МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

5

1937

НАРКОМПРОС-МОСКВА ~ УЧПЕДГИЗ

ЗАДАЧИ

(срок присылки решений 15 ноября)

81. Доказать неравенство

[п(п+\)]п>{2п)\

И. Чистяков

82. Доказать, что если в треугольнике стороны удовлетворяют соотношению

то один из углов его равен 60°

И. Чистяков

83. Доказать, что если выражение

(i+VT)a

(п — целое положительное число) представить в виде

И. Кастровицкий

84. Даны две последовательности:

2, 2, 10, 18, 58, 130 .. . 1, 5, 9, 29, 65, 181 .. .

составленные по одному и тому же закону, именно д..я каждого ряда имеет место соотношение

4а 4- а —а я 1 л + 1 п 4- 2.

Доказать, что всякие два числа этих последовательностей ал и Ью занимающие одинаковые места, удовлетворяют равенству

Я. Кастровицкий

85. Построить треугольник по высоте й, биссектрисе / и медиане /я, проведенным из одной и той же вершины треугольника.

М. Беневольским

86. Решить систему уравнений:

М. Беневольский

87. Дана окружность, в ней диаметр AB и вне ее точка С. При помощи только одной линейки опустить из С перпендикуляр на диаметр (или его продолжение).

А. Шульман

88. Решить уравнение

8л:4 + 8л:3 — х = а

89. Показать, что во вписанном четырехугольнике

где А и В углы, прилежащие к одной стороне, я, Ь, с, d — стороны четырехугольника.

С. Танасевский (заим.)

90. Окружность данного радиуса R разделена на 10 равных частей. Соединив последовательно хортами первую точку с четвертой, четвертую с седьмой и т. д., получим двадцатиугольник с десятью входящими и десятью выходящими углами. Найти его площадь.

Шагинян (заим.)

ОТ РЕДАКЦИИ

1. Задачи для помещения в журнале должны посылаться отдельно от решений помещенных задач.

2. Непринятые к помещению задачи редакцией уничтожаются.

Сводка по № 6 за 1936 г.

ОТ РЕДАКЦИИ. На вт м сводки по вадачам 1936 г. заканчиваются. Ввиду возможности ошибок и соответствующих заявлений от участников конкурса, результаты последнего будут опубликованы в № 6-ом.

И. Абрамович (Ананьев) 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 15, 16, 18, 20. А. Аверин (Ленинград) 2, 3, 4, 6, 8, 15, 16, 18, 20. Н. Агарков и Е. Агаркова (ст. Раздорская) 3, 4, 6, 11, 13, 15, 18, 20. К. Агринский (Москва) 1, 6, 7, 12, 13, 15, 16, 18, 20. Е. Алмазова (Беднодемьяновск) 3, 5, 6, 10, 13, 14, 15, 16, 18, 20. А. Аляев (Башмаково) 15. Я. Андреев (Одесса) 4, 6, 15. С. Андреев (Торжок) 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. А. Арефьев (Винница) 3, 4, 6, 15. А. Аристова (Дизеево, Горьк. обл.) 15, 18, 20. Г. Ахвердов (Ленинград) 2, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 20. в. Барановский (Одесса) 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,20. Бархударов (Баку) 6, 15. Я. Бельтейман (Ново-Витебск) 4, 6, 15, 20. М. Беневольский (Ленинград) 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, Ь, 18, 19, 20. Е. Бенск (Одесса) 6, 15. Бессонов (Злынка) 15. Г. Бобылев (Слобода) 6, 15. Н. Богданович (Одесса) 3, 4, 6, 15, 16, 20. Б. Боголюбов (Ульяновск) 3, 5, 6, 15, 18, 20. И. Бондаренко (Мурманск) 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. А. Брегер (ст. Долгинцево) 6, 15. Ф. Брижак (Краснодар) 2, 3, 5, 6, 7, 9, 1®, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 20. Г. Бройт (Ленинград) 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19., 20. А. Бублик (Постышево) 6, 11, 12, 15, 19. С Булгаков (Мценск) 6, 15. Б. Вайспапир (Калининдорф) 3, 4, 6, 8, 15, 16, 20. В. Васуха (Полонное, Винницк. обл.) 6, 15, 16. Н. Введенский (Георгиевское) 1, 3, 5, 7, 10, 12, 14, 15, In, 17, 18, 19, 20. А. Вепланд (Москва) 3, 5, 6, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. А. Владимиров (Ялта) 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. А Волков (Чухлома) 3, 5, 6, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. А. Воробьев (Нижнедевицк) 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Ф. Генералов (Борское, Куйб. кр.) 15, 20. Д. Гилилов (уч. IX кл., Махач-Кала) 3, 4, 6, 8, 12, 15. В. Гильц (Остяко-Вогульск) 2, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 14, 15 17, 18, 19. А. Гинесин (Ленинград) 4, 6, 8, 15, 18, 20. Р. Глейзер (Калининдорф) 2, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 20. И. Глотов (Ново-Троицкое) 6, 15. О. Головачев (ст. Лихачево) 4, 6, 15. В. Голубев (Кувшиново) 1, 2, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 18,

(Продолжение см. на 3 стр. обложка)

Пролетарии всех стран, соединяйтесь!

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

СЕНТЯБРЬ — ОКТЯБРЬ

1937

УПРАВЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

К НОВОМУ УЧЕБНОМУ ГОДУ

Начинается новый учебный год. Сотни тысяч новой детворы вольются в стены школы. Значительно возрастут и педагогические кадры. Тысячи и тысячи молодых педагогов, только что окончивших педагогические учебные заведения, встанут в ряды тех, кому советское государство доверило великое и почетное дело воспитания молодого поколения, «способного окончательно установить коммунизм» (из программы ВКП(б). Почетна эта задача, но она в то же время и сложна и ответственна. Она предъявляет большие требования к советскому педагогу.

Она требует прежде всего от самого педагога искренней преданности делу рабочего класса, делу социалистического строительства, требует активного участия в этом строительстве, требует политической сознательности, политической бдительности, уменья распознавать и разоблачать всякие попытки классовых врагов оказать свое разлагающее влияние на школу, на дело воспитания молодого поколения.

Она требует затем от советского педагога любви к своему делу, любви к детям, чуткого и внимательного отношения к их интересам и запросам.

Она требует максимальной вооруженности, мобилизованности педагога к каждому уроку, строго критического отношения к своей работе, постоянного контроля, анализа каждого шага в этой работе.

Она требует, наконец, от педагога непрерывного повышения его политического уровня, его научной квалификации, его педагогического мастерства.

Особенно трудна работа молодого педагога в течение первого года его педагогической деятельности. Этот первый год потребует от него громадного напряжения его сил, тщательной подготовки к каждому уроку и анализа, проверки каждого проведенного урока.

Подготовка к работе должна начаться, конечно, еще до начала занятий в школе.

Что именно нужно проделать до начала учебных занятий?

1) В августе состоятся учительские конференции. Их должен максимально использовать молодой педагог для того, чтобы из докладов, прений по ним, высказываний опытных педагогов-практиков, из личных бесед с ними получить ответы на все неясные для него вопросы.

2) Необходимо внимательно прочитать полностью учебник, по которому придется вести преподавание, чтобы иметь ясное представление о его объеме, содержании, структуре, методе изложения, языке и пр.

3) Прочитать и продумать те главы из методик, которые трактуют об общеметодических и организационных вопросах преподавания, как-то: о планировании урока, об учете, о контрольных работах, о наглядных пособиях и т. п. Использовать для этого не только вышедшие в наши дни методики, но и старые, которые окажется возможным достать.

В этом же направлении надо использовать и другую методическую литературу. Так, книга «Материалы совещания преподавателей математики средней школы» (март — апрель 1935 г.) содержит значительное количество докладов по общеметодическим и методологическим вопросам.

В нашем журнале можно указать на следующие статьи на аналогичные темы.

1. Стальков. Домашние задания по математике, 1934 г., № 2.

2. В. Бедловский. Идея функциональной зависимости величин в математике средней школы, 1934 г., № 4.

3. Г. Стальков. Ведение тетради по математике, 1935 г., № 3.

4. Проф. Н. Четверухин. Вопросы элементарной геометрии и ее преподавания, 1935, № 4.

5. Проф. И. Кавун. Методы преподавания математики, 1935 г. № 4.

6. Ф. Нагибин. Развитие глазомера на уроках математики, 1935 г. № 4.

7. Проф. А. Астряб. Почему трудно решать геометрические задачи на вычисление, 1935 г., № 5.

8. В. Падучев. Борьба с небрежной записью на уроках математики, 1935 г., № 6.

9. В. Репьев. Как учить читать математическую книгу, 1931 г., № 6.

10. Н. Кувыркин. О некоторых математических приборах для средаей школы, 1936 г., № 1.

11. В. Падучев. Как рационализировать урок с геометрическим доказательством теорем, 1936 г., № 2.

12. В. Репьев. Устные занятия в курсе алгебры, 1936 г., № 3.

13. Г. Стальков. Письменные контрольные работы по математике в средней школе и методика исправления их.

14. В. Репьев. О проверке домашних работ по математике, 1936 г., № 5.

15. И. Браун. Основные типы арифметических задач, 1936 г., № 5.

16. В. Шевченко. Вопросы элементарной математики, способствующие развитию математического мышления, 1937 г., № 1.

17. И. Кувыркин. Устные вычисления в старших классах, 1937 г., № 1.

18. Г. Машков. Дидактика урока по геометрии, 1937 г., № 5 и др.

4. Проверить «материальную часть»—наглядные пособия, таблицы, методическую литературу, литературу для учащихся. Озаботиться своевременным пополнением.

5. Наконец, нужно заблаговременно составить рабочий поурочный план занятий на первую четверть.

Тщательная подготовка к каждому уроку обязательна для каждого педагога.

Из каких элементов состоит эта подготовка?

1. Прежде всего необходимо изучить и проанализировать относящийся к теме данного урока текст учебника. Соответствуют ли объем и содержание текста требованиям программы (это не всегда бывает)? Насколько ясно и удобопонятно для учеников изложение? Насколько точны и ясны даваемые учебником формулировки? На основе этого анализа нужно внести соответствующие изменения и поправки. Некоторую помощь в этом отношении окажут помещенные в №№ 1—5 нашего журнала за настоящий год критические статьи об учебниках: геометрии — Гурвица и Гангнуса, тригонометрии — Рыбкина, арифметики—Попова и задачнике по алгебре Шапошникова и Вальцова. В дальнейшем будут даны статьи об остальных стабильных учебниках.

2. Наметить упражнения и задачи отдельно для классной работы и для задания на дом. Кроме необходимого минимума, нужно наметить некоторое добавочное количество задач для лучших учеников, а также на тот случай, если намеченного минимума оказалось недостаточно для отчетливого усвоения теории. Все задачи обязательно прорешать самому до конца. Последнее особенно важно потому, что, как показывает опыт, даже лучшие учителя на самой, на первый взгляд, простой задаче иногда по самым разнообразным причинам (вплоть до опечатки в тексте или в ответе) натыкаются на неожиданности, теряются, и урок в значительной мере срывается, не говоря уже о чрезвычайно неловком положении преподавателя. Даже то, что данная задача решалась уже преподавателем и учениками в прошлом году, не освобождает от обязанности решить ее на этот раз (можно забыть детали решения, возможны изменения или опечатки в новом издании и т. п.).

3. Прочитать главы методик, относящиеся к данной теме. Использовать и другую доступную методическую литературу.

В нашем журнале можно указать на следующие более или менее крупные статьи, относящиеся к тематике первой четверти.

1. В. Снигирев. Буквенные выражения, 1934 г., № 1 (VI кл.).

2. Е. Березанская. Алгебраические дроби с одночленными знаменателями, 1934 г., № 2 (VII кл.).

3. Д. Волковский. Зависимость между членами арифметических действий, 1934 г., № 3. (V кл.).

4. Шевченко. Преподавание второго концентра тригонометрии, 1935 г., № 1 (IX кл).

5. М. Осмоловский. К проработке темы о логарифмах, 1935 г., № 3 (IX кл.).

6. В. Матышук. Учение об иррациональных числах в средней школе, 1935 г., № 5 (VIII кл.).

7. В. Матышук. Учение о логарифмах в средней школе, 1936 г., № 1 (IX кл.).

8. Г. Сагалович. Методика процентных вычислений, 1936 г., № 2 (VI кл.).

9. М. Горнштейн. Действия над корнями, 1936 г., № 2 (VIII кл.).

10. И. Браун. Задачи на построение в средней школе (дает методы решения задач на построение и распределение их по всему курсу), 1936 г., № 4.

11. И. Теребенин. Приемы быстрого возведения в квадрат и извлечение квадратного корня, 1937 г., № 1 (VIII кл.).

12. И. Польский. Иллюстрация формул приведения тригонометрии при помощи синусоиды и косинусоиды, 1937 г., № 2.

13. Н. Попов. О методике группировки, 1937 г., № 3 (VII кл.).

4. Составить план урока. Распределить ориентировочно по времени каждую часть его (повторение предыдущего, объяснение задачи, опрос и пр.); учесть недоработанное на предыдущем уроке; наметить учеников для вызова к доске; наметить вопросы, которые нужно задать для возобновления в памяти пройденного материала или для закрепления нового.

5. Проверить наличие и состояние наглядных пособий, подготовить их для демонстрации на уроке.

Таковы основные моменты подготовки к уроку. Конечно, это только схема. Практически для того или иного урока добавляются некоторые другие моменты (например, если на данном уроке нужно раздать и проанализировать письменные работы учащихся и т. п.).

Совершенно необходимой, особенно для молодого педагога, является запись проведенного урока. Что проделано, выполнен ли план урока, что пришлось изменить в нем, какие дефекты плана или изложения нового материала выявились на уроке и т. д. Эта запись послужит отправным пунктом для планирования следующего урока, а в дальнейшем даст прекрасный материал для накопления опыта и повышения качества преподавания.

К преподавательской деятельности, более чем к какой-либо иной приложимо изречение: «кто не идет вперед, тот двигается назад». Преподаватель должен непрерывно повышать свой теоретический и педагогический уровень. В противном случае он отстанет от жизни, преподавание, базируясь на одном и том же материале, застынет, превратится в рутину, казенщину, что, конечно, не может не отразиться на его результатах. Преподаватель должен следить за вновь выходящей математической литературой, требовать выписки ее в школьную библиотеку, покупать наиболее близкую и нужную для его работы. На страницах нашего журнала периодически, а начиная с № 4 настоящего года, в каждом номере даются краткие аннотации к вновь выходящей литературе. Из журналов можно указать на «Математическое просвещение», дающий теоретические статьи из области средней и элементов высшей математики.

Каждый преподаватель должен твердо помнить, что он является одновременно и воспитателем своих учеников. Поэтому, воспитательные моменты должны составлять органический элемент каждого урока. Воспитать в молодом поколении любовь к своей социалистической родине, ненависть к ее врагам внешним и внутренним, ненависть и презрение к изменникам и предателям дела социализма, к японо-германским шпионам — троцкистским и правым контрреволюционерам, готовность встать в любой момент на защиту рабочего государства, — все это преподаватель обязан воспитать в каждом ученике. Наша действительность на каждом шагу дает богатый материал для такого воспитания. Новая Советская Конституция, завоевание Северного полюса, перелет Чкалова, подвиги наших пограничников, деятельность ребят, живущих около границы, грандиозное строительство в Советском союзе, рекорды стахановцев, положение трудящихся в фашистских странах и пр., и пр.,— все это может быть использовано педагогом, в том числе и преподавателем математики для указанной цели. При планировании урока преподаватель должен подобрать соответствующий материал, использовывая его для упражнений и задач или в качестве иллюстрации при объяснении теории, или в качестве специальной темы для кружковых занятий и т. п.

Но, чтобы выполнить эту задачу, преподаватель сам должен обладать достаточно солидным политическим развитием. Поэтому повышение своего политического уровня обязательно для каждого педагога. Это должно выражаться не только в чтении газет. Последнее необходимо для преподавателя не только как источник сведений о событиях в области политики и экономики в Советском союзе и других странах; газета для него необходимый рабочий инструмент. Преподаватель сверх этого должен следить за выходящей политической литературой, повышать свои знания в политической экономии и истории партии, изучать классиков марксизма-ленинизма.

В заключение хотелось бы отметить, что редакция журнала «Математика в школе» с удовольствием окажет посильную помощь молодому педагогу в разрешении недоуменных для него вопросов из области преподавания математики.

Товарищеский привет новому отряду молодых педагогов, отдающих свои силы почетному делу воспитания будущих творцов коммунизма.

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ КОНСТРУКТИВНЫХ ЗАДАЧ ГЕОМЕТРИИ ТРЕУГОЛЬНИКА

В. Б. ФУРСЕНКО

1. Предмет теории геометрических построений

Содержание теории геометрических построений, как известно, складывается главным образом из описания методов геометрических построений (инструменты и способы их применения для решения тех или иных задач). Наиболее развитой является теория методов геометрических построений с применением циркуля и линейки. Несмотря на наличие обширных исследований, посвященных разбору геометрических построений при помощи одной линейки (Штейнер), одного циркуля (Маскерони), двусторонней линейки, постоянного угла, линейки и постоянного отрезка, биссектора (Фельдблюм), все же в настоящее время под геометрическими построениями понимают построения, совершаемые при помощи циркуля и линейки, и в нашем изложении всюду, где мы будем говорить о геометрических построениях, за исключением мест специально оговоренных, следует понимать геометрические построения циркуля и линейки. Главной задачей теории геометрических построений является описание методов построения. В связи с нею рассматривается еще ряд вопросов. Прежде всего возникает вопрос об исследовании области применения средств построения (инструментов), т. е. выяснения того, какие задачи можно решить каждым из них в отдельности, какие же помощью нескольких. Непосредственным развитием этого вопроса являются доказательства невозможности решения некоторых задач при пользовании определенными инструментами. Ф. Энрикес высказал следующее положение: «не существует абсолютно неразрешимых задач, но есть лишь относительно неразрешимые» . Нас будет интересовать вопрос о том, какие задачи неразрешимы циркулем и линейкой.

Теория геометрических построений рассматривает также вопрос о классификации геометрических задач. Если в основу классификации положен принцип свойств искомой фигуры, то задачи распределяются на визуальные, метрические, проективные. Если в основу классификации кладутся те уравнения, к которым приводится решение задачи, то говорят о задачах трансцедентных и алгебраических первой, второй, третьей, четвертой и высших степеней. В связи с этим можно классифицировать задачи по роду кривых, которые вычерчиваются при решении задач, а следовательно, и по роду инструментов, при помощи которых задача может быть решена: говорят о задачах из геометрии прямой, из геометрии циркуля, из геометрии эллиптического циркуля и т. п. Наконец, в основу классификации могут быть положены сами искомые фигуры, т. е. можно говорить о задачах на построение треугольников, параллелограмов, окружностей и т. п. Именно, классификация по этому признаку является наименее совершенной, хотя можно указать много сочинений, в которых задачи распределялись по данному признаку. В нашем исследовании мы будем говорить о задачах на построение треугольников при помощи циркуля и линейки, причем в основу систематизации будет положен лексикографический принцип, чем и достигается совершенство в классификации задач данного типа.

Теория геометрических построений в последнее время уделяет большое внимание вопросу о точности построений (учет вероятных погрешностей, теория приближенных построений, геометрография). Эти вопросы менее всего разработаны. Особенно, геометрография, учение о наипростейшем решении, основоположником которого можно считать Лемуана, представляет собой отрасль науки, совершенно не разработанную, так как до сих пор не указано ни одного метода разыскания геометрографического решения, ни одного практически применимого критерия для суждения о том, является ли данное решение геометрографическим.*

* Хотя доказано, что если известно одно из решений, то геометрографическое решение может быть найдено путем конечного числа испытаний.

В связи с этим предлагаемые нами решения конструктивных задач геометрии треугольника ни в коей мере не претендуют на то, чтобы считаться геометрографическими.

Как видно из приведенного перечня основных вопросов теория геометрических построений является самостоятельной отраслью математики, богатой разносторонним и весьма интересным содержанием и разработанной далеко еще не в полном объеме*.

2. Значение теории геометрических построений

Значение теории геометрических построений не всегда правильно понимается.

Элементарная формулировка конструктивных задач и то обстоятельство, что решение их требует обычно некоторой сообразительности, нередко возводится в основной признак, характеризующий значение геометрических построений. Геометрические построения рассматривают только как средство развития сообразительности учащихся средней школы, а отсюда вытекает либо то, что подбор задач, предлагаемых для решения в средней школе, носит случайный характер, либо то, что задачи на построение по причине их относительной трудности вовсе исключаются из школьной практики.

Таким образом, непонимание истинного значения геометрических построений, сведение их на ряд занятных головоломок, обуславливает в значительной мере то, что место, занимаемое ими в школьном преподавании, все еще остается неопределенным, и официальная программа средней школы высказывается по этому вопросу также еще не вполне внятно.

Геометрические построения при помощи циркуля и линейки имеют главным образом теоретическое значение. Практическое применение (в черчении) имеют лишь самые элементарные построения, дай то многие из них проводятся не так, как это указывается теорией. При практическом черчении применяется и двусторонняя линейка (для проведения параллельных) и подвижной прямой угол и даже транспортир, т. е. прибор, который делает легко разрешимыми практически задачи, теоретическая неразрешимость которых циркулем и линейкой доказана (трисекция угла и т. п.).

Известный результат Эйлера «Если р есть простое число, то деление окружности на р частей возможно только при условии, если р = 22П+ 1» имеет только теоретический интерес. «Практика от этого ничего не выигрывает», говорит по поводу результата Эйлера Ф. Клейн и, действительно, уже при п = 3, /? = 257, при л = 4, /? = 65537, дальше числа возрастают с еще большей быстротой. Если бы понадобилось практически построить 257-угольник или 65 537-угольник, то вряд ли кто-нибудь воспользовался бы предоставляемой теоремой Эйлера возможностью выполнить это построение с помощью циркуля и линейки. Равным образом, трудно допустить, чтобы невозможность деления окружности на 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 27, 28, 29 и т. д. частей, остановила бы кого-нибудь от решения этой задачи путем подбора хорды соответственной длины методом испытаний.*

Замечание Ф. Клейна по поводу гауссовых исследований всегда следует иметь в виду, когда речь идет о практическом значении геометрических построений.

Теоретическое же значение геометрических построений можно выяснить, проследив применение этой теории в смежных областях математики.

Прежде всего можно упомянуть о роли геометрических построений в решении некоторых экстремальных задач, разыскании некоторых экстремальных свойств изучаемой функции.** Для этого достаточно придать геометрический смысл изучаемой зависимости и выполнить построение, отвечающее указанному геометрическому смыслу. Соответственное экстремальное свойство обычно немедленно вытекает из условий, при которых выполнимо данное геометрическое построение.

Решение нелинейных систем уравнений, приводящее к громоздким вычислениям, если решение проводится алгебраическими методами, путем методов геометрических построений во многих случаях значительно упрощается. Например система

допускает изящное геометрическое решение

* Невзирая на то, что вопросам построений элементарной геометрии посвящаются научные математические диссертации. Fеldblum, Ueber elementar geometrische Konstruktionen, Goettingen, 1899.

* Известно, например, весьма простое приближенное построение правильного вписанного семиугольника, когда его сторона принимается равной половине стороны правильного вписанного треугольника.

** См. И. Александров, Геометрические методы разыскания минимумов и максимумов, ВОФЭМ, 1891, стр. 69.

в то время, как алгебраическое решение этой системы крайне громоздко.

Также просто решается система*

Обычное алгебраическое решение достаточно сложно.

Большое значение имеют геометрические построения при решении вопросов об условиях равенства и подобия геометрических фигур. Построив изучаемую фигуру, нетрудно вывести из анализа данных, необходимых для построения и исследования количества получаемых решений, условия равенства изучаемых фигур. Равным образом, отбросив некоторое число линейных данных, нетрудно установить и условия подобия фигур.**

Геометрические построения представляют мощное орудие математического исследования. Только недостаточной популярностью теории геометрических построений можно объяснить недостаточное ее использование.

3. О разрешимости конструктивных задач

Неразрешимость некоторых задач теории геометрических построений послужила поводом глубочайших исследований, посвященных выяснению природы числа и явилась толчком к развитию тонкого и сложного математического аппарата.

Известные исторические задачи: квадратура круга, трисекция угла и задача об удвоении куба являются задачами теории геометрических построений. Первая из них привела к доказательству трансцендентности числа тт. Вторая и третья нашли свое решение в современной алгебраической теории полей.

В современном своем положении теория геометрических построений теснейшим образом связана с теорией Галуа. Вопрос о возможности того или иного построения равносилен вопросу о разрешимости известного класса уравнений в квадратных радикалах, ответ на который может дать теория Галуа. С другой стороны, если установлена возможность геометрического построения, отвечающего известному классу уравнения, то этим самым решен вопрос о разрешимости данного класса уравнений в квадратных радикалах, что не менее важно, так как применение теории Галуа к уравнениям высших степеней практически почти невозможно.

Другой путь решения вопроса о возможности того или иного построения, указанный Петерсеном*, требует обширных исследований в области аналитической геометрии. Основная теорема Петерсена «Если построение точек пересечения или касания некоторой кривой с произвольной прямой выполняется циркулем и линейкой, то кривая есть коническое сечение» при своем применении требует исследования кривых высшего порядка, а также трансцендентных кривых.

Задача провести между двумя заданными прямыми через заданную точку отрезок заданной длины приводится к изучению свойств конхоиды, в результате чего оказывается, что, будучи вообще неразрешимой, эта задача допускает решение, если заданная точка лежит на биссектрисе угла, определяемого данными прямыми и в этом частном случае задача равносильна построению треугольника по углу, биссектрисе угла и противолежащей стороне.

Многие задачи на построение треугольников, содержащие в числе данных биссектрисы, приводят к изучению косой строфоиды. Эта кривая довольно сложной структуры вообще еще мало изучена, почему и решение задач на построение треугольников, содержащих в числе данных биссектрисы, оказывается более затруднительным, чем решение задач, содержащих в числе данных другие элементы треугольника. Значительная часть этих, задач вообще неразрешима. Вопросам, связанным с вычислением и построением биссектрисы, посвящено не мало статей** и мы решительно не понимаем, каким образом автор статьи «Задачи на построение в средней школе» И. Браун, помещенной в № 4 журнала «Математики и физики в средней школе», рекомендует для учащихся VI класса задачу о построении треугольника по биссектрисе угла, углу и противолежащей стороне, задачу, известную под именем задачи Паппуса, предложенную, между прочим в 1915 г. для читателей ВОФЭМ, что уже является веским показателем ее трудности. В тексте мы приводим решение этой задачи. Данное решение

* Билимович, Геометрические приемы решения алгебраических уравнений в «Журнале элементарной математики», т. I, 1887, стр. 246.

** И. Александров, Разыскание условий равенства и подобия с помощью геометрических задач на построение, ВОФЭМ, 1891, стр. 204.

* См. Petersen, I., Om Ligniger, der kunne loses ved kvadratrod. Kopenhagen.

** Lauverna y, M. E., Le calcul de la bissectrice, «1. d. m. E.», 1894, № 1 Maurice, M. L, Longuer de la bissectrice dans un triangle, «Mathesis», 1894, № 4 V. Cavallano, Formole che derivafio dai rapporti tra segmenti determinati da bissectrici, «Il Pitagore», 19l5,XXI, 3.

не может быть объяснено учащимся VI класса, но нам неизвестно более простое решение.

4. Характеристика сборников конструктивных задач

Как известно, существует достаточное количество всякого рода задачников, содержащих задачи на построение, а нередко и их решения. Эти задачники можно подразделить на три группы. Первая группа содержит задачи, распределенные по их «материальному» содержанию (задачи на построение отрезков, углов, треугольников, четыреугольников, кругов и т. п.). Вторая группа содержит задачи, распределенные по методам решения (метод геометрических мест, подобия, алгебраический и т. п.). Наконец, третья группа содержит задачи, распределенные по так называемому «педагогическому» принципу, т. е. в полном хаосе, так как в области теории геометрических построений нам не пришлось найти ни одной серьезной, ни одной* заслуживающей внимания методической статьи, в которой приводились бы научно обоснованные принципы установления порядка постепенного прохождения задач на построение.

Ниже мы приводим аннотированный список важнейших книг (в том числе и зазадачников) по теории геометрических построений.

Надо отметить, что ни одна из приведенных нами групп (о третьей говорить не приходится) с точки зрения выдержанности принципа, положенного в основу составления задачника, не может быть признана удовлетворительной.

Если в основу положено материальное содержание задачи, то этот принцип не выдерживается в силу того, что авторы стремятся приноровить задачник к потребностям средней школы, где развивающийся курс геометрии предоставляет все новые методы для решения задач с материальным содержанием, уже рассмотренным ранее. В результате этого получается своеобразный концентризм и мы находим, например, три главы о построении треугольников (в элементарных построениях, после учения о подобии и после учения о площадях).

Если в основу положены методы решения, то этот принцип также не выдерживается, потому что одна и та же задача решается многими методами. Творцами теории распределения задач по методам решения являются Петерсен и Александров. Приведем мысли И. Александрова, высказанные им в защиту своего принципа распределения задач.

«Что почти каждая задача решается многими, способами, то это ничему не мешает. В геометрии можно указать очень хорошие задачи, которые решаются семью способами и даже более, и это ничуть не мешает задаче быть в том или другом отношении типичной. Напротив, появление нескольких решений одной задачи дает лишний шанс как автору задачника, так и преподавателю и ученику обнаружить зоркость и находчивость в выборе простейшего способа и уменьи сравнить методы в отношении простоты и типичности решения. Само собою разумеется, что учащимся должна быть предоставлена полная свобода в выборе решения — опыт показывает, что такая свобода вполне совместима с изучением методов.*

Нам кажется, что эти слова, высказанные классиком геометрических построений И. Александровым, говорят против пропагандируемого им принципа распределения. Действительно, если «учащимся должна быть предоставлена полная свобода в выборе решения», то принцип распределения задач по методам решений должен быть категорически отброшен, так как самый факт помещения задачи, например, в отделе «метод подобия» уже уничтожает свободу в выборе решения, требуя применения метода подобия, а не какоголибо иного.

Нам представляется, что единственно правильным распределением планиметрических задач на построение был бы такой:

1) элементарные построения;

2) небольшое количество подробно разобранных задач, расположенных по методам решения (не свыше пяти-шести на каждый метод);

3) задачи на построение треугольников по его элементам;

4) задачи на построение четыреугольников по его элементам;

5) задачи на построение кругов, касательных к прямым или данным кругам;

6) задачи на построение правильных многоугольников;

7) задачи на рассечение площадей;

8) задачи положения.

Задачи внутри отделов 3—8 должны быть расположены лексикографически.

Список элементарных построений нами приводится ниже. Из методов решения мы

* Хотя написано их не мало.

* «Математическое образование», 1915 г. стр. 208.

упоминаем только о тех, которые применяются при построении треугольников. Основное же содержание нашей работы складывается из лексикографически расположенных решений задач на построение треугольников.

5. О значении задач на построение треугольников

Почему мы остановились именно на разделе «Треугольники»? То обстоятельство, что разделы 4 и 5 уже в известной мере разработаны другими авторами*, конечно, имеет некоторое значение, но главное не в этом. Мы считаем, что раздел «Треугольники» вообще является самым главным разделом планиметрии, и фигура треугольник является важнейшей из плоских прямолинейных фигур**.

Не только всякий многоугольник может быть разложен на треугольники, а следовательно, построение всякого многоугольника приводится к построению сети треугольников (триангуляция), но многие задачи, которые казалось бы, ничего общего с треугольником не имеют, также приводятся к построению треугольника.

Такова, например, задача «Дана окружность радиуса г и ее центральный угол А. Требуется провести касательную так, чтобы часть ее между сторонами угла была данной длины а». Эта задача решена, сколь скоро построен треугольник по основанию а, углу А и высоте ha = r.

Задача. «Построить в круге О хорду ВС=а так, чтобы она касалась круга радиуса AD = hay имеющего центром точку А и делилась пополам концентрическим кругом радиуса AM = таъ равносильна задаче «Построить треугольник по радиусу описанного круга и медиане и высоте, исходящим из одной вершины».

Кроме того, задачи на построение треугольников содержат все необходимое и достаточное для развития теории геометрических построений в средней школе*. Приведем по этому поводу выдержки из статьи А. Рорберга о теории геометрических построений в довоенной немецкой средней школе**. По мнению А. Рорберга «собственные задачи на построение» распределяются следующим образом (разрядка всюду наша. — В. Ф.).

«Простейшие построения треугольников те, при которых даются стороны и углы... На прохождение этой группы задач следует употребить возможно больше времени: задачи эти принесут в изобилии плоды при всем дальнейшем преподавании геометрии...

В следующей группе задач, кроме сторон и углов задаются также биссектрисы, медианы и т. д.

Следующими задачами являются построения четыреугольников, которые сводятся к построению треугольников.

Следующую ступень по степени трудности составляют задачи, в которых требуемые вспомогательные треугольники образуются только после проведения вспомогательных линий.

К прохождению окружности примыкают построения треугольников, в которых, как данные величины, входят радиусы кругов описанного, вписанного и вневписанных, а также величины s, s — а, 5 — b, s — с

Эти задачи не очень поучительны, так как с нахождением вспомогательного треугольника уже преодолеваются все трудности. Можно поэтому ограничиться очень небольшим количеством этих задач. Зато следует обратить особое внимание на построение самых кругов, касательных и секущих...

Материал для упражнений следующей группы доставляется учением о равновеликих фигурах... Заключение составляют построения треугольников, площадь которых есть одна из данных величин.

* И. Александров, О построении параллелограмов «Математическое образование», М. 1912 г. (содержит описание композиции и решения задач соответственного содержания).

В. Шифф, Методы решения вопросов элементарной геометрии, СПБ, 1894 г. (содержит решения всех возможных десяти основных задач на построение кругов).

** В последнее время развилась даже специальная наука «Новая геометрия треугольника» (Géométrie récente du triangle), основное содержание которой складывается из теории так называемых чевиан, т. е. трансверсалей, пересекающихся в одной точке и делящих противоположную сторону в отношении степеней сторон. Простейшими из чевиан являются медианы и биссектрисы треугольника.

Другое направление в науке о треугольнике представляется тригонометрией.

О важности исследований в области треугольников говорят и ежегодные рефераты Е. Vigaire, «Les progrés de la géométrie du triangle», помещаемые в журнале Longshamps'a.

* С добавлением некоторого числа задач на построение кругов.

** А. Рорберг, Систематическое распределение и последовательное прохождение геометрических задач на построение в немецкой средней школе. Перевод А. К. Сушкевича, «Математическое образование», 1914 г. стр. 175.

Последняя большая глава начинается задачами, в которых применяется учение о пропорциональности. Учение о подобии треугольников приводит к методу подобных фигур... По этому методу не нужно решать слишком много примеров, потому что прием, заключающийся в построении подобного треугольника скоро усваивается учениками, и больше в этих примерах ничего нового не остается.

При большом выборе задач для средней ступени рекомендуется, чтобы пройти возможно большее их количество, не все задачи заставлять разрабатывать письменно».

Более яркого и убедительного подтверждения моей мысли об исключительной важности задач на построения треугольников вряд ли нужно искать*.

6. О лексикографическом принципе изложения

Переходим теперь к описанию структуры нашей работы. Как уже выше неоднократно подчеркивалось, в основу расположения задач положен лексикографический принцип. Сущность его мы сейчас и выясним.

Прежде всего несколько слов о принятых в данной работе обозначениях.

Стороны треугольника обозначены буквами а, Ьу с.

Противолежащие им углы — буквами А, В, С (этими же буквами обозначены вершины треугольников).

Соответственные высоты—буквами /га, А6, hc.

Соответственные медианы — буквами та>

Соответственные биссектрисы — буквами Ьа, Ьв, Ьс.

Радиус описанного круга — буквой R. » вписанного круга — буквой г.

Радиусы вневписанных кругов, касающихся соответственно сторон а, Ь, с обозначаются буквами га9 г6, гс.

Периметр треугольника обозначается через 2р.

Площадь треугольника обозначается через

Отрезок, определяемый точками А и В% равно как и длина этого отрезка обозначается через AB. Если на прямой необходимо указать ее направление (например, восставить или опустить перпендикуляр, продолжить прямую в ту или другую сторону), то это направление вполне определяется порядком букв, обозначающих концы отрезка.

Угол обозначается одной буквой у его вершины или тремя буквами как обычно. Угол между прямыми gl9 и g2 обозначается (ft. ft)

Лексикографическая последовательность установлена следующая: а, Ьу с, А, ß, С, аа« К ho та> тъ> тс> ЬА, Ьв, be, R, г, га, гь> гс А. Общее количество задач должно, казалось бы, оказаться равным ^?j = 1 540, однако все тождественные задачи (такие, например, как a, bf ha; bt с, hb\ b, с, hc и a, b, hb или a, А, ть и я, А, тс) представлены только в одном варианте, почему общее количество задач сокращено до 350, из коих 247 не решено ни в одном учебнике и ни в одном известном мне задачнике, изданном на русском, немецком, французском и английском языках и, насколько мне думается, и ни в одном журнале*. Эти числа красноречиво говорят о том, что авторы издававшихся до сих пор учебников и задачников стояли на неправильном пути, когда подбирали задачи. В самом деле, все возможные задачи на построение треугольников по его элементам проявляется всего лишь в 350 существенно различных вариантах и из этого числа помещено в учебниках и задачниках всего лишь 103 задачи, что составляет каких-нибудь 29%. Это при наличии свыше 25 сборников задач на одном только русском языке, причем некоторые из них содержат до 5 000 задач.

7. Равнобедренные и прямоугольные треугольники

Так как построение равнобедренных и прямоугольных треугольников не всегда может быть рассматриваемо как частный случай построения остроугольного разностороннего треугольника, в силу того, что нередко свойство равнобедренности или наличие прямого угла является предельным значением

* Задачам на построение треугольников уделяется не мало места в сборниках. Например, в сборнике А. Н. Глаголева из 2675 планиметрических задач 1139 посвящено построению треугольника. И все же громадное количество задач на построение треугольников ни разу не освещалось в мировой математической литературе, почему в нашей работе встретится немало задач, которых никто еще ни разу не рассматривал.

* Последнего не берусь утверждать, так как в провинциальных городах Европы и Америки различные учебные заведения и научные учреждения издают свои журналы, о части которых мне вообще ничего не известно.

возможности применения того или иного метода решения, то все задачи на построение равнобедренных и прямоугольных треугольников выделены особо.

В данной статье рассматриваются только остроугольные разносторонние треугольники, причем данный угол всегда предполагается острым. Это обстоятельство во избежание недоразумения всегда следует иметь в виду при анализе приводимого нами решения. В большинстве случаев изменение условия задачи в смысле замены острого угла тупым не вносит существенных изменений в решение, что станет особенно ясным из приводимой ниже таблицы непрерывных преобразований формул плоского треугольника (стр. 17).

8. Стадии решения задач на построение

Решение геометрической задачи многие авторы склонны распределять на отдельные стадии. Например, Д. Гика усматривает в решении конструктивной задачи пять стадий:

1) предположить задачу решенной и составить чертеж (гипотеза решения),

2) рассмотреть по чертежу, какие части фигуры даны, какие требуется найти и какая существует зависимость между искомыми и данными на основании известных теорем (анализ),

3) пользуясь зависимостью между искомыми и данными, найти искомые по данным (построение),

4) доказать, что найденные части фигуры удовлетворяют условиям задачи (синтез),

5) рассмотреть, сколько задача имеет решений и определить условия их возможности (исследование).

Адлер усматривает четыре стадии:

1) анализ геометрической задачи на построение,

2) выполнение построения,

3) доказательство правильности решения,

4) исследование.

Нам представляется, что решение задачи на построение, как и всякой задачи вообще, должно состоять только из одного, а именно из ответа на поставленный в задаче вопрос. В задаче на построение требуется указать последовательность проведения прямых линий и окружностей, в результате которых получится искомая фигура, если только соотношения между данными элементами позволяют это. Поэтому в наших решениях мы и приводим только построение. Вопрос о том, как получено это решение, может быть и представляет известный интерес, но полного ответа на этот вопрос быть не может. Если я привожу построение, меня могут спросить, а как я додумался до такого построения.

Ответ на этот вопрос дает так называемый «анализ», но этот ответ далеко не полон, так как если я скажу, что я пришел к данному построению на основании таких-то зависимостей между данными и искомыми, то следующим вопросом будет, а как я додумался до того, чтобы применить именно эти, а не другие зависимости. Если я отвечу, что я предположил задачу решенной и составил чертеж, то этот ответ будет вовсе неудовлетворительным, так как из того, что я предположил задачу решенной, вообще никакой пользы извлечь нельзя, а из составления чертежа обычно либо ничего непосредственно не вытекает, либо, если провести дополнительные линии, вытекает несколько зависимостей и весь вопрос заключается в том, какие именно дополнительные линии провести, как избрать ту или иную зависимость. Поэтому полный ответ на вопрос о том, как получено то или иное решение (т. е. построение) заключается в следующем: «я изучил основные методы построения и решил очень большое количество задач, в результате чего у меня выработался навык быстро находить прием решения путем сведения данной задачи к ряду задач, решенных ранее». Иногда (но отнюдь не всегда) в этих случаях помогает гипотетический чертеж, иногда полезен так называемый «анализ» в том узком смысле слова, который оно получило в теории геометрических построений, но в большинстве случаев ни то ни другое не является существенно необходимым.

Доказательство правильности решения обычно никаких трудностей не представляет. Для этого достаточно знать основные теоремы геометрии.

Что же касается исследования, то существенным является вопрос о возможности решения задачи при известных соотношениях между данными. Надо сказать, что обычно этот вопрос принадлежит к числу самых трудных и нередко решить задачу, т. е. указать построение, несравненно легче, чем выяснить все условия, при которых решение возможно. Этим объясняется то, что почти во всех задачниках (с решениями) исследование не приводится. Мы приводим в наших решениях ответ и на эти вопросы, так как считаем его важным*. Большую пользу

* Основатель теории геометрических построений Ю. Петерсен пишет: Для решения определенной задачи требуется: произвести построение, доказать его правильность исследовать его. Таким образом стадия «анализа» у Петерсена также признается несущественной. «Методы и теории...» Москва, 1892, стр. 1,

в поисках условий возможности могут оказать приводимые нами ниже формулы плоского треугольника. Трудность заключается в том, что условия возможности должны быть выражены в неравенствах, содержащих только данные элементы, а не линии и углы, получаемые из данных путем вспомогательных или дополнительных построений. Вот почему использование наших формул во многих случаях является совершенно необходимым.

9. О количестве решений

Кроме вопроса о возможности решения, нередко ставится вопрос о количестве решений. Этот вопрос мы оставили без ответа, так как решение его зависит от той точки зрения, с которой рассматривается тождественность решения. В самом деле при построении треугольника по двум сторонам а и Ь и радиусу R описанной окружности вообще может получиться восемь треугольников, если решать задачу следующим способом*. Описать окружность данным радиусом /?, вписать в нее данную хорду а и из точки пересечения хорды с окружностью радиусом Ь описать дугу до пересечения с окружностью R. Однако, легко видеть, что существенно различных здесь имеется лишь два решения. Если же отличать конгруентность от симметричности (чего современная научная геометрия не делает**, то получится четыре различных решения, а остальные четыре будут отличаться от первых лишь положением, что по условию задачи должно считаться несущественным, Более того, в некоторых частных случаях (Ь = с) задача будет иметь лишь одно решение, а если b > 2/?, то ни одного.

Пожалуй, наиболее важным будет вопрос о максимальном*** числе решений (считая симметричность отличной от конгруентности). При решении этого вопроса полезно пользоваться следующей таблицей.

а) Задача на построение имеет одно решение, если:

1) каждая точка определяется пересечением двух прямых.

2) каждая прямая определяется двумя точками;

б) Задача на построение может иметь два решения, если:

1) одна из искомых точек определяется пересечением прямых линий с парою прямых,

2) одна из искомых точек определяется пересечением прямой с окружностью,

3) одна из искомых точек определяется пересечением двух окружностей,

4) одна из прямых должна проходить через одну точку А и одну из точек В и С,

5) одна из прямых проходит через данную точку и касается данного круга;

в) Задача на построение может иметь четыре решения, если:

1) искомая точка определяется пересечением пары прямых с парой прямых,

2) одна из искомых точек определяется пересечением пары прямых с окружностью,

3) одна из искомых точек определяется пересечением прямой линии с двумя окружностями,

4) одна из искомых точек определяется пересечением окружности с парой окружностей,

5) каждая из двух искомых точек определяется пересечением прямой с парой прямых, или прямой с окружностью, или двух окружностей,

6) одна из искомых прямых касается двух окружностей,

7) одна из прямых должна проходить через две из четырех заданных точек, три из которых лежат на одной прямой,

8) одна из прямых проходит через данную точку и касается двух окружностей,

9) одна из прямых должна проходить через одну из данных двух точек и касаться данного круга,

10) каждая из двух искомых прямых должна проходить через некоторую точку и одну из некоторых двух других точек,

11) каждая из двух искомых прямых должна проходить через некоторую точку и касаться некоторого круга;

* При обычном методе построения два решения.

** Д. Гильберт, Основания геометрии (русский перевод А.В.Васильева) «Сеятель», 1923.

*** См. В. П. Ермаков, «Журнал элементарной математики», т. I, № 1. Киев, 1884.

г) Задача может иметь восемь решений, если:

1) одна из искомых точек определяется пересечением пары прямых с парой окружностей,

2) одна из искомых точек определяется пересечением пары окружностей с парою окружностей,

3) каждая из трех искомых точек определяется пересечением прямой с парою прямых или прямой с окружностью, или пересечением двух окружностей,

4) из двух искомых точек одна определяется одним из условий 1,2, 3, 4, пункта в, а вторая пересечением прямой линии с парою прямых, или пересечением прямой с окружностью или пересечением двух окружностей и т. д.

Выше указано максимальное число решений. Оно равно вообще 2П, однако, в частных случаях число решений может выражаться иначе. Например, задача имеет вообще четыре решения, если одна из искомых точек определяется пересечением прямой линии с двумя окружностями, однако, если прямая касается одной окружности и пересекает другую, или проходит через общую точку пересечения окружностей, не касаясь ни одной, задача имеет три решения. Если, далее, прямая касается обоих окружностей, или пересекает только одну, не встречая другую, или проходит через точки пересечения двух окружностей или касается одной из окружностей в их общей точке,— задача имеет два решения. Если, далее прямая касается одной из окружностей, не встречая другой или касается обеих окружностей в их точке пересечения, та же задача имеет только одно решение. Наконец, эта же задача не имеет ни одного решения, если прямая не встречает ни одной из окружностей.

10. О числе данных, определяющих треугольник

В связи с исследованием возникает вопрос о том, сколькими данными определяется треугольник. На этот вопрос обычно отвечают так: «тремя, если в число данных входит по меньшей мере одна сторона». Этот ответ правилен только в том случае, если остальными данными являются углы и еще некоторые, но не все элементы. Обычно, в число основных данных включаются высоты, медианы, биссектрисы, радиусы описанного, вписанного и внеписанных окружностей, периметр и площадь, и если исходит из такого расширенного понятия об элементах треугольника, то треугольник иногда не определяется тремя элементами, даже и в том случае, если в число данных входит одна сторона. Приведем основные случаи, когда треугольник не определяется тремя элементами \) А, В, С; 2) а, В, hc; 3) а, А, R; 4) А, га, г&; 5) Аа, гь> гс\ 6) г, р, д; 7) Ав, г, га; 8) А, га, 2р. Однако, как правило, треугольник вполне определяется тремя его элементами (т. е. существует конечное число существенно различных треугольников, обладающих тремя данными элементами). Поэтому, в нашем изложении мы рассматриваем все возможные комбинации из данных 22 элементов, взятых по три.

Не придавая особой важности* так называемому «анализу», как стадии решения задачи, мы, тем не менее, указываем в скобках у текста задачи методы ее решения.

11. Методы решения

Основных методов, применяющихся при построении треугольников, имеется четыре.

1) Алгебраический метод. Этот метод является наиболее мощным. Сущность его заключается в том, что величину, определяющую искомый результат, стараются выразить через данные величины, а затем строят полученное алгебраическое выражение. Нередко при этом в полученное выражение входят тригонометрические функции. Если полученное выражение является неприводимым уравнением степени, неравной 2П, то данная задача неразрешима.

Будучи самым мощным, т. е. почти всегда приводящим к цели, алгебраический метод имеет тот недостаток, что мы по необходимости вводим в чертеж посторонние линии, чем затемняется геометрический смысл полученного решения. Поэтому многие авторы, получив решение алгебраическим методом, стремятся затем истолковать полученное решение геометрически, т. е. придумать соответственный случаю «анализ». Таким образом, очень часто «анализ» не предшествует решению, а наоборот подыскивается после решения. Хотя эта затея является вообще бесполезной, тем не менее иногда в поисках приличного «анализа» можно натолкнуться на более простое (геометрографическое) решение. В этом отношении полезно помнить геометрическую трактовку некоторых алгебраических формул. Например, 1) формуле а2 Ь2 = с2 отвечает прямоугольный тре-

* Петерсен, Теория и методы, Москва, 1892 г., стр. 1.

угольник 2) формулам ab = cd или ab = c2 отвечают две пересекающиеся хорды круга, или две секущие, проведенные из одной точки или две прямые, пересеченные тремя параллельными. 3) Квадратное уравнение X2 + рх+ q2 — 0 при р < 0 <72 > 0 имеет два положительных корня, могущие быть истолкованы, как части диаметра \р\% на которые он делится перпендикуляром к этому диаметру, опущенным из точки окружности, или как две пересекающиеся хорды окружности, из которых хорда р делит пополам другую хорду 2q; 4) квадратное уравнение х- + рх + Я2 = 0 ПРИ Я2 <С 0 (что возможно) имеет один из корней положительный. Если при этом р>0, то корень истолковывается как внешний отрезок секущей, внутренний отрезок которой равен p, а касательная равна q, или, если \q\> — \р\, то как сторона треугольника, противолежащая углу вдвое меньшему угла против стороны \q\9 или как сторона треугольника, две другие стороны которого равны \р\ и \q\, если он отсекается диагональю от равнобочной трапеции, одна из параллельных сторон которой равна боковой стороне, а следовательно оставшаяся часть трапеции представляет со бою равнобедренный треугольник. 5) Если при этом /?<0> то корень означает длину секущей, внутренний отрезок которой равен |/?|, а касательная \q\, или как сторона треугольника, у которого внешний угол против стороны |^| вдвое больше внешнего угла против стороны xf или как сторона треугольника, две другие стороны которого равны \р\ и Mi если он отсекается диагональю от равнобочных трапеций, одна из параллельных сторон которых равна диагонали, а следовательно, оставшаяся часть трапеции представляет собою равнобедренный треугольник. Этих соображений обычно достаточно для того, чтобы отыскать «чисто геометрическое» решение, если корни получаются из уравнения степени не выше второй.

Задачи, решенные алгебраическим методом, мы отмечаем буквой (А).

2) Метод построения по частям. Этот второй по силе метод заключается в том, что задачу стараются свести к элементарным построениям или к ранее решенным задачам (последнее возможно при их лексикографическом расположении). Нередко при этом искомую фигуру преобразуют при помощи вращения, перекладывания или параллельного перенесения в другую, построение которой или части которой известны. Способы вращения, перекладывания и параллельного перенесения достаточно хорошо описаны у И. И. Александрова.

Метод построения по частям обозначается условно (П. П. Ч.).

3) Метод геометрических мест. Этот метод слабее двух описанных выше, однако, применяется он также довольно часто. Метод заключается в том, что данную задачу стараются свести к определению некоторой точки, определяемой двумя условиями, вытекающими из условий задачи. Если отбросить одно из этих условий, то второму будет удовлетворять бесчисленное множество точек, расположенных на некотором геометрическом месте. Если же отбросить второе условие и вернуться к первому, то также получится некоторое геометрическое место. Каждая из точек пересечения этих двух геометрических мест удовлетворяет требованиям задачи.

Перечень основных геометрических мест, применяющихся при построении треугольников помещен нами в списке элементарных построений. Символ (Г. М.— IV), помещенный в заголовке задачи, означает, что при решении ее использовано геометрическое место IV, т. е. биссектриса угла.

4) Метод подобия. Наиболее слабым методом, применяющимся в нашей работе весьма ограниченно (главным образом, в тех задачах, у которых в число данных входит два угла), является метод подобия. Сущность его заключается в том, что сначала строят фигуру, подобную данной, а затем увеличивают или уменьшают ее в требуемом отношении. Метод подобия сокращенно обозначается нами буквой (П).

Обилие методов решения геометрических задач на построение (некоторые авторы ухитряются доводить число их до двадцати) естественно вызывает вопрос, не существует ли единого общего метода, который всегда приводит к цели. Такой метод существует и заключается он в следующем. Пусть нам будет дано известное количество точек pv прямых gv отрезков прямых lt и окружностей сх. Назовем эти данные нам элементы элементами первого класса. Если нам требуется найти некоторую точку не содержащуюся среди рх и прямую отличную от gt и т. д., то проведем через точки р2 пересечения gt и ct и через точки pt новые прямые g2t на которых определятся новые отрезки /2 и из точек р2 вместе с точками pt как из центров опишем окружности с2 радиусами, равными 1Х и /2, получим элементы ръ g2, /2, с2 второго класса. Далее через точки /?3 пересечения g2 и с2

и через точки pi и р2 проведем новые прямые £з> на которых определятся новые отрезки /3, чем в свою очередь определятся новые окружности с3 и т. д. Испытывая последовательно все получаемые таким образом элементы, мы необходимо придем к искомым элементам, если только данная задача допускает решение.

Таким методом получается обычно геометрографическое решение.

Легко видеть, что этот метод, как и все «общие» методы страдает тем недостатком, что на практике он неприменим в большинстве случаев.

Если в числе данных имеется хотя один линейный элемент, независящий от остальных данных, то можно применить следующий метод, дающий иногда замечательные результаты. Метод этот принадлежит Петерсену.

Оставим в стороне данную линию и построим две какие-нибудь фигуры, удовлетворяющие остальным условиям; тогда получим два положения искомой точки х, например Xt и х2- Прямая х^2 должна пересекать оставленную в стороне линию в искомой точке, если геометрическое место точки х есть прямая. В противном случае, кроме точек хх и х2, строим новую точку х3. Если окружность, проходящая через точки хи х2 и х3 не пересечет данной линии в искомой точке, то построение двух новых фигур дает нам еще две точки х^ и х5. Точки пересечения линии, которую мы на время оставляли в стороне и конического сечения, проходящего через эти пять точек, можно определить посредством циркуля и линейки. Если же и эти точки пересечения не будут искомыми, то тогда данную задачу нельзя решить помощью циркуля и линейки.

Данный метод требует всего лишь пяти испытаний, поэтому его можно применять и практически, но при этом решение может оказаться сильно отличающимся от геометрографического.

12. Список элементарных построений

А. Операции Лемуана

1. Поместить ножку циркуля в данную или произвольную точку.

2. Описать окружность или ее часть при данной установке циркуля.

3. Приложить линейку к данной или произвольной точке.

4. Провести прямую вдоль установленной линейки.

Б. Более сложные построения

1. Провести произвольную прямую.

2. Провести прямую произвольной ориентации через данную точку.

3. Провести прямую через данную или произвольную точку под данным углом к данной прямой.

4. Провести прямую через две точки или соединить две данные точки прямой.

5. Провести прямую, параллельную данной прямой и отстоящей от нее на данное или произвольное расстояние.

6. Продолжить прямую неопределенно или в определенную сторону на неопределенную или определенную длину или до пересечения с другой прямой или кривой.

7. Отложить на данной прямой от данной или произвольной точки отрезок данной длины.

8. Разделить отрезок на заданное число частей или в отношении, заданном двумя другими отрезками, или повторить данный отрезок п раз.

9. Из данной или произвольной точки опустить на прямую перпендикуляр или восставить перпендикуляр к прямой из данной на ней или произвольной точкч на неопределенное или определенное расстояние или до пересечения с данным геометрическим местом.

10. Построить отрезок средний пропорциональный к данным двум отрезкам.

11. Построить отрезок четвертый пропорциональный к данным трем отрезкам.

12. Построить угол, равный данному углу, при произвольной или данной точке на произвольной или данной прямой по произвольную или по данную ее сторону.

13. Отложить на сторонах угла произвольные отрезки, произвольные равные отрезки, заданные отрезки одинаковой или разной длины.

14. Построить сумму или разность углов.

15. Построить угол дополняющий данный угол до прямого и до выпрямленного (180°) угла.

16. Разделить данный угол на 2п частей или повторить его слагаемым п раз.

17. Разделить прямой угол на три части.

18. Построить углы:

19. Построить биссектрису угла.

20. Описать окружность дачного или про-

извольного радиуса из данной или произвольной точки как из центра.

21. Описать окружность из данной или произвольной точки, проходящую через данную точку.

22. Описать окружность, проходящую через данные три точки, или, что то же, вокруг данного треугольника.

23. Продолжить данную дугу до пересечения с данной дугою или прямой, или дополнить ее до окружности.

24. Построить для данного треугольника, т. е. для треугольника, в котором известны три его стороны; высоты, медианы, биссектрисы, радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей, периметр и равновеликий квадрат.

25. Провести через данную или произвольную точку окружности ее радиус или диаметр, или хорду заданной длины.

26. Провести касательную из данной точки к данной окружности или к данной окружности в заданной на ней точке.

27. Провести общую касательную к двум данным окружностям.

В. Геометрические места Г. М. — I. Точек, равноотстоящих от данной точки.

Г. M — II. Точек, равноудаленных от концов отрезка.

Г. М. — III. Точек, равноудаленных от данной прямой, или, что то же, вершин равновеликих треугольников.

Г. М.—IV. Точек, равноудаленных от сторон угла, или ,что то же, центров окружностей, вписанных в данный угол.

Г. М.—V. Точек, делящих в данном отношении параллельные отрезки, проведенные в угле.

Г. М.—VI. Точек, из которых данный отрезок виден под данным углом (построить на данном отрезке дугу, вмещающую данный угол).

Г. М.—VII. Точек, сумма квадратов расстояний которых до двух данных точек M и N равна квадрату данного отрезка а (окружность радиуса— j/^a2—b2y где b —MNy с центром в середине отрезка MN) Г. М. — VIII. Точек, разность квадратов расстояний которых до двух данных точек M и N равна квадрату данного отрезка а (прямая перпендикулярная к отрезку MN в точке Е, определяемой равенством ЕМ2— —EN2—а2).

Г. М. — IX. Точек, расстояния которых до двух данных точек А и В находятся в отношении, определяемом двумя данными отрезками (окружность Аполония).

При решении задач мы ссылаемся на приведенные выше (Л, Б, В) элементарные построения, как на известные.

13. Список литературы (на русском языке).

Список касается литературы о геометрических построениях (в алфавитном порядке), вышедших отдельным изданием.*

1. Адлер А., Теория геометрических построений, Одесса, 1910. Лучшая книга на русском языке, посвященная данному вопросу (есть второе издание).

2. Александров И. И., Геометрические задачи на построение и методы их решения, М. 1936. Книга выходила под разными названиями в 1881, 1883, 1885, 1888, 1894, 1897, 1900, 1902, 1904, 1906, 1908, 1910, 1913, 1914, 1924 гг., непрерывно совершенствуясь. Последние два издания 1934 и 1936 г. значительно ухудшены редактором С. Ю. Калецким по сравнению с оригинальным изданием. Однако, все же эта книга, являясь наиболее полным сборником задач, не имеет себе равных в мировой литературе по этому вопросу.

Имеется сборник решений, выпущенный Фурманским к изд. 1904 г. в 1911 г. в Киеве, и содержащий решения всех задач I и II отделов на основе методов, указанных И. И. Александровым.

3. Берг М. Ф., Приемы решения геометрических задач на построение, М. 1928 (есть и последующие издания). Для лица, желающего серьезно ознакомиться с данным вопросом, книга М. Ф. Берга окажется мало интересной.

4. Борель, Геометрия, Одесса, 1912.

5. Буцевич А., собрание геометрических задач, построения по Векелю, Каталану, Рейноду и др. СПБ. 1874. Содержит 1 125 задач на построение (из коих 902 планиметрических) с пояснениями, данными по системе Векеля (см.), но несколько более распространенными; задачи распределены по отделам геометрии.

6. Векель, Сборник геометрических задач, или геометрия древних (русский перевод Дмитриева), СПБ., 1867. Содержит 850 задач на построение, распределенных по отделам курса планиметрии. При каждой задаче в виде намека на решение приведены ссылки на те предшествующие задачи, к которым можно привести данную задачу. Пользоваться этими указаниями лицу, не привыкшему к решению задач на построение, крайне затруднительно.

7. Воробьев А. Н., учебник начал математики, ч. II. Казань, 1897. Содержит сжатое изложение некоторых методов решения задач на построение. Обилие опечаток в этой книге делает ее почти невозможной для чтения. Задач не содержит.

8. Гебель В., Сборник геометрических задач на вычисление, построение и доказатель-

* Журнальной литературы не указываем ввиду ее изобилия. Равным образом и по той же причине не указываем литературу иностранных авторов, кроме переведенной на русский язык. Приводимый список далеко не полон, хотя основная литература в нем перечислена.

ство, M. Ш7 (есть позднейшие издания). Решений приводимых задач на построение в книге не содержится, почему для учителя эта книга бесполезна. Есть учебник геометрии того же аьтора.

9. Гика Д., Элементы геометрии, курс средних учебных заведений. В прибавлении содержит описание основных способов решения задач на построение, иллюстрированное примерами.

10. Гика Д., Геометрические задачи на построение и методы их решения, М. 1901. Содержит 495 задач на построение, снабженных более или менее подробными решениями и расположенных по методам решения. Обе книги Гика мало оригинальны, но написаны толково, ясно и поэтому заслуживают внимания.

11. Глаголев А. Н., Сборник геометрических задач на построение и краткий курс геометрии, М. 1890. Представляет собою по существу учебник геометрии, написанный весьма сжато. К учебнику приложено 2675 планиметрических и 722 стереометрических задачи. Из 2675 планиметрических задач 1139 задач на построение треугольника, из коих приведены решения только 27 задач. Задачи на построение треугольника содержат в главной своей части не самые элементы треугольника, а их функции (суммы, разности, отношения и т. п.). Отсутствие решений и сжатость курса делает эту книгу бесполезной.

12. Годнев, Элементарная геометрия, Симбирск, 1912.

13. Горст, Элементарная геометрия, Киев, 1911.

14. Давидов А. Ю., Элементарная геометрия. Известнейший курс геометрии, выдержавший много изданий. В книге содержится много интересных задач на построение.

Выпущены сборники решений различными лицами (Зихман, Мозгов, Фаворский, Крыжановский). Из них наиболее ценный сборник Крыжановского, содержащий текст всех задач (а не только их решения).

15. Делоне Б. и Житомирский О., задачник по геометрии, М. ОНТИ, 1935. Объемистый задачник не содержит ни одной оригинальной задачи на построение треугольника по его элементам, т. е. ни одной задачи, не помещенной в одном из распространенных задачников, вышедших ранее (упомянутых в данном списке). Наличие решений делает эту книгу полезной для учителя провинции, не имеющего возможности достать книги прежних изданий.

16. Долгушин, Систематический курс геометрии для средних учебных заведений, Киев, 1912.

17. Дюамель, Методы геометрии, СПБ. 1880. Содержит среди прочих главу «О решении задач», где излагаются обычные методы геометрических построений, причем изложение иллюстрируется задачами (из которых имеется лишь одна на построение треугольника).

18. Клейн Ф., Лекции по избранным вопросам элементарной геометрии, Казань, 1898. Классический труд, который должен быть изучен всяким лицом, интересующимся вопросами геометрических построений.

19. Киселев А. П., Элементарная геометрия. Известнейший курс геометрии, выдержавший множество изданий и бывший по существу стабильным учебником. Содержит большое количество задач на построение. Выпущены сборники решений Вроблевского (вышедшего в трех изданиях) и Фаворского (изд. 1915 г.).

20. Ковалевский В., Решения геометрических задач на построение, СПБ. 1903. Содержит подробные решения геометрических задач на построение, предлагавшихся на конкурсных испытаниях во втузах России.

21. Колца С, Сборник геометрических задач на построение и вычисление, Одесса, 1913. Содержит 67 задач на построение, из них 23 задачи на построение треугольников, без решений, задачи расположены по отделам геометрии. Книжка никакой ценности не представляет.

22. Крживицкий, Задачи на построение и теоремы для доказательств, М. 1908. Аналогичное издание вышло под псевдонимом М. О. Содержание обеих книжек покрывается задачником Шмулевича (см.).

23. Лемер Г., Методическое пособие к решению геометрических задач, М. 1907. Книга малоинтересная, так как не вносит ничего нового в изложенное в классических трудах Петерсена, Александрова и Адлера, и не может их заменить.

24. Лямин А., Задачи на построение, требуемые при испытаниях зрелости по программе Московского учебного округа с подробными решениями, М. 1912. В книге содержатся только самые элементарные задачи.

25. Малинин и Егоров., Руководство геометрии, М. 1886. Содержит задачи на построение, среди которых встречаются и оригинальные.

26. Некрасов П. А., Приложение алгебры к геометрии (в двух частях). Наиболее интересна вторая часть, так как в первой части значительное место отведено вопросам, имеющим к геометрическим построениям косвенное отношение. Вторая часть содержит 1505 задач с весьма краткими указаниями на способы их решения и то не ко всем задачам. Задачи расположены по системе, свойственной алгебраическому методу их решения. Книга очень интересна и должна быть изучена всяким, интересующимся геометрическими построениями. Написана книга трудно.

27. Петерсен Ю., Методы и теории решения геометрических задач на построение., Харьков, 1883. 2-е изд. Москва, 1892. Содержит 410 задач с более или менее подробными решениями к некоторым из них. Является первым (по времени) в мировой литературе систематическим руководством по теории геометрических построений, не потерявшим своего значения по сей день. Задачи расположены по методам их решения.

28. Петров В., Собрание геометрических задач и разбор геометрических мест, Уфа, 1904. Содержит задачи в объеме курса геометрии IV классов реальных училищ. Имеется несколько задач на построение треугольников (весьма элементарных).

29. Пржевальский Е., Собрание геометрических теорем и задач, М. 1901. Содержит большое количество интересных задач на построение, снабженных достаточно ясными решениями.

30. Рябков Г. З., Сборник геометрических задач на построение для средних учебных за-

ведений, Одесса, 1894. Содержит 4766 задач, расположенных по отделам геометрии.

Под названием «Опыт методики решения геометрических задач на построение» Г. 3. Рябков издал ключ к своему сборнику (отдел I—XVI). Наиболее трудные и интересные задачи, помещенные в последних отделах книги, в частности, отдел XVI], посвященный треугольникам, автор, к сожалению, оставил без решений.

31. Филипс и Фишер, Элементарная геометрия, СПБ. 1913. Интересный учебник геометрии, содержащий так же некоторое количество задач на построение.

32. Четверухин Н. Ф., Геометрические построения и приближения, М- 1935. Небольшая книжка, очень интересно написанная. Может служить прекрасным дополнением к книге Адлера (см.).

33. Шифф В., Методы решений вопросов элементарной геометрии. СПБ., 1894. В главе о гомотетии и о геометрических местах приводится несколько задач на построение. Решены основные десять задач на построение окружностей.

34. Шмулевич Н. К., Сборник задач, ч. III, Геометрия изд. VII. Среди прочих содержит 42 подробно решенных задачи на построение треугольника.

35. Энрикес Ф., Вопросы элементарной геометрии (русский перевод), СПБ. Physice. Книга Энрикеса вместе с книгами Клейна, Адлера, Петерсена, Александрова, Четверухина и Некрасова составляет необходимый минимум, который должен быть тщательно изучен лицом, интересующимся современным состоянием теории геометрических построений.

14. Список формул

Ввиду исключительной важности алгебраического метода и крайне низкой популярности основных формул, связывающих между собою элементы плоского треугольника, мы решили поместить важнейшие 207 формул. Расположены они лексикографически, вследствие чего разыскать нужную формулу в приложенной таблице не составляет особого труда.

Левая сторона таблицы содержит список элементов, входящих в формулу. На правой стороне содержатся сами формулы. При отыскании формулы надлежит сначала составить список элементов, входящих в формулу, затем расположить его лексикографически, найти этот лексикографически составленный список в левой части таблицы и выбрать одну из тождественных формул, записанных на правой стороне и содержащих данные элементы. Выбирать следует ту из тождественных формул, по которой легче вычислять значение неизвестного элемента по данным. В большинстве случаев для данного состава элементов приводится лишь одна формула.

Пусть, например, требуется найти зависимость, связывающую биссектрису угла Ву угол В и стороны а и с. Лексикографическая последовательность: а, с, В, bQ, что равносильно а, Ь, С, Ь5с. Формула (72) дает

Не приходится говорить о том, что данный список формул может быть использован учителем в качестве прекрасных задач для учащихся средней школы, а именно в качестве «задач на доказательство». Значительная часть этих формул ни в каких учебниках и задачниках не опубликована и доказательство их не всегда очень просто. Тем не менее, лучшим повторением тригонометрии в X классе явится доказательство этих 207 формул.

Некоторые формулы приводятся в двух видах (число их невелико). Таковы, например, формулы (6) sin ~2~ === ~\f [р “~— ^ и (7) 1 - cos С=^Г -легко выводящиеся одна из другой. Номер в скобках, поставленный в таких случаях у формулы, указывает, из какой формулы она может быть выведена непосредственно.

В заключение приведем способ преобразования формул, успешно применяемый в некоторых случаях, когда полученная формула неудобна для определения из нее искомого элемента. Укажем* одно из этих преобразований, при котором А заменяется на—Л, В на-тг —В, С на т.— С. Тогда элементы треугольника, входящие в формулу, преобразовываются:

Например, формула: а (р — а) + b (р—Ь)++ с (р — с) = 2г (4/? + г) преобразовывается в op+b(p-c)+ c(p — b) = 2ra (4/? — г„) приведенные в нашей таблице формулы (105); г =—^— и (173) Ь — рг, оказывается, а легко выводятся одна из другой. Действи-

* Lemoine, Sur la transformation continue par M. Michel. «Journal de mathématique élémentaire», 1893, № 2.

тельно, т. к. Д = —7~, то после преобразования Д обратится в ——^ , т. е. в (—Д), а следовательно, г=—-— преобразовывается в г =-- ; откуда Д = рг.

Теория непрерывных преобразований основана на том, что формула, связывающая элементы плоского треугольника, представляет собою тригонометрическое тождество, а, следовательно, если оно удовлетворяется значениями А, В, С, то оно должно удовлетворяться значениями — А, т: — ß, т:—С.

Формулы, содержащие основные элементы

Формулы, содержащие углы между высотами, медианами и биссектрисами

Иногда бывает необходимо знать расстояния так называемых замечательных точек треугольника.

Пусть H означает точку пересечения высот, M означает точку пересечения медиан, / означает точку пересечения биссектрис, т. е. центр вписанной окружности, О означает центр описанной окружности, Е означает точку пересечения трансверсалей к точкам касания вневписанных окружностей сторонами треугольника. Лексикографическая последовательность Я, М, /, О, Е. Имеют место следующие формулы:

Кроме того, полезно помнить, что

205) Я, M и О лежат на одной прямой

206) М,1 и Е лежат на одной прямой

207) Основания трех высот, середины трех сторон и середины верхних отрезков высот лежат на одной окружности (окружность девяти точек), центр которой лежит на середине ОН и радиус равен R.

Решение задач на построение треугольника

§ 1. Задачи, к которых даны две стороны (а, Ь)

1) a, b, с — основная. Решение известно h возможно при условии Ь — с < < а < Ь -|~ с.

2) а, Ьщ А — основная. Решение известно и возможно при условии а7> Ь sin А.

3) *Ь Ь. С — основная. Решение извесно и возможно всегда.

4) a, b, ha (Г. М.—III)— Из конца С отрезка ВС —а, как из центра описываем дугу радиусом b до пересечения в А с прямой параллельной ВС и отстоящей от ВС на расстояние ha. Соединяем А с В и С. Д ABC искомый. Решение возможно, если b^ha.

5) a, b, he —(Г. M.—I) — Из произвольной точки D прямой MN восстанавливаем к ней перпендикуляр CD = hc. Из С как из центра, радиусами а и b проводим две дуги до пересечения в точках В и А с MN. Соединяем А с С и С с В. А ABC искомый. Решение возможно, если a>hc и &>АС. Если а или b равно Ас, то будет прямоугольный треугольник.

6) а, Ь, Ша — (П. П. Ч.) Строим Д ACD по сторонам, АС = AD = ma и продолжаем CD на равное ему расстояние DB. Соединяем В с А. Д ABC искомый. Решение возможно, если

7) а, b, nie — (Г. M.—1) Строим Д ACD. по сторонам АС = Ь, AD = а и DC — clmc

Проводим DB II ЛС и С£ || Л£ до их пересечения в В. Соединяем В с А. /\АВС искомый. Решение возможно, если

8) a, b, b.i —Неразрешима.

9) a, b, bc —(A)—Построим равнобедренный Д ЛСО по основанию AD = ôQ a ~ и боковой стороне На продолжении DC отложим СВ — а. Соединим В с А. Д ABC искомый. Решение возможно, если

10) а, b,R 1°— (А) — Так как sin^ = а = —, то задача приводится к a, b, А

2°—(Г. M.—I)—Из произвольной точки С окружности радиуса R описываем как из центра радиусами а и b дуги до пересечения с окружностью в точках В и А. Соединяем С с А и В. Д ЛвС искомый. Решение возможно, если при a<2Rt b^2R

11) a, b, г —Неразрешима.

12) а, Ь, Га — Неразрешима.

13) а, Ь, гс - Неразрешима.

14) а, Ь, 2р— Так как с = 2р — а — Ь, то задача приводится к а, Ь, с. Решение возможно, если а <С Р *С а ~Ь Ь

15) а, Ь,д -(А) Строим Д ЛОС по а, b, h , где Аа=---• Решение возможно если

§ 2. Задачи, в которых даны сторона п противолежащий угол (а; А)

16) а. А, В — (П) — На стороне ВАп угла С“ВА“ = В при произвольной точке А' строим угол СА'В = — А. Откладываем на ВС“ отрезок £С = А и через С проводим С А у С Л' до пересечения в А с ВА“. Д ABC искомый. Решение возможно, если

17) a, A,ha — (Г. М. — III + VI) — Строим на ВС—а дугу, вмещающую А, и на расстоянии ha от ВС проводим MAf II £Сдо пересечения в А с дугою. Соединим А с В и С. 1\АВС искомый. Решение возможно, если

18) a, A, hft — (Г. M.—III) —Проводим прямую AfN ||ЛС стороне угла САВ'=А до пересечения в ß с Л5'. Из В как из центра описываем дугу радиуса а до пересечения в С с ЛС. Соединяем В и С. /\АВС искомый. Решение возможно, если а> hb.

19) а, А, ша — (Г. M.— IV) — Строим на ВС — а дугу ß/гС, вмещающую А, и из середины ЛС как из центра описываем дугу радиуса та до пересечения в А с ВпС. Соединяем А с В и С. Д ЛВС искомый. Решение возможно, если /уга >

20) а, А, ть — (Г. M.—VI)—Строим на ВС — а дугу ВпС, вмещающую А с центром в О. Соединяем О с С и на ОС как на диаметре строим полуокружность с центром в О'. Из В как из центра радиусом ть описываем дугу до пересечения с полуокружностью О' в П. Через D и С проводим прямую до пересечения в А с ВпС. Соединяем А с В. Д ABC искомый. Решение возможно, если

21) а, А, Ьа — (А) — Задача Паппуса— Строим на ВС —а дугу ВпС9 вмещающую А. Определяем/7/) = — + 4 FC2— — bx). где FC отоезок, соединяющий С

с серединой дуги ВтСу дополняющей ВпС до окружности и радиусом FD описываем из F, как из центра, дугу до пересечения в D с ВС. Далее, соединяем г с D и продолжаем до пересечения в А с ВпС. Соединяем А с В и С. Д ЛВС искомый. Решение возможно, если o^Sy ctg — •

22) а, А, Ьв — Неразрешима.

23) a, A, R — Если R = л а , задача неопределенная, а если /? =^= ^ ^, то задача противоречивая.

24) а, А, г — (Г. M. —IV + VI)— Строим на ВС —а дугу ВпС, вмещающую А. На расстоянии г от ВС проводим MN II ВС Из D середины ВтС, дополняющей ВпС до окружности, как из центра проводим дугу радиусом DC до пересечения в Ее MN9 продолжаем DE до пересечения в А с ВпС. Соединяем А с В и С £ ЛВС искомый. Решение возможно, если а > 0 , t>—7-=- sin А и а>2г.

25) а, А, Га— (Г.М.— IV + VI) — Строим на ВС = а дугу ВяС, вмещающую А. На расстоянии га от ВС проводим по другую сторону от нее прямую MN II ВС. Из D середины В//*С, дополняющей ВпС до окружности, как из центра, проводим дугу радиусом DB до пересечения в Е с MN. Продолжаем ED до пересечения в А с ВпС. Соединяем Ле В и С. Д ЛВС искомый. Решение возможно, если

26) а, А, г6 — (Л) — На стороне KL прямого угла KLN при £ строим угол PLK = -^-»

На расстоянии г& от LP проводим параллельную ей R'U до пересечения с NL в V. Опускаем из V на LP перпендикуляр VP- и продолжаем LP на равное ему расстояние Р'Р“. Откладываем на LP“ от Рп отрезок Рп С = а и из точки С как из центра радиусом а описываем дугу до пересечения в В с ММ. Из середины BL восстанавливаем перпендикуляр до пересечения в А с продолжением PL. Соединяем А с В. Д ЛВС искомый. Решение возможно, если

27) а, А, 2р —(Г.М.— VI) — Строим на ВС—а дугу ВпС, вмещающую А. Делим ее в D пополам и из D как из центра радиусом BD описываем окружность. Из В как из центра, радиусом 2р — а описываем дугу до пересечения с окружностью D в Е. Соединяем В с Е. Точку А пересечения BE с ВпС соединяем с С. Д ЛВС искомый. Решение возможно, если 0 < 2р-—

28) а, А,Д -(А) — Так как А =——, то задача приводится к а, А, ha. Решение возможно, если д^ — ctg“ —.

§ 3. Задачи, в которых даны сторона и прилежащий угол

29) а, В, С — основная. Решение известно и возможно, если В+С < 180°

30) а, В, h» (Г.— М.— III) — На стороне данного угла В откладываем от его вершины отрезок ВС = а и проводим

прямую параллельную ВС и отстоящую от ВС на А0 до пересечения в А со второй стороной угла В. Соединяем А с С. Д ABC — искомый. Решение возможно всегда.

31) а, В, Ьь—(Г. M.—VI). На стороне ВС угла А'В1 С = — В откладываем от его вершины ВС =а и строим на ВС полуокружность. Из В как из центра радиусом hb описываем дугу до пересечения в D с полуокружностью. Продолжаем CD до пересечения в А с ВА'. Д ABC — искомый. Решение возможно, если hb<a.

32) а, В, hc — Если hc = a sin Bt то задача' неопределенная; если hc=f=a sin В, задача противоречивая.

33) а, В, m»—(Г. М.— I) — На стороне угла В откладываем от его вершины отрезок ВС = а, делим его в D пополам и из точки D как из центра радиусом та описываем дугу до пересечения со второй стороной угла В в точке А. Соединяем А с С. Д ABC искомый. Решение возможно, если та> — sin В.

34) а, В, ть — (Г. M — I) — На стороне угла В откладываем от его вершины отрезок ВС = а. Из Я, как из центра радиусом 2ть описываем дугу до пересечения в С с СО — прямой, параллельной второй стороне угла В. Через С и С“ середину ВС проводим прямую до пересечения в А со второй стороной угла В. Д ABC искомый.

Решение возможно, если nib^—s\nB.

35ï а, В, mf — (П. П. Ч.)—Строим Д BDC по углу В, стороне ВС = а и СО = тс. На продолжении BD отложим DA = BD. Соединяем А с С. Д ABC искомый. Решение возможно, если тс >as\nB

36) а. В, Ьа — Неразрешима.

37) а, В, Ьв — (П: П. Ч) —Строим Д BCD по сторонам ВС==ау BD = bß и углу DBC~^B. На BD строим при В угол —и продолжаем CD до пересечения в точке А со второй стороной этого угла. /\ ABC — искомый. Решение возможно, если Ьв <С 2а cos В.

38) а, В, br - (П. П. Ч.) Строим Д ВСО по ВС = а, CD = bc и углу В. На CD строим при С угол равный углу BCD и продолжаем его вторую сторону до пересечения в А с продолжением BD. Д ABC искомый. Решение возможно, если bc<,a sin В.

39) а, В, R (Г.М.—I) На стороне угла В откладываем ВС = а и из концов £ и С, как из центров, описываем дуги радиуса R. Из точки О их пересечения радиусом равным R описываем окружность. Точку А ее пересечения со второй стороной угла В соединяем с С. Д ABC искомый. Решение возможно, если arc sin — + В < т:.

40) а, В, г (Г. М.—IV)—На стороне угла В от его вершины откладываем ВС = а. Проводим биссектрису угла В до пересечения в О с прямой параллельной ВС и отстоящей от нее на расстоянии г. Из О, как из центра, описываем окружность радиуса г и проводим к ней касательную из С до пересечения в А со второй стороной угла В. Д ABC искомый. Решение возможно, если г << 2“ sin А.

41) а, В, га—(Л) — На стороне угла В откладываем ВС = а и проводим биссектрису угла смежного В до пересечения в D1 с прямой параллельной ВС и отстоящей от нее на расстояние DD'=га. Разность BD — DC откладываем на второй стороне

угла В или ее продолжении в зависимости от того, отрицательна она или положительна. Полученную точку В* соединяем с С и из середины В1 С восстанавливаем перпендикуляр до пересечения в А с продолжением ВВ'. Соединяем А с С. Д ABC искомый. Решение возможно, если г <— а(\ -4-

42) а, В, тъ—(А)—1°. На стороне угла В откладываем ВС= а. Проводим биссектрису угла В до пересечения в D' с прямой параллельной ВС, отстоящей от нее на DDf=rb. Продолжаем BD на равние ему расстояние до точки В1 и откладываем от В* на DB отрезок В'С =а. На второй стороне угла В откладываем В А! = ВС и из середины ЛС восстанавливаем к ней перпендикуляр до пересечения в А с ВА\ Соединяем А с С. Д ABC искомый. Решение возможно, если a<rb ctg — .

(Г. M. — IV) — 2°. Получив так, как и в 1°, точку D', описываем из нее, как из центра, окружность радиуса гъ и к полученной окружности проводим из С касательную до пересечения в А со второй стороной угла В. А ABC искомый.

Решение возможно, если #</&ctg—.

43) а, В,ге—(А) —На стороне угла В откладываем ВС = а. Проводим биссектрису угла 180° — В до пересечения в D1 с прямой параллельной ВС и отстоящей от нее на DD'=rc. Откладываем DC на равное ему расстояние до точки С и от нее в обратном направлении откладываем С'С=а. На второй стороне угла В откладываем ВА' — DC“.

Из середины А1 С восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с В А1 в А. Соединяем А с С. Д ABC искомый. Решение возможно всегда.

44) а, В, 2р—(Л) — Определяем Ь+с =2/7—а. Строим Д BDC по углу В и сторонам ВС = а и BD = b + c. Из точки Е середины DC восстанавливаем к ней перпендикуляр ЕА до пересечения его со стороной BD в точке А. Соединяем А с С. Д ABC искомый. Решение возможно, если а<р.

45) а, В, Д=;к2 — (Л). Определяем ha из условия hn = —, после чего задача сведется ° а к a, Bt h Решение возможно всегда.

(Продолжение следует)

МЕТОДИКА

ДИДАКТИКА УРОКА ПО ГЕОМЕТРИИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Г. МАШКОВ (Ростов-на-Дону)

В историческом постановлении ЦК ВКП(б)— «Об учебных программах и режиме в начальной и средней школе» указывается, что основной формой организации учебной работы в начальной и средней школе должен являться урок».

В настоящей статье делается попытка дать дидактику урока по геометрии в средней школе, связанного с доказательством теорем, имея в виду систематический курс геометрии.

I. Подготовка преподавателя к уроку по геометрии

Само собой разумеется, что преподаватель прежде всего должен тщательно готовиться ко всякому уроку, в том числе и к уроку по геометрии. Эта подготовка требует самой напряженной работы, особенно для начинающего преподавателя. Чтобы быть учителем и руководителем класса, нужно приходить в класс, имея перед глазами полную картину того, что будет происходить на уроке. Отсюда необходимость планирования урока.

Готовясь к уроку по геометрии, преподавателю необходимо основательно просмотреть материал урока по стабильным учебнику и задачнику, да и не только по ним; следует быть знакомым и с другими учебными книгами по геометрии.

Наряду с подготовкой материала по стабильному учебнику необходимо ознакомиться с тем, как рекомендуется преподнести этот материал в методической литературе, в частности, в методиках по геометрии и в журнальных статьях.

Подготовка к уроку по геометрии должна еще заключаться в том, что преподаватель готовит или подбирает необходимые наглядные пособия к нему.

II. Наглядные пособия на уроках геометрии Здесь следует сказать о допустимой наглядности при преподавании геометрии в средней школе. Этот вопрос служил предметом обсуждения еще на «Первом всероссийском съезде преподавателей математики» (1911 г.). В своем докладе—«Наглядные пособия» Д. Э. Теннер высказывался так: «Необходимость наглядных пособий в начальном обучении математике признается всеми; что ка-

сается до средних и высших ступеней обучения, то тут введение наглядных пособий становится все более и более спорным и ограниченным»*.

Ярым противником применения моделей при обучении геометрии выступает М. Симон: «Особенно в стереометрии не рекомендуется приучать к моделям, ученики должны в уме представлять себе происходящее в пространстве. Пол, доска, несколько палок, этого должно быть достаточно»**.

Противники применения моделей указывают, что применение их уничтожает самодеятельность учащегося, подсказывая ему то, до чего он сам должен был бы додуматься; облегчая на каждом шагу пространственное воображение, они приучают ученика к этой помощи, не приучая его мысленно видеть, что он может видеть и трогать рукой на готовых моделях.

«Конечно,— пишет Д. Мордухай-Болтовский,— в этом есть доля правды и, вне сомнения, было бы неправильно моделировать весь курс, необходимо моделировать часть курса. Но модель для стереометрии это все равно, что части планиметрического чертежа, расположенные на одной прямой, центральная проекция треугольника, четырехугольника и т. д. на прямую»***.

Далее он справедливо указывает: «Способность пространственно мыслить создается двумя факторами: 1) памятью об известных явлениях и 2) их самостоятельной переработкой. Не видя совсем модели какого-нибудь многогранника, хотя бы куба, трудно вообразить ученику откаэдры или додекаэдры. Необходимо хоть несколько раз указать на соответствие между творчеством пространственного воображения и действительностью. Первое будет прилаживаться ко второму, второе направлять первое.

* Труды I Всероссийского съезда преподавателей математики. Петербург. 1913 г., т. 1, стр. 239.

** М. Симон. Дидактика и методика математики в средней школе. СПБ. 1912 г., стр. 245.

*** Д. Мордухай-Болтовский, О I Всероссийском съезде преподавателей математики. Варшава. 1912 г. стр. 28.

Кроме того, нельзя отрицать и того, что многое является трудно доступным еще неразвитому воображению учащегося, между тем для него весьма полезным и интересным, и модель здесь может оказать неоценимую услугу».

Отсюда выводы:

1) неправильно моделировать весь курс;

2) в планиметрии во многих случаях достаточно чертежа;

3) модель в стереометрии необходима, здесь она то же, что чертеж для планиметрии.

III. О неумелом применении моделей в планиметрии

К чему ведет неумелое моделирование в планиметрии показывают некоторые примеры из школьной практики.

Пример 1. На уроке излагается теорема: «Сумма внутренних углов четырехугольника равна 4Л.

Показывая модель картонного четырехугольника (фиг. 1), учитель говорит: «Вот я сейчас оторву углы у этого четырехугольника,— (отрывает),— а теперь сложу их вместе (фиг. 2), сколько получится?» Ученики хором отвечают: «360°». «Верно, 4*/»,— говорит учитель.

Фиг. 1 Фиг. 2

Дальше шло логическое доказательство теоремы, но его уже никто не слушал. Все были убеждены в справедливости теоремы только что проделанным экспериментом.

Пример 2. Разбирается теорема : «Биссектриса внутреннего угла треугольника делит сторону, лежащую против этого угла, на части, пропорциональные двум другим сторонам».

Учитель прикрепляет к классной доске чертежи трех треугольников, у которых: в первом— AB —ВС, во втором — АВ = 2ВС и, наконец, в третьем — AB — ЗВС (фиг. 3, 4, 5). Затем берет циркуль и при помощи его

начинает сравнивать в каждом из начерченных треугольников сначала стороны AB и ВС, потом отрезки AD и DC, всячески убеждая учеников в том, что отношение сторон, заключающих угол, из вершины которого проведена биссектриса, равно отношению отрезков, на которые делит она противоположную сторону. Нетрудно было предвидеть, куда это приведет. Когда своими измерениями учитель убедил учащихся, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит сторону, лежащую против этого угла, на части, пропорциональные двум другим сторонам, он спросил: «Обладает ли этим свойством биссектриса внутреннего угла любого треугольника, иди надо это еще доказать?» В ответ ему было гробовое молчание. Ученики просто не поняли вопроса, не поняли, зачем он. Преподаватель их давно убедил опытным путем, что теорема справедлива.

Пример 3. Не могу не остановиться еще на одном примере. На уроке доказывается теорема о биссектрисе внутреннего угла равнобедренного треугольника.

«Вот, у меня наглядное пособие. Равнобедренный треугольник у нас начерчен на доске, а вот у меня он вырезан (фиг. 6). Посмотрим, что за линия у меня BD? Перегнем по ней чертеж: углы / и 2 совпадают, значит, она биссектриса. Теперь, я приложу к ней большим катетом вот этот деревянный угольник. Что вышло? Другой катет совпал у нас с линией DC (фиг. 7), значит, что за линия BD? Ясно, высота. Перегнем опять чертеж по линии BD. Что вышло? Линия DC совпала с AD (фиг. 8), значит AD — DC, а, стало быть, BD и медиана. Выходит, что BD у нас и биссектриса, и высота, и медиана.

Фиг. 3 Фиг. 4 Фиг. 5

Фиг. 6 Фиг. 7 Фиг. 8

А теперь, давайте, докажем это на нашем чертеже на доске (фиг. 8). Перегнем треугольник ВАС по линии BD. Что тогда будет? ВС пойдет по AB. Почему? (Класс молчит.) Да ведь, у нас же угол / равен 2, вот поэтому. А дальше что будет? Точки С и А совпадут. Почему? (Молчание.) Да ведь, ВС и AB равны, у нас треугольник-то ABC равнобедренный» и т. д.

Во всех разобранных мною примерах преподаватели как бы задались целью — убедить

учащихся в ненужности логического доказательства. А между тем, в средней школе при прохождении систематического курса геометрии нам как раз нужно убедить учащихся в необходимости логического доказательства. Нужно, чтобы ученики поняли, что хотя глаз и составляет важнейшее вспомогательное средство, но наглядное представление постоянно нуждается в контроле со стороны логического рассуждения. При ссылках на наглядное представление следует быть очень осторожным— ведь известны всем обманы зрения. Известно, например, что наглядное представление совершенно не дает нам квадрата, т. е. точный квадрат при известной длине сторон всегда представляется нам растянутым в вертикальном направлении, так что фигура, представляющаяся нам квадратом, фактически есть прямоугольник, в котором высота меньше ширины.

Значительное число наших обманов относительно величины и направления, называемых «геометрически-оптическими иллюзиями» объясняется зависимостью восприятий величины и формы от мускульных ощущений. Одну из простейших иллюзий представляет фиг. 9. Две прямых СО и AB совершенно равны по своей длине, тем не менее прямая на чертеже «я» кажется длиннее. Угол, расходящийся кверху, вводит нас в заблуждение: является склонность продолжать движение, нужное при следовании глаза в данном направлении, за точку В. На чертеже «Ь» движение глаза как бы задерживается сторонами угла, направленными внутрь. На фиг. 10, 11, 12, взятых из «Методики» Лицмана, параллельные прямые кажутся глазу не параллельными.

Фиг. 9

Фиг. 10

Фиг. 11

Фиг. 12

IV. Выводы об использовании наглядных пособий на уроках планиметрии и стереометрии

Какой же вывод можно сделать относительно употребления наглядных пособий при обучении планиметрии?

Теоремы в планиметрии в большинстве случаев нуждаются только в хорошем чертеже. В планиметрии надо быть особенно осторожным при применении наглядных пособий на уроке. Если здесь при изложении теоремы применяется наглядное пособие, то демонстрация его должна следовать после логического доказательства, а не предварять его.

Такое употребление наглядных пособий в планиметрии, как показано в разобранных уроках, вредно:

1) оно убеждает учащегося в ненужности логического доказательства;

2) оно оставляет школьника пассивным, давая ему преждевременно готовый ответ, до которого он должен дойти путем активного вывода.

Иначе дело обстоит на уроках стереометрии. «Отсутствие наглядных пособий при изучении свойств пространства и протяжений,— говорит Д. Э. Теннер,— может повести к искажению пространственных представлений, если наглядные пособия не будут представлены в пространстве того измерения, в котором они изучаются; так например, имея постоянно дело с чертежами, изображающими тела трех измерений, можно получить такой эффект: ученик любую теорему доказывает вам на чертеже, манипулируя с элементами его, как с символами, подчиняющимися некоторым законам, не имея однако же никаких ассоциаций пространственных, с ним связанных»*. О доводах в пользу применения моделей на уроках стереометрии Д. Д. Мордухай-Болтовского уже говорилось.

Следует сказать, что наглядные пособия при обучении в стереометрии могут как предварять логическое доказательство, так и сопутствовать ему. При этом лучше пользоваться не готовой моделью, а пособием, например С. П. Острейко. Указание С. П. Острейко, что «учащийся, рассматривая готовую модель, пассивно воспринимает формы и свойства той фигуры, которую она изображает», нельзя не признать справедливым. Нельзя не согласиться и с дальнейшими его доводами в пользу осуществления при помощи его пособия несложных стереометрических построений: «Ближе и интимнее вникает он (ученик. Г. М.) в формы и соотношения частей фигуры, если он сам построит ее по данному заданию. Между прочим, только при существовании такого пособия учащийся может отчетливо уяснить себе ход построения стереометриче-

* Труды 1 Всероссийского съезда математиков в 1913 г., т. I, стр. 227—228.

ской фигуры в том именно порядке, какой соответствует ходу доказательства или заданию задачи».

V. Построение урока

Обычное построение урока такое: 1) так называемая, вводная часть, 2) центральная часть и 3) заключительная.

Вводная часть распадается на 1) организационную (выяснение отсутствующих учащихся и т. п.), 2) проверку домашнего задания и 3) повторение тех фактов из прошлого материала, которые необходимы как подготовка к восприятию нового материала.

Центральная часть урока содержит изложение нового материала.

Наконец, заключительная часть является той частью урока, где 1) подводятся итоги изложенному, 2) изложенный материал повторяется, 3) закрепляется на задачах и практических применениях и 4) указывается материал домашнего задания.

Конечно, эта схема не является непреложной догмой, цепями, сковывающими ведение урока учителем. Но как схема с этой оговоркой она полезна.

VI. Подготовка к восприятию нового материала

Иногда при проверке выполнения домашнего задания уже происходит повторение из пройденного тех фактов, какие нужны при изложении нового материала. Так бывает, например, когда ученик доказывает заданную теорему о сумме смежных углов, а учитель собирается говорить о противоположных углах и их равенстве; или, если бы у учащихся не вышла одна из задач на определение смежных углов и ее пришлось бы решать на доске. Ясное дело, что в этом случае подготовка к восприятию нового материала сливается с проверкой выполнения домашнего задания. Здесь, как и везде, ничего не надо «притягивать за волосы».

Проверка домашнего задания может дать для учителя такие сюрпризы, которые могут очень существенно изменить план намеченного урока. Я был свидетелем такого случая. Намечена была тема: «Четырехугольники, сумма внутренних и внешних углов четырехугольника». При проверке выполнения домашнего задания выяснилось, что учащиеся не смогли решить две из трех заданных задач. Это, конечно, свидетельствовало о неблагополучии с пройденным материалом. Но не о том сейчас речь. Неопытной преподавательнице пришлось долго повозиться с объяснением решения этих задач, что у нее отняло 25 минут урока. Очевидно было, что всего намеченного материила обстоятельно изложить не удастся. И вот, вместо того, чтобы изложить меньше намеченного, но хорошо, преподавательница стала излагать, стремясь во что бы то ни стало «уложиться». Учащиеся ничего не поняли. Таких сюрпризов, когда приходится отступать от намеченного плана, в практике преподавания, к сожалению, не избежать. Преподаватель не должен теряться в таких случаях, он должен уметь перестроиться «на-ходу», целесообразно применяя намеченный план.

Вообще же говоря, материал каждого урока должен быть увязан с материалом, изученным раньше. Так тема «Равенство прямоугольных треугольников» увязывается с равенством косоугольных треугольников и учением о перпендикуляре и наклонных. Тема «Подобие треугольников» требует от учителя увязки с пройденными темами — о пропорциональных отрезках и о параллельных прямых. При изложении теоремы о перпендикуляре, опущенном из вершины прямого угла на гипотенузу, и о катетах как средних пропорциональных между соответствующими отрезками необходимо восстановить в памяти учащихся: 1) подобие прямоугольных треугольников по острому углу, 2) свойство сторон подобных треугольников и 3) среднюю пропорциональную двух величин.

Такие предварительные повторения необходимы, что5ы не прерывать для них изложения нового материала. С другой стороны, необходимо помнить, что эта часть урока не должна быть продолжительной, слишком длинная подготовка надоедает, отнимая у излагаемого дальше материала оттенок новизны. «Она должна быть кратка,— пишет немецкий методист Лицман,— тут тоже, как и с предисловиями к сочинениям, они часто бывают чрезмерны». Бывают случаи, когда подготовка должна состоять только из указания цели урока (например, урок повторения).

Высказанные положения о вводной части урока проиллюстрирую наблюдениями над тремя уроками на одну и ту же тему «Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника».

Начну с худшего урока. Преподаватель начал с того, что спросил учеников — помнят ли они, что называется биссектрисой угла, затем биссектрисой внутреннего угла треугольника. Затем начал очень подробно спрашивать — из вершины каждого ли внутреннего угла треугольника можно провести биссектрису; сколько же получится таких биссектрис. При этом он сам чертил эти

биссектрисы BF, АЕ, CD треугольника ABC (фиг. 13). После вопроса — можно ли из вершин внешних углов треугольника ABC провести биссектрисы — преподаватель, провел биссектрису СМ и на ней, наконец, покончил проведение биссектрис. Потом учитель вызвал к доске ученика и попросил его начертить угол. Ученик начертил угол ABC (фиг. 14). На предложение преподавателя — пересечь стороны этого угла двумя параллельными прямыми—ученик провел прямые MN и PQ. После того, как были поставлены на чертеже буквы E, F, D и L, последовал вопрос: каким свойством обладают параллельные прямые, пересекающие стороны угла? Вот тут то и началось: учащиеся писали всевозможные пропорции, как то:

кроме нужной:

Фиг. 13 Фиг. 14

Отчаявшись получить от учеников эту последнюю пропорцию, необходимую для доказательства предстоящей теоремы, учитель перешел к теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника. В результате бесплодно было потеряно минут 30 урока, и доказательство теоремы было скомкано. Преподаватель еле-еле успел изложить его. Для повторения доказательства кем-либо из учащихся не осталось времени.

Перехожу к следующему уроку. Преподаватель после проверки выполнения домашнего задания сразу приступил к доказательству теоремы. В середине доказательство несколько затормозилось из-за того, что предварительно не была повторена с учащимися нужная при доказательстве пропорциональность надлежащих отрезков угла.

Наконец, третий урок. Учитель попросил ученика начертить угол и пересечь его двумя параллельными прямыми MN и PQ. В точках пересечения параллельных со сторонами угла поставил буквы E, F, D и L (фиг. 14). Последовал вопрос: «На какие отрезки рассекают параллельные прямые PQ и MN стороны угла ABC?» Ответ: «На отрезки BE, ED, BF и FL».

Вопрос: «Какие эти отрезки?» Ответ: «Отрезки BE, ED, BF и FL — пропорциональные отрезки».

Учитель: «Запишите это». Ученик записывает:

Затем вопрос: «Что называется биссектрисой внутреннего угла треугольника?» Получив надлежащий ответ, преподаватель перешел к изложению содержания теоремы и ее доказательству. Времени на вводную часть урока понадобилось не больше 10 минут, но, зато, как гладко шло дальше доказательство теоремы.

Предварительная беседа, правильно проведенная, не отнимает много времени и несомненно облегчает учащимся усвоение теоремы, соответственным образом подготовляет их психически к восприятию нового материала и отчасти наталкивает их на самое доказательство теоремы.

VII. Изложение нового материала. Формулировка теоремы и разъяснение ее содержания

Приступая к изложению теоремы, преподаватель должен обратить внимание на следующие этапы своей работы:

1) усвоение содержания теоремы учащимися,

2) построение необходимого для доказательства чертежа,

3) самое доказательство теоремы.

Учитель прежде всего должен добиться, чтобы учащиеся ясно и вполне отчетливо усвоили содержание теоремы: во-первых, что дано в теореме, во-вторых, что требуется доказать. При этом, если доказывается теорема планиметрии, то ни к каким наглядным пособиям прибегать на этом этапе работы не следует. Если теорема из стереометрии, то возможно уже на этом этапе пользование наглядными пособиями (приборы, модели и т. п.).

VIII. Построение необходимого для доказательства чертежа

Уже при усвоении содержания теоремы приходится начинать с построения чертежа.

Нельзя, например, говорить о свойстве внешнего угла треугольника, не начертив треугольник и самый внешний угол.

Интересно отметить чертеж на одном уроке, когда доказывалась теорема: «Углы со взаимно-параллельными сторонами равны или в сумме составляют 2 d». Чертеж был такой, как на фиг. 15. Преподаватель говорит: «Нам даны углы ВАС и DEF, стороны которых параллельны; требуется доказать, что угол DEF двум из четырех углов при точке А порознь равен, а с каждым из двух остальных при этой точке составляет 2d». И только позже, при доказательстве, продолжил стороны AB и ЛС. Другая ошибка: на уроке «О линиях треугольника» преподавательница, говоря о высотах треугольника, сделала чертеж равностороннего треугольника, что давало повод учащимся особые свойства высот равностороннего треугольника приписывать высотам любого треугольника.

Преподавателю необходимо заглядывать в тетради учеников во время классной работы. Часто бывает, что ученики не делают чертежа, изображенного на доске, а чертят свой и на своем чертеже обобщают особые свойства фигур. Когда просят начертить треугольник, они чертят или равносторонний треугольник, или, по меньшей мере, равнобедренный. Четырехугольник чертится или в виде квадратов или прямоугольника. Учитель должен посмотреть, надлежащий ли чертеж изображают ученики в своих тетрадях, нет ли ошибок, толкающих их к ложным выводам.

Добиться того, чтобы учащиеся сами догадались, как построить чертеж для доказательства теоремы даже планиметрии, в большинстве случаев невозможно. Преподаватель чаще всего должен указать — как его строить, объяснив учащимся, почему мы так строим.

Существует мнение, что иногда полезно из чертежа выносить его части, как отдельные чертежи.

Пример 1. Доказывается теорема о перпендикуляре, опущенном из вершины угла на гипотенузу. Из фиг. 16 рекомендуется вынести в отдельные части чертежи треугольники ЛОС и DBC (фиг. 17 и 18).

Пример 2. Доказывается теорема о касательной как средней пропорциональной между всей секущей и внешней ее частью. Из фиг. 19 выносятся в отдельные чертежи треугольники DAB и АСВ (фиг. 19, 20, 21).

Пример 3. Доказывается теорема «Объем пирамиды равен произведению площади основания на треть высоты. Основной чертеж на фиг. 22. Вынесенные его части на фиг. 23 и 24 (фиг. 22, 23, 24).

Если при доказательстве некоторых теорем в стереометрии это очень полезно, а при решении стереометрических задач в особенности, то и при доказательстве некоторых теорем планиметрии это является тоже нелишним. О чертежах в стереометрии следует поговорить особо.

IX. Чертеж в стереометрии

Все знают, какие безграмотные чертежи в стереометрии иногда представляют нам учащиеся. Например, такие (фиг. 25,26,27):

Вопрос о выработке у учащихся умений в выполнении стереометрических чертежей важный и трудный. Второй съезд преподавателей математики рассматривал его в связи

Фиг. 15.

Фиг. 16 Фиг. 17 Фиг. 18

Фиг. 19 Фиг. 20 и 21

Фиг. 22 Фиг. 23 Фиг. 24

Фиг. 25 Фиг. 26 Фиг. 27

с развитием у учащихся представлений о соотношениях в пространстве. Ему было посвящено два доклада: «О развитии пространственных представлений о соотношениях в пространстве» М. Воскресенского и «Изобразительное искусство и геометрия» — А. Власова. Первый докладчик, указывая, что «целью преподавателя в средней школе является выучить ученика не только видеть на готовом чертеже ту или другую пространственную форму, но и уметь воспроизвести ее на чертеже, не копируя образцов, а представив умственным взором соответствующую фигуру, выполнить чертеж по тем или иным заданиям», находил желательным ввести учеников средней школы в технику стереометрического черчения, причем для выработки техники этого черчения считал наиболее удобным — пользоваться методами аксонометрической проекции.

Второй докладчик — А. Власов, высказываясь также, что для изображения пространственных образов в средней школе следует применять аксонометрические построения, отмечал, что «обычно встречающиеся изображения, сделанные по интуиции, часто вносят существенные неправильности, которые при постоянстве воздействия искажают, затемняют представление».

В прениях следует отметить выступления Д. Д. Мордухай-Болтовского и Б. К. Млодзеевского.

Мордухай-Болтовский отмечал «психологический факт, в особенности ярко выступающий у детей: переход к конкретному образу легче совершается от искаженного некоторым образом изображения, как например, куб воображается легче с помощью условного, неправильного чертежа с равными, а не неравными, как это требует ортогональное проектирование (а тем более центральное), сторонами. Чертеж это язык, на котором мы говорим с учениками, язык этот должен быть доступен ученикам».

В своем выступлении Б. К. Млодзеевский сказал: «В начале курса стереометрии изображение стереометрических предметов по строгим правилам аксонометрии слишком сложно и должно быть в начале заменено схематическими чертежами, более пригодными по своей простоте для вызывания в учащихся стереометрических представлений. Однако в конце курса необходимо, или, по крайней мере, крайне желательно, чтобы учеников научили основам аксонометрии. Кроме того, в самом начале необходимо дать понятие об основаниях изображения пространственных предметов на плоскости».

В наши дни Р. В. Гангнус и Ю. О. Гурвиц рекомендуют изображать пространственные фигуры, пользуясь параллельной косоугольной проекцией. По их мнению, построение изображений в такой проекции весьма просто, не требует для приобретения навыка в правильном и быстром изображении той или иной фигуры выполнения значительного числа упражнений. Как выполнять построения разного рода фигур в параллельной косоугольной проекции даны ими во второй части стабильного учебника геометрии, в гл. XIV. Методика вопроса дана ими в «Методическом пособии», часть II, гл. VI, куда я и направляю читателей.

X. Доказательство теоремы

Как вести самое доказательство теоремы? Мы должны, особенно в VI—VII классах, применять тот метод рассуждения, который Декарт назвал «методом школьного изложения», т. е. синтетический метод, идя от условия к заключению, при помощи беседы. Лишь для некоторых теорем «важных», «заслуживающих внимания», как писал проф. Кавун*, доказательство следует вырабатывать аналитическим путем, идя при рассуждении от заключения к условию. Мы бы сказали не только важных теорем, но при этом и легко поддающихся анализу, доступному для учащихся, каковы, например, теорема о биссектрисе внутреннего угла треугольника, теорема о перпендикуляре, опущенном из вершины прямого угла на гипотенузу, теорема о двух перпендикулярах в стереометрии и т. д. Однако и в этом случае выработанное аналитическим путем доказательство мы должны систематизировать синтетическим методом: окончательное доказательство должно быть дедуктивным.

Покажем на примерах, как вести, доказательство по тому и другому методу.

XI. Синтетический метод рассуждения

Доказываем теорему: «Противоположные углы равны».

Учитель чертит на доске фигуру (фиг. 28). После выяснения того, что дано и что требуется доказать, записываем:

Дано: АОВ и COD— противоположные.

Требуется доказать: £АОВ = ^СОЧ.

Затем, показывая и называя углы АОВ и AOD, спрашивает кого-либо из учеников — какие они.

Ученик. Углы АОВ и AOD — смежные.

* Математика и физика в средней школе. сб. № 4, 1935 г., стр. 71.

Фиг. 28

Учитель. Чему равна сумма двух смежных углов?

Ученик. Сумма двух смежных углов равна 2 d.

Учитель. Запишем это для наших углов ЛОВ и АОЭ:

показывая и называя углы COD и АОЭ, спрашивает — какие они?

Ученик. Углы COD и AOD — смежные.

Учитель. Чему равна сумма этих смежных углов COD и AOD?

Ученик. Сумма углов COD и AOD как смежных равна 2 d.

Учитель. Записывает под написанным выше равенством равенство

^COD+/_AOD — 2 d.

Получается запись:

£mAOB + £AOD = 2 d, ^COD+£AOD = 2 d.

Учитель. Что можно заметить, сравнив правые части этих равенств?

Ученик. Правые части у них равны.

Учитель. Что отсюда следует?

Ученик. Что у них должны быть равны и левые части.

Учитель. Почему?

Ученик. На основании положения: две величины, равные порознь одной и той же третьей, равны между собой.

Учитель. Записывает:

£ АОВ +£AOD = /_ COD + AOD.

Что можно заметить, сравнив обе части записанного равенства?

Ученик. В обе его части входит один и тот же угол AOD.

Учитель. А если мы от обеих частей этого равенства отнимем один и тот же угол AOD, то нарушится ли равенство?

Ученик. Равенство это не нарушится.

Учитель. Почему?

Ученик. Если мы от равных величин отнимем равные, то получим равные. Учитель. Записывает:

^AOB = ^mCOD.

Вопросы задаются всему классу, а отвечает только ученик, всякий раз называемый преподавателем, конечно, не один и тот же. Хоровых ответов допускать не следует.

После сделанного вывода, что é/mAOB = ^mCOD, преподаватель вызывает кого-либо из учеников повторить связно все доказательство теоремы с самого начала.

Но этим работа еще не закончена. Очень полезно всякий раз после дедуктивного доказательства какой-либо теоремы, заставить кого-либо из учеников перечислить по порядку те теоремы и положения, на основании которых теорема доказана. Так, после только-что доказанной теоремы о равенстве противоположных углов учащийся должен указать, что были использованы:

1) теорема: сумма смежных углов равна 2 d\

2) положения: а) две величины, равные порознь одной и той же третьей, равны между собой; б) если от равных величин отнять равные, то получатся равные.

XII. Выработка доказательства аналитическим методом

Перейдем к указанию, как вырабатывать доказательство теоремы аналитическим методом, или как его назвал Декарт—«методом изобретателя».

В литературе можно указать такие примеры: доказательство теоремы о двух перпендикулярах Юнгом*, доказательство теоремы о биссектрисе внутреннего угла треугольника проф. Кавуном**.

Со своей стороны можем предложить доказательство теоремы «Перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняя пропорциональная величина между отрезками гипотенузы, а каждый из катетов есть средняя пропорциональная между всей гипотенузой и прилежащим отрезком».

Стоит только сделать чертеж и отчетливо усвоить, что дано и что требуется доказать, как доказательство не будет представлять особых затруднений. Само содержание теоремы диктует расчленение ее на три части.

Начнем с первой части. Дан прямоугольный треугольник и перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, а требуется доказать, что этот перпендикуляр есть средняя пропорциональная между отрезками гипотенузы.

* Дж. В. А. Юнг, Как преподавать математику. СПБ. 1912 г. ч. 2, стр. 288—289.

** Математика и физика в средней школе. Метод, сб. № 4. 1935 г., стр. 70—72.

Фиг. 29

Сделаем чертеж (фиг. 29). Запишем, что дано и что требуется доказать.

Уже из доказательства ряда предыдущих теорем учащиеся должны быть подведены к факту, что пропорциональность отрезков часто устанавливается из подобия треугольников. Ставим перед учащимися вопрос: «какие же отрезки у нас входят в пропорцию, которую нам необходимо доказать?» Легко ответить: отрезки DC, AD и DB. Отсюда явно напрашиваются для использования треугольники ACD и CDB. Необходимо только доказать их подобие. Признак подобия прямоугольных треугольников по соответственно равному острому углу 1 = — £ 2, как углы с взаимно-перпендикулярными сторонами) дает это доказательство. Теперь остается использовать пропорциональность сходственных сторон AD и DC, DC и DB подобных треугольников ACD и CDB и теорема доказана:

Следует пояснить учащимся, что сторона DC является большим катетом треугольника ACD и меньшим катетом треугольника CDB.

Переходим к доказательству второй части теоремы: катет АС есть средняя пропорциональная величина между всей гипотенузой и прилежащим отрезком, т. е.

Отрезки, входящие в пропорцию, суть AB, АС и AD; они указывают, что следует использовать треугольники ACD и АСВ. Подобие этих треугольников доказывается наличием у них общего острого угла 3. Замечая, что АС является гипотенузой треугольника ACD и меньшим катетом треугольника АСВ, и используя пропорциональность сходственных сторон подобных трегольников, имеем искомую пропорцию

Аналогично доказывается третья часть теоремы:

Итак, как мы доказывали эту теорему:

1) прежде всего расчленили доказательство на три части, чем помогли учащимся легче и глубже сосредоточиться на каждой части*;

2) сопоставили искомое с данными — шли от неизвестного искомого к известному, и, использовав сопоставление, шли уже от известного к неизвестному;

3) использовали известное нам из ряда доказательств теорем положение, что пропорциональность отрезков устанавливается часто из факта подобия треугольников.

Весь этот процесс доказательства ведется путем беседы с учащимися. Приведем некоторые вопросы и соответствующие ответы, каких мы вправе потребовать от учащихся.

Вопрос. Какую пропорцию требуется доказать?

Ответ. Надо доказать пропорцию:

Вопрос. Какие отрезки входят в эгу пропорцию?

Ответ. В нее входят отрезки DC, AD и DB.

Вопрос. В какие треугольники входят эти отрезки?

Ответ. Они входят в треугольники ACD и DCB.

Вопрос. Чем отличается отрезок DC от отрезков AD и DB, входит ли он в один треугольник или в два?

Ответ. Отрезок DC входит в два треугольника, ACD и DCB.

Вопрос. Каким является каждый из этих треугольников с точки зрения углов?

Ответ. Эти треугольники прямоугольные.

Вопрос. В каких, вообще, треугольниках пропорциональны сходственные стороны ?

Ответ. Сходственные стороны пропорциональны в подобных треугольниках.

Вопрос. Доказать подобие каких треугольников нам следует, чтобы установить пропорциональность отрезков DC, AD и DB?

* В «Систематическом курсе геометрии» Ю. О. Гурвиц и Р. В. Гангнус, ч I, стр. 125, авторы разбивают эту теорему на три теоремы, несколько отличающиеся от сделанного мною деления; самый факт расчленения следует признать методически правильным и целесообразным.

Ответ. Следует доказать подобие треугольников ACD и DCB и т. д.

После выработки такого доказательства преподаватель вызывает какого-либо ученика для дедуктивного доказательства теоремы.

XIII. Беседа как прием изложения материала

Трудность доказательства теоремы путем беседы заключается в том, что легко затянуть изложение. Не должно быть лишних вопросов, сами вопросы должны быть четки, посильны учащимся и т. д., словом, беседа требует от учителя мастерства. При неумелом ведении беседы можно запутать простое дело и потерять много времени. Чтобы этого не случилось, следует самым основательным образом готовиться к уроку, обдумывая каждый вопрос, задаваемый ученику. Но даже и при умелом ведении беседы чрезмерное увлечение вопросами ведет к замедлению изложения. Мы никак не можем согласиться хотя бы с тем, как ведет урок Лицман при доказательстве теоремы Пифагора. Учитель задает буквально целую сотню вопросов. Этот урок занимает у Лицмана почти б1/* печатных страниц. В другом месте он говорит, что в «Методиках» отказываются целиком воспроизводить всю игру вопросов и ответов (das ganze Spiel der Fragen und Antworten), как она происходит на настоящем уроке, уже на том основании, что один единственный живой урок составит самое меньшее 16 страниц. Это, конечно, чересчур. Вообще же, ведение урока путем беседы является одним из способов, заставляющих всех учеников принимать активное участие в работе. Ответы учащихся должны быть также четки, как и вопросы учителя. Не надо забывать, что одной из задач при обучении геометрии является воспитание в учащихся «привычки мыслить активно и отчетливо»*. Ответов учащихся вроде: «нет», «да» допускать ни в коем случае не следует.

XIV. Некоторые правила математического исследования в геометрии и сообщение их учащимся

Адамар (Hadamard) в его «Leçons de Géométrie élémentaire» в главе «Sur la méthode en géométrie» пишет: «Под этим заголовком мы хотели бы собрать несколько советов, которые, как мы думаем, были бы полезны для понимания математики, вообще, и, в особенности, для решения задач».

В самом деле, ученик должен знать, что его занятия математикой не только не смогут быть продуктивными, но потребуют от него чрезвычайных усилий, и создать себе точное представление о математике он не сможет в том случае, если он не добьется уменья понимать те рассуждения, которые ему предложены, строить их сам и находить, в той или иной мере, доказательства теорем или решения задач**.

На втором съезде преподавателей математики был сделан доклад М. Осинского — «Направляющие элементы математического исследования»***. Становясь на точку зрения, что постановка школьного преподавания должна быть в духе творческого воспитания, он пытается посильно способствовать выяснению, как это делать. В своем докладе М. Осинский указывает те правила, которыми следует руководиться при математическом исследовании. Часть из них, как раз те, что приведены и Адамаром в главе «Sur la méthode en géométrie», на что указывал и докладчик.

Вот некоторые из правил, приведенных М. Осинским, которые мы могли бы сообщить учащимся:

1) Нужно подставлять определения вместо терминов (правило Паскаля).

Пример. Доказать, что рассматриваемый угол прямой, значит доказать, что он равен своему смежному.

2) Приступая к доказательству теоремы, нужно точно выяснить гипотезу (условие. Г. М.) теоремы и заключение.

3) Равенство углов и отрезков доказывается из равенства треугольников, в которые они входят.

4) Равенства второй степени доказываются из подобных треугольников.

Пример. Произведение отрезков хорд AB, CD, проходящих через постоянную точку О внутри окружности, есть величина постоянная.

AO'OB = CO-OD.

Это равенство доказывается из подобных треугольников АОС и BOD или же из треугольников СОВ и AOD.

5) Равенство указывает, что нужно сделать для его доказательства.

Пример. В прямоугольном треугольнике ABC

АС2 = АВ2+ ВС2.

Это равенство указывает, что нужно найти AB2, затем ВС2 и полученные равенства сложить.

* Юнг. Методика математики, ч. 2, стр. 285.

** Jacques Hadamard. Leçons de Géométrie élémentaire, т. 1, стр. 261.

*** Доклады 2 Всероссийского съезда преподавателей математики, 1915 г., стр. 209—218.

6) При нахождении доказательства теорем и при решении задач нужно пользоваться аналогиями с доказательством известных теорем и с решением известных задач.

Как же эти правила сообщать учащимся? Нам думается, что сообщать их нужно не все сразу, а постепенно, по мере накопления соответствующего материала доказательства теорем, на надлежащем месте. Эти «советы», как называет их Адамар, или «правила», как называет М. Осинский, несомненно полезны учащимся при доказательстве ими теорем.

XVI. Запись на доске

Готовясь к уроку, преподаватель должен продумать, какой сделать чертеж на доске, где он будет помещаться, и что и как будет записано на доске при доказательстве теоремы. По поводу записей доказательства теорем существует статья Н. М. Несторовича— «О школьной геометрической идеографии»*. Каждому преподавателю следует с ней ознакомиться. Автор указывает такие достоинства идеографической записи:

1) Она дает возможность обозреть весь ход доказательства, так сказать, с высоты птичьего полета.

2) Представляет прекрасный мнемонический прием, позволяющий более или менее длинную цепь заключений представить в форме краткой записи.

3) Приучает к пользованию особым международным языком.

4) Обладает своеобразным изяществом лаконизма.

Но геометрическая идеография, как указывает Н. М. Несторович, должна удовлетворять ряду требований:

а) способы изображения геометрических объектов должны быть наиболее целесообразны:

б) символы должны быть универсальны;

в) удобны;

г) каждому знаку должно отвечать одно понятие.

Приведем примеры идеографической записи.

Теорема. Углы с взаимно-перпендикулярными сторонами равны или в сумме составляют 2d (фиг. 30).

Доказательство:

Однако, нужно сказать, что доказательство не всякой теоремы можно и следует записать идеографически. Если алгебраическое доказательство теоремы Пифагора удобно записывается идеографически, то доказательство, которое дано Евклидом, для такой записи представляет значительные трудности.

Записи доказательства на доске грешат в школах многословием и несистематичностью. Если в начале обучения необходимо писать слова: «Дано», «Требуется доказать», то в VIII—IX—X классах писать их излишне. Достаточно условиться: что дано — мы пишем над чертой, что требуется доказать — под чертой, сопровождая последнюю запись знаком вопрос.

Следует сказать об обозначениях. Здесь уместно привести слова Симона: «В элементарной математике надо особенно остерегаться слишком низкой оценки обозначений, потому что наглядность и ясность, а потому и успешность преподавания много зависит от знаков. Учитель значительно облегчает себе, исправление работ, если приучает класс к постоянно одинаковым обозначениям; в преподавании можно иногда менять буквы, но не принципы обозначения.*

Напомним, что у нас должны быть в записях стандартные математические обозначения, применение коих обязательно.**

В связи с записью теоремы на доске остается рассмотреть технику выполнения чертежа.

Кто чертит на доске чертеж при доказательстве новой теоремы—учитель или ученик? Иногда учитель, иногда ученик. Все зави-

* Математическое образование, № 5, 1929 г., стр. 174—183.

* М. Симон, Дидактика и методика математики в средней школе. СПБ, 1912 г., стр. 250.

** О стандартах математических обозначений. Физика, химия, математика и техника в советской школе, 1932 г. № 3, стр. 43-45.

сит от материала, от самого чертежа, от метода и приема изложения материала. Чертеж должен быть выполнен тщательно и аккуратно.

Разрешается пользоваться линейкой, наугольником и циркулем. Следует, однако, опасаться, как бы техника выполнения чертежа, отняв много времени, не заслонила бы к тому же сути дела. Лучше всего было бы, если бы учащиеся могли любой чертеж для доказательства теоремы хорошо выполнить без помощи чертежных инструментов, а только при помощи своей руки, глаза и куска мела.

XVII. Заключительная часть урока

В заключительной части урока происходит обычно доказательство теоремы кем-либо из учащихся. При этом незачем стирать с доски доказательство и чертеж, как это иногда практикуется, достаточно иногда, если учащийся повторит словесно все доказательство, которое записано кратко на доске. Воспроизведение чертежа и всего доказательства с записью отнимает слишком много времени, которого уж не так много. Тем более, что после повторения доказательства учеником, должно итти применение теоремы и закрепление ее на задачах. Нужно взять за правило: ни одного урока не должно быть только с доказательством теорем, непременно теорема должна сопровождаться решением задач. Возможны уроки, состоящие только из решения задач без доказательства теорем, но не наоборот.

Дидактика решения задач не входит в тему моей статьи. Все же можно сделать несколько замечаний.

При решении задачи так же, как и при доказательстве теоремы, необходимо добиться от учащихся четкого усвоения содержания задачи. Если задача берется не из стабильного задачника, то ее необходимо продиктовать учащимся.

Усвоение содержания задачи требует выяснения данных и искомых. Иногда установления этого достаточно, чтобы получить направление, в каком надо искать решения задачи. Запись как условия, так и решения задачи должна быть кратка и четка, принципиально выдержана и систематична.

Ни в коем случае не следует учителю при усвоении содержания задачи давать учащимся чертеж. Пусть ученик начертит его сам по условию задачи. Сделать правильно чертеж в таких случаях иногда значит уже почти решить задачу.

Здесь я не касаюсь дидактики ни решения задач на построение, ни решения задач по геометрии с применением тригонометрии.

Урок по геометрии заканчивается заданием на дом. Домашнее задание — этот вопрос, как и только что упомянутых два — исключительной важности и нуждается в особом рассмотрении.

XVIII. Исторические сведения на уроках геометрии

Наконец, последний вопрос.

Должно ли быть отведено место на уроках геометрии сообщению учащимся исторических фактов из области геометрии?

На это можно ответить словами М. Симона: «Нет лучшего отдыха после утомительной абстрактно-формальной математической работы, как слушать рассказы учителя о Вавилонии, египтянах, греках, арабах, эпохе Возрождения и т. д. и т. д., вместе с тем ничто не может сравниться с этим по своему образовательному значению», говорит Симон*. Исторические факты оживляют преподавание и заинтересовывают учащихся излагаемым материалом. Они не должны быть обширны, но они необходимы.

При изложении теоремы о площади треугольника, как половине произведения основания на высоту, следует остановиться на вычислении площади его египтянами, как это трактуется у Ахмеса: там вычисляется площадь равнобедренного треугольника как произведение основания на половину боковой стороны.

При выводе формулы площади треугольника по трем сторонам, формулы Герона необходимо остановиться на том, что Герон — греческий ученый, работавший около 100 лет до н. э. и характер его работ представляет его выдающимся «инженером» античного мира, что формула площади треугольника по трем сторонам приведена им в сочинении «О диоптрах», являвшемся долгое время основным руководством по землемерию.

При изложении теоремы о квадрате гипотенузы прямоугольного треугольника, известной под названием теоремы Пифагора, следует остановиться на том, что Пифагор мог узнать у египтян о справедливости этой теоремы для частного случая, когда стороны треугольника равны соответственно 3, 4 и 5. Можно также указать на индусское происхождение этой теоремы, возникшей еще раньше в V веке до н. э. на почве технических приемов, применявшихся индусами при постройке жертвенников и т. д.

* Симон. Методика, стр. 245.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О ЗАДАЧНИКЕ ПО АЛГЕБРЕ ШАПОШНИКОВА И ВАЛЬЦОВА

ПРЯНИШНИКОВ (Москва)

Задачник по алгебре Шапошникова и Вальцова является основным задачником по математике в средней школе. Но, к сожалению, этот задачник имеет ряд мелких недостатков, на которые необходимо обратить должное внимание.

Первым, бьющим в глазе недостатком, является наличие в задачнике большого количества самых разнообразных опечаток, что весьма тормозит нормальный ход работы в классе. Опечатки часто отнимают у учащихся большое количество времени при выполнении домашних заданий, когда учащийся хорошо понимает задачу и умеет ее решать, но никак не может получить указанного ответа по той лишь причине, что или в задачу, или в ответ вкралась опечатка. Сплошь и рядом приходится слышать от учащихся: «Я вчера просидел над этой задачей больше двух часов и все-таки не смог ее сделать». Оказывается, причиной непроизводительной траты двух часов является опечатка. А если задуматься над тем, сколько таких непроизводительных часов тратится всеми учащимися по всей сети школ нашего Союза, то значение опечаток в стабильных задачниках принимает угрожающие размеры и над этим вопросом надо задуматься.

Для иллюстрации засоренности задачника опечатками приведем следующий фактический материал:

Возьмем издание 1933 г.:

1) В главе III примеры № 63 второй и Д£ 64 первый совершенно одинаковы: аъ + 2а2 — 2а — 4; здесь у одного из примеров надо изменить на обратные знаки средних членов.

2) В главе III пример № 143 напечатан:

(Д ~Ь)*+ 2Ь (Ь — 2д) + Ь2

надо было напечатать: (а — b)2+2b (b — а) Ъ~

3) Ответ к примеру 172 глава III напечатан:

(т — п) (р — т — п)

надо было напечатать: (m — п) (р — га + п) (В изд. 1934 г. исправлено).

4) В главе III пример № 126 второй напечатан:

(5с —3rf)2 —35d2, надо было напечатать: (5с — 3d)2 — 25d2 или (5с— —3d)2 — 36rf2.

5) В главе IV Jtë 12 второй пример напечатан:

надо было напечатать

(или вместо 65 поставить 60).

6) В главе IV пример № 27 напечатан:

надо было напечатать

7) В главе IV пример № 28 напечатан:

Надо было напечатать

8) Глава IV пример № 37 напечатан:

в знаменателе у одного из членов (кроме — 6ab2) надо изменить знак на обратный. В изданиях 1934/35 г. знак изменен у— 6 be2.

Такое количество опечаток, из которых четыре падают на задачи с № 12 по № 49 одного первого параграфа четвертой главы, явно указывает на очень плохую работу корректора при выпуске этого задачника.

Так же обстоит дело со второй частью задачника выпуска 1933 г.

Вообще задачник издания 1933 г. особенно изобилует опечатками. Каждый преподаватель, если у его учеников имеются задачники этого издания, должен внести в них исправления по последующим изданиям. Но и это далеко не всегда помогает.

Если взять задачники издания 1935 г., то некоторые опечатки в них исправлены, другие оставлены без изменения, но, к сожалению, в них встречаются новые опечатки, которых не было в издании 1933 г., так например:

1) В задаче № 82 III главы первый член напечатан: X2, надо было напечатать: Xs.

2) В задаче № 198 III главы последний член напечатан — abed, надо было напечатать — 4 abed.

3) Во втором уравнении примера № 236 VI главы напечатано:

надо было напечатать:

а в другом издании правая часть этого уравнения напечатана:

Между прочим пример № 236 выходит все равно верно: стоит ли в знаменателе дроби 5, или 4, или вообще любое число.

Этот пример мы рассмотрим подробнее в дальнейшей части заметки.

4) К задаче № 6 главы VIII напечатан ответ:

Надо было напечатать:

5) Второе уравнение задачи № 237 (глава VI) напечатано в издании 1933 года:

В издании 1934 года оно напечатано с перепутанными знаменателями, а именно

А в издании 1935 года оно напечатано и с перепутанными знаменателями и с измененной правой частью:

т. е. получилось совсем другое уравнение, причем это последнее уравнение дает те же ответы

х = 3, у = 2

Вот и представьте себе положение преподавателя, когда у некоторых учеников будет задачник 1933 года, а у других издания 1935 года. И те и другие ученики будут говорить, что у них задача и напечатана и решена правильно. И те и другие ученики правы. А что должен им сказать преподаватель?! Опечатка. Нет не опечатка, потому что ответы верные. А если преподаватель объяснит, что это совсем разные примеры, то сейчас же ему скажут: «А почему под одним и тем же номером стоят разные примеры?»

К методическим недостаткам задачника надо отнести ответ, данный к задаче № 80 главы IV на сложение и вычитание дробей.

В задачнике напечатано:

вместо-^--, т. е. ответ дан в несокращенном виде.

Отметив нежелательное наличие опечаток во всех изданиях задачника Шапошникова и Вальцова, перейдем к разбору расположения некоторого материала.

В главе III «Разложение на множители» не помещен способ разложения квадратного трехчлена вида х2 + Ьх + с, например а2 + 9а + 14. Между тем задачи в IV главе за № 42, 43, 44, 45, 46 и 47 (издания 1933 года) и задачи в той же IV главе (всех изданий) за № 62, 101, 102, 201, 202 и задачи в главе VI (всех изданий) за № 124, 125 решаются только этим способом разложения квадратного трехчлена.

В изданиях 1935 года задачи за № 42, 43, 44, 45, 46 и 47 главы IV заменены другими, в которых этот способ не применяется, но все остальные перечисленные задачи в издании 1935 года остались без изменения и решить их без знания способа разложения квадратного трехчлена нельзя. Получился разрыв. Повидимому, надо или все эти задачи тоже изъять, а также изъять и ряд других задач, которые в процессе решения приводят к этому способу, как например № 223, 224 в IV главе.

Или может быть правильнее сделать обратное, а именно не исключать эти примеры, а ввести в главу III пропущенный в ней способ «разложение квадратного трехчлена». Этот способ весьма важен, тем более как имеющий в дальнейшем тесную связь с решением простейших квадратных уравнений без формул.

Прекрасным достижением задачника, начиная с издания 1933 года является выделение в III главе в отдельный § 2 способа, который в изданиях 1933 года называется: «Вынесение за скобку выражения, заключенного в скобку», а в изданиях 1935 года уже иначе: «Вынесение за скобки многочленного множителя». И тот и другой заголовки, пожалуй, мало удачны, из них второй является более легко понимаемым. Но считаясь с тем, что в приведенных 24 задачах на этот способ только в двух задачах, а именно в № 45 и № 46 выносится за скобку многочленный множитель (да и то только трехчленный), а во всех остальных 22 задачах выносится только двучлен, да и во всех последующих разложениях приходится обычно выносить за скобку только двучлен, то этот способ может быть более правильным было бы озаглавить: «Вынесение за скобку двучленного множителя». Такой зоголовок был бы более реален, его легче воспринимала бы учащаяся молодежь. А при пояснении этого способа можно упомянуть, что если общий множитель, стоящий в скобках и не двучлен, а трехчлен или многочлен, то с ним надо поступать так же, как и с двучленом.

Теперь несколько слов о задачах, относящихся к этому способу.

Обычно этот способ является особо трудно-воспринимаемым учащимися. И поэтому тех трех задач № 31, 32 и 33, в которых этот способ применяется без всяких осложнений, совершенно недостаточно. На этих задачах усваивается самый способ и их надо было бы привести не менее хотя бы 10 примеров. Иначе получается, что на трех примерах (№ 31, 32, 33) учащиеся не усвоят этого способа, а дальше идут задачи, в которых кроме этого способа уже есть своеобразные осложнения. В результате ученики не понимают ни самого способа, ни этих осложнений. А осложнения начинаются сразу с четвертого примера (№ 34): 2 [р — I)2 — 4q\р — 1).

Этот случай, когда один двучлен стоит в первой степени, а другой во второй, является весьма сбивчивым. Если уже обязательно надо, чтобы этот пример стоял в этом месте задачника, то надо было дать не один, а несколько таких примеров, чтобы учащиеся толком могли в них разобраться.

Правда, в № 47 и 48 мы встречаем опять же этот случай, но уже с еще большим осложнением, например: № 48 3 р (р — q)— b{q— pf надо изменить знаки первой или второй скобки.

Меняя знаки первой скобки на обратные, мы меняем и + Зр на — Зр.

А если изменить знак у второй скобки,, то знак у—5 менять не надо.

Преподаватель, конечно, объясняет ученикам, что (q — р)2 = (р — q)2, продемонстрирует это на числовом примере:

Задача будет сделана, но все-таки у учеников, только что начинающих изучать разложение на множители, этим примером подрывается впечатление того правила, что для перемены знаков у многочлена, стоящего в скобках, надо изменить знак, стоящий перед скобкой.

Можно ли сказать, что примеры № 47 и 48 плохие? Нет, эти примеры очень хорошие, но может быть им место не в §2, где только изучается способ вынесешь за скобку, а не лучше ли поместить их в § 6 той же главы III, где даются всевозможные комбинированные задачи на все способы разложения на множители.

Что касается системы уравнений I степени, то непонятно, зачем в VI главе задачника введены задачи с № 351 по 370 с 4,5 и даже с 6 неизвестными; кажется, такие задачи ни в каких программах не стоят.

С другой стороны, при проработке полных квадратных уравнений чувствуется недостаток в более сложных примерах, кроме приведенных в главе VIII с № 17 по 52; хотелось бы иметь дробные члены с разнообразными разложениями знаменателей на множители.

Перейдем к рассмотрению некоторых отдельных задач. Возьмем задачу № 236 из главы VI

В некоторых изданиях (печать 18-й типографии, 1935 г.) дробь, стоящая в левой части второго уравнения, имеет в знаменателе 5, т. е. имеет вид---—— .

Оказывается, если взять в знаменателе 5 или 4, ответы получаются все равно те же самые X =12, у = 6.

Знаменатель в этой дроби--не имеет никакого значения, он может быть равен чему угодно, так как при * = 12, у = 6 числитель ее X — 2^ = 0 и вся дробь равна нулю. Эта дробь, как равная нулю, совсем может быть изъята из второго уравнения, т. е. уравнение примет вид:

и тогда ответы остаются те же.

В одной из групп по подготовке в вузы эта задача была дана на дом. На следующем занятии мы проверяли эту задачу на доске.

Учащийся выписал на доске дробь со знаменателем 5; часть студентов сейчас же запротестовала, указывая, что знаменатель должен быть 4. Получилась неясность. Учащиеся, настаивая на 4 или на 5, в доказательство приводили то, что именно с этим знаменателем задача выходит по ответу. Пришлось перед решением объяснить, что эта дробь равна нулю и знаменатель может быть какой угодно. А для большей убедительности я стер стоящий на доске знаменатель 5, написал вместо него 7 и при некотором противодействии группы стали решать эту систему со знаменателем 7. Велико было удивление группы, когда мы получили те же ответы X— 12, .у = 6. Часть студентов сейчас же с иронией заявила: «Значит всегда можно у всех дробей менять знаменатели на любые числа». Пришлось еще раз пояснить, что это возможно было сделать только в этом примере, так как числитель равен нулю. Думается, что у части учащихся все же осталось впечатление, что я с этой задачей что-то сплутовал.

А теперь можно поставить вопрос не перед учащимися, а перед читающими этот журнал: зачем эта задача стоит в задачнике? Каждая задача ценна тем, что в ней не должно быть ничего лишнего. В этой задаче дробь---—— является совсем лишней. Эту дробь, думается, надо изъять из примера.

Перейдем к задачам на составление уравнений. Учащуюся молодежь вполне справедливо возмущает наивный, часто маложизненный, а подчас устарелый текст задач.

Возьмем задачу № 373 глава VI. «В трех корзинах находится 47 яблок, причем в первой и во второй поровну, а в третьей на 2 яблока больше, чем в каждой из остальных. Сколько яблок в каждой корзине?»

Неужели нельзя было к этой задаче дать другой текст, более близкий к жизни?

Есть и такие задачи, которые уже устарели по своему содержанию, как например № 420, в которой говорится, что кооператив получил сахар и стал его распределять между пайщиками по 2,5 килограмма на пай; или задача № 375, в которой говорится о часах, цепочке и брелоке. Часто приходится слышать вопрос: «А что такое брелок?»

Возьмем задачу № 489 VI главы.

Вот ее текст: «Турист вышел из одного места в другое. Если бы он проходил в час одним километром меньше, то на весь путь ему понадобилось бы шестью часами больше, чем теперь; а если бы он проходил в час двумя километрами больше, то совершил бы путь в g- того времени, которое он употребляет теперь. Найти время движения и скорость его».

Обозначив время движения через х, и скорость движения через у9 получаем два уравнения

Сократив первое уравнение на х, получаем одно уравнение с одним неизвестным

Это же уравнение получается и без затрачивания неизвестного х; а именно, если при новой скорости (у + 2) турист проходит весь путь в — первоначального времени, следовательно первая скорость равна — второй скорости, т. е. У= g- (у + 2).

В отношении определения скорости эта задача является с одним неизвестным, а получив скорость движения (у = 4), мы считаем ее как известное данное и для определения времени

движения опять же составляем одно уравнение с одним неизвестным х:

Таким образом эта задача получается не как пример на систему двух уравнений с двумя неизвестными, а представляет из себя две задачи, каждая из которых приводит к уравнению первой степени с одним неизвестным.

Если этой задачей предусматривалась система с двумя неизвестными, то возможно эту задачу как сбивчивую следовало бы или изменить или исключить. Иначе у учеников VII класса может получиться сбивчивое впечатление, что решая систему уравнений с двумя неизвестными, можно обойтись только с одним неизвестным.

Совершенно то же можно сказать и о задаче № 490 главы VI.

Разберем задачу № 463 из VI главы. Эта задача в издании 1933 года дана со следующим текстом:

«Латунь состоит из меди и цинка. Сколько содержится меди и сколько цинка в сплаве в 124 кг, если*89 кг меди при опускании в воду испытывают давление в 10 кг; 7 кг цинка при тех же условиях испытывают давление в 1 кг; а 124 кг латуни — давление в 15 кгЪ Ответ получается 89 и 35. В издании 1935 года текст этой задачи изменен, а именно:

«Латунь состоит из меди и цинка. Сколько содержится меди и сколько цинка в сплаве в 124 кг, если удельный вес меди 8,9, удельный вес цинка 7 и удельный вес латуни 8,25?» И ответы даны лишь приблизительные 88 и 36, но уже не 89 и 35.

Почему же ответы получаются лишь приблизительные и не те, какие получаются по задачнику издания 1933 года?

Расхождение в ответах получается потому, что в издании 1935 года удельный вес латуни дан 8,25 вместо 8,27, который получается в издании 1933 года (124: 15 = 8,27). Зачем надо было давать измененный на 0,02 удельный вес латуни, что повлекло к приблизительному ответу, и с весьма отдаленным приближением, так как он отличается от ответа но изданию 1933 года на 1 килограмм. При удельном весе 8,27 получается тоже приблизительный ответ, но уже схожий с изданием 1933 года, а именно 89 и 35.

А если бы дать удельный вес латуни 8 -77-, то ответ получился бы точный 89 и 35 без каких-либо приближений.

Невольно навязывается вопрос: зачем при очень хорошем упрощении текста этой задачи в издании 1935 г. дан сбивчивый удельный вес латуни, приводящий к приближенному ответу?

Кроме того здесь вполне уместно сделать замечание о безусловной необходимости давать правильные данные в задачах.

В задаче (№ 463) удельный вес цинка дан равным 7, а удельный вес латуни равным 8,25. А если посмотреть таблицу удельных весов в задачнике по физике Фалеева и Нарышкина за 1934 г., страница 79, то мы увидим там, что удельный вес цинка равен 7,2 и латуни 8,4. Сообразительные и любознательные ученики всегда могут спросить, чем объясняется такое расхождение в удельных весах. И что должен ответить им преподаватель?! Думается, что нельзя давать задач с непроверенными данными, вызывающими вполне справедливые недоуменные вопросы.

Возьмем задачу № 82 (И) глава VIII на составление квадратных уравнений:

«После того как 9 колхозе лошади пахали пар в течение 8 дней, в колхоз прибыл трактор и вместе с лошадьми допахал остаток пара в 3 дня. Если бы лошади и трактор работали все время вместе, то они закончили бы пахоту в 9 дней. Определить сколько надо тракторов, чтобы поднять пар колхоза в тот же срок».

Эта задача, кажется, приводит к уравнению первой степени, а не к квадратному, а именно:

Обозначим время, нужное для всей пахоты одним трактором, через х.

Рассуждаем:

1) Лошади с трактором кончают пахоту в 9 дней, следовательно в 1 день они вспахивают g- часть.

2) В 3 дня лошади с трактором вспахали

3) Одни лошади в 8 дней вспахали

4) Одни лошади в 1 день вспахивают

5) Лошади с трактором в один дань вспахивают— + .-4- из (1) и (5) получаем уравнение

Определив, что одному трактору надо для всей вспашки 36 дней и учтя, что всю работу надо закончить в 9 дней получаем ответ: для окончания работы в 9 дней потребуется 7^ = 4 трактора. Возможно, что при каком-либо другом методе ее решения эта задача приведет и к квадратному уравнению, но думается, что более соответствующее место для нее было бы в отделе уравнений первой степени.

Затем несколько общих мелких замечаний.

Главу VII о квадратном корне и главу VIII о квадратных уравнениях с числовыми коэфициентами хорошо бы перенести во вторую часть задачника. Курс VII класса заканчивается уравнениями первой степени, а квадратный корень и квадратные уравнения целиком проходятся в VIII классе. Получается техническое неудобство, когда при решении квадратных уравнений приходится пользоваться и первой и второй частью задачника.

Почему ответы в задачнике даны не ко всем задачам? Например, нет ответов к задачам с № 232 по № 254 (глава II), с № 342 по № 366, (глава II), с № 52—54 (глава III), а № 61—63,65, 67—69, 72—75 (глава III), с № 27—31 (глава IV).

При даче домашних заданий обыкновенно приходится называть номер задачи и страницу,

что часто весьма затрудняет работу, так как номер страницы бывает напечатан весьма неясно. Не лучше ли было бы все задачи скажем первой части (их всего 3227) перенумеровать с № 1 по № 3227.

Следовало бы обратить внимание на чрезвычайно мелкий шрифт в задачнике; это в особенности касается показателей степеней. Очень часто совсем нельзя разобрать, что напечатано 3 или 8 или 2. Следовало бы печатать все числовые данные, в особенности показатели более крупным шрифтом.

Хочется еще сделать одно замечание общего характера. Во всех отделах задачника дано мало трудных задач. А ведь, когда окончившие десятилетку держат испытания при поступлении в вузы, то там им дают задачи несколько более трудные, сравнительно с теми, какие имеются в задачнике Шапошникова и Вальцова. Получается некоторый разрыв между десятилеткой и вступительными испытаниями в вузы. Хорошо было бы пополнить задачник такими задачами, какие даются при поступлении в вузы.

А особенно было бы полезным делом для учащихся и для преподавателей, если все вузы и втузы по окончании приемных испытаний присылали бы в какой-либо отдел Наркомпроса все варианты задач, которые ими были предложены на приемных испытаниях для того, чтобы все эти варианты были бы просмотрены и изданы отдельным специальным справочником.

В настоящей заметке ничего не сказано о задачниках издания 1936 г. потому, что составитель заметки не анализировал специально задачники 1933—1935 годов, а лишь отмечал те опечатки и недостатки задачника Шапошникова и Вальцова, с которыми ему приходилось встречаться при непосредственной работе с классом.

Задачника же 1936 года почти ни у кого в классе не было. Но если взять задачник 1936 г. (печать 1-й Образцовой типографии), то все отмеченные нами недочеты в нем целиком повторяются, так же как повторяются и опечатки, например: задачи № 63 вторая и № 64 первая главы III опять одинаковы, в задаче № 82 главы III первый член опять je2, ответ к задаче № 80 главы IV не сокращен, ответы к задаче № 6 главы VIII снова даны Ой-.

А если проверить весь задачник 1936 года, то пожалуй, к сожалению, в нем окажутся новые опечатки, которых нет в изданиях 1933—1935 годов.

Если подмеченные здесь недостатки существенны, то было бы желательно просмотреть весь задачник с начала до конца, выявить еще другие возможные недостатки полностью, абсолютно точно выверить этот задачник и организовать печатание его только в какой-либо одной типографии, с одних и тех же матриц, причем корректура этих матриц должна быть особо тщательно проверена. После такой обработки будут из задачника изъяты или переделаны устаревшие по тексту задачи или методически неточно составленные, будет пополнено количество задач в некоторых отделах, будут даны ответы на все задачи (кроме тех, ответы которых являются их полным решением) и будут изъяты все опечатки, которые подчас являются бичом в работе преподавателя.

Получив такой задачник, все преподаватели и все учащиеся скажут вполне заслуженное спасибо издателям.

Борясь за качество учебы, мы обязаны в первую очередь бороться за качество учебника.

ОБЗОР НОВЫХ КНИГ

С. НОВОСЕЛОВ (Москва)

П. Л. ЧЕБЫШЕВ. Высшая алгебра. Редакция и дополнения проф. Куренского. Издательство Академии наук СССР, 1936 год. Стр. 195. Цена в пер. 9 руб. 50 коп.

Книга «Высшая алгебра» составлена по запискам лекций, читанных знаменитым русским ученым П. А. Чебышевым в Петербургском университете в 1856—1857 гг. Данная книга представляет главным образом исторический интерес. Современный курс высшей алгебры в объеме программ университетов и педагогических институтов значительным образом отличается от курса алгебры средины прошлого столетия как по объему, так и по строгости изложения. Так например, в своих лекциях Чебышев не касается теории детерминантов и исследования систем линейных уравнений. Теория симметрических функций и проблема исключения излагаются в современных руководствах значительно полнее. Современная математика предъявляет более высокие требования к строгости математических рассуждений и доказательств. Например изложение теории комплексных чисел, которого придерживались математики средины прошлого столетия, не может удовлетворить современного читателя. В этом изложении отсутствуют определения понятия комплексного числа и действий над комплексными числами. Все операции над комплексными числами производятся без достаточного обоснования по правилам действий над многочленами с заменой i2 на —1. Далее заметим, что доказательство основной теоремы высшей алгебры (о существовании корня алгебраического уравнения) с современной точки зрения не является вполне строгим. Многие доказательства и обозначения, с которыми встретится читатель в книге Чебышева, покажутся современному математику излишне громоздкими. В лекциях Чебышева уделено много внимания вопросам отделения и приближенного вычисления корней алгебраических уравнений. Читатель, интересующийся приближенными вычислениями, найдет в книге Чебышева много весьма разнообразных приемов численного решения уравнений. Большую часть книги занимают дополнения редактора, проф. Куренского. Задача этих дополнений, по словам Куренского (в предисловии), состоит в том, чтобы сделать книгу пригодной в качестве учебника для вузов. Заметим, однако, что в настоящее время имеется целый ряд руководств, в которых дано более подробное и современное изложение высшей алгебры, чем в дополнениях Куренского. Особенно неудачным я считаю изложение теории детерминантов и исследование

систем линейных уравнений, где даже не дано общего определения детерминанта с достаточной четкостью. Доказательство теоремы Лапласа, данное Куренским, ни в коей мере не является строгим. Приведем пример рассуждений, которыми пользуется Куренский при исследовании систем линейных уравнений «2оо—Зоо или оо — оо может быть любым числом, в частности числом 4» (стр. 123). Ясно, что такого рода рассуждения никоим образом не могут удовлетворить современного математика. Дополнения Куренского не делают книгу пригодной в качестве учебника для вузов, лекции же знаменитого математика прошлого столетия акад. Чебышева бесспорно представляют исторический интерес.

Акад. Ж. АДАМАР. Элементарная, геометрия. Часть 1-я. Планиметрия. Пособие для высших педагогических учебных заведений и преподавателей средней школы. Перевод с 11-го французского издания. Учпедгиз. Москва. 1936 г. Стр. 292. Цена в пер. 4 руб. 25 коп.

В первой части книги академика Жака Адамара «Элементарная геометрия» изложены основные вопросы планиметрии в объеме, значительно превосходящем обычный школьный курс. Книга рассчитана на читателя, желающего углубить свои познания по элементарной геометрии. Из отделов планиметрии, не входящих в школьную программу, в книге Адамара изложены следующие вопросы: учение об ангармоническом отношении, гармонических пучках и трансверсалях треугольника, а также полюсы и поляры относительно окружности и преобразование при помощи инверсии. Вопросы планиметрии, входящие в школьные программы, изложены Адамаром значительно более подробно и с большей строгостью, чем в обычных учебниках элементарной геометрии. При построении планиметрии Адамар не следует аксиоматическому пути, что необходимо для строго логического обоснования геометрии, но является малодоступным для начинающего и выходит за пределы элементарной математики. Поэтому автор оперирует с такими понятиями, как «поверхность», «угол», «расстояние» и пр., основываясь на наглядном представлении. Книга снабжена интересными добавлениями, которые не без пользы для себя прочтет учитель средней школы, а также всякий интересующийся геометрией. Из этих добавлений наибольший интерес представляют главы «О методах, применяемых в геометрии», «О постулате Евклида» и «О понятии площади», где Адамар в простой и увлекательной форме останавливает внимание читателя на весьма важных научных и методических вопросах. На протяжении всей книги автором проводится чрезвычайно важная в современной геометрии идея геометрического преобразования, начиная от преобразований переноса и симметрии и кончая преобразованиями при помощи инверсий и поляр. Читателю, интересующемуся геометрией, книга Адамара принесет пользу тем, что она даст основательную подготовку для дальнейшего изучения геометрии. Отметим, что Адамар уделяет много внимания элементарному рассмотрению вопросов, играющих важную роль в проективной геометрии (сложное отношение, гармонические пучки, полюсы и поляры). Применительно к работе в средней школе книга Адамара может быть использована учителем в качестве пособия. Обилие разнообразного и интересного материала может быть использовано учителем для подбора геометрических тем для школьных кружков. Можно смело надеяться, что книга знаменитого современного математика акад. Адамара встретит теплый прием со стороны советских математиков.

В. А. КРЕЧМАР. Задачник по алгебре. ОНТИ 1937 г. Стр. 424. Цена в пер. 6 руб. 75 коп.

Книга проф. Кречмара является сборником трудных задач по курсу элементарной алгебры и тригонометрии. Данный задачник рассчитан на лиц, знакомых только с курсом элементарной математики, но обладающих достаточно высоким уровнем математического развития. То обстоятельство, что в задачнике проф. Кречмара собрано большое количество разнообразных серьезных задач, требующих для своего решения применения весьма разнообразных методов, позволяет считать книгу ценным вкладом в учебную литературу по элементарной математике. Задачи и упражнения, собранные в книге Кречмара, в своем большинстве не могут быть использованы в средней школе для классных занятий, так как для своего решения они нередко требуют применения искусственных приемов, при этом предполагается, что учащийся обладает развитием математического мышления значительно выше среднего уровня. Данная книга принесет большую пользу в качестве пособия для учителей, а также для тех учеников, которые предполагают продолжить изучение математики по окончании школы. Каждая из задач, данных в сборнике, снабжена подробным решением, что делает возможным использование книги для самостоятельной работы. Бесспорно, книга представляла бы еще большую ценность, если автором, наряду с решением задач, были бы даны общие указания по поводу наиболее важных методов решения задач, а также относительно значения и применимости того или другого метода к рассмотрению различных вопросов алгебры.

В. А. КУДРЯВЦЕВ. Суммирование степеней натурального ряда чисел и числа Бернулли. ОНТИ НКПТ 1936 г. Стр. 72. Цена 1 руб.

В книге проф. Кудрявцева рассмотрены следующие вопросы: суммирование степеней натурального ряда чисел, числа Бернулли, основные свойства бернуллиевых чисел и применение чисел Бернулли к разложению в ряды некоторых элементарных функций. Наибольшое внимание автор уделяет вопросу о суммировании степеней натурального ряда чисел, т. е. вычислению сумм вида \к + 2к + 3* +...nk, а также исследованию элементарных свойств этих сумм. Основной материал книги изложен элементарно и не требует от читателя знания высшей математики. Лишь в последней главе автор пользуется методами математического анализа для доказательства теоремы Штаудта, а также для разложения в ряд котангенса и для представления бернуллиевых чисел при помощи рядов. Книга Кудрявцева содержит много интересного материала, который может быть использован учителем средней школы для работы школьных математических кружков. Особенно прост и изящен геометрический метод суммирования степеней натурального ряда чисел, изложенный в третьей главе. В целом книга проф. Кудрявцева обладает простотой и доступностью изложения, хотя местами изложение несколько сжато, а некоторые рассуж-

дения обладают излишней громоздкостью. Отметим, что из рассуждений, приведенных на стр. 24, еще не следует, что числа Бернулли, введенные в коэфициенты разложения сумм 2 г по степеням п, являются постоянными числами. Однако, как раз в этом существенном пункте было бы желательно более подробное разъяснение. Книга может быть рекомендована учащимся старших классов, желающим углубить свои познания по математике.

А. И. МАРКУШЕВИЧ. Ряды. Элементарный очерк. ОНТИ НКТП, 1936 г. Стр. 154. Цена 2 руб. 25 коп.

Книга А. И. Маркушевича «Ряды» рассчитана на читателя, владеющего только элементарной математикой в пределах программы средней школы. В книге рассмотрены следующие вопросы: элементы общей теории рядов, разложение элементарных функций в степенные ряды и применение рядов к приближенным вычислениям и составлению таблиц (логарифмов и значений тригонометрических функций). Понятие бесконечного ряда является одним из основных понятий современного математического анализа. Особо важную роль как в математике, также и в прикладных дисциплинах, играет вопрос о разложении функций в степенные ряды. Учитывая исключительную важность теории рядов, ясно, насколько существенной является задача элементарного, но вместе с тем научного изложения теории рядов, с расчетом дать читателю основательную подготовку для изучения рядов в курсе высшей математики. Эта трудная задача неплохо разрешена Маркушевичем. В его книге в доступной форме, но вместе с тем с достаточной строгостью изложены элементы теории рядов. Здесь читатель может познакомиться с представлением при помощи степенных рядов основных элементарных функций, сюда относятся обобщение формулы бинома Ньютона для произвольного действительного показателя и разложение в ряды функций sin л;, cosjc и Ig(l + х). Автор не только выводит разложения упомянутых функций в ряды, но останавливается также на использовании полученных рядов для приближенных вычислений значений функций, а также на оценке погрешности, получающейся при обрывании ряда. Заметим, что изложение не лишено некоторой неравномерности. Так, например, автор излишне подробно останавливается на выводе формулы бинома Ньютона для целого положительного показателя, что хорошо известно из курса элементарной математики; с другой стороны, такой основной вопрос, как общий критерий сходимости Коши, обычно вызывает у начинающего затруднения и требует более подробных пояснений для читателя, не имеющего специальной подготовки. Далее, останавливая внимание читателя на важных, и тонких вопросах, автор в других местах без надлежащих оговорок ограничивается в некоторых доказательствах неполной индукцией. Применительно к работе в средней школе, книга Маркушевича может быть использована для занятий математических кружков. Молодежи, интересующейся математикой, книга принесет пользу как в отношении подготовки к изучению математического анализа, так и в отношении повышения уровня математического развития.

И. Б. АБЕЛЬСОН. Максимум и мининум. ОНТИ, 1935 г. Стр. 107. Цена 1 руб.

Книга Абельсона рассчитана на читателя, знакомого с элементарной математикой в объеме программы средней школы. Как отмечает в предисловии редактор, проф. Люстерник, эта книга является одной из тех книг, которые должны заполнить существующий разрыв между литературой по элементарной и высшей математике. Книга Абельсона рассчитана главным образом на молодежь, интересующуюся математикой, она написана простым и доступным языком и может быть рекомендована в качестве пособия для работы школьных математических кружков. Книга содержит весьма большое число разнообразных, большей частью геометрических задач на нахождение минимума и максимума, которые могут быть решены элементарно. Основным методом, которым пользуется автор для решения разнообразных задач на минимум и максимум, является разложение приращения функции по степеням приращения независимого переменного и выделение члена, содержащего первую степень приращения аргумента, что является в скрытом виде диференцированием. Благодаря этому, ознакомление с книгой Абельсона даст учащемуся подготовку к восприятию основных идей диференциального исчисления. Оперируя с главной частью приращения функции, автор, к сожалению, не останавливается на элементарной теореме, утверждающей, что знак приращения функции, при достаточно малом приращении аргумента, совпадает со знаком члена, содержащего наименьшую степень приращения аргумента. Без этой теоремы невозможно строго обосновать неоднократно употребляемое автором отбрасывание бесконечно-малых величин высшего порядка. Это может привить учащемуся стремление к упрощенству, что в свою очередь может вредно отразиться при изучении математического анализа. Останавливаясь подробно на методе малых приращений, автор оставляет в стороне рассмотрение весьма важных и интересных геометрических методов решения задач на экстремум.

И. А. ГИБШ. Элементарная математика. Пособие для высших педагогических учебных заведений. Учпедгиз. Москва. 1936 г. Стр. 261. Цена в пер. 3 руб. 85 коп.

По словам автора, сказанным в предисловии, книга построена по программе курса элементарной математики физико-математических факультетов педагогических институтов. В книге рассмотрено большое количество различных вопросов, выбранных из разных отделов элементарной математики. В предисловии автор отмечает, что в основу книги было положено стремление к рассмотрению вопросов элементарной математики на более научной основе, по сравнению с обычным школьным курсом. Автор рассчитывает познакомить читателя с наиболее важными, научными методами математики.

Первые четыре главы нод названиями «Системы уравнений первой и второй степени», «Неравенства», «Общие свойства степени и логарифма» и «Теория соединений» посвящены алгебраическим вопросам, затем следуют главы, посвященные теории вероятностей, стереометрии и тригонометрии, после чего в главах «Обоснование действий над алгебраическими выраже-

ниями» и «Теория эквивалентности уравнений», автор снова возвращается к алгебре. Такое расположение материала способно вызвать некоторое недоумение, ибо ясно, что изложение теории эквивалентности уравнений и действий над алгебраическими выражениями должно по самой сути дела предшествовать исследованию систем уравнений. В главах, посвященных стереометрии, автор останавливается на следующих вопросах: прямые и плоскости в пространстве, многогранные углы, конгруентность и подобие многогранников. При чтении этих глав прежде всего не вполне ясно, какими соображениями руководствовался автор в подборе материала.

Изложение первой главы начинается с того, что дается ряд определений и две аксиомы, затем доказывается ряд теорем относительно взаимного расположения плоскостей и прямых. При этом далеко неясно, почему автором дано предпочтение двум аксиомам перед другими. В ряде рассуждений аксиома, гласящая, что две различные точки определяют прямую, не менее существенна, чем данные автором аксиомы, однако она нигде не формулирована. Повидимому автор предполагает это уже известным читателю, но при научном изложении данных вопросов необходимо четко формулировать, на основании каких положений развертываются последующие рассуждения, что как раз и не сделано автором.

Одним из основных недостатков книги является неравномерность изложения. В некоторых местах автор останавливается на доказательстве совершенно элементарных, подчас тривиальных предложений, в других же местах от читателя предполагается более серьезная подготовка. Так, например, на стр. 177 в результате ряда рассуждений, автор приходит к выводу, что «числовое значение суммы А 4- В равно сумме числовых значений А и В», на стр. 33 доказана теорема, что из двух положительных чисел то больше, у которого абсолютное значение больше; но с другой стороны, в главах, посвященных стереометрии, автор оперирует с многими основными понятиями без надлежащих разъяснений, считая, что они уже известны читателю. Однако, какие же именно познания требуются от читателя, не указано.

Необходимо отметить сухость и формальность изложения. Многие главы являются сборниками определений и теорем, относящихся к тому или другому разделу, при этом отсутствуют необходимые пояснения по поводу постановки вопроса и методов исследования. Совершенно естественно, что при таком изложении чтение книги является весьма утомительным.

Отметим, что в различных местах книги имеется ряд отдельных недостатков. Приведем несколько примеров. На стр. 155, в главе об обратных тригонометрических функциях, автор выводит соотношение arc sin х = arc cos ]/ 1 — х'2, однако это неверно, ибо написанное равенство не справедливо при отрицательных значениях х. В главе XIII автор доказывает ряд теорем в предположении, что многочлен является целым относительно одной и той же буквы. Как известно, согласно общепринятому определению, всякий многочлен есть целая рациональная функция, если же автор под многочленом разумеет нечто другое, то в книге, претендующей на научность изложения, это необходимо разъяснить. На стр. 201 автор говорит об истинном значении неопределенности вида 0. со, отмечая в сноске, что он сознательно не заменяет термин «истинное значение» термином «предельное значение». Однако от этого читателю не становится ясно, что же следует понимать под истинным значением неопределенности. Наконец отметим, что вопрос о том, является ли материал, данный в книге Гибша, наиболее подходящим для выявления основных, наиболее существенных идей и методов элементарной математики, есть вопрос весьма спорный.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, помещенных в № 2 «Математика в школе» за 1937 г.

(Рассмотрены решения, полученные до 25 июня)

21. Решить уравнение

4х4+ 12хя + 5х2 — 6ж — 15 = 0. Преобразуем левую часть уравнения.

Положив будем иметь: Отсюда:

сделав подстановку, получим:

Решив эти уравнения, найдем

22 Куплено на 1000 рублей сто голов скота, причем голова крупного скота стоит 100 руб., среднего 50 руб. и мелкого 5 руб. Сколько куплено голов скота каждого вида? Условия задачи дают:

100*+ 50у + 52г = 1000 х+ y + z = \00

или по сокращении

20лг-Ы0у + 2 = 200 (1)

х + у + 2г=Ю0 (2)

Вычтя из первого уравнения второе, получим: 19* + 9у = 100 (3)

Дальше можно итти обычным путем, т. е. решить в пелых и положительных числах полученное неопределенное уравнение. Таким именно путем и шло большинство. Но можно дать более короткое решение. Представим последнее уравнение в таком виде:

(4)

Так как х+у— целое положительное число, то 10 — X должно быть целым положительным числом, делящимся на 9. Очевидно 10 —*=9, откуда:

х = 1

Тогда из (4) имеем

X + у = 10 j/ = 10 — 1=9

Наконец, из (2) найдем

z= 10J — 1 — 9 = 90.

В нахождении кратчайшего решения и заключался смысл помещения этой простой задачи.

23. Доказать тождество

Введем обозначение:

тогда

Вычислим sin ? и cos у обычным путем; получим:

Данное выражение примет вид

24. Доказать, что

Приведем наиболее короткое решение.

Так как а и b заключены в пределах от — 1 до+ 1, то можем положить:

Тогда

Данное выражение примет вид:

Но значения sin (а + ß) лежат в пределах (—1, + 1), что и требовалось доказать.

Был дан ряд доказательств без применения тригонометрических функций, но почти все они довольно громоздки.

25. В равнобедренном треугольнике радиус описанной окружности R = 2,5, а радиус вписанной г =1,2. Найти стороны. Имеем известные формулы:

Перемножив их левые и правые части, будем иметь

или (л — основание, b = с — боковые стороны)

(1)

Вычислим высоту H треугольника двумя способами

(2)

Из формулы имеем:

(3)

Из (2) и (3) имеем

(4)

Определим отсюда а

(5)

Подставив это значение а в (1), получим уравнение относительно Ь.

Сократив на b и произведя простые преобразования, найдем

Возведя обе части в квадрат, произведя умножение в левой части, сделав приведение подобных членов и сократив на Ь2, получим:

Ь* — AR (R + г) Ь2 + 4R2r(4R + г) = 0.

Подставив данные значения Rur, найдем

&4 — 37&2+ 336 = 0.

Решив биквадратное уравнение относительно b найдем два положительных решения

b^yTl; £s = 4. Подставив эти значения в (5), найдем для а

26. Решить систему уравнений

Данную систему можно переписать так;

Если одно из неизвестных, например х, равно нулю, то каждое из уравнений дает yz = 0 (д, Ь и с предполагаются не равными нулю). Отсюда следует, что какое-либо второе неизвестное должно равняться нулю, третье же может быть произвольным числом (в частности тоже нулем). Итак имеем следующие системы решений

где m — произвольное число (не бесконечно большое). Предположим теперь, что ни одно из неизвестных не равно нулю. Тогда, разделив каждое из данных уравнений на хугфО, получим

(1)

(2) (3)

Складывая (2) с (3), (1) с (3) и (1) с (2) последовательно найдем

Отсюда

Громадное большинство решений не учитывало именно нулевых значений неизвестных.

27. Доказать тождество.

Имеем:

Справедливость тождества доказана. Некоторые шли путем деления числителя на знаменатель (после раскрытия скобок и расположения многочленов по степеням какой-либо буквы).

28. При стрельбе в мишень, находящуюся на расстоянии d от места стрельбы, наблюдатель, находящийся на расстоянии г от мишени и гх от места стрельбы, слышит одновременно и звук выстрела и звук от попадания пули в мишень.

1. Определить среднюю скорость полета пули.

2. Найти геометрическое место точек, из которых оба звука слышны одновременно

Обозначим через v среднюю скорость пули, через vx скорость звука (в одних и тех же единицах). Время, прошедшее от момента выстрела до момента попадания, равно —.

Путь от места выстрела до наблюдателя звук прошел за время — .

Наконец звук от попадания прошел до наблюдателя время, равное —. По условию задачи имеем;

Отсюда

Найдем отсюда

Так как d, г\ и v (средняя) величины постоянные, то искомое геометрическое место точек обладает тем свойством, что разность их расстояний от двух данных точек есть величина постоянная, т. е. оно представляет собой гиперболу, фокусами которой являются место стрельбы и место мишени. 29. Дана дробь

1. Определить значения л, при которых дробь будет иметь приближенное значение с точностью до 0,01 (с недостатком), равное 8,47. Имеются ли целые значения л, удовлетворяющие этому требованию?

2. Если дробь m сократима, то какие значения может иметь общий наибольший делитель членов дроби?

3. Определить целые значения я, при которых дробь m равна квадрату некоторой несократимой дроби р 1. Из условия задачи вытекает, что

Отсюда

Из этих неравенств получаем:

целых значений л, удовлетворяющих условию не существует.

2. Пусть

Тогда вычитанием получим

21 ={k — l) d.

Общий наибольший делитель может быть лишь 3,7 и 21. Соответственно п будет иметь впд:

3. Так как дробь — несократима, то можем положить

Отсюда

Таким образом возможны два случая

Некоторые из приславших решение полагали п + 17 = ka2; п —4 = kb2 и по сокращении на k получали еще некоторые решения, например.

48 16 42 м при п = 31 получалось— = —= — . Мы считаем эти решения неправильными, так как в задаче ясно говорится, что именно дробь вида к + 17 -должна представлять собою несократимую дробь —-. По сокращении же на k (в приведенном случае на 3) дробь уже не будет иметь вида -.

30. В плоскости Р дана точка В и прямая KZ, проходящая через эту точку. Вне плоскости дана точка А.

1. Найти геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из А на прямую KZ при вращении ее вокруг точки В.

2. Пусть AB = 2а к AM —та, где точка M— основание перпендикуляра, опущенного из А на плоскость Р. Пусть N какая-либо из точек, удовлетворяющих условию (не совпадающая с В). Определить положение точки N, для которой объем тетраэдра ABMN будет наибольшим. Вычислить для этого случая объем и полную поверхность тетраэдра.

3. Приложить предыдущие формулы к случаю т—У 2~.

1. Пусть AM перпендикуляр к плоскости Р.

На основании теоремы о трех перпендикулярах прямая BN, перпендикулярная к AN, будет перпендикулярна и к ее проекции.

Следовательно при любом положении точки N угол BNM будет прямой, то есть точка N описывает окружность, диаметром которого является отрезок ВМ.

Объем тетраэдра

Но

BN = В M cos <р; NM = ВМ sin <р. Величина ВМ определится из треугольника АМВ

Итак имеем:

Так как m и а — данные величины, то наибольшее значение v будет при наибольшем значении sin 2 <р, т. е. при

sin 2 <р = 1.

Отсюда

? = 45°.

В этом случае

Полная поверхность тетраэдра 5 = пл. BNM + пл. BMA + пл. NMA + пл. BN А. Величину BN = NM (так как <р=45°) вычислим из треугольника BNM.

Итак будем иметь:

31. Решить систему уравнений

(1) (2)

Логарифмируем оба уравнения:

Произведя деление, получим

(3)

Подставиз это значение у во второе уравнение, найдем:

Подставиз это значение х в (3), получим:

Мы не рассматривали тривиальный случай х= у = I.

32. Дан тетраэдр ABCD, в котором ребро AB перпендикулярно к плоскости основания BCD, причем AB=iCD. Тетраэдр пересечен плоскостью MNPQ) параллельной AB и CD.

I. Доказать, что сечение MNPQ есть прямоугольник.

2 Периметр сечения при различных положениях его остается постоянным.

3. Найти положение точки M на ЛС, если сечение MNPQ— квадрат.

По известной теореме плоскость ABD, проходящая через прямую AB, параллельную к плоскости A4NPQ, пересекает последнюю по прямой, параллельной AB. Следовательно, NP\\AB. Точно так же MOW AB. Но AB перпендикулярна к плоскости BCD и, следовательно, прямые NP и MQ перпендикулярны к плоскости BCD и значит к прямой ОР. Подобным же образом докажем, что MN \\ CD и QP || CD. Следовательно, MN\\QP. Сечение MNPQ—прямоугольник, 2. Из подобия треугольников ABD и NPQ находим:

из подобия треугольников BCD и BPQ имеем:

Так как AB = CD по условию, то, сложив левые и правые части предыдущих равенств, найдем:

Отсюда

Искомый периметр равен

— постоянной величине.

3. Если MNPQ — квадрат, то из предыдущей формулы для периметра имеем:

4MQ = 2 AB

или:

Из подобных треугольников АСВ и MCQ находим:

Точка M лежит посредине АС. 33. Даны три дроби, причем:

Доказать, что

Все числа a, av av b, bv Ьг предполагаем положительными, так как в противном случае неравенство может оказаться неверным. Из неравенства

имеем:

(b+bt+bt) < (6 + Ьг) {а+а^аъ).

После умножения и приведения подобных членов, найдем

abt+atbt<atb+atbt. Но из неравенств

вытекают неравенства:

сложив эти неравенства, получим

что и доказывает справедливость первого неравенства. Аналогичным путем доказывается справедливость и второго неравенства.

34. Даны два целых положительных числа а и Ь.

Какому условию должны удовлетворять числа ах и by чтобы

(1)

Применить к случаю а = 105, b = 175 Из (1) имеем;

+ bi = at(b+bt)

или

Отсюда

В этом и заключается условие, при котором требуемое равенство выполняется. Для частного случая:

где m — произвольное положительное или отрицательное число. Действительно,

Заметим, что если не ограничиваться арифметическими дробями, то m может быть и иррациональным числом. 35. Доказать, что если дуги взяты между 0 и

Пусть

Тогда будем иметь:

или

Вычислим левую часть

Итак Отсюда

Это равенство было найдено Мехиным. Воспользовавшись этим равенством и разложив в ряд arctg ~ и arctg ^9, английский математик В. Шанкс вычислил значение к с точностью до 707 десятичных знаков. Это наибольшая, достигнутая до настоящего времени точность для числа я.

36. Найти четырехзначные числа abed, удовлетворяющее условию, что a 7d ~äd и abed суть точные квадраты.

Так как а является квадратом, то он может быть только 1, 4 и 9. Но так как ad — квадрат, то а не может равняться 9, ибо не существует точного квадрата между числами от 90 до 99. Итак 1) а = 1; 2) а = 4.

Чтобы ad было точным квадратом необходимо чтобы d равнялось в первом случае 6, во втором 9.

Для того, чтобы cd было точным квадратом необходимо, ч^обы при d = 6 с было бы равно 1 или 3; при d = 9 с должно равняться 4 или 0. Итак имеем следующие три случая

16 16, lb 36, 4b 49, Ab С9.

Первые два числа заключены между 1 000 и 2 СО*), корни крадратные из них между 31 и 45. При этом цифра единиц корня должна быть 4 или 6. Испытанию подлежат таким образом лишь числа 34, 36 и 44. Возводя их в квадрат увидим, что только 44 даег число 1936, удовлетворяющее условию задачи.

Число Ab 49 заключено между 4 000 и 5 000, корень из него между 63 и 71; при этом корень должен иметь цифрой единиц 3 или 7. Испытанию подлежит только одно число 67, которое условию задачи не удовлетворяет.

37. Дан квадрат ABCD, сторона которого равна а. На стороне AB, как на диаметре внутри квадрата построена полуокружность. Провести окружность с центром hi AD, касательную к данной полуокружности и к стороне CD. Вычислить радиус этой окружности.

Радиус ОМ = — • Линия центров ООх = а = — -Ь г; катет OA треугольника ОАОх равен а — и катет АОх = а — г. По теореме Пифагора имеем:

Отсюда:

Итак центр искомой окружности лежит на AD на расстоянии ~ от D.

38. Через точку А, лежащую внутри данного круга, провести хорду так, чтобы она разделилась в точке А в данном отношении.

Были даны различные решения этой задачи. Приведем наиболее простой.

Пусть ВС искомая хорда. Соединим О с А и В и из точки С проведем прямую CD параллельную OB до пересечения с продолжением OA. Из подобия треугольников АОВ и ADC находим:

Отсюда

где АО и ВО известные отрезки, так как радиус окружности и точка А даны. Отсюда вытекает простое построение. Находим сначала отрезки AD и DC, как четвертые пропорциональные. На продолжении OA от точки А откладываем отрезок, равный AD. От точки D радиусом, равным DC делаем засечки на данной окружности. Получим, вообще говоря, две точки С и С,, соединив их с А и продолжив CA и Ct А до пересечения с окружностью, получим в общем случае две хорды, удовлетворяющие условию задачи.

39. На диаметре данного круга построить как на основании равнобедренный треугольник так, чтобы отрезок его боковой стороны от вершины до пересечения с окружностью равнялся данной длине а.

Пусть треугольник АСВ — искомый CD равно данной длине а. Обозначим отрезок AD через х и найдем его.

Из подобия прямоугольных треугольников АОС и ADB находим:

или: Отсюда:

Отрезок X строится обычным путем как корень квадратного уравнения.

Радикал у а2 + 8 R2 легко строится, как гипотенуза прямоугольника с катетами а и 2j/2R (удвоенная сторона вписанного квадрата). Были даны и другие построения. Интересное построение дано в журнале «Вестник опытной физики и элементарной математики». Там же имеется решение и предыдущей задачи.

40. Доказать тождество

где Рт число перестановок из m элементов Ст число сочетаний из m элементов по £, а п некоторое положительное число. Воспользуемся тождеством:

Давая m значения 2, 4, 8 . . . 2“, а Ä значения 1, 2, 4, 2... 2п ~1 получим ряд равенств

Тогда будем иметь:

Большинство решений заменяло С п по формуле

и после сокращения на все Р оставалось произведение всех А^ равенство которого Р п и выявлялось.

ДО, 20. А Гольдфарб (Ленинград) 1, 2, 3, 6. 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Ф. Горбушин (Ярославль) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20. С. Горохов (Ленинград) 3, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 16, 18, 19, 20. В. Гришин (Урюпинск) 6, 15. О. Гурьев (Ленинград) 3, 4, 6, 7, 8 10, 11, 12, 15, 16, 19, 20. Давыдов (Киев) 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, И, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20. Ф. Доброхотов (Куйбышев) 3, 6, 12, 14, 15, 16, 17, 19, 20. В. Ефимов (ст. Сходня) 2, 6, 8, 15, 17, 20. Я. Згурский (Гельмязов) 5, 6, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20. Г. Знаменский (Ялта) 1, 2, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. В. Зяблицкий (Калилин) 6, 15. А. Иванов (Торопец) 1, 3, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. С Иванов (Ново-Сибирск) 6, 8, 15, 18, 20. B. Ильин (Харьков) 4, 6, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 20. Б. Исачкин (ст. Казанская) 3, 4, 6,15,18,20. А. Каган (Минск) 2, 8, 10, 11, 15, 18, 20. Б. Каждан (Ленинград) 2, 3, 6, 7, 8, 11, 12, 15, 17, 18. В. Камендровский (Оренбург) 3, 5,6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20. И. Канунов (Новодевичье) 2, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 18, 19,20. Н. Карелина (Смоленск) 2, 3, 6, 7, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 20. И. Кастровицкий (Слуцк) 1, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 19, 20. И. Кацман (Житомир) 10, 12, 15, 17. М. Кекелия (Бандза) 2, 3, 6, 7, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20. И. Кипнис (Долгинцево) 2, 6, 11, 15, 18, 20. К. Кириллов (Казань) 1, 3, 5, 6, 7, 9, 10, И, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. И. Клейнчан (Широковский район) 6, 15. П. Клоков (Тим) 4, 15.5. Кобылин (Галич) 2, 3, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14', 15, 16, 17, 18, 19, 20. C. Колесник (Харьков) 2, 3, 5, 6, 7, 9, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20. С. Корж (Краснодар) 4, 6, 15, 16, 20. /7. Корелин (Уфа) 4, 6, 15, 2и. К. Косицын (уч. IX кл. Бира) 4, 6, 12, 15, 18. В. Кременский (Ленинград) 3, 4, 6, 15. В. Крикунов (Казань) 6, 15, 16, 20. И. Кроер (Соболево-Воробьево) 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 17, 18, 20. Н. Кулаков (Бугуруслая) 2, 3, 5, 6, 7, 9, 12, 13, 14,-15, lb, 17, 18, 19, 20. С. Кулигин (Зиновьевская) 6, 15, 20. Куницын (Новоржев) 2, 4, 6, 8, 12, 15, 18, 20. Я. Кутин (Москва) 4, 6, 8, 12, 14, 15, 16, 18, 20. В. Лебедев (Богучар) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. П. Леваков (Н. Тагил) 15. Г. Ледомский (Краснодар) 1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 15, 20. А. Логашов (Саловка) 1, 2, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20. А. Локтев (Наб. Челны) 4, 6, 15, 20. А. Любомудров (Ленинград) 3, 6, 12, 14, 15, 16, 17., 18, 20. П. Макуха (Омск) 2, 4, 6, 11, 15. И. Малыхин (Александро-Невская) 15. М. Манукян (уч. IX кл., Краснодар) 4, 6, 11, 15, 16, 17/ 18. В. Марочкин (Волхов) 2, 3, 4, 8, 18, 20. А. Медведев (Сталинградская область) 5, 6, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20. Е. Мертвецов (Семипалатинск) 6, 10, 15. И. Нагорный (Кошеватое) 3, 20. И. Нейц (Омск) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 20. С. Немировский (Житомир) 3, 6, 7, 10, 12, 15, 16, 17, 18, 20. А. Овчинников (Сталинград) 3, 6, 15,16, 17, 18, 20. А. Оглоблин (Спас-Когшенское, Сев. пр.) 6. Ф. Орлов (Кинешма) 6, 15. С. Осташев (уч. X кл., Оренбург) 4, 15, 20. Б. Павлов (Чистополь) 3, 5 6, 10“, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. С. Павлов (Новороссийск) 3, 4, 6, 8, 12. 14, 15, 16, 18 20. ß. Падучев (Лиски) 3, 6, 10, 12, 14, 15, 1б! 17, 20. В. Панченко (Ейск) 3, 6, 15, 16, 20. В. Поздеев (Алма-Ата) 6, 15. А. Посох (Минск) 4, 15 20. П. Постников (Рязань) 3, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20. Проскуряков (Чимкент) 5, 6, 8. И. Реш (уч. X кл., Ленинград) 1, 3, 5. Г. Ржавский (Фролов) 1, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 14, 15 16 17 18 2ü. Н. Рождественский (Днепропетровск)' 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. А. Розанков (ст. Вира) 4, 6, 12, 15. Ш. Розенфельд (уч. ср. шк., Калининдорф) 3, 4, 6, 16, 16, 18, 20. А. Рубинштейн (Винница) 6, 8,' 15. С. Русанов (Бузулук) 4. Ф. Саблуков (уч. IX кл., Москва) 3, 4, 5, Ь, 8, 9, Ю, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20. Н. Самодуров (Бийск) 4, 6, 8, 10, 15, 18. Н. Сандров (Старый-Крым) 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 17, 18, 19, 20. Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга) 3, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Ю. Сенько (Золочев) 6, 8, 9, 15, 16. /7. Сергиенко (Запорожье) 1. 2, .5, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. К. Сикорский (Москва) 1, 3, 4, 6, 8, 10, 14, 3 5, 20. Р. Смирнов (ст Калаш) 6, 15. Е. Соловьев (Одесса) 6, 15. Б. Сосницкий (Калуга) 1, 2. 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20. Я. Спиваков (Свирьстрой) 5. А. Спицин (Оренбург) 6, 15. К. Степанов (Михалево) 2, 5, 6, 7, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,20. И. Судзиловский (Родники) 3, 4, 6, 10, 12, 15, 16, 18, 20. 3. Титкова (Сланцы) 6, 7, 8, 15. П. Титов (Тюмень) 1, 3, 4, 5, 6, /, 8, 10, 12, :13, 15, lb, 17, 20. В. Тихомиров (Москва) 4, 6, 7, 15, 20. Г. Ткаченко (Павловск) 1, 2, 8. Д. Ткачик (Глодоси) 2, 15, 18, 20. X. Толасов ( ? ) 3. Д. Толмачев (Кисловодск) 3, 4, 6, 15, 20. В. Ураевский (Кузнецк) 3, 15, 18, 20. Р. Урманичев (Биляргцкий р-н, АТССР) 4, 6. А. Фирсанов (Елец) 15,20. X. Хаин (уч. средн. школы, Калининдорф) 3, 18. И. Хайдаров (Наб. Челны) 3, 6, 12, 16, 16, 18, 20. О. Ханчарлян (Краснодар) 3, 5, 6, 9, 10, 11 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Ф. Харах (Витебск) 2, 6, 15. 19. Г. Харитонов (Б. Сундырь) 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 18, 19, 20. К. Хоменко и С. Пичкур (Черкассы) 6. Холопов (Носины) 6, 20. А. Чебоксаров ( ? ) 15, 20. Е. Чер шн (Москва) б, 15. С. Чуканцов (Брянск) 3, 6, 10, 12, 15, 18, 20. П. Шамарин (Уфа). ? П. Шатровский (Москва) 4, 5, 6, 8, 12, 15, 16, 17, 18, 20. О. Шаульская (Верхнедпепровск) 6, 15. М. Шевелев (Казань) 2, 3, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18. 19, 20. Б. Шехтман (Одесса) 3, 6, 7, 12, 15. А. Шмуленсон (Винница) 2, 3, 5, 6, 8, 15, 16, 17, 18, 20. Я. Шор (Тула) 6, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. А. Шульман (Житомир) 3, 4, 8, 10, 15, 20. И. Юркевич (Лагойга, БССР) 4, 6, 15. М. Яглом (Москва) 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Г. Ясеновый (Н. Троицк) 4, 12, 15, 18. А. Ячницкий (Феодосия) 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

Отв. ред. А. Н. Барсуков Техредактор Е. М. Зеф

Отв. секр. М. М. Гуревич

Адрес редакции: Москва, Орликов, 3, Учпедгиз, Периодсектор, журн. сМатем. в школе».

Сдано в производство 8/VII 1937 г. Подписано к печати 14/VIH 1937 г.

Учгиз№9?84. Объем З'/i п. л.7Уа авт. л. в i п. л. 82000 зн. Бумага 72xi051/ie-Зак. 907.

Тираж 44500.

Уполномочен. Главлита РСФСР № Б-Ш56

18-я типография треста «Полиграфкнига», Москва, Шубинский, 10

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

К новому учебному году.............. 1

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

B. Фурсенко — Лексикографическое изложение конструктивных задач геометрии треугольника ... 4

МЕТОДИКА

Г. Машков—Дидактика урока по геометрии в средней школе . ............... .... 31

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

Прянишников — О задачнике по алгебре Шапошникова и Вальцова................ 43

C. Новоселов — Обзор новых книг .......... 47

РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ЗАДАЧИ

При обнаружении дефекта в данное номере журнала просим прислать его для обмена по адресу: Москва, Орликов пер. 3, комн. 230, Отдел периодических изданий Учпедгиза.