МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА В ШКОЛЕ

2

1936

НАРКОМПРОС УЧПЕДГИЗ

УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ СБОРНИК

№ 2

МАРТ 1936 АПРЕЛЬ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

Содержание

НАУЧНЫЙ И НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

Стр.

Проф. Н. Иовлев — Очерки по геометрии Лобачевского . . 3

М. Горнштейн — Действия над корнями........... 18

И. Кацман — Уравнение Пелля............... 29

И.Яковлев — Диффракция электронов........... 32

Проф. П. Попов и Н. Бугославская — Полное солнечное затмение 19 июня 1936 г. в СССР............. 49-

МЕТОДИКА

К. Краевский —К методике проведения логарифмических вычислений..................... . 58

Г. Сагалович — Методика процентных вычислений..... 62

В. Падучев — Как рационализировать урок с геометрическим доказательством теорем................ 65

A. Дрокин — Измененная формула Герона.......... 69

Д. Галанин — Коэфициент полезного действия тепловых машин ... .................... 71

Проф. 3. Приблуда — Особый метод вывода формулы периода гармонического движения............72

Г. Иоффе — Элементарный вывод выражения для энергии колебания математического маятника...........75

Н. Ежев — К элементарному выводу формулы физического маятника......................77

Б. Спасский — Два новых высококачественных прибора по электростатике..................... 79

Д. Галанин — Применение чувствительного электрометра в школе.......................... 82

ОПЫТ ШКОЛ

B. Антропов — О некоторых распространенных ошибках в вопросах алгебры.................86

И. Солодовник— Приемные испытания по физике в Киевском индустриальном институте в 1935 г. ........... 88

Е. Петров — Опытная проверка эффективности методов преподавания физики в средней школе..........93

Г. Грошевой — Как сделать демонстрационный секундомер из обыкновенных часов-ходиков..............97

Д. Васильев — По поводу графического способа решения задач на равномерно-переменное движение........101

ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ КОНСУЛЬТАЦИЯ

Что такое гром?......................108

ЗАДАЧИ

Решения задач, помещенных в № 4 сб. «Математика и физика в средней школе» за 1935 г.............106

Задачи...........................111

Отв. ред. А. Н. Барсуков, вам. отв. ред. А. Г. Калашников, Отв. секр. К. И. Коровин. Техредактор В. С. Якунина.

Адрес редакции: Москва, Орликов, ?, Учпедгиз, периодсектор, журн. «Матем. и физика».

Сдано в производство 2?/И 1936 г. Подписано к печати 13/IV 19*6 г.

Учгиз № 7849. Об'ем 7 п. л.

в 1 п. л. 72000 зн. Бумага 72X105.

Ззк. 268.

Тираж 32100.

Уполномоченный Главлита № Б-20819

18-я типография Треста «Полиграфкнига», Москва, Шубинский, 10.

НАУЧНЫЙ И НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

ОЧЕРКИ ПО ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО

Проф. Н. Н. ИОВЛЕВ (Москва)

ОЧЕРК 2

СИНТЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОБОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО

«Между тем, находятся части математики, где синтез необходим пак единственный способ, который должен вести науку до известной границы, и не прежде как за сей границей она может быть подчинена совершенно анализу. Таковы геометрия и механика».

Н. И. Лобачевский

В первом очерке мы установили некоторые основные свойства пространства Лобачевского, противоречащие «очевидным» свойствам эвклидова пространства, на которых основывались доказательства постулата Эвклида, тогда как эти «очевидные» свойства сами являлись следствиями постулата Эвклида. Поэтому, раз мы отрицаем постулат Эвклида, то должны отрицать и все его следствия, т. е. допустить, что неэвклидово пространство не может обладать этими «очевидными» свойствами, а должно иметь свойства противоположные.

Теперь мы постараемся систематически и по возможности строго изложить отчасти уже известные нам основные свойства пространства Лобачевского.

При этом очевидно приобретают большое значение методы доказательства, так как в доказательствах этих свойств, быть может, также таятся скрытые ошибки, как и в тех «доказательствах» постулата Эвклида, о которых мы говорили в первом очерке.

Поэтому вначале мы скажем несколько слов о теоремах и способах их доказательства в математике вообще.

По форме теорема представляет из себя условное суждение и потому состоит из условия (данных) и заключения (искомых). Доказать теорему математически это значит — при помощи логических рассуждений, построений и вычислений сделать очевидным, что заключение теоремы имеет место при допущении ее условий.

При этом математика утверждает не реальность существования условий и заключения теоремы, а только их логическую связь. Математика утверждает и доказывает только то, что, если выполнены условия теоремы, то должно существовать и ее заключение.

Всего яснее эта черта математики сказалась в построении неэвклидовых геометрий. С математической точки зрения все эти геометрии одинаково правильны, поскольку ни одна из них не заключает в себе никаких логических противоречий: если мы допустим, что справедливы аксиомы и определения одной из этих геометрий, то должны считать справедливыми и все теоремы этой геометрии, математически доказанные на основании принятых аксиом и определений.

Но существуют ли в действительности пространства, обладающие всеми доказанными свойствами, об этом математика ничего не говорит, ибо математически доказать аксиомы нельзя.

«Аксиомы можно доказать, обратившись к их источнику — к реальному миру, т. е. выходя за пределы математики. Наблюдение, опыт, решение практических вопросов играли огромную роль в установлении аксиом математики» (Энгельс).

Более глубокое освещение вопроса об аксиомах дано в статье т. Молодшего (№ 1 этого журнала за 1936 г.); мы же отметим здесь только то, что аксиомы и определения геометрии не должны содержать сами в себе внутренних противоречий, не должны ни противоречить друг другу, ни зависеть

одна от другой, а выведенные из них теоремы должны быть доказаны строго математически.

§ 1. Общие методические правила для доказательства

В тех областях знаний, в основе которых лежат аксиомы, выводы имеют строгий характер и идут от общего к частному, а приемы для получения таких выводов называются дедуктивными. В других областях знания (и прежде всего в опытных науках) не найдено еще таких общих положений, из которых можно было бы вывести все остальное их содержание; там эти положения разыскиваются и поэтому приходится делать заключения от частного к общему, а приемы таких правильных выводов называются индуктивными.

Обыкновенно же в жизни, а нередко и в науке, особенно же часто — в деле преподавания науки в школе и в научных изысканиях, мы делаем сначала заключения от частного к частному, и такие заключения называются заключениями по а надо г и и.

Дедуктивные методы суть приемы для получения суждений, вполне обоснованных логически.

Если суждения, которые надо вывести, не даны заранее, то мы должны стремиться из данных (из условий) вывести эти неизвестные заключения, найти их. Наоборот, когда выводимое суждение уже дано, то надо только подыскать посылки, доказывающие правильность этого суждения или опровергающие его, если оно неправильно. Первый прием называется дедукцией в собственном смысле этого слова и является методом исследования; второй же называется дедуктивным доказательством и служит приемом научного изложения, а не исследования.

Дедукция называется аналитической или синтетической, в зависимости от характера логических операций, при помощи которых получается заключение.

Синтетическая, или геометрическая, дедукция* исходит из предложений общего характера и путем их соединения выводит новые суждения, более специальные и потому более сложные. Общими предложениями, из которых исходит синтетическая дедукция, могут служить определения, постулаты, теоремы и законы.

Декарт в своем «Рассуждении о методе» предлагает «для руководства ума при достижении истины» следующие правила:

1) ничего не считать истинным до тех пор, пока не будет доказана его истинность, т. е. тщательно избегать поспешных заключений или предрассудков и не вносить в наши суждения ничего, кроме того, что представляется нашему уму до такой степени ясно и отчетливо, что не допускает никакого сомнения;

2) каждую представляющуюся нам трудность мы должны разложить на столько частей, на сколько это возможно или на сколько это требуется для ее разрешения;

3) все наше мышление должно вестись в определенном порядке, и мы должны начинать с самых простых и легко понятных предметов для того, чтобы постоянно восходить к знанию более сложных предметов;

4) во всех случаях делать перечисления столь полные и обозрение столь обширное, чтобы можно было быть уверенным, что не пропущено ничего.

Паскаль рекомендует в приложениях геометрического (дедуктивного) метода придерживаться следующих правил:

1) не употреблять без определения никаких терминов, по крайней мере — темных или двусмысленных;

2) в определениях понятий употреблять термины только совершенно известные или же облененные;

3) выставлять как аксиомы только истины, вполне очевидные;

4) доказывать всякие неясные положения, употребляя для их доказательства только уже сделанные раньше определения, принятые аксиомы или положения уже доказанные, или же построение самой разбираемой вещи, где может быть произведено какое-нибудь действие;

5) никогда не злоупотреблять однозначащими терминами и в уме всегда заменять их определениями, которые разграничивают и раз'ясняют их.

Последнее правило особенно важно соблюдать при доказательствах теорем геометрии Лобачевского**, где большинство терминов — те же самые, что и в геометрии Эвклида, но значение их сплошь и рядом совершенно другое.

Возьмем, например, понятие о параллельных линиях. Когда мы говорим о параллельных линиях на плоскости Эвклида, то с этим

* Называемая так потому, что по этому методу развивалась и излагалась геометрия древних (элементарная).

** И при чтении книг по геометрии Лобачевского.

невольно связываем понятие о прямых, равноотстоящих друг от друга; а в геометрии Лобачевского, как мы видели в первом очерке, «равностоящих друг от друга» прямых быть не может, а параллельными называются прямые, асимптотически приближающиеся друг к другу в одном направлении, которое и называется «направлением параллельности» этих прямых; в противоположном же направлении параллельные прямые расходятся друг от друга до бесконечности.

Правило о замене терминов их определениями Паскаль считал основным в логике:

«Истинный метод, который дал бы доказательства самого высокого достоинства, если бы возможно было вполне применить его, состоит в выполнении двух правил.

Первое правило: не употреблять никакого термина, значение которого не может быть раз'яснено,

второе правило: не выставлять ни одного положения, которое не может быть доказано истинами, уже известными; словом, определять все термины и доказывать все положения».

«Ничто так скоро и решительно не может разрушить разные софистические уловки и обманы, как этот метод... Этот метод был бы превосходен, если бы только он не был абсолютно невозможен». «Очевидно, что..., подвигая наши исследования далее и далее, мы необходимо придем к первоначальным словам, которых мы не можем определить, и к принципам, столь очевидным, что мы не сможем найти других принципов, еще более очевидных, которыми можно было бы доказывать их. Из этого видно, что... совершенный метод, возможный для людей, состоит не в том, чтобы все определять и все доказывать, и не в том, чтобы ничего не определять и ничего не доказывать, а в средине между этими крайностями,— в том, чтобы не определять вещей, которые ясны сами по себе и понятны для всех, но затем определять все другое, в том, чтобы не доказывать истин известных, но доказывать все другое».

Этого метода мы и постараемся придерживаться в нашем изложении основ геометрии Лобачевского.

§ 2. Возникновение геометрии Лобачевского

В настоящее время установлено*, что Н. И. Лобачевский вначале был убежден в справедливости постулата Эвклида и пришел к мысли построить геометрию на отрицании этого постулата только после долгих размышлений, когда тщательное изучение всех возможных доказательств этого постулата привело его к заключению, что все они ошибочны и что постулат Эвклида о параллельных линиях доказать невозможно.

Тогда Лобачевский стал выводить из отрицания постулата Эвклида следствия не для того, чтобы получить нелепость, доказывающую ложность отрицания этого постулата**, а будучи убежден в том, что такая система геометрии логически так же правильна, как и геометрия Эвклида.

Почти одновременно с Н. И. Лобачевским такую же геометрию построил и венгерский ученый Больяи.

Знаменитый Гаусс в письме к Шумахеру по поводу работ Лобачевского признавался, что ему давно приходила в голову мысль построить такую же геометрию, но боязнь расшевелить «осиное гнездо» верующих в постулат Эвклида геометров помешала ему опубликовать свои взгляды.

Новая геометрия Лобачевского была встречена его современниками насмешками и издевательствами, и даже такой крупный математик, как Остроградский, не мог понять важности великого открытия Лобачевского и относился к нему скептически; только после опубликования письма Гаусса к Шумахеру, долго спустя после смерти Лобачевского, ею геометрия получила всеобщее признание.

§ 3. Аксиомы и постулаты

Свое изложение мы будем основывать на следующих аксиомах, общих и геометрии Эвклида и геометрии Лобачевского.

а) Общие аксиомы (относящиеся ко всей величинам)

1. Две величины, равные порознь третьей, равны и между собою.

2. Если к величинам равным прибавим или отнимем от них величины равные, то и результаты получим равные.

3. Если к величинам неравным прибавим или отнимем от них величины равные, то и результаты получим неравные.

4. Целое больше своей части.

5. Аксиома Архимеда. Если даны две однородные конечные величины а и Л, то как бы ни было мало а и велико Л, всегда а можно повторить слагаемым такое число (п) раз, что сумма па будет больше Л.

* См. Н. И. Лобачевский — «Элементарная геометрия». Изд. 1-го Казанского физ.-мат. общества под ред. проф. Васильева А. В.

** Как это делал Дж. Саккери, например (см. очерк 1)

б) Геометрические аксиомы

1. Аксиома О протяжениях. Пространство и геометрические тела имеют три протяжения: длину, ширину и вышину; поверхности — два: длину и ширину; линии — одно: длину, а точки — ни одного.

2. Аксиома неизменяемости. Геометрические тела и фигуры не изменяются от перенесения из одного места пространства в другое.

Аксиомы О прямой. 3. Прямая линия вполне определяется двумя точками.

4. Прямая линия может быть неопределенно продолжена в обе стороны.

5. Аксиома конгруэнтности. Равные геометрические тела и фигуры конгруэнтны (т. е. совпадают при совмещении всеми своими точками).

§ 4. Теоремы о сумме внутренних углов в треугольнике и о параллельных линиях, которые можно доказать без «постулата Эвклида» о параллельных линиях

Теорема I. Внешний угол треугольника более каждого из внутренних, с ним не смежных.

Следствия. 1. Два перпендикуляра к одной и той же прямой не могут пересечься.

2. Из точки вне данной прямой можно опустить на эту прямую только один перпендикуляр.

Теорема II. Сумма двух внутренних углов треугольника меньше 2d.

Теорема III. Сумма всех трех внутренних углов треугольника не может быть более 2d.

Теорема IV. Две прямые линии не могут пересечься:

1) если внутренние (внешние) накрестлежащие углы равны;

2) если соответственные углы равны;

3} если сумма двух внутренних (внешних) односторонних углов равна 2d.

Для доказательства теоремы, обратной теореме IV, необходимо ввести постулат Эвклида о параллельных линиях.

Постулат Эвклида.

Если две прямые линии, лежащие в одной плоскости, не пересекаются, то сумма внутренних односторонних углов равна 2d.

Очевидно, что постулат Эвклида есть не что иное, как теорема, обратная теореме IV, 3.

§ 5. Следствия постулата Эвклида

Непосредственными следствиями постулата Эвклида являются теоремы:

1) Перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой, лежащие в одной и той же плоскости, всегда пересекаются.

2) Через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести только одну прямую, не пересекающую данной прямой.

3) Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним не смежных.

4) Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам (2d).

5) Через три точки, не лежащие на одной прямой, всегда можно провести окружность, но только одну.

6) Всегда можно построить фигуру, подобную любой данной фигуре.

В первом нашем очерке мы видели, что каждая из этих теорем эквивалентна постулату Эвклида и вполне может его заменить.

Теперь рассмотрим, что получится, если мы отвергнем постулат Эвклида, сохранив в силе остальные аксиомы геометрии.

§ в. Непосредственные следствия отрицания постулата Эвклида

Теорема I. Если постулат Эвклида несправедлив, то сумма внутренних углов в треугольнике меньше 2d,

В самом деле, согласно теореме III, доказанной независимо от постулата Эвклида о параллельных линиях (см. очерк 1), сумма углов в треугольнике может быть или равна 2d или менее 2d.

Но равна 2d она быть не может, так как это равносильно постулату Эвклида (§ 5, 4), который мы отрицаем; следовательно, эта сумма меньше 2d, что и требовалось доказать.

Следствия. 1. Если постулат Эвклида неверен, то внешний угол треугольника больше суммы двух внутренних углов, с ним не смежных.

2. Каждый из равных внутренних углов равнобедренного треугольника меньше половины внешнего угла.

Теорема II. Если прямая AB ВС, а прямая ААп наклонна к ВС, то, при удалении основания Ап наклонной в бесконечность, предел Z ААп В = 0, а угол В А Ап между перпендикуляром ВА и наклонной ААп стремится к пределу, который меньше —, если постулат Эвклида неверен*.

Доказательство. На прямой ВС отложим последовательно отрезки: ВА1=^ВА, AtA2 = =*АХА, А2А3 = А2А,...Ап-1 Ап = Ап-1 А,

* И равен —, если постулат Эвклида справедлив.

и соединим точку А с точками Av А2, А3,... А,-./, Ап... прямыми линиями. Получим ряд равнобедренных треугольников BAAV Ах АА2, А2 АА3,... An_j ААп, причем каждый из углов clv а2, а3, ...аЛ — /, ап с вершинами в точках Av А2, As----Ai-/, А,, • будет внешним углом для одного из этих треугольников, а следующий за ним угол будет внутренним углом того же треугольника.

Например, угол а2 — внешний угол треугольника А2 AAS, а угол а3 — внутренний. Следовательно (следствие 2, теорема I), каждый из этих углов (аЛ) меньше половины предшествующего ему угла (а,. _ /).

При неограниченном повторении нашего построения угол аЛ может быть сделан сколь угодно малым и в пределе обратится в нуль, т. е. предел ап=;0, когда п стремится к оо.

С другой стороны, угол АпАВ все время увеличивается, оставаясь, однако, меньше прямого угла.

В пределе, когда точка Ап удалится в бесконечность, прямая ААп сольется с прямой АР, параллельной линии ВС в этом направлении, а угол ВААп в пределе обратится в острый угол В А А', который называется «углом параллельности» перпендикуляра AB и означается (см. черт. 2) символом: =;П(Л£).

Пока основание (Ап) наклонной находится на конечном расстоянии от основания (В) перпендикуляра, наклонная ААп будет расположена внутри угла = П (/Ш); и взаимно, если прямая ААп находится внутри угла параллельности П(АВ) = = ВАА, то она пересечет прямую ВС, а если прямая проходит вне угла параллельности, то она не пересечет прямой ВС, но и не будет ей параллельна.

Таким образом, прямая АА' отделяет те наклонные, которые проходят через точку А и встречают прямую ВС, от тех из них, которые ВС совсем не встречают в этом направлении. Эта «предельная прямая» АА и называется параллелью к прямой ВС в направлении слева направо.

Очевидно, что в направлении справа налево также существует «предельная линия» АА“, параллельная ВС в этом направлении и образующая с перпендикуляром В А такой же угол параллельности, что и первая, т. е. l А“AB = l A'AB = П (ÄB).

§ 7, Определение параллельных линий и их основные свойства

Итак, если мы примем все аксиомы геометрии Эвклида, кроме его постулата о параллельных линиях, то должны принять такое определение параллельности прямых линий :

Из числа прямых, проходящих через точку А, лежащую вне данной прямой ВС, одни пересекают ВС на конечном расстоянии, а другие совсем ее не пересекают. Прямые пучка А, встречающие ВС, отделяются от прямых этого пучка, не встречающих ВС, двумя «предельными» прямыми линиями, которые и называются параллельными прямой ВС из точки А.

Это же определение можно выразить в виде следующего постулата:

«Через точку А, лежащую вне данной прямой ВС, можно провести две линии, параллельные этой прямой в двух противоположных направлениях».

Следствие. Проведем через А прямую РР' J_AB. Она образует с АА“ и АА острые углы и расходится с этими прямыми, а следовательно и с прямой ВС, — до бесконечности. Итак, две прямые РР' и ВС, перпендикулярные к третьей прямой AB, расходятся до бесконечности в обе стороны.

Замечание. Согласно теореме II, каждую из двух прямых АА и АА“, проходящих через точку А и параллельных ВС, мы получим как предельное положение

Черт. 1

Черт 2

секущей ЛЛЛ, когда точка Ап ее пересечения с ВС удаляется в бесконечность в том или другом направлении прямой ВС.

Этим свойством мы и воспользуемся при доказательстве следующей теоремы.

Теорема III. Если прямая АА' \\ ВС в одной своей точке А, то она параллельна ВС в том же направлении и во всякой другой своей точке А1(А2).

Доказательство. Пусть точка At расположена слева от точки Л, а А2 — справа от нее. Возьмем на ВС какую-нибудь точку Dy соединим ее с точками А, Ах и А2 прямыми линиями и станем удалять D по прямой ВС в бесконечность в направлении параллельности прямых Л/Г и ВС.

В пределе наклонная A D совпадет с параллелью АА', а угол DAA'=;ol обратится в нуль.

Но внешний угол а в треугольнике AXAD всегда больше внутреннего, с ним не смежного угла av а так как предел а = 0, то и предел 0^ = 0. Следовательно, и AXD сольется с АА', т. е. (см. замечание) АА' || ВС и в точке Ах.

Но, если AXD и AD сольются с АА', то и A2D, заключенная между ними, и АА' тоже сольется с последней, т. е. АА' || ВС и в точке А2 (и в том же направлении), что и требовалось доказать.

Лемма I. Если две линии параллельны, то всегда можно провести прямую, пересекающую обе параллельные под равными углами.

Доказательство. Возьмем на одной из параллельных прямых, например на АА', точку А, опустим из нее на другую параллель В В' перпендикуляр АВи а из его основания Вх опустим на АА' перпендикуляр ВХА2.

Очевидно, что острый угол ВХАА' будет меньше прямого угла АВХВ и что между ВХА и ВХА2 должна существовать такая прямая ВХАХ, которая образует с линиями А А' и ВВ' равные острые углы В^Л' и А1В1В'У что и требовалось доказать.

Теорема IV. Параллельность двух линий взаимна, т. е. если прямая АА' || ВВ\ то и ВВ' У АА' в том же направлении.

Проведем прямую Ах Ви образующую с АА' и ВВ' разные углы, и из точек Ах и Вх опустим на ВВ' и АА' перпендикуляры Ах В2 и ВХА2.

Из равенства треугольников Ах Вх В2 и Вх At Ао следует, что перпендикуляр А2Вг = = АХ В2 и угол В2АгА' = А2ВХВ'.

Но угол #2Л1Л' = П(Л1Б2), так как АА' II ВВ'; а вследствие симметрии фигуры и угол J2ß1ß, = n(^2ß1), т. е. ВВ'\\АА', что и требовалось доказать.

Теорема V. Две прямые линии, параллельные третьей в одном и том же направлении, параллельны и между собою в том ;Же направлении.

Дано: АА'\\СС, ВВ'\\СС. Требуется доказать, что АА' || ВВ'.

Доказательство. Здесь может быть два случая.

Черт. 3

Черт. 4

Черт. 5

Черт. 6

1°. Прямые АА' и ВВ' расположены с одной стороны СС. В этом случае прямые АА' и ВВ\ параллельные СС', мы можем рассматривать как предельные положения наклонных АО и ВЭ, когда их общее основание D удаляется в бесконечность по прямой СС. Но в пределе, когда BD сольется с ВВ\ и линия АО (или А К) сольется с АА'; а это и доказывает, что АА' || ВВ'.

2°. Прямые АА' и В В' расположены по разные стороны СС.

Возьмем на СС точку D, соединим ее с точками А и В и станем удалять D по прямой СС в бесконечность в направлении параллельности. Наклонная АО будет пересекать ВВ' в точке К, так как она проходит внутри угла параллельности EDC (DE J_BB'). Вместе с точкой удалится в бесконечность и точка Л“, причем прямая ADK сольется с АА\ так как АА' \\ СС.

Таким образом, АА' есть предельное положение наклонной к ВВ' линии АК, т. е. АА' У ВВ\ что и требовалось доказать.

Теорема VI. Если отрезки (перпендикуляра) AB и Ах Вх равны, то и соответствующие им углы параллельности тоже равны.

Теорема VII (противоп. VI). С увеличением длины перпендикуляра до бесконечности соответствующий ему угол параллельности уменьшается до нуля. С уменьшением длины перпендикуляра до нуля соответствующий ему угол параллельности увеличивается до

Короче: если 0<;Л£=^°°, то ^П(А8)^0, причем предел П (AB) = О, когда AB увеличивается до бесконечности, и предел П (AB) — = когда AB стремится к нулю.

Доказательства. 1°. В самом деле, предположим, что теорема неверна, т. е. предел П(/Ш) = а>0, когда AB-»оо.

Это значит, что если мы возьмем угол А' А А“ = 2а, то перпендикуляр ВВ' к биссектрисе AB этого угла всегда пересечет обе его стороны, как бы точка В биссектрисы ни была удалена от его вершины А. Но еще Лежандр показал, что подобное допущение равносильно постулату Эвклида, который мы отвергаем. Следовательно, а не может быть больше нуля и предел П (AB) ~ 0, когда AB стремится к бесконечности.

Наоборот, если мы станем уменьшать AB до нуля, то а будет увеличиваться и в пре-

Черт. 7

Черт. 8

Черт. 9

деле, когда А В =; О, А А' сольется с ВВ', т. е.

П(0)-4

2°. Эту же теорему можно доказать и по нашему методу следующим образом (черт. 9).

Предположим, что длина перпендикуляра AB к прямой ВВ' принимает последовательно значения от 0 до оо:

О < ВАХ < ВА2 < ВА3 < ... < ВАпл < <ЯЛЛ<...<оо.

Соединим вершины этих перпендикуляров с какой-нибудь точкой К на прямой ВВ'. Острые углы ах, а2 ... а^, ал , образованные наклонными АХК, А2КАПт1К, Ап К с перпендикуляром AB, будут все уменьшаться (теорема II):

«1 > «2 > *з > - > «Я-1 > а* > (1)

причем * предел ап =ч 0, когда £Лл оо. (2)

Если теперь станем удалять точку К в бесконечность, то углы а. станут увеличиваться, но соотношения (1) и (2) будут сохранять свою силу, а потому они будут иметь место и в пределе, когда точка К уйдет в бесконечность.

Но тогда все наклонные АгК, А2К,... Ап К обратятся в параллели к прямой ВВ', а углы а1? а2,... <хп.и ая,... — в углы параллельности перпендикуляров BAlf ВА2, ... BAn.v ВАп, а соотношения (1) и (2) обратятся в такие:

П (БАг) > П (ВЛ2)> ... > П (BÂJ >

причем предел П (ВАп) =. О, когда ВАп оо.

Следствия. 1. Легко видеть (из 2°), что можно построить прямоугольный треугольник, один или два угла которого будут сколь угодно малы (или равны нулю). Очевидно также, что можно построить и такой треугольник, все три угла коего будут равны нулю.

2. Из вышеизложенного следует также, что каждому значению перпендикуляра AB соответствует только один угол параллельности П (AB). Следовательно, угол параллельности перпендикуляра AB есть однозначная функция длины этого перпендикуляра. Очевидно также, что эта функция будет непрерывна.

Известно (см. очерк 1), что если справедливы теоремы прямая и противоположная ей, то должны быть справедливы и обратные им теоремы:

Теорема VIII (обратная теореме VI). Если углы параллельности равны, то и соответствующие им перпендикуляры тоже равны.

Теорема IX (обратная теореме VII). Чем больше угол параллельности, тем меньше соответствующий ему перпендикуляр, а с уменьшением угла параллельности от - до О соответствующая ему длина перпендикуляра увеличивается от 0 до °°.

Теорема X. Параллельные линии неопределенно сближаются в направлении их параллельности и расходятся до бесконечности в противоположном направлении.

Доказательства. 1°. Докажем сначала вторую часть теоремы. С этой целью возьмем на прямой АА', параллельной ВВ', какую-нибудь точку К и из нее опустим на ВВ' перпендикуляр KL. Затем через К в сторону, противоположную направлению параллельности прямых, проводим KP J_ KL.

Прямые KP и ВВ, перпендикулярные к KL, никогда не пересекутся. Но стороны угла АКР расходятся до бесконечности; следовательно, расходятся до бесконечности в том же направлении и прямые А'А и В'В.

2°. Перейдем теперь к доказательству первой части нашей теоремы. Для этого достаточно доказать, что расстояние между параллельными прямыми может быть сделано сколь угодно малым, если продолжать их в сторону их параллельности. С этой целью на прямой АА', параллельной ВВ', возьмем произвольную точку К и опустим из нее на ВВ' перпендикуляр KL. Затем возьмем другую прямую ЬЬ' и из какой-нибудь ее точки п восстановим к ней перпендикуляр пт, сколь угодно малый, а через его конец m проведем прямую аа'\\ ЬЬ' (черт. 10).

По доказанному, эти прямые расходятся

Чэрт. 10а

Черт. 10b

* См. теорему I.

до бесконечности в направлении, противоположном их параллельности; а потому в этом направлении на прямой аа' должна быть такая точка k, расстояние (kl) коей до прямой bb' равно KL.

Наложим теперь фигуру (2) на (1) так, чтобы равные перпендикуляры Ы и KL совпали. Тогда bb' пойдет по ВВ', аа' — по А А' (теорема VI). Но если АА' совпадет с аа', а ВВ' с bb', то перпендикуляр тп совпадет с перпендикуляром MN, вершина коего находится на AÄ, a основание — на ВВ'. Следовательно, на прямой АА' существует такая точка М, расстояние коей до В В' равно сколь угодно малому отрезку MN — mn, что и требовалось доказать.

Теорема XI (обратная теореме X). Если прямые АА* и ВВ' неопределенно (асимптотически) сближаются в данном направлении, то они параллельны в этом направлении (черт. 10).

Достаточно доказать, что прямая А А' есть предельное положение наклонной Ап, когда п удаляется в бесконечность. Но по мере удаления точки п в бесконечность перпендикуляр тп будет уменьшаться до нуля, так что в пределе точки т и п сольются и Ап сольется с АА', что и требовалось доказать.

Теорема XII. Два перпендикуляра к одной и той же прямой расходятся в обе стороны до бесконечности.

Доказательства. Пусть РР' и DC перпендикулярны к AB. Проведем через А прямые АА' и АА“, параллельные к DC в противоположных направлениях. Получим два угла А'АР и А“АР', стороны которых расходятся до бесконечности. Отсюда ясно, что и лучи АР и АР' расходятся с CD до бесконечности (черт. 2).

Теорема XIII. Две непересекающиеся и непараллельные прямые имеют общий перпендикуляр, и притом единственный, который является кратчайшим расстоянием между этими прямыми.

Доказательства. 1°. Возьмем какие-нибудь непараллельные, но и непересекающиеся прямые АА' и ВВ'. Из какой-нибудь точки M прямой АА' опускаем на ВВ' перпендикуляр MN и пусть угол Л/ M А' будет острый, а угол NMA—тупой. Затем через точку M внутри острого угла NMA проведем параллель ММ' w секущую МК так, чтобы ^МКВ= £КМА' (=а).

2°. Разделим МК пополам и из середины D опустим на В В' перпендикуляр DF, продолжив его вверх до пересечения с АА' в точке Е. Получим два равных треугольника M DE и KDF (равны стороны MD и DK и прилежащие к ним углы). Но угол DFK — прямой, следовательно и равный ему угол DEM — тоже прямой, т. е. EF перпендикулярна и к ВВ' и к АА.

3°. Итак, прямые ВВ' и АА' перпендикулярны к EF, а потому (теорема II, следствие) они расходятся до бесконечности в обе стороны от EF. Таким образом, общий перпендикуляр (ЕF) есть кратчайшее расстояние между двум, я непересекающимися прямыми {АА9 и ВВ'), что и требовалось доказать.

Следствие. Геометрическое место точек, равно отстоящих от данной прямой, есть кривая линия, называемая «линией равных расстояний».

§ 8. Параллельные линии в пространстве Лобачевского

Мы здесь докажем только те теоремы о параллельных линиях в пространстве Лобачевского, которые нам необходимы для наиболее простого вывода основных формул тригонометрии Лобачевского и свойств так называемой «предельной поверхности».

При доказательствах мы снова будем пользоваться методом, основанным на определении параллельной прямой как предельного положения секущей линии.

Согласно определению, две параллельные между собой линии всегда лежат в одной и той же плоскости. Поэтому, если даны в пространстве прямая и точка вне ее, то, чтобы провести чрез данную точку параллель к данной прямой, надо провести чрез эту точку и прямую плоскость и на этой плоскости — прямую, параллельную данной прямой.

Таким образом, в пространстве, как и на плоскости, через любую точку, лежащую вне данной прямой, можно провести к этой прямой две параллели в двух противоположных направлениях.

Теорема XIV. Две прямые линии, параллельные третьей прямой в одном и том же направлении, параллельны между собою в том

Черт. 11

же направлении и в том случае, когда они лежат в разных плоскостях.

Дано: АА' II СС,ВВ' \\ СС (черт. 12). Требуется доказать, что АА' || вв\

Доказательство. Что значит, что прямая АА' II СС, ВВ' || СС? Это значит, что если мы возьмем на прямой СС точку К и, проведя секущие АК и ВК, станем удалять точку К в бесконечность, то в пределе АК сольется с АА', а ВК — с ВВ'.

(Точки А и В при этом остаются неподвижными.)

Но во все время своего движения прямые АК и ВК остаются в одной плоскости АКВ, определяемой точками А, В и К. При удалении точки К плоскость АКВ вращается около неподвижной прямой AB и в пределе, когда ВК сольется с ВВ', а АК — с АА', плоскость АКВ пройдет через обе эти прямые.

Таким образом, прямые АА' и ВВ' лежат в одной плоскости. Кроме того, они асимптотически сближаются с прямой СС, а, следовательно, и между собой в направлении их параллельности.

Отсюда заключаем, что (теорема XI) прямые АА' и ВВ' параллельны между собою в том же направлении, как и с линией СС, что и требовалось доказать.

Следствие. Прямая (СС) пересечения двух плоскостей, проходящих через две данные параллельные между собою прямые (АА' и ВВ'), параллельна этим прямым.

В самом деле, может ли прямая СС пересечь А А' и В В'? Все три плоскости АА'ВВ', АА'СС и ВВ'СС могут пересекаться только в одной точке, в которой должны встретиться и линии их пересечения АА', ВВ' и СС.

Но линии АА' и ВВ' параллельны, а потому не могут встретиться ни между собою, ни с прямой СС.

Определения. Прямая называется параллельной данной плоскости, если она параллельна своей ортогональной проекции на эту плоскость.

Возьмем прямую АА', опустим из ее точек Л и Л' на данную плоскость а перпендикуляры Аа и А'а', соединим их основания прямой аа': прямая аа' и будет ортогональной проекцией прямой А А' на плоскость а. Если АА' H аа', то АА' || а (см. черт. 14).

Конус параллелей. Если мы станем вращать фигуру А'Ааа' около перпендикуляра Аа, то проекция аа' опишет плоскость а, а параллельная ей прямая АА' опишет конус, все образующие которого будут параллельны плоскости а, почему он и называется «конусом параллелей».

1) Очевидно, что прямая, проходящая внутри конуса параллелей, пересечет плоскость a, a проходящая вне его плоскости а не встретит.

2) Всякая прямая, параллельная любой прямой, лежащей на плоскости а, будет параллельна и самой плоскости.

В самом деле, если прямая АА' \\ bb\ то она приближается асимптотически как к этой прямой, так ик плоскости ос, на которой лежит прямая bb'. Но АА' лежит в одной плоскости ß со своей проекцией аа', и приближаясь к bb', она будет приближаться и к аа' асимптотически, т. е. (теоре-

Черт. 12

Черт. 13

мах XI) АА' [J аа', откуда АА' || а, что и требовалось доказать.

3) Если плоскость ß пересекает конус параллелей по двум его образующим АА' и AB', то она пересечет и плоскость а.

В самом деле, всякая прямая, лежащая на плоскости ß внутри конуса параллелей, встретит плоскость а; следовательно и ß пересечет а.

Если мы станем сближать образующие А А' и AB' до их совпадения, то прямая пересечения плоскостей а и ß будет все удаляться; в пределе, когда АА' совпадет с AB', плоскость ß обратится в касательную к конусу параллелей, и прямая пересечения а и ß удалится в бесконечность.

Итак, плоскость, касающаяся конуса параллелей по образующей АА', есть единственная плоскость, проходящая через эту образующую и не пересекающая плоскости а.

Теорема XV. Чрез прямую АА', параллельную данной плоскости а, всегда можно провести плоскость, не пересекающую плоскости а, но только одну.

Доказательство. Возьмем на прямой АА' какую-нибудь точку А и строим конус параллелей с вершиной в этой точке. Прямая АА' будет одной из образующих этого конуса, а плоскость, проходящая чрез эту плоскость и касающаяся конуса, будет единственной плоскостью пучка плоскостей (АА'), не пересекающей плоскости а, что и требовалось доказать.

Определение. Плоскость, проходящая чрез прямую АА', параллельную плоскости а, и не пересекающая этой плоскости, называется плоскостью, параллельной плоскости а.

Поэтому предыдущую теорему XV можно формулировать так:

Чрез прямую А А', параллельную плоскости а, можно провести только одну параллельную плоскость.

Теорема XVI. Две плоскости а и ß пересекутся, если они пересекают третью плоскость у по двум параллельным прямым АА' и ВВ' и если одна из них (а) перпендикулярна к этой третьей плоскости у, а другая ß — наклонна к ней (черт. 15).

Доказательство. Проведем в плоскости а прямую а!а\_АА'. Прямая а'а, перпендикулярная к ребру А А' двугранного прямого угла (а, у) и лежащая в одной из его граней а, будет перпендикулярна и к другой грани у, а, следовательно, и ко всякой прямой ab, лежащей в этой грани и проходящей чрез точку а.

Поэтому, если мы проведем через а'а плоскость a'abb ', перпендикулярную к другой параллели ВВ\ то от пересечения ее с плоскостями у и ß получим прямой угол а'aß' и острый угол b'ba, который будет линейным углом двугранного угла (ß,y).

Теперь, если мы станем передвигать точку а по прямой АА' в направлении ее парал-

Черт. 14

Черт. 15*

Черт. 16

* На черт. 15 по линии ВВ' следует вместо а0 читать Ь[г.

лельности, то перпендикуляр ab будет уменьшаться в пределе до нуля, а соответствующий ему угол параллельности П (ab) будет увели чиваться до —в пределе, в то время как линейный угол двугранного угла (ß,y) останется неизменным. Очевидно, что наступит момент, когда перпендикуляр ab сделается настолько малым (=а0Ь0), что его угол параллельности U (а0Ь0) — La<Pc h (см. черт. 15) будет больше линейного угла двугранника (ß, у), т. е.

П(5£)>аА*'..

Но тогда линия bjb' окажется внутри угла параллельности П(аоЬо) и, следовательно, пересечет прямую аа'\ а раз плоскость ß пересечет плоскость d в одной точке, то она пересечет ее по прямой линии, что и требовалось доказать.

Следствия. 1. Если две плоскости ос и ß, проходящие через две параллельные линии, не пересекаются между собою, то внутренние односторонние двугранные углы, образуемые этими плоскостями с плоскостью, в которой лежат параллельные линии, дают в сумме 2d.

Это предложение, очевидно, аналогично постулату Эвклида.

2. Через прямую (1), параллельную двум данным прямым (2) и (3), параллельным между собою, можно провести только одну плоскость а, не встречающую плоскости (2, 3), или ß данных параллелей (черт. 16).

3. Сумма внутренних двугранных углов трехгранной фигуры, образованной тремя плоскостями, пересекающимися по трем параллельным прямым (1), (2) и (3), равна 2d.

(Такая фигура представляет, очевидно, трехгранный угол с бесконечно удаленной вершиной.)

Доказательство совершенно аналогично доказательству теоремы о том, что сумма углов в треугольнике на плоскости Эвклида равна 2d. Именно.

Через одну из параллелей, например (1), проведем плоскость ос, параллельную плоскости (2, 3), или ß, определяемой двумя другими параллелями (2) и (3). Секущие плоскости у и о, проходящие через прямые (1) и (2) и (1) и (3), образуют с «параллельными» плоскостями а и ß равные внутренние накрестлежащие двугранные углы (ß, у) = = (а> у)' (ß> £) = (а> $)• Двугранные углы (а,у) и (<5,а) или А1 и А“, а, следовательно, и углы (ß, у) и (ß, 8), образуют с двугранным углом (у, 8) развернутый угол, равный 2d, что и требовалось доказать.

§ 9. Предельная окружность

Мы уже знаем*, что на плоскости Лобачевского не через всякие три точки, не лежащие на одной прямой, возможно провести окружность.

В самом деле, если такая окружность существует, то прямые, соединяющие наши 3 точки, будут хордами этой окружности, а перпендикуляры из середин этих хорд должны обязательно пересечься в центре окружности.

Но перпендикуляр к одной из хорд будет наклонной к другой, а перпендикуляр и наклонная на плоскости Лобачевского не всегда пересекаются.

Следствие. Поэтому, если мы начнем увеличивать радиус круга, удаляя центр его в бесконечность по прямой, то в пределе круг обратится не в прямую линию (как на плоскости Эвклида), а в кривую, называемую «предельной кривой» или «предельным кругом», «ороциклом» (орос — по-гречески предел).

Прямая АА!называется осью предельной линии; всякую прямую, параллельную А А в том же направлении, где лежит бесконечно удаленный центр ороцикла, также называют осью предельной линии.

Из этого определения легко выводятся все основные свойства предельной линии, аналогичные свойствам обыкновенных кругов.

Свойства окружности

1. Всякий отрезок может быть сделан радиусом круга (третий постулат Эвклида).

2. Прямая, перпендикулярная к радиусу круга в его конце, касается его окружности.

3. Три точки окружности не могут лежать на одной прямой, а потому прямая не

Черт. 17

* См. очерк I.

может пересекать окружность более, чем в двух точках.

4. Окружность симметрична относительно ее диаметра.

Свойства предельной линии

1. Всякая прямая является осью некоторой предельной линии.

2. Прямая, перпендикулярная к оси предельной линии в точке их пересечения, касается ее в этой точке.

3. Три точки предельной линии не могут лежать на одной прямой, почему прямая линия не может пересекать предельную линию более, чем в двух точках.

4. Предельная линия симметрична относительно ее оси.

Докажем последнее свойство. Что значит «окружность симметрична относительно ее диаметра»? Это значит, что всякая хорда окружности, перпендикулярная к ее диаметру, делится этим диаметром на две равные части. Длина этих частей (полухорд) будет меняться, но равенство их не нарушится, если мы станем увеличивать радиус круга, отодвигая его центр в бесконечность, пока круг не обратится в ороцикл, его радиус — в ось этого ороцикла, а хорда — в хорду ороцикла.

Но из теории пределов известно, что если две переменные величины при всех своих изменениях равны, то и пределы их тоже равны; следовательно, части, на которые делит ось ороцикла перпендикулярную к ней хорду, тоже равны, что и требовалось доказать.

Совершенно аналогично доказываются и следующие свойства предельной линии.

5. Если концы дуг предельного круга при наложении совпадут, то и дуги совпадут.

6. Все предельные линии при наложении совпадают (как окружности с бесконечно большими радиусами).

7. Большей хорде ороцикла соответствует большая дуга, и взаимно.

8. Всякая прямая, параллельная оси предельной линии, обладает свойствами оси предельной линии и также называется осью этой линии.

9. Все оси («радиусы») предельного круга параллельны (они «сходятся» в его бесконечно удаленном центре).

10. Хорда предельной линии образует равные углы с осями («радиусами»), проходящими через концы этой хорды.

11. Предельная линия есть геометрическое место таких точек, где отрезок, соединяющий любые две из них, образует равные углы с прямыми, проведенными через его концы параллельно оси этой предельной линии в одном и том же направлении.

12. Через две точки можно провести две предельных линии. (Эти две предельные линии мы получим, проведя через эти две точки А и В окружность и удаляя ее центр по перпендикуляру из середины хорды AB в ту или в другую сторону.)

13. Перпендикуляр, восстановленный из середины хорды предельной линии, параллелен ее оси.

Определение. Если две несовпадающие предельные линии имеют общую ось, то мы будем называть их «концентрическими».

14. Дуги концентрических предельных линий, заключенные между их осями, пропорциональны.

В самом деле, если мы возьмем дуги концентрических окружностей, заключенные между радиусами ОАу OB и ОС, то легко видеть, что (см. чертеж) дуги эти будут пропорциональны, т. е.

(1)

Эти соотношения сохраняются, как бы мы ни увеличивали радиусы концентрических кругов. Следовательно, будут равны и пределы этих отношений, т. е. и дуги концентрических предельных линий, заключенные между их осями пропорциональны, что и требовалось доказать.

Следствия. 1. Переставив средние члены в первой из пропорций (1), имеем:

(2)

Дуги AB и ВС — произвольной длины, но они отстоят от соответственных дуг

Черт. 18

АХВ± и BLC на одинаковых расстояниях, т. е.*

АА1 = ВВ1=*СС1.

Если это расстояние изменится, то изменится и значение отношения X наших дуг.

Таким образом, это отношение зависит не от длины дуг, а только от расстояния между этими дугами.

2. Возьмем две концентрические предельные дуги AB и АпВп, заключенные между их осями ААп и ВВЛ (см. чертеж). Разделим расстояние ААп =^ х между этими дугами на п равных частей, каждую из которых обозначим буквой а. Очевидно, что х = па.

Через точки деления Аи А2...Ап проведем концентрические предельные дуги:

АхВи А2В2...АпВп.

Так как расстояния между соседними дугами равны а, то (следствие 1) и отношения между соседними дугами также должны быть все равны между собою, т. е.

Перемножая все эти равенства почленно и сокращая дроби, получим:

или, так как па = ААп = х, то

(3)

Это — весьма важное соотношение, которое необходимо будет нам для вывода основных формул тригонометрии Лобачевского.

Перейдем теперь к изучению предельной поверхности.

Черт. 19

§ 10, Предельная поверхность

Если мы станем плоскость чертежа 17 вращать около прямой АА\ то прямая АС9 перпендикулярная к АА\ опишет плоскость, круги опишут шары, касающиеся этой плоскости в точке А, а предельная линия опишет «предельную поверхность», которая, очевидно, также касается той же плоскости в точке А.

Таким образом, «предельную поверхность» можно рассматривать как предел шара, когда его центр удаляется по прямой АА' в бесконечность, а его радиус неограниченно увеличивается. Поэтому свойства «предельной поверхности» или «предельного шара» (орисферы) легче всего вывести из свойств шара тем же переходом к пределу, каким свойства предельной линии получались из свойств окружности.

Например:

1. Всякая прямая, параллельная оси предельной поверхности, обладает свойствами оси и также называется осью этой поверхности.

2. Предельная поверхность симметрична относительно любой ее оси и относительно всякой плоскости, проходящей через ось.

3. Хорда предельной поверхности образует равные углы с осями, проходящими через ее концы.

4. Предельная поверхность есть геометрическое место таких точек, что отрезки, соединяющие эти точки, образуют с осями, проходящими через них, равные углы.

5. Плоскость, проведенная перпендикулярно к хорде из ее середины, пройдет через ось этой поверхности, проходящую через эту середину.

6. Сечение предельной поверхности плоскостью будет предельной линией, если плоскость проходит через какую-нибудь ось этой поверхности; в противном случае сечение будет круг.

7. Через каждые две точки предельной поверхности можно провести только одну предельную дугу, которая на нашей поверхности будет кратчайшим расстоянием между этими двумя точками.

Докажем, например, свойства 6 и 7.

* Отрезки радиусов, заключенные между концентрическими кругами, всегда равны, а следовательно, равны и пределы их, т. е. отрезки осей между концентрическими предельными дугами.

Черт. 20

Сечение шара плоскостью, проходящей через радиус шара, будет большим кругом этого шара, а сечение шара со всякой другой плоскостью будет малым кругом. Через каждые две точки поверхности шара всегда можно провести только одну дугу «большого круга» шара, которая и будет на поверхности шара кратчайшим расстоянием между этими точками.

Если мы станем неограниченно увеличивать радиус шара, удаляя его центр по прямой АА', то означенные свойства шара останутся неизменными; следовательно, они сохранятся и в пределе, причем только «большие круги» шара перейдут в «предельные линии», которые и будут на предельной поверхности кратчайшими расстояниями между ее точками.

Плоскость А В, не проходящая через ось, пересечет предельную поверхность по кругу. Проведем через точку А ось А А' предельной поверхности и какую-нибудь прямую ACtB, лежащую в плоскости сечения АО В.

Как бы мал ни был угол си = А'АВ, он всегда будет углом параллельности некоторого перпендикуляра АС1у который и будет радиусом сечения (см. свойство 4 и черт. 20).

Теорема XVII. Даны три прямые АБ II ВБ II СБ; если точки Ау В и С выбраны на них так, что углы, прилежащие к двум из этих хорд AB и ВС попарно равны, то равны будут и углы, прилежащие к третьей хорде, т. е. если /_БАВ= /_БВА, ^БВС = /_БСВ, то и £ БАС= ^БСА{\).

В самом деле, если мы предположим, что Б — центр шара, проходящего через точки А, В, С, то теорема очевидна.

Но равенство (1) сохраняет свою силу, если мы станем неограниченно удалять центр Б шара по прямой ЕБУ перпендикулярной к плоскости ABC*. Следовательно, оно сохраняется и в пределе, когда Б удалится в бесконечность, поверхность шара обратится в предельную поверхность, а его радиуа; АБ, ВБ и СБ — в оси этой предельной поверхности. Отсюда вытекает еще такая теорема.

Теорема XVIII. Через всякие три точки (А, В, С), не лежащие на одной прямой, можно провести только две предельные поверхности. Одна из этих поверхностей получится при удалении центра Б шара по прямой BE вверх, а другая — при удалении его вниз. (В пространстве Эвклида обе эти поверхности сольются с плоскостью треугольника.) В каждом из этих случаев предельная поверхность будет единственная,

Черт. 21

Черт. 22

* Прямая ЕБ будет, очевидно, проходить через центр сечения с плоскостью ABC.

так как переменная величина одновременно может стремиться только к одному пределу.

Углом между двумя предельными линиями ВА' и ВС, расположенными на предельной поверхности, называется угол Л ßC между касательными к ним в точке их пересечения В (см. черт. 22). А так как касательные ВЛ и ВС перпендикулярны к оси поверхности ВБ, то углом между предельными линиями В А' и ВС можно считать двугранный угол А'В Б С между плоскостями, проходящими через эти предельные линии и через ось ВБ поверхности, проходящую через вершину угла В.

Теорема XIX. Если две предельные линии АС и ВО, лежащие на одной и той же предельной поверхности, пересекают третью предельную линию AB той же поверхности так, что сумма внутренних односторонних углов менее 2d, то линии эти тоже пересекутся.

Проведем через точки А и В оси АБ и В Б предельной поверхности, через них и через дуги АС, ВО и AB проведем плоскости я, b и с (см. черт. 23). Получим фигуру теоремы XVI,. согласно которой плоскости БАС и БВО пересекутся, а, следовательно, пересекутся и предельные линии АС и В О, что и требовалось доказать.

Следствие 1. Доказанная теорема показывает, что если на предельной поверхности за «прямые линии» будем считать предельные линии, то получим геометрию, в которой будет иметь место постулат Эвклида, а следовательно, и все теоремы геометрии, тригонометрии и аналитической геометрии на плоскости Эвклида (кроме совмещения симметричных фигур), например:

Теорема XX. Сумма углов в «предельном» треугольнике равна 2d.

Следствие 2. Тригонометрические функции на предельной поверхности определяются теми же отношениями элементов прямоугольного предельного треугольника, что и на плоскости Эвклида (только место прямых линий занимают линии предельные) и имеют ту же самую величину. Величина углов не зависит от длины сторон, а потому углы между предельными линиями в точке их пересечения мы можем определить теми же тригонометрическими функциями, что и углы между касательными к этим кривым в точке их пересечения.

Черт. 23

Литература

Проф. Богомолов С. А.—«Эволюция геометрической мысли», 1928 г.

Акад. Успенский — «Введение в неэвклидову геометрию Лобачевского», 1929 г.

Проф. Каган В. Ф. — «Основания геометрии».

Бонола — «Неэвклидова геометрия».

Проф. Иовлев Н. Н. — «Главные методы обоснования геометрии Лобачевского», 1921 г.

Его же — «Введение в элементарную геометрию и тригонометрию Лобачевского», 1930 г.

ДЕЙСТВИЯ НАД КОРНЯМИ

М. ГОРНШТЕЙН (Москва)

Вопрос о действиях над корнями в учебной литературе излагается недостаточно ясно, а порой даже и неправильно, вследствие чего у наиболее вдумчивых учащихся появляется целый ряд недоуменных вопросов. На эти вопросы они не всегда получают от преподавателя достаточно вразумительные ответы, так как самим преподавателям не всегда ясна причина получающихся противоречий.

Пример. На основании определения корня пишем

(1)

С другой стороны, мы даем теорему: «Чтобы возвысить корень в степень, достаточно подкоренное количество возвысить в эту степень, а показатель корня оставить тот же», т. е.

(2)

Применяя равенство (2) к случаю к = п, получаем

(3)

Если (как это делается в большинстве учебников алгебры) нет оговорки относительно

области применимости теоремы (2), то учащиеся вполне резонно заключают, что ее можно применять всегда, и отсюда получают по (3):

что является абсурдом, так как Р=—1. Выходит, что в этом случае пользоваться формулой (1) можно, а формулой (3) нельзя. Почему это так?

Здесь мы встречаемся с одним из тех вопросов, на которые мы не находим достаточно убедительного ответа.

Причина, очевидно, заключается в том, что теорема (2) не всегда справедлива. Когда же она справедлива? И вообще в каких случаях справедливы следующие теоремы:

(I)

(II)

(III)

(IV)

(V)

Некоторые авторы руководств по алгебре при выводе перечисленных теорем делают примечание, что речь идет об арифметических корнях (см., например, А. Киселев — «Элементы алгебры и анализа» и др.). Однако сами эти авторы в дальнейшем не придерживаются этого ограничения и свободно оперируют с радикалами по правилам / — V даже и тогда, когда заведомо имеют дело не с арифметическими корнями. Но если бы даже этого и не было, то все же отстается открытым вопрос, в какой мере применимы теоремы / — V к алгебраическим корням, если они вообще применимы.

По этому вопросу в литературе можно установить две точки зрения. Первая считает, что к алгебраическим корням теоремы эти неприменимы. Так, в книге Е. Игнатьева — «В царстве смекалки», ч. 2-я, читаем: «По общему соглашению о знаках, если нет особой оговорки, то перед |/ —подразумевается знак-|“ • Сообразно с этим для положительных четных или действительных нечетных корней верно, что «одинаковые корни из равных количеств равны» и отсюда

Но если а и b отрицательны, а п четно, то этого тождества уже не существует, и, применяя его, мы приходим к абсурду:

Или же, принимая, что для всяких значений букв, мы, казалось бы, можем написать следующее тождество (ибо каждая его часть равна j/_]):

Таким образом, здесь несколько расширяется область применимости теорем I—II, а именно: они верны «для положительных четных или действительных нечетных корней», а не только для корней арифметических.

Другие авторы считают, что эти теоремы можно применить и к алгебраическим корням. По крайней мере, такие указания имеются в старинных руководствах по алгебре.

Так, Эйлер в своей книге «Элементы алгебры» говорит (цитирую по книге: Elements d'Algèbre par Léonard Euler, traduits d'allemend avec les notes et des additions. A Lyon, l'an III-e de l'ère Républicaine):

«Точно так же, как \/~а, будучи умножен на ]/Ьу дает ]/ab, мы будем иметь |/6 для значения произведения или 2 для значения произведения у— 1. |/—4. Мы видим, таким образом, что два мнимых числа, будучи умножены друг на друга, дают в произведении вещественное или возможное число».

Далее он говорит, что

или

что «1, разделенная на ^—1, мне даст

или

потому что 1 есть то

же, что

Русский переводчик Эйлера Василий Висковатый («Основания алгебры» Леонгарда Эйлера, СПБ 1812 г.) доказывает, что ]/—а-]/—Ь= — \fab, т. е. он доказывает, что перед корнем следует поставить знак—, так что]/— 1 • |/— 4 != — ]/4=;— 2,

а не 2. Доказательство он ведет так:

и затем прибавляет: «И дабы еще более удостовериться, что не может быть

я примечаю, что ежели сие справедливо при всякой величине количеств а и Ь, то оное должно иметь место и в случае a = bt но тогда выйдет что противно самому определению квадратного корня».

Таким образом, мы видим, что как Эйлер, так и его переводчик Висковатый считают, что теоремы об умножении и делении корней можно применить и к квадратным корням из отрицательных чисел, но в то время как Эйлер берет произведение таких двух корней со знаком -f-, Висковатый считает, что следует брать знак—.

Занимаются вопросом о применимости теорем об умножении и делении корней к корням из отрицательных чисел и позднейшие авторы. Так, в книге «Алгебра», сочинение Бур до на, перевод с 8-го французского издания, СПБ 1844 г., читаем:

«Правила действий над коренными величинами, справедливые для арифметических чисел, могут быть подвержены некоторым переменам для чисто алгебраических выражений»...

«Положим, например, что требуется найти произведение ]/—а на ]/— а\ тогда по правилу § 165 имеем:

Двойное значение произведения будет точное решение, пока перед каждым из предложенных коренных выражений находится двойной знак ЧЬ; н0 если мы будем принимать, что перед ними находится один и тот же знак, то как тогда у{— а • j/— а дает (j/— a)2t и что для возвышения \/т в квадрат должно только уничтожить коренной знак, следовательно, мы получим у — а=—а».

Дал“ее он таким же способом, как и Висковатый, доказывает, что у— а • ^—Ь = — — \f ab при условии, что перед каждым из чисел \[ — а и \[— b подразумевается знак -{-.

Рассматривает Бурдон и такое произведение

причем говорит, что это произведение «по показанному правилу будет У ab и, следовательно, даст следующие четыре выражения:

Для определения настоящего произведения заметим, что

но

следовательно,

При этом не вполне ясно, что он понимает под термином «настоящее произведение*.

Приведенных цитат, я думаю, достаточно для того, чтобы составить себе представление о той путанице, которая существует по этому вопросу: по Эйлеру (/ - a -\г ~-Ь = y/ab, по Висковатому ]/ —а • \f—b — — У ab, по Бурдону «настоящее произведение»

у некоторых авторов теоремы I — V формулируются без ограничений, другие формулируют их только для арифметических корней, но умалчивают о том, можно ли и с какими ограничениями применить их к корням алгебраическим.

Таким образом, мы видим, что вопрос о действиях над корнями требует некоторых раз'яснений. Цель настоящей статьи внести ясность в этот вопрос.

Прежде чем перейти к самому изложению, придется напомнить о тригонометрической форме комплексного числа и кое-каких других известных положениях.

1« Комплексная единица. Произведение комплексных чисел

Всякое комплексное число a -j- ib9 как известно, может быть представлено под видом

A = (cos ср -|- i sin ç) г,

где г — модуль (абсолютная величина) комплексного числа, <р — аргумент.

Обозначим cos ? + /sincp = a, так что всякое число будет иметь вид

где г означает расстояние изображаемой им точки А от начала координат (черт. 1), а а — коэфициент, указывающий направление луча, на котором лежит точка А (через А мы обозначаем как точку, так и само число). Именно, точка А лежит на луче, образующем с осью х'ов угол ф, на расстоянии г от начала координат.

Будем называть коэфициент ос комплексной единицей, или коэфициентом направления числа А. Комплексных единиц — бесчисленное множество; соответствующие им точки расположены на окружности, описанной около начала координат радиусом, равным единице (черт. 1).

При <р=зО (или ср — 2kn) комплексная единица обращается в положительную единицу; при <р = гс (или ф =г т: -f- 2 kn) комплексная единица обращается в отрицательную единицу; наконец, при ф = т, ^или ф = ^--|-2кт:^ она обращается в мнимую единицу.

Коэфициент ос (комплексная единица), стоящий при абсолютном (арифметическом) числе г, означает, что отрезок длины г должен быть повернут от начального положения (от положительного направления оси лг'ов) на угол if (на угол ср 2 kiz).

Произведение двух чисел А = ос^ и В=; =:%./21 где гх и Го-—их модули, ах и ос2 — коэфициенты направления, имеет вид c = t.R, где R = rtr2; а = cos ф -f-1 sin ф, причем <р =3 9i + <p2, если ф1 и ф2 — соответственно аргументы чисел Ä и В (черт. 2).

Можно сказать, что умножить какое-нибудь число А на комплексную единицу а =? cos <р -f- i sin <p, значит — повернуть соответствующий ему радиус-вектор на угол ф от того положения, которое он занимает (причем радиус-вектор, соответствующий абсолютному числу, мы считаем совпадающим с положительным направлением оси jc'ob).

Отсюда следует, что делить на комплексную единицу а — значит произвести поворот на угол — 9.

2, Корень я-й степени Корнем я-й степени из числа А называется такое число, я-я степень которого равна А. Если В = У А, то Вп = А.

В курсах алгебры (см., например, «Начала алгебры» акад. Д. Граве, Петроград 1915 г.) доказывается, что из арифметического числа всегда существует один, и только один, арифметический корень я-й степени.

Рассмотрим теперь любое число А и пусть я — целое положительное число.

Пусть далее (черт. 3)

А = аг =5 (cos ф -f i sin ф) г.

Обозначим у А = В — ер. Тогда (ер)п=аг.

Согласно сказанному в конце предыдущего параграфа, будет рп=^г, т. е. р представляет арифметический корень я-й степени из г.

Что касается коэфициента направления е, то он должен быть таким, чтобы я соответствующих ему поворотов дали ф (так как по сказанному в конце предыдущего параграфа умножить на комплексную единицу - значит произвести соответствующий ей поворот), т. е. поворот, соответствующий комплексной единице £, будет так как * -я = ф, и мы

Черт. 1

Черт. 2

придем к точке а (черт. 3). Но мы придем к той же точке а, если за £ примем поворот —--э где k — любое целое число, так как

При этом различные значения для £ получатся только при £=^0, 1, 2,... п — 1, так как при k=in будем иметь

т. е. придем к той же точке на окружности, что и при £ = 0; дальнейшие точки будут повторяться.

Итак, е будет иметь п значений:

Таким образом, существует п корней л-й степени из данного числа А. Все они имеют один и тот же модуль р = У г, но отличаются друг от друга направлением.

Если

(1)

На чертеже 3 представлены все корни для случая п = 5.

Черт. 3

3. О многозначности корня

Вследствие многозначности корня теряет всякий смысл вопрос о действиях над корнями в общем виде. В самом деле, что может означать произведение VAYbI Который корень на который требуется умножить? Все нелепости и парадоксы получаются именно из-за того, что упускают из виду многозначность корня, что подменяют одно значение корня другим. На этом основано известное «доказательство» того, что 2 = 3. Именно, из верного равенства

получают

откуда 2 = 3. По существу этот же метод применяется во многих учебниках для доказательства теорем о корнях. Например, доказательство теоремы

ведется так: обе части возвышаются в одну и ту же nk-ю степень, после чего получаются одинаковые выражения ар*, откуда делают вывод, что возвышаемые числа равны между собою. Но такой вывод был бы верен только при единственности корня, чего на самом деле нет. На чертеже 3 имеем ß15 = = ß25, между тем как Вх Ф В2.

Для устранения многозначности некоторые и вводят в рассмотрение арифметические корни. Однако это слишком большое сужение вопроса, так как при этом выпадают из рассмотрения все корни из отрицательных чисел, а тем более — из комплексных чисел. Можно установить более общее понятие «абсолютная величина корня» — теоремы I—V справедливы для абсолютных величин корней. Но абсолютная величина корня не есть ведь самый корень, и, доказав теоремы для абсолютных величин, мы оставляем открытым вопрос о самих корнях, точно так же, как правило:

«абсолютная величина произведения относительных чисел равна произведению абсолютных величин множителей» не решает вопроса о нахождении произведения относительных чисел, так как кроме абсолютных величин еще нужно решить вопрос о знаках.

Следовательно, является необходимым рассмотреть вопрос, в какой мере известные правила действий над корнями применимы к алгебраическим корням.

Прежде чем перейти к дальнейшему изложению, введем знак для различения абсолютной величины корня от самого корня. Условимся абсолютную величину корня n-Pi степени из А обозначать символом у Л,1 тогда как совокупность всех корней л-й степени из А будем обозначать символом У А. Следовательно, У А1 имеет одно значение, а У А имеет п значений.

Так:

Но

Рассмотрим теперь действия над корнями.

4. Извлечение корня из произведения и частного

Из равенства (I) п. 2, а также принимая во внимание правило умножения (черт. 2), легко видеть, что если умножим какой-нибудь из корней я-й степени из числа А на определенный корень той же степени из числа ß, то получим один какой-нибудь корень (определенный, но не любой) п-й степени из произведения AB. Всех комбинаций при умножении может быть п • п = п2.

Но так как каждое такое произведение представляет У^АВ, а таких корней У AB имеется всего я, то среди этих п2 произведений имеется только п различных между собою. Их можно получить так: один какой-нибудь У А умножать последовательно на все У В; тогда получим п разных произведений, которые и исчерпают все значения У AB. Можем записать

(2)

где (у А)г означает один из корней /2-й степени из А.

Или:

(3)

Следствие.

т. е., чтобы получить все У А, достаточно один из них умножать последовательно на все корни я-й степени из единицы.

На основании этого равенства (2) и (3) можно переписать так:

Это правило можно распространить на случай любого числа множителей. Так:

(4)

Аналогичным образом получаем

(5)

Теоремы (4) и (5) можно формулировать так: «Чтобы получить все корни любой степени из произведения (частного), достаточно произведение (частное) каких-нибудь произвольно взятых корней той же степени из множителей (делимого и делителя) умножать последовательно на все корни той же степени из единицы.

5. Извлечение корня из степени

Для абсолютной величины корня верна следующая теорема:

Что касается алгебраических корней, то ясно, что эта теорема неверна, так как ]/ Апт имеет п значений, между тем как Ат (п — целое положительное число) имеет только одно значение. Но очевидно, что Ат есть одно из значений у Апт\ все же значения этого корня получим, умножая одно из них на все значения у1,

т. е.

6. Извлечение корня из корня

Пусть Имеем

(6)

Но

(7)

Когда п и т будут принимать указанные значения, то аргумент (поворот) числа

(8)

будет принимать всего тп значений. Нужно рассмотреть, приведут ли они к различным точкам на окружности или же некоторые из этих точек будут совпадать. Для этого достаточно исследовать вопрос, могут ли среди чисел

оказаться два с равными дробными частями. Докажем, что это невозможно. Пусть

где а и Ь — целые числа (могут быть и нулями), с <[ тп.

Вычитая из последнего равенства первое, получим:

откуда

Из последнего равенства следует, что /?._, — kx должно делиться на п, что невозможно, так как ß2Stf, kt^n, вследствие чего k2 — kY < п*.

Следовательно, аргументы (8) при всевозможных значениях k и /, удовлетворяющих условиям: k=W_nt 1= 1, 2,3,..., m, приводят к различным точкам на окружности, а потому правая часть (7) имеет тп различных значений. Но каждое из них есть у ^ а так как их всех имеется тп, то они дают все значения уа Таким образом, получаем

Подставляя в равенство (6), получим

или

(9)

7. Основное свойство корня

Так называемое основное свойство корня, верное для абсолютных значений корня

безусловно неверно для самых корней, так как УАр имеет п значений, а |/ Арт имеет тп значений, т. е., переходя от

мы приобретаем тп — п = п (т — 1) лишних корней, а при обратном переходе мы теряем столько же корней. Но установить здесь формулой связь между у Лр и \гАтр довольно затруднительно. На чертеже 4 мы имеем все У^3 и \f<x (где ос — комплексная единица). Из него видно, что два значения У а? совпадают со значениями т/а, остальные четыре — лишние.

8. Умножение и деление а) Для умножения и деления корней одной и той же степени можем написать:

(10)

Эти равенства следует понимать так: произведение (частное) каких-нибудь определенных к орней одной и той же степени из двух или не-

* В случае kt — kt = 0 будем иметь: b2 — Il=z z=m(b — а). След. /2 — 1Х должно делиться на т, что возможно лишь при /2 = iv Аналогичные рассуждения к формуле (13).

скольких чисел равно определенному корню (но не любому) той же степени из произведения (частного) этих жечисел.

Из корней, входящих в равенство (10), могут быть выбраны произвольно все, за исключением одного. Значение этого последнего определяется взятыми значениями остальных. Если же все корни взяты произвольно, то может оказаться, что произведение (частное) корней не равно корню из произведения (частного).

б) Рассмотрим случай умножения корней с разными показателями. Пусть дано

Положим

где ос и ß — коэфициенты направления, rt и г2— модули чисел А и В. Тогда п п п

откуда

Когда мы все \^А будем умножать последовательно на все УВ , то получим всего тп произведений. Остается выяснить вопрос, будут ли все эти произведения разные или же среди них будут одинаковые. Для этого достаточно рассмотреть, сколько разных значений может принимать произведение у а “ У ß.

Пусть

Тогда

(12)

Если сумма

при разных значениях k и / может принимать значения с одинаковыми дробными частями, то число значений правой части (12) будет меньше тп. Пусть

(kt ^ л, /t ^ /я, aw b равны нулю или единице). Вычитая, получаем

откуда

(13)

Предположим, что m и п — числа взаимнопростые. Из равенства (13) получаем, что т(к2— kx) должно делиться на я, но так как m и п — взаимно-простые числа, то k2 — kx должно делиться на /;, что невозможно в силу условий относительно кх и k2.

Следовательно, в случае m и п взаимнопростых, правая часть (12) получает тп различных значений. Умножив аргумент

Черт. 4

«a mnt мы получим

из чего заключаем, что правая часть (12) есть УаГф*.

При различных значениях k и / (& = 1,2,..., п\ /=^1,2,..., tri) мы исчерпаем все эти корни.

Значит, в этом случае

Подставляя в (11), получим

(14)

при условии, что m и п — числа взаимно-простые.

Рассмотрим теперь случай, когда тип имеют общий наибольший делитель d>\.

Пусть m=,mxd\ п—n^d (числа тх и пх — взаимно-простые). Тогда имеем

Применяя формулы (9) и (10), можем написать

Так как числа тх и пх — взаимно-простые, то, применяя формулу (14), получим

а по формуле (9)

Окончательно имеем в этом случае

(15)

Пример.

Произведения всевозможных 12 значений У А на всевозможные 15 значений У В дадут не 12-15 = 180 значений, а только 60, которые воспроизводят все 60 значений У А5В*. Это объясняется тем, что некоторые из значений У А совпадают со значениями У В (в данном случае 3), а некоторые произведения будут равны друг другу при разных множителях. Следовательно, будет неверно равенство

так как правая часть имеет 120 разных значений, между тем как левая имеет их только 60.

В случае деления можно повторить те же рассуждения, что при умножении. В формуле (12) будет в скобках при 2тс множитель

а в равенстве (13) у второго члена левой части знак минус. Результаты получаются те же.

Следовательно,

(141)

при условии, что тх и пх — числа взаимнопростые.

9. Возвышение в степень Для абсолютных значений корня имеем

Пусть теперь А = снг. Тогда

(15)

Если о — аргумент числа а, то

(А=1,2,....,й). (16)

Докажем предварительно следующие две теоремы.

Теорема 1.

Если m и п — числа взаимно-простые, то среди значений, принимаемых выражением

когда k принимает значения 1, 2, 3,..., л, не могут оказаться два с равными дробными частями (по исключении целого числа). Доказательство. Пусть

где а и Ь — числа целые, kx и k2 — какие-нибудь два числа из ряда 1, 2, 3,..., п и k2 > kx. Вычитая из второго равенства первое, получим

Отсюда следует, что m (k2 — kt) должно делиться на п, а так как тип — числа взаимно-простые, то k2 — kx должно делиться на л, что невозможно в силу того, что k2—kx Теорема доказана.

Теорема 2.

Если d — общий наибольший делитель чисел m и п и m = mxd\ п = nxdy то среди различных значений, принимаемых выражением —-у когда k принимает значения 1,2, 3,..., л, имеются nt таких, у которых дробные части различны между собою.

Доказательство. Имеем

При k=\} 2, 3,..., Пл выражение

принимает значения с разными дробными частями (по теореме 1); при остальных значениях k (к=п±+1, /^ + 2,..., п) будут повторяться те же дробные части. В самом деле, пусть k = pn1-\-l, где /==1, 2,..., nv а р — целое число, удовлетворяющее условию 1 d — 1 ;

тогда

т. е. это выражение

отличается от предыдущего на целое число pmif а дробные части равны между собою. Теорема доказана.

На основании теоремы 1 заключаем, что при тип взаимно-простых правая часть равенства (16) имеет п разных значений. С другой стороны,

Следовательно, правая часть есть Таким образом, равенство (16) можем записать так

а тогда равенство (15) примет вид

(17)

(при m и п — взаимно-простых).

В случае же, если тип имеют общий наибольший делитель d > 1 и m — mxd, n — ntdy мы равенство (16) можем записать так:

Правая часть этого равенства имеет только nL разных значений, и она представляет yrdmK Следовательно,

(18)

т. е. можно применять правило: «Чтобы возвысить корень в степень, достаточно возвысить подкоренное количество в эту степень» только в том случае, когда показатель корня и показатель степени — числа взаимнопростые. В противном случае предварительное сокращение обязательно. Так

Но будет неверно следующее равенство

так как правая часть имеет 12 значений, а левая — только 3.

Следствие.

Но неверно:

Примечание. Есть разница между выражениями

Первое означает, что требуется любое из я значений Y А умножить на любое другое. В этом случае мы получим всего п различных произведений, которые представляют собою все значения |/Л*> так что

Второе же выражение — (У А )2 — означает, что каждое значение должно быть умножено само на себя, но не на другое. В этом случае получится п разных значений только в том случае, когда п — нечетное число. Так что будет

Теперь легко объясняются все так называемые «софизмы».

Пример 1.

Подкоренное количество здесь нельзя возвысить в квадрат, так как здесь требуется каждый корень возвысить в квадрат. Но

так как здесь требуется любое из значений ]/4 умножить на любое другое, т. е. (±2) (±2), а эт0 действительно равное 4.

Пример 2.

Софизм, приводимый Игнатьевым (см. выше):

об'ясняется весьма просто: из равенства

действительно вытекает

поскольку речь идет о совокупности всех корней; из последнего равенства вытекает 1/^1 • \Г\=У~—1- ]/“—1. Но это равенство, как показано в примечании предыдущего параграфа, нельзя заменить следующим: (}А )2=(уг—l)2, так как между Уи(|/1 )2 имеется существенное различие.

Методические выводы

Должна быть изменена последовательность изложения, а также формулировка некоторых теорем и определений.

1. Встречающаяся в большинстве учебников формулировка правил знаков при извлечении корня должна быть отвергнута как неправильная. Неверно, что корень нечетной степени из положительного числа имеет только одно значение — положительное и т. д., а корень четной степени из положительного числа имеет два значения и т. д. Правда, можно возразить, что здесь речь идет о вещественных числах, но поскольку учащимся неизвестно еще существование комплексных чисел, нет надобности в другой формулировке: среди известных им чисел имеется только один корень нечетной степени из положительного числа и т. д. Все это верно, но на современной стадии развития науки нельзя исключить из рассмотрения мнимые числа. Нельзя формулировать теоремы так, как будто вовсе не существует комплексных чисел, тем более что тут же говорят учащимся, что корни из отрицательных чисел называются комплексными или мнимыми числами (см., например, «Рабочую книгу по математике», вып. 1-й, под ред. Я. С. Безиковича).

2. Последовательность изложения, думается мне, должна быть приблизительно такая:

а) Сперва рассматриваются только квадратные корни, устанавливается существование двух корней — положительного и отрицательного — из положительного числа, рассматриваются затем корни квадратные из отрицательных чисел, в связи с чем дается понятие о мнимом и о комплексном числе; указывается, что из отрицательного числа также существует два мнимых корня. Хорошо было бы здесь привести геометрическую интерпретацию (черт. 5): вещественные числа откладываются на оси Х'ов (вещественная ось), мнимые числа — на оси У'ов (мнимая ось). i — мнимая единица, играет ту же роль, что множитель — 1 при числе;— 1 означает поворот на 180°, i — поворот на 90° ; — / = t=(—означает поворот на 180° от положительного направления мнимой оси или поворот на 270° от положительного направления вещественной оси. или /2У означает поворот на 90° от положительного направления мнимой оси или поворот от первоначального направления на 180°, так что /2= —1. Тут же можно дать понятие об абсолютной величине числа - - вещественного или

Черт. 5

мнимого — это расстояние соответствующей точки от начала.

I -3| te I +• 3| = \i 3| = I - -13| = 3.

б) Далее решаются квадратные уравнения, причем рассматриваются и случаи комплексных корней; эти корни проверяются так, что учащиеся привыкают смотреть на комплексные числа как на обыкновенные числа.

После этого можно ставить вопрос об извлечении кубичного корня из какого-нибудь числа, например из 8. Записываем вопрос в виде уравнения л:3= 8, или х3—8 = 0. Разложением на множители находим, что х имеет 3 значения, из которых одно—вещественное, два — комплексных. После решения еще одного или двух уравнений подобного рода (например: лг34~27 = 0) делаем вывод: из всякого вещественного числа существует три корня кубичных, причем один из них -всегда вещественный (положительный из положительного, отрицательный из отрицательного), другие два - - комплексные.

в) Можно далее рассмотреть еще корень четвертой степени и установить, что существуют в этом случае 4 корня. Если нет времени, можно этот случай опустить и принять без доказательства следующее положение: корень n-Pi степени из всякого числа имеет п значений; из них в случае п нечетного (и если число, из которого извлекается корень, вещественное) будет один вещественный (положительный из положительного, отрицательный из отрицательного); в случае четного — будут два вещественных корня, если подкоренное число положительно, и не будет ни одного вещественного корня, если подкоренное число отрицательное.

г) Теоремы об извлечении корня из произведения, дроби и степени, об умножении и делении корней, о возвышении корня в степень формулируем в отношении абсолютных значений корня. Но необходимо указать, что с некоторыми ограничениями (приведенными в настоящей статье) их можно применить и к самым корням. Эти указания делаются, разумеется, без доказательства.

Для более сильных учащихся в порядке кружковой работы можно поставить тему «Комплексные числа» и разобрать эти вопросы более подробно. Изложение в этом случае должно быть больше наглядного, геометрического характера, чем чисто теоретического (так, вместо «аргумент» комплексного числа—«поворот» и т. п.).

УРАВНЕНИЕ ПЕЛЛЯ (ИЛИ ФЕРМАТА)

И. КАЦМАН (Житомир)

I. Вступление

У А. В. Васильева («Целое число», стр. 102) читаем следующие строки: «С одной стороны Фермат дает теоремы, касающиеся представления чисел по формам У2 -f- 2z2 и /-f 3z2. Формы более сложные не рассматриваются Ферматом, за исключением вопроса о представлении единицы под видом у2 — ах2 или, другими словами, о решении уравнения ах2 -{- 1 = у2, для которого им был найден неизвестный нам способ решения. Решение этого уравнения было одною из тех задач, которую Фермат в феврале 1657 г. через Кенельма Дигби предложил для решения математикам Франции, Англии, Голландии и всей Европы как задачу и по тонкости и по трудности не ниже самых знаменитых задач геометрии, — в следующих выражениях: «Существует бесконечное множество квадратов, которые по умножении на данное неквадратное число и по прибавлении единицы дают квадрат».

В сентябре 1657 г. Валлис сообщает Дигби решение, найденное Брункером, и с некоторыми изменениями помещает его в своей алгебре. Эйлер нашел это решение в английском переводе немецкой алгебры и приписал его переводчику Пеллю. Отсюда название знаменитого уравнения пеллевским. Автор специального сочинения по истории уравнения t2 — lu2 = 1 Конен предлагает называть его уравнением Фермата...».

На основании этой цитаты заключаем:

1) Творцом уравнения t2 — Du2 является не Пелль, а Фермат, что подтверждается процитированными выше его же словами.

2) Метода решения этого уравнения Фермат, по своему обыкновению, не оставил. Если так, то способ, которым для данного уравнения пользовался Фермат, должен считаться для нас неизвестным.

Между тем, это уравнение решается, в чем легко убедиться на следующих примерах:

и т. д., которые тождественно переходят в 1Ь32+1 = 102, 7-32-f 1=82 и Ю-62 + + 1=192.

Каков же метод их решения?

На этот вопрос найдем ответ у академика Д. А. Граве («Энциклопедия математики», стр. 284):

«Подобно тому как конечные непрерывные дроби помогают при решении в целых числах уравнений первой степени, так периодические дроби играют первостепенную роль в теории неопределенных уравнений второй степени.

В этой теории имеет особенное значение уравнение х2 — Dy2 = 1, носящее название уравнения Pell'я. Число D предполагается целым числом, не представляющим полного квадрата целого числа!»

Решения, данного Граве при помощи непрерывных периодических дробей, приводить не будем. Нас интересуют вопросы средней школы, из программы которой эти дроби из'яты. Скажем только то, что метод этот довольно сложный. С легкой руки Лагранжа, открывшего закон составления подходящих дробей в теории непрерывных дробей, начались попытки к решению уравнений и высших степеней методом непрерывных дробей. Эти попытки, вероятно, увенчаются успехом, так как Г. Ф. Вороному уже удалось осуществить применение этого метода при решении уравнения третьей степени с целыми коэфициентами. Надо, однако, считать установленным, что Фермат (1601—1665 гг.) этим методом не пользовался; возник ведь он лишь в конце XVIII столетия благодаря Лагранжу. Имеем поэтому законное основание искать других методов, хотя бы они оказались весьма элементарными.

1. О решении, представленном тождествами

Тождество венчает решение уравнения. Пифагорово уравнение х2 -| - у2 =ч z2 ничего не потеряло от того, что дошло до нас без решения. Вместо затерявшихся во времени решений оно дошло до нас в виде следующих трех тождеств:

В первых двух я есть любое число натурального ряда, а в третьем а и b тоже любые числа натурального ряда, но они взаимно-простые и одно из них четное. Первое тождество приписывают Пифагору, второе — Платону,а третье оформлено каким-то неизвестным, по-нашему, основоположником. Вероятнее всего, оно впервые было оформлено лишь в XVII столетии в трудах Фермата и его современников, Френикля и отца Мерсенна. Как бы то ни было, сама наличность этих сохранившихся тождеств повлекла за собою более или менее удачные* попытки к отысканию соответствующего каждому из них решения. Основоположник каждого тождества хорошо, конечно, знал то решение, продуктом которого явилось его тождество. Следуя этому, мы для уравнения Пелля (или Фермата) предварительно дадим ряд тождеств, вытекающих из найденных нами для него решений. Эти последние, следуя за своими тождествами, предстанут тогда перед нами в самом простом виде.

2. Тождества, представляющие решение уравнения ах2 + 1 =у2

При решении рассматриваемого уравнения нами найдены следующие для него тождества:

Во всех тождествах х принимает любое значение натурального ряда чисел. В последнем тождестве тот же ряд значений имеет место и для я.

По знаку заключаем, что число тождеств удваивается. Если, например, в первом тождестве имеет место х =: 3, то получаем два тождественных выражения:

И .32-f 1 = 102

и

7-32-f 1 =82.

Имеем, следовательно, не три тождества, а шесть.

Числовая мощность тождеств, в состав которых входит я, может быть обозначена через (о2, если числовую мощность тождеств, не заключающих в себе я, обозначим через со. Это потому, что при каждом целом значении X может быть бесконечно много целых значений я, и наоборот.

Наконец, эти же тождества как бы говорят о том, что представляемые ими решения должны быть довольно простые.

* Были и неудачные попытки: у Ващенко-Захарченко, см. его «Историю математики», стр. 26 и V Давыдова, см. его «Геометрия», § 156. О них стоит специально поговорить в особой работе.

II. Решение уравнения ах2-\-\ = у2у повлекшее за собой тождество (х2 ±:2)х2 + \=(х2±\)2

Дадим уравнению ах2-\~ 1 = у2 вид ах* = (у-\) (у+\). Возможны два случая:

1) у-\=,х2; у-\- 1=в,

2) у-\=а; у+\=>х*.

Первый случай дает:

у=;х2+\1 а = х2А-2.

Второй случай дает:

у = X2 — 1, а — X2 — 2.

Об'единяя оба эти случая, получаем для уравнения ах2-\- 1 = у2 тождество

(х2±2)х2-± 1 =*(х2±\)2.

Пример: 27 х2+ 1 =у2.

Решение: (52-|-2) 52-)- 1 =(52+'1)2.

Решение: (б2 — 2). б2 + 1 = (б2 — I)2.

III. Решение Пеллева (Ферматова) уравнения, повлекшее за собою тождество

4(х2±\)х2+ \=(2х2± I)2

Дадим еще раз уравнению ах2-{-\=у2 вид

ах2 = (у-\) (у+\).

Если у число нечетное, то у — 1 и у-\- 1 числа четные с общим наибольшим делителем 2.

Помимо случаев, предусмотренных при составлении первого тождества, тут возможны еще четыре случая, из которых рассмотрим только два:

1) у-\=:2х*', ^а = у+ 1,

2) у~\ = ~а; у-\-\=2х2.

Первый случай дает:

у = 2х*-{-\; а = 4(*2-|-1).

Второй случай дает: у==2х2 — \; а = 4 (X2- 1).

Об'единяя оба эти случая, получаем для уравнения ах2-{-1=у2 тождество

4(*2±1)*24 1=(2х2±1)2. Примеры: 1. 20х2-{-1 = У*.

Решение: (22-f 1| . (2-2)2 + 1 =^(2.22-f 1)*, или

5.42+ 1 =;92.

2. 40л:2+1= у*.

Решение: 4 (З2 + 1) х2 -f 1 = у2;

(32+1) (2*)2+1=,(2*2+1)2; (32-f 1).(2-3)2 + 1 = (2-32-f I)2,

или

Ю-б2 + 1 — 192*.

3. 42л:2 + 1 =*у2.

Решение: 4 (22 — 1) х2 -f 1 = у2;

(22-1) (2лг)2-|- 1 = (2л:2 — I)2; (22 — 1 ) - (2 - 2)2 + 1 = (2 - 22 — I)2,

или

3.42-f 1 — 72. Два других случая получим, если положим

1) *М=^Н-1=2в.

2) у^\^;у-\=2а.

Они приведут к тому же тождеству, к которому привели два первых случая.

IV. Решение Пеллева (Ферматова) уравнения, повлекшее за собою тождество п2 (п2х2±2)х2+\ = (п2х2 ± 1 )2.

Рассмотрим частный случай, когда в уравнении ах2 + 1 = У2, представленном в виде

ах2=;(у-\) [y+l)t

множители правой части соответственно равны:

Решая эти уравнения относительно х и об'единяя оба случая, получаем

п2 (п2х2 ± 2)х2 -f 1 =з (л2л:2 ± 1 )2.

Этот случай дает возможность видоизменять Пеллево (Ферматово) уравнение путем упрощения его коэфициента а. Пример 306;c2-f 1 = у2. Заметив, что 306 кратно 9, можем первый член левой части представить в виде

* Пример этот взят из «Энциклопедии математики> Граве, стр. 285.

Наше уравнение примет вид 34Х2-{-1=у2 или

(б2 — 2).62 + 1 = (62 - I)2,

что подходит под первое тождество.

Так как п при любом х можно придать любое значение натурального ряда, то таких случаев упрощения коэфициента а и тем самым облегчения решения уравнения может быть бесконечно много. Это упрощение без влияния на изменение корня уравнения первоначального вида может иметь место тогда, когда сам коэфициент а не подходит под вид коэфициентов в тождествах I и II. Действительно, в уравнении 34Х2-{-\=у2 мы нашли Х = 6, откуда jt— — ; X = 2.

Это значение х обращает в тождество и первоначальное уравнение

306л:2+1 —у2,

так как оно подходит под структуру тождества III при л=;3.

Совсем другое мы замечаем тогда, когда первоначальное а, заключая в себе /г2, может быть само представлено в виде коэфициента в тождествах I и II. В таких случаях уменьшение коэфициента в п2 раз повлечет за собою и изменение числовых значений самих корней.

Пример. Уравнение 98х2 -f-1 =; у2 по тождеству I сейчас же переходит в 98.102-{- 1 =992,

т. е.

x=z 10; .у = 99.

Если же мы его представим в виде

2Х2+1=У,

где X 7X, то по тождеству же I упрощенное уравнение примет вид

(2* —2). 2*+1=^(2*—I)2,

т. е. будут новые корни

откуда

8 - 1 = ;

Скажем еще пару слов о значении уравнения ах2 —}— 1 = _v2- Процитируем для этого еще несколько строк упомянутой работы А. В. Васильева («Целое число», стр. 137):

«Он (Лагранж) скоро заметил, что решение общего неопределенного уравнения второй степени Ах2 -{- Вх • у -f- Су2 Dx -\>Еу-\~ -f-/7 = 0 сводится к решению уравнения Фермата, которое он, подобно Эйлеру, называл уравнением Пелля и которое он считал ключом решения общего уравнения («la clef de la resolution»). Приведенные слова достаточно оправдывают то внимание, которое средняя школа должна уделять рассмотренному нами уравнению. Указанные нами приемы, свободные совершенно от непрерывных дробей, с которыми средняя школа теперь не знакомится, надо полагать, окажут ей в этом деле посильную помощь.

ДИФФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОНОВ

И. ЯКОВЛЕВ (Москва)

Явление диффракции электронов имеет для современной физики большое принципиальное значение. Диффракция катодных частиц дала самое непосредственное и исторически первое экспериментальное подтверждение идей волновой механики.

Стоит вспомнить историю этого замечательного открытия.

Электроны были обнаружены впервые Круксом при опытах с прохождением тока через газы (1869 г.). Однако сам Крукс, верно угадав природу катодных лучей — поток материальных частиц, несущих элементарный отрицательный заряд, не дал вполне законченного анализа открытого им явления. Впоследствии Перрен (1895 г.), непосредственно заряжая катодными лучами электроскоп, доказал, что они несут с собой заряд отрицательного знака. Наконец, опыты Ленарда и Дж. Дж. Томсона по отклонению катодных лучей в электрических и магнитных полях не только еще раз подтвердили корпускулярную природу этих лучей, но и позволили определить отношение заряда к массе для электронов. Многочисленные эксперименты по измерению заряда электрона (классические в этой области опыты Милликена были закончены в 1910 г.) позволили найти заряд электрона и легко вычислить его массу. За указанный период облегчились также условия работы с катодным пучком благодаря открытию новых источников электронов: фотоэффект, термоионная эмиссия.

Таким образом, к 1921 г., к которому относятся первые экспериментальные данные по излагаемому вопросу, изучение катодных лучей было уже далеко продвинуто.

В 1921 г. Дэвиссон и Кэнсмэн производили следующие опыты*: в высоком вакууме однородный параллельный пучок электронов определенной скорости падал под некоторым углом на пластинку металлической фольги. Приемник отраженных электронов — так называемый фарадеевский цилиндр (металлический полый цилиндр с узким отверстием, поглощающим падающие на отверстие электроны), — вращался по мере надобности относительно нормали к кусочку изучаемой фольги, оставаясь все время в плоскости падения первичного катодного пучка (рис. 1). Фарадеевский цилиндр был соединен с чувствительным электрометром, при помощи отклонений которого можно было измерять интенсивность электронного тока отраженного катодного луча в точке расположения отверстия фарадеева цилиндра. При опытах направление и сила первичного электронного тока сохранялись неизменными, а фарадеев цилиндр передвигался, как указано на рисунке 1, и попадающий на него ток измерялся для каждого положения цилиндра.

Из постановки эксперимента видно, что смысл этих опытов заключался в исследовании пространственного распределения рассеянных фольгой электронов.

Прежде чем рассматривать, в свое время — просто странные, результаты этих опытов Дэвиссона и Кэнсмэна, упомянем, с какой первоначальной целью они были поставлены. Известно, что все начало XX в. прошло в физике под знаком самого интенсивного изучения строения материи. Одним из наиболее эффективных средств этого исследования было наблюдение рассеяния элементарных материальных частиц в силовых полях атомов. В качестве такого рода зонда для изучения строения атома Резерфордом были применены а-частицы, т. е. ядра атомов гелия, выделяющиеся при радиоактивном распаде элементов. Как раз этим методом была установлена справедливость закона Кулона до расстояний порядка 10~~13 см.

Рассмотрим, каких результатов можно было ожидать от опытов Дэвиссона и Кэнсмэна с точки зрения классической теории рассеяния. Классическая теория могла дать два предсказания:

Если бы электроны первичного пучка, попадая в электрическое поле протонов и электронов фольги, испытали многократное искривление своей траектории — многократное рассеяние, то распределение рассеянных электронов должно было бы описываться гауссовой кривой ошибок, построенной симметрично относительно наивероятнейшего направления рассеяния. Если рассеяние было однократным (электроны испытали в среднем одно искривление своей траектории в поле других зарядов), то кривая распределения рассеянных электронов могла быть иной и ближе описывать элементарный акт рассеяния, зависящий от природы рассеивающего об'екта.

Однако и в первом и во втором случае классическая теория предусматривала монотонную функцию распределения без какой-либо избирательности (селективности) в направлениях рассеяния. Интересно, что эта точка зрения была подтверждена, как раз для электронов, опытами Коварика и Мак-Кихана в 1915.

Результаты опытов Дэвиссона и Кэнсмэна оказались иными: они нашли, что в некоторых определенных направлениях получалась усиленная интенсивность тока рассеяния. Наметилась селективность (избирательность) направлений рассеяния. На рисунке 2 изображены результаты произведенных измерений. Кривые изображают значения электронного потока как функции угла рассеяния. Различные кривые соответствуют разным значениям скорости электронов в первичном пучке. На диаграмме ясно видно наличие отдельных максимумов тока рассеяния.

Дэвиссон и Кэнсмэн пытались об'яснить полученную аномалию особым строением электронной оболочки рассеивающих атомов, но

Рис. 1

Рис. 2

* Подробности экспериментов по диффракции будут даны ниже.

это об'яснение было весьма натянуто. Кроме того, пространственный сдвиг наблюдаемых диффракционных максимумов при изменении скорости в первичном пучке (этот сдвиг заметен на приведенной диаграмме, где три показанных кривых распределения относятся, как сказано выше, к трем различным скоростям) также не соответствовал ожиданиям. Этот сдвиг, правда, возможен, так как естественно, что электроны разной скорости могли подойти на разные расстояния к ядру рассеивающего атома и испытать действие ядра, экранированного разными слоями электронной оболочки. Но пространственный сдвиг максимумов тока рассеяния (обнаруженный в этих опытах) был велик для такого об'яснения. Строение электронной оболочки было достаточно хорошо изучено спектральными методами и оно не допускало такого резкого эффекта. Короче говоря, результаты описанных опытов не укладывались естественно в схему установленных теорий. Работы в этой области были продолжены, но никто не приписал принципиального значения странному результату этого тонкого эксперимента.

Возможность наблюдения диффракции электронов

Квантование энергии, возникшее из объяснения закона черного излучения Планком (1900 г.), затем (1905 г.) применено было Эйнштейном и к явлению распространения света. В 1913 г. Бор на этой основе, соответственно экспериментальным данным Резерфорда, построил и рассчитал свою планетарную модель атома. Эти полуклассические представления старой квантовой теории дали объяснение массе экспериментальных фактов, остававшихся до тех пор непонятными. В частности получили обоснование эмпирические формулы для расчета спектральных линий излучения атомов, оправдывающиеся в некоторых случаях с замечательной точностью. Однако через десять лет и теория Бора стала перед лицом целого ряда необ'ясненных ею экспериментальных фактов. Решение задачи на этот раз пришло на более глубокой принципиальной основе, чем известные квантовые условия Бора. Де-Бройль сделал ряд глубоких сопоставлений обобщенных принципов механики и волновой оптики и выдвинул некоторые общие положения атомной микромеханики. На этой основе Шредингер (1926 г.) нашел и общие принципы решения задач теории атома. В этой статье, очевидно, не место излагать принципы волновой механики, мы только воспользуемся основным постулатом теории Де-Бройля.

Из известных представлений Де-Бройля вытекает, что процессы динамики элементарных частиц должны протекать не по законам классической механики, а по законам распространения и поведения волнового импульса. Поэтому надо ожидать анологии между движением пучка материальных частиц и распространением некоторого волнового процесса. Длина волны такого процесса может быть каждый раз вычислена по формуле

(1)

где X — длина волны, h — постоянная Планка, m — масса движущейся частицы, a v — скорость движения частицы.

Де-Бройль показал также, что W — скорость распространения этих фазовых волн — может быть вычислена по формуле (2).

^=^(2),

где с — скорость света, a v — скорость частицы.

Из этого предположения Де-Бройля можно сделать некоторые выводы. Естественно поставить в эксперименте движение материальных частиц в такие условия, в которых, по Де-Бройлю, должна проявиться указанная аналогия с распространением волнового импульса. Аналогия эта должна проявиться, в частности, в движении потока электронов. Надо только установить те признаки, по которым следует искать в распространении пучка электронов предсказанного эффекта. Установить эти признаки нетрудно: волновое движение обладает такими специфическими в известных случаях особенностями, по которым его всегда можно безошибочно открыть. Это — явление диффракции и интерференции. Следовательно, надо заставить распространяться пучок электронов в условиях, в которых сопоставленная теперь с движением пучка фазовая волна дала бы достаточно резкий диффракционный эффект.

Явление диффракции наступает тогда, когда распространяющаяся волна встречает на своем пути препятствия, соизмеримые с длиной волны. Таким образом, для установления нужных условий эксперимента надо рассчитать длину бройлевской волны и подобрать соответствующую диффракционную решетку. Расчет длины волны произвести нетрудно.

Для того чтобы получить электрический заряд, движущийся с некоторой скоростью, проще всего заставить этот заряд пройти

в каком-нибудь электростатическом поле известную разность потенциалов. Тогда по формуле (3)

где е — заряд частицы, m — ее масса, V — пройденная разность потенциалов, ai; — полученная в результате скорость движения частицы, можно рассчитать скорость движения заряда. Именно таким образом задают нужную скорость электронному пучку.

Электроны обычно получаются посредством термоионной эмиссии, а затем разгоняются так называемым ускоряющим полем. Схема получения таким способом пучка электронов в опытах Дэвиссона и Кэнсмэна приведена на рисунке 3. Здесь H обозначает нить накала и Бц—питающую ее батарею. Между нитью накала и цилиндром П приложена ускоряющая разность потенциалов, создаваемая батареей Бу. Выделенные при эмиссии нагретой нити электроны увлекаются ускоряющим полем и часть из них проходит через отверстие первой диафрагмы, после чего проскочившие электроны уже равномерно движутся по инерции, так как дальше никакого поля нет. Последующие диафрагмы только обрезают пучок электронов, делая его, по возможности, параллельным, потому что, как будет видно из дальнейшего, направление пучка играет существенную роль. Вся система электронной пушки заключена в вакуум.

Нетрудно заметить аналогию между этим прибором для получения электронного луча и обыкновенной катодной лампой. Вся разница состоит в том, что в описанной электронной пушке отсутствует сетка и анод имеет отверстие, выпускающее наружу узкий электронный пучок. Кроме того, в цепь анодного напряжения (ускоряющее поле) введен потенциометр, позволяющий по произволу задавать электронам нужную скорость. Обычные радиотехнические лампы работают на раз навсегда установленном анодном напряжении.

Если подставить в формулу (1) результат вычисления скорости электрона по формуле (2) и заменить все входящие величины их численными значениями, но оставив пока ускоряющее поле неопределенным, то мы получим для длины бройлевской волны такое соотношение: Х=—^(4), где V обозначает попрежнему разность потенциалов ускоряющего поля.

Если разность потенциалов подставить в вольтах, то длина бройлевской волны получится при этом численном коэфициенте в ангстремах (10“8 см).

Результаты последовательных подстановок разных значений ускоряющего поля и соответствующие длины фазовых волн приведены в таблице 1. Надо иметь в виду, что при вычислении длин фазовых волн для электронов скоростей порядка 104 вольт в формуле (1) делается поправка следующего значения: специальный принцип относительности устанавливает зависимость массы движущейся системы от скорости ее движения. Эта зависимость выражается известным соотношением

т = —— 0 (5),

где тл—масса покоящейся системы, aß — отношение скорости частицы к скорости света. Легко видеть, что существенные поправки в определении массы движущегося тела, по сравнению с массой покоящегося тела, приходится делать тогда, когда скорость частицы приближается к скорости света, т. е. когда /3 стремится к единице. Оказывается, если рассчитать скорость

Таблица 1

Рис, 3

электрона, прошедшего разность потенциалов ускоряющего поля порядка 104 вольт, и сравнить ее со скоростью света, то эта поправка приобретает значение.

Из приведенной таблицы можно видеть, что длина фазовых волн получается для электронов порядка одного ангстрема. Следовательно, и диффракционная решетка должна также иметь постоянную порядка 10 —8 см.

Существование таких решеток установлено изучением кристаллов при помощи рентгеновских лучей. Оказывается, что кристаллическая решетка естественных кристаллов обладает постоянной порядка 2—5 ангстрем. Следовательно, в условиях распространения электронного пучка в естественном кристалле, если только представления Де-Бройля справедливы, можно ожидать диффракционных явлений.

Диффракция на объемной решетке

Прежде чем переходить к рассмотрению опытов по рассеянию электронов, рассмотрим характер диффракционных явлений на объемной решетке, каковую представляет из себя кристалл. Картина явления на об'емной решетке отлична от привычных результатов диффракции на обыкновенной оптической плоской решетке.

Кратчайшим путем выяснения особенностей диффракции на пространственной решетке будет последовательный переход от одномерной (обычной оптической) решетки к двухмерной, а затем к трехмерной структуре. Условие появления максимума света в направлении, составляющем угол я с нормалью к одномерной решетке, будет d sin а = = nt \ (6) (рис. 4), где d — постоянная решетки, Л — длина волны, а пх— целое число, называемое обычно порядком диффракционного изображения. Если воспользоваться не углом с нормалью к решетке, а углом направления наблюдения с тем направлением в плоскости решетки, вдоль которого штрихи сменяются просветами, то уравнение перепишется так: dcosa' = rt1 Х(7). Если, наконец, первичный пучок не перпендикулярен к плоскости решетки, то условие появления максимума освещенности перепишется так: d (cos а — cos а') = пх X (8), где угол а обозначает направление первичного пучка, а а'— направление наблюдения.

Двухмерную решетку можно представить как суперпозицию (наложение) двух одномерных решеток, повернутых друг относительно друга на 90°.

На рисунке 5 изображен реальный кристалл. Легко видеть сходство его атомных плоскостей с сетками, получающимися при описанном скрещивании одномерных решеток.

Вторая решетка потребует для своих светлых полос также удовлетворения уравнения d2 (cos ß — cos ß') n2 X (9), где все буквы обозначают соответственно те же величины, что и в первом случае. Диффракционная картина от двухмерной (сетчатой) решетки будет системой светлых пятнышек.

Трехмерную решетку мы можем представить в виде системы расположенных друг над другом двухмерных решеток (см. рисунок реального кристалла). Каждая сетчатая плоскость будет при этом давать светлые пятна в направлениях, определенных найденными двумя уравнениями. Надо найти условия, при которых действие сетчатых слоев будет взаимно усиливаться. Если не будет соблюдено такое условие, то излучение от соседних плоскостей в некоторых направлениях может взаимно погашаться. Это будут те точки пространства, для которых разность оптических путей излучения от двух смежных сетчатых плоскостей будет равна нечетному числу полуволн. Исходя из этого, мы должны считать дополнительным условием появления максимума интенсивности в трехмерной решетке по сравнению с двухмерной соотношение dz (cosy — cos у') = /г3Х (10), где d3— расстояние по вертикали между двумя смеж-

Рис. 4

Рис. 5

ными сетчатыми плоскостями, а у и у'—углы первичного и рассеянного луча с нормалью к плоскостям сеток.

Составляя одну систему из трех найденных уравнений

dt (cos а — cos а') = /гАХ

d2(cOS ß — COS ß') =; П2*к (11)

dz (cos y — cos y') = пз^

и вспоминая, что cos2a + cos2ß -{- cos2y = 1 (12), приходим к выводу, что при падении пучка лучей определенной длины волны на трехмерную решетку (например кристалл) мы можем ожидать максимумов интенсивности рассеянного излучения в некоторых строго определенных направлениях. Картина расположения этих пятен на экране, поставленном за просвечиваемым кристаллом, будет определенным образом отвечать свойствам решетки. Мы видим из формулы (11), что направления максимумов связаны с параметрами (dxd2d^i решетки или кристалла.

Выше было приведено не что иное, как известное решение задачи о диффракции рентгеновских лучей на кристалле, которое дал Лауе. Анализ рентгенограмм этим методом позволяет изучить расположение атомов в твердых телах.

Кроме описанной выше решетки с прозрачными и непрозрачными элементами, в оптике пользуются также отражательными решетками. Последние представляют собою зеркала с нанесенными на них штрихами. Просвет обычной решетки в этом случае эквивалентен поверхности зеркала, сохранившей свою отражательную способность. Сетчатые плоскости кристалла могут одновременно выполнять функции решеток и того и другого типа. Поэтому не обязательно наблюдение рассеянного на кристалле излучения производить за кристаллом, где в рентгенографии большей частью помещается фотографическая камера. Принципиально можно наблюдать картину диффракции, помещая регистрирующий прибор с той же стороны кристалла, откуда падает первичная волна. То или иное расположение прибора устанавливается соответственно условиям эксперимента.

Рассмотренный тип диффракционного эксперимента на об'емной решетке носит название метода Лауе. В условиях работы с электронами этот вид диффракционного эксперимента соответствует, очевидно, описанным выше опытам Дэвиссона и Кэнсмэна.

Существенная техническая разница в получении рентгенограмм и электронограмм этим методом заключается в том, что первые получаются одновременно для всех направлений рассеяния, так как плоскость фотографической пластинки может одновременно пересекать все пространственные направления. Отдельные интерференционные пучки дают на пластинке систему пятен почернения. Слабое фотографическое действие электронов в том диапазоне скоростей, в котором производились описываемые опыты, не позволяло применить фотографический метод регистрации. Как было указано выше, применялся метод электрометрический с последовательным перемещением фарадеева цилиндра. Так как этот процесс перемещения должен происходить в вакууме, в котором происходит все явление, то такой метод работы экспериментально очень сложен. Поэтому при работе с катодным пучком пользуется большим распространением другой вариант рентгенографического эксперимента, исключительно удобный при работе с электронами и не требующий устройства в вакуумной части прибора передвижных частей. Это так называемый метод Брэггов. В методе Брэггов направление первичного пучка и направление наблюдения образуют симметричные углы относительно нормали к системе сетчатых плоскостей кристалла (рис. 6). На том же рисунке схематично представлен ход лучей внутри кристалла при работе по этой схеме. Сетчатые плоскости заменены сплошными линиями. Из рассмотрения этого чертежа видно, что условие максимальной интенсивности рассеяния в направлении регистрирующего прибора будет заключаться в том,

Рис. 6

чтобы оптическая разность хода луча / и луча 2 (или любой другой пары лучей, отраженных от двух смежных сетчатых плоскостей) была равна четному числу полуволн. Математически это условие запишется уравнением 2d sxn 9 = пЛ(13), где ^—расстояние по вертикали между сетчатыми плоскостями, а <р — угол скольжения первичного и отраженного лучей. Это уравнение носит название формулы Брэггов. Она может быть получена и как частный случай условий Лауе. Метод вычисления разности хода лучей на приведенной схеме вполне аналогичен приему расчета цветов тонких пластинок в оптике видимого света.

Из формулы Брэггов видно, что при заданном расположении источника и регистрирующего прибора только дискретный набор длин волн даст в направлении наблюдения максимум интенсивности.

Рассмотрим еще один случай диффракции на кристаллах, носящий название метода Дебая-Шерера.

До сих пор мы рассматривали рассеяние на кристаллах, которые при расчете заменялись нами системой правильно расположенных сетчатых плоскостей. Такой метод соответствует рассмотрению правильных кристаллов, называемых монокристаллами. Реально существует целый ряд кристаллов, построенных из хаотичного собрания микрокристалликов. Такое строение имеют, например, металлические кристаллы, если при их приготовлении не были обеспечены соответствующие условия для правильного формирования большого кристалла. К такому же виду может быть и искусственно приведен монокристалл, если произвести размельчение его в порошок. Такого рода кристаллические системы носят название поликристаллов. Строение поликристаллов характеризуется полной хаотичностью ориентировок сетчатых плоскостей. При падении на такую систему монохроматического излучения падающий луч встречает на своем пути самым различным образом ориентированные отражающие плоскости. При этом некоторые кристаллики будут ориентированы так, что их сетчатые плоскости будут удовлетворять условию Брэггов (рис. 7). От таких плоскостей мы получим интенсивное отражение и, соответственно, пятно на фотографической пластинке. Но, благодаря указанной полной беспорядочности в ориентировке кристалликов, мы будем иметь в среднем полную симметрию ориентировок каждого типа сетчатых плоскостей относительно направления падающего первичного луча. В результате мы от данной системы сетчатых плоскостей получим не одно направление правильного отражения, а целый конус таких направлений. Осью конуса будет служить направление первичного луча. Соответственно, на фотографической пластинке пересечение конуса с плоскостью пластинки даст кольцо. Другие системы плоскостей дадут свое расположение колец. В разделе о диффракции быстрых электронов для сравнения приводятся рентгенограммы, полученные по методу Дебая-Шерера.

Результаты опытов по диффракции медленных электронов

Располагая теперь необходимым материалом для истолкования диффракционных явлений на объемной решетке, обратимся к основным опытам Дэвиссона и Джермера (1927 г.).

Принципиальная схема их опытов дана на рисунке 8. Использованный авторами прибор показан на рисунке 9.

Рис. 7

Рис 8. Схема опыта Дэвиссона и Джермера (метод Лауэ). Ф — угол отклонения лучей.

Рис. 9. Поперечный разрез прибора Дэвиссона и Джермера (1927) (около 0,6 натуральной величины). Без стеклянной оболочки.

Электронная пушка и фарадеев приемник устроены вышеописанным образом. В электрическую схему эксперимента, приведенную на рисунке 3, внесено следующее изменение: посредством дополнительной батареи на фарадеев цилиндр во время измерений можно было накладывать отрицательный потенциал, близкий к значению ускоряющего поля. Поэтому фарадеевского цилиндра достигали только те электроны, которые при рассеянии сохранили свою начальную кинетическую энергию, т. е. так называемые упруго-отраженные электроны. Это делается в подобных опытах для того, чтобы исключить из рассмотрения процессы энергетического взаимодействия электронов с кристаллом. Процессы эти сложны, и присутствие в токе на приемник неупруго отраженных кристаллом электронов могло бы в значительной степени затемнить наблюдаемое явление.

Для того чтобы в дальнейшем быть в курсе техники экспериментов этого типа, приводим следующие данные: сила первичного электронного тока обычно бывает порядка 10 —7 ампер. Ток рассеяния на фарадеев цилиндр — порядка 10-11 ампер. Необходимый вакуум для того, чтобы рассеяние электронов на газовых молекулах и ионизация газа не вносили искажений в наблюдаемое явление, должен быть порядка 10 — в мм давления ртутного столба.

Дэвиссон и Джермер в качестве рассеивающего об'екта использовали монокристалл никеля.

Экспериментальная постановка задачи и ожидаемые результаты ясны из всего изложенного. Перейдем к фактическим результатам этих опытов.

В соответствии с предсказаниями волновой механики рассеяние электронов на об'екте определенного геометрического строения дало резкую диффракционную картину.

Это — принципиальный результат опытов Дэвиссона и Джермера.

Можно было бы привести кривые пространственного распределения рассеянных электронов, как это было сделано для ранних (в свое время «аномальных») опытов Дэвиссона и Кэнсмэна, но мы проиллюстрируем полученные данные еще более наглядным образом. Рисунок 10 показывает результат движения фарадеева цилиндра в сравнительно небольшом диапазоне углов. Кривые показывают интенсивность тока рассеяния на приемник.

Все рисунки соответствуют одному и тому же угловому интервалу, но разным скоростям электронов первичного пучка и, следовательно, разным длинам бройлевских волн. Рассматривая приведенный ряд рисунков сверху вниз, мы отчетливо видим, как монотонная сначала кривая (верхний рисунок) по мере изменения скорости электронов начинает приобретать резко выраженный максимум. Диффрак-

Рис. 10. Резкое увеличение числа селективно-отраженных электронов, когда при вариации скорости удовлетворяется условие отражения. Отражение от плоскости (311) Ni.

ционный эффект достигает своей кульминации при начальной скорости электронов 54 вольта или длине бройлевской волны 1,67 А. При дальнейшем увеличении скорости электронов кривые постепенно возвращаются к прежней расплывчатой форме. Можно заметить, что постепенное изменение скорости электронов соответствует как бы подбору бройлевской волны, удовлетворяющей при данном расположении приборов условию максимальной интенсивности тока рассеяния в избранном направлении. Таков качественный результат этих опытов.

По поводу количественного совпадения результатов расчета с результатами эксперимента можно сказать следующее: диффракционная картина, наблюдаемая на никеле, легко укладывается в схему решения волновой диффракционной задачи. Однако, если попытаться из полученной электронограммы вычислить постоянную решетки (использовав для длины волны соотношение Де-Бройля), то мы получим расхождение с данными рентгенографии. Постоянные решетки, определенные из этих данных, на 30% расходятся с результатами рентгеновского анализа. Это очень серьезное расхождение заслуживает дополнительного анализа. После рассмотрения второй серии опытов Дэвиссона и Джермера мы вернемся к этому вопросу.

Вторая серия опытов Дэвиссона и Джермера была проведена по способу Брэггов. Как было описано выше (см. также рис. 11), электронная пушка и фарадеев приемник должны в этом случае располагаться симметрично относительно нормали к сколу монокристалла. В каждой серии опытов направление первичного пучка электронов (а в силу требования симметрии и фарадеева приемника) остается неизменным. Постепенно, например через 1 вольт, изменяется ускоряющий потенциал в пушке. Для каждого значения ускоряющего потенциала производится измерение тока рассеяния на приемник. Всякий раз, когда длина бройлевской волны удовлетворяет условию Брэггов, мы должны ожидать усиления тока рассеяния на приемник.

Заметим, что этот метод последовательного изменения скорости электронов в брэгговском расположении не имеет в себе полного аналога в рентгенографии, где обычно пользуются или отрезком сплошного спектра (целым набором длин волн) или монохроматическим излучением, т. е. одной спектральной линией. Это вызвано тем, что экспериментально легко изменять скорость электронов, сохраняя ее в то же время одинаковой во всем пучке, но в рентгенографии трудно переходить от одной спектральной линии к другой.

Результаты опытов по методу Брэггов целиком оправдывают предсказания теории. Действительно, дискретный набор электронных скоростей (соответственно, дискретный набор бройлевских волн) дает максимумы тока рассеяния. Типичная для этих экспериментов кривая приведена на рисунке 12.

По оси абсцисс отложена величина, обратная длине волн; по оси ординат отложена в произвольных единицах интенсивность тока на приемник, при постоянном значении первичного тока. Максимумы расположены на общем спадающем фоне. Это общее спадание можно об'яснить тем, что среди электронов

Рис. 11. Схема опыта по методу Брэгга от монокристалла никеля (по Дэвиссону и Джермеру). Расстояние между плоскостями решетки:

а = 2,03 А, Ь = 2,15А.

Рис. 12. Результат измерений Дэвиссона и Джермера по способу Брэгга. Интенсивность регулярно отраженных электронных лучей нанесена в зависимости от обратных длин волн. Угол падения 10°. Вертикальные стрелки дают теоретически ожидаемые положения максимумов в случае р. = 1.

больших скоростей присутствует меньше электронов, сохранивших свою начальную кинетическую энергию при рассеянии в кристалле. Значение поставленных около максимумов стрелок будет пояснено ниже.

После приведенных результатов первоначальных опытов по диффракции медленных электронов обратимся к выяснению особенностей этих явлений. Нам придется говорить о рассеянии катодного пучка в кристаллах. Есть основания прежде вспомнить картину рассеяния электромагнитных волн в таких же средах. Дело в том, что мы уже полностью пользовались в расчетном отношении аппаратом рентгенографии — соотношения Лауе, формула Брэггов. Некоторые сопоставления диффракции электронов с кристаллооптикой рентгеновских лучей будут способствовать выяснению картины явлений.

Механизм рассеяния электромагнитных волн можно схематично представить так: электрическое поле первичной волны, распространяясь в среде, приводит в движение те электрические заряды, из которых построены атомы среды. Ускорения, сообщаемые зарядам электрическим вектором падающей волны, будут пропорциональны величине этих зарядов и обратно-пропорциональны массе частиц, несущих заряды. Таким образом, наибольшее ускорение под действием поля получат электроны и наименее тяжелые ядра. Можно сказать, что практически ядра останутся неподвижными, а дисперсионные электроны среды под действием падающей волны придут в состояние вынужденных колебаний.

Согласно классической электродинамике, ускоренно движущиеся заряды начинают излучать волны с тем же периодом, с которым колеблется сам заряд (в нашем случае — с периодом первичной волны), и с амплитудой, пропорциональной величине механического ускорения заряда. Таким образом, каждый атом среды под действием внешнего поля превратится в центр нового излучения сферических электромагнитных волн. Поэтому можно сказать, что явление распространения электромагнитной волны в среде заключается в приведении в состояние вынужденных колебаний тех элементарных осцилляторов, из которых построена среда. Надо только иметь в виду, что первичная волна сможет «непосредственно» возбудить колебания только осцилляторов поверхностных слоев среды, а в толще среды поля первичной волны уже существовать не будет. В глубь среды будет распространяться уже только излучение осцилляторов вышележащих слоев. Дальнейший процесс распространения электромагнитного поля будет заключаться в суммировании излучения отдельных центров, колеблющихся под действием поля, образованного внутри среды излучением таких же точно центров. Суммарное поле будет распространяться внутри среды с некоторой скоростью, вообще говоря, отличной от скорости света и определяемой пространственным расположением излучающих центров. Роль первичной волны сводится, таким образом, к подведению энергии для поддержания описанного колебательного состояния и к заданию определенной частоты дисперсионным электронам среды.

С этой точки зрения надо было и нам рассмотреть задачу о диффракции электромагнитных волн в кристалле. Надо было подсчитать поле, созданное правильным (в случае кристалла) расположением элементарных осцилляторов, приведенных в состояние колебаний. Так именно и поступают в строгой теории. Для упрощения расчета мы заменили это решение рассмотрением системы двухмерных решеток, по своему строению сходных с сетчатыми плоскостями кристалла. Однако в толковании явлений мы будем исходить из изложенной сейчас схемы процесса.

Рентгенографическая картина должна рассматриваться как результат сложения сферических волн, излучаемых расположенными в просвечиваемой среде осцилляторами, возбужденными падающей извне первичной волной. Выше было сказано, что в состояние интенсивных колебаний придут вследствие малой массы только электроны среды, поэтому и рентгенограмма будет отражать расположение и концентрацию электронов в кристалле. Измерение интенсивности отдельных диффракционных пучков позволяет вычислить распределение электронной плотности в кристалле.

Схематизируя картину явления, можно сказать, что это рассеяние рентгеновских лучей определяется распределением электронной плотности. Эта формулировка нам нужна для сопоставления результатов рентгенографии с результатами электронографии и для выяснения характерных особенностей описываемого явления.

Обращаясь теперь к рассеянию электронов, мы видим как будто полное совпадение полученной картины с явлениями диффракции рентгеновских лучей. Поэтому естественно поставить вопрос, имеем ли мы и в этом случае только что рассмотренный механизм явления?

На этот вопрос надо ответить отрицательно. Диффракция электронов есть явление, связанное с движением зарядов в электроста-

тическом поле. Оно заключается в селективном рассеянии потока зарядов, встречающего на своем пути среду с неоднородным электростатическим потенциалом.

Соответственно, эксперименты по рассеянию электронов устанавливают законы распределения рассеянных зарядов (а не электромагнитных волн).

Опыт показывает, что указанные процессы рассеяния подчиняются не законам классической механики и электродинамики, а законам механики волновой. Подтверждение законов волновой механики существенно потому, что эти законы не есть только удачный аналитический прием описания подобных процессов, но они вытекают из принципиально нового понимания физических явлений.

Убеждение в правильности точки зрения волновой механики указывает, что решение задачи о рассеянии электронов надо искать в законах распространения фазовых волн. Идя таким путем, мы легко увидим отличие законов распространения этих волн от оптики электромагнитного излучения*.

Но прежде чем это делать, подчеркнем интерпретацию представлений волновой механики.

Не следует считать, что явление селективного рассеяния есть следствие какого-то нового взаимодействия рассеивающихся частиц, т. е. нельзя считать, что только вся совокупность электронного пучка может дать наблюдаемый нами эффект. Выпуская на кристалл по очереди все электроны, давшие нам картину диффракции, мы в более продолжительный промежуток времени получили бы ту же самую картину, которую давал весь пучок в целом. Конечно, это не значит, что каждый электрон будет участвовать в построении всех элементов диффракционной кривой. Можно только сказать, что большая часть выпускаемых по очереди электронов будет попадать в те точки пространства, в которых мы наблюдали диффракционные максимумы при одновременном действии всех электронов. В этом заключается статистическая интерпретация расчетов волновой механики.

Рассмотрим распространение фазовых волн в кристалле. Длина фазовой волны, выраженная через величину разности потенциалов, пройденной электроном, запишется так:

(14)

После каждого атома среды (или иона, из которых может быть построена кристаллическая решетка) — это поле неоднородное. Потенциал достигает наибольшего значения вблизи ядра атома. Около ядра особенно велики неоднородности потенциала. Кристалл мы рассматриваем как совокупность правильно размещенных в пространстве атомов, и поле внутри кристалла есть результат наложения полей отдельных, составляющих кристалл, атомов. Это будет сильно неоднородное, но пространственно периодическое поле, так как сама структура кристалла периодична.

Отсюда следует, что движение электрона в решетке кристалла будет происходить с иной скоростью, чем движение того же электрона в вакууме при выходе его из электронной пушки. Согласно формуле (14) и длина бройлевской волны будет теперь иная:

(15)

где Ф есть функция трех координат.

Сопоставляя отношение длин волн в вакууме и в среде, мы придем формально к выражению для показателя преломления, как он определяется в оптике:

(16)

Полученное выражение позволяет сказать, что неоднородное электростатическое поле представляет для фазовых волн среду с переменным показателем преломления. Если мы раньше замечали, что рассеяние рентгеновских лучей происходит на неоднородностях электронной плотности, то теперь мы можем сказать, что рассеяние фазовых волн происходит на неоднородностях потенциала. Это обстоятельство определяет характер электронной диффракции.

Неоднородности электрического поля достигают максимума вблизи ядер. Поэтому рассеяние электронов интенсивнее всего происходит на ядрах. Как показывают опыты, электронная оболочка оказывает мало влияния на рассеяние ß-частиц. Отсюда вытекает, что электронная диффракция может быть использована для изучения расположения ядер в молекулах. Это обстоятельство нашло свое

* Приведенное противопоставление диффракции электромагнитных волн и диффракции электронов как будто исключает всякую возможность общего взгляда на оба процесса. Такая постановка вопроса есть следствие рассмотрения диффракции электронов как примера явления, не укладывающегося в рамки классической теории. Последовательнее, конечно, рассматривать оба вида диффракции как проявление волновых свойств фотонов и электронов. Но и тогда, очевидно, нельзя смешивать электромагнитные волны с фазовыми.

специальное применение и подробнее о нем будет сказано ниже.

Электроны обладают сравнительно с рентгеновскими лучами очень малой проникающей способностью при малых скоростях движения. Они (например при скоростях, использованных в опытах Дэвиссона и Джермера) могут проникать только на несколько атомных слоев в глубь кристалла. Но сильное по сравнению с рентгеновскими лучами взаимодействие их с материей обеспечивает достаточную интенсивность рассеяния. Это свойство электронов также нашло свое применение для изучения поверхностных слоев вещества. Применение этого метода будет описано также ниже.

Воспользуемся теперь формально введенным понятием коэфициента преломления для более подробного исследования результатов опытов Дэвиссона и Джермера. Обратимся к количественной стороне этих опытов.

Первая серия опытов, как было сказано выше, дала в постоянных решетки, определенных по диффракционной картине для электронов, 30-процентное расхождение с данными рентгенографии. Во второй серии опытов вопрос о совпадении расчета и эксперимента был перенесен в другую плоскость. Дэвиссон и Джермер исследовали вопрос о том, получаются ли экспериментально диффракционные максимумы для тех длин волн, для которых они должны иметь место из соотношения Брэггов. При этом постоянные решетки использовались из рентгенограмм никеля.

На рисунке 12 около вершин экспериментально найденных максимумов стрелками показано ожидаемое по формуле Брэггов расположение диффракционных максимумов. Достаточно сильное несовпадение этих данных заметно на-глаз.

Для истолкования этого результата обратимся к введенному понятию преломления бройлевских волн. Согласно формуле (15) внутри кристалла будет другая длина фазовой волны, по сравнению с той, которая соответствовала движению пучка электронов в вакууме. Для расчета изменения длины волны в кристалле рассмотрим упрощенную электростатическую модель металла.

Можно отказаться от пространственной периодичности потенциального поля внутри металла и приписать всему кристаллу одно постоянное значение внутреннего потенциала. Это значение потенциала должно быть обязательно положительным. Последнее заключение следует из того экспериментально известного факта, что электроны металла (те, которые в нем содержатся вне условий экспериментов по рассеянию) не покидают металл самопроизвольно, а что, наоборот, для наблюдения электронной эмиссии надо металл нагреть, подвергнуть освещению светом с энергией кванта не ниже определенного значения или каким-нибудь другим способом произвести так называемую работу выхода. При отрицательном среднем значении потенциала электроны, будучи зарядами отрицательного знака, могли бы самопроизвольно покидать металл.

Приписывание металлу одного значения потенциала позволяет легко вычислить поправку к длине фазовой волны. Приходится просто считать, что внутри металла существует отличное от вакуума значение длины волны. Математически задача решается по формулам (14) и (16).

Мы видим, что при таком предположении о постоянном положительном значении потенциала внутри металла кристалл будет, в оптических терминах, представлять из себя для фазовых волн среду более плотную, чем вакуум. Это утверждение может показаться противоречащим тому факту, что электрон в металле будет двигаться быстрее, чем в вакууме. Но, обращаясь к формуле (2), мы видим, что скорость распространения фазовых волн в металле действительно будет меньше, чем в вакууме.

Полученное соотношение для показателя преломления можно алгебраически (применительно ко второй серии опытов Дэвиссона и Джермера) переписать в двух видах.

Во-первых, можно вычислить исправленные на наличие потенциала металла (так называемого внутреннего потенциала) значения вольтажа ускоряющего поля, при которых можно ожидать появления максимумов тока рассеяния.

(17)

Эти результаты уже можно сравнить с экспериментально полученными.

Во-вторых, можно из разности между фактическим расположением диффракционных максимумов на вольтовой шкале ускоряющего поля и вычисленным их расположением по неисправленной формуле Брэггов определить значение внутреннего потенциала металла:

(18)

Первая возможность фактически отсутствует потому, что нам неизвестно значение внутреннего потенциала. Вторая очень инте-

ресная возможность — из данных диффракции электронов определять внутренний потенциал металла — представляет большие трудности. Легко видеть, в чем они заключаются. Уравнение для определения внутреннего потенциала (18) есть уравнение с двумя неизвестными. Кроме внутреннего потенциала, в нем неизвестен также порядок диффракционного отражения. Другими словами, при анализе экспериментальных данных мы располагаем такими данными: таблицей значений ускоряющего поля, при которых мы фактически наблюдали максимумы диффракции, и таблицей значений ускоряющего поля, при которых (по формулам Де-Бройля и Брэггов) можно ожидать появления этих максимумов. Если бы можно было безошибочно указать, какому теоретически ожидаемому результату соответствует тот или иной экспериментальный результат, то каждая такая пара значений давала бы в виде своей разности одно значение внутреннего потенциала. Но у нас нет никакого совершенно точного указания, как проводить такое сопоставление. Конечно, нельзя произвольно связывать любые два теоретических и экспериментальных значения вольтажей ускоряющего поля, при которых наблюдаются и могут наблюдаться максимумы. В общем случае можно только сдвигать в целом относительно друг друга эти две таблицы. При таких сдвигах приходится руководствоваться целым рядом соображений, как, например: порядком величины получающегося внутреннего потенциала, соотношением между его значениями, находимыми из отдельных сопоставляемых пар теоретических и экспериментальных значений и т. п. На таблице 2 приведен пример такого сопоставления для случая расшифровки результатов диффракции электронов на монокристальном графите. Таблица дает правдоподобное сопоставление. Однако это сопоставление не вполне однозначно, так как левый столбец таблицы экспериментальных значений ограничен измеренными результатами. В правом же столбце можно еще продолжить расчет теоретически возможных точек расположения максимумов и после этого сдвинуть друг относительно друга эти два столбца чисел.

Опыты Дэвиссона и Джермера удается, таким образом, расшифровать при значении внутреннего потенциала никеля 16 вольт.

Укажем еще на одно обстоятельство, связанное с введением понятия преломления бройлевских волн и с тем, что в этих терминах металл оказывается средой, оптически более плотной. С этой точки зрения можно в известных случаях ожидать невозможности для электронного пучка, проникшего в металл, покинуть опять толщу кристалла. Это будет соответствовать в оптике явлению полного внутреннего отражения. В наших расчетах это должно иметь место при условии

Экспериментально такие явления также устанавливаются.

В заключение заметим, что если бы не существовало указанного эффекта сдвига диффракционных максимумов, то явление в значительной степени потеряло бы интерес, так как результаты электронографии свелись бы к очень сложному способу нахождения параметров кристаллических решеток.

Применение медленных электронов к анализу поверхностей

Как было указано выше, электроны малой скорости обладают малой проникающей способностью, и наблюдаемые диффракционные картины соответствуют рассеянию в поверхностных слоях. Исследование этих слоев благодаря большой проникающей способности рентгеновских лучей невозможно методами рентгенографии. Между тем, ряд явлений связан именно с изменениями поверхности среды. К этим явлениям относится, в частности, газовая адсорбция. Поверхностные слои металла могут быть в известной степени заполнены газом. Применение электронографии к исследованию этих вопросов послужило темой специальных исследований. Мы не будем останавливаться на этих специальных работах, а только укажем, какую роль играл этот анализ поверхности в опытах Дэвиссона и Джермера, а впоследствии и в других экспериментах, поставленных с иными целями.

Диффракционные кривые в опытах Дэвиссона и Джермера не получались непосредственно после постановки кристалла в прибор.

Таблица 2

Первые полученные кривые не давали диффракционных максимумов, но имели размытый характер. Только после продолжительного прогревания в вакууме получалась приводимая на рисунках картина. Прогревание освобождало поверхность кристалла от каким-то образом вкрапленных в решетку металла атомов газа. Такие же результаты наблюдались и при других экспериментах. Прогретый кристалл на некоторое время и после окончания прогревания сохранял способность давать чистую диффракционную картину. Затем адсорбция газа вновь приводила кривые рассеяния к размытому виду. Надо заметить, что присутствие газа может не только способствовать смазыванию истинной диффракционной картины, созданной решеткой металла, но и создавать дополнительные максимумы. Последнее обстоятельство особенно осложняет ход экспериментов и описанный выше способ индицирования максимумов в целях определения внутреннего потенциала.

Диффракция быстрых электронов

Методика работы с быстрыми электронами скорости порядка десятков киловольт значительно отличается от описанных способов наблюдения диффракции электронов, ускоренных полем в несколько десятков вольт. Аналогия с рентгенографией в постановке эксперимента гораздо больше, чем в случае медленных электронов. Возможно полное использование фотографической регистрации диффракционной картины. Электроны больших скоростей производят сильное действие на эмульсию пластинок. Это обстоятельство облегчает технику работы. Для исследования поликристаллических об'ектов удобно применение вышеописанного метода Дебая и Шерера. На пластинке, расположенной за просвечиваемым объектом, сразу фиксируется вся картина распределения рассеянных электронов.

Исследованию таким методом подвергаются тонкие пленки металлов. Толщина пленок ограничена сильным поглощением электронов и тем, что при прохождении через толстый слой электроны могут испытать многократное рассеяние, которое приведет к смазыванию диффракционного эффекта. Первыми работами в этой области были исследования тонких пленок Томсоном. Пленки имели толщину порядка 10 ~6 и 10 -~7 мм. Получение таких пленок сопряжено с известными трудностями. Они получаются или путем испарения на сверхтонкие подкладки (например целлулоид) или путем испарения на растворимые впоследствии объекты.

На рисунке 13 приведен результат просвечивания серебряной фольги электронами. Другой рисунок показывает результат рентгенограммы от такой пленки. Наглядно видно сходство картин. Следует только отметить, что они получены для разных длин волн — бройлевской и электромагнитной. Фотографическое действие катодных лучей большой скорости настолько велико, что экспозиция при получении фотографии занимает всего десятые доли секунды. Продолжительность экспозиции при получении рентгеновских снимков, как известно, значительно больше.

Облегченные условия работы с быстрым катодным пучком привели к широкому распространению электронографии для прикладных целей. Мы остановимся на следующей особенности диффракции быстрых электронов. Как видно из формулы (16), величина показателя преломления для бройлевских волн,

Рис. 13а. Снимок диффракции электронов от серебряной фольги волокнистого строения.

Рис. 13b. Снимок диффракции рентгеновских лучей от серебряной фольги.

по мере увеличения скорости электронов, стремится к единице. Таким образом, фазовые волны в этом случае в значительной степени теряют способность преломляться. Малым значением коэфициента преломления обладают также и рентгеновские лучи; поэтому оптика быстрых электронов сходна с оптикой рентгеновских лучей. Общая картина диффракции быстрых электронов будет проще, чем для медленных электронов, и она будет свободна от второстепенных эффектов. Это обстоятельство заставляет пред'явить к диффракции быстрых электронов и некоторые специальные требования.

Речь идет о проверке соотношения Де-Бройля. Мы неоднократно указывали, что диффракционный эффект сам по себе и расшифровка опытов Дэвиссона и Джермера целиком оправдывают расчеты волновой механики. Тем не менее, еще один вопрос может быть поставлен.

Действительно, при дискуссии результатов, полученных по методу Лауе, мы констатировали 30-процентное несовпадение результатов эксперимента с предсказанием теории. При анализе опытов, сделанных по методу Брэггов, мы сразу перенесли этот вопрос в область поправок к длинам бройлевских волн. Но мы не ставили прямо вопроса о количественной проверке основного соотношения. Может быть, некоторые отклонения расчета от эксперимента вызваны каким-нибудь недочетом в количественном выражении основной идеи. Теперь, зная в общих чертах механизм явления, мы можем поставить вопрос о постановке диффракционного эксперимента в таких условиях, в которых можно было бы осветить и эту сторону дела. Такой постановке эксперимента по вышеуказанным причинам соответствует диффракция быстрых электронов.

Опыты Томсона и Понта в этой области, произведенные в широком интервале значений ускоряющего поля, достигавшего многих десятков киловольт, полностью подтвердили правильность основного соотношения волновой механики. Было обнаружено расхождение только в десятых долях процента. При этих опытах приходилось, конечно, учитывать поправку на массу движущихся электронов, так как скорости движения электронов достигали весьма значительных размеров. Ниже приведена таблица вычисления постоянных решетки разных металлических кристаллов. Постоянные эти определены методами быстрых электронов и рентгенографией. Видно прекрасное совпадение результатов. Следует добавить, что если при диффракции медленных электронов не вставал вопрос о подлинности картины рассеяния электронов, то и при работе с быстрыми электронами фотографическим методом всегда можно предполагать, что в диффракционной трубке возбуждается рентгеновское излучение и оно-то и дает диффракционную картину. В этом направлении были произведены специальные опыты, основанные на том, что электроны катодного пучка должны отклоняться в магнитном поле под действием лорентцовой силы. Оказалось, что действительно в диффракционную картину магнитное поле вносило искажение, полностью предусмотренное теорией. Наконец, высказанное подозрение неправдоподобно еще и потому, что длина рентгеновского излучения определенным образом связана со скоростью падающих на антикатод электронов. Эта длина волны возможного рентгеновского излучения не соответствует той длине волны, которая получается из расшифровки электронограмм. Последняя, наоборот, как было сказано выше, дает хорошее совпадение с расчетом по Де-Бройлю.

В заключение, прежде чем переходить еще к одному виду электронной диффракции, упомянем, что можно наблюдать это явление и на оптической решетке.

Таблица 3

Металл

Ребра куба в А из

рентген, данных

электрон, диффракции

Алюминий . .

Золото .......

Платина.......

Свинец .......

Железо........

4,06 4,18 3,99 3,89 4,99 2,85

4,05

4,06

3,91 4,92 2,87

Надо сказать, что длина волны рентгеновских лучей долгое время оставалась не вполне определенной, так как постоянные кристаллических решеток, из которых по диффракционной картине легко найти длину волны рассеянного излучения, поддаются измерению именно при помощи рентгеновских лучей. Для определения длины волны рентгеновских лучей приходилось рассчитывать постоянные кристаллических решеток из плотности вещества предполагаемого его строения и числа Авогадро, определяющего число центров в грамматоме. Только после наблюдения диффракции на штрихованной решетке окончательно фиксировалась длина волны.

Эта трудность в электронографии отпала, так как используемые в качестве решеток кристаллы были уже хорошо изучены, но интерес к самому явлению, конечно, сохранялся. Трудность такого рода эксперимента заключается, как это следует из основных положений теории диффракции, в большом значении постоянной оптической решетки по сравнению с длиной диффрагирующей волны. Выход из этого положения находится путем рассматривания диффракции при скользящем по отношению к решетке падении первичного пучка. Тогда эффективная постоянная решетка оказывается достаточно малой, чтобы можно было наблюдать спектры первого порядка. Этот случай диффракции также был наблюдаем для быстрых электронов.

Изучение строения молекул по данным диффракции электронов

Вероятность того или иного строения молекул устанавливается по многочисленным физическим и химическим данным. Однако все эти данные определяют строение молекул по всевозможным косвенным соображениям. Такой вопрос, как пространственное расположение атомов в молекулах, наиболее непосредственно может быть, повидимому, решен исследованием диффракционных эффектов на молекулах. Можно рассматривать результаты рассеяния рентгеновских лучей или электронов. Надо при этом иметь в виду, что при исследовании результатов рассеяния на твердом теле мы не получаем непосредственных результатов, обусловленных отдельными молекулами, а наблюдаем картину рассеяния на всем кристалле в целом. Наблюдать картину рассеяния от отдельных молекул можно в том случае, когда молекулы независимы друг от друга. Взаимодействием молекул можно пренебречь и когда вещество находится в газообразном состоянии.

Не вполне очевидно только, что совершенно хаотичное множество молекул в газе может дать какую-то упорядоченность в диффракционной картине, по которой можно было бы судить о строении молекул. Однако, как теоретически показал Дебай, характерные расстояния между атомами в молекулах все-таки должны обусловить направленное рассеяние.

Электроны, как было указано выше, рассеиваются, главным образом, ядрами атомов, а так как мы ставим задачу о расположении атомов в молекулах, то рассеяние электронов должно быть наиболее подходящим для решения вопроса средством. Картина рассеяния рентгеновских лучей определится, главным образом, электронами и не даст сведений о расположении центров атомов. Кроме того, такого рода эксперимент с электронами гораздо легче технически осуществим, чем получение рентгенограммы газа, потому что рассеяние электронов происходит несравненно сильнее, чем рассеяние рентгеновских лучей. Для получения рентгенограммы от рассеивающего об'екта такой малой плотности требуется очень продолжительная экспозиция.

Принципиальная схема опытов такого рода следующая: тонкий однородный катодный пучок скоростью около 40 киловольт пересекает тонкий молекулярный пучок исследуемого вещества. Интерференционная картина, даваемая электронами, рассеянными внутри молекул, фиксируется фотографической пластинкой, помещенной перпендикулярно к электронному пучку.

Схема прибора представлена на рисунке 14. Расположенный снизу сосуд содержит запас исследуемого вещества. Сосуд соединена с узким соплом, выпускающим по мере надобности тонкий молекулярный пучок. Трубка, расположенная в верхней части прибора, служит для откачки всего устройства. Электронный пучок, получаемый разрядом в непоказанной на рисунке трубке, пропускается в прибор через узкую кварцевую трубку (на схеме она расположена горизонтально). Эта трубка соответствует отверстию в аноде той разрядной трубки, в которой получается ка-

Рис. 14. Приспособление для исследования диффракции электронов от струи паров.

тодный пучок. Для того чтобы исследуемый газ не распространился по всей трубке и не испортил вакуума, непрерывно производится интенсивная откачка. В случае изучения паров они вымораживаются путем охлаждения стенок прибора жидким воздухом.

Результаты наблюдений обрабатываются отличным способом от того, который применяется при расшифровке электронограмм от кристалла.

Обычно для определения схемы строения исследуемого диффракционным методом вещества анализируется геометрическое расположение пятен, вызванных интерференционными пучками на фотографической пластинке. Резкость картины делает вполне достаточным такое рассмотрение для определения строения кристалла. Только исследование подробностей строения (распределение электронной плотности в кристаллах) требует детального промера интенсивностей диффракционных пучков. В рентгенографии промеры эти осуществляются при особых экспериментах измерениями с ионизационной камерой.

Расплывчатость электронограмм при диффракции на молекулах не позволяет ограничиться рассмотрением одного только геометрического расположения пятен почернения на фотографической пластинке. Производится детальный фотометрический промер распределения интенсивностей. Теория Дебая дает общее аналитическое выражение распределения интенсивностей для случая рассеяния на молекулах. В данных им соотношениях остаются неопределенными некоторые параметры, соответствующие специально геометрическим особенностям строения отдельной молекулы. Определение строения молекулы заключается в том, чтобы соответствующим подбором свободных параметров в формуле Дебая найти теоретическую кривую распределения интенсивностей рассеянного излучения, максимально схожую с результатом фотометрирования электронограммы. Этот метод достаточно кропотлив, но подбор нужных параметров производится каждый раз, конечно — не случайно. Возможность того или иного расположения атомов в молекуле может быть заранее оценена и приходится только испытывать модель, уточняя ее детали.

Рисунок 15 дает пример электронограммы такого типа. Этот метод был применен Бирлем и Марком. Авторы исследовали большое количество веществ и получили интересные результаты о пространственном расположении атомов в молекулах. Так, они установили гантелеобразный характер молекулы Вг2. Они нашли, что молекулы СС14 образуют тетраедр. Все линейные размеры молекул, найденные этим способом, хорошо согласуются со спектральными данными.

Самый интересный результат этого метода относится к анализу структуры молекул органических соединений.

В органической химии особенно распространено пользование структурными формулами для изображения различных соединений. Эти формулы делают более наглядным представление о характере соединения и его свойства. Структурные формулы также облегчают систематизацию соединений. Междуатомные связи изображаются на структурных формулах черточками, причем имеют специальное значение и углы между направлениями линий связи.

Диффракция электронов дала непосредственное подтверждение реальности структурных формул. Можно было предполагать, что структурные формулы представляют только некоторый метод аналитического описания химического соединения. Оказывается, что пространственное расположение атомов в молекуле действительно соответствует модели молекулы, даваемой структурной формулой. Заслуживает внимания, при каких обстоятельствах получил окончательное решение вопрос о структурных формулах.

Литература но диффракции электронов

Тартаковский —«Экспериментальные доказательства волновой теории материи». ГТТИ, 1932.

Марк и Вирль — «Диффракция электронов» (пер. с немецкого). ГТТИ, 1933.

Лашкарев — «Диффракция электронов». ГТТИ, 1933.

Указанные монографии содержат полные библиографические указатели оригинальных работ к моменту своего выхода из печати.

Рис. 15. 32 — kV— электроны, рассеянные от молекулярного пучка СС14.

ПОЛНОЕ СОЛНЕЧНОЕ ЗАТМЕНИЕ 19 ИЮНЯ 1936 г. в СССР

Проф. П. Попов и Н. Бугославская

Полное солнечное затмение представляет собой настолько редкое явление природы, доступное для широкого наблюдения и в то же время привлекающее внимание всех, что школа не может не только упустить этот случай в чисто учебных целях, но и должна в связи с ним провести широкую культурно-массовую работу. В отдельных же случаях, где представляется какая-либо возможность, — включиться и в организацию наблюдений, могущих иметь научное значение. Последнее особенно важно и в отношении таких моментов, которые требуют возможно большего количества наблюдений и в возможно большем количестве мест.

Нужно сказать, что затмение 19 июня 1936 г. является буквально общесоветским в том смысле, что на всей территории нашего Советского союза оно так или иначе будет видно (рис. 1). Полоса полного затмения, правда, проходит только шириной около 110—120 км от Туапсе (на побережье Черного моря) через низовье Волги, вблизи Оренбурга, через Омск, Томск, Красноярск, Хабаровск; но частное затмение охватывает всю территорию Союза к северу и югу от полосы полного затмения настолько, что в Москве, например, в середине затмения (наибольшая фаза) темный силуэт Луны закроет диск Солнца почти на 0,8 его диаметра и даже в Архангельске — на 0,6 с лишком. Кроме того — летнее время, хотя и утренние, но такие часы, когда Солнце стоит достаточно высоко над горизонтом (см. табл. видимости в разных местах), — все это создает благоприятные условия для наблюдения.

Таким образом, все школы так или иначе должны провести подготовку к затмению; тем же школам, которые находятся сравнительно недалеко от полосы полного затмения., следует организовать экскурсии в местности, расположенные, по возможности, около середины полосы. Для наблюдений полного затмения надо обратиться к справочникам и специальным изданиям. Детальные карты полосы полного затмения можно найти в издании Государственного астрономического института им. Штернберга — «Полное солнечное затмение 19 июня 1936 г. в СССР»; карты составлены А. А. Михайловым.

Задача преподавателя при подготовке к затмению заключается прежде всего в том, чтобы самому себе возможно полнее уяснить самое явление и составить представление в том, как стоит вопрос в современной науке о роли солнечных затмений не только в отно-

Таблица видимости частного затмения по московскому гражданскому времени

Начало

Середина

Конец

Наибольшая фаза

Алма-Ата.........

6 час. 17 мин.

7 час. 29 мин.

8 час. 48 мин.

0,67

Архангельск.......

6 » 35 »

7 » 31 »

8 » 30 »

0,64

Астрахань.........

6 » 03 »

7 » 05 »

8 » 13 »

0,97

Баку

5 » 55 »

6 » 57 »

8 » 05 »

0,82

Владивосток

7 » 55 »

9 » 13 »

10 » 23 »

0,87

Вологда..........

6 » 24 »

7 » 22 »

8 » 24 »

0,73

Воронеж

6 » 11 »

7 ь 10 »

8 » 14 »

0,87

Горький .........

6 » 18 »

7 » 18 »

8 » 23 »

0,82

Иркутск

7 » 01 »

8 » 21 »

9 » 40 »

0,91

Казань

6 » 18 »

7 » 20 »

8 » 27 »

0,86

Киев

6 » 12 »

7 » 07 »

8 » 07 »

0,81

Курск ..........

6 » 12 »

7 ь 10 »

8 » 12 »

0,84

Куйбышев........

6 » 14 »

7 » 17 »

8 » 25 »

0,93

Ленинград........

6 » 28 »

7 1 22 »

8 » 19 »

0,66

Магнитогорск.......

6 » 17 »

7 » 23 »

8 » 34 ь

0,98

Махач-Кала .....

5 » 58 »

7 » 00 »

8 » 07 »

0,90

Минск ..........

6 » 18 »

7 » 12 »

8 » 10 »

0,73

Москва..........

6 » 18 »

7 » 16 »

8 » 18 »

0,78

Мурманск........

6 » 45 »

7 » 16 »

8 » 31 »

0,54

Новосибирск .......

6 ь 35 »

7 » 49 »

9 » 07 »

0,98

Одесса..........

6 » С6 »

7 » 01 »

8 » 02 »

0,90

Пермь ..........

6 » 23 »

7 » 27 »

8 » 36 »

0,86

Ростов-на-Дону......

6 » 05 »

7 » 04 »

8 » 08 »

0,96

Саратов ..........

6 » 11 »

7 » 12 »

8 » 19 »

0,92

Симферополь.......

6 » 03 »

6 » 59 ь

8 » 02 »

0,96

Смоленск.........

6 » 18 »

7 » 14 »

8 » 14 »

0,75

Сталинград ........

6 » 07 »

7 » 07 »

8 » 14 »

0,97

Сыктывкар........

6 » 29 ь

7 » 30 »

8 » 34 »

0,75

Тифлис ..........

5 » 56 »

6 » 57 »

8 » 03 »

0,89

шении наших сведений о Солнце, Луне и их движениях, но и в отношении целого ряда вопросов строения материи как главнейшей проблемы физико-химических наук. В этом смысле постановка ряда работ во время затмения является как бы непосредственным продолжением тех работ, которые ведутся в физических лабораториях, если принять во внимание, что Солнце — лаборатория таких высоких температур и крайних давлений, которые недостижимы в физических лабораториях на Земле.

Основные сведения о причинах затмения и общем ходе его преподаватель может восстановить в своей памяти по любому учебнику астрономии. Из недавно вышедших укажем: Набоков и Воронцов — «Астрономия для средней школы», общая часть (стр. 98—103). Эти же сведения даются и в популярных брошюрах, выпущенных к затмению и указанных в конце статьи. Наконец, весьма полезна в этом отношении стенная таблица «Солнечные и лунные затмения», составленная проф. Орловым, и к ней об'яснительный текст.

В настоящей же статье мы считаем нужным ввести преподавателя в круг тех вопросов, которые ставятся наукой в связи именно с затмением 1936 г.

Вторым моментом при подготовке к затмению является подготовка учащихся. Здесь надо согласованными действиями преподавателей провести ряд мероприятий: прочесть серию лекций по астрономии для всех учащихся, по возможности с диапозитивами и таблицами ; организовать кружок из наиболее интересующихся учащихся для подготовки наблюдений во время затмения, а также для изготовления таблиц, моделей при раз'яснении сущности затмений среди широкого населения и затемненных стекол при организации массовых наблюдений ; наконец — для проведения раз'яснительной работы, постановки лекций, чтений, бесед как среди трудящихся города, так и колхозников.

Далее мы приводим ряд указаний для постановки школьных наблюдений учебного характера, которые доступны каждой школе соответственно видимости затмения в данном месте. В то же время мы призываем преподавателей использовать это редкое и общедоступное явление природы для постановки ряда простейших научных исследований и получения таких данных о затмении, которые

Рис. 2

они могут прислать через редакцию нашего журнала в специальные научные учреждения для обработки всех результатов наблюдений затмения. Для такого рода наблюдений даны дальше указания под заголовком «Научные работы, доступные любителям».

Значение солнечного затмения и подготовка к нему

Значение полного солнечного затмения как явления, позволяющего поставить целый ряд специальных наблюдений, огромно не только с точки зрения решения ряда теоретических проблем, но и по тем выводам непосредственного практического значения, которые можно будет сделать из результатов наблюдений. Вся специфичность и вся ценность явления заключаются в том, что солнечный свет загораживаются экраном (Луной), находящимся вне пределов земной атмосферы. Для области полного затмения часть земной атмосферы над наблюдателем оказывается в лунной тени. Рассеянный свет атмосферы значительно ослабевает, небо становится темным и позволяет наблюдать области, непосредственно прилегающие к Солнцу, и, прежде всего, его внешние оболочки. Этим определяется характер тех наблюдений, которые должны быть поставлены во время полного солнечного затмения.

Современная теоретическая астрофизика в вопросах строения Солнца как одной из звезд, его недр, источников энергии прошла уже такую стадию, когда для ее дальнейшего развития нужен новый фактический материал и притом материал количественный. Для того чтобы по внешним, доступным наблюдению, слоям звезды делать заключение о внутреннем ее строении, необходимо знать количество химических элементов и, в частности, водорода во внешних ее слоях, выраженное в абсолютных единицах, т. е. в граммах на кубический сантиметр вещества звезды.

Затем нужно знать изменения в распределении элементов с высотой, т. е. градиент плотности. Далее необходимо выяснить, какова роль свободных электронов, для чего опять-таки необходимо получить их количество в 1 куб. см вещества звезды на различных высотах. Вопрос же звездных недр, источников энергии звезды непосредственно связан с вопросом преобразования химических элементов, строения атомного ядра, с вопросом аннигиляции материи (превращения ее в энергию), а это уже вопросы самого широкого порядка, и здесь астрофизика является непосредственным продолжением физики в изучении строения вещества. На самом деле, ведь, в звездах мы имеем такие условия существования материи, какие невозможно создать в физической лаборатории. Еще до сих пор не решен вопрос, почему такой элемент, как кальций, наблюдается на огромных высотах над поверхностью Солнца, в то время как легчайший элемент — водород — на значительно меньших высотах. Мильн пытается объяснить это явление особенностями поглощения света кальцием, но здесь еще остаются количественные неувязки. Оказывается, наконец, необходимым знать мощность излучения различных элементов в энергетических единицах, т. е. в эргах на 1 см3 вещества Солнца на различных высотах.

Основными наблюдениями в решении этих вопросов являются спектроскопические и спектрофотометрические наблюдения обращающего слоя и хромосферы. Обращающий слой является промежуточным между фотосферой Солнца и его атмосферой (хромосферой). По своему химическому составу он чрезвычайно сложен и обуславливает в обычном солнечном спектре темные фраунгоферовы линии, когда мы смотрим сквозь него на блестящую фотосферу, дающую непрерывный фон солнечного спектра. Во время полного затмения, когда темный диск Луны закроет фотосферу, становится возможным на короткое время получить отдельно спектр обращающего слоя, так называемый спектр вспышки; он состоит из ярких линий, по своему положению совпадающих с положением фраунгоферовых линий в солнечном спектре, за что этот слой и назван обращающим. Но обращающий слой быстро закрывается Луной и в спектроскопе

становится виден более простой спектр из ярких линий, принадлежащих хромосфере и протуберанцам. Только во время полных солнечных затмений представляется возможным наблюдение указанных слоев, так сказать, в профиль, т. е. по высоте.

Правда, изучение хромосферы и протуберанцев ведется и вне затмения, но в условиях дневного освещения земной атмосферы и рассеяния солнечного света в оптических частях инструмента спектр этого рассеянного света накладывается в виде непрерывного фона на излучаемый спектр, и эти наблюдения не могут дать исчерпывающие данные в разрезе требований современной астрофизики.

Для того чтобы от наблюденных яркостей объектов (корона, непрерывный фон спектра, спектральные линии и короны), полученных на фотографических снимках, перейти к величинам, выраженным в абсолютных физических единицах, нужно параллельно с об'ектом фотографировать известные стандартные источники света с исследованным распределением энергии в их спектре. Такими стандартными источниками света могут быть как искусственные источники — нормальная электрическая лампа, спектр атомного водорода и др., так и само Солнце вне солнечного затмения.

Следующий круг вопросов относится к самым внешним оболочкам Солнца — к солнечной короне. Вопрос структуры короны еще не решен; повидимому, основную роль здесь играют свободные электроны, выбрасываемые нижележащими слоями Солнца, а не атомы, как это имеет место в хромосфере. Есть некоторые основания предполагать, что вещество короны постепенно переходит в ту среду, которая носит название зодиакального света, и здесь наблюдения должны захватить и самые короткие волны далекой от Солнца области. Для выяснения природы солнечной короны одних спектроскопических наблюдений совершенно недостаточно: нужно фотометрическое определение хода поляризации света короны, дальность ее протяжения в различных спектральных лучах, наконец, нужно изучение движений короны, о которых еще нет надлежащих сведений*.

Полное солнечное затмение представляет один из случаев проверки общей теории относительности, а именно: луч света звезд, проходя вблизи солнечной массы, должен, согласно этой теории, отклониться от своего прямолинейного пути в сторону Солнца (эффект Эйнштейна). Поэтому звезды в непосредственной близости к солнечному диску будут казаться смещенными прочь от него по всем направлениям. Такое смещение действительно обнаружено, но наблюденная величина его не совпала с теоретической. Вся сложность работы здесь — в малости измеряемой величины, граничащей с величиной самих ошибок наблюдений. А эти ошибки вносятся неравномерным нагреванием инструмента солнечными лучами, гнутием частей инструмента, неправильностями рефракции земной атмосферы, искажениями фотографического слоя пластинки и т. д. Поэтому нужны новые, еще более тщательные наблюдения, которые показали бы, действительно ли есть расхождение с теорией, не обусловленное ошибками наблюдений.

Помимо вышеперечисленных астрономических проблем, полное солнечное затмение позволяет широко развернуть географические работы по исследованию непосредственного влияния солнечной радиации на состояние земной атмосферы и ряда электромагнитных явлений. Луна, являясь внешним экраном, позволяет на протяжении относительно короткого времени сравнить состояние земной атмосферы, освещенной и не освещенной лучами Солнца, при прочих одинаковых условиях. Известно влияние ультрафиолетовой радиации Солнца на состояние высоких слоев атмосферы, повышающее их ионизацию и увеличивающее днем мощность так называемой озоновой прослойки нашей атмосферы.

Помимо лучей видимого света, ультрафиолетовых и инфракрасных, Солнце излучает еще потоки корпускул (частиц) различной скорости. Бомбардировкой корпускулярным излучением Солнца земной атмосферы и обменяются не только явления полярных сияний, но, повидимому, еще ряд изменений в высоких слоях нашей атмосферы. Поэтому, наравне с наблюдением «оптического» затмения, представляют огромный интерес наблюдения затмения «корпускулярного».

В тот же день, что и затмение «оптическое», произойдет затмение «корпускулярное». Частицы, излученные Солнцем, встретят на пути к Земле Луну и будут ею или задержаны или каким-то образом (подлежит исследованию) искривят свой путь. Но скорость движения корпускул во много раз меньше скорости света, поэтому те из них, которые будут задержаны Луной 19 июня, должны будут покинуть Солнце на 1,2 или 3 дня

* Во время прежних затмений было найдено из спектроскопических наблюдений, что корональные частицы удаляются от Солнца со скоростью 20 км/сек. Это надо проверить и подобные исследования расширить и углубить.

раньше, т. е. при ином положении Солнца. Тень «корпускулярного» затмения разойдется с тенью «оптического», причем для частиц различных скоростей — различно. Разойдутся и моменты. Изучение корпускулярного затмения возможно по наблюдению изменений электрического состояния атмосферы, которое можно регистрировать по изменению слышимости радиосигналов.

Во время предстоящего затмения будут поставлены наблюдения и над динамикой атмосферы путем шаров-зондов, наблюдения над движением облаков и т. п. Построение ряда синоптических карт через малые промежутки времени в соединении с актинометрическими и другими наблюдениями может выявить влияние лунной тени на динамику земной атмосферы. Географическое исследование нашей атмосферы в связи с оптическими ее исследованиями путем астрономических методов, проведенное в условиях полного солнечного затмения, дадут новый богатый материал, по своей ценности, возможно, превосходящий тот материал, который сможет быть получен в обычных условиях в течение лишь многих лет. Во всех указанных направлениях научными учреждениями Союза будут вестись наблюдения во время затмения 19 июня 1936 г.

Имея в виду все эти большие задачи, наши советские органы и научные учреждения проводят огромную работу по подготовке к затмению, начав ее в 1933 г. Постановлением Совнаркома Союза создана специальная комиссия при Академии наук, в состав которой вошли виднейшие астрономы и геофизики Союза. На нее и возложено руководство всеми подготовительными работами как по разработке и планированию тематики и по изготовлению инструментария, так и по организации и проведению самих экспедиций.

Чтобы составить себе некоторое представление о колоссальном контрасте, какой составляло положение науки в царской России и теперь в СССР, о той непроходимой пропасти, какая существовала тогда между трудом физическим и умственным, следует нашей молодежи прочесть рассказ Короленко «На затмении», который относится к 1887 г. Что мы имеем теперь? Вот подлинные слова председателя комиссии при Академии наук по подготовке к солнечному затмению, директора Пулковской обсерватории проф. Б. П. Герасимовича о той обстановке, в которой мы встретим полное солнечное затмение 19 июня 1936 г.

«Около двух десятков наших и иностранных экспедиций, специальные постановления Совнаркома Союза, приведенные в движение наркоматы, миллионные ассигнования, импортные заказы, по крайней мере шесть советских заводов и мастерских, приготовляющих оборудование к затмению... Словом, мы готовимся встретить затмение 1936 г. в обстановке, которая будет настолько же далека от обстановки 1887 г., насколько наша насыщенная, динамическая современность далека от сонной одури эпохи Александра III».

Комиссия в течение 1934 и 1935 гг. путем ряда экспедиций в полосу полного затмения обследовала на месте все условия для возможности работы экспедиций при затмении, собрала большой материал о метеорологических данных по всей полосе.

Тем временем нашими заводами осваивалась высокая техника изготовления нужных специальных инструментов. Наиболее трудные оптические части изготовляют Государственный оптический институт (ГОИ) и Государственный оптико-механический завод (ГОМЗ). Изготовление серии однотипных инструментов для фотографирования короны ведет Астрономический институт в Ленинграде. Высококачественные сорта оптического стекла дает Изюмский стекольный завод. Заняты также постройкой специальных инструментов и их деталей Астрономический институт им. Штернберга в Москве, Пулковская обсерватория, обсерватория Ленинградского университета и мастерские других институтов и обсерваторий.

Таким образом, громадное большинство инструментов будет построено у нас в Союзе силами наших советских мастеров и из советских материалов, и только в ограниченном виде использованы валютные ассигнования для выписки нужных частей из-за границы.

В настоящее время ведется уже спешная подготовка к отправке экспедиций к местам наблюдений.

Пулковская обсерватория направляет две экспедиции (к Оренбургу и к Омску) для спектрографических работ по изучению хромосферы, протуберанцев и короны.

Астрономический институт им. Штернберга отправляет экспедиции для изучения спектра хромосферы и короны, для поляриметрических исследований короны и отдельную экспедицию (к Хабаровску) для проверки эффекта Эйнштейна.

Направляют свои экспедиции также Ленинградский астрономический институт, обсерватория Ленинградского университета, обсерватория им. Энгельгардта в Казани, Харьковская обсерватория, Московское отделение Всесоюзного астрономо-геодезического общества (МОВАГО) и др.

Наблюдения затмения в школе

Наблюдения предстоящего полного солнечного затмения в школе должны иметь основной задачей возможно полное и всестороннее знакомство с этим исключительным явлением. Можно рекомендовать фиксацию наблюдений путем фотографирования и зарисовки с целью запечатлеть виденное. И лишь сверх этого могут быть поставлены работы с целью получения научно-ценного материала, каждая из которых, будь она даже безынструментальная, потребует значительного внимания со стороны выполнителей. Начнем с указаний для школьных наблюдений; опуская при этом объяснение самого явления затмения, как имеющееся в ряде книг, дадим указания на последовательность хода затмения во времени.

Заранее, до начала затмения, должны быть в совершенно достаточном количестве заготовлены темные стекла или просто закапчиванием на свечке или, что значительно лучше, путем проявления на свету фотографической пластинки с последовательным ее фиксированием, причем, изменяя время проявления, можно добиться нужной густоты.

Все обстоятельства затмения (начало, конец, наибольшая фаза) для данного места должны быть выяснены преподавателем совместно с учащимися.

Первый и четвертый контакты и ход всего частного затмения наблюдаются непосредственно сквозь темное стекло. При наличии зрительной трубы или бинокля можно наблюдения вести на белом экране, получив на нем изображение Солнца в крупном масштабе. Если будут на Солнце пятна, то обратить внимание, что они значительно светлее диска Луны. При фотографировании частных фаз основная трудность — в чрезвычайной яркости Солнца, поэтому хорошо здесь использовать просто камеру-обскуру или же фотографировать изображение Солнца на экране.

Общее ослабление освещения делается заметным только при достаточно большой фазе затмения. Изменение освещения можно зарегистрировать, например, выставляя на свет на определенное число секунд фотографическую бумагу. Следует обратить также внимание учащихся на форму теней.

В отношении метеорологических наблюдений внимание учащихся должно быть обращено на изменение температуры воздуха, минимум которой запаздывает на 20—30 мин. по отношению к минимуму радиации. Изменение же последней можно проследить по термометру с зачерненным шариком, выставленному под прямые лучи Солнца. Наконец, можно провести биологические наблюдения над тем, как животные, в частности насекомые, и как растения, способные к гелиотропным движениям, будут реагировать на несвоевременное наступление темноты. Нужно только, чтобы наблюдатель был предварительно знаком с нравами наблюдаемых животных и особенно растений. Наблюдения нужно вести, конечно, в естественной обстановке.

Явление полного солнечного затмения совершенно не может сравниться с затмением частным по богатству и своеобразию впечатлений, и здесь учащийся должен быть немного подготовлен, чтобы эти короткие замечательные минуты и, может быть, единственные за всю жизнь, не прошли для него зря. Есть целый ряд прекрасных описаний полного затмения, поэтому здесь только укажем, на что должно быть обращено внимание.

Когда остается от Солнца узкий серп, то на Земле появляются так называемые бегущие тени: они представляют темные и светлые чередующиеся полосы, которые находятся в движении; их хорошо наблюдать на белой стене, на простыне, разостланной на земле, и т. п. Ширина и характер движения их различными наблюдателями описывается чрезвычайно различно. Это явление чисто атмосферное и обусловлено неоднородностью воздуха, которая, таким образом, сказывается, когда падает узкий пучок лучей.

Наконец, узкий серп разрывается на отдельные капли, так называемые четки Бэли; явление обусловлено неравностью лунного диска (лунные горы). По продолжительности явления можно судить о высоте последних.

Если наблюдения производить на открытом месте, то можно видеть, как на поверхность Земли и облаков налетает лунная тень. Нужно заранее знать, откуда она движется. 19 июня полоса полного затмения идет почти в точности с запада на восток; следовательно, тень надо ожидать с запада. Скорость ее движения около 900 м в 1 сек.

Как только тень налетела и исчез последний яркий солнечный луч, из-за темного диска Луны становится видна атмосфера Солнца в виде узкого кольца красноватого цвета (назван хромосферой за свой цвет). Местами из этого кольца поднимаются отдельные выступы — протуберанцы — это раскаленные пары и газы, выбрасывающиеся на громадную высоту. По своему внешнему виду они похожи на языки пламени. Дальше хромосферы, на расстояние больше радиуса солнечного диска, простирается нежное лучистое сияние жемчужного цвета — это солнечная корона. Нуж-

но обратить внимание на ее форму, которая меняется с периодом солнечных пятен: в годы их минимума она вытянута вдоль солнечного экватора; напротив, в годы максимума солнечная корона имеет растрепанный вид, ее лучи простираются во все стороны. В 1936 г. мы приближаемся к максимуму пятен, так как минимум был в конце 1933 г. Природа короны еще не вполне разгадана. Повидимому, в ее состав входят, помимо атомов отдельных элементов, еще свободные электроны, которым здесь и принадлежит основная роль, тогда как в хромосфере основную роль играют отдельные атомы (водорода и кальция). Необходимо помнить, что полное затмение будет продолжаться от 1 j до 2 - мин. (в Красноярске), и нужно успеть посмотреть и на другие стороны явления. Небо станет достаточно темным (обратить внимание на его свет) и станут видны яркие звезды. Целесообразно заранее познакомиться по звездной карте с окрестностями Солнца 19июня, чтобы признать наиболее яркие звезды (см. рис. 3). Это будут как раз те созвездия, которые мы видим зимой по вечерам на южной стороне неба. Вблизи Солнца будут находиться три планеты: Марс, Меркурий и Венера. У горизонта остается заревое кольцо, создаваемое рассеянным солнечным светом от тех частей атмосферы, которые не попадают в конус лунной тени.

Как в начале полного затмения с погасанием последнего солнечного луча вспыхивает корона, так же быстро исчезает она и с нею все красоты полного затмения — с появлением первого луча. Тень улетает, сразу становится значительно светлее, затмение продолжается еще около часа, но уже как частное, и за возрастающим серпом Солнца можно следить снова только сквозь темное стекло как простым глазом, так и в телескоп.

Было бы хорошо, если бы педагоги и учащиеся, владеющие некоторыми художественными навыками, зарисовали в красках картину полного солнечного затмения; при этом во время самого затмения нужно сделать лишь общий набросок, записать тона отдельных деталей, а полная картина воспроизводится уже после по этим заметкам и по общему впечатлению, оставшемуся от явления. Можно попытаться сфотографировать корону обычным фотоаппаратом. При этом размер ее для «фотокора» будет чуть больше 1 мм (размер изображения подсчитывается так: фокусное расстояние об'ектива делится на 110); экспозицию на обычных пластинках придется сделать в несколько секунд. Можно также попытаться сфотографировать увеличенное изображение короны с помощью бинокля (см. книжку Набокова — «Астрономия с биноклем»). Это значительно менее светосильная установка и нужна

Рис. 3

более длинная экспозиция. Тут, конечно, может быть заметен сдвиг изображения вследствие суточного движения и экспозицию не придется делать больше 10 сек.

Научные работы, доступные любителям*

Переходя теперь к работам, имеющим научное значение, укажем лишь простейшие из них. Более полно см. книжку «Солнечное затмение 1936 г.», изд. ВАГО под ред. Михайлова.

I. Фотометрические наблюдения во время частных фаз

Наблюдения имеют задачей получить оценки яркости при уменьшенном вредном влиянии солнечного света, рассеянного в атмосфере и в оптике инструмента (эффект Юлиуса).

1. При наличии пятна вблизи края диска наблюдается его поверхностная яркость, по сравнению с окружающей его фотосферой, как вне затмения, так и вплоть до наибольшей возможной фазы.

2. Интегральная яркость частных фаз затмения — определяется общее количество света, испускаемое частично закрытым Солнцем преимущественно в фиолетовых лучах. Определения могут производиться различными способами — фотографическим, визуальным, фотоэлектрическим.

На Солнце направляется трубка, на дне которой находится измеритель яркости освещения: фотографическая пластинка или фотографическая бумага, фотоэлемент. Яркость Солнца должна быть ослаблена, чтобы экспозиции легче было сделать одинаковыми. К нижнему концу трубки приспособляется затвор, к верхнему — светофильтр, так, чтобы его можно было быстро снимать и надевать.

II. Определение границ полосы полной тени для поверки координат Луны

Работа массовая безынструментальная требует уменья считать секунды (приблизительно) ч возможности отметить положение наблюдателя на карте с точностью до 0,2—0,3 км.

III. Наблюдение полного затмения

1. Видимость короны вне полного затмения. Наблюдение простым глазом и в бинокль. Отмечаются моменты появления и исчезновения следов короны — числа секунды до и после полной фазы, и дается описание условий ее видимости.

2. Фотографирование внешней короны короткофокусными камерами (типа «фотокор»). При фотографировании подобными камерами свет внутренней короны дает на пластинке ореол, накладывающийся на изображение внешней короны, поэтому вся внутренняя корона загораживается черным круглым экраном или шаром соответствующего размера, поставленным перед камерой на расстоянии ее стократного фокусного расстояния**.

Фотографирование ведется непосредственно и со светофильтрами. Задача работы — определение максимума протяжения короны и ее цвета.

3. Фотографирование при помощи бинокля (увелич. изображение короны). Фотографирование ведется без внешнего экрана. Ставится фотометрия короны, для чего обязательно впечатывание стандартов. Для изучения протяженности короны мала светосила такой установки.

4. Фотографирование спектра излучения короны призматической камерой. Перед об'ективом светосильного фотоаппарата помещается призма, по возможности большей дисперсии. Фотографические пластинки должны в быть панхроматические; экспозиция — 10—30 сек.

Пластинки фотометрически калибруются. Примечание. Получение непрерывного спектра короны значительно труднее.

5. Спектр вспышки с о б'ект йеной призмой перед биноклем и небольшим телескопом (смотря по размеру призмы). Фотографирование ведется на перемещающейся кассете. Перемещение делается быстро рукой, экспозиция порядка 1 сек. начинается за 5—7 сек. перед вторым контактом и заканчивается во столько же секунд после третьего контакта. Спектр короны фотографируется с экспозициями в 30—60 сек.

Снимки дадут полную картину изменения спектра Солнца во время затмения, но для возможности научного использования материала работа является очень трудной и требует спектроскопической стандартизации пластинок.

6. Наблюдение протуберанцев в телескоп ведется непосредственно глазом и через светофильтр, помещенный перед

* Взято из инструкции, выработанной комиссией при Всесоюзном астрономо-геодезическом обществе (ВАГО).

** Это следует приспособить заранее в предыдущие дни при таком положении Солнца на небе, какое оно будет иметь в момент полного затмения.

окуляром так, чтобы его можно было быстро двигать и снимать. Задача работы — подметить особенности в распределении элементов в протуберанце из сравнения его вида в полном свете и в лучах, испускаемых данным светофильтром. Для этого светофильтр должен выделять узкую часть спектра, соответствующую линии излучения того или другого элемента (например водорода, кальция).

7. Рисунок короны и затмения в красках. Корона наблюдается в бинокль или телескоп с малым увеличением. Рисунок с возможно точной передачей оттенков составляется тотчас по окончании затмения, контуры берутся схематично. Окончательный рисунок составляется по фотографии короны с соблюдением деталей ее строения.

Все снимки калибруются, для чего на пластинке из той же коробки впечатывается при тех же условиях хотя бы фотографический клин, освещаемый известным источником света. Более полная калибровка производится в обсерватории или специалистами.

IV. Работы по атмосферной оптике

1. Распределение яркости по небесному своду и его изменение в течение затмения. Фотографирование ведется трубочными фотометрами (например конструкции В. Г. Фесенкова), дающими отпечатки от области зенита и дуг альмукантаратов. Берется несколько (2—3) альмукантаратов. Фотографирование производится при полном свете и со светофильтрами.

2. Изменение освещенности области полюса мира как точки, сохраняющей постоянное положение относительно Солнца и горизонта. Фотографирование ведется трубочным фотометром обычного типа, в полном свете и со светофильтрами.

Бегущие тени. Наблюдение непосредственное, лучше фотографирование с подробной записью явления.

Вышеуказанные работы имеют своей задачей изучение законов и характера рассеяния света земной атмосферой и, следовательно, вопросы ее строения.

V. Актинометрические наблюдения

1. Напряжение прямой солнечной радиации. Для измерения пригоден любой актинометр, не обладающий большой инерцией (лучше других — актинометр Михельсона). Наблюдения ведутся в течение всего затмения и дают зависимость радиации Солнца, полной или урезанной (если применяется светофильтр от фазы затмения). Эта зависимость позволяет вывести изменение радиации по солнечному диску. Измерения получаются непосредственно в энергетических единицах.

2. Рассеянная солнечная радиация. Для измерения пригоден любой пирометр, который защищается от прямых лучей солнца.

Наблюдения ведутся для полной и для урезанной светофильтром радиации, величина которой дается в энергетических единицах.

VI. Биологические наблюдения

Интересны наблюдения над растениями, реагирующими на наступление сумерок и ночи, и над насекомыми в естественной обстановке. Наблюдатель должен быть знаком с их поведением в обычных условиях: наступления ночи, пасмурной погоды, внезапно нашедшей тучи и т. п. Только при таком знакомстве можно дать научное описание явления, выделив те психологические акты и гелиотропические движения растений, которые обусловлены наступлением солнечного затмения.

Литература

1. Специальные издания

А. А. Михайло в—«Полное солнечное затмение 19 июня 1936 г. в СССР», изд. ГАИШ, 1935.

Содержит полное предвычисление затмения и метеорологические данные для полосы полного затмения; приложены 3 карты как всей полосы, так и детальной (1 см на 15 км) полосы от Черного моря до Волги.

Бюллетени КИС О. Статьи: Б. П. Герасимовича и Щербаковой — «Очерк полосы затмения», А. А. Михайлова — «Корпускулярное затмение».

2. Для более широкого пользования со специальными данными.

Коллективный сборник под ред. А. А. Михайлова - «Солнечное затмение», 1936, изд. ВАГО.

«Русский астрономический календарь на 1936 г.», изд. Горьковского астрономо-геодезического общества.

3. Популярные издания

Баев К. Л. — «Полное солнечное затмение 1936 г.».

Всехсвятский С. К.— «Полное солнечное затмение 1936 г.».

Орлов С. В. — «Солнечные и лунные затмения». Стенная таблица в красках с приложением брошюры.

МЕТОДИКА

К МЕТОДИКЕ ПРОВЕДЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

К. КРАЕВСКИЙ (Урусово)

В № 1 1935 года сборника «Математика и физика в средней школе» т. Туманьян затронул очень важный для средней школы вопрос о расположении действий при вычислениях. Все вспомогательные действия, которые ученик делает на бумаге, он должен записывать на той же бумаге, на которой делает основные действия; он должен писать их четко, с тем, чтобы не только он сам мог разобраться в них, но чтобы это мог сделать всякий, знакомый с данной задачей. Многие преподаватели, преследуя внешнюю чистоту тетради, допускают пользование отдельными листами для побочных вычислений. Во время контрольных работ ученики стараются использовать для этой цели парту, ладони рук и т. д. Все это недопустимо, и преподаватель должен приучить ученика к следующему: все, что ученик может безошибочно вычислить в уме, он должен вычислять в уме. Те вычисления, которые он не делает в уме, он должен писать в тетради в определенном порядке.

Логарифмические вычисления требуют особой аккуратности.

Программа IX и X классов средней школы требует от учащегося умения пользоваться пятизначными и четырехзначными таблицами логарифмов. Школам даны как пособие трехзначные стенные таблицы логарифмов, которыми учащийся также должен уметь пользоваться.

Какой техники должна добиться школа в вычислениях логарифмов чисел и тригонометрических величин углов? Для устного вычисления логарифмов не требуется никаких схем. Учащийся вычисляет поправки в уме и выписывает в тетрадь готовый логарифм. Такая техника необходима и достигается сама собою в некоторых технических учебных заведениях. В средней школе в IX и X классах, как основной метод логарифмических вычислений, остается письменный метод вычисления поправок, что имеет в виду и т. Туманьян.

Соглашаясь с общей постановкой вопроса в указанной статье, я не придаю большого значения тренировке в пользовании Р. Р. таблиц Пржевальского.

Общим методом для интерполирования при пользовании таблицами я считаю метод использования приблизительной пропорциональности между разностями чисел и разностями их логарифмов для чисел больших 1000 и разнящихся между собою меньше, чем на единицу.

С этим приемом учащийся должен быть ознакомлен, так как он лежит в основе вычисления тех поправок, которые даны в таблицах Брадиса и Р. Р. таблиц Пржевальского. Учащийся должен не только понять этот метод, но он должен уметь его использовать для любых таблиц логарифмов. Только после усвоения и приобретения твердых навыков в определении поправок непосредственным умножением и делением для любых таблиц преподаватель должен ознакомить учащегося с столбцами поправок таблиц Брадиса и Р. Р. таблиц Пржевальского. Я считаю, что требований к обязательному пользованию Р. Р. пред'являться не должно. Я ниже дам схемы расположения вычислений при письменном определении поправок, рекомендованные в предисловии к таблицам логарифмов Лаланда. Преподаватель пусть сам судит, какие схемы проще для ученика и как ему проще находить логарифмы чисел: по методу Р. Р. или непосредственным умножением и делением.

Я обращаю особое внимание преподавателей математики на пользование стенными трехзначными таблицами логарифмов, весьма ценным пособием для преподавателей физики при решении ими задач в IX и X классах. Для последних эти таблицы должны быть основными по своей простоте и точности, достаточной при большинстве технических расчетов.

В схемах я разберу наиболее трудные случаи, а именно:

Для таблиц Пржевальского:

числа с 6 значащими цифрами,

углы с точностью до 1“.

Для таблиц Брадиса:

числа с 5 значащими цифрами,

углы с точностью до 10“.

Для стенных таблиц:

числа с 4 значащими цифрами,

углы с точностью до Г.

Я беру предельные случаи целесообразного использования таблиц.

Если для таблиц Пржевальского ограничиться 5 значащими цифрами числа, для таблиц Брадиса четырьмя и для стенных таблиц 3 значащими цифрами, то многие средние учащиеся будут отыскивать, после некоторой тренировки в письменном вычислении, все поправки в уме и вряд ли в этих простых случаях будут пользоваться Р. Р. Для таких учеников схемы отпадут вообще. Если бы в технике были приняты таблицы Брадиса и программа требовала только навыка в пользовании ими, то вопрос о схемах отпадал бы сам собою, так как по таблицам Брадиса для четырехзначных чисел логарифмы определяются в уме.

Я приведу одни и те же вычисления по всем трем таблицам.

Таблицы Пржевальского:

Таблицы Брадиса: Найти

Стенные таблицы:

Найти

Таблицы Пржевальского. Найти х.

Таблицы Брадиса. Найти х.

Стенные таблицы. Найти х.

Вычисления логарифмов тригонометрических величин.

Таблицы Пржевальского:

Найти

Таблица Брадиса: Найти

Таблицы стенные:

Найти

Таблицы Пржевальского. Найти х.

* Здесь и в дальнейшем поправки могут вычисляться устно.

Таблицы Брадиса. Найти х.

Таблицы стенные. Найти х.

Относительно расположения действий при вычислении выражений с помощью таблиц логарифмов я не вполне согласен с большой педагогической ценностью замены вычитаемых логарифмов слагаемыми. Эта замена встречает трудности даже для средних учащихся. С нею учащиеся должны быть ознакомлены, и сильный учащийся, стремящийся сознательно к рационализации расположения своих вычислений, достигший техники устного вычисления логарифмов, сам разберется, когда целесообразно заменять вычитаемые логарифмы слагаемыми и когда эта замена даст лишь лишние действия. В обязательный минимум навыков замена вычитаемых логарифмов слагаемыми входить не должна. Учащийся привык при приведении подобных членов складывать отдельно положительные члены, отдельно отрицательные, а затем приводить полученные два члена. Это правило он без труда применит и здесь, и тренировать его в другом порядке вычислений вряд ли будет целесообразно. Располагать побочные вычисления в параллельном столбце хорошо, но нельзя отвергать и порядка, к которому учащийся привык с первых шагов арифметики, располагать все действия в том порядке, как они фактически проводятся. Здесь удобно подчеркивать или нумеровать те результаты, которые используются не сразу после их получения. Схема расположения вычислений — для учащегося, который все вычисления делает письменно.

Примеры для наглядности взяты мною из статьи т. Туманьян:

При устном вычислении поправок и замене вычитаемых логарифмов действия удобно располагать в таблицу:

В качестве иллюстрации значения трехзначных таблиц я приведу пример расположения действий задачи стабильного учебника физики Фалеева. Вычислить значение газо-

вой постоянной для 1 кг воздуха при 0°С и давлении в 760 мм. /? = —

Если учащийся не производит вычислений поправок логарифмов в уме, то действия можно располагать так:

Пример расположения действий при тригонометрических вычислениях.

При технике устных вычислений действия удобно расположить так:

МЕТОДИКА ПРОЦЕНТНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Г. САГАЛОВИЧ (Минск)

В нашей методической литературе вопрос об обучении учащихся процентным вычислениям недостаточно полно разобран. Старая школа не придавала ему достаточного значения, в советской школе ему должно быть оказано больше внимания. Между тем, опыт показывает, что почти все учащиеся недостаточно уверенно решают задачи на проценты, исключая случая, когда от числа нужно найти несколько процентов. Тов. Березанская в своей методике арифметики для средних школ достаточно ясно разбирает методику решения трех основных задач на проценты.

В этой небольшой статье я хочу несколько подробнее развить некоторые вопросы, относящиеся к задачам на проценты, и думаю, что вопросы, затронутые в статье, вполне доступны учащимся старших классов средней школы.

I

После того как учащиеся ознакомились с тем, что такое проценты, идет разбор трех основных видов задач на процентные вычисления, а именно:

1) Задачи, в которых требуется найти один или несколько процентов числа.

2) Задачи, в которых требуется найти все число, зная несколько процентов его.

3) Задачи, в которых требуется установить процентное отношение двух чисел.

На первых порах задачи на проценты выполняются учащимися двумя действиями. Это в значительной степени облегчит дальнейшую работу, когда учащиеся будут учиться выполнять те же расчеты при помощи умножения и деления на дробь. Этот вопрос разобран в методиках арифметики и на нем останавливаться не будем. Достаточное внимание должно быть обращено на приемы устного счета при процентных вычислениях. Учащиеся должны научиться бегло находить от числа 50%; 25%; 12,5%; 20%; 10%; а в некоторых случаях —49%; 51%; 99% и т. д. (например 49% от 800; 51% от 700, 99% от 800); учащиеся должны научиться бегло устанавливать процентное отношение двух чисел на основании следующих соображений:

13 от 50 тоже, что 26 от 100, составляют 26%

14 от 25 то же, что 56 от 100 » 56% 11 от 20 то же, что 55 от 100 » 55% 17 от 200 то же, что 8,5 от 100 » 8,5%

II

После того как учащиеся в достаточной степени усвоили технику процентных вычислений, главным образом на задачах, учитель приступает к разбору двух дополнительных видов задач на проценты, а именно:

1) Задачи, известные под названием «на сто».

2) Задачи, известные под названием «во сто».

Задача вида «на сто»

«Фабрика дала за месяц продукции на сумму в 348 000 руб., перевыполнив намеченный план на 5%. Каков был намеченный план?»

Задача вида «во сто»

«Фабрика имела за месяц расходов на сумму 148 000 руб., сокративши намеченный план расходов на 5%. Каков был намеченный план расходов?»

Практика показывает, что учащиеся недостаточно уверенно решают подобные виды задач, вот почему мы и рекомендуем выделить эти задачи в особую группу. Нужно отметить, что с подобными вопросами учащиеся встретятся не раз в своей работе над газетой и журналом.

III

Как быть с задачами на вычисление процентных денег? Некоторые преподаватели стали подобные задачи игнорировать. Но сейчас эти задачи введены в курс 6-го класса и несколько часов следует отвести на практику решения задач на вычисление процентных денег. Мы считаем, кроме того, очень полезным в VII классе на занятиях по алгебре обязательно сообщить учащимся формулу простых процентов, а именно формулу вида:

где:

Л — процентный капитал,

а — начальный капитал,

р — процентная такса,

t — время роста, точно так же, как в свое время (IX класс) учащимся сообщается формула сложных процентов

Следовало бы практиковать в VII классе ознакомление с формулой простых процентов с приучением учащихся по трем заданным величинам формулы отыскивать четвертую величину в общем виде, а именно:

Одновременно с этой формулой сообщается учащимся формула амортизации по простым процентам:

где

В — начальная стоимость (машины, здания),

Ъ — окончательная стоимость (машины, здания),

р — такса амортизации,

t — время амортизации.

Формула амортизации по простым процентам прорабатывается так же, как формула простых процентов, а именно: учащиеся по трем заданным величинам определяют четвертую величину в общем виде.

IV

Разберем теперь один вопрос, который вовсе не затрагивается в школьной практике и который, по нашему мнению, должен и может быть разобран учащимися. Сущность этого вопроса выясним на следующих двух-трех задачах.

Задача 1. «На сколько процентов сократится время выполнения плана, если производительность труда рабочих повысилась на 25%?»

«На 25% сократится время выполнения плана»,— обычно следует неправильный ответ учащихся.

«А если производительность труда повысится на 50%, то время выполнения плана как будто сократится на 50% (?)>.

«А если производительность труда повысится на 100%, то время выполнения плана должно будто бы сократиться на 100% (?)».

Ответ на последний вопрос убедит учащихся, что весь ход их мыслей был неправильным, и это даст учителю возможность несколько подробнее остановиться на подобных задачах.

Лучше всего затронутые выше задачи решать при помощи пропорции следующим образом:

Значит, от повышения производительности труда на 25% время выполнения плана сокращается не на 25%, а на 20%.

Значит, от повышения производительности труда на 50% время выполнения» плана сокращается не на 50%, а на 33 */з%-

Можно было бы эти задачи решать и несколько проще, исходя из следующих рассуждений:

1) При повышении производительности труда на 25% она увеличивается в 1,25 раза, при этом время выполнения плана уменьшается в 1,25 раза, а при делении числа на 1,25 или на % оно уменьшается на 1/5, что дает уменьшение его на 20%-

2) При повышении производительности труда на 50%, она увеличивается в 1,5 раза, при этом время выполнения плана уменьшается в 1,5 раза, а при делении числа на 1,5, или %, оно уменьшается на 1/3, что дает уменьшение его на 33 1/$%.

Задача 2. «Номинальная зарплата рабочих поднялась на 40%, цены на товары, снижены на 30%. На сколько процентов повысилась реальная заработная плата рабочих?»

«На 70%»,— обычно следует неправильный ответ учащихся.

Решение этой задачи покажет, что от увеличения номинальной зарплаты на 40% и снижения цен на 30% реальная зарплата рабочих повысится не на 70%, а на 100%.

Реальная зарплата прямо-пропорциональна номинальной и обратно-пропорциональна ценам на товары.

Привожу здесь несколько задач, решение которых считаю полезным для учащихся.

Задача 1. На сколько процентов сократится время выполнения определенной работы, если число рабочих увеличилось на 30% против намеченного числа?

Задача 2. На сколько процентов увеличится время выполнения работы, если число рабочих уменьшилось на 40%?

Задача 3. На сколько процентов уменьшится время выполнения работы, если число рабочих увеличилось на 50%, а производительность труда рабочих увеличилась на 25%?

Задача 4. На сколько процентов изменится время выполнения работы, если число рабочих уменьшилось на 25%, а производительность труда рабочих повысилась на 25»/о?

Задача 5. На сколько процентов изменится реальная зарплата рабочего при увеличении номинальной зарплаты на 50% и снижении цен на 25%?

Задача 6. На сколько процентов изменится площадь засева участка прямоугольной формы, если длину участка увеличить на 20% и ширину на 30%?

Задача 7. На сколько процентов изменится произведение двух чисел, если одно из них увеличим на 20%, а другое уменьшим на 20%?

Задача 8. На сколько процентов изменится частное от деления двух чисел, если делимое увеличим на 50%, а делитель уменьшим на 25%? И т. д.

V

В заключение остановимся на некоторых вопросах, которые, на наш взгляд, должны показаться интересными для учащихся.

«Отправляется груз в 1000 т; в каком случае останется больше чистого груза: в том ли случае, когда положим на тару 3%, и с остатка 2% на утруску, или, наоборот: когда на тару положим 2%, а на утруску— 3% с остатка?»

Велико будет удивление учащихся, когда, решив эту задачу в двух ее вариантах, окажется, что в обоих случаях остается чистого груза одно и то же количество.

Очень важно теоретически обосновать это обстоятельство.

Доказать, что /7% от числа а и «7% от остатка в сумме дают столько же, что и q% от числа а и р% — от остатка. Иначе говоря, проверить тождество:

Задача 1. В каком случае магазин получит больше за книгу: тогда ли, когда дают покупателю 10% скидки с номинала и продавцу 5% комиссионных с продажной цены, или, наоборот, когда покупателю дается 5% скидки с номинала и продавцу 10% с продажной цены комиссионных?

Задача 2. В каком случае рабочий получает больше за работу: тогда, когда к основному заработку прибавляется 10% за выслугу лет и 5% с этой суммы премиаль-

ных, или наоборот, когда к основному заработку прибавляется 5% за выслугу лет и 10% с этой суммы премиальных?

Не безынтересна будет для учащихся графическая иллюстрация этого положения.

Показать, что 25% от площади квадрата плюс 337з% от площади остатка дают в сумме столько же, что 337з% от всего квадрата плюс 25% от остатка (см. черт, на стр. 64).

Показать, что р% от числа а дают столько же, что а% от числа р.

Стало быть, вместо того чтобы искать, примерно, 88% из 50 руб., легче гораздо взять 50% от 88 руб., что дает 44 руб.

68% от 25 руб. дают столько же, что и 25% от 68 руб., а именно: 17 руб.

60% от 337з руб. дают столько же, что и 337з% от 60 руб., а именно: 20 руб.

КАК РАЦИОНАЛИЗИРОВАТЬ УРОК С ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВОМ ТЕОРЕМ

В. ПАДУЧЕВ (ст. Лиски)

Одно из основных требований к подготовке и построению урока заключается в том, чтобы ни одна академическая минута не пропадала даром. Учитель должен излагать материал в доступной пониманию учеников, по возможности, наглядной, но в то же время — логически-последовательной и законченной форме.

Вопрос о значении логического доказательства в школьном преподавании геометрии можно считать методически решенным в том смысле, что этот вид доказательства признан имеющим право на существование. Ученик средней школы должен не только знать текст теорем, но и вывод доказательства, а преподаватель должен прорабатывать логическое доказательство теорем в классе.

Что же можно рационализировать на уроке по геометрии, если по плану предстоит раз'яснение вывода той или иной теоремы? Как построить урок, чтобы он был содержательным и плодотворным, чтобы логический ход рассуждений был последовательно и ясно воспринят учениками? Как и во всяком деле, здесь надо продумать вопрос, предусмотреть основные его детали, после чего составить конкретный план.

Начнем с примера. Предстоит урок геометрии, на котором вы наметили продемонстрировать доказательство теоремы Пифагора в ее геометрическом виде, как теоремы о площадях. Положим, что вы решили дать так называемое классическое доказательство, которое вошло и в стабильный учебник.

Если не учитывать никаких возможных трудностей в понимании всех математических умозаключений этого способа со стороны учеников, можно, раз'яснив чертеж, доказать равенство треугольников АСЕ и ABD, равновеликость каждого из них соответственно квадрату 1 и прямоугольнику 1 и т. д. как это излагается во всех учебниках.

С логической стороны такое изложение будет безукоризненным, но как оно будет воспринято коллективом учеников? Какие вопросы, какие сомнения и трудности появятся в аудитории при самом ясном и последовательном изложении со стороны преподавателя ?

Чтобы разобраться в этом, напомним, что каждый класс состоит не из абстрактных учеников, в памяти которых весь пройденный материал держится с абсолютной точностью. Если даже рассчитывать только на одних отличников, то и они нуждаются в систематическом повторении пройденного, и давать им новый материал без предвари-

Черт. 1

тельной подготовки будет методически неверно.

При построении урока надо ориентироваться на живой коллектив учеников среднего нормального класса. Какова бы ни была подготовка этого коллектива, средний ученик не может в любой момент безошибочно помнить весь пройденный материал,— здесь всегда требуются повторение, упражнения, а часто — углубление и доработка разделов, почему-либо не проработанных учеником в свое время до конца. Если, например, равновеликость фигур, свойства углов со взаимно-перпендикулярными сторонами и т. д: были пройдены раньше, то практически это не значит, что каждый ученик с безукоризненной точностью помнит и конкретно представляет себе соответствующие математические предложения. Мы знаем, что в реальной практике этого не бывает, что пройденный материал требует неоднократного повторения, пока знание его не будет доведено до полной ясности и отчетливости.

Обратимся к нашему примеру. На основании неоднократных наблюдений и специально проделанных опытов можно утверждать следующее:

1) Вопрос о равенстве углов CAE и BAD будет далеко не очевидным; ссылка на соответствующую теорему будет недостаточной и неубедительной, многие ученики выскажут недоумение, и преподаватель будет вынужден, прервав основное изложение, дать повторные дополнительные раз'яснения этого вопроса;

2) равновеликость треугольников соответственно квадрату и прямоугольнику будет понята с большим трудом, потребует значи тельных усилий со стороны учеников, которые обратятся со своими недоумениями к преподавателю, и здесь также придется давать целый ряд дополнительных повторных раз'яснений, чтобы выяснить вопрос до конца;

3) затруднения некоторых учеников будут вызваны неясным представлением о высоте тупоугольного треугольника, неуменьем найти эту высоту, почему они и не смогут ориентироваться в чертеже;

4) можно быть уверенным, что при конспективной записи теоремы в тетрадях появятся такие чертежи (см. черт. 2 и 3).

Такого рода чертежи не только не помогут ученикам, а будут сбивать их с толку. Поэтому преподаватель должен будет притти на помощь и путем вызова к доске некоторых учеников продемонстрировать набросок верного чертежа от руки.

Мы видим, таким образом, что доказательство будет проведено с большими тормозами. Преподаватель будет вынужден делать отступления для напоминания некоторых основных положений о равенстве углов, равновеликости фигур и пр. Эти дополнительные повторные раз'яснения будут делаться на ходу, без методической к ним подготовки, они потребуют много времени для окончательного понимания. Но самый основной недостаток, корень зла этих отступлений заключается в том, что они распыляют внимание класса, разрывают на части общий ход доказательства, затемняют общую картину. А ведь всякое доказательство хорошо усваивается только тогда, если мы отчетливо и ясно представляем себе его идею, если мы видим его схему.

Чтобы правильно построить урок, надо сделать так, как делают при расчистке пути, по которому пойдут грузы: выяснив все неровности пути, заранее устраняют препятствия — убирают камни, засыпают землей ямы, уплотняют грунт. Путь для геометрического доказательства может и должен быть подготовлен — для этого надо заранее учесть

Черт. 2 Черт. 3

все препятствия, продумать их и своевременно устранить. Это будет благодарная и чрезвычайно полезная методическая работа над конкретным материалом.

Урок разделится на две, тесно связанных между собой, части: подготовительную и окончательную.

В первой части преподаватель предлагает вспомнить некоторые положения из пройденного материала:

1) Формулируется теорема об углах, стороны которых взаимно-перпендикулярны ; здесь полезно разъяснить, что если каждый из этих углов тупой, то они между собою равны, а если эти углы имеют общую вершину, то равенство их наглядно подтверждается тем, что каждый из этих углов состоит из прямого угла плюс общий острый угол х:

Все это раз'ясняется, конечно, у доски с помощью чертежа.

2) Преподаватель напоминает об условии равновеликости плоских фигур и показывает на чертеже, что всякий треугольник, имеющий общее основание с прямоугольником и вершина которого находится на втором основании (или продолжении его) прямоугольника, равновелик половине этого прямоугольника. Попутно разъясняется вопрос о высоте тупоугольного треугольника и демонстрируются чертежи для различных положений прямоугольника и квадрата, причем желательно показать это расположение примерно в том виде, каким оно будет в предстоящем доказательстве (см. черт. 5 и 6).

Каждый чертеж полезно иллюстрировать соответствующей сокращенной записью, как это показано выше.

3) Напоминаем общее положение: если половины двух величин равны, то равны и целые величины. Здесь также полезно дать один-два коротких, но убедительных и наглядных примера.

4) Сделав на доске набросок будущего чертежа, вызываем к доске кого-либо из слабых учеников и предлагаем ему сделать такой же чертеж (верный чертеж с доски стерт). Остальные ученики выполняют то же задание в тетрадях: построить квадраты на каждой из сторон прямоугольного треугольника.

Пока ученики делают чертеж, вы просматриваете их работу, потом делаете общие заключительные об'яснения о построении чертежа, после которых ученики быстро исправляют отмеченные недостатки в тетрадях, а вызванный ученик делает верный чертеж у доски.

Теперь подготовительная часть кончилась, и вы можете приступить ко второй части — окончательному выводу доказательства теоремы. Пользуясь уже выполненным на доске и в тетрадях чертежом, предлагаем ученикам провести высоту из вершины С прямого угла, продолжив ее до пересечения с противоположной стороной квадрата гипотенузы. Обозначив квадраты катетов для наглядности не буквами, а римскими цифрами I и II, соответственные же им прямоугольники, на которые разделился квадрат гипотенузы, одноименными цифрами,— поставим вопрос: нельзя ли доказать равновеликость одноименных квадрата и прямоугольника.

Проведя BD и СЕ (черт. 7), заштриховываем образовавшиеся треугольники и раз'ясняем, что: 1) каждый из этих треугольников равновелик половине площади соответственного ему квадрата и прямоугольника (I); 2) что эти треугольники равны между собой:

Черт. 4

Черт. 5 Черт. 6

Следовательно:

Пл. пр-ка 1=;пл. кв. I.

Таким образом пл. прямоугольника I =; = пл. квадрата I; то же самое можно сказать о прямоугольнике II и квадрате II. Этим теорема доказана.

Все доказательство займет в своих обеих частях значительно меньше времени, чем в том случае, если преподаватель, не учтя предстоящих затруднений, скажет, что прошлый материал ученики должны знать, и оставит их без предварительных раз'яснений показанного выше типа. В результате произойдет то, о чем говорилось раньше: распыление внимания, дополнительные вопросы и необходимость повторных раз'яснений на ходу, напрасная потеря времени и затемнение общей перспективы.

То, что очевидно учителю, далеко не всегда бывает ясным для учеников. Поэтому при подготовке к уроку преподаватель должен разобрать весь комплекс логически расположенных математических предложений, умозаключений и геометрических образов не со своей точки зрения, а с точки зрения среднего ученика. Надо внимательно и терпеливо продумать именно с этой точки зрения все вопросы, учесть все возможные трудности и путем тщательной разработки первой, подготовительной части урока, предвидя вероятные затруднения, устранить их со своего пути. В этом случае урок будет проведен плодотворно, экономно во времени, отчетливо и ясно. Вооруженные предварительными раз'яснениями преподавателя в первой части урока, ученики не запутаются в деталях и быстро ориентируются в общем методе предложенного доказательства.

На примере теоремы Пифагора мы видим, что внимательная разработка подготовительной части урока чрезвычайно облегчает классную работу и рационализирует урок. Таким же путем необходимо подходить ко всякому геометрическому вопросу.

Например, опыт показывает, что в теореме об отношении площадей подобных треугольников ученики с большим трудом понимают общеизвестное тождественное преобразование:

то

Откуда получаем:

Если же преподаватель предложит в подготовительной части урока выполнить несколько аналогичных преобразований, сделав соответствующие раз'яснения, все трудности сейчас же отпадут.

При выводе формулы Герона обычным затруднением учеников является недостаточный навык в аналогичных тождественных преобразованиях с формулами сокращенного умножения и непонимание перехода от а + -f. Ь-\- с = 2/7 к равенствам: а + Ь — с=^ = 2{р — с)\ а + с — Ь = 2(р — Ь) и Ь + -|- с — а = 2 (р — а).

Здесь также надо соответственным образом разработать первую часть урока, чтобы подготовить отчетливый и ясный путь для второй его части.

Заканчивая эту статью, считаем необходимым оговориться, что мы далеки от мысли предлагать догматический формально-дедуктивный путь в изложении геометрического материала. В школьном курсе геометрии безусловно при доказательствах надо широко применять давно испытанный и неизмеримо плодотворный метод исканий, метод анализа, метод умело построенной эвристической беседы.

Но во всех случаях, когда план классной работы предусматривает вывод новых геометрических предложений, следует с особой внимательностью и чуткостью подходить к построению плана урока, учитывая психологию ученика, предусматривая его затруднения,

Черт. 7

необходимость предварительного напоминания некоторых давно пройденных разделов, а иногда — повторения, углубления и разъяснения.

Если преподаватель внимательно разработает план подготовительной части урока, он значительно облегчит не только свою работу, но и поможет ученикам лучше, быстрее, отчетливо и уверенно разобраться в новом материале.

И эта рационализация учебного часа, этот вдумчивый и заботливый подход к плану урока есть обязанность каждого преподавателя в его искании лучших приемов работы, в повышении качества своего ответственного педагогического мастерства.

ИЗМЕНЕННАЯ ФОРМУЛА ГЕРОНА

А. ДРОКИН (Краснодар)

Для случая, когда стороны треугольника выражены иррациональными числами, вычисление его площади по формуле:

(I)

является весьма затруднительным.

В самом деле, если

Несмотря на возможность применения формул сокращенного умножения, а именно:

и так далее, преобразования и вычисления все же весьма длительны (возможны описки).

Поэтому в тех случаях, когда стороны треугольника выражены иррациональными числами, рекомендуют пользоваться преобразованной формулой:

(II)

которая может быть получена из формулы (I) следующим образом:

* Дальнейшие преобразования — такие же, как и при выводе второй (II) формулы.

Применение этой формулы для вычисления площади треугольника по тем же данным:

во много раз сокращает вычисления, вызывая вместе с тем и меньшее умственное напряжение.

Но, применяя эту формулу для вычисления площади треугольника, стороны которого выражены большими иррациональными числами, убеждаешься, что и эта формула приводит к сложным вычислениям благодаря наличию в ней четвертых степеней сторон и произведению их квадратов.

Например, если

Произведя несложные преобразования формулы (II), мы получим формулу

и по аналогии

(III)

очень удобную не только для вычисления площади треугольника для случая, когда его стороны выражены большими, но и для случая, когда они выражены малыми иррациональными числами, поэтому эту формулу (III) следует предпочесть формуле (II) (в формуле (II) под радикалом 10 трудных действий, в формуле (III) только 7, и притом более легких).

Покажем применение формулы (III) на решении предыдущей задачи:

Во вторые скобки под радикалом формулы (III) надо ставить числа, подкоренные количества которых имеют наименьшую разность, тогда и в квадрат придется возводить наименьшее из чисел, возможных в данном случае.

Несомненно, что ученики старших классов средней школы должны быть знакомы с этой формулой.

Однажды убедившись в эффективности этой формулы, они охотно будут пользоваться ею в дальнейшем, что я уже наблюдал в X классе. Ознакомить учащихся с этой формулой можно на кружковых занятиях, поручив доклад об этом одному из учеников, примерно по тому плану, п© которому написана настоящая статья, а приложение ее — перенести на уроки. Хорошо, если ученики

убедятся на опыте, что применение формул I и II для решения примера, подобного последнему, сопровождается длительными и трудными преобразованиями и вычислениями.

В заключение необходимо заметить следующее. Некоторые преподаватели практикуют неэкономные пути вычислений и преобразований на том основании, что это дает возможность учащимся поупражняться в тождественных преобразованиях.

Но это соображение неосновательно, так как наши учащиеся должны иметь не вообще навыки в тождественных преобразованиях, а навыки в экономных тождественных преобразованиях. Поэтому можно принять за правило, что основным соображением, определяющим выбор пути преобразований, является соображение, вытекающее из требований экономии сил и времени (и легче и короче), если только не будет веских привходящих соображений, как, например, при сравнении различных путей преобразований для наиболее целесообразного из них, когда вполне естественно наличие неэкономных путей. Но в преобладающем большинстве случаев все же соображения экономии являются наиболее вескими, особенно тогда, когда преобразования — не самоцель, а средство для разрешения основной задачи (в данном случае — вычисление площади треугольника).

Это, почти общее, правило становится еще более обязательным на практике, где только необходимость получить промежуточные результаты вычислений может заставить работника избрать более затруднительный путь.

КОЭФИЦИЕНТ ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ ТЕПЛОВЫХ МАШИН

(IX класс средней школы)

Д. ГАЛАНИН (Москва)

В программе IX класса есть одна тема, требующая от преподавателя особого внимания— это «Работа газа и пара». Как методически подойти к ней, чтобы ответить на основной вопрос, который является ее главной целевой установкой — объяснить основные научные принципы работы тепловых машин? Трудность этой темы заключается в том, что нужно, давая достаточно глубокие научные обоснования для понимания принципа действия тепловых машин, не перегнуть палки и не выбрать чересчур сложный порядок изложения, который обычно приводит к необходимости затронуть все основные принципы термодинамики. Я согласен с изложением в стабильном учебнике параграфа, называющегося «Работа газа», но дальнейшее изложение может быть значительно упрощено.

Начинаем с вывода формулы

A=ip(vt — V2)y

при р постоянном. Предположим затем, что давление не остается постоянным. Пусть в начале процесса, при впуске пара, его давление будет pl9 а при выходе пара давление равно р2. Упругая энергия пара связана только с давлением и об'емом пара, поэтому работа газа будет равна разности произведений pv в начале и конце процесса, т. е. полезная работа газа будет равна:

Это будет та работа, которую газ отдает в машине. Работа, которую газ мог бы отдать, если бы при выходе из машины он не имел никакой упругой энергии, очевидно, равна:

Азат.:= Pl^i*

Это легко видеть из того, что эту величину работы мы получаем, приравнивая p2V2=;0, т. е. считая, что газ из машины выходит, не имея в себе никакого запаса энергии.

Коэфициент полезного действия тепловой машины тогда будет равен:

Возьмем теперь уравнение Клапейрона в такой форме:

Применить это уравнение мы имеем право, так как масса газа остается одной и той же. Выразим из этого уравнения

Заменим в выражении коэфициента полезного действия p2V2 из этой формулы. Получим

Сокращая на pxVv получаем 7)=1— —, или, приводя к общему знаменателю, получаем:

т. е. формулу для коэфициента полезного действия всякой тепловой машины, данную Карно.

Этими рассуждениями мы избавляемся от необходимости вводить понятие о круговых процессах и о цикле Карно, остающихся в элементарном изложении для учащихся непонятными и, во всяком случае, не позволяющими делать с ними какие-либо расчеты.

ОСОБЫЙ МЕТОД ВЫВОДА ФОРМУЛЫ ПЕРИОДА ГАРМОНИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ

Проф. З. ПРИБЛУДА (Одесса)

Вывод важнейшей формулы периода Т = = 2т: 1/ — для гармонического колебания небольшой амплитуды делается обыкновенно или на основании решения диференциального уравнения колебательного движения или элементарными способами.

В первом случае гармоническое движение определяется как такое колебание около некоторой точки, при котором элонгация (удаление от положения равновесия) пропорциональна действующей силе и противоположно ей направлена.

Во втором случае гармоническое движение рассматривается как проекция равномерного обращения по окружности.

В средней (и даже высшей) школе второй способ является преобладающим. Между тем, такое толкование в физике совершенно неудовлетворительно в методологическом отношении и оставляет желать лучшего также с методической стороны.

Гармоническое движение реального тела отождествлять (по определению) с движением тени на экране (с проекцией) — в высшей степени рискованный шаг, особенно, если изучение этого движения проводить не только с точки зрения кинематики, но и динамики.

Получается, что мы не только занимаемся движением теней, но ищем также силы, которые управляют этими тенями: создается нечто вроде «естествознания в царстве теней».

Мало того, такая интерпретация страдает и с формальной стороны существенными недочетами. Во-первых, главное свойство гармонического движения (пропорциональность элонгации силе) становится при этом достаточно отдаленным и не всегда безупречным выводом из данного определения. Такое положение ведет и к методическим трудностям и к прямой логической ошибке при использовании этого свойства для вывода формулы периода колебания; именно: из того, что при движении маятника (с малою амплитудою) элонгация, как легко показать, пропорциональна силе, — делается обратное, логически не обоснованное, заключение о гармоническом характере колебания маятника, с применением соответствующих формул, выведенных на основании совершенно отличных представлений о гармоническом движении, как проекции кругового.

Без сомнения, более правильным во всех отношениях является, наоборот, определение гармонического движения по его основному свойству, а представление этого движения как проекции должно из него вытекать в виде следствия. Очевидно, тогда и дальнейшие выводы будут свободны от логических передержек; яснее обозначится также физический смысл гармонического движения и его кинематическая интерпретация в виде проекции кругового движения.

Определения

Гармоническим движением называется такое колебание около некоторой точки, при котором элонгация пропорциональна действующей силе и противоположно ей направлена.

Гармонической силой называется такая сила, которая пропорциональна элонгации и направлена в противную сторону (т. е. гармоническая сила — это такая сила, которая обусловливает гармоническое движение).

Примерами гармонических сил являются силы упругости, противодействующие деформациям пружины при ее колебании и пропорциональные соответствующим элонгациям (на основании закона Гука).

С другим примером гармонической силы мы встречаемся при математическом маятнике с достаточно малою амплитудою; такой маятник мы будем называть простейшим.

Теорема 1. Движение простейшего маятника гармоническое.

Разлагаем вес маятника P = mg на два компонента (черт. 1) Pt и Р2. Легко видеть, что сила, под влиянием которой движется маятник МРХ = Р sin а = — mg у, т. е. эта сила пропорциональна элонгации х (при достаточно малых амплитудах, х = ММо — элонгации).

Следовательно, Рх есть гармоническая сила, и движение маятника при данных условиях — гармоническое.

Теорема 2 (обратная). Всякое гармоническое движение эквивалентно движению простейшего маятника.

Пусть дано произвольное гармоническое движение с элонгацией ху под влиянием гармонической силы /. Тогда имеем: /=—kx (1), где К — коэфициент пропорциональности, а знак минус показывает, что сила направлена против элонгации. Каково бы ни было значение К, мы всегда можем подобрать достаточной длины и соответствующей массы простейший маятник, для которого величина——равнялась бы К. Тогда формула (1) перейдет в / =--j- х (2), т. е. в формулу гармонической силы простейшего маятника: формулы (1) и (2) станут эквивалентны.

Теперь докажем, что всякое гармоническое движение есть синусоидальное, т. е. что элонгация этого движения пропорциональна синусу угла, который изменяется от 0° до 360°.

Теорема 3. Движение простейшего маятника есть синусоидальное.

Из чертежа 1 мы видим, что элонгация х= I sin а (3), где угол а (назовем его амплитудным углом) может изменяться от 0° до некоторого максимального значения ат (практически, приблизительно 4°). Максимальное значение соответствующей элонгации называется амплитудой (линейной) колебания. Обозначим ее через А. Тогда на основании (3) мы можем записать, что 24 = /sinam (4).

Теперь докажем, что х = A sin 9 (5), где угол 9 (будем его называть фазовым углом) изменяется от 0° до 360°. Выберем угол ф так, чтобы sin о =-(о), что, конечно, всегда возможно. При таком соответствии углов легко видеть, что фазовый угол <р изменяется от 0° до 360°, в то время как амплитудный угол a при колебании маятника изменяется от 0° до am, от а^до 0°, от 0° до — и от — до 0°, и наоборот.

Если мы теперь в формулу (3) подставим значение / и а, взятые из формул (4) и (6), то получим:

что и требуется доказать. Следствия:

1. Из сказанного мы в праве, на основании теоремы 2, сделать заключение, что и всякое гармоническое движение есть синусоидальное.

Черт. 1

2. А отсюда, в свою очередь, в связи с тем, что x = As\n<D (т. е. элонгация есть проекция амплитуды на ось, образующую с нею угол в 90°—с), вытекает, что гармоническое движение может быть представлено, как проекция кругового движения радиуса А на некоторую ось.

Конкретно — для маятника, это можно видеть из чертежа 2, где окружность центра С описана радиусом, равным линейной амплитуде Л, ф — фазовый угол, а — амплитудный угол маятника ОМ, х — проекция А на ось X.

Черт. 2

3. Наконец, из последнего также становится ясным значение угла о как фазового угла, так как о = cor, где (о=— есть угловая скорость проектируемой точки Р: в то время как точка Р за период Т описывает окружность, маятник Ж, соответственно значениям фазового угла <р, пробегает все значения амплитудного угла от 0° до ато, от 0Lm до 0°, от 0° до — ат и от — ат до 0°.

Для вывода формулы периода Т маятника нет необходимости ни в доказательстве теоремы 2, ни в следствиях из теоремы 3. Более существенное значение при предлагаемом нами приеме будет иметь следующая теорема.

Теорема 4. Результирующее движение двух взаимно-перпендикулярных гармонических колебаний с одной и той же амплитудой и с фазами, отличающимися на 90°, есть круговое движение с радиусом, равным амплитуде.

Назовем соответствующие элонгации через хну. Тогда: — х A sin op, у = A sin (90°-|--}-ф). Сложивши геометрически данные два движения, мы найдем:

То, что в любой момент результирующая элонгация постоянна (постоянное расстояние от точки равновесия на Л), свидетельствует о круговом характере (с радиусом А) результирующего движения, что и требовалось доказать (то же можно заметить, если равенство \/“х2 -f- у2—А преобразовать в х2-\~у2 = А2— уравнение окружности радиуса А).

Опыт. Для случая маятника это легко демонстрировать, если к грузику одного маятника прицепить другой маятник такой же массы и длины, отклонить грузик первого маятника на некоторый угол и далее, удерживая его в таком положении, дать качаться второму маятнику, с такою же амплитудою, в плоскости, перпендикулярной к плоскости первого маятника и, дождавшись момента прохождения через положение равновесия, пустить качаться также первый маятник. Тогда получим простейшую фигуру Лиссажу— окружность радиуса А.

Теорема 5. Период колебания простейшего маятника r = 2irl/_L

Назовем силу, действующую на маятник, через /. Тогда Д =;--— х. Допустим, что эта сила действует и на другой маятник, прицепленный к нему и движущийся, как в предыдущем опыте. Тогда на другой маятник будут действовать две силы: Д и /2 = mg, которые, сложившись, дадут результирующую

Так как результирующее движение круговое, радиуса Л, то / есть центростремительная сила и равна — mtoM, т. е.--j- А= — ты2 А. Отсюда:

Если иметь в виду только вывод указанной формулы, особенно в условиях средней школы, то можно было бы ограничиться с этой целью лишь основными определениями, теоремой 1, описанным опытом получения фигуры Лиссажу и теоремою 5.

Если же мы захотели бы дальнейшего углубления изучения гармонического движения с установлением скорости и ускорения этого движения, то, с точки зрения выдвигаемого нами метода, можно использовать для этого три пути.

Первый путь — это исходить лишь теперь из представления гармонического движения как проекции кругового. Против метода проекций, как такового, вообще говоря, конечно, ничего нельзя иметь (наоборот, при случае следует подчеркнуть его пользу): мы возражаем только пуотив того, чтобы проекцию-тень класть в основу истолкования физического явления, так как, по нашему крайнему разумению, это недопустимо методологически, не вполне безупречно логически и также мало оправдано с методической стороны: от оперирования тенями у учащихся большею частью только и остается тень знания и, в лучшем случае, достигается только механическое усвоение надуманного вывода формул, без понимания физической сущности явления. Другое дело, если подойти к проекционной интерпретации гармонического колебания, после того как это движение изучено с. физической стороны на анализе колебания простейшего маятника. Тогда такая интерпретация не только может быть дана теоретически, как мы это сделали в следствиях из теоремы 3, но и значительно больше смысла преобретает желательная при этом демонстрация соответствующей проекции кругового движения на экране. Далее углубляется также представление кругового движения как своего рода колебательное (ротаторное). Наконец, как мы говорили, метод проекций позволит вывести обычным образом (сравним, например, вывод стабильного учебника Фалеева и Перышкина) скорости и ускорения гармонического движения.

Другой путь (также обычный) для достижения последней цели лежит в диференцировании выражения для элонгации:

Может быть указан, наконец, и такой путь:

= — тп со2 х, следует, на основании второго закона Ньютона, что ускорение гармонического движения я —— (о2 X = (оМ sin ? =j — to2 Л sin со t. Что же касается скорости, то ее остается при этом найти либо опять-таки методом проекции, либо интегрированием выражения:

(где v0 — линейная скорость соответствующего кругового движения).

ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ ВЫВОД ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ЭНЕРГИИ КОЛЕБАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Г. ИОФФЕ (Москва)

Обозначим через / длину математического маятника, через а — угол, соответствующий максимальному его отклонению от положения равновесия, отрезок AB через я, через h — высоту, на которую приподнимается масса m маятника при колебаниях, и через г—отрезок OB (см. чертеж).

Из чертежа видно, что при отклонении маятника на угол а, угол ABC между двумя непересекающимися хордами AB и СВ будет —, т. е. половина центрального угла, опирающегося на ту же дугу CA.

Напишем согласно с чертежом следующие выражения:

(1) (2) (3)

Перемножая левые и правые части выражений (1) и (2), имеем после умножения обеих частей получаемого равенства на 2:

(4)

что, согласно с (3), дает:

(5)

откуда, после сокращения на г, имеем для величины А:

(6)

Подставляя полученное выражение (6) вместо h в выражение, определяющее потенциальную энергию маятника при соответствующем максимальном отклонении его, имеем:

(7)

т. е. энергия колебания математического маятника пропорциональна величине колеблющейся массы и квадрату расстояния от положения равновесия массы до максимального положения отклонения ее и обратно-пропорциональна длине маятника.

Приняв за амплитуду колебаний длину хорды вместо длины соответственной дуги, мы для небольших углов можем не вносить в выражение (7) никакой поправки и понимать под а амплитуду колебаний.

Сравнивая выражение (7) с выражением для энергии колебающейся массы под действием упругой силы:

(8)

заключаем, что возвращающая сила в данном гармоническом колебательном движении для математического маятника при единице его перемещения есть

(9)

Выражением (9) можно воспользоваться для получения выражения, определяющего период колебания математического маятника в зависимости от его длины, если заменить в выражении для периода колебания под действием упругой силы

(10)

отношение

Но выражением (7) можно воспользоваться для получения выражения

(11)

и другим путем.

Так как энергия колебания математического маятника при прохождении его через свое положение равновесия имеет целиком кинетическую форму, т. е.

(12)

то, сокращая обе части (12) на —, имеем:

(13)

откуда

(14)

Выражение (14), определяющее амплитуду колебания для данного математического маятника, в зависимости от скорости, сообщенной ему в положении его равновесия, само по себе интересно и показывает, что амплитуда зависит не от величины колеблющейся массы, а лишь от той скорости, которую ей задали, т. е. только от сообщенной маятнику энергии.

Умножив обе части выражения (14) на Ту имеем

(15)

и воспользуемся тем фактом, что скорость равномерного движения тела по окружности

равна скорости проекции этого движения в положении так наз. равновесия, для замены vT в правой части (15) соответственным путем проходимым движущимся телом по окружности за время Т со скоростью v, т. е. величиною 27tr; так как радиус окружности проектируемого движения равен амплитуде колебания проекции, то 2 тег = 2 то, т. е.

(16)

и, после сокращения на я, получаем искомое выражение для периода колебания математического маятника.

Данный вывод для энергии колебания математического маятника, если его сравнить с имеющимися выводами, имеет все основания для предпочтения его в педагогическом процессе.

К ЭЛЕМЕНТАРНОМУ ВЫВОДУ ФОРМУЛЫ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Н. ЕЖЕВ (Ижевск)

Возьмем в качестве физического маятника твердое тело М, которое может качаться около оси, перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей через точку О (рис. 1). Центр тяжести этого тела пусть лежит в точке С, на вертикальной линии, проходящей через точку О, на расстоянии / от точки О. Массу этого тела, сосредоточенную в центре тяжести, обозначим через т. Если такое тело вывести из положения равновесия, отклонив на некоторый угол а так, чтобы центр тяжести из положения С перешел в Л, а затем отпустить, то тело начнет качаться как маятник с некоторым периодом Т.

Найдем величину Р потенциальной энергии центра тяжести в точке А. Если ускорение силы тяжести обозначим через g, то P = mg-CD.

Пусть CD = А, тогда

P^mgh. (1)

Обозначим амплитуду колебания нашего маятника АО = а. Из треугольника AOD, если угол а мал, имеем

а = /а. (2)

На основании известной теоремы о перпендикуляре, опущенном из точки окружности на диаметр, имеем

а2 =; /2 — (/ — h)2 = 2/А — h2.

При малом а и h, h2 можно пренебречь и тогда

д2 = 2/А,

откуда

(3)*

Подставив из (3) значение А в формулу (1) и из (2) значение а в формулу (1), после соответствующих сокращений получаем:

(4)

Когда тело из положения А будет возвращаться в положение С, то в точке С вся

Рис. 1

* См. также вывод этого выражения в предыдущей статье.

потенциальная энергия Р, пренебрегая потерями на трение, образование тепла и пр., переходит в кинетическую — AT. Найдем величину этой энергии. Кинетическая энергия вращающегося тела равна:

(5)

где / — момент инерции тела, со — угловая скорость вращения точки С. Угловая скорость to, как известно, равна линейной скорости v, деленной на расстояние точки С от оси вращения, т. е. на/, так что со= у, но линейная скорость v точки С равна

где

Т есть период колебаний, тогда

Подставив значение со в равенство (5) и принимая во внимание (2), получаем

(6)

Имея в виду, что движение материи не уничтожимо и различные формы движения материи «переходят одна в другую в известных количественных соотношениях»*, приравнивая равенства (4) и (6), имеем

Произведя сокращения, получаем:

откуда

(7)

Величина mgl в формуле (7) носит название момента силы, вращающей тело, который численно равен произведению силы (tng) на расстояние / этой силы от оси вращения.

Применяя нашу формулу (7) к частному случаю, когда в качестве маятника у нас имеется тонкий прямолинейный однородный стержень, длиною /, массы m, качающийся около оси, проходящей перпендикулярно к его концу (рис. 2), момент инерции / такого маятника относительно оси вращения определится из формулы**:

(8)

где h — расстояние от оси вращения до центра тяжести и /1— момент инерции этого тела относительно оси вращения, проходящей череа центр тяжести тела. В рассматриваемом случае h будет равно

и, вставив значения /1

и Ä в формулу (8), получаем:

(9)

Подставляя из (9) значение / в равенстве (7) и, приняв во внимание, что теперь вместо / нужно взять

получаем:

Рис. 2

(10)

Обозначим

тогда

(11)

Из формулы (11) видно, что внутри качающегося твердого, однородного стержня есть такая точка (центр качаний), находящаяся на расстоянии — длины всего стержня от точки привеса, которая колеблется с тем же периодом, что и данный стержень. Иначе говоря, формулы (11) и (10) показывают, что длина L математического маятника, колеблющегося с периодом Т, равным периоду физического маятника, равна — длины физического маятника.

Для демонстрации этого вывода W. Reinecke**** предложил маятник такого устройства, названный им колоколообразным маятником: берется стеклянная трубка А длиною около 50 см и диаметром около 1,5 см, которая вделывается в металлическую оправу С. Через оправу пропущена ось, к которой при-

* Ф. Энгельс — «Людвиг Фейербах», стр. 66, Соцэкгиз, 1931.

** Э. Эдсер — «Общая физика. Основные свойства материи», 1913 г., стр. 56.

*** Ibid, стр. 49.

**** Ibid, стр. 49.

креплена нить и на нити подвешивается стальной шарик В. Вращая ось, длину нити можно было изменять*. К оправе приделаны выступы, служащие осью вращения трубки. За эти выступы трубка подвешивается к подвесу D, который укреплен в штативе (рис. 3). Если стеклянную трубку с подвешенным внутри ее шариком пустить качаться, то стальной шарик будет ударяться о стенки трубки и будет получаться звук, если длина нити больше или меньше „- длины трубки, так как период его колебаний не будет совпадать с периодом колебаний трубки.

Изменяя же длину нити, можно достигнуть того, что шарик не будет ударяться в стенки трубки, т. е. будет качаться с тем же периодом, что и трубка. Прибор позволяет сделать видимым в физическом маятнике, каковым является трубка, центр качаний и проверить изменением длины математического маятника, каковым является подвешенный на нити шарик, справедливость формул (10) и (11 ).

Рис. 3

ДВА НОВЫХ ВЫСОКОКАЧЕСТВЕННЫХ ПРИБОРА ПО ЭЛЕКТРОСТАТИКЕ

Б. СПАССКИЙ

Кировским комбинатом учебно-технического и школьного оборудования в текущем году выпускаются два новых демонстрационных прибора по электростатике: 1) комплект из двух чувствительных электрометров типа Брауна**, 2) раздвижной плоско-параллельный конденсатор.

Комплект двух электрометров

Комплект состоит из двух одинаковых электрометров, двух полых шаров диаметром 10 см, надевающихся на электрометры, двух острий, вставляемых в шары, пары конденсаторных пластинок диаметром 10 см, одного тонкого прямого разрядника длиной 50 см и пробного шарика на изолирующей рукоятке (рис. 1).

Все части, кроме электрометра и разрядника, уложены в коробку. Каждый электрометр состоит из металлического цилиндрического корпуса диаметром 20 см (рис. 2), со стеклянными стенками, поставленного на действующую трехлапную пластинку. На задней матовой стенке находится крупная шкала, показывающая вольты от 1 до 10 вольт. На верхней части корпуса гайкой Г укреплена изолирующая эбонитовая пробка (в производстве может быть поставлена и другая изоляция), сквозь которую проходит основной стержень С электрометра. На верхний выступающий конец стержня надевается полый шар или конденсаторный диск. Нижняя часть стержня (внутри электрометра) имеет посредине горизонтальный уступ, на который ввинчены два центровых винта В с заделанными в них подшипниками из агата или стекла. В подшипниках вращается ось стрелки S электрометра цилиндрической формы, изготовленной из алюминиевой фольги толщиной в 0,01 мм.

* Glockelpendel — «Physikaliche Berichte», 1922, Heft 3, p. 115.

** Промышленные образцы этих приборов разработаны в Институте политехнического образования.

Рис. 1 Рис. 2

Для запирания стрелки во время транспортирования служит арретир Л, состоящий из загнутой под прямым углом проволочки, зажимаемой винтом е.

Клемма К служит для соединения корпуса электрометра с землей во время измерительных опытов.

Чувствительность электрометра, употребляемого с конденсатором — 1 вольт на одно деление. Показания свыше 5 вольт ненадежны. Комплект служит для демонстрационных опытов по электростатике, не требующих малой емкости прибора, и для электростатического измерения небольших разностей потенциалов, например на полюсах элементов.

Благодаря высокой чувствительности прибора, опыты с ним удаются легко и носят резко выраженную форму. Например, электризацию металлов можно демонстрировать на пробном шарике, электризация человека обнаруживается после 20—30 легких ударов резинкой по руке электризуемого, электростатическое влияние демонстрируется при расстоянии в 40—50 см влияющего заряженного шара или наэлектризованной палки от электрометра. Легко удается опыт, показывающий равенство зарядов при электризации трением, опыт по поляризации диэлектрика, опыт с цилиндром Фарадея (роль цилиндра играет полый шар). Так же легко измеряются в вольтах разности потенциалов на полюсах элементов или на полюсах городской сети постоянного или переменного тока. Наконец, электрометр можно использовать для демонстрации падения потенциала вдоль проводника, по которому идет электрический ток.

Прибор превосходит своим качеством все довоенные образцы подобного типа.

Раздвижной конденсатор

Этот прибор (рис. 3) назначен для изучения конденсатора, для демонстрации электрического разряда в воздухе при высоких

Рис. 3

потенциалах и для измерения разрядных потенциалов до 60 000 вольт; диаметр конденсаторных пластин 160 мм, наибольшее расстояние между ними 200 мм.

К прибору прилагаются два острия, два шара диаметром 25 мм, и стеклянная или эбонитовая пластинка, служащая диэлектриком в конденсаторе.

Основанием прибора является деревянная лакированная платформа. На ней при помощи двух низких чугунных постаментов П укреплены два круглых железных стержня С, С, по которым, как по рельсам, может двигаться металлический штатив Ш. Он не снимается с рельс и несет изолирующий стеклянный стержень CT высотой в \ 80 мм, на верхнем конце которого находится металлический кронштейн Ир для конденсаторной пластинки (I). Вторая конденсаторная пластинка П укреплена в приборе таким же образом, но штатив ее не может передвигаться по рельсам. На кронштейнах имеются клеммы К, с круглыми головками, зажимы 3 для конденсаторных пластинок (также с круглыми головками) и электроскопы Э для наблюдения потенциалов пластинок. Между конденсаторными пластинками можно помещать пластинку из диэлектрика (эбонит или стекло), помещенную в третьем низком штативе LU, который снимается с рельс и передвигается по рельсам рукой. Штатив пер вой конденсаторной пластинки может при помощи винта / поворачиваться вместе с пластинкой вокруг горизонтальной оси, штатив второй пластинки винтом 2 может поворачиваться вокруг вертикальной оси. Оба движения позволяют устанавливать пластинки строго параллельно друг другу.

Передвижение конденсаторной пластинки 1 по рельсам осуществляется при помощи ходового винта В с шагом в 15 мм, нарезанного на одном рельсе и приводимого во вращение рукояткой Р. Ходовой винт позволяет весьма плавно и удобно менять расстояние между конденсаторными пластинками от 1 мм до 200 мм. При диаметре пластинок в 160 мм емкость конденсатора меняется при этом от 160 см до 0,8 см.

Расстояние между пластинками измеряется двумя шкалами: одной Их с делениями через 2 см, обращенной к учащимся, другой И2 — миллиметровой, обращенной к преподавателю. Обе шкалы могут передвигаться в небольших пределах для начальной установки.

Конденсаторные пластинки легко вынимаются из кронштейнов и могут быть заменены двумя остриями О, О или двумя металлическими шарами ФФ, диаметром в 25 мм, прилагаемыми к прибору.

С этими частями прибор обращается в раз-

рядник для демонстрации разрядки между остриями, между острием и плоскостью или между шарами. В последнем случае прибор служит для измерения высоких разностей потенциалов по длине искры, например в индукционных катушках. Таблица Т искрового потенциала до 60 000 вольт помещается на основной платформе между рельсами.

Для острий, шаров и электроскопов имеются на платформе прибора специальные гнезда.

Электрометр и раздвижной конденсатор являются приборами высокого достоинства. Они дополняют друг друга и являются основными приборами по электричеству для средней школы и педвузов.

ПРИМЕНЕНИЕ ЧУВСТВИТЕЛЬНОГО ЭЛЕКТРОМЕТРА В ШКОЛЕ

Д. ГАЛАНИН (Москва)

1. До сих пор школьная практика часто скорее обращает внимание на разницу между электростатическими явлениями и явлениями электрического тока, чем обеспечивает такую методику изучения, которая уничтожала бы эту разницу. Школьная практика до сих пор еще не поднялась на те обобщенные точки зрения, которые были впервые установлены еще Максвеллом и Герцем в конце 80-х и 90-х годов XIX столетия. Все еще для учеников часто остается незаполненным разрыв между заряженным шариком, искрой, лейденской банкой и элементом, электродвижущую силу которого и силу тока легко измерить обычным вольтметром и амперметром. Этот разрыв так трудно заполняется благодаря огромной разнице в масштабах между количествами электричества в тех и других явлениях. В самом деле, заряды шариков, получающиеся при электризации, или заряды электроскопа измеряются всего миллиардными долями кулона*, тогда как в явлениях электрического тока мы имеем дело с многими кулонами.

Существование этого разрыва в школе в большой мере объясняется недостаточной чувствительностью школьной аппаратуры. Это хорошо видно на тех, замечательных по своей убедительности, опытах, которые приведены, например, в известной книге Р. Поля — «Введение в учение об электричестве» при использовании достаточно чувствительной аппаратуры.

С стороны явлений тока этот пробел легко заполняется введением в школьную практику зеркального гальванометра, сделавшегося вполне доступным школе благодаря работам опытного завода при Физическом институте Ленинградского университета. Со стороны электростатических опытов задача может быть разрешена только созданием достаточно чувствительного электрометра, пригодного для школьной практики. Зеркальный гальванометр легко позволяет показать ток, получаемый даже от небольшой статической машины, и доказать этим опытом наличие магнитных сил тока от «статического» источника.

Исходя из этих соображений, физическая лаборатория Центрального института политехнического образования поставила в прошлом году перед собой задачу пополнить этот пробел путем сконструирования ряда приборов.

Работа была проведена по двум направлениям. С одной стороны, были сделаны попытки построить достаточно простой прибор, дающий возможность показать закон Кулона на взаимодействии тел при помощи обычных электротехнических источников напряжения. Самым удобным и простым из этих источников, конечно, является кенатронный выпрямитель, широко используемый в современных радиоприемниках и легко дающий напряжение порядка 300 вольт (одна абс. единица потенциала).

В качестве динамометра, дающего возможность измерить возникающие между заряженными шариками силы, были испробованы: длинный двухнитковый подвес (аналогично приему Одетрциля**) и упругие силы тонкой нити, поставленной горизонтально — вроде микровесов.

Оба способа оказались дающими чувствительность, достаточную для обнаружения эффекта притяжения или отталкивания при заряде шариков от 150 до 200 вольт при силах порядка десятых долей дины. Однако

* В известном курсе А. А. Эйхенвальда (стр. 17, изд. 1927 г.) приведен расчет зарядов двух шариков, подвешенных на нитях емкостью в 25 см в 5,2 • 1Ü-9 кулона. Обычный электроскоп с листочками имеет емкость 1—5 сч. (Kohlraush — «Lehrbuch der Praktischen Physik», стр. 614, 1У30 г.). При заряде до 60 вольт (2 абсол. единицы потенциала) количество электричества на электроскопе будет равно 10 CGSE или 3,3-10-э кулона, тогда как самый небольшой элемент легко дает ток в 0,2 амп., т. е. в б сек. даст целый кулон. С другой стороны, время разряда лейденской банки (Эйхенвальд, стр. 448), считая, что до практически полного затухания пройдет 1U колебаний, будет порядка к-7—Ю-8 сек.

** См. Б. Кольбе — «Введение в учение об электричества», ч. 1-я, стр. 124 и каталог Трындина, стр. 398, № 5679.

чувствительность все же оказалась недостаточной для измерения силы взаимодействия при более значительных расстояниях шариков и оказалось невозможным создать приборы, удобные для употребления в школе.

Физическая лаборатория ИПО не считает эту работу оконченной и полагает нужным испытать еще несколько способов измерения этих малых сил, при помощи возможно более удобных для обращения с ними приборов. Это решение основывается на том, что возможность обойтись при демонстрации кулоновских сил напряжениями, измеряемыми обычными токовыми вольтметрами, представляет собой огромную методическую ценность. Описание этих опытных приборов пока преждевременно.

Другая линия работы была направлена по линии создания электрометра, удобного- для применения в школе, но достаточно чувствительного. Изучая вопрос о типе электрометра, мы отказались пока от однонитных и двухнитных электрометров, ввиду отсутствия производства тонких нитей, опасности обрыва нити при перегрузках, и сосредоточили свое внимание на электрометрах типа Брауна. Попытки увеличить чувствительность даже демонстрационного электрометра оказались вполне возможными, и лаборатория передала промышленности электрометр, который сейчас изготовляется Кировским комбинатом*. Об этом электрометре, получающем сейчас распространение, и будет итти речь в дальнейшем изложении.

Кроме этого электрометра, лабораторией был создан проекционный электрометр малых размеров и проведена теоретическая работа по выяснению условий максимальной чувствительности подобного типа электрометров. Эта работа, сделанная научным сотрудником лаборатории Г. М. Ивановым, будет в ближайшее время опубликована. Исследование Г. М. Иванова показало, что в созданных электрометрах достигнута почти предельная для этого типа прибора чувствительность порядка нескольких десятков вольт.

Конструирование электрометра другого типа, обладающего чувствительностью порядка одного десятка вольт, должно, очевидно, составить одну из ближайших задач, но и с имеющимся сейчас демонстративным электрометром Брауна, освоенным уже промышленностью, можно при преподавании физики заполнить тот разрыв между электростатическими явлениями и явлениями электрического тока, о котором шла речь в начале статьи.

2. Чувствительный электрометр Брауна с конденсатором позволяет показать опыты Вольта с зарядом металлов при соприкосновении, а без конденсатора — напряжение, создаваемое алюминиевым или кенотронным выпрямителем и мгновенные заряды переменного тока.

Явления электрического тока и статического действия «химического» электричества впервые были вскрыты в известных опытах Гальвани и Вольта в самом конце XVIII столетия.

«Электрическая сила,— пишет Вольта**, — не могущая дать малейшей искры, не оказывающая действия на чувствительнейшие беннетовы электроскопы, производит сильнейшие содрогания в лапках лягушки. Приготовленная по способу Гальвани лягушка есть чувствительнейший электрометр».

«Можно ли, — спрашивает Вольта, — электричество, действующее в опыте Гальвани, считать принадлежащим животному»... «Но вероятнее ли, что в местах прикосновения металлов электрической жидкости дается импульс и что металлы — не простые проводники, а двигатели, или «возбудители», электричества?»

Первые попытки Вольта непосредственным опытом доказать возникновение электричества при соприкосновении металлов были неудачны. Прямой опыт доказать электризацию металлов и этим положить основание всему современному учению об электрической природе вещества удался Вольта только в 1795 г. после ряда неудачных попыток.

До сих пор опыт, показывающий электризацию при соприкосновении металлов и жидкостей с металлами, является достаточно трудным опытом.

Для этого опыта, кроме электрометра Брауна с конденсатором, надо иметь пластинки меди и цинка на хорошо изолирующих ручках. Форма пластинок и их величина не имеют значения. Ручки проще всего сделать из двух кусочков красного сургуча, которые приклеиваются пластинками, как показано на рисунке 1. Для того чтобы сургуч хорошо пристал к пластинке, ее необходимо прогреть до температуры, большей температуры плавления сургуча.

Пластинки берут за ручки в правую и левую руку, прикасаются ими к дискам собранного конденсатора и соприкасают их между собой. То место, где пластинки соприкасаются между собой, лучше сделать влажным, положив кусочек бумажки, слегка смоченной очень слабой серной кислотой. Затем

* См. статью т. Спасского в данном номере журнала.

** См. Н. А. Любимов — «Начальная физика», М., 1873, стр. 579.

пластинки сначала раз'единяют друг от друга, а потом — от конденсатора.

Конденсатор сейчас же разнимают, поднимая верхний диск.

Напряжение между цинком и медью приблизительно равно 1 вольту и расхождение электрометра не будет велико (1—2 деления).

Проделав этот принципиальный опыт, надо показать расхождение электрометра от элемента Лекланше, аккумулятора и убедиться в том, что два последовательно соединенных элемента дают приблизительно вдвое большее расхождение электрометра. Проволоки, соединяющие конденсатор с элементом, должны быть хорошо изолированы в электростатическом смысле этого слова* (на сургуче).

Повторяем, что этот опыт — трудный; его успех зависит от чувствительности системы электрометра, емкости конденсатора (с пластинок конденсатора необходимо смахнуть пыль мягкой кисточкой), ручки пластинок должно хорошо изолировать**.

3. Другой опыт, который можно показать с электрометром, уже без конденсатора — это измерение напряжения, даваемого динамо (120—220 V), анодной батареей для радио или кенотронным выпрямителем.

При этом опыте обязательно второй провод источника присоединять к корпусу электрометра.

Обычно от 100 вольт электрометр дает около 2—3 делений. Можно при этом пользоваться и переменным током, но в этом случае провод от тока только на мгновение присоединяется к электрометру и от удачи зависит, в какую фазу переменного тока он будет отсоединен. Второй провод не надо присоединять к корпусу, который желательно отвести к земле. После нескольких проб обычно удается зарядить электрометр. Приближая заряженную стеклянную или эбонитовую палочки, можно установить знак заряда, который может быть или положительный или отрицательный, в зависимости от того, какое напряжение на проводе было в момент отсоединения его от электрометра.

4. Далее очень интересно проследить при помощи электрометра падение напряжения вдоль цепи. Для этого составляем цепь из многоомных реостатов (всего 2 000—5 000), соединенных последовательно и присоединенных к кенотронному выпрямителю, дающему 200—300 вольт. Затем корпус электрометра соединяем с одним концом цепи, а другой — при помощи проволоки на изолированной ручке — присоединяем к разным частям цепи. Наблюдаем последовательное увеличение расхождения электрометра по мере возрастания сопротивления участка цепи.

Тот же опыт можно показать на мокрой веревке или шнурке. Шнурок соединяется с проволоками, идущими от выпрямителя, и проволокой соединяется одним концом с корпусом электрометра. Прикасаясь шнурком к электрометру, получаем отклонение, зависящее от сопротивления введенного участка шнура. Намочив сильнее часть шнурка, можно показать уменьшение сопротивления мокрой части шнурка (рис. 2).

5. Электризация через влияние. Один конец выпрямителя соединяем с корпусом электрометра, а другой — с изолированным шаром. На электрометр надеваем шар. Приближая заряженный шар, получаем заряд

Рис. 1

Рис. 2

* Нельзя полагаться на изоляцию проволок шелком или бумагой. Проволоки должны быть все в воздухе, а концы, приводимые в соприкосновение, прикреплены к ручкам из кусочков сургуча или серы.

** Изоляция проверяется обычным способом: электрометр заряжают палочкой и прикасаются к нему пластинкой, держа ее за ручку. Электрометр не должен спадать в течение 1—2 мин.

электрометра, исчезающий при удалении шара (рис. 3).

Электризация через влияние может быть показана и следующим образом.

Ставим два электрометра, надев на них шары, на таком расстоянии, чтобы их было удобно соединять палочкой. Корпуса соединяем друг с другом и с одним полюсом выпрямителя. Другой полюс присоединяем к шаровому кондуктору, который приближается к шарам электрометров с одной стороны (рис. 4).

Когда электрометры разойдутся, палочку снимаем и шар удаляем. Расхождение остается. Приближая к тому и другому наэлектризованную палочку или тот же шар, убеждаются в разном заряде электрометров. Соединяя электрометры в отсутствии шара изолирующей ручкой, убеждаются в спадании электрометров.

6. Проводимость ионизированного воздуха. Установка та же, что и в первом опыте с влиянием, но в шар вставляем острие, на которое надеваем зажженную спичку. При приближении заряженного шара электрометр быстро и сильно заряжается и заряд медленно спадает при удалении шара. Электрометр разряжается ионизирующим действием пламени.

7. Описанные опыты, количество которых, конечно, может быть увеличено в значительной мере, заполнят разрыв между электростатическими явлениями и явлениями электрического тока.

В историческом развитии физики увеличение чувствительности аппаратуры много раз позволяло открыть новые явления или лучше объяснить уже открытые (напомним хотя бы опыт Кевендиша, опыты с тяготением или опыты Капицы и Блэкетта с камерой Вильсона в магнитном поле, приведшие к открытию позитрона).

Точно так же в школьном преподавании. Увеличение чувствительности аппаратуры и ее усовершенствование часто открывает новые методические возможности.

Рис. 3 Рис. 4

ОПЫТ ШКОЛ

О НЕКОТОРЫХ РАСПРОСТРАНЕННЫХ ОШИБКАХ В ВОПРОСАХ АЛГЕБРЫ

В. АНТРОПОВ (г. Ковров)

В курсе алгебры есть целый ряд, на первый взгляд мелких, вопросов, недостаточное внимание к которым со стороны преподавателей вызывает у учащихся путаницу в более крупных, узловых темах математики. Указываем на некоторые из этих «мелочей».

1. Буквенные выражения

Обозначив какое-либо число буквой а, спросите учащихся последних трех классов средней школы: какое значение а— положительное или отрицательное, и вы во многих случаях услышите ответ: «Конечно, положительное». На такой же вопрос относительно величины, обозначенной—а, большинство учащихся отвечает, что значение—а отрицательное.

Это ошибочное отождествление учащимися средних школ знака буквенного выражения со знаком его численного значения вносит не мало путаницы в изучение различных вопросов алгебры и особенно на первых курсах втузов при изучении аналитической геометрии.

Как известно, координаты точки могут быть как положительными, так и отрицательными, в зависимости от того, в каком координатном угле плоскости находится точка. Например, координаты точки в третьей четверти отрицательны, но знак минус перед их обозначением не ставится. Таким образом, для этого случая х и у будут выражать собою отрицательные числа, а — х и—у — числа положительные.

Преподавателю нужно указать учащимся, что по знаку буквенного выражения нельзя заранее определить знак его численного значения, если при этом не дано дополнительных условий (а2 — величина всегда положительная, если а число не мнимое); к числу распространенных ошибок из этого отдела нужно отнести и непонимание учащимися различия между выражениями вида:

—ап и (— а)п.

(При некоторых частных значениях п оба указанные выражения одинаковы.)

Необходимо указать учащимся, что скобки в таких выражениях играют существенную роль, иллюстрируя это рядом примеров.

2. Разложение на множители

Предложите учащимся вынести общего множителя в каком-либо многочлене, например Зах2 — 2Ьх2 + ex, и все без особого раздумья выполнят вполне правильно.

Но если преподаватель предложит вынести за скобку в том же многочлене какой-либо из коэфициентов, например За или 2£, то большинство учащихся будет поставлено в затруднительное положение: они привыкли (им привили такую мысль) выносить за скобку только общий множитель. Уменье выносить за скобку любое выражение в том или ином многочлене имеет существенное значение во всех областях математики и математической физики. Достаточно указать на раз-

личные примеры преобразования выражений к виду, удобному для логарифмирования:

3. Извлечение корня

Едва ли не самой распространенной ошибкой является ошибка, связанная с вычислением всех значений для |/а. Очень многие учащиеся старших классов не знают, что у а имеет п различных значений. На вопрос о том, сколько имеет значений или У —1 , громадное большинство учащихся указывают только на одно вещественное значение корня (1 в первом случае и — 1 во втором случае).

Причиной такого массового распространения указанной ошибки являются неточные формулировки, данные при определении знака корней в стабильном учебнике алгебры.

В § 9 учебника алгебры А. Киселева (2-я часть) сказано:

а) «Корень нечетной степени из положительного числа есть число положительное».

Приведен пример: У 125 =5. б) «Корень нечетной степени из отрицательного числа есть число отрицательное».

в) «Корень четной степени из положительного числа имеет два значения, одинаковые по абсолютной величине, но с противоположными знаками».

Во всех указанных формулировках имеются в виду только одни вещественные корни и не сделано оговорки относительно существования комплексных корней*.

Таким образом, учащиеся привыкают к мысли, что корень четвертой степени из шестнадцати имеет только два значения: -f-2 и—2, а корень кубичный из—8 имеет только одно значение—2.

Необходимо в учебнике, после того как дано понятие о мнимых и комплексных числах, дать указание о числе всевозможных значений У а , а преподавателям — указать учащимся на способы определения всех значений корня для л, равного 3, 4, а в некоторых случаях и 5.

Примеры.

1) У —8 = X.

Возвысив обе части в куб и решая двучленное уравнение, получим:

и решая возвратное уравнение

х* — х* + х* — х+1=0,

найдем и другие четыре корня.

или

откуда

* Это не совсем верно, в «Алгебре» Киселева, ч. 1-я, § 108 (на который ссылается 2-я часть) прямо сказано, что указанные свойства относятся лишь к алгебраическим (вещественным) корням. Редакция.

ПРИЕМНЫЕ ИСПЫТАНИЯ ПО ФИЗИКЕ В КИЕВСКОМ ИНДУСТРИАЛЬНОМ ИНСТИТУТЕ В 1935 г.*

И. СОЛОДОВНИК (Киев)

Настоящая статья является попыткой автора, председателя одной из двух испытательных комиссий по физике, на конкретном материале проанализировать результаты приемных испытаний, подчеркнуть, главным образом, слабые стороны подготовки по физике лиц, державших испытания, обратить на это внимание средних школ, готовящих кадры для вузов и втузов, и сделать выводы о тех мероприятиях, которые необходимо теперь же, в 1935/36 учебном году, предпринять в средних школах (главным образом десятилетках и рабфаках), чтобы усилить проработку курса физики и дать в следующем, 1936 г., кадры, более отвечающие в отношении подготовки по физике тем требованиям, которые предъявляют к поступающим в институт.

Автор экзаменовал 287 человек из 1737 общего числа прошедших испытания но физике, причем для каждого из испытуемых автор точно фиксировал те вопросы, на которые испытуемый или совсем не ответил или дал неправильный или неудовлетворительный ответ.

Последующий анализ сделан прежде всего на основании именно этих записей и наблюдений автора, кроме того, автор приводит для сравнения результаты оценок других членов испытательной комиссии, а также данные для всех прошедших испытания по физике. Выводы, к которым пришел автор, были обсуждены на заседании кафедры физики; с ними целиком согласились другие члены кафедры, принимавшие участие в приемных испытаниях, и дополнили их своими замечаниями и наблюдениями.

Таким образом, как данные анализа, так и общие выводы, к которым пришел автор на основании своих личных наблюдений и записей, можно обобщить почти без всяких изменений как данные о приемных испытаниях по физике в целом.

Организация и проведение испытаний

Институтская приемная комиссия своевременно поставила перед кафедрами требования о подготовке, организации и проведении вступительных испытаний. Кафедра физики выработала заранее соответствующую инструкцию. Этой инструкцией кафедры, общей инструкцией о проведении испытаний в КИИ и «Справочником» ГУУЗ НКТП и руководствовались испытательные комиссии по физике.

Для удобства проведения испытаний члены комиссий заранее составили на бумажках задания: вопросы и задачи.

Одновременно вызывались 6—8 человек из группы, каждый получал задание, обдумывал его и ответы на вопросы в виде формул, выводов, схем, решения задач писал на листке бумаги. Затем отвечал на свое задание одному из членов комиссии или возле доски или возле стола.

Как правило, в каждом задании предлагалось 2—4 вопроса из разных отделов физики и задача.

Как примеры, привожу здесь несколько образцов заданий.

№ 1. 1) Сложение параллельных сил, направленных в одну и разные стороны.

2) Давление атмосферы, ртутный барометр, единицы давления.

3) Электрическое сопротивление, зависимость его от разных величин, ом.

4) Спектр, типы спектров, спектральный анализ.

5) Паровая машина 140 HP расходует в час 105 кг угля (теплотворная способность

7 000-|. Определить к.п.д. машины.

№ 2. 1) Механическая работа, формула работы, единицы работы в системах CGSf MKS и M TS.

2) Коэфициент линейного и об'емного расширения.

3) Сила тока для батареи элементов при параллельном и последовательном соединении (дать также схемы соединений).

4) Поперечные волны, длина волны, зависимость между длиной волны, скоростью и периодом колебания.

5) Лифт весом 1 000 кг поднимается на высоту 20 м за 40 сек. Мотор лифта рабо-

* Доложено на заседании кафедры физики 13 сентября 1935 г.

Примечание редакции. Материал приемных испытаний по физике в Московский Энерготехникум в 1935 г., присланный в редакцию т. В. А. Васильевым, также подтверждает выводы статьи т. Солодовника И. В.

тает при напряжении 120 вольт. Определить силу тока в нем, не принимая во внимание потерь.

№ 3. 1) Переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно; закон сохранения энергии в механике.

2) Расширение газов, закон Гей-Люссака.

3) Электролиз, законы Фарадея.

4) Построение изображения в лупе, оптическая сила линзы.

5) Над двором на высоте 5 м повешены 2 лампы по 100 свечей каждая; расстояние между лампами 12 м. Вычислить освещенность на земле под каждой лампой.

Результаты испытаний

По данным приемной комиссии института всего прошли испытания по физике 1737 человек.

Из них:

Окончивших в 1935 г. киевские рабфаки ............ 429 чел.

Окончивших в 1935 г. иные рабфаки (периферийные)........94 »

Окончивших киевские десятилетки .124 »

Окончивших периферийные десятилетки...........128 »

Окончивших в 1935 г. подготовительные курсы при Индустриальном институте...........166 »

Окончивших техникумы в 1935 г. (5-процентная норма)......69 »

Окончивших техникумы в прежние годы.............210 »

Окончивших девятилетки.....72 »

Прочих (окончивших ФЗУ, занимавшихся самообразованием и т. п.) 445 »

Результаты испытаний по физике по всему приему в целом видны из следующей таблицы:

получили оценку «отлично» 109 чел. (6,3%)

получили оценку «хорошо» 309 » (17,8%)

получили оценку «удовлетворительно» ..... 770 » (44,3%)

получили оценку «неудовлетворительно» ..... 549 » (31,6%)

По приему в целом имеем сравнительно нормальный процент отличных оценок (6,3%), сравнительно малый процент хороших оценок (17,8%) и довольно высокий процент неудовлетворительных оценок (31,6%).

Эти общие итоговые данные приводят пока к одному важному и в то же время печальному выводу: лица, проходившие в этом году испытания по физике, в общем обнаружили неудовлетворительные знания, далеко недостаточные для тех определенных твердых требований, которые пред'являлись к поступающим. Притом эти слабые знания касались не каких-либо «тонких» вопросов программы: поступающие обнаружили незнание самых основных вопросов, основных величин, единиц, законов, приборов.

В очень многих случаях, кроме того, необходимо отметить удивительно легкомысленное, можно сказать безответственное, отношение поступающих к тем определенным программным требованиям, которым они должны удовлетворять.

В очень многих случаях поступающие на заданные им основные программные вопросы, не смущаясь, заявляли, что они этого (в школе, на курсах и т. д.) не проходили, что они этого не прорабатывали.

Вот конкретные образцы таких отдельных лиц: одному было дано задание, в котором содержались основные программные вопросы о работе, о коэфициентах расширения, об электрическом сопротивлении, о спектрах; поступающий заявил, что он обо всем этом не слышал, спросил самым серьезным образом, в каких учебниках это написано и записал названные ему несколько учебников физики (учился он раньше на рабфаке в Донбассе); другому (окончил раньше 2 курса педтехникума) после того, как он не ответил на два вопроса, был задан вопрос о законе Ома и о том, что такое киловатт; по вопросу о законе Ома он серьезно спросил: «А о чем он говорит?» и когда ему шутя сказали, что это закон о том, как звезды падают и т. п., он серьезно ответил, что он об этом законе Ома не слышал, а киловатт буквально определил так: «Это когда кило передвигается на один метр».

Подобные случаи полного незнания нельзя отнести за счет обстановки испытаний (испугался, нервничал и пр.), так как в обеих комиссиях по физике была создана нормальная спокойная, деловая обстановка, каждый член комиссии спокойно, по-деловому, без всяких предвзятых намерений, старался выяснить знания поступающих, испытуемым давалось время на обдумывание, задавались потом дополнительные вопросы и т. д., обстановка испытаний давала полную возможность каждому обнаружить свои действительные познания. Часто выявлялась попутно недостаточность общего культурного развития, грамотности; так, один из членов испытательной комиссии по физике, записывая фамилии, спрашивал инициалы; неоднократно в ответ на это он слышал недоумевающий вопрос: «А что это такое (инициалы)?»

Необходимо также отметить, как общее явление, что поступающие не умеют грамотно, связно рассказать, об'яснить предложенные им вопросы. То и дело приходится подталкивать: «Ну, а дальше, потом и т. д.», и ставить дополнительные вопросы.

Кроме этого, пока тоже, как общее явление, необходимо отметить, что поступающие не умеют решать задачи по физике, почти совершенно не умеют графически представить то или иное изменение физических величин, слабо разбираются в схемах соединений приборов, проводников и элементов, из разделов физики хуже всего знают оптику, механику и совершенно почти никто не знает раздела колебаний и волн. Таковы некоторые основные выводы о результатах испытаний по физике в целом.

Перейдем теперь к анализу испытаний отдельных категорий поступающих.

Результаты испытаний по отдельным категориям по всему приему поданным приемной комиссии таковы:

Категории поступающих

Оценки

Отлично

Хорошо

Удовлетв.

Неудовлетв.

Число

%

Число

%

Число

%

Число

%

1. Окончившие киевские рабфаки

27

6,3

84

19,4

209

48,8

109

25,5

2.

» иные рабфаки . . .

6

6,4

19

20,2

48

51,0

21

22,4

3. 4.

» киевские десятилетки ....... ......

12

9,7

20

16,1

43

34,7

49

39,5

Окончившие периферийные десятилетки .........

7

5,5

18

14,1

50

39,0

53

41,4

5.

Окончившие подготовительные курсы при КИИ ......

11

6.6

31

18,7

73

44,0

51

30,7

6.

Окончившие техникумы в 1935 г.

11

16,0

4

5,8

37

53,6

17

24,6

7.

» » раньше

12

5,7

5

2,4

66

31,4

127

60,5

8.

» десятилетки ....

4

5,5

5

7,0

24

54,2 49,5

39

33,3 18,6

9.

» ФЗУ, самообразов, и пр...............

19

4,3

123

27,6

220

83

Из всех этих данных можно сделать такие окончательные выводы:

1) Рабфаки, в отношении подготовки по физике, оправдали себя, дав неплохой контингент студентов.

2) Работу техникумов в этом отношении надо считать менее удовлетворительной, так как даже лучшие, окончившие в 1935 г. и посланные в счет 5-процентной нормы, оказались на среднем месте; очевидно, можно полагать, что остальные лица, окончившие техникумы, дали бы результаты значительно хуже.

3) Подготовительные курсы при институте также себя оправдали.

4) Безусловно неудовлетворительной надо признать работу десятилеток, давших слишком высокий процент неудовлетворительных оценок по физике. Этот вывод вполне соответствует выводу, данному в постановлении Совнаркома СССР и ЦК ВКП(б) от 3 сентября 1935 г. «Об организации учебной работы и внутреннем распорядке в начальной, неполной средней и средней школе», где сказано:... «Знания учащихся остаются все еще неудовлетворительными, а оканчивающие школу обнаруживают недостаточную подготовку для прохождения наук в высшей школе».

5) Наконец лицам, работающим на производстве, и готовящимся поступить во втуз, нужно хорошо подумать о своей подготовке, так как втуз требует от поступающих твердых знаний в об'еме средней школы.

Наиболее слабые места в подготовке поступающих

Как уже отмечалось выше, наиболее слабую подготовку в общем обнаружили поступающие по отделам механики, оптики и колебаний. Конкретно по разделам наиболее слабыми местами оказались следующие:

а) Механика

Условие равновесия тел на наклонной плоскости. Сложение параллельных сил, направленных в разные стороны. Графики пути и скорости равномерного, равно-ускоренного и равно-замедленного движений. Размерности механических величин.

Система единиц M TS (особенно килоджоуль и пиеза). Определение численной связи между соответствующими единицами в системах С GS у MKS и M TS. Техническая единица массы. Единицы энергии и формула потенциальной энергии.

б) Жидкости и газы

Схема гидравлического пресса. Единица давления (особенно бар и пиеза) и связь между ними. График закона Бойля-Мариотта.

в) Теплота

Закон Бойля-Мариотта, Гей-Люссака. Принцип устройства водяного отопления. Теплопроводность тел. Определение теплоты парообразования опытным путем. Свойства паров жидкостей. Влажность. Механический и тепловой эквиваленты.

г) Электричество

Электростатическая индукция. Электроемкость. Сопротивление проводников, зависимость его от разных величин. Параллельное соединение проводников. Параллельное и последовательное соединение элементов. Работа и мощность тока. Устройство элементов и аккумуляторов. Магнитное поле тока. Движение проводника с током в магнитном поле. Включение в цепь амперметра и вольтметра. Правила Ленца.

д) Свет

Вывод формул сферического зеркала. Полное внутреннее отражение. Построение изображений в сферических зеркалах. Рассеивающие линзы. Оптическая сила линзы. Лупа. Микроскоп. Спектры. Фотометры.

е) Колебания и волны. Звук

Весь этот отдел почти для всех без исключения поступающих является наиболее слабым местом. Проработке этого раздела во всех средних учебных заведениях очевидно уделяется слишком мало времени и внимания.

Поражает также то, что огромное большинство поступающих (в том числе почти все без исключения окончившие десятилетки) совершенно не умеют решать основные типичные несложные задачи, образцы которых приведены выше, и даже еще более простые.

Многие учащиеся заявляют, что они в школе совершенно не решали задач и это, повидимому, вполне верно. Более выгодно в этом отношении отличались лица, окончившие Киевский индустриальный рабфак и подготовительные курсы при КИИ.

Подчеркнем еще один общий недочет. Даже у таких поступающих, которые обнаружили удовлетворительные знания по физике, чувствуется, что они выучили это, но что все это не продумано, не проанализировано, что часто понимания физической сущности знаний не чувствуется. Это очень легко обнаруживается, если поставить вопрос не формально, а несколько иначе, конкретнее.

Вот образцы некоторых таких вопросов, на которые редко приходилось слышать правильный продуманный ответ.

1) В комнате несколько ртутных барометров: широкий, уже и еще более узкий; одинакова ли у них высота ртути (или на который из них нужно смотреть, чтобы узнать атмосферное давление)?

2) Можно ли в комнате измерить атмосферное давление барометром, в котором не ртуть, а керосин?

3) К круглому замкнутому проводнику придвигается (или удаляется) магнит таким-то полюсом. Получится ли в проводнике индукционный ток и какого направления?

4) Сколько вольт дает свинцовый аккумулятор очень большой и очень маленький?

5) Как изменяется в стальном закрытом баллоне плотность кислорода при нагревании (или охлаждении)?

6) Если у лупы фокусное расстояние 25 см, даст ли она увеличение?

Так как подобные вопросы при желании могут быть отнесены к категории «головоломных», то обычно они предлагались или как дополнительные к другим вопросам (для чего служит барометр, сформулируйте правило Ленца и т. д.).

Кроме того, обычно они предлагались тем из поступающих, которые уже обнаружили удовлетворительные знания и в отношении которых подобные вопросы имели целью проверить глубину понимания и усвоения программных вопросов. А именно понимание, вникание в сущность и анализ физических явлений имеет при изучении физики очень важное значение и на эту сторону при проработке курса физики в средних учебных заведениях нужно обратить серьезное внимание.

Наконец, необходимо отметить еще несколько принципиально важных замечаний.

В огромном большинстве случаев поступающие не умеют делать выводы основных программных формул, например формул движения:

формулы центро-

стремительного ускорения, вывод перехода потенциальный энергии в кинетическую, вывод формулы сферического зеркала и др.

В лучшем случае на вопрос о выводе формулы поступающий отвечает, что «готовую формулу он помнит, а вывод забыл». Средним школам необходимо обратить на это внимание — не запоминание готовых формул важно, важно понимание и анализ их.

Также в огромном большинстве случаев поступающие дают принципиально неверную трактовку некоторых основных вопросов, так, например, массу обычно определяют как количество вещества в теле, 2-й закон движения Ньютона определяют как вывод из закона, что F m -а, ампер обычно определяют как кулон (а не как «силу неизменяющегося электрического тока, который отлагает 0,00111800 г серебра в секунду, проходя через водяной раствор азотнокислого серебра» (ост 515) и т. д.).

По вопросу об электролитической диссоциации испытуемые обычно отвечают, что электрический ток разлагает жидкость на ионы.

Вообще при определении единиц обычно дают нестандартные определения, что является безусловным минусом и в работе средних школ и что затем в высшей школе вызывает ненужную затрату энергии и времени на «переучивание», так как обычно при этом в институте услышишь: «А мы (на рабфаке, в техникуме и пр.) учили не так».

То же самое нужно заметить и в отношении обозначения физических величин, многие поступающие пользуются не общепринятыми стандартными обозначениями (например, работа /?, W, энергия Е, количечество электричества е и др.) и при этом ссылаются на школьные конспекты.

Анализ причин недостаточной подготовки поступающих по физике

Чем можно объяснить недостаточную подготовленность в общем всех лиц, поступавших в этом году в КИИ? Каковы причины этого?

Нам представляется, что тут возможны несколько категорий причин.

В работе самих средних учебных заведении:

1) Недостаточная обеспеченность учащихся учебниками физики.

2) Слишком слабое оборудование или даже отсутствие физических кабинетов.

3) Недостаточная опытность и квалификация в отдельных случаях преподавателей физики (в особенности это чувствовалось в отношении периферийных десятилеток) и недостаточная требовательность со стороны преподавателей к учащимся.

В работе самих учащихся:

1) Недостаточное знакомство с программными требованиями при поступлении во втузы.

2) Недостаточное сознание ответственности за свои знания и недостаточно упорная работа над подготовкой, недостаточно твердая воля поступить во что бы то ни стало.

В работе самих высших учебных заведений:

1) Позднее и недостаточное развитие подготовительной и раз'яснительной работы по приему.

2) Поздний выпуск (по линии ГУУЗ НКТП) «Справочника для поступающих» и недостаточный тираж его.

3) Слабая связь между высшими и средними учебными заведениями в больших городах, в том числе и в Киеве.

4) Недостаточное отражение (а, может быть, и отсутствие) в работе педагогических об'единений преподавателей средних учебных заведений вопроса подготовки учащихся к поступлению в высшие учебные заведения.

Что необходимо предпринять для улучшения в дальнейшем подготовки поступающих в вузы

В то время как мы несомненно улучшаем с каждым годом работу как высших, так и средних учебных заведений, тот факт, что поступавшие в этом году в КИИ обнаружили по физике (не только по физике, но и по другим дисциплинам) слабую подготовку, является фактом очень печальным и это требует, чтобы средние учебные заведения, учтя это, усилили свою работу над подготовкой учащихся; с другой стороны, чтобы и высшие учебные заведения конкретно пришли на помощь средней школе.

Нам представляется, что в течение 1935/36 учебного года эти мероприятия можно сформулировать в виде следующих пожеланий:

1) Чтобы ГУУЗ НКТП во всяком случае не позднее января 1936 г. или подтвердил неизменность на 1936 г. программных требований, опубликованных в «Справочнике» 1935 г., или внес бы в эти требования изменения и издал новый «Справочник» на 1936 г., увеличив тираж его.

2) Чтобы наша пресса («Высшая техни-

ческая школа», «За пром. кадры», «Математика и физика в средней школе» и др.) осветила на своих страницах испытания этого года, уделила достаточное внимание анализу их и проблеме приема в 1936 г.

3) Чтобы каждый втуз широко проанализировал у себя результаты испытаний этого года и наметил конкретный план помощи средним учебным заведениям.

В этом отношении заслуживает внимания опыт связи кафедры физики КИИ с физической предметной комиссией индустриального рабфака, когда кафедра физики анализировала программу рабфака, дала свои указания по сути программы, указания о проработке, выступала с рядом докладов на предметной комиссии и на методконференции, поддерживала непосредственную связь с преподавателями рабфака, вплоть до присутствия членов кафедры на выпускных испытаниях и т. д.

4) Чтобы средние учебные заведения с самого начала 1935/36 учебного года, учтя недостатки своей работы в подготовке учащихся к поступлению во втузы, соответственным образом усилили свою работу, особенно в выпускных классах, в частности по физике, усилив проработку отделов механики, оптики и колебаний. Средние учебные заведения должны самым серьезным образом вместе с Наркомпросом подумать о повышении квалификации преподавателей, об усилении оборудования физических кабинетов и о повышении своих требований к знаниям учащихся.

5) Необходимо, чтобы педагогические об'единения преподавателей средних школ уделили вопросу подготовки во втузы серьезное внимание, в частности, чтобы на них были заслушаны и обсуждены доклады представителей кафедр институтов о результатах испытаний, что в больших городах легко осуществимо.

Мы должны постоянно помнить лозунг т. Сталина: «Кадры решают все» и т. Орджоникидзе: «Советский инженер должен быть лучшим инженером в мире». Эти лозунги обязывают средние учебные заведения напрячь все силы, чтобы дать для втузов такие высокоподготовленные кадры, которые должны выйти из стен втузов наилучшими в мире инженерами.

ОПЫТНАЯ ПРОВЕРКА ЭФФЕКТИВНОСТИ МЕТОДОВ ПРЕПОДАВАНИЯ ФИЗИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Е. ПЕТРОВ (г. Горький)

В 1934/35 учебному году Горьковским краевым научно-исследовательским институтом политехнической школы был проведен эксперимент по физике в VII классах Горьковской школы им. Бубнова.

Эксперимент имел целью выяснить, какие методы проработки тем: «Явление преломления света» и «Преломление луча в трехгранной призме», являются более эффективными в смысле непосредственного усвоения знаний учащимися: рассказ ли учителя с сопутствующими демонстрациями или самостоятельная индивидуально-лабораторная работа учащихся, выполняемая ими под руководством преподавателя.

С этой целью были взяты два VII параллельных класса, имеющие:

1) одинаковое количество учащихся (по 33 человека в каждом классе);

2) одного и того же преподавателя;

3) одинаковые оценки успеваемости по физике за первое полугодие (по 4 неудовлетворительных оценки и равное количество оценок «уд» «хор» и «оч. хор»).

Эксперимент был проведен в период с 2 по 7 апреля 1935 г., т. е. в тот момент, когда и должны были прорабатываться в этих классах данные темы. Таким образом, ход учебных занятий нарушен не был.

Эксперимент был проведен по так называемому методу двух чередующихся групп, т. е. в обоих классах чередовались методы проработки данных тем, и выполнено это было так (см. табл. на стр. 94).

В нашем случае при проработке этих тем классы как бы менялись местами. На каждую тему в каждом классе отводилось два учебных часа, как этого требует программа.

Проработка каждой темы в обоих классах проходила в один и тот же день: «Явление преломления света»—3 апреля 1935 г. с 12 до 2 час. в VII «Б» классе и с 2 до

Тема

Класс

Метод проработки

«Явление преломления света»

«Преломление луча в трехгранной 1 призме»

VII «Б»

VII «В» VII «Б»

VII «В»

Рассказ учителя с сопутствующими демонстрациями

Индивидуально-лабораторная работа учащихся

Индивидуально-лабораторная работа учащихся

Рассказ учителя с сопутствующими демонстрациями

4 час. в VII «В» классе, а «Преломление луча в трехгранной призме»—7 апреля 1935 г. с 12 до 2 час. в VII «В» классе и с 2 до 4 час. в VII «Б» классе.

В результате эксперимента мы должны были получить какие-то количественные показатели, на основе которых и можно было судить о превосходстве одного метода над другим. Для этого мы установили:

1. Об'ем материала, который должен был сообщить учитель учащимся при рассказе по каждой теме, демонстрации к его рассказу, а также определить характер и технику проведения индивидуально-лабораторных работ учащихся по каждой теме.

2. Способ учета знаний учащихся каждого класса по каждой теме, полученных ими как при одном, так и другом методе.

Первое обстоятельство больших затруднений не представляло, так как программа и стабильный учебник нам подсказали, как надо поступить. Материал для рассказа учителя и сопутствующие рассказу демонстрации для обеих тем были полностью взяты из стабильного учебника физики; из него же были заимствованы и индивидуально-лабораторные работы учащихся.

По первой теме в VII«В» классе была проведена индивидуально-лабораторная работа — «Исследовать, как изменяется угол преломления в зависимости от угла падения» и по второй теме в VII«Б» классе — индивидуально-лабораторная работа—«Исследовать ход луча в призме и сравнить направление луча, входящего в призму, с направлением луча, выходящего из призмы». Индивидуально-лабораторные работы выполнялись учащимися группами по 2 человека. Перед проведением индивидуально-лабораторной работы учащимся давалось подробное объяснение о технике проведения, о том, что нужно узнать, как записать результат и т. д. Для работ учащиеся обеспечивались всем необходимым (стекло, булавки, призмы и т. д.).

Перед выполнением индивидуально-лабораторных работ учащимся вручались карточки, представляющие из себя текст (перепечатанный на машинке) описания лабораторной работы из стабильного учебника. Кроме того, на доске записывались из этого же описания цель работы и вопросы, на которые учащиеся и давали ответы в своей тетради.

Гораздо большие затруднения представлял второй вопрос: «Как учесть результативность каждого из методов и как решить, какой из методов является более эффективным».

С этой целью учащимся по каждой теме предлагались вопросы и сравнивались ответы на них (в единицах положительных оценок). Вопросы по каждой теме для учащихся обоих классов предлагались одни и те же. Требования к вопросам были пред'явлены следующие:

1. Чтобы они полнее выявляли знания учащихся по данной теме.

2. Чтобы на вопросы в равной мере в состоянии были ответить учащиеся, как слышавшие рассказ учителя, так и выполнявшие индивидуально-лабораторные работы.

Правильный ответ оценивался нами 1, неполный — г/2, неполных оценок, к сожалению, мы не избежали.

Вопросы для обоих классов были предложены следующие:

I. По теме «Явление преломления света»:

1. Какое явление наблюдаем мы при переходе луча из одной среды в другую?

2. Что называется углом преломления?

3. При каком условии луч, проходя через две разнородные среды, не меняет своего направления?

4. Постройте угол падения и угол преломления, полученные при переходе луча из среды, оптически менее плотной, в среду, оптически более плотную.

II. По теме «Преломление луча в трехгранной призме»:

1. Начертите трехгранную призму и ука-

жите, где ее основание и где — преломляющее ребре.

2. Начертите ход луча через трехгранную призму.

3. Куда отклоняет призма падающий на нее луч?

4. Почему изображения, рассматриваемые через призму, мы называем «мнимыми»?

Ответы на данные вопросы позволили бы легко установить знания учащихся каждого класса по данным темам, но нам в нашем эксперименте надо было учитывать не знания детей по этим темам вообще, а лишь вновь полученные ими знания.

При установлении эффективности того или иного метода всегда надо учитывать одно очень важное обстоятельство, а именно— надо знать, с какими знаниями учащиеся по данному вопросу пришли на урок.

Ведь может случиться так, что учащиеся, несмотря на то, что преподаватель излагает новый материал, все же что-то знали ранее, они с какими-то знаниями пришли на урок, а потом эти знания надо как-то учесть и их «скинуть» при учете вновь полученных знаний учащимися.

Данное обстоятельство нами и было учтено. Мы поступили в этом случае так. Предлагали учащимся ответить в начале урока, до об'яснения преподавателем нового материала, на указанные выше вопросы, отпечатанные на отдельных листочках. Минут через 10—15 после раздачи вопросов ученикам учитель листочки отбирал и после этого приступал к объяснению нового материала, а минут за 25 до конца второго урока учащимся опять раздавались новые листочки с этими же вопросами и они на них отвечали вторично.

Вопросы, розданные в начале урока, мы назвали начальным тестом, а розданные в конце — конечным тестом.

Перед раздачей начальных тестов преподаватель всегда говорил учащимся: «Мне хочется знать, с какими знаниями вы пришли на урок. Может быть, кто-либо из вас что-нибудь читал или слышал по данному вопросу, а все это мне нужно для того, чтобы потом я мог учесть это и лучше об'яснить вам то, что вы не знаете».

После же сбора начальных тестов учитель говорил: «Я просмотрел ваши ответы на вопросы и увидел, что вы по некоторым из них кое-что знаете, а по другим — совсем ничего не знаете. Теперь мне ясно, что вам надо рассказать более подробно и что — менее подробно».

И затем шел урок или рассказ учителя с демонстрацией или шла индивидуально-лабораторная работа. Здесь мы должны особо оговорить, что при ответе на начальный и конечный тесты учащиеся никакими пособиями не пользовались и выполняли работу каждый самостоятельно. Техника подсчета числовых показателей была установлена следующая :

Обозначения:

А — Сумма положительных оценок в классе на каждый вопрос по начальному тесту.

В — Сумма положительных оценок в классе на каждый вопрос по конечному тесту.

С — Вновь полученные знания учащимися класса по каждому вопросу.

N — Число учащихся в классе.

m — Средний прирост знаний на одного ученика по каждому вопросу.

п — Число вопросов в тесте.

Мх — Средний прирост знаний на ученика по всей теме при первом методе (в долях полной положительной оценки).

М2 — Средний прирост знаний ученика по этой же теме в другом классе при другом методе.

D — Превосходство во вновь полученных знаниях на ученика одного класса по сравнению с другим классом по данной теме.

Вычисления:

В нашем случае числовые показатели получились такие (см. таблицы на стр. 96).

Группируя для большей наглядности итоговые показатели обеих вышеприведенных таблиц, мы получаем следующее (см. стр. 96).

Результаты эксперимента говорят о том, что рассказ учителя с сопутствующими демонстрациями является в смысле непосредственного усвоения знаний учащимися более эффективным по сравнению с индивидуально-лабораторной работой при проработке этих тем. В нашем случае рассказ учителя с сопутствующими демонстрациями в обоих классах дал превосходство в приросте новых знаний на 0,12 полной положительной оценки на ученика, принимаемой во всех наших, расчетах за единицу.

В нашем случае при Д —0,12 вновь полученные знания учащихся VII «Б» класса при рассказе учителя с сопутствующими демонстрациями превосходят вновь получен-

По теме «Явление преломления света»

Класс и метод проработки

VII класс «Б»—рассказ учителя с сопутствующими демонстрациями

VII класс «В»—индивидуально-лабораторная работа

Вопросы Показатели

1

2

3

4

1

2

3

4

В..........

28,5*

20

25

32

28

17

25,5

27

А..........

14,5

6,5

0,5

0,5

22

0,5

2

С.........

14

13,5

24,5

31,5

6

16,5

23,5

27

m..........

0,43

0,4

0,74

0,92

0,2

0,5

0,41

0,82

M .........

0,6

0,48

По теме «Преломление луча в трехгранной призме»

Класс и метод проработки

VII класс «Б»—индивидуально-лабораторная работа

VII класс «В»—рассказ с сопутствующими демонстрациями

Вопросы Показатели

1

2

3

4

1

2

3

4

В..........

А.........

С..........

m.........

M.........

32,5 16,5 16 0,5

29,5 5

24,5 0,75

0,

29

9,5 19,5

0,6

57

19 4 15

0,45

33 15 18

0,54

33 3

30 0,9

0,

31 4

27

0,82

69

22

6 16

0,5

Тема

Класс

Метод проработки

M

Д

«Явление преломления света»

VII «Б» VII «В»

Рассказ учителя с сопутствующими демонстрациями ...............

Индивидуально-лабораторная работа . . .

0,6 0,48

0,12

«Преломление луча в трехгранной призме»

VII «Б»

VII «В»

Индивидуально-лабораторная работа . .

Рассказ учителя с сопутствующими демонстрациями ...............

0,57 0,69

0,12

ные знания VII «В» класса на 20% по теме «Явление преломления света» и на 17% — в VII «В» классе по сравнению с классом VII«Б» по теме «Преломление луча в трехгранной призме».

Полученные нами результаты подтверждают и ряд преподавателей физики города Горького. Они, основываясь на опыте своей педагогической практики, говорят, что при проработке этих тем больший результат получается тогда, когда ученики слушают рассказ учителя с сопутствующими демонстрациями, и меньший, если учащиеся выполняют индивидуально-лабораторную работу. а раз это так, то наши выводы — не ошибочные, ибо их подтверждает практика работы наших школ и подтверждают преподаватели физики, основываясь на своем опыте работы в школах.

Разумеется, что из этого ни в коем случае не следует делать обобщающий вывод о преимуществе демонстраций перед лабораторными работами. Здесь речь идет лишь о двух совершенно конкретных темах программы физики.

* При суммировании во всех приводимых таблицах две неполных оценки приравнивались к полной оценке (0,5 + 0,5 = 1).

КАК СДЕЛАТЬ ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ СЕКУНДОМЕР ИЗ ОБЫКНОВЕННЫХ ЧАСОВ-ХОДИКОВ

Г. ГРОШЕВОЙ

Вторым часовым заводом недавно выпущена в продажу интересная игрушка. В ящике собраны части часов-ходиков, причем сборка доведена до такой степени простоты, что остающиеся операции доступны для ребенка в возрасте от 12 —13 лет или несколько старше. К набору приложено описание сборки. Стоит весь набор очень дешево (всего 5 руб.). Из этого набора нетрудно сделать вполне удовлетворительный демонстрационный секундомер следующим образом. Из набора берут лишь две шестеренка № 2 и № 3 и деталь, приводящую в движение маятник (эти детали можно взять и просто из ходиков).

Кроме того, пойдут в дело обе пластинки корпуса, маятник с подвесом, гиря и деревянный корпус. Надо еще запастись стальной проволокой диаметром в 0,75 мм, а также ватманской бумагой и куском фанеры 200X200X5 мм.

Из набора нам нужны будут, как сказано, только шестеренка № 2, промежуточная шестерня № 3, анкерное колесо и скобка с валиком и вилкой.

Самая трудная операция при переделке - это удлинение осей шестеренок № 2 и № 3.

Из возможных способов такого удлинения можно предложить два.

1-й способ

Шестеренку № 2 зажимают осторожно в тисочки (рис. 1) и спиливают с одной стороны ось вплоть до утолщения, обозначенного на рисунке. После этого шестеренку зажимают в патрон токарного станка и просверливают вдоль шестеренки отверстие диаметром в 0,75 мм. До просверливания следует наметить возможно точнее при помощи

резца центр шестеренки. Само собой разумеется, что шестеренка предварительно должна быть центрирована в патроне станка. После просверливания в отверстие вставляют кусок стальной проволоки и пропаивают оловом в месте выходов из шестерни.

Лишнее олово нужно тщательно и осторожно соскоблить острым ножом.

Таким же точно способом переделывается и вторая шестеренка.

Рис. 1а Рис. 1в

2-й способ

Отверстия в шестернях по этому способу можно сверлить и вручную, причем насквозь сверлить не нужно, а только глубиной 3—5 мм, после чего запаять, как было указано выше, по куску проволоки с одной стороны. Концы следует оставить с одной стороны и с другой, как это указано на рисунке 2.

К этому способу следует прибегать только в том случае, если воспользоваться токарным станком нельзя.

Выступающие длинные концы служат для насадки на них стрелок.

При переделке следует следить за тем, чтобы оси были точно установлены перед пайкой по оси шестерен.

По удалении лишнего олова надо оси тщательно очистить и отшлифовать до блеска наждачной бумагой (мелких номеров).

Установка шестерен производится в те же отверстия в пластинах I и II, где они стояли и раньше. Отверстия в подшипниках надо осторожно рассверлить до нужного диаметра. При этом не следует допускать увеличения диаметра отверстий настолько, чтобы оси в них шатались из стороны в сторону — это вредно отзовется на ходе секундомера. Сборку производят таким путем: берут переднюю пластинку (первую) и вставляют в отверстия удлиненные концы осей шестерен и скобку с валиком и вилкой. Осторожно, чтобы не

Рис. 2

погнуть концов осей, одевают вторую пластинку и завинчивают крепящие ее гайки. Теперь нужно произвести испытание работы анкерного механизма. При повертывании (без большого усилия) против часовой стрелки промежуточной шестерни вилка, служащая в ходиках для раскачивания маятника, должна совершать колебания. Если никаких заеданий и пропусков при этом не получается, то можно приступить к укреплению всего механизма в корпус (так наз. скамейку). Механизм укрепляется крючками* (рис. 3), натягивающимися при помощи гаек.

Рис. 3 Рис. 4

Укрепив механизм, отмечают место просверливания отверстий для стрелок в фанерной дощечке (так наз. подкадраннике), служащей в ходиках для укрепления циферблата. После разметки дощечка оклеивается с лицевой стороны плотной белой бумагой, на которой, согласно наметке центров будущих отверстий для осей стрелок, вычерчивается циферблат секундомера, как это покано на рисунке 4.

Когда клей окончательно засохнет, нужно просверлить отверстия диаметром от 3 до 5 мм в намеченных местах и установить циферблат на место при помощи трех гвоздиков, имеющихся в наборе.

Стрелки изготовляются из дерева согласно размерам по эскизу.

Короткий конец большей стрелки нужно утяжелить, намотав на нее несколько витков медной проволоки.

Проволоки нужно намотать столько, чтобы при подвешивании стрелки за место крепления ее на оси стрелка оставалась бы в равновесии. Стрелки укрепляются на осях при

помощи капли столярного клея, впущенного в отверстие стрелки. Обе стрелки устанавливаются на 0 шкал. Секундомер приводится в движение с помощью гири, также имеющейся в наборе.

Для этого гиря подвешивается на трибку (длинную шестеренку) промежуточной шестерни с помощью нитки. Для подвеса лучше всего взять тонкую и крепкую рыболовную шелковую лесу диаметром в 0,5 мм. Леса при намотке должна ложиться на трибке по винтовой линии (рис. 6) виток к витку,

Рис. 5

Рис. 6

* Рисунки деталей № 2, 3, 12, 6, 19 и 20 заимствованы из заводского описания набора.

наматывание «мотками» допускать нельзя, так как в этом случае плечо, на которое действует вес гири, будет меняться, и, следовательно, секундомер будет давать неверные показания.

Завод секундомера осуществляется при помощи нитки, намотанной в том же направлении на трибку анкерного колеса.

В собранном виде пример показан на рисунке 7.

На конец этой нитки вешают небольшой грузик, в качестве которого можно употребить часовую стрелку ходиков, как это и показано на рисунке 7. В деревянном корпусе надо просверлить отверстия для пропуска обеих ниток. Сверление надо производить, сняв циферблат и механизм, чтобы их нечаянно не повредить.

Для пуска в ход и остановки секундомера надо сделать еще пусковое приспособление. Приспособление это легко сделать из маятника тех же ходиков (рис. 7 и 8).

Для этого надо стержень маятника изогнуть так, как показано на рисунке 8, и ук-

Рис. 7

Рис. 8 Рис. 12

Рис. 9 Рис. 10

Рис. 11

репить его на корпусе при помощи бляшки маятника (рис. 9).

Изогнутый конец стержня маятника при повороте стержня упирается в скобку анкерного механизма и останавливает ход. Пуск и остановку можно сделать с помощью электромагнита и пружины, взятых из обычного электрического звонка. Для этого достаточно выключить прерывающийся контакт, удалить все лишние части, оставив только показанные на рисунке 10. Молоточек отрезается, а конец проволоки, на которой был укреплен молоточек, загибается так, как указано на рисунке 10. Электромагнит соединяется по схеме на рисунке 10. Электромагнит крепится таким образом, чтобы при притягивании сердечника крючок отпускал маятник. Закончив

сборку секундомера, производят его выверку. Для этого надо запастись обычным хорошим секундомером или в крайнем случае часами с секундной стрелкой (правда, точность прибора при проверке по часам будет значительно меньше, ибо проверку вести труднее).

Проверку производят, увеличивая или уменьшая длину маятника, роль которого выполняет скобка, служившая в ходиках для раскачивания маятника (рис.11). Эту скобку надо либо подрезать, если секундомер отстает, либо, наоборот, напаивать при помощи паяльника на ее конец олово до получения нужного результата.

Указанным выше способом легко добиться точности хода ±0,5%, по сравнению с мозеровским секундомером. Такая точность вполне достаточна для всех работ, во время которых прибор может употребляться в средней и неполной средней школе.

Общий вид прибора изображен на рисунке 12.

ПО ПОВОДУ ГРАФИЧЕСКОГО СПОСОБА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА РАВНОМЕРНО-ПЕРЕМЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ

Д. ВАСИЛЬЕВ (г. Калинин)

Методика решения задач по физике совершенно не разработана, и поэтому всякий шаг в этом направлении надо приветствовать.

Предложенный Н. Руткевичем* графический метод решения задач на равномерно-переменное движение несомненно заслуживает внимания преподавателей физики.

Но оба сопоставляемые им метода — аналитический и графический — обладают тем недостатком, что допускают возможность механического их применения, если к ним перейти слишком рано.

Если согласиться с таким положением, что решение задач по физике имеет целью не только закрепление усвоенного, но и уяснение учащимися сущности физических понятий и законов, то заслуживает сугубого внимания третий метод — решение задач по соображению, который особенно пригоден для устных вычислений.

Я беру на себя смелость утверждать, что подобного рода устные задачи слишком мало применяются преподавателями физики, хотя они (задачи) и обладают значительными достоинствами:

1) занимают немного времени;

2) требуют отчетливого понимания сущности физических величин и их соотношений;

3) не требуют сложного математического аппарата;

4) заучиваемые определения и выводы находят применение в качестве действенных орудий при решении задач.

С этой точки зрения, я не разделяю мнения т. Руткевича о том, что понятие средней скорости не является достаточно убедительным для учащегося; эта мысль легче укладывается в его голове, чем то положение, что путь при равномерно-переменном движении численно равен площади трапеции.

Насколько понятие средней скорости может оказаться полезным, можно показать на задаче № 2, приводимой т. Руткевичем.

Условие:

Найти s и а.

Решается устно в такой примерно последовательности: путь равномерно-переменного движения равен произведению средней скорости на время.

Средняя скорость: 18-fl0 = 28;28:2 = = 14 сек.

Путь 14-60 = 840 М.

Ускорение есть приращение скорости в единицу времени.

За 60 сек. скорость возросла на 8 единиц: 18 — 10 = 8.

В каждую секунду она возрастала на 8 : 60 = — = гн единиц. Следовательно, ускорение равно-- -•

Решение получается настолько простое, что невольно напрашивается вопрос, зачем применять сложную технику там, где можно обойтись простым средством.

На это можно возразить, что сложная техника позволяет механизировать процесс.

* См. сб. «Математика и физика в средней школе», № 3, 1935 г.

Но механизация допустима тогда, когда осознаны ее основы.

После того, как задача решена, можно рекомендовать учащемуся записать все решение сразу, не производя действий; получится выражение:

Отсюда легко перейти к буквенной формуле, а впоследствии преобразовать в формулу обычного вида:

Подобный прием может быть применен п к решению других задач.

Возьмем пример на 2-й закон динамики.

Попробуйте дать учащимся такую задачу: какое ускорение получит масса в 10 m под действием силы в 1 т?

Они обязательно начнут с превращения данных величин в единицы той или иной системы, затем будут подставлять в формулу

f = та.

А почему бы эту задачу не решить так:

Под действием своего веса тело получает ускорение 9,8 — сек*

В данном случае движущая сила в 10 раз меньше веса этого тела, следовательно, и ускорение получит в 10 раз меньше земного ускорения, т. е. а = 9,8 :10 = 0,98

Этот способ учащимися легко усваивается и они пользуются им с большим удовольствием.

Учащиеся легко решают в уме такие, например, задачи. (Условия задач заданы в рисунках 1 и 2.)

Найти ускорения. Трение в расчет не принимать.

В первом случае ускорение равно половине ускорения силы тяжести, а во втором —

Открыл ли я что-нибудь новое? Нет. Всем преподавателям физики это известно. Но вот ученики многих из этих преподавателей этих приемов не знают и ими не владеют.

Этот метод решения задач по соображению не может, конечно, заменить все остальные способы решения задач, но он должен предшествовать, а после сопутствовать решению задач другими, более сложными приемами.

Рис. 1

Рис. 2

ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ КОНСУЛЬТАЦИЯ

Что такое гром?

Такой вопрос поставил преподаватель физики Н. Г. Безруков и попытался в своей статье, направленной в редакцию, ответить на него. В этой статье имеются три основные части. Вначале т. Безруков протестует против употребления слова «громоотвод» в обычном словоупотреблении и в стабильных учебниках. Он пишет: «На вопрос — для какой цели устанавливается громоотвод, обычно отвечают, что «громоотвод устанавливается с целью предохранения зданий и сооружений от. разрушающего действия молнии». Да, молнии, а не грома». Поэтому он предлагает заменить название устройства, отводящего грозовой электрический разряд в землю, вместо «громоотвода — «молниеотвод». Далее автор статьи считает, что диалектическое мировоззрение требует от нас того, чтобы мы рассматривали всю группу явлений, связанных с грозовым разрядом, по существу, поскольку явление грома является лишь вторичным признаком основного явления электрического грозового разряда. Автор пишет: «Энгельс нам порукой в том, что если мы берем явление обособленно, разрозненно, как нечто конечное, то неизбежно запутаемся в своем толковании. В самом деле, давая определение грому: как треск, сопровождающий искру,— мы уж очень просто и ограниченно подошли к вопросу, характерной особенностью которого является закономерная сложность, обобщающая в себе целую систему взаимодействующих явлений». Таким образом, вторым, как бы общеметодологическим, замечанием автора является необходимость при объяснении понятия «гром» пользоваться диалектическим методом, устанавливающим связь и различие явлений.

Затем автор, полагая, что он правильно понимает диалектический метод исследования, чисто рассудочным путем приходит к разработке «новой теории» грома и излагает ее в следующих чертах. Принимая, что электрические заряды в воздухе образуются путем трения движущихся частей воздуха друг о друга, автор считает, что частички пыли, имеющиеся в воздухе, являются носителями электрической искры, когда она проскакивает между какими-либо точками атмосферы. «Характерными в этом факте являются эти частички пыли, по которым зигзагообразно, выбирая наиболее короткие расстояния между частичками, проскакивает искра»,—пишет автор. «Проскальзывая между капельками воды от одной частички к другой, искра разлагает подкисленные растворы солей и минералов в капельке воды, разлагает их на водород и кислород на всем своем протяжении. Но, вместе с тем, сама же искра в данном случае является и воспалителем этих образовавшихся газов, поэтому, соединяясь вновь, водород и кислород, вероятно (подчеркнуто нами.— Ред.), образуют гремучий газ, обладающий колоссальной взрывной силой. Соединяясь при взрыве, они опять образуют капельки воды; звуковым колебанием капельки влаги уплотняются, к ним присоединяются, очевидно (подчеркнуто нами.—Ред.), еще вновь образовавшиеся, они становятся тяжелее, преодолевают давление воздуха снизу и падают на землю дождем». Так автор объясняет явление грома, а явление тихого разряда объясняется тем, что «в данный момент разрядка произошла без процесса разложения» воды. Далее автор пытается объяснить, почему не бывает грома осенью, в дождливые дни и зимой. Он считает, что с наступлением холодов, дождей в воздух уже не попадает пыль минералов земли, поэтому нет условий возникновения тех химических процессов, о которых мы уже говорили; зимой это тем более невозможно. Заканчивая свою статью, автор пишет, что «гром является следствием химико-физических процессов разложения искрой молнии капелек воды и затем соединения водорода и кислорода, образующих гремучий газ, взрыв которого мы слышим как гром. Только такое определение дает ясное представление о совершающихся в природе материальных явлениях в их взаимодействии и связи, и если это так,— а здесь нет противоречий материалистическому воззрению, — то тысячу раз были правы К. Маркс и Энгельс, ставившие разрешение вопроса диалектическим методом — «в их великой общей связи, а не абстрактно и обособленно».

Считая, по мотивам, указанным ниже в примечании, необходимым дать правильный ответ на вопросы, поставленные т. Безруковым, редакция обратилась к С. Н. Жаркову

с просьбой разобрать предложения т. Безрукова с точки зрения современного положения вопроса.

Ответ С Н. Жаркова на вопросы, затронутые в письме т. Безрукова

Статья «Что такое гром» преследует три цели: разберем их в отдельности. В начале статьи содержится критика определения понятия «гром», данного в учебнике физики Фалеева и Перышкина (седьмой год). Автор статьи приводит формулировку учебника: «Гром — это треск, сопровождающий искру. Для предохранения зданий от разрушительного действия молнии устраиваются громоотводы». Эту формулировку, если судить по дальнейшему тексту статьи, автор считает «неясной, неточной и не соответствующей сути явления». С этим согласиться нельзя, так как при том ограниченном месте, которое в учебнике могло быть уделено грому и громоотводу, более удачно формулировать весьма трудно. Для сравнения привожу формулировку из Большой советской энциклопедии (т. XIX, столбцы 431 и 443), так как считаю, что ввиду назначения этой энциклопедии и серьезного отношения к ее редактированию надо относиться с полным доверием к даваемым в ней определениям. В ней сказано: «Гром — звуковой эффект, сопровождающий атмосферные электрические разряды, наблюдаемые во время грозы», «Громоотвод— приспособление для защиты зданий и каких-либо приспособлений и аппаратов от действия атмосферного электричества и в особенности от последствий непосредственного удара молнии». Сравнивая последнюю формулировку с учебником физики, видим, что особого упрека учебник не заслуживает, поскольку автор статьи ставит в упрек, повидимому, применение неправильного слова «громоотвод» вместо правильного «молниеотвод»; -но такой упрек совсем уже не основателен, так как в жизни и в науке применяется слово «громоотвод», и слово «молниеотвод» не привилось совсем, хотя почти во всех книгах, где идет речь о громоотводе, начиная с «Толкового словаря» Даля и кончая любым учебником, содержащим главу об атмосферном электричестве, наряду со словом «громоотвод» приводится слово «молниеотвод».

Вторую часть статьи автор посвящает филологическому рассуждению о неправильности употребления в русском языке слова «громоотвод». Однако дискуссию можно вести об очень большом числе слов и выражений, принятых в русской речи; почему бы, например, не взять слова «пароход» и, принимая во внимание, что пароход не ходит, а плавает, заменить его словом «пароплав» и т. д. Если же на то пошло, то вместо слова «громоотвод» правильнее еще взять слово «грозоотвод». Филологическое исследование можно продолжить и распространить и на другие языки. Обнаружим следующее: по-французски громоотвод — paratonnerre (tonnerre— гром, parer— защищать, отражать) совпадает с практикой русского языка, но на других языках будет иначе; по-немецки: Blitzableiter (Blitz — молния, ableiter — отвод); по-английски: lightningrod (lightning — молния, rod — прут, палочка); по-итальянски: parafulmine (î'ulmine — молния, parare — отражать, парировать удар); по-испански: pararrayo (гауо — молния, parar — останавливать, задерживать) и т. д.

Отсутствие такого исследования в учебнике физики вполне простительно.

Третья и последняя часть статьи содержит новую, предлагаемую автором теорию грома, причем автор необходимость новой теории оправдывает требованием диалектического подхода, сводя его к связи с сопутствующими явлениями. Однако, автор сам же нарушает свой принцип, так как разбирает явление грома обособленно, не рассматривая сущности явления грозы и молнии, в частности—не учитывает роли воздуха, в котором происходит разряд, совсем игнорирует изменение давления при разряде. Почему автору понадобилось создавать новую теорию и почему его не удовлетворяет общепринятая в науке в настоящее время,- из статьи не видно, так как автор существующей теории не опровергает и ничем не обнаруживает, что он ее знает. Эта теория очень кратко и четко изложена в Большой советской энциклопедии при слове «гром» и более детально описана в журнале «Климат и погода» в № 12 за 1928 г. Эта теория основывается на записях давления, производимого воздушными волнами, возникающими при электрическом разряде в воздухе. Исследования эти были выполнены австрийским ученым В. Шмидтом в 1912—1913 гг. и обнаружили существование двух видов взрывных волн, вызываемых молнией, так же, как и искрой в лаборатории.

В соответствии со свойствами взрывных волн, отличающих их от обычных звуковых (именно: большая скорость распространения, затухание, быстрое разрушение и т. д.), гром бывает тоже двух типов: резкий треск и продолжительные раскаты, а также

бывает слышен на различных расстояниях.

Взрывные волны обусловлены резким расширением воздуха при пролете молнии от двух причин: от отталкивания одноименно заряженных частиц и от нагревания.

Таким образом, и в прежней теории главную роль играют взрывы и взрывные волны; поэтому непонятно, зачем автору статьи понадобилось вводить в дело взрывы гремучего газа. Образование этого газа при грозе весьма сомнительно. Неясно, почему этот же газ не возникает при обычных электрических токах в атмосфере? Затем весьма слабым местом теории является одновременно двоякое действие искры — разложение воды на гремучую смесь и взрыв образовавшейся смеси. Такое двойное одновременное действие должно сводиться к нулю и никакого эффекта не вызывать.

Если даже стать на точку зрения автора статьи и допустить наличие взрывов гремучего газа, то для об'яснения всех особенностей грома (треск, разная слышимость на различных расстояниях и т. д.) достаточно применить свойство взрывных волн. Но автор статьи этого не делает, а добавляет еще некоторые рассуждения, которые не выдерживают критики. По автору, почему-то при взрыве гремучего газа часть кислорода и водорода остается свободной; осенью в дождливую погоду и зимой не бывает грома и т. д. Автор упускает из виду: спектральные исследования молнии не обнаруживают присутствия водорода; при разряде кислород переходит в озон, и образуются окислы азота; причины образования гроз и сущность самого явления автором совсем не изучены; состав молнии из ряда последовательных искр достаточен для об'яснения раскатов грома и т. д.

Автор упускает из рассмотрения много фактов и сведений, могущих объяснить на основе опыта и наблюдения то явление, для которого он создает чисто рассудочным путем свою теорию; необходимость новой теории без опровержения старой — неубедительна; новая теория вызывает массу возражений, игнорирует большое число добытых людьми знаний, противоречит некоторым наблюдениям и отличается полной бездоказанностью.

Примечание редакции. Мы считаем, что статья т. Безрукова является типичной для целого ряда статей, поступающих в редакцию, в которых авторы их пытаются строить различные теории или создают проекты об'яснений явлений с помощью чисто рассудочного применения диалектического метода, без специального исследования данного вопроса. Это является ошибкой именно с точки зрения диалектического материализма. Энгельс писал: «Задачи естествознания не могут заключаться в том, чтобы навязать природе диалектические законы, но найти их в ней самой и показать их развитие». Необходимо само явление исследовать методами данной науки, которые должны руководствоваться законами материалистической диалектики. В данном случае автор пытался построить теорию, исходя из общих положений диалектики, не исследуя самого явления, не собрав огромный материал об этих явлениях, имеющийся у других исследователей, не сопоставив результаты отдельных исследований. Такое понимание диалектики является безусловно ошибочным, отрывающим теорию от практики, натурфилософствованием в плохом смысле этого слова. На это обращал внимание т. Стецкий в своей статье о вульгарном применении диалектики в науке.

ОТ РЕДАКЦИИ

В № 1 нашего сборника по недосмотру редакции помещена статья И. Базарова «О формуле периода колебания математического маятника» (стр. 68), содержащая в себе грубую ошибку. Эта ошибка в основном заключается в том, что автор принял время движения весомой точки маятника по кругу равным времени падения ее по вертикали, что явно неверно. Как известно, точная формула времени размаха кругового маятника при любом угле отклонения <?0 от вертикали следующая: (см. проф. Н. Е. Жуковский «Аналитическая механика»):

Как видно из этой формулы, при угле у0 = 90° время колебания будет совершенно ипо?, чем это дано в ошибочном выводе автора данной статьи.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, помещенных в № 4 сб. «Математика и физика в средней школе» за 1935 г.

1. Задача на метро. На одной из станций Московского метро человек пробегал по ступеням поднимающегося эскалатора до высоты 10 м и обратно, употребив на пробег в два конца 73 сек. В другой раз он проделал то же самое на спускающемся эскалаторе и употребил на пробег туда и обратно 4 мин. 22 сек.

Найти собственную скорость под'ема и опускания эскалатора, если известно, что вниз по его ступеням человек сбегал на 35% быстрее, нежели взбегал вверх.

Обозначим скорость движения эскалатора (движущаяся лестница) через U, а скорость под'ема человека, взбегающего вверх по ступеням неподвижного эскалатора, через V.

Тогда скорость спуска человека при неподвижном же эскалаторе будет, согласно условию, 1,35 V. При поднимающемся эскалаторе действительная скорость под'ема человека будет U-\-V, а при спуске 1,35 V—U. Следовательно, время под'ема на 10 м равно

а время спуска

Из условия задачи имеем:

(1)

Подобным же рассуждением в случае спускающегося эскалатора получим уравнение:

(2)

Имеем систему уравнений. Для решения ее освободим оба уравнения от знаменателей и разделим первое на 73, а второе —на 262. Будем иметь

Вычтя второе уравнение из первого, будем иметь:

откуда:

Собственная скорость эскалатора 0,33 м в сек.

Кроме приведенного здесь решения самого Якова Исидоровича Перельман (несколько детализированного ввиду заявлений читателей о незнакомстве с устройством эскалатора), правильные решения прислали:

Г. Знаменский (Ялта), Г. Корчагин (студ. Пединститута, Ростов-на-Дону), А.Крутиков (г. Демидов), В. Павлов (Балятино, Моск. обл.), А. Соловьев (г. Калинин), С. Чечельницкий (Городец, Горьк. края).

2. Доказать, что

Приведем наиболее простое решение, присланное М. Андреевым (Красноярск): 1. Пусть л = 1. Тогда:

2. Пусть л>1 и а±=Ь. Тогда: ап = ап.

3. Пусть п> I и аф Ь.Не теряя общности, можем принять, что а > Ь. (В противном случае можно а и Ь поменять местами.) Возьмем две разности я-х степеней:

(2а)п-(а + Ь)« и (а + Ь)п — (2Ь)п.

Разность оснований в обоих случаях равна а — Ь. Разделим на нее оба выражения; получим:

В правых частях обоих равенств одинаковое число членов, равное п.

Так как а>Ь и, следовательно:

2a>a + b>2b,

то каждый член правой части первого равенства больше соответствующего члена второго. Отсюда:

Так как а — b >0, то или:

Деля обе части на 2 , получим:

М. Андреев (Красноярск), А. Вепланд (Москва), А. Егоров (Демянск), Г. Знаменский (Ялта), Б. Кобылин (Галич), Г. Корчагин (Ростов-на-Дону), Е. Марчевская (Харьков), П. Милов (Люблино), В. Павлов (Балятино), А. Соловьев (Калинин), М. Шевелев (Казань), С. Чечельницкий (Городец).

3. Найти двухзначное число, куб суммы цифр которого равен его квадрату.

Пусть искомое число \0х-{-у. Тогда

или

Так как х и _у — числа целые, то \0x4-y должно быть точным кубом. Приняв во внимание, что 10jc+j><100, найдем два числа 27 и 64. Если lOjc-f-y = 64, то равенство даст jc + .y:= 16, тогда как сумма цифр 64 равна 10. Если IOjc -f-^y = 27, то х^-у — 9. Отсюда х = 2; у = 7. Действительно: 27* = 729 = 93 = (2 + 7)\

А. Астраханцев (Сарапул), А. Вепланд (Москва), И. Гришин (Осташков), М. Гусев (Кимры), В. Ефимов (ст. Сходня), А. Задвиженец (Брасово), Г. Знаменский (Ялта), Б. Кобылин (Галич), С. Лукин (ученик IX класса, Киев), А. Колосовский (Краснодар), Г. Корчагин (Ростов-на-Дону), Г. Оленин (Баз-Кеньша, Куйбышевский край), В. Павлов (Балятино), В. Покидов (Тамбов), А. Соловьев (Калинин), С. Чечельницкий (Городец).

4. Доказать тождество:

Напишем ряд тождеств:

Перемножив их, получим:

Разделив на У-А*.Ь*......--получим требуемое тождество.

А. Вепланд (Москва), И. Гришин (Осташков), М. Гусев (Кимры), И. Демидов (Мурманск), А. Егоров (Демянск), Н. Енгурин (Чистополь), А. Задвиженец (Брасово), Г. Знаменский (Ялта), Л. Каган (Минск), Б. Кобылин (Галич), А. Крутиков (Демидов), А. Колосовский (Краснодар), Г. Корчагин (Ростов-на-Дону), С. Лукин (Киев), П. Любовников (Сталинград), В. Павлов (Балятино), В. Покидов (Тамбов), А Соловьев (Калинин), Н. Столяров (ст. Ефимовская, Ленингр.обл.), Л. Фейгенберг (Свердловск), М. Шевелев (Казань), С. Чечельницкий (Городец).

5. Решить в целых числах уравнение

(1+2 + 3+... + лг)(12 + 22 + 3* + ... + л:2)=>'2.

При X целом и положительном имеем:

Отсюда

Так как

число целое и притом точный квадрат, то —^— должно быть точным квадратом некоторого нечетного числа (так как само 2л:+ 1 — число нечетное). Полагаем

Отсюда:

а, следовательно:

у = (6/t2 + 6/1 + I)2 (Зл2 + 3/1 + I)2 (2/1 + 1 J1, или

У = ± (6л2 + Ы + 1 ) (Зл2 + 3/1 + 1) (2/1 + 1}, где п—произвольное целое число.

М. Андреев (Красноярск), А. Астраханцев (Сарапул), А. Вепланд (Москва), И.Гришин (Осташков), М. Гусев (Кимры), Г. Знаменский (Ялта), Б. Кобылин (Галич), А. Колосовский (Краснодар), С. Лукин (Киев), Е. Марчевская (Харьков), А. Соловьев (Калинин), Л.Фейгенберг (Свердловск).

6. При каких значениях х многочлен

X* — 4jcs + IOjc2 — IOjc + 3

будет точным квадратом?

Извлекая обычным путем из многочлена квадратный корень, получим

je4 — 4jc3 + 1 Ojc2 — 1 Ох + 3 = (je2 —2jc + 3)2 + + (2jc-6).

Для того чтобы многочлен был точным квадратом, достаточно, чтобы остаток 2jc — 6 = 0, откуда je = 3. Понятно, что это условие не необходимое, так как многочлен может давать точный квадрат и при других значениях х, например

М.Андреев (Красноярск), А. Вепланд (Москва), И. Гришин (Осташков), Н. Горун (Одесса), А. Егоров (Демянск), А. Задвиженец( Брасово), Г. Знаменский (Ялта), Л. Каган (Минск), Б. Кобылин (Галич), А. Колосовский (Краснодар), П. Любовников (Сталинград), В. Павлов (Балятино), А. Соловьев (Калинин).

7. Найти двухзначное число, равное удвоенному произведению его цифр.

Пусть искомое число \0x-\-y. По условию: №х+у = 2ху.

Отсюда:

Так как у — число целое, то 2;с — 1 должно быть делителем пяти, т. е. 2х — I = 1 и jc = 1 или 2jc — 1 = 5 и X = 3. Но при jc = 1 у = 10, чего быть не может. Следовательно, jc = 3, у = 6. Искомое число 36.

Ввиду простоты задачи редакция не считала решением непосредственную подстановку вместо je или у чисел 1,2,... 9.

М. Андреев (Красноярск), Бессонов (Злынка, Западн. обл.), А. Вепланд (Москва), Н. Горун (Одесса), М. Гусев (Кимры), И. Демидов (Мурманск), Н. Енгурин (Чистополь), А. Задвиженец (Брасово), Г. Знаменский (Ялта), Б. Кобылин (Галич), Г. Корчагин (Ростов-на-Дону), П. Любов-

ников (Сталинград), А. Соловьев (Калинин), М. Шевелев (Казань), С. Чечельницкий (Городец).

8. Сколько находится одинаковых членов в двух арифметических прогрессиях:

1, 4, 7, 10, 13,... 1, 5, 9, 13, 17.... , если в каждой из них 121 член?

Пусть т-й член первой прогрессии и /z-й член второй равны. Тогда

1 + 3 (m—1 ) = 1 + 4 — 1). Отсюда 4/1 — 2т — ].

Решая это неопределенное уравнение в целых числах, найдем

//z = l-f 4*; ix — 1+ЗЛ

Решение неравенств

0 < m < 121 и 0 < /К 121

дает для t 0 =0^30.

Итак, t может принимать значение О, 1,2 ... 30. Одинаковых членов 31.

А. Вепланд (Москва), И.Гришин (Осташков), Н. Го рун (Одесса), М. Гусев (Кимры), А. Егоров (Демянск), В. Ефимов (ст. Сходня), Н. Ефимов (Карамышево, Чувашской АССР), А. Задвиженец (Брасово), Г. Знаменский (Ялта), Б. Кобылин (Галич), Г. Корчагин (Ростов-на-Дону), С. Лукин (Киев), Е. Марчевская (Харьков), В.Павлов (Балятино), А. Соловьев (Калинин), Л. Фейгенберг (Свердловск), М. Шевелев (Казань), С. Чечельницкий (Городец).

9. Найти вид двух дробей, сумма которых равна их произведению.

Пусть искомые дроби будут у и —. По условию £ -f- — = Отсюда:

an -j- Ьт — am; m а m (а — Ь) — ап; п ~~ a — b' а

Итак, если одна дробь -ç% то другая должна быть а_. (причем а может быть и меньше Ь).

М. Андреев (Красноярск), А. Вепланд (Москва), И.Гришин (Осташков), М. Гусев (Кимры), Г. Знаменский (Ялта), И. Кацман (Житомир), Б. Кобылин (Галич), И. Космачевский (Монастырщина, Зап. обл.), С. Лукин (Киев), П. Милов (Люблино), П. Любовников (Сталинград), В. Павлов (Балятино), В. Покидов (Тамбов), А. Соловьев (Калинин), С. Чечельницкий (Городец).

10. Решить уравнение

х4 + 5л- — 6 = 0.

Умножим члены уравнения на 4 и преобразуем:

Данное уравнение распадается на два квадратных:

или: л'2 -{- X — 2 = 0 и X“ — je3 = 0.

Решив их, найдем:

А. Астраханцев (Сарапул), М.Андреев (Красноярск), Бессонов (Злынка), А. Вепланд (Москва), С. Воронин (Ярославль). Н. Го рун (Одесса), И. Гришин (Осташков), И. Гусев (Гуково, Азово-Черноморский край), М. Гусев (Кимры), П. Демидов (Мурманск), А. Егоров (Демянск), В. Ефимов (ст. Сходня), А. Задвиженец (Брасово), Г. Знаменский (Ялта), И. Кацман (Житомир), Б. Кобылин (Галич), А. Крутиков (Демидов), А. Колосовский (Краснодар), Г. Корчагин (Ростов-на-Дону), П. Любовников (Сталинград), П. Милов (Люблино), Г. Оленин (Баз-Кеньша), В. Павлов (Балятино), А. Соловьев (Калинин), Н. Столяров (ст. Ефимовская), Л. Фейгенберг (Свердловск), Ф. Фисун (ст. Кипучая, Донбасс), М. Шевелев (Казань), С. Чечельницкий (Городец).

11. Решить уравнение

Раскрывая скобки и заменив cos2* через 1—sin2*, получим:

отсюда

А. Вепланд (Москва), А. Задвиженец (Брасово), Г. Знаменский (Ялта), Б. Кобылин (Галич), А. Крутиков (Демидов), А. Колосовский (Краснодар), Г. Корчагин (Ростов-на-Дону), П. Милов (Люблино), Оленин (Баз-Кеньша), В. Павлов (Балятино), А. Соловьев (Калинин), Л. Фейгенберг (Свердловск), С. Чечельницкий (Городец)-

12. Решить уравнение

Преобразуем уравнение

Итак, имеем квадратное уравнение sin2 2* —8 sin 2*-f-4 = 0, из которого находим

sin 2*, sin 2х = 2 (2-/з); * — (—1;“ 16° 121 -f- 1£С'/г

(второй корень, как больший единицы, не годится).

Так как 2 — |/“з = tg 15°, то решение можно записать так:

2х = aresin 2tg 15?.

Все присланные решения в основном совпадают с приведенным.

М. Андреев (Красноярск), А. Вепланд (Москва), Н. Горун (Одесса), М. Гусев (Кимры), В. Демидов (Мурманск), А. Егоров (Демянск), В. Ефимов (ст. Сходня), Б. Кобылин (Галич), А. Крутиков (Демидов), A. Колосовский (Краснодар), П. Милов (Люблино), П. Любовников (Сталинград), B. Орлов (ст. Нововеличковская), В. Павлов (Балятино), А. Соловьев (Калинин), Л. Фейгенберг (Свердловск), М. Шевелев (Казань), С. Чечельницкий (Городец).

13. Решить уравнение

Заменяя sin 2л: по формуле и освобождаясь от знаменателя, получим:

Разделим все члены уравнения на

Преобразуем уравнение:

Отсюда:

П.Демидов (Мурманск), А. Задвиженец (Брасово), Г. Знаменский (Ялта), Б. Кобылин (Галич), А. Колосовский (Краснодар), Г.Корчагин (Ростов-на-Дону), П. Любовников (Сталинград), П. Милов (Люблино), В. Павлов (Балятино), А. Соловьев (Калинин), Л. Фейгенберг (Свердловск), С. Чечельницкий (Городец).

14. Доказать справедливость неравенства

ha + hb + hc>9r,

где //„. hb, hr, г суть высоты и радиус вписанного круга некоторого треугольника.

Из формулы

2 s = aha — bhb = che

имеем:

В случае а — Ь = с (треугольник равносторонний) имеем

ha + hb + he = 9r.

В остальных случаях сумма последних трех слагаемых во второй части больше нуля и, следовательно,

ha + hb + hc>9r.

М.Андреев (Красноярск), А. Вепланд (Москва), П. Демидов (Мурманск), Г.Знаменский (Ялта), Б. Кобылин (Галич). Е. Марчевская (Харьков), В. Павлов (Балятино), А. Соловьев (Калинин), С. Чечельницкий (Городец).

15. В каждый из двух треугольников, на которые рассекается прямоугольный треугольник высотою опущенной на гипотенузу, вписана окружность. Показать, что имеет место зависимость

r+Ti -j-/*î = h,

где г — радиус вписанного круга, rt и г2 — радиусы упомянутых окружностей, Л —длина высоты, опущенной из вершины прямого угла.

Так как все три треугольника подобны, в подобных же треугольниках радиусы вписанных кругов относятся, как сходственные стороны, можем написать

Отсюда:

Можно также решить задачу, исходя из формулы

Большинство решений дтно именно этим способом.

М. Андреев (Красноярск), А. Вепланд (Москва), И. Гришин (Осташков), А. Егоров (Демянск), Н. Енгурин (Чистополь), В. Ефимов (ст. Сходня), Г. Знаменский (Ялта), Б. Кобылин (Галич), Г. Корчагин (Ростов-на-Дону), Е. Марчевская (Харьков), В. Павлов (Балятино), В. Покидов (Тамбов), А. Соловьев (Калинин), С. Чечельницкий (Городец).

16. Доказать, что во всяком треугольнике диаметр круга вписанного не превышает радиуса круга описанного.

Первое решение. По известной формуле Эйлера

<Р = Л(Я—2г),

где d — расстояние между центрами вписанного и описанного кругов.

В случае d = 0, т. е. равностороннего треугольника, имеем

R = 2r.

В остальных случаях ö?>0 и, следовательно, #-2г>0 и #> 2г.

А. Вепланд (Москва), Б. Кобылин (Галич).

Из других решений приведем второе решение т. Кобылина как наиболее короткое и изящное.

Второе решение. Исходя из положения, что среднее геометрическое двух положительных чисел не превосходит их среднего арифметического, можем написать.

или

Точно так же:

Перемножив неравенства, найдем:

8 [р — а) (р — Ь) (р — с)<abc.

Умножив обе части на/? и применив формулу Герона, найдем:

8S2^abcp. По известным формулам:

Производя замену, получаем

А.Егоров (Демянск), Г. Знаменский (Ялта), Б. Кобылин (Галич), Г. Корчагин (Ростов-на-Дону), П. Милов (Люблино), В. Павлов (Балятино), А. Соловьев (Калинин), С. Чечельницкий (Городец).

17. Разложить на множители выражение:

x“ + * — (n + 2)x + n + l. Преобразуем выражение:

Преобразуем второй множитель:

Окончательно имеем:

A. Вепланд (Москва), И. Гришин (Осташков), Б. Кобылин (Галич), И. Кацман (Житомир), Г. Корчагин (Ростов-на-Дону), B. Покидов (Тамбов), А. Соловьев (Калинин), С. Чечельницкий (Городец).

18. Написать арифметическую прогрессию, если сумма ее членов выражается через число членов следующим образом

S=pn2 + qn для всякого п (р и q—прсизвольные числа)*. Полагая /1=1, находим

Sx = р -f- q, или а = р -f- q.

Полагая п = 2: S2 = 4p^-2q9 или 2a-\-d = 4p-\-2q.

Отсюда:

d = 4p + 2q—2a~4p + 2q — 2p — 2q = 2p. Итак, искомая прогрессия будет:

Р + Я; Ър + Я\ 5/? + ?;...

B. Агеев (Бабаево), А. Вепланд (Москва), Н. Горун (Одесса), М. Гусев (Кимры), П. Демидов (Мурманск), Н. Ефимов (Карамышево, Чувашской АССР), Г. Знаменский (Ялта), Б. Кобылин (Галич), А. Колосовский (Краснодар), А. Крутиков (Демидов), C. Лукин (Киев), Е. Марчевская (Харьков), П. Любовников (Сталинград), П. Милов (Люблино), А. Соловьев (Калинин), Н. Столяров (ст. Ефимовская), М.Шевелев (Казань), Я. Шор (Тула), С. Чечельницкий (Городец).

19. Показать, что уравнение

не имеет рациональных корней, если число п — простое. Так как уравнение 1-й степени всегда имеет решение, то предполагаем, что л>1.

Уравнение не может иметь дробных корней, так как, полагая х равным несократимой дроби —, мы имели бы:

an + a“-1b+an-h*+...+abn-i + nbn = О,

и а должно делиться на 6, что противоречит условию.

Уравнение не может иметь положительных корней, так как в этом случае все члены левой части положительны и сумма их не может равняться нулю.

* Тов. Любовников указывает, что эта задача имеется в сборнике задач Шмулевича.

Таким образом, корнями уравнения могут быть целые отрицательные числа, притом являющиеся делителями простого числа п. Такие числа суть — 1 и — п.

Представим данное уравнение в виде:

Подставляя значение х =—1, имеем

Так как л-f-l— число четное, то получаем 1 —п = 0 и п = 1. Этот случай мы уже исключили. Подставляя значение х =—п, получаем:

или

Отсюда

п9+1 =2 и п — \.

Получили опять исключенный случай.

А Вепланд (Москва), И.Гришин (Осташков), Г. Знаменский (Ялта), Б. Кобылин (Галич), Г. Корчагин (Ростов-на-Дону), В. Павлов (Балятино), А. Соловьев (Калинин), М. Ш евелев (Казань), С. Чечельницкий (Городец).

20. Дана окружность и два радиуса OA и OB. Провести секущую MNPQ так, чтобы:

IMîviiNPzPÇ = \:2:3,

где M и Q—тючки пересечения секущей с окружностью, а N и Р—с данными радиусами.

Пусть MNP.Q — искомая секущая. По условию

MN:NP:PQ=1 :2:3.

Отсюда: MP =z PQ и OB, следовательно, перпендикулярен к MQ. Опустив из точки А перпендикуляр AD на OB и продолжив его до пересечения с продолжением радиуса ОМ в точке Е, будем иметь:

ЕА :MN = AO:ON = AD:NP.

Отсюда:

ЕА : AB = MN : NP = 1:2.

Отсюда вытекает построение. Из точки А опускаем перпендикуляр AD на OB и продолжаем его за точку А на расстояние АЕ — ^~AD.

Точку Е соединяем с центром. Из точки M (пересечение ОЕ с окружностью) опускаем перпендикуляр на OB и продолжаем его до пересечения с окружностью в точке Q. Прямая MQ и будет искомой. Задача возможна при условии 2. АОВ < 90° и допускает два решения.

И. Демидов (Мурманск), А. Егоров (Демянск), Н. Енгурин (Чистополь), Г. Знаменский (Ялта), Б. Кобылин (Галич),. П. Милов (Люблино), В. Покидов (Тамбов),. А. Соловьев (Калинин), С. Чечельницкий (Городец).

Редакция помещает ниже список читателей, решения которых по № 1 и 2 сборника приняты к конкурсу, включая в список всех, приславших решения до выхода соответствующего номера с этими решениями. В скобках указано число принятых задач.

По № 1. К. Агринский (10), И. Алексеев (2): А. Астраханцев (1), П. Буданцев (3), А. Вепланд, (17), А. Голубченко (2), Е. Дедух (7), А. Егоров (4)г Ефимов (2), В. Зяблицкий (2), И. Кацман (4), Б. Кобылин (I'd), А. Колосовский (7), В. Комендровский (10), И. Кроер (8), Н. Курицын (2), В. Лебедевская (2), С. Липилин (3), П. Любовников (8), П. Милов (10), Ю. Принцев (7), Г. Ржавский (5), К. Ситников (5), Е. Соловьев (1), О. Сорокин (6), И. Черкасов (1), Я. Шор (7).

По № 2. К. Агринский (JO), И. Алексеев (3), Н. Богданович (2), П. Буданцев (3), Е. Вегеман (20), A. Вепланд (8), И. Гришин (11), Е. Дедух (7 у К. Демин (1), А. Егоров (9), Н. Енгурин (2), B. Ефимов (9), В. Зяблицкий (z), Б. Кобылин (17), А. Колосовский (7), А. Колот (10), В. Комендровский (13), В. Краевский (13), Н. Курицын (1), C. Лебедев (1), В. Лебедевская (1), П. Любовников (9), Н. Милковский (9), П. Милов (8), В. Орлов (1),И. Принцев (8), Г. Ржавский (I), Г. Рыжков (4), Н. Сафонов (7), И. Сергачев (4), А. Соловьев (19), Е. Соловьев (6), А. Сухацкий (7). С. Танасевский (3), Ф. Фисун (1), Я. Шор (10).

ЗАДАЧИ

От редакции. Редакция еще раз просит читателей, присылающих задачи для помещения в сборнике, соблюдать следующие условия:

1. Сопровождать присылаемые задачи подробными решениями или указать на отсутствие у автора решения.

2. Если задача заимствована — указать источник.

3. Задачи присылать отдельно от решений помещенных в сборнике задач, так как решения рассматриваются лишь перед помещением их в очередном номере сборника.

Редакция считает необходимым довести до сведения читателей, что все задачи, помещаемые в сборнике без подписи, являются заимствованными из русских и иностранных математических журналов.

Ставя своей целью развитие навыка, сообразительности, вообще тренировку педагога в решении задач, редакция совсем не гонится за их оригинальностью. Наоборот, редакция считает чрезвычайно целесообразным использовать громадный задачный материал, накопленный в течение десятилетий. Одновременно в целях обогащения этого материала редакция призывает читателей к усиленной работе по составлению новых задач. Все такие задачи (средней трудности) будут помещаться в сборнике.

В решениях задач будут печататься в разрядку фамилии: автора задачи, автора печатаемого решения и лиц, решения которых совпадают с печатаемым.

Задачи по математике

1. Решить уравнение:

X3 -J- 6 X — 36 Vb — 0.

П. Милов

2. Решить уравнение:

(х ~4)* —5)' + 2(ж-5)' + (* —4)* = 0.

И. Туминский

3. Решить в целых числах уравнение:

*з — 100 = 225 у.

4. Решить систему уравнений:

X* + ?=z 1, Jt3+y3= 1.

5. Доказать, что сумма квадратов пяти последовательных целых чисел не может быть целым квадратом.

6. Доказать, что значение выражения

1+2п + 4н

кратно 7, если х есть положительное число вида 3*±1.

7. Через произвольную точку внутри треугольника проведены прямые, параллельные его сторонам. Выразить площадь 5 данного треугольника через площади Slt S* и S3 трех образовавшихся внутри данного треугольников.

Б. Елуферьев.

8. Найти углы треугольника, зная, что они образуют арифметическую прогрессию и что наибольшая сторона его с вдвое больше наименьшей а.

9. Доказать следующее предложение: если в треугольнике

га—г = 2П,

где гф г, В — радиусы кругов вневписанного, вписанного и описанного, то этот треугольник — прямоугольный.

10. Доказать, что из равенства

вытекает соотношение

11. Показать, что

tg30c = t£l0? tg 70° tg51°.

12. Доказать тождество

где hlt Л2, Л3—высоты некоторого треугольнику î г—радице вписанного в него круга.

13. Доказать, что число

2п 4- 2 3 - 8/2 — 9

при целом и положительном п кратно 64.

14. Решить систему уравнений

15. Решить уравнение:

cos 10 х — cos 8 X — cos 6 х -f-1 =r 0.

16. Показать, что выражение

а~ + ь' + ? — ab — ас — Ьс может быть представлено в форме: х-— ху+ у2.

17. Доказать, что произведение

ху(Зх + 2) (5у + 2)

есть разность квадратов двух целых многочленов с целыми коэфициентами.

18. Решить в целых числах уравнение

ху — \0(х+у)= 1.

19. Решить систему уравнений:

5 (Ig* X + \gxy) =z 26, ху = 64.

20. Доказать равенство:

1* + 22 + 3*+. . .+n* = C*n+t + 2(C*n + + С\_, + . . .+С*9),

где С„* есть число сочетаний из m элементов по /г.

Задачи но физике

Следующие задачи заимствованы из статьи проф. А. Цингера — «Несколько задач из элементарной физики», напечатанной в «Zeitschrift für den physikalischen und chemischen Unterricht» № 1 за 1935 г.

1. При помощи ультрамчкроскопа можно обнаруживать в коллоидальном растворе золота частицы, размер которых не превосходит 5 pp. Предположим, что эти частицы имеют форму куба. Сколько таких кубиков можно получить из 1 см5 золота? Как велика сумма поверхностей всех этих частиц?

2. Какова должна быть толщина веревки, чтобы ее об'ем был равен об'ему Земли и ее длина равнялась бы расстоянию между Солнцем и Землей?

3. Достаточно чувствительным гальванометром легко можно показать ток в одну биллионную долю ампера (10 ~А). Какое потребуется время, чтобы таким током разложить одну капельку воды массой в I мг! Сколько молекул воды разлагалось бы при этом в 1 сек.?

4. Поезд весом Р — 750 m равномерно двигался по горизонтальному пути. Последний вагон весом /; = 25 ;// оторвался. Машинист продолжал двигаться еще на расстоянии /, = 290 м, пока он закрыл доступ пара в машину и, не тормозя, остановил поезд. На каком расстоянии должны находиться друг от друга оторвавшийся вагон и поезд? (Предполагается, что машина работала все время равномерно и сила трения пропорциональна весу тела, двигающегося на рельсах.)

Цена 1 руб.

ПИСЬМО В РЕДАКЦИЮ ЖУРНАЛА «МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА В ШКОЛЕ»

Издательство «Учпедгиз» выпустило 5 стенных таблиц «Стандарты обозначений единиц физических величин».

В таблице — «Механические единицы по ОСТу 6052» в последнем столбце имеются опечатки:

Напечатано Следует

Издательство и автор просят тт. преподавателей внести в таблицу исправление.

Автор И. Лобко Редактор Соколов