МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА В ШКОЛЕ

3

1936

НАРКОМПРОС УЧПЕДГИЗ

УПРАВЛЕНИЯ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ СБОРНИК

№ 3

МАЙ 1936 ИЮНЬ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

Содержание

НАУЧНЫЙ И НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

Проф. И. Чистяков — Бонавентура Кавальери и его метод неделимых................. 3

Проф. Н. Извольский — Вопросы построимости линейкою и циркулем . . .............. 7

Проф. В. Серпинский — О математической индукции. 17

Проф. 3. Приблуда — Индуктивное доказательство теоремы Безу.................. 24

Доц. А. Торчинский — Системы единиц измерений электрических величин .............. 25

Б. Флоринский — О внешнем трении........37

Проф. И. Лобко — Размерность величин при выводе основного уравнения кинетической теории газов . . 37

МЕТОДИКА

Е. Игнатьев — Анализ причин неуспеваемости по математике в средней школе............ 41

А. Гнедов — Разложение трехчлена вида ах2-\-вх -f- с на множителей.................... 51

Доц. В. Репьев — Устные занятия в курсе алгебры . . 52

Г. Стальков — Письменные контрольные работы по математике в средней школе и методика исправления их 59

М. Грабовский — Неоновая лампа, как демонстрационный прибор . . . .............. 70

опыт школ

Д. Скарлато — Новый знак деления ........ 83

С. Кишкин — Назревшая реформа......... . 86

И. Кацман — В тисках традиции............ 89

И. Макаревич — Метод моделирования в преподавании стереометрии................... 92

Проф. Д. Галанин и С. Лифшиц — Два опыта по закону сохранения энергии в механике....... 93

Доц. А. Белогорский — Лабораторная работа с меднозакисным фотоэлементом.............. 95

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

Д.Гончаров — Пути созидания методики алгебры ... 98

Доц. Н. Хренов — «Математическое просвещение»

Новые книги по физике......-..... 104

ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ КОНСУЛЬТАЦИЯ ЗАДАЧИ

Решения задач, помещенных в сб. «Мат. и физ. в школе» № 5 за 1935 г..................109

Решения задач, помещенных в сб. «Мат. и физ. в школе» № 6 за 1935 г................... 117

Проф. М. Зимин —Решение задачи 8 из сб. № 2 1935 г. 123

Задачи........................126

НАУЧНЫЙ И НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

БОНАВЕНТУРА КАВАЛЬЕРИ И ЕГО МЕТОД НЕДЕЛИМЫХ

(К трехсотлетию его книги)

Проф. И. ЧИСТЯКОВ (Томск)

Имя Кавальери хорошо известно преподавателям математики и учащимся средней школы, главным образом, по носящему его имя методу доказательства некоторых теорем стереометрии. Гораздо менее известен Кавальери, как крупный ученый, сыгравший важную роль в истории развития анализа бесконечно-малых. Поэтому, ввиду того, что в прошлом году исполнилось трехсотлетие со времени появления его главного ученого труда, является уместным познакомить читателей с его жизнью и научной деятельностью.

Бонавентура Кавальери (1598—1647 гг.) родился в г. Милане и там же получил первоначальное образование. Наиболее почетными профессиями в то время в Италии считались военная и духовная служба. Однако богословие, повидимому, мало интересовало Кавальери; он всю жизнь занимался физическими и математическими науками и был учеником Галилея, который, как известно, даже подвергся преследованию со стороны католической церкви. Быстро выдвинувшись, как видный ученый, Кавальери в 1629 г., по рекомендации Галилея, получил место профессора математики и университете в г. Болонье, где и преподавал до самой своей смерти. Кавальери оставил много ученых трудов; так, он писал о конических сечениях (1632 г.), издал несколько сочинений по плоской и сферической тригонометрии (1638 и 1643 гг.), причем явился первым в Италии ученым, применявшим незадолго до этого открытые Непером и Бюрги логарифмы. Ему принадлежит известное выражение площади сферического треугольника с помощью так называемого сферического избытка, т. е. разности между суммою углов треугольника и двумя прямыми углами. Другие сочинения его касались оптики, астрономии.

Однако, наиболее замечательным трудом Кавальери была появившаяся в 1635 г. книга «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых элементов непрерывных величин». Это сочинение было написано Кавальери еще в 1629 г.; в 1653 г. появилось второе издание той же книги. В ней Кавальери излагает принципы своего «метода неделимых» и применяет его к решению различных вопросов из области измерительной геометрии.

Как было упомянуто, это сочинение имеет важное значение в истории анализа бесконечно-малых; действительно, оно явилось промежуточным этапом между учением древнегреческих ученых о «методе исчерпания» и интегральным исчислением, развитым в трудах Ньютона и Лейбница. Метод исчерпания особенно был выдвинут и разработан знаменитыми греческими учеными III в. до н. э. Евдоксом и Архимедом и применялся ими для косвенного нахождения значений величин, прямое вычисление которых было невозможно, например длины кривых линий, поверхностей и об'емов—шара и других тел вращения и т. п. В основу метода исчерпания Евдокс клал аксиому, что, если от какой-либо величины отнять более ее половины, а от остатка — больше его половины и т. д., то мы сможем этим процессом подойти к определяемой величине как угодно близко, т. е. «исчерпать». Так, например, чтобы получить площадь круга, мы можем «исчерпать» ее, безгранично удваивая число сторон правильного вписанного в нее многоугольника. Действительно, при удвоении числа сторон многоугольника мы всякий раз от остающегося сегмента берем более его половины (черт. 1), так как площадь треугольника ЛВС равна половине площади прямоугольника ADEC и, следовательно, более половины площади сегмента ABC. Отсюда следует известный классический способ определения площади круга. Но Архимед еще более

обобщил метод исчерпания, положив в основу его аксиому, носящую его имя: «если имеем две конечные величины А и В, причем А<^В, то, повторяя достаточно большое, но конечное число раз первую из них слагаемым, мы можем получить сумму, большую второй». С помощью метода исчерпания, основанного на этой аксиоме и сопровождаемого доказательством от противного, Архимед выполнил свои замечательные вычисления длины окружности и площади круга, площади параболы и архимедовой спирали, объемов параболоидов и гиперболоидов вращения, положения центров тяжести многих тел и пр.

Блестящие открытия Архимеда, однако, затем в течение 18 столетий не имели продолжения. Новая эпоха в этом отношении начинается лишь в XVII в., благодаря работам Кеплера. Как известно, Кеплер (1571 — 1630 гг.) знаменит своим открытием законов движения небесных тел вокруг солнца, но его труды имеют огромное значение и для истории возникновения и развития анализа бесконечно-малых. Именно Кеплер, впервые после Архимеда, возобновил методы вычисления площадей, ограниченных кривыми линиями, и об'емов, ограниченных кривыми поверхностями, с помощью разбиения этих тел на бесконечно-малые элементы и суммирования этих элементов. Таким методом Кеплер пользовался уже при вычислении площадей эллиптических секторов, которые фигурируют во втором его законе о движении планет. Но особенно Кеплер развил (в 1615 г.) свой метод в книге: «Стереометрия винных бочек» (см. Иоганн Кеплер— «Стереометрия винных бочек», изд. ОНТИ, 1935). В этом труде он делает ряд дополнений к сочинениям Архимеда, показывая, что полученные в работах Архимеда результаты могут быть проще найдены по способу, предлагаемому Кеплером. С другой стороны, он дает и совершенно новые результаты, которых не было у Архимеда. Сочинение Кеплера написано очень удачно, живым языком, содержит много интересных примеров, но, представляя лишь в зародыше интегральное исчисление, оно было лишено надлежащей строгости. Эта слабость обоснования выводов и большая доза интуиции, которой пользуется Кеплер, вызвали резкую критику со стороны многих современных ему математиков. Тем не менее, труд Кеплера вызвал огромный интерес к основам метода бесконечно-малых величин, который был по существу применен Кеплером, и этот интерес уже не угасал среди европейских ученых.

В числе этих ученых первое место и принадлежит Б. Кавальери. В своем вышеупомянутом труде: «Геометрия, изложенная новым способом», он дает действительно новое обоснование вычислительным приемам древнегреческих ученых и Кеплера. Именно: он предлагает рассматривать геометрические образы, как составленные из «неделимых», первообразных элементов: линию — из точек, поверхность — из линий и тело из совокупности поверхностей. К такому взгляду особенно легко прийти, представляя себе линию, как результат движения точки, поверхность, как результат движения линии и тело — поверхности. Однако Кавальери, конечно, понимал, что в буквальном смысле слова от сложения, например, точек не может получиться линия, а от сложения линий— поверхность, так как точка не имеет никаких измерений, а линия — только длину. Поэтому, прилагая свой метод к вычислению длин, площадей и об'емов, Кавальери везде пользуется не прямым сложением неделимых элементов, а отношением их сумм, причем берет их в одинаковом числе, а затем переходит к пределу этого отношения, предполагая, что число неделимых элементов становится бесконечным. Приведем примеры приложения метода неделимых к некоторым задачам, пользуясь современными обозначениями и способами вычисления.

Так, для вычисления площади треугольника рассмотрим площади треугольника ABC и параллелограма ABCD, имеющих общее основание и одну и ту же высоту (черт. 2). Пусть основание обеих фигур содержит п неделимых элементов; тогда, разделив сторону AB на п частей и проведя через точки деления прямые, параллельные основанию Л С, убедился, что полученные линии будут содержать последовательно в треугольнике ABC (л —1), (п — 2). .2,1 неделимых элементов; сумма их будет:

Черт. 1

элементов; в параллелограме же ABCD будет п линейных частей, содержащих п • пу т. е. п2 неделимых элементов. Отношение площадей обеих фигур отсюда будет равно:

что при /г, стремящемся к бесконечности, дает —, т. е. площадь треугольника равна — площади параллелограма с тем же основанием и такой же высотою.

Возьмем еще треугольную пирамиду и треугольную призму с равновеликими основаниями и равными высотами (черт. 3).

Предполагая, что площадь основания каждого из этих тел равна п2 квадратных единиц, что основания их находятся на одной и той же плоскости и что общая высота их AB содержит п неделимых элементов, проведем плоскости через точки деления высоты, тогда площади сечений в треугольнике будут равны: равна

а сумма площадей элементарных сечений призмы — п2 л, т. е. л3; следовательно, отношение об'емов обоих тел будет равно:

что в пределе при стремлении п к оо дает —. Итак, пирамида равновелика — призмы, имеющей такую же высоту и равновеликое основание. В частном случае, когда сечения, проведенные в двух телах, стоящих на одной и той же плоскости, на одном и том же расстоянии от основания везде равновелики, отношение об'емов обоих тел будет равно 1, т. е. тела будут равновелики. Этим и пользуется средняя школа для вывода формул об'ема любой пирамиды, призмы, цилиндра и конуса. Особенное упрощение достигается в известном выводе, при помощи принципа Кавальери, формулы для об'ема шара*.

Но в историческом отношении особенно важны применения, которые сделал Кавальери для вычисления с помощью своего метода площадей, ограниченных параболами

Черт. 2

Черт. 3

Черт. 4

* См., например, материалы совещания преподавателей математики, март-апрель 1935 г., стр. 81—84.

различных порядков. Пусть имеем прямоугольные оси координат ХОУ, параболу, заданную простейшим уравнением у — х2 (черт. 4), и требуется вычислить площадь треугольника OPR, составленного прямыми OR и PR и ветвью параболы ОР. Разделим основание прямоугольника OR на п частей; пусть СО будет = — основания OR, а отрезок ОС =—. Выделим элемент площади параболического треугольника ABCD; сравнивая его с площадью прямоугольника OPQR, имеем:

Но, по свойству параболы,

следовательно

потому

что, при я->оо дает в пределе —. Таким образом, площадь параболического треугольника OPR составляет -~ площади прямоугольника OPQR, т. е. площадь параболического треугольника равна— произведения площади его основания на высоту. Подобно приведенному примеру, Кавальери получил выражения для площадей Парабол высших порядков, выражаемых уравнением у = хт, до m = 9 включительно. Так Как с современной точки зрения названные Площади выражаются определенными интегралами вида fixmdx, то Кавальери в действительности вычислил значение приведенного интеграла от т = \ до /» = 9 и получил правильное значение его, равное -.

Подобно книге Кеплера «Стереометрия винных бочек», книга Кавальери подверглась резкой критике современных ему ученых. Особенно сильно нападал на нее Гюльден (1577—1643 гг.), упрекая автора в ненаучности выводов. Как известно, Гюльден занимался определением положения центра тяжести фигур и тел, и в его сочинении находятся две теоремы, известные под его именем и позволяющие определять об'ем и поверхность тел вращения с помощью длины окружности, описанной центром тяжести вращающейся фигуры. Теоремы эти Гюльден приписывал себе, хотя они уже ранее были открыты александрийским геометром Паппом около 280 г. н. э., и сочинения которого, повидимому, Гюльдену были известны. В ответ на критику Гюльдена Кавальери в 1647 г. издал книгу под заглавием: «Шесть геометрических очерков», в которой изложил более тщательно свой метод, дополнил свою прежнюю работу новыми результатами и, между прочим, подверг справедливой критике доказательства, которые Гюльден дал своим теоремам. Вместо них Кавальери дал теоремам Гюльдена правильное доказательство при помощи метода неделимых.

В общем, предложенный Кавальери метод неделимых явился, несмотря на свои несовершенства, важным этапом в развитии анализа бесконечно-малых величин и имел успех у современников. Так, с помощью его другой ученик Галилея, Торричелли, известный своими открытиями в области физики, доказал, что площадь, ограниченная одной ветвью циклоиды, в три раза более площади катящегося круга. Эта теорема, путем взвешивания соответственных пластинок, была открыта еще Галилеем, но он не мог еще дать ей математического доказательства. Очень много пользовался в своих исследованиях методом неделимых французский ученый Роберваль (1602—1675 гг.), приписывавший себе даже приоритет в открытии этого метода,— впрочем, без всякого основания. Но особенно много, пользуясь тем же методом, сделал для дальнейшего развития анализа бесконечно-малых Джон Валлис (1616— 1673 гг.), вычисливший при его помощи значения многих более сложных определенных интегралов. А работы Валлиса имели непосредственное влияние на создание Ньютоном его системы анализа бесконечно-малых; Лейбниц же, второй творец анализа, сам указывал, что на направление его работ оказало существенное влияние изучение им трудов Кавальери о методе неделимых.

ВОПРОСЫ ПОСТРОИМОСТИ ЛИНЕЙКОЮ И ЦИРКУЛЕМ

Проф. Н. ИЗВОЛЬСКИЙ

ПРЕДИСЛОВИЕ

В программу специального курса элементарной математики для педагогических институтов входит рассмотрение вопросов о построимости линейкою и циркулем, но в нашей учебной литературе мы не имеем книги, где бы эти вопросы освещались достаточно полно — то, что имеется в книге Адлер — «Теория геометрических построений», не дает возможности углубиться в вопрос о построимости. Если студент пединститута захочет основательно выяснить все эти вопросы, то ему придется взять какой-либо достаточно полный курс высшей алгебры, взять, например, еще «Энциклопедию элементарной математики» Вебера и Вельштейна, а, может быть, и еще какие-либо руководства.

Целью настоящей работы является предоставление такому студенту возможности при помощи лишь ее одной проработать вопрос о построимости с достаточной глубиной и притом в приемлемом для него изложении.

При выполнении этой работы автор пользовался прежде всего курсом высшей алгебры Серре, затем книгою Enriques — «Fragen der Elementargeometrie» и отчасти вышеупоминаемыми книгами Адлера и Вебера — Вельштейна.

I. Абсолютная область рациональности и ее постепенное расширение

1. Совокупность всех рациональных чисел (целых и дробных, положительных и отрицательных) называется абсолютною областью рациональности. Всякое число, принадлежащее этой совокупности, может быть получено из других чисел этой совокупности при помощи действий сложения, вычитания, умножения и деления — сюда же можно включить и возведение в целую степень (ибо оно сводится к последовательным умножениям и, если показатель степени отрицателен, к делению). В частности, все числа этой совокупности могут быть получены из единицы.

0=1—1; +3 = 1 -f 1+1; —3 =

и т. д.

Поэтому обозначают эту совокупность — абсолютную область рациональности — символом [1]; возможно было бы ее обозначать, например, и так [1; 3] и т. п. или [7] и т. д. Числа, поставленные внутри скобок, называются основаниями этой области, и ясно, что за основание можно принять любое рациональное число. Например, если за основание принять число 7, то можно делением 7:7 получить число 1, а уже при ее помощи можно получить любое число этой совокупности; также можно принять за основание два числа, например 1 и 3 и т. д.

2. Действия: сложение, вычитание, умножение (а также и возведение в целую степень) и деление — называются рациональными операциями.

Расширим теперь ту совокупность чисел, о которой шла речь выше, а именно за основания примем и число 1 и еще какое-либо иррациональное число, например у 2,— тогда, применяя к ним рациональные операции, мы можем получить бесконечно много чисел, а именно: 1) опять все рациональные числа и 2) числа вроде 5у 2, 3 — 2]/ 2, и т. д.

Все эти числа составят более широкую совокупность, в которую абсолютная область рациональности входит как часть и которую называют расширенною областью рациональности, полученную присоединением У 2 к абсолютной области рациональности — ее обозначим в согласии с предыдущим символом [1;]/ 2 ]. Возможно еще расширить эту область присоединением к полученной области другой иррациональности, например, уЗ — получим область [1; \2; |/3 ]; ясно, что такое построение все более и более широких областей рациональности можно продолжать без конца.

Следует заметить, что если, например, мы уже построили область [1, ]/2; то присоединение к ней иррациональности \ 108 не даст новой области, так как ]/ 108 = = у 2 ' |/3 и следовательно это число входит в прежнюю область [1; ]/^2; |/3].

Так же точно можно присоединять к получаемым областям и трансцедентные числа, например е> тх и мнимые, например |/— 1, У— 2 и т. д.

3. Рассмотрим более тщательно различные иррациональности. Пусть число р есть простое число и пусть а есть рациональное число (из абсолютной области рациональности); тогда 1^а~ называется иррациональностью первого порядка; если число а будет само иррациональностью первого порядка, то ^а называется иррациональностью второго порядка: так же точно, если А есть некоторое алгебраическое выражение, составленное при помощи рациональных операций из рациональных чисел и из иррациональностей первого порядка, то i/rÄ~ есть иррациональность второго порядка. Также, если А есть рациональное алгебраическое выражение, содержащее иррациональность второго порядка, то У А есть иррациональность третьего порядка и т. д.

Если мы имеем какое-либо выражение вроде

где a, с, xt х2... суть или рациональные числа или иррациональности порядка не выше k—1, а хотя бы одно из xt х2... есть непременно иррациональность порядка k — 1, если, наконец, рх р2..-. суть простые числа, то вышенаписанное выражение явится иррациональностью порядка k.

Заметим, например, что У 2 есть иррациональность второго порядка, так как число 6 составное и у 2 V У 2.

Пусть теперь в выражении /, вышенаписанном, иррациональность высшего порядка есть иррационального порядка k и пусть таких различных иррациональностей в / входит п\ тогда о выражении / говорят, что оно есть алгебраическая иррациональная функция порядка k и степени п.

При этом расчете нужна осмотрительность; так, например, иррациональность ]/ 5—}- 2|/ 6 не есть иррациональность второго порядка, так как 1^ 5 + 2 |/б~ = j/F -f- }/2~ ; заменяя ее таким образом, мы получим иррациональное выражение первого порядка и второй степени.

4. Ввиду последнего замечания надо различать иррациональности, зависимые между собою и независимые. Зависимыми называются такие иррациональности, одна из которых может быть получена из других при помощи рациональных операций; независимыми — такие, из которых никакая не может быть получена из других рациональными операциями. Так, как мы видели выше, j/*2, -f 2 |/б суть зависимые рациональности, |/2, ]/3 и |/б“ или зависимые, но ]/2, \f 3 и /5 независимые.

При счете порядка иррациональности и ее степени надо принимать во внимание лишь независимые иррациональности. Так,

есть иррациональность второго порядка, а подкоренное выражение (1 + j/2 ) }/~3 -|-+ \/2 есть иррациональное первого порядка и второй степени (ибо в нем две различных иррациональности ]/2 и ]/3~).

5. Пусть сначала мы имеем выражение, содержащее лишь квадратные иррациональности различных порядков. Выберем одну из них высшего порядка; тогда все выражение можно представить в виде

где УX выбранная иррациональность; х есть также иррациональность, но порядка на единицу меньшего, а Л, Ву С и D могут содержать и рациональные числа и иррациональности низшего порядка и иррациональности того же порядка, как j/jc“, но отличные от него, например yfy , и т. д.

Освободив данное выше выражение от иррациональности ух в знаменателе, мы приведем его к виду

где К и L также не содержат j/je . Мы будем говорить, что после этого в данном выражении выделена иррациональность у~х~. Так же точно мы можем в К и в L выделить какую-либо из тех иррациональностей высшего порядка, например ]/у, которые входят в К и Ly—получим

Продолжим это выделение иррациональностей до тех пор, пока не исчерпаем их всех,— тогда наше выражение будет приведено в нормальную форму.

Такое же приведение данного выражения в нормальную форму можно выполнить и в том случае, когда выражение содержит радикалы иных степеней.

Пусть, например, мы выделяем у а; тогда выражение в общем виде представится в форме

Надо заметить, что (|/ а)3 =^ау (]/а)4=; з = ау а и т. д.

Для освобождения знаменателя от иррациональностей ]/ а и у а2 надо умножить числитель и знаменатель на

где е и г2 суть кубические корни из единицы

Непосредственным вычислением легко увидеть, что после этого в знаменателе иррациональностей уан у а2 не останется (надо иметь в виду, что 1 + е -f- £2 = 0).

Так же точно иррациональность у а = ± = а Р приведет сначала к выражению

а затем, после умножения числителя и знаменателя на множители вида

где е есть один из корней уравнения х? =?1, отличный от единицы, причем число этих множителей должно быть р — 1, чтобы вошли в них все корни уравнения х? =51,— наше выражение приведется к виду

где коэфициенты r0, rv г2 . . . гр _ \ уже не содержат иррациональности а р .

II. Уравнения, решаемые квадратными радикалами

6. Поставим себе задачу: составить уравнение, корнями которого служат все различные значения данного алгебраического выражения, содержащего п квадратных радикалов.

Так как каждый квадратный радикал имеет два значения, а число их в данном выражении^ п, то данное выражение имеет вообще говоря 2п значений.

Так выражение

имеем 23 = 8 значений, а именно:

Обозначим эти значения данного выражения через xtl к2\ *3... х2П. Так как они должны быть корнями искомого уравнения, то это уравнение должно иметь вид: (к — хх)(х — х2)(х — *s) . . . (х — х2П) = О.

Выполнив умножение, приведем его к виду

(1)

Коэфициенты этого уравнения суть, как известно, симметрические функции корней, а именно Р± есть сумма всех корней, Р2 сумма их произведений по два,..^—сумма произведений по Р2П—произведение всех корней.

Выясним, что ни один из этих коэфициентов не должен содержать какого угодна из радикалов, входящих в данное выражение. Положим, например, что в данном выражении имеется радикал \ЛТ и допустим, что Р( содержит этот радикал. Приведя Pi в нормальную форму выделением радикала l/“ А получим:

Так как Pi есть симметрическая функция корней нашего уравнения, то от перестановки корней Pi не изменится; одна из перестановок сводится к перемене знака у радикала у/А. Следовательно, получим

т. е.

что возможно лишь при условии, что Лц = 0.

а это указывает, что радикал У А не входит в Р{. Рассуждая таким же образом, мы

ттридем к заключению, что ни один из радикалов данного выражения не должен входить в коэфициент Pv Другими словами: все коэфициенты уравнения (1) суть числа рациональные. Итак, уравнение, корнями которого служат все значения данного алгебраического выражения, содержащего только квадратные радикалы, число которых есть я, является уравнением степени 2П с рациональными коэфициентами.

7. Примеры

Для первого примера возьмем выражение

t/T+1/3]“

имеющее 4 различные значения:

Степень искомого уравнения равна числу 4; коэфициент при л;3 должен равняться нулю, так как, очевидно, сумма всех значений нашего выражения равна нулю. Коэфициент при X2 получим вычислением произведений по 2:

Сумма этих произведений =—10 это и есть коэфициент при х2.

Вычислим затем свободный член, равный произведению всех четырех значений нашего выражения; он равен

Коэфициент при неизвестном в первой степени, равный сумме произведений корней но 3, получим в форме суммы частных от деления вышенайденной) произведения всех корней на каждый из них:

Ясно, что первая и четвертая дроби равны по абсолютной величине, но обратны по знаку; также вторая и третья — следовательно, сумма равна нулю.

Итак, искомое уравнение есть

л:4— Юл;2 +1=0.

Если решить это биквадратное уравнение, то получим

x=±V 5±2i/67

Выше уже было выяснено, что

следовательно, наше уравнение имеет корнями все 4 значения выражения \[3 -\- }/2^ Для второго примера возьмем выражение

причем будем считать, что знаки меняются только у двух последних корней, а У 2 всегда остается со знаком-]-. Тогда наше выражение дает 4 значения:

Теперь в коэфициенты искомого уравнения должен войти |/2 и, следовательно, искомое уравнение будет принадлежать к области рациональности [l; l/2~].Вычислениями, аналогичными с предыдущими, легко получить искомое уравнение:

8. Возможно, что данное выражение с квадратными радикалами при изменении знаков у радикалов делает некоторые свои значения одинаковыми. Так, выражение

дает значения:

и мы видим, что первое из них одинаково со вторым, третье с шестым, четвертое с пятым и седьмое с восьмым.

В этом случае возникает задача составить уравнение, корнями которого служат лишь различные значения данного выражения с квадратными радикалами.

Пусть данное выражение, содержащее п квадратных радикалов, дает не 2Л различных значений, а только г и пусть они суть хг, х2.., хг . Тогда искомое уравнение будет

?(*) = (*— *i) (* — x2)... (x — xr) = 0 Но мы можем составить по предыдущему и такое уравнение, корнями которого служат все 2Л значений нашего выражения: пусть оно f(x) = (х — xJix — <г2)(лг—лг3... (л: — л:2Я )=0.

Тогда очевидно, чго многочлен /(*) является произведением многочлена f(x) на некоторый другой 9j (л:), т. е.

/(л:) = ср(х)?1(х).

Введем в дело воспомогательное соображение.

Пусть имеем уравнение F(x) = 0, которое удовлетворяется одним значением некоторого данного выражения с квадратными радикалами, причем коэфициенты этого уравнения суть рациональные числа. Тогда легко увидать, что наше уравнение должно удовлетворяться любым из значений данного выражения. В самом деле, выделим в данном выражении один из входящих в него радикалов; тогда оно представится в виде

пусть это значение удовлетворяет нашему уравнению, т. е. пусть

выполнив все действия в выражении J- в УЩ, получим выражение формы

где Р и Q содержат другие радикалы, независимые от У М. Мы должны иметь

откуда

что невозможно, ибо у M не зависит от радикалов, входящих в Р и Q Поэтому мы должны принять, что р = 0 и Q = 0. В таком случае будет иметь место и равенство

Так как выражение есть результат подстанозки вместо х в многочлен /7 (к) значения А — В V М9 т. е.

то мы заключаем, что уравнение F(x) — 0 удовлетворяется не только значением А -}- В УМу но и другим, получаемым из этого переменою знака у радикала Ум.

Отсюда же ясно, что уравнение F(x) = 0 удовлетворяется также теми значениями выражения А -|- В УМу которые получатся от изменения знаков квадратных радикалов, входящих в M, так как Р и Q от этих радикалов не зависят.

Пусть затем выражение А -|- В уМ преобразовано так, что из него выделен другой радикал J/N, т. е. пусть А-{-ВУм = Л, + ВеУм. Тогда, подставляя его в Р и Q, получим:

Так как Р= 0 и Q = 0, то мы должны иметь

откуда заключаем, что Рл = Р2 = QA = Q2 = О

(ибо у N не может равняться ни--—' ни — 77-)- Следовательно, эти уравнения удовлетворяются и при лг = Д—Bt Y~N. Продолжая эти соображения дальше, приходим к общему заключению, что уравнение F (к) = О удовлетворяется при всяком значении выражения А-{-В У My получаемом из него переменою знака у любого квадратного радикала, в него входящего.

9. Выше мы обозначили через у(х) = 0 то уравнение, которое имеет корнями всевозможные различные значения (число их обозначено через г) данного выражения с квадратными радикалами. Так как уравнение F(x) = Oy как выяснено, должно удовлетворяться всеми значениями данного выражения, то мы должны иметь:

Р(*)=9(*)'ф(*),

причем ф(лг) обращается в постоянное число, если у уравнения F(x) = 0 нет иных корней, кроме тех различных значений (число их г) выражения А -\- В У My которые получаются от изменения знаков у радикалов.

Вернемся к уравнению /(лг) = 0, которое было составлено выше и которое имеет корнями все значения (хотя бы среди них и были равные) данного выражения, получаемые изменением знаков у его квадратных радикалов. Степень этого уравнения есть 2Л, где п число квадратных радикалов, входящих в наше выражение.

Пусть число различных значений есть г и пусть г<2Л. Тогда мы должны иметь

/(*) = ?(*) ч>(*).

Уравнение у(х) = 0 имеет г корней (различные значения данного выражения). Уравнение /(*:) = 0 имеет 2п корней (все значения данного выражения). Следовательно, уравнение ф (л;) = 0 имеет по крайней мере один

корень такой же, как уравнение <р(л;) = 0, т. е. по крайней мере один из корней уравнения i\)(x)=iO есть одно из значений данного выражения. Поэтому по предыдущему оно должно удовлетворяться и всеми значениями данного выражения, а это требует, чтобы

Ф(*)=?(*Ж(*).

Те же соображения, какие даны сейчас для ф(л:), применимы и к фх (х); следовательно, ^! (а:) = 9 (х) ф2 (х) и т. д., пока не получим при 9 (л:) постоянного множителя.

Отсюда вытекает:

Я*) = С[? (*)]*,

где С постоянное число.

Степень многочлена f (х) есть 2n, а многочлена 9 (л:) есть г.

Следовательно, мы должны иметь 2п=*гк, откуда видим, что гик могут быть только степенями числа 2, например г = 2у и тогда к = 2п -v.

Из всего предыдущего следует общее заключение:

Если уравнение с рациональными коэфициентами решается квадратными радикалами, то его степень выражается числом 2т.

Заметим, что обратное заключение не имеет места: если степень уравнения есть 2ОТ, то оно не обязано решаться в квадратных радикалах (например общее уравнение 4-й степени решается в кубичных и квадратных радикалах).

III. Приводимые и неприводимые уравнения

10. Уравнение вида f(x) = 0t где f (х) есть целый алгебраический многочлен, называется приводимым, если его левая часть т. е. многочлен / (х)у разлагается на множители, коэфициентами которых служат числа из той области рациональности, к какой приналежат коэфициенты многочлена / (л;); в противном случае уравнение называется неприводимым.

Так, уравнение

приводимо, так как левая его часть разлагается на множители (х — У~2~) (jc — 3 |/~2~)> коэфициенты которых принадлежат области рациональности [1;|/НГ], той же самой, как и коэфициенты многочлена jt2-4 т/~2\ + 6.

Уравнение

принадлежит к абсолютной области рациональности, но в этой области трехчлен х2 — 4а: —|— 1 не разлагается на множители: он может быть разложен на множители в области рациональности [l;]/“ 3 ], а именно: х2 — 4л;-}-1 = (х — 2— у~Ъ)(х — 2 + У~Ъ). Поэтому данное уравнение неприводим о.

II. Изложим здесь теорию приводимости и неприводимости уравнений.

Если имеем многочлен с целыми коэфициентами и если эти коэфициенты не имеют общего делителя, кроме единицы, то многочлен называется первоначальным.

Так, многочлен За:3 — 4а:2 — 6а: -f- 8 — первоначальный, а многочлен 2а:3 — 4а:2 — 6а:-)--J- 8 — не первоначальный.

Пусть имеем два первоначальных многочлена

a*xn+atx*-* +... +an-tx + ап и b0xm -f

Рассмотрим их произведение; пусть оно равно

с0*т+п + c1*w+n-1 + с2хт + л~2 + ...

Найдем зависимости между коэфициентами с и (а и Ь). Выполняя умножение данных многочленов, мы получаем:

вообще

Ясно прежде всего, что коэфициенты с суть целые числа.

Возьмем какое-либо простое число р; некоторые из коэфициентов а могут делиться на /?, но не все, так как по условию многочлен aQxn + -\~ап первоначальный: пусть первый из коэфициентов этого многочлена, не делящийся на /?, есть аг.

Аналогичное имеет место и для многочлена b0xm...bm; пусть первый из его коэфициентов, не делящийся на /?, есть ba. Составим тогда по схеме, данной выше, коэфициент

Мы видим, что согласно условию {аТ есть первый из коэфициентов а, не делящийся на р) все его члены, предшествующие члену arbs, должны делиться на р\ также все члены, следующие за ar Ь8У тоже должны делиться на /?, так как их множители £5_2-.-. bv b0 по условию делятся на /?, но член arb8 на р делиться не может, ибо аг и Ь8

в отдельности на р не делятся, а р число простое.

Из этого мы заключаем, что у коэфициентов нашего многочлена с0хт + п -\- с1лгт + п ~1 -f-+ +я общего делителя быть не может; следовательно это есть первоначальный многочлен. Итак, произведение двух первоначальных многочленов есть также первоначальный многочлен.

12. Пусть теперь мы имеем приводимое уравнение /7(а:) = 0, все коэфициенты которого целые числа. Тогда многочлен F (х) разлагается на множители, коэфициенты которых рациональны. Пусть

F (*)=/(*) 9 (*).

Будем сначала считать, что F (х) есть первоначальный многочлен. Коэфициенты у /(к) и с?(х) должны пока считаться дробными числами—приведем каждый из этих многочленов к общему наименьшему знаменателю; пусть этот знаменатель для / (х) есть р и для ф(лс) есть q. После приведения к общему знаменателю может оказаться, что все числители коэфициентов каждого знаменателя имеют общий делитель: пусть он у f(x) есть d и у ф(дг) есть g.

Тогда многочлены

будут многочлены с целыми коэфициентами и притом первоначальные. Для их произведения получим;

так как по условию F(x) = f (х)у(х). По предыдущему от умножения двух многочленов с целыми коэфициентами должен получиться многочлен также с целыми коэфициентами (это непосредственно ясно); следовательно, должно быть целыми числом, и, dg так как множители у нас первоначальные многочлены, то и произведение должно получиться (это положение и имеется в предыдущем) также в виде первоначального многочлена; следовательно

и тогда

причем оба множителя правой части суть первоначальные многочлены.

Пусть теперь Ft (х) — не первоначальный многочлен. Тогда

где Ft (х) есть первоначальный многочлен. Применяя к нему предыдущее, получим

Fi(*) = fi (*)•?! (*)

где fi(x) и çt (л:) суть многочлены с целыми коэфициентами (и притом первоначальные) Тогда

F(x) = cfi(x) 9! (х).

Мы можем целый множитель с ввести или в один из множителей ft (х) и у± (х) или, если с число сложное, разбить его на два множителя и ввести один из них в Д (лг), а другой в (ft(x).

Тогда получим множители с целыми коэфициентами. Итак:

Если многочлен с целыми коэфициентами приводим, то он есть произведение многочленов также с целыми коэфициентами.

Это положение носит название: «Лемма Гаусса».

13. Рассмотрим здесь классические задачи, над решением которых работали многие геометры древности и средних веков.

Первая из них такова: пусть имеется куб определенного размера; определить ребро куба, имеющего об'ем в два раза больший.

Называя искомое ребро через х и принимая об'ем данного куба за единицу, легко получим уравнение

х* = 2 или а:3 —2 = 0.

Легко увидеть, что многочлен л:3 — 2 неприводим. Тогда на основании общего заключения § 7 мы можем установить, что уравнение V3 — 2 = 0 не может быть решено в квадратных радикалах, ибо его степень не есть 2т.

Впоследствии будет выяснено, что следствием этого положения является невозможность точного построения ребра куба, имеющего двойной об'ем, по ребру данного куба при помощи циркуля и линейки.

С этой задачей удвоения куба связана другая задача древности: построить два средних пропорциональных к двум данным отрезкам.

Пусть данные отрезки суть а и Ь и искомые X и у; тогда должны иметь место пропорции

Отсюда получаем

X2 = ау и у2 = Ъ X. Далее получим:

x* = a2y2 = a2b X или х3 = а2Ь. Так же найдем

y2 = ab2.

Если, положим.

и X есть ребро куба, имеющего об'ем в 2 раза больший, чем куб с ребром а.

Эта задача, конечно, тоже не решается точно циркулем и линейкою.

14:. Другая задача древности состоит в требовании разделить данный угол на 3 равных части.

Составим уравнение для этой задачи и сделаем это в двух формах.

1) Из тригонометрии известна зависимость между косинусами простого и тройного угла:

cos 3 а = 4 cos3 а — 3 cos а

или 4 cos3 -2 — 3 cos -2 — cos 9 = 0.

Считая угол ç данным и полагая cos 9 = а, называя, затем cos 5- через х} получим

4xz — 3х — а = 0.

Умножив обе части этого уравнения на 2 и полагая 2х=у, получим

у* — 3у — 2а = 0.

2) Составим теперь уравнение для нашей задачи через тангенсы

Считая угол 3 а данным и полагая tg За =? я, a угол а и его тангенс искомым и обозначая tg а через х, получим 3 X — хт3

а = -—5—г или xz — 3ax2 — 3x4-а = 0. 1 —3 X 1

Чтобы освободить это уравнение от члена с je2, надо положить

х=у-\-а\

получим после упрощений:

У — 3(\-\-а?)у — 2а{\ -f а2) = 0.

Итак, для трисекции угла можно пользоваться одним из двух уравнений:

у_3у_2а = 0. или у* —3(1 +а2)у — 2а(1 + а2) = 0.

Оба они принадлежат к области рациональности [1 \а\

Имеются ли у этих уравнений корни, принадлежащие к той же облаети рациональности ? Если имеется один такой корень, например^, то уравнение (первое или второе) было бы приводимым, а именно, его можно было бы представить в форме

где коэфициенты т и п принадлежали бы к той же области рациональности.

Если дан произвольный угол, то а (косинус или тангенс этого угла) нельзя выразить в числовой форме; тогда рациональными корнями наших уравнений должны быть, согласно установленному в высшей алгебре положению, целые делители (принадлежащие к той же области рациональности [1; а]) свободного члена. В первом из этих уравнений таковые делители суть h-1, +2, ч~ а; -4-2а, а во втором ±1, +2, 2b а, ±20, ± (1+ — а2), ±2(1 +я2),±а(1+а2), ±2а(1~ --а2). Непосредственная подстановка в наши уравнения этих значений для у легко показывает, что ни один из этих делителей не служит корнем.

Отсюда заключаем, что, вообще говоря, для произвольного данного угла уравнение его трисекции неприводимо, и так как его степень не подходит к формуле 2т, оно не может быть решено в квадратных радикалах.

Как следствие этого, опять вытекает невозможность деления данного угла циркулем и линейкою на три равных части.

15. Если почему-либо параметр а, фигурирующий в наших уравнениях, может быть выражен в числовой форме, то в некоторых случаях уравнение становится приводимым, и тогда задача решается циркулем и линейкою.

Например, если косинус данного угла = l^jj (угол сам = 45°), то первое уравнение

дает у* — Зу — У 2= 0.

Это уравнение принадлежит к области рациональности [1;V^2] и его целыми делителями надо считать ±1 и 4: \/2, и легко увидеть, что при у = — |/2 уравнение удовлетворяется, откуда заключаем, что угол в 45° можно разделить циркулем и линейкою на 3 равных части. Если косинус данного угла = — (угол = 60°), то первое уравнение дает

у_33,_ 1=0.

Легко видеть, что у него нет рациональных корней (это уравнение пренадлежит к абсолютной области рациональности); следовательно, оно неприводимо, и угол в 60° нельзя разделить на 3 равные части циркулем и линейкою.

Интересно заметить, что если данный угол =

= —, где п не делится на 3, то этот угол можно разделить циркулем и линейкою на 3 равных части. В самом деле, определим два целых числа х и у так, чтобы пх — Зу= 1. Теория неопределенных уравнений устанавливает, что это всегда возможно при условии, чтобы п и 3 были числами взаимнопростыми. Тогда

Полный угол (равный 2тг) можно разделить на 3 равных части; тогда последняя формула дает способ деления этого угла на 3 равных части.

IV. Деление круга

16. Рассмотрим затем задачу деления круга на равные части. Составим уравнение для решения этой задачи. Пусть имеется круг: его радиус примем равным единице и пусть его надо разделить на р равных частей. Сочтем зв начальную точку ту, которая обозначена на чертеже числом 1 (черт. 1)

Если воспользоваться изображением комплексных чисел на плоскости и за действительную ось принять прямую 0,1, то эта точка изображает действительное число «единица» . Пусть затем дуга есть — часть всей окружности; тогда точка X изображает число

(точки 2дг, Зд: и т. д. изображают соответствующие числа:

При возведении числа х в последовательные степени мы должны, наконец, прийти опять в точку 1, что достигнется возведением числа X в степень л. Тогда получим уравнение лгЛ = 1 или хп — 1=0.

Это уравнение имеет п корней, и они выражают точки 2.г, Злг... (п — 1)лг. Первый из этих корней, равный единице, нам неинтересен, ибо он дает начальную точку 1; остальные корни комплексные и они получатся из, уравнения

Степень этого уравнения равна п—1.

Мы сначала будем рассматривать деление круга на простое число равных частей; тогда, обозначая его через р вместо п, получим уравнение

17. Теорема Эйзенштейна. Эта теорема является основанием для заключения о приводимости или неприводимости только что полученного уравнения

Сама теорема Эйзенштейна такова.

Если коэфициент при старшем члене уравнения равен 1, если все остальные коэфициенты суть целые числа, делящиеся на некоторое простое число р и если свободный член равен 4^/7, то такое уравнение неприводимо.

Пусть левая часть такого уравнения есть / (х) = хп+р±х» - 1 + р2х» - î+.. + Pn-i*±P> где р простое число, a pv p2...pn-i делятся каждое на р.

Допустим обратное, что многочлен f (х) может быть разложен на множители; пусть /(*) = (*» + в1**-1+ . . +а4) (** + + *,*•-!+. . .+Ьк), причем на основании «Леммы Гаусса» мы должны считать все а и все b числами целыми и h + k = n.

Тогда свободный член должен равняться

ahPk> т. е. имеем

ахЬк=±р.

Так как р число простое, то это возможно лишь при условии, что один из множителей ah и Ьк равен ±1, а другой

Пусть яА = ±1 и bk = zbP-

Многочлен f (х) может быть в силу условий об его коэфициентах изображен в форме

ХП-\- /7(0 (X)f

где (o(jc) выражает многочлен, полученный от деления всех его членов, кроме старшего, на число р.

С другой стороны, произведение

Черт. 1

в силу вышеполученных соображений об ah и Ьк может быть изображено так:

следовательно :

При выполнении умножения понадобится первый многочлен умножать на младший член второго, т. е. на dbPl получим многочлен, делящийся на /?; переносим его в правую часть равенства и соединяем с ры(х).

Тогда получим:

Младший член произведения левой части есть 4- Ък _ 1X. По условию его коэфициент должен делиться на р*.

Поэтому результат умножения первого многочлена на этот младший член есть многочлен, делящийся на р\ переносим его в правую часть и соединяем с p{oi(x). Тогда получим

+ . . .+Ьк_2х*) = хп+ри2(х).

Продолжая те же соображения, мы придем, наконец, к равенству

+ • • • ±1) • хк = х%-\-

Младший член произведения в левой части есть пЬл^, но его коэфициент на основании тех же соображений, какие даны выше, должен делиться на /?, что, очевидно, невозможно.

Из этого следует ложность допущения, что многочлен / (л:), удовлетворяющий условию теоремы, может быть разложен на множители. Итак, уравнение f (х) = 0 неприводимо.

18. В § 16 мы получили уравнение

которое решает задачу деления круга на равное число частей, причем число р считали простым.

Преобразуем это уравнение, полагая: X—\—z или x = 2+l. Тогда получим

или

Так как р число простое, то все коэфициенты левой части, кроме коэфициента при старшем члене, делятся на р, и, следовательно, это уравнение удовлетворяет условиям теоремы Эйзенштейна. Поэтому оно неприводимо.

Следовательно, и уравнение

неприводимо.

Согласно § 8, степень такого уравнения, чтобы оно решалось исключительно квадратными радикалами, должна равняться 2V. Итак, в этом случае должны иметь

р— 1=2V или /7 = 2V+1.

Так как р число простое, то из этого можно заключить, что необходимым условием того, чтобы можно было разделить круг на некоторое простое число равных частей, является требование, чтобы это простое число имело вид

2V+1.

Это возможно лишь тогда, когда v в свою очередь есть степень числа 2, т. е. когда v = 2^. В самом деле, если

где d простое число, иное чем 2, то

и оно делилось бы на 2 -f 1, т. е. не было бы простым.

Итак, условие

/? = 22fA-f-! (р число простое) есть необходимое условие того, чтобы задача деления круга решалась в квадратных радикалах. В дальнейшее будет выяснена его достаточность.

19. Обратим еще внимание (впоследствии это понадобится) на уравнение

* В правой части равенства в выражении put (х) имеется также член с первой степень о р\ перенеся его влево и соединив его с Ч1еном ±.Ьк—хх, мы получим коэфициент при х в виде суммы двух слагаемых: сумма эта по условно делится на р\ слагаемое, перенесенное из правой части, также делится на р. Следовательно, и другое слагаемое + Ьк—Х делится на р.

Если положить л*** i==y> то наше уравнение приведется к виду

Согласно предыдущему, оно неприводимо, но возникает следующее сомнение: у выражается через X не линейно; поэтому, если у заменить через х , то не будет ли это уравнение приводимым относительно х? Для решения этого вопроса заменим х через 2-f-l; тогда y = (z-\- 1)р и предыдущее уравнение обратится в

Разложим многочлен левой части — обозначим его через / (z) — по формуле Маклорена:

Нетрудно видеть: 1) /(0) = /?; 2) последняя производная будет.

а потому коэфициент при старшем члене разложения, при zp 1 (р ~~ {\ будет равен 1; 3) коэфициенты при остальных членах все будут делиться на р, так как

Нетрудно видеть, что после разделения этих выражений на факториалы знаменателей множитель р во всяком случае остается.

Из всего этого заключаем, что левая часть нашего уравнения удовлетворяет условиям теоремы Эйзенштейна. Следовательно, уравнение

неприводимо.

Так как z выражается через х линейно: z = x—1, то и начальное уравнение

неприводимо

(Окончание в № 4).

О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ*

Проф. В. К. СЕРПИНСКИЙ (Варшавский ун-т)

(Перевод с польского Н. Н. Плескачевского)

1. Принцип индукции

В математике часто приходится иметь дело с предложениями, в которых идеть речь о натуральном числе п. Вот примеры таких суждений;

1. Число /г(л+1) нечетно.

2. Число я3 — п делится на 6.

3. Число п четно.

Как легко видеть, предложение 1 неверно для каждого натурального числа п (так как из двух последовательных натуральных чисел всегда одно четно и потому произведение таких чисел четно). Предложение 2 для каждого натурального числа п справедливо; так как л3 —л=;(я—\)п(п-\-1), а из трех последовательных натуральных чисел всегда, по крайней мере, одно четно и одно делится на 3, поэтому произведение трех последовательных натуральных чисел делится всегда на 6. Предложение же 3 для некоторых чисел п справедливо, тогда как для некоторых других несправедливо.

Случается, что некоторое предложение, в котором говорится о натуральном числе я, справедливо для очень многих последовательных натуральных чисел л, не будучи, однако, справедливым для каждого натурального числа п. Вот примеры таких предложений.

* Польский журнал «Parametr» т. II № 8—10 (Прим. пер.)

Предложение:

Число п2 — п -\- 41 первоначально, справедливое для первых сорока последовательных натуральных чисел (для /1=1, 2, 3...40), не будет, однако, справедливым для каждого натурального числа п, так как, например, оно несправедливо для п = 41, давая для него 412.

Еще более разительный пример представляет предложение:

Число 991/z2-f-l не квадрат.

Наименьшее натуральное число п, для которого предложение это несправедливо, есть

1205573579033 1359447442538767

при таком п

991/г2 —}- 1 есть квадрат числа 3795 16400906811930638014896080

Эти примеры показывают, что посредством поверки данного положения даже для очень больших последовательных значений натурального числа п невозможно указать справедливости его для каждого натурального числа п.

Доказательство справедливости какого-либо положения для каждого, натурального числа п может быть иногда проведено непосредственно как, например, в примере 2.

Один из часто употребляемых методов при доказательствах таких предложений есть так называемый принцип математической индукций.

Принцип этот опирается на следующие простые свойства натуральных чисел:

I. В каждом непустом (конечном или бесконечном) множестве (разных) натуральных чисел существует наименьшее число.

(Подобным свойством не обладают рациональные числа: не в каждом множестве рациональных чисел существует наименьшее число; например, нет наименьшего рационального положительного числа).

Из свойства I натуральных чисел вытекает тогда свойство:

II. Если какое-либо множество Z:

1° заключает натуральное число а,

2° заключает число, следующее за каждым, которое она заключает (т. е. заключает /г —|— 1, поскольку заключает /г), то это множество Z заключает каждое натуральное число 2^ а.

В самом деле, допустим, что данное множество Z удовлетворяет условиям 1° и 2°, но что, вопреки нашему утверждению, существуют натуральные числа ^> а, которых множество Z не заключает. Обозначим через N множество всех именно таких чисел. Множество N есть, таким образом, непустое множество натуральных чисел, и потому в силу свойства I существует в нем наименьшее число, которое обозначим через р. В каждом случае это будет натуральное число (так как к множеству N принадлежат только числа ^ а), причем не может быть р=*а> потому что число а принадлежит, в силу 1°, к множеству Z и потому не может принадлежать к множеству N, Таким образом, имеем р^>а и, следовательно, р—1=5:я, причем число п=; р — 1 принадлежит к множеству Z, так как в противном случае оно должно было бы принадлежать к множеству N, что невозможно, коль скоро число р > р— 1 =п наименьшее число множества N. Но если число п = р—1 цринадлежит к множеству Z, то, в силу условия 2°, последующее за ним число, т. е. число п-\-~ I = р, также принадлежит к множеству Z, откуда возникает противоречие, так как число р, принадлежащее к множеству N, не может (в силу определения того множества) принадлежать к множеству Z.

Допущение, что предложение II не справедливо приводит, следовательно, к противоречию. Тем самым мы доказали это предложение.

Из предложения II легко вытекает следущий принцип индукции. Допустим, что имеем такое утверждение Т (о числе ri), что

1° утверждение Т справедливо для натурального числа а,

2° если утверждение Т справедливо для натурального числа п, то оно справедливо для числа я-fl, тогда утверждение Т справедливо для каждого натурального числа n^ia.

Доказательство. Допустим, что данное утверждение Т (о натуральном числе п) удовлетворяет условиям 1° и 2°. Обозначим через Z множества всех тех натуральных чисел п, для которых утверждение Т справедливо. В силу свойств 1° и 2° утверждения Г множество Z, как легко видеть, удовлетворяет условиям утверждения II, откуда, как известно, следует, что множество Z заключает каждое натуральное число ^ а. В силу определения множества Z это значит, что утверждение 7 справедливо для каждого натурального числа ^ а, что и требовалось доказать.

Таким образом, принцип индукции доказан.

Заметим, что если относительно данного утверждения Т известно только, что оно удовлетворяет условию 2°, то отсюда еще не вытекает, что оно справедливо для достаточно больших п. Такое утверждение может не быть справедливым ни для одного нату-

рального числа п, например утверждение, что п ^> п -+ 1 (если бы при некотором п было п^>п-\- 1, то, очевидно, отсюда следовало бы, прилагая к обеим частям этого неравенства по числу 1, что я + 1 >я + 2; условие 2°, таким образом, выполняется).

Несколько десятилетий назад происходил спор о том, есть ли принцип индукции — теорема или аксиома, и в этом споре принимали участие наиболее видные математики того времени (как H. Poincaré). В настоящее время такой спор был бы наивным, потому что это зависит только от принятой в арифметике системы аксиом. Система эта может быть такой, что из нее принцип индукции вытекает, как теорема, или может быть такой, что принцип индукции играет в ней роль одной из аксиом. Очевидно, что при преподавании в средней школе аксиоматический метод не пригоден.

2. Примеры применения индукции

1) Каждое натуральное число удовлетворяет неравенству.

2п>л

1°. Это верно для /г =з 1, так как 21>л).

2°. Если при некотором натуральном п имеем 2п^>п то, умножая обе части этого неравенства на 2, получим 2П4_1 ^> 2п =; я+ п gglfl+1» откуда 2П +1 > п + 1 .Условие 2° выполняется.

В силу принципа индукции заключаем, таким образом, что наше неравенство справедливо для каждого натурального числа п.

2) Как другой пример возьмем неравенство

2п>/г2.

Неравенство это справедливо для /г=;1, но несправедливо для л=;2,3 и 4. Докажем при помощи индукции, что оно справедливо для п ^> 5.

1°. Наше неравенство верно для я=;5, так как 25 32 > 25 =^ 52.

2°. Если при некотором п ^> 5 имеем 2я >/г2, то 2мд-1>2л2, но для п ^>5 имеем 2п2 =! п2 + п2 ^> /г2 + 5л= /г2 +4/г+/г>/г2+ + 2/г+1=,(/*-^1)2, откуда 2n4-1>(/z-f I)2.

Заключаем поэтому на основании индукции, что 2и>,г2 для „;>5.

3) Как легко убедиться, имеем 21^>13, но 2л<лз для 2^/г^9.

Докажем, что

2п>я3 для п ^10.

1°. Наше неравенство справедливо для п =^10, так как 21<> =, 1024 > 1000 =; 103.

2°. Если при некотором п 2^10 имеем

Заключаем, таким образом, при помощи индукции, что2п>/г* для л ^Ю.

4) Относительно неравенства 2Л>/г4 можно было бы доказать, что оно справедливо для я —1, несправедливо для 2 < /г < 16, но справедливо для п =—17, как то легко выведет читатель, основываясь на неравенстве 2/г4 ^> л4+17/г3 > /г4+ 4я3+6/г3+4/г3+л3> я* + 4ля+6/1« 4-4/1 +1 =(л+1)«

для /г ^> 17.

5) Если бесконечная последовательность натуральных чисел plf р2, /?3... возрастающая (т. е. если Pi<iP2<^Pz--)> 70 ПРИ всяком натуральном п удовлетворяется неравенство

Доказательство. 1° Наше неравенство очевидно для п =; 1.

2°. Если это неравенство справедливо для натурального числа я, то имеем рч>п. Но рп д. 1 > />п, следовательно, /?я х i >/?п + 1 (так как /?п и pnJ-t числа целые). И, таким образом, изрп^>пимеетсярп +1 ^/?п + 1>л4“1 или рп + 1 ^ /г +1, т. е. наше неравенство справедливо для числа л+1; применяя принцип индукции, заключаем, таким образом, что неравенство Рп^п удовлетворяется всяким натуральным числом л, что и требовалось доказать.

6) Для каждого натурального числа п имеем: (1 + 2 + 3 + ...+л)2= 13+ 23+ 33+..+л3.

1°. Очевидно это положение справедливо для п = 1.

2°. Предположим, что оно справедливо для натурального числа п и обозначим для сокращения

Sn=l+2+...+ *. *e=l»4-2»+...+ rf,

Таким образом, в силу предположения будет

Отсюда:

(потому что, как известно, что можно также легко доказать помощью индукции); следовательно, [1 + 2 + 3+...+ л+(я+1)]»=1» + 2» + + 33+...+л3 + (tf-f-1)3, что доказывает, что наше положение справедливо для числа (л+1).

На основании индукции, таким образом, заключаем о справедливости нашего положения для каждого натурального числа п.

7) Для каждого натурального числа п имеем положение:

1°. Очевидно, это положение справедливо для п = 1.

2°. Положим, что оно справедливо для натурального числа п. Отсюда, прибавляя к обеим частям число {п-\-I)2, получим 1 -)-22-|-

Но, как легко показать:

положение наше справедливо для числа (/г-j-l).

На основании индукции заключаем, таким образом, о справедливости нашего положения для каждого натурального числа п.

Далее еще несколько положений, доказательство которых ввиду легкости мы предлагаем читателям.

8) Каждое натуральное число п удовлетворяет положениям

9) При всяком z удовлетворяется тождество:

10) Для z=£=l имеем положение

11) При всяком xf для которого sin^=^=0 имеем : sin х - J- sin 2 х -f- sin Зл: -f - sin п х =

12) Для чисел av а2, я3,..,отличных от—1, имеем

3. Принцип трансфинитной индукции

Одним из видоизменений принципа индукции является следующий принцип: Если утверждение Т

1° справедливо для натурального числа а,

2° справедливо для числа Ь^>а или же только справедливо для каждого такого натурального числа п, что а<^п<^Ь, то утверждение Т справедливо для каждого натурального числа п>а.

Доказательства этого принципа мы не приводим, так как оно представляет собой легкое видоизменение доказательства обыкновенного принципа индукции.

Как пример применения выражения этого принципа, выведем следующее положение Т: каждое натуральное число п ]>1 первоначально или представляет собой произведение первоначальных чисел.

Утверждение это очевидно справедливо для числа п = 2. Пусть теперь Ь означает натуральное число > 2 и допустим, что утверждение Т справедливо для каждого такого натурального числа я, что 2 < п <^ Ь. Если число Ъ — первоначальное, то утверждение Т очевидно справедливо для числа п = Ь. Но если Ь не первоначальное число, то из Ь ^> 2 ^> 1 (и в силу определения первоначальных чисел) число Ь есть произведение двух натуральных чисел больших единицы, например b = cdy где с^>1 и rf>l; следовательно, каждое из этих двух чисел будет или первоначальным числом или произведением первоначальных чисел. Таким образом, в каждом случае число b — или первоначальное число или же произведение первоначальных чисел, и, таким образом, утверждение Т справедливо для числа Ь.

Утверждение Т удовлетворяет условиям Iе и 2° и потому, в силу нашего принципа, справедливо для каждого натурального числа л, что и требовалось доказать.

Обобщение рассмотренного принципа представляет собой так называемая трансфинитная индукция.

Множество действительных чисел Z называется совершенно упорядоченным (по величине), если каждая его часть заключает наи.

меньшее число. Например, множество всех натуральных чисел совершенно упорядочено. Наоборот, множество W всех рациональных неотрицательных чисел не представляет собой совершенно упорядоченого множества, так как например, числа вида — > где п натуральное число, образующие часть множества W, не заключают в себе наименьшего числа.

Множество Z, образующееся (состоящее) из чисел вида m--— » где тип натуральные числа, совершенно упорядочено. Пусть тогда С означает данную часть множества 2- Обозначим через р наименьшее натуральное число, для которого при некотором натуральном п число р— - : I принадлежит к С. Обозначим далее через q такое наименьшее натуральное число, чтобы число р — принадлежало к С (такое число q существует в силу определения числа р). Легко видеть, что р--\—- будет наименьшим числом множества С. Таким образом, каждая часть множества Z заключает в себе наименьшее число и потому множество Ç совершенно упорядочено.

Другим примером совершенно упорядоченного множества будет множество чисел вида

где ту л, р и q какие-либо натуральные числа.

Для совершенно упорядоченных множеств существует следующий принцип трансфинитной индукции. Если утверждение Г, 1° справедливо для числа а совершенно упорядоченного множества D, 2° справедливо для числа Ь^>а множества D или же справедливо для каждого такого числа х множества D, что а^х<^Ь, то утверждение Т справедливо для каждого 2> а числа множества D.

Доказательство. Предположим, что утверждение Т удовлетворяет условиям 1° и 2°, и допустим, что существует такое > а число множества D, для которого утверждение Т не справедливо; обозначим через N множество всех именно таких чисел множества D. Поскольку множество D совершенно упорядочено, то множество N, как часть множества D, заключает в себе наименьшее число; обозначим его через Ь. Очевидно будет b^>at так как числа множества N все ^а, а по условию 1° не может быть Ь = а. Поскольку Ъ есть наименьшее число множества N, то, если число х множества D удовлетворяет условию а^х<^Ь, то л: не может принадлежать к N; из определения множества N заключаем тогда, что для такого числа X утверждение 7 справедливо. Утверждение Г, таким образом, справедливо для каждого такого числа х множества D, что а^х<^Ь, откуда, в силу условия 2°, заключаем, что утверждение Т справедливо для числа Ь. Таким образом имеем противоречие, так как число Ъ принадлежит к множеству N.

Предположение, что существуют числа множества D — ^ tf, для которых Т не справедливо, приводит к противоречию. Утверждение Г, таким образом справедливо для каждого числа множества D — >д, что и требовалось доказать.

Принцип трансфинитной индукции распространяется также на самые общие, совершенно упорядоченные множества произвольных элементов (необязательно представляющих собою числа) и в теории этих множеств играет важную роль.

4. Определение посредством индукции

Говорят, что имеется определенная бесконечная последовательность предметов Pv Р2, Р3..., если с каждым натуральным числом п сопоставляется некоторый предмет Рп.

Бесконечные последовательности часто определяются посредством индукции. А именно: определяется непосредственно первый элемент Рх (или k первых элементов: Pv Р2,... Рк) и затем для л^>1 (или соответственно для п^> k) определяется элемент Рп в предположении, что уже известны все предшествующие ему элементы, т. е. Ри Р2, Р3..-*РЛ - |.

Вот примеры таких определений.

Последовательность Fibonacci (Фибоначчи). Здесь имеем Р1 = Р2=1, но для л>2 Pn = Pn_i-\-Pn_2. Другими словами: два первых элемента этой последовательности равны единице, но каждый дальнейший элемент есть сумма последнего и предпоследнего перед ним элемента. Это позволяет постепенно выявить очередные элементы этой последовательности: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...

Определение последовательности посредством индукции может быть иногда заменено непосредственным определением общего элемента, но более сложным и не выявляющим принципиальных свойств последовательности. Например, в случае последовательности Fi-

bonacci можно легко доказать посредством индукции, что (для натуральных п)

Осложнение определения зависит здесь еще и от того, что для определения бесконечной последовательности натуральных элементов мы пользуемся числами иррациональными.

Для другого примера возьмем бесконечную последовательность Uv U2, U3..., определенную условиями:

Как легко показать, здесь имеем £/2 = 22 = 4, £/3 = 44 = 256, но элемент

как легко видеть, это число состоит приблизительно из шестисот (более точно из 617) цифр.

Рассматриваемой последовательности мы не сумеем определить иначе как посредством индукции.

Иногда определение посредством индукции легко заменить непосредственным, но пользуясь при этом точками. Например, для последовательности Sv 52, 53 определенной условиями:

= 1, но для л>1, Sn=Sn_t. п имеем положение

5Л = 1, 2, 3,...л, т. е. Sn есть произведение п первых последовательных натуральных чисел (число это, как известно, обозначается символом п\ и читается п факториал).

Подобно этому для последовательности (Л, U?1 иъ . . . , определенной условиями

имеем:

вообще Un = 22 где двойка появляется п раз.

Как последний пример определения посредством индукции, рассмотрим треугольник Pascal'a. С каждой упорядоченной парой двух натуральных чисел m, п сопоставляется некоторое число ип , причем сопоставление это определяется условиями:

1) U1W = \ для каждого натурального числа m,

2) LM*> = 0 для каждого натурального числа п^> 1,

3) для натуральных чисел т^>\ и п^>\

Лт) ттШ- {)\rj(m ~~ {) п == п ' п— ! '

Таким образом, этим определяются бесконечные последовательности U^m\ U2{m\ U^m\... посредством индукции : последовательность и±М, U2({\ игМ... определяется условиями 1) и 2), как последовательность 1, 0, 0, 0..., но, зная при данном натуральном m > 1 последовательность U£m - {\ U£m - *>, u^m - *)... можно в силу условий 1) и 3) выразить последовательность U^m)9U2^m)t U^mK.. Таким образом, получим по порядку последовательности :

1, 0, 0, 0, 0, 0, 0,...

1, 1, 0, 0, 0, 0, 0,...

1, 2, 1, 0, 0, 0, 0,...

1, 3, 3, 1, 0, 0, 0,...

1, 4, 6, 4, 1, 0, 0,...

1, 5, 10, 10, 5, 1, 0,... Как известно, элементы (m-\-\)-ft последовательности представляют собой последовательные коэфициенты разложения выражения (a-\-b)m по убывающим степеням а, a именно:

что можно легко доказать посредством индукции.

Легко также вывести посредством индукции, что

(При данном m следовало бы доказать посредством индукции это положение для последовательности UJn + V, U2(m+V, U£m+V, полагая, что оно справедливо для последовательности U^m\ U2^m\ Uzm..., а потом еще раз применить индукцию, чтобы вывести заключение, что положение это справедливо для каждой из наших последовательностей.)

Обратная индукция. Случается иногда, что некоторое утверждение Т легко доказать для натуральных чисел некоторой формы, например, для чисел вида 2*, вообще: для чисел некоторой возрастающей последовательности натуральных элементов Рх < Р2<^Р3 <^... Если после того нам удастся доказать, что справедливость утверждения для числа п -\-1 позволяет заключить о его справедливости для числа п, то утверждение Т справедливо для каждого натурального числа.

В самом деле, пусть k означает произвольно данное натуральное число. Поскольку бесконечная последовательность натуральных чисел Pl9 Р2' 'V- возрастает, то имеем при всяком натуральном п (пример 5) Рп^.п, и потому существует такое натуральное s, что Рв^>К. Но утверждение Т по предположению справедливо для числа р8.

Таким образом, оно справедливо и для числа р8 — 1, откуда заключаем по порядку-что оно справедливо для чисел р8—2,/?,—3..., т. е. для каждого натурального числа, меньшего р8, а, следовательно, и для числа /г

Как пример, на применение обратной индукции укажем на доказательство Cauchy (Коши), что среднее геометрическое п положительных чисел всегда не больше их среднего арифметического. Cauchy доказывает это утверждение сначала путем обычной индукции для чисел вида 2n, а затем обнаруживает, что справедливость его для /г-|-1 чисел ведет к заключению о его справедливости для п чисел.

5. Индукция для множества всех действительны х чисел*

Если утверждение Т (о действительном числе х) удовлетворяет следующим двум условиям:

1) существует такое действительное число а, что утверждение Т справедливо для каждого действительного числа х<^а

2) поскольку утверждение Т справедливо для каждого действительного числа х<^Ь, постольку существует всегда такое действительное число c<Cßy что утверждение Т справедливо для каждого действительного числа х<Сс, то самое утверждение Т справедливо для каждого действительного числа х.

Доказательство. Допустим, что существует действительное число х9 для которого утверждение 7, удовлетворяющее условиями 1) и 2), не справедливо.

Разделим все действительные числа z на два класса Л и Б, заключая в класс Л каждое такое действительное число z, что утверждение Т справедливо для каждого действительного числа X < 2, а в класс В — все остальные действительные числа. Из предположения 1) вытекает что класс А не пуст (так как к нему принадлежит число а)9 но из предположения, что существуют действительные числа, для которых утверждение Т не справедливо, следует тогда же что класс не пуст. Из определения класса А вытекает далее, вместе с тем, что если какое-либо действительное число принадлежит к классу Л, то каждое меньшее его число принадлежит также к классу А. Отсюда следует, что каждое число класса А меньше каждого числа класса В. Таким образом, классы А и В образуют сечение множества всех действительных чисел. Но, как известно, множество всех действительных чисел непрерывно, следовательно, либо в классе А существует наибольшее число, либо также в классе В число наименьшее.

Если бы u было наибольшее число класса Л, то утверждение Т было бы справедливо для каждого действительного числа х^>и (так как u принадлежит к Л), но, таким образом, в силу 2) существовало бы такое число с^>иу что утверждение Т было бы справедливо для каждого действительного числа х<^с. Число с принадлежало бы, таким образом, к классу Л, что невозможно, так как c^>u, a u означает наибольшее число класса Л. В классе Л, таким образом, нет наибольшего числа.

Допустим теперь, что в классе В существует наименьшее число v и пусть х означает действительное число < V. Пусть у означает число, лежащее между х и v, например у = —^—. Из того, что y<^v вытекает, что число у принадлежит к классу Л (как меньшее от наименьшего числа класса В); следовательно, на основании определения класса Л утверждение Т справедливо для числа х<^у. Таким образом, доказано, что утверждение Т справедливо для каждого действительного числа x<^v, откуда, в силу определения множества Л, следует, что число v принадлежит к множеству Л, что невозможно, так как v принадлежит к множеству В. В классе В нет, таким образом, наименьшего числа.

Следовательно, ни в классе А нет наибольшего числа, ни в классе В нет числа наименьшего и потому сечение [Л, В] образует отверстие вопреки непрерывности множества действительных чисел.

Предположение, что существует действительное число Ху для которого утверждение Т несправедливо, приводит, таким образом, к противоречию. Таким образом, утверждение Т справедливо для каждого действительного числа Ху что и требовалось доказать.

Доказанный принцип индукции имеет применение в математическом анализе. А. Хинчин* доказал (в упомянутой работе), что этот принцип равносилен аксиоме непрерывности Dedekind'a (Дедекинда).

* А. Хинчин —Fund. Mathem. t. IV, стр. 165

* Проф. Московского университета (прим. пер.).

ИНДУКТИВНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ БЕЗУ

(Методическая обработка)

Проф. З. ПРИБЛУДА (Одесса)

Обычное доказательство теоремы Безу об остатке от деления целой алгебраической функции F(x) на приведенный линейный бином X — а заключается в подстановке а в тождестве F {х) = (х — a) g (х) + R, где g (х) — функция, полученная в частном, a R — остаток.

Для полной строгости такого доказательства оно должно было бы опереться на идею непрерывности рассматриваемых функций, которая предшествовала бы данному доказательству; без этого оно теряет всякий смысл, так как деление нал:—а, при х = а, запрещается. Отсюда мы замечаем у некоторых авторов попытки введения простого индуктивного доказательства теоремы, основанные на непосредственном делении многочлена F(x)=*A0xm + AiXm~i + А2хт-* + + . . . -f-Am на X — a. Но такой путь страдает, во-первых, слабостью доказательной силы, присущей вообще методу простой индукции, во-вторых, достаточною громоздкостью.

Предлагаемое ниже доказательство, по нашему мнению, отличается в этом отношении значительным преимуществом, так как оно основывается на более совершенном методе — на полной математической индукции, при незначительной общей операторике.

Итак, требуется доказать, что целая алгебраическая функция т-го порядка FJx) при делении на х — а дает в остатке подстановку в ту же функцию а, вместо х, т. е. F Ja).

Доказательство, как обычно при методе полной индукции, разбивается на три части:

I. Докажем, что теорема Безу справедлива для случая алгебраической функции первой степени (линейной): Ft(x) = А0х + Ах.

Непосредственным делением убеждаемся, что, действительно, при делении F±(x) на X—а, получаем в остатке требуемое теоремой выражение А0а + A1 = F1(a).

II. Допускаем, что для функции п-го порядка Fn(x) =q Аохп + Ахх» - i + . . + Ал теорема справедлива, и остаток /?, в данном случае, представляет собою:

Fn{o)=*A0an + Aia»-i+ . . . +ЛЯ. (1)

Докажем, что теорема оправдывается и для функции п+1 порядка:

(2)

Вынося из всех членов (2), кроме последнего, X -за скобки, получим:

(3)

Но так как, на основании сделанного допущения, Fn (х) = {X — a) gn (х) + Рп (а), где gn(x) — частное, a Fn (а) — остаток, то выражение (3) мы можем переписать так:

(4)

Отсюда видно, что значение остатка от деления Fn + i{x) на х — а совпадает со значением остатка от деления второй подчеркнутой части выражения (4), так как первая его часть делится на л;— а без остатка. Но вторая подчеркнутая часть выражения (4): xFn(a) + Ап +1 есть линейная функция от х, для которой, как мы уже доказали выше (1), теорема Безу справедлива, а потому, при делении этой части на х — а, она даст в остатке: aFn(a) -f Лн +1, т. е. подстановку а в выражение (3), а это значит, что при делении всей функции Fn + i(x) на х — а, получится остаток Fn+[(a)y что и требовалось доказать.

III. Теперь заканчиваем, как обычно при доказательстве от п к п + 1 : принимая во внимание справедливость теоремы для функции первого порядка Ft (х), мы, на основании второй части доказательства, убеждаемся в справедливости теоремы также для функции второго порядка — F2(x) а потом — для F3(x)y F±(x) ... и для функции любого т-го порядка Fm(x), так как любое целое положительное число m может быть составлено из единицы путем последовательного добавления единиц.

СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ ИЗМЕРЕНИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

Доц. А. ТОРЧИНСКИЙ (Москва)

Спустя 6 лет после установления «практической системы» электрических единиц О. Д. Хвольсон в 1887 г. писал: «Названия: ом, вольт, ампер, кулон, фарада, ватт и джоуль получают с каждым днем все большее и большее распространение; между тем, вопросы, откуда явились эти величины, какова связь между ними и каково истинное, строго-научное определение каждой из них — несомненно, для многих, даже часто пользующихся ими, остаются темными».

Это целиком относится сейчас, спустя 55 лет после их установления, к оканчивающим среднюю школу учащимся, которые не имеют никакого представления о том, «откуда явились эти величины и какова связь между ними».

Ноультон в своей книге «Физика» (стр. 169), рассматривая вопрос об абсолютных электрических единицах и соотношениях между ними, давших практически неудобные числа, говорит: «Начинающему может даже показаться, что такое положение было придумано со злостным умыслом затруднить усвоение предмета». И в самом деле, учащиеся очень часто с недоумением спрашивают, почему за единицу сопротивления принято сопротивление столбика ртути такой «странной» длины и почему за единицу количества электричества условились считать количество электричества, под действием которого выделяется из раствора соли серебра 1,118 мг серебра, а не ровно 1 мг? Преподаватель обычно отвечает, что эти величины сложились в процессе исторического развития учения об электричестве, что они произошли от ранее существовавших единиц измерения, при установлении которых физики поставили перед собою задачу производить измерения всех физических величин в трех основных единицах: сантиметр — грамм — секунда. Зависимость ампера, ома и других электрических единиц от этих трех основных и привела к таким неудобным числам, как 1,118; 106,3 и др.

Если в VII классе мы можем и, пожалуй, должны ограничиться таким ответом, ввиду слабой подготовки учащихся в области электричества, то в X классе такой ответ совершенно не удовлетворяет учащихся. Полагаю также, что в X классе мы обязаны дать четкий и исчерпывающий ответ на вопрос о не менее «странных» соотношениях между «практическими» единицами — кулон, вольт, фарада — и единицами CGSE. Надо иметь в виду, что во всех учебниках физики для вузов, за исключением учебника Хвольсона, вопросу о «системах единиц» электрических измерений уделяется не более одной-двух страниц, а в некоторых из них — всего несколько строк текста, причем во всех них, как правило, отсутствуют исторические сведения, освещающие происхождение «систем единиц». В вузах этот вопрос затрагивается вскользь или вовсе оставляется без внимания, как маловажный, и даже в педагогических институтах преподаватели, читающие курс физики, не посвящают ему в большинстве случаев ни одного специального часа, в результате чего оканчивающие пединституты, как это показали дипломные работы, имеют весьма смутное представление о «системах» электрических единиц и о соотношениях между ними.

Возникает вопрос: где, когда и в каком об'еме изучающий физику должен знакомиться с этими вопросами? Полагаем, что ответ должен быть такой: средняя школа дает общие сведения; в вузе, в особенности в пединституте, этот вопрос рассматривается более подробно.

Просмотр до-и послереволюционных учебников по физике для средней школы показал, что ни один из них не только не дает правильной установки в этом вопросе, но все авторы их пользуются, словно по традиции, одними и теми же определениями и выводами, ничего не разъясняющими, а скорее, наталкивающими ученика на совершенно неправильное представление о соотношениях между «практическими» единицами и единицами CGSE, а главное — о происхождении» первых. Во всех учебниках учащийся читает, что, «так как единица количества электричества в системе CGSE слишком мала, то для практических расчетов за единицу количества электричества принимают кулон, равный ЗЛО9 электростатических единиц». В таком же роде даются пояснения и относительно вольта и фарады. У учащихся создается впечатление, что кулон, вольт и другие «практические» единицы являются более или менее крупными электростатическими

единицами. А, между тем, достаточно было бы сказать, что наряду с данными электростатическими единицами количества электричества, потенциала и т. д. употребляются также и другие, иным способом выбранные единицы, так называемые практические (кулон, вольт и т. д.), чтобы представление о происхождении практических единиц от электростатических не могло возникнуть или, по крайней мере, чтобы вызвать преподавателя на раз'яснение этого вопроса. Что недоговоренность, существующая в программах и учебниках средней школы, приводит учащихся к заблуждению по этому вопросу, пишущему эти строки приходилось многократно убеждаться из опроса учащихся X класса и преподавателей. Последние заявляют, что испытывают затруднение в этом вопросе, не зная, следует ли его разъяснять и, если следует, то как его преподнести в кратком и доступном учащимся изложении.

Мы полагаем, что разрешить эту задачу можно без особых затруднений, следуя историческому ходу развития учения об электричестве в XIX в. Для этого преподавателю надлежит лишь подобрать соответствующий исторический материал и изложить его, распределив небольшими частями между соответствующими темами программы. Вся работа в общей сложности должна занять у преподавателя не более двух академических часов, при условии конспективной записи учащимися сообщений преподавателя, и не более одного часа, если за недостатком времени учащиеся будут принимать их лишь на слух.

По темам «Электростатика» и «Электрический ток» понадобится дать небольшие исторические справки, главное же внимание— обратить на новый период развития учения об электричестве, начиная с 1820 г.

При сообщении сведений по электростатике в X классе следует дать, в связи с законом Кулона, краткий исторический обзор в таком, примерно, об'еме.

Первые серьезные работы по изучению электрических явлений начались со второй половины XVI столетия и принадлежат, главным образом, Гильберту, Отто фон-Герике и Франклину. В XVIII столетии, кроме Франклина, работали в этой области Стефан Грей, Дю-Фэй, Клейст, Симмер и др., много сделавшие для качественного изучения электрических явлений.

В 1773 г. Кэвендиш впервые количественно исследовал электрические и магнитные взаимодействия и установил закон (независимо от Кулона), открытый и опубликованный спустя 12 лет (в 1785 г.) Кулоном и получивший имя последнего. Закон Кулона явился первым законом в области учения об электричестве, давшим возможность производить измерения взаимодействий как электрических зарядов, так и магнитных масс. Этот закон лег в основу строго математического изучения электрических и магнитных явлений. Таким образом, Кулон своими работами заложил фундамент, на котором в дальнейшем было воздвигнуто здание электростатики в ее современном виде. Его работу в этой области продолжали Грин, Гаусс и Пуассон, развившие на основе закона Кулона стройную математическую теорию распределения электричества на телах и возникающих при этом сил. Грин в своем мемуаре «Опыт приложения математического анализа к теориям электричества и магнетизма», опубликованном в 1828 г., вводит в учение об электричестве понятие—«п отенциал»и разрабатывает его теорию. Теория потенциала входит с тех пор в электростатику, как наиболее важная, центральная часть ее. Одновременно с Грином над теми же вопросами работает Гаусс; в те же годы Фарадей на основании опытов, произведенных им еще в первую половину 30-х годов, опровергает гипотезу Кулона об электрических действиях между телами, происходящих, по взгляду Кулона, на расстоянии (actio in distans), и вводит понятие о зависимости этих взаимодействий от природы изолирующей среды (диэлектрика).

В первой половине 40-х годов Гаусс переходит к исследованию магнитных взаимодействий и вводит в свои измерения «абсолютную систему мер» : в этой системе за единицу длины он принимает миллиметр, за единицу массы — массу одного миллиграмма и за единицу времени — секунду. Единицу магнитной массы Гаусс определяет, как такое количество ее, которое действует на равное ему количество на расстоянии в 1 мм с силой, равной единице силы; единицу силы, — как такую силу, которая массе в 1 мг сообщает ускорение 1 мм в секунду.

Вильгельм Вебер, работавший совместно с Гауссом над вопросами магнетизма, переходит затем к исследованию электрических взаимодействий и, следуя идее Гаусса, вводит «абсолютную систему мер» в электростатику. За основные единицы при определении электростатических единиц количества электричества, потенциала, емкости и др. он, как и Гаусс в магнитных измерениях, принимает миллиметр — миллиграмм — секунду.

Таким образом, в 40-х годах прошлого столетия, благодаря работам Грина — Гаусса— Вебера — Фарадея, уже вполне определенно обрисовываются контуры учения об электростатических явлениях в виде, близком к современному состоянию этого учения.

Этими сведениями придется пока ограничиться, указав учащимся, что мотивы и время перехода от системы миллиметр—миллиграмм-секунда к системе CGS будут сообщены им при проработке одного из следующих разделов учения об электричестве.

При проработке закона Ома следует указать, что еще в 1800 г. Вольта ввел понятие «электродвижущая сила» и доказал на опытах с батареей гальванических элементов, что эдс имеет определенную величину и направление. Однако для практического использования гальванического тока батарей Вольта нехватало умения измерять силу тока. Это умение было приобретено в следующий период, период блестящего развития электромагнетизма, начинающийся с 1820 г. Этот период последовал за знаменитым открытием Эрштеда связи между магнитными и электрическими явлениями и после сделанного Омом спустя 6 лет (в 1826 г.) открытия сначала закона сопротивления проводников, а затем и зависимости между силой тока, эдс и сопротивлением проводника. В этот период целая плеяда физиков работает над количественным изучением явлений, связанных с электричеством в движении, с током, и вызываемыми им действиями.

В связи с темой «Магнитное поле тока» мы подробно останавливаемся на вопросах о возникновении и дальнейшем развитии «абсолютной системы мер». Мы говорим, что так же, как для установления электростатических единиц измерений основой послужил закон Кулона, так же и для измерений в области электромагнитных явлений послужил закон Био и Савара. Не останавливаясь на самом законе в его точном выражении, мы даем исторический обзор работ, которые вызвали необходимость измерений тока и установления единиц измерений.

Эрштед, наблюдавший явление взаимодействия между током и магнитом независимо от более ранних исследований* сообщил в 1820 г. о своем открытии почти всем европейским университетам.

После открытия Эрштеда стало ясно, что электричество обладает совершенно иными свойствами в движении, чем в состоянии покоя, а именно: движущееся электричества производит некоторое действие на токи и магниты вследствие появления каких-то особых сил, совершенно непохожих на те, которые действуют по закону Кулона между двумя электрическими зарядами.

Ампер, изучая «явление Эрштеда», произвел в 1820 г. целый ряд исследований, которыми положил начало новой отрасли науки об электричестве—электродинамике; в ней он изложил стройную теорию взаимодействия токов. Ввиду различного происхождения и характера сил, действующих между двумя электрическими зарядами, с одной стороны, и между токами — с другой стороны, Ампер предложил разделить учение об электричестве на «электростатику» и «электродинамику». С тех пор развитие учения об электричестве пошло по двум путям, причем такое разграничение повлекло в дальнейшем возникновение и развитие отличных друг от друга систем измерений.

Параллельно с электродинамическими работами Ампер исследовал электромагнитные явления. Он измерял силу действия электрического тока* на магнитную стрелку, причем первоначально производил свои измерения при помощи простого прибора, близкого по конструкции к школьному гальваноскопу со стрелкой, вращающейся на вертикальной оси внутри охватывающего ее контура с током. Своему измерительному прибору он дал название «гальванометр». Этими опытами Ампер установил, что вокруг проводника с током возникает некоторое поле, совершенно иное по своему происхождению и действию, чем поле, окружающее электрический заряд. Это поле он назвал магнитным полем тока.

В том же 1820 г. Швейгер изобрел прибор, при помощи которого отклоняющее действие тока на магнитную стрелку было значительно усилено, благодаря большому числу оборотов проволоки, окружающих магнитную стрелку; этот гальванометр был назван «мультипликатором» (от латинского multiplicare — умножать). В том же 1820 г. французские ученые Био и Савар, применив мультипликатор к исследованию действия тока на полюс магнита, открыли закон, получивший их имя. Этот закон говорит, что если пропустить ток по круговому проводнику, в центре которого помещен магнитный

* См. Ф. Розенбергер, История физики, ч. III, вып. 1, стр. 188—90.

* Ампер первый ввел в науку термин «электрический ток» и установил понятие о направлении тока, которое ныне мы называем «техническим» направлением тока, в отличие от истинного, «электронного».

полюс m, то сила, с которой ток действует на магнитный полюс, пропорциональна силе тока у, количеству магнетизма полюса m и обратно-пропорциональна радиусу кругового проводника с током г. Благодаря чувствительности мультипликатора к слабым токам, были сделаны и другие важные открытия: в 1821 г. Зеебек, пользуясь мультипликатором, открыл термоэлектрические явления, а в 1826 г. Ом, воспользовавшись термоэлектрическим элементом и мультипликатором, открыл законы тока, опубликованные им в 1827 г. Современники Ома, работавшие в области электричества, — Фарадей, Гаусс, Вебер и другие ученые — все свои измерения производили при помощи несколько усовершенствованного в 1825 г. Поггендорфом гальванометра-мультипликатора Швейгера. При этом каждый исследователь пользовался для измерений своими собственными, произвольно установленными единицами измерения. Уже тогда чувствовалась потребность в установлении единой системы измерений, которая облегчила бы взаимное понимание исследователями их работ и достигнутых результатов и, таким образом, содействовала бы более успешному развитию науки.

Около 1830 г. Гаусс приступил, как мы говорили выше, к созданию такой системы единиц измерений. Гаусс, находившийся под сильным влиянием идей Александра Гумбольдта о единстве сил природы, в мемуаре, напечатанном в 1833 г., писал: «Все силы доступны измерению только по производимым ими движениям, а потому для определения сил какого бы то ни было происхождения необходимы только три основных единицы: единица длины, единица массы и единица времени».

Руководствуясь идеей единства физических явлений, Гаусс создал так называемую «систему абсолютных единиц измерения». За единицу длины он принял миллиметр, за единицу массы — миллиграмм, за единицу времени — секунду. Эту систему единиц Гаусс назвал «абсолютной» в предположении, что если впоследствии понадобится когда бы то ни было произвести вновь измерения величин этих единиц, то эти величины окажутся всегда и при всех условиях одинаковыми, т. е., как он ошибочно понимал, «вечными и неизменными». Хотя Гаусс практически применил свою систему лишь в области измерений магнитных величин, исследованием которой он занимался, но он имел в виду распространение этой системы на все области физических измерений. Гаусс руководствовался тою мыслью, что если все физические измерения будут производиться при помощи трех избранных им единиц, то все физические величины могут быть сравниваемы между собой.

Идею Гаусса, как мы говорили выше, целиком воспринял долгое время работавший с ним вместе Вильгельм Вебер. Те же три основных единицы: миллиметр, миллиграмм, секунду — Вебер ввел для измерения электрических величин; он измерял силу тока, электродвижущую силу и сопротивление в единицах «абсолютной системы». Эти работы описаны Вебером в его мемуаре, опубликованном в 1857 г.

Вебер воспользовался для своих измерений тангенс-гальванометром, изобретенным в 1837 г. французским физиком Пулье, внеся от себя в конструкцию гальванометра некоторые усовершенствования (на рисунке или на экране перед учащимися демонстрируется схематическое изображение тангенс-гальванометра).

Так как отклонения магнитной стрелки тангенс-гальванометра происходят вследствие действия тока на магнитный полюс, то в основе измерений тока лежат электромагнитные взаимодействия; следовательно, единицы, в которых будут производиться соответственные измерения, составят новую, так называемую «электромагнитную систему».

Измерение силы тока в абсолютных электромагнитных единицах затруднений не представляло. Непосредственное же измерение электродвижущей силы было затруднительно: Веберу, Кирхгофу и другим ученым, производившим эти измерения в 50-х годах, приходилось измерять эдс для индукционных токов, получаемых в результате затраты механической энергии. Что касается сопротивления, то, зная величины силы тока и электродвижущей силы, его уже можно было вычислить по закону Ома. За абсолютную единицу сопротивления Вебер принял такое сопротивление, при котором по цепи протекает ток в единицу силы при единице электродвижущей силы. Ввиду трудности измерения электродвижущей силы представлялось гораздо более целесообразным установить величину единицы сопротивления, создав для нее постоянный по величине и своим качествам эталон сопротивления. В таком случае по легко определяемым силе тока и сопротивлению проводника можно было бы без труда определять и электродвижущую силу по закону Ома.

В 1846 г. Якоби предложил свою единицу сопротивления, разослав физикам европейских

стран в качестве эталона медную проволоку длиною в 7 619, 75 мм, с сечением в— мм2, весом в 22 449,3 мг. Этот эталон был в употреблении до 1860 г., когда было окончательно установлено, что его сопротивление не постоянно. В 1860 г. Сименс предложил новый эталон в виде ртутного столбика длиною в 1 ж, с поперечным сечением в 1 мм2 при 0°. Вебер вычислил абсолютную величину единицы сопротивления Якоби и в своем первом мемуаре в 1852 г. дал подробные указания относительно способа вычисления любых сопротивлений в абсолютных мерах, а в 1861 г. он определил и абсолютную величину единицы сопротивления Сименса.

Итак, Вебером была введена «электромагнитная система» единиц для измерений токов, в основу которой были положены три «абсолютных» единицы: миллиметр-миллиграмм-секунда. За единицу количества электричества в этой системе Вебер принял то количество, которое протекает по проводнику в 1 секунду при силе тока, равной одной электромагнитной единице силы, названной впоследствии «вебером». Из самого определения единицы количества электричества в электростатической системе и в электромагнитной системе единиц видно, что происхождение этих единиц совершенно различно: в основе происхождения электростатической единицы количества электричества лежит закон Кулона, в основе же происхождения электромагнитной единицы количества электричества — закон Био и Савара.

Эти единицы, как и другие: единица силы тока, разности потенциалов, сопротивления — имеют разное происхождение, совершенно различные определения и принадлежат поэтому к двум совершенно различным системам.

Появление в 1857 г. второго мемуара Вебера, о котором упоминалось выше, явилось, в сущности, заключительным этапом в его работах по введению абсолютных мер в учение об электричестве и по созданию электромагнитной системы единиц. После этого года Вебер не внес в нее больше ничего нового.

Громадная заслуга Вебера, как и Гаусса, в том, что они указали правильный путь выражения электрических величин в абсолютных мерах.

Однако электромагнитные единицы, построенные на основных единицах — миллиметр-миллиграмм-секунда, оказались впоследствии неудобными для практического употребления.

В связи с быстро развивавшейся в то время электротехникой возникла настоятельная потребность в создании новой системы единиц, удобных для практических измерений. Выполнение этой задачи взяла на себя Британская Ассоциация содействия развитию наук.

В 1861 г. Британская Ассоциация приняла к руководству принцип Вебера по введению в учение об электричестве абсолютных мер и учредила в 1862 г. специальную комиссию «по выбору и номенклатуре динамических и электрических единиц». Этой комиссии, составленной из виднейших физиков под председательством Вильяма Томсона, Британская Ассоциация поручила выработку практически удобных единиц электрических измерений.

В чем же заключалось неудобство единиц Вебера?

Численные значения единиц электродвижущей силы и сопротивления оказались неудобными для практического употребления, как слишком малые по своей величине: единица электродвижущей силы оказалась в 100 млн. раз меньше электродвижущей силы элемента Даниеля; единица сопротивления тоже очень мала, что видно из формулы Ома R = — , где величина Е очень мала по сравнению с величиной J; и только электромагнитная единица силы тока — «вебер», как ее назвала Британская Ассоциация, соответствовала сравнительно сильному току, способному выделить при электролизе 11,183 мг серебра в секунду, и была вполне приемлема для практических измерений. Практические расчеты обычных в электротехнической практике электродвижущих сил и сопротивлений в абсолютных единицах Вебера приводили бы к измерению их в громадных числах. Британская Ассоциация поставила задачу перед комиссией так изменить основные единицы Гаусса — Вебера, чтобы получилась система практически удобных электромагнитных единиц.

В основу своей работы по единой системе мер комиссия положила следующие начала:

«Существование количественных соотношений между различными формами энергии обязывает людей науки установить общую систему мер для всех физических величин. Разрообразие систем мер может быть терпимо при определении таких простых элементов, как длина, площадь, об'ем и масса, потому что в этом случае переход от одной системы к другой, обыкновенно, не представляет затруднений. Но возникают боль-

шие затруднения и возможность ошибок в том случае, когда определяемые величины зависят более, чем от одной из основных единиц и, в особенности, когда их измерения относительно этих единиц не очевидны, а требуют для своего определения внимательного исследования».

В первом своем докладе комиссия сообщила об единицах, которые она предлагает принять за основные единицы вырабатываемой ею новой практически удобной системы. сЧто касается главного вопроса о выборе за основание системы тех или других единиц— массы, длины и времени,— говорится в докладе комиссии,— то относительно него происходили продолжительные прения. Главным предметом прений являлись доводы в пользу принятия грамма, метра и секунды против грамма, сантиметра и секунды. Выгода первой комбинации состоит в простоте названия мер; вторая же имеет то преимущество, что при ней единица массы практически тождественна с массой единицы об'ема воды; другими словами, при ней плотность воды практически равна единице. В настоящее время мы все согласны с тем, что последний элемент простоты есть наиболее важный из двух; в подтверждение этого взгляда мы ссылаемся на авторитет В. Томсона, с давних пор весьма решительно настаивавшего на необходимости употребления единиц, удовлетворяющих этому условию. Вследствие этого мы рекомендуем всеобщее принятие сантиметра, грамма и секунды за три основные единицы; и до тех пор, пока не будут присвоены особые названия единицам электростатических и электромагнитных величин, произведенных от этих основных единиц, мы предлагаем отличать их от «абсолютных» единиц определяемых другим способом, постановкою перед ними букв CGS, которые суть начальные буквы названий этих трех основных единиц».

Комиссия в итоге 20 лет работы над вопросами, связанными с введением новой системы мер, предложила систему электромагнитных единиц, удовлетворявших поставленным перед нею требованиям и потому названную «практическою системой».

За основные единицы для «практической системы» комиссия предложила принять следующие:

Комиссия предложила дать следующие названия: единице количества электричества — кулон, единице силы тока — ампер, единице электродвижущей силы — вольт и единице сопротивления — ом. Основные единицы (109 см —10 г—1 сек.)были выбраны комиссией так, что ампер оказался равным ОД электромагнитной CGS единицы силы тока. Вспоминая, что под действием тока в 1 электромагнитную единицу силы выделялось из раствора соли серебра 11,183 мг чистого серебра в 1 сек., мы видим, что новая единица силы тока — ампер — оказывалась вполне подходящей единицей для практических измерений: под действием тока силой в 1 ампер в секунду выделяется 1,1183 мг серебра.

Количество электричества, которое, протекая через поперечное сечение проводника в 1 сек., создает ток в 1 ампер, было названо кулоном.

Ясно, что кулон равен 0,1 электромагнитной CGS единицы количества электричества.

Почему эти новые единицы оказались равными 0,1 соответственных электромагнитных единиц? Отправной точкой для установления электро магнитной единицы силы тока послужил закон Био и Савара, согласно которому / = 2ппГ, где F—сила действия кругового тока на магнитный полюс — в динах, г —радиус кругового проводника в сантиметрах, m — в единицах количества магнетизма и У — сила тока в электромагнитных единицах («веберах»). Подставляя наименования величин, входящих в правую часть формулы, найдем размерность силы тока в «электромагнитной CGS системе»

Размерность количества электричества Q, равного J • Г, будет, очевидно,

Согласно раз мерности, кулон = 1. (10е см)2 (10 г)2 = 0,1 электромагнитной CGS единицы количества электричества. Ясно, что и ампер, представляющий силу тока, при которой через поперечное сечение проводника протекает кулон в секунду, равен 0,1 электромагнитной CGS единицы силы тока*.

Вольт при таком выборе основных единиц оказался равным 108 электромагнитным CGS единицам электродвижущей силы.

* Напечатанное мелким шрифтом не имеется в виду сообщать учащимся.

Размерность вольта получаем, деля

При подстановке в формулу размерности основных величин получаем: вольт равен 108 электро-магнитным CGS единицам электродвижущей силы.

Эдс элемента Даниеля (изобретен в 1836 г.) с амальгамированным цинком в 8 процентном растворе серной кислоты и с медью в насыщенном растворе медного купороса равна 0,98 вольта. Это не простое совпадение, а нарочитый подбор, так как в период работ комиссии элемент Даниеля находил широкое практическое применение.

Ом, согласно формуле = —, равен 109 электромагнитным CGS единицам сопротивления.

Размерность ома, согласно формуле Е = -j-, равна £zT “~Ч . Тот же результат получим, подставив в формулу размерности основные величины.

Итак, ампер и кулон являются несколько уменьшенными, а вольт и ом значительно укрупненными электромагнитными CGS единицами, и вся новая система единиц, названная по своей приспособленности для практических измерений «практической системой», по существу является видоизмененной «электромагнитной системой».

О соотношениях между единицами «практической» и «электростатической» систем, которые в элементарных учебниках даются без всяких пояснений, сообщаем, примерно, следующие сведения.

Соотношения между единицами той и другой систем могут быть установлены опытным путем посредством измерений одной и той же величины, например силы тока в единицах электромагнитой и электростатической систем; из сравнения полученных величин и выведено соотношение между ними. Этими измерениями занимался целый ряд выдающихся ученых разных стран. Впервые эти измерения произвели В. Вебер и Кольрауш в 1856 г.

Простейший способ этих измерений заключается в следующем. Силу тока (jm), получаемого от батареи гальванических элементов, измеряют в электромагнитных единицах по его действию на магнитную стрелку тангенс-гальванометра. Затем вводят в цепь той же батареи конденсатор, который заставляют периодически заряжаться от батареи и разряжаться через гальванометр. Зная емкость конденсатора (С) в электростатических единицах и разность потенциалов между его обкладками (I/), выраженную тоже в электростатических единицах (измерение производится при помощи электрометра), вычисляют количество электричества (Q), собирающегося на обкладках Q — C.V. Средняя сила тока, создаваемого периодическими разрядами конденсатора и протекающего через гальванометр, равняется количеству электричества (Q), протекающего при одном разряде , помноженному на число разрядов (v) в секунду: je=Qv = CVv. Таким образом, je получают в электростатических единицах.

По измерениям ряда ученых (Вебера, Кольрауша, Роуленда, Томсона, Максвелла, Столетова и др.) jm оказалось приблизительно в 3 • 1010 раз больше je (современная, более точная величина этого отношения равна 2,9982 • 1010). Таким образом, отношение J m : Л численно равно скорости света в пустоте ^приблизительно

Если сравнить размерности jm и jm то оказывается, что отношение их не только числение равно скорости света, но и по своему физическому смыслу выражает ее. В самом деле:

или отношение“^ имеет размерность скорости.

Максвелл, как известно, теоретически установил это положение и доказал теснейшую связь между электромагнитными и оптическими явлениями, блестяще подтвержденную опытами Герца в 1888 г., который показал, что распространение электромагнитного поля и света в некоторой данной среде — процессы тождественные.

Зная соотношение между электромагнитной

* Обратную пропорцию мы написали потому, что одна и та же величина — сила тока — измерена единицами разного значения; в таком случае числовые величины силы тока будут обратнопропорциональны единицам, в которых производились измерения. Например: при измерении массы некоторого тела за единицу измерении приняли в одном случае 1 кг, а в другом случае— 1 г. При первом измерении масса тела оказалась равной одной единице массы, при втором — 1000 единиц массы; числовые величины массы, как видим, обратно пропорциональны величинам единиц, в которых производились измерения.

и электростатической единицами силы тока, мы легко найдем величину ампера в электростатических единицах. Так как электромагнитная единица силы тока равна 3-1010 электростатическим единицам силы тока, а ампер равен 0,1 электромагнитной единицы силы тока, то

1 ампер = 3-109CGS—EJ

Так же найдем соотношение между кулоном и электростатической единицей количества. Зная, что кулон равен 0,1 электромагнитной единицы количества электричества, получим :

1 кулон =^3-109CGS—£Q.

Для установления соотношения между «вольтом» и электростатической единицей потенциала за отправную точку примем понятие «работы», введенное в механику еще в 1826 г. Понсле и Кориолисом, т. е. задолго до установления систем электрических единиц измерения, а, следовательно, вне всякой зависимости от них. Вследствие этого размерность работы jyWZ.2T 2 J будет та же и для работы электрических сил поля.

В самом деле, так как работа выражается произведением количества электричества на разность потенциалов, то размерность работы в электростатической системе единиц равна:

Такова же, очевидно, и размерность работы в электромагнитной системе единиц.

Работа электрических сил выражается произведением количества электричества на разность потенциалов в точках, между которыми это количество электричества перемещается. Электромагнитная единица количества электричества, как мы установили, в 3.1010 раз больше электростатической единицы количества электричества, а потому электромагнитная единица потенциала должна быть в 3 . 1010 раз меньше электростатической единицы потенциала, иначе произведение, выражающее единицу работы, было бы неодинаково в этих двух системах, что противоречило бы установленному выше положению об одинаковой величине единицы работы в обеих системах.

Чтобы выразить величину вольта, равного 108 электромагнитным единицам, в электростатических единицах, надо увеличить в 108 раз:

За единицу емкости в практической системе принята «фарада». Так как емкость выражается, как

Остается сказать о практических единицах работы и мощности тока—«джоуле» и «ватте». Эти единицы были введены после установленных прочих практических единиц, как это видно из книги проф. Эверетт, докладчика комиссии Британской ассоциации, изданной в 1875 г. illustration of the С. G. S. System of Units»). На странице 42 Эверетт говорит: «В последнее время для удобства при некоторых электротехнических вычислениях (подчеркнуто мной—А. Т.) введена новая единица для измерения количества работы в данное время. Она называется «уаттом» и обозначает работу 107 эргов в секунду. Тысяча уаттов составляют «килоуатт». На страницах 208—209 говорится: «Практическая единица работы, употребляемая в связи с практическими единицами (ампер, вольт, ом—А. Т.) есть джоуль, который теоретически равен 107 эргам. Соответствующая практическая единица быстроты совершения работы есть уатт, который теоретически определяется, как 107 эргов в секунду».

Величина 107 эргов была принята для практической единицы работы не случайно. Так как работа выражается произведением разности потенциалов на количество электричества, то практическая единица работы равна произведению практической единицы разности потенциалов (вольт) на практическую единицу количества электричества (кулон):

Что полученное произведение 107 выражено действительно в эргах, легко проверить: размерность работы [M L2, Г—2], а следовательно, 1(lü-“2)QOW=107j^) „л„ эргов, так как есть выражение эрга через основные единицы.

Некоторые авторы учебников, как элементарных, так и для высшей школы, выводят величину вольта, как частное--— = принимая за

исходную точку при установлении практических единиц джоуль. Такой вывод представляется ошибочным, если следовать историческому ходу работ комиссии по установлению «практической системы».

С этой точки зрения, неверно также следующее утверждение В. А. Зибера в «Методике преподавания физики» (стр. 250): «Существуют, однако, в механике (отнюдь не в электричестве) (подчеркнуто мной-А. Т.) и другие единицы для мощности и работы. Единица мощности называется ватт, который равен приблизительно 0,1 кгм/сек. Единица работы — джоуль, примерно равная 0,1 кгм». Между тем докладчик комиссии Британской ассоциации вполне определенно заявляет, что джоуль и ватт введены для удобства при электротехнических вычислениях, причем эти единицы введены после установления основных единиц «практической системы» (вольта и др.)

Наиболее трудную для комиссии задачу представило практическое осуществление сома», величина которого была установлена ею в 109 электромагнитных CGS единиц сопротивления. Пока комиссия занималась в течение 20 лет выработкой «практической системы», за единицу сопротивления во всех странах принимался «эталон Сименса», предложенный им в 1860 г. (ртутный столб длиною в \ м с поперечным сечением в 1 ММг При 0°). Изготовленный комиссией эталон ома оказался равным 1,0493 единицы Сименса. Произведенная Роулендом и другими учеными проверка «ома», изготовленного комиссией, показала, что ею допущена ошибка, равная 1% величины действительного ома, равного Ю9 электромагнитным CGS единицам сопротивления.

Работы комиссии по установлению практических единиц электрических измерений были представлены на рассмотрение международного конгресса электриков, собравшегося в Париже в 1881 г. Конгресс принял резолюцию, в которой говорится о принятии ко всеобщему употреблению предложенных комиссией Британской ассоциации определений практических единиц, за исключением «ома», для изготовления точно рассчитанного эталона которого конгресс определяет назначить международную комиссию. Целым рядом виднейших ученых разных стран (Вебером, Кольраушем, Лоренцом, Роулендом и др.) были представлены на рассмотрение второго конгресса в Париже в 1884 г. результаты новых измерений, по согласовании которых конгрессом была установлена величина ома, равного сопротивлению ртутного столба в 106 см длиною с поперечным сечением в 1 ммг, под названием «легального ома». Этот «ом» просуществовал до следующего конгресса в Чикаго в 1893 г., который внес новую поправку и определил величину ома в виде сопротивления ртутного столба в 106,3 см при 0° и весом в 14,4521 г ртути, под названием «международного ом а». Эталон этой величины конгресс предложил ко всеобщему употреблению. Величина «международного ома» была затем закреплена на международном съезде в Лондоне в 1908 г. и остается в силе до сих пор. Кроме того, на этом же с'езде было постановлено считать за основные международные единицы «ом» и «ампер», «вольт» же считать единицей производной.

«Амперу» и «вольту» были даны следующие определения: «Международный ампер равен силе тока, выделяющего 1,11800 мг серебра в1 секунду»; «Международный вольт есть электродвижущая сила, дающая в одном международном оме один международный ампер».

Таков исторический путь развития систем единиц измерений электрических величин, создававшихся на протяжении почти всего прошлого столетия. Науке был предъявлен заказ эпохи: подчинить новооткрытую, наиболее совершенную форму энергии — электричество — потребностям человека. Вокруг выполнения этой задачи об'единились физики свех культурных стран мира. И только огромному коллективу ученых оказалось под силу разрешить задачу удовлетворения нужд электротехники на данной стадии ее развития.

Предлагая настоящую статью вниманию преподавателей физики, мы не имеем в виду обязательное сообщение всех изложенных в ней сведений на уроках физики. Преподаватель может использовать эти сведения и частично, в зависимости от времени, которым он располагает в X классе, от запросов учащихся и собственного отношения к затронутому вопросу, как не входящему в программу средней школы.

Цель настоящей работы будет достигнута и в том случае, если сведения, сообщаемые здесь, помогут преподавателю осветить этот вопрос при проработке его в кружке по физике или будут использованы хотя бы для более точных и обстоятельных ответов на вопросы отдельных учащихся, что всегда вызывает затруднения преподавателей, вследствие отсутствия в учебной и общей литературе по физике освещения трактуемого нами вопроса в историческом аспекте.

О ВНЕШНЕМ ТРЕНИИ

Б. ФЛОРИНСКИЙ (г. Калинин)

§ 1. Вопросам внешнего трения, несмотря на их исключительно широкое бытовое и индустриальное значение, посвящено сравнительно незначительное число исследований до сих пор не вскрывших его с исчерпывающей полнотой. Повидимому, это обусловлено тем, что техника уже разрешила свои задачи весьма успешно практическим путем без помоши физической теории, а для самой физики проблема внешнего трения недостаточно привлекательна в силу своей неопределенности. В самом деле, молекулярное взаимодействие двух соседних скользящих поверхностных слоев, составляющее физическое содержание понятия «внешнее трение», должно зависеть от большого числа факторов, определяющих как состояние, так и пространственное размещение обеих поверхностей. К их числу относятся : свойства основных кристаллических решеток трущихся тел, структура агрегата кристаллов, загрязнение адсорбированными веществами, детали геометрической формы поверхностей, внешнее механические усилия, приложенные к телам и, наконец время. Причем некоторые из перечисленных факторов в практических условиях всегда остаются весьма неопределенными.

Феноменологическое описание трения в форме общеизвестного закона Кулона:

удачно выделило из общей совокупности факторов один, доступный простому измерению — нормальное внешнее давление N, заключив все многообразие остальных, трудно учитываемых факторов, в величине коэфициента трения JL Так как в условиях промышленной практики факторы составляющие коэфициент трения, сохраняют обычно достаточное постоянство во времени при переменном N, то закон Кулона был принят, как основной приближенный закон удовлетворяющий техническим запросам, причем расчеты силы трения выполнялись на основании данных эмпирического определения коэфициента для каждой отдельной пары веществ с учетом характера обработки трущихся поверхностей и скорости их относительного движения. Таким путем получен ряд дополнительных законов трения, приближенно справедливых при некоторых определенных частных условиях.

Повидимому, невозможно, опираясь на подобные материалы, получить в общем виде более гл)бокие закономерности, описывающие явление трения при всех условиях его протекания. Поэтому едва ли целесообразны встречающиеся в методической литературе тенденции вести обсуждение совокупности эмпирических законов трения, сняв ограничивающие область их действия условия, с целью дать им единую и ясную, в учебном смысле, формулировку; при этом между частными закономерностями тотчас обнаруживаются противоречия, и методисту не остается иного пути, как объявить некоторые из них неправильными, что по существу является неверным решением, так как частные закономерности все же приближенно справедливы, но не вообще, а каждая в своих рамках.

Нормальный путь далньейшего развития проблемы трения лежит через гипотезы о молекулярном механизме частных явлений, из которых слагается явление внешнего трения. В настоящее время такие гипотезы предложены, и детали комплекса явлений трения в общем достаточно выяснены (Гарди, Дерягин и др.), и если мы еще не имеем полной, математически обработанной теории, то тем не менее современная картина процесса представляет значительный методический интерес.

Основные частные явления, из которых слагается внешнее трение могут быть разделены на две группы: к первой из них относятся молекулярные взаимодействия между совершенно гладкими поверхностями, ко второй— явления, обусловленные неровностями поверхности.

В дальнейшем, при описании их, мы ограничимся случаем сухого трения твердых тел с незагрязненными поверхностями равной кривизны, как более определенным, простым и методически ценным,

§ 2. Гладкие поверхности

Как известно, взаимное положение частиц кристалической решетки твердого тела определяется равновесием сил междучастичного притяжения и сил отталкивания. При этом нужно заметить, что законы убывания этих сил с расстоянием различны: силы отталкивания убывают весьма быстро (убывание

пропорционально по меньшей мере г4 (и поэтому обнаружимы лишь в непосредственной близости от частицы, тогда как поле сил притяжения, убывающих пропорционально г2, простирается значительно далее.

Поверхностные частицы двух трущихся тел, если они сближены достаточно тесно, вступая во взаимодействие притяжения, обусловливают силу сцепления поверхностей Р; и так как сила Р совпадает по направлению с нормальной внешней нагрузкой N, то очевидно полное давление трущихся тел будет выражаться так:

Силой, уравновешивающей полное давление, является сумма сил молекулярного отталкивания.

При взаимном скольжении тел частицы поверхностей находятся все время в достаточно однородном поле сил притяжения (так как силы притяжения медленно изменяются с расстоянием, а частицы твердого тела расположены близко друг к другу), поэтому здесь нельзя ожидать значительного возмущающего влияния главного движения на частицы тел.

Иное действие поля сил отталкивания; оно вследствие своей значительной неоднородности оказывает сильное возмущающее влияние на частицы, переводя энергию главного перемещения в тепловое движение частиц. Механизм такой трансформации энергии можно представить, наглядно пользуясь следующей схемой:

Пусть относительно частицы А, упруго закрепленной на неподвижном фундаменте, перемещается частица В, так же упруго закрепленная в верхнем держателе, который скользит по направлению вектора v (главное движение); пусть частицы могут взаимодействовать, отталкиваясь, если расстояние между ними делается весьма малым. Тогда, при достижении достаточного сближения, частицы смещаются со своих начальных равновесных положений в противоположные стороны. После того как положение устойчивого равновесия будет пройдено, частицы скачком переходят к состоянию колебательного движения (теплота трения); энергия колебаний заимствована от главного поступательного движения.

С точки зрения молекулярного механизма, закон трения должен выражаться уравнением:

Таким обрразом, в отсутствие нормального внешнего давления (при N=0) сила трения не обращается в нуль как этого требует формула Кулона, но принимает определенное минимальное значение тем большее, чем больше сила молекулярного сцепления. Этот факт подтвержден измерениями Закса, Дерягина и др. его также легко наблюдать качественно при скольжении хорошо полированных тел.

§ 3. Влияние неровностей

Если поверхности скольжения имеют более или менее крупные неровности, то возникают новые источники потерь энергии главного движения, а именно:

а) Переменное распределение нормального давления между различными участками поверхностей вызывает упругие деформации материала в форме сжатия, гнутия и т. п. Потенциальная энергия деформированных об'емов частично возвращается главному движению при исчезновении деформаций, частично же рассеивается в виде упругих волн (в частности звуковых) и тепла.

б) В участках, где давления превосходят предел упругости, появляются пластические деформации; при этом за счет главного движения возникает изменение потенциальной энергии соответствующих об'емов тел и некоторый тепловой эффект. С количественной стороны пластические деформации зависят от величины удельного давления и не остаются постоянными во времени, уменьшаясь по мере «приработки» поверхностей.

в) В тех местах, где местные механические усилия превосходят предел прочности

Рис. 1.

материала, возникает резание (истирание) менее твердого материала более твердым. При этом энергия главного движения расходуется на приращение поверхностного слоя измельчаемого материала. Величина потерь пропорциональна количеству диспергированного материала, степени дисперсности и удельной поверхностной энергии. Количественно величина истирания значительна в том случае, если неровную поверхность имеет более твердый материал и особенно, если эти неровности имеют форму резцов (например при обработке материала слесарной пилой).

Если допустить, что при трении грубых поверхностей потери энергии в среднем пропорциональны полному нормальному давлению, то выражение дополнительной силы трения Ft, обусловленной влиянием неровностей, сохраняет прежнюю форму:

F2 = [*2(/V + P),

но коэфициент ji2 имеет здесь новое физическое содержание.

Выражение полной силы трения очевидно может быть написано в виде:

F = F1 + F2 = (lL1 + y.2)[N + P].

Однако необходимо иметь в виду, что наличие неровностей приводит к уменьшению истинной поверхности соприкосновения, особенно в случае твердых материалов и незначительного удельного давления. Вследствие этого молекулярное взаимодействие притяжения Р тоже уменьшается в соответствующее число раз, а, следовательно уменьшается влияние на силу трения дополнительного члена к формуле Кулона; во многих случаях им можно пренебречь совершенно. Такой антагонизм причин позволяет ожидать, что при некоторой умеренной степени шероховатости будет наблюдаться минимум силы трения, когда влияние молекулярных взаимодействий значительно ослабленно, но потери второй группы еще не получили достаточного развития.

§ 4. Модели

Моделирование процесса трения грубых неровностей достаточно обсуждено в методической литературе.

Я хочу остановиться здесь на иллюстрации молекулярной стороны трения. Основной момент, подлежащий показу, заключается в переходе поступательного скользящего движения ряда дискретных тяготеющих центров в их независимое упругое колебание (тепловое движение). Для осуществления модели может быть предложена следующая схема конструкции:

На деревянной планке (70 г,му(Ъ см)^2 см) в узких поперечных пазах укрепляются вибраторы — полоски стали (куски пружины завода карманных часов длиною ~ 10 см), несущие на свободных концах железные стержни (длина 2,5 см, диаметр 0,4 см). Под системой вибраторов, предварительно покоящихся, вдоль ее медленно (оптимальную скорость подобрать опытным путем) и плавно передвигают по плоской направляющей малый электромагнит (от электрического звонка)—«тогда, под влиянием перемещающегося поля сил притяжения, вибраторы один за другим переходят в колебательное движение,.

Если наложить дополнительно на стержни вибраторов обмотки (по 200 витков изолированной эмалью проволоки диаметром 0,2 мм), приключенные к источнику тока параллельно электромагниту, то можно получить, при соблюдении соответствующей полярности, возникновение колебаний вибраторов через возмущающее влияние сил отталкивания одноименных полюсов электромагнита и стержней.

Присоединение обмотки поляризованных якорей к источнику тока может быть выполнено при помощи свободно висящих отводов из обмоточной проволоки. В качестве источника тока удобно взять аккумулятор.

Рис. 2.

РАЗМЕРНОСТЬ ВЕЛИЧИН ПРИ ВЫВОДЕ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ

Проф. И. А. ЛОБКО (Москва)

«Все члены равенства, т. е. все величины, которые связаны знаком сложения, вычитания и равенства, должны быть одного размера. Действительно, только однородные величины могут быть сравниваемы между собою, а таковые, понятно, должны быть одинакового размера. В этом заключается удобное орудие проверки формул» (Хвольсон,—«Курс физики», т. I, изд. 6-е, 1933 г. стр. 250). О значении размерностей и их применении в физических и технических науках имеются указания почти во всех курсах физики, см., например, курс физики К. А. Путилова и др.

В прошлом году ГТТИ выпустило труд И. В. Бриджмена под ред. С. И. Вавилова—«Анализ размерностей». Особенно ярко выявляет сущность и значение размерностей проф. Гильом, директор международной палаты мер и весов.

«Вводя в формулу числовые значения сил, мы не можем найти в ней числовые значения давлений; более того, заменять одно другим, как равным, или считать равными можно только количества одинакового вида и, прежде чем заниматься числовыми значениями, выражающими количества, нужно знать, какие они имеют качественные значения. Другими словами, при приравнивании выраженных формулами величин, прежде численной, т. е. количественной проверки, должна быть произведена качественная проверка. Может показаться, что на таких простых вопросах не нужно останавливаться; но именно эти вопросы часто плохо понимаются даже не новичками в области науки. Каждая из различных величин не представляет собою нечто совершенно независимое. Между величинами существует родственная связь, вытекающая из их определений. При перемещении силой точки ее приложения, по направлению ее действия, производится работа; распределяя работу во времени, мы получаем механическую мощность; рассеивая силу по поверхности, мы получаем давление; мы можем сказать, что работа является произведением силы на перемещение, сообщаемое силой своей точке приложения; мощность является частным от разделения количества работы на время; давление является частным от разделения силы на поверхность, по которой равномерно рассеяно ее действие.

Существует очень распространенное мнение, по которому такие соотношения представляются, как числовые; если бы мы при таком представлении сказали, что давление есть частное от разделения силы на площадь, то это значило бы просто следующее: числовое значение давления равно частному от разделения числового значения силы на числовое значение поверхности. Но это чересчур узкий взгляд на рассматриваемые соотношения между величинами; давление и в действительном мире явлений является рассеянием по поверхности, т. е. частным от деления величины, которую называют силою, на величину, которую называют поверхностью; и мы сейчас увидим, что составленные на основании этой идеи уравнения дают нашему уму возможность открыть даже качественное сходство между величинами».

Однако эти четкие указания относительно размерностей в ряде случаев не соблюдаются весьма квалифицированными и прекрасно знающими курс физики авторами. Можно предполагать, что ошибки в этом случае допускаются и преподавателями при изложении физики и технических дисциплин. Приведем ряд примеров из прекрасных курсов физики.

В общем курсе физики проф. В. К. Фредерикса и проф. Л. И. Афанасьева (стр. 129 и след.) для вывода основного уравнения кинетической теории газов берется п молекул газа, находящегося в 1 см3.

После соответствующих рассуждений и математических преобразований получают:

т. е. давление газа численно равно двум третям средней кинетической энергии поступательного движения молекул в единице об'ема».

В курсе акад. А. Ф. Иоффе и акад. Н. Н. Семенова читаем:

«Во время удара на стенку действовали какие-то силы /, которых мы не знаем, но на основании доказанного нами ранее (см. т. I) мы можем утверждать, что импульс этой силы за все время удара равен изменению количества движения:

fi = mU — ( — mil) = 2mU (2).

Отскочившая от правой грани молекула ударится о другую грань, например верхнюю;

при этом однако составляющая U останется неизменной, и только V изменится. Составляющая скорости ее движения в направлении справа налево ( — U) может измениться только при ударе о левую грань куба, после чего молекула с новой составляющей ( -{- U) долетит до правой грани, которая испытает новый удар, импульс которого снова может быть выражен формулой (2). Перемещение слева направо и обратно зависит, очевидно только от данной составляющей U.

За промежуток времени между двумя ударами о правую грань молекула должна пролетать в направлении справа налево 1 см со скоростью —с7, затем 1 см обратно со скоростью +с7, на что потребуется, очевидно — сек. (молекула находится в сосуде кубической формы со стороной в 1 см). За каждую секунду правая грань будет испытывать поэтому — толчков; импульс каждого из них равен 2 mU; следовательно, импульс, полученный правой гранью за 1 секунду равен:

Но мы воспринимаем эти толчки как постоянную непрерывно действующую силу F, которые вызвала бы тот же импульс Fy^l=i mU2 (курсив мой — И. Л.)

Совершенно аналогично, рассматривая удары о верхнюю грань, мы увидим, что каждый удар сообщает импульс, равный 2mVf а число ударов за 1 секунду равно — и, следовательно, средняя сила F2, действующая на верхнюю грань F2 — mV2, и, наконец, средняя сила Fz, действующая на заднюю грань куба, Fs = mW2.

До сих пор мы рассматривали удары одной только молекулы; допустим теперь, что в том же кубическом сантиметре заключено большее число п молекул, обладающих массами mv m2f т3, ... тп и скоростями си с2, с3, .. . сп и что каждая из них движется независимо от всех остальных, сталкиваясь только со стенками кубика. Тогда нетрудно вычислить силу, действующую на каждую грань куба; так как площадь грани равна 1 см2, то эта сила и будет представлять собою давление газа

(6)

Уравнение (6) представляет собою основное уравнение кинетической теории газов: давление газа равно двум третям суммы кинетических энергий всех молекул, заключающихся в 1 см3 газа». (Акад. А. Ф. Иоффе и акад. Н. Н. Семенов «Курс физики», т. IV, 1933, стр. 25—26).

В курсе физики проф. Н. В. Кашина читаем:

«Общий импульс за одну секунду выразится так:

По II принципу Ньютона имеем: Д« 1=* = тх2\ ft =; тх2 ....

Мы рассматривали действие одной молекулы; если в кубе (V = 1 см3) заключено п0 молекул с массами mv т2, т3, ... тп , а скорости их соответственно равны Uv U21 U9,. . .. Un , то прилагая к каждой из них предыдущее рассуждение и суммируя силы, действующие на стенки AB, ВС, CA при ударах всех молекул, мы высчитаем силу, приходящуюся на 1 см2 каждой стенки, т. е. давления р19 р2»Рз» которые газ на них оказывает.

Pi — Щ *18+А *22+ ...+тпхп*.

(Проф. Н. В. Кашин «Курс физики», т. I, стр. 243).

В «Курсе физики» К. А. Путилова (1934 г., стр. 193) читаем:

«Теперь легко уже найти давление газа. Это будет не что иное, как суммарный импульс, получаемый в секунду единицей поверхности оболочки, а именно:

Но 2- есть поступательная кинетическая энергия Э молекул газа, а — tzR* есть об'ем V газа, поэтому последняя формула перепишется

что значит: давление

Рис. 1

газа численно равняется двум третям поступательной энергии движения молекул, заключающихся в единице об'ема газа. Найденное уравнение и есть основное уравнение кинетической теории газов. Его можно переписать еще и так:

Смысл формулы таков: произведение давления на об'ем газа численно равняется двум третям энергии поступательного движения молекул газа.

Из приведенных выдержек следует, что в курсе акад. Иоффе и проф. Н. В. Кашина f — то2, где левые части выражают силу, а правые части — энергию. Дальше названные авторы, а также проф. Фредерикс и проф. Афанасьев дают формулы :р =а---.

В этом случае в системе С GS левая часть выражена в динах, деленных на квадратные сантиметры (давление), а правая часть выражена в динах, умноженных на сантиметры (энергия). Здесь имеем примеры нарушения применения размерностей. Произошло это потому, что авторы при установлении зависимостей между физическими величинами подходят к ним неодинаково: одни величины берут в общем виде, например скорость и, а для других величин, например расстояние между гранями, берут равными 1 см.

По этим данным авторы вычисляют время между двумя ударами молекул о правую грань: — ; рядом с этим выражением совершенно и правильно написано название «секунд», а из формулы вытекает неверное заключение, что название этой величины есть сантиметр.

Далее вычисляют числа ударов о грань молекулы за 1 секунду по формуле i=^.

Как вытекает из формулы, эта величина имеет название-- » что совершенно неправильно. Вследствие указанных допущений получилось, что изменение количества движения выражается неправильно через ^^(размерность энергии), а не mv (размерность количества движения), как следовало бы. Далее авторы импульс силы выражают через F разумея под единицей 1 секунду, а так как при умножении на единицу число не изменяется, то пишут просто F; получилось, что сила и импульс имеют одинаковые размерности. Авторы обращали внимание только на количественные зависимости, но каждая из них имеет и свое качество; мне думается, что для избежания приведенных противоречий правильнее было бы в этом случае, как и в ряде других подобных случаев, устанавливать зависимости между величинами, участвующими в явлении, в общем виде.

Пренебрежение качеством величин, как видим, приводит к недопустимым ошибкам, о которых проф. Гильом предупреждал в своей работе 1910 г.

Ряд авторов при словесной формулировке уравнения р=;— -пишут: Давление газа численно (подчеркнуто мной,— И. А. Л.) равняется двум третям поступательной энергии движения молекул, заключающихся в единице об'ема газа».

Проф. Хвольсон («Курс физики», т. I, 1923, стр. 381) слово «численно» выпускает и, думается, поступает правильно.

Если имеется уравнение, то обе его части обязательно должны иметь одинаковое количество и одинаковое качество, а, следовательно, слово «численно» ничего не дает.

При выводе уравнений в общем виде, как правильно указывает проф. Гильом, необходимо прежде всего обращать внимание на качество величии, которые входят в уравнения; равенство же с количественной стороны будет обнаружено при замене буквенных выражений их частными значениями.

Вывод основного уравнения кинетической теории газов можно бы дать так: возьмем куб с ребром lv Допустим, что в этом кубе находится п молекул газа; массу каждой молекулы обозначим через т\ среднюю квадратичную скорость ее обозначим через

Вычислим изменение количества движения одной молекулы при одном ударе о грань ху; скорость ее при этом изменяется от Уя до 0 и от 0 до (— Уя); следовательно, количество движения изменяется на

тУя — (—тУя) = 2тУЙ.

За время t молекула пройдет путь l = Vt и совершит о грань ху ударов;

изменение количества движения за это время будет

Изменение количества движения для всех п молекул при ударах о грань ху за время t выразится так:

Если обозначить среднюю силу, с которой молекулы действуют на грань ху, через Fe9, то импульс силы за время t будет

или

Давление, которое испытывает стенка ху, будет

или

есть об'ем нашего куба.

Так как движение молекул хаотично, то давления pxy=Pxy = pza = p; а следовательно,

или

При таком выводе обе части всех равенств имеют одинаковые размерности.

МЕТОДИКА

АНАЛИЗ ПРИЧИН НЕУСПЕВАЕМОСТИ ПО МАТЕМАТИКЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Е. ИГНАТЬЕВ (ст. Урусово)

Борьба за качество знаний в нашей школе— важнейшая задача, поставленная перед школой партией и правительством.

После постановления ЦК партии о школе мы в качестве знаний наших учеников имеем колоссальные достижения, но эти достижения нас удовлетворить не могут. Учащиеся наших массовых школ еще все же в качестве имеют и немалые прорывы. В настоящем небольшом сообщении я и хочу остановиться на некоторых причинах, приводящих учащихся к прорывам в области качества усвоения математического материала. Изучение причин неуспеваемости в области математики поможет нашей школе ликвидировать «коренной недостаток».

В этой статье я использую такие материалы: 1) высказывания самих учащихся о причинах своей неуспеваемости, 2) педологическое изучение отстающих учеников, 3) анализ ошибок в элементарных математических задачах и примерах и 4) объяснение ошибок при решении элементарных задач.

Материалом для настоящей работы являлось изучение учащихся от V до IX (включительно) классов двух сельских школ 3-й опытной станции Наркомпроса — Урусовской и Гагаринской. Школы расположены в Троекуровском районе Воронежской области.

I. Как об'ясняют свою неуспеваемость в области математики сами учащиеся

Об'яснения причин неуспеваемости учащиеся по моему предложению давали в письменной форме при индивидуальном обследовании. После этого об'яснения, записанные самими учащимися, дополнялись мною со слов этих же учащихся в порядке индивидуального обсуждения причин неуспеваемости с каждым неуспевающим.

Вот самые характерные и типичные объяснения учащихся V класса.

«Математика неуд — я не успеваю потому, что она мне никак не дается, я не умею решать задачи письменные. Вопросы какие не знаю писать и какое решение надо делать. ученица 3.»

«Неуд по арифметике — задачи очень трудные, никак не понимаю. Ученица У.»

Неумение решать задачи — это основная причина трудностей в усвоении арифметики в V классе.

Эта трудность обусловлена тем, что в начальной школе еще далеко не достаточное внимание уделяют решению задач. Задач решают очень мало, и, кроме того, нужно сказать, что и с самой методикой решения задач у нас еще дело обстоит далеко не удовлетворительно.

На это слабое место нашей школы указывается и в соответствующей литературе.

Таким образом, мы видим, что наши неуспевающие указывают на то, что не умеют решать задачи, и именно письменные задачи. А ведь известно, что с письменным решением задач-то у нас и плохо. Учащиеся не умеют записать вопрос и т. п.

Дальше наши неуспевающие заявляют, что задачи трудны и они их никак не могут понять. Почему пятиклассник не может понять задачу? Почему задачи для пятиклассника трудны ?

Потому что он недостаточно закрепил программный материал предыдущих лет, а, главное, потому что на развитие математического мышления не было обращено достаточного внимания.

Перейдем теперь к другим типичным объяснениям, которые дают ученики того же V класса.

«По арифметике я не умею разъяснять.

Ученик С.

Неуменье давать объяснения,— вот второй огромнейший недостаток нашего ученика,

вот вторая серьезнейшая трудность в усвоении математики. И эту вторую основную трудность прекрасно в своих объяснениях вскрывают наши отстающие ученики.

Почему ученику трудно объяснять? Для того, чтобы объяснять, нужно хорошо осознать — усвоить и понять материал, а в большинстве случаев, в силу причин, которые рассмотрим ниже, отстающие учащиеся усваивают поверхностно и больше механически. Механическое же усвоение не дает ясности понимания, а отсутствие ясности понимания не дает возможности давать удовлетворительные объяснения. Стара истина, что объяснять можно только то, что хорошо знаешь.

Еще одно интересное объяснение находим у неуспевающего пятиклассника.

«Разъясняет учитель хорошо, так же и я понимаю ничего, как только выхожу к доске, все забываю и сильно волнуюсь, а так же с места отвечаю.

Ученица В.»

Здесь мы имеем довольно типичный случай пассивного восприятия математического материала учащимся. Здесь учащийся с некоторым напряжением следит за об'яснением преподавателя, но воспринимаемый материал им не переваривается, не прорабатывается, не устанавливаются связи с прошлым: новый материал как бы скользит по поверхности сознания, не оставляя значительных следов. Мне приходилось наблюдать такие случаи, когда учащийся во время об'яснения все понимал, по его же словам, но после объяснения учителем определенного раздела заявлял, что повторить не может: «Все позабыл».

Некоторые из таких учащихся действительно волнуются при ответах, но в большинстве случаев отсутствие ответа обусловливается не волнением, а незнанием материала. Обычно это не очень плохие ученики, ученики, которые желают учиться, но совершенно не умеют работать, не умеют продумывать и усваивать об'яснения, которые им предлагают на уроках. Единственное средство заставить усваивать лучше материал урока — систематически и как можно чаще задавать во время объяснения контрольные вопросы, которые выяснят, что усвоено учащимся, и научат самого учащегося более углубленно воспринимать и анализировать предлагаемый учителем материал.

И, наконец, мы встречаемся еще с одним характерным об'яснением математической неуспеваемости все в том же V классе:

«По арифметике плохо дается, плохая память.

Ученица К».

Очень интересно, что специальное психологическое исследование памяти на числовые комбинации, как правило, у таких учащихся дает результаты выше нормальных. Чем же объяснить тогда жалобу на плохую память? Обычно ссылки на плохую память мы находим у тех учащихся, которые пытаются весь процесс усвоения нового свести к механическому запоминанию. Такие ученики в буквальном смысле этого слова «заучивают наизусть, свои уроки, иными словами — занимаются «зубрежкой».

Ясно, когда учащийся пытается заучить каждый урок, да, быть может, и не по одному предмету, он неминуемо станет перед почти непреодолимыми препятствиями — память перегружается и отказывается служить ученику так, как он того хотел бы. Единственный выход для такого ученика — перестать «учить» уроки и начать их изучать, сознательно усваивая каждую деталь, каждую мелочь, но этого учащийся самостоятельно достичь не может — здесь требуется квалифицированная помощь учителя. Преподаватель от такого ученика должен требовать не столько повторения выученного, сколько детального об'яснения; это само собой натолкнет учащегося на то, что «зубрежка» бесполезна, материал нужно усваивать другим методом.

Перейдем к об'яснению своей неуспеваемости учащимися \ I класса.

У учащихся VI класса мы встречаемся так же, как и у учащихся V класса, с трудностью в решениях задач. Вот текст довольно яркого об'яснения:

с Неуды у меня по геометрии, по алгебре и физике потому, что у меня нет смысла для того, чтобы решить задачу. Ученица Д.»

И наиболее характерные- об'яснения шестиклассников — это:

«Не понимаю», «Не могу помнить старое».

Такие об'яснения касаются, главным образом, неуспеваемости по алгебре. Общеизвестно, что алгебра базируется на арифметике. Для того, чтобы хорошо разбираться в алгебре, необходимо усвоить основные элементы арифметики и научиться арифметически мыслить и рассуждать.

У наших же учащихся с твердым знанием элементарной арифметики пока еще не достаточно благополучно. Если «усвоение алгебры подымает на высшую ступень арифметическое мышление, позволяя понять всякую арифметическую операцию как частный случай алгебраический, давая более свободный, абстрактный и обобщенный, а тем са-

мым глубокий и богатый, взгляд на операции с конкретными количествами» (Выготский, «Мышление и речь», Огиз, 1934-, стр. 179), а у учащегося неладно с арифметическими операциями, у учащегося есть существенные недочеты в системе его арифметического мышления, понятно, что ему приходится заявлять: «Не понимаю», потому что предпосылок для такого понимания нет. Приступая к изучению алгебры, наш учащийся, который по тем или другим причинам не усвоил твердо арифметики, начинает чувствовать большое неудобство и свою несостоятельность, он начинает осознавать, что у него в прошлом есть в математических знаниях прорыв. Здесь помочь можно только ликвидацией прорыва в области элементарной арифметики.

И в VI классе встречаются ссылки на плохую память, как на основную причину неуспешности. Эти ссылки, главным образом, относятся к геометрии, и ясна причина этого. Геометрия для своего усвоений требует уменья анализировать, синтезировать и вообще углубленно мыслить, а если мы имеем ученика, не привыкшего к этому или не умеющего мыслить или не могущего мыслить в силу определенной недостаточности, то и здесь будет единственным выходом для ученика «зубрежка». Но«зубрить» по геометрии нужно очень много, и ученик жалуется. У ученика ввиду обилия материала, который он хочет в один прием усвоить, происходит психическая «спутанность», т. е. весь заученный механически материал перепутывается или, как говорит ученик, этот материал «вылетает» из головы. Вот пример такой жалобы ученика:

«По геометрии прочтешь раз десять и все вылетает из головы.

Ученик К»

Мне приходилось встречать таких учеников (больше среди девочек), которые, умудряясь выучить наизусть весь материал четверти, даже довольно благополучно отвечали преподавателю, получали «уд» и сейчас же забывали почти все.

В борьбе за действительное усвоение курса геометрии приходится обращать сугубое внимание, быть может, не столько на то, как учащийся дословно повторит доказательство теоремы, как он его вычитал в учебнике, а на уменье учащегося об'яснять и применять свои геометрические знания на практике (решать задачи), «когда мышлением пользуются для какой либо цели... оно конкретно» (Д. Дьюи — «Психология и педагогика мышления» Мир, М., 1919, стр. 123), Так же точно становятся конкретными и те геометрические знания, которые ребенок может где-нибудь приложить на практике. Но, к сожалению, в нашей школе довольно распространен способ изучения геометрии путем зазубривания и повторения заученных теорем. Такое «изучение» ведет к очень быстрому забыванию; такие знания учащимся практически совершенно не нужны. Один ученик образно об этом сказал: «Вот я выучил геометрию к завтрашнему испытанию и думаю, что до завтра не забуду, а после испытания все перепутается». Вот это и есть — выучить, но не осознать и не усвоить курс. Все, что осознано, абсолютно позабытым быть не может, потому что оно вошло в состав личного опыта и произвело определенное изменение в самой психике человека. Хорошо осознанный материал, если и позабывается, то он легко может быть восстановлен путем повторения.

Отстающие по математике семиклассники и восьмиклассники в подавляющем большинстве случаев объясняют свою неуспеваемость тем, что они «не понимают»: свое непонимание они объясняют единодушно недостаточным знанием материала прошлых лет. Вот образцы таких объяснений:

«По алгебре и геометрии не знаю курса VI класса, поэтому ничего не понимаю.

Ученица С (VII класс).

«Мне трудно дается по алгебре и по геометрии, вообще математические предметы, лишь потому, что не знаю прошедшего курса. А поэтому я не могу понять нового —не зная старого, нелязя понять нового. Вот поэтому я отстаю по математическим предметам.

Ученица 3.» (VIII класс)

«Есть недоработка материала прошлых лет» (VIII класс).

«По алгебре были неуды потому, что с I ступени недостаточно усвоено и способностей нет.

Ученица Ф.» (VII класс).

После обследования знаний выяснилось, что основ арифметики ученица Ф. совершенно не знает.

По мнению отстающих учащихся VII, VIII и IX классов основной причиной их отставания является незнание курса прошлых лет. На этом невредно остановиться немного подробнее. Почему у нас еще возможна случаи наличия отдельных учащихся в VII или VIII классах, которые совершенно не усвоили курса прошлых лет? На этот вопрос есть

два ответа. Первый ответ — педагог снижает иногда к слабому, отстающему ученику требования при оценке знаний и для того, чтобы натянуть нужный процент успеваемости по классу, проявляет «гнилой либерализм». В результате в старшем классе ученик совершенно не подготовлен для дальнейшей работы. Второй ответ: педагог не досмотрел или же ничего не смог поделать с тем, что учащийся усваивает материал только механически. Вот прекрасная иллюстрация метода изучения материала, который неминуемо приводит к полному забыванию.

«Когда я читаю, то я думаю о чем нибудь другом, а что написано в книге, я об этом не думаю.

Ученик К.» (VII класс).

Для того, чтобы изжить неуспеваемость в области математики, преподаватель должен следить за тем, каким методом каждый ученик, особенно отстающий, усваивает материал, и помочь ему научиться работать так, как следует. Приведенный случай являет собою пример того, как работать не следует. Ну, а как же помочь такому ученику? Очевидно, у такого ученика нет совершенно заинтересованности в узучении математики, нет воли к такому изучению. Читая книгу по математике, он только выполняет неприятную обязанность, а поэтому у него нет достаточной концентрации внимания и напряжения воли, и во время чтения в голову лезут всякие посторонние мысли. Читает учебник он, не думая, автоматически. Мышление в процессе такого усвоения не участвует. Здесь мысль учащегося идет по линии наименьшего сопротивления, нет желания преодолеть препятствия, которые встречаются на пути усвоения заданного урока. Некоторые ученики мне в подобных случаях так отвечали на вопрос: «Почему не разобрал формулу?» — «Да здесь же нужно думать, а думать трудно». Такого ученика можно заставить работать только тогда, когда мы его заинтересуем, а вместе с интересом явятся и воля к работе, и любовь, и желание думать углубленно над материалом. Заинтересовать же можно каждого ученика путем индивидуальной работы с ним — нужно доказать полезность и необходимость математики для той специальности, которую избирает данный ученик, нужно показать учащемуся, что математика — нескучный предмет, путем подбора соответствующих занимательных задач, путем демонстрации решения математическим методом жизненных задач, решения задач со значительным сокращением затраченного времени и т. п.

В VII, VIII и IX классах мы также встречаемся в об'яснениях неуспевающих с жалолобами на слабость памяти, здесь мы имеем те же самые явления, которые были описаны выше.

Довольно любопытной жалобой является» жалоба такого типа некоторых отстающих восьмиклассников:

«По алгебре задачу до половины дорешаешь,, а потом не знаешь, что делать».

Ученица А.»

Здесь вопрос о решении сложной задачи, которое требует участия аналитических и синтетических способностей учащегося. Наиболее слабым учащимся, у которых слабо развито математическое мышление, не под силу сделать нужный вывод. С такими? учащимися нужно как можно больше проделывать упражнений, развивающих их синтезирующие способности.

Итак, мы видим, что неуспевающие учащиеся в основном сводят причины своей неуспеваемости: 1) к неуменью решать задачи (главным образом младшие классы, V и VI, средней школы), 2) неуменью объяснять (младшие V—VI классы), 3) непониманию (старшие классы), 4) недостаточному усвоению материала прошлых лет (старшие классы — VII, VIII, IX), 5) ссылкам на плохую память и 6) к неуменью усваивать материал путем изучения учебника.

Здесь сами отстающие довольно четко намечают основные причины отставания в области математики. В дальнейшем изложении я постараюсь остановиться на объективном анализе причин неуспеваемости учащихся.

II. Как учащиеся VI, VII, VIII и IX классов ориентируются в основных элементах математики

Когда нами было выяснено, что одной из основных причин неуспеваемости является плохое знание основ математики, нами была проведена одновременно во всех классах работа по основам математики, состоявшая из ряда очень простых, но типичных (в смысле определенных правил) примеров и нескольких простых задачек.

Для решения примеров и задач было дано неограниченное время. Ученики были предупреждены о том, что все примеры и задачи даны из курса начальной школы или же из курса прошлых лет средней школы. Задачи были составлены и подобраны В. К. Маловичко и неоднократно уже мною использовались для проверки знаний основ матема-

тики в школе ФЗУ и в средних школах г. Херсона, где до настоящего года я работал. Задачи эти прекрасно выявляли основные прорывы в знаниях пройденного уже материала.

Приводить и анализировать все случаи неправильного решения задач я не буду, а разберу только наиболее типичные случаи.

Обследование проводилось в двух наших школах Станции, обследованием охвачены были все учащиеся от VI до IX класса включительно.

Обращает внимание тот факт, что учащиеся не всегда могут правильно решить такую элементарную задачу, как 4 минус 4 или 7 разделить на 7. Вот данные решаемости в процентах:

Таблица 1

Задачи

VI класс

VII класс

VIII класс

IX класс

Шк. А

Шк. Б

Шк. А

Шк. Б

Шк. А

Шк. Б

Шк. А

Шк. Б

4 — 4......

91

91

86,2

93

88,5

96

94

7:7......

69

87

89,7

80

76,9

92

80

Как видим, в каждом классе находятся учащиеся, у которых при вычитании четырех из четырех получается не нуль, а единица. Это, конечно, нельзя обменять тем, что учащиеся не усвоили совершенно вычитания в начальной школе, а об'ясняется механическим подходом к самому процессу вычисления. Учащиеся, сделавшие данную ошибку, были опрошены. На вопрос: «Почему у тебя получилась единица от вычитания?»,—-получили такие ответы: «Был невнимателен при решении», «Не подумал», «Спешил» и т. п.

Самый факт наличия подобных ошибок в старших классах, по-моему, есть результат поверхностного отношения ко всякого рода вычислениям. Поверхностное отношение к вычислениям часто культивируется самими же преподавателями, которые, прорабатывая материал физики, геометрии и алгебры, сами мало обращают внимания на всякого рода вычисления и мало требуют этого от учащихся. Такое отношение преподавателя и у учащихся вызывает скептическое отношение ко всяким вычислениям, и приходится слышать: «Лишь бы формула была верна, а вычисления — это совсем не важно». На этот факт придется обратить внимание.

Гораздо хуже дело обстоит с примером деления числа на число, равное ему. Здесь мы имеем уже не только ошибки «внимания», но и другие, более серьезные ошибки, да и процент неправильно решенных примеров здесь гораздо выше. Вот пример того, как об'ясняют такого рода ошибки сами учащиеся:

«При решении этой задачи была не очень внимательна и решила эту задачу по образцу вычитания.

Ученица Б.» (VI класс).

«При решениях я думал так; если 1 :1 = 0, то и 7:7 = 0».

«Я думал, что при делении единицы на единицу получается нуль.

Ученик Д» (VI класс).

«Я сделала ошибку потому, что я не знала, как делить одно число на другое.

Ученица В.» (V класс).

Тут мы уже имеем ошибку иногда вполне сознательного типа, говорящего о том, что у ребенка существуют совершенно неправильные представления о делении в случае равенства делимого и делителя. Некоторые ученики старших классов даже пытаются «теоретически обосновать» эту свою ошибку. Об'ясняют они приблизительно так: «Умножение есть действие сокращенного сложения, а деление есть действие, обратное умножению, следовательно, деление есть сокращенное вычитание». После такого «философского» об'яснения неудивительно, что от деления семи на семь получится нуль, а не единица. Отсюда вывод для педагога: при об'яснении правила деления особое внимание уделять устранению возможности всякого рода неправильных толкований и образования нечетких понятий о делении у учащегося.

С элементарными действиями над дробями, у учащихся дело обстоит не лучше (см. табл. 3).

В таблице числа показывают процент решаемости.

Очень плохо у детей обстоит дело с процентами. Таблица 3 дает картину (в процентах) решаемости элементарных задач не проценты:

Как видно из таблицы лишь небольшое количество детей свободно оперируют с решениями задач на проценты. Как выяснилось, все учащиеся прорабатывали этот раздел «наспех», недостаточно ясно поняли этот раз-

Таблица 2

VI класс

VII класс

VIII класс

IX класс

Шк. А

Шк. Б

Шк. А

Шк. Б

Шк. А

Шк. Б

Шк. А

Шк. В

7 5

Т~ 6

78

90

72,4

80

65,4

96

80

5 1 6*2

87

84

93,1

75

73,1

100

87

2

0,72-—......

52

63

41,4

60

27

87

74

Таблица 3

Задачи

VI класс

VII класс

VIII класс

IX класс

Шк. А

Шк. Б

Шк. А

Шк. Б

Шк. А

Шк. Б

Шк. А

Шк. Б

Найти 2,5% от 84 . .

48

50

20,6

57

30,8

87

60

Найти число, когда 18% его равны 4,5

13

39

21,6

42

42,3

70

87

Из 140 учеников 91—дети рабочих. Найти процент детей рабочих .........

21

47

41,4

64

46,1

87

74

Таблица 4

Задачи

VI класс

VII класс

VIII класс

IX класс

Шк. А

Шк.Б

Шк. А

Шк. Б

Шк. А

Шк. Б

Шк. А

Шк.Б

32 032 : 32 ......

52

82

75,9

33

50

96

53

9-0 ......

94

84

89,7

79

92,3

100

80

0 — 3,2......

69

75

69

18

57,7

48

93

0-(-2).....

65

79

55,1

54

46,1

92

80

0X1,5......

43

84

55,6

75

57,7

87

67

......

39

79

27,6

86

65,4

96

73

дел, мало решали задач, а потому очень быстро позабыли. А ведь без четкого знания процентов совершенно немыслимо ясное понимание курсов, которые прорабатываются в школе и в которых делаются ссылки на процентные соотношения.

Совершенно очевидно, что проработка раздела о процентах требует к себе большего внимания.

Перейдем теперь к задачам с нулем. С этими задачами дело обстоит хуже всего (см. табл. 4).

В таблице показан процент правильно решенных примеров.

Вот как об'ясняют свои ошибки в задаче 32 032 разделить на 32 (в варианте «Б» была задача: 16 016 разделить на 16) учащиеся:

«При делении 16 016 на 16 поступаем так: 16:16 получается 1, нуль на 16 будет ничего, дальше сносим 1, но 1 на 16 не делится, тогда в частном ставим нуль, потом сносим 6 и делим 16:16, получается единица.

Ученик К» (VI класс).

Таким образом у него от деления получилось не 1001, а 101.

< 32 032:32 = 101. Я сделал ошибку потому, что я д) мал: 0 не обозначает никакого числа, так его и не надо сносить в частное.

Ученик Е.» (VI класс).

«Я сделала такую ошибку потому, что я, когда делила, снесла два знака сразу. Это я поступила здесь так, как при извлечении корней.

Ученица С» (VII класс).

«Я делаю так: 32 на 32 = 1, нуль на 32 = 0 и 32 на 32 = 1.

Ученик Е». (VIII класс)

В основном здесь ошибки сводятся к тому, что учащийся не дооценивает роль нуля или вовсе ее не понимает. Часто на нуль он не обращает просто никакого внимания: нуль это пустота, это ничто для него.

Теперь остановимся еще на других примерах. Ошибки при вычитании числа из нуля учащиеся об'ясняют так:

«Я от неизвестного числа отнял известное, то у меня и получился нуль.

Ученик П.» (VI класс).

Здесь мы опять видим, что учащийся совершенно не представляет себе, как проводить операцию вычитания из нуля. Роль нуля при вычитании в алгебре не осознана и, кроме того, здесь обычно учащийся очень затрудняется в том, какой знак—плюс или минус—поставить в ответе, т. е. не до конца усвоено правило знаков при алгебраическом вычитании.

Учащийся Б. (VI класса) об'ясняет свею ошибку при решении примера 0)^1,5 = 1,5 так: «Я неозначающее число умножил на означающее, и у меня получилось 1,5».

Вот другое объяснение той же ошибки:

«Сделал ошибку потому, что я в это время думал, что я 1,5 умножаю на единицу, но в задаче требовалось 0X1.5, и таким образом я сделал ошибку.

Ученик С.» (VI класс).

Такое об'яснение— не единичное.

Встречаются и такие случаи, когда ученик просто никакого действия произвести не может и заявляет: «Позабыл умножение на нуль».

Вот как об'ясняют свои ошибки учащиеся

«2. 0 = 2; когда я решал задачу, то я думал так, что если мы будем брать число ни одного раза, то и оно останется без изменения.

Ученик С» (V класс).

«Я сделал ошибку потому, что я думал, что если мы возьмем 8/4. 0, а нуль не обозначает никакого числа, число 814 так и останется.

Ученик Е.» (VI класс).

«Нуль не означает ничего при делении и умножении.

Ученик С>. (VIII класс),

Я умножал на нуль —у меня получилось j-\ я умножал на нуль, как на единицу.

Ученик К.» (VI класс),

«При умножении у-на 0 получается результат у

Этот результат является верным, потому что умножая на нуль, поступаем так^-'j—= — (по известному правилу),

Ученик M.» (VI класс)-

Я опросил почти всех учащихся от V до IX класса одной из наших школ о том, как они себе представляют нуль, и получил результаты, которые не показывают фактически правильного понимания числа нуль большинством учащихся.

«Нуль это есть величина, которая ничего не показывает.

Ученик T.» (VI класс).

«Нуль это значит ничего.

Ученик К,» (V класс).

«Нуль это есть значащая цифра, если его приписать к единице.

Ученик и.ь (V класс).

«В многозначном числе нуль имеет большое значение, как, например, 100 023 и т. д.

Ученик Ci (VIII класс),

«Нуль это есть такое число, которое играет очень большое значение в математике. Он занимает десятые, сотые, тысячные и т. д. доли.

Ученица Б.> (VII класс).

«Нуль служит началом счета по порядку.

Ученица P.» (VII класс),

«Нуль это не значащее ничего число, а когда он стоит сзади или в середине, то он является значащей цифрой.

Ученица С.» (V класс).

«Нуль это наименьшее количество в разряде цифр.

Ученик К.» (VF класс).

«Под нулем мы можем подразумевать какое угодно число, например 10 000 и т. п.

Ученик T.» (VI класс).

Я из каждого типа определения нуля взял по одному образцу.

Перейдем к расмотрению решения геометрических задач.

Обращает внимание быстрое забывание геометрического материала. Нами были даны чрезвычайно элементарные задачи вот процент их решаемости:

Задачи

VII класс

VIII класс

IX класс

Шк. А

Шк. Б

Шк. А

Шк. Б

Шк. А

Шк. Б

Один из смежных углов больше другого на 30°. Найти углы . .

Площадь треугольника S равна 5 квадр. дм, высота его h равна 2,5 дм. Найти основание треугольника ..........

17,2 26 .

32 69

7,6 19,2

92 83

46 53

Причины такого низкого процента усвоения лежат в механическом усвоении материала и очень малой практике в решении задач. Здесь резко бросается в глаза разница в проценте решаемости между двумя школами. В той школе, где на осознание геометрического материала было обращено большое внимание, и процент решаемости геометрических задач выше.

Несколько слов об этом разделе вообще. Тот материал, который с большими пропусками, лишь выборочно, был продемонстрирован, говорит о том, что у учащихся знание материала прошлых лет — не крепко (по крайней мере, у некоторой значительной части учащихся). Быть может, это случайное явление, свойственное только одной или двум школам. К сожалению, нет. Мною в прошлом году такая же работа (был взят тот же текст) была проведена в целом ряде городских школ Херсона, и результаты проверки дали гораздо худшую картину. Мне неоднократно приходилось беседовать с учащимися массовых школ Троекуровского района, и из бесед легко можно было установить, что и у них нет солидного знания основ математики. Приходится констатировать, что такое состояние является характерным для большинства школ, с определенными колебаниями в ту или другую сторону.

Мы настоящую проверку провели у себя в школах в начале IV четверти; выяснив, что учащиеся недостаточно знают пройденный материал, мы организовали занятия по повторению недоработок и по ликвидации прорывов прошлого. Такая работа дала значительные результаты, которые несомненно скажутся на дальнейшей успеваемости учеников в сторону ее улучшения. В наступающем году предполагаем систематически по всем математическим дисциплинам проводить проверку знаний материала прошлых лет. Это будет одной из серьезных мер к повышению и значительному углублению математической успеваемости учащихся.

III. Неуспеваемость и общее развитие учащихся

Обычно принято полагать, что неуспеваемость по математике тесно связана с неуспеваемостью и по другим предметам. Торндайк устанавливает такую корреляцию (связь) между общей успеваемостью и успеваемостью в области математики :г=0,70 («Вопросы преподавания алгебры». Учпедгиз. 1934 г., стр. 184). Эта связь довольно большая. И у нас неуспевающие в области математики являются также неуспевающими и в других областях; есть исключения, но они редки, их можно перечислить по пальцам. Нами тщательно было изучено общее умственное развитие наиболее и наименее успевающих учащихся. Мы рассчитали коэфициент корреляции между успеваемостью по математике и общим развитием и получили такую картину: V класс —г = 0,80; VI класс г = 0,61; VII класс — г = 0,59; VIII класс г=0,87,

Правда, трудно считать наши коэфициенты вполне надежными, потому что для расчета корреляции было взято небольшое количество случаев, а именно: по 20 человек из каждого класса. Но все же очевидно, что наши данные весьма близки к истине. Мы видим, что связь между общим развитием и успеваемостью по математике больше в V и в VIII классах. Это вполне понятно, потому что в V классе проходится теория арифметики, т. е. такой раздел, где требуется хорошо развитое мышление для полного усвоения курса, в VIII классе дается вообще более сложный материал по математике.

Эти соображения подкрепляются рассмотрением того, какие недочеты в общем развитии имеют наши ученики, которые не успевают по математике.

Все отстающие были обследованы по

унифицированной методике и, крэме того, дополнительно исследовались память, внимание и работоспособность по методу Нечаева, проводилась обстоятельная ориентировочная беседа и исследовались интересы учащегося.

У всех неуспевающих V класса выпадает развитие высших форм мышления, а именно: они не умеют производить анализ и особенно абстрактного типа анализ (выпадают тесты Экстра, аналогия и заглавия). Понятно, что, не умея анализировать, очень трудно хорошо усвоить математику. Причины недостаточности мышления — в социальной запущенности плюс педагогической запущенности. Эти учащиеся в большинстве случаев второгодники и по два года сидели в ряде классов.

Таких учащихся нельзя еще считать совершенно безнадежными, но для того, чтобы их выравнять, нужно затратить много времени и энергии, и придется применять специальные методы и подходы, индивидуально приспособлясь к каждому ученику. Но есть среди неуспевающих пятиклассников и такие, которые имеют органические дефекты в мыслительных способностях и для дальнейшего продвижения требуют помещения в специальную школу.

У всех учащихся, обследованных нами, кроме одного, память вполне удовлетворительная, внимание плохое. Нужно сказать, что у всех неуспевающих по математике во всех классах отстает внимание. Можно сказать, что внимание наиболее сильно связано с успеваемостью по математике.

При рассмотрении неуспевающих VI класса мы видим несколько иную картину. Среди этих учащихся есть ученики с хорошим умственным развитием, но имеющие педагогическую запущенность. Но есть и такие, которые отстают в умственном развитии, безнадежных здесь почти нет (они задерживаются в V классе). И у отстающих шестиклассников мы имеем выпадение или значительное ослабление все тех же функций анализа — синтеза.

Среди учащихся VII и VIII классов мы встречаем уже довольно большую группу умственно вполне полноценных, но имеющих большие пробелы в знаниях курса прошлых лет. Эти пробелы часто являются следствием частых прогулов, которые, в свою очередь, часто обусловливаются плохими домашними условиями, а также дальностью расстояния от школы (при наличии плохой погоды). Среди педагогически запущенных есть ряд учащихся в этих классах, которые пытаются выйти из прорыва в своей математической успеваемости путем заучивания материала, совершенно не пытаясь его осознать; особенно к числу таких учащихся относятся такие, которые имеют хорошую механическую память.

Но и в VII, VIII и даже IX классах встречаются учащиеся, имеющие частичную неполноценность, которая выражается все в тех же дефектах аналитических и синтетических способностей. Но здесь эти дефекты, благодаря более высокому общему умственному уровню, при внимательном отношении преподавателя, который обратит внимание на их изжитие, могут быть ликвидированы. Большим препятствием для развития математического мышления у учащихся является слабое развитие уменья излагать свои мысли, слабое речевое развитие, с которым приходится вести упорную борьбу.

За краткостью статьи я не могу подкрепить свои выводы еще одним обследованием успеваемости в области математики в связи с умственным развитием, которое было проведено мною еще в 1932 г. в школе ФЗУ г. Херсона.

IV. Заключение и выводы

Основной причиной неуспеваемости в области математики в средней школе является незнание материала уже проработанного раньше курса математики. Это незнание обусловлено многими причинами.

Самой важной причиной является недостаточное осознание учащимися прорабатываемого материала. Часто преподаватель совсем и не добивается того, чтобы каждый ученик вполне осознал и понял урок. Некоторые преподаватели, следуя Торндайку, считают, что основным в математике является привитие определенного автоматического навыка и вполне удовлетворяются автоматическими ответами, которые либо являются результатом «зубрежки», либо вообще являются делом случая — ясно, что такие знания очень скоро улетучиваются. Наоборот, все, что осознано, является уже неотъемлемым достоянием ребенка. Механическое, поверхностное усвоение — величайший враг действительного знания математики учащимися. Нужно обратить особое внимание на то, чтобы учащийся всегда всякий свой шаг мог ясно и четко об'яснить. Особенно нужно бороться с механическим способом повторять материал, а такой способ довольно часто практикуется и превращает само повторение в нудный и скучный процесс. При повторении, если мы будем требовать об'яснений от учащегося и постараемся старый материал рассмотреть в

свете проработки нового, постараемся указать на все связи и зависимости между старым и новым материалом, мы действительно это повторение сделаем интересным. А нужно сказать, что на интерес к изучению математики мы обращаем еще недостаточное внимание, а ведь известно, что интерес пробуждает волю к изучению математики, а воля к изучению, сама по себе, есть важнейший фактор успеваемости. Можно без риска ошибиться, сказать: «Ученик, сильно и глубоко хотящий знать математику, не может быть неуспевающим».

Дальше, причиной недостаточного усвоения ранее проработанного учащимися материала является недостаточное количество иллюстраций к теоретическим положениям в виде решения примеров и задач, об'яснения способов такого решения и применения этих способов на практике.

Одной из причин неуспеваемости в области математики и прорывов в знаниях ранее пройденного являются пропуски уроков. Ученик, пропустив несколько уроков подряд, приходит в школу и фактически не понимает как следует нового материала и, вместо того, чтобы проработать пропущенные разделы, он пытается сразу же усвоить новый материал. Некоторые ученики в таких случаях пытаются просто зазубрить новое, находя, что это легче, чем «догонять», прорабатывая пропущенное. Следствием такого упрощенного способа уравнять свои знания со знаниями своих товарищей является полное непонимание всего дальнейшего изложения дисциплины. От учащихся, совершенно не усвоивших определенных разделов курса и перешедших на метод зубрежки, часто можно услышать: «А что же мне делать? Другого выхода нет. Не начинать же все с самого начала?». По сути же нужно было бы начать все с самого начала.

Другой отрицательный способ ликвидировать прорыв—это выучить в максимально короткий срок весь материал пропущенных уроков. Этот способ приводит к тому, что учащийся сразу и в большом количестве воспринимает много словесного материала, что приводит к путанице мыслей. Мне приходилось наблюдать случаи, когда ученик не мог буквально ничего ответить после того, как он «проработал» за 4 дня всю планиметрию.

Поэтому я считаю чрезвычайно важным, чтобы сам преподаватель правильно продумал и спланировал для ученика приемы ликвидации прорыва в усвоении дисциплины, вследствие пропусков уроков. Обычно же преподаватели редко помогают учащемуся планировать и прорабатывать пропущенный им материал.

Чаще всего преподаватель начинает серьезно работать с отстающим тогда, когда отставание зашло уже слишком далеко, когда для ребенка уже окончательно нарушилась система в усвоении и понимании предмета. Здесь легче и лучше заняться профилактикой, т. е. предупредить возможность безнадежного отставания, придя во-время на помощь ребенку, у которого получился прорыв.

Для того чтобы ликвидировать неуспеваемость в области математики, нужно создать условия, которые благоприятствовали бы повторению.

«С точки зрения психолога необходимо исходить из предположения, что ученики знают арифметику, указывать им, к каким частям учебника арифметики они должны обращаться, чтобы пополнить недостающие знания» (Торндайк — «Вопросы преподавания алгебры», Гиз, 1934, стр. 145).

Совершенно прав Торндайк, когда предполагает, что ученики, изучая алгебру, в определенных случаях должны обращаться к учебнику арифметики для повторения определенных разделов материала. Такую возможность для учащихся нужно создать. У нас возможности постоянного пользования учащимися старших классов учебниками арифметики нет. Нужно в каждом из классов иметь определенное количество учебников арифметики и при первой же необходимости выдавать их ученикам для различных справок и повторений. Широкое использование преподавателем учебников прошлых лет для различных справок и повторения при прохождении нового материала значительно повысит усвоение, осознание и максимальное закрепление математических знаний.

Вторым основным источником неуспеваемости в области математики является неуменье у учащихся математически мыслить и рассуждать.

Этот второй источник неуспеваемости нахорится в теснейшей связи со знанием материала по курсу прошлых лет. Выготский очень хорошо вскрывает эту связь.

Новые, более сложные понятия в области математики всегда развиваются на базе прежних, более простых понятий. Следовательно, для развития правильного способа математического мышления у учащихся необходимо развить последовательную систему понятий без единого прорыва, понятий — от элементарного к самому сложному.

Ликвидировать прорыв в области неуменья математически мыслить у учащихся можно путем тщательной ликвидации всех прорывов в знаниях и путем постоянного требования всегда осознавать каждый шаг в изучении нового материала. Система в математических знаниях плюс постоянные требования точных, четких и ясных об'яснений каждого действия, каждой математической операции, научат учащихся правильно математически мыслить и рассуждать (за исключением, конечно, тех случаев, когда мы будем иметь учащихся с органическими дефектами в умственном развитии).

Наконец, последний источник математической неуспеваемости — невнимательность и неаккуратность. Здесь тоже для изжития этих недостатков потребуется самая строгая система мероприятий, которая может быть сведена к следующему: 1) сделать урок интересным,

2) учащихся со слабым вниманием держать всегда в поле своего зрения, систематически проверяя, как они работают, 3) чаще проверять, учитывать знания этих учащихся, 4) систематически следить за точностью и аккуратностью выполнения всех письменных работ.

Мною указаны основные причины неуспеваемости и отставания по математике в нашей средней школе. Среди них почти все могут быть ликвидированы путем рационализации преподавания. Конечно, я далеко не претендую на то, что мною указаны все причины неуспеваемости. Ясно, что есть еще ряд причин, могущих вызвать снижение успеваемости, которые мною не затронуты. Я данную работу рассматриваю как работу предварительного порядка, требующую еще дальнейшей и более углубленной проработки.

РАЗЛОЖЕНИЕ ТРЕХЧЛЕНА ВИДА ax2 + bx + c НА МНОЖИТЕЛИ

А. ГНЕДОВ (г. Тихорецк)

В различных руководствах по алгебре и по методике алгебры приводятся довольно сложные способы разложения трехчлена вида ах2 + Ьх+ с» на множители. Эти способы с трудом усваиваются учащимися и еще с большим трудом применяются ими на практике. Между тем, существует весьма простой способ разложения подобных трехчленов на множители. Этот способ был предложен мною более 20 лет назад, в узком кругу моих товарищей по работе. В настоящее время я решаюсь предложить его более широкому кругу работников. Возможно, что некоторых из них этот способ заинтересует, и они найдут полезным применить его в своей практике.

Состоит этот способ в следующем.

Допустим, что надо разложить на множители трехчлен

6х2-\- 194-10.

Для этого надо найти произведение крайних коэфициентов. Оно будет равно 6 • 10 = 60.

Затем средний коэфициент надо разложить на два слагаемых так, чтобы эти слагаемые, будучи перемножены, дали в произведении число, равное призведению крайних коэфициентов, т. е. 60.

В настоящем примере это разложение будет следующее

19=15 + 4.

Будучи перемножены, эти слагаемые дадут в произведении 15-4 = 60.

Дальнейший процесс разложения уже не представляет затруднений:

Возьмем другой пример:

Юл:2 — 29*+10.

Произведение крайних коэфициентов будет Ю-10 = 100.

Средний коэфициент надо разложить так

- 29 = (-25) + (-4).

Будучи перемножены, эти слагаемые дадут в произведении

(—25). (—4) = 100.

Дальнейший процесс разложения опять не представляет затруднений :

Возьмем еще пример:

ßX2 + 7х _ 5.

Произведение крайних коэфициентов будет равно 6. (—5) = — 30.

Средний коэфициент надо разложить на два таких слагаемых, которые, будучи перемножены, дали бы в произведении — 30. Так как это произведение — число отрицательное, то слагаемые должны иметь разные знаки, а так как средний коэфициент равен-[-7, то большую абсолютную величину будет иметь слагаемое со знаком-j-. Отсюда + 7 надо разложить так:

+ 7 = (+10) + (—3).

Будучи перемножены, эти слагаемые дадут в произведении (-[- 10) • (—3) =—30. Дальнейшее разложение будет такое:

Этот способ пригоден и для трехчлена вида

х2 -\-px-\-q.

В том случае, когда коэфициенты трехчлена числа дробные, необходимо привести их к общему знаменателю и этот знаменатель вынести за скобку.

Например:

и в дальнейшем поступать по-предыдущему. В результате получается следующее разложение:

Краткое обоснование приведенного выше разложения трехчлена вида ах2 -\- Ьх с на множители может дать рассмотрение произведения двух биномов вида kx + / и тх -f- п.

Это произведение представляет собою трехчлен вида ax2-\~bx-\-c, а именно: kmx2 {Im -f- kn) X -j- Ifn.

Произведение крайних коэфициентов этого трехчлена дает в результате:

(km) (In) = klmnm

Произведение двух слагаемых среднего коэфициента трехчлена также дает в произведении: (lm)(kn) = klmn.

Такое равенство произведений будет иметь место для всякого трехчлена, полученного от перемножения двух биномов вида приведенных выше, так как порядок получения коэфициентов трехчлена во всех случаях будет один и тот же.

УСТНЫЕ ЗАНЯТИЯ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ

Доц. В. РЕПЬЕВ (г. Горький)

В борьбе за систематическое овладение «основами наук», в борьбе с «коренным недостатком» школы преподаватели должны применять все разнообразие методов и приемов обучения. В соответствии с содержанием преподаватель должен применять те методы и приемы, которые позволяют углубить знания, закрепить умения и навыки, которые содействуют выполнению задач коммунистического воспитания, которые активизируют работу и поднимают ее эффективность. В математике в борьбе за усвоение систематических знаний значительное место занимают устные занятия. В настоящей статье ставится вопрос о более широком применении устных занятий при изучении алгебры, имея в виду, что умелое и правильное их использование повысит эффективность проработки курса алгебры.

Устные занятия по математике в нашей школе практикуются по преимуществу в период изучения арифметики. Как только начинают изучать алгебру, устные занятия, как правило, забрасываются или почти забрасываются. В лучших случаях они имеют место только при прохождении некоторых, очень немногочисленных глав. В частности и такой вид устных занятий, как устный счет на уроках алгебры, находит крайне ограниченное применение, а нередко и совершенно не применяется.

Таким образом, приходится констатировать разрыв в использовании устных занятий и в культуре устных вычислений, который сов-

падает с концом изучения арифметики и началом изучения алгебры. Этот разрыв заключается в том, что с началом изучения алгебры школа или почти прекращает устные занятия или весьма значительно их сокращает.

Почему же происходит такое явление?

В этом отношении интересно изучение мнений преподавателей математики. Их можно свести к следующим четырем пунктам: 1) вопрос об устных занятиях не ставился, не стоял, о нем не задумывались; этот вопрос — новая методическая проблема, которая только теперь встает впервые; 2) устные занятия недооценивали, не понимали их теоретического и практического, педагогического и методического значения; 3) отсутствуют методические указания по этому вопросу, что не дает возможности практиковать устные занятия; 4) недостаток времени на изучение программного материала не позволяет пользоваться устными занятиями.

Все эти пункты говорят о некоторой неосведомленности части преподавателей математики в интересующем нас вопросе и вместе с тем побуждают вскрыть, в чем ценность устных занятий в алгебре, почему они полезны и необходимы, каковы их педагогические и методические особенности, как их организовать и, наконец, в каких разделах алгебры удобно применять.

I

Прежде всего займемся вопросами о ценности устных занятий в курсе алгебры, вскроем их методические и педагогические особенности и в основных чертах наметим разновидности этих занятий.

1) Устные занятия представляют интерес с точки зрения изучения учащимися ряда теоретических вопросов, с точки зрения овладения теоретической частью алгебры.

Дж. В. А. Юнг в книге: «Как преподавать математику» пишет: «Изложение многих теоретических вопросов может быть выполнено посредством устных занятий над чрезвычайно простыми данными как в одном из названных предметов, так и в другом». Речь идет об арифметике и алгебре. Например, преподаватель решил показать учащимся VI класса, что переместительный и сочетательный законы умножения остаются в силе и для произведения относительных чисел. С этой целью преподаватель подбирает простой пример на умножение относительных чисел. В порядке устного счета учащиеся находят произведение. Затем преподаватель переставляет сомножители и вновь учащиеся находят произведение. Так поступают с несколькими примерами. В результате делают заключение, что переместительный закон умножения применим и к относительным числам. Так же проверяется применимость к относительным числам сочетательного закона умножения. В устных же занятиях учащиеся учатся применять эти законы для упрощения вычислений.

Итак, устные занятия в алгебре позволяют провести изложение многих теоретических вопросов.

2) Устные вычисления представляют интерес с практической точки зрения: ими пользуются часто как в производстве, так и в быту. Игнорирование устных занятий по математике создает слишком большую зависимость учащихся от листка бумаги и карандаша. Постоянное использование этих орудий письменных вычислений создает такую зависимость от них, что учащиеся, кончая школу, не могут без бумаги и карандаша произвести самые простейшие вычисления.

3) Устная работа в алгебре предъявляет к учащемуся ряд интересных с воспитательной точки знения требований: учащийся должен проявить внимание и запомнить поставленный вопрос, он должен быстро ориентироваться в данных задачи или примера, должен подобрать наиболее простой путь решения и быстро его выполнить.

При всем этом учащийся должен соблюдать дисциплину: он не должен мешать товарищам, все вычисления обязан производить молча.

Таким образом, устные занятия представляют интерес с воспитательной точки зрения: они способствуют развитию находчивости, умению ориентироваться в фактах, заостряют память: они упражняют внимание, волю; они воспитывают дисциплину.

4) Можно ли сказать, что культура устного счета к концу обучения арифметики в нашей школе достигает таких результатов, что в дальнейшем нет надобности заниматься этим вопросом? Наблюдения работы школы показывают, что к окончанию арифметики культура устного счета находится на недостаточной высоте. Таким образом, по самому положению рассматриваемого навыка он нуждается в дальнейшем закреплении и углублении на протяжении следующих лет обучения. Неокрепшие навыки надо закрепить дальнейшей работой.

Прекращение обучения устному счету с окончанием арифметики легко может повлечь рецидивы безграмотности в устном счете. Научно обоснованных данных, вскрывающих

этот рецидивизм, мы не имеем и получить их очень трудно, так как они требуют наблюдений очень длительных, в течение ряда лет. Но есть основания предполагать, что многие кончающие неполную среднюю школу и среднюю школу в области культуры устных вычислений являются недостаточно грамотными.

Борьба с возможностью этого рецидивизма, борьба за укрепление и углубление навыков пред'являет к занятиям по алгебре в школе требование о культуре устных вычислений.

5) Преподавание алгебры обычно не отличается большим разнообразием методов и приемов. Нередко преподаватель, выработав в первые годы своей практики шаблоны в изложении курса алгебры, сохраняет эти шаблоны на долгий период своей деятельности. А однообразие приемов и методов работы, делая их привычными для учащихся, приводит к понижению интереса учащихся к работе, а следовательно, и к понижению эффективности занятий. Вопрос об активизации методов работы, о разнообразии приемов занятий по алгебре является вопросом актуальным, требующим изучения во всем об'еме вообще и каждым отдельным преподавателем в частности.

Наблюдения показывают, что устные занятия являются таким приемом работы, который даже при частой практике вызывает интерес со стороны учащихся, активизирует работу и повышает качество знаний, умений и навыков.

С этой точки зрения, культура устных вычислений в занятиях по алгебре, как новый интересный прием работы, заслуживает внимания со стороны преподавателей.

6) Устные занятия по своей организационной стороне проще: они почти не требуют бумаги, карандаша или ручки, не требуется от учащихся и преподавателя проверки записей. Все это, взятое вместе, делает устные занятия более интенсивными, более уплотненными, чем другие виды занятий. А наличие интереса к занятиям и указанная большая их интенсивность и уплотненность позволяют утверждать, что устные занятия дают возможность не только выиграть в качестве обучения, но сэкономить и время.

Поэтому взгляд на эти занятия, как на некоторый дополнительный придаток к обычным занятиям, требующий особого времени, мешающий уложиться с изучением программы в определенное время, совершенно несостоятелен и свидетельствует о недопонимании сущности вопроса.

Устные занятия, являясь органической частью занятий по алгебре, способствуют овладению все той же программой, служат тем же целям и задачам, а благодаря некоторым их особенностям, они позволяют экономить время и, следовательно, дают возможность полнее и глубже изучить материал.

7) Дж. В. А. Юнг в цитированной выше книге пишет: «Пользу устных занятий в алгебре, повидимому, почти всюду не то не замечают, не то недооценивают. Нельзя привести никаких соображений против признания в алгебре за устной работой учащихся такого же важного значения, какое этому роду занятий приписывают в арифметике». Эта цитата интересна, во-первых, потому, что недооценка устных занятий в алгебре, очевидно, явление не только русское, но более широкое. Во-вторых, Юнг является глубоко вдумчивым, хорошо знающим свое дело методистом, и его свидетельство в пользу устных занятий в курсе алгебры ценно и имеет большую значимость.

Развитые соображения побуждают выставить следующие основные положения:

а) При изучении курса алгебры в интересах овладения теоретическими вопросами, в интересах рационализации работы и повышения ее эффективности и результативности, следует использовать, где это удобно и целесообразно, разнообразные виды устных занятий. Эти занятия будут способствовать в разрезе нашей дисциплины успешной реализации директив партии о школе, будут способствовать изжитию «коренного недостатка» школы в области математики.

б) В частности, следует практиковать устные вычисления в органической связи с общим курсом алгебры. Не надо прибегать к приемам письменных вычислений в случаях, когда учащиеся могут произвести их устно, записывая в необходимых случаях только данные и полученный окончательный результат.

в) Как особый вид устных вычислений, целесообразно практиковать устный беглый счет в непосредственной связи с общим планом работы по алгебре.

Беглый счет в занятиях по алгебре рекомендуется проводить в шестых и седьмых классах регулярно каждый урок, примерно, по 8 — 10 мин., а в VIII и следующих классах периодически, в зависимости от наличия материала.

г) В зависимости от характера материала для беглого счета, б зависимости от характера другого материала урока и в зависимости от общего состояния настроения и интереса класса беглый счет может быть

проведен и в начале урока, и в конце урока, и в середине урока. Например, если материал для счета новый, а материал остальной части урока не отличается новизной, требует только упражнений, то в этом случае целесообразнее начать с устного беглого счета. При противоположном соотношении материала следует поступить наоборот. Наконец, если учитель заметит среди урока утомление учащихся, отсутствие внимания, рассеянность, возможно занятие прервать и в виде своеобразной зарядки провести занятия по устному счету. Таким образом, в выборе времени в течение урока необходимо допускать гибкость.

д) Для большего оживления занятий по устному счету следует использовать шутки, остроты, приемы отгадывания чисел, парадоксы и другие приемы занимательной алгебры.

е) Устный счет должен включать не только примеры, но и задачи.

Материал задач для устного счета можно черпать из геометрии, физики, химии и других дисциплин.

II

Приведем несколько примеров и покажем на них, как организовать устные занятия при изучении алгебры, как, в частности, организовать беглый счет и как реализовать те положения, которые развиты выше.

Пример 1. Этот пример дает один преподаватель Горьковского края из своей практической работы.

Учащиеся ознакомились в VI классе с действиями над относительными числами. Преподаватель пишет на классной доске ряд чисел:

—Со столов все уберите, ручки и карандаши положите в сумки! Смотрите на доску!.. Будем считать в уме. Вслух не считать и не шептать! Если сосчитал — поднимай руку. Ответы будете говорить, когда я спрошу. Начинаем...

Преподаватель показывает указкой 100, потом через несколько секунд переносит на число 0,01 и говорит: «Умножить!» Некоторая пауза выжидания. Поднимается рука, вторая, несколько рук, больше двух третей класса при полной тишине... Указка преподавателя опускается на — 9 и раздается дальше: «Прибавить!» Руки опустились, и снова—• устная работа над полученным и новым числом. Лица сосредоточенно-внимательны. Вновь начинают подниматься руки, опять поднято значительное большинство рук. Указка преподавателя опускается на число — 5, и новое предложение: «Разделить!» Руки опустились... Но вот снова лес рук...

Начинается опрос ответов. Преподаватель указывает на ученика указкой и спрашивает: «Сколько?.. У вас?.. Широкова! Коротков!»

Следует ряд ответов, и верных и неверных. Выслушав ответов 5—6, преподаватель предлагает одному из учеников, обычно с неверным ответом, воспроизвести процесс вычисления, подсказывая в случае надобности, задаваемые числа.

— Внимание!

Снова указка заходила по доске. Снова при полной тишине и сосредоточенности внимания работают дети, работают действительно с увлечением.

Чтобы избежать повторения чужих ответов, преподаватель сначала спрашивает ответы у слабых учеников и только в конце — у сильных. Работа продолжается около 10 мин.

Приведенный пример является типичным примером беглого счета. Ценность его — в том, что на небольшом отрезке времени дается большой и интересный вычислительный материал, глубоко связанный с самыми основными вопросами темы «Относительные числа».

Пример 2. Дети в VII классе изучают уравнения. Они разобрали понятия о тождестве, об уравнении, о корне уравнения; изучили два основных свойства уравнения и решение несложных уравнений 1-й степени с одним неизвестным с числовыми коэфициентами. Темою для устного занятия является решение уравнений 1-й степени с повторением некоторых вопросов из числа разобранных на предыдущих уроках.

Преподаватель диктует или записывает на доске уравнение 12лг -|— 7 = 8 и предлагает детям решить его в уме и проверить полученный корень.

После небольшой паузы, когда большинство учащихся сигнализируют поднятием рук о том, что уравнение решено, преподаватель спрашивает 2—3 человек о результате, затем справляется, у кого получился другой ответ, и предлагает одному из учеников об'яснить, как он решал уравнение.

При разборе этого решения преподаватель ставит детям вопросы:

— Что называется корнем уравнения?

— Как проверить, верно ли решено уравнение?

— Скажите то свойство уравнения, на основании которого можно перенести член уравнения из одной части в другую.

— Скажите то свойство уравнения, на основании которого можно делить обе части уравнения на одно и то же число.

Затем преподаватель предлагает еще ряд несложных уравнений, записывая их на доске:

Для оживления занятий можно предложить детям придумывать самим несложные уравнения и предлагать их для решения товарищам.

I— Антонов ! Придумайте уравнение !.. Запишите его на доске.

— Решите это уравнение в уме! Приведенный пример показывает, как в устных занятиях дети упражняются в ценном и нужном навыке — в решении уравнений. Вместе с этим они вспоминают ряд теоретических вопросов, учатся правильно их формулировать. При некотором навыке уравнения могут быть несколько усложнены. При умелой постановке занятий устная работа протекает оживленно, с под'емом, интенсивно и позволяет экономить время, затрачиваемое на выработку навыка.

Пример 3. В этой же теме «Тождества и уравнения» прорабатывается вопрос о составлении уравнений по условиям задач. Вопрос очень трудный и тонкий. В нем уместны упражнения, состоящие в переводе условий задачи на язык алгебраической символики. В нем уместны и полезны упражнения, которые требуют составления условия задачи по данному уравнению или словесного выражения данной формулы.

Часть этих упражнений удобно вынести на устные занятия.

— Товарный поезд делает а километров в час, почтовый—в 2 раза больше, а экспресс— в 3 раза больше. Сколько километров делает в час почтовый поезд и сколько экспресс?

— Товарный поезд делает х километров в час, почтовый — на 20 км больше, а экспресс — на 40 км больше, чем товарный. Сколько километров в час делает почтовый и сколько — экспресс ?

р— Сторона прямоугольника равна а см, а другая сторона — иг 2 см больше. Чему равна площадь прямоугольника?

— Высота прямоугольника равна Ъ см, а основание в 2 раза больше. Чему равна площадь прямоугольника?

— Составьте уравнение для решения задачи: на сколько нужно увеличить 35, чтобы получить 50?

— На сколько надо уменьшить 74, чтобы получить 40?

—- От умножения неизвестного числа на 8 получается 96. Чему равно неизвестное число?

— Составьте задачу для следующего уравнения:

5+лг = 24.

Далее предлагается составить задачи для уравнений:

лг+13 = 49; 24 —х=16; X — 8=15; 2 • л: = 42.

В этом примере устные занятия используются для введения учащихся в очень ответственный и трудный вопрос — в решение задач с помощью уравнений; эти занятия служат подготовкой к составлению уравнений, а такая подготовка, систематически организованная и своевременно проведенная, окажет большую услугу в последующей проработке вопроса о составлении уравнений. Вместе с тем, пример показывает, как используется в устных занятиях геометрический материал, материал из других областей знания.

Пример 4. VIII класс изучает тему: «Квадратное уравнение».

В предыдущие уроки учащиеся познакомились с решением неполных квадратных уравнений. Темою для устных занятий является вопрос о числе корней уравнения.

Преподаватель записывает на доске уравнение:

5*— 17 = 2л:+7,

и предлагает учащимся решить его в уме и проверить полученный результат.

После того, как уравнение будет решено, преподаватель выясняет с учащимися вопросы о степени уравнения и числе его корней, примерно, путем следующих вопросов:

— Сколько неизвестных имеет это уравнение?

— Какой степени уравнение?

— Сколько имеет корней?

— А, может быть, оно имеет еще корни? Таким же образом разбираются еще одно-два уравнения 1-й степени с одним неизвестным:

Чтобы использовать предыдущий опыт учащихся в решении уравнений, можно поставить вопрос:

— А встречались ли нам раньше такие случаи, когда уравнение 1-й степени с одним неизвестным имело несколько корней?

— Как же сказать наш вывод насчет числа корней уравнения 1-й степени с одним неизвестным?

— Иванов! Скажите это правило!

— Петров! Какие поправки надо внести в правило, сказанное Ивановым?

— Кострова! Скажите еще раз это правило!

Затем преподаватель предлагает устно решить неполное квадратное уравнение:

2*2 _ 18 = 0.

Получив ответы о корнях, он ставит вопросы :

— Какой степени это уравнение?

— Сколько оно имеет корней?

— А не имеет ли оно еще корней?

Примерно, такому же разбору подвергается еще несколько неполных квадратных уравнений:

Затем опять ведется беседа о числе корней квадратного уравнения, направленная на обобщение наблюдаемых частных случаев.

— Сколько же корней имеют неполные квадратные уравнения?

Скажите в форме правила...

— Какие поправки надо внести в правило?

— Как окончательно формулировать результат?

Результаты этих устных занятий можно зафиксировать в виде записи правил. Так как эти правила получены индуктивным путем, то в дальнейшем следует продолжать наблюдения, подтверждающие эти правила.

Разобранный пример 4 показывает, как устные занятия в живой и увлекательной форме дают возможность учащимся познакомиться с некоторыми теоретическими вопросами.

III

С целью выяснения возможности использования устных занятий сделаем краткий анализ программ по алгебре шестых, седьмых и восьмых классов.

Первое знакомство детей с буквенной символикой начинается в прямой связи с изучением арифметики и геометрии в V классе. Затем это знакомство подытоживается, систематизируется и углубляется в первой теме программы по алгебре VI класса, носящей название «Буквенные выражения».

В этом первом знакомстве с буквенной символикой большое значение имеет нахождение числового значения буквенных выражений, так как этот вопрос делает алгебру понятной детям и конкретной. Вопрос требует большого количества упражнений, и часть из них при целочисленных значениях букв или при дробных значениях букв, но в выражениях, не требующих трудных подсчетов, может быть выполнена с большим эффектом для учебных занятий устно, в порядке беглого счета.

Пример. Преподаватель записывает на доске выражение:

а2-{-За,

и предлагает учащимся в уме вычислить числовое значение этого выражения, когда: а) а = 11; б) а = 15, в) а = 0,1, г) а = ^-. Затем записывает другое выражение:

и предлагает вычислить его числовое значение, когда:

а) ^7= 10, 6 = 5,

б) а = 12, 6 = 2 и т. д.

Проверка законов сложения и умножения, затем овладение понятиями о коэфициенте, о степени также в значительной мере могут быть выполнены в порядке устных занятий.

Следующая тема программы—«Относительные числа».

Новый класс чисел требует большего количества упражнений, способствующих овладению этими числами и действиями над ними. Значительная часть этих упражнений очень несложна и удобна для устных занятий. Такие вопросы программы, как сравнение относительных: чисел с нулем и между собою, четыре действия над относительными числами, возведение в квадрат и в куб относительных чисел, проверка законов действий для относительных чисел, — все это позволяет ряд теоретических вопросов и упражнений с пользою для дела вынести на устные занятия. Пример 1 предыдущего раздела дает образец таких занятий. Преподаватель не преминет вновь возвратиться к определению числового значения буквенных выражений для случая, когда

буквы принимают значения относительных чисел. Эти упражнения можно частично провести в минуты устного счета.

В следующей теме VI класса — «Целые одночленные и многочленные выражения» — материал для устных занятий дают такие вопросы: приведение подобных членов; сложение, вычитание, умножение и деление одночленов; возведение в квадрат и куб произведения, дроби, степени и одночлена. Богатый материал для устного счета дают формулы сокращенного умножения.

Программа VI класса заканчивается решением простейших уравнений 1-й степени с одним неизвестным с числовыми коэфициентами. Понятие об уравнении, о его корне, изучение двух основных свойств уравнений, наконец решение простейших уравнений и проверка корней дают богатый материал для устных занятий.

Таким образом, беглый обзор тем алгебры VI класса показывает, что очень многие вопросы могут быть в известной части проработаны с пользою для всей постановки преподавания алгебры, с пользою для всей организации педагогического процесса приемами устных занятий, устного счета.

Алгебра в VII классе требует более сложных преобразований. Такое положение несколько ограничивает применение устных занятий. Однако и в VII классе представляется много возможностей с пользою для преподавания алгебры использовать устные занятия и устный счет.

Первая тема — «Разложение многочленных выражений на множители»—потребует повторения формул сокращенного умножения и вводит формулы сокращенного деления. Этот материал позволяет частично использовать устный беглый счет. Некоторые простейшие примеры разложения на множители способами вынесения множителя за скобку и по формулам сокращенного умножения и деления могут решаться в порядке устных занятий.

Тема «Дробные алгебраические выражения» располагает небольшим материалом для устных занятий. Однако и здесь некоторые упражнения в тождественных преобразованиях над алгебраическими дробями и действия над ними могут быть вынесены на устные занятия.

Сокращение дробей с одночленными знаменателями, сокращение простейших дробей с многочленными знаменателями, сложение и вычитание простых дробей с одночленными знаменателями, а равно умножение и деление таких же дробей, — весь этот материал дает упражнения для устных занятий.

В теме «Тождества и уравнения» достаточно большой материал дают решения уравнений 1-й степени с одним неизвестным и проверка решения. Конечно, для устного решения уравнения придется брать несложные и по преимуществу с целочисленными коэфициентами и корнями. Подготовку к составлению уравнений, примитивные задачи на составление уравнений полезно ввести в форме устных занятий.

Простейшие уразнения с буквенными коэфициентами, а также решение одного неравенства 1-й степени с одним неизвестным также являются материалом с интересующей нас точки зрения удобным.

Наконец, последняя тема VII класса — «Система уравнений 1-й степени» — позволяет способом алгебраического сложения решать простейшие системы.

Итак, обзор программы алгебры VII класса показывает, что эта программа достаточно обеспечена материалом, удобным для устных занятий. Практически этот материал значительно увеличивается за счет необходимого повторения некоторых вопросов из программ предшествующих лет обучения. Например, в связи с изучением дробных алгебраических выражений таким естественным повторением явятся обыкновенные дроби.

Программа алгебры VIII класса требует еще более сложных преобразований, а это еще более ограничивает применение устных занятий. В силу этого из программы VIII класса можно назвать только некоторые вопросы, которые дают материал для этих занятий.

В теме «Степени и корни» материал для устных занятий дают следующие вопросы: возведение в степень одночлена, четная и нечетная степени отрицательного числа, повторение формул сокращенного умножения, понятие об извлечении корня (освоение понятия), правило знаков при извлечении корня, извлечение корня из произведения, дроби и степени, выведение множителя из-под знака радикала, введение его под знак радикала, приведение подкоренного выражения к целому виду и некоторые другие преобразования.

В теме «Функции и графики» в порядке устных занятий удобно изучить понятия о постоянной и переменной величине, о функции и аргументе и подыскать примеры функциональной зависимости, в частности примеры прямой и обратной пропорциональности. В остальном материале эта тема требует работы над чертежом и не дает материала для интересующих нас занятий.

Наконец, в теме «Квадратное уравнение»

в порядке устных занятий можно решать неполные квадратные уравнения, составлять уравнение по данным его корням (простейшие случаи), определять корни уравнения по теореме Виета, исследовать корни квадратного уравнения.

Заканчивая статью, в заключение отметим, что в шестых и седьмых классах некоторые вопросы метрической геометрии дают хороший материал для решения задач в порядке устного счета. Сумма смежных углов треугольника, сумма углов, имеющих общую вершину, противоположные углы, сумма углов треугольника, средняя линия треугольника и трапеции, сумма внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника, площади прямолинейных фигур, измерение углов с вершинами на окружности, внутри и вне ее,—таков список тех вопросов, которые позволяют подобрать достаточно интересные и вместе с тем доступные задачи для устного решения. От устного решения геометрических задач выиграет геометрия, так как такое решение позволит значительно увеличить число задач, решаемых в классе, и выиграют уменья и навыки в устных вычислениях.

ПИСЬМЕННЫЕ КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ И МЕТОДИКА ИСПРАВЛЕНИЯ ИХ

Г. СТАЛЬКОВ (Москва)

Среди всевозможных форм проведения текущего и заключительного учета по математике самой распространенной, наиболее удобной формой является дача письменной контрольной работы.

1. Остановимся кратко на целях, ради которых дается контрольная работа. Что она дает ученику и учителю?

Письменная контрольная работа по математике должна проверить знания и навыки по математике по данному ее разделу, умение письменно изложить свои знания и скорость выполнения работы.

При проверке знаний скорость обычно не учитывают, при проверке же навыков полезно время от времени давать письменную контрольную работу, содержащую в себе достаточно большое количество примеров на одно и то же правило. В этом случае полезно учитывать скорость выполнения контрольной работы.

Проводя систематически письменные контрольные работы, учитель сможет судить о навыках и знаниях каждого отдельного ученика и класса в целом. Кроме того, учитель видит рост каждого ученика, видит, насколько устойчивы и систематизированы приобретенные знания и навыки. Наконец, анализ ошибок и контрольных работах дает учителю конкретный материал о том, куда должны быть направлены усилия учителя для ликвидации недоделок работы. Учащийся в письменной контрольной работе проверяет свои знания и навыки и умение работать самостоятельно, без помощи учителя и коллектива учащихся класса.

2. При всем разнообразии форм письменной контрольной работы в основном в каждой из них можно выделить три основных русла, по которым идет проверка знаний и навыков по математике:

а) уменье доказать теорему, вывести формулу, вывести правило (проверка знаний по теории и проверка умения письменно изложить эти знания);

б) знание определений, правил, формул, формулировок теорем, терминов (наличие формальных знаний, необходимых для практического применения в других отделах математики и в других дисциплинах);

в) уменье применить правило, формулу, теорему для решения примеров и задач (связь теории с практикой).

Кроме того, со стороны оформления работы к ней пред'являются также требования: уметь рационально расположить все записи на листе, изложить их стилистически и грамматически правильным языком и с употреблением нужных математических терминов; уметь вести все вычисления рациональным способом, с применением возможных упрощений и сокращений; все вычисления доводить до конца и не допускать никаких арифметических ошибок.

Для успеха работы по математике (и по другим предметам) необходимо всячески заботиться о разнообразии форм и видов работы. То же самое надо сказать и о видах контрольных письменных работ. Они должны быть разнообразны не только со стороны своего содержания, но и со стороны форм

проверки наличия знаний и навыков по определенной теме или разделу. Так, при проверке знаний и навыков по разделам геометрии надо проверить наличие умения прочесть и записать правильно теорему, умение выделить из теоремы данные и то, что требуется доказать, умение дать краткую, но исчерпывающую мотивированную запись доказательства теоремы; умение по тексту задачи (и теоремы) приготовить чертеж, отвечающий условиям задачи; умение решать задачи на построение; умение правильно пользоваться чертежными инструментами.

По алгебре: проверка наличия знания формул, правил, умение вывести их и доказать; умение решать простые и сложные примеры и задачи.

По тригонометрии: проверка знания всех формул, умение вести преобразования тригонометрических выражений, умение выводить все формулы, умение их применять при решении уравнений и при решении задач.

По арифметике: проверка наличия навыков в производстве четырех арифметических действий над целыми и дробными, отвлеченными и именованными числами; знание метрической системы мер; умение решать сложные задачи всех типов.

3. Что касается видов проверки указанных выше знаний и навыков по отдельным математическим дисциплинам, то чаще всего это сводится к даче доказательства, к решению примеров и задач.

Если для арифметики, алгебры и тригонометрии этим исчерпывается все основное содержание этих дисциплин, то про геометрию этого сказать нельзя. Здесь проверка знаний и навыков путем доказательства теорем и решения задач совершенно недостаточна. Учителю надо отрешиться от шаблона в этой области и пойти по пути отыскания еще и других форм проверки знаний и навыков по геометрии.

Укажем на некоторые из них:

а) Проверяется знание определений. Можно дать задание такого вида: «Дайте определение призмы», «Дайте определение бесконечно-малой величины»; но можно это же задание дать и в таком виде: «Вставить пропущенные слова: «Точка пересечения биссектрис треугольника есть...» или: «Отношение катета к гипотенузе называется... прилежащего угла».

б) При доказательстве теорем и особенно при решении задач важно уметь начертить чертеж.

С целью развития этого навыка дается задание выполнить чертеж к задаче (без решения самой задачи).

Например: сделать чертеж к следующей задаче: «В прямоугольной трапеции ABCD угол D — острый; из середины стороны CD восстановлен перпендикуляр EQ, который должен встретиться с продолжением стороны AB в точке Q; точку Q соединить с серединой ВС».

Или: «Спроектировать диагональ куба на левую и нижнюю грань и показать угол наклона этой диагонали к указанным граням».

в) При решении задач ученику очень важно уметь сообразить, какую формулу или какую теорему надо применить при решении данной задачи. Для развития подобных навыков полезно в учетных письменных работах предлагать такие задания.

«Что можно вычислить и по каким формулам:

(АВ±ВС, Дано:]ш) ±АС,

I отрезки AD и АС. (черт. 1)

Черт. 1

Пользуясь какой формулой (теоремой) t можно вычислить. AB?»

Или: «Дан радиус круга R. Что можно вычислить и по каким формулам?» Дается указание, сколько ответов ждет учитель.

г) Немалое значение имеет умение ученика выделить в задаче, теореме данные и то, что надо отыскать и что надо доказать.

Вот примеры такого задания:

«Что можно доказать? (черт. 2)

Черт.

Дано:

Можно доказать-..........>

Или: (черт. 3) «Дано:

Черт. 3

Можно доказать.......... »

д) В практике американской школы широко применяется проверка знаний методом выбора учеником правильного ответа среди ряда данных — правильных и неправильных. Такая проверка требует полной сознательности учащегося в усвоении материала. При неумелом пользовании и при злоупотреблении этим приемом можно навязать ученикам ряд неправильных зрительных образов. Кроме того, при выборе между «да» и «нет» всегда 50% ответов, вероятно, правильных. Поэтому применение этого приема проверки требует сугубой осторожности со стороны учителя.

Вот примеры такой проверки.

«Подобны ли следующие пары прямоугольников?

Под каждой вертикально расположенной парой подчеркните верный, по вашему мнению, ответ* (черт 4).

Черт. 4

Или еще пример: «Дано: ВС II КМ.

Подобны ли четырехугольники ABCD и AKMD (черт. 5)?»

Черт. 5 Да. Нет.

«Подобны ли изображенные здесь треугольники (черт. 6)?»

Черт. 6 Да. Нет.

Подчеркните верный ответ».

е) Разновидностью предыдущего задания будет задание, где выбор правильного ответа должен сопровождаться мотивировкой.

Тема—правильные многоугольники.

«Даны следующие мноугольники: равносторонний треугольник, ромб, прямоугольник и квадрат.

Из этих мноугольников нельзя назвать правильными следующие: 1.........потому, что.....

ж) Задание, в котором дана задача в виде чертежа со всеми необходимыми данными для ее решения.

«Вычислить площадь заштрихованной части квадрата» (черт. 7).

з) Для проверки умения решать задачи на построение и для проверки знания основных задач на построение можно давать задания такого вида (черт. 8)

Черт. 7

Черт. 8

«Дана дуга AB.

Данное построение выполнено для того, чтобы . . . . , ...........

..................»

Еще пример: «Дан угол а (черт. 9).

Черт. 9

Данное построение выполнено для того,

чтобы................

..................»

и) Проверка умения применить полученные математические знания и навыки на практике может быть произведена таким образом:

Черт. 10

«Сколько километров от места, помеченного на карте точкой В, до места, помеченного точкой Л, если масштаб карты ———?»

10000

Отв ....

к) Наконец, среди заданий при проверке по геометрии будут также задачи на построение, задачи на вычисление и доказательства отдельных теорем.

4. При подборе материала для той или иной контрольной письменной работы необходимо учесть еще следующие два момента. Во-первых, всякая учетная работа по той или иной теме не должна замыкаться в своем содержании исключительно материалом только данной темы. Специфика математического материала такова, что в каждом новом разделе всегда так или иначе отображен материал старый, предыдущих тем. Этого отображения старого материала не только не надо избегать, но, наоборот, заботиться об этом. Так, давая контрольную работу на бином Ньютона, мы должны дать один пример, проверяющий знание формулы Ньютона, как таковой.

Ну, например: (2а3—а)9.

Следующий же пример мы даем комбинированный:

Здесь мы сознательно включаем проверку навыка производства действий с целыми, дробными и иррациональными числами.

Во-вторых, время от времени надо составлять контрольные работы, для выполнения которых необходимо знание всех математических дисциплин. Например, решение какой-либо сложной геометрической задачи может потребовать знаний по геометрии, тригонометрии и алгебре (преобразование выражений и вычисление их численной величины с помощью таблиц логарифмов). Обычно это делается слишком поздно — в самом последнем, X классе школы, реже — в IX классе. Работы подобного комбинированного содержания надо давать значительно раньше. Наиболее легко достигается увязка геометрии с алгеброй с того момента, как ученики научились решать уравнения. Позднее начало изучения тригонометрии (фактически с IX класса) лишает нас возможности шире использовать тригонометрию при изучении планиметрии.

5. Перейдем теперь к методике исправления контрольных письменных работ в средней школе.

Прежде всего очень полезно, чтобы учащиеся имели отдельную тетрадь для контрольных работ. Само собой понятно, что работа должна быть написана чернилами, все чертежи к ней должны быть начерчены ка-

рандашом (или чернилами) с помощью чертежных инструментов. Все буквы и числа у чертежа пишутся чернилами. Чертеж должен быть расположен на одной странице с решением. Все величины на чертеже должны на-глаз соответствовать данным для них соотношениям к задаче. Добавочные эскизы должны вычерчиваться по мере их надобности. Элементы эскиза должны быть обозначены теми же буквами, какихми они обозначены на главном чертеже. Чертеж или его части, для удобства чтения, могут иметь тушевку или выполняться разными цветами. Цифры и буквы должны писаться четко и правильно (буквы у рисунка должны быть только те, которые нужны для решения задачи).

Весь текст в работе должен быть изложен грамматически и стилистически правильным языком, с употреблением нужных математических терминов. Текст должен быть дан по принципу необходимого и достаточного. Все записи должны быть целесообразно расположены на месте. Все арифметические вычисления выполняются на том же самом листе — на полях—или на правой стороне развернутого листа. Кстати сказать, следует восстановить обычай оставления полей в тетрадях. Никаких дополнительных листков для черновых записей не должно быть. Учитель при исправлении контрольной работы должен исправить ошибки в примерах, в задачах, в способах решения, в чертеже, во вспомогательных вычислениях, в способах расположения материала и ведении записи, в формулировках, с точки зрения их математической сущности (тут же исправляются ошибки орфографические и стилистические). Все исправления делаются чернилами другого цвета.

Работы, написанные очень грязно, не должны приниматься к исправлению. Не должно быть безразличного отношения к ошибкам орфографическим и стилистическим. Общепризнанным является утверждение, что в борьбе за грамотность все учителя всех предметов должны действовать сообща. И математик должен включиться в борьбу за грамотность учащихся. Он несет ответственность не только за умение учеников правильно писать математические термины, но также и за грамотное написание всего текста как в классной и домашней тетрадях ученика, так и при выполнении контрольной письменной работы по математике. Правда, положение математика легче положения преподавателя русского языка: в работах по математике текст обычно небольшой по размерам. Тем более этот текст должен быть исправлен самым тщательным образом, и, как мы увидим ниже, наличие ошибок в тексте математической работы должно отразиться на снижении отметки за всю работу.

Теперь о приемах исправления контрольной работы по математике.

а) Если в работе очень много ошибок, или прием решения задачи выбран совершенно неправильный, или работа очень грязная, то иногда можно ограничиться перечеркиванием всей работы. Приемом этим нельзя злоупотреблять, он преследует по преимуществу цель воспитательного воздействия на учащегося. При раздаче работ учитель должен указать, раз'яснить, мотивировать причину зачеркивания всей работы учащегося.

б) В работе сильного ученика можно допускать такой прием исправления: ошибка или все выражение с ошибкой (пример, фраза) подчеркивается цветными чернилами, или неверное место берется в кружок, а на полях ставится восклицательный знак или пишется слово «ошибка». При таком приеме исправления работы сильного ученика учитель фиксирует внимание ученика на ошибке, ученик старается найти эту ошибку и осознать ее. В крайнем случае у ученика всегда остается возможность спросить у учителя обо всем во время раздачи работы. Применять этот прием следует, главным образом, при всевозможных описках и при арифметических ошибках в работах учеников VIII—X классов.

в) Существует такой прием исправления работ. Если в большинстве работ учащихся данного класса имеются ошибки против самого существа данной темы, ошибки, показывающие, что тема не усвоена, то учитель, внимательно просмотрев и исправив работы, не возвращает их учащимся. Тема дорабатывается основательно и затем устраивается новая контрольная работа. Ясно, что этот прием имеет очень редкое применение, так как он может оказаться необходимым, если учитель плохо проработал тему, дал контрольную работу раньше срока или плохо знает силы учащихся данного класса.

г) В методиках можно встретить описание следующего приема исправления работ. Учитель стирает ошибку и на ее место четко пишет правильное. При этом способе ученик не узнает своей ошибки и не может с ней бороться. Такой прием имеет смысл при исправлении тех мест, которые учащийся должен брать просто памятью (некоторые правила орфографии) и которые не требуют пояснения. Для математики этот прием является неприемлемым.

д) Наиболее распространенным и наиболее

желательным приемом исправления является такой. Ученик допустил описку, ошибку. Учитель перечеркивает неправильное место и над ним (или по неправильному месту) пишет правильное решение.

Если данная ошибка отразилась на последующих вычислениях, то и все последующие ошибки надо исправить.

Но в этом случае все эти ошибки в теме считаются за одну ошибку с основной, из которой они вытекли.

Иногда после исправления первой ошибки вся задача или пример до конца просто зачеркивается, если эта ошибка делает всю остальную часть решения задачи и примера бессмысленной.

Так, например, ученик решает квадратное уравнение* 2 — 5х —j— 6 = 0. При написании формулы он дал:

Ученик не знает формулы решения квадратного уравнения.

Ошибку в знаке перед ~ надо исправить, а все остальное решение примера зачеркнуть до конца, как не имеющее никакого смысла.

Или ученик решает геометрическую задачу.

«В параллелограм вписан ромб так, что его стороны параллельны диагоналям параллелограма. Определить сторону ромба, если диагонали параллелограма / и mi.

Ученик приготовил чертеж.

Две вершины ромба у него оказались по рисунку на средине сторон параллелограма (черт. 11).

Черт. 11

Ученик кладет эту неточность чертежа в основу своего решения и пишет из подобия треугольников ACF и BCD:

откуда у него:

В этом случае надо исправить так: х\т — CD : С F и на полях приписать: «Точка D не середина CFt>.

Все остальное решение задачи до конца зачеркнуть.

е) Надо отметить, что помимо исправления ошибки тем или иным способом полезно иногда писать замечания (на полях или в конце работы), относящиеся к области методики выполнения работы (выбор способа, оформление).

Иногда эти замечания сводятся к лаконическому: «проще».

Ученик ищет сумму 100 членов ряда 1 — _2+3—4+5—6+7—8...

Он выражает этот ряд в виде двух рядов

1+3 + 5 + 7+...

и

_2 —4 —б —8—

суммирует каждый ряд отдельно и затем подытоживает результаты. Учитель на полях пишет: «проще».

Конечно, при раздаче работ надо проверить, догадался ли ученик, как именно проще можно выполнить суммирование ряда, и довести это до сведения всего класса.

В более сложных случаях полезно указать идею более простого подхода к решению примера или задачи, по сравнению с тем приемом, которым задача решена учеником.

Ученик решает пример:

Полезно указать ученику идею более простого подхода к решению: «Разделите одновременно числитель и знаменатель на Злг».

Или: учащийся, решая задачу по стереометрии, обозначил буквами все решительно вершины многогранника, между тем как по

ходу решения этого не требуется. Тут полезно поступить так: лишние буквы зачеркнуть, а на полях написать: «Не рационально».

Или: ученик решает задачу по геометрии, где имеет дело с сечением тела. Свойства элементов фигуры, полученной в сечении, он пытается подметить, глядя на эту фигуру в ее искаженном перспективой виде. Учителю полезно дать совет: «Нарисовать эскиз сечения на плоскости.» и действительно дать этот эскиз тут же в тетради ученика.

Иногда ученик выполняет чертеж к задаче не только не в соответствии с условиями задачи, но и в явном противоречии с этим условием. И тут учителю надо не только отметить: «Чертеж не соответствует условию задачи», но порой дать образец верного чертежа.

Такими требованиями, замечаниями, показом учитель будет прививать ученику культуру умственного труда, без чего всякое образование теряет половину своей ценности.

Все замечания, имеющие ценность для всего класса, должны быть доведены до сведения учащихся при разборе контрольной работы.

6. При исправлении работ учащихся учитель должен брать на учет все ошибки, допущенные учениками, классифицируя эти ошибки.

Чтобы облегчить учителю работу по исправлению контрольных работ и обработку их, необходимо улучшить технику их проведения. Работы надо печатать типографским путем или в крайнем случае на стеклографе. Для каждой задачи и для каждого примера оставлять для ученика место для решения. В конце данной статьи приведены образцы таких работ. Работу надо иметь в 4 вариантах. Это поможет вести более успешно борьбу со списыванием. Во всех параллельных классах надо давать работу совершенно одинаковой трудности и даже совершенно одну и ту же, если эту работу можно провести в один и тот же час занятий. Учителю дать ключ (ответы) к задачам и примерам работы. Это не значит, что учитель не должен сам решить все задачи и примеры контрольной работы, но это ускорит и облегчит ему эту работу.

Очень полезно, если типовые ошибки каждой контрольной работы по каждой математической теме вскрыты, указаны учителю, указаны корни этих ошибок и даны наборы коррегирующих упражнений для ликвидации этих типовых ошибок. Все это в самое ближайшее время должны разработать наши исследовательские институты. Это сделает самый учет более об'ективным и более научно обоснованным и это, кроме того, значительно упорядочит и облегчит труд учителя. При классификации ошибок их полезно прежде всего разбить на такие основные группы:

1. Ошибки в словесном изложении ответов на вопросы. Это ошибки, происходящие от незнания самой теории или от неумения изложить письменно свои знания.

Надо предостеречь учителя от склонности «прощать» ученику неумение свои знания передать. Ученик должен знать и должен уметь эти знания толково изложить (и устно и письменно) другим. Иначе его знания — мертвый капитал.

2. Ошибки в решении задач и примеров: небрежное списывание или чтение задачи и примера, выбор неправильного пути решения задачи, использование не всех данных задачи, использование лишних данных задачи, неправильная постановка вопросов при решении задачи, недоведение решения до конца и т. п. В общем, это ошибки, происходящие от неумения применить теорию на практике.

3. Ошибки в вычислениях. Очень большая группа ошибок. Очень часто сам учитель снисходительно относится к этой группе ошибок. Не важно-де, если в геометрическую задачу вкралась арифметическая ошибка. Это — вреднейший ход мыслей, это значит, что нам интересен ход работы, а не ее результат. При первом столкновении с жизнью рассуждающий так уче ник потерпит жестокое поражение.

4. Формальные ошибки: пропуски знака равенства, злоупотребление знаком равенства, злоупотребление скобками, пропуск наименований там, где они нужны; постановка наименований, где не следует; употребление непринятых упрощений и сокращений в записях действий.

6. Явные описки. Ученик склонен все свои ошибки считать описками. Учитель должен быть очень строг в этом вопросе. Описка есть результат невнимания. Надо всячески бороться за большую, чем это сейчас имеет место, внимательность ученика.

Это — основные группы ошибок. Контрольная письменная работа по любой математической дисциплине будет иметь ошибки, которые легко сгруппировать указанным выше способом. Однако каждая отдельная математическая дисциплина в каждой из указанных основных групп дает свои специфические ошибки.

Так, в арифметике при решении примеров будут ошибки от незнания правил производства действий над целыми и в особенности над дробными числами. Будут ошибки в вычислениях из-за небрежности. В задачах — от непонимания самой задачи и т. п.

В алгебре — ошибки из-за незнания законов тождественных преобразований, ошибки в арифметических подсчетах, неумение решать задачи методом уравнений и т. п.

В тригонометрии — из-за незнания наизусть формул, неумения вести алгебраические преобразования, из-за непонимания самой функциональной зависимости между элементами треугольника.

Остановимся несколько более подробно на ошибках в геометрических работах.

а) Небрежно выполнен чертеж: чертеж не соответствует условиям задачи; чертеж дан без соблюдения хотя бы на-глаз масштаба.

б) Налицо незнание определений, теорем и формул, неточная их словесная формулировка.

в) Ряд положений из чертежа принят без доказательства.

г) Ввиду механического заучивания теорем неумение определить, какую теорему надо в данном случае применить, особенно, если надо применить часть теоремы.

д) Полное отсутствие навыка в решении геометрических задач на построение.

е) Неумение решать задачи «на доказательство».

ж) Неумение произвести анализ прочитанной задачи. «Не знаю, с чего начать». Начинаются попытки производить самые разнообразные операции над данными задачи: авось, что и получится. Ну, а если случайно в результате такого жонглирования числами получится ответ, то очень трудно убедить учащегося в том, что решение задачи неверно, а ответ получен случайно.

з) Отсутствие умения давать решение задачи сначала в общем виде.

и) Неумение использовать уравнения (особенно тригонометрические) при решении задачи.

к) Большое количество арифметических ошибок в вычислениях. Верен лишь «ход решения», а ответ приблизительный (учащиеся смешивают приближенные вычисления с вычислениями приблизительными-ошибочными).

л) Небрежное расположение записей при доказательствах теорем или при решении задач.

Исправленные таким образом работы полезно проанализировать примерно так:

При проверке работы у каждой решенной правильно задачи учитель ставит плюс, у нерешенной — минус.

В табличке в конце работы он подсчитывает все плюсы и минусы. Затем полезно составить две несложных сводки (таблицы I и II).

Таблица I нами заполнена (примерно) так, что из заданных 6 примеров и задач все 6 задач решили из 40 учеников класса 8 человек, 5 задач решило (независимо от номеров) 3 человека.

В итоговой графе показано общее число учащихся в классе и общее число правильно решенных задач из возможных 240.

I. Число учащихся, правильно решивших задачи

Число правильно решенных задач

6

5

4

3

2

1

0

Всего

Число учащихся (независимо от номера задачи...... .

8

3

10

9

4

3

3

40 141

II. Распределение верных решений по номерам задач

Номера задач

1

2

3

4

5

6

Всего

Число правильных решений . .

30

23

40

12

20

16

141

Первая таблица дает возможность судить об общей успеваемости класса (или классов) в целом и каждого ученика в отдельности. Вторая таблица вскроет, какие отделы недоработаны.

Выборка типовых ошибок, о чем было говорено выше, дополнит картину и дает возможность диференцировать вопрос об успеваемости в отношении каждого отдельного ученика и диференцировать способы помощи каждому отдельному ученику.

7. Исправив все письменные работы, обработав их, учитель ведет беседу в классе по результатам этой работы. Конечно, эта беседа не должна быть отнесена по времени далеко от дня проведения письменной работы: норма — в следующий урок по данной математической дисциплине.

Во время беседы учитель должен разобрать все типовые ошибки, указать корни этих ошибок, указать практические меры борьбы с ними, дать дополнительные упражнения для проработки в порядке коллективного или индивидуального репетиторства для каждого отдельного, нуждающегося в этом ученика.

Если работа выявила факт слабых знаний и навыков у большинства класса, то тему надлежит доработать.

8. В заключение коснемся вопроса о критериях оценки письменных контрольных работ по математике.

Ввиду того, что пока вопрос об об'ективных формах учета не разработан, учет носит характер суб'ективного восприятия и суб'ективной оценки учителем знаний и навыков учащихся. Мы не берем на себя смелость разрешить здесь эту сложную проблему, требующую длительной и кропотливой научной работы исследовательского учреждения. Давая некоторые примерные критерии оценки знаний и навыков учащихся, мы хотим, хотя бы примерно, очертить рамки тех требований к ученику, которые градуируются пятью словами: отлично, хорошо, посредственно, плохо, очень плохо.

Оценка письменных работ

Отметка «пос» ставится, если: курс данного года в основном усвоен. Нет грубых ошибок ни по темам данного, ни по темам предыдущего года. Основные формулы знает, применяет их правильно, хотя не всегда выбирает наиболее короткий путь работы. Чертежи не блещут изяществом, но в основном правильны. Нет как арифметических, так и орфографических ошибок. Решено верно и до конца не менее 75% данных примеров и задач. Выполнение всей работы уложено в отведенное время.

Отметка «пл» ставится, если: решено без ошибок и до конца не менее 50% заданных примеров и задач. В сделанных примерах и задачах встречаются изредка грубые математические ошибки и грубые грамматические ошибки. Правила, формулы, определения, теоремы знает нетвердо и нечетко, затрудняется в применении их на практике. Работа не уложилась в отведенное время.

Отметка «оч. пл» ставится, если: курс данного года совершенно не усвоен, или усвоен в незначительной своей части. Имеются грубые ошибки по курсу нынешнего года или по темам прошлого года. Большинства формул не знает, а те, что знает, применяет неправильно и нерационально. Чертежи небрежные, неправильные. Ошибки и арифметические и орфографические. Работа не уложилась в отведенное время. Решено менее 50% из заданных примеров и задач.

Отметка «хор» ставится, если: курс данного года усвоен полностью со всеми деталями, а курс прошлого года в основном не забыт. Все формулы знает и применяет их правильно, рационально. Чертеж выполнен математически правильно. Точно вычерчен и красиво оформлен. Вычисления доведены до конца. Нет ни одной арифметической и орфографической ошибки, даже второстепенного характера. Запись рационально расположена. Работа выполнена в срок, меньше отведенного. Выполнено 90—100% задач и примеров.

Отметка «отлично» ставится, если курс данного года и предыдущих лет знает в деталях. Формулы знает все без исключения; делает попытки, и не без успеха, дать свое оригинальное решение задач. Внешне работа безукоризненна. Ни одной ошибки, ни одной помарки. Чертеж безупречен, верно выполнен. Записи рационально расположены, и экономно произведены все расчеты с применением устного счета, с применением всевозможных сокращений. Работа выполнена ранее срока. Решено 100% примеров и задач.

ПОВЕРОЧНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ*

ВАРИАНТ А

Отрицательные и дробные показатели

1) Выразить написанные ниже коэфициенты при помощи отрицательных показателей Линейный коэф. расшир. алмаза—0,000001

» » » кварца—0,0000007

» » » цинка —0,000026

2) Выразить без отрицательных и дробных

показателей и упростить

3) Вычислить

4) Вычислить

5) Разложить на множители

8) Произвести указанные действия и результат выразить в радикалах

ВАРИАНТ В

Треугольники

ЧАСТЬ 1-я

Вставить одно-два пропущенных слова

1. Угол, образованный стороной треугольника и продолжением другой стороны его, называется............углом.

2. Прямая, соединяющая вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется.........треугольника.

ЧАСТЬ 2-я

В следующих задачах надо изучить чертежи и данные условия и дать ответ на поставленный вопрос:

3. Дано АВ±ВС; BD АС (черт. 1). Что можно доказать об углах / и 2?

4. В разнобокой трапеции дано:

AO = OD; СО=ОВ.

Что можно доказать о треугольниках АОС Их DOB?

ЧАСТЬ 3-я

Какие заключения можно сделать из данного построения?

5. Дана прямая AB и точка С вне ее.

Данное построение выполнено для того,

чтобы................

6. Дан угол а.

Данное построение выполнено для того, чтобы................

ЧАСТЬ 4-я

Сделать чертежи по следующим данным.

7. Из вершины В разностороннего треугольника ABC провести биссектрису В M

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3

Черт. 4

* В подлиннике должно быть оставлено место для решения.

и медиану BN. Из вершины M треугольника M BN опустить высоту на BN.

8. Из точки вне прямой опустить на эту прямую перпендикуляр AB и наклонную AD. На проекции построить треугольник, симметричный треугольнику ABD.

ЧАСТЬ 5-я

Задачи на построение и вычисление.

9. С помощью циркуля и линейки построить ось симметрии равностороннего треугольника.

10. Построить без транспортира с помощью циркуля и линейки угол в 120°.

11. Внешний угол равнобедренного треугольника ABC равен 130°(черт. 5).

Чему равен угол В?.......

12. В треугольник ABC сторона AB = ВС, а угол С в два раза больше угла В (черт. 6).

Найти все углы треугольника.

Правильным считается безошибочное и грамотно записанное решение, а также решение с ошибками, об'ясняемыми исключительно недосмотром.

В помещенной ниже таблице правильные решения отмечаются знаком + . неправильные —.

Черт. 5

Черт. 6

Результаты (к варианту А)

Результаты (к варианту В)

НЕОНОВАЯ ЛАМПА, КАК ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ПРИБОР

М. ГРАБОВСКИЙ (Москва)

I. ВВЕДЕНИЕ

Неоновая лампа представляет собою стеклянный баллон, в который впаяны два электрода. Из баллона откачан воздух до давления, примерно, 10—5 мм ртутного столба, а затем баллон заполнен неоном до давления 5—15 мм ртутного столба. Если теперь к выведенным наружу концам электродов присоединить батарею высокого напряжения, то между электродами лампы возникнет «тлеющий» разряд. Механизм этого разряда в основном сводится к следующему: при наложении напряжения с катода лампы срываются электроны, которые летят в направлении анода.

С внешней стороны часто анод неоновой лампы не отличается от катода, поэтому в дальнейшем нашем изложении катодом лампы мы будем называть тот электрод, который связан в данный момент с минусом источника тока. На своем пути электроны ударяются в молекулы оставшегося газа в баллоне и вызывают расщепление (возбуждение) последних. При значительных скоростях электронов, что обусловливается величиной напряжения нааноде неоновой лампы, расщепление молекул сопровождается свечением. Свечение и носит название «тлеющего» разряда. При достаточно большом напряжении на аноде отрицательные ионы, возникающие в результате расщепления молекул, увлекаются общим электронным потоком и движутся с значительными, и при этом все возрастающими, скоростями в направлении анода. Электронная и ионная «бомбардировка» анода может вызвать прогрев последнего до высокой температуры, что в результате приведет лампу в негодность. Для предотвращения лампы от порчи в цепь лампы включают добавочное сопротивление в несколько сот омов. Это сопротивление гарантирует лампу от возрастания тока в ней до опасной для лампы величины; оно часто просто замонтировано в цоколе лампы.

Для того, чтобы понять несколько подробнее работу неоновой лампы, следует снять характеристику лампы. Последняя устанавливает зависимость между напряжением на Электродах лампы Va и величиной анодного тока Ja т. е. Ja = f (Va)- На рисунке 1 изображена схема а для снятия характеристики неоновой лампы.

При помощи потенциометра тс на электроды неоновой лампы подается напряжение, примерно, от 0 до 200 вольт. При незначительном напряжении на электродах анодный ток отсутствует, лампа не горит. Ток разряда возникнет лишь тогда, когда напряжение достигнет определенной для данного типа лампы величины. В этот момент анодный ток «скачком» приобретает некоторое значение. На рисунке 2 этот момент отмечен точкой а. Затем изменение силы тока почти прямо-пропорционально изменению анодного напряжения. Графически это изображено линией ab. Сила тока с своей стороны определяет яркость света, испускаемого лампой. Наименьшее напряжение, при котором происходит разряд, называется «потенциалом зажигания» (V^). Величина этого «потенциала зажигания» зависит от газа, введенного в баллон, от давления в баллоне и от расстояния между электродами.

При уменьшении напряжения на электродах лампы наблюдается также уменьшение анодного тока в лампе. Однако это уменьшение более интенсивное, чем возрастание тока с ростом напряжения.

В результате в лампе появляется своеобразное электрическое «затягивание», которое приводит к следующим результатам: 1) лики ob (рис. 2) не сливается с линией be, 2) точка а не совпадает с точкой с, т. е. «напряжение зажигания» V\ всегда несколько больше напряжения «гашения» V2. Разность между этими напряжениями может достичь не скольких вольт. Для простоты изложения мы предполагаем, что ветви ab и be прямолинейны. Это является лишь некоторым приближением к действительной характеристике лампы. Изложенный материал лишь весьма схематично рисует сложный процесс разряда, наблюдаемый в неоновой лампе. Мы не упомянули еще о некоторых явлениях, которые могут сопутствовать разряду. Однако продолжать

Рис 1

дальнейшее описание работы лампы не входит в нашу задачу, поэтому мы позволим лишь в заключение подчеркнуть те особенности неоновой лампы, которые дают возможность использовать ее, как демонстрационный прибор.

1. Неоновая лампа «вспыхивает» при определенном напряжении.

2. Лампа «гаснет» также при определенном потенциале. При демонстрациях разница в напряжении «зажигания» и «гашения» не играет большой роли. Мы можем их считать совпадающими по своему значению. Во всех случаях, когда это обстоятельство может повлиять на качество демонстрации, мы укажен приемы, как избежать тех неудобств, которые определяются этой разницей.

3. Характер свечения меняется от введенного в баллон газа. Кроме этого, свечение несколько изменяется при изменении полярности напряжения, подведенного к электродам лампы. Последнее особенно заметно, если катод и анод отличны друг от друга по устройству. Например, часто одному из электродов придают форму стрелы, буквы, цифры и т. д. (рекламные, сигнальные лампы). Отсюда нетрудно сделать вывод, что характер свечения неоновой лампы может быть показателем полярности подведенного к ней тока. Действительно, на этом принципе устроены неоновые определители полярности тока.

4. Неоновая лампа будет светиться и в случае переменного тока. Амплитудное значение напряжения переменного тока должно в этом случае превышать напряжение «зажигания», так как, во-первых, в определенные моменты времени, соответствующие напряжению переменного тока, меньшему напряжения зажигания, лампа будет гаснуть, и, во-вторых, вследствие полного отсутствия тепловой инерции лампы, мигание неоновой лампы в случае городского тока (50 периодов) будет хорошо заметно даже на-глаз. Это обстоятельство мы используем при постановке демонстраций с неоновой лампой.

5. Для наших целей удобнее взять неоновую лампу, имеющую минимальный потенциал зажигания. Такая лампа имеется в продаже. Она рассчитана на включение в цепь тока 120 вольт без добавочного внешнего сопротивления. Необходимое для нормальной работы сопротивление вмонтировано внутрь лампы. Напряжение зажигания этой лампы около 100 вольт. Электроды лампы представляют совершенно одинаковые диски (диаметр около 2 см), расположенные параллельно друг от друга на расстоянии нескольких миллиметров. По внешнему виду баллона и цоколя эта лампа ничем не отличается от ламп накаливания. Наличие у лампы обычного цоколя дает возможность ввинчивать лампу в обычный патрон.

Демонстрации по электростатике

Опыты с неоновой лампой следует начать по электростатике. Они дадут возможность проиллюстрировать некоторые явления из электростатики и выявить свойства самой неоновой лампы.

Опыт 1. Шаровой или дисковой кондуктор а, укрепленный на изолированной подставке (рис. 3), соединен с одним из электродов неоновой лампы, другой электрод лампы через ключ соединен с землей. Затем путем натирания сукном эбонитовую палку заряжаем отрицательным электричеством. Заряды, получившиеся при этом на палке, сообщаем кондуктору а. Операцию зарядки кондуктора от наэлектризованной палки следует произвести несколько раз. Продолжительность этой зарядки определяется емкостью кондуктора, потенциалом зажигания лампы и диэлектрическими свойствами эбонитовой палки. В наших опытах мы заряжали кондуктор от 6—7 приемов. В каждом отдельном случае необходимо последнее предварительно проверить. Затем соединяем второй полюс неоновой лампы через ключ с землей. В этот момент произойдет разряд через неоновую лампу. Следует повторить опыт и предложить аудитории заметить характер этого свечения. Далее следует повторить этот опыт

Рис. 2

со стеклянной палочкой, натираемой кожей.

Во втором варианте полярность зарядка будет изменена и в момент соединения неоновой лампы с землей разряд произойдет в обратном направлении. Разряд во втором случае будет отличаться по внешнему виду от первого. При малой интенсивности разряда неоновой лампы это различие недостаточно заметно для большой аудитории.

На этих опытах следует задержать внимание аудитории, так как они дают некоторый иллюстративный материал к первой теме по электростатике— «Два рода электрических зарядов»

Следует указать на некоторые детали при постановке указанного опыта:

1) Ключ к (рис. 3) и линию, соединяющую электрод лампы с землей, можно исключить.

Когда зарядка кондуктора и неоновой лампы произведена, экспериментатор касается электрода Ь лампы рукой и тем самым создает разряд в лампе.

2) Заряжать кондуктор а рекомендуется путем передвижения заряженной эбонитовой палки по кондуктору от свободного конца палки до места, за которое держит палку экспериментатор; разумеется, рука экспериментатора не должна касаться кондуктора. Только коснуться наэлектризованной палкой кондуктора недостаточно.

3) Описанный опыт следует показывать при освещении настольной лампой. Неоновая лампа располагается несколько вдали от остальных частей схемы. В этом случае удобнее различать характер разряда при изменении полярности.

Опыт 2. Если соединить неоновую лампу с лейденской банкой при помощи медной проволоки (рис. 4), то возможно опыт 1 несколько видоизменить. Лейденскую банку а заряжаем, как выше рассказано, от наэлектризованной стеклянной палки, а затем при помощи разрядника (рис. 5) соединяем между собой обкладки банки. Этот разряд лейденской банки происходит через неоновую лампу. Лампа вспыхивает. Повторяем опыт без всяких изменений и обращаем внимание аудитории на характер разряда. Затем заряжаем лейденскую банку отрицательным зарядом и производим разряд. Вследствие изменения зарядки лейденской банки разряд внутри неоновой лампы будет другого направления. Последнее скажется на внешнем виде разряда, на что необходимо обратить внимание аудитории.

Опыт получается много ярче, если лейденскую банку заряжать не от наэлектризованной палки, а от электрофорной машины.

Рис. 3

Рис. 4

Рис 5

Полярность разряда в данном случае легче обнаруживается, чем в первом. В последнем случае можно даже употреблять неоновые лампы, имеющие потенциал зажигания выше 100 вольт.

Оба варианта последнего опыта (с палкой и электрофорной машиной) дают возможность продемонстрировать явление перезарядки конденсатора. Вызвав первый разряд в неоновой лампе в момент соединения обкладок кондесатора, мы соединяем через несколько секунд обкладки, вновь и вновь получаем разряд в несновой лампе. Естественно, что второй разряд по своей интенсивности будет много слабее первого, но, тем не менее, явление перезарядки конденсатора будет продемонстрировано. При большой емкости конденсатора явление перезарядки можно наблюдать до 4—5 раз.

Следует добавить, что в этих опытах необходима лейденская банка, изготовленная из стекла, обладающего высокими диэлектрическими свойствами.

II. Емкость в цепи постоянного и переменного тока

Для удобства изложения второй группы опытов с неоновой лампой мы вкратце напомним общепринятые приемы демонстрирования явлений, связанных с включением емкости в цепь переменного тока.

Последовательно с лампой накаливания включается батарея конденсаторов, емкостью 4—8 jjlF (рис. 6). Величина емкости батареи определяется мощностью лампы накаливания, с ней последовательно соединенной. Желательно, чтобы батарея конденсаторов допускала возможно более различные варианты включений в цепь емкостей. При включении незначительной емкости 0,5 — 1 piF ток, возникающий в цепи, мал, и накал лампы незаметен на-глаз. Постепенно увеличивая емкость, включенную в цепь, мы уменьшаем общее сопротивление цепи и тем самым способствуем возрастанию тока, а накал лампы при этом увеличивается.

Опыт следует признать удачным, если путем 4—5 добавочных включений емкостей в цепь, лампа накаливания пройдет заметные на-глаз этапы от совершенно темной нити до почти нормального накала.

В равной степени опыт можно провести, заменив на схеме (рис. 6) лампу накаливания тепловым прибором. Вариант с амперметром в цепи переменного тока более удобен в тех случаях, когда лектор находит нужным использовать эту демонстрацию для вывода формулы общей емкости параллельно и последовательно включенных конденсаторов. Однако мы не будем больше останавливаться на деталях этих опытов, а перейдем к аналогичным демонстрациям с неоновой лампой.

1. Начало следует положить демонстрацией «горения» неоновой лампы на постоянном и переменном токе: напряжения обоих источников тока должны быть приблизительно равные. Желательно путем быстрого переключения с постоянного на переменный ток (рис. 7) обратить внимание аудитории на различный характер в разряде.

Полезно здесь выяснить, почему неоновая лампа может давать разряд в случаях включения ее в цепь переменного тока.

Затем включаем неоновую лампу последовательно с емкостью С в цепь сначала постоянного, а затем переменного тока (рис. 8).

Выясним раньше первый вариант. Напряжение постоянного тока (например 120 вольт) распределится на две части, разность потенциалов между точками а и Ь> т. е. на клеммах неоновой лампы, и между d и е — на пластинах включенного конденсатора. Омическим сопротивлением цепи пренебрегаем.

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Величины напряжений Vab и Vde обратнопропорциональны емкости Ct и С2. Так как емкость неоновой лампы Ct много меньше емкости включенного конденсатора С2, то Vab^>Vde. Следовательно, почти все подаваемое напряжение (120 вольт) придется на электроды неоновой лампы, и лампа вспыхнет.

Однако разряд в неоновой лампе произведет существенное перераспределение напряжения в рассматриваемой цепи. В момент разряда можно считать, что емкость С1 исключилась из цепи и все подаваемое напряжение придется на клеммы конденсатора С2. Что же касается точек а и b цепи, то они окажутся почти одинакового потенциала. Разность потенциалов между этими точками будет меньше напряжения зажигания и через весьма короткий промежуток времени разряд прекратится и вновь не появится.

Итак, при пропускании постоянного тока через неоновую лампу с последовательно включенным конденсатором наблюдается : 1) однократный разряд в неоновой лампе и 2) зарядка конденсатора С2.

При повторении этого опыта необходимо разрядить конденсатор (замкнуть между собою его пластины).

Тот же опыт с лампой накаливания менее убедителен: лампа накаливания просто не горит.

Этот опыт повторяем далее с неоновой лампой и конденсатором, включенным в цепь переменного тока.

Результат опыта будет иной: неоновая лампа будет все время «гореть». Весьма полезно разобрать этот факт с точки зрения двух конденсаторов, включенных последовательно. Неоновая лампа до разряда, как мы уже выше упомянули, также является емкостью.

2. Перейдем далее к более сложным соединениям конденсаторов.

Два равных конденсатора Ct и С2, емкость каждого не меньше 1—0,5 [/.F, последовательно соединены между собой (рис. 9). Параллельно одному (например С2) присоединим неоновую лампу, рассчитанную на включение в цепь 120 вольт. Напряжение зажигания этой лампы, как мы уже упомянули, 100 вольт*. Если схему (рис. 9) присоединить к цепи переменного тока, то неоновая лампа гореть не будет. В данном случае 120 вольт напряжения поровну распределятся между емкостями и на долю конденсатора С2, в то же время и на долю неоновой лампы придется около 60 вольт эффективного напряжения, т. е. напряжение будет меньше напряжения зажигания; разряд в лампе будет отсутствовать.

Если теперь к емкости С± присоединить параллельно равную ей емкость С3 (последняя отмечена на рис. 9 пунктиром), то вследствие уменьшения емкостного сопротивления на участке ab цепи произойдет перераспределение напряжения. Если до включения С3 соотношение, между напряжением на участке ab, с одной стороны, и bd—-с другой, определялось равенством Vab : Vdb = 1:1, то после включения С3 это соотношение изменилось: Vab : Vbd =1:2. Следовательно, на электроды неоновой лампы придется 80 вольт, и неоновая лампа, как и следовало ожидать,

Рис. 9

Рис. 10

* 120 вольт от городской цепи соответствует эффективному значению переменного тока. В явлении разряда, конечно, имеет значение амплитудная величина напряжения. В дальнейшем изложении мы будем указывать, для простоты изложения, только эффективное значение напряжения переменного тока.

будет гореть. Заметим, что 80 вольт эффективного значения (около 114 вольт амплитудного значения) достаточно для «горения» лампы, имеющей потенциал зажигания около 100 вольт.

Разбор описанного явления представляет, с нашей точки зрения, некоторый учебный интерес.

Несколько иная картина получится, если емкость С3 мы присоединим параллельно емкости С2 (рис. 10).

Тогда, согласно выше рассказанному перераспределению напряжения, на концы конденсатора С2 придется напряжение около 40 вольт; неоновая лампа гореть не будет.

Если теперь емкость С3 быстро отключить при помощи, например, ключа k (рис. 10), то неоновая лампа однократно вспыхнет. После вспышки напряжение в рассматриваемой цепи распределится поровну между клеммами конденсаторов Ct и С2 (Vab = Vbd)t и неоновая лампа гореть не будет.

С учебной точки зрения весьма полезно об'яснить факт однократной вспышки лампы в момент отключения емкости С3.

В заключение несколько слов по поводу «общепринятых», как мы в начале главы назвали, приемов демонстрирования емкости в цепи переменного тока и тех же демонстраций с неоновой лампой.

Первые основаны на точном или приблизительном измерении силы тока (тепловой амперметр, лампа накаливания), второе (с неоновой лампой) — на оценке напряжения на отдельных участках цепи. Неоновая лампа фигурирует здесь, как максимальный вольтметр. Опыты с неоновой лампой не дадут во ложности установить какие-либо числовые зависимости, но зато неоновая лампа более демонстрационна в смысле внешнего оформления опыта.

В некоторых вариантах, где наблюдаются однократные вспышки, неоновая лампа не может быть заменена ни вольтметром, ни амперметром.

Так как неоновая лампа в момент разряда требует ничтожного тока (несколько миллиампер), то эффект получают всегда полноценный, даже при наличии в цепи сравнительно малых емкостей. Что касается лампы накаливания и амперметра с небольшой чувствительностью, то удачные опыты получаются при значительной емкости в цепи переменного тока. С нашей точки зрения, преподавателю следовало бы пользоваться и первыми и вторыми приемами демонстрирования, комбинируя их в зависимости от конкретных условий, при которых читается курс.

III. Индукционное сопротивление в цепи переменного тока

1. Демонстрации индукционного сопротивления в цепи переменного тока весьма распространены. Разберем эти опыты с точки зрения использования неоновой лампы в этих демонстрациях.

На рисунках 11 и 12 изображена катушка самоиндукции Л, включенная последовательно с реостатом R в цепь переменного тока. В первом случае неоновая лампа НЛ включена последовательно катушке Л, во втором случае параллельно.

Регулируя силу тока в цепи при помощи реостата, без труда удается установить определенное распределение напряжения в цепи. В первом случае (рис. 11) напряжения на клеммах неоновой лампы должны быть немного больше напряжения зажигания, лампа будет гореть; во втором случае (рис. 12) напряжение на клеммах а и b катушки А должно быть немного меньше напряжения зажигания, и лампа гореть не будет. Для удобства регулировки можно включить в схему вольтметр (последний отмечен на рис. 11 пунктиром). Однако индикатором необходимого распределения напряжения в цепи может явить-

Рис. 11

ся сама лампа. Силу тока в первой цепи необходимо прекратить увеличивать, как только вспыхнет неоновая лампа; силу тока во второй цепи (рис. 12) следует перестать уменьшать, как только «погаснет» лампа. Теперь вводим внутрь катушки железный сердечник.

Вследствие возросшего индуктивного сопротивления катушки, потеря напряжения на концах катушки увеличится, и неоновая лампа в первом случае погаснет, а во втором случае вспыхнет.

Если введенный в катушку стержень значительно изменяет индуктивное сопротивление, то возможно обе демонстрации соединить вместе. Для этого необходимо в одну цепь включить две неоновые лампы: одну — параллельно катушке, другую — последовательно. Вводя стержень в катушку, в условиях указанного выше распределения в цепи, мы вызывали вспышку одной из ламп и прекращение разряда в другой.

С нашей точки зрения пользоваться неоновой лампой удобнее в этих демонстрациях, чем лампой накаливания, так как в первом случае самое незначительное изменение индуктивного сопротивления вызывает определенный внешний эффект.

В опытах с лампой накаливания необходимо, вводя сердечник, значительно изменить индуктивное сопротивление катушки.

Если напряжение на клеммах катушки А (рис. 12) весьма мало отличается от потенциала зажигания, то достаточно внести внутрь катушки железный гвоздь, и неоновая лампа вспыхнет. В данном случае, правда, может сказаться явление «электрического затягивания», т. е. лампа не погаснет при напряжении, немного меньшем напряжения зажигания (см. введение к данной статье). Иными словами, при вынимании гвоздя из катушки лампа будет продолжать гореть, хотя на клеммах катушки напряжение будет равно исходному. Для устранения этого явления рекомендуется вносить в катушку несколько больший железный предмет, который определит более значительное колебание напряжения на концах катушки, и тем самым явление «затягивания» не будет наблюдаться.

2. В равной степени неоновую лампу можно использовать в опытах с катушкой Томсона. На рисунке 13 изображен опыт индуцирования на катушке В напряжения, достаточного для разряда в неоновой лампе.

На приборах физического кабинета средней школы последнее показать просто.

В томсоновскую катушку (катушка А на рис. 13) посылаем ток силой в 3—5 ампер; регулировочный реостат на рисунке не изображен. Неоновую лампу проволокой соединяем с катушкой от трансформатора Неймана. Рекомендуется взять катушку с максимальным числом витков. При приближении катушки В к сердечнику С (рис. 13), на определенном расстоянии между двумя катушками напряже-

Рис. 12

Рис. 13

ние на концах катушки В достигнет напряжения зажигания, и неоновая лампа вспыхнет.

Разберем преимущества и недостатки демонстрирования последнего опыта с неоновой лампой по сравнению с лампой накаливания в условиях опыта Томсона.

Так как разряд неоновой лампы отличается с внешней стороны в зависимости от характера напряжения, поданного к электродам лампы, то по характеру свечения лампы можно сделать заключение, что в катушке В индуцируется переменный ток. Аналогичное заключение с лампой накаливания сделать трудно. Отметим второе преимущество неоновой лампы в данной демонстрации. Представим себе, что опыт Томсона ставится на постоянном токе и лектор ставит себе цель обнаружить появление индуцированного тока в катушке В лишь в момент включения и выключения тока в катушке А.

В данный момент неоновая лампа будет вспыхивать лишь в момент включения и выключения. С лампой накаливания последнее показать трудно:

тепловая инерция нити. Помимо этого, опыт с неоновой лампой дает возможность установить разное направление индуцированного тока замыкания и размыкания.

Если лектор пользуется при демонстрации неоновой лампой на 120 вольт двумя дисковыми электродами (см. первую главу статьи), то различие в направлении тока замыкания и размыкания скажется в следующем: в первом случае ярко светится верхний диск (рис. 13), при противоположном токе в катушке В верхний диск будет темным на ярком фоне общего свечения лампы. Для удобства демонстрации рекомендуется повернуть неоновую лампу «на бок», т. е. обратить выпуклую часть стеклянного баллона к зрителю. Однако последняя демонстрация не исчерпывается сделанными замечаниями.

Если взять неоновую лампу, рассчитанную на напряжение в 220 вольт, то без большого труда можно создать такие условия опыта, что лампа будет вспыхивать только при выключении тока. Последнее даст возможность лектору сделать некоторые замечания относительно величины напряжения тока замыкания и размыкания.

На последний абзац нашего изложения мы особенно обращаем внимание читателя.

Сделаем несколько добавочных замечаний относительно опыта Томсона на постоянном токе.

1) Рекомендуем питать катушку А от аккумулятора батареи. Ток от батареи свободен от пульсаций.

2) Для того, чтобы получить в катушке В напряжение выше напряжения зажигания неоновой лампы, мы рекомендуем взять возможно больше витков в катушке В, нежели в Л. В этом случае не будет надобности посылать в катушку А большой ток. В условиях школы питать сильными токами установку от аккумуляторов затруднительно.

3) Возможно схему рисунка 13 заменить трансформатором (например Неймана), первичная обмотка которого включена на постоянный ток (рис. 14).

В равной степени с неоновой лампой можно продемонстрировать известный опыт Эйхенвальда (индукция в связанных катушках). Схема опыта Эйхенвальда остается без изменений, только в цепь, вместо гальванометра, включается неоновая лампа.

Вернемся, однако, к разбору опыта Томсона.

Если присоединить в схему чертежа 13 вместо неоновой лампы лампу накаливания, то по мере приближения катушки В к сердечнику С нить лампы будет медленно накаляться и может достигнуть нормального накала. Неоновая лампа в этом случае, как мы уже выше отмечали, вспыхнет сразу при определенном расположении катушки В и сердечника С. Правда, неоновая лампа также увеличивает яркость своего «горения» по мере надвигания катушки на сердечник, но последнее в демонстрационном отношении мало убедительно.

В этом варианте опыта преимущество должно остаться за лампой накаливания, так как лектор эту демонстрацию может использовать, как иллюстрацию к вопросу об интенсивности распределения силовых линий вокруг катушки А.

Последняя демонстрация этого типа не носит строго программного характера. Преподаватель может использовать ее как иллюстрацию связи механических колебаний с

Рис. 14

Рис. 15

электрическими и оптическими (демонстрация «смешанной» электромеханической колебательной системы). На рисунке 15 эта демонстрация изображена.

К стойке k (рис. 15) прикрепляется мягкая пружина, нагруженная железным грузом Ь. Пружину и груз нужно так подобрать, чтобы колебания были не сильно затухающими и с довольно большим периодом. Предмет Ь при своем колебании должен свободно входить внутрь катушки А. Катушка А, с своей стороны, включена в цепь переменного тока (120 вольт) через потенциометр R. При помощи последнего в цепи устанавливается такое распределение потенциала, которое обеспечивает на клеммах катушки А разность потенциалов, немного меньше потенциала зажигания неоновой лампы, включенного параллельно катушке А (рис. 15). Следовательно, лампа «гореть» не будет. Если вывести пружину из положения равновесия и заставить железный предмет погружаться внутрь катушки, то весьма нетрудно подобрать условия опыта такие, чтобы лампа в этот момент вспыхивала. Итак, опыт следует признать удачным, если частота «вспышек» неоновой лампы равна частоте колебания нашей механической системы. На основании этой демонстрации лектор без труда может развить мысль о связи механических колебаний с электрическими и о значении этой связи в технике.

Несколько добавочных замечаний относительно самой демонстрации:

1) Предмет Ъ следует подобрать таких размеров, чтобы он свободно без всяких помех погружался внутрь катушки.

2) Катушку для этого опыта можно взять от трансформатора Неймана.

3) Если в физическом кабинете нет мягкой пружины, то последнюю можно взять от прибора «ведерко Архимеда». Последний вариант этого прибора снабжен пружиной, которая, в случае нагрузки ее предметом (около 1—112 кг)t даст механические колебания большого периода. Из всего вышесказанного вытекает, что пружину а (рис. 15) мы нагружаем гирей в 1 кг (не изображено на рисунке), а под гирей подвешиваем железный предмет b небольших размеров, который один только при колебаниях входит внутрь катушки и производит изменение индуктивного сопротивления катушки.

4) Предмет b должен быть подобран таких размеров, чтобы при опускании неоновая лампа вспыхивала, при под'еме предмета разряд в лампе полностью прекращался. Иными словами, при колебании не должно иметь место явление «электрического затягивания». Устранению этого явления может помочь правильное расположение пружины: последняя должна быть укреплена так, чтобы предмет b приблизительно опускался на 7з внутрь катушки Л.

Описанный опыт можно использовать еще для одной демонстрации. Выключаем ток в катушке А и вызываем колебание нашей механической системы. Фиксируем внимание аудитории на продолжительности всего колебательного процесса (время от начала колебания до полного прекращения колебательного процесса). Затем включаем ток. Продолжительность колебательного процесса уменьшилась вследствие возросших потерь в нашей системе (токи Фуко).

Маятник после 20—30 полных колебаний останавливается. Следовательно, продолжительность колебательного процесса может в некоторой степени характеризовать наличие потерь в колебательной системе. Можно было бы обратить внимание аудитории на амплитуды колебания в первом и во втором варианте опыта, но ввиду того, что последнее выходит

из пределов программы по физике средней школы, мы воздерживаемся от разбора этого вопроса.

IV. Стробоскопические опыты

Мы имели уже случай отмечать, что при питании неоновой лампы переменным током разряд в лампе мигающий и частота этого мигания зависит от частоты питающего переменного тока. На этом свойстве лампы возможно демонстрировать ряд опытов. Остановимся лишь на двух.

1. Включим в цепь переменного тока несколько неоновых ламп. Можно включить просто одну мощную неоновую трубку, употребляемую для сигнальных или рекламных целей. Эти трубки часто включаются через специальные повышающие трансформаторы.

Демонстратор с палкой в руке располагается так, чтобы быть ярко освещенным мигающим светом неоновых ламп. Затем демонстратор быстро начинает махать палкой перед собою. Присутствующие в этом случае увидят не одну палку, а как бы целый пучок палок с узлом, находящимся в руке экспериментатора.

Объяснение этого зрительного эффекта сводится к следующему: передвигаемая экспериментатором палка лишь в тот момент будет видна зрителю, когда в лампе происходит разряд. Следовательно, палка видна не все время движения, а лишь в определенных положениях, соответствующих времени, отделяющему один разряд в лампе от другого. Если бы глаз человека не обладал свойством сохранять зрительные впечатления в течение определенного промежутка времени, то картина опыта была бы иная. Палка в руке экспериментатора вращалась бы не непрерывно, а скачкообразно, перепрыгивая каждый раз на определенный угол. Вследствие: 1) мигания неоновых ламп и 2) сохранения зрительного впечатления в глазу — зритель находится под суммарным оптическим воздействием, в результате чего одна палка в руке преподавателя кажется превратившейся в пучок.

2. Весьма важной демонстрацией является стробоскоп. Стробоскопические приемы в демонстрационной технике довольно распространены. Здесь мы останавливаемся лишь на стробоскопе, демонстрируемом при помощи неоновых ламп.

На рисунке 16 изображена схема опыта. Картонный диск, наклеенный на фанеру, разделен на черные и белые сектора, равные друг другу по величине.

Диск просто насажен на ось мотора. Желательно в данном случае взять мотор постоянного тока, так как число оборотов последнего удобно регулировать. Затем включаем цепь переменного тока неоновые лампы и пускаем мотор. При определенной скорости вращения мотора диск будет казаться неподвижным. Последнее будет наблюдаться в том случае, когда между числом оборотов мотора в секунду (7V), числом однотипных секторов* (белых или черных) (п) и числом вспышек (k) будет следующее соотношение N =;- -(1)

Следует помнить, что k — число в два раза больше частоты переменного тока, питающего неоновую лампу. В условиях городской сети ^=5 100.

С физической точки зрения, этот зрительный обман следует об'яснить таким образом: если между двумя вспышками неоновой лампы белый (например) сектор успеет повернуться на угол, равный углу сектора, т. е. стать на место соседнего белого сектора, то у зрителя не будет никаких внешних признаков заметить вращение диска. С точки зрания наблюдателя, диск будет в покое. Если синхронизацию между числом оборотов и вспышками неоновой лампы нарушить, то диск начнет вращаться (с точки зрения наблюдателя) или по часовой стрелке или в сторону, обратную движению чесовой стрелки. Разберем оба варианта: 1) Предположим, что число оборотов диска N больше частного-;

(2)

Следовательно, в этом случае сектор (например второй, рис. 16) не только успеет за время между двумя вспышками стать на место сектора /, но повернуться еще на добавочный угол. Величина этого угла определяется степенью неравенства (2).

Естественно, что зритель сектор 2 увидит

Рис. 16

не в положении сектора /, а несколько далее. В равной мере последнее справедливо для каждого сектора круга и для каждой новой вспышки неоновой лампы. В результате зрителю будет казаться, что диск D начал вращаться в направлении действительного вращения диска,— в нашем случае по часовой стрелке. Лектору следует подчеркнуть, что угловая скорость кажущегося вращения диска О много меньше угловой скорости действительного вращения.

2) Иная картина получится, если неравенство (2) будет направлено в противоположную сторону:

(3)

В этом случае сектор 2 не успеет за время между двумя вспышками неоновой лампы достичь положения сектора / и при следующей вспышке неоновой лампы весь диск покажется зрителю повернутым на некоторый угол в направлении, обратном движению часовой стрелки. Последнее явление повторится при следующей вспышке лампы и т. д. Иначе говоря, с точки зрения зрителя, диск начнет с некоторой угловой скоростью вращаться в направлении, противоположном истинному вращению.

При подборе синхронизации между N и — часто пользуются не реостатом для изменения скорости вращения мотора, а просто тормозом. Экспериментатор тормозит чем-либо диск с задней стороны и тем самым изменяет число оборотов мотора.

Последнюю демонстрацию следует всемерно внедрить в школьную практику, так как синхронизация при телевидении основана на том же принципе.

V. Неоновая лампа, как источник колебаний

В курсе физики для средней школы рассматриваются колебательные системы, состоящие из емкости и самоиндукции. Последние обычно называются томсоновской колебательной системой, период которой определяется известной формулой Томсона:

(4)

Эта тема в демонстрационном отношении прорабатывается в школе малоубедительно. Учащиеся, с нашей точки зрения, мало чувствуют периодический характер тех явлений, которые разыгрываются в контуре.

Частота тех звуковых колебаний, которая в некоторых случаях может быть получена из контура, состоящего из емкости и самоиндукции, совершенно не соответствует частоте электрических процессов, возникающих в конденсаторе и катушке самоидукции. Преподавателю в этих случаях необходимо тут же упомянуть о двух сложных явлениях модуляции и детектировании, чтобы как-то установить связь между электрическими процессами в контуре и звуковыми явлениями.

С нашей точки зрения, желательно было бы разбору томсоновской контура предпослать какую-то демонстрацию электрических колебаний, период которых непосредственно воспринимался бы аудиторией.

Весьма важно в аудитории установить период этих колебаний и продемонстрировать возможность воздействия тем или иным путем на период электрических колебаний.

Такими колебаниями являются релаксационные колебания, получение которых весьма просто осуществляется при помощи неоновой лампы. Колебательный процесс, который в этом случае возникает, проявляется весьма убедительно: неоновая лампа вспыхивает с определенной частотой. Частота этих колебаний может изменяться в широких пределах, что весьма существенно в демонстрационном отношении.

Прежде чем переходить к краткому объяснению релаксационных колебаний и описанию способов получения их при помощи неоновой лампы, следует заметить следующее: теория релаксационных колебаний много сложнее теории томсоновских колебаний и разобрать первые со всей тщательностью в средней школе невозможно. Но зато внешнее проявление релаксационных колебаний весьма просто и убедительно. Вот почему мы считаем необходимым советовать преподавателю физики эту демонстрацию показывать прежде, нежели приступить к вопросу об электрических колебаниях.

Рис. 17

На рисунке 17 изображена схема для получения релаксационных колебаний. Схема состоит из батареи аккумуляторов Vç , дающих напряжение выше напряжения «зажигания» неоновой лампы, магазина сопротивления на несколько тысяч омов, конденсатора и неоновой лампы.

При замыкании цепи через ключ k конденсатор начинает заряжаться через сопротивление R от батареи аккумуляторов. Процесс зарядки конденсатора продолжается некоторое время, которое определяется емкостью конденсатора С, величиной сопротивления R, величиной напряжения батареи и напряжением зажигания лампы. Когда напряжение на конденсаторе достигнет напряжения зажигания, неоновая лампа, включенная параллельно конденсатору, вспыхнет. Через лампу пойдет ток в несколько т. А. Вследствие этого ток во всей цепи возрастет, но вместе с ним увеличится падение напряжения на концах сопротивления R. Перераспределение напряжения в цепи, вызванное разрядом конденсатора через неоновую лампу, уменьшает напряжение на пластинах конденсатора до напряжения ниже напряжения «гашения» (см. введение к статье) и неоновая лампа «погаснет». Так как батарея аккумуляторов попрежнему соединена со всеми частями схемы, то зарядка конденсатора через сопротивление R будет вновь происходить до напряжения «зажигания». За новой зарядкой конденсатора будет следовать новый разряд конденсатора через неоновую лампу и т. д. В результате периодической зарядки и разрядки конденсатора неоновая лампа будет также периодически «вспыхивать» и «тухнуть».

Следует заметить, что в цепи происходят колебания напряжения, форма которого значительно отличается от синусоидального*.

Не останавливаясь, однако, на всех деталях этого процесса, мы обратим внимание читателя но демонстрационную сторону вопроса.

Получив периодические вспышки неоновой лампы, преподаватель должен в аудитории установить время между двумя вспышками. Затем путем изменения сопротивления или емкости (можно и то и другое изменить) устанавливается другой режим релаксационных колебаний. Подобно предыдущему, преподаватель рассчитывает из наблюдения времени нескольких вспышек время релаксации**. Желательно емкости и сопротивления подобрать таким образом, чтобы два сравниваемые промежутка времени релаксации при двух режимах в демонстрационном отношении были ощутимы.

В заключение этой демонстрации лектору следует подчеркнуть в своей беседе, что параметром этой системы являются R и С, на которые мы можем и воздействовать.

В предыдущем опыте мы изменяли время релаксации путем изменения R или С. Однако время между двумя вспышками при постоянной R и С легко можно менять, увеличивая или уменьшая напряжение источника тока, питающего рассматриваемую цепь (см. начало этой главы).

Последнее обстоятельство дает возможность опыт периодического разряда лампы поставить проще.

Для этого необходимы: одноламповый радиолюбительский выпрямитель и неоновая лампа.

На рисунке 18 изображен такой выпрямитель, к клеммам которого присоединена неоновая лампа. В схеме выпрямителя мы замечаем все элементы, необходимые для возникновения релаксационных колебаний: источник тока (катодная лампа), сопротивление (дроссель фильтра) и конденсатор С. Изменяя реостатом накала кенотрона напряжение в цепи, мы без труда создадим условия для возникновения периодических вспышек неоновой лампы.

Следует заметить, что в демонстрационном отношении этот вариант опыта очень удобен.

Изменяя напряжение тока, которое подается на части схемы, отмеченной на рисунке 18 пунктиром, мы создадим условия для возникновения релаксационных колебаний, и неоновая лампа будет вспыхивать. Так как реостатом кенатрона возможно довольно плавно в определенном пределе менять напряже-

Рис. 18

* См. ст. «Релаксационные колебания» проф. С. Э. Хайкина в «Технической энциклопедии».

** Время зарядки и разрядки конденсатора называется временем релаксации.

ние постоянного тока, то, следовательно, соответственно будет меняться и время между двумя вспышками. Опыт интересен в том отношении, что при минимальном напряжении возможно получить вспышки, промежутки между которыми достигают 20 сек. Далее, увеличивая накал кенотрона, вспышки неоновой лампы будут становиться все чаще и чаще и при достаточно большом напряжении по выходе выпрямителя отдельные разряды лампы сольются в один, глазом не отделимый разряд. Пульсация тока, которая обычно сопутствует явлению выпрямления тока катодной ла,мпой, в этом случае совершенно не мешает а, видимо, даже способствует периодическому разряду внутри лампы.

VI. Заключение

Возможно, что некоторым читателям покажутся опыты с неоновой лампой трудными, искусственными. Пожалуй, они скажут, что незачем пользоваться неоновой лампой, когда удобнее, проще, понятнее для учащихся лампа накаливания.

Предвидя эти возражения, мы хотели бы заранее сказать несколько слов «в защиту» неоновой лампы.

Современная техника так быстро движется вперед, что многие аппараты, которые вчера были только лабораторными приборами, сегодня пускаются в массовое производство. Подобное бурное развитие испытывает в настоящее время неоновая лампа. Сигнализация, световые релэ, световая реклама, телевидение и т. д.,— вот те области техники, где неоновая лампа нашла свое применение. Школьнику крупных городов неоновая лампа почти так же известна, как и лампа накаливания. Поэтому нам кажется, что неоновая лампа имеет некоторые основания попасть на демонстрационный стол.

Впрочем, предположим, что неоновая лампа совершенно неизвестна школьнику—и в этом случае нет повода отказываться от пользования ею, как демонстрационным прибором. Процесс действия неоновой лампы можно предварительно рассказать весьма просто, а затем неоновая лампа будет фигурировать на лекции, как индикатор того или иного явления. Пользуемся же мы гальванометром Депре и д'Арсонваля при демонстрациях, связанных, например, с законом Ома, и лишь много позже в главе, рассматривающей взаимодействие между полем и током, мы сможем добросовестно рассказать принцип действия приборов типа Депре. В подобное положение мы можем поставить иногда неоновую лампу.

В заключение считаю своим долгом выразить глубокую благодарность проф. А. В. Млодзеевскому за ценные советы, которые я от него неоднократно получал при составлении этой работы.

ОПЫТ ШКОЛ

НОВЫЙ ЗНАК ДЕЛЕНИЯ*

Д. СКАРЛАТО (Одесса)

1. Из четырех основных действий арифметики самым трудным, неопределенным и сложным является деление.

Огромное число ошибок при делении, которые встречаются даже у старших учеников школы, подтверждают общепризнанную «трудность» деления.

Как известно, самое большое количество ошибок приходится на пропуск нулей в частном.

Большие также затруднения для учеников представляет случай деления с остатком.

Практика показывает, что остаток не только затрудняет ученика, но и запутывает его.

Во время испытаний только и слышишь: «Что делать?», «Не делится», «У меня остаток», «Не знаю, как поступить», «Этот пример с остатком или без остатка?», и т. д.

Существуют некоторые методические указания, благодаря которым уменьшается число ошибок, как, например, требовать, чтобы ученик называл единицы разрядов и пр.

Но, очевидно, существующие указания недостаточны, ибо количество ошибок при делении все-таки слишком велико.

В сентябре текущего года мы имели возможность воспользоваться приемными испытаниями в двух школах ФЗУ г. Одессы, чтобы лично просмотреть и проверить 400 письменных работ по арифметике.

Эти 400 работ принадлежат ученикам, которые в процентах распределились так: 17% — ученики, окончившие 7 классов школы; 17% — окончившие 6 классов; 38%— окончившие 5 классов и 28% — окончившие четырехлетку (сюда вошли и 5% учеников, образовательный ценз которых остался невыясненным).

Каждому ученику был предложен стандартный тест из одного американского учебника по арифметике.

Одна часть учеников (148 человек) решала стандартный тест, среди заданий которого были два примера на деление:

1) 92 928 :96 и 2) 48 200 :80.

Первый пример правильно решило 38% учеников, второй — 31%.

Другая часть учеников (249 человек) решала стандартный тест, среди заданий которого имелись такие случаи деления:

1) 96 410 :622 и 2) 3913 :59.

Первый пример правильно решили 39% учеников, а второй — всего лишь 30%.

Как видно, результаты получились чрезвычайно плохие, ибо нельзя же признать благополучным то обстоятельство, что только, примерно, одна треть учеников может правильно решить вышеуказанные примеры, принимая во внимание, что школьный стаж этих учеников очень высок.

Тут напрашивается вопрос о причине та ких результатов.

Среди очень многих причин имеется одна существенная, которая заключается, по нашему мнению, в неудачном, если можно так сказать, начертании нашего знака деления (не двоеточия) и, благодаря этому, — в «далеком» расстоянии цифр частного от делимого, т. е. от места непосредственной вычислительной операции.

Если изменить начертание нашего знака деления и условиться о другом месте для цифр частного, то эффективность обучения при делении очень повышается и количество ученических ошибок резко понижается.

Под влиянием американского учебника по арифметике мы предлагаем следующие изменения.

В американском подлиннике деление 396 на 3 напечатано так: 3 ) 396; мы этот знак деления «оборачиваем» на такой: 396 ( 3 и достигаем некоторого сходства с нашим знаком деления.

Затем показываем, где ставить цифры частного и рядом примеров убеждаем учеников

* В порядке обсуждения.

в преимуществах предлагаемого знака деления.

Далее мы поступаем по изложенному ниже методу:

1. Как получены цифры числа 132?

2. Почему цифра 1 в частном стоит как раз над 3?

3. Почему цифра 3 в частном стоит точно над 9 ?

4. Почему цифра частного 2 стоит как раз над 6?

9. разделенное на 4, дает 2; 2x4=; 8. Когда 8 вь1чтено из 9, то что сделалось с единицей?

Почему в частном имеются два нуля?

1. Почему цифра частного 3 стоит над 2, а не над 1?

2. Почему после 3 в частном поставлен 0 как раз над 1 ?

Сможете ли дать объяснения по поводу получения каждой цифры частного?

Эти пять примеров достаточны для того, чтобы ученики поняли неоспоримые преимущества такой записи цифр частного, а также и для того, чтобы начали с охотой применять на практике такой знак деления.

Этот способ деления страхует ученика от ошибок. Ученик, поставив первую цифру частного над определенной цифрой делимого, понимает, что в дальнейшем над каждой цифрой делимого в частном должна стоять соответствующая следующая разрядная цифра частного. Этим достигается то, что ученик уверенно начинает ставить цифры частного, не задумываясь всякий раз при вычислениях над разрядами цифр.

Следующий этап обучения заключается в рассмотрении случаев деления ^ остатком.

Ниже дан пример, показывающий, что делать с остатком.

Существуют два способа записывания остатков при делении.

Первый способ

Второй способ

Обращаем внимание, что делитель (7) написан под остатком и, что только верхнее число (3) есть остаток, а весь результат 22 — есть частное от деления 157 на 7.

Второй способ очень охотно принимается учениками.

Наконец, рассматриваем случай пользования длинной формой деления. Как известно, разница между длинной формой и короткой формой деления такова: при коротком делении решение не записывается, а пишутся только цифры частного, при длинной же форме записывается и то и другое.

Легкие примеры должно приучить учеников решать коротким делением.

Длинной формой деления пользуемся, когда нам трудно запомнить употребляемые числа и потому все решение записывается.

Вот несколько примеров:

Изложенное здесь касается учеников, побывавших уже в школе и, следовательно, «искушенных» старым знаком деления и старою записью цифр частного. Однако практика (школы ФЗУ) показывает, что введение при-

* В последнем примере öö написано вместо

лагаемого способа деления в среду даже «искушенных» учеников целесообразно, и потраченные на это один-два урока с лихвой окупаются в дальнейшей работе.

Для учеников «неискушенных», для начинающих детей этот знак деления будет, по нашему мнению, предохранительной мерой против массовых ошибок при делении.

В заключение необходимо отметить, что расположение компонентов того или иного действия играет, как известно, большую «заградительную» роль.

Поэтому, предлагая новый знак деления, мы тем самым решаем и вопрос о расположении компонентов, перенеся частное на новое место, т. е. над делением.

В этом заключается весь центр тяжести предлагаемого знака. Благодаря этому, мы легко и непосредственно устанавливаем разрядное значение каждой цифры частного, а это обстоятельство и представляет большое преимущество перед старым знаком деления.

Мы полагаем, что введение предлагаемого знака деления и соблюдение условия относительно места для цифр частного принесет большую пользу ученикам тем, что количество их ошибок резко уменьшится, а учителям даст возможность повысить эффективность обучения.

II. Новый знак деления*, примененный к десятичным дробям, дает отличные результаты в смысле правильной технической ориентации учащихся относительно того, где в частном ставить десятичную запятую**.

Раз показанный прием легко и быстро усваивается учениками и не вызывает в дальнейшей их практике никакой путаницы.

Правила деления десятичных дробей в таком виде, как они обычно излагаются в наших учебниках, не достигают цели. В правилах, указывающих, где ставить десятичную запятую, имеется явный недочет, зависящий скорее не от того или иного методико-технического разрешения этого вопроса, а скорее всего от старого способа начертания знака деления.

Долголетняя практика и наблюдения над учениками различного возраста и квалификации (ФЗУ металл., ФЗУ конторгуч.) твердо убедили нас в том, что наш ученик не умеет ориентироваться в числе знаков до и после десятичной запятой, и часто делает ошибки, принимая их за обычное допустимое явление (благо учитель всегда заметит и поправит), свыкается со своими промахами, приводящими, как известно, к трудно исправимым навыкам.

Старый знак деления является, по нашему мнению, основным источником массовых ошибок при делении десятичных дробей.

Вот почему, стремясь к наивозможной эффективности в обучении, мы предлагаем учителям-практикам убедиться в тех хороших качествах нового знака деления, которые он дает при делении десятичных дробей. Если обучить ученика пользоваться этим знаком, то для такого ученика уже не будет существовать вопрос: «Где поставить десятичную запятую», потому что место частного с его разрядным значением каждой цифры ясно укажет ученику на место десятичной запятой в частном, куда он ее наперед и ставит.

Процесс обучения мы предлагаем вести примерно так. Пусть требуется разделить 90,628 на 2,78.

Записав действие деления по-новому, так:

выполните следующие последовательные ступени процесса:

1. Переместите сперва десятичную запятую в делителе направо, указав это стрелкой так, чтобы сделать делитель целым числом:

2) Затем переместите запятую в делимом направо точно на столько десятичных знаков (мест), на сколько вы это сделали в делителе (указав это такой же стрелкой).

3. Теперь поставьте десятичную запятую в частном точно над новой запятой в делимом (как это показывает стрелка):

4. Наконец, делите так, как будто запятых нет, ставя цифры частного строго над соответствующими цифрами делимого

* См. журнал «Физика, химия, математика в советской школе», № 2 за 1931 г.

** Хорошо бы условиться применять точку при записи десятичной дроби, вместо запятой.

5) Свободные разрядные места заполняются нулями, как это сделано в примерах, указанных ниже:

Если вы согласитесь, что этот прием методически правилен и потратите время на то, чтобы понять указанные выше 5 ступеней процесса, то деление не будет представлять для вас затруднений.

Действительно, деление десятичных дробей надо производить так же, как и деление целых чисел, но о десятичной запятой должно позаботиться прежде, чем вы начнете делить.

Дальнейший процесс обучения, собственно говоря—уже тренаж овладевания этим процессом, надо вести по образцам, указанным ниже. Эти образцы дают хороший способ для внимательного отношения со стороны ученика к методу десятичной запятой в частном.

а) Десятичные запятые в частных поставлены правильно.

Тщательно изучите места этих десятичных запятых в указанных ниже примерах.

в) Дайте объяснения, почему десятичные запятые находятся точно там, где они поставлены в указанных выше примерах.

с) В примерах ниже цифры частных

правильны, но десятичные запятые и некоторые необходимые нули пропущены. Поставьте Десятичные запятые на надлежащие места в частном, а также и необходимые нули, где это нужно.

В заключение надо отметить, что ученики, переключенные на этот способ деления, всегда показывают несравненно лучшие качественные достижения, нежели ученики, применяющие обычный старый знак деления.

Новый знак деления имеет ряд очень больших методико-технических преимуществ перед старым знаком. Это обстоятельство обязывает нас рекомендовать учителям-практикам новый знак деления.

Редакция приглашает читателей высказаться по существу затронутого в статьях тт. Скарлато и Кишкина вопроса.

НАЗРЕВШАЯ РЕФОРМА*

С. КИШКИН (г. Покров)

Всякий, кому приходилось обучать ребят или взрослых арифметике, знает, с каким трудом дается учащимся деление** и как много ошибок встречается при выполнении этого действия даже у окончивших не только начальную, но и среднюю школу.

Особенно большое число ошибок наблюдается в тех случаях деления, когда в частном среди других цифр или на конце должен быть поставлен нуль; при делении же десятичных дробей крайне затрудняет учащихся постановка в частном запятой.

Приемные испытания в школе ФЗУ, на рабфаки и другие учебные заведения подтверждают высказанное самым красноречивым образом. Интересный материал по этому вопросу, относящийся, правда, к 1930 г., был сообщен в нашем журнале Д. Скарлато на основании анализа 400 письменных работ по арифметике, выполненных на приемных испытаниях в двух школах ФЗУ г. Одессы***.

Нам лично приходилось неоднократно сталкиваться с перечисленными ошибками в делении целых чисел и десятичных дробей в работе в школах для взрослых, в ФЗУ, на рабфаке; не редкость встретить подобную ошибку и у учащихся и даже у окончивших средние учебные заведения.

* В порядке обсуждения.

** Мы все время будем иметь в виду письменное деление с записью частных произведений н остатков.

*** «Физика, химия, математика, техника в советской школе», 1931 г., № 2, статья Д. Скарлато— «Новый знак деления».

Невольно возникает вопрос, почему именно действие деления оказывается камнем преткновения для учащихся, почему другие действия не вызывают подобных ошибок. Несомненно, здесь играет значительную роль то обстоятельство, что при сложении, вычитании и умножении всякий разряд результата подписывается под соответствующими разрядами компонентов (при сложении и вычитании) или частных произведений (при умножении), и тем самым каждой цифре результата предопределяется ее место (единицам — под единицами, десятками — под десятками и т. а.)

Иначе обстоит дело при принятом у нас способе деления. Здесь результат подписывается под делителем, с разрядным составом которого он непосредственно не связан и, таким образом, например, под десятками делителя могут стоять и десятки, и сотни, и тысячи, и миллионы частного.

Между тем, разрядный состав частного определяетя не делителем, а делимым: деля сотни, мы получаем сотни: деля десятки, получаем десятки и т. д. В записи же действия эта связь частного с делимым не отражена.

В американских школах принято иное, более целесообразное расположение компонентов и результатов деления, а именно: делитель пишется слева от делимого (в одну строку с ним), а частное — над делимым, причем каждая разрядная цифра частного надписывается над соответствующей разрядной цифрой делимого. Таким, образом, выполнение деления 23 688:47 и 20,823:5,5 запишется так:

При таком расположении частного (над делимым) выполняющий действие, отделив в делимом слева направо нужное число цифр (столько же, сколько в делителе, или на одну больше), ставит первую цифру частного над последней цифрой отделенной части, а последующие цифры частного пишет последовательно одну за другой над соответствующими цифрами делимого, так, что при делении Целых чисел последняя цифра частного стоит над последнее цифрой делимого; при делении десятичных дробей запятая в частном — над запятой в делимом. Таким образом, здесь каждая цифра результата, как и в первых трех действиях, имеет свое строго определенное место. Ясно, что при этом самая запись действия в высокой степени предохраняет учащегося от пропуска в частном какой-бы то ни было цифры, в том числе и нуля, в высокой степени она гарантирует и правильную постановку в частном запятой.

Существенно важное дидактическое значение имеет и помещение делителя слеза от делимого. В самом деле, первое, с чего начинает выполняющий действие деления, — рассмотрение делителя (не делимого) и подсчет числа цифр в нем, чтобы отделить надлежащее число цифр в делимом, и лишь тогда он приступает к процессу деления.

Еще более важна постановка делителя впереди делимого при делении десятичных дробей. Здесь бывает особенно много ошибок. Часто приходилось наблюдать такую картину. Ученик, которому предложено разделить одну десятичную дробь на другую, начинает с того, что зачеркивает запятые в делимом и в делителе, не перенося на новое место запятую в делимом, сколько бы десятичных знаков в нем ни было, далее делит получившиеся целые числа, а затем начинает гадать, где же в полученном частном поставить запятую.

Ученик с трудом усваивает правило: при делении на десятичную дробь обращать делитель в целое число и уже в зависимости от этого увеличивать соответственным образом делимое. Его внимание в этой начальной стадии выполнения действия, перебрасывается с делимого на делитель, он затрудняется с чего начать, который из двух компонентов должен быть сделан целым. Вот здесь-то и окажет ему существенную помощь выдвижение на передний план делителя, показывая, что начинать нужно именно с него*.

* Многие учителя практикуют вместо способа обращения делителя в целое число крайне нерациональный прием уравнивания нулями числа десятичных знаков в делимом и в делителе с последующим зачеркиванием в том и другом запятых. Этот прием рекомендовался некоторыми старыми учебниками арифметики. Нерациональность его выражается в появлении в процессе деления совершенно ненужных хвостов нулей и усложнении действия во всех случаях, когда число десятичных знаков в делителе меньше, чем в делимом. Но этот прием свободен от трудностей, связанных с переносом запятой, и поэтому усваивается легче. Однако грубое нарушение принципа экономии вычислительной работы при пользовании им настолько очевидно, что применение его при обучении должно быть решительно осуждено.

И наконец: известный алгоритм извлечения квадратного корня из чисел требует для получения каждой цифры корня, кроме первой, выполнения действия деления, и вот в этом случае почти во всех наших школах и учебниках делитель принято ставить слева от делимого, а не справа от него, как в других случаях, так что при переходе к предлагаемому нами расположению компонентов деления будет осуществлено единство в этом расположении, которое в настоящее время отсутствует.

Изложенные соображения представляются нам достаточными, чтобы признать постановку вопроса об отказе от принятого у нас знака деления с соответствующим расположением чисел при этом действии и о переходе к приемам выполнения письменного деления, принятым в Америке, вполне своевременной и обоснованной.

Нас могут спросить, проверены ли наши соображения на практике. Мы пробовали применять рекомендуемые нами приемы в 1932 г. в работе со взрослыми рабочими, уже учившимися ранее в школах, причем оказалось, что эти приемы усваиваются легко и действительно оказывают помощь учащимся, предохраняя их от ошибок.

О том же свидетельствует и т. Скарлато (см. названную статью), применявший частично американский способ в учебной работе. Разумеется, было бы чрезвычайно ценно произвести более широкую и полную проверку рекомендуемого приема в опытных учреждениях.

Тов. Скарлато, насколько нам известно, был первым, поднявшим вопрос о реформе знака деления, но из американского способа он берет лишь часть, а именно: постановку частного над делимым, тогда как делитель у него сохраняет свое место справа от делимого.

Приведенные выше доводы заставляют нас признать предложение Скарлато недостаточным и настаивать на помещении не только частного над делимым, но и делителя перед делимым. Предложение Скарлато подверглось критике со стороны П. Стратилатова в статье «О знаке действия деления», помещенной в № б—7 журнала за 1931 г. С полным основанием возражая против принятого у нес и сохраняемого Скарлато расположения делимого и делителя, т. Стратилатов не соглашается на постановку частного над делимым, приводя против этого следующие два возражения:

1. При таком расположении «цифры делителя и частного далеко отстоят друг от друга».

Но разве эта «дальность расстояния» настолько велика, чтобы порождать затруднения и ошибки?

Ведь и сейчас часто практикуется умножение не только многозначного числа на однозначное, но и многозначного на многозначное с записью сомножителей не друг под другом, а рядом, в одну строку*, и учащиеся без всякого затруднения и добавочных ошибок приучаются выполнять действие при такой записи. Нисколько не труднее производство умножения и в том случае, когда множитель (частное) написан сбоку от множимого (делителя), но в непосредственной близости к нему (а совсем не вдали).

2. «В предлагаемом способе при составлении частных произведений умножение придется вести сверху вниз, что противоположно тому умножению, которое привык производить ученик, умножая цифру нижнего множителя поочередно на все цифры верхнего множителя».

Мы полагаем, что ученик, овладевший действием умножения, должен уметь выполнить его как «снизу вверх», так и «сверху вниз», как «справа налево», так и «слева направо». Например: если дано умножить 7 X 348, надо добиваться, чтобы ученик сразу записывал результат, не переставляя сомножители и не переписывая их столбиком. Точно так же не должно затруднять его и непосредственное умножение без переписывания в обратном порядке сомножителей, когда они написаны так: X 348- Добиться соответствующих навыков нетрудно, и это имеет значение в целях более полного овладения учащимися действием умножения. Таким образом, при ближайшем рассмотрении оба возражения П. Стратилатова против помещения частного над делимым оказываются совершенно неубедительными.

Говорят, наконец, о нежелательности ломки, связанной с переходом к новым приемам деления (указания на эту ломку мы встречаем у обоих названных авторов). Однако, дадим себе отчет, о какой ломке может итти речь в данном случае. Мы отнюдь не собираемся переучивать тех, кто хорошо знает старые приемы. Пусть всякий делит так, как привык; никакой беды ни для него, ни для других от этого не будет. Во избежание всякой ломки для учащихся можно установить,

* Такую именно запись предлагает очень хороший учебник арифметики, одобренный в свое время Отделом рабфаков Главпрофобра, В. Ефремова, из серии «Готовься в профшколу и на рабфак» (изд. 1930 г.).

что те из них, которые уже познакомились с прежними приемами — в III—IV классах — продолжают пользоваться ими и в дальнейшем; обучение же делению по новому способу будет производиться, лишь начиная с III класса.

Изменения в книгах будут очень незначительны, и они коснутся главным образом учебника арифметики, в котором в соответствующих параграфах, посвященных письменному выполнению деления целых чисел и десятичных дробей, придется дать образцы записи действия по новому способу. И все. Это совсем не то, что изменение орфографии, когда всем действительно приходилось переучиваться и надо было изменять применительно к новым правилам все книги от первой до последней страницы.

Таким образом, мы не встречаем сколько-нибудь существенных возражений против предлагаемой реформы знака деления, польза же от нее будет очень большая: резко снизится число ошибок при обучении действию деления целых чисел и десятичных дробей, т. е. повысится грамотность, предупредятся рецидивы неграмотности при выполнении этого действия в последующей жизни учащихся, овладение действием деления будет упрощено, учащие и учащиеся избавятся от непроизводительной траты сил, и мы сэкономим не один час драгоценного времени.

Задачи нашей эпохи настолько грандиозны, об'ем знаний, которыми должен овладеть учащийся, чтобы приобщиться к важнейшим достижениям социалистической культуры, настолько велик, что каждый час, каждая минута, освобождающаяся для этой цели, представляют громадную ценность.

В ТИСКАХ ТРАДИЦИИ*

И. КАЦМАН (Житомир)

Мы имеем в виду учебную литературу по геометрии, причем ограничимся пока парой вопросов.

1. Первый вопрос — это определение отрезка прямой

Предложение 20-е первой книги «Начал» Эвклида гласит:

«Во всяком треугольнике ABC сумма двух каких-нибудь сторон AB и АС более третьей стороны ВС».

Далее следует доказательство этого предложения, правда, несложное, но все-таки нежелательное, если можно и без него обойтись. Доказательство ведется в таком духе, что мы должны отказаться от предположения, что Эвклид оперировал отрезком прямой, как предустановленным положением о кратчайшем расстоянии между двумя точками. Действительно, это положение впервые встречается у Архимеда в его «Леммах», где оно принято им, как одно из оснований его исследований**.

В «Геометрии» Давыдова, § 13, дается теорема:

«Во всяком треугольнике одна сторона менее суммы двух других сторон »***.

За нею следует доказательство в таких словах:

«Это предложение непосредственно следует из аксиомы*** § 1».

В аксиоме § 1 говорится:

«Прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками».

Следуя Эвклиду, Давыдов называет свое предложение теоремой. Когда же доходит до доказательства, он Эвклида оставляет и принимает установку Архимеда.

Само собою ясно, что слово «теорема» совершенно излишне. Автор хотел доказать, что сторона треугольника больше разности двух других сторон. Для этого он мог воспользоваться следствием, вытекающим из § 1, как предпосылкой. Это для учащегося более приемлемо, чем слово «теорема», которое его часто запугивает. Но Давыдов, очевидно, хотел угодить и Эвклиду и Архимеду, что обыкновенно свойственно многим компиляторам, и не посчитался ни с психологией уча-

* В порядке обсуждения.

** «История математики» Ващенко-Захарченко, стр. 92.

*** Подчеркнуто нами — И. К.

щихся, ни с тем, что оба его авторитета оказались в его переделке довольно помятыми: предложение Эвклида лишилось доказательства, а предложению Архимеда насильно было таковое навязано.

Киселев в своей « Геометрии» не отстал от Эвклида. Не менее старательно, чем последний, он доказывает, что отрезок прямой есть действительно кратчайшее расстояние между двумя точками.

Надо отдать справедливость педагогам: в любом, еле подержанном руководстве по «Геометрии» Киселева мы замечаем, что это самое место весьма старательно вычеркнуто. Это ясно говорит о том, что для учеников оно является неудобоваримым, т. е. оно антипедагогично.

Руководство по геометрии Гурвица и Гангнуса принимает установку Архимеда. (См. «Аксиомы прямой», гл. 1, § 2).

В главе III, § 4, дается зависимость между сторонами треугольника. Составители выводят эту зависимость весьма просто из указанной установки. В ней нет и следа той двойственности, которой сопровождается вывод этой зависимости в «Геометрии» Давыдова.

Все изложенное говорит о том, что понятие об отрезке прямой, по педагогическим соображениям, целесообразнее уложить в установку Архимеда, чем в обусловливаемое доказательством предложение Эвклида.

Примечание. Установка Архимеда, кроме «Лемм», дается им еще в его сочинении «Измерение круга»*.

II. Об угле.

Весьма осторожно к определению угла подходят Вебер и Вельштейн. «... если мы согласимся, как это естественно,** определять угол в многоугольнике, как часть плоскости**, расположенной между двумя смежными сторонами внутри многоугольника***.

У Давыдова § 2:

«Углом называется неопределенная часть плоскости, заключенная между двумя прямыми, выходящими из одной точки».

Это определение совпадает с определением Вебера и Вельштейна.

У Киселева, § 13, изд. 1928 г.:

«Фигура, образованная двумя полупрямыми, исходящими из одной точки, называется углом».

Это определение как будто совпадает с вышеуказанными, но странно, что Киселев избегает слов «часть плоскости».

Наконец, определение Гурвица и Гангнуса (глава II, § 1). Тут целых три определения:

1) «Два луча, выходящие из одной и той же точки, отличаются друг от друга своим направлением и образуют фигуру, называемую углом».

2) «Угол есть мера поворота луча вокруг своей начальной точки».

3) «Угол определяет степень наклона одной прямой к другой».

Теперь приведем два авторитетных определения: Эвклида и Бертрана.

1) Определение Эвклида (первая книга «Начал», определение 8):

«Плоский угол есть взаимное наклонение двух линий, которые встречаются в плоскости и имеют различные направления».

2) Определение Бертрана (первая книга «Начал», прим. 5):

«Бертран из Женевы первый определил угол, как часть плоскости» (Ващенко-Захарченко).

Как видим, Давыдов и Вебер и Вельштейн воспроизводят определение угла, данное Бертраном, причем Вебер и Вельштейн подчеркивают, что это определение является самым естественным.

Относительно упомянутой недомолвки у Киселева трудно определить, является ли она предусмотренной или нет. В том и в другом случае учащимся от этого не легче. Главным же образом нас должно интересовать определение Гурвица и Гангнуса, руководство которых вытеснило из школы руководство самого Киселева.

Первое определение воспроизводит и Эвклида и Киселева. Кстати, определение Эвклида у них существенно корректировано указанием на то, что речь идет о двух прямых линиях, а не просто о линиях, как у Эвклида, под которыми можно подразумевать и кривые, что, как обратил на это внимание Симпсон, может привести к абсурду.

Второе определение угла, как меры поворота луча, выкроено из упомянутого примечания 5 к определению Эвклида. То же самое относится и к третьему определению.

Надо сказать, что оба эти определения в том же примечании 5 подвергаются довольно сильной критике самим толкователем Ващенко-Захарченко.

В результате сказанного, надо констатировать, что определения угла, данные в руководстве Гурвица и Гангнуса, представляют

* См. «Начала» Эвклида, пер. Ващенко-Захарченко, стр. 299.

** Подчеркнуто нами — И. К.

*** «Энциклопедия математики», т. II, ч. 2-я, стр. 7, изд. «Матезис».

собою компилятивное нагромождение разных ходячих определений с сильным уклоном в сторону авторитета традиции, значение которого в данном случае документально сильно оспаривается и Симпсоном и Ващенко-Захарченко.

Нас занимает, однако же, другой вопрос. Мы спрашиваем, что останется в голове учащегося от этого обилия определений? Будет ли эта словесность соответствовать геометрическому образу, являющемуся для нее целевой установкой? Спасет ли эта словесность учащегося от зубристики чисто схоластического характера?

Прямо скажем, мы полагаем, что эти определения могут породить в голове учащегося только один сумбур.

Удивляться следует тому, почему авторы игнорировали коротенькое и легко воспринимаемое определение Бертрана, которое особенно бросается в глаза в том же источнике, из которого они выкопали свои определения.

III. О внешнем угле треугольника

Предложение 16-е первой книги «Начал» Эвклида трактует вопрос о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего, с ним не смежного.

Это предложение находит себе место во всех руководствах по геометрии.

Возникает вопрос, зачем оно кому-либо необходимо при наличии 5-го постулата Эвклида, из которого прямо следует, что внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним?

К сожалению, именно этого-то постулата ученики часто и не знают:

«Я часто встречал на экзаменах воспитанников, прекрасно доказывающих теоремы, но которые смутно понимали значение аксиом и не имели никакого понятия о допущении (postulatum) Эвклида*, на котором основана вся геометрическая система. Это происходит от того, что более обращается внимания на уменье доказывать теоремы, нежели на содержание доказательства и на логическое течение теорем» (Ващенко-Захарченко, предисловие к «Началам»). Кстати и дается же 5-й постулат в руководствах в таком виде, что не удивительно, если ученики о нем никакого понятия не имеют. Этого мало. Бывают курьезы другого рода, а именно, что учащиеся доказывают постулат о параллельных. Это объясняется тем, что в руководствах облекли его в форму: через данную точку к данной прямой можно провести только одну параллельную к этой прямой. Ученики берут точку С, проводят из нее перпендикуляр CD к AB. К линии CD проводят перпендикуляр LM и тут-то они уже все доказали и по Киселеву и по Гангнусу.

Почему-то в руководствах избегают формы, в какую вылился этот постулат у самого Эвклида. Объясняется это, вероятнее всего, сложной ее редакцией. Но вовсе не обязательно переделать эту редакцию до неузнаваемости. Можно ее преобразовать так:

Две параллельные линии, пересекаясь третьей, образуют с нею внутренние односторонние углы, сумма которых должна равняться двум прямым.

Тут и язык постулата, и равенство суммы углов треугольника двум прямым, и все вытекающие из параллельности прямых следствия.

Надо констатировать, что начала геометрии до постулата о параллельных линиях включительно представлены в руководствах в довольно путаном виде.

В одной заметке мы документально установили, что, по мнению одного педагога, равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними не распространяется на равенство прямоугольных треугольников по катетам. Это хотя анекдотически, но факт.

Мы и этому не удивляемся. Остается просить методические органы наркомпросов, чтобы лишний балласт и искажения были устранены из руководств по геометрии не позже конца второй пятилетки.

Мы, конечно, хорошо знаем, что исключение теоремы о внешнем угле повлечет за собою серьезные последствия в распределении остального материала.

Совершенно излишней является теорема о параллельности двух прямых, перпендикулярных к третьей.

Мы только затронули этот больной вопрос. Мы уверены, что наша заметка не останется без откликов со стороны педагогов-математиков.

Рис. 1.

* Подчеркнуто нами И. К.

МЕТОД МОДЕЛИРОВАНИЯ В ПРЕПОДАВАНИИ СТЕРЕОМЕТРИИ

(Из педагогической практики Знаменитовской ПСШ им. Серебровского, Хакасская автон. область)

И. МАКАРОВИЧ (с. Чебаки)

Подытоживая работу за 1934/35 учебный год, автор настоящей статьи задался целью поделиться проделанным им опытом в области преподавания стереометрии в школе.

Каждому из преподавателей математики средней школы приходилось и приходится, вероятно, сталкиваться в процессе своей работы с таким явлением: большинство учащихся предпочитает занятия по алгебре занятиям по геометрии. Особенно ощутительно это сказывается при преподавании стереометрии. Чем об'яснить это явление? Такое недолюбливание этого важнейшего участка математики со стороны учащихся имеет причины, отнюдь не зависящие от самих учащихся. Кроме других причин, над которыми стали призадумываться методисты Наркомпроса, передвинув в программе курс геометрии и уделив на его прохождение и повторение больше часов, основная причина все же, по мнению автора, кроется в методах самого преподавания, в неумении преподавателей наглядно, интересно и убедительно изложить тему урока.

Уроки геометрии, в частности стереометрии, должны быть «трижды» наглядными. Изображение плоских фигур каких-либо особенных затруднений для учащихся не представляет, хотя и здесь имеются трудности, особенно при изображении различных положений тех же фигур и их элементов. Зато с изображением пространственных фигур и тел, которые изучает стереометрия, дело обстоит хуже. Об'ясняется это тем, что тела, имеющие три измерения, приходится изображать на плоскости, имеющей всего два измерения, что и создает некоторые затруднения и требует поэтому от изучающих стереометрию наличия пространственного воображения, умения и навыка не только видеть тело, изображенное на плоскости, но и изображать видимое, разбираться в его деталях и т. д.

Каждый из преподавателей знает, какие затруднения встречаются у учащихся, когда им нужно изобразить на чертеже какое-нибудь сечение тела, даже самое тело, или разобраться в данном чертеже, в его подлинной форме, составных частях, углах наклона, во взаимной связи элементов чертежа и в прочих его особенностях. Даже весьма способные учащиеся иногда охладевают к занятиям по стереометрии за отсутствием пространственных представлений. Но видеть тела: многогранник, призму, пирамиду, цилиндр и т. д., изображенные на плоскости (на таблице, на доске) даже с их деталями — это еще недостаточно для того, чтобы получить о них полное и точное абстрактное представление, суметь после этого начертить их с памяти и разобраться во взаимном расположении их частей. Необходимо видеть тело с его элементами в подлиннике и сравнить таковой с его изображением на плоскости. Тогда только учащийся сможет получить правильное пространственное представление о нем, начертить его, осмысленно и убедительно проанализировать чертеж и решить даже сложную задачу. Задачники Рыбкина по стереометрии и тригонометрии (задачи по стереометрии, требующие применения тригонометрии — X класс) не будут казаться тогда фетишами для учащихся. Правда, авторы стабильного учебника по стереометрии Гурвиц и Гангнус, указывая на трудности, связанные для учащихся с изображением пространственных фигур и тел на плоскости, ввели в учебник надпрограммную дополнительную главу: «Изображение фигур и тел в пространстве», находя, таким образом, частичный выход из положения. Но здесь наглядности еще мало.

Исходя из вышеизложенного, автор этой статьи ввел в дополнение к учебнику в свою практику преподавания стереометрии метод, если можно так назвать, моделирования. Он заключается в следующем. Так как школа, несмотря на ее неоднократные заказы и сигналы, до сих пор стандартными наглядными пособиями по математике вообще не располагает, пришлось силами учащихся заготовить с начала учебного года необходимые модели геометрических тел и их разверток из жести, проволоки, фанеры, картона. Кроме этого, каждая парта (пара учащихся) заготовила в школьных мастерских по доске из мягкого дерева, размером приблизительно 35 сму^ У^25 см и комплект (набор) проволочных заостренных отрезков (иголок) равной и разной длины, фигур, колец, фанерных и жестяных плоскостей и т. д., словом — мате-

риал, необходимый для быстрого и подвижного составления модели изучаемой теоремы, пространственной фигуры или геометрического тела. Изучаемая фигура или тело моделируются учащимися всех парт одновременно, причем преподаватель составляет такую же модель на возвышенном табурете, поясняя ее. После этого он делает соответственный чертеж данной модели на доске, учащиеся в тетрадках, а затем следует сравнение модели и ее частей с чертежом, доказательство теоремы, вывод формулы или решение задачи. Таким образом, каждый учащийся участвует лично в составлении модели, в ее зарисовке, созерцает наглядно разницу между подлинником и его изображением на плоскости, абстрагирует и приобретает навык к четкому пространственному представлению и изображению. Урок проходит оживленно и интересно, каждый учащийся лично и класс в целом работают активно. Здесь налицо и элемент исследования и увязка теории с практикой. Нет сомнения, что такой урок (тема) будет усвоен даже самым слабым в абстрактном мышлении и туго соображающим учеником. Сами учащиеся заявляют, что всякие трудности на пути изучения теорем и решения задач по стереометрии не только в классе, но и дома они преодолевают этим методом. «Приступая к решению задачи, я в первую очередь берусь за составление модели по условию задачи, за анализ этой модели, нахождение связи между данными и искомыми задачи, потом приступаю к чертежу, составляю план решения и решаю»,—заявляет учащийся, потерявший было раньше интерес к геометрии вообще. Лишняя затрата времени при изучении таким способом основных пространственных теорем и геометрических тел окупится значительно ускоренным темпом работы при решении задач. Получив, таким образом, пространственное представление о необходимых основных геометрических телах и их изображении на плоскости, учащийся может в дальнейшем обойтись и без моделирования, употребляя таковое только в сложных случаях. Вводя в преподавание геометрии вообще побольше наглядности и об'ектов живого созерцания, можно активизировать и оживить уроки геометрии и рассеять создавшееся у учащихся ошибочное мнение на счет сухости и трудности усвоения этого, на самом деле интересного, предмета. Наличие наглядности в преподавании, тщательное созерцание об'екта: тела, фигуры — повлечет за собою неизбежно и наличие пространственного представления о них и наличие четкого чертежа. Оно облегчит работу преподавателя и учащихся при решении тех или других вопросов геометрии, облегчит поступившим на физматотделение студентам прохождение курса аналитической геометрии в пространстве, а будущим техникам, инженерам, архитекторам даст возможность более рационально строить, легче изобретать и художественно оформлять. Итак, созерцай, смоделируй, проанализируй, абстрагируй, начерти и реши! Быть может, что в поисках методов оживления преподавания геометрии, в частности стереометрии, придуманы лучшие методы другими школами, — автор счел все же целесообразным поделиться своим годовым опытом на страницах печати с тем, чтобы узнать, таким же образом, мнение других.

ДВА ОПЫТА ПО ЗАКОНУ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ В МЕХАНИКЕ

Проф. Д. ГАЛАНИН и С. ЛИВШИЦ

Описанные ниже опыты ставят своей целью при помощи весьма простой аппаратуры демонстрировать переходы кинетической энергии в потенциальную, причем демонстрировать переходы не только с качественной стороны, но и с количественной.

Опыт 1.

Пусть тонкая резинка а (рис. 1) одним концом укреплена неподвижно и имеет на другом грузик Р. Пусть в положении А грузика Р резиночка вытянута, но не имеет энергии упругой деформации.

В положении В резиночка вытянута весом грузика Р статически.

Придержим грузик Р в положении А и отпустим его. Потенциальная энергия груза относительно земли начинает переходить в кинетическую энергию груза и затем в потенциальную упругую энергию резиночки. Это будет продолжаться до положения С, в котором скорость грузика равна нулю, т. е. вся кинетическая энергия перешла в упругую энергию. Пусть Q есть сила, способная растянуть резиночку до положения С.

По закону сохранения энергии полная работа грузика Р под действием силы тяжести должна равняться полной упругой потенциальной энергии резиночки, т. е. PS2 = U9

где U есть упругая энергия резинки, но

и резин. = —2“=-

Следовательно, должно быть справедливо равенство:

По закону Гука растягивающие усилия пропорциональны деформациям. Следовательно, должно быть справедливо и соотношение S2 = 2SV

Последнее соотношение с большой точностью получаем из опыта.

Для опыта на штативе укрепим на крючке или лапе тонкую резиночку длиной около 30 — 40 см. Подходящие для опыта резиночки употребляются для двигателей в моделях аэроплана. Масса груза около 100 — 200 г. На тот же штатив укрепляем указатели: первый — определяющий положение груза при ненатянутой резинке и второй — определяющий положение груза, когда он статически вытягивает резинку.

На расстоянии от второго указателя, равном расстоянию между указателями, кладем на лапу лабораторного штатива легкую дощечку. Поднимаем груз, как указано выше, и отпускаем. Груз падает и достигает дощечки, которая ударом сбивается с лапы или просто слышен звук удара.

Опыт 2.

Предыдущий опыт можем видоизменить так, чтобы грузик Р падал с произвольной высоты.

Пусть А — положение груза при невытянутой резинке; С — положение, при котором вся кинетическая энергия падающего грузика перешла в потенциальную энергию резинки.

Если Q есть сила, способная вытянуть резинку до этого положения, то ~—- = НР.

Опыт можно проделать с той же аппаратурой, которая указана выше, и согласие опытных результатов с вычисленными получается с достаточной точностью. Установка дощечки указателя нижнего положения груза отличается от теоретической на 5—6 мм при тех размерах нити, которые указаны выше.

С методической стороны эти опыты представляют несомненный интерес и весьма доступны по применяемой аппаратуре. Перед их демонстрацией, конечно, необходимо рассказать, почему работа натяжения пружины или резинки равна половине максимальной растягивающей силы на величину растяжения. Это верно, конечно, только в том случае, если растягивающее тело подчиняется закону Гука. Указанная зависимость лучше всего может быть выведена графически. Берем оси координат и по оси абсцисс откладываем перемещение, а по оси ординат величину силы.

Если бы сила была постоянна (под'ем груза непосредственно или при помощи блока), то работа выразится на графике площадью прямоугольника. Если же сила возрастает пропорционально увеличению растяжения, то работа выразится площадью треугольника. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Это графическое представление работы, как площади, очень важно в дальнейшем для расчета энергии деформации и при раз'яснении индикаторных диаграмм паровой машины.

Рис. 1.

Рис. 2.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА С МЕДНОЗАКИСНЫМ ФОТОЭЛЕМЕНТОМ

Доц. А. БЕЛОГОРСКИЙ (Свердловск)

В целом ряде наших советских журналов и притом на протяжении многих номеров за последние годы можно найти множество статей, посвященных вопросам фотоэлектрического эффекта.

Эта область физики, давшая столько плодотворных результатов и ряд технических применений, должна быть включена в программу физики нашей средней школы.

Мы приведем сейчас описание довольно простой по замыслу установки лабораторной работы, которая совершенно самостоятельно была нами собрана в физической лаборатории физико-механического факультета Уральского индустриального Института имени С.М. Кирова.

Эта установка может быть собрана во всякой школьной физической лаборатории, и при помощи нее учащиеся средней школы могут разобраться в ряде вопросов, имеющих актуальное значение.

Так, среди ряда других наблюдений при помощи этой установки можно показать прежде всего зависимость между силой фотоэлектрического тока и количеством световой энергии, падающей на фотоэлемент. Эту зависимость можно обнаружить двумя путями: во-первых, при помощи изменения расстояния между источником света (электрическая лампочка) и фотоэлементом, а, во-вторых, путем изменения силы светового поля вокруг лампочки накаливания. По поводу этого можно найти указания хотя бы в статье Н. Хлебникова «Применение фотоэлементов и тиратронов» (журнал «Математика и физика в средней школе», № 5, 1935 г.).

Вся установка лабораторной работы понятна из приводимой ниже схемы и нам остается сделать лишь самые необходимые указания, касающиеся только ее сборки (см. схему).

Схема лабораторной работы с меднозакисным фото элементом

1. 120 V электролампа на 300 w.

2. Меха от фотокамер.

3. Фотоэлемент (меднозакисный)

4. Реостат.

5. Зеркальный гальванометр.

6. Линза двояковыпуклая 3, 5 D.

7. Шкала.

8. Осветитель (вогнутовыпуклая линза).

9. Трансформатор (120v—\2v).

10. Штепселя.

11. Скамья.

12. Круг, разделенный на градусы.

Фотоэлемент и электрическая лампочка помещены в небольших деревянных ящиках, выкрашенных внутри и снаружи в черный цвет. Мехи от фотокамер были сделаны нами из мундштучной бумаги, а затем они были оклеены черной материей и после того были внутри покрыты черным лаком. Оба деревянных ящика с находящимися в них фотоэлементом и лампочкой, а равно и фотокамеры, были установлены на бывшей оптической скамье, причем для предупреждения провисания отдельных частей фотокамеры последняя поддерживалась ползушками.

Сама скамья с делениями состоит из двух параллельных брусьев, между которыми на ползушках установлены оба ящика и мехи. Ввиду того, что вся подвижная система достаточно массивна, необходимо, чтобы скамья была солидная, и ползушки закреплялись снизу в ней деревянными или металлическими вертушками, наподобие тех, какие устраиваются у дверей шкафов.

Меднозакисный фотоэлемент имеется в продаже; массовое производство его в СССР ведется сейчас, между прочим, мастерскими Физического института при Ленинградском государственном университете им. Бубнова.

Лампочку для этой установки нужно взять достаточно сильную, и наиболее подходящей для этого является лампа, наподобие той, какие прилагаются к кинопроектору «УП—I» (Одесский завод). При помощи такой лампочки путем вращения ее около некоторой неподвижной оси можно легко изменять силу светового поля вокруг самой лампочки. Для этого на верхней наружной части ящика у нас был установлен круг, разделенный на градусы, по которому двигалась для производства отсчета стрелка, прикрепленная к патрону лампы. Патрон лампы с легким трением вращался внутри отверстия, сделанного в плоскости крышки ящика.

Для измерения силы тока, получаемого во время освещения фотоэлемента, необходимо установить зеркальный гальванометр, которые теперь в большом количестве выпускаются тем же Физическим институтом, причем стоимость гальванометра —60 руб.

Зеркальный гальванометр устанавливается на специальном кронштейне, которой с успехом для дела может быть заменен мраморной или в крайнем случае прочной деревянной сухой дощечкой, в свою очередь устанавливаемой на деревянных пробках, заделанных в стену. Заметим, что гальванометр должен находиться над полом и на высоте, примерно, 2 м.

Если теперь на стене, прилегающей к той, на которой находится гальванометр, установить деревянную полочку, а на последней установить осветитель, то при помощи двух линз (вогнутовыпуклой и двояковыпуклой) на шкале, которая 3/становлена на стержне под полочкой, можно получить световой зайчик.

В качестве осветителя может быть взят обыкновенный алоскоп, об'ектив которого нужно заменить толстой вогнутовыпуклой линзой с диаметром в 30 мм. Такие линзы сейчас имеются в продаже.

Рефлектор у алоскопа должен быть также убран.

В случае отсутствия алоскопа его можно заменить простой черной камерой, внутри которой необходимо установить лучше всего лампочку на 12 v, питаемую городским током через трансформатор.

Ясное дело, что для производства точного отсчета световой зайчик, движущийся по шкале, должен иметь метку, которая получается в виде резкой тени в середине зайчика, если на линзе, установленной в осветителе, прекрепить хотя бы проволочку. Чтобы получить резкое изображение тени, нужно полочку, на которой находится осветитель, установить на таком расстоянии от гальванометра, которое равнялось бы примерно 120 см. Осветитель, как это показано на схеме, должен находиться в наклонном положении с тем, чтобы при помощи второй линзы, положение которой определяется только практически, получить на шкале резкое изображение тени. Положение шкалы, помещенной, как мы сказали, под полочкой с осветителем, определяется также практически, для чего она с достаточным трением должна перемещаться вдоль вертикального стержня.

Для того, чтобы зайчик не выходил за пределы шкалы во время включения и действия фотоэлемента, необходимо зеркальный гальванометр зашунтировать при помощи реостата с примерным сопротивлением на 100 омов, регулируя которое, в зависимости от внутренного сопротивления гальванометра, можно добиться того, что зайчик будет двигаться только в пределах шкалы.

На данной схеме не показаны два выключателя для включения фотоэлемента и электрической лампочки, которая освещает фотоэлемент. Заметим, что приводимая нами установка при самостоятельном изготовлении не потребует больших денежных затрат и вместе с зеркальным гальванометром и понижающим трансформатором, которые в случае надобности могут быть употреблены и для других работ, обойдется в 130—140 руб.

Приводимая установка может быть во всякое время снята со стола и заменена другой, которая требует использования зеркального гальванометра.

Что же касается зеркального гальванометра, то последний должен быть установлен на капитальной стене и, по возможности, в одном из наиболее темных углов кабинета, где меньше всего можно ожидать каких-либо сотрясений при посещении учащимися школьной лаборатории.

Вся установка не требует абсолютно темной комнаты и во время работы необходимо только либо завесить ближайшее окно обыкновенной шторой, либо слегка затемнить шкалу какой-либо ширмой.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

ПУТИ СОЗИДАНИЯ МЕТОДИКИ АЛГЕБРЫ

Д. ГОНЧАРОВ (Одесса)

Проф. И. И. Чистяков —«Методика алгебры для высших педагогических учебных заведений и для преподавателей средней школы». Допущено Наркомпросом РСФСР. Государственное учебно-педагогическое издательство, М., 1934, 240 стр., тир. 30 000 экз., ц. 3 руб., перепл. 25 коп.

Рассматриваемая книга проф. И. Чистякова «Методика алгебры» состоит из введения, в котором содержатся два параграфа: первый — о предмете методики алгебры, а второй — о подготовке преподавателей алгебры, и 20 глав, в которых разбираются следующие вопросы.

Глава 1. Цели и методы преподавания математики. Глава II. Практическое ведение преподавания алгебры. Глава III. Краткий исторический очерк развития основных понятий алгебры. Глава IV. Начальное обучение алгебре. Глава V. Относительные числа. Глава VI. Действия над целыми алгебраическими выражениями. Глава VII. Алгебраические дроби. Глава VIII. Уравнения первой степени. Глава IX. Извлечение квадратного корня. Глава X. Тождественные преобразования со степенями и корнями. Глава XI. Понятие о функции. Глава XII. Квадратное уравнение и квадратная функция. Глава XIII. Мнимые и комплексные числа. Глава XIV. Иррациональные уравнения. Глава XV. Системы уравнений второй степени. Глава XVI. Прогрессии. Глава XVII. Логарифмы. Глава XVIII. Теория соединений и бином Ньютона. Глава XIX. Неравенства. Глава XX. Исследование уравнений.

Каждая глава разделена на отдельные параграфы (от 2 до 9 параграфов в каждой главе). Всего в книге 89 параграфов.

Содержание рассматриваемой книги можно было бы подразделить на две части: первая часть, которая состоит из введения и первых трех глав (I—III), могла бы быть названа общей частью, или общеметодической частью, и вторая часть, в которую войдут все остальные главы (IV—XX), могла бы быть названа частнометодической частью. Автор «Методики алгебры» проф. Чистяков этого подразделения не делает, но мы сделаем такое подразделение для удобства рассмотрения рецензируемой книги.

Обратимся к общеметодической части. Мы уже отметили, что во введении рассматриваются вопросы о предмете методики алгебры и о подготовке преподавателей алгебры. В главе I рассматриваются формальная и материальная цели преподавания математики, далее описываются методы: «абстрактно-дедуктивный», «конкретно-индуктивный», синтетический и аналитический, метод доказательства от противного и метод математической индукции. Глава II посвящена таким вопросам: § 7. Урок, § 8. Учебные книги и пособия, § 9. Учет успеваемости по алгебре, § 10. Обозрение программ алгебры в средней школе. На главе III, содержащей краткий исторический очерк развития основных понятий алгебры, пока что не будем останавливаться. Сосредоточим свое внимание главным образом на вопросах «Предмет методики алгебры» (см. § 1), «Цели преподавания алгебры» и вообще на вопросах практического ведения преподавания алгебры (см. гл. II), как-то: урок (§ 7), учет успеваемости по алгебре (§ 9) и некоторые другие.

Выясняя предмет методики алгебры (§ 1, стр. 3), проф. Чистяков говорит: «Методика алгебры имеет своим предметом разработку и изложение системы целесообразных методов и приемов преподавания элементарной алгебры, как учебного предмета средней школы». С этим положением, вообще говоря, можно согласиться, однако, следует заметить, что это не все, чем должна заниматься методика алгебры. Предметом методики алгебры должны являться не только «методы и приемы», но также и вопросы о целях преподавания ал-

гебры и вопросы содержания и структуры того учебного предмета, который именуется «элементарной алгеброй». Мало этого, методика алгебры должна еще заняться, так сказать, самообслуживанием, т. е. выяснением вопросов, какими путями, методами и приемами методика алгебры может и будет решать поставленные перед собой проблемы: будет ли это только суммирование опыта талантливых наблюдателей, учителей — преподавателей алгебры или это будет путь педагогического и методического эксперимента, поставленного на общих принпипах экспериментального исследования. Иными словами, предметом методики алгебры являются три вечно старые и вечно новые вопроса: зачем учить, чему учить и как учить, поставленные применительно к преподаванию так называемого курса «элементарной алгебры» в условиях нашей действительности в соответствии с уровнем достижений современных наук. Надо отметить, что далее в § 2 на странице 5 проф. Чистяков понимает предмет методики алгебры несколько шире, чем в § 1 на странице 3, именно: он говорит о «трех разделах общей методики алгебры». Эти разделы, насколько можно судить по тексту, должны заключать в себе: а) «методологию, в частности с применяемыми в ней общими и частными методами исследования, определениями основных понятий, способами доказательства теорем и решения задач», б) «знакомство с историей математики и, в частности, элементарной алгебры», наконец в) «практические приемы и способы преподавания всех разделов и отдельных вопросов преподаваемого предмета, что составляет в собственном смысле слова частную методику или дидактику данного предмета». Автор «Методики алгебры» проф. Чистяков считает (стр. 5), что «рассмотрение наиболее важных вопросов последнего рода и является главной целью настоящей книги», т. е. написанной им книги по методике алгебры. Несмотря, однако, даже на более широкий взгляд, высказанный проф. И. Чистяковым на предмет и содержание общей методики алгебры, мы считаем, что такая точка зрения не охватывает всех проблем методики алгебры. Конечно, при этом, само собою понятно, вопросы методологические и исторические не могут быть излагаемы изолированно от практических приемов и способов: вопросы методологические и исторические должны быть положены в основу разработки любого раздела, любой темы частной методики алгебры.

Выше мы отметили, что автор методики алгебры несколько ограничивает область, подлежащую разработке вообще, в отдельных же местах книги при рассмотрении некоторых параграфов мы натолкнулись на места, которые особенно нас поразили. Например, в главе 1, § 3 проф. Чистяков, определяя цели преподавания алгебры, говорит: «Непосредственной целью преподавания алгебры является сообщение учащимся и усвоение ими материала, установленного учебной программой этого предмета». И этим исчерпываются все цели, ибо дальше проф. Чистяков переходит «к общим целям преподавания математики». Совершенно очевидно, что нельзя так примитивно определять цели преподавания «элементарной алгебры». Цели преподавания алгебры чрезвычайно разнообразны и многогранны. Мы не имеет здесь возможности останавливаться на этом подробно, но надеемся по этому вопросу специально высказаться*. Отметим только, что Юнг в известной книге «Как преподавать математику» больше уделяет внимания специальным целям преподавания алгебры, несмотря на то, что книга посвящена преподаванию и арифметики, и алгебры, и геометрии и т. д., чем проф. Чистяков в книжке, которая имеет специальное назначение и носит название «Методика алгебры».

Точно также, когда мы обратились к главе II, в которой трактуется тема «Практическое ведение преподавания алгебры», то мы были снова разочарованы, ибо мы ожидали от некоторых параграфов, например § 9, который называется «Учет успеваемости по алгебре», специального освещения вопроса учета успеваемости именно по алгебре. Однако ничего специфического по учету успеваемости по алгебре мы не нашли, кроме некоторых, общего характера, замечаний по поводу письменных работ. В таком же положении и § 7 под заголовком «Урок». Ничего специфически алгебраического мы здесь не нашли; отдельные положения носят опять-таки общий характер и с этой общей точки зрения, безусловно правильны и вполне заслуживают внимания, а именно: рекомендуется продумать формы и способы прохождения материала, ставить вопросы, которые имеют значение для всего класса; не превращать урок в частный диалог между учителем и учеником, но иметь в виду интересы всего класса; требовать от ученика тетрадь с домашними упражнениями при спрашивании;

* Автор настоящей рецензии приготовил доклад к I Всеукраинскому с'езду преподавателей математики. В этом докладе более или менее полно развиваются тезисы о целях преподавания алгебры.

стремиться к тому, чтобы урок представлял собою живую и деятельную работу преподавателя совместно с классом и т. д. Само собою разумеется, что обойтись без этого на уроке алгебры невозможно, это само собою ясно, но мы обращаем внимание на то, что проф. И. Чистяков не подчеркнул специфических особенностей именно урока «элементарной алгебры».

На этом мы закончим обзор первой части, которую мы именовали общей методикой алгебры, рассматриваемой книги проф. Чистякова и перейдем к рассмотрению второй части, названной нами частной методикой алгебры (см. главы IV—XX).

Весьма типичным для этой второй части является известное однообразие подхода автора методики к различным темам или вопросам из курса «элементарной алгебры». Второй особенностью является, так сказать, пропаганда своего личного опыта. Возьмем для примера § 29 (формулы сокращенного умножения). В этом параграфе дается ряд спокойных советов педагога с большим стажем молодому учителю, но эти советы, мы бы сказали, несколько холодноваты. Иногда это напоминает краткие наставления перед педпрактикой, перед «пробным» уроком. То же можно сказать о § 35, 45, 50 и ряде других. Это советы опытного учителя, в которых руководящей мыслью является следующее: если делать так и так, то получается неплохо. В некоторых случаях это напоминает указания старшего преподавателя-ассистента: проделайте то-то и то-то, проделайте так-то. Однако, хотелось бы не только выслушивать советы опытного преподавателя, хотелось бы слышать слово профессора методики, который заостряет внимание на важных методологических, научно-теоретических и методических моментах; хотелось бы видеть сравнительную характеристику различных приемов и подходов к данной теме, указания на положительные и отрицательные стороны этих приемов с тем, чтобы мысль преподавателя работала в разных направлениях, чтобы преподаватель имел возможность выбора тех или иных подходов и приемов. С этой точки зрения следует указать на § 32 (о делимости многочлена, целого относительно х, на двучлен первой степени). Здесь уже находим сравнительную характеристику различных доказательств и мнение автора о том, почему предпочитается то, а не иное доказательство. Такой подход будит мысль преподавателя. Преподаватель может быть не согласен с тем или иным методическим подходом, но зато, избирая тот или иной подход, он сам может обосновать, почему он делает так, а не иначе.

Точно так же хорошо получилось в § 32 (о делимости многочленов), когда вопрос поставлен значительно шире и глубже (и с научной и с методической точки зрения), чем это имеет место в иных местах, когда автор не ограничивает себя только уровнем знаний учеников VI класса и пересказом своего личного опыта, но имеет в виду уровень развития преподавателя. При таком подходе и учителю станет ясно, когда, где и что можно сделать, и что должно сделать. Наконец, нельзя не упомянуть о весьма уместной увязке «элементарной алгебры» и теоретической арифметики в этом же § 32: здесь дано применение теоремы Безу к выводу общих и частных признаков делимости. Кстати сказать, указания на такую увязку вопросов «элементарной алгебры» и арифметики теоретической и практической сделаны автором методики во многих местах (см. например, стр. 57, 66, 73, 75, 91, 129 и др).

Посмотрим сейчас с иной точки зрения на методическую разработку отдельных параграфов, имея в виду извлечь ту схему, по которой идет изложение методических указаний в различных параграфах. С этой целью мы проанализировали несколько параграфов (например § 34, 33, 78) и нашли, что эта схема в общем учитывает следующие пункты в отношении разрабатываемой темы: зачем нужна эта тема, отношение к предыдущему, указание на различные приемы, некоторые дополнения к тому, что есть в руководстве для ученика, оценка приемов (см. § 34). Кроме перечисленного, изредка находим (§ 33) указания на общеобразовательную ценность материала, подходы к распределению материала, последовательность, в какой расположить материал, поданную на примерах. В § 78 (теория соединений) находим еще указания на затруднения, испытываемые в этом разделе учащимися, на особенности обозначений, на необходимость конкретного подхода, на полезное знакомство учащихся с примером редукционной формулы.

Сопоставляя схемы разработки различных параграфов, мы находим, что очень часто эти схемы так или иначе ущемлены. Суммируя их и выбирая из них самое ценное, мы считаем, что в общем подход с такой обобщенной схемой мог бы удовлетворить требованиям, пред'являемым к методической разработке той или иной темы. Однако изложение отдельных параграфов значительно выиграло бы в четкости и связности, если бы автор методики в общеметодической части остановил внимание читателя на той схеме, с которой следует подходить (и с которой он сам

будет подходить) к разработке отдельных тем из курса «элементарной алгебры», на тех общих принципах методики и дидактики, корые следует иметь всегда в виду и, наконец, на том, что каждая тема имеет свою специфику и как эту специфику учитывать. Такого рода указания чрезвычайно важны для учителя: они активизируют его в методическом отношении; при таком освещении учитель не будет только ждать методических разработок извне, он будет иметь возможность приложить свои силы к самостоятельной разработке тех или иных тем из курса «элементарной алгебры».

До сих пор мы рассматривали книгу проф. Чистякова по методике алгебры со стороны структуры ее методического ядра. Это очень важный вопрос по многим соображениям, в особенности это важно в период, когда создается методика алгебры, ибо книга проф. И. Чистякова является первой книгой по методике алгебры, написанной в нашем Союзе. До 1934 г. не было выпущено ни одной книги по методике алгебры*. И только в 1935 г. была выпущена вторая книжка по методике алгебры С. С. Бронштейна. Вот почему мы считаем важным в настоящий момент остановиться на планах и схемах того «методического строительства» в области преподавания алгебры, которое происходит сейчас. Мы привыкли и знаем, как ценно коллективное обсуждение и планирование работы, которая имеет общегосударственное значение. Поэтому очень и очень следовало бы методистам обдумать план построения методики алгебры, обсудить его как следует и выбрать наиболее подходящие проекты.

Наряду с вопросами специально структурно-методическими мы остановим свое внимание и на некоторых иных моментах рассматриваемой нами книги проф. Чистякова, касающихся научно-теоретического освещения некоторых мест книги. В отдельных местах мы встретились с досадными недоразумениями. Например в § 5 (синтетический и аналитический метод) говорится об аналитическом методе так: «Желая доказать какое-либо новое положение, мы принимаем его временно за известное и выводим вытекающие из него следствия. Если какое-нибудь из них окажется известным ранее, то вопрос будет решен, в противном случае мы выводим из полученных следствий новые, пока не дойдем до какого-нибудь известного установленного положения, подтверждающего правильность исходного положения, которое мы доказываем». Далее в качестве иллюстрации приводится доказательство теоремы о том, что среднее арифметическое двух неравных положительных чисел более их среднего геометрического. Предполагается: «пусть справедливо»

(1)

тогда будет справедлив целый ряд вытекающих неравенств, приводящих, в конце концов, к неравенству

(2)

По этому поводу автор методики, согласно своему пониманию аналитического метода, замечает: «Это (2) неравенство безусловно верно... следовательно, верна доказываемая теорема», т. е. верно неравенство (1). Совершенно очевидно, что автор методики попал здесь впросак. Если так понимать аналитический метод и применять его, то можно доказать самые небывалые вещи. Из того, что следствия верны, никак нельзя заключать, что исходные положения верны. К подобного же рода неосторожностям относятся доказательства, приводимые автором методики в § 49 относительно тождественных преобразований с корнями. Утверждается, что тождества

верны, ибо это «может быть доказано проверкой», именно: возведением обеих частей написанного равенства в соответствующую степень. Мы думаем, что даже оговорки, которые делает автор, что здесь мы имеем в виду положительные числа, арифметические корни и т. д., не помогут: нельзя приучать учащегося из следствий заключать о правильности исходных предложений, ибо, как это общеизвестно, из неправильных посылок можно получить правильные заключения.

Далее отметим такой дефект. Автор методики алгебры проф. Чистяков злоупотребляет в своей книге терминами (см. те же § 49, 50) «теоремы» и «правила» (см. стр. 122, 125, 127, 128 и др.) и тем самым невольно способствует упрочению рутинного взгляда на курс «элементарной алгебры», как на своеобразное собрание ряда правил, вместо того, чтобы оттенить вопросы логики, психологии и техники выполнения действий.

* Дореволюционная Россия также не знала специальных книг по методике алгебры. Единственная книга дореволюционного периода по методике алгебры была выпущена в 1916 г. в Казани. Эта книга Н. Г. Лексина, преподавателя казанской 4-й женской гимназии: «Методика алгебры. Методические указания и примерные уроки по наглядно-лабораторному способу». Книга имеет 345 страниц.

В § 51 об иррациональных числах говорится: «Согласно другому взгляду, основанному на идеях Г. Кантора, иррациональное число можно рассматривать, как бесконечную периодическую десятичную дробь». Насколько мы знаем, рассмотрение иррациональных чисел, как бесконечных непериодических десятичных дробей основывается на идеях Веейштрасса, а не Г. Кантора. В этом же § 51 (стр. 132, внизу) и в § 52 (стр. 135) рассматриваются, между прочим, несоизмеримые отрезки вида 1/2 к flO и говорится о том, что «естественно предположить существование некоторого предельного отрезка ОС, графически представляющего У 2» и «учащиеся (стр. 135) наглядно убеждаются в существовании иррационального числа». Мы думаем по этому поводу совершенно иначе, а именно, что существование отрезков вида \/~2 и l/TÔ убеждает только в необходимости введения иррациональных чисел, т. е., другими словами, если мы желаем быть в состоянии изучать арифметическим путем явления, происходящие на прямой, то мы должны расширить и пополнить нашу числовую область новыми числами — иррациональными числами.

Встречаются в книге неточные выражения и опечатки, например в § 73 (стр. 200) сказано: «Всякое количество, деленное само на себя, равно 1»,— выходит, что всякое количество равно единице; следовало бы вставить хотя бы слово «частное» и тогда было бы лучше. В § 79 (стр. 215) говорится: «Получив половину членов разложения», надо вставить подразумеваемое слово «число», т. е. «получив половину числа членов разложения». К подобного же рода неточностям относится общераспространенное пользование словом «сократить». Общеизвестно, что сокращают дроби. В «Методике алгебры» проф. Чистякова находим в § 42 (стр. 103) следующее выражение: «Достаточно данные уравнения сложить; при этом у сократится»; на странице 105 сказано: «Второе уравнение по существу не отличается от первого, в которое обращается по сокращении на 2». Таким образом термин «сократить» употребляется в трех разных смыслах. Мы знаем, что обычно методисты довольно щепетильны в отношении пользования терминами. В методике не мешало бы поговорить о математической терминологии в курсе «элементарной алгебры». Это не только внешний вопрос.

Встречаются в книжке также и опечатки. Например, в § 50 (на стр. 130) при выводе формулы преобразования «двойных радикалов» один раз написан минус вместо плюса и дважды написан лишний множитель — двойка.

Многое еще можно было бы сказать об отдельных деталях и отдельных параграфах, но всего, к сожалению, невозможно сделать, поэтому, заканчивая нашу работу, подведем итоги и сделаем некоторые выводы.

Вопросы методики математики, в частности методики алгебры, являются делом большой значимости.

Мы являемся очевидцами созидания методики алгебры.

В созидании методики алгебры должны принять участие лучшие педагоги нашего Союза.

Книга «Методика алгебры» проф. Чистякова есть первая по времени появления большая работа в этом направлении. Но эта книга, конечно, не решает всех вопросов вполне, ибо, как первый опыт работы большого охвата, естественно не свободна от ряда недостатков.

Нужно на страницах методических журналов и иными способами способствовать выяснению контуров того плана, по которому будет разрабатываться и строиться методика алгебры.

В будущем желательно создать такую методику алгебры, которая активизировала бы мысль преподавателя, которая не только заставляла бы прислушиваться к авторитетному голосу опытного методиста, но которая давала бы также стимул и указания к самостоятельной работе в области методики и критерии правильного выполнения этой работы (вопросы читателю, задания, темы для разработки и т. д.).

Желательно учесть опыт методических разработок отдельных тем из курса «элементарной алгебры» различных авторов, разбросанных по разным журналам. Приложение библиографических указателей литературы по методике алгебры было бы весьма полезно и удобно для читателя. Этого, между прочим, не сделано в «Методике алгебры» проф. Чистякова, хотя указания на литературу есть (см. стр. 4, 5, 6, 9, 21, 25, 27, 90, 91, 141, 142, 183, 193, 203 и некоторые другие).

„МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОСВЕЩЕНИЕ“

Доц. Л. ХРЕНОВ (Воронеж)

Сборник статей по элементарной и началам высшей математики. (Выпуски № 1, 2, 3 и 4, ОНТИ — Государственное технико-теоретическое издательство, М. 1934 и 1935 г.).

Грандиозный технический прогресс и рост культурности в нашей стране требуют специалистов для народного хозяйства, подготовленных на солидной математической базе.

Математическое образование, полученное в средней школе, завершается в высшей, куда учащиеся должны явиться вполне подготовленными. В настоящее время среди учащихся средних школ замечается возросший интерес к математическим знаниям, и это совершенно естественно.

Это последнее требует от преподавателя постоянного пополнения своих знаний в первую очередь.

Наши издательства, учитывая указанное, в последние годы сильно развивают свою деятельность в части издания различной математической литературы.

Для преподавателей средних школ и учащихся особого внимания заслуживают периодически издаваемые сборники под названием «Математическое просвещение».

Сборники «Математическое просвещение» начали издаваться со второй половины 1934 г. Своей задачей сборники ставят — «дать в живой и интересной форме свежий и новый материал из области математики и тем посильно способствовать под'ему математического образования в СССР»*.

Вышедшие из печати первые четыре сборника вполне оправдывают указанную их редакцией цель.

Сборники имеют отделы: элементарная математика, высшая математика, методика, задачи и смесь и библиография. Некоторые сборники имеют раздел «Текущая жизнь». В этом последнем помещены статьи: математический с'езд, математическая олимпиада, успехи современной математики.

Размеры этой статьи не позволяют подвергнуть широкому разбору все работы, помещенные в сборнике; ограничимся лишь указанием на некоторые из них.

Большой интерес представляет статья «О делении сторон треугольника пропорционально степеням прилежащих сторон». В этой работе приведено оригинальное доказательство, использующее переход от «прямых я» к Упрямым п -\-1 ». Доказательство этого случая основывается на двух леммах.

В числе последующих статей первого сборника помещены: теорема Вильсона — геометрическое доказательство, рациональные треугольники, описанные четырехугольники, третий случай равенства треугольников и геометрическое суммирование ряда — при к и п целых положительных числах. При доказательстве использован метод математической индукции. С этой теоремой необходимо ознакомиться нашим преподавателям и можно рекомендовать ее учащимся техникумов, учитывая при этом прикладное значение этой теоремы в разных областях техники.

Во втором выпуске отдел элементарной математики особенно интересен, здесь подобраны статьи из разных областей. Все статьи доступны не только преподавателям, но и учащейся молодежи старших классов десятилеток, рабфаков и техникумов. В разделе приведены оригинальные статьи — решение треугольника способом выпрямления сторон, далее: некоторые формулы тригонометрии, с резко отличными от обычных выводами, рассмотрены некоторые упрощения при решении иррациональных уравнений и др.

Третий и четвертый выпуски в этом отделе имеют статьи: о решении уравнений, приводимых к однородным, о квадратных уравнениях; в статье «Покрытие плоскости правильными многоугольниками» рассмотрены всевозможные случаи ; тригонометрические функции суммы и разности двух углов; проведенное доказательство

«sin (а -{- Р) = sin а • cos ß -f- sin ß • cos а»

выгодно отличается от известных и рекомендуемых стабильными учебниками и его безусловно надо использовать в наших школах; оригинальная статья по исследованию функции третьей степени на максимум и мини-

* Из обращения редакции в 1-м выпуске журнала «Математическое просвещенно.

мум, доказанная элементарными средствами, об уравнении 2 N/ = 0, очень интересная статья для геометров о заполнении пространства тетраэдрами и др.

В разделе «Высшая математика» этих выпусков подобраны статьи из разных отделов науки; почти все работы оригинальны; это очень важно нашему учительству, для которого они представляют исключительный интерес. Учащиеся, в особенности техникумов, найдут среди этих статей очень много имеющих большое прикладное значение.

Работы, напечатанные я отделе «Методика», рассчитаны, главным образом, на учителей средней школы. Внимание учительства должны привлечь статьи: «Изобразительные моменты в преподавании анализа бесконечно малых» и «Математика и логика в школе». В разделе «Задачи» подобраны интересные примеры. В последующих сборниках указываются лица, решившие задачи. Это является большим стимулом для учащейся молодежи и очень выгодно может быть использовано преподавателями для организации занятий с учащимися, проявляющими повышенный интерес к математике.

В разделе «Библиография» помещены, главным образом, статьи, рассматривающие типовые учебники по математике для средних школ.

В сборниках простым и ясным языком изложены сложные вопросы; не допущено при этом ни одного случая упрощенчества.

Этими сборниками должны быть снабжены все школьные библиотеки, а преподаватели математики, помня необходимость регулярного повышения своей квалификации, должны их читать систематически и довести сборники до учащихся.

НОВЫЕ КНИГИ ПО ФИЗИКЕ

1) А. М. Халфин — «Фотоэлементы и их применение». Государственное издательство по вопросам радио, М., 1936, ц. 2 р. 50 к.

Фотоэлементы сравнительно недавно появились в технике, но, несмотря на короткий срок своего существования, они нашли широкое распространение в технике. Фотоэлементы применяются в звуковом кино, телевидении; фотоэлементы — неот'емлемая часть промышленной электронной автоматики, фотоэлемент — чувствительный измерительный прибор и т. д. и т. п.

Вот почему следует признать весьма своевременным появление книги Халфина, в которой популярно, но без всякого ущерба для полноты изложения, затронут весь круг вопросов, относящихся к фотоэлементам. Здесь читатель найдет описание физических явлений, поясняющих действие фотоэлемента, описание различных типов фотоэлементов, объяснение способов усиления фототоков и т. д. и т. п.

Значительный интерес представляют VI, VII, VIII и IX главы книги, которые целиком посвящены описанию различных применений фотоэлементов. Материал этих глав весьма разнообразен и, безусловно, преподаватель физики найдет много занимательных примеров применения фотоэлементов, которые он с успехом может использовать при проведении в X классе беседы на тему «Фотоэлектрические явления». К книге приложен краткий перечень литературы на русском и иностранных языках.

2) И. В. Петряков — «Как измерили атом». ОНТИ, 1935, ц. 3 р. 25 к., 207 стр.

Книга представляет весьма популярное изложение основ молекулярной и атомной физики. Автор избрал историческую последовательность в своем повествовании. Изложение материала начато с выяснения взглядов на строение вещества греческих философов Демокрита и Аристотеля и закончено опытами Резерфорда и последними открытиями Кюри и Жолио.

Автор книги в увлекательной форме излагает целый ряд сложных понятий и представлений: теория Бора, излучение абсолютно черного тела, нейтроны и т. д. и т. п. Изложение основного материала переплетается с целым рядом исторических справок, биографических данных о жизни и работе некоторых физиков и химиков.

Книга достаточно иллюстрирована чертежами, таблицами, портретами ученых.

3. М. Ю. Пиотровский — «Физика для биологов». Учпедгиз, 1935, ц. 4 р. 75 к.

«Физика для биологов» специально написана для студентов биологических и географических отделений педагогических вузов.

Характерная черта учебника — тесная связь его с биологическими дисциплинами. Все отделы «Физики для биологов» (механика, учение о теплоте, электричество и т. д.) изложены на основе разбора разнообразнейших примеров из биологии, зоологии, метеорологии и т. д. Последнее обстоятельство резко выделяет эту книгу среди многих, имеющихся в настоящее время пособий по физике. С этой точки зрения, книга представляет известный интерес для преподавателей средней школы,особенно для работающих в сельской местности.

Автор книги довольно редко прибегает к математической обработке рассматриваемых явлений. В книге много иллюстраций, некоторые из них оригинальны. Внешнее оформление книги весьма культурное.

4) Рвачев В. П. — «Катодный осциллограф». Научно-техническое издательство Украины, ц. 1 р. 25 к., 1936.

Прибор катодный осциллограф нашел широкое распространение в измерительной технике. Его можно применять: 1) при исследовании электромагнитных колебаний, 2) при снятии кривых намагничивания, диаграмм мощности, 3) для записи звука в звуковом кино и т. д. и т. п. Прибор нашел себе место в физической лаборатории и в демонстрационном кабинете. Книга В. Рвачева представляет краткое изложение физических основ и всех способов применения катодного осциллографа.

Математический аппарат книги несложен. К концу книги приложен библиографический указатель, охватывающий 328 названий работ, отдельных монографий, появившихся на немецком, английском и других языках по данному вопросу.

М. Гр-ский

ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ КОНСУЛЬТАЦИЯ

Вопрос

Не может ли редакция об'яснить мне следующее.

Я послал голландскому педагогу-эсперантисту немецкий перевод «Занимательной физики» Перельмана («Unterhaltende Pkysik», Москва — Харьков — Покровск, 1931 ). Он, прочитав книгу и отзываясь о ней с большой похвалой, просит раз'яснить ему задачу:

«Есть задача о туннеле сквозь Землю и о туннеле по хорде земного шара. Автор взял ее у Фламмариона, но я не мог найти ее. Автор говорит, что предмет, падающий в эти туннели, двигается 42 мин. 11 сек., но он не доказывает этого математически. При помощи механических формул, я высчитал то же время. Профессор математики говорит, что я неправ, но не может доказать этого. Не можете ли вы достать правильное решение автора?» Н. П. Усов.

Редакцией запрос был переслан Я. И. Перельману, ответ которого и помещается ниже.

Ответ

1. Задача взята не из книг Фламмариона, а из его статьи, опубликованной незадолго до мировой войны в журнале «Je sais tous».

2. В курсах физики и астрономии доказывается, что притяжение, производимое однородной шаровой оболочкою на тело, помещенное внутри нее, равно нулю, и что, следовательно, материальная точка, взятая внутри однородного шара, притягивается только веществом сферы, радиус которой равен удалению точки от центра. Оба положения выводятся во многих элементарных учебниках.

Исходя из этого, легко установить, как изменяется сила притяжения с приближением к центру земного шара (принимаемого за однородный); она прямо-пропорциональна квадрату расстояния от центра и обратнопропорциональна величине притягивающей сферы. Если R — радиус Земли, г — удаление точки от центра, то сила притяжения (и величина ускорения) должны возрасти в раз, а ослабеть в у—J раз; в итоге они уменьшаются в £ раз. Ускорение тяжести в точке, удаленной от центра Земли на г, равно

Рассмотрим теперь движение тела в канале, прорытом по хорде земного шара. Для точки M хорды AB (черт. 1) ускорение тяжести равно, как мы сейчас установили, —-; умножив обе части равенства на cos а, где а = = ^OMCt имеем

Последнее равенство показывает, что составляющая ускорения, направленная по хорде, прямо-пропорциональна удалению MC точки от середины хорды. Так как сила пропорциональна ускорению, то мы имеем здесь движение под действием силы, направленной к точке линии движения и пропорциональной удалению тела от этой точки, т. е. имеем движение гармоническое. Скорость его в середине С хорды определяется из уравнения:

Черт. 1

где Еа и Ее — потенциальная энергия тела в точке А и С; m — масса тела, vc —скорость в точке С. Так как R2 — S2 = MC2 = /2, то

откуда

Скорость vc гармонического движения равна скорости равномерного движения вспомогательной (проектирующейся) точки по окружности радиуса / (черт. 2). Последняя скорость равна -у-, где Т — период полного колебания (туда и обратно). Из равенства

Величина эта, как видим, не зависит от длины и положения хорды : значит, она верна и для канала, прорытого по диаметру.

Докажем еще, что период Т не зависит также от размера шара, а зависит только от его плотности. В самом деле, ускорение

где k — постоянная тяготения, M — масса шара. Подставив вместо M его выражение через об'ем ^~R3 и плотность d, имеем:

Заменив в формуле Т — 2т:у — величину g выражением TtkRd, получаем выражение, в которое не входит величина радиуса шара.

Итак, тело должно совершать колебания одинаковой продолжительности по любой хорде любого шара данной плотности.

Числовое значение Т для земного шара проще всего определить из формулы

подставив:

71 = 3,1416; # = 637000000 см; g-= 978 г,м/сек2.

Выполнив расчет, получаем 7=1 час 24 мин.

Я. Перельман

Черт. 2

О РАЗМЕРНОСТИ ГРАВИТАЦИОННОЙ ПОСТОЯННОЙ

Вопрос

В некоторых учебниках указывается, что гравитационная постоянная равна дины. Если гравитационная постоянная измеряется в динах, то наименование ее будет Z • см -5. Подставляя это наименование в формулу закона тяготения, мы не получаем при решании задач в правой части этой формулы наименования силы и поэтому наименование левой части формулы закона тяготения не совпадает с наименованием правой части. Какова же в действительности размерность гравитационной постоянной ?

Ответ

Действительно, в целом ряде учебников вопрос о размерности гравитационной постоянной стоит недостаточно ясно. В некоторых учебниках гравитационная постоянная измеряется в динах (в стабильном учебнике Фалеева и Перышкина, в «Курсе физики» для педтехникумов И. И. Соколова, в «Курсе физики для биологов» Пиотровского; в некоторых учебниках она видимо рассматривается, как отвлеченная величина (Путилов — «Курс физики»).

Однако анализ формулы закона тяготения приводит нас к выводу, что размерность гравитационной постоянной не может быть равна размерности силы. В самом деле, в левой части формулы закона тяготения Ньютона мы имеем силу, наименование которой 2^2, а в правой части мы имеем гравитационную постоянную, умноженную на величину, имеющую наименование—5. Отсюда, так как наименования обеих частей физических формул должны быть одинаковы, наименование гравитационной постоянной должна быть —СМ ».

Именно эта размерность и дается в большинстве учебников физики; обоснование этого см. книжку Бриджмен — «Анализ размерности». Такую же характеристику размерности гравитационной постоянной дают Артур Гааз, Иоффе, Хвольсон, Берлинер. Гримзель указывает наименование этой постоянной несколько странно

Поэтому при решении задач на законы всемирного тяготения необходимо считаться с вышеуказанной размерностью гравитационной постоянной.

А. К.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, помещенных в сб. «Матем. и физ. в школе» № 5 за 1935 г.

I. Решить систему уравнений.*

(1)

Произведя сложение в левых частях, будем иметь:

(2)

или

(3)

Сложив уравнения (3), найдем:

(4)

Вычтем из (4) каждое из у ранений (3). Получим:

(5)

Положим для краткости тогда:

(6)

Перемножив уравнения (6), найдем:

(7)

Разделим (7) на каждое из уравнений (6):

(8)

Чтобы определить V х + у -\-z, сложим уравнения (8), а обе части полученного выражения разделим на |/ х -\-у -f- z. Получим:

(9)

Подставив выражение (9) в. каждое из (8), найдем:

* Редакция уже отмечала, что в связи с печатанием задач в № 5 на обложке, что не позволило произвести сверку текста, в последний вкрался ряд опечаток. В частности под задачами № 1 и 5 фамилия т. Москалева, приславшего решения этих задач, попала, как фамилия автора. Исправления текста задач даны были в № 6.

или окончательно, приняв во внимание, что

Аналогично получаем:

Заменяя р его значением (как то делали многие из приславших решение), можно поучить выражения для х, у и z в других формах, например:

или

Первые выражении для х, у и z представляются наиболее удобными для вычислений, особенно при дробных значениях а, Ь и с.

Пусть, например,

То

где

В. Бобылев (Тула), А. Вепланд (Москва), Г. Знаменский (Ялта), В. Камендровский (Оренбург), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), Н. Кулаков (Бугуруслая), Павлов (Балятино), Н. Рождественский (Днепропетровск), А. Соловьев (Калинин), Чечельницкий (Городец).

2. Показать, что при любом целом п выражение л(лв — 36)+ 13 л3 (3 — n2) + /is(i0 — л2) делится на 5040.

Раскроем скобки и переобразуем данное выражение:

Итак, данное выражение представляет собою произведение семи последовательных чисел натурального ряда. Как известно, такое произведение при всяком целом п делится на / первых чисел натурального ряда, т. е. на 71 = 1.2.7 = 504и.

Можно, как это делали многие из приславших решение, представив 5о40 в виде 24-о2-5-7, непосредственно доказать, что данное выражение делится на каждое из чисел: 24, З2, о и /, а, следовательно, делится и на их произведение, т. е. на 5и40.

В. Бобылев (Тула), А. Вепланд (Москва), А. Гордеев (Кустанай), И. Гришин (Осташков;, Г. Знаменский (Ялта), В. Камендровский (Оренбург), Н. Кашин (Ярославль), Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), Н. Курицын (Ярославль), П. Любовников (Сталинград), П. Милов (Люблино), Л. Москалев (Москва), В. Орлов (ст. Нововеличковская), Павлов (Балятино), Н. Рождественский (Днепропетровск), П. Славский (ст. Павловская), А. Соловьев (Калинин), О. Ханчарлян (Краснодар), Чечельницкий (Городец), М. Шевелев (Казань), Я. Шор (Тула).

3. Доказать, что если в треугольнике периметр втрое больше одной из сторон, то котангенсы половинных углов треугольника составляют арифметическую прогрессию.

Пусть а>6>с. Тогда по условию 2р = а + + Ь + с = 6Ь.

Для решения вопроса достаточно показать, что

(1)

или

Воспользуемся формулами:

Покажем, что

(2)

Действительно, из этого предполагаемого равенства получаем:

2р — 2Ь = 2р — а — с.

Откуда

а + с = 2Ь,

или

а+ь + с = гь.

Но это дано в условии. Значит равенство (2), а, следовательно, и (1) справедливо.

А. Вепланд (Москва), А. Гордеев (Кустанай), И. Гришин (Осташков), А. Егоров (Демянск), Г. Знаменский (Ялта), Б. Камендровский (Оренбург), Н. Кашин (Ярославль), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), Н.Кулаков (Бугуруслая), В. Кременский (Ленинград), П. Любовников (Сталинград), П. Милов (Люблино), Павлов (Балятино), Н. Рождественский (Днепропетровск), А. Соловьев (Калинин), Чечельницкий (Городец), Я. Шор (Тула).

4. Решить систему уравнений:

Sin2jc + sin2_y = J*; х+у = 75°. 4

Воспользуемся формулой для половинного угла

Будем иметь:

или:

Отсюда:

Принимая во внимание второе из данных уравнений:

Воспользовавшись таблицами, найдем

следовательно,

х—у- 15°. Можно обойтись и без таблиц, именно:

получаем то же значение для х — у.

Итак:

х+у = 75°, х—у- 15°.

Откуда:

X = 45°, у = 30°. Так как cos 15° = cos (— 15°), то мы могли положить:

X —_У ~ — 15°.

Тогда:

X = 30°, у = 45°.

Полное решение будет: jc = 30° ±k- 180°, jc = 45° + АМ80°, у = 45° + k • 180°, или у = 30° + k-180°.

Примечание. Данная задача показалась читателям настолько простой (такова она и есть), что получила наибольшее количество решений. Но, очевидно, в силу своей простоты, она не была строго продумана до конца, и громадное большинство присланных решений имеют те или иные дефекты. Укажем на некоторые.

1. Многие, давая одну пару наименьших значений для X и у, например х = 3J°, у = 45°, не дают другой пары х = 45°, у = 30°.

2. Часто общая формула не дается совсем.

3. Иногда общая формула дается в таком виде; X =± 30° ±k- 18ö°;y = -.5° ±k- 180Ô. Эти формулы при всяком k, не равном нулю, не удовлетворяют второму из данных уравнений.

4. Некоторые дают формулы: х — -\-+ 18 j° £, у = ± 45° + 180° kt не замечая, что уже при k = О, X = — 30° и у = — 45° они не удовлетворяют второму из данных уравнений.

Самый ход решения в большинстве случаев правилен и совпадает с приведенным здесь.

В. Агеев (Слатинское), Н. Балавин (Молочищи, Лен. обл.), А. Вепланд (Москва), И. Гришин (Осташков), И. Гусев (Гуково), А. Егоров (Демянск), Н. Енгурин (Чистополь), Г. Знаменский (Ялта), В. Камендровский (Оренбург), Н.Кашин (Ярославль), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), А. Колосовский (Краснодар), Д. Логвиненко (Горловка), П. Любовников (Сталинград), П. Милов (Люблино), И. Нагорный (Кошеватое), В. Павлов (Балятино), Н. Рождественский (Днепропетровск), Романов (Ростов-на-Дону), А. Соловьев, (Калинин), С. Чечельницкий (Городец), М. Шевелев (Казань), Л. Шмуленсон (Винница), Я. Шор (Тула).

5. Доказать, что если в треугольнике биссектрисы двух каких-либо его углов равны, то треугольник равнобедренный.

Доказательство этой теоремы было дано еще Штейнером (1796 1863 гг.). Редакция получила самые разнообразные способы доказательства. Приведем некоторые из них.

Так как большинство доказательств использует формулу для биссектрисы угла в треугольнике в ее различных формах, мы сначала выведем эту формулу. Предварительно выразим через стороны треугольника отрезки, на которые биссектриса делит противоположную сторону.

1. Пусть дан треугольник АБС (черт. 1) и в нем биссектриса ÀD угла А. Обозначим BD = m и DC = п. По свойству биссектрисы угла в треугольнике имеем:

(1)

Черт. 1

Отсюда

Окончательно получаем, приняв во внимание, что т-\-п — а;

(2)

2. Выведем теперь известную формулу (см. Рыбкин «Сб. задач по планиметрии», §14, № 9):

la2 = bc — mn, (3)

где 1а — биссектриса угла A; m и п — отрезки, на которые биссектриса делит сторону а.

Пусть AD — биссектриса (черт. 2), АЕ — высота, опущенная на сторону ВС\ BD — /я, DC = nr

Из треугольника ADC имеем

AD2 = b* + n2 — 2nEC. (4)

Из треугольника ABD:

AD2 = с»+/и2-2тВЕ. (5)

Сложим равенства (4) и (5), умножив предварительно (4) на /я, а (5) на п:

(т + п) AD2 — (тЬ2 + пс2) + тп2 -f- т2п — — 2тп (ЕС -f BE).

Но ЕС-\-BE — m-\-п', приняв во внимание равенство (1), будем иметь

(m -f- п) AD2 — (nbc + mbc) -f- тп (т -]- л) — — 2тп (т + п),

или

(m + л) AD2 — Ъс(т-\- п) — тп (m -f- п),

откуда

/а2 = AD2 = Ьс — тп. (6)

3. Из формул (6) и (2) можно получить ряд .выражений для биссектрисы

или

(7)

Приведем выражение в скобках в (7) к общему знаменателю. Получим:

Отсюда:

(8)

Из тригонометрии известна формула

Подставляя в (8), получим

(9)

Приведем теперь некоторые из присланных решений.

1-е решение (тт. Павлова, Чечельницкого и др.).

Воспользуемся формулой (8):

По условию

Возводим обе части в квадрат:

По сокращении:

Отсюда

(Ь2 + 2Ьс + с2) {ар — ас)= (a-+2ab+b2)(cp—ac) или

Приводим подобные члены и переносим все в левую часть.

Черт. 2

Черт. 3

Отсюда

Но а -f- с = 2р — b и ас (а -f--|- с) = 2яс/? — дсб.

Делая подстановку, получаем

(а — с) (Ь2р + аср -f abc) = 0.

Выражение во вторых скобках существенно положительно. Следовательно, должно быть

а —с =: 0 и а = с.

2-е решение (Г. Знаменского). Воспользуемся формулой (7):

По условию

или

(1)

Покажем, что это равенство возможно лишь при условии, что с — а. Допустим, что а<^с, Тогда

а2 < с2, (b + cy>(b + ay.

Обе части второго неравенства положительны. Разделим (1) на (2):

Отсюда

А так как с>д, то и подавно

(дроби Y+~c и а~+~Ь меньше единицы и оба выражения в скобках положительны).

Итак, при я<с равенство (1) невозможно. Точно так же докажем, что оно невозможно и при а^> с.

Следовательно, а — с.

3-е решение (Б. Кобылина). Возьмем формулу (9):

(1)

По условию

(2)

Допустим, что А > С. Тогда

(3)

Тогда из равенства (2) получим

или

Отсюда Ьс>аЪ и с>я.

Но А > С, и мы получили, что в треугольнике против меньшей стороны лежит больший угол, чего быть не может.

Точно так же, допустив, что А < С, получим а > с.

Итак, А — С.

4-е решение. Из доказательств геометрического характера приведем доказательство т. Н. Кашина (черт. 4). Предположим, что «=^=ß* Пусть, например, Наложим треугольник AMC на треугольник ANC так, чтобы они совпали равными сторонами, т. е. чтобы точка А совпала с точкой С, а точка M — с точкой N. Тогда треугольник AMC займет положение треугольника CNO (т. е. точка С треугольника AMC займет некоторое положение О внутри треугольника ANC по следующим соображениям:!) £_AMC<i </ANC9 так как / AMC = / ABC + a, a £ANC= £ABC + fc 2) ?МАО<>2.АСк9 так как /Л4ЛС = а, a /_ACN — $. Далее, треугольник СОЛ равнобедренный, как как ОС — CA (по построению).

Но / ЛОС> d, так как он больше, чем / СОхК а этот угол тупой, так как / COtA = -2d— l_OxCA — /_NAC=2d — (ß — а) — 2а = — 2d — ß - а > 2d — 20, a угол 2 ß — острый*.

Таким образом, мы получили что в равнобедренном треугольнике АОС угол, прилежащий к одной из равных сторон, — тупой, чего быть не может. Следовательно, предположение, что a<ß неправильно. Аналогично докажем невозможность предположения <*>ß. Отсюда а = ß.

Примечание. Данную теорему можно доказать косвенным путем. Именно, доказать теорему, что в треугольнике большей стороне соответствует меньшая биссектриса. Из нее, как следствие, получается данная теорема, Такое доказательство дано, например, в журнале «L'Education mathématique, 1935 г., № 7.

Г. Знаменский (Ялта), В. Камендровский (Оренбург), Н. Кашин (Ярославль), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылик (Галич),

Черт 4.

* Здесь, как нам кажется, слабое место доказательства. Как видим, оно опирается на предположение, что в случае равных биссектрис оба угла должны быть острыми. Доказать это можно, но здесь этого доказательства нет. — Ред.

H. Кулаков (Бугуруслан), П. Милов (Люблино), Л. Москалев (Москва), В. Павлов (Балятино), О. Хангарлян (Краснодар), М. Хлебников (Краснодар), С. Чечельницкий (Городец). 6. Решить в целых числах уравнение (х-1)\(х-у)=у*.

Непосредственно убеждаемся, что уравнению удовлетворяют х — 1,у = 0; пусть теперь х > 1. Имеем:

Подкоренное выражение должно быть точным квадратом. Подстановка дает х = 2. (Для исчерпывающего решения нужно было бы показать, что при всяких других значениях х подкоренное количество не может быть точным квадратом.— Ред.) Тогда

Г. Знаменский (Ялта), В. Павлов (Балятино), А. Соловьев (Калинин), С. Чечельницкий (Городец).

7. Решить уравнение

Из условия задачи вытекает, что (х ! ) ! должно быть меньше хх !.

Но уже (4 ! ) ! > 44 !, так как

и дробь

и дальше, с увеличением х, (х !) ! растет быстрее, чем X*!. Следовательно, х может быть равен 1, 2, 3. Испытание дает х — 3. Действительно,

(3!)!-f 3!-f 3 = 6! + 3! + 3 = 729 = Зв = 33!.

Н. Енгурин (Чистополь), Г. Знаменский (Ялта), Б. Кобылин (Галич), Н. Кулаков (Бугуруслан), Д. Логвиненко (Горловка), П. Любовников (Сталинград), Павлов (Балятино), А. Соловьев (Калинин), Чечельницкий (Городец), Л. Шмуленсон (Винница).

8. Доказать тождество

Имеем:

Напишем ряд равенств

Сложив их, получим искомое равенство.

И. Бородуля (Москва), А. Вепланд (Москва), А. Егоров (Демянск), Н. Енгурин (Чистополь), Г. Знаменский (Ялта), В. Камендровский (Оренбург), Н. Кашин (Ярославль), К. Кириллов (Казань). Б. Кобылин (Галич), Н. Кулаков (Бугуруслан), Н. Курицын (Ярославль), П. Милов (Люблино), Павлов (Балятино), Н. Рождественский (Днепропетровск), А. Соловьев (Калинин), С. Чечельницкий (Городец), М. Шевелев (Казань).

9. Доказать тождество;

Обозначим левую часть чере \ у и умножим на 2 sin а. Получим

По сложении получаем:

Отсюда

Многие решали задачу в том виде, как она была напечатана первоначально и получили:

Чтобы получить это тождество, достаточно к предыдущим равенствам присоединить еще одно

2 sin a cos а — sin 2 а.

И. Бородуля (Москва), А. Вепланд (Москва), А. Гордеев (Кустанай), Н. Енгурин (Чистополь), Г. Знаменский (Ялта), В. Камендровский (Оренбург), Н. Кашин (Ярославль), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), А. Колосовский (Краснодар), Н. Кулаков (Бугуруслан), П. Милов (Люблино), Павлов (Балятино), Н. Рождественский (Днепропетровск), А. Соловьев (Калинин), С. Чечельницкий (Городец), М. Шевелев (Казань).

10. В треугольнике ABC проведены прямые AF, BD и СЕ так, что CF=^BC, AD ~ АС и BE = — AB. Площадь треугольника, сторонами которого являются эти прямые, равна р. Найти площадь треугольника ABC.

Обозначим площадь треугольника ABÖ через х.

1. Проведем прямые AM ! | BD и ВМ I I АС. Фигура AMBD — параллелограм. Отсюда AM — BD и MB = AD= ~АС.

Проведем EN\\AC и соединим точку Е с M и точку M с F. EN | | ЛС, следовательно, | | Ш2. Кроме того, EN ~^АС- MB. В фигуре MBNE две противоположных стороны равны и параллельны. Следовательно, MBNE — параллелограм.

Отсюда ME 11 BN и ME = BN = -3 #С = FC.

Так как Af£ в то же время параллельна ВС, то фигура EMFC—параллелограм и MF - ЕС.

Треугольник AMF имеет сторонами AF, AM = DB и MF — ЕС, т. е. это именно тот треугольник, о котором говорится в условии задачи и площадь которого равна р.

2- Sambf — Sabf~\~ $амв*

Отсюда

3. С другой стороны:

Но SAMF = p. Остается определить SMBF. Нетрудно видеть, что SMBF sz S£NC, так как основания их равны:

BF - NC - ~ ВС,

а вершины лежат на одной прямой ME, параллельной основаниям.

Сравним треугольники ENC и ЕВС. Высота их одна и та же, а основание BF = т ВС.

Следовательно,

4. Теперь окончательно имеем:

Отсюда

Многие товарищи поняли условие задачи так, что р является величиной площади треугольника, образованного пересечениями прямых AF, BD и СЕ внутри треугольника ЛВС, тогда как р есть площадь треугольника, сторонами которого являются AF, BD и СЕ.

И. Гришин (Осташков), В. Камендровский (Оренбург), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), Н. Кулаков (Бугуруслан).

11. Имеем четырехугольную доску размером 5X2.

Построить из этого четырехугольника квадрат, разрезав доску только на 4 части.

Редакцией получено несколько способов решения задачи.

1. Решение т. Чечельницкого показано на чертеже 6. Нетрудно видеть, что каждая сторона полученного четырехугольника равна j/V-f-o8 = = “j/lO и что все углы его прямые.

2. Решение т. Знаменского дано на чертеже 7. Доказательств его, как и последующих, не приводим, так как все они сводятся к элементарным вычислениям.

Отметим лишь, что длину, равную легко получить, взяв на меньшей стороне прямоугольника от какой-либо вершины длину, равную 1,

Черт. 5

Черт. 6

Черт. 7

Черт. 8

и на большей 3; гипотенуза полученного треугольника равна j/TÖ.

3. Решение тт. Енгурина, Кобылина, Милова и Соловьева (черт. 8). На больших сторонах от противоположных вершин откладываются отрезки, равные уТО, и отсекаются треугольники I и III. Параллелограм abcd делится на две части прямой, параллельной меньшим сторонам (легче всего это деление начать от точки d или в перпендикулярно ad или вс).

4. Решение тт. Гришина, Гусева и Павлова видно из чертежа 9.

Решения (3) и (4) показывают, что задача составления квадрата из четырех кусков представляет лишь исторический интерес (см. примечание к задаче в журнале № 5 за 1935 г.). Для ее решения достаточно разбить прямоугольник на три части. В самом деле, из чертежа 8 видно, что взяв сечение параллелограма, например от точки в (пунктир), мы получаем три куска: 1) акв, 2) abmd и 3) dmbcn.

Еще легче это выполнить способом, указанным на чертеже 9. Кусок совсем не нужно отрезать. Самые разрезы здесь тоже проводятся особенно просто. Откладываем cf= “j/^iO и отрезаем bcf. Затем откладываем ае = У 10 и разрезаем оставшийся кусок по линии еО, перпендикулярной к ab.

И. Гришин (Осташков), И. Гусев (Гуково), Н. Енгурин (Чистополь), Г. Знаменский (Ялта), Б. Кобылин (Галич), П. Милов (Люблино), В. Павлов (Балятино), А. Сахаров (Москва), А. Соловьев (Калинин), С. Чечельницкий (Городец).

Задачи № 12 и 13 уже были помещены в № 4 и попали в № 5 ошибочно. Фамилии приславших решения этих задач, как по № 4, так и по Х° 5 приведены в помещенной ниже сводке по № 4.

14, Найти два целых положительных числа, разность которых равна -g- их произведения.

Обозначим искомые числа через jc и у. По условию:

(1)

(2)

Равенство (2) показывает, т:то у<6 и что 6—у должно быть делителем 36. Эти условия выполнены лишь при у = 2, 3, 4 и 5. Отсюда имеем четыре решения

у 2 3 4 5 X 3 6 12 30

И.Гришин (Осташков), И. Гусев (Гуково), А. Егоров (Демянск), Г. Знаменский (Ялта), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), А. Колосовский (Краснодар), В. Кременский (Ленинград), Н. Курицын (Ярославль), П. Любовников (Сталинград), П. Милов (Люблино), В. Павлов (Балятино), Н. Рождественский (Днепропетровска Г. Сальников (Миас), А. Соловьев (Калинин), О. Хангарлян (Краснодар), С. Чечельницкий (Городец).

15. Треугольник ABC с основанием 59 м и боковой стороной 30 м имеет площадь, равную 500 мг. Линиями, параллельными основанию, разбить треугольник на пять равновеликих частей.

Обозначим площадь данного треугольника через S и сторону AB через а. Все треугольники, полученные путем проведения линий параллельных основанию, будут подобны данному и площади их относятся, как квадраты сходственных сторон.

Обозначая площади полученных треугольников через Si, S2, 53 и 54, а боковые стороны, лежащие на AB, через хг, xz и х4, будем иметь, согласно условию задачи,

Отсюда

Как видим, для вычисления нами использовано лишь одно данное — величина одной из сторон; другая из данных сторон и величина площади треугольника ABC нам не понадобились. Эти данные нужны лишь для того, чтобы данный треугольник был вполне определенным (для построения).

Самое построение можно выполнить так (черт. 10).

Построив в KaKOiM-либо масштабе треугольник ABC по двум сторонам AB = 30м, АС 50 м и высоте, равной 500-2:50 = 20 м, разделим сторону AB на пять равных равных частей (т. е. отложим последовательно отрезки, равные 6 м). На AB, как на диаметре, строим полуокружность.

Черт. 9

Черт 10.

Из точек деления AB проводим перпендикуляры к AB до пересечения с окружностью; получим точки K,L,M,N. ХоршКВ,ЬВ,МВ и NB и дадут отрезки, которые надо отложить на AB от точки В, чтобы разделить треугольник на пять равновеликих частей.

В самом деле, хорда является средней пропорциональной между диаметром, проведенным через ее конец, и ее проекцией на этот диаметр. Из чертежа видно, что

КВ*=АВ- кв _ т/Щ = цГъ.

LB*=AB g- А В = 30 -12; LB =^36ü = 6J/TÖ и. т. д.

И. Алексеев (Казань), И. Гришин (Осташков), И. Гусев (Гуково), А. Егоров (Демянск), Г. Знаменский (Ялта), В. Камендровский (Оренбург), Н. Кашин (Ярославль), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), А. Колосовский (Краснодар), B. Кременский (Ленинград), Н. Кулаков (Бугуруслая), П. Любовников (Сталинград), П. Милов (Люблино), В. Павлов (Балятино), т. Сальников (Миас), А. Сахаров (Москва), П. Славский (ст. Павловская), А. Соловьев (Калинин), О. Ханчарлян (Краснодар), C. Чечельницкий (Городец).

Сводка принятых решений по № 3 и 4. В скобках указано число принятых задач.

По № 3. В.Агеев (8), И. Алексеев (6), В. Асафьев (1), Н. Богданович (6), П. Буданцев (7), М. Варно (19), А. Вепланд (14), Н. Горин (5), И. Гришин (13), М.Гусев (11), И. Дьяченко (12), А. Егоров (11), Н. Ежев (4), Н. Енгурин (8), Н. Ефимов (4), А. Жаров (3), А. Задвиженец (5), Г. Знаменский (17), В. Камендровский (17), Н. Карелина (17), К.Кирилов (14), Т. Клоков (1), Б. Кобылин (200), A. Колосовский (10), К. Краевский (10), Лебедев (7), А. Лучко (6), П. Любовников (12), Н. Милковский (15), П. Милов (8), B. Морев (3), В. Орлов (6), В. Павлов (13), Г. Ржавский (4), Ф. Рыжков (1), П. Савчук (9), А. Сафонов (1), Н. Сафонов (19), И. Сергачев (6), И. Смирнов (7), А. Соловьев (17), Е. Соло.вьев (5), Б. Сосницкий (19), А. Сухацкий (6), С. Тарарин (9), Л. Фейгенберг (12), Ф. Фисун (1), C. Чечельницкий (19), М. Шевелев (7), Я. Шор (11), А. и И. Яглом (13).

По № 4. В. Агеев (1), Н. Адамович (6), М. Андреев (13), А. Астраханцев (3), Бессонов (2), А. Вепланд (18), С. Воронин (1), Р. Глейзер (11), А. Голубченко (1), Л. Гордеев (4), Н. Горун (7), И. Гришин (14), И. Гусев (1), М. Гусев (9), И. Демидов (8), А. Егоров (9), Н. Енгурин (7), В. Ефимов (6), Н. Ефимов (1), A. Задвиженец (8), Г. Знаменский (19), Л. Каган (2), Б. Кобылин(19), В. Камендровский (11), К. Кириллов (16), А. Колосовский (8), Г. Корчагин (13), Н. Космачевский (I), С. Лукин (7), А. Крутиков (7), Н. Курицын (4), Лебедев (5), П. Любовников (8), В. Марочкин (7), Е. Марчевская (7), Н. Милковский (4), П. Милов (10), Г. Оленин (4), В. Орлов (5), B. Павлов (15), В. Покидов (7), Г. Ржавский (2), А. Соловьев (19), Б. Сосницкий (15), Н. Столяров (3), Л. Фейгенберг (12), Ф. Фисун (1), О. Ханчарлян (9), Харитонов (16), С. Чечельницкий (19), С. Чуканцев (2), М. Шевелев (9), Я. Шор (2), Б. Эпштейн (13).

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, помещенных в сб. «Матем. и физика в школе» № 6 за 1935 г.

1. Доказать, что если т и п целые положительные числа и т>я, то

Приводим доказательство в наиболее общем виде, данное Н. Кулаковым. Возьмем ряд тождеств:

Умножим эти тождества соответственно на

и сложим.

В левой части получим:

Нетрудно видеть, что выражение в скобках, равно

[(*+1)-*]п = (*+1-*)п = 1,

и левая часть, таким образом, равна

В правой части сгруппируем члены по вертикалям. Получим:

Так как правая часть тождественно равна левой, то при произвольном X должны быть соответственно равны коэфициенты при одинаковых степенях х. Отсюда имеем:

(известная формула о равенстве сумм коэфициентов, стоящих на четных и нечетных местах)

(это и есть требуемое тождество)

Мы видим, что данное тождество получается, как частный случай соотношения

Г. Знаменский (Ялта), Н. Кулаков (Бугуруслан), В. Павлов (Балятино), А. Соловьев (Калинин).

2. Решить уравнение:

(х- — бл: + 10) (х- — 8л- + 17) = 26.

Раскроем скобки и перенесем все члены уравнения в левую часть. Получим:

л:4 — 14л3 + 75л2 — 182л: + 144 = 0.

Произведем группировку:

X4 — 14л:3 + 49л-2 -f (26л2 — 182л) -fi 144 = 0, или

(л2 — 7л-)2 + 26(л-2 — 7л-) -f 144 = 0

Получаем:

х~ — 7 л: = у

и решаем полученное квадратное уравнение: V + 26у+ 144 = 0.

Получаем:

Ух = — 8; 3'2 = — 18.

Решая два квадратных уравнения:

л:2 — 7л-+ 8 = 0 и х, — 7х+ 18 = 0, найдем

Г. Автух (Лепель, БССР), Г. Ахведров (Ленинград), Б. Боголюбов (Ульяновск). И. Бородуля (Москва), А. Вепланд (Москва), Г. Головяшкин (Н. Хутор). И. Гришин (Осташков), А. Егоров (Демянск), Г. Знаменский (Ялта), В. Камендровский (Оренбург), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), Н. Корзинин (Рыбинск), Н. Кулаков (Бугуруслан), С. Кулигин (ст. Зиновьевская), В. Морев (Ленинград), В. Павлов (Балятино), В. Пепик (Жиличи, БССР), Г. Ржавский (Фролово), И. Романцев (ст. Синдорово), В. Рукомичев (Клинцы), Ф. Рыжков (Калинин), Т. Ряднов (Москва), Л. Собищанский (Симферополь), А. Соловьев (Калинин), О. Хангарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь, Чувашской респ.), М. Шевелев (Казань).

3. Доказать, что во всяком треугольнике

где 5 площадь треугольника, г — радиус вписанного круга, а к, ß и 7 — отрезки сторон, отсекаемые точками касания вписанной окружности. Как известно:

(1)

Черт. 1

Из чертежа видно, что

Подставляя эти выражения в (1), получаем Но

(2)

Делая подстановку во (2), получаем

Отсюда

Г. Автух (Лепель, БССР), Г. Ахвердов (Ленинград), А. Берколайко (Бобруйск), И. Бородуля (Москва), Т. Васюченко (Ярославль), Воронин (Ярославль), Г. Головяшкин (Н. Хутор, Куйбышевский край), A. Егоров (Демянск), Г. Знаменский (Ялта), B. Камендровский (Оренбург), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), А. Колосовский (Краснодар), Н. Кулаков (Бугуруслан), Н. Курицын (Ярославль), В. Павлов (Балятино). В. Пепик (Жиличи), И. Раманцев (Ст. Синдорово), В. Рукомичев (Клинцы), Ф. Рыжкова (Калинин), Т. Ряднов (Москва), А Сахаров (Москва), С.Севастьянова (Москва), Е. Скворцова (Фабричное, Куйбы-

шевск. кр.), П. Славский (ст. Павловская), Л. Собищанский (Симферополь), А. Соловьев (Калинин), О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), М. Шевелев (Казань), Я. Шор (Тула).

4. Задача ошибочно помещена вторично. Решение ее дано в решениях по журналу № 5.

Там же приведены и фамилии приславших решения по обоим номерам журнала.

5. Доказать, что

M = 625*^ + 1 + 4.1252/7 + 1 + 150.25“' + + 20.52' + 1

делится на 1296.

Преобразуем данное выражение:

M = 54('2/? + 1} + 4.5 3 (2р + *> -f 6.52(2/7 + 1}+ + 4^ + 41.

или

М=(52р + 1 + I)4.

Но выражение 52/> + 1'-|-1, как сумма нечетных степеней, делится на сумму оснований, т. е. на 5+1 =6.

Следовательно, выражение (52р + 1 -f- I)4 делится на б4 = 1296.

Г. Ахвердов (Ленинград), А. Берколайко (Бобруйск), 3. Бурштейн (Баку), И. Гришин (Осташков), Г. Знаменский (Ялта), В. Камендровский (Оренбург), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), А. Колосовский (Краснодар), Н. Кулаков (Бугуруслан), В. Морев (Ленинград), В. Павлов (Балятино), Г. Ржавский (Фролово), Ф. Рыжков (Калинин), Т. Ряднов (Москва), А. Соловьев (Калинин), О. Хангарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), М. Шевелев (Казань), Я. Шор (Тула).

6. Решить уравнение

х2 + 2 \/х- + 6х = 24 — 6х.

Перенесем все члены в левую часть X2 -f. 6* -f 2 |/jc2 + 6jc — 24 = 0.

Полагая

Vx* + bx = y,

будем иметь

у + 2у — 24 = 0.

Решая это квадратное уравнение, найдем:

Ух = 4 у2 = — 6

Отсюда имеем два квадратных уравнения:

хг _j_ g* — 16 = 0 и X2 + 6х — 36 = 0,

решив которые найдем _

хх - 2; х2 = - 8; *3,4 = — 3 ± 3 V 5.

Г. Автух (Лепель), Г. Ахвердов (Ленинград), А. Берколайко (Бобруйск), Б. Боголюбов (Ульяновск), И. Бородуля (Москва), M. Вахлис (Киев), Г. Головяшкин (Н. Хутор), И. Гришин (Осташков), А. Егоров (Демян:к), Н. Енгурин (Чистополь), А.Жаров (Москва), Г. Знаменский (Ялта), В. Камендровский (Оренбург), Н.Катаев (Горький), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), А. Колосовский (Краснодар), В. Кременский (Ленинград), Н. Кулаков (Бугуруслан), С. Кулигин (ст. Зиновьевская), H. Курицин (Ярославль), Лесников (Каменск), В. Морев (Ленинград), В. Павлов (Балятино), В. Пепик (Жиличи), Г. Ржавский (Фролово), И. Романцев (ст. Синдорово), Ф. Рыжков (Калинин), Т. Ряднов (Москва), А. Сахаров (Москва). П. Славский (ст. Павловская), Л. Собищанский (Симферополь), А. Соловьев (Калинин), О. Хангарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), С. Чуканцев (Брянск), Шварцбург (Москва), Н. Шибанов (Омск), И. Шилин (Алкута, Воронежск. обл.), Я. Шор (Тула).

7, Решить систему уравнений:

X4 -f 4у4 = а; х2 -f- 2ху -f- 2у2 — Ь.

Первое уравнение можно представить в виде:

X4 -f 4у4 = X4 + 4х2у2 + 4у4—4л'2у2 = (х2 -f 2у2)2— — 4х2у2 - (X2 + 2у2 + 2ху) (X2 + 2у2 — 2;су).

Приняв во внимание второе уравнение, можем написать

(1)

Сложив полученное уравнение со вторым из данных, а затем вычтя его же, найдем

(2) (3)

Далее:

X4 — 4х2у2 -{-4у4-а — 4х2у2,

или

После упрощений найдем

(4)

Обозначим для краткости:

Ь2 + а = М; ЫЬ2 — а2 — Ъ4 = N.

Тогда, сложив уравнения (2) и (4), взяв последнее со знаком-f-, найдем:

Отсюда

Вычтя (4) из (2), получим:

Отсюда:

Получаем четыре пары корней:

Взяв теперь уравнение (4) со знаком —и решая систему уравнений (2) и (4), получим еще четыре пары корней

А. Берколайко (Бобруйск), Б. Боголюбов (Ульяновск), А. Вепланд (Москва), И. Гришин (Осташков), А. Жаров (Москва), Г. Знаменский (Ялта), В. Камендровский (Оренбург), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), А. Колосовский (Краснодар), Н. Кулаков (Бугуруслан), С. Кулигин (ст. Зиновьевская), В. Павлов (Балятино), Г. Ржавский (Фролово), Ф. Рыжков (Калинин), Т. Ряднов (Москва), П. Славский (ст. Павловская), Л. Собищанский (Симферополь), А. Соловьев (Калинин), О. Хангарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), М. Шевелев (Казань), Я- Шор (Тула).

8. Решить систему уравнений

ху (x + y — z) = 6; yz{y + z—х) = 60;

zx(z + x — у) = 24 (1)

Прибавив к обеим частям каждого из уравнений по 2xyz, получим систему уравнений:

ху (х+у + *) = 2хуг + 6; yz(x +y + z) = = 2xyz + 60; zx (x + y + z) = 2 xyz + 24. (2)

Введем обозначение:

xyz = t (3)

Разделим первое уравнение системы (2) на второе и третье. Будем иметь:

(4)

Отсюда:

(5)

Подставляя в (3) выражения для х и у из (5), найдем:

Отсюда:

(6)

Подставляя найденное значение z в (5), получим:

(7)

Остается определить t. Для этого берем хотя бы первое из уравнений 1) и представим его в таком виде:

(8)

или, принимая во внимание (3) и (4):

(9)

После несложных преобразований получим:

t* — 486 г — 2160 = 0, (10)

Для решения полученного кубического уравнения преобразуем его:

fi — 486 t — 2160 = г3 — 24 t2 + 24 — 576 t + -f 90 t — 2160 = (*- 24) (t2 + 24 / + 90).

Итак, имеем:

(г —24) (/2 + 24 г-f 90) = 0. (11)

Отсюда:

(12)

Подставляя tt = 24 в (6) и (7), найдем три первых системы решений:

*i = 2; у\ = 3; жх = 4.

Найти остальные значения х, у и z можно следующим путем. Введем обозначение:

t(t + 3) (/+12) (*+30)=Af.

Тогда выражения (6) и (7) можно представить в следующем виде:

(14)

(15)

Точно так же найдем значения х, у и z при * = -3 0^6+4).

Для проверки годности полученных корней лучше всего воспользоваться уравнениями в их первоначальном виде, раскрыв в них предварительно скобки.

Возьмем, например, первое уравнение:

х2У + ху2 — xyz = 6.

Подстановка значений jc, у и г из (15) дает:

(16)

Путем простых преобразований находим:

Таким же путем находим:

Тогда выражение (16) дает:

т. е. уравнение удовлетворяется данными корнями.

Так же поступаем и с остальными двумя уравнениями.

Подстановка значений корней при

показывает, что и они удовлетворяют данной системе уравнений.

Чтобы получить все решения, надо принять во внимание, что кубичный корень имеет три значения.

Обозначим корни кубичные из единицы так: 1,е,е2.

Обозначим численную величину M при через Afv а при / = — 12 — 3 ]/^6 через М2. Тогда все решения представятся следующей таблицей.

Все девять решений удовлетворяют данной системе уравнений.

Нужно отметить, что почти ни одно из присланных правильных решений не доводит его до конца.

Г. Автух (Лепель), Г. Знаменский (Ялта), В. Камендровский (Оренбург), А. Колосовский (Краснодар), Н. Кулаков (Бугуруслан), В. Павлов (Балятино), А. Соловьев (Калинин), О. Хангарлян (Краснодар), М. Шевелев (Казань).

9. Задача Архимеда. Если в круге две хорды пересекаются под прямым углом, то сумма квадратов, получившихся четырех отрезков хорд равна квадрату диаметра.

Пусть AB и CD две хорды, пересекающиеся под прямым углом в точке М\ AN—диаметр. Требуется доказать, что:

MA* + MD2 + MB* + MC2 = ЛА2. (1)

Приведем доказательство самого Архимеда (см., например, Г. Н. Попов — «Исторические задачи»). Соединим прямыми точки С и В, а также N и D. Имеем:

Z AMC = d= /_ADN,

а также:

Л АСМ = l_ AND,

как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. Значит, треугольник AMC имеет два угла соответственно равных двум углам треугольника ADN. Отсюда:

CAB = £ NAD. Но это значит, что

CB = ND,

а отсюда

СВ=Ш). (2)

Далее, из треугольника AMD имеем:

MA2 + MD2 = AD2. (3)

Из треугольника СМВ% приняв во внимание (2), находим

MB2+MC2 = DN2. (4)

Наконец, из треугольника ADN:

AD2 + DN2 = AN2. (5)

Подставляя в (5) из (3) и (4) выражения, найденные для AD2 и DN2 (или просто складывал эти три равенства), получим (1).

Г. Автух (Лепель), Г. Ахвердов (Ленинград), И. Бородуля (Москва), Г. Головяшкин (Н. Хутор), И. Гришин (Осташков), А.Егоров (Демянск), Н. Енгурин (Чистополь), Г. Знаменский (Ялта), В. Камендровский (Оренбург), Н. Катаев (Горький), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), А. Колосовский (Краснодар), Н. Корзинин (Ры-

Черт. 2

инск), H. Кулаков (Бугуруслан), Лесников (Каменск), В.Павлов (Балятино), В. Пепик (Жиличи), А. Сахаров (Москва), Л. Собищанский (Симферополь), А. Соловьев (Калинин), О. Хангарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), М. Шевелев (Казань), Я. Шор (Тула).

10. Задача Архимеда. Дан полукруг. Точкой А диаметр полукруга делится на два отрезка. На этих отрезках, как на диаметрах, построены полукруги (по одну сторону с данным полукругом). Доказать, что площадь фигуры, ограниченной полуокружностями (арбелон), равна площади круга, диаметр которого равен длине перпендикуляра к диаметру в точке А до пресечения его с окружностью.

Искомая площадь равна площади данного полукруга минус сумма площадей двух меньших полукругов. Следовательно:

или:

Так как MN = MA -f- AN, то

Примечание. В виде опыта редакция поместила задачу, которая должна быть известна широким кругам педагогов, так как имеется в задачнике Рыбкина по планиметрии. Несмотря на это и при всей простоте решения, ее постигла в значительной степени та же участь, что и задачу 4 из журнала № 5. Многие (правда, не большинство) давали необычайно сложные решения. Одни дополняли полукруг до круга и вводили ряд вспомогательных линий; другие оперировали с треугольниками MAB и BAN; третьи просто вносили в цепь рассуждений много лишнего. У одного из приславших «решение» получилось, что задача справедлива лишь в том случае, когда точка А делит диаметр пополам, т. е. находится в центре круга ( ! ? ).

Отсюда редакция делает тот вывод, что наряду с задачами так называемой «средней> трудности, надо систематически помещать и задачи элементарного типа (это спорадически делалось и раньше), чтобы дать подходящий для тренировки материал слабо подготовленной части педагогов.

Г. Автух (Лепель), Г. Ахвердов (Ленинград), Б. Боголюбов (Ульяновск), И. Гришин (Осташков), А. Егоров (Демянск), Н. Енгурин (Чистополь), Г. Знаменский (Ялта), В. Камендровский (Оренбург), Н. Катаев (Горький), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), А. Колосовский (Краснодар), В. Коробан (Клин), Н. Кулаков (Бугуруслан), Лесников (Каменск), В. Павлов (Балятино), В. Лепик (Жиличи), Г. Ржавский (Фролово), А. Сахаров (Москва), Л. Собищанский (Симферополь), А. Соловьев (Калинин), О. Хангарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), М. Шевелев (Казань), Я. Шор (Тула).

11. Задача Желена*. Пять разбойников отняли у прохожего кошелек, наполненный дукатами. Самый сильный из них взял 81 дукат, каждый из четырех остальных взял неодинаковую сумму; вследствие неравного раздела возник спор; пришедший в то время атаман приказал, чтобы тот, кто взял больше всех, удвоил каждому из остальных число его дукатов и чтобы то же самое сделал затем захвативший второе по величине количество дукатов, потом захвативший третье, четвертое и пятое.

В результате оказалось, что каждый из пяти разбойников получил одно и то же количество дукатов. Узнать, сколько дукатов было в кошельке и сколько каждый захватил вначале.

Обозначим разбойника, захватившего наибольшее число дукатов, номером 1, следующего за ним — номером 2 и т. д. Пусть число дукатов в кошельке было х. После пятого дележа у всех разбойников оказалось поровну, т. е.

Значит, до пятого дележа (т. е. после четвертого) у каждого из первых четырех было вдвое меньше, а у пятого больше на столько, сколько он дал остальным (или, другими словами, больше на столько, сколько у них было до дележа, так как он каждому удваивал число его дукатов). Таким образом, до пятого дележа у каждого из них было:

Далее, до четвертого дележа у 1-го, 2-го, 3-го и 5-го было вдвое меньше, а у 4-го на соответствующую сумму больше. Аналогичные рассуждения и дальше. Все вычисления мы можем расположить в следующую таблицу:

в итоге

до пятого дележа

до четвертого дележа

до третьего дележа

* Желен — французский математик XIX в., автор ряда курсов по элементарной метематике.

до второго дележа

до первого дележа

Но известно, что до дележа у первого разбойника был 81 дукат. Отсюда:

Теперь легко найдем, что остальные взяли 41, 21, 11 и 6 дукатов.

Большинство из приславших решения делали ту ошибку, что начинали расчеты не с последнего, а с первого дележа, вследствие чего приходилось вводить много неизвестных (до 10) и составлять соответствующее количество уравнений.

Г. Автух (Лепель), Г. Ахвердов (Ленинград), Г. Головяшкин (Н. Хутор), И. Гришин (Осташков), Г. Знаменский (Ялта), В. Камендровский (Оренбург), К. Кириллов (Казань), Б. Кобылин (Галич), А. Колосовский (Краснодар), Н. Кулаков (Бугуруслан), Н. Курицын (Ярославль), Лесников (Каменск), В. Морев (Ленинград), В. Павлов (Балятино), В. Пепик (Жиличи), Г. Ржавский (Фролово), А. Сахаров (Москва), Л. Собищанский (Симферополь), А. Соловьев (Калинин), В. Турно (Брянск), О. Хангарлян (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь), П. Хохлов (Каменск), С. Чуканцев (Брянск), М. Шевелев (Казань).

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 8 ИЗ № 2 (Сб. «Матем. и физика в ср. школе» за 1935 г.)

Проф. М. ЗИМИН (Новочеркасск)

Примечание редакции

Редакцией были получены решения задачи для тупоугольного треугольника (в частности от т. Вегеман, фамилия которого приведена в числе решивших, и от проф. И. И. Чистякова). Так как это решение расширяет обычное понятие о вписанной фигуре (площадь квадрата частью лежит вне треугольника), редакция не сочла целесообразным поместить его. Но решение, присланное автором задачи, проф. М. Ф. Зиминым, представляет самостоятельный интерес, как пример детального и строгого исследования, почему редакция и решила опубликовать его. Редакция

В вышеуказанном номере сборника мною была предложена задача:

«8) Построить треугольник ABC по стороне b и высоте па при условии, что сторона вписанного в этот треугольник квадрата, две вершины которого лежат на ВС, равна диаметру вписанной в треугольник окружности».

В № 6 сборника за тот же год дано решение той же задачи, которое я привожу дословно.

«Из чертежа 1 находим:

Или, так как

EF = MD — 2г,

Отсюда:

Но

откуда:

или

(1)

Покажем, что это равенство невозможно. В самом деле, из чертежа 1-находим:

(2)

Таким образом, треугольник, удовлетворяющий условиям задачи, невозможен.

Е. Вегеман (Курск), А. Соловьев (Калинин), Н. Туминский (Волоколамск).

В этом решении соотношение (1) получено правильно, приводимые дальше неравенства тоже верны, но лишь постольку, поскольку они относятся к приложенному чертежу, окончательное же заключение о невозможности требуемого треугольника — не правильно.

Авторы решения упустили из виду, что один из углов при основании ВС в треугольнике ABC может быть тупым, а тогда следующие аа равенством (1) рассуждения отпадают, и неравенство (2) в этом случае из соответствующего чертежа не следует. То, что содержится в

Черт. 1

вышеприведенном решении, доказывает лишь, что искомый треугольник не может иметь двух острых углов при основании ВС.

Предложенная задача решается так.

Из равенства (1) следует

р — CL — h

а это равенство показывает, что расстояние от вершины А до точки касания Т вписанной в треугольник ABC окружности со стороною АС = b равно данной высоте йа.

Черт. 2

Строим (черт. 2) прямоугольный треугольник ACD по гипотенузе АС = b и катету AD = ha. На стороне АО откладываем отрезок AT = ha. Перпендикуляр, восставленный из 7 к АО и биссектрисы угла ACD и ему смежного АСВг пересекутся соответственно в точках / и Д. Из / описываем окружность радиусом IT, а из 1Х—окружность радиусом 1ХТ. К этим окружностям из точки А проводим вторые (помимо АС) касательные AB и ABlt пересечения которых с прямой AD определят два (вообще говоря) треугольника ABC и АВХ С, удовлетворяющие условиям задачи.

Приведем теперь исследование задачи. Если ha = b, то уравнение (1) дает

откуда

с = a -f- b.

Видим, что для этого случая искомый треугольник не существует.

Будем поэтому в дальнейшем предполагать, что 6>Ла.

Введем для краткости обозначения

/mACD = «, IT=zr, ItT=rt.

Имеем

(3)

Замечая, что СТ=Ь — ha, находим из треугольника С IT

(4)

Обозначая, далее, радиус вписанной в прямоугольный треугольник ACD окружности через р по известной формуле будем иметь

(5)

Пользуясь формулами (4) и (5), докажем, что Р>г. (6)

Действительно, неравенство

после упрощений сводится к более простому

выражающему свойство треугольника ACD.

Из неравенства (6) вытекает, что окружность, описанная из / радиусом IT = г, касаясь сторон АС и CD треугольника ACD, пе пересекает и не касается стороны AD и заключается внутри треугольника ACD. Поэтому вторая (помимо АС) касательная к этой окружности из точки А будет находиться внутри угла CAD и пересечет отрезок CD в точке В между Си/). Треугольник ABC с острым углом при С и тупым при В, удовлетворяющий условиям задачи, всегда существует.

Исследуем теперь условие возможности существования другого треугольника ВАгС с тупым углом при С и острым при В\. Для того, чтобы окружность, описанная из 1г радиусом ItT = rlf оказалась внутри треугольника, образованного двумя касательными АС, ABt к этой окружности и прямой CD, необходимо и достаточно, чтобы диаметр 2гг окружности был меньше высоты Нш т. е. 2гх /_па. Из треугольника С1{Г, в котором ^ 1С1г = 90° — у, находим

или, на основании формулы (3)

Из неравенства

после упрощений получим

(7)

откуда прежде всего следует

b<2ha. (8)

Возвышая, далее, обе части неравенства (7) в квадрат, получим

4Л02 — 4bha + b*>b*-ha*

и отсюда находим

(9)

Так как неравенство (8) следует из неравенства 9), то окончательно, как условие возможности существования второго треугольника, будем иметь (неравенство (9).

Итак, при

задача имеет дза решения, при 6 >-^-—одно решение.

Пусть Ь > Вторая касательная из Л к окружности радиуса /^пересечет прямую CD в точке Вг (черт. 3), так что для треугольника АВгС эта окружное!ь будет вневписанной. Пользуясь прежними обозначениями для элементов треугольника АВгС, можем написать

(10)

Для стороны EF—FL квадрата, вписанного в треугольник АВ2С так, чтобы две вершины его лежали на ВгС, а две другие на продолжениях сторон ВгА и CA, имеем уравнение

из которого

(11)

Но из (10) следует значит,

т. е в этом случае для треугольника ABJC сторона вписанного квадрата равна диаметру вневписанной окружности.

Поставим задачу о разыскании всех треугольников с рациональными сторонами, обладающих указанным характеристические свойством

ha = p-a. (12)

Вопрос сводится к решению этого уравнения (12) в рациональных числах а, Ь, с. Напишем уравнение (12) в виде

и отсюда получаем

Возвышая последнее уравнение в квадрат и сокращая на р—а, приходим к уравнению

4р (р—Ь) (р-с) = в« (р-а). (13)

Введем новые переменные х, у, г вместо a, bt с.

р—а = хур -Ь=у, р с — z,

откуда

=У + у b-z-\-x, с = х+у,

P = x+y + z. (14)

В новых переменных уравнение (13) напишется так:

4 (x+y + z) yz = (y + z)*x. (15)

Но последнее уравнение первой степени относительно X. Из него находим в предположений, что уфг.

а так как уравнение (13) однородно относительно a, Ь, с, то найденные для а, Ь, с значения можем заменить числами, пропорциональными, умножая эти значения на (у — z)2. Окончательно получаем для a, Ь, с следующие формулы

и затем по уравнениям (14) выражаем а, Ь, с через независимые переменные у и z\

В этих формулах под у и z подразумеваем произвольные неравные рациональные, в частности целые числа.

Пусть, например, у=\, z = 2. Будем иметь

а = 3, b = 26, с = 26,

и далее для проверки вычисляем

р = 27, р — a = 24, р — 6 = 1, р— с = 2, 5=36

25 л Л« = —= 24=/>-а.

Полагаю, что после всего вышеизложенного существование треугольника, о котором шла речь в задаче, установлено со всею несомненностью.

Из основного уравнения

К-р — а

вытекают и другие соотношения между элементами рассматриваемого специального треугольника. Из этих соотношений мы укажем, не приводя доказательств, на следующие:

Черт. 3

Уравнение, выражающее зависимость между сторонами исследуемого треугольника, оказалось третьей степени относительно а, Ь, с. Поэтому задача о построении такого треугольника по данным двум каким-либо сторонам с помощью циркуля и линейки неразрешима.

ЗАДАЧИ

1. Найти два числа А и В, зная, что их сумма равна 677, а частное от деления их общего наименьшего кратного на их общий наибольший делитель равно 120.

2. Найти число, зная что: 1) число его делителей нечетно; 2) если разделить его на 39, то в частном получим простое число и в остатке 1.

3. Доказать, что:

25{х2+у?) + (12 — Ъх — 4у)2 ^ 72

при любых значениях х и у.

4. Куплено три отреза А, В и С материи одинакового качества. А и В имеют одинаковую длину, В и С—одинаковую ширину. Общая длина всех трех отрезов 110 м, ширина 3,15 м. Стоимости трех отрезов пропорциональны числам 5,6 и 8, а их общая стоимость 1850 руб. Вычислить длину, ширину и стоимость каждого куска.

5. Решить уравнение:

6. Построить прямоугольный треугольник, зная длину а гипотенузы и длину m медианы BD% которая делит катет АС.

7. Решить уравнение

tgmx = tgnx

Б. Боголюбов (Ульяновск).

8. Определить углы ромба, если его периметр в V/2 раза более суммы его диагоналей.

Б. Боголюбов (Ульяновск)

9. Доказать, что если в четыреугольнике суммы квадратов противоположных сторон равны, то диагонали его пересекаются под прямым углом.

И. Гришин (Осташков).

10. Найти целое число, состоящее из семи цифр и имеющее вид авсавс I (а, Ь, с цифры единиц соответствующего разряда).

11. Стратостат виден в одно и то же время с трех земных точек А, В, и С соответственно под углами 45°, 45° и 60°. Зная, что В находится от С на расстоянии b к северу, а Л на расстоянии а к востоку от С, вычислить высоту взлета стратостата.

12. Доказать справедливость тождества: a2 + £2+c2 = 4/?2__2z) {ka+hb+hc), где a, b} с — стороны некоторого треугольника, р—его полупериметр, D—диаметр описанного круга и Лд, hb, hc три высоты треугольника.

13. Написать две прогрессии — арифметичекую и геометрическую, удовлетворяющие следующим условиям: 1) первые члены обеих прогрессий равны; 2) сумма первых двух членов арифметической прогрессии больше суммы первых двух членов геометрической на утроенный первый член; 3) суммы трех первых членов обеих прогрессий равны.

14. Три стороны треугольника равны соответственно: AB = 10, АС = 12, ВС = 18. Через точку D, взятую на AB, проведена прямая DF% параллельная ВС, и через точку F прямая FH— параллельная. AB.

j) Вычислить BD = X и DF = y, если периметр параллелограма BDFH равен 2а (а = 24).

2) Для каких значений а задача возможна?

3) Для каких значений а параллелограм является ромбом?

15. Дан прямоугольный треугольник ABC (угол А — прямой). На перпендикулярах к гипотенузе ВС, восставленных в точках S и С, отложены B&zizAB и СС'= А С. Вычислить стороны треугольника, зная, что периметр его равен 2р

и площадь трапеции вв'С'С равна —, где а — данное число. Исследовать решение.

16. Восстановить в написанном ниже выражении на месте звездочек стершиеся цифры

17. Решить уравнение:

(х+ i)i+(*-l)«=a(**+l).

18. Привести к логарифмическому виду выражение

1 + 2 cos 2а -f- 2cos4ß cos€fl -f- cos 8a -f cos lGa

19. Доказать, что число lOn-f 18л — 28 при всяком целом и не отрицательном п делится на 27.

20. По трем высотам треугольника вычислить радиус вписанного в него круга.

ЗАДАЧА ПО ФИЗИКЕ

На чашке столовых весов находится банка г. помещенной на ней воронкой. Отверстие воронки закрыто пробкой, которую можно при помощи нитки вынимать (рис. 1). В воронку налита вода. Банка уравновешивается гирями на другой чашке. Затем пробку вынимают, и вода из нее стекает в банку (рис. 2).

Будет ли при этом сохраняться равновесие весов? Решите этот же вопрос в случаях, если на конец воронки надеты насадки в форме показанных на рисунках 3 и 4.

Д. Сахаров

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4

ОТ РЕДАКЦИИ

Редакция журнала «Математика и физика» просит читателей и подписчиков по поводу невысылки и подписки на журнал обращаться не в редакцию, а в Главную контору подписных и периодических изданий КОГИЗа (Книготорговое объединение государственных издательств). Адрес: Москва, Маросейка,7, сектор периодики .

Редакция

Отв. ред. А. Н. Барсуков, зам. отв. ред. А.Г. Калашников. Отв. севр. К. И. Коровин. Техредактор В. С. Якунина.

Адрес редакции: Москва, Орликов, 3. Учпедгиз, Периодсектор, журн. «Матем. и физика».

Сдано в производство 17/V 1936 г. Подписано к печати 16/VT 1936 г.

Учгиз № 8137. Об'ем 8 п. л. в 1 п. л. 72000 зн. Бумага 72X105.

Зак. 678.

Тираж 32100.

Уполномоченный Главлита JVft 5-2*713

18-я типография треста «Полиграфкнига», Москва, Шубинский, 10.

ВАЖНЕЙШИЕ ОПЕЧАТКИ

Стр.

Строка

Колонка

Напечатано

Следует читать

17

17 снизу

Перевод с польского Н. Н. Плескачевского

Перевод с польского Н. П. Плескачевского

19

25 сверху

левая

2*>1

19

3 сверху

правая

2nz — n2 -f- ?г3

2п2 = +

45

11 снизу

правая

(см. табл. 3).

(см. табл. 2).

92

4 сверху

И. Макарович

И. Макаревич

119

17 сверху

правая

+ b

а

= т

119

6 снизу

правая

4 =

У-

114 и др.

3 с ерху

левая

О. Хангарлян

О. Ханчарлян

В статье Д. Скарлато «Новый знак деления» в ряде мест в силу технических трудностей запятая над чертой сдвинута с надлежащего места.

Поправка

В задаче № 10 после слов «состоящее из семи цифр» пропущены слова «являющееся точным квадратом».

Зак 678.