства. Эти различные методы могут служить предметом работы школьного математического кружка; быстрое ознакомление с различными способами доказательства теоремы Пифагора возможно при помощи моделей, изготовленных самодельно из фанеры или картона.

Для практического применения изученных формул следует решить достаточное число задач, используя выведенные соотношения для определения любой из входящих в них величин. Задачи из § 10 задачника Рыбкина даны не в систематическом порядке и могут быть распределены следующим образом:

1. Теорема о высоте, опущенной на гипотенузу: № 34 35, и на построение — № 4, 5.

2. Теорема о катетах и их проекциях на гипотенузу: № 6—9, 11, 12, 47, 48, 62.

3. Теорема Пифагора: № 1, 2, 3, 13—18, 20—33, 36-46, 49—54, 56—61, 63—65, 68, 69, 73, 75—78, 98, 105, 106.

С помощью теоремы Пифагора решается и ряд задач из § 13 (измерение площадей), а именно: № 14, 182,3 22. 339,3 35, 37, 39, 41—44, 46, 52—55, 84, 93—95, 100, 101, 1023, 116, 141.

В результате изучения этого раздела учащиеся должны:

1) четко усвоить три основных теоремы и уметь их доказывать;

2) уметь определять элементы прямоугольного треугольника по данным элементам на основании изученных соотношений;

3) уметь применять изученные соотношения к другим геометрическим фигурам: равнобедренному треугольнику, прямоугольнику, ромбу, квадрату, трапеции, окружности.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОСТРОГО УГЛА

В программе VIII класса по геометрии имеется вопрос о трех тригонометрических функциях острого угла в прямоугольном треугольнике, об изменении этих тригонометрических функций при изменении угла от 0° до 90°, наконец, о пользовании таблицами значений тригонометрических величин и применении их к вычислительным задачам.

Недочетом работы является расширение преподавателями математики программы VIII класса по тригонометрии, в чем нет никакой необходимости. На тригонометрию в VIII классе, исходя из тех целей, которые указаны выше, нужно затратить 8—10 час.

1-й час

Дается понятие о тангенсе острого угла в прямоугольном треугольнике (или о синусе острого угла — в школах начинают по-разному).

а) Можно взять несколько прямоугольных треугольников с равным острым углом и доказать, что все эти треугольники подобны. Сделать вывод о равенстве отношений катетов (величина постоянная).

б) Можно взять произвольный угол. Из любых точек, взятых на одной стороне угла, провести перпендикулярные прямые к другой стороне, доказать подобие полученных треугольников, сделать вывод об отношении катета, противолежащего острому углу, к катету, прилежащему к нему. Дать определение тангенса острого угла как отношение.

в) Построить угол, если тангенс его равен

Задания на дом

1. Построить 2—3 угла в различных положениях и выполнить работу, аналогичную указанной в пункте «б». (Иногда ученикам предлагается также найти измерением и вычислением приближенное значение тангенса данного угла.)

2. Построить угол по тангенсу.

3. Повторить построение прямоугольного треугольника по катетам и по катету и гипотенузе.

2-й час

1. Рассматривают по чертежу изменение тангенса острого угла при изменении угла. Восстанавливают из точек А и В прямой AB перпендикуляр. На перпендикуляре из В откладывают ряд отрезков: ВС1% ВС2, ВСг, ВСА... соединяют точки Cv С2, С3, С4... с точкой А и устанавливают, что при увеличении острого угла тангенс его увеличивается (и обратно), что тангенс 45° равен 1, что тангенс угла, большего 45°, больше 1; что тангенс 0° равен 0.

2. Рассматривают таблицу тангенсов, указывают точность таблиц, находят значения тангенсов для нескольких углов и обратно находят углы по соответствующим значениям их тангенсов. Проверяют по таблице выводы, сделанные в пункте 1.

3. Дают определение тангенса как функции угла.

4. Если позволяет время, решают задачу в классе, если нет — дается указание для решения задачи дома. Показывается прибор для измерения углов (эклиметр или транспортир с отвесом) и пользование им.

Задания на дом

1. Найти по таблице значения тангенсов нескольких углов.

2. Решить две задачи.

3. При помощи угломерного прибора определить высоту здания, дерева и т. п.

Типы задач: а) определить высоту предмета, если на известном расстоянии от его основания его вершина видна под известным углом; б) задача обратная: по высоте предмета и углу, под которым он виден, определить расстояние до предмета; в) найти величину углов треугольника, если известны его катеты.

Указание. Задачи даются с числовыми данными.

3-й час

1. Решение задачи, аналогичной указанным.

2. Решение задачи на вычисление одного катета, если известен другой катет или любой из острых углов.

Задание на дом

Решение задач, аналогичных вышеуказанным.

4-й и 5-й часы

В вышеуказанном порядке, но несколько более быстрым темпом, знакомятся с синусом острого угла. Можно опустить упражнение (а) первого урока. Дается наглядная иллюстрация: рассматриваются изменения синуса острого угла и устанавливается, что sin 0°=0; sin 30° = 0,5; sin 90° = 1.

Задания на дом состоят из повторения вопросов, рассмотренных в классе: построение угла по его синусу и решение соответствующих задач.

6-й час

Занятие используется для рассмотрения косинуса острого угла.

7-й и 8-й часы

Занятия, а также домашние задания используются для решения разнообразных задач у доски и самостоятельно.

Необходимо в дальнейшем при занятиях по геометрии давать систематически, время от времени, одну задачу для решения дома с использованием синуса, косинуса или тангенса острого угла. Таким образом, постоянным повторением учащиеся постепенно закрепят приобретенные ими сведения о тригонометрических функциях острого угла.

По физике учащиеся также будут решать несложные задачи, требующие применения синуса, косинуса, тангенса. Неплохо, если среди задач, решаемых в курсе математики, учитель даст задачи по вопросам физики VIII класса, например:

1. Вычислить равнодействующую двух сил, действующих под прямым углом друг к другу, если известны обе силы; вычислить угол между равнодействующей и каждой из сил.

2. Вычислить одну из сил, действующих под прямым углом друг к другу, если известна равнодействующая этих сил и угол между равнодействующей и одной из сил.

3. Вычислить высоту наклонной плоскости, если известны основания наклонной плоскости и угол наклона; вычислить силу, скатывающую груз по наклонной плоскости, если известен угол наклона плоскости и сила, перпендикулярная к наклонной плоскости.

4. а) Вычислить работу на определенном пути, если известны сила, действующая на предмет, и угол, образованный направлением силы и пути.

б) Вычислить, под каким углом надо приложить силу, чтобы на данном пути работа силы была равна заданному числу.

в) Какую силу надо приложить, чтобы на определенном пути, при заданном угле наклона плоскости ее работа выражалась заданным числом.

г) Какой путь сделает предмет, если заданная сила совершит заданную работу при определенном угле наклона.

Задачи решаются на числовых данных. Среди задач, которые учитель дает постепенно ученикам для решения, определенное место должны занимать задачи геометрического содержания (Рыбкин — «Собрание задач по тригонометрии», § 15а, № 7, 8, 12, 5, 14). Наиболее типичными являются следующие задачи:

1. Вычислить периметр прямоугольного треугольника по катету и острому углу.

2. Вычислить периметр параллелограма, если известны его площадь, угол между смежными сторонами и одна из смежных сторон.

3. Вычислить периметр ромба, если известны его площадь и один из его углов.

4. Вычислить диагональ прямоугольника, если известны одна из его сторон и угол между стороной и диагональю. Вычислить площадь и периметр.

5. В круге проведена хорда на заданном расстоянии от центра. Определить дугу, стягивающую хорду, если длина хорды задана. (Рыбкин, § 6, № 1, 3,4,5, 13, 15, 20 и др.)

IX КЛАСС

ЛОГАРИФМЫ

Преподавание логарифмов в средней школе продолжает стоять не на должной высоте. Основные недочеты заключаются, главным образом, в недостаточном внимании к теории вопроса и сводятся к следующему: 1) учащиеся до конца проработки теории логарифмов неясно представляют себе зависимость между числом и его логарифмом; 2) затрудняются в логарифмировании выражений, в которые входят сумма, и потенцировании выражений, содержащих числовые слагаемые; 3) не знают выводов правил пользования таблицами десятичных логарифмов.

Преподавание логарифмов нужно строить так, чтобы учащиеся поняли смысл логарифмирования как обратного и седьмого по счету действия, в то же время учение о логарифмах следует основывать на изучении основных свойств показательной и логарифмической функций.

Таким образом, вопрос о логарифмах должен быть разбит на три части: 1) определение логарифма и его свойства в связи с показательной и логарифмической функциями; 2) правила логарифмирования и потенцирования и 3) свойстза десятичных логарифмов; устройство и употребление таблиц.

Изучение свойства показательной и логарифмической функций должно сопровождаться построением возможно большего числа графиков. В обязательном порядке следует построить графики показательных функций:

и графики функций, обратных этим трем.

При изучении правил логарифмирования нужно подчеркнуть требование логарифмирования всякого выражения до конца. Количество и подбор задач на логарифмирование алгебраических выражений в стабильном задачнике Шапошникова и Вальцова (гл. XVI, № 45—74) следует дополнить и разнообразить примерами, содержащими суммы, а также выражениями, которые можно разложить на множители.

При ознакомлении с таблицами логарифмов целесообразно придерживаться следующего порядка расположения материала: рассмотреть решение по таблицам прямого и

обратного вопросов, включая и интерполирование с числами большими единицы; проделать упражнения на вычисление выражений, содержащих множители больше единицы, и лишь после этого знакомить учащихся с логарифмами чисел, меньших единицы, искусственной формой и особыми правилами действия с ними. Интерполирование следует объяснить учащимся на пятизначных таблицах, потому что ученик, умеющий найти поправку по пятизначным таблицам, сумеет найти поправку по любым таблицам. При решении задач можно пользоваться и четырехзначными и пятизначными таблицами.

После проработки вопроса об устройстве и употреблении таблиц нужно рассмотреть вопрос о модуле перехода, выделив особо модуль десятичной системы логарифмов. Изложение вопросов, связанных с переходом от одной системы логарифмов к другой, можно найти в учебниках алгебры Давидова, Безиковича и др. Доказательство общеизвестно :

есть модуль перехода от одной системы логарифмов к другой.

На уроках алгебры нужно также познакомить учащихся с устройством и употреблением логарифмической линейки, показав действия умножения, деления и извлечения квадратных корней. Серьезное изучение логарифмической линейки можно провести только в порядке кружковой работы.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

В первом полугодии учебного года в IX классе при изучении взаимного положения прямых и плоскостей в пространстве рассмотрен вопрос перпендикулярности прямых и плоскостей. В начале второго полугодия надлежит изучить раздел параллельности прямых в пространстве. На эту тему обычно отводится 6—7 час, включая и контрольную работу.

Понятие параллельности прямых обычно не вызывает затруднений у учеников, но наряду с понятием о параллельности прямых в пространстве необходимо дать понятие о скрещивающихся прямых. В виду новизны вопроса для учащихся различные взаимные положения прямых в пространстве (параллельные, пересекающиеся и скрещивающиеся прямые) необходимо иллюстрировать на каркасной модели куба или с помощью стереометрического ящика.

К понятию о скрещивающихся прямых можно подойти двумя путями: 1) можно провести аналогию между определениями параллельных прямых в пространстве и на плоскости, также между признаками параллельности прямых на плоскости и в пространстве, затем указать, что две прямые, перпендикулярные к третьей, в пространстве могут не быть параллельными и в то же время не пересекаться — эти прямые называются скрещивающимися прямыми, 2) или можно просто указать, что две прямые могут быть расположены в пространстве так, что через них нельзя провести одной плоскости,— такие прямые называются скрещивающимися.

После выяснения вышеуказанных понятий изучаются теоремы: 1) плоскость, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и другую и 2) плоскость, перпендикулярная к одной из параллельных прямых, перпендикулярна и к другой. Затем изучаются признаки параллельности прямых в пространстве, причем 1-й признак доказывается как обратная теорема к вышеуказанной теореме (2), а 2-й признак доказывается как следствие к этой же теореме.

Полезно по вопросу о параллельности прямых ознакомиться со следующими методическими статьями.

К. Краевский—«Трудности при прохождении курса стереометрии в IX классе средней школы». «Математика в школе», № 4, 1937 г.

Макаревич — «Метод моделирования в преподавании стереометрии». «Математика и физика в школе», № 3, 1936 г.

Доцент М. Ф. Альтшулер—«Прямые в пространстве». «Средняя школа», № 3, 1935 г.

Задачи по разделу «Параллельные прямые» имеются в сборнике задач по геометрии ч. II Рыбкина, и решение их не вызывает никаких затруднений.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ СУММЫ И РАЗНОСТИ ДВУХ УГЛОВ

Эта тема обычно не затрудняет учеников IX класса. В учебнике и задачнике этот вопрос изложен подробно.

Единственный вопрос, на котором следует остановиться, это вывод формул синуса и косинуса разности дуг. В учебнике Рыбкина эти формулы выводятся недостаточно строго, а именно, предполагается, что формула синуса суммы двух углов, выведенная для положительных острых углов, справедлива и для отрицательных углов.

Можно вывести формулы sin (а—и cos (а—(5) непосредственно.

На черт. LBOA=a.\ LBOC = $\ LCOA=a-$; CK±ОВ; £FKC= Lol по взаимной перпендикулярности сторон. Тогда:

Аналогично выводится и формула для

X КЛАСС

НЕРАВЕНСТВА

Неравенства имеют большое значение при исследовании различных вопросов элементарной математики и особенно высшей. К числу таких вопросов относятся например: исследование решений уравнений, теория пределов и др. С другой стороны, изучение неравенств дает большие возможности для развития математического мышления учащихся, сообразительности и находчивости.

Поэтому изучение неравенств в X классе должно быть достаточно подробным и основательным: на изучение этого отдела алгебры следует отвести 8—10 час. Можно рекомендовать следующую последовательность изучения отдельных вопросов теории неравенств.

1-й урок. Понятие неравенств. Классификация неравенств. Свойства неравенств. На этом уроке учащиеся должны познакомиться с разделением неравенств на арифметические и алгебраические, с разделением алгебраических неравенств на безусловные и условные. На первом же уроке следует выяснить вопрос о неравенствах одинакового смысла и противоположного, а также понятие равносильных неравенств.

2-й урок. Свойства неравенства: 3) если й > о, то а + с b + с. Следствие этого свойства — возможность переноса членов из одной части неравенства в другую; 4) если a, b и m — положительное число, то am > bm и — > — ; 5) если я > 0 и m — отрицательное число, то am < от и — < — .

3-й урок. Следствия 4-го и 5-го свойств неравенств: 1) возможность приведения членов неравенств к целому виду, 2) изменение знаков у всех членов неравенств, 3) сокращение членов неравенств. 6-е свойство: если а> & и r>d, то a~\-c>b+d. 7-е свойство: если а>Ь и c<d, то а — с>Ь — d.

Вопрос о приведении неравенств к целому виду нуждается в особых разъяснениях преподавателя. Дело в том, что для освобождения неравенства от дробей, относительно

знаменателей которых неизвестно, какие это чиста (положительные или отрицательные), нельзя умножать все члены на общий наименьший знаменатель. Нужно умножать на квадрат общего наименьшего знаменателя, так как только в этом случае знак неравенства не изменится. Например, чтобы привести к целому виду неравенство->- , обе части его нужно умножить на (х — 2)2 (х — З)2. Так как множитель — число положительное, то знак неравенства останется без изменений. Возможно еще при наличии времени рассмотреть теоремы об умножении и делении неравенств по частям и как следствия этих теорем возвышение неравенств в степень и извлечение корня. Эта работа представляет известный интерес, но она не обязательна.

При изучении свойств неравенств в методическом отношении представляют интерес доказательства этих свойств. Необходимо в основу доказательства всех или почти всех свойств положить единый принцип. Таким принципом может быть сведение неравенств к равенствам с последующим обратным переходом. Неравенство а>Ь можно по определению понятия больше заменить равенством а — b = d, где d — положительное число, и наоборот, равенства а — b = d при d>0 можно заменить неравенством а>Ь. Приведем 2 примера доказательств, в основе которых лежит указанный выше принцип. 1) Нужно установить, что если а>Ь и с, то а>с. Запишем данные неравенства в виде равенств а — b = d, b — c = dt (dt может быть и нулем). Складывая полученные равенства по частям, найдем а — с = d+dt. Так как d+dt>Oy то а>с. 2) Нужно доказать, что, если а> Ь, то а ± m > b + m. Для доказательства неравенство а> b запишем в виде равенства а — b = d, где d — положительное число. Клевой части равенства прибавим и вычтем из нее одно и то же число m; получим а — b — m + m—d или: (а -— m)—(b—m)=d и (а + m) — {b + - m) = d. Последние равенства можно записать в виде неравенств а+ m> Ь+т и а — т> b — т. Здесь же следует установить и равносильность полученных равенств с исходным в случае, если они содержат неизвестные. Пусть неравенство А>В удовлетворяется при некоторых значениях неизвестных. Это значит, что при этих значениях неизвестных численная величина А делается больше численной величины В, но тогда при тех же значениях неизвестных и численная величина суммы A + m или разности А — m будет соответственно больше численной величины В+т или В — ту так как если прибавить к обеим частям неравенства или отнять от них одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Равносильность неравенств, содержащих неизвестные величины, следует доказывать также при рассмотрении 4-го и 5-го свойств.

4-й урок. Решение одного неравенства 1-й степени с одним неизвестным.

На первых трех уроках параллельно с усвоением основных свойств неравенств усваивалась также техника преобразования неравенств в равносильные. На 4-м уроке эти навыки преобразований следует применить уже к решению неравенств, предварительно выяснив смысл решения неравенства. Решить неравенство — это значит путем преобразований превратить его в равносильные неравенства вида х<а или х>а. Последние неравенства дают ответ на вопрос о том, при каких значениях исходное неравенство справедливо. Следует подчеркнуть при этом наличие у неравенства бесчисленного множества решений.

5-й урок. Решение двух неравенств 1-й степени с одним неизвестным.

После решения ряда пар неравенств следует сделать вывод о двух возможных случаях. 1) Если х>а и х>Ьу или х<аг и х<Ь±, то исходным неравенствам удовлетворяют все значения х, которые больше большего из чисел а и b или соответственно меньше меньшего из чисел ах и bv 2) Если х>а и х<Ь, то при а<Ь исходным неравенствам удовлетворяют все значения х, заключенные между а и Ь; если а = Ь, то исходные неравенства имеют одно решение: х = а — Ь. Если же a>bt то нет значений X, удовлетворяющих обеим неравенствам одновременно.

Целесообразно при решении примеров и при разборе возможных случаев воспользоваться графической иллюстрацией решений при помощи числовой прямой.

6-й урок. Доказательство неравенств.

На этом уроке следует выполнить ряд упражнений на доказательства неравенств. Упражнения можно взять например такого типа: 1 ) а-^- > vTb\ 2) а2 + £2 + с2> аЬ + ас + Ьс, если а, Ь, с — неравные положительные числа; 3) яв+1]>(п-)-1)я, если п — целое число, большее 2. Один из наиболее распространенных приемов доказатель-

ства неравенств состоит в том, что предложенное неравенство преобразуется в другое, очевидное, например, в Л2>0, а затем, исходя из этого очевидного неравенства, путем рассуждений доходят до неравенства, которое нужно доказать, короче говоря, применяют аналитико-синтетический метод.

7 и 8-й уроки. Решение одного неравенства 2-й степени с одним неизвестным.

8 программе по математике для X класса решение неравенства 2-й степени с одним неизвестным стоит после исследования уравнения и системы уравнений 1-й степени. Однако можно выбрать иной порядок, а именно: сначала закончить полностью вопрос о неравенствах, а затем уже перейти к исследованию уравнений. В этом случае изложение будет более стройным.

При изучении вопроса о решении одного неравенства 2-й степени с одним неизвестным можно воспользоваться таким исследованием.

Можно рекомендовать также графическую иллюстрацию решений с помощью параболы.

Значения х, соответствующие точкам параболы, расположенным выше оси л:-ов, т. е. в области положительных значений у-ов, дают решения неравенства ах2 + Ьх +с > 0.

В процессе изучения неравенств необходимо проводить аналогии между свойствами равенств и неравенств, между тождествами и безусловными неравенствами, между уравнениями и условными неравенствами. Само изучение неравенств можно начать с повторения имеющихся сведений о равенствах, тождествах, уравнениях и их свойствах. При проведении аналогии между равенствами и неравенствами нужно обращать внимание не только на сходство, но и на различие. Эти аналогии помогут более основательному усвоению раздела о неравенствах.

Преподаватель при подготовке к урокам по изучению неравенств может воспользоваться следующей литературой:

Киселев — Элементарная алгебра (старые издания).

Лебединцев—Руководство алгебры, ч. 2.

Давидов — Начальная алгебра.

Чистяков — Методика алгебры.

Крыжановский — Элементы теории неравенств (изд. ОНТИ).

Упражнения для учащихся по неравенствам 1-й степени преподаватель может найти в сборнике алгебраических задач Шапошникова и Вальцова, ч. II. В старых изданиях этого задачника есть также примеры на неравенства 2-й степени. Так как далеко не у всех преподавателей есть старые издания сборника алгебраических задач Шапошникова и Вальцова, то приведем ряд примеров на неравенства 2-й степени.

Неравенства :

Показать, что трехчлен 4л:с — 12+ 11 есть положительное число при всяком вещественном значении х.

Для каких значений х трехчлен 2х2 — х — 2 будет положительным и для каких отрицательным?

При каких значениях m корни уравнения X2 + 2 (т — 2) X + Зт — 8 = 0 будут вещественны?

ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ

(10 час.)

При изучении данной темы подытоживаются и углубляются все сведения учащихся в области исследований уравнений и их корней.

Следует отметить, что затруднения учащихся возникают иногда из-за недостатка знаний предыдущего материала. Восстанавливать их в процессе работы над темой — это значит нарушить цельность впечатления, поэтому мы

предлагаем предпослать разбору материала основной темы анализ следующих выражений:

Может иметь смысл только в случае, когда b приближается к 0.

Тогда говорят, что

имеет неопределенное значение.

Учащиеся встречаются с такими случаями, когда определяют «истинное значение» неопределенного выражения. Например:

7) Следует также повторить с учащимися графическое изображение функций:

Указанные выше предварительные упражнения напомнят учащимся те сведения, которые необходимы им для исследования уравнений (на эту работу следует затратить примерно 1 час).

§ 2. Учащиеся до сих пор обычно решали уравнение с данными коэфициентами и в заключение испытывали пригодность корней уравнений при определенных условиях задач.

Теперь своевременно поставить вопрос о возможности решения уравнения и о предварительном выяснении характера корней его.

Корень уравнения следует рассматривать как то значение х, при котором / (jc) = 0. В то же время корень уравнения есть некоторая функция от параметров уравнения, исследование которой поможет выявить характер корня.

Рассмотрим примеры. Например:

Не решая, можно заключить, что X = 0; у = 0

Уравнение не имеет решения

Полупериметр прямоугольника а+Ь = \0 Площадь его ab = 40

Так как при решени квадратного уравнения дискриминант Ь2 — то такого прямоугольника быть не может. Может возникнуть вопрос: как изменить задание, чтобы получить действительные решения?

Пусть #+£=14

ab = 40, тогда 72 — 40 — 9 Решение возможно. > 0

Таким образом можно подвести учащихся к сознанию, что исследование уравнений есть органическое развитие их предыдущих сведений и что исследование может играть большую роль в прикладных вопросах.

План изучения вопроса

1. Единственность решения уравнения 1-й степени с одним неизвестным. (1 час)

2. Условие совместности двух уравнений с одним неизвестным (по обоим вопросам см. «Методику алгебры» Бронштейна). (1 час)

3. Исследование решения уравнения 1-й степени с одним неизвестным (1 час). Геометрическая интерпретация такого исследования (1 час).

4. Исследование решений системы двух уравнений с двумя неизвестными (1 час).

Геометрическое истолкование этих исследований (1 час).

5. Исследование решений квадратного уравнения (1 час).

Выяснение условий, при которых трехчлен ах2 + Ьх+с представляет полный квадрат и обратное положение: если ах2 + Ъх + с — полный квадрат, то Ь2 — 4 ос = 0(\ час).

Геометрическое истолкование исследования квадратного уравнения (см. второй вывод «Методики алгебры» С. Бронштейна) (1 час).

Письменная контрольная работа (1 час).

§ 3. При прохождении темы следует пользоваться следующими руководствами:

Учебник алгебры Киселева. Задачник Шапошникова и Вальцова, ч. II.

Методика алгебры Бронштейна. Методика алгебры Чистякова.

В учебнике Киселева и методике алгебры Чистякова ставится вопрос исследования уравнений 1-й степени с одним неизвестным следующим образом: выяснить, при каких условиях решение уравнения 1-й степени с одним неизвестным будет положительным, отрицательным и т. д.?

Не исключена возможность иного построения работы: имеем уравнение ах = Ъ.

1) афО; кроме того а будем считать положительным, ибо его можно всегда сделать положительным.

Уравнение теряет смысл, если а-»0, то л;-> оо.

3) а = 0; Ь = 0; х = — неопределенное значение для х и т. п.

Геометрические иллюстрации следуют тотчас за выяснением вопроса (см. учебник Киселева).

ОБРАТНО-ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Вопрос об обратно-тригонометрических функциях — один из самых трудных вопросов в школьном преподавании, так как, с одной стороны, впервые рассматриваются некоторые свойства функций на таком своеобразном материале, как обратные тригонометрические функции, а с другой — объем вопроса не установлен ни программой, ни учебником тригонометрии. Только те упражнения, которые имеются в задачнике Рыбкина по тригонометрии (§ 15), показывают, что учащиеся должны в результате изучения этого вопроса хорошо освоить понятие обратно-тригонометрической функции и должны уметь выполнять с обратно-тригонометрическими функциями довольно сложные тождественные преобразования, а также решать соответствующие уравнения. В учебнике тригонометрии Рыбкина этому вопросу посвящены § 48 и § 49. На изучение этого вопроса отводится в X классе часов 10—11, но во всей дальнейшей работе, в частности в ответах при решении тригонометрических уравнений, следует пользоваться обратно-тригонометрическими функциями.

Первое понятие об обратно-тригонометрических функциях учащиеся получают также при решении в общем виде простейших тригонометрических уравнений:

1. До изучения рассматриваемого отдела программы необходимо напомнить учащимся понятия функции и аргумента, понятие взаимнообратных функций, аналитическое, табличное и графическое изображение функций, нахождение любого числового значения функции по формуле, таблице или по графику.

Все эти вопросы рассматриваются на линейных функциях, например, у = Ъх\ y=z2x + 3, и им обратных: х = ~г и X =г—^—; затем на квадратной функции, например, у = х2, и ей обратной х = ±\/~у; на показательной функции у = 2х, и ей обратной X = \g2y и, наконец, на трех тригонометрических функциях: у = sin х, у = cos X и у = tg л:. Новым для учащихся будет понятие об обратно-тригонометрических функциях:

х = arc sin .у; -xr^arccos^y и х = arctg у.

2. Повторяя с учащимися все, что им известно о функциях из курса VIII и IX классов, следует отметить:

а) что графики двух взаимнообратных функций симметричны относительно биссектрисы 1-го координатного угла. Желательно вывесить в классе листы, на которых начерчены графики взаимнообратных функций

для всех тех примеров, которые даны выше. График показательной функции у = 2х и ей обратной — логарифмической функции — обычно вычерчивается (на одном листе) учениками еще в IX классе. Графики тригонометрических функций вычерчиваются при изучении данной темы в X классе.

б) Следует отметить, что все рассматриваемые прямые функции однозначны, но некоторым из них соответствуют обратные функции не однозначные, например, однозначной квадратной функции у = х2 соответствует обратная функция х = + \/~у — двузначная. Затем, рассматривая новые функции, к изучению которых переходят ученики,— обратно-тригонометрические — выясняют, что эти функции многозначные. Лучше всего это показать на графиках функции, а именно показать, что одному значению аргумента (синуса, косинуса, тангенса) соответствует множество значений функций (угла или дуги).

в) При разборе графических изображений всех вышеупомянутых функциональных зависимостей можно обратить внимание учащихся на то, что признаком однозначности обратной функции является монотонность (однозначное и непрерывное изменение в данном интервале) прямой функции. Если же прямая функция (например, квадратная, тригонометрическая) изменяется не монотонно, то обратная ей функция не однозначна.

График двузначной функции x = -±z\f У может быть разбит на 2 ветви — графики однозначных функций х — +\/у и х =

График обратно-тригонометрической (многозначной) функции может быть разбит на ряд ветвей, соответствующих однозначным функциям.

г) Надо отметить ученикам еще один факт: области значений прямой и обратной функции не всегда совпадают; область значений обратной функции может быть ограничена. Действительно функция х = + у у имеет значения только в области нулевого и положительных значений для уу в то время как прямая функция у = х2 имеет значения при всевозможных действительных значениях X. Функция логарифмическая x = \g2y (обратная показательной функции у = 2х у имеющей значения для у при всевозможных действительных значениях х) не имеет значений при y<.Q. Переходя к обратно-тригонометрическим функциям, следует также указать ученикам, что область значений этих функций не совпадает с областью значений известных им тригонометрических функций и что область значений некоторых обратно-тригонометрических функций ограничена, так, например, х = arc sin у или x = arccos^ не имеют значений при (^)>1.

Повторяем, все перечисленные факты уясняются учащимися на графиках взаимнообратных функций.

д) Решаются упражнения из задачника Рыбкина § 2 № 32—36, на которых учащиеся осваиваются с новыми терминами.

Дополнительно следует поставить ученикам вопрос: найти sin (arc sin х)\ cos (arc cos x) и т. п.

В этих упражнениях они встречаются только с термином «arc»—главное значение дуги.

3. Для перехода к действиям с обратно-тригонометрическими функциями необходимо указать ученикам, что сумма, например, arc sin - + зге cos-^ имеет множество значений.

Для выполнения действий вводят ограничивающие условия для обратно-тригонометрических функций и выполняют действия только над «главными» значениями их.

Главные значения обратно-тригонометрических функций выбираются в определенном интервале, а именно в том, в котором данная функция монотонна (непрерывно однозначно возрастает или непрерывно однозначно убывает). Из рассмотрения графиков, ученики убеждаются, что для arc sinx этот интервал определяется

для arc cos л: этот интервал определяется

для arc ig * этот интервал определяется

для arc ctg x этот интервал определяется

В учебнике Рыбкина для arc ctg л: взято наименьшее значение дуги, но не главное значение, в том же интервале, как для arc tg лг, т. е.— ^ <; x <; ^, что нельзя признать удачным, так как в этом промежутке при л' = 0 нарушается непрерывность функции.

Таким образом, главные значения аркусов совпадают с их наименьшими значениями для всех положительных значений аргументов. Для отрицательных значений аргументов они совпадают для функций arc sin Jt, arc cos x и arc ig x; для arc ctg x они не совпадают, причем наименьшее и главное значение arc ctg x дополняют друг друга по ~. Например, arc ctg (—1) = — - (это наименьшее значение дуги по Рыбкину), и arc ctg (—1) = — тс (это главное значение в интервале 0 >^ х тс);

4. С учащимися следует рассмотреть некоторые зависимости между обратно-тригонометрическими функциями:

Эта зависимость безусловно справедлива при #>0. Дуга находится в первом квадранте (в пределах главных значений).

(Дуга находится в 4-м квадранте, в пределах главных значений) и arccos]/l—х- = (Дуга находится во 2-м квадранте, в пределах главных значений).

Можно проверить с учениками, что при x < 0, arc sin x =—arc cos\f 1—x2 (в пределах главных значений). Действительно, пусть

Дальше углублять этот вопрос для учеников X класса не следует.

Эти зависимости справедливы для всех значений х и положительных и отрицательных (в пределах главных значений), что полезно проверить с учениками на числовых примерах. Иллюстрировать эти зависимости можно и на тригонометрическом круге и на соответствующих графиках.

г) И, наконец последними рассматриваемыми зависимостями будут:

Ученикам можно доказать справедливость этих зависимостей, например, для arc tg лг++ arctg^y. Сумма этих дуг будет также дугой, тангенс которой находится по формуле для тангенса суммы двух дуг, т. е. если arc tg x = z и arc tg у = и, то

и т. д.

Надо только очень тщательно подчеркнуть, что эти формулы безусловно пригодны только в тех случаях, когда х>0, у>0 и когда взятые дуги и сумма их находятся в пределах главных значений.

Если же, например, взять arc sinJ^++ arc sin у т- e- случай, когда сумма дуг будет равна 60° + 45° = 105°, то написанная выше зависимость не будет справедлива, что можно проверить. Далее углублять этот вопрос для учеников X класса не следует.

5. Приемом и доказательством тождеств и решения уравнений с обратно-тригонометрическими функциями является переход от обратно-тригонометрических функций к прямым или применение теоремы сложения. Приведем решения уравнения № 32 из упражнений, данных в § 15 задачника Рыбкина:

Проверкой можно убедиться в пригодности найденных корней. Дуги находятся в пределах главных значений для arctg.

КРУГЛЫЕ ТЕЛА

1. В связи с изучением криволинейных поверхностей нужно дать учащимся понятие о замкнутых и незамкнутых поверхностях. Цилиндр, конус и шар должны рассматриваться как тела вращения, причем нужно с первых же уроков подчеркивать общность свойств соответствующих многогранных и круглых тел.

2. При изучении круглых тел особое внимание нужно уделить решению специальных и комбинированных задач. Так, при изучении шара следует остановиться на решении задач, связанных с определением радиуса шара, нахождением кратчайшего расстояния между двумя точками на шаровой поверхности; при изучении конуса — на задаче об угле развертки; при изучении цилиндра — на задаче о наименьшем расстоянии между двумя точками на кривой поверхности цилиндра. Нужно тщательно проработать вопрос о проведении касательных. Так, вопрос о касательных к шару следует довести до выяснения понятия о цилиндрах и конусах касания, а отсюда перейти к касательной плоскости. При решении задач на сечения и комбинации тел (цилиндр и призма, шар и пирамида и т. п.) нужно добиваться правильного и тщательного выполнения чертежей и построений, небрежности в которых часто мешают учащимся найти правильные соотношения между заданными и искомыми элементами рассматриваемых тел.

3. При изучении вопроса о поверхностях и объемах нужно в каждом отдельном случае показать учащимся, что поверхности и объемы круглых тел являются общими пределами поверхностей и объемов соответствующих вписанных и описанных многогранных тел. Рассуждения опираются на сведения из теории пределов, известные учащимся. Формулы поверхности и объема шара можно вывести и так, как в учебнике Гурвица и Гангнуса, и так, как в учебнике Киселева.

4. Вопросы, связанные с изучением частей шара, обычно представляют серьезные трудности для учащихся. При изучении этого раздела необходимо использовать модели или хорошо выполненные чертежи.

5. На кружковых занятиях в связи с изучением круглых тел полезно рассмотреть выводы, основанные на принципе Кавальери, теоремы Гюльдена и формулу Ньютона — Симпсона как материал, полезный для математического развития учащихся.

СОДЕРЖАНИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К ЖУРНАЛУ «МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ» № 6 за 1937 г.

К январским учительским конференциям .............. 1

V КЛАСС

Периодические дроби........ 4

VI КЛАСС

Проценты.............. 6

Целые одночленные и многочленные выражения........... 7

Перпендикуляр и наклонные. Равенство прямоугольных треугольников ............... 8

VII КЛАСС

Тождества и уравнения ....... 9

Площади прямолинейных фигур ... 10

VIII КЛАСС

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике..... 11

Тригонометрические функции острого угла............. 12

IX КЛАСС

Логарифмы .... .......14

Параллельные прямые в пространстве .............. 15

Тригонометрические функции суммы и разности двух углов..... 16

X КЛАСС

Неравенства............ 16

Исследование уравнений...... 18

Обратно-тригонометрические функции ............... 20

Круглые тела............ 23

Отв. редактор А. Н. Барсуков

Техн. редактор Е. Зеф_____

Уполн. Главлита РСФСР № Б—30358. Учгиз .\ô 9245. Сдано в производство 2/XII 1937 г. Подп. к печати 11/Х11 1937 г. \у2 п. л. В 1 п. л. 82 т. знаков. Формат 70ХЮ5/16. Тираж 44 500. Зак. 1344.

18-я типография треста «Полиграфкнига», Москва, Шубинский пер., 10.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Об утверждения состава Центральной избирательной комиссии по выборам в Верховный Совет СССР. . 7

О дне выборов в Верховный Совет СССР ...... '

Об избирательных округах по выборам в Совет Союза и Совет Национальностей.......... 8

20 лет Великой пролетарской революции в СССР . 9

А. Барсуков — Школа, учитель и учекик в Советской стране....... ........ ..... 16

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

В. К. Фурсенко —Лексикографическое изложение конструктивных задач геометрии треугольника . 21

Проф. Д. И. Каргин —О методах решения стереометрических задач на построение.......... 46

Проф. Н. Иовлев — Измерение длин и площадей на плоскости Лобачевского ..........

Проф. С. Яновская — Как древние вавилоняне четыре тысячи лет назад вычисляли квадратные корни . . 71

МЕТОДИКА

Я. Межировский — Неравенства в средней школе, . 74

В. Севбо — Обратные круговые функции (аркусы) в школе ...................... 82

ИЗ ОПЫТА

И. Левченко—Несколько исторических справок ... 94

В. Вербицкий — Советская школа в Ясной Поляне. . 97

И. Телегин —Школа сегодня............. 102

М. Змиева — Как я готовлюсь к уроку 103

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

Проф. А. В. Ланков—К вопросу о построении учебника элементарной геометрии...... .... 116

Проф. К. М. Щербина — К вопросу о составлении руководства по методике систематического курса арифметики. .................. 128

Н. Извольский — Вопрос о нуле............ 139

С. Новоселов — Обзор новых книг 140

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

КОНКУРС ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ЗА 1936 г.

ЗАДАЧИ

При обнаружении дефекта в данном номере журнала, просим прислать его для обмена по адресу: Москва, Столешников пер., 5, Отдел периодических изданий Учпедгиза.