МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

3

1937

НАРКОМПРОС ~ МОСКВА ~ УЧПЕДГИЗ

Пролетарий всех стран, соединяйтесь!

УПРАВЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

№ 3

МАЙ 1937 ИЮНЬ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

Стр.

Н. Колмогоров—О тетраэдре................. 3

П. Компанийц — Система теорем о взаимных положениях прямых и

плоскостей......................... 7

А. Демме — Простые приемы приближенного спрямления окружности и квадратуры круга............... . . . 11

А. Яглом —Об одном свойстве прямоугольного треугольника ... 15

МЕТОДИКА

А. Гнедов — Методические эскизы................. 17

П. Стратилатов — Многогранный угол в средней школе...... 32

A. Дрокин —К вопросу о методике радианного измерения дуг и углов............................ 36

Проф. Л. Креер — К методике решения стереометрических задач на вычисление......................... 42

Г. Владимирский — Построение стереоскопических проекций геометрических фигур..................... 48

С. Шрейдер — О заданиях для письменных выпускных испытаний по математике........................ 52

ИЗ ОПЫТА

B. Счастнев — Доказательство неравенства............ 58

Г. Лютцау — Методическая заметка о вынесении за скобки знака минус и о заключении группы членов в скобки, перед которыми ставят знак минус................. 59

Н. Попов —О методе группировки................ 60

Н. Горун — К методике логарифмов............... 62

И. Макаревич — Логарифмическая линейка в полной средней школе 63

М. Китай — Об одном свойстве круга .............. 64

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

В. Крогиус — Программа тригонометрии и стабильный учебник Рыбкина.......................... 66

Р. Крикунов — О преподавании начальной части тригонометрии . . 70

В. Фурсенко -— Об одной распространенной ошибке, связанной с геометрическим изображением комплексных чисел....... 71

ЗАДАЧИ

Решения задач......................... 72

Сводки по 3. 4, 5 ....................... 84

Задачи............................. 88

Отв. ред. А. Н. Барсуков Техредактор Е. М. Зеф

Отв. секр. М. М. Гуревич

Адрес редакции: Москва, Орликов, 3, Учпедгиз, Периодсектор, журн. сМатем. в школе».

Сдано в производство 8/IV 1937 г. Учгиз № 9015. Объем 5'/2 п. л. Тираж 44500.

подписано к печати 8/V 1937 г. в 1 п. л. 72000 зн. Бумага 71 <105Vw Уполномочен. Главлита M Б—10637 __Зак. 469.__

18-я типография треста «Полиграфкнига), Москва, Шубинский, 10.

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

О ТЕТРАЭДРЕ

Доцент Н. КОЛМОГОРОВ (г. Киров)

Многие теоремы элементарной геометрии, а также и новой геометрии треугольника можно с теми или иными видоизменениями распространить и на тетраэдр, считая его для пространства фигурой, аналогичной треугольнику на плоскости.

Настоящая работа посвящена доказательству стереометрических аналогов наиболее известных теорем планиметрии.

Докажем сначала для тетраэдра теорему, аналогичную теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника.

Эту теорему для тетраэдра можно выразить так: плоскость, делящая пополам один из двугранных углов, образованных двумя какими-нибудь гранями тетраэдра, делит две другие грани на части, пропорциональные двум первым граням его (под гранями в этой формулировке нужно понимать площади их).

Возьмем тетраэдр ABCD (черт. 1). Пусть плоскость ADE делит пополам двугранный угол AD, докажем, что:

Действительно, плоскость ADE делит тетраэдр на два тетраэдра АС ED и ABED, у которых за основания можно взять треугольники АСЕ и ABE, а вершиной будет служить тогда D, т. е. эти два тетраэдра будут иметь одну и ту же высоту, следовательно, объемы их будут относиться, как площади их оснований, поэтому мы можем написать:

Возьмем теперь у этих же тетраэдров за основания у первого Д ADC, а у второго Д ADB, тогда вершиной у них будет Е.

Эта точка лежит в плоскости ADE, делящей двугранный угол AD пополам, следовательно, точка Е одинаково удалена от граней этого двугранного угла и, таким образом, в этом случае тетраэдры опять будут иметь равные высоты, и мы можем написать:

Черт. 1.

Сравнивая эту пропорцию с предыдущей, получим:

что и требовалось доказать. Аналогично докажем, что

Доказательство этой теоремы общеизвестно, и ее можно найти в несколько иной формулировке в книге «Элементы геометрии» Филипса и Фишера. Но можно эту теорему доказать и в более общем виде. Возьмем опять тетраэдр ABCD (черт. 2) и проведем через его ребра AD, BD и CD три плоскос-

ти, делящие пополам три двугранных угла при этих ребрах, тогда эти плоскости пересекутся по прямой DM, причем эта прямая встречает грань ABC в такой точке М, что, соединив ее с вершинами этой грани, мы разобьем грань ABC на три части, попарно пропорциональных двум прилежащим граням тетраэдра. Иначе говоря, имеют место следующие три пропорции:

Черт. 2.

Докажем первую пропорцию. На основании предыдущей теоремы имеем:

но

так как, с одной стороны,

а, с другой стороны,

следовательно,

а отсюда:

что и доказывает первую пропорцию. Итак,

Точно так же докажем и остальные две пропорции.

Составим теперь выражения для пл. Д AMC, пл. Д АМВ и пл. Д ВМС через площади всех граней тетраэдра ABCD.

Из пропорций имеем:

Сложим эти равенства почленно и мы получим:

а отсюда, пользусь теми же пропорциями, получим:

Если для краткости обозначим пл. Д ABC через Sd; пл. Д ADB через Sc; пл. Д ADC через Sb и пл. Д BDC через Sa, то последние формулы примут вид:

Интересно сопоставить эти формулы с соответствующими формулами для треугольника.

Черт. 3.

Возьмем Д ABC и проведем биссектрису угла В, тогда будем иметь:

Мы видим, что аналогия здесь полная: в тетраэдре фигурируют площади граней, а в треугольнике — его стороны.

Переходим к дальнейшим теоремам, имеющим место для тетраэдра. Рассмотрим прямоугольный тетраэдр, который является аналогом прямоугольного треугольника. Докажем для прямугольного тетраэдра сначала теорему о средней пропорциональной, а затем и теорему Пифагора. Теорема Пифагора для прямоугольного тетраэдра известна, но я здесь даю доказательство ее, аналогичное доказательству этой теоремы на плоскости, считая, что такое доказательство этой теоремы будет небезынтересно для читателей.

Теорему о средней пропорциональной можно сформулировать для прямоугольного тетраэдра так: перпендикуляр, опущенный из вершины прямого трехгранного угла на противолежащую этому трехгранному углу грань прямоугольного тетраэдра, пересекает эту грань в точке, соединив которую с вершинами этой грани, мы разобьем последнюю на три такие части, что площадь каждой грани прямого трехгранного угла в этом тетраэдре будет средней пропорциональной между площадью всей грани, противолежащей прямому трехгранному углу, и прилежащей частью ее.

Если бы мы условились называть грани прямоугольного тетраэдра, образующие прямой трехгранный угол, гранями-катетами, а грань, лежащую против прямого трехгранного угла,— гранью-гипотенузой, то теорему можно было бы сформулировать коротко так: в прямоугольном тетраэдре перпендикуляр, опущенный из вершины прямого трехгранного угла на грань-гипотенузу, делит последнюю на три такие части, что каждая грань-катет является средней пропорциональной между всей гранью-гипотенузой и прилежащей к этой грани-катету частью ее.

Для доказательства возьмем прямоугольный тетраэдр ABCD с прямым трехгранным углом при вершине D (черт. 4) и проведем в нем из вершины D перпендикуляр DH, который, как не трудно доказать, пересекает грань ABC в ортоцентре, т. е. в точке пересечения высот Д ABC.

Черт. 4.

Проведем высоты Д ABC и соединим их основания с вершиной тетраэдра D. Докажем сначала, что

(1)

Из чертежа видно, что

следовательно,

а так как ДЯО/: — прямоугольный и DH— перпендикуляр, опущенный из вершины пря-

мого угла D на гипотенузу BE, то пропорция

справедлива, следовательно, справедлива и пропорция

которую требовалось доказать.

Точно так же можно доказать и еще две следующие пропорции:

(2)

(3)

Теорема Пифагора для пространства

Эта теорема выражается так: квадрат площади грани, лежащей против прямого трехгранного угла в прямоугольном тетраэдре, равен сумме квадратов площадей остальных его трех граней,

Доказательство: из первой пропорции предыдущей теоремы имеем:

из второй пропорции имеем:

из третьей пропорции имеем:

Сложив эти равенства и замечая, что

получим :

или:

что и требовалось доказать.

Аналоги тригонометрических функций для трехгранных углов прямоугольного тетраэдра

Можно ввести, пользуясь аналогией между прямоугольным треугольником и прямоугольным тетраэдром, тетраэдрометрические функции трехгранного угла, каковых можно насчитать 12. Определяют их как отношения друг к другу площадей граней прямоугольного тетраэдра. Здесь я укажу только важнейшие из этих новых функций, а именно: синусы трехгранных углов. Дадим их определения.

Назовем синусом трехгранного угла А прямоугольного тетраэдра ABCD с прямым трехгранным углом при вершине D (черт. 5) отношение площади BDC к площади ABC, т. е. отношение противолежащей грани к грани, лежащей против прямого трехгранного угла D, и обозначим это так:

или более кратко

Черт. 5.

Точно так же синусом трехгранного угла В назовем отношение площади грани ADC к площади грани ABC, т. е.

или:

Наконец, для трехгранного угла С получим:

В отличие от тригонометрических функций будем обозначать эти новые синусы большими буквами.

Выведем первую основную формулу для тетраэдрометрических функций.

Возьмем три равенства:

возведем обе части каждого из них в квадрат и сложим их почленно, тогда мы получим:

так как

Таким образом, имеем окончательно:

Не вдаваясь в дальнейшие исследования свойств этих функций, заметим лишь следующее: новые функции (будем называть их тетраэдрометрическими) могут быть обобщены и на любой трехгранный угол и применяться для решения любого тетраэдра, в частности для него (т. е. тетраэдра) имеет место теорема синусов, а также и теорема косинусов.

Эти функции известны в сферической тригонометрии под названием «синусов вершин», причем для каждого трехгранного угла существуют синусы двух родов. Поэтому теория новых функций может развиваться в двух направлениях, но так как здесь имеет место принцип двойственности метрического характера, то достаточно развить теорию тетраэдрометрических функций в одном каком-либо направлении, чтобы из него получить и другое. В следующей работе я и предполагаю дать теорию и приложения новых функций.

СИСТЕМА ТЕОРЕМ О ВЗАИМНЫХ ПОЛОЖЕНИЯХ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

П. КОМПАНИЙЦ (Ленинград)

1. В отделе геометрии, обычно называемом введением в стереометрию, излагаются различные теоремы о взаимных положениях прямых и плоскостей. Простейшими (основными) из них являются те, в которых говорится о трех элементах: 1) о трех прямых (например, две прямые, параллельные порознь одной и той же прямой, параллельны между собой); 2) о двух прямых и плоскости (например, если прямая Ь и плоскость M перпендикулярны к прямой я, то плоскость M либо проходит через прямую ft, либо параллельна прямой ft); 3) о прямой и двух плоскостях (например, если прямая а параллельна плоскости M и плоскость R пересекает прямую о, то плоскость R пересекает и плоскость М); 4) о трех плоскостях (например плоскость, пересекающая одну из параллельных плоскостей, пересекает и другую).

В условиях простейших теорем указанные в них три элемента рассматриваются в определенном порядке и даются два соотношения между ними, указывающие их взаимные положения.

2. Рассмотрим для примера вторую из приведенных теорем. В условии этой теоремы элементы рассматриваются в таком логическом порядке: первый элемент — прямая я, второй — прямая ft, третий — плоскость М. Соотношения между ними даны в таком порядке: 1) прямая ft перпендикулярна к прямой а (положение второго элемента относительно первого); 2) плоскость M перпендикулярна к прямой а (положение третьего элемента относительно первого). В заключении этой теоремы необходимо установить соотношение между плоскостью M и другой прямой b (положение третьего элемента относительно второго).

Чтобы сделать правильное заключение этой теоремы, надо знать, какие вообще могут быть соотношения между прямой и плоскостью, и затем узнать, какие из этих соотношений возможны при данных, указанных в условии теоремы.

Прямая и плоскость могут находиться в одном из трех взаимных положений: 1) прямая лежит в плоскости (или плоскость проходит через прямую); 2) прямая пересекает плоскость (или плоскость пересекает прямую); 3) прямая параллельна плоскости (или плоскость параллельна прямой).

Легко доказать, что при данных, указанных в условии второй теоремы, плоскость M не может пересекать прямую ft, но может или проходить через прямую b или быть параллельной прямой Ь. (Обычно, доказав, что плоскость и прямая не могут пересекаться, делают неверный вывод, что плоскость параллельна прямой.)

3. Для облегчения обозрения и составления условий теорем, а также для нахождения заключения, полезно применять схематическую запись. Например, данные соотношения, указанные в условии теоремы, записываются одно под другим и подчеркиваются, под

чертой записываются все вообще возможные соотношения между рассматриваемыми в заключении элементами, соотношения же, невозможные при указанных данных, перечеркиваются.

Схема I есть сокращенная запись второй теоремы. (Для удобства записи пришлось ввести знак для обозначения соотношений «прямая лежит на плоскости», или «плоскость проходит через прямую» в виде параллелограма, как обычного знака для обозначения плоскости, с начерченным на нем отрезком.)

4. В различных учебниках геометрии число простейших теорем, их формулировки, доказательства бывают различны.

Рассмотрим, например, некоторые формулировки для второй теоремы. Если из элементов, указанных в этой теореме, считать первым элементом прямую а, вторым — плоскость М, третьим — прямую Ь, то теореме можно дать такую формулировку: если плоскость и прямая взаимноперпендикулярны, то прямая, перпендикулярная к данной прямой, или лежит в данной плоскости или параллельна ей (схема II. Условие в схеме II отличается от условия в схеме I порядком данных соотношений).

Можно элементы той же теоремы рассматривать в таком порядке: первый элемент — плоскость M, второй — прямая а, третий — прямая Ь. Формулировка теоремы может быть такой: если прямая а перпендикулярна к плоскости М, то всякий перпендикуляр b к прямой а или лежит в плоскости M или параллелен ей (схема III. Условие схемы III отличается от условия схемы II порядком элементов в первом данном соотношении). В этой формулировке соотношения рассматриваются в таком порядке: 1) положение второго элемента относительно первого; 2) положение третьего элемента относительно второго. Найти надо положение третьего элемента относительно первого.

Из сказанного ясно, что формулировки теорем зависят от порядка рассматриваемых элементов и от порядка соотношений между этими элементами.

5. Чтобы составить систему простейших теорем, важно знать: 1) какие могут быть пары элементов; 2) какие могут быть соотношения между двумя элементами; 3) какие могут быть группы из трех элементов; 4) в каком порядке можно рассматривать три элемента; 5) сколько можно одразовать пар из выбранных трех элементов; 6) в каком порядке можно составлять два соотношения между тремя элементами (как составлять условия теорем); 7) как можно группировать все простейшие теоремы.

Дадим краткие ответы на эти вопросы.

1) Для прямых и плоскостей можно составить три пары элементов: две прямые, прямая и плоскость, две плоскости.

2) Две различные прямые могут находиться в одном из трех взаимных положений: или пересекаться, или быть параллельными, или скрещиваться. (Полезно ввести знак для обозначения скрещивания двух прямых. Если «пересечение» обозначается двумя пересекающимися отрезками, «параллельность» — двумя параллельными отрезками, то «скрещивание» можно обозначать двуми непересекающимися и непараллельными отрезками.)

Прямая и плоскость могут находиться в одном из трех взаимных положений (см. § 2).

Две плоскости могут находиться в одном из двух взаимных положений: или пересекаться или быть параллельными.

Частным случаем взаимного пересечения элементов может быть взаимная перпендикулярность этих элементов.

3) Из трех элементов можно образовать группы четырех видов: три прямые, две прямые и плоскость, прямая и две плоскости, три плоскости.

4) Каждые выбранные три элемента можно рассматривать в одном из шести расположений. Например, для элементов а, Ь, с могут быть такие расположения: (а, Ь, с), (я, с, Ь,), {Ьу я, с), (Ь, с, а), (с, я, Ь), (с, Ь, а).

5) Из трех элементов можно образовать три пары: первый и второй, первый и третий, второй и третий.

6) Если выбрано определенное расположение трех элементов, то естественным первым соотношением для условия теоремы является то, которое устанавливает положение второго элемента относительно первого. Вторым соотношением для условия теоремы может быть то, которое устанавливает или положение третьего элемента относительно первого (схема IV) или положение третьего элемента относительно второго (схема V). В заключении теоремы надо установить: в первом случае— положение третьего элемента относительно второго, во втором случае — положение третьего элемента относительно первого.

7) Простейшие теоремы можно сгруппировать в три группы в зависимости от первых двух элементов: две прямые, прямая и плоскость, две плоскости. Третьим же элементом может быть или прямая или плоскость.

6. Составим теоремы первой группы. Для первого соотношения в условии теоремы можно взять одно из трех возможных соотношений между второй прямой и первой прямой. (В схеме VI эти соотношения расположены в столбце рамки.) Если третьим элементом взять прямую, то для второго соотношения в условии теоремы можно тоже выбрать одно из трех возможных соотношений между третьей прямой и первой прямой. (В схеме VI эти соотношения расположены в строчке рамки). Группируя каждое из трех первых соотношений с каждым из трех вторых соотношений, получим условия для девяти теорем. В схеме VI указаны все эти условия. Заключения не формулированы, а только указано, между какими элементами надо найти соотношение.

Схема VI.

Если третьим элементом взять плоскость, то для второго соотношения в условии теоремы также можно выбрать одно из трех возможных соотношений между этой плоскостью и первой прямой. Можно составить схему, аналогичную схеме VI, содержащую условия девяти других теорем.

Все полученные 18 теорем можно сгруппировать в три группы в зависимости от соотношения между первыми двумя элементами (таблица 1, первые три ряда).

Для некоторых из этих теорем составлены частные случаи (таблица 1, четвертый ряд).

Табл. 1.

7. В таблице 2 приведены 33 теоремы второй группы и частные случаи для некоторых из них.

В таблице 3 приведены 10 теорем третьей группы и частные случаи для некоторых из них.

Табл. 2.

Табл. 3.

Приведем для примера краткие формулировки теорем 7—14.

Если две прямые параллельны, то: 7) прямая, пересекающая одну из них, для другой может быть пересекающей или скрещивающейся; 8) прямая, параллельная одной из них, параллельна и другой; 9) прямая, скрещивающаяся с одной из них, для другой может быть пересекающей или скрещивающейся 10) плоскость, проходящая через одну из них, может проходить через другую или быть ей параллельной; 11) плоскость, пересекающая одну из них, пересекает и другую; 12) плоскость, параллельная одной из них, может проходить через другую или быть ей параллельной.

8. Всех простейших общих теорем в таблицах 1, 2 и 3 получилось 61. Но не все эти теоремы различны. Например, если в теореме 7 поменять местами данные соотношения и поменять обозначения второй и третьей прямой, то получим теорему 2. Если в теореме 58 поменять местами данные соотношения, то получим теорему 37. (Числа, стоящие в скобках около некоторых номеров теорем, указывают номера родственных теорем.)

Всех различных простейших теорем оказы-

вается 36. Для них указано 18 теорем, касающихся их частных случаев.

Простейшие теоремы о взаимных положениях прямых и плоскостей, встречающиеся в любом учебнике геометрии, являются только некоторой частью теорем проведенной системы теорем.

9. Естественен вопрос об использовании системы простейших теорем в школьной практике. Эта система и в зависимости от нее весь отдел — «Введение в стереометрию» — были составлены мною еще в 1915 г. С этого времени мною и некоторыми преподавателями эта система была использована по разному в различных учебных заведениях (при изучении стереометрии, при повторении ее...).

Один из легко осуществимых вариантов использования этой системы был таков: 1) учащиеся после изучения различных взаимных положений двух элементов составляют условия всех простейших теорем по группам; 2) показывают на моделях, пользуясь тремя цветными палочками и тремя цветными «картинными плоскостями», какие возможны заключения этих теорем; 3) составляют для теоремы небольшие схематичные чертежи, пользуясь цветными карандашами (см., например, чертежи для теорем 10, 11, 12); 4) доказывают некоторые из этих теорем в определенном порядке (в зависимости от программных требований, от принятого учебника...).

Такое использование системы простейших теорем развивает у учащихся пространственное представление, вызывает интерес к систематизации теорем, дает материал для задач на построение и для самостоятельного доказательства теорем, углубляет понимание структуры и формулировки теорем.

ПРОСТЫЕ ПРИЕМЫ ПРИБЛИЖЕННОГО СПРЯМЛЕНИЯ ОКРУЖНОСТИ И КВАДРАТУРЫ КРУГА*

А. ДЕММЕ (Москва)

Среди различных легко запоминаемых выражений «тс» заслуживает особенного внимания одно, тс= 1,8-f j/îy8**

Замечая, что |/1,8= 1,3416407..., имеем, таким образом, для те приближенное его значение, равное 3,1416407, что от вычисленного более точно (тс = 3,1415926536...) разнится всего на 0,000048 (менее пяти стотысячных!)

При помощи этого выражения числа «tù» можно: 1) произвести очень просто приближенное спрямление окружности, 2) приближенно решить задачу о квадратуре круга, 3) решить историческую Делийскую задачу построить 2 и, наконец, 4) быстро и легко получить приближенно длину стороны правильного вписанного в круг десятиугольника.

Задача 1. Спрямление окружности.

Пусть имеем некоторый круг с центром в точке M и двумя взаимно перпендикуляр-

* См. «Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht»... Heft 3. 1936 г. Lambacher.—«Einfache Näherungskonstructionen».

** Это выражение «те» приписывают Виету (1540—1603).

ными диаметрами AB и CD (черт. 1). Продолжив диаметр DC за точку С на расстояние, равное радиусу, до точки Е, соединим Е с концами горизонтального диаметра; получим равнобедренный треугольник ABE, у которого основание AB равно высоте МЕ = 2г.

Черт. 1.

Боковые стороны АЕ и BE пересекут окружность соответственно в точках F и G; H—точка пересечения вертикального диаметра CD с хордой FG (параллельной AB).

Можно показать, что периметр треугольника HEG приближенно равняется длине полуокружности с упомянутой выше степенью точности (ошибка будет меньше пяти стотысячных единицы, если длину радиуса измеряемой окружности положить равной единице).

Доказательство. В прямоугольном треугольнике В ME катет МЕ — 2г и катет МВ = г9 следовательно,

ВЕ = г]/Ъ.

Замечая, что ED и ЕВ секущие, проведенные из одной и той же точки, сможем записать:

EB-EG = ED.EC или EG*г }/Ъ = 3г-г, т. е.

Таким образом, составляя отношение EG : ЕВ, легко получим, что оно равно 3 :5 (в самом деле rj/178 :г\/Ъ~= i f L? = ]/О^Гб =

Рассматривая далее два подобных треугольника EHG и ЕМ В, получим:

т. е.

или

следовательно,

из тех же треугольников

Составляя выражение периметра треугольника HEG, получаем

поэтому

что с указанной раньше степенью точности дает приближенно u«r.

Если на чертеже провести DY параллельно AB и G К параллельно CD до встречи их в точке Y, то искомая приближенная длина полуокружности (периметр треугольника #£G) представится, как легко показать, отрезком ЕК, где GK = GY.

В самом деле:

следовательно,

Положение точки К определяется просто отложением на продолжении ЕВ от точки G отрезка, равного HD.

Впрочем, нужную нам длину ЕК можно получить еще проще так: к данному кругу проведем две взаимно перпендикулярные касательные в точках В и С до встречи их

в точке G1. Секущая AG1 пересечет окружность в точке G; продолжая GB до встречи с продолженным вертикальным диаметром в точке Е, получим как раз тот же самый отрезок £G = r \/Tfi; GK=l,8r (по предыдущему), таким образом

GK + £G = r(l,8 + |/“T8).

Это построение быстро и просто выполняется с помощью только линейки, когда окружность задана.

Отложив же ML = HC и соединив точку L с У, получим параллелограм LEGY, периметр которого приближенно (при радиусе равном единице) с точностью до пяти стотысячных будет равняться длине данной окружности.

Остается показать, что пересечение BE с AG1 дает действительно точку G на окружности. Действительно BE J_ AG1 и BG1 z=i = МВ, поэтому Д ABG1 = Д ЕМВ, а отсюда £/И = ЛО = 2/\

Задача 2, Квадратура круга (черт. 2).

Продолжив EG за точку G на расстояние радиуса, получим точку L (откладываем тем же раствором циркуля, каким проводили окружность).

Черт. 2.

Оказывается, что средняя пропорциональная величина к длинам EG и EL будет стороной квадрата, площадь которого наиболее близка к площади данного круга.

Действительно:

т. е. если принять, что тс = 1,8+ |/1,8, то мы имеем приближенное выражение площади круга.

Теперь легко построим треугольник, площадь которого приближенно равна площади нашего круга.

Проводим из конца диаметра D прямую DO, параллельную EL, и опускаем перпендикуляры LN и ЕО (параллельно AG1) на OD; площадь полученного прямоугольника NOEL приближенно (с установленной уже степенью точности) равна площади нашего круга.

Действительно,

ADEOoo/\EBM; из них следует

EO:DE = MB:BE

или

EO:3r = r;yr5,

отсюда

EO = r\/Tfi и, следовательно, площадь прямоугольника

пл. ELNO=EL-EOz=z = г ( 1 + ). r Yïfi = г* ( 1,8 + YTfi ).

Положение точки L можно определить и без помощи циркуля; действительно, проведем ML1 (I EG, а через M прямую, параллельную LiG, эта прямая встретит продолжение EG как раз в нужной точке L, так как фигура ML1GL параллелограм.

Прямоугольник, равновеликий (приближенно) площади данного круга, можно получить еще проще так (см. черт. 1): зная, что прямая ЕК = г (1,8 + |/l,8), восставим перпендикуляры в концах этого отрезка и отложим на них длины EL = KN = r; тогда, очевидно, площадь прямоугольника

пл. EKNL = EK-EL=r{\t8 + \/Ts).r = = r2(l,8+j/l,8),

а это при допущении, что iüÄ lp8-|“|/“lf8 и дает приближенно площадь искомого круга.

Задача 3. Построение приближенного значения 2.

Эта задача, как и предыдущая, является задачей глубокой древности, известной под

именем Делийской задачи, или задачи об удвоении куба, которую, как известно, еще в пятом веке до нашей эры Гиппократ из Хиоса свел к построению двух средних геометрических между двумя величинами а и 2 а.

При наших соотношениях это приближенное значение выражения |/2 получим так.

Хорды AG и BF (черт. 3) пересекаются в точке S, являющейся серединой MC, т. е. MS=SC=— • GP—прямая, параллельная ME, пересекает F В в точке Р так, что GP = ==0,6 г; в самом деле (черт. 1):

следовательно,

Далее из подобных треугольников SG1B и SGP получим (черт. 3):

отсюда

Далее, проводя через Р прямую, параллельную AG, до встречи с продолжением ЕМ в точке Q и замечая, что SQ = GP = 0,6 г (как противоположные стороны параллелограма), запишем, что

EQ = ES + SQ = 1,5 r + 0,6 r = 2,1 г.

Положение точки Q можно определить и без построения параллелограма сразу, отложив SQ = GH= 0,6 г. Теперь, проводя GR параллельно BQ, получим:

ER:EQ = EG :ЕВ = 3 :5 (см. задачу 1), или

£# = 0,6.2,1 г= 1,26 г.

С другой стороны, y 2 ^ 1,25992 и поэтому длина нашего отрезка ER = 1,26 г является приближенным решением для Делийской задачи (ошибка будет менее 0,00008 г).

Иными словами, объем куба с ребром, равным ER с большой степенью приближения, равен удвоенному объему куба с ребром, равным ЕС = г.

Задача 4, Приближенное построение стороны правильного десятиугольника.

Длина хорды CG (см. черт. 1) может быть вычислена из треугольника CGH так:

следовательно,

Известно из геометрии, что а10 = ——-—г (большей части радиуса описанного круга, разделенного в среднем и крайнем отношениях).

Черт. 3.

Черт. 4.

Учитывая, что Y§ —2,23607 имеем, следовательно,

Таким образом, длина хорды CG приближенно, с точностью до 0,01, может быть принята за длину стороны вписанного в круг правильного десятиугольника.

Построение самого десятиугольника легко выполняется так. Соединяя А с О1, определяем положение точки О, эту точку О соединяем с С; симметричная диаметру С J точка F определит третью вершину десятиугольника.

Точки Е и Р, симметричные О и F, по отношению диаметра AB определят еще две вершины десятиугольника. Проводя далее диаметр KL параллельно CG и диаметр MN параллельно FC, определяем и остальные вершины искомого десятиугольника.

ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА*

А. ЯГЛОМ (Москва)

Из исследования задачи № 15, помещенной в № 3 журнала «Математика и физика в школе» за 1936 г. вытекает одно любопытное свойство сторон прямоугольного треугольника. Оказывается, что если принять гипотенузу треугольника за одну величину, а сумму катетов — за другую, то отношение среднего геометрического этих двух величин к их среднему арифметическому заключено в очень узких пределах, а именно

(где а и b — катеты, гс — гипотенуза).

Ниже дается самостоятельное доказательство этого свойства, представляющее, по-моему, некоторый интерес. Доказательство состоит из следующих 3 частей.

I. Из всех прямоугольных треугольников с равной гипотенузой наибольший периметр имеет равнобедренный. Обозначим катеты через а и b, а гипотенузу через с. Так как с постоянная величина, то сумма а+Ь+с будет наибольшей, когда а + b — maximum, или, что то же, когда (a + b)2 = a2 + b2 ++2ab имеет наибольшее значение, но так как в данном случае а2 + Ь2 = с2 = const, то наибольший периметр будет тогда, когда ab имеет maximum. То, что это будет при а = b, можно доказать 3 способами.

При постоянном с это выражение имеет maximum при sin 2Л=1, или L А = 45°, т. е. когда треугольник равнобедренный.

2) ab будет наибольшим, когда а2Ь2 — maximum, но так как а2 + Ь2 = const, то, как известно, это будет при а2 = Ь2, или а = Ь.

Черт. 1.

3) Из чертежа видно, что из всех прямоугольных треугольников с равной гипотенузой наибольшую площадь имеет равнобедренный, но ab есть удвоенная площадь треугольника; следовательно ab имеет maximum при а = Ь.

II. Из всех прямоугольных треугольников интересующее нас отношение у - - ^ J наименьшее значение имеет в равнобедренном.

На произвольной прямой отложим от точки А гипотенузу АС, а от точки С— сумму катетов равнобедренного СВ и разностороннего CBt треугольников. По доказанному выше точка Вх будет находиться между С и В. Опишем на AB и на ABlt как на

* Редакция с удовольствием печатает настоящую заметку, представляющую собой самостоятельную исследовательскую работу ученика IX класса Московской 114-й средней школы А. Яглома и вскрывающую интересное свойство прямоугольного треугольника.

диаметрах, полуокружности и восставим из точки С перпендикуляр к AB, до пересечения в точках D и Dt с полуокружностями.

Тогда

(где О и Ох — центры полуокружностей). Отсюда вытекает, что для равнобедренного треугольника отношение

2Y(a+b)c =^С_ = $Ы D0C)

а для разностороннего — равно —-— = sin О.О.С. Нам надо доказать,что sin DOC < sin D^C «ли, что Z DOC < L D^C. Для доказательства соединим точки D и Dt с А. Мы получим два равнобедренных треугольника AOD и АОхОх с углами DOC и DxOxC при вершинах. Так как L AOD при основании первого треугольника больше угла OADt при основании второго, то очевидно, что L DOC < L D^OxC. Таким образом мы доказали, что в равнобедренном треугольнике отношение щ ^ \~~с имеет наименьшее значение.

III. Во всяком прямоугольном треугольнике

Первая часть этого неравенства очевидна:

У (a + Ь) с,

как среднее геометрическое, всегда меньше среднего арифметического

fl~l-^~f“c (а+Ьфс).

Наименьшее значение это отношение, как было доказано выше, имеет при а = Ь. Вычислим этот minimum. Обозначим катеты равнобедренного треугольника через а, тогда гипотенуза будет равна

Но так как

то

всегда больше 0,985. Значит

действительно всегда

Черт. 2.

МЕТОДИКА

МЕТОДИЧЕСКИЕ ЭСКИЗЫ*

А. ГНЕДОВ (Тихорецк)

Обучение умножению обыкновенных дробей в средней школе

В этой статье я хочу познакомить товарищей преподавателей с тем методом обучения умножению обыкновенных дробей учеников V класса средней школы, которым я пользуюсь уже много лет. Я не имею намерения выступать здесь с критикой давно установившихся методов на этот предмет; точно так же не имею намерения давать теоретическое обоснование своему методу, а только опишу, как провожу его на практике. О других сторонах затронутого вопроса, а также о других разделах методики обучения дробей я буду говорить в другой раз, если окажется это возможным.

Не могу не сказать только о следующем. Общепринятый метод у меня, как, впрочем, и у многих других преподавателей, не давал ученикам ясности и полноты понимания умножения и деления обыкновенных дробей. Ученики в скором времени забывали их, путали умножение с делением и плохо разбирались в задачах, где надо было найти часть числа или целое число по данной его части. При предлагаемом в этой статье методе эти недостатки в значительной степени исчезают. Ученики совершенно отчетливо представляют, как надо умножать или делить дроби; они делают это даже без формулировки и заучивания правил умножения и деления дробей, и значительно успешнее решают задачи на нахождение части числа или целого числа по данной его части. Прочность усвоения весьма высокая. Учеников, не усвоивших умножения и деления дробей, не бывает. Мне хотелось бы заверить товарищей в полной объективности своих суждений; мне кажется, что мне удалось освободиться от пристрастия к своему методу, хотя это, празда, не всегда удается. Но большинство товарищей, знакомящихся с предлагаемым методом, находят его заслуживающим внимания. Буду рад, если товарищи по работе найдут что-либо положительное в предлагаемой работе, и буду благодарен, если они укажут на мои ошибки.

Теперь изложу то, как я провожу работу.

1. В классе я не делаю накаких вступлений к этому разделу, а просто пишу на доске примеры и начинаю их решать, и вообще держусь принципа давать возможно меньше объяснений и больше рассчитывать на работу мысли самого учащегося, пусть вначале даже не оформленную. В конце цроцесса он ее оформляет ясно, отчетливо и без малейших затруднений. Помощь учителя ограничивается только вопросом, на который ученик, связанный логикой процесса, может дать только один единственный ответ.

Первые примеры следующие:

1) 6X8 = 48 6 X 4 = 24 6X2 = 12 6X1 = 6 6Х* =

Эти примеры учитель пишет на доске и притом так, как они записаны здесь, т. е. с ответами. Без ответа записывается только последний пример. Ошибочно было бы заставлять учеников решать все примеры. Это отвлекло бы их от основной идеи упражне-

* Помещая в порядке обсуждения настоящую статью, редакция считает нужным заявить, что она никоим образом не разделяет основной, исходной предпосылки автора — допустимости чисто механического привития учащимся навыка умножения дробей вместо сознательного усвоения этого действия. Но статья, во-первых, описывает интересный опыт автора, могущий служить исходным пунктом для обсуждения излагаемой темы. Во-вторых, статья дает ряд отдельных интересных и правильных методических приемов и высказываний. Наконец, интересен строго продуманный в своей последовательности подбор упражнений, которые могут быть с успехом использованы учителями, независимо от метода изучения самого действия умножения дробей.

ния,— умножения на ?. Она была бы спутана с другой идеей, и отчетливого представления о ней не получилось бы.

Записав примеры на доске, учитель предлагает учащимся записать их в тетрадях и говорит:

«В первом примере множитель 8, во втором — в два раза меньше; в первом примере произведение 48, во втором — в два раза меньше».

При этом обязательно показывает каждое число на доске. Вообще, показывать точно на доске примеры и числа, о которых идет речь, крайне необходимо. Этот прием сильно сокращает объяснения преподавателя и дает возможность ученику точно знать, о каком именно примере или числе идет речь.

Можно возразить, почему не сказано: «во втором примере множитель — 4», почему не задан вопрос: с во сколько раз 4 меньше 8» и т. д. Но учитель показал и 8, и 4, и 48, и 24. Значит ученики точно знают, что речь идет именно об этих числах. Спрашивать же «во сколько раз 4 меньше 8» было бы ошибочно. Ведь цель упражнения не научить учащихся узнавать, во сколько раз одно число меньше другого. Это они уже знают и это посторонняя идея. Основная же идея упражнения это — с уменьшением множителя уменьшается и произведение. Эту идею ученики восприняли, и, следовательно, цель упражнения достигнута. Я еще раз позволю себе указать на очень распространенную ошибку у нас, преподавателей, объяснять основную идею упражнения настолько, что она уже становится совсем неясной.

Возвращаюсь к упражнению.

«Во втором примере множитель 4, в третьем— в два раза меньше; во втором примере произведение 24, в третьем ...».

На этом слове учитель останавливается и ждет ответа от учащихся. Ученики сейчас же отвечают:

«В два раза меньше».

«В третьем примере множитель 2, в четвертом — в два раза меньше; в третьем примере произведение 12, в четвертом ...»

Опять останавливается и ждет ответа от учеников. Ученики тотчас же отвечают:

«В два раза меньше».

«В четвертом примере множитель 1, в пятом множитель ^- ; во сколько раз меньше?»

«В два раза».

«В четвертом примере произведение 6, а в пятом какое будет?»

При этом учитель обязательно показывает и произведение 6 и пустое место в пятом примере.

Ученики отвечают:

«Три».

Учитель записывает этот пример на доске и предлагает записать в тетрадях.

В моей практике ни разу не было случая, чтобы ученики не ответили на этот вопрос.

Дальнейших рассуждений я не веду и никаких разъяснений не делаю: почему получилось три, как это получить и т. д. Эти рассуждения и объяснения решительно излишни. Они только отвлекают ученика от основной идеи упражнения, которую он уже воспринял интуитивно. Различные рассуждения возможны только тогда, когда у ученика накопится достаточный запас представлений на этот предмет, и основная идея закрепится в его сознании практически.

В точности так же проводится решение следующих примеров:

При решении примеров:

не надо добиваться такой записи:

Для этих примеров такая запись будет неестественна. Она не вытекает из необходимости. Для такой записи будут другие примеры. В этих же примерах надо оставить запись:

Далее учитель пишет на доске подобные же примеры, но без ответов:

предлагает записать их в тетрадях и затем вызывает одного ученика решить примеры 5), другого 6) и т. д. Ученик решает примеры без пояснений. Они для него трудны и не требуются для целей упражнения.

Принципиально предполагается при этом помощь учителя, но практически она никогда не бывает нужна.

Затем учитель пишет на доске такие же примеры:

предлагает записать их в тетрадях и решить самостоятельно здесь же в классе. После решения тотчас же проверяет.

Весь рассмотренный процесс протекает весьма быстро. Происходит это потому, что излишними оказываются длительные разъяснения и доказательства. Здесь все для ученика абсолютно ясно, ибо взята только одна очень маленькая идея, простейший элемент вопроса, и этот элемент достаточно прочно обоснован на имеющихся у ученика знаниях.

Следует заметить, что у учащихся никогда не возникает вопроса, почему от умножения получается число меньше множимого. Повидимому, первый же пример убеждает их в возможности этого или, вернее, совершенно исключает подобный вопрос.

В упражнениях каждый раз берется четыре случая. Это делается потому, что четыре случая заключают в себе некоторый элемент «совершенной индукции», п случаев — это три случая и л+1-й случай— это четвертый случай. Четырех случаев бывает вполне достаточно для убеждения учащихся в справедливости разъясняемого вопроса. Но особенно должна быть отмечена та черта этого процесса, что он вызывает действительную настоящую творческую самодеятельность учащихся. Ученик, решивший два-три номера упражнений, вдруг открывает, что для того, чтобы умножить целое число на применяемую в данном случае дробь, достаточно разделить это целое число на знаменателя дроби. В словесную форму это правило он еще не облекает да и не может еще облечь, но практически пользоваться им может. Ученик твердо желает запомнить открытый им способ и даже приберечь на некоторое время только для себя. Он твердо уверен в том, что это открыл именно он, так как учитель ни разу не сказал, что надо так делать, а только был занят примерами, которые так просты и так давно известны ему, ученику. Особенно хорошо чувствуют себя слабые ученики. Они тоже открывают эту тайну и готовы поднимать каждый раз две руки только бы спросил их учитель. Они становятся бодрее, живее и увереннее в своих силах.

2. В рассмотренных упражнениях результат от умножения целого числа на дробь получался в виде целого числа. В следующих упражнениях вводится новый элемент, а именно: результат от умножения целого числа на дробь получается в виде смешанного или дробного числа. Примеры этого вида должны быть так же полно проработаны, как и предыдущие примеры. Ученик делает только первые шаги в новом вопросе. Он еще не утвердился в своих выводах, и потому ошибка в его логике будет особенно губительна. Он опять сойдет на позиции отказа от своих суждений, т. е. от самодеятельности.

В такой полной разработке нет скучных однообразных повторений. В примерах есть, как сказано, новый элемент, вполне достаточный для того, чтобы возбудить у ученика интерес к работе, а также вполне посильный для его самостоятельных выводов.

Примеры эти следующие:

Примеры эти учитель решает так же, как и примеры 1), 2), 3) и 4). При этом на вопрос учителя:

«3 умножить на —, сколько будет?»

Ученики почти всегда отвечают:

Так следует и записать. На вопрос учителя:

«5 умножить на сколько будет?» Ученики могут ответить:

Опять следует так и записать. Если ученики сразу не ответят, то следует спросить: «Как получить ответ?» «Надо 5 разделить на 3». — «А сколько получится?»

Учитель записывает—, т. е. делает ту запись, какая требуется по ходу объяснения.

Повторяю, если ученики ответят:—« 1 —», то не следует обязательно добиваться от них ответа--— . Это не будет оправдано необходимостью, а потому будет искусственно и, следовательно, бесполезно. Необходимость такой записи появится на других примерах. Торопливость поэтому излишня. Понятно, после записи:—, надо обратить эту дробь в смешанное число 1 —

Затем учитель пишет на доске примеры:

и проводит их так же, как и примеры 5), 6), 7) и 8).

Далее подобные же примеры даются для самостоятельного решения в тетрадях и сейчас же проверяются.

3. После этих примеров надо оборвать связь с целыми числами и перейти к дробям с любыми знаменателями. Однако разрыв этой связи не должен быть резким. Достигается это тем, что берутся для упражнений сначала те же примеры, которые уже были решены учащимися, и только после них берутся другие примеры.

Учитель пишет на доске следующие примеры:

предлагает записать их в тетрадях и затем говорит:

«6 умножить на —, сколько будет?» 2

Ученики отвечают; «Три».

Учитель записывает этот ответ на доске и предлагает записать в тетрадях, хотя это будет только формальное предложение: ученики записали эти ответы еще при переписывании примеров, и не разрешать им этой записи не следует. Это будет вредное запрещение, оно будет притуплять самодеятельность.

Можно допустить такой случай, когда ученики не ответят на этот вопрос учителя, хотя на практике таких случаев не бывает, тогда следует по тетради рассмотреть примеры 1), из которых взят пример 6Xit и ученик сразу восстановит всю цепь ранее проведенных рассуждений. Подобные случаи бывают не в этот момент, а гораздо позже и с другими дробями, и тогда напоминание о примере 1) сейчас же устраняет затруднение.

Затем учитель пишет на доске примеры:

предлагает записать их в тетрадях, вызывает к доске ученика и предлагает ему решить эти примеры. Это решение ученики записывают в своих тетрадях.

Далее учитель пишет на доске примеры:

т. е. примеры 28) решает учитель, 29) решает ученик на доске и 30) — ученики самостоятельно.

Затем даются примеры для самостоятельных упражнений с новыми целыми числами, но с теми же дробями:

Этими примерами окончательно закрепляется умение владеть дробями — , —, — , — , после чего делается переход к дробям с другими знаменателями. Учитель пишет на доске примеры:

и предлагает решить их самостоятельно.

В таком же порядке рассматриваются примеры:

предлагает записать их в тетрадях и решает с помощью учеников. Ответы он записывает на доске, а ученики записывают в тетради. Затем учитель пишет на доске примеры:

предлагает записать их в тетрадях и вызывает ученика решить эти примеры. Ученик решает их с помощью других учеников и учителя.

Далее предлагаются примеры

для самостоятельных упражнений.

4. Наконец, вводятся дроби, допускающие в результате сокращение. Учитель записывает на доске примеры

и говорит:

«15 умножить на — , сколько получится?»

Ученики отвечают: « — ».

Учитель записывает и спрашивает: «Что можно сделать с этой дробью?» «Сократить». «На сколько?» «На 5».

«Давайте сократим». Сокращают, и получается запись:

Так же решаются второй и третий примеры. Подобные же примеры

ученик решает с помощью учителя на доске, и затем примеры

даются для самостоятельных упражнений.

Этими упражнениями заканчивается умножение целого числа на дробь, числитель которой единица. Функция знаменателя выяснена. Теперь надо перейти к функции числителя.

5. Учитель пишет на доске следующие примеры:

предлагает записать их в тетрадях, а затем говорит:

«8 умножить на 6 получится 48; 6 можно разложить на два множителя: на 2 и на 3. Как решить третий пример?»

Ученики отвечают:

«Чтобы решить этот примзр, надо 2 умножить на 3, получится 6, а затем 8 умножить на 6, получится 48».

«Как решить четвертый пример?»

«Чтобы решить этот пример, надо 8 умножить на 2, получится 16, а затем 16 умножить на 3, получится 48».

Учитель показывает первый пример и говорит:

«8 умножить на 6, сколько получится?» «48».

Учитель показывает четвертый пример и говорит:

«8 умножить на 2, а затем на 3, сколько получится?» «48».

«Значит, чтобы 8 умножить на 6, можно 8 умножить на 2, а затем на 3».

При этом учитель показывает на доске пятый пример и дописывает к нему ответ — 48.

Точно так же рассматриваются примеры

При рассмотрении примеров 43) и 44) надо подчеркнуть, что число в данном случае разлагается не на простые множители, а на произвольные два множителя.

После этих примеров учитель пишет примеры:

предлагает записать их в тетрадях и говорит: «Чтобы 8 умножить на 6, можно 8 умножить на какие два множителя?» «На 2 и на 3».

Учитель дописывает пример и предлагает дописать его в тетрадях. Получается запись:

8X6=8X2X3.

Далее учитель опрашивает:

«Сколько получится?» «48».

Этот ответ записывается на доске и в тетрадях.

Так же решаются и остальные три примера.

Подобные этим примеры

решает ученик на доске и затем примеры

решают ученики самостоятельно в тетрадях.

Все эти упражнения являются подготовительными к следующим упражнениям, необычным для учащихся:

Проводятся они следующим образом: Учитель показывает первый пример и говорит:

«- умножить на 2, сколько будет?»

Ученики отвечают: « — ».

« — на какие множители можно разложить?»

Так же прорабатываются и остальные примеры.

Дальше учитель записывает на доске примеры:

вызывает ученика и предлагает ему разложить эти дроби на множители.

Затем записываются примеры для самостоятельных упражнений:

Этих подготовительных упражнений достаточно для того, чтобы перейти к основным упражнениям этого раздела, т. е. умножению целого числа на дробь с любым числителем.

Учитель записывает на доске примеры:

предлагает записать их в тетрадях и говорит:

«Чтобы 12 умножить на—, можно умножить на— , и полученное произведение умножить на 2. 12 умножить на_^-» сколько получится?» «Четыре».

«4 умножить на 2, сколько получится?» «Восемь».

«12 умножить на —, сколько получится?»

«Восемь».

Ответ записывается.

Так же решаются и остальные три примера. Все вычисления в этих примерах производятся устно. Никаких дополнительных записей, вроде -, не делается.

Дополнительные записи будут целью других упражнений. В этих же упражнениях следует писать только ответ, вычисленный устно.

Затем учитель пишет на доске примеры:

которые решает ученик, вызванный к доске, и примеры

для самостоятельных упражнений учащихся.

В следующих упражнениях результат получается не в виде целого числа, а в виде дроби.

Учитель записывает на доске примеры:

и решает их, привлекая к участию учеников. Запись получается следующая:

решает ученик на доске, и примеры

решают ученики самостоятельно.

6. Нижеследующие примеры предназначены для того, чтобы обучить учащихся дополнительным записям при умножении целого на дробь.

Учитель записывает на доске примеры

предлагает записать их в тетрадях и говорит:

«31 умножить на — , сколько получится?»

Ученики, понятно, затрудняются ответить. Тогда учитель спрашивает: «А как решить этот пример?»

«Надо 31 умножить на~ и потом еще на 15».

«31 умножим на^, сколько получится?»

Учитель записывает этот ответ.

«Теперь, как умножить— на 15?»

«Надо 31 умножить на 15». «Да, надо 31 умножить на 15. Записать это надо так».

В сделанных уже записях учитель продолжает черту дроби—— и подставляет множителем 15. Получается запись

Следует обратить внимание на запись -. Запись должна быть сделана именно так. Не следует делать такой перестановки чисел ——— , потому что при такой расстановке исчезает образ дроби —.

Дальше учитель поясняет:

«Так всегда и следует записывать. Теперь умножьте 31 на 15».

Ученики производят умножение в стороне от записи, т. е. или в других тетрадях или в этих же тетрадях в установленном для этого учителем месте и говорят ответ: «465».

Учитель дополняет уже имеющуюся на доске запись:

Не следует говорить, что надо 465 разделить на 17, потому что здесь не совокупность двух действий — умножения и деления, а одно действие — умножение дроби на целое. Необходимость деления возникает при следующем вопросе.

«Сколько получилось?»

«Что надо сделать с этой дробью?» «Надо обратить в смешанное число». «Обратите».

Ученики обращают и говорят ответ: «27 — ».

Учитель записывает, и получается окончательная запись:

«Повторим кратко все сделанное. Чтобы 15 умножить 31 на j^» над 31 разделить на 17 и полученную дробь умножить на 15».

Говоря это, учитель показывает в примере соответственные записи.

Так же решаются второй и третий примеры из этого номера.

Приведенная цепь разъяснений этих примеров не обязательно должна быть такой. Она может иметь и другие варианты в зависимости от различных условий, сопровождающих эти разъяснения.

Дальше, как обычно, примеры

решает ученик на доске и решают ученики самостоятельно. В примерах

вводится элемент сокращения записанных чисел. При этом соблюдается обычный порядок их проработки, т. е. 60) решает учитель, 61) —ученик на доске и 62) —ученики решают самостоятельно.

Наконец, вводится случай умножения целого числа на смешанное число:

Этими примерами заканчивается умножение целого числа на дробь.

7. Умножение дроби на дробь начинается со следующих упражнений.

Учитель спрашивает:

« — уменьшить в 2 раза, сколько будет?» 5

Ученики отвечают: «—».

При недостаточно хорошей проработке раздела «изменение величины дроби в связи

с изменением числителя и знаменателя» ученики иногда затрудняются сразу ответить на этот вопрос; тогда приходится проделать несколько упражнений для возобновления в памяти слабо закрепленного раздела.

В моей практике таких затруднений не бывает. Это происходит потому, что в разделе «изменение величины дроби в связи с изменением величины числителя и знаменателя» мною проходится и умножение и деление дроби на целое число. Я не буду останавливаться здесь на мотивировке такого распределения материала, не буду указывать на глубокие теоретические различия между умножением и делением на целое число и умножением и делением на дробь, укажу только на практическую сторону вопроса. Отнесением умножения и деления дроби на целое число к разделу «изменение величины дроби в связи с изменением величины числителя и знаменателя», этот раздел получает вполне законченную форму, вследствие чего ученики получают достаточные навыки в оперировании с вопросами изменения величины дроби.

Итак, ученики отвечают:

уменьшить в 3 раза, сколько будет?»

уменьшить в 4 раза, сколько будет?»

уменьшить в 5 раз, сколько будет?»

После этого учитель пишет на доске примеры:

и прорабатывает их точно так же, как были проработаны примеры 1).

На первый взгляд может показаться заманчивой мысль начать объяснение с таких примеров :

Однако такое начало было бы неверно. Эти примеры ничего нового не выясняют; они только повторяют уже выясненную мысль и потому излишни. Целью упражнений должно быть изменение знаменателя, а не числителя, поэтому и дроби для упражнений должны быть такие, в которых числитель не может играть активной роли, т. е. дроби, если позволить себе выразиться неточно, очищенные от числителя. Активными в этих дробях должны быть только знаменатели. Первыми такими дробями в настоящих упражнениях взяты — и — .

В таком же порядке учитель прорабатывает примеры:

Затем примеры

решают ученики на доске аналогично с решением примеров 5), и затем примеры:

решают ученики самостоятельно.

При выяснении этого элемента процесс, как видно, сокращен сравнительно с 1)—12). Это сокращение возможно сделать потому, что процесс является повторением уже раз проработанного такого же процесса. Однако нельзя возражать и против полного повторения.

Подобно примерам 25), 26) и 27), с такой же целью решаются примеры:

Дальнейшие примеры служат для перехода к дробям с различными знаменателями во множителе.

Учитель пишет на доске примеры:

предлагает записать их в тетрадях и говорит: «-^- умножить на-i , сколько получится?»

Ученики отвечают: «—».

с ^ умножить на , сколько получится?»

Ученики не могут сразу ответить на этот вопрос. Тогда учитель спрашивает:

«А как получить ответ?»

«Надо 17 умножить на 13».

Ученики не упоминают при этом об единице в числителе, потому что она их не затрудняет. Ошибочно было бы думать, что ученики неверно решают пример, т. е. упускают из поля своего внимания числитель. Кроме того, эта кажущаяся неточность восполняется дальнейшими пояснениями учителя. Эти пояснения следующие:

«Да, надо 17 умножить на 13, и получится одна (записывает при этом в числителе 1), а в знаменателе надо записать 17 умножить на 13».

Таким образом на доске получается запись:

«Теперь умножьте 17 на 13».

Ученики умножают.

«Сколько получилось?» «221».

«Итак, получилось

Учитель записывает этот ответ, и получается запись:

Так же решаются третий и четвертый примеры из этого номера упражнений. Примеры

решает ученик на доске, и примеры

решают ученики самостоятельно.

8. Следующий элемент — дробь во множимом с любым числителем. Начинается этот раздел такими же упражнениями, как и предыдущий.

Учитель говорит:

« — уменьшить в 2 раза, сколько будет?» Ученики отвечают: « —».

уменьшить в 3 раза, сколько будет?»

уменьшить в 4 раза, сколько будет?»

уменьшить в 5 раз, сколько будет?»

Затем идут примеры

которые решаются так же, как и примеры 1), 2), 3) и 4). Затем примеры

которые решает ученик на доске, и примеры

которые решают ученики самостоятельно.

Примеры

решаются подобно примерам 25), 26) и 27).

Во всех рассмотренных примерах результат вычислялся устно, так как знаменатели былы малы. В следующих примерах результат будет труднее вычислить устно. Поэтому надо будет ввести дополнительную запись с обозначением умножения знаменателей.

Учитель записывает на доске примеры

предлагает записать их в тетрадях и говорит:

«— умножить на —, сколько будет?»

Ученики затрудняются ответить. Тогда учитель спрашивает:

«А как получить ответ?»

«Надо 15 умножить на 13».

«Да, надо 15 умножить на 13, и получится 14 (записывает при этом в числителе 14), а в знаменателе надо записать 15 умножить на 13».

Таким образом на доске получается запись:

«Теперь умножьте 15 на 13».

Ученики умножают.

«Сколько получилось?» «195».

«Итак, получилось

Учитель записывает этот ответ, и получается запись:

Так же решаются второй и третий примеры этих упражнений.

Примеры 92) решает ученик на до:ке и 93) решают ученики самостоятельно:

Дальше вводятся примеры, допускающие сокращение:

И, наконец, примеры со смешанными числами

9. Наконец, вводится последний случай — умножение всякой дроби на всякую дробь. До настоящего времени во множителе бралась дробь, числитель который был равен единице. Теперь надо перейти к любому числителю. Этот переход уже не представляет затруднений Весь предыдущий материал был достаточно полной подготовкой к нему, и приемы, которые будут применяться пря рассмотрении этого случая, уже достаточно известны учащимся.

Порядок рассмотрения этого случая следующий:

Учитель пишет на доске примеры

предлагает записать их в тетрадях, затем показывает— в первом примере и говорит:

« — на какие два множителя можно разложить?»

Ученики отвечают: на — и на 2».

«Чтобы — умножить на — , можно — умножить сначала на — , а потом полученное произведение — на 2. Умножьте — на —, сколько будет?» « — ».

« yg умножьте на 2, сколько будет?»

Учитель записывает ответ на доске и предлагает записать его в тетрадях.

«Чтобы — умножить на — , можно — умножить сначала на — , а потом полученное произведение на 2. Умножьте — на — , сколько будет?» «—».

« умножьте на 2, сколько будет?» « ».

Ответ записывается по предыдущему.

Ответ записывается.

Точно так же решаются примеры

Примеры

решают ученики на доске с такой же записью, как и примеры 100) и 101), т. е.

Примеры

решают ученики самостоятельно с такой же записью, как и в предыдущих примерах.

Дальше учитель записывает на доске примеры

предлагает записать их в тетрадях и говорит:

« — умножить на — , сколько получится?»

Ученики отвечают: « — ».

Этот ответ ученики дают совершенно свободно, потому что на предыдущих примерах они открыли правило умножения дроби на дробь и умеют им пользоваться.

Ответ записывается и получается запись

Дополнительные записи

еще несвоевременны.

Затем учитель записывает примеры:

которые решает ученик на доске, и затем примеры

которые ученики решают самостоятельно.

Наконец, решаются примеры, в которые вводятся дополнительные записи.

Учитель пишет примеры

предлагает записать их в тетрадях и говорит:

«— умножить на —.сколько будет?»

Ученики не в состоянии дать ответ сразу, но они хорошо знают, что надо сделать для получения ответа.

Учитель дальше спрашивает:

«А как получить ответ?»

«Надо 12 умножить на 14 и 13 умножить на 25».

Совершенно излишне добиваться того, чтобы ученики сказали: «И первое произведение разделить на второе». Это настолько очевидно для учащихся без словесной формулировки, что последняя вызывает у них только недоумение. Поэтому учитель продолжает так:

«Да, надо 12 умножить на 14 и 13 на 25. Это надо записать так». Учитель записывает на доске

«Теперь умножьте». Ученики умножают.

«Сколько получится?»

Ответ записывается.

Так же решаются второй и третий примеры.

Подобные же примеры

решает ученик на доске, и примеры

решают ученики самостоятельно.

Затем берутся примеры, допускающие сокращение:

Примеры 112) решает учитель, 113) — ученик на доске и 114)—ученики самостоятельно.

Наконец берутся примеры

со смешанными числами, и этими примерами заканчивается обучение умножению обыкновенных дробей. Однако работа была бы

неполной, если бы полученные навыки не были приложены к решению задач. Поэтому учащимся должно быть предложено достаточное количество задач на умножение обыкновенных дробей. При этом особо изучается тип задач на нахождение части числа, который до этого времени еще не был изучен. Изучение этого типа задач будет предметом особой работы, которую я рассчитываю предложить вниманию товарищей в скором времени.

В заключении не буду давать общего обзора рассмотренного процесса. Принципы его с совершенной ясностью можно понять по изложенному материалу. Я только хочу указать на одну небольшую особенность этого процесса: нигде в нем не встречается вывода правил умножения ни целого на дробь, ни дроби на дробь. Это необычно, но тем не менее ученики не встречают ни малейших затруднений при умножении и делении дробей. Формулировку правил я отношу к моменту повторения дробей. К этому времени у учеников накопляется большой практический опыт, который служит весьма прочным фундаментом для вывода правил. Поэтому вывод и заучивание этих правил не встречает ни малейших затруднений.

МНОГОГРАННЫЙ УГОЛ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

П. СТРАТИЛАТОВ (Москва)

Изложение вопроса о многогранных углах в нашей учебной литературе основывается на теоремах, которые учащимся неизвестны. Так в учебнике геометрии Киселева теорема об основном свойстве плоских углов трехгранного угла (каждый плоский угол при вершине трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов) излагается на основании теоремы: «Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, а третьи стороны не равны, то против большей из этих сторон лежит и больший угол».

Последняя теорема в стабильном учебнике Гурвиц и Гангнус отсутствует, а доказательство ее представляет большие трудности для учащихся, как это отмечает методическое пособие по геометрии тех же авторов под редакцией проф. Андронова*. В стабильном учебнике вышеуказанная теорема о свойстве плоских углов трехгранного угла излагается на основе теоремы косинусов, которую учащиеся IX класса также не знают.

Большое значение поэтому для преподавателя представляет изложение этой и других теорем о многогранных углах в методическом пособии по геометрии Гурвиц и Гангнус под редакцией проф. Андронова, ч. 2, Стереометрия.

В основу изложения авторами положена следующая теорема: «Если из внешней точки О проведены к плоскости Р две равные наклонные OA и OB, то угол, образуемый этими наклонными, меньше угла, образуемого направлениями их проекций на данную плоскость»*.

Основываясь на этой теореме, авторы просто и легко доказывают теорему о сумме плоских углов трехгранного угла. Однако при доказательствах других теорем о свойствах многогранного угла, авторы пользуются уже другими принципами.

Мы покажем, что всю теорию о многогранных углах можно вывести, положив в основу вышеприведенную теорему, в несколько обобщенном виде. Ниже мы и приводим изложение вопроса о многогранных углах так, как оно нами было проведено в 12-й школе БОНО г. Москвы в 1935/36 учебном году. При доказательстве мы пользовались тригонометрией, но теорема может быть доказана и чисто геометрически.

Сначала учащимся излагается следующая основная теорема 1: «Если из внешней точки А приведены к плоскости Р две произвольные наклонные AB и АС, то угол, образуемый этими наклонными, меньше угла, образуемого направлениями их проекций на данную плоскость Я».

Дано: плоскость Р; точка Л, вне ее; наклонные Äß и АС и их проекции на плоскость Р, AtB и АХС.

Требуется доказать: ВАС < ВАХС.

* Ч. 2, стр. 85.

* Стр. 77, §25.

Доказательство (черт. 1).

1. Рассмотрим Д А ВС; проведем в нем высоту ~AD: A(JJ_ ВС;

AD разделила <£: В АС на две части: ^BAD = <xt и ^cDAC = а2, причем «! + + «2 = ^ß4C.

2. Соединим точку D с точкой Лх; по теореме о трех перпендикулярах имеем AXD L ВС. Прямая AtD делит угол ВА±С — проекцию угла ВАС на плоскость Р — на две части : ВА± D = ß1 и Di4xC = ß2, причем

Черт. 1.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник BAD и вычислим sin ах:

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник AXBD и вычислим из него sin ßx:

5. Сравним полученные значения sin at и sin ßt; так как ЛВ^.^В, то sin o^^sin ^ и, следовательно, «i<lßi.

6. Аналогично из Д ACD и Д AtCD найдем, что а2<Рг«

7. Сложив почленно оба неравенства (5 и 6), получим ах +а2 <С ßi ~f~ Рг» или ß^C < ^ БЛХС, что и требовалось доказать.

При доказательстве теоремы можно рассматривать тангенсы углов <х± и ßlf как это указывается в практическом руководстве по математике Гуревича, Минорского и др., ч. 2 изд. 1930 г.

Из основной теоремы вытекает следующее предложение:

Следствие. Если из внешней точки А к плоскости Р проведена наклонная AB и через основание наклонной в плоскости Р проведена произвольная прямая ВС, то угол, образуемый наклонной и проведенной прямой, больше угла, образуемого проекцией наклонной на плоскость Р и той же проведенной прямой.

Доказательство (см. черт. 1).

Пусть дана наклонная AB и, в плоскости Р, проведена, через основание наклонной, произвольная прямая ВС. Построим проекцию прямой AB на плоскость Р. Из точки А опустим перпендикуляр АО на прямую ВС и соединим точки D и At. Получим два прямоугольных треугольника ABD и AXBD. Из Д ABD имеем: ABD= d—^L BAD. Из Д А±ВЭ имеем : A±BD = d — BAtD. По доказанной теореме BAD <3^ B^D; следовательно, <£: ЛБЗ > ^ßZ}, что и требовалось доказать.

Теорема 2. «Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°».

Дано: Трехгранный угол S ABC и его плоские углы а, ß и у.

Требуется доказать: a + ß+Y <360°.

Доказательство (см. черт. 2).

1. Проводим из вершины S трехгранного угла произвольный луч SK внутри угла и берем на нем какую-либо точку М, проведем через точку M плоскость Р, перпендикулярную лучу SK. Пусть плоскость Р пересечет ребра SA, SB и SC соответственно в точках Аи В± и С±. Соединяя точку M с точками Av Bt и Си мы получим углы AiMB, ВХМС и А±МСи которые являются проекциями углов а, ß и у на плоскость Р.

2. В силу теоремы 1, имеем:

Складывая почленно эти неравенства, находим:

Замечая, что < А1МВ1 + < В1МС1 + ^А1МС1 = 360°, имеем: a + ß+Y<360°, что и требовалось доказать.

Теорема 3. «Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°».

Дано: выпуклый я-гранный угол S ABC ...LN и olu ос2, а3...,ап его плоские углы.

Требуется доказать: S <360°.

Доказательство (см. черт 3).

1. Проведем из вершины 5 я-гранного угла произвольный луч SK внутри угла и возьмем на нем произвольную точку M ; проведем плоскость Р через точку М, перпендикулярную лучу SK. Пусть плоскость Р пересечет ребра угла в точках Аи Bv Сх... Ll9 Nt. Соединяя их с точкой М, получим в плоскости Р проекции углов alf а2...ая. Обозначим соответственно ^ AiMBi = $11

2. В силу теоремы 1, имеем:

Черт. 2.

Черт. 3

Складывая почленно эти неравенства, найдем S 1<(Е [L Замечая, кроме того, что S ß. = 360°, имеем: S ах<360°, что и требовалось доказать.

Теорема 4. «Каждый плоский угол при вершине трехгранного угла меньше суммы двух остальных плоских углов».

Дано: трехгранный угол S ABC и его плоские углы а, ß и Y

Черт. 4.

Требуется доказать: а < ß +у, ß<a + Y и

Доказательство (см. черт. 4).

1. Спроектируем ребро SC на плоскость грани ASB, получим прямую SCV которая разделит угол ß на две части: ßA и ß2; очевидно, что ßlf есть проекция угла а на плоскость грани ASB и ß2 есть проекция угла Y на плоскость грани ASBy причем ßj+ ß2 = ß.

2. На основании следствия из теоремы 1, имеем:

Складывая эти неравенства почленно, имеем a + Yi>Pi + P»' или a + Y>ß, т. е. (1<ос+у. что и требовалось доказать.

Для доказательства двух других неравенств нужно ребро SA проектировать на грань BSC и ребро SB на грань ASC.

На основании доказанной 4-й теоремы, выводится следствие, что каждый плоский угол при вершине трехгранного угла больше разности двух остальных углов. Следствие доказывается обычным приемом.

В приведенном изложении мы пользовались тригонометрией, что снижает ценность доказательства. Однако доказательство основной теоремы 1 можно провести и без помощи тригонометрии.

Покажем, как это можно сделать.

В этом случае теорему первую можно предложить в следующей редакции:

«Если из внешней точки А проведены к плоскости Р две произвольные наклонные AB и АС, то 1) угол, образуемый этими наклонными, меньше угла, образуемого направлениями их проекции на плоскость Р, и 2) угол, образуемый каждой наклонной и прямой ВС, больше угла, образуемого проекцией этой наклонной и прямой ВСъ.

Дано: плоскость Р и точка А вне ее; AB и АС две произвольные наклонные к плоскости Р; А±В и АХС их проекции на плоскость Р.

Требуется доказать: \)^ВАС<С^ВА±С и 2)<АВС><А1ВС 3)<АСВ><А1СВ

Доказательство (см. черт. 5).

Черт. 5.

1. Спроектируем точку А на плоскость Р; получим точку А±, АА± _[_ Р; соединяя точку А± с точками В и С, получим /\ВАХС — проекцию Д ABC на плоскость Р; очевидно А±В есть проекция AB и АгС есть проекция АС на плоскость Р.

2. В Д ABC из точки А на ВС проведем высоту AD; AD _|__ ВС; соединим точки ЛА и D и через прямые AD и AAt проведем плоскость Q. Плоскость Q перпендикулярна к плоскости Р (так как проходит через АА1ш[шР) и, кроме того, j3CJ_Q (так как ВС J_ AD, и по теореме о трех перпендикулярах ВС JL АхО).

3. Наложим на плоскость Р Д ABC, не сдвигая стороны ВС; при наложении высота AD пойдет по своей проекции AtD и точка А займет некоторое положение А2 на плоскость Р, причем а) точка А2 будет лежать на продолжении прямой A±D и б) ~Ä^Py>A1u (так как Ä2~D = ~ÄD, а Axü < AD — проекция меньше наклонной).

Черт. 6.

4. Рассмотрим в плоскости Р два треугольника (см. черт. 6): они ограничены замкнутыми ломаными линиями, имеющими общий отрезок ВС: ломаная линия ВА2С объемлет ломаную линию ВАХС; следовательно,

^AtBC<A2BC

(1)

3zAtCB<3:A2CB Складывая почленно, имеем: ^ А±ВС+ ^АХСВ<А2ВС+^А2СВ (2) С другой стороны, вДЛ2БС:

В А2С = 180° — (^с А2ВС + А2СВ)

и вДЛ^С: ВАХС = 180° — (<£ АХВС + <£ АХСВ).

Рассматривая эти разности, отмечаем, что уменьшаемое одно и то же, а вычитаемое первой разности больше, чем второй [(на основании (2)], почему первая разность меньше второй, т. е.

^ВА2С<ВАХС (3)

5. Сделаем выводы: а) так какД А2ВС = = Д ABC и ВАС = ВА2С, то на основании (3) имеем:

«£: ВАС < ВАХС, т. е. угол между наклонными меньше угла между их проекциями;

б) так как AtB есть проекция А В на плоскость Р и АХС есть проекция АС на плоскость Р и так как Д А2ВС = Д ABC, причем Aß = ÄB, Ä^c~= лс7<£ ABC = < А2ВС и <£: АС В = <$zA2CB1 тона основании (3) имеем: ^ЯС < ЛЯС и ЛАСБ < ЛС5 или

т. е. угол, образуемый каждой наклонной и прямой ВС, больше угла, образуемого проекцией этой наклонной и прямой ВС. Теорема доказана.

Доказательство всех остальных теорем проводится, как и в первом случае.

К ВОПРОСУ О МЕТОДИКЕ РАДИАННОГО ИЗМЕРЕНИЯ ДУГ И УГЛОВ

А. ДРОКИН (Краснодар)

Учащиеся легко запоминают определения единиц измерения дуг и углов в радианном измерении и легко приобретают навыки в переводах одного измерения в другое. Но обыкновенно эти знания и навыки бывают построены не на твердом фундаменте, так как они носят только механический характер без какого бы то ни было ясного представления о сущности математического понятия радианного измерения, основанного на идее измерения вообще, и без представления о необходимости введения нового измерения.

Поэтому первым вопросом, который преподаватель должен выяснить для себя и затем в соответствующем объеме изложить учащимся, должен быть вопрос о понятии величины, об идее измерения ее и об отвлеченном числе и именованном количестве. Объясняется это тем, что при прохождении темы: «Радианное измерение» нам приходится оперировать с числами, полученными от измерения одной и той же величины различными единицами измерения. Поэтому здесь, как нигде, сказывается отсутствие выдержанности в русской математической терминологии понятий: величина, размер, отвлеченное число, именованное количество и т. д., до полутора десятка терминов, из которых многие тавтологичны. Этот вопрос может служить предметом самостоятельной статьи.

О том, что вопрос об идее измерения необходимо осветить в начале проработки настоящей темы, достаточно говорят и практика преподавания и внимательный просмотр учебников тригонометрии.

В учебниках, например, можно найти такие места:

«Угол, равный отвлеченному числу —= (разрядка наша.—А. Д.), т. е. угол, соответствующий дуге, равной —радиусов, равен 90°».

«Углы, если они измеряются отвлеченными числами, в общем виде будем изображать... буквами без значков: а, Ь, с..., a если они измеряются в градусах, то — теми же буквами, но со значками градуса (°): а°, в°, с°...». Для перевода любого угла а в градусах, т. е. в а° или наоборот служит пропорция: а : 180° = а : тс» (из учебника Гебеля: «Прямолинейная тригонометрия и собрание задач», 1927 г.).

... «Формула дает: 360° = 2тс; 180 = тс; 90° = тс : 2» (из учебника Мрочека: «Прямолинейная тригонометрия и основания теории гониометрических функций», 1910 г.). Здесь налицо и неряшливый язык, и неверные и неудачные выражения, и даже безграмотные записи. К сожалению, не только эти два учебника в теме о радианном измерении допускают нечеткую обработку материала. Это, хотя и в меньшей степени, можно встретить и в других книгах. А если это имеет место даже в тех книгах, которыми преподаватель может пользоваться, как пособиями, то очевидно, ему действительно необходимо задуматься над математическим языком темы, чтобы не создать у учащихся вредной путаницы понятий, на которых строится тема.

Здесь мы коснемся идеи измерения, отвлеченного числа и именованного количества только постольку, поскольку это будет не-

обходимо для выяснения математического понятия о радианном измерении дуг и углов.

а) Измерить конкретную величину — значит кратно сравнить ее с другой однородной, принятой за единицу измерения и отобразить полученное отношение на комплексе вещественных чисел или, проще, найти числовое отношение измеряемой величины к другой однородной, принятой за единицу измерения. Например:

Z ABC; £* = п.

б) Ясно, что число п, полученное в результате этого кратного сравнения, будет отвлеченным числом.

в) Это отвлеченное число без указания размеров единицы измерения не может дать представления о размерах измеренной конкретной величины.

г) Поэтому вводится именованное количество*, составленное из двух символов: первого количественного — отвлеченного числа и второго — качественного, указывающего на род единицы измерения, например: Z ABC : Z а = п и дальше: Z ABC = п • Z а, и если Z er = 1°, то Z ABC = п°. Здесь п — количественный символ, градус — качественный символ.

д) Но если род единицы обусловлен, то отвлеченное число — отношение может служить мерой величины. Вот почему, например, можно сказать, что полуокружность равна тс радианам и что полуокружности соответствует радианная мера тт.

е) Размерности обеих частей равенства, а также и неравенства должны быть одинаковы, хотя части могут быть выражены в разных единицах.

Например: 90° = — р, где левая часть выражена в градусах, а правая в радианах. Из этого следует, что, нельзя допускать равенства, у которого одна часть именованное количество а другая — отвлеченное число. Например: 180° = тс.

ж) Равенством также и неравенство размеров двух конкретных величин может быть показано не только путем сравнения именованных количеств, но и путем сравнения отвлеченных чисел (см. п. п б и в) при условии, что для одной и другой части была принята одна единица измерения (это соответствует тому, что качественный символ, род единицы, можно рассматривать, как множитель, на который сокращается равенство или неравенство).

Например: 2,5 м>2 м или 2,5> 2; 360° ^ тс -< — р, — в этом случае сравнение отвлеченных чисел невозможно, пока не будут обе части неравенства выражены одной единицей, так как очевидно, что-не меньше —.

Из всего изложенного следует, что:

а) Размер дуги или угла в градусном и радианном измерении можно выразить отвлеченным числом, определяя, например, размер дуги или угла в 30° отношением: 30° : 1° = 30. Или, если ввести не целочисленную, а дробную единицу измерения, а именно-длины окружности, — определить дугу в 30°, как —, где--отвлеченное число, выражающее отношение длины дуги к длине окружности.

б) Необходимо ввести обозначение радиана, хотя бы буквой р. Тогда не будут иметь места некоторые из тех формулировок и формул, которые мы привели из учебника Гебеля и Мрочека. А именно: безграмотная запись 180° = тс может быть заменена грамотной, понятной ученику 180°=тср. Из нее легко можно будет установить, что р = 180°:тс и 1° = тср:180°.

Повторяя с учащимися понятия: величины, измерения, отвлеченного числа, именованного количества на разных примерах, преподаватель одновременно повторяет и понятия о градусном измерении дуги и угла, не вводя, конечно, еще понятия о радианном измерении.

Второй вопрос, который преподаватель должен ясно разрешить для себя при подготовке к указанной теме, это вопрос об обосновании введения новой системы измерения дуг и углов. В связи с этим он должен продумать, в какой форме он введет это обоснование в педагогический процесс.

Обыкновенно введение радианной системы обосновывают тем, что она позволяет выражать размеры дуги и угла отвлеченным числом. Преподаватель, повторяя эту мысль, заимствованную им из учебников без критического к ней отношения, часто остается в недоумении, когда все-таки ему при-

* Именованное количество вводится обыкновенно при измерении общеупотребительными (стандартными) единицами: метром, граммом, градусом, радианом.

холится при объяснениях говорить о том, что выражение: «угол равен двум» означает «угол равен двум радианам», т. е. выражать размеры угла именованным количеством.

В таком же положении оказываются и авторы этих учебников, часто даже не сознавая этого.

Если у учащихся воспитано вдумчивое, критическое отношение к излагаемому преподавателем материалу, то с их стороны неизбежен ряд недоуменных вопросов. Несомненно, что такое расхождение между обоснованием введения и практикой системы не может не отразиться отрицательно на восприятии материала учащимися, так как оно оставляет в значительной мере неопределенным само математическое понятие.

Преподаватель может не обосновывать введения новой системы.

Но, во-первых, это не избавит его от вопроса о том, зачем нужно новое измерение (вопрос зададут ученики), а, во-вторых, это недопустимо и с методической точки зрения: учащиеся должны иметь представление (неполное, конечно; полное они получат, проработав весь материал) о значении нового учебного материала. В данном случае это особенно важно, так как здесь обоснование есть часть выяснения самого математического понятия, а без выяснения понятия вводить алгорифмы, основанные на нем, значит приучать учащихся к механическому их выполнению.

Выше мы уже показали, что выражение размера величины отвлеченным числом свойственно всем системам измерений.

Вывод напрашивается сам: и градусная и радианная система измерения позволяют выразить размеры дуги, угла отвлеченным числом, а, следовательно, это свойство не является преимуществом только радианной системы измерения.

Главный вопрос, который возникает при критическом отношении к указанному обоснованию, следующий: если введение радианного измерения дуг и углов диктовалось необходимостью выразить размеры дуги и угла отвлеченными числами, то почему не была использована для этого исторически ранее возникшая градусная система?

Исторические документы, содержащие сведения о введении радианного измерения, относятся к XV—XVII векам, в которые развитие астрономии, механики и тригонометрии диктовались развитием мореплавания в связи с морскими путешествиями первых колонизаторов, агентов нарождавшегося торгового капитала, в период так называемого первоначального капиталистического накопления.

На примерах мы показали неудобства градусной системы, действительные причины введения радианной системы и то, в каком смысле надо понимать преимущества выражения отвлеченными числами размеров дуг и углов в радианной системе.

а) Сравним кратно длины отрезка AB и АС (черт. 1).

Пусть 1АС = а° или отвлеченно /лс = а.

Так как для сравнения размеров двух однородных величин их необходимо измерить одной единицей, выразим длину отрезка AB также в градусах*. Так как единица равна С : 360, то

или отвлеченно

Очевидно, что для определения численного значения отрезка AB и для последующего сравнения его длины с длиной дуги, необходимо определить его отношение к радиусу окружности, а оно в общем виде может быть выражено только синусом дуги.

Итак:

Произведем кратное сравнение:

Черт. 1.

* В истории математики имеется прецедент такого сравнения в древне-индусской тригонометрии. См. Фаццари, Краткая история математики.

Частный пример:

Это значит, что AB приблизительно в 1,047 раз больше отрезка AB.

Сравним разностно те же величины

Частный пример:

Это значит, что w АС приблизительно на 1°,35211 больше отрезка AB или отвлеченно—1,352 11.

Эти примеры показывают, во-первых, что сравнение длины дуги и отрезка (геометрического синуса этой дуги) возможно в градусной системе, причем его можно произвести и в отвлеченных числах, а, во-вторых, что это сравнение неизбежно проходит через сравнение отрезка AB с радиусом: — (радиус можно рассматривать как подсобную единицу измерения).

В тригонометрии это сравнение действительно будет неизбежно постольку, поскольку синусом всегда является отношение ординаты конца радиуса-вектора к радиусу-вектору (AB : R).

Итак, для сравнения (в градусном измерении) АС и отрезка AB приходится производить сравнение дуги с градусом, отрезка с радиусом и, наконец, сравнение дуги с отрезком.

Если и дугу и отрезок сравнить (измерить) только с радиусом, то, очевидно, однородности сравниваемых дуги и отрезка будут соблюдены, и задача упростится:

Частный пример:

Частный пример:

Следовательно, необходимость кратного и разностного сравнения тригонометрической функции и ее аргумента и вытекающая отсюда необходимость измерения одной единицей и линии тригонометрической функции и дуги были, очевидно, действительными причинами введения радианной системы.

б) На следующем примере еще ярче можно показать необходимость введения радианного измерения дуг и углов (Рыбкин, Прямолинейная тригонометрия, стр. 62—63).

Вывод формулы:

мы начинаем с неравенства (черт. 2):

Черт. 2.

после деления на 2 получаем:

AB <ЛО<Л£;

после деления на R как новую меру дуги, мы сможем, обозначив ее буквой х, сразу же записать:

s\nx<x<tg X,

чего мы не могли бы получить, если бы размеры О АО выразили в градусах. Больше того, здесь недопустимо выражение AD в градусах, так как это привело бы к тому, что средний член неравенства был бы именованным количеством, а крайние — отвлеченными

числами. Из того, что крайние члены неравенства— отвлеченные числа, а они будут всегда такими по самой природе тригонометрических функций, вытекает необходимость, чтобы и средний член был отвлеченным, а это может быть только при условии, что он будет представлять собой отношение ^АО к радиусу, как и тригонометрические функции, представляющие собой отношения отрезков AB и АЕ к радиусу.

Итак, сравнения указанного характера вызывают необходимость введения радианного измерения, позволяющего произвести сравнение тригонометрических функций и их аргументов в отвлеченных числах.

Теперь ясно, в какой мере верна мысль о том, что радианное измерение позволяет выражать величину дуги или угла отвлеченным числом.

Только благодаря радианному измерению возможны, например, такие выражения, как:

Рыбкин, Прямолинейная тригонометрия, стабильный учебник (стр. 63).

и т. д.

Перейдем к вопросу о том, как обосновать перед учащимися необходимость введения радианного измерения дуг и углов.

Если его ставить в начале изучения тригонометрии в IX классах, то, дав понятие о радианной мере дуги, можно будет сказать, что в гониометрии отрезки, сопряженные с кругом, измеряются радиусом (тригонометрические функции), поэтому при сравнении этих отрезков с другими и последние тоже должны измеряться радиусами, так как уже выяснено, что сравнение измеряемых конкретных величин и в именованных и в отвлеченных числах удобнее производить тогда, когда они измеряются одной единицей.

Например (см. черт. 2):

Этот пример доступен пониманию учащихся и сразу правильно обосновывает введение нового измерения дуги: необходимостью выразить длину дуги той же единицей, какой выражен отрезок, и возможностью (а в примере: s\na<a<tga и необходимостью) благодаря этому сводить дело к сравнению в отвлеченных числах.

После такого обоснования, принимая во внимание еще положение о возможности сравнения и в именованных и в отвлеченных числах величин, измеренных одной и той же единицей, преподаватель может выражать размеры дуг и отвлеченно и именованными количествами в зависимости от условий, не опасаясь той путаницы, которая обыкновенно на уроках по этой теме наблюдается.

Как шло развитие тригонометрии и на каком этапе этого развития появляется радианное измерение? Когда-то возникло противоречие между градусным измерением и новыми требованиями развивающейся тригонометрии, разрешившееся введением нового понятия — радианного измерения. У Энгельса в «Диалектике природы» есть следующие строки: «После того, как синтетическая геометрия рассмотрела свойства треугольника в себе и до конца исчерпала их, открывается более широкий горизонт, т. е. очень простой, вполне диалектический способ. Треугольник рассматривается уже не в себе и для себя, а в связи с некоторой другой фигурой — кругом. Каждый прямоугольный треугольник можно рассматривать как принадлежность некоторого круга: если гипотенуза = г, то катеты, это — sin и cos; если один катет = г, то другой катет = tg, а гипотенуза = sec.

Благодаря этому стороны и угол приобретают совершенно иные определенные взаимоотношения, которых нельзя было бы открыть и использовать без этого отнесения треугольника к кругу, и развивается совершенно новая, далеко превосходящая старую теория треугольника, которая применима повсюду, ибо всякий треугольник можно разбить на два прямоугольных треугольника. Это разви-

тие тригонометрии из синтетической геометрии является хорошим образчиком того, как диалектика рассматривает вещи в их связи, а не изолированно».

Повидимому радианное измерение появилось в период, когда треугольник стал рассматриваться в связи с кругом. Естественно было бы и в педагогическом процессе отнести это к тому же моменту, а не предпосылать его первому концентру геометрии и тригонометрии.

Поэтому лучше ввести радианное измерение после прохождения основных соотношений между тригонометрическими функциями одного угла, так как, несмотря на кажущуюся легкость, эта тема трудна.

Обоснование введения радианного измерения следует начать с задачи определения разности между дугой и ее синусом: а — sin а.

Ясно, что эта разность может быть определена только в том случае, если а — число, выражающее длину дуги, будет числом радиусов, содержащихся в дуге, и если оно будет отвлеченным, как и sin а. Этот пример полно и ярко покажет необходимость — произвести измерение дуги отнесением ее длины к радиусу.

После этого ставится вопрос о том, может ли отношение длины дуги к радиусу быть мерой дуги или соответствующего ей угла, а затем доказывается, что для угла (дуги), содержащего одно и то же число градусов, это отношение есть величина постоянная. Это доказательство, вместо громоздких и в сущности в таком виде и ненужных, рекомендуемых некоторыми учебниками, можно провести так: длина окружности С=2тт/?; разделив обе части равенства на постоянное число пфО, получим

Заменив —= I — длиной дуги, а — = а (= const), мы можем записать: l = aR.

Здесь / есть функция от /?, причем, так как формула выражает прямопропорциональную зависимость с постоянным коэфициентом пропорциональности, то

Следовательно, для данного угла, а потому и соответствующих ему дуг, отношения этих дуг к их радиусам есть величина постоянная. Теорема доказана. Это необычный для учащихся метод доказательства, но реализация идеи функциональной зависимости в нашей школе требует от нас не только прохождения темы — линейные функции и их графики, но и использования ее содержания и методов там, где это целесообразно.

Здесь, конечно, придется подчеркнуть мысль о том, что, как бы ни изменялись и /, величина угла, соответствующего дуге — f останется неизменной на основании простого положения, что величина угла не зависит от длины его сторон.

Чтобы окончательно установить понятие об единицах измерения дуг и углов в радианном измерении, преподаватель не должен делать быстрого перехода к выражению их в градусах, надо несколько задержаться на этих новых единицах измерения, показав их на чертеже. Полезно провести аналогию между введением этих новых единиц и введением новых метрических мер, подчеркнув, конечно, что возвращения к старым мерам (аршин, фунт) не будет, а градусным измерением мы всегда будем пользоваться, когда это будет удобнее, чем пользоваться радианным измерением.

Надо утвердить в сознании учащихся образы этих новых единиц. Показывая на чертеже на доске дуги и углы, предлагают учащимся определить на-глаз, приблизительно, сколько радианов — дуг или радианов — углов содержится в них. Здесь же обращают их внимание на однозначное соответствие между числами радианов в дуге и соответствующем ей угле, т, е. на то соответствие, благодаря которому и в радианном измерении остается формулировка: «центральный угол измеряется соответствующей ему дугой».

После этого можно поставить вопросы: «Сколько градусов в полуокружности?» — и получить ответ: «—= 180°». «Сколько радиусов содержатся в полуокружности?». « — = 1т#». Но столько же в ней содержится и радианов? «^. = iip». Откуда тгр = 180о и затем

Полезно, чтобы учащиеся сами вычислили р = 57°, 295 78 или р = 57° 17' 45“, при-

няв tw = 3,141 59 и выразив длину полуокружности в секундах. Полезно также вычислять и 1° = 0,01745 р. Равенство тер = 180° надо сравнить с таким известным им равенством, как 1 м =1,41 арш.

Можно закончить эту часть вопросами: «сколько градусов в 2 и 3 радианах», «сколько градусов в дуге, содержащей 2 радиуса, 10 радиусов» и т, п.

В практике преподавания наблюдается один недостаток: познакомив учащихся с радианным измерением, преподаватель почти никогда не пользуется им ни в теории, ни в математической практике. Учащиеся или забывают радианное измерение или же не придают ему должного значения. А поэтому, когда изредка им приходится возвращаться к нему, они затрудняются в оперировании с ним и, пользуясь им, хотя бы в уме, переводят радианное измерение в градусное, или, как сказал бы лингвист, «мыслят на родном языке».

Самое первое и самое необходимое условие успешности преподавательской работы заключается в ясном, глубоком, всестороннем знании самим преподавателем излагаемого материала, в ясном, отчетливом и верном освоении того математического понятия, которое является основным содержанием этого материала. Такое знание материала не может быть достигнуто, хотя бы и хорошим знакомством с одним-двумя учебниками. Для этого необходимо еще знакомство вообще с литературой по данному вопросу.

Но на примере темы: «Радианное измерение» видно, что в дополнение к этому знакомству с литературой необходима еще и критическая, творческая работа мысли преподавателя при осознании того, что в этой литературе преподаватель может найти.

Мы не отрицаем этим важности овладения преподавателем методическим мастерством, а хотим только отметить, что методическое мастерство — это искусство передачи своих знаний учащимся — будет только тогда достигать цели, когда знания самого преподавателя полноценны.

К МЕТОДИКЕ РЕШЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ

(Один полезный прием)

Проф. Л. И. КРЕЕР (гор. Орджоникидзе)

1. Всякому преподавателю математики хорошо известны те затруднения, с которыми встречаются учащиеся при решении не слишком трафаретных стереометрических задач. Причины этого явления общеизвестны. Недостаточные и даже плохие результаты, достигаемые обычно в этом отношении в школах, объясняются не только специфическими особенностями таких задач, но и отсутствием разработанной методики решения задач на вычисление вообще и стереометрических в особенности. Между тем, если бы существовала хотя бы некоторая сводка приемов конкретных методических указаний, то работа учителя была бы значительно облегчена и достигаемые им результаты были бы лучше. Надо отметить, что нередки случаи, когда сам преподаватель встречает затруднения при решении задач. Предполагая в другой статье заняться этим вопросом в более полном виде, мы сейчас ограничимся показом того, как при помощи одного приема можно сделать вполне прозрачной геометрическую, наиболее трудную, сторону решения определенного типа задач, которые сильно затрудняют учащихся. При применении этого приема сразу достигается тот момент в решении задачи, когда решение не представляет уже трудностей: геометрические факты установлены, остаются выкладки.

Предлагаемый прием можно назвать принципом параллельного перенесения.

2. Сущность принципа параллельного перенесения мы изложим в следующих указаниях.

Указание первое. Пусть рассматривается угол между 2 пересекающимися прямыми L и M некоторой пространственной фигуры, пусть V другая прямая той же фигуры, параллельная Z. Для проверки того, не перпендикулярны ли между собой L и Af, надо из удобной* точки прямой V провести

* Смысл выражения «удобная точка» выяснится из дальнейшего.

прямую Mf параллельную M, построить проекцию V на плоскость, определяемую прямыми M и АГ, если ЛГ перпендикулярна к этой проекции, то, согласно теореме о 3 перпендикулярах, M' J_ L' и, следовательно, угол между L и M также прямой. Эффективность применения этого указания усилится, если дать учащимся еще два следующих указания, часто находящих себе применение в решении задач.

Указание второе. В правильной треугольной пирамиде угол между всяким боковым ребром и противоположной этому ребру стороной основания пирамиды — прямой (черт. 1).

(Здесь, конечно, идет речь об угле между двумя скрещивающимися прямыми.)

Черт. 1.

Докажем, например, что угол между боковым ребром SB и противоположной ему стороной основания АС есть прямой. Проводим через В прямую 5D, параллельную АС; берем проекцию SB на плоскость основания, т. е. OB; очевидно OB J_ AC'f следовательно BD J_OB; по теореме о 3 перпендикулярах также BD JL SB, т. е. угол между АС и SB — прямой.

Следствие. Если из какой-нибудь точки правильной треугольной пирамиды проведены 2 прямые, соответственно параллельные какому-либо боковому ребру и противоположной последнему стороне основания, то угол между такими прямыми — прямой.

Дополнение. Очевидно, если S ABC — неправильная пирамида, но ее высота пересекает высоту основания, опущенную из В на АС, то угол между скрещивающимися прямыми SB и АС тоже прямой, но того же нельзя сказать относительно углов между другими боковыми ребрами и противоположными им сторонами основания пирамиды.

Указание третье. В правильной четырехугольной пирамиде угол между всяким ее боковым ребром и диагональю основания, не проходящей через основание ребра,— прямой.

Докажем, например, что угол между боковым ребром SD и диагональю основания АС — прямой (черт. 2). Для этого проводим через D прямую DE параллельно АС; очевидно, DEJ_BD, т. е. DE перпендикулярна к проекции SD на плоскость основания; поэтому DE также перпендикулярна к SD, следовательно, угол между SD и АС также прямой.

Следствие. Если из какой-нибудь точки правильной четырехугольной пирамиды проведены 2 прямые, соответственно параллельные какому-либо ее боковому ребру и не пересекающей этого ребра диагонали основания, то угол между такими прямыми — прямой.

3. Мы переходим теперь к ряду примеров, которые достаточно убедительно покажут нам пользу применения указаний. Мы отобрали для этого 6 задач из задачника Н. Рыбкина*; всем этим задачам присуща одна особенность: успех в решении их зависит от доказательства того, что рассматриваемый параллелограм есть прямоугольник. По нашим наблюдениям над студентами педагогического института такого рода задачи всего чаще фигурируют среди нерешенных или таких, которые вызывали затруднения. Параллельное перенесение совершенно ликвидирует последние. Можно было бы, конечно, привести большее число задач, но и приведенные всесторонне выясняют вопрос. Решение даем самое краткое, останавливаясь лишь на интересующей нас стороне вопроса.

Задача 1. (Н. Рыбкин, § 3, № 25).

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания = а и боковое ребро рав-

Черт. 2.

* Н. Рыбкин, Сборник задач по геометрии, ч. 2, Москва, 1935 г.

но b. Провести в этой пирамиде плоскость через середины ребер AB и ВС параллельно ребру SB. Определить площадь полученного сечения (черт. 3).

Черт. 3.

Очевидно, сечение DEFG — параллелограм; согласно указанию 2 и следствию из него этот параллелограм — прямоугольник. Дальнейшее очевидно.

Задача 2. (Н. Рыбкин, § 3, № 26).

Каждое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно а. Провести сечение через середины двух смежных сторон основания и середину высоты SO и найти его площадь (черт. 4).

Черт. 4.

Сечение — пятиугольник EXFGHI, который состоит из параллелограма E^FGI и равнобедренного треугольника GHI.

Параллелограм EXFGI есть прямоугольник, согласно указанию 3 и следствию из него, и задачу теперь легко закончить. В этих двух задачах нам достаточно было сослаться на вышеприведенные указания. В следующих задачах необходимо полностью провести соответственное доказательство.

Задача 3. (Н. Рыбкин, § 7, № 15).

Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб ABCD, в котором < В A D = 60°, боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом в 60° и плоскость ААуСхС перпендикулярна к плоскости основания. Доказать, что площади сечений BB1DD1 и AAiCC1 относятся, как 2:3 (черт. 5).

Обозначая сторону ромба через а и боковое ребро через Ь, легко находим площадь

AA1CC1 = abV&sm 60°.

Трудность задачи заключается в определении площади BB1DD1. Проверим, не есть ли угол BDDt прямой. Производим параллельное перенесение: DDt переносим в СС1; BD в СЕ, т. е. через точку С проводим СЕ параллельно ВО. Очевидно, СЕ _[_ЛС, т. е. СЕ перпендикулярна к проекции ребра СС± на основание; поэтому CE ^_CCV следовательно, < BDDt—прямой, т. е. BBxDDt прямоугольник, и задача решена.

Задача 4. (Рыбкин, § 8, № 27).

Основанием параллелепипеда служит квадрат; одна из вершин верхнего основания одинаково отстоит от всех вершин нижнего основания. Сторона основания равна а; боковое ребро равно Ь. Определить диагональ и площадь диагональных сечений (черт. 6).

Черт. 5.

Черт. 6.

Также и здесь трудность задачи заключается в обнаружении того, что сечение AAtCCt — прямоугольник. Параллельно пере-

носим ребро CCt в ребро DDV АС в DE, т. е. проводим DE параллельно АС; очевидно, DE _\_0Э, т. е. к проекции ребра DDV поэтому DE_juDDl и, следовательно, ^АССХ— прямой, и задача решена.

Задача 5. (Рыбкин, § 8, № 28).

Основанием наклонной призмы служит правильный треугольник со стороной а, боковое ребро равно Ъ; одно из боковых ребер образует с прилежащими сторонами основания углы в 45°. Найти боковую поверхность этой призмы (черт. 7).

Черт. 7.

И здесь трудность задачи заключается в обнаружении того, что параллелограм АА!СС—прямоугольник. Из точки ребра В В1 проводим ВО H АС; BD перпендикулярна к проекции ребра BBt, так как эта последняя делит пополам ABC; следовательно, ВЭ±ВВи т. е. <С — прямой.

Задача 6. (Рыбкин, § 16, № 51).

Основанием призмы служит правильный треугольник ABC со стороной а. Вершина Ах проектируется в центр нижнего основания и ребро ААХ составляет со стороной основания угол в 45°. Определить объем и боковую поверхность призмы (черт. 8).

Черт. 8.

Определение объема не представляет трудностей. При определении боковой поверхности надо доказать, что ВСВХСХ—прямоугольник. Переносим ВВ± в АА±; СВ в AD, т. е. AD К СВ. Очевидно ADJ^_AO (проекции AAt) и т. д.

ПОСТРОЕНИЕ СТЕРЕОСКОПИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР

Г. ВЛАДИМИРСКИЙ (Москва)

1. Стереоскоп как учебное пособие при изучении математики.

Стереоскоп как наглядное пособие по математике очень мало распространен в наших школах. Причиной этого является, во-первых, отсутствие в продаже стереоскопических чертежей геометрических фигур и, во-вторых, неумение преподавателей приготовлять такие чертежи самостоятельно. Между тем стереоскопические чертежи имеют ряд ценных качеств как внешнего характера—портативность, простота и доступность их изготовления, так и педагогического значения; последнее заключается в возможности с первых же шагов изучения стереометрии преодолеть при помощи стереоскопических чертежей одну из главных трудностей этого отдела математики: они научают учащихся разбираться в условностях плоского изображения пространственных фигур. В самом деле, каждый чертеж, рассматриваемый невооруженным глазом, является обычным плоскостным изображением фигуры, при рассматривании через стереоскоп он дает впечатление пространственного протяжения и рельефа фигуры. Каждую деталь фигуры можно попеременно рассматривать и тем и другим способом, добиваясь полного понимания того, что изображено и как должно быть изображено на чертеже.

При достаточном числе стереоскопов в школе и надлежащем количестве чертежей, домонстрации в классе можно проводить фронтально; в случае материальных ограни-

чений математического кабинета стереоскоп может служить помощью, хотя бы тем учащимся, которые отличаются особенно слабо развитым пространственным воображением.

Приготовление стереоскопических чертежей способом, разработанным и предлагаемым мною, настолько просто, что вполне доступно каждому преподавателю, владеющему элементарной техникой черчения. Иллюстрация к любой теореме и задаче, касающаяся, по крайней мере, фигур с прямолинейными очертаниями (а такие в курсе преобладают), может быть выполнена в 20—40 минут и легко размножена в любом количестве.

2. Принципы построения центральных проекций

Построение стереоскопических проекций осуществляется при помощи двукратного центрального проектирования данной фигуры на плоскости из двух центров проекции, отстоящих друг от друга на расстоянии, равном расстоянию между зрачками глаз человека. Для получения зрительного эффекта рельефности чертежа взаимное положение центров проекций, плоскости проекций и проектируемой фигуры не может быть произвольным и связано рядом соотношений, основанных на принципах проективной геометрии и свойствах бинокулярного зрения. На чертежи, предназначенные к школьному употреблению, налагается еще требование педагогического характера,— будучи исполнены в центральных проекциях, они должны иметь внешнее сходство с привычными глазу учащихся чертежами, помещаемыми в учебниках и исполненными в косоугольных проекциях.

Не излагая подробно* исследований, обосновывающих предлагаемый ниже способ построения стереоскопических проекций, я приведу лишь вывод окончательных соотношений конструктивного и метрического характера, которые необходимы для практического пользования

Предлагаемый способ построения стереоскопических чертежей основан на координатном методе центрального проектирования. Прямоугольная система координат XYZ (черт. 1), поставленная на предметную плоскость Q, проектируется из центра проекций С на картинную плоскость К. Поле зрения картинной плоскости ограничивается некоторым квадратом со стороной а. Оси координат располагаются так, чтобы этот квадрат служил проекцией передней грани куба, ограничивающего координатный октант взятой системы координат. Внутри этого куба помещают проектируемую фигуру, задавая координаты точек, определяющих ее очертания.

Для построения центральных проекций нужно помнить следующие основные положения.

Проекции прямых, перпендикулярных к картинной плоскости, сходятся в одной точке F, называемой точкой схода и лежащей на линии горизонта TT (черт. 2).

Проекции прямых, наклонных к картинной плоскости под углом 45Q и параллельных плоскости А О К, сходятся в точке расстояний В19 расположенной на линии горизонта на расстоянии d от точки F, равном расстоянию центра проекций от картинной плоскости. Проекции прямых параллельных картинной плоскости сохраняют свое направление.

Черт. 1,

Черт. 2.

* Более подробно автор излагает этот вопрос в сборнике «Математическое просвещение» № 9, 1936 г.

Масштаб проекций изменяется, уменьшаясь по мере удаления проектируемого отрезка от центра проекций.

В согласии с этими основными принципами мы изобразили наш куб-октант в таком виде, как показано на чертеже 2. Чтобы проекция этого куба была возможно более сходна с его косоугольной проекцией на этом чертеже, проекция оси OY наклонена к горизонтальной прямой под углом 45°, и длина отрезка OK на картинной плоскости взята вдвое меньше длины переднего ребра Y А. Эти два последних условия, согласованные с общими условиями косоугольного проектирования, налагают определенные требования на расположение центра проекций и следовательно на длину отрезка FF1 = h. Для определения величины А построим по указанным условиям проекцию плоскости XOY (черт. 3). Проведем дополнительно через точку О прямую GL ± TT и рассмотрим получившуюся фигуру, как плоскую; из подобных треугольников FOB и YOA найдем:

Составим производную пропорцию:

(1)

Заметим, что

00 + OL = FF =h\

и так как по условию

Тогда из пропорции (1) найдем

(2)

Выбирая d достаточно большим сравнительно с я, можно получить проекцию куба-октанта в виде, представленном на чертеже 2, весьма сходным с общепринятым. Практически удобнее строить октант в таком виде, как показано на чертеже 4, нанося на плоскости XOY и YOZ масштабную сетку. За единицу масштаба удобно взять — часть отрезка YA, равного а.

3. Принципы построения стереоскопических проекций

Основным условием, необходимым для впечатления пространственного расположения и рельефности предметов является рассматривание их двумя глазами. Впечатление большей или меньшей глубины расположения точки M (черт. 5) зависит от угла ß между оптическими осями глаз L и /?, направлен-

Черт. 3.

Черт, 4

Черт. 5.

ных на эту точку; этот угол называется параллактическим углом, а расстояние между оптическими центрами глаз LR = = b — базисом.

Стереоскопические изображения предмета весьма просто получаются фотографическим путем. Чертеж 6 изображает схематически положение объективов Сг и С,, визируемой точки Ж и ее изображений Мт и Ж,; параллельные прямые CrFr и ClFl являются оптическими осями объективов.

Если повернуть изображения Мг и Af, на 180° вокруг оптических осей и одновременно перегнуть нижнюю часть чертежа вокруг прямой СГС, наверх (черт. 7), то получится схема стереоскопа. Если, поместив глаза на место Сг и С,, рассматривать точки Afr и Af, так, чтобы правый глаз видел только правую точку, а левый — только левую, то, как видно из чертежа, оси глаз пересекутся в некоторой точке М. Следовательно, глаза будут искусственно поставлены в такие условия, в которых они в естественной обстановке рассматривали бы точку Af. Таким образом в результате одновременного раздельного рассматривания глазами двух точек Мг и M, получается впечатление пространственного расположения одной точки Af. Роль стереоскопа заключается в том, чтобы облегчить глазам установку оптических осей под некоторым углом, стороны которого проходили бы через точки Afr и Af,.

Чертеж 7 позволяет установить определенную зависимость в расположении точек Af, Afr и Af,. Обозначив MN — D и сохраняя принятые выше термины и обозначения, из подобия треугольников CrNM и MrF'rCr находим:

аналогично из треугольников С,ЛШ и MlFlCl находим:

Складывая почленно эти два равенства, обозначая MrFr+Af,/7, =р и замечая из чертежа, что CJN +NCl = Ь, получим

(3)

Величина р называется стереоскопическим параллаксом точки Af. Практически в пределах поля ясного видения величина р остается неизменной (при неизменных b и d), если точка Af перемещается в плоскости Р, отстоящей от базиса на расстояние D ; поэтому величину р можно назвать стереоскопическим параллаксом плоскости Р.

Так как отрезки FrMr и F%Ml9 из которых слагается величина /?, направлены в разные стороны от соответствующих оптических осей, то для удобства построения стереоскопических чертежей следует придавать числам, выражающим эти отрезки, разные знаки; при этом для нашего построения удобно считать положительным направление влево от каждой из оптических осей. В таком случае, обозначая FrMr— и FlMl = Ç„ мы должны будем написать:

P = tr—tl>

или

\г = 1г-Р- (4)

Формула (4) показывает, как нужно строить левый стереоскопический чертеж, если построен правый. Можно сказать, что, если построена проекция фигуры или, что лучше, координатная схема для правого чертежа (черт. 8), то построение каждой точки левой схемы можно сделать по одноименным точкам правой схемы, измерив и вычислив для каждой из них значения \т и р. Практически

Черт. 6.

Черт. 7.

достаточно наметить на линии горизонта точки Fr и Fv расстояние между которыми очевидно равно Ь, построить, как изложено выше, правую координатную схему и вычислить стереоскопический параллакс только для плоскости передней грани куба-октанта. Все остальное построение левой схемы легко провести конструктивным путем.

Опыт показывает, что расстояние между точками схода Fr и Fv равное базису Ь, может быть увеличено в пределах до 90 мм.

без ущерба для эффекта рельефности чертежей. Этим нужно воспользоваться, чтобы сохранять постоянным расстояние межау центрами квадратов поля зрения обоих чертежей, оставляя это расстояние всегда равным базису Ь, т. е. расстоянию между центрами линии стереоскопа. Для этого нужно расстояние FrFt брать равным b + /?0, где р0 стереоскопический параллакс плоскости передней грани куба-октанта.

В целях упрощения построения удобно отмечать точки Yr и Yv откладывая их от одной точки р\ Установив расстояние между точками схода, равным FrFl = b+p0t следует иметь ввиду, что FrYr = £rf a F'rYt = = l + à.

4. Построение координатной схемы для стереоскопических чертежей

Из сделанного описания координатной схемы стереоскопических проекций видно, что для построения ее нужно иметь числовые значения следующих величин:

1. b — базис: расстояние между зрачками глаз; обычно следует брать ô = 65 мм.

2. d — расстояние от базиса до плоскости проекции; следует брать 150—200 мм.

3. а — длина стороны квадрата, ограничивающего поле зрения на плоскости проекций а = 50 мм и не более 60 мм.

4. D — расстояние от базиса до передней грани координатного октанта—куба; 0 можно брать от 1 000 мм и более.

5. ро— стереоскопический параллакс передней грани куба, служащего координатным октантом:

6. h — высота линии горизонта над прямой YA

7. £г — длина отрезка FrYr

8. S;, — длина отрезка FiYt

практически, вместо этого отрезка, берется отрезок Fr Yx = \r + b.

Для первых четырех величин следует выбрать определенные постоянные числовые значения. Тогда удобно будет составить для пользования сводную таблицу всех перечисленных величин. Такая таблица может быть предложена в следующем виде

Черт. 8.

Если проектируемая фигура располагается гак, что в ней имеются прямые, перпендикулярные к картинной плоскости, то в силу некоторых особенностей бинокулярного зрения следует выбирать для проектирования координатные схемы, построенные по числовым данным одной из нижних строк таблицы (черт. 9, строка 6). В остальных случаях предпочтительней брать данные какой-нибудь из верхних строк, так так чертежи, построенные по схемам верхних строк, дают больший эффект рельефности (см. черт. 8*, строка 1).

Для практического употребления координатная схема должна быть вычерчена на плотной чертежной бумаге, сначала острым карандашом и затем обведена тушью. Параллельные и перпендикулярные прямые следует проводить при помощи линейки и угольника; отрезки откладывать при помощи масштабной линейки, отпечатывая десятые доли миллиметра на-глаз. Порядок построения удобно соблюдать следующий (черт. 8).

1. Взять лист бумаги размером около 25 сл*Х 15 см.

2. Вдоль длинного края на расстоянии около 2 см провести прямую — линию горизонта; отметить на ней вблизи правого края (2—3 см) точку Fr и отложить влево отрезки FrFl = b-^p0 и FrBr = d.

3. Провести через точку Fr прямую, перпендикулярную FrFv и отложить на ней отрезок FrFr = h.

4. Провести через точку Fr вдоль всего листа прямую параллельно FJF%\ это будет проекция основания переднего плана.

5. На проекции основания переднего плана от точки Fr отложить последовательно отрезки: FTYr = \ и FTYx = \ + b

6. От точек Уг и К, по прямой YJFr отложить вправо последовательно по десяти делений на расстоянии 5 мм друг от друга и занумеровать их цифрами 1, 2, 3,..., 9, 10.

Черт. 9

* Чертежи 8 и 9 даны в уменьшенном виде.

7. Соединить попарно прямыми точки Fr и Yrt Ft и Yv 10г и£г, проводя каждую прямую снизу не более 5 см. Точку пересечения FrYr с 10г£г обозначить через Ог.

8. Через точку Ог провести вдоль всего листа прямую ОгХ, параллельную горизонту, и отметить точку Ох пересечения этой прямой с линией FlYl.

9. Провести последовательно прямые OrZr, YrWr, OxZx и YlWl перпендикулярно Fr Yx на высоту 5—6 см над основанием.

10. От точек Yr и Yt вверх по перпендикулярам отложить по десяти делений на расстоянии 5 мм друг от друга, занумеровав их цифрами 1, 2, 3,..., 10.

11. Воткнуть в точку Fr булавку, приложить к ней справа снизу линейку и, ставя острие карандаша поочередно в точки 10, 9, 8,..., 1, прижимать к нему линейку и проводить прямые WFrt 9Fr1 8Fr... \Fr, доводя их только до прямой ОгХ. Таким же образом провести десять прямых между прямыми YrWr и OrZr.

Повторить в той же последовательности это построение на левом чертеже.

12. Через каждую точку пересечения прямой Ог10г с прямыми 9Fr, 8Fr,..., 2Fr, \Fr провести прямые, параллельные ОгХ, вычерчивая их одновременно в промежутках между OjKj и IOjFj и между OrYr и \0rFr.

13. Через точки деления, получившиеся на осях OrYr и OxYlt провести в плоскости YOZ прямые, параллельные оси OZ, до пересечения с прямыми lOFr и 10FV

14. Провести две прямые параллельно Y% одну на 15 мм ниже и другую на 75 мм выше Fr Yv

Провести две другие прямые параллельно YlWl одну на 32 мм слева, а другую на 148 мм справа от YXWV

Полученный прямоугольник будет служить рамкой, по которой следует обрезать изготовляемые по схеме чертежи. Отметить вершины этого прямоугольника буквами v.

15. Обвести полученный чертеж тушью. Прямые w тушью не обводить, отметив лишь крестообразно вершины прямоугольника. Стереть карандаш. Координатная схема для построения стереоскопических проекций готова.

Составление и вычерчивание схемы может быть значительно облегчено, если ограничиться копированием схем, данных на чертежах 8 и 9. Чтобы снять копию одной из этих схем, нужно подложить под нее плотную чертежную бумагу и проколоть тонкой иголкой на правом и левом чертежах точки /\ Z, W. О, X, К, 1, 2, 3,..., 9, 10 (по прямым YF' и YW) и точки v. Сняв образец, вычертить схему по точкам тушью, пользуясь вышеприведенными систематическими указаниями.

5. Построение стереоскопических проекций геометрических фигур

Нижеприведенный пример показывает, как пользоваться предлагаемыми координатными схемами для построения стереоскопических чертежей.

Чертеж проектируемой фигуры выполняется острым карандашом, без нажима, непосредственно на координатной схеме.

Пример.

Построение стереоскопических изображений параллелепипеда

Построение можно выполнить по схеме № 6 в следующем порядке (см. черт 9).

1. Выбрать размеры параллелепипеда так, чтобы он поместился в координатном октанте схемы; пусть вершины нижнего основания для простоты прямоугольного определяются следующими координатами: Л (0; 0; 0), В (5; 0; 0), С <5; 7; 0), D (0; 7; 0); пусть высота паралпелепипеда равна 8, и вершины верхнего основания проектируются на плоскость XOY в точки А2 (3; 3), В2 (8; 3), С2 (8; 10) и D2 (3; 10).

2. Отметить на правом и левом чертежах указанные восемь точек.

3. Провести через точки А2, В2% С2 и D2 на обоих чертежах перпендикуляры к YtFr и при помощи прямых, параллельных YxF'r отсечь от них отрезки A2Al9 B2Bi9 C2Ct и D21V проективно равные высоте параллелепипеда Я=8.

4. Соединить ребрами вершины Л, В , С, D, Аъ Bv Ct и Dv Для точности чертежа необходимо пользоваться булавкой, втыкаемой в точки Fr и Fv как указано выше, и угольником при проведении параллельных прямых.

5. Проверить полученный в карандаше чертеж через стереоскоп.

6. Подложив под чертеж лист плотной бумаги, проколоть иголкой все восемь вершин правого и левого параллелепипеда, точки Fr и Fx и четыре точки v, снять схему, соединить прямыми, соблюдая приемы пункта 4, вершины параллелепипеда при помощи рейсфедера (тушью) и образовать чертеж по точкам v.

Стереть карандаш со схемы мягкой резинкой.

Если нужно обозначить части фигуры буквами, то их следует ставить на обоих

чертежах. Каждая пара букв, обозначающих одноименные точки фигуры, должна быть расположена на одной горизонтальной прямой, причем расстояние между одинаковыми буквами должно равняться расстоянию между одноименными точками. Тогда буквы будут казаться расположенными в пространстве на той же глубине, что и названные ими точки.

В заключение следует сказать, что успех построения стереоскопических проекций зависит в очень большой степени от точности вычерчивания как координатной схемы, так и самой фигуры. Для того чтобы уменьшить дефекты и искажения стереоскопичности, вызываемые техническими неточностями черчения, можно приготовить схемы вдвое или втрое больших размеров, чем те, которые даны в вышеприведенной таблице, и, вычертив по ним проекции выбранной фигуры, как указано выше, полученный чертеж уменьшить до нормальных размеров фотографическим способом. Такой прием особенно удобен, если изображение какой-нибудь фигуры нужно иметь в большом числе экземпляров, так как размножение легко осуществляется посредством фотографического печатания с полученного негатива на фотографическую бумагу.

О ЗАДАНИЯХ ДЛЯ ПИСЬМЕННЫХ ВЫПУСКНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ

С. ШРЕЙДЕР (Москва)

Выбор задач для письменных выпускных испытаний по математике является одним из тех педагогических актов, которые требуют особого к себе внимания и особенно осторожного подхода. Выбранные задачи нельзя расценивать только с точки зрения их соответствия основной цели в смысле выявления степени усвоения учащимися программного материала или уровня их математического развития.

Необходимо еще всегда иметь в виду, что включение всякой задачи в задание для испытаний выделяет некоторые отделы или пункты программы, подчеркивает их преимущественное значение перед другими и способствует тому, что у учащихся и преподавателя создается представление об этих отделах или пунктах программы, как особо важных. Следует поэтому считаться с тем, что в процессе преподавания в следующем учебном году эти отделы привлекут к себе особое внимание преподавателя, на них он глазным образом сосредоточит свои усилия, быть может в ущерб другим отделам не менее, а иногда и более важным. Эти опасения становятся особенно реальными, если некоторые типы задачи повторяются из года в год и получают повсеместное распространение.

К сожалению, надо признать, что в темах по математике, предлагаемых на письменных выпускных испытаниях, у нас именно создалась такая своего рода стандартизация некоторых типов задач. Не отличаясь особым разнообразием и не являясь особо характерными или ценными для выяснения общего математического развития, некоторые типы задач получили право гражданства и неизменно из года в год фигурируют во всех заданиях, которые предлагаются на выпускных испытаниях. Подготовив своих учеников по этим немногочисленным типам задач, преподаватель может спокойно выжидать результатов письменного испытания, хотя бы общее состояние знаний по математике оканчивающих школу было далеко не столь благополучным.

Не трудно перечислить эти типы задач, получивших стабильный характер. По алгебре это:

1) Решение возвратного уравнения или трехчленного уравнения вида

Х*п + Ьх« + С = 0.

2) Определение какого-либо члена в разложении бинома.

3) Решение задачи на составление квадратного уравнения.

Не большим разнообразием отличаются задачи по геометрии.

1) Вычисление объема правильной пирамиды, иногда шестиугольной, но чаще всего четырехугольной, в которой соотношения между элементами являются особенно простыми.

2) Вычисление объема или поверхности тела вращения, образованного вращением треугольника вокруг оси, проведенной через его вершину перпендикулярно к стороне или

параллельно противолежащей стороне, или вокруг оси, проведенной параллельно стороне или высоте треугольника на данном от нее расстоянии.

3) Вычисление объема или поверхности прямого круглого конуса (или цилиндра) по двум элементам осевого сечения, в том числе радиус вписанного или описанного круга.

Вот основные и почти исключительные типы задач, которые предлагаются на письменных испытаниях по геометрии.

Отличительной особенностью всех этих задач по геометрии является крайняя скудость содержащегося в них конструктивного материала. Эти задачи не требуют для своего решения почти никаких навыков в умении «видеть в пространстве». Начала стереометрии не находят здесь почти никакого применения, и задача почти непосредственно приводится к решению треугольника с последующим применением основных формул для определения объема и поверхности многогранников и круглых тел. Так как эти задачи повторяются из года в год, то в течение учебною года упражнения сосредоточиваются почти исключительно на задачах указанных типов. Важнейший отдел стереометрии, учение о взаимном положении прямых и плоскостей в пространстве, уточняющий и систематизирующий наши основные пространственные представления и являющийся поэтому фундаментом для развития пространственного воображения, проходится слишком бегло и не закрепляется достаточным числом систематически подобранных упражнений. Таким образом, основные начала стереометрии приносятся в жертву для того, чтобы скорее отдать дань экзаменационным требованиям и перейти к задачам на вычисление указанных выше типов, не требующим для своего решения никаких стереометрических построений.

Когда к концу учебного года отделы народного образования созывают комиссии для выработки и обсуждения тем для предстоящих письменных испытаний, то квалифицированные преподаватели, являющиеся членами этих комиссий, отклоняют как неподходящие, задачи по геометрии, содержащие конструктивный элемент, на том основании, что такие задачи будут не по силам среднему ученику, что в школе мало упражнялись на решение подобных задач и т. п. И выбор комиссий останавливается на задачах тех стандартных типов, о которых мы говорили выше. Создается таким образом какой-то порочный круг, из которого так или иначе необходимо найти выход.

Перед нами лежат задачи, которые предлагались на письменных выпускных испытаниях в ленинградских школах в 1936 г. Из 13 задач двенадцать принадлежат к перечисленным нами выше типам. Предъявляя к учащимся достаточные требования в отношении владения техникой тригонометрических преобразований и логарифмических вычислений, эти задачи, как мы уже говорили, отличаются довольно скудным геометрическим содержанием и легко могут быть решены даже при слабом развитии пространственных представлений. Приведем для примера некоторые из них.

1) Объем конуса, у которого образующая наклонена к плоскости основания под углом а, равна объему шара радиуса /?. Определить боковую поверхность конуса. Вычислить при Я = 5,8Ли, <х = 53°24'12“.

Эта задача, кроме знания формул для определения объема шара и конуса и поверхности конуса, требует от учащегося только умения решать прямоугольные треугольники и приводится непосредственно к определению радиуса основания конуса г из уравнения

и образующей / из равенства:

2) Полная поверхность правильной шестиугольной пирамиды равна 5, плоский угол при вершине равен а. Определить объем пирамиды. Вычислить объем, полагая S = 257 дм2, а = 43°18'24“.

В этой задаче, как и в предыдущей, начала стереометрии не находят почти никакого применения; задача носит почти исключительно планиметрический характер. Центр тяжести всей задачи перенесен на тригонометрические преобразования и заключается в умении привести к логарифмическому виду левую часть уравнения

Конечно, те из учащихся, которые показали, что левая часть уравнения приводится к виду

показали достаточные навыки в тригонометрических преобразованиях, но их навыки в геометрическом мышлении при решении этой задачи находят весьма слабое выражение. Такими же задачами по существу планиметрического характера являются следующие.

3) Сечение, проходящее через ось конуса, представляет треугольник, угол которого, содержащийся между равными сторонами, равен а. Радиус круга, описанного около этого треугольника, равен /?. Определить объем конуса.

Вычислить объем конуса, полагая Я = 5,38Ак, а = 63°12'44“.

4) Площадь диагонального сечения правила ной четырехугольной пирамиды равна Q и плоский угол при вершине равен а. Определить полную поверхность пирамиды. Вычислить полную поверхность, если Q = 23 дм2 и а = 46°27'24“.

5) Цилиндр пересечен плоскостью параллельной оси и отсекающей на окружности основания дугу а = 75°20'44“. Диагональ сечения а = 18 дм и составляет с основанием угол ß = 62°19'42“.

Найти объем цилиндра.

6) В шар радиуса R вписан конус, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом а. Вычислить объем конуса, если # = 68,48 ел* и а = 62°24'35“ и т. п.

Если прибавить к приведенным примерам несколько задач на вычисление объема тел вращения указанных нами типов, то мы исчерпаем те двенадцать задач, о которых мы говорили выше. Эти задачи отличаются одна от другой лишь постольку, поскольку отличны те элементы, которые даются для решения треугольника. Некоторые из них не предъявляют даже никаких требований в отношении планиметрии; другие требуют умения вычислить равнобедренный треугольник по данному углу и радиусу описанного или вписанного круга.

Как мы уже говорили, среди тринадцати задач, предложенных по геометрии, мы нашли только одну, для решения которой требуется применить теоремы, относящиеся к основной части курса стереометрии.

«Через вершину конуса 5 проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу а и составляющая с основанием угол ср; расстояние плоскости от центра основания конуса равно*/. Определить объем конуса».

Вычислить объем конуса, если а=3,9дм, а = 70°20'42“; ср = 49°17г51“. Эгу задачу, вполне доступную по своей трудности среднему ученику, следует признать вполне удовлетворительной по своему содержанию именно потому, что для решения ее учащиеся должны показать, что они в достаточной степени владеют началами стереометрии.

Если учащиеся приучены сопровождать свои решения краткими объяснениями; если они объяснили, почему угол ср равен линейному углу 5D“>; если они доказали, что плоскости S ID и SAB взаимно перпендикулярны и что перпендикуляр ОМ, опущенный из центра основания на плоскость SAB, должен поэтому упасть на апофему SD треугольника SAB; если после этого они из треугольника SOD нашли

затем

и окончательно

то на основании решения такой задачи, изложенного достаточно четко, можно почти безошибочно вынести заключение, что начала стереометрии усвоены в достаточной степени.

Нам представляется, что в дальнейшем все задачи по геометрии, которые предлагаются на письменных испытаниях, должны, подобно последней приведенной задаче, содержать хотя бы в самой несложной форме конструктивный элемент. В своих решениях задач учащиеся должны показать понимание и умение применять основные начала стереометрии наряду с пониманием основных формул, служащих для вычисления поверхностей и объемов.

Закончим наш обзор задач по геометрии, предложенных на выпускных испытаниях в ленинградских школах, замечанием относительно данных численных значений величин. Нет никакой необходимости загружать учащихся

громоздкими вычислениями, и мы находим поэтому вполне правильным, что линейные размеры в большинстве задач даны с 2—3 верными цифрами. Но тогда нет никакой надобности давать углы с точностью до 1“. Помимо того, что это вносит ненужные осложнения в вычисления, не имеет никакого смысла с точки зрения теории погрешностей давать, как, например, в последней задаче, линейные размеры с относительной ошибкой в 2 —% и углы с относительной ошибкой меньше 0,00002. Это несоответствие между точностью линейных размеров и углов мы находим во всех задачах.

Переходя к рассмотрению предложенных тем по алгебре, надо заметить, что и здесь составители тем не отступили от тех стандартных типов, которые мы выше перечислили. Но в отношении алгебры надо заметить, что установившийся здесь стандарт объясняется не предпочтительным интересом составителей тем к некоторым излюбленным ими вопросам, а обусловливается теми узкими рамками, в которые должны быть втиснуты задания по алгебре, согласно инструкции относительно выпускных испытаний.

В то время как составителю задач по геометрии предоставляется широкий простор, так как программой X класса по геометрии охватывается обширный материал, составитель задач по алгебре крайне ограничен в выборе материала для экзаменационных тем. По смыслу существующих инструкций оканчивающие среднюю школу подвергаются испытаниям по математике только в пределах того материала, который прорабатывался в X классе. Между тем курс X класса по алгебре представляет собой мозаику, составленную из отдельных, не связанных между собой статей, из которых некоторые имеют лишь второстепенное значение как для дальнейшего изучения математики в высшей школе, так и для общего математического развития. Курс X класса по алгебре составляют: теория соединений и бином Ньютона; исследование системы уравнений 1-й степени и квадратного трехчлена; решение уравнений высших степеней, приводящихся к квадратным уравнениям (возвратные уравнения, трехчленные уравнения вида ах2П + Ьхп + с = 0и двучленные уравнения); комплексные числа и действия над ними.

Перечисленные статьи и являются тем материалом, из которого могут быть почерпнуты темы для выпускных испытаний. Конечно, можно было бы пожелать, чтобы при окончании средней школы учащиеся показали бы умение владеть всем математическим аппаратом, который входит в курс элементарной математики, а не отдельной выхваченной из него частью, случайно отнесенной к курсу X класса. Можно вообще усомниться в целесообразности построения курса алгебры X класса, органически не связанного с курсами предыдущих классов, составляющими главный костяк алгебраических знаний, которые учащиеся приобретают в средней школе. Следовало бы скорее пожелать, чтобы курс X класса явился синтезом математических знаний, чтобы здесь учащиеся научились применять к одним отделам математики знания, вынесенные из других отделов; чтобы математические знания, которые по необходимости приобретаются в разрозненном виде, здесь сливались в одно целое, и именно как единое неразрывное целое представлялись бы сознанию учащихся.

Но даже, если по недостатку времени и не представлялось бы возможным придать курсу X класса синтетически-повторительный характер, все же можно пожелать, чтобы на выпускном испытании оканчивающие среднюю школу показали общее математическое развитие и обнаружили умение ориентироваться во всем пройденном материале, а не только в отдельном отрезке программы, к тому же менее других пригодном для составления правильного суждения о знаниях учащихся в области алгебры. Такая постановка выпускных испытаний по математике нисколько не шла бы в разрез с интересами учащихся, имея в виду, что через 2—3 месяца значительная часть из них представится к приемным испытаниям в вузах и втузах, на которых будет производиться проверка их знаний по всему курсу математики средней школы.

Но как бы то ни было, существующее положение не таково, и темы по алгебре для выпускных испытаний по необходимости остаются ограниченными тесными рамками курса алгебры X класса, сохраняя лишь тонкую связь с остальным курсом в виде задач на составление уравнений. При таких условиях вполне понятно, что задания по алгебре крайне однообразны по своему характеру.

Переходя к рассматриваемым нами темам по алгебре, предлагавшимся в ленинградских школах, надо сказать, что со стороны составителей тем видно большое старание сделать их возможно более разнообразными. Все задачи на составление уравнений, вошедшие в разные темы, различны по своему содержанию. Все они принадлежат к тем типам задач, которые даются в стабильном задачнике. Но поскольку для ленинградских школ было составлено тринадцать различных вариантов, то

ими было захвачено достаточное число различных типов задач, чтобы дать материал для суждения о том, в какой степени учащиеся овладели умением давать математическую формулировку условиям задачи. Приведем некоторые из предложенных задач.

1) Ми TV два колхоза, расстояние между которыми 6 км. Из N отправляется автомобиль, удаляющийся от обоих колхозов. Через 5 минут из M выезжает ему вдогонку второй автомобиль, имеющий скорость на 12 км большую, чем первый. На расстоянии 30 км от N второй автомобиль нагоняет первый. Найти через сколько времени это произошло?

2) Произведение двух дробей равно —; разность их знаменателей равна 4; числитель дроби, имеющей больший знаменатель, на 7 меньше своего знаменателя, а числитель другой дроби на 1 меньше своего знаменателя. Найти эти дроби.

3) Разность двух чисел равна 48; разность их среднего арифметического и среднего геометрического равна 18. Найти эти два числа.

4) Прямоугольная рама, ширина которой равна 5 см, имеет площадь в 900 см2. Площадь картины, находящейся в раме, равна 1500 см2. Вычислить длину и ширину картины.

5) Найти двузначное число, которое, будучи разделено на произведение его цифр, дает в частном 2,7. Если из этого числа вычесть 9, то получится число, в котором цифры написаны в обратном порядке.

Некоторым анахронизмом звучат такие задачи, в которых данные не даются непосредственно, а являются решениями другой задачи, которую необходимо предварительно решить, прежде чем перейти к основной задаче. Такова, например, задача: «Найти двузначное число, сумма цифр которого равна 9. Если переставить его цифры одну на место другой, то получится новое число, большее третьей части искомого на п единиц, где п определяется из условия: = 20Л%.

Такое искусственное сцепление разнородных задач, весьма обычное в старых задачниках дореволюционного времени, давно осуждено методической мыслью, и едва ли полезно к нему возвращаться при составлении задач для современной советской школы. Среди тринадцати вариантов приведенная нами задача — не единственная в этом роде.

Следует также обратить внимание на неудачный иногда подбор числовых данных, указывающий на то, что задача не была предварительно решена составителем темы. Такова, например, задача:

«Разделить число 125 на три части, образующих непрерывную геометрическую пропорцию, в которой первый член превышает последний на 120».

За исключением задачи на составление уравнения, темы по алгебре в остальной своей части крайне однообразны. Во всех 13 вариантах, содержавших по три задачи, фигурирует задача, в которой требуется вычислить какой-либо член разложения бинома или определить степень бинома по данному члену и т. п. Наконец, каждому учащемуся предлагалось еще решить возвратное уравнение или трехчленное уравнение, приводящееся к квадратному, или кубическое уравнение, где один корень находится почти непосредственно. Таковы, например, уравнения:

Смысл таких задач заключается в том, чтобы проверить, насколько учащиеся овладели теоремой об условии делимости целого многочлена на двучлен х — а (теорема Безу).

В целях проверки понимания смысла и применения теоремы Безу следовало бы признать более удачной другую из предложенных задач:

«Решить уравнения

ах* — 5а:3 — 38л:2 — Ъх + а = 0,

где а определяется условием, что многочлен

uA — 2>u?+u^-a

делится без остатка на двучлен « — 2», если бы мы тут не имели искусственного соединения двух задач, которое мы вообще считаем нецелесообразным.

Закончим наш обзор приведением следующей задачи, которая фигурировала в одном варианте.

«Найти q в биквадратном уравнении*: а;4 + Зл:3 + ? = 0, зная, что хх + х2 = 2».

* Авторы пользуются терминологией немецких и итальянских математиков, называющих биквадратным всякое уравнение 4-й степени.

Нам представляется, что эта задача по своей трудности превышает средний уровень учащихся, если в классе не велись специальные упражнения на решение подобных задач. Слишком много требуется в этой задаче от учащегося. Формулы Вьета, устанавливающие связь между корнями и коэфициентами уравнения, вообще относятся к курсу высшей алгебры. Поэтому учащийся должен был сам догадаться применить формулу умножения биномов и метод неопределенных коэфициентов, чтобы притти к уравнениям:

•*1 + *2+*3 + *4 = — 3 (1)

+ *л + *л = о (2)

~Т“ ^i«^2^4 “f“ xlxSXé “Т“ Х2Х&Х4 === ^ (3)

Но и после составления этих уравнений учащийся должен еще догадаться представить уравнение (2) в виде

и уравнение (3) представить в виде

и из последних двух уравнений найти

откуда

Приведенную задачу вполне уместно было бы предложить на математической олимпиаде, но для выпускных испытаний едва ли можно признать ее подходящей. К сожалению, мы не знаем, сколько учащихся справились с этой задачей, равно как и не знаем, предлагалась ли она всем учащимся или только в тех классах где велись предварительно соответствующие упражнения.

ИЗ ОПЫТА

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВА

В. СЧАСТНЕВ (Коломна)

В учебниках по алгебре (в том числе и в стабильном учебнике А. Киселева) для доказательства неравенства обычно дается прием, который заключается в том, что предложенное неравенство преобразовывают в другое — очевидное. Затем, исходя из этого очевидного неравенства, путем логических рассуждений доходят до предложенного.

Таким путем, например, доказывается, что среднее арифметическое двух чисел более среднего геометрического между ними; или: если сумма переменных чисел х и у остается постоянной, то их произведение будет наибольшим при равенстве этих чисел (Киселев, § 137).

Можно предложить другой способ, основанный на том, что число а будет: 1) более числа Ь, если разность а —- Ъ окажется положительной; 2) менее Ь, когда разность а — b отрицательна и 3) наконец равно Ь, если а — b равно нулю.

Таким образом, если мы хотим, например, узнать, увеличивается или уменьшается правильная дробь — от прибавления к членам ее одного и того же положительного числа с, то должны будем выяснить, какова окажется разность---.

Делаем это:

Так как с > О и а<С,Ь, то результат оказался отрицательным. На основании вышеизложенного можно сказать, что —<-.

Берем другой пример. Доказать, что во всяком треугольнике полупериметр больше каждой из сторон. Берем одну из сторон треугольника, хотя бы а, и смотрим, какая будет разность i

Так как во всяком треугольнике сумма двух сторон всегда больше третьей, то i + +c — а>0 и, следовательно, р — #>0, или р>а.

Следующий пример.

Доказать, что среднее арифметическое двух чисел больше среднего геометрического между ними. Обозначая числа через а и Ь, берем разность

Видим, что при афЬ эта разность положительна и равна 0, когда а = Ь.

Отсюда следует, что для двух неравных чисел —•—> у ab.

Наконец, берем пример, приведенный в § 137 стабильного учебника Киселева. Если сумма двух переменных чисел х и у остается всегда равной постоянному числу а, то их произведение будет наибольшим при равенстве этих чисел (т. е. когда х =

Следовательно, требуется доказать, что

Поступаем, как и раньше:

При хфу полученное выражение отрицательно. Следовательно, неравенство доказано.

Все примеры на тождественные неравенства, помещенные в стабильном задачнике Шапошникова и Вальцова, довольно просто решаются по этому способу.

Помимо этого, данный способ легко объясняет основные свойства неравенств. Возьмем, хотя бы умножение обеих частей на отрицательное число.

Пусть а<Ь и число т<0. Спрашивается, какой вид примет неравенство, если обе части его умножить на т. Для этого берем разность

am — bm = m (а — b).

Видим, что при данных условиях она положительна. Следовательно, am > bm.

Знак неравенства изменился на противоположный.

Разберем еще вопрос о почленном вычитании двух неравенств.

Пусгь сначала оба они будут одинакового смысла, например а> b и c>d.

Будет ли а — с более или менее b — d>

(а — с) — (b — d) = а — с — b +d = = (a-b) + (d-c).

Первое слагаемое положительно, а второе отрицательно. Поэтому про их сумму ничего определенного сказать нельзя. Следовательно, вопроса о почленном вычитании двух неравенств одинакового смысла ставить нельзя. Иное дело, когда данные неравенства противоположного смысла. Пусть а> b и c<d. Вычитаем почленно и производим исследование:

(а — с) — (Ь — d) = a — с — b+d =

= (а — *) + (rf — с).

Так как здесь оба слагаемых положительны, то и результат положителен. Поэтому а — с> b — d.

МЕТОДИЧЕСКАЯ ЗАМЕТКА О ВЫНЕСЕНИИ ЗА СКОБКИ ЗНАКА МИНУС И О ЗАКЛЮЧЕНИИ ГРУППЫ ЧЛЕНОВ В СКОБКИ, ПЕРЕД КОТОРЫМИ СТАВЯТ ЗНАК МИНУС

Г. ЛЮТЦАУ (Москва)

Вынесение за скобки знака минус для многих учащихся является камнем преткновения и они, если методически как следует не разобрать этот вопрос в классе, навсегда будут в лучшем случае чувствовать неуверенность в том, правильно ли они совершают эту операцию или нет.

Необходимо отметить, что вынесение за скобки знака минус в некоторых случаях не удается сразу и преподавателям математики VII класса, когда они решают такой пример на разложение на множители

Ър(р-д)-5 (q-pf;

вместо того, чтобы решать его правильно, как указано ниже:

и получить правильный ответ

(Р-1) (5?-2р),

педагог допускает ошибку и пишет

получая неправильный ответ. Это решение проводится на доске и записывается в ученические тетради.

Мы думаем, что этот коварный пример надо разобрать как следует в классе, дав различные варианты решения этого примера, что, с одной стороны, пробудит математическую инициативу, а с другой стороны, даст учащимся уверенность в правильности делаемых ими преобразований или покажет их неправильность.

Следует предложить решить этот же пример иначе, например так:

После этого примера хорошо решить примеры аналогичные, где приходится иметь дело с вынесением знака (—) из скобок, входящих в нечетные и четные степени, и сделать с учащимися вывод, что знак перед скобками при вынесении минуса за скобки не меняется на обратный, если скобка в четной степени, и меняется, если скобка в нечетной степени. Это правило, не являющееся новым, все же рекомендуется запомнить.

Аналогично обстоит с вопросом группировки членов при разложении на множители. Здесь учащиеся также часто путаются в расстановке знаков.

Например, ученик часто так решает следующий пример:

т. е. в первом случае он позабыл переменить знак у+\ на обратный, а во втором случае он неверно следовал правилу, что у всех членов меняется знак на обратный, полагая, что у b стоит знак+догда как в действительности у b знак—.Этот пример можно предложить решить так, чтобы почувствовать уверенность в применении правила заключения в скобки, иначе так:

Решив один и тот же пример различными путями и придя к одному и тому же результату, учащиеся, во-первых, приобретут уверенность в правильном употреблении встречающихся правил, а во-вторых, разовьют математическую смекалку, что в алгебре чрезвычайно полезно и необходимо для решения 3 равнений. Если к этому еще добавить критику различных подходов к решению одной и той же задачи (с точки зрения быстроты и изящества решения ее), которую предложит вниманию класса преподаватель, то степень усвоения материала и интерес будут значительно повышены. А последнее так необходимо в нашей советской школе.

О МЕТОДЕ ГРУППИРОВКИ

Н. ПОПОВ (Новочеркасск)

Разложение на множители алгебраических выражений один из трудных разделов алгебры.

В настоящей статье не имеется в виду дать полную методическую обработку этого раздела,— я только хочу здесь обратить вникание на отдельные моменты этого раздела, требующие с моей точки зрения некоторой перестройки традиционной методики. Я буду исходить из той мысли, что метод группировки может быть понят средним учащимся только при условии ясного понимания им того, как получается многочлен в результате умножения двух или нескольких многочленов. В «данном случае для понимания процесса решения обратной задачи (разложение многочлена на множители, преобразование многочлена в одночлен — произведение) необходимо ясное понимание всех этапов процесса решения прямой задачи (умножение двух или нескольких многочленов). В практических указаниях, предшествующих каждому новому разделу в «Сборнике алгебраических задач» Шапошникова и Вальцева, учащимся дается правило, согласно которому при умножении многочлена на многочлен каждый член

одного многочлена следует умножить на каждый член другого многочлена. Учащиеся, конечно, так и поступают, и решение задачи (а + Ь) (х+у) выглядит так: (а + Ь) (х + +у) = ах + Ьх +ay + by. При такой методике из процесса решения прямой задачи (умножение многочлена на многочлен) выпадает этап, когда данное произведение изображается как алгебраическая сумма произведений каждого члена одного многочлена на весь другой многочлен в целом. Если иметь это в виду, то умножение (х+у) на (а + Ь) следует подробно выполнить так:

(a + b) (x+y) = (a + b) х + (а + Ь) у = = ах + Ьх + ay + by.

Для ближайших целей (научить умножать многочлены) писать (а + b) х + (а + b) у нет надобности, но, имея в виду методические затрудн:ния при изучении метода группировки, следует проделать с учащимися достаточное количество примеров, решая их подобным образом. Нечего и говорить о том, что правило умножения многочлена на многочлен должно быть сформулировано в этих целях так: при умножении многочлена на многочлен надо первый многочлен умножить на каждый член второго многочлена. По истечении известного времени, когда учащиеся приступят к ознакомлению с методом группировки, они успеют забыть подробный ход решения задачи умножения многочлена на многочлен, твердо усвоив только лишь быстрое получение окончательного результата. Поэтому, приступая к объяснению сущности метода группировка, надо воспроизвести процесс умножения многочлена на многочлен в вышеизложенном смысле, например выписать на доске простой пример, вроде:

(а + Ь) (х+у) = (а + Ь) х+(а + Ь)у = = ах + Ьх + ay + by.

Затем следует сосредоточить внимание учащихся на I равенстве

{a + b) (x+y) = (a + b) х+(а + Ь)у

или, лучше, в таком порядке

(a + b) x + (a + b) у = (а + Ь) (х+у).

Таким образом учащиеся хорошо поймут, что выражение (а + Ь) х + (а + Ь) у произошло в результате умножения (а + Ь) на (х+у), и, следовательно, может быть преобразовано в произведение. Чтобы гарантировать полное усвоение метода группировки, следует, быть может, вначале предложить учащимся решить 10—15 задач такого рода.

Представьте произведение многочлена (а + + b + с) на многочлен (x+y + z) в виде алгебраической суммы произведений каждого члена первого многочлена на весь второй многочлен в целом. Решение требовать представлять в виде:

(х+У + z) (a + b + c) = a (x+y + z) + + b (x+y + z)+c (x+y + z)

и т. п.

После этих упражнений учащиеся будут проделывать операцию вынесения общего множителя [в примере (x+y + z)] не формально, а понимая ее сущность. Опыт показывает, что такая методика первоначального ознакомления с методом группировки связывает в сознании учащихся прямое [(# + Ь) (х+у) = а(х+у) + Ь (х+у) = = ах + ау + b к + by)] и обратный [ах + ау + Ьх + by = а (х4-+ у) + b (x + у) = (а + Ь) (х + у)] процессы, чего не получается при выпадении звена а (х+у) + Ь (х+у) в прямом процессе. Кроме того, предотвращаются многие ошибки, происходящие от формального объяснения метода группировки. Примеры ошибок:

1) 35а2 (х__^) + 5аз (х_у)=5а2 (Х—у)+ 30 +а, вместо 5а2 (х — у) (7 + а).

2) Учащиеся, поясняя ход решения задачи, употребляют выражения: «после вынесения общего множителя от первого члена остается» ит. д., вкладывая в слово «остается» неверный смысл. Очевидно, что здесь, как и вообще в методике, каждое слово преподавателя должно быть взвешено и до сознания учащегося должен быть доведен истинный его смысл. В порядке обсуждения укажу на возможность геометрической иллюстрации при разложении на множители мотодом группировки.

S=(a + b) x+(a + b) у (1)

Площадь прямоугольника ABEF равна сумме площадей прямоугольников ABCD и COEF (1).

Но площадь прямоугольника, с другой стороны, равна произведению его сторон, следовательно многочлен (a + b) х + (а + + Ь)у можно преобразовать в произведение, а

именно:

(а + Ь) х + (а + Ь) у = (а + Ь) (лг+jy).

Включение в число упражнений задач, в которых разложение на множители выполнялось бы на основании геометрических соображений, является желательным.

В МЕТОДИКЕ ЛОГАРИФМОВ

Н. ГОРУН (Одесса)

В методике алгебры Чистякова в разделе о логарифмах, кроме материала стабильного учебника Киселева, почти ничего нет. Между тем эта тема усваивается учащимися нелегко (новизна материала, символизм в записях, обилие чисел при вычислениях).

Теорема, что если десятичный логарифм целого числа не есть целое число, то он не может быть и точной дробью — доказывала, но не убеждала учащегося, что логарифмы — числа приближенные. Когда он видел в таблице lg 2 = 0,30103 и ему писали, что это значит 10°'30103 ~2, то всегда являлся вопрос, как это проверить? Автор настоящих строк подошел к этому вопросу так, чтобы сами учащиеся находили приближенные значения логарифмов чисел от 1 до 10, могли сами убедиться, что это приближенные числа.

Работа протекает так.

I. Наша система счисления десятичная: цифры имеют «поместное значение» а) 3 = = i + i + i; б) 33 = 3 . 10 + 3; в) 333 = = 3 . 100 + 3 . 10+3 и т.д.; г) 2376 = = 2 . 10» + 3 . 102 + 7 . ю + 6 . 10°; д) 37,654 = 3 - 10* + 7 . 10° + 6 • 101 + + 5 . Ю-2 + 4 . 10~3 (с такой записью учащиеся знакомы еще с арифметики, здесь только вводится нулевой и отрицательный показатель). Вывод: всякое число можно представить как сумму с помощью его цифр и степеней числа 10.

II. Можно, пользуясь вышеуказанным разложением чисел, умножать и делить их на 10. Таким способом: а) 2376 . 10 = (2 . 103 + + 3 . 102+7 . 10 + 6 . \0«).\01 = 2- 104 + + 3 . 103 + 7 . 102 + 6 . 101 = 23 760 (при умножении показатели одинаковых цифр складываются); б) 2376 :10 = (2 • 103 + + 3 . 102 + 7 . ИР+ 6-IP) :10 = 2 .102 + + 3 . Ю1 + 7 . 10° + 6 . Ю-1 = 237,6 (показатели одинаковых цифр при делении вычитаются).

III. Уже эти свойства числа 10 подсказывают, что удобно было бы построить систему логарифмов с основанием 10, т. е. написать каждое число, как 10 в точной или приближенной степени.

а) lg 1 = 0, так как 10°= 1;

б) чему приближенно может равняться lg 2? накануне учащимся было предложено подыскать такие степени 2, 3, 5 и 7, которые очень близко подходили бы к степеням 10; поэтому учащиеся указали, что 210~103; откуда 2—1010 или lg 2 — 0,3 (с недостатком);

в) lg 3 = ?; З2 ~ 10; 3 « jAO; 3 ~ Ю2 ; lg 3 ~ 0,5 (с избытком);

г) lg 4 = lg 22 = 2 lg2^ 2 ^ 0,3^0,6 (с недостатком) ;

д) lg 5= ?; 510~ 107; 510^27 . 57; 53^27 (разделив обе части неравенства на 57); 125^ 128;31g5~71g2;31g5~7.0,3;lg5 = = 0,7 (с недостатком или с избытком — сказать нельзя, так как lg 2 с недостатком, но 7 lg 2>3 lg 5);

е) lg6 = lg(2.3) = lg 2 + lg 3 = 0,3 + + 0,5 = 0,8 (с недостатком или избытком — неизвестно, так как 0,3 < lg 2, а 0,5 > lg 3);

ж) lg 7=?; 72~50; 72^5 -10; 2 lg7~ ~lg5 + lg 10; 2 lg 7^ 1,7; lg 7~ 0,85 (см. примечание к lg 5);

з) lg 8^3 Ig2;lg8^3 - 0,3^0,9(снедостатком).

Возьмем такое неравенство 93 — 700; 93 — ~ 7 -102- 3 lg 9~ lg 7+2 lg 10; 3 lg9 ~ 0,85+ + 2; (см. прим. к lg 7); lg9 = 0,95.

Сравним наши вычисления с вычислениями более точными.

Из таблицы видно: а) что наши вычисления совпадают с табличными с точностью до 0,1 и для lg7 и lg9 с точностью до 0,01; б) из таблицы можно установить с недостатком или с избытком нами найдены lg 5, lg 6, lg 7 и lg 9.

Логарифмы

наши

табличные

1

0,0000

0,0000

2

0,3

0,3010

3

0,5

0,4771

4

0,6

0,6021

5

0,7

0,6990

6

0,8

0,7782

7

0,85

0,8451

8

0,9

0,9031

9

0,95

1,9542

10

1,0000

1,0000

IV. Напишем два ряда чисел:

1 2 3 4 5 (I)

10°, 100'3, 100'5, 10м, 100'7, (II)

6 7 8 9 10 (I)

100'8, 100'85, 100'9, 10м5 101 (II)

а) Мы составили систему чисел, где числам (I) ряда соответствуют (с известной точностью) числа (II) ряда.

б) Каждую строчку можно было бы продолжить, вычисляя с той или иной точностью, какая необходима для практических (технических) целей.

в) На дом учащимся было предложено, пользуясь логарифмами чисел 1-го десятка, найти приближенные значения логарифмов чисел от 11 до 20, причем lg 11, lg 13. Ig 17, lg 19 найти как среднее арифметическое между предыдущими и последующими числами.

г) Как классная проработка логарифмов первого десятка, так и домашняя второго десятка были проведены с большим интересом учащимися (II курс техникума на базе семилетки).

д) Дальнейшая проработка логарифмов в этой группе показала, что: 1) учащиеся не делали ошибок в характеристиках логарифмов как целых чисел, так и десятичных дробей; 2) быстро освоили интерполирование и 3) если при сложных вычислениях ответы не совпадали в последней цифре, то это легко объяснялось, как результат действий над приближенными числами.

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ЛИНЕЙКА В ПОЛНОЙ СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

И. МАКАРЕВИЧ (с. Чебаки)

Логарифмическая линейка известна в наших полных средних школах только по наслышке. Принцип ее конструкции, практические приемы пользования линейкой, ее значение и применение мало или совсем неизвестны даже многим преподавателям математики, не говоря уже об учащихся. Правда, во втузах она подлежит тщательному изучению, и ни один инженер или техник не должен бы обойтись в процессе своей работы без ее применения, но тем не менее знакомство с логарифмической линейкой должно быть привито уже учащимся IX и X классов.

Остроумное изречение одного из немецких математиков: «Die Mathematik ist die Kunst die Rechnungen zu vermeiden», относящееся к логарифмической линейке, должно быть в наглядной форме доказано и продемонстрировано учащимся старших классов, увязывая это с прохождением темы «Логарифмы».

Подобная мысль натолкнула, вероятно, методистов Наркомпроса на необходимость введения в программу математики IX класса (3-я четверть) подтемы о знакомстве с логарифмической линейкой. Хотя в программе не конкретизирован этот пункт, каждому преподавателю математики старших классов пришлось все-таки в этом учебном году подумать над его выполнением.

Как я выполнил этот пункт программы и каких добился результатов, хочу поделиться опытом. Еще при знакомстве с планом работы на 3-ю четверть учащиеся IX класса радостно приветствовали эту подтему и с нетерпением ждали, когда я начну знакомить их с этим «таинственным» прибором. Кстати к тому времени школа получила 22 логарифмические линейки малого размера (одна на каждого учащегося), и началась работа. Без ущерба для прохождения остальной части программы, я отвел на эту тему 5 часов. Как вообще всякая новинка, так и проработка этой темы прошла с величайшим интересом. Показав части линейки и их назначение, я познакомил учащихся с принципом ее конструкции. Повторив свойства логарифмической функции,

они узнали, что логарифмическая линейка это идеальное применение этих свойств для практических целей, что она представляет со5ою график функции, что весь отрезок линейки от 1 до 10 — не что иное, как геометрическое изображение 10, что части этого отрезка (основная шкала линейки) от 1 до 2, от 1 до 3 и т. д. — такие же изображения lg 2, lg 3 и т. д. Учащиеся личными измерениями убедились, что отрезок от 1 до 2 составляет приблизительно 0,3 всей линейки, а отрезок от 1 до 3 — приблизительно 0,5 ее, так как lg 2 = 0,30103 ~ 0,3, a lg3 — = 0,47712^0,5 и т. д. Они познакомились со шкалами и научились читать числа. Зная, например, что lg 2 + lg 3 = lg (2 X 3) = *g 6> и что lg 6 — lg 3 = lg (6 :3) = lg 2, учащиеся сами сделали практический вывод, как двигать движком и визиром при умножении и делении чисел. От легких примеров умножения и деления мы перешли к более сложным. Была указана точность вычислений и перечислены действия, которые можно производить с помощью линейки. Особенно понравились и вызвали восхищение у учащихся решение пропорций и вычисление процентов. Познакомил я их и с возведением чисел в квадрат и с извлечением квадратного корня при помощи линейки. Определения логарифмов чисел и тригонометрических функций, а также возведения чисел в куб и извлечения кубического корня показать не пришлось из-за отсутствия соответственных шкал на имеющихся линейках. Пришлось удовлетвориться только наружным осмотром моей линейки системы «Rietz'a». Была указана учащимся и литература по изучению логарифмической линейки: Базикович и Фридман «Приближенные вычисления», Гаврилов «Практика вычислений».

Я наблюдал у учащихся сильное увлечение линейкой и своего рода соревнование в усвоении ее. Вычисления производились ими не только на уроках математики, но и на переменах, в столовой, в интернатах. Каждый старался устранить сомнение в производимых им вычислениях, что вызвало массу вопросов. Линейкой заинтересовались учащиеся и других классов, а X класс поставил вопрос ребром и потребовал проработки этой темы, что и будет мною сделано в течение 4-й четверти за счет свободных шестых уроков шестидневки по договоренности с учебной частью.

Учащиеся осознали значение логарифмической линейки и поняли, какую рационализацию времени (до 90%) она может дать любому, особенно инженеру и технику, при наличии у них достаточного практического навыка в обращении с нею. В связи с весенним перерывом линейки были оставлены на руках у учащихся с целью тренировки. Вышеуказанное изречение, что математика есть искусство избегать вычислений, осознано и записано учащимися в их тетрадках наравне с остальными правилами и чертежами проработанной темы. Желательно было бы, чтобы все полные средние школы были снабжены не малокалиберными логарифмическими линейками, а 25-сантиметровыми, наиболее распространенной в СССР системы «Rietz'a», и чтобы логарифмическая линейка не оставалась достоянием только узких специалистов. Тщательное изучение ее в полной средней школе можно было бы перенести на кружковые занятия. Польза от умения обращаться с логарифмической линейкой широких масс работников умственного труда не только для каждого лично, но и для интересов нашей страны, производства и соцстроительства очевидна.

ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ КРУГА

(Историческая заметка)

М. КИТАЙ (Москва)

Приведенная ниже цитата — из сочинения Авраама бен-Меир ибн-Эзра, именно из его комментария к библии, содержащего много ценных математических и астрономических сведений. Он жил в XII веке в Испании. Будучи крупным филологом, он первый обработал грамматику древнееврейского языка. В комментариях к библии его глубокие критические замечания по вопросу о происхождении библейских книг предвосхитили ряд положений современной библейской критики. Спиноза чрезвычайно ценил эти сочинения и в своем «Богословско-политическом трактате» развил отдельные его положения.

В этом комментарии имеется такое место.

«Если построить круг с диаметром в 10 единиц, провести в нем перпендикулярно к диаметру хорду, отсекающую— диамет-

ра и построить на ней равнобедренный треугольник, то площадь этого равнобедренного треугольника будет равна длине окружности нашего круга, а также площадь построенного на этой хорде прямоугольника тоже будет равняться этой длине (т. е. эта площадь содержит столько квадратных единиц, сколько соответствующих линейных единиц содержит длина окружности.—М. К.) А до десяти и после десяти (т. е. при диаметре, меньшем и большем десяти.— М. К.) отношение этих площадей к длине окружности будет равно отношению этих чисел к десяти»!

Покажем справедливость этого утверждения автора.

Пусть имеем окружность с диаметром СС = D. Через точку Е на расстоянии — от центра О проводим хорду AB, перпендикулярную к СС\ и точки А и В соединяем с С. Вычислим площадь равнобедренного треугольника ABC.

(1)

Высота СЕ по построению равна — D. Величина АЕ найдется из треугольника АЕО:

Подставляя найденные выражения в (1), получим

(2)

Длина окружности C=îùD. Отсюда

Вычислим величину коэфициента

беря У2 и тс с точностью до 4-го десятичного знака:

И наконец

Итак:

(3)

Эта формула и доказывает правильность (конечно с известной степенью приближения) приведенной цитаты.

Действительно, при D = 10 имеем:

-=1; S=C. С

При D^IO формула (3) показывает, что отношение S к С равно отношению D к десяти.

Нетрудно видеть, что высота прямоугольника, построенного на той же хорде, будет равна половине высоты треугольника, т. е. —-, а, следовательно, его площадь равна площади треугольника.

Так как площадь круга Sx =-, то из формулы (3) легко получаем

т. е. площадь треугольника (или прямоугольника), построенного указанным выше способом, равна 0,4 площади соответствующего круга.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

ПРОГРАММА ТРИГОНОМЕТРИИ И СТАБИЛЬНЫЙ УЧЕБНИК РЫБКИНА*

В. КРОГИУС (Ленинград)

Тригонометрия изучается в средней школе в трех старших классах, но в VIII классе на изучение ее отведено только 8 часов.

Основным вопросом построения программы является вопрос: в один или в два концентра? Этот вопрос поставлен уже на страницах журнала и обсуждается в нескольких статьях и заметках. Так как некоторые авторы высказываются за сохранение двух концентров и программа построена также в предположении двух концентров (правда, первого очень краткого), то я буду исходить из разделения курса на два концентра.

Построение первого концентра так, как оно охарактеризовано т. Матышук, осуществлено уже в моем учебнике, изданий 1931 и 1932 гг. Соображения, которые приводит т. Матышук (последний номер журн. «Математика и физика» за 1936 г.), руководили и мною при составлении учебника. Хотя в моем учебнике (и по плану т. Матышук) изучение первого концентра идет после изучения теоремы Пифагора, но едва ли можно возражать против того плана, которого придерживается программа: ввести понятие о тригонометрических функциях острого угла непосредственно вслед за подобием. Дело в том, что при этом плане как теорема Пифагора, так и вообще метрические соотношения в прямоугольном треугольнике получаются проще всего с помощью тригонометрических функций. Действительно, обозначив через а и b — катеты, а1 и Ь1 — проекции их на гипотенузу и h — высоту, опущенную на гипотенузу, из прямоугольных треугольников имеем:

(I) а1 = a sin Л; (2) Ь1 = b cos А

(II) а = с sin А\ (21) Ь = с cos А.

Из равенств (1) и (I1) и равенств (2) и (21)' перемножая накрест, получаем аг = а1 с и Ъ* = = Ь% а затем и теорему Пифагора. Иначе, из равенств (1) и (I1) и равенств (2) и (21) прямым перемножением получаем я1 = с sin2 Â н b1 = = с cosM; отсюда получаем sinM + cosM = 1 и теорему Пифагора. Конечно соотношение h2 = = агЬ1 получается так же просто.

В программу VIII класса по тригонометрии следовало бы включить следующее.

Тригонометрические функции острого угла как отношения сторон прямоугольного треугольника. Изучение их изменений. Таблицу натуральных значений. Соотношения между функциями одного угла. Значения тригонометрических функций углов в 30°, 45°, 60°. Решение прямоугольных треугольников. Приложение к задачам.

Изучение метрических соотношений в треугольнике можно также включить сюда или предпослать прохождению тригонометрии. Число часов, отпущенных на собственно тригонометрию, надо несколько увеличить, но изучение метрических соотношений потребует немного меньшего числа часов, чем теперь.

Программу IX и X классов следует построить так, чтобы основным вопросом учебного курса тригонометрии было изучение тригонометрических и круговых функций, а не решение треугольников. А в стабильной программе нет даже упоминания об изучении тригонометрических функций, об их изменениях, а есть только «графики». Между тем изучение тригонометрических функций должно быть целью, а таблицы и графики—средством их изучения. Поэтому первую часть программы IX класса следовало бы составить примерно так.

Градусное и радианное измерение дуги и угла. Обобщение понятия угла и дуги. Тригонометрические функции угла и дуги. Соотношения между функциями одной дуги. Тригонометрические тождества. Формулы приведения и периодичность. Значения тригонометрических функций дуг 0, —, тс.. Изменения тригонометрических функций (синуса, косинуса, тангенса) и изучение их с помощью таблиц и графиков. Возрастание и убывание их, ускоренное и замедленное. Общий вид дуг, имеющих данное значение функции.

Принимая вторую часть программы IX класса, следует, я думаю, указать, обобщается ли теорема сложения на всякие дуги. Полагаю, что ее следует обобщать.

Программа X класса представляется мне построенной вообще правильно. Однако и здесь нет упоминания об изучении функций, в данном случае круговых (которые названы обратными круговыми; они обратные тригонометрическим, но термин «обратные круговым» едва ли хорош, так как тригонометрические функции у нас обычно не называют круговыми).

Формулы Мольвейде можно совсем выкинуть из программы. Если же их сохранить, то следует поместить их в связи с решением треугольника по двум сторонам и углу между ними. Только в этом месте курса применение их целесообразно, так как другие вопросы (особые случаи решения треугольников), в которых они могли бы быть полезны, не входят в программу.

Число часов (20), отведенных на решение треугольников, можно было бы сократить (часов на 5, если не больше). В видах экономии времени можно было бы ограничиться вычислениями с четырехзначными таблицами, сделав соответствующее указание в объяснительной записке к программе.

* Статья написана по предложению редакции.

Обращаясь к стабильному учебнику, рассмотрим, в каких пунктах он отступает от программы, и целесообразны ли эти отступления.

В учебнике проведено разделение на два концентра. Определения тригонометрических функций и в первом концентре даны в связи с кругом. Если давать такие определения, то вызывает недоумение, почему они введены только для острых углов; этими определениями смысл первого концентра уничтожается. Между тем программа говорит «тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике» (терминология не совсем хорошая), явно указывая, что определения должны быть выражены через элементы прямоугольного треугольника.

Нецелесообразность определений, данных в учебнике, обнаруживается в § 10, посвященном тостроению острого угла по данному значению пригонометрической функции. Насколько проще решалась бы вторая задача (построить угол, если известно, что его котангенс равен 2), если бы учащийся знал, что котангенс острого угла равен отношению прилежащего к нему катета к противолежащему.

Уже в первом концентре автор пользуется теоремой Пифагора, как известной; между тем теорема Пифагора согласно программе изучается позже. Из 19 параграфов, посвященных первому концентру, в шести (12, 13, 14, 15, 19,22) встречаются ссылки на теорему Пифагора; преподавателю придется пропустить их. Но беда в том, что в § 27 обобщаются формулы, выведенные в § 12—15, причем автор ссылается на эти параграфы: преподавателю придется вернуться к § 12. В связи с этим возникает целый ряд неудобств.

Совершенно напрасно Рыбкин предпосылает первому концентру параграф о градусном и радианном измерении углов и дуг. Конечно, этому место перед общим определением тригонометрических функций, как и указано в программе.

Непонятно, зачем автору понадобилось дать формулы приведения для углов в пределах от 0° до 36û° в одном месте и выделить в другой раздел углы, превышающие 360° и отрицательные. (Повидимому у автора три концентр : первый (стр. 7—20), — посвященный острым углам; второй (стр. 20—34), — посвященный углам от 0 до 360° и третий (начиная со стр. 34).

Во всех перечисленных пунктах учебник решительно уклоняется от программы. Между тем стабильный учебник должен быть согласован с программой (большая вина редактора, что он этого не сделал).

Учения о решении треугольников, о тригонометрических уравнениях и круговых функциях рассматриваются не в том порядке, как это указывается программой. Но по отношению к этим вопросам не представляет никаких затруднений, даже пользуясь стабильным учебником, переставить их и пройти в том порядке, как это требуется программой. Но в учебнике-то следовало их все же привести в соответствие с программой.

Перехожу к оценке учебника Рыбкина по существу.

В настоящее время учение о векторах приобретает все большее и большее значение: векторное исчисление (анализ) составляет обязательную дисциплину в математических вузах, некоторые отделы математики и прикладные дисциплины строятся во втузах на основе учения о векторах. И в школе учащийся не раз встретится с векторами как на занятиях по физике, так и в математике при изучении относительных и комплексных чисел. Нет надобности избегать векторов. Напротив того, в основу изучения тригонометрии следует положить понятие о векторе как о направленном отрезке; тем более, что такое построение курса наиболее естественно, наиболее просто. Надо, чтобы отрезки, с которыми мы имеем дело при определении и изучении тригонометрических функций (нельзя же считать тригонометрию «только разросшейся ветвью геометрии», Рыбкин, стр. 3), были направленными и имели определенный знак. Это требование ведет к упрощению выводов, к уменьшению ошибок и недоразумений, к большей общности выводов (если, например, ввести положение о геометрической сумме и о проекции вектора).

Это требование, которое безусловно должно быть предъявлено к учебнику тригонометрии, в учебнике Рыбкина не выполнено. Он считает все отрезки абсолютными и затем явно приписывает им знак или, точнее говоря, не им приписывает знак, а ставит «знак перед отношением их к радиусу» (стр. 22, курсив). Соответственно этому на странице 23 помещена такая запись:

Насколько проще было бы—, где Cß>0 (направлено вверх!) для углов 1-й и 2-й четверти и С£<0 (направлено вниз!) для углов 3-й и 4-й четверти. А в дальнейшем при изучении анализа (например при градусном представлении диференциала) от студента потребуют, чтобы он различал, надо ли писать ВС или СВ\ Отсутствие этого навыка всегда создает затруднения для студентов.

Можно было бы еще защищать то построение, которое дано у Рыбкина, если бы учащиеся не были ознакомлены с направленными отрезками при изучении относительных чисел, где всякий преподаватель, пользуясь числовой осью, должен указать, что знак отрезка зависит от направления, в котором он пройден; без этого обоснованная графическая иллюстрация действий с относительными числами невозможна. А дальше при изучении графика линейной функции разве учащиеся не встретились с направленными отрезками? Или и там обозначать абсциссу—х, если она отрицательна?

Таким образом, учебник Рыбкина не выполняет тех требований, которые должны быть предъявлены в настоящее время к учебнику тригонометрии.

Учебник Рыбкина не считается, пренебрегает теми знаниями, которыми учащиеся уже обладают, и ведет их назад (ко времени до Ньютона), они знали о направленных отрезках: и их знаках, а у Рыбкина снова значения всех отрезков абсолютны и только перед отношением их к радиусу ставится знак!

Учебник Рыбкина развивает в связи с этим вредные навыки: пишет ВС вместо СВ (стр. 23), СЕ вместо ЕС (стр. 24) и т. д.

Повидимому этого уже достаточно, чтобы сказать определенно: учебник Рыбкина должен быть заменен другим, лучшим!

Может быть в былое время, в конце прошлого и начале этого столетия, когда в средней школе не было изучения функций, не было графиков, не было знакомства с системой координат, да и относительные числа изучались часто без связи с числовой осью, учебник Рыбкина мог удовлетворять тем требованиям, которые следовало тогда предъявлять. Теперь он им не удовлетворяет!

Особенно характерен весь § 25. Он построен так, как будто учащиеся не знакомы с правилом Декарта и незнакомы с осями координат. Замечательно, что правило Декарта (при определении знаков тригонометрических функций) здесь и не упоминается (а в прежних изданиях оно было). Вызвано это, конечно, тем, что автор, введя понятия о функциях sec x cosec х при помощи линий, дает особое правило для определения знаков этих функций (стр. 22). Согласно этому правилу, если линия секанса или косеканса имеет направление противоположное подвижному радиусу, то функцию следует считать отрицательной (собственно по Рыбкину «перед отношением линии к радиусу поставить знак—»).

А отсюда получается следующее: sec те =—1 (так должно быть!), а линия, соответствующая но Рыбкину этой функции, оказывается по правилу Декарта положительной!

Отсюда еще интересные вещи. Если рассматривать две дуги, разность которых равна те, то будем иметь на прямой два противоположных положительных направления: одно, совпадающее с направлением одного подвижного радиуса, другое — с направлением другого подвижного радиуса и в то же время оба направления отрицательны!

А вот и еще интересная вещь. Радзишевский, основываясь на таком же определении секанса и косеканса, но с другим (и при том лучшим) определением знаков их (положительны, если проходят через конец дуги), пишет статью («Физика, химия, математика, техника в трудовой школе», № 1, 1930 г.), «назначенную не только для научных работников», в которой уверяет читателей, что функция секанс имеет разрыв для дуг (2&+l)rc, Основывается он на следующем: применяя правило конца дуги, имеем sec [(2k+ + 1)те + 0] =sec [(2k+ 1)те — 0] = — 1. Но как только линия секанса становится горизонтальной, Радзишевский считает необходимым приложить правило Декарта (отказываясь от правила конца дуги) и получает sec те =+1. Далее уже идет речь о несобственном разрыве и о том, что секанс представляет [при x — (2k-rl) те] пример очень удобный, по мнению тов. Радзишевского, для ознакомления не только студентов, но и учащихся средней школы с несобственным разрывом!

Не проще ли было бы определить линию секанса как отрезок начального радиуса или его продолжения от центра до пересечения с касательной, проведенной через конец дуги. Такое определение давал уже Серре. При этом определении знак функции благополучно определяется по правилу Декарта и притом не получается никаких разрывов, даже несобственных. Как всё просто, ясно, понятно.

Нельзя не признать, что определения секанса и косеканса, данные в учебнике Рыбкина, ненаучны!

По поводу § 72, посвященного потере и приобретению корней, можно сделать следующие замечания.

В первом уравнении sin х ctg 2х = 0 при подстановке * = 18i>°.rt получаем 0-оо. Затем автор раскрывает неопределенность, т. е. находит предел функции sin* ctg2*, когда х стремится к 180°л. В данном случае предел неравен нулю и автор заключает, что соответствующее значение x не служит корнем уравнения. Нужно думать, что будь предел равен нулю, автор признал бы 180°*п за корень уравнения.

Рассмотрим этот вопрос подробнее. Функция у = sin x ctg 2 x задана для всех значений xt кроме значений *=180°-л; при х = 180°-л она не имеет никакого значения — следов, не имеет значения нуль, значит не удовлетворяет уравнению sin x ctg 2х = 0.

Этим заключением следует, по нашему мнению, ограничиться в школе. Дело в том, что методы раскрытия неопределенности и тем более смысл и значение раскрытия неопределенности, связанные с понятием непрерывности, не могут быть известны учащимся школы; они и не могут быть поняты на основании отдельных замечаний. Эти не легкие вопросы требуют отдельного внимательного изучения. Лучше совсем не затрагивать их, чем касаться их между прочим, вскользь, как это делает Рыбкин.

Однако рассмотрим, например, уравнение sin2 x ctg 2* = 0. При х=Ш°-п получаем вновь О.оо, но раскрытие неопределенности дает теперь значение нуль и значение 180°-п считают обычно корнем уравнения. Почему же так поступают? Здесь, конечно, считают, что, хотя в первой части и записана функция sin2 х ctg 2 x, но, решая уравнение, решают вопрос, будет ли 180° -п корнем функции, заданной таким образом: для всех значений х, кроме х=\80°*п, она имеет те же значения, что и функция y = sin2* ctg 2х, а для *=180° п она имеет значение Ита?180°л sin2* ctg 2х — значение, введением которого достигается непрерывность ее; между тем функция у = sin2* ctg 2х имеет разрывы. Однако соглашение считать это значение х корнем уравнения надо оговорить: оно никак не может считаться для начинающего само собой разумеющимся.

Стоит теперь только поставить вопрос, может ли учащийся понять это на основании разъяснений, данных у Рыбкина, чтобы без всяких колебаний дать на него отрицательный ответ.

Однако можно заметить, что все, касающееся данного вопроса, изложено у Рыбкина мелким шрифтом (скорее всего учащийся не прочтет этого). Но основные вопросы должны быть в учебнике элементарной математики изложены безошибочно. К сожалению, и этому условию учебник Рыбкина не удовлетворяет.

На стр. 28 (1935 г.) имеется грубая ошибка. Формула для sin (а + ß) установлена для 0°<а<90°, 0°<ß<90°; 0°<<x + ß<90°. Далее автор (редактор?) ставит условие «>ß и выводит формулу для sin (а — ß), подставляя вместо ß в обе части —ß. Так заключать, конечно, нельзя. Если бы не было условия <*>ß, то можно было бы думать, что автор, не желая делать обобщений, просто принимает формулу, выведенную для некоторых углов, за общую. Но здесь вводится условие a>ß, что создает убеждение, что мы имеем строгий вывод.

Следует заметить, что вина за эту ошибку должна быть отнесена всецело на редактора. В прежних изданиях учебника этой ошибки не было; там выражение для синуса разности выводилось на основании геометрических соображений; редактор испортил текст.

В начале страницы 45 (8-я строка сверху) сказано, что две обратные функции выражают одну и ту же зависимость между переменными X и у, но в одной за функцию принято х, а в другой за функцию принято _у. А в середине страницы идет речь об обратной зависимости, обозначенной знаком arc. Но этим знаком обозначается обратная функция и значит обратная функция уже не выражает той же зависимости!

Конечно если переменные х и у связаны уравнением, то у есть функция от лс, а х—обратная функция от у, но зависимость у от х и зависимость X от у не одна и та же (лучше не называть ее обратной). На это следовало обратить внимание. А в учебнике вопрос изложен так, как будто у автора (редактора!) была специальная цель сбить читателя, толкнуть его на те ошибки, которые являются обычными для учащихся.

В прежнем издании этот параграф изложен совсем иначе и все изложение правильно. Напутал редактор!

В прежнем издании в примечании к этому параграфу указано, что arc есть сокращение латинского слова arcus. А в новом издании написано: arc (читается «арк»; по-французски означает дуга, арка). Хотя значение французского слова приведено правильно, но это замечание создает неправильное впечатление, что математическое обозначение arc взято с французского языка. Между тем прежнее примечание напоминало о значении латинского языка — как языка ученых. Из хорошего примечания редактор сделал замечание, ведущее к неправильному представлению.

При построении графического изображения изменений синуса указано, что значения аргумента и функции откладываются на осях ОХ и ОУ в различных масштабах («в другом произвольном масштабе»), как будто специально для того, чтобы учащийся не получил правильного представления об обыкновенной синусоиде, знакомство с которой следовало бы считать обязательным. (В прежнем издании построения синусоиды не было. Опять редактор!).

Можно было бы привести еще несколько неправильных или сомнительных положений, но достаточно и приведенного. Перейдем к свойствам языка учебника. Неправильность и небрежность языка производят во многих местах плохое впечатление.

Тригонометрические линии определены так. Линией синуса называется перпендикуляр..., линией косинуса — расстояние линией тангенса—отрезок... Из шести тригонометрических линий —три расстояния, два отрезка, одна прямая. Поразительная неряшливость и притом в основных определениях.

Вот пример другого определения, даваемого Рыбкиным (стр. 5). «Дугу выражают отвлеченным числом, показывающим ее отношение к радиусу». Нельзя, конечно, и дугу, и отношение ее к радиусу выражать отвлеченным числом. Дугу можно выразить некоторым числом радианов, приняв за радиан (единицу дуги) некоторую определенную дугу. Число радианов равно числу, выражающему отношение дуги к радиусу. Что же касается тригонометрических функций, то можно рассматривать функции угла, дуги и числа. Все это часто совсем не понимается и поэтому следовало бы быть особо осторожным в формулировании этих положений.

Вот обобщенное определение тригонометрических функций (стр. 23). «Тригонометрические функции суть положительные или отрицательные числа, показывающие отношение тригонометрических линий к радиусу и их прямое или обратное направление». Автор, очевидно, не замечает, что этим определением он совсем исключает нулевые значения функций!

В § 17 напечатана такая фраза «В дополнительных углах функции одного угла равны сходным функциям другого». Сказать бы просто: «функции угла равны сходным функциям дополнительного угла», вместо того, чтобы говорить о «функциях угла в углах».

В § 78 имеется такое указание: «Таблицы Брадиса содержат значения синусов и косинусов для всех острых углов, содержащих целое число градусов и минут». Это не так!

Думаю, что и приведенных мест достаточно (число их можно без труда увеличить), чтобы с определенностью утверждать, что язык учебника небрежен, часто выражает не то, что нужно, и ведет иногда к неправильному пониманию.

Немало таких мест в учебнике, где сказывается непедагогичность построения, и таких, где автор не считается с тем, что учащиеся уже знают.

На стр. 9 (§ 8) автор вместо того, чтобы сказать, что в тригонометрических функциях угол или дуга служит аргументом (пользуясь тем, что учащиеся уже знают) говорит, «иногда будем рассматривать дугу и угол под общим названием аргумент». Однако в круговых функциях автор не назовет дуги аргументом.

Неужели следует, как это сделано в учебнике, рекомендовать учащимся заучивать наизусть формулы, преобразующие в произведение суммы sin Л + sin B + sin С, tg A + tgB + tg С,

При обучении тригонометрии, где формул много, следует быть очень экономным при выборе тех, которые следует знать наизусть. Предлагать запомнить большее число формул, чем это действительно необходимо — значит итти на то, что некоторые учащиеся и необходимых формул не будут знать наизусть.

В учебнике совсем не приведены такие важные формулы, как cos 2а = 2 cos2a — 1 и cos 2« = = 1—2 sin2 а. Их следовало бы дать в § 57 простой заменой (в приведенной там формуле cos 2« — cos2 я — sin2 a, cos2 « через 1— sin2 « и обратно, в таком случае не пришлось бы прибегать к более искусственному методу (приведенному в §60) для вывода формул 2 cos2-iL = 1 -f cos a и 2 sin2 -iL = 1—cos «. Формулы для cos 2a настолько важны и часто встречаются, что можно было бы рекомендовать знать их наизусть.

Вместо того, чтобы при выводе формулы для квадрата стороны треугольника основываться на известной теореме геометрии, проще и лучше воспользоваться соотношениями a2 = A2++ CD2; CD=b — с cos Л; h— с sin Л, верными для всякого треугольника (на это указывал уже Симон).

В § 98 и 99 нельзя было ограничиться случаями, что угол Л тупой или острый, надо было упомянуть и о том случае, когда угол Л прямой, раньше, чем заключать, что выведенные формулы верны для всякого треугольника.

конечно в учебнике надо дать образцы вычислений, образцы решения треугольников, но посвящать этому почти 12 страниц нет смысла. Вычисления выполнены без учета приближенности вычислений, например: по данному катету а = 18 и острому углу Л другой катет определен с четырьмя, а площадь даже с пятью значащими цифрами!

А где же положительные стороны этого учебника? Почему этот учебник принят как стабильный?

На последний вопрос я не могу дать ответа, как едва ли кто-либо может объяснить, почему учебник Гурвица и Гангнуса принят как стабильный.

Но учебник Рыбкина все же имеет некоторые положительные стороны. Я вижу следующие.

Это учебник негромоздкий.

Некоторые выводы даны неплохо. Например хорошо проведен вывод формул приведения; в особенности обращают на себя внимание § 38—44.

Глава об измерениях на местности дана хорошо.

Но этих данных совсем недостаточно, чтобы признать учебник приемлемым, в особенности как стабильный.

Учебник Рыбкина (новые издания) заметно ухудшен редактором по сравнению с прежним Рыбкиным.

Учебник Рыбкина не согласован с программой.

Самые основы построения курса тригонометрии в учебнике Рыбкина не отвечают научным требованиям.

Учебник Рыбкина содержит ошибки, некоторые из которых надо считать грубыми.

Учебник дает навыки, от которых придется затем отказаться.

Учебник не считается с психологией учащихся и строит новое, не считаясь с тем, что уже известно учащимся.

Нечеткость определений, неправильности и неряшливость языка мешают ясности понимания и вредно отзываются на развитии математической речи учащихся,

Учебник должен быть заменен другим, лучшим!

О ПРЕПОДАВАНИИ НАЧАЛЬНОЙ ЧАСТИ ТРИГОНОМЕТРИИ

В. КРИКУНОВ (Казань)

В VIII классе остро дает себя чувствовать незнание учениками тригонометрии.

Учитель математики слышит часто законное требование учителя физики, что он не может объяснить (ввиду незнания учениками тригонометрии) такие важные моменты:

1. Вращательное движение. Угловая и линейная скорость.

2. Сложение двух сил, приложенных к одной точке под углом друг к другу (требует знания теоремы синусов и косинусов .

3. Разложение сил.

4. Колебания и волны. Уравнение гармонического колебательного движения. Формула смещения. Скорость и ускорение при гармоническом колебательном движении. Период колебания маятника.

Знание тригонометрии в VIII классе нужно и для математики:

Это даст возможность приложить тригонометрию к задачам по планиметрии.

При прохождении в IX классе стереометрии возможно будет дать параллельно с чисто геометрическими доказательствами и тригонометрические.

Ко многим теоремам в стереометрии (трехгранный и многогранный углы) даются в стабильном учебнике только тригонометрические доказательства. Если не пройти перед гониометрией теоремы синусов и косинусов, придется эти теоремы пропустить.

В программе за 1933/34 учебный год был намечен курс тригонометрии в VIII классе приблизительно на 25 часов.

В программе намечалось:

1) Введение. Градусное и радианное измерение углов.

2) Тригонометрические функции Тригонометрические линии в круге. Зависимость между тригонометрическими функциями дополнительных углов.

3) Решение треугольников. Зависимость между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. Решение прямоугольных треугольников. Теорема синусов. Формула площади треугольника S=-g-• Теорема косинусов.

Решение задач с использованием теоремы синусов, косинусов и формулы площади треугольников.

Задачник Рыбкина по тригонометрии был также построен по принципу программ 1933/34 учебного года.

Вполне прав т. Матышук в том, что «начать преподавать тригонометрию так, как это имело место в дореволюционной школе, сейчас нельзя. Ученик должен сразу видеть, чем вызывается

необходимость введения тригонометрических величин, почему вывод понятия о них связывается с особым кругом и линиями в нем». («Математика и физика» № 6, 1936 г.)

Тов. Шевченко уверяет, что «без труда курс физики можно построить так, чтобы обходиться без знания основ тригонометрии, что многие преподаватели физики и делают».

(«Математика и физика» № 4, 1936 г.)

По-моему, нечего учиться у этих физиков.

Средняя школа не мастерская, а учебное заведение и не стоит отказываться от теоретических вопросов даже в тех случаях, где требуются знания по тригонометрии.

Нельзя также согласиться с т. Шевченко в недооценивании историзма в преподавании математики.

Более верно формулирует значение исторического элемента в математике т. Самойленко. Он пишет: «Мы привлекаем исторический материал для того, чтобы всесторонне рассмотреть данный вопрос, дать его предисторию и выяснить место и значение в последующем развитии математики.

(«Математика и физика» № 5, Биноминальная теорема, 1936 г.)

Все приведенные мною аргументы говорят в пользу увеличения числа часов по тригонометрии в VIII классе примерно до 25—30 и за целесообразность концентричности прохождения тригонометрии.

ОБ ОДНОЙ РАСПРОСТРАНЕННОЙ ОШИБКЕ, СВЯЗАННОЙ С ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ИЗОБРАЖЕНИЕМ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

В. ФУРСЕНКО (Москва)

В своей работе «Essai sur une manière de représenter les quantités, imaginaire dans les constructions géométriques» (1806), Argand привел «доказательство» перпендикулярности мнимой и действительной оси, которое несмотря на очевидную его нелепость, систематически повторяется во множестве статей и учебников.

Приведем выдержки из двух широко известных книг, изданных в 1935 и 1936 гг.

В «Методике алгебры» С С. Бронштейна (стр. 312, изд. 1935 г.) читаем следующее.

«Отложим на оси х вправо от точки 0 отрезок (+ 1) и влево отрезок (—1). На вертикальной оси отложим от 0 отрезок длиной в 1 и будем его рассматривать как относительную величину /. Применяя к этим относительным величинам теорему о перпендикуляре из вершины прямого угла на гипотенузу, получим Р = {+ 1) (— 1) = — 1; / = +V~~ ъ>-

В труде Э. Кольмана «Предмет и метод современной математики» (стр. 40, изд. 1936 г.) читаем следующее:

«Другой подход для введения в математику комплексных чисел дает нам геометрия, подход, внедренный впервые в математику Гау с с о м. Он основывается на следующем. Как мы видели, число / вводится так, что оно равно Л/ — 1, или, что то же самое ]/(- 1)-(+1). Таким образом, мнимая единица — это средняя геометрическая между положительной и отрицательной вещественными единицами.

Из геометрии известно, что если начертить прямоугольный треугольник и в нем опустить высоту й, то эта высота делит гипотенузу на два отрезка а и Ь, причем легко усмотреть из подобия треугольников ADC и CDB, что a:h = h:b.

Отсюда следует, что пг = ab, т. е., что высота h = у'ab есть средняя геометрическая обоих отрезков гипотенузы. Значит, если мы начертим прямую x, на этой прямой выберем точку 0 и от этой точки 0 будем наносить в одном направлении произвольно избранную вещественную единицу, то получим 1, 2, 3 и т. д. В обратном направлении:—1,-2,—3 и т. д. На этой прямой будет изображен натуральный ряд чисел. Когда мы, далее, нанесем на нее все дроби, а затем и все иррациональные числа, то, наконец, эта прямая изобразит все вещественные числа. Если же теперь мы захотим изобразить единицу мнимых чисел /, то, согласно сказанному, должны будем построить ее как среднюю геометрическую между этими двумя отрезками— 1 и + 1. Это мы получим, если перенесем вещественную единицу в перпендикулярном направлении у. Тогда мы получим, например, в направлении, идущем вверх, -f I и в обратном направлении — /». (Подчеркнуто всюду мною.— В. Ф.)

Я привел столь подробные выписки, чтобы подчеркнуть, как ошибочное доказательство Argand'a приводится его популяризаторами к полному абсурду.

В самом деле, если допустить возможность применения геометрических теорем к направленным отрезкам, то отсюда по теореме Пифагора вытекает /2 + 1 = — 1 -f 1 = 0, т. е. равенство гипотенузы нулю.

В связи с использованием пропорций и извлечением корней даже независимо от их геометрической интерпретации полезно вспомнить следующее «доказательство»:

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ помещенных в № 6 журнала «Математика и физика» за 1936 г.

(Вошли все решения, полученные редакцией до 15 марта 1937 г.)

1. Можно ли, соединяя точки пересечения клетчатой бумаги, получить равносторонний треугольник.

Задача получила разнообразные способы решений. Приведем решение Я. И. Перельмана.

а) Решаем задачу доказательством от противного. Предположим, что искомый треугольник начерчен (черт. 1). Угол А = 60°.

Он состоит из углов а и Ь, причем tg а — — -r-jz и tg Ъ = — рациональны (все четыре отрезка содержат целое число клеток). Но

Черт. 1.

Левая часть этого равенства, равная tg 60°, т. е. 1/^3, иррациональна; правая рациональна. Невозможность равенства доказывает неправильность исходного допущения.

б) Другая группа решений основывается на вычислении площади треугольника.

Пусть ABC — требуемый треугольник (черт. 2). Проведя через его вершины горизонтальные и вертикальные прямые, получим прямоугольник, внутри которого находится данный треугольник. Все стороны этого прямоугольника выражаются целыми числами, если за единицу принять сторону клетки. Площади трех прямоугольных треугольников также выражаются рациональным числом, так как катеты этих треугольников — целые числа. Следовательно, и площадь данного треугольника, как разность между площадью прямоугольника и трех прямоугольных треугольников, должна выражаться рациональным числом.

С другой стороны, если сторону треугольника обозначим через а, то

причем я2 — число рациональное, так как равно сумме квадратов катетов любого из полученных прямоугольных треугольников с целочисленными катетами. Таким образом, мы получили, что одна и та же площадь выражается и рациональным и иррациональным числом, т. е. пришли к противоречию.

в) Третья группа основывается на доказательстве иррациональности некоторых отрезков, составляющих стороны прямоугольника.

Обозначим сторону BF и отрезки CF, DC, AD соответственно через x, у, z и и и угол CBF через а (см. черт. 2). Все эти величины выражаются целыми числами (сторона клетки — единица). Легко вычислить, что /J)AC = 60°—а. Из треугольников BFC и ADC имеем

С другой стороны, из треугольника BFC имеем у = xtg«. Делая подстановку в (2), получим

При целых x и у получаем для z и и иррациональные выражения, тогда как они должны быть целыми числами.

г) Отметим еще аналитический способ решения, данный тт. Барановским, Логашовым и Сергиенко. Проведя отрезки BF, АЕ и CF, которые все должны выражаться целыми числами (черт. 1), т. Барановский приходит к соотношению

r2+*2 = 3 (/z2 + z2),

где г — у — и и t~x — r. Загем доказывается невозможность этого равенства при целых значениях r, t, и, z.

Тт. Логашов и Сергиенко, вычисляя из трех прямоугольных треугольников (черт. 2) сторону а треугольника, приходят к соотношениям вида:

+ ;у* = 2 (гу + tv)

неразрешимость которого в целых числах и доказывается.

Черт. 2.

Было прислано немалое число и неверных решений. Большинство из них исходило из предположения, что одна из сторон треугольника совпадает с одной из линий клетчатой бумаги, чем свело задачу к частному случаю. Другие предполагали длину стороны треугольника, выраженной целым или рациональным числом.

Некоторые решения применяли методы аналитической геометрии. Редакция уже предупреждала, что все помещаемые задачи должны решаться средствами элементарной математики.

К. Агринский (Москва), С. Андреев (Торжок), В. Барановский (Одесса), М. Беневольский (Ленинград), Г. Бройт (Ленинград), Н.Введенский (Георгиевское), А. Воробьев (Нижнедевицк), В. Голубев (Кувшиново), А. Иванов (Торопец), И. Кастровицкий (Слуцк), К. Кириллов (Казань), А. Логашов (Саловка), И. Реш (уч. X кл., Ленинград), Н. Рождественский (Днепропетровск), П. Сергиенко (Запорожье), К. Сикорский (Москва), П. Титов (Тюмень), Г. Ткаченко (Павловск). М. Яглом (Москва), А. Ячницкий (Феодосия).

* * *

2. Доказать, что неделимость целого числа п на 2 и на 3 есть необходимый и достаточный признак делимости числа 4л2 + Ъп+Ъ на 6.

а) Если п делится на 2, то An2 i+ Зп + 5 не делится на 2, следовательно, оно не делится и на 6. То же рассуждение относительно 3. Таким образом, неделимость на 2 и на 3 есть необходимое условие для того, чтобы Ап2 + 3/1 + 5 делилось на 6.

б) Пусть п не делится ни на 2, ни на 3. Тогда п имеет вид 6£ ± 1. Делая подстановку в данное выражение, получим

И в том и в другом случае получились числа, кратные шести. Следовательно, неделимость п на 2 и 3 есть достаточный признак для того, чтобы 4п2 + Зп + 5 делилось на 6.

Против ожидания эта задача получила наибольшее количество неверных, вернее неполных, решений. Весь смысл помещения этой элементарнейшей задачи и заключается в применении приема доказательства необходимости и достаточности того или иного признака, чем одновременно доказываются прямая и обратная теоремы (а также противоположные им). Громадное количество решений доказывают лишь достаточность признака (иногда называя его признаком необходимости).

Предполагалось, что п не делится ни на 2, ни на 3, т. е. имеет 6£+1,и доказывалось, что тогда данное выражение делится на 6. Этим доказательством и ограничивались. Некоторые, наоборот, доказывали лишь необходимость. В одном случае доказывалась необходимость условия одновременной неделимости числа п на 2 и на 3, т. е. неделимости п на 6, чем суживалась задача.

Все это показывает на недостаточно ясное понимание такого способа доказательства.

А. Аверин (Ленинград), С. Андреев (Торжок), Г. Ахвердов (Ленинград), В. Барановский (Одесса), М. Беневольский (Ленинград), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), А. Воробьев (Нижнедевицк), В. Гильц (Остяко-Вогульск), В. Голубев (Кувшиново), В. Ефимов (ст. Сходня), Л. Каган (Минск), Б. Каждан (Ленинград), Н. Канунов (Новодевичье), И. Карелина (Смоленск), М. Кекелия (Бандза), И. Кипнис (Долгинцево), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), Н. Кулаков (Бугуруслан), В. Лебедев (Богучар), А. Логашов (Саловка), П. Макуха (Омск), В. Марочкин (Волхов), И. Рождественский (Днепропетровская. Сергиенко (Запорожье), Г. Ткаченко (Павловск), Д. Ткачик (Глодоси), Г. Харитонов (Б. Сундырь), М. Шевелев (Казань), Л. Шмуленсон (Винница), М. Яглом (Москва).

* * *

3. Найти сумму п членов ряда

Вынося 7 за скобки, будем иметь

или

Эта довольно известная задача также получила сравнительно большое число неверных решений. Некоторые решения являются незаконченными. Например, получалось для 5 выражение в виде целой строки:

или

5 = 7- 10* (0,1 + 0,02 + ... + 0,00... л).

Иногда в формулу входило число вида

при этом забывалось, что п может быть и больше 9.

А. Аверин (Ленинград), Я. Агарков и Е. Агаркова (ст. Раздорская), Е. Алмазова (Беднодемьяновск;, С. Андреев (Торжок), В. Арефьев (Винница), Г. Ахвердов (Ленинград), М. Беневольский (Ленинград), Я. Богданович (Одесса), Б. Боголюбов (Ульяновск), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), Я. Введенский (Георгиевское), А. Вепланд (Москва), А. Владимиров (Ялта), А. Волков (Чухлома), А. Воробьев (Нижнедевицк), Д. Гилилов (уч. IX кл. Махач-Кала), С. Го подов (Ленинград), О Гурьев (Ленинград), Ф. Доброхотов (Куйбышев), Л. Иванов (Торопец), 5. Каждан (Ленинград), В. Камендровский (Оренбург), Я. Канунов (Новодевичье), Я Карелина (Смоленск), Я. Кастровицкий (Слуцк), М. Кекелия (Бандза), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), В. Кременский (Ленинград), Я. Кроер (Соболево - Воробьево), Я. Кулаков (Бугуруслан), В. Лебедев (Богучар), А. Любомудров (Ленинград), В. Марочкин (Волхов). Я. Нагорный (Кошеватое), Я. Нейц (Омск), С. Немировский (Житомир), А. Овчинников (Сталинград), Б. Павлов (Чистополь). В. Падучев (Лиски), П. Постников (Рязань), Я. Реш (уч. X кл., Ленинград), Я. Рождественский (Днепропетровск), Ф. Саблуков (уч. IX кл., Москва), Е. Сапунцов и Е.. Костюкова (Луга), П. Сергиенко (Запорожье), К. Сикорский (Москва), Я. Судзиловский (Родники), П. Титов (Тюмень), В'. Ураевский (Кузнецк), Я. Хайдаров (Н. Челны), О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), С. Чуканцов (Брянск), М. Шевелев (Казань), Л. Шмуленсон (Винница), А. Шульман (Житомир), М. Яглом (Москва), А. Ячницкий (Феодосия).

* * *

4. Решить уравнение

(У 2 — 1 ) Xs — Y 2 X2 + 2х — 2 УЛУЪ— 0=0.

Задача была уже помещена в № 5. Ее решение напечатано в № 2 за 1937 г. Ответ: xt = = |^2, х2,з = 1 ± i. Дополнительно по № 6 правильные решения прислали:

А. Аверин (Ленинград), И. Агарков и Е. Агаркова (ст. Раздорская), Я. Андреев (Одесса), A. Арефьев (Винница), Г. Ахвердов (Ленинград), B. Барановский (Одесса), Я.Бейтельман (Ново-Витебск), Я. Богданович (Одесса), Д. Гилилов (уч. IX кл., Махач-Кала), А. Гинесин (Ленинград), О. Головачев (ст. Лихачево), О. Гурьев (Ленинград), В. Ильин (Харьков), С. Корж (Краснодар), П. Корелин (Уфа), П. Клоков (Тим), К. Косицын (уч. IX кл., Вира), Я. Кроер (Соболёво-Воробьево), В. Лебедев (Богучар), Л. Локтев (И. Челны), Я. Макуха (Омск), В.Марочкин (Волхов), H Нейц (Омск), С. Осташев (уч. X кл., Оренбург), Л. Посох (Минск), Л. Розанков (ст. Бара), С. Русанов, (Бузулук), Ф. Саблуков (уч. IX к л., Москва), Я. Самодуров (Бийск), Я. Сикорский (Москва), Я. Судзиловский (Родники), Я. Титов (Тюмень), Я. Шатровский (Москва), Л. Шульчан (Житомир), Я. Юркевич (Лагота, БССР), Г. Ясеновый (Н. Троицк), 4. Ячницкий (Феодосия).

* * *

5. Две окружности радиусов Я и г внешне касаются друг друга. Провести окружность так, чтобы она касалась обеих данных окружностей и их общей касательной.

Анализ. Предположим, что окружность с центром в 0} и есть искомая. Для нахождения центра 03 достаточно знать величину х радиуса искомой окружности.

Из треугольника OtEOx находим

AB* = ЕО\ = (Я + rf — (Я — г)г = 4 Яг.

Отсюда:

AB = 2 YÏÏF (1)

С другой стороны, из треугольников OtC03 и 02003 находим:

АЕ* = СО\ = (Я + *)2 - (Я — xf = 4 Я л:

АЕ ~2уйх (2)

(3)

Из (1), (2), (3) получаем:

(4)

Отсюда: или:

Мы взяли случай, когда точка касания окружности 08 к касательной находится между точками касания данных окружностей. Но она может лежать и вне отрезка AB. Нетрудно видеть,

что если считать данными окружности Ох и Os, то окружность Ог и была бы искомой. Поэтому для определения радиуса этой второй окружности достаточно в (1), (2) и (3), а, следовательно, и в (4) поменять местами г и х. Получим

Отсюда

Примечание. Понятно, что при анализе мы исключали тривиальный случай, когда в качестве общей касательной берется прямая, проходящая через точку касания окружностей друг с другом, т. е. точку М. Задача имеет тогда бесчисленное множество решений; центры искомых окружностей лежат на линии центров, продолженной в обе стороны до бесконечности.

Построение. Находим длину х из формулы

Радиусом, равным R + х, проводим из центра Oi и радиусом, равным r -f х, из центра 02 дуги, пересечения которых и дадут центры искомых окружностей.

Исследование. Задача всегда возможна и при R ф г дает два решения. При R = г один из центров искомых окружностей уходит в бесконечность; радиус другой искомой окружности в этом случае равен —.

Почти все из приславших решения пользовались именно этим алгебраическим методом. Но характерно, что за небольшим исключением все дали одно решение, именно:

хотя самый чертеж уже указывает на возможность другого решения (чем мы и воспользовались при анализе).

Решений геометрического характера было прислано лишь три; их не приводим (см. Александров, зад. 355, а также задачник Делоне и Житомирского, зад. 188).

Полные решения прислали:

Н. Введенский (Георгиевское), В. Гильц (Остяко-Вогульск), И. Кастровицкий (Слуцк), И. Кулаков (Бугуруслан), А. Логашов (Саловка), /7. Постников (Рязань), Н. Рождественский (Днепропетровск), Л. Шмуленсон (Винница).

Неполное решение дали:

Е. Алмазова (Беднодемьяновск), С. Андреев (Торжок), В. Барановский (Одесса), М. Беневольский (Ленинград), Б. Боголюбов (Ульяновск), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Брсйт (Ленинград), А. Вепланд ^Москва), А. Волкоз (Чухлома), А. Воробьев (Нижнедевицк), С. Городов (Ленинград), /7. Згурский (Гельмязов), В. Камендровский (Оренбург), К. Кириллов (Казань), В. Лебедев (Богучар), Л. Медведев (Сталинградск. обл.), Б. Павлов (Чистополь), Проскуряков (Чимкент), И. Реш (уч. X кл., Ленинград), Ф. Саблуков (уч. IX кл., Москва), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), П. Сергиенко (Запорожье), Я. Спиваков (Свирстрой), П. Титов (Тюмень), О. Ханчарлян (Краснодар), П. Шатровский (Москва), М. Яглом (Москва), А. Ячницкий (Феодосия).

* * *

6. Решить систему уравнений

Применяя обычный способ решения, выразим x и z через у из двух первых уравнений и найденные значения подставим в третье. Будем иметь:

(1)

(2)

После упрощения получим:

7у2_23у + 18 = 0 (3)

Решив это квадратное уравнение, найдем

и из (1) соответственно

Этой задаче особенно посчастливилось. За исключением задачи 15 она получила наибольшее количество решений. Все же и здесь были и неверные решения. В частности некоторые почему-то считали непригодными дробные решения.

А. Аверин (Ленинград), Н. Агарков и Е. Агаркова (ст. Раздорская), К. Агринский (Москва), Е. Алмазова (Беднодемьяновск), И. Андреев (Одесса), G. Андреев (Торжок), А. Арефьев (Винница), Г. Ахвердов (Ленинград), В. Барановский (Одесса), Я. Бейтельман (Ново-Витебск), М. Беневольский (Ленинград), Е. Бенск (Одесса), Г. Бобылев (Слобода), И. Богданович (Одесса), Б. Боголюбов (Ульяновск), А. Брегер (Долгинцево), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), А.Бублик (Постышево), С. Булгаков (Мценск), В. Васуха (Полонное, Винницкой обл.), А. Вепланд (Москва), A. Владимиров (Ялта), А. Волков (Чухлома), А. Воробьев (Нижнедевицк), Д. Гилилов (уч. IX кл., Махач-Кала), В.Гильц (Остяко-Вогульск), А. Гинесин (Ленинград), О. Головачев (ст. Лихачево), В. Голубев (Кувшиново), С. Г ородов (Ленинград), О. Гурьев (Ленинград), Ф. Доброхотов (Куйбышев), B. Ефимов (ст. Сходня), /7. Згурский (Гельмязов), B. Зяблицкий (Калинин), А. Иванов (Торопец), C. Иванов (Новосибирск), В. Ильин (Харьков), Б. Каждан (Ленинград), В. Качендровский (Оренбург), Н. Карелина (Смоленск), Н. Кастровицкий (Слуцк), М. Кекелия (Бандза), И. Кипнис (Долгинцево), К. Кириллов (Казань), И. Клейнман (Широковский р.), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), С. Корж (Краснодар), Я. Корелин (Уфа), К. Косицын (уч. IX кл., Вира), В. Кременский (Ленинград), В. Крикунов(Казань),

И. Кроер (Соболево-Воробьево), Я. Кулаков (Бугуруслан), С. Кулигин (Зиновьевская), П. Кутин (Москва), В. Лебедев (Богучар), Л. Логашов (Саловка), А. Локтев (Н. Челны), А. Любомудров (Ленинград). П. Макуха (Омск), Манук Саакян (уч. IX кл., Краснодар), Л. Медведев (Сталинградской обл.), Е. Мертвецов (Семипалатинск), Я. Нейц (Омск), С. Немировский (Житомир), A. Овчинников (Сталинград), А. Оглоблин (Спаскогшенгское, Сев. край), Б. Павлов (Чистополь), B. Падучев (Лиски), В. Поздеев (Алма-Ата), П. Постников (Рязань), Проскуряков (Чимкент), H Рождественский (Днепропетровск), Л. Розанков (Вира), А. Рубинштейн (Винница), Ф. Саблунов (уч. IX кл., Москва), Я. Самодуров (Бийск), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), Ю. Сенько (Золочев), П. Сергиенко (Запорожье), К. Сикорский (Москва), Р. Смирнов (ст. Канаш), А. Спицин (Оренбург), И. Судзиловский (Родники), 3. Титкова (Сланцы), П. Титов (Тюмень), И. Хайдаров (Я. Челны), О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), К. Хоменко и С. Пичкур (Черкассы), Холопов (Носины), Е. Чернин (Москва), С. Чуканцов (Брянск), П. Шатровский (Москва), О. Шаульская (Верхнеднепровск), М. Шевелев (Казань), Л. Шмуленсон (Винница), Л. Шор (Тула), И. Юркевич (Лагота, БССР), М. Яглом (Москва), Л. Ячницкий (Феодосия).

* * *

7. Определить число учеников в каждом из трех классов, если известно:

1) что 11-я степень числа учеников во всех трех классах выражается числом, состоящим из 22 цифр, а 12-я степень из 23 цифр;

2) что квадрат числа учеников I класса равен числу, состоящему из трех цифр, сумма которых равна 19;

3) сумма квадратов чисел учеников во II и III классах равна 1466.

Пусть N— число всех учеников. Если N11 является двадцатидвухзначным числом, то характеристика логарифма от N11 содержит 21 единицу, т. е.

21<11 ]gW<22.

Отсюда

По таблице логарифмов находим:

81<ЛГ<100. (1)

Точно так же

22<121gW<23, 1,83333 < lg N< 1,91667,

68<ЛГ<83. (2)

Из (1) и (2) находим

81<W<83 Отсюда следует, что

N = 82.

Обозначим квадрат числа учеников первого класса так:

*2 = 100а + 106 + с. Второе условие дает

Очевидно, что с как последняя цифра квадратного числа может быть только: 0, 1,4, 5,6 и 9.

1) Если с = 0, то д + &=19, чего не может быть, так как а и b— однозначные числа.

2) Если с = 1, то а 4- b = 18, что может быть только при а = Ь = 9. Но число 991 не является точным квадратом.

3) Если с = 5, то 6=2 и а>9,

4) Если с = 4, то а + b=z]5 и b четно. Следовательно, b может быть равно 6 и 8 (так как а<Щ

b = 6 abc — 964 не квадрат. Ь = 8 яЬс = 784 = 282

5) Если с = 6, то а + Ь=13 и b нечетно. Следовательно, b может быть равно 5, 7 и 9.

b = 5 abc — 856 не квадрат.

Ь—7 äbc — %7% — 262

b = 9 abc — 496 не квадрат.

6) Если с = 9, то a -f b — 10 и b нечетно. Испытываем:

Ь — 2 “abc — 829 не квадрат

Ь — А 'äbc — 649 »

b=6 abc = 469 »

b = 8 äbc = 289- 172

Итак, имеем для х три возможных значения 17, 26, 28.

Если обозначим числа учеников во II и III классах через у и z, то будем иметь

у + z =. 65 или у + z = 56 или у + z =z 64. (3)

Третье условие задачи дает:

У + ^2= 1466.

Решая это уравнение с каждым из уравнений (3), найдем, что только система

yfi + *8=1466 у + z = 54 дает решения. В этом случае

у 5= 25, z = 29

или

у = 29, z = 25

Некоторые давали еще лишнее решение: 26, 35 и 21; оно не удовлетворяет третьему условию.

К. Агринский (Москва), С Андреев (Торжок), В. Барановский (Одесса), М. Беневольский (Ленинград), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), Я. Введенский (Георгиевское), А. Владимиров (Ялта), Л. Воробьев (Нижнедевицк), ß. Гильц (Остяко-Вогульск), В. Голубев (Кувшиново), С. Городов (Ленинград), О. Гурьев (Ленинград), А. Иванов (Торопец), Б. Каждан (Ленинград), Я Карелина (Смоленском. Кекелия (Бандза), К. Кириллов (Казань), С. Колесник (Харьков), Я. Кроер (Соболево-Воробьево), Я. Кулаков (Бугуруслан), В. Лебедев (Богучар), А. Логашов (Саловка), Я. Нейц (Омск), С. Немировский (Житомир), Я. Постников (Рязань), Я. Рождественский (Днепропетровск), П. Сергиенко (Запорожье), 3. Титкова (Сланцы), П. Титов (Тюмень), Г. Харитонов (Б. Сундырь), М. Яглом (Москва), Л. Ячницкий (Феодосия).

8. Найти четырехзначное число abed, являющееся точным квадратом, цифры которого удовлетворяют соотношению

а + b + с + d = a~b; b = с + d.

Задача ошибочно помещена вторично. Решение ее см. в № 2 1937 г.

Ответ: 1936. Дополнительно правильные решения прислали:

А. Аверин (Ленинград), Г. Ахвердов (Ленинград), В. Барановский (Одесса), А. Владимиров (Ялта), Д. Гилилов (уч. IX кл., Махач-Кала), А. Гинесин (Ленинград), С. Городов (Ленинград), О. Гурьев (Ленинград), В. Ефимов (Сходня), С. Иванов (Н. Сибирск), В. Ильин (Харьков), Л. Каган (Москва), Б. Каждан (Ленинград), Я. Кастровицкий (Слуцк), И. Кроер (Соболево-Воробьево), Я. Кутин (Москва), В. Лебедев (Б огу чар), В. Марочкин (Волхов), Проскуряков (Чимкент), А. Рубинштейн (Винница), Ф. Саблуков (уч. IX кл., Москва), Н. Самодуров (Бийск), Ю. Сенько (Золочев), Я. Сикорский (Москва), 3. Титкова (Сланцы), Я. Титов (Тюмень), Г. Ткаченко (Павловск), Г. Харитонов (Б. Сундырь), Я. Шатровский (Москва), Л. Шмуленсон (Винница), А. Шульман (Житомир), А. Ячницкий (Феодосия).

9. Дана несократимая дробь (я>£) 1. Будут ли несократимыми дроби а~7*)

2. Будет ли несократимым произведение

3. Может ли р быть выражено точной десятичной дробью?

Каков в этом случае общий вид дроби 4-?

Какова в этом случае будет дробь, если ее члены состоят из одной цифры?

1. Если бы a — b и b или а и й + Ь имели общий множитель, то этот множитель имели бы (я — Ъ) + Ь = а (в первом случае) и (а + Ь) — — а=.Ь (во втором случае), т. е. и в том и в другом случае дробь у не была бы несократимой.

2. Принимая во внимание только что доказанное, устанавливаем, что дробь р может быть сократимой в том и только в том случае, если а — b и а + b имеют общий множитель. Но тогда этот же общий множитель имеют и сумма и разность этих выражений, т. е. и 2а и 2Ь. Так как а и b числа взаимно простые, то общим множителем может быть лишь число 2. Это будет в том случае, когда а и b оба нечетны.

3. Дробь может быть представлена в виде десятичной лишь в том случае, если ее знаменатель (после сокращения) содержит множителями 2 и 5. Рассмотрим два случая.

а) Дробь несократима. Тогда одно из чисел а и b четно, другое нечетно; сумма а -f b нечетна и является числом взаимно простым с Ь.

Следовательно, одно из них является степенью пяти, другое степенью двух. Очевидно, первым является a -f b, как число нечетное. Итак

а + b = Ът b = 2П.

Отсюда

Если 6 —число однозначное, то 1<л<3. При л = 1 и 1И=1 (иначе 5,п —2 не будет однозначным числом)» и мы имеем

ö __3 b - 2

При п = 2 m должно быть больше или равно двум, но тогда д>10.

б) Дробь р сократима. Это будет, как мы знаем, когда а и b нечетны и а + b четно. Очевидно тогда:

а+Ь — 2т Ь — Ъп

Отсюда

Для однозначного b необходимо л = 1, тогда а = 2т~- 5. Так как но условию а> Ь, то 2™ — 5 > 5; 2т > 10 и m ^ 4. Но тогда а =24 — 5~П — число двузначное.

Неправильные решения шли главным образом по линии второго вопроса: дробь

_ а — b а Р ~ ~Ь ' а + Ь

при всех значениях а и b объявлялась несократимой.

С Андреев (Торжок), В. Барановский (Одесса), М. Беневольский (Ленинград), Ф. Брижак (Краснодар), А. Владимиров (Ялта), А. Волков (Чухлома), А. Воробьев (Нижнедевицк), В. Гильц (Остяко-Вогульск), В. Голубев (Кувшиново), Я. Згурский (Гельмязов), А. Иванов (Торопец), В. Камендровский (Оренбург), Н. Канунов (Новодевичье), Н. Карелина (Смоленск), И. Кастровицкий (Слуцк), Я. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), И. Кроер (Соболево-Воробьево), И. Кулаков (Бугуруслан), В. Лебедев (Богучар), А. Логашов (Саловка), Я. Рождественский (Днепропетровск), Ф. Саблуков (уч. IX кл., Москва), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), Ю. Сенько (Золочев), Я. Сергиенко (Запорожье), О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), М. Яглом (Москва), Л. Ячницкий (Феодосия).

10. Найти двузначное число, произведение цифр которого является его делителем. По условию

10а + b — abm,

где m — целое число. Отсюда

10а— b (am — 1). (1)

Так как а — число взаимно простое с am — 1, то b должно делиться на а. Пусть:

(2)

Тогда

Так как 10 делится на я, то п может быть лишь 1, 2, 5.

а) /1=1. Тогда

дт — 1 = 10; am = 11; в= 1; « = 1; 6=1. Получаем одно из искомых чисел 11 = 1*111.

б) п = 2. Тогда

um — 1 — 5; я/и = б; причем из (2) заключаем, что а<5.

Здесь могут быть случаи:

а— 1 m = 6 6 = 2 а— 2 m = 3 6 = 4 а = 3 m = 2 6 = 6

Получаем числа:

12= 1-2-6 24 = 2-4-3 36 = 3-6-2

в) п = 5. Тогда

am — 1 = 2; дт = 3, причем из (2) а <2. Имеем:

л=1 m =3 6 = 5. Получили пятое искомое число 15= 1-5-3.

В задаче ошибочно было написано: «Число, являющееся делителем произведения его цифр». Многие из приславших решение сами исправили текст (кроме того, поправка была дана в № 1 журнала за 1937 г.). Всех, решавших задачу в том виде, как она была напечатана, можно разбить на две группы. Меньшая группа доказывала, что двузначное число всегда больше произведения его цифр и потому делителем последнего быть не может. Значительно большая часть исходила из положения, что нуль делится на всякое число, и получала решения: 10, 20... 90. В приводимый перечень вошли все три группы.

£. Алмазова (Беднодемьяновск), Г. Ахвердов (Ленинград), В. Барановский (Одесса), М. Беневольский (Ленинград), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), Я Введенский (Георгиевское), Л. Вепланд (Москва), А. Владимиров (Ялта), А. Волков (Чухлома), А. Воробьев (Нижнедевицк), В. Гильц (Остяко-Вогульск), С. Городов (Ленинград), О. Гурьев (Ленинград), Я. Згурский (Гельмязов), Л. Иванов (Торопец), В. Ильин (Харьков), Л. Каган (Минск), В. Камендровский (Оренбург), Н. Канунов (Новодевичье), Н. Карелина (Смоленск), Я. Кастровицкий (Слуцк), И. Кацман (Житомир), М. кекелия (Бандза), Я. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), Я. Кроер (Соболево-Воробьево), В. Лебедев (Богучар), Л. Логашов (Саловка), Л. Медведев (Сталинградская область), Е. Мертвецов (Семипалатинск), Я. Нейц (Омск), С. Немировский (Житомир), Б. Павлов (Чистополь), В. Падучев (Лиски), Я. Рождественский (Днепропетровск), Ф. Саблуков (уч. IX кл., Москва), Я. Самодуров (Бийск), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), П. Сергиенко (Запорожье), К. Сикорский (Москва), Я. Судзиловский (Родники), Г. Ткаченко (Павловка), О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), С. Чуканцов (Брянск), Я. Шор (Тула), Л. Шульман (Житомир), M. Яглом (Москва), Л. Ячницкий (Феодосия).

11. Вычислить квадратный корень из jy с точностью до Существуют ли дроби с знаменателем 17, квадратный корень из которых, вычисленный с точностью до у^, дает ту же величину, как и

По условию требуется найти такое целое число р, чтобы

или

Отсюда:

Чтобы найти остальные числа с знаменателем 17, удовлетворяющие тому же неравенству, имеем:

Следовательно, х может быть равен 21, 22,23 и 24. Искомые дроби будут:

Подобно задаче 2-й и эта простенькая задача получила громадное число неправильных решений. Меньшая часть последних давала не четыре ответа на вопрос задачи (включая и -1, а два или три. Большая же часть давала неверные ответы, именно, в большинстве случаев числа: Приведенное выше решение легко уясняет каждому его ошибку. В дальнейшем очевидно нужно поместить еще несколько подобных задач.

Я. Агарков и Е. Агаркова (ст. Раздорская), Г. Ахвердов (Ленинград), В. Барановский (Одесса), М. Беневольский (Ленинград), Л. Бублик (Постышево), В. Владимиров (Ялта), А. Воробьев (Нижнедевицк), В. Голубев (Кувшиново), О. Гурьев (Ленинград), Л. Иванов (Торопец), Л. Каган (Минск), Б. Каждан (Ленинград), В. Камендровский (Оренбург), Я. Канунов (Новодевичье), Я. Кипнис (Долгинцево), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), В. Лебедев (Богучар), Л. Логашов (Саловка), Я. Макуха (Омск), Манук Саакян (уч. IX кл., Краснодар), Я. Нейц (Омск), Б. Павлов (Чистополь), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), Я. Сергиенко (Запорожье), О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), М. Шевелев (Казань), М. Яглом (Москва), Л. Ячницкий (Феодосия).

12. Углы некоторого четырехугольника образуют арифметическую прогрессию, разность которой g-. Доказать, что каждый из углов этого четырехугольника может быть разделен на три части с помощью циркуля и линейки.

Обозначив наименьший угол через х, будем иметь

Отсюда

Итак, углы четырехугольника равны

36°, 72°, 108° и 144°.

Трисекция может быть выполнена различными способами. Например, построив сторону правильного вписанного пятиугольника и отложив на меньшей дуге дугу в 60°, получим дугу в 12°; соединив концы ее с центром, получим угол в 12°, т. е. треть первого из данных углов. Путем удвоения и т. д. получается трети остальных углов.

К. Агринский (Москва), С Андреев (Торжок), Г. Ахвердов (Ленинград), В. Барановский (Одесса), М. Беневольский (Ленинград), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), А. Бублик (Постышево), Я. Введенский (Георгиевское), А. Вепланд (Москва), А. Владимиров (Ялта), А. Волков (Чухлома), Л. Воробьев (Нижнедевицк), Д. Гилилов (уч. IX кл., Махач-Кала), В. Гильц (Омск), В. Голубев (Кувшиново), О. Гурьев (Ленинград), Ф. Доброхотов (Куйбышев), Я. Згурский (Гельмязов), Л. Иванов (Торопец), Б- Каждан (Ленинград), В. Камендровский (Оренбург), Н. Канунов (Новодевичье), Я. Карелина (Смоленск), И. Кастровицкий (Слуцк), И. Кацман (Житомир), М. Кекелия (Бандза), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), С, Колесник (Харьков), К. Косицын (уч. IX кл., Вира), Я. Кроер (Соболево-Воробьево), Я. Кулаков (Б угуруслан), Я. Кутин (Москва), В. Лебедев (Богучар), Л. Логашов (Саловка), Л. Любомудров (Ленинград), Л. Медведев (Сталинградская область), Я. Нейц (Омск), С. Немировский (Житомир), Б. Павлов (Чистополь), В. Падучев (Лиски), Я. Постников (Рязань), Я. Рождественский (Днепропетровск), Л. Розанков (Вира), Е.Сапу нцов и £. Костюкова (Луга), Я. Сергиенко (Запорожье), Я. Судзиловский (Родники), Я. Титов (Тюмень), Я. Хайдаров (Н Челны), О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), С. Чуканцов (Брянск), Я. Шатровский (Москва), М. Шевелев (Казань), Б. Шехтман (Одесса), #. Шор (Тула), М. Яглом (Москва), Г. Ясеновый (Н. Троицк), Л. Ячницкий (Феодосия).

* * *

13. Вычислить сумму

если дано, что х, у,

Z'-'t, и, V образуют арифметическую прогрессию, разность которой равна г.

Напишем ряд тождеств

Сложив левые и правые части, получим:

Отсюда:

Я. Агарков и Е. Агаркова (ст. Раздорская^, К. Агринский (Москва), Е. Алмазова (Беднодемьяновск), С. Андреев (Торжок), В. Барановский (Одесса), М. Беневольский (Ленинград), Л. Воробьев (Нижнедевицк), Л. Иванов (Торопец), В. Камендровский (Оренбург), Я. Канунов (Новодевичье), М. Кекелия (Бандза), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), Я. Кулаков (Бугуруслан), Л. Логашов (Саловка), Я. Постников (Рязань), Я. Рождественский (Днепропетровск), Ф. Саблуков (уч. IX кл., Москва), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), Я. Титов (Тюмень), О. Ханчарлян (Краснодар), М. Шевелев (Казань), Я. Яглом (Москва), Л. Ячницкий (Феодосия).

* * *

14. Дано, что медианы та и тс треугольника ABC образуют со стороной АС углы, равные 31° 15' 42“ и 28° 44' 18“ и что площадь прямоугольника, построенного на этих медианах, равна |/“3. Вычислить без помощи тригонометрии площадь треугольника ABC.

Так как угол DFC внешний по отношению к треугольнику AFC, то £ DFC = / F АС + 2 PC А = 31° 15' 42“ + 28° 44' 18“ = 60°.

Опустим перпендикуляр СМ на продолжение медианы AD и найдем его величину, как катета, лежащего против угла в 60°

Найдем теперь площадь треугольника ADC

Но площадь всего треугольника ABC равна удвоенной площади треугольника ADC. Следовательно

Е. Алмазова (Беднодемьяновск), С. Андреев (Торжок), В. Барановский (Одесса), М. Беневольский (Ленинград), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), Я. Введенский (Георгиевское), А. Вепланд (Москва), Л. Владимиров (Ялта), А. Волков (Чухлома), А. Воробьев (Нижнедевицк), В. Гильц (Остяко-Вогульск), Ф. Доброхотов (Куйбышев), А. Иванов (Торопец), В. Камендровский (Оренбург), Н. Карелина (Смоленск), И. Кастровицкий (Слуцк), М. Кекелия (Бандза), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), И. Кроер (Соболево-Воробьево), Н. Кулаков (Бугуруслан), Я. Кутин (Москва), В. Лебедев (Богучар), А. Логашов (Саловка), Л. Любомудров (Ленинград), Л. Медведев (Сталинградск. обл.), Я Нейц (Омск), Б, Павлов (Чистополь), В. Падучев (Лиски), Я. Постников (Рязань), Н. Рождественский (Днепропетровск), Ф. Саблуков (уч. IX кл., Москва), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), Я. Сергиенко (Запорожье), К. Сикорский (Москва), О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), М. Шевелев (Казань), Я. Шор (Тула), М. Яглом (Москва), Л. Ячницкий (Феодосия).

15. Решить уравнение

Представив уравнение в таком виде:

(1)

положим

Делая подстановку в (1), получим:

или:

(3)

Но левая часть уравнения (3) есть не что иное, как (у — 2)2. Итак, имеем

Подстановка в данное уравнение показывает правильность решения.

Задача получила наибольшее количество решений. Вообще для данной серии задач наблюдалась определенная закономерность: если присылалось решение одной задачи, то в подавляющем большинстве случаев это была задача 15-я; если две, то 15-я и 6-я; если три, то 15-я, 6-я и 4-я.

Л. Аверин (Ленинград), Н. Агарков и Е. Агаркова (ст. Раздорская), Агринский (Москва), Е. Алмазова (Беднодемьяновск), Л. Аляев (Башмаково), И. Андреев (Одесса), С. Андреев (Торжок), Л. Арефьев (Винница), Л. Аристова (Дивеево), Г. Ахвердов (Ленинград), В. Барановский (Одесса), Бархударов (Баку), Я- Бейтельман (Ново-Витебск), М. Беневольский (Ленинград), Е. Бенск (Одесса), Бессонов (Злынка), Г. Бобылев (Слобода), Н. Богданович (Одесса), Б. Боголюбов (Ульяновск), Л. Брегер /Долгинцево), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), Л. Бублик (Постышево), С. Булгаков (Мценск), B. Васуха (Полонное), Я. Введенский (Георгиевское), Л. Вепланд (Москва), Л. Владимиров (Ялта), Л. Волков (Чухлома), Л. Воробьев (Нижнедевицк), Д. Гилилов (Махач-Кэла), В. Гильц (Остяко-Вогульск), Л. Гинесин (Ленинград),0. Головачев (Лихачево), В. Голубев (Кувшиново), С Городов (Ленинград), О. Гурьев (Ленинград), Ф. Доброхотов (Куйбышев), В. Ефимов (ст. Сходня), Я. Згурский (Гельмязов), Я. Зяблицкий (Калинин), Л. Иванов (Торопец), С. Иванов (Новосибирск), В. Ильин (Харьков), Л. Каган (Минск), Б. Каждан (Ленинград), В. Камендровский (Оренбург), Н. Карелина (Смоленск), И. Кастровицкий (Слуцк), И. Кацман (Житомир), М. Кекелия (Бандза), И. Кипнис (Долгинцево), К. Кириллов (Казань), И. Клейнман (Шириново), Я. Клоков (Тим), Б. Кобылин (Галич), C. Колесник (Харьков), С. Корж (Краснодар), П. Корелин (Уфа), К. Косицын (Вира), В. Кременский (Ленинград), В. Крикунов (Казань), Я. Кулаков (Бугуруслан), С. Кулигин (Зиновьевская), Я. Кутин (Москва), В. Лебедев (Богучар), Я. Леваков (Нижний Тагил), Л. Логашов (Саловка), Л. Локтев (Н. Челны), Л. Любомудров (Ленинград), Я. Макуха (Омск), Я. Малыхин (ст. Александро-Невская), Манук Саакян (Краснодар), Л. Медведев (Сталингр. обл.), Е. Мертвецов (Семипалатинск), Я. Нейц (Омск), С. Немировский (Житомир), Л. Овчинников (Сталинград), С. Осташов (Оренбург), Б. Павлов (Чистополь), В. Падучев (Лиски), В. Поздеев (Алма-Ата), Л. Посох (Минск), Я. Постников (Рязань), Я Рождественский (Днепропетровск), Л. Розанков (Вира), Л. Рубинштейн (Винница), Ф. Саблуков (Москва), Я. Самодуров (Бийск), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), Ю. Сенько (Золочев), Я. Сергиенко (Запорожье), К. Сикорский (Москва), Р. Смирнов (ст. Канаш), Л. Спицин (Оренбург), Я. Судзиловский (Родники), 3. Титкова (Сланцы), Я. Титов (Тюмень), Д. Ткачик (Гладоси), Б. Ураевский (Кузнецк), Л. Фирсанов (Елец), Я. Хайдаров (Н. Челны), О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), Л. Чебоксаров (?), Е. Чернин (Москва), С. Чуканцов (Брянск), Я. Шатровский (Винница), Я. Шор (Тула), Л. Шульман (Житомир), Я. Юркевич (Лагота, БССР), М. Яглом (Москва), Г. Ясеновый (Н. Троицк), Л. Ячницкий (Феодосия).

16. Доказать тождество

Положим

(1)

Тогда:

(2)

Перемножим равенства (2)

Принимая во внимание (1), найдем

(3)

Задачу можно решить в более общем виде распространив ее на п множителей. Именно, можно показать,

При п — 2 получим выражение (3).

Л. Аверин (Ленинград), К. Агринский (Москва), Е. Алмазова (Беднодемьяновск), С. Андреев (Торжок), Г. Ахвердов (Ленинград), В. Барановский (Одесса), М. Беневольский (Ленинград), Я. Богданович (Одесса), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), В. Васуха (Полонное), Я. Введенский (Георгиевское), Л. Вепланд (Москва), Л. Владимиров (Ялта), Л. Волков (Чухлома), Л. Воробьев (Нижнедевицк), В. Голубев (Кувшиново), С. Городов (Ленинград), О. Гурьев (Ленинград), Ф. Доброхотов (Куйбышев), Я. Згурский (Гельмязов), Л. Иванов (Троицк), В. Ильин (Харьков), В. Камендровский (Оренбург), И. Канунов (Новодевичье), Н. Карелина (Смоленск), М. Кекелия (Бандза), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), С. Корж (Краснодар), В. Крикунов (Казань), И. Кроер (Соболево-Воробьево), Н. Кулаков (Бугуруслан), П. Кутин (Москва), В. Лебедев (Богучар), А. Логашов (Саловка), Л. Любомудров (Ленинград), Манук Саакян (уч. IX кл., Краснодар), Л. Медведев (Сталинградск. обл.), Н. Нейц (Омск), С. Немировский (Житомир), Л. Овчинников (Сталинград), Б. Павлов (Чистополь), В. Падучев (Лиски), П. Постников (Рязань), Я. Рождественский (Днепропетровск), Ф. Саблуков (уч. IX кл., Москва), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), Ю. Сенько (Золочев), Я. Сергиенко (Запорожье), Я. Титов (Тюмень), Я. Хайдаров (Н. Челны), О. Ханчарлян (Краснодар), Я. Шатровский (Москва), М. Шевелев (Казань), Л. Шмуленсон (Винница), Я- Шор (Тула), М. Яглом (Москва), Л. Ячницкий (Феодосия).

17. Доказать равенство:

где а, Ь, с — стороны, R — радиус описанного круга, а /, m и п расстояния центра тяжести от сторон некоторого треугольника.

Так как центр тяжести О треугольника находится в точке пересечения медиан, то площадь каждого из треугольников АОВ, ВОС и СОА равна ~ площади S данного треугольника ABC, т. е. имеем

Делим все члены этого равенства на abc:

По свойству равных отношений

Но

Отсюда:

Делая подстановку, получим:

С. Андреев (Торжок), В. Барановский (Одесса), М. Беневольский (Ленинград), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), Я. Введенский (Георгиевское), А. Вепланд (Москва), А.Волков (Чухлома), Л. Воробьев (Нижнедевицк), В. Гильц (Остяко-Вогульск), Ф. Доброхотов (Куйбышев), В. Ефимов (ст. Сходня), Л. Иванов (Торопец), В. Ильин (Харьков), Б. Каждан (Ленинград), В. Камендровский (Оренбург), Я. Карелина (Смоленск), Я. Кацман (Житомир), М. Кекелия (Бандза), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), С Колесник (Харьков), Я. Кроер (Соболево-Воробьево), Я. Кулаков (Бугуруслан), В. Лебедев (Богучар), Л. Логашов (Саловка), Л. Любомудров (Ленинград), Манук Саакян (уч. IX кл., Краснодар), Я. Нейц (Омск), С. Немировский (Житомир), Л. Овчинников (Сталинград), Б. Павлов (Чистополь), В. Падучев (Лиски), П. Постников (Рязань), Я. Рождественский (Днепропетровск), Ф. Саблуков (уч. IX кл.,

Москва), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), П. Сергиенко (Запорожье), О. Ханчарлян (Краснодар), П. Шатровский (Москва), М. Шевелев (Казань), Л. Шмуленсон (Винница), Я. Шор (Тула), М. Яглом (Москва), Л. Ячницкий (Феодосия).

* * *

18. Дана четверть круга АОВ (центр в О) радиуса R и полуокружность с центром в Ои построенная на АО как на диаметре (внутри данной четверти круга). Радиус от этой полуокружности, перпендикулярный к ОЛ, встречает окружности О и 01 в точках N и М. Найти периметр и площадь криволинейной трапеции MNOB.

Периметр трапеции

P = BM + MN + NÖ + OB. (1)

В треугольнике МОхО гипотенуза OM = R,

а катет ООх — следовательно £ ОМОх = 30°. Но тогда и £ ВОМ = 30°, т. е. ВМ равна окружности О:

Из треугольника МОгО находим:

Тогда

(3)

Далее находим:

(4) (5)

Подставляя (2), (3), (4) и (5) в (1), получим:

Площадь S трапеции найдем как:

Находим последовательно

Делая подстановку, находим

Л. Аверин (Ленинград), Н. Агарков и Е. Агаркова (ст. Раздорская), К. Агринский (Москва), Е. Алмазова (Беднодемьяновск), С. Андреев (Торжок), Л. Аристова (Дивеево), Г. Ахвердов (Ленинград), В. Барановский (Одесса), М. Беневольский (Ленинград), Б. Боголюбов (Ульяновск), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), Н. Введенский (Георгиевское), Л. Вепланд (Москва), Л. Владимиров (Ялта), Л. Волков (Чухлома), Л. Воробьев (Нижнедевицк), В. Гильц (Остяко-Вогульск), Л. Гинесин (Ленинград), В. Голубев (Кувшиново), С. Городов (Ленинград), П. Згурский (Гельмязов), Л. Иванов (Торопец), С. Иванов (Н. Сибирск), В. Ильин (Харьков), Л. Каган (Минск), Б. Каждан (Ленинград), В. Камендровский (Оренбург), Н, Канунов (Новодевичье), И. Карелина (Смоленск), И. Кастровицкий (Слуцк), И. Кипнис (Долгинцево), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), К. Косицын (уч. IX кл., Бира), И. Кроер (Соболево-Воробьево), Н. Кулаков (Бугуруслан), /7. Кутин (Москва) В. Лебедев (Богучар), Л. Любомудров (Ленинград), Манук Саакян (уч. IX кл., Краснодар), В. Марочкин (Волхов), Л. Медведев (Сталинградской обл.), С. Немировский (Житомир), А. Овчинников(Сталинград),£. Павлов (Чистополь), П. Постников (Рязань), Н. Рождественский (Днепропетровск), Н. Самодуров (Бийск), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), П. Сергиенко (Запорожье), И. Судзиловский (Родники), Д. Ткачик (Глодоси), В. Ураевский (Кузнецк), И. Хайдаров (Н. Челны), О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), С. Чуканцов (Брянск), П. Шатровский (Москва), М. Шевелев (Казань), Л. Шмуленсон (Винница), Я- Шор (Тула), Af. Яглом (Москва), Г. Ясеновый (Н. Троицк), Я. Ячницкий (Феодосия).

19. Найти пятизначное число, являющееся точным кубом, корень кубичный из которого равен сумме его цифр.

Так как сумма пяти цифр не может быть больше 45, то искомое число

N = n3<458.

С другой стороны, так как:

213 = 9261: 22s = 10648,

то

22 <л<45.

Чтобы сократить число испытаний различных чисел, заключающихся между 22 и 45, установим следующие положения:

1) Если целое число .V = л3 делится на 9, то и сумма его цифр (т. е. л) делится на 9.

2) Если куб целого числа не делится на 9, то он имеет вид 9£±1. Но тогда и сумма его цифр (т. е. л) имеет вид 9£±1.

Таким образом, из всех чисел от 22 до 45 нам надо испытать лишь числа вида 9 л и 9л ± 1. Таких чисел всего 8:

26, 27, 28, 35, 36, 37, 44, 45.

(Можно было бы показать заранее, что и числа 36 и 45 не годятся. Тогда испытанию подлежат лишь шесть чисел.)

Испытывая эти числа, находим, что только два удовлетворяют условиям задачи, именно:

262 = 17576; 1 + 7+5 + 7 + 6 = 26; 272 = 19683; 1+9 + 6 + 8 + 3 = 27.

С. Андреев (Торжок), В. Барановский (Одесса), М. Беневольский (Ленинград), Г. Бройт (Ленинград), А. Бублик (Постышево), Я. Введенский (Георгиевское), А. Вепланд (Москва), А. Владимиров (Ялта), А. Волков (Чухлома), Л. Воробьев (Нижнедевицк), В. Гильц (Остяко-Вогульск), В. Голубев (Кувшиново), С. Городов (Ленинград), О. Гурьев (Ленинград), Ф. Доброхотов (Куйбышев), Л. Иванов (Торопец), Я. Канунов (Новодевичье), И. Кастровицкий (Слуцк), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), Н. Кулаков (Бугуруслан), В. Лебедев (Богучар), Л. Логашов (Саловка), Б. Павлов (Чистополь), И. Рождественский (Днепропетровск), Ф. Саблуков (уч. IX кл., Москва), È. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), Я. Сергиенко (Запорожье), О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), М. Шевелев (Казань), Я. Шор (Тула), М. Яглом (Москва), Л. Ячницкий (Феодосия).

20. Доказать без помощи тригонометрических таблиц, что

Дуги взяты между

Применяя формулу тангенса суммы, найдем

Применяем ту же формулу к tg (а + Ь),

После упрощения (умножения членов дроби на 1 —-tg a tg b):

Применяя эту формулу к данному выражению полагая

и, следовательно,

найдем

что и доказывает заданное тождество.

Л. Аверин (Ленинград), Я. Агарков и Е. Агаркова (ст. Раздорская), К. Агринский (Москва),, Е. Алмазова (Беднодемьяновск), С. Андреев (Торжок), Л. Аристова (Дивеево), Г. Ахвердов (Ленинград), В. Барановский (Одесса), #. Бейтельман (Ново-Витебск), М. Беневольский (Ленинград), Я. Богданович (Одесса), Б. Боголюбов (Ульяновск), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), Я. Введенский (Георгиевское), Л. Вепланд (Москва), Л. Владимиров (Ялта), Л. Волков (Чухлома), Л. Воробьев (Нижнедевицк), Л. Гинесин (Ленинград), В. Голубев (Кувшиново), С. Городов (Ленинград), О.Гурьев (Ленинград), Ф. Доброхотов (Куйбышев), В. Ефимов (ст. Сходня), Я. Згурский (Гельмязов), Л. Иванов (Торопец), С. Иванов (Н. Сибирск)г В. Ильин (Харьков), Л. Каган (Минск), В. Камендровский (Оренбург), Я. Канунов (Новодевичье), Я. Карелина (Смоленск), И. Кастровицкий (Слуцк), М. Кекелия (Бандза), К.Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), С. Корж (Краснодар), Я. Корелин (Уфа), В. Крикунов (Казань) И. Кроер (Соболево-Воробьево), Я. Кулаков (Бугуруслан), С Кулигин (Зиновьевская), Я. Кутин (Москва),о. Лебедев (Богучар), Л. Логашов (Саловка), Л. Локтев (Н. Челны), А. Любомудров (Ленинград), B. Марочкин (Волхов), Л. Медведев (Сталинградская обл.), И. Нагорный (Кошеватое), Я. Нейц (Омск), С. Немировский (Житомир), Л. Овчинников (Сталинград), С. Остаиев (уч. X кл., Оренбург), Б. Павлов (Чистополь), В. Падучев (Лиски), Л. Посох (Минск), Я. Постников (Рязань), Я. Рождественский (Днепропетровск), Ф. Саблуков (уч. IX кл., Москва), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), Я. Сергиенко (Запорожье), К. Сикорский (Москва), И. Судзиловский (Родники), Я. Титов (Тюмень), Д. Ткачик (Глодоси), В. Ураевский (Кузнецк), Л. Фирсанов (Елец), Я. Хайдаров (Н. Челны), О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), Холопов (Носины), Л. Чебоксаров ( ? ), C. Чуканцов (Брянск), Я. Шатровский (Москва), М. Шевелев (Казань), Л. Шмуленсон (Винница), Я- Шор (Тула), Л. Шульман (Житомир), М. Яглом (Москва), Л. Ячницкий (Феодосия).

СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 3 1936 г.

В. Агеев (Слатинское) 6, 12, 13, 16, 18, 20. К. Агринский (Москва) 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20. М. Андреев (Красноярск) 1. А. Арефьев (Винница) 5, 12. Г. Арутюнов (Герюсы, Армения) 5, 7. В. Арушанов (Москва) 14. И. Базаров (Рязань) 4, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 16, 17, 18, 20. В. Барановский (Одесса) 1,2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20. М. Беневольский (Ленинград) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,. 16, 17, 18, 20. П. Бессонов (Злынка) 1, 6. Г. Бобылев (ст. Бредихино) 5, 8, 12, 13, 17, 18, 20. И. Бородуля (Москва) 5, 7, 12, 13, 14, 18, 20. Ф. Брижак (Краснодар) 1, 3, 4, 6, 8, 9, 13, 14, 17. Г. Бройт (Ленинград) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20. А. Бублик (Постышево) 4, 5, 6, 7, 12, 16, 17, 18, 20. Я. Введенский (Георгиевское, Алма-Атинск. обл.) 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20. А. Вепланд (Москва) 3, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15, 18, 20. М. Виноградов (Н. Васильевский район) 12, 13, 16. Л. Владимиров (Ялта) 1, 3, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20. М. Владимиров (ст. Шимановская) 7, 9,18. А.Волков (Чухлома) 5, 6, 9,12, 17,18,20. Ф. Гасс (Ванновка) 1, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 16, 18. Д. Гилилов (уч. IX кл., Махач-Кала) 6, 14, 20. В. Гильц (Омск) 1, 4, 6, 9, 12, 13, 14, 15, 17. Я. Гимадеев (Бондюкский з. Тат. респ.) 7, 8, 9, 12, 14, 15, 17, 18, 20. А. Гинесин (Ленинград) 1, 4, 5, 7, 9, 13, 16, Я. Глотов (Ново-Троицкое) 17. Г. Головяшкин (Н. Хутор) 12, 14, 17,20. В. Голубев (Кувшиново) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 20. Л. Голубченко (Лохвица) 6, 13, 16. Л. Гольдберг (Ленинград) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20. С. Городов (Ленинград) 1, 5, 8, 12, 13, 17, 19, 20. Я. Горун (Одесса) 6, 8, 12, 13, 14, 20. Я. Гречкин (Ново-Томниково) 18. В. Гришин (Урюпинск) 13. Я. Гришин (Осташков) 20. О. Гурьев (Ленинград) 4, 5, 7, 16, 17, 18. Г. Дакацьян (Ростов н/Д,) 13. Я. Демидов (Мурманск) 1, 4, 5, 7, 8,9,12,13,15,16,18,20, A. Егоров (Демянск) 1, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 18, 19, 20. В. Ефимов (ст. Сходня) 1, 8, 9, 12, 13, 17, 18, 20. Я. Ефимов (Карамышево) 5, 16. И. Зайцев (Москва) 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 20. Г. Знаменский (Ялта) 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 20. Л. Иванов (Торопец) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15,. 16, 17, 18, 20. И. Изотенков (Плавск) 1, 5, 7, в, 9, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 20. Я Кавказский (Воронеж) 17. В. Камендровский Оренбург) 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, B. Кандидов (Воронеж) 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, И, 12, 13, 14, 16, 18, 19, 20. Я. Карелина (Смоленск) 1, 4, 9, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 20. И. Карлик (уч. X к л., Клинцы) 6, 8, 9, 12, 13, 20. И. Карахан (Чернигов) 6. И. Кацман (Житомир) 1. М. Кекелия (Бандза, Грузия) I, 4, 7, 9, 12, 13, 16. К. Кириллов (Казань) 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 20, Б. Кобылин (Галич) 2, 5, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 17, 18, 20. С. Колесник (Харьков) ), 4, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 16, 17, 18, 20. В. Кременский (Ленинград) 13. В. Крикунов (Казань) 17, 18, 20. Я. Кулаков (Бугуруслан) 1, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 20. С. Кулигин (ст. Зиновьевская) 4, 5, 13, 14. Е. Куницин (Новоржев) 6, 7, 8, 12, 13, 18, 20. П. Кутин (Москва) 9, 13, 20. Г. Лебедев (Обоянь) 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 20. Л. Логашов (Пенза) 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Л. Лучко (Балта) 1, 4, 5, И, 13, 14, 16. Я. Маланов (ст. Червленная; 5, 6, 8, 13, 19. Л. Маслова (Воронеж) 16, 18. Л. Митюгов (ст. Давлеканово) 1, 4, 6, 8, 9, 13, 14, 16, 20. И. Нагорный (Кошеватое) 5. С. Нагорных (Благовещенск) 1, 5,7, 12, 13, 16, 17, 18, 20. С. Немировский (Житомир) 6, 12, 13, 16, 17. А. Овчинников (Сталинград) 7, 8, 12, 15, 16, 17, 18. В. Павлов (Балятино) 4, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20. Я. Покровский (Нижнеудинск) 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20. Е. Потапов (Коломна) 1, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 16, 17, 18, 20. Л. Потехин (Арзамас) 14. Проскуряков ? 1. Г. Ржавский (Фролово) 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12,13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Я. Рождественский (Днепропетровск) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Е. Сапунцов и Е\ Костюкова (Луга) 1, 4, 5, 6, 7, 9, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20. С. Саратовский (уч. IX кл., Ново-Томниково) 5, 20. Л. Сахаров (Москва) 1, 6, 9, 12, 13, 16,20. С. Савостьянова (Москва) 5, 6, 8, 11, 12, 13, 17, 18, 20. П. Сергиенко (Запорожье) 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16,17, 18,20.0. Скворцов (Москва) 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. П. Славский (ст. Павловская) 12, 13, 14, 15, 18. Л. Соловьев (Калинин) 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20. Б. Сосницкий (Калуга) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20. К. Степанов (Михалево) 1, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 16, 19, 20. Я. Столяров (Порецкое) 5, 7, 8, 9, 12, 13,16, 17, 18, 20. С Сусликов (Марпосад) 18. В. Счастнев (Коломна) 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20. Д. Ткачик (Глодоси) 6, 7, 8, 9. Д. Толмачев (Кисловодск) 13, 18. С. Тубин (ст. Калачинская) 4, 5, 6, 7, 8, 17, 18, 20. В. Ураевский (Кузнецк) 17. М. Файман (Клинцы) 6, 12, 13. О. Ханчарлян (Краснодар) 1, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20. Г. Харитонов (Б. Сундырь) 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,20. tf. Хоменко и С. Пичкур (Черкасы) 5, 16, 8, 9, 18. И. Цыпкин (Казань) 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. С. Чечельницкий (Горький) 1, 2, 3, 4, 6, 7,8,9,12,13,15, 16,17, 18, 19, 20. С Чуканцов (Брянск), 1, 13, 16, 17. А.Шагинян (Ереван) 13. М. Шевелев (Казань) 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16,17,18,20.5. Шехтман (Одесса) 4, 6, 13, 16, 17, 18. Я. Шилин (Ново-Томниково) 5, 12, 13, 17, 18, 20. Л. Шмуленсон (Винница) 1, 5, 6, 13, 17,18. М. Шпанауэр (Москва) 5, 6, 8, 12, 18, 2). #. Шор (Тула) 4, 5, 6, 12, 14,19, 20. М. Щинова и Ф. Щинов (Глазов) 1, 5, 6, 8, 9, И, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Я. Яворский (Москва) 12, 13, 20. М. Яглом (Москва) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 4

М. Аверьянов (Буинск) 13, 16, Я. Агарков (ст. Раздорская) 4, 9, 13, 15, 16, 17, 18, 19. К. Агринский (Москва) 1, 4, 8, 9, И, 13, 15, 16, 17, 20. Я. Алексеев (Казань) 9, 13, 19. Л. Алмазян (Ереван) 4, 16, 19. Л. Амбарцумян (Кировокан, Армения) 13, 16. Л. Андреев (уч. IX кл., Бежаницы) 1, 6. С. Андреев (Торжок) 1, 4, 5, 9, 16, 17, 20. Г. Арутюнов (Герюсы) 11, 19. В. Арушанов (Москва) 3, 11. Л. Асмачкин (Лысые Горы) 17, 20. Г. Ахвердов (Ленинград) 5, 9, 19. Я. Базаров (Рязань) 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 15, 16, 17, 18, 19, 20. В. Барановский (Одесса) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. 15, 17, 18, 19, 20. М. Бархударов (Баку) 6. М. Беневольский (Ленинград) I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 18, 19, 20. Г. Бобылев (Бредихино) 1, 3, 9, 16, 17, 18, 19. Л. Богатырев (Казань) 1, 3, 4, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 18, 19, 20. Я. Бородуля (Москва) 4, 9, 13, 15, 16, 17, 19, 20. Ф. Брижак (Краснодар) 1, 2, 5, 6, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20. Г. Бройт (Ленинград) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20. Я. Бурханов (Уфа) 9. Л. Бублик (Постышево) 13, 14, 16, 17, 19, 20. Я. Введенский (Георгиевское) 1, 2, 3, 4, 6. 7, 8, 9, 11, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20. Л. Вепланд (Москва) 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 13, 15, 16, 17, 20. Я. Виноградов (Н. Васильевский р.) 1, 4, 6, 13, 16, 17, 20. М. Вигдерзон (Цюрупинск) 1, 3, 4, 5, 6, 8, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 20. Л. Витухновский (Бердичев) 4. Л. Владимиров (Ялта) 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 19, 20. М. Владимиров (ст. Шимановская) 16. Л. Волков (Чухлома) 1, 3, 4, 8, 9, 16, 17, 19, 20. Л. Воробьев (Нижнедевицк) I, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, И, 12, 13, 15, 16. 17, 18, 19, 20. Генералов (Борское) 4. В. Гильц (Остяко-Вогульск) 1, 4, 6, 8, 9, И, 16, 20. Р. Глейзер (Калининдорф) 3, 4, 6, 8, 9, 13, 19. Я. Глотов (Ново-Троицкое) 3, 5. Г. Головяшкин (Н. Хутор) 4, 17. Ф. Голота (Патихатка) 5, 13, 14, 16. 8, Голубев (Кувшиново) 1, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9, 10, II, 13, 14, 16, 17, 20. Л. Гольдберг (Ленинград) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15 16, 17, 18, 19, 20. Ф. Горбушин (Ярославль) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18. С. Городов (Ленинград) 4, 6, 7, 10, И, 13, 15, 17, 20. Г. Грановский (Харьков) 13, 17. В. Гришин (Урюпинск) 20. Я. Гурьев (Полтава) 1, 4, 9, 11. В. Гурьянов (Тула) 16, 17, 19. У. Дакацьян (Ростов н/Д.) 16, 19. Е. Дедух (Краснодар) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Я. Демидов (Мурманск) 1, 3, 4, 6, 8, 9, 13, 14, 16, 17, 19, 20. Я. Деревянко (Махач-Кала) 1, 3, 16, 17. Я. Динер (Семеновское-Лопатное) 1, 5, 7, 9, 11, 16, 19, 20. Л. Егоров (Демянск) 5, 12, 13, 35, 16, 17. Ермаков, Овсянников, Шнейдер (уч. 25-й школы, Москва) 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 16, 17, 18, 19, 20. В. Ефимов (Сходня) 1, 5, 7, 9, 17. /“. Журавский (Мало-Никольское) 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Я. Зайцев (Москва) 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20. /О. Залесский (пос. Шахты) 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20. Я. Збруев (Кр. Баки) 4, 13, 16, 17, 19. Я. Згурский (Гельмязов) 1, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20. Г. Знаменский (Ялта) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 16, 17, 19, 20. Л. Иванов (Торопец) 14. Я. Изотенков (Плавск) 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 19, 20. Л. Кавказский (Воронеж) 13, 16, 19. Б. Каждан (Ленинград) 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 13, 15, 16, 17, 19, 20. В. Камендровский (Оренбург) 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 16, 17, 19, 20-Г. Капралов (Горький) 1, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 17, 18, 19, 20. Я. Карелина (Смоленск) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, П, 13, 15, 16, 17, 20. Я. Каримов (Уфа) 9. Я. Карлик (уч. X кл., Клинцы) 1, 3. 10, 13, 17, 19. Б. Кац (Винница) 4, 16, 17. Я. Кацман (Житомир) 5, 7, 17, Б. Кашин (Ярославль) 4, 5, 9. М. Кекелия (Бандза) I, 3, 4, 5, 6, 11, 13, 14, 15, 17, 18, 20. К. Кириллов (Казань) 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Б. Кобылин (Галич) 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Г. Коган (Запорожье) 1, 16, 17. С. Колесник (Харьков) 1, 2, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20. В. Кременский (Ленинград) 19. Я. Кулаков (Бугуруслан) 1, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Е. Куницын (Новоржев) 1, 4, 8, 9, 10, 13, 16, 17. П. Кутин (Москва) I, 16, 17, 19. Г. Лебедев (Обоянь) 4, 8, 9, Ц 13 14, 15, 16, 17, 19, 20. Я. Либман (Конотоп) 13. Л. Логашов (Саловка) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 II, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20. Л. Локтев (Н. Чел' ны) 13, 16. Л. Лучко (Балта)20. Л. Любомудров (Ленинград) 1,8,9,15,16,17,19, 20. Е. Марчевская (Харьков) 3, 5, 6, 7, 15, 18. Л. Маслова (Воронеж) 1, 16, 17. Е. Маторина (Москва) 5. Я. Мельников (Охона, Лен. обл.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Е. Мертвецов (Семипалатинск) 13, 16, 19. Ш. Миневич (Кременчуг) 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 17, 19, 20. Л. Митюгов (Давлеканово) 1, 8, 13, 14, 16, 19, 20. Л. Мифтахов (Агрыз) 4, 6, 16, 17, 19. Л. Моисеенков (Смоленск) 3, 5. Г. Мойся (Днепропетровск) 1. Я. Нагорный (Кошеватое) 10. С. Нагорных (Благовещенск) 2, 4, 5, 6, 8, 11 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20. О. Невгомонная (Винница) 1, 9, 13. С Немировский (Житомир) 1, 4, 10, 13, 16, 17, 20. Л. Овчинников (Сталинград) 4, 8, 9, 10, 13, 15, 16, 17, 19, 20. Л. Орлов (Кулотино) 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 17, 19. X. Осипенко (Гуляй-Поле) 1, 4. Б. Павлов (Чистополь) 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 15, 16, 17, 20. В. Павлов (Удельная) 1, 2, 4? 5, 6, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 20. С. Павлов (Новороссийск) 1, 3, 4, 11, 13, 16, 17. Я. Пазельская (Свердловск) 1, 13, 16. Л. Перцель (Свердловск) 1, 4, 6, 8, 9,10,11,13, 14, 15, 16,20. А.Пихтильков (Никитское) 19. Е. Плешкова (Лысово) 16. М. Попов (Бежаницы) 1, 4, 9, 10, 12, 13, 16, 19, 20. Я. Постников (Рязань) 1, 3, 4, 6, 9, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Е. Потапов (Коломна) 1, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 20. М. Радомысльский (уч. X кл., Житомир) 13, 16, 19, 20, 0. Радченко (Фастов) 8, 9, 10, 13, 16, 17, 19. Af. Разумовская (Ленинград) 20. Я. Реунов (кам. Белинская) 1, 13, 14, 16. Г. Ржавский (Фролов) 1, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 20. Я. Рождественский (Днепропетровск) 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20. Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, С. Севастьянова (Москва) 1, 6. Я. Сергиенко (Запорожье) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 17, 18, 19, 20. Ф. Скворцов (Москва) 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 15, 16, 17, 19, 20, Д. Смирнов (Фокино), 13. Б. Сосницкий (Калуга) 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. К. Степанов (Михалево) 1, 3, 4, 7, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20. Я. Столяров (Порецкое) 1, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 17, 19,

20. И. Судзиловский (Ленинград) 1, 3, 4, 8, 9, 10, 17. Т. Сукова (Пищане) 13, 14. Я. Супонев (уч. IX кл., Бежаницы) 1, 9. Г. Талейсник (Ярышев) 9. Л. Титов (Чебоксары) 9. Д. Ткачик (Глодоси) 1. Д. Толмачев (Кисловодск) 10, 13, 14, 16, 17, 18, 19. #. Томсон (Полтава) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. С. Тубин (ст. Калачинская) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20. В. Ураевский (Кузнецк) 9. Я. Фидер (уч. X кл., Житомир) 13, 16, 19. О. Ханчарлян (Краснодар) 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Г. Харитонов (Б. Сундырь) 1, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20. В. Холопов (с. Носины) 13, 14, 16. К. Хоменко и С. Пичкур (Черкассы) 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 16, 17. X. Хусаинов (Уфа) 4, 5, 13, 14, 16, 17, 19, 20. И. Цибарт (Воронеж) 6, 9, 13, 15, 16, 17, 19. И. Цыпкин (Казань) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Е. Чернин (Москва) 19. С. Чечельницкий (Горький) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. С. Чуканцов (Брянск) 13, 16, 17, 19. М. Шевелев (Казань) 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20. Б. Шехтман (Одесса) 1, 3, 8, 13, 15, 16, 17, 18, 19. И. Шилин (Ново-Томниково) 9, 10, 15, 16, 17, 19. #. Шор (Тула) 1, 3, 5, 7, 11, 16, 17, 19, 20. Я. Шушкин (Ярославль) J, 13, 16, 17. Е. Щинова и Ф. Шинов (Глазов) 1, 3, 4, 6, 7, 8, 11, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20. М. Яглом (Москва) 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, И, 15, 16, 17, 18, 19, 20. И. Яворский (Москва) 16, 17, 19. А. Ячницкий (Феодосия) 13, 15, 16, 17, 19.

СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 5

Я. Абрамович (Ананьев) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 13, 15, 16, 18, 20. М. Аверьянов (Буинск) 1,4, 6, 18. Я. Агарков и Е. Агаркова (Раздорская) 1, 6, 8, 9, 12. К. Агринский (Москва) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 20. А. Аляев (ст. Батманово) 1, 2, 3, 6, 7, 12, 13, 15, 18, 50. Л. Амбарцумян (Кировакан) 1, 7,16. С. Андреев (Торжок) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13,15, 16, 17, 18, 20. А. Арефьев (Винница) 1, 8, 12, 13, 15, 16, 18. А. Аристова (Дивеево) 1, 2, 18. Л. Асмачкин (Высокие Горы) 1. Г. Ахвердов (Ленинград) 3, 4, 6, 7, 10, 11, 15, 16, 20. В. Барановский (Одесса) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20. М. Бархударов (уч. IX кл., Баку) 1. Л. Бауер (уч. X кл., Энгельс) 1, 2, 6, 7, 20. Я- Бейтельман (Ново-Витебск) 7, 16, 18. М. Беневольский (Ленинград) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Б. Бердыев (Ярославль) 1, 18. П. Бессонов (Злынка) 2. Р. Близнец (Речицкий р.) 1, 3, 6. Г. Бобылев (Бредихино) 1, 7, 11, 12. В. Боголюбов (Ульяновск) 1, 6, 8, 10, 11, 13, 16, 18. Я. Бондаренко (Мурманск) 3, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 1J, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Я. Бородуля (Москва) 7, 8, 9, 13, 15. Л. Брегер (Красин) 1, П. Ф. Брижак (Краснодар) 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 13, 15, 16, 18,20. Г. Бройт (Ленинград) 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Л. Бублик (Постышево) 1, 2, 3, 7, 15, 18. Я. Бурханов (Уфа) 7,18. 3. Бурштейн (Баку) 3, 4, 6, 7, 13, 15,20. Я. Бычко (ст. Павлыш) 1. Я. Важинский (Баку) 1. Васюченко (Ярославль) 1,6,18. Я. Введенский (Георгиевская) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, Ю, 12,13, 14,15, 16,17,18, 20. Л. Вепланд (Москва) 1,2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9,10,12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20. М. Виноградов (Н. Васильевский район) 1, 6. Л. Владимиров (Ялта) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 19, 20. М. Владимиров (Шимановская) 1, 2, 3, 8, 15, 18. Л. Волков (Чухлома) 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 18, 20. Л. Воробьев (Нижнедевицк) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Л. Г ерманов (Городищенское) 1, 2, 3, 5. В. Гильц (Остяко-Вогульск) 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 20. Я. Глотов (Ново-Троицкое) 1, 2, 3, 7, 15, 16. Ф. Голота (Пятихатка) 1, 2, 3, 5, 6. В. Голубев (Кувшиново) 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15» 17, 18, 19, 20. Л. Гольдберг (Ленинград) 1, 2, 3, 4, б, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 18, 19, 20. Я. Гонтаренко (Болерово) 1, 2, 3, 6, 18. Я. Горбатов (уч. X кл., Зарайск) 1, 7. Ф. Горбушин (Ярославль) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16,17,18,19, 20. С. Городов (Ленинград), 1, 3, 6, 7, 10, 12, 15, 16, 18. Я. Гречкин (Ново-Томниково) 1,7. В. Гришин (Урюпинск) 1. Э. Гуттенлохер (Люксембург) 1. Давыдов (Киев) 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 17. У. Дакацьян (Ростов н/Д) 1, 3, 6, Я. Дегтярев (Березна) 1. Я. Демидов (Мурманск) I, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17. 18, 20. Я. Деревянко (Орел) 1, 2. В. Дергачев (Вальяновская) 1. Ф. Доброхотов (Куйбышев) 1, 3, 6, 7, 8, 11, 13, 18. Дородницын (уч. X кл., Миллерово) 1. М. Дубенец (Козацкое) 1, 3, 7, 12, 18. В. Ефимов (Сходня) 1, 6, 7, 8, 12, 15, 16. Г. Жураховский (М. Ниветаевское) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 18, 19, 20. Я. Згурский (Гельмязов) 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12,15, 16,17, 18,20. Г. Знаменский (Ялта) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, II, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20. В. Зяблиикий (Калинин) 1. Л. Иванов (Торопец) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20. И. Изотенков (Плавск) 1, 2, 3, 6, 7, 8, 10, 13, 15, 16,18. Я. Кавказский (Воронеж) 1, 8, 11, 12, 15, 16, 18. Я. Калиниченко (Аргаяш) 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 15, 16, 18, 20. В. Камендровский (Оренбург) 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 20. Я. Канунов (Новодевичье) 1, 2, 3. 4, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 20. Б. Каждан (Ленинград) 2, 6, 7, 8, 10, 11,12,13, 15, 16, )8, 20. Б. Карандашев (Зарайск) 1,7. Я. Карелина (Смоленск) 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 13, 15, 16, 18. 20. Л. Карлин (уч. X кл., Клинцы) 1, 2, 5, 6, 7, 12, 13, 15, 16, 18. Я. Карлинский (Слуцк) 1, 2. И. Кацман (Житомир) 1, 7, 8, 10, 12, 15, 16, 18, М. Кекелия (Бандза) 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 2Э. Г. Кипнис (Красино) 1,2,3, 6, 7, 8, 10, 11, 13, 15, 16, 18, 20. Я. Кириллов (Казань) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Я. Клоков (Тим) 1, 13, 15, 18. Б. Кобылин (Галич) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 2). С. Колесник (Харьков) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15,

16, 17, 18, 19,20. #. Кольбер (Высокое-Сычевское) 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18. Д. Королева (Воронеж) 1, 18. Коршунов (Миллерово) 1, 7, 18. Е. костюкова и Е. Сапунцов (Луга) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. В. кременский (Ленинград) 1, 3. И. Кришталь (Паша, Лен. обл.) 1. Я. кулаков (Бугуруслан) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 20. С. Кулигин (Зиновьевская) 3, 16, 18. Я. Кутин (Москва) 1, 5, 6, 7, 13, 16, 18. И. Лаврищев (Саратов) 1. Г. Лебедев (Обоянь) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 16, 18, 19, 20. Г. Ледомский (Краснодар) 1, 3, 16, 18. Л. Логашов (Саловка) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20. А. Локтев (Н. Челны) 1. A. Любомудров (Ленинград) 1, 2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 16, 18. Я. Макуха (Омск) 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 16, 18. Я. Малыхин 1. М. Манукян (Краснодар), 1, 11, 18. Е. Марчевская (Харьков) 4, 9, 19. Л. Медведев (Даниловка) 1, 3, 6, 7, 8, (10, 12, 15, 17, 20. С. Мельников (Фрунзе) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, .17, 18, 19, 20. Е. Мертвецов (Семипалатинск) 1, 6. А. Миненко (Нальчик) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 18, В. Минченко (Корюковка) Т.В.Муратов (Зарайск) 1, 6, 7. Д. Мхеидзе (Кутаис) 6. И.Нагорный (Кошеватое) 6, 7, 16. О. Невго ионная (Винница) 1, 2. С. Немировский (Житомир) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 15, 16, 18. Л. Овчинников (Сталинград) 1, 2, 3,5, 6,7, 8, 12,16,18,20. Л. Орлов (Кулотино) 1, 3, 6, 7, 8, 12, 13, 15, 16, 18, 19, 20. Ф. Орлов (Кинешма) 1, 16. X. Осипенко (Гуляй-Поле) 1, 6, 7. Осташев (уч. X кл., Оренбург) 7, 16. Б. Павлов (Чистополь) 1, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13,15,16, 17,18,20. С. Павлов (Новороссийск) 2,3, 5, 6, 7. 8, 12, 16, 17, 18. В. Падучев (Лиски) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15,16,18. Я. Пазельская (Свердловск) 2, 5, 16, 18. В. Панченко (Ейск) 1, 6, 7, 8, 13, 5, 17, 18. Г. Пеккер (Рашков) 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18. Л. Парцель (Свердловск) 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 15, 16, 18. B. Поздеев (Алма-Ата) 16. М. Попов (Бежаницы) 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 18, 20. Л. Посох (Минск) 1. Я. Постников (Рязань) 1,2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 18, 20. Е. Потапов (Коломна) 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 18, 20. Д. Прилуцкий (Стренево) 2. Проскуряков (Чимкент) 1. М. Радомысльский (уч. X кл., Житомир) 1, 2, 3, 6, 7, 11, 12,13, 16. И.Реш (Ленинград) 6. Г. Ржавский (Фролов) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 18, 20. М. Саакян (уч. IX кл., Краснодар) 1, 6, 11, 12, 16, 18. Д. Савельев (Горький) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13. Я. Сандров (Старый Крым) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 15, 16, 18, 19, 20. Л. Семененко (Долинская) 6, 7. Ю. Сенько (Золочев) 1, 6, 11, 13, 15, 16. Я. Сергиенко (Запорожье) 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, П, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Я. Сиднев (Пошехоно-Володарск) 1. Е. Соловьев (Одесса) 1, 6, 16. Б. Сосницкий (Калуга) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20. В. Стародубровский (Зарайск) 6, 7. Степанов (Михалево) 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 19, 20. Т. Сукова (Пищане) 6, 13. С. Сусликов (Марпосад) 1. Д. Ткачик (Глодоси) 1, 2,3, 6, 8. Д. Толчачев (Кисловодск) 1, 7, 13, 16, 18.>7. Томсон (Полтава) 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 19, 20. С. Тубин (Калачинская) 1, 7, 8, 11, 14, 16. В. Ураевский (Кузнецк) 1, 2, 15. Д. Усатый (Лиман) 1, 2, 3, 6, 7, 8, 10, 13, 15, 16, 18. Н.Федоров (Шатура) 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 18, 20. М. Фейман (уч. X кл., Клинцы) J, 2, 6,7, 12, 13, 15, 16, 18. Л. Фирсанов (Елец) 1. Я. Хайдаров (Н. Челны) 1, 6, 7, 12, 13, 15, 16, 17, 18. О. Ханчарлян (Краснодар) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 16, 16, 17, 18, 20. Ф. Харах (Витебск) 1, 3,10, 11, 15, 18, 19. Г. Харитонов (Б. Сундырь) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 15, 18, 19. В. Холопов (Носины) 7. К. Хоменко и С. Пичкур (Черкассы) 3, 6, 7, 11, 16, 18. X. Хусаинов (Уфа) 6, 8, 10, 15, 16, 18. Е. Чернин (Москва) 1, 3, 6, 7, 8, 11, 13, 16, 18. С. Чечельницкий (Горький) 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, И, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. С Чуканцов (Брянск) 1, 2, 3, 6, 7, 13, 15, 16, 18. М. Шевелев (Казань) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Б. Шехтман (Одесса) 1, 2, 3,4, 6, 7, 12, 15, 18, 20. Я. Шибанов (Омск) 1. И. Шилин (Ново-Томниково) 7, 12, 13, 18. Л. Шмуленсон (Винница) 1, 2, 3, 6, 7, 8, 10, 14, 15, 16, 18. Я. Шор (Тула) 1, 2, 3, 7, 8,10, 12, 13, 15, 16, 18, 20. Я. Щелоков (Вальяновская) 1, 2, 3, 4, 6, 7, 13, 16,18. М. Щинова и Ф. Щинов (Глазов) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, Ю, 11, 12, 13, 17, 18,19,20. И. Яворский (Москва) 8. М. Яглом (Москва) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

Запросы по поводу сводок и заявления о замеченных неправильностях в них принимаются до 1 августа.

ЗАДАЧИ

41. Показать, что выражение:

не зависит от х.

А. Бутомо.

42. Решить треугольник по радиусу вписанного круга г и высотам ha и hb.

А. Бутомо.

43. Доказать тождество

А. Вепланд.

44. Найти двузначное число, квадрат которого равен сумме факториалов его цифр.

А. Вепланд.

45. Решить уравнение:

А. Вепланд (заимств.)

46. Построить прямоугольный треугольник по биссектрисе прямого угла / и гипотенузе с.

Ф. Горбушин.

47. Найти сумму п членов ряда:

Ф. Горбушин.

48. Через точку D, данную вне треугольника ABC, провести секущую так, чтобы сумма отрезков, прилегающих к углам А и С, была равна отрезку секущей, заключенному между сторонами AB и ВС.

Ф. Горбушин.

49. Показать, что, если в треугольнике угол А = 30°, то

А = К(Гв-Г)(Г5+Ге)§

где R, г, гф гь и гс—соответственно радиусы описанного, вписанного и вневписанных кругов.

В. Камендровский.

50. Доказать, что если углы треугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью в 45°, то:

1. Радиус круга, описанного около этого треугольника, есть среднее геометрическое наименьшей и наибольшей сторон треугольника.

2. Тот же радиус равен удвоенной высоте треугольника, опущенной на среднюю (по величине) сторону.

В. Камендровский.

51. Найти четырехзначное число abed, являющееся точным квадратом, такое, что если квадратный корень из него равен ху, то

cd = ху + — .

52. Дан правильный тетраэдр ABCD, ребро которого равно а.

На АС дана точка Е на расстоянии m от с и на AD точка F на расстоянии n от D. Вычислить стороны треугольника BEF.

53. Доказать, что общая касательная двух пересекающихся ортогонально окружностей есть средняя пропорциональная между их общей хордой и расстоянием между центрами.

54. Найти двузначное число, разность кубов цифр которого равна удвоенному самому числу.

55. В прямоугольном треугольнике с катетами а и Ъ найти на гипотенузе такую точку, чтобы произведение расстояний от нее до катетов равнялось бы данной величине k2.

56. Найти прямоугольник, стороны которого выражаются целыми числами, а площадь (в квадратных единицах) численно равна учетверенной сумме основания высоты и диагонали прямоугольника (измеренных в соответственных линейных единицах).

57. В треугольнике, вписанном в окружность радиуса R, одна сторона равна стороне правильного вписанного шестиугольника, другая — стороне правильного вписанного треугольника. Определить третью сторону и площади сегментов, отсекаемых сторонами треугольника.

58. Найти шестизначное число, которое, будучи умножено на 2, 3, 4, 5 и 6, дает в результате числа, составленные из тех же шести цифр, что и данное.

59. Дано неравенство

ах2 — (а — 1)* + а>0.

1) Определить значения а, при которых неравенство справедливо для любых значений х.

2) Определить значения а, при которых число 1 заключено между корнями данного трехчлена.

60. Вычислить с точностью до 0,1 квадратные корни из чисел 2?, 0,8 и 0,9. Отметить особенность корней квадратных из 0,8 и 0,9 (вычисленных с недостатком) и найти дроби с знаменателем 100, обладающих той же особенностью.

К СВЕДЕНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙ

1. Срок присылки решений задач, помещенных в настоящем номере, 1 августа.

2. Задачи для помещения в журнале должны посылаться отдельно от решений помещенных задач.

3. Непринятые задачи не возвращаются и уничтожаются редакцией.

При обнаружении дефекта в данном номере журнала просим прислать его для обмена по адресу: Москва, Орликов пер. 3, комн. 228. Отдел периодических изданий Учпедгиза.