МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА В ШКОЛЕ

6

1936

НАРКОМПРОС

УЧПЕДГИЗ

УПРАВЛЕНИЯ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ СБОРНИК

№ 6

НОЯБРЬ 1936 ДЕКАБРЬ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

Содержание

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

О педологических извращениях и о наших задачах . . 3

А. А. Смирнов — Работы Торндайка по психологии математики и педологические извращения в школе 6

Проф. Н. Н. Иовлев — Очерки по геометрии Лобачевского .................... 15

М. Б. Гельфанд — Теория иррациональности у Эвклида 26

П. А. Карасев — Полуправильные многогранники, получаемые от сечения куба и изготовление их из разверток .................. 35

A. Эльяшевич — О спрямлении окружности...... 55

B. Скрылев — Теорема тангенсов........... 55

A. А. Покровский — Метод теневого проектирования при демонстрации опытов по физике........ 56

МЕТОДИКА

B. К. Матышук — О преподавании начальной части тригонометрии................. 67

В. В. Репьев — Геометрические места точек в программах школы................... 72

Проф. В. Фурсенко — О третьем признаке равенства треугольников................ 82

ИЗ ОПЫТА

В. Попова —О преподавании геометрии........ 85

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

Н. Н. Разумовский — Замечания педагогов по журналу «Математика и физика в школе»........ 88

От редакции . . . ................. 90

ЗАДАЧИ

Решение задач по математике............. 91

Задачи по физике.................. 103

Решение задач по физике............... 103

Задачи по математике................. 108

О конкурсе решений задач за 1935 г.......... 109

Содержание журнала за 1936 год........... 110

ОПЕЧАТКА

В № 2 журнала в содержании и в заголовке на стр. 101 замечена досадная опечатка. Напечатано: Д. Васильев, следует читать: Д. Важенков.

Отв. ред. А. Н. Барсуков, зам. отв. ред. А. Г. Калашников. Отв. секр. М. М. Гуревич. Техредактор В. С. Якунина.

Адрес редакции: Москва, Орликов, 3. Учпедгиз, Периодсектор, журн. «Матем. и физика».

Сдано в производство 17/X 1936 г. Подписано к печати 28/XI 1936 г.

Учгиз № 8603. Об'ем 7 п. л.

в 1 п. л. 74000 вн. Бумага 72 X Ю5/4*

Зак. 1386.

Тираж 30000.

Уполномоченный Главлита № Б —32948

18-я типография треста «Полиграфкнига». Москва, Шубинский,« 10.

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

О ПЕДОЛОГИЧЕСКИХ ИЗВРАЩЕНИЯХ И О НАШИХ ЗАДАЧАХ

I

Постановлением ЦК ВКП(б) от 5 сентября 1931 г. был нанесен уничтожающий удар по антиленинской теории «отмирания школы». Была разоблачена антимарксистская сущность теории, претендовавшей на роль «последнего слова» именно марксистской педагогики, фактически же являвшейся слепым отпечатком буржуазных классовых педагогических теорий Западной Европы и Америки.

Этим постановлением были указаны конкретные пути, по которым должна итти дальнейшая работа по укреплению подлинно-советской школы, школы, обеспечивающей воспитание «поколения, способного окончательно установить коммунизм» [программа ВКП(б)]. Эти пути заключаются в борьбе с «коренным недостатком» школы, в преподавании школой точно очерченного круга знаний, в ликвидации «методического прожектерства» (в особенности в виде метода проектов), в последовательной и подлинной политехнизации школы, в «изучении и обобщении опыта, накопленного практическими работниками школы» и т. д.

И все же, несмотря на ясность и конкретность этих указаний, несмотря на разгром теории «отмирания школы», в практике своей работы школа продолжала отставать от тех требований, которые пред'являет к ней пролетарское государство, строящее социализм.

Это отставание имело своими корнями прежде всего те остатки антиленинской теории «отмирания школы», которые, несмотря на ее разгром, удержались в практике школы, оказывали свое давление на всю ее работу, тормозили рост и продвижение советской школы. Потребовался ряд новых постановлений ЦК ВКП(б), чтобы окончательно выкорчевать эти остатки, окончательно освободить школу от их пут.

Теория «отмирания школы», последовательно проводя линию ликвидации школы, ставила во главу угла в преподавании так называемый «метод проектов», отрицая необходимость правильного расписания, отрицая урочную форму преподавания, отрицая необходимость твердых программ и т. д. Постановление ЦК ВКП(б) от 25 августа 1932 г. восстанавливает урок, как «основную форму организации учебной работы в начальной и средней школе», дает ряд указаний по улучшению программ, ликвидирует остатки «метода проектов», сохранившиеся в виде так наз. «бригадно-лабораторного» метода.

По теории «отмирания школы» ученик обучается в процессе своего соприкосновения со «средой», с производством, с окружающей природой. Учебник или совсем не нужен или, в крайнем случае, должен быть рассыпным, непрерывно меняющим свое содержание. Постановление ЦК ВКП(б) от 12 марта 1933 г. восстанавливает роль учебника, как основного руководства для ученика, руководства, в систематической форме излагающего основы науки, охватывающего полностью все содержание программы по данному предмету.

Выдвигая на первый план роль «среды», «окружения» в деле «формирования ученика», теория «отмирания школы» проводила стену между деревенской и городской школой, считая их существенно разными типами школы, тем самым устанавливая «непреодолимость» противоположности между городом и деревней. Постановление ЦК ВКП(б) от 16 мая 1934 г. устанавливает для всего СССР «общие для всего СССР типы общеобразовательной школы — начальная школа, неполная средняя школа, средняя школа».

Теория «отмирания школы» во всем процессе обучения последнее место отводила педагогу, недопустимо снижая его роль в организации всей учебно-воспитательной работы, делая ставку на «отмирание педагога».

Болтая о «педагогике советов», «педагогике профсоюзов» и т. п., теория «отмирания школы» фактически ликвидировала педагоги-

ку, как науку, принижала роль методики, изучения опыта педагога.

ЦК ВКП(б) во всех перечисленных постановлениях выдвигал на первое, место роль педагога, как центральной фигуры педагогического процесса, уделяя особое внимание вопросу подготовки кадров, вопросу повышения их методической квалификации, вопросу изучения опыта школы.

Постановлением ЦИК СССР от 10 апреля 1936 г. устанавливается пожизненность почетного звания учителя советской школы.

Последнее постановление ЦК от 4 июля 1936 г. «о педологических извращениях в системе Наркомпроса» является завершающим актом, восстанавливающим в правах педагогику и педагога.

II.

В лице «педологов» в деле «педологизации школы» мы имеем последний оплот теории «отмирания школы», последний уголок, в котором пытались удержаться обломки этой разбитой теории.

Среда, как «основной воспитатель», превратилась в «педологической теории» в основной фактор, определяющий психику, способности ученика, — второе определение по существу недалеко от первого. Без всякой критики переносится в нашу советскую действительность буржуазная классовая теория «среды», теория, ставящая себе совершенно откровенно цель доказать «факт» более низкой психики, более низкой одаренности детей «низших классов» и «низших рас». Этот тезис буржуазии превратился у наших педологов в закон «фаталистической обусловленности» судьбы детей биологическими и социальными факторами, влиянием наследственности и какой-то неизменной среды. Этот глубоко реакционный «закон» находится в вопиющем противоречии с марксизмом и со всей практикой социалистического строительства, успешно перевоспитывающего людей в духе социализма и ликвидирующего пережитки капитализма в экономике и сознании людей» (из постановления ЦК ВКП(б) от 4 июля 1936 г.).

Недооценка руководящей роли педагога, недоверие к педагогу выдвинули «педолога», как центральную фигуру в школе, которому были передоверены «важнейшие функции по руководству школой и воспитанию учащихся». «На педологов были возложены обязанности комплектования классов, организации школьного режима, направление всего учебного процесса» с точки зрения педологизации школы и «педагога», определение причин неуспеваемости школьников, контроль за политическими воззрениями, определение профессии оканчивающих школы, удаление из школ неуспевающих и т. д.

Снижалась роль учителя, снижалась и его ответственность за надлежащую постановку обучения, за качество знаний учащихся. Отсюда пренебрежение к педагогической науке, к повседневному изучению и разработке «разностороннего опыта многочисленной армии школьных работников».

Мы видим, таким образом, в «педологической» теории и практике все те элементы, которые входили составной частью в теорию «отмирания школы».

Методология работы педологов усугубляла вред, наносимый педологами школе. Голый статистический подход к выявлению способностей ученика, к изучению состояния его знаний; дождь тестов, «бессмысленных и вредных анкет»; статистическая обработка полученных в результате всего этого в корне порочных данных; выделение на основе их абстрактного типа «среднего» ученика, отнесение всех учащихся, не укладывающихся в рамки этого «среднего» ученика к разряду «дефективных», «социально-запущенных» и пр.; насаждение сети «специальных» школ — вот методы и результаты хозяйничанья педологов в школе.

ЦК ВКП(б) твердо ставит предел этому хозяйничанью. «Восстановить полностью в правах педагогику и педагога» — вот, что требует Ленинский Центральный комитет партии.

Органам народного образования, научно-исследовательским учреждениям и работникам в области педагогики и методики, руководству школами, всем педагогам предстоит важнейшая работа по реализации этого исторического постановления, поднимающего на новую высшую ступень советскую школу: работа по окончательной ликвидации остатков лжемарксистских, педологических теорий и их проявлений в практике школы; работа по созданию подлинно-марксистской научной педагогики на основе изучения массового опыта советской школы и советского педагога.

III

Несомненно, что преподаватели математики и физики так же чувствовали на себе, на своей работе гнет «педологов», как и преподаватели других предметов. Так же отводилась им второстепенная и третьестепенная роль в определении способностей и знаний ученика, в его пригодности к обучению в «нормальной»

школе, к переводу в следующий класс. Так же разрешались эти вопросы педологическим наскоком, педологическим «молниеносным» исследованием, с игнорированием результатов ежедневных наблюдений ученика педагогом в процессе преподавания, проверки домашних работ, в кружках и т. п.

Но в математике и физике больше, чем в других предметах, сказалось влияние педологических «методов» и именно в вопросах учета и анализа знаний учащихся. Именно здесь получили наибольшее распространение характернее для педологии искусственные методы учета знаний в виде всякого рода «стандартных» контрольных работ, тестов, измерителей и т. п. И здесь же наиболее широко применяли также характерные для педологов чисто статистические методы обработки полученных данных—вывод процентов, средних норм успеваемости и т. д. Отсутствовал качественный подход к знаниям ученика, анализ причин неуспеваемости, имело место сведение под одну норму всех учеников, имеющих «одинаковый показатель успешности», из каких бы данных этот «показатель» ни складывался.

Этому внедрению педологических «методов» учета знаний именно в математику немало способствовало культивирование некоторыми нашими «теоретиками» авторитета американского «теоретика» Торндайка, усиленная пропаганда ими его идей, перевод и распространение его книг, без достаточной марксистско-ленинской критики проповедуемых им взглядов. Именно эти его книги, его выводы в них построены на квази-научной методике тестов, где формалистические методы вариационной статистики заменяли собой живое исследование знаний конкретных учащихся, где с помощью этих методов устанавливалась обусловленность способностей учащихся средой и расовой принадлежностью*.

Преодоление «авторитета» Торндайка, разоблачение классово - враждебной сущности его теории для советской школы составляет неотложную задачу для научно-исследовательских работников в области педагогики и в частности для нашего журнала.

IV

Педологические извращения в области постановки преподавания математики и физики, в особенности в области учета знаний учащихся, нашли некоторое отражение и на страницах нашего журнала. Можно назвать ряд статей, помещенных в журнале, в которых имеется налицо «педологический» подход к методам преподавания, к ученику, к анализу его знаний.

Так в статье проф. А. Г. Калашникова «Сравнение общеклассных занятий и самостоятельных лабораторных работ по физике на примере темы «переход электрической энергии в механическую» («М. и Ф.», № 5 за 1935 г.) мы имеем дело с экспериментом, в корне неверно поставленным как по своим исходным пунктам (искусственное обособление и противопоставление двух различных методов на теме, где как раз должно быть применено «все разнообразие методов»), так и по методам его проведения (начальные и конечные «измерители», т. е. схемы с дальнейшим чисто статистическим подсчетом процентов, средних и т. п.). Понятно, что неверно поставленный и проведенный эксперимент и не мог дать каких-либо правильных и методически-ценных выводов, как то показывает и самая статья.

Совершенно такой же характер носит и ту же тему (сравнение методов) разрабатывает, а потому и теми же недостатками страдает статья т. Е. Петрова «Опытная проверка эффективности методов преподавания физики в средней школе», помещенная в № 2 «М. и Ф.» за 1936 г. Статья Е. Игнатьева «Анализ причин неуспеваемости по математике в средней школе», давая ценный материал в виде высказываний учащихся о причинах их неуспеваемости, имеет в своей основе ясно выраженную «педологическую окраску». Уже привлечение в качестве материала (наряду с другими действительно ценными) «педологического изучения отстающих учеников» говорит за это. Подтверждает это также подтягивание в качестве мотива неуспеваемости—«социальной запущенности» ученика, ссылки на «авторитет» Торндайка и пр.

Пресловутые «измерители» нашли свое место на страницах журнала в статьях проф. А. Г. Калашникова—«Систематическое применение измерителей успешности по физике» (№ 4 за 1934 г.) и Е. Загоскиной— «Измеритель знаний учащихся по теме «Целые числа».

Ставя во главу угла повышение научной и методической квалификации малоопытного педагога путем подбора нужного и полезного для него материала по разделам научному и методическому, журнал отводил значительное место «опыту школ» — описанию удачных

* Подробнее о Торндайке см. в следующей статье этого номера.

приемов преподавания, постановке опытов отдельных преподавателей по отдельным вопросам математики и физики. Но чего нехватало в журнале, это — целостного описания и анализа опыта лучших школ и лучших педагогов нашей страны, т. е. именно того материала, на основе которого и может быть создана настоящая, обогащенная опытом, исходящая из опыта теория методики преподавания. На эту сторону в дальнейшем должно быть обращено особое внимание. Конечно, это не говорит об отказе и от освещения отдельных достижений школы и педагога, для чего попрежнему должно быть оставлено место в журнале.

Наконец совсем не освещались в журнале вопросы, непосредственно связанные с учащимся, с методами его работы, с его достижениями, с его борьбой за качество знаний, не было показа лучших образцов работы ученика в виде хотя бы лучших письменных работ и т. п. Этот пробел также должен быть восполнен.

Мы призываем педагогов помочь редакции осуществить эти задачи путем присылки материалов, освещающих их опыт, опыт других учителей, школы в целом, материалы, освещающие работу ученика — лучшие домашние тетради, контрольные работы, доклады в математических кружках и пр.

РАБОТЫ ТОРНДАЙКА ПО ПСИХОЛОГИИ МАТЕМАТИКИ И ПЕДОЛОГИЧЕСКИЕ ИЗВРАЩЕНИЯ В ШКОЛЕ

А. А. СМИРНОВ

Постановление ЦК ВКП(б) о педологических извращениях в системе наркомпросов устанавливает, что эти извращения могли возникнуть «лишь в результате некритического перенесения в советскую педагогику взглядов и принципов антинаучной буржуазной педологии». Американский психолог Торндайк занимает одно из первых мест в ряду тех «авторитетов», труды которых особенно широко «изучались» нашими «педологами» и педагогами и путем переводов широко пропагандировались среди массовых работников школ (на русский язык переведено 6 основных работ Торндайка по вопросам психологии обучения)*. При этом, возражая Торндайку на словах, наша «педология» фактически (в теории и в практике) была, несомненно, в плену у него, что ясно вытекает из сопоставления вскрытых ЦК педологических извращений с основными положениями Торндайка, а именно:

1. Категорически осужденный ЦК, как глубоко реакционный, «главный закон» педологии—закон фаталистической обусловленности судьбы детей биологическими и социальными факторами, влиянием наследственности и какой-то неизменной среды, у Торндайка является также одним из основных законов. Свое учение о способностях и «одаренности» Торндайк развивает, исходя из ассоциационистических позиций. Все различия в интеллекте он сводит к различиям в количестве имеющихся у людей механистически понимаемых им связей или ассоциаций. «Человек, интеллект которого выше, или больше, или лучше, чем интеллект другого, отличается от него в конечном анализе не новым сортом физиологического процесса, но просто большим числом связей обычного сорта» («Измерение ума», американское издание, стр. 415). Казалось бы, что если интеллект характеризуется количеством связей, то нет еще никаких оснований, исходя из констатации отсутствия каких-либо связей в данный момент, судить об ограниченных возможностях дальнейшего развития интеллекта. Изменения среды, воспитание человека, вся его последующая практика, его планомерная и сознательная работа над самим собой — все это может решительно изменить количество имеющихся у него связей и поднять интеллект его на совершенно иную, значительно более высокую ступень. Но Торндайк не делает этого вывода, а считает вполне законным, исходя из уровня интеллекта в данный момент, безоговорочно судить о перспективах его дальнейшего раз-

* 1) «Принципы обучения, основанные на психологии».

2) «Психология арифметики».

3) «Новые методы преподавания арифметики».

4) «Вопросы преподавания алгебры» (в подлиннике — «Психология алгебры»).

5) «Психология обучения взрослых».

6) «Процесс учения у человека».

вития. Значительное количество тестов, предлагаемых Торндайком, предназначено как раз именно для прогностических целей, для суждения не только о «настоящем» уровне развития тех или иных способностей, но и о «будущем» этого развития. Тем самым обнаруживается, что чисто механистическая концепция Торндайка, по существу, является фаталистической, и в дальнейшем ее развитии Торндайк постоянно ссылается на неизменные врожденные способности, как на основу индивидуальных различий между людьми. «Суть нашей доктрины,—говорит он в той же работе «Измерение ума», — в том, что, поскольку речь идет о прирожденных свойствах, интеллект, способный к высшим формам мышления и приспособления, отличается от интеллекта имбецила только способностью (подчеркнуто мною. — А. С.) к образованию большего количества связей».

В работах по математике фаталистическая концепция интеллекта и способностей нашла у Торндайка весьма яркое выражение. В «Психологии алгебры» он прямо утверждает, что «подавляющая часть разницы в успешности занятий отдельных учеников алгеброй обусловливается, вероятно, различием в их прирожденных способностях» (стр. 184). Поэтому, исходя из данных, характеризующих умственное развитие учащихся в данный момент, Торндайк делает прогностические выводы о возможности усвоения этими учащимися курса алгебры в дальнейшем. «Конечно,— говорит он (стр. 30), — интерес к занятиям и усердие могут до некоторой степени компенсировать способность к занятиям алгеброй ; бесспорно также, что особая способность к математике может компенсировать недостаток общего развития, измеряемого при помощи альфа-теста (один из тестов для «измерения» умственного развития.—Л. С). Новее же ученик, который обнаруживает общее развитие, не достигающее отметки 100 в испытаниях при помощи альфа-теста, не будет в состоянии понять ни символики, ни обобщений, ни доказательств, свойственных алгебре. Возможно, что он формально пройдет курс алгебры, но действительно изучить и усвоить последнюю он не сможет». «Это,— замечает тут же Торндайк, — относится, примерно, к половине (точнее 56%) учащихся, поступающих в настоящее время в школы повышенного типа» (стр. 30).

Если учесть, что, по заявлению Торндайка, «ученики школ повышенного типа принадлежат, за редкими исключениями, к той части населения (?!), которая обладает предрасположением к абстрактному мышлению» (стр. 127)

и принять во внимание, что по данным Торндайка в школах повышенного типа обучается только одна треть детей соответствующего возраста (стр. 21), то не трудно понять, что возможностями изучения алгебры Торндайк наделяет только одну шестую часть детей определенного возраста. Таким образом, даже из избранной «части населения» (не трудно догадаться, какой именно) он считает необходимым произвести отбор «наиболее избранных» (руководствуясь, конечно, тем же признаком отбора) и только их он считает достойными среднего образования.

О том, какую именно «часть населения» Торндайк считает «избранной» и имеющей предрасположение к абстрактному мышлению, можно судить по тому, как заботливо разделяет он в одной из других своих работ («Психология обучения взрослых») «показатели» умственного развития «белых» и «цветных» испытуемых, приводя в таблице 16 якобы более высокие показатели первых*. Наряду с этой «расовой» чепухой классовое и политическое лицо Торндайка в той же работе хорошо вскрывается и теми «надеждами», которые он возлагает на организацию обучения взрослых: «Если часть школьного обучения была бы продолжена на зрелые годы, при организации этой части обучения вероятно была бы тенденция организовать специальные группы по классовому и экономическому признаку» (стр. 156). В конце книги, выражая благодарность (буржуазии?) «за свой хлеб» (стр. 162) и удивляясь, «как весь наш современный государственный аппарат... не взрывается от страстей, которые он воспитывает в своих членах», Торндайк старается утешить своих хозяев — американскую буржуазию — тем, что, по его мнению, «в вечернем обучении взрослых он готов видеть симптом социального оздоровления» (читай: средство отвлечения внимания пролетариата от классовой борьбы).

Сходные с «Психологией алгебры» рассуждения о «врожденных» способностях имеют место и в «Психологии арифметики»: «Различие, обнаруженное в способностях детей одних и тех же групп в одном и том же городе, в весьма значительной степени обусловливается различием их прирожденных способностей и естественных качеств. Если бы каким-либо чудом дети... получили все совершенно одинаковое воспитание с момента

* Аналогичные, тоже якобы научные «данные» приводятся Торндайком в его статье «Mental Discipline in High school studies» («Journal of educat. Psychology» XV, 1, 2; 1924 г.).

рождения до момента обследования, то все же у них были бы обнаружены весьма большие колебания в способности к арифметике, вероятно, не меньшие (!), чем наблюдаемые в настоящее время» (стр. 296). Здесь же Торндайк ссылается на свое исследование близнецов, обнаружившее, что близнецы дают гораздо более близкие результаты, чем дети той же семьи, различающиеся по возрасту на два или три года, причем «у более юных близнецов (в возрасте 9—11 лет) обнаруживается столь же большое совпадение в результатах, как у более взрослых близнецов (в возрасте 12—15 лет), хотя в последнем случае сходство в условиях изучения арифметики имеет вдвое большую продолжительность» (стр. 297). О степени распространенности математической способности Торндайк высказывается следующим образом: «Большинство людей обладает ею в умеренном (подчеркнуто мною.—А. С.) количестве» (стр. 302).

По существу те же самые положения имеют место и в «Новых методах обучения арифметике», где Торндайк фактически проводит «теорию предела»: «Если тысяче учеников на шестом году обучения предложить проделать с начала до конца сто задач..., то некоторое количество учеников сможет решить все сто задач, некоторые же участники не смогут решить более пятидесяти, хотя бы они старались добиться этого сотни часов (подчеркнуто мною.— А. С). Они просто не могут решить задач определенной сложности и отвлеченности, совершенно так же, как они не могут перепрыгнуть через барьер высотой в 5 м или поднять груз в 500 кг» (стр. 172). Характерно, что и в этом случае Торндайк говорит о старших детях, поскольку основная задача его рассуждений — доказать непригодность к среднему образованию значительной части детей (детей трудящихся, как основной массы населения).

В связи с фаталистическим пониманием врожденности способностей необходимо отметить также, что, говоря о «составе способностей» (арифметических и алгебраических), Торндайк фактически относит к ним ряд знаний, усваиваемых при обучении, например: знание значения дроби, знание таблиц вычитания и деления и др. Отсюда неизбежен вывод, что и все эти «способности» также врожденны человеку. До признания «врожденности идей» Торндайк н договаривается, но до признания врожденных способностей к каждому отдельному знанию или навыку, получаемому в школе, он дошел несомненно. «Судьба» человека предопределена его наследственностью даже вплоть до возможности усвоить умножение «без переноса»! Мало того, даже последовательность школьного обучения, намечаемая программами, по утверждению Торндайка, передается по наследству (^Психология арифметики», стр. 154). «Мы наследовали (подчеркнуто мною.—А. С.) обычай проходить полностью сначала сложение целых чисел, потом вычитание, потом умножение, а затем и деление». К чести Торндайка, однако, надо сказать, что такие «наследственные» обычаи он все же считает, повидимому, возможным изменить, предлагая смело нарушать систему в обучении.

2. Решительно осужденная постановлением ПК «обширная система обследований умственного развития и одаренности школьников... представляющая собой форменное издевательство над учащимися»,— в лице Торндайка имеет одного из наиболее ясных основоположников и пропагандистов. Исходя в основном из позиций психологии поведения, Торндайк не интересуется изучением качественных особенностей психических процессов, взятых в их жизненной форме, в условиях обычной школьной работы учащихся. Все свое внимание он сосредоточивает на проблеме измерения результатов деятельности путем широкою использования всякого рода тестов. Можно с полной категоричностью утверждать, что «Психология арифметики» и «Психология алгебры» отнюдь не являются психологиями, так как они совершенно не вскрывают психических процессов, характеризующих работу учащихся. В лучшем случае они ограничиваются простой констатацией условий наиболее успешного заучивания (распределения повторений и т. п.), чаще же всего, как только речь заходит о психологических проблемах, начинают фигурировать всякого рода тесты. Торндайк — один из крупнейших «тестологов» современной Америки, автор и соавтор разнообразных тестов, не только психологических, но и педагогических. Поэтому ею «психологические» работы перенасыщены тестовым материалом и иногда на протяжении целых разделов представляют собой изложение только тестов. Весьма показательны в этом отношении главы о составе арифметических способностей в «Психологии арифметики» и соответствующие им главы о составе алгебраических способностей в «Психологии алгебры».

Будучи ярым пропагандистом тестов, Торндайк рекомендует этот метод даже для измерения перемены в интересах и склонно-

стях учащихся, вызываемой алгебраическими занятиями («Психология алгебры», стр. 110). Однако, тесты Келли, предлагаемые им в этом случае, даже самыми крайними защитниками этого метода никак не могут быть поставлены в связь с интересами и склонностями детей.

Весьма видное место среди тестов, предлагаемых Торндайком (оригинальных или других авторов), занимают педагогические тесты—для учета знаний и навыков по самым различным школьным дисциплинам. В этом отношении нашим «педологам», смело взявшим на себя ряд функций, принадлежащих только педагогам и широко плодившим материалы для тестового «учета» успешности, было чему «поучиться» у Торндайка. О той роли, какую отводил Торндайк тестовым методам, можно судить хотя бы по следующему высказыванию его в «Психологии арифметики» (стр. 48): «Один из лучших способов уяснить, в чем заключаются функции, которые школа должна (подчеркнуто мною.—А. С.) развивать и совершенствовать — это получить измерители их». Таким образом, не задачи образования и систематика самих предметов должны определять собой программу и в соответствии с ней измерители (если допустить «необходимость» их существования), а, наоборот, измерители определяют собой программу, а, следовательно, и задачи образования. Здесь явно, что вся «теория» Торндайка стоит на голове.

Что же лежит в основе тестомании Торндайка? Как и все защитники тестов, Торндайк считает, что тесты являются об'ективным методом учета. Это положение целиком разделялось и нашими «педологами», с пренебрежением относившимися ко всяким другим методам изучения (в частности — к педагогическому наблюдению) ввиду якобы их полной «суб'ективности». Чтобы оценить эту «концепцию», надо выяснить, что понимает Торндайк, а вслед за ним и так называемые «педологи», под объективностью тестового метода и вообще под об'ективностью. Ответ на этот вопрос не представляет затруднений: можно сказать с полной категоричностью, что объективность для Торндайка и всех остальных тестологов есть совпадение в оценках у ряда «испытателей». В «Психологии алгебры», например, говоря о том, как избежать дробных отметок за частично неправильную работу, Торндайк указывает, что «мы можем рассчитывать получить об'ективные (подчеркнуто мною—А. С.) результаты только в том случае, если заранее разработана подробная и единообразная схема отметок за выполнение каждого отдельного элемента». В противном случае «неизбежно влияние личного усмотрения со стороны тех, кто дает оценку, и как следствие — различие в отметках за работу одинакового качества» (стр. 94). Что единообразие в критериях отметок за работу необходимо — с Торндайком никто спорить не будет, но что единообразие есть уже и об'ективность — совершенно неверно. Самая подробная и единообразная схема отметок может быть полностью произвольной схемой и никакого отношения к объективности не иметь. Все рассуждения Торндайка (и наших «педологов») об об'ективности тестового метода возможны только потому, что в основе их лежит неверное понимание об'ективности. Для Торндайка объективным является не то, что правильно отражает об'ективную действительность, а то, на чем сходятся мнении людей, то, что люди договорились считать правильным. Концепция явно идеалистическая, делающая в корне порочными все уверения об «об'ективности» тестовых методов.

Излюбленным методом Торндайка наряду с тестами являются также анкеты. Их он адресует и к учащимся (для изучения интереса к занятиям алгеброй — см. «Психология алгебры», гл. XIV) и в большом количестве и по разным поводам к преподавателям школ. Даже такие вопросы, как вопрос о степени общего развития, нужной для успешных занятий алгеброй, разрешается Торндайком путем опроса «некоторых авторитетных педагогов» (глубокомысленно решивших, что только половина или, как с целью максимальной «точности» поправляется сам Торндайк, 56% всех детей повышенных школ могут успешно заниматься алгеброй.)

В тесной связи с широким применением тестов и анкет стоит исключительное пристрастие Торндайка к количественным показателям, в значительном числе случаев действительно выражающееся в «игре в цифирки» Торндайк вполне довольствуется получением некоторых средних величин и совершенно не пытается вскрыть с снования различии в полученных им данных. В качестве одного из многих примеров можно привести результаты изучения (анкетным методом) вопроса о количестве упражнений для разных тем по алгебре («Психология алгебры», стр. 175). Данные, полученные им в этом случае (от пяти психологов и 64 преподавателей математики), по его же собственным словам, колеблются значительно, причем некоторые «эксперты» в своих ответах проявили неуверенность, но эти различия, стоящие, несом-

ненно, в связи и с методикой преподавания и с требованиями, пред'являемыми, преподавателями, не смущают Торндайка, и он полагает, что они не должны подрывать доверия к близости средних величин (как будто бы основную ценность имеют именно средние величины).

3. Постановление ЦК четко указывает, что «антинаучная и невежественная теория отмирания школы, осужденная партией, продолжала до последнего времени пользоваться признанием в наркомпросах, и ее адепты в виде недоучившихся педологов, насаждались во все более и более широких размерах». Работы Торндайка и в этом отношении могут рассматриваться как один из источников извращений нашей «педологии», поскольку в них имеется ряд положений, фигурирующих в качестве основных и в теории отмирания школы. Торндайк многократно выступает против необходимости строгой системы обучения, определяемой систематикой самого предмета. В «Психологии алгебры» (стр. 154) он полемизирует с учителями, которые «обычно обнаруживают большое пристрастие (!) к систематическому изложению тем, причем изучение последних разделяется на отделы и под'отделы, которые проходятся каждый в свое время и в определенном порядке» (как будто бы достоинство обучения в том, чтобы проходить все не в свое время и без всякого порядка). Это «пристрастие» учителей к системе Торндайк объясняет тем, что оно свойственно всякому представителю точного знания (но, повидимому, не должно быть, по Торндайку, свойственно представителям педагогики). «В Психологии арифметики» (стр. 155) он говорит, что «критика других схем, как «лоскутных» и «бессистемных», была бы довольно ценной, если бы школьный курс мыслился как предмет созерцания; но она становится неосновательной, если рассматривать его как рабочее орудие для усовершенствования обучения арифметике». По мнению Торндайка, «мы должны помнить, что все наше систематизирование и классифицирование в значительной степени лишено значения в глазах учеников... Их не слишком смущает отсутствие так называемой «системы» и «логической последовательности» по той же причине, по которой наличность такой системы не оказывает им слишком большой помощи» (стр. 156).

Исходя из этих позиций, Торндайк приходит к утверждению комплексного принципа в расположении материала. «Мы не видим оснований,— говорит он в «Психологии алгебры» (стр. 56),— почему нельзя привести ряд задач, использующих данные, относящиеся к одной и той же области, например к здравоохранению, и требующие при решении как составления уравнений первой степени, так и квадратных уравнений и действий над радикалами». «Впрочем,— заявляет он тут же,— расположение задач менее важно, чем их выбор» (другими словами: если даже в задачнике задачи расположены не по комплексному принципу, выбирать их (из разных мест) надо все же только по этому принципу). Весьма характерна в этой связи и та «самостоятельность», которую предоставляет Торндайк учащимся при выборе задач: «Многие затруднения, возникающие при прохождении решения задач, могут быть значительно ослаблены, если мы предоставим учащимся право самим выбирать задачи для решения, давая им, например, в пять раз большее число задач, чем должен решить каждый учащийся» («Психология алгебры», стр. 80). Что разрешение учащимся выбирать задачи (из числа задач разной трудности, как это имеет в виду в данном случае Торндайк) может облегчить выполнение контрольных работ, вряд ли кто-либо станет оспаривать, но что этим могут быть «значительно ослаблены многие затруднения, возникающие при прохождении решения задач» (т. е. при обучении решению задач) — этому вряд ли кто-либо поверит. Совершенно очевидно, что это уже не самостоятельность, воспитывающая творческую и активную личность, а свобода от обязательств, и, поскольку о ней говорится в «Психологии алгебры», было бы очень интересно знать, разрешается ли она всем или только «части населения». Весьма положительно относится Торндайк и к самоучету учащихся, считая его «объективным, реальным, количественным изучением своей собственной деятельности» («Психология арифметики», стр. 230). При этом он глубокомысленно поучает, что «беспристрастное изучение самого себя ни в какой мере не поощряет и не должно поощрять самодовольства». «Сказанное,—добавляет он,—справедливо не только в отношении мальчиков, но в еще большей степени и в отношении девочек». При чем здесь мальчики и девочки— непонятно, если не предположить, что Торндайк убежден, что, вообще говоря, девочки больше предрасположены к самодовольству, чем мальчики.

4. В полном соответствии с отрицанием значимости системы в обучении стоит чрезвычайно характерная для Торндайка (а вслед за ним и для наших «теоретиков» отмира-

ния школы) недооценка теории. В этом отношении весьма характерно, например, следующее высказывание в «Психологии алгебры» (стр. 127): «Современная психология (читай: американская психология поведения.— А. С.) относится весьма подозрительно ко всем случаям, в которых навыки предполагаются легко выводимыми из принципов. Весьма часто оказывается, что действительно эффективные принципы являются результатом навыков, а не причиной, их порождающей. Поведение человека определяет его совесть, повидимому, в большей мере, чем последняя — его поведение». В поведении не надо, следовательно, исходить из принципов, а, наоборот, принципы надо фабриковать в соответствии с поведением, так, чтобы они оправдывали это поведение. Да здравствует полная беспринципность! Сам Торндайк, надо полагать, так называемым «угрызениям совести» не подвержен, так как свою «совесть» он целиком приспособляет к своему поведению. Во всяком случае во всех своих работах он энергично полемизирует с учителями, начинающими обучение действиям с объяснения правил.

Было бы неверно утверждать, что Торндайк совершенно отрицает необходимость понимания учащимися правил. В «Новых методах», например, он не согласен с теми, кто, исходя из факта, что дедуктивные об'яснения оказываются часто бесполезными; приходят к мысли, что «вовсе нет необходимости стремиться к действительному пониманию учениками правил и действий, и что ученики просто должны научиться механически делать то, что нужно» (стр. 58). Достигнуть «рационального понимания правил и действий», по его мнению, «все же» (I) возможно, и «ученик не должен обрекаться на слепое механическое зазубривание того, что нужно делать». Но Торндайк не может понять, что осознание принципа не должно быть придатком и завершением первоначально не осмысливаемого изучения действий, а должно быть теснейшим образом взаимосвязано с этим изучением. Что для понимания общих принципов нужен конкретный опыт, на который должен опираться учитель — несомненно, но что для понимания всякого нового принципа весь предшествующий опыт ученика оказывается недостаточным, и изложение этого принципа возможно только после того, как учащиеся «поплавают» некоторое время в непонятных им новых действиях,—совершенно неправильно. Всякое действие будет усвоено тем лучше, чем осмысленнее выполнение его с самого начала, что отнюдь не исключает, а, наоборот, предполагает развитие понимания. «Поведенческая» концепция Торндайка лишает его возможности понять роль сознания и осмышления в приобретении навыков, и усвоение принципов он рассматривает, как стихийный процесс, утешая педагогов, что «то, что начинается со слепой привычки умственного обращения, основанной на подражании, может вырасти в способность правильного представления существенного элемента» (подчеркнуто мной.—А. С.) и что «почти наверное все дети, за исключением одной двадцатой или около того, приходящейся на наиболее тупых учеников, придут в конце концов (!) к чему-то большему, чем зазубренное знание, к пониманию и сознанию того, что прием, о котором идет речь, правилен» («Психология арифметики», стр. 89). Понимание и сознание, значит, «в конце концов», а «в начале начал»—-зазубренное знание. И придут дети все же к пониманию, что прием правилен, а не к тому, почему он правилен. По Торндайку это, впрочем, и не требуется. Разбирая дальше вопрос о возможности для детей понимать, почему правилен данный прием вычисления, он полагает, что «большинство детей (повидимому не относящееся к «части населения,— имеющей предрасположение к абстрактному мышлению») вообще не будет знать этого ни при каких методах преподавания» (!). Единственное «почему», которое доступно этим детям — это то, что с данным ответом «согласны опытные люди» (таков критерий истины для этих детей по Торндайку).

Неизбежным следствием всей этой концепции является утверждение тренировки, как основного метода обучения. Наши «теоретики» отмирания школы, в результате своего отрицания системы обучения совершенно игнорировали и систематическое, а вслед за этим по существу и всякое обучение навыкам. Торндайк не делает этого: он — «за навыки», но, отвергая возможность осмысленного овладения ими, он всячески пропагандирует неизбежность механического их приобретения. Исходя из своей основной, ассоциационистической концепции, он все обучение рассматривает, как образование механистически понимаемых связей или ассоциаций. «Если попытаться,— говорит он в «Психологии арифметики» (на стр. 18),— точно определить задачи элементарного образования, то мы найдем, что они должны заключаться в создании изменений в человеческой натуре, выражаемых почти бес-

конечным перечнем сопоставлений или связей».

Равным образом и «обучение алгебраическому счислению в значительной мере сводится и должно сводиться к образованию и организации системы умственных сопоставлений или связей» («Психология алгебры», стр. 134). Как же образуются эти связи? По мнению Торндайка,— на основе привычки, обусловленной повторением, и в силу эмоционального состояния, следующего за выполнением действия (удовлетворения или неудовольствия). Эти условия определяют собой образование всех связей, а следовательно и ту форму их, которая обычно относится к так называемым «высшим умственным процессам» (процессам сравнения, различения, анализа, обобщения, рассуждения и т. п.). «Процесс обучения, направленный на создание представлений разницы в высоте тонов, издаваемых каким-либо инструментом, «квадратичности» какого-либо числа, треугольной формы, некоторой комбинации линий различной длины, равенства каких-либо пар и честности человека вытекает из общего обучения ассоциациям, не требующего никаких иных сил, кроме сил привычки и непривычки, удовлетворенности и неудовлетворенности» («Психология арифметики», стр. 187). При этом необходимо подчеркнуть, что состояние удовлетворенности и неудовлетворенности Торндайк понимает так же, как состояние, механически следующее за каким-либо действием, а отнюдь не как результат сознательного отношения к работе, влияние которого относится им к области магии (там же, стр. 203). Таким образом, всякое обучение сводится им в конечном счете к повторению одних и тех же действий, сопровождаемых состоянием удовлетворения.

Каковы конкретные формы методики обучения, рекомендуемые Торндайком, можно судить по следующему описанию рекомендуемого им способа обучения учащихся кратному умножению без переноса.

Дается задача: «Дети третьей группы устраивают прогулку. Всех участников будет 32. Сколько надо заготовить для них бутербродов, если каждый из 32 учеников получит по 4 бутерброда».

Вот быстрый способ найти это число (хотя Торндайк прямо это не указывает, но из всего контекста ясно, что эти и последующие подчеркнутые нами слова говорятся учителем).

Думай так: 4X2, запиши 8 под 2 в столбце единиц.

Думай так: 4X3», запиши12подЗ в столбце десятков.

Далее дается вторая задача (точнее продолжение первой): «Сколько потребуется детям яблок, если каждый из 32 учениьов поручит по 2 яблока? 32X2, или 2X32 даст ответ».

Мы не приводим описания дальнейшей части рекомендуемых Торндайком «об'яснений» учителя, т:к как приведенного уже достаточно для того, чтобы понять, что никаких об'яснений здесь нет, а есть голое приказание делать так-то и так-то. Слова учителя, обращенные к ученику («Думай так: 4X2»), звучат здесь только иронией, так как фактически думать здесь учащимся в сущности не приходится.

5. Недооценка Торндайком теории и сведение им обучения к простой тренировке заставляет критически отнестись и к пропаганде им принципа жизненности и реальности.

Во всех трех работах по математике Торндайк многократно подчеркивает, что предлагаемый учащимся материал (вычисления и задачи) должен быть жизненным. «По старым методам, — начинает он свою работу «Новейшие методы обучения арифметике», — арифметика преподавалась для арифметики, с полным отвлечением от потребностей жизни. Новейшие методы преподавания выдвигают приемы, которых требует жизнь, и задачи,, которые представляются в жизни» (стр. 17). «Цель элементарной школы в области арифметических задач — научить правильно и экономично разрешать жизненные задачи» («Психология арифметики», стр. 30). При преподавании алгебры «наиболее желательно развитие таких навыков, которые легче всего позволяли бы распознавать реальные, существующие соотношения» («Психология алгебры», стр. 56). Если взять эти положения «абстрактно», оторвав их от всех основных концепций Торндайка, то в ряде мест они звучат положительно. Но такая «абстрактная» оценка была бы, конечно, совершенно неверна. Чтобы понять подлинный смысл принципа жизненности и реальности у Торндайка, надо брать этот принцип в связи с основными положениями Торндайка о месте теории и тренировки в процессе обучения. А в этой связи указанный принцип звучит совершенно по-иному. В нашем понимании отрывать «жизненность» от теории, равно как и теорию от жизни, нельзя, ибо мы исходим из признания единства теории и практики. В понимании Торндайка «жизненность» отрывается от теории,

и теория в значительной мере противополагается «жизненности». Это возможно только потому, что «жизненность» и реальность превращаются у него в «жизненность» и реальность только отдельных эмпирических фактов, а теория — в оторванную от действительности абстракцию. Вместе с тем «жизненность» отдельных эмпирических фактов, а, следовательно, и «жизненность» знания этих фактов оценивается им с точки зрения непосредственной, чисто утилитарной полезности их. Теоретическая значимость изучения действительности по существу отвергается и над всем доминирует узкоутилитарный и чисто «деляческий» подход. Это очень ярко сказывается на том методе, которым пользуется Торндайк при построении программ обучения. Он исходит не из теоретических положений, непосредственно вытекающих из задач обучения и воспитания, не из систематики самой науки, не из теоретической значимости арифметики и алгебры, а из механического подсчета количества тех случаев, в которых встречаются в отдельных профессиях, в быту (опрос родителей), при чтении разных книг (например Британской энциклопедии) те или иные «элементы» математических знаний. Вместе с тем нетрудно расшифровать, в чем именно заключается в понимании Торндайка та непосредственная полезность, которая применяется им в качестве критерия при отборе учебного материала: непосредственно полезно то, что нужно для «деловой» жизни американского (крупного или мелкого) буржуа. Задачи, которые Торндайк считает правильными, своей тематикой должны иметь ведение счетов в хозяйстве, вычисление процентов и учета (векселей), определение количества материалов, необходимых для изготовления определенных продуктов в домашнем хозяйстве, ответы на письма клиентов, запрашивающих о цене товаров, страховка жизни и т. п. («Психология арифметики», стр. 30—31). «Жизненность» и «реальность» в понимании Торндайка при ближайшем анализе являются, следовательно, не чем иным, как непосредственным выражением американского прагматизма — наиболее популярной философской теории американской буржуазии, а «жизненное» и «реальное» обучение призвано, по Торндайку, выполнять социальный заказ правящих классов США.

Наши «теоретики» отмирания школы одним из основных положений своей «теории» также выдвигали «жизненность» и «реальность» обучения, причем и они в конечном счете сводили эту «жизненность» к «ползучему эмпиризму», игнорировали единство теории и практики и не понимали того, что, «теория, если она является действительно теорией, дает практикам силу ориентировки, ясность перспективы, уверенность в работе, веру в победу нашего дела» (Сталин). Методологическое родство их «теорий» с работами Торндайка несомненно.

Сказанного достаточно, чтобы показать, что работы Торндайка и в частности его работы по математике действительно питали собой те вреднейшие педологические извращения, которые безоговорочно осуждены июльским постановлением ЦК ВКП (б). Наличие в этих работах отдельных ценных замечаний по некоторым частным вопросам нисколько не умаляет, конечно, полнейшей неприемлемости основных положений Торндайка. Переводные работы Торндайка нуждаются поэтому в основательных, методологически и политически заостренных предисловиях. Оценивая же с этой точки зрения имеющиеся предисловия, следует признать полнейшую их неудовлетворительность.

В предисловии к «Новым методам» на первой же странице подчеркивается, что Торндайк «стоит на пути об'ективного изучения духовной жизни человека» (о том, что этот «объективизм» выражается только в безудержной тестомании и ничего общего в действительно об'ективным изучением человека не имеет, нами уже было сказано). Далее автор предисловия (проф. Волковский) в качестве наиболее яркой особенности методики, рекомендуемой Торндайком, подчеркивает ее «жизненный характер» (буржуазно-прагматическая природа этой «жизненности» также была отмечена выше). Этим в сущности и ограничиваются замечания автора предисловия о Торндайке. Никакой критики в предисловии нет. Читателю остается только преклоняться перед Торндайком, являющимся, по словам автора предисловия, «отцом современной психологии обучения», имя которого исключительно авторитетно в науке (какой?—А. С), и сторонником того «совершенно правильного направления в педагогической науке, по которому для написания хорошей книги по начальному обучению недостаточно быть только специалистом известного предмета, а необходимо, сверх того, быть хорошим психологом, педагогом и педологом» (стр. 7).

Столь же по существу хвалебно и предисловие к «Психологии арифметики», написанное проф. Волковским, где «Психология арифметики» об'является «капитальным произведением», которое «вызовет благосклон-

ное внимание (подчеркнуто мной. —А. С.) любознательных читателей и критиков, хотя бы и несогласных с автором по некоторым как принципиальным (подчеркнуто мной. — Л.С), так и частным вопросам».

Некоторую критику Торндайка мы находим во втором предисловии, написанном к той же книге проф. Андроновым. Здесь уже указываются, как неправильные, такие положения как признание неизменной среды (правда, речь идет только о школьной среде), абсолютизирование различий дедуктивного и индуктивного метода, отмечается «односторонность» эксперимента, лежащего в основе «социологии арифметики», но нет никакого намека на развернутую принципиальную критику исходных концепций Торндайка. Мало того, автор предисловия утверждает даже, что Торндайк «не создает ведущей теории, а односторонне увлекается экспериментом». Это, конечно, абсолютно неверно, ибо в основе самого «эксперимента» у Торндайка лежит развернутая, но совершенно для нас неприемлемая теория. Неясно отношение автора предисловия к рефлексологии и характеристика позиции Торндайка в этом вопросе. С одной стороны, утверждается что Торндайк пытается «оформить психологическое направление в арифметическом образовании, которое созидается в противовес односторонне-рефлексологическому загнивающему направлению, ожидающему с часу на час своего исторического удара», с другой же — в заслугу Торндайка ставится то, что им «разрабатывается назревший в методике вопрос о разной прочности рефлексов» (подчеркнуто мной). Правильно (но не с отрицательной, а с положительной оценкой этого факта) указывается, что Торндайк является апологетом «педологизированной» школы. Вот именно поэтому-то Торндайк и неприемлем для нас.

Наконец, что касается предисловия к «Психологии алгебры» (написанного проф. Андроновым), то и здесь, хотя предисловие заключает в себе много критических замечаний, выявление основных методологических позиций Торндайка и резкая критика их отсутствуют. Правда, в ряде мест даются указания на неправильность некоторых теоретических положений Торндайка (указывается, например, реакционность вывода о непригодности 56% детей к обучению алгебре, вскрывается «фетишизм количества», отмечается «воинствующая недооценка теории» и системы, говорится о разочаровании читателя, когда он не увидит истинного развертывания сложной проблемы измерения алгебраических способностей, а получит все те же «надоевшие тесты», но все это сделано настолько бегло и так перемешано с рядом других частных замечаний по поводу книги (иногда справедливо положительных), что мобилизовать читателя на сугубо критическое отношение к Торндайку все эти указания не могут, а, тем более, они не могут и вооружить читателя пониманием методологических корней теории Торндайка и порочности основных его методологических концепций. Вместе с тем автор предисловия неоднократно утверждает, что Торндайк пользовался экспериментальным методом исследования (хотя у самого Торндайка нигде нет изложения каких-либо экспериментов). Это обменяется тем, что автор предисловия совершенно неправильно отождествляет тесты с экспериментом. Такое отождествление легко может вызвать у читателя (в противовес ряду критических замечаний о тестах) извращенное понимание научного метода исследования и пробудить доверие к выводам Торндайка, построенным якобы на подлинно-научном исследовании. Предисловия к работам Торндайка должны быть даны совершенно иные.

ОЧЕРКИ ПО ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО

ОЧЕРК ТРЕТИЙ

ТРИГОНОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО

Профессор Н. Н. ИОВЛЕВ (Москва)

«Чистый анализ, без всякой уже примесь» синтеза, не прежде может начинаться в геометрии, пак после того, когда всякая зависимость представлена будет уравнениями и для всякого рода геометрической величины будут даны выражения».

Н. И. Лобачевский

В настоящем очерке изложены основные теоремы и соотношения тригонометрии Лобачевского, необходимые для введения метода координат в эту геометрию. Основными формулами являются соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Зная эти соотношения, уже легко получить основные формулы и косоугольного треугольника.

Но, кроме того, в дальнейшем изложении нам понадобятся соотношения между элементами так называемых «трехсторонников», или треугольников с одной бесконечно удаленной вершиной, а также и четыреугольников Ламберта (с тремя прямыми углами) и Саккери (с двумя прямыми углами).

Для понимания выводов всех этих теорем и формул по предлагаемому нами методу необходимо знание только тех теорем и положений геометрии Лобачевского, которые изложены и доказаны нами во втором очерке при помощи метода пределов. Ключом же для вывода тригонометрических формул служит найденная нами «основная лемма», благодаря которой вывод этих формул становится очень простым и сводится к несложным тригонометрическим выкладкам.

Окружность на предельной поверхности

Каждую параллель, начерченную на глобусе, можно рассматривать или как окружность круга, описанного дугою AB меридиана, лежащего на поверхности глобуса, или же как окружность плоского круга, описанного половиною хорды AB, вращающейся около ее средины. Совершенно аналогично окружность, лежащую на предельной поверхности, можно получить двумя способами:

1. Можно описать такую окружность концом предельной дуги АС В, лежащей на предельной поверхности и вращающейся вокруг своей средины С (рис. 1).

2. Можно описать ее концом хорды АС±В, вращающейся вокруг ее средины Ct.

В первом случае она будет окружностью круга, описанного на предельной поверхности предельной дугой С В, а во втором — окружностью плоского круга, описанного полухордой СХВУ вращающейся вокруг средины хорды С1э перпендикулярно к оси СБ предельной поверхности. Отсюда следует такая теорема:

Теорема 1. Окружность, построенная на полухорде (СХВ) предельной дуги (АСВ), как на радиусе, равна окружности круга, описанного на предельной поверхности половиною дуги (АСВ)у как радиусом. Обозначая окружность плоского круга (радиус — = СХВ) символом G CtB, а окружность, описанную предельной дугой СВ, — символом

Рис. 1

О СБу можем выразить нашу теорему (I) таким равенством:

(I)

Основное построение

При выводе основных формул тригонометрии Лобачевского мы будем пользоваться трехгранным углом, с. бесконечно-удаленной вершиной. Ребра этого трехгранника проходят через вершины данного прямоугольного треугольника и параллельны между собою; причем ребро, проходящее через вершину одного из острых углов, перпендикулярно к плоскости треугольника, а через вершину другого острого угла проводится предельная поверхность, осью коей служит ребро, проходящее через эту вершину.

Сделаем это построение и рассмотрим заранее некоторые необходимые нам соотношения между элементами данного прямоугольного треугольника, трехгранного угла и предельного треугольника, который получится от пересечения предельной поверхности с гранями этого трехгранника.

Возьмем (рис. 2) какой-нибудь прямоугольный прямолинейный треугольник АБС, в котором угол С=90°; через вершину А одного из его острых углов проведем прямую АА', перпендикулярную к плоскости треугольника АБС, а через другие его две вершины Б и С проведем прямые ВБ' и СС, параллельные АА' в одном и том же направлении.

Получим трехгранный угол АБСБу с бесконечно-удаленной вершиной Б, причем двугранный угол его (СС) будет прямой, как это докажем ниже (п. 5).

Затем через вершину Б, приняв прямую ВВ' за ось, проведем предельную поверхность, т. е. шар, центр коего удален в бесконечность в направлении параллельности линий АА у ВБ* и СС у каждая из которых будет осью этой поверхности.

От пересечения этой предельной поверхности с гранями трехгранного угла, т. е. с плоскостями, в коих лежат прямые АА'у ВБ* и СС, получатся три предельных дуги, образующих «предельный треугольник» ^Cjß.

1°. Легко убедиться в том, что внутренние углы «предельного треугольника» АхСгВ равны внутренним углам трехгранного угла АВСБ.

В самом деле, углом между предельными дугами СХВ и ВАХ называется угол KBKt между касательными к этим дугам в точке их пересечения В, а эти касательные будут перпендикулярны к оси ßB' предельной поверхности, т. е. к ребру двугранного угла (BBf)y и будут расположены на его гранях. Следовательно, Z КВК\ будет линейным углом двугранного угла (ВВ') и равен этому углу. Точно так же и Z ВС1А1 = = двугранному углу (СС), a £ВА1С1 = =.двугранному углу (АА').

2°. По построению плоскость Л АБС перпендикулярна к ребру АА1, а потому АБАС (или А) будет линейным углом двугранного угла (АА')у т. е.

Z ВАС = двугранному углу (АА9).

3°. Но если АА J_ АБС, то и проходящая чрез А А' плоскость А АСС также перпендикулярна к плоскости АБСу т. е. двугранный угол (АС) — прямой, откуда ßCJ_CC.

4°. Угол АСВ — прямой по условию; следовательно, сторона СБ этого угла, лежащая на грани ССВВ* двугранного угла (СС), перпендикулярна к его ребру СС ; поэтому, С В будет перпендикулярна и к другой грани этого угла, А АСС, и к прямой СС, лежащей на этой грани.

5°. Итак, СБ перпендикулярна к плоскости А АСС и к прямым CA и СС, лежащим в этой плоскости. Поэтому, проходящая чрез СБ плоскость ССВВ' у перпендикулярна к плоскости А'АСС, т. е. двугранный угол (СС)—-прямой и плоский угол ВСС1—тоже прямой.

6°. Но в предельном треугольнике АХСХВ /тС1 равен двугранному углу (СХС9); следовательно, Z Ci — тоже прямой, а предельный треугольник AtCtÉ — прямоугольный.

7°. Острый угол Ах предельного треугольника AiCßy равный двугранному углу (АА1), будет равен и его линейному углу, т. е. £ BAtCt = £ А1 = (АА') = L А, угол же A1BC1 — A(BBt)y но не=£АВС.

8°. Фигуры А АХВВ9 и ССХВВ9 в нашем

Рис. 2

построении совершенно такие же, как фигура СВБ на чертеже (1), а потому

QBC^OBC, ОВАх — ОВА.

Рассмотренные нами соотношения между элементами нашего основного построения дают нам возможность легко доказать следующие три вспомогательные теоремы (леммы), служащие для вывода основных формул тригонометрии Лобачевского.

Теорема 2. Во всяком прямоугольном прямолинейном треугольнике ABC окружность с радиусом, равным катету q, равна окружности с радиусом, равным гипотенузе с, умноженной на синус противулежащего угла А:

Oa^zOc-sinA. (2)

Доказательство. Эта теорема справедлива и в геометрии Эвклида. В самом деле, на плоскости Эвклида катет а прямоугольного треугольника ABC равен его гипотенузе с, умноженной на синус противулежащего угла или на косинус прилежащего:

a — c-sinA. (3)

a = c-cosB. (3')

Умножив обе части этих равенств на 2т:, получим:

2т: • а = 2то • sin А, 2тг • а — 2ж • cos В, или О а = <Э c-sïn А, (2)

Oa = Oocos£, (2')

где О а и Ос означают длины окружностей с радиусами а и с.

Соотношения (2) и (2') имеют место и для «предельного» прямоугольного треугольника 1) в пространстве Лобачевского. Для прямолинейного же прямоугольного треугольника на плоскости Лобачевского справедливо только соотношение (2), но не (2').

Докажем теперь нашу теорему. С этой целью сделаем с треугольником ABC «основное построение» (см. черт. 2). Получим предельный треугольник AtBCu в котором*

(*)

Но в силу теоремы I а (по 7°)

LAX =*LA. Подставляя эти значения в (4), находим:

(2)

что и требовалось доказать.

Рассмотрим теперь отдельно ту часть нашего основного построения, которая расположена на плоскости, проходящей чрез параллельные линии CtC и ВВ' (рис. 3).

В этой плоскости лежит предельная дуга ВСХ и прямая ВС, перпендикулярная к СгС. Очевидно, что с изменением длины перпендикуляра ВС изменяется и расстояние СС1? т. е. CCt будет функцией от ВС:

(5)

Заметив это, докажем следующую теорему.

Теорема 3. Отрезки ВС —а и СС± = =f(a) основного построения связаны между собой уравнениями

(6°) (6)

Доказательство. На нашей фигуре (3) LCBB? = ъ(ВС) = ъ{а). Дополним ее еще двумя линиями:

1) предельной дугой СМ с осью СБ и 2) прямой CL, перпендикулярной к ВВ\ Получим прямолинейный треугольник BCL, в котором (теорема 2):

откуда

или

(7)

Но (теорема I)

а длина окружности на предельной поверхности равна ее «предельному радиусу», умноженному на 2тг, почему

* На основании следствия I теорема XIX очерка 2-го (см. № 2 за 1936 г. «Математики и физики», стр. 18.)

Подставляя эти значения в равенство (7) и сокращая на 2тс, получим:

(8)

причем (в силу соотношения 3, § 9, очерк 2-й):

(90)

или

Число m здесь произвольно, а потому мы можем его выбрать так, чтобы 1т = е, где е = 2,718281828.... — основание натуральных логарифмов; но тогда ma = k (постоянной),

(9)

где

СС1=/(а).

Вставляя эти значения в отношение (8), получим

(6°)

или

(6)

что и требовалось доказать.

Рассмотрим теперь всю фигуру нашего основного построения, дополнив ее двумя линиями, лежащими в плоскости А'АСС (черт. 2):

а) перпендикуляром C1D1 = b\ опущенным из вершины С| прямого угла предельного треугольника на ось А А1, и

б) предельной дугой СЕ, имеющей ось ААУ («концентричной» с предельной дугой CtAt).

Основная лемма. Перпендикуляр V связан с катетами а и b прямолинейного прямоугольного треугольника ABC уравнением:

(10)

Доказательство. В нашем основном построении отрезки C^zmb', CA = b9 причем на основании теоремы I настоящего очерка и следствия I теоремы XIX 2-го^ имеем:

Разделяя эти равенства почленно друг на друга и принимая во внимание теорему 3 п равенство (9), получим:

откуда

что и требовалось доказать.

Непосредственными следствиями нашей леммы являются следующие теоремы.

Теорема 4.

(11)

Доказательство. В нашем основном построении (черт. 2) Д АХСХВ — предельный, а потому для него имеет место теорема Пифагора, т. е.

А1В2 = А1С12 + С1В2,

где АХВУ AtCt и С\В — дуги предельной линии. Умножив все члены этого равенства на (2тг)2, получим:

или

Но в силу соотношения (1), имеем:

а основная лемма дает:

Подставляя эти значения длин окружностей в равенство (12) и получим соотношение:

(11)

Что и требовалось доказать.

Теорема 5. Длина окружности радиуса а пропорциональна ctgTu(a), т. е.

(13)

где M— постоянная, одинаковая для всех окружностей.

Доказательство. В самом деле, раз теорема наша справедлива, то отношение длины любой окружности к котангенсу угла параллельности ее радиуса есть величина постоянная, равная My а потому:

(14)

(15)

Но, рассматривая равенство (11), мы видим, что в него входят только длины окружностей сторон ДАВС и sinrr(a). Следовательно, мы можем выразить sin т:(а), а через него и ctgTù(a) через длины этих окружностей.

Действительно, решая уравнение (11) относительно sin2rc(a) находим:

Но разделяя равенство cos2r:(a) = = 1 — sin2 тс(а) на sin2rc(a), имеем :

подставляя же сюда вместо simr(a) его значение, находим

В последнем равенстве с — гипотенуза, а и b— катеты прямоугольного треугольника ABC; но раз это равенство справедливо для катета а, то оно должно быть справедливо и для катета Ь. Отсюда очевидно, что равенство это не нарушится, если в нем мы вместо катета а подставим катет Ь, и взаимно. Получим:

Разделяя последние два равенства почленно друг на друга, получим

что и требовалось доказать.

Основные тригонометрические формулы прямоугольного треугольника

Первое соотношение, соответствующее равенствам: а = с -sin А и Ь — c-sinß тригонометрии Эвклида:

(1)

Доказательство. В самом деле, по теореме 2, из прямоугольного треугольника ABC мы имеем:

(2) (21)

Вставляя в эти равенства вместо длин окружностей их значения из (14) и сокращая на Ж, получим равенства (I).

Второе соотношение. Возвратимся снова к нашему основному построению. Мы знаем, что в предельном треугольнике АХВС{.

(2“)

Но, в силу теоремы 2 и основной леммы, имеем :

а по теореме 2:

наконец, по теореме 1:

Вставляя все эти значения в равенство (2) и сокращая на Ос, получим:

(II)

Аналогично, из соотношения

найдем, что:

(II')

Третье соотношение.

(III)

Это соотношение аналогично теореме Пифагора и получается из теоремы (4) и отноше-

нии (14) путем простых тригонометрических преобразований. В самом деле, вставляя в равенство (11) вместо длин окружностей их значения из равенства (14) и сокращая результат на М2, получим:

Заменяя в этом равенстве котангенсы их значениями и приведя правую часть к одному знаменателю, получим:

Прибавляя к обеим частям этого соотношения по единице и приведя затем каждую из них к одному знаменателю, находим:

Так как сумма квадратов косинуса и синуса каждого угла равна единице, то легко убедиться в том, что числители обеих частей последнего равенства равны единице, а следовательно, должны быть равны и знаменатели, т. е.

sin tz(c)'= sin Tz(a) • sin ъ(Ь), что и требовалось доказать.

Четвертое соотношение:

(IV)

Доказательство. Перемножая почленно равенства (II) и (IP) друг на друга, имеем sin А • sin £ = sin тг(а) • sinir(ft) • cos A «cos Б, откуда, разделяя на cos A- cos В и принимая во внимание соотношение (III), получим

что и требовалось доказать.

Замечание. В геометрии Эвклида угол параллельности tz(c) = 90°, а потому там

tgi4.tg$=l,

т. е.

Пятое соотношение

(V)

Это соотношение легко получить из равенства (I). Именно, заменив в равенстве (I) котангенсы их значениями и определяя cos тг(а), находим:

Но (равенство IP)

а потому

наконец, принимая во внимание соотношение (III), получим:

(V)

и аналогично

(V)

Очевидно, что эти формулы соответствуют соотношениям

a = c-cosB,

и

£ = С-С05 А

тригонометрии Эвклида

Шестое соотношение. Разделяя (V) на (V), имеем:

откуда, умножая обе части этого равенства на sin тс(о) и принимая во внимание (IP), находим

или

(VI)

Основное соотношение геометрии Лобачевского

(между длиной отрезка и его углом параллельности):

(VII)

Возьмем прямоугольный треугольник ABC, один из катетов коего (АС) равен данному отрезку Ь, продолжим этот катет в сторону прямого угла, а через конец В другого катета (СВ) проведем линию ВВ', параллельную АО и дугу ВЛ предельной линии с осью АС (и ВВ', так как ВВ1 \\ АС).

В полученной фигуре углы ABB' и ВАС, образуемые осями АС и ВВ' предельной дуги ее хордой AB, равны между собою, а угол СВВ' =Tz(a).

Таким образом,

откуда

(16)

Применяя к аАВС соотношение (II), имеем sin В = sin тт(а) • cos А ;

но в нашем треугольнике

/_В = ^_А — тс(а), а потому sin[i4 — Tz(a)] = sin тт(я ) • cos А,

или

sin А • cos тт(а)— cos А • sin тс(а) = = sin Tw(a) • cos Л,

откуда

sin А • cos Tw(a) = 2 sin тт(а) • cos Л, а по разделении этого равенства на cos Л «cos Tz(a):

(17)

С другой стороны, разделяя равенства (V) и (V) почленно друг на друга и снова заменяя £ß через А — тт(а), получим:

откуда, по разделении на cos тс(а),

a по замене ig Л его значением из равенства (17),

(18)

Из этого равенства находим:

С другой стороны, из тригонометрии известно, что

Сравнивая эти равенства, находим:

(19)

а по теореме (3) имеем (равенство 6):

(20)

Сравнивая, мы и получим искомое соотношение

(VII)

Аналогичное соотношение существует и для катета а:

(VII')

Гиперболические функции

Формула (VII) позволяет ввести в формулы тригонометрии Лобачевского так называемые гиперболические функции. В самом деле, основная формула геометрии Лобачевского:

*

показывает, что тригонометрические функции угла параллельности суть функции от показательной функции ек. Но так называемые гиперболические функции также выражаются через показательную функцию. Отсюда заключаем, что тригонометрические функции угла параллельности также должны выражаться через функции гиперболические от перпендикуляра х.

Найдем эту связь. Имеем по определению*

косинус гиперболический от—:

* Из этого определения гиперболических функций легко вывести следующие соотношения:

синус гиперболический от

тангенс гиперболический от

С другой стороны, возводя равенство (*) в квадрат и прибавляя затем к обеим частям его по единице, получим:

откуда

Далее:

а потому, подставляя сюда вместо

их значения из предыдущих двух равенств, находим:

или

(24)

откуда

(25)

а разделив почленно (24) на (25), имеем:

(26)

Сравнивая формулы (24) — (26) с равенствами (21)—.(23), видим, что

(VIII)

Тригонометрические соотношения плоскости Лобачевского, выраженные в гиперболических функциях

Вставляя значения sin тс (je), cos-л: (jt) и tgir(*) из (VIII) в равенства (I)—-(V), получим:

(IX)

(X)

(XI) (XII)

(XIII).

Тригонометрические соотношения в прямолинейном косоугольном треугольнике

Выводятся эти формулы аналогично формулам сферической тригонометрии Эвклида. Именно (рис. 6).

Возьмем косоугольный треугольник ABC и делим его высотою BD на два прямоугольных треугольника ABD и DBC.

1. Теорема синусов. Из прямоугольного треугольника ABD имеем:

Рис. 6

откуда

или

Точио так же, опустив высоту из вершины Л, получим:

Если заменим в этих соотношениях гиперболические синусы сторон их значениями по третьей формуле (VIII), то получим:

те (a)-sin A = tgTz(b)'S\nB = tg те (с) • sin С.

2. Теорема косинусов. Из прямоугольного треугольника ABD по формуле (XI) имеем:

откуда

(26)

а по формуле (XIII):

(27)

Из равенства (27) находим:

а вставляя сюда значение сп —- из (26) и сокращая, получаем

(28)

Из д BDC по формуле (XI) имеем:

(29)

причем (см. примечание, стр. 21):

(30)

Вставляя в правую часть этого равенства из (26) и (28) значения сп - и sh и сравнивая результат с равенством 29, мы и получим формулу косинусов:

(XIV)

Заменяя в этой формуле гиперболические функции их значениями из формул (VIII) представим ее в таком виде:

(XIV)

Совершенно так же, как в сферической тригонометрии, выводятся и следующие соотношения между сторонами и углами косоугольного треугольника:

(XV)

и т. д.

Четыреугольник Ламберта (с тремя прямыми углами).

Пусть в четыреугольнике АС1ВС2 углы Си В и С2 — прямые, а LA — острый.

Из прямоугольных треугольников АС2В и АВСХ имеем (формула IX):

(31) (32)

а потому

равенство (31) можно написать так:

а разделяя это равенство на равенство (32)

и принимая во внимание соотношение (X), получим:

(XVI)

далее, по формулам (ХШ), в аВАС2:

(33)

(34)

а по формуле (X):

(35)

Вставляя эти значения из (34) и (35) в (33) и сокращая, получим:

(36)

Точно так же по формуле (ХШ), из д АВСХ находим :

(37)

а из аАВС2:

(38)

Сравнивая равенства (36), (37) и (38), получим второе основное соотношение между сторонами четыреугольника Ламберта:

(XVII)

Четыреугольник Саккери (с двумя прямыми углами).

Рассмотрим теперь четыреугольник АС2ВБ1У в котором только два угла АС2В и ВфС2— прямые, и из его вершины А опустим на сторону ВХВ перпендикуляр АСХ. Этот перпендикуляр \ азделит наш четыреугольник на четыреугольник АС1ВС2 с тремя прямыми углами и на прямоугольный треугольник АВ^!. Поэтому мы можем применить формулу (XVI) и писать:

(39)

Но (см. черт. 8)

а по формулам (XI) и (ХШ):

вставляя в (39), получим:

или

(XVIII)

Рис. 7

рис. 8

На чертеже L Вх — острый, но результат не изменится, если предположим, что угол В± будет тупой.

Трехсторонник с одной бесконечно-удаленной вершиной

Если одну нз вершин треугольника станем удалять в бесконечность, то в пределе треугольник обратится в фигуру с тремя сторонами, из которых две стороны параллельны между собою, а вершина — точка пересечения этих параллельных сторон — будет лежать на бесконечности в направлении их параллельности.

Такую фигуру мы будем называть трехсторонником. Трехсторонник представляет из себя бесконечную полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми АБ и ВБ и их секущей AB, называемой основанием трехсторонника.

1. Две вершины трехсторонника А и В лежат на конечном расстоянии, а третья — Б на бесконечности в направлении параллельности прямых АБ и ВБ и называется «несобственной» точкой или «несобственной» вершиной трехсторонника.

2. Всякая прямая, проходящая через внутреннюю точку трехсторонника С и через одну из его вершин (например А) встречает сторону (ВБ), противолежащую этой вершине.

Если прямая «проходит» через внутреннюю точку трехсторонника С и через его «несобственную» (бесконечно-удаленную) вершину Б, то эта прямая будет параллельна двум параллельным сторонам трехсторонника и пересечет его третью сторону.

3. Прямая, не проходящая через вершины трехсторонника, но встречающая одну из его сторон, встречает еще другую его сторону, но только одну. Исключение составляют только те прямые, которые параллельны параллельным сторонам трехсторонника и встречают только его основание.

4. В трехстороннике внешний угол больше или равен внутреннему углу, с ним не смежному.

5. Если один из внутренних углов от трехсторонника — прямой, то другой будет острым. Такой трехсторонник мы будем называть прямоугольным, а стороны, прилежащие к прямому углу,— катетами.

Условия равенства трехсторонников

Трехсторонники называются равными, если они при наложении совпадут.

Два прямоугольных трехсторонника равны:

1) Если «катет», соединяющий «собственные» вершины одного из них, равен такому же катету другого;

2) Если острый угол одного из них равен острому углу другого.

В самом деле, острые углы таких трехсторонников будут углами параллельности их катетов, а мы знаем (см. очерк 2, теоремы VI и VIII), что если углы параллельности равны, то и соответствующие им перпендикуляры тоже равны, и взаимно.

Трехсторонник называется равнобедренным, если углы при собственных его вершинах равны. Сторону, соединяющую «собственные» вершины трехсторонника, мы будем называть его «основанием»

3) Два равнобедренных трехсторонника равны, если равны их основания. В самом деле, если из средин разных оснований этих трехсторонников мы восстановим перпендикуляры, то они разделят их на две пары прямоугольных трехсторонников, равных между собою по условию (I).

4) Два каких угодно четырехсторонника равны между собою, если основание и прилежащий к нему угол одного из них равны основанию и прилежащему к нему углу другого.

5) Два каких-нибудь трехсторонника равны, если углы, прилежащие к основанию одного из них, равны таким же углам другого.

Тригонометрические соотношения в прямоугольном трехстороннике

Фигура 5, которой мы пользовались при выводе основной формулы геометрии Лобачевского, состоит из прямоугольного треугольника ABC и из прямоугольного же трехсторонника БСБ, с «несобственной» (бесконечно-удаленной) вершиной Б и острым углом СВБ ^iz(BC) = тт(а), причем (равенство Vit) :

(VII')

Но по формулам (VIII):

Рис. 9

(VIII)

откуда

или, по сокращении,

(VIII)

Формулы (VU') и (VIII) являются различными формами одного и того же основного соотношения между длиной перпендикуляра а и углом его параллельности тт(а).

Тригонометрические формулы для произвольного трехсторонника

Возьмем произвольный треугольник ABC и приложим к нему вторую из формул (XV):

(XV)

Если мы станем удалять вершину С в бесконечность в каком-нибудь направлении, то Z С обратится в пределе в нуль, a cos С — в единицу, почему и формула (XV) в пределе обратится в такую:

а так как

то

откуда

(XIX)

Если трехсторонник — прямоугольный, например, если угол В — 90°, то угол А = ъ(с), и предыдущие формулы принимают такой вид:

т. е. мы получим формулы (VIII), связывающие длину перпендикуляра с углом его параллельности iz(c).

ТЕОРИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ У ЭВКЛИДА

М. Б. ГЕЛЬФАНД (Киев, Ундип)

Несмотря на давность (свыше 2 ООО лет) теории иррационального числа у Эвклида, эта теория и сейчас имеет для нас значительный математический и методический интерес.

Теория иррациональности у Эвклида дает возможность лучше понять новые теории иррационального числа (Дедекинда, Кантора и Вейерштрасса), которые должны служить основой для преподавания этого раздела математики в средней школе.

В классическом сочинении «Начала» Эвклида (II в. до н. э.) приведены в стройную логическую систему достижения математики прежних веков.

«Начала» на протяжении многих столетий были основным учебником геометрии и еще теперь в значительной мере определяют содержание и оформление курса геометрии в нашей школе.

Полагают, что «Начала» имели своей целью дать математическую подготовку для слушания курсов философии в греческих философских школах (Клейн). Поэтому Эвклид приписывал исключительную роль безупречному логическому оформлению, даже тогда, когда это шло в ущерб содержанию и применениям.

Эвклид обходит метрические проблемы геометрии и числовые операции, ибо считалось, что эта область есть грубая практика, недостойная науки. Эвклид придерживался традиции своих предшественников, резко разделяя науку о дискретном и науку о сплошном (геометрия). Доминирующую роль он от-

дает геометрии. Все же X и V книги «Начал», несмотря на их геометрический характер в форме теории геометрических отношении, трактуют в значительной мере вопросы рационального и иррационального чисел.

1. Существование несоизмеримых величин

Еще пифагорейцы знали о существовании иррациональных отношений. Они знали, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. Новейшие открытия устанавливают, что и древние вавилоняне знали о существовании иррациональностей (Нейгебауер).

В «Началах» Эвклида уже подается доказательство их существования. Доказательство исходит из такого основного свойства соизмеримых и несоизмеримых величин: соизмеримые величины относятся между собою, как некоторые (рациональные) числа, несоизмеримые величины не могут относиться между собой, как числа (5-я и 7-я теоремы X книги). Действительно, когда величины А и В соизмеримы, то они имеют общую меру. Пусть эта мера содержится в первой величине три раза, а во второй пять раз, тогда Л:В = 3:5.

Если бы несоизмеримые величины относились, как числа, то это означало бы, что они имеют (вопреки определению) общую меру.

На основе этого свойства Эвклид в 9-й теореме X книги устанавливает такое условие несоизмеримых отрезков:* «Квадраты, относящиеся между собой, как квадратные числа, имеют стороны по длине соизмеримые, а квадраты, которые не относятся между собою, как некоторые числа, имеют стороны по длине несоизмеримые».

Если стороны квадратов А и В соизмеримы, то они относятся между собою, как числа, потому что имеют общую меру. Когда же квадраты не относятся между собою, как квадратные числа, то и их стороны не могут относиться, как числа, т. е. стороны не будут иметь общей меры и потому несоизмеримы. Отдельно Эвклид рассматривает вопрос несоизмеримости диагонали квадрата с его стороною. У Эвклида два доказательства этой теоремы.

Первое доказательство. Имеем

или

т. е. площади квадрата АС и квадрата AB не относятся между собой, как квадратные числа, а потому, согласно предыдущей теореме (теорема 9) отрезки АС и AB несоизмеримы.

Второе доказательство. Допустим, что диагональ и сторона квадрата соизмеримы, т. е.

(р и с взаимно-простые числа); тогда

но

т. е. р число четное; пусть

/7=2*,

тогда или

2с'2 = 4к2, с2 = 2к2,

т. е. с2 и р числа четные, что противоречит условию (потому что мы допустили, что числа р и с взаимно-простые).

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

* Цитируем по переводу «Начал» Эвклида Ващенко-Захарченко.

Отсюда вывод: отрезки а и ß — несоизмеримы.

Полагаю, что второе доказательство дал не Эвклид, а один из его комментаторов*.

2. Алгоритм Эвклида и цепные дроби

Основным моментом в теории соизмеримости и несоизмеримости Эвклида есть его алгоритм, или способ нахождения общей меры двух величин. Величины, имеющие общую меру, Эвклид называет соизмеримыми величинами. Величины, не имеющие общей меры, Эвклид называет несоизмеримыми величинами. Алгоритм Эвклида базируется на следующем принципе исчерпывания: «Если от данной величины AB отнимем часть, большую ее половины, а от отстатка отнимем снова больше его половины и будем продолжать этот процесс неопределенно, то, наконец, получим такой остаток, который будет менее какой угодно малой данной величины»** (теорема 1, кн.Х).

Докажем, что в результате этого метода исчерпывания остаток (на отрезке А В) будет меньше какой угодно малой величины т.

Для доказательства возьмем отрезки AB и DE, притом DE>AB.

Пусть DE в 2* раз бгльше отрезка т: DE=2k.m\ теперь от отрезка AB отнимем отрезок АО>^- AB, а от отрезка DE отнимем отрезок DM=. тогда отрезок ОВ<

<ME=i2k-1.m.

То же самое мы сделаем с отрезками OB и ME.

Так как от остатка OB мы отняли отрезок OF<-^ OB, а от отрезка ME отняли, MN= — ME у то остаток

FB<hE=2K-2-m.

Если теперь эгот процесс исчерпывания применим £ раз, то в результате получим остаток, меньше 2к — к*т = т, т. е. получим, остаток, меньший какой угодно малой данной величины.

Способ нахождения общей меры двух величин заключается в последовательном исчерпывании большей величины меньшею.

Когда величины AB, CD соизмеримы, то в результате исчерпывания большей величины меньшей получим остаток, который будет общей мерой этих двух отрезков. Пусть в результате применения алгоритма Эвклида мы получим на отрезках AB, CD ряд остатков. ЕС, F А, КС... и др.

Пусть КС—последний остаток, который содержится без остатка в F А. Отрезок FA измеряет отрезок ЕК, ЕК измеряет отрезок BF, a BFизмеряет отрезок DE, отрезок КС, измеряя отрезки ЕК и DE, измеряет их сумму, т. е. отрезок DC

Точно так же отрезок КС, измеряя отрезок ЕК, измеряет и отрезок BF, т. е. отрезок КС измеряет отрезок BF и отрезок F А, а, значит, и весь отрезок ВА. Поэтому отрезок КС есть общая мера двух отрезков В А и DC

Отрезок КС есть наибольшая общая мера этих двух отрезков.

Доказательство. Допустим, что какой-нибудь другой отрезок а, больший от резка КС, представляет общую меру этих дв)х отрезков. Тогда отрезок а измеряет отрезок В А. Отрезок В А измеряет отрезок DE, т. е. отрезок а измеряет также и отрезок ЕС С другой стороны, отрезок ЕС измеряет отрезок

Рис. 4

Рис. 5

* Намек на это доказательство мы встречаем еще у Аристотеля. Аристотель, обосновывая причину несоизмеримости диагонали квадрата с его стороною, выразился однажды так: «Причина этой иррациональности лежит в том, что четные и нечетные числа должны были быть равными: Der Grund dieser Irrationalität liegt darin, weil spnst Grades und Ungrades gleich sein müsste» (Moritz Cantor «Vorlesungen über Geschichte der Mathematik» Bd. I S 154)

** M. Кантор также замечает, что из этого положения Эвклид не делает никаких выводов, даже тот, что отношение двух несоизмеримых отрезков можно всегда заменить таким отношением двух соизмеримых отрезков, которое будет отличаться от первого отношения на любую малую величину «...Zieht Euklid keine Folgerung aus ihm, nicht einmal die, welche man vor allen Dingen erwarten sollte, dass wenn zwei Grössen incommensurable sind, man immer ein der ersten Grösse Commensurables bilden könne, welches von der zweiten Grösse sich um beliebig weniges unterscheide» (M, Cantor, там же, стр. 231).

FA, отрезок FA измеряет отрезок КС. Мы пришли к противоречию, что большая величина а измеряет меньшую величину АТС, а это невозможно. Следовательно, отрезок КС есть общая наибольшая мера двух отрезков AB и CD.

В случае несоизмеримости отрезков процесс откладывания меньшей величины на большей, остатка — на меньшей величине и т. д. будет бесконечным, т. е. мы никогда не поручим остатка, равного 0.

Отношение двух отрезков в этом процессе представляется, как цепная дробь. Когда величины несоизмеримы, то эта цепная дробь будет бесконечна. Например, отношение гипотенузы квадрата к его стороне выражается такой бесконечной цепной дробью.

Это можно доказать последовательным исчерпыванием диагонали квадрата его катетом.

Отложим катет а на диагональ b (пусть на гипотенузе этот катет будет AM). Из точки M восставим перпендикуляр MN к АС.

Д MN& прямоугольный и равнобедренный, тогда MN=MC, но MN= ND (как касательные, проведенные до окружности из одной точки).

Теперь отложим на гипотенузе NC отрезок

NF = MC=l DC = DN-\-NF + FC=2l-\-

и проведем FF± J__ DC; тогда аналогично получим

МС= I = 2 lt + F2Q = 2^4- U и т. д.

Мы видим, что процесс исчерпывания гипотенузы катетом будет бесконечен. Из полученных неравенств

выведем, чему равняется отношение

(1)

Подставляя в равенство (1) последовательно ряд значений

получим:

Выражаясь нашим математическим языком и считая, что существование иррациональных чисел и действий над ними нам известны, мыслим, например, таким образом: если сторону квадрата принять за единицу, то отношение диагонали квадрата к его стороне равняется У 2 .

Из тождества выводим

Рис. 6

Рис. 7

3. Теория пропорций у Эвклида и ее сравнение с теорией иррационального числа у Дедекинда

«Говорят, что две величины имеют между собой отношение, если меньшую из них можно пов1 торить столько раз, чтобы результат был равен или больше большей величины» (теорема IV 4 книги V «Начал»). Это есть требование, чтоб для «величин» имел силу постулат Архимеда*.

Когда два отрезка А и В соизмеримы, то

m А = пВ,

или

(т и п — числа натуральные). Когда же величины А и В несоизмеримы, то всегда найдется натуральное число пт такое, что будет действительно такое двойное неравенство

птВ>А>(пт-\)В.

Если отрезок В разделим на m равных частей и нанесем эти части на отрезок А столько раз, сколько возможно, то в результате получим остаток, меньший одной из нанесенных частей.

Пусть на отрезке А отложилось пт— 1 таких частей, тогда

Если же отложить на отрезке А пт частей, то выйдет

Итак, или

(Û)

Итак, мы получаем распределение всей области положительных рациональных чисел на 2 класса:

нижний класс:

верхний класс

Покажем, что разделение рациональных чисел на 2 класса есть сечение Дедекинда, определяющее отношение

Для этого докажем:

1) что каждое число нижнего класса меньше каждого числа верхнего класса;

2) что в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем — наименьшего числа.

Возьмем любое число верхнего класса и докажем, что оно больше всякою числа нижнего класса.

1. Докажем, что

пусть

Выберем среди дробей (рациональных) со знаменателями ттг такую наименьшую дробь -, для которой будет действительно следующее неравенство:

(на рисунке - А означает отрезок OK).

Теперь сравним дроби

Первая дробь не меньше второй. На самом деле первую дробь можно преобразовать в такую дробь: величина этой дроби не изменилась, но если теперь этот самый отрезок OL измерять не частями —, а меньшими частями -, то этот отрезок содержит в себе или равно nmm1 таких частей или во всяком случае не меньше.

Рис 8

* Постулат Архимеда: «Я принимаю следующее... что из неравных линий и неравных площадей и неравных тел большее превосходит меньшее на такую величину, которая, будучи прибавляема к самой себе, может стать больше, чем любая заданная величина из тех, которые сравнимы между собою» (Вилейтнер. «Хрестоматия по истории математики»).

Итак,

Аналогично докажем, что

Итак, мы получим такое двойное неравенство:

2. Теперь докажем, что в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем — наименьшего числа.

Пусть в нижнем классе есть наибольшее число —-— и пусть В---—А —а: теперь, если мы N заменим большим числом Nl9 то

или

Поэтому неверно наше допущение, что в нижнем классе есть наибольшее число.

Аналогично докажем, что в верхнем классе нет наименьшего числа.

Итак, эти 2 класса рациональных чисел дают сечение Дедекинда, которое определяет величину отношений двух несоизмеримых отрезков А и В (а в нашем понимании —- величину иррационального числа —1.

Эвклид дает такое определение равенства двух отношений (а в нашем понимании условие равенства двух действительных чисел):

«Четыре величины находятся в том же отношении, первая ко второй и третья к четвертой, когда равнократные величины первой и третьей, взятые по произвольной кратности, всегда или больше, или равны, или меньше соответственно равнократных величин 2-й и 4-й, взятых также по произвольной кратности» (теорема 5, книга V). То есть, если даны 4 величины А, В, С, D, a m и п натуральные числа, то

тогда, когда для каждой пары значений m и п одно из трех отношений: I. тА<пВ; II. тА — пВ\ III, mA>nB влечет за собой соответствующее из соотношений:

IV. mC<nD; V. mC=nD; VI. mC>/zD.

Неравенства I—IV можно преобразовать, и тогда условие равенства двух отношений несоизмеримых величин напишется так:

соотношению

для каждого m должно соответствовать соотношение:

То есть, условие равенства двух отношений несоизмеримых отрезков (а в нашем понимании— двух иррациональных чисел) совпадает с условием равенства двух чисел в теории Дедекинда.

Условие неравенства отношений двух пар несоизмеримых отрезков (а в нашем понимании — условие неравенства двух иррациональных чисел) выглядит так: «Если кратное первой величины больше кратного 2-й, а кратное 3-й меньше кратного 4-й, то говорят, что отношение первой величины ко второй больше отношения третьей к четвертой» (теорема 7, книга V); то есть А.

тогда, когда при определенных т и п неравенству тА > пВ соответствует неравенства

mC<nD, т. е., когда неравенству — будет соответствовать такое неравенство

Следовательно, и это условие совпадает с условием неравенства двух иррациональных чисел по теории Дедекинда.

Отношение — больше отношения

(а в нашем понимании — иррациональное число — больше иррационального числа — В О

потому, что существует такое рациональное число —, которое одновременно принадлежит нижнему классу рациональных чисел сечения

— и верхнему классу рациональных чисел сечения — I.

4. Геометрическая алгебра иррациональных чисел у Эвклида

Произвольно взятый отрезок А Эвклид называет рациональным отрезком. Существует бесчисленное множество других отрезков, соизмеримых или несоизмеримых с данным отрезком.

Отрезки, соизмеримые с данным произвольно взятым отрезком, называются рациональными отрезками. Отрезки, несоизмеримые с данным отрезком, Эвклид* называет иррациональными отрезками (alogas).

Эвклид устанавливает понятие рациональных и иррациональных площадей: «Квадрат, построенный на взятой прямой, называется рациональным». Площади, соизмеримые с этим квадратом, называются рациональными, а несоизмеримые— иррациональными. Исходя из основного свойства, что соизмеримые величины относятся между собою, как (рациональные) числа, Эвклид доказывает такую теорему: «Если две величины А и В порознь соизмеримы с величиной С, то они соизмеримы между собой» (теорема 12).

Доказательство такое:

Так как отрезки А*и С, В и С соизмеримы, то они относятся между собой, как числа. Пусть

Отношения —> — можно всегда заменить отношениями таких целых чисел — и ~, чтобы

*i=eO(s);

пусть sx — ks (k — рациональное число); тогда

Видим, что отрезки А и В относятся между собой, как числа, а потому они соизмеримы.

Аналогично Эвклид доказывает, что когда одна из величин А и В соизмерима, а вторая несоизмерима с третьей С, то величины А и В несоизмеримы между собой (теорема 13); если же из двух соизмеримых величин Л, В одна, например Л, несоизмерима с третьей С, то величина В будет несоизмерима с С (теорема 14).

Эвклид оперирует отношениями отрезков так же свободно, как мы — действительными числами*.

Теорема 9 говорит, что «когда отрезки А и В по длине несоизмеримы, то квадраты, построенные на них, не могут относиться между собой, как квадратные числа»; на нашем математическом языке это означает, что квадрат иррационального числа не может равняться квадрату рационального числа.

Теорема 10. «Если из 4 пропорциональных величин Л, В, С, D первые две соизмеримы, то и последние будут соизмеримы, а если первые две несоизмеримы, то и последние также будут несоизмеримы». Это означает на нашем математическом языке, что рациональное число не может равняться иррациональному числу, и наоборот.

Эвклид рассматривает такое построение (теорему 15). Если из квадратов, построенных на 4 пропорциональных отрезках Л, В, C,D разность первых двух квадратов (А2—В2) есть квадрат, сторона которого соизмерима (или несоизмерима) со стороною Л, то разность двух остальных квадратов (С2—D2) есть квадрат, сторона которого соизмерима (или несоизмерима) со стороною С, т. е., когда Л : В = С : D и сторона \[А2 — В1 соизмерима (или несоизмерима) со стороною Л, то

* Эвклид еще устанавливает понятие соизмеримости в степени. Соизмеримые в степени величины это — те величины, квадраты которых соизмеримы. Таким образом, у Эвклида величины а и V7!? соизмеримы, потому что их квадраты а2 и b соизмеримы.

* Слово «иррациональный» ведет свое начало вероятно от неправильного перевода греческого слова на латинский язык. Это греческое слово, повидимому, означало «невыговариваемое число». Этим желали сказать, что эти новые числа, т. е. отношения отрезков, не могут быть выражены отношением двух целых чисел; лишь непониманием переводчика об'ясняется то, что эти числа оказались «нелогичными», как это, повидимому, выражается словом «иррациональные числа» (Ф. Клейн — «Элементарная математика с точки зрения высшей», т. I, стр. 10).

и сторона Y С2—D2 соизмерима (или несоизмерима) со стороною С. Дано: А : В = С :£, сторона Y А2— Б2 соизмерима со стороною Л.

Доказать, что сторона У^С2—D2 соизмерима со стороною С.

Доказательство:

или

Здесь видно, что если сторона у А2 — В2 соизмерима со стороною А, то и сторона Y С2*—D2 соизмерима со стороною С.

Теорема 18. Содержание этой теоремы такое:

Даны два отрезка AB и CD и на большем отрезке CD построен прямоугольник CF— такой, что площадь его равняется одной четверти площади квадрата ABNO и отрезок DE равняется отрезку EF.

Если при таком построении отрезок СЕ соизмерим (или несоизмерим) с отрезком EF, то и разность двух квадратов (CD2 — AB2) есть квадрат, сторона которого соизмерима (или несоизмерима) с отрезком CD.

Дано:

CE-EF=-AB2;

DE = EF.

Отрезок СЕ соизмерим с отрезком EF. Доказать, что:

отрезок YCD2 — AB2 соизмерим с отрезком CD.

Доказательство.

Имеем

но из соизмеримости отрезков СЕ и EF можно написать

тогда

то же самое

CD — CE-\- EF — потому отношение

т. е. отрезок j/C£>2 — AB* соизмерим с от резком CD.

Аналогично можно доказать, что когда отрезок СЕ несоизмерим с отрезком EF, то и сторона Y CD2 — AB2 несоизмерима с отрезком CD.

У Эвклида, конечно, отсутствует определение действий над иррациональными числами. Сложение и вычитание иррациональных чисел у него фигурируют в форме сложения и вычитания отрезков.

Теорема 16. Если сложить две соизмеримые величины AB, ВС, то их сумма — целая величина АС — будет величина, соизмеримая с каждой из частей AB и ВС, или если целая АС будет соизмерима с одной из частей AB или ВС, то эти части будут соизмеримы между собою, т. е. если АВ-\--\-ВС — АС и AB соизмерима с отрезком ВС, то отрезок АС соизмерим и с отрезком AB и с отрезком ВС.

Рис. 10

Доказательство.

Если отрезок AB соизмерим с отрезком ВС, то эти отрезки имеют общую меру т, которая будет измерять и величину АС.

Теорема 17. Если сложить две несоизмеримые величины AB и ВС, то целая величина АС будет несоизмерима и с отрезком AB и с отрезком ВС.

Действительно, если допустить, что отрезок АС соизмерим, например, с отрезком AB, то эти отрезки (АС и AB) имели бы обитую меру т. Очевидно, что величина т% измеряя отрезки АС и AB, измеряла бы и остаток АС — AB = ВС, т. е. отрезок ВС.

Следовательно, отрезки AB и ВС соизмеримы, что противоречит условию.

Эквивалент умножения иррациональных чисел у Эвклида мы находим в операциях с площадями.

Теорема 20. «Прямоугольник, имеющий рациональные, по длине соизмеримые стороны, будет рациональный», т. е. произведение рациональных чисел дает рациональное число.

Теорема 21 (обратная теорема). «Рациональный прямоугольник АС, построенный на рациональной прямой AB, будет иметь рациональную, по длине соизмеримую с ним высоту ВС», т. е. если произведение двух чисел есть число рациональное и один из множителей есть рациональное число, то и второй сомножитель всегда будет рациональное число.

Теорема 23. Прямоугольник BD, построенный на рациональном отрезке ВС, равняется квадрату, построенному на среднем* отрезке А, будет иметь высоту DC, несоизмеримую по длине с отрезком ВС, т. е. если CB-DC = А2, причем СВ рациональный отрезок, а А — иррациональный отрезок, то и отрезок DC будет иррациональный отрезок. Иначе говоря, произведение рационального и иррационального числа дает всегда число иррациональное.

Так развивается геометрическая алгебра Эвклида. Мы видим, что Эвклид оперирует отношениями отрезков так, как мы оперируем действительным числом.

С таким же мастерством Эвклид преобразовывает радикалы, упрощает двойные иррациональности*, не имея аппарата алгебраической символики. Для этого Эвклид классифицирует иррациональности. Он разбирает 25 видов иррациональностей. Эти иррациональности представляют собою квадратные радикалы и их комбинации, т. е. разговор идет об отрезках, которые можно построить циркулем и линейкою.

Надо признать великую силу математического мышления и воображения Эвклида, который смог, не пользуясь алгебраической символикой, представить себе и оперировать такими сложными иррациональностями

где величины а и b соизмеримы.

Выводы

Идею иррационального числа у Эвклида мы находим в скрытой геометрической форме отношения двух несоизмеримых отрезков. Теория иррационального числа у Эвклида имеет много общего с теорией иррационального числа у Дедекинда. Но Эвклид не дошел да идеи иррационального числа, он не рассматривал отношение отрезков, как чисто, он не обобщил понятия о числе (на случай числа иррационального). У Эвклида отсутствуют эффективные способы вычисления, отсутствуют определения арифметических действий над иррациональными числами. «Если бы Эвклид об'единил все равные между собою отношения в одну идею (в одно родовое понятие), то он дал бы строгое определение общего понятия о числе (рациональном и иррациональном). Но такая мысль далека от тех точек зр ния, на которых стоял Эвклид» (Вебер и Вельштейн — «Энциклопедия математики», т. I, стр. 144).

Для этого нужно было узаконить в математике идею бесконечности, которой избегала греческая наука.**

Рис. 11

* Средний отрезок это — один из 25 видов иррациональностей, принятых Эвклидом в своей классификации.

* На этом мы остановимся в отдельной статье.

** «Древние не предполагали, как это делали впоследствии новейшие математики, все величины, подвергаемые теоретическому исследованию, выраженными в числах, отнесенных к ка-

Тонкая логическая структура «Начал», видимо, особенно обнаруживается в X книге. Но здесь ясно обнаруживается диалектическое противоречие эвклидовского метода. Здесь больше сказывается давление формы на содержание.

Безусловно, все сложные геометрические операции над иррациональностями, при помощи современного математического аппарата, суть задачи, достаточно элементарные.

Отдельные моменты теории иррациональности у Эвклида могут быть использованы в преподавании в средней школе для геометрической интерпретации иррациональных чисел и преобразования иррациональных выражений.

ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ, ПОЛУЧАЕМЫЕ ОТ СЕЧЕНИЯ КУБА И ИЗГОТОВЛЕНИЕ ИХ ИЗ РАЗВЕРТОК

Методические материалы для кружковой работы в средней школе

П. А. КАРАСЕВ

§ 1. Введение

Наряду с вопросами и задачами текущего курса геометрии средней школы можно указать целый ряд тем, выходящих из рамок ее программы и вместе с тем представляющих значительный интерес как с чисто математической точки зрения, так и с точки зрения их практического применения. Такие вопросы математики можно штудировать во внеурочное время в математических кружках, составленных из учеников наиболее пытливых и живо интересующихся математикой.

Выбор тем для работы такого кружка должен быть особенно тщателен. Темы должны быть свежи и интересны и, вместе с тем, посильны учащимся и не должны требовать большой дополнительной теоретической базы. Применение тем к вопросам практики или связь их со смежными отделами техники или естествознания может придать им еще больший интерес в глазах учащихся. Помимо этого, работа над темами должна преследовать определенную методическую цель, в частности среди геометрических тем особенно ценными являются такие, которые способствуют развитию пространственного воображения и мышления.

Среди подобных геометрических тем мало найдется таких, которые могли бы соперничать по красоте и изяществу изучаемых об'ектов с теорией правильных и полуправильных многогранников. Недаром великие художники, как Леонардо да Винчи и Дюрер, изучали и зарисовывали их форму.

Но вместе с тем аналитическая сторона изучения их (в большей их части) вполне доступна учащимся и отличается не меньшим изяществом, чем чистогеометрическая.

Наконец, самое осуществление и изготовление самих тел не так уж трудно и вполне по силам учащимся, особенно если применить для вычерчивания разверток и склеивания тел приемы, указанные ниже. Самый процесс вычерчивания тел и их разверток и склеивания из них тел — в сильной степени развивает пространственное воображение. Наконец работа над правильными и полуправильными многогранниками является хорошей подготовкой к изучению кристаллографии, и с этой точки зрения интересы учащихся расширяются, выходя из рамок математики в широкую область естествознания.

§ 2. Методические замечания

Важнейшей целью изучения стереометрии является развитие пространственного воображения, т. е. отчетливого представления расположения прямых и плоскостей в пространстве, их пересечения, представления фигур, получаемых при этом,— представления величины и направления кривизны поверхностей и геометрических форм, получаемых от пересечения кривых поверхностей как между собою, так и с различными плоскостями и линиями.

кой-нибудь мере, принятой за единицу, но рассматривали их, как quota; такое предположение в приложении к несоизмеримым величинам потребовало бы введения иррациональных чисел; строгое определение этих последних включало бы в себя идею бесконечности, что было противно традициям греческих геометров» (Кеджори - «История элементарной математики», стр. 367).

При изучении стереометрии, в отличие от планиметрии, плоский рисунок далеко не всегда помогает уяснению поставленного вопроса. Рисунок, изображающий стереометрическую форму, надо сначала научиться читать, т. е. научиться пользоваться теми условиями, знание которых облегчает чтение и которые не всегда совпадают с действительно помогающими воображению требованиями естественной переспективы.

Плоский рисунок при изучении стереометрии есть вторая ступень наглядности; предшествующей ей ступенью является модель. Модели бывают самые разнообразные: сплошные деревянные, полые деревянные, металлические и картонные, каркасы проволочные, деревянные, бумажные-трубчатые, нитяные. Изучение модели является наиболее доступным способом изучения стереометрических образов. Имея модель и пользуясь правилами перспективы (для геометрии обычно ортогональной, реже—центральной) учащийся сможет и сам сделать чертеж изучаемого тела. При этом он научится применять условные правила переспективы, которые затем помогут ему правильно читать чертежи.

При изучении стереометрии и ее технических приложений чрезвычайно большое значение имеет изучение сечений тела (обычно сечений плоскостью). Сечение тела (операция, обратная проектированию) есть мощный метод изучения свойств тела. Неопытному глазу учащегося проследить контур сечения обычно бывает довольно трудно. Поэтому в начале изучения следует предпослать чертежам сечений предварительные эксперименты. Эти эксперименты могут быть самых разнообразных видов. Простейший из них, но и наименее точный — это изготовление моделей из пластичного материала, или материала легко поддающегося рассечению. Модели тел лучше всего вырезывать из крупного картофеля или из брюквы и затем производить сечения острым и тонким ножом. При достаточном навыке можно получить довольно удовлетворительные результаты. Ребра полученного тела следует раскрашивать остро очиненными химическими карандашами, причем периметр сечения следует выделять особым цветом, например красным.

Более точный, но и более трудный способ изготовления моделей тел, это вычерчивание разверток тела на бумаге и склеивание из них тел. Способы вычерчивания разверток даются в курсах черчения.

Как самое тело, так и части его, получаемые при сечении, учащиеся склеивают из развертки, вырезанной из плотной бумаги-папки. Так как работа вычерчивания разверток и склеивания из них тел требует значительного времени, то здесь предлагается несколько приемов, сокращающих обычный процесс черчения.

Методическое значение предлагаемых задач заключается, главным образом, в развитии пространственного воображения. Вот отдельные моменты этого процесса:

1) Прежде всего при самом задании сечения учащийся должен начертить его, а для этого он должен представить себе, как пройдут секущие плоскости и какие фигуры получатся от пересечения этих плоскостей с поверхностью данного тела, а иногда и между собою.

2) Затем, представив себе совокупность граней тела, получаемого от сечения, и представив себе самое тело, учащийся должен осуществить его, т. е. склеить разверку как самого тела сечения, так и оставшихся от сечения частей (обрезков). Изготовление развертки, обыкновенно состоящей из одного неправильного и сложного многоугольника, рассеченного целой сетью прямых, является прекрасным упражнением в деле развития пространственного воображения.

3) Склеивая развертки тела и тут же начертив его в аксонометрической или центральной переспективе, учащийся должен решить ряд задач на вычисление по отношению к этому телу: определить его об'ем, полную поверхность, двугранный угол (или углы) между гранями, между ребрами, наклон ребра к грани и т. д. Здесь ему придется проводить ряд прямых линий как на поверхности тела, так и внутри его, находить их функциональную связь и на основе ее решать поставленные вопросы.

Вся эта работа дает богатый материал как для развития пространственного воображения, так и для развития функционального мышления.

§ 3. Несколько сведений о полуправильных многогранниках

Сведения о правильных многогранниках можно найти почти в каждом учебнике геометрии. Менее известны так называемые «полуправильные многогранники». Так называются многогранники, имеющие равные ребра и равные конгруентные многогранные углы. Гранями их являются правильные многоугольники разных видов. Одноименные многоугольники должны быть равны, разноименные должны иметь разные стороны.

Так, например, полуправильные многогранники могут быть ограничены равными квадратами и равными треугольниками, равными пятиугольниками и равными шестиугольниками и т. д. Основными пунктами учения о полуправильных многоугольниках являются: классификация таких многогранников, число и виды многоугольников, которые могут быть гранями полуправильных многоугольников, число их граней, ребер и вершин, число граней многогранного угла, вычисление поверхностей и об'емов этих тел, вычисление их двугранных углов, радиусов вписанных и описанных шаров и, наконец,—симметрия многогранников.

Полуправильные многогранники были известны еще Архимеду, открывшему несколько видов их. Ими занимались великие ученые, как Кеплер, и художники Леонардо да Винчи и Дюрер. Учение о них оформилось в начале XIX в. в работах Köstner'a и Sergonne'a, и в позднейшее время—Catalane, M. Brückner'a и других.

Построение полуправильных многогранников осуществляется обычно усечением ребер правильных многогранников.

Исследование их видов ведется на основании общеизвестной формулы Эйлера: e-\-f= = k-\-2 (т. е. число вершин + число граней равно числу ребер+2) и теорем о плоских углах трехгранного и многогранного углов, т. е. тем же методом, который применяется к исследованию правильных многогранников.

В отличие от правильных многогранников (их число 5), число полуправильных многогранников не ограничено. Это легко видеть из следующих соображений:

I. Правильная призма, в основании которой лежит правильный многоугольник с п сторонами, а боковыми гранями служат квадраты, — полуправильный многогранник. Сумма плоских углов его многогранного угла выражается такой формулой:

При любом n S<360°, следовательно число таких полуправильных многогранников не ограничено.

II. Четырехгранный угол без участия правильного треугольника составить рз правильных многоугольников нельзя. На самом деле: наименьшие из углов правильных фигур, следующих за треугольником,— углы квадрата, дают для суммы 4 плоских углов формулу: 4-90 = 360. Образовав четырехгранный угол из 3 углов правильных треугольников и одного угла правильного л-угольника, мы получим такую формулу для суммы плоских углов этого четырехгранного угла

И здесь при любом п 5<360°.

Такие комбинации выделяют бесчисленное множество полуправильных многогранников с четырехгранными углами. Это — так называемые «антипризмы», имеющие в основании равные правильные многоугольники, расположенные так, что против вершины одного из них находится средина стороны другого. Боковыми гранями их служат правильные треугольники.

III. Исключив эти два общих случая — правильных призм и антипризм,— в дальнейшем получим, как это выясняется при подробном исследовании, ограниченное число комбинаций, дающих нам уже ограниченное число полуправильных многогранников, именно 13, с различным числом граней—от 8 до 9.

§ 4. Формулы для числа вершин, граней и ребер полуправильных многогранников*

Если мы выберем определенный тип грани (например треугольник, квадрат и т. п.) и определенное число граней этого типа, расположенных при одной вершине полуправильного многогранника, то можно составить формулы, позволяющие исследовать вид многогранника, и установить общее число таких видов.

Как известно из теоремы Эйлера, число вершин многогранника, сложенное с числом его граней, больше числа его ребер на 2. Обозначая число всех вершин многогранника буквой Е, число граней его через F, а число ребер через К, мы выразим эту теорему так:

E + F — K—2.

Как сейчас увидит читатель, конструкция многогранного угла полуправильного многогранника вполне определяет вид многогранника, т. е. число его вершин, граней и ребер, а также число граней каждого вида, образующих поверхность многогранника. Поэтому обратимся к исследованию одного из многогранных углов нашего многогранника. Ниже (примеч. 1) будет доказано, что число

* Вывод формул 4—7 взят из «Сборника геометрических задач ыа построение» А. Н. Глаголева, 1890 г.

различных типов многоугольников, ограничивающих многогранник, не может быть более 3.

Пусть даны 3 типа граней, образующих многогранник.

Одна грань I типа содержит а сторон:— а-угольник

Одна грань II типа содержит b сторон:— ^-угольник

Одна грань III типа содержит с сторон: г-угольник.

Пусть при одной вершине находится а граней I типа, ß граней II типа, у граней III типа, т. е. многогранный угол образован а а-угольниками, ß £=угольниками, ус-угольниками.

Подсчитаем теперь общее число плоских углов многогранника. При одной вершине находится а плоских углов I типа, ß— плоских углов II типа, у — III типа. Следовательно, общее число плоских углов при одной вершине равно <x-|-ß-f-y. А так как всего вершин £?, то общее число плоских углов многогранника равно

С другой стороны, при каждом ребре расположено 4 плоских угла; полагая число ребер К, получим общее число плоских углов при всех ребрах = iK, но так как каждый плоский угол образуется двумя ребрами, то при предыдущем подсчете мы каждые плоский угол считали 2 раза, следовательно общее число плоских углов многоугольника будет в два раза меньше, т. е. = 2АГ.

Таким образом Е (а -f- ß -\- у) = 2К. ( 1 ). Формула дает зависимость между числом ребер и числом вершин.

Выразим теперь число граней многогранника F через Е.

Число граней I типа при одной вершине —<ху

» » » > » всех Е вершинах=: = *Е.

Но так как каждая грань имеет а вершин, то при предыдущем подсчете мы каждую грань считали а раз, следующее общее число граней 1 типа =— (2).

Подобным же образом подсчитывая, получим, что число всех граней II типа будет равно - (2), число всех граней III типа будет равно

(3)

Следовательно, общее число граней многогранника равно

(4)

Подставляем выражения для 2К и F в формулу Эйлера, придав ей такой вид: 2Е + 2/7 — 2K=i.

откуда получим выражение Е через а, Ь, с, и а, ß, v. (5)

(6)

Примечание 1. Число типов правильных многоугольников, ограничивающих полуправильный многогранник, не может быть более 3. В самом деле, допустив 4 типа и взяв при этом при вершине по одному многоугольнику с наименьшими углами, т. е. 3-,4-,5-и 6-угольники, мы получим для многогранного угла сумму углов: 60°-f-90°-|--f 108°-j- L20°=378°, т.е. число, большее 360°.

Примечание 2. Полуправильный многогранник может иметь лишь трех-, четырех- и пятигранные углы, так как шестигранный угол с наименьшими плоскими углами, равными 60°, дает для них сумму 360°.

Обратимся теперь к рассмотрению различных видов полуправильных многогранников.

§ 5. Многогранники с трехгранными углами и с гранями 2 типов

Положим, что трехгранный угол образуется одним многоугольником I типа и двумя многоугольниками II типа. Тогда а=1, Р=2, у = 0.

Формула для Е принимает такой вид:

или после преобразований

(7)

Давая а и b разные значения, мы будем получать различные виды полуправильных многогранников с трехгранными углами.

При этом следует иметь в виду, что Е (число вершин) должно быть целым и положительным числом.

1) Полагаем, что трехгранный угол нашего многогранника образован одним правильным я-угольником и двумя квадратами. Тогда «=1, ß = 2 а — п, Ь — \.

Число граней I типа — прав, я-угольника.

Число граней II типа =

Число граней F

т. е. получаем правильную л-угольную призму с 2 основаниями (правильные я-угольники) и п боковыми гранями — квадратами.

2) Положим теперь а = 3\ Ь — 6, т. е. при вершине сходятся 1 треугольник и 2 правильных шестиугольника

Тогда число вершин

Число граней I типа (правильных треугольников) =

Число граней II типа (шестиугольников)=

Получаем полуправильный восьмигранник, ограниченный 4 правильными треугольниками и 4 правильными шестиугольниками (см. задачу 5). Общая формула его поверхности (4III-4- 4VI). Число ребер его К = -Е(*А+ Ê) = 18.

о) Положим теперь « v т. е. при вершине сходится один правильный треугольник и 2 правильных восьмиугольника.

Тогда Е —

Число граней I типа (правильный треугольник) =

Число граней II типа (правильный восьмиугольник) =

Получаем полуправильный 14-гранник, образованный 8 правильными треугольниками и 6 правильными восьмиугольниками.

Формула числа граней (8111-^ 6VIII). (См. задачу 7.) Число ребер его К — 1 .24(1 + 2) =36. 2

4) Положим теперь Тогда число вершин F1 — число граней I типа (правильный треугольник) = — = 20.

F2 — число граней II типа (правильный десятиугольник) = - ^ = 12.

Число ребер К—~ -60-3 = 90.

Общее число граней F = 32. Получается правильный 32-гранник, ограниченный 20 правильными треугольниками и 12 правильными десятиугольниками.

Общая формула его (20III + 12Х). Получается при рассечении додекаедра.

Примечание 1. При а~3 b не может быть более 10, так так, полагая £=12, мы получаем Е = оо. Сумма плоских углов трехгранного угла в этом случае = 60° -f-4- 2.150° = 360°, при *>12 получаем £<0.

Примечание 2. Если предположить случай, что а = 3, а Ь — нечетному числу, например 9, то хотя формула для Е дает целое число 36, но построить многогранник нельзя.

В трехгранном угле b должно быть число четное. В самом деле, поместив один £-угольник в средине и приставляя к нему по очереди а-угольник и ^-угольник, мы можем только в том случае образовать при всех его вершинах трехгранные углы одной схемы (abb), с одним а-угольником и двумя £-угольниками, если ^-угольник содержит целое число пар сторон (см. рис. 1)

Рис. 1

Рис. 2

Если же b — нечетное число (см. рис. 1), то получаем один трехгранный угол, образованный не по схеме (abb), а по схеме (aab).

5) Полагая а = 4, Ь = 6, получим для Е

Число граней I типа Ft = - —6 квадратов).

Число граней II типа F2 —-=8 (шестиугольников).

Многогранник ограничен 14 гранями, из которых 6 квадратов и 8 правильных шестиугольников. Формула (6IV-f-8VI). (См. задачу 6.) Число ребер: К=— 24 (3) = 36.

При а = 4, b не может быть более 6. В самом деле, полагая b = 8 (только четному числу), мы получим Е — СО.

Сумма плоских углов трехгранного угла при этом равна 90° -\- 2 ■ 135° = 360°.

6) Полагая а = о, Ь = 6, получим Ft — число граней I типа = —— = 12 правильных треугольников.

Fm — число граней II типа =-----= 20 пятиугольников.

Многогранник имеет 32 грани, ограничен 12 правильными треугольниками и 20 правильными пятиугольниками. Получается от сечения икосаедра. Число ребер его К = 60---3 = 90.

§ 6. Многогранник с трехгранными углами, образованными гранями 3 типов

Предположим теперь, что наш трехгранный угол составлен из 3 правильных многоугольников разных типов. Тогда л = ^ — ^ = — 1 и формула (6) для Е принимает такой вид:

(8)

Таких многогранников может быть только два.

7) а=4, ô = 6, с = &.

Fx — число граней I типа = квадратов.

F2— число граней II типа = правильных шестиугольников. Fz — число граней III типа = правильных восьмиугольников

Многогранник имеет 26 граней (12IV-J--f- 8VI -J- 6VIH) ; получается от сечения октаедра (или куба).

8) Пусть а = 4; £ = 6; с=10;

число граней I типа 30 квадратов.

Ы20 ПЛ г с, —число граней II типа =-=20 шестиугольников.

Z7« — число граней III типа ——12 десятиугольников.

Общее число граней /7=62.

Число ребер; АГ=120. 1.3 = 180.

Полуправильный 62-гранник (30IV -|-20VI-|-12Х), получается из икосаедра.

Таким образом, всего имеется 8 видов полуправильных многогранников, имеющих трехгранные углы; из них 1-й вид общего типа — призмы с я-сторонами.

§ 7. Многогранники с четырехгранными углами

I. Предположим, что каждая вершина многогранника четырехгранная, и пусть граней I типа при ней 3, т. е. а = 3. » II » » » 1, т. е. ß = 1.

Тогда формула для Е принимает вид:

или

(9)

9) Полагая а — 3, можем дать b любое значение п.

Тогда Е =

Z7!—число граней I типа = *^—^-—2п правильных треугольников.

F2 — число граней II типа =-= 2 правильных я-угольников.

Получается антипризма, имеющая своими основаниями правильные и равные /г-угольники, а боковую поверхность, составленную из 2п правильных треугольников.

10) Положим теперь, что а = 4, £ = 3. тогда

az=3, я = 4, 3=1, £ = 3.

F± — число граней I типа =

F*— число граней II типа =

формула (18III-f 61V)

Общее число граней F=26.

Получается 26-гранник (см. § 11, задача № 8). Образуется сечением куба (или октаедра).

При Ь>3 многогранники невозможны, так как £=°оИли Е<0.

II. Предположим, что четырехгранный угол образован двумя многоугольниками I типа и двумя многоугольниками И типа, т. е. а = 2 и ß=2. Тогда основная формула для £ примет такой вид:

(10)

11) Допустим, что а=3, £ = 4, т. е. четырехгранный угол образован двумя правильными треугольниками и двумя квадратами, тогда

а = 2, а= 3, 0 = 2, ^ = 4,

Подставляя эти значения в формулу (10), получим:

Число граней I типа F* = 8 треугольников.

Число граней II типа F9=zE 12-- = 6 квадратов.

Общее число граней F—\4.

Формула поверхности (8111 -j- 61V).

Число ребер К=— 12 (2 + 2) = 24.

Полученный при этом полуправильный 14-гранник может быть построен посредством сечения ребер куба или октаедра пополам (см. § 11, задачи № 3, 4).

12) Положим, что а = 3, £ = 5, т. е. четырехгранный угол образован двумя правильными треугольниками и двумя правильными пятиугольниками ;

а = 2, а = 3, ß = 2, £ = 5.

Тогда по формуле 10 получим

Число граней I типа Л = 30 • — = 20 треугольников.

Число граней II типа F2 = 30 = 12 пятиугольников.

Всего граней /7=32. Формула поверхности (20111-f- 12V).

Число ребер ЛГ= —30 (3 + 5) = 120.

Полученный 32-гранник образуется посредством рассечения ребер икосаедра пополам.

Значения а>3 и i>5 дают для Е отрицательные числа.

13) Предположим теперь, что четырехгранный угол образован правильными многоугольниками трех типов, причем один из них треугольник, два — квадрата, один — пятиугольник. Тогда, следовательно, полагая

а = 1, р=2, т=1, а = 3, £ = 4, с = 5,

получим для Е такую формулу:

Число граней I типа Л = 60 - — = 20 треугольников.

тов. Число граней III типа F3 = 60- — = 12 правильных пятиугольников.

Всего граней /7=62. Формула поверхности (20III -{- 301V -{- 2V)

Число ребер ЛГ = —-3.60 = 90.

Полученный полуправильный 62-гранник образуется путем сечения икосаедра.

§ 8. Полуправильные многогранники с пятигранными углами

Пусть пятигранный угол многогранника образован многоугольниками двух типов, причем граней I типа при каждой вершине будет 4, а второго типа — 1,т. е. а = 4; ß = = 1; у = 0. Тогда формула для Е примет такой вид:

(формула 11)

14) Полагая, что грань I типа — правильный треугольник, а грань II типа — квадрат, мы получим таблицу;

а = 4, я = 3, ß=l, à = 4, которая для Е дает

Число граней I типа Ft = 24 • — = 32 правильных треугольника.

Число граней II типа F* = 24 - i- = 6 квадратов.

Общее число граней F = 38.

Формула поверхности (32lII-f-6IV).

Число ребер АГ= —24-5 =; 60.

15) Положим теперь, что при предыдущих условиях гранью II типа будет служить правильный пятиугольник.

Тогда

а = 4, ö = 3,

ß — 1, b — b по формуле (Н)

Число граней II типа /\,=60 • — = 30 квадратов

Число граней I типа Ft = 60 • —= 80 правильных треугольников.

Число граней II типа F2 — 60 “jT= ^ правильных пятиугольников.

Общее число граней F = 92. Формула поверхности (80III 12V).

Число ребер: АГ=— -60 (4+1) = 150.

При иных значениях а, ß, у и а, £ и с в случае пятигранных углов получаются для Е дробные, бесконечные или отрицательные значения.

Таким образом, всего существует 15 полуправильных многогранных тел, из них два — общего типа: я-сторонняя призма и 2л-угольная антипризма.

Ниже приводим таблицу полуправильных многогранников с указанием числа и типов их граней, числа вершин и ребер.

§ 9. Таблица полуправильных многогранников

Обозначения: число граней полуправильного многогранника — F, число вершин его — Еу число ребер его — /С Число сторон многоугольника I типа = а, II типа=£, III типа = с. Число многоугольников I типа, сходящихся в вершине телесного угла многогранника = а, число многоугольников II типа, сходящихся в вершине телесного угла = ß. III — соответственно = у.

Число граней, являющихся многоугольниками I типа — Fv II типа = /72, Ш типа = = FS.

§ 10. Построение простейших полуправильных многогранников

Основной способ построения полуправильных многогранников это — отсечение от правильных многогранников равных частей плоскостями, рассекающими ребра их одинаковым способом.

I. Деление ребер пополам.

а) Рассекая ребра тетраедра пополам плоскостями, получаем октаедр.

б) Делая то же с кубом, получаем полуправильный 14-гранник, ограниченный восемью правильными треугольниками и шестью квадратами, что можно записать такой формулой (8111 +6IV).

в) Рассекая пополам ребра каждого из четырехгранных углов октаедра плоскостью, мы получаем полуправильный 14-гранник такого же вида, что и выше (8Ш-|--J-6IV). Об'яснить это можно тем, что куб и октаедр — сопряженные правильные много-

Число граней телесного угла

а

b

с

«

Р

7

1

Е

К

F

1

4

3

п

3

1

2

2

2 п

4 п

2 п+2

антипризма

2

3

п

4

1

2

2

п

2 п

3 п

п+2

призма

3

3

3

6

_

1

2

_

4

4

_

12

18

8

4

3

3

8

1

2

8

6

24

36

14

5

3

3

10

1

2

20

12

60

90

32

6

3

4

6

1

2

—.

6

8

24

36

14

7

3

5

6

1

2

12

20

60

90

32

8

3

4

6

8

1

1

1

12

8

6

48

72

26

9

3

4

6

10

1

1

1

30

20

12

120

180

62

10

4

3

4

_

1

3

_

8

18

_

24

48

26

11

4

3

4

2

2

8

6

12

24

14

12

4

3

5

2

2

20

12

30

60

32

13

4

4

3

5

2

1

1

30

20

12

60

120

62

14

5

3

4

_

4

1

_

32

6

_

24

60

38

15

5

3

5

4

1

83

12

60

150

92

гранники: число граней одного равно числу вершин другого, и обратно.

г) Рассекая подобным же образом ребра каждого из трехгранных углов додекаедра, мы на месте каждой из 20 вершин его ставим правильный треугольник, а прежние пятиугольные грани заменяем новыми (меньшими) пятиугольными гранями, вписанными в прежние. Таким образом получаем полуправильный 32-гранник. Формула поверхности его (20111+12V).

д) Делая подобное же построение с икосаедром, мы создаем на месте каждой из 12 его вершин правильные пятиугольники, а на месте каждой из 20 граней вчетверо меньшие треугольники. В результате получается 32-гранник, подобный предыдущему, с формулой поверхности (20IH+12V). Это понятно, так как додекаедр и икосаедр — сопряженные правильные многоугольники.

II. Удвоение числа сторон каждой грани правильного многогранника.

е) Деля плоскостями ребра тетраедра в отношении 1:2, мы заменяем каждую треугольную грань правильным шестиугольником; в результате получаем полуправильный восьмигранник с формулой поверхности (4III + 4VI).

ж) Из октаедра при подобном же рассечении ребер (1:2) получается полуправильный 14-гранник с формулой поверхности: (6IV + 8VI).

з) Из икосаедра при таком же построении образуется полуправильный 32-гранник, ограниченный 20 правильными шестиугольниками и 12 правильными пятиугольниками, с формулой поверхности (12V + 20VI).

и) Удвоение числа сторон квадрата, т. е. образование правильного восьмиугольника, вписанного в квадрат путем замены ломаной части его периметра прямолинейным отрезком, достигается более сложным построением (см. задачу № 8). Отсекая от ребра куба с обеих сторон отрезки, равные ^1—^^ j его, и проводя через точки деления плоскости, мы образуем полуправильный 14-гранник, ограниченный шестью правильными восьмиугольниками и восемью правильными треугольниками. Формула поверхности (6VIH + + 841).

к) Поступая аналогичным образом с додекаедром, мы образуем полуправильный 32-гранник, ограниченный 12 правильными десятиугольниками и 20 правильными треугольниками. Формула поверхности (20Ш + + 12Х).

Дальнейшие, более сложные (см. задачу № 8) построения дают полуправильные 26-, 38-, 62- и 92-гранники.

§ 11. Система тел, получаемых от сечения куба

Куб, как и всякое другое тело, можно рассекать бесчисленным множеством способов. Особенно интересны такие сечения, которые дают в результате или правильные многогранники, или так называемые полуправильные многогранники.

Эти задачи отличаются своеобразной красотой, заключающейся как в красоте и симметрии получаемых тел, так, с другой стороны, в изяществе алгебраических формул, в которых все искомые в конечном итоге выражаются в виде функций одного аргумента, а именно: ребра данного куба. Об'емы тел отличаются лишь коэфициентами, стоящими при а3, поверхности — коэфициентами, стоящими при а2, линейные величины — коэфициентами, стоящими при я, углы характеризуются тригонометрическими функциями, несложно выраженными. При этом между об'емами куба и об'емами получаемых от его сечения тел получается очень интересная и в большинстве случаев рационально выраженная зависимость.

Вот система более простых тел, получаемых от последовательного сечения куба.

А. Правильные многогранники

1. Куб, рассеченный четырьмя плоскостями, дает тетраедр, ребро которого равно диагонали грани куба, т. е. я)^2, и четыре правильные треугольные пирамиды, причем об'ем тетраедра равен —об'ема куба, а пирамида = — —части об'ема куба.

2. Рассекая далее полученный тетраедр четырьмя плоскостями, проходящими через средины ребер его трехгранных углов, мы получаем октаедр, ребро которого равно половине ребра тетраедра, или ребра куба. Об'ем октаедра равен ^-об'ема тетраедра или —об'ема основного куба.

Б. Полуправильные многогранники

3. Рассекая далее октаедр шестью плоскостями, делящими каждое ребро его на 3 равные части, отсекаем от октаедра 8 правильных четыреугольных пирамид, и в результате получаем полуправильный 14-гранник с ребром, равным ребра куба, а об'ем -^у-об'ема куба. 14-гранник этот ограничен шестью квадратами и восемью правильными треугольниками.

4. Возвращаясь к кубу, рассечем каждый из трехранных углов его плоскостью, делящей ребра куба пополам,— получим полуправильный 14-гранник, ограниченный шестью квадратами и восемью правильными треугольниками. Ребро этого 14-гранника равно радиусу круга, описанного около грани куба,

Об'ем 14-гранника равен 1/14 = — а3.

5. Можно отсечь плоскостью от каждого из 8 четырехгранных углов куба правильную треугольную пирамиду так, что каждая грань куба превратится в правильный восьмиугольник.

Тогда мы получим 14-гранник нового типа. Он будет ограничен шестью правильными восьмиугольниками и восемью правильными треугольниками, ребро его равно (^2—l) ребра куба и об'ем — (y^—l) об'ема куба.

6. Рассекая каждый из трехгранных углов тетраедра плоскостью так, чтобы ребра тетраедра делились на 3 равные части, мы получим полуправильный восьмигранник, ограниченный четырьмя правильными шестиугольниками и четырьмя правильными треугольниками.

Об'ем этого восьмигранника составляет — об'ема куба.

7. Рассекая октаедр шестью плоскостями, причем каждая из них делит соответственно ребра одного из трехгранных углов октаедра пополам, мы получим полу правильный 14-гранник, ограниченный восемью правильными треугольниками и шестью квадратами.

Об'ем этого 14-гранника составляет---об'ема куба.

8. Наконец, рассекая куб способом более сложным, указанным в задаче № 8§ 11, причем как вершины его (8), так и ребра (12) заменяются гранями, мы получаем полу правильный многогранник с 26 гранями (26 = 8 -|— 12 + 6). Об'ем его гг2в=— а3 (8-5 V 2).

Полное изучение полуправильных многогранников выходит за границы возможностей средней школы, но изучение наиболее простых тел, особенно тех, которые получаются от сечения куба — вполне по силам даже средним учащимся IX и X классов. Вместе с тем в геометрии мало найдется областей, где бы предметы изучения были так изящны, как здесь. Недаром великие художники, занимались полуправильными многогранниками. Но красота здесь не только внешняя — зрительная; здесь имеется еще и аналитическая красота — изящество и простота получаемых формул. Все это заставляет рекомендовать отдел полуправильных многогранников для изучения в математических кружках средней школы.

§ 12. План работы с учащимися IX — X классов средней школы по изучению сечения круга и полуправильных многогранников

Задача № 1. Куб (рис. 3) рассечен четырьмя плоскостями так, что каждая из них проходит через 3 вершины куба. Каждая плоскость отсекает от куба правильную треугольную пирамиду, ребрами которой служат ребра куба.

1. Сделать чертеж сечения и заштриховать плоскости сечения, обращенные к зрителю.

2. Проверить чертеж на модели, вырезанной из картофеля или брюквы.

3. Определить, какое тело останется после удаления пирамид.

4. Вычислить по данному а — ребру куба: а) ребро оставшегося тела, б) его поверх-

Рис. 3

ность, в) об'ем; при этом установить, какую часть об'ема куба составляет это тело, г) двугранный угол между гранями тела, д) наклон ребра к грани.

5. Те же вопросы решить относительно отсекаемой от куба пирамиды.

6. Начертить развертки куба, пирамиды и остающегося тела.

7. Склеить все части куба и составить из них целый куб.

Решение. Полагая ребро правильного тетраедра = Ь, получим его об'ем = — £3|/2 .

Так как * —aj/2, то v тетраедра =

Об'ем пирамиды = —а3 (см. § 12, п. 4);

об'ем 4 пирамид (— об'ема октаедра) =

т. е.

об'ем правильного тетраедра, ребром которого служит диагональ грани куба, составляет о дну треть о б'ема куба.

Иначе: об'ем куба равен сумме об'емов правильного тетраедра и половины октаедра, ребра которых равны диагонали грани куба.

Поверхность тетраедра S = 2a2 |/з~

Решение вопроса 5.

Развертки: отсекаемой пирамиды — рисунок 4, правильного тетраедра — рисунок 5.

Задача № 2. Правильный тетраедр, полученный выше в задаче № 1, рассекается четырьмя плоскостями, делящими ребра тетраедра пополам (рис. 6).

1. Сделать чертеж сечения, заштриховать плоскости, обращенные к зрителю.

2. Вырезать модель тетраедра из какого-нибудь мягкою материала и произвести указанные сечения.

3. По чертежу определить, какое тело останется после удаления пирамид.

4. Начертить развертки всех 5 частей тетраедра.

5. Склеить пять тел и составить из них тетраедр.

6. Вычислить: а) об'ем остающегося тела, как функцию а — ребра основного куба; определить, какую часть об'ема первоначально данного куба составляет вычисляемый об'ем,

б) полную поверхность остающегося тела,

в) двугранный угол между его гранями.

7. Для отрезываемого тетраедра: а) вычислить его об'ем и, сравнив с об'емом тетраедра задачи № 1, подчеркнуть правильность теоремы: «Об'емы подобных тел относятся, как кубы соответствующих линейных элементов»; б) Вычислить поверхность.

8. Показать, что об'ем остающегося тела равен сумме об'емов отсекаемых тетраедров.

Решение задачи № 2 (см. рис. 6). В сечении получается октаедр и 4 правильных тетраедра.

I. а) Обозначим ребро октаедра через с. Тогда рассматриваем октаедр как сумму двух пирамид с квадратным основанием.

откуда

Об'ем октаедра

Как функция ребра куба

Об'ем октаедра равен — части об'ема ос-

Рис 4

Рис. 5

Рис. 6

новного куба и половине данного в задаче тетраедра.

2. Об'ем отсекаемого (малого тетраедра) г/4 = — b3 у 2, ребро тетраедра равно —— следовательно,

3. Об'емы тетраедров данного и отсекаемого относятся

т. е., как кубы ребер.

4. Двугранный угол октаедра:

5. Поверхность октаедра =

6. Развертки: октаедра — рисунок 7, отсекаемого малого тетраедра — рисунок 8.

Рис. 7

Рис. 8

Задача № 3.

Октаедр, полученный в задаче № 2, рассечь шестью плоскостями так, чтобы каждая из них рассекала ребра телесного угла октаедра пополам (рис. 9 и 10).

1. Сделать чертеж сечения.

2. Сделать сечение на модели (вырезанной из картофеля или брюквы).

а) Определить по чертежу число граней

тела, оставшегося после удаления 6 пирамид (полуправильного многоугольника), б) выяснить, какие у него грани и по скольку каждого вида, в) каковы его ребра.

Рис. 9 Рис. 10

3. Начертить развертки отсекаемых пирамид и оставшегося полуправильного многогранника и склеить самые тела. Составляя их вместе, убедиться в том, что они образуют октаедр, равный данному.

4. Вычислить об'ем отсекаемых пирамид пользуясь формулой, данной в § 12. п. 3.

5. Вычислить об'ем полученного полуправильного многогранника сначала как функцию ребра октаедра, а потом как функцию исходного куба (задача № 1).

6. Вычислить его двугранные углы.

7. Вычислить поверхность остающегося тела;

Решение задачи № 3

Обозначим peбpo полученного 14-гранника через d. Тогда об'ем отсекаемой от октаедра пирамиды равен v — -^d3 j/2~. Ребро пирамиды равно половине ребра октаедра: d = следовательно, об'ем пирамиды выразится, как функция ребра куба так: v —

5. Об'ем полуправильного 14-гранника:

Две отсекаемые пирамиды, сложенные, образуют «малый» октаедр, об'ем которого равен — а3.

Отношение об'ема этого октаедра к об'ему

Рие. 11

Рис. 12

данного равно

т. е.

отношению кубов их ребер. Поверхность 14-гранника=

Задача № 4.

Куб с ребром а рассечь восемью плоскостями так, чтобы каждая делила 3 ребра одного из трехгранных углов куба пополам (рис 13, 14).

1. Сделать чертеж, заштриховав видимые плоскости сечения.

2. Сравнить результат с моделью, сделанной из брюквы или картофеля.

3. Сравнить полученный после удаления

8 пирамид многогранник с многогранником предыдущей задачи (№ 3).

Какими и сколькими многоугольниками он ограничен? Каковы его ребра?

4. Начертить развертки отсекаемых частей куба и оставшегося тела.

5. Склеить из разверток тела и составить из них куб.

Рис. 13 Рис. 14

6. Вычислить:

а) ребро полуправильного многогранника,

б) об'ем отсекаемой пирамиды,

в) об'ем полуправильного многогранника, как функцию ребра куба,

г) отношение об'ема полученного многогранника к об'ему многогранника задачи № 3; при этом проверить справедливость теоремы об об'емах подобных тел,

д) полную поверхность многогранника,

е) его двугранный угол (или углы).

Показать, что об'ем полуправильного многогранника, сложенный с об'емом октаедра, имеющего то же ребро, что и полуправильный многогранник, дает в сумме об'ем куба (см. рис. 15).

Рис. 15

Решение задачи № 4.

a) Ребро:

б) Об'ем отсекаемой пирамиды:

в) Об'ем полуправильного 14-гранника:

г) Отношение об'емов

д) Двугранный угол: а = 180 —;3~114о05'.

е) Поверхность тела Su = а2 (3 -\- |/з).

Отношение к поверхности S1V полученной в задаче № 4 514 : Su = 4, т. е. поверхности подобных тел относятся как квадраты их ребер.

Отношение к поверхности куба=:

3. Развертка — та же, чго и в задаче № 3.

Задача № 5

Тетраедр задачи M т1 рассечь четырьмя плоскостями так, чтобы они делили ребра каждого трехгранного угла тетраедра в отношении 1:2 (рис. 16, 17).

Рис. 16 Рис. 17

1. Сделать сечение на чертеже и ножом ка мягкой модели.

2. Какими и сколькими правильными многоугольниками ограничено это тело? Как его назвать?

3. Начертить развертки отсекаемых тетраедров и развертку остающегося тела.

4. Склеить тела и составить из них данный тетраедр.

5. Вычислить:

а) ребро тела,

б) об'ем малого тетраедра. Проверить теорему об отношении подобных тел,

в) об'ем остающегося полуправильного многогранника, как функцию ребра куба (задача № 1).Сравнить с об'емом куба,

г) полную поверхность остающегося тела, как функцию ребра куба; сравнить ее с полной поверхностью куба.

д) двугранные углы тела.

Решение задачи № 5

а) Ребро тела

б) Об'ем малого тетраедра vA на основании формулы § 6,

Об'ем данного тетраедра (см. задачу № 1 )

Отношение об'емов V^:v^ — 27 (т. е. отношению кубов ребер).

в) Об'ем остающегося полуправильного восьмигранника

Об'ем v8 составляет — об'ема данного куба.

г) Полная поверхность s8 = s4—12 площадей «малых» треугольников s8 = (108 — 12)

Но

Следовательно,

Развертки тел (см. рис. 18, 19).

Рис. 18 Рис. 19

Задача № 6

Октаедр задачи № 2 рассечь шестью плоскостями так, чтобы каждая из них делила ребра октаедра в отношении 1:2 и отсекала от него правильные четыреугольные пирамиды (рис. 19, 20).

1. Сделать чертеж сечения и рассечь ножом мягкую модель.

2. Какое тело получается в сечении? Равны ли его ребра? Сколькими и какими гранями ограничено это тело? Как назвать его?

3. Начертить развертки отсекаемых пирамид и остающегося тела, использовав для этого развертку октаедра.

4. Склеить из разверток тела и составить из них данный октаедр.

5. Вычислить:

а) ребро остающегося тела,

б) об'емы отсекаемых пирамид,

в) об'ем остающегося тела, как функцию ребра основного куба (задача № 1) и сравнить с об'емом куба,

Рис. 20

Рис. 21

г) полную поверхность остающегося тела,

д) двугранные углы его.

Решение задачи № 6

а) Ребро полуправильного 14-гранника

б) На основании формулы § 2 п. 3

Об'ем полуправильного 14-гранника составляет — об'ема основного куба (задача № 1). г) Полная поверхность su =

д) Двугранные углы. Развертки (рис 22 и 12).

Рис. 22

Задача № 7

Рассечь куб восемью плоскостями так, чтобы каждая плоскость пересекала один из трехгранных углов куба, и каждая из граней куба после удаления треугольных пирамид превратилась в правильный восьмиугольник (рис. 23 и 24).

Рис. 23

1. Сделать чертеж сечения и заштриховать фигуры, полученные в сечении.

2. Выполнить сечение на мягкой модели. Равны ли ребра полученного многогранника? Сколькими и какими гранями ограничено тело?

3. Начертить развертки отсекаемых пирамид и остающегося многогранника, использовав для этого развертку данного куба.

4. Склеить из разверток тела и составить из них куб.

5. Вычислить, полагая ребро данного куба равным а:

а) ребро многогранника,

б) об'ем отсекаемой пирамиды (на основании § 12, п. 3),

в) об'ем многогранника, как функцию ребра куба, и определить отношение этого об'ема к об'ему данного куба,

г) поверхность многогранника и отношение ее к поверхности куба,

д) двугранный угол многогранника.

Решение

а) Ребро многогранника k =

Пояснение:

откуда

б) Об'ем отсекаемой пирамиды (на основании § 6, п. 4):

в) Об'ем многогранника

Отношение к об'ему куба — (\/2 — 1 ).

г) Поверхность многогранника: обозначая отсекаемую с каждой стороны часть ребра куба через /;

получим 514 =

Подставляя значение

д) Двугранные углы: а = 90°;/3= 114°05 (см. задачу № 4).

Развертки (рис. 25 и 4).

Рис. 24

Рис. 25

Задача № 8

Полуправильный 26-гpанник

Дан куб с ребром = а.

Проведем в одной из граней квадрата диагональ (рис. 26). Отложим на ней сторону квадрата а. Тогда оставшаяся часть диагонали DE будет равна а\/ 2 — а = а (^~2 — 1 ).

Этот отрезок DE будет стороной правильного восьмиугольника, вписанного в данный квадрат. На самом деле, обозначив сторону такого восьмиугольника через х, мы получим

откуда

Решая

Рис. 26

это уравнение, получим x^a(\f2 — 1); отложив на стороне квадрата DF=DE, разделим отрезок AF пополам в точке К. Отложив от концов каждого ребра отрезки, равные АК, мы наметим тем самым вершины правильного восьмиугольника.

Затем через соответственные точки деления (например Е и F) противоположных сторон каждой грани проведем прямую (параллельную ребру куба). Таких прямых придется провести 24. Взаимным пересечением этих прямых на каждой грани образуется квадрат со стороною, равною стороне правильного восьмиугольника. Соединив вершину каждого такого квадрата с ближайшими двумя вершинами квадратов на двух смежных гранях, мы получим всего 12 квадратов и 8 равносторонних треугольников (доказать). Проведя через периметры этих фигур плоскости, мы образуем полуправильный 26-гранник (12.IV + 8-III) (рис. 27).

Задачи: 1) Начертить куб и в нем описанный выше 26-гранник.

2) Вырезать из мягкого материала куб и затем из куба 26-гранник.

3) Начертить развертку, составив ее из двух неравных частей.

4) Склеить из развертки 26-гранник.

5) Доказать, что начерченный и вырезанный многогранник ограничен равными квадратами и равными правильными треугольниками.

6) Вычислить по данному ребру куба:

а) ребро многогранника,

б) его двугранный угол,

в) его поверхность,

г) его об'ем.

Решение задачи № 8

а) Ребро 26-гранника т есть сторона восьмиугольника, полученного из грани куба путем отсечения 4 треугольников и равно а (]/2~— 1)^ 0,414а (грубо ^0,4а).

б) Двугранный угол =135°.

в) Полная поверхность

г) Об'ем

Об'ем 26-гранника вычисляется, как разность об'ема куба и 8 об'емов ^ и 12 об'емов v2. При этом vx есть — об'ема малого куба, помещающегося в трехгранном углу основного куба; ребро малого куба равно крайней части ребра куба, разделенного способом, указанным в начале задачи. Так как сторона восьмиугольника равна т = а(У~% — 1), то крайняя часть /z = -^-(2 — ]/2 ).

Поэтому

v2 вычисляем, как об^ем призмы с площадью основаниям— и высотою — т.

Рис. 27

Рис. 28

Отсюда

Развертка — рисунок 28.

§ 13. Некоторые формулы, необходимые для решения задач № 1—8

Для вычисления об'емов отсекаемых частей полезно пользоваться следующими формулами:

7. Формула об'ема тетраедра (правильного), как функция его ребра (рис. 29).

Рис. 29

Ребро тетраедра

2. Формула об'ема октаедра, как функция его ребра (рис. 30).

Рис. 30

Ребро октаедра = я,

3. Об'ем правильной четырехугольной пирамиды с равными ребрами —~j об'ем а октаедра^

4. Об(ем правильной треугольной пирамиды с плоскими углами при вершине, равными 90°, вычисленный, как функция бокового ребра (рис. 31).

Боковое ребро z=zß. Сторона основания = а ]Х2.

Рис. 31

§ 14. Применение сеток: квадратной и треугольной—при вычерчивании разверток тел, получаемых от сечения куба

(См. задачу № 1 —7).

Вычертить развертки тел, описанные в задачах № 1—8, и притом каждую самостоятельно,— дело очень кропотливое и мешкотное. Работу можно сильно упростить и сократить: развертки более сложных тел можно получить или из развертки куба или из развертки тетраедра и октаедра путем соответственных усечений и добавлений.

Основную развертку куба легко начертить имея под руками квадратную сетку с квадратами, равными граням куба, т. е. со сторонами сетки, равными ребрам куба. Вычерчивание разверток, отсекаемых в задаче № 1

треугольных пирамид, а также всех тел задачи № 7 можно легко осуществить на этой же сетке (см. рис. 24 и 4).

Развертку тетраедра нетрудно вычертить на тщательно вычерченной правильной треугольной сетке, образованной тремя системами параллельных прямых, проходящих друг от друга на равном расстоянии и пересекающихся с прямыми других двух систем под углом в 60°. Взаимное пересечение их дает равные правильные треугольники.

При этом в задаче № 1 ребро тетраедра вдвое больше ребра октаедра (задача № 2), втрое больше ребра восьмигранника (задача № 5) и в 6 раз больше ребра 14-гранника (задача № 6). Поэтому проще и практичнее всего взять мелкую треугольную сетку со сторонами, равными 4-части ребра основного тетраедра (задача № 1) и для ребер остальных тел брать соответственно по 2, по 3 и по 6 сторон ячеек сетки. Контуры разверток были уже даны выше, но от учащегося следует добиваться, чтобы он самостоятельно изобретал способы черчения разверток в форме, наиболее симметричной.

В случае сложных разверток вполне возможно разбивать их на две части. Нередко от этого развертки становятся более симметричными. Для склеивания тел вообще следует сложные развертки разрезать на части.

Для того чтобы ребра многогранников были строго прямолинейны, развертку надо по линиям сгиба слегка прорезать на половину толщины листа бумаги, папки или картона, из которой склеивается тело.

Ниже приводится таблица, указывающая, на какой сетке следует вычерчивать развертку данного тела и сколько единиц ее брать для ребра этого тела.

ЛИТЕРАТУРА

1. Глаголев А. Н. —Сборник геометрических задач на построение.

2. Brückner — «Vielecke und Vielflache».

3. Holtzmüller — Elemente der Stereometrie.

О СПРЯМЛЕНИИ ОКРУЖНОСТИ

А. ЭЛЬЯШЕВИЧ

Дана окружность О, сторона правильного шестиугольника CD и диаметр AB, перпендикулярный к CD. Продолжаем прямую CD и отлагаем по ней от точки M (пересечение AB с CD) прямую MN, равную 6 радиусам. Прямая AN приблизительно равна длине окружности О, причем ошибка не превышает 0,00015 длины диаметра, или 0,00005 длины окружности. Высчитать ее длину можно следующим образом: AN2 = AM2-\-MN2. Считая диаметр равным единице, имеем: AN2 — AM2-\-(З)2. АМ = АО-^ОМ-АО = 0,5, а ОМ — \[ ОС2 —MC2, откуда ОМ = j/(V2)2 - (74)2 = V4 V3~= 0,4330127, откуда ЛМ2 = (0,5 +0,4330127)2 = = 0,87051269836129; таким образом, AN= |/9^87051269836129 < 3,14174, последняя величина превышает длину окружности меньше чем на 0,00015 длины диаметра.

ТЕОРЕМА ТАНГЕНСОВ

В. СКРЫЛЕВ

Существует несколько геометрических доказательств теоремы тангенсов. Одно из них дано в курсе тригонометрии Крогиуса. Другое, построенное на иных соображениях, можно найти в статье Н. Кувыркина «Доказательство закона тангенсов», помещенной в № 2 журнала «Математическое образование» за 1930 г. Это доказательство является несколько видоизмененным доказательством Georges'a, помещенным в американском журнале «School Science and Маthemathics» за 1929 г. и основанным на гармонически разделенном отрезке.

Упомянутые здесь доказательства довольно сложны, поэтому не лишено интереса следующее простое доказательство.

Пусть в Д АВСх>$. Проведем через точку В до пересечения с продолжением стороны АС прямую BD, составляющую со стороною AB ^/ABD—cl. В результате получаем Д BCD, в котором /_ BCD = a -f- ß, a/CßD = a — f.

Далее, полагая CD = d 9 найдем, что BD—=iAD = b-\-d. Значит, в Д BCD полупериметр треугольника BCD

Применяя теперь к Д BCD известные формулы

где г радиус вписанного в Д ABC круга, найдем:

(радиус круга, вписанного в Д BCD), откуда разделив почленно первое равенство на второе, будем иметь:

МЕТОД ТЕНЕВОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ ПРИ ДЕМОНСТРАЦИИ ОПЫТОВ ПО ФИЗИКЕ

А. А. ПОКРОВСКИЙ

В русской дореволюционной методической литературе и руководствах по физике для различных типов школ, а также и в русской современной литературе до сих пор не разработан более или менее подробно вопрос о методе теневого проектирования и его роли при демонстрации классных опытов по физике.

Некоторые намеки на применение этого метода, проникшего к нам, повидимому, из западной школы и выражающиеся в трех-четырех оригинальных примерах, разбросаны в разных переводных и русских руководствах по физике, изданных еще до мировой войны.

Так, в известной книге Абрагама — «Сборник элементарных опытов по физике»— в опыте, иллюстрирующем влияние наэлектризованного тела на форму вытекающей струи, применяется теневое проектирование этой струи на экран. В книге «Практические занятия по физике» Григорьева, Знаменского при описании работы на параллелограм сил рекомендуется направлеление составляющих сил отмечать при помощи тени от нитей, спроектированных на лист бумаги. Или в известном в свое время учебнике физики Индриксона указывается на теневое проектирование кругового маятника для демонстрации перед аудиторией простого гармонического колебательного движения. В дальнейшем проник в учебники физики и распространенный теперь опыт с плоской ванной, через стеклянное дно которой проектируют на потолок тени волн, распространяющихся по поверхности воды.

Современная русская методическая литература не дала чего-либо нового сверх приведенных выше примеров. В методике физики Знаменского и др. и в методике физики Соколова, вышедших в 1934 г., а также в методике физики Гана, переизданной у нас в 1935 г., этот вопрос вообще не затрогивается.

Очень слабо представлен метод теневого проектирования и в специальной книге «Методика и техника демонстрационных опытов по физике» Зибера, Красикова и Челюсткина, изд. 1934 г. В ней кроме опыта с ванной, о котором говорилось выше и который в книге описан подробно, имеется лишь три упоминания о теневом проектировании (стр. 46, 60 и 107). Причем все они не содержат необходимых методических и технических подробностей и, за исключением одного случая, даны так, что не заставляют учителя-экспериментатора прибегать, а следовательно и постепенно приучаться именно к этому сравнительно новому и простому методу.

Вероятно, единственной из современных русских книг, где видно, что метод теневого проектирования действительно нашел себе должное место, правда, при демонстрациях опытов только в одной области физики, является очень полезная, свежая книга проф. Млодзеевского — «Демонстрации по молекулярной физике», изд. 1934 г.

Между тем сравнительно давно появившиеся в русском переводе книги проф. Поль

* Эти формулы обычно в курсах тригонометрии следует за теоремой тангенсов. Но в данном случае эта последовательность является делом традиции, а не логической необходимости.

«Введение в механику и акустику» и «Введение в учение об электричестве», в которых этим методом достаточно широко и удачно пользуются, как вполне установившимся и где даже конструкция некоторых приборов проведена с учетом возможности получения от них наиболее выразительной тени, несомненно должны были бы наложить известный отпечаток и на технику физического эксперимента в нашей русской школе и на конструкции некоторых, выпускаемых в настоящее время промышленностью, приборов.

Мой опыт частичного применения этого метода при чтении лекций по физике в Военной воздушной академии и по методике физического эксперимента в пединституте с несомненностью подтвердил его методическую ценность, рациональность и предпочтение в достаточно многих случаях перед обычным способом показа некоторых демонстрационных опытов. При подкупающей простоте осуществления метода теневого проектирования его главным достоинством, как показала практика, является то, что мало отвечающая требованию в демонстрационном смысле (не наглядная) аппаратура становится при такой постановке очень выразительной и воспринимается аудиторией с большем интересом.

Все это подчеркивает необходимость и полную возможность введения этого метода более или менее широко в практику преподавания физики именно средней школы, где в настоящее время пред'являются серьезные требования к классному эксперименту, а в то же время в физических кабинетах еще чувствуется недостаток в хороших демонстрационных приборах, и на уроках физики нередко приходится пользоваться неполноценной в смысле наглядности аппаратурой.

С целью помочь учителю и положить начало более широкому внедрению метода теневого проектирования в практику преподавания физики в средней школе остановимся прежде всего несколько подробнее на самой технике проектирования. Затем, чтобы оттенить самостоятельное значение этого метода наряду с другими, повышающими выразительность классных демонстраций, опишем некоторые опыты, типичные для его применения. И, наконец, дадим перечень некоторых школьных приборов и опытов, могущих многое выиграть при теневом проектировании.

Идея этого метода крайне проста. Она заключается в получении на вертикальном экране-стене или горизонтальном экране-потолке увеличенной в несколько раз тени данного прибора или целой установки с тем, чтобы на этой тени можно было всей аудитории коллективно рассмотреть нужные детали, мало заметные на самом приборе при обычном обозрении, или проследить постепенные изменения, происходящие в установке в течение опыта.

Но увеличенную, резкую и отчетливую тень во всех малейших деталях, как известно, можно получить путем подбора соответствующего источника света, близкого к точечному. А создать подходящие условия для удобного обозрения этой тени, когда она хорошо выделялась бы на экране, можно путем получения достаточно яркого и равномерного освещения экрана. Поэтому наиболее удовлетворяющей требованию теневого проектирования надо признать из современных источников света вольтову дугу с тонкими углями и несколько менее удовлетворяющей, но зато более удобной в обращении, обычную кинолампу на 12 вольт и мощностью 50 ватт. Такую лампу в связи с широким распространением в настоящее время кинопередвижек достать легче, чем вольтову дугу; кроме того, при работе она не требует почти никакого ухода за собой и может питаться в случае необходимости электроэнергией от аккумуляторной батареи.

Важное значение в успешном зрительном восприятии учащимися тени на экране играет и фон, окружающий эту тень. Как правило, фон должен быть совершенно ровным, без каких-либо посторонних деталей, обычно разбивающих внимание аудитории и отвлекающих от основного об'екта наблюдения. Кроме того, фон не должен чрезмерной яркостью очень быстро утомлять и, тем более, раздражать зрение учащихся. Фон, как иногда выражаются фотографы, должен быть «покойным» и «мягким». Очень важно обратить внимание и на то, чтобы источник света был обязательно закрыт со стороны аудитории и «не слепил» глаза учащихся.

Когда за источник света берут вольтову дугу, то для защиты от излишних лучей — задних, боковых и верхних — при вертикальном теневом проектировании удобно пользоваться кожухом любого проекционного фонаря. Для этого располагают фонарь перед экраном, как для обычного прозрачного проектирования*. Снимают с него об'ектив и конденсатор

* Экран значительно выгоднее вешать не на стену за экспериментальным столом, как это часто делается, а на отдельной стойке несколько сбоку от стола под углом 40—45° к стене. Тогда фонарь почти не мешает аудитории видеть экран, и используется рационально большая площадь экспериментального стола.

и располагают дугу против центра отверстия для конденсатора. Затем помещают перед конденсатором на своем обычном месте рамку для диапозитивов, в которую вставляют картонный экран с квадратным или лучше круглым вырезом, такого размера, чтобы пучок лучей, проходящий через него от вольтовой дуги, укладывался на экране, не освещая других побочных предметов.

Если теперь в этот пучок лучей между фонарем и экраном поместить тот или иной прибор, то на экране проложится его резкая, ясная тень. В зависимости от того, на каком расстоянии от экрана расположить предметы и источник света (в данном случае фонарь с вольтовой дугой), меняется и величина тени.

Когда же источником света выбирается кинолампа, то лучше для теневого проектирования совсем не пользоваться кожухом проекционного фонаря, обычно достаточно громоздким, ограниченным в движениях, а завести для целей проектирования отдельный, легкий, переносный осветитель.

Самый простой из них, дешевый, достаточно удобный и в то же время вполне пригодный, к которому и мы иногда прибегаем в своей практике, можно собрать во всяком физическом кабинете средней школы из следующих простых частей: нормальной кинолампы на 12 вольт с цвановским патроном (или электролампы на 12 вольт с нормальным патроном, так называемой котельной), мягкого длинного шнура электропроводки, глубокого жестяного рефлектора (колпачка) для подвесных электроламп и штатива Бунзена с одной лапкой (рис. 1).

Рис. 1

Патрон для лампы укрепляется в рефлекторе при помощи обыкновенной корковой пробки, а картонная диафрагма с круглым или квадратным отверстием, ограничивающая пучок лучей, идущих от осветителя на экран,— при помощи кольца из узкой полоски картона, прикрепленного изнутри к краю рефлектора (рис. 2).

Рис. 2

Собранный таким образом прибор может свободно передвигаться вместе со штативом вперед и назад, вращаться вокруг горизонтальной оси и подниматься вверх и вниз, т. е. будет иметь все необходимое для получения теневой проекции в любых вариантах. В случае надобности, свободно перемещая такой подвижной «теневой проектор» в нужных направлениях от проектируемого предмета, можно резко подчеркнуть на тени необходимую деталь прибора или целой установки.

Чтобы придать фону более приятный тон, можно защитить источник света слабо окрашенным цветным стеклом или слюдой*.

Как правило, приборы при теневом проектировании следует располагать на какой-либо достаточно устойчивой подставке, которую обычно помещают при этом на экспериментальном столе. Наиболее удобной является подставка, изображенная на рисунке 3.

Рис. 3

Она имеет простое приспособление для быстрого изменения высоты и угла наклона верхней крышки, в то же время при проектировании эта подставка не создает на экране сплошной «тяжелой» тени, почему лучше гармонирует с разнообразными физическими приборами.

* При кинолампе, дающей сравнительно мало света, всякий светофильтр является излишним.

Удобен также и весьма распространенный в физических кабинетах подъемный столик Липшица, а для малых приборов — обычный круглый под'емный столик*.

Помимо источника света для проектирования разных опытов на потолок (горизонтальная проекция), необходимо иметь еще неглубокую ванну с краями приблизительно в 5 см высотой и со вставным дном из хорошего бемского стекла. Такую ванну довольно просто изготовить из четырех деревянных брусков длиною не менее 65 см, а шириною и толщиною —6 см и 1— см, связавши их шипами в квадратную рамку. Пэ всей длине бортов этой рамки, внутри ее, приклеиваются столярным клеем и вместе с тем для большей прочности прибиваются деревянные рейки, сечением 1X1 см, на которые должно опираться своими краями стекло, служащее в рамке дном.

Чтобы стекло сидело в рамке плотно и не пропускало воды, нужно в углы, образованные рейкой и стенкой рамки, положить сначала тонкий и ровный слой хорошей, мягкой оконной замазки, а затем к ней плотно прижать стекло. Когда эта замазка засохнет, нужно заново промазать стекло свежей замазкой, но со стороны рамы, изнутри, так, как это делают стекольщики, вставляя стекло в оконную раму.

Через два-три дня, когда замазка высохнет и стекло окончательно «сядет» на место, всю раму снаружи и внутри покрыть не менее двух раз масляной краской — черной эмалью. К внешнему краю ванны со всех четырех сторон прибивают гвоздями с большими головками (обойными) какую-либо более или менее плотную черную материю такой длины, чтобы она свободно спускалась на пол, когда ванну располагают над полом приблизительно на высоте 60—80 см (рис. 4).

Материя нужна для того, чтобы устранить боковой свет от источника при пользовании ванной*.

Для демонстрации опытов с ванной ее обычно опирают краями на 2 высоких табурета, стола или какие-либо другие подставки такой же высоты и располагают всю установку перед экспериментальным столом, чтобы экраном могла служить вполне достаточная площадь потолка. Окна класса при этом затемняются. Затем под ванну помещают или вольтову дугу, угли которой в этом случае должны лежать в горизонтальной плоскости, или описанный выше теневой проектор, или кинолампу без всякой отражательной арматуры.

Имея под руками один из описанных выше источников света и такую ванну, можно показать целый ряд демонстрационных опытов в вертикальной и горизонтальной проекции.

Остановимся на некоторых из них.

Одним из простейших, но типичных опытов для вертикального проектирования можно считать, например, наблюдение за конвекцией струй теплого воздуха над горящей спиртовкой, электрической лампой или каким-либо нагретым телом: гирей, металлическим шаром, электрической плиткой и т. д.

Дело в том, что при обычном способе показа струи теплого воздуха, идущие от нагретого тела, совершенно незаметны и непосредственному наблюдению не поддаются. Поэтому о них обычно судят по вращению бумажной или какой-либо иной легкой вертушки. Но стоит только нагретое тело поместить в проходящие лучи от точечного источника света и получить на экране резкую увеличенную тень, как эти струи, благодаря неодинаковому преломлению света холодным и теплым воздухом, становятся отчетливо заметными. Особенно выразительно этот опыт получается с электрической плиткой, которую можно показать сначала холодной, затем включить ток и наблюдать по мере нагревания плитки все увеличивающиеся потоки теплого воздуха.

Если зажженную газовую горелку, спиртовку или свечу поместить так, чтобы потоки теплого воздуха проходили между пластинками раздвижного конденсатора — довольно распространенного прибора в средней школе** — и постепенно заряжать эти пластинки от электростатической машины, то на тени

Рис 4

* См. книгу Покровского «Оборудование физического кабинета», стр. 69, рис. 67.

* См. описание подобной ванны также в книге Галанина, Горячкина и др.— «Физический эксперимент в школе», т. II.

** См. Двинянинов — Учебные пособия и политехническое оборудование, стр, 131, рис. 320.

ясно видно, как тепловые струи разделяются на две части вследствие определенного взаимодействия с положительно и отрицательно заряженной пластинкой. Опыт наглядно показывает, что продукты горения, перемещающиеся с теплыми потоками воздуха, оказываются заряженными разноименным электричеством. Этим и об'ясняется ионизирующее действие всякого пламени и наблюдающееся в присутствии его спадение листочков разноименно заряженных электроскопов.

На тени легко обнаружить, что тепловые струи от достаточно (докрасна) нагретого твердого тела (гайки, гири и т. п.) ведут себя в поле конденсатора иначе: заряженный конденсатор почти не влияет на характер их обычного движения вверх.

Подобно потокам теплого воздуха при помощи теневого проектирования можно наглядно показать, как вытекают из стеклянной трубки и газы, например, углекислый газ. Для этого трубку соединяют при помощи резины с баллоном для жидкого углекислого газа или с прибором Киппа и, спроектировав трубку на экран, выпускают газ медленной, ровной струей. Если рядом с этой трубкой поместить в таком же положении другую, из которой выпускать, например, светильный газ, то можно легко видеть, как углекислый газ падает вниз: он тяжелее воздуха, а светильный газ поднимается вверх — он легче воздуха.

Особенно просто и красиво протекает опыт на экране с парами эфира, когда их переливают из склянки с небольшим количеством эфира в какой-нибудь сосуд емкостью в 1 — 1 — литра с плоско-параллельными стенками из хорошего, ровного стекла (рис. 5).

Когда сосуд окажется наполненным, пары переливаются через край и падают вниз. Если теперь медленным движением сосуд немного наклонить, а затем снова отпустить, чтобы он быстро занял свое первоначальное положение, то на экране будет ясно видно, как часть паров подобно жидкости, «выплеснется» из сосуда. Медленно перевертывая сосуд дном вверх, можно эффектно «разлить» пары на подставку.

Нужно заметить, что обычный химический стакан для этого опыта не годится, так как лучи света сильно «играют» в стекле стакана и на экране получается ряд бликов, правда, красивых, но мешающих наблюдению основного явления (рис. 6).

Очень удобен метод теневого проектирования и для демонстрации всевозможных, опытов с мыльными пленками на проволочных контурах: растяжение нитяной петли при прорыве пленки, боковое сжатие натянутых нитей при образовании на них пленки, давление мыльных пузырей и т. п.*

Чтобы эти опыты показать лишь более или менее удовлетворительно без проектирования, размеры проволочных контуров обычно стремятся взять побольше, но тогда приходится прибегать к особенно хорошим мыльным жидкостям, составленным по специальному рецепту, иначе опыты идут не отчетливо. При теневом же проектировании размеры контуров могут быть взяты достаточно малы, когда очень многие опыты прекрасно получаются с самым обыкновенным водным раствором почти любого мыла или мыльного порошка для бритья (концентрацию раствора в этом случае приходится подбирать опытным путем). Выразительность же опытов с пленками при теневом проектировании, благодаря увеличенному масштабу, безусловно выигрывает, тем более, что сравнительно прозрачные

Рис. 5

* См. подробное описание опытов с мыльными пленками в книге профессора Млодзеевского— Демонстрации по молекулярной физике, изд. 1934 г.

Рис. 6

в проходящих лучах света мыльные пленки все же дают хорошо заметные тени на экране.

Примером более сложной установки, требующей вертикального теневого проектирования, может служить установка с электромагнитом в опытах, иллюстрирующих диамагнитные свойства тел и токи Фуко. Так как индукция магнитного поля здесь играет существенную роль, то на полюсы электромагнита надевают железные наконечники — «башмаки»—и оставляют между ними по возможности минимальное расстояние.

В первом опыте между башмаками, раздвинутыми на 2—2— см подвешивают за середину на тонкой некрученой шелковинке вдоль силовых линий поля тонкий f 3 мм 1 2 I и короткий (около 2 см) стерженек из висмута или цинка и проектируют всю установку на экран (рис. 7). Затем включают максимально допустимый ток в обмотку электромагнита и наблюдают поворачивание стерженька, стремящегося установиться поперек силовых линий поля.

Во втором опыте — убирают висмутовый стерженек и, повернув башмаки электромагнита на 180° вокруг вертикальной оси, сближают их так, чтобы между ними оставалось пространство только в 3—4 мм. Если теперь установку спроектировать сильно увеличенной на экран и в пространство между наконечниками электромагнита пустить свободно падать медную или серебряную монету (пятачок из красной меди, полтинник), то на экране очень наглядно видно застревание монеты, когда она, падая, пересекает магнитное поле, вследствие образующихся в ней токов Фуко.

В этих установках внимание учащихся привлекается к изменению положения предметов, настолько незначительных по размерам (толщина стерженька и монеты приблизительно 2—3 мм), что видеть их и замечать изменения, происходящие с ними при обычном обозрении вся аудитория безусловно не может. Поэтому только в теневой проекции эти опыты приобретают определенный смысл, так как им придается необходимейшее свойство всякого классного эксперимента — наглядность.

Нужно сказать, что сама методика демонстрирования опытов при теневом проектировании может быть различна. Есть, например, такие опыты, в которых теневое проектирование играет настолько узко подсобную роль, что прибегают к нему лишь в некоторые моменты демонстрирования опыта и на сравнительно короткое время.

Рис. 7

Таков опыт с электромагнитом, описанный выше, или опыт, показывающий вес воздуха с грубыми весами Беранже, описанный проф. Полем*.

В последнем опыте, который мы здесь не описываем, отдельные приборы, как шар большой емкости (если под руками нет такого шара, можно, не без успеха, воспользоваться весьма распространенной в школьных физических кабинетах трубкой Ньютона), воздушный насос и отдельные детали самих весов (но не показания весов), достаточно наглядны. При об'яснении они не требуют какого-либо приема, повышающего выразительность. Проекцией же в этой установке нужно воспользоваться только для того, чтобы совершенно ясно подчеркнуть всей аудитории два момента: отклонение весов от положения равновесия, когда на одну из чашек положили шар с разреженным воздухом, и восстановление равновесия,— когда воздух снова пустили в шар.

Но в курсе физики довольно часто встречаются и такие опыты, в процессе демонстрирования которых необходимо несколько раз прибегать к теневому проектированию через сравнительно короткие промежутки времени. Таков, например, опыт с конденсатором, описанным выше, где сначала показываются сами потоки теплого воздуха, а затем к ним подносится и постепенно заряжающийся конденсатор.

Кроме того, иногда бывает нужно по смыслу опыта привлечение внимания учащихся и ко всем промежуточным постепенным изменениям установки, например, к тем или иным переключениям электрической цепи. Тогда, как показывает практика, чтобы не разбивать внимания аудитории, весь опыт, включая и начальную сборку установки, следует провести методом теневого проектирования.

Чтобы яснее подчеркнуть основную мысль, разберем опыт на взаимодействие двух прямых параллельных проводников, когда по ним идет ток в одну или разные стороны.

Так как в этом случае даже при сравнительно больших токах в 10—15 А и длинных нитях в 1 м сила взаимодействия между ними очень мала, то для опыта приходите» брать металлические нити, легкие и тонкие (пригодна, например, так называемая «мишура»), а ток должной силы включать в них только на короткий момент, чтобы не пережечь нити.

Но и при таких условиях отталкивание и притяжение проводников при обычном способе показа почти незаметно для большой аудитории, и рациональным выходом является теневое проектирование. Опыт производится приблизительно так.

В лапку штатива зажимается пластинка с двойной клеммой, например из набора к универсальной струбцинке (на экране появляется тень, как на рис. 8). К клемме подвешивается за середину нитка мишуры (на экране подвешивается нить, как на рис. 9). Два нижних конца нити соединяются — один с рубильником, а другой с двойной соединительной клеммой (на экране появляется рубильник и клемма; проводники соединяются, как на рис. 10). К рубильнику и двойной клемме подводится ток (на экране производится соединение подводящих ток проводников). Что будет, если теперь включить ток? На экране рубильник замыкает цепь и провод-

Рис. 8

Рис. 9

* Поль — «Введение в механику и акустику», 1932 г., стр. 141, рис. 221.

ники отталкиваются, как на рисунке 11 и т. д.

Такой способ показа позволяет представить опыт очень выразительно и, кроме того, дает возможность легко управлять вниманием учащихся. Для успешного проведения демонстрации здесь требуется тщательный подбор отдельных деталей, так, чтобы все они давали на экране простые и характерные для себя (похожие) тени.

Еще большее значение имеет метод теневого проектирования в опытах, требующих горизонтальной площади и протекающих обычно в плоскости крышки экспериментального стола или в плоскости какой-либо подставки, расположенной выше стола.

В классной обстановке эти опыты вообще очень неудобны для обозрения, так как в большинстве средних школ физические кабинеты не оборудованы амфитеатром. Экспериментальный же стол чаще располагают на досчатом настиле высотой 25—30 см, почему глаза учащихся, сидящих за рабочими столами, расположены приблизительно на уровне крышки экспериментального стола. Видеть ясно, что происходит в этом случае на плоскости стола и, тем более, на подставке — выше стола, не представляется никакой возможности. Подобные опыты проходят совсем не убедительно, почему их приходится» опускать совсем или показывать на полу, повторяя несколько раз для небольших групп учащихся одного и того же класса, что далеко не всегда возможно и удобно.

Примером такого опыта, нуждающегося в иных, чем это обычно принято, приемах демонстрирования, может служить сложение импульсов на весьма распространенном приборе с молоточками, ударяющими шарик в двух, взаимно-перпендикулярных направлениях*. Отдельные детали прибора имеют достаточные размеры, хорошо заметны издали, поэтому при их описании можно прибегнуть к обычному способу показа. Действие же прибора просто и очень наглядно можно продемонстрировать при помощи теневого проектирования.

На стеклянное дно ванны, описанной выше, ставят прибор близко к середине одной из боковых стенок так, чтобы молоточки могли свободно отклоняться на нужный угол, не задевая за край ванны. Между молоточками помещают деревянный шарик и, подставив под ванну лампочку, как указано было выше, проектируют прибор на потолок, (рис. 12).

Так как установить шарик на стеклянном дне ванны в надлежащем месте бывает до-

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 12

* См. Двинянинов — «Учебные пособия и политехническое оборудование», стр. 15, рис. 16,

статочно трудно (шарик очень легко скатывается), то под него рекомендуется подложить маленький кусочек наждачной бумаги, приклеив его временно чем-либо к стеклу.

На тени совершенно ясно видно, как перемещается шарик под влиянием удара того или другого молоточка, а Затем — под влиянием удара обоих молоточков сразу.

Достаточно выразительным в теневом проектировании становится и другой демонстрационный опыт, иллюстрирующий явление преломления света при помощи механической модели и требующий при обычной постановке почти горизонтальной плоскости.

Сама модель очень проста. Она состоит из небольшой оси (проволока длиной 8—10 см, диаметром 3—3,5 мм) с двумя расположенными по концам и самостоятельно (не скреплены с осью) вращающимися с возможно малым трением легкими колесиками в 3—3;5 см диаметром, из дерева или металла.

Перед демонстрацией опыта закрывают одну половину дна ванны бумагой и насыпают при помощи частого металлического сита на другую половину дна по возможности тонкий слой самого мелкого, хорошо просеянного сухого песка. Слой должен быть такой толщины, чтобы через него все же мог хорошо проходить свет от источника, поставленного под ванну. Затем снимают бумагу и получают резкую границу песка. Слегка приподнимают не засыпанный песком край ванны и получают тем самым наклон, благодаря которому ось с колесиками должна свободно, но без заметного ускорения, катиться по дну ванны.

Если теперь пустить модель под некоторым углом к фронту песка (рис. 13), то на тени ясно будет видно, как колесо Л, вследствие трения о песок затормозится, в то время как колесо В еще продолжает движение по гладкой поверхности стекла, отчего вся ось изменит направление своего движения.

Насыпая песок на дно ванны в виде треугольника или разреза двояковыпуклой или вогнутой чечевицы, можно наглядно показать «ход лучей в призме и линзах». А если сделать наклон ванны в другую сторону и пускать модель с песка на чистое стекло, то иногда удается при некоторой тренировке показать и явление «полного внутреннего отражения», когда колесики, пущенные под предельным углом к линии раздела, заворачивают и возвращаются снова на посыпанную половину дна ванны.

Если опыт приходится показывать в высокой комнате, и тень модели получается на потолке слишком большой, то, чтобы получить большую четкость, ванну следует расположить выше, например на спинках двух стульев.

Эти простые, полезные и сравнительно давно известные опыты, указанные еще в каталоге физических приборов Трындина, изданном в 1914 г., страница 254, № 3609 А и В, не нашли себе широкого применения в школе повидимому потому, что их обычно рекомендуют показывать на слегка наклонной доске с наклеенным сукном или бархатом, т. е. таким способом, при котором теряется почти вся выразительность.

В заключение разберем еще один весьма распространенный опыт — вычерчивание синусоиды при помощи камертона с пером.

Обычно для этой цели берут закопченную стеклянную пластинку и в присутствии учащихся проводят по ней пером звучащего камертона. Затем, в лучшем случае, пластинку помещают в проекционный фонарь и рассматривают полученную синусоиду на экране, а в худшем — дают пластинку на руки учащимся. При такой постановке опыта учащиеся не видят самого процесса вычерчивания синусоиды, а наблюдают эту синусоиду как результат некоторых манипуляций экспериментатора.

Теневое проектирование позволяет совершенно свободно и наглядно показать этот опыт всей аудитории в полной динамичности и бей традиционного закопченного стекла.

Ставят под ванну источник света и, как было указано выше, насыпают на дно ванны при помощи частой сетки тонкий слой мелкого песка. Затем берут самый большой камертон из имеющихся в физическом кабинете (чем больше камертон, тем эффект-

Рис. 13

нее выходит опыт)* и на конце одной из его ножек укрепляют перо при помощи кольца, отрезанного от резиновой трубки. Перо лучше всего вырезать в виде узкого, длинного треугольника из достаточно тонкой полоски какого-либо упругого металла. Для этой цели можно с успехом воспользоваться верхней латунной покрышкой от старой трубки Бергмана, часто употребляемой для электропроводки.

Если теперь пером звучащего камертона с той или иной скоростью проводить по песку, то на потолке будут видны в увеличенном масштабе образующиеся при этом синусоиды.

Следует заметить, что как этот опыт, так и ряд других, в которых пользуются ванной, можно совершенно просто и достаточно ярко показать на вертикальном экране вместо потолка, соблюдая при этом желаемый масштаб.

Для этого нужно только воспользоваться обычным плоским зеркалом (приблизительные размеры — 40 см X 30 см), повернув его к проекционному экрану и оперев на дно ванны под углом приблизительно 45°.

Все описанные здесь опыты являются лишь примерами, при помощи которых мы стремились показать возможности и пользу применения метода теневого проектирования и которые, конечно, не исчерпывают всех случаев, когда этот метод был бы очень полезен.

Совершенно не претендуя на полноту и систематичность, приведем еще некоторые опыты и приборы, отвечающие курсу физики средней школы, из сравнительно многочисленных опытов, проверенных нами в практике преподавания.

Вертикальная проекция

1. Звуковой резонанс с камертонами в обычной установке удается выразительно показать при хорошо настроенных в унисон камертонах, которые в настоящее время в школе встречаются редко. Плохо настроенные— резонируют слабо, и звучание для всей аудитории не слышно. Легче всего в таком случае обнаружить даже самые ничтожные колебания камертона при помощи легкого маятника, например из стеклянной бусинки бисера, отскакивания которого от ножки резонирующего камертона на увеличенной тени отчетливо заметны всей аудитории.

2. Таким же приемом можно значительно повысить выразительность опыта на резонанс воздушного столба. Для этого следует взять широкогорлую бутылку и заклеить ее горло наполовину тонкой, но плотной бумагой. Расположить бутылку на под'емном столике в горизонтальном положении и повесить перед бумагой-мембраной на отдельном штативе небольшой маятничек — легкий шарик из пробки или бузины на тонкой нити. Шарик маятника должен слегка касаться мембраны.

Возбуждая теперь на некотором расстоянии от бутылки звуки разной высоты при помощи органной трубы с поршнем, легко добиться того, что столб воздуха в бутылке будет резонировать на некоторый определенный тон. Тогда мембрана придет в колебание, а вместе с ней будет отскакивать и маятник на заметный угол, что отчетливо видно на экране.

3. В теневой проекции можно просто и в то же время достаточно наглядно показать магнитное поле электромагнита, пользуясь сравнительно небольшими токами.

Устанавливают на подставке в вертикальном положении небольшой прямой электромагнит (здесь пригодна, например, одна из катушек от трансформатора Неймана с железным сердечником) и накрывают его куском обычного стекла. Если на стекло положить тонкие, длинные булавки и, спроектировав прибор в виде тени на экран, включить в катушку постоянный ток, то булавки, ранее совсем незаметные на стекле, теперь наглядно поднимаются и располагаются по силовым линиям магнитного поля.

Можно вместо булавок постепенно насыпать на стекло железные опилки, когда в катушку электромагнита включен ток, и отчетливо видеть, как эти опилки, располагаясь по силовым линиям магнитного поля, образуют постепенно вырисовывающуюся фигуру, напоминающую собою растущий на глазах зрителей куст.

Выключение тока из катушки электромагнита значительно меняет всю картину.

4. Взвешивание паров эфира (см. стабильный учебник физики для девятого года, рис. 2) приобретает при теневом проектировании значительно большую выразительность, так как на экране пары эфира становятся хорошо заметными, о чем говорилось выше. Кроме того, при теневом проектировании легко следить за изменением положения коромысла и стрелки весов, что поз-

* Вместо камертона можно с таким же успехом воспользоваться «самоварными щипцами» для углей или толстой латунной или стальной проволокой, согнутой соответствующим образом.

воляет пользоваться самыми простыми аптекарскими весами.

5. Определение угла естественного откоса при насыпании, например, песка между двумя вертикально поставленными стеклянными пластинками можно произвести достаточно наглядно и быстро с помощью тени, отброшенной на экран от всей кучи песка. А по углу естественного откоса определить и коэфициент трения.

6. Различную форму капель, полученных на поверхности стекла в зависимости от количества жидкости в капле и от рода взятых жидкостей (стабильный учебник, для девятого года, рис. 36 и 39), можно хорошо показать на экране при максимально увеличенных тенях.

Жидкости при этом лучше капать на стекло в процессе демонстрирования опыта, а не заготовлять заранее.

7. Простое гармоническое колебание можно показать, проектируя на экран тень кругового маятника*,

8. Шар с отверстиями для демонстрации закона Паскаля в газах наполняют табачным дымом и проектируют на экран. При легком нажиме на поршень из всех отверстий равномерно выбиваются струйки дыма, дающие хорошо заметную тень на экране.

9. Трубка Бурдона для пояснения принципа устройства металлического манометра (см. Двинянинов—«Учебные пособия и политехническое оборудование», выпуск 1, № 130) в настоящее время выпускается малых размеров и нуждается в теневом проектировании при демонстрации в классе. По своей конструкции трубка вполне приспособлена для этой цели, почему опыт приобретает необходимую наглядность.

10. Пружинные весы с ведерком Архимеда (Двинянинов — «Учебные пособия», № 85)**.

11. Выгибание пластинки Брегета при нагревании.

12. Соскакивание бумажных рейтеров со струны монохорда при демонстрации обертонов.

13. Электрометр Кольбе; он по конструкции приспособлен для вертикального проектирования (Двинянинов — Учебные пособия, № 222).

Горизонтальная проекция

1. Движение камфары хорошо заметно для всей аудитории, если ее бросить на поверхность воды, налитой или в самую ванну или в кристаллизатор с хорошим, плоским дном из чистого стекла без пузырей, поставленный на дно ванны и спроектированный на потолок.

2. Выразительно получается в теневом проектировании опыт с моделью Юнга для пояснения молекулярного строения магнита, если острия (иглы), на которых в этой модели вращаются магнитные стрелки, посадить при помощи сургуча на чистое бемское стекло вместо доски и весь прибор поместить на дно ванны.

3. Волны на поверхности воды — распространенный опыт, описанный, например, в книге Кельзи, Красикова, Челюсткина— «Методика и техника классных опытов по физике» или в книге Галанина, Горячкина и др. —«Физический эксперимент в школе», т. II, страница 297.

4. Фигуры Хладни, которые надо получить для целей проектирования не на металлической, а на стеклянной пластинке. Так как подставка или струбцинка, в которую зажимается пластинка, мешает проектированию, то тенью приходится пользоваться только для рассмотрения уже полученных фигур, для чего пластинку с фигурами отнимают от стойки и располагают на дне ванны.

о. При помощи ванны можно очень выразительно показать и магнитные спектры магнита. Для этого помещают магниты прямо на дно ванны, а затем при помощи сита насыпают на них железные опилки. При этом бывает полезно легкое постукивание по краю ванны.

6. Магнитные спектры токов (прямого, кругового, соленоидального) хорошо получаются в теневом проектировании, когда проволока, по которой идет ток, продета в стекле, как в рамках по Бергофу (Двинянинов — «Учебные пособия», № 301).

* См. Галанин, Горячкин и др.—«Физический эксперимент в школе», т. II, стр. 266.

** Как этот опыт, так и опыты 11, 12 и 13 в особых пояснениях не нуждаются.

МЕТОДИКА

О ПРЕПОДАВАНИИ НАЧАЛЬНОЙ ЧАСТИ ТРИГОНОМЕТРИИ*

В. К. МАТЫШУК

Тригонометрия занимает среди других математических дисциплин своеобразное положение. С одной стороны, это геометрическая наука, так как имеет своей целью решение треугольников. С другой стороны, гониометрией она упирается в алгебру. Некоторые методисты, в том числе Юнг, отрицают за тригонометрией право на самостоятельное существование. Часть ее они относят к геометрии, а гониометрию к алгебре. С этим конечно нельзя согласиться, так как методы, которыми пользуется тригонометрия, обладают многими особенностями.

Первый вопрос, который естественно возникает при преподавании тригонометрии, — это: когда начинать знакомить с ней учащихся. В школьной практике мы встречаем три различных ответа на этот вопрос:

1) Изложение тригонометрии начинают после доказательства теоремы Пифагора и ее распространения на косоугольные треугольники (метрические соотношения в треугольнике);

2) преподавание тригонометрии можно начинать и после учения о подобии треугольников;

3) наконец известны случаи, когда учащиеся знакомились с понятиями об основных тригонометрических функциях после изучения пропорциональной зависимости величин в арифметике.

Несомненно, что наиболее целесообразно ставить преподавание тригонометрии только после проработки теоремы Пифагора и рассмотрения метрических соотношений в треугольнике.

Дело в том, что геометрия не в состоянии своими средствами разрешить проблему о решении треугольников. Что три стороны треугольника, например, вполне определяют единственный треугольник — это легко устанавливаемый в геометрии факт. Но найти величину углов этого треугольника геометрия не в состоянии. Она может сделать это лишь в отдельных случаях, например в случае равностороннего треугольника. Теорема Пифагора дает нам частичное решение треугольника: она устанавливает зависимость между сторонами прямоугольного треугольника. Но мы не можем найти величину углов этого треугольника при помощи ее. Лишь в отдельных случаях можно, зная длину сторон прямоугольного треугольника, определить его углы.

Таким образом, получается следующее: планиметрия, которая занимается изучением свойств плоских геометрических образов и в частности многоугольников, не в состоянии решить треугольник, т. е. установить зависимость между его элементами — сторонами и углами. С другой стороны, задача решения треугольников имела и имеет существенное значение для практики человека.

Тригонометрия дает выход из этого положения.

Эти соображения очень важны с методической точки зрения. После проработки теоремы Пифагора и рассмотрения зависимости между сторонами косоугольного треугольника через их проекции (метрические соотношения в треугольнике), весьма уместно учителю обратить внимание учащихся на бессилие геометрии определять углы треугольника по его сторонам. Тем самым дети будут подведены к пониманию необходимости изучения новой математической дисциплины — в данном слу-

* Помещая в порядке обсуждения статью т. Матышук, редакция обращает внимание читателей на то обстоятельство, что т. Матышук выдвигает своей статьей требование изменения программы в сторону увеличения в VIII классе числа часов на тригонометрию.

Наоборот, т. Шевченко (см. статью в № 4 «М. и Ф*) отрицает вообще целесообразность концентрического построения курса тригонометрии (хотя немногие предварительные сведения, даваемые в восьмых классах на протяжении 8 часов, едва ли можно назвать первым концентром).

Редакция просит читателей высказаться по существу вопросов, поднимаемых обеими статьями.— Ред.

чае тригонометрии. Таким образом, появление новых понятий будет здесь естественно вытекать из всего предшествующего.

Выше было указано, что преподавание тригонометрии можно начинать и после учения о подобии треугольников. Но это гораздо хуже, так как те соображения, которые были высказаны мною при рассмотрении предыдущего случая, не могут уже здесь иметь такое значение. Однако о подобном начале тригонометрии наиболее уместно говорить в профессиональной школе, где производство может потребовать от учащегося скорейшего ознакомления с тригонометрическими функциями. Впрочем в связи с введением всеобщего обязательного семилетнего обучения и эта необходимость отпадает.

О том, чтобы давать понятие о тригонометрических величинах в связи с арифметикой, об этом можно говорить сейчас лишь как о курьезе. Но несколько лет тому назад, в условиях рабфаков, дело было именно так. Если развернуть учебники того времени, как например, «Рабочую книгу по математике», составленную для рабфаков Беркутом, Гастевым и др., или «Практическое руководство по математике» Гуревича и Минорского (год издания 1930), то там можно увидеть, что непосредственно после учения о пропорциональной зависимости величин дазались самые кратенькие сведения о подобии многоугольников, а затем шла специальная глава о тригонометрических величинах углов. Здесь рассматривались синус и тангенс угла и решались различные производственные задачи с применением натуральных таблиц тригонометрических величин. Раннее введение тригонометрии в преподавание математики об'яснялось тем, что на первом курсе рабфаков шло уже изучение физики, и физика начиналась с механики.

Вполне понятно, что после постановления партии и правительства о начальной и средней школе, требующего систематического изложения математики, не может быть и речи о таком раннем начале тригонометрии.

Установив, когда лучше всего начинать преподавание тригонометрии, необходимо рассмотреть, как лучше всего это сделать. Для дореволюционной школы характерно было изолированное от геометрии преподавание тригонометрии. Классический учебник Рыбкина начинался с установления новой меры углов — радианной. Затем вводилась окружность произвольного радиуса (в тригонометрии Шапошникова — радиуса, равного единице). В ней проводились какие-то прямые линии, и отрезкам их давались особые названия. Затем бралось отношение длины этих отрезков к радиусу, рассматривалось изложение этих величин, их зависимость между собой и т. д. Только проработав всю гониометрию, ученик переходил к решению треугольников и тем самым познавал, зачем ему нужна эта новая математическая дисциплина. О приложении же решения треугольников к геодезии, т. е. практике, он узнавал лишь оканчивая изучение тригонометрии. Таким образом, преподавание тригонометрии в дореволюционной школе носило абстрактно-формальный характер. Нельзя сказать, что тогда не было учебников по этой дисциплине, построеных иначе. Учебники Глазенапа и других сперва ставили решение треугольников, а затем давали гониометрию.

Но это не привилось, так как вывод формул решения косоугольных треугольников без гониометрии носит достаточно сложный и зачастую искусственный характер.

Кроме того, и учащиеся труднее усваивали этот раздел тригонометрии, не зная гониометрии. Таким образом, господствующим был тогда учебник Рыбкина, который без существенных изменений принят сейчас и советской школой.

Однако начинать преподавание тригонометрии так, как это имело место в дореволюционной школе, сейчас нельзя. Ученик должен сразу видеть, чем вызывается необходимость введения тригонометрических величин, почему вывод понятия о них связывается с особым кругом и линиями в нем и т. д. Он может понять это лишь в том случае, если тригонометрия будет естественно примыкать к геометрии, и первые понятия о тригонометрических величинах появятся у него из решения прямоугольных треугольников. Таким образом, я считаю безусловно необходимым, чтобы перед началом систематического курса тригонометрии учащийся проработал специальный переходный (предварительный) курс тригонометрии емкостью в 20—25 акад. часов. В задачу этого курса входит ознакомление учащихся с синусом, косинусом и тангенсом угла, исходя из прямоугольного треугольника, с их простейшими свойствами, с применением их в практике человека и с пользованием натуральными таблицами этих величин.

Правда, стабильная программа по математике предусматривает в VIII классе 8 акад. часов для ознакомления учащихся с первоначальными понятиями о тригонометрических величинах, но этих часов так мало, что

фактически они пропадают без всякой пользы для дела. Поэтому я считаю крайне необходимым включить в программу VIII класса предварительный курс тригонометрии на 20—25 часов, с тем, чтобы в IX классе начать уже систематический ее курс.

Содержание подобного предварительного курса тригонометрии я представляю себе в следующем виде.

Учащийся знакомится здесь только с тремя основными функциями — синусом, косинусом и тангенсом. При этом изучение их надо начинать непременно с тангенса. Это потому надо делать, что по тангенсу легче построить угол, чем по синусу и косинусу; тангенс чаще, чем синус и косинус, применяется на практике, как величина, измеряющая угол (например определение наклона дороги).

Затем очень легко подобрать много интересных задач с производственным содержанием на применение тангенса и т. д.

Для того, чтобы подвести учащегося к понятию о тангенсе, надо предварительно доказать следующую теорему. Если из произвольных точек сторон угла опускать перпендикуляры на противоположную его сторону, то в получающихся прямоугольное треугольниках отношения катетов, противолежащих углу, к прилежащим катетам есть величина постоянная.

Это постоянство величины позволяет провести следующую мысль: так как для данного угла отношение катетов постоянно, то оно может служить для измерения его величины. Этому отношению дается специальное название тангенса угла.

Таким образом, тангенс есть величина, измеряющая угол: мысль, которая, к сожалению, не проводится (не подчеркивается) ни в учебниках, ни на уроках тригонометрии. Ученику очень легко доказать это, предложив ему проделать ряд следующих упражнений:

«Начертить углы, тангенсы которых равны

Делается это по линеечке на клеточной бумаге, причем в нескольких случаях необходимо показать, что величина угла не зависит от того, возьмем ли мы, к примеру, катеты треугольника в 3 и 4 единицы, в 6 или 8 и т. д., лишь бы отношение катетов было одним и тем же.

При выполнении этих упражнений полезно при помощи транспортира определять градусную величину каждого из построенных углов, проводя при этом мысль, что каждому значению величины угла, выраженному в градусах, отвечает вполне определенная отвлеченная величина, называемая тангенсом угла. Этим мы подводим учащихся к пониманию сущности натуральных таблиц тангенса. Для закрепления этого понимания важно выполнить следующее упражнение, которое дает учащимся таблицу тангенсов через каждые 15°, правда, не особенно точную: на миллиметровой бумаге (можно и на клеточной) чертится дуга в — окружности радиуса 10 единиц, например 50 мм (единица масштаба разна 5 мм). На дуге наносятся деления через каждые 15°.

В конце радиуса OA проводится к нему перпендикуляр, а через деления окружности, из центра ее лучи до пересечения с восстановленным из точки А перпендикуляром.

Длина получившихся отрезков AB, АС, AD, АЕ и т. д. измеряется, и берется отношение получившихся чисел к радиусу. Мы будем иметь таблицу тангенсов через каждые 15°. Полезно учителю иметь заготовленным такой чертеж в большом масштабе на миллиметровой бумаге. Чем больше масштаб, тем большая точность найденной таким образом таблицы. Затем учащимся сообщают, что такие таблицы с достаточно большой точностью составлены, и что ими пользуются для решения ряда задач.

Знакомство учащихся с натуральными таблицами тригонометрических величин имеет большое значение. Прежде всего они подготовляются здесь к пользованию в дальнейшем таблицами логарифмов. На этих

таблицах учащийся видит характер изменения тригонометрических величин, что непосредственно не видно в соответствующих логарифмических таблицах. Наконец, пользование натуральными таблицами тригонометрических величин дает возможность решать задачи практического и производственного характера. Таких задач можно подобрать достаточно большое количество.

Здесь мы имеем задачи на определение расстояний до недоступных точек, задачи, связанные с военным делом и т. д. Ряд таких задач дан в стабильном задачнике по тригонометрии Рыбкина (§ 6). Учитель и сам может придумать их.

При решении подобных задач нужно брать числа, достаточно удобные для вычисления, так как здесь приходится иметь дело с действием умножения и деления. Полезно ознакомить детей и с интерполированием по таблицам. Однако при отсутствии времени или при наличии сравнительно слабых групп следует ограничиться решением только таких задач, где интерполирование ненужно.

В заключение рассматривается характер изменения тангенса при изменении угла в пределах от 0 до 90°. Это нетрудно сделать каждому учащемуся у себя в тетради и показать на соответствующих наглядных пособиях, в частности на разобранной выше задаче (см. рис.).

После изучения тангенса угла в таком же порядке прорабатывается и синус. Сперва рассматривается основная теорема, доказывающая, что для данного угла отношение катета, противолежащего углу, к гипотенузе есть величина постоянная (формулировка такая же, что и в случае тангенса).

Таким образом, синус так же, как и тангенс, служит для измерения угла. Ученику нетрудно показать на соответствующих примерах, что это именно так. Для этого ему предлагается построить ряд углов, синусы которых заданы, например синусы равны

Делается это обычным путем, как указано, например, в тригонометрии Рыбкина, но радиус четверги дуги окружности, которая при этом строится, берется равным 60 мм, чтобы удобнее было откладывать отрезки прямой соответствующей длины. Полезно при помощи транспортира находить величину получающихся углов в градусном измерении. Обратную задачу, т. е. определение синусов углов по заданным их величинам в градусном измерении, можно не производить, так как это довольно хлопотливо. Однако из рассмотрения соответствующих прямоугольных треугольников выводятся числовые выражения синуса для углов в 30°, 45°, 60° и 90°.

После проведения этих упражнений решаются задачи прикладного характера с применением натуральных таблиц синуса, а в заключение учащиеся знакомятся с характером изменения синуса при изменении угла от 0° до 90°.

После проработки синуса угла в таком же самом порядке и в таком же об'еме рассматривается косинус угла.

В заключение на основании рассмотрения прямоугольного треугольника устанавливаются элементарные зависимости между изученными тригонометрическими величинами, а именно— доказываются следующие тождества:

Примерное распределение материала предварительного курса тригонометрии в классе следующее:

1) Установление понятия о тангенсе угла, построение угла по тангенсу и определение тангенса угла графическим методом — 2 часа.

2) Натуральные таблицы тангенса, решение задач и изменение тангенса — 6 часов.

3) Установление понятия о синусе утла и построение угла по синусу — 1 час.

4) Таблицы синуса, решение задач и изменение синуса — 3 часа.

5) Установление понятия о косинусе и построение угла по косинусу—1 час.

6) Таблица косинуса, решение задач — и изменение косинуса — 2 часа.

7) Решение смешанных задач — 3 часа.

8) Установление зависимости между тригонометрическими величинами — 2 часа.

9) Поименная контрольная работа—1 ч. Итого—21 час.

Систематический курс тригонометрии проходится учащимися в IX классе, причем в качестве стабильного учебника принят в нашей школе учебник Рыбкина, перепечатанный с дореволюционного издания с небольшими изменениями.

Для того, чтобы лучше связать предварительный курс тригонометрии VIII класса с систематическим курсом этой дисциплины в IX классе, надо при распространении понятия о тригонометрических величинах на

углы, превышающие 90°, напомнить детям прежние определения синуса, косинуса и тангенса. Надо сказать, что новые определения этих величин, данные в связи с линиями синуса, косинуса и тангенса в круге не противоречат прежним определениям, взятым из прямоугольного треугольника, а включают их в себя, как частный случай. Прежние определения неудобны для систематического курса тригонометрии, так как имеют ограниченное применение — они справедливы для углов, не превышающих 90°.

Выше уже отмечалось, что преподавание тригонометрии в дореволюционной школе было изолировано от геометрии и что появление тригонометрического круга в начале учебника Рыбкина ничем не оправдывалось в глазах учащихся. Введение в VIII классе предварительного концентра тригонометрии устраняет изолированность систематического курса тригонометрии от геометрии. Но, помимо этого, необходимо в начальную часть учебника тригонометрии Рыбкина внести еще ряд небольших изменений.

Прежде всего надо объяснить учащемуся, почему мы при определении тригонометрических величин вводим круг. Делается это потому, что легче всего судить о величине угла по величине дуги окружности, для которой данный угол есть центральный. Градусное измерение угла потому имеет такое широкое применение, что дуга пропорциональна стягиваемому ею углу.

В учебнике Рыбкина тригонометрический круг берется произвольного радиуса. Но в других учебниках, например в учебнике Шапошникова, он берется радиуса, равного единице. При радиусе, равном единице, тригонометрические величины выражаются такими же самыми числами (отвлеченными), как и соответствующие тригонометрические линии (в последнем случае эти числа именованные). Благодаря этому выводы всех формул в гониометрии упрощаются, так как радиус равен единице. Но с методической точки зрения введение окружности радиуса, равного единице, крайне нежелательно, так как это приведет к тому, что учащийся не будет различать тригонометрической линии от соответствующей тригонометрической величины. Таким образом, ему не будет ясно, например, что синус есть отношение определенного отрезка прямой в круге к радиусу, и что он, следовательно, есть число отвлеченное. В учебнике Рыбкина совершенно правильно взят радиус, не равный единице. Но надо было бы при этом с самого начала отметить, что радиус круга потому берется произвольный, что величина угла не зависит от того, какого радиуса взята измеряющая его дуга.

При установлении понятия о тригонометрических величинах следует подчеркнуть мысль, что они служат для измерения величины угла. Градусное измерение угла, весьма удобное, главным образом, вследствие легкости измерения угла, не является естественным тогда, когда нужно найти зависимость между углами и сторонами треугольника. В этом случае целесообразно ввести новые принципы измерения угла. Синус, косинус, тангенс и т. д. служат для измерения угла, для выражения его величины, так же как и радианное измерение угла. Эти мысли в учебнике Рыбкина не подчеркиваются.

Как известно, в тригонометрии пользуются шестью величинами — синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом, секансом и косекансом.

Первые три величины — главные, вторые три — вспомогательные. Они и исторически были введены в тригонометрию гораздо позже первых трех. Их значение — заменить деление на тригонометрическую величину, которая вообще выражается приближенными числами, умножением. Вместо того, чтобы делить, например на синус, мы умножаем на косеканс. От этого упрощаются формулы и облегчается вычисление тригонометрических выражений. Совершенно по той же причине мы избавляемся в алгебре от иррациональности в знаменателе, а деление на число тг заменяем умножением на дробь i, выражение которой в виде десятичной дроби дается во всех таблицах.

Разделение тригонометрических величин на главные, и вспомогательные надо было бы провести и в самом преподавании. В частности, например, я считаю лишним введение в школу понятий о линиях котангенса, косеканса и секанса.

Достаточно ограничиться только линиями синуса, косинуса и тангенса, использовать их для установления зависимости между этими величинами, судить по их изменению о характере изменения соответствующих тригонометрических величин, вывести формулы приведения этих величин к первой четверти и т. д. На практике приходится встречаться только с линиями синуса, косинуса и тангенса. Что касается линий котангенса, секанса и косеканса, то, прежде всего, надо заметить, что они носят достаточно искусственный характер. Их изменения не так легко себе представить, как изменение линий первых

трех тригонометрических величин. Практически дальше первых глав тригонометрии они нигде не встречаются. Поэтому я считаю целесообразным от них отказаться. В связи с этим котангенсу надо дать аналитическое определение: это—величина, обратная тангенсу. Секансом будем называть величину, обратную косинусу, и косекансом — величину, обратную синусу. Все формулы приведения надо выводить на основании формул приведения основных тригонометрических величин. Например:

Изменение вспомогательных тригонометрических величин по четвертям угла надо представлять себе на основании изменения основных величин. Например синус угла изменяется в первой четверти от 0 до 1. Косеканс есть величина обратная синусу. Синус нуля равен нулю. Следовательно, косеканс нуля равен бесконечности (это легко показать, рассматривая дробь, у которой знаменатель берется приближающимся к нулю). Синус возрастает в первой четверти. Следовательно^ косеканс будет убывать. Наконец sin 90°= К Следовательно, и cosec90° = l. Таким образом, в первой четверти угла косеканс изменяется от бесконечности до единицы.

Аналогично можно представить себе изменение косеканса и по другим четвертям, а также изменение и остальных двух тригонометрических величин. Не будем спорить, что установить характер изменения одних тригонометрических величин на основании изменения других гораздо труднее, чем представить себе это на основании изменения соответствующих линий в круге. Но тут надо заметить, что линия секанса, косеканса и котангенса быстро забываются учащимися, так как ими вообще не приходится больше нигде пользоваться. С другой стороны, заставляя учащихся рассматривать изменение одних величин на основании изменения других величин, мы даем для воображения детей прекрасное упражнение. Не всегда же им пользоваться наглядными представлениями. В IX классе можно требовать и силы воображениям

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК В ПРОГРАММАХ ШКОЛЫ

В. В. РЕПЬЕВ

I

Геометрия, как научная дисциплина, уделяет значительное внимание геометрическим местам точек. На самом деле, аналитическая геометрия устанавливает соответствие между геометрическими местами точек и уравнениями: она показывает, что заданному геометрическому месту точек соответствует определенное уравнение, и наоборот — заданному уравнению, говоря вообще, соответствует определенное геометрическое место точек. Обычные в курсах аналитической геометрии подходы к изучению окружности, эллипса, гиперболы и параболы являются иллюстрацией к высказанному положению. Таким образом геометрические места точек (в дальнейшем сокращенно — г. м. т. или г. м) играют видную роль в построении и развитии некоторых геометрических дисциплин.

Другое видное значение г. м. т. заключается в том, что с их помощью решаются весьма многие и разнообразные геометрические задачи на построение. Очень часто, когда решение задачи сводится к отысканию положения точки или нескольких точек на плоскости, задача легко, удобно и изящно решается путем использования двух подходяще выбранных г. м.

Как показывает изложенное, г. м. играют существенную роль в геометрии. А в силу этого геометрия в школе, как «основа науки», уделяет внимание изучению г. м. и их применению к решению задач на построение. Программа по математике неполной средней и средней школы первое знакомство с г. м. относит к главе об окружности, изучаемой в VII классе.

По широко распространенному среди преподавателей математики мнению изучение г. м. и их использование для решения задач на построение является делом довольно трудным.

В чем же заключаются основные трудности изучения г. м?

А. В предшествующем курсе геометрии учащиеся встречались с точками, вполне определенными, обычно неподвижными: это концы отрезка, вершины углов, вершины многоугольников и т. д. При изучении г. м. они

впервые встречаются с «любой точкой прямой», с «любой точкой г. м.»: точка становится движущейся, меняющей свое положение на г. м. В этом заключается первая трудность. Эта трудность — того же вида, какую мы встречаем при изучении аналитической геометрии. Если на окружности х2-\-*у2 = = 25 задать 2 точки А (3;4) и В (х, у), то по характеру своего поведения это 2 разные точки: точка А — определенная точка, лежащая в I четверти на 3 единицы от оси ординат и на 4 единицы от оси абсцисс, а точка В — любая точка окружности, она является подвижной точкой, перемещающейся по окружности. Различное поведение этих точек делает их в понимании учащихся различными.

Чтобы преодолеть с учащимися эту трудность, чтобы научить их мыслить о любой точке г. м., следует с первых же уроков изучения г. м. систематически и настойчиво подчеркивать, что любая точка, взятая на г. м., обладает определенным свойством, что то доказательство, которое дано, чтобы установить наличие этого свойства, имеет силу не только для отмеченной точки, а для любой точки г. м. Точка может перемещаться по г. м., однако от этого она не теряет своего определенного свойства. Такое настойчивое и систематическое раз'яснение позволит преодолеть отмеченную трудность.

Б. Вторая трудность изучения г. м. заключается в том, что язык, на котором формулируются определения новых понятий и различные г. м., отличается некоторым своеобразием и новизною для учащихся. Формулировка многих г. м. длиннее обычных формулировок теорем. А вместе с тем точные формулировки играют в этой главе важное значение: ими необходимо овладеть, их следует запомнить.

Чтобы помочь учащимся овладеть нужным языком, чтобы научить их правильно и без затруднений формулировать г. м., преподаватель с самого начала изучения этого материала прежде всего с особым вниманием должен относиться к своей собственной речи, давая образцы правильно поставленных вопросов и безукоризненных формулировок. Вместе с тем он должен требовать от учащихся полных, развернутых ответов, точных формулировок, заставлять неоднократно повторять их, возвращаться к ним на следующих уроках. Такие последовательные и настойчивые высокие требования к языку позволят преодолеть и те трудности, которые связаны с особенностями языка.

В. Следующее затруднение вызывается тем, что в отношении каждого г. м. приходится установить 2 положения: первое заключается в доказательстве того, что «все точки расматриваемой линии обладают определенным свойством», а второе заключается в доказательстве того, что «все точки, обладающие определенным свойством, лежат на рассматриваемой линии». Понимание этих двух положений вызывает затруднения, хотя учащиеся уже неоднократно встречались с прямыми и обратными теоремами. Эти затруднения усиливаются традициями части нашей учебной литературы, которая в этой главе впервые начинает использовать наряду с прямыми теоремами теоремы противоположные, доказательство которых отличается искусственностью и сложностью.

Чтобы наметить пути преодоления этой трудности и наиболее целесообразного изложения г. м. в школе, напомним ту зависимость, какая существует между прямой, обратной и противоположной теоремами. Если прямую теорему выразим сокращенно так: «Если есть А, то есть и Б» (1), то обратная теорема получается обычно из прямой путем постановки условия заключением и заключения условием. Таким образом, в нашем случае обратная теорема будет читаться так:

«Если есть В, то есть и Аъ. (2) Теорема, противоположная прямой, получается путем отрицания условия и заключения прямой теоремы. В нашем случае буде\г иметь:

«Если нет Д то нет и В». (3) Наконец, теорема, противоположная обратной, получается через отрицание условия и заключения обратной теоремы. Получим: «Если нет В, то нет и Л». (4) Очевидно, что теорема, противоположная обратной, есть в то же время и теорема, обратная противоположной. Пример 1.

Прямая теорема. Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9.

Обратная теорема. Если число делится на 9, то и сумма его цифр делится на 9.

Теорема, противоположная прямой. Если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.

Теорема, противоположная обратной и обратная противоположной. Если число не делится на 9, то и сумма его цифр не делится на 9.

Пример 2.

Прямая теорема. Если углы смежные, то сумма их равна 2d.

Обратная теорема. Если сумма углов равна 2d, то они смежные (неверное положение).

Теорема, противоположная прямой. Если углы не смежные, то сумма их не равна 2d (неверное положение).

Теорема, противоположная обратной. Если сумма углов не равна 2d, то они не смежные.

Приведенные примеры показывают, что обратная теорема может быть верна, но может быть и неверна. В первом примере верны и прямая и обратная теоремы, во втором примере прямая теорема верна, а обратная неверна.

В первом примере верны прямая и противоположная ей теоремы, а во втором примере прямая верна, а противоположная ей неверна. Таким образом, верность прямой теоремы не влечет за собою верности противоположной теоремы.

Но верность прямой теоремы необходимо влечет за собою верность теоремы, противоположной обратной, и наоборот (пример второй). А верность обратной теоремы необходимо влечет за собою верность теоремы противоположной прямой, и наоборот. Эти положения можно формулировать так: а) теоремы прямая и противоположная обратной взаимно обратимы; б) теоремы обратная и противоположная прямой также взаимно обратимы, Эти два положения легко обосновать, пользуясь приведенными выше общими формулировками теорем (1), (2), (3) и (4). Из теоремы: «Если есть Л, то есть и В» необходимо следует, что «Если нет В, то нет и Л». Если бы А было, то по прямой теореме было бы и В. Значит (I) теорема обратима в (4) теорему. Предположим теперь, что теорема «Если нет В, то нет и Л» верна. Тогда необходимо следует, что и теорема «Если есть А, то есть и Б» тоже верна, так как если бы не было Б, то не было бы и А. Таким же путем можно убедиться во взаимной обратимости теорем (2) и (3).

Из изложенного следует: чтобы убедиться з верности всех 4 теорем, не надо доказывать каждую из них отдельно, а достаточно доказать только две из четырех: или прямую и обратную, или прямую и противоположную.

Надо заметить, что приведенные схемы зависимости между прямой, обратной, противоположной прямой и противоположной обратной теоремами имеют безоговорочное значение только в том случае, если в условии теоремы дается только одно положение. В противном случае зависимость между перечисленными видами теорем не поддается такой простой схематизации. Однако при изучении г. м. мы встречаемся с такими теоремами, которые укладываются в схему зависимости между перечисленными видами теорем, а поэтому развитые соображения об этих теоремах полностью применимы в интересующем нас разделе геометрии.

При изложении г. м. в школе авторы учебников, желая показать взаимное соответствие между точками, обладающими определенным геометрическим свойством и точками некоторой прямой или кривой линии, часто встают на путь доказательства прямой и противоположной ей теорем. А этот путь в методическом отношении не является простейшим, удобнейшим: появление противоположных теорем, довольно искусственные способы их доказательства,— все это делает этот путь трудным и мало способствует эффективному усвоению учащимися учения о геометрических местах.

Чтобы избежать этих неудобств и затруднений, при изучении г. м. целесообразно встать на путь изучения прямой и обратной теорем. Это даст тот же эффект в отношении полноты и законченности изложения, в отношении его «строгости»; это избавит от противоположных теорем с их искусственными доказательствами; это сделает учение о геометрических местах более простым, естественным и позволит повысить эффективность изучения этого раздела программы. Так преодолевается 3-я трудность.

Г. Г. м. используются для решения задач. Применение г. м. к решению задач требует значительных умений и навыков в мышлении, свойственном геометрии, требует достаточно развитого мышления. Это является 4-й трудностью при изучении г. м. в школе. Эта трудность углубляется еще и тем, что современная учебная литература не дает преподавателю и учащимся систематически подобранных задач, решаемых с помощью г. м. доступных учащимся VII класса. Подбор же задач учителем часто встречает затруднения, как из-за отсутствия литературы, так и из-за недостатка опытности.

Пути преодоления этой трудности будут указаны ниже, когда речь будет итти о задачах.

II

Изучение г. м. т. и их применения к решению задач на построение относится к последнему разделу программы VII класса, который носит название: «Геометрические места. Окружность и измерение углов». Этот раздел

программы состоит из 5 подтем, которые имеют следующее содержание:

1) понятие о г. м.; некоторые простейшие г. м. и применение их к решению задач;

2—4) окружность и измерение углов;

5) решение задач на построение методом г. м.

Таким образом, сама программа в течение одного раздела указывает два концентра в изучении геометрических мест. Такое построение программы имеет несколько преимуществ. Г. м. при таком построении входят в число тех методов и способов, которые привлекаются к изложению теоретической части геометрии: окружность трактуется, как определенное г. м. т.; при изложении главы об окружности пользуются и другими г. м. Изучение г. м. и их приложений к решению задач распределяется на значительный интервал школьного времени, что при трудности этого вопроса способствует лучшему усвоению материала. Концентрическое расположение материала позволяет во втором концентре удобно повторить то, что изучено в первом, и затем, учитывая имеющееся время и общую кон'юнктуру работы класса,, в большей или меньшей степени расширить и углубить вопрос о г. м. и их приложении.

Базируясь на программе, можно наметить следующий план изучения г. м. в первом концентре:

1) понятие о геометрическом месте. Окружность;

2) г. м. т., равноудаленных от концов отрезка (от двух данных точек);

3) г. м. т., равноудаленных от сторон угла ;

4) г. м. т., удаленных от данной прямой на данное расстояние;

5) г. м. т, равноудаленных от двух параллельных прямых;

6) применение изученных г. м. к решению задач на построение. План решения.

В частности решение задач: а) найти точку, равноудаленную от 3 данных точек, б) найти точку, равноудаленную от 3 пересекающихся прямых.

Как дать понятие о г. м. т.?

Очевидно, что необходимо начать с какого-либо конкретного г. м. Целесообразно использовать с этой целью окружность.

Приведем примерное содержание беседы.

На плоскости дана точка О и дан отрезок прямой г. Постройте несколько точек (4— 6), находящихся от точки О на расстоянии г.

Можно ли еще построить точки, удаленные от О на расстояние г?

Где же лежат точки, удаленные от О на расстояние г? Можно ожидать на этот вопрос 2 ответа: или на дуге или на окружности с центром О и радиусом г. В дальнейшем будем исходить из предположения первого ответа.

Построим эту дугу...

Все ли точки построенной дуги находятся на данном расстоянии г от точки О?

Все ли точки, удаленные от точки О на расстояние г, находятся на дуге?

На какой же линии лежат все точки, удаленные от точки О на расстояние г?

Каково же место точек, удаленных от точки О на расстояние г?

В результате беседы дается, примерно, следующая формулировка: место точек, удаленных от данной точки на расстояние г, есть окружность, описанная из данной точки радиусом, равным г.

Еще раз подчеркивается, что любая точка, удаленная на расстояние г от точки О, лежит на окружности, и наоборот — любая точка окружности удалена от точки О на расстояние г.

Таким образом, путем беседы с последующим резюме преподавателя учащиеся знакомятся с первым г. м. т.

Это первое г. м. и служит тем конкретным примером, пользуясь которым дается понятие о г. м. Понятие о г. м., примерно, можно дать в следующей редакции:

Если точки, обладающие одним и тем же свойством, лежат на некоторой линии, и если любая точка этой линии обладает тем же свойством, то такая линия называется г. м. т., обладающих этим свойством.

Такое определение несколько узко, так как охватывает полностью только плоские г. м. т. Но, очевидно, при изучении стереометрии оно легко может быть расширено. Теперь же такое узкое определение неизбежно.

Определение прямо устанавливает необходимость удостоверяться в прямом положении, что все точки, обладающие одним и тем же свойством, лежат на линии, и в обратном положении, что любая точка этой линии обладает тем же свойством. Таким образом, определение исключает необходимость доказывать противоположные положения.

Далее следует изучение нескольких простейших г. м. Наметим общий план этого изучения.

1) Ставится вопрос: что является г. м. т., обладающих таким-то свойством? Например: «Что является г. м. т., равноудаленных от сторон угла?» Очевидно, что подходить к изучению г. м., как к теореме, нецелесообразно, во-первых, потому, что при изу-

чении г. м. приходится доказывать не одну теорему, а две — прямую и обратную (или прямую и противоположную); во-вторых, потому что г. м. при решении задач появляются обычно в виде ответов на вопросы, аналогичные указанным выше.

2) Отыскание ответа на поставленный вопрос может вестись двояко: или индуктивно или дедуктивно. В первом случае учащиеся строят несколько точек, обладающих требуемым свойством, и, рассматривая их расположение, дают предположительную формулировку искомого г. м. Во втором случае, пользуясь аналитическим приемом рассуждения, убеждаются, что интересующие нас точки лежат на такой-то линии. В результате опять дается предположительная формулировка геометрического места.

В отношении формулировок отметим, что их целесообразно давать, как ответ на поставленный в начале вопрос. Пример. Что является г. м. т., равноудаленных от концов отрезка? Г. м. т., равноудаленных от концов отрезка, есть перпендикуляр к этому отрезку, восставленный в его середине.

3) Далее выполняется построение г. м. Это построение, как и при всяких планиметрических задачах на построение, следует обязательно выполнять как на доске, так и в тетрадях с помощью циркуля и линейки.

4) Затем следуют два доказательства. Во-первых, доказывается прямая теорема, что любая точка, взятая на г. м., обладает определенным свойством. Во-вторых, доказывается обратная теорема, что точки, обладающие определенным свойством, лежат на г. м.

Надо заметить, что какую из этих теорем считать прямой, какую — обратной, особого значения не имеет. В случае, если отыскание г. м. велось с помощью анализа, надобность в доказательстве обратной теоремы отпадает.

5) В результате всего описанного пути освоения г. м. дается окончательная его формулировка.

Этот общий план изучения г. м. в конкретных условиях может насколько изменяться. Например, встречаются настолько простые в отношении их отыскания г. м., что отпадает надобность в индукции или в анализе. Учащиеся, как говорят, интуитивно дают верный ответ на поставленный вопрос. Конечно, интуиция в этом случае есть не что иное, как обобщение не развернутого, мысленно выполненного опыта.

Иногда доказательства прямой и обратной теорем настолько легки, что в них не чувствуется надобности. В таких случаях эти доказательства также могут быть опущены.

Покажем на двух примерах, как реализуется намеченный выше план. Пример 1.

1) Дан отрезок ab. Найти место точек, равноудаленных от концов этого отрезка.

Для пояснения можно поставить такой вопрос:

Где лежат точки, равноудаленные от концов отрезка?

2) Чтобы найти ответ на поставленный вопрос, преподаватель предлагает построить на доске и в тетрадях несколько точек (3—5)7 равноудаленных от концов отрезка.

На какой линии будут лежать интересующие нас точки?

Как же ответить на вопрос, что является г. м. т., равноудаленных от концов отрезка?

Дайте точную формулировку этого г. м. т.

3) Начертите отрезок ab. Тщательно выполните построение г. м. т.

4) Докажем, что любая точка, взятая на перпендикуляре к отрезку, проведенном через его середину, равноудалена от концов отрезка (черт. 1).

Дано: ЛС=С£, mn±ab; d — произвольная точка на mn. Доказать: ad = bd.

Доказательство. Д acd = Д bcd, так как они прямоугольные, dc — общий катет и другие катеты равны (ас = св). Из равенства треугольников следует, что ad = bd. Так как точка d — произвольная точка на AMV, то, значит, теорема верна.

Докажем обратную теорему, что точка, равноудаленная от кош ов отрезка, лежит, на перпендикуляре к отрезку, проходящем через его середину (черт. 2).

Дано: отрезок ab и точка d; ad = bd; ас = св.

Доказать: dc J_ ab.

Доказательство: Д acd= Д bcd, так как три стороны одного из них равны трем сторонам другого (dc — общая, ad = bd и

Рис. 1

АС = ВС). Из равенства этих треугольников следует, что /_ 1 = /_ 2. А эти углы смежные, значит DC _1_АВ. Следовательно, точка лежит на перпендикуляре к отрезку, проходящем через его середину. Очевидно, что это доказательство применимо к любой точке, равноудаленной от концов отрезка.

5) В результате изучения дается окончательная формулировка: г. м. т., равноудаленных от концов отрезка, есть прямая, перпендикулярная к отрезку, проходящая через его середину.

Пример 2.

1) Найти г. м. т., равноудаленных от сторон угла.

2) Анализ. Предположим, что точка M (черт. 3) есть одна из искомых точек. Опустим из точки M перпендикуляры на стороны угла: МА_\_ВА и MC\_ВС. Тогда должно иметь место равенство: AM = СМ. Соединим точку M прямою с точкой В.

Д АВМ должен равняться Д ВСМ, так как они прямоугольные, имеют общую гипотенузу ВМ и по предположению катеты AM и СМ равны. А значит /_ 1 = /_ 2, т. е. ВМ должна являться биссектрисой данного /_ ABC. Таким образом, точки, равноудаленные от сторон угла, лежат на биссектрисе этого угла.

3) Начертим /_ ABC и построим его биссектрису (черт. 4).

4) Докажем, что точки, лежащие на биссектрисе угла, равноудалены от его сторон (черт. 4).

Дано: /_ АВСУ BN—его биссектриса. M — любая точка биссектрисы, МА_\_АВ и МС±ВС.

Доказать: МА = МС.

Доказательство : Д АВМ = Д ВСМ, так как они прямоугольные, имеют общую гипотенузу ВМ и равные острые углы (/_ \ = /2). Из равенства треугольников следует: МА = — MC.

Точка M — любая точка биссектрисы; значит, любая точка, лежащая на биссектрисе, равноудалена от сторон угла.

Доказывать обратную теорему нет надобности: она доказана при анализе.

5) Дается окончательная формулировка: г. м. т., равноудаленных от сторон угла, есть биссектриса этого угла.

Таким же путем изучаются еще два г. м.:

1) г. м. т., удаленных от данной прямой на расстояние я, являются две прямые, параллельные данной и проведенные от нее на расстоянии а;

2) г. м. т. равноудаленных от двух параллельных прямых, есть прямая, параллельная данным и равноудаленная от них.

Таким образом, при первом знакомстве с г. м., учащиеся изучают пять простейших г. м. Это позволит решать некоторые простейшие задачи на построение методом г. м., при этом эти задачи по своим сюжетам будут достаточно разнообразны.

III

При решении задач на построение методом г. м. целесообразно познакомить учащихся с отысканием решения помощью анализа и вместе с тем приучить их пользоваться обычным четырехэтапным планом решения задач на построение: а) анализ, б) построение, в) доказательство, г) исследование.

а) Анализ при решении задач на построение методом г. м. проводится всегда по одной и той же схеме. Прежде всего предполагают, что задача решена, что одна из искомых точек найдена. Делают чертеж, примерно, соответствующий условиям задачи. Затем исключают из рассмотрения одно условие задачи; задача становится неопределенной — ей удовлетворяет бесчисленное множество точек. Находят одно г. м., на котором должна лежать искомая точка. Далее, включив в рассмотрение

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

первое условие, исключают другое условие задачи. Вновь задача становится неопределенной. Находят другое г. м., на котором должна лежать искомая точка. Наконец, делают заключение, что искомая точка лежит на пересечении двух найденных г. м., и таким путем намечается план построения. На этом анализ и заканчивается. Так как план анализа однообразен, то его следует сообщить учащимся, а затем научить их пользоваться им. Заметим, что при некотором навыке анализ задач иногда может быть проведен и без чертежа.

б) Пользуясь планом построения, который получился в результате анализа, выполняют с помощью циркуля и линейки самое построение. При построении используются данные величины. Полезно рекомендовать учащимся чертеж, получаемый при построении, располагать по отношению краев бумаги, примерно, так же, как он расположен при анализе: это облегчает построение, особенно при сложных задачах.

в) Далее следует доказательство. В доказательстве убеждаются, что построенная фигура удовлетворяет всем требованиям задачи. При решении задачи методом г. м. доказательства обычно бывают просты, а иногда могут быть опущены, так как правильность построения может оказаться очевидной.

г) Наконец при исследовании задачи выясняются условия возможности задачи, число решений. Исследование облегчается тем, что г. м. в планиметрии—это прямая и окружность, и вопрос о числе решений сводится к выяснению числа точек пересечения двух г. м., а очевидно, это вопрос незатруднительный. Необходимо отметить одну особенность исследования задач, решаемых методом геометрических мест: решение зависит как от размеров данных геометрических образов, так и от их взаимного положения. А это требует уменья комбинировать геометрические образы, находить особые их расположения, дающие особые случаи решения. Такие упражнения являются хорошей школой для развития пространственного воображения.

Приведем, как пример, решение одной задачи.

Задача. Найти точку, равноудаленную от сторон данного утла и в то же время равноудаленную от концов данного отрезка.

а) Анализ. Даны /_ АБС и отрезок MN (черт, 5).

Пусть точка X будет искомая. Согласно Условиям задачи: АХ=СХ и MX=NX.

Исключим из рассмотрения отрезок MN. Тогда задача будет читаться так: найти точку, равноудаленную от сторон данного угла. Очевидно, таких точек бесчисленное множество. Г. м. таких точек есть биссектриса /_ ABC. Итак, искомая точка лежит на биссектрисе данного угла.

Исключим из рассмотрения /_ ABC. Тогда задача будет читаться так: найти точку, равноудаленную от концов отрезка MN. Очевидно, что таких точек бесчисленное множество.

Г. м. таких точек есть перпендикуляр к данному отрезку, проведенный через его середину. Значит, искомая точка лежит на этом перпендикуляре.

Итак, искомая точка лежит на биссектрисе /_ ABC и на перпендикуляре к отрезку МК в его середине. План решения найден.

б) Построение (черт. 6). Строим биссектрису ВК угла ABC; строим далее перпендикуляр ST к отрезку MN в его середине. Пересечение двух построенных г. м. дает искомую точку X.

в) Доказательство. Точка Л' лежит на биссектрисе /_ ABC; значит, она равно удалена от сторон этого угла.

Точка X лежит на перпендикуляре к отрезку MN в его середине; значит, она равно удалена от концов этого отрезка. Следовательно, точка ^ действительно искомая точка.

г) Исследование. Каждое из использованных г. м. есть прямая, а две прямые пересекаются в одной точке. Значит, задача, вообще говоря, имеет одно решение.

Если данный угол и данный отрезок расположены так, что использованные г. м. не пересекутся, т. е. биссектриса угла и перпендикуляр к отрезку будут параллельны, то

Рис. 5

Рис. 6

задача не будет иметь решений. Очевидно, для этого отрезок MN должен быть расположен перпендикулярно к биссектрисе и притом так, чтобы биссектриса не проходила через его середину (черт. 7).

Если биссектриса угла и перпендикуляр к отрезку сольются (черт. 8), то задача будет неопределенна: любая точка слившихся г. м. является искомой точкой. А это, очевидно, случится тогда, когда MN J_ В К и В К проходит через середину отрезка.

Чтобы овладеть простейшими г. м. и чтобы научиться применять их к решению задач, следует уже в первом концентре их изучения дать учащимся достаточное количество задач, решаемых методом г. м. К сожалению, наши современные задачники, принятые в школе, в этом вопросе не могут удовлетворить запросы преподавателя. Поэтому приведем в этой статье ряд таких задач.

1. Найти точку, находящуюся в равном расстоянии от концов данного отрезка и

1) лежащую на данной прямой,

2) находящуюся в данном расстоянии от данной точки,

3) находящуюся в равном расстоянии от концов другого данного отрезка,

4) находящуюся в равном расстоянии от сторон данного угла.

2. Построить равнобедренный треугольник, имеющий данное основание, вершина которого:

1) лежала бы на данной окружности,

2) находилась бы на данном расстоянии от данной точки,

3) находилась бы в равном расстоянии от двух данных точек,

4) находилась бы в равном расстоянии от» двух параллельных прямых.

5) находилась бы в данном расстоянии отданной прямой,

6) лежала бы в равном расстоянии от сторон угла.

3. Найти точку, находящуюся в равное расстоянии от сторон данного угла, которая последовательно удовлетворяла бы пунктам 1—6 предыдущей задачи.

4. На данном основании построить треугольник, имеющий данную высоту, и вершина которого последовательно удовлетворяла бы пунктам 1—6 второй задачи.

IV

Переходим ко второму концентру изучения г. м. и их приложения к решению задач на построение. В этом концентре целесообразно повторить изученные ранее г. м., познакомить учащихся с некоторыми новыми г. м , по преимуществу связанными с окружностью и измерением углов, дать достаточное число задач на применение г. м. и, наконец, привить навыки в исследовании решения задач.

Что касается изучения новых г. м., те в этом отношении можно поступать, как и ранее: каждое г. м. изучить самостоятельно. Приведенный выше план изучения отдельного г. м. остается в силе и здесь.

С целью ознакомления учащихся с новыми г. м. можно использовать неопределенные задачи. Например, построить окружность, касающуюся данной прямой в данной на ней точке. Решение и исследование такой задачи приведет класс к новому г. м.

Кроме этих приемов введения новых г. м.. можно поступить и так: подбирается задача на построение, решаемая с помощью одною из известных учащимся г. м. и требующая отыскания некоторого, еще неизвестного г. м. Значит г. м. появляется в результате решения задач на построение. Этот путь введения новых для учащихся г. м. интересен потому, что он является обычным и естественным путем, который имеет место при решении задач. Но надо отметить, что он пред'являет к учащимся более высокие требования: надо преодолеть две трудности — решить конкретную задачу и изобрести дли этого новое г. м. Поэтому этот второй путь возможен в таких классах, которые в математическом отношении хорошо развиты.

С какими г. м. целесообразно познакомить учащихся?

Естественно познакомить с теми г. м,.

Рис. 7

Рис. 8

которые связаны с только что изученными главами об окружности й измерении углов. Увлекаться большим числом г. м., а также особо сложными г. м. не приходится: этому мешает весьма скромное число часов, отводимое на изучение геометрии в VII классе. Ниже даем перечень тех г. м., которые целесообразно изучить.

1) Г. м. центров окружностей данного радиуса, касающихся данной прямой, являются две линии, параллельные данной прямой и проведенные от нее на расстоянии, равном данному радиусу.

2) Г. м. центров окружностей, касающихся данной прямой в данной на ней точке, есть перпендикуляр к этой прямой в данной точке.

3) Г. м. центров окружности, касающихся сторон угла, есть биссектриса этого угла.

4) Г. м. центров окружностей, касающихся двух параллельных линий, есть прямая, параллельная данным и проведенная от них на равном расстоянии.

5) Г. м. центров окружностей данного радиуса, касающихся данной окружности, являются две окружности концентрические с данной и описанные радиусами, равными сумме и разности данных радиусов.

6) Г. м. центров окружностей, касающихся данной окружности в данной на ней точке, есть секущая этой окружности, проходящая через центр ее через данную точку.

7) Г. м., из которых данный отрезок виден под прямым углом, есть окружность, построенная на данном отрезке, как на диаметре.

8) Г. м. т., из которых данный отрезок виден под данным углом, суть дуги сегментов, построенных на данном отрезке и вмещающих данный угол.

В отношении двух последних г. м. надо заметить, что их лучше дать, как разные г. м., потому что построения того и другого места различные. Кроме того, первое из них встречается значительно чаще, чем второе и в дальнейшем курсе геометрии встречается неоднократно в различных вопросах, связанных с средней пропорциональной.

Может показаться, что приведенный список г. м. очень велик, непосилен для учащихся и не может уложиться в отводимое для изучения геометрии время. На это заметим, что многие из приведенных восьми г. м. представляют собой по существу уже ранее изученные места, только изложенные с использованием других геометрических понятий и терминов, другим языком. А значит, понимание этих г. м. затруднений не вызовет и потребует незначительного времени.

Переходим к исследованию задач.

Плоские геометрические места крайне разнообразны. Однако в элементарной геометрии г. м. являются или в виде одной прямой линии, в виде совокупности двух прямых линий, или в виде окружности (или дуги окружности) и совокупности двух окружностей (или двух дуг окружностей). Таким образом, в школьном курсе геометрии г. м., как линии, очень однообразны. Такое положение значительно облегчает выяснение вопросов о числе решений задачи, о ее возможности и других вопросов, связанных с исследованием.

Основные случаи, могущие встретиться при исследовании, легко предусмотреть и зафиксировать в виде схемы.

A) Если для решения задачи использованы два г. м. в виде двух прямых, то возможны следующие случаи:

а) если прямые пересекаются, задача имеет одно решение;

б) если прямые параллельны, задача не имеет решений;

в) если прямые сливаются, задача имеет бесчисленное множество решений (любая точка двух слившихся прямых удовлетворяет требованиям задачи).

Б) Если для решения задачи использованы два г. м.— прямая и окружность, то возможны такие случаи:

а) если прямая пересекает окружность, задача имеет два решения;

б) если прямая касается окружности, задача имеет одно решение;

в) и, наконец, если прямая не имеет общих точек с окружностью, то задача не имеет решений.

B) Если для решения задачи использованы два г. м, в виде двух окружностей, то возможны такие случаи:

а) если окружности пересекаются, задача имеет два решения;

б) если окружности касаются, задача имеет одно решение;

в) если окружности не имеют общих точек, то задача невозможна;

г) если окружности сливаются, то задача имеет бесчисленное множество решений (любая точка двух слившихся окружностей удовлетворяет требованиям задачи).

Приведенная схема указывает все возможности для таких случаев, когда использованные при решении задачи г. м. являются одной линией. Но, очевидно, когда то или другое г. м. выражается не одной линией, а совокупностью линий, то исследование несколько усложняется, однако по существу оно сводится все к той же схеме.

Приведенная схема несложна: она сводится к изучению взаимного расположения или двух прямых, или прямой и окружности, или, наконец, двух окружностей. А эти вопросы известны учащимся; последние два только что изучены в этом же разделе программы. Учитывая это, приведенную схему исследования решения задачи можно сообщить учащимся. Конечно, при этом она должна иллюстрироваться целесообразно подобранными примерными задачами.

Приведем ряд задач, которые можно решить в VII классе.

1. Провести окружность данного радиуса, касающуюся данной прямой и центр которой находился бы:

1) в равном расстоянии от концов данного отрезка,

2) в данном расстоянии от другой данной прямой,

3) в равном расстоянии от двух пересекающихся прямых,

4) в равном расстоянии от двух параллельных прямых,

5) в данном расстоянии от данной точки.

2. Провести окружность, касающуются данной прямой в данной на ней точке, чтобы центр окружности последовательно удовлетворял пп. 1—5 предыдущей задачи.

3. Описать окружность данным радиусом, касающуюся данной окружности и

1) центр которой лежал бы в равном расстоянии от сторон данного угла,

2) данной прямой,

3) другой данной окружности.

4. Построить окружность, касающуюся двух параллельных прямых и

1) проходящую через данную точку,

2) касающуюся данной прямой,

3) касающуюся данной окружности,

5. Провести окружность, касающуюся сторон данного угла и

1) центр которой находился бы в равном расстоянии от двух параллельных прямых,

2) прямой, параллельной одной из сторон угла,

3) данной прямой.

6. Построить окружность, касающуюся данной окружности в данной точке и

1) центр которой лежал бы в данном расстоянии от данной прямой,

2) данной прямой,

3) центр которой лежал бы в точке, из которой данный отрезок виден под прямым углом.

7. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе С и

1) медиане we,

2) высоте Ае,

3) чтобы вершина прямого угла лежала в равном расстоянии от двух данных точек.

8. Построить треугольник по основанию ау углу при вершине А к

1) высоте ha,

2) медиане та,

3) проекции рь боковой стороны на основание,

4) углу между основанием и медианой та.

Конечно, следует использовать и те задачи, которые дает стабильный задачник по планиметрии.

В заключение отметим, что в дальнейшем курсе геометрии г. м. используются неоднократно как для определения новых понятий, так и для решения задач на построение. Такое положение позволяет частично углубить, частично расширить метод г. м.

Так как изучение г. м. и применение их к решению задач на построение, как показывает все изложенное, имеет значительный интерес с точки зрения преподавания геометрии, и так как школьные программы позволяют только познакомиться с основой этого метода, то полезно рекомендовать— более глубокое и полное знакомство с г. м. вынести на занятия математического кружка. Эта тема на кружковых занятиях и интересна н полезна.

О ТРЕТЬЕМ ПРИЗНАКЕ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Проф. В. ФУРСЕНКО (Москва)

В редакцию журнала «Математика и физика в школе» поступает много писем от учителей по поводу трудностей, связанных с изложением третьего признака равенства треугольников.

И. Кацман (Житомир), указывая на эти трудности, находит причины их в том, что «в первых двух случаях основание доказательства непосредственно наблюдаем в самих рассматриваемых объектах. В третьем же случае основание для доказательства притягиваем извне, что и является усложняющим элементом». И. Кацман в подтверждение своих слов ссылается на учебник А. Давидова, где доказательство третьего признака основано на лемме: «Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то против большего угла лежит и большая сторона» (цитирую по изд. 1871 г. — В. Ф.), и на учебник А. Киселева с его методом «приложения».

Метод изложения равенства треугольников, предлагаемый И. Кацманом в приводимом письме, также сводится к установлению некоторых промежуточных звеньев между первыми двумя и третьим признаком равенства в виде доказательства равенства прямоугольных треугольников по двум катетам, т. е. имеет принципиально тот же недостаток, что и критикуемый им метод А. Давидова.

М. Петров (Москва) по поводу третьего признака равенства треугольников говорит, что «по общему убеждению преподавателей математики доказательство этого случая трудно дается учащимся, и они скорее заучивают, нежели осознают его». Усматривая основную причину трудностей в новом способе доказательства, т. е. в способе «приложения», М. Петров предлагает методы преодоления этой трудности, рекомендуя начинать доказательство теоремы не с чертежа, а с наглядной модели, и затем рассмотреть сначала случай симметричных треугольников, для приложения которых не требуется предварительное вращение треугольника не в плоскости чертежа, после чего уже перейти к общему случаю.

Более того, М. Петров рекомендует взять способ приложения в качестве основного метода доказательства всех трех признаков равенства треугольников, введя лемму: «Если два треугольника имеют соответственно равные стороны, то они имеют соответственно равные углы».

Мы считаем, что обычное доказательство этого признака «способ приложения»—заключает два серьезных дефекта. Во-первых, мы доказываем равенство двух треугольников при помощи третьего, т. е. предполагаем,, что равенство треугольников и равенство углов подчиняется закону «транзитивности»; во-вторых, «способ приложения» связан с вращением треугольника не в той плоскости, в которой он расположен. Кроме того, надо иметь в виду, что в школьном курсе геометрии при доказательстве всех трех признаков равенства треугольников вопрос о симметричных треугольниках не рассматривается.

Доказательство обычно ведется таким образом, чтобы свести третий признак к случаю, когда равны две стороны и угол, заключенный между ними.

Например, в «Elements de géométrie» Руше и Комберусса (изд. 1898 г.), т. е. в учебнике, который по существу играл роль основного руководства по геометрии в Европе XIX в., доказательство ведется следующим образом (черт. 1).

Пусть треугольники ЛВС, А'В'С таковы, что АВ = А'В\ ВС = В'С, ЛС = А'С. Перевернув Д А'В'С,приложим его к Д АБС так, чтобы В' упала в Ä, С9 в С и А' а Ап под стороною ВС (предполагая, что А лежит над ВС). Так как ВА“ = В'А'=ВА9 АЛВА“ будет равнобедренный и равноделящая /_АВА“ перпендикулярна к прямой ААп в ее середине. Но ЛЛСЛ“ тоже равнобедренный вследствие равенств ЛпС — А'С = АС, а потому перпендикуляр, восставленный из середины прямой АА'\ пройдет через вершину С; Итак, равноделящая ABA“ есть именно

Рис. 1

прямая ВС и А АБС равен LA“ ВС, т. е. £А'В'С.

Приводим для сравнения доказательство по учебнику А. Киселева (изд. 1928 г.), который был построен по типу Руше и Комберусса и у нас являлся руководящим учебником геометрии на протяжении 50 лет.

Приложим Д ABC к Д А'В'С так, чтобы у них совместились равные стороны АС и А'С. Тогда Д ABC займет положение АСВ“ (черт. 2). Соединяя прямою точки В* и В“, мы получим два равнобедренные треугольника AB1 В“ и В'С'В“ с общим основанием В*Вп. Но в равнобедренном треугольнике углы при основании равны; следовательно, / 1 = 2 2 и ^ 3= ^ 4, а потому / ABC =

Доказательство Киселева, ставящее целью показать равенство углов при вершине, представляется нам менее удачным, нежели доказательство Руше и Комберусса, так как в случае, если /\АВС окажется тупоугольным, потребуется отдельное рассмотрение, что становится особенно ясным, если мы приведем доказательство из современного стабильного учебника Гурвица и Гангнуса.

«Повернем /\AßtC, на 180° вокруг стороны Aßn оставляя ее неподвижной; тогда l\Aßßt займет положение AßtC2 (черт. 3).

Очевидно, что £\AßtC|=Д Aß,С2. Приложим затем /\AßtC2 к /\АВС так, чтобы точка А, совпала с точкой А и сторона Aß, пошла по стороне AB; тогда вследствие равенства сторон Aß, и AB точка В, совпадет с точкой В и вершина С2 займет положение С3. Соединим прямою СС3 вершину С с вершиною С3; обозначим углы, на которые прямая СС3 разбила углы С и С3, соответственно через 1, 2, 3 и 4 и рассмотрим полученные два равнобедренных треугольника АСС3 и СВС3, у которых СС3 общее основание, АС—АСЪ и ВС = ВСг».

«В равнобедренных треугольниках углы при основании равны, поэтому 1) в ДЛСС3 Z1=Z3; 2)в A CBCZ £ 2 = ^4. Складывая, почленно, получим ^1 -j- /ß— Z^-f-но Zl + Z2 = ZC и Z3+Z4 = = LС8, а потому L_C — /_C^.

Здесь так же, как и в доказательстве А. Киселева, если бы /_А или /_В оказался тупым, то ^С определялся бы не суммой, а разностью углов при основании равнобедренных треугольников.

Это доказательство характерно еще и тем, что если в доказательстве Киселева предлагалось приложить один треугольник к другому без указания способа, как этого можно достичь, то в геометрии Гурвица и Гангнуса предлагается (в планиметрии!) вращать треугольник не в плоскости чертежа.

В разобранных трех доказательствах налицо и способ приложения и применение закона транзитивности к равенству углов.

А. Розенталь («Math, ann», Bd. 71) предложил строгое доказательство, не опирающееся на транзитивность равенства углов.

Если АВ = АВ, ВС = В'С и АС=А'С\ то мы в плоскости /\А'В'С строим Д А'В“С, такой, чтобы £ С'А'В“ = £ CAB и £ А*СВ“=1_ АСВ а чтобы точка В“ лежала относительно АС по другую сторону, нежели В'. Тогда /\АВС и Д ÄB“C конгруентны и АВ = АВ“, ВС = ВпС (черт. 4).

Пусть 1_САВ L С А* В'; тогда £САВ~ = /тСА'х. Возьмем на луче Ах точку В“', такую, чтобы АВ = А В'“ (а, следовательно, А'В'“ =*АВ“). Соединяя В41 с С, получим треугольник А'В'“С, конгруентный треугольнику ABC (АС=А'С,АВ = А'В'“ и/САВ = 2 СА'В1П). Отсюда вытекает, что В“'С =

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

= ВпС. Проведя прямую В'“В“, получим два равнобедренные треугольника Вп А В“' и В“С В*11 откуда заключаем о равенстве углов В“' и В“, о конгруентности треугольников А'В“'С и А В“С и равенстве углов В“'А'С и В“А'С. Совершенно аналогично, проведя прямую В'В“, можно доказать раравенство углов В“А С и В'А'С. Совместное существование равенств^/В'“А1 С = /_В“АС и £B'A'C—£BnÄC противоречит 4-й аксиоме конгруентности Гильберта о том, что при данном луче по данную сторону плоскости существует только один угол равный данному.

В доказательстве А. Розенталя равенство треугольников определяется при помощи треугольника, симметричного данным двум.

Известно, однако, совершенно простое доказательство третьего признака, независимое от остальных признаков, не связанное с вращением и не требующее построения третьего треугольника.

В самом деле, при наложении двух треугольников с соответственно равными сторонами при совмещении оснований могут представиться лишь три случая (предполагается, как обычно,что треугольники не симметричны).

1°. Контур одного из треугольников лежит внутри другого.

2°. Контур одного из треугольников пересекает контур другого.

3°. Контуры обоих треугольников совпадают.

Если допустить один из первых двух случаев, то, соединив вершины В и В\ мы получим равнобедренные треугольники ABB1 и СВВ' (черт. 5).

Но так как медианы равнобедренных треугольников в точке D служат одновременно и высотами, то мы имеем из точки D два перпендикуляра, восставленные к одной и той же прямой ВВ\ что невозможно.

Остается, следовательно, единственное предположение, что контуры ABC и А'В'С совпадают.

(Невозможность первого случая можно было бы заключить также из того, что по условию АВ = АВ' и СВ = СВ\ а, следовательно, AB -\-СВ — AB' СВ1. Первый же случай требует, чтобы AB + ВС £_ AB1 -f- С В1)

Такое изложение мы считали бы приемлемым для школы, и оно применяется некоторыми учителями.

В заключение приведем строгое доказательство третьего признака, отличное от всех приведенных выше.

Пусть попрежнему AB —AB', АС = А'С и ВС —В*С. Достаточно доказать, что A=lА, чтобы, опираясь на 5-ю аксиому конгруентности Гильберта (соответствует признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу, заключенному между ними), считать теорему доказанной.

Допустим, что ^/ Л =7^= ^/ Лг, тогда ^ А = = /тВ'Ак (чертежа не приводим). Возьмем на луче А'х точку В'\ такую, что АВ = А Вп. Соединяя точку В'1 с точкой С, получаем /\АВ“С = Д ABC (по первому признаку, и В“С =ВС = В'С.

Если точка Вп лежит внутри или вне ДЛ'Б'С, то получим один из двух случаев, изображенных на чертеже 5 (где точку В надо переименовать в В“), невозможность которых установлена. Если допустить, что точка В“ лежит на контуре дА'В'С, то в силу того, что / А ф А, она заведомо не совпадает ни с одной из точек AB'. Точно так же она не может совпасть ни с одной из точек В1 С, кроме В\ принадлежащей АВ\ так как в этом случае нарушится равенство В“С=В'С-

Таким образом, допущение, что /_ Аф ^А, во всех случаях приводит к противоречию.

Рис. 5

ИЗ ОПЫТА

О ПРЕПОДАВАНИИ ГЕОМЕТРИИ

В. ПОПОВА. (Ленинград).

Мне хочется сказать об одном узком месте в преподавании геометрии — стереометрии. Мне в своей педагогической практике приходилось много затрачивать энергии на выработку пространственных представлений у учащихся, на выработку умения разбираться в данных задачи, проводить анализ и уметь составить план решения задачи.

Обычно считалось, что начало стереометрии, так называемая вводная часть, где сообщаются основные положения линий и плоскостей в пространстве, — самая скучная часть стереометрии, даже как-то стоящая отрывом от остального материала; между тем, усвоение этих положений и есть основа не только для успешного решения стереометрических задач, но и для развития пространственного представления. Небольшие теоремы первой части стереометрии не легко запоминаются учащимися, а потому следует подкреплять их задачами. Очень хорошо иметь в математическом кабинете модели из проволоки на деревянной подставке, хотя бы для таких теорем, как теорема о 2 и 3 перпендикулярах. И еще лучше иметь параллельные плоскости из мелкой металлической сетки и набор тоненьких металлических или деревянных палочек, чтобы можно было давать различное положение линиям на плоскости и вне ее. Хорошо иметь модель двугранного угла с прикрепленным транспортиром.

Сейчас же после знакомства с теоремами о 2 и 3 перпендикулярах я давала учащимся понятие о пирамиде — как правильной, так и неправильной. Тогда у меня было широкое поле для упражнений. Первое, что можно было указать на модели пирамиды (проволочной с деревянной подставкой), это — перпендикулярность высоты пирамиды к плоскости основания, т. е. перпендикулярность ее ко всякой линии, проведенной на плоскости. При решении задач я требовала от учащихся, чтобы они указывали не меньше 2 линий на плоскости, к которым перпендикулярна высота, добиваясь, чтобы они отдавали себе отчет, почему они взяли ту или иную линию за высоту. На правильной же пирамиде учащиеся должны были указать свойство 3 перпендикуляров: сторона основания, будучи перпендикулярна к апофеме пирамиды, будет перпендикулярна к апофеме основания.

На пирамиде иллюстрировалась теорема о проекции линии на плоскость — апофема основания правильной пирамиды есть проекция апофемы пирамиды. При изучении свойств перпендикуляра и наклонных, проведенных к плоскости из одной точки, указывалось положение высоты, ребер и их проекции у правильной пирамиды. Тут необходимо твердо закрепить у учащихся, что у правильной пирамиды проекции ребер суть радиусы описанного круга; следовательно, высота проходит через центр описанной окружности. При рассмотрении проекции апофем пирамиды устанавливается их равенство между собой и их значение, как радиусов вписанной окружности. Рассматривая треугольники, образованные ребром и апофемами пирамиды с их проекциями, полезно указать углы, полученные при этом. Тут уместно дать понятие и об угле линии с плоскостью, указать эти углы в пирамиде и также обратить внимание учащихся на плоские углы при вершине; тогда можно дать иную формулировку положения , высоты в пирамиде: при одинаковом наклоне ребер к плоскости основания высота пройдет через центр описанного круга, при одинаковом наклоне высот боковых граней к плоскости основания — через центр вписанного круга.

Когда последние определения даны, то можно познакомить и с неправильной пирамидой, например, имеющей одинаковые ребра, и дать учащимся отыскать положение высоты. Для лучшего закрепления последнего положения предложить построить пирамиду с параллелограмом в основании и одинаковым наклоном ребер; тут придется припомнить из планиметрии о невозможности описать окружность около параллелограма и,

следовательно, указать и невозможность построения такой пирамиды. Среди моделей правильных и неправильных пирамид необходимо иметь и модель пирамиды в случае, когда одно из ребер служит высотой: как ни странно, этот случай вызывает затруднения у учащихся.

На пирамиде же хорошо проработать и вопрос о двугранном угле; если легко дается построение линейного угла для двугранного угла между боковой гранью и плоскостью основания, то построение линейного угла для двугранного между двумя боковыми гранями всегда вызывает затруднение. В правильной пирамиде при таком построении необходимо довести до отчетливого понимания, почему высоты двух смежных боковых граней, опущенные на общее боковое ребро, служащее одной из равных сторон равноберенных треугольников, сойдутся в одной точке и будут служить сторонами линейного угла. Необходимо на моделях правильной трехгранной пирамиды и четырехгранной иметь проведенными проволокой стороны линейных углов для двугранных углов этих пирамид. Также необходимо указать, что плоскости, проведенные через стороны линейных углов, перпендикулярны к ребрам двугранных углов.

Установив все эти положения и построения, я достаточное время уделяла определению какой-либо тригонометрической функции этих углов по двум линейным данными пирамиды и, что я считаю ценным, умению выразить зависимость между функциями линейных углов в пирамиде. Например: в правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине = 2а. Определить двугранный угол при боковом ребре. Хорошо, если к этому времени учащиеся будут знать по тригонометрии формулы двойных углов, но нет и большой беды, если ответ не будет упрощен и будет дан в виде

Это все упражнения, которых не так уже много в современных задачниках, но которые имеют большое значение для учащихся.

Кроме проекции отрезка прямой на плоскость, я считаю нужным говорить и о проекции фигуры на плоскость; обычно эта теорема о проекции плоской фигуры не вызывала затруднения, и учащиеся часто прибегали к ней при решении задач. В. пирамиде она дает зависимость между площадью основания и боковой поверхностью. Для правильной пирамиды учащиеся устанавливали, что площадь основания равна боковой поверхности, умноженной на cos угла наклона боковой грани на плоскость основания, и обратно

0 cosa

Теория проекций может помочь и при рассмотрении пирамид неправильных, в случае, когда высота совпадает с боковым ребром. На моделях таких пирамид учащиеся указывали проекции ребер, граней — это тоже были хорошие упражнения для развития пространственных представлений. Но главными упражнениями, которые давали отчетливые пространственные представления, я считала решение задач на сечения пирамид (преимущественно правильных) различно проведенными плоскостями. На эти задачи я отводила много времени, давались они не легко, требовалось много усидчивости от учащихся и терпения у преподавателя, но зато это приводило к цели. Когда этот этап бывал пройден и учащиеся доведены достаточным числом упражнений до отчетливого представления о расположении линий и плоскостей в пространстве, чувствовалось удовлетворение и учащихся и у преподавателя. Решали, например, такие задачи: определить площадь сечения правильной четырехугольной пирамиды плоскостью, проведенною через диагональ основания параллельно боковому ребру. Будет очень хорошо, если на модели правильной четырехугольной пирамиды учащиеся шнуром покажут контур сечения, который получится при проведении этой плоскости. При решении таких задач необходимо, чтобы учащиеся не только указали полученную формулу сечения, но и составили формулу для определения площади, нашли бы нужные им величины и, подставив их, вычислили. Здесь самое ценное будет обоснование теоремой, почему стороны полученного треугольника, лежащие на боковых гранях, а также высота сечения будут параллельны боковому ребру, и почему высота сечения по величине равна половине ребра. Необходимо указать, что число сторон получаемой фигуры всегда равно числу пересеченных граней. Данные в этой задаче можно брать различные: 1) сторона основания а и угол наклона ребра а; 2) сторона основания а и апофема пирамиды т; 3) боковое ребро и его угол, наклонный к плоскости основания.

Необходимо следить, чтобы учащиеся с самого начала правильно записывали данные

задачи, в первую очередь определяли число сторон получаемой фигуры, затем особенности этой фигуры, например, в случае треугольника определяли, равнобедренный ли он, прямоугольный и т. д. Затем указывали точные формулировки теорем, которые применялись при построении сечения, составляли формулу, по которой нужно проводить решение задачи и выделяли искомые линии. Обычно после такого анализа само нахождение входящих искомых элементов очень легко. Я привожу несколько задач на сечения, которые считаю полезным решить с учащимися, с подробным анализом.

1) Определить площадь сечения правильной четырехугольной пирамиды, проведенного через сторону основания, перпендикулярно противоположной боковой грани — по данным: стороне основания и углу наклона боковой грани.

2) Определить площадь сечения правильной трехгранной пирамиды плоскостью, проведенной через середину бокового ребра, перпендикулярно плоскости основании — поданным: стороне основания а и боковому ребру Ь. На последней задаче можно показать теорему об условиях параллельности прямой и плоскости, которые перпендикулярны к одной и той же прямой, и теорему: две прямые, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны и, наконец, теорему: если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Хороший материал для анализа дают задачи:

3) Определить сечение правильной треугольной пирамиды плоскостью, проведенной через середину высоты, параллельно двум непересекающимся ребрам — по данной стороне основания, пирамиды и углу наклона боковой грани или по стороне основания и боковому ребру,

4) Определить в правильной треугольной пирамиде площадь сечения, проведенного через середину высоты, параллельно боковой грани по данным а — стороне основания — и а —углу наклона боковой грани. Задач на сечения пирамид, где при анализе построения сечения необходимо применять теоремы вводной части курса стереометрии, можно составить не мало.

Чтобы выработать навык у учащихся в составлении определенного плана при анализе задач и их решения, можно давать такую схему вопросов:

а) Определить форму сечения (по числу пересеченных граней).

б) Определить: не будет ли форма сечения частным случаем? (Обосновать теоремами).

в) Составить формулу для решения вопроса.

г) Определить, какие входящие в формулы величины известны и какие необходимо найти.

д) Найти эти величины, связав их с данными задачи, подставить в формулу и сделать все преобразования.

Все решения, конечно, ведутся в общем виде, и если в условии даются числовые значения, то следует требовать их подстановки только в окончательно упрощенную формулу.

Итак, пирамида дает очень богатый материал для развития пространственного представления и для закрепления теорем о расположении линий и плоскостей в пространстве. А потому ей должна уделяться большая часть времени, отводимого для прохождения курса.

Затем большие возможности дает комбинация тел, например той же пирамиды с призмами, шаром и затем шара со всеми остальными телами. Конечно, следует разобрать правильные пирамиды и конус, вписанные в шар, хотя бы по разнообразию способов решения задач на эту комбинацию тел. Из комбинации шара с неправильными пирамидами я бы указала на пирамиду с основанием в форме прямоугольного треугольника и гранью, проходящей через его гипотенузу, перпендикулярно к плоскости основания, а также на пирамиду с основанием в форме прямоугольного треугольника и высотой, совпадающей с боковым ребром, проходящим через вершину острого угла; эти задачи имеют свою ценность. При прохождении геометрии огромную услугу может оказать хорошо оборудованный математический кабинет. Не следует бояться, что проволочные контуры тел и даже проволочные модели-контуры на деревянных подставках отучат учащихся составлять модель в воображении и изображать ее на чертеже. Пусть эти модели как можно чаще будут в руках учащихся: они сыграют свою роль, помогут запечатлеть геометрические образы, помогут разобраться во взаимных положениях линии и плоскости в пространстве. Пусть кабинет пополняется моделями к задачам, сделанными самими учащимися. Только подробным анализом задач и соответствующими моделями можно из отвлеченного курса стереометрии создать интересную и увлекательную учебную дисциплину. А тогда и поступающие во втузы не будут так «безграмотны» в вопросах пространства.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

ЗАМЕЧАНИЯ ПЕДАГОГОВ ПО ЖУРНАЛУ «МАТЕМАТИКА и ФИЗИКА В ШКОЛЕ»

(Из бесед с учителями)

Н. Н. РАЗУМОВСКИЙ

Преподавателям математики и физики средних школ, педтехникумов, студентам педвузов широко известен журнал Наркомпроса «Математика и физика в школе».

Педагог хорошо знает целевую установку журнала, помнит выработанную редакцией и опубликованную в печати программу журнала, и теперь в беседах говорит о том, как журнал справился со своими задачами.

«Много интересных статей,— говорит т. Морев,— подбор статей интересный и хороший».

Эту сторону, это достижение журнала, что он стал интересным, что подбор статей хороший, подчеркивают все педагоги, с которыми приходилось иметь беседу. Педагоги отмечают, что особенно это улучшение качества журнала чувствуется за последние два года.

Одновременно педагоги говорят, что журнал «Математика и физика» надо разделить на два журнала—на журнал «Математика в школе» и отдельно — «Физика в школе». Это пожелание идет от всех, принимавших участие в беседе педагогов.

В связи с этим разделением можно будет предъявить к журналу требование — больше освещать вопросы научно-теоретического и методического характера.

Поэтому педагоги отмечали, что разделение журнала отнюдь не должно итти за счет уменьшения об'ема журнала «Математика в средней школе».

С другой стороны, отдельные товарищи, в частности т. Леппен (преподаватель рабфака), в подтверждение необходимости разделить журнал говорят о том, что редакция журнала «Математика и физика в школе» мало отводила места отделу физики.

Отдельные педагоги-авторы высказывают свое недовольство характером редакционной правки материала: так например т. Леппен говорит, что его статью редакция так переработала, что выпустила самое важное.

Многие говорят: «Журнала мы почти не видим. Нужно обязательно увеличить его тираж. Мы надеялись получить его через школу и библиотеку. Но ничего не удалось добиться. Почти невозможно выписать журнал для себя.

Журнал можно выписать только через школу и для школы».

Эти выступления ярко иллюстрируют неблагополучное положение в отношении тиража журнала.

Приведем высказывания педагогов по основным разделам журнала.

а) Научный раздел, по отзывам педагогов, интересен по содержанию, но многие статьи для среднего педагога тяжелы. Материал рассчитан главным образом на педагогов, имеющих законченное высшее математическое образование.

О трудности научного математического отдела для рядового преподавателя средней школы говорили несколько педагогов. Очевидно, это имеет место, и редакции журнала надо будет еще и еще побеседовать с педагогами по вопросу о характере изменения научного отдела в таком направлении, чтобы сделать его более доступным.

Говорили и о том, что журнал, помещав чрезвычайно полноценные и необходимые для педагога статьи, все еще мало печатает материалов по линии современных научно-математических достижений.

Этому разделу надо уделить большее внимание, так как далеко не всегда удается педагогу достать книгу или прослушать лекцию, посвященную изложению последних изысканий, последних достижений в области математики,

Поэтому работники просвещения указывают на необходимость увеличения этого раздела журнала, на необходимость широкого освещения научных вопросов, поднимающих квалификацию работников народного просвещения. Помещение коротеньких рецензий о новых книгах научного характера с кратким изложением содержания самой книги очень поможет педагогу.

б) По методическому разделу журнала указывалось на следующие два недочета.

Большинство статей посвящено тематике старших классов (VIII—X). Мало печатается материала для преподавателей младших классов.

При наличии большого количества ценных методических статей в журнале почти не печатались стенограммы или подробные записи образцовых уроков. Надо из номера в номер широко развертывать показ богатого методического опыта школ.

в) Разбирая журнал в соответствии с требованиями школы, педагоги говорили, что отдел задач «является безусловно интересным отделом». Морев и другие педагоги считают совершенно правильным, что редакция так много внимания и места уделяет отделу задач.

г) Настойчивые требования шли по линии значительного расширения раздела критики и библиографии.

Поднимался вопрос о том, что библиографический отдел журнала должен быть поставлен на такой уровень, чтобы педагог к этому отделу.

мог обращаться как к справочнику по вопросу о состоянии наличного литературного фонда, который может быть использован учителем.

Для этого педагоги предлагают помещать в этом отделе больше материалов о научной книге с рецензиями о ней, с подробным указанием, в каком органе, какие именно (даже помещая иногда отрывки) напечатаны или где-либо имеются в письменном виде рецензии, как к этим рецензиям подходить, что можно использовать из рецензируемой книги учителям средних школ для повышения своей квалификации, а также в процессе преподавания и в каком именно разделе программы. Одновременно с этим, по мнению педагогов, необходимо давать списки рекомендательной литературы для внеклассного чтения, типа «занимательной математики» и «занимательной физики», присоединяя к спискам небольшие методические указания, как именно использовать то или иное название.

Особенно предупреждали против того, чтобы редакция журнала не помещала общих указаний ко всему списку, ко всем названиям. Не надо педагогу и такого лаконического указания, что такая-то книжка может быть использована в V или VI классе; надо давать такие указания, которые педагог сможет использовать в практике своей работы на уроках по определенному отрезку изучаемого материала, использовать, может быть, хотя бы как пособие, прочтение которого учеником поможет закрепить пройденный материал.

Надо помещать списки популярных книг для внеклассного чтения учащихся, присоединяя не только небольшую аннотацию, но и краткое изложение содержания этой книги, оценку ее, некоторые методические указания, как лучше использовать книгу.

Надо систематически помещать рецензии на методическую литературу. Педагоги рекомендуют, чтобы эти рецензии были не «вообще», а применительно к школе, учесть, что журнал дорожит каждой строчкой текста, поэтому рецензии должны быть краткими, но количество книг, охваченных рецензиями, аннотациями, должно быть большим. Рекомендательные библиографические списки должны появляться чаще, систематически.

д) Некоторые учителя на общем совещании предлагали расширить или несколько видоизменить раздел «из опыта школ».

Педагоги предлагают в этом отделе давать очень небольшие, не больше полустранички, статейки, заметки преподавателей математики или физики, описывающих свой опыт.

О ценности этого предложения наши педагоги судят так: в этом отделе педагоги большие мастера своего дела, но начинающие авторы, сумеют освещать свой богатый опыт по работе школы. Редакция же сумеет систематически заняться выращиванием авторских кадров непосредственно из среды учителей — математиков и физиков. А это входит в одну из основных задач журнала. Помимо этого всякая работа, конечно, а особенно работа по привлечению авторских кадров, по оказанию помощи им в их методическом росте требует прежде всего организации. Не рассчитывать на самотек, а организовать дело. Организация работы это — основное, что нужно в каждом деле и чего порою нехватает в журнале.

По примеру других журналов редакции журнала «Математика в школе» необходимо в местах, где имеются крупные методические силы, выделить группы авторского актива.

В задачи этих коллективов должно войти по мнению педагогов, следующее:

1) Созыв совещаний педагогов в целях обсуждения тематического годового плана журнала, плана отдельных номеров; обсуждение отдельных статей или разделов журнала в то время, когда материал уже готов к сдаче в производство. Эта предварительная проверка, помощь редакции журнала должна быть систематической, постоянной.

2) Обсуждение по инициативе редакции журнала вышедших номеров, присылка в редакцию замечаний о них.

3) Организация авторского коллектива, помощь этим авторам, состоящая в том, что отдельные статьи их могут быть обсуждены на авторском активе, исправлены на основе замечаний, сделанных педагогами, и затем уже посланы в редакцию.

Педагоги предложили, и это вполне правильно, чтобы при педстанциях организовать группы авторского актива и через эти группы, которые будут регулярно собираться, журнал сможет получать очень ценный и большой материал, который будет предварительно фильтроваться в этих группах. Ведь многие педагоги охотно дали бы свои статьи, у них огромный опыт, знания, но как начать статью — они порою не умеют, чем кончить ее — они иногда не знают, и вот необходимо помочь им в этом. И такая группа авторского актива несомненно может оказать большую помощь. Редакция должна будет организовать такой актив, обрасти им. Необходимо в эту группу систематически высылать периодику, не только этот журнал, но и многие другие, чтобы эти товарищи за свою организационную работу в виде поощрения получали бы наши журналы, чтобы товарищи чувствовали, что если они ведут какую-то полезную организационную работу, то и они получают в свою очередь помощь.

Вот все основное, что можно было записать как предложения педагогов по журналу «Математика и физика в школе».

Какие выводы из всего этого?

1) Добиться разделения методического журнала на два самостоятельных методических журнала:

а) «Математика в школе» с сохранением об'ема (6-7 печ. листов) и с сохранением периодичности;

б) «Физика в школе» — тоже с сохранением об'ема и периодичности.

2) Бороться за дальнейшее улучшение качества журнала с учетом всех пожеланий педагогов, причем накопление и учет этих пожеланий надо будет поставить в систему, надо будет провести еще беседы со многими десятками педагогов — мастеров своего дела. Эти беседы дадут огромный материал и новому тематическому плану, только организацию этого дела надо начать сейчас же.

3) Учесть высказывания многих педагогов, что для учителя средней школы научный отдел математики тяжел.

Сделать из этого практические выводы при составлении плана очередных номеров и тематического плана на 1937 г. Но при этом иметь в виду и то, что научно-теоретический уровень.

журнала ни в коем случае понижать нельзя. Надо увеличить отдел методики, в котором помещать статьи мастеров-педагогов.

4) Развивать и в дальнейшем отдел задач, ставя эту работу, как необходимое звено в помощь педагогу. Придумать систему поощрений за решение задач. Может быть, не ограничиваясь премированием книгами, ставить вопрос шире, рассматривая раздел задач, как одно из средств для подготовки журналом кадров, для повышения квалификации педагогов, и соответственно этим целям поднимать его значение.

5) Проследить самой редакции лично продвижение до учителя тиража журнала, изучить лицо подписчиков.

6) Массовую работу с читателем и подписчиком поставить так, чтобы знать голос педагога-практика о журнале, об отдельных статьях, помещенное и помещаемых в журнале, прислушиваться к его предложениям и реализовать их по мере их ценности.

Массовую работу строить на основе проведения совещаний, конференций с учителями для обсуждения тематического плана журнала, оценки качественного уровня отдельных разделов в журнале как в смысле подбора статей по темам, так и качества этих статей.

7) Выращивать авторские кадры систематически, не рассчитывать на самотек, а организовать авторские группы во всех крупных методических центрах.

Выводы можно было продолжить, но реализация и этих предложений педагогов, инициатива самой редакции при проведении их в жизнь, большевистская настойчивость и напористость редакции помогут поднять журнал еще на более высшую ступень.

ОТ РЕДАКЦИИ

Редакция чрезвычайно благодарна т. Разумовскому за сообщение тех высказываний о журнале «М. и Ф.», которые ему удалось собрать из бесед с преподавателями.

Само собой разумеется, что журнал только тогда и будет ценен для педагогов, когда он идет навстречу их насущным Потребностям, а для этого журнал должен чутко и постоянно прислушиваться к суждениям о журнале, к запросам и пожеланиям массового учительства.

Редакция и до сих пор старалась придерживаться этого правила (см. например, письмо т. Тарасова и ответ на него в № 6 журнала за 1935 г.) и ставит себе дальнейшей задачей укрепление еще большей связи с читателями как путем переписки (уже и теперь редакцией в порядке персональной переписки, консультации и пр. посылается 80—100 писем в месяц), так и путем созыва конференций читателей с личным участием членов редакции. В октябре—декабре настоящего года уже предположено несколько таких конференций.

Несколько очень кратких замечаний по поводу высказываний педагогов, изложенных в статье г. Разумовского.

1. О разделении журнала.

Безусловно разделение журналов по математике и физике дало бы выигрыш обоим и со стороны об'ема и в отношении содержания (большая возможность планирования, более быстрое продвижение рукописей в печать и пр.). Поэтому можно только порадоваться, что к настоящему моменту этот вопрос уже решен в положительном смысле.

2. О трудности научного раздела.

Неясно, какие статьи именно оказались для педагогов трудными. Мы, например, считаем, что ценные статьи: проф. Извольского—о построимости циркулем и линейкой, проф. Павлова и доцента Молодшего по геометрии Лобачевского, т. Горнштейна о действиях над корнями и т. п. являются достаточно популярными. Излагать такие вопросы нужно, об этом говорят и письма читателей, изложить еще проще — трудно. Кроме того, как мы уже писали, журнал один, а читатель по образованию и по стажу очень разнообразен и в наших школах работает значительное количество квалифицированных преподавателей, предъявляющих к журналу повышенные требования как в отношении тематики, так и глубины изложения. Все же в дальнейшем в соответствии с замечаниями редакция постарается в основном держать курс на массового педагога, все время стараясь повышать его квалификацию.

3. Об изучении и освещении опыта педагога-практика см. передовую статью в этом номере,

4. О расширении библиографического раздела— замечания совершенно правильные и редакция в дальнейшем учтет их.

5. Об организации читательских и авторских коллективов на периферии. Мысль очень ценная и заманчивая. Редакция постарается осуществить эту мысль через тех педагогов, с которыми она уже связана или как с авторами или как с участниками в решениях задач. Но крайне желательна в этом деле и прямая инициатива мест. Всякое такое начинание будет редакцией поддержано.

6. О разделе задач см. заметку в № 5, также сообщение о результатах конкурса в настоящем номере.

В заключение редакция снова обращается к читателям с просьбой сообщать в редакцию все свои замечания по журналу. Редакция не имеет возможности ответить на каждое письмо, но это совсем не значит, что оно не прочитывается ею внимательно и не учитывается в работе. Так можно было бы привести ряд статей за 1936 г., помещенных именно в связи с получаемыми редакцией письмами.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ, помещенных в № 3 сб. «Математика и физика в школе» за 1936 г.

1. Найти два числа А и В, зная, что их сумма равна 667, а частное от деления их общего наименьшего кратного на их общий наибольший делитель равно 120.

Обозначим общий наибольший делитель искомых чисел через х, а их наименьшее кратное через у, тогда

А = А'х, В = В'х, у = AB' = А'В = А'В'х, где А' к В' — целые числа. По условию задачи

А'В' 120 (1)

х(А' + В')=:А + В = 667. (2)

А' и В' не имеют общих множителей. Так как 120 = 28-3-5, то разложение числа 120 на два взаимно простые числа дает

1 и 120; 23 и 3-5; 3 и 23-5; 5 и 23-3.

Отсюда получаем такие возможные случаи:

В' 120 15 40 24

+ 121 23 43 29

Но число 667, которое должно делиться на А' + В'у равно 23-29. Это дает два решения А' В' А' + В' x А В 8 15 23 29 232 435 5 24 29 23 115 552 Другой способ. Можно рассуждать, исходя не из равенства (1), а из равенства (2). Именно:

X (А' + В') = 667.

Так как 667 = 23. 29, то х может быть равен одному из трех чисел: 1, 23, 29. В первом случае А' + В' = 667, что вместе с А'В' = 120 не дает решений. Во втором и третьем случаях имеем;

2) x = 23; А'+В'= 29; А'В' = 120. Отсюда находим А' = 24; В' = 5 или наоборот и Л = 552, В — 115.

3) x = 29; А' + В' = 23; А'В' = 120. Отсюда находим А' = 15, В' = 8 и А = 435, В = 232.

Если принять, как было напечатано первоначально, A -f- В = 677, то, так как 6/7 число простое, числа А и В имеют общим наибольшим делителем единицу х = \. Тогда Л'=Л, В'= В и выражения (1; и (2) дают

AB = 120; А+В = 677.

Числа А и В найдутся из уравнения:

z2 — 677z +120 = 0.

Так как это уравнение не дает целых решений, то чисел, удовлетворяющих условиям задачи, не существует.

Bсе такие решения и подобные им, устанавливающие отсутствие решений при А -]-# = 677, мы зачитывали. Но, конечно, не зачитывали тех «решений», которые, исходя из числа 677, давали для А и В дробные и иррациональные решения, не имеющие никакого смысла.

К. Агринский (Москва), П. Бессонов (Злынка), Ф. Брижак (Краснодар), Ф. Гасс (Ванновка Азово-Черном. кр.), В. Гильц (Омск), А. Гольдберг (Ленинград), С. Городов (Ленинград), А. Егоров (Демянск), В. Ефимов (ст. Сходня), И. Зайцев (Москва), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), И. Изотенков (Плавск), Н. Карелина ^Смоленск), К. Кириллов (Казань), С. Колесник (Харьков), Н. Кулаков (Бугуруслан), Г. Лебедев (Обоянь), А. Лучко (Балта), Н. Покровский (Нижнеудинск), Проскуряков! ? ), Г. Ржавский (Фролово), Н. Рождественский (Днепропетровск), Е. Сапунцов и Е.Костюкова (Луга), А. Сахаров (Москва), П. Сергиенко (Запорожье), А. Соловьев (Калинин), В. Счастнев (Коломна), О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), М. Шевелев (Казань), Л. Шмуленсон (Винница), М. Яглом (Москва).

2. Найти число, зная, что 1) число его делителей нечетно; 2) если разделить его на 39, то в частном получим простое число и в остатке 1.

Как известно, число делителей какого-либо числа равно

» = (a+l)(ß + l)(Y + i)^

где а, ß, показатели степеней простых чисел, входящих в состав данного числа. Число п может быть нечетным только в том случае, если все показатели а, ß, у... четны, т. е. данное число является точным квадратом. Обозначим поэтому искомое число через х\ Согласно условию:

х* = д9р + 1, (1)

где р — простое число. Отсюда

[jc+ 1} (х- 1) = 39/7. (2)

Итак, число 39 р должно разлагаться на два множителя, разность которых равна двум. Рассмотрим все возможные разложения (помня, что р — простое число).

1 2 3 4 5 6 7 8

х + 1 39 /7 39 13/7 3/7 13 3 р 1

л —1 1 р 3 13 3/7 13/7 39 39/7

Из этих разложений сразу отпадают 6 и 8, так как в них x—1 получилось больше, чем jc-f-1. Затем отпадают 1-е, 3-е и 5-е, так как в них разность не может быть равна двум. Остаются три возможных случая

Другой способ. Из равенства (2) имеем: (* + 1) ' =-39

Так как р число простое, то один из множителей U+l) или U—1) по сокращении со знаменателем должен дать единицу. Все случаи сокращения могут быть представлены так:

1) Очевидно

так как х — 1 не может быть равен единице, когда (jc 1 ) делится на 39. Отсюда:

X + 1 = 39; X = 38; хг = 1444.

2) По тем же основаниям, как и в первом случае, имеем:

х- 1 = 39; X = 40; х2 = 1600.

3) Так как один из сомножителей должен равняться единице, то

или

X + 1 = 3,

или

jc — 1 = 13.

Но в первом случае получаем х = 2, и х—1 не делится на 13. Во втором случае

х- 1 = 13; = 5; х = 14; хг = 196.

4) В этом случае или

X + 1 = 13,

но тогда

X — 1 = И

не делится на 3; или

х- 1 =3,

тогда

X + 1 = 5

не делится на 13.

Итак, опять получаем три числа: 196, 1444 и 1600.

Многие из решений ограничивались одним или двумя числами, иногда указывая, что таких чисел может быть несколько. Конечно, такие решения нельзя признать удовлетворительными.

К. Агринский (Москва), А. Гольдберг (Ленинград), Г. Знаменский (Ялта). А. Иванов (Торопец), Б. Кобылин (Галич), Г. Лебедев (Обоянь), А. Логашов (Пенза), H. Рождественский (Днепропетровск), В. Счастнев (Коломна), М. Яглом (Москва).

3. Доказать, что

25 (х2 4~ у2) 4~ (12 — Sx — 4у)2 ^ 72 при любых значениях х и у.

Заметив, что 25 = 9+16» можем написать:

Тогда будем иметь:

Но при любых значениях х и у выражения (4х — ?у)2 и (Яд: 4- лу— б)2 могут иметь наименьшее значение нуль (понятно, что мы рассматриваем лишь действительные значения х и у, так как при комплексных значениях левая часть данного неравенства будет комплексной и неравенство теряет смысл). Следовательно, наименьшее значение левой части неравенства равно 72.

Можно, как делали некоторые, предварительно раскрыть скобки, перенести 72 в левую часть и затем, группируя члены полученного многочлена притти к тому же выражению (2) или некоторому другому варианту, например (Ъх — 3,6)2 4- (5х — 4,8)2 4- [Sx + 4у — б)2.

Отметим, что некоторые решали задачу с применением дифференциального исчисления (нахождение максимумов и минимумов). На будущее договоримся, что задачи, помещаемые в журнале, должны решаться средствами элементарной математики.

Ф. Брижак (Краснодар), А. Вепланд (Москва), А. Гольдберг (Ленинград), И. Зайцев (Москва), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец\ К. Кириллов (Казань), Н. Покровский (Нижнеудинск), Г. Ржавский (Фролово), Н. Рождественский (Днепропетровск), П. Сергиенко (Запорожье), А. Соловьев (Калинин), В. Счастнев (Коломна), Б. Харитонов (Б. Сундырь). М. Яглом (Москва).

4. Куплено три отреза Л, В и С материи одинакового качества. А и В имеет одинаковую длину, В и С — одинаковую ширину. Общая длина всех трех отрезов — 110 м, ширина 3,15 ж. Стоимость трех отрезов пропорциональна числами 5, 6 и 8, а их общая стоимость 1850 руб. Вычислить длину, ширину и стоимость каждого куска.

Стоимость легко вычисляется путем пропорционального деления

Далее, обозначим длину куска А и куска В через дг, ширину куска В и куска С через у. Составим таблицу.

Кусок Длина Ширина

Так как по смыслу задачи стоимости кусков пропорциональны количеству квадратных метров^ содержащихся в каждом куске, то имеем: X (3,15—2у) :ху = 5:6; (110—2*) у:дгу = 8:6 = 4:3. Отсюда по сокращении:

6 (3,15—2у) = by; 3 (110-2JC) = 4х.

Решая эти уравнения, найдем: X = 33; у =1,112.

Искомые числа представятся в следующей таблице:

Кусок Длина Ширина Стоимость

А 33 м 0,93 м 486,84 руб.

В 33 » 1,Ц » 534,21 »

С 44 » 1.11 > 778,95 »

Признаемся, что помещение этой очень простои по существу задачи как и еще двух (№ 7 и 19) имело особую цель. Взяв ее из французского

математического журнала («L'Education Mathématique»), мы имели в виду одну ее особенность; ова говорит о некотором реальном факте (покупка) и оперирует с некоторыми именованными числами (рубли, метры). Вопрос состоял в том: учтут ли наши читатели это обстоятельство и дадут ли реальные решения или же в погоне за «точностью» будут вычислять тысячные доли копейки. Между прочим, на эту цель очень ясно намекало и искусственное включение вопроса о стоимости каждого куска, что, во-первых, совершенно не требуется для дальнейших вычислений, во-вторых, является элементарнейшей задачей на пропорциональное деление для ученика VI (а недавно V) класса.

К сожалению, должны констатировать, что подавляющее большинство читателей отнеслось к задаче «математически», т. е. вычисляли все требуемые данные с точностью до Yqöö или до 1qqüQ или, в лучшем случае, давали эти числа в простых дробях (Ширина: 1 ^ . Стоимость: 233jg и т. д.) По смыслу задачи достаточно было ограничиться для размеров сантиметрами, для стоимости — копейками. Многие из приславших решение правильно подходили к вопросу, указывая, что «цифры выбраны неудачно, так как дают дробные числа». Но следующего шага — исправить результат вычислений — не сделали. Вместо этого часто меняли данные так, чтобы в ответе получились целые числа. Это очень характерно. В этом сказывается давнишний грех преподавателей математики, который передается ученикам и с которым в вузе и в особенности во втузе приходится вести жестокую борьбу.

Всегда ожидается, что ответ должен быть простым, в частности, выражаться целым числом, в других случаях — простой дробью, в третьих — элементарными радикалами, вроде ]/~2, т/^З и т. п. К этому, нужно признаться, приучают и наши задачники. О неправильности такого предвзятого подхода говорить не приходится.

С тем с большим удовлетворением отмечаем товарищей; которые пошли именно по подсказываемому задачей пути: Н. Рождественский (Днепропетровск), А. Соловьев (Калинин), Б. Шехтман (Одесса), Я. Шор (Тула), причем прощаем т. Шехтману некоторую неточность в вычислениях (например —^— = 486,80 и др.) и все же недостаточное приближение у т. Шор (стоимость с точностью до рубля).

К. Агринский (Москва), Ф. Брижак (Краснодар), В. Гильц (Омск), А. Гольдберг (Ленинтрад), А. Егоров (Демянск) Н. Зайцев (Москва), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), H. Карелина (Смоленск), М. Кекелия (Бандза, Грузия), С. Колесник (Харьков). Н. Кулаков (Бугуруслан), А. Логашов (Пенза), А. Лучко (Балта), В. Павлов (Балятино), Н. Покровский (Нижнеудинск), Г. Ржавский (Фролово), Н. Рождественский (Днепропетровск), Е. Сапунцов и Ь. Костюкова (Луга), П. Сергиенко (Запорожье), А. Соловьев (Калинин), О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), М. Шевелев (Казань), Б. Шехтман (Одесса), Я. Шор (Тула), М. Яглом (Москва).

5. Решить уравнение:

Упростим каждый член равенства.

Итак, по сокращении на Ьп, имеем:

Делим обе части на

Обозначив

будем иметь: Отсюда

Получаем два уравнения

Отсюда легко найдем

В. Агеев (Слатинское), К. Агринский (Москва), Г. Бобылев (Бредихино Моск. обл.), И. Бородуля (Москва), А. Вепланд (Москва), А. Волков (Чухлома), Ф. Гасс (Ванновка), А. Гольдберг (Ленинград), С. Городов (Ленинград), И. Зайцев (Москва), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), И. Изотенков (Плавск), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), Н. Кулаков (Бугуруслан), С. Кулигин (ст. Зиновьевская), Г. Лебедев (Обоянь), А. Логашов (Пенза), A. Лучко (Балта), Н. Маланов (ст. Червленная, Дагестан), И. Нагорный (Кошеватое), B. Павлов (Балятино), Н. Покровский (Нижнеудинск), Г. Ржавский (Фролово), Н. Рождественский (Днепропетровск), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), C. Севастьянова (Москва), П. Сергиенко (Запорожье), А. Соловьев (Калинин), Н. Столяров (Порецкое Горьк. кр,). В. Счастнев (Коломна), Г. Харитонов (Б. Сундырь), М. Шевелев (Казань), Л. Шмуленсон (Винница), М. Яглом (Москва).

в. Построить прямоугольный треугольник, зная длину а гипотенузы и длину m медианы BD, которая делит катет АС.

1) Подавляющее большинство решений было таково. По условиям задачи имеем:

(1)

(2)

Отсюда

или

(3)

Далее решение идет двумя путями. По одному b находится как средняя пропорциональная из равенства:

для этого сначала обычным путем находятся отрезки — (а -{- т) и (а — m).

3

По другому сначала находится отрезок

как катет прямоугольного треугольника с гипотенузой а и другим катетом т. Затем находится 6, как четвертая пропорциональная в соотношении

или

Зная катет Ь, легко построить искомый треугольник

Исследование. Из (I) находим

или

Так как & >0 и с>0, то

4/п2 — а2>0 и ип — /я2>0.

Отсюда

m < а < 2 т.

Данное неравенство дает условие возможности задачи.

Этот, подсказываемый задачей «алгебраический» способ является однако довольно громоздким, так как требует ряда промежуточных построений. Приведем более простые и изящные решения (для краткости ограничимся построением без предварительного анализа).

2) Приведем оригинальное решение т. Немировской. Строим две равных касательных друг к другу окружности диаметра т. Из точки В радиусом, равным а, делаем засечку на второй окружности. Точку С соединяем с Dt и отрезок CD продолжаем до пересечения с первой окружностью в точке А. Точку А соединяем с В. Треугольник ВАС и будет искомый, так как в нем: А — прямой (опирается на диаметр ш>, гипотенуза СВ — а; и BD = m— медиана АС. (Равен-

ство CD — AD доказывается легко хотя бы из равенства треугольников DOA и CO^D).

3) Воспользуемся тем свойством медиан, что они отсекают друг от друга их длины, считая от вершины. Следовательно, сторона ВО= ~—т\ сторона ОЕ = АЕ = ~- ВС = — а, сторона BE = а. Строим Д ВОЕ по трем сторонам. Продолжаем ОЕ на длину OA = 2 ОЕ; точку А соединяем с В и С. Треугольник A4 С— искомый; /Л—прямой,так как окружность с центром в Е радиуса BE = ~ проходит через точки А и С. Прямая BD — медиана АС, так как отсекает от медианыг АЕ две трети ее, считая от вершины; BD = in. Этот способ также требует предварительных, хотя и простых построений:

4) Соединив конец медианы D с серединой гипотенузы О, замечаем, что DO средняя линия ДА£С; следовательно, она параллельна AB и CDO прямой, т. е. лежит на окружности, построенной на СО =—-, как на диаметре. Отсюда построение. На СВ = я, как на диаметре, строим полуокружность; на СО = — — тоже. Из точки В радиусом, равным т, делаем засечку D на второй окружности. Продолжаем CD до пересечения с первой окружностью в точке А, которую соединяем с В.

Были даны и другие решения.

I. К. Агринский (Москва), Ф. Брижак (Краснодар), А. Вепланд (Москва), А.Волков (Чухлома), В. Гильц (Омск), А. Голубченко (Лохвица), А. Егоров (Демянск), А.Иванов (Торопец), К. Кириллов (Казань), А. Логашов (Пенза), В. Павлов (Балятино), Г. Ржавский (Фролово), Н. Рождественский (Днепропетровск), П. Сергиенко (Запорожье), Д. Ткачик (Шпола Киевск. обл.), О. Ханчарлян (Краснодар), Б. Шехтман (Одесса), М. Яглом (Москва).

И С. Немировский (Житомир).

III. В. Агеев (Слатинское), П. Бессонов (Злынка), А. Гольдберг (Ленинград), И. Карханин (Чернигов), С. Колесник (Харьков). Г. Лебедев (Обоянь), H. Маланов (ст. Червленная), Н. Покровский (Нижнеудинск), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), А. Сахаров (Москва), С.Севастьянова (Москва), В. Счастнев (Коломна), М. Шевелев (Казань), Я. Шор (Тула).

IV. Ф. Гасс (Ванновка), Г. Знаменский (Ялта), Н. Кулаков (Бугуруслая).

V. Другие решения:А. Соловьев (Калинина Г.Харитонов (Б. Сундырь), Л. Шмуленсон (Винница).

7. Решить уравнение

tg тх — tg пх.

Из равенства тангенсов следует, что аргументы разнятся на целое число те, т. е.

тх = пх 4 k т.,

или

Как видим, здесь по существу никакой задачи нет, а есть лишь простая констатация факта периодичности тангенса. Эта констатация и требовалась от читателей. Однако большинство все-таки решало «задачу», причем, примерно, таким способом:

Отсюда

при этом не оговаривалось, что cos тх и cos пх не могут равняться бесконечности. И далее уже получалось

(т — п) X = k Tz

(у некоторых даже 2 kr.). Понятно, что все эти рассуждения были совершенно лишними.

Это — второй пример задачи, рассчитанный на. преподавателя, из года в год трактующего ученикам об основных свойствах тригонометрических функций, следовательно, могущего заметить одно из основных свойств тангенса. Ответ: свыше 60% неправильных решений, при этом многие с невероятным количеством тригонометрических формул и даже с «исследованием» возможности решения задачи.

И. Бородуля (Москва), А. Вепланд (Москва), Ф. Гасс (Ванновка), Н. Гимадеев (Бондюкский з. Тат. респ.), А. Гольдберг (Ленинград), А. Егоров (Демянск), И. Зайцев (Москва), Г. Знаменский (Ялта) А. Иванов (Торопец), И. Изотенков (Плавск), М. Кекелия (Бандза), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), Г. Лебедев (Обоянь), А. Логашов (Пенза), Н. Покровский (Нижнеудинск), Г. Ржавский (Фролово), Н. Рождественский (Днепропетровск), Г. Харитонов (Б. Сундырь), М. Шевелев (Казань), М. Яглом (Москва).

8. Определить углы ромба, если его периметр в 1 — раза более суммы его диагоналей.

Обозначив сторону ромба через а, а диагонали через m и л, по условию задачи имеем:

Но

Делая подстановку, получим:

Отсюда

(1)

Возведем обе части последнего уравнения в квадрат

Отсюда:

А = 51° 3' 30“; В = 128° 56' 20“.

Некоторые из присланных решений приводили к тангенсу или cos (45° а), но ход решения по существу один и тот же.

К. Агринский (Москва), Г. Бобылев (Бредихино), Ф. Брижак (Краснодар), А. Вепланд (Москва), Ф. Гасс (Ванновка), Н. Гимадеев (Бондюкский завод), А. Гольдберг (Ленинград), С. Городов (Ленинград), А. Егоров (Демянск), И. Зайцев (Москва), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), И. Изотенков (Плавск), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), Н. Кулаков (Бугуруслан), Г. Лебедев (Обоянь), А. Логашов (Пенза), Н. Маланов (ст. Червленная), B. Павлов (Балятино), Н. Покровский (Нижнеудинск), Г, Ржавский (Фролово), C. Севастьянова (Москва), П. Сергиенко (Запорожье), А. Соловьев (Калинин), Н. Столяров (Порецкое), В. Счастнев (Коломна), Д. Ткачик (Шпола, Киевск. обл.), О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), М.Шевелев (Казань), М. Яглом (Москва).

9. Доказать, что если в четыреугольнике суммы квадратов противоположных сторон равны, то диагонали его взаимно-перпендикулярны.

Приведем способ решения, данный большинством.

Предположим, что диагонали не перпендикулярны друг к другу. Пусть /_ВОС=: LAOD — тупые, тогда / ЛОВ = 2 COD будут острыми. Высота BE Д ЛВС упадает между точками А и О, а высота DF&ADC между точками О и С (при тупых углах АОВ и DOC будет обратное положение). Из треугольников АБО и DCO находим:

Отсюда:

-21AO-EO + CO.OF). (1)

Таким же образом из треугольников ВОС и AOD найдем

Отсюда:

+ 2 (CO'EO-j-AO'OF). (2)

Сравнивая (1) и (2), находим, что

AB2+CD2<BC2 + AD2t

что противоречит условию задачи.

Можно рассуждать и так. Согласно условию задачи (1) должно быть равно (2), т. е.

АО2 + ВО2 + СО2 + £>02-2 (АО-ЕО + CO-OF)-= AO+BO + CO + DO + 2(СО-ЕО +AO-OF)

Отсюда:

СО'ЕО + AO-OF + АО'ЕО + CO-OF= 0; (СО + АО) ЕО + (АО + СО) OF = 0; АС.ЕО + AC-OF=:0; ACEF=0.

Так как АСфО, то EF=0, т.е. высоты BE и DE должны составить одну прямую, каковой может быть только диагональ BD.

Второй способ почти не отличается от первого, но гораздо лучше его, так как не требует проведения высот. Обозначим один из углов между диагоналями через а (смежный будет 180° — а) и определяем стороны данного четыреугольника по формуле

а1 = Ь2 + с2 — 2 be cos Л,

затем вносим найденные выражения в условие данное в задаче, и после приведений и упрощений приходим к выводу, чтс/ cos а должен равняться нулю, т. е. а = 90°.

Приведем еще вариант первого решения, не требующий проведения высот. Известно, что квадрат стороны треугольника, лежащий против тупого угла, больше, а против острого меньше суммы квадратов двух других сторон. Предположим опять, что углы ВОС и AOD тупые, а АОВ и COD — острые; тогда имеем:

АВ2<В02 + А02; CD2 < СО2 + DO2.

Отсюда

AB2 + CD2 < АО2 + ВО2 + СО2 -f DO2. (1)

Точно так же:

ВС2 > ВО2 + СО2; AD2>A02 + DO2.

Отсюда:

ВС2 + AD2 > АО2 + ßO2 + СО2 -f DO2. (2)

Из (1) и (2) заключаем

ЯС2-Ь /Ш2>ЛЯ2 + СЯ2, что противоречит условию.

Совершенно неправильное решение давали те, кто, исходя из предположенной перпендикулярности диагоналей, выводили равенство, данное в условии. Требуется доказать как раз обратную теорему.

К. Агринский (Москва), Ф. Брижак (Краснодар), А. Вепланд (Москва), Ä. Волков (Чухлома), Ф. Гасс (Ванновка), В. Гильц (Омск), А. Гольдберг (Ленинград), А. Егоров (Демянск), В. Ефимов (Ст. Сходня), И. Зайцев (Москва), Г. Знаменский (Ялта), A. Иванов (Торопец), Н. Карелина (Смоленск), М. Кекелия (Бандза), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), Н. Кулаков (Бугуруслан), Г. Лебедев (Обоянь), А. Логашов (Пенза), B. Павлов (Балятино), Г. Ржавский (Фролово), Н. Рождественский (Днепропетровск), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), А. Сахаров (Москва), П. Сергиенко (Запорожье), А. Соловьев (Калинин), Н. Столяров (Порецкое), В. Счастнев (Коломна), Д. Ткачик (Шпола) О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), М. Шевелев (Казань), М. Яглом (Москва).

10. Найти целое число, состоящее из семи цифр, являющееся точным квадратом и имеющее вид abc abc 1 [a, b, с — цифры единиц соответствующего разряда).

Обозначим искомое число через х2, а число, составленное из цифр а, Ь, с% через у (т. е. у = = 100л + 10 6 + с).

Тогда

104у+ 10у + 1 = x2,

или

lOOlQy = (jc+ 1) (*— 1).

Предварительно заметим, что:

1) так как искомое число — семизначное, т. е.

меньше 107, то д:2<107; х < j/lÔ^t. е. х <3163;

2) так как л2, а следовательно и х, число нечетное, то x + 1 и x — 1 — числа четные.

Установив это, будем разлагать число 10010_у на два множителя, разность между которыми равнялась бы двум. Пусть у = zt. Разложим на множители число 10010:

10010 = 2-5.7-11 -13-

Числа ЮОЮ, 5005 не могут равняться ни х -f- 1 ни x — 1, согласно замечанию 1. Число 2 непременно входит в x + 1 и в x— 1, согласно замечанию 2. Итак, рассмотрим следующие случаи разложения:

а) Сразу видим, что z не может быть больше единицы, так как в противном случае 2002z было бы больше 3164. Таким образом один множитель равен 20J2. Так как 2004 не делится на 5, то имеем

x + 1 = 2002; x — 1 = 2С00.

Отсюда

x = 2001; дг2 = 4004001.

б) Так как z не может быть больше двух (замечание 1), то первый множитель может быть только 1430 и 2860. В первом случае 1430—2 делится на 7, и мы имеем

х+ 1 = 1430; x — 1 = 1438; x = 1429; x2 = 2042041.

Во втором случае числа 2860 + 2 не делятся на 7 и, следовательно, этот случай отпадает.

в) В этом случае z может быть равно только 1. 2, 3.

Получаем числа:

910; 1820; 2730.

Числа 910 ±2 и 1820 ±2не делятся на 11. Но число 2730 — 2 = 2728 делится на 11, и мы имеем: x -f 1 = 2730; x — 1 = 2728; Jt = 2729; х2 = 7447441.

г) Число z может быть равно только 1, 2, 3, 4.

Так же, как и в предыдущих случаях, убеждаемся, что ни при одном из этих значений число 770z ^ 2 не делится на 13. Следовательно, в этом случае не находим чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Можно было бы все предыдущие рассуждения повести другим путем, привлекая теорию неопределенных уравнений. Возьмем, например, случай б), когда множители равны 1430z и 1. Имеем уравнение

1430z — It = ±2.

Решив эти два уравнения, найдем z = ± 1 + 1к t = ±204 + 1430*!

Приняв во внимание, что 1430z < 3164 и 7г< '3164 и решив соответствующие неравенства, найдем для z значение 1 и для t значение 204. Так же поступаем и во всех остальных случаях.

Другие комбинации множителей, как например:

2-11-13Z 5- It 2- 7.13z 5-11/ 2. 5-13z 7-m

мы можем исследовать тем же способом, как и случаи а, б, в и г и найдем, что они не дают новых чисел, удовлетворяющих условию задачи (случаи 2-5-7£, ll-13z и другие приводятся к предыдущим, так как оба числа должны быть четными).

Но мы могли вообще ограничить наши исследования первыми четырьмя случаями. Именно, мы могли, не обращая пока внимания на множитель 10, исследовать лишь следующие случаи:

7-11-13z t lb-13z It 7- 13z 11/ 7-11z 13/

и принять во внимание лишь те решения, в которых одно из чисел делится на 10. И в этом

случае опять придем к уже найденным трем числам

2042041; 4004001; 7447441.

Эту, по существу простую, но несколько кропотливую по вычислениям задачу решили полностью всего четверо. Многие, подходя правильно к решению, неправильно предполагали, что X -f- 1 или X—1 должен быть делителем 10010, т. е. не может включать в себя одновременно некоторых множителей из 100Ю и некоторых из у. Поэтому они получали только два числа — 2002 и 1430.

А. Гольдберг (Ленинград), Н, Рождественский (Днепропетровск), П. Сергиенко (Запорожье), М. Яглом (Москва).

11. Стратостат виден в одно и то же время с трех земных точек А, В w С соответственно под углами 45°, 45° и 60°. Зная, что В находится от С на расстоянии b к северу, а Л на расстоянии а к востоку от С, вычислить высоту взлета стратостата.

Пусть МН будет искомая высота h

АС = а; ВС = Ь.

Имеем по условию

2 МАИ = £ MBH = 45°,

Значит, прямоугольные треугольники МНА и МНВ равнобедренные и

AH=zBH=MH=hm

В прямоугольном треугольнике / МСН = 60°, а £ НМС = 30°.

Следовательно, MC = 2НС. Отсюда

НС + h2 = 4 НС2,

или

Из Д ACH определим сторону АН = h: АН2 = АС1 + НС2 — 2 АСНС cos ACH,

или

Отсюда:

Таким же способом из А ВСН найдем:

Если точка H находится вне /_ ВАС, то

= sin /_ ACH, т. е. приходим к тому же соотношению. Тогда будем иметь:

Отсюда получаем уравнение для h 4 (a2 -f b2) h4 — 36a2b2h2 + 9a2b2 [a2 + b2) = 6;

Для действительных решений должно быть 9a2b2>(a2 + b2)2,

или

3ab > а2 + Ь2\

а2 Л- b2—3ab<0.

Следовательно, а должно заключаться между нррнями этого трехчлена, т. е.

или 0,3826< а < 2,6186.

А. Гольдберг (Ленинград), И. Зайцев (Москва), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), К. Кириллов (Казань), H Кулаков (Бугуруслан), А. Логашов (Пенза), Н. Рождественский (Днепропетровск), А. Сахаров (Москва), С.Севастьянова (Москва), А. Соловьев (Калинин), М. Шевелев (Казань), М. Яглом (Москва).

12. Доказать справедливость тождества:

а2 + Ь2 + с2 = 4р2— 2 D(ha + hb + he),

где а, Ь, с, стороны треугольника, р — его полупериметр, D — диаметр описанного круга и ha hb, hc — три высоты треугольника.

Первый способ.

Делая подстановку в правой части данного равенства, имеем:

Второй способ. Воспользовавшись формулами: а = D sin А ; пь = с sin A he — b sin A ha = с sin В =

делаем соответствующую подстановку в правую часть равенства. Будем иметь:

Имеются и другие решения, но в общем все они, как и приведенные два, сходны по методу решения, за исключением некоторых, излишне сложных и длинных.

В. Агеев (Слатинское), К. Агринский (Москва), А. Арефьев (Винница), Г. Бобылев (ст. Бредихино), И, Бородуля (Москва), А. Вепланд (Москва), А. Волков (Чухлома), В. Гильц (Омск), Н. Гимадеев (Бондюкский з.), Г. Головяшкин (Н. Хутор), В. Гольдберг (Ленинград), С. Городов (Ленинград), А. Егоров (Демянск), В.Ефимов (ст. Сходня), И. Зайцев (Москва), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), Н. Карелина (Смоленск), М. Кекелия (Бандза), К.Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), Н. Кулаков (Бугуруслан), Г. Лебедев (Обоянь), А. Логашов (Пенза), С. Немировский (Житомир), В. Павлов (Балятино), Н.Покровский (Нижнеудинск), Г. Ржавский (Фролово), Н. Рождественский (Днепропетровск), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), А. Сахаров (Москва), С. Севастьянова (Москва), П. Сергиенко (Запорожье), Е. Скворцова (уч. IX класса Куйбышевск. кр.), П. Славский (ст. Павловская), А. Соловьев (Калинин), Н.Столяров (Порецкое), О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), М. Шевелев (Казань), Я. Шор (Тула), М. Яглом (Москва).

13. Написать две прогрессии — арифметическую и геометрическую, удовлетворяющие следующим условиям: 1) первые члены обеих прогресий равны; 2) сумма первых двух членов арифметической прогрессии больше суммы двух первых членов геометрической на утроенный первый член; 3) суммы первых трех членов обеих прогрессий равны.

Обозначим первые члены обеих прогрессий через а, разность первой через г и знаменатель второй через q.

Согласно второму условию

[а+ (а + г)] — (а + ад) = 3 а,

или:

2 а -\- г — а — aq — За.

Отсюда:

т = а (?-Ь2). (1)

Согласно третьему условию:

a -f- (a -f г) + (а + 2 г) = а + aq -f ад9,

или

2 а 3 r — aq -\~ aq*.

Отсюда:

3r = a(q* + g-2). (2,

Подставляя сюда значение г из (1), по сокращении на а, имеем:

3(? + 2) = ?*+'?-2.

Отсюда:

(f _ 2 q— 8 = 0;

q = \±y~9; <7i = 4 ; ?о = - 2.

Подставляя значения q в (1), имеем: г, = 6я; г, -0.

Очевидно, второе значение г — 0 не дает прогрессии. Итак, искомые прогрессии будут:

а 1а \3а. . . а Аа 16л. . .

где а — произвольное число.

В.Агеев /Слатинское), К. Агринский (Москва), Г. Бобылев (ст. Бредихино, Моск. обл.), И. Бородуля (Москва), Ф. Брижак (Краснодар), Ф. Гасс (Ванновка), В. Гильц (Омск), А. Голубченко (Лохвица), А. Гольдберг (Ленинград), С. Городов (Ленинград), Г. Дакацьян (Ростов-на-Дону), А. Егоров (Демянск), В. Ефимов (ст. Сходня), И. Зайцев (Москва), Г. Знаменский (Ялта), A. Иванов (Торопец), И. Изотенков (Плавск), Н. Карелина (Смоленск), М. Кекелия (Бандза), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), B. Кременский (Ленинград), Н. Кулаков (Бугуруслан), С. Кулигин (ст. Зиновьевская), Г. Лебедев (Обоянь), А. Логашов (Пенза), А.Лучко (Балта), Н. Маланов (ст. Червленная), С. Немировский (Житомир), В. Павлов (Балятино), Н. Покровский (Нижнеудинск), Г. Ржавский (Фролово), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), А.Сахаров (Москва), С.Севастьянова (Москва), П. Сергиенко (Запорожье), П. Славский (ст. Павловская), А. Соловьев (Калинин), Н. Столяров (Порецкое), В. Счастнев (Коломна), Д. Толмачов (Кисловодск), О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), С. Чуканцев (Брянск),А. Шагинян (Эривань), М. Шевелев (Казань), Б.Шехтман (Одесса), Л. Шмуленсон (Винница), И. Яворский (Москва), М. Яглом (Москва).

14. Три стороны треугольника равны соответственно: AB- Ю, АС= 12, ВС-18. Через точку Z), взятую на AB, проведена прямая DE, параллельная ВС, и через точку F прямая FH, параллельная AB.

1) Вычислить BD = X и DF — V, если периметр параллелограма BDFH равен 2а (2а = 24).

2) Для каких значений а задача возможна?

3) Для каких значений а параллелограм является ромбом?

Из условия задачи:

х+у = а. (1)

Д DAF подобен ДЯЛС. Отсюда

или

9х + Ъу = 90. (2)

Решая систему (1) и (2), найдем:

1 ) При a ~ 12; X = 7,5; у = 4,5.

При л=24, как было напечатано, задача невозможна, так как х = — 7,5 отрицательному числу.

2) Так как точка D должна быть межяу В и Л, то 0 _ X l_. AB,

или

Отсюда:

Ю<а < 18.

К такому же выводу придем из неравенства 0<у <18:

3) Для того, чтобы параллелограм был ромбом, необходимо, чтобы х = у, т. е.

90 — 5а = 9а — 90.

Отсюда:

Эга простая задача имеет одну особенность, отмеченную лишь одним-двумя читателями. Длина третьей стороны (12) не фигурирует в решении. Значит, величина х и у. при данных AB, ВС и а, не зависит от длины АС или, что то же, от величины i_ ABC.

И. Бородуля (Москва), Ф. Брижак (Краснодар), А. Вепланд (Москва), В. Гильц (Омск), Н. Гимадеев (Бондюкский з.), Г Головяшкин (Н. Хутор), А. Гольдберг (Ленинград), И. Зайцев (Москва), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), И. Изотенков (Плавск), Н. Карелина (Смоленск), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), Н. Кулаков (Бугуруслан), С. Кулигин (ст. Зиновьевская), Г. Лебедев (Обоянь), А. Логашов (Пенза), А. Лучко (Балта), В. Павлов (Балятино), Н. Покровский (Нижнеудинск), А. Потехин (Арзамас). Г. Ржавский (Фролово), Н. Рождественский (Днепропетровск), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), И. Сергиенко /Запорожье), П. Славский (ст. Павловская), А. Соловьев (Калинин), В. Счастнев (Коломна), Г. Харитонов (Б. Сундырь), О. Ханчарлян (Краснодар), Я. Шор (Тула), М. Яглом (Москва).

15. Дан прямоугольный треугольник АБС (__ А — прямой). На перпендикулярах к гипотенузе ВС, восставленных в точках В и С, отложены ВВ' — AB и СС = АС. Вычислить стороны треугольника, зная, что периметр его равен ?р, а площадь трапеции ВВ'С'С равна 2“, где а — данное число. Исследовать решение.

Обозначим стороны треугольника через х, у> и z (z—гипотенуза. Чертеж не воспроизводим ввиду его простоты). Тогда условия задачи дают

г*=х*+у*. (1)

х+у + z = 2р. (2)

(X -f у) z = а2. (3)

(Последнее уравнение получим, вычисляя площадь полученной трапеции с основаниями л: и у и высотой z).

Пусть

x+y = t.

Тогда (2) и (3) дают

/ + z = 2р\ tz = а2

Составляем квадратное уравнение и решаем его:

и2 — 2ри + а2 = 0;

(4)

Так как

z < X + у,

то

(5) (6)

Из (1) имеем:

(X + у)* — 2ху = z2.

Отсюда:

2 ху = (*+ у)2 — z2— (X +у +z) (х -}-у Z)

= 2р [х + у - z), или, приняв во внимание (5) и (6):

(7)

Из (5) и (7) составляем уравнение

(8)

Отсюда:

Итак, катеты равны (допустим, что х >у\

Для возможности решения из (4) имеем:

Из (8)

(9)

Решая это уравнение ^отбросив пока знак <j, найдем:

Для того, чтобы трехчлен (9) был положителен, необходимо чтобы а2 было меньше — \ 6р2 — \2р2\^2 (что невозможно, так как я2>0) или больше —- 16 + \2р2 УТ.

Итак,

Получаем окончательно:

К. Агринский (Москва), А. Вепланд (Москва), В. Гильц (Омск), Н. Гимадеев (Бондюкский з.), А. Гольдберг (Ленинград), И. Зайцев (Москва), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), И. Изотенков (Плавск), Б. Кобылин (Галич), А. Логашов (Пенза), В. Павлов (Балятино), Н. Покровский (Нижнеудинск), Г. Ржавскпй (Фролово). Н. Рождественский (Днепропетровск), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), П. Сергиенко (Запорожье), А. Соловьев (Калинин), В. Счастнев (Коломна), О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), М. Шевелев (Казань), М. Яглом (Москва).

16. Восстановить в написаном ниже выражении на месте звездочек стершиеся цифры

1) Первая цифра корня очевидно 3, так как число, стоящее на месте первых двух звездочек, не меньше 10 и в то же время квадрат первой цифры корня — число однозначное.

2) Вторая цифра корня должна быть 1, так как только в этом случае Ы-1 (2.3*10-f 1) дает двузначное число, как того требует четвертая строка.

3) Третья цифра должна быть 7, так как только произведение (62-10 + ?) 7 дает цифру десятков тысяч 4.

Итак, корень равен 317. Подкоренное выражение 100489.

В. Агеев (Слатинское), К. Агринский (Москва), Ф. Гасс (Ванновка), А. Голубченко (Лохвица), А. Гольдберг (Ленинград!, Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), Н. Карелина (Смоленск), М. Кекелия (Бандза), К. Кириллов (Казань), С. Колесник (Харьков), Н. Кулаков (Бугуруслан), Г. Лебедев (Обоянь), А. Логашов (Пенза), A. Лучко (Балта), Л. Маслова (Воронеж), С. Немировский (Житомир), В. Павлов, (Балятино), Н. Покровский (Нижнеудинск), Г. Ржавский (Фролово), Н. Рождественский (Днепропетровск), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), А. Сахаров (Москва), П. Сергиенко (Запорожье), А. Соловьев (Калинин), Н. Столяров (Порецкое), B. Счастнев (Коломна), О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), C. Чуканцев (Брянск), М. Шевелев (Казань), Б, Шехтман (Одесса), М. Яглом (Москва).

17. Решить уравнение:

Представим данное уравнение в таком виде:

1(х + I)2]3 + 1(х - 1)2]з = а \(х2У -f 1]

Разлагаем на множители по формуле для суммы кубов

или, по упрощении,

К. Агринский (Москва), Г. Бобылев (ст. Бредихино), Ф. Брижак (Краснодар), A. Волков (Чухлома), В. Гильц (Омск) Н. Гимадеев (Бондюкский з.), Г. Головяшкин (Н. Хутор), А. Гольдберг (Ленинград), С. Городов (Ленинград), И. Зайцев (Москва), В. Ефимов (ст. Сходня), А. Иванов (Торопец), И. Изотенков (Плавск), Н. Карелина (Смоленск), К. Кириллов (Казань), С. Колесник (Харьков), В. Крикунов (Казань), Н. Кулаков (Бугуруслан), Г. Лебедев (Обоянь), А. Логашов (Пенза), С. Немировский (Житомир), В. Павлов (Балятино), Н. Покровский (Нижнеудинск), Г. Ржавский (Фролово), Н. Рождественский (Днепропетровск), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), С. Севастьянова (Москва), П. Сергиенко (Запорожье), А. Соловьев (Калинин), Н. Столяров (Порецкое), B. Ураевский (Кузнецк), О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), C. Чуканцев (Брянск). М. Шевелев (Казань), А. Шмуленсон (Винница), М. Яглом (Москва).

18. Привести к логарифмическому виду выражение

1 4- 2 cos 2а -f- 2 cos 4а + cos 6а + cos 8а + cos 10а.

С небольшими вариациями большинство решений шло таким путем:

Это выражение можно еще несколько упростить Умножим и разделим его на sin а. Получим:

Это выражение можно получить и непосредственно из данного в задаче, как то сделали тт. К. Агринский и В. Павлов.

В. Агеев (Слатинское), К. Агринский (Москва), Г. Бобылев (ст. Бредихино), И. Бородуля (Москва), А. Вепланд (Москва), A. Волков (Чухлома), Ф. Гасс (Ванновка), Н. Гимадеев (Бондюкский з.), А. Гольдберг (Ленинград), А. Егоров (Демянск), B. Ефимов (ст. Сходня), И. Зайцев (Москва), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), Н. Карелина (Смоленск), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), В. Крикунов (Казань), Н. Кулаков (Бугуруслан), Г. Лебедев (Обоянь), А. Логашов (Пенза), Л. Маслова (Воронеж), В. Павлов (Балятино), Г. Ржавский (Фролово), Н. Рождественский (Днепропетровск), Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга), С. Севастьянова (Москва), И. Сергиенко (Запорожье;, П. Славский /ст. Павловская), А. Соловьев (Калинин), Н. Столяров (Порецкое), С. Сусликов (Марпосад), В. Счастнев (Коломна), О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), М. Шевелев (Казань), Б. Шехтман (Одесса), Л. Шмуленсон (Винница), М. Яглом (Москва).

19. Доказать, что число 10“ + 18л —28 при всяком целом и неотрицательном л делится на 27.

Непосредственно убеждаемся, что данное выражение:

при л = 0 равно — 27; » л = 1 » 0;

» л = 2 » 108,

т. е. делится на 27. При л>2 имеем: Юп = (1 -f- 9)м = 1 + 9 л + 9*М,

где M — целое число — сумма всех членов разложения, начиная с третьего, у которых вынесен за скобку общий множитель 92. Теперь имеем 10п + 18л — 28= 1 + 9л + 8Ш -f- 18л —28 = = 8Ш + 27л — 27 = 27 (ЗМ + л — 1 ).

Вот еще пример простейшей задачи, к которой, в силу ее простоты, отнеслись недостаточно внимательно и дали неверное или неполное решение.

Громадное большинство исходило без всяких оговорок из разложения:

Юм = (1 +9)“ +9л+ 8Ш,

тем самым предполагая л>1, тогда как в задаче говорится о всяком неотрицательном л. Другие, непосредственно вычисляя значение выражения при л = 1 и л = 2, забывали о значении л = 0.

К. Агринский (Москва), С. Городов (Ленинград), А. Логашов (Пенза), Н. Маланов (Червленная), Г. Ржавский (Фролово), Н. Рождественский (Днепропетровск), Я. Шор (Тула). М. Яглом (Москва).

20. По трем высотам треугольника вычислить радиус вписанного в него круга.

Имеем:

s = pr или 2s = (а -f b -f- с) г. (1)

Но

2s — aha = bhb = ch^

Отсюда

Делая подстановку в (1), получаем:

Отсюда:

или:

или

В. Агеев (Слатинское), К. Агринский (Москва), Г. Бобылев (Бредихино), И. Бородуля (Москва), А. Вепланд (Москва), А. Волков (Чухлома), Н, Гимадеев (Бондюкский завод), Г. Головяшкин (Н. Хутор), А. Гольдберг (Ленинград), С. Городов (Ленинград), И, Гришин (Осташков), А. Егоров (Демянск), В. Ефимов (ст. Сходня), И. Зайцев (Москва), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), Н. Карелина (Смоленск), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), В. Крикунов (Казань), Н. Кулаков (Бугуруслан), Г. Лебедев (Обоянь), А. Логашов (Пенза), К. Павлов (Балятино), Н. Покровский (Нижнеудинск), Г. Ржавский (Фролово), Н. Рождественский (Днепропетровск), Е. Сапунцов и Е.Костюкова (Луга), А. Сахаров (Москва), С. Севастьянова (Москва), И. Сергиенко (Запорожье), А. Соловьев (Калинин), В. Счастнев (Коломна), О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), М. Шевелев (Казань), Я. Шор (Тула), И. Яворский (Москва), М. Яглом (Москва).

СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 2

К. Агринский (18), А. Аляев (4), М. Андреев (6), С. Антоневич (1),Г. Арутюнов (1), В. Арушанов (2), В. Барановский (19), М. Бархударов (2), А. Бауэр (3), В. Бацев (3), И. Бородуля (6), Ф. Брижак (6), Г. Бройт (14), А. Вепланд (12), М. Вигдерзон (16), А. Владимиров (16), М. Герасимова (2), В. Гильц (10), И. Глотов (2), В. Голубев (Каменка) (3), В. Голубев (Кувшиново) (9), A. Голубченко (1), А. Гольдберг (19), С. Городов (5), И. Гришин (12), А. Гурвич (13), И. Демидов (16), А. Егоров (6), Н. Енгурин (4), B. Ефимов (3), О Жаутыков (1), И. Зайцев (17), Ю. Залесский (16), Г. Знаменский (18), В. Зяблицкий (i), А. Иванов (18)* И. Изотенков (8),

И. Кавказский (5), В. Камендровский (\5), И. Кацман 8), М. Кекелия (3), Г. Кипнис (2), К. Кириллов (13), Б. Кобылин (13), П. Ковальский (4), С. Колесник (13), К. Краевский (13), В. Кременский (1), Г. Кронос (5), А. Крутиков (8), A. Кулаков (16), Кулигин (I), Е. Куницын (3), B. Лебедевская (1), Л. Литвиненко (1), А. Логашов (12), А. Любомудров„(5), Е. Марчевская (7), Н. Милковский (6), А. Митюгов (1), Мифтахов (2), В. Морев (8), И. Нагорный (3), С. Нагорных (2), Г. Олехнович (11), С. Осташев (1), В. Павлов (16), Г. Пекер (7), В. Поляков (1), Г. Ржавский (15), Н. Рождественский (18), Д. Савельев (3), Н. Самодуров (3), Е. Сапунцов (13), А. Сахаров (5), П. Сергиенко (16), П. Славский (1), А. Соловьев (16), Б. Сосницкий (17), К. Степанов (4), Н. Столяров (13), А. Сухацкий (5), Д. Толмачев (4), С. Тубин (10), В. Ураевский (1), О. Ханчарлян (1б), Г. Харитонов (12), М. Холмянский (i), К. Хоменко и С. Пичкур (4), С. Чуканцев (/), М. Шевелев (19;, Г. Шестопалов (5), Б. Шехтман (6), Н. Шибанов (1), И. Шилин (2), Л. Шмуленсон (6), А. Шульман (2), М. Ф. н Ф. П. Щиновы (12), М. Яглом (18).

ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ

1. Определить емкость системы конденсаторов, соединенных по схеме на рисунке 1. Рассмотреть частные случай: с5 = 0 и сь=оо. Показать, что

при условии ~- — -7- емкость системы не зависит от съ.

Д. Сахаров

2. В сосуд, наполненный до краев водой, опускают сплошной алюминиевый шарик. Опредеделить время, в течение которого шарик достигает дна сосуда, если высота сосуда 2 м.

Сопротивление, трение и движение воды в расчет не принимаются.

3. Предположим, что часы с маятником идут верно, причем время колебания маятника равно Т.

Затем часы поднимают на значительную высоту Н. Узнать, на сколько надо изменить длину маятника, чтобы часы опять шли верно?

П. Грицын

4. Метеор, имеющий форму шара, движется, вращаясь, неподалеку от земли, но вне земной атмосферы. Определить среднюю температуру метеора, принимая его за абсолютно-черное тело.

Г. Ткаченко

5. Работа парохода. Пароход прошел морем 2 км. В течение всего рейса сила тяги, развиваемая гребным винтом, была равна 3000 кг. В другой раз тот же пароход прошел то же расстояние, ведя на буксире баржу. В этом рейсе сила тяги оставалась прежней: поэтому пароход с баржей шел медленнее и затратил больше времени, чем на первый рейс.

Так как работа равна произведению силы на расстояние, пройденное точкой ее приложения в направлении силы

T=fsf

то пароходом произведена в обоих случаях одинаковая работа.

Одинаковую ли работу произвел винт парохода и на что она была затрачена в том и другом случае?

А. Бойко

Рис. 1

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ, помещенных в № 1 и 2 сборника «Математика и физика в школе»

Задачи в № 1.

Задача № 1. 1. Разъяснить следующие недоразумение: пусть камень с массой /«находится на поезде, движущемся со скоростью V. В таком случае он обладает относительно земли энергией —J—. Затем камень бросают по направлению движения поезда со скоростью t; относительно поезда, сообщая ему таким образом энергию -9—. Итого он будет обладать энергией

Но можно рассуждать и так:

камень движется относительно земли со скоростью (V-f-tf) и, следовательно, обладает энергией---. Это выражение больше предыдущего на mVv. В чем же здесь дело?

Решение. Рассуждение, приводящее к результату, что энергия камня равна —^—-j--у неверно. Изменение энергии камня могло получиться только за счет работы бросания камня. Но эта работа не равна —у . Дело в том, что при бросании камня вперед, кроме увеличения скорости камня, происходит уменьшение скорости поезда. Обозначим массу поезда M и изменение его

скорости Д V. Тогда работа бросания камня выразится так:

(почему это так —легко понять, если вспомнить что скорость v отсчитывается наблюдателем, движущимся с поездом со скоростью V). Из работы бросания камня надо вычесть изменение энергии поезда, которое равно:

Таким образом, мы получаем для изменения энергии камня:

так как по третьему закону движения M Д V = mv.

Следовательно, полная энергия камня действительно равна:

Решавшие эту задачу подходили к вопросу формально, без рассмотрения физической сущности явления; поэтому хотя многие получили тот же ответ, его нельзя засчитать в качестве правильного решения, так как оно построено на чисто -математических рассуждениях. Решение прислали: Б. Сосницкий (Калуга), Л. Белоусов.

2. Шарик радиуса г скатывается по желобу с «мертвой петлей», радиус окружности которой R. Определить наименьшую высоту, скатываясь с которой шарик не выпадет из петли. Считать, что шарик катится по дну желоба и пренебречь трением.

Решение. Обозначим массу шарика /и, момент инерции его /, скорость в верхней точке петли vQ, угловую скорость в той же точке а>с, искомую высоту h (см. рис. 1). Тогда на основании закона сохранения энергии

Рис 1

Определим соотношение между ш и v при движении шарика внутри петли. За бесконечно малый промежуток времени dt шарик пройдет по желобу путь RdoL (см. рис. 2), в таком случае rtû-dt — Rdx.

В то же время центр шарика продвинется на расстояние

v.dt = (R — r)dou

Отсюда:

Подставляя этот результат в первое равенство и принимая во внимание, что для шара

имеем:

Условие невыпадения шарика есть равенство центростремительного ускорения шарика и величины g

Отсюда:

Рис. 2

Данную задачу решали многие из читателей, однако никто ее правильно не решил, так как все решавшие не обращали внимания на то, что часть энергии падения идет на вращение шарика вокруг своей оси.

3. Определить ускорение тела, скользящего без трения по наклонной плоскости с £ ß, если наклонная плоскость в свою очередь скользит по другой неподвижной наклонной плоскости с £ к (рис. 1).

Рис. 1

Решение. Обозначим массу второго тела т.2, массу первого тела (скользящей наклонной плоскости) mt их ускорения соответственно аг и аи Кроме того, ускорение тела т2 вдоль скользящей наклонной плоскости обозначим а1г.

Уравнение движения для скользящей наклонной плоскости имеет вид:

тхах = mxg sin a— m2 [g cos (а -f ß) -fi ax sin ß] sin ß. Здесь m^sina — составляющая сила тяжести т2 \gcos (a-f- ß) -f- ах sin ß] — сила нормального давления второго тела т2 на скользящую плоскость mû член ах sin ß учитывает движение тела mt в направлении нормали. Эта сила проектируется на направление а,, для чего умножается на sin ß.

Отсюда

Ускорение axt определится из уравнения движения

т2а12 = m2g sin (a -f - ß) — т2ах cos ß.

Второй член учитывает, что сама плоскость скользит с ускорением av

al2 =z g sin (а + 3) — at cos ß.

Ускорение a2 найдем из соотношения

Отсюда

Рассмотрим частные случаи: 1) Пусть тх )) m2; тогда at = g sin a;

Физически это означает, что наклонная плоскость тх скользит вниз так, как если бы второго тела не было.

2) Пусть т2)) т1. Тогда ах =

Физический смысл тот, что второе тело падает вниз, как бы не встречая на своем пути никаких препятствий.

3) ß = 0 (рис. 2); ax-=L g sin a, a2 = g sin a.

Оба тела соскальзывают вместе вниз.

4) a = 0 (рис. 3)

Рис. 2 Рис. 3

Если при этом Ш\ )) m2, то at=zO; а2 — g sin ?• Первое тело неподвижно, а второе соскальзывает вниз.

Если же тпг ))mv то at = — g ctg ß; a2 = g. 5) a = ^0Э; a, = £; a2 - g (рис. 4). Это и понятно, так как оба тела беспрепятственно падают вниз

Рис. 4 Рис. 5

6) Пусть ß=—a. В таком случае

а2 = ûfj sin a.

Первое тело скользит вниз с ускорением, несколько большим, чем при отсутствии второго тела, так как второе тело давит на него. Второе тело движется вертикально вниз (вспомним, что трение отсутствует) (рис. 5).

Задача M 4. дВа парашютиста А и В прыгали с двух аэропланов в один и тот же момент.

А находится на высоте а метров и В —на высоте b метров над землей. Сопротивлением воздуха до раскрытия парашютов пренебрегаем:

движение парашютистов после раскрытия парашюта принимаем за равномерное со скоростью = m сек.

Нужно определить высоту, на которой А должен раскрыть свой парашют, чтобы приземлиться одновременно с В.

Решение. Разберем два случая.

Первый случай, когда парашютист В сразу раскрывает парашют.

Пусть парашютист А раскрывает парашют в точке А2 (см. черт.) на высоте h (когда парашютист В был в точке В2 тоже на высоте Л); в этом случае они одновременно приземлятся.

Время падения парашютиста А от А до А» будет “^Л2 ig — h), g _ ускорение силы тяжести. Время падения парашютиста В, с раскры-

Рис. 1

Рис. 2

гым парашютом будет

Следовательно,

Из этого уравнения находим h; сначала приводим его к квадратному уравнению:

ghs — 2 (gb — v2) h + gb2 — 2a v1 — 0 ; a из него

Второй случай, когда парашютист В падает «з течение t, не раскрывая парашюта, причем t известно.

Парашютист В падает свободным падением t сек. и в точке Bt раскрывает парашют и далее с парашютом падает х сек. Когда его догнал свободным падением парашютист А, то он тоже раскрыл свой парашют; это случилось, когда оба парашютиста были на равной высоте Л: один в точке Аг другой — в точке Вг (см. черт.).

Парашютист А за время (г + х) сек. пролетит расстояние AAt ~

парашютист В за то же время пролетит расстояние ВВг =

следовательно,

Из этого уравнения находим х:

Зная х, можем определить ААг =-, а из формулы а — ААг = Л, найдем высоту h.

Решение прислали П. Постников (Рязань), И. Шалыпин (ДВК), М. Парцхоладзе (Тбилиси), Л. Белоусов.

Задача № 5. Деревянное колесо вертится на оси, вделанной в боковую стенку резервуара, наполненного водой. При этом одна половина его вращается в воде, а другая — в воздухе. Дерево всплывает в воде и тонет в воздухе. Почему колесо не будет вертеться само собой, производя таким образом вечное движение?

Решение: потому что выталкивательная сила направлена перпендикулярно оси вращения.

Решение этой задачи прислали: Н. Самодуров (Бийск), П. Владыкин (Красный луч), Славский П. (Ст. Павловская), СИ. Попов Мариуполь), Н. Кулаков (Бугуруслан), И. И. Шалыпин (ДВК), П. Постников (Рязань), Б. Сосницкий (Калуга), Парцхоладзе (Тбилиси), Л. Белоусов, Царевский.

Задача № 6. Железная труба в 15 км длиной и 4,5 м в диаметре помещена на земле так, что она составляет прямую линию, параллельную касательной к земле в середине длины грубы. Эта труба закрыта у обоих концов и наполнена водой. Когда концы трубы открываются, то выльется воды менее чем половина: почему выльется не вся вода?

Приводим ее решение:

MN — поверхность земли, AB — труба, С —ее середина, О — центр земли, OG = R = 6378 км, СВ = 7,5 км.

Поверхность уровня проходит внутри трубы, поэтому вода не может вылиться вся.

Правильное решение этой задачи прислали:

М. Кулаков (Бугуруслан), П. Постников (Рязань), С. И. Попов (Мариуполь), П. П. Славский (ст. Павловская), Н. Самодуров (Бийск), П. Владыкин (Красный луч), Б. Сосницкий (Калуга), М. Парцхоладзе (Тбилиси;, Л. Белоусов, Царевский.

Задача № 7. Два конькобежца стоят вместе на середине пруда. Поверхность льда горизонтальна. Предположим, что движение коньков по льду происходит без трения. Как могут конькобежцы достигнуть берега, не снимая коньков и не призывая кого-либо на помощь?

Решение задачи. Конькобежцы становятся спинами друг к другу, затем быстро отталкиваются. В результате, каждый из них получит толчок, который движет его по направлению к берегу.

Правильное решение этой задачи прислали: А. Карлинский (ученик IX класса, Слуцк), П. П. Славский (Ст. Павловская), il. А. Владыкин (Красный луч), И. И. Шалыпин (ДВК), С. И. Попов (Мариуполь), Г. И. Харитонов (Б. Сундырь), Б. Сосницкий (Калуга), Л. Белоусов.

Задачи, взятые из статьи А. Цингера, помещенные в № 2 сборника.

Задача № 8. При помощи ультрамикроскопа можно обнаруживать в коллоидальном растворе золота частицы, размер которых не превосходит 5 p-fA. Предположим, что эти частицы имеют форму куба. Сколько таких кубиков можно получить из 1 см* золота? Как велика сумма поверхностей этих частиц.

Решение: если ребро- кубика равно 5 w = 5-10 см, то об'ем кубика равен 125-10 см9, Иэ 1 куб. см таких кубиков получится 1:125Х — 21 X 10 = 0,008-Ю21 =8-Ю18.

Поверхность одного кубика = 6-25-10 см* = 153-10 см* - 1,5-10 см. Сумма поверхностей всех кубиков =

Решение этой задачи прислали: Н. Кулаков (Бугуруслан), А. Я. Карлинский (Слуцк), Б.Сосницкий (Калуга), П. П. Славский (Азово-Черном. край), Кравцов.

Задача № 9. Какова должна быть толщина веревки, чтобы ее об'ем был равен об'ему Земли и ее длина равнялась расстоянию между Солнцем и Землей?

Решение заданя. Диаметр веревки найдется из уравнения:

Решение дали: H. Кулаков (Бугуруслан), А. Я. Карлинский (Слуцк), Б. Сосницкий (Калуга), П. П. Славский (Азово-Черном. край) Кравцов, М. Кокелия, Л. Белоусов.

Задача № 10. Достаточно чувствительным гальванометром легко можно показать ток в одну биллионную долю ампера (10 А). Какое потребуется время, чтобы током разложить одну капельку воды массой в 1 мг? Сколько молекул воды разлагалось бы при этом в 1 сек?

Решение задачи. Если б уде г разложен 1 мг = -з — 10 г воды, то водорода выделится при этом

В формуле, выражающей законы Фарадея:

полагаем m =

откуда

В 1 сек. будет выделено-водорода т2 = 1.036Х -5 -12 ХМ -Ю г.

Так как в воде отношение количества водорода к кислороду =1:8, то при этом будет разложено 9 тъ = 9-1,036-10 г воды. По закону Авогадро 18 ч. воды (1 грамм/молекула) содержит 6'0b2-lÜ23 молекул; следовательно, 9 тг воды содержат:

Н. Кулаков (Бугуруслан). Б. Сосницкий (Калуга), Л. Белоусов, Л. Сомутин.

Задача № 11. Поезд весом р = 750 m равномерно двигался по горизонтальному пути. Последний вагон весом р = 25 m оторвался. Машинист продолжал двигаться еще на расстоянии / = 290 м, пока он закрыл доступ пара в машину и, не тормозя, остановил поезд. На каком расстоянии должны находиться, друг от друга оторвавшийся вагон и поезд? (Предполагается, что машина работала все время равномерно и сила трения пропорциональна весу тела, двигающегося на рельсах.)

Решение задачи. Положим, что масса поезда М, масса вагона m и расстояния выражены в системе cgs;

M = 750-10« г\ m = 25-10« г.; 1 = 290.10* см.

Обозначим силу трения на 1 г веса через /. Когда поезддаигается равномерно (со скоростью V0), вся сила F работы пара тратится на преодоление силы трения; поэтому F = Mf дин.

Когда оторвался вагон, масса которого m = — M, та же сила стала действовать на массу Mt = = — M. На преодоление силы трения теперь тратится часть этой силы гх — ~^Mf; остальная часть F2 = F— Fx = Mf — —- Mf — — Mf; сообщаем массе M ускорение <o = 77 =

Если через t обозначить время, в течение которого поезд проходит путь L (до закрытия доступа пара), то L = v0г + -= — (2)

Скорость поезда в конце пути L будет

v=v0 + wt (3)

После закрытия доступа пара поезд двигался еще время tl% которое найдется из уравнения v — ftx = 0 (поезд двигается в это время с отрицательным ускорением, численно равным (—/), откуда

За это время поезд пройдет путь

(4)

(по форм. i). Оторвавшийся вагон пройдет путь L2 — -^j... (5); расстояние между поездом и оторвавшимся вагоном, когда они остановятся, будет:

(по форм. 2)

форм. 1)

(по

Л. Самутин, Л. Белоусов, Н. Кулаков (Бугуруслан). В. Ремез.

ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ

1. Можно ли, соединяя точки пересечения клетчатой бумаги, получить равносторонний треугольник?*

Я. Перельман

2. Доказать, что неделимость целого числа п на 2 и на 3 есть необходимый и достаточный признак делимости числа 4п2 + Зп+5 на 6.

И. Кастровицкий

3. Найти сумму п членов ряда

7 + 77 + 777 ......

С. Городов

4. Решить уравнение

(|/~2~ 1)д:3 - |/ 2*2 + 2х — 2 УТ{У~2— 1 ) = 0.

В. Камендровский

5. Две окружности радиусов R и r внешне касаются друг друга. Провести окружность так, чтобы она касалась обеих данных окружностей и их общей касательной.

Ф. Брижак

6. Решить систему уравнений

ху = 2; (3-_y)z= 3; (2 — jt)(4 — z)- 1.

7. Определить число учеников в каждом из трех классов, если известно:

1) что 11-я степень числа учеников во всех трех классах выражается числом, состоящим из 22 цифр, а 12-я степень из 23 цифр;

2) что квадрат числа учеников I класса равен числу, состоящему из трех цифр, сумма которых равна 19;

3) сумма квадратов чисел учеников во II и в 111 классах равна 1 466.

8. Найти четырехзначное число abed, являющееся точным квадратом, цифры которого удовлетворяют соотношению

д + 6-f-c + d — ab; b = с -f d

(ab — число, составленное из цифр а и Ь).

9. Дана несократимая дробь - (а >

1. Будут ли несократимыми дроби

2. Будет ли несократимым произведение

3. Может ли /; быть выражено точной десятичной дробью?

Каков в этом случае общий вид дроби -—?

Какова в этом случае будет дробь, если ее члены состоят из одной цифры?

10. Найти двухзначное число ab, являющееся делителем произведения его цифр.

11. Вычислить квадратный корень из — с точностью до —. Существуют ли дроби с знаменателем 17, квадратный корень из которых, вычисленный с точностью до —, дает ту же ве-личину, как и 1/у| ?

12. Углы некоторого четырехугольника образуют арифметическую прогрессию, разность которой —щ Доказать, что каждый из углов этого четырехугольника может быть разделен на три части с помощью циркуля и линейки.

13. Вычислить сумму

если дано, что х, у, z... t, и, v, образуют арифметическую прогрессию, разность которой равна г.

14. Дано, что медианы та и тс Д ABC образуют со стороной АС углы, равные 31° 15' 42“ и 28° 44' 48“, и что площадь прямоугольника, построенного на этих медианах, равна У 3. Вычислить без помощи тригонометрии площадь Д. абс.

15. Решить уравнение:

16. Доказать тождество:

17. Доказать равенство

где а, Ь, с, стороны, г— радиус вписанного круга, а /, т, п — расстояния центра тяжести от сторон некоторого треугольника.

18. Дана четверть круга АОВ (центр в О) радиуса R и полуокружность с центром в СУ, по-

* Задача была поставлена перед Я- Б. Перельманом группой преподавателей-математиков Свердловской области.

строенная на АО, как на диаметре (внутри данной четверти круга). Радиус этой полуокружности, перпендикулярный к OA, встречает окружности О' и О в точках N и М. Найти периметр и площадь криволинейной трапеции MNOB.

19. Найти пятизначное число, являющееся точным кубом, корень кубичный из которого равен сумме его цифр.

20. Доказать без помощи тригонометрических таблиц, что

(Дуги взяты между 0 и --)

О КОНКУРСЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ЗА 1935 г.

Редакцией подведены итоги по конкурсу решений задач, помещенных в журнале за 1935 г.

Нужно отметить, что в первой половине года принимало участие сравнительно небольшое количество читателей. Постепенно от номера к номеру количество участников увеличивалось, но поскольку первые номера были ими уже пропущены, в итоге получилось для многих сравнительно небольшое количество задач.

Ряд решений не мог быть зачтен потому, что они были получены редакцией уже после выхода номера журнала с этими решениями. Конечно это, до некоторой степени, «формальный» подход, так как в ряде мест журнал получается через 1—2 месяца по его выходе. Но трудно здесь провести какую-либо границу между Москвой и далекой провинцией.

По данному конкурсу редакция премирует всех решивших 50% и больше от числа помещенных задач. Таковых оказалось 12 следующих товарищей (цифра рядом с фамилией показывает количество решенных задач):

1. Б. Кобылин (Галич) 88.

2. А. Соловьев (Калинин) 80.

3. В. Камендровский (Оренбург) 70.

4. А. Вепланд (Москва) 56.

5. И. Гришин (Осташков) 54.

6. В. Павлов (Балятино) 51.

7. К. Кириллов (Казань) 49.

8. Г. Знаменский (Ялта) 48.

9. П. Милов 46.

10. А. Колосовский 46.

11. А. Егоров (Демянск) 45.

12. С. Шор (Тула) 45.

В качестве премий высылаются книги по списку, присланному премированными товарищами. До сих пор не получены списки от тт. Знаменского, П. Милова и А. Колосовского.

Редакция просит поспешить с присылкой списков.

К сожалению, редакция не всегда в состоянии закупить отмеченную в списке книгу, особенно из старых изданий. В этих случаях редакция старается заменить ее из числа вновь выходящих, интересных для преподавателя научных или методических книг. Так, некоторым товарищам наряду с другими книгами высылается только что вышедшая, очень интересная книга Д. Кольмана «Предмет и метод современной математики», а также некоторые другие новинки.

Результаты второго конкурса будут выявлены значительно раньше, чем первого, и опубликованы в № 4 за 1937 г.

В заключение редакция с удовлетворением отмечает большой интерес к разделу задач, который привлекает все больше и больше участников. Это обязывает редакцию с еще большим вниманием отнестись к этому разделу, повышает ее ответственность за него, требует полной ликвидации всех имевших место недочетов. С своей стороны редакция еще раз просит читателей облегчить ей ведение этого раздела.

Основные наши требования к читателю изложены в № 5 журнала («По поводу задач»).

Редакция

ЗАОЧНАЯ КОНСУЛЬТАЦИЯ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ.

Научно-исследовательский институт политехнического образования проводит бесплатную заочную консультацию для учителей по отдельным конкретным вопросам преподавания математики, физики, химии, биологии и трудового обучения в неполной средней и средней школе.

Для получения заочной консультации (ответа на вопрос, совета) достаточно только послать в институт по адресу: Москва, Лубянский проезд, д. 4, под'езд 8, Кабинет массовой работы ЦНИИПО, письмо с указанием тех конкретных вопросов, которые интересуют учителя по тому или иному учебному предмету.

СОДЕРЖАНИЕ ЖУРНАЛА «МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА В ШКОЛЕ» ЗА 1936 ГОД

I. НАУЧНЫЙ И НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

А. Математика

№ Стр.

1. М. Беневольский—Геометрический вывод формулы Герона 1 37—38

2. Р. Бончковский — Об одной задаче 1 38—39

3. М. Гельфанд — Теория иррациональности у Эвклида 6 26—35

4. М. Горнштейн—Действия над корнями . 2 18-29

5. Проф. М. Гребенча—Извлечение корней из чисел методом итерации 5 3—11

6. Проф. Н. Извольский — О пифагорейских числах 1 39—40

7. Проф. Н. Извольский —Вопросы построимости линейкой и циркулем 3 7—17

8. Проф. Н. Извольский — Вопросы построимости линейкой и циркулем 4 1—14

9. Проф. Н. Иовлев — Очерки по геометрии Лобачевского 2 3—18

10. Проф. Н. Иовлев — Очерки по геометрии Лобачевского 6 15—26

11. П. Карасев — Полу правильные многогранники 6 35—56

12. И. Кацман — Уравнения Пелля 2 29—32

13. И. Кацман — Теория целочисленных треугольников 4 15—23

14. Л. Лейферт—Кратные отношения и пропорции и применение их свойств к решению линейных уравнений 5 11—14

15. Доц. В. Молодший — Истинна ли геометрия Лобачевского? 1 13—25

16. А. Моторин —Теорема о точке пересечения медиан треугольника 4 28—28

17. О педологических извращениях 6 3—6

18. А. Покровский — Метод теневого проектирования 6 56—66

19. Проф. 3. Приблуда — Индуктивное доказательство теоремы Безу 3 24—24

20. Е. Рачко — Средняя линия трапеции 4 27—27

21. И. Самойленко— Биномиальная теорема 5 14—18

22. В. Серпинский — О матемаческой индукции 3 17—23

№ Стр-

23. И. Сигов — О многогранниках 4 24—27

24. М. Скрылев — Теорема тангенсов 6 55—56

25. А. Смирнов — Работы Торндайка по психологии математики 6 6—14

26. Проф. И. Чистяков — Бонавентура Кавальери и его метод неделимых 3 1—6

27. Проф. И. Чистяков — Приложение свойств комплексных чисел к решению неопределенных уравнении........... 5 19—20

28. А. Эльяшевич — О спрямлении окружности 6 55—55

Б. Физика.

1. Проф. В. Альтберг — Физические условия ледообразования .............. 1 25—30

2. Проф. И. Лобко — Размерность величин при выводе основного уравнения кинетической теории газов....... 3 37—40

3. И. Сутчев — Кварцевая ртутная лампа.......... 1 31—37

4. Доц. А. Торчинский — Системы единиц измерений электрических величин...... 3 25—33

5. Б. Флоринский — О внешнем трении.......... 3 34—36

6. Проф. А. Цингер —О портретах Архимеда...... 4 29—31

7. С. Шарыгин — Проекты К. Э. Циолковского........ 1 3—12

8. А. Штернов, Н. Симонович, А. Ускова — О простых способах наблюдений флюктуации............ 4 32—33

9. Яковлев — Диффракция электронов............. 2 32—48

В. Астрономия

1. Проф. П. Попов и Н. Бугуславская — Полное солнечное затмение 19 июня 1936 г. в СССР 2 49—57

II. МЕТОДИКА

А. Математика

1. Проф. А. Астряб — Аналитическое доказательство теоремы о двух перпендикулярах по Лежандру ............ 4 64—65

2. В. Борисов — Геометрический вывод формулы Герона .... 4 68—68

3. И. Браун — Задачи на построение в средней школе..... 4 34—58

4. И. Браун — О составлении уравнений........... 5 49—59

5. И. Браун — Основные типы арифметических задач..... 5 68—76

6. А. Гнедов — Разложение трехчлена вида ахг-\-Ьх-\-с на множителей ......... 3 51—52

7. А. Дрокин — Измененная формула Герона......... 2 69—71

8. Е. Игнатьев — Анализ причин неуспеваемости по математике в средней школе....... 3 41—51

9. Проф. Н. Извольский — Об уравнениях и их методике ... 5 37—40

10. Проф. Н. Иовлев Методы решения задач на равновесие плоской системы сходящихся сил 5 21—33

11. X. Копелевич — Вывод формулы Герона......... 4 66—67

№ Стр.

12. К. Краевский — К методике проведения логарифмических вычислений.......... 2 58—61

13. Н. Кувыркин — О некоторых математических приборах для средней школы........ 1 56—60

14. Л. Маергойз — К методике составления уравнений по условиям задач.......... 5 43—49

15. Доц. В. Матышук — Учение о логарифмах в средней школе 1 41—56

16. В. Матышук — О преподавании тригонометрии...... 6 67—72

17. В. Падучев — Как рационализировать урок с геометрическим доказательством теорем .... 2 65—69

18. Проф. 3. Приблуда—Об изложении первых теорем геометрии 4 58 — 63

19. Доц. В. Репьев — Устные занятия в курсе алгебры...... 3 52—53

20. Доц. В. Репьев — О проверке домашних работ по математике 5 62—67

21. В. Репьев — Геометрические места точек . ........ 6 72—81

22. Г. Сегалович—Методика процентных вычислений...... 2 62—65

23. Н. Семенов — Определение уравнения с функциональной точки зрения......... 5 59—62

24. Г. Стальков — Письменные контрольные работы по математике в средней школе..... 3 59—69

25. Проф. В. Фурсенко—Об алгоритме извлечения квадратного корня........ . . . . 5 76—76

26. В. Фурсенко—О третьем признаке равенства тр-ков..... 6 82—87

27. Проф. М. Черняев — К проработке бинома Ньютона..... 1 60—60

28. Проф. М. Черняев-— Теорема Сальмона........... 4 68—69

29. Проф. М. Черняев—К методике решения уравнений I степени 5 40—41

Б. Физика.

1. И. Базаров — О формуле периода колебания математического маятника.......... 1 68—69

№ Стр.

2. С. Василов и В. Кармилов — Электрифицированные схемы машин, физических приборов и установок в преподавании физики......... . 1 69—71

3. Д. Галанин — Почему две лампы горят тускло..... 1 64—66

4. Д. Галанин — Коэфициент полезного действия тепловых машин ......,....... 2 71—72

5. Д. Галанин—Применение чувствительного электрометра в школе............. 2 82-85

6. Доц. М. Гинзбург — Вопросы статики в курсе физики . . 5 34—37

7. М. Грабовский — Неоновая лампа как демонстрационный прибор.......... 3 70—82

8. Н. Ежев — К элементарному выводу формулы физического маятника........... 2 77—79

9. Проф. Н. Иовлев — Методы решения задач на равновесие плоской системы сходящихся сил 5 21—38

10. Г. Иоффе — Элементарный вывод выражения для энергии колебания математического маятника 2 75—77

11. Проф. А. Калашников — Состояние знаний учащихся по механике, получаемых в неполной средней школе...... 4 69 -79

12. И. Леппен — Явления индукции в равномерном магнитном поле.............. 4 8J—84

13. Проф. 3. Приблуда — Особый метод вывода формулы периода гермонического движения ... 2 72—75

14. Н. Руткевич — О графическом способе вычисления кинетической энергии движущегося тела............. 1 66—68

15. Б. Спасский — Два новых высококачественных прибора по электростатике........ 2 79—82

16. Доц. А. Торчинский — Лабораторные работы по теме «Электрический ток»........ 1 61—64-

III. ОПЫТ ШКОЛ

А. Математика

1. В. Антропов — О некоторых распространенных ошибках в вопросах алгебры........ 2 86—87

2. Германов —О составлении уравнений с одним неизвестным 5 77—81

3. И. Кацман — В тисках традиции 3 89—91

4. С. Кишкин — Назревшая реформа ............ 3 86-89

5. И. Макаревич — Метод моделирования в преподавании стереометрии........ . . 3 92—93

6. Е. Рачко — К методике составления уравнений по условию задачи . . ...........82—83

7. Рудницкий — Уравнения — больное место в преподавании алгебры............ 5 84—86

8. Д. Скарлато — Новый знак деления......» . ... 3 83—86

9. Стальков — Некоторые выводы о подготовленности по математике поступающих в техникум 1 72—80

10. Л. Штюмпель — Графический метод решения квадратных уравнений ............. 5 87—88

Б. Физика

1. А. Белогорский — Алоскоп как осветитель......... 1 94—95

2. А. Белогорский — Лаборатория работ -с меднозакислым фотоэлементом......... 3 95—97

3. Проф. Д. Галанин и С. Лившиц— Два опыта по закону сохранения энергии в механике 3 93—94

4. М. Грабовский — Маятник в магнитном поле 1 85—88

5. Г. Грошевой — Как сделать демонстрационный секундомер из обыкновенных часов ходиков 2 97—101

№ Стр.

6, Д. Важенков — По поводу графического способа решения задач на равномерно-переменное движение . ....... 2 101—102

7. Н. Ежев — Исследование поля вокруг электрических лампочек с помощью фотоэлемента ... 1 95—96

3. Н. Ежев — К определению увеличения микроскопа..... 5 90—90

9. Зворыкин — Фонодейк Лебедева ............. 5 88-89

10. С. Иванов — Доступные индикаторы в опытах по электролизу солей ........ . 1 94—94

11. Проф. А. Калашников — Изменение состояния знаний учащихся по физике в течение учебного года......... 1 80—85

32. Н. Кеслин — Как быстро запомнить азбуку Морзе..... 1 97—97

№ Стр.

13. Ф. А. Кравченко — Склейка диска для электростатической машины............ 5 91—91

14. В. Кубинцев — О магнитном напряжении внутри кольвидного соленоида......... 1 92—93

15. Е. Петров — Опытная проверка эффективности методов преподавания физики в средней школе............. 2 93-96

16. В. Попова — О преподавании геометрии......... 6 85—87

17. А. Рабинович— Демонстрационный термометр сопротивления со стрелочным гальванометром ........... 1 88—92

18. И. Солодовник — Приемные испытания по физике в Киевском индустриальном институте в 1935 г.............. 2 88-93

IV. КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

1. Проф. А. Бачинский —По поводу заметки Д. Галанина 4 89 — 90

2. Р. Гангнус — По поводу одной заметки............. 1 99—100

Р. Гангнус— О решении задачи

№ 11 из № 4 за 1935 г..... 1 100-101

3. А. Гольденбейн — Еще раз о законе Ома........ 4 85—89

Д. Гончаров — Пути созидания методики алгебры..... 3 98—102

5. М. Гр-ский - Новые книги по физике........... 3 104- 105

6. М. Гр-ский — Новые книги по физике............ 5 92—94

— Еще о зеркалах Архимеда........... 1 98—99

7. В. Морев — Методико-математическая библиография. Решение арифметических задач . 1 108—111

8. В. Морев — То же. Уравнения 5 94—96

9. В. Морев — Новые книги по математике .......... 1 102—104

10. Разумовский — Замечания педагогов по журналу .... 6 88—90

11. С. Плиткин — Рецензия на книгу проф. Лобко ..... 1 101 — 102

12. Доц. Н. Хренов — «Математическое просвещение»..... 3 103—104

13. К.Шевченко — О целесообразности концентрического изучения тригонометрии..... 4 91—92

14. С. Шарыгин — Книги о стратосфере ............ 1 105-108

V. ХРОНИКА И КОНСУЛЬТАЦИЯ

Педагогическая консультация ... 1 113 —113

Я. Перельман — Ответ на вопрос 3 106—107

В. Юськович—Хроника .... 1 112—112

VI. ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

В каждом номере

ОПЕЧАТКА В № 6

В части тиража на стр. 61, в I кол. на 5 стр. снизу

Напечатано: Должно быть:

Цена 1 руб.

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

ОТКРЫТА ПОДПИСКА

на 1937 год на журнал

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

Орган Наркомпроса РСФСР 6 НОМЕРОВ В ГОД

Журнал рассчитан на преподавателей математики в полной и неполной средней школе, а также и на студентов пединститутов.

ПОДПИСНАЯ ЦЕНА НА ГОД—7 р. 50 к. ЦЕНА ОТДЕЛЬНОГО НОМЕРА-1 р. 26 к,

ОТКРЫТА ПОДПИСКА

на 1937 год на журнал

ФИЗИКА В ШКОЛЕ

Орган Наркомпроса РСФСР 6 номеров в год

Журнал рассчитан на преподавателей физики в полной и неполной средней школе

ПОДПИСНАЯ ЦЕНА на год-7р. 60 к. Цена отдельн. номера—1 р. 25 к.

Подписка принимается отделениями, магазинами, киосками и уполномоченными Когиза, на почте и в Главной подписной конторе Когиза, Москва, Маросейка, 7.

СПЕШИТЕ ЗАБЛАГОВРЕМЕННО ПОДПИСАТЬСЯ!