МАТЕМАТИКА

В ШКОЛЕ

1

1937

НАРКОМПРОС ~ МОСКВА ~ УЧПЕДГИЗ

УПРАВЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

№ 1

ЯНВАРЬ 1937 ФЕВРАЛЬ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

СОДЕРЖАНИЕ

Под знаменем Сталинской Конституции ....................... 3

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

Д-р Альфред Тарский — Теория длины окружности в средней школа........ 6

Проф. И. И. Чистяков — Решение уравнения четвертой степени........... 13

М. Филистович — Из истории и теории логарифмов................ 15

Н. Иванов — О неравенствах высших степеней.................... 25

Проф. 3. И. Приблуда — Об исчезании л + 1-го члена в бесконечно-убывающей прогрессии ..................................... 29

Л. Кременштейн и Д. Маергойз — О двугранных углах............... —

Н. Острогский — Об углах, расположенных в пересекающихся плоскостях..... 32

В. Высоцкая — О сумме углов кругового треугольника................ 33

И. Бакулин — Две задачи на трапецию........................ 40

МЕТОДИКА

К. Шевченко — Вопросы элементарной математики, способствующие развитию

мятематически-обобщающего мышления................... 44

И. Кувыркин — Устные вычисления в старших классах...........»... 50

В. Эменов — Подготовлены ли ученики IV класса к работе в средней школе по арифметике................................... 57

В. Рутковский — О посторонних кор ях алгебраических уравнений........ 62

Г. Сагалович — К вопросу о методике биквадратных уравнений.......... 64

И. Теребенин — Приемы быстрого возведения в квадрат и извлечения квадратного корня................................... 65

ИЗ ОПЫТА

Л. Коган — К проработке темы «Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же угла» ......................... 69

С. Дроздов — Математическое упражнение-игра для старшего класса средней школы...................................... 70

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

И. Кастровицкий — Об учебнике геометрии для средней школы........... 72

В. Падучев — Система нумерации упражнений в математических задачниках ... 82

В. Голубев — О решениях задач в «Сборнике алгебраических задач» Шапошникова и Вальцова............................. 83

ЗАДАЧИ

Доц. С. Зетель — По поводу одной задачи...................... 84

Решение задач, помещенных в № 4 журнала «Математика и физика в школе» за 1936 г.................................... 85

ОПЕЧАТКА

В № 6 журнала на стр. 90, 3-я строка снизу замечена досадная опечатка. Напечатано: проф. Павлова, следует читать: Иовлева.

Отв. ред. А. Н. Барсуков. Техредактор Е. М. Зеф.

Отв. секр. M. М. Гуревич.

Адрес редакции: Москва, Орликов, 3. Учпедгиз, Периодсектор, журн. «Матем. в школе».

Тираж 30000.

Уполномоченный Главлита № Б -7170

Сдано в производство t7/XII 1936 г. Подписано к печати 21/1 1937 г.

Учгив JVft 8803. Объем 6 п. л.

в 1 п. л. 74000 вн. Бумага 72 X Ю5/1в

Зак. 1692

18-я типография треста «Полиграфкнига». Москва, Шубинский, 10.

ПОД ЗНАМЕНЕМ СТАЛИНСКОЙ КОНСТИТУЦИИ

1

Даже в нашу бурную событиями эпоху, даже в нашей советской действительности, из года в год удивляющей мир новыми победами, новыми достижениями в области политической, хозяйственной, культурной и пр., настоящий 1937 г. является особенно выдающимся, особенно замечательным.

в 1937 г. вся Советская страна, а с ней и пролетариат всего мира будут праздновать великую дату двадцатилетия Великой пролетарской революции. Вся страна будет подводить итоги двадцатилетней диктатуры рабочего класса, итоги борьбы за построение социализма.

В 1937 г. трудящиеся Советского союза будут подводить итоги второй хозяйственной пятилетки, итоги титанической работы по индустриализации нашей страны, по созданию мощных гигантов тяжелой промышленности, по подведению индустриальной базы под коллективизированное сельское хозяйство.

К началу 1937 г. вступила в действие, стала основным законом Советского союза великая сталинская Конституция.

2

Великая сталинская Конституция! Трудно подобрать такие слова и выражения, чтобы точно изобразить тот энтузиазм, с которым избранники трудящихся Советского союза, лучшие люди страны, делегаты Чрезвычайного VIII съезда Советов СССР слушали доклад товарища Сталина о Конституции, обсуждали и принимали пункт за пунктом текст ее.

Трудно изобразить те чувства, ту бурную волну восторга и гордости, с которыми многомиллионные массы Союза встретили принятие сталинской Конституции.

В сжатых, но ярких, выразительных и четких формулировках обрисовал т. Сталин все значение новой Конституции.

«Это будет исторический документ, трактующий просто и сжато, почти в протокольном стиле, о фактах победы социализма в СССР, о фактах освобождения трудящихся. СССР от капиталистического рабства, о фактах победы в СССР развернутой, до конца последовательной демократии.

Это будет документ, свидетельствующий о том, что то, о чем мечтали и продолжают мечтать миллионы честных людей в капиталистических странах — уже осуществлено в СССР.

Это будет документ, свидетельствующий о том, что то, что осуществлено в СССР, вполне может быть осуществлено и в других странах.

Но из этого следует, что международное значение новой Конституции в СССР едва ли может быть переоценено».

И далее:

«Еще большее значение имеет новая Конституция СССР для народов СССР. Если для народов капиталистических стран Конституция СССР будет иметь значение программ мы действий, то для народов СССР она имеет значение итога их борьбы, итога их побед на фронте освобождения человечества. В результате пройденного пути борьбы и лишений приятно и радостно иметь свою конституцию, трактующую о плодах наших побед».

Пункт за пунктом в коротких, внешне сухих фразах перечисляет сталинская Конституция величайшие завоевания трудящихся Советского союза, результаты великой борьбы, великого героизма, великих побед, достигнутых под славным руководством единственной в мире подлинно революционной, подлинно пролетарской партии — партии Ленина—Сталина.

Завоевана и закреплена в Советском союзе власть трудящихся, и никакой натиск капиталистических, фашистских сил не сокрушит ее.

Завоевано и закреплено в Советском союзе подлинное «равноправие граждан СССР, независимо от их национальности и расы, во всех областях хозяйственной, государственной, культурной и общественно-политической жизни»... (из ст. 123 Конституции).

Осуществлено и обеспечивается государством подлинное равноправие женщин «во всех областях хозяйственной, государственной, культурной и общественно-политической жизни» (из ст. 122).

Завоеваны и гарантируются государством свобода слова, печати, собраний и митингов, уличных шествий и демонстраций, неприкосновенность личности и жилища.

Наконец, за каждым трудящимся Советского союза признается основным законом и обеспечивается государством право на труд, право на отдых, право на образование, право на материальное обеспечение в старости, а также — в случае болезни и потери трудоспособности.

Некоторые из перечисленных выше пунктов можно встретить и в конституциях ряда буржуазных стран. Но какая пропасть лежит между фактическим содержанием, фактическим осуществлением этих пунктов в капиталистических странах и у нас!

«Особенность проекта новой Конституции, — говорил товарищ Сталин, — состоит в том, что он не ограничивается фиксированием формальных прав граждан, а переносит центр тяжести на вопрос о гарантиях этих прав, на вопрос о средствах осуществления этих прав» (из доклада на VIII с'езде советов).

И каждый пункт Конституции, устанавливающий те или иные права советского гражданина, немедленно вслед за этим перечисляет те средства и способы, которыми гарантирует государство осуществление этих прав.

И рядом с этим какой горькой насмешкой, каким издевательством звучат в конституциях капиталистических стран хотя бы до некоторой степени аналогичные строки, — на фоне капиталистической действительности, на фоне фашистского разгула в целом ряде государств.

3

Право на образование! Это — нечто совершенно новое, совершенно неслыханное для буржуазных стран. Там даже всеобщее обязательное начальное обучение фактически не может быть осуществлено вследствие тяжелого экономического положения пролетария и его семьи. У нас не только проводится обязательное семилетнее обучение в городах, а в недалеком будущем и по всему Союзу. У нас провозглашается право советского гражданина на все виды и ступени общего и технического образования.

Как все другие пункты Конституции и этот пункт, его действенность, реальность подкрепляется дальнейшим текстом: «Это право обеспечивается всеобще-обязательным начальным обучением, бесплатностью образования, включая высшее образование, системой государственных стипендий подавляющему большинству учащихся в высшей школе, обучением в школах на родном языке, организацией на заводах, в совхозах, в машинотракторных станциях и колхозах бесплатного производственного, технического и агрономического обучения трудящихся».

В свете этого пункта во весь рост встает фигура педагога, как активного участника социалистической стройки, как действенного борца за торжество коммунизма. Ибо школа в первую очередь воспитывает, обучает, словом — подготавливает к творческой работе

кадры молодого поколения, «способного окончательно установить коммунизм» (из программы ВКП(б).

И понятно, что партия и правительство всегда уделяли немало внимания учителю. Целый ряд постановлений ЦК ВКП(б) посвящен вопросам повышения материального, культурного и методического уровня педагога. Восстанавливая учителя, как центральную фигуру педагогического процесса, ЦК ВКП(б) резко обрывал все попытки снизить роль педагога, шли ли эти попытки от адептов «теории» отмирания школы или от ревнителей «педологизации» школы и от кого бы то ни было другого.

Роль советского учителя велика, почетна и ответственна. И учитель вполне сознает эту ответственность. Он стремится наилучшим образом выполнить поставленную перед ним задачу воспитания молодого поколения. Он отчетливо сознает те недочеты, которые прорываются иногда в его работе, сказываются на ее результатах. Он старается использовать все возможности для того, чтобы повысить свой научный и методический уровень, поднять на высшую ступень свое педагогическое мастерство.

4

Задача нашего журнала состоит в том, чтобы всемерно помочь массовому педагогу-математику как в его практической работе, так и в работе по повышению его научной и методической квалификации. Понятно, что эта задача будет выполнена в той мере, в какой журнал сумеет прислушаться к голосу педагога, правильно учитывать его насущные интересы и потребности. За три года своего существования журнал наладил довольно неплохо связь с читательской массой. Необходимо в дальнейшем эту связь расширить, сделать более действенной, живой. Мы призываем наших читателей теснее сплотиться около журнала, оказать ему существенную помощь советами, указаниями, присылкой материалов, освещающих жизнь, работу и достижения школы, отдельного педагога, отдельных учащихся.

Только в тесном сотрудничестве с самим учительством мы сможем добиться того, чтобы журнал стал настольной книгой для всякого педагога, работающего над повышением своей квалификации, добивающегося того, чтобы с наибольшим успехом, с наилучшими результатами выполнять ту большую и важную работу, которую возлагает на него Великая советская Конституция.

Под знаменем сталинской Конституции добьемся в 1937 г. новых успехов в деле дальнейшего улучшения работы советской школы, советского педагога и советского школьника.

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

ТЕОРИЯ ДЛИНЫ ОКРУЖНОСТИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Д-р АЛЬФРЕД ТАРСКИЙ (Варшава)

(Пер. с польского Н. И. Плескачевского)*

По программе преподавания в средней школе вычисление длины окружности, площади круга, а также поверхности и об'ема элементарных тел вращения должно быть проведено в строгой связи с теорией пределов. Это требование выполняется обыкновенно таким образом, что длина окружности, площадь круга и т. д. определяются, как пределы соответствующих последовательностей, и из этих определений выводятся выражения рассматриваемых величин. Такой способ решения вопроса называется методом пределов.

Однако возможно принять за исходную точку такие определения, которые совершенно не заключают в себе понятия предела и вместо того подчеркивают тесную связь указанных выше величин с понятием непрерывности, характеризуя их, как некоторые сечения; тем не менее, и в этом случае при выводе из данных определений выражений для вычисления выгодно пользоваться сведениями из теории пределов. Этот метод, который я назову для краткости методом сечений, — несмотря на то, что термином «сечение» я буду пользоваться, не раскрывая глубже его содержания, — оказывается более соответственным со многих точек зрения.

Распределение материала математики в обязательной программе ее преподавания допускает при обработке интересующих нас вопросов использование сведений из тригонометрии, притом в большем или меньшем их об'ема, в зависимости от типа школы; я убежден, что этим путем можно получить требуемый вывод гораздо более очевидным и более доступным для понимания способом.

В настоящей статье собраны главные положения из теории длины окружности; с помощью данных тригонометрии я даю вывод этой теории обоими вышеупомянутыми методами, а затем сравниваю эти методы с точки зрения их дидактической ценности.

§ 1. Метод пределов

Предполагаю, что класс уже знает теорию пределов в об'еме, предусмотренном программой. Таким образом, ученик уже овладел понятиями последовательности, возрастающих и убывающих последовательностей, последовательностей, ограниченных сверху и снизу, наконец, сходящихся последовательностей и предела. Полагаю также известными следующие утверждения:

1. Каждая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

2. Каждая возрастающая и ограниченная сверху последовательность сходится, причем предел ее больше всех ее членов; каждая убывающая и ограниченная снизу последовательность сходится, причем предел ее меньше всех ее членов.

3. Если все члены сходящейся последовательности ип соответственности л изданному числу с, той lim ип соответственно^^ или > с; если все члены последовательности ип = с, то и lim ип — с.

4. Если с произвольное число, а vn сходящаяся последовательность, то lim (с2hvn) — с-tnm vn и lim (c-vn) = c-\im vn.

5. Если un и vn сходящиеся последовательности, то lim (un±vn) = \im i^Hhlim vn и lim (un.vn) = \im ил-Ит vn.

В дальнейшем выводе удобнее иметь дело с понятием совместно сходящихся последовательностей.

* Польский журнал «Parametr», том II, № 8—10.

6. Последовательности ип и vn называем совместно сходящимися, если: 1) ип — возрастающая последовательность, a vn — убывающая; 2) постоянно удовлетворяется неравенство: un<ivn; наконец, 3) lim (vn — ип) = 0*.

Из этого определения а также и приведенных выше утверждений, можно вывести между прочим следующие следствия:

7. Если последовательности ип и vn совместно сходятся, то обе эти последовательности сходятся, имеют общий предел, и предел этот есть единственное число, большее всех членов первой последовательности и меньшее всех членов второй.

8. Если £>0, а последовательности ип и vn совместно сходящиеся, то и последовательности с • #п и c>vn совместно сходятся.

Наконец, нам будет нужна следующая лемма:

9. Если k<l и ип соответственно возрастающая или убывающая последовательность, то среднее арифметическое k первых членов этой последовательности соответственно меньше или больше среднего арифметического / первых ее членов.

Доказательство. Имеем

(1)

Произведение (/—k) • (ux + u2 ~\- . . . ++ик) можно представить в виде суммы k(l — k) слагаемых, каждое из которых есть одно из выражений uu u2, . . . ик.

Подобным образом произведение + • • • можно представить в виде суммы стольких же слагаемых, каждое из которых есть одно из выражений

Если последовательность ип возрастающая, то каждое слагаемое первой суммы меньше каждого слагаемого второй суммы, а число выражений в обеих суммах одинаково; отсюда

Прилагая к обеим частям неравенства (2) число

получим:

откуда на

основании (1)

(3)

Разделив, наконец, обе части выражения (3) на k*l и сократив, получим неравенство:

Переходя затем к тригонометрии, я предполагаю знание теории измерения углов (в градусах, а не в радианах), определения главных тригонометрических функций: sin а, cosa и tga, их изменений по крайней мере в первой четверти и основных зависимостей между этими функциями; кроме того, требуется знание выражений функций суммы и разности углов и основывающихся на них преобразований.

Опираясь на определения предела и функции cos ос, докажем без труда, что

Затем устанавливаем следующую лемму, которая, впрочем, заслуживает внимания и сама по себе.

* Вместо «совместно сходящиеся последовательности» обыкновенно говорят «сходящиеся последовательности»; благодаря двойственности смысла выражения «сходящиеся» такая терминология может стать источником недоразумений. Поэтому-то в этом разделе я пользуюсь термином «сходящийся» исключительно для определения отдельных последовательностей, имеющих предел, а не для выражения зависимости между двумя последовательностями.

Это можно бы выразить так: синус в первой четверти растет медленнее, чем угол, а тангенс — скорее.

Доказательство. Докажем один частный случай теоремы, впрочем, вполне достаточный для нашей цели, а именно, тот, когда углы а ир соизмеримы.

В самом деле, тогда существуют такие натуральные числа k и / и такой угол у, что

Положим

Докажем, что (4) последовательность ип убывающая.

Действительно, имеем, согласно (3),

где п<1. Так как косинус в первой четверти убывает, то

откуда

или

Чтобы не прибегать к приведенным здесь тригонометрическим преобразованиям, можно необходимые неравенства установить путем непосредственного геометрического рассуждения, выводимого из определения синуса.

В силу леммы 9, из (1) и (4) следует, что

(5)

С другой стороны, из (3) легко выводим, что

и таким же образом

Затем из (5)

откуда

Выражения (2) и (6) дают тогда

Таким же образом выводим второе требуемое неравенство:

Для этого полагаем: vn = \gn^ — tg(n — — 1)у, где /г = 1,2, ..../, и показываем, что последовательность эта возрастает — будь то с помощью легких тригонометрических преобразований, будь то путем непосредственно геометрического соображения; далее рассуждаем, как раньше. Таким образом, наконец,

При помощи вышеприведенной леммы утверждаем теорему

12. Последовательности

суть совместно сходящиеся.

Доказательство. Углы острые (начиная с п = 3) и соизмеримы, причем

Затем, согласно лемме 11,

Умножая обе стороны первой части этого выражения на

получим :

или

подобно этому другая часть дает:

Таким образом:

(1) ип есть последовательность возрастающая и vn — убывающая.

Далее имеем

то

(2) постоянно un<vn-

В силу теоремы 2, последовательность vn, ка< убывающая и ограниченная снизу (например числом 0), должна быть сходящейся. Из теорем 10 и 5 следует, что и последовательность 1 — cos - сходящаяся, причем

Отсюда, согласно теореме 4, последовательность также сходящаяся, причем

С другой стороны,

Таким образом, наконец, (3) lim [vn-Un\ = 0.

Из (1) — (3), в силу определения 6, последовательности ип и vn совместна сходятся, что и требовалось доказать.

Из теорем 7 и 12 следует, что последовательности ип=^пsin-и vn = п• tg- обладают общим пределом; для обозначения его вводим специальный символ: тс.

13. Общий предел совместно сходящихся последовательностей

где /г>3, называем числом тт.

Как непосредственное следствие из теоремы 8 и определения 13 получаем:

14. Asm-<Tt<ntg-для произвольного натурального числа пg:3.

Это последнее выражение дает возможность определить число тс с достаточно большим приближением помощью обыкновенных четырехзначных таблиц (вопрос, нужно ли было знать приближенные значения этого числа при составлении таблиц, здесь не имеет места). Так, например, полагая п =180, вычисляем nsm--> 180-0,01745 = 3,141 ; для п = 90 получим:

отсюда

3,141<тс<3,146.

Теперь уже можно сформулировать определение длины окружности и вывести из него выражение для вычисления этой величины.

15. Длина окружности есть общий предел последовательности периметров всех правильных мно-

гоугольников, вписанных в окружность, и последовательности периметров всех правильных многоугольников, описанных около окружности.

Длина окружности часто определяется, как общий предел всех последовательностей периметров правильных многоугольников, вписанных в окружность или описанных около нее, причем первый многоугольник последовательности имеет произвольное число сторон, а каждый последующий в два раза больше, чем предыдущий. Это определение поражает своей искусственностью и притом не обнаруживает никаких практических или теоретических преимуществ по сравнению с определением 15.

За основную теорему теории длины окружности мы принимаем

16. Каждая окружность обладает численно определенной длиной /; если г есть длина радиуса окружности, то / выражается равенством

Доказательство. Пусть ип и vn будут соответственно периметрами правильного я-угольника, вписанного в окружность и описанного около нее. Как легко доказать с помощью чертежа,

Применяя теоремы 8 и 12, выводим, что последовательности ип и vn% как совместно сходящиеся, имеют общий предел, причем, согласно теореме 4 и определению 13,

В силу определения 15 именно этот предел есть длина окружности 1 = 2ъг, что и требовалось доказать.

Как непосредственное следствие только что упомянутой теоремы, получаем

17. Длины окружностей прямопропорциональны длинам их радиусов.

Теория площади круга не представляет собою никаких существенных особенностей. Площадь круга мы определяем, как предел последовательности площадей всех правильных многоугольников, вписанных в круг или описанных около него. Обозначая соответственно символами г, s, ип и vn длину радиуса круга, площадь его, площадь правильного вписанного в круг /z-угольника и площадь правильного описанного около круга я-угольника, докажем, что последовательности

имеют общий предел:

отсюда, согласно определению,

Совершенно аналогичным способом развиваем теорию площади поверхности и об'ема элементарных тел вращения: цилиндра, конуса и шара. Касаясь в частности этого последнего, рассмотрим тела, образованные вращением правильных вписанных в окружность и описанных около нее многоугольников о 2п сторонах около оси, проходящей через две противоположные вершины многоугольника. Обозначим длину радиуса окружности через г, площадь поверхности тела, образованного вращением вписанного многоугольника, через ип, и описанного — через vn> а соответственно об'емы тех тел — через ихп и v\. Пользуясь выводами относительно площади поверхности и об'ема цилиндра и конуса, покажем, что

отсюда, переходя к пределу, получим известные положения относительно площади поверхности и об'ема шара.

§ 2. Метод сечений

Сведения из теории последовательностей необходимы здесь в той же мере, что и при предыдущем методе; отпадает только лемма 9.

Вместо того необходимо напоминание аксиомы непрерывности (Дедекинда). Эта аксиома играла существенную роль и в предыдущих рассуждениях: без помощи ее мы не могли бы развить теории измерения отрезков и углов, обосновать существование

предела совместно сходящихся последовательностей и не имели бы возможности вписывать в окружность правильные многоугольники с произвольным числом сторон; однако теперь мы будем применять ее непосредственно.

Для соответствующей формулировки аксиомы установим прежде всего два следующих условия.

18. Мы говорим, что множество чисел А предшествует множеству чисел В, если каждое число множества А меньше каждого числа множества В.

19. Мы говорим, что число с отделяет множество чисел А от множества чисел В, если каждое число множества A*SLc и каждое число множества В7>с.

Самая аксиома принимает следующий вид:

20. Если множество чисел А предшествует множеству чисел ß, то существует хотя бы одно число с, которое отделяет эти два множества.

Предложение это представляет собою одну из аксиом* алгебры, относящуюся к арифметике; совершенно аналогичную аксиому мы принимаем и в геометрии, формулируя ее не для чисел, а для точек и отрезков.

Рассуждения, опирающиеся непосредственно на аксиому непрерывности (и на заключающееся в ней скрытое понятие сечения), вообще говоря, труднее рассуждений, в которых применяются выводы теории пределов. Во избежание этих трудностей установим следующую теорему, которая положит связь между обоими развиваемыми методами.

21. Если множество чисел А предшествует множеству чисел В; если, кроме того, ип и vn две совместно сходящиеся последовательности, причем все элементы первой последовательности принадлежат к множеству/!, а другой — к множеству В, то тогда же существует единственное число, отделяющее множество А от множества В\ этим единственным числом (которое не принадлежит ни к одному из двух множеств) будет общий предел обеих последовательностей а.

Доказательство. В силу аксиомы 20 существует хотя бы одно число с, которое отделяет множество А от множества В, Принимая во внимание определение 19, каждое такое число должно быть больше всех элементов последовательности ип и меньше всех элементов последовательности vn. Применяя теорему 7, приходим к заключению, что единственным таким числом будет общий предел последовательностей ип и vn, что, собственно, и следовало доказать.

Что касается тригонометрии, то предварительные рассуждения из ее области при методе сечений подлежат некоторому упрощению.

Вместо выражения 10 полагаем следующее, доказательство которого не доставит больших трудностей:

10'.

Лемма 11, обоснование которой было достаточно хлопотливо, почти совершенно отпадает; нам нужен единственный, очень частный случай той леммы, в котором ß = 2a:

11'. Если 0<а<45°, то sin 2а<2sina, a tg2a>2tga.

Доказательство, опирающееся или на положения:

или же на непосредственное геометрическое рассуждение, очень легко.

Теорему 12 видоизменяем следующим образом:

12'. Последовательности ип = совместно сходятся.

Доказательство отличается только тем от доказательства теоремы 12, что вместо леммы 11 применяем 11\

Аналогичному изменению подлежит и определение 13:

13'. Общий предел совместно сходящихся последовательностей

называем числом тт.

Приступая собственно к теории длины окружности, примем следующее определение, неоднократно имевшее место в элементарных изложениях.

* Если действительные числа определяются как сечения во множестве рациональных чисел, (а не вводятся аксиоматическим путем), то тогда предложение 20 утрачивает характер аксиомы и становится теоремой.

15'. Длина окружности есть число, большее длины каждой замкнутой ломаной (несвязной), вписанной в окружность, и меньшее длины каждой замкнутой ломаной, описанной около нее.

Вопрос о равносильности определений соответственно, с одной стороны, 15 и 15' и, с другой—13 и 13', не встречает больших затруднений, но ближе это однако нас не интересует.

Взяв определение 15 за исходное начало, мы полагаем тем основание теореме 16, т. е. основной теореме всей теории, при помощи следующего рассуждения.

Пусть соответственно А и В будут множества всех тех чисел, которые представляют собой длины замкнутых ломаных, вписанных в окружность и описанных около нее. Множество А предшествует множеству В, так как из геометрии известно, что выпуклая ломаная, заключающаяся внутри другой замкнутой ломаной, короче последней.

Образуем две такие совместно сходящиеся последовательности, что все элементы первой принадлежат к множеству Л, а второй — к множеству В. Мы могли бы воспользоваться теми последовательностями, о которых говорит определение 15, но. тогда мы должны были бы обосновать доказательство на теореме 12, и, следовательно, между прочим, на леммах 9 и 11. Чтобы избежать этого, образуем две других последовательности, опуская в каждой из только что упомянутых последовательностей бесконечное множество элементов. Именно, примем во внимание последовательности тех правильных многоугольников, соответственно вписанных в окружность и описанных около нее, из которых первый — квадрат и каждый последующий получается из предыдущего через удвоение числа сторон. Как в этом легко удостовериться, я-й многоугольник каждой из тех последовательностей имеет 2П + 1 сторон.

Обозначая через ип и vn соответственно периметры /г-го многоугольника, вписанного в окружность и описанного около нее, найдем:

С помощью теорем 8 и 12' заключаем отсюда, что последовательности и„ и v„ суть совместно сходящиеся; согласно теореме 4 и определению 13' при этом имеем lim un = = lim Vjj = 2ттг.

Поскольку все элементы последовательности u„ принадлежат в сущности к множеству Л, а элементы последовательности vn — к множеству Б, то из теоремы 21 следует, что общий предел обеих этих последовательностей есть единственное число, отделяющее упомянутые дна множества, будучи поэтому в силу определения 15' длиной окружности. Отсюда / = 2ттг, ч. и т. д.

С чисто научной точки зрения различие между обоими рассмотренными здесь методами ничтожно. Иначе представляется вопрос с точки зрения дидактической. Необходимо теперь же подчеркнуть нижеследующие моменты:

1. Вспомогательный аппарат, неизбежный для развития теорем, проще при втором методе, чем при первом, так как отпадают две леммы с их искусственными доказательствами.

2. Основное определение длины окружности логически проще во втором случае, чем в первом, так как не зависит от понятия предела; оно гораздо естественнее, так как в нем правильные многоугольники не играют привилегированной роли; наконец, оно является более общим, так как без какого-либо изменения распространяется на произвольные выпуклые кривые.

3. Главную теорему теории, заключающую выражение для вычисления длины окружности, легче вывести из первого определения, чем из второго; не думается, однако, что можно было бы здесь говорить о существенном различии в степени трудности.

Сточки зрения всего этого, метод сечений обладает, по моему мнению, большей дидактической ценностью для средней школы, чем метод пределов.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ

Проф. И. И. ЧИСТЯКОВ (Москва)

Для решения общего уравнения 4-й степени в курсах высшей алгебры обычно излагаются методы Феррари, Декарта и Эйлера. Каждый из этих методов показывает, что решение уравнения 4-й степени в общем случае приводится к решению некоторого вспомогательного уравнения 3-й степени,— так называемой кубической резольвенты данного уравнения. Но, кроме названных классических методов, для той же цели могут быть применены и разные другие способы. Предлагаемый мною способ, не встречающийся в алгебраической литературе, отличается большой простотой, позволяет легко получить резольвенту и установить связь между корнями данного уравнения и корнями резольвенты, а в тех случаях, когда последняя легко решается,— довести решение данного уравнения до конца.

Как известно, полное уравнение 4-й степени имеет вид:

а0х* - J- а^х* + а2х2 а3х + а4 = 0;

разделяя все коэфициенты на а0, можно его же привести к виду:

*4+ bx*+cx2+dx+l=0:

а положив х=у--—, можно освободить его от члена с неизвестным в 3-й степени и привести к виду:

Поэтому можно в общем случае искать решение уравнения 4-й степени в виде:

x* + px2 + qx + 2 = 0. (I)

Сущность предлагаемого метода в том, что левая часть данного уравнения может быть тождественно представлена в виде разности квадратов двух многочленов: одного— второй, а другого 1-й степени: *4 +Р*2 + qx + г= (х2 4- /)2 — (гпх + л)2; тогда введенные нами количества /, m и п легко могут быть определены по способу неопределенных коэфициентов. Действительно, производя действия, мы получим:

Отсюда:

(II)

Решая эту систему, из первого и третьего уравнения мы получаем:

т2 = 21 — р; п2 = Р — г, а из второго

4гп2п2 = q2; следовательно, для определения / имеем уравнение:

4(2/-/7)(/--г) = <72,

или

8/3 _ 4/7/2 — Sir + 4/7г — q2 = 0. (HI)

Таким образом, для решения уравнения (I) необходимо решить кубическое уравнение (III), которое и есть резольвента данного уравнения. Но последнее уравнение всегда имеет по крайней мере один действительный корень; если он будет найден, то из системы (II) не трудно будет найти коэфициенты m и /г, и тогда данное уравнение заменится уравнением:

(*2 +/)2 — (тх + п)2 = 09

решение которого приводится к решению двух квадратных уравнений:

(IV)

Решая их, получим из каждого из них два корня, а всего — четыре корня данного уравнения 4-й степени.

Не трудно установить связь между корнями данного уравнения 4-й степени и корнями его резольвенты. Для этого заметим, что первое из уравнений (IV) дает произведение первых двух его корней, а второе — двух других:

складывая эти уравнения почленно, найдем:

Выражение, стоящее в правой части последнего уравнения, есть симметрическая функция корней данного уравнения (I); она может иметь еще только два подобных же значения, а именно:

Поэтому и / может иметь, кроме найденного, еще только два значения, а потому резольвента должна быть вообще 3-й степени.

В тех случаях, когда резольвента представляет собою приводимое уравнение и разрешается элементарно, указанный прием легко приводит к решению уравнения 4-й степени.

Приведем примеры.

1) jc4— Юл:2 — 20л: — 16 = 0.

Составляя резольвенту по формуле (III), имеем:

8/3 + 40/2 + 128/+ 240 = 0,

или

р+5/*-f 16/+зо==о.

Одним из корней этого уравнения является, как легко видеть, /= — 3. Тогда из системы (II) найдем:

m2 == — 6 + 10; m —±2;

я2 = 9+16; п = ±5;

и данное уравнение примет вид:

(х2 — З)2 — (2* + 5)2 = 0,

откуда

jt2 + 2jt + 2 = 0

и

х2 — 2х — 8 = 0.

Первое уравнение имеет корни: х± = — 1 +/; х2 = >— 1 — /, а второе:

лг3 = 4; 2.

Таким образом, все четыре корня уравнения найдены.

2) л4 + 6л:2+8л; — 3 = 0.

Составляя резольвенту, булем иметь:

/з__з/2_|_з/_ 17 = 0.

Это уравнение можно представить в виде:

(/ —I)3 —16 = 0, или /— 1 = ^Тб,

откуда за / можно принять /=1+2|/2. Тогда для тип получаются значения:

или, беря положительные значения:

Поэтому данное уравнение можно заменить двумя квадратными уравнениями:

Решая эти уравнения, получим четыре корня данного уравнения.

Заметим, что аналогичный способ может быть применен и для решения полного уравнения 4-й степени вида

без освобождения его от члена, содержащего л:3.

Для этого положим, что тождественно имеем:

или

Отсюда, приравнивая коэфициенты при одинаковых степенях х, найдем:

Отсюда

С другой стороны, следовательно,

что, после упрощений, дает уравнение резольвенты в виде:

Найдя один из корней этого уравнения, т. е. значение /, можно затем определить и значения k, m и л, и тогда данное уравнение 4-й степени можно будет заменить двумя квадратными уравнениями:

из которых найдем по два корня данного уравнения. При этом на практике удобнее не пользоваться готовой формулой кубической резольвенты, а лишь тем методом, которым она была получена.

Пример.

Полагаем:

Откуда:

Следовательно,

/г=2; /тг2=:2/+5; п2 = 12 — 4; с другой стороны, /тш = 2/+5, а потому уравнение резольвенты приводится к виду: (2/ + 5)(/*-4)=(2/+5)*; отсюда

и данное уравнение принимает вид:

Отсюда получаем два уравнения:

х2+ 2х—1=-0 и x2-f 2х —4 = 0,

корнями которых и выражаются четыре решения данного уравнения:

ИЗ ИСТОРИИ И ТЕОРИИ ЛОГАРИФМОВ

М. ФИЛИСТОВИЧ (Краснодар)

I

Усовершенствованные способы, которыми владеет современная математика для легкого и быстрого производства самых сложных вычислений, обязаны своим происхождением, как известно, трем изобретениям: индусскому обозначению, десятичным дробям и логарифмам.

Оставляя в стороне первые два фактора, рассмотрим в настоящем кратком очерке вопрос о логарифмах с точки зрения их истории, теории и значения.

Знать историю логарифмов не только интересно, но и необходимо, ибо, как сказал известный лингвист А. Шлей хер, «если мы о чем-нибудь не знаем, как оно образовалось, то и не понимаем его».

Честь изобретения логарифмов обыкновенно приписывают Джону Неперу Мерчистонскому, жившему в Шотландии с 1550 по 1617 г., хотя, как увидим ниже, не он первый пришел к плодотворной мысли о логарифмах. Как и всякое великое открытие в области науки, и открытие логарифмов подготовлялось в течение многих веков. Еще Архимед (287—212 гг. до н. э.) в своем сочинении «Псаммит» или <<0 числе песчинок» говорит, что в ряду чисел, которые, начиная с единицы, возрастают в геометрической прогрессии, произведение двух чисел можно найти, отсчитав от первого столько членов ряда, насколько второе отстоит от единицы. А это, как мы видим, и есть основное положение логарифмических вычислений. Но никаких практических выводов из своего открыт- я Архимед не сделал, а после него математики совершенно не касались этого вопроса. И прошло свыше полуторы тысячи лет, прежде чем немецкий математик средне-

вековья Штифель воскресил идею об упрощении вычислений путем сопоставления членов двух прогрессий: арифметической и геометрической. Михаил Штифель, сперва августинский монах в Вюрцбурге, затем лютеранский пастор, много занимавшийся математикой, составил такую табличку:

...— 3 — 2 — 1 0123456 7 8

I I 1 1 2 4 8 16 32 64 128 256

Здесь числа верхнего ряда, как видим, суть члены арифметической прогрессии, с разностью 1, а нижнего — геометрической, со знаменателем 2.

При помощи этой таблицы умножение, деление, возвышение в степень и извлечение корня из чисел нижнего ряда можно заменить более простыми действиями сложения, умножения и деления над соответствующими числами верхнего ряда.

Так, если нужно умножить — на 64, то вместо этого складываем стоящие над ними числа арифметической прогрессии:— 2 + 6 — = 4 и под этим числом находим результат 16. Чтобы найти ^256, делим число, стоящее над 256, т. е. 8, на показатель корня, т. е. на 4, и под 2 находим в нижнем ряду искомый ответ 4.

Итак, как видим, успех Штифеля был огромный, но не ранее как через полвека его счастливая, но не осуществленная, идея послужила основанием настоящих логарифмических вычислений.

Первое приложение этой идеи к практике вычислений, путем составления таблиц для длинного ряда членов обеих прогрессий, принадлежит Иобсту Бюрги (1552 — —1632). Швейцарский часовщик, самородный талант, не получивший достаточного научного образования, Бюрги дал практическое осуществление идеи Штифеля в своих «Arithmetische und geometrische Progress-Tabulen», напечатанных в Праге в 1620 г., хотя, по заслуживающему полного доверия свидетельству Кеплера, Бюрги пользовался ими для своих астрономических вычислений еще ранее 1610 г., будучи механиком обсерватории в Касселе. Чтобы воспользоваться табличками Штифеля для упрощения вычислений с большими числами, необходимо было заполнить большие промежутки между числами геометрического ряда и продолжить его как можно дальше; последнее, конечно, сделать не трудно: для первого же приходилось вставлять средние геометрические между члечами второй прогрессии и средние арифметические между соответствующими членами первой. Достигаюсь это извлечением кзадратного корня из произведения двух последовательных членов геометрической и делением пополам суммы двух соответствующих членов арифметической прогрессии. Так, чтобы в табличке Штифеля

...0 1 2 3 4...

... 1 2 4 8 16 . . .

вставить по числу между вторыми и третьими членами, пришлось бы взять у 2,4 и —-—; таким же образом можно было бы, прилагая по нескольку раз эти действия, пополнить промежутки и между дальнейшим 1 членами.

Эти вычисления можно было бы сократить уменьшением пополняемых интервалов. Чтобы сдвинуть ближе друг к другу числа геометрического ряда, Бюрги взял знаменателем прогрессии не 2, а число, близкое к 1, именно 1,0001. Получился ряд весьма медленно возрастающих чисел, разделенных небольшими интервалами:

0:0,0001:0.0002:0,0003, 0,0004,. . . 1 :1,0001 (1,0001)2(1,0001)3(1,0001)4 . .

Впоследствии стали называть основанием таблиц тот член геометрического ряда, которому в арифметическом соответствует единица. В этом смы:ле таблица Штифеля имеет основанием 2. Основанием таблиц Бюрги является 10001 член ряда, т. е.

, которому соответствует член арифметического ряда

У Бюрги число [1-1--I вычислено с точностью до восьмого десятичного знака и равно 2,71814593... Ясно, что если знаменателем прогрессии взять 0,00001, то числа ее будут сдвинуты еще ближе друг к другу, т. е. их будет гораздо больше, что представит большее удобство, так как большее количество встречающихся на практике чисел можно будет найти в таблицах.

Основанием таких таблиц было бы число (1,00001 )ю000э = Г I -\~ — 1 . Взяв знаменателем прогрессии 0,000001, что поведет

к еще большему расширению таблиц и увеличению их практической пригодности, найдем, что основанием их будет число

Одним словом, чем ближе будет знаменатель прогрессии к единице, тем большее значение будет иметь п в формуле

и тем, следовательно, больше будет чисел в геометрическом ряду. Как мы знаем из теории рядов, число j , при бесконечном увеличении п, приближается к пределу, который обозначается буквой е и равен 2,718281828... Основанием таблиц Бюрги и служит число е при # = 104.

II

На 6 лет раньше обнародования труда Бюрги, в 1614 г., вышли в свет таблицы логарифмов шотландского математика Джона Непера под названием «Mirifici logarithmorum canonis discriptio», т. е. «Описание чудесного канона логарифмов>. Непер пришел к своему великому открытию совершенно самостоятельно, ничего не зная об исследованиях Бюрги, и совершенно иным путем. Он вычислял не логарифмы последовательных чисел, но логарифмы синусов, так как его целью было упрощение тригонометрических вычислений. И самый логарифм Непер определяет так: «Логарифмом всякого синуса называется число, определяющее с наибольшим приближением линию, возрастающую равномерно, между тем, как линия полного синуса убывает пропорционально до величины данного синуса, причем оба движения синхронны и вначале равнобыстры» (синхронными движениями Непер называет те, которые происходят вместе и в течение одного и того же времени). Чтобы вполне понять это определение, проследим ход мыслей у Непера, приведших к нему.

Пусть АЕ отрезок прямой определенной длины, а АХМ— бесконечная прямая, выходящая из точки А.

Вообразим себе, что точки А и At начинают двигаться одновременно с одинаковой начальной скоростью по соответствующим прямым и по направлению, указанному стрелкой. При этом, положим, что движение точки At по линии At M равномерно, т. е., что точка в равные промежутки времени проходит равные расстояния, а движение точки А таково, что скорость ее постепенно убывает, так что в каждый определенный промежуток времени точка А проходит определенную часть оставшегося пути.

Если точка А проходит расстояние АС в то время, как точка А± проходит расстояние Л1С1, то это расстояние А1С1 и будет, по Неперу, логарифмом оставшегося непройденным точкой А пути СЕ.

Рассмотрим это движение подробнее.

Предположим, что начальная скорость точек А и Av равная АЕ% очень велика. Обозначим ее через V. Разделим секунду на v равных частей и назозем — элементом времени. Ясно, что точка At в каждый элемент времени будет проходить путь г>«— = 1.

Верхняя точка Л, начинающая двигаться с той же скоростью v — АЕ, пройдет в течение первого элемента времени расстояние ABj вообще близкое к 1, и путь, оставшийся непройденным этой точкой после первого элемента времени, будет равен BE — v— 1, что, вынеся v за скобки, можно представить так: vi 1 — —Y Во второй элемент времени точка А пройдет — от длины v (1 — — Y т. е. путь, равный (l--Y и оставшийся непройденным путь СЕ будет равен v ^1 —— Lj? что, по вынесении (\ ——Ya скобки, принимает вид:

Рассуждая подобным образом, найдем, что в конце третьего элемента времени расстояние точки А от Е будет равно v (1— — |3; в конце четвертого — v 1--и т. д., а в конце т;-го vil--. Таким образом, расстояние точки А от Е в конце последовательных элементов времени будет выражаться таким рядом:

а пути, проходимые точкой А± в те же моменты, соответственно рядом:

0 12 3....

Согласно определению Непера, числа нижнего ряда суть логарифмы чисел верхнего. Мы видим, что первый ряд представляет собою бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, а нижний — бесконечно возрастающую арифметическую.

Итак, здесь существует полная аналогия с трудами Штифеля и Бюрги. Следует, однако, заметить одну замечательную особенность неперовых логарифмов: они возрастают при убывании чисел, и числа, превосходящие v, имеют отрицательные логарифмы. Кроме того, нуль есть логарифм не единицы, как в современных логарифмах, но числа v% которое Непер взял равным 107.

Интересным фактом в истории науки является то обстоятельство, что Непер построил логарифм раньше, чем вошли в употребление показатели. Что логарифмы вытекают из рассмотрения показателей, было замечено гораздо позже Эйлером.

Следует упомянуть также о том, что Неперу не пришлось иметь дела с понятием об «основании» логарифмов.

Для того, чтобы сделалось приложимым понятие об основании, необходимо, чтобы нуль был логарифмом 1, а не 107. Чтобы определить основание неперовой системы, мы должны разделить каждый член геометрической и арифметической прогрессии на 107, т. е. на значение v. Получим:

Здесь единица оказывается логарифмом числа II — —7 1 , которое почти равно е~~19 где £ = 2,7182... Отсюда заключаем, что основание неперовых логарифмов есть число, обратное основанию натуральной системы. Первую таблицу логарифмов по основанию е составил Джон Спейдель, профессор математики в Лондоне, под заглавием «New Logarithmes», в 1619 г., т. е. за год до опубликования таблиц Бюрги.

Появление в свет неперовых логарифмов вызвало бурю восторгов среди ученых мира, и таблицы быстро распространились как в Англии, так и на континенте.

Оксфордский профессор Бригг (1554— 1631) по соглашению с Непером упростил его систему логарифмов и поставил ее в связь с десятичной системой счисления, приняв за логарифм члены арифметической прогрессии с разностью, равной 1,а за соответствующие числа — члены геометрического ряда со знаменателем 10:

Логарифмы: 0 1 2 3 4 5 6 7 8.

Числа: 1 10 102 103 104 105 106 107 108.

Пополняя интервалы встав кою средних арифметических и геометрических, Бригг составил логарифмы всех последовательных чисел от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000 с 14 десятичными знаками. Таблицы свои Бригг издал в 1624 г. под названием «Arithmetica logarithmica». Пробел между 20 000 и 90 000 заполнил голландский математик Влакк, опубликовавший свои таблицы в 1628 г. Логарифмы Бригга впоследствии стали называться обыкновенными и теперь ужесвыше 300 лет находятся во всеобщем употреблении.

Рассмотрим подробнее те приемы, с помощью которых Бригг и Влакк вычисляли логарифмы. Прежде всего заметим, что для составления таблиц с каким-либо основанием а достаточно вычислить только логарифмы простых (первоначальных) чисел (в пределе ста их только 26), ибо логарифмы составных чисел легко найти, согласно известным правилам логарифмирования, как сумму логарифмов отдельных простых множителей данного числа. Так, например, зная логарифм 3 и 5, легко найти логарифм 3-5 = 15 и логарифмы З2, З3, З4,.. Зп и 52, Ъ\ 54, 5Л и 3n-5m.

Именно логарифм 15 равен логарифму 3 плюс логарифм 5, логарифм 3Л равен п логарифмов 3 и т. д.

Так как логарифм 10=1, то, зная логарифм 5, легко найти логарифм 2, именно:

логарифм 2 = логарифму = логарифму 10 — логарифм 5, согласно основному правилу логарифмирования.

Найдя логарифмы первых чисел 2 и 5, нетрудно найти логарифмы всех чисел, составленных из множителей 2 и 5, как 4, 8, 16, 32 и т. д. и 20, 40, 80, 25, 50 и т. д., как уже замечено выше.

Посмотрим теперь, как вычислял Бригг логарифм 5. Так как это число содержится между пределами 1 и 10, логарифмы которых 0 и 1, то, чтобы найти пределы, мало отличающиеся от 5, Бригг производил следующее последовательное извлечение корней:

Так, беря постоянно средние пропорциональные, приходим, наконец, к Z—Ь, откуда искомый логарифм числа 5 равен 0,6989700, при основании 10. Поэтому с весьма большой точностью будет

69 897 10 юо 000 = 5#

Таким именно способом составлены обыкновенные таблицы логарифмов Бриггом и Влакком, хотя впоследствии были найдены гораздо более краткие пути для вычисления логарифмов, которые мы рассмотрим ниже теперь же перейдем к современной теории логарифмов.

III

Оставляя в стороне практические детали логарифмов, достаточно выясняемые в элементарных учебниках алгебры, и, с другой стороны, не вдаваясь в подробности общей научной теории логарифмов, мы остановимся только на важнейших вопросах этой теории.

Логарифмом, как известно, называется показатель степени, в которую нужно возвести некоторое положительное число а, называемое основанием, чтобы получить данные числа N. Так, в выражении ax = Nx есть логарифм числа N при основании я, что обозначается так:

\ogaN=x: логарифм числа N по основанию а равняется х.

Основание а, хотя и зависит вполне от нашего выбора, тем не менее должно быть числом положительным и большим единицы. Чтобы уяснить, почему это так, достаточно рассмотреть, в какой зависимости находятся значения показательного количества ах от величины постоянного а.

Если а = 1, то всегда ах = 1, какие бы действительные значения ни приписывать показателю х. Если же а> 1, то значение а* будет тем больше, чем большее число подставить вместо jc, и при х — оо эти значения возрастают до бесконечности. Если х = 0, то а° = 1, а если будет х<\, то значения ах делаются меньшими единицы, так что, полагая х—^о, будет а* = 0. Обратное получается, если а<1, оставаясь положительным числом. В этом последнем случае значения ах будут уменьшаться при возрастании Ху начиная от нуля, возрастают же они, если вместо х подставлять отрицательные числа.

Если а равно 0, то в значениях ах наблюдается необычайный скачок (разрыв). Пока X остается положительным, т. е. большим нуля, всегда ах = 0. При д: = 0 будет уже а* = 0° = 1. Если же х станет отрицательным числом, то а* получит уже бесконечно большое значение. Так, пусть будет х = 2, тогда

Но еще большие скачки (разрывы) получаются, если постоянное количество а имеет отрицательное значение, предположим, например,— 2. В таком случае, подставляя вместо X целые числа, увидим, что значения а* будут попеременно то положительные, то отрицательные, как видно из следующего ряда:

Кроме того, ясно, что если показатель х будет принимать дробные значения, то степень ах = (— 2)х будет принимать то действительные, то мнимые значения. Так, например, а 2 = ]/ — 2 есть количество мнимое ; а 3 — у — 2 = — ]/2 есть количество действительное.

Поэтому, принимая во внимание изложенное неудобство подстановки вместо а отрицательных чисел, всегда полагают а, т. е. основание, числом положительным и большим единицы. Те случаи, когда а положительно, но меньше 1, легко сводятся к этому.

Так как в уравнении ax — N, при постоянном а, значение N изменяется в зависимости от изменения х, то, следовательно, N есть некоторая функция от х, причем здесь х и называется логарифмом функции или количества N.

Какое бы число ни принять за основание логарифмов, всегда log 1=0, так как, если в уравнении ax = N, которое равнозначно x=:\ogaN> принять N=a\, то, значит, должно быть jc = 0. Затем, логарифмы чисел, больших единицы, будут положительны и зависят от основания а.

Так, будет:

и т. д.

Логарифмы же чисел, меньших единицы, но положительных, будут отрицательны.

Из той же формулы ax = N видно, что отрицательные числа вещественных логарифмов не имеют, так как в какую бы степень X ни возводить положительное число а, отрицательного результата получить не можем.

Далее, если N= аа, то N2 = a2*; N3 — а3* и т. д., т. e.logA^2=2A:; logAr*=3;c... log AT— = rix, или log Nn — n log N. Итак, логарифм степени равен показателю степени, умноженному на логарифм возвышаемого числа. Как следствие этой теоремы, вытекает правило логарифмирования корня. В самом деле,

т. е. логарифм корня равен логариф-

му подкоренного количества, деленному на показателя корня.

Легко также выводится правило логарифмирования произведения. Пусть log aN=x и \ogaV=z по одному и тому же основанию а. Согласно определению логарифма, имеем:

N=ax и V=a\

Перемножив почленно эти равенства, получим: NV=ax а* = ах+*у откуда \og(NV)= — x+z9 но x = \ogN и z — \ogV, значит, log^VO^logN+log V, т. е. логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

Разделив почленно равенство Л/ = а* и V = a одно на другое, получим — = — = ах - *, откуда log — = х — z = log N — log V, т. е. логарифм частного или логарифм дроби равен логарифму числителя без логарифмов знаменателя.

Отсюда видно, что логарифм дроби, у которого числитель меньше знаменателя, есть число отрицательное. В частности:

Рассмотрим еще одно важное свойство логарифмов, дающее возможность, зная логарифмы чисел в одной какой-либо системе, вычислять логарифмы тех же чисел в любой другой системе путем простого действия умножения этих логарифмов на одно и то же число, которое выражает отношение между логарифмами одного и того же числа во взятых системах и называется модулем.

Свойство его следующее.

В каждых двух системах логарифмы одинаковых чисел сохраняют одно и то же отношение. Это значит, если, например, log2 64= = 6 и log464 = 3, и, значит, отношение logo 64 к log464 =—= 2, то отношение логарифмов любого числа в этих системах тоже равно 2; например, возьмем log2256 = 8; логарифм того же числа при основании 4 равен 4, т. е. log4 256 = 4, и отношение log2 g 256 к log4256 равно — = 2 и т. д.

Докажем это в общем виде. Пусть основание одной системы будет а, а основание другой системы = Ь\ логарифм же числа N в первой степени пусть будет ху а во второй у. Тогда и bv — N, откуда aa=bv или у.

а — Ъх\а и b суть постоянные числа, каждое в своей системе, независимо от числа N, потому должно быть постоянным и отношение —, т. е. отношение между логарифмами одних и тех же чисел во взятых двух системах.

Как следствие отсюда, вытекает, что логарифмы двух чисел, взятых в любой системе, сохраняют всегда одно и то же отношение.

Пусть будут M и N два числа, логарифмы которых при основании а суть тип; тогда М = ат и N—an, откуда amn = Mn = Nm, т. е. M =Nn. В последнее уравнение а уже не входит, так что значение дроби — не зависит от основания а.

Пусть теперь логарифмы тех же чисел M и N при другом основании b будут у и v. Подобно предыдущему, получим, что M =

следовательно,

что и требовалось доказать.

Покажем, как найти модуль для перехода от натуральных логарифмов с основанием е к любой другой системе с основанием а.

Пусть -= X и -—У- Перейдем от логарифмов к числам: ex = Nnav =N, откуда ех — а9.

Возьмем теперь логарифмы от обеих частей этого равенства по основанию е, получим л: loge е =у loge а, или, так как log, е = 1, x==y\ogea, откуда

Этот последний множитель —-— и называется модулем. Как видим, модуль равен единице, деленной на логарифм нового основания, взятый по прежнему основанию. Как явствует из последнего равенства, чтобы получить логарифм у в системе а, нужно преж-

нии логарифм X умножить на модуль, равный единице, деленной на \ogea. Для перехода от натуральных логарифмов к обыкновенным модуль оказывается равным 0,4342945. .., а для обратного перехода от десятичных к натуральным M = 2,3025851.

IV

Обратимся теперь к рассмотрению современного способа вычисления логарифмов, основанного на диференциальном исчислении.

Мы знаем, что логарифм единицы при всяком основании равен нулю и что отрицательные числа при положительном основании логарифмов не имеют. Спрашивается, чему равен логарифм некоторого числа, большего или меньшего единицы, т. е. чему равен логарифм (1 +х), где х<а 1. Оказывается, что log (1+*) =

(1)

Чтобы доказать справедливость этого равенства, достаточно взять производную от функции F(x) = \og( \ -f л:), равную F (х) = =-, и затем произвести на самом деле деление единицы на 1 -|~ х; получим ряд

(2)

Взяв интеграл от обеих частей равенства, мы, очевидно, и получим формулу (1) :

(3)

Так как х < 1, то мы можем заменить в этом ряду X на(—х), ибо при х <1 выражения (1-f х) и (1—л:) будут положительными и, следовательно, имеют логарифмы.

Таким путем получаем:

Вычтя теперь из ряда (3) этот последний ряд (4), получим:

(5)

В этой формуле, очевидно, можно положить х--, если п есть одно из чисел 1, 2, 3, 4, 5... п (ибо в таком случае X всегда будет меньше 1). Но в таком случае

и мы находим:

(6)

При п = 1 формула эта дает :

или, вынеся одну треть за скобки:

(7)

Ясно, что в скобках мы можем суммировать любое число членов и получать логарифм 2 с любой точностью.

Обозначив сумму п членов через Sn, а отбрасываемый остаток через Еп, будем иметь log 2=Sn + £n, где

(8)

(9)

Теперь, если мы в равенстве (9) вместо знаменателей 2п + 3, 2az+5, 2п + 7, 2п+9 и т. д. поставим 2п + 1, то от этого каждая дробь увеличится (ибо знаменатели уменьшаются), а потому увеличится и их сумма (в скобках), и вместо равенства мы получим неравенство :

(10)

или, вынеся--- за скобки, получим:

(11)

Но здесь в скобках, начиная со 2-го члена, есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии; она равна первому члену, деленному на единицу без знаменателя выражение в скобках в неравенстве (9) равно, таким образом, 1 H--= — . Умножая на —выражение, стоящее перед скобками,получим

или

(12)

Отсюда легко вычислить логарифм 2 с какой угодно точностью. Например, взяв в формуле (7) только три первых члена, мы отбрасываем от суммы в скобках величину, которая, согласно формуле (12), меньше, чем -, т. е. меньше- : но выражение в скобках умножается еще на — , а потому значение для log 2 мы получим, взяв только первые 3 члена скобок меньше истинного менее, чем на 9406.

Для /г = 4 наша основная формула:

дает:

Приняв во внимание, что log 4 = log22= = 21og 2, и перенеся log 4 в правую часть равенства, получаем:

или

(13)

Отсюда можно вычислить логарифм 5 с заданной степенью точности.

Легко вычислить как угодно точно и log 2 -f - log 5 = log 10 и затем модуль обыкновенных логарифмов, т. е. логарифмов, взятых по основанию 10.

Как мы знаем, M =-/M выражается числом 0,43422944819...).

Умножив формулу для log (п + 1) — log п на M и написав для краткости Log вместо log10, найдем, что Log (п + 1) — Log п —

С помощью этой формулы можно вычислить таблицу логарифмов. Если желаем найти логарифмы целых чисел от 1 до 105= 100000, то достаточно вычислить логарифмы пятизначных чисел (так как, например, log ! о = log-—-—— o+4-log 13000). Таким образом, в предыдущей формуле п ^ 104. Положив Log (/г+1 ) = Log п =--+.S\ и принимая во внимание, что 2М << 1, имеем:

а так как

Зная, таким образом, Log п (как, например, имеет место при /г=104), найдем, что

с ошибкой, которая меньше одной единицы тринадцатого десятичного знака.

V

Не останавливаясь на устройстве и употреблении логарифмических таблиц, что относится к чисто практической стороне дела, скажем несколько слов о значении логарифмов.

Огромное значение логарифмов для числовых вычислений заключается в том простом факте, что они позволяют заменять умножение сложением, и как следствие уже отсюда вытекает возможность замены возвышения в степень — умножением и извлечения корня — делением, чем достигается громадная экономия времени и работы.

В течение XVI в. математики построили очень точные тригонометрические таблицы, но увеличение точности увеличивало в громадной степени и работу вычислителя, и изобретение логарифмов, по словам Лапласа, «сократив труды астронома, удвоило его жизнь».

В самом деле, с помощью логарифмов весьма легко определить значение, например, такого сложного выражения:

Достаточно взять логарифм этого выражения, равный --log /г, и затем найти в таблицах число, соответствующее этому логарифму, чтоб получить искомое значение данного выше выражения.

Логарифмические таблицы, прежде всего, и служат для быстрого возвышения в степень и извлечения корней, так как вместо этих действий в логарифмах приходится применять только умножение и деление. Есть задачи в математике, которые могут быть решены только с помощью логарифмов. Так, все уравнения, в которых неизвестное количество входит в показатель, решаются только логарифмированием.

Возьмем пример; дано 2* = 3х, определить X. Логарифмируем обе части уравнения: X log 2= л; lg 3. Переносим неизвестные члены в левую часть уравнения, х log 2 — X log3 = 0, выносим X за скобки: х (log2 — Iog3) = 0. Произведение может быть равно нулю только тогда, как один из множителей равен нулю. Так как разность log 2 — log 3 не равна нулю, то заключаем, х — 0. Или же просто, придя к уравнению jc(log 2 — log3) = 0, делим нуль на log 2 — log3, как на коэфициент при х:х=-=0 (ибо нуль, деленный на конечное количество, равен нулю). Иллюстрируем еще значение и силу логарифмов на решении нескольких задач.

1. Требуется найти степень 212. Если бы мы пожелали решить этот вопрос, не прибегая к помощи логарифмов, то нам пришлось бы сначала 2 возвести в 7-ю степень, а потом из 2 извлечь корень 12-й степени, что свелось бы к шестикратному извлечению корня квадратного, на что потребовалась бы масса кропотливой работы. Между тем, с помощью логарифмов этот вопрос решается,

как говорится, в два мгновения, именно, логарифмируем выражение 2 12 , получаем log 2 ~ = — log 2. Отыскать в таблицах log 2 — одна секунда: 0,3010300; умножив это число на —, найдем искомый логарифм 212, равный 0,1756008. Этому логарифму соответствует в таблицах число 1,498307, весьма точно выражающее значение 212.

2. Если число жителей некоторой области ежегодно возрастает на~ часть, причем вначале было 100 000 жителей, то спрашивается, сколько будет жителей через 100 лет.

По истечении 1-го года число жителей будет 100000 + — . 100000=100000 (1 +

По истечении двух лет:

Через три года число жителей будет, очевидно, 100000 [—! и, значит, через сто лет 100000 — . Чтобы решить это уравнение без логарифмов, пришлось бы — возводить в сотую степень, для чего потребовалось бы потратить, вероятно, много часов кропотливой работы.

Между тем, с помощью логарифмов задача эта решается в четверть часа.

Логарифм выражения

равен

значит

К последнему количеству надо придать log 100000 = 5, получим логарифм искомого числа жителей, именно 6,4240439. Этому логарифму соответствует число 2654874, значит через сто лет число жителей будет 2 654 874.

3. Если прогрессию 2,4,16,256..., в которой каждый член равен квадрату предыдущего, продолжить до 25-го члена, то какова будет величина этого последнего?

Члены этой прогрессии с помощью показателей удобнее выразятся так: 21, 22, 24, 28, 216 и т. д., откуда видно, что показатели составляют геометрическую пропорцию и что показатель 25-го члена будет 224 = = 16 777 216, так что самый искомый член будет 216777216. Логарифм этого количества равен 16777216 log 2. Поэтому, если

log 2 = 0,301 029 995 663 981 195,

то логарифм искомого числа будет

5 050 445, 25 973 367.

Найденная характеристика показывает, что искомое число, изображенное, как обыкновенно, имеет 5050446 цифр.

Мантисса же 259733675932, отысканная в таблицах логарифмов, даст начальные цифры искомого числа, которые будут 181 858. Итак, хотя искомое число никоим образом не может быть изображено, можно, однако, утверждать, что оно состоит ровно из 5050446 цифр, и что первые его одиннадцать цифр, определенные из больших логарифмических таблиц, будут 18185852986.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Лоренц—«Элементы высшей математики».

2 Кэджори—«История элементарной математики».

3. Игнатьев—«Математическая хрестоматия», часть 2-я.

4. Лямин —«Физико-математическая хрестоматия».

О НЕРАВЕНСТВАХ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ

Н. ИВАНОВ (Ярославль)

В решении неравенств высших степеней важную роль играет линейный двучлен ах+Ь, где афО. Поэтому напомним некоторые его свойства.

1) Двучлен ах+Ь имеет единственный корень, равный---

2) При всех значениях xs отличных от —--, двучлен ах+о имеет значения, неравные нулю, причем, когда а>0, значения двучлена положительны при xj>--, и отрицательны при х <--. Когда же а < О, то значения двучлена, наоборот, положительны при л:<--и отрицательны при

Учитывая все это, мы можем сказать, что двучлен меняет знак лишь один раз — при переходе аргумента через его корень, равный--— •

Возьмем теперь произведение нескольких линейных двучленов с различными между собою корнями:

(«i*-i-*i)(«t*+*«).. •(«„*+*„). о)

Ясно, что наши двучлены, имея различные по условию, корни, не могут одновременно менять знак, поэтому их произведение может изменить знак лишь тогда, когда изменится знак у одного из множителей, что может произойти лишь тогда, когда х пройдет через корень какого-нибудь линейного двучлена: atx + bv

Отсюда получается следующий способ решения неравенства вида

(2)

Отметим на числовой прямой корни линейных двучленов:

Пусть они отметятся соответственно точками А±А2, . . . Ап. В отмеченных точках неравенство (2) не соблюдается, так как произведение (1) в этих точках делается равным нулю.

Разобьем всю числовую прямую такими точками А1у Л2, . . . Ап на промежутки.

Когда переменное х, изменяясь, все время находится в одном из таких промежутков, не достигая его границ, т. е. какой-нибудь из точек Ai9 А2, . . . АпУ ни один из наших двучленов alx+b1 в нуль не может обратиться, а потому они все сохраняют свои знаки, и, следовательно, неравенство (2) во всем этом промежутке либо все время соблюдается, либо все время не соблюдается.

Пусть, например, х будет в промежутке ЛАЛ2, т. е. пусть

и пусть в этом случае неравенство (2) соблюдается. Если теперь переменное х перейдет через точку А2 в промежуток Л2Л3, то множитель а1х-\^Ь1 (и только он один) изменит знак, а потому и произведение (1) изменит знак и, следовательно, неравенство (2) теперь соблюдаться не будет. Аналогично при дальнейшем переходе х через точку Л3 в промежуток А3АА произойдет новое изменение знака произведения (1) и, следовательно, неравенство (2) снова будет соблюдаться.

Отсюда ясно, что соблюдение и несоблюдение неравенства (2) в наших промежутках будет чередоваться. Поэтому на практике достаточно найти знак произведения (1) в какой-нибудь одной внутренней точке одного из промежутков, на которые мы разбили числовую прямую. Конечно, лучше выбирать такую точку, в которой знак произведения (1) определяется всего легче, например при

Черт. 1

X = О или при X, равном какому-нибудь целому числу.

Таким способом мы узнаем, соблюдается или не соблюдается неравенство (2) в промежутке, содержащем испытуемую точку. Когда это сделано, помня чередование соблюдения и несоблюдения неравенства (2) в наших промежутках, отмечаем это как-нибудь на числовой прямой те промежутки, в которых неравенство (2) соблюдается.

В качестве примера рассмотрим неравенство

Отметим на числовой прямой корни двучленов:--; — : 5, — и— 1 (черт. 2).

Испытывая наше неравенство при л; = 0, видим, что здесь оно не соблюдается. Поэтому заштриховываем промежуток А2А3, а затем промежутки А±А5 и часть прямой налево от А± (черт. 3).

Наше неравенство будет соблюдаться в незаштрихованных промежутках, т. е. в промежутке АХА2 при--< х < — 1 ; направо от Л5, т. е. при

Примечание 1. Указанные приемы без всякого изменения распространяются на неравенства вида

В частности, если все а±>0у то в последнем промежутке, т. е. в том, который расположен направо от самого большого корня двучленов ахх+ blt все двучлены будут положительны, а потому в этом промежутке неравенство (2) соблюдается, а неравенство (3) не соблюдается. Поэтому никакой точки в этом случае испытывать не нужно и на числовой прямой можно сразу размечать, начиная с крайнего правого, промежутки соблюдения и несоблюдения неравенства.

Примечание 2. В неравенствах (2) или (3) всегда можно легко добиться, чтобы все ах были положительны.

Неравенства вида

(4)

сводятся к неравенству

(5)

так как дробь, стоящая в левой части неравенства (4), как и произведение, стоящее в левой части неравенства (5), одновременно положительны и одновременно отрицательны, а потому неравенство (4) решается так же, как и неравенства (2) и (3), т. е. отмечаются корни двучленов

на числовой прямой и т. д.

В заключение рассмотрим пример:

(6)

Черт. 2

Черт. 3

Это неравенство можно представить так:

Множитель (2х2 4- х + I)3, как положительный при всяком X, можно отбросить; множитель (— 1 + Зл: — 4л:2)3, как отрицательный при всяком ху тоже можно отбросить, изменив смысл неравенства (6) на обратный.

Множители в числителе (2х — I)2, (2л;+13)3, (2д:+1)4, (5л:—11)2, а также в знаменателе (х — 5)2 и (л: + 5)4, как неотрицательные при любом X, можно отбросить, но нужно учесть, что эти множители при ху соответственно равном — :--:--: —, 5 и — 5, обращаются в нуль, а потому неравенство (6) в этих случаях не удовлетворяется. Учтя все эти случаи, сводим нашу задачу к решению следующего неравенства:

Строя для последнего неравенства схему на числовой прямой, мы должны помнить, что при лг = 0,5; — 6,5; —0,5; 2,2; 4; 5 и — 5, неравенство (6) не соблюдается. Испытывая неравенство (7) лишь при х=19 видим, что в этом случае неравенство (7) соблюдается, и, таким образом, чередуя выполнение с невыполнением, получим схему (черт. 4).

Черт. 4

Из схемы видно, что только числа — 5 и 0,5 попали в те части, в которых неравенство (7) удовлетворяется, и, таким образом, только эти две точки являются исключениями в местах выполнения неравенства (7), а следовательно, и (6).

Итак, неравенство (6) удовлетворяется:

ОТ РЕДАКЦИИ

В сборнике № 6 за 1936 г. в разделе задач следует внести следующие исправления: в зад. M 10 вместо слова «делителем», надо поставить «кратным»; в зад. № 14 вместо «48» надо «18»; в зад. № 17 вместо «радиус вписанного» следует «радиус описанного».

ОБ ИСЧЕЗАНИИ n+1-го ЧЛЕНА В БЕСКОНЕЧНО-УБЫВАЮЩЕЙ ПРОГРЕССИИ

Проф. З. И. ПРИБЛУДА (Одесса)

Исчезание n+\-vo члена в ряду: (1)ч-~а, aq, aq2 . . . aqn . . . , где (?)< 1, при /г=оо, обычно принимается интуитивно, без строгого доказательства, либо доказывается довольно сложным, окольным путем. Именно, доказывается сперва, что /г + 1 член возрастающей прогрессии может, при достаточно большом п, стать и оставаться по модулю больше всякого наперед заданного положительного числа N, причем это доказательство достигается либо сравнением ряда (I) с рядом

(II) а, а, а,., а...,—

и суммированием обоих рядов, как это, примерно, делалось в курсах алгебры Киселев а,— либо представлением модуля /г 1-го члена aqn (ввиду того, что (q)> 1) в форме: (а)(1 +а)п, где а>0 и развертыванием вряд по биному Ньютона (в котором ограничиваемся первыми двумя членами).

Как первый, так и второй путь достаточно громоздок и, главное, не ведет непосредственно к обнаружению требуемого исчезания п + 1-го члена в убывающей прогрессии.

Предлагаемый нами ниже метод отличается тем, что он ведет к указанной цели непосредственно.

В виду того, что в прогрессии (1) — (<7)<С 1, обозначим (q) через — , где р < г (р и г — г положительны). Тогда мы можем написать следующие п строк:

(ввиду большей близости к единице правой части).

(ввиду большей близости к единице правой части).

(ввиду большей близости к единице правой части).

(ввиду большей близости к единице правой части).

Так как при п = оо правая часть полученного неравенства исчезающе-мала, то: (aqn)<Ey где £>0, что и требовалось доказать.

О ДВУГРАННЫХ УГЛАХ

Л. КРЕМЕНШТЕЙН и Д. МАЕРГОЙЗ (Киев)

Двугранным углам в учебной литературе обычно уделяется мало места. Существенным при этом недостатком в изложении этой темы является отсутствие таких важных понятий, как понятие о «линии наибольшего наклона» или «наибольшей покатости». Между тем, эти понятия значительно оживляют эту тему, благодаря своим применениям во многих практических вопросах (обыденные понятия о «крутом», «пологом», склон горы в данном месте и т. д.). Кроме того, эти же понятия естественно приводят к определению линейного угла двугранника. Поэтому, приступая к этой теме, необходимо предварительно выяснить указанные понятия. Для самого определения линейного угла в учебной литературе существуют два варианта.

Киселев в своем учебнике геометрии определяет линейный угол двугранника, как угол, образованный двумя перпендикулярами к ребру, проведенными из одной его точки в обеих гранях, и уже после этого подчеркивается, что плоскость линейного угла перпендикулярна к ребру двугранника.

Душин* же сразу определяет линейный угол, как угол, образованный линиями пересечения сторон двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру.

Нам кажется первый подход методически более верным по следующим соображениям. Во-первых, при первом подходе мы вызываем у учащихся представление о пространственном образе, стимулируя их пространственное мышление, тогда как при втором варианте им преподносится сразу готовый образ—плоскость, перпендикулярная к ребру; во-вторых, при первом варианте мы используем удобный случай применить и повторить предыдущий материал, именно теорему о двух перпендикулярах и определение плоскости двумя пересекающимися прямыми; в-третьих, такое определение естественно увязывается с указанным выше понятием о линии наибольшей покатости. После определения линейного угла, обычно, все внимание в учебной литературе уделяется доказательствам ряда трафаретных теорем.

Разумеется, все это не будит мысль учащихся, их пространственное воображение, а посему не вызывает у них должного интереса к этой теме. Поэтому нам кажется полезным, помимо изучения обычного материала, направить энергию учащихся и по другому руслу, а именно: заняться изучением таких вопросов в данной теме, которые благоприятствуют развитию пространственного воображения.

Для этого предлагаем исследовать с учащимися изменение линейного угла при замене перпендикуляров к ребру произвольными наклонными к нему на обеих гранях. Это равносильно замене плоскости, перпендикулярной к ребру, плоскостью, наклонной к нему. Каково соотношение между плоским углом, образованным линиями пересечения сторон двугранного угла с плоскостью, наклонной к ребру, и линейным углом? У большинства учащихся оказываются по этому вопросу неверные представления, а именно: они утверждают, что линейный угол меньше всякого другого плоского угла. Причина их заблуждений кроется в следующем: связывая понятие линейного угла с плоскостью, перпендикулярной к ребру, они проводят аналогию с углом между наклонной и плоскостью: там, мол, угол, характеризующий наклон прямой к плоскости, есть наименьший, а посему и линейный угол, характеризующий наклон одной плоскости к другой, есть также наименьший. На вопрос о том, возможен ли такой плоский угол, который был бы равен по величине линейному, обычно дают отрицательный ответ не только учащиеся, но и многие учителя.

Это об'ясняется тем, что нигде в учебных руководствах этот вопрос не излагается. Поэтому мы задались целью осветить этот вопрос в данной статье. Изложение этого вопроса в средней школе следует провести в таком порядке. Рисуем острый двугранный угол и строим на нем в произвольной точке ребра линейный угол ЛОВ (см. черт. 1). Фиксируя одну сторону линейного угла (например О Л), поворачиваем другую сторону (OB) в плоскость Q на некоторый произвольный угол. Пусть при этом прямая OB займет положение ОВх. Сравним величину /_ АОВх с величиной линейного угла ЛОВ. Первый всегда (независимо от величины угла поворота ВОВ)) будет больше линейного, так как сторона АО у как наклонная к плоскости Q, образует с прямой OB наименьший угол. Это следует из того обстоятельства, что прямая OB служит проекцией прямой OA на плоскость Q*, а угол между наклонной и ее проекцией на плоскость есть наименьший из всех углов, которые наклонная к плоскости образует с разными прямыми на ней. Таким образом, если мы одну сторону линейного угла зафиксируем, а другую повернем в плоскости второй грани на некоторый угол, то полученный при этом плоский угол всегда больше линейного.

Черт. 1

* Н. Душин — «Курс элементарной геометрии», 1923 г.

* Для доказательства следует взять произвольную Точку на прямой OA и спроектировать ее на плоскость Q. Проекция этой точки обязательно упадет на прямую OB, что легко доказывается по теореме о трех перпендикулярах и методом от противного.

Станем теперь поворачивать в плоскости Р зафиксированную нами раньше OA в том же направлении (вверх), что и прямую OB. При этом мы можем достигнуть такого положения, когда AtOB± станет меньше линейного.

В самом деле, прямые OA и OB можно поворачивать в соответствующих гранях, даже вплоть до слияния их с ребром ОМ, вследствие чего угол между ними может стать как угодно малым. Следовательно, при непрерывном вращении прямой OA (в плоскости Р) мы переходим от ^ АОВ, большего линейного, к ^ А±ОВи меньшему линейного. Поэтому должно существовать такое промежуточное положение ОЛ2, при котором плоский угол А2ОВ1 будет равен линейному. Ясно, что, вследствие произвольности /_ ВОВи таких положений может быть бесчисленное множество. Все эти положения хорошо иллюстрируются на стеклянных моделях*, специально изготовленных для этой цели (черт. 2). Резюмируя, приходим к выводу, что при пересечении сторон двугранного угла плоскостью, наклонной к углу, возможны три случая; полученные плоские углы могут быть: 1) больше, 2) меньше и 3) равны линейному углу. Поэтому утверждение, что линейный угол есть единственный по величине угол, которым можно измерить двугранный — неверно; вся суть только в удобстве. Такие же результаты можно получить, ведя исследование этого вопроса аналитическим путем.

Строим двугранный угол POMQ (черт. 3), а на нем линейный угол Q и плоский угол со на плоскости, проведенной через ОАг и ОВ1 наклонно к ребру; при этом проводим AAt и BBt параллельно ОМ и притом так, чтобы AB было перпендикулярно OA. Наша задача исследовать аналитически условие равенства углов Q и to.

Пусть длины сторон будут: ОА = а; ОВ = = Ь; ОА1 = т; OBt = n; и углы АОАх и ВОВ±— соответственно равны а и ß, а угол между плоскостями углов АОВ и А1ОВ1 = ? (на рисунке не указан). Спрашивается, при каком значении 9 имеет место равенство Q = со?

Между площадями треугольников АОВ и АхОВх существует такая зависимость:

(I)

Предполагая, что u> = Q, найдем, каким условиям должно удовлетворять значение угла 9. Из (I) видно, что ab = тп cos 9, или

(II)

Из прямоугольных треугольников АОА± и ВОВл имеем

Подставляя b (U) получаем:

(III)

Найдем еще зависимость, существующую между углами а, ß и данным линейным углом Q; для этого строим систему прямоугольных координат в пространстве так: начало координат совпадает с точкой О (черт. 3), ось Z-ob с ребром ОМ, ось ^-ов с прямой АО. При этом ось Г-ов окажется параллельной

Черт. 2

Черт. 3

* Эти модели изготовлены в мастерской самодельных приборов при математическом кабинете Киевского педагогического института. Автор этих моделей — Д. М. Маергойз, техническое оформление О. И. Василенко, инструктора этой мастерской.

AB согласно построению. По известной формуле аналитической геометрии имеем:

cos со = cos <xt cos а2 + cos ßi *cos $2 + -f cos y2 ... (IV), где «!, ßx, ylf а2, p2> T2

соответственно являются углами, образованными прямыми ОАх и ОВ± с тремя координатными осями ОХ, OY и OZ.

Из чертежа видно, что «1 = а;р1 = ^* после подстановки этих значений в (IV) получим:

что после упрощения дает: cos to = = cos a cos а2 + sin а sin ß.

Согласно первоначальному допущению ю = Q, следовательно:

cos Q = cos a cos a2 + sin a sin {$. (V)

Из прямоугольных треугольников AOBv ЛОВ и £0^ следует:

Подставим полученное для cos а., значение в (V):

(VI)

Итак, допущение co=Q приводит к двум зависимостям (III) и (VI). Из хода наших рассуждений видно, что других зависимостей между углами а, [5, 9 и Q, не являющихся следствиями найденных, не существует.

Уравнения (III) и (VI) показывают, что на поставленный выше вопрос о возможности равенства углов со и Q мы получили бесчисленное множество решений, ибо пришли к системе двух уравнений с тремя неизвестными 9, a и р. Исключив из обоих уравнений один из углов, например а, мы найдем, что с изменением (5 можно получить бесчисленное множество значений 9, при которых co = Q. Иначе говоря, получился результат, совпадающий с выводом, полученным раньше из других соображений, ибо L ß является 1тВ0В1 на чертеже 1.

Аналитическое исследование дает еще некоторые дополнительные интересные детали, а именно: из (VI) видно, что при

Полученные дополнительные результаты следует так истолковать: если линейный угол двугранника острый, то, чтобы получить плоский угол, равный ему, следует обе стороны его повернуть в одном направлении (обе вверх или обе вниз). Если же линейный угол — тупой, то, чтобы получить плоский угол, равный линейному, следует стороны его повернуть в разных направлениях (одну вверх, а другую вниз). Если же линейный угол прямой, то, чтобы получить плоский угол, равный линейному, следует одну сторону его зафиксировать, а другую повернуть на произвольный угол (a = 0; ß — произвольный угол, и наоборот),

Эти новые результаты тоже прекрасно иллюстрируются на вышеупомянутых стеклянных моделях.

ОБ УГЛАХ, РАСПОЛОЖЕННЫХ В ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ПЛОСКОСТЯХ

Н. ОСТРОГСКИЙ (Москва)

В курсе стереометрии доказывается положение, что наименьший угол между наклонной и прямой, проходящей на плоскости через основание наклонной, есть угол между наклонной и ее проекцией.

Эта теорема имеет весьма существенное значение потому, что устанавливает зависимость между двумя углами, расположенными в пересекающихся плоскостях. В геометрии не имеется других теорем, устанавливающих

соотношение между какими-нибудь двумя углами, лежащими не в параллельных плоскостях, если не считать теоремы о трех перпендикулярах. Поэтому весьма полезно рассмотреть с учащимися, хотя бы в порядке кружковых занятий, соотношения между некоторыми углами, расположенными в пространстве, и их проекциями на плоскость.

I. Проекция угла на плоскость, на которой лежит одна из его сторон, меньше, равна или больше проектируемого угла, смотря по тому, острый, прямой или тупой этот угол.

Если проектируемый угол прямой, то по теореме о трех перпендикулярах его проекция—тоже угол прямой и, следовательно, равен проектируемому углу.

Пусть L АВМ острый, а, следовательно, смежный с ним L ABN тупой и пусть MN лежит на плоскости Р.

Черт. 1

Еел* ЛС_]_Я, то L СВМ будет проекцией L АВМ, a L CBN— проекция L ABN.

Из точки А проведем наклонную Alj^MN; при этом ее проекция CD также перпендикулярна MN.

Перегнем ДЛБО около стороны BD до совмещения с плоскостью Р. Тогда сторона АО пойдет по стороне CD и займет положение AtD (^0>C3, так как А1>СЭ); ст000на AB займет положение АХВ—вне ДСВЭ; поэтому LCBNK^LA^BM, а потому LCBM<L АВМ.

Так как смежные им тупые углы ABN и С BN дополняют их до 2d, то, следовательно, L CBN> L ABN.

II. Проекция угла на плоскость, стороны которого наклонены к плоскости под углами а и ß, a плоскость, в которой лежит проектируемый угол, наклонена к плоскости проекции под углом у, больше, равна или меньше проектируемого угла, смотря по тому, будет ли cosy больше, равен или меньше произведения cos a cos ß.

Пусть £ASXB — проекция угла ASB на плоскость Р и плоскость ДА5В наклонена к плоскости Р под углом SMSt — у.

Если A S AB и /.SB А острые, то вершина линейного угла SMSt окажется между точка ми А и В (черт. 2); если же A SB А тупой, то вершина M линейного угла будет расположена на продолжении AB (черт. 3).

Введем обозначения: BS = a\ AS=^ö; BS1 = ai; AS1 = bi; AB —с; радиусы описанных кругов около /\ASB и /\ASXB — R и /?!, а площади этих треугольников — Q и Qt.

Площади Q и Qt определяются по формулам :

Черт. 2

Черт. 3

подставляя эти значения синусов, будем иметь:

Из этих равенств определяем

Деля первое равенство на второе, получим:

(1)

Но отношение площади проекции треугольника к площади проектируемого треугольни-

ка равно косинусу угла между плоскостями этих треугольников, а потому-^ = cos у.

Из прямоугольных треугольников ASS1 и BSS* имеем: — = cos 3 и — cos а. 1 а г b

Подставляя эти значения отношений в равенство (1), будем иметь

(2)

Перегнем /\ASB около AB до совмещения с плоскостью /\AS±B. Тогда .SM пойдет по S±M; вершина Z ASB окажется вне окружности О, описанной около /\AS±B9 если Z Л51Б>/ ASB (см. черт. 4 и 5).

Черт. 4

В этом случае будет иметь место неравенство:

Принимая во внимание равенство (2), будем иметь: cos y>cos а • cos ß. Последнее соотношение будет в:егда справедливо, если углы SAB и SBA острые, еще на том основании, что проекции этих углов на основании положения 1 меньше проектируемых углов, а, следовательно, проекция ASXB третьего угла /\AStB больше /_ASB. Из эгого, между прочим, следует, что проекции прямого и тупого углов, стороны которых пересекают плоскость проекции, всегда больше проектируемых углов.

Если Z ABS тупой, то вершина Z ASB может оказаться и на окружности Ох (черт. 6). Это значит, что /_ AS±B= Z ASB. Но тогда R = RU и, следовательно, cos у = cos orcos (3.

Черт. 5

Черт. 6

Наконец, вершина Z ASB может оказаться внутри окружности Ох (черт. 7), а это значит, что Z AStB < L ASB. Но тогда будем иметь следующее неравенство: R<RU а, следовательно, cos у < cos а • cos ß.

Черт. 7

В связи с этим полезно предложить учащимся определить длину наклонной SM (см. черт. 3) по следующим данным: Z ASB-= jLASxBz=^ LABS^i и ÄSizzzuv При этом SM определяется по формуле:

Черт. 8

Указанная выше теорема об угле прямой с плоскостью стоит как-то обсобленно в курсе стереометрии и не находит себе применения при выводе других теорем. Между тем, на основании этой теоремы можно весьма просто доказать теорему о плоских углах трехгранного угла, не ссылаясь на теорему о двух треугольниках, имеющих по две соответственно равных стороны.

Теорема. В трехгранном угле каждый из плоских углов меньше суммы двух других его плоских углов.

Если среди плоских углов трехгранного угла нет ни одного острого угла, то теорема для таких углов очевидна, так как сумма двух тупых или прямых углов или тупого угла с прямым больше всякого тупого угла. Следовательно, остается рассмотреть два случая :

1) среди плоских углов трехгранного угла по крайней мере два острых;

2) только один из плоских углов острый.

Дано: трехгранный угол SMNK, его плоские углы: а, ß, у; a>ß и а>у. Требуется доказать: a<Cß-f~Y-

Первый случай:

Углы MSN и NSK — острые, AMSK — угол любой величины.

Доказательство.

Из произвольной точки А ребра SN опускаем перпендикуляр AB на плоскость грани MSK и проводим плоскость Р через две пересекающиеся прямые AS и AB. Так как AB перпендикулярна грани MSK, то и плоскость Р перпендикулярна грани MSK и, следовательно, грань MSK перпендикулярна плоскости Р; при этом прямая SL, как линия пересечения этих плоскостей, является общей проекцией наклонных MS и KS к плоскости Р, а потому на основании теоремы об угле прямой с плоскостью Z.MSL <ß и LKSL <Т (5).

Складывая эти неравенства и замечая, что AMSL+LKSL — а, находим: a<ß + y.

Основание В перпендикуляра AB не может оказаться вне AMSK, например по другую сторону ребра SK на продолжении грани MSK, так как тогда a<ZM*SX<ß, что противоречит условию. Соотношения (3) можно также получить, основываясь на теореме I о проекции острого угла на плоскость, одна сторона которого лежит на «той плоскости.

Второй случай:

jLMSK тупой, AMSN тупой или прямой и LNSK острый.

Доказательство.

Пусть MtS — продолжение ребра MS, а M±SK и MtSN — продолжения граней MSK и MSN. Образовавшийся при этом трехгранный угол SÂi^N, являясь как бы смежным углом трехгранному углу SMKN, дополняет его до двугранного угла ММ±; поэтому ZMi5Л/= 180° — ß, a £M1SK=m°— а. Так как а>90°, то AMXSK острый, a так как ß^90°, то Z.M±SN острый или прямой; третий плоский угол NSK трехгранного угла SMiNK, равный у, согласно условию, острый.

Таким образом, плоские углы трехгранного угла SMtKN удовлетворяют условиям первого случая; следовательно, для него теорема справедлива, т. е. мы вправе написать следующее соотношение:

LM^N^LM^K^r LNSK.

Подставляя в это неравенство значения углов, будем иметь:

180°— ß<180° — a+y.

Перенося а влево, a ß вправо и отнимая от обеих частей неравенства по 180°, будем иметь: a<ß+y.

Итак, теорема доказана вообще.

О СУММЕ УГЛОВ КРУГОВОГО ТРЕУГОЛЬНИКА*

В. ВЫСОЦКАЯ (Можайск)

1. Виды круговых треугольников

При взаимном пересечении трех окружностей получаются треугольники, сторонами которых являются дуги этих окружностей.

Назовем такие треугольники круговыми. Сторону кругового треугольника будем считать вогнутой, если стягивающая ее хорда лежит вне кругового треугольника, и выпуклой,

* Задача эта — элементарный вывод суммы углов кругового треугольника — была поставлена Н. Ф. Четверухиным на семинаре по математике при МОНИМИ. О ее значении для геометрии связки кругов и, следовательно, для интерпретации той или другой геометрической системы, можно прочесть в книге Н. Ф. Четверухина — «Введение в высшую геометрию».

если ее хорда находится внутри кругового треугольника. Круговые треугольники возможны четырех видов. Если три стороны треугольника вогнуты, то такой треугольник отнесем к I виду, если два стороны вогнутые и одна выпуклая — ко II виду, если одна сторона вогнутая и две выпуклые — к III виду, и когда все три стороны вылуклы— к IV виду (черт. 1).

Черт. 1

2. Теорема об углах и сторонах кругового треугольника

Докажем теорему: алгебраическая сумма углов и сторон любого кругового треугольника, в которой выпуклые стороны должны быть взяты со знаком минус, равняется 180°.

Доказательство.

Возьмем круговой треугольник ABC, хотя бы III вида (черт. 2). Проведем АЕ, AF, BD, BF, CD, CE — касательные к «?а сторонам в вершинах А, В, С — и обозначим углы EAF, FBD, DCE кругового треугольника соответственно через а, ($, у, стороны его '-'ВС, ^АС, ^АВ, выраженные в градусах, а также центральные углы, им соответствующие, через 9,, 92, 93. (Примечание. Аналогичные обозначения сохраним во всем дальнейшем изложении.) Из чертежа видно: углы В DC, АЕС, AFB соответственно равны 180° —9j; 180° — 92; 180° — 93; L DBC = L DC В = Ц . Рассмотрим пятиугольник AFBCE, образованный касательными, проведенными к выпуклым сторонам, и хордой вогнутой стороны кругового треугольника. Сумма его углов будет 180° (/1 — 2) = 540°. Следовательно:

после упрощения имеем: а + Y~i~ ?i— — 92 — 9з = 180° . . . , где 92, 93 — выпуклые стороны кругового треугольника.

Аналогичным способом можно найти соотношения для кругового треугольника остальных видов и мы получим следующие четыре формулы для круговых треугольников:

(1)

(2)

(3) (4)

Доказанная теорема об углах и сторонах кругового треугольника остается правильной и в том случае, когда одна, или две, или три стороны кругового треугольника будут больше половины соответствующей окружности. Соотношения (1) и (4) указывают, что в круговом треугольнике I вида сумма углов a+ß+Y всегда меньше 180°, а ж круговом треугольнике IV вида — всегда больше 180°. Это легко видеть и непосредственно из чертежа. В зависимости от того, к какой связке кругов (о связках кругов см. книгу проф. Н. Ф. Четверухина — «Введение в высшую геометрию») принадлежат окружности, образующие круговые треуголь-

Черт. 2

инки II и III видов, сумма углов их (а + ß 4-Y) может быть и меньше и равна и больше 180°.

8. Связки кругов, определяемые тремя пересекающимися окружностями

Выясним расположение трех взаимно пересекающихся кругов, принадлежащих к определенной связке. Напомним следующее:

1) общая хорда двух пересекающихся окружностей определяет их радикальную ось,

2) три радикальные оси попарно взятых трех окружностей пересекаются всегда в одной точке — радикальном центре,

3) если радикальный центр лежит внутри окружностей, то эти окружности принадлежат к эллиптической связке кругов; если на окружностях, то — к параболической, и если вне окружностей — к гиперболической.

Отсюда следует, что радикальный центр трех взаимно пересекающихся окружностей будет лежать или в точке пересечения трех общих хорд попарно взятых окружностей, или в точке, являющейся общим концом всех трех указанных хорд, или в точке пересечения их продолжений. Соответственно этому окружности будут принадлежать к эллиптической, параболической или гиперболической связкам.

Покажем, что эллиптическую связку три взаимно пересекающиеся окружности определят тогда, когда одна из них пересекает один раз общую хорду двух других. Действительно, если окружность 03 (черт. 3) пересечет один раз общую хорду СМ двух других Ох и 02, то, следовательно, точки пересечения В, Р и Ау N окружности 03 с двумя другими будут находиться по разные

Черт. 3

Черт. 4

стороны от общей хорды СМ, поэтому хорды BP и AN должны пересечь СМ, т. е. три указанные круга определят эллиптическую связку кругов.

Аналогичными рассуждениями легко показать и обратное положение: если три взаимно пересекающиеся окружности принадлежат к эллиптической связке, то любая из них пересекает один раз общую хорду двух других. Заметим, что в таком случае один конец любой из общих хорд двух окружностей находится внутри третьей, а другой конец—вне ее.

Три взаимно пересекающиеся окружности определяют параболическую связку кругов в том случае, если все они проходят через одну общую точку (один конец общих хорд попарно взятых окружностей), которая будет являться их радикальным центром (черт. 4).

Круговые треугольники в эллиптической и параболической связках получаются II, III, IV видов. Круговой же треугольник I вида в таких связках получиться не может, так как радикальный центр кругов, его образующих, лежит внутри кругового треугольника, т. е. вне окружностей.

К гиперболической связке кругов три взаимно пересекающиеся окружности принадлежат в остальных случаях, т. е. когда любая из них не пересекает общей хорды двух других или пересекает ее два раза (черт. 5).

При этом могут получиться круговые треугольники всех четырех видов (черт. 5).

4. Сумма углов круговых треугольников в эллиптической связке

Покажем, что сумма углов кругового треугольника эллиптической связки всегда больше 180°.

Черт. 5

Рассмотрим круговой треугольник ABC II вида (черт. 3).

Для его углов и сторон имеет место соотношение:

(§2).

Из чертежа же мы видим следующее:

в то же время LAMB измеряется

так как его вершина M лежит вне окружности 03; отсюда Z АМВ= ^+?2 <3, т. е. 9i + ?2 <Сз и> следовательно, а4--f P + Y> 180°.

Также можно показать, что в эллиптической связке для кругового треугольника III вида в соотношении ос+ß ~Ь Y ^ 180° вогнутая сторона будет содержать дуговых градусов меньше, чем сумма выпуклых сторон, т. е. <С?2~Ь?з> а> следовательно, а + ß -f~Y> 180°. Как было указано ранее, в эллиптической связке не может получиться круговой треугольник I вида, поэтому сумма углов круговых треугольников эллиптической связки всегда больше 180°.

5. Сумма углов круговых треугольников в параболической связке

Рассмотрим круговые треугольники в параболической связке (черт. 4).

Черт. 6

Легко показать непосредственно из чертежа, что сумма углов кругового треугольника, в котором радикальный центр О не является одной из вершин, будет равна 180°. К этому же выводу приходим, рассматривая соотношение, выведенное ранее для определенного вида кругового треугольника.

Возьмем, например, круговой треугольник ABC III вида. Для его углов и сторон имеем соотношение

« + ß + Y + ?i-?2-?3 = 180°-

Из чертежа видим, что ^ = 92 ~h~ ?з» а» следовательно, a + 8 + Y = * В круговом треугольнике, у которого радикальный центр является одной из вершин (например ООВ), сумма углов больше 180°, так как один его угол равен одному из углов кругового треугольника ABC, а два другие порознь составляют дополнение до 180° соответственно к одному из углов того же кругового треугольника ABC.

6. Сумма углов круговых треугольников в гиперболической связке

В гиперболической связке кругов линия центров любой пары окружностей лежит вне базисного круга, поэтому три взаимно пересекающиеся окружности имеют внутри базисного круга только три точки пересечения и, следовательно, образуют один круговой треугольник со сторонами, которые меньше соответствующих полуокружностей. При этом круговой треугольник IV вида внутри базисной окружности быть не может, так как в противном случае радикальный центр должен был бы находиться внутри его, а, следовательно, внутри окружностей, его образующих. Сумма углов кругового треугольника, находящегося внутри базисной окружности гиперболической связки, меньше двух прямых. Это надо доказать для круговых треугольников II и III видов, так как круговой треугольник I вида, как было уже выяснено, имеет сумму углов, меньшую двух прямых. Возьмем круговой треугольник ABC II вида (черт. 5).

Для него имеем соотношение

4 ?i4?2-?3 = i8o°.

В данном случае будем иметь <pt + ср2 > 9з-Действительно:

следовательно,

В то же время £ANB, как угол, вершина которого N находится внутри окружности

измеряется

поэтому

отсюда а-Н + у < 180°. Аналогичным путем можно такое неравенство вывести и для кругового треугольника III вида, находящегося внутри базисной окружности гиперболической связки (черт. 6).

Для него в соотношении ос + ß + уь ?i — — ?2 —?з=180° будем иметь ?i>?2+?8-Сумма углов кругового треугольника (MNK, черт. 5), все вершины которого лежат вне базисной окружности, будет меньше 180°, так как углы его соответственно равны углам кругового треугольника (ЛВС) внутри базисной окружности. Сумма же углов кругового треугольника (например Ав KNC, черт. 5), который имеет одну или две вершины внутри базисной окружности, а остальные — вне ее, будет больше двух прямых, так как в таком треугольнике один угол всегда будет равен одному из углов кругового треугольника (ABC), находящегося внутри базисной окружности, а два лругие составляют каждый дополнение до 180° к одному из углов этого же треугольника (ABC).

ДВЕ ЗАДАЧИ НА ТРАПЕЦИЮ

И. БАКУЛИН (Харьков)

При поверхностном ознакомлении с конфигурацией внутреннего размежевания колхозных и совхозных земель можно заметить значительное распространение трапеции, выражающей форму отдельных полей севооборота, бригадных полевых участков и пр.

Одна из общеизвестных особенностей трапеции та, что в сравнении с более типичною формою поля — прямоугольником — она требует более усложненных расчетов при практических измерениях. Если принять во внимание отсутствие на местах необходимых измерительных приборов и связанное с этим стремление всемерно упростить технику измерений (например, «отстраниться» от высоты, как элемента геометрической фигуры), — понятными станут те затруднения, с которыми в процессе работы сталкивается полевод хозяйства, заведующий участком или полевой бригадир. В двух, по крайней мере, случаях затруднения эти становятся неизбежными, именно:

1) при необходимости вычислять площадь участка в форме трапеции;

2) при делении участка, имеющего форму трапеции, на некоторое число равновеликих площадей. (Как известно, на трудоемких культурах, как сахарная свекла, подсолнечник и др., такое деление с последующим прикреплением каждой площади к определенному звену на весь сезон полевых работ является необходимой и обязательной мерой.)

Многие практики сельскохозяйственного производства, встречаясь с указанными задачами, ограничиваются примитивными способами, дающими результаты сомнительного качества. Например, в ряде колхозов Харьковской области площади участков, имеющих форму трапеции, вычислялись черен произведение полусуммы противоположных сторон.

Соблазняясь внешней простотой этого приема, в иных местах распространяли его и на другие виды четырехугольника, не замечая того, что эта формула обеспечивает лишь грубое приближение. Подобное же упрощение практикуется и по отношению ко второй задаче — деление поля на равновеликие площади.

Излишне говорить, конечно, о вытекающих отсюда ошибках, о вреде этих ошибок, искривляющих социалистический учет в самой первичной его стадии.

Мы предлагаем ниже общее решение каждой из указанных двух задач на основе элементарной математики. Выведенные нами формулы вполне доступны пониманию колхозных бригадиров, основная масса которых получила необходимые знания в агрокружках, агрокурсах, райколхозшколах или в неполной и даже полной средней школе. Предлагаемые формулы представляют также интересный материал для кружковых занятий с учащимися средней школы.

Задача 1

Определение площади трапеции по четырем ее сторонам

Пусть дана трапеция АВСЭ, все стороны которой известны (для сокращения они обозначены малыми буквами) и площадь которой следует выразить через эти стороны.

Продолжим непараллельные стороны трапеции до пересечения в точке О. Опустив из точки О перпендикуляр £С, получим высоту трапеции, выраженную отрезком MN. Решение задачи сводится к определению отрезка MN через отрезки a, bt с и d.

Сначала определим отрезки АО и DO. Из подобия треугольников AJO и ВСО вытекает:

Решив каждое из этих уравнений, найдем:

Три стороны Д ADO таким образом выразились через известные величины. По формуле Герона определим площадь этого треугольника:

Черт. 1

Обозначим периметр трапеции через 2р:

a+b+c+d = 2 /?,

и через эту подстановку несколько упростим выражение для площади /\АОО.

с другой стороны, эта же площадь определяется через полупроизведение основания на высоту.

Составим уравнение и решим его относительно ОМ:

Теперь, опираясь на подобие тех же треугольников, определим высоту трапеции Mfo из уравнения

Зная высоту, определим, наконец, площадь трапеции:

(I)

Если меньшее основание трапеции приравнять нулю

то получится треугольник, являющийся, как известно, частным видом трапеции. Тогда

выведенная для площади трапеции формула обращается в известную формулу Герона для площади треугольника:

SA — V~P (Р — с) (P—d) (Р—аУ

Задача 2

Деление трапеции на некоторое число равновеликих площадей Пусть трапецию ABCD со сторонами AB=d, ВС — a, CD = с, AD = b надо разделить иг п равновеликих площадей, расположенных полосами, параллельными основаниям.

Черт. 2

Задача сводится, очевидно, к нахождению точек Bl9 В2, В3...Вп-у на стороне AB, или точек Сх, С2, С3, Cn-i на стороне CD, таких, чтобы соответствующие отрезки ВХС19 В2С2, В3С3,.. Bn-i Сл_1 являлись общими сторонами двух соседних равновеликих площадей. Расстояние точек Blt В2, В3... Вп^ от точки Л обозначим через х±, х2, x3t.. хп^ . Подобно этому отрезки DCU DC2, DC3,..DCn-.i обозначим через yv у2, у3 ...уп+

Предварительно рассмотрим частный случай при Ь = 0, т. е. сведем задачу к делению Д ABC на п равновеликих площадей.

Черт. 3

Нетрудно увидеть, что отрезки В±С1У В2С2, В3С3, BkCk, Bn-iC„-i отсекают треугольники, подобные данному Д ABC. Условие же задачи определяет отношение площади каждого из них к площади данного треугольника, а именно:

Возьмем один из таких треугольников, отсекаемый от данного отрезком ВкСк, и сравним площади треугольников АВкСк и ВСА:

Но площади подобных треугольников относятся, как квадраты соответственных сторон. Отсюда:

(2)

Найденные значения хк и ук применительно к треугольнику не лишены некоторой доли практической полезности, так как в колхозах и совхозах нередко можно встретить и треугольные участки — клинья.

Но отрезки хк и ук нам нужно определить применительно к трапеции. Обратимся еще раз к чертежу 1 и определим отношение — площади Д ADO к площади трапеции ABCD:

Если бы деление на равновеликие площади распространялось на весь Д ВСО (5Д ЯС0 = 5Д ADO + S abcd), количество равновеликих полос выразилось бы следующей суммой:

Мы подошли к важному выводу:

Первая по порядку полоса трапеции ABCD есть одновременно полоса Д ВСО

Вторая по порядку полоса трапеции ABCD есть одновременно полоса Д ВСО

Третья по порядку полоса трапеции ABCD есть одновременно полоса Д ВСО

k-я по порядку полоса трапеции ABCD есть одновременно полоса Д ВСО

По выведенной перед этим формуле (2) определим отрезки хк и ук применительно к трапеции ABCD (и одновременно применительно к Д ВСО).

(3)

аналогично

Нетрудно заметить, что, подставляя в формулу (3) вместо b нуль, приходим к формуле (2).

МЕТОДИКА

ВОПРОСЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ, СПОСОБСТВУЮЩИЕ РАЗВИТИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИ-ОБОБЩАЮЩЕГО МЫШЛЕНИЯ

К. ШЕВЧЕНКО (Днепропетровск)

В области математического образования средняя школа ставит своей задачей продолжительное систематическое изучение количественных соотношений и пространственных форм и воспитание у учащихся высокой математической культуры. Это значит, что мы, преподаватели математики, должны дать учащимся математические сведения, научить их применять математические знания к теоретическим вопросам и вопросам прикладного характера легко и экономно, просто и, по возможности, изящно. Но и это еще не все. Мы должны быть озабочены тем, чтобы при всяком удобном случае учащиеся развивались математически в возможно глубоком значении этого понятия. Это, помимо всего прочего, обеспечит наилучшую подготовку учащихся к беспрепятственному сознательному восприятию ими круга основных идей высшей математики.

В понятие «высокая математическая культура» необходимой составной частью входят развитие навыков анализировать и синтезировать и умения делать математически-логические выводы.

Какой же элемент в преподавании математики является одним из главных средств развития математически-логического мышления? Мне думается, что весьма полезным с этой точки зрения служит упор на обобщающие моменты: обобщение математического понятия, определения, действия, теоремы, формулы.

Целью настоящей статьи является выделение из обширного среднешкольного курса математики некоторых таких моментов.

Арифметика

По времени изучения арифметика — первая математическая дисциплина. Учащийся с детских лет делает первые шаги в развитии математического мышления. Знакомясь со счетом, ребенок полусознательно уже делает свои обобщения; он видит, например, что

сложение можно распространять на область чисел сколько угодно больших. Уже здесь преподаватель должен обратить внимание учащихся на этот факт и тем самым заложить едва ли не первый камень в фундамент математически-логического и обобщающего мышления детей.

На какие вопросы арифметики следует обратить внимание с точки зрения развития математического мышления? Основные и наиболее ценные в этом отношении такие вопросы:

1. Умножение, как частный случай сложения.

2. Десятичная дробь, как частный случай дробного числа.

3. Дробь, как общий случай чисел.

4. Нахождение процентов от числа, как частный случай нахождения части от числа (и обратная задача).

Теперь некоторые методические соображения по этим вопросам. Чтобы не повторяться, пользуюсь здесь и в дальнейшем нумерацией, соответствующей вопросам.

1. Этот вопрос со всей возможной полнотой нужно затронуть не тотчас при ознакомлении с умножением, а позже, скажем — после прохождения всех четырех действий, подвергая их заключительному обзору. Следует хорошенько растолковать учащимся, что умножение по сути дела не представляет собой особого действия, что можно обходиться и без умножения, а пользоваться сложением*. Вводим мы умножение лишь затем, чтобы облегчить себе работу, так как такой частный случай сложения весьма распространен. Несколько более труден вопрос о делении, как действии, могущем быть замененным вычитанием. Но следовало бы поговорить и об этом, тщательно продумав эту тему. Чрезвычайно плодотворно эти вопросы еще раз рассмотреть в старших классах, если на углубление теоретических вопросов математики (в частности арифметики) отвести

* Точно так же, как можно обходиться бег деления, заменяя деление рядом вычитаний.

несколько уроков. В таком случае можно побеседовать с учащимися о сложении, как действии, единственно необходимом и достаточном в арифметике.

2. Десятичная дробь представляет собой частный случай дробного числа (знаменатель есть степень числа 10). На этом факте преподаватель должен сделать ударение. Разумеется, необходимо пояснить удобство записи десятичной дроби, отличной от записи простой дроби, о чем подробно можно говорить после того, как учащиеся хорошо усвоят перевод одного вида дроби (дробного числа) в другой. Уместно сказать о недесятичных системах счисления, каковую тему полезно разработать в математическом кружке.

3. После того как учащиеся изучат дроби, рекомендуется привести беседу о том, что теперь учащиеся знакомы уже с двумя видами чисел—числами целыми и числами дробными, и что таким образом область чисел значительно расширилась. К примеру говоря, между 1 и 10 заключается 8 целых чисел и бесчисленное множество дробных чисел. Из этого примера можно сделать и такой вывод: целые числа представляют собой частный случай дробных чисел (знаменатель равен единице).

4. Как десятичная дробь есть частный случай дробного числа, так и нахождение процентов от числа (и обратная задача) есть частный случай отыскания части от числа (и обратная задача,). С этой аналогии и следует начинать эту основную задачу на процентные ычисления, а не решать ее помощью пропорции. Этот способ (решение пропорцией) полезно дать после, дабы учащиеся не выделяли эту задачу на проценты в какую-то особую категорию арифметических задач.

Алгебра

Эта отрасль среднешкольного курса математики чрезвычайно богата возможностями делать обобщающие выводы. Алгебра — буквенная арифметика, обобщенная арифметика, а это обязывает преподавателя при каждой возможности обращать внимание учащихся именно на эту сторону алгебры, т. е. на самую природу этой дисциплины и вытекающую отсюда ценность ее Приступая к алгебре, преподаватель сталкивается с величайшими методическими трудностями. Это относится, конечно, к тем преподавателям, которые желают научить учащихся не только технике в оперировании алгебраическими выкладками (что не представляет чрезмерной сяо.кности), но и с первых шагов дать им правильный толчок к пониманию природы алгебры. Разумеется, бояться этих трудностей не следует, а нужно смело итти навстречу опасности, и она минует, коль скоро преподаватель глубоко продумает метод изложения.

К главным вопросам, которые можно и должно подвергнуть обобщению, отношу следующие:

1. Относительные числа. 2. Алгебраическое выражение и формула. 3. Возвышение в степень, как частный случай умножения. 4. Алгебраическое сложение. 5. Одночлен и многочлен. 6. Формулы сокращенного умножения. 7. Пропорции. 8. Извлечение корня, как новый этап расширения числа действий. 9. Комплексное число. 10. Тождество и уравнение, теория уравнений. 11. Обобщение понятия о показателе степени и логарифмирование. 12. Прогрессии, комбинаторика, бином Ньютона.

*

* *

1. Хотя методика раз'яснения относительных чисел разработана в различных разрезах, и довольно основательно, но тем не менее всякий раз, идя на этот урок, опытный преподаватель тщательно продумывает эту тему, что и понятно: в сознание учащихся вступает новый этап развития понятия о числе (I этап — числа абсолютные и II этап — числа относительные). Тема чрезвычайно интересная и дающая сильный толчок по пути развития математического развития. Здесь же должно уделить внимание понятию «ноль», столь знакомому и столь подчас непонятному.

2. На уроках, посвященных рассмотрению алгебраического выражения и формулы, нужно дать учащимся сразу же почувствовать, что при решении любой арифметической задачи («по вопросам») они имели дело с «выражениями», а совокупность последних давала формулу решения задачи. Достаточное количество соответствующих примеров дает возможность притти к обобщающим выводам: во-первых, все задачи данного типа могут быть разрешены по общей формуле, и, во-вторых,— неизвестное, определяемое по этой формуле, имеет бесчисленное множество значений, но из этого множества значений мы берем только то, которое получается при данных частных значениях известных величин нашей задачи. Полезно порешать задачи и теоретического характера, например такого типа: написать общий вид четного (нечетного) числа, написать общий вид числа, делящегося на чисти / и дающего в остатке число п и т. д. Все это дает здоровый и крепкий базис для дальнейшего углубления взгляда на алгебру, как обобщенную арифметику.

3. Чрезвычайно полезно на самой ранней стадии знакомства учащихся с возвышением в степень привить им взгляд на это действие, как на частный случай умножения. На естественный вопрос учащегося: почему же возвышение в степень называют особым действием (пятым действием),— ответить не представляет труда. Во-первых, потому, что такой частный случай умножения встречается в практике математики и других наук очень часто и, во-вторых, потому, что это действие имеет не одно обратное действие (как это имеет место с умножением), а два обратных действия. Понятно, не рекомендуется тут же входить в подробности, памятуя, что с элементами извлечения корня скоро придется встретиться, а о логарифме говорить бесполезно. При решении примеров с буквенными показателями полезно поупражняться на задачах типа: определить знак выражения

(—а)«±*9 (—ö)2*±*. (—of и т. п.

4. Вводя отрицательные числа, мы расширяем область известных нам чисел, а это позволяет арифметическое сложение и арифметическое вычитание об'единить в одно действие — алгебраическое сложение. Этот момент заслуживает самого пристального внимания преподавателя, ибо известна та автоматичность (и та вера в авторитет преподавателя), с которой учащиеся оперируют знаками, не понимая природы такого основного преобразования:

a + ö = a + (+b) = a — (-£).

Учащийся должен раз и навсегда понять, что а + b есть алгебраическая сумма и, значит, она может выражать (представлять собой) как результат сложения положительного числа а и положительного числа Ь, так и результат вычитания из положительного числа а отрицательного числа Ь. Отсюда, кстати, вывод: вычитание можно рассматривать, как частный случай сложения, а именно: вычесть из первого числа второе число — это все равно, что к первому числу прибавить второе число, взяв последнее с противоположным знаком.

5. Обычные определения одночлена и многочлена, будучи формально правильными, в то же время не увязывают алгебры с арифметикой, такой для учащихся конкретной и понятной. Теоретичность в изложении понятия об одночлене и многочлене бесполезна, если не воспользоваться таким удобным случаем для обобщающих рассуждений. Нужно вспомнить о формулах и с их помощью показать, что и в арифметике мы также имеем дело с одночленами и многочленами, но там не было нужды в этих понятиях (терминах), раз имелась возможность выполнить всякое действие фактически. В целях увязывания алгебры с арифметикой полезно упражнять учащихся в составлении общего вида многозначных чисел (например, трехзначное число имеет вид я-100-f Ь-\0+с или ЮСа + \0b+c). На таких примерах учащиеся убедятся в том, что всякое многозначное число по сути дела представляет собой многочлен. Нужно пояснить, что обратное заключение не всегда верно, например многочлен а + b при а = 5 и ô = 3 есть число однозначное.

6. Формулы сокращенного умножения являются, быть может, первым случаем, на котором можно показать обобщающее значение алгебры на алгебраическом же примере. Учащиеся должны усвоить, что всякая формула сокращенного умножения годна для любых значений входящих в нее букв, а раз это так, то, например, формула (а + Ь) (а2 — ab+ Ь2) = = a3+bs обобщает все возможные случаи умножения выражений (многочленов) вида а-\ b и а2 — ab -}- b2. Кроме того, это окажет помощь в дальнейшем при ознакомлении с понятием «тождество». Нечего скрывать: учащиеся нередко слишком механически оперируют формулами сокращенного умножения, подчас не понимая ни их существа, ни их значения и пользы. Поэтому, как ни проста кажется тема «Формулы сокращенного умножения», преподавателю нужно хорошенько продумать методику об'яснения вывода первой по времени формулы (обычно это «квадрат суммы двух количеств») и ее значения и пользы. Между прочим, я считаю целесообразным на первое место ставить формулу «произведение суммы на разность тех же количеств», поскольку она проще,

7. В арифметике, а тем более в алгебре, нужно указать учащимся на тот факт, что пропорциональная зависимость есть лишь один из видов функциональной зависимости,, вид зависимости наиболее простой. Взяв для иллюстрации 3—4 задачи с конкретным содержанием, решить их арифметическим путем, но в общем виде; составить затем формулу решения каждой задачи и сравнить их; уже по одному внешнему виду учащиеся заметят разницу имеющихся зависимостей. Затем не мешает показать учащимся непрерывные пропорции (геометрическую и арифметическую) и подчеркнуть то обстоятельство, что эти пропорции являются частными случаями.

8. Об'яснение извлечения корня удобно начинать с задачи, приводящей к этому действию (например, найти сторону квадрата,

площадь которого равна 64 см2). При таком подходе учащемуся будет понятна практическая необходимость расширения числа действий. После этого нужно напомнить то, что было сказано при первом (пропедевтическом) ознакомлении с извлечением корня, а именно: извлечение корня есть действие, обратное возвышению в степень (ап=Ь и a = ]/rb). После того, как учащиеся твердо уяснят взаимную связь этих действий, можно слегка подготовить их к восприятию второго обратного действия — логарифмирования. Нет никакой надобности уже теперь пользоваться термином «логарифм». Изучая действие извлечения корня, мы естественно подходим к необходимости сделать дальнейшее расширение понятия о числе— числа рациональные и числа иррациональные. Между прочим, нужно бороться с чисто ученическим взглядом на иррациональные числа (например |/2 , \ 24 ,|/ 153,7 и т. п.), встречающиеся в практике сплошь и рядом, как на числа «нехорошие», числа, так сказать, «исключительные». На самом же деле, уж если зашла речь об «исключительных» числах, то таковыми с большим правом можно назвать числа

/4 ,^125,1/49“ и т. п.,

которые представляют редкое исключение; чтобы убедиться в этом, достаточно подсчитать хотя бы полные квадраты в границах от 1 до 100.

9. Далее идет следующий этап развития понятия о числе, а именно — числа мнимые. Тема безусловно трудная, особенно принимая во внимание то «между прочим», каким является эта тема в среднешкольном курсе математики. Однако, хотя бы по формальным причинам, тема эта не может быть опущена. Ради обобщения понятия «число» мы пользуемся комплексным числом a^eit и на всестороннем исследовании этого выражения нужно остановиться подольше. Не лишне показать, как с помощью мнимых чисел можно разложить на множители некоторые алгебраические выражения, например

а2+Ь2 = (а + Ы) (а — Ы).

10. Развитию обобщающего мышления много содействует теория уравнений. Как уравнение, так и тождество являются частными случаями равенства, что, конечно, при об'яснении нужно оттенить. При изучении уравнения первой степени с одним неизвестным нужно обратить внимание учащихся на тот факт, что такое уравнение всегда, если это удобно,

можно рассматривать, как пропорцию. В самом деле, преобразовав уравнение ах++ & = 0к виду ах = — 1 • Ь, имеем :

Практически мы разрешаем уравнение, как пропорцию, в тех случаях, когда уравнение имеет вид явной пропорции, например

В разделе «Системы уравнений первой степени» необходимо указать на универсальность способа подстановки, и что, следовательно, этот способ есть общий способ. Это обстоятельство подчас упускается из виду молодыми преподавателями, в результате чего учащиеся пренебрегают способом подстановки. Квадратные уравнения следует начать выводом формулы решения квадратного уравнения самого общего вида: ах2 +bx+ с — 0. Применяя затем эту общую формулу к уравнению приведенному (X2+pX + q = 0)t

получаем его решение:

Полезно по общей же формуле решить неполные уравнения ах2 + с = 0 и ах2 + j^-bx = 0, для чего первое уравнение переписать в виде äx2 + Ол: + с = 0, а второе — в виде ах2+ Ьх+0 = 09 и только потом показать специальные способы решения неполных уравнений. Такой порядок изучения квадратных уравнений безусловно хорош, в частности тем, что в полной мере уясняется общность уравнения ах2 -\~ Ъх + с = 0.

С точки зрения темы настоящей статьи большую ценность представляет исследование корней квадратного уравнения, на чем нужно остановиться подольше. Уже теперь хорошо сказать учащимся, что всякое уравнение Г-й степени имеет Т корней, в числе коих могут быть кратные корни. Квадратное уравнение имеет кратные корни в том случае, если Ь2 = 4ас. По моему личному убеждению, раздел «Уравнения высших степеней» нужно начинать не с уравнений частного вида (биквадратное, двучленное и т. п.), а с уравнения общего, общим приемом, т. е. понижением степени уравнения на единицу и

заключительным решением квадратного уравнения. Небесполезно познакомить учащихся со свойствами корней полного приведенного уравнения высшей степени: а) сумма корчей равна коэфициенту при втором члене с обратным знаком (например в уравнении х3 — 7л;2 ++ 14л: — 8 = 0 сумма корней = 7) и б) произведение корней равно свободному члену, взятому со знаком выражения (—1)*, где п — степень уравнения (в нашем примере произведение корней = 8). Для определения знака можно пользоваться также знаком выражения (—l)r ,+ 1 где Т — число членов уравнения. Теперь логический вывод: корни приведенного квадратного уравнения подчиняются свойствам корней приведенного уравнения Г-й степени*.

11. Расширение и обобщение понятия о показателе степени (нулевой, отрицательный и дробный) дает большую эффективность, будучи перенесено из раздела «Степени и корчи» (иррациональные выражения) в специальный раздел, предшествующий логарифмам. Лучше начинать с дробного показателя, ибо его происхождение весьма простое: это — результат извлечения ]7~ат при т, не делящемся на я, в частности при m < п. Рекомендуется сделать ударение на условности дробного показателя, приведя в качестве иллюстраций хотя бы такие тождественные преобразования

Нужно позаботиться о том, чтобы учащиеся твердо уяснили себе, что, хотя число 2 нельзя взять сомножителем — раза, но все же выражение 2 * имеет реальный смысл, что видно из преобразования 3. После дробного показателя (ценность которого проявляется в различного рода математических преобразованиях) учащиеся без труда поймут условный характер (смысл) и нулевого и отрицательного показателя. Весь этот раздел дает чрезвычайно много в отношении развития математически-логического мышления и обобщения математических действий. Раздел «Логарифмы» завершает расширение числа действий элементарной (вернее—среднешкольной) математики: учащийся знакомится со вторым действием, обратным возвышению в степень. Необходимо указать учащимся на то обстоятельство, что в вычислительной работе мы отдаем предпочтение десятичным логарифмам лишь потому, что в нашей десятичной системе счисления удобно пользоваться этими логарифмами; удобно, но не необходимо.

12. К понятию «прогрессии» нужно подходить, как к частному случаю (виду) ряда. Хорошо, чтобы учащиеся упражнялись в составлении рядов (один «изобретает» ряд, а товарищи выявляют закон, по которому этот ряд составлен). В этом разделе нужно подольше задержаться на свойстве члена арифметической прогрессии (каждый член есть среднее арифметическое соседних членов) и на аналогичном свойстве члена геометрической прогрессии. Изучая «комбинаторику», учащиеся должны отдавать себе отчет в том, что «перестановки» и «сочетания» представляют собой частные случаи «размещений», и должны уметь дать определение этим видам соединений, исходя из понятия «размещение».

Объяснение бинома Ньютона следует предварить записью на доске формул квадрата и куба двучлена и напоминанием того факта, что с помощью этих формул можно возвысить двучлен в 4, 8, 16-ю и т. д. степень, в 6, 12, 24-ю и т. д. степень. Это подготовит учащихся к восприятию разложения бинома Ньютона, как общего метода. После вывода формулы бинома необходимо показать получение из нее формул квадрата и куба двучлена.

Геометрия и тригонометрия

Геометрия дает немало материала для обобщающих выводов.

Взять хотя бы доказательство любой теоремы: теорема может быть доказана различными способами, но даже один какой-нибудь способ допускает аналогичные построения, и тем не менее теорема остается справедливой для всех возможных случаев. Так, например, теорему «Диагонали параллелограма взаимно делятся пополам» можно доказать, установив либо равенство треугольников верхнего и нижн?го, либо равенство треугольников левого и правого. Мне кажется, что на первых порах прохождения геометрии во всех подобных теоремах нужно подробно разбирать все возможные случаи, а в дальнейшем лишь указывать на возможность доказательства с помощью иных об'ектов.

* После того, как учащиеся познакомятся с решением двучленного уравнения хт ± а = 0, нужно обобщить понятие извлечения корня, а именно корень /1-й степени имеет п значений.

В геометрических определениях также имеются моменты, способствующие логическим обобщениям. Треугольник есть многоугольник с наименьшим числом сторон ; квадрат это — прямоугольник с равными сторонами или ромб с прямыми углами; значит квадрат представляет собой частный случай (вид) прямоугольника или ромба.

Изучая окружность, учащийся должен уяснить определение диаметра, как хорды, проходящей через центр; определение полукруга, как сектора, у которого радиусы лежат по одной прямой, или как сегмента, у которого хорда является диаметром. Оставляя общее определение касательной до более позднего времени, не мешает, однако, пояснить частный характер «кустарного» определения касательной к окружности. Нужно показать, что касание прямой и окружности и касание двух окружностей суть частные случаи пересечения прямой с окружностью и пересечения двух окружностей (пересечение в одной точке).

В разделе «Измерение углов с помощью дуг» следует провести аналогию между измерением угла, образованного касательной и хордой, и измерением вписанного угла, поскольку первый угол можно рассматривать, как частный случай второго (одна из хорд при движении превратилась в касательную). Подобным образом следует поступать, когда речь идет об измерении угла с вершиной, лежащей вне окружности, образованного двумя касательными, касательной и секущей или, наконец, двумя секущими; для этих трех случаев последний случай есть общий.

В разделе «Параллельные линии» внимание преподавателя может привлечь задача разделения отрезка на равные части. Здесь следует напомнить учащимся знакомое им деление отрезка на две равные части и сравнить с новым способом. Именно: если отрезок AB разделить пополам с помощью проведения из его концов двух дуг одинакового радиуса (при R>-^-AB) и через точку Л (или В) и верхнюю точку пересечения дуг (точку С) провести полупрямую, на ней отложить отрезок CD = AC и соединить точки В и D, то отрезок BD будет параллелен перпендикуляру, проведенному через середину отрезка AB.

Прет изучении подобных фигур обязательно нужно указать на равенство прямолинейных фигур (например треугольников), как на частный случай подобия (коэфициент подобия равен единице). Полезно с подобным толкованием возвратиться к теореме: если на стороне угла отложить от вершины равные отрезки и через точки деления провести параллельные прямые до пересечения с другой стороной угла, то на последней образуются равные отрезки.

С точки зрения обобщения заслуживают внимания теоремы о квадрате стороны треугольника, лежащей против острого или тупого угла. С этой целью формулы а2 = Ъ2 + + с2 + 26/л и а2 = Ь2 + с2 — 2Ьт (где т — проекция стороны с на сторону Ь) об'единяем в запись а2 = Ъ2 + с2 +2Ът и подвергаем ее исследованию; в частности при т = 0 получаем пифагорову теорему (формулу).

Представляет интерес также расширение понятия «параллельность» в эвклидовом пространстве; из этого понятия вытекает определение параллельности прямых на плоскости.

В вводной части тригонометрии, начиная систематический курс, мы даем учащимся расширенное понятие «угол» (угол может быть сколь угодно велик) с помощью механической интерпретации: угол можно рассматривать, как меру поворота полупрямой вокруг неподвижной точки. Эта небольшая тема не столь легка, но дает много для развития обобщающего мышления.

В собственно тригонометрии с интересующей нас точки зрения внимания заслуживают такие вопросы: распространение существования тригонометрических функций на углы любой величины, как положительные, так и отрицательные (и само введение в математику отрицательных углов и дуг); общий вид корней тригонометрического уравнения, разложение выражений на множители способом введения вспомогательного угла, исследование теоремы: отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности; исследование теоремы косинусов а2 — Ь2 + с2 — be • cos А.

* *

*

Настоящая статья не претендует на исчерпывающую разработку темы, что, разумеется, и невозможно сделать в журнальной статье, да и едва ли под силу одному человеку. Я ставил себе целью обратить внимание широких кругов преподавателей математики средней школы (в особенности молодых преподавателей) на необходимость всегда, где это можно, развивать в учащихся способность обобщать математические факты, выводить из общего частное, анализировать, логически мыслить. Для этого я выделил из обширного среднешкольного материала некоторые разделы и вопросы, весьма благоприятствующие развитию этой способности.

УСТНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В СТАРШИХ КЛАССАХ

И. КУВЫРКИН (Москва)

Наблюдения показывают, что в большинстве случаев учащиеся средней школы* весьма редко и очень плохо вычисляют в уме, прибегая даже в простейших случаях к письменным вычислениям на бумаге. Обычно вина за плохое качество вычислительных навыков у учащихся возлагается на учителя начальной школы, но это обвинение часто является голословным и не вполне обоснованным. Не следует забывать, что начальная школа вопросам устных вычислений уделяла и особенно теперь уделяет большое внимание, практически знакомя учащихся с основными приемами устных вычислений на каждом уроке арифметики. Одним из основных критериев оценки подготовленности учащихся начальной школы в области арифметики является качество выполняемых ими устных вычислений.

Что же касается средней школы, то дело с организацией устных вычислений здесь обстоит гораздо хуже. Отсутствие систематически проводимых и надлежащим образом подобранных упражнений по устным вычислениям остается характерной чертой работы средней школы по математике вообще и по арифметике в частности.

Учитель математики средней школы обязан не только расширять область применения устных вычислений, не только развивать дальше приемы устных вычислений, изученные учащимися в начальной школе, но, главным образом, должен позаботиться о более солидном их обосновании, пользуясь тем, что в его распоряжении имеется систематический курс арифметики с ее законами арифметических действий и следствиями, вытекающими из этих законов. Такой широкой возможности учитель начальной школы не имеет.

Однако, вместо того, чтобы законы арифметических действий сделать солидным фундаментом вычислительных процессов, их часто делают скучным, самым неинтересным, абсолютно отвлеченным материалом программы, с нетерпением ожидая той минуты, которая совпадает с началом новой темы. При такой постановке дела законы арифметических действий в лучшем случае бессмысленно заучиваются учащимися с тем, чтобы тотчас же оказаться забытыми. Нет ничего удивительного поэтому, что не только учащиеся, но нередко и учителя не могут быстро и без всякой записи решить такой пример:

7 3 19 1 2 —+ 1— +3 —+ 1—+ 2—. Очень редко от учителей удается получить такой ответ:

= 4+4+ 3 —= 11 —. Обычно решения сводятся к трафаретному приведению к общему знаменателю.

Нередко среди учителей вскрывается непонимание различия между устными и письменными вычислениями. Как известно, основное различие заключается в приемах вычислений: приемы устных вычислений разнообразны и индивидуальны, применительно к данной комбинации чисел и к данному вычислителю; приемы письменных вычислений однообразны, трафаретны, механичны. Не говоря о других принципиальных и внешних отличиях, можно сказать, что наличие записи не является признаком письменных вычислений, а отсутствие записи — признаком устных вычислений: можно, а иногда и нужно, записывать данный пример, окончательный и промежуточные результаты вычисления, но тем не менее эти вычисления будут устными. Отсюда, на устные вычисления нельзя смотреть лишь как на упражнения, помогающие быстро и правильно получать нужный результат: их нужно расценивать, как могучее средство для развития комбинаторных способностей учащихся. Как в шахматной игре игрок должен взвесить положение фигур на доске и выбрать наиболее рациональный ход, так и при устных вычислениях учащийся должен оценить качество и отличительные особенности заданной комбинации чисел с тем, чтобы применить к ним наиболее рациональный прием вычисления. Именно на эту сторону устных вычислений указывает приводимый биографом Гаусса случай, когда семилетний Гаусс быстро

* Под средней школой здесь понимаются V—X классы, а под начальной школой —I —IV классы.

выполнил задание учителя найти сумму ряда натуральных чисел от 1 до 100, найдя чрезвычайно выгодную комбинацию:

1 + 100= 101

2+ 99=101

3+ 98=101

4+ 97 = 101 и т. д. 101 X 50 = 5050. Переходя к конкретному плану устных вычислений в средней школе, необходимо в первую очередь учесть, с каким багажом навыков в этом направлении явился учащийся в V класс средней школы. Надо знать и об'ем устных вычислительных операций, и приемы вычислений, и, наконец, формы устного счета. Этого требует задача создания органической преемственности в работе между начальной школой и средней школой.

а) Об'ем устных вычислительных операций в начальной школе

1. Сложениеивычитание: а) любые два числа в пределе 200; б) два числа, содержащие вместе до 4 значащих цифр, в пределе 1000; в) двузначные числа круглых тысяч; г) круглые миллионы, десятки и сотни миллионов; д) присчитывание и отсчитывание одинаковых двузначных чисел до 200 ; е) односложные и краткие доли единицы в пределе программы (); ж) десятичные дроби с одной значащей цифрой в слагаемых и в разности.

2. Умножение: а) умножение на однозначные числа, на 10, на круглые десятки в пределе 1000; б) умножение двузначного числа круглых тысяч и миллионов на однозначные; умножение двузначных чисел на двузначные.

3. Деление: а) деление трехзначных чисел на однозначные, на 10, на круглые десятки и на двузначные числа (нацело и с остатком); б) деление круглых тысяч и миллионов на однозначные числа в пределах предыдущего случая.

6) Приемы устных вычислений 1. Сложение: а) разложение второго слагаемого на разрядные числа [57 + 28 = = 57 + 20 + 8 ; 408+230 = 408+200+30] ;

б) дополнение первого слагаемого до крупных десятков или сотен [78 + 63 = 78 + 2+61; 585 + 348 = 585 + 15 + 333] ; в) округление обоих слагаемых, если последние близки к круглым числам [87+69 = 90+70—3—1;

489 + 696 = 500 -f 700 — 11 — 4]; г) при нескольких слагаемых наиболее рациональная перестановка их.

2. Вычитание: а) разложение вычитаемого на разрядные числа [72 — 27 = 72 — _20 —7; 636 — 348=636 — 300—40—8];

б) округление вычитаемого [56 — 38 = 56 — — 40+2; 627 — 495 = 627 — 500 + 5];

в) дополнение до уменьшаемого [75 — 29 = = 1 + 45; 400 — 248 = 2 + 50+100].

3. Умножение: а) разложение множимого и множителя на разрядные числа [67Х6 = (60 + 7)Х6; 728Х5 = (700 + + 20 + 8)Х5; 64X12 = 64X00 + 2)]; б) округление множимого [97 X 8 = (100 —3)X^]î в) округление множителя [32 X Х48 = 32Х(5°—'2)]; г) разложение множителя на ряд более простых множителей [64Х12 = 64Х4Х3; 85X60 = 85X6X1°]; д) сокращенные приемы умножения на 5, 50, 9, 99, 11.

4. Деление: а) разложение делимого на два слагаемых, из которых каждое дает ту или иную разрядную цифру частного [87: 3 = = (60 + 27) : 3 ; 736 :4 (400 + 320 + 16) : 4] ; б) разложение делителя на множители [162: 18 = 162: 2 :9]; в) сокращенные приемы деления на 5, 50.

в) Формы устных вычислений

Разнообразные формы упражнений по устным вычислениям, применяемые в начальной школе, можно свести к двум основным: 1) упражнения слуховые; 2) упражнения зрительные. Слуховые упражнения состоят в том, что комбинации чисел и действий над ними преподносятся учащимся в устной форме, также устно называется учащимися и результат действия. Предложение выполнить то или другое действие над данными числами дается в повелительной форме. К слуховым упражнениям относятся: раздробление и превращение именованных чисел; нахождение одной или нескольких частей от числа; нахождение числа по части; нахождение целого числа процентов от круглых сотен. Особое место занимают такие слуховые упражнения, как беглый счет и действия, заданные в косвенной форме. Беглый счет состоит в последовательном назывании учителем чисел и действий, которые надо произвести над указанными числами и промежуточными результатами (пример см. дальше). Беглый счет иногда видоизменяется и принимает форму кругового счета, когда очередное задание дается не учителем, а тем из учеников, который дал ответ на предыдущее предложение. Вариантом беглого счета являются также упражнения с задуманным

числом. Упражнения в выполнении действий, заданных в косвенной форме, характеризуются примерами такого типа: какое число надо прибавить к т, чтобы получить п? (вычитание, заданное в форме сложения); от какого числа надо отнять т, чтобы получить п? (сложение в форме вычитания); какое число надо умножить на т, чтобы получить я? (деление в форме умножения) и т. п.

В тех случаях, когда заданные числа велики или сложны для запоминания, слуховые упражнения соединяются с зрительными: заданные числа и действия записываются на классной доске.

Не меньшим разнообразием отличаются и зрительные формы устных вычислений. Сюда в первую очередь надо отнести вычисления по всякого рола стенным таблицам со специальным подбором числового материала. Результаты называются учащимися в устной форме. К зрительным формам устных вычислений можно причислить так называемые по^уписьменные вычисления, когда процесс вычисления происходит в уме, но окончательные или даже промежуточные результаты записываются.

В начальной школе устные вычисления производятся и в специально отводимое для них время (обязательно на каждом уроке арифметики), и в процессе решения примеров и задач, когда не делается особой оговорки об обязательности письменных вычислений.

На устных вычислениях в начальной школе так долго пришлось задержаться исключительно потому, что именно они и должны являться исходным пунктом для постановки и развития устных вычислений в средней школе.

В первую очередь необходимо поставить вопрос о времени, отводимом специально для упражнений в устных вычислениях. На этот вопрос следует ответить ясно и определенно: на каждом уроке арифметики устным вычислениям должно уделяться от 5 до 10 мин. времени, главным образом, в начале урока после проверки домашних работ. Однако не исключается возможность занятий устным счетом и в средине, и даже в конце урока, смотря по конструкции этого урока. То же требование должно быть выполнено на уроках алгебры в тех случаях, когда эти уроки тесно связаны с выполнением вычислений: вычисления алгебраических выражений (формул); возвышение в степень; извлечение корня; действия над относительными числами; формулы сокращенного умножения; действия с нулевыми и отрицательными показателями; пропорции; умножение и деление корней; решение квадратных уравнений по формулам Виета; разностная и кратная прогрессии; действия с логарифмами (без таблиц); вычисление по формуле бинома Ньютона. Что же касается уроков геометрии и тригонометрии, а также и остальных разделов алгебры, то в основном устные вычисления должны быть вкраплены в вычисления письменные во всех тех случаях, когда они возможны. Больше того, надо добиться такого положения, при котором значительная часть промежуточных вычислений выполнялась бы учащимися в уме. Не исключается возможность перед началом «вычислительных» уроков проводить устный счет с теми числовыми комбинациями и теми приемами, которые могут встретиться и понадобиться в дальнейшем ходе урока. Такого рода предварительные упражнения, с одной стороны, будут подготовительными, а с другой стороны — будут содействовать сохранению в памяти учащихся приемов, известных им в прошлом. Во всяком случае область применения устных вычислений на уроках математики в каждом классе чрезвычайно широка, и учитель обладает большими возможностями для систематического применения и развития приемов устного счета.

Вторым чрезвычайно важным вопросом в деле организации устных вычислений является вопрос о подборе вычислительного материала. Здесь нужна глубокая продуманность и сугубая осторожность. Может случиться, что устные вычисления будут загромождены тяжелым и малоценным, с точки зрения воспитательной и образовательной, материалом. В нашу задачу не входит создание кадров вычислителей, для нас устные вычисления подчинены воспитательным целям. Поэтому строгий критический анализ каждой числовой комбинации является обязательным для учителя. В средней школе в первую очередь должен быть использован тот числовой материал, с которым учащиеся оперировали в начальной школе. Этот материал естественно должен быть расширен до пределов, допускаемых программой. Но расширение об'ема вычислительного материала должно проходить, главным образом, за счет расширения вычислительных приемов и в строгом соответствии с ними. Однако не исключается возможность и даже возникает прямая необходимость и на основе приемов, усвоенных учащимися начальной школы, расширить область числовых комбинаций за счет введения простых и десятичных дробей, процентов и относительных чисел. Вычисления с этими новыми об'ектами очень часто сводятся к вычислениям с целыми числами в пределах навыков,

усвоенных в начальной школе. Например:

К этой категории вычислительных объектов относятся случаи обращения смешанного числа в неправильную дробь и обратно. Например:

и т. п.

Эти примеры приведены здесь затем, чтобы показать то направление, в котором должны расширяться числовые комбинации, вычисление которых основано на уже известных учащимся приемах.

Основными критериями для оценки пригодности данной числовой комбинации для устных вычислений являются, в первую очередь, границы, поставленные выше для целых чисел, ибо в конечном счете любая из операций с дробями сводится к операции с целыми числами. В этом, по существу, и заключается расширение области применения устных вычислений по сравнению с начальной школой. Во вторую очередь степень трудности данной комбинации зависит от формы, в которой она преподносится учащимся: слуховые формы увеличивают затруднения, зрительные — понижают. Поэтому при зрительных формах устных вычислений имеется возможность и необходимо усиливать сложность числовых комбинаций. Кроме того, на степень трудности предлагаемых числовых комбинаций оказывает сильное влияние предшествующая тренировка учащегося в устных вычислениях. Поэтому по мере увеличения упражняемости естественно должна возрастать сложность числовых комбинаций. Но как бы хорошо учащиеся ни научились вычислять на уроках арифметики, они быстро все забудут, если изгнать устные вычисления с уроков алгебры, тригонометрии, геометрии. Вот почему необходимо практику устных вычислений поддерживать на всех уроках математики до X класса включительно. Для этого вовсе нет надобности придумывать какой-то особый вычислительный материал: его достаточно и в том количестве, которое указано для арифметики. По мере продвижения учащегося к X классу от поры до времени появляется возможность введения лишь новых, более совершенных приемов вычислений. Так, например, для вычисления произведения

23-26.28

в X классе возможно применить прием вычисления, основанный на свойствах произведения нескольких биномов, отличающихся вторыми членами, а именно: (20 + 3) (20+6) (20 + 8) = 203+(3 + 6 + 8). 202 + (3'6 + +3-8 + 6.8).20 + 3.6-8 = 8000+17-400+ + 90 . 20 + 144=; 8000 + 6800 + 1800 + + 144 ь= 16 744.

Приемы устных вычислений являются чрезвычайно важным об'ектом внимания учителя, так. как от расширения их зависит и расширение числовых комбинаций для устных вычислений. Поэтому на рассмотрении этих приемов, на возможности их усовершенствования и изменения необходимо остановиться более подробно.

Так как основные приемы устных вычислений учащимся известны из курса начальной школы, то необходимо не только исходить из них, но и постепенно их расширять. В начальной школе эти приемы обосновываются исключительно практикой и наблюдением, подтверждающими правильность получаемых результатов. В средней школе те же приемы получают уже теоретическое обоснование законами арифметических действий и их следствиями. Применяя законы арифметических действий к вычислениям, учащийся начальной школы не знает их формулировки за исключением закона переместительности. В средней школе учащийся обязан каждый вычислительный прием об'яснить этими законами. Особого внимания заслуживает совместное применение законов переместительного и сочетательного. Первые вычислительные примеры должны быть построены так, чтобы применение этих законов напрашивалось само собой [498 + 567 + 2 + 33]; затем должны следовать примеры с менее ярко выраженной потребностью в применении тех же законов [165 + 417 + 235 + 83; 4.7-25.8]. Примеры, подобные приведенным, должны быть подобраны учителем заранее в достаточном количестве и с продуманной системой нарастания сложности комбинаций. Развитие комбинаторных способностей ученика должно при этом стать руководящей идеей учителя. Особенно большое внимание надо уделить

применению переместительного и сочетательного законов при вычислениях с дробями.

Примеры, подобные

не должны сходить со сцены до тех пор, пока учащиеся не приучатся критически подходить к каждой числовой комбинации. Аналогичные примеры должны быть построены для десятичных дробей и относительных чисел:

Приемы разложения на десятичные слагаемые одного из слагаемых и вычитаемого должны быть объяснены вытекающими из основных законов действий следствиями о прибавлении суммы [37 + 15 -= 37 + 10 -[— 5] и о вычитании суммы [58 — 19 = 58 — 10 — 9]. Аналогично в области простых и десятичных дробей :

Приемы с округлением основываются правилом прибавления и отнимания разности [87 + 39 = 87+(40 — 1 ) ; 263 — 98 = 263 — — (100 — 2)].

Важны и обязательны те же приемы в области простых и десятичных дробей.

Значительная часть приемов умножения и деления должна быть обоснована следствием об умножении и делении на произведение или частное [123X 15 = 123 X 3X5Î 336:24 = 336:4:6 = 336 :2:4:3]. В применении к дробям особенно часто надо пользоваться теми же приемами в таких случаях:

В относительных числах характерно применение тех же приемов при умножении и делении на отрицательное число:

Распределительный закон умножения, распространенный на деление, должен найти себе в устных вычислениях подобающее место. Этим законом об'ясняются многие приемы умножения и деления чисел. Расширение области его применения должно быть произведено за счет дробей: 4-у-: 2 =^(4 +у):2; б1 Х3= 6ч-1) ХЗ; обычно при умножении смешанных чисел на целое учащиеся пользуются приемами письменных вычислений, предварительно обращая смешанное число в неправильную дробь. Таким образом, упражняясь в применении основных законов арифметических действий и вытекающих из них следствий, учащиеся, во-первых, закрепляют знания и навыки, полученные в начальной школе; во-вторых, теоретически обосновывают известные им вычислительные приемы; в-третьих, расширяют область применения вычислительных приемов, распространяя их на случай дробных и относительных чисел; в-четвертых, что очень важно, конкретизируют себе смысл и важность законов арифметических действий; в-пятых, наконец, тренируют и развивают комбинаторные способности.

В начальной школе по существу почти не изучается зависимость между компонентами и результатами арифметических действий, в особенности не затрагиваются вопросы изменения результата действия в зависимости от изменения компонентов.

В средней школе изучение подобных зависимостей дает возможность не только ознакомить детей с новыми вычислительными приемами, но и расширить область числовых комбинаций для устных вычислений. В пределах 1000 без всякой записи возможно производить сложение и вычитание в случаях:

1) увеличения или уменьшения одного компонента, например: а) 587 + 318 =(600+ + 318)— 13 = 905; б) 425+517 ===(425 + 500) + 17=942; в) 713 — 246 = (700 — 246)+13 = 467; г) 358 — 297 = (358 — 300)+3 = 61;

2) изменения обоих компонентов при условии, чтобы изменение каждого компонента и изменение результата не превышало 20, например:

1) 387 + 516 = (400+ 500) + (16 — 13)= = 903.

2)915 — 687 = (900 — 700) +(15 + 13)= = 228.

Если же компоненты даны в записанном виде, то применять данный прием возможно и в случаях больших чисел, например:

Те же приемы применимы в области сложения и вычитания простых дробей с одноименными и кратными знаменателями и десятичных дробей со знаменателями, не превышающими 100, а иногда и 1000, например:

Подобные приемы вычислений не всегда ведут к быстрому получению результата, но зато всегда и неизменно содействуют развитию комбинаторных способностей учащихся, и в этом их ценность и значение. Именно с такой точки зрения надо подходить к сокращенным приемам умножения и деления на дробь, к вычислению некоторых случаев дробного процентного числа. Так, например, 2-^- составляют четвертую часть 10, поэтому примеры 6X2— или 72X^,5 могут решаться следующим приемом: - и -, а примеры 8:2,5 и 16:2 — решаются так: - и -. Приемы, как видим, основаны на изменении результата в зависимости от изменения одного из компонентов. Точно так же 12— составляет восьмую часть 100, 16—--шестую часть 100.

Поэтому:

Аналогично этому выполняются упражнения: найти 2— %, 12—%, 16—% от целого числа. Пусть надо найти 2—% от 600; решение -, так как 2—9/0 составляет сороковую часть числа. 12—% от 280 будут составлять -= 35; 16—% от 48 будут составлять — = 8 и т. д.

К этой же группе вычислений относятся сокращенные приемы умножения и деления на 5, 50, 25, 125.

Приемы устных вычислений весьма обогащаются за счет применения к вычислениям формул сокращенного умножении : 1) (а + Ь)2У 2) (а+Ь)* (а — Ь)% 3) (а±Ь) (а±с\ 4) (# Hh b)s. Особенно много числовых комбинаций доставляет третья формула: 47X^6 = = (50 — 3) (50 + 6) = 502+ 3-50 — 3-6 = = 2500+150— 18 = 2632. К сожалению, применение этих формул к устным вычислениям в лучшем случае ограничивается показом этих приемов, но не систематическими упражнениями, как должно было бы быть.

Приемы, а вместе с ними и числовые комбинации значительно расширяются введением в практику устных вычислений извлечения квадратного и кубичного корней из чисел путем разложения этих чисел на соответствующее число одинаковых множителей. Умножение и деление десятичных дробей на 10, 100 и 1000 должно стать обязательным упражнением в устном счете.

Сделанным здесь перечислением возможных приемов устных вычислений и числовых комбинаций, участвующих в вычислениях, не исчерпывается полнота комбинаций. Каждый учитель при желании сумеет расширить об'ем вычислительной работы, например введением любопытных приемов умножения, как-то: умножение на 11 и т. п.

В заключение необходимо остановиться на формах устных вычислений. Как и в начальной школе, формы устных вычислений могут быть слуховыми и зрительными. Слуховые формы имеют в виду тренировку памяти учащихся, но, применяя их, учитель не должен злоупотреблять возможностями учащихся. Трудно наметить здесь общие и обязательные границы вычислительных числовых комбинаций : это дело настолько тонкое и в такой мере зависит от степени вычислительных навыков учащихся данного класса, а также от индивидуальных особенностей учащихся, что да-

вать какой-либо рецепт не только будет полезно, но может оказаться даже вредным. Можно лишь посоветовать ограничивать величину чисел возможностью их прочного удержания в уме на время вычисления.

Простейшей слуховой формой устного счета является такая, когда учитель предлагает учащимся пару чисел и называет действия, которые надо выполнить над числами, например: 1) к 708 прибавить 220; 2) от 5— отнять 3-—; 3) 4 —умножить на 8 ; 4) — разделить на —; 5) извлечь квадратный корень из 1024 и т. п.; 6) к минус 504 прибавить плюс 310 и т. п.

Необходимыми условиями этой простейшей формы устного счета являются, во-первых, задавание примера всему классу; во-вторых, предоставление некоторого срока для решения (пауза); в-третьих, поднятие рук большинством учащихся класса; в-четвертых, индивидуальный опрос 4—5 человек по следующей схеме: «У тебя?», «У тебя?», «У тебя?», «У кого по-другому?». В случае ошибочного ответа надо предложить ошибившемуся рассказать, как он вычислял.

Второй формой устного счета является беглый счет. Здесь последовательно называется ряд чисел и действий над ними, промежуточные результаты не называются, а называется лишь окончательный результат. После каждого предложения делается пауза, достаточная для вычисления. Очередное предложение высказывается только тогда, когда предыдущее выполнено большинством учащихся. Это устанавливается числом поднятых рук. Примеры: 1) 98 умножить на 102; пауза: прибавить 4; пауза; извлечь квадратный корень; пауза; разделить на —; пауза; извлечь кубичный корень; пауза.

Опрос проводится по схеме, указанной в предыдущем примере. Первое время, возможно, придется повторять пример с самого начала, но как только учащиеся привыкнут к этой форме устного счета, повторения станут излишними. Может быть несколько иной вариант называния окончательного ответа, а именно: учащиеся записывают окончательные ответы в тетради и закрывают их промокашкой. После 3—4 примеров учитель путем просмотра записей выясняет ошибки, заставляя ошибившихся пересчитать. Поэтому каждый такой пример должен быть записан учителем в своем конспекте.

Тот же беглый счет может быть предложен в занимательной форме задумывания числа, например: «Задумайте число (пауза), разделите его на —, прибавьте 125 (пауза), разделите на 5 (пауза), отнимите задуманное число». У всех должен получиться один ответ: 25, что видно из следующей схемы:

(х:— +125) :5 — х=(5х + 125) :5—х = 5

— х+ 25— х = 2Ь.

Или: «Задумайте число (пауза), возведите его в квадрат (пауза), умножьте на 3 (пауза), прибавьте 100». По названным и записанным на классной доске 4—5 ответам ученик отгадывает задуманные числа. Схема отгадывания такова: -^2Х^~Ь 100= 175; следовательно, х = уг(\7Ъ — 100) :3, т. е. над полученным ответом надо произвести обратные действия и в обратном порядке. Со временем отгадывание задуманных чисел можно поручать самим учащимся, делая эту операцию новым для них вычислительным упражнением.

Третьей формой устного счета может быть так называемый круговой счет, сущность которого состоит в том, что учитель вначале сам называет два числа и действие; после некоторой паузы один из учащихся громко называет ответ, больше не повторяя его; затем тот же учащийся предлагает с названным ответом произвести новое действие; для нового ответа он по своему выбору вызывает второго ученика; этот второй, поступая так же, вызывает третьего ученика и т. д. Таким образом, вычислительным процессом охватывается весь класс, а закончить упражнением можно после вызова 5-го или 6-го ученика.

Четвертой формой устных вычислений может быть форма устных задач-упражнений по арифметике, алгебре, геометрии, тригонометрии. Примеры: 1) уменьшаемое 714, разность 208, найти вычитаемое; 2) делитель —, частное 120, найти делимое; 3) найти — от 3200; 4) произведение первого и третьего членов кратной прогрессии равно 256, найти второй член; 5) найти С^ ^по формуле С- = С ; 6) гипотенуза равна 25,

один из катетов — 24; найти другой катет (по формуле |/^252 — 242 =|Л49Л=7); 7) синус угла равен 0,6, найти тангенс того же угла и т. п. Такого рода упражнения могут быть чрезвычайно разнообразны и могут насытить собою любое количество времени, отводимого устным вычислениям.

Однако большая часть устных вычислений в средней школе проводится в зрительных формах. В первую очередь сюда относятся те вычисления, которые выполняются учащимися при всякого рода письменных работах, требующих вычислений. Необходимо добиться такого состояния работы, при котором всякая возможность вычислений в уме должна быть использована учащимся, особенно в тех случаях, когда данная числовая комбинация позволяет применить легкий и остроумный прием вычисления. Тем более при вычислениях на классной доске учитель должен указывать учащимся на необходимость вычислений в уме. Настойчивость и пунктуальность учителя в этом деле приведут к сокращению времени, затрачиваемого обычно на вычислительные операции.

Специальные упражнения по устным вычислениям могут быть поставлены в разнообразных формах записи на классной доске заданных числовых комбинаций. Особенное внимание надо уделять таким числовым комбинациям, которые позволяют варьировать вычислительные приемы и создают возможность комбинирования этих приемов. По сравнению с слуховыми формами зрительные формы вычислений богаче возможностями, так как при них увеличивается сложность самих чисел. Различие зрительных форм от слуховых принципиально сводится лишь к тому, что данную числовую комбинацию не следует запоминать, а лишь, имея ее перед глазами, выполнять указанное действие. Поэтому заниматься особо описанием возможных здесь вариантов нет смысла.

Заканчивая изложение вопроса об устных вычислениях, необходимо отметить лишний раз их воспитательную ценность и пожелать почти на каждом уроке математики вводить их в тех или иных вариациях.

ПОДГОТОВЛЕНЫ ЛИ УЧЕНИКИ IV КЛАССА К РАБОТЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ ПО АРИФМЕТИКЕ?

В. ЭМЕНОВ (Москва)

Достаточно часто указывают преподаватели математики средней школы на недостаточную подготовленность учащихся IV класса по арифметике. В какой мере эти сетования основательны, можно в известной мере убедиться через изучение материалов весенних испытаний. Проведенные нами наблюдения над устными испытаниями учащихся 14 классов, изучение их письменных работ, участие в двух районных конференциях по подведению итогов работы по арифметике в четвертых классах дали нам достаточное количество материала, характеризующего подготовленность кандидатов в V класс по выполнению действий с целыми отвлеченными и составными именованными числами, их запас представлений о долях, геометрических фигурах и телах, об'ем их теоретических знаний, уровень умений решать задачи как устно, так и письменно.

Письменная работа по арифметике состояла из задачи и двух примеров. Всего было дано в 14 классах 28 задач, из них в 7% школ была дана задача в 6 действий, в 50% школ — задача в 5 действий, а в 43% школ — в 4 действия. Основной тип задачи в 6 действий такой:

В ней требовалось два раза найти несколько частей числа, увеличить часть числа в несколько раз и сумму этих частей вычесть из данного числа. Задачи в 5 действий могут быть отнесены к двум типам:

В каждой из этих задач требовалось найти часть числа. В первой задаче нужно было найти расход семян на площадь участка и разность между посевом на площадь всего участка и сумму его двух частей, а во второй задаче требовалось найти по стоимости частей товара стоимость всего товара.

Задачи в 4 действия были даны двух типов-.

В первой задаче требовалось сначала разделить одно число на другое, далее—найти несколько частей частного и получаемое число умножить на произведение двух чисел. Во второй задаче требовалось найти произведение трех чисел и от него отнять часть этого произведения и данное число.

В задачах в 5 и 4 действия требовалось отыскивать площадь участка, стоимость товара по количеству и цене, урожай — по площади, расходу посевного материала на единицу площади и урожайности. В этих задачах, как правило, второе данное не давалось, а его требовалось найти. Решались задачи с записью вопросов.

Кроме задачи, письменная работа еще имела два примера: первый из них — сложный (состоящий из двух действий) на действия с отвлеченными числами, а второй—простой на действия с составными именованными числами. В первом примере давались действия двух ступеней, например деление и сложение, умножение и сложение и т. д. При этом подбирались частные случаи производства этих действий. В примерах на составные именованные числа чаще всего встречалось умножение и деление составного именованного числа на отвлеченное.

За 60 минут 72,6% учащихся выполнили всю работу хорошо, 18,2% выполнили работу с существенными недостатками: допустили ошибку в вычислениях при решении задачи или примера, не окончили решения примеров; 9,2% учащихся выполнили работу плохо. Принимая во внимание, что учитель подбирал письменную работу в соответствии с подготовкой учащихся, придется признать, что 18,2% учащихся составляют группу с неустойчивыми уменьями в решении задач и примеров, не менее половины которой не сможет успешно заниматься по математике в V классе. При этом нужно заметить, что таких учащихся больше всего будет в классах, в которых давалась легкая письменная работа.

Результаты выполнения письменной работы совпадали в значительной степени с оценкой учителями умений учащихся решать задачи: так, в одном классе учащиеся, плохо решающие задачи, составляли 9,О%, в другом — 15,0%, в третьем — 18,6%, в четвертом — 26з/о, а в пятом — 32%. Таким образом, амплитуда колебаний неуспевающих в решении задач колебалась от 9 до 32V0. В среднем же около 20% учащихся не умеют решать задачи, относимые к типу прямых. В средней же школе учащиеся встретятся с более трудными задачами, к решению которых они не подготовлены. Здесь мы будем наблюдать еще больший процент учащихся, не умеющих решать задачи.

Чтобы поднять уровень умений решать задачи, необходимо, начиная со II класса, упражнять учащихся в устном и письменном решении более трудных задач, на разностное и кратное сравнение, деление на части разностно-неравные и кратно-неравные, на простое и сложное тройное правило. За год и в III и в IV классах в школе и дома желательно решить от 300 до 400 задач. В ряде школ Москвы за год сумели решить только что указанное количество письменных задач.

Наиболее часто встречающиеся ошибки в решении задач на весенних испытаниях сводились к неуменью правильно подобрать к вопросу действие, окончить задачу. Ошибки же в вычислениях встречались гораздо реже. Мерами, содействующими изживанию выше указанных ошибок, будут: а) упражнения учащихся в решении задач с составлением плана, б) устные об'яснения выбора того или иного действия, в) подробное устное изложение всего решения задачи.

При решении примеров на действия с отвлеченными числами 91 % учащихся обнаружили знание частных случаев умножения и деления чисел любой величины. Правильное решение примеров с составными именованными числами дали 82% учащихся. Наблюдения же над работой учащихся V класса в сентябре 1935 г. показали, что эти навыки у них непрочные: очень часто допускались ошибки при делении с остатком, при делении, когда в частном получалось число с нулями в середине и на конце. Для достижения прочных навыков в производстве этих действий необходимо и в III, и в IV четвертях отводить достаточное количество времени на упражнения в производстве действий с числами любой величины и составными именованными.

Устные испытания по арифметике дополняют только что указанные здесь недочеты в знаниях, навыках и уменьях учащихся, с одной стороны, и вскрывают их причины — с другой. Устные испытания велись по тематическим перечням, которые в значительной мере облегчали работу наблюдателя. Опишем знания и навыки учащихся по отдельным темам программы. На вопросы, связанные с нумерацией, падало 5% всех вопросов, заданных учащимся в 14 классах. От учащихся требовалось записать число под диктовку учителя, прочесть его, разбить на классы, назвать разряды. Часть

этих вопросов была связана с записью числа, когда учитель называл число по разрядам (например: записать число, у которого 3 единицы восьмого разряда, 6 единиц пятого разряда и 5 единиц первого разряда), с определением числа десятков, сотен, тысяч и т. д. в данном числе. Напримзр, сколько всего тысяч в числе 365068? Оказалось, что только 50% опрошенных учащихся имели хорошие знания о нумерации, а значительная часть умела только читать числа и записывать их под диктовку учителя.

Основной характер вопросов о нумерации (чтение и запись чисел) и ответы на них говорят о том, что половина учащихся нумерации в полном об'еме не знает. Это обстоятельство отрицательно влияет на выполнение учащимися действий вычитания и деления, в особенности: 1) при вычитании часто встречаются ошибки, связанные с заниманием через разряд, с вычитанием из чисел с нулями в середине, например 203 065—93 086, 2) при делении часты ошибки в определении числа цифр частного при делении чисел с нулями в середине и на конце. При вычитании чисел с заниманием требуется хорошее знание отношений между разрядными единицами. При делении же крайне важно знать разрядность первой цифры частного, что определяется путем установления разрядности числа, образованного отделенными цифрами делимого.

На сложение и вычитание чисел любой величины приходилось в этих классах 9% всех вопросов. Здесь предлагалось ученикам решить пример на сложение или вычитание без об'яснения хода решения или же с объяснением, с проверкой правильности выполнения действия (в более редких случаях), с определением компонентов действия и результата. Вопросов же, связанных с определением действий, совершенно не задавалось. 75,4% опрошенных учащихся обнаружили хорошие знания и навыки, 20,б% — посредственные и 4% — плохие.

Вопросы, связанные с выявлением знаний и навыков в выполнении действий умножения и деления, составляли 10,4% всех вопросов. Характер вопросов остался тот же, что и при проверке знаний сложения и вычитания. 70,8% опрошенных учащихся показали хорошие знания, 20% — посредственные и 9,2% — плохие.

Учащиеся делали ошибки в делении, когда в частном получалось число с нулями в середине и на конце, не всегда могли определить разрядность первой цифры частного, допускали неправильности при проверке выполнения действия. Определение же компонентов и результатов действий учащиеся знали. Недочеты в знаниях учащимися умножения и деления в достаточной степени объясняют ошибки учащихся при решении примеров письменной работы: процент неправильных решений примеров достигал 17.

Подводя итоги знаниям учащимися отдела целых чисел, должны сказать, что только 65,4% опрошенных учащихся имели прочные знания. Следовательно, третья часть учащихся не имела достаточной подготовки, а потому она и не подготовлена к занятиям математикой в V классе.

Такой высокий процент учащихся с неустойчивыми знаниями и навыками говорит об организационных методических недочетах в работе учителей четвертых классов. Прежде всего значительная часть школ мало уделяет внимания повседневному повторению пройденного.

В наших наблюдениях неоднократно отмечалось, что элементы повторения ранее пройденного слабо включались в планы уроков, а если и включались, то часто пройденное не находилось в тесной связи с новым материалом. Отсутствие же повседневного систематического повторения приводило к забыванию учащимися знаний и навыков: часты были случаи, когда ученик в контрольной работе после прохождения темы давал высокий процент правильных решений, а в конце четверти при решении таких же примеров — пониженный процент правильных решений. Особенно вредно отражается на уровне знаний и навыков учащихся такая практика, когда вся III четверть заполняется работами над дробями и не отводится время на повторение отдела целых чисел.

Неблагоприятно отражается на прочности знаний и навыков учащихся быстрое прохождение отдела целых чисел в III и в особенности в IV классе: знания и навыки у учащихся не закрепляются. Так, в отдельных школах учителя, строго следуя указаниям методразработок и не считаясь с подготовкой учащихся, отводили на такие важные отделы, как частные случаи умножения и деления чисел любой величины, а также решение задач, только около 20 уроков. Опытные же учителя на прохождение этого отдела затрачивали от 30 до 35 уроков. Особенно мало отводится времени на прохождение нумерации — 3 урока, а желательно на этот отдел выделять не менее 5 уроков.

При прохождении отдела целых чисел не-

обходимо дольше останавливаться в IV классе на наиболее трудных случаях производства действий над числами с нулями в середине и на конце.

На вопросы, связанные с выявлением знаний учащимися метрических мер и навыков в производстве действий с составными именованными числами, приходилось 19,7% всех вопросов, из них на метрическую систему мер 11,4%. Учащиеся были проверены в знании линейных, квадратных и кубических мер, а также мер веса; при этом требовалось назвать их по порядку и указать единичные отношения. Попутно задавались примеры на раздробление и превращение мер. В незначительном числе случаев требовалось записать составное именованное число, выраженное в метрических мерах в виде десятичной дроби, например Зм Ъсм — 3,05м, и обратно. Метрическую систему мер знали 70% опрошенных учеников хорошо, 18% — посредственно и 12% — плохо. Наиболее часто встречались ошибки при определении единичных отношений как квадратных мер, так и кубических: ученики путали отношения этих мер между собой и с линейными, например: в квадратном метре 100 квадратных сантиметров и т. д. Часто ошибались ученики при записи составного именованного числа в виде десятичной дроби, например Зм 5с./И = 3,5 м. В действиях над составными именованными числами часты были ошибки при делении составного именованного числа на отвлеченное и составное именованное.

Наблюдения, проведенные нами над работой учащихся пятых классов, показали, что только половина их твердо знала соотношения низших и высших метрических мер, умела написать составное именованное число в виде десятичной дроби. Все это говорит о том, что в III и IV классах не добиваются от учащихся прочных знаний и навыков по отделу метрических мер и составных именованных чисел.

Причинами только что указанных недостатков служат: а) слабая постановка повторения этого отдела в IV классе, б) недостаточность упражнений с составными именованными числами. Чтобы улучшить знания и навыки учащихся, необходимо повторение в связи с измерением площадей поверхностей куба и параллелепипеда линейных и квадратных мер; то же проделать при измерении об'емов и, наконец, отводить больше времени на непосредственное измерение площадей и об'емов.

На вопросы, связанные с выявлением знаний и навыков учащихся по отделу дробей (обыкновенные и десятичные), приходилось 19,1% всех вопросов. При опросе учащиеся обнаружили достаточный запас конкретных представлений о долях, их преобразованиях: они умело показывали на полосках бумаги образование половины, четверти и т. п., раздробление крупных долей в более мелкие, превращение мелких долей в более крупные. Это — положительное явление. С другой стороны, приходилось наблюдать случаи, когда в школах подготовительный курс дробей подменялся систематическим: от учащихся требовались знания правил приведения дробей к одному общему знаменателю, их сокращение, вводились принятые в средней школе записи действий с дробями.

Расширение отдела дробей, подмена подготовительного курса систематическим вредно отражались на работе учеников в V классе: они действия и преобразования над дробями производили механически, не представляли сравнительной величины дробей. С другой стороны, у учащихся с такой подготовкой создавалось ложное представление, что они все знают, что в V классе занимаются повторением пройденного в IV классе.

По нашим наблюдениям над устными испытаниями оказалось, что только 70% учащихся знают дроби в духе требований программы начальной школы, а остальные прошли своеобразный систематический курс. Наибольшее количество непродуманных ответов приходилось на эти 30% учащихся. Так, у них встречались такие записи преобразования смешанного числа в неправильную дробь: 3— =3X^=15 + 4 = 19 = if .

Другой пример: при сложении дробей -—1-— ученик рассуждал так: «Приведем дроби к общему знаменателю; для этого 5 умножим на 6, общий знаменатель будет 30; 30 разделим на 5, получим 6, числитель первой дроби (3) увеличим в 6 раз» и т. д. Здесь так и сквозит механическое применение правила сложения дробей, непонимание учеником того, что он говорит. В самом деле, если числитель первой дроби увеличить в 6 раз, то величина дроби изменится, она увеличится в 6 раз. Такое же механическое применение правил сложения и вычитания приходилось наблюдать и при производстве действий над десятичными дробями.

Вывод здесь может быть сделан такой, что значительная часть учителей не понимает духа программы начальной школы: они

подготовительный курс дробей заменяют систематическим, расширяют отдел дробей в ущерб основному отделу программы—целым числам.

Чтобы избежать только что указанных ошибок, необходимо изучение дробей строить на широком использовании наглядных пособий, например кругов, геометрических фигур и т. п., вводить достаточное количество упражнений в преобразовании и производстве действий над именованными дробями, например — кг+ -jrKZ\ изучение десятичных дробей связывать с метрической системой мер, например: 0,05 м—Ъ см и, наоборот, 5 см = 0,05 м; не расширять отделы дробей за пределы, указанные программой начальной школы.

На проценты приходилось 4% всех вопросов. 63% учащихся обнаружили прочные знания и умечил находить проценты от числа, выраженного в целых сотнях, 30%—-неустойчивые знания и 7% — плохие и очень плохие знания и уменья.

С процентами вторично учащиеся встретятся только в VI классе, а потому необходимо работу над процентами рассматривать в IV классе, как начальную стадию, которая имеет продолжение и в V классе. При прохождении процентов в IV классе нужно больше решать задач, как устных, так и письменных. При этом нужно добиваться, чтобы ученики могли свободно заменять проценты долями, например задачу о нахождении 25% от 800 заменяли бы нахождением четверти этого числа.

Вопросы по геометрии составляли 13,8% всех вопросов. В 75% школ опрос по геометрии производился по наглядным пособиям. С этой целью в школах были вывешены таблицы геометрических фигур, расставлены модели геометрических тел.

Ответы учащихся были конкретными. Ученики достаточно свободно указывали геометрическую фигуру, тело, правильно называли и показывали на модели их элементы. В этих же школах ученики толково рассказывали, как от непосредственного измерения площадей и об'емов перейти к косвенному. Наряду с такими ответами наблюдались случаи механического заучивания по учебнику, со слов учителя описаний геометрических фигур и тел, правил вычисления площадей и об'емов. Последние, как правило, связывались с неправильными записями вычислений площадей и об'емов, например 12X8—% м, 12 л* = 96 м и т. п. По нашим наблюдениям только 57% опрошенных учащихся обладали хорошими конкретными знаниями по геометрии.

Механическое заучивание по геометрии приводит к тому, что ученики проявляют отсутствие интереса к пропедевтическому (подготовительному) курсу геометрии V класса: они не понимают смысла лабораторных занятий, круг их геометрических представлений не расширяется, остается узким. В большинстве случаев учащиеся с такой подготовкой плохо решают задачи по геометрии и в особенности на построение.

Помня, что геометрия начальной школы является первой ступенью пропедевтического курса, который заканчивается в V классе, необходимо занятие этим предметом строить на работах с куском бумаги, моделями геометрических фигур и тел, на широком использовании работ по аппликации и черчению.

Наконец, 19% всех вопросов на испытаниях были связаны с решением задач — устных и письменных. 71% опрошенных учеников обнаружили устойчивые уменья решать задачи. Недочеты при решении задач были такие: а) неуменье подобрать к вопросу действие, в особенности в случаях увеличения и уменьшения числа на несколько единиц и в несколько раз, например при уменьшении числа в несколько раз достаточно часто ученики применяли действие вычитания; б) допускали ошибки в вычислениях, например 60:4=16; в) не удерживали в памяти содержания задачи и числа: Такого рода ошибки встречались при решении несложных задач с числами, не выходящими за предел тысячи.

Как положительное явление нужно отметить, что около 30% опрошенных учеников умели достаточно связно и толково об'яснить ход решения задачи. Это свидетельствует о сознательном решении задач. С другой стороны, приходилось наблюдать и полное отсутствие уменья излагать ход решения, объяснять выбор действия.

Одновременно с этим необходимо отметить, что навыки в беглом счете почти что не подвергались проверке. В тех случаях, где эта проверка производилась, около 60% учащихся обнаружили очень слабые навыки в устных вычислениях.

Отсутствие хорошей подготовки у учащихся IV класса в устном беглом счете и решении устных задач затруднит их работу в средней школе. В V классе при изучении основных свойств арифметических действий широко используются устные вычисления, на которых показывается применение этих свойств. С дру-

гой стороны, устные вычисления находят себе применение при упражнениях с дробными числами, процентами и т. д. Слабая подготовка в устных вычислениях ученика IV класса затруднит его работу в средней школе.

Наконец, нужно иметь в виду, что плохая постановка устного счета в начальной школе не развивает в ученике сообразительности, памяти на числа.

Подводя итоги, мы должны сказать, что подготовка оканчивающих четвертые классы и в этом году не вполне удовлетворяет требованиям, пред'явленным к ним средней школой: а) знания и навыки в производстве действий над целыми числами еще таковы, что не позволяют считать работу над этим отделом законченной, б) недостаточно хорошо знают учащиеся метрическую систему мер и невысок у них уровень навыков в производстве действий над составными именованными числами; в) неудовлетворительно они подготовлены в устном счете, г) уменье решать задачи улучшилось, но недостаточно, д) постановку преподавания дробей, а также геометрии нужно признать для многих школ неудовлетворительной.

О ПОСТОРОННИХ КОРНЯХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

В. РУТКОВСКИЙ (Витебск)

Согласно программам, этим вопросом мы занимаемся в VII классе в связи с освобождением уравнения от знаменателей, содержащих неизвестное.

Принимая во внимание об'ем программы и возраст учащихся в этом классе, можно дать учащимся очень ограниченные сведения по этому вопросу.

Именно, на основании известной учащимся 2-й теоремы об эквивалентных уравнениях, легко доказать учащимся, что освобождение уравнения от знаменателей, содержащих неизвестное, равнозначное умножению обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное, может дать посторонние корни.

Не останавливаясь на вопросе, почему при этом не всегда появляются посторонние корни, подтверждаем теорему рядом примеров и делаем вывод: после решения уравнения с знаменателями, содержащими неизвестное, следует проверить полученные корни подстановкой в первоначальное уравнение.

Эти скудные сведения необходимо расширить в X классе на уроках повторения средней математики для подготовки к высшей школе.

Здесь можно доказать теорему:

/(*)

если уравнение привести к виду ^ = О, Ах) где ■ несократимая дробь, то отбрасывание знаменателя не вводит посторонних корней.

В самом деле, ни один из корней уравнения /(jc) = 0 не может обратить знаменателя F(x) в нуль, так как в противном случае и числитель и знаменатель, на основании теоремы Безу, делились бы на разностный двучлен (х — а), и дробь была бы сократима.

Для учащихся, не знакомых с теоремой Безу и символами f(x), F(x), эту теорему можно сформулировать и доказать так:

если все члены уравнения перенести в одну часть уравнения и сложить, то могут представиться два случая:

1) числитель и знаменатель полученной дроби не имеют общих множителей, т. е. уравнение приводится к виду:

тогда отбрасывание знаменателя не дает посторонних корней, так как в этом случае корни а, Ь, су • • -k не обращают знаменатель в нуль, что непосредственно видно;

2) числитель и знаменатель полученной дроби имеют общих множителей, как, например, в уравнении:

в этом случае отбрасывание знаменателя вводит посторонни корень а, так как этот корень обращает и числитель и знаменатель в нуль, и в левой части уравнения получается неопределенное выражение —, в то время, как правая часть равна 0.

Отсюда получаем вывод: после перенесения всех членов уравнения в одну часть уравнения и сложения необходимо полученную дробь сократить.

Отсюда же получаем ответ на вопрос, оставленный без ответа в VII классе, почему при отбрасывании общего знаменателя не всегда появляются посторонние корни.

При рассмотрении вопроса о решении уравнений, имеющих в знаменателях неизвестное, нельзя не обратить внимание учащихся на корень х = оо, так как: 1) этот корень дает в некоторых случаях определенный ответ на вопрос задачи и 2) определенный класс алгебраических уравнений имеет этот корень.

Возьмем задачу: найти расстояние точки пересечения общей касательной к окружностям, радиусы которых R и г, с линией центров,— от центра ближайшей окружности. Расстояние между центрами d.

Черт. 1

Составляем и решаем уравнение:

Когда г стремится к R (или наоборот), то X неограниченно увеличивается. Эту мысль математическими символами можно записать так: когда R~r,TO х = оо.

Этот корень дает такой ответ: когда радиусы окружностей равны, то общая касательная параллельна линии центров.

Какие же алгебраические уравнения имеют корень x—œ?

После перенесения всех членов в одну часть уравнения и сложения уравнение приводится к виду: prJ^ = 0, где

При этом могут быть три случая: 1) т>п. В этом случае, как известно,

2) т — п. В этом случае

3) т<п. Здесь

В этом случае можно определить, как функцию, которая равна нулю при х = оо. Отсюда видно, что только в третьем случае уравнение щ~ — 0, кроме других решений, имеет еще решение л:=оо, так как в этом случае точка jc = oo есть обыкновенная* точка и нуль** (Nullstelle) функции.

Таким образом, мы доказали теорему.

Если степень числителя алгебраического уравнения меньше степени знаменателя, то такое уравнение, кроме корней уравнения f(x) = 0t имеет еще корень х — оо.

Например, уравнение

кроме корня X = 2,5, имеет еще корень х= оо.

Учащимся эту теорему можно пояснить такими рассуждениями: пусть имеем уравнение — = 0, где Л и В — целые многочлены.

Если степень многочлена А больше степеи многочлена В, то при увеличении х числитель увеличивается скорее знаменателя, и вся дробь растет, причем если х увеличивается неограниченно, то и дробь возрастает неограниченно.

Если степень числителя равна степени знаменателя, то с увеличением х дробь будет изменяться и стремиться к некоторому постоянному числу, зависящему от данных многочленов.

* Обыкновенной точкой называется точка в которой функция определена.

** Нулем функции называется точка, в которой функция равна нулю.

Если же степень числителя меньше степени знаменателя, то с неограниченным увеличением X дробь неограниченно уменьшается, так как здесь знаменатель растет скорее и стремится к нулю. В этом случае говорят, что уравнение имеет корень л:=оо.

Все три случая затем иллюстрируются на примерах, причем х придаются все большие и большие значения, и каждый раз вычисляется величина дроби .

К ВОПРОСУ О МЕТОДИКЕ БИКВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Г. САГАЛОВИЧ (Минск)

Значение и роль конкретной задачи при ознакомлении учащихся с новым видом уравнения общеизвестны.

Наши сборники задач располагают достаточным количеством задач на составление квадратного уравнения, но в них почти отсутствуют задачи на составление биквадратного уравнения.

С биквадратным уравнением учащиеся встречаются при решении систем уравнения высших степеней.

В этой небольшой заметке привожу несколько задач на составление биквадратного уравнения. Задачи эти были мною неоднократно использованы в моей педагогической практике.

I

Из точки на данной окружности каким радиусом следует провести дугу, чтобы на окружности наметить хорду данной длины?

2R — диаметр данной окружности,

2а — длина хорды, X — радиус искомой окружности.

Имеем :

Полученное уравнение можно также использовать в целях вывода формулы удвоения.

При

имеем :

Полученное уравнение дает возможность вычислить сторону правильного вписанного в круг восьмиугольника, зная радиус круга и сторону вписанного квадрата.

Черт. 1

При 2а = R имеем:

Полученное уравнение дает возможность вычислить сторону правильного вписанного 12-угольника.

II

Разобранную выше задачу можно поставить и в такой форме.

Из точки на данной сфере каким радиусом следует провести параллель данного радиуса?

Нужно просверлить в шаре цилиндрической формы отверстие данного основания. Каким радиусом из точки на сфере нужно

наметить параллель, равную длине окружности основания цилиндрического отверстия?

2R — диаметр сферы, г — радиус основания цилиндра, X — радиус искомой окружности.

Черт. 2

В связи с затронутым вопросом небезынтересно показать учащимся, что параллельна земной поверхности, проведенная в 60° от экватора, равна половине экватора. Обычно учащиеся неверно считают, что параллель, проведенная в 45° от экватора, равна половине экватора.

III

В заключение остановимся на задаче, связанной с вопросом о делении отрезка в крайнем и среднем отношении, приводящей к составлению и решению биквадратного уравнения.

Нужно вырубить отверстие прямоугольной формы под окно с таким расчетом, чтобы в точке стыка основания и высоты прямоугольника полупериметр его делился в крайнем и среднем отношении и чтобы площадь прямоугольника была равна 2 м2. Найти стороны прямоугольника.

Обозначим большую сторону прямоугольника через Ху тогда меньшая сторона прямоугольника выразится через — . Имеем:

ПРИЕМЫ БЫСТРОГО ВОЗВЕДЕНИЯ В КВАДРАТ И ИЗВЛЕЧЕНИЯ КВАДРАТНОГО КОРНЯ

И. ТЕРЕБЕНИН (г. Туапсе)

Приходится констатировать, что к вопросам устного счета в школе относятся недостаточно серьезно. Если устному счету уделяется некоторое внимание в начальной школе, то в средней школе устный счет совершенно в загоне. Те навыки, которые учащиеся приобретают в I—III классах, прочно забываются, уже начиная с IV класса. В последующих классах все вычисления, даже самые элементарные, производятся исключительно с пером и карандашом в руке, и самое обычное явление, когда учащийся затрудняется произвести устно сложение двух двузначных чисел. Когда же вопрос касается возведения в степень или извлечения корня, то ни о каком устном счете не может быть и речи: учащийся здесь совершенно беспомощен.

Мы настоятельно рекомендуем требовать от учащихся знания таблицы квадратов от 1 до 25. Знание этой таблицы позволит учащимся устно производить возведение в квадрат чисел до 100 и извлекать квадратный корень из полных квадратов для чисел от 1 до 125.

Мы даем некоторые приемы быстрого счета при возведении в квадрат и извлечении квадратного корня, изложенные в книге Felix'a Martel'я («Procedes de calcul rapide»).

Квадрат чисел от 26 до 50

Обозначим любое число из этого интервала через X. Можно записать: лг2 = л:2+ 100 л:— 100л;+502 — 2500, (1) или

X2 — 100 X — 2500 + 502 — 2.50 х -f х2.

Последние три члена представляют собою квадрат разности двух чисел, и все выражение может быть преобразовано в следующий вид:

дг2=100 (х- 25)+ (50 — х)2, (2)

т. е., для того чтобы получить квадрат числа из интервала 25—50, следует:

1) найти разность между данным числом X и 25-ю и умножить ее на 100;

2) найти разность между 50-ю и данным числом, т. е. 50—ху и возвести ее в квадрат и

3) найденные числа сложить.

Примеры.

Квадрат чисел от 51 до 75

Приведенное выше равенство (2) можно преобразовать так:

*2 = 100 (25+jc —50) + (аг —50)2.

Из этого равенства заключаем, что для нахождения квадрата числа из интервала 51—75:

1) находим сумму числа 25 и разности данного числа с 50-ю и умножаем ее на 100;

2) находим разность между данным числом и 50-ю и возводим ее в квадрат;

3) найденные числа складываем.

Примеры: 632. 63 — 50= 13.

Квадраты чисел от 76 до 100

Обозначим, как и в первых двух случаях, любое число из этого интервала через х. Далее напишем:

Х2 — Х2 _|_ 200л: — 200л: -f 1002 — 1002.

Перегруппируем члены этого равенства: X2 = 200л: — 100.100 + 1002 — 200л: -f х2.

Вынеся за скобки 200 из первых двух членов и представив в виде квадрата разности три последних члена, получим:

X2 = 200(л- — 50) + (100 — л:)2,

или

х2= 100-2 (л:— 50)+(100 — л:)2.

Устанавливаем, что для возведения в квадрат любого числа из интервала 76—100 следует:

1) найти разность между данным числом и 50-ю, удвоить ее и умножить на 100;

2) найти разность между 100 и данным числом и возвести ее в квадрат;

3) найденные числа сложить.

Примеры:

Общее правило возведения в квадрат

Кроме указанных правил для частных случаев, можно дать общее правило возведения любого числа в квадрат. Для этого:

1) к данному числу прибавляют его единицы;

2) получаемая сумма умножается на число десятков; получим десятки;

3) к этому числу прибавляем квадрат единиц.

Примеры :

Квадрат числа, оканчивающегося 5-ю

Для вывода формулы квадрата числа, оканчивающегося 5-ю, представим это число в общем виде:

10а+ 5,

где а есть число десятков.

Возведем в квадрат этот двучлен и преобразуем выражение:

Из получившегося равенства видно, что для получения квадрата числа, оканчивающегося 5-ю, следует число десятков умножить на следующее высшее число. Получим сотни. К ним приписываем 25.

Примеры:

Извлечение квадратного корня делением

Мы дадим лишь один общий прием быстрого извлечения квадратного корня, именно: посредством деления.

Дано извлечь квадратный корень из 71 824. Так как 2002 = 40 000, а 3002 = 90 000, то, очевидно,

200 < /71824 < 300.

Разделим данное число на одно из чисел этого интервала, например, на 260.

Частное 276.

Возьмем среднее арифметическое делителя и частного

Корень данного числа 268. Мы могли бы делить не на 260, а на другое число из указанного интервала, например на 270. Тогда частное будет 266. И в этом случае получим то же число:

Еще один пример. Найти

j/725904.

Корень больше 800 и меньше 900 (так как первая грань равна 72 и дает корень больше 8 и меньше 9).

Разделим число на 850. Частное 854.

Среднее арифметическое

Корень искомый 852.

Указанный способ дает верное решение лишь в том случае, когда число, на которое мы делим, взято нами на небольшом расстоянии от искомого корня.

Теоретическое обоснование этого способа связано с теоремой, доказывающей, что разность между средним арифметическим и средним геометрическим двух чисел т и п меньше дроби, у которой числителем является квадрат разности данных чисел, а знаменателем— меньшее из данных чисел, увеличенное в 8 раз.

При т> п

Возвращаясь к первому примеру, мы видим, что после деления 71 824 на 260 мы получили остаток 64. Пренебрегая этим остатком, можно сказать, что \/71824 — j/260 • 276 с точностью до 1. На основании теоремы

Следовательно, разность

т. е. меньше 1 ;

а так как мы искали корень с точностью до 1, то, очевидно,

и есть искомый корень.

В случае, если делитель взят на большом расстоянии от искомого корня, разность будет больше 1, и среднее арифметическое не даст нам искомого корня.

Устное извлечение квадратного корня

В заключение укажем способы извлечения квадратного корня из чисел, представляющих полные квадраты, и находящихся в интервале от 625 до 15 625, т. е., квадраты чисел от 25 до V25.

Здесь приходится установить четыре случая для 4 интервалов:

1) для квадратов чисел от 25 ( 625 ) до 50 (2500);

2) для квадратов чисел от 50 ( 2500) до 75 (5625);

3) для квадратов чисел от 75 ( 5625) до 100 (10000);

4) для квадратов чисел от 100 (10000) до 125 (15625).

Обозначив через а числа меньше 25, будем иметь общий вид указанных чисел:

от 25 до 50 ...... 50 — а;

от 50 до 75 ...... 50 +а;

от 75 до 100 ...... 100 —а;

от 100 до 125 ...... 100 -f я.

Их квадраты:

Не трудно заметить, что числа эти отличаются только сотнями и имеют на конце одинаковое количество единиц и десятков.

Помня границы каждого интервала, легко находить корни из чисел, являющихся полными квадратами.

Ниже мы даем примеры на числа из каждого интервала, ясно показывающие, как производится устное извлечение квадратного корня. Зная, из какого интервала число, мы обращаем внимание только на его окончание.

Примеры.

1. ]/1444 = 50 — 12 = 38, так как из чисел, ниже 25, только квадрат 12 оканчивается 44.

2. у 5084 = 50 + 22 = 72, так как из чисел, ниже 25, только квадрат 22 оканчивается 84.

3. У 6889 = 100 — 17 = 83, так как из чисел, ниже 25, только квадрат 17 оканчивается 89.

4. }Л3456=100 + 16, так как из чисел, ниже 25, только квадрат 16 оканчивается 56.

ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ

К ПРОРАБОТКЕ ТЕМЫ «ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ ОДНОГО И ТОГО ЖЕ УГЛА»

Л. КОГАН (Минск)

При проработке этой темы решаются примеры на определение значений тригонометрических функций угла по данному значению одной из них. Если заданная функция не sin и не cos, то учащиеся не всегда улавливают, какими формулами и в какой последовательности надо пользоваться, что вызывает заминки при решении — блуждание по формулам. Кроме того, решение не всегда рационально, например используются не те формулы, которые дают ответ кратчайшим путем. Во избежание указанных затруднений я предлагаю своим студентам при решении подобных примеров придерживаться постоянно следующей схемы. Все формулы, выражающие зависимости между тригонометрическими функциями, делятся на три категории:

I. Формулы квадратов

II. Формулы деления

III. Формулы обратных величин

(sin а • cosec а = 1 ; cos а • sec а = 1).

Рекомендую вести решение в таком порядке: 1) пишем функцию, обратную по величине заданной; 2) по формуле квадратов, в которую входит заданная функция или обратная, находим третью функцию и сразу пишем четвертую (обратную третьей); 3) по одной из формул деления находим пятую функцию и сейчас же пишем ей обратную (шестую). Таким образом, при решении примера используются все три формулы обратных величин, одна формула квадратов и одна формула деления. Этот путь следует считать наиболее целесообразным, так как максимально используются легкие формулы и минимально — трудные (т. е. требующие больше времени на вычисление). Одновременно такая схема ликвидирует потерю времени на подыскание подходящей формулы. Помимо технических удобств эта схема, по-моему, ликвидирует опасность одной очень распространенной ошибки. Если учащийся не имеет определенного плана, то очень часто применяет дважды формулы квадратов, причем при извлечении квадратного корня пишет знаки -К Между тем, если заданная функция отрицательна, то в ответе должны быть две функции со знаками + и две со знаками ^, чтобы верхние знаки соответствовали одному углу, определяемому по значению заданной функции, а нижние — другому (между прочим, в ответах встречается эта ошибка и даются все четыре функции со знаками см. Рыбкин — «Сборник задач по тригонометрии» на еврейском и белорусском языках). Если же извлекать квадратный корень приходится только один раз, то безразлично, какие знаки (Ч^или^) поставить перед корнем, а знаки остальных функций будут регулироваться правилом знаков при умножении или делении (при пользовании формулами деления), величины же обратные всегда имеют одинаковые знаки.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ УПРАЖНЕНИЕ-ИГРА ДЛЯ СТАРШЕГО КЛАССА СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

С. ДРОЗДОВ (Кимры)

В старшем классе средней школы является возможным провести упражнение-игру на математические вычисления. Элементы игры содержатся в том, чтобы получить наиболее точный ответ в кратчайший срок наиболее изящным способом, соблюдая аккуратность записи.

Идея игры состоит в том, чтобы произвести ряд вычислительных операций для получения ответа (значение неизвестного из заданной формулы и исходных данных), не прибегая к пользованию таблицами логарифмов, а равно и другими таблицами.

Задача состоит в том, чтобы получить ответ без таблиц с ограниченной точностью (2—3 значащих цифры). Достигается это тем, что запоминаются 5 мантисс логарифмов с точностью до 3 знаков и значение радиана для 1°, и все дальнейшие операции получают, как комбинацию их, применяя известные теоремы логарифмирования, а равно употребляя элементарные приемы вычислительной техники (разложение на множителей, простое интерполирование, тригонометрические формулы и т. д.).

Безусловно, все вычисления ведутся логарифмически, лишь без таблиц, так как таковые заменяются заученными 5 числами и операциями над ними.

Не возбраняется запомнить еще 1—2 числа, но перегружать память многими числами безусловно вредно и нецелесообразно.

Упоминаемые числа суть:

lg 2 = 0,301; lg 3 = 0,477; lg 7 = 0,845; lg 11 = 1,041; lg 13=1,114.

Как мы видим — простые числа.

Логарифм 4 мы получим, как lg 2^2— = 0,602.

Логарифм 5 есть дополнение к lg 2, т. е. Ig5+lg2=l, именно: 0,699; Ig6 = lg2++ lg3, ибо 2X3 = 6; lg8 = lg2X3, так как 8 = 23 и т. д.

Следовательно, все числа сложные мы получим, как результат произведения простых чисел, из которых логарифмы первых 5 простых чисел мы знаем. Следующие простые числа мы сможем получить приближенно, интерполируя логарифм искомого числа между двумя соседними. Безусловно тут будет внесена ошибка, но, помня, что целью упражнения является получение не точного ответа, а наиболее приближающегося путем остроумных комбинаций, можно допустить такой прием при условии, что преподаватель дает классу соответствующие разъяснения по этой теме, именно: о простой и сложной интерполяции, о законе нарастания логарифмической функции, о применимости и точности интерполяции логарифмов в области 1—2 и 8—9—10. Интерполирование для нахождения логарифма простого числа позволяет проявлять максимальное остроумие у играющих, например, lg 17 выгодно найти не просто (lg 16+lg 18) : 2, а как lg 17 = = lg51—lg3; сам же lg 51 получится, как -!—-—j в первом случае мы будем иметь ответ 1,2295, во втором 1,2305, табличное значение lg 17 = 1,2304.

Из этого примера видно, что даже простое интерполирование возможно применить в области первых десятков при трехзначной точности. Всякую вычислительную операцию можно провести с большей точностью при затрате большего промежутка времени, но это утомит и понизит интерес играющих. Поэтому надо регламентировать время, допуская округления, приближения за счет ускорения и сокращения времени.

Возьмем следующий пример:

Поступаем так:

Для быстроты действия пойдем на приближение

Теперь встает задача по логарифму найти число. Приходится нащупывать. Имеем lg 4 = = lg2-(--lg2 = 0,602; lg5 слишком велик, берем нечто среднее: lg 4,5 = lg5 + lg 9 — — 1 ; lg4,5 = 0,653 — велик; lg 42 = lg 2 -f + lg 3 + lg 7 = 1,623 — велик.

lg 41= (lg 40 + lg 42) :2= 1,6125 —немного меньше; итак, вероятно, jc = 41,1.

Ответ в пределе точности 3 знаков : х = = 41,2.

Подготовка и проведение игры-упражнения состоит в том, что в течение учебного года преподаватель предлагает ученикам выучить* 5 мантисс логарифмов, и решается несколько примеров с использованием таблиц, аналогичных тем, которые будут даны в будущей игре. Предлагая классу игру, преподаватель обращает особое внимание на характер ее: выполнить честно требования — условия игры, именно: не заглядывать в таблицы или записки и не списывать. Дается схема расположения вычислений на классной доске, дается также ка кдому участнику игры лист бумаги и карандаш. Задание выписывается на доске с самого начала. Преподаватель должен заинтересовать участников, вводя соревнование на точность результата, аккуратность записи и быстроту полученного ответа.

Упражнение-игра развивает находчивость и математическое остроумие, дает практические навыки в вычислениях, обычно нелюбимых учащимися, сталкивает с необходимостью воспользоваться формулами и преобразованиями, проходимыми по курсу, развивает аккуратность в записи и особенно тренирует внимание.

После проведения игры (1-й пример) преподаватель разбирает методы, употребленные участниками, указывает на наилучшие ответы и примененные способы и дает свои указания практического характера. Пример для решения на первый раз должен быть прост, чтобы не запутать играющих и не внести элемента утомления, а тем самым не свести интереса и цели игры к нулю. Первым примером может служить, например, такой

или даже еще более простой:

Зная силу класса, преподаватель сам может подобрать ряд примеров, пользуясь формулами физики или беря примеры из практической жизни.

В некоторых случаях практической деятельности на производстве, при отсутствии таблиц, возможно прибегнуть к изложенному способу при необходимости знать немедленно результат с грубым приближением.

* Можно обойти это условие игры, выписав на доске перед игрой числа.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

ОБ УЧЕБНИКЕ ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ*

И. КАСТРОВИЦКИЙ (Слуцк)

В этой статье дается критический разбор учебника: Ю. С. Гурвиц и Р. В. Гангнус — Систематический курс геометрии. Часть первая: «Планиметрия». Часть вторая: «Стереометрия». Изд. 3-е, 1935 г.

Разнообразных недостатков в этом учебнике, к сожалению, очень много: предлагаемый здесь перечень их не является полным.

1. Неверно утверждение (I, 3) (первое число в скобках здесь и дальше означает часть учебника, второе число — страницы. — И. К.), что форма и размеры физического тела «характерны для каждого тела и позволяют отличить одно тело от другого»; ведь, например, все листы этой книги имеют одинаковые формы и размер (в пределах обычного зрительного восприятия), и нелепо убеждать ученика, что один лист отличается от другого или по форме, или по размерам, или по обоим этим признакам вместе.

2. Простая, доступная пониманию шестиклассника мысль о том, что форма тела не отделима от тела и что геометрия только мысленно отвлекает форму от физического тела,— передается авторами учебника в следующей формулировке, затемняющей и искажающей эту мысль (I, 13): «Надо помнить, что в действительности форма не отделима от присущих телу свойств и что геометрия, изучая форму тела, отделяет эту форму, отвлекает ее от действительного тела из окружающего пространства» (подчеркнуто мной.— И. К.).

3. Следующие фразы не имеют по существу никакого смысла (I, 4): «В окружающей нас обстановке мы встречаем самые разнообразные поверхности, форма которых определяется формой тела (подчеркнуто мной. — И. К.) Так, поверхности классной доски, стола, ведра, мяча, шара, цилиндра, конуса различны и зависят исключительно от формы тела». С таким же «правом» можно было бы говорить о том, что форма тела зависит от формы его поверхности. Такие пустые фразы, в особенности, если они попадают в учебник, являются вредными, так как воспитывают дурной навык к фразеологии, к беспредметному «мышлению».

4. Замечания о вертикальном и горизонтальном направлении прямой и плоскости (I, 5) вряд ли уместны в геометрии; понятия о вертикальном и горизонтальном направлении — не геометрические понятия. Эти понятия здесь об'ясняются так неточно, что могут вызвать только искаженное понимание этих ценных понятий, если только знание их, более обстоятельное, не было получено раньше на уроке физики или географии. Фраза «направление вертикальной прямой определяется положением так называемого отвеса, т. е. шнура, к концу которого привязана небольшая гирька»— неудачно выражает мысль. А в каком положении должен находиться отвес, чтобы показывать вертикальность направления, об этом ни слова. Неверно также говорить о вертикальном (или горизонтальном) направлении вообще, а не по отношению к определенному месту на поверхности земли.

5. Неверно утверждение, что «куб, брус, призма, пирамида имеют плоскую поверхность» (I, 4).

6. «Поверхность образуется движением линии в пространстве, если только при этом линия не перемещается в направлении своего первоначального положения». «Движением поверхности образуется тело, если только поверхность не перемещается в направлении своего первоначального положения» (I, 6). Что это за «направление первоначального положения» линии или поверхности?

7. Понятие «пространственной фигуры» и понятие «тела» относятся одно к другому, как родовое понятие к видовому: поэтому дико звучат такие сочетания этих понятий в учебнике: «пространственных фигур или тел» (I, 6), «пространственных фигур и тел» (II, 3) (подчеркнуто мной—-Я. К.).

8. Ошибочно причисляется к аксиомам следующее предложение (I, 7): «Прямая может быть безгранично продолжена в обе стороны» (см. по этому вопросу указания проф. Четверухина в статье «Вопросы элементарной геометрии и ее преподавания», сб. «Математика и физика» № 4 за 1935 г., стр. 64).

9. Нельзя согласиться с таким определением окружности (I, 10): «Окружность представляет собой на плоскости замкнутую кривую линию, все точки которой отстоят на данное расстояние от данной точки — от центра». В этом определении имеется лишний признак окружности — ее кривизна. Однако не в этом существенный недостаток приведенного определения, а в том, что в это определение включены понятия данного расстояния (т. е. данной длины радиуса в виде заданного отрезка или в виде заданного числа линейных единиц) и данной точки (центра). Признаки данного радиуса и данного центра необходимы для построения определенной по размеру и по положению окруж-

* Настоящей статьей редакция открывает серию статей, посвященных анализу стабильных учебников и задачников по математике. Редакция приглашает читателей, а также авторов рассматриваемых учебников присылать свои замечания по статье в целом и по отдельным, затронутым в ней пунктам. — Редакция.

ности (на данной плоскости), но они совершенно несущественны для понятия окружности. Окружностью называется замкнутая линия на плоскости, все точки которой (линии) одинаково удалены от одной точки той же плоскости. Вот правильное, т. е. соответствующее понятию, определение окружности. Существенно ведь не то, что все точки окружности удалены от центра на расстояние, например, в 5 см, а то, что все точки окружности удалены на равное расстояние от центра: точно так же существенно не то, что центром окружности является определенная данная точка, а то, что вообще существует для окружности центр, т. е. точка, от которой все точки окружности одинаково удалены.

10, Вряд ли можно признать удовлетворительным определение понятия «угол» (I, 12). Два луча OA и OB, выходящие из одной и той же точки С, отличаются друг от друга своим направлением (подчеркнуто мной) (И. И,) и образуют фигуру, называемую углом. Зачем понадобилось здесь говорить о различном направлении лучей?

Под определение не подходит полный угол. Кроме того, определение угла ничего не говорит о той части плоскости, которая заключена между сторонами угла. Следует ли эту часть плоскости считать принадлежащей углу? На этот вопрос следовало бы дать утвердительный ответ, так как в противном случае будут бессмысленны выражения: точка внутри угла, точка вне угла. Очень важно об'яснить (что не сделано в разбираемом учебнике), что два луча на плоскости, выходящие из одной точки, образуют не один, а два угла, так как без этого раз'яснения учащиеся привыкают видеть, рассматривая чертеж, только меньший угол. Геометрия должна развивать у учащихся геометрическое зрение.

При определении равенства углов необходимо указывать не только признаки совпадения вершин и сторон, но и совпадение частей плоскости, принадлежащих сравниваемым углам.

«Угол есть мера поворота луча вокруг своей начальной точки».

«Угол определяет степень наклона одной прямой к другой» (I, 12).

Некоторые думают, что эти формулировки обозначают новые определения того же самого понятия, которое раньше было определено как фигура, образованная на плоскости двумя лучами, выходящими из одной и той же точки. Это, конечно, недоразумение: но последнее легко возникает при некритическом отношении к учебнику вследствие того, что авторы не об'яснили двойственного значения слова «угол».

Угол — фигура, угол — величина.

11. Вследствие бедности геометрического языка приходится пользоваться одним и тем же термином для обозначения различных понятий: необходимо в таких случаях, во избежение возможных недоразумений, делать соответствующие раз'яснения относительно различного смыслового значения одного и того же термина. К сожалению, авторы стабильного учебника по геометрии этого не делают, что было уже отмечено (см. п. 10) на разборе понятий, обозначаемых термином «угол». Приведем еще два примера для подтверждения справедливости сделанного упрека. На странице 18 дается определение понятия «прилежащие углы»; это понятие имеет в виду только два угла, расположенные так, как указано в определении (общая вершина, одна общая сторона, углы не покрывают друг друга). Но дальше авторы говорят о нескольких прилежащих углах (стр. 1У, рис. 40), т. е. вводят новое понятие, пользуясь для обозначения его термином, с которым раньше уже было связано другое, хотя и близкое, понятие. Определения новому понятию «нескольких прилежащих углов» не дано: очевидно, предполагается, что данного раньше определения «прилежащих углов» (стр. 18) вполне достаточно для того, чтобы говорить не только о двух, но и о трех, четырех и т. д. прилежащих углах. Но определение «прилежащих углов» говорит о двух углах и поэтому выражение «пять прилежащих углов» не имеет смысла, пока око не определено.

Вопрос, чему равен каждый из восьми прилежащих равных углов, расположенных вокруг одной точки (стр. 22, «Вопросы и упражнения»), должен вызвать такой ответ (и это будет верный ответ): «Ответить на этот вопрос не могу, так как мне не понятно, что значит «восемь прилежащих углов» — это понятие в учебнике не об'яснено». Не следует отсюда делать вывод, что надо построить столько определений «прилежащих углов», сколько существует натуральных чисел, начиная с двух: определение должна быть одно, но такое, чтобы оно относилось к любому числу углов.

Вот еще пример того, что авторы учебника не об'ясняют, не выделяют различия двух исходных понятий, обозначаемых одним и тем же термином.

Биссектрисе треугольника дается такое определение (I, 25): «Прямая, делящая угол пополам, называется биссектрисой», т. е. повторяется данное раньше (стр. 18) определение биссектрисы угла.

Два различных понятия — биссектриса угла и биссектриса треугольника—отождествлены (нормально путем общего определения). Здесь мы имеем грубую ошибку. Биссектрису треугольника следует определить, как отрезок биссектрисы угла треугольника от вершины угла до пересечения с противоположной стороной. Биссектриса угла есть луч, а биссектриса треугольника — отрезок: это различие изучающие геометрию должны твердо знать.

12. Определения понятий: «аксиома» и «теорема», данные в стабильном учебнике, вряд ли можно признать удовлетворительными. Отметим, прежде всего, следующую несуразность: определение аксиомы дается на странице 8, а определение теоремы — на странице 19; казалось бы, до страницы 19 не должен употребляться термин «теорема»; однако на странице 8 отмечается, что «аксиомы служат основой для доказательства теорем».

При таком изложении предмета трудно достигнуть систематичности знания. Понятия аксиомы и теоремы должны быть рассмотрены рядом: усвоение этих понятий может только выиграть от их сопоставления.

Рассмотрим определения этих понятий.

«Суждение об основных свойствах геометрической фигуры, которые установлены в практике, называется аксиомой: аксиомы принимаются без доказательства и служат основой для доказательства теорем геометрии» (I, стр. 8).

«Суждение, устанавливающее свойства геометрической фигуры, называется теоремой; ее справедливость становится очевидной после некото-

рого обоснования — доказательства — ссылкой на известные геометрические факты» (стр. 13).

В результате таких об'яснений в сознании учащихся укрепляется ложная мысль, что аксиомы и теоремы имеются только в геометрии: ведь это — суждения о свойствах геометрических фигур.

Аксиома принимается без доказательства, ее истинность подтверждается практикой, а теорема становится очевидной только после доказательства, т. е. логического выведения ее из других, ранее установленных истин. Такое различение аксиомы и теоремы совершенно неубедительно. Ведь предложение Кавальери об об'емах также принимается без доказательства (в средней школе) и справедливость его подтверждается практикой: следовательно, предложение Кавальери должно именоваться аксиомой в средней школе и теоремой в высшей школе. Хорошо ли это будет? Неубедительно также указание, что теорема становится очевидной после доказательства, т. е. предполагается, что до доказательства справедливость ни одной теоремы не очевидна. Но эта мысль опровергается примерами некоторых теорем, в истинности которых мы непосредственно, интуитивно, убеждены до всякого доказательства. Таково, например, предложение о том, что через точку на прямой или вне прямой можно к этой прямой провести только один перпендикуляр (на плоскости); или предложение о том, что перпендикуляр и наклонная к одной и той же третьей прямой пересекаются. Это последнее предложение не в меньшей степени «очевидно», чем аксиома о параллельных прямых. Надо отказаться от трактовки доказательства теоремы, как рассуждения, приводящего к очевидности, справедливости теоремы.

Безусловно надо согласиться с тем, что «доказательства не имеют своей целью устранить какие-либо неясности и сомнения, которых может и не быть, а просто установить логическую связь между отдельными теоремами (следовало бы добавить— и аксиомами) геометрии» (проф. С. А, Богомолов — «Основания геометрии», Гиз 1923, см. стр. 23). Понятие очевидности— неопределенное, расплывчатое.

Теоремы справедливы, если справедливы аксиомы, из которых теоремы выводятся. Но аксиомы выражают «простейшие факты нашей интуиции» (М. Клейн — «Элементарная математика с точки зрения высшей»). Они вместе с основными (неопределяемыми) понятиями составляют первооснову, фундамент всего геометрического здания: вопрос о природе этой первоосновы в геометрии не ставится (этим занимается наука об «основаниях геометрии»); для изучающего первоначально систематический курс геометрии достаточно сознания того, что принятые основания геометрии находятся в согласии с его интуицией пространства, не противоречат восприятию действительности.

13. «Суждения, вытекающие непосредственно из аксиом и теорем, называются следствиями» (Ï, 19). При такой формулировке определения следствия может у читателя зародиться неверный вывод, что «следствие» это не теорема. Каждое следствие из аксиомы или теоремы безусловно является теоремой; и если употребляют название следствие, то исключительно с целью подчеркнуть непосредственную связь этого предложения с тем, из которого оно выводится. Вообще же употребление термина следствие в указанном узком смысле вряд ли целесообразном Всякая теорема является следствием (логическим) некоторых других предложений.

14. Неверно утверждение, что диагонали разбивают многоугольник на треугольники (I, 23).

15. Нельзя согласиться с указанием, «что изучение свойств многоугольника сводится к изучению свойств треугольника, а потому изучение треугольника приобретает исключительно важное значение» (I, 23).

Очень важно изучение треугольника и независимо от того, что оно имеет значение для изучения многоугольника.

16. Классификацию треугольников по сторонам следовало бы изложить более научно, чем это сделано в учебнике (I, 24). Все треугольники делятся не на три класса (разносторонние, равнобедренные и равносторонние), а на два класса: разносторонние и равнобедренные; последние же в свою очередь подразделяются на равнобедренные в узком смысле слова (основание у них не равно боковой стороне) и на равносторонние. Бедность геометрического языка опять ставит нас здесь в неудобное положение: одним и тем же термином приходится обозначать различные понятия.

17. После теорем о свойствах равнобедренного треугольника перечисляются четыре «следствия» из этих теорем (1,27). Здесь авторы делают грубую ошибку. «Следствие»: «В равнобедренном треугольнике перпендикуляр, проведенный из вершины к основанию, делит пополам: 1) основание и 2) угол при вершине» — не только не может быть выведено непосредственно из теоремы о свойстве биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенной в угле при вершине, но вообще не может быть доказано, так как для доказательства необходима ссылка на теорему о том, что из точки вне прямой можно опустить на прямую только один перпендикуляр, а эта теорема рассматривается дальше (стр. 39).

18. Неудачно изложен пункт о «симметричных прямых» (1,28). Во-первых, на чертеже (рис. 61) взяты отрезки (АС и i4tC), а называются они прямыми; во-вторых, доказано, что ось симметрии двух пересекающихся прямых является биссектрисой угла, образуемого этими прямыми, а вывод делается такой (обратный полученному):

«Итак, биссектриса угла двух пересекающихся симметричных (это последнее слово лишнее.-И. К.) прямых служит их осью симметрии».

19. Понятию ссимметричные фигуры» дано неточное определение (1,29): «Две фигуры называются симметричными относительно оси, если каждой точке одной фигуры соответствует симметричная ей точка другой». Следует дополнить «...и обратно: каждой точке второй фигуры соответствует симметричная ей точка первойэ.

20. Вместо того, чтобы давать доказательство теоремы о равенстве прямоугольных треугольников, имеющих по равной гипотенузе и по равному катету (I, 42), целесообразнее было бы дать место в учебнике теореме, выражающей 4-й признак равенства треугольников вообще, и из одной последней теоремы вывести первую, как следствие.

21. Относительно аксиомы о параллельных прямых авторы учебника утверждают: «Доказать это положение невозможно, его надо принять за аксиому; это и было сделано древнегрече-

скими геометрами», и дальше: «Эвклид был прав, ириняв это предложение за аксиому» (I, 43—44). Здесь мы имеем извращение действительности. Современная аксиома параллельности и аксиома параллельности Эвклида (5-й постулат) — различные предложения: верно, конечно, что каждое из этих предложений является следствием другого, если это другое принять за аксиому; но это не тождественно утверждению, что Эвклид положил в основу теории параллельности то предложение, которое в настоящее время кладется в основу этой теории (с 1795 г. по инициативе английского математика Джона Плейфера, А. Киселев — «Элементарная геометрия», изд. 1914 г.).

22. Следует исправить указание (I, 45), что 8 углов, образуемых пересечением двух прямых третьей, получают свои названия (если углы брать попарно) — «в зависимости от их расположения относительно секущей»; здесь принимается во внимание не только расположение углов относительно секущей, но и относительно пересекаемых: только это последнее определяет собой название «внутренние углы», «внешние углы».

23. Перечислив пять различных групп пар углов, образуемых при пересечении двух прямых третьей (всего 12 пар), учебник затем правильно отмечает (I, 45), что «определенная зависимость между углами какой-либо из указанных пар углов влечет за собой определенную зависимость между углами каждой другой пары», но в формулированной тут же теореме указанная мысль не выражена полностью, так как теорема говорит только о том, что равенство соответственных углов влечет за собой известные соотношения углов: внутренних и внешних накрестлежащих, внутренних односторонних и внешних односторонних; неполнота этой теории заключается же в том, что не отмечается связь между равенством соответствующих углов одной пары и равенством углов каждой из остальных трех пар соответствующих углов.

Мысль о соотношениях между углами, полученными при пересечении двух прямых третьей, полно выражается только в такой формулировке: «Если между углами, образовавшимися при пересечении двух прямых третьей, справедливо любое из следующих 12 соотношений:

1—4) соответственные углы равны, 5—6) внутренние накрестлежащие углы равны, 7—8) внешние накрестлежащие углы равны, 9—10) сумма внутренних односторонних углов равна 2 d, 11-12) сумма внешних односторонних углов равна 2 d, то справедливы и остальные 11 соотношений». Это сложное предложение об'единяет в себе 132 простых предложения: 66 прямых и 66 обратных им предложений.

Не следует пугаться громоздкости приведенного предложения при мысли, что надо доказать 132 соотношения. Не надо тратить страницы учебника на эти доказательства; достаточно их привести два-три, отметив, что так же легко доказываются и остальные части предложения.

24 Нельзя признать удачной такую формулировку (I, 51): «Отрезки двух параллельных прямых, пересеченных параллельными прямыми, равны». Лучше такая формулировка (взята из учебника Киселева, изд. 1914 г.): «Отрезки параллельных, заключенные между параллельными (следовало бы сказать: отсекаемые параллельными.— И. К.) — равны».

25. Недоумение вызывает следующее предложение о параллельных прямых (I, 52): «Параллельные прямые на всем своем протяжении отстоят друг от друга на одинаковое расстояние».

Если приходится доказывать одинаковость расстояния между двумя параллельными прямыми, то, очевидно, имеется в виду такое определение понятия расстояния между параллельными, в силу которого (определения) с термином «расстояние» не связывается обязательно мысль об определенном количестве единиц длины; вполне законной является мысль о различных количественных значениях расстояния между одними и теми же двумя параллельными прямыми; но такое понятие расстояния нелепо: ведь, например, не принято говорить о расстоянии между двумя пересекающимися прямыми.

Надо отказаться от теоремы, утверждающей одинаковость расстояния между двумя параллельными прямыми на всем их протяжении, и заменить ее теоремой: все точки одной из двух параллельных прямых одинаково удалены от другой прямой, или: отрезки перпендикуляров, проведенные к одной из двух параллельных прямых из произвольных точек другой, равны между собой; и только после этого предложения следует дать определение расстояния между параллельными прямыми, а не наоборот, как это имеет место в разбираемом учебнике, где сначала дается определение «расстояния» (стр. 61), а затем (стр. 6^) доказывается одинаковость расстояния между параллельными прямыми.

26. Определение ромба (I, 61) имеет в виду ромб в широком смысле слова, т. е. в понятие ромба включается и квадрат: поэтому странно в перечне свойств ромба видеть указание того, что противоположные углы ромба —оба острые или оба тупые.

27. В доказательстве теоремы о свойствах диагоналей ромба (1,62) ошибочно утверждается, что диагональ АС (рис. 123) является медианой и высотой Д ABD; на самом деле медианой и высотой этого треугольника является отрезок АО.

28. Определение трапеции (I, 64) имеет в виду трапецию в широком смысле слова, т. е. под трапецией подразумевается и параллелограм: эта мысль, однако, не высказывается в учебнике открыто, что может приводить к недоразумениям в тех случаях, когда со стороны учителей не будет соответствующих раз'яснений об употреблении термина «трапеция». Одно из возможных недоразумений может заключаться, например, в причислении к равнобедренным трапециям и параллелограмов; в силу текста учебника такое рассматривание параллелограмов, как вида равнобедренной трапеции, будет вполне законным актом мысли; будет логически обоснованным и такое критическое замечание: учебник неверно утверждает, что углы, прилежащие к любому из оснований равнобедренной трапеции, равны; ведь в параллелограме, который тоже есть «равнобедренная трапеция» (согласно тексту учебника), углы при основании не равны.

Необходимо обязательно открыто высказывать (в необходимых случаях) в учебнике, что термин «трапеция» в таких-то предложениях употреб-

ляется в узком смысле, т. е. что имеется в виду трапеция, у которой боковые стороны не параллельны.

29. Вряд ли целесообразно устанавливать два понятия «средней линии трапеции» (I, 65) средней линии параллельных сторон и средней линии боковых сторон трапеции: вполне достаточно для потребностей геометрии второго понятия, обозначать которое надо термином «средняя линия трапеции» (без прибавления слов «боковых сторон»).

Следует отметить тут же одну странность, обнаруживающуюся при сопоставлении этих двух понятий о средней линии трапеции: средняя линия боковых сторон есть отрезок, следовательно, имеет длину, тогда как средняя линия основания трапеции мыслится, очевидно, авторами учебника, как прямая (т. е. бесконечно прямая); последнее приходится принять на основании предложения (1,65): «Средняя линия параллельных сторон равнобедренной трапеции является ее осью симметрии» (ось симметрии есть бесконечная прямая, а не отрезок). Надо отказаться от «средней линии параллельных сторон трапеции»; не следует загромождать учебник бесполезными терминами.

30. «Построение Параллелограма сводится, как известно, к построению треугольников; поэтому для построения параллелограма достаточно знать три независимых его элемента» (I, 67).

Неверно здесь утверждение, что построение параллелограмов сводится к построению треугольников: строя, например, параллелограм по данным двум смежным сторонам и углу между ними, мы не строим треугольников. Очевидно, здесь имелось в виду высказать ту мысль (безусловно верную), что параллелограм вполне определяется (по форме и размерам) теми данными элементами, которые одновременно достаточны для определения одного из тех треугольников, на которые разбивается параллелограм одной или двумя диагоналями; отсюда, принимая во внимание, что для построения треугольника достаточно знать три его независимых элемента, следует вывод, что и для построения параллелограма тоже достаточно знать три его независимых элемента.

31. Что такое «трапеция вообще»? Употребляя этот термин (1,67), учебник тут же в скобках отмечает: не равнобедренная и не прямоугольная. С таким же «правом» можно под параллелограмом вообще подразумевать только параллелограм косоугольный и одновременно неравносторонний. Это — неправильное применение термина «вообще». На самом деле «трапеция вообще» обозначает род трапеций, в который входят все без исключения виды трапеций; точно так же параллелограм вообще есть род параллелограмов, обнимающий собой все виды параллелограмов. Всякая данная определенная трапеция может рассматриваться в качестве представителя трапеции вообще, поскольку мы принимаем во внимание только параллельность двух сторон, отвлекаясь от всяких других свойств взятой трапеции; этот представитель трапеции вообще обязательно является одновременно и представителем какого-либо вида трапеции, потому что род трапеций разделяется на виды. Но, конечно, из дидактических соображений мы чертим трапецию не равнобедренную и не прямоугольную, когда выводим свойство трапеции вообще; делаем это с той целью, чтобы затруднить образование в сознании учащихся неверной мысли о зависимости между каким-нибудь свойством трапеции вообще и таким посторонним для данного свойства признаком, как, например, равнобедренность.

32. Доказательство теоремы о площади параллелограма (1,74) является неполным, так как оно не относится к тем параллелограмам, в которых любая точка стороны, лежащей против основания, проектируется не на самое основание, а на его продолжение. Этот недочет необходимо исправить.

33. Теоремы о свойстве перепендикуляра к отрезку, проведенного через его середину, и о свойстве биссектрисы угла (I, 82—83) заключают в себе больше, чем указано в записях о том, что дано и что требуется доказать. В методическом отношении было бы лучше разделить каждую из этих теорем на две теоремы: прямую и противоположную ей (или обратную), а затем дать в качестве следствия обратные или противоположные предложения. Только после этого привести данные в учебнике формулировки предложений о перпендикуляре к отрезку, проведенном через его середину, и о биссектрисе угла, как о геометрических углах точек. Следовало тут же рассмотреть простейшие задачи на построение, решаемые методом геометрических мест, и дать понятие об этом методе. Помещенная в учебнике особая глава — XIV—«Задача на построение методом геометрических мест» (1,104) является лишней; заметим тут же, что в этой главе совершенно не об'яснен «метод геометрических мест».

34. Дано неверное об'яснение центральной симметрии круга (1,86), «которая заключается в том, что в круге и на окружности имеется бесчисленное множество пар точек, симметрично расположенных относительно центра». Но ведь на любой части плоскости существует бесчисленное множество пар точек, симметрично расположенных относительно некоторой точки той же части плоскости; выходит, следовательно, что всякая часть плоскости обладает центральной симметрией.

35. Следует признать странной следующую формулировку (I, 88): «Из двух хорд окружности: меньшая дальше отстоит от центра, и обратно большая хорда окружности ближе к центру» (подчеркнуто мною.— И. К.); очевидно, во второй части предложения имелось в виду на самом деле сказать следующее: «обратно: хорда, дальше расположенная от центра, меньше». В формулировке учебника вторая часть предложения выражает то же самое, что и первая часть, а не является по отношению к этой последней обратным предложением.

36. После теоремы о перпендикулярности касательной к радиусу, проведенному в точку касания (I, 90), следовало бы дать следствие (или теорему) о том, что дуги, заключенные между параллельными между собой хордой и касательной, равны; на эту истину учебник опирается при доказательстве теоремы об измерении угла, образованного хордой и касательной (1,95); поэтому надо дать ее в основном тексте учебника, а не в упражнениях.

37. Неверно утверждает учебник, что (1,94) «величина вписанного угла не зависит от того, как расположены его стороны относительно

центра окружности». В действительности имеем:

1) если центр окружности лежит на стороне или вне вписанного угла, то величина последнего а удовлетворяет соотношение:

0°<а<90°;

2) если же центр окружности лежит внутри вписанного угла, то

0°<<х<180°.

38. «Геометрическим местом точек, из которых данный отрезок AB виден под данным углом а, являются дуги двух симметричных сегментов, построенных на отрезке AB, как на хорде, и вмещающих данный угол» ([,96). В этой формулировке имеется неточность: если <х>0°, то из концов А я В дуг отрезок не виден под углом а. Следует в приведенную формулировку после слова «дуги» прибавить: «за исключением их концов». Интересно отметить, что в случае а = 0 геометрическим местом точек, из которых данный отрезок AB виден под углом а, является «дуга» бесконечного радиуса, иначе говоря, бесконечный «отрезок» AB прямой, дополняющий данный отрезок AB до целой бесконечной «окружности».

39. Исследование задачи о построении треугольника по данным: А и та (I, 108) — является неполным; не отмечено, что в случае А = 90° и одновременно та — ~^ задача имеет бесчисленное множество решений.

40. Сколько существует точек, каждая из которых равно удалена от трех сторон треугольника?

Учебник утверждает, что таких точек четыре: одна внутренняя и три внешних (I, 107). Тут возможны недоразумения, так как понятие расстояния точки от отрезка (прямой) не было определено.

Авторы учебника очевидно отождествляют это понятие с понятием расстояния точки до прямой, на которой лежит отрезок. Об этом следует сказать открыто, т. е. надо дать определение понятия расстояния точки до отрезка (прямой), так как формально мы не имеем права считать общепринятым отождествление указанных двух понятий, пока на этот счет не введено соответствующее соглашение.

41. В определении (I, 108) «два отрезка, имеющие общую меру, которая укладывается в каждом из них целое число раз (подчеркнуто мной. — //. К.), называются соизмеримыми отрезками» — подчеркнутые слова являются лишними; мало того, эти слова могут вызвать ложную мысль, что у двух отрезков может быть такая общая мера, которая в них не укладывается целое число раз.

42. После определения пропорциональных отрезков сделан следующий неверный вывод: «Так, если четыре отрезка а, Ъ, с и d — пропорциональны, то справедливо равенство:

Вывод должен быть такой: если четыре отрезка й, Ъ, с на удовлетворяют равенству

то эти отрезки пропорциональны.

Обратное предложение, приведенное выше, справедливо будет только в том случае, еслм дается еще следующее дополнительное условие: ad — bc\ без этого условия, основываясь только на пропорциональности отрезков а, Ъ, с и d9 нельзя выводить равенство

(а : Ъ = с : d).

43. Задача на построение отрезка четвертого, пропорционального к трем данным, сформулирована в учебнике так (1,116): «Даны три отрезка а, Ъ и с. Построить четвертый отрезок, им пропорциональный». Ясно, что при такой формулировке задача имеет не только решение xt — —, указанное в учебнике, но имеет еще два решения:

Если требуется найти только один четвертый пропорциональный отрезок к трем данным, то задачу следует сформулировать точнее так: к трем данным отрезкам а, Ъ, с построить четвертый, им пропорциональный, и притом такой, чтобы было справедливо равенство:

а : Ъ = с : jc.

44. Перед доказательством первой теоремы о подобии треугольников (I. 118; отмечается: «Требуется доказать, чтоД At ВСХ <*> Д АВСи т. е.

(подчеркнуто мной,—Я, К.). В результате доказательства мы, конечно, получим вывод, что

но утверждать заранее, что именно эти соотношения между элементами треугольников ABC и АХВСХ требуется доказать, мы не имеем никакого права; если требуется доказать подобие двух треугольников, то это означает, что требуется доказать равенство углов этих треугольников и равенство отношения их сходственных сторон, но какие именно углы равны и какие стороны пропорциональны, это выясняется путем доказательства.

45. Совершенно неудачной является следующая формулировка теоремы о свойствах подобных многоугольников (I, 124):

«Диагонали, проведенные из вершин соответственно равных углов подобных и подобно расположенных многоугольников, разбивают их на одинаковое число подобных и подобно расположенных треугольников». Впереди, на той же странице, дается понятие о подобно расположенных многоугольниках; это - многоугольники (два), которые и подобны и имеют центр подобия. Но этот момент совершенно не используется в доказательстве теоремы, данном в учеб-

нике: не указывается, например, что данные многоугольники (рис. 241, стр. 125) имеют центр подобия, и не доказывается, что каждые два подобных треугольника из тех, на которые разбиваются данные многоугольники, имеют центр подобия.

Об'ясняется это несоответствие между теоремой и ее доказательством, очевидно, тем, что авторы сформулировали не ту теорему, которую хотели сформулировать и которую на самом деле доказали; последняя должна быть выражена так: «Диагонали, проведенные из вершин соответственно равных углов подобных многоугольников, разбивают их на одинаковое число подобных (попарно) и одинаково расположенных треугольников».

Здесь выражение «одинаково расположенных» не однозначно по смыслу выражению «подобно расположенных»; первое обозначает одинаковый порядок расположения треугольников в многоугольниках (каждые два подобных треугольника расположены в обоих многоугольниках одинаково относительно остальных треугольников); второе же выражение обозначает, что каждые два подобных треугольника имеют центр подобия.

Неудачно сформулирована также и теорема, обратная предыдущей (1,125): «Если два многоугольника разбиваются сходственными диагоналями на одинаковое число подобных и подобно-расположенных треугольников, то такие многоугольники подобны».

Нельзя говорить о сходственных диагоналях двух многоугольников, относительно которых (многоугольников) мы еще будем доказывать их подобие: «подобно расположенных» надо заменить словами «одинаково расположенных» (необходимость такой замены об'яснена выше).

46. Неверно утверждение (1,132), что «теорема Пифагора есть частный случай теорем о квадрате сторон» против острого угла и против тупого угла треугольника: ведь прямой угол не является частным случаем острого или тупого угла. В действительности все эти три теоремы являются частными случаями следующей теоремы, которая их об'единяет: квадрат любой стороны всякого треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

47. Совершенно нелепым является суждение, что «условие 132>ç2 + 42 есть условие, необходимое для существования тупоугольного треугольника, но недостаточное» (1,133). Раз невозможно построить треугольник со сторонами 13 см, 9 см и 4 см, то уже в силу этого бессмысленно говорить о необходимости приведенного соотношения для существования тупоугольного треугольника. Вызывает недоумение также и следующая фраза (там же): «Оба условия а* > Ьг + сг и А<Нс вместе достаточны для того, чтобы сказать, что треугольник тупоугольный». Когда речь идет о треугольнике со сторонами a, b и с (а — наибольшая сторона) и ставится вопрос: каков вид этого треугольника по отношению к углам,— то имеется в виду, что треугольник существует, и тем самым уже мыслится, что я<£ + с, поэтому условие а1 >&2 + + с2 является и необходимым и достаточным признаком того, что треугольник тупоугольный. Конечно, можно предлагать задачу: построить треугольник, стороны которого равнялись бы трем данным отрезкам; причем отрезки заведомо могут быть предложены такими (или могут оказаться такими), что треугольник построить нельзя; педагогическая ценность рассмотрения таких случаев невозможности построения той или другой фигуры по заданным ее элементам не подлежит сомнению. Но нельзя согласиться с такой формулировкой задачи: «Определить вид треугольника, стороны которого равны 13 см, 9 см и 4 см» (I, 133).

Предлагается определить вид несуществующего треугольника. С таким же «правом» можно предложить задачу: «Определить стороны равнобедренного треугольника, периметр которого равен 50 см и основание которого в три раза больше боковой стороны».

48. Неудачна формулировка теоремы о свойстве отрезков пересекающихся хорд (I, 137), а именно: лишним является указание, что произведение отрезков любой хорды равно произведению отрезков диаметра (проходящего через точку пересечения хорд): ведь диаметр есть тоже хорда.

Лучше было бы сказать о том, что произведение отрезков каждой из пересекающихся в одной точке хорд равно разности квадратов радиуса круга и расстояния от центра до пересечения хорд.

49. Доказательство теоремы о том, что во всякий треугольник можно вписать окружность, и притом только одну, начинается следующим неверным суждением (I, 141): «Вписать окружность в треугольник — значит найти положение ее центра и длину ее радиуса». В действительности же требование вписать в треугольник окружность означает на самом деле построить окружность так, чтобы она касалась всех сторон треугольника.

50. Неудачна также формулировка (I, 145): «через вершины его (правильного многоугольника.— И. К.) можно провести описанную окружность».

Ведь понятие описанной окружности включает в себя (согласно определению) признак прохождения окружности через все вершины многоугольника; поэтому нелепой является приведенная формулировка, нелепой в том же роде, как и, например, такая формулировка: «На данном отрезке можно построить квадрат так, чтобы все стороны его были равны и углы прямые».

51. Вслед за теоремой (I, 147): «Площадь правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на апофему» — дается такое следствие: «Площадь правильного вписанного многоугольника равна половине произведения его периметра на апофему». Но ведь предложение о площади правильного многоугольника не имеет никаких исключений. Зачем же повторять его, и притом еще под видом «следствия», для случая вписанного правильного многоугольника. По такому рецепту можно из любой теоремы вывести много «следствий».

52. Не следует загромождать основной текст учебника такими вопросами (I, 150—151): «Выражение радиусов описанной и вписанной окружности, высоты и площади правильного треугольника через его сторону».

«Построение описанного квадрата и правильного описанного треугольника и выражение их сторон через радиус». Такого рода вопросам место в упражнениях.

53. Сторона правильного л-угольника (л— данное число) и его апофема (радиус вписанной окружности) являются величинами, связанными между собой функциональной зависимостью: обе они не могут задаваться произвольно; то же самое справедливо и относительно стороны правильного многоугольника и радиуса описанной около него окружности. Эти мысли следовало высказать открыто при выводе формул:

(1, 152—163).

В противном случае (при отсутствии необходимых раз'яснений со стороны преподавателя) эти формулы могут оказаться источником ложной мысли, что величины ап и R {Ьп и R) являются независимыми друг от друга аргументами функций Ьп (ап) и а2п.

Укреплению такого ложного взгляда может содействовать и следующая формулировка задачи (1,51): «По стороне правильного вписанного многоугольника и «курсив мой. — //. К.) радиусу вычислить сторону одноименного правильного описанного многоугольника».

Наряду с указанными выше формулами следовало бы дать и тригонометрические формулы:

Сразу видно, что вычисления сторон аи и Ьл по этим формулам значительно проще, чем вычисления тех же величин по формулам, приведенным выше.

Правда, без формул

нельзя обойтись в элементарной геометрии при определении числа те, так как в этом случае требуется большая точность при вычислении я% и (в учебнике даны значения с семью десятичными знаками, см. таблицу на стр. 159).

Тут же отметим, что в курс геометрии необходимо включить раздел о тригонометрических функциях острого угла (после главы о подобии фигур): материал, указанный в программе по геометрии, должен находиться и в учебнике.

54. Отметив, что при неограниченном удвоении числа сторон периметр правильного вписанного многоугольника увеличивается, а периметр описанного многоугольника уменьшается, и дав затем понятие о пределе (I, 155—158), учебник дальше утверждает: «окружность таким образок (курсив мой, —If. К.) служит пределом периметров вписанных и описанных правильных многоугольников при неограниченном удвоении числа их сторон» (стр. 158). Но этот вывод никак нельзя сделать из предыдущего изложения, так как не было отмечено, что разность между длиной окружности и периметром правильного многоугольника, вписанного или описанного, при неограниченном увеличении числа сторон последнего стремится к нулю.

55. Чем занимается геометрия? На этот вопрос учебник отвечает дважды. «Геометрия есть наука, изучающая признаки и свойства геометрических фигур» (I, 6). «Геометрия изучает форму, размеры и положение фигур, а также их свойства и зависимость между отдельными их элементами» (II, 3).

Признаюсь откровенно, я кое-чего не понимаю в приведенных формулировках. Я не знаю, в чем различие между понятием признака и понятием свойства фигуры. Например: взаимная делимость пополам диагоналей параллелограма есть признак или свойство параллелограма?

Не понимаю также, почему следует ставить рядом понятие свойства фигуры и понятие зависимости между отдельными ее (фигуры) элементами.

Разве некоторая определенная зависимость между элементами некоторой определенной фигуры (например зависимость между сторонами треугольника: в каждом треугольнике любая сторона меньше суммы двух других сторон) не может рассматриваться, как свойство этой фигуры?

Не лучше ли сказать кратко: геометрия изучает геометрические фигуры (понятие геометрической фигуры дается раньше), чем говорить так пространно и туманно — геометрия изучает: 1) форму, 2) размеры, 3) положение, 4) свойства и 5) зависимость между элементами фигур.

56. В учебнике сформулирована теорема: «Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну», и дается доказательство этой теоремы (II, 7—8). Первая часть теоремы, утверждающая, что через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, доказывается таким приемом: через две данные точки проводится прямая, через нее плоскость; плоскость вращают вокруг прямой до того момента, когда она пройдет через третью данную точку. Ясно, что этот прием вовсе не доказывает предложения о возможности проведения плоскости через три точки; наоборот, самый прием вращения плоскости может быть допущен только при наличии аксиомы о возможности проведения плоскости через прямую и любую точку вне этой прямой (или через любые три точки, не лежащие на одной прямой). Конечно, прием вращения плоскости вокруг прямой следует использовать, так как он более наглядно описывает, но отнюдь не доказывает прохождение плоскости через три точки пространства, не лежащие на одной прямой; но самый факт прохождения плоскости через любые три точки пространства надо принять за аксиому. Вторая часть теоремы, утверждающая, что через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести только одну плоскость, совсем не доказывается в стабильном учебнике, что легко заметит всякий, если внимательно прочтет «доказательство».

67. Имеются также недостатки в доказательстве теоремы о геометрическом месте точек пространства, одинаково удаленных от двух данных точек (II, 10). Без всякого основания (по крайней мере его нет в доказательстве) утверждается, что точка Е (рис. 15 на стр. 10) «лежит на поверхности, образованной вращением перпендикуляра ОС вокруг AB»; таким образом, не доказано, что образовавшаяся поверхность от вращения перпендикуляра ОС вокруг AB есть плоскость.

Для доказательства того, что плоскость, проведенная перпендикулярно к отрезку через его середину, есть геометрическое место точек, одинаково удаленных от концов отрезка, надо отдельно доказать необходимость и достаточность условия принадлежности точки к указанной плоскости, чтобы точка была одинаково удалена от концов отрезка; иначе необходимо доказать соответствующие два предложения: прямое и обратное или же прямое и противоположное.

Такой способ изложения будет содействовать более отчетливому, ясному и глубокому пониманию и усвоению учащимися разбираемого вопроса.

58. В формулировке обратной теоремы о перпендикуляре и наклонных (II, 13) имется ошибка; написано: «... 2) большей проекции соответствует и большая наклонная». Должно быть: «большей наклонной соответствует и большая проекция».

59. Две скрещивающиеся прямые определяются, как прямые, не пересекающиеся и не параллельные (II, 16). Лучше было бы определить скрещивающиеся прямые, как две прямые, которые не могут быть помещены в одной плоскости; при наличии такого определения отпадает предложение: «Через две скрещивающиеся прямые провести плоскость нельзя» (II, 16).

Предлагаемое изменение определения скрещивающихся прямых диктуется вот какими соображениями. Если мы говорим, что существуют две прямые, которые и не пересекаются и не являются параллельными (например прямые, отрезками которых являются ребра куба AXDX н Dt Сг (на рис. 25, стр. 16), го тем самым мы уже мыслим, что эти две прямые не могут быть поме цены в одной плоскости, так как две различные прямые, лежащие в одной плоскости, являются или пересекающимися или параллельными и ничем третьим по своему взаимному положению не могут быть. По существу, стабильный учебник не доказал существования двух таких прямых, которые не помещаются в одной плоскости, а «доказал» только то, что через две прямые, не лежащие в одной плоскости, нельзя провести плоскость.

Между тем, существование двух прямых, через которые нельзя провести плоскость, легко доказывается следующим образом: через прямую AB проводим произвольную плоскость Р; затем проводим прямую CD через точку С на плоскости Р и точку D вне плоскости Р.

Так как точка D принадлежит прямой CD, но не принадлежит плоскости Р, то прямая CD не лежит в плоскости Р. Докажем, что через прямые AB и CD нельзя провести плоскость. Действительно, если допустим, что существует плоскость it в которой лежат прямые AB и CD, то придем к выводу, что через прямую AB и точку С вне ее проведено две различных плоскости Р н R, а так как этот вывод противоречит предложению, что прямая и точка вне ее определяют только одну плоскость, то, следовательно, сделанное допущение неверно: следовательно, через прямые AB и CD провести плоскость нельзя.

Только после этого доказательства следует дать определение: две прямые, через которые нельзя провести плоскость, называются скрещивающимися.

60. Понятие «две прямые на плоскости» и понятие «две прямые в пространстве» — разчичные понятия. Не потому ли учебник понятию «две параллельные прямые» дает определение дважды: один раз - в планиметрии, и второй раз — в стереометрии? Приведем эти определения. «Прямые, которые расположены на одной плоскости и при своем продолжении в обе стороны не пересекаются, называются параллельными» (I, 43); «Две прямые в пространстве называются параллельными, если они, находясь в одной плоскости, не пересекаются, сколько бы их ни продолжали» (II, 16). Что же, по мысли авторов учебника, надо различать два понятия «параллельных прямых»? «Параллельные в пространстве» и параллельные... на плоскости. Но ведь принадлежность к одной и той же плоскости двух прямых есть необходимый признак их параллельности, согласно обоим приведенным определениям параллельных прямых. Следовательно, по существу мы имеем дело с одним и тем же понятием параллельных прямых, а не с двумя различными.

Во избежание недоразумений надо подчеркнуть, что понятие параллельных прямых относится к двум прямым, а не к трем и более; выражение ш параллельных прямых» для случая п > 2 обозначает, что каждые две из этих п прямых параллельны между собой. Тот факт, что три параллельные прямые в пространстве могут не являться одноплоскостными, не дает права для создания особого понятия параллельных прямых для планиметрии и особого — для стереометрии: ведь две параллельные прямые всегда мыслятся лежащими в одной плоскости на основании определения понятия параллельных прямых.

Определение параллельных прямых должно быть одно общее для планиметрии и стереометрии. Формулировка этого определения должна быть такая: две прямые (бесконечные) называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются; любые два отрезка, принадлежащие двум параллельным прямым, тоже называются параллельными. После изложенного ясно, что бессмысленно доказывать, что «через две параллельные прямые можно провести плоскость»; в доказательстве нуждается только вторая часть приведенного в учебнике предложения (II, 8), а именно: то, что через две параллельные прямые можно провести только одну плоскость.

Отметим тут же непоследовательность учебника: предложение о проведении плоскости через две параллельные прямые дается раньше (стр. 8), чем определение параллельных прямых в пространстве (стр. 16), а еще раньше (стр. 6) говорится о параллельном перемещении (в пространстве) прямой (образующей призматическую или цилиндрическую поверхность).

61. Вслед за определением параллельных прямых (в пространстве) дается теорема: «Через точку вне дачной прямой в пространстве можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой» (II, 16). Так ка.ч раньше не было доказано, что через точку вне данной прямой

в пространстве можно провести прямую, параллельную данной прямой, то это делается теперь в доказательстве указанной выше (в этом пункте) теоремы; такого несоответствия между теоремой и ее доказательством не следует допускать. Теорема должна быть сформулирована таким образом: через точку вне данной прямой в пространстве можно провести прямую, параллельную данной прямой, и притом только одну.

Доказательство второй части этой теоремы в учебнике является неполным, так как в нем нет ссылки на предложение о том, что через прямую и точку вне ее можно провести только одну плоскость; сделанная в доказательстве ссылка на аксиому параллельных прямых необходима, но не достаточна.

62. Предложение: «Прямая, параллельная каждой из двух пересекающихся плоскостей, параллельна их линии пересечения» (II, 20), дается без доказательства, хотя очевидным его никак признать нельзя: может быть, не дано доказательство этого предложения потому, что оно в учебнике рассматривается, как следствие из теоремы, непосредственно ему предшествующей (см. теорему на стр. 19, п. 3), а следствие было определено (I, 11), как суждение, непосредственно вытекающее из аксиомы или теоремы. Но в рассматриваемом случае нет этой «непосредственной» выводимости одного предложения («следствия») из другого: первое предложение опирается не только на второе, но и на третье предложение о том, что через точку вне данной прямой в пространстве можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.

63. Теорема: «Две скрещивающиеся прямые могут лежать (следовательно, могут и не лежать.— И. К.) в двух параллельных плоскостях», неудачно сформулирована. Лучше формулировать теорему так: через всякие две скрещивающиеся прямые можно провести две параллельные плоскости; или так: всякие две скрещивающиеся прямые лежат в двух параллельных плоскостях.

Очень важно эту теорему о скрещивающихся прямых дополнить тем, что для любых двух скрещивающихся прямых существует только одна пара параллельных плоскостей, в которых эти прямые лежат.

64. Не всегда наблюдается в учебнике соответствие между заглавием какого-либо параграфа и тем, что излагается в этом параграфе. Например, читаем заголовок: «Проекция точки и отрезка на плоскости» (II, 12); в тексте же этого параграфа рассматривается вопрос о проекции наклонной, а не любого отрезка. Дальше (II, 25) читаем: «Проекция прямой на плоскость». Казалось бы, что здесь прежде всего надо дать определение понятия проекции прямой на плоскость; однако ни здесь, ни раньше это определение не дано. Дается теорема: «Проекция прямой на плоскость есть прямая». Если вдуматься в изложенное «доказательство» этой теоремы, то обнаруживается, что теорема на самом деле не доказана. Доказывается, что проекции всех точек прямой на плоскость лежат на одной прямой, и из этого делается «вывод»: «Итак, проекция прямой на плоскость есть прямая»; это «итак» здесь логически не оправдано.

Можно догадываться, что под проекцией прямой на плоскость учебник подразумевает геометрическое место точек на плоскости, являющихся проекциями точек данной прямой.

Но при этом предположении не доказано учебником, что проекция прямой на плоскость есть прямая; ведь надо еще убедиться в том, что каждая точка этой последней прямой есть проекция какой-либо точки первой прямой.

65. Двугранный угол представляет собой величину особого рода, и для измерения этой величины следовало указать соответствующие меры— единицы измерения. В учебнике же по вопросу об измерении двугранного угла помещено только следующее (II, 31): «Линейный угол служит мерой двугранного угла. Двугранный угол измеряется соответствующим ему линейным углом. Если линейный угол равен, например, 40°, то и двугранный угол равен 40°». В результате такого изложения у учащегося легко может возникнуть и закрепиться ошибочная мысль, что градусы линейного угла и градусы двугранного угла — одно и то же; нельзя же надеяться на то, что учитель, об'ясняя измерение двугранного угла, обязательно догадается дополнить учебник соответствующими раз'яснениями о мерах двугранного угла.

66. Дав понятие о противоположных, прилежащих и смежных двугранных углах (II, 31), учебник тут же рядом отмечает, что линейные углы их (т. е. противоположных, прилежащих и смежных двугранных углов) тоже являются соответственно противоположными, прилежащими и смежными углами. Нельзя согласиться с этим утверждением, данным в формулировке учебника, так как это утверждение справедливо только при условии, что линейные углы во всех трех указанных случаях имеют общую вершину; ведь мы вовсе не обязаны подразумевать, что, например, линейные углы смежных двугранных углов имеют общую вершину.

67. Такие термины, как метрическое соотношение (I, 129), «ортогональная проекция» (II, 42), не об'яснены, хотя значение их не является общеизвестным.

68. Считаем лишними для учебника такие предложения: «Отношение площадей двух прямоугольников с разными основаниями и высотами равно произведению отношения их основания на отношение их высот» (I, 72); «Отношение площадей треугольников, имеющих разные основания и разные высоты, равно произведению отношения их оснований на отношение их высот» (I, 75). Эти предложения, а также аналогичные им об отношении об'емов и поверхностей некоторых тел (II, 67, 69, 73, 81, 83, 88, 90), тяжеловесны по своей формулировке и будут служить только лишним бременем для памяти учащегося, нисколько не облегчая понимание вопроса об отношении площадей, поверхностей или об'емов в тех случаях, когда основания и высоты двух прямоугольников или двух треугольников разные, когда радиусы основания и высоты двух цилиндров или двух конусов разные. Эти вопросы надо разбирать на ряде примеров, не пользуясь указанными неуклюжими предложениями; педагогически это будет целесообразнее, так как учащиеся будут разрешать вопросы по соображению, а не из основания готовых формул.

69. Способ, каким в учебнике выводится формула об'ема треугольной пирамиды (архимедов метод исчерпывания), является громоздким и в то же время не строгим (II, 70—72), так как не доказано, что

(х) — об'ем, 0 — плошадь основания, И — высота пирамиды, п — число последовательных вырезываний призм из данной пирамиды и пирамид, получающихся в остатке).

70. В заключение отметим еще один крупный недостаток разбираемого учебника. Обе части курса геометрии — планиметрия и стереометрия — изданы отдельными книгами, причем в планиметрию включено и введение в геометрию; каждая книга разделена на главы с отдельной нумерацией их в каждой книге; каждая глава разделена на параграфы с отдельной нумерацией последних в каждой главе; каждый параграф разделен на пункты с отдельной нумерацией их в каждом параграфе; многие пункты имеют еще свои подразделения с отдельной нумерацией их. Конечно, такое обилие отдельных нумераций в учебнике не может служить средством для облегчения ориентировки в изучаемом материале; наоборот, оно только мешает этой ориентировке, так как часто на одной и той же странице видишь одинаковые номера пунктов. К этому следует добавить, что нумерация глав, параграфов, пунктов совершенно не использована в учебнике для ссылок с целью содействия более прочному и систематическому усвоению всего курса геометрии: изучая какое-либо новое предложение, ученик должен обратиться и к тем предложениям, ранее изученным, на которые приходится опираться при доказательстве нового предложения. Этот крупный недочет в построении книги надо исправить. Планиметрия и стереометрия должны быть об'единены в одной книге; надо отказаться от отдельной нумерации параграфов в каждой главе и дать одну общую нумерацию для всей книги; надо установить связь между каждым доказываемым предложением и другими предложениями, которые обосновывают первое предложение, путем указания (в скобках) номеров соответствующих параграфов.

СИСТЕМА НУМЕРАЦИИ УПРАЖНЕНИЙ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧНИКАХ

В. ПАДУЧЕВ (ст. Лиски)

Существует два основных способа нумерации упражнений в задачнике:

1) общая нумерация всех задач и упражнений сборника от первой до последней страницы в порядке их расположения — в этом случае группы задач каждого раздела не имеют особой нумерации, а номер последней задачи равен числу всех задач;

2) особая нумерация упражнений для каждого раздела, в этом случае начальная задача каждой главы или раздала обозначается номером первым, а общее число задач всего сборника равно сумме последних номер- в всех его глав.

Примером первого способа является алгебраический задачник Бычкова, сборник геометрических задач Минина, многотиражный и широко известный геометрический задачник Рыбкина (обе части, издания до 1931 г. включительно, приложенный к учебнику тригонометрии Рыбкина сборник тригонометрических задач и упражнений в изданиях до 1931 г. Та же система выдержана в сборниках Киселева—«Задачи и упражнения к элементам алгебры», изд 1930 г.

Примером второго типа нумерации является алгебраический задачник Шапошникова и Вальцова, в котором каждый раздел имеет особую нумерацию.

Стабильные задачники по арифметике, алгебре, геометрии и тригонометрии перенумерованы по второй системе, где каждая глава имеет свой первый и свой последний номер.

Этот вопрос, который на первый взгляд может показаться второстепенным и несущественным, а то и совершенно безразличным, в действительности имеет большое значение для преподавателя-практика, который ежедневно на протяжении всего года оперирует с задачником, как основным и важнейшим инструментом своей работы. При таких условиях каждая деталь этого массового и необходимого инструмент приобретает громадное значение. Малейший дефект создает тормоз в работе, вызывает напрасную потерю времени и понижает качество, подобно тому, как мешает делу топор с плохо рассчитанным топорищем.

Ясно, что система нумерации задач должна быть построена так, чтобы максимально облегчить работу учителя, предоставлять ему наибольшие удобства и быть удобной для учеников.

Подходя с этой точки зрения к стабильным задачникам, следует сказать, что избранный в них способ нумерации по разделам является крайне неудачным и нерациональным.

Покажем это на конкретном примере. Построив план урока, преподаватель наметил проработку у доски двух задач на иррациональные упражнения и несколько повторных упражнений из ранее пройденного материала. Для каждого примера он должен будет писать два числа: указатель раздела или главы плюс номер самого примера. В процессе классной работы учитель все время остается связанным теми же двумя числами, так как номер задачи без указания раздела ровно ничего не означает. Элементарные психологические соображения говорят о том, что ориентировка по двум числовым указателям в два раза труднее, чем по одному. Отыскивая указанный номер по своим задачникам, ученики должны будут сначала найти в книге соответствующий раздел (первый шаг), после чего искать порядковый номер задачи (второй шаг) На практике почти всегда бывает, что кто-нибудь из учеников не расслышит или спутает раздел, попросит указать

страницу, а в задачниках разных изданий страницы, как известно, не всегда совпадают,— в результате преподаватель вынужден будет затратить время на повторные указания, пока все ученики не будут удовлетворены.

При переходе к другому разделу история снова повторяется: дорогое время тратится на пустяки. Об'являя список домашних упражнений, надо проследить за точностью довольно кропотливой записи маленькой таблички с двумя входами — указатель главы и указатель примера. Здесь также могут быть ошибки, недоразумения и требования повторных об'яснений.

Спрашивается: какими методическими соображениями оправдывается такой способ автономной нумерации по главам? Некоторым основанием этого может быть только желание провести более четкую грань между разделами, как бы один из внешних приемов систематизации материала. Но если руководствоваться этими соображениями, то любой справочник, любой учебник следовало бы нумеровать по страницам каждой главы отдельной нумерацией. Однако ни один автор этого не практикует, так как совершенно очевидно, какая путаница и неразбериха получится от такой «рационализации»

Если номера задач идут в последовательном порядке натуральных чисел, не прерываясь по разделам, все указанные неудобства сейчас же устраняются. Вместо двух чисел преподаватель и коллектив учеников будут оперировать только с одним числом, вполне определяющим данную задачу, не требующим никаких добавлений, указаний и раз'яснений. Два шага заменяются одним, отчего время сокращается в два раза, а вероятность неправильной ориентировки почти совсем исчезает.

Таким образом, система особой нумерации по каждому разделу задачника ничем себя не оправдывает, создавая большие неудобства, а часто — разнобой и потерю времени в классной работе. И, наоборот, общая система номеров для всего данного сборника в целом, без дробления по главам, разгружает преподавателя и учеников от ненужной работы, сокращает время и превращает задачник в чрезвычайно удобный инструмент, помогающий максимально уплотнить и рационализировать учебный час.

При дальнейших изданиях стабильных задачников необходимо перестроить систему нумерации (технически это не вызывает абсолютно никаких затрат), так как для преподавателей-практиков это является одним из настоятельных и жизненных вопросов сегодняшнего дня в борьбе за качество знаний и эффективное овладение основами наук.

О РЕШЕНИЯХ ЗАДАЧ В «СБОРНИКЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧ» ШАПОШНИКОВА И ВАЛЬЦОВА

В. ГОЛУБЕВ (Каменка)

Кроме опечаток в условиях и ответах задач в стабильном задачнике, появляющихся в каждом отдельном издании, в этом задачнике есть ошибки, которые остаются во всех изданиях его, как дореволюционных, так и послереволюционных. Они, очевидно, остались незамеченными автором и преподавателями.

В задаче № 43, гл. XV, ч. 2-я, издания 1933 г., спрашивается, сколько сторон в многоугольнике, если числа градусов, содержащихся в последовательных внутренних углах его, составляют прогрессию, разность которой 10°, а наименьший угол многоугольника 10<°.

В ответах даются числа 8 или 9. И действительно, из сравнения формул

получается уравнение: л2 — 17 л+ 72 = 0, имеющее корни 8 и 9.

Однако при п — 9 наибольший угол многоугольника будет 180°, т. е. две стороны его составят прямую линию. Следовательно, ответ 9 не соответствует геометрическим возможностям.

В следущем, № 44, второй ответ: 16 — опять дает наибольший угол в 195°. Получаем невыпуклый многоугольник, у которого один из углов в 180°.

Для задачи № 52 той же главы дается ответ— 1700 м, явно неверный.

Из условия задачи получаем:

14,8° =26° —0,7° (п—1). Отсюда п = 17.

Но так как а соответствует высоте местности равной 0 (у подножия горы), то высота горы будет 1 600 м

{а17 = 1600).

Для примеров № 49 и 51, гл. VIII, ч. 1-я, издания 1933 г., ответы —1 и — являются посторонними решениями, между тем, они указаны автором в ответах.

Я привел лишь небольшую часть неточностей стабильного задачника по алгебре. Эти неточности могут ввести в заблуждение учащихся и даже неопытных учащих средней школы.

ЗАДАЧИ

ПО ПОВОДУ ОДНОЙ ЗАДАЧИ

Доц. С. ЗЕТЕЛЬ (Москва)

В номере 1-м журнала «Математика и физика в школе» за 1936 г. т. Гришиным предложена следующая задача:

«Доказать, что для всякого прямоугольного треугольника имеют место соотношения

r\ + r\=r* и В\ + В\ = В\

где г, rv r2, JR, Rv Въ — радиусы вписанных и описанных окружностей данного треугольника и треугольников, на которые разбивает его высота, опущенная на гипотенузу».

Предложенная задача может быть обобщена следующим образом.

Доказать, что для всякого прямоугольного треугольника имеет место соотношение

l\ + l\ = l*t

где / — произвольный линейный элемент данного треугольника, а /4 и 1г сходственные элементы треугольников, на которые разбивает его высота, опущенная на гипотенузу. Доказательство:

(1)

Теорема доказана. Так как

где а и Ь катеты треугольника, то

(2)

Равенства (1) и (2) доказывают справедливость следующей теоремы: из произвольного линейного элемента данного треугольника и двух сход-

ственных ему элементов треугольников, на которые высота разбивает данный треугольник, всегда можно построить треугольник, подобный данному.

Доказанная теорема дает возможность решать следующие задачи на построение.

Построить прямоугольный треугольник, зная два линейных сходственных элемента, например гх и гг

Строим прямоугольный треугольник по катетам гх и

Гипотенуза его равна г, а отношение катетов равно отношению катетов данного треугольника.

Построить треугольник по двум сходственным медианам или двум сходственным биссектрисам двух треугольников, на которые разбит данный треугольник высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Решение очевидно.

Доказать следующие теоремы:

1. Из основания высоты прямоугольного треугольника под углом в 40° к гипотенузе проведены две прямые до пересечения с катетами. Доказать, что отрезок, соединяющий точки пересечения этих прямых с катетами, равен биссектрисе, проведенной из вершины прямого угла данного треугольника.

2. Сумма квадратов шести медиан, проведенных в треугольниках, на которые данный треугольник разбит высотой, опущенной из вершины прямого угла, равна сумме квадратов медиан данного треугольника, или— квадрата гипотенузы.

При желании можно дать еще ряд подобных, теорем.

В заключение считаю полезным сделать следующее методическое замечание. Быть может, следует при изучении теоремы Пифагора после обычной сокращенной формулировки (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов) дать и следующую формулировку: квадрат гипотенузы данного треугольника равен сумме квадратов гипотенуз треугольников, на которые разбивается данный треугольник высотой, проведенной из вершины прямого угла.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, помещенных в № 4 журнала «Математика и физика в школе» за 1936 г.

1, Доказать, что если стороны Д ABC связаны соотношением Ь2 -f с2 — 5а2, то две медианы, выходящие из вершин Б и С, взаимно-перпендикулярны.

Воспользуемся известными выражениями для медиан:

Вычислим стороны Д СОВ {BD и СЕ медианы)

Отсюда имеем

По условию Ь* + с2 = 5а2. Делая подстановку, получим:

Д СОВ — прямоугольный с прямым углом в О, что и требовалось доказать.

Вариант первого решения. Воспользуемся теми же формулами для медиан, представив их в таком виде:

4mb2+b2=2a2 + 2c2. (1)

Произведя ту же операцию с СО, будем иметь

Am2 +с2- 2а2 + 2b2. (2)

Сложив (1) и (2), получим

4ть2 + Am2 = 4а2 + Ь2 + с2.

Приняв во внимание данное условие, найдем

т. е. Д СОВ прямоугольный.

Были даны несколько других способов решения. Так, пользуясь формулой для квадрата стороны треугольника, доказывалось, что косинус угла между медианами равен нулю. Совершенно неправильно поступали многие, доказывая обратное положение, т. е. если медианы перпендикулярны, то имеет место соотношение 5а2 = — Ь2+ с2. Из этого положения обратное непосредственно не вытекает.

К. Агринский (Москва), С. Андреев (Торжок), В. Бобылев (ст. Бредихино), И. Бородуля (Москва), Г. Бройт (Ленинград), Н. Введенский (с. Георгиевка, Алма-Ат. обл.), А. Вепланд (Москва), Л. Вытухновский (Бердичев), А. Владимиров (Ялта), А. Волков (Чухлома), А. Воробьев (Нижнедевицк), В. Гильц (Остяко-Вогульск), Н. Гурьев (Полтава), П. Деревянко (Махач-Кала), И. Динер (с. Семеновское-Лапотное, Ив. обл.), В. Ефимов (ст. Сходня), И. Зайцев (Москва), П. Згурский (Гельмязов), Б. Каждан (Ленинград), Н. Карелина (Смоленск), М. Кекелия (Бандза), Б. Кобылин (Галич), Г. Коган (Запорожье), С. Колесник (ст. Основа), Н. Кулаков (Бугуруслан), Е. Куницин (Новоржев), П. Кутин (Царицыно-Дачное), А. Логашов (Саловка), А. Любомудров (Ленинград), Л. Маслова (Воронеж), Ш. Миневич (Кременчуг), Г. Мойса (Днепропетровск), О. Невгомонная (Винница), С. Немировский (Житомир), X. Осипенко (Гуляй-Поле), В. Павлов (Удельная), Е. Потапов (Коломна), Г. Ржавский (Фролов), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), С. Севастьянова (Москва), Н. Столяров (Порецкое), И. Судзиловский (Ленинград), А. Титов (Чебоксары), Д. Ткач и к (Шпола, Киевск. обл.), И. Цибарт (Воронеж), О. Ханчарлян (Краснодар), К. Хоменко (Черкассы), Б. Шехтман (Одесса), Я. Шор (Тула), Н. Шушкин (Ярославль), М, Яглом (Москва).

2. Показать, что задача «Построить треугольник по двум сторонам и радиусу вписанного круга» — не может быть в общем случае решена при помощи циркуля и линейки.

Пусть даны стороны а, Ь и радиус вписанного круга — г.

Имеем

S=pr=Yp (р — а) (р — Ь) (р-с). (I)

Исключим сторону с.

р — с — р — (2/7 — а — Ь) = а + Ь — р.

Подставляя в (I) и возводя в квадрат, получим:

р2г2 -р (р — а) (р — Ь) (а + Ь — р), или рГ^ — (р^а) (р — Ь) (а + Ь—р);

упростив это выражение, получим для р уравнение 3-й степени, не разрешаемое в общем виде при помощи циркуля и линейки. Вместо р мы могли бы искать сторону с, заменяя в (I) р через---. Получили бы уравнение 3-й степени относительно с.

Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), Н. Введенский (Георгиевка), А. Вепланд (Москва), А. Владимиров (Ялта), Е. Дедух (Краснодар), И. Зайцев (Москва), Г. Знаменский (Ялта), Н. Карелина (Смоленск), С. Колесник (ст. Основа), А. Логашов (Саловка), Ш. Миневич (Кременчуг), А. Орлов (Кулотино), В. Павлов (Удельная), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), П. Сергиенко (Запорожье), М. Яглом (Москва).

3. Если я, Ь, с—положительные числа, то

Имеем :

(1)

Умножая обе части (1) сначала на а, затем на b получим (я>0 и &>0 по условию):

(2)

Подобным же образом из неравенств

получим

(3) (4)

Сложив шесть неравенств (2), (3) и (4), будем иметь

Замечание: при а — Ь — с будем иметь равенство обеих частей.

Второе решение. Перенесем все члены предполагаемого неравенства в левую часть, сгруппировав их так:

Отсюда

и, наконец:

Но последнее неравенство очевидно. Из него следует и заданное неравенство.

Неправильно поступали те читатели, которые добавляли условие я>6>с. Любые два из чисел а, Ь и с могут быть равными, и неравенство остается в силе. Только для а — Ь = с оно переходит в равенство. Это ясно видно из последнего неравенства.

В. Арушанов (Москва), Г. Бройт (Ленинград), Н. Введенский (Георгиевка).

А. Волков (Чухлома), А. Воробьев (Нижнедевицк), Р. Глейзер (Калининдорф), И. Глотов (Ново-Троицкое), Е. Дедух (Краснодар), П. Згурский (Гельмязов), Г. Знаменский (Ялта), Б. Каждан (Ленинград), В. Камендровский (Оренбург), Н. Карелина (Смоленск), М. Кекелия (Бандза), Б. Кобылин (Галич), Н. Кулаков (Бугуруслан), А. Логашов (Саловка), Е. Марчевская (Харьков), Ш. Миневич (Кременчуг), А. Моисеенков (Смоленск), А. Орлов (Куломино), Е. Потапов (Коломна), Г. Ржавский (Фролов), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), П. Сергиенко (Запорожье), Н. Столяров (Порецкое), И. Судзиловский (Ленинград), О. Ханчарлян (Краснодар), Б. Шехтман (Одесса), Я. Шор (Тула).

Обозначив величину данных отношений через ky будем иметь:

Из последнего равенства предыдущей строки имеем:

К. Агринский (Москва), А. Алмазян (Ереван), С.Андреев (Торжок), И. Бородуля (Москва), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), Н. Введенский (Георгиевка), А. Вепланд (Москва;, Л. Витухновский (Бердичев), А. Владимиров (Ялта), А. Волков (Чухлома), А. Воробьев (Нижнедевицк), Р. Глейзер (Калининдорф), Г. Головяшкин (Н. Хутор), В. Гильц (Остяко-Вогульск), С. Городив (Ленинград), Н. Гурьев (Полтава), Е. Дедух (Краснодар), И. Зайцев (Москва), П; Збруев (Кр. Баки), П. Згурский (Гельмязов), Г. Знаменский (Ялта), И. Изотенков (Плавск), Б. Каждан (Ленинград), В. Камендровский (Оренбург), Н. Карелина (Смоленск), Б. Кац (Винница), М. Кекелия (Бандза), Б. Кашин (Ярославль), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (ст. Основа), Н. Кулаков (Бугуруслан), Е. Куницин (Новоржев), А. Логашов (Саловка), Ш. Миневич (Кременчуг), А. Орлов (Кулотино), X. Осипенко (Гуляй-Поле), В. Павлов (Удельная), Е. Потапов (Коломна), Г. Ржавский (Фролов), Е. Сапун-

цов и Е.Костюкова Шуга), П. Сергиенко (Запорожье), Н. Столяров (Порецкое), И. Судзиловский (Ленинград), О. Ханчарлян (Краснодар), К. ХоменкоиС. Пичкур (Черкассы), X. Хусаинов (Уфа), М. Яглом (Москва).

5. Доказать: если четное число есть сумма двух квадратов, то половина его есть тоже сумма двух квадратов,

Для того, чтобы сумма двух квадратов была четным числом, необходимо, чтобы оба квадрата были одновременно четными или нечетными.

а) Оба квадрата четны; тогда:

Последнее равенство можно представить так:

N есть сумма двух квадратов.

6) Оба квадрата нечетны:

Но мы уже видели, что

Делая подстановку в предыдущее выражение, получим

Отсюда

Второе, более изящное, решение:

Так как а и Ъ одновременно четны или нечетны, то а + Ъ и а — Ъ оба четны и —^— и а — Ъ — числа целые.

Нетрудно видеть, что при а = Ъ (или при т = п), т. е. когда данное число разлагается на два равных квадрата, одно из слагаемых в разложении ~ обращается в нуль. Значит, в этом случае положение вообще несправедливо. Например 72 = ь2 + б2. Число 36 не разлагается на два квадрата. Но, с другой стороны, 50 = 52 + + 52 и 2b разлагается на З2 + 42 (но уже не по выведенной формуле).

В. Арушанов (Москва), Г. Ахвердов (Ленинград), Ф, Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), А. Вепланд (Москва), А Воробьев (Нижнедевицк), И. Глотов (Новотроицкое), Ф. Голота (Пятихатка), Е. Дедух (Краснодар), И. Динер (Семеновское-Лапотное), А. Егоров (Демянск), В. Ефимов (ст. Сходня), И. Зайцев (Москва), Г. Знаменский (Ялта), И. Изотенков (Плавск), Б. Каждан (Ленинград), В. Камендровский (Оренбург), Н. Карелина (Смоленск), И. Кацман (Житомир), М. Кекелия (Бандза), Б. Кашин (Ярославль), Б. Кобылин (Галич), А. Логашов (Саловка), Е. Марчевская (Харьков), Е. Маторина (Москва), Ш. Миневич (Кременчуг), А. Моисеенков (Смоленск), В. Павлов (Удельная), П. Сергиенко (Запорожье), О. Ханчарлян (Краснодар), К. Хоменко и С. Пичкур (Черкассы), X. Хусаинов (Уфа), Я. Шор (Тула), М. Яглом (Москва).

6. Доказать, что если имеем пропорцию-^- = —-г и если, положим, -т = — то будет иметь место равенство:

(а + Ь)п cdn-A nqz = (с + d)nabn-Ampv.

Приведем наиболее короткое решение. Положим

(1)

Тогда будем иметь:

(2)

Разделим обе части предполагаемого равенства на (с + d)n aP-'nqz.

Получим

Принимая во внимание (1) и (2), найдем:

Полученное тождество и доказывает справедливость данного равенства.

Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), Н. Введенский (Георгиевка) А. Вепланд (Москва), А. Владимиров (Ялта), A. Воробьев (Нижнедевицк), Р. Глейзер (Калининдорф), В. Гильц (Остяко-Вогульск), С. Городов (Ленинград), Е. Дедух (Краснодар), И. Зайцев (Москва), П. Згурский (Гельмязов), Г. Знаменский (Ялта), Б. Каждан (Ленинград), Н. Карелина (Смоленск), М. Кекелия (Бандза), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (ст. Основа), Н. Кулаков (Бугуруслан), А. Логашов (Саловка), Е. Марчевская (Харьков), А. Орлов (Кулотино), B. Павлов (Удельная), Е. Потапов (Коломна, Г. Ржавский (Фролов), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), С. Севастьянова (Москва), П. Сергиенко (Запорожье), Н. Столяров (Порецкое), И. Цибарт (Во-

ронеж), О. Ханчарлян (Краснодар), К. Хоменко и С. Пичкур (Черкассы), X. Хусаинов (Уфа), М. Яглом (Москва).

7. Доказать, что произведение xyz целых чисел Ху у и z делится на 60, если х2 + у2 = z2.

а) Если одно из чисел х и у делится на 3, то и произведение xyz делится на 3. Если ни одно из чисел х и у не делится на 3, то х и у могут быть только вида:

х—Ы±\у у — ЪЬ±\.

Будем иметь

х2 + у2 = 9а2 ± 6а + 1 + 9Ь2 ±66+1,

т. е.

z2 = 9(а2 + Ь2) ± 6а ± 6Ь + 2.

Мы видим, что при всех комбинациях различных видов X и у, не делящихся на 3, для z2 должно получиться выражение Зт + 2. Но этого быть не может, так как при z = Зс и z2 делится на три; при z=Sc±_l z'2 будет вида 8ft+1« Итак, одно из чисел х и у, а, следовательно, и произведение xyz, делится на 3.

б) Если оба числа х и у четны, то произведение xyz делится на 4. Если только одно из чисел X и у четно, то оно (а, следовательно, и xyz) делится на 4. В самом деле, пусть х четно, a у и, следовательно, z нечетны. Положим:

X — 2а, у = 2b + 1, z~2c+\.

Тогда

4а2 + Ab2 + 4b + 1 = 4с2 + Ac -f 1.

Отсюда:

4a2 = 4c(c+ 1)— Ab(b-h 1).

Но из двух последовательных целых чисел одно всегда четно. Следовательно, с (с + 1), а также b(b + 1) делится на 2; все выражение в правой части, а, значит, и 4я2, делится на 8. Но это может быть только при четном а, т. е. при xt делящемся на 4.

в) Если одно из чисел х и у кратно 5, то и xyz кратно 5. Если ни одно из чисел х и у не делится на 5, то каждое из них может быть только вида 5т + 1 и 5т + 2.

Квадраты их будут равны

25т2 ± Ют +1 и 25т2 ± 20т -f 4,

т. е. X2 и у2 могут быть лишь числами вида 5k + 1 и5Н 4.

При этом X2 и у2 одновременно не могут быть одинакового вида.

Действительно, при х2 — 5а -f 1 и у2 = 5Ь -f 1 будем иметь:

z2 = 5(a + Ъ) + 2.

При дг2=5а + 4 и у2 = 56 + 4:

z2 = 5(a + b+ 1) +,3,

Но, как мы видели выше, всякое целое число, не делящееся на 5, дает в квадрате только числа вида 5k + 1 ж 5k + 4. Итак, *2 и у2 должны быть вида: одно 5ft+1, другое 5к + 4. Следовательно, сумма их, т. е. z2, а значит и z, должна делиться на 5.

Итак, выражение xyz делится на три попарно взаимно-простых множителя 3, 4 и 5, а, следовательно, делится и на их произведение 60.

Можно исходить из формулы пифагоровых треугольников, положив

x=z(a2— b2):y = 2ab; r = a2+b2f

и доказать, что произведение 2ab(a2—Ь2)(а2 + Ь*) делится на 60. Но нельзя, как делали некоторые, исходить из формулы

(/i2-l)2+(2/*)2'= (п2+ I)2,

так как эта формула не дает всех пифагоровых треугольников (например 52 + 122= 132).

Н. Введенский (Георгиевка), А. Владимиров (Ялта), А. Воробьев (Нижнедевицк), С. Городов (Ленинград), Е. Дедух Краснодар), И. Динер (Семеновское-Лапотное), В. Ефимов (ст. Сходня), Г. Знаменский (Ялта), Н. Карелина (Смоленск), И. Кацман (Житомир), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (ст. Основа), А. Логашов (Саловка), Е. Марчевская (Харьков), Ш. Миневич (Кременчуг), П. Сергиенко (Запорожье), Я. Шор (Тула), М. Яглом (Москва).

8. Решить уравнение

ах4 + Ьхг + сх2 + dx + е = 0,

коэфициенты которого связаны условиями a + b = b + c + d = d + e. Данные условия приводятся к виду:

а —с+d i\ е — Ь+Су (1)

или

d — а — с; b = е — с. (2)

Подставляя значения d и b из (2) в данное уравнение, найдем:

Отсюда:

Решив это уравнение, найдем:

Второе уравнение приводится к виду:

Или, приняв во внимание (2):

Решив это уравнение, получим:

В первоначальном тексте соотношения между коэфициентами были ошибочно даны в таком виде:

а + b — b + с + d—d+ с, (1)

и в самом уравнении вместо е стояло с.

Но и в этом случае задача решается подобно предыдущему. Приводим это решение.

Из (1) имеем:

b = 0; а = d + с. (2)

Подставляя эти значения ha в данное уравнение, будем иметь:

мы имеем:

Отсюда получаем:

или, приняв во внимание (2),

Понятно, что в силу соотношений (1) или (2) окончательный результат может быть представлен в различных видах, смотря по тому, какие из коэфициентов будем исключать.

К. Агринский (Москва), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), Н. Введенский (Георгиевка), А. Вепланд (Москва), А. Владимиров (Ялта), А. Волков (Чухлома), А. Воробьев (Нижнедевицк), Р. Глейзер (Калининдорф), В. Гильц (Остяко-Вогульск), Е. Дедух (Краснодар), И. Зайцев (Москва), П. Згурский (Гельмязов), Г.Знаменский (Ялта), И. Изотенков (Плавск), В. Камендровский (Оренбург), Н. Карелина (Смоленск), Б. Кобылин (Галич), Н. Кулаков (Бугуруслан), Е. Куницин (Новоржев), А. Логашов (Саловка), А. Любомудров (Ленинград), А. Орлов (Кулотино), Е. Потапов (Коломна), О. Радченко (ст. Фастов), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), П. Сергиенко (Запорожье), Н. Столяров (Порецкое), И. Судзиловский (Ленинград), О. Ханчарлян (Краснодар), К. ХоменкоиС. Пичкур (Черкассы), Б. Шехтман (Одесса), М. Яглом (Москва).

9. Найти истинное значение выражения,

при X = 0. Имеем:

Следовательно

К. Агринский (Москва), И. Алексеев (Казань), С. Андреев (Торжок), Г. Ахвердов (Ленинград), В. Бобылев (ст. Бредихино)5 И. Бородуля (Москва), Г. Бройт (Ленинград), Н. Бурходов (Уфа), Н. Введенский (Георгиевка), А, Вепланд (Москва), A, Владимиров (Ялта), А. Волков (Чухлома), А. Воробьев (Нижнедевицк), Р. Глейзер (Калининдорф), В. Гильц (Остяко-Вогульск), Н. Гурьев (Полтава), Е. Дедух (Краснодар), И. Динер (Семеновское-Лапотное), В. Ефимов (ст. Сходня), И. Зайцев (Москва), Г. Знаменский (Ялта), И. Изотенков (Плавск), Б. Каждан (Ленинград), В. Камендровский (Оренбург), Н. Карелина (Смоленск). Н. Каримов (Уфа), Б. Кобылин (Галич), B. Кошин (Ярославль), С. Колесник (ст. Основа), Н. Кулаков (Бугуруслан), Е. Куницин (Новоржев), А. Логашов (Саловка), A. Любомудров (Ленинград), Ш. Миневич (Кременчуг), К. Орлов (Кулотино), В. Павлов (Удельная), О. Радченко (Фастов), Г. Ржавский (Фролов), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), П. Сергиенко (Запорожье), Н. Столяров (Порецкое), И. Судзиловский (Ленинград), Г. Талейсник (м. Ярышев), А. Титов (Чебоксары), B. Ураевский (Кузнецк), О. Ханчарлян (Краснодар) И. Цибарт (Воронеж), К. Хоменко и С »Пичкур (Черкассы), М. Яглом (Москва).

10. Упростить выражение

Воспользуемся формулой:

Будем применять ее к каждой паре слагаемых в том порядке, в каком они написаны. Получим

Повторно применяем ту же формулу:

И, наконец:

Следовательно, искомая сумма равна 180°я.

Вычисления значительно упрощаются при надлежащем подборе пар слагаемых в данном выражении, именно:

В итоге опять получаем 180° п. Некоторые находили вместо arctg сумму arcctg.

Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), А. Владимиров (Ялта), А. Воробьев (Нижнедевицк), С. Городов (Ленинград), Е. Дедух (Краснодар), И. Зайцев (Москва), П. Згурский (Гельмязов), Г. Знаменский (Ялта), И. Изотенков (Плавск), Б. Каждан (Ленинград), В. Камендровский (Оренбург), Н. Карелина (Смоленск), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (ст. Основа), Н. Кулаков (Бугуруслан), А. Логашов (Саловка), И. Нагорный (Кошеватое), О. Радченко (Фастов), Г. Ржавский (Фролов), П. Сергиенко (Запорожье), Н. Столяров (Порецкое), И. Судзиловский (Ленинград), О. Ханчарлян (Краснодар), К. Хоменко и С. Пичкур (Черкассы), М. Яглом (Москва).

11. Доказать тождество 1 ! + 2! + 3! + ... + Ш)\ = 1! З2 + 4! 6* + 7!92 +... + (3/1—2)!(3/г)2.

Возьмем тождество (которое легко проверить непосредственно, вынеся за скобку в левой части общий множитель (3k— 2)1)

(3k— 2)! + (3k— 1)! -f (3k)\—{3k —2)1 (3k)*.

Давая здесь k значения 1, 2, 3...«, получим ряд равенств

1! + 2! + 3!=11 З2 4! + 51 + 6! = 4! б2

(Зл — 2)! + (Зя— 1)!+ (Зя)!=(3я — 2)! (Зл)2.

Сложив все эти равенства, получим требуемое тождество.

К. Агринский (Москва), В. Арушанов (Москва), Г. Арутюнов (Герюсы, Армения), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград;, Н. Введенский (Георгиевка], А. Воробьев (Нижнедевицк), В. Гильц (Остяко-Вогульск), С. Городов (Ленинград), Н. Гурьев (Полтава), Е. Дедух (Краснодар;, И. Динер (Семеновское), И. Зайцев (Москва), П. Згурский (Гельмязов), Г. Знаменский (Ялта), Б. Каждан (Ленинград), В. Камендровский (Оренбург), Н. Карелина (Смоленск), М. Кекелия (Бандза), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (ст. Основа), Н. Кулаков (Бугуруслан), А. Логашов (Саловка), А.Орлов (Кулотино), В. Павлов (Удельная, Е. Потапов Коломна), Г. Ржавский (Фролов), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), П. Сергиенко (Запорожье), Н. Столяров (Порецкое), О. Ханчарлян (Краснодар), К. Хоменко и С. Пичкур (Черкассы), Н. Шушкин (Ярославль),М. Яглом (Москва).

12. Решить в целых числах уравнение:

И 4-21 + 3!+. + xl=y\

Обозначив

11 + 21 + 3!+. + я! = 5л1

замечаем, что все п\% начиная с /1 = 5, оканчиваются нулем и, следовательно, все Sn, начиная с п — Ъ, будут иметь ту же цифру единиц, что и S4. Но:

54 = 11 + 21 + 31 + 41 = 33.

Следовательно, все Sn при п > 4 оканчиваются на 3. Как известно, квадрат целого числа не может оканчиваться на 3. Таким образом, в данном уравнении х<С4. Берем суммы:

S1 = 1!= 1; St- l! + 2! = 3; 53=1! + 2! + 3! = 9. Отсюда видим, что уравнение имеет решения: •*i>* = 1. У vi = ± 1 и х3,4 = 3, уз,4 = ± 3.

(Значения jc = 0 и у = 0 мы не принимаем за решения, так как обычно принимают 0!= 1.)

Некоторые, исходя из того, что в задании написано: l! + 2! + 3!+ . . .х\, полагали, что х должен быть больше трех. Это неправильно, так как строка дает лишь общий вид ряда. Так, мы пишем: найти число членов прогрессии аи аг, я3... ап, хотя п может быть равно, например, двум.

Но самое замечательное то, что громадное большинство решений упускало такую элементарную вещь, как возможность отрицательного значения для у.

Г. Бройт (Ленинград), А. Воробьев (Нижнедевицк), А. Егоров (Демянск), И. Зайцев (Москва;, Б. Кобылин (Галич), Н. Столяров (Порецкое),О. Ханчарлян (Краснодар), С. Чуканцев (Брянск).

13. Участок в форме трапеции ABCD имеет £С = 60° и ^D = 45°. Основание CD = 4а, а сторона АС = 2а.

1. Вычислить высоту, основание AB и площадь трапеции.

2. Требуется разделить эту трапецию на две равновеликие части прямой FM, проведенной из точки F, данной на CD на расстоянии CF = = —; на каком расстоянии от В находится точка М?

1) Из прямоугольного треугольника СЕ А имеем:

(1)

(2)

Из прямоугольного треугольника BKD:

(3)

Из (1) и (3) имеем:

2) Дано:

Так как высоты обеих полученных трапеций равны высоте данной, то

Следовательно, имеем

К. Агринский (Москва), И. Алексеев (Казань), И. Бородуля (Москва), Ф. Брижак (Краснодар), Н. Введенский (Георгиевка), А. Вепланд (Москва), А. Владимиров (Ялта), А. Воробьев (Нижнедевицк), Р. Глейзер (Калининдорф), Ф. Голота (Пятихатка), С. Городов (Ленинград), Е. Дедух (Краснодар), П. Деревянко (Махач-Кала), A. Егоров (Демянск), И. Зайцев (Москва), П. Збруев (Кр. Баки), П. Згурский (Гельмязов), Г. Знаменский (Ялта), Н. Изотенков (Плавск), Б. Каждан (Ленинград), В. Камендровский (Краснодар), Н. Карелина (Смоленск),М. Кекелия (Бандза), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Основа), В. Кременский (Ленинград), Е. Куницин (Новоржев), Н. Либман (Конотоп), А. Логашов (Саловка), А. Локтев (Наб. Челны, Татария), Е. Мертвецов (Семипалатинск), С. Немировский (Житомир), А. Орлов (Кулотино), B. Павлов (Удельная), Е. Потапов (Коломна], О. Радченко (Фастов), Г. Ржавский (Фролов), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), П. Сергиенко (Запорожье), Д. Смирнов (ст. Фокино), Т. Сукова (Пищаны, Харьк. обл.), О. Ханчарлян (Краснодар), В. Холопов (Носины, Воронежск. обл.), И. Цибарт (Воронеж), Б. Шехтман (Одесса), Н. Шушкин (Ярославль), А. Ячницкий (Феодосия).

14. Некоторая сумма денег, положенная в банк на 8 мес, дала 1277,80 руб. наращенного капитала; та же сумма, положенная на 15 мес, дала 1309, 75 руб. Какова положенная сумма и сколько процентов платил банк?

Алгебраическое решение. Обозначим искомую сумму через х, а число процентов, которое платит банк, чзрез у\ будем иметь, по условию,

(1)

(2)

Вычитая (1) из (2), найдем

Отсюда

(3)

Подставляя в (1), получим

(4)

Тот же результат получим, найдя -j » |qq

и подставив в (2). Из (3) находим у.

Арифметическое решение. 1) Вычислим процентные деньги за 7 мес.

1309,75 руб.- 1277,80 руб. = 31,95 руб. 2) Вычислим процентные деньги за 8 мес:

3) Найдем искомый капитал:

1277,80 руб.—36,51 руб.= 1241,29 руб.

4) Найдем число процентов (для краткости воспользуемся тройным правилом).

В тексте задачи в связи с неправильным переводом с французского было напечатано «процентные деньги» вместо «наращенный капитал», что сбило с толку многих читателей. Нижепоименованные товарищи исправили текст и дали правильное решение.

Г. Бройт (Ленинград), Н. Введенский (Георгиевка), Ф. Голота (Пятихатка), Е. Дедух (Краснодар), П. Згурский (Гельмязов), В. Камендровский (Оренбург), А. Логашов (Саловка), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), П. Сергиенко (Запорожье), Т. Сукова (Пищаны), О. Ханчарлян (Краснодар), В. Холопов (Носины), X. Хусаинов (Уфа).

15. Найти сумму:

sin X + sin Зх -f sin Ъх + . • • sin (2p— 1).

Воспользуясь формулой для разности косинусов, напишем ряд тождеств:

Сложив все эти тождества, будем иметь:

Отсюда:

Примечание.

Напомним, что подобным же путем в № 3 журнала за 1936 г. (решение задачи № 9) была выведена формула:

Отсюда легко выводится формула

Приведем еще решение, присланное т. С. Городовым (Ленинград) и дающее сразу обе формулы.

Обозначим

(1) (2)

Составим выражение:

Если положим:

то (3), по формуле Муавра, примет вид:

Тогда:

И из (4) имеем

Приравнивая вещественные части обоих выражений и коэфициенты при /, получим обе, приведенные выше, формулы.

К. Агринский (Москва), И. Бородуля (Москва), Н. Введенский (Георгиевка), A. Вепланд (Москва), А. Воробьев (Нижнедевицк), С. Городов (Ленингрд), Е. Дедух (Краснодар), А. Егоров (Демянаск) И. Зайцев (Москва) Г. Знаменский, (Ялта), И. Изотенков (Плавск), Б. Каждан (Ленинград), В. Камендровский (Оренбург), Н. Карелина (Смоленск), М(. Кекелия (Бандза), Б. Кобылин (Галич , С. Колесник (Основа), Н. Кулаков (Бугуруслан), А. Логашов (Саловка), А. Любомудров (Ленинград), Б. Марчевская (Харьков), B. Павлов (Удельная), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), Н. Столяров (Порецкое), О. Ханчарлян (Краснодар), И. Цибарт (Воронеж), Б. Шехтман (Одесса), Я. Шор (Тула), М. Яглом (Москва), А. Ячницкий (Феодосия).

16. Дан параллелограм, большая диагональ которого равна а, а стороны равны Ъ и с.

1. Вычислить площадь кольца, образованного двумя окружностями, диаметры которых равны диагоналям параллелограма.

2. Вычислить в большей окружности длину хорды, касательной к меньшей окружности.

1) По свойству диагоналей параллелограма имеем:

Площадь кольца 5 равна:

2) В прямоугольном треугольнике ОЕС катет СЕ равен половине искомой касательной ОС = АС ^ BD . = -5-, ОЕ = ——- (как радиус меньшей окружности). Имеем

Отсюда

К. Агринский (Москва), А. Алмазян (Ереван), С. Андреев (Торжок), В. Бобылев (ст. Бредихино), И. Бородуля (Москва), Ф. Брижак (Краснодар), А. Вепланд (Москва), А. Владимиров (Ялта), А. Волков (Чухлома), А. Воробьев (Нижнедевицк), Ф. Голота (Пятихатка), В, Гильц (Остяко-Вогульск), 3. Дакацьян (Ростов-на-Дону), Е. Дедух (Краснодар), П. Деревянко (Махач-Кала), И. Динер (Семеновское), А. Егоров (Демянск), И. Зайцев (Москва), П. Збруев (Кр. Баки), П. Згурский (Гельмязов), Г. Знаменский (Ялта), И. Изотенков (Плавск), Б. Каждан (Ленинград), В. Камендровский (Оренбург), Н. Карелина (Смоленск), М. Кекелия (Бандза), Б. Кобылин (Галич), Г. Коган (Запорожье), С. Колесник (Основа), Н. Кулаков (Бугуруслан), Е. Куницин (Новоржев), П. Кутин (Царицыно-Дачное), А. Логашов (Саловка), A. Локтев (Наб. Челны), А. Любомудров (Ленинград), Л. Маслова (Воронеж), Е. Мертвецов (Семипалатинск), С Немировский (Житомир), В. Павлов (Удельная), Е. Потапов (Коломна), Е. Плешкова (Лысьва), О. Радченко (Фастов), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), Н.Столяров (Порецкое), О. Ханчарлян (Краснодар), B. Холопов (Носины), И. Цибарт (Воронеж), К. Хоменко и С. Пичкур (Черкассы), X. Хусаинов (Уфа), С. Чуканцев (Брянск), Б. Шехтман (Одесса), Н. Шушкин (Ярославль), М. Яглом (Москва), И.Яворский (Москва), А. Ячницкий (Феодосия).

17. Доказать тождество:

где S, R и h суть площадь, радиус описанного круга и высоты некоторого треугольника. Пользуясь формулами:

найдем

Редакция давала ряд задач, подобных настоящей, имея целью ввести в обиход педагога такие сравнительно малоупотребительные формулы, как S— рг—-и т. п. Большое количество присланных решений показывает, что эта цель достигнута.

К. Агринский (Москва), С. Андреев (Торжок), В.Бобылев (ст. Бредихино), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), Н. Введенский (Георгиевка), А. Вепланд (Москва), А. Владимиров (Ялта), А. Волков (Чухлома), А. Воробьев (Нижнедевицк), Г. Головяшкин (Н. Хутор), С. Городов (Ленинград), Е. Дедух (Краснодар), П. Деревянко (Махач-Кала), А. Егоров (Демянск), В. Ефимов (ст. Сходня), И. Зайцев (Москва), П. Збруев (Кр. Баки), П. Згурский (Гельмязов), Г. Знаменский (Ялта), Б. Каждан (Ленинград), В. Камендровский (Оренбург), Н. Карелина (Смоленск), Б. Кац (Винница), И. Кацман (Житомир), М. Кекелия (Бандза), Б. Кобылин (Галич), Г. Коган (Запорожье), С. Колесник (Основа), Н. Кулаков (Бугуруслан), Е. Куницин (Новоржев), П. Кутин (Царицыно-Дачное), А. Логашов (Саловка), А. Любомудров (Ленинград), Л. Маслова (Воронеж), Ш. Миневич (Кременчуг), С. Немировский (Житомир), А. Орлов (Кулотино), В. Павлов (Удельная), Е. Потапов (Коломна), О. Радченко (Фастов), Г. Ржавский (Фролов), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), П. Сергиенко (Запорожье), Н. Столяров (Порецкое), И. Судзиловский (Ленинград), О. Ханчарлян (Краснодар), И. Цибарт (Воронеж), К. Хоменко и С. Пичкур (Черкассы), X. Хусаинов (Уфа), С Чуканцев (Брянск), Б. Шехтман (Одесса), Я. Шор (Тула), Н.Шушкин (Ярославль), М. Яглом (Москва), И.Яворский (Москва), А. Ячницкий (Феодосия).

18. Решить систему уравнений

Раскрыв скобки, получим

Сложим эти уравнения, затем вычтем второе из первого:

Или:

(1)

(2)

Представим эти уравнения в следующем виде:

(3) (4)

Положим

Делая подстановку в (3) и (4), получим:

(5) (6)

Исключим из (5) и (6) v, умножив (5) на 2, а (6) на Зи и вычтя затем (5) из (6):

или:

(7)

Получили уравнение 3-й степени относительно и, которое разложим на множители следующим образом:

Итак, имеем

(и — 4а) (и2 -f 4аи — а2) = 0. (8)

Отсюда

ut = 4а; uvz = а( — 2±(9)

Подставив значения и в уравнение (6), найдем соответствующие значения v.

vt=2f; t,r,=f (5T6J/S). (ю)

Итак, имеем три системы уравнений:

(11)

(12) (13)

Решаем систему (11):

Отсюда:

Решаем систему (12)

или, после упрощений,

Отсюда

Решив, аналогично предыдущему, систему (13), найдем:

Как видим, задача довольно сложна и по способ у решения и по найденному выражению для корней.

В.Бобылев (ст. Бредихино), Г. Бройт (Ленинград), Н. Введенский (Георгиевка), А. Воробьев (Нижнедевицк), Е. Дедух (Краснодар), И. Зайцев (Москва), В. Камендровский (Оренбург), М. Кекелия (Бандза), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Основа), Е. Марчевская (Харьков), Е. Сапунцов и Е.Костюкова (Луга), П. Сергиенко (Запорожье), О. Ханчарлян (Краснодар), Б. Шехтман (Одесса), М. Яглом (Москва).

19. Решить уравнение:

Имеем

Следовательно:

или

Отсюда:

При помещении этой легкой задачи имелось в виду решение ее без таблиц логарифмов, т. е. предполагалось знание наизусть lg 2 и lg 3.

И. Алексеев (Казань), А. Алмазян Ереван), Г. Ахвердов (Ленинград), В. Бобылев (Бредихино), И. Бородуля (Москва), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), Н. Введенский (Георгиевка),А. Владимиров (Ялта), А. Волков (Чухлома). А. Воробьев (Нижнедевицк), Р. Глейзер (Калининдорф), В. Гришин (Урюпинск) У. Дакацьян (Уфа), Е. Дедух (Краснодар), И. Динер (Семеновское), И. Зайцев (Москва), П. Збруев (Кр. Баки), П. Згурский (Гельмязов), Г. Знаменский (Ялта), И. Изотенков (Плавск), Б. Каждан (Ленинград), В.Камендровский (Оренбург), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Основа),В. Кременский (Ленинград), П. Кутин (Царицыно-Дачное), А. Логашов (Саловка), А. Любомудров (Ленинград), Ш. Миневич (Кременчуг), А. Орлов Кулотино), А. Пихтильнов (Никитское), Е. Потапов (Коломна), О. Радченко (Фастов), Г. Ржавский (Фролов), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), П. Сергиенко (Запорожье), Н. Столя-

ров (Порецкое), О. Ханчарлян (Краснодар), И. Цибарт (Воронеж), X. Хусаинов (Уфа), Е. Черник (Москва), С. Чуканцев (Брянск), Б. Шехтман (Одесса), Я. Шор (Тула),М. Яглом (Москва), И. Яворский (Москва), А. Ячницкий (Феодосия).

20. Не решая уравнения

2x2—7x + S — 0,

составить такое возвратное уравнение 4-й степени, чтобы два его корня равнялись корням данного, а два другие корня равнялись бы их обратным величинам.

Решим задачу в общем виде.

Пусть дано квадратное уравнение:

ах2 + Ьх + с = 0, (1)

корни которого, по теореме Вьета, удовлетворяют соотношениям:

Корни, обратные данным, т. е, — и — , удовлетворяют соотношениям:

Следовательно, — и — будут корнями уравнения

или:

сх2 + Ьх + а = 0. (2)

Можно было рассуждать еще проще: чтобы получить уравнение, корни которого обратны по величине корням данного, достаточно заменить в данном уравнении х через -i- и освободить уравнение от знаменателей. Получим опять уравнение (2). Перемножим уравнения (1) и (2).

(ах2 + Ьх + с) (сх2 + Ьх + а) = асх* + +Ь (а + с) Xs + (а2+Ь2+с2) х2 -f Ь (а+с) х + ас. (3)

Получили возвратное уравнение, корни которого: xv xv -L и -L В применении к данному уравнению а = 2; Ь m — 7; с=3. Подставляя эти значения в (3), найдем

2,3jc4-- 7 (2 -f 3) хг 4- (4 + 49 + 9) х2 — — 7 12 4- 3) X + 2,3 = 0,

или

блг* - 35jc3 + 62л:2 — 35* + 6 = 0.

К. Агринский (Москва), С. Андреев (Торжок), И. Бородуля (Москва), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), Н. Введенский Георгиевка), А. Вепланд (Москва), А.Владимиров (Ялта), А.Волков (Чухлома), А. Воробьев (Нижнедевицк) В. Гильц (Остяко-Вогульск), С. Городов (Ленинград), В. Гришин (Урюпинск,, Е. Дедух (Краснодар), И. Динер (Семеновское), И. Зайцев (Москва), П. Згурский (Гельмязов), Г. Знаменский (Ялта), И. Изотенков (Плавск), Б. Каждан (Ленинград), В. Камендровский (Оренбург), Н. Карелина (Смоленск), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Основа), Н. Кулаков (Бугуруслан), А. Логашов (Саловка), А. Лучко (Балта), А. Любомудров (Ленинград), Ш. Миневич (Кременчуг), В. Павлов (Удельная), Е. Потапов (Коломна), М. Разумовская (Ленинград), Г. Ржавский (Фролов), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга, П. Сергиенко (Запорожье), Н. Столяров (Порецкое), О. Ханчарлян (Краснодар), X. Хусаинов (Уфа), Я. Шор (Тула), М. Яглом (Москва)»,

ЗАДАЧИ

1. Решить в целых и положительных числах уравнение

X2 — у2 4- 6у = 44.

И. Чистяков, Москва-

2. Решить уравнение

х^ + 2ал4 + а2хг 4- а3 = 0.

И. Чистяков, Москва.

3. Решить уравнение

(X 4- I)2

М. Яглом, Москва.

4. Доказать, что для всякого треугольника

cosA 4- cosß 4- cosC — 1 =

А. Яглом, Москва.

5. Доказать, что задача: «Построить равнобедренный треугольник по высоте и биссектрисе, проведенным к боковой стороне», не разрешима циркулем и линейкой.

М. Яглом, Москва.

6. Решить систему уравнений;

А. Вепланд, Москва (займств.)

7. Показать, что

при п целом делится на 24.

А. Вепланд, Москва (заимств.).

8. Показать, что если в треугольнике а + с = = nb, то

где а, ß и 7 — углы треугольника, г — радиус вписанного, а ра, рь и рс — вневписанных кругов.

А. Вепланд, Москва (заимств.)

9. Решить уравнение:

X* — 4лс8 4л:2 + Sx —12 = 0.

П, Савчук, г. Скопин.

Ю. Решить в целых числах уравнение: X* — ху2 + Зх2 + у2 + Ьху — 6у — 1 = 0.

И. Изотенков, Плавск.

11. 1°. Найти две дроби-— и равные — и такие, что я + с = N = 63. Всегда ли задача возможна? Найти условие, которому должно удовлетворять N для возможности задачи.

2°. Из дробей, равных —, найти такие пары дробей, что знаменатель одной равен числителю другой.

12. Найти четное четырехзначное число, цифры которого возрастают слева направо, и притом такое, что если прибавить к нему число, составленное из тех же цифр, но в обратном порядке, то полученная сумма делится на 140.

13. На катетах AB и АС прямоугольного треугольника ABC вне его построены квадраты ABDE и ACFÔ На гипотенузе ВС построен (вне данного треугольника) равносторонний треугольник ВСН. Точки F, С и H лежат на одной прямой. Гипотенуза ВС — а. Найти площадь пятиугольника DEGFH.

14. Дан прямоугольник ABCD, основание и высота которого равны: AB — 84 м, ВС = 72 м. Движущаяся точка, начиная от А, проходит последовательно AB, ВС, CD и DA равномерным движением со скоростью 7 м;сек.

1°. Определить положение M точки через 21 сек. после начала движения.

2°. Через сколько секунд, двигаясь отМ, точка будет на расстоянии (по прямой линии) 90 м от А?

15. Найти такое трехзначное число, что:

1°. Приближенный квадратный корень из него с точностью до 1 равен 21 (с недостатком).

2°. Если его разделить на сумму его цифр, то в частном получим 36 и в остатке цифру его сотен.

16. Построить прямоугольный треугольник ВАС (прямой угол в А), зная длину BD = / биссектрисы угла В и длину m отрезка DC, который биссектриса отсекает на стороне АС.

17. Решить уравнение:

\f 97 — X + ух = 5.

18. Построить Д ABC, зная радиус описанного круга, биссектрису / угла А и разность В — С = I углов при основании.

19. Доказать неравенство

a* + b*>a*b + ab\

где а и b действительные числа.

20. Решить уравнение

tg8* -f sec3* =: 3.

ОТ РЕДАКЦИИ

Ввиду продолжающегося поступления заявлений со стороны читателей и большого неудобства для редакции существующего порядка засчитывания решений редакция доводит до сведения читателей, что с настоящего номера устанавливается твердый срок для присылки решений задач, помещенных в журнале. Будут просматриваться и засчитываться решения, присланные в течение четырех с половиной месяцев, считая со дня подписания к печати соответствующего номера журнала (что дает четыре месяца со дня выхода журнала из печати). За дату берется именно момент подписания журнала к печати потому, что эта дата печатается в журнале в выходных данных (внизу под оглавлением или на последней странице).

При обнаружении дефекта в данном номере журнала просим прислать его для обмена по адресу: Москва, Орликов пер. 3, комн. 228, Отдел периодических изданий Учпедгиза