МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

4

1937

НАРКОМПРОС-МОСКВА-УЧПЕДГИЗ

Задачи

(Срок присылки решений 1 /XI)

61. Доказать, что если в четыреугольник можно вписать и около него же описать окружность, то его площадь равна квадратному корню из произведения его сторон.

Ф. Саблуков (Москва).

62. Даны три окружности радиусов Ru Rz и /?3, каждая из которых внешне касается двух других. Определить радиус окружности, проходящей через точки касания данных окружностей.

Ф. Саблуков (Москва)*.

63. Найти четырехзначное число х у если

А. Вепланд (Москва).

64. Показать, что если d—общий наибольший делитель k целых и положительных чисел пъ пь л3,... ,лА, сумма которых равна л, то

есть целое число.

А. Вепланд (Москва).

65. Решить систему уравнений

х\+у\ —z\

Х+ У— 2.

А. Вепланд (Москва).

66. Определить стороны и углы треугольника, если даны радиус R описанного круга и отношение га : гъ : rc = m : п : k радиусов вневписанных кругов.

В. Камендровский (Оренбург).

67. Решить уравнение

8л:3 - 20 т/7*2 + 22* + 3 уJ = 0.

В. Камендровский (Оренбург).

68. Показать, что в треугольнике имеет место соотношение

где я, b и с — стороны треугольника; / — длина отрезка, соединяющего вершину А с некоторой точкой Ь, лежащей на противоположной стороне ВС и делящей последнюю в отношении т:п (считая от С)

В. Камендровский (Оренбург).

69. Доказать, что при п целом и положительном:

И. Рождественский (Днепропетровск).

70. Доказать, что выражение (ж!)! - (*! — 1)! не может быть точным квадратом целого числа, если существует хотя бы одно простое число р, удовлетворяющее условию

Н. Рождественский (Днепропетровск).

71. Доказать, что числа

16, 1156, 111556,..., каждое из которых получается из предыдущего вписыванием в середину его 15, суть точные квадраты.

Ф. Брижак (Краснодар).

72. Доказать равенство

И. Кастровицкий (Слуцк).

73. Доказать, что при любом целом неотрицательном п число

делится на 148.

И. Кастровицкий (Слуцк).

74. Решить уравнение

75. Доказать тождество

76. Решить систему уравнений

77. Решить систему уравнений

78. Решить систему уравнений

79. Решить систему уравнений

80. Найти число N, которое, будучи написано по семиричной системе, выражается трехзначным числом. Если написать это число два раза подряд, то полученное шестизначное число (в семиричной же системе) является точным квадратом.

* Обе задачи предложены учеником IX о. Ф. Саблуковым. Более чем вероятно, что задачи эти предлагались когда-либо; но как постановка этих задач, так и решение их были проведены Ф. Саблуковым совершенно самостоятельно.

МАТЕМАТИКА

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

4

ИЮЛЬ —АВГУСТ

1937

УПРАВЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

К НОВЫМ УСПЕХАМ СОЦИАЛИСТИЧЕСКОГО СТРОИТЕЛЬСТВА1

Закончившийся на-днях очередной Пленум Центрального Комитета партии рассмотрел ряд крупнейших политических и хозяйственных вопросов, имеющих огромнейшее значение для всей партии, всех партийных и непартийных большевиков, для всей нашей родины. Безостановочно, все убыстряющимся темпом идет строительство коммунизма в нашей стране. Партия при единодушной поддержке всего народа, смело и беспощадно выкорчевывая врагов, ставит и успешно решает творческие задачи — одна грандиознее другой. Повестка дня закончившегося Пленума ЦК наиболее полно отражает ту огромную творческую работу, которой занята сейчас партия и которая вдохновляется сталинским Центральным Комитетом.

Пленум рассмотрел и одобрил проект «Положения о выборах в Верховный Совет СССР». Новая избирательная система становится реальной действительностью. В непродолжительном времени миллионы советских избирателей примут участие в самых демократических выборах, освященных Сталинской Конституцией. Политический поворот, происходящий в стране в связи с введением новой Конституции, с каждым днем ощущается все сильнее и сильнее. Растет активность трудящихся, повышаются требования к Советам, жестче становится критика недостатков, новые пласты людей приходят к управлению государством. Новый избирательный закон, самая система выборов обеспечат еще больший рост политической активности трудящихся, обеспечат подлинную демократию, дальнейшее укрепление диктатуры рабочего класса.

Настало время серьезного экзамена для каждой организации нашей партии. Нельзя забывать о том, что выборы по новой избирательной системе мы будем проводить впервые. Партийные организации неизбежно станут перед фактом избирательной борьбы. К выборам надо готовиться немедля, ежечасно, ежедневно, помня, что партия должна возглавить поворот, происходящий в политической жизни страны.

Пленум рассмотрел также группу вопросов социалистического сельского хозяйства: об улучшении семян зерновых культур, о введении правильных севооборотов и о мерах улучшения работы машинно-тракторных станций. Уже один этот перечень говорит о том, что Центральный Комитет поднял и поставил самые боевые, самые жгучие вопросы дальнейшего роста колхозов и совхозов. Перед партией сейчас во весь рост стала проблема качественного улучшения сельскохозяйственного производства, повышения культуры земледелия, создания всех условий для быстрого повышения урожайности.

Публикуемое сегодня в «Правде» постановление Совета Народных Комиссаров СССР «О мерах по улучшению семян зерновых культур», проект которого одобрен Пленумом Центрального Комитета, лучше всего показывает размах и глубину мероприятий партии и правительства по дальнейшему подъему сельского хозяйства.

Еще на XVII съезде партии товарищ Сталин обращал внимание земельных органов на запутанность семенного дела. Перед Наркомземом СССР партия и правительство поставили задачу довести сортовые посевы во второй пятилетке до 75 процентов всей площади зерновых. Эту задачу Наркомзем не выполнил. Главное зерновое управление Наркомзема и земельные органы сорвали выполнение важнейшего государственного задания. Семеноводство очутилось по суще-

1 «Правда» № 178 (7144) от 30 июня 1937 г.

ству в руках вредителей. Пользуясь бесконтрольностью, пользуясь беспечностью руководителей Наркомзема СССР, враги государства, враги крестьян и колхозного строительства скрывали ряд ценных сортов, не пускали их в производство, а, наоборот, внедряли сорта плохие, низкоурожайные. Сколько угодно было случаев, когда сортовое зерно шло на перемол, сколько угодно фактов, когда смешивались семена различных культур, семена завозились не туда, куда надо, и т. д. Только вмешательство Центрального Комитета партии положило конец этим преступлениям.

Постановление Совнаркома СССР дает ясную и четкую программу развития семенного дела и селекции. Пересмотрена вся система сортоиспытания, государство берет в свои руки семенное дело и организует его на новых началах.

На каждые два-три района создаются государственные сортоиспытательные участки, а всего по Союзу таких участков будет 1.055. На этих участках будут испытываться не только новые селекционные сорта, но и улучшенные старые селекционные сорта, а также местные крестьянские. Руководителем этих участков будет Государственная комиссия по сортоиспытанию зерновых культур при Наркомземе СССР, утверждаемая Советом Народных Комиссаров СССР. Постановления этой комиссии о снятии с испытания сортов, о внедрении сортов в хозяйство или выводе их в тираж вступают в силу лишь с утверждения Совнаркома СССР.

Крупнейшее значение будет иметь образование государственных селекционных станций в каждой республике, крае и области, которые будут не только выводить новые сорта, но и будут вести отбор, сохранение и улучшение местных крестьянских сортов зерновых культур. По-новому, наконец, организуется Государственный фонд сортовых семян и создается в течение ближайших трех лет неприкосновенный государственный страховой фонд сортовых семян зерновых культур.

Не меньшее значение, чем проблема семеноводства, имеет проблема правильных севооборотов. Мы должны навести порядок на колхозных и совхозных полях, создать наиболее благоприятные условия для повышения урожайности зерновых культур и для развития животноводства. Внесенный комиссией Наркомзема СССР и Наркомсовхозов СССР проект введения правильных севооборотов Пленум одобрил в основном для опубликования в печати и всестороннего его обсуждения. Это обсуждение призвано наиболее полно выявить мнения колхозников, агрономов, научных работников, партийных руководителей и т. д.

Предложения Наркомзема О мерах улучшения работы МТС Пленум ЦК передал, как материал, на обсуждение местных организаций.

Таковы мероприятия Центрального Комитета партии, означающие дальнейший рост социалистического сельского хозяйства, дальнейшие успехи колхозного строя. Но мы должны помнить предупреждение товарища Сталина, что «никакие хозяйственные успехи, как бы они ни были велики, не могут аннулировать факта капиталистического окружения и вытекающих из этого факта результатов». Мы не должны забывать, что пока есть капиталистическое окружение, будут и вредители и шпионы, враги различной масти и различных методов борьбы.

Бдительность к врагу, умение распознавать шпионов и уничтожать их остается тем качеством, которое прежде всего необходимо большевикам. Нам нужны коммунисты-бойцы, преданные порученному им делу, верные часовые партии Ленина — Сталина. По этому признаку, главному и решающему, партия будет оценивать каждого нашего работника. Ни чины, ни прошлые заслуги не могут заменить самого священного большевистского качества — умения повседневно и ежечасно драться за дело партии, быть всегда воинствующим большевиком, верным сыном своей родины и партии.

Вооруженные большевизмом, наши партийные организации будут способны выполнить любую хозяйственную задачу. Они безусловно выполнят решения Пленума ЦК.

ПОЛОЖЕНИЕ О ВЫБОРАХ В ВЕРХОВНЫЙ СОВЕТ СССР1

Глава I

ИЗБИРАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА

Статья 1. На основании статьи 134 Конституции СССР выборы депутатов в Верховный Совет СССР производятся избирателями на основе всеобщего, равного и прямого избирательного права при тайном голосовании.

Статья 2. На основании статьи 135 Конституции СССР выборы депутатов являются всеобщими: все граждане СССР, достигшие 18 лет, независимо от расовой и национальной принадлежности, вероисповедания, образовательного ценза, оседлости, социального происхождения, имущественного положения и прошлой деятельности, имеют право участвовать в выборах депутатов и быть избранными в Верховный Совет СССР, за исключением умалишенных и лиц, осужденных судом с лишением избирательных прав.

Статья 3. На основании статьи 136 Конституции СССР выборы депутатов являются равными: каждый гражданин имеет один голос; все граждане участвуют в выборах на равных основаниях.

Статья 4. На основании статьи 137 Конституции СССР женщины пользуются правом избирать и быть избранными наравне с Мужчинами.

Статья 5. На основании статьи 138 Конституции СССР граждане, состоящие в рядах Красной Армии, пользуются правом избирать и быть избранными наравне со всеми гражданами.

Статья 6. На основании статьи 141 Конституции СССР кандидаты при выборах выставляются по избирательным округам.

Глава II СПИСКИ ИЗБИРАТЕЛЕЙ

Статья 7. Списки избирателей составляются в городах городским Советом депутатов трудящихся, а в городах с районным делением— районным Советом; в сельских местностях— сельским (станицы, деревни, хутора, кишлака, аула) Советом депутатов трудящихся.

Статья 8. В списки избирателей включаются все граждане, имеющие избирательное право и проживающие (постоянно или временно) к моменту составления списков на территории данного Совета, достигшие ко дню выборов 18 лет.

Статья 9. Не вносятся в списки избирателей лица, лишенные избирательных прав по судебным приговорам в течение всего установленного в приговоре срока лишения избирательных прав, а также лица, признанные в установленном законом порядке умалишенными.

Статья 10. Списки избирателей составляются по каждому избирательному участку в алфавитном порядке с указанием фамилии, имени, отчества, возраста и места жительства избирателя и подписываются председателем и секретарем Совета депутатов трудящихся.

Статья 11. Никто из избирателей не может быть внесен более, чем в один избирательный список.

Статья 12. Списки избирателей, состоящих в воинских частях и войсковых соединениях, составляются командованием за подписями командира и военного комиссара. Все прочие военнослужащие вносятся в списки избирателей по месту жительства соответствующими Советами депутатов трудящихся.

Статья 13. За 30 дней до выборов Совет депутатов трудящихся вывешивает списки избирателей для всеобщего обозрения или обеспечивает избирателям возможность ознакомляться с этими списками в помещении Совета.

Статья 14. Подлинник списков избирателей хранится соответственно в Совете депутатов трудящихся и в воинской части или в войсковом соединении.

Статья 15. При перемене избирателем места своего пребывания в срок между опубликованием списка избирателей и днем выборов соответствующий Совет депутатов тру-

1 Известия ЦИК СССР и ВЦИК № 160/6322 от 10/VII 1937 г.

дящихся выдает ему по форме, установленной Центральной избирательной комиссией, «удостоверение на право голосования» и отмечает в списке избирателей — «выбыл»; в пункте нового местожительства — постоянного или временного — избиратель вносится в список избирателей при предъявлении удостоверения личности, а также «удостоверения на право голосования».

Статья 16. Заявление о неправильности в списке избирателей (невключение в списки, исключение из списков, искажение фамилии, имени, отчества, неправильное включение в списки лиц, лишенных избирательных прав) подается в Совет депутатов трудящихся, опубликовавший списки.

Статья 17. Исполнительный комитет Совета депутатов трудящихся обязан рассмотреть каждое заявление о неправильности в списке избирателей в трехдневный срок.

Статья 18. По рассмотрении заявления о неправильности в списке избирателей, исполнительный комитет Совета депутатов трудящихся обязан либо внести необходимые исправления в список избирателей, либо выдать заявителю письменную справку о мотивах отклонения его заявления; при несогласии с решением Совета депутатов трудящихся заявитель может подать жалобу в народный суд.

Статья 19. Народный суд в течение трех дней обязан в открытом судебном заседании с вызовом заявителя и представителя Совета рассмотреть жалобу на неправильность в списке и свое решение немедленно сообщить как заявителю, так и Совету. Решение народного суда окончательно.

Глава III

ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ ОКРУГА ПО ВЫБОРАМ В СОВЕТ СОЮЗА И СОВЕТ НАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ

Статья 20. На основании статьи 34 Конституции СССР Совет Союза избирается гражданами СССР по избирательным округам.

Статья 21. Избирательный округ по выборам в Совет Союза составляется по принципу: 300000 населения — на округ. Каждый избирательный округ по выборам в Совет Союза посылает одного депутата.

Статья 22. На основании статьи 35 Конституции СССР Совет Национальностей избирается гражданами СССР по избирательным округам. Избирательный округ по выборам в Совет Национальностей составляется по принципу: 25 округов по каждой союзной республике, 11 округов по каждой автономной республике, 5 округов по каждой автономной области и 1 избирательный округ в каждом национальном округе. Каждый избирательный округ по выборам в Совет Национальностей посылает одного депутата.

Статья 23. Образование избирательных округов по выборам в Совет Союза и Совет Национальностей производится Президиумом Верховного Совета СССР.

Статья 24. Список избирательных округов по выборам в Совет Союза и Совет Национальностей опубликовывается Президиумом Верховного Совета СССР одновременно с назначением дня выборов.

Глава IV

ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ УЧАСТКИ

Статья 25. Для приема избирательных бюллетеней и подсчета голосов территория городов и районов, входящих в избирательные округа, делится на избирательные участки, общие для выборов в Совет Союза и Совет Национальностей.

Статья 26. Образование избирательных участков производится в городах городскими Советами депутатов трудящихся, в городах с районным делением — районными Советами депутатов трудящихся; в сельских местностях — районными Советами депутатов трудящихся.

Статья 27. Образование избирательных участков производится не позднее, чем за 45 дней до выборов.

Статья 28. Территория сельсовета, насчитывающего не более двух тысяч жителей, составляет, как правило, один избирательный участок; в каждой станице, деревне, кишлаке, ауле, насчитывающем от 500, но не более 2000 жителей, организуется отдельный избирательный участок.

Статья 29. В отдаленных северных и восточных районах, где преобладают мелкие поселения, допускается организация избирательных участков с количеством не менее 100 человек населения.

Статья 30. Города, промышленные пункты, а также села и территория сельсовета, насчитывающие более 2000 жителей, делят-

ся на избирательные участки из расчета один избирательный участок на 1 500—2 500 человек населения.

Статья 31. Воинские части и войсковые соединения составляют отдельные избирательные участки с количеством не менее 50 и не более 1 500 избирателей, которые входят в избирательный округ по месту нахождения части или войскового соединения.

Статья 32. Суда, с количеством избирателей не менее 50, находящиеся в плавании в дни выборов, могут составить отдельные избирательные участки, входящие в избирательные округа по месту приписки судна.

Статья 33. При больницах, родильных домах, санаториях, домах инвалидов с количеством избирателей не менее 50 создаются отдельные избирательные участки.

Глава V

ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ КОМИССИИ

Статья 34. Центральная избирательная комиссия по выборам в Верховный Совет СССР составляется из представителей общественных организаций и обществ трудящихся и утверждается Президиумом Верховного Совета СССР одновременно с опубликованием дня выборов.

Статья 35. Центральная избирательная комиссия образуется в составе председателя, заместителя председателя, секретаря и 12 членов.

Статья 36. Центральная избирательная комиссия:

а) наблюдает на всей территории СССР за неуклонным исполнением в ходе выборов «Положения о выборах в Верховный Совет СССР»;

б) рассматривает жалобы на неправильные действия избирательных комиссий и выносит по жалобам окончательные решения;

в) устанавливает образцы избирательных ящиков, форму «удостоверения на право голосования», форму и цвет избирательных бюллетеней и конвертов для них, форму списка избирателей, форму протоколов по подсчету голосов, форму удостоверений об избрании;

г) регистрирует избранных депутатов в Верховный Совет СССР;

д) сдает мандатным комиссиям Совета Союза и Совета Национальностей делопроизводство по выборам.

Статья 37. В каждой союзной и автономной республике, автономной области и национальном округе создаются Избирательные комиссии союзной и автономной республики, автономной области и национального округа по выборам в Совет Национальностей.

Статья 38. Избирательные комиссии по выборам в Совет Национальностей составляются из представителей общественных организаций и обществ трудящихся и утверждаются Президиумами Верховных Советов союзных и автономных республик, Советами депутатов трудящихся автономных областей и национальных округов не позднее, чем за 50 дней до выборов.

Статья 39. Избирательные комиссии союзной и автономной республик, автономной области и национального округа по выборам в Совет Национальностей образуются в составе председателя, заместителя председателя, секретаря и 6—10 членов.

Статья 40. Избирательная комиссия союзной, автономной республики, автономной области и национального округа по выборам в Совет Национальностей:

а) наблюдает на территории республики, автономной области, национального округа за неуклонным исполнением в ходе выборов в Совет Национальностей «Положения о выборах в Верховный Совет СССР»;

б) рассматривает жалобы на неправильные действия по выборам в Совет Национальностей.

Статья 41. В каждом округе по выборам в Совет Союза создается Окружная по выборам в Совет Союза избирательная комиссия.

Статья 42. В республиках, имеющих краевое или областное деление, Окружные по выборам в Совет Союза избирательные комиссии составляются из представителей общественных организаций и обществ трудящихся и утверждаются Советами депутатов трудящихся краев и областей, в республиках, не имеющих областного или краевого деления,— Президиумами Верховных Советов республик — не позднее, чем за 55 дней до выборов.

Статья 43. Окружная по выборам в Совет Союза избирательная комиссия образуется в составе председателя, заместителя председателя, секретаря и 8 членов.

Статья 44. Окружная по выборам в Совет Союза избирательная комиссия:

а) наблюдает за своевременной организацией избирательных участков соответствующими исполнительными комитетами Советов депутатов трудящихся;

б) наблюдает за своевременным составлением и доведением до всеобщего сведения списков избирателей;

в) регистрирует выставленных с соблюдением требований Конституции СССР и «Положения о выборах в Верховный Совет СССР» кандидатов в депутаты в Совет Союза;

г) снабжает Участковые избирательные комиссии избирательными бюллетенями по выборам в Совет Союза и конвертами по установленной форме;

д) производит подсчет голосов и устанавливает результаты выборов по округу;

е) представляет в Центральную избирательную комиссию делопроизводство по выборам;

ж) выдает избранному депутату удостоверение об избрании.

Статья 45. В каждом округе по выборам в Совет Национальностей создается Окружная по выборам в Совет Национальностей избирательная комиссия.

Статья 46. Окружные по выборам в Совет Национальностей избирательные комиссии составляются из представителей общественных организаций и обществ трудящихся и утверждаются Президиумами Верховных Советов союзных и автономных республик и Советами депутатов трудящихся автономных областей — не позднее, чем за 50 дней до выборов.

Статья 47. Окружная по выборам в Совет Национальностей избирательная комиссия образуется в составе председателя, заместителя председателя, секретаря и 8 членов.

Статья 48. Окружная по выборам в Совет Национальностей избирательная комиссия:

а) регистрирует выставленных с соблюдением требований Конституции СССР и «Положения о выборах в Верховный Совет СССР» кандидатов в депутаты в Совет Национальностей;

б) снабжает Участковые избирательные комиссии избирательными бюллетенями по выборам в Совет Национальностей по установленной форме;

в) производит подсчет голосов и устанавливает результаты выборов по округу;

г) представляет делопроизводство по выборам в Центральную избирательную комиссию и соответственно в Республиканскую избирательную комиссию по выборам в Совет Национальностей или в Избирательную комиссию автономной области по выборам в Совет Национальностей;

д) выдает избранному Депутату удостоверение об избрании.

Статья 49. Участковые избирательные комиссии составляются из представителей общественных организаций и обществ трудящихся и утверждаются в городах городскими Советами депутатов трудящихся, а в городах с районным делением — районными Советами депутатов трудящихся; в сельских местностях — районными Советами депутатов трудящихся — не позднее, чем за 40 дней до выборов.

Статья 50. Участковая избирательная комиссия образуется в составе председателя, заместителя председателя, секретаря и 4— 8 членов.

Статья 51. Участковая избирательная комиссия:

а) производит по избирательному участку прием избирательных бюллетеней;

б) производит подсчет голосов по каждому кандидату в депутаты Совета Союза и Совета Национальностей;

в) передает делопроизводство по выборам соответственно в Окружную по выборам в Совет Союза и в Окружную по выборам в Совет Национальностей избирательные комиссии.

Статья 52. Заседания Центральной избирательной комиссии, Республиканской избирательной комиссии по выборам в Совет Национальностей, Избирательных комиссий автономных областей и национальных округов по выборам в Совет Национальностей, Окружной по выборам в Совет Союза избирательной комиссии и Окружной по выборам в Совет Национальностей избирательной комиссии, а равно Участковых Избирательных комиссий считаются действительными, если на них участвует больше половины общего состава комиссий.

Статья 53. Все вопросы в избирательных комиссиях решаются простым большинством голосов; при равенстве голосов — голос председателя дает перевес.

Статья 54. Расходы, связанные с производством выборов в Верховный Совет СССР, производятся за счет государства.

Статья 55. Центральная избирательная комиссия, Республиканские избирательные комиссии по выборам в Совет Национальностей, Избирательные комиссии автономной области, национального округа по выборам в Совет Национальностей, Окружная по выборам в Совет Союза избирательная комиссия, Окружная по выборам в Совет Национальностей избирательная комиссия и Участковые избирательные комиссии имеют свою печать по образцу, установленному Центральной избирательной комиссией.

Глава VI

ПОРЯДОК ВЫСТАВЛЕНИЯ КАНДИДАТОВ В ДЕПУТАТЫ ВЕРХОВНОГО СОВЕТА СССР

Статья 56. Право выставления кандидатов в Верховный Совет СССР обеспечивается за общественными организациями и обществами трудящихся — на основании статьи 141 Конституции СССР: за коммунистическими партийными организациями, профессиональными союзами, кооперативами, организациями молодежи, культурными обществами и другими организациями, зарегистрированными в установленном законом порядке.

Статья 57. Право выставления кандидатов осуществляют как центральные органы общественных организаций и обществ трудящихся, так и их республиканские, краевые, областные и районные органы, равно как общие собрания рабочих и служащих по предприятиям, красноармейцев — по воинским частям, а также общие собрания крестьян по колхозам, рабочих и служащих совхозов — по совхозам.

Статья 58. Кандидаты в депутаты не могут состоять членами Окружных по выборам в Совет Союза и в Совет Национальностей избирательных комиссий, а также Участковых избирательных комиссий того округа, где они выставлены кандидатами в депутаты.

Статья 59. Не позднее, чем за 30 дней до выборов, все общественные организации или общества трудящихся, выдвигающие кандидатов в депутаты Верховного Совета СССР, обязаны зарегистрировать кандидатов в депутаты соответственно или в Окружной по выборам в Совет Союза избирательной комиссии, или в Окружной по выборам в Совет Национальностей избирательной комиссии.

Статья 60. Окружные по выборам в Совет Союза и по выборам в Совет Национальностей избирательные комиссии обязаны зарегистрировать всех кандидатов в депутаты Верховного Совета СССР, выставленных общественными организациями и обществами трудящихся с соблюдением требований Конституции СССР и «Положения о выборах в Верховный Совет СССР».

Статья 61. Общественная организация или общество трудящихся, выдвигающие кандидата в депутаты Верховного Совета СССР, обязаны представить в Окружную избирательную комиссию следующие документы:

а) протокол собрания или заседания, выдвинувшего кандидата в депутаты, подписанный членами Президиума, с указанием их возраста, местожительства, наименования организации, выдвинувшей кандидата, указания о месте, времени и количестве участников собрания или заседания, выдвинувшего кандидата в депутаты, причем в протоколе должны быть указаны фамилия, имя, отчество кандидата в депутаты, его возраст, местожительство, партийность, занятие;

б) заявление кандидата в депутаты об его согласии баллотироваться по данному избирательному округу от выставившей его организации.

Статья 62. Кандидат в депутаты Верховного Совета СССР может голосоваться только в одном округе.

Статья 63. Отказ Окружной по выборам в Совет Союза избирательной комиссии в регистрации кандидата в депутаты может быть обжалован в двухдневный срок в Центральную избирательную комиссию, решение которой является окончательным.

Статья 64. Отказ Окружной по выборам в Совет Национальностей избирательной комиссии в регистрации кандидата может быть обжалован в двухдневный срок в Избирательную комиссию союзной, автономной республики, автономной области, а решение последней — в Центральную избирательную комиссию, решение которой является окончательным.

Статья 65. Фамилия, имя, отчество, возраст, занятие, партийность каждого зарегистрированного кандидата в депутаты Верховного Совета СССР и наименование общественной организации, выдвинувшей кандидата, опубликовываются соответственно Окружной по выборам в Совет Союза избирательной комиссией и Окружной по выборам в Совет Национальностей избирательной комиссией не позже, чем за 25 дней до выборов.

Статья 66. Все зарегистрированные кандидаты в депутаты Верховного Совета СССР подлежат обязательному включению в избирательный бюллетень.

Статья 67. Окружная по выборам в Совет Союза избирательная комиссия и Окружная по выборам в Совет Национальностей избирательная комиссия обязаны не позднее, чем за 15 дней до выборов в Верховный Совет СССР, напечатать и разослать всем Участковым избирательным комиссиям избирательные бюллетени.

Статья 68. Избирательные бюллетени печатаются на языках населения соответствующего избирательного округа.

Статья 69. Избирательные бюллетени печатаются по форме, установленной Центральной избирательной комиссией, и в количестве, обеспечивающем снабжение всех избирателей избирательными бюллетенями.

Статья 70. Каждой организации, выставившей кандидата, зарегистрированного в Окружной избирательной комиссии, равна как каждому гражданину СССР, обеспечивается право беспрепятственной агитации за этого кандидата на собраниях, в печати и иными способами, согласно статьи 125 Конституции СССР.

Глава VII ПОРЯДОК ГОЛОСОВАНИЯ

Статья 71. Выборы в Верховный Совет СССР производятся в течение одного дня — общего для всего СССР.

Статья 72. День выборов в Верховный Совет СССР устанавливается Президиумом Верховного Совета СССР, согласно статьи 54 Конституции СССР не позднее, чем за 2 месяца до срока выборов. Выборы производятся в нерабочий день.

Статья 73. Ежедневно в течение последних 20 дней перед выборами Участковая избирательная комиссия опубликовывает или широко оповещает избирателей каким-либо иным способом о дне выборов и месте выборов.

Статья 74. Подача голосов избирателями производится в день выборов от б часов утра до 12 часов ночи.

Статья 75. В 6 часов утра в день выборов председатель Участковой избирательной комиссии в присутствии ее членов проверяет избирательные ящики и наличие составленного по установленной форме списка избирателей, после чего закрывает и опечатывает ящики печатью комиссии и приглашает избирателей приступить к подаче голосов.

Статья 76. Каждый избиратель голосует лично, являясь для этого в помещение для голосования, причем подача голосов избирателями производится путем опускания в избирательный ящик избирательных бюллетеней, запечатанных в конверте.

Статья 77. В помещении для выборов выделяется Для заполнения бюллетеней особая комната, в которой во время голосования запрещается присутствие кого бы то ни было, в том числе и членов Участковой избирательной комиссии, кроме голосующих; при допуске в комнату для заполнения бюллетеней одновременно нескольких избирателей, она должна быть оборудована перегородками или ширмами по числу допускаемых одновременно избирателей.

Статья 78. Явившийся в избирательное помещение избиратель предъявляет секретарю Участковой избирательной комиссии либо паспорт, либо колхозную книжку, либо профсоюзный билет, либо иное удостоверение личности и после проверки по списку избирателей и отметки в списке избирателей получает избирательные бюллетени и конверт установленного образца.

Статья 79. На лиц, явившихся в помещение для выборов с «удостоверением на право голосования», согласно статьи 15 настоящего «Положения о выборах в Верховный Совет СССР», Участковая избирательная комиссия ведет особый список, который прилагается к списку избирателей.

Статья 80. Избиратель в комнате, отведенной для заполнения избирательных бюллетеней, оставляет в каждом избирательном бюллетене фамилию того кандидата, за которого он голосует, вычеркивая остальных; заклеив бюллетени в конверт, избиратель переходит в комнату, где помещается Участковая избирательная комиссия, и опускает конверт с избирательными бюллетенями в избирательный ящик.

Статья 81. Избиратели, не имеющие возможности в силу неграмотности или какого-нибудь физического недостатка самостоятельно заполнить избирательные бюллетени, вправе пригласить в комнату, где заполняются избирательные бюллетени, любого другого избирателя для заполнения избирательных бюллетеней.

Статья 82. Выборная агитация в избирательном помещении во время подачи голосов не допускается.

Статья 83. Ответственность за порядок в избирательном помещении несет председатель комиссии, и его распоряжения для всех присутствующих обязательны.

Статья 84. В 12 часов ночи дня выборов председатель Участковой избирательной комиссии объявляет подачу голосов законченной, и комиссия приступает к вскрытию избирательных ящиков.

Глава VIII

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ВЫБОРОВ

Статья 85. В помещении, где Участковая избирательная комиссия производит подсчет голосов, при подсчете голосов имеют право присутствовать специально на то уполномоченные представители общественных организаций и обществ трудящихся, а также представители печати.

Статья 86. Участковая избирательная комиссия, вскрыв ящики, сверяет число поданных конвертов с числом лиц, участвовавших в голосовании, и результаты сверки заносит в протокол.

Статья 87. Председатель Участковой избирательной комиссии вскрывает конверты И оглашает в присутствии всех членов Участковой избирательной комиссии результаты голосования по каждому бюллетеню.

Статья 88. Запись результатов голосования ведется отдельно по выборам в Совет Союза и в Совет Национальностей.

Статья 89. На каждого кандидата в депутаты ведется счетный лист в 2-х экземплярах секретарем комиссии и уполномоченными на то членами Участковой избирательной комиссии.

Статья 90. Признаются недействительными бюллетени:

а) неустановленного образца и цвета;

б) поданные без конверта или в конверте неустановленного образца ;

в) с количеством кандидатов, превышающим число избираемых депутатов.

Статья 91. При возникновении сомнений в действительности избирательного бюллетеня вопрос разрешается Участковой избирательной комиссией Путем голосования, что отмечается в протоколе.

Статья 92. Участковая избирательная комиссия составляет по установленной форме протокол голосования в трех экземплярах, подписываемых всеми членами Участковой избирательной комиссии, в том числе обязательно председателем и секретарем.

Статья 93. В протоколе голосования Участковой избирательной комиссией должно быть указано:

а) время начала и окончания подачи голосов;

б) число избирателей, подавших голоса по списку избирателей;

в) число избирателей, подавших голоса по «удостоверениям на право голосования»;

г) число поданных конвертов;

д) краткое изложение заявлений и жалоб, поданных в Участковую избирательную комиссию, и принятые Участковой избирательной комиссией решения;

е) результаты подсчета голосов по каждому кандидату.

Статья 94. После окончания подсчета голосов и составления протокола, председатель комиссии оглашает результаты голосования в присутствии всех членов комиссии.

Статья 95. Один экземпляр протокола голосования, составленного Участковой избирательной комиссией, с обоими экземплярами счетных листов на кандидатов в депутаты Совета Союза направляются с нарочным в течение 24 часов в Окружную по выборам в Совет Союза избирательную комиссию; второй экземпляр протокола голосования, составленного Участковой избирательной комиссией, с обоими экземплярами счетных листов на кандидатов в депутаты Совета Национальностей направляется с нарочным в течение 24 часов в Окружную по выборам в Совет Национальностей избирательную комиссию.

Статья 96. Все избирательные бюллетени (отдельно действительные и отдельно признанные недействительными) отдельно по Совету Союза и отдельно по Совету Национальностей должны быть опечатаны печатью Участковой избирательной комиссии и вместе с третьим экземпляром протокола голосования и печатью сданы председателем Участковой избирательной комиссии на хранение: в городах — городским Советам депутатов трудящихся, а в городах с районным делением— районным Советам депутатов трудящихся; в сельских местностях — районным Советам депутатов трудящихся.

Статья 97. На Советы депутатов трудящихся возлагается обязанность хранить избирательные бюллетени впредь до утверждения мандатов депутатов от соответствующего округа Верховным Советом СССР.

Статья 98. Окружная избирательная комиссия производит подсчет голосов на основании протоколов, представленных Участковыми избирательными комиссиями.

Статья 99. В помещении, где Окружная избирательная комиссия производит подсчет голосов, имеют право присутствовать при подсчете голосов специально на то уполномоченные представители общественных организаций и обществ трудящихся, а также представители печати.

Статья 100. На каждого кандидата Окружной избирательной комиссией ведется в

2-х экземплярах счетный лист, в котором отмечается количество голосов, полученных каждым кандидатом в депутаты.

Статья 101. Окружная избирательная комиссия составляет протокол голосования в 2-х экземплярах, подписываемых всеми членами Окружной избирательной комиссии, в том числе обязательно председателем и секретарем.

Статья 102. В протоколе Окружной избирательной комиссии должно быть указано:

а) общее число избирателей по округу;

б) общее число избирателей, принявших участие в голосовании;

в) число голосов, поданных за каждого кандидата в депутаты;

т) краткое изложение заявлений и жалоб, поданных в Окружную избирательную комиссию, и принятые Окружной избирательной комиссией решения.

Статья 103. Не позднее 24 часов после окончания подсчета голосов председатель Окружной по выборам в Совет Союза, а также председатель Окружной по выборам в Совет Национальностей избирательной комиссии обязаны переслать первый экземпляр протокола с приложенными счетными листами в запечатанном виде через нарочного в Центральную избирательную комиссию, второй экземпляр протокола — в Избирательную по выборам в Совет Национальностей комиссию союзной республики, автономной республики, автономной области.

Статья 104. Кандидат в депутаты Верховного Совета СССР, получивший абсолютное большинство голосов, т. е. больше половины всех голосов, поданных по округу и признанных действительными, считается избранным.

Статья 105. После подписания протокола председатель Окружной по выборам в Совет Союза избирательной комиссии оглашает результаты выборов и выдает избранному кандидату в депутаты Совета Союза удостоверение об избрании.

Статья 106. После подписания протокола председатель Окружной по выборам в Совет Национальностей избирательной комиссии оглашает результаты выборов и выдает избранному кандидату в депутаты Совета Национальностей удостоверение об избрании.

Статья 107. Если ни один из кандидатов не получил абсолютного большинства голосов, соответствующая Окружная избирательная комиссия отмечает об этом особо в протоколе и сообщает: в Центральную избирательную комиссию и Избирательную комиссию республики, автономной области или национального округа по выборам в Совет Национальностей и одновременно объявляет перебаллотировку двух кандидатов, получивших наибольшее количество голосов, а также назначает день перебаллотировки не позднее, чем в двухнедельный срок по истечении первого тура выборов.

Статья 108. Если поданное количество голосов по округу составляет меньше половины избирателей, имеющих право голосовать по этому округу, Окружная избирательная комиссия по выборам в Совет Союза или по выборам в Совет Национальностей отмечает об этом особо в протоколе и сообщает немедленно в Центральную избирательную комиссию и в Избирательную комиссию республики, автономной области по выборам в Совет Национальностей, причем в этом случае Центральная избирательная комиссия назначает новые выборы не позднее, чем в двухнедельный срок после первых выборов.

Статья 109. Перебаллотировка кандидатов в депутаты, равно как новые выборы взамен признанных недействительными, производятся по спискам избирателей, составленным для первых выборов, и в полном соответствии с настоящим «Положением о выборах в Верховный Совет СССР».

Статья 110. В случае выбытия депутата из состава Верховного Совета СССР Президиум Верховного Совета СССР в 2-недельный срок назначает в соответствующем избирательном округе срок выборов нового депутата,, но не позднее, чем в 2-месячный срок после выбытия депутата из состава Верховного Совета СССР.

Статья 111. Всякий, кто путем насилия, обмана, угроз или подкупа будет препятствовать гражданину СССР в осуществлении его права избирать и быть избранным в Верховный Совет СССР,— карается лишением свободы на срок до 2-х лет.

Статья 112. Должностное лицо Совета или член избирательной комиссии, совершившие подделку избирательных документов или заведомо неправильный подсчет голосов,— караются лишением свободы на срок до 3-х лет.

Председатель Центрального Исполнительного Комитета СССР М. Калинин Секретарь Центрального Исполнительного Комитета СССР А. Горкин Москва, Кремль, 9 июля 1937 г.

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

ПРОБЛЕМА ВАРИНГА И НОВЕЙШИЕ УСПЕХИ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

ПРОФ. И. И. ЧИСТЯКОВ (Москва)

1. В 1934 г. исполнилось двести лет со дня рождения известного английского математика Эдуарда Варинга. Эта годовщина прошла почти незаметной не только в других странах, но и в самой Англии. Между тем, Варинг был выдающимся математиком своего времени, а в последние годы имя его приобрело особую известность в связи с так называемой «проблемой Варинга», которой посвящены труды весьма многих выдающихся математиков, в том числе и советских ученых.

Э. Варинг родился в Шрусберри, в Англии, в 1734 г., а обучался в средней школе и в университете г. Кэмбриджа. По окончании университетского курса он был оставлен при университете для приготовления к профессорской деятельности и в 1760 г. уже сделался профессором по кафедре высшей математики, которую в свое время занимал Ньютон. Варинг издал несколько капитальных трудов по различным отделам математико, которые содержали много новых и весьма ценных результатов. Так, в 1762 г. он издал книгу «Различные исследования», в 1770 г.— «Алгебраические размышления», в 1772 г. — «Свойства алгебраических кривых» и в 1776 г.—«Аналитические размышления». Во всех этих сочинениях он является, главным образом, выдающимся алгебраистом, и наиболее существенные результаты достигнуты им в области высшей алгебры. Так, он занимался вопросом о числе мнимых корней уравнений 4-й и 5-й степеней, свойствами трехчленных уравнений, симметрическими функциями корней уравнений, способами преобразования и решения уравнений, приближенного вычисления их корней и пр., причем во всех этих вопросах дал много существенно важных теорем и методов исследования.

В области аналитической геометрии он исследовал свойства алгебраических кривых высших порядков как плоских, так и пространственных, и в частности, разработал теорию кривых 4-го порядка, явившись в этом отношении прямым продолжателем Ньютона, давшего теорию кривых 3-го порядка.

В авализе ему принадлежат многие теоремы в учении о рядах и, в частности, об условиях их сходимости, которым в ту эпоху не придавалось еще надлежащего значения, так что даже выдающиеся ученые, как Лейбниц и Эйлер, делали в этом вопросе ошибки. Варинг, указывая на важность условий сходимости рядов, вывел, между прочим независимо от Даламбера, известный признак сходимости рядов, носящий имя последнего. Он доказал, в частности, что ряд

сходится при ту> 1 и расходится при m< 1; суммировал многие ряды, дал новые разложения и пр.

Но особенно выдвинули имя Варинга в науке его исследования по теории чисел. Так, им дана теорема о том, что при абсолютно простом числе р сумма

делится без остатка на /?, илм, пользуясь обозначениями теории чисел,

Например:

(1.2.3.4)+1 = крат. 5.

Теореме этой Варинг дал название теоремы Вильсона, своего ученика, который, однако, потом уже не занимался математикой, а изучал юридические науки, так что ее по справедливости можно назвать теоремой Вильсона-Варинга. Такой же большой интерес представляет данная им без доказательства теорема о том, что всякое четное число представляет собою сумму двух, а нечетное— сумму трех простых чисел. Эта последняя теорема известна в науке под именем теоремы Гольдбаха, так как Гольдбах сообщил ее в 1742 г. в письме к Эйлеру, но это письмо стало известным лишь в 1843 г., когда оно было опубликовано. Но особенно способствовало славе Варинга высказанное им в 1770 г. в книге «Алгебраические раз-

мышления» положение, известное под именем с проблемы Варинга» о том, что всякое число может быть представлено в виде суммы одинаковых степеней целых положительных чисел, число которых ниже некоторого предела, вполне определяемого показателем степеней и не зависящего вовсе от разлагаемого числа. Так, всякое число есть или куб, или сумма из 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9 кубов; точно так же, любое число есть или биквадрат, или же сумма 2, 3, 4, 5,..., 19 биквадратов; вообще для всякого целого положительного числа А и целого положительного показателя m можно найти ряд целых положительных чисел av а2,..- ап таких, что

А = а1т + а2т + ... + аят,

причем число слагаемых во второй части, которые мы будем обозначать Nm, зависит лишь от т. Так, для т = 3 имеем N3 = 9; для m =^4, iV4 =: 19 и т. п. Эту теорему Варинг дал без доказательства. Первоначально она не привлекла к себе надлежащего внимания, как, впрочем, и все труды Варинга. Причиною этому отчасти было то, что он излагал свои исследования весьма тяжелой неясно, отчасти же то, что в Англии в это время не было уже крупных ученых, которые составляли ранее школу учеников и последователей Ньютона; с континентальными же европейскими учеными того времени Варинг не поддерживал отношений. И лишь спустя 60 лет ею стали заниматься выдающиеся ученые.

2. В формулировке Варингом его теоремы ничего не говорится о представлении целого числа в виде суммы нескольких квадратов, а прямо о представлении его суммою кубов, биквадратов и пр. Это, очевидно, сделано потому, что уже задолго до Варинга математикам было известно, хотя и без доказательства, что всякое число представляет собою или точный квадрат, или же может быть представлено в виде суммы двух, трех, или, самое большае— четырех квадратов, так что числоЛГ2 = 4. Например, 4 = 22; 5 = 22 + I2; 6 = 22+12+12; 7 = 22+12+12+12 и т. п. Вопросами о возможности разложения чисел на квадраты, как показывает история математики, люди стали интересоваться в глубокой древности; так, его изучали еще ассировавилонские ученые, затем — последователи Пифагора в связи с носящей его имя теоремой. Теорема Варинга по отношению к разложению числа на сумму квадратов неявно применяется у Диофанта (III в. н, э.) в сочинении «Арифметика» при решении многих неопределенных уравнений 2-й и 4-й степеней; как полагают, она могла быть доказана им в утерянном сочинении «Поризмы» этого великого ученого. От Диофанта интерес к вопросам о разложении чисел на квадраты перешел к арабским ученым, из которых многие занимались решением неопределенных уравнений второй степени, требующих подобного разложения. А от арабов он перешел и к европейским ученым, в особенности благодаря трудам знаменитого ученого Леонарда Пизанского (1175—1230), который в 1202 г. в своем сочинении «Об абаке» изложил основы индусской современной системы письменной нумерации. В этой книге Леонард дал впервые тождество

(I)

показывающее, что произведение двух целых чисел, из которых каждое представляет собою сумму двух квадратов, само есть сумма двух квадратов. Так

Из тождества (I), между прочим, следует, что и произведение нескольких чисел, из которых каждое представляет сумму двух квадратов, само есть сумма двух квадратов, например

В конце своей жизни Леонард Пизанский посвятил даже особое сочинение: «Книга о квадратах» вопросу о разложении чисел на квадраты.

3. В 1575 г. появился в Европе первый печатный перевод вышеупомянутого сочинения— «Арифметика» Диофанта — на латинский язык. Он вызвал большой интерес среди европейских ученых к вопросам неопределенного анализа; в особенности заинтересовался им знаменитый французский ученый того времени Клод Гаспар Баше-де-Мезириак (1581—1638). Баше издал в 1612 г. замечательную книгу: «Интересные и занимательные задачи относительно чисел», в которой, в форме занимательных задач, предлагает решение многих существенно важных вопросов из области неопределенных уравнений и вообще теории чисел. Эта книга выдержала затем много изданий; в 1877 г. вышел и ее русский перевод. В 1621 г. Баше издал «комментарии к Диофанту», причем дал новый полный и

исправленный перевод книги «Арифметика» Диофанта, а также множество разъяснений и дополнений к тексту этого сочинения. В этих «комментариях» находится и знаменитая теорема Баше, являющаяся первой ступенью к проблеме Варинга о том, что всякое число может быть представлено в виде суммы четырех квадратов. Теорема эта была дана Баше-де-Мезириаком без доказательства. С тех пор начались попытки доказать и обобщить теорему Баше.

Первое такое обобщение было предложено великим французским ученым Пьером Ферма (1601 — 1665), который по справедливости считается основоположником теории чисел и неопределенного анализа. Он высоко ценил издание «Арифметики» Диофанта с комментариями Баше и на полях своего экземпляра этой книги делал ценнейшие примечания, в том числе и знаменитую теорему о том, что уравнение хп +уп = zn не может быть решено в целых числах при п>2. По поводу теоремы Баше им было высказано без доказательства такое ее обобщение: всякое число может быть представлено как сумма не более, чем трех треугольных чисел, четырех— четырехугольных, пяти—пятиугольных, вообще п чисел /z-угольных. Напомним, что названные числа, носящие имя вообще многоугольных, получаются при суммировании чисел натурального ряда 1, 2, 3..., если складывать их, начиная от 1, беря 1, 2, 3— слагаемых сначала по порядку, а потом через одно, два, три и т. д. числа. Так, складывая 1, 1 + 2, 1 + 2 —{— 3 и т. д., получим треугольные числа: 1, 3, 6, 10 и пр., вообще числа вида-- ; складывая же числа натурального ряда через одно, т. е. беря суммы нечетных чисел 1,1+3,1 + 5 и т. д. получим четыреугольные, или квадратные числа: 1, 4, 9,..., я2; беря подобные же суммы через два числа натурального ряда, т. е. 1, 1 + 4, 1 + 4 + 7, I + 4+ 7+ 10... получим пятиугольные числа 1, 5, 12, 22... вообще вида n(3fl--l) и т. д. Такие названия даны названным числам потому, что ими можно удобно выразить числа шаров, разложенных на плоскости в форме соответствующих многоугольников. Не трудно убедиться на частных примерах в справедливости теоремы Ферма, например относительно составления чисел из треугольных чисел. Так, 10 само есть треугольное число; 11 —требует двух треугольных слагаемых: Ю + 1, 12 —трех: 10+1 + 1; 13 — двух: 10+3 и т. д. Но в общем виде эта теорема была доказана много позже, а именно Коши в 1813 г.

4. Первое доказательство теоремы Баше было дано Лагранжем в 1770 г. Его доказательство основано на установленной им теореме о том, что, если два числа В и С не делятся на абсолютно простое число /?, то всегда можно найти два таких целых числа t и u, что выражение

t2 — Bu2 — С

делится на р. Доказательство Лагранжа довольно сложно. Эйлер упростил его, положив В = С = — 1, и доказал, что для всякого абсолютно простого числа р можно найти два целых числа t и и таких, что t2 + и2 + 1 делится на /?. Сверх того, для той же цели Эйлер, Лагранж и другие последующие ученые пользовались особым тождеством Эйлера, которое представляет обобщение тождества Леонарда Пизанского и гласит, что произведение двух чисел, из которых каждое представляет сумму четырех квадратов, само есть сумма четырех квадратов. На буквах тождества Эйлера может быть выражено так:

(II)

При c = d=0 и у = «S = 0 из этого тождества получается тождество Леонарда Пизанского. В свою очередь, оно является частным случаем подобного же тождества, полученного французским ученым Пруэ и английским Кэли для чисел, из которых каждое представляет сумму 8 квадратов. Тождество (II) может быть доказано непосредственной проверкою. Из него следует, что вообще произведение нескольких чисел, из которых каждое есть сумма четырех квадратов, само представляет сумму четырех квадратов. Заметим, что некоторые из количеств я, Ь, с, d и а, ß, у, <5 могут быть нулями, и тогда во множителях и в произведении число квадратов будет меньше четырех, однако, например в общем случае произведение двух чисел, из которых каждое представляет собою сумму трех квадратов, не будет выражаться суммою трех квадратов, так:

(1 + 1 + 1)(1+4+16) = 63,

но это число разлагается не на три, а на четыре квадрата: 63 = 73 + За + 22+ 1.

5. Большинство доказательств теоремы Баше, имеющихся в настоящее время, основано на

лемме: «Если какое-нибудь простое число р делит сумму четырех квадратов, то оно само представляет сумму четырех квадратов».

Приведем доказательство этой леммы. Пусть число а1+Ь2+с2+d2 делится на р, тогда и число

(III)

где ky /, ш, п, какие угодно целые числа, тоже разделится на р. Действительно, раскрывая скобки, мы найдем, что сумма а2+Ь2 +c2 + d2 делится на р но условию, а все остальные члены содержат множителя р. Но множители k, /, m и п могут быть так выбраны, что все разности в скобках будут по абсолютной величине менее ~; тогда вся сумма квадратов будет менее 4 • ^j-j , т. е. менее р2. Полагая, что упомянутый выбор множителей k, /, m, п сделан, и обозначая разности, стоящие в выражении (III), чрез ûv &v cv dv найдем, что

«i2 + V + <V4-rfi2 = №. (IV).

Если pi = \, то теорема была бы доказана. Если же то можно найти таких множителей kv tv mv nt, что сумма квадратов разностей

будет менее 4 | ^ j 9 т* е' менее Pi2> следовательно, можно положить:

(V).

Перемножая почленно равенства (IV) и (V), причем в левой ча:ти произведение составляем по тождеству (II) Эйлера, будем иметь-.

Но, раскрывая скобки в каждом слагаемом, убедимся, что выражение, стоящее в квадратных скобках, делится на р1% а потому левая часть равенства (VI) содержит множителя /?!2. Сокращая на него обе части последнего равенства и обозначая для краткости разности, стоящие в левой части равенства (V), чрез а2у Ь2, с2, d2, получим:

а\ + Ь\ + с22 + d22 = pp2t где p>Pt>p2.

Если в последнем равенстве р2 = 1, то теорема доказана. Если же /?2>1, то, поступая с последним равенством, как с (IV), будем иметь:

û?3 + ^ + c23 + ^=A где Pz<p2.

Продолжая подобные же преобразования далее, будем получать разенства вида

°-\+Ь\ + с\ + а\ = РРп,

причем p>Pt>/V ' ' >Рп-

Так как числа Pv /Vе'Рп идут все время уменьшаясь, и все они менее/?, то, в конце концов, какое-нибудь из них pt будет равно 1 ; тогда получим:

a\ + b\ + c*t+d*t = pAf

и приведенная лемма будет доказана. В частности, исходя из тождества (1), подобным же образом можно было бы доказать, что если простое число делит сумму двух квадратов, то оно само есть сумма двух квадратов. Так, 65 = 82 —(— I2 — делится на 13, которое есть сумма 22 —[— З2.

6. Пользуясь доказанной леммой, легко доказать, что всякое простое число представляет собою сумму двух, трех или, самое большее, 4 квадратов. Действительно, как уже было упомянуто, Эйлер и Лагранж доказали, что для всякого числа простого р можно подобрать два таких целых числа t и и, что сумма t2+u2+\ разделится на р. Заметим, что простые числа, больше 2, могут быть видов 4/г + 1 и 4лг —|^ 3 ; числа последнего рода являются делителями чисел вида t2 + и2 + 1 что же касается чисел вида 4/z+l, то, как доказывается в теории чисел на основании теоремы Вильсона-Варинга, для каждого из них можно найти сколько угодно чисел х таких, чтох2+\ разделится на р. Так, для числа 7, имеющего вид 4/г + 3, имеем кратные: 14 = 32 + 22 + 1; 35 = 52 +32+ 1 и т. д., а для числа 5, имеющего вид 4я -[- 1 ; найдем кратные: 10 = I2 + З2; 65 = 82 + I2 и пр. Таким образом, всякое простое число является делителем суммы двух или трех квадратов, а потому на основании доказанной леммы, само в общем случае предоставляет сумму 4 квадратов. Например, 7 делит число 14 =: З2 + 22 + I2 и само представляет сумму 4 квадратов:

На основании последнего вывода уже легко доказать теорему Баше о том, что всякое составное число представляет собою сумму четырех квадратов. Действительно, всякое составное число может быть представлено в виде произведения нескольких простых чисел. А так как каждое из них представляет собою сумму двух или трех квадратов, то все произведение, т. е. составное число, на основании тождества Эйлера (II), представится в виде, в общем случае, суммы четырех квадратов. Например, 60 = 22-3-5, или

60 = (1 + 1) (1 + 1) (1 + 1 + 1) (1+22); 60 = 1 + 1 + 32 + 72.

Но есть числа, которые могут быть представлены только в виде суммы четырех квадратов; Лежандр дал для них формулу:

А = 4* (8А+7).

Так, при / = £ = 0, получим А = 7, при i = k = \, найдем А = 4-15 = 60 и т. п.

7. Как было упомянуто, первые доказательства теоремы Баше были даны в XVII в. Лагранжем и Эйлером; после этого в XIX в. они были предложены и многими другими учеными: Штернеком, Больцано и др. Все эти доказательства основаны на свойствах сравнений второй степени, в частности на свойствах квадратичных вычетов. Но были доказательства, основанные и на иных принципах. Так, Гаусс в своем знаменитом сочинении «Арифметические исследования» дал доказательство теоремы Баше, основанное на созданной Гауссом теории бинарных квадратичных форм, т. е. выражений вида ах2 +2bxy+cy2, где все входящие числа — целые. Якоби предложил доказательство той же теоремы с помощью эллиптических функций, чем положил начало чрезвычайно важному применению анализа в области теории чисел, приведшему к весьма ценным результатам.

После того, как теорема Баше была доказана, естественно было перейти к ее обобщениям. Ряд обобщений был получен с помощью обобщения тождества Эйлера (II). Так, было доказано, что произведение двух множителей вида л:2 + 2^у2 + 322 + б/2 представляется выражением подобного же вида

(а2 + 2Ь2 + Зс2 + 6rf2) (а2 + 2}2 + Зу2 + 6S2) = Л2 + 202 + ЗС2+ 6D2.

Отсюда можно доказать, что всякое простое число, а потому и всякое составное число, можно представить в подобном виде: например, при X = z = t = 0 и у=\, получаем отсюда число 2; при х = 5, у = 2, г =2, t= \ найдем простое число 31 и пр. Заметим, что число той же формы можно представить и в виде суммы четырех квадратов; действительно х2= +2у2+ 3z2 + б*2 =j х2 + (у + g + tf + (_у + z + t)2 + (г_2/)2.

Подобную же теорему можно было бы доказать и вообще для чисел вида: jc2 + Ay2 + Bz2 + ABt2\ доказательство ее было дано Лагранжем.

8. Дальнейшим обобщением теоремы Баше естественно и должна была явиться теорема Варинга, упомянутая в начале этой статьи и гласящая, что всякое число может быть составлено из определенного числа Nm одинаковых m — X степеней целых чисел, именно: 9 или меньшего числа кубов, 19 или меньшего числа биквадратов и т. д. Варинг не дал доказательства этой теоремы, но, повидимому, открыл ее экспериментально, изучая состав чисел натурального ряда в определенных пределах. Доказательство теоремы представило огромные трудности и занимало многих ученых в течение всего XIX в. Первоначально они стремились доказать ее относительно представления числа суммою кубов, предварительно проверив ее непосредственно по таблицам. Такую проверку по поручению Якоби, в пределах от 1 до 12 000 произвел знаменитый счетчик Дазе; позже Штернек проверил все разложения наг кубы от 1 до 40 000 и оказалось, что только числа: 23 = 23 + 23+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 и 239 требуют сложения 9 кубов, остальные — уже менее; лишь 15 чисел требуют 8 слагаемых, а за числом 8 042 уже ни одно число не требует более 6 кубов. Таким образом, теорема Варинга подтверждалась в этих пределах, но теоретического доказательства долго получить не удавалось. Только в 1895 г. французский ученый Майе доказал, что высшее значение NS=17, Флек в 1906 г. понизил это число до 13, а Виферих в 1908 г. доказал, хотя и не полно, что Af3=-9. Окончательное и строгое доказательство этого числа было дано в 1908 г. проф. Ландау, который, сверх того, доказал, что за известным пределом для составления любого числа достаточно только 8 кубов. Для разложения числа на сумму пятых степеней Майе использовал вышеупомянутое доказательство Коши обобщенной теоремы Баше для многоугольных чисел и доказал, что 7V5^192, однако, позднейшие исследования показывают, что этот предел слишком высок, и что, повидимому, А/5^37. Для других нечетных степеней соответствующие значения числа N еще не найдены.

Что касается четных степеней, то для биквадратов Лиувилль еще в 1859 г.

доказал, что всякое число может быть разложено на сумму не более 53 биквадратов. Он для этого пользовался тождеством:

Далее последовало понижение этого предела: Реалис (1878) — свел его на 47, Люка — до 45, а потом до 41, Флек до 39, Ландау (в 1907 г.) до 38 и Виферих (1909) до 37. Таким образом, указанного Варингом предела iV4=19 пока никто еще не доказал. Лишь в последние годы ученые Гарди и Литсильвуд доказали, что за некоторым, весьма отдаленным, пределом, для составления любого числа достаточно 19 биквадратов.

Для нахождения числа N6 было использовано тождество, аналогичное тождеству Лиувилля, но гораздо более сложное, представляющее число 60 (a2 + b2 + с2 + d2)3 в виде суммы 184 бикубов (шестых степеней). Пока доказано, что

NQ^\715,

но, вероятно, этот предел может быть понижен.

Для определения числа 7V8 Гурвиц воспользовался еще более сложным тождеством, представляющим 5 040 (а2 + Ъ2 + с2 + dPf в виде суммы восьмых степеней. Этим путем было найдено, что

Af8^36119.

Наконец, для десятых степеней Шур использовал тождество, выражающее

22 680 (a2+ h2-+c2 + d2y

чрез сумму десятых степеней тех же чисел, и показал, что N1Q тоже имеет некоторый определенный предел. Дальнейшее исследование чисел Nw и вычисление их верхнего предела представляло неимоверные трудности. В то же время еще и не было доказано, что такой предел всегда существует. Последнее положение было доказано знаменитым математиком, профессором Геттингенского университета, Давидом Гильбертом в 1909 г.* Основанием для его доказательства является тождество, обобщающее тождества, приведенные выше, и представляющее т-ю степень квадратичной формы в виде суммы 2т — х степеней линейных форм, именно:

где рА суть положительные рациональные числа, a aw a2v'''>arh — целые числа, которые вполне определяются показателем т. Но доказательство Гильберта отличается большою сложностью и основано на применении тончайших методов математического анализа.

9. Ввиду сложности доказательства Гильберта, другими учеными были предприняты исследования с целью его упрощения, а также нахождения ассимптотических выражений для числа Nm. Из них важны работы индусского математика Раманджана, английских упомянутых математиков Гарди и Литтльвуд и, особенно, академика И. М. Виноградова, который, начиная с 1924 г., опубликовал ряд работ, относящихся к проблеме Варинга. В частности, им было доказано, что Nm<32 (min m)2. Проблемой Варинга теперь занимаются и ученики И. М. Виноградова и многие иностранные ученые.

Подобно изложенной проблеме Варинга, долгое время оставалась недоказанной и вышеупомянутая теорема Варинга, известная под именем теоремы Гольдбаха, о том, что всякое четное число представляет сумму двух, а, следовательно, нечетное — сумму трех абсолютно простых чисел. Лишь в 1930 г. профессор Московского университета А. Г. Шнирельман, пользуясь открытым им новым методом, впервые доказал теорему о конечности числа простых чисел, необходимых для того, чтобы их сумма составляла данное число, и показал, что это число во всяком случае менее 100 000. После этого начались попытки понизить указанный предел; так в 1934 г. Н. П. Романов доказал, что каждое достаточно простое число может быть разложено на сумму менее 1 104 простых слагаемых; в настоящее время этот предел в свою очередь подвергся дальнейшим понижениям.

Из всего изложенного видно, что теория чисел в последнее время делает громадные успехи, и что первостепенной важности открытия сделаны в ней, как и в других областях математики, советскими учеными.

* D.Hilbert. «Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-er Potenzen (Waringsches Problem)». Mathem. Annalen, Bd. 67.

О РЯДАХ

С. ЯНОВСКАЯ (Москва)

«Здравому человеческому смыслу кажется нелепостью разложить некоторую определенную величину, например бином, на бесконечный ряд, т. е. на нечто неопределенное; но далеко ли ушли бы мы без бесконечных рядов или без теоремы о биноме?» (Энгельс. Диалектика Природы).

Все оканчивающие среднюю школу должны знать, что такое логарифмы и уметь пользоваться таблицами логарифмов, в том числе и для тригонометрических функций. Но несмотря на такую широкую распространенность, на логарифмах все же лежит печать таинственности. Хотя со времени опубликования Непером первых таблиц логарифмов прошло уже больше трехсот лег, не только ученики, но подчас и учителя математики, и теперь еще не вполне ясно представляют себе, как могли притти к логарифмам первые составители таблиц.

На вполне естественный со стороны ученика вопрос о том, как составляются таблицы логарифмов, обычный ответ гласит: «это делается с помощью высшей математики». А между тем первые таблицы логарифмов были составлены тогда, когда так называемой высшей математики (диференциального и интегрального исчислений) по существу еще не было.

«Мы предлагаем читателю,—пишет автор небольшой рекомендуемой нами книжки о рядах, тов. Маркушевич, — вообразить себе, что он на чудесной машине времени перенесен в начало XVII в., когда идеи так называемой высшей математики еще только бродили в головах немногих гениальных математиков. В это время ученые математики располагали по существу лишь методами элементарной математики, и в эту же пору появились первые таблицы логарифмов (бюрги, Бригга, Непера)». Почему же ученик, кончающий среднюю школу XX в., отлично знающий пользу и способы употребления логарифмов, как правило, сочтет предложение самому составить хотя одну страницу четырехзначной таблицы логарифмов почти столь же неосуществимым как (употребляя образ автора) и переселение на 300 лет назад?

В значительной мере это объясняется тем, что вопрос мало освещен в научно-популярной литературе. Тов. Маркушевич не только утверждает, что составление таблицы логарифмов вполне доступно школьнику старших классов, но своей книжкой и доказывает это.

Значение книжки Маркушевича не ограничивается, однако, тем, что она содержит доступное для кончающих среднюю школу объяснение того, как можно вычислить с любой степенью точности логарифм всякого числа, ни даже тем, что она выясняет еще и способ вычисления значений тригонометрических функций любого угла. Вычисления этого рода требуют таких средств, которые лежат уже на переходе от элементарной математики к высшей,— и так называемых, бесконечных рядов. С одним из рядов этого рода — бесконечно убывающей геометрической прогрессией— учащиеся старших классов уже знакомы. Знакомы они и с биномом Ньютона, обобщения которого на случай дробного и отрицательного показателя приводят опять-таки к бесконечным рядам. Однако, в школьном курсе алгебры и геометрическая прогрессия, и бином Ньютона выступают как нечто совершенно изолированное и неизвестно для чего, кроме элементов, нужное. А между тем в действительности в них мы имеем зародышевую форму так называемой высшей математики, ключ к обнаружению многих характерных для нее связей, в том числе и тех, которые используются при составлении таблиц логарифмов и значений тригонометрических функций. Сама высшая математика, это вовсе не дитя без матери, неизвестного или таинственного происхождения: ее корни лежат в той же элементарной математике, и знания школьника IX и X классов вполне достаточны для того, чтобы показать ему вход в эту науку, открыть новые, богатые возможностями перспективы, устранить чувство мистической таинственности и недоступности, связывающееся обычно с представлением о высшей математике.

Но у порога высшей математики нас и встречает тотчас же понятие ряда. Что бесконечный ряд действительно лежит на переходе от элементарной математики к высшей, об этом свидетельствует и история последней. В эпоху составления первых таблиц логарифмов знаменитый французский философ и математик, Декарт (трехсотлетие «Геометрии» которого, положившей начало современной аналитической геометрии, празднуется в этом году), стоял еще на той точке зрения, что человеческому уму доступны только такие соотношения величин, которые носят алгебраический характер, т. е. могут быть выра-

жены с помощью многочленов, расположенных по степеням неизвестных. Величины или числя, не являющиеся корнями какого-нибудь многочлена этого рода, обращающими его в нуль, представлялись в ту пору настолько недоступными, что были даже названы трансцендентными, т. е. лежащими за пределами человеческой досягаемости. Так смотрели в первую очередь на число тг, выражающее отношение площади круга к квадрату, построенному на его диаметре. Каково же было изумление Лейбница, когда он обнаружил простое соотношение, связывающее это число с обыкновенными дробями вида

именно когда оказалось, что

причем правая часть,— Лейбниц мыслил ее бесконечно продолженной по тому же закону, который читатель уже подметил, конечно, на первых ее членах, — дает тем лучшее приближение к—, чем больше членов мы в ней возьмем.

Выход за пределы элементарной математики — математики конечного — был таким образом найден в математике бесконечного. Стоило, казалось, от многочлена, т. е. суммы конечного числа слагаемых, перейти к ряду, т. е. сумме бесконечного их числа, чтобы сделать и трансцендентное доступным человеческому разуму. И мы действительно видим, что Ньютон кладет эту — по видимости, очень простую идею — в основу своего исчисления флюксий, соответствующего нашему диференциальному исчислению.

Ход мысли Ньютона, по существу, действительно несложен. Все целые числа, рассуждал Ньютон, могут быть представлены в виде многочленов, расположенных по степеням числа десять, т. е. в виде

Если ввести отрицательные показатели степеней, в том же виде, т. е. в виде десятичных дробей, могут быть представлены, по существу, все остальные (действительные) числа: и дроби, и корни различных степеней из любых чисел, и даже трансцендентные числа в роде числа тс например. Но только при этом, в подавляющем большинстве случаев (исключается только случай дробей, знаменатели которых не содержат других множителей, кроме двоек и пятерок), будут получаться не конечные, а бесконечные десятичные дроби.

Аналогично этому, полагал Ньютон и всякую функцию, т. е. всякую зависимость между величинами, можно представить в виде многочлена, но только расположенного по степеням не десяти, а независимой переменной х. При этом, в отличие от мнения Декарта, нельзя ограничиться случаем конечных многочленов, а нужно привлечь к рассмотрению и бесконечные. Такие, расположенные по степеням переменной х, «бесконечными» называются теперь степенными рядами. Ньютон думал, что к ним может быть сведена любая, изучаемая математикой, функциональная зависимость*

В самом деле, рассмотрим, например, дробь

и попробуем поступить с ней так, как поступаем с обыкновенными дробями при переводе их в десятичные, т. е. будем делить числитель на знаменатель. Так,

Мы видим, что деление никогда не может окончиться и что в частном получается «бесконечночлен»

Бесконечный степенной ряд получился бы и в случае дроби

Проще всего получить этот ряд способом, использованным самим Ньютоном: именно представить дробь _______1__в виде (\+х)~п и применить к этому выражению формулу, называемую «биномом Ньютона»:

(1)

положивши в ней m = —я.

Так как числители коэфициентов этой формулы представляют собой произведения последовательно уменьшающихся на единицу

* В действительности этими рядами выражаются только так называемые аналитические функции.

множителей, то в случае целого и положительного т% начиная с некоторого места все коэфициенты обращаются в нули, и мы получаем с правой стороны расположенный по возрастающим степеням х конечный многочлен. Это обращение в нуль коэфициентов, начиная с некоторого, не будет, однако, иметь места, если число отрицательное или дробное. Действительно, если т, например, равно (—3), то ряд последовательно уменьшающихся на единицу чисел, начиная с т, имеет вид:

— 3, — 4, —5, —6,-7, —...

и нуль среди них никогда не встретится. Не встретится он и в случае /я = —, когда этот ряд (чтобы не смешивать его с рядом, как с суммой бесконечного числа слагаемых, лучше говорить в таких случаях не о ряде, а о последовательности) имеет вид:

Применяя бином Ньютона для отрицательных или дробных показателей, мы будем получать поэтому в правой части формулы (1) не конечные многочлены, а бесконечные ряды.

Случай отрицательного показателя дает нам при этом разложение в бесконечный ряд для дробей вида ^^ху» случай дробного — разложение иррациональностей. Действительно, по определению дробной степени

Неудивительно, что «бином Ньютона» должен был казаться самому Ньютону тем ключом, с помощью которого и можно разложить в ряд любую функцию. Тем более, что с его помощью это можно сделать (в книжке тов. Маркушевича читатель может прочесть о том, как это делается) и для тригонометрических функций и для логарифмов.

Правда, формула для бинома Ньютона в курсе элементарной математики выводится в предположении, что показатель степени бинома m есть целое и положительное число. Для всякого другого m доказательство просто лишается смысла. Однако, заслуга Ньютона состоит вовсе не в том, что он открыл эту формулу (она была известна задолго до него), а именно в том, что он применил ее к дробному и отрицательному показателю, хотя и не обосновал права на такое распространение.

Это дало в его руки новое мощное математическое средство, позволившее овладеть и иррациональными выражениями (содержащими радикалы) и трансцендентными величинами, но одновременно привело и к ряду трудностей, характерных вообще для математики бесконечного.

Чтобы выяснить, в чем могли состоять эти трудности, вернемся к полученному нами разложению

и подставим в обе стороны вместо х единицу. Эта подстановка приведет нас к равенству

^.=i_. 1 + 1-1+1-1 +

Правую часть его можно представить в виде

(1 - 1) + (1 -1) + (1 — 1)+... =*о + о + о+... = о,

и мы получаем 0 = у.

Эту же правую часть (которая содержит, как мы помним, бесконечное число слагаемых) можно представить и в виде

1-(1-1)~(1-1)-(1-1)-... = 1 -— 0 — 0 — 0 — ... = 1,

т. е. оказывается, что

В истории науки с древности до наших дней всегда бывало так: как только возникала трудность, идеалистическая философия, и до сих пор пытающаяся паразитировать на науке, старалась не справиться с ней, а использовать ее в своих целях, целях поповщины и мракобесия. То обстоятельство, что формула

приводила, казалось, к выводу

итальянский монах Гвидо Гранди рассматривал как «символ сотворения мира из ничего». Он был таким образом очень доволен тем, что математики натолкнулись на такое бессмысленное равенство, и вместо того, чтобы выяснить, в чем тут дело, попытался только использовать его для уже совершенно мистического вывода.

Но математиков это не могло удовлетворить. Возникла оживленная переписка, в которой приняли участие Лейбниц, Вольф, Вариньон,

Николай I, Бернулли и, разумеется, сам Гранди. Но теперь последнему нужно было искать еще какие-нибудь доводы в подтверждение равенства

i-i+i-i-i+...=-|,

и вот с помощью каких «рассуждений» он пытался его обосновать:

«Отец оставляет двум сыновьям драгоценный камень, который по очереди должен по году принадлежать каждому из них (так что продать его они не могут); тогда в действительности он принадлежит каждому сыну наполовину, между тем, как право владения выражается одновременно рядом

1-1 +1-1+...

равным, таким образом,-—».

Знаменитому философу и математику Лейбницу не трудно было, однако, разбить этот аргумент, что он и сделал в открытом письме к своему последователю философу Вольфу. Заключение Гранди, говорит Лейбниц, вообще не опирается на бесконечность ряда, В его рассуждениях ничего не изменилось бы, если бы завещание было сделано не навеки, а скажем, только на 100 лет. Но в этом случае ряд

1 — 1 + 1 — 1 + ... + 1 - 1

имеет не бесконечную, а конечную величину, и равен попросту нулю, а не половине. Затруднение в вопросе о том, какую величину приписать сумме

1 1 + 1 1 4_ 1 _ 1 + _

возникает только в случае бесконечного числа ее слагаемых, и сам Лейбниц, правда лишь в силу весьма туманных метафизических соображений, склоняется к тому, чтобы приписать ей в этом случае значение ~. Бесконечное число членов, говорит Лейбниц*, может быть только четным или нечетным. Если оно четно, то сумма ряда равна нулю, если же оно нечетно—единице. Но так как нет никакого разумного основания, заставляющего предпочесть в этом случае четное число нечетному или наоборот, то благодаря удивительным особенностям природы при переходе от конечного к бесконечному должен происходить одновременно и переход от разрывного**, перестающего существовать, к непрерывному — сохраняющемуся — и лежащему посредине разрыва. Этот господствующий в природе закон справедливости будет соблюден, если взять, как предписывает теория вероятностей, арифметическое среднее, т. е. половину суммы обеих одинаково легко получающихся величин (0 и 1).

Этим путем Лейбниц действительно избегал нелепого вывода о равенстве нулю отличного от нуля числа (к ряду 1 —1 + 1 — 1 + 1 —1+... можно и на основании совершенно строгих математических соображений отнести в качестве его «суммы» число у), однако, природа бесконечных рядов при этом оставалась еще настолько невыясненной, что и через полвека после этого спора знаменитый математик Леонард Эйлер считал возможным сделать следующий вывод: подставим в разложение

сначала х =—3, затем х=\. Мы получим при этом

и почленное сложение этих двух равенств приводит нас к выводу:

0 = 2 + 2+10 + 26 + ...

еще более поразительному, чем равенство нуля единице или половине. Ибо тут нуль оказывается равным бесконечности.***

Правда, можно было бы избежать ряда трудностей, вспомнивши, что теорема о биноме Ньютона была доказана только для целых и положительных значений показателя степени, и заключивши отсюда, что мы вообще были не в праве распространять ее на случай дробных и отрицательных показателей. Но дело в том, что рассуждать таким образом это значило бы выплеснуть из ванны вместе с водой и ребенка. А между тем, например, полученное нами равенство

* Цитирую по «Истории математики» М. Кантора, т. III,стр. 366—367.

** Тут Лейбниц имеет в виду «скачок» от нуля к единице как сумме рассматриваемого ряда.

*** «Вывод» этот нужен правда Эйлеру лишь для того, чтобы «показать», что нельзя основывать доказательство того, что lg ( — l ) ф 0 только на том соображении, что ряд для логарифма от (1 + х) при X = — 2 дает

т. е. расходящийся ряд, сумма членов которого не может быть равна нулю.

вовсе не всегда приводит к таким нелепым выводам, как те, с которыми мы до сих пор имели дело. Для х, по абсолютной величине не превосходящего единицы, оно просто верно, ибо в этом случае мы получаем справа бесконечную убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем (—х\ сумма членов которой по хорошо известной каждому школьнику старших классов формуле действительно равна

Ошибка Ньютона (как и других математиков того времени) состояла не в том, что он распространил формулу бинома Ньютона на случай дробных и отрицательных показателей (и применял к бесконечным суммам законы, верные для конечных), а в том, что он сделал это формально, метафизически, без исследования конкретных условий возможности такого распространения. Последующие поколения математиков не могли успокоиться на констатации возникших благодаря этому трудностей (чего очень хотелось философам-идеалистам), но занялись конкретным их исследованием. Формула бинома Ньютона была при этом доказана на случай любого показателя степени, причем были выяснены, однако, границы ее применимости; был установлен ряд критериев, позволяющих выяснить, когда можно со смыслом говорить о «сумме» членов бесконечного ряда и когда, больше того, с суммой бесконечного числа слагаемых можно оперировать по правилам, пригодным для конечных сумм (например, когда можно пользоваться переместительным законом сложения).

Благодаря этому мы теперь умеем не только вычислять таблицы логарифмов и тригонометрических функций, но и обосновать правила этого вычисления с такой ясностью, какая была еще невозможна в эпоху, когда таблицы логарифмов впервые составлялись. Больше того, благодаря тому, что при этом приходится выяснять ряд основных понятий математики, таких как предел, сумма, ряд и т. п., читатель, который не пожалеет времени и усилий на чтение книжки тов. Маркушевича, будет действительно подготовлен к тому, чтобы не только формально, а с пониманием дела пользоваться пройденным им курсом элементарной алгебры и тригонометрии и воспринять в дальнейшем истины высшей математики.

Автор начинает свою книжку с рассмотрения понятия о функции и выяснения стоящей перед ней задачи. Следующие две главы посвящены биному Ньютона. Не предполагая, что читатель помнит доказательство этой теоремы, автор дает сначала (в первой из них) несколько отличное от обычного доказательство ее для случая целого положительного показателя, а затем рассказывает (во второй главе, историю ее распространения на случай дробных и отрицательных показателей. Обнаруженные при этом трудности заставляют его остановиться вообще на вопросе о рядах (четвертая глава) и признаках их сходимости (пятая). Выяснение этих понятий дает ему возможность вернуться к биному Ньютона и обосновать распространение этой формулы на случай любого показателя, для чего он использовывает остроумный прием Эйлера (глава шестая). Подготовленного им таким образом материала достаточно, чтобы перейти к рядам для синуса и косинуса (седьмая глава) и логарифмическому ряду (восьмая), дающим возможность вычисления с любой степенью точности таблиц тригонометрических функций и логарифмов.

Книга читается с интересом и легка для понимания.

Автор не брезгует историей вопроса, очень тщательно проделывает сам все выкладки и приводит много числовых примеров. Все это очень облегчает — не скажу чтение книги, но ее проработку. Ибо и легкую книгу по математике нельзя просто читать: над ней нужно работать, — раньше всего нужно самому проделать все выкладки, смотря на многие из приведенных в тексте только как на возможную помощь на случай каких-нибудь затруднений. В противном случае как раз такая книга, где все выкладки и вычисления очень тщательно выполнены, может показаться читателю скучной. Зато читатель, с карандашом в руках проработавший книжку тов. Маркушевича, не пожалеет потраченного на нее времени.

Каждый учащийся двух старших классов средней щколы должен иметь уже достаточную подготовку для чтения этой книги, и ее можно рекомендовать поэтому для школьных математических кружков, состоящих из учеников IX и X классов.

Автор прав, утверждая, что его книга не может, конечно, даже в небольшой мере исчерпать круг всех идей и фактов, которые ему пришлось затронуть, и мы можем только присоединиться к его пожеланию, чтобы она заинтересовала читателя ими, вызвала потребность к дальнейшему чтению, углубила и закрепила то, что он узнал из курса элементарной алгебры и тригонометрии и заставила задуматься над вещами, которые ему раньше казались то слишком простыми, то непонятными или неинтересными.

О ПЛОЩАДИ ТРАПЕЦИИ

А. Б.

В № 1 журнала «Математика в школе» за 1937 г. была помещена заметка М. Бакулина «Две задачи на трапецию», в которой был дан вывод формулы площади трапеции по четырем ее сторонам. Ряд читателей (т.т. Гилилов, Давыдов, Жураховский и др.) справедливо отмечают сравнительную сложность вывода этой формулы у М. Бакулина и дают гораздо более легкий вывод, в конечном итоге у всех авторов сводящийся к следующему.

Пусть дана трапеция ABCD. Проводим CEIIAB, В треугольнике ECD известны стороны, именно

По формуле Герона определим высоту этого треугольника или, что то же, высоту трапеции:

или, обозначая периметр трапеции через 2р, т. е.

будем иметь:

Подставляя это значение h в формулу для площади трапеции, получим:

Точно так же гораздо более легкий вывод дает т. Жураховский для промежуточного соотношения, которым т. Бакулин пользуется для деления площади трапеции на п равновеликих площадей.

Продолжим непараллельные стороны трапеции до их пересечения и найдем отношение площадей треугольника ВЕС и трапеции ABCD. Из подобия треугольников AED и ВЕС имеем:

Берем производную пропорцию:

Но так как

то окончательно имеем:

По поводу деления площади трапеции на равновеликие части т. Жураховский считает более целесообразным произвести это деление графическим способом. Он предлагает нанести площадь участка в известном масштабе на план и выполнить построением деление площади на заданное количество равновеликих частей (способ построения т. Жураховский дает). Затем измерить полученные отрезки и, учтя масштаб, нанести их на самом участке.

Здесь мы не можем согласиться с т. Жураховским и в отношении скорости и в отношении точности, конечно, выгоднее просто подставить в готовую формулу.

МЕТОДИКА

ТРУДНОСТИ ПРИ ПРОХОЖДЕНИИ КУРСА СТЕРЕОМЕТРИИ В IX КЛАССЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

К. КРАЕВСКИЙ (Урусово)

В № 41 газеты «ЗКП» от 21 марта 1936 г. была напечатана статья: «Разрыв между средней школой и вузом», в которой дана оценка знаний по математике и физике учащихся, оканчивающих среднюю школу, и ясно отражен взгляд профессоров и преподавателей вузов на состояние преподавания этих предметов в средней школе. Особенный упор в статье делается на то, что учащиеся не имеют должного математического развития и что знания многих учащихся поверхностны.

Какие же требования предъявляют профессора вузов к учащимся, оканчивающим среднюю школу? Об этих требованиях я могу судить по выступлениям представителей профессуры на съезде преподавателей математики в 1935 г. Профессор Делонэ желал бы видеть студента, поступающего в вуз, который имел бы настолько ясное представление пространственных образов, чтобы он мог свободно разбираться во всех тонкостях геометрического строения кристалла; профессора Александров и Четверухин желали бы видеть студентами лиц, свободно преодолевающих трудности геометрии многомерного пространства и проективной геометрии; тов. Фурсенко мало интересуется пространственными представлениями учащихся и желал бы видеть у поступающих уменье изящно и сознательно вычислять. Тов. Березанская, ближе стоящая к массовой школе, говорит, что о тонкостях и красоте можно говорить тогда, когда учащийся научился четко проводить правило, хотя бы это правило было громоздко.

Программы, методы преподавания все время изменяются и в школе нет традиций, которые давали бы преподавателю критерий, каких требований он должен придерживаться, знания каких деталей курса он должен добиваться. Программа не дает ясности в вопросе об объеме требований. Трудности, которые встречает учащийся, зависят прежде всего от объема требований. Я рассмотрю несколько вопросов программы и инструкции об испытаниях.

Программа VIII класса по алгебре говорит: «Системы квадратных уравнений, решаемых особыми приемами а) ху = а и х + у — Ь, б)х2-\*у2 = а и х+у — Ь. Если к ученику предъявить требование уменья решать задачи такого вида ху=;6; х + у = 5 — это одно, а если он, для использования этого искусственного приема, должен уметь привести к виду данной системы сложную систему уравнений— это другое.

В задачнике Шапошникова и Вальцева есть 180 задач на применение искусственных приемов решения. Сколько уроков должен затратить преподаватель, чтобы все учащиеся класса поняли способы решения всех этих задач и приобрели должные навыки?

По инструкции об испытаниях в IX классе дается на испытании по геометрии задача на построение. Что имеется здесь в виду? Основные задачи на построение? § 6 стр. 35 стабильного учебника? Задачи типа № 2 стр. 3 задачника Рыбкина? Можно дать такую задачу: «через вершину нижнего основания правильной шестиугольной пирамиды провести сечение перпендикулярное к противолежащему боковому ребру пирамиды». Это все задачи, требующие разного развития учащихся. В программе VII класса по геометрии есть вопрос: «решение задач методом геометрических мест». Этот вопрос в курсе Александрова занимает 40 страниц, а в задачнике есть несколько примеров самых простых на решение задач этим методом, но и эти задачи для всей массы учащихся непосильны. К сожалению, ни методическая литература, ни статьи компетентных лиц в журналах не дают нам критерия тех требований, которые мы должны предъявлять к учащимся.

В городах есть учебные заведения разного типа и часть учащихся уходит в ФЗУ, в техникумы и только часть остается в VIII— X классах средней школы. В начальной школе учатся все, и то, что для одних не представляет никаких трудностей, для других составляет непреодолимые трудности. Методы работы, вполне удовлетворяющие одних, малопригодны для других.

Мною в порядке опытной работы были проработаны три раздела программы. Результаты моих наблюдений изложены в дальнейшем.

Я перехожу к описанию отдельных вопросов программы, методов их проработки классом и трудностей, которые встретили учащиеся и преподаватель.

При прохождении теоретического курса я придерживался, главным образом, лекционного метода с подробной записью на классной доске всех математических и геометрических соотношений между элементами фигуры. Записи сопровождались чертежом, соответствующим разбираемому вопросу, теореме или задаче. Определения, которые встречались при проработке вопроса, я формулировал сам и всегда указывал по учебнику эту формулировку, причем, если формулировка в учебнике не была оттенена, то заставлял учащихся самих оттенить ее в книге, хотя бы подчеркиванием карандашом.

Некоторые более легкие теоремы я не доказывал сам, а вызывал лучших учащихся к классной доске и заставлял учащегося сделать доказательство самостоятельно, оказывая ему помощь в анализе порядка рассуждений, необходимых для доказательства, путем некоторых наводящих вопросов и вызовом с мест других учащихся. Примером таких теорем может служить обратная теорема о трех перпендикулярах, теорема об отрезках параллельных линий между параллельными плоскостями. Теоремы очень легкие я задавал на дом без предварительного доказательства их в классе. Например, теоремы о перпендикуляре и наклонных.

Для большинства теорем и задач под моим руководством в школьной мастерской были изготовлены проволочные модели, кроме того у меня были модели из картона, которые я сам делал. Для некоторых задач я заставлял учащегося, вызываемого для решения задач, составлять модель из складных четырехугольника или треугольника и деревянных брусков, а также тех классных приборов, которые всегда под руками у преподавателя: линейка, треугольник и циркуль. Как теорему, так и задачу я в большинстве случаев разбирал на модели и, переходя к систематичному словесному изложению доказательства, ставил модель на демонстрационный столик так, чтобы чертеж на доске соответствовал бы виду расположенной модели. При вычерчивании фигуры на доске я старался указать учащимся каждую проведенную линию на модели; каждое равенство, каждое геометрическое соотношение (перпендикулярность, параллельность линий и плоскостей) я демонстрировал также вторично на модели. Этого же я добивался от учащихся, самостоятельно доказывающих новую теорему или отвечающих домашнее задание. При доказательстве теорем я всегда точно указывал по учебнику ту теорему или определение, которое нужно вспомнить учащемуся, а не только их формулировал.

Поскольку к ученику предъявляется требование уметь систематически, литературным языком с соответствующими записями на доске изложить тему, лекционный метод преподавания стереометрии должен являться основным. В нем преподаватель должен не только изложить предмет с целью объяснить вопросы ученику, но и показать, как ученик должен излагать вопрос тогда же, когда его спрашивает преподаватель или на испытании. Для сильных учащихся, которые могут задать вопрос в случае каких-либо сомнений, этот метод хорош и является единственным, удовлетворяющим ученика. Сильные учащиеся без большого напряжения успевают прослушать и продумать все то, что говорит преподаватель, сознательно нарисовать у себя в тетради чертеж и сделать ту запись, которую ведет преподаватель.

Совершенно другую ценность имеет этот метод, когда мы имеем дело со слабым учеником. Последний иногда становится втупик перед самым простым вопросом, его знания прежнего материала бывают настолько слабы, что он не успевает следить за тем, что говорит преподаватель, и машинально переписывает с доски. Этот ученик никогда ничего не спросит. В больших городах учащиеся иногда, имея помощь извне в виде репетиторов, в каникулярное время не только повторяют пройденное, но и проходят материал вперед, и этой группе учащихся, хотя и слабых, уже легче работать и слушать преподавателя. В сельской школе мы, особенно после лета, имеем дело с двумя непримиримыми элементами. Для одних все ясно и топтаться на одном месте скучно, другие требуют наоборот разъяснения каждой мелочи, повторения одного и того же вопроса, всякий раз, когда этот вопрос встретится. Для последней группы учащихся лекционная форма изложения трудна и для них такой урок преподавателя проходит, оставляя лишь небольшой след.

Для этих учащихся я устраивал дополнительные занятия, к которым они приготовляли материал, объясненный мною на предыдущем уроке. При проверке мною задания, я уяснил все вопросы, непонятые учениками, давал

разъяснения или сам, или спрашивал тех учащихся, которые поняли данное место теоремы или задачи. На дополнительных занятиях я имел больше времени, чем на уроках, и здесь я добивался того, что при спросе на уроке ученик давал вполне связный рассказ. Слабые ученики усваивают материал стереометрии, но тогда, когда они имеют возможность получить вторичное объяснение преподавателя при проверке их знаний. На уроке на все это у преподавателя нехватало времени. Знания слабых учеников зависят главным образом от того, как часто преподаватель их может спрашивать и заставлять работать их мысль. Лекционный метод отнимает много времени и не дает возможности уделять должного времени спрашиванию и проверке знаний учащихся, т. е. тому, что нужно главным образом для слабого и отчасти среднего ученика. При принятом мною в этом году методе работы для слабых учеников возникал целый ряд трудностей, преодолевать которые приходилось на дополнительных занятиях. Топтаться на вопросо-ответной форме на уроке и вдалбливать в голову учащихся знания нельзя; преподаватель убил бы всякую инициативу у сильных и большей части средних учащихся и конечно совершенно не привил бы учащимся навыка давать связный рассказ. Небольшая группа учащихся всегда требует дополнительных занятий. Итак, первая и основная трудность это дать такой метод, который удовлетворил бы требованию каждого ученика. Ни одна методика такого метода не дает, ибо все методики имеют в виду ученика, у которого однажды закрепленное знание остается навсегда.

За исключением трех, четырех заданий из всего курса стереометрии IX класса, изложение которых заняло у преподавателя целый урок и он не имел времени произвести проверку знаний предыдущего, в остальных случаях на каждом уроке оставалось минут 20, которые он употреблял на решение задач и проверку знаний.

Главу I и II преподаватель проходил без задач, так как эти главы, только пройденные в целом, давали материал для задач. Задачи решались по окончании теории. На теоретическое усвоение главы 1 ушло 2 урока и на задачи 2 урока, на усвоение главы 2 — 5 уроков и на задачи — 4 урока, дальше, как правило, материал для задач уже был, и преподаватель попутно с теорией давал на каждый урок 1—2 задачи. Задачи на дом давались только таких типов, которые были хорошо разработаны на уроках.

Методика моей работы над задачей в классе в третьей четверти обусловливалась целью — опытным путем установить трудности в работе для учащихся; поэтому, зная индивидуальные качества и знания учащихся, я разделил их на четыре группы. (Деление только для себя, для ориентировки в работе). Учащиеся неуспевающие 2 человека, учащиеся успевающие, но слабые 4, учащиеся средние 8 и учащиеся сильные 6. Для решения задач новых в классе я вызывал обыкновенно слабого ученика, затем обращался к среднему и наконец к сильному. По ответам ученика данной группы я и судил о трудностях в задаче для всей группы. Иногда для проверки спрашивал второго ученика той же группы. Этот метод задерживал решение задачи, но выявлял трудности учащихся каждой группы. Вызов сразу для решения сильных учащихся не дал бы того, что требовала работа, так как сильные учащиеся, привыкшие к систематическому изложению материала, работая над задачами самостоятельно, как показал опыт и контрольные работы и работы в четвертой четверти, особых трудностей не встречали.

I. Взаимное положение прямых и плоскостей в пространстве

(ч. II, гл. I, учебника Гурвица и Гангнуса. 4 урока— 15/1, 21/1, 27/II и 21 /II.)

При прохождении этого отдела стереометрии по стабильному учебнику трудностей не встретили даже слабые учащиеся; но когда с вопросами этого отдела пришлось встретиться в дальнейшем при проведении сечений и различных линий и плоскостей в многогранниках, то у ряда учащихся трудностей оказалось много, причем многие из этих трудностей преодолеть удалось только в X классе, когда я стал преподавать черчение.

У слабых учащихся очень нескоро вырабатывается ясное представление о том, что две плоскости, имеющие общую точку, пересекаются по прямой, проходящей через эту точку; что плоскости, имеющие две общие точки пересекаются по прямой, проходящей через эти точки; что прямая, имеющая с плоскостью две общие точки, лежит в этой плоскости всеми своими точками.

Первые два вопроса недостаточно четко оттенены в стабильном учебнике и преподавателю необходимо подчеркнуть их перед учащимися, даже заставить записать в своих тетрадях.

Следующим вопросом этого отдела, на котором приходится заострить внимание уча-

щихся,— это вопрос об условиях, определяющих положение плоскости в пространстве или линии в пространстве. Проводя в процессе решения задачи какие-либо плоскости в многогранниках, учащийся должен ясно видеть условия, которые определяют положение плоскости. Самою большой опасностью является здесь излишек принятых условий. У учащихся сильных быстро создается навык в определении необходимых и достаточных условий для всякого построения плоскости или линии и в необходимости исследования, удовлетворяет ли проведенная плоскость любому дополнительному условию, которому плоскость должна удовлетворять предположительно.

Эти навыки принадлежат к числу самых важных навыков геометрии и от успешного их усвоения зависит в значительной степени успех в решении задач. Если бы часть учащихся не всегда могла точно установить все нужные условия для проведения тех или других линий и плоскостей и видеть их взаимоотношения с элементами многогранника, то это была бы половина беды; беда в том, что часть учащихся не отдает себе отчета в важности этого вопроса: она не задумываясь ведет линии и плоскости через сколько угодно прямых и точек; какие угодно линии и точки у них могут оказаться на этой плоскости. Они начинают задумываться над вопросом, по каким условиям проводилась плоскость, по скольким условиям можно провести плоскость и каким условиям может удовлетворять проведенная плоскость только тогда, когда об этом спросит преподаватель или товарищ, помогающий решить задачу. Я поясню это двумя примерами. Ученику надо провести высоту боковой грани неправильной пирамиды. Ученик имеет два условия: высота проходит через вершину пирамиды и имеет данное направление (перпендикуляр к стороне основания). Никаких других условий принимать нельзя и высоту надо строить только на основании этих данных, но ученик берет третье данное, отбрасывая одно из первых; он например проводит высоту через средину стороны основания и принимает без доказательства, что проведения им прямая удовлетворяет всем трем условиям, что конечно неверно. Прямая, перпендикулярная к стороне основания и проходящая через вершину пирамиды, не всегда проходит через середину основания; в неправильной пирамиде прямая, проходящая через вершину и средину основания, вообще не будет высотой и прямая, перпендикулярная к стороне основания и проходящая через его средину, не пройдет через вершину пирамиды.

Возьмем второй пример: в правильной трехугольной пирамиде Соковое ребро составляет 1V4 стороны основания; через середину бокового ребра провести сечение, перпендикулярное к этому боковому ребру: данных для проведения сечения достаточно, оно определяется двумя прямыми, проходящими через данную точку и перпендикулярными к ребру, удобнее всего эти прямые брать в боковых гранях пирамиды. Учащийся для построения сечения оставляет эти условия и берет новых два, он проводит это сечение через сторону нижнего основания, т. е. через две вершины этого основания.

У него получается плоскость, удовлетворяющая пяти условиям и учащийся не задает себе вопроса, по каким условиям требовалось провести плоскость, по каким он провел и удовлетворяет ли его плоскость тем основным условиям, которым она должна удовлетворять. Легко видеть, что нет, так как прямая, соединяющая средину боковой стороны разнобедренного треугольника, служащего боковой гранью пирамиды, с противоположной вершиной, не будет высотой и следовательно проведенная плоскость не будет перпендикулярна к ребру.

Из задач, иллюстрирующих первый отдел, мною были проделаны следующие: в классе по Рыбкину № 1, 2, 4 из § 1 и из учебника Гурвица № 1 и 4. Задания на дом по Рыбкину № 3 и по Гурвицу № 2 и 3.

Трудности задач № 2, 3 и 4 по Рыбкину.

Процент учащихся, правильно давших ответ на вопрос:

1. Построение многогранника......103%

2. Правильное, сознательное проведение сечения многогранника ....... 70%

3. Анализ задачи и определение порядка нахождения данных, необходимых для определения площади.......30%

4. Теорема Пифагора и определение сторон сечения............80%

5. Определение площади правильного треугольника по сторонам........100%

6. Теорема Герона........... 70%

7. Определение площади равнобедренного треугольника.............80%

В понимании формулировок задач из учебника Гурвица встретили трудности даже хорошие учащиеся.

№ 1. «Определить наибольшее число прямых, которые можно провести через пять точек в пространстве так, чтобы положение каждой прямой определялось данными точками». Если две точки определяют прямую, то это не противоречит тому, что не только

третья, но и все пять точек лежат на одной прямой. Принятая в других задачниках формулировка такова: «сколько прямых линий можно провести между пятью точками, расположенными так, что никакие три из них не лежат на одной прямой». Эта формулировка дает четкие условия проведения прямой через две точки пространства. При этой формулировке обычная ошибка состоит в том, что учащиеся берут для числа линий не формулу п^п ^ - , а п(п — /), забывая, что в счет проведенных линий каждая входит по 2 раза. Подобные задачи учащиеся уже решали при определении числа диагоналей многоугольника и при определении числа сторон многоугольника по числу его диагоналей. Второй задаче также пришлось, для понимания ее учащимися, дать другую формулировку. Сколько плоскостей можно провести через пять данных точек, расположенных так, что никакие четыре из них не лежат в одной плоскости. Я полагаю, что на данном развитии учащихся необходимо оттенить, что только три точки определяют положение каждой плоскости; относительно четвертой точки должно быть точно указано, лежит ли она в плоскости или не лежит. Нельзя создавать у учащихся безразличного отношения к четвертому условию. Задача № 3 требует аналогичного дополнения.

В задаче № 4 все ясно, но только 70% ответили правильно: одну плоскость—и объяснили, что через две параллельные прямые можно провести плоскость; мы имеем три условия, три точки, определяющие эти прямые, но эта плоскость должна удовлетворять и условию прохождения через секущую, что возможно только для параллельных, которые пересекаются секущей, т. е. первой парой параллельных прямых.

II. Изображения пространственных фигур

(Гурвиц, ч. II, гл. XIV, § 1—3)

В процессе прохождения первой главы мною было проверено представление учащимися основных многогранников, с которыми они встречались в курсе арифметики III и IV классов, в курсе геометрии V класса и наконец в курсе рисования V и VI классов и черчения курса VI, VII и VIII классов. От этих многогранников в памяти учащихся остались очень слабые следы. Куб и прямоугольный параллелепипед они себе представляют ясно, но когда дошли до призмы, пирамиды, цилиндра и конуса, то здесь они могли различить одно тело от другого только смотря на него. Понятия о правильной призме или пирамиде они не имели, о сечениях не представляли ничего; призму представляли себе только с шестиугольным основанием, а пирамиду с квадратным. Элементов многогранника учащиеся не знали, и их хотя кратко пришлось с этим ознакомить, так как в большинстве задач с самого начала курса геометрии мы имеем дело с призмой и с пирамидой.

Я вполне согласен с автором стабильного учебника, что оформление чертежа есть один из важнейших навыков, который должен быть дан преподавателем геометрии и что на прохождение гл. XIV учебника Гурвица нельзя жалеть времени. Если мы всмотримся в содержание гл. XVI, то увидим, что все вопросы этой главы должны быть усвоены на уроках черчения, и задача преподавателя их приблизить к задачам геометрии, на что достаточно потратить два, три урока. Для проверки тех знаний, которые учащиеся получили на уроках черчения, мною была проведена контрольная работа. Эта контрольная работа должна была указать ту базу чертежных знаний учащихся, на которой я мог строить работу по стереометрии.

Тема была такая: «Как изображаются многогранники на плоскости чертежа». Для иллюстрации излагаемого метода я принес правильную шестиугольную пирамиду, которую и предложил изобразить теми способами, которые учащимся известны, с кратким описанием способов изображения. Большинство учащихся заявило, что они не представляют себе как изобразить пирамиду и могут только нарисовать, так как они с натуры чертежей с соблюдением размеров не делали, а рисовали пирамиды с доски и с карточек. После выяснения, какие тела они могут с натуры изобразить, выяснилось, что они могут с натуры изобразить только прямоугольный параллелепипед. Я принес модель и дал ее размеры. Проверка работы дала следующие результаты. 12 учащихся дали правильные прямоугольные проекции на три плоскости или три вида параллелепипеда, но только двое назвали их правильно видами спереди, сверху и слева. Из 18 человек 12 никак не могли объяснить словами — какие вообще бывают способы изображения тел на плоскости.

6 человек написали, что проекция бывает трех видов: «прямоугольная, ортогональная и аксонометрическая. Последняя бывает разных видов, из которых учащиеся учили только

изометрическую». Из 18 человек делали неудачную попытку изобразить в изометрической проекции параллелепипед 12 человек, причем 5 человек объясняли построение этой проекции так: берутся оси, которые наклоняются к главной оси под углом в 120°. На оси ставится тело и в таком виде оно рисуется. Неглавные оси сокращаются вдвое. Ни о центральной перспективе, ни о параллельной проекции вообще, о косоугольной и прямоугольной проекции учащиеся понятия не имели, что видно было из тех вопросов, которые они мне задавали во время контрольной работы и из их ответов, которые они мне давали на мои вопросы. Собеседований об ошибках, допущенных учащимися, я не вел, так как из беседы с преподавателем черчения я установил следующее: кабинетную проекцию он не проходил, считая ее ненужной, а прошел «более важные технически ортогональную и аксонометрическую проекции». По объяснению преподавателя черчения «все линии в прямоугольной проекции ставятся прямо и длина их никогда не изменяется». Из этой беседы стало ясно, что отдел XIV надо проходить сначала и что черчение кроме неверных сведений и путаницы в понятиях ничего не могло дать. Вот где одна из трудностей учащихся. Черчение — предмет, который ведется с VI класса по X, на него тратится времени больше половины того, что тратится на всю геометрию и между тем этот предмет ведется так, что от него получается лишь вред для геометрии. На преподавание черчения должно быть обращено самое серьезное внимание.

На отделе XIV § 1 — 3 пришлось остановиться детально и потратить на него время с 29/1 по 17/II включительно, т. е. 7 уроков. Целью этих уроков было дать учащимся ясное представление о центральной перспективе, о параллельной перспективе и методах получения соответственных перспективных изображений предмета на плоскости. Особенно подробно были разобраны с показом на чертеже и моделях методы параллельного проектирования, разнообразные виды получающихся при этом проекций; зависимость этих видов от направления лучей по отношению к проектируемому предмету и плоскости проекций, а также зависимость изображения от положения предмета по отношению к плоскости проекции. Из аксонометрических проекций мною была разобрана кабинетная и изометрическая проекции. В той и другой проекции подробно было разобрано положение осей по отношению к плоскости проекций и направления лучей по отношению к этой плоскости и, следовательно, обосновано сокращение по одной из осей в кабинетной проекции и наклон между осями во всех видах проекций. Изометрическую проекцию я рассматривал только потому, что она изучалась на черчении в совершенно неправильном освещении. Учащимся объяснено было значение проекции осей на чертеже, как проекции тех основных направлений в теле, которые мы всегда можем установить и по отношению к которым можем затем изобразить все тело. 89% учащихся, т. е. вся сильная группа и средняя, после потраченных мною уроков с чертежами простейших тел справлялись, в моделях находили оси и правильно располагали их по отношению к классной доске, а затем и изображали в кабинетной проекции. Изображение на плоскости чертежа плоских фигур, расположенных в горизонтальной плоскости, проходилось мною сначала изолированно от изображения многогранников. Этот раздел усваивается легко. Мною были выполнены на классной доске изображения правильного треугольника, равнобедренного, произвольного треугольника при различных расположениях основания и высоты относительно плоскости чертежа.

При изображении тел на плоскости чертежа приходится преодолевать следующие основные трудности. Надо добиться умения учащегося найти в теле три взаимноперпендикулярные направления, умения расположить эти направления параллельно осям координат и следов по отношению к вертикальной или горизонтальной плоскости чертежа. Учащийся должен ясно представлять себе, какие два из трех выбранных направлений лежат в плоскости, параллельной плоскости чертежа и следовательно изображаются без сокращения, и какие в перпендикулярной. Надо добиться, чтобы учащийся умел установить связь между выбранными направлениями, так как не всегда три выбранные направления пересекаются в одной точке.

Сначала приходится давать для изображения модели, а затем давать многогранник с размерами его элементов, по которым учащийся и строит кабинетную проекцию. У меня были приготовлены модели проволочные или картонные для всех многогранников, которые учащиеся строили по заданным элементам, и обычно после построения чертежа я требовал установки модели соответственно чертежу. Из задачника Рыбкина можно использовать как материал для задач на построение кабинетных проекций следующие номера № 1, 4, 9, 20, 22 (1, 2, 3), 23, 24, 25 и 26 из

§ 1. Я разберу один из наиболее характерных случав построения многогранника с модели: пирамида, в основании которой прямоугольный треугольник с катетами а и о, через конец гипотенузы проходит перпендикуляр к плоскости треугольника, равный h. Я требовал представить этот многогранник в самых разнообразных видах. Уменье быстро перестраивать чертеж является очень важным навыком при решении геометрических задач. Очень часто ученик, начертив фигуру, видит, что фигура неясна, линии, лежащие в разных плоскостях, сливаются, что запутывает учащегося. Учащийся, желая избежать слияния линий, вместо прямых линий начинает проводить кривые и т. д. Полная перестройка чертежа может сразу сделать этот чертеж ясным. Затруднения учащихся в перестройке чертежа являются весьма существенными затруднениями. Ученик очень часто умеет сделать правильный чертеж, но не может сообразить, как сделать другой, столь же правильный, но более ясный.

На чертежах 1—5 даны изображения одной и той же пирамиды, причем чертеж 4, где гипотенуза AB и боковые ребра AS и SB слились, для решения задачи очень неудобен; ученик такой чертеж должен заменить другим.

Это построние мною было проведено в классе последним при прохождении мною отдела и результаты его таковы:

1. Правильный выбор осей ....... 83%

2. Правильное расположение осей относительно плоскости классной доски . 80%

3. Уменье расположить оси разными способами ............... 70%

4. Правильное изображение на доске и в тетради после установки осей . . 100%

Самой трудной частью работы является выбор осей и правильное их расположение учащийся, справившийся с этой задачей, с построением справляется легко.

III. Перпендикуляр и наклонные

(Гурвиц, гл. II) 9 уроков с 17/II по 6/III. Из них теория 5 уроков. Проверка знания и практика в решениях задач 3 урока и контрольная работа

1 урок.

Теория. Теорема о двух перпендикулярах. Автор стабильного учебника в своей методике уже сам отвергает тот убийственный для учащихся метод доказательства, который принят в учебнике. Теореме, доказательство которой занимает в учебнике 6 строк, он предпосылает рассуждения, занимающие 1— страницы. Не только ученик, но и преподаватель, не сразу уяснит себе, что хотел автор пояснить этими рассуждениями, настолько они запутаны, полны повторений и противоречий. Как правило, я придерживаюсь учебника и вообще сторонник не изменят метода доказательства учебника, даже если он не совсем нравится преподавателю, но для данной теоремы приходится сделать исключение и дать совет не пользоваться учебником, а взять метод доказательства из учебника Рашевского, Киселева, из методики Гурвица и продиктовать его учащимся. В чем же неясности учебника Гурвица, составляющие для ученика непреодолимые трудности?

Ход рассуждения автора таков:

1. Всякая точка, лежащая на поверхности, образованной вращением прямой, проходящей через середину отрезка и перпендикулярной к нему, отстоит на одинаковом расстоянии от концов отрезка.

2. Автор доказывает, что точка любой прямой, проходящей через две произольные точки, лежащие на этой поверхности вращения, одинаково удалена от концов отрезка — оси вращения, и дальше делает вывод, на принятом без доказательства положении, что всякая точка пространства, одинаково удаленная от концов отрезка, принадлежит поверхности вращения, образованной прямой, проходящей через середину отрезка. Поверхность вращения есть плоскость, если верно принятое без доказательства положение.

3. Все прямые, проходящие через средину отрезка и лежащие в плоскости вращения, перпендикулярны к оси вращения.

4. Вместо того, чтобы сделать заключение о том, что данный отрезок, или ось враще-

ния, пересекающей плоскость вращения и перпендикулярны к любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через средину отрезка, и будет перпендикуляром к плоскости и, таким образом, обосновать возможность получения плоскости, перпендикулярной к отрезку (единственная цель, которой можно было бы оправдать все рассуждения автора), автор делает заключение: все прямые, перпендикулярные к отрезку в его средине, лежат в плоскости, полученной вращением прямого угла вокруг его стороны. Если это заключение вытекает из предыдущих рассуждений, то для чего приводятся следующие теоремы о перпендикуляре, раз автор здесь без доказательства принимает, что в данной точке к линии можно провести только один перпендикуляр.

5. Последний вывод, который автор печатает крупным шрифтом, является положением, которое он без доказательства принял в начале своих рассуждений. Если всякая точка, лежащая на поверхности, отстоит от концов оси на одном и том же расстоянии и обратно, если всякая точка пространства, отстоящая от концов оси на одинаковом расстоянии, лежит на поверхности вращения, то эта поверхность и есть геометрическое место точек пространства, равноудаленных от концов отрезка — оси вращения. Это есть положение, принятое автором в основу рассуждений, а не вывод из рассуждений.

Изучение теоремы о двух перпендикулярах и рассуждений, предществующих ей, отняло у меня два урока и все же большинство учащихся не уяснило себе, что хочет автор доказать всеми рассуждениями и лишь пытались эти рассуждения заучить. Теорема требует обязательной проработки на модели.

Дальнейшие теоремы этой главы трудностей не имеют, но здесь преподаватель должен обратить внимание на определения, которые очень легко забываются учащимися, а именно, что называется расстоянием точки от плоскости, проекцией линии на плоскость, расстоянием от точки до плоскости, углом линии с плоскостью. Эти определения должны быть не только поняты учащимися, но и твердо заучены. Отсутствие четкости в понимании и знании этих определений является большим тормозом при решении задач.

Теорему о трех перпендикулярах учащийся должен видеть в самых разнообразных ее применениях, а потому, при прохождении этой теоремы ее желательно показать на ряде моделей, в которых она имеет приложение.

Насколько отдел второй нетруден для теоретического усвоения, настолько он требует большой тренировки в задачах. В смысле применения к задачам этот отдел в целом, а особенно теорема о трек перпендикулярах, является одним из самых важных отделов геометрии и на решение задач этого отдела я обратил самое серьезное внимание, употребив три дня только на решение задач и один день на контрольную работу. При решении некоторых задач учащиеся встретили ряд трудностей. Главные из этих трудностей следующие: 1) неясное знание определений и неумение представить себе конкретно взаимоотношений между элементами, входящими в определение. Например, в задаче говорится о расстоянии от точки до плоскости. Согласно определению расстояния и перпендикуляра к плоскости, ученик должен себе представить линию, соединяющую точку с плоскостью и образующую прямые углы с двумя какими-нибудь прямыми, проходящими через ее основание на плоскости. Ученик не думает о перпендикуляре, а просто соединяет какую-нибудь точку плоскости с данной точкой; например, вершину основания пирамиды с вершиною пирамиды и принимает, что это и есть искомое расстояние.

2) Учащийся не умеет быстро ориентироваться в построении чертежа, в переделке его, если чертеж окажется неправильным. В чертеже ученик должен сознательно проводить каждую линию, каждую плоскость, четко установив условия, по которым они проводятся и установив положение этих элементов по отношению к другим элементам фигуры.

3) Ученик должен уметь исходить от искомых элементов фигуры к данным, он должен научиться производить анализ задачи, подобрать цепь треугольников, связанных между собою так, чтобы подойти к треугольнику, в котором есть достаточно данных, чтобы получить остальные.

4) Уменье видеть на чертеже прямоугольные треугольники, параллельные и перпендикулярные линии и четко обосновать их прямоугольность, твердо помня, что всякая прямоугольность, параллельность, должна быть четко обоснована.

5) Есть задачи, требующие проведения вспомогательных линий и плоскостей, т. е. таких, которые не обусловлены самим текстом задачи. Эти задачи являются наиболее трудными. Надо приучить ученика к проведению анализа задачи, это облегчает ему проведение линий, но вообще злоупотреблять задачами с дополнительными линиями нельзя, так как они являются очень трудными для слабых и части средних учащихся.

6) Нетвердость в знании теорем, при помощи которых задача решается, неуменье видеть признаки той или другой теоремы в данной задаче. Без твердого знания теорем решать задачи нельзя. Иногда говорят, что задачи закрепляют знание теорем, но к задачам можно приступать только тогда, когда теоремы данного отдела усвоены во всех деталях: чертеж теоремы, формулировка, доказательство, следствие.

Давая задачи на дом, я указывал параграфы с теоремами, нужными для решения задачи.

Мною были проработаны следующие задачи по Рыбкину из- § 1 № 1 (9, 7, 11, 8, 14, 18, 19(1), 22(1), 25, § 2—6, 9 и 11.

В качестве домашних заданий § 1 № 7(2), 13, 16, 19(2), 20, 21, 22 (2 и 3), 24, §2—7, 10 и 12.

Из домашних заданий задачи № 20 и 21 представляют особый интерес и независимо от того, как они решены учащимися, должны быть детально проработаны в классе. Этих задач никогда не решают все учащиеся самостоятельно. Значительная часть учащихся их сделает лишь с помощью более сильных товарищей, а некоторые спишут, не отдавая себе отчета во всех построениях и действиях. Эти задачи содержат в себе много интересного в геометрическом отношении материала и в этих задачах ясно видны все трудности учащихся, так как задачи проработаны учащимися дома, и учащиеся знают, что их будут спрашивать формулировку определений, встречающихся в задачах, и теорем. При задании учащимся даны были на руки модели. Большинство учащихся приготовляли уроки, собираясь вечером в школе и, следовательно, могли коллективно рассматривать модели.

№ 20 содержит в себе следующие вопросы, которые должны быть четко разрешены при ее решении.

1. Какие три взаимно-перпендикулярные прямые могут быть расположены параллельно осям координат?

2. Что называется расстоянием точки от плоскости?

3. Через какую точку треугольника проходит перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость треугольника, и почему?

4. Где в равнобедренном треугольнике находится центр круга, описанного около него?

5. Как расположить модель по отношению к плоскости чертежа, чтобы получить изображение в кабинетной проекции?

6. Произвести анализ задачи.

7. Определить радиус описанного круга.

8. Решить задачу путем последовательного определения необходимых данных. Задача № 21.

1. Где находится центр круга, вписанного в треугольник?

2. Что называется расстоянием точки от плоскости?

3. При изображении фигуры мною было повторено все то, что было сделано в предыдущей задаче.

4. Провести перпендикуляр из точки <К> на стороны треугольника.

Обычная ошибка, которую допускают в последнем случае учащиеся, состоит в том, что они соединяют точку К со срединой стороны или с вершиной треугольника, забывая, что проводимая прямая уже имеет два условия: проходит через точку К и перпендикулярна к стороне треугольника. А прохождение ее через средину стороны есть первое условие, которому проводимый перпендикуляр может и не удовлетворять одновременно с первыми двумя. Надо приучить ученика, чтобы, проводя линию и получив ее точку пересечения с другой линией, он сейчас же задавал себе вопрос, а как полученная точка пересечения расположена на данной прямой. В данной задаче ученик должен определить, что этот перпендикуляр падает в конец перпендикуляра, опущенного из центра вписанного круга на сторону треугольника, и следовательно, проекцией этого перпендикуляра на плоскость треугольника является радиус круга, вписанного в треугольник. Полезно указать учащимся на ряд равных прямоугольных треугольников, имеющихся как в этой задаче, так и в предшествующей, а также на возможность использования для построения перпендикуляра теоремы о трех перпендикулярах и проведения сначала радиуса, перпендикулярного к стороне треугольника. Полезно указать на одинаковые углы наклона к плоскости перпендикуляра к сторонам и прямых, соединяющих в предыдущей задаче точку К с вершинами треугольника.

Задача № 22. Ошибка, которая была допущена в этой задаче, состояла в том, что часть учащихся не видела в ней теоремы о трех перпендикулярах и из вершины пирамиды проводила на чертеже перпендикуляр на катет. Я думал решить и начертить эту задачу без модели, но 30«/0 учащихся прямоугольных треугольников не видели, хотя фигуру нарисовали и объяснили ее расположение. Получив в руки модель, 80% учащихся произвели анализ и решили задачу.

Задача № 25. Я имел модель задачи, но не показывал ее до анализа задачи. За-

дача довольно сложная и слабые учащиеся ничего не могли придумать ни для решения, ни для чертежа. Пока я возился с слабыми учащимися и средними, сильные задачу сделали, и на мой вопрос объяснили чертеж, один из них сказал: «Чертежа в кабинетной проекции я сделать не мог, но составил схематический чертеж, по которому и определил искомую величину». Он быстро разобрал на чертеже все треугольники. Средние учащиеся после того, как чертеж был сделан и произведен анализ этой задачи, приступили к ее решению, но слабые учащиеся потребовали вторично ее разбора от начала до конца. Второй раз я разбирал задачу с моделью, после чего задача была усвоена вполне.

Это была последняя задача, которую я решал с целью установить более точные данные о трудностях, с которыми встречаются учащиеся ; в дальнейшем я вызывал, руководствуясь не опытной работой, а учебной, контролем знаний учащихся. При неумении вызванного ученика решить задачу, спрашивал тех, кто ее решил; решивший находился всегда и давал анализ решения, а иногда и само решение, но слабые ученики не всегда могли воспроизвести это решение; после того как задача была разобрана, часто приходилось обращаться к моделям.

На пройденный отдел мною была дана контрольная письменная работа следующего содержания в двух вариантах по рядам.

1-й вариант. Проекцией косоугольного треугольника АВС на плоскость Р является прямоугольный треугольник АВС± с катетами а и Ь. Расстояние от вершины С до плоскости Р равно h. Найти площадь треугольника ЛВС и численное значение ее при а = 9 см, Ь=\2см и к = Ь,Ьсм.

2-й вариант. — Проекцией треугольника АВС на плоскость Р является косоугольный треугольник АВСХ со сторонами а, д н е. Расстояние от вершины С до плоскости Р есть h. Найти площадь треугольника ABC и численное значение ее при ß = 10 см, £=17 см и с = 2\ см и h = 4 см.

Ряд учащихся, запутавшись в чертеже, уже дальше ничего не мог сделать. У большинства запутавшихся основание перпендикуляра, опущенного из точки С на плоскость Я, не совпадало с С±9 Что называл ученик проекцией треугольника, он не отдавал себе ясного отчета. Если бы он хоть мысленно сформулировал себе что называется проекцией фигуры, где будут проекции сторон АС и ВА, то он увидел бы, что С± есть проекция точки С и линия ССХ перпендикуляр к плоскости и что другого перпендикуляра быть не может, но ученику и в голову не приходило подумать над этим вопросом, а в результате он бьется над решением задачи, не отдавая себе отчета в том, что он строит. Как заставить ученика, чтобы он, решая задачу, вспоминал ту или иную формулировку теорем— вот задача первостепенной важности.

Построение сечений тел.

(3 урока: 10, 12 и 14 марта) Трудности этого отдела имеют своим корнем недостатки постановки преподавания черчения. Если после 36 уроков черчения в VII классе и стольких же уроков в VIII и IX классах ученик, дав чертеж прямоугольного параллелепипеда, не может ясно представить себе, где находится на чертеже передняя грань параллелепипеда, где — боковые, то сечения проводить трудно. В черчении более, чем где либо, видна безответственность преподавателя и ученика. Ученики по черчению имеют на 50% хорошие отметки, а на геометрии приходится биться над вопросом — где задняя грань параллелепипеда и как пойдет линия между двумя точками, лежащими на ребрах этой грани? Ученики не всегда могут указать линию, по которой пересекаются две грани многогранника.

Кроме трудностей, состоящих в неясном представлении чертежа, в этом отделе есть трудность, о которой я уже говорил при рассмотрении первого отдела. Если сечение проходит через какие-нибудь две точки, лежащие на ребрах параллелепипеда, то надо найти плоскость вообще, или грань, в которой лежат эти точки, и соединить эти точки, полученная прямая и будет линией, по которой данная плоскость пересекается с плоскостью сечения. Учебник Гурвица рассматривает пересечение плоскостью куба при условии, что в сечении получается треугольник, четырехугольник, пятиугольник и шестиугольник. У него есть случай, когда две общие точки лежат в одной из граней, и случай, когда из трех данных точек нет двух, лежащих в одной из граней. Кроме сечения куба, полезно провести сечение правильных пятиугольной и шестиугольной призм и сечения треугольной и четырехугольной пирамид. Одновременно с сечением боковых граней необходимо проводить и линии, по которым

проводимая плоскость пересекается с диагональным сечением.

Учебник имеет мало задач на проведение сечений, но все же ими можно воспользоваться как основой, на базе которых преподаватель может сам составить задачи для проведения сечений. § 3 № 24, 25, 26, 28, 38 (1 и 2), § 4—№ 8, 18 и 19. Я беру задачи только в отделах курса IX класса.

Как контрольная работа на этот отдел мною предложены были задачи на весеннем испытании следующего содержания:

1-й вариант. В основании пирамиды ромб с диагоналями а = 8 дм и Ь = 6 дм. Высота, равная Н=10 дм, проходит через вершину острого угла ромба.

Провести сечение ромба плоскостью, проходящей через средины сторон основания, образующих этот острый угол и средину бокового ребра, противолежащего этому острому углу.

2-й вариант. В основании пирамиды прямоугольник со сторонами а = 8дм и Ь = 6 дм. Высота проходит через вершину основания пирамиды и равна h= \0дм. Провести сечение, проходящее через средины двух сторон основания, образующих один из его углов, и средину бокового ребра, противолежащего этому углу.

В проведении высоты повторилась обычная ошибка: часть учащихся провела ее через точку пересечения диагоналей основания. С каждым годом мы будем получать учащихся с более высоким уровнем общего развития и многих трудностей, с которыми мы имеем дело сейчас, не будет.

Сейчас есть группа учащихся, которые требуют повторения одних и тех же задач по нескольку раз и не могут самостоятельно применить самых элементарных правил при новой задаче. С задачами, хорошо проработанными они справляются легко. Надо дать более точные критерии, чего должна добиваться школа от ученика. Тот объем задач, который я требовал от учащихся в этом году, для слабых учащихся велик. Стереометрия с легкими задачами посильна для 95% учащихся. Объем задач неограничен и здесь процент зависит от объема, в котором мы будем требовать решения задач. Задачи непосильные убивают морально ученика.

УСТНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Ф. НАГИБИН (Москва)

Значение устных вычислений

Давно известно, что устные вычисления в преподавании математики имеют большое значение. Они подготовляют учащихся к выполнению различных жизненно необходимых расчетов и вычислений, развивают внимательность, наблюдательность, сообразительность и дают учащимся возможность проявить свою инициативу. Но только этим значение устных вычислений не исчерпывается: они имеют также методическое значение. Благодаря пользованию малыми числами и простыми выражениями при устных вычислениях очень наглядно выступают способы и приемы различных вычислений и преобразований, а также сущность и смысл математических соотношений, зависимостей и операций. Наконец, устные вычисления и преобразования дисциплинируют учащихся, возбуждают интерес к работе, разнообразят методические приемы преподавания математики и, что особенно важно, экономят время. Все это, казалось, должно было бы заставить преподавателей математики серьезно отнестись к задаче обучения учащихся быстро и правильно вычислять, решать устно различные задачи и выполнять устно различные алгебраические, геометрические и тригонометрические преобразования.

Состояние навыков устных вычислений

Неоднократные обследования состояния математических знаний у учащихся средней школы, проводимые Наркомпросом, переводные и выпускные испытания в 1935/36 учебном году и приемные испытания окончивших среднюю школу при поступлении в высшую школу показывают неумение учащихся правильно и быстро вычислять. Учащиеся недостаточно прочно владеют навыками действий с целыми и дробными числами, делают ошибки в установлении порядка действий при решении

сложных примеров, не умеют применять на практике формулы сокращенного умножения и иные приемы упрощенных вычислений и различных математических преобразований.

В конце 1935/36 учебного года в школах Кировского края нами была проведена проверка состояния навыков устных вычислений и преобразований. Этой проверкой было охвачено 693 учащихся V классов и 406 учащихся VII классов. В V классах наименьшее число правильных ответов падает на арифметическую задачу: «Кусок полотна в 104 ж надо разрезать на две таких части, чтобы в первой было на 16 м больше, чем во второй. Найти эти части». Эту задачу правильно решили всего только 27% учащихся. Явно неблагополучно обстоит дело также с устным решением сравнительно простых числовых примеров.

Пример: 25-384 правильно решили только 60о/о учащихся; пример 7530 + 3920 — 8560, записанный на доске, правильно решили только 67% учащихся; пример 578-9 правильно решили 69% учащихся. Относительно лучше решались такие примеры:

В VII классах наименьшее число правильных ответов падает на такой пример:

верные решения этого примера дали лишь 46% учащихся. Пример 305-295 правильно решили 64% учащихся. Алгебраический пример (7с + Ad)2 верно решили 65% учащихся. Пример на деление смешанного числа на целое 1 i-:5 верно решили 70% учащихся.

Несколько лучше решались примеры (/г4— 9): (л2 — 3) (74о/о) и 652 (74%). Попутно с этой поверкой мы просмотрели татради по математике в ряде школ. Математические записи учащихся в этих тетрадях свидетельствуют о неумении учащихся экономно вычислять, о неумении пользоваться устными вычислениями и преобразованиями для сокращения записей. В тетрадях имеют место слишком подробные записи очень простых вычислений; вычисления обычно производятся громоздко, учащиеся не умеют находить более простой и экономный путь. Это подтверждают, например, такие записи:

Аналогичные излишние записи делаются при выполнении упражнений на классных досках.

Результаты нашей проверки и многочисленные наблюдения заставляют нас сделать вывод о том, что должной работы по вооружению учащихся навыками устных вычислений и преобразований в наших школах еще не проводится. Вероятно, имеющую место недооценку устных вычислений со стороны некоторых преподавателей математики можно объяснить непониманием значения этого вида работы и незнанием методики его. В настоящей статье мы и пытаемся установить содержание, а также возможные приемы проведения устных вычислений на уроках математики.

Содержание устных вычислений

Большие возможности для привития учащимся навыков устных вычислений дает курс арифметики в V, VI классах. При изучении основных свойств четырех арифметических действий учащиеся должны усвоить такие основные приемы и способы устного решения примеров с целыми числами: 1) разложение чисел при сложении, 2831—1-4717 = (2800 + 4700) + 31 + 17 = 7500+48 = 7548; 2) округление чисел при сложении, 588 + 37 + 192 + 285 = (600+37 + 200 + 300) —35= 1137 —35 = 1102; 3) перемещение единиц при сложении, 69 + 513 = (69 + 13) + 500 = 82 + 500 = 582; 4) перестановка чисел при сложении, 76+13 + 41+24 = (76 + 24) + (13 + 41)= 100+ 54 = 154; 5) округление при вычитании, 215 — 97 =215—100 + 3 = 115 + 3 = 118; 6) разложение при вычитании, 261 — 115 =(61 — 15)+(200 — 100) = 46 + 100=146; 7) предварительное сложение при вычитании нескольких чисел, 368 — 28 — 72 = 368 — — (28+ 72) = 368 — 100 = 268; 8) округ-

ление чисел при умножении, 34 X 67 = (34 Х70) —34-3 = 2380— 102 = 2278; 9) замена нескольких множителей их произведением, 29Х25Х 12Х4 = 29Х12Х X 100 = 34 800; 10) замена сложного множителя множителями его составляющими, 32 X Х5Х 125X24 = 32 Х5Х 125 X 8X3 = 32ХЗХ5Х 1000=480 000 ; 11) вынесение общего множителя, 28X369 4-28X631 = 28 (369+ 631) = 28 000; 12) расчленение множителей, 1120-35 = 1120 (25+ 10) = 1120.25 + 1120-10 = 39200; 13) перестановка сомножителей, 25-348 = 348-25 = (348: 4)-100 = 8700; 14) умножение на 4, 10, 100, 5, 25, 11, 9, 12, 8, 19, 125, 55 и другие числа; 15) разложение делителя на частные делители, 2898:9 = (2898 :3): 3 = 966 : 3 = 322; 16) разложение делимого на множители, 288:12 = (48-6) : 12 = (48: 12).6 = 24; 17) расчленение делимого на слагаемые, 368:16 = (320:16)+ (48:16) = 20 + 3 = 23; 18) деление на 4, 6, 8, 10, 100, 5, 16, 50, 12, 15 и др. числа. Указанные приемы и способы устных вычислений необходимо систематически повторять при изучении последующих разделов арифметики, при изучении алгебры, геометрии и даже тригонометрии. Специальные и попутные повторения необходимы на протяжении всего обучения математике в средней школе, в противном случае, усвоив основные приемы и способы устных вычислений, учащиеся V и VI классов ко времени окончания средней школы забудут их.

При изучении делимости чисел, обыкновенных и десятичных дробей следует устно выполнять многие упражнения на разложение чисел на простые множители, на нахождение общего наибольшего делителя и общего наименьшего кратного нескольких чисел, на исключение целого числа из неправильной дроби, на обращение целого и смешанного числа в неправильную дробь, на сокращение дробей и приведение дробей к общему знаменателю. Следует также заниматься устными вычислениями при изучении действий с обыкновенными и десятичными дробями. Можно устно выполнять, например, такие упражнения:

При изучении отношений, пропорций и процентов следует устно сокращать члены отношений, заменять отношения дробных чисел отношениями целых чисел, находить неизвестный член пропорции, решать задачи на проценты. Учащийся должен научиться бегло находить от числа 50%, 25%, 12,5%, 20% 10%, 5%, 33%, 66%, и устанавливать процентное отношение двух чисел в простых случаях. Имеет смысл познакомить учащихся, например, с такой деталью: вместо того, чтобы находить 76% от 25 руб. можно найти 25% от 76 руб., ответ будет один и тот же —19 руб.

При изучении арифметики следует обращать внимание на устное решение задач. Устное решение задач разнообразит работу, делает ее более интересной, экономит время и, что особенно важно, приучает учащихся к сознательному письменному решению более сложных арифметических задач.

Следует обратить внимание на приближенные вычисления и на выполнение грубых подсчетов результата при некоторых вычислениях. Такие грубые подсчеты будут служить первоначальной проверкой вычислений и предотвратят ряд досадных промахов.

Юнг в книге «Как преподавать математику» говорит: «Пользу устных занятий в алгебре, повидимому, почти всюду не то не замечают, не то недооценивают. Нельзя привести никаких соображений против признания в алгебре за изустной работой учащихся такого же важного значения, какое этому роду занятий приписывают в арифметике. Действительно, в курсе алгебры, также как и в курсе арифметики, имеется много возможностей для устных вычислений и преобразований. Можно указать, например, на такие упражнения: 1) составление простых буквенных формул для решения задач, 2) нахождение числового значения буквенных выражений, 3) сравнение относительных чисел, 4) действия с относительными числами, 5) применение формул сокращенного умножения, 6) действия с одночленами, 7) разложение на множители (простые случаи), 8) применение формул сокращенного деления, 9) простейшие тождественные преобразования дробных алгебраических выражений, 10) решение простых уравнений 1-й степени и систем уравнений 1-й степени, 11) извлечение корней из чисел и алгебраических выражений, 12) возвышение алгебраических выражений и чисел в степень, 13) преобразования иррациональных выражений (простые), 14) решение квадратных уравнений, 15) задачи на прогрессии (простые), 16) преобразова-

ния алгебраических выражений с отрицательными и дробными показателями, 17) нахождение логарифмов в простых случаях, например log2+, 18) логарифмирование и потенцирование алгебраических выражений, 19) показательные и логарифмические уравнения, 20) соединения (простые упражнения). При изучении алгебры перед устными вычислениями и преобразованиями следует ставить две задачи: во-первых, повторять знакомые и усваивать новые способы и приемы устных вычислений с целыми и дробными числами, во-вторых, уяснять алгебраические понятия, приобретать навыки алгебраических преобразований. Для решения первой задачи большое значение имеет такой раздел, как формулы сокращенного умножения. При изучении этого раздела следует познакомить учащихся с возвышением в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5, по формуле (10а + 5)2 = 100а (a+l) + 25, пример: 352 = 100-3.4 + 25 = 1225, а также с возвышением в квадрат чисел с дробной частью +по формуле

Учащиеся должны знать и такие приемы:

1) возвышение в квадрат по формулам (а±Ь)2 = а2±2 дЬ+ Ь2\ пример: 492 = (50 — I)2 = 2500 — 100 + 1 = 2401;

2) перемножение применением формулы разности квадратов и вычисление разности квадратов двух чисел разложением на множители, примеры: 97.103=(100 — 3) (100+ 3)= 10000 — 9 = 9991; 812 — 622= 19.143= 2717. Приведем несколько примеров упражнений по алгебре, которые целесообразно выполнять устно.

В геометрии устные упражнения должны носить специфический характер. Их можно подразделить на два основных вида: 1) решение вычислительных задач, 2) «умственные» пространственные построения, или то, что Симон назвал «умственной геометрией» — представление себе плоских и пространственных фигур и построений. В стабильных сборниках задач по планиметрии и стереометрии упражнений на вычисление и умственные построения, а чаще всего на то и другое вместе, имеется много.

Устное решение таких задач значительно разовьет пространственные представления учащихся и поможет основательному усвоению геометрических фактов и соотношений. Следует отметить особенное значение упражнений на «умственные» построения в стереометрии, где часто для разрешения вопросов приходится прибегать к помощи пространственного воображения.

Устные упражнения на уроках тригонометрии требуют основательного знания формул, закрепляют эти знания и приучают учащихся быстро ориентироваться в тригонометрических соотношениях. Возможны такие упражнения на уроках тригонометрии: 1) переход от градусного измерения к радианному и обратно, 2) вычисления тригонометрических функций углов в 30°, 60°, 45°, 3) приведение тригонометрических функций углов к функциям угла, не превышающего 45°, 4) тождественные преобразования простых тригонометрических выражений, основанные на использовании формул основных зависимостей между тригонометрическими функциями, формул функций двойного и половинного угла, формул преобразования суммы и разности тригонометрических функций, 5) простейшие тригонометрические уравнения.

Приведем для примера ряд тригонометрических упражнений, которые рационально выполнять устно:

3) sin 2а sin а; 4) привести к виду, удобному для логарифмирования: 1 + sin 70° 5) cos Зл: = 1.

Организация и проведение устных вычислений

Устные вычисления следует проводить на уроках математики систематически, так как только в этом случае они дадут должный результат. Поэтому, почти на каждом уроке, лучше всего вначале, от 3 до 10 минут следует уделять на устные вычисления и преобразования. На уроках арифметики эти вычисления должны быть арифметическими, а на уроках алгебры, геометрии и тригонометрии они должны быть арифметическими и соответственно алгебраическими, геометрическими и тригонометрическими; при этом, устные вычисления, вообще говоря, должны предшествовать письменным вычислениям того же рода. Особенно следует помнить, что арифметическими вычислениями необходимо заниматься не только на уроках арифметики, но и на уроках алгебры, геометрии и тригонометрии; только в этом случае кончившие среднюю школу будут обладать достаточными навыками устных вычислений. Иногда преподаватели математики свою недооценку устных вычислений мотивируют недостатком времени. Такая мотивировка более чем странна, так как устные вычисления экономят время. Учащиеся, овладевшие основными приемами устных вычислений, значительно быстрей выполняют письменные упражнения и быстрей усваивают многие математические соотношения.

Одних упражнений в устных вычислениях на уроках недостаточно. Устные вычисления учащиеся должны проводить также дома. Следует давать особые задания, а также нужно следить за тем, чтобы простые преобразования и выкладки при выполнении письменных упражнений дома и в классе выполнялись устно. Преподаватель настойчиво должен добиваться выполнения этого требования; при проверке тетрадей по математике должен обращать внимание не только на правильность решений, но и на их простоту, изящество и на то, чтобы записи были краткими, не содержали бы простых промежуточных операций, которые должны выполняться устно.

Некоторые методисты устные вычисления подразделяют на два вида: 1) исключительно устные, 2) полуписьменные. Исключительно устные упражнения — это такие упражнения, с которыми учащиеся знакомятся со слов преподавателя, устно выполняют их и устно сообщают ответы. Полуписьменные вычисления — это такие, которые учащимися записываются или прочитываются по учебнику, устно выполняются и ответ которых записывается. Такое подразделение устных вычислений и преобразований, конечно, нельзя назвать удачными, так как и в том и в другом случае упражнения выполняются устно. Больше оснований имеется для того, чтобы полуписьменными вычислениями называть такие вычисления, при которых записываются некоторые промежуточные результаты, например, при умножении 425 на 124 можно было бы записывать соответствующим образом частные произведения 425 на 4, на 2, на 1, находя их устно.

В устных вычислениях можно выделить три основных этапа: 1) ознакомление с упражнением, 2) выполнение упражнения, 3) сообщение ответа и его проверка. Ознакомление с упражнением можно проводить по-разному: со слов преподавателя, самостоятельным чтением по учебнику или чтением по записи на доске, со слов преподавателя и чтением, со слов преподавателя с одновременной записью в тетрадях, чтением и записью. Во всех этих случаях участвуют разные виды памяти: слуховая, зрительная, моторная или некоторые из них совместно. Каким способом знакомить учащихся с упражнением — зависит, прежде всего, от самого упражнения, от его характера. Если упражнение достаточно сложное, то удобнее самостоятельно прочитать его по учебнику или по записи на доске и записать в тетради. Более простые упражнения можно усваивать одним самостоятельным чтением или чтением преподавателя с одновременным самостоятельным чтением. Часто во время решения примера удобно пользоваться записью его в тетради или на доске или в учебнике, так как иногда трудно бывает запомнить пример. С простыми упражнениями удобнее знакомиться со слов преподавателя, потому что важно научить учащихся внимательно слушать чужую речь, запоминать сказанное. При этом следует иметь в виду, что упражнение надо читать лишь один раз.

Способ ознакомления с упражнением зависит также от того, в каком классе эти упражнения выполняются. В младших классах следует реже применять самостоятельное чтение упражнений по учебнику, а в старших классах—чаще. В младших классах чаще следует читать упражнения самому преподавателю.

При выполнении упражнений важное значение имеет дозировка времени. Следует стремиться к возможно более быстрому решению примеров и задач. Одного правильного ответа недостаточно; этот ответ должен быть получен в наименьшее время. С дру-

гой стороны, в устные вычисления необходимо втянуть весь класс. Это обстоятельство следует учесть при проверке ответов, которую нужно организовать так, чтобы выполнялись две цели — быстрота вычислений и участие в работе всего класса. Опрашивание ответов, так же как и ознакомление с упражнениями, следует разнообразить. Учащиеся после решения примеров и задач должны немедленно поднимать руки, тогда преподавателю будет видно, как работает класс, кто нуждается в особом внимании. После того, как все учащиеся или почти все подняли руки, можно спрашивать получившийся ответ. Спросить ответ следует у 3—7 учащихся, а затем выяснить, у кого иные ответы. Можно организовать работу так, чтобы после сообщения учащимся ответа, те учащиеся, у которых ответ тот же самый, опускали руки. Очень часто важно выяснять, как учащиеся вычисляли. Следует разобрать вместе с учащимися несколько способов вычислений, выделить из них наиболее простые; но при этом нельзя требовать, чтобы учащиеся вычисляли однотипные примеры именно этими способами. Свобода в вычислениях, общий разбор их, возожность придумать свои способы — все это сильно развивает учащихся, развивает их сообразительность и находчивость.

Недостатком описанного приема проверки правильности вычислений является то обстоятельство, что он не обеспечивает втягивания в работу всего класса, не дает возможности контролировать каждого учащегося. Поэтому методическая мысль пыталась давно найти лучшие способы. К числу таких способов относится метод Таборо.

Каждый учащийся должен иметь или аспидную доску с грифелем, или черную дощечку с куском мела (вместо дощечки можно воспользоваться куском линолеума или черной клеенки). Эти пособия используются так: дается учащимся достаточное время для устного решения вопроса, а затем по сигналу на дощечках записываются ответы, и дощечки с ответами поднимаются так, чтобы преподавателю было видно, что на них записано. При этом методе учащиеся иногда списывают ответы друг у друга; для устранения списывания целесообразно практиковать различные упражнения по разным рядам, так, чтобы рядом сидящие выполняли разные упражнения, лучше, конечно, однотипные. Второй любопытный и ценный способ состоит в том, что дощечка и куски мела заменяются листочками бумаги и ручками. На листочках бумаги учащиеся в последовательном порядке записывают ответы по сигналам и эти листочки в конце вычислений сдают для просмотра преподавателю или проверяют их коллективно. Преподаватель листочки с ответами просматривает или догма или даже в перерывы между уроками и пишет на них указания каждому учащемуся о том, что необходимо усвоить основательнее.

Проведение устных вычислений, особенно арифметических, следует разнообразить, так как в этом случае работа будет увлекать учащихся. Можно применять, например, такие приемы: 1) Последовательное решение сложных примеров (беглый счет) : читается сложный пример с несколькими данными и с несколькими действиями; после каждого действия делается пауза, во время которой учащиеся выполняют вычисления. Промежуточные ответы не сообщаются, а проверяются только окончательные ответы. При проведении этого приема особенно важно делать достаточной длительности паузы для вычислений, потому что короткие паузы не дают возможности выполнить вычисление, а длинные паузы расхолаживают учащихся. 2) Цепной счет. Отличительная особенность этого приема состоит в том, что каждый последующий пример начинается с ответа предыдущего. Ответы в каждом примере сообщаются, но первые данные не говорятся. Разновидностью этого приема являются цепные карточки. На небольших картонных или из толстой бумаги карточках записаны разнообразные примеры; эти карточки учащийся должен расположить так, чтобы первое данное любой из них было равно ответу примера предыдущей карточки. 3) Равный счет. Указывается действие и одно число для всего класса, а затем каждый учащийся должен составить пример на указанное действие, ответом которого было бы как раз данное число. 4) Однородный счет. При однородном счете указывается одно данное и действие, которые некоторое время остаются без изменений. Второе данное изменяется преподавателем, например, преподаватель дает число 240 и предлагает найти 1/3 этого числа, затем 4/5> У12, 74/80> 13/24 и др. 5) Дополнение. Указывался число, а затем последовательно даются другие числа, которые нужно дополнить до первого числа, например, 3,4; 6,8; 15,2 и др. дополнить до 16,5. Этот прием особенно хорош при изучении нумерации целых чисел и десятичных дробей. Применим он при изучении отрицательных чисел, так как дополнения могут быть и положительными и отрицательными. 6) Задумывание и угадывание чисел.

При этом приеме можно воспользоваться многими алгебраическими упражнениями в тождественных преобразованиях, например,

Задумывать можно не только целые числа, но, что особенно важно, и дроби. Пусть, например, каждый учащийся задумает десятичную дробь, пусть одна из них 0,8: предлагается прибавить 4 (4,8), умножить на 2 \9,6), прибавить 0,25 (9,65), вычесть 8,5 (1,35), к полученному числу, которое учащийся сообщит преподавателю, следует прибавить 0,25(1,6) и сумму разделить на 2 (0,8): частное равно задуманному числу. Такие упражнения и аналогичные им (а их много имеется в различных сборниках по занимательной математике) возбуждают большой интерес со стороны учащихся. В V классе возможны также некоторые широко распространенные математические игры: «лучший счетчик», «молчанка».

Оборудование устных вычислений

Для проведения некоторых видов устных вычислений и устных преобразований необходимо соответствующее оборудование. Прежде всего, необходимо, чтобы у всех учащихся были сборники упражнений по арифметике, алгебре, геометрии и тригонометрии. Этими сборниками задач и примеров учащиеся должны пользоваться для устных вычислений в классе и дома. Затем, необходимы различные таблицы типа таблицы для устных вычислений Шохор-Троцкого. При изучении обыкновенных дробей можно воспользоваться настенной таблицей № 1 : она дает возможность проводить устные вычисления на сокращение дробей, на приведение их к общему знаменателю, на все действия с дробями.

Идею арифметических таблиц можно распространить на алгебру, тригонометрию и даже геометрию. Так, например, при прохождении действий с одночленами можно воспользоваться такой таблицей (№ 2). С помощью этой таблицы можно проводить устное приведение подобных членов, сложение и вычитание одночленов, умножение, возвышение в степень и деление одночленов, умножение многочлена на одночлен и др.

Представляет интерес и такая таблица № 3. С ее помощью возможны упражнения: извлечение корня, возвышение в квадрат и куб и вообще применение формул сокращенного умножения.

возможны аналогичные тригонометрические таблицы. Настенными таблицами следует пользоваться так: таблица вывешивается на классной доске, затем преподаватель, вооруженный указкой, указывает на число или несколько чисел и говорит, что нужно с ними сделать. Например, указывает две дроби — и^-р и говорит — умножить; учащиеся должны перемножить эти дроби и сообщить ответы преподавателю.

Следующим интересным пособием при занятиях устными вычислениями будут счетные фигуры и, так называемые, «волшебные квадраты». Указанные пособия имеют большое значение при арифметических устных вычислениях. Их удобно выполнять на больших листах бумаги или на классной доске. Числовые фигуры по своему содержанию и форме могут быть разными: ими можно пользоваться при изучении сложения, вычи-

Табл. 1

Табл. 2

Табл. 3

тания, умножения и деления целых чисел, десятичных и обыкновенных дробей.

Табл. 4

Волшебными квадратами можно пользоваться при изучении сложения целых чисел, обыкновенных и десятичных дробей.

Таблица

Сумма каждой строки или каждого столбца

Таблица

Сумма строчки или столбца наружного квадрата 1,75, среднего 1,25, внутреннего 0,75.

Наконец следует использовать и такое пособие, как картонные карточки с написанными на них разнообразными примерами из различных разделов математики (тригонометрические тождества, квадратные уравнения, прогрессии, логарифмы, показат. и логарифм, уравнения и т. д.). Запас этих карточек, достаточно большого формата, чтобы все учащиеся класса со своих мест могли прочитать упражнение, следует систематически пополнять. С этой целью к изготовлению карточек, как и других пособий, необходимо привлечь самих учащихся.

В заключение остается высказать ряд важных, с нашей точки зрения, пожеланий-предложений: 1) Учпедгизу необходимо выпустить особое методическое пособие по устным вычислениям и преобразованиям. В различных методиках математики об этом виде работы говорится очень мало. 2) Необходим особый сборник упражнений по устным вычислениям. В этом сборнике должны быть упражнения не только по арифметике, но и по алгебре, геометрии и тригонометрии, или при переиздании стабильных сборников упражнений против соответствующих примеров и задач следует сделать указания об устном решении их, как это, например, сделано в сборнике задач по стереометрии (Рыбкин). 3) Необходим выпуск специальных учебных пособий по устным вычислениям: стенных таблиц, счетных карточек, таблиц квадратов и кубов чисел от 1 до 30. 4) Преподаватели математики должны понять значение устных вычислений и преобразований как очень эффективного средства повышения математической культуры учащихся наших школ, но не должны, однако, переоценивать устных вычислений и преобразований.

ИЗ ОПЫТА

МОЙ ОПЫТ ИЗУЧЕНИЯ С УЧАЩИМИСЯ ТЕМЫ «РАСШИРЕНИЕ ПОНЯТИЯ О ЧИСЛЕ»

(Доклад для краевого съезда лучших учителей Сталинградского края)

В. БЫКОВ (Сталинград)

Тема «Расширение понятия о числе» является одной из самых трудных тем программного материала X класса. Трудность ее изучения усугубляется тем, что в программах Наркомпроса нет никаких указаний ни о ее содержании, ни о методах изучения материала. Передо мной, как, вероятно, и перед каждым учителем X класса, встали мучительные вопросы: что изучать и как изучать, где взять необходимый для этого материал. Отсутствие каких-либо указаний в программах Наркомпроса повлекло за собой совершенно произвольное толкование этой темы в разных школах. Даже в пределах Сталинграда едва ли найдутся две такие школы, которые изучали бы эту тему одинаково. В разговорах с отдельными преподавателями выясняются совершенно различные точки зрения: одни считают, что эту тему надо начать прямо с учения об иррациональном числе, другие — предпосылают этому исторические сведения о развитии числа, третьи делают упор во время изучения этой темы на повторение дробей и действий с относительными и иррациональными числами, тем более, что в указаниях к районным учительским конференциям это действительно рекомендовано. Нам кажется, что эта тема должна иметь большое общеобразовательное значение для учащихся X класса, она должна показать, как же исторически складывалось и развивалось понятие о числе.

После долгого размышления пришлось остановиться на следующем плане изучения этой темы:

А. Иррациональные числа

1) Краткие исторические сведения о возникновении и развитии словесного счета, письменной нумерации (2 часа).

2) История возникновения и развития дробных и относительных чисел (1 час).

3) История возникновения и развития иррациональных чисел (1 ч.).

4) Геометрическое истолкование иррациональных чисел. Место иррационных чисел на числовой оси. Аксиома Кантора — Дедекинда. Источники изучения иррационального числа (1 ч.).

5) Смысл действий с иррациональными числами. Сравнение иррациональных чисел. Сложение и вычитание иррациональных чисел (1 ч.).

6) Умножение и деление иррациональных чисел (1 ч.).

7) Понятие о возвышении иррациональных чисел в степень и об извлечении из них корня. Повторение действий с иррациональными числами (1 ч.).

В. Комплексные числа

1) Краткие исторические сведения о комплексных числах (I ч.).

2) Определение комплексного числа. Вещественные и мнимые числа. Геометрическое изображение комплексного числа. Основные свойства комплексных чисел (1 ч.).

3) Сложение и вычитание комплексных чисел (1 ч.).

4) Умножение комплексных чисел (1 ч.).

5) Деление комплексных чисел (1 ч.).

6) Понятие о возвышении комплексных чисел в степень и об извлечении корня из них (1 ч.).

7) Тригонометрическая форма комплексного числа. Формулы перехода: 1) ? = arcg — ;

8) Контрольная работа (I ч.).

Как видно из плана, нами выделено значительное время на сообщение исторических сведений о развитии понятия числа, так как по нашему мнению учащиеся должны быть ознакомлены с историей возникновения и развития числовых представлений возможно полнее. Изучение материала начато с истории словесного счета. Особенно пришлось остановиться на возникновении проблемы счета по мере возникновения1 и усложнения хозяйственно-бытовых потребностей. Учащиеся ознакомились с появлением предметного счета — пальцами, камушками, ветками, узелками и т. д.; с практикой словесного счета в форме названия признаков отдельных объектов и, наконец, с изобретением международных слов: «один, два, три,...» для обозначения чисел натурального ряда. В подтверждение международного характера названий наших чисел было приведено почти одинаковое звучание их даже в настоящее время: два — дюо—дуо — дё. три — трес — труа — дрей и т. д.

На втором уроке были даны краткие сведения по истории происхождения и развития письменной нумерации. Я познакомил учащихся с иероглифной записью древних египтян, с иератической записью, указав принципы ее применения греками, славянами и другими народами, и, наконец, с клинообразной записью древних вавилонян. Знакомя учащихся с позиционной записью вавилонян, пришлось коротко остановиться на системах счисления вообще и, в частности, на шестидесятиричной системе вавилонян. Урок закончился сообщением, как индусы усвоили от греков принципы иератического письма и от вавилонян принципы позиционной записи, как индусский способ был перенесен в Европу

арабами, как первоначальные санскритские буквы постепенно изменяли свою форму и приняли вид наших цифр. На третьем уроке учащиеся были ознакомлены с историей возникновения и развития дробных и отрицательных чисел. Отметив, что задача деления и измерения возникла на первых порах человеческой культуры и что эта задача была побудительной причиной изобретения дробей, я ознакомил учащихся с египетским папирусом Ахмеса, содержащим вычисления над дробями (так называемые аликвотные дроби) с шестидесятиричными дробями древнего Вавилона, с двенадцатиричными дробями древнего Рима и, наконец, с историей появления в XV веке десятичных дробей.

Перейдя к рассмотрению нового вида чисел — отрицательных, было отмечено, что они более позднего происхождения и что впервые употребление отрицательных чисел мы встречаем в VII в. н. э. у индусов. Было отмечено, что появление их в Европе произошло значительно позднее, и что долгое время они имели противников даже среди крупных математиков того времени. Учащиеся узнали, что признание их за числа особого рода произошло в работах Жирара, Декарта и Валлиса в XVII в., хотя их логическая связь с положительными числами и нулем все еще не была выяснена и что это объединение отрицательных, положительных чисел и нуля в единое понятие относительных чисел произошло только в конце XIX века.

В этих трех уроках я старался все время доказать, что расширение понятия числа происходило крайне медленно, что «понятие фигуры, как и понятие числа, заимствовано из внешнего мира, а не возникло вовсе в голове из чистого мышления» (Энгельс), что главной движущей силой расширения этого понятия являлось постоянное диалектическое противоречие между познаниями и практикой, стремление преодолеть эти противоречия или, с другой стороны, стремление обобщить математические методы. Эти три урока были проведены в форме лекций, с обязательным повторением основных положений предыдущей лекции путем опроса 1—2 учеников.

Во время лекции учащиеся конспектировали наиболее важные положения лекции. Не имея возможности выделить специальные часы на повторение дробей и действий с отрицательными числами, мы ограничились тем, что во время опроса давали по 1—2 примера на дроби и относительные числа. Идя далее по пути рассмотрения вопроса о расширении понятия числа, я перешел к изучению иррациональных чисел, к выяснению их природы и смысла действий с ними.

Считая, что введение исторического элемента содействует раззитию материалистического мировоззрения учащихся, я и здесь начал изучение вопроса с кратких исторических сведений, указав, что иррациональные числа были известны раньше отрицательных, что с ними столкнулись Уже в школе Пифагора (в VI в. до н. э.) при попытке вычисления диагонали квадрата по его ст°Роне. При этом было подчеркнуто, что греки прощли мимо своего открытия, что они не признали иррациональные числа за числа особой природы, хотя и пользовались ими в виде их приближений, что они СТали на путь отделения геометрии от науки о числах и что только с течением времени под влиянием требований реальной действительности начинается арифметизация геометрических образов и введение чисел для всякого измерения. Тем самым постепенно предрешался вопрос о необходимости расширения числовой области, о необходимости признания иррациональных чисел за равноправные числа. Отметив, что это признание осуществлялось очень медленно, что индусские и арабские математики употребляли иррациональные числа, а индусы даже производили с ними вычисления, не задумываясь над законностью этих операций, что даже в средние и новые века иррациональные числа считали «фиктивными», я обратил внимание учащихся на более прочное употребление иррациональных чисел со времен Ньютона, Лейбница и Декарта.

Краткий исторический обзор был закончен указанием, что полная и строгая теория иррациональных чисел была дана во второй половине XIX в. Дедекиндом, Кантором и Вейерштрассом. Не касаясь изложения этих теорий в силу их крайней абстрактности, мы перешли к освоению понятия иррационального числа: разрешение этого вопроса начато с той же задачи древности, которую разрешали в школе Пифагора, т. е. с выражения диагонали квадрата через его сторону.

Напомнив учащимся две теоремы — «если корень ri-й степени из целого числа а не есть целое число, то оно не может быть выражено и дробью, т. е. это число — иррациональное, теорему о несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной,—выясняю, что длина диагонали выражается иррациональным числом ]/^2.

Проведя радиусом OB, дугу, я получил на числовой оси отрезок ОС ]/“ 2. Показав возможность построения на числовой оси других иррациональных чисел (|/“~3, j/“~5, “j/“lFи т. д.), мы обнаружили, что на числовой оси существует ряд отрезков, изображающих чисела ]/2, “j/^, ЛГЬ и т. д., которые не могут быть выражены ни целым, ни дробным числом. Если допустить что существуют только рациональные числа, то на числовой оси будет множество «пустых» точек, определяющих вполне реальные отрезки, но не могущие быть выраженными каким-либо числом. Наряду с этими точками, выражаемые вполне определенными числами, чтобы установить полное соответствие между точками числовой оси и областью чисел, необходимо принять аксиому Кантора — Дедекинда: каждой точке числовой оси соответствует число — рациональное или иррациональное, и, наоборот, каждому числу, рациональному или иррациональному, соответствует на числовой оси определенная точка.

После этого перешли к определению иррационального числа, как общего предела двух рядов его приближенных значений, сопровождая это

определение геометрической иллюстрацией. Выяснение этого нового определения иррациональных чисел я провел на частном примера:

Из рассмотрения двух рядов приближенных значений мы выяснили, что это два ряда переменных величин, причем разность приближений kn — /п=-~п может быть сделана сколь угодно малой, а разность kn—1/“2 и “!/“ 2 — 1п меньше 10ЛГ

Припомнив определение предела, мы пришли к выводу, что ]/2 есть общий предел двух рядов его приближенных значений

lim frn =|/2“ = lim ln.

Геометрическую иллюстрацию я дал так, как это изложено в стабильном учебнике. Указав на существование иррациональных чисел других видов (у 2 ), я счел необходимым познакомить учащихся и с иррациональностями, получаемыми из периодических десятичных дробей, путем систематического разрушения их периода (например: 0,231231123111...), в результате чего получается иррациональное число, как бесконечная непериодическая дробь. После этого перешли к выяснению смысла действий с иррациональными числами. Недостаток времени не позволил долго останавливаться на каждом действии отдельно. В один урок я провел сравнение иррациональных чисел, сложение и вычитание иррациональных чисел, остановившись более или менее подробно на сложении. Точно так же в один урок было рассмотрено умножение и деление. О возвышении в степень и извлечении корпя дано только понятие на последнем уроке, где все время было отведено, глазным образом, на повторение действий с радикалами.

Изучением иррациональных чисел я закончил первую часть программной темы. На изучение комплексных чисел мною было оставлено 7 часов. Если изучение иррационального числа базируется на довольно твердом фундаменте — материале VIII и IX классов, то значительно труднее обстоит дело с изучением чисел комплексных, так как учащиеся имеют о мнимых и комплексных числах самые туманные и путаные представления. Необходимо и здесь было начать изучение нового вида чисел с кратких исторических сведений о возникновении и развитии комплексного числа. Я напомнил учащимся те случаи решения квадратных уравнений, которые дают мнимые или комплексные корни, подчеркнув, что невозможность решения квадратного уравнения при б2 — 4ас<0 была отмечена давно, еще в начале IX в. в алгебре Алхваризми и что эта невозможность иметь решения квадратного уравнения в дальнейшем стала стимулом к ее преодолению.

Коротко остановившись на работе Г. Кардана (XVI в.) и его задаче «разложить число 10 на два числа, произведение которых равно 40», сообщил учащимся на появление в XVII в. названия «мнимых» чисел, данного, вероятно, Декартом в противопоставление «действительным» числам, на введение в XVIII в. Эйлером обозначения |/ —1=/. Учащимся было пояснено, что в XVIII в. установлены все законы действий с этими числами, хотя ясного понимания природы их не было и действия над ними, по выражению Гаусса «рассматривались как бессодержательная игра символами». Переломным моментом в развитии учения о комплексных числах были работы самого Гаусса (в XIX в.), который дал геометрическое истолкование их и показал способы их практического применения. Отмечено было также создание и арифметической теории комплексных чисел Гамильтоном (XIX в.). Я закончил вводную часть указанием о значении комплексных чисел, их пользе для обобщения выводов, а также для решения ряда вопросов, неразрешимых с помощью вещественных чисел.

Считая, что с самого начала учащиеся должны получить реально-смысловой образ этого нового вида чисел, дал непосредственно после определения мнимого числа вида b]f—\—bi правила степеней для /:/ = /; *8 =— 1; i3 = — /; I4 =l и вообще *«*-H = ft /Ч-2=—1; |**-И=—/; /<*-Н=1 и т. д. и после определения комплексного числа вида а + Ь У— 1 = а+ Ы, перешел к геометрическому истолкованию мнимого и комплексного числа. Выяснил, что комплексное число есть общая форма всякого числа, что всякой точке плоскости соответствует одно определенное, вообще говоря, комплексное число и что, таким образом, вещественное число есть частный случай комплексного числа.

Здесь точке M соответствует комплексное число 3+2/; точке Р соответствует мнимое число 2/; точке К соответствует вещественное число 3.

Пользуясь чертежом, тут же вывели и основные свойства комплексных чисел: 1) условие, при котором комплексное число обращается в 0 (а+Ы=:0, если а — 0 и Ъ — 0), 2) условие равенства двух комплексных чисел (если

а + bl =z с + di, то a = с и b = rf), 3) получение сопряженных комплексных чисел и ci — bi). Закрепления этих свойств проведены с теми доказательствами, какие имеются в стабильном учебнике, откуда были взяты и примеры построения точек, изображающих комплексные числа, во всех 4 координатных четвертях. Приняв без доказательства положение, что действия с комплексными числами производятся по тем же законам, что и с вещественными числами, я в один урок рассмотрел сложение и вычитание комплексных чисел. Сумму комплексных чисел \а + bi) + (с 4- dl) я определил как комплексное число X +yi, у которого действительная часть равна сумме действительных частей слагаемых, а коэфициент при / равен сумме коэфициентов при / отдельных слагаемых

(а + Ы) + (с + dl) = (a + с) & [Ь + d) I.

Вычитание определил как действие, обратное сложению:

[а + Ы) — (с + dl) = x +yi;

по определению имел

т. е.

откуда

На умножение и деление выделено по 1 часу, причем перед умножением повторили правила степеней i. Умножение комплексных чисел

(а + Ы) (с + dl) = ас — bd + (cd + be)

производили по правилу умножения двучленов, с заменой I2 = — 1. Деление комплексных чисел определил, как действие обратное умножению:

откуда

Помимо этого указал, что частное - ' 7; можно получить умножением числителя и знаменателя на комплексное число c — di, сопряженное со знаменателем.

После определения каждого действия и показа решения примеров, проделывались упражнения учащимися на доске и задавались примеры на дом. Во всех случаях подчеркивалось, что в результате действий с комплексными числами могут получиться и вещественные числа, например: (а + Ы) + (я —Ы) = 2я, (а + Ы) (я — Ы) = a2 + Ьг и т. д. Крайне стесненный временем, я имел возможность отвести на возвышение в степень и извлечение корня из комплексных чисел только 1 час, дав понятие об этих действиях и прорешав незначительное количество примеров причем бралось только извлечение корня второй степени.

Изучение комплексных чисел было закончено знакомством с тригонометрической формой комплексного числа.

Каждому комплексному числу соответствует некоторый вектор. Длина вектора р = уга2 + Ь2 называется модулем комплексного числа. Из чертежа установил:

а = р cos 9, b = р sin ç,

откуда получил тригонометрическую форму комплексного числа:

a+bi= р cos ç + / р sin (р = р (cos <р + / sin <р).

Ознакомил учащихся с формулами перехода

Для закрепления прорешали несколько примеров на выражение алгебраической формы комплексного числа в тригонометрической форме и обратно. На последнем уроке была дана контрольная письменная работа, которая подытожила степень усвоения пройденного материала.

Изучением комплексного числа мы завершили рассмотрение вопроса о развитии числа, выяснили, как постепенно расширялось понятие о числе, оформили и привели в порядок разрозненные представления и определения. При работе над этой темой я использовал следующие пособия:

1) Элементарная математика в. средней школе. Сб. статей под ред. С Е. Ляпина. Учпедгиз. 1934 г.

2) Лебедев В. И. Как постепенно обобщалось понятие о числе.

3) Чистяков И. И. Методика алгебры. Учпедгиз, 1934 г.

4) Бронштейн С С Методика алгебры. Учпедгиз, 1935 г.

5) Карасев, Ряднова и Чулицкий. Математика для педтехникумов, ч. ч. 1 и 2. ГИЗ, 1928 г.

6) Брусиловский Г. К. и Гангнус Р. В. Курс математики для индустриальных техникумов, ч. 1, ГИЗ, 1929 г.

7) Киселев. Алгебра. Учебник для средней школы, ч. 1 и 2. Учпедгиз, 1935 г.

8) Шапошников и Вальцев. Сборник алгебраических задач, ч. 1 и 2.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

К ВОПРОСУ О СОСТАВЛЕНИИ СТАБИЛЬНОГО УЧЕБНИКА ПО АРИФМЕТИКЕ

ПРОФ. К. М. ЩЕРБИНА (Одесса)

Нет сомнения, что ко всякому учебнику, а в особенности к стабильному, принятому во всем нашем Союзе и не имеющему по отношению к себе конкурентов, должны быть предъявлены очень жесткие требования. Учебник направляет работу учителя, регулирует работу ученика, формирует его мышление, в особенности серьезные требования нужно ставить по отношению к систематическому курсу арифметики, при изучении которого, главным образом, закладывается, так сказать, фундамент для изучения дальнейшего курса математики. Учебник этот должен быть прежде всего безукоризненным и с научной, и с методической стороны.

Нельзя и не нужно требовать, чтобы в учебнике V и VI классов излагалась строгая научная система, чтобы давались в нем дедуктивные доказательства тех или иных положений, чтобы излагались постулаты, характеризующие собой величину, чтобы учение о нумерации чисел натурального ряда излагались уже после введения понятия, по крайней мере, о первых четырех действиях и после ознакомления с теми их свойствами, которые не зависят от той или иной системы счисления и т. п. Но, с другой стороны, ни в каком случае нельзя допускать в учебнике такого хода рассуждений и таких умозаключений, при помощи которых можно было бы доказать или вывести все, что угодно,— одним словом, нельзя допускать в учебнике логических ошибок, нельзя допускать того, от чего пришлось бы впоследствии отказываться.

Далее, нужно помнить, что учебник, с одной стороны, не должен быть методическим руководством, а, с другой стороны, он не должен быть и не может быть самоучителем: предполагается, что ученик будет пользоваться учебником только при серьезной работе учителя с учениками.

Наконец, язык учебника должен быть образцовым; желательно, чтобы учебник служил примером для учащихся правильного построения речи и необходимой при этом выразительности, четкости, ясности.

Вопроса относительно внешнего оформления учебника —это имеет большое значение с педагогической точки зрения — мы здесь касаться не будем.

Нам кажется, что вопрос о требованиях к стабильному учебнику арифметики для V и VI классов лучше всего выяснится, если мы обратимся к критическому обзору уже принятого учебника: Попов И. — Арифметика. Учебник для V и VI классов неполной средней и средней школы. Под редакцией проф. И. И. Чистякова. Утверждено Наркомпросом РСФСР. Изд. 5-е. Учпедгиз. М. 1936. Стр. 144. Ц. 85 к.+ 30 к.

Правила в арифметике

1. Даже при поверхностном ознакомлении с вышеуказанным учебником получается довольно странное впечатление: можно подумать, что арифметика представляет собой нагромождение всевозможных правил и определений, причем правилами названы по большей части вовсе не правила: в учебнике почему-то названы правилами: 1) условия, относящиеся к письменной нумерации (стр. 6, строки 19—17 снизу); 2) условия относительно порядка действий (стр, 47, стр. 16—21 св. и 138, строка 16 ch.); 3) способ обозначения десятичных дробей (стр. 97, строка 12 — «правила обозначения десятичных дробей»); 4) сочетательный закон (стр. 12, строки 6—5 сн.); 5) различные свойства действий, которые могут быть, в случае необходимости, доказаны (стр. 18, 40, 53, 112): 6) зависимость между компонентами и результатом действия (стр. 36 и 37); 7) изменение результата действия в зависимости от изменения компонентов, или, как сказано в учебнике,— «правила уменьшения» (стр. 38, 39, 40); 8) определение (стр. 27 «по правилу нахождения произведения нескольких сомножителей»)* или следствие из определения (равенство и неравенство дробей; см. стр. 66: «с увеличением знаменателя при постоянном числителе дробь уменьшается») и т. п. Такое изложение арифметики напоминает нам изложение очень отдаленных времен, когда арифметика трактовалась, как совокупность определенных правил, только с тем отличием, что эти правила излагались для своего времени хорошим языком, а иногда даже в стихах.

Следует отметить, что во втором переработанном издании, которое утверждено Коллегией НКП РСФСР, был везде поставлен перед так называемыми «правилами» заголовок жирным шрифтом: ПРАВИЛО; и таких заголовков было по нашему подсчету более девяноста,— книга пестрела ими. В пятом издании (1936 г.), проредактированном проф. И. И. Чистяковым и ответственным редактором Учпедгиза В. Т. Снегиревым, все эти заголовки уже опущены, опущены они и там, где их нужно было сохранить (правила действий), остались только заголовки одних определений. Но, опустив везде заголовки «правило», весь остальной текст оставлен почти без изменений; одним словом, изложение по существу осталось прежним.

Это все — не внешняя сторона дела. Такое изложение систематического курса арифметики должно быть признано не только неудовлетво-

* Здесь нужно было сказать: на основании определения умножения нескольких чисел, т. е. определения, помещенного на стр. 25.

рительным, но и чрезвычайно вредным по своим последствиям. Прежде всего подобное изложение культивирует неправильную и осужденную в постановлениях партии и правительства точку зрения на математику в школе не как на науку, а как на собрание правил и рецептов. Такое изложение, где правилами называется все, что ни попало — и условия, и различные свойства чисел и действий над ними, законы действий и даже определения,— приучает к небрежному, неряшливому отношению к слову, к речи, а это, как мы покажем ниже, влечет за собой очень неприятные последствия в смысле понимания и усвоения математики. При постоянном упоре на правила, при подчеркивании их на каждом шагу, ученик воспитывает в себе ложное представление об арифметике, как о совокупности подавляющего числа правил, обременяющих его память, приучается к механическому схватыванию математических предложений вместо того, чтобы приучаться мыслить, приучаться рассуждать. Само собой разумеется, что ученик должен приобрести в области арифметики известные прочные навыки и применять их к делу чисто механически, но, во-первых, их должно быть ограниченное число, во-вторых, не все навыки можно облекать в форму правил и, наконец, в третьих, к навыкам следует приходить обязательно через сознательные процессы, через сознательную работу мышления.

Термины: необходимо (надо, нужно), достаточно, можно, следует и т. п.

2. Вообще речь учебника без надобности однообразная, очень бедная.* Кроме термина «правило», которым насыщен учебник, почти на каждой странице встречается—и часто не один раз — термин «надо»** и при том по большей части там, где это совсем не надо.

Обычно указывают на то, что математика приучает нас не только правильно строить ту или иную фразу, но и правильно употреблять отдельные слова — соответственно их логическому смыслу, а в учебнике мы этого вовсе не наблюдаем. Возьмем пример. На стр. 124 в фразе: счтобы разделить данное число пропорционально нескольким числам, надо (разрядка наша. К. Щ.) заменить отношение дробных чисел отношением целых чисел» — слово «н а д о» является совершенно неуместным. Слово «надо» (или необходимо) обыкновенно употребляется тогда, когда что-либо иначе выполнить нельзя. В данном случае вместо слова «надо» можно поставить «удобнее» или «следует», а можно было обойтись и без вставки указанных слов, т. е. построить фразу таким образом: Чтобы разделить данные числа пропорционально нескольким числам, 1) сначала заменяют отношение дробных чисел отношением целых чисел, 2) потом складывают полученные числа... и т.д., 3) далее разделяют данное число на число частей... и т. д., 4) наконец, умножают найденную величину одной части... и т. д.

Изменения в указанном смысле (замена слова «надо» словами «удобнее», «достаточно», «можно» и т. п.) должны быть сделаны везде на отмеченных нами страницах и притом так, чтобы вновь вводимые термины в каждой фразе соответствовали их логическому смыслу: этим устранится надоедливое однообразие, а главное, не будет страдать логическая сторона дела. Слово «надо» или «необходимо», конечно, в некоторых случаях должно быть оставлено на своих местах.*

Язык учебника

3. Небрежное отношение к слову, неряшливость в речи вносит смуту в сознание учащихся и нередко приводит к серьезным недоразумениям. Отметим некоторые из них (их очень много).

Стр. 8. «С развитием техники увеличивается потребность в точных (подчеркиваем мы) измерениях». Внушается неправильная и вредная мысль, что можно производить на практике точные измерения. Здесь нужно было сказать: «в более точных измерениях». Там же на стр. 8 ниже сказано: «При точной проверке оказалось...», а нужно было очевидно слово «точной» опустить или же сказать: «при более тщательной проверке оказалось...».

Стр. 22 (2 строка снизу) «... наибольшую» цифру» (разрядка наша. К, Щ.) роста населения». Обывательский способ выражения, недопустимый в учебнике. Если употреблять его в учебнике, то нужно сделать соответствующую оговорку.

Стр. 23 (7—9 строка сверху) «Такой прием замены одного числа новым числом с меньшим количеством значащих цифр, называем округлением». Вместо того, чтобы давать такое неточное, неряшливое определение, лучше было бы ограничиться только примерами.

Стр, 24 (5—7 строка св.) «Решение... б) 7У(1 — =7; в) IX 1 = 1: 2> 0X7 = 0. Решения (разрядка наша. К. Щ.) позволяют сделать такие выводы». Да решения-то на основании чего произведены так, а не иначе?** Предполагаем лучшее, а именно, что здесь допущена не логическая ошибка, а небрежность в речи.

Стр. 48 (13—10 стр. сн.) «Способы, по (разрядка наша. К. Щ.) которым можно узнать, не производя деления, является ли одно число делителем другого, называют признаками делимости». Разве способы? Не способы, а именно: признаки, по которым...

Стр. 49 (4—9 стр. св.) «Из правила деления на 10, 100 и на 1С00 чисел, оканчивающихся нулями, видно (разрядка наша. К. Щ.), что число, которое делится на десять без остатка, должно иметь на конце, по крайней мере,

* Одним из примеров речи учебника может служить небольшая фраза на стр. 63 (14—12 строки сн.), где в трех строках слово «число» встречается семь раз.

** Укажем страницы, на которых мы отметили слово «надо» и притом по нескольку раз: 9, 10, 11, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 29, 31, 33, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 56, 58, 64, 67, 68, 69, 71, 74, 77, 78, 79, 80, 81, 82, «6, 87, 92, 93, 94, 95, 97, 99, 102, 103, 115, 124, 126, 129, 130, 133.

* Общепризнано, что нужно различать понятия: необходимо (или надо), необходимо и достаточно или только достаточно.

** Березанская Е. С Методика арифметики. М. 1934. Здесь (стр. 53) находим правильный взгляд на происхождение указанных выше случаев умножения.

один нуль, так как в этом случае оно будет составлено из целых десятков». Мы уже не обращаем внимания на то, что число не может иметь на конце нуль, а запись или обозначение числа. Такие и им подобные выражения, по нашему мнению, можно допускать в учебнике, сделавши раз навсегда относительно этого соответствующую оговорку; но мы не вправе допускать выражений, противоречащих требованию логики: не из правила вытекает, что числа должны быть составлены из одних десятков,* а наоборот, правило-то выводится при наличии чисел, составленных из одних десятков, сотен и т. д. Подобные логические недосмотры встречаются и в других местах.

Стр. 53 (13—14 стр. св.) «По правилам (!) деления произведения можно разделить число 30 и на 2, и на 3, и на 5». Это можно сделать не по правилам деления, а на основании определения деления.

Стр. 54 (19—18 стр. сн.) Логичнее говорить «наибольший общий делитель» нежели «общий наибольший делитель».**

Стр. 78 (стр. 12—13 св.) и 79 (стр. 7—3 сн.). Мы находим также неудачным выражение: «нахождение части целого и обратно целого по его части». Прежде всего для ясности следует избегать употребления слова «целое» вместо «все число», а кроме того, если, например, по какого-нибудь числа находим все число, то здесь дается уже не часть искомого числа, а дважды взятое число и еще его часть.

Стр. 90 (12—14 стр. св.). «Мы видим, что десятичные дроби также относятся (разрядка наша. К. Щ.) к десятичной системе счисления». Здесь слово «относятся» неуместно: мысль, которую хотели выразить в данном случае, должна быть изложена иначе.

Стр. 92 (11—12 стр. св.). «Десятичную дробь, в случае необходимости, можно заменять обыкновенной дробью». А на стр. 90 (стр. 6—7 св.) сказано: «десятичная дробь является частным случаем обыкновенной дроби». И это верно, но тогда, помня сказанное, нужно при изложении вводить такую терминологию, чтобы не получалось логической путаницы; например, здесь можно было бы сказать: «десятичную дробь, в случае надобности, можно обозначать, подписывая знаменатель». Особенно нехорошо звучит изложенное на стр. 101 (11 —17 стр. св.)» ...любую десятичную дробь можно изобразить в виде десятичной дроби (разрядка наша. К. Щ) и в виде обыкновенной...» «Разница только в способе изображения дроби. Поэтому мы всякую десятичную дробь можем заменить (разрядка наша. К. Щ). обыкновенной дробью». Во-первых, «поэтому» здесь не на месте, потому что мысль, нехорошо выраженная в последних словах, следует из определения десятичной дроби как частного случая обыкновенной, а во-вторых, нужно было сказать не «заменить обыкновенной дробью» (ведь она же обыкновенная), а записать с знаменателем (или: вообще, как записываются обыкновенные дроби).

Пропорции в арифметике

4. И у нас, и за границей еще к концу прошлого столетия прочно установилась точка зрения, что пропорции, в силу особых чисто исторических условий попавшие в курс арифметики, должны быть поставлены на свое место, т. е. исключены из арифметики и оставлены в курсе алгебры.* Само собой разумеется, что на понятие об отношении, а также о прямой и обратной пропорциональности, в связи с решением соответственных задач, должно быть обращено надлежащее внимание в курсе арифметики. Пропорции, главным образом, нужны для систематического курса геометрии (оттуда они и пришли в арифметику); способ решения задач при помощи пропорций есть способ чисто алгебраический, ведь это — решение при помощии уравнений; наконец, учение о пропорции может быть с пользой проработано только учениками, имеющими уже ясное понятие об общем числе, чего еще нет у учеников, изучающих только арифметику**. Насколько высказанные соображения являются правильными, жизненными, свидетельствует изложение разделов XIV и XV (стр. 107—129).

Стр. 108—109 § 2 —кратное отношение и §3 — главные свойства кратного отношения для заканчивающего курс арифметики содержат в себе много лишнего, причем в § 3 свойства I и II формулированы почему-то при помощи терминов «увеличение» и «уменьшение», а для формулировки свойства III в тех же случаях вводятся термины «умножение» и «деление». Но более неприятна логическая путаница, В § 3 говорится: «В главе о свойствах дробей мы установили, что частное, дробь и отношение можно рассматривать как результат одного действия деления. Поэтому свойства дроби и свойства частного можно перенести на отношение». Во-первых, установить это (стр. 60—62), как следует, автору не удалось, — да едва ли и нужно было это в том виде, как это дано в учебнике, а во-вторых, разве можно свойства частного, в случае целого частного, переносить на отношение или же на дробь без всяких оговорок: ведь логика говорит, что дробь или отношение по сравнению с целым числом — понятия более широкие по объему, но зато более узкие по содержанию, следовательно вывод отсюда ясен.

Стр. 111. Для вывода основного свойства пропорции (§ 7} нашли нужным обратиться к задаче, решение которой, по нашему мнению, скорей может затемнить вопрос, нежели послужить к его выяснению.

Стр. 112 (1 и 2 стр. св., 9—11 стр. св.}. Нельзя задавать задачи в такой форме: «Составим пропорцию из чисел 20, 4, 15, 3 и проверим основное свойство пропорции». Откуда следует, что пропорцию нужно составить именно

* Выражения «целых десятков» лучше избегать, ведь десятки только и бывают целыми.

** В программе по арифметике для V класса имеем: «наибольший общий делитель», «наименьшее общее кратное».

* Интересующихся этим вопросом отсылаем к работе К. М. Щербина — Математика в русской средней школе. Киев. 1908. Стр. 18, 45, 56, 97, 113, 125, 133. Еще в 1899 г. за исключение пропорций из курса арифметики высказались такие авторитеты, как проф. Млодзеевский Б. К., Мазинг К. К., Воронец А. М., Галанин Д. Д., Гебель В. Я. (стр. 18), Билибин Н. И. (стр. 45), Шохор-Троцкий С. И. (стр. 97), Поляков С. (,стр. 113). Киевское физ-мат. об-во (стр. 133).

** Записать отношение буквами (стр. 108) это еще не значит иметь понятие об общем числе.

таким образом: ~=у, а не иначе. Так же неостроумно задаются задачи и дальше, при этом под заголовком «решение» почему-то говорится (стр. 12—14 св.): «Для решения расположим числа в порядке их величины 20, 12, 10, 6>. А почему нельзя расположить так: 20, 10, 12, 6? А может быть, и так: 20, 6, 12, 10? Почему так нельзя? Вообще совершенно нецелесообразно подобраны задачи для того, чтобы притти к выводу теоремы, обратной основному свойству пропорции.* Но хуже всего, что в этом случае употребляются недопустимые выражения, ошибочные, вносящие смуту в сознание ученика (строки 16—15 ch.): «Числа 20, 12, 10, 6 —пропорциональны». (Чему? Сравни раздел XV, §§ 1 и 2), или (стр. 112, строка 10 ch.): «числа 25, 10, S и 4 не будут пропорциональными». (Чему?).

Стр. 115. Понятно, что § 9 (перестановка членов пропорции) даже в том случае, если вносить пропорции в курс арифметики, является излишним, особенно, если взять такую трактовку этого вопроса, какая принята в учебнике. «Пример. К числам 8,10 и 5 подобрать (разрядка наша. К. Щ) четвертое пропорциональное. Решение. Задача допускает несколько решений. Расположим числа по порядку их величин: 10, 8, 5. Теперь будем впереди, позади и между этими числами ставить число X и записывать полученные пропорции». Комментарии к этому излишни.

Стр. 124 (стр. 1 св.) «Обозначим буквами плату за работу: первому рабочему Хх второму Х2 третьему Хя». А в каких единицах? Этого никогда забывать не следует. Далее: Запишемг что плата пропорциональна времени, т. е. Ху.Х2\къ = 40:50:60. Такой записи (особенно на первых порах) не следует допускать, потому что ученик не может разобраться, сколько здесь будет отношений, сколько различных пропорций, да такая запись нехороша и с математической точки зрения.

Стр. 127—129. Особенно пикантным во всех отношениях является заключительный § раздела XV (§ 7. Среднее арифметическое). Его обязательно нужно прочесть в подлиннике. Здесь вместо того, чтобы не мудрствуя лукаво, дать ученику понятие о среднем арифметическом, захотели воспользоваться кое-какими сведениями из статистики, но не обратили внимания на различие между реальным средним и абстрактным средним (этих терминов нет в учебнике), запутались и пришли к удивительным выводам вроде следующих: «очевидно яйца отличаются в весе на тысячные доли килограмма», или «полученный при каждом взвешивании вес яйца будет приближенно вычисленный вес яйца», или «это число (среднее значение веса) мы и примем как точное» и т. п.

Недочеты научного характера

5. Теперь укажем еще ряд логических недочетов, причина которых не заключается в небрежном отнощении к речи, а имеет более глубокое основание.

Стр. 61—62. В разделе VII (Общие свойства обыкновенных дробей) выделены черным шрифтом (на стр. 61) определения знаменателя к числителя дроби и почему-то не выделяется более важное, а именно, то определение дроби, из которого в дальнейшем нужно исходить при всех рассуждениях о дробях. Сначала между строк на стр. 59 (стр. 9—8 сн.) читаем: «Число, составленное из нескольких равных долей единицы, тоже (разрядка наша. К. Щ.) называется дробным числом». Почему «тоже»? А потому, что раньше всего дробными числами названы доли единицы. Обычно же — и это логично — дробью называют совокупность равных долей единицы, а уже потом с целью обобщения и каждую отдельную часть или долю единицы называют тоже дробью. Это как будто бы мелочь, но «мелочь» существенная. Далее, кроме так называемого конкретного определения дроби, в рассматриваемом нами учебнике выясняется не то определение, не то утверждение, которое требует доказательства: во-первых, что дробь есть результат деления двух целых чисел и, во-вторых, что дробь можно назвать отношением. Что же в конце концов называется дробью? Подобное якобы выяснение, что такое дробь, скорее затемняет, а не выясняет этого понятия, выработанного в пропедевтическом курсе. Вообще, нужно так вести изложение, чтобы ученику ясно было следующее: если мы примем за определение, что дробью называется одна или совокупность одноименных долей единицы, то отсюда уже можно вывести (т. е. другими словами это можно в свое время доказать), что частное от деления двух чисел или, что то же,— отношение двух чисел будет дробью.

Конечно, можем взять за определение дроби так называемое формальное определение (дробью называется частное...), но в таком случае можно вывести, что совокупность одинаковых долей единицы будет дробью, т. е. частным от деления одного числа на другое. В арифметике предпочтительнее придерживаться конкретного определения (в подавляющем большинстве учебников мы и находим это определение).

Нужно отметить, что в учебнике, наряду с логическими тонкими и правильными определениями, как например, определение умножения трех чисел (стр. 25, строки 8-9 св.) или ничего не говорящими, вроде определения отношения, как результата сравнения двух чисел посредством делениа (61 стр. 12—13 строки сн. и 107 стр. 3—4 стр. сн.), нет очень важного определения равенства и неравенства долей, равенства и неравенства дробей, а вместо этого ведутся (§ 6 на стр. 65—66) не на своем месте помещенные длинные разговоры для вывода якобы правила (?) а не определения. Не подчеркнуты также очень важные обобщенные определения умножения и деления на дробь.

Стр. 66—69. Вообще, прежде чем говорить о каких-либо действиях с дробями, принято излагать вопрос об изменении дроби с изменением ее числителя и знаменателя (§ 7). Здесь мы наталкиваемся обыкновенно на логические несообразности, которые объясняются тем, что желая соблюсти внешнюю последовательность, т. е. изложить действия над дробями во всех без исключения случаях в одном месте после общих свойств дробей, допускают крупные логические промахи. В § 7 мы читаем: 1) «чтобы увеличить дробь в несколько раз, надо (!) во столько же раз увеличить числитель дроби, не из-

* Эта теорема, если помещать пропорции в курсе арифметики, является совершенно излишней.

меняя ее знаменателя;» и 2) «чтобы уменьшить дробь в несколько раз, надо (!) уменьшить, если это возможно, ее числитель во столько же раз»; 3) «чтобы уменьшить дробь в несколько раз, надо (!) увеличить знаменатель дроби во столько же раз» и 4) «чтобы увеличить дробь в несколько раз, надо (!) уменьшить, если это возможно, ее знаменатель во столько же раз». Является непонятным с первого взгляда, почему понадобилось таким образом формулировать приведенные истины, —тем более, что основное свойство дроби (69 стран., 6—8 строки) формулировано в учебнике как следует: «значение дроби не изменяется, если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число». В самом деле, что значит увеличить или уменьшить в несколько раз? Ведь нет же действий увеличения или уменьшения в несколько раз, а есть умножение и деление на целое число. Очевидно, вышеуказанные истины и должны быть формулированы в зависимости от умножения и деления подобно тому, как формулировано основное свойство дроби. Это мы вправе сделать, и это мы находим, например, у такого авторитета, как Бертран (Арифметика. Перев. М. Пирожков. Спб. 1901, § 151, 152). Обычной же формулировки, погрешая против логики, придерживаются потому, что при общепринятом выводе правила умножения на дробь встречаются с необходимостью деления дроби на целое число (стр. 82, § 3), т е. с вопросом, который обыкновенно излагается дальше (стр. 86, § 3), и этот вопрос о делении на целое число обходят обыкновенно под софистическим прикрытием уменьшения дроби в несколько раз.

Стр. 81 (§ 2.). На вопрос, какие задачи решают умножением на дробь, берется буквенная запись умножения: ab = q и вместо b без всяких оговорок подставляется дробь 74; между тем, пока не введено новое понятие об умножении на дробь, нельзя вместо b ставить дробь; вместо b подставлять только числа целые. Нужно раньше тем или иным путем ввести новое расширенное понятие об умножении на дробь, и только тогда можно поступать так, как это поступлено в учебнике. И это не малозначительный недочет, а опять крупная логическая ошибка, могущая повлечь за собой неприятные последствия.

Стр. 103. При переводе в метрические меры --дюйма, где 1 дюйм = 25,4 мм (конечно, это — приближенная численная величина с ошибкой менее — десятой доли миллиметра), получится — мм, где ошибка, очевидно, менее 0,004 мм, а потому, обращая эту дробь в десятичную, нужно взять в результате только десятые и сотые доли, а между тем в учебнике вычислены даже миллионные (!), и говорится: «работа на станке допускает точность только до сотых долей миллиметра, поэтому мы должны остановиться, когда в частном получатся сотые доли» (а если бы сотые, полученные от вычисления, были неверные?); и далее: «как видно из этого примера, число десятичных знаков дроби бывает определено техническими условиями. Ошибочность рассуждений и несостоятельность вывода очевидны.

Общий характер изложения

6. После всего отмеченного нами будет более ясным то, что мы скажем о характере изложения всего курса. Прежде всего следует признать вполне целесообразным, что в систематическом курсе арифметики в V и VI классах те или иные положения выводятся из конкретного материала, из задач, что при этом почти нет сухих дедуктивных выводов*. Но нужно же в этом соблюдать меру, и во многих случаях лучше было бы в учебнике пользоваться не задачами, а одними примерами (учебник—не самоучитель). Кое-где в этом отношении в пятом издании (1936 г.) сделано улучшение по сравнению со вторым изданием. Например, при умножении целого числа на десятичную дробь в пятом издании опущена задача с автомобильными частями. Подобную чистку учебника следовало бы сделать еще во многих местах. Так, например, (стр. 92, § 3) для выяснения, какая из десятичных дробей больше (7,32; 5,5; 4,4; 4,2) нет никакой необходимости обращаться к токарному станку, к числу оборотов шпинделя станка, к скорости движения ремня, к передвижению ремня по шкиву. Все эти иллюстрации только запутают и усложнят усвоение чрезвычайно простых понятий арифметического характера. Также для выяснения вопроса о приведении десятичных дробей к общему знаменателю и о сокращении десятичных дробей не было надобности обращаться к задаче (стр.93, § 4). То же самое можно сказать и о задаче (на стр. 111) для выяснения основного свойства пропорции. Образцом путаницы и излишнего топтания на одном и том же месте, — что в учебнике встречается нередко, — может служить изложение очень важного вопроса о прямой пропорциональности (стр. 117—118). А все же так и не выделено, что принять за определение прямо-пропорциональных величин, а что за признак прямой пропорциональности, который может быть выведен из принятого нами определения.

Характерным с указанной нами точки зрения является изложение деления целых чисел — действия, которое представляет большие затруднения для учащихся. Интересно отметить, что на вывод правил самых легких действий — сложения и вычитания, на сознательное усвоение этих правил обращено в учебнике большое внимание (стр. 13, 19 и 20), хотя все это в малодоступной и в невразумительной для учащихся форме, а в изложении правил этих действий нет четкости: на первый план выдвинуто несущественное— запись и порядок действий, и не подчеркнуто самое существенное — сведение действий к табличным случаям, причем о таблицах сложения и вычитания почти вовсе не упоминается**, Что же касается деления, то теоретической части отведено 9 страниц (стр. 32—40), а выводу правил только три страницы (стр. 41, 42 и 45). Нужно иметь в виду, что правила какого-нибудь действия можно вывести только исходя из того или иного определения его. Обычно в этом

* Неудачную попытку дать такие выводы находим, между прочим, на стр. 13, в п. 3, § 5 и на стр. 19, в п. 1, § 12.

** Березанская Е. С. Методика арифметики. Учпедгиз. М. 1934, стр. 32, 39. См. другие методики (Кавун и Попова, Снигирев и Чекмарев).

курсе, при выводе правил деления, исходят из одного из частных определений деления — деления на равные части или деления по содержанию. Составитель же учебника, очевидно, следует ошибочному взгляду тех методистов*, которые отрицательно относятся к различию двух случаев деления (когда дается произведение и множитель, а ищется множимое, и когда дается произведение и множимое, а ищется множитель). Такой взгляд отразился на изложении деления. Кроме того, в нашем учебнике обосновано только деление на число, выраженное единицей с нулями (стр. 41), но это обоснование неостроумное, искусственное; его нужно заменить другим, исходящим или из определения деления на равные части, или из определения деления по содержанию. Что касается деления в случае однозначного частного (стр. 42) и деления в случае многозначного частного (стр. 45), то здесь никакого обоснования не дается.

Чисто механический подход наблюдается при делении десятичных дробей (стр. 99—100) и обращении обыкновенной дроби в десятичную (стр. 101, § 2), где обращается внимание на чисто внешнюю сторону вопроса (на выполнение деления).

С целью лучше выяснить тот или иной способ производства действия в учебнике иногда дается два и даже три способа вывода правила для этого действия (например, стр. 97, п.п. 8 и 9, стр. 98, п. 15). С методической точки зрения это вообще не рекомендуется делать (учебник не методика); особенно это является излишним для учеников, которые с трудом усваивают один какой-нибудь прием. Во всяком случае, помещая несколько выводов одной и той же истины, следует один из них печатать обыкновенным шрифтом, а остальные мелким.

Для характеристики изложения интересны уже четыре первых страницы (стр. 3—6), где трактуется «Обозначение и чтение чисел», вернее сказать, нумерация. Автор почему-то ставит заголовок «нумерация», имея в виду только письменное обозначение чисел (стр. 6).

Параграф первый, содержащей введение, в котором дается будто бы определение арифметики и приводится якобы историческая справка о «начале арифметики», вследствие своей бессодержательности должен быть опущен. До выяснения сущности словесной нумерации утверждается, что с помощью этих десяти названий и еще нескольких [разрядка на;аа. К. Щ.) составляются названия всех (подчерки, нами) чисел». Во-первых, всех чисел бесчисленное множество и различных не только названий, как говорит автор, но и коренных слов для обозначения всех чисел потребуется также бесчисленное множество; а во-вторых, что это за неведомые для ученика «несколько названий».

Стремясь для выяснения тех или иных истин исходить по возможности от конкретного, пользоваться для этого задачами или примерами, составитель учебника наряду с этим допускает абстрактное, малодоступное для учащихся и нечеткое изложение. Примером такого изложения может служить раздел XI (деление обыкновенных дробей), где при выяснении деления на дробь исходят из общего определения деления на дробь, злоупотребляют термином целое число (вместо все число) и вообще нет конкретности, четкости и ясности в изложении. Нельзя не упомянуть также параграфа о «среднем арифметическом» (стр. 127—129), где отсутствие четкости и ясности в изложении совершенно сбивает с толку учащегося. Перечисленными местами не ограничивается указанный недочет в изложении.

Как на курьезное недоразумение, которое непонятно почему попало в учебник, укажем (стр. 74—75) на будто бы упрощенные способы приведения дробей к общему знаменателю

Например, — + — + —. Берем наибольший из знаменателей и, помножая его последовательно на 2, 3, 4, 5 и т. д., пробуем каждый раз, не делится ли полученное произведение на числа, стоящие в знаменателе остальных дробей». Дальше помещены последовательные пробы, начиная с 20-2 = 40 и кончая 20-6 = 120.

Удивительное, чтобы не сказать более, упрощение. Второй упрощенный способ (!) также хорош:— + — =-= — = — = —.

Учебник не должен быть загроможден различными детальными вопросами, а тем более мелочами, хотя на этих вопросах бывает очень полезно останавливаться при проработке курса в классе. Учебник Н. Попова нередко грешит в этом отношении и требует тщательного пересмотра страница за страницей.

Мы не сочувствуем и тому, чтобы в курсе арифметики V класса, при существующем распределении учебного материала, вводить понятие о «новом (пятом) действии — возведении в степень» и давать термины «степень», «основание», «показатель степени» (стр. 31—32, § 10). Давать определение новому действию и вводить новые термины, а затем в течение всего остального курса к этому действию не возвращаться, а пользоваться только новым обозначением и только в одном разделе (делимость чисел) на стр. 53—55 и 57 и нигде больше, это значит напрасно затрачивать время и силы на усвоение того, что без применения будет основательно забыто. Но мы всецело стоим за упрощенное обозначение произведений равных сомножителей без всяких новых терминов. При этом такого обозначения следует придерживаться не только в разделе о делимости чисел, но и в дальнейшем курсе.

Но, устраняя из учебника все излишнее, мы в то же время должны сделать некоторые добавления.

Прежде всего в учебнике ничего не говорится об устном счете, об устных упражнениях— вопросе чрезвычайно важном в практическом отношении и в смысле внесения сознательности в усвоение арифметического материала. Уместным было бы сделать по этому поводу соответственные замечания в параграфах, где говорится об изменении результата действия в зависимости от изменения компонентов; особенно на устных упражнениях следует остановиться при разложении чисел — и прежде всего двузначных — на простые множители, на устное применение этого в отделе о дробях обыкновенных, а также при обращении обыкновенных дробей в десятичные.

* Юнг. «Как преподавать математику» ГИЗ. М.—П. 1923, стр. 176.

С диаграммами, как известно, начинают знакомить учащихся еще во II классе и дальше продолжают знакомить в III и IV классах. Непонятно, почему в учебнике арифметики V— VI классов, там, где это было бы вполне уместным, а именно там, где идет речь о «независимой» и о «зависящей» переменной величине (раздел XV), ничего не говорится о диаграммах и простейших графиках (например температуры). То обстоятельство, что о столбчатых и секторных* диаграммах упоминается в учебнике геометрии V класса, не исключает необходимости рассмотреть этот вопрос и в арифметике. В арифметике нужно было бы остановиться на закруглении числовых данных и различного рода подготовительных вычислениях.

Запись арифметических выкладок

7. Обратимся к вопросу, как будто бы чисто внешнего характера,— к записям различных арифметических выкладок. Мы не навязываем той или иной записи при выполнении, например, действий, потому что, придавая записи большое значение и требуя аккуратности, известной последовательности и системы в записях, мы считаем, что главное внимание должно быть обращено на сознательное усвоение учащимися трактуемого вопроса; но нельзя допускать неправильных записей, вносящих смуту в сознание ученика. Мы думаем, что в V классе уже можно не ставить наименований при компонентах, но в таком случае нельзя ставить наименования и при результате, ведь мы по существу всегда производим действия над отвлеченными числами и, только имея в виду практический вопрос при решении задачи, принимаем во внимание тот или иной род единиц. Кроме того, нужно приучать в V классе обходиться без наименований (где это возможно), имея в виду изящество вычислений, особенно, когда встречается в задачах одно за другим умножение и деление или несколько умножений или несколько делений, а в таком случае постановка наименований при каждом отдельном действии мешает работе. В нашем учебнике обычно ставится наименование при результате и не ставится при компонентах, чего нельзя допускать. Следовательно с точки зрения правильной постановки наименований и вообще правильности и изящества записей должен быть пересмотрен весь учебник.

Кроме того, в учебнике говорится о «зачеркивании» нулей и об «отбрасывании» их (стр. 41, 42, 44, 94), а также об «отбрасывании» знаменателей. Так обращаться с записями и допускать такие выражения в учебнике нельзя.

Буквенное обозначение чисел в арифметике

8. Если вводить в арифметику вопрос о буквенном обозначении чисел, т. е. другими словами, о выработке понятия об общем (или, по иной терминологии, неявном) числе,—что является чрезвычайно важным моментом в изучении математики, то материал, какой дается в учебнике, совершенно недостаточен для этого: ведь найти «общее правило» (как говорит автор, придерживаясь средневековой терминологии (стр. 137, стрк. 17 сн.) для решения задач одного и того же рода и ввести буквенное обозначение для общих чисел — это далеко не значит выработать понятие об общем числе. Для этого нужны были еще и другие упражнения: дать более ясное понятие об общей и частной задаче, формулировать условие общей задачи сначала без букв (а словами), составить общую формулу решения такой задачи тоже без букв и показать затруднения, возникающие при этом, а потом только переходить к буквенному обозначению чисел. Определение формулы (стр. 137, стрк. 11—13 сн.) также следовало дать в более тщательно обработанном виде. В учебнике напечатано: «формулой называется выражение, показывающее, какие действия и в каком порядке надо выполнить для решения вопроса». Над чем выполнить действия и для решения какого вопроса? Нам кажется лучше было бы сказать: «...следует выполнить над данными числами, чтобы получить искомое число». Само собой разумеется, что в частной задаче данные выражаются частными (или явными) числами, а в общей задаче — общими (или неявными) числами.

Нуль в арифметике. Проверка действий

9. Есть еще довольно много мест, отмеченных нами, по поводу которых можно было бы сделать те или иные замечания, но, кажется, что для поставленной нами цели совершенно достаточно и того, что здесь было уже высказано. Остановимся только еще на двух, по нашему мнению совершенно бесспорных вопросах, но относительно которых встречаются в методической литературе и на практике взгляды, не совпадающие с нашими.

Ясно, что в арифметике (как ее трактуют у нас), где рассматриваются только действия над целыми и дробными числами, совершенно излишним является понятие о числе нуль; здесь нужна только цифра нуль для того, чтобы отметить, при письменном обозначении чисел, место, не занятое единицами того или другого разряда. А если это так, то с какой же целью вводится нуль как число? Мы ответим: по традиции, по недоразумению, — потому что соображения, высказываемые в защиту введения в курс арифметики понятия о нуле как числе являются совершенно неубедительными. Одно из таких соображений, к сожалению, находим в солидно написанной Методике арифметики Е. С. Березанской (Учпедгиз. М. 1934, стр. 53): «Хотя множитель 0 в арифметике не имеет места, но полезно здесь уже. начать приучать учащихся к мысли, что, если множимое или множитель О, то и произведение тоже 0, иначе в дальнейшем курсе математики действия с нулем явятся большим препятствием при обучении». Но полезно ли это в действительности? Мы глубоко убеждены в том, что кроме вреда раннее введение нуля как числа ничего другого принести не может. Кажется, уже пришли к единодушному заключению, что понятие об отрицательных числах следует давать после введения понятия о дробных числах и не раньше VI класса, но ведь не трудно же разобраться, что понятие об отрицательном числе далеко проще и доступнее как в отношении конкретизации этих чисел, так и в отношении действий над ними. Внедрять в сознание ученика, что число нуль соответствует понятию «ничто», внедрять то, что впо-

* В учебнике IV класса эти диаграммы названы круговыми.

следствии придется переучивать: 0° температуры разве свидетельствует об отсутствии температуры? Значит нужно отличать нуль абсолютный и нуль относительный, а далее мы встретимся еще и с нулем, как пределом бесконечно малой величины. Очевидно, что конкретизация отрицательных-чисел яснее и проще, нежели конкретизация нуля. А что касается действий с нулем, то они настолько своеобразны и так далеки от обычных действий в арифметике, что от ученика для усвоения этого требуется значительное математическое развитие, способность обобщения. Правильно сказано в Методике Е. С. Березанской, что «множитель 0 в арифметике не имеет места», а деление на нуль вообще не имеет места. Неудивительно, что в учебнике (стр. 16, стрк. 18—21 св.) допущена логическая ошибка, а в вышеуказанной методике (стр. 39) сказано: «разность двух равных чисел есть нуль — это ясно и просто по здравому смыслу, а также на основании определения вычитания, как действия обратного сложению».

Другой вопрос, на котором еще нужно остановиться, является лучшим показателем того, какую роль играют сейчас в преподавании математики рутина и шаблон. Это —- вопрос о проверке действий. Собственно говоря, никто из нас никогда не пользовался и не пользуется при проверке сложения вычитанием, а вычитания — сложением или при проверке умножения — делением, а деления умножением; этого советовать и ученикам не следует, потому что например, кто ошибается в умножении, тот еще скорее сделает ошибку в делении и может отбросить правильный результат умножения, потому что сделал ошибку в делении; вообще при таких проверках нельзя быть уверенным в правильности результата. Но этот отдел в арифметике имеет чрезвычайно важное значение и его нужно внимательно и основательно проработать с учениками, только совсем с иной установкой, с иной целью, а именно — чтобы познакомить с зависимостью между действиями, а также с зависимостью между данными и результатом. Соответственно этому нужно дать и заголовки.

Вот, что касается проверки решения сложных задач, то на этом вопросе следовало остановиться, между тем в учебнике по этому поводу ничего не сказано.

Заключение

В заключение можно сказать, что игнорирование основных требований, предъявляемых к систематическому курсу арифметики, грубые научные ошибки, погоня за деталями, излишними в учебнике, небрежное отношение к терминологии и вообще к языку наряду с однообразно-скучными местами растянутым изложением заставляет признать применение этого учебника в настоящем его виде нежелательным и могущим внести смуту в умы как учеников, так и начинающих педагогов.

ОБ УЧЕБНИКЕ И. ПОПОВА «АРИФМЕТИКА»

А. ВЕЛИКАНОВ (учитель Еланской НСШ Сталингр. обл.).

Громадная важность учебника для учебного процесса настолько очевидна, что не приходится обосновывать это положение. Следует лишь отметить, что в V и VI классах средней школы его значение особенно велико. Учащиеся в этих классах впервые приучаются к систематической работе над книгой, работе, имеющей уже элементы самостоятельности, впервые повседневно пользуются учебником как справочником. Эти обстоятельства показывают дополнительные требования к учебнику для младших классов средней школы.

Кроме того, необходимо учесть, что в V и VI классах заканчивается курс арифметики и учащиеся должны приобрести прочные навыки по действиям с числами и некоторую сумму знаний по теоретическому обоснованию этих действий.

Таким образом, учебник по арифметике должен обладать следующими качествами:

а) последовательное и логически связное расположение материала соответственно требованиям программы;

б) простота изложения материала с учетом подготовки и возраста учащихся V и VI классов;

в) выпуклость, конкретность и возможный лаконизм формулировок с употреблением однообразной общепринятой терминологии;

г) наглядность и достаточное количество иллюстративного материала (рисунки и чертежи);

д) использование в курсе живого материала современности;

е) удобство пользования учебником для справок.

С точки зрения соответствия этим требованиям мною подвергнут анализу стабильный учебник Попова для V—VI классов (издание 4-е, Учпедгиз, 1935 года).

Расположение материала

Расположение материала в учебнике в основном соответствует требованиям программы. Следует указать лишь на неопределенность места разделов «Нахождение части числа» и «Нахождение числа по его части». Программа указывает, что «нахождение части числа» должно проходиться перед и в связи с умножением дробей; «нахождение числа по его части» проходится перед и в связи с делением дробей. В учебнике Попова оба эти момента стоят после вычитания и проходятся без связи с умножением и делением.

Целесообразнее было бы расположить этот материал после «сокращения дроби», повторив

и углубив его попутно при прохождении умножения и деления дробей. Такое расположение помогло бы, не нарушая систематического изложения, лучше уяснить смысл и значение числителя и знаменателя дроби.

Искусственно введены в курс «понятие о степени» в разделе «целые числа», «дробь — отношение двух чисел» в разделе «свойства обыкновенных дробей», «изменение величины дроби от прибавления к числителю и знаменателю одинаковых слагаемых» в том же отделе. Эти вставки бесцельно загромождают курс, отвлекая внимание на поверхностное знакомство с понятиями, применить которые учащийся сможет только через продолжительное время. Вполне правильно, что в программе эти моменты отсутствуют.

Следует еще отметить вставку «действия разных ступеней», помещенную перед «задачами, решаемыми делением», на стр. 34, в то время как эта вставка должна предшествовать разделу «Порядок действий» на стр. 46.

Формулировки, их выделение

В части формулировок учебник оставляет желать лучшего. Так называемые «основные правила» должны быть немногочисленны, выделены крупным шрифтом, просты и удобны для запоминания.

В учебнике выделено крупным шрифтом около 300 мест на 136 страницах, т. е. больше двух выделений на страницу. Это, конечно, уничтожает смысл выделения. Основные положения скрыты в массе выделенного.

С другой стороны, не выделены такие правила, как «нахождение наименьшего кратного»-«нахождение части числа» и «нахождение числа по его части».

Следует выделить в учебнике крупным шрифтом только основные правила, сократив число их до минимума, менее крупным следствия и частные случаи и нормальным все остальное. Так, на страницах 32, 33, § 11, 12 можно оставить из пяти выделенных мест только два, а именно: «Делением называется действие, обратное умножению» и названия данных и результата при делении.

Правила нд стр. 13 (сложение) и 43 (получение однозначного частного), претендуя на пунктуальность, по своему объему являются подробным объяснением действия и как таковые в выделении не нуждаются. На стр. 55 имеется такое выделение:

«I. Если большее из двух данных чисел делится на меньшее, то это меньшее число есть общий наибольший делитель обоих данных чисел.

II. Если меньшее число не будет общим наибольшим делителем данных чисел, то, разложив числа на простые множители и выбрав во всех данных числах все общие множители, получают общий наибольший делитель, как произведение этих сомножителей».

Первый абзац является продолжением предшествующих рассуждений и выделять его излишне, второй абзац — вывод из всего сказанного и должен быть выделен.

Сложны и неудобны для запоминания такие правила, как: «Дробь называется правильной, когда она меньше единицы. Дробь называется неправильной, когда она равна единице или больше единицы» (§ 3, стр. 63). Сам автор, дав определение, счел нужным отвести его расшифоовке еще четверть страницы. Проще было бы: «Правильной дробью называется такая дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Дробь называется неправильной, когда числитель ее равен или больше знаменателя». Правило § 5 на стр. 65 сформулировано в учебнике так: «Чтобы выделить целое число из дроби, надо разделить числитель дроби на ее знаменатель; полученное частное дает целую часть смешанного числа, остаток будет числителем дробной части числа, делитель — знаменателем дробной части». Во второй половине без ущерба для смысла можно сформулировать «...полученное частное будет целым числом, остаток — числителем, а знаменатель остается прежний».

Неясны такие правила: «Чтобы умножить число... и в дальнейшем умножать по правилу нахождения произведения нескольких сомножителей» (§ 4, стр. 27) в то время, как в учебнике такого правила нет. Трудно осмыслить учащемуся определение § 9 на стр. 69: «Сократить дробь — значит представить ее, не изменяя ее величины, в виде дроби е меньшим числителем и знаменателем».

Не соблюдена терминология в объяснении нахождения числа по его части (§ 3, стр. 79). Сказано: «Чтобы найти целое (?), когда дано...», фактически же находится и смешанное и дробное число.

Излишне сужено понятие в таких формулировках: «От перестановки двух сомножителей произведение не изменяется». Слово «двух» сужает смысл переместительного закона и полезнее его опустить (§ 3, стр. 25).

Смысл формулировки усложнен введением новых терминов. На стр. 64, § 4 выражено: «...Это дает числитель результата...» Логически рассуждая надо бы: «... Это дает числитель неправильной дроби». На стр. 69 в непосредственно предшествующем тексте неоднократно употреблен термин «величина дроби», в то время как сейчас же в перефразировке, выделенной крупным шрифтом, вводится менее понятное «значение дроби».

Изложение материала

В отношении изложения материала и вывода правил для учебника характерны следующие недостатки:

1) Незаконченность и недоработанность тем и подтем; порою материал одной темы попадает в тему, не имеющую ничего общего с первой.

Так случилось со знаками меньше и больше « и » на стр. 62, относящимися к объяснению правильных и неправильных дробей и попавшими в главу «дробь — отношение двух чисел».

Материал об изменении дроби с изменением ее числителя и знаменателя оказался под заголовком «Сравнение величины дробей» (стр. 65 и 66), а «Увеличение и уменьшение дроби в несколько раз» имеет заголовок «Изменение дроби с изменением ее числителя и знаменателя».

2) При выводе правила исходная задача иногда настолько сложна (большие числа, усложненное условие), что внимание учащихся поглощается полностью процессом ее решения, сама же цель остается в стороне. Таковы:

1. Колхоз засеял 800 га свеклы и собрал урожай по 425 ц с гектара. Сколько всего свеклы собрал колхоз? (§ 11, стр. 32).—Деление.

2. Для 1 куб, м кирпичной кладки надо иметь 400 кирпичей и 280 л известкового раствора.

Сколько надо иметь материалов для ~ куб. м кирпичной кладки? — Нахождение части числа. Стр. 77.

3. Основной вывод, как я уже упоминал, поглощается обилием предшествующих ему частных случаев (§ 3, стр. 82, 83; стр. 24—25).

В порядке прочих пожеланий можно указать полезность дачи в главе «Сокращение дробей» практического приема отыскания общего наибольшего делителя в затруднительных случаях путем последовательного деления.

Недостаточно количество рисунков и чертежей (всего в курсе 7 рис.). Наличие большей наглядности было бы крайне полезно.

В конце учебника желательно помещение таких справочных таблиц, как метрические меры, таблица умножения целых чисел до 100, таблица простых чисел.

Таковы замечания по учебнику. Полагаю, что вопрос об учебнике арифметики, в максимальной степени свободном от недостатков, должен быть поставлен в настоящее время, когда есть уже накопленный опыт работы со стабильным учебником, и вопрос об улучшении его — вопрос текущего дня.

ОБЗОР НОВЫХ КНИГ

С. НОВОСЕЛОВ (Москва)

В настоящей статье дается обзор книг по различным вопросам математики, вышедших на русском языке в 1936 и 1937 г., а также наиболее интересных книг издания 1935 г. Ввиду большого количества книг, вышедших за последние годы по весьма разнообразным отделам математики, невозможно в пределах одной статьи дать полный обзор новой математической литературы, поэтому в последующих номерах журнала будет дано продолжение обзора.

ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР. Введение в анализ бесконечно малых. Том I. ОНТИ, «Классики естествознания» 1936 г. Редакция, вступительная статья и примечания проф. Лурье. Стр. 352. Цена в пер. 11 р. 50 к. В книге «Введение в анализ бесконечно малых», по словам самого Эйлера, изложены те сведения, которые необходимы для понимания анализа бесконечно малых, но которые не входили в курс элементарной математики XVIII в. В данной книге Эйлером изложено учение о функциях алгебраических, показательной, логарифмической, тригонометрических и применение бесконечных рядов, как к исследованию этих функций, а также и к весьма различным другим вопросам элементарной математики. Несмотря на то, что «Введение в анализ бесконечно малых» написано Эйлером в середине XVIII в., эта книга представляет огромный интерес для современного читателя. Книга несомненно представляет большой исторический интерес, так как ничто не даст лучшего знакомства с одним из великих предшественников современного анализа, как изучение его трудов. Кроме того, в этой книге читатель может ознакомиться с состоянием математических познаний и общим ходом развития математической мысли периода, предшествующего современному анализу.

Остановимся теперь на том, что ценного можно извлечь из книги Эйлера применительно к работе в средней школе. В первых трех главах «О функциях вообще», «О преобразовании функций» и «О преобразовании функций при помощи подстановок» можно найти ряд вопросов, для рассмотрения которых не требуется никаких специальных Познаний кроме обычного курса элементарной алгебры, но которые играют чрезвычайно важную роль при изучении высшей математики. Так, например, ознакомление с такими вопросами, как простейшие случаи разложения рациональной функции на элементарные дроби, метод неопределенных коэфициентов и простейшие примеры рационализации путем подстановки не вызвали бы затруднений у учеников старших классов. По этим вопросам много примеров и упражнений можно найти в указанных главах книги Эйлера. Точно так же много интересных и полезных примеров, не требующих специальных познаний, можно найти в главах «Об умножении и делении углов», «О разбиении чисел на слагаемые». Во всяком случае из указанных глав можно выбрать много интересного материала для работы школьных математических кружков. В книге содержится много примеров на суммирование рядов, вычисление бесконечных произведений и приближенное вычисление корней алгебраических уравнений. Однако необходимо твердо помнить, что многие рассуждения математиков XVIII в. и в частности Эйлера не удовлетворяют тем требованиям, которые предъявляет современная математика в смысле строгости доказательств и четкости определений. Уделяя много внимания разложению элементарных функций в степенные ряды, Эйлер даже не ставит вопроса о сходимости полученных рядов. Также бросается в глаза современному читателю необоснованность тех предельных переходов, которыми пользуется Эйлер для получения разложения в ряды элементарных функций. Говоря о бесконечно малой величине, Эйлер дает определение бесконечно малой как «малой дроби, что она только-только не равна нулю». Мы знаем, что не все свойства, присущие конечным суммам, остаются в силе для бесконечных рядов, однако математики XVIII в. не делали разницы между конечными суммами и бесконечными рядами. Такое обращение с рядами приводило нередко к равенствам, не имеющим смысла с нашей точки зрения, в которых фигурируют расходящиеся ряды. Заметим наконец, что в некоторых доказательствах, которые современный математик провел бы методом полной индукции, Эйлер ограничивается неполной индукцией, т. е. обнаруживает справедливость доказываемого предложения на нескольких частных примерах, а затем делает заключение о его справедливости и в общем виде. Необходимо отметить, что чрезвычайная просто-

та и ясность изложения, а также тонкость математического чутья, которое при столь нестрогих рассуждениях все-таки вело Эйлера по правильному пути, не может не вызвать чувства достойного восхищения у современного математика.

ФЕЛИКС КЛЕЙН. Лекции о развитии математики в XIX столетии. Часть 1. ОНТИ НКТП, 1937 г., стр. 429, цена в пер. 10 р. 50 к.

Книга Клейна о развитии математики в прошлом столетии написана не специалистом историком, а человеком, принимавшим непосредственно живое участие в этом развитии. Клейн был не только крупным ученым, но и крупным педагогом, мастером слова, обладавшим способностью живого и увлекательного изложения. В лекциях Клейна читатель может познакомиться с жизнью и деятельностью крупнейших математиков прошлого столетия (Гаусс, Абель, Галуа, Дирихле, Риман, Вейерштрасс и др.). Задача достаточно полного изложения хода развития математики XIX столетия, столь богатого крупными открытиями и исследованиями в области математики, является задачей непосильной для одного человека. В своей книге Клейн останавливается наиболее подробно на вопросах, связанных с его собственной научной деятельностью. Подробно рассмотрено развитие проективной и алгебраической геометрии, теории эллиптических и автоморфных функций. Многие весьма важные моменты в развитии математики прошлого столетия мало освещены автором, так например Клейн не касается развития теории множеств и обоснования арифметики. С другой стороны, Клейн достаточно подробно останавливается на развитии математической физики и теоретической механики и влиянии, оказанном этими дисциплинами на развитие математики. Необходимо отметить, что книга Клейна является далеко не элементарной, она рассчитана на читателя, обладающего серьезными познаниями по высшей алгебре, геометрии и теории аналитических функций. Пояснительные замечания Клейна по поводу хода рассуждений в исследованиях различных ученых кратки с расчетом на читателя, уже знакомого с результатами этих исследований. Несмотря на указанные трудности, читатель, не владеющий в достаточном объеме высшей математикой, может найти много интересных биографических сведений и получить представление об общей картине развития математики в XIX в.

О. НЕЙГЕБАУЭР. Лекции по истории античных математических наук. Том I. Догреческая математика, с приложением статьи Фогеля «Кубические уравнения у вавилонян». Перевод с предисловием и примечаниями проф. Лурье. ОНТИ НКТП, 1937 г., стр. 239, цена в пер» в р. 25 к.

Благодаря переводу лекций Нейгебауэра, впервые появляется на русском языке книга, по которой читатель может с достаточной подробностью ознакомиться с состоянием математических познаний древних вавилонян и египтян. Книга Нейгебауэра представляет интерес не только с точки зрения истории математики, но имеет также общеобразовательное значение. Здесь читатель, интересующийся древней историей, может ознакомиться с принципами вавилонской клинописи и иероглифического письма древнего Египта. Книга снабжена интересными предисловием и примечаниями переводчика проф. Лурье, где проф. Лурье, считая, что автор несколько переоценивает достижения вавилонской математики, пытается иначе восстановить рассуждения, на основе которых получены найденные в древних текстах результаты.

Д. А. КРЫЖАНОВСКИЙ. Элементы теории неравенств. ОНТИ НКТП, 1936 г., стр. 111, цена 2 р.

В книге Крыжановского впервые дано систематическое изложение теории неравенств. В ней рассмотрены неравенства с одним и многими переменными, системы неравенств и элементы теории неравенств высших степеней. Необходимо отметить, как большое достоинство книги, что рассмотрение алгебраических методов решения неравенств автор сопровождает геометрическими интерпретациями и рассмотрением геометрических методов. Книга написана простым и легким языком с расчетом на читателя, владеющего элементарной математикой в объеме программы средней школы. В курсе высшей математики неравенства играют весьма существенную роль, сведения же, которые получают учащиеся в средней школе по теории неравенств нельзя считать достаточными. В книге Крыжановского читатель сможет найти тот материал, знание которого необходимо для успешного прохождения высшей математики. В силу этого обстоятельства книга может быть рекомендована как пособие для учителей средней школы, где учитель сможет почерпнуть много интересного, способствующего повышению математического развития учащихся материала, как для классных, так и для кружковых занятий. Желательно, чтобы с книгой Крыжановского ознакомился всякий, желающий поступить на физико-математический факультет университета или пединститута. В конце книги в дополнении автор приводит много интересных и важных для высшей математики примеров замечательных неравенств, а также делает ряд замечаний по поводу методов доказательства неравенств. К сожалению, автор лишь попутно и очень бегло останавливается на вопросе задания при помощи неравенств областей, границы которых состоят из дуг простейших кривых и прямолинейных отрезков. Более подробное рассмотрение этого вопроса дало бы читателю навыки, полезные при изучении математического анализа. Необходимо отметить, что автором для обозначения одного из соотношений < = > очень остроумно и удачно введены два новые символа, благодаря чему ряд вопросов теории неравенств получает более широкую трактовку, чем в традиционном изложении.

КУРТ ГРЕЛЛИНГ. Теория множеств. ОНТИ, 1935 г., стр. 56, цена 75 коп.

Книга Курт Греллинга «Теория множеств» рассчитана на читателя, не имеющего никаких специальных познаний или специальной подготовки, кроме способности к абстрактному мышлению. При том маленьком объеме, который имеет книга, невозможно дать подробного изложения теории множеств со всеми присущими ей тонкими рассуждениями. Тем не менее, автору удается познакомить читателя с основными, наиболее существенными вопросами теории множеств. Автор в основном не идет по пути упрощенчества и вульгаризации, что к сожале-

нию можно нередко встретить в популярных книгах. В своей книге Курт Греллинг дает возможность почувствовать серьезность проблем обоснования теорий множеств и арифметики. Автор формулирует чрезвычайно серьезные теоремы теории множеств, стараясь уяснить читателю роль и значение этих теорем, но не всегда приводит доказательства, или опуская в некоторых случаях доказательство, или ограничиваясь рассмотрением частных случаев (что всегда оговаривает автор). Благодаря этому читатель может получить достаточно полную картину общего хода развития идей в теории множеств и ознакомиться с основными проблемами этого важного отдела математики. Для начинающего математика эта книга поможет ориентироваться при чтении более серьезной литературы. Необходимо отметить, что не все вопросы изложены автором одинаково удачно. Так, например, рассмотренный в начале книги сложный вопрос о конечных и бесконечных множествах изложен, на мой взгляд, не совсем удачно. Определение конечного множества по Цермело, которого придерживается автор, малодоступно начинающему, тем более, что пояснения, данные автором, недостаточно уясняют сущность этого определения. Заметим, что в вопросе об определении понятий конечного и бесконечного множества среди ученых в настоящее время нет единого мнения. Далее заметим, что доказательство несчетности множества действительных чисел, данное автором на 25—28 стр., не является вполне строгим. В целом книга безусловно принесет пользу всякому желающему ознакомиться с основными идеями теории множеств.

Л. Я. ОКУНЕВ. Высшая алгебра. ОНТИ НКТП, 1937 г., стр. 314, цена в пер. 5 руб.

Книга Окунева «Высшая алгебра» содержит основной материал в пределах общего университетского курса алгебры, именно: теорию детерминантов, теорию линейных уравнений, теорию линейных и квадратичных форм и алгебру многочленов. Однако существенным отличием книги Окунева от прочих руководств является то, что автор с первой же главы и на протяжении всего дальнейшего изложения старается ввести читателя в круг идей современной алгебры. Книга написана простым и понятным языком, для чтения не требуется никакой специальной подготовки, кроме знания элементарной математики. В книге Окунева читатель может не только познакомиться с такими основными понятиями, как группа, кольцо, поле, но и получить представление о роли, которую играют эти понятия в современной алгебре. Заметим, что в этой книге читатель найдет достаточно обстоятельное изложение вопроса о развитии понятия числа, именно учение об отрицательных, дробных, комплексных и гиперкомплексных числах. Книгу Окунева с пользой для себя прочтет всякий интересующийся алгеброй, она поможет также ориентироваться в более серьезной литературе всякому, кто пожелает далее углубить свои познания по алгебре. Книга снабжена большим количеством примеров и упражнений.

Б. А. ВЕНКОВ. Элементарная теория чисел. ОНТИ НКТП, «Математика в монографиях» — серия обзоров, книга IV, стр. 214, цена в переплете 6 руб.

Книга Венкова посвящена рассмотрению классических и современных исследований по теории чисел арифметическим путем без применения методов математического анализа и геометрии. В книге дан обзор весьма серьезных исследований, для понимания которых требуется со стороны читателя основательная подготовка. Для начинающего книга малодоступна.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, помещенных в № 1 журнала «Математика в школе» за 1937 г.

1. Решить в целых и положительных числах уравнение:

х2 — у2 + 6у = 44. Преобразуем данное уравнение:

Оба сомножителя: х + у — 3 и х —у + 3 должны быть одновременно положительными или отрицательными. Но отрицательными они быть не могут, так как их сумма, равная 2х — положительна (по условию задачи х должен быть положителен).

Так как, кроме того, оба сомножителя должны быть целыми числами, то имеем следующие четыре возможные случая

Решив полученные системы уравнений, найдем:

Последнее решение не удовлетворяет условию задачи. Остаются первые три решения.

Многие решали задачу, приводя ее к квадратному уравнению, и при этом упускали решение

2. Решить уравнение

(1)

Преобразуем данное уравнение:

27х* + 54 ах* + 27а2 х2 + 4а5 = 0, (2)

или

(3х2 + а)2(3х2 + 4я) = 0.

Решив полученные уравнения, найдем:

3. Решить уравнение

Рассматривая левую часть уравнения, как сумму двух квадратов, отнимем от обеих частей удвоенное произведение их оснований

Положим тогда:

Решив это квадратное уравнение, найдем

Отсюда получаем:

Решив эти уравнения, найдем:

Второй способ. Обозначив - - через у, будем иметь

х2 + у2=\. (1)

Легко заметить, что

Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получим:

X2 +у2 — 2ху=:х2у2

или, приняв во внимание (1):

х2у2 + 2ху — 1=0.

Решив это квадратное уравнение относительно ху, найдем

Приходим таким образом уже к приведенным выше уравнениям.

Третий способ. Делая подстановку х = у — 1, получим:

дг4 — 2у3 + У2 — 2у + 1 =0.

Имеем возвратное уравнение, которое и решаем обычным способом.

Имеются и другие способы решения. Прч этом некоторые решали задачу, принимая

x = sinZ, что неправильно, так как неизвестно, является ли х числом, меньшим единицы. 4. Доказать, что для всякого треугольника

Имеем:

По известной формуле:

Делая подстановку, получим:

Другой способ. При А + В + С = 180° существует известное соотношение

которое выведено выше непосредственно). Но, как иззестно:

Частное ~ дает правую часть приведенной

формулы, чем и доказывается данное равенство.

5. Доказать, что задача: построить равнобедренный треугольник по высоте и биссектрисе, проведенным по боковой стороне, не разрешима циркулем и линейкой.

Пусть в равнобедренном треугольнике ABC АЕ—есть данная высота и AD — биссектриса угла А. Треугольник ÄED может быть построен (по катету и гипотенузе). Следовательно, мы можем получить и угол ADB. Но ^ ADB = / ACD + Z.CAD = 3 £CAD. Но в таком случае мы можем при помощи циркуля и линейки произвольный угол разделить на три равные части.

Действительно, пусть нам даи произвольный угол D. Из произвольной точки А одной из сторон угла опускаем перпендикуляр АЕ на другую сторону. Примем AD за данную биссектрису, а АЕ за высоту, опущенную на боковую сторону некоего равнобедренного треугольника Согласно допущению, по этим данным мы сможем построить и самый треугольник. Пусть это будет треугольник АВС, где AB = ВС. Тогда /_ CAD = -i“ L ADE-

Итак, при возможности построения треугольника по данным задачи возможна была бы трисекция произвольного угла.

Многие доказывали невозможность построения тем, что, принимая за искомую величину тот или иной линейный элемент треугольника, получали уравнение 3-й или даже 6-й степени и исходя из неразрешимости этих уравнений в общем виде в радикалах, заключали о невозможности построения требуемого треугольника. Такое доказательство не является достаточно убедительным, хотя бы уже потому, что не исключена возможность при удачном выборе неизвестной получить уравнение низшей степени.

6. Решить систему уравнений:

Прибавив к обеим частям всех трех уравнений по 2, будем иметь:

Складывая первые два уравнения и вычитая из суммы третье, получим

2(у+ 1)* = а + Ь — с + 2.

Подобным же образом найдем:

Обозначив для краткости а + Ь + с через 2 р, будем иметь:

Отсюда легко находим:

где а— любой из кубичных корней из единицы. Таким образом, для каждого из неизвестных имеем три значения. Комбинируя различным отбразом их, получим 27 систем решений, которые все удовлетворяют данной системе уравнений.

Основным недочетом большого количества решений было то, что для каждого неизвестного, а отсюда и для всей системы, находилось только одно решение, именно при а = 1. Тогда как сама система показывает, что полное число решений должно равняться 27.

7. Показать, что

при п целом делится на 24 Делаем преобразование:

Но произведение любых последовательных четырех целых чисел всегда делится на произведение четырех первых чисел натурального ряда, т. е. на 24. Если не ссылаться на это общеизвестное положение (в частности, напомним формулу Сп4), то делимость данного выражения доказывается и непосредственно очень коротко и легко.

В самом деле, если один из сомножителей в произведении (п — 2)(л-— 1)п(п + 1) равен нулю, то и все произведение ра^но нулю и, следовательно, делится на 24. Если же ни один из сомножителей не равен нулю, то имеем произведение четырех последовательных положительных или отрицательных чисел. Но из четырех последовательных чисел два непременно четных, причем одно кратно двум, другое — 4 (по меньшей мере); значит произведение непременно делится на 8. Точно так же, по крайней мере, одно из чисел кратно трем. Следовательно, все произведение делится на 24. Однако, во многих решениях доказательство этого простого положения занимает несколько страниц.

8. Показать, что если в треугольнике а + с = nb, то

где «, р и у — углы треугольника, г —радиус вписанного, а ра, рь и рс вневписанных кругов. В части тиража не была выправлена опечатка

в равенстве (3): было напечатано р6, вместо — .

3. По известной формуле:

Имеем:

В части решений приводилось «доказательство» третьего соотношения именно в той неверной форме, как это было напечатано в части тиража.

9. Решить уравнение:

Преобразовываем уравнение:

Решая полученные два квадратных уравнения, найдем:

10. Решить в целых числах уравнение:

х8 — ху2 + 3х*+у2 + 6ху~ 6у- 1 =0.

Перенеся члены, не содержащие у в правую часть и переменив знаки у всех членов уравнения, получим:

ху2 — у2 — бху + 6у = xs + Ъх2— 1,

или:

(1)

Так как х3—1 и х2—1 делятся нал:—1,то первые два слагаемых в правой части — целые числа (при целом х). Для того, чтобы у было целым, необходимо, чтобы третье слагаемое, т. е. —^—г было целым числом. Но последнее может быть лишь при

X — 1 = ± 1 и х—\ = ±3.

Отсюда X может быть равен лишь 2, 0, 4 и—2, Подставляя эти значения в (1), получаем для у следующие квадратные уравнения

Ни одно из этих уравнений не дает целых значений для у. Следовательно, данное уравнение не имеет целых решений.

11. 1°. Найти две дроби у и —, равные и такие, что a + b = N = 63.

Всегда ли задача возможна? Найти условие, которому должно удовлетворять N для возможности задачи.

2°. Из дробей, равных ^ найти такие пары дробей, что знаменатель одной из них равен числителю другой.

Iй. Так как = 23 > то должны иметь место следующие соотношения:

Отсюда получаем

а + с = 9 (т + п) = N.

Итак, для возможности задачи необходимо, чтобы N было кратно девяти, и так как тфО и пфО, то iV>18. Для N = 63 это условие выполняется. В этом случае

Имеем три возможных случая:

Соответственные значения дробей будут:

2°. Пусть a=d. Тогда

9т = 23л,

отсюда

m = 23k и п = 9k. следовательно, дроби будут иметь вид:

12. Найти четное четырехзначное число, цифры которого возрастают слева направо, и при том такое, что если к нему прибавить число, составленное из тех же цифр, но в обратном порядке, то полученная сумма делится на 140.

Пусть искомое число

lOOCfl + 1006 + Юс + d

по условию

ICOOtf + 100& + Юс + d + 10(Ш + 100с + 106 + а = 1001 (a + d)+ 110 (6 +с) = 140/с, где k — некоторое целое число. Так как второе слагаемое и сумма делятся на 10, то должно делиться на 10 и первое слагаемое 1001 (а + d), a так как. 1001 на 10 не делится, то должно делиться а + d. Но a+ rf<20, поэтому а + d = 10.

По условию d — четно. Оно не может быть меньше 6, так как тогда а было бы больше d, что противоречит условию. С другой стороны d не может быть равно 6, так как тогда а = 4 и между and нельзя вставить двух различных чисел. Остается одна возможность

а = 2 и d = 8.

Первое слагаемое и сумма делятся на 7. Следовательно, Ь + с должно быть кратно семи. Сумма Ь + с не может равняться 14, так как в этом случае одно из чисел Ь или с будет больше или равно 8, что противоречит условию. Значит,

Ь + с = 7.

Так как а = 2, то для бис остается одна возможность

Ъ = 3 и с = 4.

Итак, искомое число равно 2 348.

Некоторые решения исходили из уменьшения цифр справа налево, поэтом} получалось число 8 432. Хотя по существу смысл задачи не меняется, но все же в этом случае условия задачи в точности не соблюдены. Не могли быть приняты к зачету те решения, которые игнорировали условия четности искомого числа, вследствие чего получалось несколько решений.

13. На катетах AB и АС прямоугольного треугольнка ABC вне его построены квадраты ABDE и ACFG. На гипотенузе ВС построен (вне данного треугольника) равносторонний тре-

угольник ВСН. Точки F, С, Н. лежат на одной прямой. Гипотенуза ВС = а. Найти площадь пятиугольника DEGFH.

По условию НС является продолжением CF. Следовательно НС || AG. Так как Z. НСВ = 60°, то ^ ßCJ. = 30° и следовательно,

Площадь пятиугольника найдется как сумма площадей двух трапеций: DECH и ECFD. В первой трапеции:

Во второй трапеции:

Площадь искомого пятиугольника

Как ни странно, и эта простейшая задача получила ряд неверных решений.

14- Дан прямоугольник ABCD, основание и высота которого равны: AB = 84 м, ВС = 72 м. Движущаяся точка, начиная от А, проходит последовательно AB, ВС, CD и DA равномерным движением со скоростью 7 м/сек.

1°. Определить положение M точки через 21 сек. после начала движения.

2°. Через сколько секунд, двигаясь от М, точка будет на расстоянии (по прямой линии) 90 м от A4

1°. Так как AB = 84 м и ВС = 72 м, то очевидно, что через 21 сек. точка, пройдя расстояние, равное 7-21 = 147 м, будет находиться в точке M на стороне ВС на расстоянии 9 м от точки С.

2°. Так как АС = Y842 + 722 > 90, a AD = 72 <ё0, то на стороне DC должна быть некоторая точка Л\ находящаяся на расстоянии 90 м от N'. Из треугольника ADN находим:

DN = Y902 — 722 = 54. Расстояние от точки M до точки N, равное 9 + 30 = 39 м точка пройдет в 5^- сек.

Недочетом ряда решений являлось невыполнение условия задачи: время прихода точки M в точку, находящуюся на расстоянии 90 м от А исчислялось от точки А, а не от точки М, как сказано в условии.

С другой стороны, многие давали больше, чем требовала задача, вычисляя период, через который точка M находится снова на расстоянии 90м (как на стороне ВС, так и CD)

15. Найти такое трехзначное число, что:

1°. Приближенный квадратный корень из него с точностью до 1 равен 21 (с недостатком). 2°. Если его разделить на сумму его цифр, то в частном получим 36 и в остатке цифру его сотен.

Обозначим искомое число через х = 100а + № + с. По условию,

21 <]/*< 22.

Отсюда

441 ^ X < 484.

Итак, а = 4 Условие задачи дает:

400 + № + с = 36(4 + b + с) + 4.

Отсюда

252 = 26Ь + 35с.

Так как 252 и 35 делятся на семь, то и 26Ь, следовательно, b должно быть кратно семи. Но так как £<10, то b = 7.

Подставив |в последнее равенство 7, вместо Ь, найдем, что с = 2. Итак, искомое число

X = 472.

16. Построить прямоугольный треугольник ABC (прямой угол вЛ), зная длину BD = / биссектрисы угла È и длину m отрезка DC, который биссектриса отсекает на стороне АС,

Задача получила несколько способов решений. Приведем способ, получивший большинство.

Обозначим через х отрезок AD. Из треугольника BAD имеем:

По свойству биссектрисы имеем:

Отсюда

По теореме Пифагора имеем:

Решаем это уравнение относительно х.

Отсюда

По смыслу задачи годится только положительное значение корня. Найденное выражение позволяет легко построить отрезок х. Находим сначала гипотенузу у прямоугольного треугольника с катетами / и 2т. Затем находим гипотенузу z прямоугольного треугольника с катетами у и 2т. Таким образом найден отрезок, равный z = + 8т2. Вычтя из него отрезок, равный /, получим некоторый отрезок v. Тогда и X находится, как четвертая пропорциональная к /, V и 4т.

Зная X m I строим треугольник BAD по катету и гипотенузе. На продолжении AD откладываем DC=m, и соединив В с С, получаем искомый треугольник. Решение единственное и возможно при любых значениях (конечно, положительных) / и т.

Вариант этого решения заключается в предварительном нахождении величины sin ABD, затем находится х по формуле

X = I sin ABDy

причем получается для х то же выражение, что и выше. Величина sin ABD находится из треугольника BDC при помощи теоремы синусов.

Заметим, что все построение может быть выполнено последовательно на одном чертеже.

17. Решить уравнение

(1)

Обозначим

Тогда данное уравнение перепишется в таком виде:

(2)

После возведения обеих частей в четвертую степень, приведения подобных членов и сокращения всех членов на 2 получим уравнение:

j,4,— joy* + 75у2 — 250у + 264 = 0. (3)

Левую часть уравнения (3) можно разложить на множители различными способами. Приведем два из них.

Выражение в скобках является квадратом трехчлена. Имеем

Отсюда

Решая каждое из полученных квадратных уравнений, найдем

Отсюда имеем:

Отсюда получаем те же значения для _у, что и в первом случае. Так как разложение в обоих случаях не является достаточно очевидным, можно избрать, как это и сделали некоторые, другой способ решения. Обозначим

(4)

Данное уравнение принимает вид:

y + z = 5 (5)

Из (4) имеем:

97—х=у4; X — Z4

По сложении получим

у4 + Z4 - g; (6)

Из равенства (5) имеем:

Принимая во внимание (6), получим:

97 = 625— W0yz + 2y2z*

или

Су^,2 — 50 (yz) + 264 = 0.

Решив это квадратное уравнение, найдем

yz = 6 н vz = 44. (?)

Решив каждое из уравнений (7) совместно с (5), найдем значения для у и z, а затем из (4) соответственные значения для х.

18. Построить треугольник ABC, зная радиус описанного круга R, биссектрису / угла А и разность В—C=à углов при основании.

Пусть треугольник ABC—искомый. О—центр описанного круга, AD = I биссектриса угла А,

Так как BAD = /. DAC, то:

w В M = w MC.

Следовательно радиус ОМ перпендикулярен к ВС. Обозначив ADC через х, а угол ADB через у, будем иметь:

Х-\ y = TZ (1)

Но X, как внешний угол для треугольника BAD равен В + -у . Таким образом

Отсюда

(2)

Из (1) и (2) легко находим

В прямоугольном треугольнике MND £ NDM = 2 Л°В = у. Отсюда находим:

а, следовательно,

Отсюда построение. Данным радиусом R описываем окружность; строим угол я— приняв центр О за вершину. На полученной хорде AM откладываем отрезок AD = /. Из точки D опускаем перпендикуляр на ОЛ4 и продолжаем его в обе стороны до пересечения с окружностью в точках В и С. Треугольник ÀBC и будет искомым.

Были даны и другие решения.

Задача имеет одно решение и возможно при условии

19. Доказать неравенство

(1)

где а и Ь действительные числа.

Задача очень простая, допускающая различные способы решения. Приведем наиболее короткий.

В обоих случаях произведение

Но это выражение по раскрытии скобок дает неравенство (I) Наконец при а — Ь = 0, получаем а4 + Ь4 = агЬ + аЬ\ 20. Решить уравнение

Имеем: или

Возвышаем обе части в квадрат:

Отсюда:

Решив два квадратных уравнения:

найдем

Второе уравнение дает для tgx мнимые значения.

ПРАВИЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ПО ЗАДАЧАМ № 1 ПРИСЛАЛИ

(вошли решения, полученные до 5 июня)

Е. Алмазова (Беднодемьяновск) 7, 8, 12, 14, 15, 19, 20. С. Альпер (Житомир) 1. А. Амбарцумян (Кировокан) 6. А. Анании, (Красноярск) 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,16, 17, 18, 19, 20. С. Андреев (Торжок) 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,17, 19. Н. Асланазян (г. Пушкин) 9, 14. Г. Ахвердов (Ленинград) 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 12, 14, 15, 17, 19. Я. Бабич (Белая Церковь) 1, 4, 6, 7, 8. М. Беневольский (Ленинград) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Г. Бобылев (Сидоровка, Дуб. р.) 1, 2, 9, 14. С. Болдырев (Киров) 7. Я. Бондаренко (Мурманск) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. А. Брегер (Долгинцево) 3, 7, 9. Ф. Брижак (Краснодар) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Г. Бройт (Ленинград) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 16, 17, 18, 19. А. Бублик (Постышево) 4, 7, 9, 12, 14, 15, 19, 20. А. Бурковский (В. Черниговка, Киевск. обл.) 6. Б. Вайспапир (?) 3, 4, 6, 9, 13, 14, 17, 19, 20. Е. Васильева (Курск) 7. А. Вепланд (Москва) 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 19. К. Весов (ст. Филоново, уч. X кл.) 2, 3, 6, 9, 14. А. Владимиров (Ялта) 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 19, 20. А. Волков (Чухлома) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 15, 16, ,17, 19. А. Волнянко (Потанино) 6, 9. Я. Волок (Житомир) 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 17, 19. В. Выходец (С Вила — Яружские) 13, 14, 17, 19. А. Геращенко (с. Лысково, Воронеж, обл.) 9, 14, 17. Д. Гилилов (Махач-Кала) 2, 3, 4, 9, 12, 13, 15. В. Гильц (Остяко-Вогульск) 1, 2, 4. 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19. Р. Глейзер (Калининдорф) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 17, 19, 20, Я. Глотов (Ново-Троицкое) 2, 3. В. Голубев (Кувшиново) 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 19. Я. Городний (Озерно, Киевск. обл.) 5, 7, 9, 14, 15, 18. С. Городов (Ленинград) 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9,12, 14, 15,17, 19, 20.5. Гришин (Урюпинск) 2, 7, 9, 19. М. Гуревич (Москва) 1, 2, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 19. Я. Гурский (Калиновка) 3, 4, 6, 9, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. У. Дакацьян (Ростов н./Д.) 2, 7, 11, 12, 15. В. Дегтярев (Льгов) 2, 3, 9. О. Дирекчиянц (Раменское) 1, 3, 4, 7, У, 11, 12, 13, 14, 15, 20. Б. Доступов, уч. IX кл. Тамбов) 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Я. Дубицкий (Севастополь) 1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 13, 14, 15, 19. Я. Зайцев (Москва) 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20. Я. Згурский (Гельмязов) 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19. А. Иванов (Торопец) 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. В. Ильин (Харьков) 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, П, 12, 13, 15, 19. А. Каган (Минск) 7, 11, 12, 14, 15. Е. Казанская (Куклюр, Татар, респ.) 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 14, 15, 16, 17, 20. В. Камендровский (Оренбург) 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Канунов (с. Новодевичье) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 15, 16, 17, 19. 20. И. Каплан (Казатин) 2, 3, 4. Г. Капралов (Горький) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 15,17, 18,19,20. М. Кекелия (Бандза) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14, Д5, 16, 17, 18, 19, 20. Г. Кипнис (ст. Долгинцево) 1, 3, 4, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 17. И. Киракосянц (Ереван) 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19. Я. Клоков (Тим) 1, 2, 4, 7, 17. Б. Кобылин (Галич) 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20. С. Ковтун (с. Шура-Метлинецкая) 2, 4, 6, 9, 17, 19 Г. Коган (Запорожье) 4, 7, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. С. Колесник (Харьков) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. В. Конопасевич (Москва) 7. В. Корнеев (Яковлево, Курск, обл.) 6. Е. Костюкова и Е. Сапунцов (Луга) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Я. Кочережко (Машурово, Винницк. обл.) 12, 13, 14, В. Кременский (Ленинград) 2, 4, 6, 9, 12, 13, 14, 15, 17, 19, 20. И. Кроер (Соболево-Воробьево) 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18. С. Кугуманов (Языково, БАССР) 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 13, 17, 19, 20. Я. Кулаков (Бугуруслая) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. С. Кулигин (ст. Зиновьевская) 9, 15. Куницын (Новоржев) 2, 4, 7, 9, 13, 14, 15, 17. Я. Кутин (Москва) 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 14, 15, 17, 19, 20. Я. Леваков (Ляхово) 6, 7, 17, Я. Левинсон (Витебск) 1, 2, 3, 7, 12, 15, 19. Я. Левчук (Архангельск) 6. А. Левшук (Новосибирск) 1, 2, 4, 6, 7, 8, Г. Ледомский (Краснодар) 11, 15. С. Лисиця (Черкассы) 2, 6, 9, 14, 17, 19. А. Логашов (Саловка) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. А. Локтев (Наб. Челны) 7, 9. 13, 14, 15, 17. А. Лукиди (Мариуполь) 4, 6, 8, 17. А. Любомудров (Ленинград) 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19, 20. Я. Макуха (Омск) 1, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. В. Марочкин (?) 1, 2, 7, 8, 9, 12, 15, 19, Е. Марчевская (Харьков) 6, 10, 11, 16, 17, 18, 20. К. Матвеев (Кинель — Черкассы) 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 19. А. Медведев (Даниловка) 1, 4, 7, 11, 12, 14, 15, 19. Ш. Миневич (Кременчуг) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1,1, 12, 13, 14, 15, 16, 19. Г. Мискарян (Кировобад) 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20. А. Михайлов (Брянск) 4. Я. Нагорный (Кошеватое) 7, 9, 17. Я. Нейц (Омск) 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 18, 19. Я. Немировский (Зугрес) 2, 3, 7, 9, 11, 13, 14, 15, 17, 19. С. Немировский (Житомир) 1, 4, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 17, 19. Г. Оленик (Базарная Кеньша) 9 А. Островский (Щигры) 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 13, 15, 17, 18. С. Павлов (Новороссийск) 1, 2, 4, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 17, 19. В. Падучев (Лиски) 1, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 17, 19. А. Парахонский (Пыщов, Киевск. обл.) 4. Af, Перепелиця (Сергиевка) 2, 4. В. Писарев (Усолье, Куйбыш. кр.) 3, 4, 8. М. Попов (Бежаницы) 2, 4, 6, 7, 8, 14, 15, 18. С. Попов (Черкизово) 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Я. Постников (Рязань) 16. К. Приварников (Днепропетровск) 4. 8. 13. Е. Пузырев (Саранск) 9. В. Рассадин (Никольское) 19. Я. Рафаловская (Москва) 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19. Г. Ржавский (Фролов) 1, 2, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 20. Е. Резник (Тимановка, Виницк. обл.) 17. Я. Рождественский (Днепропетровск) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17. Ш. Розенфельд (уч. ср. шк., Калининдорф) 3, 4, 6, 7,9, 13, 14, 17, 19, 20. Рукомичев (Клинцы) 3, 4, 8, 9, 13, 17. 18. М. Саакян (уч. IX кл., Краснодар) 2, 4, 6, 7, 9, 13, 14, 17, 19. Ф. Саблуков (Москва) 2, 3,

4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. И. Сандров (Старый-Крым) 2, 3, 4, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. А. Сергеев (Калинин) 9. П. Сергиенко (Запорожье) 1, 2 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. А. Сидорова (Джизак, Узбекистан) 1, 2, 4, 7, И, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. П. Смыков (Усмань) 4. Е. Соловьев (Одесса) 6, 20, М. Сорокин (Загорск) 1, 2, 4, 7, 9, 17, 19. И. Судзиловский (Родники) 2, 3,6,9,19,20. И. Сулейманов (Ялта) 13. С. Танасевский (Дубоссары) 4, 8, 9, 13, 17. В. Тевдорадзе (Кутаис. район) 17. Титов (Томск) I, 2, 3, 4, 6, 7, 8, Р, 17, 19. Д Ткачик (Глодосы) 1, 13, 14, 15, 19. П. Токмаков (Москва) 2, 3, 4, 6, 7, 9, 17, 19. Д. Толмачев (Кисловодск) 3, 4, 6, 8, 12, 13, 14, 15, 20. П. Трусевич (Камышлов) 2. С Тубин (ст. Калачинская) 1, 4, 6, 7, 17, 18, 19. Д. Усатый (Лиман) 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 17. А. Фейгенберг (Свердловск) 2, 4, 6, 7, 9, 12,16, 18,19, 20. Федуков (Брянский район) 9. 8, Фомин (Казахстан) 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, II, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20. X. Хаин (уч. X кл., Калининдорф) 6, 9, 13, 14, 19. Хайдаров (Наб. Челны) 3, 7, 13, 11, 17. О. Ханчарлян (Краснодар) 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Ф. Xavax (Витебск) 1, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19. Е. Холодовский (Ленинград) 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19. X. Хусаинов (Уфа) 2, 3, 6, 7, 9, 10, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Ь. Цивилев (Тотьма) 4, 11. В. Цхай (Омск) 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 15, 17, 19. И. Чалов (Ростов н/Д.) 2, 3, 9, 19. М. Червоний (Ташкент) 1, 2. 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Ф. Черкасов (Бузулук) 4, 6, 8, 9, 14, 15, 17, 18, 19. С. Чечельницкий (Горький) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 18, 19, 20. С. Чуканцов (Орловские Дворики) 2, 4, 6, 9, 14, 19. Э. Червиовский (Кременчуг) 2, 4. А. Шагинян (Ереван) 17. П. Шамарин (Уфа) 7, 19. П. Шатровский (Москва) 2, 7, 9, 10, 13, 15, 19, 17, 18, 19, 20. И. Шевяков (Свободный) 17. И. Шкляев (ст. Моховая) 2, 6. А. Шмуленсон (Винница) 1, 2, 3, 4, 7, 14, 15, 16, 17, 19. Шульман (Житомир) 9, 15, 17, В. Шушин (Конюхово, Лен. обл.) 2, 9. А. и И. Яглом (Москва, уч. IX кл.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 23. А. Ячницкий (Феодосия) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

При обнаружении дефекта в данной номере журнала просим прислать его для обмена по адресу: Москва, Орликов пер. 3, комн. 228. Отдел периодических изданий Учпедгиза.

Отв. ред. А. Н. Барсуков. Отв. секр. М. М. Гуревич. Адрес редакции: Москва, Орликов, 3. Учпедгиз, Периодсектор, журн. «Матем. в школе».

Техредактор Е. М. Зеф.

Сдано в производство 22/VI 1937 г. Подписано к печати 12, VII 1937 v.

Учтив № 9087. Объем 4 п. л.

в 1 п. л. 74000 вн. Бумага 73 X 104 Зак. 830

Тираж 44.500

Уполномоченный Главлита РСФСР № Б- 23341

18-я типография треста «Полиграфкнига», Москва, Шубинский, 10.

СОДЕРЖАНИЕ

К новым успехам социалистического строительства............... 1

Положение о выборах в Верховный Совет СССР ................ 3

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

Проф. И. И. Чистяков Проблема Варинга и новейшие успехи теории чисел 11

С. Яновская — О рядах............................... 17

A. Б. — О площади трапеции............................. 22

МЕТОДИКА

К. Краевский — Трудности при прохождении курса стереометрии в IX классе средней школы............................... 23

Ф. Нагибин — Устные вычислении и преобразования на уроках математики в средней школе................................ 33

ИЗ ОПЫТА

B. Быков — Мой опыт изучения с учащимися темы «Расширение понятия о числе»..................................... 4t

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

Проф. К. М. Щербина — К вопросу о составлении стабильного учебника по арифметике................................. 45

А. Великанов — Об учебнике И. Попова «Арифметика» ............. 52

C. Новоселов — Обзор новых книг.......................... 54

ЗАДАЧИ