МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

2

1937

НАРКОМПРОС ~ МОСКВА ~ УЧПЕДГИЗ

Пролетарии всех стран, соединяйтесь!

УПРАВЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

№ 2

МАРТ 1937 АПРЕЛЬ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

Содержание

Григорий Константинович Орджоникидзе

Правительственное сообщение.................. 5

От Центрального комитета Всесоюзной коммунистической партии (большевиков)....................„..... —

Великий пролетарский революционер............... 6

Повысить политическую бдительность, поднять качество учебной работы ............................. 8

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

A. Школьник—Исследование системы линейных неравенств .... 11

М. Филистович—К истории развития арифметических и алгебраических символов.......................26

МЕТОДИКА

Д. Маергойз — К методике обратных тригонометрических функций 31

Л. Круповецкий — К методике решения тригонометрических уравнений .............................41

ИЗ ОПЫТА

B. Петров — 53 года на уроках математики.............50

М. Еванов — Как оформлять в письменном виде доказательство геометрических теорем.....................55

М. Петров — О задаче: «На данном отрезке AB построить сегмент, вмещающий данный угол а».................56

И. Польский — Иллюстрация формул приведения тригонометрии при помощи синусоиды и косинусоиды...........59

П. Баранов —К методике преподавания вычисления логарифмов тригонометрических величин . ............... 64

В. Кузьмина — По поводу изложения темы «Радианное измерение углов и дуг».........................63

П. Компанийц — О построении и решении треугольников.....67

В. Крогиус — О концентричности курса тригонометрии.......75

П. Севастьянов — Построение школьного курса тригонометрии . . 77

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

К. Шевченко — Недостатки стабильного «Учебника прямолинейной тригонометрии* Н. Рыбкина............... 81

В. Стеллецкий —О некоторых традиционных недостатках учебников по тригонометрии.................... 83

A. Одинцов —О стабильном учебнике по тригонометрии...... 86

B. Голубев — Обратные круговые функции в стабильных учебниках —

В. Морев — Методико-математическая библиография по темам , . . 87

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ЗАДАЧИ

Отв. ред. А. Н. Барсуков. Отв. секр. М. М. Гуревич. Адрес редакции: Москва, Орликов, 3. Учпедгиз, Периодсектор, журн. «Матем. в школе»

Техредактор Е. М. Зеф.

Сдано в проиаводство 18/11 1937 ». Подписано к печати 26/ш 1937 р.

Учгиз № 9О02. Об'вм 6V2 П. л.

в 1 п. л. 74000 вн. Бумага 71 X №5/м

Зак. 204

Тираж 47000.

Уполномоченный Главлита Jé В — 10625

18-я типография треста «Полиграфкнига». Москва, Шубинский, 10.

ПРАВИТЕЛЬСТВЕННОЕ СООБЩЕНИЕ

18 февраля в 17 часов 30 минут в Москве, у себя, па квартире в Кремле, от паралича сердца скоропостижно скончался Народный Комиссар Тяжелой Промышленности, член Политбюро Центрального Комитета ВКП (большевиков) товарищ Григорий Константинович ОРДЖОНИКИДЗЕ.

ОТ ЦЕНТРАЛЬНОГО КОМИТЕТА ВСЕСОЮЗНОЙ КОММУНИСТИЧЕСКОЙ ПАРТИИ (БОЛЬШЕВИКОВ)

Центральный Комитет ВКП (большевиков) с глубоким прискорбием извещает партию, рабочий класс и всех трудящихся Союза ССР и трудящихся всего мира, что 18 февраля в 5 часов 30 минут вечера в Москве скоропостижно скончался крупнейший деятель нашей партии, пламенный бесстрашный большевик-ленинец, выдающийся руководитель хозяйственного строительства нашей страны — член Политбюро ЦК ВКП (б), Народный Комиссар Тяжелой Промышленности СССР товарищ ГРИГОРИЙ КОНСТАНТИНОВИЧ ОРДЖОНИКИДЗЕ.

Смерть товарища ОРДЖОНИКИДЗЕ, дорогого для всей партии, рабочего класса СССР, трудящихся всего мира, безупречно чистого и стойкого партийца, большевика, отдавшего свою славную, героическую жизнь делу рабочего класса, делу коммунизма, является тягчайшей потерей для всей партии и Советского Союза.

Образ товарища ОРДЖОНИКИДЗЕ, его беззаветная борьба за пролетарскую революцию, за строительство социализма в нашей стране вдохновит всех трудящихся, всех партийцев, всех работников хозяйственного фронта на дальнейшую борьбу за победу социализма, за новые завоевания советской промышленности, за новый подъем всего нашего социалистического народного хозяйства.

Центральный Комитет Всесоюзной Коммунистической Партии (большевиков).

ВЕЛИКИЙ ПРОЛЕТАРСКИЙ РЕВОЛЮЦИОНЕР

Огромное, неизъяснимое горе постигло нашу партию, рабочий класс, всех трудящихся нашей страны, все передовое человечество: Серго Орджоникидзе нет больше с нами. Умер великий пролетарский революционер, старый пламенный большевик, один из строителей нашей партии, непримиримый борец за ее единство, за чистоту ее рядов, выдающийся соратник Ленина и Сталина, организатор блестящих побед социалистической индустрии. Потеря неизмерима и невознаградима.

Всего три с половиной месяца назад вся советская страна праздновала пятидесятилетие Серго. Кажется, это было вчера: так жива в памяти всенародная ласка, которой платил в этот день весь народ своему Серго за его бурную, кипучую жизнь для народа, за его любовь к трудящимся, за его заботу о человеке. Со страниц газет смотрели смеющиеся, умные глаза человека, который был любимцем всей партии и всей страны, которого звали любовно: наш Серго. Эти честные, смелые, красивые глаза закрылись навсегда. Но имя Серго будет излучать теплоту, останется навсегда символом революционной пролетарской смелости, любви к трудящимся, ненависти к врагам народа.

Славная жизнь товарища Орджоникидзе — это страницы героической истории нашей партии и социалистической революции. Он вошел в эту историю как выдающийся ученик Ленина, ученик и друг Сталина. Он шел вместе с ними, великими созидателями социализма в нашей стране, не уклоняясь ни на один шаг в сторону, ни разу не дрогнув, непоколебимо стойкий, бесстрашный большевик. Он был пламенным рыцарем большевизма, непримиримым и страстным врагом всякого оппортунизма, маловерия, бесчестного политиканства, пустого фразерства. Противники Ленина и Сталина были противниками Орджоникидзе, и вся жизнь его прошла в борьбе за единство партии, за чистоту большевистских рядов.

Серго испытал все тяжести жизни профессионального революционера, борца пролетариата в годы царизма. В тюрьмах и ссылке копил он ненависть к царизму и к буржуазно-помещичьему строю. На нелегальной революционной работе вырос его опыт организатора масс.

Великая пролетарская революция и гражданская война подняли Серго на огромную историческую высоту выдающегося руководителя народа. Он создавал армии на фронте и организовал содружество народов на Кавказе.

Гражданская война окончилась,— борьба продолжалась. Партия вверила Орджоникидзе контроль над строительством социализма, над чистотой партийных рядов. На ответственном посту председателя ЦКК и наркома РКИ Орджоникидзе проявил орлиную зоркость глаза, львиное мужество, прямоту и верность славным традициям большевизма. Орджоникидзе беспощадно разоблачал двурушников и предателей в партии и нанес врагам партии немало сокрушительных ударов.

Руководство тяжелой промышленностью было триумфом товарища Орджоникидзе. Его недаром назвали командармом социалистической индустрии. Он

вел ее от победы к победе. Здесь развернулись во всем своем блеске выдающиеся его способности организатора, руководителя, знатока людей, воспитателя большевистских кадров. Он был командармом,— увлекал рабочих и инженеров на штурм трудностей, вдохновлял примером и словом, заражал неистощимой своей энергией, большевистским энтузиазмом, неукротимой жаждой труда и борьбы, пламенной верой в победу социализма.

Он был поистине поэтом социалистического труда. Он оценил и подхватил инициативу стахановцев, потому что подготовил эту инициативу выращиванием кадров по сталинским указаниям. У товарища Сталина научился Серго внимательному, любовному отношению к пионерам коммунистического труда,— героического и доблестного. Он знал всех сколько-нибудь выдающихся работников тяжелой промышленности, знал не только по имени, а входя глубоко в жизнь, в характер работников. Он был строгим начальником и верным товарищем. Его требовательность была и чуткостью.

У Серго было большое и горячее сердце великого большевика. В этом сердце жила пламенная любовь к рабочему классу, к трудящимся, ко всему человечеству — и пламенная ненависть к врагам рабочего класса и человечества. На физической оболочке этого большого сердца годы борьбы, преследований, волнений отложили свои следы. Но больное сердце оставалось полным революционной страсти, полным любви к нашей великой родине. Смерть вырвала из наших рядов драгоценную жизнь.

Осиротела наша партия, осиротела наша страна. Безмерна печаль всех честных граждан Советского Союза, всего трудящегося человечества. В эти скорбные минуты мысль обращается прежде всего к тем, кто были ближайшими друзьями покойного, его первыми товарищами, — к членам Политбюро нашей партии, к товарищу Сталину. В миллионах глаз народа они прочтут преданность и любовь, готовность к беззаветной борьбе за то великое дело социализма, которому всю свою жизнь, до последней капли крови сердца отдал дорогой, любимый Серго. Заменить его нельзя. Такой, как Серго,— он один. Но в потерях большевики учатся удесятерять свои силы. Не дрогнет ни на минуту знамя, которое держал в своих руках Серго.

Имя Серго, память о нем, вся его славная жизнь будут светить в веках поколениям строителей коммунизма. Он был образцом человека, для которого строится коммунизм, и образцом человека, строящего коммунизм: рыцарем в лучшем, в благородном смысле этого слова, бесстрашным защитником человечества, героем, в котором отвага и скромность, мужество и простота создавали подлинную красоту.

«Правда» от 19 февраля 1937 г.

ПОВЫСИТЬ ПОЛИТИЧЕСКУЮ БДИТЕЛЬНОСТЬ, ПОДНЯТЬ КАЧЕСТВО УЧЕБНОЙ РАБОТЫ

1

Растет и крепнет наша великая советская страна. Каждый год, каждый месяц является годом новых побед, месяцем новых достижений в поступательном шествии страны к созданию бесклассового общества, к осуществлению сокровеннейшей мечты трудящихся всего мира. Неуклонный рост промышленности и сельского хозяйства, рост культурного уровня, рост политического самосознания трудящихся масс, рост их экономического благосостояния — вот что характеризует советскую страну, вот что резко отличает ее от стран капитализма. Невиданы, невозможны для капиталистических стран) и темпы этого роста.

Наши стахановцы почти ежедневно на самых различных участках социалистического строительства опрокидывают нормы, выработанные профессорами и инженерами применительно к условиям капиталистического строя.

Наши пилоты, соединяя глубокую научную подготовку, дисциплинированность и выдержку с беззаветной храбростью и преданностью социалистической родине, удивляют мир своими рекордами.

Наша горячо любимая всеми трудящимися Союза Красная армия, охраняя наши границы, показывает неисчислимое количество примеров мужества, отваги, геройства наряду с блестящей военной подготовкой.

Еще и еще на многих примерах можно было бы показать кипучую жизнь страны Советов, показать, как бурно перестраивается ее экономика, как это новое бытие перековывает и сознание советского гражданина.

Венцом всей этой работы, наглядным символом достигнутых побед, ярким знаменем, зовущим к дальнейшим победам, является великая сталинская Конституция. Как в зеркале, отражена в сталинской Конституции наша страна, ее мощь, ее завоевания, все то, с чем она приходит к двадцатой годовщине Великого Октября.

Нелегок был путь, которым страна пришла к ее настоящему, цветущему положению.

Наши победы, наши достижения — это результат многолетней, упорной и трудной борьбы рабочего класса с царизмом; результат героической и кровопролитной борьбы с капиталистами и помещиками и их ближайшими помощниками — меньшевиками и эсерами — на фронтах гражданской войны; результат тяжелых лишений и тяжелого труда в первые годы советской власти в стране, разоренной империалистической й гражданской войнами.

Наши победы — это результат правильного руководства, правильной политики нашей славной коммунистической партии, ее Центрального комитета; результат неуклонной, настойчивой борьбы против всяких правых и «левых» попыток сбить партию с правильного ленинского пути, попыток нанести удар делу социалистического строительства в самые его ответственные, в самые тяжелые моменты.

Наши победы — это результат мудрого руководства, сильной воли, беззаветной преданности делу рабочего класса наших гениальных вождей — Ленина и Сталина.

Понятно поэтому, как дороги эти завоевания сердцу трудящихся нашей страны. Понятно, как ревниво рабочий класс Советского союза охраняет завоеванное его потом и кровью рабоче-крестьянское государство, как любовно и бережно относится он к своей партии, к своим вождям, приведшим его к неслыханным победам.

Понятно, что всякое посягательство на добытые завоевания, на партию, на ее вождей может вызвать только жгучий гнев всех

трудящихся Союза, может только получить самый жестокий отпор.

Всякая такая попытка неизбежно обречена на неудачу, она безнадежна.

2

И все же нашлась ничтожная кучка людей, посягнувшая на дело рабочего класса, на его партию, на жизнь его вождей, посягнувшая на самое существование советского социалистического государства.

Жалкие остатки троцкистского, зиновьевского и правого охвостья объединились между собой, организовали бандитско-фашистскую группу и под непосредственным руководством и конкретным инструктажем врага народа Иудушки-Троцкого поставили себе целью реставрацию капитализма в нашей стране.

Для осуществления этой цели они не останавливались ни перед чем; они не гнушались самыми низкими, самыми предательскими, самыми злодейскими методами борьбы против дела рабочего класса.

Крепнет экономическая мощь Советского союза — троцкистская банда становится на путь подрыва этой мощи, на путь экономического вредительства, создавая аварии на предприятиях, в шахтах, проводя вредительскую политику в руководимых ими учреждениях.

Неуклонно улучшается работа транспорта, этого важнейшего нерва нашей промышленности,—они создают аварии на железных дорогах.

Растет благосостояние рабочего класса, вое более и более крепкие узы доверия и любви связывают рабочий класс с его правительством, с его партией и его вождями— они пытаются разорвать эти узы. Не щадя жизней рабочих и их детей, они устраивают аварии с человеческими жертвами, убивают лучших стахановцев, пытаясь этим посеять в рабочей среде недовольство своим правительством, недоверие к своей партии.

Растет военная мощь Советского союза, крепнет его обороноспособность. Вое труднее становится врагам советской страны осуществить свою мечту о ее разгроме — троцкистское охвостье старается облегчить эту задачу для международного капитализма; они становятся изменниками своей родины, становятся шпионами иностранных государств, становятся прямыми агентами фашистов — самых заклятых врагов рабочего класса.

На фоне роста боеспособности нашей страны все более проблематичной представляется для капиталистов победа над Советским союзом в случае открытой войны — кучка изменников старается помочь им в этом, передавая военные тайны, составляя целый план, неслыханный предательский план вредительства на военных заводах во время войны, план массового отравления и заражения бойцов нашей славной Красной армии.

Коммунистическая партия, ее вожди твердой, уверенной рукой ведут рабочий класс от победы к победе — предатели пытаются вонзить нож в самое сердце рабочего класса. Они злодейски убили верного сына партии Сергея Мироновича Кирова, они готовили убийства целого ряда вождей партии,, они намеревались убить нашего Сталина.

Таков список злодеяний предателей дела социализма, фашистских агентов Пятакова, Радека, Серебрякова и пр. Список этот таков, что никакой самый изощренный в злодействах ум не мог бы прибавить к нему что-либо. Здесь предел, дальше которого отказывается итти всякое воображение.

А конечной целью всей этой вредительской, шпионской и палаческой деятельности является разгром страны социализма, реставрация капиталистического строя, восстановление власти и гнета помещиков и капиталистов, отдача под непосредственное владычество капиталистических стран одной части советской страны, экономическое порабощение другой.

Благодаря бдительности ЦК партии и наших органов Наркомвнудела, благодаря энергии и проницательности Н. И. Ежова вся эта банда была раскрыта и предстала перед советским судом.

Вся страна приветствовала приговор над изменниками. Этот приговор был подлинно народным приговором, ибо выражал подлинную волю миллионных масс трудящихся.

Но страна сделала из этого процесса и практические выводы.

Первый вывод: еще больше усилить классовую бдительность на всех участках социалистического строительства; объявить беспощадную борьбу всякому разгильдяйству, близорукости, сваливанию на «об'ективные причины» во всяких неполадках; тщательно охранять предприятия, шахты и прочее от всяких возможных вредительских покушений; оберегать жизнь и здоровье вождей коммунистической партии и рабочего класса.

Второй вывод: на попытку врагов сорвать социалистическое строительство — ответить под'емом его на еще большую высоту; шире развернуть стахановское движение. Там, где изменники успели осуществить свои вреди-

тельские задачи, в кратчайшие сроки ликвидировать последствия вредительства и быстрыми шагами пойти вперед.

Третий вывод: на шпионскую работу изменников, на их ставку на поражение Советского союза ответить еще большим повышением боевой мощи и обороноспособности нашей страны; ответить созданием Наркомата оборонной промышленности; ответить еще большим развертыванием боевой подготовки советской молодежи.

3

Наше советское учительство вместе со всеми трудящимися испытывает гнев и ненависть к врагам социалистической родины. Вместе со всеми трудящимися оно единодушно одобрило приговор, вынесенный предателям. Вместе со всеми трудящимися оно сделает и соответствующие практические выводы для своей дальнейшей работы.

Школа — один из важнейших участков идеологического фронта. В ней формируется мировоззрение молодого поколения. Немудрено, что и в среду учащихся пытаются проскользнуть враждебные влияния; обнаружение этих влияний, настойчивая борьба с ними — первейшая обязанность учителя. Надо изжить все еще имеющую, место в среде нашего учительства- тенденцию — объяснять классово враждебные выступления отдельных учащихся «мальчишеством», «недисциплинированностью» и пр. Надо помнить, что почти за всяким таким поступком скрывается классовый враг, исподтишка старающийся разлагающе воздействовать на наше молодое поколение; надо найти этого врага и разоблачить его.

Учитель должен придать большую политическую заостренность своей воспитательной работе. Наша советская печать ежедневно дает богатый материал, систематически используя который, учитель сможет широко раскрыть перед учащимися грандиозный размах социалистического строительства; рост благосостояния трудящихся масс наряду с ростом нищеты трудящихся капиталистических стран; культурный рост всех народов Советского союза наряду с походом против культуры в фашистских странах; политический и экономический рост самых малых народностей в советской стране наряду с политическим и экономическим порабощением ряда национальностей капиталистическими странами и пр. и пр.

Учитель найдет богатый материал, который поможет ему воспитать в учащихся чувство горячей любви к своей социалистической родине, чувство гнева и ненависти к ее врагам как внутри, так и вне страны.

Наша сталинская Конституция, изучение которой, согласно указанию т. Молотова, обязательно для средней школы, является могучим орудием воспитания учащихся в духе коммунизма, в духе беззаветной преданности делу рабочего класса, преданности и любви к коммунистической партии и ее вождям.

Учитель должен в своей воспитательной работе теснее сомкнуться с комсомолом, роль и значение помощи которого многие учителя еще недооценивают.

В своей учебной работе учитель должен всемерно повышать ее качество, добиваясь ликвидации второгодничества, этого бича школы, добиваясь максимальной успеваемости.

Для этого учитель должен постоянно работать над собой, над повышением своего политического, образовательного и методического уровня, помня, что кто не идет вперед, тот неизбежно катится назад.

Только таким путем учитель делом даст достойный ответ всяким попыткам вредителей повернуть назад колесо истории, отнять у рабочего класса, у всех трудящихся советской страны то, что ими завоевано, то, что записано в великой сталинской Конституции.

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ

А. ШКОЛЬНИК (Москва)

Вопрос о решении систем неравенств в математической литературе совершенно недостаточно разработан. Даже в простейшем случае—2 неравенств 1-й степени с 2 неизвестными — мы встречаем только указания практического характера о том, как должно решать такие неравенства; вопрос же о том. когда такая система имеет решение (и каков должен быть ее характер) и когда она решения не имеет — совершенно не рассматривается. В нижеследующем мы ставим своей задачей общее исследование этой проблемы. При этом весьма целесообразной оказывается геометрическая трактовка получаемых результатов.

Во всем дальнейшем изложении мы, не нарушая общности, будем исходить из рассмотрения неравенств, содержащих знак «больше» О). Если бы нам было дано неравенство со знаком «меньше» ( <), то умножением обеих частей его на—1 мы превратили бы его в неравенство противоположного смысла.

§ 1. Неравенство с 1 переменным Общий вид такого неравенства:

(1)

Решение соответствующего равенства (уравнения) ах+ Ь — 0 выражается помощью знака равенства х =--; иными словами, всегда существует единственное значение переменного х, удовлетворяющее этому уравнению. Решение неравенства (1) выражается помощью знака неравенства Q> или О, т. е. существует бесчисленное множество значений переменного х, удовлетворяющих данному неравенству.

При этом, если а>0, то

Таким образом совокупность значений переменной х, удовлетворяющих неравенству (1), представляет собой интервал, ограниченный снизу (слева) при а>0 и — сверху (справа) при а<0:

Геометрически это представляется так (черт. 1 и 2):

Черт. 1.

Черт. 2.

В рассматриваемом случае, поскольку совокупность значений переменного, удовлетворяющих нашему неравенству, ограничена только с одной стороны, мы эту совокупность решений будем называть односторонним (неполным) решением.

Итак, линейное неравенство с одним переменным ах+ О при (a =f= 0) всегда имеет одностороннее решение, в котором знак неравенства определяется знаком коэфициента при переменной, т. е.

Примеры:

§ 2. Система 2 неравенств с 1 переменным

Положим, мы имеем систему 2 неравенств с 1 переменным:

(1)

Каждое из неравенств системы, взятое в отдельности, дает для х односторонний интервал, т. е. совокупность значений переменной, лежащих влево или вправо от определенной точки (больших или меньших некоторой границы). Решение системы этих неравенств, т. е. совокупность значений, удовлетворяющих одновременно обоим неравенствам, будет определяться, во-первых, знаками неравенства О или <J в решении каждого из неравенств, а, следовательно, знаками коэфициентов при переменном, и, во-вторых, величинами границ для ху даваемых каждым из неравенств. В зависимости от знаков коэфициентов при переменных могут представиться два существенно различных случая.

1. Коэфициенты при переменном в неравенствах имеют разные знаки.

Пусть ах > 0 и #2 < 0. Это предположение не нарушает общности, ибо от нас зависит, какое из неравенств писать первым. Тогда, из первого неравенства:

а из второго неравенства:

Возможность одновременно удовлетворить обоим неравенствам будет зависеть от относительной величины чисел — — и--

а) Если — — <С—— (нижняя граница меньше верхней), то неравенства совместны, и значения л:, удовлетворящие одновременно обоим неравенствам, будут >—~ и <— - , т. е. будут находиться внутри конечного (ограниченного слева и справа) интервала

Система в рассматриваемом случае имеет двустороннее (полное) решение, геометрически представляемое внутренней частью отрезка (черт. 3).

Черт. 3.

Рассматриваемый случай имеет место, когда — — <Г — —. Отсюда, освобождаясь от дробей (помня, что ах > 0 и а2 <С 0) и перенося члены в одну сторону, получим:

Но выражение в правой части представляет собой не что иное, как определитель, составленный из коэфициентов нашей системы неравенства:

В разбираемом случае, следовательно.

Ь) Пусть далее — — “> — — (т. е. нижняя граница больше верхней). В этом случае нет таких значений х, которые могли бы удовлетворить одновременно обоим неравенствам. Неравенства несовместны; система противоречива.

В рассматриваемом случае:— а2 bt <—ах Ь2;

с) Пусть, наконец,— — = — —. В этом случае система также противоречива, ибо х не может быть одновременно и больше и меньше--Ч Этот случай имеет при а1Ь2 — a2bt= О, т. е. при д = 0.

Таким образом, решение в рассмотренном случае (когда коэфициенты при переменном разного знака) зависит от величины определителя системы Д следующим образом:

Если Д>0, то система имеет конечное (двустороннее) решение — конечный интервал —- — < X <Г--

Если Д ^ 0, то система противоречива.

Мы исходили из предположения, что ах > О и а2<0у чего при различных знаках коэфициентов всегда можно добиться, соответственным образом располагая неравенства. Если от этого отказаться, то может представиться случай: и а2>0. Тогда, как нетрудно проверить, система будет иметь решение в том случае, когда Д<0, и будет противоречива в случае Д^=0. Таким образом, система неравенства (1), если коэфициенты при переменных имеют разные знаки, будет иметь

двустороннее конечное решение, если знак определителя будет совпадать со знаком первого коэфициента, и будет противоречива, если эти знаки будут различны, либо если Д будет равен нулю.

2. Коэфициенты при переменном в обоих неравенствах имеют одинаковые знаки. В зависимости от знака коэфициентов могут представиться два случая.

а) Положим, оба коэфициента положительны ах>0 и а2>0. Тогда из первого неравенства: х >---, а из второго: х >---.

Оба неравенства дают нижнюю границу для х. Чтобы удовлетворить одновременно обоим неравенствам, нужно взять х больше большей из границ.

Решением всей системы будет служить решение одного только неравенства, именно того, которое доставляет (в качестве нижней границы) большее число.

Какое именно неравенство дает решение системы — можно установить по знаку определителя Д.

Действительно, пусть--р>--I решение системы получается из первого неравенства: X j>--- ),

тогда:

Если же--- <--- I решение системы получается из второго неравенства:

то в этом случае:

Если бы--- =---, то — =т£; коэфициенты в неравенствах пропорциональны и так как знаки а± и а2 одинаковы, то одно неравенство есть следствие другого (может быть из него получено умножением на положительный множитель), т. е. по существу мы имеем одно лишь неравенство. В этом случае, так как

Итак, если Д>0, решение дается первым неравенством, если Д<0, то вторым, если же Д = 0, то оба неравенства дают одно и то же решение.

Ь) Положим, что оба коэфициента при переменных отрицательны:

ах<0 и а2<0. Тогда из первого неравенства х < — ~, а из второго: х<— , о2

Оба неравенства дают верхнюю границу для X. Чтобы удовлетворить одновременно обоим неравенствам, нужно взять х меньше меньшей из границ. Решением всей системы будет служить решение одного только неравенства, именно того, которое доставляет (в качестве верхней границы) меньшее число.

Пусть--- <Г--1 тогда решение системы

доставляется первым неравенством:

отсюда

Положим теперь--- >--- I решение системы будет получаться из второго неравенства: х<--1 >

в этом случае:

Случай — — = — — и, следовательно, Д = 0 разрешается так же, как и выше: одно неравенство есть следствие другого.

Таким образом, при Д < О решение получается из первого неравенства, а при Д > 0 — из второго.

Оба случая (а) и (Ь) могут быть об'единены следующим образом: если знак определителя системы Д совпадает со знаком коэфициентов при переменных, то решение получается из первого (верхнего) неравенства, если же эти знаки противоположны, то из второго (или нижнего) неравенства.

Результаты нашего исследования могут быть сформулированы следующим образом.

Если в системе двух линейных неравенств с одним переменным:

коэфициенты при переменном разного знака, то система имеет полное двустороннее решение в виде конечного интервала изменения переменной х,— в том случае, если знак определителя системы:

совпадает со знаком первого коэфициента ах, и не имеет его совсем, если эти знаки противоположны, либо если Д = 0.

Если же коэфициенты при переменной одного знака, то система всегда имеет неполное, одностороннее решение в виде бесконечного, ограниченного только с одной стороны интервала, выраженное неравенством того знака (> или <), который имеют эти коэфициенты; при этом решение системы доставляется решением одного только неравенства; именно первого, если знак определителя Д совпадает со знаком коэфициентов при переменном, и второго — в противоположном случае; при Д = 0 одно неравенство есть следствие другого и оба дают одно и то же (одностороннее) решение. Примеры:

Система противоречива.

Система противоречива.

решение получается из 2-го неравенства:

решение получается из 2-го неравенства: х < 2.

§ 3. Одно неравенство с двумя переменными; геометрический смысл

Одно неравенство с двумя переменными:

является неопределенным в том смысле, что ни для одного из переменных нельзя указать определенной, постоянной границы изменения; каждое из переменных в отдельности может принять любое значение в пределах от — слДО+сл. Если же одному из переменных (например у) приписать какое-нибудь произвольное, но фиксированное значение, то для другого переменного (например х) получается одностороннее решение (в котором знак неравенства определяется знаком коэфициента при этом переменном). Например, при а>0:

Граница изменения переменной х, как мы видим, не является постоянной, а зависит от значения у. То же будет, если фиксировать X и решать неравенство относительному. Остановимся теперь на геометрическом смысле этого неравенства. Соответствующее уравнение ах + by + с =? О определяет прямую на плоскости, так что трехчлен ах+ Ьу+с обращается в нуль тогда, и только тогда, когда точка (х, у) лежит на прямой. Прямая эта разбивает координатную плоскость на 2 полуплоскости, причем для точек одной половины имеет место неравенство ах + by + + с > 0, а для другой — неравенство ах ++ *у+*<0*.

Действительно, в нуль трехчлен обращается только на прямой, поэтому в пределах одной полуплоскости он в силу своей непрерывности сохраняет знак. По разные же стороны от прямой эти знаки должны быть различны. В самом деле, пусть, например Ь>0. Возьмем точку М0 (*0;.У0)на прямой (черт. 4) так, что ахо+ЬУо + с = 0-Далее на прямой, проведенной через эту точку параллельно оси К, возьмем точки Мх (х0; ух) и М2 (х0;у2) по разные стороны от данной прямой так, что ух <0'0 <CJV

Черт. 4.

* Ср. напр., П. Аппель, Элементы аналитической геометрии, русский перевод 1933 г.

Тогда (в силу того, что Ь>0):

ах0 + Ьу± + с<0, а ах0+£y2+c>0.

Но знак, который трехчлен имеет в точке Mi, он сохраняет во всей полуплоскости. То же относится и к знаку трехчлена в точке М2. Таким образом предложение доказано. Из доказательства вытекает, что при b > 0 неравенству ах+ by О удовлетворяют точки, лежащие над соответствующей прямой (в направлении положительной оси Y). Нетрудно видеть, что при Ь<0 точки, удовлетворяющие неравенству, будут находиться под прямой (ибо тогда Ьу2 <С Ьу0)- Аналогичное рассуждение, построив прямую, проходящую через М0 параллельно оси х, можно провести по отношению к координате х. Вывод получается следующий: при а > О точки, удовлетворяющие неравенству ах+ by +с>0, будут находиться вправо от соответствующей прямой (в направлении положительной оси х), а при а < О — влево от нее.

Итак, геометрически, неравенство:

ах + by + с > О

выражает полуплоскость, т. е. совокупность точек, лежащих в плоскости по одну сторону от прямой ах+ by + с = 0. Расположение этой полуплоскости зависит от знаков коэфициентов а и b следующим образом (черт. 5—8):

Черт. 5 I. а>0, *>0

Точки расположены вправо и вверх от прямой

Черт. 6 II. л>0, Ь<0

Точки расположены вправо и вниз от прямой

Черт. 7 III. а<0, £<0

Точки расположены влево и вниз от прямой

Черт. 8 IV. а<0. Ь>0

Точки расположены влево и вверх от прямой

§ 4. Система 2 неравенств с 2 переменными. Случай АфО

Положим, что мы имеем систему 2 неравенств с 2 переменными:

ta±x+ V + £i>° (1)

Обычный, элементарный способ решения такой системы неравенств состоит в том, что путем уравнивания коэфициентов и последующего сложения неравенств исключают одно из переменных (это можно сделать лишь в том случае, если коэфициенты при этом из переменных имеют различные знаки, ибо неравенства одинакового смысла можно почленно складывать, но нельзя вычитать). Полученное в результате исключения одного из переменных (например х) неравенство даст для оставшегося переменного (например у) одностороннее решение — верхнюю либо нижнюю границу изменения. Если затем этому переменному (у) приписать какое-либо из возможных для него значений, то исходную систему можно будет рассматривать как систему двух неравенств относительно одного только переменного X. Как оказывается (это мы в дальнейшем покажем) в этом случае — если только у приписаны значения в пределах найденного для него одностороннего решения — система допускает для х полное (конечное) двустороннее, но зависимое от у решение. Если в системе возможно исключить у постоянное,

одностороннее решение получается для х, а зависимое двустороннее решение для у.

В случае, если система 2 линейных неравенств с 2 переменными допускает решение одного из указанных типов, то мы будем говорить, что система определенная, т. е. мы уславливаемся считать систему 2 линейных неравенств с 2 переменными определенной в том случае, если для одного из переменных мы получаем постоянную, верхнюю либо нижнюю границу, а для другого переменного конечный, ограниченный снизу и сверху интервал (но с переменными, зависящими от значения другого переменного, границами). Система неравенств, однако, может оказаться и неопределенной и противоречивой.

Как мы увидим при дальнейшем рассмотрении, характер решения будет зависеть как от знаков коэфициентов при переменных #i» #2, и ^2» так и от величины составленного из них определителя

Мы будем предполагать сначала, что определитель Д отличен от нуля. Но еслиД=^=0, то система соответствующих уравнений

будет иметь определенное решение:

Введем следующие обозначения. Возьмем матрицу из коэфициентов системы:

и составим из нее 3 определителя 2-го порядка:

Тогда решения системы уравнений можно записать так:

Геометрически, как известно, условие Д=/-0 обозначает, что соответствующие прямые пересекаются в некоторой точке М0, координаты которой определяются написанными выше равенствами.

Решение данной системы неравенств (1) помимо величины определителя будет зависеть, как мы уже заметили, также от знаков коэфициентов при переменных. Мы рассмотрим различные, могущие представиться здесь случаи.

1. Коэфициенты при одном из переменных имеют в неравенствах разные знаки.

а) Положим, что разные знаки имеют коэфициенты при переменном х. Пусть #i>0 и а2<0\ это всегда можно предположить, не нарушая общности (ибо от нас зависит, какое неравенство писать первым). Поступаем далее следующим образом. Фиксируем переменное у и рассматриваем систему 1 относительно одного только переменного х. Мы будем иметь тогда систему 2 неравенств с 1 переменным, и так как по предположению коэфициенты при этом переменном разного знака, то (§ 2, 1) система будет иметь двустороннее (конечное) решение, если соответствующий определитель будет > 0 (в противном случае система будет противоречива. Что же представляет из себя в данном случае определитель?

Определитель D будет > 0, когда

Это неравенство будет иметь место, когда, предполагая Д > О,

или, если Д<0, тогда, когда

Итак, определитель D будет > 0, и система неравенств будет допускать решение относительно X, когда у будет ^у0 (знак неравенства определяется знаком Д*). Таким образом в решении нашей системы (1) переменное у может принимать лишь значения большие (или

* Мы будем говорить, что знак неравенства определяется знаком некоторого числа а, если

меньшие) постоянной величины у0 = .

При этих условиях мы для каждого значения у, удовлетворяющего неравенству у>у0 (или у<Су0), получаем двустороннее решение для x (ибо при этом определитель D будет > 0) с границами изменения, зависящими от у:

Мы получили, таким образом, для нашей системы решение следующего типа: для у одностороннее решение (ограниченный либо снизу, либо сверху бесконечный интервал изменения), выражаемое неравенством У>У0у либо у<СУо> причем знак неравенства в этом решении определяется знаком определителя системы Д ; а для х двустороннее зависимое решение: ограниченный с двух сторон интервал изменения с границами, зависящими от у*:

(2)

Ь) Положим теперь, что противоположного знака коэфициенты будут при переменном у. Располагаем нашу систему неравенств (1) так, чтобы на первом месте стояли члены, содержащие у, и чтобы коэфициент при у в верхнем неравенстве был положителен (так, что *!>0 и Ь2<0):

(1')

Далее рассуждаем так же, как и выше. Фиксируем x и рассматриваем нашу систему, как систему 2 неравенств относительно одного только переменного у. Тогда:

Определитель D<°> будет> 0 (и, следовательно, система будет иметь относительно у двустороннее решение) тогда, когда

А это будет иметь место при следующих значениях х:

Если мы заметим, что определитель расположенной системы неравенств (1')

то можно будет сказать, что знак неравенства в решении для х определяется знаком определителя Д(°) расположенной системы. Замечая, что ^ = л:0, мы можем сказать, что при значениях х>х0 (или л;<лг0, в зависимости от знака Д(°>) определитель D<°> будет > О и, следовательно, для у мы получим двустороннее решение, интервал

в котором границы зависят от значения другого переменного х. В рассматриваемом случае мы получаем решение такого типа — одностороннее решение для х, выражаемое неравенством, знак которого определяется знаком расположенного определителя £К°>, и двустороннее зависимое решение для у:

(3)

Таким образом, в том случае, когда коэфициенты при одном из переменных имеют разные знаки (и Д ф 0), система неравенств является определенной в отмеченном выше смысле этого слова.

Проведенное исследование допускает нижеследующее геометрическое истолкование (черт. 9—12).

Как показывает, например, черт. 9, точки, координаты которых удовлетворяют первому неравенству, лежат в полуплоскости, расположенной вправо и вверх от прямой КК1, а точки, удовлетворяющие второму неравенству,— в полуплоскости влево и вверх от прямой LU.

Решением системы служит двумерная область, представляемая на чертеже общей частью (пересечением) этих полуплоскостей, углом KMqL такого вида, что прямая, параллельная оси x и проведенная выше вершины угла ЛТ0, пересекает контур области в двух точках. Это и показывает, что реше-

* Причем длина этого интервала увеличивается с увеличением

Черт. 9

Черт. 10

Черт. 11

Черт. 12

ние в рассматриваемом случае имеет вид (2). Аналогично обстоит дело и на чертеже 10, с тем отличием, что угол KM0L обращен вниз (у <СУо)> так что контур области в 2 точках будет пересекать прямая, параллельная оси X и проведенная ниже точки /И0. На черт. 11 и 12 область KM0L, представляющая решение системы, такова, что прямая, параллельная оси К, пересекает контур области в двух точках, если она проведена правее (черт. 11) или левее (черт. 12) точки ЛТ0; это и показывает, что решение системы имеет в данном случае вид (3).

2. Коэфициенты при обоих переменных имеют в неравенствах разные знаки. В этом случае, так как коэфициенты и при X и при у имеют различные знаки, оказывается возможным решение системы представить двумя способами — в виде (2) и в виде (3). В этом случае система вдвойне определенная. И для л и для у существует граница изменения (либо верхняя, либо нижняя), и если одно из переменных принимает любое значение из установленного для него одностороннего интервала, то для другого переменного получаем двустороннее (зависимое) решение. При этом можно заметить еще следующее.

Если знаки коэфициентов при переменных пределах одного неравенства будут одинаковы, т, е. если:

то определители Д и Д<°> будут противоположного знака:

а потому знаки неравенства в определении границы для X и для у будут противоположны, т. е. если для х получаем верхнюю границу, то для у нижнюю и наоборот:

при Д^О у^у0; а х^х0.

Если же знаки коэфициентов при переменных будут:

*1>0 bt<0 а2 < 0 Ь2 < 0,

т. е. будут различны в каждом неравенстве, то определители Д и Д<0) будут одинаковы:

а потому знаки неравенства в определении границ для хну будут одного смысла: при Д^О, у ^у0 и х^х0, X и у одновременно имеют либо верхнюю, либо нижнюю границу.

Геометрически все это иллюстрируется нижеследующим образом (черт. 13—16).

Чертежи показывают, что в рассматриваемом случае решением служит часть плоско-

сти, представляющая внутреннюю часть острого угла KM0L, расположенного так, что стороны его пересекает в двух точках как прямая, параллельная оси х, так и прямая, параллельная оси X При этом, если коэфициенты при X и у в неравенствах одинакового знака (черт. 13 и 14), то, если прямая, параллельная оси х, должна быть взята выше (ниже) точки Мв, то прямая, параллельная оси Y, берется левее (правее) этой точки. Если же коэфициенты при х и у разного знака (черт. 15 и 16), то прямые, параллельные осям, должны быть взяты правее и выше или левее и ниже точки М0.

3. Коэфициенты при каждом из переменных имеют в обоих неравенствах одинаковые знаки. Фиксируем произвольным образом одно из переменных, например у, и рассматриваем нашу систему 1 относительно одного только х. Так как в разбираемом случае коэфициенты при переменном (х) одинакового знака, то (§ .2,2) система дает для х одностороннее решение — верхнюю либо нижнюю границу (в нашем случае эта граница будет зависимой от у); при этом, как было выяснено выше, решение это должно было бы доставляться первым неравенством системы, если знак определителя совпадает со знаком коэфициентов при переменном, и вторым неравенством в противоположном случае.

Каков же знак определителя?

Мы видим, что наш определитель D не сохраняет постоянного знака для всех значении у; если для значений У^“^ =Уо, имеет, например, знак+, то для значений У>У0 будет иметь знак-—. А раз так, то односторонний интервал для х для значений у <Су0 будет доставляться одним неравенством системы, а для значений у>у0 другим неравенством (при у = у0 оба неравенства дадут одно и то же решение). Но во всяком случае переменному у можно будет приписывать любое ничем не ограниченное значение. Совершенно точно так же можно будет фиксировать значение переменного х и, рассматривая систему (1), как систему неравенств относительно одного переменного у (коэфициенты при котором имеют одинаковые знаки), показать, что для у получается одностороннее зависимое решение (доставляемое для х<С^х0 одним неравенством, а для х>х0 другим неравенством) и что переменному х можно приписать любое значение. Таким образом в рассматриваемом случае каждое из переменных х и у может в отдельности принимать любое, ничем не ограниченное значение, в пределах от — со до с/э, если же

Черт. 13

Черт. 14

Черт. 15

Черт. 16

фиксировать одно из переменных, то для другого получаем одностороннее зависимое решение, ограниченный снизу или сверху интервал изменения, граница которого зависит от значения другого переменного, т. е. мы находимся в смысле характера решения в таких же условиях, как при решении одного неравенства с двумя переменными (§ 3). Нашу систему неравенства в разбираемом случае мы будем считать неопределенной.

Геометрически рассмотренный нами случай иллюстрируется следующим образом: (черт. 17—20).

Черт. 17

Черт. 18

Черт. 19

Черт. 20

Чертежи показывают, что решением нашей системы неравенств служит двумерная область, представленная внутренней частью тупого угла KM0L такого вида, что любая прямая, параллельная оси X либо оси К, пересекает контур этой области в одной точке, при этом прямая, положим, параллельная оси jc, проведенная выше точки Mot пересекает одну сторону угла, а прямая, проведенная ниже точки М0 — другую его сторону.

Таким образом, если определитель системы неравенств Д отличен от нуля, то система является определенной, в случае, если коэфициенты хотя бы при одном из переменных имеют в неравенствах разные знаки, и неопределенной, если коэфициенты при каждом из переменных имеют в обоих неравенствах одинаковые знаки.

Примеры;

§ 5. Система двух неравенств с 2 переменными. Случай А =О

Положим теперь, что система неравенств

имеет определитель Д = 11 равный нулю.

Геометрически в этом случае соответствующие прямые ахх + Ь^у + ct = О и а2х + Ъ^у +-f £2 = 0 будут параллельны, ибо из Д = О

следует, что —- = (= /г).

а2 Ь2Х

Характер решения в рассматриваемом случае будет, как увидим, определяться помимо знаков коэфициентов при переменных еще и величиной какого-нибудь из «дополнительных» определителей, получаемых из матрицы коэфициентов:

Проще всего для этой цели, как оказывается, взять определитель Д = (равный — Д ). В зависимости от знаков коэфициентов представятся следующие случаи:

1. Коэфициенты при переменных имеют в неравенствах разные знаки. В силу условия Д = 0 разные знаки должны быть одновременно у коэфициентов при обоих переменных:

Здесь удобнее рассмотреть отдельно два случая.

а) Коэфициенты при х и у в одном и том же неравенстве одинакового знака, например, таковы:

Фиксируем далее у; тогда определитель D системы, рассматриваемой относительно х (принимая во внимание, что Д = 0), будет иметь следующий вид:

Если же фиксировать х, то определитель D«» расположенной относительному системы запишется так:

Возможность решения системы относительно X зависит от знака D (§ 2, 1), а решения относительно у от знака £Х°>. Покажем, что знаки эти одинаковы. Действительно, заменяя в определителях Д* и Д, а2 и Ь2 через -ï и -y, получаем:

и так как по предположению знаки ах и Ьх одинаковы, то одинаковы знаки Дх и Д'. Таким образом, если Д' будет > 0, то D и D(0) также будет > О и притом для любого значения хну.

Поэтому, если Д' > 0, то для любого значения X и для любого значения у система имеет два двусторонних зависимых решения*:

Поскольку все же в данном случае х и у в отдельности принимают любые, неограниченные ничем значения, то систему будем считать полуопределенной.

Если же д' ^ 0, то система противоречива, неравенства несовместны.

В нашем рассмотрении мы предполагали, что на первом месте пишется то неравенство, в котором коэфициенты при переменном положительны (чего всегда можно добиться, соответствующим образом располагая неравенства). Если этого не предполагать, то результаты наши можно будет сформулировать следующим образом:

если знак дополнительного определителя Д1 будет совпадать со знаком первого коэфициента, то система полуопределенная; если же эти знаки противоположны или если д' = 0, то система противоречива.

Ь) Положим теперь, что знаки коэфициентов при X и у в одном и том же неравенстве противоположны, например таковы:

Фиксируем у, тогда определитель

Фиксируем далее х, тогда определитель расположенной системы (Ь2>0)

Покажем, что и в этом случае знаки D и D(°> одинаковы:

И так как по предположению знаки ах и bt противоположны, то знаки D и D(0> одинаковы и совпадают со знаком Д'. Поэтому, как и в предшествующем случае:

если знаки Д' и первого коэфициента одинаковы, то система полу определенная, а если эти знаки противоположны, либо если Д' = О, то система противоречива.

Геометрически разобранные случаи иллюстрируются следующим образом (черт. 21—26).

Как показывают чертежи, в случае Д'>0 (и ах>0) (черт. 21, 24) решением служит часть плоскости, представленная полосой, заключенной между двумя параллельными прямыми. Каждая прямая, параллельная оси координат, пересекает контур области в 2 точках (причем расстояние между точками пересечения постоянно). В случаях же Д'<0 (и аА]>0) и Д' = 0 точки, координаты которых удовлетворяют каждому из неравенств, лежат в полуплоскостях, не имеющих общих точек (не пересекающихся; черт. 22, 23). Система не имеет решения.

2. Коэфициенты при переменных в неравенствах одного знака (£>0).

Если фиксировать произвольным образом значение одного из переменных, то для другого переменного получаем систему, в которой коэфициенты при переменном будут одного знака.

Определителем системы, рассматриваемой относительно х, будет:

* При этом длины интервалов, получаемых для каждого из переменных, остаются постоянными. Действительно:

Черт. 21

Черт. 22

Черт. 23

Черт. 24

Черт. 25

Черт. 26

а системы относительно у

Написанные равенства показывают, что если определитель D системы, рассматриваемой относительно л;, имеет знак, совпадающий со знаком коэфициентов при этом переменном (alf а следовательно и а2), то определитель системы, рассматриваемой относительно переменного у, будет иметь знак, совпадающий со знаком коэфициентов при переменном у (blt а следовательно и &2). Кроме того мы видим, что значения D и D(0' не зависят от фиксированного значения другого переменного. Это последнее обстоятельство указывает на то, что х и у могут в отдельности принимать любое значение. При фиксированном же значении одного из переменных для другого получается одностороннее решение. Причем решением системы будет служит решение одного только из данных неравенств, именно первого (верхнего) неравенства, если знак коэфициента при х или просто знак первого коэфициента совпадает со знаком Д', и второго неравенства (нижнего) в противоположном случае. При этом приведенное выше рассмотрение показывает, что если решением системы, рассматриваемой относительно х, является, например, первое неравенство, то это же первое неравенство дает решение системы, рассматриваемой относительно у.

Таким образом решение системы полностью дается решением одного только из неравенств системы. Поскольку вопрос сводится к решению одного неравенства с 2 переменными, система будет неопределенной.

Если бы определитель Д' также оказался равным нулю, то

В этом случае одно неравенство могло бы быть получено из другого умножением на положительный множитель, т. е. фактически наша система свелась бы к одному только неравенству и тоже, конечно, была бы неопределенной.

Черт. 27 Черт. 28 Черт. 29

Помещенные выше чертежи геометрически иллюстрируют разобранный случай (черт. 27—29).

При д', совпадающем по знаку с а19 решение дается полуплоскостью, ограниченной первой прямой; при Д', противоположном по знаку а±—полуплоскостью, ограниченной второй прямой; при Д' = 0 обе полуплоскости совпадают.

Таким образом . в случае, если определитель системы Д = 0, то при разных знаках у коэфициентов система либо полуопределенная (если знак Д' совпадает со знаком первого коэфициента а^, либо противоречивая (если знаки Д' и аг противоположны, либо, если д'=:0), при одинаковых же знаках коэфициентов система неопределенная.

Примеры:

; система противоречива.

§ 6. Резюме

Итоги нашего исследования системы двух линейных неравенств с 2 переменными:

(1)

могут быть окончательно сформулированы следующим образом.

Решение системы зависит как от знаков коэфициентов, так и о г величины составленных из них определителей.

I. Коэфициенты хотя бы при одном из переменных имеют разные знаки.

Тогда:

1. Если Дгео система определенная: для того из переменных, коэфициенты при котором имеют разные знаки, получаем двустороннее, зависимое решение — ограниченный с двух сторон интервал, с границами, зависящими от другого переменного, для которого получаем одностороннее решение, нижнюю, либо верхнюю границу, в зависимости от знака Д (или Д(0)), т. е. получаем решение вида:

(2)

либо вида:

(3)

Если разные знаки имеют коэфициенты при обоих переменных, то каждое из переменных имеет постоянную границу, и система допускает одновременно оба вида решения (2) и (3); система вдвойне определенная.

2. Если Д = 0, то решение зависит от величины Д':

а) если знак Д' совпадает со знаком первого коэфициента alt то система полуопределенная и допускает одновременно решения вида

и вида:

в которых каждое из переменных не имеет постоянной границы;

Ь) если же знаки Д' и at противоположны, либо если Д'=0, то система противоречива, неравенства несовместны.

II. Коэфициенты при каждом из переменных имеют в обоих неравенствах одинаковые знаки.

В этом случае система неопределенная— оба переменных остаются неограниченными, а при фиксировании одного из них для другого получается одностороннее зависимое решение — ограниченный с одной стороны интервал, граница которого (нижняя, либо верхняя — в зависимости от знака коэфициентов при этом переменном) определяется значениями другого переменного. При этом:

1) если Д=£=0,то решение (одностороннее зависимое) составляется из решений обоих неравенств: при y<iy0 решение для х получается из одного неравенства, а при У>у0 — из другого неравенства системы: то же относится к решению для у;

2) если же Д=г0, то решение системы дается решением одного из неравенств — верхнего, если знаки дополнительного определителя Д' совпадают со знаком первого коэфициента av и нижнего, если эти знаки противоположны.

К ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ И АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИМВОЛОВ

М. ФИЛИСТОВИЧ (Краснодар)

Математические познания первобытных людей, заключавшиеся в способности отличать единицу от множества, зародились, надо полагать, в самую раннюю эпоху существования человечества. Но трудно сказать, с какого именно момента люди стали употреблять какие-либо математические знаки. Можно только, с большей или меньшей вероятностью, предположить, что доисторический человек, имея представление о себе, как о единице, за пределами которой начинается множество, уже нуждался в особых знаках, которые позволяли' бы ему передавать понятия «один» и «множество». Когда же, с течением веков, человечество дошло до понимания числа 2, то тем более явилась необходимость в математических знаках, или символах, как средствах облегчить память, закрепить и сообщить другим результаты счета. Насколько можно заключить из исследований в области языкознания и наблюдений над числовыми представлениями дикарей, весьма вероятно, что первобытные люди для передачи понятия числа 2 чертили на песке двух человек, исходя из того представления, что «я» и «ты» — будет два. Об этом свидетельствуют и самые названия двух у современных культурных народов, стоящие в большом родстве с «ты»,— два, du, toi и т. д. С последовательным увеличением натурального ряда чисел до пяти и затем до десяти первые люди постепенно переходили от счета «целым человеком» к счету по частям человеческого тела, и, наконец, к счету по пальцам. Палец был символом единицы, целая же рука означала пять. «Доказательство такой символики пальцев можно найти у древних египтян, вавилонян, греков и римлян, а также в средневековой Европе, даже и теперь почти все восточные народы пользуются символизмом пальцев» (Кэджори). С общим развитием человечества развивались и их математические познания, и с момента исторической жизни людей уже представляется возможным документально проследить, как постепенно изобретались и совершенствовались математические символы.

Открытие ключа к клинообразным письменам позволило установить математические знаки ассиро-вавилонян. Единица у них изображалась вертикальным клином: ^ . Знак наподобие нашего «меньше» обозначал десяток: - ^ . Сто изображалось вертикальной и горизонтальной единицами: *у .

Для выражения чисел меньших ста значения символов единицы и десяти складывались.

Так, означает двадцать, а —двадцать два. Знаки, имеющие высшее значение, писались налево от низших. Но при изображении сотен меньший символ ставился слева, и его умножали на сто, так означает 10X^0 или 1000. Как видим, система обозначений ассиро-вавилонян основывалась на двух принципах: на принципе сложения и на принципе умножения. В этой системе не найдено обозначений, доходящих до миллиона.

После того как, благодаря открытиям Шамполиона, Юнга и др., научились читать иероглифы, явилась возможность установить иероглифические обозначения чисел древних египтян. Числовые символы египтян, как и другие иероглифы, представляют собой изображения животных или предметов обихода,

могущих навести некоторым образом на мысль о понятии, изображаемом знаком. Единицу египтяне изображали просто палочкой I, десять изображалось в виде подковы » знак сто Çy& представляет свернутый пальмовый лист, знак тысячи представляет цветок лотоса £ , знак десяти тысяч — указывающий палец ^| , сто тысяч изображалось фигурой птицы *Q^j> 9 символ миллиона—человек, в удивлении поднимающий руки ^ . Все сложные числовые знаки у египтян строились исключительно на основании принципа сложения, причем символы больших чисел всегда предшествовали символам меньших, так означает сто двенадцать. С течением времени идеографическое картинное изображение чисел перешло в более удобное для написания, так называемое иератическое. Существовали следующие иератические знаки:

В этой таблице интересным может показаться последовательность в изображении чисел 4, 8 и 40, и стоит удивляться, как они не сообразили развить эту правильность дальше и не изобразили 80 знаком ^ , вместо громоздкого \.

В Греции времен Солона (600 лет до нашей эры) употреблялись для обозначения чисел начальные буквы числительных имен.

Эти символы часто встречаются в афинских надписях и потому названы аттическими. Называют их так.ке геродианами, по имени византийского грамматика II века нашей эры, Геродиана, который их описал. Спустя столетие после Солона, греки стали обозначать числа буквами алфавита, подобно финикиянам, сирийцам, евреям. Буквы, обозначавшие числа, снабжались ударением, хотя позднее буквы с ударением стали обозначать долю единицы, над буквой - числом проводилась черта. Для чисел употреблялись следующие буквы:

для единиц: для десятков:

для сотен :

для обозначения тысяч греки писали ,а, ,ß и т. д., 10000 —М; 20000 M и т. д.

Греки прилагали к построению числовых символов принцип сложения, а в таких слу чаях, как Ме для обозначения 50000, и принцип умножения. Греческие писатели мало говорят о вычислениях, произведенных с помощью алфавитных числовых знаков; действия производились, как полагают, на счетной доске. Не лишне будет заметить, что наши предки-русские, заимствовавшие письменность у греков, переняли от них и способ обозначения чисел буквами алфавита, и только при Петре Первом были введены у нас арабские числовые знаки.

Значительной простотой и удобством отличаются римские числовые символы, которых было всего семь: I, V, X, L, С, D, M— 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000.

Все остальные числа строились из этих знаков по принципам сложения и вычитания: знак, стоящий справа большего, прибавляется к нему, так XI означает 11; знак же, стоящий слева большего, вычитается из последнего, так IV означает 4. Характерными являются знаки чисел пяти и десяти: пять напоминает кисть руки с разведенными пальцами — V; знак же десяти представляет две пятерки, сложенные остриями — X.

Таким образом, как видим из вышеприведенного краткого очерка, в десятичных системах древнего мира числа обозначались с помощью сравнительно немногих знаков, которые сочетались по принципам сложения, умножения или вычитания. Но

ни в одной из древних систем не было важнейшего принципа письменной нумерации — это принципа положения, равно как отсутствует и нуль,— этот необходимый символ счисления. Правда, разбор вавилонских письмен на найденных плитках указывает, что вавилоняне еще за 2000 лет до индусов пользовались принципом положения в шестидесятиричной системе, но у них не было нуля, и вообще эта система обозначений была достоянием лишь немногих математиков и астрономов. Точно так же находим мы полное понимание десятичной системы в знаменитой задаче Архимеда «О числе песчинок» (по гречески псаммит), написанной приблизительно за два столетия до начала нашей эры. Но открытие поместного значения цифр, а также нуля ускользнуло от проницательности великого геометра.

Открытием принципа положения и изобретением особых числовых символов, а также изобретением и принятием в систему числовых знаков нуля, человечество обязано индусам, обнаружившим блестящие математические способности. «Из всех математических открытий ни одно не способствовало более этого общему прогрессу умственного развития», говорит Кэджори («История элементарной математики»). Сравнительно мало известно, как постепенно развивалось индусское обозначение. Дошедшие до нас математические сочинения индусов, например Бахшалийская арифметика индусов, найденная в земле в Бахшали в 1881 г. и относящаяся к III или IV веку до нашей эры, представляют индусскую науку в ее законченном виде. Однако, существуют исторические свидетельства, касаться которых в этом кратком очерке не представляется возможным, позволяющие полагать, что нуль и принцип положения были введены около того времени, когда жил древнейший из известных нам индусских математиков - астрономов Арьябхатта, родившийся в 476 году до нашей эры, автор знаменитого сочинения Арьябхаттиям, третья глава которого посвящена математике. Первоначальными числовыми знаками у индусов были инициалы соответствующих числительных имен. С течением времени буквы, обозначавшие числа, изменялись, и таким образом вырабатывались специальные числовые знаки, которые в свою очередь проходили различные ступени своего развития. Знаками действий у индусов служили частью слова, обозначающие эти действия, частью особые условные знаки. Так, сложение обозначалось словом «йу», сокращенное слово «йута» — прибавить. Складываемые числа часто заключались в прямоугольник, так, «пха 12» означает —+ — = 12, где слово «пха» обозначает знак равенства и происходит от слова «пхалам»—равно. Вычитание индусы обозначали точкой над вычитаемым. Умножение обозначалось слогом «бха», сокращение от слова «бхавита», что значит произведение. При делении делитель ставился под делимым.

Индусская система числовых обозначений, в ее наиболее развитом виде, проникла в Европу в XII веке через посредство арабов, откуда произошло и самое название «арабское обозначение». Из знаменитого сочинения по математике «Альджебр» великого арабского математика Альхваризми видно, что автор хорошо был знаком и с принципом поместного значения цифр и с индусскими процессами вычисления. Произведения арабских авторов по математике (Иби Альбанны, Альхваризми и др.) переводились на европейские языки, и таким образом Европа знакомилась с сокровищницей индусо-арабских математических знаний.

Так, итальянский математик Леонард из Пизы, называемый также Фиббоначчи, издал в 1202 г. сочинение на латинском языке «Liber abaci» (книжка об абаке — счетная доска), содержащее почти всю совокупность арифметических и алгебраических знаний арабов. «Liber abaci» начинается так: «Девять индусских знаков суть следующие: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. С помощью этих знаков и знака 0, который называется «сифр», можно написать какие угодно числа». (Объяснение того, почему цифры приведены, начиная с девяти, заключается в том, что арабы писали справа налево.) Нуль называется у арабов «сифра», что значит пустой. Сифр перешло в латинское zephirum и английское cipher, откуда и наше «цифра», хотя у Магницкого цифрой называется именно только нуль: «последнее же 0, еже цифрою или нечем именуется, егда убо едино стоит, тогда само по себе ничтоже значит» (Магницкий, Арифметика, Москва, 1703).

Европейские математики средневековья, для которых «трактат Фиббоначчи в течение нескольких столетий служил математической кладовой, откуда они брали материал для своих книг» (Кэджори), постепенно изменяли и совершенствовали арифметические символы.

Так, в изданной в 1489 г. в Лейпциге арифметике Иоганна Видмана встречаются символы 4“ и —. Видман говорит: счто такое — , это «минус», что такое+, это «больше». Слова «минус» и «больше», или «плюс», встречаются также и у Фиббоначчи, хотя он чаще писал вместо 7 + 4 «Septem et quatuor». Слово «плюс», как означающее действие сложения, было впервые найдено историком математики Энестремом в итальянской алгебре XIV века. Что касается знаков + и — , то «не представляется невероятным, что они произошли от сокращения и изменения слов «плюс» и «минус», что это лишь измененные формы букв р и ту (Кэджори). Наш знак равенства введен английским математиком Рекордом (1510—1558), который объясняет свое нововведение так: «я поставлю пару параллельных или двойничных линий так: — , ибо никакие два предмета не могут быть более равными». Знаки неравенства введены английским математиком Томасом Харриотом (1560—1620). Вильям Оутред (1574—1660) ввел косой крест, как знак умножения. Скобки впервые встречаются в алгебре Христофора Клавия из Бамберга, напечатанной в Женеве в 1609 г.

Такова вкратце история развития арифметических символов. Нижеприводимая таблица представляет историю превращений индусских числовых знаков.

Переходя к истории символики алгебраической, мы допустим небольшое отступление от необходимого в данном случае генетического метода изложения, каким мы пользовались в предыдущей главе, и начнем с истории происхождения самого названия.

Начала алгебры можно найти в египетских папирусах и в клинописях вавилонян, и с тех пор в течение тысячелетий она постепенно и непрерывно развивалась и совершенствовалась под общим именем «Математики» или «Наставления к приобретению знания всех тайных вещей», как назван автором математический папирус, хранящийся в коллекции Ринда в Британском музее и относящийся к периоду времени не позже, чем за 1700 лет до нашей эры. (Слово «математика» более позднего, греческого происхождения, означает «наука через размышление».)

Алгеброй же названа эта часть математики только спустя целое тысячелетие после начала нашей эры. «Алгебра» происходит от арабского слова «Альджебр». Так называется сочинение по алгебре знаменитого арабского математика IX века нашей эры Мухамеда Ибн Мусы Альхваризми. Полное название этого труда: «Альджебр уальмукабала». Эти слова означают «Восстановление и противоположение», под чем автор подразумевал тогда перенесение членов в другую часть равенства с обратными знаками. Когда книга «Альджебр уальмукабала» была переведена на латинский язык, арабское название было сохранено, но с течением времени второе слово было отброшено, первое же сохранилось в виде современного «Algebra». Такова история происхождения этого научного термина.

В «Альджебр» Альхваризми не было никаких символов, а все предложения писались полностью словами. Так, например, уравнение х2+10* =39, записано у Альхваризми следующим образом: «Квадрат и десять корней его равны 39». В этом отношении арабы сделали некоторый шаг назад, ибо символизм в алгебре встречается еще задолго до них. Так, в знаменитой «Арифметике» греческого математика Диофанта (умер в 330 г. нашей эры) находим уже следующие математические символы: неизвестное количество обозначается через .S', квадрат неизвестного— Sv, знак вычитания t ; знак равенства /0. В знаке сложения греки не нуждались, ибо написанные два рядом символа всегда складывались. Точно так же символизмом в алгебре пользовались и индусы. Неизвестное количество у них называлось «сунья» и обозначалось жирной точкой. «Сунья» значит «пустой» и употреблялось также для обозначения нуля, на тем представлении, что место остается пустым, если оно не замещено.

Точка постепенно превратилась в кружок, и таким образом произошел современный нуль, как знак для обозначения отсутствия количества. Квадратный корень индусы обозначали слогом сКа» перед данным количеством (от слова скарана»—иррациональный).

Впоследствии западные арабы также пользовались более или менее развитой алгебраической символикой. В книге «Снятие покрывала науки Губар», принадлежащей арабскому математику XV века Алькальсади, находим обозначение квадратного корня начальной буквой слова «джизер», означающего корень. Неизвестное обозначалось сокращением слова «джагало»—не знать. Символом равенства служила конечная согласная буква слова «адола» — равно. Слово «Губар» означало первоначально «пыль», в книге же Алькальсади означает письменное счисление, которое производилось у индусов и арабов на дощечках, покрытых песком или пылью.

Европейские математики средневековья в течение долгого времени являлись в алгебре простыми подражателями арабским оригиналам, и только в конце шестнадцатого века, вместе с великими открытиями и исследованиями в области алгебры, начинается усовершенствование и алгебраического символизма. Немецкий математик Christoff Rudolf в своей алгебре, напечатанной в 1525 г., впервые заменил точку, как знак извлечения корня, ныне существующим знаком у, который называется радикалом от латинского слова radix — корень. Radix'ом называется неизвестное (корень) в уравнении и в трактате Фиббоначчи «Liber abaci», написанном в 1202 г.

Бельгиец Симон Стевин (1598—1620) ввел обозначение неизвестного количества кружком, причем показателя степени он ставил внутри, так (2) означает х2. Французский математик Виета (1540—1603) составил целую эпоху в истории алгебры введением букв алфавита для обозначения количеств, хотя окончательно были приняты ху у, г для обозначения неизвестных и начальные буквы латинского алфавита — для обозначения известных количеств лишь со времени знаменитого Декарта (1596—1650), особенно известного своими трудами в области аналитической геометрии. Английский математик Валлис (1616—1703) ввел и ныне существующий символ бесконечности оо, хотя и не особенно удобный для написания. Собственно, Валлисом для бесконечности был введен символ — два нуля, касающиеся друг друга 00, и если этот символ писать именно как два нуля, то никаких неудобств в написании не встречается.

Символы, встречающиеся в теории соединений, стали постепенно вводиться со времени знаменитого швейцарского математика Якова Бернулли, разработавшего этот отдел алгебры (1654—1705). Великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1774—1855) ввел знак I для обозначения мнимого количества, с какового времени развитие и усовершенствование алгебраического символизма как бы приостанавливается, и мы, например, до сих пор не имеем специального знака для логарифмов; мы пользуемся индусским способом обозначения — через сокращение самого слова «логарифм» — в течение уже трех столетий. Ясные понятия об основных началах алгебры были выработаны и тщательно исследованы лишь в XIX столетии Джорджем Пикокком, Ганкелем, Гамильтоном и другими великими математиками, после чего алгебра со всей ее символикой приняла тот совершенный вид, какой она сейчас имеет.

МЕТОДИКА

К МЕТОДИКЕ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ*

Д. МАЙЕРГОЙЗ (Киев)

Обратные тригонометрические функции — это один из труднейших отделов тригонометрии. Специфическая трудность данной темы заключается в одновременном сочетании многих новых трудных понятий и вопросов.

Первая трудность данной темы это — усвоение ее символики.

Вторая трудность это — уяснение понятия взаимообратных функций. Чтобы учащиеся усвоили это важное, но сложное понятие, необходимо провести большую предварительную подготовительную работу. При изучении этого вопроса возникает потребность в ознакомлении с целым рядом новых сложных понятий, как многозначность функций, область существования ее, представление о характеристике функций и монотонном изменении ее на данном интервале, представление о графиках прямых и обратных функций и их построении и т. д.

Наконец, третья специфическая трудность данной темы это — определение главных значений обратных тригонометрических функций. Этот момент есть по сути узловой во всей теме. Руководствуясь основным законом дидактики — «по одной трудности за раз», следует многочисленные трудности, возникающие при изучении этой темы, расчленить во времени.

Поэтому считаем целесообразным первоначальные сведения об обратных тригонометрических функциях подать в I концентре тригонометрии, что и очень удачно подано в статье Сапунова (см. журнал «Математика и физика в средней школе» № 1 за 1935 г.).

1. Обратные функции

Чтобы глубоко изучить обратные тригонометрические функции, следует прежде всего разъяснить на ряде конкретных примеров общее понятие об обратных функциях. Естественно начать с конкретной задачи. Решая задачу о свободном падении тела в пустоте, применяем установленную в физике зависимость пройденного пути S от времени / при помощи формулы: S=^—, которая позволяет вычислять пройденное расстояние для каждого момента времени. Здесь мы приняли время / за аргумент, а путь S за функцию. Если же нас интересует промежуток времени, в который тело прошло то или иное расстояние, то, очевидно, мы должны, наоборот, путь S принять за аргумент, а время t за функцию. Поэтому, решая уравнение: S = ^r-, относительно t получим: t2 =— , откуда t = -\/ Последняя формула и дает нам выражение времени как функцию пройденного пути S. Если первую функцию 5 = ^- следует считать обратной к ней, или наоборот. Вообще, если две переменные величины связаны определенной функциональной зависимостью, то теоретически безразлично, какую из них считать за аргумент, и какую — за функцию. Выбор аргумента производят, сообразуясь с условиями задачи и удобством получения искомой функциональной зависимости.

Хотя функции £ = ^—- и t — л / _ мы получили одну из другой, однако они по сути разные функции, так как характеристики их совсем разные. В самом деле, чтобы получить числовые значения функции S = следует над числовыми значениями аргумента t произвести такую совокупность действий: 1) числовое значение аргумента t возвести в квадрат; 2) полученный результат умножить на ^ (9,81); 3) произведение разделить на 2. Чтобы получить числовое значение обратной функции t= 1 / следует уже над числовыми значениями аргумента произвести сов-

* Доклад, читанный на съезде преподавателей математики Украины 23 августа 1936 г. в г. Киеве.

сем иную совокупность действий, а именно: 1) значение аргумента умножить на 2; 2) полученное произведение разделить на g (9, 81); 3) из полученного частного извлечь квадратный корень.

Таким образом, видно, что для функциональной зависимости существенно важны не буквы, которыми обозначены аргумент и функция, г совокупность действий или операций, которые следует в определенной последовательности произвести над числовыми значениями аргумента, чтобы получить числовые значения функции. Если мы для краткости обозначим первую функцию S от t символически S= / (t), то обратную к ней функцию t от S придется обозначить уже другим функциональным символом, а именно t=zQ (S). Символы f(t) и G (S) обозначают совершенно разные совокупности действий, которые надо произвести над числовыми значениями аргумента для получения соответствующих значений функции. Такие символы /и G принято называть характеристиками функции. От данной конкретной задачи следует перейти к таким примерам:

На этих примерах еще раз следует подчеркнуть, что прямая и обратная к ней функция—разные функции, так как характеристики у них разные. Новое в 3 и 4 примере то, что обратная функция уже не существует при всех значениях аргумента, в отличие от прямых функций. Построив графики: у = х2 и у = 2х, видим, что, если восставить перпендикуляр из произвольной точки оси абсцисс (ось независимого переменного), то он обязательно пересечет (встретит) графики этих функций (см. черт. 1 и 2).

Таким образом, эти функции существуют при всяких действительных значениях аргумента, как положительных, так и отрицательных.

Чтобы представить себе эти графики одновременно, как графики обратных функций, придется лишь поменять ролями координатные оси, т. е. осью независимого переменного (аргумента)—-считать ось у-ов, а осью функций — ось jc-ob. Из этих же графиков видно, что если из оси у-ов (оси аргумента) восставить перпендикуляр, то он не всегда пересечет графики кривой. А именно: перпендикуляр, восставленный из произвольной точки отрицательной части оси у-ов (т. е. ее нижней части), не пересекает ни одного из этих двух графиков. А раз так, то эти обратные функции не существуют при отрицательных значениях аргумента. Таким образом характерно для обратной функции то, что область ее существования бывает часто ограничена. Характерно для третьего примера (y = je2) то, что обратная функция — двузначна. Возникает естественная потребность разъяснить новые понятия: функции однозначные и многозначные. Ограничиться одним определением этих понятий нельзя; их следует непременно конкретизировать на графике, разъяснив это так. Если из произвольной точки оси аргументов восставить перпендикуляр к ней и он (на данном интервале оси аргументов) пересечет кривую (график функций) только один раз, сколько бы мы этот перпендикуляр ни продолжали вверх или вниз, то такая функция — однозначна. Если же перпендикуляр, восставленный из точки оси аргументов, пересекает график функции в двух или многих точках, то функция, изображен-

Черт. 1.

Черт. 2.

ная этим графиком,— двузначна или многозначна. Следует при этом предложить учащимся быстро начертить графики известных им функций. Тогда они легко убедятся, что почти все изучаемые ими функции — однозначны. Исключение составляет лишь график функции у = ±](см. черт. 3).

Черт. 3.

Из чертежа видно, что перпендикуляр, восставленный из оси лг-ов, пересекает кривую (параболу) 2 раза (вверху и внизу). Выяснивши понятие многозначности функций, следует подчеркнуть, что обратные функции часто бывают многозначны, когда прямые функции однозначны. Для примера достаточно взять функцию у=.х2. Обратная к ней функция X — У у уже двузначна. Начертивши график у — х2 (см. черт. 4), восставим перпендикуляр из произвольной точки оси 3/-0в (оси аргументов для обратной функции) и убеждаемся, что он пересекает кривую 2 раза (справа и слева).

Чтобы у учащихся не создалось впечатления, что всякая обратная функция — многозначна, следует им напомнить график показательной функции у = 2Х (см. черт. 5). Здесь уже обратная функция х = log^ тоже однозначна (в области действительных чисел, разумеется), ибо перпендикуляр, восставленный из произвольной точки положительной части оси 3/-0b, пересекает кривую лишь один раз. После приведенных примеров у учащихся возникает вопрос: «Как узнать, когда обратная функция будет однозначна и когда — многозначна?» Чтобы разъяснить им это, следует в последнем примере (у = 2х) обратить их внимание на то, что график этой функции все время поднимался, двигаясь слева направо. Вообще говорят, что функция растет в данном интервале, если график ее в этом же интервале идет все вверх при передвижении по оси л:-ов (оси аргументов) слева направо. При этом надо подчеркнуть, что когда функция в определенном интервале изменяется все в одном направлении (т. е. или растет или только убывает), то говорят, что функция в данном интервале изменяется монотонно. Оказывается, что обратная функция в определенном интервале однозначна, если прямая функция в этом же интервале изменяется монотонно. Если же прямая функция изменяется не монотонно, то обязательно обратная функция будет многозначна. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть три случая, поданные на чертежах 6, 7 и 8.

В первом случае прямая функция y = f(x) возрастает в интервале (я, Ь). Обратная к ней функция — однозначна, так как перпендикуляр, восставленный из оси 3/-0в, пересекает график лишь в одной точке.

В втором случая прямая функция y = G (х) убывает в данном интервале; обратная к ней функция тоже однозначна, что опять подтверждается на графике. В третьем случае прямая функция у = ф (л;) уже изменяется н е монотонно на данном интервале ; обратная к ней функция — многозначна. Из чертежа 8 видно, что перпендикуляр, восставлен-

Черт. 4.

Черт. 5.

Черт. 6.

Черт. 7.

Черт. 8.

ный к оси y-OQ, пересекает кривую даже в нескольких точках. Лишь после этого легко разъяснить учащимся, почему логарифмическая функция однозначна, ибо прямая функция (показательная) изменяется везде монотонно. Функция, обратная квадратной,—• двузначна, ибо квадратная функция (у=.х2) не изменяется всюду монотонно. Если даже взять маленький интервал (—1, +1), то и в нем функция у = х2 изменяется не монотонно, ибо от (—1) до 0 функция убывает, а от 0 до (-}- 1) функция возрастает. Поэтому обратная ей функция в данном интервале (—1, -fl) не однозначна. Чтобы еще больше подчеркнуть связь между однозначностью обратной функции и монотонным изменением прямой функции, следует обратить внимание учащихся на следующее: если функция изменяется в данном интервале монотонно, то большей абсциссе (л:) соответствует большая ордината при возрастании функции и меньшая ордината при убывании функции, что хорошо видно на приведенных двух чертежах. Если же функция изменяется не монотонно, то (как это видно из черт. 8) двум разным абсциссам могут соответствовать равные ординаты. Поэтому для обратной функции получается, что одной ординате (аргументу) соответствуют разные абсциссы (значение функций), т. е. обратная функция многозначна.

Пользуясь одним графиком для прямой и обратной функции, мы должны были все время не упускать из виду, что в случае прямой функции y = f(x) аргумент считается абсциссой точки графика, а функция — ординатой. В случае обратной функции х = F(y)— наоборот: ординату следует считать аргументом, а абсциссу — функцией. В этом есть некоторое неудобство, особенно, когда на одном чертеже помещено несколько графиков. Чтобы устранить это неудобство, условимся всегда значения аргумента считать абсциссой, а соответственные значения функции — ординатой точек графика. Это равносильно такой замене в обозначениях: независимую переменную обратной функции обозначить буквой х вместо у, а зависимую переменную — буквой у вместо X. От такой замены обозначений, т. е. при переходе от x = F(y) до y = F(x), график изменится. Это следует объяснить тем обстоятельством, что если уравнение у—/(х) и xr=F(y) удовлетворяли координаты точки Mt (я, Ь), то уже уравнение y = F(x) удовлетворяют координаты точки М2(Ь, а). Но прежде чем рассматривать вопрос о построении графика обратной функции в общем случае, следует предварительно с учащимися разобрать это на хорошо знакомых им графиках взаимнообратных функций. Можно предложить учащимся такую последовательность упражнений : начертить графики взаимнообратных функций:

Каждую пару взаимнообратных функций чертить на одном рисунке. Затем предлагается учащимся на каждом из этих рисунков провести биссектрису первого координатного угла и внимательно присмотреться к графикам взаимнообратных функций. Учащиеся легко заметят, что между всеми графиками есть общее, а именно: графики прямой и обратной функции симметричны относительно биссектрисы первого координатного угла. Установив этот факт на данных примерах, переходим к его обоснованию в общем случае. Как уже ранее установлено, если координаты точки графика прямой функции y=f(x) есть Мх(а, Ь, то координаты соответствующей точки графика обратной функции y = F(x) будут М2 (Ь,а). Это от-

носится ко всем точкам графика. Поэтому стоит лишь доказать, что точки Мх (а, о) и М2(Ь, а) симметричны относительно биссектрисы первого координатного угла. Доказать это можно так: строим точки Мх (а, Ь) и М2(Ь, а) и соединяем их с началом координат и между собой (см. черт. 9).

Черт. 9.

Полученный Д MtOM2 — равнобедренный (0^ = 0^2), что следует из равенства треугольников ОАМ2 и ОВМ1. Проводим медиану ON и получаем: ON_[__М1М2 и M±N=NM2.

Из полученного видно, что точки Мх {а, Ь) и М2(Ь, а) симметричны относительно прямой ON, проходящей через начало координат. Остается лишь доказать, что ON есть биссектриса первого координатного угла. В самом деле <M2ON=NOM1 и Д АОМ2= — Д МхОВ. Следовательно, их суммы тоже равны, т. е. Д AON— Д NOB, что и требовалось доказать. На основании доказанной теоремы имеем простой способ строить график обратной функции по данному графику прямой функции. А именно: проводим биссектрису координатного угла и график прямой функции, а затем строим ряд точек, симметричных относительно биссектрисы. Соединив точки главной линией, получаем график обратной функции.

Если же надо быстро представить себе график обратной функции по данному графику прямой функции, то следует сделать так: 1) чертим график прямой функции на прозрачной бумаге; 2) поворачиваем график прямой функции в плоскости чертежа на 90° в положительном направлении; 3) смотрим на. чертеж с противоположной стороны листа. Объясняется это тем, что при первом повороте (в плоскости чертежа) положительное направление оси *-ов совпадает с положительным направлением оси у-оъ, но зато положительное направление оси ^-ов совпадает с отрицательным направлением оси jc-ob. При следующем повороте всей плоскости на 180° (что равносильно рассматриванию чертежа с противоположной сторону А положительное направлением оси у-ов уже совпадает с положительным направлением оси аг-ов. Очень удобно это демонстрировать на специально приготовленных стеклянных моделях. Такие модели изготовлены нами при математическом кабинете Киевского педагогического института им. М. Горького (см. фотографии).

2. Определение главных значений обратных тригонометрических функции

Изучив обратные функции и ряд их свойств» мы подготовили базу для более глубокого усвоения обратных тригонометрических функций. Подавая графики : у = sin х и у = cos х, мы обращаем внимание учащихся на то, что эти функции изменяются не монотонно, а периодически. Поэтому следует ожидать многозначности обратных тригонометрических функций. Действительно, восставив перпендикуляр из произвольной точки оси у-ов (в интервале — 1, + 1 ) к ней и продолжив его в обе стороны, замечаем, что он пересе-

кает синусоиду и косинусоиду бесконечное множество раз (см. черт. 10 и 11). Строим затем отдельно график функций: у = arc sin х и у = arc cos X*.

Еще раз убеждаемся в многозначности этих функций и ограниченности их области существования (функции эти, как видно из черт. 12 и 13 существуют лишь в интервале (— 1 + 1 ).

Затем подчеркиваем, что в дальнейшем будем значения обратных тригонометрических функций считать в радианах, так как под значением символа arc принято понимать радианные значения углов и дуг. Так, например, под arc sin х принято понимать радианное значение дуги или угла, синус которых равен х. После этих замечаний переходим к определению главных значений обратных тригонометрических функций. При этом подчеркиваем, что из-за многозначности обратных тригонометрических функций нельзя над ними производить действия, как над обыкновенными числами или функциями. Для аналогии удобно привести пример из действий над корнями. Согласно определению, мы под \[ А и |/ 9 должны понимать +2 и 4:3, Таким образом, действие извлечения квадратного корня уже неоднозначно. Неоднозначность этого действия приводит иногда к большим неудобствам. Например, под суммой |/4+]/9 можно было бы понимать четыре различных ответа:

Чтобы устранить это неудобство, условились раз навсегда понимать только арифметическое значение корня (тем самым результаты всех действий над корнями становятся однозначными).

Точно так же поступают с обратными тригонометрическими функциями. Сложить, например,

нельзя, пока не условимся, какие значения надо брать из бесконечной совокупности значений arc sin —

Черт. 10.

Черт. 11.

Черт. 12.

Черт. 13.

* По какому-либо из ранее указанных способов построения графиков обратных функций по данным графикам прямых функций.

Таким образом, чтобы иметь возможность и над обратными тригонометрическими функциями производить какие-нибудь действия, надо значения этих функций ограничить, устранив их многозначность.

Из предыдущего известно, что обратная функция однозначна на том интервале, где прямая функция изменяется монотонно. Рассматривая графики функций: y = sin х и у = со$х, замечаем, что первая изменяется монотонно в интервале--, А--, а вторая — в интервале (0, тс). Поэтому и условились рассматривать arc sin х и arc cos х в этих же интервалах. Вообще границы интервалов, в которых рассматриваются обратные тригонометрические функции, выбирают таким образом, чтобы были выполнены следующие условия: 1) в этих интервалах аргумент (синус, косинус, тангенс, котангенс) изменяется монотонно, 2) при этом аргумент принимает все возможные для него значения (синус и косинус от — 1 до + 1, тангенс и котангенс от — оо до -(- со). Такими интервалами монотонности являются: для арксинуса и арктангенса—f—““2“ 2 / ^ для косинуса и арккотангенса — (0, tù). Значения обратной функции в интервале ее монотонности называются главными значениями функции. Чтобы отличить главные значения обратных тригонометрических функций от всех остальных значений, условились их записывать с малой буквы. Так, например, под arc sin — следует понимать лишь —, а под Лгс sin---всю совокупность значений — + 2 тс; . . . ^—\-, что сжато записывается так: arc sin — = &тс -(-(—

Усвоению главных значений обратных тригонометрических функций следует уделять достаточно времени и давать для этого специальные упражнения, в особенности такие, где аргумент отрицателен. При этом надо непрестанно подчеркивать, что арксинус и арктангенс отрицательного аргумента — отрицательны, а арккосинус и арккотангенс и при отрицательном аргументе всегда положительны*. Сравнивая главные значения обратной тригонометрической функции со всеми остальными ее значениями, замечаем, что они — наименьшие по абсолютному значению. Например, arc sin /--) = — — есть наименьший по абсолютному значению угол (дуга или, вернее, переменное число), синус которого равен——. Единственным исключением является значение arc ctg л: для отрицательных значений аргумента. Например: arctg(—1 ) = — тс, в то время, как наименьший по абсолютному значению угол, котангенс которого равен — 1 есть--j. Итак, главное значение арккотангенса для отрицательных значений аргумента отличается от наименьшего по абсолютному значению угла, соответствующего данному аргументу (т. е. котангенсу). Разность между ними равна

Очевидно этим можно объяснить, почему к большинстве учебников тригонометрии (как и в стабильном учебнике) главные значения для арккотангенса берутся в.интервале

Авторы этих учебников кладут в основу определения главных значений тригонометрических функций не принцип монотонности, а принцип наименьшего по абсолютному значению угла. Такой подход имеет ряд неудобств. Первое неудобство — это то, что учащимся средней школы придется в вузе потом переучиваться в этом вопросе; в высшей математике общепринято: О < arc ctg X ^ тс.

Второе неудобство — это то, что формула arc tg X + arc ctg х = не будет уже верна для отрицательных значений аргумента [ведь arc tg (— 1 ) + arc ctg ( — 1 ) равнялось бы

* Невнимательность к четкому усвоению главных значений обратных тригонометрических функций приводит даже солидных авторов (например, Шмулевича) к досадным промахам (недосмотрам) при пользовании формулами.

Третье неудобство — это то, что в интервале

arc ctg X претерпевает разрыв непрерывности при (х = 0). Наконец, четвертое неудобство— это то, что при таком подходе все изучение обратных тригонометрических функций оторвано от общего понятия обратной функции. Вот почему следует лучше придерживаться принципа монотонности при определении главных значений обратных тригонометрических функций. Что касается arc sec х и arccosecv, то их следует вовсе опустить, ибо даже в высшей математике они очень редко применяются. В упражнениях лучше всего их выразить соответственно через arc cos — и

3. Основные соотношения между обратными тригонометрическими функциями и действия над ними

Формулы:

чрезвычайно важны для курса высшей математики. Они, например, помогают студентам в вузе уяснить себе легко, почему производная арккосинуса отличается от производной арксинуса только знаком. Конкретизировать эти формулы сначала следует на частном примере, на прямоугольном треугольнике, как это очень хорошо сделано в вышеупомянутой статье т. Сапунова. Затем следует проверить эти формулы на примере с отрицательными значениями аргумента.

Например,

(при этом, между прочим, опять повторяются и закрепляются главные значения обратных тригонометрических функций). Лишь затем надо давать общее обоснование этих формул, опираясь на то, что равенство синуса и косинуса двух различных аргументов возможно (в интервале монотонности) лишь при том условии, что эти аргументы дополняют друг друга до f.

К формулам, выражающим одну обратную тригонометрическую функцию через все остальные, следует относиться с большой осторожностью. Дело в том, что при отрицательном значении аргумента некоторые из них уже неверны. Например, из формул:

верны при отрицательном значении л: лишь arc sin x = arc ig — и arc cos У 1 —- x2 = arc cig *---•

Равенства: arc sin x = arc cos}/ i —~x2 и arctg = arc ctg— уже неверны при отрицательном значении аргумента, так как арккосинус всегда положителен, а арксинус при отрицательном аргументе — отрицателен. Поэтому, пользуясь этим равенством в общем случае, мы приходим к абсурду — к равенству двух чисел с разными знаками. Аналогичное имеет место с арктангенсом и арккотангенсом.

К сожалению, даже в неплохом учебнике тригонометрии Шмулевича эти формулы подаются без всяких оговорок, что относится и ко многим другим формулам из этого отдела. Возьмем, например, формулу:

1. arc sin x + arc sin у = arc sin ( ху/1 — y2+

Эта формула оказывается неверной даже при некоторых положительных значениях аргументов, что легко провеоить на конкретном примере. Пусть х—*-^-, a v =-, тогда arc sin ^—--\~ arc sin -— =--г- --——тс J> — . Пользуясь формулой, получим: arc sin V^2 -4- яг.- sin YjL —. Taким образом, приходим к невозможному равенству: — it = — те. Да и без примера легко

понять, что формула суммы арксинусов не всегда верна. Ведь сумма двух арксинусов может быть больше — , а арксинус любого аргумента всегда . Чтобы к приведенному случаю сделать возможным применение этой формулы, следует ее немного видоизменить, а именно:

Действительно,

При отрицательных значениях аргумента тоже может случиться, что формула 1 неверна, Это будет тогда, когда arc sin х + arc sin у < / гс <--. Для этого случая придется уже применить такую формулу:

Ее можно проверить на таком числовом примере:

Подытоживая все случаи, имеем:

Эти формулы можно объединить в одну:

Причем: тп = 1, л = 0 в первом случае; ш = — 1, л = 1 во втором случае; m = — 1, я = — 1 в третьем случае. Когда желательно по значениям аргументов (л:, у) узнать заранее, какую из этих формул следует применить, то можно дать такие указания:

1) при х2+у2<,\ следует применить формулу 1 ;

2) при *2+У> 1 и х>0, у>0 следует применить формулу 2;

3) при X2+у2>\ и х<0,у<0 следует применить формулу 3.

Если же хну разных знаков, то всегда следует применять формулу 1.

Чтобы это обосновать, обозначим: aresin х = <х, arc sin^y = ß. Тогда имеем: sin я = хи sinß=j/. Неравенство arc sin х + arc \ гс siny) <: — в первом случае можно заменить неравенством (а + ß) < Последнее неравенство влечет за собой неравенство: sin2 а +sin2ß^l или х2+у2^1. В самом деле, при a -f~ Y = —, имеем sin2 а-4-sin2 у sin2 а + sin2(^- — а) = 1 - Когда же a +ß < тс << —, то ß < у, sin2 ß < sin2 Y (углы в I квадранте). Поэтому sin2a+ sin2ß<; 1. Подобным образом можно обосновать остальные случаи.

Формула суммы арккосинусов arc cosat++arc cos j/=;arc cos (ху— |Л(1 —jc2)(l +<yf) в отличие от формулы суммы арксинусов, верна при всяких положительных значениях аргументов, ибо сумма их в этом случае не превосходит тс, а арккосинус может быть больше —. При отрицательных значениях обоих аргументов формула оказывается неверной, ибо сумма арккосинусов уже больше тс.

Формула суммы арктангенсов оказывается неверной и при некоторых положительных значениях аргументов. Если сумма арктангенсов больше или меньше ^ , тогда известную формулу:

применить уже нельзя. В первом случае следует ее изменить так:

Во втором случае (когда arc tg х -}- arc tg ^ гс \ у<—у 1 надо применить ее в таком виде:

Обобщал все случаи, получаем одну формулу:

Если желательно по значениям аргументов (х и у) знать заранее, какие значения следует давать k в обобщенной формуле, то можно дать такие указания: 1) k — 0 при *у<1; 2) k=\ при ху>\ и #>>0; 3) & =—1 при ху>\ и х<0. Объясняется это тем, что при когда аир суть значения arc tg х и arc tg_y. В самом деле, при а + у = —, имеем tg а tgy = tga.tg^| —а ^==1; когда ß<y, то tg ß < tg Y (углы в I квадранте) и tff* tgP < 1. Когда же ß > у, то tg ß > tg у * и tg a tg ($ > 1. Так как tg a = x и tg ß =3;, то последние неравенства принимают такой вид .*у<1 и ху>1. Не останавливаясь на анализе формул разности двух обратных тригонометрических функций и на других формулах, отметим, что при всех действиях над обратными тригонометрическими функциями следует помнить: формулы (обычно подаваемые в учебниках) верны лишь тогда, когда результаты действий не выходят за пределы главных значений данной функции (интервал ее монотонности). При выводе формул суммы или разности двух арксинусов обычно в учебниках (см. Шмулевича) не подчеркивается, почему мы не ставим двойной симметричный знак перед знаком квадратного корня. Между тем это не так уже трудно объяснить. Для этого напомним вкратце обычный вывод формул: агс sin х + arc sin у = arc sin {хУ 1— y2+yV 1-х2). Принимая arc sin x — а, имеем sin a = x. Затем, чтобы получить значение cos a, пишем cosa = = |/ 1—x2. Симметричный знак (•+) в равенстве cos a = \f 1—x2 не ставим по той причине, что при положительном значении x угол в 1-м квадранте и косинус его положительны. При отрицательном значении x угол в 4-м квадранте и косинус его опять положительны. Разумеется, что все это легко учащимся понять лишь при условии, если в предыдущем они хорошо усвоили главные значения обратных тригонометрических функций.

* Речь идет о значениях arc tgjc в интервале монотонности, поэтому большему углу соответствует больший тангенс.

К МЕТОДИКЕ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Л. КРУПОВЕЦКИЙ (Полтава)

Отдел тригонометрических уравнений занимает весьма важное место в программе тригонометрии. Однако, несмотря на это, в существующих учебниках для средней школы методике решения тригонометрических уравнений уделено мало внимания: в них в большинстве случаев имеется лишь несколько строк общих указаний с оговоркой, что вообще специальных правил для решений нет, и все зависит главным образом от сообразительности учащегося. Далее обычно следует несколько примеров различной трудности, но систематически между собой не связанных, и учащимся приходится плыть «без руля и без ветрил», не имея под собой твердой почвы. Пробел по этому вопросу до некоторой степени заполнила лишь недавно вышедшая из печати весьма ценная брошюра Е. Березанской «Тригонометрические уравнения и методика их преподавания », но и эта брошюра уже исчезла с книжного рынка. Вообще же методическая литература по данному вопросу совершенно недостаточна.

В настоящей статье мы не собираемся предложить исчерпывающие правила решения тригонометрических уравнений, но все же делаем попытку, насколько позволяет размер журнальной статьи, дать в сжатом виде некоторые методические указания по этому вопросу и попутно с этим приводим систематически подобранные образцы решения уравнений, дабы учащий и учащийся могли действовать более уверенно при прохождении этого довольно сложного раздела тригонометрии.

Тригонометрическим уравнением, как известно, называется такое уравнение, в котором неизвестной величиной является угол, входящий в уравнение под знаком одной или нескольких тригонометрических функций. В отличие от тождества, тригонометрическое уравнение удовлетворяется только некоторыми частными значениями углов, которые называются корнями уравнения.

Решить тригонометрическое уравнение значит найти сначала какую-нибудь тригонометрическую функцию, а потом по ней определить и все углы, соответствующие найденной функции (обычно с помощью таблиц).

Достаточно всегда определить один первый угол (наименьший) из данного уравнения, остальные же углы находятся из формул общего вида углов. Напр., в результате решения уравнения найдено, что sin* — —, отсюда л;1 = 30о; общий же вид углов, имеющих данный синус, найдем из формул: 180 , 2k+<x и 180° (2£ + 1) — а, т. е. в данном случае будем иметь:

или в отвлеченном виде:

Правила и приемы решения тригонометрических уравнений сводятся к следующему :

1) Если уравнение содержит различные функции искомого угла, то необходимо выразить их с помощью основных формул через одну какую-либо функцию (преимущественно через sin или cos) и к одному и тому же углу (т. е. привести все углы к целым, или к половинным или к двойным углам). Напр., уравнение sin 2х = sin х надо переписать так: 2 sin х cos х = sin х и т. д. После этого, приняв эту функцию за неизвестное, решаем уравнение алгебраическим путем (уравнение с одним неизвестным) и отбрасываем те корни, которые не могут служить значениями определяемой тригонометрической функции: напр., если в результате один из корней sin х = 2, то этот корень отбрасывается, так как синус не может быть больше единицы.

2) При решении уравнений сначала отыскивается тригонометрическая функция, напр. sin X, cos X, tg X и т. д., а потом и самый угол X по этой функции. Напр., мы нашли из какого-нибудь уравнения, что tg jc=l, но нам известно, что tg 45° = 1, следовательно, находим и самый угол: д:=:450.

3) Если в результате решения уравнения получается функция угла, кратного х, напр., 2ху 3 Ху 4л; и т. д., то, чтобы найти общий вид углов, поступаем следующим образом.

Пусть имеем tg3je=l, следовательно 3jc = 45°, откуда лг=15°. Для определения же общего вида углов, имеющих данный тангенс, применяем соответствующую формулу 180° но будет неверно, если напишем 180°«£+15°, а следует писать так: Зх— \S0°k + 45°, откуда определяем X, деля обе части равенства на 3, т. е. х=-^-, или ;с = 60°.&-^- + 15Q, что и будет общим видом углов, имеющих данный тангенс, равный единице. Мы поступаем таким образом потому, что 180° есть период угла 3jc, а не х.

Еще пример: пусть корень уравнения sin 3*=---, откуда находим: первый угол Зх = 30°, а хг=\0°. Если же необходимо представить решение в общем виде, то тогда имеем следующее:

Злг=180°.2£ + 30° и 3*=180о (2* + +1) — 30Q,

откуда, разделив обе части формул на 3, получим:

/60°.2^+ 10° х==\60° (2^+l)— 10°.

4) В примерах предыдущих пп. 2 и 3 угол определяем непосредственно по известным частным значениям для ig 45° и для sin 30°. Если же неизвестны значения функций, из которых мы могли бы определить угол, то следует вычислять по логарифмическим таблицам, напр., если sin х — — , то X следует находить по таблицам.

5) Если в уравнении даны только функции tg и ctg-, то обычно выражают ctg через tg (а не выражают их через sin и cos), пользуясь формулой: ctg х---. Напр., tg* 4-ctg л; = 2 преобразовываем так:

igx-t-—^— = 2, или tg2*4- 1 =2tg;t, ig X

или tg2 X — 2tg X + 1 = 0; после чего решаем квадратное уравнение относительно tg X. Если же кроме ig х и ctg л; в уравнение входят и другие функции, то выражаем tg X и ctg X через формулы tgAr=^

6) Если в уравнение входят функции sec X и cosec х, то их следует заменить через обратные величины- и —;-. Если входят sec2 л: и cosec2 л:, то их иногда выгодно заменять формулами: sec2jc =

7) Иногда приходится для решения уравнения возвышать обе части его во вторую степень, отчего в результате решения могут получиться посторонние корни. Ввиду этого полученные корни необходимо проверять, подставляя их в уравнение, как это делается при решении алгебраических задач. Напр., дано уравнение sin л: + 7 cos х = 5; перенося 7 cos л; в левую часть, получим sin х = 5 — 7 cos х; возвышая затем обе части в квадрат и заменив sin2 х через 1 — cos2 х9 решаем полученное уравнение; имеем: cos ^ = 0,8, откуда ^ = 360°. *±36°52' 12й, a cos*2= = 0,6, откуда *2 = 360о.*±53о7'49“. Так как полученные решения могут принадлежать не только уравнению sin х = 5 — 7 cos х, но и уравнению sin х = — (5 — 7 cos я), то и знаки синуса будут у корней не те, ввиду чего их следует проверить. Подстановкой находим: sinjc1 = 5— 7-0,8<0, ввиду чего те углы, которые дают положительный синус, не пригодны и должны быть исключены; далее sin х2 = 5 — 7«0,6>0, ввиду чего те углы, которые дают отрицательный синус, не пригодны и должны быть исключены. Таким образом корнями данного уравнения могут быть только следующие: х1 = 360° -k — 36°52'12“ и *2 = 360.°é-f 53°7'49“. Остальные же корни являются посторонними и принадлежат уравнению sin;c = — (5 — 7 cos х).

8) Если в данном уравнении имеется знаменатель, содержащий неизвестное, то его отбрасывают, а числитель приравнивают нулю и решают полученное уравнение, так как равенство возможно, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. После решения полученные корни необходимо проверить, подставляя каждый из них в знаменатель, который был отброшен. Тот из корней, который при подстановке обращает знаменатель в нуль, отбрасывается как лишний (посторонний). Напр., дано уравнение:

Для освобождения уравнения от знаменателя умножаем обе части равенства на 4(1 — cos х)\ получаем уравнение 5 cos2* — — 9 cos2 X + 4 = 0, корнями которого служат cosх±=1 и cosх2 = 0,8; подставляя первый из них, т. е. 1, вместо cos х в отброшенный знаменатель 1 —cosx, видим, что знаменатель обращается в нуль, следовательно левая часть обращается в неопределенность-^, откуда устанавливаем, что первый корень

не есть корень данного уравнения, а является посторонним корнем.

9) При делении (сокращении) частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное, уравнение может терять некоторые корни; ввиду этого, если обе части уравнения содержат одинаковые тригонометрические функции, служащие неизвестными множителями, то на них не сокращают, а переносят все члены уравнения в одну его часть, приравнивают нулю и раскладывают на множители (путем вынесения за скобки и т. п.): каждый из множителей в свою очередь приравнивают нулю и находят неизвестные. Напр., дано уравнение cos х = 2 sin х cos х\ здесь нет надобности приводить к одной функции и не следует сокращать на cos*, а поступают так:

откуда:

общий вид:

При решении приведенного вида уравнения, состоящего из нескольких множителей, следует помнить, что произведение их равно нулю, когда по крайней мере один из множителей равен нулю, а остальные числа конечные, ввиду чего надо следить, не обращается ли один из множителей в со, тогда можем получить корни, не удовлетворяющие данному уравнению.

10) Тригонометрические уравнения вида:

и т. п., т. е. такие уравнения, в которых содержатся только синусы и косинусы, входящие в члены каждого уравнения в одинаковых степенях (свободный же член в уравнении отсутствует) — решаются делением обеих частей на косинус (или синус) угла в степени, равной степени уравнения. Таким образом, вышеприведенное уравнение: a sin x + b cos x = 0 приводится делением на cos* к виду atgx++£ = 0; уравнение a sin2 х + b sin х cos je++c cos2 x = 0 делением на cos2* приводится к зиду: a ig2 x + b tg x + c = 0.

Уравнения подобного типа называются однородными.

К сказанному следует напомнить, что вообще делить на выражение, содержащее неизвестное, нельзя, так как при этом могут потеряться корни. В приведенных уравнениях cos x не равняется нулю, так как, если cos * = 0, то и sin x должен был бы равняться нулю, в чем можно убедиться подстановкой в уравнение cos * = 0, но это невозможно, так как синус и косинус для одного и того же угла одновременно равняться нулю не могут.

11) Если в результате решения уравнения получается буквенное выражение, то оно считается окончательным ответом. Напр., в вышеприведенном примере корень уравнения a tg x + b — 0 будет: tg * = — —; это и есть окончательный ответ.

12) Иногда уравнение можно решить способом введения вспомогательного угла ç (см. ниже образцы решения прим. 7, 8 и др.).

13) Если левую часть уравнения, после того как оно приравнено нулю, можно разложить на множители, то раскладываем, и каждый из этих множителей приравниваем нулю и решаем его, как отдельное уравнение.

Напр.,

14) Если в какой-либо части уравнения приходится суммировать несколько функций угла, кратного *, то их суммируют таким образом, чтобы сумма (или полусумма) двух из данных углов равнялась третьему (если имеются три тригонометрические функции), или группируют их попарно так, чтобы сумма углов одной пары равнялась сумме углов другой пары. Напр., 1) sin 2а + sin За 4-+ sin 4а группируют так: (sin 2а + sin 4а) ++ sin За и т. д.

2) sin За -(- sin 4а + sin 6а -}- sin 7а группируют так: (sin За + sin 7а) + (sin 4а +-4- sin 6а) и т. д.

3) Уравнение cos х + cos 3*== cos 2*++ cos 4* переписывают так : cos x + cos 3*— —cos 2x — cos 4* = 0 ; или (cos * — cos 4*)— — (cos 2x — cos 3*) =; 0 и т. д.

15) Если в одной или обеих частях уравнения встречаются сложные выражения в виде дробей, сложных формул и т. п., то выгоднее всегда сделать всякие преобразования в каждой части равенства в отдельности

(т. е. отдельно упрощать, приводить в отдельности каждую часть равенства к одному знаменателю и т. п.). После того, как все сделано в каждой части уравнения, приступают к преобразованиям в обеих частях сразу.

Приводим далее образцы решений тригонометрических уравнений разного типа, изложенных в систематическом порядке, причем классификация сделана с возможно исчерпывающей полнотой, что может служить руководящей нитью при изучении этого отдела тригонометрии. Следует, однако, оговориться, что мы избегали приводить здесь наиболее простые примеры, которые преобразовываются и решаются легко: напр., sin 2* = cos ху где sin 2х заменяем через 2 sin л; cosa:, переносим все в левую часть и выносим cosa: за скобку; или, напр., 2 sin2* — 3cos* = 0, где sin2* заменяем через 1 — cos2* и решаем как квадратное уравнение относительно cos * и т. д.

В нижеприведенных решениях уравнений в большинстве случаев ограничиваемся наименьшими значениями для угла х (первые углы); остальные же углы находятся применением формул общего вида углов, согласно указанным выше правилам 2-му и 3-му.

I. sin* — cos* = 0.

Решение. По указаному выше правилу 10-му, делим обе части на cos*. Тогда имеем:----= 0; или ig*—1=0, или tg X = 1, откуда хх = 45° ; а общий вид: *= 180°.£-}ч 45°.

Подобным образом решаются такого же вида уравнения и в том случае, если при функциях углов имеются коэфициенты; напр., sin* — 3ccs* = 0; деля на cos*, имеем: tg* = 3, откуда можем найти * по таблицам.

Еще пример: 5 sin3* — 3cos3* = 0. Разделив это уравнение на cos3*, получим:

5tg3* = 3, откуда tg* = | / -g-.

Замечание. Приведенные здесь уравнения представляют собой один из типов однородных уравнений, в которых отсутствует свободный член. Следует заметить, что вместо условия уравнения, напр., sin* — — cos* = 0, могло быть в условии sin* = = cos*; или вместо 5 sin3* — 3cos3* = 0 могло быть написано 5 sin3* = 3 cos3* и т. п. Подобные равенства решаются такими же самыми приемами, т. е. делением на sin* или cos* в соответствующей степени. Делить на cos* (или sin*) во всех приведенных здесь и ниже однородных уравнениях имеем право, так как cos* здесь не равен нулю, что подробно обосновано в правиле 10-м.

II. sin2* — 3 sin * cos * + 2 cos2* = 0.

Решение. По указанному выше правилу 10-му для однородных уравнений, делим обе части равенства на cos2* (см. предыдущий пример). Тогда получим квадратное уравнение относительно tg*, которое решается легко. Имеем : sin2* — 3 sin * cos * — и т. д.

Подобным же образом решаются уравнения с четвертыми и вторыми степенями, расположенными в таком же порядке; напр., sin4 *—3 sin2 * cos2 * + 2 cos4 * = 0; деля обе части равенства на cos4*, получим биквадратное уравнение относительно tg*.

III. 3sin2* — 4sin*cos*+ 5 cos2* = 2.

Решение. Уравнение это отличается от предыдущего типа тем, что на месте нуля в правой части здесь стоит какое-нибудь число (свободный член).

1-й способ. Умножим правую часть данного уравнения на sin2 * + cos2 *, отчего величина этой части не изменится, так как это равносильно умножению на единицу (sin2* + cos2* = 1 ). Тогда будем иметь:

3 sin2 * — 4 sin * cos * -(- 5 cos2 * = 2 = (sin2*+ cos2*);

раскрыв скобки, перенеся все члены в одну часть и сделав приведение подобных членов, получим: sin2 * — 4 sin * cos* +~\- 3 cos2* = 0. Таким образом, мы привели это уравнение к уравнению предыдущего типа, способ решения которого нам уже известен (деля на cos2*, получаем квадратное уравнение относительно tg*).

2-й способ. Умножив обе части уравнения на 2, получим: 3 • 2 sin2*—4.2 sin * cos *++ 5 • 2 cos2* = 4. Зная, что по формулам половинных и двойных углов 2sin2*=l — — cos 2*, 2 sin * cos * = sin 2* и 2 cos2* = = 1 + 2 cos 2*, данное уравнение можно представить в следующем виде: 3 (1 —cos 2*)—4 sin 2*-(-5 (1 + cos 2*) = 4.

Раскрыв скобки, сделав приведение подобных членов и необходимые сокращения, получим: cos 2* — 2 sin 2* — 2. Последнее уравнение решается подобно уравнениям VII и VIII (см. ниже).

IV. cos * + sin * = sin 2x.

Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат, имеем: cos2* -(- 2 sin л: cos x ++ sin2* = sin22 x ; 1 + 2 sin x cos * = sin22*; 1 + sin 2x = sin22*; sin22* — sin 2x — 1 = = 0.

Имеем квадратное уравнение относительно sin 2*, которое решается легко; найдя 2*, делим найденный угол на 2 и находим х.

Замечание. Можно вообще принять за правило, что если в одной части равенства находится сумма sin или cos или разность между ними (без коэфициентов перед ними), то обе части равенства, как в данном примере, следует возвысить в квадрат. Полученные корни проверяем подстановкой, так как от возвышения в квадрат могли получиться посторонние корни, не удовлетворяющие данному уравнению.

V. sin x — cos x = 1~- •

Решение. Это уравнение отличается от предыдущего тем, что на месте тригонометрической функции в левой части здесь стоит (свободный член). Такое уравнение можно решить по предыдущему, возвышая обе части в квадрат. Но лучше уравнение такого типа решать, заменив левую часть произведением, т. е. поступаем так: sin* — cos* = =5sin* — sin (90Q — *) = 2cos45° sin (* —

VI. sin * + Y 3 cos x = 1

Решение. Зная, что tg 60° =j/ 3, данное уравнение можно переписать так: sin*+ = 1. Приведя к общему знаменателю, имеем: sin * cos 60° + cos * sin 60° = cos 60° ; левая часть равенства представляет собой формулу синуса суммы двух углов * и 60°, ввиду чего пишем: sin (* 4- 60°) к cos 60°, или

sin (* + 60°) = ^ , откуда * + 60° = 30°.

По формулам общего вида углов имеем: 1) *4-60°.—180°2£+30°, откуда *1 = = 180°.2& + 3GQ — 60° = 180°• 2k + 30°; или же 2) *+ 60°=zl80°(2£+l) — 30°; откуда *2=180° (2£+1) — 30° — 60° = ==180Q (2*-f i} — 90°.

VII. asin*-^ bcosx—c.

Решение. 1-й способ. Уединив a sin* (или £cos*), возведем обе части равенства в квадрат; после этого заменяем sin2* (или cos2*) сходной функцией и получаем квадратное уравнение относительно cos * (или sin*). Ввиду того, что от возвышения в квадрат в найденных значениях * будут также и посторонние корни, требующие еще проверки, более удобен следующий, 2-й способ решения подобного типа уравнений (при помощи вспомогательного угла ср).

2-й способ. Разделив данное уравнение на коэфициент при sin *, получим: sin * +

Отсюда окончательно имеем: sin (* 4- ?) = с

Сначала определяем (*4~?), а потом и самый *.

Замечание. Это уравнение отличается от предыдущих уравнений схожего типа тем, что здесь перед sin и cos имеются коэфициенты, а в правой части равенства свободный член с.

VIII. 2 sin* 4~7 cos* = 5.

Решение. Это уравнение решается так, как указано в предыдущем примере VII. Оно отличается только тем, что вместо буквенных коэфициентов a a b и свободного члена с здесь поставлены числовые величины. Разделив на один из коэфициентов, напр., на 2, имеем: sin* — — cos* = -—. По таблицам найдем угол 9, принимая tg<p=—. 7

Заменив козфициент — череа tgç, имеем:

или sin X cos 9 — cos * sin <p =—cos 9, откуда по формуле для синусов двух углов имеем:

sin (* — 9) = — cos 9.

Так как угол о мы можем вычислить заранее по tg<p, то из полученного последнего равенства sin (х — 9) =—cos 9 можем найти (х — <р) а потом и угол *.

IX. sec x — ctg x = 0.

Решение. Заменив sec а: его обратной величиной cosx (см- правило 6-е) и ctg* через cos х и sin *, имеем:----:-= 0; или sin л: — cos2* = 0; заменив cos2* через 1—sin2*, решаем квадратное уравнение относительно sin*.

X. tg*+ 5ctg* = 6.

Решение. Согласно правилу 5-му, заменяем ctg* через ;—, имеем: tg*+-—= tg* tg* 1=^6, или tg2* — 6tg*+5 = 0. Решаем квадратное уравнение относительно tg*.

XI. ctg (270° — *)=~ ctg а:.

Решение. Зная, что ctg (270° — х) = 1

=tg x, a ctg л: = —--, заменяем данные выражения соответственно через tgx и-----,

имеем: tg2* = 4~, или tgх = -Ь +r, откуда *х = + 30°, а *2 = — 30°; общий вид:

XII. tg3* + tg2*-3tg*-3 = C.

Решение. Согласно правилу 13-му раскладываем данное уравнение на множители. Тогда имеем:

(tg3 * + tg2 x) — ( 3 tg * -f 3) = 0;

или

tg2* (tg*+l)-3(tg*+l) = 0;

или

(tg2* —3) (tg*+l) = 0.

Таким образом, данное уравнение распадается на два отдельных уравнения, которые решить легко, приравняв каждое из них нулю.

XIII. sin4* -f cos4* = —.

Решение. 1-й способ. Взяв известную основную формулу sin2*+cos2* — 1 и возвысив ее в квадрат, получим: sin4* ++ 2 sin2 cos2* + cos4* = 1; вычтя из последнего уравнения данное по условию, имеем: 2 sin2* cos2*= Умножив это уравнение на 2, будем иметь: 4sin2* cos2* = -g-; или (2 sin * cos *)2 = или (sin 2л:)2 == или А~4~ 2 Sin2 2* — -=-, откуда sin 2х =; i / __ = .

2-й способ. Данное уравнение можно представить в таком виде:

sin4* -f (cos2*)2 = sin4*+(l — sin2*)2=-= ;

сделав соответствующие преобразования, получаем биквадратное уравнение относительно sin*, т. е. sin4* — sin2*+ — = 0, которое решается легко.

XIV. sin 5* = sin 3*.

Решение. 1-й способ. Уравнение sin Ъх — sin 3* можно переписать так:

sin 5 л; — sin 3 x — 0;

или

п . Ъх — Ъх 5*-f 3* Л 2 sin—---cos -£--= 0;

или 2 sin * cos Ах = 0; откуда или sin* = 0, тогда находим, что х1 = 0°, а в общем виде *1 = 180-&; или же cos 4л: = 0, тогда 4 x = 90°, а *2 = 22°30', а в общем виде 4л; = 360°.£±90°; или заметив, что 90° здесь повторяется нечетное число раз (безразлично, берем ли мы правую часть с плюсом или с минусом), можем написать: Ах — = (2&+ 1)90°, откуда *2 = (2£+ 1)22°30'.

2-й способ. Принимая во внимание, что данное равенство sin Ъх = sin 3* возможно лишь при условии, если угол 5л: будет пополнительным к углу 3* (функции взаимно-пополнительных углов равны между собою), имеем:

или

откуда

Ответ получаем такой же, как и по 1-му способу.

XV. tg5* = tg3*.

Решение. Данное уравнение переписываем так: tg5*— tg3* = 0; по формуле для разности тангенсов имеем: —±--— = 0:

Так как дробь может равняться нулю только тогда, когда числитель равен нулю, то sin 2х= = 0, откуда 2х = 0 или 180°, а * = 0° или 90°.

XVI. sin x + sin 2х + sin 3* + sin 4* = 0.

Решение. Согласно правилу 14-му группируем данное уравнение таким образом:

вынося 2 sin — за скобки, имеем:

XVII. 8** = 4**.

Решение. В данном уравнении неизвестная величина входит только в показатель и решается оно способом сравнения показателей: приведя обе части этого показательного уравнения к одному основанию, имеем: 2 =2 . Как известно, если степени одинаковых оснований (в данном случае основание = 2) равны, то и показатели их равны; а потому имеем: 3tg* = 2tg —. Применив формулу двойного угла для tgx (рассматривая igх как *2.|Л, получим:

Приведя обе части уравнения к одному знаменателю, будем иметь:

что дает два мнимых корня.

XVIII. У“2.2СО“ = 2.

Решение. Приведем обе части уравнения к одному основанию. Имеем: 2 2 =2';

или — + cos x = 1 ; или cos x — — , откуда x = 60°; общий вид: 360- k -f 60°.

XIX. a —a2.

Решение. В показательных уравнениях при равных основаниях и показатели равны, а потому имеем: tg х+ ctgx = 2; или tgx+

XX.

Решение.

Разделив обе части уравнения на sin *, имеем:

При логарифмировании, как известно, сначала вычисляется у 3, затем найденное число складывается с единицей, а потом уже вычисляется ctg*, откуда найдем и самый угол *.

XXI. sin*=3sin (37°—*).

Решение. 1-й способ такой же, как для предыдущего примера, т. е. раскрываем выражение sin (37°—*) по формуле для синуса разности двух углов, и делим затем полученное выражение на sin*,

2-й способ. Данное уравнение можно написать так: ——--г- = -г- ; на осно-

вания известного свойства пропорции* пишем:

sin* — sin (37° — x) 3 — 1 ------L — или по формуле отношения разности синусов к их сумме, имеем :

или откуда

Приняв (*—18° 30') за неизвестное, находим по логарифмическим таблицам угол (* — —18° 30'), а затем и самый угол *.

XXII. 2 sin (34° — л) = 3 sin (22°— *).

Решение. Представим это уравнение в виде геометрической пропорции, пользуясь известным правилом, что если произведение двух каких-либо чисел равно произведению двух других чисел, то из этих 4 чисел можно составить пропорцию, беря сомножителей одного произведения за крайние члены, а сомножителей другого произведения за средние члены пропорции. Тогда будем иметь: -—у—г=--- = — ; на основании другого известного свойства пропорции (см. предыдущий пример) имеем:

или заменив левую часть отношением тангенсов и произведя все действия, найдем:

tg(Io% =Т' откУда *<*° —) = = 5tg6°; отсюда находим угол (28° — *), а затем и угол *.

XXIII. cos (*-f 35°) cos (70° — *) = 0,25.

Решение. Умножив обе части данного уравнения на 2, на основании формулы cos (а + ß) +cos (а — ß) = 2 cos а cos будем иметь:

Отсюда найдем угол (2*—35°), а затем и угол *.

Замечание. Подобные уравнения, где применяются формулы, подобные тем, что мы применили к решению данного уравнения, встречаются редко.

XXIV. Решить систему уравнений*:

Решение. Решить систему значит определить * и у из данных уравнений. Заменив во 2-м уравнении сумму синусов произведением по формуле, имеем:

заменив здесь далее х+у в силу 1-го уравнения через а, получим:

или же

Отсюда при помощи логарифмов найдем (*—у). Зная из условия значение (x+y), легко найти затем углы * и у.

Замечания. 1) Подобным образом решаются системы уравнений:

* Свойство пропорции: разность членов первого отношения относится к их сумме, как разность членов второго отношения относится к сумме членов второго отношения. Подобно этому, можно брать, наоборот, отношение суммы и разности.

* Следует помнить, что х+у = а есть выражение суммы углов в градусах, минутах и секундах, a sin jc + siny = b есть отвлеченное число. Напр.; 1) х+у = 70° 15'; 2) sin *+siny = = 0,986.

2) Если дано решить уравнение sin (а — *)+ + sin (b — *) = fît, то, положив а — х =у и b — X = z, получим систему уравнений: 1) sin _v + sin 2г = /;г; 2) у — z = a — b. Эту систему легко решить по предыдущему.

XXV. Решить систему:

1) х+у = а, 2) sin* siny = b.

Решение. Неизвестные этой системы /равнений также определяются по сумме и разности X и у, как и в предыдущем примере. Умножив предварительно обе части второго уравнения на 2, на основании известной формулы будем иметь: 2 sin* sinj/ = = 2b, или cos (* —у) — cos (* +у) = 2b. Заменив в последнем равенстве х+у через а, получим: cos (* —у) = 2Ь + cos а. Вычислив отсюда * — у и зная х+у, найдем хау.

XXVI. Решить систему:

Решение. Уравнение 2-е можно написать так: —-= — : применив известное свойство пропорции, имеем: -;—т-^- = , , „ , или заменив первую часть равенства отношением тангенсов, согласно формуле, получим:

наконец, tg—— = tg~, откуда найдем *—у, а потом, зная также х+у, определим легко X и у.

XXVII. Решить систему:

Решение. Уравнение 2-е можно согласно формуле для суммы тангенсов написать:

откуда

sln(x+y) = b cosxcos у; подставив вместо х+у значение этого выражения из уравнения 1-го, данного по условию, получим:

или согласно формуле имеем:

Отсюда находим

XXVIII. Решить систему:

Решение. Умножив первое уравнение на 2 и сложив его с уравнением вторым, получим:

Итак, 5.5sin*=13; или 5 sin* = —; или 5 sin дг—2,6. Далее, подставив в какое-либо из данных уравнений, напр., в 1-е, найденное значение для 5sin* = 2,6, получим: 3sin>,= l,4. Логарифмируя эти выражения, имеем:

и т. д.

Найдя соответствующие логарифмы по таблицам, имеем величины sin* и sin_y. Логарифмируя далее найденные числовые величины для sin* и sïny и потенцируя, находим значение углов * и у в градусах, минутах и секундах.

Таким образом мы привели здесь образцы подробных решений 28 уравнений разного типа, к которым сводится большинство встречающихся уравнений.

Некоторые из приведенных уравнений встречаются редко, но все же в целях возможно большей полноты изложения данного вопроса мы считали необходимым дать также решения и этих уравнений.

ИЗ ОПЫТА

53 ГОДА НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

Е. ПЕТРОВ

(Горьковская краевая педагогическая лаборатория)

Горьковский краевой дом Советов с высоты своих фасадов лозунгами приветствует учителей— делегатов краевого съезда учителей. Сюда со всех концов края 19 августа 1936 г. съехались 560 лучших мастеров педагогического дела обсудить вопросы, как лучше поставить дело народного образования в крае.

В числе 560 был и Василий Васильевич Адрианов — преподаватель математики Ульяновской образцовой средней школы г. Горького.

Тов. Адрианов 53 года работает в школе. За эти 53 года В. В. обучил не одну тысячу учеников.

Если взглянуть на карту великой страны, если попробовать перечислить профессии обученных им людей, пожалуй, не назовешь крупного города, в котором бы не было его учеников, не укажешь профессии, какую бы не избрали его ученики, рабфаковцы и студенты.

Старый преподаватель гордится такими учениками, как профессор Лещинский, сотрудник Пулковской обсерватории Покровский, талантливый исследователь «переменных звезд» Кукаркин.

Как радостно получать письма и работы с автографами своих лучших учеников, с каким неподдельным восторгом говорят о своем заслуженном и добром учителе эти, известные всей стране, люди.

Всегда скромный и сдержанный, он все отдает молодежи самой счастливой страны, а с молодежью Василий Васильевич связан тысячами невидимых нитей.

В октябре 1923 г. общественность г. Горького отмечала сорокалетний юбилей педагогической деятельности В. В. Сотни адресов, приветствий и подарков получил в день своего сорокалетнего юбилея заслуженный учитель. В адресах, письмах и приветствиях общественные, советские, партийные организации, друзья и ученики В. В. ярко и образно обрисовали его многогранный жизненный путь и работу. В. В. в Горьком появился в 1883 г. С тех пор он непрерывно работает преподавателем математики в различных учебных заведениях г. Горького. В. В. никогда не замыкался в рамках только учебы, он всегда вел и ведет большую общественную работу. В. В. — один из организаторов старейшего в СССР астрономического кружка — ныне Горьковского геоастрономического общества, он в него вступил в 1888 г. В 1891 г. он был избран членом правления, а с 1906 по 1914 г. был председателем правления кружка.

На протяжении 1897—1902 гг. В. В. читал ряд курсов по диференциальному и интегральному исчислению и аналитической геометрии для членов кружка, активное ядро которых составляли преподаватели математики средних учебных заведений.

Революционные события 1905 г. не прошли мимо В. В. Не мало молодежи было выки-

нуто тогда за борт средней школы, и В. В., будучи в то время председателем Нижегородского отделения учительского союза, сумел организовать курсы по математике и физике для желающих подготовиться на аттестат зрелости.

Несмотря на ряд стеснений со стороны царской власти, курсы ширились, идея их крепла и на базе их в 1916 г. был организован Народный университет.

Многолетняя работа В. В. по организации курсов, по работе в них в качестве рядового преподавателя, в разработке программ математического отделения Народного университета — получила заслуженное признание: после открытия Народного университета В. В. был избран председателем совета Народного университета и оставался им до реорганизации университета в 1919 г.

После открытия в г. Горьком учительского института (1914 г.) он становится в нем преподавателем математики и методики математики и остается таковым до настоящего времени, после ряда преобразований института (пединститут, педфак ГГУ, затем снова пединститут); одновременно с этим он до 1930 г. состоял преподавателем математики рабфака с самого его основания, и был первым заведующим учебной частью рабфака.

Одной из постоянных работ В. В. являлось производство обозрений неба для учащихся и вообще интересующихся астрономией. В. В. частенько можно было видеть на вышке показывающим небо и дающим объяснения. Кроме показа неба, В. В. неоднократно читал популярные лекции в г. Горьком, Сормове, Арзамасе, Лыскове и других местах края.

Перу В. В. принадлежит брошюра—«Руководство для первоначального ознакомления с небом путем самостоятельных наблюдений» (48 стр., Н.-Н., 1919). Маленькая книжечка встретила очень сочувственный прием и быстро разошлась. В. В. за многогранную работу в кружке любителей физики и астрономии в день своего сорокалетнего юбилея педагогической деятельности был общим собранием членов кружка избран почетным членом кружка.

Здесь уместно предоставить слово ученикам и товарищам В. В. по совместной с ним работе.

17 октября 1923 г. группа студентов вузов и втузов г. Москвы, бывших рабфаковцев— учеников В. В., ему в своем письме написала: «Пролетарское студенчество не забудет героев-учителей, беззаветно отдающих себя делу просвещения рабочих в тяжелую эпоху начала советского строительства. Пусть наш привет будет золотой страницей в книге заслуг организатора-педагога Нижегородского рабфака».

Друзья и товарищи по работе, преподаватели рабфака, писали ему: «Мы верим, что сорокалетний ваш подвиг на ниве народного образования не только не убавит ваших сил, но еще больше вольет в вас педагогической энергии, дающей возможность правильно разрешить сложные проблемы педагогического дела».

Товарищи по работе не ошиблись. В. В. с той же энергией честно и добросовестно продолжает свою любимую работу.

Весьма тепло было отмечено общественными, партийными и советскими организациями края также и пятидесятилетие педагогической деятельности В. В. Его портрет, как наилучшего ударника и общественника, был помещен на краевой выставке в ознаменование 15-й годовщины Октябрьской революции. В день пятидесятилетия педагогической деятельности В. В. получил письма и приветствия от многочисленных учеников и товарищей по работе.

Вот, например, одно из писем юбиляру, написанное одним из многочисленных учеников В. В.

«Разве можно забыть ту отеческую заботливость, которой вы умеете окружить студентов? Разве можно забыть, как, не жалея своего здоровья, вы старались дать нам знания и поделиться богатым жизненным опытом? Изучение предмета, который вы преподаете,— это далеко не все, что брала и берет от вас молодежь. Эта молодежь училась, учится и будет учиться у вас, как нужно честно работать. Для меня, как и для всех, кого вы учили и кто знает вас, вы всегда будете примером честного отношения к своему великому и благодарному труду».

А любовь к своему делу, честное его выполнение у В. В. действительно исключительны. За свои 53 года педагогической деятельности он, например, ни разу не опоздал на уроки. В. В. — «точнее самых точных часов».

Лето 1935 г. В. В. провел на даче в 30 километрах от г. Горького в приволжском селе Великий-Враг. Перед началом занятий В. В. спешил в город, в родну.о любимую школу. Наступала осень. На Волге туманы, пароходы запаздывают. Не надеясь на пароходы и боясь опоздать на занятия в школу, В. В., в ночь перед началом занятий, решил итти в город пешком. Всю ночь шел старый учитель. И 1 сентября в 8 часов утра он первый пришел в свою школу.

Первым пришел в школу В. В. также и в настоящем учебном году. 1 сентября 1936 г. В. В. 54-й раз в первый день учебы первым открыл двери школы и так начал этот замечательный талантливый учитель свой 54-й год работы в школе.

В. В. исключительно любит свою педагогическую работу. Несмотря на свой прекраснейший долголетний опыт работы в школе, он все время повышает свою квалификацию.

«В нашей педагогической работе, — говорит В. В., — больше, чем во всякой другой, требуется постоянный самоанализ, а также анализ аудитории и всей окружающей обстановки. Самоанализ имеет место в период подготовки к уроку, во время урока и после него. Надо обдумать содержание учебного материала, его распределение и методы проведения на уроке. Но наибольшее значение в деле повышения своей методической квалификации имеет наблюдение результатов своей работы и размышления над этими результатами. Что прошло удачно, что — неудачно, не следует ли совсем забраковать неудачный прием или можно, внеся в него изменения, сделать из него удачный. Иногда счастливая мысль приходит в голову, как реакция на удачный или неудачный ответ ученика, может быть вычитана из книги, может она притти в голову на уроке другого преподавателя. Все такие наблюдения я вношу в записную книжку, храню ее. У меня сохранились записи от первых лет работы в школе, время от времени я просматриваю эти записи, систематизирую их, обобщаю, расширяю, применяю удачные приемы на практике, совершенствую. И таким образом повышаю свою методическую квалификацию».

В. В. тщательно и серьезно готовится к каждому уроку. Готовясь к уроку, В. В. всегда учитывает, во-первых, как прошел предыдущий урок, какие затруднения оказались в работе и на что надо обратить внимание на следующем уроке. Затем намечает материал, который нужно пройти с учащимися — как теоретический, так и все практические упражнения и задачи.

В. В. тщательно перед каждым уроком изучает учебник. Упражнения, которые В. В. намечает дать ученикам для самостоятельной работы в классе и для выполнения дома, он предварительно решает сам, чтобы выявить те из них, которые могут оказаться неудачными.

В. В. на каждый урок намечает формы организации работы и способы закрепления полученных знаний. Намечает также, какие из наглядных пособий и учебных принадлежностей нужно взять на урок. Далее, В. В. всегда продумывает, что из пройденного ранее должно быть повторено для лучшего усвоения нового материала. Продумывает вместе с тем, кого из учащихся следует спросить и на кого в данный урок следует обратить особое внимание.

На основе всего этого В. В. составляет краткий конспект урока. Материал на уроках В. В. излагает с предельной ясностью и максимальной наглядностью. Поэтому учащиеся с исключительным вниманием, с жадностью ловят каждое его слово. У него редко бывают неуспевающие ученики. Он не дает им отставать, своевременно оказывая необходимую помощь.

Высокое качество учебной работы В. В. сочетает с высоким качеством воспитательной работы. Каждый его урок дает не только знания, но и воспитывает аккуратность, тщательность, бережное отношение к времени, умение ценить его. На своих уроках В. В. всегда стремится добиться и добивается того, чтобы возбудить внимание и интерес учеников к работе.

«Отсутствие внимания,— говорит В. В.,— является главной, наиболее часто встречающейся причиной неудовлетворительной работы по математике. Часто ошибку по рассеянности несправедливо приписывают отсутствию знания правила, формулы и т. д. Борьба с рассеянностью труднее, чем с другими недостатками учащихся; внимание учащихся менее во власти преподавателя, чем другие умственные качества учащихся. И взрослые люди с вполне развитой волей не всегда владеют своим вниманием, а дети и юноши тем более грешат в этом отношении. Между тем по отношению ко вниманию математика занимает особое место среди других учебных предметов. Когда учащийся пишет диктант, он может ошибиться в одном месте, и это не помешает ему написать всю остальную работу без ошибки. При решении задачи или примера, при доказательстве теоремы ошибки в одном месте (5 + 3 = 7, минус вместо плюса и т. д.) портят и окончательный результат, так как решение всякого математического вопроса представляет одно неразрывное целое, которое становится негодным, если в этом целом окажется случайная незначительная ошибка».

В этих целях В. В. прежде всего заботится о внешних условиях: о тишине, о хорошем освещении, о хорошей доске и меле, четкой записи на доске и т. д.

Известно, что основным стимулом внимания

является интерес к работе, интерес, обусловленный стремлением получить верный результат, найти удачный прием решения вопроса, открыть какое-нибудь свойство, составить хорошую редакцию правила и т. д.

Для того, чтобы учащийся мог испытать удовлетворение от работы, необходимо, чтобы она была посильной.

Учащийся, у которого работа никогда не бывает удачна, конечно, вместо радости творчества будет испытывать уныние, будет терять веру в свои силы. Работа слишком трудная не будет выполнена, слишком легкая — не даст радости преодоления затруднений; ни в том, ни в другом случае удовлетворения не получится. Все это В. В. учитывает при работе как с отдельным учеником, так и с классом. В. В. прекрасно знает индивидуальные особенности каждого своего ученика, а это и обеспечивает хорошее знание математики каждым учащимся.

В. В. хорошо знает особенности, присущие детскому и юношескому возрасту в деле усвоения курса математики, и он всегда изыскивает меры к лучшему усвоению изучаемого учащимися материала.

«Я пришел к выводу, — говорит В. В.,— что основными недостатками в изучении математики учащимися являются недостаток дисциплины мышления, его необоснованность, хаотичность. Вместо того, чтобы проявить власть над своей мыслью, отнестись к работе сознательно, внимательно, работать по предварительно составленному плану, пользоваться определенными правилами и т. д., ученик подчас относится к работе невнимательно, поверхностно, а это и мешает ему в работе».

Для того, чтобы воспитать дисциплину мышления, В. В. с первого же дня занятий приучает своих учеников к строгой последовательности и логичности при изучении определений, правил и доказательств теорем.

В качестве примера, показывающего, как В. В. приучает своих учеников к последовательности, логичности и правильности при изучении математики, приведем следующее:

Учитель. Что называется окружностью?

Учащийся. Окружностью называется кривая, все точки которой равно удалены от одной.

Учитель (чертит дугу окружности и спрашивает): Это — кривая? Все точки ее равно удалены от этой? (показывает). Следовательно, это кривая — окружность?

Учащиеся (замечают пробел и вносят поправку): Сомкнутая кривая.

Учитель. Вообразите шар, по его поверхности вычерчивается зигзагами сомкнутая кривая; будут ли все точки этой кривой равно удалены от центра шара? Сомкнутая ли она? Следовательно, эта кривая — окружность?

Учащиеся (замечают и этот пробел и восполняют его словом): Плоская.

Из этого примера, а в работе В. В. подобных примеров тысячи, вывод можно сделать лишь один — учащиеся при таком изучении определений и правил вполне сознают значение каждого слова. Такое изучение интересует учащихся, настроение в классе на его уроке живое, активное, оно имеет и значение для развития ясности, точности и краткости речи.

На каждое преобразование и при доказательстве теорем В. В. дает образцы записей, которых учащиеся придерживаются как в контрольных работах, так и в домашних работах и устных ответах у доски. В качестве примеров плана — образца записей, которые дает В. В. при доказательстве теорем и решении задач и примеров, возьмем запись одной теоремы и одного примера на сложение и вычитание алгебраических дробей.

Теорема. Во всяком треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

I. Условие: АС>ВС;

II. Построение: CD = CB;

III. План: £ABC>LDBC = L CDB > L ВАС;

IV. Вывод: LABC> LBAC.

Подобная конспективная запись дает возможность учащимся при подготовке урока сразу припомнить содержание теоремы и, главное, этапы доказательства. Запись дает меньше, чем книга, но это даже хорошо: она вынуждает учащегося заполнить пробелы собственным рассуждением, содействует активности восприятия материала, устраняет зубрежку.

Образец решения примера на сложение и вычитание алгебраических дробей:

Подобные образцы записей вносят планомерность в запись решений примеров и задач, способствуют лучшему усвоению материала. Впоследствии, когда учащиеся приобретут некоторый навык, В. В. разрешает сократить запись и требует в этом случае объяснения в устной форме. При устных ответах каждый шаг преобразования ученики В. В. сопровождают указанием правила, на основании которого этот шаг делается, и обязательно указывают на доске те части записи, о которых идет речь. Например, ученик говорит правило умножения дроби:

Чтобы умножить дробь (обводит пальцем множимое) на дробь (тоже), надо числитель первой дроби (тоже) и т. д.

Это требование В. В. — безусловно верное и необходимое, так как бывает, что учащийся говорит слова, не относя их к определенному зрительному образу. Вообще В. В. больше всего заботится о сознательном изучении материала учащимися и не удовлетворяется механическим его заучиванием. Когда присутствуешь на уроках и просматриваешь тетради учеников В. В., то невольно поражаешься краткостью, правильностью и ясностью устной и письменной речи учащихся.

«Воспитание устной и письменной речи является важной задачей преподавания математики,— говорит В. В., — поэтому преподаватель математики не менее заинтересован в воспитании речи у учащихся, чем преподаватель всякого другого предмета. Наряду с общими задачами воспитания устной и письменной речи преподаватель каждого учебного предмета имеет и свои специальные задачи.

Общие задачи: грамматическая и орфографическая правильность, отсутствие нелитературных выражений: проценты, таперича, шишнадцать и т. п.

Специальная задача математика — орфография математических терминов (поралейные прямые, еденица, вычисть и т. п.)».

В целях повышения орфографии В. В. употребляет с успехом такой прием: правило, определение диктует отчетливо, ясно, слов не смазывает, произносит слова не так, как они обычно произносятся, а так, как они пишутся, т. е. с подчеркиванием о вместо обычно произносимого а, с подчеркиванием удвоенных согласных, с указанием знаков препинания и т. д.

При построении отдельных фраз (правил, определений, теорем) В. В. предлагает учащимся сначала самим дать первоначальную редакцию, а потом путем конкретной критики обнаруживает недостатки предложений.

Например, учащийся говорит: «Против большего угла лежит и большая сторона».

В. В., не возражая, молча идет к доске.

Ученики уже знают его манеру и с интересом следят, что придумал В. В. Подойдя к доске, В. В. делает чертеж:

Ученики улавливают свою ошибку и вносят поправку, уточняющую редакцию.

Кроме того, В. В. там, где возможно, предлагает улучшить редакцию, например, путем сокращения придаточного предложения. Вообще он стремится к тому, чтобы выправленный текст был правильным, ясным, точным и кратким. И это В. В. считает специальной задачей преподавателя математики в области речи. При построении изложения доказательства теоремы и в других случаях В. В. всегда наблюдает за последовательностью и логичностью изложения.

«Я всегда рад, — говорит В. В.,— когда учащийся предложит свое доказательство, скажет правило своими словами, лишь бы оно было высказано правильно, точно и ясно. Нельзя ограничиваться умением учеников решать примеры и задачи по определенному шаблону. Надо приучать учеников, в особенности в старших классах, к проявлению самостоятельности и инициативы».

Формы и методы работы В. В., как мы видим, просты и несложны. Основное в работе В. В. это то, что он никогда ни одного занятия не проводит без предварительной личной подготовки. В. В. всегда стремится к ясности и четкости в подаче материала, к конкретности и живости в объяснении. Понимание цели и настойчивость в ее достижении, отличные знания и умение ими пользоваться, глубокая преданность делу, горячее желание отличной работой оправдать Сталинскую заботу об учителе,— вот что характерно для этого учителя-энтузиаста и что является основой его успехов. Успехи

и заслуги В. В. велики и бесспорны, но о них он не любит говорить; о себе он говорит скромно и мало.

«Я считаюсь строгим преподавателем,— говорит В. В.,— но, тем не менее, пользуюсь расположением учащихся. Они верят в успех своего обучения под моим руководством, видят мою заботу о них и з большинстве занимаются довольно охотно».

В. В. сказал здесь о себе, как всегда, мало и скромно. В успех обучения под руководством В. В. верят не только его ученики, а верят также и родители учащихся, верят все, кто знает работу В. В.

Из стен Ульяновской образцовой средней школы в прошлом году было выпущено 27 десятиклассников. Они все пошли учиться в высшую школу, они все выдержали испытания по математике, получив оценки «хорошо» и «отлично».

И как только бывшие воспитанники, ученики В. В., перешагнули порог высшей школы, как только они поступили в высшую школу, так они тотчас же написали письмо с выражением сердечной благодарности своему любимому учителю — Василию Васильевичу.

Ученики В. В. глубоко любят и ценят своего старого учителя — энтузиаста великого дела, дела воспитания и образования молодежи счастливой социалистической страны.

За то, что В. В. отлично работает сам, и за то, что отлично знают математику его ученики, он постановлением президиума Горьковского крайисполкома и бюро крайкома партии в числе 20 лучших мастеров педагогического дела орденоносного Горьковского края первым занесен в Краевую книгу почета учителей.

Несмотря на свой преклонный возраст, В. В. с юношеским увлечением продолжает работу в школе. Он полон энергии и бодрости, он любовно делает то, что может и должен делать каждый советский учитель.

КАК ОФОРМЛЯТЬ В ПИСЬМЕННОМ ВИДЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕОРЕМ

М. ИВАНОВ (Калинин)

Преподаватель математики должен хорошо помнить, что учащиеся на уроках геометрии должны не только доказывать теоремы и применять их к решению задач, но также учиться оформлять свои мысли в устном и письменном виде и на соответствующем предмету языке.

Опыт работы показывает, что навыки последнего вида даются учащимся с большим трудом и особенно в младших классах средней школы или рабфака, где ученики впервые сталкиваются с цепью более или менее строгих логических рассуждений. Причиной этому часто служит не столько абстрактность суждений при доказательстве теорем, сколько слабое овладение учащимися к этому времени навыками письменной и устной речи.

Чтобы помочь учащимся в начальный период занятий систематическим курсом геометрии коротко, ясно и правильным языком излагать свои мысли, бывает полезно дать в VI классе некоторую схему и готовую форму как устного, так и письменного изложения доказательства теорем и требовать от учащихся строгого ее соблюдения по крайней мере в VI и VII классах.

Эта схема по своему внешнему виду, разумеется, может быть различна, но составные части ее должны вытекать из сущности метода доказательства всякой теоремы. Доказательство же почти любой геометрической теоремы резко распадается на три части.

1) нечто мы сами делаем для доказательства (наложение одной фигуры на другую, вспомогательные построения и т. п.);

2) нечто тогда обязательно случается (по условию, по аксиоме или теореме, ранее известной) ;

3) делаем заключение, как следствие двух предыдущих шагов доказательства.

Следовательно, преподавателю необходимо вести работу так, чтобы при доказательстве теоремы учащиеся отчетливо видели все три указанные части доказательства.

Для этого бывает полезно доказательства нескольких первых теорем оформить в письменном виде на классной доске, выделяя подзаголовками каждую часть доказательства, а

ход рассуждений каждой части записывать по пунктам.

Вот один из примеров такого оформления.

Теорема, Два треугольника равны, если одна сторона и два прилегающие к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилегающим к ней углам другого треугольника.

Дано: Д ЛВС и Д AtBtCv 1) АВ = А1В1: 2) LA = LAX\ 3) LB=LBX.

Требуется доказать: Д AtBtCt = Д ABC. Доказательство.

I. Сами делаем: Наложим Д ^Z^Q на Д ЛВС так, чтобы:

1) вершина А± совпала с вершиной А;

2) сторона AtBt пошла по стороне AB.

II. Тогда обязательно случится:

1) точка Bt упадет в точку В (так как по условию А1В1 = АВ);

2) сторона AtCt пойдет по стороне АС (так как Z At = Z А по условию) ;

3) сторона В1С1 пойдет по стороне ВС (так как LB\ — LB по условию);

4) вершина СА упадет в точку С (по аксиоме: две прямые могут пересекаться только в одной точке).

III. Заключение: Д А1В1С1 = Д ABC, т. е. треугольники равны, так как при наложении они совпали.

Если таким образом преподаватель проработает в классе несколько теорем, а потом закрепит установленную форму двумя-тремя домашними работами, то учащиеся легко поймут общую идею и схему метода доказательства большинства теорем, с которыми приходится иметь дело в младших классах средней школы. Кроме того, они отчетливо увидят смысл и значение каждой части доказательства. Надо только обратить особое внимание учащихся на вторую часть доказательства, где в каждом пункте не только констатируется тот или иной факт, но и объясняется, почему он происходит. Здесь особенно ярко вырисовывается важная роль условия теоремы, а также ранее известных аксиом и теорем. Ссылка на них в каждом пункте второй части является обязательной и делается в скобках вполне сознательно, чтобы даже таким внешним приемом записи подчеркнуть ученику необходимость и важное значение этого места доказательства. Бывает также полезно привести учащимся следующую аналогию: условие теоремы — это кошелек с наличными деньгами в их руках, а ранее известные аксиомы и теоремы—деньги, хранящиеся на сберегательной книжке ученика, новая же теорема есть покупка, причем, доказывая новую теорему, мы расходуем обычно весь запас кошелька, а со сберегательной книжки берем только потребную для данного случая часть.

Имея указанную выше схему и форму доказательства на уроке геометрии, учащиеся при устных ответах или при письменном изложении доказательства теорем будут учиться дисциплинировать свою устную и письменную речь.

Такой прием оформления доказательств можно практиковать в VI и VII классах, а в VIII и в IX классах, когда учащиеся становятся более грамотными в области языка, обычно они сами постепенно переходят на более свободную и плавную речь.

О ЗАДАЧЕ: «НА ДАННОМ ОТРЕЗКЕ AB ПОСТРОИТЬ СЕГМЕНТ, ВМЕЩАЮЩИЙ ДАННЫЙ УГОЛ α»

М. ПЕТРОВ (Балашиха)

Во всех учебниках по геометрии (Киселев, Гурвиц и Гангнус и др.) и в пособиях по решению задач на построение (Александров) указывается один и тот же способ решения указанной задачи.

Он сводится к следующему. «На конце данного отрезка при точке А строится угол DAB = Z я. Находится центр окружности, для чего проводится АО _[_ Aß и через середину отрезка Aß — ОЕ J_ Aß. Точка пересечения перпендикуляров (О) определит центр окружности. Радиусом, равным АО, строится окружность. Получается искомый сегмент АСгСВ. Любая точка дуги полученного сег-

мента служит вершиной угла, равного данному, т. е. Z ACtB = Z АСВ и т. д., так как все они измеряются половиной дуги АКВ.

Черт. 1.

Решение этой задачи главным образом основано на измерении вписанного угла и угла, образованного касательной и хордой.

Но есть и другое решение этой задачи.

I. Даны отрезок AB и угол а.

Анализируем решение. Предположим, что задача решена, т. е. имеем, что сегмент АСВ есть искомый. В данном случае мы имеем Д АСВ — разносторонний. Передвигаем его вершину С по окружности; она может занять такое положение (Сх), что хорда CtA будет равна хорде AB, т. е. получим равнобедренный Д ACtB и тогда Z а = CtBA (углы при основании равнобедренного треугольника). Построив равнобедренный треугольник по одной из боковых его сторон (AB) и углу при основании (а), мы определим третью точку, через которую должна пройти дуга искомого сегмента.

Построение. На конце отрезка прямой AB (при точке В) строим угол, равный данному (а). Из точки А (другой конец отрезка AB) радиусом, равным AB, делаем засечку на другой стороне угла (точка С). Через точки Л, В и С проводим окружность. Центр окружности определит точка пересечения перпендикуляров, восстановленных из средин отрезков прямых AB и СВ. (Чтобы восстановить перпендикуляр из середины отрезка СВ, достаточно засечки сделать только по одну сторону СВ, другая точка направления перпендикуляра определяется точкой Л, так как перпендикуляр, опущенный из вершины равнобедренного треугольника на его основание, делит основание пополам.)

Это в том случае, когда данный угол (а) острый. Если же данный угол тупой, то задача решается так. Дано: отрезок AB и Z а тупой.

При точке В отрезка AB строим угол = а; продолжаем его сторону за точку В; получаем смежный данному углу Z р. По этому углу (острому) делаем построение, как указано выше. Сегмент АКВ будет искомый, так как £АКВ=£я.

Доказательство. Соединим точку С с точкой А. Получим равнобедренный треугольник, так как AB = АС (по построению). Z ABD —внешний. Следовательно, Z ABD=z = Z CAB + Z АСВ; Z АСВ — измеряется —-— или —— , так как Z АСВ « Z р

Черт. 2.

Черт. 3.

(углы при основании равнобедренного треугольника); LCAB измеряется ——.

Отсюда l abd измеряется --- или —-— ; угол АКВ также измеряется —-—.; следовательно, L АКВ — L ADB или

Черт. 4.

Если угол a = d, то построение сводится к тому: на данном отрезке, как на диаметре, описываем окружность. Любая точка дуг полуокружности (дуги сегментов, равных половине круга) будет вершиной прямого угла (вписанный угол, опирающийся на концы диаметра^ cf).

Приведенное выше построение (при данных—острый или тупой угол) основывается в главной своей части на свойствах равнобедренного треугольника.

II. Эту же задачу можно решить и так.

Анализ.

Предположим, что задача решена—дуга АСВ есть дуга сегмента, вмещающего данный угол. Соединив произвольные точки этой дуги с концами отрезка AB, мы будем иметь углы 1, 2 и т. д., равные данному. Перемещая точку С по дуге АСВ, мы замечаем, что сторона AB треугольника ABC и Z1 остаются постоянными, тогда как стороны АС и СВ меняют величину и направление (в зависимости от величины углов А и В) и, кроме того, точки С, Ct и т. д. продолжают оставаться на дуге сегмента и в то же время служат местом пересечения прямых АС и ВС± под данным углом. Таким образом решение данной задачи сводится к двум моментам: 1) найти точку С (третью) и 2) через три данные точки провести окружность.

Отсюда — взяв отрезок AB, мы определяем две точки, через которые должна проходить окружность. Проведя через конец отрезка (А или В) линию под произвольным углом, мы заключаем, что точка С должна лежать где-то на полученной прямой АК. Берем на ней произвольную точку M и строим при ней угол, равный данному. Линия MN пересечет отрезок AB в точке N, но точка N не совпадает с точкой В. А чтобы линия MN пересекала отрезок AB в точке Б и прямую АК под углом, равным данному, необходимо и достаточно прямую MN перенести параллельно самой себе в точку В. Таким образом мы получим искомую третью точку С, через которую также должна проходить окружность. Находим центр окружности (О) и радиусом = АО проводим дугу.

Черт. 5.

Черт. 6.

III. Решение этой задачи возможно и в таком виде.

Анализ.

Предположим, что задача решена: дуга АСВ — дуга искомого сектора. Центр этой дуги должен лежать на перпендикуляре, проведенном через середину отрезка AB. Продолжив перпендикуляр до пересечения его с окружностью в точке Сг и соединив точку Ct с концами отрезка А и В, мы получим:

1) • равнобедренный треугольник АСХВУ

2) угол при точке Ct (данный) разделится пополам.

Черт. 7.

Отсюда построение. Через середину данного отрезка AB проводим перпендикуляр. При любой (М) точке перпендикуляра строим угол, равный — данного угла. Линия MN пересечет отрезок AB не в точке В; чтобы MN пересекла отрезок AB в точке В, необходимо и достаточно линию MN перенести параллельно самой себе в точку В. Пересечение параллельной линии с перпендикуляром определит точку—третью точку дуги (С).

Дальнейшее построение сводится к построению: провести окружность через три данные точки.

В заключение я должен сказать, что решение одной и той же задачи несколькими способами способствует развитию математического мышления и инициативы учащихся (см. мои замечания в методическом письме НКП «Математика в средней школе» за 1936 г.).

Черг. 8.

ИЛЛЮСТРАЦИЯ ФОРМУЛ ПРИВЕДЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИИ ПРИ ПОМОЩИ СИНУСОИДЫ И КОСИНУСОИДЫ

И. ПОЛЬСКИЙ (Москва)

Против необходимости ознакомления учащихся средней школы с графиками вряд ли кто в настоящее время возьмется спорить. Это теперь можно считать азбучной истиной. Но также верно и то, что каждый добросовестный и вдумчивый педагог заканчивает отдел графиков в алгебре с каким-то неприятным чувством, со смутным сознанием неудовлетворенности и неловкости. Чем это вызывается? Мне кажется, что дело вот в чем. Преподаватель не может не чувствовать, что учащиеся принимают графики с большим холодом: они по-настоящему не понимают ни основной идеи графиков, ни для чего они нужны. Ясного и отчетливого представления о функциональной зависимости на этой стадии обучения нельзя дать. Не дают его и графики. Вспомним хотя бы, как подавляющее большинство учащихся воспринимает график s — vt или 5 = -^- at2, как они здесь путают понятие графика и траектории, несмотря на все старания преподавателя. Преподаватель также лишен возможности на уроках алгебры на интересных и целесообразных упражнениях привить учащимся основную идею графика, а именно, что ордината любой точки графика изображает величину функции, соответствующей величине аргумента, представленной абсциссой этой же точки. Ведь не можем же мы в самом деле считать таким упражнением решение уравнений при

помощи графиков. Учащемуся средней школы всегда будет казаться, что этот способ притянут за волосы. Он вполне справедливо будет считать более подходящим аналитическое решение тех уравнений, с которыми он сталкивается.

Ко всему надо прибавить еще и тот недостаток в преподавании графиков, что они остаются висеть в воздухе и не имеют дальнейшего применения.

Немудрено поэтому, что преподаватель чувствует, что добрая половина его труда не дала должного эффекта, и он естественно недоволен.

Я думаю, что педагогическая мысль должна еще изрядно поработать в том направлении, чтобы с преподаванием графиков все обстояло благополучно. Я склонен думать, что графики следовало бы перенести с VIII в IX классы и приурочить начало их преподавания к тригонометрии, где у учащихся начинается более тесное знакомство с функциональной зависимостью. При этом следовало бы начать с графиков движения добычи угля, руды, продукции промышленности, графиков самопишущих приборов, графика зависимости, скажем, длины стержня от температуры и т. д. После того как полезность графиков и основная суть их станут ясны, совсем не страшно, а даже лучше с методической стороны, по-моему, приступить к вычерчиванию синусоиды, косинусоиды, тангенсоиды; затем уже перейти к графикам линейной и квадратичной функции. Здесь нужно показать, что в случае различных действительных корней график пересекает ось х в двух точках, в случае двух одинаковых корней—он касается оси дг, в случае мнимых — он не пересекается с нею. Затем идет графическая иллюстрация знака трехчлена в зависимости от знака дискриминанта и под конец, пожалуй, решение уравнений вида ах = sin лг, ах2 + öx + с = = cosa: и т. п. Решение таких уравнений делает совершенно наглядной полезность гра фического метода.

Впрочем это все — вопросы, требующие широкой и глубокой дискуссии, и я высказался по ним только между прочим. Основная моя тема — применение синусоиды и косинусоиды для иллюстрации формул приведения тригонометрии. Эта иллюстрация преследует цель устранить недостатки преподавания графиков, о которых я говорил. Благодаря этой иллюстрации, во-первых, синусоида и косинусоида не останутся висеть в воздухе, а, наоборот, будут служить материалом, основываясь на котором, можно было бы облегчить усвоение и закрепление последующего материала; во-вторых, эта иллюстрация поможет выяснить основную суть графического изображения функциональной зависимости ; в-третьих, она устранит один вынужденный пробел в изложении формул приведения, который часто имеется в практике школы отчасти из-за отсутствия времени, отчасти из-за трудности теоретического материала. Дело в том, что очень часто формулы приведения для угла неострого принимают на веру, без всякого обоснования. Нежелательность этого педагогического приема бесспорна. Графики дают возможность убедить учащегося в верности этих формул для любого угла, правда, только наглядным путем.

Вычерчивание синусоиды и косинусоиды и изучение их

Вычерчиваем на одной и той же системе осей прямоугольный координат одним и тем же масшабом и различными цветами 2 гра-

Черт. 1.

Черт. 2.

фика .y^sin л:; .у = cos х, т. е. синусоиду и косинусоиду (черт. 1). Для дальнейшего было бы желательно вычертить на прозрачной бумаге копии как этого чертежа, так и всех следующих. Интервал на оси абсцисс берем от — 360° (лучше—720°) до + 720°, так, чтобы получились 3—4 ветви (волны) каждой кривой. Масштаб по оси х берем примерно 30° =-7г~ см> а п0 оси у\= 2-~- см — 3 см (иначе говоря, радиус вспомогательного круга берется 2-Î- см—3 см). Понятно, эти масштабы указаны для вычерчивания самими учащимися этих графиков. Для классной демонстрации нужны гораздо большие масштабы. Когда чертеж уже готов, приступаем к определению по графикам величин синуса и косинуса для различных положительных и отрицательных углов.

Делаем это до тех пор, пока убедимся, что учащийся может хорошо обращаться с графиками. Затем повторяем по графику все основные свойства функций синуса и косинуса (интервалы их возрастания и убывания, их знаки, периодичность, четность второй и нечетность первой). Третьим делом обращаем внимание учащихся на то, что синусоида и косинусоида фактически одна и та же кривая Л что они только сдвинуты друг относительно друга на 90°, что, следовательно, законы изменения синуса и косинуса по существу ничем не отличаются друг от друга.

Иллюстрация формулы sin (x + 90°) = cos x

После указанной подготовки переходим к иллюстрации формулы sin (л: + 90Q) = cos х. Даем сначала углу х различные положительные и отрицательные значения из различных четвертей (например 30°, 60°, 120°, 150°, 270°, 480°,— 30°, —90°,—120°,—240, и т.п.) и определяем по черт. 1 величину sin (х 90°), сличая ее каждый раз с величиной cos*. Получается совпадение. Несомненно, сами учащиеся обобщат после этого известную им формулу sin (х + 90°) = cos х для x < 90° и на случай любого х. Чтобы окончательно убедить учащихся, что полученные частные результаты не случайны, призываем на помощь следующее кинематическое соображение. Вообразим, что на неподвижный осевой крест с прикрепленными к нему синусоидой и косинусоидой наложен еще такой же подвижной осевой крест с точно такими же кривыми, так, что оси координат, а следовательно и кривые графики совпадают. Пусть теперь подвижной крест мысленно перемещается параллельно самому себе вдоль общего обоим осевым крестам направления оси абсцисс. Что произойдет, если мы сместим указанным путем подвижную систему на 90° влево? Мало-мальски смышленный учащийся будет констатировать (при удачных наводящих вопросах), что точка (л: + 90°; 0) подвижной системы совпадет с точкой (х; 0) неподвижной системы, что синусоида подвижной— совпадете косинусоидой неподвижной системы и что, следовательно, ордината, соответствующая величине sin (jc+90°), совпадет с ординатой, соответствующей величине sin x, каково бы ни было численное значение x. Преподаватель формулирует результат, что

sin (х +90°) = cos x (I)

для любого xt будь x острый, тупой, сверхтупой, положительный или отрицательный. Само собой разумеется, что наличие прозрачной копии значительно упростит ход рассуждений.

Черт. 3.

Оговариваюсь — преподаватель не должен обязательно пользоваться непривычной для учащихся терминологией; чувство педагогического такта каждый раз должно подсказывать преподавателю, может ли он ввести такие термины, как четная и нечетная функция, система координат, осевой крест или он должен их как-то обойти. Иллюстрация формулы: sin (х + 180°) = sîn„r

Строим на одном и том же осевом кресте кривые 3/=sinA: и y=z— sin*, т. е. симметричную синусоиде относительно оси х кривую (черт. 2). Опять-таки сначала выясняем справедливость этой формулы при любом x на разнообразных конкретных примерах. Затем заставляем учащихся, чтобы они указали, как можно было бы показать справедливость этой формулы кинематическими соображениями, аналогичными тем, которые были приведены для иллюстрации первой формулы. Полагаю, что сейчас поднимется гораздо больше рук, владельцы которых заявят: подвижная синусоида сольется с графиком у =— sin* неподвижной системы, если сдвинуть подвижную систему параллельно себе вдоль оси х на 180° влево. Так как теперь точка (х + 180°; 0) неподвижной системы совпадает с точкой(;е, 0) неподвижной, то вывод ясен: ордината sin (я+ 180°) совпадает с ординатой — sinx.

(II)

для любого X.

Об остальных формулах приведения

После того, как истинность формул I и II утверждена, может послужить хорошим упражнением аналитический вывод остальных формул приведения для любого х.

Вот например вывод некоторых из них:

(а)

Черт. 4.

* Если читать справа налево формулу I.

(б)

(в)

(г) (д)

(е)

и т. д.

Верность этих формул, равно как и всех других формул, следует подтверждать непосредственными измерениями соответствующих ординат на графиках, а также и параллельным смещением прозрачной копии (или же воображаемым смещением подвижного осевого креста) соответствующего чертежа.

Для иллюстрации формулы (а) изготовляем на одном и том же осевом кресте чертеж графиков у = sinх и у== — cos* (черт. 3), смещаем первый на 270° влево и приводим рассуждения, аналогичные тем, которыми мы пользовались при иллюстрации формул 1 и 2. Для иллюстрации формулы (б) чертим графики у= cos X и у = — sin X (черт. 4). Для иллюстрации формулы (в) строим чертеж графиков y = cosx и симметричного ему у = — cosa: (черт. 5). Что касается формул г, д, е и прочих, то для их иллюстрации, само собой разумеется, не нужно новых чертежей, но здесь, к сожалению, нельзя обойтись без промежуточного аналитического звена. Тгк например для иллюстрации формулы (2) пользуемся чертежом 1. Мы констатируем, что смещение на 90° влево приводит в совпадение точку (—*+90; 0) подвижной системы с точкой (л:; 0) неподвижной, а синусоиду — с косинусоидой, т. е. sin (— X + 90) = cos (— х) =; cos X. Для иллюстрации формулы (е) опять пользуемся черт. 1. Здесь можно например воспользоваться смещением вправо на 90°. Такое смещение приводит в совпадение подвижную косинусоиду с неподвижной синусоидой и точку (х — 90; 0) с точкой (х, 0), следовательно :

cos (х — 90°) = cos (90 — х) = sin х и т. п.

Черт. 5.

Следует прибавить, что выбор формул I и II за основные произволен. Они, пожалуй, самые удобные. Но можно было бы взять за фундаментальную систему формул приведения много других пар, например:

sin (х + 90) и cos (лг-f 90) (черт. 1 и 4) sin (лг + 90) и cos (х-90) (черт. 1) sin (л: — 90) и cos (л:— 90) (черт. 1) cos (лг-f 90) и cos (х+180) (черт. 4 и 5)

Из каждой из этих пар можно вывести все остальные, как следствия. Впрочем, любую из этих пар и аналогичных им можно совершенно строго вывести при помощи несложных геометрических рассуждений. Но здесь не место об этом распространяться.

К МЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ ЛОГАРИФМОВ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

П. БАРАНОВ (Троицк, Челябинской обл.)

В № 2 1936 г. сборника «Математика и физика» помещена статья т. Краевского о методике проведения логарифмических вычислений. Эта статья является ценным методическим материалом для преподавателей математики в средней школе.

Я имею в виду остановиться только на некоторых моментах, о методе объяснения учащимся X класса программной темы «употребление логарифмических тригонометрических таблиц».

Из опыта работы с учащимися, прибывающими из разных школ, при проработке темы о решении треугольников приходится останавливаться на вопросах примерно такого содержания: почему логарифм синуса и косинуса данного угла всегда имеет отрицательную характеристику? Или еще: почему поправка при вычислениях логарифмов синуса и тангенса прибавляется, а при случаях косинуса и котангенса вычитается?

Проводя анализ подобного рода вопросам, я прихожу к заключению, что они возникают благодаря тому, что преподаватель, начиная объяснять по той или иной таблице технику вычисления логарифмов тригонометрических величин, мало или совсем не обращает внимания учащихся на вопрос проведения аналогии таблиц логарифмов тригонометрических величин с таблицами натуральных тригонометрических величин и таблицами логарифмов чисел.

Со своей стороны, я рекомендую уделять на это некоторое внимание учащихся, и для них вопрос нахождения логарифмов тригонометрических величин будет становиться ясным.

Приведу примеры.

Допустим, что преподаватель, пользуясь пятизначной таблицей, предварительно осведомив учащихся об устройстве таблицы логарифмов тригонометрических величин, приступает к практическому разрешению примерно такого вопроса: вычислить с помощью таблицы lg sin 35°50'; после такой записи предлагает учащимся самостоятельно, пользуясь, скажем, четырехзначной таблицей натуральных тригонометрических функций (с которой они уже знакомы), отыскать просто sin 35°50'; учащиеся без затруднения найдут, что sin 35°50' = 0,5854.

После этого предложить им прологарифмировать это равенство, применяя для правой части его таблицу логарифмов чисел. Они запишут это так: lg sin 35°50'= = lg 0,5854 и, умея пользоваться таблицей логарифмов чисел, найдут; lg sin 35°50' = ÏJ675.

После такой операции приступить к пользованию таблицы логарифмов тригонометрических величин для отыскания логарифма того же примера, т. е. sin 35°50', где получится также результат 1,7675, или по пятизначной таблице *= 1,76747.

Проводя такую последовательность, можно учащимся сообщить, что можно было бы обойтись и без специальной таблицы логарифмов тригонометрических величин, пользуясь указанными двумя (натуральных тригонометрических величин и логарифмов чисел), но эта операция слишком длительная и потому естественно возникает необходимость изображения и пользования таблицы, по которой можно сразу находить логарифмы тригонометрических величин.

Из такой последовательности становится ясен вопрос и о характеристиках, так как учащиеся еще раз убеждаются, что натуральная величина sin и cos никогда больше единицы не бывает, а потому характеристика их логарифмов отрицательная. Ясен становится также и вопрос о поправках при нахождении логарифма той или иной тригонометрической функции.

ПО ПОВОДУ ИЗЛОЖЕНИЯ ТЕМЫ «РАДИАННОЕ ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ И ДУГ»

В. КУЗЬМИНА (Москва)

Изложение темы «радианное измерение углов» представляет для преподавателя трудности.

Учащийся нелегко усваивает этот вопрос. Новый способ измерения углов и дуг кажется ему надуманным, противоречивым. Действительно, учащийся знает, что число, полученное вследствие измерения величины избранной единицей, есть число именованное. А преподаватель настойчиво толкует ему, что при измерении угла радианом получает число отвлеченное. Эта неясность вызывает у учащегося умственный конфликт. Тема не усваивается, и часто у учащегося надолго остается недоумение перед радианным измерением углов. Посмотрим, как освещается вопрос о радианном измерении углов и дуг в учебной литературе.

Сначала возьмем наиболее распространенные в настоящее время руководства: учебник прямолинейной тригонометрии Рыбкина и учебник Шмулевича. В учебнике Рыбкина (стр.7) мы читаем: «дугу выражают отвлеченным числом, показывающим ее отношение к радиусу»... «Такое выражение дуги мы будем называть отвлечёнными «Отвлеченное выражение угла есть его отношение к радиану».

В учебнике Шмулевича мы читаем (стр 186): «радиальной мерой угла называется отвлеченное число, выражающее...» Далее: «радиальная мера угла есть отвлеченное число, выражающее, сколько радианов содержится в данном углу».

В учебнике Брусиловского (Курс математики для индустриальных техникумов, стр. 43) говорится: «Дуга, выраженная в радиальной мере, может равняться любому положительному или отрицательному отвлеченному числу».

Автор Шапошников не употребляет выражения «отвлеченное измерение дуг», как Рыбкин, и не говорит, что угол, измеренный в радианах, есть число отвлеченное.

Также не употребляют выражения «отвлеченное измерение» углов и дуг ни Борель, ни профессор Виноградов, ни Пржевальский, ни Крогиус, ни Гебель.

Некоторые авторы начинают изложение темы об измерении углов с установления новой для учащегося единицы измерения — радиана, другие — с положения, что радианной мерой угла может служить отношение длины его дуги к длине радиуса.

В учебниках употребляются выражения «радиальная мера», «радиальное измерение», «радианная мера» и «радианное измерение».

Одни авторы начинают систематический курс тригонометрии с радианного измерения (например Борель, Рыбкин, Виноградов), другие помещают эту главу в середине курса (например Шмулевич).

Итак, в учебной литературе вопрос о радианном измерении дуг и углов освещается различно, и это может затруднить преподавателя, особенно начинающего. Перед преподавателем возникают следующие вопросы: когда следует излагать о радианном измерении углов? Какой термин употреблять: радиальное, радианное или отвлеченное измерение углов? Точно ли выражение «величина угла, измеренного в радианах, выражается отвлеченным числом»?

Начинать ли изложение с радианной меры угла, т. е. с формул а = - и потом определять единицу нового способа измерения или, выбрав единицу измерения, показать, что радианная мера угла есть отношение длины дуги угла к радиусу?

Нам представляется методически наиболее правильным следующий путь.

О радианном измерении углов не следует говорить в самом начале систематического курса тригонометрии. На этом вопросе следует остановиться лишь после того, когда учащемуся будет дано понятие о тригонометрических функциях. В самом деле, необходимо дать учащемуся объяснение целесообразности нового для него способа измерения углов и дуг, рассказать о задаче, требующей выражения величины угла в единицах, размерность которых одинакова с размерностью тригонометрических величин.

Когда учащийся знает определение тригонометрических величин, ему выясняется значение радиуса тригонометрического круга — носителя дуг, и потому выбор дуги, равной по длине радиусу, как единицы измерения дуг, воспринимается им как нечто вполне естественное.

Выражение «радиальный способ измерения» нам представляется неправильным. Следует говорить «радианный способ измерения дуг и углов», ибо единицей измерения в данном способе служит радиан. Далее,

говоря, что радианный метод измерения углов и дуг есть отвлеченный способ измерения, мы порождаем в понятиях учащегося путаницу и ничего хорошего не получаем. Нам представляется методически более правильным удерживать наименование единицы измерения у числа, полученного вследствие измерения угла в радианах.

Следует говорить: «угол, равный 2 радианам», а не просто «угол равен 2>; угол составляет радиана, угол равен т: радианов и т. д.

С другой стороны, необходимо отметить, что величина угла, измеренного в радианах, выражается числом нулевой размерности по отношению к сантиметрам. Следует писать

/ [см j

Это необходимо подчеркнуть. Попутно отметим, что вопрос о размерности математических формул вообще следует всегда освещать с достаточной аккуратностью. Это научает учащегося глубже вникать в содержание формул, критически относиться к различного рода равенствам и предохраняет его от самых наигрубейших ошибок, которые, к сожалению, часто делает учащийся, например при составлении уравнений.

Изложение темы следует начинать с определения единицы измерения — радиана. При такой последовательности учащийся легко осваивается с новым способом измерения, не вступая в конфликт с установившимся представлением об измерении величины.

Попробуем дать примерную методическую последовательность проведения урока на данную тему.

Изложение начинается с напоминания учащемуся, что центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается. Эта краткая формулировка разбирается подробно.

Несмотря на то, что учащийся знаком с измерением углов, еще и еще раз обращаем его внимание на то, что величину можно измерять лишь величиной однородной.

Следовательно, выражение «угол измеряется дугой» говорит о том, что центральный угол, измеренный в угловых градусах, и его дуга, измеренная в дуговых градусах, численно равны.

Отмечаем, что дуговой градус зависит от радиуса круга, а угловой есть величина постоянная, а именно: ^ Доля прямого угла. Попутно здесь можно рассказать о попытках ввести десятеричную систему измерения углов.

Затем следует дать учащемуся понятие о неудобстве градусного измерения угла при изучении некоторых вопросов. Например можно рассмотреть вопрос о связи угловой и линейной скорости вращательного движения.

Далее указать на то, что нельзя пользоваться градусным измерением угла или дуги в задачах, где приходится сравнивать величину угла с его тригонометрической величиной, так как нельзя сравнивать величины различной размерности. Таким образом, учащийся понимает необходимость введения нового способа измерения дуг и углов.

Теперь перед нами встает вопрос о выборе единицы измерения, удовлетворяющей поставленной цели. Преподаватель напоминает, что тригонометрическая величина представляет собой отношение длины тригонометрических линий к длине радиуса круга — носителя дуг, т. е., другими словами, тригонометрические линии измеряются радиусами, а потому естественно за единицу измерения дуг принять дугу, равную по длине радиусу.

Наш учащийся уже освоился с тригонометрическими величинами и потому он найдет этот способ вполне естественным. Здесь, опираясь на известную учащемуся формулу длины дуги, следует отметить, что результат измерения в дуговых радианах дуги, соответствующей определенному центральному углу, не зависит от величины радиуса круга, хотя величина выбранной единицы измерения дуг, так сказать, дуговой радиан, как и дуговой градус, зависит от радиуса круга.

Помимо ссылки на формулу длины дуг полезно вызвать к доске одного-двух учащихся и предложить им начертить в окружностях различных радиусов дугу, содержащую, примерно, один дуговой радиан, дугового радиана и т. п., чтобы наглядно убедиться в этом важном факте.

Выбрав единицу измерения дуг, переходим к единице измерения углов и даем учащемуся определение радиана. Вычисляем, сколько радианов содержится в прямом углу. Отсюда делаем вывод, что радиан есть величина, не зависящая от радиуса, составляющая аналогично углу в один градус определенную часть прямого угла, а именно —. Говорим о том, что радиан не подразделяется на более мелкие меры, как градус, и что для радиана нет специального обозначения.

Как всегда при выборе новой единицы измерения следует установить ее связь с основными единицами, т. е. следует определить ее размерность. Для этого проводим следующее рассуждение.

Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается; поэтому, сколько в углу угловых радианов, столько в его дуге дуговых радианов. Вычислить, сколько в дуге дуговых радианов, очень просто; стоит только длину дуги / разделить на радиус г. Следовательно, результат измерения угла в радианах выражается числом а = — радианов и в частности при 1 — г имеет 1 = ^-.Обращаем внимание учащегося, что полученный результат имеет нулевую размерность по отношению к сантиметрам и эту мысль фиксируем посредством записи а= —I — I .

Таким образом угол, измеренный в радианах, выражается числом той же размерности, как и его тригонометрическая величина. А потому величину угла, измеренного в радианах, мы можем сравнивать с его тригонометрическими величинами.

Намеченная цель достигнута.

Наконец, остается вопрос о переходе от одной системы измерения углов и дуг к другой. Для этого берем основное соотношение, а именно, что развернутый угол содержит, с одной стороны, 180°, с другой—т: радианов, и методом приведения к единице выводим две известные формулы перехода. Затем вычисляем градусную меру радиана и радианную меру угла в 1°.

Под руководством преподавателя один из учащихся составляет на доске таблицу перевода градусной меры в радианную для часто встречающихся углов (30°, 45° и т. п.), включая в нее соотношения для угла в один радиан и для угла в один градус.

Затем делаем несколько упражнений на применение формул перехода, пользуясь непосредственно полученными формулами, а также и градусной мерой радиана и радианной мерой угла в 1°. В заключение можно познакомить учащихся с таблицей перевода градусной меры угла в радианную и наоборот, например по таблице Пржевальского.

Опыт убедил нас в целесообразности предлагаемого метода изложения. Обосновав необходимость нового метода измерения углов, не употребляя выражения «отвлеченное измерение углов и дуг», считая, что результат измерения угла в радианах есть число именованное (в единицах-радианах), заостряя внимание учащегося на размерности выбранной единицы, можно избежать тумана в уме учащегося, который получается, с одной стороны, вследствие кажущейся учащемуся необоснованной искусственности нового метода, с другой — вследствие искажения у учащегося понятия об именованном числе.

О ПОСТРОЕНИИ И РЕШЕНИИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ*

П. КОМПАНИЙЦ (Ленинград)

I. На страницах журн. «Математика в школе» поднят вопрос о некоторых изменениях в преподавании тригонометрии и о переработке стабильного учебника тригонометрии. Я тоже — за «переработку» этого учебника, но в ином направлении.

Есть очень интересная и увлекательная тема об измерении расстояний между двумя точками (о нахождении длины отрезка). В этой теме несколько переплетающихся и различным образом связанных между собой подтем: от первобытного измерения шагами, ступнями, пядями... до международной единицы меры; от первоначального понятия длины отрезка (в концентре натуральных чисел) до вектора (в концентре вещественных относительных чисел); от непосредственного измерения небольших расстояний до косвенного измерения и вычисления очень больших и очень маленьких расстояний. Человеку надо было знать не только расстояния, связанные с его

* На страницах нашего журнала уже неоднократно поднимался вопрос о наиболее целесообразном построении школьного курса тригонометрии (см. статьи: т. Сапунова в № 1 за 1935 г., т. Шевченко в № 4 и т. Матышук в б за 1936 г.). В порядке дальнейшего обсуждения этого вопроса редакция помещает в настоящем номере статьи тт. Компанийц, Крогиуса, Севастьянова и Крикунова. Редакция просит читателей присылать свои соображения по затронутым в упомянутых статьях вопросам. Высказывания и пожелания читателей будут подытожены в специальной статье.

охотой, войной, землемерием... Ему надо было знать и радиус земли, и расстояние до луны, до солнца, до звезд, и расстояние между авездами... и скорость света, и скорости движений небесных светил... Нужно было знать и маленькие расстояния: размеры атомов, электронов, микронов... длины волн световых лучей... Как важно и интересно знать высоту облаков, высоту подъема снаряда, самолета, стратостата... скорость снаряда, самолета... высоту горы, глубину моря...

Многие практические задачи, связанные с измерением расстояний между двумя точками, стимулировали развитие теории, которая потом облегчала и расширяла практику.

Из указанной темы только небольшая часть изучается в школьном курсе математики: измерение отрезков (в геометрии) и вычисление длины отрезка как стороны треугольника, определяемого некоторыми данными (в геометрии и тригонометрии). Эти два вопроса, а также и аналогичные им вопросы из интересной темы об измерении углов надо, по моему мнению, значительно полнее и лучше разработать для школьного курса математики, установив между ними более тесную связь.

II. Коснусь кратко некоторых вопросов, связанных с косвенным измерением отрезков.

Между точками В и С имеется препятствие, мешающее непосредственно измерить расстояние между ними (фиг. 1). Отрезок ВС можно рассматривать как сторону какого-то треугольника. Строится Д ЛВС, потом Д AtBtCl9 равный Д ABC, и измеряется отрезок BXCU равный отрезку ВС.

Эта задача и другие, аналогичные ей, приводят к небольшой теме «Построение треугольника, равного данному треугольнику».

На фиг. 2 указаны различные случаи построения треугольника, равного данному Д ABC.

Легко построить первую вершину, например, точку Al9 соответствующую вершине А. Выбор точки Ах или указывается особыми требованиями или совершенно произволен. Вторую вершину, например, соответствующую вершине С, можно строить в разных направлениях от точки А. Выбираем определенное направление, строим луч АХК. На этом луче ищем такую точку С±, чтобы отрезок AtCt равнялся стороне АС. Для построения третьей вершины Ви соответствующей вершине В, можно воспользоваться данными, определяющими положение вершины В относительно стороны АС.

1. Точку Bt можно искать на луче, который имеет начало в точке Ах и образует со стороной АХСХ угол А19 равный углу А.

2. Точку Вх можно искать на окружности, центр которой в точке А19 радиус же равен стороне AB.

3. Точку Bt можно искать на луче, который имеет начало в точке С± и образует со стороной AtCt угол С±9 равный углу С.

4. Точку Вх можно искать на окружности, центр которой в точке С19 радиус же равен стороне СВ.

Точек, удовлетворяющих каждому из этих четырех данных, бесчисленное множество. Поэтому каждое из этих четырех данных в отдельности недостаточно для построения искомой точки В. Сопоставим каждое из этих четырех данных с каждым из остальных при помощи наложения (хорошо воспользоваться чертежами, сделанными на стекле, на целлулоиде, на прозрачной кальке).

1 и 2. Точка Bt — общая точка определенного луча и определенной окружности, т. е. точка пересечения их. Если эту точку соединить с точкой С±9 то получится ДЛ^С^ равный данному ДЛБС. Треугольник построен по определяющим его двум сторонам и углу между ними.

1 и 3. Треугольник строится по стороне и двум прилежащим к ней углам.

1 и 4. Треугольник строится по двум сторонам и углу против большей из них.

2 и 3. Треугольник строится по двум сторонам и углу против меньшей из них.

2 и 4. Треугольник строится по трем сторонам.

Остальные случаи аналогичны указанным. На фиг. 2 помещены пять различных случаев построения треугольников, соответствующие пяти различным теоремам равенства треугольников.

Далее строятся треугольники по определенным данным и измеряются остальные элементы треугольников. Естественно, получается графический прием решения треугольников на основании теорем равенства треугольников.

Фиг. 1.

Фиг. 2.

Очень важно научить учащихся решать треугольники, пользуясь различными простейшими чертежами и приборами. Простейший чертеж (номограмма) состоит из ряда концентрических полуокружностей (фиг. 3), разделенных на равные секторы. Радиусы желательно брать через 1 мм, а секторы через 1°. Такой чертеж дает возможность легко, быстро и достаточно точно находить стороны многих треугольников, определяемых по двум

Фиг. 3.

сторонам и углу между ними. Для нахождения этой стороны хорошо пользоваться циркулем с двумя остриями.

Решим такую задачу. В треугольнике стороны 5,5 см, 5 см и угол между ними 50°. Найти третью сторону этого треугольника.

Одну ножку циркуля устанавливаем в точке горизонтального радиуса, соответствующей, одной данной стороне треугольника, например, 5,5 см. Другую ножку устанавливаем на луче, соответствующем углу в 50°, в точке, соответствующей другой стороне треугольника, равной 5 см. Получившееся расстояние между остриями циркуля определяем по делениям горизонтального радиуса. Для этого достаточно одну ножку циркуля поместить в центр, а другую на горизонтальный радиус и прочесть соответствующее число. Третья сторона оказывается равной приблизительно 4,5 см.

Чертежом 3 можно пользоваться и для решения треугольников, определяемых тремя сторонами, двумя сторонами и углом против одной из них.

Фиг. 4.

Для всех пяти случаев решения треугольников можно создать удобный прибор, схема которого указана на фиг. 4. Два транспортира укрепляются так, что расстояние между их центрами равно постоянной стороне треугольника. В центрах транспортиров укрепляются подвижные масштабные линейки. На черт. 4 указано решение треугольника по сторонам 10 и 6,5 и углу между ними 60°.

По линии АС можно сделать прорез и один из транспортиров, например правый, укрепить так, чтобы он мог передвигаться. Такой прибор будет более удобным.

Учащиеся могут изготовить небольшие приборы, например, наклеив на картон два небольших картонных транспортира и укрепив в их центрах линеечки, сделанные из миллиметровой бумаги.

Указанный прием дает возможность решать те треугольники, которые можно построить на местности, на чертеже, на приборах. Если же построить треугольник нельзя, то стараются построить треугольник, подобный рассматриваемому. Естественно, получается графический прием решения треугольников на основании теорем подобия треугольников.

Решим задачу из стабильного учебника Рыбкина (стр. 85): «Дано: а=110; 6=100; С = 50°. Найти с».

Пользуясь чертежом 3, решим подобный треугольник, у которого стороны в 20 раз меньше соответствующих сторон данного треугольника. Это будет треугольник, уже решенный в § 3. Третья сторона рассматриваемого треугольника оказывается равной при-

близительно 4,5*20, т. е. приблизительно 90. В учебнике же сторона вычисляется по теореме косинусов и получается равной приблизительно 89,21 (что мало отличается от числа, найденного графическим способом).

Не всякий треугольник можно решить графическим способом, пользуясь теоремами равенства или подобия треугольников (например, треугольник по сторонам 1 километр и 1 сантиметр и углу между ними в 35?). Нужен новый прием решения треугольников, основанный только на вычислении. Естественно приходим к тригонометрическому решению треугольников.

Приведу краткий план указанных трех этапов решения треугольников для случая решения треугольников по стороне и прилежащим к ней углам.

1. Построение треугольников по стороне и прилежащим к ней углам. Теорема равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам. Частный случай: теорема равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу. Графическое решение треугольников по стороне и прилежащим к ней углам на основании соответствующей теоремы равенства треугольников.

2. Построение треугольников по двум углам. Подобные треугольники (если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то такие треугольники называются подобными между собой). Теорема подобия треугольников по двум углам. Частный случай: теорема подобия прямоугольных треугольников по острому углу. Свойства сторон подобных треугольников:

1) Если два треугольника подобны между собой, то отношения их сходственных сторон равны между собой (если Д ABC со

2) Если два треугольника подобны между собой, то отношение двух сторон одною треугольника равно отношению сходственных им сторон другого треугольника (если Д ABC со Д i41ß1C1, то т. п.). Графическое решение треугольников по стороне и прилежащим к ней углам на основании соответствующей теоремы подобия треугольников. Сравнение двух способов графического решения треугольников: на основании теоремы равенства треугольников и на основании теоремы подобия треугольников. Ошибки графических способов решения треугольников: инструментальные, масштабные, личные.

3. Отношение двух сторон треугольника есть величина постоянная для отношения сходственных сторон во всех треугольниках, подобных данному. Отношение двух сторон треугольника есть величина, зависимая (функция) от двух углов треугольника. Каждым двум углам, сумма которых меньше 180°, соответствуют шесть определенных чисел как отношений сторон треугольника с данными углами. Вычисление графическим путем для некоторых пар углов соответствующих им шести чисел и решение некоторых треугольников, уже не применяя построения и измерения.

Отношение двух сторон прямоугольного треугольника есть величина, зависимая (функция) от одного острого угла этого треугольника. Каждому острому углу соответствуют шесть определенных чисел как отношений сторон прямоугольного треугольника с этим углом (черт. 5). Вычисление графическим способом для некоторых углов соответствующих им шести чисел. Шесть тригонометрических функций острого угла и таблица значений их. Тригонометрическое решение прямоугольных треугольников.

Теорема синусов (фиг. 6), выведенная отдельно для треугольников прямоугольного, остроугольного и тупоугольного (практически ведь приходится пользоваться этими тремя формулами в зависимости от данных углов). Тригонометрическое решение треугольников по стороне и прилежащим к ней углам.

Аналогичные три этапа будут и для решения треугольников по двум сторонам и углу между ними. На третьем этапе выводится

Фиг. 5.

теорема косинусов (фиг. 7) для треугольников трех видов в зависимости от углов. (В среднем столбце фиг. 7 рассматривается сторона, лежащая против острого угла в треугольниках остроугольном, тупоугольном и прямоугольном.)

Теоремы синусов и косинусов дают возможность решать все треугольники, определяемые различными основными элементами. Необходимо обратить внимание на то, что для тригонометрического решения косоугольных треугольников нет необходимости в знании тригонометрических функций прямого и тупого углов, а тем более любых углов.

В дальнейшем выводятся и другие формулы решения треугольников и, наконец, формулы, удобные для логарифмических вычислений.

После изучения тригонометрии как части математики, занимающейся решением треугольников, изучается гониометрия (тригонометрические функции любых углов и тригонометрические уравнения).

При изучении тригонометрических функций очень важным этапом является расширение понятия тригонометрических функций для любых углов (прямого, тупого, развернутого? нулевого, вогнутого, полного, любого угла).

Полезной подготовкой для этого расширения может быть графическое изучение изменения одной из сторон треугольников в зависимости от изменения противолежащего ей угла этого треугольника.

Рассмотрим, например, треугольники на фиг. 8 (черт. 1 и 2). У этих треугольников стороны 10 и 6,5, а угол между этими сторонами переменный: 30°, 60°, 90°, 120°, 150°. Начертим отрезочный график изменения стороны а в зависимости от угла (фиг. 8, черт. 3). Непрерывному изменению угла соответствует непрерывная кривая (фиг. 8, черт. 4) без начала, лежащего на вертикальной оси а, и без конца, лежащего над точкой горизонтальной оси, помеченной числом 180°.

Указанную задачу изменения стороны треугольника можно рассматривать как часть более общей задачи. Дана окружность с радиусом 65 и точка С на расстоянии 10 от центра окружности А. По этой окружности движется другая точка Как изменяется расстояние движущейся точки В от неподвижной точки С в зависимости от угла, образованного подвижным радиусом, соответствующим точке Б, и прямой, проходящей через данные точки А и С (фиг. 8, 14 от-

Фиг. 6.

Фиг. 7.

дельных окружностей и пятнадцатая окружность, объединяющая их)? Точка В, двигаясь по окружности, может сделать один полный оборот, два оборота . . . сколько угодно оборотов против стрелки часов и по стрелке часов. Расстояния точки В от неподвижной точки С периодически повторяются. Графиком этих расстояний будет периодическая кривая, не ограниченная в обе стороны от вертикальной оси а (фиг. 8, черт. 7). Переменная сторона а рассматриваемых треугольников и переменное расстояние подвижной точки выражаются для соответствующих острых, прямого и тупых углов тремя видами формул теоремы косинусов (фиг. 7). Естественно возникает желание обобщить теорему косинусов. Для этого необходимо расширить понятие косинуса для прямого и тупых углов. После этого легко расширяется понятие косинуса и для любых углов.

Полученной периодической кривой соответствует формула:

а2= 102 + 6,52 — 2-10-6,5.cos а.

Этой же формуле соответствует не только полученная кривая, но и кривая, симметричная ей относительно горизонтальной оси, так как каждому значению угла соответствуют два симметричных значения переменной а (фиг. 8, черт. 8).

Важно обратить внимание на то, что графики, указанные на черт. 3, 4 и 7 фиг. 8, могут быть построены, пользуясь графическим решением соответствующих задач, не зная формул. Можно построить соответствующие приборы, дающие возможность узнавать значения переменной а при движении точки В по окружности. Кривая на черт. 7, фиг. 8 может быть хорошим примером простейшей эмпирической периодической кривой.

При создании курса тригонометрии (а также и курса любого отдела математики) возможны различные системы изложения. Надо создать различные систематические курсы или хотя бы подробные проспекты их и выбрать из них наилучший для школы. Обычно же, говоря о систематическом курсе, имеют в виду традиционный догматический курс.

Создавая систематический курс, надо учитывать, что школьный курс не может быть строго логическим (например, доказывают, что диагонали параллелограма делятся пополам, а не доказывают, что эти диагонали пересекаются. А многие ли докажут это?) Поэтому большая часть предложений курса может излагаться опытно-интуитивным путем, небольшая же часть принципиально важных предложений должна быть доказана логически, пользуясь полученными тем или иным способом предложениями.

Фиг. 8.

Физика, оборонное дело, решение практических и математических задач значительно выиграют, если, не гоняясь за мнимой строгостью, дать учащимся систематический опытно-интуитивный курс решения треугольников значительно богаче и раньше.

О КОНЦЕНТРИЧНОСТИ КУРСА ТРИГОНОМЕТРИИ

В. КРОГИУС (Москва)

На страницах журнала поднят вопрос о концентричности изучения тригонометрии. Считаю необходимым высказаться по этому вопросу.

Начну с рассмотрения тех доводов, которые приведены в заметке т. Шевченко. В начале заметки т. Шевченко приведен ряд суждений, никак не обоснованных, как-то: «непедагогичность такого порядка изучения», «первый концентр ни в коем случае нельзя назвать педагогически выдержанным», «левацкое экспериментирование в вопросах методики преподавания математики».

Для того, чтобы говорить о педагогической выдержанности или невыдержанности курса, нужно подробно выяснить, как он построен. Что касается экспериментирования в вопросах преподавания математики, то следует заметить, что методика — наука, которая должна результаты своих построений проверять на опыте и поэтому экспериментирование в вопросах обучения и преподавания математики вполне законно: без неге нельзя обойтись. Почему же это экспериментирование называть левацким? В отношении разделения тригонометрии на два концентра эксперимент уже произведен в колоссальном размере. В течение уже очень многих лет тригонометрия преподается в два концентра.

Впрочем все эти положения т. Шевченко не обосновывает и поэтому их нет надобности опровергать, а следует просто отбросить.

Тов. Шевченко ошибается, утверждая, что «программы и учебный план построены таким образом, что даже решение косоугольных треугольников (по теореме синусов и косинусов) входит в первый концентр». (Справьтесь, т. Шевченко!).

Но дальше т. Шевченко приводит доводы; он соглашается, что «пособить физике — дело похвальное, но не вызывается острой необходимостью. Можно начинать курс физики так, чтобы обходиться без знания основ тригонометрии».

Нельзя не согласиться с тем, что сделать это можно; но чтобы это было хорошо,— с этим уже никак согласиться нельзя. Математика является основой для целого ряда наук (физика, астрономия и др.); преподавать их, не пользуясь математикой, нецелесообразно. Если только есть возможность, надо построить курсы математики и физики так, чтобы преподаватель физики мог пользоваться теми математическими понятиями, которые по существу связаны с изучаемым в курсе физики материалом. Очень жаль, если преподавателю физики приходится обходить эти понятия или вводить их беглыми разъяснениями (беглыми, потому что у преподавателя физики нет для этого времени, а иногда и желания; кроме того, он не считает это своей обязанностью).

Едва ли правильно считать разделение тригонометрии на два концентра «сугубо историческим». Хотя у египтян в некоторых исключительных случаях встречается отношение сторон прямоугольного треугольника (катета и гипотенузы), получившее даже определенное наименование, но тригонометрия стала развиваться, только начиная с Гипарха, и это была тригонометрия сферическая. Она оперировала не со значениями отношений сторон прямоугольного треугольника, а со значениями хорд, соответствующих данным дугам. Индусы перешли к таблицам полухорд (Ариобхатта, 476 г. н. э.), но только Ретикус определяет впервые тригонометрические функции из прямоугольного треугольника (1514—1574) однако, и то не как отношение сторон, а как длину сторон при одной заданной стороне, равной 107. Это он делает следующим образом. Если АВ=\07у то С В синус угла А, АС — косинус. Если ЛС=107, то С В — тангенс угла Аи AB — секанс. Если ВС = 107, то АС — котангенс угла А, AB— косеканс. Собственно отношения сторон еще нет. Только Эйлер, повидимому, понимает тригонометрические функции как отношения, хотя и не дает такого определения. Первый, кто определил их таким образом был, повидимому, Симон Клюгель (1739—1812). Из приведенных фактов ясно, что говорить о «сугубой историчности» первого концентра потому, что «дескать тригонометрия зародилась именно вот так» — едва ли основательно.

Вслед за этими «доводами» приводятся соображения о переходе от первого концентра ко второму. Не буду рассматривать в даль-

Черт. 1.

нейшем соображения т. Шевченко, которые иногда совершенно непонятны. Что значит например: «лучше ли забираться в глубокие дебри от частного к общему, расплачиваясь за спешку к практицизму и историчность»? Лучше, чем что? Что это за «дебри от частного к общему», да еще «глубокие»? Почему и чем «расплачиваясь»?

Я полагаю, что обучение должно быть построено так, чтобы новые понятия были связаны с ранее изученными, чтобы после изучения одних понятий естественным путем возникали другие—новые для учащихся; чтобы вновь вводимые понятия ассоциировались с ранее изученными. Кроме того, я полагаю, что переход от частного к общему есть совершенно естественный ход обучения. Если ставить вопрос об обнаружении, об открытии нового положения, то путь индукции, путь перехода от частного к общему является часто наилучшим, в особенности для начинающего.

Есть другое, не приведенное т. Шевченко, возражение против разделения курса тригонометрии на два концентра. Оно заключается в том, что учащийся, запомнив сначала определение тригонометрической функции для остр .го угла, как отношения сторон прямоугольного треугольника, должен затем перейти к более общему определению тригонометрической функции. Часто бывает, что учащийся, овладев первым определением, не усвоил второго. Учащийся должен, как говорят защитники этого довода, «переучиваться». В действительности не переучиваться он должен, а должен усвоить более общее определение, появляющееся естественным образом из первого при изучении тригонометрической функции. Совершенно то же происходит при всяком расширении понятия, например при расширении понятия числа. Приведем хотя бы то, что учащемуся, привыкшему, что произведение всегда больше множимого, приходится усвоить другое положение. Этот процесс расширения понятия характерен для математики. Изучение математики невозможно без того, чтобы учащийся не освоился с этим процессом.

Но против того изложения, которое приведено в стабильном учебнике, нельзя не возражать. Оно, как известно, начинается так: тригонометрические функции следующие. Они имеют следующие обозначения. Линией синуса называется то-то, а синусом и т. д. Таким образом, это обучение построено по образцу: «я тебе скажу (или напишу, продиктую, напечатаю), что есть объекты, которые называются так-то, а объекты эти вот какие, а ты вот выучи». Что же иного делать с таким изложением? Никакой связи с предыдущим, никаких указаний на то, какими соображениями вызвано введение этих понятий, с какими из ранее изученных вопросов оно ассоциируется, нет. Вот это действительно непедагогическое обучение. Оно остается таковым независимо от того, будут ли эти определения общими или они будут даны только для острого угла. По поводу этих определений, введенных у Рыбкина, можно только недоумевать, почему они даны сначала только для острого угла.

Как же следует строить курс тригонометрии, если разделить его на два концентра, и какие доводы можно привести в пользу его концентричности?

Заметим сначала, что при практическом изучении функции двух переменных выгодно бывает сделать одно из них постоянным и изучать функцию одного переменного. Рассматривая подобные треугольники (последняя тема по геометрии, которая изучается перед тригонометрией), мы получаем для них пропорцию г-=— , т. е. отношение сходственных сторон подобных многоугольников постоянно. Но если брать не подобные, а какие угодно треугольники, то отношение для них различно, оно есть функция углов треугольника, т. е, функция двух переменных. Поэтому для изучения этой функции сделаем сначала один из углов постоянным. Какое же значение дать этому постоянному углу? Конечно проще всего выбрать его прямым. Итак, будем изучать отношение сторон прямоугольного треугольника как функцию одного из острых углов его. Отсюда первый концентр.

Каждую из получающихся таким образом функций (синус, косинус, тангенс) следует не только определить, но также «изучить»: рассмотреть, возрастает ли она или убывает, равномерно или неравномерно. (Функции, секанс, косеканс, котангенс рассматривать не стоит: каждая из этих функций получает значения, обратные значениям одной из ранее введенных функций. Проще всего назвать —-—-,--, -—— новыми наименованиями косеканс, секанс, котангенс, и не вводить для них никаких линий или графических изображений.) Попутно обнаруживается, что знание значений синуса, косинуса, тангенса дает возможность решать прямоугольные треугольники.

Если действительно провести исследование этих функций, проследить, как они изменяются, то совершенно естественно возникает графическое изображение отношения одного или другого катета к гипотенузе (гипотенузу AB, конечно, естественнее всего взять равной единице) и отношения одного катета к другому (второй катет АО взять равным единице). Тогда СВ, АС и DE будут служить графическими изображениями синуса, косинуса и тангенса угла Л. Поэтому их можно назвать линиями синуса, косинуса и тангенса. Затем остается только формулировать, что называется тригонометрическими линиями, взять отношение их к радиусу, обобщить это определение для всевозможных углов, и мы переходим ко второму концентру. Размеры заметки не позволяют подробнее развить вопрос о том, как провести этот план при обучении. Я сделал попытку провести этот план в моем учебнике тригонометрии 1932 г.

Каковы же выгоды такого изучения?

Курс тригонометрии естественно увязывается с курсом геометрии и является сначала развитием и углублением тех вопросов, которые изучались непосредственно перед этим. (Подобие многоугольников и в частности треугольников.)

При таком построении курса нет ни одного понятия, которое появилось бы неподготовленным. Каждое новое понятие вводится, когда в нем возникает потребность. Весь путь изучения легко мотивируется. Это способствует в высокой степени поднятию активности и интереса, прочно укрепляет в памяти приобретаемые сведения. Чрезвычайно просто и рано получаемые практические приложения и обширный круг задач также значительно повышают интерес и способствуют запоминанию изучаемого материала.

Нельзя думать, что это расположение материала «уменьшает баланс времени». То, что каждый шаг мотивирован, дает возможность учащемуся и легче, и с меньшей затратой времени, и более прочно усваивать изучаемое.

В подтверждение того, что такое распределение материала выгоднее, чем традиционное, можно отметить, что в дореволюционное время, когда тригонометрия не разделялась на два концентра, она считалась одним из наиболее скучных и трудных отделов математики.

Вместе с т. Шевченко я думаю, что стабильный учебник должен быть переработан. Но, по моему мнению, эта переработка должна быть такова, чтобы в учебнике было явно и хорошо проведено разделение тригонометрии на два концентра.

Черт. 2.

ПОСТРОЕНИЕ ШКОЛЬНОГО КУРСА ТРИГОНОМЕТРИИ

П. СЕВАСТЬЯНОВ (Воронеж)

На страницах журнала «Математика и физика в школе» по вопросу о построении школьного курса тригонометрии высказаны две противоположные точки зрения; вопрос приобрел дискуссионный характер, вот почему необходимо более детальное его рассмотрение.

Вопрос о построении курса тригонометра затронутый указанными авторами, ставит два основных вопроса:

а) с чего начинать изучение тригонометрии: с рассмотрения тригонометрических функций, как отношения соответствующих сторон прямоугольного треугольника, или с рассмотрения тригонометрических линий в круге;

б) нужен ли в школе пропедевтический курс тригонометрии.

Причинами, вызвавшими концентрическое построение школьного курса тригонометрии, т. е. такого, когда изучение тригонометрических функций, как отношений соответствующих сторон прямоугольного треугольника, составляет первый законченный круг тригонометрии, т. Шевченко считает: «левацкое экспериментирование в вопросах методики преподавания математики и желание как можно раньше применять тригонометрию к решению задач прикладного характера и, в частности, пособить физике» и желание преподавателей следовать историческому пути развития самой тригонометрии».

Эти причины далеко не достаточны и не вскрывают в достаточной полноте сущности поставленной проблемы. Вопрос о построении курса тригонометрии имеет за собой большую историю в иностранной и русской методической литературе.

В русской средней школе до 60-х годов XIX столетия учебники до тригонометрии строились, исходя из рассмотрения тригонометрических линий в круге. В 1851 г. в Бюллетене Академии наук был напечатан академиком Остроградским краткий очерк курса прямолинейной тригонометрии для преподавания в военно-учебных заведениях, в котором предлагалось начинать изучение тригонометрических функций с прямоугольного треугольника. По указаниям Остроградского был составлен Симашко учебник тригонометрии!, изданный в 1852 г.

В 80-х годах отказались от построения школьного курса тригонометрии, начинающегося не с круга, а с прямоугольного треугольника; в начале XX столетия стало снова очень популярным построение курса тригонометрии, начинающегося с прямоугольного треугольника. Известные методисты Симон, Литцман, Юнг советуют начинать курс тригонометрии с рассмотрения прямоугольных треугольников; в энциклопедии математики Вебера и Вельтштейна изложение тригонометрии начинается с треугольника; таким образом не только в методической литературе, но и в научных курсах применяется построение курса тригонометрии, начинающегося с рассмотрения прямоугольного треугольника.

Мотивы, которыми обосновывается построение школьного курса тригонометрии, начинающегося с прямоугольного треугольника, будут следующие:

1) Достигается конкретность и естественность построения курса тем, что устанавливается тесная связь тригонометрии с учением о подобии треугольников. Переход к изучению тригонометрии является дальнейшим развитием геометрических положений, раскрывающих взаимоотношения между углами и линейными элементами треугольника.

2) В педагогическом отношении будет более правильным итти от известного о подобии треугольников к установлению тригонометрических функций, чем от общего учения о функциях к тригонометрическим функциям, к их узкому приложению — решению треугольников. Обобщения естественны в конце, на базе конкретных фактов; обобщения должны являться дальнейшей ступенью в углублении и расширении математических знаний.

3) С самого начала закладывается твердое понятие о тригонометрических функциях, как об отвлеченных числах; тригонометрические линии в круге впоследствии выступают как графические иллюстрации тригонометрических функций.

4) С самого начала курса тригонометрии имеется возможность прилагать тригонометрические сведения к решению практических вопросов и тем возбуждать в учащихся интерес к тригонометрии, сообщать тригонометрии политехнический характер.

Возражения, которые приводились в методической литературе против построения курса тригонометрии, начинающегося с рассмотрения прямоугольного треугольника, довольно похожи на возражения т. Шевченко. Они сводятся к следующему:

1) Курс собственно тригонометрии нельзя изложить строго логично помимо гониометрии, а поэтому начинать изложение тригонометрии с прямоугольного треугольника недостаточно строго-научно.

2) При таком построении курса тригонометрии приходится по существу давать два определения тригонометрических функций — для острого угла и для любых углов, что создает излишнюю путаницу в представлениях учащихся, излишнюю трату времени.

3) Курс тригонометрии становится слишком узко-практическим, вследствие чего учащиеся не подготовляются в достаточной степени к восприятию тригонометрических функций как функций числа вообще, что является необходимым понятием для высшей математики.

Тов. Шевченко критически рассматривает и те пути, которые, по его мнению, имеют место в практической работе при преодолении трудностей, неизбежно возникающих при построении курса тригонометрии, начинающегося с прямоугольного треугольника.

Нельзя сказать, что пути, указанные т. Шевченко, являются исчерпывающими. Вполне возможным и понятным для учащихся может быть такой переход от функций острого угла к функциям любых углов. Чертится прямоугольный треугольник; вершина острого угла принимается за центр, а гипотенуза— за радиус окружности; наш треугольник окажется внутри окружности. Продолжаем катет, прилежащий к центральному углу, до пересечения с окружностью и даем определения тригонометрических линий и тригонометрических функций синуса и косинуса, подчеркивая аналогичные черты с

ранее данным определением в прямоугольном треугольнике функций синуса и косинуса.

Ставится ряд вопросов, устанавливающих, что при определении синуса и косинуса мы берем отношение линии синуса, косинуса к радиусу; возникает потребность и при определении тангенса делить противолежащий острому углу катет на радиус. Из чертежа устанавливается, что для того, чтобы прилежащий к острому углу катет был равен радиусу, надо построить новый прямоугольный треугольник, подобный данному, с вершиной прямого угла в конечной точке радиуса— катета, тогда второй катет будет касательной, а гипотенуза — продолжением подвижного радиуса. В дальнейшем, исходя из потребностей делать знаменатель отношения определяемых тригонометрических функций равным радиусу, можно путем наводящих вопросов добиться у учащихся сознания необходимости рассмотрения соответствующих треугольников и вывести понятия о всех тригонометрических линиях и функциях. После этой работы к рассмотрению тригонометрических функций любых углов можно перейти обычным путем.

Таким образом понятие о тригонометрических функциях, данное из рассмотрения соответствующих сторон прямоугольного треугольника, имея за собой положительный факт естественной связи с учением: о подобии треугольников, легко может быть поставлено в общую связь с учением о тригонометрических функциях любых углов. В «Диалектике природы» Энгельс, говоря о тригонометрии, писал: «После того, как синтетическая геометрия рассмотрела свойства треугольника в себе и до конца исчерпала их, открывается более широкий горизонт, т. е. очень простой, вполне диалектический способ. Треугольник рассматривается уже не в себе и для себя, а в связи с некоторой другой фигурой — кругом. Каждый прямоугольный треугольник можно рассматривать как принадлежность некоторого круга: если гипотенуза равняется «г», то катеты — это синус и косинус; если один катет равняется «г», то другой катет равняется тангенсу, а гипотенуза равняется секансу».

Исходя из прямоугольного треугольника при построении курса тригонометрии, мы следуем пути, указанному Энгельсом, исчерпав свойства прямоугольного треугольника в себе, мы в сочетании треугольника с кругом открываем новые его свойства; так «развивается совершенно новая, далеко превосходящая старую, теория треугольника» (Энгельс).

Таким образом «дебри от частного к общему» не являются уж такими дебрями, в которых можно только заблудиться. Начиная курс тригонометрии с рассмотрения отношений соответствующих сторон прямоугольного треугольника, вполне возможно построить строго научный курс тригонометрии, как это показывает курс тригонометрии в энциклопедии математики Вебера и Вельштейна; курс, который будет тесно связан с знаниями учащихся о подобии фигур, в котором будет с самого начала увязана тригонометрическая теория с практикой решения соответствующих жизненных задач.

Окончательный вывод надо сделать такой: курс тригонометрии в средней школе необходимо начинать с рассмотрения соответствующих отношений сторон прямоугольного треугольника; это не будет совершенно изолированным концентром тригонометрии, а будет первым разделом тригонометрии, изучающим тригонометрические функции остро» го угла.

Вопрос о пропедевтическом курсе тригонометрии не раз ставился в программах нашей средней школы, различных стран Западной Европы и в педагогической литературе.

Из иностранных школ особую пристрастность к концентрическому построению программы по математике вообще имеет французская школа. Пропедевтический курс тригонометрии во французской школе включается в программу второго класса (десятый класс нашей средней школы) в тему о подобии фигур и ограничивается следующим замечанием: «Определение синуса и косинуса углов от 0 до 180°».

Программы по тригонометрии в советской средней школе все время имели пропедевтический курс; этот пропедевтический курс тригонометрии включался в программу геометрии. Вопрос о необходимости пропедевтического курса тригономегрии в педагогической литературе ставился давно. В учебнике геометрии Райтмана (1907) впервые в русской методической литературе сделана была попытка органического слияния пропедевтического курса тригонометрии с геометрией; то же делает Шохор-Троцкий в своей «Геометрии на задачах»; на том же настаивал и Грузинцев в своем докладе на 2-м съезде математиков в 1913 г. По докладу Грузинцева члены съезда высказались за желательность введения пропедевтического курса тригонометрии и считали необходимым изучение в пропедевтическом курсе тригонометрии одной только функции или

синуса или косинуса, или трех первых функций.

В иностранной методической литературе ряд учебников по геометрии включали элементы тригонометрии, напр., Holzmüller, Martin und Schmidt, Walther, Andoyer, Borel, Houston and Kennedy, Eggar и др. На международном конгрессе математиков предполагалось поставить вопрос: что сделано в различных странах для объединения плоской геометрии с тригонометрией («Математическое образование», 1914, № 1).

В стабильных программах издания 1935 г. пропедевтический курс тригонометрии включен в тему «Пропорциональные отрезки и подобие фигур». Вследствие противоречия с стабильным учебником, в котором нет пропедевтического курса, на практике создаются очень большие трудности, приводящие к извращению самого смысла введения пропедевтического курса тригонометрии. Но не только несогласованность программы и стабильного учебника вредит делу, но в самой программе пропедевтический курс тригонометрии носит изолированный характер. Тригонометрические сведения, данные в теме о подобии фигур, в дальнейшем изложении не используются ни в тексте программы, ни в учебнике и задачнике по геометрии. Эти сведения частично используются в физике при решении вопросов, связанных с определением произведенной телом работы.

Таким образом пропедевтический курс тригонометрии в стабильных программах оказался эпизодическим, оторванным от общего изложения курса геометрии и самой тригонометрии; отсюда следует, что стабильные программы вопрос о пропедевтическом курсе тригонометрии разрешили неудачно. И получается на практике, что отдельные учителя ограничиваются только введением понятий о первых трех-четырех тригонометрических функциях, другие изучают по стабильному учебнику Рыбкина тригонометрические функции острого угла, третьи совсем опускают пропедевтический курс тригонометрии, считая его проработку бесполезной тратой времени.

Такой пропедевтический курс тригонометрии, который дан в стабильной программе, не нужен в школе. Преподаватели физики в случае нужды сами могут дать необходимые тригонометрические понятия. Но и вообще пропедевтический курс тригонометрии не следует вводить в курс математики средней школы. Тригонометрия в средней школе прорабатывается в старших классах, где учащиеся достаточно математически подготовлены к восприятию систематического курса. Пропедевтический курс тригонометрии, включенный в программу геометрии, опирается на идеи фузионизма, выдвинутые в конце XIX и в начале XX столетия реформистским течением в математике. В крайних своих выражениях эта фузионистическая точка зрения привела Юнга к отрицанию тригонометрии, как самостоятельного раздела в школьном курсе математики, к распределению содержания тригонометрии между алгеброй и геометрией (Юнг, «Как преподавать математику», стр. 203, издание третье, 1924).

Систематический курс тригонометрии в фузионистических идеях не нуждается.

Естественная связь тригонометрии с геометрией выражается в решении различных геометрических задач.

Средней школе нужен систематический курс тригонометрии, но такой курс, который бы находился в связи с накопленными знаниями из геометрии, а это лучше достигается в построении1 курса тригонометрии, начинающегося с рассмотрения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике, а не в круге. Что такой курс тригонометрии построить можно, об этом говорят имеющиеся у нас учебники тригонометрии, как, напр., Крогиуса, Шмулевича, Бронштейна, и др. Эти учебники, конечно, нуждаются в большой доработке, чтобы стать учебниками советской школы, но общий путь их построения будет правильным.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

НЕДОСТАТКИ СТАБИЛЬНОГО «УЧЕБНИКА ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ТРИГОНОМЕТРИИ» Н. РЫБКИНА

К. ШЕВЧЕНКО (Днепропетровск)

Всякий учебник должен быть построен таким образом, чтобы то, что преподаватель излагает в классе, в такой же последовательности было изложено в учебнике, дабы учащийся мог учить материал параграф за параграфом. В этом отношении автор учебника должен удовлетворять взглядам большинства преподавателей, а не наоборот. В учебнике все должно быть объяснено просто, с достаточной полнотой и в логической последовательности, без скачков и возвращения назад. В то же время не следует помещать в учебнике материал, который, не будучи необходимым, представляет для учащихся большие трудности. Этим принципиальным положениям учебник Рыбкина не удовлетворяет.

Самым важным и ответственным моментом в изложении тригонометрии является гониометрия и, в частности, понятие о тригонометрических функциях и их линиях: определения тригонометрических линий (и функций), их построение, знаки, изменение, периодичность, графики, построение угла по заданному значению функции. Неудовлетворительное изложение этих разделов, а главное—непоследовательность расположения материала обесценивает учебник Рыбкина и делает его, по глубокому убеждению многих опытных преподавателей, неподходящим в качестве стабильного учебника.

Сначала остановимся на первых, главных разделах учебника Рыбкина (§ 4—49, издание 12-е, переработанное), затем изложим наиболее простой, последовательный и приемлемый для учащихся порядок расположения материала (это поможет разобраться в непоследовательности учебника Рыбкина), а затем разберем некоторые отдельные параграфы.

В одном параграфе (§ 5) даются определения сразу всех шести тригонометрических линий (и функций). Такое нагромождение явно непедагогично, ибо учащемуся трудно запомнить сразу все шесть линий; кроме того, он еще не знает, зачем ему нужны эти линии, а тут еще и какие-то функции (отношения линий к радиусу). Изучение тригонометрических функций в два приема — сначала функций острых углов (§4—22), а затем тупых и «сверхтупых» углов (§ 23—32) эту трудность не облегчает.

Эти «два приема» изучения тригонометрических функций с ненужным «вклиниванием» сюда (§ 17) зависимостей между функциями дополнительных углов и решения прямоугольных треугольников (§ 20—22) в сильнейшей степени нарушает стройность и систематичность изучения гониометрии, окупаясь всего лишь возможностью именно здесь (а не немного дальше) показать решение прямоугольных треугольников*.

Не желая вводить понятия «единичный радиус» (R = 1), боясь, очевидно, вызвать у учащихся мысль, что тригонометрия излагается применительно к частному случаю (опасение безосновательное, если растолковать учащимся удобство единичного радиуса), Рыбкин тем самым усложнил дальнейшее“ изложение гониометрии. В самом деле: при геометрическом выводе формул для перехода от тригонометрических линий к функциям (отношениям) ему приходится прибегать к делению всех членов равенства на R или даже на Я2. Напр.:

Вследствие этого усложняются записи (дробные выражения вместо целых, «четырехэтажные» дроби вместо нормальных), напр. в § 9, 10, 12, 27, 50.

Всех указанных крупнейших недостатков легко избежать, если придерживаться такого порядка изложения:

1) начинать гониометрию с тригонометрической окружности, наперед разъяснив, зачем ее радиус принимается равным единице, и что этим ограничением общность рассуждений не нарушается; этим самым исключается необходимость усложнять выкладки, и, что особенно удобно, абсолютная (и относительная) величина функции равна величине ее линии;

2) дать определение линии синуса (построив четыре линии синусов углов, оканчивающихся в I, II, III и IV четвертях), затем —синуса (отношение линии синуса к радиусу), обозначение синуса, знаки, изменение синуса при изменении угла от 0 до 360°; затем в таком же порядке идут косинус, тангенс, секанс (так удобнее, потому что, имея знакомую уже линию тангенса, не нужно строить линию секанса,—она уже имеется), котангенс и косеканс;

3) дать теорему о зависимости тригонометрических линий от радиуса и угла и теорему о независимости тригонометрических функций от радиуса;

* Заметим к слову, что этой цели можно достигнуть и без этих «двух приемов», о чем будет сказано дальше.

4) познакомить с периодичностью тригонометрических функций и графиками синуса, косинуса, тангенса и котангенса;

5) решить задачи на построение угла по заданному значению функции;

6) изложить формулы, связывающие функции одного и того же угла;

7) дать решение прямоугольных треугольников помощью таблиц значений тригонометрических функций, по формулам а — с »sin А = с. cos В, a — b-tgA = b-ctgB и т. д.

8) далее — формулы приведения и все дальнейшее в обычном порядке, как и у Рыбкина.

* * *

Теперь остановимся на некоторых деталях учебника Рыбкина, следуя порядку параграфов.

§ 2 изложен слишком лаконично. Понятие о функции столь важно, что на нем следует задержаться дольше, несмотря на то, что об этом учащиеся знают из предыдущего курса математики. Определение функции («переменная величина, значения которой соответствуют значениям другой переменной величины») не вполне удовлетворительно. Кроме того, отсутствует общее понятие об обратных функциях, а ведь следовало бы исподволь подготовить учащихся к восприятию трудно дающегося понятия об обратных круговых функциях (§ 48).

§ 3. Радианное измерение углов и дуг изложено не весьма понятно и четко.

§ 4. Отсутствуют полные названия (в латинской транскрипции) тригонометрических функций.

§ 14. Формулы tg2 a + 1 = sin2a И ctg2a + 1 = = cosec2a проще вывести геометрически.

§ 15. Не упоминается о таких важных и типичных применениях формул, связывающих тригонометрические функции одного и того же угла, как доказательство тригонометрических тождеств, решение равенств относительно какой-либо тригонометрической функции, упрощение тригонометрических выражений.

§ 17. Нет надобности отрывать приведение тригонометрических функций угла ^0°—а от систематического отдела «Формулы приведения» (§ 30) только ради того, чтобы в § 21 доказать, что в прямоугольном треугольнике sin А = cos В и sin В = cos А. Это можно доказать и без свойства тригонометрических функций дополнительных углов, — чисто геометрически.

§ 22. Этот параграф скомкан и, главное, в нем недостает еще двух случаев решения прямоугольных треугольников.

§ 25. Правило ориентировки в знаках практически неудобно, вызывая необходимость каждый раз воображать положение линий угла I четверти.

§ 30. Правило приведения несколько туманно в своей первой части; вторая часть требует геометрического представления, что практически неудобно.

§ 32. Этот параграф следовало назвать «Тригонометрические уравнения» и перенести его в отдел VI (§ 66 и 67)*. Как в § 32, так и в отделе VT для отыскания второго значения аргумента (угла) более понятен учащимся геометрический способ, а не пользование правилом приведения.

§ 34. Правило для приведения тригонометрических функций отрицательного аргумента нечетко изложено и неполно.

§ 35. Этот материал (о периодичности) отодвинут слишком далеко, его следует давать перед формулами приведения.

§ 46. О самих графиках сказано по существу очень мало.

§ 48. Обратные круговые функции согласно программе НКП отнесены к концу тригонометрии (после решения косоугольных треугольников). Первые четыре абзаца следовало дать раньше (в § 2), а здесь ограничиться напоминанием определения обратной функции. Объяснение границ изменений аркусов сжато и не снабжено пояснительными чертежами. Совершенно отсутствуют всякие формулы и задачи.

§ 50—58. Вывод формул следует предварять вступительным пояснением о смысле и значении формул. В § 50 дает себя ощутительно чувствовать неудобство неединичного радиуса. Формулы для sin(a+ß) и cos (а + ß) проще получаются путем решения прямоугольных треугольников (по § 20 и 21), чем помощью пропорций, что, по сути дела, конечно, одно и то же.

В § 58 рациональные выражения для tg — проще получить из формулы XII § 56, избавляясь от иррациональности сперва в знаменателе, а затем в числителе.

§ 60. При таком выводе формул XIIJ—XVI учащемуся непонятно, какое имеет он право допустить, что а = х+у и $ = х — у, ибо автор не дает доказательства, что ß равно разности тех же самых х и z,

§ 85. Лемма не расширена на случай прямого угла, что было бы полезно сделать в целях обобщения, к чему следует учащихся всячески приучать.

§ 89. То же замечание, что и к § 85.

§ 90. Отсутствуют случаи решения косоугольных треугольников: по двум сторонам и углу против большей из них (по теореме синусов) и по трем сторонам (по теореме косинусов). Вообще же решение косоугольных треугольников помощью таблиц натуральных значений тригонометрических функций (пропедевтический метод) излишне, ибо для физики достаточно уметь решать прямоугольные треугольники. Излишне также решение треугольников и помощью четырехзначных таблиц (§ 74 и 96). Это — вредный параллелизм и трата времени.

Кроме того к недостаткам учебника нужно отнести:

1) отсутствие расширения понятия об угле и дуге, что следовало поместить перед § 3;

2) отсутствие разделения «угловой радиан» и «дуговой радиан» (§ 3);

3) отсутствие ударения на столь важной попарности тригонометрических функций по знакам и взаимной обратности их величин (sin — cosec, cos — sec, tg — ctg) и по пределам изменений (sin — cos, tg-ctg, sec — cosec);

4) отсутствие «предварительных замечаний», главным образом это важно к § 12, 30 и к главе IV;

* А этот отдел освободить от формул общего вида, что следует дать в виде последнего отдела тригонометрии (после аркусов).

б) отсутствие часто удобных добавочных формул: tg о- COS о — sin а и Ctg a -sin а = cosa;

6) отсутствие иллюстрированных примеров к некоторым формулам (после их вывода);

7) отсутствие описания таблиц значений тригонометрических функций и способа пользования ими (§ 22);

8) отсутствие интерполяции для отыскания значения величины тригонометрической функции угла не целого числа градусов и для обратной задачи;

9) отсутствие не только решения, но даже простого перечисления вопросов (4 типа задач), решаемых с помощью логарифмов тригонометрических величин и логарифмов чисел. Автор ограничивается только двумя типами задач (вредная традиция составителей учебников по тригонометрии), не указывая еще двух типов: найти величину тригонометрической функции заданного угла и найти угол по заданному значению тригонометрической функции этого угла (последняя задача особенно важна);

10) отсутствие хотя бы одной задачи на решение равнобедренного треугольника;

11) отсутствие хотя бы одного примера на неосновные случаи решения косоугольных треугольников;

12) отсутствие применения решения треугольников к правильным многоугольникам;

13) отсутствие названия «кофункции», что неудобно для некоторых формулировок;

14) отсутствие понятия «многозначные функции» (§ 34);

15) имеются ненужные таблицы (напр., знаки тригонометрических функций, пределы изменений функций).

По нашему глубокому убеждению учебник Рыбкина стабильным учебником для нашей средней школы быть далее не может. В нем хорош безусловно сборник задач, переработанный В. А. Ефремовым. Сборник этот лишь по оформлению нуждается в переработке типографского характера, а по существу вполне достоин быть стабильным.

О НЕКОТОРЫХ ТРАДИЦИОННЫХ НЕДОСТАТКАХ УЧЕБНИКОВ ПО ТРИГОНОМЕТРИИ

В. СТЕЛЛЕЦКИЙ

Осмысленность в преподавании какой-либо дисциплины никогда не находится в противоречии со строгостью и точностью изложения, и даже наоборот: чем осмысленнее изложение, тем совершеннее и полезнее требования, предъявляемые к строгости и точности изложения. Поэтому, не снижая строгости изложения, следует вносить в него полную ясность.

Преподавание тригонометрии в средней школе исстари велось так, что учащийся часто не сознавал, особенно в начале изложения, зачем он производит те или другие тригонометрические построения. Эта традиция перешла и в нашу советскую школу.

Правда, в последнем учебнике «Прямолинейной тригонометрии» Н. Рыбкина, изд. 1935 г., сделана попытка выяснить необходимость тригонометрии, как дисциплины, в § 1, но неудачно: «в геометрии стороны и углы треугольника рассматриваются большей частью независимо одни от других, без установления точных зависимостей между величинами сторон и углов. Исключения из этого встречаются, но редко (например, теорема о том, что катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы). Напротив, в тригонометрии вывод этих зависимостей — главная цель. Теоремы о зависимости между сторонами и углами приведены в стройную систему, проникнутую единым методом».

По смыслу этой основной цитаты можно предположить, что ее автор «зависимостью» считает только аналитическую ее форму. Однако вполне законно более общее понимание зависимости, как определенного или изменяющегося по определенному закону соотношения между некоторыми изучаемыми элементами, независимо от формы этого соотношения и характера изменения элементов.

Все известные формы зависимости: функциональная зависимость, геометрические соотношения, не вскрытые аналитически, и, наконец, не менее обширная область неточных связей будут частными случаями того разнообразия соотношений, встречающихся в природе, к которым можно приложить методы математического изучения. Со своей точки зрения автор последователен, когда утверждает, что «стороны и углы треугольника рассматриваются большей частью независимо одни от других», так как геометрия большей частью не дает численного выражения для таких соотношений. Методы Эвклидовой геометрии выходят за узкие рамки аналитического определения зависимости. Например, для равенства или подобия треугольников необходимо, чтобы их стороны и углы были в определенном соотношении, которое не выражается аналитически, но предполагается, как заданное; также и в любой задаче на построение (они идентичны задачам, разрешаемым аналитически), решение находится на основании соотношений или зависимостей, не изображаемых аналитически, и не имеет числового выражения. Однако же геометрическое решение нельзя не считать решением. Продолжая дальше мысль автора, в одной и той же задаче (например, по катету и острому углу найти все элементы прямоугольного треугольника), решенной двумя способами — аналитическим и геометрическим — за аналитическим способом надо признать достоинство, что в нем углы и стороны рассматриваются в зависимости одни от других, а в геометрическом этот метод мышления надо отвергнуть. Но тогда, как же

получается в этих случаях одно и то же решение, в чем нетрудно убедиться измерением геометрического построения? Вообще совершенно беспомощен был бы тот геометр, который рассматривал бы стороны и углы фигур независимо одни от других.

Стало быть, сужение понятия «зависимости», которое можно предположить на основе приведенной цитаты, нельзя считать полезным, а без этого предположения приведенная цитата обращается в недопустимое обвинение геометрии в бессвязности, чего мы не хотим приписать авторам. Поэтому важно не суживать понятие зависимости, а расширить его, как покажем дальше.

Из другого утверждения автора, что в геометрии элементы треугольника рассматриваются без установления точных зависимостей между «величинами сторон и углов» и дальше: «напротив, в тригонометрии вывод этих зависимостей главная цель», очевидно, следует, что тригонометрия исчисляет зависимости точно, тогда как геометрия определяет их неточно. Во всяком случае учащиеся именно так поймут это соображение и нет никаких оснований для иного толкования. Это утверждение противоречит основным понятиям о числе и приближенных вычислениях, так как многие иррациональные числа, что известно учащимся, аналитически могут быть выражены лишь приближенно, а геометрически< вполне точно, например: ]/2; it;-- = 0,(6).

Дело не в точности геометрии и тригонометрии, как научных методов, а в приближенном выражении результатов исчислений, которое для геометрии зависит от точности употребляемых инструментов, а в тригонометрии—-от приближений, с какими взяты иррациональные значения тригонометрических функций. Нельзя смешивать результаты исчислений с методами.

Последнее утверждение автора в той же цитате: «теоремы о зависимости между сторонами и углами» приведены в тригонометрии «в стройную систему, проникнутую единым методом», взятое отдельно, вполне справедливо, но неосторожно помещено после указаний на кажущиеся недостатки геометрии, из-за чего у ученика может возникнуть подозрение, что изложение аналогичных зависимостей в геометрии не обладает этими достоинствами, что тоже его запутает.

Изложение в учебнике таких мнений о различии между геометрией и тригонометрией вынуждает уточнить этот вопрос.

1. Основное различие между этими дисциплинами в том, что геометрия не устанавливает аналитических численных зависимостей (но не вообще «зависимостей») между углами и сторонами треугольника за немногими исключениями. Для этого методы ее недостаточны, так как система геометрии изучает, главным образом, законы взаимного расположения элементов фигур и тел (тоже зависимости, но иначе выраженные), а не численную зависимость между ними. Численные значения элементов фигур и тел устанавливаются постольку, поскольку они следуют из этих законов.

2. Поэтому основным методом определения величины того или другого элемента фигур и тел в геометрии будет построение фигур и тел по заданным элементам и определение неизвестных элементов измерением по произведенному построению.

3. Вычисление неизвестных элементов по выполненному построению громоздко и, в зависимости от инструментов, обычно недостаточно точно, а поэтому при увеличении требований к быстроте и большей точности вычислений появилась необходимость в изыскании иных методов вычислений элементов фигур и тел.

4. В геометрии элементы фигур и тел рассматриваются как постоянные дискретные величины, что является основной предпосылкой методов геометрии и в то же время их ограничением.

5. Тригонометрия устанавливает и изучает аналитические (численные) соотношения между элементами треугольника, а значит и вообще фигур и тел, на основе законов геометрии о взаимном их расположении. При помощи тригонометрических соотношений можно приближенно, но гораздо точнее и скорее найти численную величину искомых элементов, чем из геометрических построений.

6. Функции угла (стороны треугольника) в тригонометрии рассматриваются, как переменные величины, вследствие чего система тригонометрии является некоторым обобщением геометрии. Геометрия так же, как и тригонометрия, и так же точно решает треугольники, но иным методом, менее удобным.

Конечно, в начале изучения тригонометрии учащимся нельзя преподносить столь сложных соображений, тем более, что они предполагают знакомство с методами тригонометрии, но всегда нужно показать, что методы геометрии позволяют вычислять элементы фигур и тел только по произведенному построению. Например, задачи, в которых требуется по заданным стороне и двум углам треугольника найти величину остальных сторон, геометрия может решить только построением и из-за несовершенства инструментов дает грубый ответ. Само же построение громоздко и неудобно. Надо искать лучших методов. В дальнейшем, например, при освоении решения прямоугольных треугольников или далее, полезно выяснить другое основное методологическое различие между геометрией и тригонометрией — геометрия изучает величины постоянные и дискретные, не допуская возможности их изменения, тригонометрия при изучении тригонометрических функций рассматривает их в процессе их изменения, т. е. как переменные, и тем самым частично обобщает положения геометрии.

Без освоения этих принципиальных различий не будет должной осмысленности в изучении тригонометрии и все ее положения будут казаться ученикам странными и ненужными, пока они, изучив предмет полностью и хорошо, не продумают сами всех этих вопросов. Но лучше будет, если школа им в этом поможет.

Несколько далее выше приведенной цитаты, с традиционной неубедительностью для учащегося, говорится о практическом применении тригонометрии: «при геодезических работах — определение высот и расстояний, съемка планов, триангуляция; в астрономии — определение высот и азимутов светил, склонения и прямого восхождения» и т. д. Для учащегося, который не знает перечисляемых работ так, чтобы одно их перечисление могло показать необходимость тригонометрии и недостаточность геометрических методов, все это неубедительно и не помогает осмыслить предмет. Вместо такого перечисления

достаточно взять какую-либо простейшую геометрическую задачу на построение, например, по катету и острому углу найти другой катет прямоугольного треугольника, решить ее построением и, указав на практические неудобства такого приема решений, но отнюдь не позоря теорию геометрии (она этого не заслужила), поставить задачей составление таблиц катетов, противолежащих разным углам, при заданном катете, принятом за единицу. В этом будет заключаться основное содержание тригонометрии, так как все задачи можно свести к этой.

Практическую необходимость можно показать, например, определением высот, а при повороте треугольника на горизонтальную плоскость — определением расстояния по базису и возможностью построения дальномера.

После этого, и без опасения внести путаницу в изложение, можно упомянуть о том, что практические приложения тригонометрии бесчисленны — она нужна в технике так же, как в астрономии и т. д.

Недостаток осмысленности идет несколько дальше только что разобранных положений. Пока отметим главнейшие.

В § 24, 26, 27 и 33 того же учебника традиционно приводятся методы геометрических построений тригонометрических линий. Они очень сложны. Но это не беда. Беда в том, что они очень искусственны, так что: а) постигнуть смысл этой искусственности вряд ли возможно учащемуся, и б) искусственность лишена необходимой строгости.

В этих построениях необходимость и правильность построения линии sinus и cosinus очевидна, но для построения линий tangens и cotangens условно принимается за их начало конец неподвижного радиуса (и никогда—его продолжение влево или вниз от начала осей координат), а за их конец — точка пересечения касательной, проведенной к окружности из конца начального радиуса до пересечения ее с конечным радиусом или его продолжением. Каждый учащийся имеет право задать вопрос: «Чем лучше эта условность противоположной условности — за начало линии tangens или cotangens принимать конец начального радиуса или его продолжение влево или вниз от начала осей координат, а за конец—пересечение касательной к окружности в этой точке с конечным радиусом так, что конечный радиус никогда не продолжается в обратном направлении?». На этот вопрос может быть лишь один ответ: «Условились об этом так, как изложено в учебнике, только для того, чтобы получить правильный знак tga и ctg a для угла данной четверти». Ученик вправе спросить и далее: «Как узнать, что знак tg a и ctg a верен при построении, принятом в учебнике, а не при моем предложении». Придется ответить, что верность знака определили делением найденных ранее значений функции sinus и cosinus угла данной четверти и что других способов проверки нет. Если ученик будет находчив, он закончит разговор так: «Если деление значений sin a и cos« единственный способ верного определения знаков tg a и ctg a, то зачем нужно их геометрическое построение? Ведь при этом построении результат решения предполагается известным ранее построения, а, стало быть, здесь делают ту же ошибку, что при любой тавтологии. Где же строгость изложения? Далее, метод тригонометрии— метод аналитический; зачем же применять геометрические построения, когда можно без них обойтись? И, наконец, разве нарушится строгость изложения, если, не определяя значений линий tangens и cotangens, будем находить для углов разных четвертей значения функции tg а и ctg а по значениям sin а и cos а?»

Условности, принятые для геометрического построения линий secans и cosecans, не более нужны и так же не строги. Все эти условности будут непонятны ученикам не по сложности, а лишь потому, что понять значение тавтологии невозможно.

В § 73 - «Понятие о составлении тригонометрических таблиц» — приводится подробное обоснование способа составления натуральных тригонометрических величин, который не применялся для первоначального составления таблиц, по свидетельству автора, и, как известно, теперь и подавно не применяется. Зачем же эта излишняя и сложная нагрузка учащихся, да к тому же изложенная с грубой неоговоренной опечаткой — вместо 1 < —— < cos а надо 1 > —— > cos а.

Преподается же теория логарифмов без объяснения способа вычисления табличных значений логарифмов. Наконец, можно без доказательства указать на современные простые формулы для вычислений значений тригонометрических функций. Со стороны практики преподавания указание на способы вычисления тригонометрических функций нецелесообразно, так как большая загруженность программы по математике не позволит уделить исчислению натуральных значений тригонометрических функций времени, достаточного для освоения этих приемов. Никто и не уделяет на это время. Эти приемы в течение десятилетий висят ненужным балластом в учебниках и препятствуют осмысленному освоению курса, так как не удовлетворяют главному условию сознательного восприятия — сознанию нужности для практики или для дальнейшего развития теории.

Надо чаще объяснять, для чего нужна та или другая часть курса — это облегчит и оживит усвоение. Поэтому было бы очень желательно, например, показать необходимость формул «приведения», формул функций суммы углов, половины угла и т. д. и ради этого даже перестроить систему изложения.

О СТАБИЛЬНОМ УЧЕБНИКЕ ПО ТРИГОНОМЕТРИИ

А. ОДИНЦОВ (г. Бердянск)

Нам известен учебник прямолинейной тригонометрии Рыбкина и его же задачник — старые учебники, «испытанные», учебники, выдержавшие многие десятки лет и... я все же позволю себе сегодня высказать свое неудовлетворение этими ветеранами, движимый желанием более четко и рационально организовать изучение тригонометрии.

Вопрос о последовательности прохождения курса той или другой дисциплины, конечно, играет огромную роль, и я полагаю, что тема об изменении тригонометрических функций при возрастании угла должна быть неразрывно связана с графиками тригонометрических функций, а между тем эти вопросы отдалены в учебнике на 15 параграфов. На основании многолетнего опыта я полагаю, что этот материал следовало бы расположить в таком порядке: изменение тригонометрических функций при изменении угла, периодичность тригонометрических функций и графики, а уж затем рассматривать вопрос о приведении тригонометрических функций к простейшему аргументу.

В учебнике весьма слабо подан материал про обратные круговые функции: собственно говоря, теории аркусов в учебнике нет; о сложении и вычитании аркусов ни слова, нет намека на умножение и деление; нет ничего об основных свойствах аркусов, не указано применение основных тригонометрических формул к аркусам,— может быть знание этого материала не нужно? Если мы заглянем в задачник тригонометрии Рыбкина в § 15, если мы посмотрим на примеры, которые должны уметь решать ученики, то станет ясным, что необходимо более глубокое знание теории аркусов, нежели то, которое подано в учебнике. Учебник не обеспечивает возможности решения примеров задачника и на вопрос ученика: «А где же я смогу самостоятельно прочитать, как решать эти примеры?» — приходится указывать на учебник, хотя бы примерно Шмулевича, который не так легко достать. Несомненно, что стабильный учебник Рыбкина стал узок,— нужно расширить отдел об обратных круговых функциях: дать теорию аркусов более основательно и продемонстрировать приемы решения соответствующих примеров.

В отделе «Тригонометрические уравнения» ни слова про уравнения с аркусами, а между тем в задачнике предлагаются и такие уравнения; совершенно нет указаний о решении системы тригонометрических уравнений, и ученику приходится, имея стабильный учебник, конспектировать, чтобы иметь материал, как решать примеры из § 14 задачника того же Рыбкина.

Между «теорией» и «практикой» имеется неувязка, тормозящая, конечно, нормальный ход учебы. «Стабильный» учебник нас не удовлетворяет— приходится прибегать к конспектированию или исканию другого, более глубокого учебника.

Необходимо так скомбинировать учебник и задачник по тригонометрии, чтобы было плавное, последовательное, единое по форме и внутреннему содержанию изложение дисциплины.

ОБРАТНЫЕ КРУГОВЫЕ ФУНКЦИИ В СТАБИЛЬНЫХ УЧЕБНИКАХ

В. ГОЛУБЕВ (Каменка)

Отдел об обратных круговых функциях изложен в учебнике Рыбкина очень кратко. В частности, нет совершенно указаний по решению примеров на обратные круговые функции; учащиеся в этом случае могут рассчитывать лишь на объяснения преподавателя.

Кроме того, допущена грубая ошибка, имеющаяся во всех изданиях учебника и влияющая на решение задач в задачнике Рыбкина (№ 6 и № 38, § 15). Именно, границы для главных значений arc ctg (наименьших дуг по Рыбкину) установлены в учебнике Рыбкина от — — до — (см. § 49, изд. 1935 г.). Между тем, для сохранения непрерывности функции необходимо для arc ctg взять границы от 0 до тс. Эти границы устанавливаются в учебниках по анализу.* Лишь при этих границах будет справедливо тождество:

и для отрицательных значений а.

Решение задачи № 6, § 15 задачника (изд 1935 г.) в этом случае будет:

Решение задачи № 38, § 15 будет лишь —, а не ±_—, как дано у Рыбкина.

* См. также ст. Берг «Обратные круговые функции» в № 4 журнала за 1934 г.

МЕТОДИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИБЛИОГРАФИЯ ПО ТЕМАМ

В. МОРЕВ (Ленинград)

Решение уравнений

Уравнения, приводимые к квадратным, и иррациональные

1. Грузинцев, А. П. Об одном частном случае приведения уравнения 4-й степени к биквадратному. «Сообщение и протоколы Харьковского математического общества», 1881, т. II, стр. 116—120.

2. Гольденберг, А. И. Заметка об уравнениях, содержащих неизвестное под знаком квадратного корня. «Математический листок», т. II. М., 1882, VII—IX, стр. 140—141.

3. Литвинский, П. А. О радиальных уравнениях. «Краткий обзор деятельности педагогического музея военных учебных заведений за 1889/90 г.», Спб. 1891, стр. 211.

4. Новиков, П. М. О некоторых уравнениях 4-й степени, решение которых приводится к решению квадратных уравнений. «Краткий обзор деятельности педагогического музея военных учебных заведений за 1889/90 г.» Спб. 1891, стр. 210.

5. Гирман, С. Решение уравнения: Ах4 -f + Вх* + Сх* + Bkx + Akx = 0. «ВОФЭМ», 1897, семестр XXI, № 251, стр. 281—285.

6. Гирман, С. Решение биквадратного уравнения. «ВОФЭМ», 1897/98, семестр XXII, № 261, стр. 231-232.

7. Н. С. Один из приемов решения системы уравнений, приводимых к квадратным. (Практическая заметка.) «ВОФЭМ», 1897, семестр XXII, № 260, стр. 211—212.

8. Тамамшев, М. Об иррациональных уравнениях. Перевод из «L'éducation mathématique», «Физико-математический сборник», изд. управления Кавказского учебного округа. III, 1910, стр. 80-86.

9. Белоцерковский, М. Сборник алгебраических уравнений с решениями и объяснениями каждого типа. Изд. А. К. Залесской, М„ 1913, (18X14), стр. 66, ц. 20 к.—3000.

10. Лодыженский, Л.Н. Об иррациональном уравнении j/x 4-2 Ух— 1 ~“ у[х— 2 Vx — 1 = 2. «Математическое образование», М., 1929, № V, стр. 168—173.

11. Сапунов, П. Отделение собственных корней от посторонних при решении иррациональных уравнений. «Математическое образование», М., 1929, № V, стр. 184—200.

12. Сапунов, П. Решение квадратных и биквадратных уравнений. «Физика, химия, математика, техника в советской школе», М. 1931, VI—VII, стр. (8—69.

13. Альтшулер, И. Методика иррациональных уравнений. «Математика и физика в средней школе», М., 1935, II, стр. 47—49.

14. Бородин, Б. В. Двучленные и трехчленные уравнения в средней школе. «Сборник научно-методических работ Пермского государственного пединститута», Пермь, 19 з5, стр. 40 —45.

15. Креер, Л. И. Практика упражнений по иррациональным уравнениям; «Северокавказский учитель», Пятигорск. 1935, III (V), стр. 35-39.

16. Сапунов, П. Некоторые упрощения при решении иррациональных уравнений, содержащих квадратные радикалы. «Математическое просвещение», М., 1935, вып. 2, стр. 3—8.

17. Шайкевич, М., Случай появления посторонних корней в иррациональных уравнениях с радикалами третьей степени, «Математика и физика в средней школе», М., 1935, V, стр. 26.

Уравнения показательные и логарифмические

18. Базанов, П. Логарифмические и показательные уравнения и способы их решения. Пособие для учеников старших классов средних учебных, заведений. Тип. Ватсара, Спб. 1910 (22X15), стр.48, ц. 50 к., 2000. Изд. 2-е: тип. Екатерингофское печатное дело, Спб. 1912, (22X15), стр. 48, ц. 30 к.— 500. Рец. О. Хвольсон —«Журнал министерства народного просвещения», 1913, IXt В. Муравлевич — «Утро России», М. 1913, № 241.

19. Майданик, Н. Сборник показательных и логарифмических уравнений. Пособие для средних учебных заведений и для лиц, готовящихся на аттестат зрелости и к конкурсным испытаниям. Тип. Швеца, Житомир, 1913, (22X14). стр. 64, ц. 60 к.—2000.

20. Меерзон, Ж. Систематизированный по типам сборник алгебраических задач по показательным и логарифмическим уравнениям с подробным разбором методов и решений. Тип. Лисснера и Собко, М., 1914 (23X15), стр. 69, ц. 75 к.—20:-0.

21. Николенко-Сагарда, Л. П. Искусственные способы решения алгебраических уравнений высших степеней. Показательные и логарифмические уравнения. Изд. С. Козловского, Сумы, 1915, стр. 48, Ц. 50 к.

22. Колодий, В. Решение в целых числах уравнения ах — Ьу—\ (а и 6— простые числа). «ВОФЭМ», 1916, № 649, стр. 17—20.

23. Лодыженский, Л. Н. Об уравнении as=zbx. «Математическое образование», М. 1929, VI, стр. 237-242.

24. Щербаков. А. Приложение показательного уравнения 2xz=ia к определению скорости резания по заданной стойкости резца «Математическое образование», М. 1930, II, стр. 53—54

Графический метод решения уравнений

25. Шан-Гирей А. и Флоринский, Г. Графическое решение уравнений. Способ Лилля. «ВОФЭМ», 1889, Сем. VI, № 61, стр. 6—10.

26. Суслов, Г. К. Графическое решение уравнений. «Университетские известия». Киев, 1894, X, стр. 44—47.

27. Hьюсон, Г. Графическая алгебра, с 16 рис в тексте. Перевод с английского М. Щербацевич. Изд. О. Богдановой, Спб. 1911, стр. 26, ц. 25 к.—1.200.

28. Щербацевич, М. Графики и их применение к решению уравнений. Сборник задач для средних классов гимназий и старших классов городских училищ. Тип. морского министер-

ства. Спб. 1912, стр. II. 36 +1 табл.+ 5 л. черт, ц. 40 к.—2400.

Рец. «Техническое и коммерческое образование», 1912, VII, стр. 57.

29. Морган, Р. Б. Элементарные графики. Перевод с английского М. Щарбацевич. Изд. П. Луковникова, Спб. 1913, стр. 84, с черт.+ табл., ц. 75 к.—2 200.

Рец. К. Поссе. «Журн. мин. нар. просв.» 1914, VII, «Русская мысль», М. 1914.

30. Теннер, Д. Э. О графическом методе решения системы уравнений. «Труды I Всероссийского съезда преподавателей математики», т. II, Спб. 1913, стр. 286—295.

31. Гебель, В. Я. Основы графической алгебры и собрание задач для средних учебных заведений и высших начальных училищ. Тип. Русск. т-ва, М. 1914, стр. 23, ц. 15 к.—600.

Рец. Ф. И. Павлов. «Русская школа», 1914, III, стр. 36.

32. Трубин, Ф. Г. Применение графического метода к решению и исследованию уравнения. Тип. «Порядок», Одесса, 1916, стр. 104+3, ц. 1 р. 25 к.—10.0.

Рец. Н. А. «Математический листок», Ревель, 1916, VI—VII, стр. 109-110.

33. Державин, С. С. Что такое графики и для чего они употребляются. Гиз, тип. «Печатный двор», Л. 1925, стр. 55 с черт, -f 26 кл. л. черт., ц. 60 к.—4 000.

34. Лойцянский, Л. Об одном графическом методе решения уравнений, «Журнал Русского физико-химического общества». Ч. Физич., т. 56, 1925, вып. IV, стр. 270—280.

35. Рейн, А. Графический способ решения системы уравнений 1-й степени с тремя неизвестными. «Приложение к отчету математической конференции Гос. Дальневосточного университетам, Владивосток, 1925, стр. 79—85.

36. Побединский, Б. Графическое решение квадратных уравнений с мнимыми корнями. «Математическое образование», М. 1928, VI, стр. 240-244.

37. Чистяков, И. И. Методика алгебры. М. 1934, гл. XII, Графическое решение уравнений, стр. 161—162.

Тригонометрические уравнения

38. Билибин. Н. И. Уравнения деления тригонометрических функций «Семья и школа», (учебно-восп. отд.), Саб. 1880, I, стр. 52—59 и II, стр. 121—126.

39. Решение уравнения sin;c-f + sin Sx + ...+ sin (2n—1) x = 0. «ВОФЭМ», 1887, сем. II, № 21, стр. 214—215.

40. Ипатов, В. Тригонометрический способ решения квадратного уравнения. (Статья Е. Bloume — «Journal de mathématique élément.», «Гимназия», Ревель, 1893, стр. 514—518-

41. Шлыгин, В. Построение корней уравнения a sin x + Ь sin (od — x) = с. (Ответ на тему.) «ВОФЭМ», 1902. № 321, стр. 207—211.

42. Граве, П. П. К вопросу о тригонометрическом решении разрешимых алгебраических уравнений. «Математический сборник», т. 25 М. 1907, стр. 199—241 и стр. 491-495.

43. Курилко, П. И. Гониометрические (тригонометрические) уравнения. К докладу на I Всероссийском съезде преподавателей математики. Тип. Ю. Эрлих, Спб. 1912, стр. 16, ц. 30 к. Авто-рец. П. Курилко. «ВОФЭМ», 1912» № 560, стр. 226.

44. Креер, Л. И. Алгебраические уравнения. (Тригонометрический метод.) «Известия Горского педагогического института», VII, Владикавказ, 193 ), II, стр 3-20.

45. Лодыженский, Л. Н. О тригонометрических уравнениях в курсе элементарной математики. «Математическое образование», М. 1930, VI, стр. 185—190.

46. Черняев, М. Тригонометрические уравнения и круговые функции. «Физика, химия, математика, техника в советской школе», М. 1932, III, стр. 58—63.

47. Ефремов, В. Первые уроки при прохождении тригонометрических уравнений. «Математика и физика в средней школе», М. 1934, IV, стр. 72—76.

48. Креер, Л. И. Приближенное вычисление вещественных корней алгебраических уравнений (гониометрический метод). «Математический сборник», т. 41, М. 1934. II. (переработка статьи, помещенной в «Известиях Горского педагогического института»).

49. Ляпин, С. Е. Тригонометрические уравнения. Сборник «Элементарная математика в средней школе», М.—Л. 1934, стр. 117—135.

50. Я шанин, И. Решение тригонометрических уравнений в средней школе. «Горьковский просвещенец», 1934, XI—XII, стр. 44—61.

51. Березанская, Е. С. Тригоно метрические уравнения и методика их преподавания. Под ред. Н. Нечаева и С. Гайсиновича. Научно-исследовательский институт политехнического образования, НКП РСФСР. Учпедгиз, М. 1935, стр. 63, ц. 60 коп.—10 000.

52. Сапунов, П. И. Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрических уравнений. «Математическое просвещение» вып. 3, М. 1935, стр. 24—31.

53. А. Б. Тригонометрическое решение квадратного уравнения. (Педагогическая консультация). «Математика и физика в средней школе», М. 1936, I, стр. 113.

Внеклассная работа по математике

54. Сигов, И. А. Математические кружки в трудовой школе. «Педагогическая мысль», Л. 1924, 1, стр. 11—17.

55. Волковский, Д. Л. (Подпись — Д. В.) Школьный математический журнал. «Вестник просвещения» М. 1927, IX, стр. 107—108.

56. Кеткович, Я. Геометрия Лобачевского в математическом кружке. «Физика и математика в трудовой школе», М. 1928,III, стр. 95—105.

57. Попов, Г. Н. К вопросу о5 организации и методике кружковых занятий по математике. «Физика и математика в трудовой школе», М. 1923, IV, стр. 57—Ь6.

58. Агринский, А. К работе математического кружка. «Физика, химия, математика, техника в трудовой школе», M. 1929, VI, стр. 71—73-

59. Боровский, Б. Математичщ гуртки в старшому концентрь «Шлях освгги», xapkîb, 1929, III, стр. 85-100.

60. Попов Г. Изготовление приборов и пользование ими при кружковых занятиях в трудовой школе. «Фи8ика, химия, математика, техника в трудовой школе», М. 1929, VIII, стр. 52—65.

61. Репьев, В. В. Топографический кружок в школе. (Из школьного опыта.) «Физика, химия, математика, техника в трудовой школе», М. 1929, II, стр. 84—90.

62. Нестерович, Н. О внеклассных занятиях по математике. «Физика, химия, математика, техника в трудовой школе», М. 1930, I, стр. 56—65.

63. Нестерович, Н. Список тем для внеклассных занятий по математике. «Физика, химия, математика, техника в трудовой школе», М. 1930, IV, стр. 92-97.

64. Машков, М.. Геометрическое решение квадратных уравнений. Для кружковой работы. «Физика, химия, математика, техника в советской школе», М. 1931, VIII, стр. 60—63.

65. Репьев, В. Модельно-математический кружок в школе. (Из школьного опыта.) «Физика, химия, математика, техника в советской школе», М. 1931. II, стр. 90—93.

66. Стацевич, А. Опыт внешкольной работы по математике. (Клуб юных математиков.) «В помощь учителю», Л. 1933, № 19—20, стр. 35—38.

67. Анцыферов, С. Организуем помощь математическому образованию. (Библиотечная работа.) «Красный библиотекарь», М. 1934, IX, стр. 26—29.

68. Гребенча, М. Математический кружок в школе. «За политехническую школу», М. 1934, IV, стр. 65—72.

69. Плеханова, Н. Забытый участок. Неучебная математическая книга (в библиотеке) (Библиографический список с аннотациями «Красный библиотекарь», М. 1934, IX, стр. 29—33

70. Добронравов, Н. Школьный кружок любителей математики. (Колпинская образцовая школа.) «В помощь учителю», Л. 1935, I, стр. 31—32 и на обложке.

71. Кузнецов, П. Два года работы школьного математического кружка. «Математика и физика в средней школе», М. 1935, V, стр. 88 - 91 и сборник «Материалы совещания преподавателей математики», М. 1935, стр. 138—142.

72. Плеханова, Н. Г. и Бончковский, Р. И. Высказывания по внеклассной работе. Сборник «Материалы совещания преподавателей математики», М. 1935, стр. 143—144.

73. Федорович, Л. В. О внеклассной работе по математике. Сборник «Материалы совещания преподавателей математики», М. 1935, стр.134—138.

74. Белецкая, М. А. Организация соревнования в решении задач. Сборник «Внешкольная работа по математике», Л. 1936, стр. 53—56.

75. Гоноболин, Ф. Н. и Лезедов, П. Е. Внешкольная работа по математике. Сборник «Внешкольная работа по математике», Л. 1936, стр. 3—5.

76. Телепнев, А. Я. Вечера математической смекалки. Сборник «Внешкольная работа по математике», Л. 1936, стр. 57—63.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ помещенных в № 5 «Математика и физика в школе» за 1936 г.

1. Решить уравнение:

Первый способ. Введем обозначение:

Тогда данное уравнение примет вид:

Решив его, найдем:

Подставляя найденные значения ^ в (1), получим:

Второй способ. Возведем обе части данного уравнения в квадрат. Получим:

или, после упрощения

Решив это уравнение, придем к тем же корням, что и в первом случае.

Проверка корней показывает, что данному значению удовлетворяет только первый корень/. Второй корень является посторонним: он удовлетворяет уравнению

Понятно, каким путем появился этот посторонний корень. К сожалению, очень многие из приславших решение, не произвели проверки и приписали оба корня данному уравнению.

М. Аверьянов (Буинск), Н. Агарков и Е. Агаркова (Раздорская н/Д.), К. Агринский (Москва), А. Аляев (ст. Башмаково), Л. Амбарцумян (Кировокан), С Андреев (Торжок), А. Аристова (Дивеево Горьк.), А. Асмачкин (Высокие Горы), М. Бархударов (Баку), А. Бауэр (Энгельс), 3. Белявский (Клинцы, уч. IX кл.), М. Беневольский (Ленинград), Р. Близнец (Речицкий район, БССР), Б. Боголюбов (Ульяновск). А. Брегер (ст. Красино), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), П. Бычко (ст. Павлыш). П. Вожинский (Баку, уч. IX кл.), Васюченко (Ярославль), Н. Введенский (с. Георгиевское), А. Вепланд (Москва), М. Владимиров (ст. Шимановская), А. Владимиров (Ялта), А. Волков (Чухлома), A. Воробьев (Нижнедевицк), В. Гильц (Остяко-Вогульск), И. Глотов (п/о Ново-Троицкое), Ф. Голота (Пятихатка), В. Голубев (Кувшиново), Н. Гонтаренко (Керчь, Багерово), Н. Горбатов (Зарайск), С. Городов (Ленинград), В. Гришин (Урюпинск), Э. Гутенлохер (Люксембург), У. Дакацьян (Ростов), И. Дегтярев (Березна), В. Дергачев (Зарайск, уч. X кл.), А. Деревянко (Орел), М. Дубенец (Казацкое), В. Ефимов (Сходня), Г. Жураховсхий (п/о Мало-Ниветаевское), П. Згурский (Гельмязов), Г. Знаменский (Ялта), B. Зяблицкий (Калинин), А. Иванов (Торопец), П. Калиниченко (ст. Аргаяш), В. Камендровский (Оренбург), Н. Канунов (с. Новодевичье), Карандашев (?). И. Карлик (Клинцы, уч. X кл.), Я. Карлинский (Слуцк), Н. Карелина (Смоленск), И. Кацман (Житомир), М. Кекелия (с. Бандза), К. Кириллов (Казань), И. Клоков (Тим), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), О. Королева (Воронеж), Е. Костюкова и Е. Сапунцов (Луга), В. Кременский (Ленинград), И. Кришталь (п/о Паша), Н. Кулаков (Бугуруслан), П. Кутин (Москва), И. Лаврищев (Саратов), А. Логашов (Саловка), А. Любомудров (Ленинград), М. Манукян (Краснодар, уч. IX кл.), Л. Медведев (Даниловка), С. Мельников (Фрунзе), Е. Мертвецов (Семипалатинск), А. Миненко (Нальчик), В. Мурашов (Зарайск), О. Невгомонная (Винница), С. Немировский (Житомир)-А. Овчинников (Сталинград), А. Орлов (п/о Кулотино), Ф. Орлов (Кинешма), X. Осипенко (с. Гуляй-Поле), Б. Павлов (Чистополь), В. Падучев (ст. Лиски), И. Постников (Рязань), Е. Потапов (Коломна), М. Радомысльский (Житомир, уч. X кл.), Г. Ржавский (Фролов). М. Саакян (Краснодар, уч. IX кл.), Ю. Сенько (Золочев), П. Сергиенко (Запорожье), Н. Сиднев (Пешехоно-Володарск), С. Сусликов (Марпосад), Д. Ткачик (Глодосы), Я- Томсон (Полтава), В. Ураевский (Кузнецк), Д. Усатин (Лиман), И. Хайдаров (Набережные Челны), О. Ханчарлян (Краснодар), Е. Чернин (Москва), С. Чуканцов (Брянск), М. Шевелев (Казань), Б. Шехтман (Одесса), Л. Шмуленсон (Винница), Я. Шор (Тула), П. Щелоковский (Вальяновск), М. Щинова и Ф. Щинов (Глазов), М. Яглом (Москва), Д. Флавиан (Куйбышев).

2. Две окружности О и О1 (точки центров) радиусов R и R1 внешне касаются друг друга в точке Л. Через А проведена секущая ВАВ1, пересекающая окружность О в В и О1 в В1.

1. Доказать, что радиусы OB и 0*В1 параллельны.

2. Радиус OB продолжен до пересечения с окружностью в точке С. Показать, что СВ1 пересекает линию центров в определенной для данных окружностей точке С1 и найти ее расстояния от центров О и О1.

3. Если R = 3R\ то как должна быть проведена секущая ВАВ\ чтобы Cß'C1 была общей касательной к обеим окружностям. Вычислить в этом случае длину СВ1. Решение:

1) Углы ОАВ и OMß1 равчы. как вертикальные; треугольники BOA и В10{А — равнобедренные, следовательно:

lb—l В АО = £_ В1 АО1 = z в1.

Отсюда заключаем о параллельности радиусов OB и OlBl.

2) Соединив точки С и Б1 и продолжив СВ1 до пересечения с линией центров в точке С1 (точки пересечения не получится лишь в случае равенства ОС и ОгВ\ т. е. если окружности равны), получим подобные треугольники ОС1С к б1С1Вх (по причине параллельности ОС и 01ВЛ). Из подобия их имеем:

(1)

Отсюда:

и наконец

(2)

Подставляя найденное значение OlCl в (1) имеем:

(3)

Итак, положение точки О целиком определяется величиной данных радиусов и не зависит от положения секущей. При R — R1 знаменатели выражений (2) и (3) обращаются в нуль и точка С1 уходит в бесконечность.

Проводим DXD J_ к ОС; из прямоугольного треугольника ODO1 находим:

или, так как R — 3R1

(4)

Так как в этом треугольнике OD = 2R1 и ОО1 = т. е. гипотенуза вдвое больше катета, то угол D001 равен60°. Отсюда lb — l ВА0 — = 30э, т е. секущая должна быть проведена под углом в 30° к линии центров.

В целях единства метода можно было и при решении третьего вопроса обойтись без проведения перпендикуляра и основываться на подобии треугольников.

К. Агринский (Москва), А. Аляев (ст. Башмаково), С. Андреев (Торжок), А. Аристова (п/о Дивеево, Горьк.), А. Бауэр (Энгельс), М. Беневольский (Ленинград), П. Бессонов (Злынка), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), Н. Введенский (с. Георгиевское), А. Вепланд (Москва), А. Владимиров (Ялта), А. Волков (Чухлома), А. Воробьев (Нижнедевицк), В. Гильц (Остяко-Вогульск), И. Глотов (п/о Ново-Троицкое), В. Голубев (Кувшиново), Н. Гонтаренко (Керчь, Багерово), С. Городов (Ленинград), А. Деревянко (Орел), Г. Жураховский (п/о Мало-Наветаевское), П. Згурский (Гельмязов), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), П. Калиниченко (Аргаяш), В. Камендровский (Оренбург), Н. Канунов (с. Новодевичье), Б. Каждан (Ленинград), Я. Карлинский (Слуцк), Н. Карелина (Смоленск), М. Кекелия (с. Бандза), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), Е. Костюкова и Е. Сапунцов (Луга), Н. Кулаков (Бугуруслан), А. Логашов (Саловка), А. Любомудров (Ленинград), С. Мельников (Фрунзе), А. Миненко (Нальчик), О. Невгомонная (Винница), С. Немировский (Житомир), А. Овчинников (Сталинград), С. Павлов (Новороссийск), В. Падучев (ст. Лиски), Г. Пеккер (Рашков), И. Постников (Рязань), М. Радомысльский (Житомир, уч. X кл.), Г. Ржавский (Фролов), Д. Савельев (Горький), Н. Сандров (Старый-Крым), П. Сергиенко (Запорожье), Я. Томсон (Полтава), В. Ураевский (Кузнецк), Д. Усатин (Лиман), О. Ханчарлян (Краснодар), С. Чуканцов (Брянск), М. Шевелев (Казань), 5. Шехтман (Одесса), Л. Шмуленсон (Винница), Я. Шор (Тула), П. Щелоковский (Вальяновск), М. Щинова и Ф, Щинов (Глазов), М. Яглом (Москва).

3. Найти четырехзначное число abed, являющееся точным квадратом, цифры которого удовлетворяют соотношениям

а + Ь + с + d = ab;b = c -f d.

Из первого равенства выводим:

а + b + с -f d=z 10а -f b. или, приняв во внимание второе равенство, а + b -f b= loa + Ь,

Получаем:

Ъ = 9а.

Так как b должно быть числом однозначным, то, очевидно, имеем:

а= 1; * = 9.

Искомое число должно быть точным квадратом и заключаться между 1900 и 1999, т. е.

или

цифры же 3-я, 4-я и 2-я составляют арифметическую прогрессию, т. е. должно быть

Извлекая квадратный корень из 1900 с недостатком и из 1999 с избытком, получим:

43 О < 45.

Получим для X единственное число 44. Действительно, его квадрат 1936 удовлетворяет всем требованиям задачи.

Многие, установив, что а = 1, b = 9, дальнейшие цифры находили путем извлечения корня из числа I9cd, т, е. подбирая вторую цифру корня.

К. Агринский (Москва), А. Аляев (ст. Башмаково), С. Андреев (Торжок), М. Беневольский (Ленинград), Р Близнец (Речицкий район, БССР), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), Н. Введенский (с. Георгиевское), А. Вепланд (Москва), М. Владимиров (ст. Шимановская) А. Владимиров (Ялта), А. Волков (Чухлома), А. Воробьев (Нижнедевицк), В. Гильц(Остяко-Вогульск), И. Глотов (п/о Ново-Троицкое), В. Голубев (Кувшиново), Н. Гонтаренко (Керчь, Багерово), У. Дакацьян (Ростов), М. Дубенец (Казацкое), Г. Жураховский (п/о. Мало-Ниветаевское), П. Згурский (Гельмязов), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), В. Камендровский (Оренбург), Н. Канунов (с. Новодевичье), Н. Карелина (Смоленск), М. Кекелия (с. Бандза), Г. Кипнис (Красино), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), Е. Костюкова и Е. Сапунцов (Луга), В. Кременский (Ленинград), Н. Кулаков (Бугуруслан), С. Кулигин (ст. Зиновьевка).. А. Логашев (Саловка), А. Любомудров (Ленинград), Л. Медведев (Даниловка , С. Мельников (Фрунзе), А. Миненко (Нальчик), С. Немировский (Житомир), А. Овчинников (Сталинград), А. Орлов (п/о. Кулотино), С. Павлов (Новороссийск), В. Падучев (ст. Лиски), Г. Пеккер (Рашков), П. Постников (Рязань), Е. Потапов (Коломна), Г. Ржавский (Фролов), Д. Савельев, (Краснодар, уч. IX кл.), Н. Сандров (Старый-Крым), П. Сергиенко (Задорожье), Д. Ткачик (Глодосы). Я. Томсон (Полтава), Д. Усатин (Лиман), О. Ханчарлян (Краснодар), К. Хоменко и С. Пичкур (Черкассы), Е. Чернин (Москва), С. Чуканцов (Брянск), М. Шевелев (Казань), Б. Шехтман (Одесса), Я. Шор (Тула), П. Щелоковский (Вальяновск), М. Щинова и Ф. Щинов (Глазов), М. Яглом (Москва), Д. Флавиан (Куйбышев).

4. Найти четырехзначное число с нечетным числом делителей, у которого 3-я, 4-я и 2-я цифры составляют арифметическую прогрессию, а 1-я, 3-я и 2-я составляют геометрическую прогрессию.

Число делителей всякого числа выражается формулой:

ÄT= («+1)0+1)... (Х+1),

где а, ß,... X — показатели степеней простых множителей, составляющих данное число. Так как по условию задачи n должно быть нечетным, то все показатели а, ß, X... должны быть четными, т. е. искомое число должно быть точным квадратом.

Пусть искомое число будет abed. По условию 1-я, 3-я и 2-я цифры составляют геометрическую прогрессию, т. е. должно быть:

c — aq\ b — aq2\

Однозначных чисел вида aq2 имеется только три

4; 8; 9.

(Случай q = 1 исключается, так как тогда не будет прогрессии.) В первом случае:

0=1; q — 2\ 6 = 4; с = 2; d — 3.

Во втором:

а = 2; q = 2; b = 8; с = 4; d = 6.

В третьем:

в=1; q — 3; 6 = 9; с = 3; d=b.

Итак, получили три числа, удовлетворяющие двум условиям задачи из трех:

1423; 2846; 1936.

Из них только последнее является точным квадратом, т. е. и является искомым числом.

К.Агринский (Москва), С.Андреев (Торжок), М. Беневольский (Ленинград), Г. Бройт (Ленинград), Н. Введенский (с. Георгиевское), А. Вепланд (Москва), А. Владимиров (Ялта), А. Волков (Чухлома), А. Воробьев (Нижнедевицк), В. Гильц (Остяко-Вогульск), В- Голубев (Кувшиново), Г. Жураховский (п/о. Мало-Ниветаевское), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), Н. Канунов (с. Новодевичье), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), Е. Костюкова и Е. Сапунцов (Луга), Н. Кулаков (Бугуруслан), А. Логашов (Саловка), Е. Марчевская (Харьков), С. Мельников (Фрунзе), А. Миненко (Нальчик), С. Немировский (Житомир), С. Павлов (Новороссийск), В. Падучев (ст. Лиски), Е. Потапов (Коломна), Г. Ржавский (Фролов), Д. Соловьев (Горький), Н. Сандров (Старый-Крым), О. Ханчарлян (Краснодар), М. Шевелев (Казань), Б. Шехтман (Одесса), П. Щелоковский (Вальяновск) М. Щинова и Ф. Щинов (Глазов), М. Яглом (Москва).

5. На стороне AB квадрата ABCD, как на диаметре, описана вне квадрата полуокружность. Пусть M какая-либо точка полуокружности. Прямые MC и MD пересекают AB в точках Р и Q. Перпендикуляры к AB в точках Р и Q пересекают MB и MA в точках S и R.

1. Доказать, что PQRS квадрат;

2. Доказать, что QA. PB = /V2;

3. На каком расстоянии х от AB надо взять М, чтобы PQ — ка (а — сторона данного квадрата и0<£<1);

4. Найти X, для которого PQ имеет наибольшую величину.

1) Треугольники AMD и RMQ подобны (RQWAD); отсюда:

По той же причине Д DMCсл&QMP; отсюда:

(1)

(2)

Наконец, из подобия треугольников CMD и PMS заключаем:

(3)

Из сравнения пропорций (1), (2) и (3) выводим:

(4)

Но AD = DC = ВС = л. Следовательно,

так как, кроме того, RQ\\SP по условию, то четырехугольник PQRS — квадрат.

М. Яглом (Москва) отмечает, что это свойство распространяется на всякий треугольник, построенный на стороне квадрата, а не только на прямоугольный.

2) Прямоугольные треугольники ARQ и BSP подобны (углы В и R составлены взаимно-перпендикулярными сторонами). Отсюда:

Но так как RQ = SP = PQ, то:

3) Из подобия треугольников АМВ и RMtS заключаем:

или

Отсюда:

4) Так как (при х> - получается треугольник, равный треугольнику, получаемому при хх~ а — x < — ), то

отсюда:

Но PQ = £#, т. е. будет наибольшим при наибольшем k. Следовательно, &г=^-. В этом случае x — —.

С. Андреев (Торжок), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), Н. Введенский (с. Георгиевское), А. Вепланд (Москва), А. Владимиров (Ялта), А. Воробьев (Нижнедевицк), В. Гильц (Остяко-Вогульск), Ф. Голота (Пятихатка), Г. Жураховский (п/о. Мало-Ниветаевское), П. Згурский (Гельмязов), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), В. Камендровский (Оренбург), Н. Карелина (Смоленск), М. Кекелия (с. Бандза), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич) С. Колесник (Харьков), Е. Костюкова и Е. Сапунцов (Луга), Н. Кулаков (Бугуруслан). П. Кутин (Москва), А. Логашов (Саловка). A. Любомудров (Ленинград), С. Мельников (Фрунзе), Ä. Миненко (Нальчик), С. Немировский (Житомир), А. Овчинников (Сталинград), B. Падучев (ст. Лиски), Г. Пеккер (Рашков),. Е. Потапов (Коломна), Г. Ржавский (Фролов), Д. Савельев (Горький), Н. Сандров (Старый-Крым), П. Сергиенко (Запорожье), О. Ханчарлян (Краснодар), М. Шевелев (Казань), M Щинова и Ф. Щинов (Глазов), М. Яглом (Москва).

6. Доказать, что если в треугольнике угол А = 120°, то

Ъ (а2 — b2) = с {а2 -с2) (1)

и обратно: если имеет место соотношение (1) то А = 120°.

1. Подставив в известную формулу:

а2 = Ь2 + с2 — 2bc cos А (2)

зпачение cos А — cos 120°= —^-, получим.

аг = Ь2 -f с2 -f be. (3)

Из этого равенства выводим:

a2 — b2 = c* + be a2 — c2=zb2 + bc.' (4)

Умножив обе части первого из равенств (4) на Ь, а второго на с, найдем:

b{a2-b2) = bc2 + Ъ2с c{a* — c*) = b*c + bc9. (5)

Равенство правых частей (5) и дает равенство (1).

2. Обратная теорема. Из той же формулы (1) выводим:

а2 — Ьг — с2 — 2bc cos А

а2 — с2 гг Ь2 — 2bc cos А. (6)

Умножив первое из этих равенств на Ь, второе на с, найдем:

b {а2 — Ъ2) = be2 — 2b2c cos А, с (а2 — с2) = Ь*с — 26с2 cos А. (7)

По условию левые части равенств (7) равны, что влечет равенство правых частей

be2 — 2b2c cos A — b2c — 2bc2 cos A.

Отсюда:

(2bc2 — 2b2c) cos Л — ЪЧ — be2,

или

2bc (с — &) cos A = be [b — с).

И наконец

6 — с

cos А — т--- = —— ,

2 (с—Ь) 2

т. е. А = 120°.

Многие из решавших, оставаясь на чисто геометрической почве, исходили из формулы

a2z=zb2 + c2 + 2Ьт

и затем при помощи чертежа доказывали, что т = ^-. Нужно отметить, что нередко решение было чрезвычайно длинным и громоздким.

Отметим доказательство обратной теоремы, данное учеником X класса 25-й школы г. Житомира М. Радомысльским.

Данное условие

Ь{а2 -Ь2) = с (а2 — с2)

преобразуем так:

Ъаг — b*=zca2 — с9 Ъа2 — со2 = Ь3 — с3 a2 (b-c)-(b— с) (Ь2 + с2 + Ьс)

a2 = b2 + c2 + bc. (1)

С другой стороны по общей формуле:

а2 = à2 -f с2 — 2bc cos Л. (2)

Вычтя (2) из равенства (1), получим 0= be + 2bc cos Л

Отсюда:

cos Л — — у

Л = 120°.

М. Аверьянов (Буинск), Н. Агарков и Е. Агаркова (Раздорская н/Д.), К. Агринский (Москва), А. Аляев (ст. Башмаково), С. Андреев (Торжок), А. Бауэр (Энгельс), М. Беневольский (Ленинград), Р. Близнец (Речицкий район, БССР), Б. Боголюбов .Ульяновск), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), Н. Введенский (с. Георгиевское), A. Вепланд (Москва), А. Владимиров (Ялта), А.Волков (Чухлома), А. Воробьев (Нижнедевицк), B. Гильц (Остяко-Вогульск), Ф. Голота (Пятихатка), В. Голубев (Кувшиново), Н. Гонтаренко (Керчь, Багерово), С. Городов (Ленинград), У. Дакацьян (Ростов), Г. Жураховский (п/о Мало-Ниветаевское), П. Згурский (Гельмязов), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), П. Калиниченко (сг. Аргаяш), В. Камендровский (Оренбург), Н. Капунов (с. Новодевичье), Б. Каждан (Ленинград), М. Карлик (Клинцы, уч. X кл.) Н. Карелина (Смоленск), М. Кекелия (с. Бандза), Г. Кипнис (Красино), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), Я. Кольбер (Высокое-Сычевское), Е. Костюкова и Е. Сапунцов (Луга), Н. Кулаков (Бугуруслан), П. Кутин (Москва), А. Логашов (Саловка), Л. Медведев (Даниловка), С. Мельников (Фрунзе), Е. Мертвецов (Семипалатинск), А. Миненко (Нальчик), В. Мурашов (Зарайск), Д. Мхеидзе (Кутаис), И. Нагорный (Кошеватое). С. Немировский (Житомир), А.Овчинников (Сталинград), А. Орлов (п/о. Кулотино), X. Осипенко (с. Гуляй-Поле), Б. Павлов (Чистополь), В. Падучев (ст. Лиски), Г. Пеккер (Рашков), П. Постников (Рязань), Е. Потапов (Коломна), М. Радомысловский (Житомир, уч. X кл.), Г. Ржавский (Фролов), М. Саакян (Краснодар, уч. IX кл.), Д. Савельев (Горький), Н. Сандров (Старый-Крым), А. Семененко (ст. Долинская), Ю. Сенько (Золочев), П. Сергиенко (Запорожье), В. Стародубровский (Зарайск, уч. Хкл.), Я. Томсон (Полтава), Д. Уса: тин (Лиман), И. Хайдаров (Набережные Челны). О. Ханчарлян (Краснодар), К. Хоменко и С. Пичкур (Черкассы), X. Хусаинов (Уфа), Е. Чернин (Москва), С. Чуканцов (Брянск), М. Шевелев (Казань), Б. Шехтман (Одесса), А. Шмуленсон (Винница), П. Щелоковский (Вальяновск), М.Щинова и Ф. Щинов (Глазов), М. Яглом /Москва), Д. Флавиан (Куйбышев).

7. Доказать тождество (для треугольника):

Приняв во внимание, что следовательно

и приведя левую часть к общему знаменателю, найдем:

Применяем к первому слагаемому в числителе формулу суммы синусов

так как sin (Л + В) = sin С, производим сокращение

Применяем формулу для разности косивусов, получаем:

Многие решали эту задачу другим путем, именно приводили левую часть к виду:

3 — (ctg Л ctg В + ctg В ctg С + ctg С ctg Л)

и зттем показывали, что выражение в скобках равно единице. Наконец некоторые воспользовались тождеством

sin 2Л + sin 2В + sin 2С = 4 sin Л sinß sin С.

К. Агринский (Москва), А. Аляев (ст. Башмаково), С. Андреев (Торжок), А.Бауэр (Энгельс), М. Беневольский (Ленинград), Г. Бобылев (ст.Бредихино), И. Бородуля (Москва),Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), Н. Введенский (с. Георгиевское), А. Вепланд (Москва), А. Владимиров (Ялта), А. Волков (Чухлома), А. Воробьев (Нижнедевицк), В. Гильц (Остяко-Вогульск), И. Глотов (Пятихатка), В. Голубев

(Кувшиново), H. Горбатов (Зарайск), С.Городов (Ленинград), В. Дергачев (Зарайск, уч. X кл.), М. Дубенец (Орел), В. Ефимов (Сходня), Г. Жураховский (п/о. Мало-Ниветаевское), П. Згурский (Гельмязов), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), П. Калиниченко (ст. Аргаяш), В. Камендровский (Оренбург), Н. Канунов (с. Новодевичье), Б. Каждан (Ленинград), Карандашев, И. Карлик (Клинцы, уч. X кл.), Н. Карелина (Смоленск), И. Кацман (Житомир), М. Кекелия (с. Бандза), Г. Кипнис (Красино), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), Я. Кольбер (Высокое-Сычевское), Ё. Костюкова и Е. Сапунцов (Луга), Н. Кулаков (Бугуруслан), П. Кутин (Москва), А. Логашов (Саловка), А. Любомудров (Ленинград), Л. Медведев (Даниловка), С. Мельников (Фрунзе), А. Миненко (Нальчик), В. Минченко (Корюновка), B. Муратов (Зарайск), И. Нагорный (Кошеватое), C. Немировский (Житомир), А. Овчинников (Сталинград), А. Орлов (п/о Кулотино), Х-Осипенко (с. Гуляй-Поле). Б. Павлов (Чистополь), С. Павлов (Новороссийск), В. Падучев (ст. Лиски), Г. Пеккер {Рашков), И. Постников (Рязань), Е. Потапов (Коломна), М. Радомысловский (Житомир, уч. X кл.), Г. Ржавский (Фролов), Д. Савельев (Горький;, Н. Сандров (Старый-Крым), А. Семененко (ст. Долинская), П. Сергиенко (Запорожье), В. Стародубровский (Зарайск, уч. X кл.), Я- Томсон (Полтава), Д. Усатин (Лиман), И. Хайдаров (Набережные Челны), О. Ханчарлян (Краснодар), В. Холопов (Носины), К. Хоменко и С. Пичкур (Черкассы), Я. Чернин (Москва), С. Чуканцов (Брянск), М. Шевелев (Казань), Б. Шехтман (Одесса), Шилин (Ново-Томниково), Я- Шор (Тула), П. Щелоковский (Вальяновск), М. Щинова и Ф. Щинов (Глазов), М. Яглом (Москва), Д. Флавиан (Куйбышев).

8. Вычислить сумму п членов ряда:

Найти предел этой суммы при

Общий член этого ряда (2к—\) (2* + 1)может быть представлен в виде:

Давая в этом равенстве к значения 1, 2, 3... я, получим ряд равенств:

Сложив эти равенства, получим:

При я-> оо имеем:

Н. Агарков и Е. Агаркова (Разлорская н/Д.), С. Андреев (Торжок), М. Беневольский (Клинцы, уч. IX кл.), Б. Боголюбов (Ульяновск), И. Бородуля (Москва), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), Н. Введенский (с. Георгиевское), A. Вепланд (Москва), М. Владимиров (ст. Шимановская), А. Владимиров (Ялта), А. Волков (Чухлома), А. Воробьев (Нижнедевицк), В. Гильц (Остяко-Вогульск), В. Голубев (Кувшиново), B. Ефимов (Сходня) Г. Жураховский (п/о. Мало-Ниветаевское), П. Згурский (Гельмязов), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), П. Калиниченко (ст. Аргаяш), В. Камендровский (Оренбург), Н. Канунов (с Новодевичье), Б. Каждан (Ленинград), Н. Карелина (Смоленск), И. Кацман (Житомир), М. Кекелия (с. Бандза), Г. Кипнис (Красино), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), C. Колесник (Харьков), Я. Кольбер (Высокое-Сычевское), Е. Костюкова и Е. Сапунцов (Луга), Н. Кулаков (Бугуруслан), А. Логашов (Саловка), А. Любомудров (Ленинград), Л. Медведев (Даниловка), С. Мельников (Фрунзе), А. Миненко (Нальчик), С. Немировский (Житомир), А. Овчинников (Сталинград), А. Орлов (п/о. Кулотино), Б. Павлов (Чистополь), В. Падучев (ст. Лиски), Г. Пеккер (Рашков), П. Постников (Рязань), Е. Потапов (Коломна), Г. Ржавский (Фролов), Н. Сандров (Старый-Крым), П. Сергиенко (Запорожье), Д. Усатин (Лиман), О. Ханчарлян (Краснодар), X. Хусаинов (Уфа), Е. Чернин (Москва), М. Шевелев (Казань), Л. Шмуленсон (Винница), Я. Шор (Тула), М. Яглом (Москва), Д. Флавиан (Куйбышев).

9. Найти сумму п членов ряда:

Из формулы

(1)

положив в ней А = ka и B = (k+\) а. получим

Отсюда:

(2).

Давая в этом равенстве k значения 1, 2, 3.. (л — 1), п получим:

(3)

Применив к числителю ту же формулу (1), приведем выражение (3) к логарифмическому виду:

(4)

Ряд решений останавливался на формуле (3). Конечно, такая формула не является достаточно удобной.

Понятно, что заменяя все или некоторые синусы в формуле (4) косекансами, ее можно представить в различных видах, как то и встречается в решениях.

Н. Агарков и Е. Агаркова (Раздорская на/Д.), К. Агринский (Москва), С. Андреев (Торжок), М. Беневольский (Ленинград), И. Бородуля (Москва), Н. Введенский (с. Георгиевское), А. Воробьев (Нижнедевицк), Г. Жураховский (п/о. Мало-Ниветаевское), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), В. Камендровский (Оренбург), Н. Канунов (ст. Новодевичье), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), Я. Кольбер (Высокое-Сычевское), Ь. Костюкова и Е. Сапунцов (Луга), Н. Кулаков (Бугуруслан). А. Логашов (Саловка), Е. Марчевская (Харьков), А. Миненко (Нальчик), П. Постников (Рязань), Ê. Потапов (Коломна), Я- Томсон (Полтава), О. Ханчарлян (Краснодар), М. Шевелев (Казань), М. Щинова и Ф. Щинов (Глазов), М. Яглом (Москва).

10. Определить коэфициенты А и В так, чтобы многочлен:

Xе + Ах5 + (2А + 1) X4 + Вх* + (2А + 1)х2 + ÄX+1

делился на возможно более высокую степень двучлена (х + 1). Найти показатель этой степени.

Приведем сначала решение большинства.

По теореме Безу для того, чтобы многочлен делился на х + 1, необходимо, чтобы:

(-1)Ч-Л (-l)4-(2A-fl) (-1)4-+ Я(~1)3+(2Л-И) (— 1)*+А (— 1)-Ы = 0. (1)

Отсюда получаем:

В = 2А + 4. (2)

Итак, для делимости на х + 1 многочлен должен быть вида:

л* + Ах5 + (2Л + 1) X4 + (2А + 4) je3 + [2А + 1) X2 + Ах + 1. (3)

Деля его на х -f 1, получаем в частном (его легко получить, пользуясь правилом Хорнера):

Х*.+ (А — 1) х4 + (А + 2) х*+(А + 2) х* + (А — 1) х+ 1. (4)

Применяя к этому многочлену теорему Безу, находим:

— 1 + (А — 1) — (А + 2) + (A -f 2) — {А — 1) + + 1=0.

Таким образом многочлен делится на х + 1. В этом, впрочем, можно было убедиться и другим способом, а именно, заметив, что суммы коэфициентов, стоящих на четных и нечетных местах, равны. Деля многочлен (4) на х +1, получим в частном;

х4 + (А—2) л3 + 4х2+(Л—2) + 1. (5)

Применяя к этому многочлену теорему Безу, имеем:

(А — 2) + 4 — (А - 2) + 1 = 0.

Отсюда:

А = 5.

Многочлен (5) принимает вид:

Х4 _|_ Зл:з + 4х2 + Зх + 1. (6)

Деля его на (х + 1), получаем в частном:

х* + 2х2 + 2х+1. (7)

Тем же способом убеждаемся, что многочлен (7) делится на х -f 1. В частном получим: х2 + х+ 1.

Данный многочлен уже не делится на х+1.

Итак, наивысшая степень х+\, на которую делится данный многочлен, равна 4; на эту степень многочлен делится при А — 5 и В = 14. Многочлен имеет вид:

*• + б*5 + 1 1л4 +14** +11*в+Ьх + 1.

Таким способом с некоторыми вариантами и сокращениями решало большинство. Нам представляется более изящным и коротким путь тех читателей, которые начинали исследование делимости данного многочлена не с низшей степени х+ 1, а с высшей возможной, т. е. с (х + I)6. Доказывалась невозможность случаев делимости на (X -f 1)в и (х+ I)5 и выяснялись условия делимости на (х + I)4. Таким образом исследовались только три случая.

Наконец, немногие товарищи довели необходимое число исследований всего до двух случаев. Их доказательство мы и приводим ниже.

Докажем сначала, что данный многочлен» может иметь делителем (х + 1) только в четных степенях. Действительно, приравняв его нулю, мы получим возвратное уравнение, которое, как известно, наряду с корнем всегда имеет корнем и Полагая х± = — 1, получаем для — ' 1 тоже—1. Итак, многочлен может делиться только на {х+ 1)в, \х+ I)4 и (лг+l)2.

Всего легче исследовать случай (х + 1)в. Действительно, в этом случае, приняв во внимание высший и низший члены, заключаем, что данный многочлен должен быть разложением бинома (х+1)6, а тогда его второй коэфициент А = 5, а третий 2А + 1 = 15, что, очевидно, невозможно.

Исследуем случай делимости на (дг+1)4. В этом случае частное, принимая во внимание правило получения высшего и низшего члена, должно иметь вид:

jc2+Cjc+1.

Умножив делитель (лг+l)4 на частное, получим:

хв + (С+4) д;5_|_ (4С+7) х4+ (6С + 8) + (4С+7) х*+(С + 4х)+1.

Приравнивая соответствующие коэфициенты полученного и данного многочленов, будем иметь:

А = С+4, 2А+1 = 4С+7, Я = 6С + 8,

из которых легко находим: А = 5, С = 1, В — 14. При этих значениях А и В данный многочлен делится на (х + I)4.

С. Андреев (Торжок), М. Беневольский (Ленинград), Б. Боголюбов (Ульяновск), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), Н. Введен-

ский (с. Георгиевское), А. Вепланд (Москва), А. Владимиров (Ялта), А. Волков (Чухлома), А. Воробьев (Нижнедевицк), Г. Гильц (Остяко-Вогульск), С. Городов (Ленинград), Г. Жураховский (п/о Мало-Ниветаевское), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец\ В. Камендровский (Оренбург), Н. Канунов (с. Новодевичье), Б. Каждан (Ленинград), Н. Карелина (Смоленск), И. Кацман (Житомир), М. Кекелия (с. Бандза), Г. Кипнис (Красино), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), Е. Костюкова и Е. Сапунцов (Луга), М. Кулаков (Бугуруслан), А. Логашов (Саловка), Л. Медведев (Даниловка), С. Мельников (Фрунзе), А. Миненко (Нальчик), Б. Павлов (Чистополь), Г. Пеккер (Рашков), П. Постников (Рязань), Е. Потапов (Коломна), Г. Ржавский (Фролов), Н. Сандров (Старый-Крым), П. Сергиенко (Запорожье), Я. Томсон (Полтава), Д. Усатин (Лиман), О. Ханчарлян (Краснодар), X. Хусаинов (Уфа), М. Шевелев (Казань), Л. Шмуленсон (Винница), Я. Шор (Тула), М. Щинова и Ф. Щинов (Глазов), М. Яглом (Москва).

11. Решить систему уравнений: x* + 6х*у*+у* = 353; ху (*2+.>'2) = 68.

Прежде всего нужно отметить, что задача, по существу очень простая, решена очень немногими. Громадное большинство вместо шестнадцати систем решений находили двенадцать, восемь, шесть, четыре и даже только два.

Приведем и здесь сначала решение большинства.

Представим первое из уравнений в таком виде:

(x2-±y2)2 + 4x2y2 = 3b3.

Введем обозначения:

x2+y2 = z; ху zut (1)

Делая подстановку в данные уравнения, получим систему:

z2 + At2 = 353,

zt = 68. (2)

Определяем z из второго уравнения и делаем подстановку в первое:

После упрощений:

4*4 —353/2 + 4624 = 0. (3)

Решив это уравнение, найдем для t четыре значения:

*1==4; *8 = -4; ^ = — tz= — — .

Подставив найденные значения t во второе из уравнений (2), найдем соответствующие значения для z:

^1 = 17; z2 = — \7; 2г3 = 8; z4 = ~8.

Итак, имеем следующие четыре системы квадратных уравнений:

Так как каждая система дает четыре решения, то всего получим 16 решений.

Некоторые несколько упрощали ход решения. Так, одни, получив уравнения (2), решали их более коротким искусственным способом. Умножив второе уравнение на 4 и прибавляя и вычитая его из первого, получаем сразу:

(z+2t)2 = 625; {z — 2t)2 = 81.

Отсюда:

z + 2t = ±25; z — 2t= ±9. Решив эти уравнения, приходим опять к системам (4).

Еще ближе к кратчайшему решению пришел М. Яглом (Москва). Он обозначил: X*+y* = z\ 2 ху=. t.

Тогда данные уравнения примут вид (по умножении второго на 4)

z2+t2 = 353, 32* = 272.

Отсюда сложением и вычитанием этих уравнений сразу получаем:

z +1 = ±25; z — t= ±9.

Заменив опять z на *2+у2 и t на 2хуу убеждаемся, что уравнения принимают вид:

(х + у)2= ±25; (х—у)* = ±9.

Отсюда легко получаются значения для х+у и х—у, комбинируя которые, мы получим ряд систем уравнений первой степени, конечно, гораздо легче решающихся, чем системы уравнений второй степени, полученные раньше.

Но только Ф. Брижак (Краснодар) нашел самое короткое и самое изящное решение. Напишем опять данную систему, раскрыв скобки во втором уравнении:

х*+6х*У*+УА = 353, х*у+ху2 = 68.

Коэфициент 6 при х2у2 и вид второго уравнения уже наводят на мысль о возможности приведения уравнения к биному. И действительно, умножив второе уравнение на 4 и прибавив, а затем вычтя его из первого, мы сразу получаем:

(5)

Отсюда непосредственно получаем те же системы, к которым пришел и т. М. Яглом. Запишем их в развернутом виде:

х+у = 5; х+у = — 5; jc+y = 5/ х+_у — — Ы\ x —у = 3; х—у — — 3; x —у = Зг, x— у = —31.

Комбинируя каждые из первых уравнений с каждым из вторых, получим lb систем двух уравнений первой степени с двумя неизвестными, решив которые, найдем все шестнадцать решений данного уравнения, Приведем их.

Все шестнадцать решений удовлетворяют данной системе уравнений.

Интересно, что некоторые приходили к уравнением (4) или (5) и все же не получили всех решений.

М. Беневольский (Ленинград), Б. Боголюбов (Ульяновск), А. Брегер (Красино), Ф. Брижак (Краснодар), А. Волков (Чухлома), В. Ефимов (Сводня), Г. Жураховский (п/о Мало-Ниветаевское), И. Згурский (Гельмязов), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), В. Камендровский (Оренбург), Б. Каждан (Ленинград), H. Карелина (Смоленск), М. Кекелия (с. Бандза), Г. Кипнис (Красино), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), Н. Кулаков (Бугуруслан), С. Кулигин (ст. Зиновьевка), П. Кутин (Москва), А. Логашов (Саловка), А. Любомудров (Ленинград), М. Манукян (Краснодар, уч., IX кл,), С. Мельников (Фрунзе), А. Миненко (Нальчик), Г. Пеккер (Рашков,) Е. Потапов (Рязань), М. Радомысловский (Житомир, уч. X кл.), Г. Ржавский (Фролов), М. Саакян (Краснодар, уч. IX кл.), Ю. Сенько (Золочев), П. Сергиенко (Запорожье), О. Ханчарлян (Краснодар), Е. Чернин (Москва), М. Шевелев (Казань), М. Щинова и Ф. Щинов (Глазов), М. Яглом (Москва), Д. Флавиан (Куйбышев).

12. Доказать тождество (для треугольника):

(I)

Пользуясь формулами:

преобразуем левую часть:

(2)

Пользуясь формулами:

преобразуем правую часть:

(3)

Из равенств (2) и (3) вытекает (1).

Многие доказывали тождество чисто геометрически при помощи чертежа, большею частью приходя к тем же формулам, которые были использованы в приводимом здесь решении. Некоторые решения прямо утомительны по своей необычайной длинноте.

Н. Агарков и Е. Агаркова (Раздорская н/ Д.), К. Агринский (Москва), А. Аляев \ст. Башмаково), С. Андреев (Торжок), М. Беневольский (Ленинград), Г. Бройт (Ленинград), Н. Введенский (с. Георгиевское), А. Вепланд (Москва), А. Владимиров (Ялта), А. Волков (Чухлома), А. Воробьев (Нижнедевицк), В. Гильц (Остяко-Вогульск), В. Голубев (Кувшиново), С. Городов (Ленинград), В. Ефимов (Сходня), Г. Жураховский (п/о Мало-Ниветаевское), П. Згурский (Гельмязов), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), П. Калиниченко (ст. Аргаяш), В. Камендровский (Оренбург), Н. Канунов (с. Новодевичье), Б. Каждан (Ленинград), И. Карлик (Клинцы, уч. X кл.), И. Кацман (Житомир), М. Кекелия (с. Бандза), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), Я. Кольбер (Высокое-Сычевское), Е. Костюкова и Е. Сапунцов (Луга;, Н. Кулаков (Бугуруслан), А. Логашов (Саловка), А. Любомудров (Ленинград), Л. Медведев (Даниловка), С. Мельников (Фрунзе), А. Миненко (Нальчик), С. Немировский (Житомир), А. Овчинников (Сталинград), А. Орлов (п/о Кулотино), Б. Павлов (Чистополь), С. Павлов (Новороссийск), Г. Пеккер (Рашков), П. Постников (Рязань), Е. Потапов

(Коломна), M. Радомысловский (Житомир, уч. X кл.), Г. Ржавский (Фролов), М. Саакян (Краснодар, уч. IX кл.), Н. Сандров (Старый-Крым), Н. Сергиенко (Запорожье), Я. Томсон (Полтава), И. Хайдаров (Набережные Челны), О. Ханчарлян (Краснодар), М. Шевелев (Казань), Б. Шехтман (Одесса), Шилин (Ново-Томниково), Я. Шор (Тула), М. Щинова и Ф. Щинов (Глазов), М. Яглом (Москва).

13. Решить уравнение:

a cos*x -f [2а2 — а + 1) sin * — За + 1 = 0.

Определить все дуги х, удовлетворяющие уравнению при a = 3.

Выражаем cos через sin и решаем полученное квадратное уравнение относительно sin *. a— ßsin2* + (2ß2 — а + 1) sin* — За+ 1 = 0, или

a sin** — (2a2 — а + 1) sin x + (2а — 1) — 0.

Уравнение легко решается обычным путем, но тов. Г. Бройт (Ленинград) дал более быстрое и изящное решение, воспользовавшись теоремой Виета.

Разделим обе части уравнения на коэфициент при sin2*:

sin2 * — Г (2а — 1) + -] sin * + (2а — 1) -1 — 0. L a J а

Рассматривая коэфициент при sin* и свободный член, непосредственно заключаем:

Рассмотрим при каких условиях уравнение имеет решения и сколько.“ Так как — 1 ^ sin * ^1, то

Второе решение дает:

~1<2а-1<1, т. е. 0<я< 1.

Итак, мы видим, что уравнение имеет всегда одно решение (для синуса) и именно при всех отрицательных значениях я, меньших —1, и при всех положительных. Уравнение не имеет решений при значениях а, заключенных межпу 1 и 0. у

При а — 3 решения дают: sin хх — L; sin*2 = 5. Второе решение не годится, первое же дает:

* = 180° n + (— 1)“ • 19° 28'.

Задача сама по себе очень проста и весь ее интерес заключался в обнаружении единственности решения, хотя получается квадратное уравнение, а это исследование, из приславших решения, дали буквально единицы.

А. Аляев (ст. Башмаково), С. Андреев (Торжок), М. Беневольский (Ленинград), Б. Боголюбов (Ульяновск), И. Бородуля (Москва), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), А. Вепланд (Москва , А. Владимиров (Ялта), А. Волков (Чухлома), А. Воробьев (Нижнедевицк), В. Гильц (Остяко-Вогульск), В. Голубев (Кувшиново), Г. Жураховский (п/о Мало-Ниветаевское), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), В. Камендровский (Оренбург), Н. Канунов (с. Новодевичье), Б. Каждан (Ленинград), И. Карлик (Клинцы, уч. X кл.), Н. Карелина (Смоленск), М. Кекелия (с. Бандза), Г. Кипнис (Красино), К. Кириллов (Казань), И. Клоков (Тим), Б. Кобылин (Галич), С Колесник (Харьков), Я. Кольбер (Высокое-Сычевское), Е Костюкова и Е. Сапунцов (Луга), Н. Кулаков (Бугуруслан), П. Кутин (Москва), А. Логашов (Саловка), С. Мельников (Фрунзе), А. Миненко (Нальчик), С. Немировский (Житомир), А. Орлов (п/о Кулотино), Б. Павлов (Чистополь), Г. Пеккер (Рашков), П. Постников (Рязань), Я. Потапов (Коломна), М. Радомысловский (Житомир, уч. X кл.), Г. Ржавский (Фролов), Д. Савельев (Горький), Ю. Сенько (Золочев), И. Сергиенко (Запорожье), Я. Томсон (Полтава), Д. Усатин (Лиман), И. Хайдаров (Набережные Челны), О. Ханчарлян (Краснодар), Е. Чернин (Москва), С. Чуканцов (Брянск), М. Шевелев (Казань), Шилин (Ново-Томниково), Я. Шор (Тула), П. Щелоковский (Вольяновск), М. Щинова и Ф. Щинов (Глазов), М. Яглом (Москва), Д. Флавиан (Куйбышев). 14. Решить в целых числах уравнение:

(1)

Преобразуем данное уравнение:

или

(2)

Для целого z необходимо, чтобы 2*у было кратно * + у. Пусть * и у имеют общего наибольшего делителя k:

* = km; у = kn, (3)

где тип числа взаимно простые. Тогда:

(4)

Так как тип числа взаимно простые и следовательно каждое из них — взаимно простое с « + л, то 2 Ä должно делиться на m+п.

Пусть 2 к = (т + n)tt (5)

где f — целое число. Тогда:

(6)

Формула (б) показывает, что если тип оба нечетны, то k будет целым числом при всяком целом t. Если же одно из числа тип четно, а другое нечетно, то t должно быть четным числом. Подставляя найденное значение k в формулы (3) и (4), найдем!

(7)

Формулы (7) и дают общее выражение для решений данного уравнения. Здесь тип произвольные целые взаимно простые числа, а t произвольное целое число с тем ограничением, что оно должно быть четным, если одно из чисел т и п четно, а другое нечетно.

Задача оказалась трудной и получила наименьшее количество правильных решений. Часть решений подходила правильно к задаче, но не доводила дела до конца, давая несколько част-

пых формул. Громадное же большинство решений совершенно неправильны. Так, одни утверждают, что уравнение имеет решение только при x — у — z, другие —при х = О, у = z, или У —0, x — z, третьи вообще отрицали возможность решения, о:новываясь на неделимости хг у2 на x + У и т. и.

Н. Введенский (с. Георгиевское), А. Вепланд (Москва), А. Воробьев (Нижнедевицк), Я. Кольбер (Высокое-Сычевское), Е. Костюкова и Е. Сапунцов (Луга), Л. Медведев (Даниловка), М. Яглом (Москва).

15. Доказать что число 62П -f 3 п + 2 + 3“ при всяком целом и неотрицательном п делится на 11.

Первое решение. Преобразовываем данное выражение:

б2л + 3* + 2 + 3 п = 3 2/1 2 2/1 + 9.3я + 3“ = Зв(12я-1Ы1 ) = 3П (12я-1) + Ц.З?7.

Выражение 12й—1 при всяком целом неотрицательном п делится на 12—1, т. е. на 11, что и доказывает предложение.

Второе решение.

Приходим к тому же выражению, что и в первом случае.

Задача очень легкая, но получила много длинных и сложных решений.

К. Агринский (Москва), А. Аляев (ст. Башмаково), С. Андреев (Торжок), М. Беневольский (Ленинград), И. Бородуля (Москва), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), Н. Введенский (с. Георгиевское), А. Вепланд (Москва), М. Владимиров (ст. Шимановская), А. Владимиров (Ялта), А. Волков (Чухлома), А. Воробьев (Нижнедевицк), В. Гильц (Остяко-Вогульск), И. Глотов (п/о Ново-Троицкое), В. Голубев (Кувшиново), С. Городов (Ленинград), В. Ефимов (Сходня), Г. Жураховский (п/о Мало-Ниветаевское), П. Згурский (Гельмязов), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец). П. Калиниченко (ст. Аргаяш), В. Камендровский (Оренбург), Н. Канунов (с. Новодевичье), Б. Каждан (Ленинград), И. Карлик (Клинцы, уч. X кл.), Н. Карелина (Смоленск И. Кацман (Житомир), М. Кекелия (с. Бандза), Г. Кипнис (Красино), К. Кириллов (Казань), И. Клоков (Тим), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), Я. Кольбер (Высокое-Сычевское), Е. Костюкова и Е. Сапунцов (Луга), И. Кулаков (Бугуруслан), А. Логашов (Саловка), Л. Медведев (Даниловка), С. Мельников (Фрунзе), А. Миненко (Нальчик). А. Орлов (п/о Кулотино), Б. Павлов (Чистополь), В. Падучев (ст. Лиски), Г. Пеккер (Рашков), П. Постников (Рязань), Е. Потапов (Коломна), Г. Ржавский (Фролов), Н. Сандров (Старый-Крым), Ю. Сенько (Золочев), П. Сергиенко (Запорожье), Я. Томсон (Полтава), Д. Усатин (Лиман), И. Хайдаров (Набережные Челны), О. Ханчарлян (Краснодар), X. Хусаинов (Уфа), С. Чуканцов (Брянск), М. Шевелев (Казань), Б. Шехтман (Одесса), Л. Шмуленсон (Винница), Я. Шор (Тула), М. Яглом (Москва).

16. Решить уравнение:

Из самой структуры уравнения легко замечаем, что 1) при x — а будем иметь:

2) при x — — а будем иметь:

т. е. х1 = а и х2 — а являются корнями данного уравнения. Заметив это и представив уравнение в виде

(x -f а)6 + (x — af = 64а6, (1)

разложим (х + af и (х — а)6. После приведения подобных членов и сокращения на 2, получим:

х*+ \5а2х* + \Ба4х2 — 31а* = 0. (2)

Так как хх = а и jc2 = — а являются корнями уравнения (2), то его левая часть должна делиться на x2 — а2. Произведя деление, получим в частном:

jt4-f 16а2х2 + 31а4.

Приравняв его нулю и решив полученное биквадратное уравнение, найдем остальные четыре корня данного:

Против ожидания задача получила очень много решений, правда, в большинстве гораздо более длинных и сложных, чем приводимое. Наиболее простым являлось разложение на множители левой части уравнения (2); более сложный способ представляет метод замены неизвестных

(X + flr/ИТ. П).

Л. Амбарцумян (Кировокан), С. Андреев (Торжок), М. Беневольский (Ленинград), Б. Боголюбов (Ульяновск), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), Н. Введенский (С. Георгиевское), А. Вепланд (Москва), А. Владимиров (Ялта), А. Волков (Чухлома), А. Воробьев (Новодевицк), В. Гильц (Остяко-Вогульск), И. Глотов (п/о Ново-Троицкое), С. Городов (Ленинград), В. Ефимов (Сходня), Г. Жураховский (п/о Мало-Ниветаевское), П. Згурский (Гельмязов), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), B. Камендровский (Оренбург), Н. Канунов (с. Новодевичье), Б. Каждан (Ленинград), (Н.- Карелина (Смоленск), И. Кацман (Житомир), М. Кекелия (с. Бандза), Г. Кипнис (Красино), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), C. Колесник (Харьков), Я. Кольбер (Высокое-Сычевское), Е. Костюкова и Е. Сапунцов (Луга), Н. Кулаков (Бугуруслан), С. Кулигин (ст. Зиновьевка), П. Кутин (Москва), А. Логашов (Саловка), А. Любомудроз (Ленинград, С. Мельников (Фрунзе), А. Миненко (Нальчик), И. Нагорный (Кошеватое), С. Немировский (Житомир), А. Овчинников (Сталинград), А. Орлов (п/о Кулотино), Ф. Орлов (Кинешма), Б. Павлов (Чистополь), С. Павлов (Новороссийск), В. Падучев (ст. Лиски), Г. Пеккер (Рашков), В. Поздеев (Алма-Ата), Е. Потапов (Коломна), М. Радомысловский (Житомир, уч. X кл.), Г. Ржавский (Фролов), М. Саакян (Краснодар, уч. IX кл.), Н. Сандров (Старый-Крым), Ю. Сенько (Золо-

чев), П. Сергиенко (Запорожье), Я. Томсон (Полтава), Д. Усатин (Лиман), И. Хайдаров (Набережные Челны), О. Ханчарлян (Краснодар), К. Хоменко и С. Пичкур (Черкассы), X. Хусаинов (Уфа), Е. Чернин (Москва), С. Чуканцов (Брянск), М. Шевелев (Казань), Л. Шмуленсон (Винница), Я. Шор (Тула), П. Щелоковский (Вольяновск), М. Яглом (Москва).

17. По данным углам треугольника определить угол между медианой и биссектрисой, проведенными из одной вершины.

Треугольники CAD и DAB, как имеющие равные высоты и равные основания, равновелики, т. е. S CAD = SDAB или

CA.DA-sin CAD = BA-DA-sm BAD.

Отсюда:

(1)

Но из треугольника ABC имеем:

(2)

Следовательно,

(3)

Обозначим искомый угол EAD через х, угол CAD через у и угол BAD через z. Нетрудно видеть, что:

у + z = А; (4)

(5)

Тогда выражение (3) перепишется так:

Отсюда:

или:

(6)

а по (4) и (5)

Следовательно из (6) имеем:

Следовательно, тангенс угла между медианой и биссектрисой равен квадрату тангенса угла, из вершины которого они проведены, умноженного на тангенс полуразности двух других углов (причем уменьшаемым всегда будет больший угол).

Как видим, формула получилась очень простая. Поэтому никак нельзя принять за решение формулы вроде таких (взяты из присланных решений):

С. Андреев (Торжок), M. Беневольский (Ленинград), Г. Бройт (Ленинград), Н. Введенский (с. Георгиевское), А. Воробьев (Нижнедевицк), П. Згурский (Гельмязов), А. Иванов (Торопец), В. Камендровский (Оренбург), Н. Канунов (с. Новодевичье), М. Кекелия (с. Бандза), К.Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), Я. Кольбер (Высокое-Сычевское), Е. Костюкова и Е. Сапунцов (Луга), Н. Кулаков (Бугуруслан), А. Логашов (Саловка), Л. Медведев (Даниловка), С. Мельников (Фрунзе), Б. Павлов (Чистополь), С. Павлов (Новороссийск), П. Сергиенко (Запорожье), И. Хайдаров (Набережные Челны), О. Ханчарлян (Краснодар, М. Шевелев (Казань), М. Щинова и Ф. Щинов (Глазов), М. Яглом (Москва).

18. Решить уравнение:

(V2—\)x* — V2 х* + 2х — 2\^2{\г2 — \)-0.

Это довольно простая задача и решается она обычным путем, т. е. разложением на множители, причем к выделению множителя х — V2 приходили различными способами. Мы приведем, хотя немного искусственный, но наиболее короткий и, по нашему мнению, остроумный способ, который дал т. Введенский (с. Георгиевское, Алма-атинской обл.).

Умножим данное уравнение на V2+ 1 (что очень легко выполняется в уме). Получим:

(У2 + 2) x* + (2V2 + 2) X—2V2- 0.....(1)

Раскроем скобки и соединим каждый член с последующим:

(je3 — V2x*) — (2x2 — 2^2*) +(2jc —21^“) =0,

Далее

х*(х — V2)-2x (x--\/2) + 2(x-V2)=0; U—1*2) С*2 — 2*+ 2) = 0.

Отсюда:

X — VJ- 0; X-V2; х2 — 2х + 2 = 0; хгъ = 1 ±/.

К тому же уравнению (1) приходит М. Аверьянов (Буинск А. Т. ССР) более естественным путем. Он делит уравнение на коэфициент при Xs и получает:

Освобождаясь во втором и третьем членах от иррациональности в знаменателе, он приходит к уравнению (1). Почти тем же путем шел и К. Агринский (Москва).

М.Аверьянов (Буинск), К. Агринский (Москва), a. Аляев (ст. Башмаково), Л. Амбарцумян (Кировокан), С Андреев (Торжок), А. Аристова (Дивеево, Горьк.), 3. Белявский (Клинцы, уч. IX кл.), М. Беневольский (Ленинград), Б. Боголюбов (Ульяновск), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), Васюченко (Ярославль), Н. Введенский (с Георгиевское), А. Вепланд (Москва), М. Владимиров (ст. Шимановская), А. Владимиров (Ялта), А. Волков (Чухлома), А. Воробьев (Нижнедевицк), В. Гильц (Остяко-Вогульск), B. Голубев (Кувшиново), Н. Гонтаренко (Керчь, Багерово), С. Городов (Ленинград), Г. Жураховский (п/о Мало-Ниветаевское), П. Згурский (Гельмязов), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), В. Камендровский (Оренбург), Н. Канунов (с. Новодевичье), Б. Каждан (Ленинград), И. Карлик (Клинцы, уч.X кл.), Н.Карелина (Смоленск), И. Кацман (Житомир), М. Кекелия (с. Бандза), Г. Кипнис (Красино), К. Кириллов (Казань), И. Клоков (Тим), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), Я- Кольбер Высокое-Сычевское), Е. Костюкова и Е. Сапунцов (Луга), Н. Кулаков (Бугуруслан), С. Кулагин (ст. Зиновьевка), П. . Кутин (Москва)/ А. Логашов (Саловка), А. Любомудров (Ленинград), М. Манукян (Краснодар, уч. IX кл.), С. Мельников (Фрунзе), А. Миненко (Нальчик), С. Немировский (Житомир), А. Овчинников (Сталинград), А. Орлов (Кинешма), Б. Павлов (Чистополь), С. Павлов (Новороссийск), В. Падучев (ст. Лиски), Г. Пеккер (Рашков), П. Постникоз (Рязань), Е. Потапов (Коломна), Г. Ржавский (Фролов), М. Саакян (Краснодар, уч. IX кл.), Н. Сандров (Старый-Крым), П. Сергиенко (Запорожье), Я- Томсон (Полтава), Д. Усатин (Лиман), И. Хайдаров (Набережные Челны), О. Ханчарлян (Краснодар), К. Хоменко и С. Пичкур (Черкассы), X. Хусаинов (Уфа), Е. Чернин (Москва), С. Чуканцов (Брянск), М. Шевелев (Казань), Б. Шехтман (Одесса), Я. Шор (Тула), П. Щелоковский (Вальяновск), М. Щинова и Ф. Щинов (Глазов), М. Яглом (Москва), Д. Флавиан (Куйбышев)

19. Доказать, что сумма цифр, доведенная повторным сложением до однозначного числа для куба любого числа, может быть только 1, или 8, или 9.

Всякое целое число может быть представлено в виде:

Nzzz3m + г, где г = 0, 1, 2. Куб этого числа будет равен;

(1)

где r* = 0, 1, 8.

По известному признаку делимости на 9 сумма цифр всякого числа, доведенная повторным сложением до однозначной цифры, равна остатку от деления числа на 9. Первая часть выражения (1), кратная девяти, должна дать сумму цифр, равную 9. Тогда в случае г8 = 0, сумма цифр всего числа равна 9. В случае г = 1, сумма цифр будет 10, что при повторном сложении дает 1. Точно так же в случае г8 = 8, сумма цифр будет 8.

Нужно отметить обилие чрезвычайно длинных и сложных решений этой простой задачи.

М. Беневольский (Ленинград), Г. Бройт (Ленинград), А. Вепланд (Москва), А. Владимиров (Ялта), А. Воробьев (Нижнедевицк), В. Гильц (Остяко-Вогульск), В. Голубев (Кувшиново), Г. Жураховский (п/о Мало-Ниветаевское), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), Е. Костюкова и Е. Сапунцов (Луга), А. Логашов (Саловка), Е. Марчевская (Харьков), С. Мельников (Фрунзе), А. Орлов (п/о Кулотино), Н. Сандров (Старый-Крым), П. Сергиенко (Запорожье), Я. Томсон (Полтава), M Шевелев (Казань), М. Щинова и Ф. Щинов (Глазов), Н. Яворский (Москва), М. Яглом (Москва),

20. Известен способ «мгновенного» сложения. Он состоит в том, что к данному числу двое приписывают новые числа с тем же количеством цифр, причем второй все время пишет цифры, дополняющие цифры первого до девяти. Если таким образом было написано п пар чисел, то

сумма всех 2п -f 1 чисел получится, если от первого (данного) числа отнять п% а слева приписать число п (см. пример). Доказать, что это правило применимо в общем виде для 2п + 1 слагаемых, состоящих из любого количества цифр. Пример:

Приведем наиболее короткое решение (А. Аляев, ст. Башмаково, Лен. ж. д.). Пусть дано число

К нему прибавляется ряд чисел, причем каждые два последующих дают число

Пусть таких пар приписано п. Их сумма будет:

Преобразуем это выражение:

Прибавляя Sn к данному числу А и располагая сумму по степеням десяти, получим:

Л+ .Sл:=10* + 1л+10,ca + -f 10* b + ... -f 10/7 -f q — л.

Это выражение и доказывает предложенную теорему. В самом деле число п стоит на k -f 2-м месте, т. е. перед данным числом; далее идет данное число, из которого вычтено то же число п.

Положение остается справедливым и для л> 10.

К. Агринский (Москва) указывает, что нет необходимости требовать, чтобы каждое число было такой же значности, как и данное. Достаточно отсутствующие цифры высших разрядов заменять нулями.

М. Яглом (Москва) отмечает любопытный факт, что положение становится неверным, если вычитание числа п снижает значность данного числа. Так, например,

По предложенному же правилу мы получим 29999. Однако положение остается справедливым для всех случаев, если оговорить, что при займе единицы высшего разряда, если последних единиц больше не остается, надо ставить нуль во всех случаях (т. е. и тогда, когда занимается единица из первой цифры).

К, Агринский (Москва), А. Аляев (ст. Башмаково), С. Андреев (Торжок), А. Бауэр (Энгельс), М. Беневольский (Ленинград), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), Н. Введенский (с. Георгиевское), А. Вепланд (Москва), А. Владимиров (Ялта), А. Волков (Чухлома), А. Воробьев (Нижнедевицк), В. Голубев (Кувшиново), Г. Жураховский (п/о Мало-Ниветаевское), П. Згурский (Гельмязов), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торжок), В. Камендровский (Оренбург), Н. Канунов (с. Новодевичье), Б. Каждан (Ленинград), Н. Карелина (Смоленск), М. Кекелия (с. Бандза), Г. Кипнис (Красино), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), Е. Костюкова и Е. Сапунцов (Луга) И. Кулаков (Бугуруслан), А. Логашов (Саловка), Л. Медведев (Даниловка), С. Мельников (Фрунзе), А. Овчинников (Сталинград), А. Орлов (п/о Кулотино), Б. Павлов (Чистополь), П. Постников (Рязань), Е. Потапов (Коломна), Г. Ржавский (Фролов), Н. Сандров (Старый-Крым), П. Сергиенко (Запорожье), Я. Томсон (Полтава), О. Ханчарлян (Краснодар), М. Шевелев (Казань), Б. Шехтман (Одесса), Я. Шор (Тула), М. Щинова и Ф. Щинов (Глазов), Н. Яворский (Москва), М. Яглом (Москва).

Примечание. Перечень решивших содержит фамилии тех читателей, решения которых получены редакцией до 1 февраля.

Редакция

ЗАДАЧИ

(Срок для присылки решений 15-е июня.)

21. Решить уравнение

Ах4+ 12х8-Ь 5л;2 — 6jc — 15 = 0

А. Локтев (г. Н.-Челны)

22. Куплено на 1000 p. сто голов скота, причем голова крупного скота стоит 100 руб., среднего 50 руб. и мелкого 5 руб. Сколько куплено голов скота каждого вида?

В. Павлов (Удельная)

23. Доказать тождество

С. Городов (Ленинград)

24. Доказать, что

если

Ф. Фисун

25. В равнобедренном треугольнике радиус описанной окружности R =2Д а радиус вписанной г =1,2. Найти стороны.

Н. Милковский (Новозыбков)

26. Решить систему уравнений

27. Доказать тождество

П.Савчук (Скопин)-

28. При стрельбе в мишень, находящуюся на расстоянии d от места стрельбы, наблюдатель, находящийся на расстоянии г от мишени и rt от места стрельбы, слышит одновременно и звук выстрела и звук от попадания пули в мишень.

1) Определить среднюю скорость полета пули.

2) Найти геометрическое место точек, из которых оба звука слышны одновременно.

А. Лейберг (Москва).

29. Дана дробь

1) Определить значения п, при которых дробь будет иметь приближенное значение с точностью до (с недостатком), равное 8,47. Имеются ли целые значения п, удовлетворяющие этому требованию?

2) Если дробь m сократима, то какие значения может иметь общий наибольший делитель членов дроби?

3) Определить целые значения п, при которых дробь m равна квадрату некоторой несократимой дроби т\

30. В плоскости Р дана точка В и прямая KZ, проходящая через эту точку. Вне плоскости дана точка Л.

1) Найти геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных на прямую KZ при ее вращении вокруг точки В.

2) Пусть AB = 2с2 и AM = та, где точка M — основание перпендикуляра, опущенного из А на плоскость Р. Пусть N какая-либо из точек, удовлетворяющих условию 1 (не совпадающая с В).

Определить положение точки N, для которой объем тетраэдра ABMN будет наибольшим. Вычислить для этого случая объем и полную поверхность тетраэдра.

3) Приложить предыдующие формулы к частному случаю m = 2.

31. Решить систему уравнений

х“=у“

32. Дан тетраэдр ABCD, в котором ребро AB перпендикулярно к плоскости основания BCD, причем ÄB = CD. Тетраэдр пересечен плоскостью MNP&, параллельной AB и CD.

1) Доказать, что сечение MNPQ есть прямоугольник.

2) Периметр сечения при различных положениях его остается постоянным.

3) Найти положение точки M на АС, если сечение MNPQ — квадрат.

33. Даны три дроби, причем:

Доказать, что

34. Даны два целых положительных числа а и Ь. Какому условию должны удовлетворять числа а± и Ьи чтобы:

Применить к случаю: a = 105; Ъ = 175.

35. Доказать, что если дуги взяты между

36. Найти четырехзначные числа abed, удовлетворяющие условию, что a, cd, ad и abed суть точные квадраты.

37. Дан квадрат ABCD, сторона которого равна а. На стороне AB, как на диаметре, внутри квадрата построена полуокружность. Провести окружность с центром на ÄD, касательную к данной полуокружности и к стороне CD. Вычислить радиус этой окружности.

33. Через точку А, лежащую внутри данного круга, провести хорду так, чтобы она разделилась в точке А в данном отношении.

(Решить построением.)

39. На диаметре данного круга построить, как на основании, равнобедренный треугольник так, чтобы отрезок его боковой стороны от вершины до пересечения с окружностью равнялся данной длине.

40. Доказать тождество

где Рт число перестановок из m элементов, С — число сочетаний из m элементов по k, а п некоторое целое положительное число.

При обнаружении дефекта в данной номере журнала просим прислать его для обмена по адресу: Москва, Орликов пер. 3, ко“н. 238, Отдел периодических изданий Учпедгиза.