МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА В ШКОЛЕ

5

1936

НАРКОМПРОС

УЧПЕДГИЗ

УПРАВЛЕНИЯ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ СБОРНИК

№ 5

СЕНТЯБРЬ 1936 ОКТЯБРЬ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

Содержание

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

Проф. М. Гребенча —Извлечение корней из чисел методом итерации .......................

Л. А. Лейферт — Кратные отношения и пропорции и применение их свойств к решению линейных уравнений ... 11

И. Самойленко—Биномиальная теорема. Исторический элемент в математике средней школы........... 14

Проф. И. И. Чистяков — Приложение свойств комплексных чисел к решению неопределенных уравнений...... 19

МЕТОДИКА

Проф. Н. Н. Иовлев — Методы решения задач на равновесие плоской системы сходящихся сил............ 2Д

Доц. М. М. Гинзбург — Вопросы статики в курсе физики . . 34

Проф. Н. А. Извольский — Об уравнениях и их методике . . 37

Проф. М. П. Черняев — К методике решения уравнений первой степени...................... 40

Д. Маергойз — К методике составления уравнений по условиям задачи...................... 43

И. К. Браун — О составлении уравнений.......... 49

Н. Семенов — Определение уравнения с функциональной точки зрения......................... 59

Доц. В. Репьев — О проверке домашних работ по математике 62

И. К. Браун — Основные типы арифметических задач .... 68

Проф. М. Фурсенко — О алгоритме извлечения квадратного корня........................ 76

ИЗ ОПЫТА

A. Германов — О составлении уравнений с одним неизвестным 77

Е. Рачко — К методике составления уравнений по условию задач .................. ...... 83

Рудницкий — Уравнения — больное место в преподавании алгебры......................... 84

Лизелотта Штюмпфель — Графический метод решения квадратных уравнений................... 87

Зворыкин — Фонодейк Лебедева.............. 88

Н. Ежов — К определению увеличения микроскопа..... 90

Ф. А. Кравченко — Склейка диска электростатической машины . ........................ 91

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

М. Гр-ский — Новые книги по физике........... 92

B. Морев —- Методико-математическая библиография по темам ......................... 94

ЗАДАЧИ

Решения задач...................... 97

Сводка решений по № 1................. 109

По поводу задач..................... 109

Задачи.......................... 110

Поправки ........................ 112

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ ИЗ ЧИСЕЛ МЕТОДОМ ИТЕРАЦИИ

Доклад, сделанный в методической секции Московского математического общества

Проф. М. ГРЕБЕНЧА (Москва)

§ 1. Извлечение корней квадратных из положительных чисел с заданной точностью общеизвестно. Извлечение кубичного корня являет уже значительные затруднения. В случае показателя корня, большего 3 и не являющегося степенью с основанием 2, вычисления сопровождаются весьма громоздкими выкладками.

В настоящей статье излагается приближенное вычисление арифметического корня из положительных чисел, основанное на методе итерации.

Практика этого метода такова.

Пусть мы извлекаем корень п степени из числа а>0. Пусть приближенное значение этого корня с недостатком или избытком есть а0У причем яо>0.

В таком случае

Напишем тождество:

Но так как

следовательно,

Обозначая многочлен с положительными коэфициентами

р»-1 + аоР »-2 + а02 р»-2 +... + ав»-1

через (р(р), имеем

?(р)

Выделим правую часть тождества (1), заменив р через р,

а0-\---=-*— .... (2)

и будем рассматривать р как переменную.

Вычислим численную величину выражения (2) при р = а0; обозначим ее через а±.

Вычислим численную величину того же выражения при р = а±: обозначим ее через я2.

Вычислим численную величину того же выражения при р = я2 и обозначим ее через а3 и т. д.

Числа

я0, аи а2, ûo,.......

являются все лучшими и лучшими приближениями к р, т. е. к^а.

§ 2. Пример 1. Вычислим }/з ; берем а0=\.

Вычисляем численную величину выражения

при р= 1.

Имеем ах = 2.

Вычисляем численную величину при р = 2. Имеем

Далее имеем:

Итак:

Эти числа являются последовательными приближениями к У~3у значение которого с точностью до половины четвертого знака есть 1,7321.

Если возьмем а0 — 2 (приближение к корню с избытком), тогда

тогда

ö1==l,75; а2 = 1,733; я3 = 1,7322; я4 = 1,7321;

пятое приближение а4 отличается от истинного значения корня на величину, меньшую 0,00005.

Пример 2. Вычислим

В таком случае

Вычисляем численную величину выражения

при имеем

далее

последнее из этих чисел отличается от истинного значения корня на число, меньшее 0,00001.

§ 3. Теперь мы должны обосновать этот прием теоретически. Мы должны убедиться в том, что: 1) всегда вычисляемые таким образом числа av а2, . . . суть приближения к корню тем лучшие, чем номер числа больше и 2) возможно получить приближение как угодно точно.

Выпишем вновь выражение (2):

Так как у многочлена

все коэфициенты положительны, то численная величина ф(р) с увеличением р также увеличивается при положительных значениях р. В самом деле, если

Помножая обе части первого неравенства на положительное число а0п~% , второго неравенства — на а0п~ъ , . . . . предпоследнего — на а0 и складывая, имеем

откуда

?(рТ)<т(р2)-

Из способа вычисления чисел аи а2... заключаем, что

Пусть

Следовательно,

а потому

Следовательно,

следовательно,

Точно так же рассуждая, покажем, что

Так как ах >а 0, то, следовательно, (р(а1)>ф(а0).

Следовательно

а потому

следовательно,

Далее следовательно,

Следовательно,

а2 < а3.

Так же рассуждая, покажем, что Итак:

Так как a0 < a2 по доказанному выше, то

?(0<?(û2). Отсюда заключаем, что

Следовательно,

Из этого вытекает, что

Следовательно,

Следовательно,

и т. д.

Следовательно, мы доказали, что а0<а2'у а1>аз> а2<аА; а3>а5; . . . Итак:

ö0<ö2<ö4< • • •

ai > Ч > аъ > • • -

Следовательно, числа с четными индексами увеличиваются, а с нечетными уменьшаются.

Так как мы показали выше, что at>a2; а3>а4; я5>а6; . . . т. е. что числа с нечетными индексами больше чисел с индексами на 1 большими, а, с другой стороны, at больше каждого из чисел с нечетным индексом, то из этого следует, что все числа с четными индексами- меньше, нежели аг.

Рассматривая неограниченную последовательность чисел:

а0> #2» ö4> а6> • • •

мы видим, что числа этой последовательности увеличиваются, оставаясь меньшими at. Следовательно, существует число, являющееся пределом этой последовательности; это значит, что при заданном сколь угодно малом положительном е, каждый член нашей последовательности, начиная с некоторого номера TV (зависящего от е), будет удовлетворять неравенству

|а—ö2Jk<e,

причем

|л>а2Л.

Короче, это значит, что

lim а2к = \к.

Рассматривая числа

а\у я3, û5, • • • мы видим, что по доказанному выше

ai > дз > аъ > • • • » причем каждое из них больше а0.

Следовательно, мы имеем неограниченную последовательность чисел

Од, #3, û5, . . • ,

члены которой уменьшаются, оставаясь большими, нежели ао.

Следовательно, существует число v, являющееся пределом этой последовательности; следовательно,

lim a2K+1=v, причем v<fl2*+i .

Обращаясь к равенству

и заставляя к пробегать лишь четные значения, при неограниченном увеличении к ак будет стремиться к пределу (л; так как при положенном ограничении четности числа k—1 есть число нечетное, то

Величина

при стремлении ак-{ к v будет иметь предел

Итак

Так как

то, следовательно,

Если в равенстве

заставить k неограниченно увеличиваться, пробегая нечетные значения, тогда

Следовательно,

§ 4. Мы видим, что числа (л и v удовлетворяют такой системе уравнений

и, следовательно, являются положительными корнями системы. Легко видеть, что первое уравнение при замене [а на v и v на |х перейдет во второе уравнение системы, и обратно.

Следовательно, кривые, определяемые каждым из этих уравнений, симметричны относительно биссектрисы координатного угла. Следовательно, если кривая определяется первым из уравнений системы и имеет с биссектрисой общую точку, то эта точка лежит и на второй кривой, так как эта последняя, как мы заметили, симметрична первой относительно биссектрисы. В таком случае, очевидно, координаты точки пересечения первой из кривых с биссектрисой суть корни этой системы, так как эта же точка лежит и на другой кривой.

Найдем, имеются ли на первой кривой точки с равными координатами.

Полагая в уравнении этой кривой

[Л =v,

мы получим

откуда

Так как это уравнение имеет единственный положительный корень, если а>0, то, следовательно, обозначаем

Итак,

fx=v=p.

Следовательно мы доказали, что последовательности

а0у а2, а4,...

и

а19 а3, а5,... имеют общий предел, равный

Р—у а -

Примечание. Легко видеть, что никаких других положительных корней система I не имеет. В самом деле, в силу симметричности кривых относительно биссектрисы корнями этой системы могут быть только точки, лежащие в пересечении кривых

с биссектрисой, а таких точек, как показано, только одна, ибо уравнение

[Л = а

имеет единственный положительный корень.

§ 5. Обратим внимание на то обстоятельство, что числа с четными индексами меньше р, а с нечетными индексами больше р. В самом деле, сравниваем правые части равенств

с правой частью тождества (I)

Так как, по условию, а0 < р, то

Следовательно,

Следовательно,

ах > р.

Отсюда следует, что

?Ю>?(р)-

Следовательно,

Отсюда вытекает, что

Далее покажем, что

Мы показали, что числа с четными индексами приближаются по мере возрастания индекса к числу р как угодно близко, оставаясь меньшими р, а числа с нечетными индексами приближаются к пределу р, оставаясь большими р.

§ 6. Далее, если мы в положительной разности

ai — “о

заменим at меньшим числом аъ и а0 большим числом а2, то

причем, так как мы показали, что аг > а2,

то разность

аъ — я2>0;

так как и

а2 < я4,

то

а3—я2>я5 — <*4>

причем опять-таки

я5 — я4 > О-

Рассуждая далее, мы приходим к заключению, что

ai — ао > Ч — аг >Ч — я4> —I

причем эти разности, уменьшаясь, остаются положительными. Очевидно, что

причем каждая из разностей положительна. Следовательно, разность ak+i — ак имеет предел. Вычисляем его:

lim — ак) = lim ak+i — lim ak = p-p = 0.

Следовательно, последовательность чисел

имеет пределом p.

§ 7. Таким образом, мы показали, что числа

а0, а2, av...

являются меньшими р, отличаются от р тем меньше, чем индекс больше, и, начиная с некоторого индекса, отличаются от р сколь угодно мало. Числа же

являются большими р, отличаются от р тем меньше, чем индекс больше, и, начиная с некоторого индекса, отличаются от р сколь угодно мало.

Последовательность же чисел

я0> ai> û2> —

имеет пределом р.

Очевидно, остановившись на значении ак корня, мы делаем ошибку меньшую | ак— — ak-i I в силу того, что из двух чисел ak—i и ак одно является с нечетным индексом, а другое с четным. Так как истинное зна-

чение корня больше любого из чисел ак с четным индексом и меньше любого с нечетным, то

§ 8. Возьмем значение р с избытком. Если обозначить его через Ь0, то тождество (I) § 1 имеет вид

или

Обозначаем по предыдущему способу

Так как ..............

*о>Р>

то или

я-последовательно,

ибо числа

положительны, так как они суть значения многочлена ф(р) с положительными коэфициентами при положительных значениях р:

*о» *2> —

Далее, так как

то

*(*l)<w-

Следовательно,

следовательно,

следовательно,

Итак,

Из этого следует, что

Следовательно,

Из этого заключаем, что

и т. д.

Следовательно, мы имеем неограниченный ряд чисел

Ь0, Ьи Ь2,...,

каждое из которых меньше предыдущего Легко показать, что каждое из них больше р В самом деле, сравнивая Ьх с р, т. е.

мы видим, что так как

Ь0>?, то ф(£0)>ф(р), откуда следует, что одна сумма более другой; следовательно,

Сравнивая

заключаем из неравенства

«K*i)><Hp),

что

£2>р.

Итак, числа

b0, bu b2f...

образуют убывающую последовательность, причем каждое из чисел этой последовательности больше р.

Следовательно, существует предел этой последовательности.

Обозначим его через X. Очевидно X число положительное.

Итак,

lim bk = ~k.

Из равенства

следует, что

Следовательно,

откуда

Это уравнение имеет единственный положительный корень р. Следовательно,

Х = р, т. е. lim bk= p.

Из неравенства

К> h>bt>...

очевидно следует, что

bo — ?>t>i — ?>t>2 — ?>...

Итак, числа

*0, Ьи Ь2,...

будучи больше р: 1) являются приближениями к р с избытком; 2) отличаются от р тем меньше, чем индекс больше; 3) начиная с некоторого индекса, отличаются от р сколь угодно мало.

§ 9. Геометрически иллюстрировать числа ао> аи a2f» можно следующим способом.

Построим графику функций

для положительных значений р. Эта функция убывающая, имеющая значение, равное

Графика функции

изображена на чертеже 1. Прямая z—o0 является асимптотой.

Рис 1

Вычисление ах сопровождается вычислением z при р = а0. Проведем биссектрису координатного угла и возьмем на ней точку В0 с абсциссой а0. Точка А0 кривой с абсциссой а0 имеет ординатой число а0-\--- т. е. av Проведя через точку А0 прямую А0 В± до встречи с биссектрисой, мы найдем на ней точку Вх с абсциссой av Ордината точки Bt пересечет кривую в точке At с абсциссой 0|. Ордината этой точки есть

Проведем через точку прямую At В2 до встречи с биссектрисой в точке В2.

Ордината этой точки равна абсциссе, т. е. я2«

Продолжая процесс далее, мы найдем на кривой точки А2, Л3, Л4,... абсциссы которых суть а2, а3,...

Абсцисса точки С пересечения кривой с биссектрисой равна р.

Из чертежа видна особенность чисел ак с нечетными и четными индексами относи-

тельно р, выведенная нами выше, а именно: точки ак с четными индексами расположены левее точки р, причем из двух точек ближе к точке р точка с большим индексом. Точки ап с нечетными индексами лежат правее точки р, причем из двух точек ближе к точке р точка с большим индексом.

Обращаясь к геометрической иллюстрации чисел

мы построим графику функции

где

при увеличении р увеличивается z.

Следовательно кривая расположена под асимптотой

z = b0 (черт. 2).

Проводя биссектрису координатного угла, замечаем, что абсцисса точки пересечения ее с кривой есть р. Берем на биссектрисе точку А0 с абсциссой 60>р. Ордината этой точки пересечет кривую в точке В0 с абсциссой Ь0\ следовательно, ордината этой точки равна

Рис. 2

Проводим прямую В0 А± до встречи с биссектрисой в точке Аг; ордината и абсцисса точки Ах равны Ьх. Проводим ординату точки Вх\ точка Bt кривой имеет ту же абсциссу, что и точка Al9 т. е. Ьх\ ордината этой точки равна

и т. д. Мы получим на кривой ряд точек

£0> ви В2,

абсциссы которых суть

boi bu b2...

Абсцисса точки пересечения кривой

с биссектрисой

есть положительный корень уравнения

или или откуда

Мы видим, что точки b0,,bl9... оси абсцисс лежат правее точки р и тем ближе к этой точке, чем индекс больше.

§ 10. Описанный процесс приближенного извлечения корня имеет ту особенность, что находимые приближенные значения являются источником для получения лучших приближенных значений, причем каждый раз это вычисление происходит единообразным способом. Такого рода метод, применяющийся с большим успехом в анализе бесконечно-малых, носит название метода итерации. Вычисление корня, если исходить из приближенного его значения с избытком, имеет тот недостаток, что все получаемые значения больше истинного значения корня, а потому трудно судить о точности приближения.

§11. Изложенные рассуждения опирались на некоторые положения теории пределов, выходящие за рамки элементарного курса; возможно, что доказательство проведется, если оставаться в рамках элементарного об'ема анализа бесконечно-малых для того, чтобы сделать ход всех рассуждений доступным для понимания учеников старших классов.

КРАТНЫЕ ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ И ПРИМЕНЕНИЕ ИХ СВОЙСТВ К РЕШЕНИЮ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Л. А. ЛЕЙФЕРТ (Ростов-на-Дону)

Производные пропорции и свойства ряда равных кратных отношений мало используются сейчас в школе, а, между тем, весьма желательно, чтобы учитель приучил учеников применять этот удобный, изящный и краткий путь, особенно при решении линейных уравнений.

Заметим, что все производные пропорции можно объединить в одной формуле на основании следующего:

Теорема 1. Если дана кратная пропорция:

(I)

где т, п, p. q какие угодно числа.

Это можно прочесть так: если дана кратная пропорция, то любые две линейные и однородные функции членов первого отношения относятся одна к другой так, как такие же функции, где члены первого отношения заменены соответственными членами второго отношения.

Доказательство. Из данной пропорции имеем а — — ; внеся это выражение в левую часть равенства (I), получим

что и требовалось доказать.

Следствие. Легко видеть, что, положив в формуле (I): 1) т= 1, /1=1, р = 0, q=\\ или 2) т—1, п— 1, /0 = 1, q = 0; или 3) т—\, п= — 1, р — 0, q = \\ или 4) т — \у п — — 1, р—\, q = 0; или 5) т—1, n=\,p—\,q=z—1, получим обычно приводимые в курсах производные пропорции:

Теорема 2. Если имеем п равных кратных отношений:

(II)

где щ% т2, ms, • • •, тп — произвольные числа, что можно прочесть так:

Если имеем п равных кратных отношений, то любая линейная однородная функция предыдущих членов относится к такой же функции последующих членов, как любой из предыдущих к своему последующему.

Доказательство. Назовем знаменателя данных равных отношений через q, тогда будем иметь:

ах = qbt; a2 = qb29 a3 = qbs,--- ,ал_1 = = qbn-ù an = qbn.

Умножив левые и правые части первого из этих равенств на mlt второго — на т2 и т. д., последнего — на тп% получим:

А теперь, сложив левые и правые части последних равенств и вынося в правой части q за скобку, получим:

Откуда, разделив на выражение, стоящее в скобках в правой части и помня, что q является знаменателем данных отношений, имеем :

что и требовалось доказать.

Покажем, как мож.ю использовать обе основные формулы при решении уравнений.

Пример 1 (Ш. и В., ч., 1-я, гл. VI*, № 126). (*-2) = (*-3) (х-4).

Составим пропорцию -=-, откуда, пользуясь 5-й производной пропорцией, получим

Пример 2 (№ 119).

Переменив местами крайние

члены пропорции, получим

Применив 4-ю производную пропорцию, имеем:

Пример 3 (№ 131).

Перенеся, вторую дробь направо, получим

применяя 3-ю производную пропорцию, получаем -=-, откуда х — 5 = —

Данную в общем виде формулу (I) чаще всего приходится применять при решении двух уравнений с 2 неизвестными, когда одно из уравнений имеет форму пропорции.

Пример 4.

Из 1-го уравнения по формуле (I) имеем:

или, в силу 2-го уравнения,

откудау = 10, а из 1-го данного уравнения л; = 6.

Пример 5 (№ 261).

Из 1-го уравнения, на основании 1-й производной пропорции, получим

или, в силу 2-го уравнения

откуда

внеся X в первое из данных уравнений, получим:

Пример 6 (№ 262).

Придадим к левой и правой части 1-го уравнения d — b, тогда это уравнение примет вид b (х—1)— d (у — \)=za — Ь4-

* Шапошников и Вальцов, часть 1-я, глава VI, и в дальнейшем, когда у примера в скобках стоит №, то пример взят из той же книги и той же главы.

Применяя общую формулу (I) ко 2-му данному уравнению, получим:

или, в силу (а),

откуда

т. е. х=.*— ; внеся х — 1 во второе из данных уравнений, получим

Когда легче приравнять свободные члены, чем коэфициенты при неизвестных, тогда удобно с исключить свободный член», т. е. получить однородное уравнение, которому легко придать вид пропорции, а затем уже применить общую формулу (II). Поясним это на примерах.

Пример 7.

Умножив правую и левую часть 1-го уравнения на 5 и вычтя почленно правую и левую часть 2-го уравнения, получим

или

Применяя к этому уравнению общую формулу (II), получаем:

т. е. в силу

1-го данного уравнения получаем:

откуда

*=1; у = 2. Пример 8 (№ 229).

Вычтя левые и правые части уравнений друг из друга, получим:

4*-f 88у = 0,

или

Применяя к последнему равенству двух отношений общую формулу (II) и в силу 2-го данного уравнения, получаем:

откуда

Пример 9 (№ 267).

Перепишем данные уравнения так:

— = —; тх-\-ky = k-m;

применяя формулу (II) к 1-му из полученных уравнений и в силу 2-го из них, получим:

откуда

Свойства равных отношений (формулу II) можно также применить и к решению 3 и более уравнений с 3 и более неизвестными.

Пример 10 (№ 303).

Из двух последних уравнений получаем

применяя формулу (II), в силу 1-го уравнения, находим:

откуда

* = 9, у =12, z= 15.

Пример 11 (№ 304).

Из последних двух уравнений:

и по формуле (II), принимая во внимание 1-е данное уравнение, получаем:

откуда

Пример 12.

Из последних двух уравнений:

или, применяя формулу (II) и в силу 1-го уравнения, получаем:

откуда

От редакции

В журнале «Математика и физика», № 1 за 1934 г., была помещена заметка проф. Чистякова о применении свойства равных отношений к выводу основных формул прогрессий. Помещая настоящую заметку Л. Лейферта, редакция обращает внимание читателей, что применение производных пропорций особенно плодотворно при решении многих геометрических задач, решение которых приводится к уравнению, выраженному в виде пропорции (см., например, Рыбкин, Сб. задач по геометрии, ч. 1-я, § 8, № 5, 10, 14, 20, 22, 25 и пр.).

БИНОМИАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

ИСТОРИЧЕСКИЙ ЭЛЕМЕНТ В МАТЕМАТИКЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

И. САМОЙЛЕНКО (Астрахань)

I. Цели и пути введения исторического элемента в преподавание

Значению исторического элемента в преподавании математики в средней школе не раз уделялось внимание выдающимися учеными (Ф. Клейн, Ж. Таннери, М. Симон и др.). Защищать после этого полезность вообще исторического элемента в преподавании вряд ли необходимо.

Однако принципиальный вопрос о способах или путях использования элементов истории математики, насколько нам известно, почти не рассматривался. А, между тем, выяснение его не безразлично для преподавания.

Некоторые полагают два возможных пути включения исторического элемента: 1) в виде эпизодических сообщений исторических сведений и 2) в виде слияния исторических дан-

ных с систематическим курсом в одно целое. При этом второму пути отдается некоторыми явное предпочтение перед первым. Так, например, Ф. Циглер (Ленинград) в своей статье об «Элементах истории математики в средней школе»* дает методическую разработку темы «Площади многоугольников», где следует такому слиянию исторического и логического в геометрии.

Возникает вопрос: чем подкрепляются мнения о том или ином пути использования исторического элемента? Об этом не всегда даже говорится. Основная мысль сторонников исторического метода (если только можно его так назвать) состоит в том, что математические идеи, вследствие своей сугубой абстрактности, не могут быть хорошо уяснены и усвоены в том случае, если они сразу преподаются на современной научной основе, и что глубокое, сознательное усвоение их возможно лишь тогда, когда предварительно будет пройден тот путь формирования, который привел их к современному абстрактному и строгому изложению.

Что методическая мысль должна неустанно работать над созданием путей преодоления трудностей в преподавании математики, это верно, но что для этого нужно возвращаться назад, к менее совершенным методам и формам математики, начинать, например, с практики египетских землемеров,— это увлечение, нарушающее логическую стройность, компактность, снижающее современную научность математики, а потому должно быть признано вредным.

Исходя из того, что математика в средней школе (да и в высшей) должна проходиться систематично, на современной научной базе, следование в преподавании историческому ходу развития науки, в каком бы виде оно ни проводилось, нецелесообразно, непрогрессивно; оно означает механическое обхождение трудностей в современном преподавании путем возврата к прошлым, менее современным ступеням развития науки.

С методико-методологической стороны следование историческому ходу, собственно, не способствует выяснению того, что оно, как будто, должно было бы уяснить.

В самом деле, сможет ли учащийся осознать необходимость логического доказательства теорем от того, что вместе с ним мы «вообразим себя в положении египетских землемеров» (Циглер) и станем рассматривать задачу, как она решалась в эмпирический период развития науки? Конечно, этого далеко не достаточно.

Однако отсюда не следует делать вывод, что, вообще, исторический элемент не может играть чрезвычайно важной роли в успешном, интересном и глубоком усвоении математики. Наоборот, мы полагаем, что, следуя такому «историческому методу», как раз не используем той поистине огромной роли, которую мог бы сыграть правильно включенный исторический элемент в деле успешного, усвоения науки.

Какова же цель и каким должен быть наиболее желательный путь введения исторического элемента?

Неопределенность в формах внедрения историческою элемента вытекает именно из неясно очерченных целей, преследуемых им. Одни ссылаются на интерес, как на средство, способствующее усвоению математики; другие главной целью ставят ознакомление с фактами прошлого развития науки, которые как-то, сами по себе, должны пролить свет на современное строение школьной математики; наконец, некоторые предлагают пройти сперва «низшую», а потом уже современную стадию развития науки. Отсюда и неясность в путях включения элементов истории.

Нам представляется основная цель внедрения исторических моментов состоящей в том, чтобы на основе опыта прошлого развития науки помочь более глубокому, сознательному усвоению современной школьной математики, такому усвоению, которое не ограничивалось бы лишь формальным знанием фактов, но давало бы их в развитии и вместе с тем содействовало бы формированию личности, способствовало бы выработке правильного мировоззрения: исторический элемент должен стать принципом, пронизывающим все преподавание математики.

Обращая главное внимание на историческое развитие основных понятий, учащийся должен быть приведен к такой критической работе мысли, которая помогла бы ему подняться из сферы чувственных представлений к логическим ассоциациям, к сознательному усвоению математических абстракций в современном их состоянии, к пониманию их логической сущности.

Само собой разумеется, что внедрение элементов марксистской истории математики вызовет интерес учащихся к науке, будет содействовать развитию любознательности, развитию исследовательских моментов, вдумчивому, критическому отношению к фактам: исторический элемент будет содейство-

* См. сб. «Математика и физика в средней школе» № 3 за 1934 г.

вать развитию диалектического мышления.

Подчеркивая в ходе преподавания правильное взаимоотношение теории и практики, науки и техники, обращая внимание на социально-экономические условия в развитии математики, на борьбу классов и ее влияние на цели и задачи, на форму, стиль математики на различных этапах ее истории, мы тем самым достигнем того, что математика наряду с естествознанием и общественными предметами будет содействовать коммунистическому воспитанию учащихся.

Отсюда мы приходим к ответу и на вопрос о целесообразном пути включения исторического элемента.

Согласно очерченным целям, исторический элемент не должен быть случайным, эпизодическим и, тем более, не должен подменять собою систематический курс математики или механически сопровождать формально-логическое изложение.

Наиболее желательным мы считаем такой путь включения исторического элемента, который не ограничивался бы подведением к данному вопросу, играя роль подмостка, но помог бы вскрыть связи данного вопроса с предшествующим материалом, с последующими частями курса, указал бы на перспективу его развития, его значения.

Главная роль при этом принадлежит учителю, дающему в различных формах, в зависимости от темы, историческое освещение вопросов (специальная беседа, исторический экскурс, краткая справка, замечание и пр.).

В методико методологических целях исторический элемент может привлекаться буквально к каждой теме, но особенную ценность он приобретает там, где речь идет об основных понятиях математики или о ее важнейших разделах, например при обобщении понятия числа*, при введении буквенной символики и ее развитии, при прохождении уравнений, прогрессий, логарифмов, комбинаторики с биномом Ньютона, при выяснении сущности аксиом, теорем, логических доказательств (при повторении); в связи с темами «Площади», «Об'емы», «Пропорциональность « подобие фигур» и др.

II. Историческая справка о биноме Ньютона

Для примера приведем краткую историю одной из тех теорем курса элементарной математики, которая не вызывает трудностей в ее формальном выводе, но которая нелегко доходит до глубины сознания учащихся так, чтобы они оценили ее общность, ее чрезвычайно важное образовательное значение.

Я имею в виду знаменитую теорему о биноме, которой, по словам К. Маркса, суждено было революционизировать всю алгебру.

Это важное открытие, как и все великие идеи человеческого ума, было настолько подготовлено к моменту его появления, что Ньютону оставалось лишь завершить его.

Теорема о квадрате суммы двух чисел встречается уже у Эвклида (около 300 г. до н. э.) в знаменитых «Началах*, где она приводится в геометрической форме.

Разложение квадрата и куба суммы:

(a + b)2 = a2 + 2ab+b2, (а + b)* = a? -f За2 b + ЗаЬ2 +

—знали и индийские математики, причем они дали их аналитически, не сопровождая, в противоположность грекам, геометрическими представлениями.

Занятие этими формулами связывалось вначале, главным образом, с правилами извлечения корней 2-й и 3-й степени. На эту связь вполне определенно указывает уже арабский математик Альк Арги:

«Если разделить число на две части и каждую умножить саму на себя и, кроме того, умножить одну на удвоенную другую, то сумма будет равна квадрату данного числа. На этом основано извлечение корней».

Французский математик Вьет (1540— 1603) нашел, что

(а + b)* = a* -f ЬаЧ + 6а2*2 + 4ab* -f Z?4.

Результат был получен путем обыкновенного умножения развернутого бинома 3-й степени, т. е. (я3 + За2 b + 3 ab2 + b*), на (a+b).

Чтобы облегчить нахождение корней уравнений высших степеней, немецкий алгебраист М. Штифель составил уже таблицу коэфициентов для членов разложения биномов первых 18 степеней:

для (a -f ' Ь)2 коэфиц. будут 1,2,1; » (а-\-Ь)* » » 1,3,3,1;

» (а-\-Ь)* > » 1,4,6,4,1; ъ (а+Ь)5 » > 1,5,10,10,5ит.д.

Как Вьет, М. Штифель получил эти коэфициенты путем обыкновенного умножения, а не путем открытия закона их образования.

* См., например, интересные статьи Ф. Циглера и С. Е. Ляпина в сб. «Элементарная математика в средней школе», Учпедгиз, М.—Л., 1934.

Дальнейшее развитие биномиальной теоремы, помимо нахождения корней, тесно связано с новыми задачами математики, с разработкой комбинаторики и теории вероятностей.

Формулы для определения числа различных соединений приведены уже в алгебре индийского математика Бхаскары (1114 г.). Но они даны там вне связи с коэфициентами разложения двучленов.

Зачатки теории соединений мы встречаем, далее, у итальянского математика эпохи Возрождения— Тартальи (1499—1557), который пользовался таблицей коэфициентов разложения биномов для математического расчета игры в кости. Он поставил задачей найти, сколько различных сумм очков может открыться при бросании нескольких костяных кубиков, каждый из которых имеет по 6 очков. При одном кубике их, очевидно, будет 6; при бросании двух кубиков их будет 21: из них 6 различных сумм получится при появлении на обеих костях поровну очков и 15—когда очков на обеих костях откроется непоровну:

1,1; 2,2; 3,3; 4,4; 5,5; 6,6; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 2,3; 2,4; 2,5; 2,6; 3,4; 3,5; 3,6; 4,5; 4,6; 5,6.

Оказывается число 21 можно получить просто сложением всех очков одного кубика 21=6 + 5 + 4-|-3 + 2 + 1.

Паскаль (1627—1662), занимаясь наряду с Ферма (1601 —1665), разработкой теории вероятностей, принужден был пользоваться биномиальными формулами различных степеней. Для своих целей найденные коэфициенты он расположил в таблицу треугольного вида, получившую потом название «Арифметического треугольника Паскаля»*.

Таблица, похожая на принятую самим Паскалем, имеет нижеследующий вид:

Коэфициенты разложения биномов образуются здесь сложением таким образом:

в 1-й строке пишется ряд единиц (например десять);

во 2-й строке под каждой единицей 1-й строки пишется, начиная слева, сумма ее со всеми предыдущими единицами, причем в каждой последующей строке чисел на одно меньше, чем в предыдущей.

С помощью такой таблицы Паскаль мог найти разложение бинома любой целой положительной степени.

Кстати, коснемся понятия вероятности. Вероятность определяется отношением числа благоприятных случаев появления какого-нибудь события к числу всех возможных случаев. Так, вероятность того, что при бросании двух костей (задача Тартальи) выпадает на обеих непременно одно и то же число очков, равна - или ~. Событие, вероятность появления которого равна 1, называется достоверным.

И после Паскаля бином привлекал внимание многих математиков: Луки Пачиоли, голландского инженера-механика Стевина, Бригга и, особенно, Валлиса (1616— 1707), который приведен был к этим занятиям, вычисляя логарифмические и тригонометрические функции посредством разложения их в ряды. Чтобы получить формулу разложения, оставался один шаг. И этот важный шаг в общем решении проблемы принадлежал Исааку Ньютону (1642—1727).

Ньютон дал разложение бинома 2-й степени для численных и буквенных показателей, найдя, в отличие от своих предшественников, формулу образования коэфициентов.

Однако, дав свою знаменитую формулу:

и показав применимость ее не только для целых, но и для дробных и отрицательных показателей, тем не менее, Ньютон не дал ей строгого доказательства; он ограничился лишь проверкой ее посредством умножения биномов.

Доказательство же теоремы для целых положительных значений показателя дано было Яковом Бернулли (1654—1708); для дробных и отрицательных — не вполне строгое

* «Арифметический треугольник» был известен еще в XI в. китайским математикам. В XVII столетии он был снова найден Паскалем.

доказательство (без рассмотрения сходимости ряда)—дал Леонард Эйлер (1707—1783).

Общее доказательство, включающее случаи иррациональных и даже мнимых значений, дано было лишь в XIX столетии Абелем.

Но прежде, чем получить строгое доказательство, биномиальная теорема сыграла больше чем важную роль в истории высшей математики.

«Ньютоновское открытие теоремы о биноме (применимое также и к полиномам),— пишет К. Маркс,— революционизировало всю алгебру, ибо оно впервые сделало возможной общую теорию уравнений»... «Но теорема о биноме служила не для одного только развития общей теории уравнений, комбинаторики, тригонометрических, показательных и т. д. функций; она есть общий базис диференциального исчисления»... «За исключением круговых функций, полученных из тригонометрии, все диференциалы одночленов выводятся из одной только теоремы о биноме»*.

На этом мы должны закончить нашу справку, чтобы вернуться к первому затронутому вопросу— к положению дела в школьной практике преподавания.

Приведенные сведения представляют, примерно, тот об'ем и содержание исторического элемента, который может принести пользу при проработке бинома Ньютона — в виде вводной беседы.

Однако этими сведениями нельзя ограничить освещение вопроса. Нужно как-то дать возможность учащимся выяснить роль этой теоремы, как связующего звена элементарной и высшей математики и, может быть, даже как основы последней. И осуществить это не так трудно.

После исторического введения, доказательства, основанного на принципе полной индукции, выявления свойств коэфициентов и упражнений на бином целой положительной степени очень полезно выявить характер разложения в случае отрицательных и дробных степеней.

Давая, например, показателю п значения — 1, —, — и полагая *=з1 а а —ху учащийся получит разложение вида:

На ряде подобных примеров с объяснением преподавателя учащийся убедится, что при п целом разложение всегда имеет конечное число членов, равное п -f- 1; при п дробном или отрицательном разложение, как бы далеко его ни продолжать, не закончится, т. е. мы приходим к бесконечным рядам членов. Нужно выяснить, что теорема о биноме, хотя и принадлежит элементарной математике — математике конечных величин, но вместе с тем является основой высшей математики, как математики величин бесконечных.

Таким образом, мы привлекаем исторический материал для того, чтобы всесторонне рассмотреть данный вопрос: дать его предисторию и выяснить место и значение в последующем развитии математики. Все это делается для того, чтобы содействовать преодолению трудностей понимания современного состояния вопроса, а не для того, чтобы легким путешествием по истории обойти трудности.

Привлекая в методических или методологических целях исторические сведения, мы постоянно должны помнить, для чего это делаем. А то получается так: сперва рассказывают, как, примерно, дело было у египтян, а потом забывают об этом совершенно,— никакой увязки, никаких выводов, обобщений. При этом разрешение трудной проблемы связи преподносимого материала с научными и жизненными фактами подменяется механическим сочетанием «историзма» с настоящим традиционным формализмом. Такая точка зрения на роль исторического элемента, думается, больше чем неправильна.

Конечно, в этой статье вопрос о целях и путях внедрения исторического элемента в преподавание математики в средней школе только поставлен. Он ждет более солидного обоснования и методической разработки.

* См. статью проф. С. А. Яновской — «О математических рукописях К. Маркса», журнал «Под знаменем марксизм», № 1, 1933.

ПРИЛОЖЕНИЕ СВОЙСТВ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ К РЕШЕНИЮ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ

Проф. И. И. ЧИСТЯКОВ (Томск)

Так как комплексные числа являются наиболее широким обобщением понятия о числе, то введение их повело к глубочайшим обобщениям и выводам в области высшей алгебры, аналитической геометрии и анализа. Но с их помощью могут быть выведены многие новые теоремы и зависимости в области целых и положительных чисел: в частности—решение некоторых неопределенных уравнений. В настоящей заметке мы покажем, как с помощью теории комплексных чисел можно найти сколько угодно решений неопределенного уравнения: x2-\-y2z=z*(l) при тГ>1. С этой целью возьмем произведение двух пар сопряженных комплексных количеств:

Перемножая эти количества в том порядке, как они написаны, получим:

W=(«i*+V) (a22 + V)-

Если же умножим первый двучлен на третий, а второй на четвертый, будем иметь:

N=(a1a2 — bxb2f + (a±b2 + a^f.

Отсюда следует известное тождество:

К2 + V) (*22 + Ъ2*) = (а±а2 - ЬхЬ2у + + (flift8 + «2*i). (2)

которое показывает, что произведение двух чисел, из которых каждое есть сумма двух квадратов, само представляет сумму двух квадратов.

Так, полагая в нем а1 = 1; Ьх = 2\ я2 = 3; £о = 4, имеем:

(f + 22) (32 + 42) = (ЬЗ — 2-4)2 + (Ь4 + + 3-2)2, т. е. 5-25 = (—5)2+ 102, или 125= 102-j-52, что правильно.

Результат, выражаемый равенством (2), легко может быть обращен на какое угодно число сомножителей. Действительно, придавая ему вид

(V + V) («*Ч b?) = p- + q\

где р* и q* представляют соответственные слагаемые правой части равенства (2) и, умножая обе части на (а32 -|- £32), получим: (at2 + V) {а,- + bS) (а,* + V) = (Р~ + Я3) (а324“^з2)» и> так как в правой части имеем произведение двух чисел, из которых каждое представляет сумму двух квадратов, то заключаем, что и произведение трех и вообще скольких угодно множителей, из которых каждый есть сумма двух квадратов, само представляет сумму двух квадратов, т. е.

« + V) (я22+ Ь*)... (яп2 + Ьп2) = =P2 + Q2.

Полагая затем,что все множители в правой части равны первому из них, будем иметь:

(V + V)n = ^2+Q2.

т. е. всякая степень числа, представляющего собою сумму двух квадратов, сама может быть представлена в виде суммы двух квадратов. Отсюда и выясняется возможность решения неопределенного уравнения (1) в целых числах. Для нахождения самих решений возьмем еще произведение двух комплексных количеств:

+0^0* (3)

и заметим, что модулем г комплексного количества а-\-Ы называется абсолютная величина выражения

r = ]/a2+ b2.

Поэтому, извлекая квадратный корень из обеих частей равенства (2), т. е. получив равенство:

и сопоставляя этот результат с равенством (3), мы приходим к заключению, что модуль произведения двух комплексных количеств равен произведению их модулей. Теорема легко может быть распространена на любое количество множителей; действительно, обозначая для краткости модуль количества а-\-Ы, т. е. |/a2-f-^2 =5 [г], мы видим, что for*] = [rt] • [г2], следовательно, для произведения трех количеств

[rtrtrt[ = [(г^Уз] = [г±г2] - [г3] =[rj - [г2] • [г3]

и вообще

[Vi ...rj = [rj.[rj...[rj.

Полагая же

я^-f bxi = a2-\-b2i =... =аЛ-\--f- bni,

найдем

ri=r2-...=r„, т. e. [/•1n]=ki]n,

т. е. модуль степени комплексного количества равен той же степени его модуля.

Эта теорема, как известно, иначе доказывается в высшей алгебре, именно, с помощью тригонометрического представления комплексных количеств.

На основании последней теоремы для получения решений уравнения x2-\~y2 = zn, возведем комплексное количество (а-\-Ы) в п-ю степень, получим:

или

Обозначая для краткости (a-\-bi)n=p~\-qi и прилагая теорему о модуле степени комплексного количества, найдем:

или, освобождаясь от радикала, следовательно, для решения неопределенного уравнения (1) можно положить z=a2-{-£2, x=if и y—q, где рид имеют вышеприведенное значение.

Так, например, чтобы решить уравнение

x2+y2=z\ (4)

возьмем равенство:

(а + bif = (а3 - ЗаЬ2) + (За2Ь — б3) i;

прилагая к нему теорему о модуле степени комплексного количества, будем иметь

Отсюда для решения уравнения (4) можно положить х = а% — ЗаЬ2; y = 3a2b — b3; z — a2-\-b2, где а и b—какие угодно числа. Так, полагая а = 2, 0=1, будем иметь: лг=23 — 3-2 = 2; j, = 3.4 — 1 = 11; z==22 + 1 = 5.

И действительно : 22 + 112 = 53 ; 4 +121 = = 125.

Таким способом можно получить сколько угодно решений неопределенного уравнения (1) какой угодно степени.

МЕТОДИКА

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СХОДЯЩИХСЯ СИЛ*

Профессор Н. Н. ИОВЛЕВ (Москва)

Только в некоторых курсах механики (например в курсе проф. А. И. Некрасова) даются общие указания относительно решения задач, а в сборниках задач даются их решения, но не методика этих решений.

Настоящая статья посвящена общим методам решения задач на равновесие плоской системы сходящихся сил. Этого рода задачи решаются и в средней школе.

§ 1. Цель настоящей статьи заключается в том, чтобы, во-первых, изложить общие правила, которые надо помнить и соблюдать при решении задач механики вообще и задач на равновесие твердых тел в частности.

Во-вторых, классифицировать задачи на равновесие сходящихся сил и указать, какие классы задач могут быть решены чисто графическим методом и какие потребуют вычислений.

В-третьих, показать на примерах, как производить анализ таких задач и дать общие правила, которые надо соблюдать и которыми надо руководиться при производстве такого анализа.

В-четвертых, изложить методы решения задач на равновесие плоской системы сходящихся сил: метод графический, графо-аналитической и аналитический, или метод проекций.

§ 2. Общие методические правила для решения задач механики

Каждая задача состоит из двух частей: 1) из данных, или условия задачи, и

2) из ее искомых.

I правило

Поэтому, прежде чем решать какую-нибудь задачу, необходимо точно установить, что в этой задаче дано (условия задачи) и что в ней требуется найти (искомые).

Математические условия бывают трех родов:

1. Условия необходимые, но недостаточные. Если без «данных» задачи она не может быть решена, но в то же время этих «данных» для решения задачи недостаточно, то говорят, что условия задачи необходимы, но недостаточны.

2. Условия достаточные, но не необходимые. Когда некоторые данные задачи можно отбросить без ущерба для ее решения, то говорят, что условия задачи достаточные, но не все необходимы.

3. Условия необходимые и достаточные, если при соблюдении их искомые задачи могут быть вполне определены.

II правило

Поэтому, прежде чем приступить к решению задачи, необходимо попытаться заранее выяснить, являются ли условия задачи достаточными для ее решения и нет ли среди них противоречащих искомым задачи и друг другу; если они все необходимы*, то нет ли среди них излишних, которые можно отбросить без ущерба для решения задачи.

В дальнейшем мы уточним это правило.

Приведенные нами два правила сводятся, в сущности говоря, к анализу содержания задачи: к разложению его на составные части и предварительному установлению зависимости между данными и искомыми задачи с целью выяснения возможности ее решения.

* Решение задач по механике до сих пор остается только искусством, а не наукой. Для учащихся задачи по механике являются шарадами. В большинстве случаев преподаватель решает типичные задачи, а учащиеся решают задачи аналогичные, но как приступиться к решению задач незнакомого типа—не знают, потому что у них «таких задач не решали»

* И не противоречат друг другу и искомым задачи.

Дальнейший анализ задачи должен иметь целью выяснение таких зависимостей между данными задачи и ее искомыми, которые позволили бы получить эти искомые из данных.

С этой целью очень важно соблюдать следующее правило

III правило

Необходимо вместо каждого термина и понятия подставлять их определения и формулы, выражающие эти определения математически.

При решении задач механики это особенно важно еще и потому, что здесь одни и те же термины часто употребляются в разных значениях, а одни и те же понятия называются (у разных авторов) по-разному.

IV правило

Определение одного и того же термина часто имеет различные формы; тогда между этими формами надо выбирать ту, которая наиболее удобна.

Соблюдение этого правила очень часто весьма упрощает решение задач и доказательство теорем.

Дальнейшие усилия при анализе задачи должны быть направлены к тому, чтобы сблизить ее данные с искомыми с целью облегчить отыскание тех соотношений, которые позволили бы получить искомые из данных. Поэтому надо после того, как все вышеуказанное выполнено, попытаться применить

Y правило

Преобразование условия. Необходимо преобразовать у-.лосия задачи так, чтобы искомая связь между данными и искомыми стала очевидной.

К этой же цели ведет и следующее правило:

VI правило

Преобразование заключения. Надо преобразовать искомые задачи так, чтобы легче было выявить зависимости их от условий задачи Надо вопрос предложить так, чтобы решение его было возможно легче.

Применяя V и VI правила, необходимо особенно внимательно следить за тем, чтобы после преобразования новые условия задачи и новые искомые были вполне равносильны первоначальным.

Из сказанного очевидно, что цель преобразования условия задачи и ее искомых в том, чтобы свести ее решение к решению другой задачи, более простой или ранее уже решенной.

§ 3. Общие замечания о решении задач на равновесие твердого тела

При решении задач на равновесие твердых тел нужно иметь в виду следующее:

1. Силы, приложенные к абсолютно твердому телу, суть векторы-скользящие, поэтому такие силы обладают всеми свойствами скользящих векторов.

Отсюда вытекает следующее правило:

2. Все так называемые элементарные операции, примененные к системе сил, действующих на твердое тело, дадут новую систему сил, эквивалентную данной.

Поэтому, когда система сил, действующих на твердое тело, находится в равновесии, т. е. эквивалентна нулю, то это равновесие не нарушается, если мы применим к этой системе сил элементарные операции.

Элементарные операции

1. К каждой точке твердого тела мы можем приложить две силы, равные по величине, но направленные в прямо-противоположные стороны.

2. Точку приложения какой-нибудь силы можно перенести вдоль действия этой силы. Поэтому для абсолютно твердого тела имеет значение не точка приложения действующей на него силы, а положение и направление «линии действия» этой силы.

3. К двум точкам твердого тела, не нарушая его равновесия, мы можем приложить две силы, равные по величине, но направленные в прямо-противоположные стороны по прямой, соединяющей точки приложения этих сил.

4. Всякие две силы, приложенные к какой-нибудь точке твердого тела, можно заменить их равнодействующей по правилу параллелограма сил.

5. Обратно, всякую силу, действующую на твердое тело, можно заменить двумя силами, которые приложены в той же точке и геометрическая сумма которых равна этой силе.

В частном случае:

6. Если данные силы имеют общую линию действия и направлены в одну сторону, то равнодействующая их будет иметь ту же линию действия, то же направление, а ее аб-

солютная величина будет равна арифметической сумме абсолютных величин данных сил.

Если же линия действия у данных сил общая, но направления их различны, то равнодействующая таких сил равна их алгебраической сумме.

§ 4. Силы активные и реакции связей. Определение направления реакции

На практике твердые тела почти никогда не находятся в равновесии под действием только одних активных сил (веса, нагрузок сооружений, давления ветра или воды, давления пружины, натяжения каната и пр.). Тела почти всегда соприкасаются с другими твердыми телами, которые являются для них опорами или направляющими, связывающими движения этих тел.

Противодействия связей движению системы называются «реакциями связей».

Реакции связей сами не могут вызывать никакого движения и возникают только при действии на подчиненные этим связям тела активных сил.

Принцип замены связей их реакциями

Чтобы решить задачу на равновесие тел, подчиненных данным связям, необходимо заменить эти связи их реакциями, а самые связи мысленно убрать.

При выяснении того, как действуют реакции на тело, необходимо иметь в виду следующее.

В общем случае реакции неподвижных опор или закреплений (т. е. реакции связей) неизвестны ни по величине, ни по направлению, но в частных случаях связей, часто встречающихся на практике, направление реакций можно определить.

Во-первых, реакция абсолютно гладкой поверхности (опоры) всегда направлена по общей нормали к общей касательной плоскости этой поверхности и поверхности тела.

Пример. Если балка ab горизонтально лежит на опорах А и В на катках, то, пренебрегая трением, можно практически считать реакции Ra и Rfr перпендикулярными к (горизонтальным) поверхностям этих опор (и балки).

Во-вторых, реакция абсолютно твердой и гладкой линии нормальна к этой линии.

Пример. Если муфта M свободно скользит по гладкому стержню AB, на который она надета, то реакция ЛГщ действует по нормали к направлению перемещения муфты, т. е. к стержню (рис. 2, см. также рис. 4, реакция Ra).

В-третьих, реакция абсолютно гибкой натянутой нити (каната, троса, веревки и т. п.) всегда направлена по нити в сторону, противоположную действию натягивающей силы (см. рис. 3, реакция/?£).

В-четвертых, реакция абсолютно твердого бруска (балки и т. д.) всегда действует по направлению этого бруска, Если силы сдавливают брусок, то реакция будет направлена навстречу этому сжатию, т. е. наружу бруска (см. рис. 3, R'b).

В-пятых, реакции шарниров вообще направлены наклонно к сочленяемым ими телам, а потому направление этих реакций вообще неизвестно.

Реакция цапфы (подпятника) аналогична реакции шарнира (см. рис. 4, Rb)

В-шестых, в общем случае реакции закрепления (связей) или неподвижных опор бывают неизвестны ни по величине, ни по направлению.

§ 5. Правила сложения сходящихся сил и условия их равновесия

(Плоская система сходящихся сил)

1. Правило параллелограма. Равнодействующая двух сил, пересекающихся под некоторым углом, приложена в точке пересечения линий этих сил, а по величине и направлению равна диагонали параллелограма,

Рис. 1

Рис. 2 Рис. 3

Рис. 4

построенного на векторах, изображающих эти силы.

2. Правило многоугольника сил. Из конца вектора, изображающего первую силу Fv проводим вектор, по величине и направлению равный второй силе /у, из конца этого вектора проводим новый вектор, равный третьей силе F3 и т. д. Замыкающая сторона этого многоугольника, т. е. вектор, соединяющий начало первого из этих векторов* с концом последнего, будет равнодействующей всех данных сил.

3. Правило треугольника сил. Когда складываются таким образом две силы F% и F2, то получается «треугольник сил», представляющий из себя половину «параллелограма сил», построенного на тех же силах.

Необходимые и достаточные условия равновесия сходящихся сил

Сходящиеся силы находятся в равновесии, если выполнены следующие условия.

1. Геометрическое условие. Если замыкающая сторона многоугольника сходящихся сил имеет длину, равную нулю.

2. Векториальное условие. Если геометрическая сумма векторов, изображающих эти силы, равна нулю.

3. Аналитические условия. Если сумма проекций сходящихся сил на оси любой системы координат равна нулю, т. е., если

(I)

В частном случае плоской системы все Z{ = 0y а потому условий равновесия остается только два:

(II)

Эти условия необходимы и достаточны.

§ 6. Решение задач на равновесие сходящихся сил на плоскости

(Общие правила и замечания)

Теперь рассмотрим, как применять изложенные выше правила и теоремы к решению задач на равновесие плоской системы сходящихся сил, приложенных к абсолютно твердому телу.

1. Прежде всего необходимо точно выяснить, под действием каких сил и реакций,— данных и неизвестных,—тело находится. При этом все данные силы и реакции следует наметить на чертеже, на котором следует отметить также направления и неизвестных связей, если эти направления можно определить по условиям задачи.

2. При определении направлений известных и неизвестных реакций следует руководиться изложенными выше правилами. При этом следует помнить, что для равновесия трех сил и реакций, приложенных к твердому телу и лежащих в одной плоскости, эти три силы (и реакции) должны обязательно пересекаться в одной точке.

3. Если в задаче требуется определить неизвестные реакции, то определение этих неизвестных производится из того, что реакции опор вместе с активными силами образуют систему сил, находящуюся в равновесии, и должны удовлетворять условиям равновесия такой системы.

Например, если направления двух сил известны, то для равновесия необходимо, чтобы третья сила проходила через точку пересечения первых двух и чтобы треугольник, построенный на этих силах, был замкнутый.

4. Затем следует выяснить: разрешима ли задача методами статики. Так как число уравнений равновесия плоской системы сходящихся сил равно двум, то число неизвестных в задаче на равновесие таких сил не может быть более двух: при большем числе неизвестных задача становится «статически неопределимой», т. е. ее нельзя разрешить методом одной статики.

5. После того, как выяснены и отмечены все известные силы и направления неизвестных сил и реакций, можно приступить к построению треугольника (или многоугольника) сил и определению его неизвестных элементов или к составлению уравнений равновесия и их решению.

Прежде, чем говорить о способах решения этих задач, посмотрим, на какие классы можно разделить данного рода задачи и какими методами возможно или удобнее решать задачи того или иного класса.

§ 7. Классификация задач на равновесие плоской системы сходящихся сил и графический метод их решения

Принцип классификации. Сходящиеся силы, лежащие в одной плоскости, могут двигать точку, к которой они приложены, только в этой плоскости, причем направление движения будет зависеть от направления равнодействующей всех этих сил.

* Т. е. точку приложения всех данных сил.

Всякое условие, ограничивающее движение точки по плоскости, будет связью. Но из геометрии известно, что плоская кривая, как геометрическое место, определяется одним условием, которому должны подчиняться все точки этой кривой. Аналитически это условие выражается одним уравнением между координатами х и у точки этой кривой.

Положение точки M на заданной кривой С вполне определяется одной какой-нибудь величиной — координатой этой точки (например расстоянием точки M от начальной точки С на кривой С или углом, образуемым радиусом-вектором точки M с какой-нибудь осью и т. д.) или же двумя условиями.

Поэтому, если положение точки на плоскости подчиняется двум условиям, то точка становится неподвижной.

В самом деле, каждое условие (в координатах— каждое уравнение) определяет одну кривую линию (одно геометрическое место); точка, удовлетворяющая обоим условиям, должна находиться и на той и на другой кривой: она будет точкой их пересечения, т. е. будет неподвижна.

Отсюда следует, что каждая задача на равновесие плоской системы сходящихся сил должна принадлежать к одному из следующих двух классов.

Задачи I класса. (Одно условие.) Положение точки M на плоскости подчиняется одному условию, т. е. точка M должна находиться на некоторой заданной кривой линии С.

а) Мы знаем, что положение точки M на заданной кривой вполне определяется одной какой-нибудь величиной (координатой). Поэтому, если в задаче неизвестно положение равновесия точки M на заданной кривой*, то из двух уравнений (II) определяется не только искомое положение, но и неизвестная величина нормальной реакции N кривой С**.

Задачи этого рода мы будем называть задачами класса 1а . Графическое решение задач этого класса возможно только при исключительных положениях точки на С.

В этих задачах дается кривая С, на которой должна находится материальная точка M, и силы, действующие на эту точку.

Требуется определить на кривой С то место, где точка M должна находиться в равновесии под действием данных сил.

б) Наоборот, если положение равновесия точки M в задаче дано, то уравнения (I) дадут величину неизвестной реакции N и ту силу, которую надо присоединить к заданным, чтобы получилось равновесие. Последняя сила также может быть реакцией, если в числе данных сил есть активные силы, так как без активных сил не может быть и реакций.

Эти задачи мы назовем задачами класса I6.

Та кривая линия, на которой должна находиться точка Ai, может быть задана самыми разнообразными условиями, лишь бы, подчиняясь этим условиям, точка M могла двигаться лишь по одной линии С.

Пример 1. Груз G =1,4 кг, привязанный к концу В свободно висящей веревки AB, отведен в сторону горизонтальней силой Р=0,4 кг. Каково будет натяжение 7 веревки AB и угол а, образованный веревкой AB с вертикальным направленим AN? (рис. 5).

Анализ. Очевидно, что груз О, висящий на натянутой нити AB, может двигаться по окружности с центром в Л и радиусом, равным AB. Положение же равновесия груза на этой окружности вполне определяется углом а. Следовательно, в этой задаче дана линия (окружность), по которой должна двигаться точка В (с грузом О), и силы Р и G действующие на эту точку.

Рис. 5

А требуется определить: 1) угол а, которым определяется положение равновесия «точки» В на этой кривой под действием данных сил, и 2) реакцию связи, т. е. натяжение Т нити, удерживающей груз на этой кривой. Очевидно, это задача класса 1а .

Пример 2. Вес трамбовочного катка G = 2m, радиус его г = 30 дм. Определить горизонтальное усилие Р, необходимое для перетаскивания трамбовки через камень

* Т. е. величина или координата, определяющая это положение.

** Кривая с предполагается абсолютно гладкой, почему направление ее реакции всегда будет нормально к кривой, а неизвестна будет только величина реакции.

в h = 4 дм высотой в тот момент, когда каток только что коснулся ребра камня С (рис. 6).

Анализ. Вертикальная сила веса катка G и неизвестная горизонтальная сила тяги Р приложены в центре катка А. Легко видеть, что «связью» (опорой), направляющей движение катка, в данной задаче служит камень. Когда каток начнет перекатываться через камень, упираясь в его ребро С, то точка опоры (точка соприкосновения катка с камнем) С останется в это мгновенье неподвижной, а центр катка А начнет описывать около С дугу — окружность радиуса CA с центром в С.

Таким образом, кривая, на которой должен находиться центр катка А в момент его равновесия, и место его равновесия на этой кривой — в условиях задачи даны.

Требуется определить величину горизонтальной силы Р, необходимую для того, чтобы перетащить трамбовку через камень.

Очевидно, что это задача — класса I6 , причем можно определить не только величину силы Р, но и величину реакции опоры.

Реакция эта (§ 4,1) будет направлена по нормали CA к окружности катка, причем эта нормаль будет также нормалью и к траектории точки А. Таким образом в этой задаче на тело действуют три силы: G, Р и N, сходящиеся в точке А.

Даны: направления всех этих трех сил и величина одной из них — веса G. Поэтому графическое решение задачи сводится к построению треугольника по стороне G и двум прилегающим к ней углам (направление реакции N определяется радиусом АС).

Пример 3. На гладкую проволоку, согнутую в виде эллипса, расположенного в вертикальной плоскости, надето кольцо С и к нему подвешен груз Р. Где будет положение равновесия кольца на проволоке? (см. рис. 16, в конце).

Рис. 6

Кольцо сможет находиться в равновесии на гладкой линии эллипса из проволоки только в том случае, когда сила веса Р, действующая на С, будет нормальна к линии в точке С. В самом деле, если сила Р не будет перпендикулярна к касательной в точке С1 к эллипсу, то Р можно разложить на две составляющих: одну Nlt перпендикулярную к касательной, а другую 7\, направленную по этой касательной.

Нормальная, составляющая Ylt уничтожается реакцией проволоки, а касательная, составляющая Ти будет двигать кольцо поэллипсу вниз.

Задачи II класса. (Два условия.) Материальная точка занимает данное место на плоскости, определяемое пересечением двух данных линий

Требуется найти: реакции, возникающие под действием данных сил, приложенных к данной точке.

Конкретные случаи

Случай 1. К телу С прикреплены две нити, другие оба конца которых — А и ß, закреплены неподвижно (рис. 7).

Дана сила G, под действием которой точка С находится в равновесии, и направления нитей АС и ВС.

Требуется определить натяжения нитей Та и Tbi возникающие под действием данной силы.

Рис. 7

Графическое решение этого случая сводится к построению треугольника сил, у которого даны:

1) величина и направление одной стороны, силы G, и

2) направление двух других сторон Та и Ть.

Следовательно, сначала строим вектор, равный и параллельный силе G; затем через концы этого вектора проводим линии, параллельные нитям АС и ВС.

Направление обхода контура силового треугольника определяется направлением вектора G.

Сила G должна растягивать нити АС и ВС, а потому реакции этих нитей Та и Тъ могут быть только сжимающими, т. е. направлены внутрь нитей.

Поэтому сила G должна быть направлена в другую сторону, чем напряжения нитей Та и Ть, и не может быть направлена внутрь LACB.

Случай 2. К точке С посредством шарниров прикреплены два невесомых стержня, другие концы которых закреплены на шарнирах А и В неподвижно (рис. 8).

Дана сила О, под действием которой С находится в равновесии, и направления стержней АС и СВ.

Требуется определить реакции Та и Ть стержней АС и ВС.

Рис. 8

Решение этой задачи совершенно такое же, как и предыдущей, но сила G может не только растягивать стержни АС и ВС, но и сжимать их, т. е. может быть направлена внутрь LACB между стержнями; но тогда реакции стержней будут уже растягивающими (см. рис. 8).

Наконец, сила G может быть расположена сбоку от стержня таким образом, что один из стержней (см. рис. 9) АС будет ею сжиматься, а другой —ВС — растягиваться. Тогда реакция стержня АС будет растяжением, а реакция ВС — сжатием. В этом случае тот стержень, который растягивается, может быть заменен нитью. Задача решается в этом случае разложением силы G на две составляющих—Та и — Ть по направлениям АС и ВС. Эти составляющие будут равны реакциям Та и Ть стержней по величине и противоположны им по направлению.

Случай 3. Дано положение точки С и натяжения (или сжатия) Та и Ть нитей или стержней, прикрепленных на шарнирах к точке С и неподвижно — другими концами (рис. 8 и 9).

Требуется определить величину и направление силы, под действием которой точка С находится в равновесии.

Графическое решение задачи сводится к построению треугольника сил по двум данным сторонам Ти и Ть, величина и направление коих даны, а, следовательно, дан и угол между ними.

Замечание 1. Во всех рассмотренных нами случаях сила G уравновешивается реакциями Та и Ть и образует с ними замкнутый треугольник сил.

Замечание 2. Если мы один или оба закрепленных конца нитей перекинем через блоки и станем удерживать их силами Рх и Р2, то получим одну из задач класса I.

Пример 4. Электрическая лампа весом G = 2 кг подвешена к потолку на шнуре AB и затем оттянута к стене с помощью веревки ВС (рис. 10).

Определить натяжения: Та— шнура AB и Ть—веревки ВС, если известно, что угол а = 60°, a угол ß=135°.

Анализ. На точку В действуют три силы: вес Q, натяжение веревки Тъ и натяжение шнура Та. Положение точки В вполне определяется пересечением двух линий (нитей) AB и ВС.

Рис. 9

Рис. 10

Направления этих нитей в свою очередь определяются данными углами а и р; «сила веса» лампы — G—также дана.

Остается определить только величину реакций Та и ть.

Следовательно, это 1-й случай II класса.

Графическое решение сводится к построению силового треугольника, у которого данная сторона G = 2 кг направлена вертикально вниз, другая сторона Та образует с горизонталью данный угол a, a со стороной G угол 90° — а; наконец, третья сторона Тъ образует с вертикалью угол В. Построение очевидно (см. рис. 10).

Пример 5. С помощью магазинного крана ВАС груз G = 2 m поднимается посредством цепи, перекинутой через блок А и через блок D, которые укреплены на стене так, чтобы L CAD = 30°. Углы между стержнями и стеной кранов: ABC =60°, АСВ = = 30°. Определить усилия Q± и — Q2 в стержнях AB и АС.

Анализ. Пренебрегая радиусом блока Л, можем считать его за точку. К этой точке приложены 4 силы (рис. 11).

1. Вес груза G = 2 m, направленный вертикально вниз.

2. Равное весу груза натяжение R цепи AD (R—G), направленное по этой цепи от А к D. (Равнодействующая Q2 двух равных по величине сил R w G направлена, очевидно, но биссектрисе угла между ними, т. е. по бруску АС у так как L CAD = L С AG = 30°.)

Рис. 11

3. Равнодействующая Q2 сил R и G сжимает брусок АС и уничтожается реакцией этого бруска, которая поэтому равна по величине и противоположна по направлению силе Q2, т. е. равна—Q2 = — (R -f- G)*.

4. Так как Q2, равнодействующая сил G и R, вполне уравновешивается реакцией бруска АС, то на брусок AB не действует никакая сила, а потому и его реакция Q1 = 0.

Итак, точка (блок) А находится под действием трех сил: веса G, натяжения цепи /? = 0 и реакции стержня =—Q2.

Графическое решение задачи сводится к построению треугольника сил, у которого две стороны G и R даны по величине и направлению: сторона G = 2 m и направлена вертикально вниз; сторона R — 2 m и направлена под углом в 60° к вектору G (см. рис. 11).

Пример 6. Мачтовый кран состоит из стрелы AB, прикрепленной шарниром А к мачте, и из цепи СВ. К концу В стрелы подвешен груз Р=200 кг; LBAC=\b°> LACB=\Zb°.

Определить натяжение Т цепи СВ и напряжение Q в стреле AB (рис. 12).

Анализ. Положение точки В вполне определяется пересечением двух прямых линий: стрелы крана AB и цепи СВ. Положение этих прямых задано углами САВ = \Ъ° и АСВ =135°.

Рис. 12

На точку В действуют три силы: данная сила веса Р = 200 кг, направленная вертикально вниз, и две неизвестных реакции Тс и Q, направления коих определяются данными в задаче углами ВСА и и ВАС (линиями ВС и AB).

Очевидно, что цепь С В растягивается (она могла быть заменена и стержнем). Следовательно, это задача II класса, случай 2, и ее графическое решение приводится к построению силового треугольника, у которого сторона Р = 200 кг и направлена вертикально вниз, сторона Q образует с Р угол в 15°, сторона же Тс образует с Р угол в 135°.

Мы видим, что задача может быть решена

* Здесь в скобках знак -f- означает сложение сил R и G по правилу параллелограма.

также разложением силы Р на две составляющих по направлениям AB и ВС.

Пример 7. На веревке AB, один конец которой закреплен в точке А, привязаны в точке В груз Р и веревка BCD, перекинутая через блок С; к концу ее D привязана гиря Q = 10 кг (рис. 13).

Рис. 13

Определить натяжение Т веревки AB и величину груза Р, если в положении равновесия углы, образуемые веревками с вертикалью, равны: а = 45°, ß = 60°.

Анализ. Очевидно, что точка В может только вращаться по окружности с центром А и радиусом AB. Положение точки В на этой окружности вполне определено углами а и р, так как положение точки А дано. Чтобы получить точку В, достаточно провести через точку А прямую AB, образующую с вертикальной стеной А угол a, a около А, как центра, описать окружность радиусом AB*: точка пересечения этих линий и будет искомой точкой В.

Графическое решение задачи сводится к построению треугольника сил, у которого: неизвестная сторона Р вертикальна, сторона Q = \0 кг и образует с Р угол ß, а сторона Т образует с Р угол а, а с Q — угол 180° — (а-)- ß).

§ 8. Три основных метода решения задач на равновесие плоской системы сил

I. Графический метод Этот метод мы уже применяли. Он состоит в построении по данным задачи в произвольном масштабе треугольника (или многоугольника) сил и в непосредственном измерении искомых в задаче элементов этого треугольника.

При определении напряжений неизвестных реакций и сил необходимо помнить, что если две силы (и реакции) пересекаются, то для равновесия необходимо, чтобы и третья сила проходила через точку их пересечения.

Этот метод дает для практики вообще достаточно точные результаты, но точность эта зависит от качества чертежа, почему применение его требует тщательного выполнения чертежа.

Кроме того, как мы уже видели, этот метод вообще не применим для решения задач класса 1а, где положение равновесия не дано, а его требуется найти. Для решения задач этого рода применяются поэтому другие два метода: графо-аналитический и аналитический, или метод проекций.

II. Графо-аналитический метод

При графо-аналитическом методе решения задача предполагается решенной и искомое положение равновесия точки на кривой уже найденным.

Затем, на основании данных задачи, строится треугольник сил (или параллелограм сил), и его неизвестные элементы выражаются через известные или при помощи пропорций или при помощи тригонометрии, на основании подобия треугольника сил с каким-нибудь другим треугольником, соответственные элементы которого известны из данных задачи.

Таким образом, при графо-аналитическом методе изображение треугольника сил необходимо лишь для того, чтобы наглядно представить себе этот треугольник и из подобия его с другим треугольником определить тригонометрические функции его углов или же составить пропорцию из их сходственных сторон.

Самое же вычисление производится чисто аналитически, вследствие чего результаты, полученные этим методом, не зависят от точности чертежа, который играет здесь вспомогательную роль «наглядного пособия*.

III. Метод проекций

Метод проекций основывается на том, что материальная точка находится в равновесии, если равны нулю суммы проекций на каждую из осей координат всех сил и реакций связей, действующих на эту точку.

Если Ft(Xi% Y{) — силы, приложенные к нашей точке, а /?*(/?£х> /?.%у) — реакции связей, действующих на ту же точку, то равновесие ее определяется уравнениями:

(III)

* Или прямую СВ, образующую с горизонталью угол 90° — р (блок С принят за точку).

Замечания о практическом применении метода проекций

1. Прежде чем составлять уравнения (III), надо убедиться в том, что все силы и реакции, действующие на тело, пересекаются в одной точке.

2. Задача будет «статически определимой» только в том случае, когда число неизвестных величин в задаче равно числу уравнений (III), т. е. равно двум или меньше этого числа.

Если число неизвестных в задаче больше двух, то она не может быть решена методами статики и называется тогда «статически неопределимой».

3. Надлежащий выбор осей координат может значительно упростить решение задачи. Дело в том, что если ось перпендикулярна к какой-нибудь силе, то проекция последней на эту ось будет равна нулю.

Поэтому оси проекций всегда следует направлять так, чтобы каждая из них была перпендикулярна к одной из неизвестных сил или реакций. Оси проекций могут быть и не перпендикулярны друг к другу.

При таком выборе осей проекций этой неизвестной силы или реакций, как нуль, исключаются из соответственных уравнений равновесия, и решение этих уравнений упрощается.

4. При определении реакций необходимо твердо помнить и соблюдать правила для определения их направления, и особенно то, что реакции подпятников, шарниров и т. д. неизвестны ни по величине, ни по направлению, а потому для определения таких реакций надо брать на плоскости их проекции реакций на обе оси координат (а в пространстве — на три).

5. Направлением силы определяются и знаки проекций этой силы на оси координат.

Для определения этих знаков достаточно знать один из углов, образуемых силой F с осями координат, например с осью абсцисс (а), и тогда:

(IV)

6. Поэтому, если величина силы неизвестна, но дано ее направление, то это вводит одно неизвестное в уравнениях равновесия, именно — величину силы (или реакции).

Если неизвестно направление силы, но дана ее величина, то это также приводит к одному неизвестному в уравнениях (IV). именно: к одному из углов, образуемых силой с осями координат.

Наконец, если неизвестны ни величина силы, или реакции, ни ее направление, то это приводит (для плоской системы) к двум неизвестным—двум ее проекциям, или величине силы и одному из ее углов с осями координат.

7. Проекции силы на оси координат определяют только ее величину и направление, но не положение на плоскости (или в пространстве).

Поэтому для полного определения силы в пространстве в координатах, кроме ее проекций, необходимо знать и линию действия этой силы.

8. Каждую составляющую силы по оси координат, как вектор, можно рассматривать, как самостоятельную силу. Поэтому, введя проекции какой-нибудь силы на оси координат, далее обращаются с ними, как с величинами самостоятельных сил, направленных по этим осям.

9. Чтобы не разбираться заранее, какие неизвестные усилия являются в задаче сжатиями и какие — растяжениями,— предполагают вначале, что все усилия суть растяжения. Если далее, в результате вычислений, получается усилие со знаком минус, то это указывает, что означенное усилие есть сжатие.

10. Если все силы и реакции связей, действующих на тело, направлены по одной прямой, то эту прямую выгодно принять за ось проекций Ох, потому что тогда в уравнениях (III)

*i = Fi. Я»=Я.. Y = °> Я*, = 0'

так что они обращаются в такие:

и первое из них будет единственным условием равновесия тела.

9. Резюме. Схема решения задач

При решении задач на равновесие плоской системы сходящихся сил удобно придерживаться следующего порядка.

1. Прежде всего необходимо выяснить, под действием каких данных сил и реакций находится тело, и нанести все их на чертеж, отмечая их направление стрелками и отмечая буквами.

2. Затем определить направление неизвестных реакций по вышеизложенным правилам и выяснить, сходятся ли все силы и реакции, действующие на тело, в одной точке.

3. Выяснить, разрешима ли задача методом статики, т. е. выяснить число неизвест-

ных: если оно больше двух, то задача статически неопределенна.

4. Определить, к какому классу принадлежит данная задача.

5. Построить треугольник (или многоугольник) сил, если задача решается графическим методом, и измерить затем искомые элементы этого треугольника.

6. Если задача решается графоаналитическим методом, то после построения треугольника сил необходимо выяснить подобие его с другим треугольником, данным по условиям задачи, и составить пропорции для определения неизвестных элементов треугольника сил, или воспользоваться для этого тригонометрическими функциями углов, определяемых из подобного треугольника.

7. Если задача решается по методу проекций, то по надлежащем выборе осей координат (проекций) составляем уравнения равновесия (III), решаем их и определяем величину и направление сил и реакций. За начало координат лучше всего брать точку, в которой силы сходятся*.

8. Самое решение задачи по методу проекций удобно располагать в такую таблицу:

Силы и реакции

Проекции на ось X

Проекции на ось Y

Fi

X,

Yx

F2

х2

Rx

Ri*

Rip

Пример 8. Гладкое кольцо А может скользить без трения по проволоке, согнутой по окружности, заключающейся в вертикальной плоскости (рис. 14).

К кольцу подвешена гиря Р и привязана веревка ABC, которая перекинута через неподвижный блок В, находящийся в высшей точке окружности; в точке С подвешена гиря Q.

Определить центральный угол <р дуги ab в положении равновесия, пренеберегая весом кольца.

Анализ 1°. Под действием каких сил и реакций находится точка А (кольцо)? На кольцо А действуют три силы: 1) вес гири Р, 2) напряжение нити АВ, равное весу гири Q, и 3) реакция кольца.

2°. Сходятся ли данные силы в одной точке?

Все эти три силы сходятся в одной точке— точке их приложения А.

3°. Каковы направления реакций?

Здесь реакция N неизвестна по величине, но направление этой реакции легко определить по правилу 2 § 4, если проволочный круг рассматривать, как абсолютно твердую и гладкую линию, реакция каковой (по этому правилу) будет направлена по нормали к окружности в точке А, т. е. по радиусу OA.

4°. Теперь надо выяснить, к какому классу принадлежит наша задача и разрешима ли она при помощи статики?

Положение точки А вполне определяется центральным углом ф (дуги AB), который требуется определить.

Следовательно, здесь точка А может двигаться по кольцу, т. е. по кривой, но неизвестно положение на ней этой точки. Таким образом, это — задача класса 1а.

Другой неизвестной является здесь величина реакции N. Следовательно, задача статически определима.

5°. Какими методами лучше решать задачу?

Но мы знаем также, что задачи класса Iа, в которых неизвестно положение точки на кривой, чисто графические методом вообще разрешены быть не могут.

Следовательно, для решения этой задачи нужно применить или метод графо-аналитический или метод проекций.

Рис. 14

* Угол между осями проекций может быть и непрямой, но проекции сил на эти оси должны быть прямоугольные.

6°. Графо-аналитический метод.

Построим треугольник сил abc, где сторона ab равна силе Р, Ьс~ натяжению Q а са = реакции круга N. Этот треугольник подобен треугольнику ОАВ.

В самом деле, сила Р \\ OB (обе вертикальные), натяжение Q нити AB направлено по этой нити, а N—по радиусу OA.

Но раз треугольники подобны, то соответственные углы у них равны, почему £ с=ч = £bac = £ÄOB.

д ОАВ — равнобедренный; следовательно, и у дак угол abc = acb, а стороны ab = Р = ас = N.

По теореме синусов имеем:

откуда

(а)

или

(b)

откуда

Но уравнения (а) и (Ь) удовлетворяются также при 0 = тс, ибо тогда

Следовательно, задача имеет два решения:

7°. Метод проекций. Согласно общему правилу (§ 8, метод проекций 2°), за оси координат надо выбирать прямые, перпендикулярные к неизвестным силам. Здесь неизвестная реакция N направлена по радиусу OA. Следовательно, за ось ординат выгодно взять касательную Ау (перпендикулярную к OA), а за ось абсцисс — радиус OA ; тогда, проектируя силы силы Р, Q и Nus. ось Oy, получим равенство:

Пример 9. Блок С с грузом Р=;18 кг может скользить вдоль гибкого троса АСВ, концы которого А и В прикреплены к стенам. Расстояние между стенами AF — DB = = 4 м9 длина троса 5 м. Определить натяжение троса, пренебрегая его весом (рис. 15).

Анализ. 1. Блок С находится в равновесии под действием трех сил: а) силы веса Р, б) натяжения части троса СВ и в) натяжения Ra части троса CA.

2. Все три силы пересекаются в точке их приложения С.

3. Вертикальная сила веса направлена вниз, а натяжения Ra и Rfr направлены от точки С к А и В по линиям троса.

Рис. 15

4. К какому классу относится наша задача, явствует из того, что концы троса А и В закреплены неподвижно, а сумма расстояний блока (точки С) от точек А и В есть величина постоянная.

Таким образом блок Сдвигается по эллипсу с фокусами в точках А и В, и требуется определить положение равновесия блока и реакции троса.

Очевидно, что задача эта принадлежит к классу 1а .

5. Задачи класса 1а вообще графически решать нельзя, поэтому применим другие методы.

6. Метод графо-аналитический. Строим треугольник сил abc, в котором

ab=>P, bc = Rb, ca=;Ra.

Так как стороны треугольников acb и АСЕ параллельны, то очевидно, что они подобны, а стороны их пропорциональны, т. е.

Но легко видеть, что А АЕС — равнобедренный. В самом деле /_КАС — /_AKC=^_BKF*, причем /_BKF дополняет ^KBF до 90°, а ^ К АС дополняет до 90° £ CAE.

Следовательно:

т. е. д CAE равнобедренный, а потому CA = С£, откуда и из (а) заключаем, что

Но половина равнобедренного треугольника сил, прямоугольный треугольник ade подобен д DBE, у которого катет Dß = 4^f, а гипотенуза ВЕ = ВС+ СЕ = ВС-^ CA = = 5 м9 другой же катет DE =; 3 м.

Из подобия этих треугольников следует,

откуда Rb = 15 кг = Яа.

Тригонометрическое решение дает:

7. Метод проекций. Если за оси проекций примем горизонталь Сх и вертикаль (вверх) Су, то получим:

Из первого равенства находим: /?ь = /?о, а, подставляя во второе и замечая, что

получим:

откуда

Можно также взять за оси проекций прямые Сх'±_СА и Су'±СВ (Сх' не ±_Су'). Тогда получим:

откуда

* Блок С может двигаться только по эллипсу с фокусами в А и В.

(В самом деле, мы можем заменить нить АСВ абсолютно гладким эллипсом (рис. 16) с фокусами в А и В и большой осью, равной АСВ = = 5 м, тогда блок наш покатится по этому эллипсу до положения равновесия С (см. пример 3), при котором реакция эллипса будет направлена по нормали к эллипсу в точке С, т. е. по биссектрисе £ АСВ между фокальными радиусами-векторами АС и ВС точки С. Итак, / ACL = LCti = 9, а так как (рис. 15) 4К_1_СХ II Л£ И BF, го и £КАС=£АКС, что требовалось доказать.)

** Внутренние накрестлежащие углы СЕА, KBF и LCK равны.

ВОПРОСЫ СТАТИКИ В КУРСЕ ФИЗИКИ

Доц. М. М. ГИНЗБУРГ (Москва)

Элементы статики, входящие в школьный курс физики, занимают в нем исключительно важное по своему значению место. Во-первых, вопросы сложения и разложения сил, важные сами по себе, служат в качестве необходимого вспомогательного материала для оперирования во всех остальных отделах физики; во-вторых, весь отдел статики, с учением о центре тяжести и о так называемых «простых машинах», является краеугольным камнем применений физики, особенно начального курса.

Но, несмотря на такое значение этого отдела, его основы не всегда получают достаточно ясное и более или менее полное теоретическое и методическое освещение в элементарном курсе. Это приводит к тому, что вопросы статики остаются неясными не только для учащихся, но и весьма часто для самих преподавателей. Мне иногда приходилось слышать от некоторых преподавателей недоуменные вопросы вроде следующих: «Почему, в случае необходимости повернуть стол и поставить его в некоторое положение под углом к первоначальному, мы это легко можем сделать обеими руками, а одною — не в состоянии. Почему бы в этом случае одна рука не могла выполнить функции равнодействующей?»

Такие и подобные вопросы явно обнаруживают недостаточное понимание основ статики,— в частности, вопросов пары сил и моментов. По нашему мнению, это происходит, главным образом, потому, что уже в самом начале прохождения статики, наряду с основными аксиомами статики, относящимися к силам, не рассматриваются аксиомы, касающиеся моментов. Говоря теоретически, это значит, что почему-то в элементарном курсе считают нужным из основных двух условий равновесия системы:

1>Р = 0 и ZM = 0,

ставить акцент только на первом (обращается внимание только на главный вектор и вовсе игнорируется главный момент).

Такое положение приводит, в дальнейшем, и к разнобою в методическом отношении при трактовке действия простых машин.

Настоящая статья имеет целью дать согласное с положениями теоретической механики, но вместе с тем и элементарное освещение этих вопросов, которое должно привести к уточнению изложения и некоторому изменению его порядка в нашей школе.

1. Роль вращающего момента в вопросе сложения сил

Начиная с аксиом статики относительно двух равных и прямо-противоположных сил, приложенных к одной или двум точкам и действующих, как приложенные векторы, по одной оси действия (в частости силы, действующей на неподвижную точку), мы устанавливаем понятие об уравновешивающихся силах. Делаем из этого вывод о переносе точки приложения по оси действия. Эти положения мы рассматриваем в VI классе— опытным путем, в VIII классе—теоретически.

Далее, тут же вводим понятие вращающего момента, с помощью следующей аксиомы.

Вращение абсолютно-твердого тела около оси достигается приложением силы перпендикулярно к плечу, причем угловое ускорение пропорционально моменту (I).

Это положение иллюстрируется опытом, например на приборе Обербека (крестообразный маятник) или ему подобном.

Второй аксиомой, касающейся моментов, будет:

Если к телу приложены два момента, равные и прямо-противоположные, то тело вращательного движения не имеет — уравновешивающиеся моменты (II). Далее:

Тело находится в покое, когда на него действуют уравновешивающиеся силы и уравновешивающиеся моменты (III). Наконец:

Приложение уравновешивающихся сил и уравновешивающихся моментов не изменяет характера движения тела (IV).

Пользуясь указанными положениями, мы можем значительно углубленнее, и вместе с тем все же элементарно (достигая при этом, как увидим, даже некоторой экономии),— рассматривать основные вопросы статики — сложения и разложения сил, приложенных к твердому телу.

Разыскивая равнодействующую двух сил, действующих на твердое тело под углом, мы можем и должны (в VIII классе) обнаружить существенное отличие данной задачи сложения двух приложенных векторов от задачи сложения свободных векторов. Необходимо выяснить, что при сложении прилв-

женных векторов мало знать величину и направление результирующего вектора, но требуется также определить положение оси действия, что связано именно с вопросами вращающих моментов. Тогда-то, между прочим, и выяснится, почему, например, прикладывая тянущую силу к краю стола, мы получаем разный эффект, в зависимости от того, как приложена сила — в угловой или в средней точке.

Ведь, уже при вопросе о перенесении точки приложения силы обращается внимание на ось действия. Почему? А потому, что только при перенесении силы вдоль оси действия мы гарантированы, что этим не вносятся никакие вращающие моменты, если таковых в данной системе нет, или новые вращающие моменты, если они в ней существуют. Это обстоятельство необходимо оттенить, между тем как при обходе вопроса о моментах значение оси действия силы не получает всей надлежащей полноты освещения.

Предположим теперь, что на тело действуют две силы Ft и F2 r точках А и В (черт. 1).

Черт. 1

Равнодействующей должна быть такая сила, которая вызывает такое же поступательное движение и такое же вращательное движение, что и данные две силы, действующие одновременно.

Что касается сохранения неизмененным поступательного движения, то результирующую силу соответствующей величины и направления легко можно найти обычным путем геометрического сложения данных двух сил, как свободных векторов.

Иначе обстоит дело в отношении обеспечения сохранения неизменности вращательного движения (если таковое есть) или его избежания (если вращения нет).

Для этого найдем тот полюс, по отношению к которому моменты сил Ft и F2 уравновешиваются. Он может быть найден в точке пересечения С — осей действия обеих сил: поскольку моменты этих сил по отношению к полюсу С равны нулю (ибо соответствующие плечи равны нулю)*, то и результирующий момент равен нулю. Но легко видеть, что если мы перенесем обе силы в ту же точку С и построим результирующий вектор R при ней по правилу параллелограма, то и момент результирующего вектора вокруг полюса С будет равен нулю.

Это положение можно обобщить, распространив его не только на полюс С, но и на полюс D и вообще на любой полюс D1, лежащий на оси действия результирующего вектора /?, т. е. легко показать, что моменты составляю них сил вокруг любого из указанных полюсов уравновешиваются (а что момент результирующего вектора R равен нулю — очевидно).

Действительно, в отношении полюса D это вытекает из равенства площадей треугольников KCD и ICD, где CK = Ft и CL = F2, а плечи h± и h2 являются соответствующими высотами этих треугольников. Отсюда,— моменты Ft ht и F2 h2 равны (и вращают в противоположные стороны), а потому они и уравновешиваются.

То же можно обнаружить и в отношении любого полюса D1: из подобия двух пар треугольников—mCD и mlCDx, nCD и nïCD1 получается —±-=-y, откуда, принимая во внимание равенство Ftht =5 F2h2, получаем также: Fxh\ = F2h\.

Но если так, то вектор R является механически эквивалентным составляющим двум векторам не только в отношении полюсов, лежащих на его оси действия, но и полюсов любого расположения (на основании аксиомы IV), а, следовательно, он может дать и то же вращательное движение, что и составляющие силы (вокруг некоторого полюса), и то же поступательное движение (по правилу параллелограма для свободных векторов).

Таким образом, окончательно приходим к выводу, что равнодействующей (результиру-

* Только с развиваемой нами точки зрения становится понятным, для чего переносят обе силы именно в точку С и вообще зачем создавать специальное правило параллелограма сил, когда такое правило для сложения векторов (свободных), казалось бы, уже было дано в курсе раньше: почему бы не перенести данные две силы в произвольную точку и их сложить, как свободные векторы.

ющей) двух сил, приложенных под углом к двум точкам абсолютно твердого тела, является диагональ параллелограма, построенного на данных силах, как на свободных векторах, а ось действия результирующей занимает такое положение, при котором моменты составляющих сил относительно любой точки результирующей равны между собою и вращают в противоположные стороны.

Такое изложение вопроса не только выясняет суть приложенных векторов, но и может дать некоторую экономию при изложении дальнейших вопросов статики — сложения и разложения параллельных и антипараллельных сил. Эти последние вопросы теперь уже не нуждаются в специальных выводах, а становятся частными случаями сложения и разложения сил под углом:

1) параллельные силы — случай угла в 0°,

2) антипараллельные силы — угла в 180° (в последнем случае для получения моментов, вращающих в противоположные стороны, ось действия результирующей должна, очевидно, проходить не между точками приложения составляющях сил, а за большею силою).

В частности, случай пары сил должен быть при этом рассмотрен, как случай пары моментов.

2. Условия моментов у «простых машин»

Переходя к методике изложения вопросов «простых машин», притом именно с точки зрения закона моментов, следует сказать, что принятая нами раньше трактовка облегчает изучение применения законов статики в технике и, в частности, вносит в отдел так называемых простых механизмов большее методическое единство.

Начиная изучение последнего отдела с рычага, мы даем такое определение рычагу и рекомендуем такое изложение, которые вполне совпадают с изложением данных вопросов в стабильном учебнике физики. Но зато в вопросе о наклонной плоскости, при правильном усвоении идеи моментов, следовало бы, в отличие от стабильного учебника, держаться одной и той же методики и рассматривать оба случая наклонной плоскости (после изучения рычагов) с той же точки зрения учения о моментах, что и при изложении вопроса о рычагах.

Это делается, примерно, так.

Допустим, что валик О, на который действует сила тяжести Р (черт. 2), находится на наклонной плоскости ВС и уравновешивается силой /?, параллельной длине наклонной плоскости. Рассматриваем вращающие моменты вокруг точки К— R • OK и Р • KD; устанавливаем, из их равенства, что: — =-, или, на основании подобия треугольников ABC и OKD (или из тригонометрических соображений), приходим к закону наклонной плоскости для данного случая:

Черт. 2

Черт. 3

В случае, когда сила R направлена параллельно основанию наклонной плоскости (черт. 3), условие моментов вокруг точки К дает: R-KE = P-KD, что приводит к соотношению:

или:

Указывая, наконец, на то, что в основу более сложных механизмов можно считать положенными разные комбинации рычагов и наклонных плоскостей, и обращая внимание

учащихся на проявление в рычагах и наклонной плоскости закона сохранения работы, мы можем в заключение, уже с достаточным методическим основанием, сформулировать наиболее общее «золотое» правило механики, к которому рекомендуется прибегать в тех случаях, когда пользование методикой моментов почему-либо затруднено.

ОБ УРАВНЕНИЯХ И ИХ МЕТОДИКЕ*

Проф. Н. А. ИЗВОЛЬСКИЙ (Москва — Ярославль)

В настоящей статье не имеется в виду дать полную методическую обработку статей об уравнениях, — я лишь хочу здесь обратить внимание на отдельные моменты этой части курса алгебры, требующие, с моей точки зрения, или отказа от обычного шаблона или введения упражнений, какие обычно не имеют здесь места, а, между тем, являются очень существенными для математического развития учеников.

Прежде всего остановлюсь на начальном моменте этой части курса. Обычно (таков шаблон) требуют дать определение терминам «уравнение» и «тождество», и эти определения даются в такой форме:

Тождеством называется равенство, которое справедливо при всяких значениях входящих в него букв.

Уравнением называется равенство, которое справедливо лишь для некоторых значений входящих в него буквенных количеств.

Приблизительно такие определения даны, например, в книге «Методика алгебры» проф. И. И. Чистякова.

С такими формальными определениями нельзя согласиться хотя бы даже потому, что впоследствии в статье об исследовании уравнений приходиться вводить понятие о неопределенных решениях уравнений, а в дальнейшем (например в курсе аналитической геометрии) эти неопределенные решения (так же, как и бесконечные) имеют существенное значение.

Дело здесь, как мне представляется, сводится к вопросу о происхождении равенства: если я пишу равенство, как результат преобразования (конечно, на основе законов оперирования над числами) какого-либо выражения из одной его формы в другую, то получаемое равенство является тождеством, а если я равенством хочу выразить желание (или требование), чтобы какое-либо выражение, содержащее буквенные количества, равнялось определенному числу или другому выражению, то это равенство является уравнением. Может, конечно, случиться, что это желание оправдывается при всяких значениях входящих в него букв, — тогда мы будем иметь случай неопределенных решений или, если угодно, тождества.

С точки зрения методики, надо вообще очень осторожно относиться к определениям, а в данном случае следует попросту отказаться от задавания ученикам вопросов: что называется уравнением? что называется тождеством? Взамен того надо приучать их постепенно к употреблению этих терминов. При упражнениях на действия с многочленами, с алгебраическими дробями и т. д. всегда имеется возможность ввести термин «тождество» : например после выполнения умножения а-\-Ь на а — b получим тождество

(а+£)(а — Ь) = а2 — б2,

или при выполнении действий

получим тождество

В известные моменты курса возникают известные желания (требования), и запись их ведет к введению термина «уравнение». Например: желательно подыскать такие значения для а и Ь, чтобы (а + Ь) (а — Ь) равнялось числу 100 и т. п. Во всяком случае необходимо, чтобы ученики видели в каждом уравнении математическую запись известного желания числового характера. Так, уравнение

* В порядке обсуждения.

выражает желание подыскать для х такое значение, чтобы число, выражаемое формулою З*2 — равнялось числу, выражаемому формулою

Нельзя также согласиться с тем отношением к бесконечным решениям, какое имеет место в учебниках алгебры и, в частности, в выше упоминаемом руководстве «Методика алгебры»: почему-то говорят, что уравнения, приводящие к бесконечным решениям, вовсе не имеют решения, а впоследствии при исследовании уравнений их поневоле приходится вводить.

Я полагаю, что нужно иное отношение к таким уравнениям: надо и в начале курса алгебры не отмежевываться от них, а, наоборот, помогать ученикам выпутываться из тех затруднений, какие здесь могут иметь место. Рассмотрю случай двух уравнений первой степени с двумя неизвестными, например:

Пусть мы желаем определить х и исключить у; запомним это: у должен исчезнуть, а X — непременно остаться. После уравнения коэфициентов и после исключения у (помним: X должен остаться) получаем

откуда

Так же определяем и у; аналогично поступаем и в случае неопределенных решений. Конечно, замечу, что по моему опыту и на этой стадии обучения символ — должен выражать бесконечно большое число. Рассмотрим еще уравнение

Если перенести все члены в левую часть и привести все дроби к общему знаменателю, то получим

Если считать, что хф2у то можно эту дробь сократить, и тогда получим

откуда следует, что х = <хэ .

Возможно ли счесть, что х = — 2? Тогда дробь --—- нельзя сокращать, а подстановка вместо чисел — 2 дает неопределенность —. Имеем ли мы право считать, что наше уравнение удовлетворяется при х- — 2? Да, имеем, потому что: 1) неопределенность может равняться любому числу, в том числе и нулю, и 2) подстановка в данное уравнение приводит к

т. е. бесконечность равна бесконечности*.

Перехожу теперь к другому вопросу, к работе над уравнениями. Здесь опять имеет обычно место вредный шаблон: обычно учат только решать уравнения. Очень часто приходилось убеждаться даже в том, что из состава студентов 1-го курса математического отделения пединститута никто не знал, что одно уравнение с 2 неизвестными имеет бесконечно много решений. Обычный ответ в прежние годы на вопрос «Найдите решение уравнения 2х -\-Зу = 7ъ сводился к фразе: «Это уравнение нельзя решать». Следует заметить, что в прошлом учебном году (1934/35) был получен от аудитории правильный ответ на этот вопрос.

Однако этот вопрос о числе решений и о способе их нахождения для неопределенных систем линейных уравнений, вероятно, все же недостаточно разрабатывается. Это можно думать и по опыту и. по тому материалу, который дан в «Методике алгебры». Здесь автор лишь кратко указывает, что уравнение ;c-f-y=100 имеет бесконечно много решений, и уравнение х ~\-у -f- z= 100 имеет и

* Все то, что в этой статье связано с бесконечностью, должно вводиться в курс с большой осторожностью, и в начале знакомства с уравнениями нельзя давать примеры, приводящие к бесконечным решениям. Такие примеры с осторожностью можно ввести: 1) в конце работы над уравнениями первой степени (со многими неизвестными), 2) по мере надобности постепенно в следующих классах.

подавно бесконечно много решений. Этого мало; надо детально выяснить, как их получать. Например, пусть имеем уравнение Зх — 5у + 11 = 0.

Тогда: 1) можно одному неизвестному давать произвольные значения и всякий раз получать соответствующие значения для другого неизвестного, 2) можно для большего удобства определить одно неизвестное через другое, например:

после чего быстрее можно для взятого произвольно значения х получать соответствующие значения для у. Здесь очень удобный момент для введения понятия о функции, причем удобно даже ввести понятия о неявной и явной функциях.

Замечу еще, что надо добиваться, чтобы ученики мысленно проделывали те операции, какие нужны для определения одного неизвестного через другое. Так, если имеем уравнение

3* —5>+11=0,

то надо, чтобы сразу из него получали:

Переходя к уравнениям с 3 неизвестными, надо: 1) укрепить в сознании учащихся, что здесь, если имеем лишь одно уравнение с 3 неизвестными, можно двум неизвестным давать произвольные значения, 2) также добиться быстрого выполнения задачи: определить одно неизвестное через два других.

Пусть теперь имеется два уравнения первой степени с 3 неизвестными. Тогда здесь надо добиваться: 1) сознания того, что эти уравнения имеют бесконечно много решений, причем для получения их надо одному лишь неизвестному давать произвольные значения, 2) умения из этих уравнений выражать 2 неизвестных через третье.

Последнее может быть использовано в дальнейшем при решении системы трех уравнений с 3 неизвестными. Так, уравнения

удобно решать в таком порядке: из первых двух уравнений определим х и z через у\ получим:

и подставим эти выражения в третье уравнение.

Наконец, заметим, что полезны упражнения вроде: из уравнений

определить a, b и с через х, у, z, m, я, p.

Перехожу теперь к самому главному вопросу. Надо не только учить решать уравнения, но надо вырабатывать умение извлекать из уравнений какие-либо особенности неизвестных, полезные для решения того или другого вопроса.

Примеры:

1. Имеем уравнения

7х-\~4у — z=U; 3* + 6y+llz= 19.

Эти два уравнения с 3 неизвестными имеют бесконечно много решений, но у них есть особенность, а именно: сложив по частям эти уравнения, мы получим 10*+10j/ + + 10z = 30, или Ar+_y + z = 3, т. е. сумма трех неизвестных при всех решениях неизменна. Здесь классная работа может быть двоякая: 1) если состав класса не силен, можно сразу поставить вопрос в форме: не сумеет ли кто-либо из состава класса выяснить, чему равна сумма всех трех неизвестных; 2) если класс более надежен, то можно поставить вопрос: не подметит ли кто-либо, какою особенностью обладают здесь неизвестные? (М)жно, конечно, сначала взять более простой пример, например: 2х—у-\-+ 2z = 3 и 2у — X — z= 1 и т. п.)

Аналогичные упражнения возможны, конечно, и при работе над уравнениями с 2 неизвестными, например: из уравнения Зл: — — 10=14 — Зу легко определяется сумма неизвестных; из уравнения Зл: +10 = 16 + + Зу легко определяется разность неизвестных.

Можно иллюстрировать целесообразность подобной работы жизненным примером: ученики трех старших классов школы (назовем эти классы I, II и III) устраивали 2 раза сбор денег: в первый раз каждый ученик I класса дал по 3 коп., II класса — по 6 коп. и III — по 5 коп., а всего собрали 3 р. 89 к.; во второй раз каждый ученик I класса дал по 7 коп., II — по 4 коп., а III опять по 5 коп., и было собрано 4 р. 61 к. Исходя из этого, можно узнать, сколько было учеников во всех трех классах вместе, но нельзя узнать число учеников каждого класса в отдельности.

2. Из уравнения 17л: — 25=19_у — 25 можно определить отношение неизвестных, и оно постоянно для всех решений этого уравнения. Также из уравнений 2х-\-Зу— Az = = 0 и 3*— 2y-j~z = 0 можно выяснить, что: 1) эти уравнения имеют очевидное (нулевое) решение и 2) все ненулевые решения обладают особенностью, а именно: неизвестные пропорциональны определенным числом.

3. Определить двузначное число так, чтобы разность между ним и числом, написанным теми же цифрами, но в обратном порядке, равнялась 36. Задача сводится к уравнению

10*4-3/— 10у — л; = 36,

откуда определяется разность цифр искомого числа: х — у = 4, что дает возможность дать определенный ответ на задачу: искомые числа суть 40, 51, 62, 73, 84 и 95.

4. Каковы те трехзначные числа, для которых разность между таким числом и числом, написанным теми же цифрами, но в обратном порядке, равнялась бы 198?

Получаем уравнение 100*\0y-\-z — — lOOz— lOy — х= 198, откуда* — у =.2, что дает возможность установить особенность таких чисел:

Число сотен на 2 единицы более числа единиц, а число десятков — какое угодно.

5. Более сложная задача: каковы те числа, сумма которых равна их произведению?

Получаем уравнение х-\-у — ху; разделив обе части его на ху, получим:

т. е. сумма чисел, обратных искомым, равна единице.

Я считаю, что такие упражнения до чрезвычайности необходимы: 1) они расширяют взгляд учеников на уравнения и 2) следует помнить, что в высшей математике именно чаще приходится не решать уравнения, а извлекать из них какие-либо особенности входящих в них неизвестных.

К МЕТОДИКЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ

Проф. М. П. ЧЕРНЯЕВ (Ростов-на-Дону)

В алгебре центральным вопросом является вопрос об уравнениях. Наибольшие затруднение при изучении уравнений вызывает составление уравнений из условий задачи. Причину этого надо искать не в трудности самого вопроса, а в формализме и абстрактности алгебры. При обучении алгебре никогда не следует ставить преград образному воображению учащихся. Наоборот, эту деятельность следует использовать в качестве средства для развития логического мышления. Еще при решении арифметических задач необходимо вести работу так, чтобы каждая отдельная операция была связана с определенным конкретным представлением. Тем более необходимо это требование при изучении алгебры с ее буквенной символикой. Каждый, изучающий алгебру, прежде всего должен научиться переводить как с обыкновенного родного языка на язык алгебры, так и обратно. В истории развития алгебры можно наметить три этапа. Первый этап, когда имела место так называемая реторическая алгебра, в которой нет никаких символов, и все предложения пишутся полностью словами. К этой категории должны быть отнесены арабские сочинения, и, кроме сочинений западных арабов позднейшего времени, греческие сочинения Ямвлиха и Фиморида, труды ранних итальянских математиков и сочинение Региомонтана.

Второй период — период синкопированных алгебр, в которых, как и в первую эпоху, все написано словами, но для часто встречающихся действий и понятий употребляются сокращенные обозначения или символы. К этой группе работ должны быть отнесены труды Диофанта, сочинения позднейших арабских математиков и всех европейских почти до середины XVII в. Наконец, третий период —период символической алгебры, в которой все формулы и действия представляются с помощью вполне развитой символики. Таковы индусские сочинения и все работы европейских алгебраистов, начиная с середины XVII в.

Эти исторические сведения должны дать преподающему алгебру в настоящее время указания о необходимости постепенного введения буквенной символики и сравнительно большой период обучения началам алгебры сопровождать формальные преобразования

конкретным истолкованием. Предметом настоящей небольшой статьи является попытка показать, как этого можно достигнуть. Рассмотрим следующую задачу: «Рабочий накопил за шестидневку 10руб., расходуя на себя в день по 5 руб., а в конце шестидневки послав отцу-колхознику 10 руб. Сколько он зарабатывал в день, не работая в выходной день?»

Алгебраическое решение:

5 (х—5)- 5—10=10; 5*—25—5—10= 10; 5л:—30—10=10; Ъх—40=10; 5х = 50; л; =10 (руб.).

Конкретное истолкование алгебраического решения:

У рабочего останется та же сумма, будет ли он ежедневно тратить на себя по 5 руб. или же в конце шестидневки сразу заплатит 5 руб.-6 = = 30 руб. за свое содержание: 5х—25— —5 = 5л:—30; вместе с этими деньгами он может истратить 10 руб. на посылку отцу:

5лг—30— Ю = 5х—40;

накопление к концу шестидневки составит 5л:—40=10; следовательно, за шестидневку он заработал: 5л: = 50, а в один день:

№—=10 (руб.). 5

При решении этого уравнения мы имеем:

1) перенесение одною члена из одной части уравнения в другую с измененным знаком и соединение подобных членов;

2) применение дистрибутивного закона (a-\-b)-c = ac-\- be.

Наибольшее затруднение представляет наглядное истолкование дистрибутивного закона.

Следует указать, что при решении линейного уравнения Диофант не переносит членов, а эти преобразования производит посредством сложения и вычитания, давая следующие указания:

«Если теперь в какой-нибудь задаче те же степени неизвестного встречаются в обеих частях уравнения, но с разными коэфициентами, то мы должны вычитать равные из равных, пока не получим одного члена, равного одному члену. Если в одной части или в обеих частях есть члены с отрицательными коэфициентами, то эти члены должны быть прибавлены к обеим частям так, чтобы в обеих частях были только положительные члены. Затем снова нужно отнимать равные от равных, пока не останется по одному члену в каждой части».

Формальная операция перенесения членов из одной части уравнения в другую впервые встречается в арабском сочинении Мухаммеда Ибн Муси Альхаризми — «Альджебер уальмукабала» («Восстановление и противоположение»): восстановление <— перенесение отрицательных членов в другую часть уравнения; противоположение — отбрасывание от обеих частей уравнения равных членов. Так, 13л:2—Зх = 8-\-7х2 посредством альджебер превращается в 1 Зл;2 = 8-f- Зл;-f-7л:2, а это последнее уравнение после альмукабала принимает: 6л:2 = 8 -j- Зл:.

Эта историческая справка дает указание учителю не спешить переходить к формальным операциям при решении уравнений, а первое время выполнять преобразования, следуя совету Диофанта.

Арабская алгебра позднейших эпох дает указание, как следует видоизменять символическое решение задачи, чтобы оно легко истолковывалось. Рассмотрим задачу, данную Аброхамом Ибн-Эзрой:

«У мальчика было несколько яблок. После того как он с'ел 3 и отдал брату — оставшихся яблок, у него осталось 6 яблок. Сколько у него было яблок?»

Уравнение:

Обычное решение:

Решение подстановкой:

Наглядно-реторическое решение отвечает последнему: сначала определим, сколько яблок осталось у мальчика после того, как он с'ел три яблока. Оказалось, что если из этого числа взять его часть, то останется 6, т. е. — числа равно о, откуда само число равно

Зная же, сколько осталось, после того как были с'едены три яблока, легко определить, сколько было первоначально.

Из различных методов решения системы двух уравнений 1-й степени с 2 неизвестными легче всего преобразуется в наглядно-реторическое решение способ сложения и вычитания, предложенный Борелли (1492—1572).

Этот метод естественно развивается из уже хорошо знакомых ученикам арифметических методов.

Наиболее наглядное арифметическое решение задач, приводящихся к системе двух уравнений 1-й степени с 2 неизвестными, будет реторическое выражение метода Борелли.

Примеры:

1) 10 тетрадей и 20 карандашей стоят

5 руб. Юх-\-20у = 500;

10 тетрадей и 25 карандашей стоят

6 руб. 10л:-|-25> = 600.

Так как в обоих случаях было одинаковое число тетрадей, то во второй раз заплатили на 1 рубль больше потому, что было куплено на 5 карандашей больше. Следовательно, эти 5 лишних карандашей стоят 1 руб. =100 коп., а 1 карандаш стоит 100:5 = 20 (коп.) При определении стоимости одной тетради лучше не пользоваться методом Борелли, а, зная у, привести одно уравнение подстановкой к уравнению с 1 неизвестным, т. е. рассуждать так: 10 тетрадей и 20 карандашей, каждый по 20 коп., стоят 5 руб.; следовательно, 10 тетрадей стоят 1 руб. = 100 коп., а 1 тетрадь 100:10=10 (коп). После изложения реторического решения следует указать, что это же решение получается и с помощью формальных преобразований.

2) 7 груш и 11 яблок стоят 2 р. 90 к.; 9 груш и 12 яблок стоят 3 р. 30 к.

Сколько стоят 1 яблоко и 1 груша? Формальное решение

Наглядно-реторическое истолкование решения.

Возьмем в первую покупку в девять раз больше груш и яблок, а во вторую покупку— в семь раз больше; находим, что

63 груши и 99 яблок стоят 26 р. 10 к. и

63 груши и 84 яблока стоят 23 р. 10 к.,

т. е. получили задачу первого типа, которую мы уже умеем решать наглядно-реторически.

Задачи на так называемое правило смешения относятся к случаю системы уравнений вида:

Ньютоновские методы подстановки и сравнения труднее приводятся к реторическому решению.

Поэтому при решении задач, приводящихся к системе уравнений, надо пользоваться методом сложения и вычитания, откладывая ознакомление с методом подстановки на конец периода изучения данного раздела.

К МЕТОДИКЕ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПО УСЛОВИЯМ ЗАДАЧИ

Д. МАЕРГОЙЗ (Киев)

«Чтобы решить вопрос, относящейся к числам или к отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический» (И. Ньютон— «Arithmctica universalis»).

В литературе методика составления уравнений еще слабо разработана.

Авторы методических руководств довольно подробно останавливаются на значении и важности этого вопроса, но ограничиваются дальше общими краткими указаниями. Эти указания — преимущественно общедидактического характера, вроде того, что «надо тщательно прочесть условие задачи и определить: 1) что дано и 2) что ищется». Ясно, что такие указания не отражают специфики данного вопроса, ибо с полным успехом следует отнести их к любой задаче — геометрической или арифметической. Единственное указание, непосредственно касающееся данной темы, относится к общеизвестному расчленению решения задачи при помощи уравнений на 4—5 фаз:

1) Выбор неизвестной величины задачи и ее обозначение какой-либо буквой (обыкновенно л:).

2) Обозначение остальных неизвестных при помощи этой буквы и данных задачи.

3) Составление уравнения.

4) Решение его.

5) Проверка результата и его исследование.

Но даже это ценное указание обесценивается в значительной мере из-за того, что не дается методический анализ каждой фазы в отдельности.

Кончается методика этой темы обычным решением задач, причем решения подаются без всякого методического анализа. Учитель же нуждается, больше всего, в последнем, ибо решить задачу он и сам сможет.

Основная цель — помочь ему научить детей решать. Для этого необходимо детально остановиться на тех трудностях, которые возникают у учащихся при решении задач на составление уравнений.

К этим трудностям надо в первую очередь отнести отсутствие у учащихся целого ряда элементарных навыков из предыдущего материала. Эти навыки частично основательно забыты учащимися в момент прохождения данной темы. Частично они слабо были усвоены при первоначальном и учении их. Какие же это навыки? Чтобы ответить на данный вопрос, вн жнем в сущность составления уравнений. Все искусство составления уравнений сводится к умению переводить «с родного языка на алгебраический».

А умение переводить на язык уравнений условии задачи, выраженные словами, зиждется, в основном, на двух группах важных навыков: 1) составление формул по условиям задачи и 2) вхождение компонентов действий по результатам и другим компонентам. Эти группы навыков по сути и обслуживают вторую и третью фазу решения задачи при помощи уравнений.

Усвоению первой группы навыков часто сильно мешает недостаточное внимание к деталям и мелочам, вызывающее у учащихся порой непреодолимые трудности при составлении уравнений.

К этим мелочам относится, между прочим, отсутствие у некоторых учащихся четкого представления о понятиях: «на сколько» и «во сколько». Хотя эти понятия столь элементарны, что их можно было бы предполагать известными учащимся еще в младших классах, однако опыт показывает, что определенная часть учащихся путает эти понятия даже в старших классах (например при прохождении прогрессий). Без четкого усвоения этих понятий все дальнейшие занятия по составлению уравнений будут построены на песке. Поэтому не следует приступать к составлению уравнений до тех пор, пока все учащиеся твердо и четко не усвоили этих понятий. Отстающим учащимся надо давать на усвоение этих понятий сначала простые числовые примеры. Например: одно число равно 5, другое в 3 раза больше; определить второе число. Одно число равно 5, второе больше на 3 единицы; определить второе число. При этом не следует ограничиваться просто верными ответами (такие ответы посильны и для детей II класса), а требовать от учащихся указания действия, при помощи которого они получили ответ. Записывая полученные решения в такой форме:

можно сейчас же перейти к неявным числам

I ч. II ч. I ч. II ч.

а а • 3 = 3а а а-\-Ъ.

Упражнениям на усвоение понятий «на сколько» и «во сколько» на неявных числах учитель должен уделить достаточно времени, так как всякая поспешность в этом вопросе вредно отразится на дальнейшем усвоении составления уравнений. Лишь после твердого усвоения этих понятий на неявных числах, следует давать задачи на составление уравнений, где применяется сначала лишь одно из этих понятий (см. № 371—375 стабильного учебника).

Затем следует давать задачи, в которых применяются одновременно оба понятия. Например: сумма 3 чисел равна 63; второе число в 3 раза больше первого, а третье число на 3 единицы больше первого; определить эти числа. На такое сочетание обоих понятий нет задач в стабильном учебнике; учитель же может наподобие приведенной составить сколько угодно задач. Желательно при этом давать задачи с конкретным содержанием и в применении к другим предметам (например в геометрии — на углы в треугольнике или многоугольнике).

При составлении формул по условиям задачи некоторых учащихся обычно смущает запись: А = 2В, означающая, что число, обозначенное буквой Л, в 2 раза больше числа, обозначенного буквой В. Возражения со стороны таких учащихся, примерно, таковы: «Ведь А больше, почему же вы В множите на 2?»

Некоторые учителя сердятся при этом, мол «как можно таких простых вещей не понимать», и считают таких учащихся безнадежными в области математики. Другие пускаются в пространные об'яснения: «Обозначим второе число (В) иксом, тогда первое число (А) выразится через 2х\ но вместо 2х можно написать А и вместо х Ву а так как 2х = = 2 • X, то А = 2В». Разумеется, что такие об'яснения совсем запутывают учащихся. Проще всего уяснить это учащимся на конкретном примере: пусть количество денег, зарабатываемых мастером Архиповым, вдвое больше количества денег, зарабатываемых подручным Булгаковым. Обозначив сокращенно первое количество буквой А и второе буквой В, получим перевод условия на язык алгебры в виде записи А = 2В, означающей: мастер Архипов зарабатывает столько, сколь 2 подручных Булгаковых.

Мы столь много внимания уделили этой «мелочи» потому, что она является заключительным аккордом при составлении уравнений в очень многих задачах.

Поясним это на задаче: «Я задумал число, увеличил его вдвое и добавил потом 6. Полученную сумму разделил на 4, и потом после прибавления 11 получилось число, превышающее втрое первоначально задуманное. Определить это число».

Первые этапы составления уравнения для данной задачи обыкновенно не затрудняют учащихся, если только придерживаться четкой схемы параллельной записи условий задачи на родном и алгебраическом языке. Ниже приводим схему такой записи.

На родном языке

Я задумал число ...........

увеличил его вдвое ..........

и добавил потом 6 ..........

полученную сумму разделил на 4 . .

и после прибавления 11 ........

получилось число, превышающее втрое задуманное ............

На языке алгебры

Решение уравнения и проверка результата не затрудняют обычно учащихся, и поэтому мы на них не останавливаемся.

Отметим, что некоторых учащихся затруднял последний перевод; они множили на 3 не правую часть (лг), а левую.

Аналогичное затруднение вызывал у учащихся «последний перевод» в знаменитой задаче о купце, который ежегодно приумножает свой капитал на одну треть за вычетом ста фунтов — расхода на семью.

Эта задача помещена в учебнике Ньютона «Всеобщая арифметика» для подчеркивания основной мысли, приведенной нами в виде эпиграфа в начале статьи.

Ввиду исторической важности этой задачи, мы ее приводим целиком (см. стр. 45).

Из навыков по нахождению неизвестного

На родном языке

На языке алгебры

Купец имел некоторую сумму денег ..........

В первый год он истратил 100 фунтов.......

К оставшейся сумме добавил третью ее часть.....

В следующем году он вновь истратил 100 фунтов . .

И увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть . . .

В третьем году он опять истратил 100 фунтов.....

После того, как он добавил к остатку третью часть .

Капитал его стал вдвое больше первоначального . . .

компонента по результату действия и другому компоненту следует особенное внимание уделять нахождению слагаемого по сумме и другому слагаемому. Данный навык очень нужен для многих задач на составление уравнений, имеющихся в стабильном учебнике. Он также нужен при решении геометрических задач при помощи уравнений, где приходится часто по сумме длин отрезков и их отношению определить длину каждого отрезка.

Дается этот навык некоторым учащимся нелегко. Чтобы облегчить им его усвоение, тоже следует начинать с простых числовых примеров, вроде того, что сумма 2 чисел равна 8, а одно из них равно 5, и требуется определить второе число. Записавши решение в виде схемы:

I II

5 8 — 5 = 3,

можно сейчас же перейти к случаю с неявными числами. Например: сумма двух чисел 8, одно из них ху обозначьте второе слагаемое:

I II

X 8 — X.

Отметим, что навыки на определение компонентов действия по результату и другим компонентам очень нужны для решения задач № 376—385 стабильного задачника.

Вышеуказанные задачи в стабильном задачнике трудно даются учащимся еще и потому, что содержание их абстрактное. Мы считаем, что надо постепенно приучать учащихся к решению абстрактных задач, немало развивающих абстрактное мышление.

Попытаемся дать методическую разработку одной такой задачи — № 382. «Сумма двух чисел 64. От деления большего числа на меньшее получается в частном 3 и в остатке 4. Найти эти числа».

Эту задачу не в силах обычно решить и средний ученик, если предварительно не обратить его внимания на указанные нами выше навыки.

Решение данной задачи целесообразно подать по схеме вопросов и ответов, которую и приводим:

1 ) Чему равно большее число (делимое)? х.

2) Чему равно меньшее число (делитель)? 64 — X.

3) Чему равно частное? 3.

4) Чему равен остаток? 4.

5) Какая зависимости между делимым, делителем, частным и остатком? Делимое равно делителю, помноженному на частное плюс остаток.

Запишем эту зависимость на языке алгебры: X = (64 — х) 3 -|- 4; решив это уравнение, найдем: л: = 49. Проверим результат по такой схеме:

Большее число (делимое) = 49.

Меньшее число (делитель) = 64 — 49 = 15.

Разделив 49 на 15, получим в частном 3 и в остатке 4.

Разумеется, что можно было эту задачу решить проще: обозначив меньшее число иксом и выразив большее через (Здг-|-4), получим уравнение: х-\- (Злг-f- 4) = 64.

Нам кажется более целесообразным подать учащимся сначала первое решение, хотя полученное уравнение сложнее, чем во втором решении.

Дело в том, что обозначение меньшего числа выражением (64 — х) в первом решении значительно легче дается учащимся, чем обозначение большего числа выражением (3jc-}-4) во втором решении, ибо навык по определению слагаемого по сумме и другому

слагаемому уже выработан и применялся в предыдущих задачах. К вопросу о различных решениях одной и той же задачи мы еще вернемся дальше.

К числу навыков, необходимых для овладения «переводами с родного языка на алгебраический», относятся также умения делать простые логические заключения и выражать одно и то же соотношение между величинами в разных формах. Например: если дано в задаче, что разность двух чисел равна 6, то учащийся должен четко себе представить, что это означает: одно из чисел больше другого на 6 или второе число меньше первого на 6. Точно так же, если дано, что отношение первого чи.ла ко второму равно дроби — , то это значит: первое число составляет - второго числа, или второе число составляет — первого. Учащиеся должны уметь еще истолковать данное соотношение так: первое число состоит из 3 частей, а второе из 4 таких же частей. Поэтому, если величину такой части обозначим иксом, то первое число выразится через Злг, а второе через 4л\ Усвоивши вышеупомянутые навыки, учащиеся обычно ле ко овладевают искусством составления уравнений для задач средней трудности.

Часто затрудняет учащихся первая фаза решения задачи при помощи уравнений — выбор неизвестной величины.

В простых задачах, где одна искомая величина, выбор сразу виден. Это относится к задачам на отгадывание задуманного числа и также к задачам наподобие ньютоновской, приведенной нами выше.

В более трудных задачах выбор шире, и удобство решения часто зависит от самого выбора. При этом следует подчеркнуть учащимся, что решение всегда возможно, независимо от того, какое собственно неизвестное обозначено иксом. В таких задачах искусство удачного выбора неизвестной величины требует от учащихся умен я предвидеть, при каком выборе неизвестной решение задачи упрощается. Иначе говоря, требуется в первой фазе предвидеть упрощения последующих фаз.

Поясним это на конкретном примере, на задаче № 375.

«Часы, цепочка и брелок стоят вместе 72 руб. Брелок дороже цепочки в 2 раза, а часы дороже брелка в 3 раза. Определить стоимость часов, брелка и цепочки».

При решении этой задачи, учителя обычно сразу указывают, что следует стоимость цепочки принять за х; тогда стоимость брелка выразится через 2х, а стоимость часов выразится через 2х • 3 = 6л:.

У учащихся естественно возникает вопрос, почему именно стоимость цепочки принята за ху а не стоимость брелка или часов. К сожалению, обычно проходят мимо таких вопросов, а, между тем, здесь необходимо подчеркнуть, что такой выбор сделан потому, что стоимость цепочки наименьшая и при другом выборе неизвестной мы получим дробное уравнение. В самом деле, обозначим стоимость брелка через х; тогда стоимость часов выразится через Зл:, а стоимость цепочки через , и полученное уравнение:

Зх -f- X -)- - = 72 — дробное.

Некоторых учащихся может еще затруднить обозначение цепочки через —.

Для раз'яснения надо подчеркнуть, что раз брелок в 2 раза дороже цепочки, то и обратно: цепочка вдвое дешевле брелка.

На подобные элементарные логические заключения надо непрестанно обращать внимание учащихся, что значительно облегчит им усвоение составления уравнений. Небесполезно дать при этом общие указания, что в подобных задачах преимущественно удобнее наименьшую искомую величину принять за x, ибо тогда остальные искомые выразятся через нее при помощи прямых действий (сложения и умножения). В противном случае обозначение остальных неизвестных выразится при помощи обратных действий (вычитания или деления), что вообще затрудняет решение.

Удобство обозначения наименьшей искомой величины иксом особенно ярко проявляется в задачах № 411 и 428. Приводим содержание последней:

«Сумма трех чисел 100. Если первое число разделить на второе, то в частном получится 4 и в остатке 3; а если второе число разделить на третье, то в частном будет 2 и в остатке 4. Найти эти числа».

Наименьшее число — третье; обозначим его X] тогда второе число выразится через (2л: + 4) (так как делимое равно делителю, помноженному на частное плюс остаток).

Аналогично, первое число выразится через 4 (2x + 4)-f-3.

Сумма их:

Деля первое число на второе и второе на третье, убеждаемся, что найденные числа удовлетворяют условиям задачи. При решении этой задачи надо обратить внимание учащихся на то, что второе число мы рассматриваем двояко: 1) как делимое по отношению к третьему числу и 2) как делитель по отношению к первому числу.

Удобство обозначения наименьшей искомой величины иксом в данной задаче заключается в том, что определение делимого по делителю, частному и остатку легче определения делителя по делимому, частному и остатку*.

Отметим, что в некоторых задачах удобнее обозначать не искомую величину иксом, а вспомогательную величину. Поясним это на задаче № 376.

«Разделить число 21 на 2 части так, чтобы кратное отношение первой части ко второй равнялось дроби -».

Приводим 3 решения этой задачи:

Первое решение:

Второе решение:

Третье решение:

Из полученных уравнений видно, что третье решение самое простое. Зато в третьем решении не искомые величины обозначены иксом, а вспомогательная величина — доля каждой части. Ибо, если кратное отношение первой части ко второй равно дроби -, то это значит: первая часть состоит из 3 одинаковых долей, а вторая часть — из 4 таких же одинаковых долей. Поэтому, обозначивши величину этой доли дг, мы выразили первую часть через За: и вторую часть через Ах. (На методическом анализе первых двух решений не останавливаемся, так как о навыках, нужных для них, мы уже выше говорили.)

Еще ярче проявляется удобстве обозначения вспомогательной величины иксом в задаче № 451.

«Чтобы пройти расстояние 1 км, лыжной команде нужно на 9 минут меньше времени, чем пехоте. Найти скорость движения лыжной команды и пехоты, если первая скорость в 2- раза больше второй».

Здесь значительно удобнее принять за х не ск< рость пехоты, а количество минут, нужное пехоте, чтобы пройти расстояние в 1 км. Количество минут, нужное лыжной команде, чтобы пройти 1 км, выразится через X — 9.

Определим скорость пехоты в одну минуту: -.

Определим скорость лыжников в одну минуту: -.

По условию скорость лыжников в 2 ^ раза больше скорости пехоты. Записавши это на языке алгебры, имеем

Ответ: пехоте нужно 15 минут для прохождения 1 км. В час пехота пройдет 4 км. Лыжникам нужно 15 — 9 = 6 минут, чтобы покрыть расстояние в 1 км, а в час они пройдут 10 км.

Сравнивая полученные скорости (10 км/час и 4 км/час), видим, что скорость лыжников в 2^- раза больше скорости пехоты. Некоторых отсталых по математике учащихся может затруднить обозначение скорости пехоты через —. Поэтому им следует напомнить, что

* Оговоримся, что сделанное нами указание об обозначении наименьшей искомой величины нельзя механически применять к любой задаче: указание относится лишь к задачам, подобным вышеприведенным.

скорость равномерного движения получается, когда делят расстояние на время (а расстояние в данном случае = 1 км). Можно, конечно, и скорость пехоты (км/час) принять за Ху тогда скорость лыжников выразится через (км/час). Но дальнейший этап сильно затрудняет многих учащихся. Первая трудность при этом — переход к мере другого наименования (км/мин). Вторая трудность заключается в переходе от скорости (км/мин) к времени в минутах, нужному для прохождения 1 км. Обозначив скорость пехоты в минутах — и скорость лыжников 2 — —=з —, найдем, что 1 км пехота пройдет за — минут, а лыжная команда пройдет 1 км за — минут. По условию, разность их равна 9 минутам. Запишем это на языке алгебры : — — — = 9 ; 60 — 24 = 9х;

36 = 9л:; х = 4.

Ответ: скорость пехоты = 4 км/час.

Удобно также принимать вспомогательную величину за основное неизвестное х и в задаче типа № 412: «Найти число, которое от деления на 5 дает в остатке 2, а от деления на 8 дает в остатке 5, зная, что первое частное на 3 единицы больше второго». Если принять второе частное за ху то первое частное выразится через х 3. Число в первом случае выразится через (дг-)-3)-5-|-2, а во втором случае через алг + 5. Так как в обоих случаях имеем одно и то же число, то пишем:

(х+ 3).5 + 2 = 8jc + 5; 5а: + 15-f 2 = = 8jc -f- 5 ; 12 = 3лг; л: = 4.

Ответ: второе частное = 4, а первое частное =7. Само число равно: 4. 8-|- 5 = 37, или 7 • 5 + 2 = 37. Искомое число 37.

Данную задачу следует решать и без помощи вспомогательной величины (частного), по такой, примерно, схеме:

1) Чему равно число х?

2) Чему равно первое частное -?

3) Чему равно второе частное-?

4) Чему равна их разность * - -— Х **?

По условию эта разность равна 3, а по сему пишем:

Решив это уравнение, найдем д: = 37, т. е. искомое число = 37.

Чтобы учащиеся смогли ответить на второй и третий вопросы, следует им напомнить предварительно об определении частного по данному делимому, остатку и делителю.

Отметим при этом, что следует учащихся приучать к решению задачи на уравнения несколькими способами. Это расширяет их кругозор и приучает их распознавать и выражать одно и то же соотношение между величинами в разных формах.

Практиковать различные решения одной задачи следует с того момента, когда у учащихся уже выработались некоторые навыки в решении простых задач, иначе это их может вначале запутать.

В заключение скажем о задачах на составление уравнений с «физическим содержанием». Таких задач немало в стабильном задачнике. Большинство из них посвящено рычагам. Тематика остальных касается преимущественно удельного веса различных смесей. При решении этих задач учащиеся наталкиваются на дополнительные затруднения. Эти дополнительные затруднения заключаются в отсутствии у учащихся твердых знаний некоторых законов физики. Поэтому такие задачи можно давать лишь тогда, когда учащиеся предварительно усвоили необходимые сведения на уроках физики. Передоверять совсем такие задачи преподавателю физики тоже не следует, так как навык в применении математических познаний к другим наукам очень ценный, и учащиеся должны его получить на уроках математики.

Среди этих задач в стабильном задачнике попадаются довольно трудные; особо отметим задачу № 467: «В двух сосудах имеются две разные жидкости. Если взять 10,8 г первой жидкости и 4,8 г другой жидкости, то удельный вес полученной смеси будет 1,56. А если взять обеих жидкостей поровну, то удельный вес полученной смеси будет 1,44. Определить удельный вес каждой жидкости ».

Сильно затрудняет учащихся при решении этой задачи нечеткость условия задачи. Неясно, как взять обеих жидкостей поровну — по весу или по об'ему. Вдобавок запутывают учащихся еще неверные ответы (1,58 и 1,3 вместо 1,8 и 1,2). Эту задачу удобнее, ко-

нечно, решить при помощи системы 2 уравнений с 2 неизвестными*.

Примем для удобства решения за основное неизвестное не удельный вес, а об'ем.

1) Чему равен об'ем первой жидкости? X куб. см.

2) Чему равен об'ем первой смеси?

10,8 + 4,8 1Л . -!—!—— = 10 куб. см.

3) Чему равен об'ем второй жидкости? 10 —л:.

4) Чему равеи удельный вес первой жидкости?-.

5) Чему равен удельный вес второй жидкости?-.

На основании второй зависимости составляем уравнение:----=-: решив уравнение, найдем х = 6 куб. см.

Ответ: первой жидкости было 6 куб. см, а удельный вес ее = —^-= 1,8. Второй жидкости было 10 — 6 = 4 куб. см. Удельный вес второй жидкости равен —^-=1,2. Разумеется, что составление уравнения на основании второй зависимости — самое трудное в данной задаче. Поэтому следует предварительно (до решения данной задачи) ознакомить учащихся со следующим фактом: при составлении смеси из двух жидкостей, равных по весу, но различных по об'ему, сумма обратных удельным весам величин каждой жидкости равна удвоенной обратной величине удельного веса смеси.

Об'ясняя сначала этот факт на простых числовых примерах, следует потом его изложить аналитически, на языке алгебры.

Пусть Yj, Y2 и Те удельный вес первой и второй жидкости и полученной смеси; gv g2 и gc (соответственно) их вес, a vt, v2 и vc их об'ем. Тогда, очевидно, vt-\-v2 = vc и #1 + 52 = По условию gt=g2, а посему

Поэтому вместо равенства v± + v2 = vc можем написать:

Сокративши обе части равенства на gt. имеем :

Отметим, что при решении подобных задач следует всегда во избежание нагромождения трудностей предупредить учащихся, что, прежде чем приступить к данной задаче, нужно изучить такие-то предварительные сведения, необходимые для решения этой задачи.

О СОСТАВЛЕНИИ УРАВНЕНИЙ

И. К. БРАУН

Составление уравнений из условий задач — один из наиболее трудных разделов алгебры; трудность проработки этой темы об'ясняется отчасти недостаточной подготовкой наших учащихся к пониманию темы: у учащихся нет необходимых для овладения этой темой навыков в решении арифметических задач и составлении алгебраических выражений и формул; отчасти же трудность проработки об'ясняется и тем, что вопрос этот ни по существу, ни методически как следует не разработан в наших учебниках. В учебнике алгебры А. Киселева даются только некоторые указания относительно обозначения неизвестных величин; по существу же вопроса: что делать с этими величинами, как, в конце концов, получить уравнение — определенных указаний нет. В методике алгебры И. И. Чистякова также даны весьма ценные общие указания по вопросу о составлении уравнений, но опять-таки по существу

* Мы даем решение этой задачи, сведя его к уравнению с 1 неизвестным ввиду того, что в указании, помещенном в стабильном задачнике, рекомендуется решать все задачи до № 477 при помощи одного неизвестного.

вопроса: как, в конце концов, получить уравнение — говорится, что общих правил нет.

С. С. Бронштейн в своей «Методике алгебры» говорит: «Неверно, что нет единого принципа составления уравнений. Общий принцип, которым руководствуются при составлении уравнений, может быть сформулирован так: надо проанализировать, какие величины, находящиеся во взаимной зависимости, равны между собой. Соединив такие два выражения знаком равенства, составляют уравнение». Можно согласиться с т. Бронштейн, что общий принцип, или вернее — общий прием составления уравнений, в конце концов, можно установить; но что касается самого принципа, предлагаемого т. Бронштейн, то здесь непонятно, что это за величины, «находящиеся во взаимной зависимости»? Ведь все величины какой-нибудь задачи находятся во взаимной зависимости. Непонятно также, что подразумевает автор под величинами равными; из примеров, приведенных автором, можно заключить, что он подразумевает не «равные» величины, а различные выражения одной и той же величины. Эти выражения соединяются знаком равенства. Но тогда к чему «анализировать задачу», когда, введя в условие X и оперируя с ним, как с другими данными числами, можно любую величину выразить через остальные и получить таким образом второе выражение для этой величины; другими словами: любая величина, входящая в условие задачи, может быть выражена двояко; эти два различных выражения одной и той же величины соединяют знаком равенства.

В статьях М. Змиевой «Опыт подготовки учащихся к составлению уравнений 1-й степени» и 3. Костиной «Первоначальные упражнения на составление уравнений», помещенных в № 5 методического сборника «Математика и физика» за 1935 г.— даны весьма ценные методические указания, которые, однако, также не исчерпывают вопроса.

Настоящей статьей мне хотелось бы, учтя все ценные указания нашей методической литературы, в порядке дискуссии, предложить вниманию преподавателей математики некоторые дополнительные соображения по вопросу о методике составления уравнений.

1. В чем затруднения? Типичные ошибки

Я уже подчеркнул во вступлении, что одной из весьма существенных причин, почему учащиеся с таким трудом овладевают данной темой, является неумение составлять алгебраические выражения. Ведь для составления всякого уравнения приходится еше до «уравнения» величин (до написания самого равенства) составлять те или иные выражения величин из условий задач.

Пример. «Некто проехал расстояние между двумя городами в 5 часов, другой — в 7 часов. Скорость первого была больше на 12 км в час. Определить расстсяние между этими городами».

Обозначим искомое расстояние через х километров.

Скорость первого была - км в час, второго - км в час. Согласно условию, — 12 = -. 7

Прежде, чем составить это уравнение, нам пришлось выразить скорости в зависимости от длины пути и времени. Умение выражать одну величину через другие, другими словами, умение составлять алгебраические выражения из данных условия—необходимая предпосылка для составления всякого уравнения. А этого умения у многих учащихся нет; об'ясь:яется это недостаточной тренировкой их в решении арифметических, задач (так называемых «алгебраических») и недостаточной тренировкой в составлении выражений и формул в са\:ом начале курса алгебры, а главное — отрывом этой темы от составления уравнений.

Преподаватель должен восполнить этот пробел, проделав с учащимися достаточное количество примеров на составление выражений и формул до составления уравнений.

Это можно сделать попутно с решением уравнений, выделяя для этого минут 10 на нескольких уроках. В «приложении» к данной статье дается тот минимум упражнений, который Следовало бы на этих «десятиминутках» проделать.

Другим существенным вопросом при составлении уравнений является уравнение величин для соединения их знаком равенства; типичной ошибкой учащихся в данном случае является то, что они увеличивают число, которое по условию больше, или уменьшают число, которое по условию меньше; если, например, одна величина выражена через л, а другая через 2х — 15, причем, по усло-

вию, первая величина должна быть втрое больше второй, то учащиеся помножают х на 3 (так как он «втрое больше»),—вместо того, чтобы разделить, «уравнять» с другой величиной.

Здесь нужно подчеркнуть учащимся, что для уравнения величин нужно или большую уменьшить или меньшую увеличить; показать это на конкретном примере (двух полках, карандашах).

Весьма часто встречаются также ошибки в действиях над именованными числами. Учащиеся обозначают неизвестное через х без указания наименования (метров, километров, граммов и т. д.), и получается часто такая путаница:

Если деньги обозначены через х (без указания наименований рублей или копеек), и 1 кг товара, первого сорта стоит 3 руб., а второго — 75 коп., то второго сорта можно купить на---(килограммов) больше.

Вообще этим «иксом» учащиеся злоупотребляют: не формулируя точно, что именно и в каких единицах должен выражать х, учащиеся вводят его в условие задачи, оперируют с ним и, в конце концов, конечно, путают, как показано выше.

Преподаватель должен требовать от учащихся самой точной формулировки значения вводимого неизвестного: «Обозначим стоимость всего товара через х рублей», или: «Обозначим расстояние, пройденное первым телом, через х километров» и т. д.

Часто учащиеся злоупотребляют знаком равенства; если 5 м стоят х рублей, то пишут: * = 5, употребляя в данном случае знак равенства вместо слова «стоят».

Если две артели — в 15 человек и в 20 человек — могут окончить некоторую работу в X дней, то часто пишут 15-|-20 = л:, заменяя знаком равенства слова «могут окончить».

Нужно в самом начале на конкретных примерах показать нелепость таких равенств и в дальнейшем бороться с злоупотреблениями знаком равенства. Нужно внушить учащимся уважение к знаку равенства, подчеркивая, что неправильное его употребление есть грубейшая ошибка.

Все эти замечания основаны на непосредственном опыте, и преподаватель, еще не искушенный в деле об'яснения составления уравнений, должен учесть их, чтобы по возможности предупредить все типичные ошибки учащихся.

2. Какие задачи нужно давать на составление уравнений

Было бы неправильно предлагать учащимся решать при помощи уравнений задачи, которые легко решаются без уравнений, чисто арифметическим путем; учащиеся не поймут значения уравнения, будут считать, что применение уравнений только усложняет дело. Сюда относятся, например, задачи на части, на проценты, на смешение 1-го рода и др. Другое дело, если мы предложим решить какую-нибудь трудную арифметическую задачу и затем покажем, как она легко решается при помощи уравнения, — это возбудит у учащихся интерес к составлению уравнений; решив при помощи уравнения задачу, которую они без уравнений не могли решить, они почувствуют, что сделали значительные успехи в области математики, а это вызовет в них стремление к дальнейшему ее изучению.

Не нужно также давать на составление уравнений с 1 неизвестным задач, которые легче решаются составлением двух или даже трех уравнений, так как это также не дает желаемого эффекта.

Будет, например, методически совершенно неправильно предлагать на составление уравнения с 1 неизвестным задачи, в которых дана сумма и разность двух чисел: во-первых, потому, что она гораздо легче решается арифметически, во-вторых, если уж составлять уравнения, то с 2 неизвестными.

В сборнике задач Шапошникова и Вальцова, ч. 1-я, в разделе составления уравнений с 1 неизвестным помещены, например, такие задачи, как задачи № 371, 372, 376, 378, 379, 399, 402, 403, 404, 405, 407, 408, 410, 411, 413, 414, 415, 428, 447, 457, 461, 467, 475, которые, по моему мнению, не нужно предлагать учащимся, так как они решаются гораздо проще или арифметическим путем или же составлением двух уравнений с 2 неизвестными.

В виде опыта мною была предложена учащимся VIII класса задача № 407. Арифметическим путем ее решили 12 человек, уравнение же могли составить только двое. Трудно на такой задаче показать преимущество применения уравнений.

Задачу № 413 с 1 неизвестным в том же классе решили трое, с двумя — половина учащихся.

Вообще же нужно сказать, что задачи этого раздела не очень удачно расположены, что, однако, искупается обилием хорошего материала. Со стороны преподавателя здесь

требуется только более серьезное отношение к планированию работы.

3. Алгебраические задачи

Что же касается «алгебраических задач», т. е. таких, которые арифметически решаются трудно или же совсем не под силу учащимся, а уравнениями— легко или во всяком случае легче, то, по степени трудности составления \ равнения, их можно разбить на две категории: а) на задачи «прозрачные» и б) задачи сложные.

Под «прозрачными» задачами будем разуметь такие, в которых само условие уже подсказывает и составление уравнения : уравнение как бы пишется «под диктовку»; такова, например, задача: «Я задумал число; если увеличить его в 5 раз и затем уменьшить на 12, то получится половина задуманного числа. Найти это число». Здесь учащемуся достаточно сделать только одно указание: обозначить задуманное число через х, а дальше он уже сам пишет, как бы под диктовку

5 х- 12=-, 2

переводя, так сказать, условие на язык алгебры.

Сюда можно отнести традиционную задачу о стае летящих гусей и много других,— в прилагаемом плане мы укажем номера их из сборника Шапошникова и Вальцова. Это наиболее эффективные задачи в том смысле, что арифметически они решаются с большим трудом, уравнением же— без всякого труда. Поэтому на них-то, главным образом, и нужно показать преимущество применения уравнения.

Постепенно от этих задач преподаватель переходит к более трудным, т. е. таким, которые уже требуют некоторого соображения для составления уравнения; такова, например, задача: «У меня вдвое больше денег, чем у брата; если к моим деньгам прибавить 10 руб., а к его деньгам прибавить 1 рубль, то у меня будет втрое больше, чем у него. Сколько денег у каждого?»

Решение. У брата х рублей, а у меня 2х рублей ; согласно условию, 2х -f- 10 = (х -J-

В этой задаче выражения 2лг-|-10 и X + 1 также составляются как бы под диктовку условия; в этом смысле она могла бы быть отнесена к задачам «прозрачным», но она усложнена, во-первых, тем, что приходится обозначать 2 неизвестных величины (через X и 2х), и, во-вторых, требует умения выражать простейшую зависимость между двумя величинами (2х-{-\0 втрое больше, чем

Задача преподавателя на этих несложных примерах научить учащихся выражать простейшие зависимости между величинами (вдвое больше, на 2 больше, вдвое и еще на 2 больше и т. д.) как при обозначении неизвестных, если их несколько, так и при составлении уравнений. Особых правил для составления этих уравнений не требуется.

Номера этих «полупрозрачных» задач также указаны в плане.

Только после некоторой тренировки учащихся на этих («прозрачных») задачах преподаватель переходит к сложным задачам на составление уравнений.

Сложными задачами мы называем такие, в которых выражения, необходимые для составления уравнения, не вытекают непосредственно из формулировки условия, а составляются по соображению самим учащимся.

Учащемуся приходится до составления уравнения чисто арифметическим путем решить какую-нибудь несложную задачу.

Пример. «Поезд идет из А в В со скоростью 20 км в час, затем возвращается из В в А со скоростью 28 км в час. Весь проезд туда и обратно он делает в 14-^ часов. Сколько километров от А до В?»

Обозначив расстояние между А и В (в километрах) через х, решим предварительно задачу:

Сколько часов понадобится, чтобы проехать X километров со скоростью 30 км в час и еще х километров со скоростью 28 км в час?

Понадобится--1---- (часов); согласно условию--!--= 14-.

4. Смысл применения уравнения к решению этих задач

Возникает вопрос: если это так, если в случае решения сложных задач для составления уравнения все равно приходится чисто арифметическим путем решать те или иные задачи, то в чем, собственно, преимущество применения уравнения? Не будет ли тогда проще решить задачу вообще арифметическим путем?

Такой вопрос у учащихся, безусловно, может возникнуть, а если не возникнет, то его нужно поставить, так как ответ на этот вопрос уже до некоторой степени дает нам и ключ к решению вопроса о приемах составления уравнений.

Чтобы ответить на этот вопрос, возьмем тот же пример.

Сколько километров от А до В, если для проезда туда (со скоростью 30 км в час) и обратно (со скоростью 28 км в час) понадобилось всего 14— часов?

Арифметически решить эту задачу довольно трудно: нужно сначала определить, во сколько часов поезд сделает какой-нибудь один конец — от А до В (или обратно).

Так как время обратно-пропорционально скоростям, то 14^- часов нужно разделить обратно-пропорционально 30 и 28, что дает 7 часов и 7— часов. Расстояние было 30 км -7 = 210 км.

Когда же мы, обозначив неизвестное расстояние через X, ввели это число в условие задачи и отбросили одно данное условие (14 — час), как лишнее, у нас получилась совершенно простенькая задача: во сколько времени поезд пройдет х километров со скоростью 30 км в час и еще х километров со скоростью 28 км в час?

Значит, решение сложных задач на составление уравнений не освобождает нас совершенно от арифметического решения некоторых вопросов; смысл (преимущество) применения уравнения заключается в понижении трудности задачи.

Правда, решив эту простенькую задачу, мы еще не будем иметь ответа на вопрос задачи, а только выражение, нужное для составления уравнения; мы еще должны составить уравнение и решить его, но это уже дело чисто техническое (мы выгадали в силе, потеряв в скорости).

5. Когда задачу выгоднее решить уравнением ?

Из предыдущих рассуждений вытекает еще и следующее соображение: если из всех вариантов задач, которые могут быть составлены по какому-нибудь событию с числовыми данными, дан наиболее легкий, то применение уравнения в этом случае не выгодно.

Поясним это на событии, из которого составлена уже знакомая нам задача: между городами А и В 210 км. Поезд прошел это расстояние в 7 часов, делая по 30 км в час, и обратный путь сделал в 7— часов, проходя по 28 км в час. Комбинируя различно эти численные данные, мы можем составить различные варианты задач:

а) Поезд прошел расстояние между городами А и В в 7 часов, делая по 30 км в час; обратный путь прошел в 7— часов.

Определить, с какой скоростью поезд проходил путь (или во сколько часов он пройдет путь при скорости 28 км в час).

б) Поезд идет из А в В со скоростью 30 км в час и обратно со скоростью в 28 км в час. На обратный путь ему понадобилось времени на — часа больше.

Определить весь путь.

в) Между городами А и В 210 км. Поезд идет туда и обратно 14^- часов, причем обратный путь он проходит со скоростью, которая на 2 км меньше, чем скорость, с которой он прошел прямой путь.

Определить обе скорости и т. д.

Из всех этих вариантов наиболее простым является первый; поэтому применение к нему уравнения не может понизить степени его трудности, и, следовательно, не имеет преимущества перед арифметическим решением.

Все другие варианты решаются составлением уравнений преимущественно перед арифметическим решением.

Вот почему задачи № 407, 408, 410 и некоторые другие не следует, по моему мнению, давать как упражнения на составление уравнений.

6. Правила составления уравнений

Все сказанное выше приводит нас к следующим основным правилам составления уравнений из условий задач:

1) Нужно обозначить неизвестную величину (искомую задачи) какой-либо буквой (л:, у у z,) с точным указанием единиц измерения.

2) Ввести эту букву в условие задачи, как определенную величину; получается как бы лишнее условие.

3) Исключить из получившегося таким образом ряда условий одну величину и выразить ее через оставшиеся величины, включая и неизвестную букву.

4) Полученное выражение приравнять исключенной величине.

Примечания.

Можно выбрать для исключения любую величину; это зависит иногда от особенностей развития математического мышления учащегося. Вообще же от выбора ее зависит трудность составления требуемого алгебраического выражения (см. примеры 2,5).

Иногда принимают за неизвестную не ту величину, которую требуется определить по условию задачи, а какую-нибудь тесно связанную с нею. В частности, если дано отношение неизвестных величин, например 5:3, то самое удобное обозначение: первой через Ьх, второй — через Зл: (пример 5).

После обозначения неизвестной величины некоторые данные величины иногда заменяются другими, более удобными для составления уравнения (см. примеры 4, 6).

Поясним все это на примерах.

Пример 1. «Смешано 12 кг конфет по 8 руб. и несколько килограммов по 5 руб. Смесь обошлась в 6 руб. Сколько было килограммов второго сорта?»

Как известно, это задача на смешение второго рода арифметическое решение ее трудное.

Запишем условие задачи.

12 кг по 8 руб. Сколько килограммов по 5 руб.? Смесь—по 6 руб.

Обозначим количество килограммов второго сорта через х, тогда задача запишется так:

12 кг по 8 руб., X килограммов по 5 руб., смесь по 6 руб.

Отбросим последнее условие (6 руб.) и примем во внимание только первые четыре числа; у нас получится более легкая задача на смешение первого рода.

Смешано 12 кг по 8 руб. и х килограммов по 5 руб. Сколько стоит один килограмм смеси ?

Решим ее:

Принимая во внимание исключенное условие (что килограмм смеси стоит 6 руб.), мы можем написать равенство:

Решив это уравнение, мы находим, сколько было килограммов второго сорта.

Пример 2. «Переднее колесо экипажа имеет в окружности 1,5 м, заднее—1,8 м. На некотором расстоянии переднее колесо сделало на 50 оборотов больше заднего. Определить это расстояние».

Запись:

Найти расстояние.

Перед нами — арифметическая задача, не очень простая для малоискушенных (особенно в задачах на пропорциональное делание).

Обозначим неизвестное расстояние в метрах через X и введем это число в условие, получим:

Исключим отсюда одно из условий (хотя бы последнее — «на 50 оборотов больше») и по оставшимся трем условиям определим то, что мы исключили из условия, т. е. на сколько оборотов переднее колесо сделало больше заднего; мы получаем:

Получилась простенькая арифметическая задача; решим ее.

Переднее колесо сделает — оборотов;

заднее колесо сделает —— оборотов;

переднее колесо сделало на оборотов больше.

Приняв теперь во внимание отброшенное условие, составим понятное равенство:

Решив это уравнение, найдем, что X = 450. Испытание:

Мы отбросили последнее условие («на 50 оборотов больше») и из оставшихся трех условий определили эту (отброшенную) величину; можно было бы отбросить и из оставшихся величин определить любую другую данную величину, например окружность переднего колеса:

Решение.

Заднее колесо сделало — оборотов;

переднее колесо сделало — оборотов -|^ 50 оборотов.

Зная все расстояние (л:) и число оборотов переднего колеса / — -f- 50 1 , можно определить окружность переднего колеса:

—-, а это, по условию задачи, должно быть равно 1,5;

Решив это уравнение, найдем: jc = 450.

Второй прием оказался значительно труднее первого. Учащийся в каждом отдельном случае должен уяснить себе, какую из данных величин ему легче выразить через другие величины. От этого выбора зависит степень трудности составления уравнения и, следовательно, составления уравнения.

Пример 3. «В совхозе число постоянных и сезонных рабочих вместе составляло 50 человек; через некоторое время число постоянных рабочих увеличилось вдвое, а число сезонных — втрое; всего рабочих стало тогда 130.

Сколько было вначале постоянных и сколько сезонных рабочих?».

Обозначим число постоянных рабочих через х; тогда условие задачи запишется так:

Из первого и второго условий вытекает, что сезонных рабочих было (50 — х) человек; этим условием заменим первое условие:

Исключим из условий последнее (130 человек) и выразим из оставшихся условий эту исключенную величину, т. е. сколько стало рабочих.

Постоянных было х, стало 2х.

Сезонных было 50 — xt стало (50—х)3.

Всего стало 2а:+ (50 — х) 3, или же 130 человек.

Значит, 2л:+(50 — х) 3 = 130.

Решение уравнения.

Постоянных рабочих было 20 человек; сезонных 50 — 20 = 30 (человек).

Испытание: 20.2 + 30-3=130.

Пример 4. «В колхозе было суходольного луга на 4 га больше, чем заливного, а весь урожай сена с суходольного луга получился на 3 m меньше, чем с заливного. Сколько было в колхозе гектаров заливного и суходольного луга, если 1 га заливного луга дает в среднем 2j5 m сена, а 1 га суходольного — 1 — m сена?

Запись условия:

Обозначим количество заливного луга через X гектаров, тогда первое условие «на 4 га больше» может быть заменено более подходящим для нас, а именно: суходольного луга было (л:+ 4) га; введем эти обозначения в условие:

Исключим из условий последнее (на 3 m меньше) и выразим эту величину через остающиеся данные, т. е. решим задачу.

Суходольного луга было (х-\-4) га, урожай по 1 — ал с гектара.

Заливного луга было х гектаров, урожай по 2,5 m с гектара.

На сколько тонн суходольный луг дал меньше сена, чем заливной?

Решение.

Суходольный луг дал всего (х + 4) 1 — т.

Заливной » » » 2,5 х т. Суходольный дал меньше на 2,5а: — (л: -|— 4) 1 — т\ а по условию—на 3 т;

Значит, 2,5дг—(аг+4) 1—=3.

Решение уравнения.

Помножим все члены уравнения на 10. 25а: — (х-\-4) 12 30; раскроем скобки: 25а:— 12а: — 48=^30; \3x = 7S; х = 6.

Итак, заливного луга было 6 га, суходольного— 10 га.

Испытание: 2,5-6—1—•10=3, или 15-12 = 3.

Пример 5. «В одном совхозе количества постоянных и сезонных рабочих находятся в отношении 3 :5 ; после того, как зарплата первых была увеличена на 10 руб., а вторых на 20 руб. в месяц, общая месячная зарплата увеличилась на 1170 руб. Определить, сколько в совхозе постоянных и сколько сезонных рабочих».

Обозначим количество постоянных рабочих через За:, тогда количество сезонных рабочих будет 5а:.

Примечание. Если число рабочих находится в отношении 3 :5, то, значит, первых было 3 части, вторых 5 таких же частей; эту неизвестную нам часть мы и обозначаем через X.

Условие задачи запишется так:

Отношение 3:5 отсутствует, как уже использованное.

Исключим последнее условие (1170 руб.) и выразим из оставшихся условий общее увеличение месячной зарплаты:

Увеличение месячной зарплаты постоян.

рабочих = За: • 10 = 30а:.

Увеличение месячной зарплаты сезонных рабочих = 5а:-20 = 100а;.

Общее увеличение месячной зарплаты 130а:. Согласно условию,

130а:= 1170, или 13jc = 117; л: = 9.

Постоянных рабочих было 9-3 = 27 (человек).

Сезонных рабочих было 9-5 = 45 (человек).

Испытание: 27 -10 -f 45 - 20 = 1170 (руб).

Как и во всякой другой задаче, можно было бы исключить и выразить через оставшиеся условия любое другое условие; от этого будет зависеть степень трудности составления выражения.

Покажем это на данной задаче:

Исключим первое условие и выразим из других условий, сколько было постоянных рабочих.

Общее увеличение месячной зарплаты = = 1170 руб.

Увеличение зарплаты сезонным рабочим = = 100 X руб.

Остается на увеличение зарплаты постоянным рабочим

1170— 1 00а: (руб.).

Так как каждому прибавили 10 руб., то, значит, всех постоянных рабочих было

Согласно условию задачи,

Исключим условие «увеличено на 20 руб.» и выразим через оставшиеся числа, на сколько рублей увеличили зарплату каждому сезонному рабочему.

Общее увеличение зарплаты — 1170 руб.

Увеличение зарплаты постоян. рабочим ЗОл: руб.

Остается увеличение зарплаты сезон, рабочим 1170 — 30 х.

Всех сезонных рабочих было 5лг, значит, на долю каждого приходится увеличения месячной зарплаты---; по условию,

Пример 6. «Латунь состоит из меди и цинка. Сколько содержится меди и сколько цинка в сплаве в 124 кг, если 89 кг меди при опускании в воду испытывают давление в 10 кг; 7 кг цинка при тех же условиях испытывают давление в I кг, а 124 кг латуни— давление в 15 кг?»

Обозначим число килограммов меди, содержащееся в сплаве, через х килограммов, тогда цинка будет (124 — л:) кг.

Изменим также некоторые условия, а именно, вместо «89 кг теряют 10 кг» напишем: 1 кг теряет—кг.; вместо «7 кг теряют 1 кг» запишем: 1 кг теряет —кг.

Введем эти обозначения в условие и запишем:

Исключим последнее условие, а из оставшихся чисел определим, сколько потеряет весь сплав:

Медь потеряет в воде — х килограммов.

Весь сплав потеряет

Значит,

Решение уравнения.

Испытание: 89 кг меди теряют 10 кг

Пример 7. «Кооператив получил некоторое количество сахара для распределения между своими пайщиками. Если каждому пайщику выдать по 2,5 кг, то останется 95 кг; если же каждому выдать по 3 кг, то нехватит 286 кг. Сколько было пайщиков и сколько получил сахара кооператив?»

В данной задаче 2 неизвестных: количество сахара и число пайщиков; мы определим одно из них—число пайщиков, а зная числа пайщиков, легко будет определить и количество сахара. Обозначим число пайщиков через X и введем это число в условие:

В этой задаче одинаково удобно исключить любое из данных условий; исключим 95 кг и определим из остальных условий, сколько сахара первый раз осталось. Если дать по 3 кг, нехватит 286 кг; значит, всего сахара было (Злг —286) кг.

Если выдать всем по 2,5 кг, а всего, значит, 2,5 х килограммов, то останется

3jc — 286 — 2,5л:, а это, по условию задачи, составляет 95 кг.

Значит, Зх — 286 — 2,5л: = 95;

- = 95-f-286; 2

х= 190 + 572 = 762.

Итак, всех пайщиков было 762 человека. Сахару было 762.3 — 286 = 2286 — 286 = = 2000 (кг) = 2 (т).

Примечание. Данная задача представляет собой пример, когда выгоднее было бы несколько отступить от правил составления уравнений вообще и составить уравнение таким образом:

Когда дали всем членам по 2,5 кг, то осталось 95 кг, значит, всего сахару было (2,5 x JC2.+95) кг; если же дать всем членам по 3 кг, то нехватает 286 кг; значит, всего сахару было (Зх—286) кг; отсюда 2,5л: + + 95*=3л: — 286.

На такие случаи (когда выгоднее составлять не одно, а два выражения одной и той же величины) учащиеся натолкнутся не раз, но это не умаляет значения основных правил составления уравнений. Усвоив эти последние, учащиеся в процессе работы сами научатся варьировать их, так же, как они, усвоив общие правила решения уравнений, в процессе работы приобретают навыки сокращенных приемов решения их.

7. План проработки темы

Учитывая все вышеизложенное, а также и соображения, изложенные в имеющейся у нас по этому вопросу методической литературе, можно предложить следующий план проработки этой темы.

I. Предварительные упражнения в составлении алгебраических выражений и формул: Шапошников и Вальцов, ч. 1-я, гл. I, № 1—40; 234—243; 41—55 и упражнения, помещенные в «Приложении» к данной статье.

Упражнения эти можно проделать до составления уравнений, отводя на них по 8—10 минут на нескольких предыдущих уроках.

II. Решение задач на составление и решение уравнений из сб. задач Шапошникова и Вальцова, ч. 1-я, гл. VI, № 387, 424, 433, 434, 548.

Это так называемые «прозрачные» задачи. Их в учебнике всего 5, следовало бы дать несколько больше.

III. Решение задач из той же главы—№ 376, 379, 380, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 392, 393, 395, 396, 397, 423, 435, 524, 527, 529, 530, 531, 533, 557.

Эти задачи требуют уже умения до составления уравнения выражать простейшие зависимости между величинами.

IV. Объяснение правил составления уравнений при решении сложных задач и решение задач из той же главы—№ 388, 391, 394, 398, 409, 418, 426, 432, 444, 451, 460, 463, 464, 466, 472, 536, 538, 543.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Упражнения на составление алгебраических упражнений и формул, которые можно рекомендовать проделать до объяснения составления уравнений.

При этом в более трудных случаях следует перед примером с буквами проделать аналогичный пример с определенными числами.

Алгебраические выражения

Учащиеся вспоминают, что такое алгебраическое выражение, как оно называется (а+£ сумма, — частное и т, д.); сложные алгебраические выражения называются по последнему действию (ab-\-c называется суммой,--частным и т. д.).

Затем учащиеся проделывают упражнения из сб. задач Шапошникова и Вальцова, ч. 1-я, § 1, № 1—28, 32—40, § 7, № 234—243. Кроме того, в целях лучшей подготовки учащихся к составлению уравнений полезно дать следующие упражнения:

1. Частное двух чисел k, делитель а, остаток е; определить делимое.

2. Даны числа а и Ь.

а) Найти —их суммы; произведения.

б) На сколько первое число больше второго? Второе больше первого?

в) Какую часть всей суммы составляет первое число?

г) Найти процентное отношение первого числа ко второму. Первого числа к сумме. (Здесь, кстати, можно повторить основные задачи на проценты.)

д) Написать среднее арифметическое чисел а и Ь.

е) Написать число, которое на 5 больше а; в 5 раз больше Ь; вдвое больше суммы а и Ь.

ж) Счет прямой от а — 5; обратный.

3. Даны два именованных числа: а килограммов b граммов и с килограммов.

а) На сколько граммов первое число больше второго?

б) На сколько килограммов первое больше второго ?

в) Во сколько раз первое число больше второго ?

г) Если а килограммов b граммов стоят с руб., то сколько рублей стоит 1 кг'? Сколько копеек стоит 1 г?

4. Один рабочий может окончить некоторую работу в а часов, другой — в b часов.

а) Какую часть работы сделает первый в 1 час? Второй в 5 часов?

б) Какую часть они вместе сделают в 1 час?

в) Через сколько часов они вместе сделают всю работу?

5. Переднее колесо экипажа имеет в окружности а метров, заднее — b метров 20 см. Пройденное расстояние р метров.

а) Сколько оборотов сделало переднее колесо? Заднее?

б) На сколько оборотов переднее колесо сделало больше заднего?

6. Отцу а лет, сыну b лет.

а) Сколько лет им будет через 5 лет.? Сколько лет было каждому 5 лет назад?

б) Во сколько раз отец будет старше сына через 5 лет?

7. Основание прямоугольника а метров, высота — b метров.

а) Чему равна площадь?

б) Что сделается с площадью, если основание увеличить на 3 л?

в) Что сделается с площадью, если основание увеличить на 3 м, высоту — на 4 м?

8. Некоторое тело проходит а километров в р часов; другое — £ километров с. метров в к часов.

а) Определить скорость этих тел в километрах и часах; в метрах и минутах; на сколько метров первое тело проходит в минуту больше второго?

Формула.

Учащиеся вспоминают, что такое формула, и проделывают упражнения из сб. задач Шапошникова и Вальцова, ч. 1-я, гл. 1, § 2, № 41-55.

После этого преподаватель дает необходимые указания к составлению уравнений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ С ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ*

Н. СЕМЕНОВ (Ленинград)

«На алгебру надо смотреть, как на науку о функциях».

(Lagrange — «Leçons sur la calcul des fonctions», 1804).

Решение уравнений проходит через весь курс обучения математике в школе.

Посмотрим, как определяют большинство авторов учебников для средней школы уравнение, а также авторы книг по теоретическим основам науки.

1) «Равенство, состоящее из двух нетождественных алгебраических выражений, называется уравнением»1.

2) «Уравнением называется буквенное равенство, верное не при всяких значениях входящих в него букв, а только при некоторых»2.

3) «Алгебраическое равенство, первая и вторая части которого получают равные значания только при известных значениях некоторых букв, входящих в них, называется алгебраическим уравнением»3.

4) «Если обе части равенства, содержащего одну или несколько букв, имеют одинаковую численную величину не при всяких численных значениях этих букв, то оно называется уравнением, а числа, обозначенные этими буквами, называются неизвестными (числами) уравнения»4.

5) «Уравнением называется такое равенство, которое содержит одну или несколько букв и оправдывается только при некоторых определенных значениях этой буквы или этих букв»5.

* В порядке обсуждения.

В процессе рассмотрения этого вопроса об уравнении в «Методике алгебры»6 читаем:

«Уравнение нельзя рассматривать, как утверждение наличия равенства между двумя или несколькими выражениями. На уравнение надо смотреть, как на вопрос: существуют ли такие значения неизвестных, при которых левая часть равна правой, а если существуют, то указать, чему они равны». Но вопрос об уравнении в этой книге поставлен так, что совокупность связанных между собой понятий о функции, равенстве и т. д. не представляет собою органического целого.

Вопрос об уравнении, при научной трактовке его, представлен в следующем виде:

«Даны две функции 9 (л:, у> z.. .t) и у (х, у, z...t); спрашивается: 1) существуют ли такие значения (а, Ьу с.. . k) системы аргументов, которым отвечают равные значения 9 (a, b, с.. .k) и у (a, b, c...k) функций 9 и у?

2) Если существуют, то каковы эти значения?

Эти два вопроса, тесно связанные между собой, принято условно выражать тем же самым символом

9 (х, у, z...t)=y (х, у, z...t)*t

которым выражают обыкновенное равенство, но который в данном случае — и это следует твердо помнить — имеет совершенно иное значение. В этом новом значении символ (*) называется уравнением»7.

Просматривая эти определения, видим, что большинство авторов называют уравнением равенство, справедливое не при всех значениях букв; только в двух последних, вернее последнем определении, имеем дело с новой точкой зрения на уравнение.

Авторы, которые называют уравнением равенство, справедливое не при всяких значениях букв, при этом впадают в очевидное противоречие сами с собой, так как, исследуя уравнение ах = Ь, при а = 0; Ь = 0, обнаруживают, что оно справедливо при всяких значениях х.

После приведенного определения уравнения А. Киселев пишет: «Может даже случиться, что уравнение совсем не имеет корня. Таково, например, уравнение х2 = = — 4; какое бы положительное или отрицательное число мы ни подставили на место с, квадрат этого числа не может равняться отрицательному числу»4.

Нельзя говорить, что уравнение jc2 = — 4 не имеет корня, не указывая, в области каких чисел отыскивается решение.

Решая в тригонометрии уравнение sin х = = 2, преподаватель математики вынужден бывает, прежде всего, решить вопрос о существовании такого значения л:, которое отвечает на поставленный вопрос, указывая область изменения х.

Иными словами, преподаватель не сохраняет определение уравнения до конца, предлагаемое авторами учебников для средней школы, а делает отступления, часто не замечая этого.

Так как в математике сплошь и рядом рассматриваются уравнения, не имеющие решения, а с другой стороны — рассматриваются и такие уравнения, которые имеют бесчисленное множество решений, то отсюда следует, что уравнение неправильно определять, как такое равенство, которое справедливо не при всех значениях входящих в него букв, как это обычно делается.

Предложение, утверждающее, что одно число равно другому, называется равенством.

«Уравнение не есть равенство; то и другое существенно разные вещи: правая и левая части равенства суть числа, части уравнения суть функции; равенство выражает некоторое утверждение относительно чисел, уравнение выражает вопросы относительно функций»8.

Прежде чем перейти к изложению того, какая постановка вопроса об уравнении может быть признана правильной, необходимо иметь в виду следующге:

1) «На алгебру нужно смотреть, как на науку о функциях». Впервые эта точка зрения о функциональной природе уравнения была высказана, повидимому, Лагранжем в 1804 г. («Leçons sur la calcul des fonctions», 1804).

Дальнейшее развитие этого вопроса, применительно к условиям средней школы, мы найдем у В. Ф. Кагана в книге — «Что такое алгебра» (изд. «Mathesis», 1910). Там мы читаем (стр. 63): «Изучение алгебраических функций представляет предмет алгебры».

Элементарная алгебра рассматривает алгебраические функции 1-й и 2-й степени.

2) Вопрос может быть удовлетворительно решен в том случае, когда понятие о функции будет вполне выяснено учащимся.

Не будет противоречить функциональной точке зрения на уравнение такая первоначальная постановка этого вопроса: дано алгебраическое выражение 3v-|—12 и дано алгебраическое выражение 2л:-[-14 (с тем же неизвестным). По отношению к ним могут быть поставлены такие вопросы:

1) Существует ли такое значение неизвестного, при котором оба алгебраических выражения принимают равные значения?

2) Если существует, то какое?

Предложение, об'единяющее оба эти вопроса, называется уравнением. Ответить на оба вопроса коротко называется — решить уравнение.

Таким образом, окончившие VII классов будут знать, что уравнение — предложение, заключающее в себе вопросы...

В VIII классе постановка вопроса об уравнении может быть такая:

I. Даны две функции переменной х:

ft (*) = 3*:+12 и /2 (jc) = 2*+14.

По отношению к ним могут быть поставлены такие вопросы:

1) Существует ли в указанной области чисел (например в области рациональных чисел) такое значение переменной х, которому соответствуют равные значения функций Л (*) и /а (к)?

2) Если существует, то какое?

Эти вопросы в символической форме записывают так:

ft (х)=/2 (*), или Злг-f 12 = 2х-[-14.

Полученная запись, объединяющая оба эти вопроса, и называется уравнением. Ответить на оба вопроса называется коротко — решить уравнение. Функция /х (л:) называется левой частью, а /2 (х) — правой частью уравнения.

Первое определение.

Предложение, заключающее в себе вопросы: существует ли в рассматриваемой совокупности чисел такое значение независимой переменной х, которому соответствуют равные значения данных функций ft (х) и jg (л:), а если существует, то какое, —называется уравнением.

II. Предлагаем задачу:

«Существует ли среди прямоугольников с высотой, равной 6 ед., такой прямоугольник, что число, выражающее площадь его в квадратных единицах, равно числу, выражающему периметр в линейных единицах?»

Задача может быть решена несколькими способами.

1) Табличный способ (способ подбора).

a j

5

Р

1

6

14

2

12

16

3

18

18

4

24

20

а — основание прямоугольника, 5 — площадь, Р — периметр

2) Графический способ.

Параллельно с составлением числовой таблицы идет построение графиков функций.

Графики этих функций строим на отдельных листках: один чертеж на бумаге и другой— на кальке или стекле.

Наложив чертежи один на другой, устанавливаем, что существует точка пересечения; среди прямоугольников с высотой, равной 6 ед., существует такой, что число, выражающее площадь его в квадратных единицах, равно числу, выражающему его периметр в линейных единицах.

При работе рассматриваются достоинства и недостатки указанных способов. Делается указание, что табличный способ нельзя упрекнуть в ненаучности (см. решение уравнений высших ступеней).

3) Аналитический способ.

Выводятся формулы площадей и периметров:

S — 6х; Р = 2л:+12; 6лг = 2*4-12; 4л;:=12; х = 3.

Решая поставленную задачу различными способами, все время обращаем внимание на область изменения аргумента.

III. Вторая задача:

«Среди прямоугольников с высотой в 2 ед. существует ли такой прямоугольник, у которого число, выражающее площадь его в квадратных единицах, равно числу, выражающему периметр в линейных единицах?»

Способы решения: табличный, графический, аналитический.

Ответ. Такого прямоугольника нет: х.2 = л:.2 + 4; 4=£0.

IV. Третья задача:

«Среди прямоугольников с высотой в 1,5 ед. существует ли такой прямоугольник, что число, выражающее площадь его в квадратных единицах, равно числу, выражающему периметр в линейных единицах?»

Способы решения: табличный, графический, аналитический.

Обращаем внимание на область изменения аргумента. Делаем заключение: в области абсолютных чисел задача не имеет решения и уравнение не имеет решения; в области относительных чисел уравнение имеет решение.

При этом следует иметь в виду, что при решении различных задач на составление уравнений одна из частей уравнения может

быть постоянным числом и, между прочим, нулем.

Какое определение уравнения можно предложить в этих случаях?

Второе определение.

Предложение, заключающее в себе вопросы: существует ли в рассматриваемой совокупности чисел такое значение аргумента х, при котором функция f(x) принимает данное значение А (или значение, равное 0); если существует, то какое,— называется уравнением.

Решение вида /(jc) = 0 называют корнем функции.

В X классе можно познакомить учащихся с следующим определением уравнения:

Третье определение.

Предложение, заключающее в себе вопросы:

1) Существует ли в рассматриваемой совокупности чисел такое значение (независимой переменной) аргумента х, при котором функция / (а:) принимает данное значение, например А?

2) Если существует, то при каком условии?

3) Если существует, то единственно ли?

4) Если не единственно, то сколько таких значений?

5) Если существует (существуют), то какое (какие) — называется уравнением8.

В определении уравнения (II) и (III) выражение спри котором функция принимает данное значение А* можно заменить, в зависимости от вида уравнения, словами: «при котором две функции ft (х) и /2 (л:) принимают равные или ft (х) принимает значение, равное 0».

Такая разработка учения об уравнении будет соответствовать тем задачам, которые будут ставиться перед учащимися в высших учебных заведениях.

ЛИТЕРАТУРА

1 Безикович Я. С. — «Курс алгебры», ч. 1-я, Л., 1927 (стр. 41—42).

2 Рашевский К. Н. — «Элементарная алгебра», Гиз, М., 1924 (стр. 78).

3 Виноградов С. П. — «Повторительный курс алгебры», М., 1914 (стр. 153).

4 Киселев А.—«Алгебра», ч. 1-я, Гиз, М., 1933 (стр. 73-74).

5 Таннери Ж.—«Основные положения математики», СПБ, 1914 (стр. 82).

6 Бронштейн С.— «Методика алгебры», Гиз, 1935 (стр. 94—95).

7 Комаров В. Н. — «Теоретические основы арифметики и алгебры», Гиз, М.— Л., 1929 (стр. 263, 265).

8 Компанийц П. А.— «Семь арифметических действий», СПБ, «Математика в школе», вып. V, Л., 1926.

О ПРОВЕРКЕ ДОМАШНИХ РАБОТ ПО МАТЕМАТИКЕ

Доц. В. РЕПЬЕВ (г. Горький)

При правильной постановке преподавания математики учащиеся выполняют довольное большое количество разнообразных домашних работ. Систематическая регулярная домашняя работа является необходимейшим условием для получения математических знаний, умений и навыков высокого качества.

Виды домашних работ достаточно разнообразны. Учащиеся дома должны повторить определения новых математических понятий, научиться четко формулировать эти опредения; затем надо изучить разобранные в классе доказательства теорем, научиться воспроизводить эти доказательства и читать формулировки теорем, правил; далее надо решить задачи, примеры; наконец, иногда надо приготовить чертежи, модели и т. д.

Успех выполнения домашней работы зависит от трех основных факторов: а) от качества работы преподавателя с классом на уроке;

б) от тщательности подготовки преподавателя к заданию домашней работы; и в) от качества проверки домашних работ.

Тема статьи не позволяет заняться первым основным фактором — качеством урока.

В отношении подготовки преподавателя к заданию домашней работы кратко, в тезисной форме, наметим основные руководящие положения:

1) Все предлагаемые учащимся задачи, примеры и другие упражнения преподаватель должен выполнить сам с целью убедиться в их трудности, с целью иметь необходимые ответы по отдельным этапам вычислений и окончательный ответ.

2) Давая задания, преподаватель тщательно продумывает его посильность. Домашняя работа должна быть посильна ученику с посредственной успеваемостью.

3) Для учащихся с хорошей и отличной

успеваемостью иногда полезно давать дополнительные домашние задания.

4) Домашняя работа должна быть посильна и в отношении времени, необходимого для ее выполнения. Рекомендуется домашнюю работу по математике давать из такого расчета, чтобы время ее выполнения равнялось, примерно, половине учебного времени, отводимого по сетке. Например, в VIII классе в течение шестидневки математика имеет 4 часа; домашняя работа по математике, примерно, дается на 2 часа.

5) Расчет времени на решение задач и примеров производится из учета средних темпов работы класса на уроке. Например, в VII классе на тренировочном уроке на умножение и деление алгебрических дробей решено 10 примеров. В этом случае на домашнюю работу, рассчитанную, приблизительно, на 25 — 30 минут, можно дать 5 примеров той же трудности.

Все многообразие домашних работ, выполняемых учащимися, требует постоянного наблюдения и контроля со стороны преподавателя. Как правило, преподаватель должен проверять и контролировать все домашние работы, которые он дает учащимся. Необходимо четко представлять цели проверки и контроля.

1) Первая цель контроля домашних работ заключается в проверке самого факта выполнения работы каждым учеником и в стимулировании дальнейшего выполнения работ. Преподаватель обязан всегда знать, выполняет ли домашнюю работу тот или другой его ученик, всю ли работу он выполняет, регулярно ли выполняет, и если не выполняет, то почему, какие причины мешают его занятиям, как устранить причины. Практика школ и отдельных классов отлично показывает, что если преподаватель тщательно и систематически следит за выполнением домашних работ, то, как правило, все учащиеся класса втягиваются в эту работу и выполняют ее. Как только преподаватель ослабит контроль над выполнением домашней работы, незамедлительно начинается падение числа учащихся, выполняющих домашние задания.

2) Вторая цель контроля домашней работы заключается в проверке качества выполнения у каждого учащегося, во внесении поправок, исправлений и дополнений в работы тех учащихся, которые окажутся несовершенными. Преподаватель должен знать не только, каждый ли ученик выполняет работу, но и каково качество этого выполнения. В частности преподаватель должен знать, достаточно ли глубоко ученик понимает доказательства теорем, выводы правил, как ученик ориентируется в решении задач, каковы его дефекты в этом вопросе, как он решает примеры, каковы ошибки и т. д.

3) Третья цель заключается в учете преподавателем своей собственной работы, в самоучете. Изучая домашние работы учащихся, преподаватель может вскрыть те методические и дидактические промахи, которые он допустил при изложении того или другого раздела программы; он может обнаружить, что недопонято учащимися, что исказилось в их понимании, какие навыки недоработаны и т. д. Фиксируя свои ошибки, преподаватель вместе с этим намечает систему корректирующих, упражнений, которые должны исправить допущенные ошибки. Преподаватель часто упускает из виду, что проверка домашней работы учащихся есть вместе с тем и проверка работы самого учителя, проверка качества его уроков.

Некоторые математические главы имеют особо существенное значение при изучении математики. Перед преподавателем стоит задача сосредоточить энергию учащихся на изучении таких глав. Одним из способов являются различные мероприятия, применяемые в процессе проверки, контроля домашних работ, которые побуждают учащихся усилить работу по изучаемой главе, повторить вопросы теории, пересмотреть практический материал. Таким образом, контроль над домашней работой является стимулом для развития углубленной работы по той или другой ответственной главе курса математики.

В зависимости от характера домашней работы и способов ее выполнения контроль над ней можно подразделить на три основных вида:

I. Проверка в классе работ, подготовленных учащимися, устно, без фиксации материала в тетрадях.

II. Проверка в классе работ, выполненных письменно (примеры, задачи) или как-либо иначе зафиксированных (чертежи, графики, модели).

III. Проверка письменных работ учителем дома.

Оставляя пока последний вид проверки домашней работы, остановимся на тех трудностях, которые свойственны первым двум видам. Общее у них то, что проверка производится в классе во время урока. Вполне

естественно эту проверку производить в начале урока. Наблюдения за учащимися во время проверки, изучение их отношения к этой проверке показывают, что большинство учащихся отрицательно реагируют на эту проверку. Этот факт заслуживает серьезного внимания: проверка в начале урока иногда является своеобразной зарядкой на весь урок. Проанализируем отношение учащихся к этой проверке. Допустим, что в каком-либо классе проверяется домашняя работа по решению примеров и задач. Часть учащихся, чаще всего наиболее успевающая, задачи и примеры решила, нашла ответы и проверила по ним свою работу, может быть, проверила и другими способами, уверена в правильности решения,— эта часть учащихся не проявляет интереса к проверке: нет ничего, что бы их заинтересовало в проверке. А отсюда отсутствие интереса к проверке, формальное отношение к ней. Проверка вызывает нежелательные реакции.

Другая часть учащихся по разнообразным причинам не выполнила домашнего задания. Этой части учащихся во время проверки делать нечего: они остаются «безработными», они не участвуют в педагогическом процессе, не связаны с ним, а значит проверка не может вызвать у них положительных реакций.

В результате оказывается, что значительная часть учащихся, с точки зрения интересов педагогического процесса, дает отрицательные реакции при проверке домашней работы. А это вызывает неизбежные следствия: падение интереса к уроку, снижение делового настроения, падение дисциплины. И все это— в начале урока, все это оказывает более или менее сильное влияние на весь дальнейший ход урока.

Вот в силу этого проверка домашней работы и является делом трудным, а при некотором недостатке педагогического мастерства у преподавателя, при некотором отсутствии такта — даже катастрофическим для всего урока. Надо заметить, что педагог не всегда осознает эти трудности и причины, вызывающие их, а потому не всегда умело реагирует на преодоление этих трудностей.

Как же устранить те трудности и опасности, которые сопутствуют классной проверке домашней работы?

а) Прежде всего при зад нии домашней работы необходимо соблюдать те указания, которые даны выше. Особенно важно, чтобы все задачи, примеры и другие упражнения были решены и выполнены самим преподавателем.

б) Необходимо использовать все многообразие оправданных опытом приемов проверки домашних работ. Вдумываясь в характер той или другой части домашней работы, преподаватель намечает наиболее целесообразные приемы проверки.

в) Следует помнить, что, как правило, проверка должна отличаться непродолжительностью, краткостью. Если по тем или другим причинам проверка принимает затяжной характер, то такую проверку иногда целесообразно переплетать с упражнениями, новыми для учащихся — с решением примеров и задач.

г) Если прием проверки позволяет втянуть в активное участие большинство учащихся, то следует этим воспользоваться: чем больше учащихся будет втянуто в активную проверку, тем выше будет педагогический эффект.

д) При организации проверки особенную ценность приобретают такие черты преподавателя, как находчивость, умение быстро и легко перестроиться в процессе урока.

Перейдем к описанию и характеристике отдельных приемов проверки выполнения домашней работы. В первую очередь остановимся на приемах проверки работы, подготовляемой учащимися устно.

1) Во всех математических предметах большую роль играют определения новых понятий, формулировки теорем, следствий из них, знание правил. К этому материалу пред'являются высокие требования: все формулировки должны быть точны, кратки и безукоризненны с точки зрения языка. Учащиеся должны очень многие формулировки помнить длительное время. В силу всего этого в качестве домашнего задания часто дается изучить те или другие формулировки. Часто приходится производить и проверку усвоения этих формулировок. Прием проверки такой: пользуясь вопросно-ответной формой работы, преподаватель выясняет, каково качество домашней работы, выявляя тех, кто недостаточно овладел необходимыми формулировками.

Пример. В VI классе изучены все случаи равенства треугольников. Преподаватели-практики знают, что в этот период обучения геометрические формулировки затрудняют учащихся, им приходится уделять большое внимание. А теоремы о равенстве треугольников требуют особенно большого внимания: они крайне часто встречаются в последующем курсе геометрии. В предыдущий урок преподаватель предложил повторить все формулировки теорем о равенстве треугольников. Проверка организуется в начале урока.

— Буду проверять, как вы читаете теоремы о равенстве треугольников. Книжки и тетради

закройте! Внимание!.. Как читается теорема о первом случае равенства треугольников?

Небольшая пауза. Учащиеся вспоминают нужную теорему и сигнализируют о готовности отвечать поднятием рук.

Когда значительное большинство рук поднято, начинается проверка. Учитель спрашивает не только тех, кто поднял руки, но и тех, кто не сделал этого.

— Надя Андреева! Скажите теорему!..

— Она смысл теоремы передала верно, но допустила некоторую неточность. В чем недостаток ее формулировки?.. Петя Моисеев!..

— Игорь Соколов! Прочитайте еще раз теорему!..

Наконец, обращаясь к слабой ученице, преподаватель предлагает ей еще раз повторить теорему.

— Как читается теорема о третьем случае равенства треугольников?..

— Маруся Вишневская! Читайте теорему!

— Петя Голубев! Повторите еще раз.

Таким же порядком продолжается дальнейшая проверка. Ее особенности в том, что все учащиеся втягиваются в работу: каждый вспоминает теорему, сигнализирует о готовности отвечать. Учитель в небольшой промежуток времени спрашивает значительное число учащихся, отмечая в случае надобности тех из них, которые дают плохие ответы. Диалог с критическими замечаниями, с указанием ошибок, поправками и, наконец, совершенными формулировками придает работе живость, заинтересовывает учащихся, дает с начала урока хорошую зарядку к дальнейшему развертыванию урока. Надо отметить и то, что такой вид работы является хорошей школой для развития языка учащихся.

2) В системе изучения математики существенное значение играет доказательство теорем, обоснование правил. Научиться доказывать можно путем систематической практики в доказательствах. В силу этого в качестве домашнего задания учащиеся часто получают — изучить доказательство теоремы, повторить вывод правила. Способом проверки может служить воспроизведение учащимся доказательства на классной доске. Работу целесообразно организовать так: классная доска подразделяется на 2—4 части. Соответственно этому к доске приглашаются 2—4 учащихся. Каждый из них получает задание доказать одну из тех теорем, которые повторялись дома. Учащийся должен произвести на доске чертеж, записать, что дано, что требуется доказать и доказательство. На это ему дается несколько минут. После этого он должен связно и толково рассказать доказательство теоремы и дать ее формулировку. Пока вызванные к доске учащиеся подготовляют чертежи и выкладки на доске, преподаватель производит с оставшейся частью класса проверку домашних работ каким-либо другим приемом — спрашивает формулировки теорем, проверяет задачи и т. д. или же ведет решение несложных задач в порядке устного счета.

Когда один из вызванных к доске учащихся подготовит доказательство, преподаватель мобилизует внимание класса, чтобы заслушать доказательство, и предоставляет слово ученику. Чтобы внимание класса было мобилизовано, преподаватель привлекает класс на помощь отвечающему ученику, ставя в удобных случаях вопросы всему классу и опрашивая отдельных учащихся.

Таким же порядком заслушивается второй, третий и т. д. учащийся. Иногда, если отвечающий ученик допустил ошибку, преподаватель предлагает классу найти эту ошибку и выправить доказательство.

Для эффективности описанного вида проверки преподаватель математики должен вести настойчивую борьбу, чтобы классные доски были больших размеров, чтобы одновременно у доски могли работать 3—4 и больше учащихся.

Переходим к обзору различных видов классной проверки домашних работ, выполненных письменно или как-либо иначе зафиксированных.

1) Чтобы проверить самый факт выполнения каждым учеником домашней работы, можно использовать летучий осмотр тетрадей в начале урока с учетом тех учащихся, которые работы не выполнили. Как правило, при таком осмотре контролируется самый факт выполнения, а качество работы не контролируется. Однако в математике имеются и такие задания, которые можно оценить и с качественной стороны при летучем осмотре: это задания по вычерчиванию графиков и некоторые другие работы, качество которых легко оценить быстро, одним взглядом на работу. Проверка таких заданий особенно эффективна рассматриваемым приемом.

Пример. Учащимся VIII класса предложено построить несколько графиков функции у —ах2 + Ьх-{-с. Преподаватель начинает урок с летучего осмотра тетрадей.

— Приготовьте тетради! Сравните вычерченные дома графики — сосед с соседом. Если найдете ошибки, исправляйте их!..

Втянув всех учащихся в проверку домашней работы, преподаватель обходит всех учащихся и проверяет факт выполнения работы. В журнале, в особой графе, отмечает уча-

щихся, не выполнивших задания, и выясняет причины, мешавшие выполнению.

Домашняя работа имеет такой характер, что легко оценить, правильно или неправильно она выполнена. При осмотре преподаватель указывает тому или другому учащемуся на допущенные ошибки и предлагает их устранить.

2) Для проверки факта выполнения каждым учащимся домашнего задания можно использовать особо назначаемых «ассистентов» из учащихся. В зависимости от числа учащихся в классе, преподаватель назначает 2—3 человек, отличающихся аккуратностью в выполнении работ, и поручает им просмотр тетрадей с целью выяснения, выполнена или не выполнена домашняя работа тем или другим учеником. Этот просмотр делается перед началом урока, а в начале урока «ассистенты» сообщают преподавателю, кто не выполнил урока. Преподаватель учитывает это и принимает те или другие организационные меры, если в этом явится надобность. Работа «ассистентов» идет удачно в дисциплинированных классах, обладающих правильным пониманием товарищеских взаимоотношений. Конечно, работа «ассистентов» должна проверяться.

3) Независимо от других способов проверки домашних работ, преподаватель может установить правило, что каждый учащийся, вызываемый к доске, подает преподавателю свою тетрадь. Такое мероприятие стимулирует учащихся к выполнению домашней работы, к опрятному содержанию тетрадей и к достижению высококачественных результатов. Такое мероприятие особенно надо рекомендовать в младших классах до VI включительно. В этих классах домашняя работа носит такой характер, что проверка ее еще несложна, поэтому преподаватель иногда очень быстро, взглянув в тетрадь, может установить не только факт выполнения работы, но и качество этого выполнения.

4) Если почему-либо ответы решаемых учащимися примеров и задач неизвестны им, то иногда уместно провести проверку решения путем сличения ответов или путем сличения результатов промежуточных действий и окончательных ответов. Преподаватель предлагает всем учащимся открыть домашние работы, вооружиться ручками и отмечать знаком вопроса все неверные ответы, с тем, чтобы затем внести в них исправления. Затем предлагает одному из учеников громко и неторопливо прочитать ответ первого действия в первой задаче. Далее так же зачитываются результаты других действий и окончательный ответ. Попутно преподаватель учитывает, у кого неверные итоги. Если таких ответов немного, он поручает учащимся исправить решение. Если же результаты проверки покажут, что ошибки носят массовый характер, то преподаватель производит какую-либо дополнительную проверку.

5) Если при проверке выяснилось, что какие-либо примеры или задачи некоторыми учащимися решались, но не решены, следует выполнить их решение на доске. Решение на доске можно поручить учащимся, сделавшим упражнения дома: это поддержит интерес у той части учащихся, которые упражнения выполнили, а вместе с тем позволит этот этап проверки закончить быстрее.

Если преподаватель предвидит, что проверка решения на доске может затянуться, то работу целесообразно организовать так: учащимся, выполнившим упражнения, преподаватель предлагает решать примеры или задачи по задачнику, а с учащимися, не выполнившими упражнения, производится решение на доске. Такой прием втягивает в работу всех учащихся класса и уничтожает на этом этапе проверки те трудности, которые ей свойственны.

6) Если преподаватель наблюдает, что выполнение какого-либо упражнения вызвало затруднения у значительной части учащихся, и если представляется возможным подобрать аналогичное упражнение, то можно выполненное домашнее упражнение временно оставить и предложить всем учащимся класса приступить к выполнению аналогичного упражнения. Такой прием заставляет работать всех учащихся класса и показывает учащимся пути решения примеров или задач, которых они не выполнили дома. Выполнив одно или несколько упражнений на уроке, преподаватель в очередное домашнее задание включает упражнения, которые учащиеся не сумели выполнить дома.

Теперь переходим к проверке тетрадей преподавателем вне урока, дома. Такая проверка является крайне трудной работой, требующей очень много времени. Только умелая организация этой проверки может помочь преподавателю выйти из затруднительного положения. Укажем основные приемы этой проверки.

1) Прежде всего отметим одновременную проверку тетрадей у всех учащихся класса. Такая проверка бывает особенно полезна, когда преподаватель начинает знакомиться с учащимися класса, а также в начале учебного года и после окончания особенно ответственных отделов и глав программы. Одновременная фронтальная проверка тетрадей

отличается большой трудоемкостью, а поэтому приходится применять и другие приемы проверки тетрадей.

2) Сообразуясь с наличием времени, которое преподаватель может затратить на проверку, можно произвести проверку последовательно по рядам: сегодня преподаватель берет тетради у одного ряда учащихся, через шестидневку — у другого и т. д.

3) Наконец, возможна выборочная проверка тетрадей. Преподаватель, готовясь к уроку, намечает тех учащихся, которые нуждаются в наибольшем контроле, составляет их список и затем в конце очередного урока предлагает им сдать тетради для проверки. Выборочная проверка позволяет держать под большим контролем тех учащихся, которые в этом нуждаются. Очевидно, что такую выборочную проверку можно провести тогда, когда преподаватель уже достаточно познакомился с каждым учащимся класса.

Напомним следующие общие правила, которых следует придерживаться при проверке тетрадей :

а) Проверка должна проводиться неторопливо, тщательно и аккуратно. Основное требование можно кратко формулировать так: ни одной пропущенной ошибки!

б) Существенным условием нормального педагогического процесса является выдержанность преподавателя, избежание излишней нервности. Это положение необходимо иметь в виду и при исправлении тетрадей: как бы ни волновали неудачные ученические работы, учитель должен сохранять выдержку, тщательно произвести необходимые исправления и сделать соответствующие замечания.

в) При исправлении тетрадей все поведение учителя должно быть таково, чтобы возможно меньше нервировать учащихся. Следует избегать резких, насмешливых, компрометирующих учащихся надписей, избегать уничтожающей критики и т. п. Все такие мероприятия ни в какой мере не будут способствовать занятиям по математике, ибо они создают подавленное настроение у учащихся, а иногда и у всего класса, мешающее дальнейшей продуктивной работе.

г) Индивидуальный подход к каждому ученику надо осуществлять и при проверке тетрадей: он выразится как в характере исправления ошибок, так и в характере тех надписей, которые сделает учитель в тетради.

д) Все исправления и надписи в тетрадях следует делать совершенно четко и разборчиво цветными чернилами или хорошим цветным карандашом: чтение исправлений и надписей не должно затруднять учащихся.

Кроме приведенных общих правил исправления тетрадей, укажем специальные правила для исправления математических тетрадей:

а) Если в работе допущены ошибки, которые ученик легко может найти и исправить сам, то следует только подчеркнуть ошибочное положение, формулу или вычисление и на полях сделать надпись, побуждающую ученика исправить ошибку, например: «Проверьте вычисления и исправьте их» или «Где ошибка? Исправьте ее».

б) Если работа выполнялась правильно, но не закончена, преподаватель делает надписи, побуждающие ученика закончить работу, например: «Закончите решение задачи» или «Закончите доказательство теоремы».

в) Если в тетради имеются довольно запутанные ошибки и если нет уверенности, что ученик сумеет вскрыть свои ошибки и дать верное доказательство или решение, то следует зачеркнуть ошибочные места и написать верные выкладки. Можно ограничиться тем, что верное доказательство или решение дается не полностью, а только постольку, поскольку это необходимо, чтобы вывести ученика из тупика, а затем предложить ему закончить выкладки.

г) Если работа совершенно абсурдная, обнаруживающая несостоятельность автора в той или другой главе или отдельных вопросах, можно отказаться от ее исправления, аккуратно зачеркнуть и предложить ученику доработать вопросы теории, а затем уже вновь приступить к выполнению письменной работы.

д) При проверке тетрадей преподаватель должен составить особую табличку типичных ошибок учащихся. Эта табличка служит необходимым материалом для проведения беседы с классом о выполнении работ и для наметки корректирующих указаний, которые преподаватель может дать для устранения недочетов, выявленных проверкой тетрадей.

К числу приемов проверки работ учащихся и, в частности, их домашней работы относятся контрольные письменные работы во время урока. Но вопрос о контрольных письменных работах является большим вопросом и не может быть освещен в рамках этой статьи.

ОСНОВНЫЕ ТИПЫ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

(Анализ стабильных учебников)

И. К. БРАУН

Решение «типичных» или, как их иногда называют, «алгебраических» задач в начальной школе и в V классе имеет громадное значение для развития математического мышления учащихся.

Недостаточная тренировка учащихся в решении этих задач всегда сказывается при составлении ими алгебраических выражений, формул и уравнений. Между тем, в наших стабильных задачниках таких задач, во-первых, недостаточно, во-вторых, они несистематически расположены; так, например, в задачнике для III класса дан (под № 443) один из труднейших типов задач (см. 2-й тип), и затем ни в III, ни в IV классе этот тип уже больше не попадается; только у Березанской в разделе «Целые числа» под № 172 и 270 приводятся еще 2 задачи на этот тип.

Мною указаны номера задач ко всем типам, и читатель увидит, как часто более трудные типы приводятся перед легкими, а главное — всего двумя-тремя задачами. Желая притти на помощь преподавателю арифметики, я расположил все встречающиеся в стабильных учебниках типы задач в порядке возрастающей трудности и указал номера задач к каждому типу. Нужно, однако, здесь заметить, что это сделано исключительно для преподавателя: преподаватель должен знать свой учебник, должен знать, какие типы задач и под какими номерами в них имеются. Что же касается учащихся, то было бы неправильно требовать от них заучивания решений этих типов и даже запоминания названий их. Основная цель решения этих задач — развитие математического мышления— будет достигнута, если учащийся, решив несколько задач того или другого типа, будет время от времени возвращаться к нему при прохождении следующих разделов арифметики.

Примечание. Здесь не приведены типы задач, решение которых дается в курсе арифметики, как обязательный программный материал (на проценты, на пропорциональное деление и др.).

Всего мною отмечено 14 различных (по зависимости между величинами) типов задач.

Эти типы следующие:

1-й тип (дана сумма и разность).

«Разделить 37 яблок между двумя мальчиками так, чтобы у одного из них было на 9 больше, чем у другого».

Решение.

Отложим в сторону 9 яблок; останется 37 — 9 = 28. Эти 28 яблок мы разделим поровну: 28:2=14; каждый мальчик, значит, получит по 14 яблок.

Наконец, дадим второму мальчику еще отложенные 9 яблок: 14 —|— 9 = 23.

Ответ: у одного будет 14 яблок, у другого 23 яблока.

Характер задачи и, конечно, решение ее не изменятся, если та же задача будет дана в следующей редакции: «У двух мальчиков было 37 яблок; у одного на 9 больше. Сколько было у каждого?»

Более сложный вариант этого же типа: «В 3 ящиках было 272 кг чаю. В первом на 20 кг больше, чем во втором, во втором— на 12 кг больше, чем в третьем. Сколько чаю было в каждом ящике?»

Решение.

Меньше всего было в третьем ящике; с этим ящиком мы и сравним второй и пер-

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ

Черт. 1

вый ящики: во втором было больше, чем в третьем на 12 кг; в первом было больше, чем во втором, на 20 кг, а, следовательно, больше, чем в третьем, на 20 -J- 12 = 32 кг.

Если из второго ящика вынуть эти лишние 12 кг, а из третьего 32 кг, всего 32 кг-\- 12 кг = 44 кг, тр во всех трех ящиках будет поровну, всего 272 кг — 44 кг = = 228 кг.

В каждом ящике тогда будет 228 кг : 3 = = 76 кг. Третий ящик мы не трогали, значит, там так и было 76 кг; во втором ящике стало 76 кг, когда из него вынули 12л;г: значит, в нем было 76 кг-\-12 лгг = 88 кг; в первом ящике стало 76 кг, когда из него вынули 32 кг: значит, в нем было 76 кг -f-4-32 кг= 108 кг.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ

Черт. 2.

Черт. 3

Перерезав эти отрезки по прямой AB, мы получим три равных отрезка, содержащих вместе 228 единиц.

Учащимся можно задать:

«По чертежу № 3 прочтите измененное условие задачи. Решите ее».

Упражнения к этому типу задач:

Попова Н. С, 1-я ч., № 36, 84, 85, 86, 87, 221, 456.

Попова Н. С, 2-я ч., № 367, 368, 369, 490, 522, 523, 542, 543, 544, 553, 605, 606 и

Березанская Е.С, Сборник арифметических задач для средних школ:

II. Целые числа: № 247, 275, 277, 280, 282.

IV. Простые дроби: № 246.

V. Десятичные дроби: № 251, 260, 296.

2-й тип (дана сумма или разность и отношение— «задачи на части»).

«В 3 кусках 250л материи; в первом куске вдвое больше, чем во втором, во втором— в три раза больше, чем в третьем.

Сколько в каждом?»

Меньше всего было в третьем куске; с этим куском мы и сравним второй и первый куски: если третий кусок принять за 1 часть, то во втором таких частей будет 3, а в первом— 6 (вдвое больше); всего тогда будет 6 частей -f- 3 части -f- 1 часть = 10 частей.

В каждой части 250 м: 10 = 25 м.

В третьем куске было 25 м.

Во втором » » 25л*Х°*= 75 л.

В первом » » 25 л*Хб = 150 л.

Черт. 4

Учащимся можно задать: «По чертежу № 5 прочтите измененное условие задачи. Решите ее».

Другой вариант той же задачи:

«В первом куске вдвое больше, чем во втором, во втором—втрое больше, чем в третьем. Сколько в каждом, если в третьем на 125 л меньше, чем в первом?»

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА

Черт. 5

Те же рассуждения:

В третьем куске 1 часть. Во втором куске 3 части. В первом куске 6 частей. В первом на 6 —1=5 частей больше, чем в третьем, или на 125 м, значит, 5 частей составляют \25 м. 1 часть =—— = 25 (метрам) и т. д.

Упражнения к этому типу задач:

Попова Н. С, 1-я ч., № 174,175,176, 179, 180.

Попова Н. С.,2-яч.,№ 353, 370—375, 545, 604 и

Березанская Е. С, Сборник арифметических задач для средних школ:

II. Целые числа: № 250, 254, 259, 263, 272, 281, 283, 284.

IV. Простые дроби: № 215, 219, 230, 279—286.

V. Десятичные дроби: № 229, 246. 3-й тип. Нахождение части от данного целого.

«Некто получает 200 руб. в месяц; — всей зарплаты он тратит на содержание семьи. Сколько денег ежемесячно ему остается?»

Решение.

Когда говорят «три четверти», то это означает, что целое разделили на четыре равные части и таких частей взяли три. В данной задаче целым числом (полной единицей) является зарплата; нужно, значит, зарплату разделить на 4 (чтобы узнать одну четверть) и полученное частное помножить на 3.

200:4 = 50; 50.3= 150.

Итак, на содержание семьи он тратит 150 руб.; остается ему 200 руб.—150 = = 50 руб. (черт. 6).

Черт. 6

Упражнения, см. Березанская Е. С.

II. Целые числа: № 163.

IV. Обыкновенные дроби №46—67.

Примечание. При проработке умножения обыкновенных дробей в V классе учащиеся узнают, что помножить какое-нибудь число (200) на дробь (“^“^ значит, найти от этого числа. Поэтому для нахождения — от 200 можно просто 200 помножить на — :

Упражнения:

Попова Н. С, 1-я ч.,№ 375, 396—406.

Попова Н. С, 2-я ч., № 491—496, 580, 581, 585.

Березанская Е. С, IV. Обыкновенные дроби: № 155, 160, 169, 171, 177, 182, 244, 256, 258, 278.

V. Десятичные дроби: № 148, 149, 224, 283, 284.

4-й тип. Нахождение целого числа по данной части.

«Завод выпустил 96 локомотивов, что составляло— всего заказа. Определить заказ».

Если три четверти всего заказа составляют 96 локомотивов, то одна четверть составляет 96:3 = 32, но так как целое число имеет 4 четверти, то оно (целое) будет равно 32*4= 128; значит, заказ составлял 128 локомотивов (черт. 7).

Этот тип задач встречается в различных вариантах. Приведем один из них.

Черт. 7

«Некто прочел — всей книги и увидел, что оставшаяся часть на 95 страниц больше прочитанной. Сколько страниц в книге?»

Решение. В книге всего было -g- ; после прочтения — осталось больше — на ----Л или на 95 страниц:значит,

х= 19-9 = 271 (черт. 8).

Черт. 8

Упражнения

Попова Н. С, 2-я ч., № 504—515, 598, 609.

Березанская Е. С.

IV. Обыкновенные дроби: № 68, 69, 70.

С дробными ответами: № 71, — 88, 226, 237—242, 249, 263, 265—277.

V. Десятичные дроби: № 198, 199, 207, 208, 232, 261.

5-й тип (исключение одного неизвестного).

«Некто купил 14 кг темной муки и \0 кг белой муки и заплатил всего 23 р. 40 к. Другой купил 14 кг темной муки и 12 кг белой и заплатил 24 р. 40 к. Сколько стоит 1 кг белой и 1 кг темной муки?» (черт. 9).

Запись: 14 кг т. —[— 10 лег б. стоят 23 р. 40 к. 14 кг т. —j— 12 лег б. стоят 26 р. 40 к.

Решение.

Второй покупатель купил больше, поэтому и заплатил больше; он купил больше на 12 кг — 10 кг = 2 кг. Заплатил он больше на 26 р. 40 к. — 23 р. 40 к. = 3 руб.

Значит, 2 кг белой муки стоят 3 руб., 1 кг белой муки стоит 3 руб. : 2 = 1 р. 50 к.

Узнаем теперь, сколько в первой покупке стоит вся белая мука:

Значит, 14к:г темной муки стоят 23 р. 40 к. — 15 руб. = 8 р. 40 к., а 1 кг темной муки стоит 8 р. 40 к.: 14 = 60 коп. 1-й покуп. 14 кг темн. м. и 10 кг белой стоят

23 р. 40 к.

2-й покуп. 14 кг темн. м. и 10 кг бел. стоят

26р. 40к.

2 кг бел. муки стоят разницу, т. е. 3 руб.

Варианты этого типа 1-й вариант:

«Некто купил 12 кг белой муки и 14 кг

Черт. 9

темной за 26 р. 40 к. Другой купил 1 кг белой и 3 кг темной муки и заплатил 3 р. 30 к. Сколько стоит 1 кг белой муки и 1 кг темной?»

Запись:

\2кг белой муки-{-14 кг темной муки стоят 26 р. 40 к.

1 кг белой муки -|- 3 кг темной муки стоят

3 р. 30 к.

Решение.

Допустим, что второй покупатель купил всего в 12 раз больше, т. е. 12 кг белой муки и 36 кг темной муки, тогда он и заплатил бы в 12 раз больше, т. е. 3 р. 30 к.^ X 12 = 39 р. 60 к.

Теперь сопоставим первую покупку со второй:

12 кг б. м. + Нлгг т. м. стоят 26 р. 40 к. 12 кг б. м. -j- 36 кг т. м. стоят 39 р. 60 к.

Второй раз куплено на 22 кг темной муки больше и заплачено на 13 р. 20 к. больше. Значит, 1 кг темной муки стоит 13 р. 20 к. : :22 = 60 коп. и т. д. (см. предыдущую задачу).

2-й вариант:

«Некто купил \2 кг белой муки и 14 кг темной муки за 26 р. 40 к. Другой купил 8 кг белой муки и \0 кг темной и заплатил 18 руб. Сколько стоит 1 кг белой и 1 кг темной муки?»

Запись:

12 кг б. м. -f- 14 кг т. м. стоят 26 р. 40 к. 8 кг б. м. —|— Î0 кг т. м. стоят 18 руб.

Уравняем количество белой муки, купленной в оба раза, таким образом.

Допустим, что первый купил вдвое, а другой втрое больше, чем они купили на самом деле; получим:

24 кг б. м.-(-28 кг т. м. стоят 52 р. 80 к. 24 кг б. м. —j— 30 кг т. м. стоят 54 руб.

Сравнивая теперь эти две покупки, мы видим, что второй раз куплено на 2 кг темной муки больше и заплачено ня 1 р. 20 к. больше, значит, 1 кг темной муки стоит 1р. 20 к.: 2 = 60 коп. и т. д.

Упражнения:

Попова Н. С, 1-я ч., № 231, 232, 433, 445, 446.

Попова Н. С, 2-я ч., № 376, 541, 607, 608.

Березанская Е. С.

II. Целые числа: № 252, 255, 256.

V. Десятичные дроби: № 230.

6-й тип. Смешение 1-го рода. «Смешано 8 кг конфет по 9 руб. килограмм, 12 кг по 7 руб. за килограмм. Сколько стоит 1 кг полученной смеси?»

8 кг по 9 руб. стоят 72 руб. 12 кг по 7 руб. стоят 84 руб.

Всего 20 кг смеси стоят 156 руб.

1 кг смеси стоит 156 руб. :20 = 7 р. 80 к.

Совершенно аналогично решается следующая задача:

«С одного поля в 12 га сняли по 7 ц пшеницы, с другого — в 24 га — по 10 с третьего— в 50 га—по 9 ц.

Определить средний урожай со всех трех полей».

12 га по 7 ц= 84 ц 24 га по 10 ц = 240 ц 50 га по 9 # = 450 ц

Всего с 86 га 774 ц

Средний урожай 774 ц: 86 = 9 ц с 1га.

Упражнения:

Березанская Е. С. V. Десятичные дроби: № 254, 280. 7-й тип. Простое тройное правило.

«7 кг некоторого товара стоят 28 руб. Сколько стоят 3 кг?»

Запись:

7 кг — 28 руб. 3 кг— X руб.

Решение.

1 кг стоит 28 руб. : 7 = 4 руб. 3 кг стоят 4 руб-ХЗ = 12 руб. Этот способ решения называется «приведением к единице».

Эту же задачу можно решить пропорцией таким образом:

3 : 7 —X : 28, откуда х= —-— =12 руб.

Варианты этой задачи:

а) «7 кг стоят 28 руб. Сколько килограммов можно купить за 20 руб.?»

Запись:

7 кг — 28 руб. X кг — 20 руб.

Решение.

1 кг стоит 28 руб. :7 = 4 руб. За 20 руб. можно купить 20 руб. : 4 руб.= = 5 кг.

Ответ 5 кг.

Или х: 7 = 20 : 28, откуда х =

b) «44 кг стоят 28 руб. Сколько стоят 55 /сг?»

44 кг — 28 руб. 55 кг— x руб.

В этой задаче не так просто в начальной школе определить, сколько стоит 1 кг. Мы определим, сколько стоят 11 кг\ они стоят в 4 раза меньше, чем 44 кг:

28 : 4 = 7 руб.

А 55 кг стоят в 5 раз больше, чем 11 кг, т. е. 7 руб. X 5 = 35 руб.

Примечание. Мы взяли 11 кг потому, что и 44 и 55 делятся на 11. Поэтому этот способ решения называется «приведением к общему делителю».

Пропорцией:

55: 44 = х :28

55-28 х = —— =35. 44

c) «1*5 рабочих могут выполнить некоторую работу в двенадцать дней; во сколько дней ту же работу могут выполнить 10 рабочих?»

Здесь соотношение величин иное, чем в предыдущих задачах, а именно: во сколько раз уменьшится число рабочих, во столько же раз увеличится число требующихся рабочих; такие величины называются обратно-пропорциональными.

Запись:

15 рабочих— 12 дней; 10 рабочих — x дней.

Решение.

Мы узнаем, во сколько дней окончит работу 1 рабочий; 15 X 12 =180 дней. Одному рабочему нужно 180 дней, а 10 рабочим — в 10 раз меньше:

180 :10 = 18 (дней).

Пропорцией:

10 :15=12:лг;

Упражнения:

Попова Н. С, 1-я ч., № 65, 407, 411, 412, 415, 419.

Попова Н. С, 2-я ч., № 590, 628.

Березанская Е. С.

II. Целые числа: № 175, 260, 261, 263, 264, 265, 266, 267, 268.

V. Десятичные дроби: №210—211, 293

VI. № 123—204.

8-й тип (задача на встречу движущихся тел).

«Между станциями А и В — 275 км. Со станции А выходит поезд и проходит в час 25 км; со станции В в то же время выходит другой поезд, делающий в час 30 км. Через сколько часов и на каком расстоянии от А поезда встретятся?»

Решение.

В один час оба поезда пройдут, т. е. приблизятся друг к другу, на 30 км -}--|-> 25 км = 55 км.

Чтобы пройти вместе все расстояние, т. е. чтобы встретиться, им нужно 5 часов; 275:55 = 5; за это время поезд, вышедший из А, пройдет 25 км X 5 = 125 км, а поезд, вышедший из В, пройдет 30 кмХ5 = = 150 км (черт. 10).

Упражнения:

Березанская Е. С.

IV. Простые дроби: № 262.

V. Десятичные дроби: № 150, 259, 265.

9-й тип (одно тело догоняет другое).

«Со станции А выходит поезд, идущий со скоростью 30 км в час; через 2 часа вслед за ним с той же станции выходит другой поезд со скоростью 50 км в час. Через сколько часов и на каком расстоянии от А второй поезд догонит первый?»

Решение.

За два часа первый поезд успел уже пройти 30 кмУ^2 = 60 км. Значит, в момент выхода второго поезда между ними

Черт. 10

Черт. 11

было 60 км. Что будет через час? Второй поезд уйдет на 30 км, а первый вслед ему пройдет 50 км, т. е. расстояние между ними уменьшится на 20 км.

Всего понадобится 3 часа (60 км : 20 км= = 3), чтобы второй поезд догнал первый; 50 /сл*Х 3=150 км.

Упражнения:

Березанская Е. С.

IV. Простые дроби: № 259, 260.

V. Десятичные дроби: № 258,295. 10-й тип.

К предыдущему типу очень близко подходят задачи вроде следующей:

«Куплено ситца по 3 руб. за метр и на такую же сумму денег—сатина по 5 руб. за метр; ситца было на 20 м больше, чем сатина. Сколько было ситца?»

Решение.

На каждом метре ситца выгадывали 2 руб. (на 2 руб. дешевле сатина); на всем куске выгадали столько, что можно было купить еще лишних 20 м ситца, т. е. 60 руб. Значит, было 60 руб. : на 2 руб. = 30, т. е. 30 м сатина и 30 м -f- 20 л* = 50 м ситца.

Упражнения:

Березанская Е. С. II. Целые числа: № 262. IV. Простые дроби: № 264. 11-й тип.

«Некто купил 70 м материи по 3 руб. и по 5 руб. за метр, всего на 300 руб.

Сколько материи было по 3 руб. и сколько по 5 руб.?»

Решение.

Допустим, что вся материя пятирублевая, тогда она стоила бы 350 руб.; будет, значит, «перерасход» на 350 руб.— 300 руб.= = 50 руб.

Если мы вернем 1 метр пятирублевой материи и возьмем 1 метр трехрублевой, то мы сэкономим 2 руб.

Чтобы сэкономить 50 руб. (весь «перерасход»), мы должны вернуть 25 м (50: 2 = = 25) пятирублевой материи и взять столько же метров трехрублевой. Значит, было 25 м по 3 руб. и 45 л по 5 руб.

Упражнения:

Попова Н. С, 1-я ч., № 433. Березанская Е. С. Целые числа: № 172, 270. 12-й тип (замена одной величины другою).

«Некто купил 20 кг сахарного песка и 24 кг рафинада, всего на 310 руб. Сколько стоит 1 кг того и другого, если 1 кг рафинада на 1 руб. дороже, чем 1 кг песка?»

Решение.

Если мы отдадим назад 24 кг рафинада и возьмем 24 кг песка, то мы получим назад по 1 руб. за килограмм, всего 24 руб. За весь купленный товар, т. е. 20 кг песка и 24 кг рафинада, тогда будет заплачено 310 руб.— 24 = 286 руб. Значит, 1 кг песка стоит 286:44 = 6 р. 50 к. А рафинада — 7 р. 50 к.

Другой вариант этой же задачи:

«35 кг одного товара и 42 кг другого стоят 476 руб. Сколько стоит 1 кг того и другого, если килограмм второго вдвое дороже, чем килограмм первого?»

Решение.

Мы опять-таки вернем 42 кг дорогого товара и возьмем вдвое больше, т. е. 84 кг дешевого. Стоимость будет та же.

Значит, 35 кг-\- 84 кг= 119 кг первого товара стоят 476 руб.; 1 кг стоит 476 руб.: : 119 = 4 руб.

Второй товар стоит 8 руб.

Упражнения:

Березанская Е. С.

II. Целые числа: № 257.

V. Десятичные дроби: № 253,266.

13-й тип.

«Кассир станции железной дороги продал на 1687 р. 50 к. билетов по 4 р. 50 к. ипо 6 р. 75 к. — тех и других поровну. Сколько всего?»

Решение.

Так как билетов было поровну, то мы их парами и возьмем. Одна пара стоит 4 р. 50 к. -f 6 р. 75 к. = 11 р. 25 к.

Всего было пар 1687 р. 50 к. : 11 р. 25 к.=? = 150.

Продано по 150 билетов.

Другой вариант:

«Продано билетов по 4 р. 50 к. и 6 р. 75 к., всего на сумму 1755 руб. Билетов по 6 р. 75 к. было на 10 больше, чем по 4 р. 50 к. Сколько тех и других?»

Решение.

Мы отдадим эти лишние 10 билетов обратно, получим назад 67 р. 50 к., тогда билетов будет поровну и стоят они 1687 р. 50к., т. е. у нас получится первый вариант задачи.

Третий вариант:

«Продано билетов по 4 р. 50 к. и 6 р. 75 к. на 900 руб. Вторых было вдвое больше. Сколько тех и других?»

Решение.

Так как билетов по 6 р. 75 к. вдвое больше, то мы вообразим, что билеты так тройками и продавались: 1 билет за 4 р. 50 к. и 2 билета по 6 р. 75 к. Каждая такая тройка стоит 18 руб. Чтобы выручить 900 руб., надо продать 50 троек (900 руб. : 18 = 50). Значит, было 50 билетов по 4 р. 50 к. и 100 билетов по 6 р. 75 к.

Упражнения:

Попова Н. С, 2-я ч., № 610. Березанская Е. С.

II. Целые числа: № 273. IV. Обыкновенные дроби: № 246, 264.

14-й тип.

В отделе дробей часто встречается еще следующий, более трудный тип задачи:

«Некто, работая один, мог бы окончить всю работу в 10 дней, его товарищ мог бы эту же работу выполнить в 12 дней.

Во сколько дней они окончат работу, если будут работать вдвоем?»

Решение.

Мы узнаем, какую часть они могут сделать вдвоем. Первый в день сделает всей работы, второй ^— всей работы.

Вдвоем они сделают в день — + — = — всей работы. Чтобы выполнить всю работу, им нужно

Упражнения:

Березанская Е. С.

IV. Простые дроби: № 260, 287, 288.

V. Десятичные дроби: № 227, 291.

ОБ АЛГОРИТМЕ ИЗВЛЕЧЕНИЯ КВАДРАТНОГО КОРНЯ

Проф. В. Б. ФУРСЕНКО

Обычный способ извлечения квадратного корня, изложенный в «Алгебре» Киселева (стр. 92, изд. 1934 г.), приводит к следующей записи:

Не внося ничего нового в этот способ, мы хотели бы указать, что указанное расположение на письме выкладок крайне неудачно.

Основной недостаток заключается в том, что при подобной записи приходится начинать ее не в левом верхнем углу листа, а несколько отступя вправо, причем предугадать заранее, на сколько нужно отодвинуть начало записи вправо, нельзя. С другой стороны, нельзя расположить первую строчку записи и в правом углу листа, так как запись разрастается в обе стороны. На практике в ученических тетрадях получается одно из двух: либо ученик приучается к неэкономной и бессистемной записи, начиная ее в середине листа, либо он начинает ее в левом верхнем углу и тогда — неизбежные перечеркивания, искажения форм цифр, вписываемых в непомерно узкие пространства и проистекающие отсюда вычислительные ошибки.

Существует иной способ расположения записей, несравненно лучший, нежели представленный в стабильном учебнике. Покажем его на тех же примерах.

При пользовании тем или другим способом полезно указать учащемуся, что действие удвоения найденной цифры корня осуществляется путем вторичного подписывания этой цифры самой под собою и последующего сложения и что подобная операция повторяется в продолжение всего алгоритма.

ИЗ ОПЫТА

О СОСТАВЛЕНИИ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

А. ГЕРМАНОВ (Сев. край)

Составление уравнений по условию данной задачи является для учеников делом очень большой трудности, и немногие из наиболее успевающих после очень длительных упражнений постигают эту тайну.

Причинами этого, по общему мнению, являются:

1. Неумение учеников выразить математической формулой взаимную связь между двумя величинами или двумя явлениями.

2. Очень слабая разработка со стороны методики математики этого раздела.

Желая оказать помощь начинающим преподавателям математики, я решил кратко изложить основные моменты проработки этой очень важной темы, указать товарищам на главные ответственные участки, ибо правильное проведение их решает успех дела.

Все изложенное проверено мной в моей преподавательской работе. Результатами я доволен: огромное большинство учащихся шестых классов достаточно успешно и вполне самостоятельно справляются с составлением уравнений по условию задачи.

Главные этапы работы:

1. Подготовительные упражнения.

2. Решение простых задач.

3. Решение сложных задач.

4. Составление задач самими учениками.

I

Подготовительные упражнения имеют целью научить учеников выражать математической формулой определенную, указанную в задаче, зависимость между двумя величинами. Для ясного понимания учащимися, какое действие скрыто в определенной словесной формулировке, подготовительные упражнения имеют то значение, что приучают учеников вдумываться в содержание предложения.

После того, как ученики научились решать уравнения, я провожу с ними подготовительные упражнения. Одного из учащихся вызываю к классной доске, остальные записывают в своих тетрадях. Предлагаю задачи (условия этих маленьких задач за экономией времени не записываем).

1. «У двух учеников 10 тетрадей, у одного X тетрадей; как обозначить число тетрадей второго ученика?» Ученики записывают ответ: 10—X. Правильность записи у всех учащихся проверяю быстрым осмотром.

Если ученики не могут сделать этой записи, то задачу упрощаю: «У двух учеников 10 тетрадей, у первого 6 тетрадей; сколько тетрадей у второго ученика?» Конечно, ученики легко находят ответ. Спрашиваю: каким действием нашли ответ? (Вычитанием.) Что из чего вычли? (Из 10 вычесть 6.) Если вместо 6 возьмем буквенное выражение, то как обозначить число тетрадей второго ученика? (10—л:.)

При решении всех задач, ответы на которые ученики затрудняются обозначить, условие задачи изменяю, заменяя буквенное выражение определенным числом.

2. «У одного мальчика х тетрадей, у второго на 3 больше (или тремя тетрадями больше); как обозначить, сколько тетрадей у второго ученика?» (jc —|- 3.)

3. «У одного ученика х тетрадей, у второго втрое больше; как обозначить, сколько тетрадей у второго ученика?» (3 х.)

Продолжение этой же задачи: «А у третьего вдвое больше, чем у второго; сколько тетрадей у третьего?» (2-3 х = 6 х.)

4. «У одного ученика х тетрадей, у второго вдвое меньше; как обозначить число тетрадей второго ученика?»

5. «Куплено X килограммов колбасы по 7 руб. за 1 кг; сколько уплачено?» (7.*=7jt.)

6. «Куплено X килограммов сахара и уплачено 40 руб.; сколько стоит 1 кг; и т. п.

Подбор таких задач не трудно сделать самому учителю.

Задачи решаются (т. е. ответ записывается в виде формулы) очень быстро; необходимо, чтобы записывали все ученики и совершенно самостоятельно, не списывая с классной доски.

Правильной записи алгебраической формулой или алгебраическим выражением решения определенного вопроса я придаю очень большое значение, так как этот момент при составлении уравнения наиболее трудный; поэтому данным упражнениям я отвожу: 1-й урок—25 минут, 2-й урок—15 минут, 3-й урок—10 минут.

В дальнейшей работе всегда возвращаюсь к таким упражнениям, если ученики не могут решить задачи.

Затем вторая группа вопросов, которые являются как повторением пройденного материала, так и углублением понятия о составе задачи.

1. Чтобы ученики достаточно ясно поняли, какое значение имеет вопрос в задаче, предлагаю им следующую небольшую задачу без вопроса:

а) «У одного ученика 12 тетрадей, а у другого 4 тетради».

— Что можно узнать?

Ответ. Сколько тетрадей у обоих учеников.

— Каким действием узнаем? Ответ. Сложением (12-f-4 = 16).

б) При тех же данных задачи какой другой вопрос можно предложить?

Ответ. На сколько тетрадей у первого ученика больше, чем у второго.

— Каким действием узнаем? Ответ. Вычитанием (12—4 = 8).

в) При тех же данных задачи еще какой третий вопрос можно поставить?

Ответ. Во сколько разу первого ученика больше, чем у второго.

— Каким действием узнаем? Ответ. Делением (12 :4 = 3).

Вывод. При одних и тех же данных в задаче решение ее, т. е. употребление того или иного действия, зависит от вопроса задачи.

Этот тип задач, задач без вопросов, приучит в дальнейшем ставить решающий вопрос правильно, а правильно поставленный вопрос имеет огромное значение для правильного решения задачи.

2. Необходимо напомнить ученикам, после каких действий получается сумма, разность, произведение, частное или отношение.

II

Составление уравнений, конечно, я начинаю с простых задач. Прежде всего необходимо перед учащимися не только раскрыть, показать сущность составления уравнения по данным задачи, но и помочь им уяснить различие и превосходство алгебраического способа решения задачи.

Для этого возьмем первую задачу, помещенную в стабильном задачнике (Задачник Шапошникова, ч. 1-я).

«Два лица имеют вместе 38 руб., причем у первого шестью рублями больше, чем у второго. Сколько денег у каждого?»

Сначала решаем ее арифметически.

Решение

1. Сколько денег было бы у двух лиц вместе, если бы у первого было столько же, сколько у второго?

38 руб. —6 р. = 32 руб.

2. Сколько денег было у второго лица?

32 руб. : 2 = 16 руб.

3. Сколько денег было у первого лица?

16-f6 руб. = 22 руб.

Ответ: 1. У первого лица было 22 руб.

2. У второго лица было 16 руб.

Поверка: 1. 22-f-16 = 38 руб.

2. 22 — 16 = 6 руб.

Решая алгебрически, т. е. путем составления уравнения, предлагаю ученикам назвать те величины, которые в задаче даны, известны; ученики называют:

1. Сколько денег у обоих лиц вместе (38 руб.).

2. На сколько рублей у первого больше, чем у второго (на 6 руб.),

Предлагаю назвать неизвестные или ясно и определенно указать, что нужно узнать в этой задаче.

Ответ: 1. Сколько денег у первого лица?

2. Сколько денег у второго лица?

Эти неизвестные обозначим какими-либо буквами; обыкновенно принято употреблять букву X для той величины, с которой другие величины сравниваются. В данной задаче обозначим X — сколько денег у второго лица; так как у первого шестью рублями больше, то деньги его обозначим х-\~6.

Будем составлять уравнение. Этот момент решения задачи весьма трудный; на первое время приходится наводящими вопросами подводить учеников к понятию, как получить уравнение. Предлагаю вопросы: как обозначили деньги второго лица? (л:); как обозначили деньги первого лица? (jc-j-6); после какого действия и с какими величинами получилось число 38 руб.? (сложили деньги первого и второго лица?), следовательно, и нам, что нужно сделать с обозначением денег первого и второго лица? (сложить и получим 38 руб.).

Получим уравнение

х + (х + 6) = 38.

Решаем его. Делаем поверку. Письменное оформление задачи в тетрадях учеников должно быть таково:

I. В этой задаче известно:

1. Сколько денег (рублей) у обоих лиц вместе (38 руб.).

2. На сколько рублей у первого больше, чем у второго (на 6 руб.).

II. Неизвестными величинами будут:

1. Число рублей первого лица.

2. Число рублей второго лица.

III. Обозначение неизвестных:

1. Число рублей второго лица х.

2. Число рублей первого лица л: —(— 6, так как у первого лица на 6 руб. больше, чем у второго.

IV. Составляем уравнение. Зная, что у обоих вместе 38 руб., получим уравнение:

* + + 6) = 38.

V. Решаем уравнение

лг+ *r-f 6 = 38, 2лг = 38 —6, 2х = 32, лг= 16.

VI. Ответ: 1. У второго лица было 16 руб. 2. У первого лица было 16 + 6 = 22 руб.

VII. Поверка: 1.16 руб.+22 руб.= 38 руб. у обоих лиц. 2. 22 руб.— 16 руб=6 руб.; на столько больше у первого лица, чем у второго.

При решении простых задач будут встречаться трудности в обозначении неизвестных величин и в составлении уравнений. Последнее наиболее трудно; путем наводящих вопросов, как в разобранной задаче, нужно достичь полного понимания учащимися, что над полученными алгебраическими выражениями мы производим то или иное действие (согласно смыслу задачи) и в результате составляем уравнение.

III

Задачи на смешение — это задачи второй трудности. Разберем их, как пример сложной задачи, для решения которой требуется разложить ее на ряд простых задач и обозначить решение каждой простой задачи.

Задана. «Из двух сортов чая ценою по 21 руб. и 15 руб. за 1 кг требуется составить 32 кг смеси ценою в 16 р. 50 к. за 1 кг. Сколько нужно взять чаю каждого сорта Ъ

Разбор задачи идет по тому же плану, как и для простых задач, а именно:

1. Назвать известные величины.

2. Назвать неизвестные величины.

3. Обозначить их.

4. Составить уравнение.

5. Решить его.

6. Написать ответы.

7. Провести поверку.

В дополнение для сложных задач надо данную задачу разложить на ряд простых задач и обозначить решение каждой. Это наиболее трудный момент.

Предлагаю вопросы:

— Сколько килограммов чаю взято 1-го сорта ?

Ответ. X килограммов.

— По какой цене? Ответ. По 21 руб.

— Поставьте вопрос, что можно узнать? Ответ. Сколько стоит весь 1-й сорт?

— Это первая простая задача; скажите ее условие.

Ответ. Чая 1-го сорта взято х килограммов по цене 21 руб. за 1 кг; сколько стоит весь 1-й сорт?

— Решите ее, т. е. обозначьте то действие, которое употребите над величинами, которые войд)т в это действие (21 руб.-л: = 21 х).

Путем таких же вопросов выделяются вторая и третья простая задача. Условие простых задач ученики записывают в своих тетрадях.

В дальнейшей работе, когда ученики хорошо поймут процесс разложения сложной задачи на ряд простых задач, можно при письменной записи в ученических тетрадях ограничиваться постановкой одного вопроса проетой задачи, например записью простой задачи в начале работы: «Чая 1-го сорта взято х килограммов по цене 21 руб. за 1 кг; сколько стоит весь

1-й сорт?» Та же задача в более сокращенной записи: «Обозначим стоимость всего 1-го сорта».

Вся задача в ученических тетрадях будет иметь следующую запись:

I. В этой задаче известными величинами являются:

1. Цена 1 кг чая 1-го сорта (21 руб.).

2. Цена 1 кг чая 2-го сорта (15 р.).

3. Цена 1 кг чая смеси (16 р. 50 к.).

II. Неизвестно:

1. Сколько килограммов взято 1-го сорта.

2. Сколько килограммов взято 2-го сорта.

III. Обозначим неизвестные величины:

1. Число килограммов 1-го сорта х.

2. Число килограммов 2-го сорта 32—лг. Тогда получим следующие простые задачи:

1. Первого сорта взято х килограммов по цене 21 руб. 1 кг; узнаем стоимость 1-го сорта, для чего 21 руб. умножим на jc, получим 21 X руб.

2. Второго сорта взято 32—х килограммов по цене 15 руб. за 1 кг; узнаем стоимость 2-го сорта, для чего 15 руб. умножим на 32—а:, получим 15 (32—jc) руб.

3. Всей смеси взято 32 кг по 16 р, 50 к.; узнаем стоимость всей смеси, для чего 16 р. 50 к. X 32 = 528 руб.

IV. Составляем уравнение.

Зная стоимость всей смеси, 1-го и 2-го сорта, получим уравнение:

21 X +15 (32 —л:) = 528.

V. Решаем уравнение:

21 Jt-f 480— 15 хг = 528, 21*— 15 а: = 528 — 480, 6* = 48, х=8.

VI. Ответ:

I Первого сорта взято 8 кг.

2. Второго сорта взято 32 — 8 = 24 кг.

VII. Поверка:

1. 24 + 8 = 32 кг.

2. 21 руб..8= 168 руб.

3. 15 руб.-24 = 360 руб.

4. 168 pyfi.-f-ЗбО руб. = 528 руб.

5. 528 руб. : 32 =16 р. 50 к.

Такая подробная запись решения задачи по определенной схеме хотя отнимает много драгоценного времени в классе, но, принимая во внимание, что ученики могуть постичь алгебраический способ решения задач только при совершенно сознательном, осмысленном отношении к выводимым алгебраическим выражениям,—экономить время не приходится и нужно максимум внимания уделить сознательному усвоению материала. Здесь механичности, шаблонности не должно быть места, и не нужно жалеть времени, особенно в первое время, на правильное письменное оформление задачи.

Предлагаемая схема (7 пунктов) решения задач настолько проста, что ученики легко запоминают ее и всегда применяют при решении задач.

После решения этой задачи нужно остановить внимание учеников на наиболее трудных и характерных моментах алгебраического способа решения задач. Эти моменты: разложение задачи на ряд простых задач и составление уравнения. Составляя уравнение, мы вводим ответы простых задач и производим с ними то или иное действие.

Возьмем еще одну сложную задачу.

«Поезд идет из А в В со средней скоростью 30 км в час, затем возвращается из В в А со скоростью 28 км в час. Весь проезд туда и обратно он делает в 14 — часов.

Сколько километров от А до В?»

Ученики в своих тетрадях делают чертеж, изображающий путь от А до В. На чертеже записывают данные задачи, т. е. чертеж представляет кратко записанное условие задачи.

Этим чертежом, как наглядным пособием, пользуемся при составлении простых задач и при составлении уравнения.

Письменное оформление задачи будет таково:

I. В этой задаче известно:

1. С какой скоростью идет поезд из А в В (30 км).

2. С какой скоростью идет он обратно (28 км).

3. Сколько времени употребил поезд на пробег туда и обратно (14 — час).

II. Неизвестно:

1. Сколько километров от А до В.

III. Число километров от А до В обозначим X.

Тогда: 1. Расстояние от А до В л: километров поезд идет со скоростью 30 км в час; во сколько часов он пройдет путь от А до В ?

2. Расстояние от В до А, тоже х километров, поезд идет со скоростью 28 км в час; во сколько часов он пройдет путь от В до А?

IV. Составляем уравнение.

Зная, что поезд прошел путь от А до В и обратно от В до А в 14 ^ часов, сложим числа часов, употребленные на путь от А до В (~ÏÏo) и обратный путь от В до A(~|Q' получим следующее уравнение:

V. Решаем уравнение и получим а: = 210.

VI. Расстояние от А до В 210 км.

VII. Позерка:

1. 210 км:Ъ0 км = 7 (час).

2. 210 км: 28 км = 7 ~ (час).

3. 7 час. -|- 7 ^ час = 14 ^- часов.

После нескольких примеров ученики легко поймут основные моменты в составлении уравнения по условию задачи.

Прежде всего ученики должны понять условие задачи. Следующие два требования будут контролировать, насколько хорошо понято условие:

1. Назвать известные величины.

2. Назвать неизвестные величины и обозначить их.

Я убедился, что точное название известных и особенно неизвестных величин является уже началом расчленения на простые задачи, и потому очень способствует правильному обозначению неизвестных, правильному расчленению данной задачи на простые и математическому выражению их взаимной связи.

Ученики при решении задач убедятся, что простых задач получится на одну меньше, чем известных величин.

Для составления уравнения нужно сопоставить ответы простых задач и известные величины, произвести действие и составить равенство.

Записывая ответы, не следует ограничиваться записью только полученного значении для х\ надо точно назвать и указать, чему равны все неизвестные величины.

И, наконец, необходимо прибегать к поверке.

Поверка решения задачи — дело нелегкое, особенно трудно она дается тем ученикам, которые раньше не применяли поверки к арифметическим задачам. Чтобы познакомить учеников с поверкой, нужно на решаемых задачах показать, что поверка состоит в производстве действий с полученными ответами (согласно условию задачи), и ответы поверочных действий должны соответственно равняться известным величинам данной задачи.

IV

Для более глубокого понимания содержания типичной задачи и ее решения я предлагаю ученикам в качестве домашнего задания составить задачу и путем решения проверить, правильно ли она составлена. Работа эта довольно трудная, особенно если ученики ранее самостоятельно не составляли задач, поэтому -предварительно необходимо провести следующую работу: показать ученикам, как составляются задачи. Возьмем пример: куплено 6 кг колбасы по 7 руб. за килограмм и 9 кг конфет по 5 руб. за килограмм, следовательно, за все уплачено (7 • 6 5 - 9) 87 руб. (ученики сами высчитывают). Вопроса нет, величины все известны, следовательно, и задачи нет. Чтобы из этого примера получить задачу, нужно сделать какую-либо из рассматриваемых величин неизвестной. Сделаем неизвестным количество килограммов колбасы и конфет в отдельности, тогда получим задачу:

«Куплено 15 кг колбасы и конфет и за все уплачено 87 руб. 1 кг колбасы стоит 7 руб., а 1 кг конфет 5 руб. Сколько куплено колбасы и конфет в отдельности?»

Такого об'яснения с иллюстрацией составления задачи вполне достаточно, чтобы ученики, ранее не составлявшие задач, поняли, как составляются задачи и могли удовлетворительно выполнить задание.

Ученики очень охотно составляют задачи и очень настойчиво просят прочитать составленные ими задачи. Я обыкновенно все такие задачи прочитываю во внеурочное время. Содержание задач весьма разнообразно и, конечно, берется из обстановки, знакомой ученикам.

К МЕТОДИКЕ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПО УСЛОВИЮ ЗАДАЧ

Е. РАЧКО (г. Иваново)

Преподавателям математики известно, с каким трудом дается учащимся составление уравнений 1-й степени по условию задач. А, между тем, решение задач на составление уравнений имеет чрезвычайно важное значение не только для усвоения сведений из алгебры, но и для развития у учащихся математического мышления.

Поэтому вопросу о составлении уравнений по условиям задач должно быть уделено особое внимание.

Чтобы облегчить учащимся нахождение зависимостей между искомыми величинами и данными условия, следует вводить запись объяснения постепенного решения, которая дает возможность не терять цепи логических рассуждений, помогает находить необходимые связи, ведущие к конечной цели — уравнению.

Привожу примерную запись решения и об'яснения трех задач, взятых из сборника алгебраических задач Шапошникова и Вальцова (1-я часть), для VII класса.

Задача № 427 (глава TI)

«Если задуманное число умножить на 3, справа приписать 2, полученное число разделить на 19 и к частному прибавить 7, то получится число, втрое более задуманного. Какое это число?»

Об'яснение Решение

Пусть задуманное число

Умножим его на 3 Справа полученного числа припишем 2, т. е. сначала умножим на 10, а затем прибавим 2

Разделим на 19

Прибавляем к частному 7

Полученное число в 3 раза больше задуманного; задуманное число увеличиваем в 3 раза.

Составляем уравнение.

Решаем уравнение.

1) Приводим обе части уравнения к общему знаменателю

2) Умножим обе части уравнения на 19, после чего получим равносильное уравнение

3) Переносим известные члены в правую часть уравнения, все неизвестные в левую часть с обратными знаками и умножим обе части его на (—1).

4) Определяем

Поверка

Задуманное число умножим на 3.

К полученному числу 15 припишем справа 2 и новое число разделим на 19, к частному прибавим 7. Результат больше задуманного числа в 3 раза.

Найденный корень

удовлетворяет условию Ответ: задуманное задачи. число равно 5.

Задача № 456

«Аэроплан при попутном ветре делает 180 км в час, а при встречном — 150 км в час. Определить скорость ветра и техническую скорость аэроплана».

Об'яснение Решение

Техническая скорость аэроплана

Скорость ветра Скорость аэроплана

при попутном ветре

Скорость аэроплана при встречном ветре

По условию задачи скорость аэроплана при попутном ветре

При встречном ветре

Составляем два уравнения с двумя неизвестными 1-й степени

Решаем эту систему способом подстановки.

Из второго уравнения определяем х: х — 150 + у-

Значение х подставляем в первое уравнение НО + у -г у — 180.

Определяем у: у — 15.

х= 150 - 15; Определяем х: .v=165.

Поверка

Если от 165 отнимем 15, то получим 150, если сложим — полу- 165— 15 — 150; чим 180. 165 + 15= 180.

По условию задачи числа 150 и 180 выражают в километрах скорость аэропланa против ветра и при попутном ветре,

Корни уравнений удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 165 км в час — техническая скорость аэроплана; 15 км в час — скорость ветра.

Задача № 509

«3 лица имеют вместе 190 руб. Число рублей первого, сложенное с полусуммой денег второго и третьего, составляет 120 руб., а число рублей второго, сложенное с пятой частью разности денег третьего и первого, составляет 70 руб.

Сколько денег у каждого?»

Об'яснение. Решение

Положим, у первого лица

Положим, у второго лица

Положим, у третьего лица

Три лица вместе имеют

Составляем первое уравнение:

Полусумма денег второго и третьего:

Прибавим к полусумме деньги первого лица, получим 120 руб.

Составляем второе уравнение:

Пятая часть разности денег третьего лица и первого

Прибавим к этой разности деньги второго лица, получим 70 руб.

Следовательно, третье уравнение

Получим систему трех уравнений с тремя неизвестными 1-й степени:

Умножаем все члены второго уравнения на 2, а все члены третьего на 5.

Решаем систему способом алгебраического сложения.

1) Берем первое и второе уравнения

2) Значение х подставим в первое и третье“ уравнения, получим систему, из которой определяем у

3) Подставим в первое уравнение вместо х и у их значения и определим z.

Поверка

В задаче сказано, что у всех трех лиц вместе было 190 руб.

Полусумма денег второго и третьего вместе с деньгами первого лица должна составить 120 руб.

Пятая часть разности денег третьего и первого вместе с деньгами второго лица составит по условию задачи 70 руб.

Корни уравнений удовлетворяют условию задачи.

Ответ: у первого лица было 50 руб.

» второго » » 65 руб. > третьего > » 75 руб.

УРАВНЕНИЯ — БОЛЬНОЕ МЕСТО В ПРЕПОДАВАНИИ АЛГЕБРЫ

РУДНИЦКИЙ (Черниговская обл.)

Чрезвычайно большую трудность для учителя представляет собой объяснение первых основных положений для осмысленного решения уравнений. Методические разработки по этому вопросу настолько бедны практическими указаниями, что начинающий учитель обыкновенно теряется, а в результате этого страдает учащийся, страдает школа.

Я хочу поделиться своим опытом в этом отношении.

Первый урок Равенство. Даем определение из Киселева. Свойства равенства

1. Чтобы изучить свойства равенства, мы используем весы, которые в данном случае можно лишь только нарисовать на доске.

Предположим, на левой чашке весов положили кусок мыла весом а граммов, а на правой — гирю в 100 г, после этого наступило равновесие. (Тут надо оговориться, что пока мыло не взвешено, то вес его мы предполагаем равным а граммов, а, взвесивши, получаем а = 100.) Раз равновесие наступило, то, очевидно, можно написать равенство az=:100. После этого ставим вопрос: нарушится ли равновесие, если мы 100 г положим на левую чашку, а кусок мыла—на правую?

Легко добиваемся ответа, что равенство после этого может быть записано: 100 = а. Тут же легко сами ученики и выводят первое свойство равенства (равенство не нарушится, если левую часть поставить на место правой, и наоборот) и прочитывают из Киселева (по требованию учителя).

2. Теперь, допустим, взвесили кусок мыла и получили а = 100 (граммов) и кусок колбасы Ь = \00 (граммов). Нарушится ли равновесие, если на левую чашку положить кусок мыла, а на правую — кусок колбасы ? Ответ: не нарушится. Как напишем теперь равенство? Ответ: а = Ь. Почему? Ответ:

так как вес каждого куска по 100 г. Ученики сами после этого выводят второе свойство равенства.

3. Предположим теперь, что на весах лежат разные по весу куски колбасы и мыла. Очевидно, можно написать равенство а = Ь.

Вопросы: 1) Нарушится ли равенство, если бы на каждую чашку положить еще по 100 г? 2) Какое равенство напишем теперь? а -|- 100 = 6-f-100. 3) А если снимем сейчас по 50 г ? 4) Какое равенство напишем после этого ? Ответ: а-\-\00 — 50 = b + -J- 100 — 50. Выведем третье свойство равенства.

4. На одной чашке весов положено 4 одинаковых куска мыла, а на другой 400 г. Получим уравнение 4х = 400. Что нужно сделать с каждой частью данного равенства, чтобы узнать вес одного из 4 равных кусков? (Ответ: разделить на 4.) Как напишем новое равенство? (Ответ: л; =100.) Выводим последнее свойство равенства и прорабатываем вопрос о тождествах и уравнениях.

Второй урок Свойства уравнений

Задача: «На одну чашку весов положены 4 одинаковых весом куска мыла и еще гиря в 50 г, а на другую для равновесия гиря в 450 2. Узнать вес одного куска».

Нам неизвестен вес каждого куска мыла, а потому пока он пусть будет равен х (граммов). Согласно условию, мы должны положить на левую чашку 4 куска и еще 50 г. Вопрос: какое алгебраическое выражение, соответствующее весу левой чашки, мы напишем? Ответ: 4*-(-50. Положим и на правую чашку 450 г, чтобы равновесие не нарушилось.

Вопрос: какое равенство мы можем написать теперь? Ответ: 4л:-f-50 = 450. Тут же необходимо с учениками выяснить вопросы: 1) Тождество это или уравнение? и 2) Какими свойствами обладают равенства?

Вопрос: нарушится ли равенство, если мы снимем с каждой чашки по 50 г (как бы лишние при взвешивании) и напишем соответствующее равенство, причем обратим внимание учеников на то, что на левой чашке после этого совсем не будет гирь, а на правой для равновесия только уменьшим гирь на 50 2? Пишем равенство: 4л: = 450 — 50.

Обращаем внимание учащихся, что мы получили новое равенство, отличающееся от первого; снова выясняем—тождество это или уравнение; если уравнение, то изменилось ли значение л:, таков ли корень этого уравнения, как и первого. Установив, что эти два уравнения имеют один и тот же корень, прорабатываем определение из Киселева относительно равносильных или эквивалентных уравнений и теорему 1. Обращаясь снова к уравнению, задаем вопрос о том, нельзя ли правую часть уравнения написать проще и какой вид примет новое уравнение; изменился ли корень полученною уравнения Ах = 400; как такое уравнение можно назвать относительно первого и второго уравнения? Устанавливаем, что эти уравнения все равносильны, так как на весах все время лежат те же куски мыла.

Обращаемся снова к уравнению 4лг = 1С0 и ставим вопросы: 1) Чему равен вес одного куска из 4 лежащих на весах? 2) Как получилось уравнение л;=100 из предыдущего? После этого прорабатываем по Киселеву теорему 2 и заключаем, что уравнение разрешено, так как найдено значение х= 100.

Решим еще одну задачу : «Каков вес целого куска колбасы, если известно, что, положив на одну чашку половину его и еще 100 г, на другую чашку для равновесия пришлось положить 600 г?»

Пусть, пока мы не знаем веса целой колбасы, он будет равен х граммов.

«Напишите самостоятельное уравнение, соответствующее условию задачи». Мне быстро ученики написали уравнение: ——[-100 = ^=600.

Учитель. Если мы присмотримся к решению первой задачи, то увидим, что при решении уравнения мы г.олучали все новые и новые уравнения, равносильные одно другому, но с более простыми алгебраическими выражениями; этого мы достигаем с помощью теорем 1 и 2. Какую теорему мы сейчас используем, чтобы начать решение нашего уравнения?

Повторяем и фиксируем равносильное уравнение, причем в таком виде: — = 600 — — 100. Упростим правую часть — = 500.

Обращаем внимание учащихся на то, что в данном случае х можно назвать делимым, число 2 — делителем, а 500 — частным, и что для получения делимого необходимо делитель помножить на частное, т.е. л: = 2-500 = = 1000. Сообщаем также учащимся, что этот результат можно было бы получить на основании теоремы 2, умноживши обе части на 2, т. е. 2--у = 500- 2, или л:=1000.

Оставшиеся 5—10 минут используем на решение подобных уравнений абстрактно, требуя (при помощи наводящих вопросов) от учеников сознательного применения теорем 1 и 2, и аналогичную работу задаем на дом. Правило же переноса членов уравнения проработать лучше на третьем уроке в процессе тренажа, причем необходимо сразу же сделать практические указание на то, что, во избежание путаницы, необходимо записать сначала остающиеся члены данной части уравнения, а потом дописать к ним те, с противоположными знаками, которые переносим из другой части.

Остальные правила из учебника Киселева прорабатываем значительно позже.

Составление уравнений из условий задачи Одно из самых трудных для преподавателя мест программы по математике это об'яснить учащимся принципы составления уравнений.

Как-то наши методисты бросаются общими фразами по этому вопросу, а конкретной помощи массовому учителю не дают, а потому и результаты, думаю, очевидны. Многие учителя думают, что при об'яснении, чем проще будет предложена учащимся задача на составление уравнений, тем скорее учащимися будет охвачен процесс составления уравнений; однако, по-моему, это далеко не так. Мы должны предложить задачу средней трудности, чтобы эту задачу арифметическим путем решить было трудно или даже невозможно; это—потому, что с первых же шагов мы должны внедрить и доказать учащимся на практике преимущество алгебраического способа решения задач над арифметическим. Большинство педагогов, об'ясняя эту тему, создают впечатление у учащихся, будто составление уравнения из условия задачи это что-то трудное, очень сложное и новое, оторванное от всего пройденною. Это очень большой недостаток преподавания. В своей практике на это я обратил серьезное внимание.

Основное в этом вопросе — подход. Мы именно должны показать учащимся, что решение задач алгебраическим путем мало чем отличается от решения задач в арифметике. Перед началом об'яснения основного вопроса припоминаем, что такое уравнение и

что мы из условия задачи должны получить два алгебраических выражения и соединить их знаком равенства. Это я подчеркнул и потребовал, чтобы каждый учащийся это запомнил. Далее я напомнил, как мы в арифметике разбирали и записывали задачи, что мы записывали вопросы и затем действие над числами, соответствующее этому вопросу; что этот способ мы применим и здесь, но уже действия будем производить не только над числами, а над числами и буквами. Возьмем для примера такую задачу:

«Старшему брату теперь 15 лет, а младшему 9. Сколько лет тому назад первый брат был втрое старше второго?»

При разборе условия задачи мы выясняем, что сколько-то лет нужно отбросить от 15 лет старшего и от 9 лет младшего, чтобы число лет старшего было втрое больше числа лет младшего, и что это число лет нам неизвестно, пусть оно будет пока равно X. Оговариваемая, что над этим числом х мы будем производить действия как будто над известными числами. Итак, сколько лет надо отбросить от 15 лет старшего и от 9 лет младш:го, чтобы число лет старшего брата было втрое больше числа лет младшего? Получаем ответ: х лет. Что же мы узнаем в первом вопросе?

Ученик. 1) Сколько лет было старшему брату X лет назад? (15— х) лет.

2) Сколько лет тогда было младшему? (9—х) лет.

Учитель. Какое из полученных алгебраических выражений (согласно условию задачи) больше и во сколько раз?

Добиваемся ответа, что первое больше второго в три раза.

Учитель: Значит, что нужно сделать с числом лет младшего брата (9—х\ чтобы получить число лет старшего (15—x)ï

Ответ: Помножить алгебраическое выражение (9—х) на 3, чтобы получит (15—л*).

Учитель: Какое равенство алгебраических выражений мы можем написать теперь?

Ответ: (9—*).3= 15—х.

Итак, из условия задачи мы составили уравнение. Думаю, что решение уравнения уже не представляет трудностей. На этом же уроке решаем еще одну такой же трудности задачу и задаем домой аналогичные две задачи. Через известный промежуток времени, во время тренажа, устанавливаем три момента составления уравнения, указанные Киселевым, и требуем от учеников твердого их усвоения (конечно, во время практики). Приблизительно на 4-м или 5-м уроке видоизменяем немного запись, а именно: требуем от ученика, чтобы он ставил вопросы устно, а ответы на них записывал. Вот, например, предыдущая задача: 1) Сколько лет было старшему брату х лет назад? Этот вопрос ученик говорит устно, а ответ на него требуем записать так: старшему брату X лет назад было (15—л:) лет (вместо второго вопроса), а младшему (9—х) лет.

После этого выражение (15—х) будет более (9—л:) в три раза. Составляем уравнение:

15—х = 3 (9—х).

ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛИЗЕЛОТТА ШТЮМПФЕЛЬ

Одним из путей, увязывающих алгебру с геометрией, является графическое изображение алгебраических выражений. Так, ученикам доставляет особое удовольствие решение одной и той же задачи двумя, как будто не связанными между собою методами—алгебраическим и графическим, и получить один и тот же результат.

Но при решении квадратных уравнений графический способ почти совсем не применяется. Причина ясна: черчение параболы у = (л: + а)2-{-Ь отнимает вместе с нужными вычислениями, примерно, 20 минут. Какой же смысл имеет такой способ решения, если алгебраический способ требует не больше 3 минут?

Внеся небольшое упрощение, я все же применяла к решению квадратных уравнений графический метод, пользуясь которым мы в течение только половины урока решили десяток задач, и в то же время у ребят значительно уточнилось представление о квадратном уравнении и о квадратной функции.

Я исходила из того, что форма всех парабол у = (х-\-а)2-{-Ь одинакова. Различные значения чисел а и b меняет только положение вершины параболы. Почему же не начертить эту параболу всего один раз и при решении задач только менять ее положение?

Порядок проработки, примерно, следующий. Когда учащиеся уже ознакомились с квадратной функцией и квадратным уравнением, учитель дает домашнее задание: начертить на миллиметровой бумаге кривую V — X2. При этом учитель дает ряд указаний для получения наиболее точного графика (величина масштаба, хорошо отточенный карандаш, возможно большее количество найденных точек кривой с использованием таблицы квадратных корней и пр.).

Полученная парабола аккуратно вырезается и в ее середине вырезается небольшое отверстие (рис. 1).

Далее, на другом куске миллиметровой бумаги чертятся оси координат, причем ось х помещается в верхней части листа (рис. 2).

В начале следующего урока учитель быстро контролирует выполнение задания. Можно при этом взять параболы нескольких учеников (начерченные при одинаковом масштабе) и сравнить их путем наложения одной на другую.

Затем учитель пишет на доске функцию, например у — (х-\-\)2 — 4, и спрашивает: кто помнит, какие координаты имеет вершина этой параболы? Ответ: х = — 1;у = — 4. После этого учитель предлагает поместить параболу на листе с осями координат так, чтобы вершина упала в точку (—1;—4). Отверстие в параболе служит затем, чтобы ось параболы была направлена строго вертикально (параллельно оси у-ов, рис. 3).

Учитель спрашивает: в каких точках кривой ордината у равна нулю. Ответ: в точках пересечения кривой с осью лг-ов. В нашем случае эти точки будут х1 = -(- 1 и х2 = —3.

Рис. 1

Рис. 2

Значит, если у, т. е. (jc —j— 1 )2 — 4, равно нулю, то и х2 =—А- Таким образом мы решили квадратное уравнение (je—(— + 1)2_4 = 0.

После двух-трех примеров делается обобщение: для того, чтобы решить квадратное уравнение вида (х -f- à)2 -\- b = 0 графическим способом, мы изображаем параболу у = (х-\~ a)2 -f- b, помещая вершину вырезанной параболы в точку (—а; 6). Точки пересечения ее с осью л:-ов дадут корни уравнения. Следующие примеры ученики делают уже самостоятельно. В дальнейшем даются примеры на равные корни и на мнимые.

Можно давать и примеры вида х2-\-рх-\--|- q = 0. Их, конечно, нужно преобразовать. Например: х2-\-2х— 5 = 0; х2-\- 2х-\- 1 — — 6 = 0;(jc+l)2 —6 = 0.

Если /? = 0, то задача сводится к нахождению у— с. Таким образом, наша парабола годится и для быстрого нахождения квадратных корней из чисел. Точность метода значительна. При взятом нами масштабе (1 см = единице) она равнялась, примерно, 0,05.

Рис. 3-

ФОНОДЕЙК ЛЕБЕДЕВА

ЗВОРЫКИН

Зав. кабинетом физики 25-й образцовой средней школы ООНО

В последней четверти — в VIII классе учащиеся приступают к последнему разделу программы — акустике. Раздел интересный, изобилующий занимательными опытами, не слишком трудный. Ученики воспринимают акустику легко. Трудно дается ученикам понятие о тембре, если сообщаемые преподавателем сведения не подкрепляются опытом. При прохождении этого раздела может принести большую пользу демонстрация записи кривой звука на экране при помощи самодельного прибора, описание которого мы предлагаем вниманию преподавателей физики восьмых классов. Этот прибор, известный под названием фонодейк, был изобретен Фрелихом и усовершенствован Миллером, Лебедевым и Андерсеном. Он является методически более ценным, нежели установка, в которой записывающей частью служит осциллограф любой системы, так как последняя представляет собой очень громоздкую и сложную установку, отвлекающую внимание учеников от физической сути явления. Описываемая конструкция фонодейка близка к конструкции проф. Лебедева.

Фонодейк представляет собой бумажную мембрану с приклеенной в центре тонкой иглой. Игла, притягиваясь к подковообразному магниту, прижимает к его гладкой поверхности вторую иглу, расположенную перпендикулярно первой. Будучи приведена в движение, первая игла, нажимая на вторую, поворачивает эту последнюю на некоторый угол, который тем больше, чем меньший диаметр имеет игла. Пучок света направляется на мг-

ленькое зеркальце, прикрепленное к концу второй иглы, отражается на вращающееся зеркало и, вторично отражаясь, попадает на экран. Общий вид прибора, изготовленного в кабинете физики 25-й образцовой средней школы Октябрьского района, приведен на чертеже. Мембрана изготовлена из папиросной бумаги. Обе иглы — обыкновенные швейные, ß?f=0,65 мм. Зеркальце квадратное — со стороной в 2 мм. Магнит взят от репродуктора завода «Украинрадио». Оправа мембраны проволочная, припаяна к скобке для крепления магнита.

Для того, чтобы зеркальце автоматически устанавливалось в постоянном положении, надо к вращающейся игле подклеить снизу две полоски папиросной бумаги и слегка натереть обе иглы канифолью во избежание скольжения. Для приклеивания иглы к мембране можно применить любой клей. В описываемом образце в качестве клея применен раствор кинопленки в ацетоне.

В качестве осветителя удобно применить алоскоп с диафрагмой из черной бумаги диаметром около 2 мм. Все размеры, приведенные на чертеже, не являются обязательными. Нежелательно, однако, уменьшать диаметр мембраны и увеличивать размеры иголок.

На экране должен быть получен небольшой, яркий и резкий зайчик. Вращающееся зеркало удобнее привести в движение маломощным моторчиком с реостатом. Различия в характере кривых для каждой гласной особенно хорошо заметны на низких тонах. Не следует, конечно, ожидать большой точности в воспроизведении звуковых колебаний этим фонодейком. Во всяком случае, он дает представление о характере кривых звуковых колебаний различных музыкальных инструментов и различных гласных, произносимых человеком.

В некоторых случаях бывает полезно приставить к мембране небольшой рупор.

Рис. 1

К ОПРЕДЕЛЕНИЮ УВЕЛИЧЕНИЯ МИКРОСКОПА

Н. ЕЖЕВ (г. Ижевск)

Линейным увеличением микроскопа, как известно, называют отношения линейной величины изображения к линейной величине самого предмета. Для определения линейного увеличения микроскопа можно поступить следующим образом: на предметное стекло, помещенное на столике микроскопа, кладется тонкая проволочка, диаметр которой d предварительно измеряется микрометрическим винтом. Измерение диаметра проволоки производят несколько раз и для значения d берут среднее арифметическое. Получив отчетливое изображение проволоки, лежащей под объективом микроскопа, кладут рядом с микроскопом на стол лист белой бумаги так, чтобы этот листочек отстоял от окуляра микроскопа на расстоянии наилучшего зрения (25 см для нормального глаза). Если расстояние от окуляра микроскопа до поверхности стола, на котором расположен микроскоп, больше расстояния наилучшего зрения, то под листок бумаги подкладывают соответствующей высоты подставку.

Когда листок бумаги расположен соответствующим образом, то смотрят одним глазом (левым) в микроскоп, а другим (правым) на бумагу, лежащую около микроскопа, и на бумаге видят проекцию изображения проволоки, лежащей на столике микроскопа. Если теперь взять хорошо очинённый карандаш, то легко зарисовать на бумаге, лежащей около микроскопа, полученное изображение проволоки, помещенной перед об'ективом микроскопа. Сделав несколько измерений ширины D полученного рисунка изображения проволочки линейкой или же штангенциркулем и взяв для значения D среднее арифметическое, находят и увеличение g микроскопа, которое будет равно:

(1)

Зная увеличение d микроскопа, можно решить и обратную задачу: определить линейные размеры малых объектов, помещенных перед объективом, микроскопа. Поместив на предметное стекло какие-либо мелкие об'екты, например ликоподий, волос и т. п., можно опять зарисовать изображение их на бумаге, лежащей около микроскопа; измерив, затем, при помощи линейки или штангенциркуля в различных направлениях диаметр D зарисованных изображений и зная из предыдущих опытов увеличение микроскопа g, находят, пользуясь формулою (1), величину диаметра d об'екта, лежащего на столике микроскопа.

Этот метод определения увеличения микроскопа особенно пригоден для учащихся,— будущих биологов и медиков, так как он дает возможность развить навыки зарисовки при работах с микроскопом.

СКЛЕЙКА ДИСКА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЙ МАШИНЫ

Ф. А. КРАВЧЕНКО

В Чакинском сельскохозяйственном техникуме во время эксперимента студентами был разбит на 3 части стеклянный диск электростатической машины Вимхурста; диаметр диска 45 см, при толщине его 5 мм. Переписка с фирмами и торгующими организациями показала, что приобрести новый диск дело безнадежное, поэтому решено было разбитый диск склеить. Выбор клея для стекла, чтобы придать диску максимальную прочность и не нарушить его электростатических свойств, играет большую роль. Канадского бальзама достать не удалось даже при поездке в Москву, поэтому пришлось испробовать ряд клеев, склеивая ими разные куски стекла, и испытывать прочность склейки. В конце концов, было решено остановиться на двух склеивающих веществах: густом растворе в спирту шеллака и покупном казеиновом клее. Склейка диска производилась следующим образом: разбитые края были чисто протерты, смазаны (обе половинки) раствором шеллака и крепко сжаты, после чего диск сушился дня 3—4, будучи положен на совершенно горизонтальную плоскость. Когда диск просох, к нему были вырезаны из коленкора два кружка диаметром около 10—12 см, которые приклеены центрально на стеклянном диске с обеих его сторон. Клей взят казеиновый, которым хорошо и равномерно промазан стеклянный диск и коленкоровые кружки; последние хорошо разглажены, после чего то место, на котором нужно прикрепить деревянную колодочку с блочком для ремня, тоже хорошо промазано казеиновым клеем, и сначала положена на это место резиновая шайба, которая тоже промазана хорошо тем же клеем с обеих сторон, а на нее уже наложена деревянная насадка, причем все подогнано так, чтобы отверстия для оси совпадали — как диска, так и деревянного блочка, а также и отверстия для шурупчиков. Когда все было сделано как нужно, диск опять подвергся сушке в течение почти целой недели; прибавлялись склеиваемые части небольшим грузом. В таком виде разбитый диск машины великолепно склеился—и довольно прочно.

Коленкоровые кружки имели цель придать диску возможно большую прочность. Когда клей совсем высох, склеенные части, в том числе и коленкоровые кружки, были покрыты шеллаковым лаком в целях предупреждения отсырения казеинового клея.

Для придания еще большей прочности решено было по ободу диска натянуть ободок из спаянной тонкой латунной ленты и прикрепить его шеллаком. Так и было сделано. Когда диск был готов, его вставили на место и испробовали: вращался диск правильно, склейка оказалась прочной, но машина электричества не возбуждала. Многократные затем испытания в разную погоду показали, что машина возбуждаться не будет и что причиной всему является металлический ободок. Решено было его снять и заменить ободком из бумажной тесьмы, тоже приклеенной шеллаком. Когда эта замена была сделана и диск высох, — машина великолепно начала работать, давая длинную искру между шариками раздвинутого кондуктора. В таком виде машина работает до настоящего времени в течение года, не отказываясь работать ни в какую погоду. Склейка оказалась прочной и надежной.

На той же машине оказались испорченными несколько штук станиолевых полосок, которые исправлены тем, что сверху их были наклеены лаком цапоном (жидкий раствор целлулоида в ацетоне) тонкие полоски нового станиоля. При продолжительной работе машины оказалось, что под влиянием электричества от станиоля отрываются мелкие кусочки. При замене полосок более толстым станиолем порча их этим устраняется.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

НОВЫЕ КНИГИ ПО ФИЗИКЕ

М. ГР-СКИЙ

7. «Что такое теория относительности» — Д. И. БЛОХИНЦЕВ, ОНТИ, 1936, 60 стр., ц. 50 коп.

Главная редакция научно-популярной и юношеской литературы ОНТИ начала выпуск популярных лекций, охватывающих широкий круг знаний. Серия этих лекций издается под общим названием: «Научные беседы выходного дня». Среди лекций, намеченных к выпуску, имеются темы по астрономии, биологии, ботанике и т. д. Физика в этом издании должна быть отражена следующими темами: «Основы физики» (акад. С. И. Вавилов), «Теория относительности» (проф. Д. И. Блохинцев) и т. д.

Предлагаемая вниманию читателей недавно выпущенная в свет лекция Д. Блохинцева посвящена актуальнейшей проблеме современной физики — теории относительности. Несмотря на всю сложность разбираемого вопроса, автор в доступной для понимания даже малоподготовленного читателя форме разобрал и подверг критике целый ряд фундаментальных понятий: ньютоновское абсолютное пространство и время, воззрения Гюйгенса на эфир и т. д. и т. д.

Кроме этого, в книге ясно изложены основные положения Эйнштейна — принцип относительности и принцип постоянства скорости света; разобран вопрос относительности времени и пространства, а также взгляды Минковского на понятие «четырехмерный мир». Автор уделил значительное место в своей лекции критике взглядов идеалистов и механистов на теорию относительности.

Лекция Блохинцева заканчивается разберем двух вопросов: 1) взаимоотношения ньютоновской механики и релятивистской, 2) роль теории относительности в современной физике.

К математической обработке излагаемого материала автор не прибегает.

2. «Демонстрации и лабораторные работы по физике в неполней средней школе»—проф. Д. Д. ГАЛАНИН, Учпедгиз, 1936, 104 стр., ц. 1 р. 10 к.

Книга преследует цель — помочь массовой школе оживить преподавание физики в неполной средней школе путем показа демонстраций и ведения лабораторных работ. Исходя из вышеуказанных задач, книга делится на 3 раздела: 1) основное оборудование физической лаборатории, 2) список приборов для демонстраций и описание опытов и 3) лабораторные работы.

Первым разделом книги охвачены следующие вопросы: помещение лаборатории, водопроводное и канализационное устройство, электрическое оборудование, проекционный фонарь, демонстрационный стол и т. д. Во 2-м разделе собраны описания 165 опытов, иллюстрирующих почти полностью программу VI и VII классов. Описание опытов весьма краткое, некоторые описания снабжены рисунками.

В 3-м разделе книги описаны 19 лабораторных работ. Последние изложены по такому плану: 1)цель работы, 2) оборудование, с») ход работы, 4) запись в тетради и 5) методические замечания. К пособию приложена весьма нужная для работы в лаборатории рецептура: правила пользования аккумуляторами, обращение с гальваническими элементами и т. д.

Автор книги — руководитель группы физики Центрального научно-исследовательского института политехнического образования.

3. « Учебник физики» — Р. МИЛЛИКЕН, Г. ГЭЛЬ и Ч. ЭДВАРДС, ч. 2-я, пер.

с английского под ред. Э. Шпольского, ОНТИ, 1936, 84 стр., ц. 5 руб.

Книга Милликена и др. охватывает материал 3 отделов физики: электричество, свет и звук. Об'ем изложенного материала значительно превышает программу по физике для наших средних учебных заведений, приближаясь несколько к вузовским программам.

Особенно углублен в этом отношении материал глав, которые относятся к разделу «Оптика». Здесь читатель найдет ряд сведений из вузовского курса физики: интерферометр Майкельсона, теория диффракционной решетки и разрешающая способность решетки, цветная фотография и т. д.

Математический аппарат книги элементарен. «Учебник физики» Милликена и др. иллюстрирован многочисленными рисунками, чертежами и портретами. К концу каждой главы приложены вопросник для упражнений, задачи и контрольные вопросы. Некоторые задачи приводятся с решениями.

4. «Электрические измерительные приборы и аппараты» — М. ЦУККЕРМАН, И. ГИМЕЛЬШТЕЙН, Е. ИОФФЕ и Р. АЛЬБРАНДТ, ОНТИ, 1936, 186 стр., ц. 2 р. 30 к.

Книга является учебником курсов техникумов для рабочих средней и высшей квалификации, работающих в предприятиях по изготовлению и ремонту электроизмерительных приборов.

Книга распадается на две основные темы: 1) элементарные сведения по электричеству и магнетизму и 2) устройство электроизмерительных приборов, классификация их, краткая теория приборов, эксплоатация и ремонт.

Первый раздел книги читатель—преподаватель физики — может, без ущерба для понимания второй темы, опустить; что касается второго раздела, то последний представляет некоторый интерес для преподавателя при его работе в физической лаборатории. Особенно интересна в этом отношении глава II книги: «Системы электроизмерительных приборов».

Книга иллюстрирована 14 рисунками и чертежами.

5. «Проблемы современной физики в работе Физико-технического института академика А. Ф. ИОФФЕ».

Изд. Академии наук СССР, 1936, 95 стр., ц. 1 р. 80 к.

Настоящее издание является докладом, прочитанным академиком А. Ф. Иоффе на последней сессии Академии наук (весна 1936 г.). Доклад охватывает все научные работы, выполненные А. Ф. Иоффе, его сотрудниками и учениками в Ленинградском физико-техническом институте, начиная с 1918 г. по день доклада. Докладчик коснулся, кроме этого, всех научных тем, выполненных лабораториями и научно-исследовательскими институтами, которые выделились в свое время из ЛФТИ и сформировались в настоящее время в научные учреждения самостоятельной тематики. К этим учреждениям необходимо отнести в первую очередь Украинский физико-технический и Уральский физико-технической институты.

Обзору научных работ каждой лаборатории предшествует небольшое историческое и научное введение, поясняющее возникновение данной научной проблемы. Ознакомление с докладом академика Иоффе дает возможность читателю познакомиться с краткой историей организации научно-исследовательских институтов физики у нас в СССР и с большой группой советских физиков на фоне их научных интересов.

6. «Очерки по истории электротехники»—Б. КУЗНЕЦОВ, ОНТИ, 1936, 100 стр., ц. 1 р. 60 к.

Автор книги начал свое повествование с опытов Вильяма Гильберта, Франклина, Рихмана и т. д. и закончил работами Государственной комиссии по электрификации России (ГОЭЛРО).

В книге изложена история возникновения и развития телеграфа, электрической лампы, динамомашины и т. д. Повествование ведется на фоне экономических и политических событий, определяющих развитие электротехники. Ознакомление с книгой Кузнецова дает преподавателю физики некоторый иллюстративный материал при проведении соответствующих бесед в X классе школы.

Надо однако предупредить читателя о том, что материал изложен отрывочно и несистематично с точки зрения истории каждого научного вопроса.

7. «Известия о гальвано-вольтовских опытах, которые производил профессор физики ВАСИЛИЙ ПЕТРОВ». Сборник к столетию со дня смерти первого русского электротехника, академика Василия Владимировича Петрова, ОНТИ, 1936, ц. 3 руб.

Рекомендуемая вниманию читателей монография представляет перепечатку описаний опытов по физике, проделанных академиком Петровым в конце XVII столетия и опубли-

кованных в 1803 г. в Петербурге. Опыты, осуществленные Петровым, относятся к исследованию электризации металлов, проводимости жидкостей, к исследованию действия тока на живые организмы и т. д. Эти простые опыты, с точки зрения уровня современной физики, являются крупными научными исследованиями для России XVIII в. «Известие о гальвано-вольтовских опытах», как одно из первых научных сочинений по физике, представляет значительный исторический интерес для преподавателей физики.

Книга напечатана с сохранением старой орфографии и стиля. Язык книги тяжел, однако последнее не мешает пониманию опытов, описанных в «Известиях». К концу книги приложена весьма интересная биография академика В. В. Петрова, написанная проф. Белькиндом. В биографии охарактеризована большая научная, переводческая, педагогическая и организационная работа Петрова.

Данная книга может быть использована в школе, как материал для доклада в кружке физиков на тему: «Первый русский электротехник Василий Владимирович Петров».

Труд Петрова перепечатан по постановлению торжественного заседания Всесоюзного энергетического комитета научно-инженерной общественности от 1 октября 1934 г.

МЕТОДИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИБЛИОГРАФИЯ ПО ТЕМАМ

В. МОРЕВ (Ленинград)

Уравнения первой и второй степени

1. Рушковский В. —Краткое изучение уравнений, Киев, 1864, 8°, стр. 56.

2. Арефьев А.— Один из приемов решения уравнений. «Математический листок», I, М., 1879, XII, стр. 379-382.

3. Гольденберг А. И. — Заметка о решении некоторых уравнений, «Математический листок», I, М., 1879. IV—V, стр. 109—110.

4. Гольденберг А. И. — Группа квадратных уравнений, «Математический листок», I, М., 1879, XI, стр. 367—368 и II, М., 1881—1882, IV—VI, стр. 94—104.

5. Гольденберг А. И. — Как решать уравнения первой степени с одним неизвестным, «Педагогический сборник», СПБ, 1883, V, стр. 417—425.

6. Билимович И. В, — Геометрический прием решения алгебраических уравнений, «Журнал элементарной математики», I, Киев, 1884—1885, XIII, стр. 246—247.

7. Гольденберг А. И. — Как решать совокупные уравнения первой степени, «Педагогический сборник», 1884, IV, стр. 385—402.

8. Попов М. и Левшин А. В. — Заметка о решении уравнений, «Журнал элементарной математики», I, Киев, 1884, VIII, стр. 152.

9. Альбицкий В. И. — Исследование уравнений второй степени с двумя переменными в отношении разложимости их на два линейных множителя, СПБ, 1885, 8°, стр. 44.

10. Гольденберг А. И. — Как решать квадратные уравнения с одним неизвестным? «Педагогический сборник», 1885, XI, стр. 345—362.

11. Гольденберг А. И. — Как решать квадратные уравнения с двумя неизвестными, «Педагогический сборник», 1886, VII, стр. 18—33.

12. Грузинцев А. П. — О совокупных уравнениях второй степени, «Журнал элементарной математики», II, Киев, 1886, IX, стр. 202-205; XIII, стр. 295—298.

13. Селиванов Д. Ф. — Об исследовании уравнений первой степени, «Краткий обзор деятельности Педагогического музея воен. учебн. заведений» за 1888/89 учебный год, стр. 162.

14. Преображенский В. К. — К теории квадратных уравнений, «ВОФЭМ», 1891, Сем. XI, № 129, стр. 181—183 и «Краткий обзор деят. Педагогического музея воен. учебн. заведений» за 1890—1892 гг., стр. 253.

15. Шидловский В. — Из области элементарной алгебры. К вопросу о решении уравнений, содержащих неизвестное в знаменателях дробных членов, «ВОФЭМ», 1891, Сем. X, № 118, стр. 181-186.

16. Звенигородский Я. Г. — Общий метод решения уравнений первых трех степеней, Харьков, 1892. Литограф.

17. Свешников П. — Заметка о составлении уравнений для решения задач, «Педагогический сборник», 1893, II, стр. 411—416.

18. Зновицкий К. — Один из способов решения совместных уравнений (способ замены), «ВОФЭМ», 1894, Сем. XVII, № 195, стр. 59—60.

19. Износков И. — Решение уравнений со многими неизвестными при помощи магических квадратов, «ВОФЭМ», 1895, Сем. XVIII, № 212, стр. 180—186. Отд. отт. Одесса, 1895, 8°, стр. 8.

20. Конопотин Р. — О задачах на составление уравнений, «Русская школа», 1896, IV, стр. 183—191.

21. Попруженко М. — Заметка о статье Конопотина, «ВОФЭМ», 1896, № 242, стр. 42—44.

22. Гирман С. — Равносильность уравнений

с одним неизвестным, «ВОФЭМ», 1897, Сем. ХХII, № 260, стр. 213—215.

23. Хайновский И. — Решение квадратных уравнений, «ВОФЭМ», 1897, Сем. XXII, № 253, стр. 14.

24. Агапов Д. В. — Искусственные способы решения уравнений второй степени со многими неизвестными. Для старших классов средних учебных заведений. Изд. автора. Оренбург, 1898, 8°, стр. 50; изд. 3-е, доп., Оренбург, 1901, 8°, стр. 56, ц. 60 к. 2400.

25. Григорьев Е. — Об одной системе уравнений, «Педагогический сборник», 1901, XII, стр. 534—5с 6.

26. Шохор-Троцкий С. И. — К вопросу об исследовании уравнений, «Педагогический сборник», 1901, II, стр. 156—187.

27. Агапов Д. В. Пособие к решению алгебраических задач на составление уравнений, изд. автора, Оренбург, 1Ь02, 8°, стр. 78, ц. 60 к.

28. Анощенко П. М. — Элементарный способ решения численных уравнений, изд. автора, Киев, 8°, ч. 1-я, 1902, стр. 47, ц. 60 к.; ч. 2-я, 1904, стр. 51, ц. 60 коп., «Дневник XI с'езда русских естеств. и врачей», Спб., 1902, стр. 393-394.

29. Долбня И. П.— Об алгебраическом решении уравнений, «Физ.-матем. ежегодник», год II, М., 1902, стр. 22-36.

30. Чистяков И. И. — Теорема о сумме и произведении корней квадратного уравнения, «ВОФЭМ», 1902, № 814, стр. 42.

31. Зимин М. - Приближенное вычисление корней квадратного уравнения, »ВОФЭМ», 1909, № 493, стр. 1-7; № 494, стр. 32—41.

32. Каган В. Ф. — Построение корней квадратного уравнения, «ВОФЭМ», 1909, № 479— 480, стр. 546-548.

33. Падеревский И. И. — Построение корней квадратного ураьнения (способ Л. Морижона), «Полтавский кружок любит, физ.-мат. наук», отчет X за 1907—1908 гг., Полтава, 1909, стр. 147—149.

34. Анощенко П. М. — Элементарный способ решения численных уравнений, «Дневник XII с'езда русских естеств. и врачей», М., 1910, X, стр. 429—430.

35. Свешников П. — Решение квадратных и кубических уравнений с целыми коэфициентами при помощи последовательных вычислений, «ВОФЭМ», 1912, № 560, стр. 216—220. Отд. изд. автора, Уфа, 1912 (26X18).

36. Диденко Е. Л.—Примерный урок — вывод формулы квадратного уравнения. Конспект и разбор, Сб. «Материалы по улучш. препод, матем.», Тифлис, 1913, стр. 145—156.

37. Агрономов Н. А. — О двух вариантах решения полного квадратного уравнения, «Матем. образование», М., 1914, VII, стр. 305—308.

38. Агрономов Н. А. — Об одном приеме решения квадратного уравнения, «Матем. образование», М., 1915, II, стр. 57—59.

39. Виноградов С. П. — Об одной системе линейных уравнений, «Матем. образование», М., 1915, II, стр. 64-69.

40. Добровольский В. В. — По поводу одной системы уравнений, «Матем. образование», М., 1915, III, стр. 104—107,

41. Сюшар П. — О расположении корней двучлена второй степени, пер с франц., «ВОФЭМ», 1915, № 613, стр. 148—153.

42. Пиотровский Б. Б. — Тождественные преобразования и уравнения в школе II ступени, «Математика в школе», сб. III, Л., 1925, стр. 51-79.

43. Агрономов Н. А. — Соотношения между корнями и коэфициентами квадратного уравнения, «Отчет математ. конференции Дальневоет. университ.», Владивосток, 1926, I (янв.), стр. 8.

44. Агрономов Н. А. — К теории квадратных уравнений, «Труды Дальневост. университ.», XV, Владивосток, 1928, I, стр. 37—41.

45. Арзуманов Г. — О перенесении количеств в равенствах, «Матем. образование», М., 1929, I, стр. 15—16.

46. Сапунов П. — Решение уравнений второй степени с двумя неизвестными в рациональных числах, «Матем. образование», М. 1929, II—111, стр. 71—72; VI, стр. 213-214.

47. Адамович С. — Элементарные приемы решений некоторых систем квадратных уравнений с двумя неизвестными, «Физ., хим., матем., техн. в труд, школе», М., 1930, III, стр. 80-82.

48. Домбровский Ч. — Еще о решении численных уравнений, «Матем. образование», М., 1930, V, стр. 168—169.

49. Китайцев П. — Решение системы уравнений первой степени, «Физ., хим., матем., техн. в сов. школе», M.,, 1931, Ш, стр. 69.

50. Машков М. — Геометрическое решение квадратных уравнений. Для кружковой работы. «Физ., хим., матем, техн. в сов. школе», М., 1931, VIII, стр. 60—63.

51. Сапунов П. — Решение квадратных уравнений общего вида, «Физ., хим., матем. техн. в сов. школе», М., 1931, II, стр. 52—54,

52. Брыснев К. — Как проработать тему «Тождества и уравнения», «Просвещение Сибири», 1932, XI—XII, стр. 47—54.

53. Ларичев П. — Квадратные уравнения. Опыт методразработки для ФЗС и ШКМ. «За кем. воспитание», М., 1932, IV, стр. 51-53.

54. Ларичев П. - Решение полных квадратных уравнений вида х2-f-рх-f-q = 0, «Физ., хим., матем., техн. в сов. школе», М., 1932, III, стр. 66-68.

55. Маергойз Д. — Об одном еще выводе формулы квадратного уравнения х2-\-рх + 4- q =0, «Физ., хим., матем., техн. в сов. школе», М., 1932, I, стр. 56—57.

56. Адрианов В. В. — Составление уравнений (методические указания), «Горьковск. просвещенец», 1933, VII—VIII, стр. 20-29.

57. Лезедов П. Е. — Система уравнений первой степени, «Сборн. метод, статей по матем.», ЛООНО, 1933, стр. 31-39,

53. Петров М. — Квадратные уравнения. Опыт Наро-Фоминской ФЗС, «За ком. воспитание», 1933, VI (ноябрь—декабрь), стр. 34—38.

59. Креер Л. — Алгебраические уравнения. «Матем. и физика в средней школе», М., 1934, II, стр. 6—14.

60. Ларичев П. — Система уравнений первой степени, «Матем. и физика в средней школе», 1934, I, стр. 61—66.

61. Ларичев П. — Квадратные уравнения.

«Матем. и физика в средней школе», 1934, I, стр. 70—77.

62. Лезедов П. —Уравнения с буквенными коэфициентами, сб. «Методич. разработки по матем. в средней школе», ЛООНО, 1934, стр. 41—44.

63. Методическая разработка темы «Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными», «Метод, путеводитель», Средневолжск, крайоно, 1934, II.

64. Островский М. — Метод составления уравнения первой степени с одним неизвестным, «Матем. и физика в средней школе», М., 1934, III, стр. 76—84.

65. Сапунов П. — Решение задач методом составления уравнения с одним неизвестным, «Матем. и физика в средней школе», М., 1934, III, стр. 72—75.

66. Скрутовский С. Д. — О методике составления и решения уравнений первой степени с одним неизвестным, «Просвещение Сибири», Новосибирск, 1934, XI—XII, стр. 53-60.

67. Соколов С. В. — Исследование уравнений. Рабочий план, сб. «Метод, разработки по матем. в средней школе», ЛООНО, 1934, стр. 68—73.

68- Софронов В. С. — Понятие об уравнении и эволюция методов решения уравнений, сб. «Элемент, матем. в средней школе» под ред. С. Е. Ляпина, М.—Л., 1934, стр. 106—116.

69. Терсков Е. — Перенос членов уравнения. Два урока по алгебре в VI группе ФЗД, «За политехн. школу», М., 1934, II (март-апрель), стр. 86—90.

70. Чистяков И: И. — О квадратных уравнениях, «Матем. и физ. в средней школе», М., 1934, IV, стр. 18—22.

71. Горская Л. — Из опыта обучения решению уравнений, сб. «Материалы совещ. преподав, матем.» М., 1935, стр. 106—107.

72. Гребенча М. — Функции и уравнения, «Матем. и физ. в средней школе» М., 1935, IV, стр. 65—70 и сб. «Материалы совещ. преподав, матем.», М., 1935, стр. 94—103.

73. Дзюба Ф. — Квадратные уравнения в учебной и методической литературе, «Матем. и физика в средней школе», М., 1935, VI, стр. 41—48.

74. Дятлов М. — Составление и решение буквенных уравнений, как первый шаг к алгебраическому способу решения задач, «Метод, путеводитель для работн. массовой школы», Куйбышев, 1935, IV, стр. 7—12.

75. Змиева М. — Опыт подготовки учащихся к составлению уравнений первой степени, «Матем. и физика в средней школе», М., 1935, V, стр. 61—65.

76. Костина З. — Первоначальные упражнения на составление уравнений, «Матем. и физика в средней школе», М., 1935, V, стр. 66-68.

77. Краев-Гоголевский Ф. М. — Типовой урок по алгебре в средней школе (опыт метод, разработки) (решение полных квадратных уравнений), «Просвещение Сибири», Новосибирск, 1935, I, стр. 53—58. Ред.: «Учебно-педагог. литерат.» М, 1935, X, стр. 32.

78. Креер Л. И. — Постановка упражнений в квадратных уравнениях, «Северокавказский учитель», Пятигорск, 1935, II (IV), стр. 50—53.

79. Кременштейн Л. — К методике преподавания уравнений, «Матем. и физика в средней школе», М., 1935, II, стр. 49—50.

80. Кременштейн Л. и Маергойз Д.— До методики розв'язування рівнянь з двома невідомими, «Комуніст, освіта», 1935, IV—V, стр. 66—73.

81. Мосин В. М. — Уравнения первой степени с одним неизвестным и составление уравнений из условий задачи (метод, указания). «Северокавказский учитель», Пятигорск, 1935, I (III), стр. 37—41.

82. Нестеров Н. — Составление уравнения по условиям задачи, «В помощь учителю», Л., 1935, II, стр. 20-25.

83. Островский — Решение уравнений, сб. «Материалы совещ. преподават. матем.» М. 1935, стр. 103—106.

84. Полозова Н. — Решение алгебраических задач. Составление уравнений из услозий задач (уравнения первой степени с одним неизвестным), сб. «Решение математ. задач», ЛООНО, Л., 1935, стр. 31—40.

85. Сенкевич К. — Из опыта обучения решению уравнений, сб. «Материалы совещ. преподават. матем.», М., 1935, стр. 108—109.

86. Таль М. — Замечания и дополнения к статье П. Ларичева «Система уравнений первой степени», «Матем. и физика в средней школе», М., 1935, II, стр. 51—55.

87. Чистяков И. И. — Замечания к отделу о квадратных уравнениях, «Матем. просвещ.», вып. III, M., 1935, стр. 7—15.

В современных методиках уравнениям отведены следующие страницы:

83. Чистяков И. И. — Методика алгебры, М., 1934, гл. VIII. Уравнения первой степени, стр. 89—108; гл. XII. Квадратные уравнения, стр. 149—160.

89. Бронштейн С. — Методика алгебры, M , 1935, гл. VI. Систематическое учение об уравнениях, стр. 93—117; гл. VII. Система уравнений первой степени, стр. 117—132; гл. IX. Уравнения второй степени, стр. 162—198.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ помещенных в № 2 сб. «Математика и физика в школе» за 1936 г.

1. Решить уравнение

*з 4-блг — 36^3^0. После подстановки

х=ууТ'

уравнение примет вид

уЗ_|_2у— 12 = 0. Разлагаем на множители:

Отсюда:

После подстановки, получаем:

Многие читатели, не прибегая к подстановке, решали задачу путем разложения на множители (выделения множителя х — 2\[ 3 ).

К. Агринский (Москва), А. Аляев (ст. Башмаково), М. Андреев (Красноярск), В. Барановский (Одесса), М. Бархударов (уч. Баку), В. Бацев (Евпатория), И. Бородуля (Москва), Ф. Брижак (Краснодар), Г, Бройт (Ленинград), А. Вепланд (Москва), М.Вигдерзон (Цюрупинск), И. Глотов (с. Ново-Троицкое Куйб. кр.), В. Голубев (Кувшиново Калин, обл.), А. Гольдберг (Ленинград), В. Гильц (Омск), С. Городов (Ленинград), И. Гришин (Осташков), А. Гурвич (Красноярск), И. Демидов (Мурманск), А. Егоров (Демянск), Н. Енгурин (Чистополь), О. Жаутыков (Алма-Ата) ; И. Зайцев (Москва), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), А. Изотенков (Плавск), В. Камендровский (Оренбург), И. Кацман (Житомир), М. Кекелия (Бандза, Грузия), Г. Кипнис (ст. Долгинцево), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), П. Ковальский (Умань), С. Колесник (Харьков), К. Краевский (Урусово Воронеж, обл.), А. Крутиков (Демидов), А. Кулаков (Бугуруслан), Е. Куницын (Пушкинские Горы), В. Лебедевская (Саратов), А. Логашов (Кандиевка Куйб. кр.), А. Любомудров (Ленинград), Н. Милковский (Новозыбков), Мифтахов (ст. Агрыз), Г. Олехнович (Рассказово Воронеж.обл.), В.Павлов (Балятино), Г. Пекер (Рашков, АМССР), В. Поляков (ст. Жуковская Аз.-Черн. кр.), Г. Ржавский (Фролово Сталингр. кр.), Н. Рождественский (Днепропетровск), Д. Савельев (Горький), Е. Сапунцов (Таганрог), П. Сергиенко (Запорожье), А. Соловьев (Калинин), Б.Сосницкий (Калуга), Н. Столяров (Порецкое Горьк. кр.), О. Ханчарлян (Краснодар), К. Хоменко и С. Пичкур (Черкасы), Г. Харитонов (Б. Сундырь), М. Шевелев (Казань), Б. Шехтман (Одесса), Н. Шибанов (Омск), Л. Шмуленсон (Винница), М. Щинова и Ф. Щинов (Глазов), М. Яглом (Москва)*

2. Решить уравнение:

После подстановки

X — 5 =у

и раскрытия скобок уравнение приведется к виду:

V6 + Зу> + Зу _|_ _|_ Зу> _|_

+ Зу+1=0. (2)

Имеем возвратное уравнение. Представив его в виде:

(3)

* Так как почти для всех задач настоящего номера присланные решения или совпадают или варьируют очень незначительно, редакция не производила разбивки приславших решения на две категории.

делаем подстановку

Отсюда :

Получаем уравнение

234-322 — 2 = 0. (4)

Непосредственно (или посредством разложения на множители) замечаем, что уравнение имеет корень zt = —1. После деления на z-\~ 1 получим:

г2+2г —2 = 0.

Отсюда:

После подстановки найденных значений z в уравнение (4), получим:

(5) (6) (7)

Решив эти квадратные уравнения, найдем:

И, наконец:

И. Туминским дано обобщение этой задачи в виде уравнения:

После подстановки х — р =у, разложения двучленов по формуле бинома и приведения подобных членов, получаем возвратное уравнение в виде:

решение которого приводится к решению уравнения степени п.

К. Агринский (Москва), М. Андреев (Красноярск), В. Барановский (Одесса), В. Бацев (Евпатория), Г. Бройт (Ленинград), Ф. Брижак (Краснодар), М. Вигдерзон (Цюрупинск), И. Глотов (Ново-Троицкое), В. Голубев (Кувшиново), В. Гильц (Омск), А. Гурвич (Красноярск), И. Демидов (Мурманск), И. Зайцев (Москва), А. Иванов (Торопец), Н. Кавказский (Воронеж), В. Камендровский (Оренбург), К. Кириллов (Казань), К. Краевский (Урусово), Г. Олехнович (Рассказово), В. Павлов (Балятино), Г. Пекер (Рашков), Г. Ржавский (Фролово), Н. Рождественский (Днепропетровск), Е. Сапунцов (Таганрог), П. Сергиенко (Запорожье), А. Соловьев (Калинин), Б. Сосницкий (Калуга), Н. Столяров (Порецкое), О. Ханчарлян (Краснодар), С. Чуканцев (Брянск), М. Шевелев (Казань), Г. Шестопалов (Ворошиловград), Л. Шмуленсон (Винница), М. Щинова и Ф. Щинов (Глазов), М. Яглом (Москва).

3. Решить в целых числах уравнение:

X3— 100 = 225у. (1)

Из уравнения видно, что х должен быть кратным пяти. Полагая x = ozn делая подстановку, получим:

5z3 — 4 = 9у. (2)

Левая часть должна быть кратна девяти. Так как z может быть только одного из трех видов:

3/; 3/-f 1; 3/—1,

то подстановкой этих выражений в уравнение (2) убеждаемся, что число, кратное девяти, дает лишь третий случай, т. е.

z = 3t—\.

В этом случае:

При всяком целом t получаем соответственно целые решения данного уравнения.

Поверка дает:

Большинство присланных решений не давали полной системы корней уравнения. Так, одни ограничивались указанием, что для z надо выбирать те из значений 1, 2, 3 . . . , которые дают кратное девяти. Другие получили формулы, не дающие всех решений, например х ——5(—2)п.

А. Аляев (ст. Башмаково), В. Барановский (Одесса), В. Голубев (Кувшиново), В. Гильц (Омск), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), В. Камендровский (Оренбург), К. Краевский (Урусово), Н. Рождественский (Днепропетровск), А. Соловьев (Калинин), Б. Сосницкий (Калуга), М. Шевелев (Казань), Г. Шестопалов (Ворошиловград), М. Яглом (Москва).

4. Решить систему уравнений:

jc2+y=l, &+jP=l.

Возведя обе части первого уравнения в куб, а второго—в квадрат и произведя вычитание, получим:

Ъх*уг 4- Злг2У — 2лгУ = О,

или

х2у2(Ъх2 + Зу2 — 2ху) = 0.

Это уравнение распадается на три:

X2 = 0(1 ); у2 = 0(2); За:2 + Зу2 — 2ху =0 (3).

Решая (1), совместно с данными, найдем

X1,2-0\ У\*2 == 1 •

Решая (2):

хз>4 — 1 > Уг>А = 0.

Наконец, представив уравнение (3) в виде 3(х2у2) = 2ху и приняв во внимание первое из данных уравнений, получим:

из второго из данных уравнений найдем или

Отсюда:

Решив систему уравнений

найдем:

Второй способ. Из данных уравнений получим:

у2=\—х2; У = 1 —X3.

Отсюда:

/ = (1-*2)з = (1—*»)*,

или:

1 _ Ъх2 + Зх4 — х« = 1 — 2х3 + je6 ; 2л:6 — 3jk4 — 2лг3 — Ъх2 = 0; л:2(2л:4 — З*2 — 2 х + 3) = 0.

Отсюда:

^,2=0, (1)

и из данных уравнений находим: Далее :

2х4-3х2- 2х+3 = 0.

Непосредственно убеждаемся, что уравнение имеет корень х=1. (Можно рассуждать и так: из уравнения х2 — 0 мы нашли два корня для у, именно: ^«1, Так как уравнения симметричны по отношению х и у, то очевидно уравнение (2) должно иметь для х два корня, равных единице).

Делим левую часть уравнения (2) на х—!• получим:

2х* — Зх2 - 2х + 3 = (х— l)(2x3 + -\-2х2-х — 3).

Второй многочлен опять имеет корень х = 1. Делим на х — 1; получаем окончательно:

(х- 1)2(2*2 + 4л: + 3) = 0.

Отсюда

(х-\)2 = 0у *з>4=1; Л>4 = 0. (3)

Наконец, решая квадратное уравнение, найдем:

Многие из присланных решений упускали тот или другой корень.

К. Агринский (Москва), В. Барановский (Одесса), М. Бархударов (Баку), А. Бауэр (уч. IX кл. Зельман. МТС), И. Бородуля (Москва), Г. Бройт (Ленинград), М. Вигдерзон (Цюрупинск), В. Голубев (Кувшиново), А. Гольдберг (Ленинград), В. Гильц (Омск), С. Городов (Ленинград), И. Гришин (Осташков), А. Гурвич (Красноярск), И. Демидов (Мурманск), А. Егоров (Демянск), В. Ефимов (ст. Сходня), И. Зайцев (Москва), Г. Знаменский (Ялта), И. Изотенков (Плавск), Н. Кавказский (Воронеж), В. Камендровский (Оренбург), И. Кацман (Житомир), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), А. Кулаков (Бугуруслан), Кулигин (ст. Зиновьевская), Н. Милковский (Новозыбков), И. Нагорный (Кошеватое), С. Нагорных (Благовещенск), Г. Олехнович (Рассказово), Г. Ржавский (Фролово), Н. Рождественский (Днепропетровск), Д. Савельев (Горький), Е. Сапунцов (Таганрог), П. Сергиенко (Запорожье), А. Соловьев (Калинин), Б. Сосницкий (Калуга), Н. Столяров (Порецкое), С. Чуканцев (Брянск), О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), М. Шевелев (Казань), Л. Шмуленсон (Винница), М. Щинова и Ф. Щинов (Глазов), М. Яглом (Москва).

5. Доказать, что сумма квадратов пяти последовательных целых чисел не может быть точным квадратом.

Обозначив среднее по величине число через х, будем иметь:

Для того, чтобы выражение 5 (a:2-j-2) было точным квадратом, необходимо, чтобы х2-\-2 было кратно пяти. Так как х может быть лишь одного из пяти видов

х = 5у; х = 5у±~ 1; л: = 5у4=2,

то, подставляя эти выражения в данное, найдем, что выражение в скобках будет иметь вид соответственно:

5^ + 2; 5^ + 3; 5^ + 6,

т. е. во всех случаях является числом, не делящимся на 5. Следовательно, выражение Ъ{х2-\-2) не может быть точным квадратом.

Можно рассуждать еще проще. Для того, чтобы X2 -j- 2 делилось на 5, нужно, чтобы оно оканчивалось цифрой 0 или 5, т. е. х2 должно оканчиваться на 8 или на 3. Но, как известно, не существует квадратного числа, оканчивающегося на 2, 3, 7 и 8.

Последним способом большинство и решало задачу.

Если обозначить наименьшее число через х, то получится трехчлен 5лг2 -J- 20^ + 30 = = 5(x2 + 4* + 6) = 5[(jt-f 2)2+ 2].

Дальше — те же рассуждения, что и выше.

Ошибка многих, приславших решение, заключалась в требовании, чтобы этот трехчлен разлагался на два равных линейных множителя, т. е. чтобы дискриминант был равен нулю. Но ведь речь идет не о представлении трехчлена в виде квадрата двучлена, а о его численной величине, которая может быть точным квадратом, хотя бы дискриминант и не был равен нулю. Например Ъх2 + 20л: -f-11 при х=1; X2 + 4х-\- 13 при X = 2 и т. д.

К. Агринский (Москва), А. Аляев (Башмаково), В. Барановский (Одесса), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), А. Вепланд (Москва), М. Вигдерзон (Цюрупинск), В. Голубев (Кувшиново), А. Гольдберг (Ленинград), В. Гильц (Омск), И. Демидов (Мурманск), И. Зайцев (Москва), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), И. Изотенков (Плавск), И Кацман (Житомир), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), К. Краевский (Урусово), А. Кулаков (Бугуруслан), А. Логашов (Кандиевка), Е. Марчевская (Харьков), Г. Олехнович (Рассказово), Н. Рождественский (Днепропетровск), П. Сергиенко (Запорожье), Б. Сосницкий (Калуга), А. Сахаров (Москва), О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Хари то Н.0 в (Б. Сундырь), М. Холмянский (Москва), М. Шевелев (Казань), М. Яглом (Москва).

6. Доказать, что значения выражения 1 + 2х + 4я кратны 7, если х есть положительное число вида Ъп -4- 1.

1) Пусть X — Ъп -f-1 ; тогда:

_1 +2.8W + 4.64M. (1)

Разложив 8n = (7+l)wh 64w = (63+l)n по формуле бинома, найдем, что первое число имеет вид 7 а -\- 1, а второе 7b-\- 1, где а и b целые числа. Подставляя эти выражения в (1), найдем:

получили число, кратное 7.

2) Пусть х= Зп + 2. Тем же путем найдем:

т. е. опять число, кратное 7.

Нужно отметить, что, несмотря на всю простоту этой задачи, у многих решение ее получилось длинным и сложным путем.

К. Агринский (Москва), В. Барановский (Одесса), А. Бауэр (Зельман. МТС), Г. Бройт (Ленинград), А. Вепланд (Москва), М. Вигдерзон (Цюрупинск), В. Голубев (Кувшиново), А. Гольдберг (Ленинград), И. Гришин (Осташков), И. Зайцев (Москва), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), И. Изотенков (Плавск), И. Кацман (Житомир), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), А. Кулаков (Бугуруслан), А. Логашов (Кандиевка), В. Морев (Ленинград), В. Павлов (Балятино), Г. Ржавский (Фролово), Н. Рождественский (Днепропетровск), Н. Самодуров (Бийск), П. Сергиенко (Запорожье), А. Соловьев (Калинин), Б. Сосницкий (Калуга), М. Шевелев (Казань), Л. Шмуленсон (Винница), М. Яглом (Москва).

7. Через произвольную точку внутри треугольника проведены прямые, параллельные сторонам. Выразить площадь 5 данного треугольника через площади slf s2, s3 трех треугольников, образовавшихся внутри данного.

Нетрудно видеть, что все полученные треугольники подобны данному и, следовательно, друг другу.

По теореме о площадях подобных треугольников имеем

(1)

где ру ри р2> р3 соответственно периметры. Отсюда

(2)

Из чертежа видно, что

Л = «1 + àt + c2; Рг = а2 + h + cz>' Рз = аз + *2 + С1-

Отсюда:

Pi+P2 + Ps=P-Делая подстановку в (2), найдем:

Отсюда:

Таким путем решало задачу большинство. Можно решить ее еще проще и короче. Замечая, что b, bv b2 и b3 — сходственные стороны четырех подобных треугольников, и что Ь± + Ь2 + £3 = Ьу пишем :

или

К. Агринский (Москва), В. Барановский (Одесса), В. Бацев (Евпатория), Г. Бройт (Ленинград), А. Вепланд (Москва), М. Вигдерзон (Цюрупинск). В. Голубев (Кувшиново), А. Гольдберг (Ленинград), А. Гурвич (Красноярск), И. Демидов (Мурманск), И. Зайцев (Москва), Г. Знаменский (Ялта), В. Камендровский (Оренбург), К. Кириллов (Казань), С. Колесник (Харьков), А. Кулаков (Бугуруслан), Н. Милковский (Новозыбков), Е. Марчевская (Харьков), В. Морев (Ленинград), Г. Олехнович (Рассказово), В. Павлов (Балятино), Г. Ржавский (Фролово), Е. Сапунцов (Таганрог), А. Сахаров (Москва), Б. Сосницкий (Калуга),

Г. Харитонов (Б. Сундырь), М. Шевелев (Казань).

8. Найти углы треугольника, зная, что они образуют арифметическую прогрессию и что наибольшая сторона его с вдвое больше наименьшей.

Обозначив наименьший угол через А, будем иметь

В = А-{-г; С = Л + 2г,

откуда:

2В = Л + С,

и так как

Л + Б + С=180°,

то

5 = 60°; Л + С=120°; С= 120° — А.

По условию

Отсюда:

или

но

и мы, следовательно, имеем:

отсюда:

и, следовательно,

Этим способом решало большинство.

Более простой способ. Установив по предыдущему, что В = 60°, определим сторону Ь.

b2=a2-\-c2 — 2accosB.

Отсюда непосредственно получаем, что

т. е. треугольник прямоугольный и Л = 90°1 С = 30°.

К. Агринский (Москва), М. Андреев (Красноярск), В. Барановский (Одесса), И. Бородуля (Москва), Г. Бройт (Ленинград), М. Вигдерзон (Цюрупинск), В. Голубев (Кувшиново), А. Голубченко (Лохвица), А. Гольдберг (Ленинград), В. Гильц (Омск), И. Гришин (Осташков), А. Гурвич (Красноярск), И. Демидов (Мурманск), А.Егоров (Демянск), В. Ефимов (Сходня), И.Зайцев (Москва), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), И. Изотенков (Плавск), Н. Кавказский (Воронеж), В. Камендровский (Оренбург), И. Кацман (Житомир), М. Кекелия (Бандза, Грузия), Г. Кипнис (ст. Долгинцево), В. Кременский (Ленинград), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), К. Краевский (Урусово), А. Крутиков (Демидов), А. Кулаков (Бугуруслан), Е. Куницын (Пушкинские Горы), А. Логашов (Кандиевка), А. Любомудров (Ленинград), Н. Милковский (Новозыбков), В. Морев (Ленинград), И.Нагорный (Кошеватое), Г. Олехнович (Рассказово), В. Павлов (Балятино), Г. Ржавский (Фролово), Н. Рождественский (Днепропетровск), Н. Самодуров (Бийск), Е. Сапунцов (Таганрог), П. Сергиенко (Запорожье), А. Соловьев (Калинин), Б. Сосницкий (Калуга), Н. Столяров (Порецкое), О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), М. Шевелев (Казань), Б. Шехтман (Одесса), А. Шульман (Житомир), М. Щинова, Ф. Щинов (Глазов), М. Яглом (Москва).

9. Доказать следующее предложение: если в треугольнике

ra-r=2R,

где ray r, R— радиусы кругов вневписанного, вписанного и описанного, то этот треугольник прямоугольный.

1. Наиболее короткое решение. Исходя из известных формул:

и подставляя найденные из них значения га, г и R в данное соотношение, найдем

Отсюда:

Приняв во внимание формулу Герона, найдем:

и, наконец:

а2 = Ь2^с2у

что и доказывает, что данный треугольник — прямоугольный.

К. Агринский (Москва), В. Барановский (Одесса), Г. Бройт (Ленинград), А. Вепланд (Москва), М. Вигдер зон (Цюрупинск), А. Гольдберг (Ленинград), А. Гурвич (Красноярск), И. Демидов (Мурманск), А. Егоров (Демянск), И. Зайцев (Москва), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), В. Камендровский (Оренбург), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), К. Краевский (Урусово), А. Кулаков (Бугуруслан), А. Логашов (Кандиевка), Е. Марчевская (Харьков), Г. Олехнович (Рассказово), В. Павлов (Балятино), Г. Пекер (Рашков), Г. Ржавский (Фролово), Н. Рождественский (Днепропетровск), П. Сергиенко (Запорожье), А. Соловьев (Калинин), Б. Сосницкий (Калуга), О. Ханчарлян (Краснодар), М. Шевелев (Казань), М. Яглом (Москва).

10. Доказать, что из равенства:

вытекает соотношение

Из данного соотношения, по освобождении от дробей, получим:

Делая подстановку, найдем последовательно

(1)

Далее, находим

(2)

Из соотношений (1) и (2) получим

Отсюда:

К. Агринский (Москва), В. Барановский (Одесса), Г. Бройт (Ленинград), А. Вепланд (Москва), М. Вигдерзон (Цюрупинск), А. Гольдберг (Ленинград), И. Зайцев (Москва), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), В. Камендровский (Оренбург), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), К. Краевский. (Урусово), А. Логашов (Кандиевка), Е. Марчевская (Харьков), В. Павлов (Балятино), Г. Ржавский (Фролово,), Н. Рождественский (Днепропетровск), Е. Сапунцов (Таганрог), П. Сергиенко (Запорожье), А. Соловьев (Калинин), Б. Сосницкий (Калуга), Н. Столяров (Порецкое), М. Шевелев (Казань), Б. Шехтман (Одесса), М. Яглом (Москва).

11. Показать, что

tg30o = tgl0°tg70otg50o.

Применяя формулу для тангенса суммы, а затем для тангенса удвоенного угла, найдем

Но так как у% _ tg60°, то будем иметь:

Отсюда, наконец, применяя опять формулу для тангенса суммы и разности, получим tg 30° = tg 10° tg 50° tg 70°.

Идя совершенно таким же путем, можно вывести формулу более общего вида: tg За = = tga tg (60°-f-а) tg (60° — а), частным случаем которой при a =10° является предыдущее равенство.

Другие решения исходили из правой части, приводя ее к tg 30°.

К. Агринский (Москва), В. Барановский (Одесса), А. Бауэр (Зельман. МТС), И. Бородуля (Москва), Г. Бройт (Ленинград), А. Вепланд (Москва), М. Вигдерзон (Цюрупинск), А. Гольдберг (Ленинград), С. Городов (Ленинград), И. Демидов (Мурманск), Н. Енгурин (Чистополь), И. Зайцев (Москва), Г.Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), B. Камендровский (Оренбург), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), C. Колесник (Харьков), К. Краевский (Урусово), А. Крутиков (Демидов), А. Кулаков (Бугуруслан), Е. Куницын (Пушкинские Горы), А. Логашов (Кандиевка), А. Любомудров (Ленинград), Н. Милковский (Новозыбков), Е. Марчевская (Харьков), Мифтахов (ст. Агрыз), Г. Олехнович (Рассказово), В. Павлов (Балятино), Г. Ржавский (Фролово), Н. Рождественский (Днепропетровск), П. Сергиенко (Запорожье), А. Соловьев (Калинин), Б. Сосницкий (Калуга), Н. Столяров (Порецкое), О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), К. Хоменко и С. Пичкур (Черкассы), М. Шевелев (Казань), Г. Шестопалов (Ворошиловград), П. Шилин (Ново-Томныково Воронеж, обл.), М. Щинова и Ф. Щинов (Глазов), М. Яглом (Москва).

12. Доказать тождество;

Исходя из формул

2s — aht = bh2 = ch3,

найдем

Соответственно

Следовательно:

(1)

С другой стороны, присоединив формулу

будем иметь:

и, соответственно,

После перемножения получим:

(2)

Равенство правых частей (1) и (2) и доказывает заданное равенство.

К. Агринский (Москва), В. Барановский (Одесса), Г. Бройт (Ленинград), A. Вепланд (Москва), М. Вигдерзон (Цюрупинск) А. Гольдберг (Ленинград), С. Городов (Ленинград), И. Гришин (Осташков), А. Гурвич (Красноярск), И. Демидов (Мурманск), А. Егоров (Демянск), И. Зайцев (Москва), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), B. Камендровский (Оренбург), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), C. Колесник (Харьков), К. Краевский (Урусово), А. Крутиков (Демидов), А. Кулаков (Бугуруслан), А. Логашов (Кандиевка), А. Любомудров (Ленинград), Е. Марчевская (Харьков), В. Павлов (Балятино), Г. Пекер (Рашков), Г. Ржавский (Фролово), Н. Рождественский (Днепропетровск), Е. Сапунцов (Таганрог),

П. Сергиенко (Запорожье), А. Соловьев (Калинин), Б. Сосницкий (Калуга), Н. Столяров (Порецкое), А. Сахаров (Москва), О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), М. Шевелев (Казань), М. Щинова и Ф. Щинов (Глазов), М. Яглом (Москва).

13. Доказать, что число

32п+2_8я_9

при п целом и положительном кратно 64.

Представив данное выражение в виде: 9п4-1_8/г_9

и разложив 9Л +1 = (1 -f- 8)п 1 по формуле бинома найдем, что 9п + 1 может быть представлено в виде

1+8(/г+ 1)+ 64/,

где t — целое число. Тогда данное выражение примет вид:

1 +8(rt-f-l) + 64/ — 8л — 9 = 64/,

т. е. оно кратно 64.

Многие решали эту задачу (так же, как и № 6) способом от п к /2+ 1, что нам представляется более сложным

К. Агринский (Москва), В. Барановский (Одесса), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), А. Вепланд (Москва), М. Вигдерзон (Цюрупинск) А. Гольдберг (Ленинград), В. Гильц (Омск), И. Гришин (Осташков), А. Гурвич (Красноярск), И. Демидов (Мурманск), А. Егоров (Демянск), И. Зайцев (Москва), Г. Знаменский (Ялта), В. Зяблицкий (Калинин) А. Иванов (Торопец), И. Изотенков (Плавск), Н. Кавказский (Воронеж), В. Камендровский (Оренбург), И. Кацман (Житомир), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), П. Ковальский (Умань), С. Колесник (Харьков), К. Краевский (Урусово), А. Крутиков (Демидов), А. Кулаков (Бугуруслан), А. Логашов (Кандиевка), Н. Милковский (Новозыков), В. Павлов (Балятино), Г. Пекер (Рашков), Г. Ржавский (Фролово), Н. Рождественский (Днепропетровск), Н. Самодуров (Бийск), Е. Сапунцов (Таганрог), П. Сергиенко (Запорожье), А. Соловьев (Калинин), Б. Сосницкий (Калуга), Н. Столяров (Порецкое), А. Сахаров (Москва), О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), М. Шевелев (Казань), Б. Шехтман (Одесса), Л. Шмуленсон (Винница), М. Щинова и Ф. Щинов (Глазов), М. Яглом (Москва),

14ь Решить систему уравнений

x + z = — 2 (1); y + u + xz = 5 (2);

yz-\-xu =— 4 (3); уи = 4 (4).

Исключим из системы последовательно xß и и г. Из (1) находим:

X = — z — 2. Делая подстановку, найдем:

у-{-и — 2z — z2 = 5; yz — 2u — uz= — 4; (5)

yu = 4r.

Из последнего уравнения находим:

Делая подстановку в (5), получим после освобождения от дробных членов:

Из последнего уравнения находим:

Подставляя в (1) из уравнения (6), получим после освобождения от дробей и приведения подобных членов

У — у3 — Ьу2 — 4у+ 16 = 0. (7)

Непосредственно убеждаемся, что одним из корней уравнения (7) будет у = 2. Деля (7) два раза на у — 2, получим:

СУ-2)2Су2 + Зу+4)=0. (8)

Из уравнения (8) найдем

Подставляя эти значения в выражения

найдем

Подставляя значения z в выражение х — =—2—z, получим

Наконец, из уравнения

найдем :

Все корни удовлетворяют данной системе уравнений. Задача допускает и другие, более искусственные способы решения.

В. Барановский (Одесса), Г. Бройт (Ленинград), А. Гольдберг (Ленинград), И. Гришин (Осташков), А. Гурвич (Красноярск), И. Зайцев (Москва), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), П.Ковальский (Умань), А. Крутиков (Демидов), А. Кулаков (Бугуруслан), Е. Марчевская (Харьков), В. Павлов (Балятино), Н. Рождественский (Днепропетровск), Е. Сапунцов (Таганрог), А. Соловьев (Калинин), Б. Сосницкий (Калуга), В. Ураевский (Кузнецк), О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), К. Хоменко и С. Пичкур (Черкассы), С. Чуканцев (Брянск), М. Шевелев (Казань), И. Шилин (Ново-Томниково), А. Шульман (Житомир), М. Щинова и Ф. Щинов (Глазов), М. Яглом (Москва).

15. Решить уравнение:

cos \ 0х — cos 8л: — cos 6л: -\- 1 = 0.

Представив данное уравнение в виде

(cos 10х — cos 6л:) -(- (1 — cos 8л:)

и применив к обеим скобкам формулу для разности косинусов, найдем:

— 2 sin 8л: sin 2л:-^2 51п24л: = 0,

или

s in 8л: sin 2л: — sin2 4л: = 0.

Применяя формулу синуса двойного угла, получим

2 sin 4л: cos 4л: sin 2л: —i sin2 4л: = 0,

или

sin 4л: (2 cos 4л: sin 2л: — sin 4л:) = 0.

Применим формулу двойного угла для sin 4л::

sin 4л: (2 cos 4л: sin 2х — 2 sin 2л: cos 2л:) = 0, или sin 4л: sin 2л: (cos 4л: — cos 2л:)= 0.

Наконец, применив формулу для разности косинусов, получим:

sin 4л: sin 2л: sin 3xsinx = 0.

Отсюда имеем четыре уравнения зтл: = 0; sin 2л: = 0; $т3л: = 0; sin 4л: =0, из которых, соответственно, найдем:

Очевидно, что формула (4) поглощает

формулы (1) и (2). В формуле же (3) для

получения новых значений х достаточно k брать равным 3/ Ч- 1.

Итак, полный ответ будет: х =

Ряд товарищей, правильно придя к конечным уравнениям, дали неверные общие формулы в виде

60° + 2-*. 360°; 45°+ 2^-360° и т. п.

При этих формулах ряд корней выпадает (например л:=135°).

К. Агринский (Москва), С. Антоневич (Дзержинск), М. Андреев (Красноярск), В. Барановский (Одесса), Ф. Брижак (Краснодар), А. Бауэр (Зельман. МТС), И. Бородуля (Москва), Г. Бройт (Ленинград), А. Вепланд (Москва), М. Вигдерзон (Цюрупинск), В. Голубев (Кувшиново), А. Гольдберг (Ленинград), В. Гильц (Омск), С. Городов (Ленинград), И. Гришин (Осташков), А. Гурвич (Красноярск), И.Демидов (Мурманск), А. Егоров (Демянск), Н. Енгурин (Чистополь), В. Ефимов (Сходня), И. Зайцев (Москва), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), К. Краевский (Урусово), А. Крутиков (Демидов), А. Кулаков (Бугуруслан), А. Любомудров (Ленинград), Н. Милковский (Новозыбков), И. Нагорный (Кошеватое), С. Нагорных (Благовещенск), В. Павлов (Балятино), Г. Ржавский (Фролово), Н. Рождественский (Днепропетровск), Д. Савельев (Горький), Е. Сапунцов (Таганрог), П. Сергиенко (Запорожье), П.Славский (ст. Павловская), А. Соловьев (Калинин), Н. Столяров (Порецкое), О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), М. Шевелев (Казань), Г. Шестопалов (Ворошиловград), М. Щинова и Ф. Щинов (Глазов), М. Яглом (Москва).

16. Показать, что выражение

а2 _|_ £2 _|_ С2 _ al) _ be

может быть представлено в форме: Положим:

и, следовательно,

с — b = X — у.

Возведя обе части каждого из этих равенств в квадрат, получим:

а2 — 2аЪ-\-Ъ2 = х2; а2 — 2ас-\-с2=у2; c2 — 2bc+b2 = x2 — 2ху + у2.

После сложения, найдем:

2 (а2 + b2 + с2 —ab —be — ас) = 2 (х2—ху-\-+ У2).

Отсюда:

а2 + b2-\-c2 — ab — bc — ac = x2 — xy -{-у2, где х = а — Ь; у = а — с.

К. Агринский (Москва), В. Барановский (Одесса), Ф. Брижак (Краснодар), Г. Бройт (Ленинград), М. Вигдерзон (Цюрупинск), В. Голубев (Кувшиново), А. Гольдберг (Ленинград), В. Гольц (Омск), С. Городов (Ленинград), И. Гришин (Осташков), А. Гурвич (Красноярск), И. Демидов (Мурманск), И. Зайцев (Москва), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), И. Изотенков (Плавск), Н. Кавказский (Воронеж), В. Камендровский (Оренбург), И. Кацман (Житомир), М. Кекелия (Бандза, Грузия), К. Кириллов (Казань), П. Ковальский (Умань), С. Колесник (Харьков), А. Кулаков (Бугуруслан), Мифтахов (ст. Агрыз), В. Морев (Ленинград), Г. Олехнович (Рассказово), В. Павлов (Балятино), Г. П е к ер (Рашков), Г. Ржавский (Фролово), Н. Рождественский (Днепропетровск), Е. Сапунцов (Таганрог), А. Сахаров (Москва), П. Сергиенко (Запорожье), А. Соловьев (Калинин), Б. Сосницкий (Калуга), Н. Столяров (Порецкое), О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), С. Чуканцев (Брянск), М. Шевелев (Казань), Б. Шехтман (Одесса), М. Щинова и Ф. Щинов (Глазов), М. Яглом (Москва).

17. Доказать, что произведение

ху (3* + 2) (5jf + 2)

есть разность квадратов двух целых многочленов с целыми коэфициентами.

Представив данное выражение в виде

(Зху + 2у) (Sxy + 2x), (1)

найдем два многочлена тип, удовлетворяющие равенствам

Отсюда:

Перемножив выражения (2), найдем т2 — п2 = (5ху + 2х) (Зху + 2у),

или

ху (3*4 2) (5у + 2) = (4ху + х + у)2-— (ху-\~х — у)2.

Другое решение:

т + л = (Здг + 2) (5у + 2)=15д:у + + 6*-Ъ10у + 4; m — п = ху.

Отсюда :

т = 8ху-\- Зх + 5у-\- 2; п = 7ху -J- Зх + 5у 4“ 2-

Возможны, конечно, и другие сочетания.

К. Агринский (Москва), В. Барановский (Одесса), Г. Бройт (Ленинград), А. Вепланд (Москва), М. Вигдерзон (Цюрупинск), В. Голубев (Кувшиново), А. Гольдберг (Ленинград), В. Гольц (Омск), И. Гришин (Осташков), А. Гурвич (Красноярск), П. Демидов (Мурманск), И. Зайцев (Москва), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), И. Изотенков (Плавск), В. Камендровский (Оренбург), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), С. Колесников (Харьков), К. Краевский (Урусово), А. Крутиков (Демидов), А. Кулаков (Бугуруслан), А. Логашов (Кандиевка), Г. Олехнович (Рассказово), В. Павлов (Балятино), Г. Ржавский (Фролово), Н. Рождественский (Днепропетровск), Е. Сапунцов (Таганрог), П. Сергиенко (Запорожье), А. Соловьев (Калинин), Б. Сосницкий (Калуга), Н. Столяров (Порецкое), О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), М. Шевелев (Казань), М. Щиноваи Ф. Щинов (Глазов), М. Яглом (Москва).

18. Решить в целых числах уравнение

ху — 10 (х-]-у) = 1.

Решая уравнение относительно у, получим

или

Так как к—10 должно быть делителем 101, то имеем:

х- 10 =± 1, или х- 10 = ±101.

Решая эти уравнения, найдем:

Х|=э11; х2 = 9; лг3=1П; лг4 =— 91

и, соответственно, для у:

Л = Ш;Л=—91; y3=U; Л=9.

Ошибкой многих решений было игнорирование отрицательных делителей — 1 и — 101, отчего выпали корни 9 и — 91.

К. Агринский (Москва), А. Аляев (Башмаково), В. Барановский (Одесса), И. Гришин (Осташков), И. Демидов (Мурманск), А. Иванов (Торопец), В. Камендровский (Оренбург), А. Кулаков (Бугуруслан), А. Логашов (Кандиевка), В. Павлов (Балятино), Н. Рождественский (Днепропетровск), П. Сергиенко (Запорожье), О. Ханчарлян (Краснодар), М. Шевелев (Казань), Г. Шестопалов (Ворошиловград), М. Яглом (Москва).

19. Решить систему уравнений:

5 0g^+l^) = 26; (1)

ху = 64. (2)

Положим

(3)

(4)

Отсюда:

Возведя (5) в степень b и приняв во внимание (6), найдем

Отсюда

ab=\; (7)

уравнение же (1) дает:

5 (а-{-&) = 26. (8)

Решая систему уравнений (7) и (8), получим

1

(9) (10)

Подставив значение (9) в (5), найдем у5 = х.

Умножив обе части на у и приняв во внимание (2), получим:

у6 = ху — 64.

Отсюда (отбрасывая комплексные решения, как не удовлетворяющие условиям задачи):

Уиш = ±2, и, соответственно из (11),

*иг = ±32.

Из равенств (10) найдем вторую пару решений:

Л,4 = ±32. аг3,4 = 2.

Так же, как и в предыдущей задаче, большинство решений игнорировало отрицательные корни, забывая, что при отрицательном основании и отрицательные числа могут иметь логарифм.

К. Агринский (Москва), И. Бородуля (Москва), А. Гольдберг (Ленинград), И.Демидов (Мурманск), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), Н. Столяров (Порецкое), О. Ханчарлян (Краснодар).

20. Доказать равенство

Имеем:

Отсюда

& = 2С*АГ к. (2)

Давая во (2) k значения 2,3,...л, получим:

п2 = 2С% + п. (3)

Сложив равенства (3) и прибавив к обеим частям по единице, найдем:

Подстановка и дает требуемое равенство.

К. Агринский (Москва),В. Барановский (Одесса), Ф. Брижак (Краснодар), И. Бородуля (Москва), Г. Бройт (Ленинград), А. Вепланд (Москва), М. Вигдерзон (Цюрупинск), В. Голубев (Кувшиново) В. Голубев (Каменка), А. Гольд-

берг (Ленинград), В. Гильц (Омск), И. Гришин (Осташков), А. Гурвич (Красноярск), П. Демидов (Мурманск), Н. Енгурин (Чистополь), И. Зайцев (Москва), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец), В. Камендровский (Оренбург), И. Кацман (Житомир), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник (Харьков), К. Краевский (Урусово), А. Крутиков (Демидов), А. Кулаков (Бугуруслан), А. Логашов (Кандиевка), Г. Олехнович (Рассказово), В. Павлов (Балятино), Г. Пекер (Рашков), Г. Ржавский (Фролово), Н. Рождественский (Днепропетровск), Е. Сапунцов (Таганрог), П. Сергиенко (Запорожье), А. Соловьев (Калинин), Б.Сосницкий (Калуга), Н. Столяров (Порецкое), О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), М. Шевелев (Казань), Б. Шехтман (Одесса), Л. Шмуленсон (Винница), М. Щинова и Ф. Щинов (Глазов), М. Яглом (Москва).

СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 1

К. Агринский (11), М. Андреев (9), А. Берколайко (10), Р. Близнец (1), К. Боборыкин (4), М. Бобровник (3), Б. Боголюбов (2), И. Бородуля (1), Ф. Брижак (8), Г. Бройт (11), А. Бублик (9), 3. Бурштейн (4), Д. Вагнер (2), М. Вассерман (4), А. Вепланд (8), М. Вигдерзон (7), А. Виноградов (1), А. Воробьев (12), В. Воробьев (2), Р. Глейзер (3), И. Глотов (1), Г. Головяшкин (2), В. Голубев (12), А. Голубченко (1), А. Гольдберг (11), В. Гольц (10), Гонтаренко (4), А. Горский (2), И. Гришин (6), Б. Девисон (2), Джемс Леви (12), И. Демидов (10), В. Дусанский (1), A. Егоров (8), Н. Енгурин (8), Ермаков, Овсянников, Шнейдер (10), И. Зайцев (12), Н. Захаров ( 11). П. Збруев (3), А. Зисерсон (8), Г. Знаменский (12), B. Зяблицкий (1), А. Иванов (12), И. Изотенков (6), Н. Кавказский (3), В. Камендровский (10), Г. Капралов (5), Карелина (8), Я. Карлинский (1), М. Керкелия (3), О. Киржнер (7), К. Кириллов (11), М. Клейнман (1), П. Клоков (2), Б. Кобылин (11), П. Ковальский (4), С. Колесник (11), А. Колосовский (10), А. Колот (10), Н. Корзинин (4), А. Косарев (10), К. Краевский (11), В. Кременский (1), А. Крутиков (5), А. Кулаков (10), С. Кулигин (2), Е. Куницын (6), В. Лебедевская (1), A. Логашов (11),А. Любомудров (7),Е. Малинин (2), Л. Медведев (11), С. Мельников (10), Л.Мирошниченко (3), А. Митюгов (7), Мифтахов (2), B. Морев (4), А. Николаев (7), А. Овчинников (10), Олехнович (9), В. Павлов (11), А. Павловский (6), Д. Панов (1), М. Парцхоладзе (9), Г. Пекер (6), А. Петере (3), А. Поддубский (1), М. Попов(12), А. Посох (3), П. Постников (9), И. Проценко (4), Г. Ржавский (9), В. Рукомичев (6), Ф. Румянцев (1), М. Савинский (6), П. Савчук (8), П. Сергиенко (12), П. Славский (3), А. Соловьев (11), Б. Сосницкий (11), В. Стерлигов (5), Н. Столяров (3), С. Тарарин (10), Д. Толмачев (2), В. Ураевский (1), Ф. Феллингер (4), О. Ханчарлян (11), Г. Харитонов (10), И. Черкасов (2), А. Шагинян (3),И. Шалыгин [\\ П. Тамарин (3), М.Шевелев (12), Г. Шестопалов (1), Шехтман (6), Н. Шибанов (2), Д. Школьников (2), Я. Шор (10), Шульман (2), В. Щелыванов (2), М. Яглом v 12), H. Янковская (4).

ПО ПОВОДУ ЗАДАЧ

В редакцию поступают многочисленные письма, поднимающие те или иные вопросы по поводу задач, их решений и пр. Не имея возможности ответить на каждое письмо в отдельности, в настоящей заметке даем ответ на основные вопросы, затрагиваемые этими письмами.

1. О качестве задач. Указывается, что ряд задач слишком легок. Редакция уже имела случай высказаться по этому поводу (см. № 4 за 1936 г.). Детальный анализ присылаемых решений тоже говорит за помещение более легких задач. Вот некоторые цифры. На 20 задач, помещенных в № 2 за 1936 г. ста читателями прислано 700 решений, т. е. в среднем по 7 решений на каждого, — только одна треть помещенных задач. Можно сделать вывод, что, как правило, нерешенные задачи представили для читателей определенные трудности, и говорить о легкости их не приходится.

Далее. Из присланных 71-0 решений только 500 оказались правильными, а 200 решений неверных. Это довольно печальный факт. Ведь если решение посылается, то пославший убежден в его правильности. И этот факт говорит опять-таки о том, что, как правило, задачи не легки. Наконец, достаточно просмотреть решения таких «легких» задач, как № 3 и 7, помещенные в № 1 за 1936 г. (см. решение в № 3 и 4) и задачу Архимеда из задачника Рыбкина в № 6 за 1935 г., чтобы притти к тому же выводу.

2. О сроках посылки решений. Высказываются пожелания, чтобы был установлен точный срок для присылки решений. Редакция тем более охотно пошла бы на это мероприятие, что оно избавило бы ее от очень многих неудобств. Но мы считаем, что это не в интересах читателей. Дело в том, что журнал доходит до читателя в самые различные сроки — от 2 дней до 2 месяцев. Такие отдаленные окраины, как Якутия и пр., были бы лишены возможности участвовать в конкурсе. В настоящее время редакцией установлен такой порядок. Решения помещаются через три номера после напечатания задач. К моменту сдачи соответствующего номера в типографию (т. е. за 2—2*/t месяца до его выхода из печати) проверяются все присланные к этому времени решения, и фамилии оешивших

опубликовываются под соответствующей задачей. В момент выхода номера из печати проверяются все решения, поступившие за этот период, и правильные решения зачитываются. Фамилии решивших опубликовываются в общей сводке, помещаемой в следующем номере. Так, в № 5 публикуются решения задач из № 2 и дается сводка по № 1. Такого порядка редакция будет придерживаться и впредь.

3. О конкурсе по задачам. Итоги конкурса 1935 г. подведены, зафиксированы лица, подлежащие премированию. Опубликование результатов и рассылка премий задерживаются исключительно вследствие неполучения ответа на запрос, посланный редакцией, от некоторых товарищей, подлежащих премированию. Во всяком случае в № 6 результаты конкурса будут опубликованы.

4. О порядке присылки решений. Для обеспечения своевременного просмотра решений и во избежание затери некоторых редакция просит придерживаться следующих правил.

а) Посылать решения по каждому номеру в отдельности. Получив пакет с решениями, редакция по первым задачам определяет, что задачи относятся, скажем, к № 2, и кладет их в соответствующую папку. А когда производится проверка решений по этому номеру, то оказывается, что среди решений имеются и по № 1, которые таким образом ускользнули от проверки. Просматривать же детально каждую задачу секретарь не имеет физической возможности.

б) Если решения посылаются на отдельных листах, то каждый должен быть подписан (инициалы имени, фамилия, местожительство). В папке решения перемешиваются и иногда поэтому нельзя бывает установить фамилию автора решения.

в) Всякие вопросы к редакции лучше посылать отдельно от решений. Письма с решениями, как уже сказано, складываются в папку и попадают к редактору только к моменту помещения их в печати, т. е. через 4—5 месяцев после присылки первых решений.

г) Задачи, присылаемые для помещения в журнале, тоже желательно присылать отдельно от решений и уж во всяком случае на отдельных листах.

д) Ни в коем случае не посылать вместе решения задач по математике и по физике. Это влечет за собой то, что или те или другие совершенно не попадают к соответствующему редактору.

Проверка решений — чрезвычайно сложная, кропотливая и требующая большой затраты времени работа. Соблюдение указанных выше условий значительно облегчит работу редакции.

5. Об опечатках в задачах. Громадным злом является наличие опечаток или неясных оттисков в задачах. Достаточно просмотреть «поправки», помещенные в настоящем номере. В этом вина как редакции, так и типографии. Правда, большинство опечаток таково, что они легко обнаруживаются и исправляются самими читателями (очевидно поэтому данный вопрос почти совсем не затрагивается в письмах). Но зло остается злом и должно быть искоренено. В дальнейшем редакция намерена итти по следующему пути. Во-первых, давать задачи в перепечатку не вместе со всем номером, а гораздо раньше с отдельной их проверкой. Во-вторых, редакция будет добиваться от типографии лишней корректуры хотя бы для задач (а также статей, содержащих много математических формул).

6. О некоторых «решениях». В редакцию продолжают поступать «решения» задач о трисекции угла и квадратуре круга при помощи циркуля и линейки. Иногда такие решения присылаются как «безапелляционные», иногда сопровождаются просьбой указать ошибку в «решениях». Совершенно напрасная трата времени. Невозможность таких «решений> есть непреложно доказанный факт (см., например, статью проф. Н. Извольского в № 4 журнала или «Высшую алгебру» Шапиро). Ответив на некоторые письма, редакция в дальнейшем просто отказывается заниматься разбором таких «решений».

7. О подписке на журнал и пр. Редакцией получаются многочисленные письма по вопросам, связанным с подпиской на журнал, с неполучением отдельных номеров и пр. Редакция еще раз доводит до сведения читателей, что по всем этим вопросам надлежит обращаться по адресу Москва, Маросейка, 7, Контора подписных и периодических изданий Когиза, Учпедсектор.

ЗАДАЧИ

1. Решить уравнение

2. Две окружности О и О1 (точки центров) радиусов R и R1 внешне касаются друг друга в точке А. Через А проведена секущая В AB1 у пересекающая окружность О в В и О1 в В1.

1 ) Доказать, что радиусы OB и 01В1 параллельны.

2) Радиус OB продолжен до пересечения с окружностью в точке С. Показать, что СВ1 пересекает линию центров в определенной для данных окружностей точке С1 и найти ее расстояния от центров О и О1.

3) Если R “zzz. 3R1, то как должна быть проведена секущая ВАВ1, чтобы СБС1 была общей касательной к обеим окружностям? Вычислить в этом случае длину СВ1.

3. Найти четырехзначное число abed, являющееся точным квадратом, цифры которого удовлетворяют соотношениям:

а ~Ь * “Ь cJr d = ab; b = c-\-d.

Примечание. Как в этой, так и в будущих задачах символ abc... означает

число, состоящее из цифр я, Ь, с ... (в отличие от произведения abc ...),

4. Найти четырехзначное число с нечетным числом делителей, у которого 3-я, 4-я и 2-я цифры составляют арифметическую прогрессию, а 1-я, 3-я и 2-я составляют геометрическую прогрессию.

А. Вепланд (заимств.)

5. На стороне AB квадрата ABCD, как на диаметре, описана вне квадрата полуокружность. Пусть M какая-либо точка полуокружности. Прямые MC и MD пересекают AB в точках Р и Q. Перпендикуляры к AB в точках Р и Q пересекают MB и MA в точках S к R.

1) Доказать, что PQRS — квадрат.

2) Доказать, что QA-PB = PQ2.

3) На каком расстоянии х от AB надо взять точку M, чтобы PO = ka (а — сторона данного квадрата и 0<&<1).

4) Найти Ху для которого PQ имеет наибольшую величину.

6. Доказать, что, если в треугольнике угол А = 120°, то

b (a2 — b2) = c (а2 — с2)9 (I)

и обратно: если имеет место соотношение (I), то А — 120°.

7. Доказать тождество (для треугольника)

П. Савчук

8. Вычислить сумму п членов ряда

Найти предел этой суммы при /г-»оо.

9. Найти сумму п членов ряда:

esc a esc 2а -f esc 2а esc За + esc За esc 4а -f--|- ... -[- esc (ft — 1 ) а esc п а.

10. Определить коэфициенты А и В так, чтобы многочлен

хе _j_ Ах5 4_ (2Л + 1 ) X* + Вх3 -f (2А + + 1)л:2 +Л*-{-1

делился на возможно более высокую степень двучлена (х-\-\). Найти показатель этой степени.

11. Решить систему уравнений

12. Доказать тождество (для треугольника)

13. Решить уравнение

a cos2* -j- (2а2 — a -f-1 ) sin х — За -\- 1 = 0.

Определить все дуги х, удовлетворяющие уравнению при а = 3.

14. Решить в целых числах уравнение

15. Доказать, что число

при всяком целом и неотрицательном п делится на 11.

16. Решить уравнение

17. По данным углам треугольника определить угол между медианой и биссектрисой, проведенными из одной вершины.

В. Камендровский.

18. Решить уравнение

В. Камендровский.

19. Доказать, что сумма цифр, доведенная повторным сложением до однозначного числа для куба любого числа, может быть только 1, или 8, или 9.

В. Морев.

20. Известен способ «мгновенного» сложения. Он состоит в том, что к данному числу двое приписывают новые числа с тем же количеством цифр, причем второй все время пишет цифры, дополняющие цифры первого до девяти. Если таким образом было написано п пар чисел, то сумма всех 2п-\-\ чисел получится, если от первого (данного) числа отнять /г, а слева приписать число п (см. пример). Доказать, что это правило применимо в общем виде для 2п-\~\ слагаемых, состоящих из любого количества цифр»

3786 4231 5768 3046 6953 23784

Н. Самодуров.

ПОПРАВКИ К ЗАДАЧАМ № 3 и 4

По № 3. В задаче 1 вместо 677 должно быть 667. В задаче 4 неясно вышла цифра 1850 руб. В задаче 16 черта знака корня продолжена дальше, чем нужно. Звездочка во второй строке должна стоят под второй звездочкой первой строки. Соответственно этому все следующие строчки сдвигаются на один знак влево.

По № 4. В задаче 6 должно быть- = — = — ... В скобке после знака равенства вместо z должно быть с. В задаче 8 в обеих строчках последняя буква должна быть е, а не с. В задаче 14 цифры 1277,80 руб. и 1309,75 руб. означают наращенный капитал (начальный капитал вместе с процентными деньгами).

Отв. ред. А. Н. Барсуков, зам. отв. ред. А. Г. Калашников. Отв. секр, М. М. Гуревич. Техредактор В. С. Якунина.

Адрес редакции: Москва, Орликов, 3. Учпедгиз, Периодсектор, журн. «Матем. и физика».

Одано в производство 17/ТХ 1936 г. Подписано к печати 23/Х 1936 г.

Учгиз № ЯЯ93. Об'ем 7 п. л.

в 1 п. л. 72000 вн. Бумага 72 X 105.

Зак. 1255.

Тираж 30000.

Уполномоченный Главлита JNS Б-30615

13-я типография треста «Полиграфкнига». Москва, Шубинский, 10.