МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА В ШКОЛЕ

1

1936

НАРКОМПРОС УЧПЕДГИЗ

УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ СБОРНИК

№ 1

ЯНВАРЬ 1936 ФЕВРАЛЬ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

СОДЕРЖАНИЕ

Научный и научно-популярный отдел

Стр.

С. Шорыгин — Проекты К. Э. Циолковского........... 3

Доц. Б. Молодший — Истинна ли геометрия Лобачевского? .... 13

Проф. В. Альтберг—Физические условия ледообразования . . . 25

Л. Сутчев — Кварцевая ртутная лампа........... . 31

X. Беневольский — Геометрический вывод формулы Герона ... 38

Р. Бончковский — Об одной задаче.............. 39

Проф. Н. Извольский — О пифагорейских числах......... 40

Методика

Доц. В. Матышук—Учение о логарифмах в средней школе . . 41

Н. Кувыркин — О некоторых математических приборах для средней школы.......................... 55

Проф. И. Черняев — К проработке бинома Ньютона ....... 60

Доц. А. Торчинский — Лабораторные работы по теме .Электрический ток“.......................... 61

Д. Галанин — Почему две лампы горят тускло?....... 64

Н. Руткевич — О графическом способе вычисления кинетической энергии движущегося тела ............... 6S

И. Базаров — О формуле периода колебания математического маятника............... ......... 65

С. Василов и В. Кармилов — Электрифицированные схемы машин, физических приборов и установок в преподавании физики . . 69

Из опыта школ

Г. Стальков — Некоторые выводы о подготовленности по математике поступающих в техникум............... 72

Проф. А. Калашников — Изменение состояния знаний учащихся по физике в течение учебного года . ............ 80

М. Грабовский — Маятник в магнитном поле........... 85

A. Рабинович — Демонстрационный термометр сопротивления со стрелочным гальванометром.............. 88

B. Кубинцев — О магнитном напряжении внутри кольцевидного соленоида . . .................. . 92

C. Иванов — Доступные индикаторы в опытах по электролизу солей 94

Доц. А. Белогорский — Алоскоп как осветитель......... —

Н. Ежев — Исследование поля вокруг электрических лампочек с помощью фотоэлемента......... ........ 95

Н. Кеслин — Как быстро запомнить азбуку Морзе........ 97

Критика и библиография

Еще о зеркалах Архимеда.................... 98

Р. Гангнус — По поводу одной заметки........ ... 93

Р. Гангнус—О решении задачи № 11 из № 4 „Мат. и физ.“ (1935 г.) 100

О. Плиткин —Рецензия на книгу проф. И. А. Лобко ....... 101

Новые книги по математике.................... 102

С. Шорыгин — Книги о стратосфере............... 105

В. Морев — Методико-математическая библиография по темам, . , 108

Хроника и консультации

В. Юськович — Хроника......... ........... 112

Педагогическая консультация............... ... 113

Задачи

Решения задач, помещенных в № 3 сб. „Матем. и физ.'. за 1935 г. . 114

Задачи по математике . .................... 119

Задачи по физике......................... 120

Отв. ред. А. Н. Барсуков, зах. отв. ред. А. Г. Калашников, отв. севр. В. И. Коровин. Техредактор В. С. Якунина.

Адрес редакции: Москва, Орликов, 3. Учпедгиз, периодсектор, журн. „Матем. и физика“.

Сдано в производство 28/XI. Подписано к печати 21/1 1936 г.

Учгиз 7818. Объем 7*|, п.л. В 1 п. л. 7=5 (ню зн. Бумага 72 X 105. Заказ 176

Тираж 32 100. Уполномочен. Главлита № Б-17729.

Отпечатано с матриц ь 16 тип. треста «Полиграфкнига», Москва, Шубииский пер., l10

НАУЧНЫЙ И НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

ПРОЕКТЫ К. Э. ЦИОЛКОВСКОГО

С. ШОРЫГИН (Москва)

19 сентября 1935 г. в Калуге умер Константин Эдуардович Циолковский — автор проекта цельнометаллического дирижабля, основоположник теории реактивного движения и пионер завоевания межпланетных пространств.

В одном из своих сочинений Циолковский написал: „Основной мотив моей жизни — сделать что-нибудь полезное для людей, не прожить даром жизни, продвинуть человечество хоть немного вперед. Вот почему я интересовался тем, что не давало мне ни хлеба, ни силы. Но я надеюсь, что мои работы— может быть, скоро, а, может быть, и в отдаленном будущем,—дадут обществу горы хлеба и бездну могущества“. Написав это, Циолковский сказал только правду, ибо его жизненный путь —это научный подвиг, совершенный во имя блага человечества.

К. Э. Циолковский родился 5 сентября 1857 г. в селе Ижевском, Рязанской губернии, в семье малосостоятельного лесничего. Бедность и частичная потеря слуха помешали ему получить школьное образование. В 1879 г. Циолковский сдал экзамен на звание учителя и с 1880 г. по 1920 г. без перерыва проработал учителем средней школы.

В последующем изложении производится попытка подытожить многогранную научную работу К. Э. Циолковского, уделяя особое /внимание двум его замечательным проектам, принесшим ему мировую известность. Разработку их он продолжал в течение всей своей жизни.

1. Проект цельнометаллического дирижабля

Теоретическую разработку этого проекта Циолковский начал в 1885 г., проработав два года с огромным напряжением. В 1887 г. он сделал в Московском обществе любителей естествознания свое первое сообщение о металлическом управляемом аэростате.

В 1890 г. Циолковский послал знаменитому химику Д. И. Менделееву рукопись своей работы „О возможности построения металлического аэростата“, в которой он описывал устройство металлической оболочки дирижабля, состоящей из отдельных металлических поверхностей, соединенных мягкими лентами. К рукописи была приложена бумажная модель такой оболочки, длиной в аршин. Менделеев счел проект непрактичным, но по просьбе Циолковского переслал его вместе с моделью в VIII отдел Русского технического общества, прося сделать о нем доклад. Председатель VIII отдела Е. В. Федоров сделал доклад. Отмечая правильность расчетов автора, он признал, что мысль строить аэростаты из металла заслуживает внимания, так как металл не пропускает газа и потому удешевляет полеты и способствует их продолжительности. Но наряду с этим он высказал мнение, что тем не менее строительство металлических оболочек будет не только совершенно бесполезно, но даже вредно, так как „аэростат должен навсегда силою вещей остаться и грушкою ветров“. Этот отзыв оказался злым роком, тяготевшим над проектом Циолковского в течение нескольких десятков лет.

В 1892 и 1893 гг. Циолковский издал в двух частях свою работу „Аэростат металлический, управляемый“, оставшуюся в России незамеченной. Несмотря на это, она была переведена на французский и английский языки и вызвала за границей оживленный обмен мнений. Начиная с 1910 г., этот проект был патентован в Германии, Франции, Италии, Англии, Бельгии, России, Австрии и Америке.

Циолковский в этой работе следующим образом поясняет конструкцию предлагаемой им металлической оболочки: „Соедините две прямоугольных полоски картона так, чтобы получилась фигура продольного сечения аэростата. Затем одну или обе стороны этого

продолговатого цилиндра заклейте толстой бумагой; получите что-то вроде продолговатого барабана или решета (рис. 1). Эта коробка и изображает аэростат, объем которого, однако, не может изменяться. Но мы можем разрезать острым ножом боковые плоские стенки этого мешка на параллельные полоски, перпендикулярные продольной оси мешка (рис. 1). Теперь, надавливая на прямоугольные картонные полоски, сближая и удаляя их, мы увидим, что объем и форма нашего мешка могут весьма сильно изменяться без образования каких-либо складок; но горе в том, что между полосками образуются продольные щелки, тем более узкие, чем продолговатее наш мешок и чем тоньше самые полоски (рис. 2)“. Эти-то щели Циолковский и предлагал закрывать мягкими лентами.

В 1898 г. в качестве приложения к журналу „Общедоступная техника“ была издана книга Циолковского „Простое учение о воздушном корабле“, содержащая изложенные в общедоступной форме, без единой формулы, описание и теорию дирижабля.

В течение последующих лет Циолковский продолжал свою работу. В 1912 г. он отказался от своего первоначального проекта, признав конструкцию с мягкими лентами непрактичной, и выступил с совершенно новым проектом и моделью цельнометаллической оболочки дирижабля из волнистого металла, обладающего той же формой. Он изготовил ряд моделей такой оболочки различных размеров, одна из которых изображена на рисунке 3, Новый проект попал в ту же инстанцию и тот же Федоров заявил, что проект Циолковского уже рассматривался ранее и был отвергнут.

В 1914 г. та же модель и проект попадают в „Общество содействия успехам опытных наук имени Леденцова“. Созданная для его рассмотрения комиссия дала уничтожающее заключение, а проф. Н. Е. Жуковский, ссылаясь на недостаток опытных данных о свойствах материалов, расценил построенную модель как „пока еще весьма мало разработанную идею“. В 1513—1915 гг. Циолковский издает ряд брошюр о цельнометаллическом дирижабле.

Приводим сжатое описание дирижабля Циолковского, содержащееся в одной из позднейших его статей, иллюстрированной рисунками, впервые опубликованными им в 1914 г. в брошюре „Простейший проект чисто металлического аэроната из волнистого железа“ :

„Моя конструкция металлического дирижабля ясна из прилагаемых рисунков. Корпус дирижабля — продольный и поперечный разрезы даны на рисунке 4 (внутри показана стягивающая система) — состоит в основном из следующих частей (рис. 5а): верхнего продольного основания (/), закрытых полутрубами шарнирных соединений (2), волнистых стальных боковин (5), нижнего основания (4), конечных прямоугольников (5). Чертежи Ь, с и d схематически показывают поперечные разрезы корпуса дирижабля при надутой и ненадутой оболочках; на рисунке 6 даны детали (а) шарнирного соединения. Схема продольного разреза всего дирижабля, включая гондолу, изображена на рисунке 6Ь. В нижней части его видны трубы (черные линии) для нагревания газа (старая конструкция), валы для наматывания тросов блочной системы, гондола, рули, моторы с гребными винтами, ряд окон. Температура газа, наполняющего дирижабль, регулируется продуктами горения, выбрасываемыми моторами (на рис. 6с они показаны в виде пламени лампы). Их посредством клапана можно направить или внутрь дирижабля или наружу. Это дает дирижаблю возможность изменять свою подъемную силу и бороться с метеорологическими влияниями. Описанный дирижабль может изменять объем, будет всегда правильной формы, не будет терять газа и сможет изменять свою подъемную силу без потери газа и балласта. Его нельзя причислить ни

Рис. 1.

Рис. 2,

Рис. 3.

жестким, ни к мягким, ни к полужестким конструкциям. Прочность и легкость конструкции в этой системе достигаются тем, что оболочка висит на газе, и все части корабля подвергаются только растяжению. На постройку идет оцинкованное или освинцованное железо, хромовая сталь и другие материалы“.

В упомянутой выше своей брошюре, изданной в 1914 г., Циолковский отмечает следующие преимущества металлического дирижабля: несгораемость, газонепроницаемость, негигроскопичность, долговечность, дешевизну и прочность металлической оболочки; ее блестящую поверхность, мало нагреваемую солнцем и незначительно охлаждающуюся путем ночного лучеиспускания; возможность подогрева газа с целью увеличения подъемной силы дирижабля, простоту конструкции и др.

Огромным преимуществом цельнометаллического дирижабля Циолковского является отсутствие у него металлического каркаса, что в весьма большой степени уменьшает его мертвый вес и увеличивает его подъемную силу.

До Октябрьской революции не было произведено никаких шагов к реализации проекта цельнометаллического дирижабля Циолковского.

При советской власти Циолковский обратился со своим проектом в ВСНХ, откуда он был направлен в НКВМ. Штаб воздушного флота запросил мнение своих ученых

Рис. 4.

Рис. 5.

Рис. 6.

консультантов, которые (а в их числе и проф. Н. Е. Жуковский) вновь отклонили проект, как ранее отклоненный „Леденцовским обществом“.

В мае 1925 г. о металлическом дирижабле Циолковского состоялся диспут в Политехническом музее в Москве, на котором решительных возражений проект не встретил. На диспуте было отмечено, что правильность самой идеи Циолковского никто никогда не оспаривал, но низкий уровень техники делал ранее проект неосуществимым, и высказано мнение, что теперь настало время для его осуществления.

В июле 1925 г. проект Циолковского обсуждался в Бюро съездов по изучению производительных сил при Госплане СССР, где было признано желательным использование полувековой работы, знания и опыта Циолковского и создания благоприятных условий для его работ по конструированию металлического дирижабля.

Начало практических работ по реализации проекта Циолковского относится к 1928 г., когда было начато исследование нержавеющей стали. После первых произведенных опытов явилась возможность развернуть работу на средства Осоавиахима. Когда был организован Дирижаблестрой, эта работа была передана специально созданному в нем конструкторскому бюро.

В это время не прекращалась и теоретическая разработка проекта самим Циолковским. Результатом этого явилось написание и издание им ряда новых брошюр и книг, в которых он развивает свои идеи о цельнометаллическом дирижабле и дает расчеты его полета, устойчивости и управляемости. Все расчеты ведутся им не для одного какого-нибудь размера дирижабля, но для целого ряда размеров. Наиболее крупное значение имеют его книги—„Дирижабль из волнистой стали“ (1928 г.) и „Проект металлического дирижабля на 40 человек“ (1930 г.). Всего с 1892 г. Циолковским по этому вопросу было опубликовано 24 работы.

Коренной перелом в деле реализации проекта Циолковского произошел в 1935 г., когда удалось получить положительные результаты с гофрированием и прокаткой стали. Период исканий закончился. Работники Дирижаблестроя овладели сложными и новыми технологическими процессами, связанными с постройкой дирижабля системы Циолковского. Была расширена экспериментальная мастерская и построен ряд необходимых моделей машин. Освоена техника газонепроницаемой сварки швов. В настоящее время над реализацией проекта Циолковского в Дирижаблестрое работают 80 человек.

4 ноября 1935 г. там была закончена сборка летающей модели дирижабля Циолковского объемом в 1000 м3—„ЦМ 4“. Длина этой модели 45 м, высота в нераздутом состоянии 11 м, а при наполнении газом 7 м. Модель сможет подниматься в воздух с грузом в 200 кг. Оболочка ее изготовляется из нержавеющей стали толщиною в одну десятую миллиметра. Несмотря на крупные ее размеры модель весит всего лишь одну тонну.

После того как летающая модель успешно пройдет испытания, будет приступлено к постройке первого цельнометаллического дирижабля системы Циолковского объемом в 10—12 тыс. м*.

По мнению начальника Дирижаблестроя т. Хорькова, первый цельнометаллический дирижабль Циолковского (не модель) будет построен в начале 1S37 г.

2. Проекты космических ракет

К. Э. Циолковский опубликовал первую свою работу по вопросу о возможности полетов в мировое пространство в 1903 г. Она называлась „Исследование мировых пространств реактивными приборами“ и была напечатана в № 5 журнала „Научное обозре-. ние“ за 1903 г., но в то время осталась совершенно незамеченной. В 1924 г. она была переиздана отдельной брошюрой под заглавием „Ракета в космическое пространство“. В этой, первой в мире, строго научной работе Циолковский дал принципиальное решение вопроса, указав на ракету как на единственное средство для полетов в мировое пространство. Эта же работа содержит и полную математическую теорию для вычисления необходимого начального веса ракеты и ее скорости.

Вполне понятно, что столь обстоятельное исследование в совершенно новой области могло быть написано лишь в результате длительных математических расчетов. Циолковский упоминает, что окончательные формулы, относящиеся к полету ракеты, были им выведены еще 25 августа 1898 г. Мысль е принципиальной возможности полетов в мировое пространство впервые была высказана им в его книге „Грезы о земле и небе и эффекты земного тяготения“, вышедшей в 1895 г. (переиздана в 1933 г. под заглавием „Тяжесть исчезла“ и в 1935 г. под прежним заглавием). Еще на два года раньше—в 1893 г. — в приложении к журналу „Вокруг

света“ — была напечатана его повесть „На луне“, в которой он в несколько наивной форме описывает приключения на поверхности луны двух человек, перенесшихся туда во сне (эта повесть переиздавалась в 1893, 1933 и 1935 гг. отдельной брошюрой).

В 1911 и 1912 гг. в журнале „Вестник воздухоплавания“ была напечатана вторая часть „Исследования мировых пространств реактивными приборами“, в которой Циолковский дал общие формулы для вычисления начальной скорости и работы, необходимых для удаления с поверхности любой планеты и для продолжительности полета. В этой работе он доказал, что работа, необходимая для преодоления сопротивления воздуха, является незначительной по сравнению с огромной работой, необходимой для преодоления силы тяжести. Кроме того, он разобрал в ней условия жизни вне атмосферы и без тяжести.

В 1914 г. Циолковский издал брошюру под тем же названием, являющуюся дополнением к I и II части того же труда. В ней он в популярной форме подводит итоги своим работам в этой области, выполненным до того времени. Он резюмировал их в форме следующих пяти теорем, доказанных им ранее:

„Теорема 1. Пусть сила тяжести не уменьшается с удалением тела от планеты. Пусть это тело поднялось на высоту, равную радиусу планеты; тогда оно совершит работу, равную той, которая необходима для полного одоления силы тяжести планеты“.

„Теорема 2. В среде без тяжести окончательная скорость ракеты, при постоянном направлении взрывания, не зависит от силы и порядка взрывания, а только от количества взрываемого материала (по отношению к массе ракеты), его качества и устройства взрывной трубы“.

„Теорема 3. Если количество взрывчатого материала равно массе ракеты, то почти половина работы взрывчатого вещества передается ракете“.

„Теорема 4. Когда масса ракеты плюс масса взрывчатых веществ, имеющихся при реактивном приборе, возрастает в геометрической прогрессии, то скорость ракеты увеличивается в прогрессии арифметической“.

„Теорема 5. В среде тяжести, например на Земле, при вертикальном поднятии ракеты часть работы взрывчатых веществ пропадает — и тем большая часть, чем ближе давление вырывающихся газов на ракету к весу последней “.

В своих исследованиях Циолковский не дает конструктивной разработки своего проекта ракетного корабля для полетов в мировое пространство, считая это преждевременным. Однако, схемы такого ракетного корабля в нескольких вариантах (с прямой и изогнутой взрывной трубой) неоднократно им публиковались. На рисунке 7 воспроизведен наиболее подробный схематический набросок, выполненный К. Э. Циолковским в 1913 г. по просьбе Я. И. Перельмана для его книги „Межпланетные путешествия“, первое издание которой вышло в 1915 г. Циолковский тогда же снабдил свой набросок следующим описанием, гораздо позднее опубликованным Перельманом в его книге о Циолковском:

„Труба (А) и камера (В) из прочного и тугоплавкого металла покрыты внутри еще

Рис. 7.

более тугоплавким материалом, например вольфрамом или уплотненным углеродом. С и D— насосы, накачивающие жидкий кислород и углерод в камеру (В) взрывания. Е — руль из двух взаимно-пересекающихся плоскостей как грубый способ управления ракетой. Взрывающиеся разряженные и охлажденные газы, благодаря этим рулям, изменяют направление своего движения и таким образом. поворачивают ракету. Во время десятиминутного (или более кратковременного) взрывания люди будут находиться в таком состоянии, что на управление вручную надеяться невозможно. Необходим автоматический, заранее испытанный прибор. Ракета еще имеет вторую наружную тугоплавкую оболочку. Между обеими тугоплавкими оболочками (F> F) есть промежуток, в который устремляется испаряющийся жидкий кислород в виде очень холодного газа. Он препятствует чрезмерному нагреванию обеих оболочек от трения при быстром движении ракеты в земной атмосфере. Жидкий кислород и такой же углерод разделены друг от друга непроницаемой (на чертеже невидной) оболочкой. J—труба, ведущая испаренный холодный кислород в промежуток между двумя оболочками. Он выбрасывается через отверстие Л. После нескольких взрываний ракета приобретает какое-либо устойчивое состояние, например она делается спутником Земли, как Луна. Тут начинается самое главное. Ракета свободна от тяготения (явление кажущееся, относительное), она окружена потоком света, но кругом ни молекулы газа. Открываются ставни, выдвигаются и слаживаются герметически закрытые оранжереи с очень разреженными газами и парами, с почвой и растениями. Эти растения и должны служить орудием питания и дыхания разумных существ в ракете“,

В упомянутой выше своей брошюре, изданной в 1914 г., Циолковский публикует другой вариант этой схемы с изогнутой взрывной трубой, воспроизводимый на рисунке 8. Такую конструкцию он предлагал с целью придания устойчивости ракете, но позднее от нее отказался.

Некоторые иностранные авторы, реферировавшие работы Циолковского в заграничных журналах, не всегда удачно пытались вносить в его схематический чертеж конструктивные улучшения и публиковали его под названием проекта „ракетного корабля Циолковского“. Оттуда чертежи этого несуществующего проекта неоднократно заимствовались для советских изданий.

В 1918 г. в журнале „Природа и люди“ печатается повесть Циолковского „Вне Земли“ (переизданная отдельной книгой в 1920 г.). В ней он описывает будущее путешествие в реактивном приборе по солнечной системе и приводит обильный цифровой материал, являющийся результатом произведенных им расчетов.

Лишь после этого за границей были опубликованы первые научные работы по этому же вопросу. В 1919 г. проф. Р. Годдард опубликовал в Америке свой труд „Метод достижения крайних высот“, в котором он наряду с теорией вопроса излагает результаты своих опытов по поднятию пороховых ракет на большие высоты. В 1923 г. Г. Оберт издал в Германии свою книгу „Ракета в межпланетное пространство“, представляющую собой обстоятельное теоретическое исследование.

В 1926 г. Циолковский издал книгу „Исследование мировых пространств реактивными приборами“ (переиздание работ 1903 и 1911 гг. с некоторыми изменениями и дополнениями), основное содержание которой, вопреки ее подзаголовку, составляют материалы, ранее не опубликованные. В этой книге Циолковский затрагивает ряд вопросов, разбиравшихся до этого времени Обертом и другими иностранными исследователями, высказывая при этом ряд новых, оригинальных мыслей. Подводя итог изложенному, Циолковский предлагает следующий, по его мнению, наиболее целесообразный способ взлета ракеты: „Полет выгодно начать в горах, на возможно большей высоте. На горах должна быть выровнена дорога, с наклоном не более 10— 20°, На автомобиль ставится ракета, которая приобретает от него скорость от 40 до 100 м. Затем снаряд, восходящим путем, летит самостоятельно, развивая сзади давление взрыванием веществ. Наклон снаряда, по мере увеличения его скорости, уменьшается, и полег приближается к горизонтальному. По выходе же из атмосферы и некоторого удаления

Рис. 8.

от всяких ее следов полет становится параллельным земной поверхности, т. е. круговым. Ускорение должно иметь наименьшую величину, примерно от 1 до 10 м\сек. Расход на сопротивление воздуха окажется минимальным. Влияние тяжести также почти уничтожается (в отношении потери энергии). Первая скорость приобретается автомобилем, аэропланом или каким угодно прибором: сухопутным, водным или воздушным. Полет не в очень разреженной атмосфере может происходить энергиею топлива, сжигаемого кислородом из атмосферы. Это сэкономит запасы топлива в 9 раз (идеальное число, когда запасается один чистый водород). Если ракета в воздухе еще не приобрела космической скорости, освобождающей ее от тяготения Земли, то в очень разреженных воздушных слоях кислородом атмосферы пользоваться уже нельзя. Поэтому тут пускается в ход запасный жидкий кислород или непрочное (по возможности эндогенное) его соединение с другими газами (например с азотом). Тогда недополученная скорость доводится до космической“.

Затем Циолковский рисует „общий план космических достижений“, краткое резюме которого, написанное им для книги проф. Н. А. Рынина, таково: 1) опыты на месте; 2) движение реактивного прибора (научно оборудованного) на плоскости (аэродроме); 3) взлеты на небольшую высоту и спуск планированием; 4) проникновение в очень разреженные слои атмосферы, т. е. в стратосферу; 5) полет за пределы атмосферы и спуск планированием; 6) основание подвижных станций вне атмосферы (вроде маленьких и близких к земле лун); 7) использование энергии солнца для дыхания, питания и некоторых других житейских целей; 8) использование ее для передвижения по всей планетной системе и для индустрии; 9) посещение самых малых тел солнечной системы (астероидов или планетоидов), расположенных ближе и дальше, чем наша планета, от солнца; 10) использование этих тел; 11) использование малых лун и малых планет (посещение больших планет так трудно, что он и говорить об этом считает преждевременным); 12) распространение человеческого рода по всей нашей солнечной системе (благоразумно умолкнуть пока и относительно переселения к другим девственным светилам, т. е. солнцам).

В той же книге 1926 г. Циолковский, не приводя чертежей, описывает предлагаемый им новый тип составной космической ракеты, по своей форме несколько напоминающей самолет—„летающее крыло“. Она должна состоять из нескольких веретенообразных корпусов, обладающих формой тел вращения наименьшего сопротивления при движении в воздухе. Удлинение их не должно превышать 0,1, а наибольший поперечник должен составлять не менее 1—2 м. Несколько таких корпусов должны быть срощены боками и снабжены горизонтальными рулями высоты, отвесными рулями направления, рулями боковой устойчивости и эльеронами. На рисунке 9 воспроизведен схематический чертеж этой ракеты, составленный проф. Н. А. Рыниным для его книги о Циолковском.

В 1927 г. Циолковский издал брошюру „Космическая ракета. Опытная подготовка“; в этой брошюре он излагает план лабораторных работ, которые должны предшествовать космическому полету. По его мнению, они должны быть осуществлены с помощью неподвижной лабораторной установки, схематический чертеж которой он дает.

В 1929 г. вышла брошюра Циолковского „Космические ракетные поезда“, в которой он рассматривает возможность полета в мировое пространство, осуществляемого посредством нескольких одинаковых реактивных приборов, соединяемых вместе. Такой ракетный поезд должен двигаться сначала по дороге, потом в воздухе, затем в пустоте вне атмосферы и, наконец, где-нибудь между плане-

Рис. 9.

тами и солнцами. Из состава ракетного поезда одна только задняя ракета предназначена для совершения далекого пути, тогда как остальные ракеты, отработав, должны будут последовательно возвращаться на земную поверхность. Зажигание ракет должно производиться, начиная с передней, чтобы весь поезд подвергался растяжению, с которым легче бороться, а не сжатию. Длину каждой ракеты-вагона предлагаемого им ракетного поезда Циолковский полагает равной 30 м, а диаметр— 3 м. В своей книге о Циолковском проф. Н. А. Рынин дает составленный им чертеж космического ракетного поезда Циолковского, воспроизведенный на рисунке 10. В упомянутой брошюре Циолковский производит расчеты необходимых масс горючего, скоростей разбега и взлета, времени работы двигателей и углов взлета. Он приходит к выводу, что даже при употреблении в качестве горючего нефти и при использовании половинной энергии ее горения достижимы конечные скорости. Пятиракетный поезд был бы достаточен для удаления от Земли и даже от ее орбиты, а десятиракетный — для достижения астероидов.

В последующие годы Циолковским было издано еще 6 брошюр, в которых он дал более подробное развитие некоторых своих предложений по осуществлению полетов в мировое пространство, а именно: „Цели звездоплавания“ (1929 г.), „Новый аэроплан“ (1929 г.), „Звездоплавателям“ (1930 г.) „Реактивный аэроплан“ (1930 г.), „Как увеличить энергию взрывных (тепловых) двигателей“ (1931 г.) и „Стратоплан полуреактивный“ (1932 г.).

До 1925 г. сведения о работах Циолковского по реактивному летанию почти не проникали за границу, вследствие чего его приоритет в этой области там неоднократно оспаривался. Однако, в последующие годы в этом отношении произошел решительный перелом. Наиболее ярким показателем этого могут служить письма проф. Г. Оберта К. Э. Циолковскому, написанные в 1929 г., цитируемые ниже в сокращенном виде, отрывки которых последний опубликовал в приложениях к своим книгам. Оберт писал:

„Надеюсь, что Вы дождетесь исполнения Ваших высоких целей. Вы зажгли свет, и мы будем работать, пока величайшая мечта человечества не осуществится... Мою новую книгу... посылаю Вам и буду очень рад, если взамен получу Ваши последние труды...“ „...Я жалею, что не раньше 1925 г. услышал о Вас. Тогда, зная Ваши превосходные работы (с 1903 г.), я наверно в моих теперешних успехах пошел бы гораздо дальше и обошелся бы без моих напрасных трудов“,

3. Другие работы и проекты

В 1894 г. в своей статье „Аэроплан или птицеподобная (авиационная) летательная машина“, задолго до робких попыток Ланглея, Максима, Адера, Сантос-Дюмона и полного торжества Райтов, Циолковский не только математически разработал теорию аэроплана, но и дал тип его, очень близкий к современным, но весьма далекий от старых конструкций. В этой статье был помещен чертеж, воспроизведенный на рисунке 11. В этой же статье Циолковский дал картину разбега аэроплана и его поднятия.

Начиная с 1891 г., он производил опыты над сопротивлением воздуха движущимся в нем телам. Для этого он впервые в России собственноручно соорудил усовершенствованную аэродинамическую трубу. Результатом его работ послужило установление того факта, что давление перпендикулярного к пластинке потока воздуха зависит не только от поверхности, но и от формы ее. Этот, казавшийся тогда парадоксальным, вывод 10 лет спустя получил признание после аналогичных работ Эйфеля.

В 1897 г. Циолковский в специальной работе высказал новые идеи о продолжительности лучеиспускания звезд, через 2 года повторно выдвинутые американским астрономом Си и тогда получившие признание.

Рис. 10.

В 1925 г. Циолковский издал наиболее важную по своей научной ценности астрономическую работу „Образование солнечных систем“, к которой в 1928 г. было издано „Дополнение...“. В этих двух брошюрах он пытается дать расчет образования планетной системы, исходя из соображений, очень близких к современным взглядам на этот вопрос. Для этого он учитывает силу приливного трения, эффект потери массы путем лучеиспускания и некоторые другие факторы.

В 1928 г. Циолковский публикует исследование „Сопротивление воздуха и скорый поезд“, в котором выдвигает идею сверхэкспресса, движущегося со скоростью до 1000 км/час без рельсов и колес по тонкому слою воздуха, накачиваемого между ним и специальным лотком.

К. Э. Циолковский до конца своих дней сохранил удивительную свежесть творческой мысли, живо откликаясь на разработку актуальных научно-технических проблем. В „Трудах Всесоюзной конференции по изучению стратосферы“, состоявшейся в 1934 г. при Академии наук СССР, мы находим его работу „Достижение высот стратостатом“, в которой он дает расчеты подъемов стратостатов различных размеров. В 1935 г. Циолковским опубликованы расчеты погружений океанской батисферы.

Выше были перечислены только важнейшие проекты и работы Циолковского. Кроме того, он занимался различными вопросами физики, биологии и техники. Он взял патент на усовершенствованную пишущую машину оригинальной конструкции, придумал международный алфавит и др., на чем, однако, в этой статье останавливаться нет возможности.

Наконец, упомянем, что Циолковский является автором целого ряда брошюр философского характера, не представляющих ценности. Несмотря на то, что Циолковский называет себя материалистом, его философские воззрения не имеют ничего общего с диалектическим материализмом.

4. Судьба проектов К. Э. Циолковского

В царской России К. Э. Циолковский не мог добиться признания важности и ценности его проектов и научных работ и оставался на положении провинциального преподавателя средней школы. За границей же его работы в это время оставались совершенно неизвестными. Свое моральное состояние он в этот период характеризовал словами: „Тяжело работать в одиночку многие годы при неблагоприятных условиях и не видеть ниоткуда ни просвета, ни содействия“ и написал по этому поводу статью—„Судьба мыслителей или двадцать лет под спудом“.

Признание и поддержку он получил только в наше время от советского правительства и общественности. В 1930 г. Совнарком назначил ему персональную пенсию, а Осоавиахим отпустил ему средства на производство опытов.

Осенью 1932 г. в Калуге и в Москве состоялось публичное чествование К. Э. Циолковского, приуроченное к 75-летнему его юбилею и к 40-летию его научной работы. ЦИК СССР наградил юбиляра орденом Трудового красного знамени, тем самым выделив его как

Рис. 11.

передового бойца на фронте социалистической стройки. К этому юбилею был приурочен выход трех книг, посвященных описанию его жизни и работ и избранных трудов К. Э. Циолковского в двух томах, в которые была включена значительная часть наиболее крупных его работ, посвященных цельнометаллическому дирижаблю и реактивному движению. В последние годы для практической разработки и осуществления реактивных приборов организованы реактивная группа военно-научного комитета ЦС Осоавиахима и специальный научно-исследовательский институт.

Острая желудочная болезнь — рак желудка — давно подтачивала силы К. Э. Циолковского, угрожая его жизни. В конце августа 1935 г. она осложнилась, вследствие чего явилась необходимость в операции. Был созван консилиум врачей с участием московских хирургов и 8 сентября в Калужской железнодорожной больнице К. Э. Циолковскому была произведена операция, которую больной перенес хорошо, несмотря на то, что через несколько дней ему должно было исполниться 78 лет. Но болезнь оказалась неизлечимой, и дни Циолковского были сочтены. Он умирал.

Со всей остротой перед ним встал вопрос о дальнейшей судьбе его работ, об их продолжении после его смерти. Донеся свои смелые проекты до нашего замечательного времени, их надо было передать в надежные руки для того, чтобы иметь уверенность в их осуществлении.

13 сентября 1935 г. К. Э. Циолковский пишет следующее письмо великому мировому вождю т. Сталину, послужившее ярким апофеозом всей его долгой творческой деятельности:

„Мудрейший вождь и друг всех трудящихся, т. Сталин!

Всю свою жизнь я мечтал своими трудами хоть немного продвинуть человечество вперед. До революции моя мечта не могла осуществиться.

Лишь Октябрь принес признание трудам самоучки; лишь советская власть и партия Ленина— Сталина оказали мне действенную помощь. Я почувствовал любовь народных масс, и это давало мне силы продолжать работу, уже будучи больным. Однако, сейчас болезнь не дает мне закончить начатого дела.

Все свои труды по авиации, ракетоплаванию и межпланетным сообщениям передаю партии большевиков и советской власти — подлинным руководителям прогресса человеческой культуры. Уверен, что они успешно закончат эти труды.

Всей душой и мыслями Ваш. С последним искренним приветом всегда Ваш

К. Циолковский.

Товарищ Сталин ответил телеграммой:

„Примите мою благодарность за письмо, полное доверия к партии большевиков и Советской власти.

Желаю Вам здоровья и дальнейшей плодотворной деятельности. Жму Вашу руку.

И. Сталин“.

Телеграмма произвела на Циолковского огромное впечатление. Он продиктовал ответ: „Тронут Вашей теплой телеграммой. Чувствую, что сегодня не умру. Уверен, знаю — советские дирижабли будут лучшими в мире“. Потом Циолковский взял ручку и дрожащей рукой дописал: „Благодарю тов. Сталина, нет меры благодарности“.

Через два дня, 19 сентября 1935 г., К. Э. Циолковский умер от рака желудка при явлениях нарастающего упадка сердечной деятельности.

На следующий же день ЦИК и Совнарком СССР вынесли постановление об увековечении памяти знаменитого деятеля воздухоплавания К. Э. Циолковского. Его имя было присвоено Московскому учебному комбинату дирижаблестроения. Будет поставлен памятник-бюст К. Э. Циолковскому и изданы его труды.

Книги о К. Э. Циолковском:

Н. Н. Бобров—„Большая жизнь“. Авиоавтоиздат, М.-Л. 1933.

Я. И. Перельман—„Циолковский, его жизнь, изобретения и научные работы“. ГТТИ, Л.-М. 1933 (переиздана в переработанном и сокращенном виде в форме биографического очерка в книге К. Э. Циолковского — „На луне. — Грезы о земле и небе“. ОНТИ, М.-Л., 1935 г.)

Н. А. Рынин — „Русский изобретатель и ученый К. Э. Циолковский, его биография, работы и ракеты“. Изд. автора, 1931.

„К. Э. Циолковский— 1857—1932“. Научно-юбилейный сборник, посвященный 75-летию со дня рождения К. Э. Циолковского. Госавиоавтоиздат, М.-Л. 1932.

„К. Э. Циолковский“, — сборник, посвященный памяти знаменитого деятеля науки. Изд. редакции газеты „Коммуна“, Калуга, 1935.

ИСТИННА ЛИ ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО?

Доц. В. МОЛОДШИЙ (Москва)

В нашем журнале проф. Иовлев опубликовал статью, посвященную выяснению некоторых вопросов геометрии Лобачевского — Болье. В основном проф. Иовлев достиг намеченной цели; ему удалось показать, к каким основным выводам должен притти всякий, кто на место V постулата Эвклида поставит постулат Лобачевского о параллельных. Однако, избранный проф. Иовлевым путь ознакомления начинающих читателей с геометрией Лобачевского недостаточно эффективен; он оставляет нерешенным вопрос: правильна ли (и в каком смысле правильна) геометрия Лобачевского — Болье?

Мне кажется, что популяризацию геометрии Лобачевского — Болье надо начинать именно с расшифровки этого вопроса; когда на него дан ответ, ни геометрия Лобачевского — Болье, ни другие неэвклидовы геометрии не представляют для уяснения принципиальных трудностей.

Цель моей статьи — показать, как доказывают правильность, стало быть и законность, геометрии Лобачевского — Болье.

Отмечу, что поставленной цели частично отвечает статья проф. Четверухина „Вопросы элементарной геометрии и ее преподавания“, напечатанная в № 4 нашего журнала за 1933 г.

§ 1. Основные установки

Прежде чем приступить к развитию темы, нам придется остановиться на трех принципиальной важности вопросах.

Вопрос 1. Что изучает математика?

На этот вопрос дал ответ Ф. Энгельс.

„Чистая математика, — писал Энгельс, — имеет своим предметом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, т. е. весьма реальное содержание“*.

Вопрос 2. Что такое пространственные формы и количественные отношения материальной действительности?

„0:новные формы всякого бытия, — писал Энгельс, — суть пространство и время; бытие вне времени есть такая же величайшая бессмыслица, как бытие вне пространства“*.

Стало быть, пространственные формы есть формы бытия материи.

Количественные отношения^— это такие отношения, которые „безразличны“ к качественному содержанию вещей и процессов действительности.

Например, могут быть три стола, три доски, три розы, число букв в слове „три“ равно трем и т. п. Все эти области вещей качественно различны; однако, их количественные отношения (количественная характеристика) совершенно одинаковы — каждая из этих областей содержит три вещи. Точно так же функциональная зависимость ху — const, отображает количественные отношения всякого процесса, если только изменяющиеся в этом процессе вещи, рассматриваемые с чисто количественной стороны, находятся друг к другу в обратно-пропорциональной зависимости.

Числа, величины а и Ь, функция у =f[x), уравнение f(xy,z)=0 и т. п. могут быть названы математическими объектами или просто объектами. Чтобы изучать эти объекты, математика должна знать и изучать отношения, в которых они выступают, или, иначе говоря, законы, которым они подчиняются. Мы почти ничего не могли бы сказать о натуральных числах, если бы не ввели в рассмотрение операции, связывающие их друг с другом; если бы не знали, что эти операции подчиняются законам коммутативности, ассоциативности (относительно сложения и умножения) и дистрибутивности (умножения по отношению к сложению). Точно так же ничего нельзя сказать определенного о треугольниках, пирамидах и других геометрических фигурах, пока не установлено, в каких взаимоотношениях могут выступать основные элементы геометрии: точки, прямые и плоскости.

Чаще всего точное и для математических целей полное описание

* Ф. Энгельс — .Анти-Дюринг“, изд. 3-е, стр. 32 (подчеркнуто мною.— В. М.)

* Ф. Энгельс — „Анти-Дюринг“, изд. 3-е, стр. 46.

основных отношений дается аксиомами. Например, для логического развития понятия о натуральном ряде достаточна так называемая система аксиом Пеано. Содержание нашей обычной геометрии, т. е. геометрии Эвклида, можно логически развить из системы аксиом Гильберта.

Фактом исключительной важности является то, что отношения (законы), справедливые для математических объектов, обладают основным свойством количественных отношений — они „безразличны“ к качественному содержанию этих объектов.

Чтобы понять эту особенность математических отношений (законов), рассмотрим подробнее нижеследующий пример.

Рациональные числа (без нуля) обладают следующими четырьмя свойствами:

1. Произведение любых двух рациональных чисел есть рациональное число: ab —с.

2. Произведение любых трех рациональных чисел обладает свойствами ассоциативности: (ab)c=a(bc).

3. Любое рациональное число не меняется от умножения на единицу: =

4. Для любого рационального числа а существует одно, ему обратное, рациональное число а“1 у обладающее тем свойством, что а~ла — 1.

Рассмотрим теперь множество всех положительных и отрицательных целых чисел, включающее нуль. Числа этого множества обладают следующими четырьмя свойствами:

1. Сумма любых двух целых чисел есть целое число: а-\-Ь = с.

2. Сумма любых трех целых чисел обладает свойством ассоциативности: (а -\- Ь)-\-с= = а + (Ь + с).

3. Любое целое число не меняется от сложения с нулем: 0-f а = а.

4. Для любого целого числа а существует одно, ему обратное, целое число — а, обладающее тем свойством, что: — a -f- а = 0.

Сравнивая отмеченные свойства рациональных чисел со свойствами целых чисел, мы видим, что по структуре они совершенно одинаковы. Достаточно заменить в свойствах, относящихся к рациональным числам, термины „произведение“, „единица“ и „а“1“ на „сумма“, „нуль“ и „—а“, как автоматически получаются соответствующие свойства целых чисел; обратная замена приводит от свойств целых чисел к соответствующим свойствам рациональных чисел. Если в рассматриваемых законах не называть операцию, выражающую отношение между числами, словом „произведение“ или „сумма“, а заменить ее безличным термином „операция“ и ввести соответствующие символические обозначения для „единицы“ и „обратного“ элемента, т. е. если их сделать переменными, то полученные законы будут справедливы как для рациональных, так и для целых чисел. Из последнего замечания следует, что если мы обобщим отмеченные законы рациональных и целых чисел, формализуем их, то они, ранее казавшиеся совершенно обособленными, совпадут и выступят общими для этих чисел законами. Более того, оказывается, что так обобщенные эти четыре закона выражают основные свойства не только целых или рациональных чисел, но и объектов совершенно отличной от чисел природы.

Множество натуральных чисел

1, 2, 3, . . .

характеризуется системой аксиом Пеано*.

I. 1 является натуральным числом.

II. Для каждого числа а найдется следующее число а+.

III. Всегда д+=тМ,.т. е. не существует число, для которого следующее число равно единице.

IV. Из а+=Ь+ следует: а = Ь.

V. Принцип полной индукции: если некоторое множество натуральных чисел, содержащее число 1, вместе с числом а содержит также следующее число а+, то оно содержит все натуральные числа.

Определение суммы двух чисел. Сопоставим однозначно паре чисел а> b натуральное число, которое мы обозначим через a -f- b так, чтобы:

а-\-\=а+ для всякого а,

а-\-Ь+ = (а -\-Ь)+ для всяких а и Ь.

Определение произведения двух чисел. Сопоставим так же, как и выше, паре чисел a, b натуральное число, которое мы обозначим через а-Ь или ab так, чтобы:

аЛ=а для всякого а, ab+ = ab -[- а для всяких а и Ь.

Исходя из системы аксиом Пеано, легко показать, что натуральные числа обладают свойством коммутативности, ассоциативности (относительно сложения и умножения) и дис-

* См. Ван-дер-Варден — „Современная алгебра“, ОНТИ, 1934 г., стр. 12—15.

трибутивности (умножения по отношению к сложению).

Очень долгое время считали, что совокупность всех аксиом Пеано (вместе с определениями суммы и произведения) выражает свойства только натуральных чисел. Однако, если формализовать ее, говорить не о натуральных числах, а об объектах, то легко показать, что так обобщенная система аксиом Пеано выражает свойства и других последовательностей чисел.

В дальнейшем мы увидим, что и аксиомы любой правильной геометрии могут выражать отношения объектов самых разнообразных областей.

Допустим, что мы имеем некоторую правильную, заданную формально, систему положений (например правильную систему аксиом), каждое из которых утверждает существование некоторого отношения между изучаемыми математическими объектами. Зная, что эта система положений, вообще говоря, выражает отношения объектов самых разнообразных областей, мы, обратно, можем искать такие области объектов, для которых осуществляется данная система аксиом.

Каждую область объектов, объекты которой подчиняются (удовлетворяют) заданной системе положений, мы будем называть интерпретацией этой системы положений.

Например, множество натуральных чисел является одной из возможных интерпретаций системы аксиом Пеано.

Вопрос 3. Что служит достаточным критерием законности математических теорий?

В математике истинно то, что непротиворечиво. Иначе говоря, всякая математическая теория правильна, законна, если мы знаем, что ни одно из ее положений не противоречит исходным аксиомам. При этом условие быть непротиворечивым относится не только к уже доказанным положениям, но и ко всем, какие могут быть доказаны с помощью исходной системы аксиом. Так, мы можем настаивать на правильности нашей обычной (эвклидовой) геометрии тогда, и только тогда, когда докажем, что какую бы мы теорему ни доказали, она не будет противоречить ни одной из аксиом нашей геометрии.

Как доказать непротиворечивость нашей геометрии или какой-либо другой, заданной аксиоматически, математической дисциплины?

Ясно, что путем непосредственной проверки непротиворечивости всех известных теорем мы достигнуть цели не сможем; ведь мы должны доказать, что всякое заключение, к которому мы прийдем от аксиом с помощью правильных логических умозаключений, никогда не будет противоречить ни одной из исходных аксиом.

Учитывая эту трудность, в современной математике непротиворечивость каждой математической дисциплины доказывают обычно так:

1. Составляют полный список аксиом данной математической дисциплины.

2. Стараются показать, что существует область правильных математических объектов (или стараются построить такую область), объекты которой подчиняются (удовлетворяют) всем выставленным аксиомам.

3. Если удается показать существование такой области объектов (или построить такую область), заключают, что определяемая заданной системой аксиом математическая дисциплина непротиворечива.

Стало быть, считают математическую дисциплину правильной, непротиворечивой, если существуют правильные математические объекты, отношения между которыми выражаются системой аксиом этой дисциплины.

Очевидно, можно непротиворечивость определить и так:

Математическая дисциплина непротиворечива, если ее исходная система аксиом допускает хотя бы одну правильную интерпретацию.

Например, если мы предположим, что понятия о положительных и отрицательных целых числах, включая нуль, правильные понятия, то мы легко можем доказать непротиворечивость системы аксиом, которую мы можем образовать из выше рассмотренных четырех законов этих чисел.

Так обосновываемое учение о непротиворечивости базируется на двух положениях:

1. Если наши аксиомы верны и если мы правильно применяем к ним законы мышления, то и получаемые результаты тоже должны быть верны.

2. Система аксиом верна, когда она описывает отношения между правильными математическими объектами.

Какие математические объекты мы можем считать правильными, что позволяет нам установить их правильность?

Этот вопрос имеет принципиальное значение для очерченного выше метода доказательства непротиворечивости. В самом деле, предположим, что мы не можем сказать ни об одной области математических объектов, правильна ли она или неправильна. Тогда в лучшем случае мы можем доказать относительную законность каждой математической дисциплины. Действительно, для того чтобы обосновать законность данной математической дисциплины, нужно доказать непротиворечивость положенной в ее основу системы аксиом. Непротиворечивость последней мы доказываем тем, что находим область математических объектов, относительно которых она выполняется, т. е. находим ее интерпретацию. Объекты, с помощью которых составлена интерпретация, в свою очередь определяются системой аксиом другой математической дисциплины. Следовательно, если мы с помощью каких-то иных средств не можем сказать, правильны ли эти математические объекты, то вопрос вновь приводится к доказательству непротиворечивости системы аксиом, но уже той, которой определяются использованные нами математические объекты. К какому же мы приходим выводу? Мы можем утверждать, что система аксиом нашей математической дисциплины непротиворечива, если непротиворечива система аксиом другой математической дисциплины, с помощью объектов которой мы образовали нашу интерпретацию. Короче, мы можем утверждать относительную законность нашей математической дисциплины. Иначе говоря, на новой ступени снова встает та же старая задача. Получается почти как в знаменитой сказке про попа и его собаку.

И вот тут-то нам приходится снова вернуться к приведенному в начале статьи энгельсовскому определению математики. В полном согласии с этим определением, в полном согласии с данными тысячелетней человеческой практики мы примем, что обычная арифметика вещественных чисел непротиворечива, что вещественные числа — правильные математические объекты. Тогда с помощью этого условия и метода доказательства непротиворечивости мы докажем в дальнейшем законность геометрии Лобачевского. Больше того, из дальнейших рассуждений читатель увидит, что если не положить в основу математики какие-нибудь реальные соотношения материальной действительности, если не исходить из обычной арифметики как науки о количественных отношениях действительного мира, если отрывать непротиворечивость от истинности в смысле соответствия с материальной действительностью, то нельзя будет доказать и права на существование ни для одной математической дисциплины.

После всего сказанного легко заключить, что если система аксиом не допускает ни одной правильной интерпретации, то она противоречива, или, как говорят, несовместна. Поэтому, обратно, если, исходя из системы аксиом, мы приходим к противоречащему хотя бы одной из этих аксиом результату, то это значит, что исходная система аксиом не допускает ни одной правильной интерпретации. Ясно, что такая противоречивая система аксиом не представляет научного интереса.

Возвращаясь к основной нашей задаче, мы теперь можем утверждать:

Правильность, стало быть и законность, геометрии Лобачевского— Болье будет доказана тогда, и только тогда, когда будет показана (или построена) область правильных математических объектов, отношения между которыми описываются аксиомами геометрии Лобачевского — Болье.

§ 2. Система аксиом геометрии Эвклида

Из сказанного в § 1 следует, что для достижения поставленной нами цели существенно знакомство с системой аксиом геометрии Лобачевского — Болье. Мы изложим сперва систему аксиом геометрии Эвклида, так как от нее система аксиом геометрии Лобачевского — Болье отличается только одной аксиомой—аксиомой о параллельных.

Нижеизложенная система аксиом геометрии Эвклида была разработана Д. Гильбертом*.

Основные элементы геометрии Эвклида — точки, прямые и плоскости — находятся во взаимных отношениях, которые мы выражаем словами: „лежит“, „между“, „параллельный“, „конгруэнтный“ и „непрерывный“. Точное и для математических целей полное описание этих отношений дается аксиомами геометрии.

Аксиомы геометрии Эвклида можно распределить на пять групп:

Ij.g. Аксиомы сочетания.

li]_4* Аксиомы порядка.

* Д. Гильберт — „Основания геометрии“, рус. пер., Петр. 1923 г., гл. 1.

IILj_5. Аксиомы конгруэнтности.

IV. Аксиома параллельности.

Va_2. Аксиомы непрерывности.

Группа аксиом I: аксиомы сочетания

Аксиомы этой группы устанавливают сочетания между точками, прямыми и плоскостями.

1Г Две различные точки А и В всегда определяют прямую а.

Любые две различные точки прямой определяют эту прямую.

Ig. На прямой всегда существуют по меньшей мере две точки; в каждой плоскости существуют всегда по меньшей мере три точки, не лежащие на одной прямой.

14. Три, не лежащие на одной и той же прямой, точки Л, В, С всегда определяют плоскость а.

15. Любые три точки плоскости, не лежащие на одной прямой, определяют эту плоскость.

16. Если две точки Л, В прямой а лежат в плоскости а, то и всякая точка прямой а лежит в плоскости а.

1^ Если две плоскости а и ß имеют общую точку А у то они имеют по меньшей мере еще одну общую точку В.

Ig. Существуют по меньшей мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

Примечание. Аксиомы Ij_3 называются плоскостными аксиомами группы I; аксиомы 14_8 называются пространственными аксиомами группы L

Группа аксиом II: аксиомы порядка

Аксиомы этой группы определяют понятие „между“ и дают возможность на основании этого понятия установить порядок точек на прямой, в плоскости и в пространстве.

И,. Если А, В, С—точки одной прямой, и В лежит между А и С, то В лежит также между С и Л (черт. 1).

Черт. 1.

П2. Если А и С—точки одной прямой, то существует по меньшей мере одна точка В, лежащая между Ли С, и по меньшей мере одна точка D такая, что С лежит между Л и D (черт. 2).

Черг. 2.

Н3. Из трех точек прямой всегда одна, и только одна, лежит между двумя другими.

Пояснение. Система двух точек А и В прямой а называется отрезком и обозначается AB или ВА. Все точки прямой, лежащие между Л и В, называются лежащими внутри отрезка AB.

Н4. Пусть Л, В, С—три, не лежащие на одной прямой, точки и а — прямая в плоскости АВСу не проходящая ни через одну из точек Л, By С; если при этом прямая а проходит через точку отрезка АВу то она непременно проходит или через точку отрезка АС или через точку отрезка ВС (черт. 3).

Черт. 3.

Группа аксиом III: аксиомы конгруэнтности

Аксиомы этой группы определяют понятие конгруэнтности и вместе с тем—понятие движения.

Шг Если Л, В две точки на прямой а, а Л' — точка на той же прямой или на другой прямой а\ то всегда можно найти по данную от точки Л' сторону прямой а! одну, и только одну, такую точку В\ что отрезок AB конгруэнтен, или равен, отрезку А*В*; это отношение между отрезками AB и А'В9 обозначается так:

AB = А'В9.

Каждый отрезок конгруэнтен самому себе, т. е. всегда

AB ее AB и АВ = ВА.

Ш2. Если отрезок AB конгруэнтен как отрезку А'В1, так и отрезку Л“£“, то и А'В* конгруэнтен отрезку А'В“; т. е., если

AB ее А'В* и АВ = А“В\

то также А'В1 = А'В“.

Ш3. Пусть AB и ВС два отрезка на прямой а (черт. 4) без общих точек; далее, пусть AB1 и В'С два отрезка на той же или на другой прямой а\ тоже без общих точек. Если при этом AB = А'В' и ВС = В'С\ то всегда также АС^А'С

Черт. 4.

Пояснение. Систему двух различных лучей h, k, выходящих из одной точки О, мы называем углом и обозначаем £ (h, k) или ^/ (&, h).

Пояснение. Углы находятся друг к другу в известных отношениях, для описания которых мы будем пользоваться, как и для отрезков, словами „конгруэнтный“, или „равный“.

Ш4. Пусть даны угол £ (h, к) в плоскости а и прямая а9 в плоскости а\ а также определенная относительно а1 сторона плоскости а'. Пусть hf означает луч прямой а\ исходящий из точки О'; тогда в плоскости а' существует один, и только один, луч k, такой, что угол ^/ (h, k) конгруэнтен, или равен, углу j^(Ar, А'), и вместе с тем все внутренние точки угла /_{h\ k!) лежат по данную сторону от а; это отношение между углами обозначается так:

Каждый угол конгруэнтен самому себе, т. е. всегда

*) = ^(А,Л) и ^(А, к)~^(К h).

Пояснение. Система отрезков AB, ВС, CD,..., KZ называется ломаной линией. Если точка Z совпадает с точкою А, то ломаная линия называется многоугольником; отрезки AB, ВС, CD,..., КА называются сторонами многоугольника; точки А, В, С,..., К называются вершинами многоугольника. Многоугольники с 3, 4,..., п вершинами называются соответственно треугольниками, четыреугольниками,..., п-у гольниками.

IIL. Если для двух треугольников ABC к А'В'С имеют место конгруэнции: АВ = А'В', ACeeA'C, Z_BAC=Z-b'Ac\ то всегда имеют место и конгруэнции:

^/ЛЯСее^Л'Я'С, /_АСВ = /_А!СВ\

Группа аксиом IV: аксиома параллельности

IV. Пусть а есть произвольная прямая и А — точка вне ее; тогда в плоскости, определенной точкою А и прямою а, можно провести не более одной прямой, проходящей через А и не пересекающей си

Группа аксиом У: аксиомы непрерывности

Vr (Аксиома измерения, или аксиома Архимеда.) Пусть (черт. 5) Аг есть произвольная точка на прямой между произвольно данными точками А и В; строим затем точки А2, Ая..., так, что точка А} лежит между А и А2; А2 между Ал и А2; А3 между А2 и А4 и т. д. и, сверх того, отрезки

i4i4j, А-^А2, А2А^,...

равны между собой: тогда в ряду точек А2, А3, А4,... всегда существует такая точка Ап, что точка В лежит между А и Ап.

Черт. 5.

V2. (Аксиома полноты.) Элементы (точки, прямые, плоскости) геометрии образуют систему вещей, которая при условии сохранения всех указанных выше аксиом, не допускает никакого расширения.

Все аксиомы Гильберта дают полную систему аксиом геометрии Эвклида; это значит, что все они достаточны для логического развития содержания геометрии Эвклида.

В частности, с помощью этих аксиом доказывают теорему:

Сумма углов треугольника равна двум прямым.

При доказательстве этой теоремы существенную роль играет аксиома параллельности; без аксиомы параллельности она не может быть доказана с помощью одних только остальных аксиом.

§ 3. Интерпретации геометрии Эвклида

Одну интерпретацию геометрии Эвклида знают все учившиеся в школе: это область обычных точек, прямых и плоскостей.

Теперь в кратких чертах я укажу на другую область объектов, которые удовлетворяют всем аксиомам плоской геометрии Эвклида.

Мы будем понимать под точками обычные точки нашей плоскости, за исключением какой-либо одной точки (точки О), которую мы выбросим. Прямыми мы будем называть всевозможные окружности и прямые, которые проходят через выброшенную точку О. Стало быть, наши новые прямые — это указанные окружности и прямые без точки О.

Чтобы отличать наши новые точки и прямые от обычных точек и прямых, мы их

наименование будем писать в кавычках: „точка“ Л, „прямая“ а и т. п.

Наши „прямые“ отличаются от обычных прямых. Несмотря на это, „точки“ и „прямые“ удовлетворяют всем плоскостным аксиомам геометрии Эвклида.

В самом деле, всякие две точки А и В определяют или одну окружность или одну прямую, проходящую через точку О (черт. 6).

Черт. 6.

Поэтому мы вправе сказать, что две „точки“ А и В определяют единственную „прямую“ а. Так как точка О нами выброшена, и, следовательно, каждая окружность не замкнута, то о трех „точках“ Л, В и С, лежащих на „прямой“ а, можно сказать, что из них одна, и только одна, лежит между двумя другими (черт. 7).'Совершенно аналогично можно доказать выполнимость остальных аксиом 1—II групп аксиом.

Рассмотрим „прямую“ а и вне ее „точку“ Л. Спрашивается, сколько можно провести „прямых“ через „точку“ Л, „параллельных“ „прямой“ а?

Мы знаем, что параллельные прямые нигде не пересекаются. Следовательно, мы ответим на вопрос, если укажем все окружности, которые, проходя через точки Л и О (точка О выброшена), не будут пересекаться с окружностью а. Но только одна окружность, касающаяся окружности а в точке О, обладает таким свойством (черт. 8). Следовательно, через „точку“ А можно провести только одну „прямую“, „параллельную“ „прямой“ а.

Несколько сложнее показать, что аксиомы III и V групп аксиом справедливы для наших „точек“ и „прямых“. С первого взгляда это кажется невозможным. Действительно, с точки зрения непосредственных пространственных представлений аксиома Архимеда предполагает бесконечность прямой, наши же „прямые“ кажутся конечными. Но бесконечность прямой — это свойство, тесно связанное с понятием длины. И вот, если мы видоизменим понятие длины, то для наших „точек“ и „прямых“ окажутся справедливыми аксиомы III и V групп аксиом. На этом вопросе я останавливаться не буду, так как его расшифровка требует много места. Читатель по этому вопросу найдет все необходимое в литературе, указанной мною в конце статьи. Отмечу только, что соответственно изменив понятие движения, мы будем вынуждены „длину“ „отрезка“ AB (черт. 9) „прямой“ а измерять числом:

Черт. 7.

Черт. 8.

Черт. 9.

Легко убедиться, что при таком „измерении“ „длин“ „отрезков“ „прямых“ все наши „прямые“ становятся „бесконечными“.

Итак, все плоскостные аксиомы геометрии Эвклида справедливы для наших „точек“ и

„прямых“; стало быть, для них справедливы и все теоремы планиметрии Эвклида. Можно иначе сказать, что мы указали вторую область объектов, для которых применяется планиметрия геометрии Эвклида, на которых она осуществляется.

Современная математика может указать другие области объектов, к которым также применяется как планиметрия, так и вся геометрия Эвклида. Каждая такая область объектов называется интерпретацией геометрии Эвклида.

Среди всех интерпретаций геометрии Эвклида имеются и такие, основные образы которых — точки, прямые и плоскости — отнюдь не пространственной природы. Гильберт показал, что из вещественных чисел можно создать такие объекты, которые, будучи рассматриваемы как точки, прямые и плоскости, удовлетворяют всем аксиомам геометрии Эвклида*. Больше того, Гельмгольц показал, что аксиомы геометрии Эвклида осуществляются в области цветов спектра.

Итак, и аксиомы геометрии Эвклида обладают количественным характером— они „безразличны“ к качественному содержанию математических объектов, им подчиняющихся.

§ 4. Интерпретации геометрии Лобачевского

Теперь в кратких чертах мы рассмотрим одну из возможных интерпретаций планиметрии Лобачевского.

Этой интерпретации предпошлем одно замечание.

Система аксиом геометрии Лобачевского отличается от системы аксиом Эвклида только одной аксиомой — именно: аксиомой о параллельных. Стало быть, аксиомы I, II, III и V групп аксиом Гильберта входят в систему аксиом Лобачевского, но на место аксиомы IV группы ставится новая аксиома Лобачевского, противоположная по содержанию аксиоме параллельности Эвклида.

Рассмотрим в плоскости прямую а и точку О (черт 10). Проведем через точку О прямые а' и а до пересечения с прямой а в точках k! и k“. Будем вращать прямые а' и а“ около точки О (как указано на чертеже стрелками) так, чтобы при вращении каждая из этих прямых имела общую точку с прямой а (точки ti и &“). Ясно, что при таком вращении прямые а! и а“ стремятся к некоторым предельным положениям*. Если мы примем аксиому о параллельных Эвклида, то эти предельные положения прямых а' и а“ совпадут; именно, это будет прямая, проходящая через точку О и параллельная к прямой а. Но если мы отвергнем аксиому Эвклида о параллельных, то прямые а' и а“ будут стремиться к различным предельным положениям, к некоторым различным прямым OL и OL!, каждая из которых не пересекает прямую а. Легко убедиться, что в этом случае все прямые, проходящие через точку О, по отношению к прямой а разбиваются на три класса (черт. 11). Всякая прямая а\ проходящая через точку О внутри ^/L'OL, пересекает прямую а\ всякая прямая а“, проходящая через точку О внутри ^/К1 OL (или KOL'), не пересекает прямую а; две прямые KL и K'L', не пересекающие прямую а, отделяют класс первых от класса вторых прямых. Именно эти прямые KL и K'L' Лобачевский и называл параллельными по отношению к прямой а; всякая прямая а“, не пересекающая прямую а, называлась Лобачевским расходящейся с прямой а.

Черт. 10.

Черт. 11.

* См. „Основания геометрии“, гл. II

* Строгое доказательство этого положения базируется на аксиомах V группы.

После этих пояснений становится понятным смысл аксиомы Лобачевского о параллельных:

Пусть а есть произвольная прямая и А — точка вне ее; тогда в плоскости, определенной точкою А и прямою а, можно провести по крайней мере две различные прямые, проходящие через А и не пересекающие д.

Переходим к рассмотрению одной из возможных интерпретаций планиметрии Лобачевского.

Проведем в нашей обычной плоскости прямую Х'Х.

Рассмотрим область объектов, состоящую из всех точек верхней полуплоскости, за исключением точек прямой Х'Х, из всех полуокружностей, центры которых лежат на прямой Х'Х и полупрямых, перпендикулярных к прямой Х'Х (черт. 12).

Точки верхней полуплоскости мы будем называть „точками“, полуокружности и полупрямые— „прямыми“.

Легко показать, что наши „точки“ и „прямые“ удовлетворяют всем плоскостным аксиомам геометрии Лобачевского.

Центры рассматриваемых полуокружностей лежат на прямой ХГХ. Поэтому через каждые две точки верхней полуплоскости можно провести только одну такую полуокружность или одну полупрямую (черт. 13). Следовательно, мы можем сказать, что две „точки“ определяют одну „прямую. Чертежи 14 и 15 наглядно показывают выполнимость аксиом II группы аксиом.

Рассмотрим „прямую“ а и „точку“ О вне ее (черт. 16 и 16а). Спросим : сколько можно провести „прямых“, проходящих через „точку“ О и параллельных „прямой“ а? Чертеж ясно показывает, что таких „прямых“ можно провести две. Больше того, из чертежа видно, что все „прямые“, проходящие через „точку“ О, по отношению к „прямой“ а разбиваются на три класса: „прямые“ а', пересекающие „прямую“ а; „прямые“ а“, расходящиеся

Черт. 12.

Черт. 13

Черт. 14.

Черт 15.

Черт. 16.

4ерт. 16а.

с „прямой“ а; две „прямые“ KL и KfL\ „параллельные“ „прямой“ а.

При доказательстве выполнимости аксиом III и V групп, мы сталкиваемся с затруднением, о котором говорилось выше при рассмотрении интерпретаций геометрии Эвклида. Но и тут, оказывается, если соответствующим образом изменить понятие длины, можно достигнуть желаемого результата. При этом мы должны будем измерять длину отрезка AB (черт. 17) числом

где k — так называемая абсолютная постоянная*.

Легко видеть, что при таком способе измерения „длин“ отрезков наши „прямые“ становятся „бесконечными“.

Итак, все плоскостные аксиомы геометрии Лобачевского справедливы для наших „точек“ и „прямых“; стало быть, для них справедливы и все теоремы геометрии Лобачевского. Иначе говоря, мы указали область объектов, к которой применяется планиметрия геометрии Лобачевского, в которой она осуществляется.

Подтвердим одним примером, что для наших „точек“ и „прямых“ справедливы теоремы геометрии Лобачевского.

В геометрии Эвклида сумма углов треугольника есть величина постоянная, равная двум прямым. Наоборот, в геометрии Лобачевского сумма углов треугольника меньше двух прямых; при этом сумма углов треугольника уменьшается по мере увеличения его сторон, стремясь к нулю при безграничном увеличении длин сторон. Чертежи 18 и 19 наглядно доказывают выполнимость теоремы о сумме углов треугольника в геометрии Лобачевского. Именно, чертеж 18 показывает, что сумма углов в треугольнике меньше двух прямых; на чертеже 19 изображен треугольник с „бесконечно большими“ сторонами — его сумма углов равна нулю.

Можно показать, что существуют другие области математических объектов, к которым также применяется как планиметрия, так и вся геометрия Лобачевского. Каждая такая область объектов называется интерпретацией геометрии Лобачевского. Среди интерпретаций геометрии Лобачевского имеются и такие, основные образы которых —точки, прямые и плоскости — отнюдь не пространственной природы. Можно из вещественных чисел создать такие объекты, которые, будучи рассматриваемы как точки, прямые и плоскости, удовлетворяют всем аксиомам геометрии Лобачевского. Стало быть, все теоремы геометрии Лобачевского будут выражать свойства, этим числовым точкам, прямым и плоскостям присущие.

Итак, и аксиомы геометрии Лобачевского обладают количественным характером — они „безразличны“ к качественному содержанию областей математических объектов, им подчиняющихся.

Черт. 17. Черт. 18.

Черт. 19.

§ 5. Непротиворечивость геометрии Лобачевского — Болье

История математики знает много задач, которые за внешней простотой формулировок скрывали труднейшие по сложности проблемы.

Исключительно „просто“ утверждение, известное под названием великой теоремы Ферма: „Не существует трех целых чисел х,уу z, для которых справедливо равенство хп -\-уп = zu9

* Из-за недостатка места я вновь вынужден отослать читателей к указанной ниже литературе.

где п — целое число, большее двух“*. Однако, до сих пор в общей форме эту теорему никто не доказал. „Очевидно“ утверждение Гольдбаха: „Всякое четное число может быть представлено в виде суммы двух абсолютно простых чисел“. Однако, и оно не доказано. Только недавно, в работе „Об аддитивных свойствах чисел“, проф. Шнирельман сделал крупный шаг к решению проблемы Гольдбаха, доказав, что каждое четное число может быть представлено в виде суммы абсолютно простых чисел, число которых не превосходит 10 000. Известно также, сколько усилий потрачено для „решения“ задач о квадратуре круга, трисекции угла и удвоении куба.

Едва ли найдется человек, который согласится подвергнуть сомнению истинность понятий о натуральных и вещественных числах. Тысячелетняя практика человечества говорит за истинность этих понятий, т. е. за то, что они отражают количественные отношения действительного мира. Но несмотря на это, современная математика не может указать общепринятое доказательство непротиворечивости арифметики натуральных чисел и, тем самым, не может утверждать правильность, законность арифметики. В известном докладе „О проблемах будущей математики“** Д. Гильберт поставил на втором месте задачу: „Доказать непротиворечивость аксиом арифметики“. Такой повышенный интерес к доказательству аксиом арифметики не случаен: если доказать непротиворечивость аксиом арифметики, то легко доказать непротиворечивость подавляющего большинства математических дисциплин.

Хотя непротиворечивость арифметики не доказана, однако (как говорилось выше), в согласии с данными всей истории мы будем считать ее истинной, а потому и не противоречивой. Стало быть, будем считать понятия о вещественных и натуральных числах — правильными математическими понятиями. Исходя из этого условия, мы докажем непротиворечивость, стало быть и истинность, геометрии Лобачевского.

Первое доказательство. В современной математике доказывается, что из вещественных чисел можно создать такие объекты, которые, будучи рассматриваемы как точки, прямые и плоскости, удовлетворяют всем аксиомам геометрии Лобачевского. Это значит, что каждая аксиома и теорема геометрии Лобачевского выражает свойство, присущее вещественным числам. Поэтому, если бы геометрия Лобачевского была противоречивой, то это противоречие имело бы место и в арифметике вещественных чисел. Но учение о вещественных числах непротиворечиво; стало быть, непротиворечива, а потому и законна, геометрия Лобачевского.

Можно сказать и так: современная математика указывает совокупность правильных математических объектов, которые подчиняются всем аксиомам геометрии Лобачевского; стало быть, геометрия Лобачевского непротиворечива.

Если оставить открытым вопрос о непротиворечивости учения о вещественных числах, то можно утверждать:

1. Геометрия Лобачевского непротиворечива, если непротиворечиво учение о вещественных числах.

2. Геометрия Лобачевского противоречива, если противоречиво учение о вещественных числах.

Обратно:

3. Если геометрия Лобачевского противоречива, то противоречиво и учение о вещественных числах.

Поэтому:

4. Всякий, кто отвергает геометрию Лобачевского, должен отвергнуть и учение о вещественных числах.

Второе доказательство. В § 4 мы показали совокупность объектов, подчиняющихся аксиомам геометрии Эвклида, которые, вместе с тем, подчиняются и всем плоскостным аксиомам геометрии Лобачевского. Тем самым было доказано, что каждая плоскостная аксиома геометрии Лобачевского, стало быть, и каждая вытекающая из них теорема, выражает свойства, присущие объектам геометрии Эвклида. Поэтому, если бы планиметрия Лобачевского была противоречивой, то противоречие не замедлило бы проявиться и в планиметрии Эвклида. Как было уже указано, можно подобрать такую совокупность объектов геометрии Эвклида, которые удовлетворяют всем аксиомам геометрии Лобачевского. Поэтому, повторив все вышеприведенные рассуждения, можно утверждать:

* Конечно, исключая тот трафаретный случай, когда одно из чисел равно нулю.

** Названный доклад Д. Гильберт читал на II Международном математическом конгрессе в Париже в 1900 г. Всего в докладе Д. Гильберт выставил 23 проблемы, большинство из которых сейчас решены.

1. Геометрия Лобачевского непротиворечива, если непротиворечива геометрия Эвклида.

2. Геометрия Лобачевского противоречива, если противоречива геометрия Эвклида.

Обратно:

3. Если геометрия Лобачевского противоречива, то противоречива и геометрия Эвклида.

Поэтому:

4. Всякий, кто отвергнет геометрию Лобачевского, должен отвергнуть и геометрию Эвклида.

В свою очередь можно показать, что вопрос о непротиворечивости геометрии Эвклида сводится к вопросу о непротиворечивости учения о вещественных числах. Поэтому по вопросу о непротиворечивости геометрии Лобачевского, через вопрос о непротиворечивости геометрии Эвклида, мы вновь приходим к вопросу о непротиворечивости учения о вещественных числах.

Итак, тот, кто признает учение о вещественных числах правильным, непротиворечивым, должен признать правильными, непротиворечивыми как геометрию Эвклида, так и геомерию Лобачевского.

§ 6. Независимость аксиомы о параллельных от аксиом I, II, III и V групп аксиом Гильберта

Если исходить от остальных аксиом геометрии Эвклида, то нельзя ли с их помощью доказать аксиому Эвклида о параллельных?

Зная, что система аксиом Гильберта представляет полную систему аксиом геометрии Эвклида, этот вопрос можно сформулировать так:

Можно ли с помощью аксиом I, II, III и V групп аксиом Гильберта доказать аксиому Эвклида о параллельных?

В течение многих столетий на этот вопрос пытались дать утвердительный ответ крупнейшие математики, однако, никто из них не достиг цели. И неслучайно: открытие геометрии Лобачевского показало, что в вышеустановленном смысле доказать аксиому Эвклида о параллельных невозможно. Как теперь говорят, аксиома Эвклида о параллельных независима от остальных аксиом геометрии Эвклида.

Переходя к доказательству независимости аксиомы о параллельных, сделаем сперва два замечания.

Представим себе, что мы исходим от некоторой, заданной формально, системы аксиом А. Система аксиом А допускает многие интерпретации. Поэтому каждая аксиома системы аксиом А выражает некоторое отношение, в котором выступают одноименные объекты любой ее интерпретации. Так, например, отношение точек и прямых, выражаемое аксиомой II, имеет место как в обычной интерпретации геометрии Эвклида, так и в рассмотренной нами в § 4 другой ее интерпретации.

Пусть с помощью системы аксиом А нам удалось доказать какую-либо теорему В. Ясно, что и теорема В выражает некоторое отношение, в котором выступают одноименные объекты любой из интерпретаций системы аксиом А. Так, в геометрии Эвклида доказывается, что сумма углов любого треугольника равна двум прямым. И какую бы мы ни исследовали интерпретацию геометрии Эвклида, всегда ее объекты, которые могут быть названы треугольниками, обладают выражаемым этой теоремой свойством: сумма их углов равна двум прямым.

Допустим, что, исследуя объекты какой-либо интерпретации системы аксиом Л, мы нашли, что некоторые из них выступают в каком-то ином, в явном виде в аксиомах не формулированном, отношении. Ясно, что у нас является законное стремление доказать, что эти объекты будут всегда выступать в подмеченном нами отношении. Иногда это удается сделать довольно просто. Но иногда мы не сможем дать доказательство не потому, что мы его еще не нашли, а потому, что его дать невозможно. В самом деле, представим себе, что в другой интерпретации системы аксиом А одноименные нашим объектам объекты выступают в диаметрально противоположном подмеченному нами отношении. Ясно, что тогда с помощью системы аксиом мы никогда не докажем теорему, которая утверждает, что наши объекты должны выступать в подмеченном нами отношении.

Но точно такое же положение вещей имеет место при попытке доказать аксиому Эвклида о параллельных. В самом деле, система аксиом геометрии Лобачевского отличается от системы аксиом геометрии Эвклида только одной аксиомой, именно: аксиомой о параллельных. При этом аксиома Лобачевского о параллельных по смыслу противоположна аксиоме Эвклида о параллельных. Если бы с помощью аксиом I, II, III и V групп аксиом Гильберта нам удалось доказать аксиому

Эвклида о параллельных, то это значило бы, что какую бы мы ни взяли интерпретацию этих аксиом, объекты любой из них (именно прямые) выступали бы в отношении, выражаемом аксиомой Эвклида о параллельных. Однако, мы знаем, что объекты любой интерпретации геометрии Лобачевского удовлетворяют всем аксиомам I, II, III и V групп аксиом Гильберта, но отношение, выражаемое аксиомой Эвклида о параллельных, для них несправедливо. Отсюда мы заключаем, что с помощью аксиом I, II, III и V групп аксиом Гильберта нельзя доказать аксиому Эвклида о параллельных.

Должно отметить, что независимость аксиомы Эвклида о параллельных не является исключением. Гильберт, например, показал, что с помощью аксиом I, II, III и IV групп аксиом нельзя доказать аксиому Архимеда.

Литература

1. Ф. Энгельс —„Анти-Дюринг“.

2. Ф. Энгельс—„Диалектика природы“.

3. Журнал „Фронт науки и техники“, № 5—5 за 1934 г., статьи Яновской, Александрова, Колмогорова и Куроша.

4. Журнал „Под знаменем марксизма“, № 3 за 1935 г., ст. Молодшего—„О происхождении и значении аксиом геометрии“.

5. В. Каган—„Геометрия“, ст. в 15-м томе Большой советской энциклопедии.

6. Бонола —„Введение в неэвклидову геометрию“.

7. В. Каган —„Основания геометрии“, том II.

8. Сборник „Об основаниях геометрии“, изд. Казанского математического общества.

9. В. Каган—„Очерк геометрической системы Лобачевского“.

10. Успенский —„Введение в неэвклидову геометрию“.

11. Гильберт - „Основания геометрии“.

12. Энрикес —„Вопросы элементарной геометрии“.

ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ЛЕДООБРАЗОВАНИЯ

Проф. В. АЛЬТБЕРГ (Ленинград)

Образование льда в природе есть часть общей физико-химической проблемы образования новой сазы вообще. Эта последняя проблема охватывает ряд различных процессов (конденсацию, кипение, кристаллизацию, плавление, аллотропические превращения и др.), имеющих, однако, то общее, что процесс всегда начинается в отдельных точках, „центрах“, вокруг которых и идет в дальнейшем процесс превращена фаз, протекающий затем исключительно на границе раздела обеих фаз.

Это можно считать в настоящее время прочно установленном и свидетельствующим о схожести некоторых черт процессов, весьма различных между собою по характеру. Переходя к частной проблеме образования твердой фазы из жидкой, интересующей нас здесь прежде всего, следует отметить наличие двух по существу различных сторон проблемы и потому не подлежащих смешению — это образование центов кристаллизации (возникновение кристаллов) и дальнейший их рост.

Означенные два процесса радикально различаются между собою, причем второй из них проще и легче поддается воспроизведению и количественной интерпретации, в то время как первый труднее репродуцируем и зависит от целого ряда обстоятельств, нередко ускользающих от внимания экспериментаторов.

Благодаря этому обстоятельству, а также вследствие смешения указанных двух сторон процесса и крайней недостаточности фактических данных об образовании внутриводного льда, носящего изрядное количества (около сотни) местных названий, возникало раньше много столь же страстных, сколь и бесполезных споров, отголоски которых не затихли еще и поныне.

Кратко, основные и важнейшие этапы развития знаний о возникновении кристаллов рисуются в исторической последовательности в следующем виде:

1724 г.—открытие переохлаждения воды Фаренгейтом, заметившим также, что в запаянных шариках воду легче переохладить, чем в открытых.

1785 г.— Ловиц обнаружил, что: 1) пересыщенный раствор немедленно кристаллизуется, если бросить в него кусочек того же вещества и 2) кристаллизация всегда начинается в отдельных точках раствора.

1788 г.—установлены законы переохлаждения воды Чарлем и Благденом.

1813 г.—по опытам Гей-Люсака доступ воздуха к пересыщенному раствору или к переохлажденной воде вызывает кристаллизацию.

1865 г.—Виоллет и Гернец доказывают, что все дело не в воздухе, а во взвешенных s растворе частицах, после удаления которых путем фильтрации жидкость не кристаллизуется годами.

1897 г.— Оствальд на опыте показывает, что есть минимальный предел для размера кристаллика, могущего служить затравкой; меньшие кристаллики уже не могут вызвать кристаллизации в растворе.

1903 г.— учение Тамманна о центрах кристаллизации и скорости кристаллизации.

1904 г.— Фюхтбауэр путем фильтрования переохлажденной воды устанавливает, что кристаллизация обязана каким-то взвешенным в воде частицам, служащим началом кристалла. К сожалению, этот важный факт, подмеченный еще в 1865 г., очень долго оставался в полном пренебрежении, в частности, Тамманном не был учтен. Однако, замечательная работа Гиншельвуда и Гартлея в 1922 г. снова приводит к заключению о важной роли каких-то взвешенных в жидкости частиц.

1933 г.— Бильманн и Китт устанавливают, наконец, что уничтожение способности к самопроизвольной кристаллизации возможно не только путем фильтрации, но также и посредством центрофугирования жидкости, что ясно указывает на решающую роль взвешенных частиц в этом явлении.

1934 г.— Мейер и Пфафф подтверждают тот же факт еще более убедительно, применяя другой путь — фильтрацию жидкости через мелкопористый стеклянный шоттовский фильтр с средним размером пор в 1,5 ц. Если фильтрация оказывалась недостаточно полной, т. е. жидкость сохраняла еще способность кристаллизоваться, то этой способности всегда можно было ее лишить, если жидкость перед фильтрованием переохладить и дать возможность вырасти на пылинках кристалликам, которые уже неспособны были пройти через фильтр. После такой обработки жидкости в запаянных трубках невозможно было заставить ее кристаллизоваться никакими способами, даже если охлаждать жидкость до температуры жидкого воздуха! Теми же исследователями были поставлены и такие опыты, которые показали, что затравками являются именно пылинки, а не кристаллики самой жидкости.

Подобный же исторический ход развития знаний о превращении фаз можно было бы привести в отношении перехода пара в жидкость (конденсации) с еще большим количеством экспериментальных и теоретических исследований, которые также привели с полной определенностью к подобному же заключению об исключительной роли пылинок в качестве центров конденсации.

Конечный вывод исследований за два века: спонтанной объемной кристаллизации растворов, повидимому, не существует; кристаллы возникают только на взвешенных в жидкости пылинках, либо на поверхности погруженных тел или на стенках сосуда. Тем более это относится к переохлажденным жидкостям, в частности к воде. Самый же механизм образования первичных кристаллов на поверхности твердых тел и пылинок продолжает оставаться малоисследованным и темным, и выяснение этого вопроса составляет одну из актуальнейших проблем современной физики и химии. Однако, уже сейчас намечаются принципиально важные предпосылки, могущие облегчить решение проблемы : установлен факт анизотропии тончайшего пограничного слоя жидкости, в каковом свойстве, повидимому, заложен ключ к пониманию абсолютной исключительности твердых частиц в качестве единственных очагов возникновения кристаллов.

К выяснению этого важного вопроса, повидимому, придут также и с другой стороны — со стороны изучения природы и строения жидкого состояния. Л в этом направлении прилагаются физиками огромные усилия, и в последнее время вырабатываются новые методы исследование из которых особенно актуальными является два метода: рентгеноанализ и эффект Рамана. Последний метод открыт лишь в 192J г., но за 7 лет этим путем произведено свыше 800 исследований, что свидетельствует о крайней плодотворности метода и богатых перспективах.

Не останавливаясь на изложении этих методов и на рассмотрении полученных при их помощи многочисленных достижений, здесь уместно будет отметить лишь конечные выводы, касающиеся природы жидкого состояния. Оба пути согласно приводят к новым представлениям о природе жидксоти, отличным от существовавших ранее на основе классической теории Ван-дер-Ваальса. Согласно последней, жидкость по природе:воей считалась стоящей ближе к газам, чем к твердым телам. Новейшие же исследование приводят теперь к иному выводу, а именно, что жидкости ближе стоят не к газам, а, наоборот, к кристаллическим телам; что в живости после расплавления твердой фазы сохраняются некоторые элементы кристаллической решетки. Недаром Рамановский спектр льда около 0° очень мало отличается от спектра воды, что свидетельствует о некоторой близости в строении. К такому же заключению приводит также и рентгеноанализ,

равно как и другие методы исследования жидкостей (физико-химические).

Всеми означенными методами выявлено, что вода в парообразном состоянии состоит из одиночных молекул Н20. В жидкой воде эти молекулы ассоциируются в дигидроли (Н20)2 и тригидроли (Н20)3, процент которых все более возрастает по мере снижения температуры. При приближении последней к нулю эти укрупненные комплексы, в которые обращаются почти все простые молекулы, в свою очередь образуют неустойчивые пока большие объединения с ориентированным распределением молекул, подобным кристаллической решетке.

При точке замерзания строение жидкости, по новейшим данным, гораздо ближе к строению кристала, чем к строению пара. Одна из черт, отличающих жидкое состояние от твердого, это — ограничение ротационной способности молекул в последнем случае, а может быть, и полное прекращение вращательных колебаний. Этот вопрос будет окончательно разрешен методом Рамана, столь широко используемым при изучении строения органических веществ.

В стадии переохлаждения жидкости особенно велико состояние подготовленности к переходу в твердое состояние, выражающееся в высоком проценте больших объединений с ориентированным (как в решетке) распределением молекул, находящихся, однако, еще в неустойчивом и незафиксированном (как в кристалле) состоянии.

Наряду с устанавливаемым физиками все с большей определенностью наличием некоторых общих черт в строении вещества, находящегося в жидком и кристаллическом состоянии, необходимо особо подчеркнуть подмеченный факт ориентированности молекул в тонких пограничных слоях жидкости как на поверхности ее, так и на границе с твердым телом, пылинкой, песчинкой и даже содержащимся в воде пузырьком воздуха*. Таким образом, пограничные слои являются не только более благоприятными местами для выделения твердой фазы, но и единственно возможными местами, где только и может возникнуть кристаллизация, благодаря уже имеющейся здесь анизотропии, облегчающей образование кристаллов, в то время как внутри абсолютно чистой жидкости такое образование их, как показали многочисленные опыты, фактически не происходит.

Сопоставляя вывод о возможности возникновения кристаллов лишь на твердых частицах с фактом анизотропии тонкого слоя жидкости, соприкасающегося с твердым телом, невольно напрашивается дальнейший вывод, что для возникновения кристаллов в жидкости необходимо: наличие твердой кристаллической фазы (того же или инородного вещества) по одну сторону границы раздела и наличие анизотропного слоя жидкости по другую сторону этой границы.

При этом, если твердая фаза — того же вещества, что и жидкость, то кристаллизация идет по всей поверхности; если же твердая фаза — инородного вещества, то возникновение кристаллизации происходит лишь в отдельных точках. Каких? Отчасти этот вопрос уже освещен, если не для случая перехода жидкости в твердое состояние, то для случая перехода пара в жидкое состояние, каковой процесс происходит тоже лишь в отдельных точках, и тоже на пылинках, и тоже на поверхности твердого тела, и тоже в отдельных точках. Тамманн недавно нашел, что капельки на поверхности металла образуются всегда на одном и том же месте. Только после прокаливания металла в потоке водорода уничтожаются прежние пункты конденсации и создаются новые, уже на других местах. Число капелек сильно зависит от природы металла: максимальное число дают неблагородные металлы, минимальное— благородные; на стекле в два раза меньше, чем на последних. Места зарождения капелек на неблагородных металлах обязаны оксидам, и на благородных — сторонним атомам.

Учитывая обязательность отмеченных выше моментов, необходимых для кристаллизации, становится понятным, почему внутри абсолютно чистой жидкости не возникают кристаллы: потому что внутри такой жидкости нет ни твердой фазы, ни наличия анизотропного слоя жидкости. Но то и другое имеется именно на границе раздела твердой и жидкой фазы. Вот почему абсолютным фактором, обеспечивающим возникновение кристаллов, являются пылинки или твердое кристаллическое тело вообще, соприкасающееся с жидкостью (анизотропной на границе раздела).

Не подлежит сомнению, что полученный результат крайне важен и имеет принципиальное и непосредственное значение для разрешения вопросов ледообразования в водоемах, так как он проливает яркий свет на генезис ледообразования на дне и внутри воды. Этот процесс странным образом не находил

* В частности Гобер констатирует наличие анизотропного слоя жидкости вокруг пузырьков воздуха. Этот слой представляет собою одноосный кристалл. P. Gaubert, „Comptes Rendus“ 200, 304, 1935, № 4.

себе надлежащего объяснения в течение двухвекового периода, а теперь — в свете блестящих достижений физики — он должен представляться естественным и даже неизбежным следствием, ибо по существу выделение льда, как теперь оказывается, только и возможно на пылинках, которые мириадами носятся в воде и на дне (если, конечно, при этом обеспечены термодинамические условия). Скорее надлежало бы объяснить случаи необразования льда под водою, как менее естественные, ненормальные случаи, обязанные специфическим локальным условиям.

Этот парадокс обусловлен отчасти тем, что вода обладает рядом аномалий и особенностей, а также малой осведомленностью широких кругов о значительной распространенности такого динамического, по терминологии Девика, ледообразования. А между тем, такая форма ледообразования является едва ли не единственной в горных областях и в частности на реках Кавказа, Средней Азии, Алтая и Восточной Сибири. Одна Ангара дает сотни миллионов кубов шуги в год.

Наряду с этим уместно констатировать ряд новых фактов, установленных наблюдениями и исследованиями в последние годы.

1. На р. Чирчик, изобилующей наносами, наблюдали зимою, как у самого дна проносился конвейером мощный поток песка и льда, причем каждая песчинка была облечена слоем льда. Такое явление было констатировано во множестве случаев также на различных русских реках и представляет прекрасную иллюстрацию к принципу образования кристаллов на пылинках, песчинках и т. д.

2. Анкета по донному льду Гос. гидрологического института в 1933 г. показала, что на песчаном грунте лед образуется даже чаще, чем на каменистом. Зарегистрированы случаи образования льда на глинистом и илистом грунтах.

3. Путем той же анкеты зарегистрировано несколько десятков случаев образования льда на дне и на рыболовных снастях раньше начала ледохода (за один или даже несколько дней до него).

4. В стеклянном резервуаре, заполненном водою нулевой температуры и выставленном на мороз на металлической плите, можно было наблюдать в течение долгого времени неизменное всплывание со дна ледяных дисков при условии полного покоя воды. Диски эти во время всплывания росли в своих размерах. Этот факт доказывает возникновение кристаллов внутри воды при условии невозможности заноса их с поверхности. Наряду с этим отмечаю, что 20 лет тому назад нами были поставлены опыты по воспроизведению донного льда при условии, исключающем возможность излучения со дна.

5. А. Н. Зильберман, разработавший метод количественного измерения льда внутри воды, в своих работах на р. Оке показал, что лед образуется по всей толще реки не сразу, а лишь постепенно, и сравнительно медленно проникает вглубь реки, пока не достигнет дна. После этого количество льда, образующегося в различных горизонтах реки, прямо-пропорционально удалению от дна.

Из множества фактов, имеющих существенное и принципиальное значение в генетическом отношении, здесь приведены лишь некоторые.

В связи с этим необходимо подчеркнуть, что факт ничтожного переохлаждения воды в реках и тем не менее непременного образования льда, как только наступят необходимые термодинамические условия в реке, свидетельствует о крайней легкости возникновения кристаллов, происходящего с неизбежностью при всяких других условиях, кроме одного, которое должно иметь место всегда. Это значит, что возникновение кристаллов не зависит от множества случайных обстоятельств, ибо они как временные и не имеющие место всегда, не могут обеспечить обязательное возникновение кристаллов (если только обеспечены термодинамические условия). Тот факт, что больших переохлаждений не наблюдают в реках никогда, свидетельствует о том, что больших задержек в наступлении момента возникновения кристаллов не бывает, что также указывает на постоянное наличие в реках необходимого для этого процесса фактора, что случайные факторы не существенны в данном случае. Какой же фактор имеет место всегда и повсюду? Несомненно — пылинки и твердые частицы, содержащиеся в естественных водах всегда и повсюду. Неудивительно поэтому образование подводного льда на погруженных в поток телах в период до ледохода и до образования снежинок в атмосфере.

Факт громадной скорости нарастания донного льда, несмотря на выделение соответственно больших количеств теплоты (скрытой) и на ничтожную молекулярную теплопроводность воды, свидетельствует о наличии в потоке механизма, обеспечивающего колоссальный отвод тепла.

Он базируется на турбулентной теплопроводности, по величине своей превосходящей молекулярную проводимость

в сотни тысяч раз, как показали исследования В. М. Маккавеева, разработавшего теорию турбулентного перемешивания воды в потоках. Большое значение имеют также работы М. А. Великанова по турбулентности и О. К. Блумберг по изучению процесса смешения водных масс в реках.

Особенно много света пролили прекрасные исследования Олафа Девика.

В свете новейших достижений физики, результатов наших работ и исследований Девика, Софронова, Маккавеева, Блумберг, Зильбермана, а также приведенных выше новых фактов, можно с полным правом отвергнуть все прежние (столетней давности) догадки и гипотезы (исключая идеи Араго), как необоснованные, не проверенные на опыте и не имеющие ни теоретической, ни экспериментальной интерпретации и базы для расчета, а потому и не заслуживающие внимания. То же относится и к радиационной теории Барнеса, который, учитывая сделанные ему с различных сторон многочисленные возражения, уже и сам счел необходимым сойти с прежней позиции и признать, что излучение не является уже первопричиной образования льда на дне. Но так как есть приверженцы, более непримиримые, чем сам Барнес, то к их сведению следует напомнить, что по интенсивности поглощения инфракрасной радиации вода в ряду других веществ занимает одно из первых мест, что спектр поглощения ее в этой области состоит из многих сотен относительных максимумов, выступающих на сплошном фоне абсорбции. Это значит, что во всей инфракрасной области нет таких лучей, которые вода могла бы селективно пропустить, ибо коэфициент поглощения для всей означенной области в десятки миллионов раз больше, чем для синих и ультрафиолетовых лучей.

Не было бы преувеличением сказать, что вода для инфракрасной радиации почти так же непрозрачна, как металлы для видимых лучей, для которых они, как известно, тоже прозрачны, но лишь в тончайших слоях микронного порядка. Равным образом и вода для волн от 5 до 35 ji и более обладает минимальною пропускною способностью, притом лишь в тончайших слоях микронного порядка. Следовательно, для метровых слоев, т. е. в миллион раз более толстых, вода абсолютно непрозрачна для инфракрасной радиации. А потому об излучении последней со дна реки не может быть и речи. Можно говорить об излучении поверхностных слоев воды, но не дна.

Таковы данные физики, с которыми не считаться нельзя.

Выше уже отмечалось, что в вопросе о кристаллизации следует различать и не смешивать две существенно разные стороны, касающиеся, во-первых, возникновения и, во-вторых, роста кристаллов. До сих пор шла речь о первой стороне вопроса, но не менее важна также и вторая, более комплексная задача, зависящая от множества факторов, в особенности в применении к росту льда в природных условиях.

С физической стороны процесс кристаллизации хорошо освещен в работах Тамманна и его школы. Выяснен вопрос о скорости кристаллизации и факторах, влияющих на нее. Среди последних исключительную роль играют те, которые непрерывно восстанавливают безусловно необходимые для кристаллизации условия, а именно: переохлажденное состояние жидкости, каковое в процессе кристаллизации и выделения при этом скрытого тепла непрерывно снижается и при ликвидации его процесс неизбежно должен был бы остановиться. При условии, однако, непрерывного отвода скрытого тепла и отнятия от жидкости тепла, выделение твердой фазы не прекращается, причем темп его исключительно зависит от интенсивности обоих упомянутых процессов, и если интенсивность их достаточно велика, то рост кристаллов может итти с максимальной скоростью.

Эти важные положения были четко выражены Тамманном и доказаны им на опыте, они и легли в основу нашей интерпретации ледообразовательных процессов—и затем также в прекрасных и весьма обстоятельных исследованиях Олафа Девика. Последний самые виды ледообразования (статический и динамический) различает по признаку, влияющему на характер теплоотвода, который в первом случае основан на молекулярной теплопроводности, а во втором — на значительно более мощном тепловом потоке, обусловленном турбулентностью. В. М. Маккавеев показал, что турбулентная теплопроводность в сотни тысяч раз превосходит молекулярную, а О. К. Блумберг на опыте изучила процесс смещения водных масс и механизм охлаждения в турбулентном потоке.

Такого рода солидные и многоразъясняющие работы дают возможность оставить путь догадок в области ледовых явлений и задаваться целью количественного учета в целях прогноза, как это с успехом делают Девик, Маккавеев и Софронов.

В результате теплообменных расчетов вытекает вывод, что водный поток совершает

теплообмен почти исключительно через верхнюю поверхность воды и только 2% тепла проходят через нижнюю поверхность, причем в зимний период тепло поступает из ложа в воду, а летом, наоборот, из воды в ложе, так что зимою ложе является отепляющим фактором, а летом, наоборот, охлаждающим.

Учитывая фундаментальное значение калорического режима потока для целей прогноза ледообразования, мы сочли необходимым косвенные методы расчета заменить непосредственным измерением теплообменных процессов и с этой целью выработали калориметрические методы изучения теплоотдачи с водной поверхности.

На базе этой методики в дальнейшем был разработан и испытан на опыте новый способ определения испарения и одновременно с этим производимого им эффекта охлаждения воды. Для этого применялся калориметр такого же типа, как измерения теплоотдачи воды с добавлением микротермической установки, позволявшей точно, до тысячных долей миллиметра, измерить положение уровня воды и малейшие изменения его в случае испарения воды.

Если опыт производить в закрытом помещении, то при незначительных градиентах температуры воды и окружающего пространства эффект излучения, повидимому, был бы незначителен и потому в первом приближении им можно было бы пренебречь. Тогда теплопотеря воды Q0 обязана была бы, главным образом, двум факторам: конвекции и испарению.

Обозначая теплопотери, обусловленные двумя факторами, через Qk и Q получим

Qo-Qk+Q (1)

Находя путем измерений Q указанным выше способом, a Q0 — прежним способом, и подставляя в уравнение (I), находим

Qk=Q0-Q. (2)

В нижеприводимой таблице даны для примера определенные из опыта Q0 и Q и вычисленные по формуле (2) Qk в кал\см2мин.

Разработанные нами и нашими сотрудниками (В. В. Пиотровичем, В. К. Альтберг, Ф. П. Софроновым и др.) экспериментальные и теоретические методы исследования калори-

Номер опыта

Qo

Qk

Q

1

1,00

0,54

0,46

5

2,40

1,40

1,00

6

2,48

0,82

1,66

9

1,15

0,50

0,60

11

2,22

0,62

1,60

13

0,98

0,51

0,47

ческого режима и процессов ледообразования с успехом были применены на целом ряде рек (Нева, Волхов, Ангара, Нива, Чирчик, Томь и др.). Получены были весьма интересные результаты, однако, за недостатком места останавливаться на них не приходится.

Резюмируя, следует подчеркнуть еще раз исключительную важность для динамического ледообразования громадной величины турбулентной теплопроводности, в сотни тысяч раз превосходящей молекулярную теплопроводность и благодаря именно этому обусловливающей особенности означенного ледообразования (лед на дне). Ввиду возникновения кристаллов исключительно на границе раздела жидкой и твердой фаз, каковых участков в природной воде, содержащей мириады пылинок, имеется всегда налицо в достаточном количестве, кристаллизация после охлаждения воды до 0° и ниже внутри воды турбулентного потока не только возможна, но и неизбежна.

Процесс ледообразования вполне поддается количественному учету, наравне с теплообменными процессами, которые определяют масштаб и темп первого процесса. Природа динамического ледообразования выявлена вполне, никакой загадки больше уже нет, а потому этот вопрос не нуждается более в догадках и гипотезах (как это имело место ранее). Теперь необходимо лишь подводить количественный баланс тепла и льда, как это и делается у нас в СССР и в Норвегии (Девик).

Только физика может дать надежные основы для суждения о генезисе этого явления, его прогнозе, механизме теплообмена и методах борьбы с ледовыми помехами.

Вне физики пути идут по ложному направлению и только задерживают дальнейшее развертывание и углубление наших знаний.

КВАРЦЕВАЯ РТУТНАЯ ЛАМПА

И. СУТЧЕВ (Москва)

I. Введение

С каждым годом лучи, получаемые от кварцевой ртутной лампы, находят себе все большее и большее практическое применение. Однако, учащиеся в наших средних школах, да и в высших, имеют весьма слабое представление об устройстве и принципе действия кварцевой ртутной лампы.

Нам кажется, что знакомство учащихся средних и, конечно, высших школ со ртутной лампой совершенно необходимо.

II. Устройство кварцевой ртутной лампы

Наиболее распространенной лампой является медицинская кварцевая ртутная лампа Гериуса. Состоит она из кварцевой трубки (рис. 1), из которой выкачан воздух.

Таким образом, внутреннее пространство кварцевой трубки является достаточно совершенным вакуумом. Концы трубки, имеющие вид цилиндров, заполнены ртутью; к ним подведены электроды : а — анод и к—катод (рис. 2). Электроды обычно состоят из инвара, они пропускаются через отверстия, проделанные в концах лампы, и соединяются со ртутью, заполняющей цилиндры лампы, которые находятся на ее концах. Цилиндрический вид каждой лампы нужен для того, чтобы на полюсах можно было поместить больше ртути. Большое количество ртути необходимо для того, чтобы при горении лампы не нарушился контакт между ртутью и инваром. Ибо в этом случае возникнет дуга между ртутью и инваром. Инвар сильно накалится, и замазка, которой замазаны электроды, расплавится. По прекращении горения лампы, да и во время горения, через щели, образовавшиеся между инваром и стенками кварцевой трубки, войдет воздух, и лампа гореть не будет. В этом случае говорят, что лампа испорчена. Для того чтобы лампа могла снова работать, из нее надо выкачать попавший туда воздух. При горении лампы ее электроды сильно накаляются, по причинам, о которых мы ниже будем говорить, и для их охлаждения на цилиндры лампы надевают алюминиевые цилиндрики 1,2,3 и 4 (рис. 2) с отходящими от них веерообразными листками av а2, а3, а4 или электроды лампы омываются непрерывно холодной водой.

Напомним, что коэфициент линейного расширения кварца очень мал (около 0,0000005), поэтому в качестве электрода следует брать материал приблизительно с таким же коэфициентом линейного расширения. Здесь наиболее подходящим материалом является инвар (сплав из 64 Fe и 36 Ni), коэфициент линейного расширения которого равен 0,0000016. Таково основное устройство кварцевой ртутной лампы. Существует большое число разновидностей этого основного устройства, но на них мы подробно останавливаться не будем. Ниже дадим короткое описание еще двух ртутных ламп, ввиду их большого интереса.

Одна из этих ламп носит название „горного солнца“, а вторая — „капиллярной ртутной лампы“.

III. Принцип действия кварцевой ртутной лампы

Для того чтобы привести лампу в действие, необходимо электроды ртутной лампы привести в соприкосновение. Для этой цели лампу наклоняют, и ртуть из одного полюса

Рис. 1. Рис. 2.

переливается к другому. Когда ртуть, перетекавшая от одного электрода к другому, подойдет ко второму полюсу на очень близкое расстояние или разорвет замкнутую ртутью цепь, то между ними возникнет дуга. Дуга эта называется ртутной дугой. После того как лампа загорится, ее ставят в горизонтальное положение: она горит спокойно и ровно. Ртутная лампа обычно работает на постоянном токе. Если в этой лампе поставить один электрод металлический, а другой ртутный, и пропустить через нее переменный ток, то оказывается, что ртутная дуга пропускает ток только в одном направлении, т. е. переменный ток выпрямляется. Ток проходит только в том направлении, при котором катодом является ртуть.

IV. Физические явления в кварцевой ртутной лампе

Ртутная дуга в кварцевой трубке состоит из накаленных паров ртути, они и служат источником света. Анод обычно светится равномерным, сравнительно тусклым светом. Катод имеет раскаленное добела пятно. Температура поверхности анода ниже, чем температура пятна катода. Пятно катода может накалиться до температуры испарения ртути и тогда из него вылетают раскаленные пары ртути, заряженные отрицательными зарядами (отрицательное пламя).

Механизм прохождения электрического тока в ртутных парах такой: частицы ртутных паров, будучи заряжены положительными и отрицательными зарядами — ионы, переносят заряды от одного полюса к другому. Положительные заряды всегда связаны с атомами ртути, а электроны могут быть свободными, не связанными с атомами ртути. Электроны под действием электрического поля стремятся к аноду. Они приобретают большую кинетическую энергию и, сталкиваясь в атмосфере ртутных паров с нейтральной молекулой, ионизуют ее. В атмосфере ртутных паров получаются новые положительные ионы и электроны. Образующиеся катионы летят пол действием электрического поля к катоду, ударяются об него и тонкий слой поверхности катода доводят до белого каления. Накаленный добела катод продолжает выделять новые свободные электроны (эмиссионный ток), которые описанным уже способом непрерывно ионизуют ртутную атмосферу и этим путем поддерживают процесс горения лампы. С увеличением диссоциации молекул ртутных паров электропроводность ртутной дуги увеличивается.

При высокой температуре ртутные пары диссоциируются сильнее, поэтому при некотором тепловом режиме горения ртутная дуга в кварцевой трубке собирается в узкий шнур, находящийся на оси трубки, где температура ртутных паров, повидимому, значительно выше, чем у краев трубки.

Итак, для того чтобы горела ртутная дуга, тонкий слой поверхности ее катода должен быть накален добела, чтобы он мог испускать электроны, необходимые для ионизации атмосферы ртутных паров, которые в этом случае являются электропроводными. В ртутной дуге образуются в большом количестве ультрафиолетовые лучи и они также оказывают большое ионизующее действие на атмосферу ртутных паров.

Спектр, полученный от накаленных паров ртути, является линейчатым. На рисунке 3 видно, что на участке спектра, начиная от а = 220 ]х\1 до X = 400 jijx, мы замечаем довольно отчетливых 30 линий. По своей интенсивности все эти линии различны.

Свет, полученный от ртутной лампы, сильно отличается от дневного света. В его спектре, как это видно на рисунке 3, довольно много получается фиолетовых и ультрафиолетовых лучей и совершенно отсутствует в спектре лампы красный свет. Физические явления в ртутной дуге весьма сложные. На некоторые вопросы наука и до сего времени еще не дала удовлетворительного ответа. Мы разберем более простые явления.

Из вышеизложенного мы видим, что механизм прохождения тока в ртутной дуге

Рис. 3.

приблизительно такой же, как и в газах. Здесь мы имеем движение заряженных молекул ртутных паров. Причем опыты показывают, что во время горения ртуть быстро перегоняется от положительного полюса к отрицательному. Вследствие этого положительный полюс оголяется, раскаляется и через него попадает в трубку воздух, т. е. лампа портится. Для избежания указанного недостатка у отрицательного полюса делают порог S (рис 4), выше которого подняться ртути нельзя, т. е, когда ртуть превышает этот порог, то она скатывается от отрицательного полюса (катода k) к положительному (аноду а), и в этом случае дуга может гореть неопределенно долго. Чаще всего у катода делают осушенное отверстие, и тогда катод сильнее раскаляется, чем анод, и с поверхности его ртути испаряется настолько больше, чем с поверхности анода, насколько больше приносится на него ртути силами электрического поля от анода. Наступает некоторое динамическое равновесие, и уровень ртути на катоде не понизится.

Рассчитать, при каком отношении площадей поверхности ртути на катоде и аноде наступает динамическое равновесие молекул ртути, довольно трудно, так как температура поверхности ртути зависит от устройства лампы и от способа охлаждения электродов.

Для получения автоматической регулировки ртутной лампы мною была предложена следующая схема устройства трубок около анода и катода (рис. 5).

Пусть мы имеем вначале уровень ртути у положительного полюса СгОг и у отрицательного полюса AB, как это показано на рисунке 5. Обозначим величину поверхности ртути катода через S> а анода — через и сделаем объемы усеченных конусов у катода (ABCD) и анода (AjB^Dj) одинаковыми.

Обозначим отношение ~ через я. Зажжем лампу. При этом ртуть начнет перегоняться от анода к катоду. У катода площадь поверхности ртути будет уменьшаться, а у анода она будет возрастать. Вследствие этого температура поверхности ртути на аноде будет уменьшаться, а на катоде увеличиваться и, следовательно, испарение ртути с поверхности катода будет больше, чем с анода. Наступит момент, когда это отношение Д останется неизменным, и, следовательно, лампа будет гореть спокойно. Если анод ртутной дуги металлический, а катод ртутный, то Шефер, исходя из эмпирических данных, рекомендует брать на 1 ампер тока 1 мм2 свободной поверхности ртутного катода я 1 см2 металлического анода. То обстоятельство, что ртуть перегоняется от положительного полюса к отрицательному, подтверждает наше утверждение о том, что молекулы ртути, будучи заряжены положительными зарядами и попав в электрическое поле, перелетают под действием сил этого поля от анода к катоду. Более тщательные опыты показывают, что есть частицы ртути, заряженные и отрицательными зарядами. Сделанные вычисления показывают, что если всю плотность тока у катода будем считать за 100%, то плотность тока, созданного положительными ионами, равна 84%, а плотность тока, созданного отрицательными электронами, равна 16%.

Если мы посмотрим, как распределяется падение напряжения по трубке, то увидим, что наибольшее падение потенциала происходит у катода и анода. В самом ртутном столбе градиент падения потенциала, согласно измерениям Аронса, равен от 0,36 до 2,4 вольт см

Согласно указанию „Справочника физико-химических и технических величин“ т. IV, страница 293, распределение напряжения в ртутной лампе следующее: падение на аноде г;д=:4,08 вольт, падение на катоде vk = 5,27 вольт, падение в положительном ртутном столбе £“ = 0,68 вольт. Эти данные были получены при 7= 1000° К при давлении внутри трубки в 2 мм ртутного столба и при площади катодного пятна в 0,00253 мм2 Однако, они считаются далеко не точными.

В статье проф. Курбатова указывается, что падение напряжения на железном аноде ртутной дуги равно va = 6,5 вольт, а па ртутном катоде г>А==5,5 вольт. Падение потенциала в самой ртутной дуге меняется в зависимости от упругости ртутных паров и от силы электрического тока в дуге.

Рис. 4. Ряс. 5.

В проведенных мною опытах обнаружилось, что при падении напряжения в положительном ртутном столбе £ = 1,У см общее падение напряжения на катоде и аноде было равно 13 вольтам. При увеличении падения напряжения в положительном ртутном столбе увеличилось и общее падение напряжения и на электродах. Опыты мною производились с трубкой, имеющей внутренний диаметр 1,4 ^ и внешний 1,8 см.

В журнале „Успехи физических наук“ вып. 2-й, т. XIII за 1933 г., в статье Ирвинга Лэнгльюра имеются указания на то, что в газовых разрядах бывают такие случаи, когда все падение потенциала сосредоточено вблизи катода, а остальное пространство имеет практически потенциал анода. Более того, обычно в пространстве между электродами потенциал имеет максимум и минимум, причем часто случается, что один из максимумов имеет потенциал более высокий, чем потенциал анода, или минимум имеет потенциал более низкий, чем потенциал катода.

Сильное падение потенциалов у электродов ртутной дуги показывает на скопление большого числа зарядов в ртутной дуге — положительных у катода и отрицательных у анода. Скачки потенциалов у катода и анода называются катодным и анодным падением.

У, Электрическая и тепловая характеристика лампы

Мною было проведено наблюдение зависимости силы тока от напряжения на полюсах ламп и зависимости температуры внешней поверхности трубки от потребляемой лампой мощности, т. е. исследован тепловой режим горения. Данные помещены в таблице 1.

Результаты наблюдений, помещенные в таблице 1, были получены медицинской ртутной лампой Гериуса. Расстояние между электродами 8 см. Внутренний диаметр трубки лампы в ее середине, т. е. в месте измерения температуры, был равен 1,6 см. Внешний диаметр трубки был равен 2 см. Отсюда толщина стенки кварцевой трубки равна 0,4 см.

Опыты показывают, что сила тока при измерении напряжения от 20 до 39 вольт растет от 1 до 6,2 ампер. При дальнейшем увеличении напряжения на электрод лампы сила тока уменьшается. Объясняется это тем, что температура ртутных паров с увеличением потребляемой лампой мощности увеличивается, а с увеличением температуры паров растет я их упругость. Зависимость упругости насы-

ТАБЛИЦА 1

Напряжение в вольтах

Сила тока в амперах

Потребление лампой мощности в вольтах

Температура внешней поверхности лампы Т С

20

1

20

135

23

2

46

246

28

2,5

70

357

30

3

90

384

36

4

144

531

38

4,6

174,8

555

39

6,2

241

570

41

6

246

591

43

5,8

244

600

44

5,7

250

615

46

5,7

262

636

48

5,5

263,4

642

50

4,8

240

660

52

5,4

281

681

54

5,2

281

693

55

5

275

703

щенных ртутных паров от температуры выражается следующей формулой:

(т. V „Справочника физических величин“, стр. 367).

Это уравнение применимо от 400 до 1300° К. Величина Р выражается в миллиметрах ртутного столба.

Значит, при увеличении упругости ртутных паров их соприкосновение увеличивается, и градиент падения потенциала увеличивается. В различных точках внешней поверхности кварцевой трубки температура различна.

Мною проведен опыт по измерению температуры внешней поверхности лампы в трех точках: у анода, катода и в середине лампы. Расстояние между электродами было равно \3 см. Внешний диаметр трубки был 1,8 см, толщина стенки кварцевой трубки равна 0,2 см.

Результаты наблюдения помещены в таблице 2.

Измерение температуры мною проводилось и по остальной длине трубки и оказалось: на расстоянии 1 см от катода была уже такая же температура, как и в середине трубки, а от анода на расстоянии 2 см трубка имела ту же температуру, как и в середине.

Из таблицы 2 видно, что температура внешней поверхности трубки у катода при потребляемой мощности в 54,3 и в 206,3 ватт такая же, как и в середине трубки.

Это показывает на то, что при данном режиме горения приход тепла у единицы длины трубки катода и у единицы длины положи-

ТАБЛИЦА 2

Напряжение в вольтах

Сила тока в амперах

Потребление лампой мощности в ваттах

Температура внешней поверхности трубки

у катода ГС

в середине ГаС

у анода Г2С

31

1.75

54,3

138

138

143

36

1.8

64,8

143

138

156

39

1,9

74,1

153

143

187

45

1.95

94,5

157

154,5

247

49

2,0

98

233

187

261

52

2,1

109,2

245

219

324

53

2,2

116,6

259

253

352

55

2,6

143

280

274

375

67

2,5

167,5

346

324

450

75

2,75

206,3

406

406

526

тельного ртутного столба равен их расходу, но это еще не значит, что выделяемая током теплота в единице длины катода и столба одинакова.

При потребляемой мощности лампой в 54,3 ватта в единице длины трубки у катода выделяется тепловой энергии больше, чем в единице длины середины трубки, но хорошая теплопроводность ртути способствует быстрому охлаждению катода.

Равенство температур трубки у катода и в середине трубки, при потреблении лампой мощности в 206,3 ватт, повидимому, объясняется испарением большого количества ртути с катодного пятна.

Согласно данным Шефера, при силе тока в 25—30 ампер температура поверхности анода 600°С, а поверхности катода 2000— 3000°С. Это утверждение Шефера верно только в том случае, если площадь катодного пятна в 100 раз меньше площади поверхности анода.

Это, конечно, не значит, что вся ртуть катода имеет в 4—6 раз более высокую температуру, чем ртуть анода. Из таблицы 2 видно, что температура внешней поверхности кварцевой трубки у анода выше, чем у катода. Количество ртути у катода и анода было приблизительно одинаково. Возможно, что сильное свечение катода и вылет с него электронов происходят не потому, что температура катода выше, чем анода, а, главным образом, вследствие ударов положительно заряженных ионов о частицы ртути катода.

Зная температуру внешней поверхности трубки, толщину стенки трубки, радиус трубки, коэфициент теплопроводности кварца, потребляемую некоторым участком лампы мощность и излучаемую ею световую энергию, мы можем по известной формуле теплопроводности вычислить температуру внутренней поверхности кварцевой трубки. А затем, зная коэфициент теплопередачи от стекла к парам ртути, можно вычислить температуру паров ртути в дуге. Измерение температуры внешней поверхности кварцевой ртутной лампы производилось при помощи сделанной мною термопары.

Термопара состояла из очень тонкой вольфрамовой нити и платиновой тонкой проволоки. Специальное приспособление этой термопары и давало мне возможность измерить температуру внешней поверхности кварцевой трубки. Это простое измерение температуры внешней поверхности трубки дает нам возможность судить о тепловом режиме горения кварцевой ртутной лампы. Обычные частые порчи ртутных ламп происходят, как это было выше указано, от перегрева ее электродов. Исследование теплового режима горения лампы дает возможность предвидеть возможную порчу лампы и, конечно, предотвратить эту порчу.

VI. Применение ртутных ламп

Выше было уже сообщено, что лучи, полученные от кварцевой ртутной лампы, содержат большое количество ультрафиолетовых лучей. От длины волны 220 jxjx до 400 jij* мы имеем около 30 отчетливых ртутных линий в спектре. Измерение распределения энергии в ртутном спектре с помощью флюоресцирующего фотометра показало, что максимум чувствительности этого фотометра лежит при Х = 297,7 jiji; этой же линии соответствует максимум эретемного (покраснение кожи) действия. Это, конечно, не значит, что эта линия имеет большую энергию, чем другие линии, имеющие большую длину волны.

Результат солнечного ожога и наибольшее антирахитичное действие принадлежит той

же линии. Эта линия в спектре ртутных паров обладает большей эффективностью при лечении и предупреждении рахита, чем все остальные вместе взятые линии.

Антирахитическое действие ртутных линий, одинаково отстоящих от \ = 297,7 в ту и другую сторону, приблизительно одинаково. В ультрафиолетовой части спектра считается биологически важной областью спектр от Х = 280 J1J1 до 320 цц. Ультрафиолетовые лучи повышают витаминозность сливочного масла и многих других продуктов питания. Ими лечат накожные болезни и т. д.

В последнее время ультрафиолетовые лучи стали применять для лечения мокрецов у лошадей и других накожных болезней. Ими облучают цыплят, различные растения, и эти лучи оказывают на них благотворное влияние. Конечно, облучение дается в нужной мере. Наконец, ими можно пользоваться как невидимыми лучами для тайной сигнализации.

Эти лучи уничтожающе действуют на микроорганизмы, вызывающие различного рода заболевания. Простое периодическое освещение ультрафиолетовыми лучами квартир могло бы придать им оздоровляющий характер.

Согласно указаниям, сделанным в Технической энциклопедии („Справочник физических величин“, т. IX, стр. 255), ультрафиолетовые лучи с длиною волны X = 0,31 j1 даже при кратковременном действии могут сильно повредить роговицу глаза. Для защиты глаз от ультрафиолетовых лучей при работе с источником, испускающим ультрафиолетовые лучи, должны быть фильтры, поглощающие полностью лучи сХ<0,35 ji. Излучение в области больших X, чем 0,35 ji, не причиняет вреда глазам, если не считать раздражений, вызываемых большой яркостью источника света.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Согласно литературным данным, американцы уже имеют два интересных типа ламп. Первая лампа именуется лампой солнечного света, а вторая — капиллярной ртутной лампой. Дадим коротенькое описание их устройства и принципа их действия.

1. Лампа солнечного света (типа S — 1).

Описание этой лампы дано в журнале Американского оптического общества в 1931 г.

Лампа типа S — 1 (рис. 6) является комбинацией раскаленного вольфрамового волоска и ртутной дуги, заключенной в кварцевую или из увиолевого стекла грушу. Лампа S — 1 работает на переменном токе от специально сделанного для нее трансформатора. Когда впервые включается ток и раскаляется вольфрамовый волосок, то сила тока, идущая через лампу, равна 9 амперам при напряжении в 33 вольта. Затем испарялась часть ртути, и почти немедленно между вольфрамовыми электродами возникает дуга, а когда электроды раскалятся добела, то дуга устанавливается преимущественно между ними. При этом условии лампа горит нормально при 11 вольтах и 30 амперах. Достигается это благодаря применению трансформатора с высокой магнитной утечкой.

Спектр такой лампы состоит из обычных ртутных линий, наложенных на непрерывный спектр раскаленного добела вольфрама.

Длина дуги между электродами лампы около 5 мм. Пользуясь кварцевой линзой, мы можем достигнуть большей концентрации ультрафиолетового света, чем это достигается при помощи обычной кварцевой ртутной дуги.

В настоящее время у нас в СССР изготовлены лампы солнечного света типа S — 2, изображенного на рисунке 7. Они рассчитаны так, чтобы их можно было использовать в обычной электрической сети. Груши этих

Рис. 6.

1. Ртутная дуга

2. Вольфрамовый электрод

3. Вольфрамовая нить накала

4. Капля ртути

5. Специальная груша

Рис. 7.

1. Ртутная дуга

2. Электрод

3. Вольфрамовая нить

4. Ртуть

ламп сделаны из увиолевого стекла, которое пропускает через себя ультрафиолетовые лучи, важные в биологическом отношении.

В настоящее время производится у нас испытание этих ламп, и надо полагать, что они будут хорошего качества и сравнительно дешевы. А тогда такие лампы могут принести большую пользу жителям Севера, где наблюдается наибольшее заболевание детей рахитом, вследствие недостатка естественного солнечного света.

II. Капиллярная ртутная лампа

Капиллярная кварцевая ртутная лампа состоит из капиллярной трубки длиною около 12 см (рис. 8).

Внешний диаметр трубки 3 мм, внутренний — 1 мм. По всей трубке имеются три пузырька /, // и ///, внешние диаметры которых равны 5 мм и внутренние 3 мм.

Расстояние от конца А трубки до пузырька / равно 5 см, расстояние от пузырька / до // равно 2,5 см; пузырек /// отделен от пузырька // перешейком в 1 мм. Расстояние от пузырька /// до конца В равно около 3 см. Отверстие А в пузырьке // закрыто графитом длиною в 2 мм. Трубка наполняется ртутью, ее пузырьки наполовину остаются заполненными воздухом. С конца В трубки пропущен вольфрамовый электрод, доходящий до начала пузырька //. С конца А пропущен также вольфрамовый электрод до пузырька /. Электроды вмазаны замазкой. Горение лампы происходит между пузырьками / и //. Во все время горения лампа должна непрерывно омываться (охлаждаться) водой. Такая лампа берет около 5 ампер и при этом ее яркость в 30 раз больше медицинской ртутной лампы. Автору настоящей статьи приходилось приводить в действие эту лампу, и яркость ее действительно была очень велика*.

Рис. 8.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ВЫВОД ФОРМУЛЫ ГЕРОНА

М. БЕНЕВОЛЬСКИЙ (Ленинград)

В № 1 „Физ. матем. сборника“ за 1924 г. помещена статья т. Дмитровского, в которой автор дает попытку „геометризации“ вывода формулы Герона, обычно выводимой при помощи довольно сложных и длительных алгебраических преобразований. Однако, вопреки утверждению автора, предлагаемый им геометрический вывод вряд ли можно признать более простым и наглядным, чем обычный алгебраический. Между тем, может быть предложен действительно простой геометрический метод, быстро дающий нужный результат.

Этот метод требует предварительного знания следующих простых предложений, обычно не встречающихся в учебниках геометрии:

1) Если в /\АВС со сторонами a, b и с впишем круг, то точки касания Еу F и О разделят стороны треугольника на следующие отрезки:

AE=AG = p — a, Œ=CF=p — c

и

где р — полупериметр треугольника (черт. 1). (Эту теорему кладет в основу своего вывода и т. Дмитровский.)

2) В подобных треугольниках сходственные отрезки (например высоты, медианы, проекции сторон и т. п.) относятся, как сходственные стороны.

Предлагаемый мною вывод заключается в следующем:

Черт 1.

* Подробное описание лампы имеется в журнале Американского оптического общества за 1933 г.

Пусть дан Д ABC со сторонами a, b и с (черт. 2). Пусть высота BD = h, AD = x, DC=y.

Из прямоугольного /\ABD имеем: h2 = c2 — X2 = (с-\- х) (с — х).

Проведем биссектрисы углов л и С до взаимного пересечения в точке О, которая будет центром вписанного круга.

Проведем ОЕ_[_АС; тогда, по теореме 1,

АЕ = р — а.

Продолжив основание АС в ту и другую стороны, проведем BÄ |] OA и ВС || ОС. Тогда ^/3 = ^/2 и ^ 4 = ^/1, а так как ^/1=^2, то Z3 = ,/4, т.е. = = AB = с.

Точно так же: СС=СВ = а.

Следовательно, в Д А1 ВС основание А'С = а + Ь-\-с = 2р.

Из подобия треугольников А'ВС и ДОС следует:

откуда

Так же:

откуда:

Отложив АК= AB = с, имеем: DK= — с — х.

Но DK=DC — КС, причем DC = д-Ку и /СС' = л,С — л'АГ=2р — 2с== = 2 (/>-<:).

Поэтому

Следовательно

откуда полупим известное выражение для высоты треугольника:

Черт. 2.

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ

Р. БОНЧКОВСКИЙ (Москва)

В статье „К вопросу о приложении теории пределов в средней школе“ („Математика и физика в средней школе“, № 3, 1935 г.) Н. Гришин рекомендует применение теории пределов к решению некоторых задач на отыскание максимума или минимума некоторой переменной величины. Значительная часть задач, рассматриваемых им, допускает другие, притом гораздо более простые, решения. Я остановлюсь на одной из них.

Задача. Найти соотношение между сторонами в прямоугольнике, имеющем наибольшую площадь при данном периметре.

Решение. Пусть ABCD — прямоугольник с данным периметром.

Проведем биссектрису ^ С и прямую

FCO, перпендикулярную к этой биссектрисе, до пересечения в точках F и О, с продолжениями сторон AD и AB. Возможны два случая:

1) биссектриса j/ С пересекает одну сторону прямоугольника (например AD) в точке Е;

2) биссектриса j/ С проходит через вершину А прямоугольника.

В первом случае СЕ разбивает прямоугольник ABCD на две части. Первая часть, Д CDE = Д CDF. Вторая часть, трапеция СВАЕ < Д СВО. В последнем можно убедиться так: отложим на стороне ВО отрезок ВИ=АВ и в точке H восстановим перпендикуляр до пересечения в / с BG. Так как АВ<ВС и BG = BC9 то трапеция CBHI, равная трапеции СВАЕ, окажется лежащей целиком внутри Д СВО. Таким образом, мы получаем, что удвоенная площадь прямоугольника оказывается меньше площади /\AQF.

Иначе говоря, площадь прямоугольника ABCD меньше половины площади /\AGF.

Если же биссектриса ^/ С проходит через Л, то & CDA = &CDFy ДСВА = ДСВО и площадь прямоугольника ABCD равна половине площади /\AOF. Так как рассмотренными двумя случаями исчерпываются все возможные случаи, то, значит, во втором случае прямоугольник имеет наибольшую площадь.

Нетрудно видеть, что биссектриса ^ С пройдет через точку А тогда, когда точка С лежит на середине отрезка FO, т. е. тогда, когда прямоугольник ABCD будет квадратом.

Итак, из всех прямоугольников с данным периметром квадрат имеет наибольшую площадь.

Это решение задачи при надлежащем оформлении (перегибании Д AOF по прямым ВС и DC и накладывании треугольников ВСО и CDF на прямоугольник) может быть понято даже детьми младшего возраста.

Задача № 3 из статьи Н. Гришина допускает аналогичное решение. Решение задачи № 2 может быть построено на основе предложения: прямая линия короче всякой ломаной, имеющей те же концы, и теоремы: из двух треугольников с равными основаниями тот имеет большую площадь, который имеет большую высоту. Для решения задачи № 4 можно воспользоваться приемом, который я изложил в статье „Исследование функции третьей степени на максимум и минимум элементарными средствами“ („Математическое просвещение“, № 4, 1935 г.)

О ПИФАГОРЕЙСКИХ ЧИСЛАХ

Проф. Н. ИЗВОЛЬСКИЙ (Москва — Ярославль)

Известны формулы для нахождения целых чисел, удовлетворяющих уравнению

jc«+y = z», (1)

а именно:

х = т2 — п2, у = 2тп, z = т2-\- п2.

Я здесь предлагаю другой способ для определения этих чисел.

Ясно, что для всякого целого числа а имеем, что делится на 2, т. е. мы можем написать x2 = x + 2t, y*=y + 2t19 z2 = z-\-2t2. Следовательно,

или

X -{- у = z -[- 2k.

Заметим, что k = t2 — tx — t должно быть положительно, так как z, конечно, меньше х+у.

Возведя последнее равенство в квадрат, получим, принимая во внимание, что

X2 -\-y*> = z2,

xy = 2kz-\-2k2.

Так как

ху>2кг, x<z и у<г, то отсюда следует, что

т., е. мы можем положить

тогда для z будем иметь из (2)

г-\-2к=хг + 2.%+^ + 2.4,

или

* = *1+Л + 2*

Теперь получаем (*i +Л + 2Ä)2 = (*, + 2ft)» + (у, + 2ft)». Упрощение дает

4*—(jpj+jfjji

или од = 24*. (3)

Нетрудно видеть, что если мы хотим получить целые решения уравнения (1), лишь такие, чтобы х, у и z не имели общих множителей, то хг и уг должны быть взаимнопростыми, — иначе и число k должно иметь тот же множитель (видно из равенства (3), и тогда x = x1-\-2k, y=y2-\-2k и z = x1-{--\-ул -f- 2k будут иметь общий множитель.

Теперь нахождение пифагорейских чисел сведется к определению целых и взаимнопростых хг иуг для произвольных значений k.

Пусть 6=1, тогда имеем единственное решение ^ = 1 и л = 2>

или наоборот; далее

Пусть А = 2; тогда дг^зв и далее

а:= 1 -}-4 = 5; ^ = 8 + 4=12.

Вот еще несколько решений:

Заметим еще, что для z имеем г = хл -\-уг -\-2k = x -{-у — 2k, что дает возможность легко вычислять z.

МЕТОДИКА

УЧЕНИЕ О ЛОГАРИФМАХ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Доц. В. МАТЫШУК (Ростов-на-Доиу)

Преподавание логарифмов в средней школе до последнего времени не стояло на должной высоте. Ряд лет работы в высших учебных заведениях и постоянное участие в приемных испытаниях дают мне достаточно оснований говорить, что в знаниях студентами логарифмов много существенных недочетов и притом не столько в уменье пользоваться таблицами, сколько в понимании теоретической стороны вопроса. Наиболее часто встречающиеся здесь ошибки и пробелы — следующие:

1. Неуменье правильно произвести логарифмирование сколько-нибудь сложного выражения, в особенности, если в него входят суммы (логарифмирование суммы).

2. Неуменье потенцировать. При прохождении интегрирования рациональных алгебраических дробей многие учащиеся, получив, к примеру, выражение

затрудняются собрать его в выражение

3. При интегрировании диференциальных уравнений нередко делается такая ошибка: получив выражение 1пх= — lny, учащийся пишет на основании его

4. При преподавании дисциплины „сопротивление материалов“ в технических учебных заведениях приходится иногда пользоваться таблицами недесятичных логарифмов, именно—натуральных. Студенты плохо подготовлены к тому, чтобы быстро научиться пользоваться этими таблицами.

5. Учащиеся неясно представляют себе зависимость между числом и его логарифмом. Например, не все знают, как изменится логарифм, если число, скажем, утроить и т. д.

6. Наконец, следует отметить как массовое явление незнание учащимися теории десятичных логарифмов. Обыкновенно правила пользования таблицами логарифмов все достаточно хорошо знают, но вывод этих правил во многих школах вообще не прорабатывается. Учащиеся не могут объяснить, почему мантисса обладает известными свойствами, почему для определения характеристики мы берем то, а не иное количество единиц, почему вообще понадобилось расщепление числового выражения десятичного логарифма на две самостоятельные части и т. д.

Причины недостаточного знания студентами высших учебных заведений логарифмов заключаются в том, что средняя школа до последнего времени не уделяла внимания вопросу о природе логарифмической функции, и вообще теория логарифмов углубленно не прорабатывалась. Здесь мы имеем совершенно такое же явление, как и в отношении иррациональных чисел: преподаватель учит операциям над радикалами, но мало или вовсе не останавливается на природе иррационального числа. Между тем, логарифмическая функция играет весьма важную роль в высшей математике и ее многочисленных приложениях. Отсюда вытекает весьма насущная необходимость для школы очень обстоятельно провести проработку учения о логарифмах.

У многих преподавателей математики средней школы существует совершенно неправильное представление о том, что логарифмы нужны исключительно для производства слож-

ных вычислений. Это совершенно неверно. Логарифмы нужны не только для вычислений.

Прежде всего, следует заметить, что логарифмирование есть седьмое алгебраическое действие. Как известно, мы имеем в алгебре три прямых действия — сложение, умножение и возведение в степень — и четыре обратных — вычитание, деление, извлечение корня и логарифмирование. Действие возведения в степень имеет два обратных действия. Если написать равенство:

аь = с,

то за искомое можно взять либо основание либо показатель степени. В первом случае мы имеем извлечение корня. Во втором случае

ах = с

и

x = iogac

мы имеем логарифмирование. Причина, по которой возведение в степень имеет два обратных действия, заключается в том, что оно, в отличие от сложения и умножения, не обладает переместительным свойством (коммутативный закон). Одна из главных задач обучения алгебре в средней школе заключается в том, чтобы учащийся понял и усвоил весь процесс расширения понятия о числе, начиная с целого и кончая комплексным числом. Этот процесс расширения понятия о числе рассматривается в школе в связи с принципом обратных действий, и потому здесь нельзя пройти мимо логарифмирования как седьмого алгебраического действия.

Еще большее значение имеет логарифм как функция. Показательная и обратная ей логарифмическая функция имеют громадное применение в высшей математике и ее многочисленных приложениях к естествознанию и технике. Целый ряд явлений и процессов в природе совершается по законам, которые математически выражаются показательной и логарифмической функцией.

Можно привести в этом отношении огромное количество соответствующих примеров из естествознания и техники (например: явление теплопроводности, все явления, протекающие по закону, когда скорость изменения явления пропорциональна разности текущего числа, характеризующего явление, и конечного данного и т. д.). Без знания свойств логарифмической функции трудно обойтись в технических учебных заведениях и вообще там, где основой обучения являются естественные науки.

Помимо, однако, всего оказанного, надо заметить, что и все преподавание алгебры со времени реформы Клейна строится на базе функциональной зависимости величин. В этом смысле учащиеся знакомятся сперва с элементарными свойствами алгебраической функции — линейной и квадратной. Все действия с показателями объединяются в одну главу и рассматриваются в связи с показательной функцией. Затем следует логарифмическая функция как обратная показательной функции и т. д.

Однако, следует иметь в виду, что такой характер преподавание логарифмов в средней школе приняло только за последние 20— 30 лет. До этого основные свойства логарифмов рассматривались, главным образом, в связи с сопоставлением арифметической и геометрической прогрессий, т. е. преподавание логарифмов отражало исторический путь их возникновения. Мы не считаем своей задачей дать в настоящей статье обстоятельный исторический обзор развития учения о логарифмах — об этом имеется достаточно обширная литература*, — но, тем не менее, на некоторых вопросах истории надо остановиться, поскольку это так или иначе отражается и на преподавании рассматриваемой главы алгебры.

Как известно, логарифмы были открыты в начале XVII в. одновременно двумя лицами—шотландцем Джоном Непером (1550 — 1617 гг.) и немцем Иобстом Бюрги (1552— 1632 гг.). Само открытие логарифмов двумя лицами в одно и то же время и независимо друг от друга свидетельствует о том, что необходимость такого открытия в эту эпоху назрела. И действительно, надо вспомнить, что в самом конце XV в. Христофор Колумб смело пустился на небольших суденышках в открытое море с целью достигнуть противоположного берега океана, как он думал, — берегов Азии. В начале XVI в. Магеллан совершил первое кругосветное путешествие. В течение всего XVI в. было снаряжено громадное количество всяких экспедиций для исследования и освоения вновь открытого

* Успенский — „Очерк истории логарифмов“.

Кэджори — „История элементарной математики“.

Цейтен — „История математики“.

Клейн — „Элементарная математика с точки зрения высшей“.

материка Америки. Могущественные западноевропейские государства соревновались друг с другом в открытии новых земель и стран с целью использования их природных богатств и беспощадной эксплоатации населения. Такие большие экспедиции по безбрежным просторам океанов, а не вдоль берегов, требовали достаточно высокого уровня знаний по астрономии, а это, в свою очередь, требовало соответствующего развития тригонометрии и умения пользоваться точными таблицами тригонометрии. Уже в XV в. немецкий математик Региомонтан (Иоганн Мюллер, 1436—1476 гг.)— тот самый, который обратил внимание Колумба на шарообразную форму земли и тем побудил его предпринять путешествие к берегам Азии в направлении на запад, — составил таблицы тригонометрических величин с семью знаками. В XVI в. Ретикусом были составлены таблицы тригонометрических функций с десятью знаками через каждые 10 секунд. Вполне понятно, что во многих случаях пользование такими таблицами фактически становилось невозможным вследствие того, что приходилось производить действия с числами, имеющими большое количество цифр. Таким образом, фактическое состояние вычислительной техники в рассматриваемую эпоху становилось в противоречие с теми требованиями, которые предъявлялись к математике со стороны прикладных дисциплин. В результате последовало открытие логарифмов, и первые таблицы, которые появились в свет, были таблицы логарифмов не чисел, а тригонометрических величин.

Рассматривая уровень развития математики к началу XVII в., приходится прямо удивляться гениальности и трудоспособности тех людей, которые не только сумели открыть удивительные свойства логарифмов, но и вычислить с громадной точностью соответствующие таблицы. Здесь надо учесть, прежде всего, что десятичные дроби в это время, в сущности говоря, не были известны. Правда, идея о них носилась, так сказать, в воздухе, но еще не была оформлена. Присущего нам понятия о тригонометрических функциях не было. Рассматривались лишь тригонометрические линии в круге, радиус которого выражался достаточно высокой степенью десяти. Непер, например, брал круг радиуса 107, т. е. десять миллионов. Таким образом, у него „полный синус“, т. е. sin 90°, был равен 10 000 000, sin 45° был равен целому числу 7 071 067, sin 30° был равен 5000 000 и т. п. Соответственно Ретикус рассматривал синус в круге радиуса 1010 и т.д.

Затем надо иметь в виду, что в это время не существовало понятия о степени, а тем более и о показателе степени. Следовательно, не могло быть и речи об основании логарифма. Тем не менее, логарифмы были открыты.

К открытию логарифмов привело сопоставление арифметической и геометрической прогрессии, уже известное Архимеду и глубоко продуманное немецким математиком Стифелем (Stifel, 1486—1567 гг.). Сущность этого сопоставления мы рассмотрим на примере, который с большой пользой прорабатывается сейчас в школе перед началом обучения логарифмам (см. алгебру Лебединцева). Напишем ряд степеней числа 2:

Если, к примеру, нам нужно помножить 256 на 2048, то, согласно этой таблице, множители можно заменить степенями (28 и 211) и действие умножения заменить действием сложения показателей степени — получим 219, или, по таблице, 524 288. Это и есть искомое произведение. Совершенно аналогично действие деления любых двух чисел, входящих в эту таблицу, заменится вычитанием соответствующих показателей степени; возведение в степень числа, входящего в эту таблицу, заменится умножением; извлечение корня — делением. Мы имеем здесь две прогрессии — арифметическую:

0, 1, 2, 3, 4, ,5, 6, 7, 8...

и геометрическую:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,

сопоставленные друг с другом. Умножению двух членов второй прогрессии отвечает сложение соответствующих двух членов первой прогрессии, делению отвечает вычитание и т. д.

Однако, возможность пользования подобного рода двумя прогрессиями в целях облегчения вычисления весьма ограничена. Дело в том, что такая -геометрическая прогрессия

* Таблица степеней чисел 2 и 3 дана в „Таблицах логарифмов“ Пржевальского (табл. XVIII).

охватывает весьма небольшой круг чисел, а только над членами геометрической прогрессии можно производить указанные выше операции.

Кроме того, интервалы между двумя соседними членами геометрической прогрессии безгранично растут, если прогрессия возрастающая. Эти соображения заставили изобретателей таблиц логарифмов брать геометрические прогрессии со знаменателем, достаточно близким к единице. Тогда круг чисел, охватываемый соответствующей геометрической прогрессией был велик, интервалы между двумя соседними членами прогрессии были достаточно малы, так что если какое-нибудь число попадало внутрь подобного интервала, то без большой погрешности это число можно было заменить членами прогрессии, определяющими этот интервал.

Мы уже сказали выше, что логарифмы были открыты одновременно двумя лицами — Джоном Непером и Иобстом Бюрги. Приоритет, однако, отдается Неперу, так как его таблицы появились в свет раньше — в 1614 г., и это были действительно таблицы логарифмов, в то время как таблицы Бюрги появились в 1620 г., т. е. после смерти Непера, и были таблицами антилогарифмов. Кроме того, Непер оставил нам глубокое исследование по теории логарифмов, а Бюрги лишь реализовал идеи Стифеля, о которых речь была выше.

Мы остановимся сперва на том, как составлялись таблицы Бюрги. Бюрги сопоставил две прогрессии: арифметическую

0, 10, 20, 30...

и геометрическую

При этом каждый член арифметической прогрессии назывался логарифмом числа, представляющего собой соответствующий член геометрической прогрессии, так что, например, 20 было логарифмом числа

Выбор указанной геометрической прогрессии определялся следующими соображениями: ее знаменатель

?=1,0001

мало отличается от единицы. Благодаря этому прогрессия медленно возрастает и охватывает тем самым большое количество чисел. Кроме того, вычисление членов этой прогрессии сводится к простому сложению. В самом деле, для получения второго члена прогрессии надо к числу 100 000 000 прибавить его десятитысячную часть, т. е. 10 000. Получим 100 010 000. Для получения третьего члена прогрессии надо к второму члену прибавить его десятитысячную часть, т. е. 10 001. Получится 100 020 001 и т. д. Таким образом, в таблицах Бюрги числа 0, 10, 20, т. е. члены арифметической прогрессии, представляют из себя аргумент, а числа геометрической прогрессии — функцию. Это — таблицы антилогарифмов.

Непер подходит к понятию логарифма из соображений графического и кинематического характера. Вообразим себе две прямые линии.

Черт. 1.

На первой прямой, влево от точки В, отложен отрезок AB, выражающий в определенном масштабе величину полного синуса, т. е. равный по длине 107. По этим прямым в направлениях, указанных стрелкой, движутся точки. Обе они одновременно проходят через положение Л и С, имея в этот момент одинаковую скорость. В дальнейшем движение точки по второй прямой совершается равномерно. На первой же прямой точка движется замедленно, со скоростью, пропорциональной оставшейся части прямой до точки В. Если M и Afj — положения движущейся точки на первой прямой, то скорости точки в этих положениях пропорциональны длинам отрезков ВМ и ВМЛ. Пусть N есть положение точки, движущейся на второй прямой, когда точка на первой прямой находится в положении М. Тогда, если положить МВ—х и CN=y, то, по Неперу,

у — \пх,

где In — знак логарифма.

Мы не имеем возможности в настоящей статье подробно разъяснить, что заставило Непера притти к такому определению логарифма, а также изложить все те теоретические выводы о свойствах логарифмов, которые сделал отсюда Непер. Интересующихся отсылаем к указанной выше исторической литературе. Отметим только, что графическое и кинематическое определение логарифма дало возможность Неперу говорить о логарифме непрерывно изменяющейся величины, т. е.,

короче говоря, о логарифме любого числа, в то время как при простом сопоставлении арифметической и геометрической прогрессии можно говорить лишь о логарифмах таких чисел, которые сами являются членами этой геометрической прогрессии. Затем Непер вывел на основании своего определения логарифма различные его свойства, в том числе доказал, что если числа образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют арифметическую прогрессию.

К числу особенностей логарифмов Непера принадлежит то, что логарифм полного синуса равен нулю (см. черт. 1) и что с уменьшением числа его логарифм возрастает. Это было связано, как уже отмечалось выше, с тем, что Непер составил таблицы логарифмов тригонометрических величин.

Для вычисления таблиц логарифмов Непер сперва составляет вспомогательные таблицы антилогарифмов, как это делает и Бюрги. Он берет геометрическую прогрессию

Здесь

Это — медленно убывающая геометрическая прогрессия. Ее члены вычисляются путем простого вычитания, так как для получения последующего члена надо от предыдущего члена отнять его десятимиллионную часть. Составив таким образом таблицы антилогарифмов, Непер уже на основании их определяет логарифмы синусов и косинусов углов, а также дает разности логарифмов синусов и косинусов одного и того же угла, т. е. и таблицы логарифмов тангенсов углов.

Как известно, в человеческой практике употребляются две системы логарифмов — десятичные логарифмы, взятые по основанию 10, и так называемые натуральные логарифмы, взятые по основанию е, представляющему собой предел выражения

когда п стремится к бесконечности. Вполне естественно возникает вопрос, почему последняя система логарифмов называется натуральной, а также, какое число лежало в основании логарифмов Бюрги и Непера. Как уже указывалось выше, в эту эпоху не могло быть и речи об основании логарифмов, но с современной точки зрения такое основание, конечно, есть.

В таблицах Бюрги сопоставляются две прогрессии:

0, 10, 20, ... Юп ...

Пусть

10/z = jc,

Тогда X есть логарифм А. Напишем:

Введем обозначение

(1)

Тогда

Отсюда

или

Таким образом, в современном понимании X есть логарифм не числа Л, а числа

Основание же этой системы логарифмов есть число у из выражения (1).

Если вспомнить, что известное число е есть предел такого переменного числа:

то у мало отличается от е. И действительно,

j/ = 2,71824, ... в то время как

е = 2,71828 ...

Вообразим себе, однако, теперь, что для составления таблицы логарифмов системы Бюрги мы будем брать геометрическую прогрессию, знаменатель которой q еще ближе к единице:

где 1>4. Такая прогрессия, как было уже отмечено выше, дает таблицу логарифмов, более выгодную для вычислений (прогрессия медленнее сходится). Основание логарифмов в подобной таблице, как легко показать, будет

Чем больше 1, тем ближе у к е, так как

Отсюда можно сделать следующие заключения.

Число е есть предел, к которому стремится основание такой системы логарифмов, построенной на сопоставлении двух прогрессий — арифметической и геометрической, — у которой геометрическая прогрессия имеет знаменатель, стремящийся к единице. Таким образом, число е представляется нам как основание, так сказать, естественной, натуральной системы логарифмов, построенной на принципе сопоставления прогрессий. Всякое другое основание имеет случайный характер. Мы пользуемся десятичными логарифмами только потому, что наша система счета — десятичная, и это обстоятельство упрощает технику пользования таблицами. Но можно было бы пользоваться таблицами логарифмов при другом основании, так как основание в самом вычислении не принимает участия. Впрочем, к системе натуральных логарифмов приводит и ряд соображений из высшей математики.

Совершенно таким же путем, как и в логарифмах Бюрги, мы можем найти и основание логарифмов Непера. Здесь только следует помнить, что

т. е. мы имеем убывающую геометрическую прогрессию, и что

Мы найдем, что основанием логарифмов Непера является число

Следует признать, таким образом, исторически не совсем правильным, что число е иногда называется неперовым числом, а натуральные логарифмы—неперовыми логарифмами.

Из всего вышесказанного мы видим, что понятие о логарифмах исторически появилось и развилось на основании принципов и соображений, совершенно отличных от тех, которые имеют сейчас место в процессе школьного преподавания. Впрочем, до самого последнего времени следы этого исторического влияния были заметны в преподавании алгебры. Если взять последнее издание (1922 г.) такого распространенного в русской дореволюционной школе учебника алгебры, как курс элементарной алгебры Давыдова, то там это влияние весьма заметно. Прежде всего изложение главы о прогрессиях подчиняется здесь требованиям, вытекающим из дальнейшего преподавания теории логарифмов, а именно: среди вопросов, разбираемых в связи с геометрической прогрессией, включена такая задача: „Между двумя числами а и Ъ вставить m средних геометрических“. Само определение логарифма дается в учебнике Давыдова обычное, т. е. как показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить данное число. Но сейчас же доказывается теорема: „Когда логарифмы чисел составляют арифметическую прогрессию, то соответствующие им числа — геометрическую“. Затем доказывается основная теорема теории логарифмов, что всякое положительное число имеет логарифм. Доказательство этой теоремы основано на прогрессиях. Пусть Р положительное число и а основание логарифмов. Если составить бесконечную прогрессию

...а“3, а~2> а-\ 1, а, а*, а»...,

то всегда найдутся такие два смежных числа этой прогрессии, ап и an+1, что

ал<Р<ал+1.

Между двумя числами ап и аа+г можно вставить m средних геометрических, т. е. можно создать такую новую прогрессию, что ее первый член будет ал, последний ал+1 и число членов т-\-2.

Тогда всегда найдутся два таких соседних члена этой новой прогрессии ахз и ах;+*, что

Теперь между двумя числами ахз и axJ+t можно опять вставить тл средних геометрических и т. д., пока не придем к таким соседним двум членам прогрессии а?) и o>V+t, разность которых будет меньше сколько угодно малого заданного числа е и между которыми будет заключаться число Р. В этом случае

Р — a^<s.

Таким образом, у, и у;.+1 можно считать логарифмом числа Р по основанию а с до-

статочно большой точностью, и эта точность может быть сделана сколько угодно большой.

В изложении учения о логарифмах в современной школе прогрессии участия никакого не принимают.

Кроме указанных двух приемов изложения учения о логарифмах, существуют еще и другие принципы. Например, совершенно не зная логарифмов и их свойств, можно определить логарифм как интеграл

и получить отсюда все свойства логарифмов. К этому понятию о логарифме приходили в XVII в. при определении площади, ограниченной равнобокой гиперболой ху = а, осью абсцисс и ординатой х = 1 (Торичелли и др.).

Прежде чем перейти к рассмотрению методов преподавания учения о логарифмах, необходимо еще остановиться на некоторых общих свойствах логарифмов. В школе мы учим детей, что не всякое число имеет логарифм. „Отрицательное число при положительном основании не имеет логарифма“, — говорим мы. Затем положительное число при положительном основании имеет только один логарифм. Однако, это не совсем так. Все это справедливо, если мы остаемся в области вещественных чисел. В области комплексных чисел логарифмы обладают другими свойствами, и каждый учитель должен знать это.

Эйлером была открыта следующая формула

£xi _ cos х _|_ I Sjn х^

носящая название этого великого математика. Здесь i=Y—1« Если в эту формулу вместо X подставить х -f- 2/гтг, где п целое число, то получим ^/+2ля/==^

т. е. показательная функция е** — периодическая с периодом 2ш.

При основании а показательной функции будем иметь следующее:

а = е1па,

где In — знак натурального логарифма. Отсюда

а*1= ехШа=cos (х In а) -f- i sin (л; In а). (2)

Таким образом, можно написать

(3)

Пусть Тогда

Равенство это справедливо при любом целом л. Следовательно, логарифм, подобно обратным круговым функциям, есть функция многозначная.

Пусть х = 0. Тогда на основании равенства (2) и (3)

Это равенство справедливо при любом целом значении п. Взяв здесь л = 0, получим хорошо известное свойство логарифма: логагарифм единицы при всяком основании равен нулю.

Если в равенстве (2) положить

получим

Или, учитывая выражение (3), можем написать

Отсюда

При л = 0 будем иметь

т. е. число — 1 при основании а тоже имеет логарифм, только этот логарифм—мнимое число.

Мы рассматривали до сих пор показательную функцию с мнимым показателем степени. Но легко перейти к вещественному показателю.

Достаточно положить

х= — а*,

где а — вещественное число. Тогда будем иметь на основании равенства (3)

т. е. период рассматриваемой функции и в этом случае будет тот же. Все остальные соображения также сохраняют силу.

Периодом показательной функции а*1 будет число

Найдем, например, десятичный логарифм 2. Здесь а = 10. Можно написать

В данном случае

Итак

Отсюда

где п любое целое число. При этом .—— есть так называемый модуль десятичной системы логарифмов.

Итак, мы можем сделать следующие выводы.

В области комплексных чисел показательная функция есть периодическая функция. В этой области всякое число имеет логарифм, даже положительное число при отрицательном основании. Только логарифм такого числа будет мнимым. Наконец, в этой области логарифм числа, подобно арксинусу, имеет бесконечное количество значений.

II

Преподаванию логарифмов в современной школе предшествует специальная глава, посвященная действиям над показателем степени и рассмотрению свойств показательной функции. Эту главу надо рассматривать как вводную к изучению логарифмов, хотя она несомненно имеет и свое большое самостоятельное значение. Глава эта, собственно говоря, появилась лишь в послереволюционных учебниках алгебры, построенных на идее функциональной зависимости величин. В дореволюционных учебниках ее не было. Там даже вопрос о действиях с показателями рассматривался в разные периоды обучения: отрицательные показатели и нулевой изучались значительно раньше, чем дробные показатели, вслед за действиями с целыми положительными показателями степени. С дробными показателями учащиеся знакомились лишь после действий с радикалами (см. задачники Шапошникова и Вальцева, 1 и 2-я части).

В настоящее время мы объединяем все вопросы, связанные с действиями над показателями, в одну главу, выносим их на более поздний период обучения (IX класс) и связываем с учением о показательной функции. Мы рассматриваем здесь выражение

при X целом и дробном, положительном и отрицательном и даем понятие о смысле этого выражения при х иррациональном. Таким образом, когда х меняется непрерывно, то у также меняется, давая нам образ определенной функции.

Изучение логарифмов и их свойств в значительной степени основано на свойствах показательной функции. Отсюда вытекает для учителя необходимость тщательной проработки всех вопросов, связанных с учением о показателе степени. Учащиеся должны отчетливо представлять себе смысл показателя степени при различных его числовых выражениях, совершенно свободно оперировать со степенями и, что особенно важно, быстро вскрывать числовой смысл таких выражений, как 81 4 , 32 5 и т. п., пользуясь в простейших случаях лишь устным счетом. Все свойства показательной функции, конечно, те из них, кототорые нужны будут для дальнейшего изучения свойств логарифмической функции, должны быть хорошо усвоены учащимися. Дети должны отчетливо представлять себе свойства показательной функции при положительном основании (а>0), характер этой функции при основании, большем единицы и меньшем единицы и а<1), и при X, большем и меньшем нуля. Изучение свойств показательной функции и характера ее изменения должно сопровождаться построением графиков, причем в заключение на одном и том же чертеже (т. е. с отнесением к одной и той же системе координат) необходимо построить графики функций:

выделяя каждую кривую отдельным цветом. Учащиеся должны обратить внимание на то, что все кривые пересекают ось OY в одной и той же точке, для которой у = 1; что все кривые расположены только по одну сторону оси OY (гдез;>0), т. е. что кривые не имеют точек с отрицательными координатами, и что кривые безгранично приближаются к оси ОЛГ, когда х стремится к бесконечности, взятой с соответствующим знаком. Уместно также сопоставить кривые, уравнения которых имеют основания, обратные друг другу

Вместе с учением о показателе степени в этой же главе необходимо рассмотреть и решение элементарных показательных уравнений. При этом важно подчеркнуть основной принцип решения их, а именно: „Если степени равны и основания равны, то и показатели степени равны“. Надо признать совершенно недопустимой такую постановку дела, когда учащийся, решая, например, уравнение

23* = 24,

говорит: „Сократим правую и левую часть этого уравнения на 2“ и тут же зачеркивает по 2. Ученики должны хорошо понимать, что в математике сокращение связано, главным образом, с делением, а также и вычитанием, и что только в этих случаях разрешается перечеркивать соответствующие выражения. В данном же случае никакой речи о делении быть не может, а имеет место лишь указанный выше принцип. Поэтому вслед за равенством (4) просто нужно писать

Злг —4.

Хотя глава о логарифмах по объему и не занимает так уже много места в общем курсе элементарной алгебры, но тем не менее методика ее преподавания требует весьма обстоятельного изложения. Во всяком случае здесь следовало бы сказать гораздо больше, чем это позволяют размеры журнальной статьи. Поэтому мы вынуждены пока ограничить себя рассмотрением, главным образом, лишь того круга вопросов, которые связаны с теоретической стороной учения о логарифмах. Эта сторона, как было уже сказано вначале, представляет из себя весьма слабый участок работы нашей школы.

Всю главу, посвященную учению о логарифмах, можно разбить на три основные части: в первой части дается определение логарифма и рассматриваются основные его свойства. Во второй части выводятся правила логарифмирования и усваивается операция логарифмирования и потенцирования. Наконец, в третьей части рассматриваются свойства десятичных логарифмов и приобретаются навыки в пользовании таблицами логарифмов. Части эти одинаково важны в смысле их значения, но требуют разного количества времени для проработки.

Изложение учения о логарифмах в классе чрезвычайно полезно начинать с рассмотрения таблицы целых степеней числа 2, которую мы привели выше, начиная исторический очерк, посвященный открытию логарифмов (к сожалению, стабильный учебник алгебры Киселева не делает этого). Учитель выписывает эту таблицу на доске, а еще лучше, если она будет заранее приготовлена на большом листе бумаги. Затем последовательно внимание учеников обращается на то, что умножение двух любых чисел, входящих в эту таблицу, может быть заменено сложением их показателей степени; деление может быть заменено вычитанием показателей степени, возведение в степень — перемножением показателей степени и извлечение корня — делением показателя степени и корня. Обыкновенно демонстрирование этой таблицы производит весьма сильное впечатление на учащихся и в значительной степени способствует тому, что они быстро осмысливают значение логарифма. Учитель должен подчеркнуть, что то упрощение в вычислениях, которое достигается применением этой таблицы, может иметь место лишь для чисел, входящих в эту таблицу. Если бы удалось составить такую таблицу степеней, которая охватила бы, вообще говоря, все числа, т. е. если бы всякое число можно было рассматривать как степень с одним и тем же основанием, то действие умножения всегда можно было бы заменить сложением, деление — вычитанием и т. д. Учение о логарифмах как раз и имеет целью создание подобных таблиц.

Вслед за рассмотрением таблицы степеней числа 2 дается определение логарифма. Логарифм есть тот показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить данное число. Таким образом, равенство

X = loga N (4)

равносильно равенству

N=ax.

По вопросу об обозначениях логарифма в математической литературе нет общепринятых установок. Встречаются такие символы logfl, lgö, La. В германской школе знак основания ставится вверху: LaN. Для обозначения десятичного логарифма знак основания не ставится. Для обозначения натурального логарифма, играющего исключительно важную роль в высшей математике, употребляются символы lg nat, In, L. Согласно общесоюзному стандарту (ОСТ), обязательному в пределах нашего государства, надлежит пользоваться только такими символами: loga — для логарифма по основанию а, lg — для десятичного логарифма и символом In для натурального логарифма.

После установления понятия о логарифме надо проделать достаточно большое количество упражнений, которые позволили бы уча-

щимся освоиться с новым понятием. Мы имеем в виду задачи, связанные с определением логарифма числа по данному основанию, например: определить логарифм 16 по основанию 2.

Условие такой задачи записывается в форме

x=\og2 16,

а затем переписывается в равносильной форме 2*= 16

и сводится, таким образом, к решению показательного уравнения. Сперва естественно брать такие задачи, которые приводили бы к целому положительному логарифму, затем к целому отрицательному логарифму, например log2 и, наконец, к дробному логарифму — положительному и отрицательному.

Вслед за рассмотренным только что типом задач надо научить учащегося решать вообще все типы задач, связанные с равенством (4). Так как в это равенство входят три величины: х, а и N, то соответственно тому, что именно неизвестно, имеют место три типа задач. Первый тип, когда неизвестен логарифм, мы только что рассмотрели. Второй тип, когда по данному основанию и данному логарифму ищется число, например: найти число, которое по основанию 3 имеет логарифм 4. Условие этой задачи записывается в форме

4 = log3 N

Третий тип задач, рассматриваемый последним, связан с разысканием основания, если известны число и его логарифм, например: при каком основании число 81 имеет логарифм у? Условие задачи записывается в виде формулы

y=log,81,

которая заменяется равносильным уравнением

Таким образом,

Решение задач всех этих трех типов при самых различных числовых данных имеет для учащихся весьма большое значение, так как на них учащийся усваивает понятие о логарифмах. Их нужно решить как можно больше, не жалея на это затраты времени, пока у учителя не будет уверенности в том, что все учащиеся решают их совершенно свободно.

Более простые из них должны выполняться учащимися в порядке устного счета. В стабильном задачнике Шапошникова и Вальцева, ч. 2-я, глава XVI, вначале приведены 34 двойные задачи подобного рода. Они все до одной должны быть решены учащимися как в порядке классной, так и домашней проработки.

Параллельно с решением этих задач и в связи с ними должны итти проработка и усвоение основных свойств логарифма.

Надо заметить, что достаточно строгое изложение теории логарифмов в средней школе невозможно. Для этого требуется знание высшей математики (см., например, свойства логарифмов в области комплексного переменного, рассмотренные выше). Даже если взять то доказательство о существовании логарифма, которое дано в алгебре Давыдова и которое мы привели выше, то и оно так или иначе связано с теорией пределов и трудно для учащихся IX класса. Поэтому в практике преподавания логарифмов иногда имеет место стремление дать лишь схематическое изложение необходимых теоретических вопросов и поскорее перейти к вычислениям посредством таблиц. В некоторых иностранных государствах к более глубокому изучению свойств логарифмов еще раз возвращаются в одном из старших классов. В советской школе логарифмы прорабатываются всего лишь один раз в IX классе. При этом мы не ставим себе задачи дать учащимся во что бы то ни стало строгое их изложение. Но в то же время мы не можем согласиться на то, чтобы преподавание логарифмов свелось лишь к механическому приобретению навыков в пользовании таблицами. Поэтому там, где это можно, мы даем учащимся выводы и доказательства. В других случаях мы прибегаем к интуитивным представлениям, а иногда даже рассматриваем определенные факты на частных примерах. В результате всего этого учащиеся должны получить совершенно сознательное представление о характере логарифмической функции, ходе ее изменения, основных свойствах и пр.

Изучение основных свойств логарифма должно происходить одновременно тремя путями: 1) рассматривается соответствующее свойство показательной функции, 2) демонстрируются графики и 3) решаются соответствующие примеры. Например, мы прорабатываем свойство логарифма, что отрицательное число при положительном основании не имеет логарифма. Мы пишем равенство

и равносильное ему

ах = — N.

Затем рассматриваем соответствующее свойство показательной функции: в какую бы степень ни возвести положительное основание, всегда будет положительное число. После этого демонстрируем вычерченные прежде графики показательных функций, причем обращаем внимание учащихся на то, что все кривые расположены по одну сторону оси ОХ в положительном направлении оси OY. Помимо всего этого решаются задачи, имеющие целью показать, что отрицательные числа при отрицательном основании могут иметь логарифмы.

Предположим, что мы хотим показать, что при основании, большем единицы, большему числу отвечает больший логарифм. Мы рассматриваем соответствующие значения показательной функции Ыл = ахл и N2 = ах2 и ссылаемся на соответствующие ее свойства. Затем рассматриваем график функции у=2х или у = 3* при различных значениях аргумента и, наконец, решаем задачи, связанные с нахождением логарифмов разных чисел при одинаковом основании. Таким же самым образом рассматриваются вообще все основные свойства логарифмов.

В заключение строятся графики логарифмической функции при различных основаниях, в частности — при тех же основаниях, при которых прежде строились графики показательной функции, т. е. при основании 2, 3 и У

Для этой цели пишется выражение функции

y=\og2x (5)

и составляется таблица ее значений при л:, равном

Кроме того, берутся еще такие промежуточные значения аргумента, при которых логарифм легко определяется, как, например:

и т. д.

Результаты записываются в форме обычной таблицы и наносятся в виде соответствующих точек на плоскость. Соединив точки плавной кривой, получаем искомый объект. Очень полезно полученный график сопоставить с прежде построенным графиком функции

Равенство (5) можно переписать в виде х = 2У.

Таким образом, уравнения логарифмической и показательной функции при одном и том же основании отличаются друг от друга тем, что буквы х и у поменяли здесь свои места. Отсюда на графиках мы имеем фактически одни и те же кривые, но только различно расположенные относительно осей координат.

После построения графика необходимо обратить внимание учащихся на участок кривой для значений х, меньших единицы и приближающихся к нулю. Если X имеет значения и вообще то, соответственно, \og2x имеет значения —4, —5, —6, —7... и вообще —п. Если п очень велико, то — очень мало, и чем больше /г, тем ближе 2п к нулю . Таким образом, логарифмы чисел, весьма близких к нулю, при основании, большем единицы, будут отрицательными числами, но весьма большими по абсолютному значению. Мы говорим тогда, что если число стремится к нулю, то его логарифм стремится к —оо. Все эти соображения сопровождаются иллюстрацией соответствующих участков графиков логарифмических функций при основании 2 и 3, а затем и при основании .

При рассмотрении свойств логарифма в практике нашей школы совершенно не рассматривается вопрос о том, что логарифмы чисел вообще есть числа, несоизмеримые с единицей. Это весьма большое упущение, тем более, что одновременно с этим мы имеем возможность показать учащимся, пусть самым примитивным и грубым образом, как можно приближенно вычислить логарифм.

Учитель напоминает учащимся, что корни из чисел лишь в отдельных случаях извлекаются точно, а вообще это иррациональные числа, которые выражаются в виде бесконечных десятичных дробей. Точно так же и логарифмы чисел, вообще говоря, есть числа, несоизмеримые с единицей. Вначале необходимо на конкретных примерах показать, когда именно логарифмы чисел выражаются рациональными числами (например, логарифм числа з — г — 8 при основании 2, логарифм J/100 при основании 10 и т. п.). Затем на конкретных же примерах показывают, что в остальных случаях логарифмы чисел не выражаются ни целыми числами, ни дробными. Например, берется log25. Что это не есть целое число,

это ясно. Что это не дробь, это видно из следующего. Пусть

Отсюда

и

Но это невозможное равенство, так как левая часть состоит только из произведения двоек, а правая — только из произведения пятерок. Тут же в качестве упражнения учащиеся доказывают несоизмеримость с единицей десятичных логарифмов чисел 2, 5 и др.

Раз мы установили, что логарифмы чисел, вообще говоря, несоизмеримые с единицей числа, то естественно показать учащемуся, как можно приближенно найти эти числа. В связи с этим сперва решаются такие задачи: „Между какими двумя целыми числами заключается log320“; другими словами, требуется вычислить этот логарифм с точностью до единицы. Мы составляем неравенство

Отсюда х = 2.

Таким образом, log320 заключается между 2 и 3.

Решив две-три подобных задачи, учитель меняет их формулировку, а именно: дает такую — найти целую часть логарифма числа по данному основанию.“ (В рассмотренном примере должна быть такая формулировка: „Найти целую часть логарифма 20 по основанию 3й.) Решением таких задач мы подготовляем учащихся к понятию о характеристике.

Затем учащимся предлагаются более сложные задачи, а именно: требуется разыскать логарифмы с заданной точностью. Например:

вычислить log25 с точностью до ~. Мы вспоминаем с учащимися, что значит вычислить выражение с точностью до —, и пишем неравенство

Обозначив

будем иметь Отсюда

и

X =4. Таким образом,

Совершенно аналогичным способом мы вычисляем логарифм 5 по основанию 2 с точностью до -g-, , -g-, -g- и у пользуясь при этом таблицей степеней числа 2, имеющейся в таблицах логарифмов Пржевальского. На дом полезно дать задачи на вычисление логарифма 5 по основанию 3 с точностью до , у , J > “g“ » так как в таблицах Пржевальского есть также и таблица степеней числа 3. В заключение необходимо вычислить десятичный логарифм двух и трех с точностью до 0,1.

Наконец, полезно дать учащимся такие задачи: между какими отрицательными целыми числами заключаются логарифмы чисел 0,03; 0,0072 и т. д. при основании 10.

Нужно заметить, что на практике логарифмы чисел никогда так не вычисляются. Для этого существуют специальные методы высшей математики, которые быстро и с большой точностью дают требуемые результаты. Но тем не менее решение указанных выше задач, связанных с приближенным вычислением логарифмов, мы считаем крайне необходимым. Дело в том, что когда учащийся видит, например, в таблицах логарифмов, что против числа 2 стоит число 30 103, он не отчетливо представляет себе природу этого числа. Нам неоднократно приходилось задавать учащимся вопрос: „Какая мантисса у десяти“ и слышать ответ — „Пять нулей“. Этот ответ черезвычайно характерен в том смысле, что он с головой выдает учащегося, не отдающего себе ясного отчета о том, что такое мантисса. Учащийся должен понимать, что, если lg2 = 0,30103, то это значит, во-первых, что это приближенное выражение логарифма; что, во-вторых, если взять lg2 с точностью до 0,1, то это значит, что имеет место неравенство

Если взять с точностью до 0,01, то это значит, что имеет место неравенство

100'30<2<10°.31 и т. д.

Вторая часть главы о логарифмах имеет своей целью сообщить учащимся навыки в логарифмировании, а также еще дальше углубить их знания в отношении свойств логарифмов. Здесь доказываются сперва четыре основные теоремы о логарифмах произведения, частного, степени и корня. Доказательства их очень просты и однообразны и в методическом отношении не представляют никаких трудностей. Эти теоремы считаются основными, потому что на них построен весь процесс логарифмирования, т. е. процесс подготовки сложного выражения для вычисления путем его разложения на элементарные части. Нечего говорить о том, что учащийся должен безукоризненно логарифмировать. Между тем, наблюдения за работой школы показывают, что здесь дело также обстоит неблагополучно. С одной стороны, учащиеся не приучаются логарифмировать всякое выражение до конца. С другой стороны — они не усваивают с полной ясностью, что сумма и разность не логарифмируются. Причина этого обстоятельства заключается не только в том, что учащиеся недостаточно хорошо усвоили основные свойства логарифмов, но также и в том, что в школе мало решалось задач на логарифмирование. В этом смысле, например, задачи и упражнения на логарифмирование в стабильном задачнике Шапошникова и Вальцева (гл. XVI, № 45—74) недостаточно хорошо подобраны. Здесь, например, очень мало задач, где даны выражения с суммами и разностями, и они вообще очень просты. Следовало бы ввести, например, такие задачи: прологарифмировать выражения

Здесь нужно уметь разложить соответствующие разности на простые множители и прологарифмировать. А, ведь, необходимость логарифмирования подобных выражений встречается в высшей школе при проработке диференциального исчисления, например, когда приходится иметь дело с так называемым логарифмическим диференцированием. Не нужно, конечно, говорить и о том, что выполнение таких упражнений полезно для учащихся само по себе, так как здесь, с одной стороны, имеет место повторение прошлого материала — формул сокращенного умножения, а с другой стороны — учащиеся должны уметь остановить логарифмирование в определенном месте.

Прекрасным дополнением к логарифмированию является так называемое потенцирование — задача, обратная логарифмированию, когда развернутое выражение собирается в произведение, дробь и степень. Вначале были уже отмечены те случаи, когда употребляется потенцирование.

Решение задач на логарифмирование надо дополнить задачами устного счета такого типа:

1) Что сделается с логарифмом, если число удвоить?

2) Что сделается с логарифмом, если число уменьшить в три раза?

3) Что сделается с числом, если логарифм удвоить?

4) Что сделается с числом, если логарифм уменьшить в три раза?

Обычно на такие вопросы учащиеся не умеют отвечать, так как вообще в школе такие вопросы не ставятся. Между тем, мы не можем иметь ясные представления о свойствах характеристики и мантиссы, если не знаем хорошо зависимости между числом и логарифмом.

Третья часть главы о логарифмах, посвященная свойствам десятичных логарифмов и практике вычисления посредством логарифмических таблиц, наиболее велика по своему объему, и ей отводится в школе наибольшее внимание. Уже сам Непер сознавал, что созданные им таблицы логарифмов недостаточно удобны для вычисления. Десятичные логарифмы были введены в обращение современником Непера англичанином Генри Бриггом (Henry Briggs, 1561 — 1630 гг.) с одобрения самого Непера. В 1617 г., т. е. три года спустя после того как вышли в свет таблицы Непера, были опубликованы Бриггом таблицы логарифмов чисел от 1 до 1000 с 8 десятичными знаками, а в 1624 г. появилась бриггова „Логарифмическая арифметика“ с 14-значными логарифмами чисел до 20 000 и от 90 000 до 100 000. С тех пор таблицы десятичных логарифмов прочно вошли в практику человека.

Собственно говоря, с точки зрения вычисления безразлично, по какому основанию составлены таблицы логарифмов. Основание логарифмов никакого участия в вычислениях не принимает, что хорошо видно, например, из приведенной вначале таблицы степеней числа 2. Однако, сама техника вычисления значительно упрощается, если основание системы логарифмов совпадает с основанием

системы нумерации. В самом деле, если мы множим или делим число на 10, то к его логарифму прибавляется или отнимается логарифм 10. При десятичной системе логарифмов lg 10=1. Таким образом, дело сводится здесь к прибавлению или отниманию единицы от логарифма числа. Если же мы имеем недесятичную систему логарифмов, например натуральную, то получается следующее: такой простой операции над числом, как перенесение запятой вправо на один знак (умножение на 10) отвечает более сложная операция с логарифмом — прибавление к нему la 10, равного 2,30258..., что, конечно, достаточно неудобно.

Благодаря основному свойству мантиссы десятичных логарифмов, мы, имея всего лишь, например, таблицы для чисел от 1000 до 10 000, можем пользоваться ими и пользуемся ими для чисел однозначных, двузначных, трехзначных, пятизначных, шестизначных, а также и для чисел, меньших единицы. В другой системе логарифмов это совершенно невозможно и там для всех чисел надо давать их логарифмы.

Уже вначале мы указывали, что часто преподаватель видит все обучение логарифмам в том, чтобы научить детей обращаться с логарифмическими таблицами. При этом само обучение носит догматический характер. Учащиеся знают, как определить характеристику числа, какими свойствами обладает мантисса, но не умеют объяснить, почему это так. „Мы этого не учили в школе“, — отвечают они обыкновенно, если при приемных испытаниях в высшее учебное заведение спросить их, почему они не знают выводов правил. Вполне понятно, что такое обучение математике никуда не годится.

Основная задача учителя должна заключаться здесь в том, чтобы учащиеся в итоге проработки главы о свойствах логарифмов не только умели сознательно доказывать все относящиеся сюда теоремы, но совершенно отчетливо представляли себе, чем, например, вызвана необходимость расщепления десятичной дроби, выражающей собой логарифм, на две части, получающие специальные названия характеристики и мантиссы. Никогда раньше перед тем не приходилось так поступать с десятичными дробями. Учащийся должен хорошо понимать, чем вызвана необходимость введения специальной искусственной формы логарифма для чисел, меньших единицы и т. д.

Все свойства десятичных логарифмов основаны на двух теоремах — теореме о числе единиц характеристики и теореме о неизменяемости мантиссы при умножении или делении числа на число, выраженное единицей с нулями. Теоремы эти доказываются всегда одним и тем же способом и не представляют больших трудностей. При этом можно не настаивать на том, чтобы доказательства давались в общем виде. Например, можно ограничиться тем, что мы, доказывая теорему о характеристике, возьмем просто определенное четырехзначное число и на нем покажем, что его характеристика имеет три единицы. Важно только, чтобы учащийся хорошо понял основную мысль доказательства.

В практике обучения пользованию таблицами логарифмов принят в настоящее время нерациональный порядок расположения учебного материала, а именно: сперва рассматривается нахождение по числу его логарифма как для чисел, больших единицы, так и для чисел, меньших единицы. Затем нахождение по логарифму числа также рассматривается сразу как для положительных логарифмов, так и для отрицательных. Такого рода порядок изложения материала нельзя признать целесообразным. Дело в том, что логарифмы чисел, меньших единицы, всегда изображаются в особой искусственной форме. Уже сама эта форма необычна для учащихся; кроме того, она требует и особых правил действия с ней. Ясно, что тем самым она представляет для учащихся достаточно большую трудность. Обучение пользованию логарифмами для вычислений как новое дело также представляет свою трудность для учащихся. Таким образом, учащиеся имеют здесь одновременно две трудности, что, как известно, дидактически неверно. Поэтому мы считаем целесообразным другой порядок обучения таблицам логарифмов, а именно: сперва рассматриваются только логарифмы чисел, больших единицы — полностью ставится задача о разыскании по числу его логарифма и по логарифму его числа, включая сюда, конечно, и интерполирование. Лишь после того как учащиеся научатся достаточно хорошо вычислять выражения, множители которых больше единицы, они знакомятся с логарифмами чисел, меньших единицы, с их особой формой выражения и особыми правилами действия над ними и учатся пользоваться ими для вычисления выражений уже с любыми множителями.

Не ставя себе задачи дать сейчас изложение методики обучения вычислению при помощи логарифмических таблиц, мы считаем, однако, необходимым высказать ряд соображений относительно самих таблиц логарифмов, принятых в нашей школе, поскольку здесь есть ряд неустановившихся и даже неверных взглядов.

Есть таблицы трехзначные, четырехзначные, пятизначные, семизначные и т. д. вплоть до пятидесятидвузначных и даже с большим количеством цифр. Число десятичных знаков в логарифме определяется всегда потребной точностью вычисления. Естественно, например, что в астрономии, где приходится иметь дело с громадными числами и где требуется исключительная точность вычисления, там употребляются таблицы логарифмов с большим количеством знаков. В связи с этим возникает вопрос, сколько знаков должны иметь учебные таблицы логарифмов. В дореволюционной школе обязательными к обучению были пятизначные таблицы. В настоящее время многие считают, что пятизначные таблицы дают избыточную точность. Говорят, что в большинстве случаев вычислительной практики вполне можно удовлетвориться даже тремя десятичными знаками логарифма. Инженеры и техники, например, широко пользуются для вычислений логарифмической линейкой, которая дает точность всего лишь в два-три знака. Поэтому для школы вполне достаточны четырехзначные логарифмы. Для четырехзначных таблиц уменьшается их формат и упрощается процесс обучения пользования ими.

Следует заметить, что в этих рассуждениях мы видим влияние тех мнений, которые имели место несколько лет тому назад в нашей школе — исключить из преподавания математики все, что не имеет непосредственного прикладного значения. Между тем, надо иметь в виду следующие весьма важные положения. Когда мы учим детей пользоваться таблицами логарифмов, мы учим их обращаться с таблицами вообще. Табличное выражение функциональной зависимости имеет сейчас весьма широкое распространение. Любому инженеру, технику, естествоиспытателю постоянно приходится иметь дело с различными таблицами. Поэтому школа должна научить своих учащихся обращаться с таблицами вообще и делает это на таблицах логарифмов.

Учитывая это положение, мы считаем, что, вводя в практику школы всего лишь четырехзначные логарифмы, мы тем самым больше, чем нужно, упрощаем дело обучения таблицам.

Рассмотрим теперь различные учебные таблицы логарифмов. Таких таблиц существует много и разных авторов. Естественно, что авторство в таблицах логарифмов выражается лишь во внешнем их оформлении — в расположении числового материала, в некоторых деталях, облегчающих пользование таблицами, в разных добавочных таблицах и т. д. Для учебных таблиц вопрос об их оформлении играет весьма важную роль. В этом смысле мы имеем два типа таблиц — таблицы с линейным расположением функции и аргументов и таблицы с плоскостным их расположением. В первом случае для каждого числа дается его мантисса. Следовательно, аргумент и функция расположены здесь в одну колонку. Примером таких таблиц являются таблицы логарифмов Глазенапа. Во втором случае искомая мантисса лежит на перекрестии вертикального и горизонтального направлений. Она ищется так же, как точка, отнесенная к декартовой системе координат. Такими таблицами являются распространенные в нашей школе таблицы логарифмов Пржевальского. В основе составления таблиц второго типа лежит принцип экономичности, желание придать таблицам малый, портативный характер, желание разместить на возможно меньшей площади бумаги возможно большее количество цифровых знаков и т. д.

Но ясно, что принцип экономичности идет здесь в ущерб принципам дидактики. В самом деле: учить по таблицам Пржевальского гораздо труднее, чем по таблицам Глазенапа. В таблицах Пржевальского, чтобы найти требуемую мантиссу, глаз должен следить по двум направлениям, и то он найдет только последние три цифры мантиссы. Первые две цифры надо смотреть в другом месте. Это труднее и является источником дополнительных ошибок. Кроме того, здесь неизбежны мантиссы со звездочкой впереди, т. е. такие мантиссы, что первые две их цифры нужно смотреть вперед, а не назад. Это затрудняет преподавание и вдобавок является еще одним лишним источником ошибок.

Учебные таблицы логарифмов, естественно, должны удовлетворять особым условиям: они должны быть напечатаны четким и достаточно крупным шрифтом, с достаточно большими интервалами между строчками и числами. В них не должно быть нагромождения громадного числа знаков на небольшой площади. Операция разыскивания функции по значению аргумента должна быть по возможности простой и легкой. Таблицы должны быть снабжены всякими добавочными данными, облегчающими вычисление, например должны быть диференции (в таблицах Пржевальского этого нет) и т. д. Таких таблиц наша школа не имеет. Наоборот, надо признать, что некоторые, даже рекомендованные для школы таблицы совсем непригодны для преподавания, например таблицы Брадиса. В них мы видим большое нагромождение цифр на небольшой площади, стремление, например, втис-

нуть на одну страницу всю таблицу логарифмов даже с добавочными таблицами. Диференций нет, таблицы „partes proportionales“ не выделены, а вошли в общую сетку страницы. Интервалы между строчками почти отсутствуют. Достаточно сказать, что на одной странице (стр. 5, изд. 1931 г.) при достаточно крупном шрифте на один кв. сантиметр площади бумаги приходится в среднем 11,5 цифр, в то время как в таблицах Пржевальского их приходится на кв. сантиметр всего 4,5.

Мы считаем существенно необходимым создать новые, специально учебные, пятизначные таблицы логарифмов для советской школы. От существующих в практике таблиц надо отказаться.*

В заключение скажем несколько слов о таблицах антилогарифмов. В логарифмических таблицах Брадиса даны также и таблицы антилогарифмов. Стабильный учебник Киселева также имеет параграф, посвященный этим таблицам.

Мы считаем, что в школе таблицы антилогарифмов совершенно не нужны. Пожалуй, их значение даже отрицательное.

Выше мы говорили, что, обучая детей применять таблицы логарифмов для вычисления, мы учим их пользоваться таблицами вообще. Обыкновенно разные таблицы в справочниках не имеют антитаблиц. Поэтому мы должны научить учащихся на одних и тех же таблицах находить как функцию по аргументу, так и аргумент по функции.

Антитаблицами же учащийся легко может и сам научиться пользоваться, если он знает, как обращаться с таблицами вообще.

О НЕКОТОРЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРИБОРАХ ДЛЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Н. КУВЫРКИН (Москва)

Средняя школа не всегда располагает достаточно разнообразным ассортиментом математических приборов, содействующих конкретизации и углубленной проработке учащимися программного материала. Это отчасти объясняется тем, что до сих пор недостаточно культивировалась изобретательность учителя в конструировании новых, не описанных в нашей литературе, математических приборов. Несколько лет тому назад кабинетом методики математики Иркутского государственного университета, при непосредственном участии автора этой статьи, было изготовлено несколько таких приборов, из которых три предлагаются вниманию читателя.

1. Дискообразная классная доска

Нередки жалобы на то, что абитуриенты средней школы, поступающие в вуз, обладают слабым развитием пространственных представлений, неуменьем производить некоторые элементарные обобщения и т. п. Каждому преподавателю средней школы известно, с каким трудом иногда учащиеся проводят в треугольнике три высоты, особенно тогда, когда ни одна из сторон его не горизонтальна; еще более трудной оказывается задача на проведение из каждой вершины параллелограма двух высот; или, наконец, воспроизведение геометрического рассуждения в классе неизменно сопровождается копией чертежа учебника: даже простой поворот чертежа в плоскости доски вызывает у учащихся недоумение и растерянность. Такие трудности отнюдь не являются отличительными особенностями нашей школы: они типичны и для школы за границей. В одном из номеров американского журнала „School Science and Mathematics“ для устранения подобных затруднений и для лучшего развития пространственных представлений у учащихся рекомендуется особый вид классной доски — дискообразная доска.

Поверхность круга радиусом в 0,75 м обрабатывается и покрывается черной краской, совершенно так же, как и у классной доски. Круг вращается в вертикальной плоскости около своего центра. Подставка для круга делается достаточно устойчивой и по росту учащихся. Такую дискообразную доску нетрудно изготовить в школьной мастерской. При пользовании дискообразной доской сделанные на ней чертежи могут быть повернуты в плоскости доски как угодно. Учащиеся следят за поворотом фигуры и тем самым привыкают представлять ее в любом положении.

* Редакция не может согласиться с последним замечанием автора, так как в дальнейшем учащимся придется все же пользоваться обычными таблицами.

Рис. 1.

2. Прибор для иллюстрации законов сложения и вычитания относительных чисел

Трудности, связанные с объяснением учащимся законов сложения и вычитания относительных чисел общеизвестны. Иллюстрации этих законов графиком, выигрышем-проигрышем, прибылью-убытком, термометром и т. п. часто не дают желательного эффекта. Необходимость в создании такого прибора, который с максимальной ясностью и резкостью подчеркивал бы сущность этих законов, назрела давно. На рисунке 2 представлен один из таких приборов. Прибор построен из дерева и представляет собою обыкновенные весы с некоторыми добавочными деталями. В центре устойчивой деревянной подставки M укреплен прямоугольный брус Л, длина, ширина и высота которого произвольны, но достаточны для демонстрирования прибора перед классом. В точке N бруска имеется небольшой стержень, на котором вращается коромысло В со стрелкой С. На верхнем конце бруска А закреплена дугообразная шкала F, пока неградуированная. На концах коромысла В подвешены на проволоках Кг и К2 деревянные чашки D1 и Z)2, конструктивные особенности которых будут указаны дальше.

Ограничившись только что описанными деталями, получим обычные весы, обладающие тем свойством, что малейшая нагрузка на одну из их чашек повлечет за собой отклонение стрелки от положения равновесия до крайнего предела. Чтобы сделать угол отклонения стрелки от положения равновесия коромысла пропорциональным величине нагрузки, необходимо ввести регулирующие отклонение детали. Такими деталями являются резиновые ленты Ег и Е2, прикрепленные одним концом к коромыслу В, а другим — к подставке М, причем резины должны быть слегка натянуты и в то же время должны удерживать стрелку С в положении равновесия коромысла.

Если ограничиться только этими лентами, то угол отклонения стрелки не будет пропорционален величине нагрузки, ибо по мере увеличения нагрузки увеличивается упругость растягивающейся резиновой ленты. Следующей регулирующей деталью являются резиновые ленты или тонкие резиновые трубки Е3 и Е4, закрепленные одним концом в центре чашек весов Ог и Z)2, а другим — в подставке М. Они должны быть натянуты, причем регулирование степени натяжения их должно производиться с нижней стороны подставками М. Натяжение можно сделать таким, что угол отклонения стрелки будет почти пропорционален величине нагрузки. Это достигается путем нескольких испытаний.

После такой установки прибора необходимо проградуировать шкалу F. Для этой цели в первую очередь надо приготовить гири одинакового веса, штук 10—15. Лучше всего их сделать из полосы толстого железа, нарубив соответствующее количество квадратных пластинок и напильником выравняв их вес. Каждая такая пластинка будет представлять собою относительную единицу. Если почему-либо таких пластинок изготовить не удастся,

Рис. 2.

то можно заменить их мастичными гирями весом в 200—250 г каждая (можно и легче, в зависимости от степени упругости резиновых лент). Мастичные гири достать нетрудно, и стоимость их небольшая. Отметив нулем указание стрелки в положении равновесия коромысла, необходимо на правую чашку положить одну гирьку (единицу). Указание стрелки отметить на шкале черточкой с надписью -\-\. Прибавив еще единицу, указание стрелки на шкале отметить черточкой с надписью + 2 и т. д. То же самое проделать затем с левой чашкой прибора, отмечая указания стрелки на шкале с надписями —1, —2, —3 и т. д. до 5 или 6 единиц (больше нет смысла). Так как при последующих испытаниях, вследствие особых свойств резиновых лент, при тех же самых нагрузках указания стрелки будут несколько отклоняться от первоначально отмеченных, то рекомендуется, как это сделано на рисунке, для каждой единицы отвести на шкале промежуток, соответствующий величине отклонения стрелки в ту и другую сторону от первоначально сделанной пометки. Эти промежутки надо сделать равными по величине. Лучше было бы правую часть шкалы и правую чашку весов окрасить в один цвет (например красный), а левую—в другой (например синий). Правая часть шкалы и правая чашка будут служить для положительных единиц, а левая — для отрицательных единиц. Чашки необходимо пометить знаками плюс (правую) и минус (левую).

Приготовленный таким образом прибор можно пустить в эксплоатацию. Пусть требуется выполнить сложение (+<3)-}-(—2). На правую чашку надо положить 3 единицы, затем на левую чашку положить 2 единицы; стрелка укажет на шкале результат +1. Или: (—2)-f(—1). На левую чашку сначала надо положить 2 единицы, затем туда же 1 единицу; стрелка укажет результат—3.

Несколько сложнее будет обстоять дело с вычитанием. Для того чтобы производить вычитание (отнимание), надо в первую очередь создать на чашках запас единиц. Это достигается предварительным уравновешиванием весов при помощи запасных гирь-единиц, которые в равном количестве кладутся на обе чашки весов. Такое предварительное уравновешивание может вызвать с дидактической стороны некоторые возражения. Для устранения подобного недочета рекомендуется чашки весов сделать в виде ящичков, пустых внутри. В этих ящичках будет находиться постоянный запас гирь-единиц, уравновешивающих прибор и позволяющих производить сложение и вычитание без дополнительной операции предварительного уравновешивания. Пусть требуется выполнить (—3) — (—2). Положив на левую чашку 3 единицы, надо с той же чашки снять 2 единицы; стрелка укажет —1. Или: (-{-2)— (—3). Положив на правую чашку 2 единицы, из запаса левой чашки следует отнять 3 единицы; стрелка укажет результат -[-5.

Преимущество такого прибора в том, что он достаточно ярко и конкретно выясняет правило знаков суммы (знак большего числа), так как учащемуся становится вполне ясно, что перетянет чашка с большей нагрузкой. Точно так же и при вычитании: учащийся видит, что уменьшением нагрузки на одной из чашек увеличивается разность в нагрузках, а потому стрелка естественно отклоняется в сторону увеличения нагрузки. По отзывам некоторых учителей, испытывавших прибор на своих уроках, он заслуживает должного внимания, тем более, что легко изготовляется в школе и не требует затраты большого количества денежных и материальных средств.

3. Тригонометрический круг

Трудности, связанные с объяснением учащимся изменения тригонометрических функций в зависимости от изменения угла, также общеизвестны. Учителя часто затрачивают большое количество времени на выполнение многочисленных чертежей, лишь бы только облегчить учащимся восприятие и понимание процессов изменения. Имеющийся в продаже проволочный тригонометрический круг не удовлетворяет предъявляемым к нему требованиям. Предлагаемый прибор в основном заимствован из книги N. Zietzman'a — »Methodik des Mathematischen Unterrichts“, но в него внесены существенные конструктивные изменения и дополнения. Он состоит из обычной классной доски, размером 1,5 X 1 »5 кв. м, окрашенной в черный цвет и поставленной на устойчивые подставки N. По краям квадратной доски, вровень с ее плоскостью, прибиты деревянные пластинки Р/?, Pj/?!, ST, SjTv каждая из которых имеет в длину 3 м, а в ширину 3—А см (рис. 3). В квадрат доски вписан круг AB с центром в точке О. Горизонтальным (красным) и вертикальным (синим) диаметрами он разделен на четыре сектора. Оба диаметра имеют равномерные деления, помеченные вправо и вверх от 0 до 1 через 0,1 единицы, вниз и влево от 0 до —1. Кроме того, круг разделен на секторы через каждые 10° с пометками по окружности 0°, 10°, 20° и т. д. до 360°. Деревянные пластинки ST

Рис. 3.

и .Sj7“3, помеченные при точках А и В нулем, имеют равномерные деления, вверх: 0,1 0,2, 0,3 и т. д.; вниз: —0,1, —0,2, —0,3 и т. д. Такие же деления нанесены на пластинки PR и PjRv но только положительные значения их располагаются от нуля вправо, а отрицательные—влево. Существенной деталью круга является вращающийся радиус в виде пластинки OD, длиною в 1,5 м, шириною в 2 — 3 см. Одним своим концом эта пластинка закреплена в центре круга О, а на другом конце она имеет ручку Z), служащую для более удобного поворота радиуса. Через точки О и С проведена (белой краской) прямая линия, служащая для указания значений углов и их тригонометрических функций. В точке С радиуса, как раз на окружности круга, сделан небольшой неподвижный стержень, на котором свободно держится пластинка Е длиной в 1,8 л, ши-

риною в 3 см с приделанной на одном из ее концов коробкой М. В коробку насыпается песок или дробь, а затем коробка закрывается. Вместо коробки можно прикрепить сюда какой-либо груз. Целью этого груза является удержание пластинки EF в вертикальном положении при любом положении радиуса OD. На пластинке EF также нанесены равномерные деления, по величине равные делениям боковых пластинок доски (например ST). В точке С имеется пометка нуль. Вверх от точки С деления помечены положительными значениями долей единицы: 0,1; 0,2; 0,3 и т. д.; вниз от точки С— такими же отрицательными значениями. При выполнении всех вышеуказанных операций необходимо добиться того, чтобы при повороте радиуса ко робка M не задевала креплений, имеющихся в центре круга. Что же касается окраски деталей круга, то она зависит и от имеющихся в наличии красок и от необходимости сделать прибор наиболее видимым учащимися.

При построении описанных приборов учитель или мастер могут внести свои улучшения. Здесь дано описание этих приборов в том виде, как они были выполнены под руководством автора статьи.

К ПРОРАБОТКЕ БИНОМА НЬЮТОНА

Проф. И. ЧЕРНЯЕВ (Ростов-на-Дону)

Под таким названием в № 4 методического сборника „Математика и физика в средней школе“ за 1935 г. помещена заметка А. Сафонова, в которой автор предлагает серию арифметических задач, повышающих интерес учащихся и вместе с тем показывающих одно из приложений бинома Ньютона, Я предлагаю пополнить предложение А. Сафонова выводом при помощи бинома Ньютона признаков делимости чисел на 9 и 11.

Любое число можно представить в следующем виде

(1)

или

(2)

а) Предположим п — четным; тогда

Следовательно, число TV разделится на 11, если будет делиться на 11 разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах.

Ь) Вывод для случая п — нечетного аналогичен.

Выражение (1) можно представить еще так:

(3)

или

Следовательно, число N разделится на 9, если сумма его цифр будет делиться на 9.

ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ „ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК“

Доц. А. ТОРЧИНСКИЙ (Москва)

„В то время как при первоначальном изучении физики основным приемом вывода физических законов должен служить эксперимент в форме самостоятельных лабораторных работ учеников и демонстраций преподавателя, на втором концентре учащимся должно быть показано значение математического метода“.... „Лабораторные занятия, перечисленные в программе, все еще занимают очень скромное место в общем числе часов — 13, поэтому число их ни в коем случае (курсив мой — А. Т.) не должно быть сокращаемо, но возможна замена одних тем другими при условии органической связи тем с содержанием курса“ (см. „Программы средней школы по физике“, Учпедгиз, 1935 г. стр. 22 и 32).

Подсчет часов, сделанный мною отдельно по теме „Электричество“, дает значительно меньший процент времени, отводимого на лабораторные работы, чем суммарно по всему курсу физики средней школы, а именно: 5,3% по VII классу и 8,3 — по X классу. Таким образом, требование, поставленное в объяснительной записке к программе в отношении обязательного минимума лабораторных работ, должно быть в особенности точно выполнено по теме „Электричество“. А между тем, большинством школ Москвы и Московской области это требование программы совершенно не выполняется. Это заключение я позволю себе сделать на основании близкого знакомства с состоянием оборудования 48 школ Фрунзенского района и многих других школ Москвы и области. Полагаю, что если на сто известных мне школ только десять могут выполнить установленный программой минимум лабораторных работ, то этот процент можно с некоторым приближением считать общим для всей массовой школы. Но и эти 10% школ, располагая недостаточным наличием электрических измерительных приборов, имеют возможность поставить работы лишь при условии разбивки группы на очень крупные звенья в 5—6 и более учащихся в каждом. Постановка работ при таких условиях является лишь относительным благополучием, так как эффективность работы большого числа учащихся с одним комплектом приборов значительно снижается. К тому же надо добавить, что в школах более или менее обеспеченных измерителями тока, преобладают амперметры и вольтметры лабораторного типа со втягивающимся железом, выпущенные в большом количестве нашими производящими организациями в период до 1930 г. по цене 20 руб. за штуку.

Доступность цены сделала свое дело, и эти приборы получили за короткий период времени распространение в громадном количестве экземпляров. Однако, приобретение их оказалось делом весьма неосмотрительным, так как они выполнены настолько небрежно, что проводить лабораторную работу с большинством этих приборов оказалось невозможным: показания их приводили к результатам, ни с чем несообразным, ставившим в неловкое положение преподавателя и вызывавшим справедливые нарекания учащихся.

В „Практическом руководстве по учебным пособиям и политехническому оборудованию“, вып. 1-й—„Физика и техника“, Москва 1933 г. (стр. 117), находим предостережение преподавателям в отношении этих приборов. Но, к сожалению, это предостережение запоздало, и к моменту выхода „Руководства“ из печати полки шкафов некоторых физических кабинетов успели наполниться этими приборами. В результате столь печального и дорого стоившего школам опыта изготовления „дешевых“ электрических измерителей выпуск этих приборов был прекращен и больше не возобновлялся. Этот неудачный опыт имел и положительное следствие; производящие организации извлекли из него полезный для себя урок: решительно стали на путь борьбы за качество приборов и довели его к настоящему моменту до высокого уровня. Так, завод „Прецизлаборприбор“ наладил массовое производство амперметров и вольтметров системы Депре д'Арсонваля для точных лабораторных измерений постоянного тока, но по цене, к сожалению, недоступных для школы (733 руб. 04 коп. за штуку). Завод „Электросила“ в Киеве выпускает электромагнитные приборы (ящички, по внешнему выполнению не отличающиеся от указанных выше) для измерения постоянного и переменного токов: амперметры с делениями шкалы от 0,5 до 5 ампер — по цене 234 руб., вполне пригодные для школьных лабораторных работ, и вольтметры по такой же цене — с делениями шкалы от 25 до 150 вольт. Последние совершенно непригодны для работы с аккумуляторами и гальваническими элементами (те и другие продаются в магазинах „Госкооп-

культа“). Приборы по выполнению хороши, но приобретение их по столь высокой цене было бы очень обременительно для школьного бюджета. Там же имеются комбинированные вольт-ампер-гальванометры системы Депре д'Арсонваля — демонстрационные — работы завода „Физэлектроприбор“ в Москве. Последние более доступные по цене (144 руб.) и вполне приемлемы по качеству, но могут обслужить лишь опыты, демонстрируемые преподавателем, и непригодны для лабораторной работы, так как их шкала, имея деления от 1 до 10, позволяет вести отсчеты лишь в целых единицах измерения. Таким образом, надо признать, что насколько положение с измерительными приборами стало лучше в отношении их качества, настолько же оно стало тяжелым для школы, которая в большинстве случаев не в состоянии приобрести их в нужном количестве. В самом деле, оборудование лабораторных работ одними только измерительными приборами обойдется в 6084 руб., если приобрести их по цене 234 руб. (из расчета 1 амперметр и 1 вольтметр на 3 учащихся при 40 учащихся в классе). Такой роскоши средняя школа позволить себе пока не может. К этому расходу надо еще прибавить расход на покупку 13—15 аккумуляторных батарей, общей стоимостью около 800 руб. Итого, около 7000 руб. на основное лабораторное оборудование по одной только теме „Электрический ток“.

Если даже допустить, что Наркомпрос отпустит школам эти средства, то и тогда перед большинством школ встанет трудный вопрос о помещении для хранения аккумуляторов. Старые школы в большинстве своем не имеют при физическом кабинете комнаты для хранения приборов, а в школах-новостройках они и вовсе не вошли в план и ни в одном из новых школьных зданий постройки 1935 г. в Москве нет такого помещения. Между тем, аккумуляторы должны быть недалеко, под рукой у преподавателя, и для хранения их нужно особое помещение. Держать их тут же в кабинете невозможно по двум причинам: во-первых, из-за недостатка места и возможной при тесноте кабинета порчи (короткое замыкание, толчки и пр.) и, во-вторых, из-за вредных кислотных испарений, в особенности сильных в первое время после свежей зарядки, которая, нормально, должна возобновляться не реже одного раза в месяц.

Принимая во внимание все эти условия, полагаю, что возможность организовать лабораторную работу с постоянным током в ближайшее время исключена, а потому не вхожу в оценку других возможных источников постоянного тока.

Пока мысль преподавателя физики работает в этом направлении, требование программы в части постановки лабораторных работ по изучению законов постоянного тока ему кажется невыполнимым и он, в большинстве случаев, чувствует себя бессильным наладить лабораторную работу.

Каков же выход из создавшегося трудного положения?

Выход есть, надо только получить санкцию от Наркомпроса на применение его в массовой школе.

Мы легко получим возможность ввести лабораторные работы в практику школы многих и многих городов, если, вопреки установленному принципу, поставим работы по электричеству с переменным током. Это даст нам возможность в короткий срок и с небольшими сравнительно затратами поставить целый ряд фронтальных работ в каждой городской школе, где имеется переменный ток, снабдив каждое звено учащихся в составе 3 человек отдельным комплектом всех необходимых для этих работ приборов и сообщив, таким образом, работе более высокую эффективность, чем это было в большинстве случаев до сих пор. Принцип, о нарушении которого я говорю, заключается в том, что, по существу, в школе изучаются ведь законы постоянного тока, мною же выдвигается предложение выводить эти законы с помощью переменного тока. Нарушение этого принципа смущало всех преподавателей физики, с которыми мне приходилось беседовать на эту тему. Некоторые же из собеседников считали мое предложение совершенно неприемлемым.

Посмотрим, какие здесь могут быть возражения по существу.

Действительно, переменный ток подчиняется законам, отличным от законов, постоянного тока. Однако, есть случаи, когда это расхождение очень незначительно, и случаи, когда оно практически и совсем исчезает. Такой случай и надо использовать. Введем условие, что „сопротивления“ в наших опытах с переменным током будут осуществляться короткими прямолинейными проводниками. Так как самоиндукция таких проводников при слабых токах, какими мы намерены пользоваться в наших лабораторных работах, исчезающе мала, то переменный ток вполне можно при таких условиях поставить на место постоянного и получать в работах практически такие же результаты, как и в работах с постоянным током. Цель поста-

новки лабораторных работ в школе как могучего средства педагогического воздействия на учащихся, дающего в то же время ценнейшие практические навыки, будет достигнута в работе с переменным током в неменьшей степени, чем с постоянным.

Для того чтобы осуществить перевод лабораторных работ на переменный ток, имеются все возможности в каждом городе, колхозе, где имеется переменный ток. В худшее положение попадают в этом случае школы в местах, располагающих постоянным током.

Перехожу к вопросу об оборудовании работ с переменным током.

За последние годы заводом „Электроприбор“ налажено массовое производство измерительных приборов для слабых переменных токов. Им выпущены в громадном количестве амперметры для измерений от 1 до 5 и 10 ампер, с подразделением целых делений, начиная со второго интервала 1—2, на пятые доли единицы измерения, и вольтметры для измерений от 5 до 25 вольт, с подразделением шкалы в целых единицах измерения, начиная с 5. Однако, до настоящего года эти приборы не могли быть использованы для лабораторной работы с током при напряжении 120 вольт.

В прошлом году „Электрозавод“ приступил к массовому производству и выпуску в продажу трансформаторов по цене 17 р. 60 к., которая в настоящее время снижена до 14 р. 30 к. Трансформаторы рассчитаны на мощность в 40 ватт. С помощью такого трансформатора можно понижать напряжение до 12, 10, 8, 6, 4 и 2 вольт. Вводя в цепь небольшие сопротивления, можно получать в ней токи силой от 1 до 10 ампер и измерять их указанными выше амперметрами с достаточной для школьной лабораторной работы точностью. Опыт постановки лабораторных работ на переменном токе проводится мною уже второй год в одной из школ Москвы. Работа производится звеньями по 3 учащихся, причем для каждого звена имеется следующий набор приборов:

Название Цена

1. Амперметр........... 23 р. 50 к.

2. Вольтметр..... ..... 23 р. 50 к.

3. Панель с набором „сопротивлений“ .............. 1 р. 00 к.

4. Лампочка на подставке..... 1 р. 50 к.

5. Трансформатор ....... 14 р. 30 к.

6. Проволока (звонковая)....._30 к.

Итого..... 64 р. 10 к.

Общий расход по оборудованию работы класса в 40 учащихся составляет около 800 руб. — для всех указанных ниже 11 работ. Амперметры, трансформаторы, лампочки на 12 вольт и звонковый провод имеются во всех магазинах „Электросбыта“. В данное время (октябрь 1935 г.) нет лишь вольтметров, но и они в скором времени появятся, так как производство их заводом „Физэлектроприбор“ давно уже налажено; еще недавно их можно было приобрести в неограниченном количестве.

Все поставленные мною с учащимися программные работы и проверенные внепрограммные работы с названными приборами дали вполне удовлетворительные результаты. Эти результаты в отношении их точности очень выгодно отличаются от тех результатов, которые получались в работах с измерителями тока выпуска прошлых лет, изготовлявшимися специально для школьной лабораторной работы. Так, например, при производстве опытов, служащих для вывода закона Ома, результаты измерений в проведенных мною работах с приборами завода „Физэлектроприбор“ не совпадали с ожидаемыми лишь в сотых долях единицы. От измерительных приборов технического назначения, каковыми являются приборы, выпускаемые этим заводом, едва ли можно требовать большей точности. Что касается прочности, простоты регулировки и чистоты внешней отделки, то эти приборы, при низкой цене их, не оставляют желать лучшего. Трансформаторы дают почти в точности те показатели, которые обозначены в прилагаемом к ним паспорте, и работают очень хорошо. Пять трансформаторов, подвергнутых мною испытанию при предельной нагрузке в течение часа, дали лишь небольшое, вполне допустимое нагревание.

Работа с переменным током, приходя на выручку преподавателю в его временном затруднении, подкупает еще и следующими хорошими сторонами: школа освобождается от текущих расходов по ведению аккумуляторного хозяйства, а при пользовании гальваническими элементами — от частой замены пришедших в негодность новыми, которые, кстати сказать, вот уже ряд лет очень нерегулярно поступают в продажу. Преподаватель освобождается от немалых забот, связанных с зарядкой, ремонтом и хранением аккумуляторов или розыском и покупкой новых элементов и материалов для зарядки старых. Работа с переменным током может быть поставлена в любое время без всякой предварительной подготовки ее, так как источник энергии всегда наготове.

Подводка тока к рабочим столам осуществляется обыкновенным проводом, применяемым для осветительной (внутренней) проводки

(сечение 1 мм2), предельная нагрузка которого в амперах равна 11 А, тогда как фронтальная лабораторная работа требует максимальной нагрузки сети в амперах, не превышающей 50% предельной (около 5 А).

Привожу перечень работ, частью проведенных мною с учащимися, частью же проверенных и подготовленных к постановке в школе:

1. Составление электрической цепи.

2. Постоянство силы тока в отдельных участках цепи.

3. Закон Ома для участка цепи.

4. Определение сопротивления лампочки накаливания с помощью амперметра и вольтметра (с лампочкой для напряжения 12 вольт).

5. Падение потенциала в цепи.

6. Законы разветвленной цепи.

7. Определение сопротивления лампы накаливания при различных силах тока (с лампочкой для напряжения 12 вольт).

8. Мощность, потребляемая лампой на свечу (с такою же лампой).

9. Определение q (в законе Джоуля-Ленца).

10. Проверка градуировки шкалы вольтметра переменного тока.

11. Проверка мощности трансформатора.

„Сопротивление“ во всех работах осуществлялось никелиновой проволокой (d = 0,3 мм), натянутой на панели (сосновой доске, размером 60 см X 5 см X 2 см). Ни реостатов переменного сопротивления, ни магазинов сопротивления, ни других покупных приборов, кроме указанных выше, в этих работах я не применял.

В заключение хочется ответить еще на одно возражение, которое может быть выдвинуто против моего предложения: стоит ли производить затрату средств на оборудование для работ с переменным током, если в скором времени школа получит возможность поставить работу с постоянным током?

Во-первых, я рассматриваю свое предложение как „скорую помощь“ школе в ее временном затруднении; во-вторых, произведенные затраты вполне оправдают себя и в последующее время, так как 4 работы из 11 указанных выше (или 36%) специально рассчитаны на переменный ток и его потребление, а таких работ можно поставить и, несомненно, придется ставить значительно больше, в особенности в кружке и в связи с запросами, которые будут предъявлены к физической лаборатории со стороны преподавателя электротехники.

ПОЧЕМУ ДВЕ ЛАМПЫ ГОРЯТ ТУСКЛО*

Д. ГАЛАНИН (Москва)

При обследовании знаний учащихся в VII классе нами был дан следующий тест:

Допиши фразу:

Почему в первой цепи лампочка горит ярко, а во второй цепи лампочки горят тускло.

Потому что во второй цепи.....

Укажи во второй цепи положение стрелки измерительного прибора.

Давая его, мы не могли себе представить то совершенно невероятное смущение, которое он вызвал в головах учащихся. Ответы на этот, казалось, простой вопрос, мне кажется, очень хорошо вскрывают те методические трудности, которые не раз отмечались многими вдумчивыми методистами по отношению к изложению законов электрического тока. Целью этой небольшой заметки не может являться решение всей этой методической задачи, но из приводимого ниже материала ясно вытекает неудовлетворительное прохождение этого важного вопроса в школе сейчас.

Тест ставит два вопроса;

1) Почему во второй цепи лампочки горят тускло? 2) Каково показание амперметра во втором случае?

Начнем со второго. Распределение ответов оказывается похоже на кривую распределения случайных ошибок, причем об-

* По поводу ответов на один вопрос при обследовании знаний по физике группой физики ЦНИИПО

щая сумма неверных решений (57) значительно превышает верные решения. Имеет место элемент случайности в постановке стрелки на том или другом делении. Хотя то же обследование показало чрезвычайно высокую решаемость теста на включение амперметра и вольтметра, электроизмерительный прибор представляет для учеников, очевидно, что-то весьма мало знакомое и как бы совершенно постороннее всем остальным сведениям об электрическом токе.

Не менее любопытен ответ на первую часть теста. Ответы чрезвычайно разнообразны, всего 45 различных вариантов из 138 работ.

Ответы можно разделить на следующие группы:

а) Указания на то, что сопротивление больше 49

1. „Сопротивление больше“......38

2. „Лампы включены последовательно“ . 7

3. „Сопротивление двух ламп больше, а сила тока такая же“ ....... 1

4. „Введено добавочное сопротивление“ . 1

5. „Меньше сопротивление, больше сила тока“................ 1

6. Сопротивление меньше, а в первом больше“............... 1

б) Указания на изменение напряжения ... 6

7. „Меньше напряжение“....... 2

8. „Напряжение и мощность тока меньше“ .............. 1

9. „Две лампочки требуют больше напряжения тока“.......... 1

10. „Напряжение меньше, чем в первой, а одной лампочке нужно меньше тока“ 1

11. „Включено две лампы большого напряжения“ ............. 1

в) Указания на энергетические соотношения

12. „Электрическая энергия питает две лампочки, а в первой одну“.....2

13. „Энергия распределяется на две лампочки, а поэтому сила тока уменьшается“ .............. 1

14. „Потому что для горения двух ламп сила тока должна быть в 2 раза больше, тогда они будут гореть одинаково“ 1

15. „На то же самое количество электричества энергии приходится 2 лампочки“ ............... 1

16. „Электроэнергии затрачивается в 2 раза больше в первой на одну лампу“ 1

г) Простая констатация, что во второй цепи две лампы.............21

17. „Во второй цепи две лампы“ .... 8

18. „Горят две лампы, сила тока меньше“ 1

19. „Находится две лампы, они требуют силу тока в 2 раза больше, включены последовательно“.......... 2

20. „Включено 2 лампы, для их горения надо больше электрического тока“ . 4

21. „Больше количество лампочек и им требуется тока в 2 или несколько раз больше“.............. 1

22. „Лампочек больше, чем в первой“ . . 1

23. „Имеется 2 лампы и ток разделится на две лампочки“.......... 1

24. „Включено 2 лампочки и току пущено вдвое больше“........ 2

25. „Включено 2 лампочки и лучей падает больше“............. 1

д) Разные ................28

25. „Ток расходуется на 2 лампы“ .... 5

27. „Требуется больше силы тока“ ... 4

28. „Две лампочки, а ток идет тот же, им нехватает электричества“......2

29. „Горят 2 лампочки с такой же силой, как и у одной лампы“..... . 3

30. „Больше утрачивается тока“..... 1

31. „Такой же силой тока, как в одной“ 1

32. „Току потребляется больше и длина цепи больше“............ 1

33. „Имеется 2 лампочки и сила тока затрачивается больше“....... 3

34. „Требуется вдвое больше, чем в первой, а сила тока в обеих равна“ . . 1

35. „Сила тока увеличивается в 2 раза“ 1

36. „Лампочки соединены параллельно“ . 1

37. „Включены две лампочки параллельно и на каждую приходится в два раза меньше электричества“....... 2

38. „Лампочки соединены последовательно, а в первой параллельно“ .... 1

39. „Чем больше ламп, тем больше нужно электрических зарядов“....... 1

40. „Для двух ламп надо ток больший в два раза, а ток в первой цепи такой же, как во второй“.........

41. „Две лампы и то количество электричества, которое проходит по лампам, недостаточно“ ........... 1

е) Нелепые ответы, вроде:......... 5

42. .Воздух в баллоне выкачан и путь сгорает, не вращает железный стержень в катушке“ и другие нелепые ответы.

Таким образом, получается

Причиной указывается:

верных

неверных

сумма

I. Сопротивление . .

38

11

49

II. Напряжение . . .

1 (9-й)

5

6

III. Энергетические соотношения ....

1 (13-й)

6

7

IV. Констатация включения двух ламп .

21

21

V. Разные......

28

28

VI. Нелепые ответы .

5

5

40

76

116

Так распределяются ответы по тем работам, ответ на которые выписан; если же взять результаты всего обследования, то на этот вопрос в среднем получено всего около 25% верных ответов, причем в 11 школах (из 38) число верных ответов не достигает 10%.

Чрезвычайно интересны ответы группы, просто констатирующей наличие включения двух ламп. Очевидно, что причина именно в том, что включены две лампы, а не одна, но почему это — учащийся не может разъяснить. Особенно интересен ответ 19: „Находятся две лампы, они требуют силу тока в 2

раза больше, включены последовательно“. Учащийся, давший этот ответ, очевидно, много думал: он правильно указал „включены последовательно“, но в его представлении для этого надо „силу тока“ больше. Эта мысль повторяется в ответах 20, 21; ответ 23 добавляет: „Ток разделится на две лампочки“, другой ответ (24) очень ярко выразил мысль учащегося— „и току нужно вдвое больше“, учащийся, очевидно, забыл прибавить: должно быть „пущено“. В этой ошибке, что току должно быть „пущено“ вдвое больше, наверно повинны многие преподаватели, неправильно подходившие к изложению всех понятий и величин, характеризующих прохождение электрического тока.

Не менее любопытны и ответы, собранные в группе „Разные“; например, ответы 28, 29: „Две лампочки, а ток идет тот же, им нехватает электричества“, или выражение ответа 33 — „Сила тока затрачивается больше“, или ответ 40: „Для двух ламп ток надо больший в два раза“, или, наконец, ответ 39: „Чем больше ламп, тем больше нужно электрических зарядов“. Все эти ответы не являются просто нелепыми: они указывают на большую методическую ошибку, которая подтверждается малым количеством ответов, в которых как-либо (хотя бы и неверно) было бы указано значение для решения вопроса „напряжения“. Ведь, в сущности, мало указать, что при двух последовательно включенных лампочках сопротивление больше. Надо еще указать, что имеющееся в распоряжении напряжение во втором случае распределится между двумя лампочками, т. е. на каждую придется вдвое меньше напряжения. Поэтому мы считаем ответ 9: „Две лампочки требуют больше напряжения“—ответом правильным.

Этот же тест был предложен группе московских учителей, и из 10 ответов ни один не упоминает о значении напряжения, а все указывают на увеличение сопротивления, иногда прибавляя: сила тока от этого станет меньше (в одном случае — мощность тока станет меньше). По существу указание на увеличение сопротивления, которое приходится считать правильным ответом при современном изложении законов тока, вряд ли много лучше констатации, что горят две лампы. Сила тока, конечно, упадет, но основной причиной — почему лампа будет гореть слабо — все же будет недостаточное напряжение на концах лампы. Пренебрежение при изложении законов тока значением напряжения нам представляется основной причиной получающейся путаницы. В значительной мере это явилось причиной неправильности многих ответов, если более обстоятельно вдуматься в их не всегда логически правильные формулировки.

О ГРАФИЧЕСКОМ СПОСОБЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ДВИЖУЩЕГОСЯ ТЕЛА

Н. РУТКЕВИЧ (ст. Москино)

В статье „О графическом способе исследования равномерно-переменного движения“, помещенной в № 3 журнала „Матем. и физ. в средн. школе“ за 1935 г. мы показали, как графические приемы позволяют не только вычислить путь, пройденный телом при равномернопеременном движении, но и весьма облегчают решение разнообразнейших задач на этот тип движения.

В настоящей статье мы продемонстрируем, как можно при помощи графических приемов вычислить кинетическую энергию движущегося тела и вывести уравнение живых сил.

Предположим, что нам необходимо вычислить кинетическую энергию пули массою т, развивающей скорость v.

Если пуля попадает в земляную насыпь, то сопротивление насыпи замедляет скорость пули, и пуля, в конце концов, останавливается. На преодоление этого сопротивления пуля затрачивает работу, которая и равна убыли ее кинетической энергии.

Предположим, что наше сопротивление постоянно по величине, тогда движение пули в насыпи будет равномерно-замедленным, а кинетическая энергия ее

Wwnu=fa9 (1)

где / — сопротивление насыпи и s — пройденный пулей в насыпи путь.

Построим график скоростей для нашего случая (рис. 1).

Площадь Д ОАВ, как известно, численно равна пути пули s.

Так как сила (сопротивление насыпи) есть постоянная величина

/=т-а, (2)

то для получения численной величины кинетической энергии пули следует численную величину площади Д ОАВ умножить на постоянную величину та.

Площадь прямоугольного треугольника увеличится в отношении тау если увеличить в этом отношении любой из катетов, а второй катет оставить неизменным. Увеличим в отношении та катет OB = t, а катет OA = v оставим без изменений. Получим новый прямоугольный Д О АС у в котором катеты OA = v; ОС = mat.

По указанному кинетическая энергия пули численно равна площади этого Д ОАС.

Если пуля остановилась и скорость ее в начале движения была vt то конечная скорость

vK0H = v — at = О и v = at. (3)

Следовательно

mat = mVy (4)

и кинетическая энергия пули

(5)

Таким образом, мы при помощи графического способа получили уже известное нам выражение кинетической энергии пули, уак как мы брали общий случай массы m и общий случай скорости v, то полученное нами выражение пригодно для вычисления кинетической энергии любого движущегося тела.

Подчеркиваем, что таким образом мы только вычисляем численное значение кинетической энергии и совершенно не входим в определение ее физической сущности. Поэтому из того факта, что треугольник кинетической энергии ОАС лежит в одной плоскости с треугольником пути ОАВ, совершенно нельзя выводить заключение о тождественности пути и кинетической энергии.

Переходим к выводу уравнения живых сил.

Предположим, что автомобиль массою m движется со скоростью v0. В результате увеличенного расхода горючего в моторе, последний развил ничем не уравновешенную силу /, и скорость автомобиля возросла до значения v. Как вычислить работу силы /?

Известно, что работа

A=fs, (6)

и путь s численно равен площади трапеции, образованной графиком скоростей, ординатами начала и конца пути и осью абсцисс. Построим график скоростей (рис. 2).

Путь

s = пл. трапеции О ABC.

Для вычисления затраченной работы нужно величину пути умножить на величину силы или на постоянную величину

/= та.

Но для увеличения площади трапеции в отношении та достаточно увеличить в этом отношении высоту, оставив неизменными основания. Поэтому площадь трапеции OADE, где OA = v0, DE — v и OE = mat, дает нам численную величину работы fs.

Так как

v = v0 + aty (7)

то

at = v — v0 и mat — m{v — v0). (8) Поэтому работа fs = пл. трапеции OADE =

(9)

Рис. 1.

Рис. 2.

Тo-есть мы мы получили графическим способом уже известное нам выражение для уравнения живых сил.

А так как мы брали общий случай массы и общие случаи скоростей, то наши уравнения пригодны для любого случая вычисления работы силы, действующей на движущееся тело.

Как видим, и в этом случае применение графических приемов облегчает и упрощает вычисление.

О ФОРМУЛЕ ПЕРИОДА КОЛЕБАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

И. БАЗАРОВ (Рязань)

Обычно яри выводе формулы периода колебания плоского математического маятника ссылаются на то, что, как показывает опыт, колебания плоского и конического маятников изохронны, т. е. число колебаний их в единицу времени одинаково, и потом, рассматривая колебания конического маятника, приходят к известной формуле

Далее отождествляют эту формулу и для периода колебания плоского маятника, причем делается всегда оговорка, что формула эта справедлива только лишь для небольших углов отклонения маятника от отвесной линии (для углов, не превышающих 3°), ибо при выводе ее рассматривают колебания конического маятника именно при таких условиях.

Естественно возникает вопрос, какова же будет формула периода колебания маятника при больших углах его отклонения?

Несомненно, что эта формула будет уже зависеть и от амплитуды, влияние которой при небольших углах отклонения опускается.

Не разбирая здесь пока этих выводов и формул, я хочу только, рассматривая колебания плоского маятника, вывести формулу его периода для предельного (из острых углов) отклонения, т. е. для угла в 90°.

Итак, пусть точка М0 (рис. 1) математического маятника отклонена на прямой угол от положения равновесия. Если ее теперь освободить, то она, придя в положение М, будет иметь некоторую скорость V.

Ту же скорость может иметь тело Р, если оно будет падать из точки О с некоторым ускорением, до положения M, „следя“ за движением точки М0.

Рассчитаем, каково должно быть ускорение у этого тела: пусть это ускорение равно а; падая из точки О, тело на пути ОМ = I совершит работу Р'1, которая, как известно, численно равна живой силе —^—, т. е. мы можем записать, что

или

сокращая на m, получим:

(1)

Так как тело падает с ускорением, которое мы предполагаем равным а, то путь / выразится / = —, а скоростью будет равна v—at.

Тогда равенство (1) будет иметь вид

или g-at2 = a2'i2, откуда после сокращений получаем a = g.

Итак, следовательно, скорость V в точке M падающее тело может получить, если оно будет просто свободно падать.

Таким образом, мы можем написать

откуда

Имея в виду, что для колебания маятника это время г равно его периода, а весь период 7 равен 4/, получим

Итак, период колебания маятника, когда угол отклонения его от положения равновесия равен 90°, будет

Как видно, значение Т в этой формуле не равно периоду Т в формуле

для небольших углов отклонения.

Всматриваясь в формулу

можно подумать, что период 7 даже и при больших углах отклонения не зависит от амплитуды. Но это только кажется. Дело в том, что для угла отклонения в 90° амплитуда равна /, а потому значение ее здесь как бы скрывается. Для других же углов (например для угла а) она будет уже не /, а частью ее, а поэтому будет и ясно видна.

ЭЛЕКТРИФИЦИРОВАННЫЕ СХЕМЫ МАШИН, ФИЗИЧЕСКИХ ПРИБОРОВ И УСТАНОВОК В ПРЕПОДАВАНИИ ФИЗИКИ

С. ВАСИЛОВ и В. КАРМИЛОВ (Пермь)

Электрифицированные плакаты-схемы, как известно, имеют широкое применение в кружковой работе. Обсуждавшийся с большим интересом вопрос о целесообразности применения электрифицированных плакатов на занятиях по физике был подвергнут дальнейшей проработке С. И. Василовым совместно с работниками кабинета методики физики Пермского пединститута. Предварительным сообщением о результатах этой работы и является настоящая статья.

1. Обоснование в введению в школьную практику электрифицированного плаката

„Нам не нужно зубрежки, но нам надо обогатить память учащегося знанием основных фактов“

(Ленин).

Школа должна вооружить учащихся определенным запасом формальных знаний. Эти знания должны быть даны в политехническом освещении; они должны быть увязаны с вопросами социалистического строительства. Так должно быть. На деле во многих случаях имеем иное. Если предшествующий учебный год явился переломным в отношении усвоения учащимися законов физики с их математической формулировкой, то все же в громадном большинстве случаев эти законы усвоены формально, отвлеченно, без должной увязки с практикой применения их в технике. В оправдание отступлений от должного ведения курса физики преподаватели обычно выдвигают два мотива: а) недостаток времени, б) отсутствие наглядных пособий, на которых можно было бы в максимально короткий срок и с интересом для учащихся закрепить в их памяти политехнический материал, даваемый часто „в порядке ознакомления“. Не входя в данной статье в обсуждение первого мотива, мы считаем второй мотив для подавляющего большинства школ обоснованным. Действительно, должно быть найдено средство для интересного, наглядного закрепления политехнического материала; при этом освоение политехнических знаний должно итти, главным образом, за счет самостоятельной работы учащегося во внеклассное время*. Электрифицированный плакат в известной мере удовлетворяет обоим этим требованиям: он позволяет учащемуся и во внеурочное время, в клубной обстановке, проводить уточнение и расширение приобретенных на уроках физики знаний. Электрифицированный плакат одновременно явится для учащегося своеобразным самопроверочным тестом.

2. Тематика плакатов

Электрифицированный плакат в первую очередь должен найти применение в той области школьной физики, где нет возможности

* Предварительное, первое ознакомление с ними, естественно, проводится под прямым руководством преподавателя.

иметь перед глазами учащихся изучаемый объект в течение всего времени обучения, где сложность конструкции прибора заставляет прибегать для понимания его действия лишь к упрощенной модели: это, прежде всего, область технических применений физики, — выяснение работы и значения основных частей машины. С реальной машиной учащийся должен ознакомиться во время экскурсий; совершенно очевидно, однако, что взаимосвязь деталей не может быть закреплена в памяти учащегося только экскурсией, даже при наличии хорошей предварительной ее подготовки: необходимо повторение. Но если физический закон, изложенный обычно в краткой форме, может быть усвоен при помощи многократного словесного повторения, то недопустимо подобным же образом добиваться знания деталей машин и их взаимной связи. Нужно, чтобы во время изучения машины она в возможно более полном отображении находилась перед глазами учащегося; по нашему мнению, электрифицированный плакат способен дать большее (в отношении подробностей) отображение машины, чем обычные упрощенные модели. Значения последних в деле предварительного ознакомления с машиной авторы не отрицают.

Какие же машины могут быть даны в электрифицированном плакате?

Подъемный кран. Паровой котел. Паровая машина. Аэроплан (отдельно: остов и мотор). Дизель. Динамомашина. Электромотор.

Изучение в физике закономерностей имеет особо наглядное применение в ряде физических приборов: последние с теми или иными видоизменениями встречаются в различных областях техники.

Сюда следует отнести: весы, воздушный насос, гальванометр (универсальный), электрический счетчик, катушку Румкорфа, радиоприемник, спектроскоп, киноаппарат.

Ориентируясь в плакате, учащийся усвоит подробности устройства машины (прибора), освоит техническую терминологию; дополнительно отвечая на вопросы, имеющиеся на плакате, он осознает физические основы конструкции и работы машины.

На электрифицированных плакатах следует дать также наиболее важные условные обозначения и схемы. Прежде всего это касается условных обозначений, применяемых в электротехнике. Было бы также полезно (во вторую очередь) дать электрифицированную сводную таблицу измерительных единиц, механических и электрических.

3. Порядок использования плаката

Плакаты, по мере проработки материала, демонстрируются преподавателем во время урока. Затем они вывешиваются на стенах класса, в клубе, комнате отдыха, — для того чтобы учащийся самостоятельно, в свободное от занятий время, мог закрепить приобретенные знания и подвергнуть усвоение их самоконтролю.

Еще раз обращаем внимание на положительные стороны такого метода закрепления знаний:

а) исключаются элементы „натаскивания“ учащихся по данной теме,

б) усваиваемый материал конкретен,

в) повторение становится интересным,

г) оно проводится учащимися самостоятельно.

Плакаты вполне допускают изготовление их силами самих учащихся школы: электрифицирование изготовленных схем или готового, имеющегося в продаже, плаката представляет для учащегося интересную и поучительную работу.

Вышеизложенные соображения приводят к одному выводу: преподавателю физики к своей основной цели —- дать систему знаний по физике на политехнической основе — надо вести учащихся многими путями. Экскурсия на производство, работа в школьных мастерских, демонстрация работающей модели машины, демонстрация условной модели, — даже хорошо выполненного рисунка, — важные элементы процесса. Но надо ввести еще и плакат, доступный для всех школ, стимулирующий учащихся к самостоятельной работе, допускающий широкий самоконтроль каждого учащегося — электрифицированный плакат.

4. Техническое описание

Электроплакат представляет из себя схему, рисунок данного прибора, отпечатанный в красках или нарисованный от руки учащимся на плотной бумаге, наклеенной на лист фанеры размером 65X90 см (размер может быть изменен). На схеме изображены все детали, названия частей которых нужны для усвоения учащимися.

На каждой детали прибора имеется контакт. Два однородных контакта — один контакт с названием внизу, а другой контакт на части прибора, к которой относятся названия — соединяются проводником на обратной стороне фанеры. Нужно, например, найти у катушки Румкорфа „сердечник железный“:

тогда берем один конец проводника с током, соединяем с контактом этого названия, а другим проводником с током ищем контакт, который замкнул бы цепь и зажег бы лампочку. Если присоединить второй проводник-искатель неправильно, т. е. не к тому контакту детали прибора, к которой относится название „сердечник железный“, то лампочка гореть не будет, так как не будет замкнута цепь с током.

Если соединим без помощи контактов проводник-искатель с проводником вопросника, то электрическая лампочка вспыхивает. Следовательно, когда этими же двумя проводниками замыкается цепь тока через два контакта — „сердечник железный“ и деталь этого сердечника (которые между собой соединены проводником на обратной стороне фанеры), то лампочка загорается, сигнализируя, что ответ найден правильно.

Пользование прибором чрезвычайно просто. Для школ сельских местностей, где нет тока для неоновой лампочки или простой электрической лампочки напряжением в 110 — 220 вольт, можно при помощи переключателя включать электрическую лампочку от карманного фонаря на 4 вольта, присоединив батарею гальванических элементов, например три элемента Лекланше или аккумулятор.

Если изготовлять электроплакат для учащихся I ступени, то во избежание неумелого обращения с током в 110 вольт и различных случайностей (могут взяться рукой за оба провода с током), предварительно ток можно трансформировать при помощи трансформатора „Гном“ со 110 вольт на 4 вольта; этот ток совершенно безопасен и даже короткое замыкание не причинит вреда.

ИЗ ОПЫТА ШКОЛ

НЕКОТОРЫЕ ВЫВОДЫ О ПОДГОТОВЛЕННОСТИ ПО МАТЕМАТИКЕ ПОСТУПАЮЩИХ В ТЕХНИКУМ

Г. СТАЛЬКОВ (Москва)

I

Что советская школа растет, это ясно для всех, но что этот рост отстает от общего роста страны, это также совершенно несомненно. И ЦК ВКП(б) в своем постановлении от 3 сентября 1935 г. говорит об этом.

В этом постановлении дана суровая, но вполне заслуженная оценка работы школ на сегодняшний день.

„Знания учащихся остаются все еще неудовлетворительными, и оканчивающие школу обнаруживают недостаточную подготовку для прохождения наук в высшей школе“.

Именно так обстоит с продукцией, выпускаемой неполной средней школой. Проверка окончивших школу весной при их поступлении в техникумы показывает, что школа гиперболически переоценила знания и навыки выпускаемых из школы.

Особенно тяжким укором для школ является факт наличия ошибок, которые повторяются у учащихся, оканчивающих школу, из года в год. Получается странное впечатление беспомощности школы в борьбе с этими „роковыми“ ошибками.

Все эти выводы вполне подтверждаются анализом, который мы ниже представляем вниманию учительства. Нами проанализирован результат экзаменов по математике в одном из крупных индустриальных техникумов Наркомтяжпрома. Техникум пользуется симпатиями молодежи и в него ежегодно подает заявление 1000—1200 человек. В нынешнем году техникум проэкзаменовал около 600 человек, окончивших, в основном, московскую и провинциальную неполную среднюю школу и притом в нынешнем 1933 г.

Перед нами письменные работы по математике 537 экзаменовавшихся в техникум. Из них 468 человек (87,3%) окончили неполную среднюю школу. Между прочим, эта цифра указывает на тот факт, что неполная средняя школа становится основным „поставщиком“ контингентов для техникума. 0:тальные 12,7°/^ поступавших пришли с курсов по подготовке в техникум, из ФЗУ, с рабфаков.

Время окончания неполной средней школы поступившими видно из таблицы 1.

Выводы из этой таблицы можно сделать следующие:

1. Из всех пришедших в техникум из неполной средней школы 203 человека (43,4%), т. е. немного меньше половины, падает на школы г. Москвы.

2. Из всех окончивших неполную среднюю школу в г. Москве или в провинции 298 человек кончили эту школу в нынешнем 1935 г. Это составляет 63,8%. Итак, больше половины пришедших в техникум из неполной средней школы окончили ее всего лишь 21/, месяца тому назад и со свежими знаниями пришли на экзамен в техникум.

ТАБЛИЦА 1

Окончившие в г. Москве в

В провинции в

1936 г.

1934 г.

1933 г.

1932 г.

до 1932 г.

1935 г.

1934 г.

1933 г.

1932 г.

до 1932 г.

153

20

11

6

13

145

46

23

21

30

3. Поступающие из московских школ являются более молодыми, чем приехавшие из провинции.

Мы отдаем себе ясный отчет, что в техникум из неполной средней школы приходят в основном далеко не лучшие по успеваемости.

Обычно это, во-первых-, те, кого не приняли в VIII классы; во-вторых, — те, кто стремится по тем или иным причинам скорее выйти через техникум в жизнь и, наконец, это часть молодежи, кончившая неполную среднюю школу несколько лет тому назад, не устроившаяся в отсутствовавших в те времена десятилетках и теперь пришедшая в техникум продолжать учебу. Только вторая группа лиц является полноценным по своим знаниям и навыкам людским материалом. Первая группа представляет наиболее слабых учащихся, кончивших неполную среднюю школу (таков был принцип комплектования VIII классов, принцип, кстати сказать, осужденный постановлением ЦК ВКП(б) от 3 сентября с. г.).

Третья группа поступающих обучалась в неполной средней школе давно и поэтому наиболее забыла программный материал.

Таково лицо поступающих в техникум с точки зрения их предварительной подготовки.

II

Требования ко всем поступающим в техникум были предъявлены в объеме курса арифметики, алгебры и геометрии неполной средней школы применительно к наркомпросовскому варианту программы 1934/35 учебного года. Будет уместным здесь отметить, что эта программа математики неполной средней школы имеет большой разрыв с программой математики индустриального техникума.

Надо отметить также тот факт, что, выпустив из школы своих учащихся, школа никак не позаботилась об их судьбе. Прежде всего у учащихся были отобраны учебники, без которых они не могли за лето повторить материал вообще и, в особенности, материал V—VI классов, знания по которому, как и надо было ожидать, оказались более слабыми. Пагубно сказалась также привычка учащихся держать в конце каждого года испытания па материалу только данного года. На экзаменах в техникум учащиеся пытались протестовать против того, что их спрашивают по материалу, который они прорабатывали 2—3 года тому назад. Учащиеся считали, что „нет такого права“, и знать материал прежних лет они не обязаны. Школа не рассеяла этих иллюзий и не снабдила учащихся учебниками на лето для подготовки к экзаменам.

Результаты получились весьма печальные..

Из 537 письменных работ только 22 оценены отметкой „хор“ (3,9%), (из них 5 отличных), 113 отметкой „уд“ (21,1%) и 402 отметкой „ну“ (75%).

Окончившие неполную среднюю школу получили такие отметки по письменным работам (см. табл. 2).

Из данной таблицы на первый взгляд можно сделать вывод, что москвичи лучше знают математику (6%), но это не совсем так: среди москвичей 75,4% — лица, окончившие школу в 1935 г., а среди иногородних, окончивших школу в 1935 г., всего 54,7%.

Мы видим, что в общем москвичи ничем не могут похвастать.

Лица, пришедшие в техникум не из неполной средней школы (69 человек), получили такие отметки: 2 человека „хор“ (2,9%), 18 человек „уд“ (26,1%) и 49 человек „ну“ (71%).

Перейдем теперь к анализу ошибок, допущенных в письменных работах.

В письменной работе дано было 6 задач примерно такого содержания:

№ 2. Мясо при варке теряет 35% своего веса. Сколько надо взять сырого мяса, чтобы получить 25,05 кг вареного?

№ 3. Сложить дроби:

таблица 2

По г. Москве

Провинция

„Хор.“

„Уд.“

„Ну.“

Всего

„Хор.“

„Уд.“

„Ну.“

Всего

5

51

147

203

9

203

265

2,5%

25,10/о

72,4*/,

100«/о

3.40/0

18.14»

78,57,

100°/,

№ 4. Решить уравнение:

№ 5. Решить систему уравнений:

№ 6. В треугольнике с основанием в 30 см и высотою в 12 см проведена прямая параллельно основанию на расстоянии 2 см от него.

Определить длину отрезка этой прямой, лежащего внутри треугольника.

На выполнение этой работы давалось два академических часа по 50 мин., не считая времени на задавание и разъяснение работы. Группе учащихся давалось два варианта работы. В части групп один из номеров (4 или Ъ) опускался и давалось лишь 5 задач на то же время. Оценка „уд“ ставилась за решение трех из пяти или трех из шести задач. Решенной считалась задача или пример, если в решении нет никаких ошибок или имеются явные описки. Таким образом, для получения отметки „уд“ требовалось выполнить всего лишь 50 — 60% заданной работы, причем удельный взс отдельных задач не учитывался. Экзаменуемый мог решать задачи в любом порядке и за решение любых трех задач из задания получал „уд“.

По своему содержанию мы считаем задание нетрудным.

Вот число учащихся, правильно решивших определенное количество задач из заданных шести, независимо от номера задачи (из общего числа 537 человек).

Из 3117 заданных всем экзаменовавшимся примеров и задач решена всего 781 задача (25%) (см. табл. 3).

Медиана равна всего 1,17.

Мы видим из таблицы, что все 6 задач не решил ни один из поступавших. Наибольшее число учащихся падает на „решивших“ нуль задач.

Распределение верных решений по номерам задач для всех 537 экзаменовавшихся будет такое (см. табл. 4).

Данная таблица показывает, где наиболее слабое место знаний учащихся. Геометрическая задача дала наименьшее число правильных решений.

Неполная средняя школа пока что не дает оканчивающим учащимся навыка решения самых несложных геометрических задач. На первом месте идет навык решения задач на проценты. При общем низком количестве правильно решенных задач эта цифра все же показывает на известный сдвиг в области овладения навыком решения задач на проценты. Сравнительно благополучно дело обстоит с решением линейных уравнений с одним и двумя неизвестными (курс VII класса школы).

Для москвичей имеем такие таблицы (см. табл. 5).

Из 1163 задач решено 314 (27,1%). Это не на очень много выше общего процента решенных задач. Медиана равна 1,38.

И здесь наибольшее число учащихся падает на „решивших“ нуль задач.

Мы видим, что и для москвичей геометрические задачи оказались наиболее трудным моментом работы.

ТАБЛИЦА 3

Число правильно решенных задач

6

5

4

3

2

1

0

Всего

Число учащихся (независимо от номера задачи) ...............

22

31

73

103

122

186

537

ТАБЛИЦА 4

ТАБЛИЦА 5

Распределение верных решений по номерам задач (для москвичей)

ТАБЛИЦА 6

Число правильно решенных задач

6

5

4

3

2

1

0

Всего

Число учащихся (независимо от номера задач) .............. .

8

6

39

43

47

60

203

III

Перейдем к более детальному анализу ошибок.

Задача № 1. Решение примера на все действия с обыкновенными и десятичными дробями.

1. Наиболее распространенной ошибкой является незнание нормального порядка действий. Пример выполняется в порядке его написания.

Это одна из наиболее устойчивых ошибок, которая повторяется в работах учащихся из года в год. Причины этого явления, нам кажется, кроются, во-первых, в слишком позднем ознакомлении учащихся с правилом нормального порядка действий- (IV класс); во-вторых, в нечетком изложении этого вопроса в методиках; в-третьих, в недостаточном внимании самих учителей к упражнениям данного типа.

2. Отсутствие сообразительности в том, когда выгоднее пример с десятичными и обыкновенными дробями выполнить в обыкновенных дробях, а когда — в десятичных.

Наличие дробей ~ и не подсказывает учащимся, что при работе с десятичными дробями мы получим бесконечные дроби. При обращении ~% н \2 в десятичные »не могут остановить деление“, получают дроби с огромным количеством десятичных знаков.

Не „чувствуют“, что 0,5 это ~.

Причина таких ошибок: поверхностная проработка вопроса о бесконечных дробях, о способе округления приближенных чисел и о выборе жизненно-необходимой степени точности. С другой стороны, это говорит об отсутствии устных вычислений над дробями, повышающих сознательность вычислений и толкающих на рационализацию способов выполнения примера. Наконец, это говорит об отсутствии внимательности у учащихся, не воспитанных школой в этом направлении.

3. Наличие самых разнообразных ошибок при подсчетах. Отнимает 9 от 18, получает 11. Делит 7 на 2, получает 2 у и т. п.

Причина — небрежность, безответственность, невнимательность ученика и отсутствие устных упражнений.

4. Неуменье правильно найти общий знаменатель, наличие не наименьшего знаменателя, неправильное нахождение дополнительного множителя, путаница действия умножения дробей с делением, при делении десятичных дробей увеличение компонентов во столько раз, чтобы и делимое и делитель были целыми числами (очень распространенная по вине учителей ошибка).

5. Скобки усматриваются там, где их нэт Пример

выполняется так: делается сложение

затем складывается

и затем результаты перемножаются. Ошибка эта потом переносится и в алгебру. Там мы находим умножение (a-f-b)• с-f-d не на с, а на c-f-(i.

Корень этой ошибки кроется в незнании нормального порядка действий и в невнимательности учащихся.

6. Путаются приемы выполнения разных действий. Так, прием выполнения сложения 3 J—|— 2 -i- = 5 3 — - = 5 ~ переносится на умножение: 3у'^“^ =6^.

Происхождение такой ошибки можно объяснить либо недостатком тренировочных упражнений при прохождении умножения дробей, либо это есть отзвук когда-либо показанного умножения 3yX2 = 3.2-f-~-2.

7. Слишком громоздкие вычисления из-за неуменья правильно находить общий знаменатель и из-за несокращения дробей.

Пример

выполняется так:

Вот где тратится энергия и воля человека при отсутствии рационализаторской жилки!

Задача № 2 (на процентные расчеты).

1. Ошибки в данной задаче поражают своей чудовищной нелепостью, граничащей с полным отсутствием здравого смысла. Прежде всего, как правило, ученики пытаются решать это задачи путем составления пропорций. Пропорции составляются по неведомым законам. Ответы получаются самые дикие.

Вот несколько образцов:

Учащийся не видит нелепости составленной пропорции, не замечает ошибок при вычислениях, он не понимает дикости полученного ответа: для получения 15,6 кг вареного мяса надо в одном случае взять всего лишь 5,46 кгу а в другом случае — 546 кг\

Наличие таких грубейших ошибок, решение задачи на проценты путем составления пропорции — целиком вина учителя.

Решением большого количества устных задач на проценты надо добиться сознательного отношения к ответу и навыка выполнения любой задачи на проценты путем всего лишь одной операции умножения или деления.

Задача № 3 (алгебраические дроби).

1. Наиболее распространенной ошибкой является отбрасывание знаменателей после нахождения общего знаменателя. Особенно это имеет место в том случае, когда в дробном выражении фигурируют буквы х и у. В этом случае знаменатель отбрасывается, как правило, почти всегда. Наличие этой ошибки, помимо небрежности учащихся, говорит еще и о другом. Прежде всего это есть следствие неправильной и неудачной формулировки правила: приводим все члены уравнения к общему знаменателю и отбрасываем его. Такая формулировка, неправильная по существу, — кроме того, затемняет характер производимой операции.

Необходимо привести все члены уравнения к общему знаменателю и помножить их на этот общий знаменатель.

Во-вторых, в этом повинны и учебники и учителя. Даже в стабильном задачнике в отделе уравнений неизвестное неизменно обозначается одними и теми же буквами и по преимуществу X и у.

2. Отсутствует уменье находить общий знаменатель. Вот образчик нахождения общего знаменателя 2х— 2 и х-\-\\ общий знаменатель 2х. Или знаменатель находится путем перемножения всех знаменателей, без разложения их на простые сомножители. Ошибка происходит, во-первых, от того, что алгебраические дроби не увязаны с дробями обыкновенными; во-вторых, плохо проработан отдел разложения многочленов на простые сомножители, а главное — проработан этот отдел механически, без установления того факта, что для последующей работы с дробями этот отдел прежде всего и прорабатывается.

3. Остается неизменная ошибка сокращения слагаемых

Наличие такой ошибки говорит о плохой проработке законов действий (деление суммы), о непонимании того, что горизонтальная черта есть знак деления, о нетвердом усвоении правила деления многочлена на одночлен.

4. Как в арифметическом примере, так и в особенности в алгебраическом, сокращение не проводится до конца.

В дробях нередки ответы : 3 ~ , а в алгебраических дробях с многочленными числителями и знаменателями несокращение ответа — обычное явление. К сожалению, часто учителя считают, что это не так уже важно. В результате такая привычка не заканчивать работу сказывается даже там у ученика, где он не выполняет этого сокращения не из-за отсутствия уменья разложить многочлен.

5. При приведении подобных членов допускают ошибки: 4а-J- 1 = 5а. Это не только результат небрежности; это также незнание того, какие члены называются подобными.

Задача № 4 (уравнение 1-й степени).

1. Здесь остается прежде всего ошибка в знаках: перед дробным членом уравнения стоит знак минус Все члены уравнения приведены к общему знаменателю; знаменатель опущен, но знаки у многочлена не переменены на обратный. И тут, нам кажется, дело не только в отсутствии внимания, но также в отсутствии понимания, что знак деления в виде горизонтальной черты заменяет собою скобки. При опускании скобок с минусом перед ними учащиеся значительно реже допускают ошибку в знаках. В отделе деления многочлена на многочлен полезно было бы чередовать знак деления в виде двух точек со знаком деления в виде горизонтальной черты, сопровождая эти упражнения пояснениями о том, что горизонтальная черта заменяет скобку. Позже в отделе „Дроби“ нельзя допускать такого написания дробей • Эта ошибка у учащихся также часто встречается. Она — следствие перечисленных выше причин. И тут учителю нужно разъяснить причину недопустимости такого написания, а не мириться с ним, как это часто имеет место в школе.

2. Далее идет ошибка в написании уравнения, состоящего из трех, четырех и более частей.

Корни этой ошибки очень глубоки и причины очень разнообразны. Ученики забывают умножить целый член уравнения на дополнительный множитель (общий знаменатель).

Все эти ошибки — следствие плохой проработки алгебраических дробей и, в частности, обычно следствие пропуска учителем задач типа 2+^.

3. Следует еще отметить, что и в отделе дробей и в отделе уравнений можно было найти ошибки от незнания роли нуля. Экзаменовавшиеся писали:

Видимо о нуле вообще ученикам в школе ничего не было сказано.

Задача № 5 (система уравнений).

Здесь при решении системы учащиеся во всех случаях избегали решать систему способом подстановки. Даже в тех случаях, когда давалось специальное указание на необходимость решить систему способом подстановки, учащиеся спрашивали экзаменатора о том, нельзя ли решать систему способом сложения. И, не получив разрешения, вее-таки решали систему сложением. Все это показывает, что учащиеся плохо владеют способом решения системы уравнений путем подстановки, между тем как этот способ крайне нужен в последующих отделах математики.

В остальном тут были те же ошибки, что и при решении предыдущей (4-й) задачи.

Задача № 6 (геометрическая задача).

Задача была дана из последней темы VII класса по геометрии, очень простая. Несмотря на это, как мы видели из помещенной выше таблицы, эта задача дала наименьший процент решаемости.

Ошибки были самые разнообразные.

1. Многие учащиеся просто не знали, как к делу приступить, просили „объяснить задачу“, „дать чертеж к задаче“ или просто сидели, пока не истекал срок работы. Это говорит прежде всего о том, что во многих школах вообще геометрические задачи почти совершенно не решались.

2. Само решение в большинстве случаев (если чертеж удавалось нарисовать) сводилось к бессмысленному жонглированию числовыми данными. И ответы получались самые дикие, вплоть до таких: длина искомого отрезка оказывалась равной —2,5 м, —11,5ле и т. п.

3. Нельзя не отметить, наконец, наличия грубых грамматических ошибок в том небольшом тексте, который оказался налицо в письменном задании. Хотя в этом вопросе большая вина ложится на преподавателя русского языка, однако и математик не может сложить с себя полной ответственности. Во-первых, очень многие математики считают, что „грамматика их не касается“, и поэтому не только не борются с ошибками, но даже не исправляют их. Нечего и говорить, что редко можно встретить учителя, который снижает отметку за математическую работу из за наличия в ней грубых грамматических ошибок.

Во вторых, среди грамматических ошибок имеются и такие, ответственность за которые лежит целиком и полностью на учителе математики — это ошибки в написании математических терминов. Вот образчики: „вычеслить“, „слажение“, „триугольник“, „паралельно“ и

т. п. За эти ошибки безусловно отвечает математик. Можно назвать немногих учителей математики, которые не только вскользь поясняют написание вновь появившегося термина, но и действительно пишут его на доске, а, кроме того, вывешивают у доски карточку с написанием этого термина.

В заключение нашего анализа письменных работ поступавших в техникум отметим совершенно неудовлетворительное внешнее оформление работы. Требование выполнить работу без черновика поставило большинство экзаменовавшихся в чрезвычайно затруднительное положение. Это требование привело к подаче огромным большинством учащихся таких работ, которые по существу учитель не имел права принять от ученика.

Вычисление ведется нерационально, запись на листе — небрежная и грязная. Вычислениями в уме учащиеся не владеют. Состава числа не чувствуют, поэтому и приведение дробей 1 общему знаменателю и сокращение дробей ведут очень неуклюже. Над числителями алгебраических дробей замысловатыми змеями извиваются дополнительные множители. Многие цифры „упрощены“ до каких-то закорючек. Числа подписаны одно нод другим небрежно — разряды не под соответствующими разрядами. В дробях после знака равенства сначала пишется числитель, а потом горизонтальная черта (а не наоборот), благодаря чему знак равенства оказывается не на месте. То же самое нужно сказать и о знаках плюс и минус. Вопросы сложного примера не пронумерованы и не отделены четко один от другого. Запись решения уравнения ведется в строку, а не столбиком. Ошибочные места протираются резиной до дыр или грязно вымарываются.

Все это говорит о чрезвычайно низком уровне культуры математической записи (то же надо сказать и о культуре устной речи).

IV

Рассмотрим теперь устные испытания по математике в техникум.

К устным испытаниям были допущены все, независимо от полученной отметки за письменную работу.

Испытания состояли в проверке знаний и навыков в области арифметики, алгебры и геометрии в объеме программы неполной средней школы. Были составлены задания, заключавшие в себе по шести вопросов в каждом, примерно по два вопроса по каждой математической дисциплине. Вся проверка строилась с целью выявить:

1) уменье учащихся вести доказательства теорем, уменье вывести формулу, правило;

2) знание формулировки правил, теорем, формул;

3) уменье применять правила, теоремы, формулы к решению примеров и задач.

Вот образец одного билета-задания:

1. Каким действием находится одна или несколько частей числа?

2. Число 425 разделите прямо-пропорционально числам 5, 9, 11.

3. Скажите правило деления многочлена на одночлен.

4. Решите уравнение: х= с.

5. Докажите теорему о свойствах прямой, проведенной в треугольнике параллельно одной из сторон.

6. Разделите данный отрезок на 7 равных частей.

После обдумывания ответа у доски экзаменующиеся должны были изложить весь ответ путем связного мотивированного рассказа.

Прежде всего надо отметить, что последнее, как правило, отсутствовало. Ученики упорно ждали вопросов со стороны учителя и склонны были отвечать только на вопросы. Вопросы учителя „Почему?“, „Для чего вам это понадобилось?“, „На основании какой теоремы?“, как правило, оставались без ответа.

Что касается знаний, выявленных у поступающих во время устного ответа, то о них надо сказать следующее.

Справедливость требует отметить, что некоторая часть учащихся, получивших „ну“ по письменной работе, вытянули на „уд“ на устном ответе. Далее надо отметить некоторый безусловный сдвиг по сравнению с прошлым годом и прежде всего на наиболее слабом фронте — в области геометрии. Целый ряд учащихся доказывали или пытались доказывать геометрические теоремы, причем при доказательствах пользовались математическими терминами.

Но в общем и целом устный экзамен дал лишнее подтверждение того факта, что неполная средняя школа выпустила из VII классов очень много учащихся, совершенно не подготовленных по математике.

Арифметика. 1. Мы уже отмечали тот факт, что школы, отобрав у учащихся учебники, просто-напросто лишили учащихся возможности повторить программный материал по арифметике.

В результате этого знания теоретического материала совершенно отсутствовали. Из законов действий экзаменовавшиеся могли лишь назвать переместительный закон сложения и переместительный закон умножения. От формулировки других законов действий учащиеся

отказывались, либо формулировку любого закона сводили к тому же переместительному закону. Самый закон излагался в описательной форме. Остальной теоретический материал также совершенно забыт. Так, учащиеся не знают, какими двумя способами обыкновенная дробь обращается в десятичную; не знают, какая обыкновенная дробь обращается в конечную десятичную и какая — в бесконечную, не знают производных пропорций, не знают, какие перестановки членов пропорции можно сделать, не знают признаков делимости на 12, 15, 18 и тому подобные числа, не помнят о главном свойстве дроби и о том, какие преобразования дробей можно сделать на основании этого свойства; не знают таких важных законов, как деление произведения на число, деление числа на произведение и т. п., и мы уже видели, к каким последствиям приводит незнание этих законов; не могут сформулировать правила деления десятичных дробей; не знают единого правила деления обыкновенной дроби на целое, целого на дробь и дроби на дробь; очень нетвердо устанавливают соответствие между умножением, делением с нахождением части числа и с нахождением числа по его части; очень плохо знают метрические меры площадей и объемов: большинство не умели написать двухсоставное именованное число (на площади или объемы) в виде десятичной дроби.

Нельзя не отметить такого факта, как неуменье написать цифрами число, заданное словами. В одном билете было задание — написать восемнадцать миллионов пятьдесят две тысячи четыре. Из семи человек, которым был предложен этот билет, шестеро не смогли написать правильно число.

2. Не лучше обстояло дело с вычислительными навыками. Часть экзаменовавшихся просто отказывалась от выполнения того или иного примера: „Я умножение дробей забыл“, „Я не помню, как делится число на части, обратно-пропорциональные данным числам“ и т. п.; далеко не все сумели десятичную дробь 0,125 обратить в обыкновенную, причем те, кто это сделал, шли таким путем:

Устно никто не смог проделать эту несложную операцию.

Вычисление с дробями для очень многих являлось непреодолимым препятствием. Так, нахождение х из пропорции 6 -0 :х == 0,25:12 или пример типа 18^:30,85 — 3 у не решили без ошибок большинство экзаменовавшихся.

Алгебра. 1. Теоретическая сторона и здесь хромает на обе ноги. Основных свойств уравнения большинство не знает. Некоторые пытались на этот вопрос давать такой ответ: „Основное свойство уравнения—это что правая часть равна левой“. Не знают также следствий из этих основных свойств уравнений. Отсюда те ошибки в решении уравнений, о которых мы выше говорили.

Правило деления многочлена на многочлен все, как один, формулировали так: „Надо каждый член делимого разделить на каждый член делителя“. На вопрос о том, какая дробь называется алгебраической, почти все экзаменовавшиеся ответить не могли. Путают определение коэфициента и показателя. Задания — найти 5 решений уравнения je 5у = 14—никто не выполнил. Все в один голос заявляли, что такие уравнения решить нельзя. Правила производства действий с относительными числами большинство отказывалось сформулировать.

Правда, предложенный числовой пример обычно выполняли правильно.

2. Ошибки в области навыков в тождественных преобразованиях, и в действиях с алгебраическими одночленами и многочленами на устных экзаменах были совершенно аналогичны тем, которые нами отмечены при анализе письменных работ.

Геометрия. 1. Как мы уже указывали выше, в области уменья вести доказательство теорем мы имеем небольшой, но несомненный сдвиг. Однако, очень многие либо категорически отказывались доказывать теорему, либо просили напомнить им чертеж (признак бессмысленной зубрежки), либо начинали вести доказательство, но быстро запутывались и кончали „доказательство“ ссылкой на формулировку данной же теоремы. Речь при изложении теоремы тяжелая, вымученная, обильно уснащенная всевозможными словечками, междометиями и даже вздохами.

Ведение доказательства строго соответствует книге (даже в буквах у чертежа). Отсутствует знание системы геометрического материала: при доказательствах спокойно ссылаются на теорему, которая в цепи теорем стоит значительно позднее доказываемой теоремы.

Те из учащихся, которые сумели доказать ту или иную теорему, сделали это только при помощи наводящих вопросов. Связный мотивированный рассказ можно отметить из. экзаменовавшихся буквально у единиц.

2. Знание определений, свойств фигур, формулировка теорем, формул тоже не на высоте. Очень разительна путаница учащихся

в определении фигуры с ее свойствами. На вопрос о свойстве касательной к кругу следовал ответ, что касательная с кругом имеет одну общую точку. На вопрос о свойстве смежных углов следовал ответ о том, какие углы называются смежными (и наоборот).

Не могут ответить на вопрос о том, равенство скольких элементов необходимо для равенства прямоугольных треугольников.

Вообще, на вопросы, поставленные в несколько иной, чем в книге, формулировке, вопросы, вскрывающие степень сознательности ответа и глубину понимания вопроса, экзаменовавшиеся не отвечали.

Не сумели ответить поступавшие на вопрос о том, какие отрезки называются несоизмеримыми (и привести пример таких отрезков). Не могли установить разницы между аксиомой и теоремой. Не могли дать определения дугового и углового градуса. Не могли найти центр данной дуги.

Вывод

При наличии некоторого сдвига в знаниях и навыках по математике у учащихся, кончающих неполную среднюю школу, нельзя признать подготовку этих учащихся достаточной для успешного прохождения курса техникума.

Мы отдаем себе отчет в том, что далеко не все, поступавшие в техникум, представляли лучшую часть учащихся, окончивших 7 классов средней школы; однако, совершенно очевиден факт отсутствия ответственности многих школ и преподавателей математики, выпускающих из неполной средней школы совершенно неподготовленных по математике учащихся.

Факт безответственности школ вытекает из наличия чрезвычайно завышенных отметок в аттестатах окончивших школу при отсутствии на деле самых элементарных знаний и навыков по математике.

ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ ПО ФИЗИКЕ В ТЕЧЕНИЕ УЧЕБНОГО ГОДА

Проф. А. КАЛАШНИКОВ (Москва) (Институт политехническою образования)

Вопрос о том, как изменяются знания (понятия, умения, навыки), однажды усвоенные с течением времени, является вопросом исключительно важным для обоснования методики преподавания и для предвидения того, каких изменений можно ожидать в знании учащихся по истечении определенного времени.

Решение этого вопроса зависит от ряда причин: 1) от эффективности методики преподавания; 2) от подготовленности учащихся усвоить данное конкретное содержание; 3) от способности удерживать в памяти усвоенное; 4) от влияния на усвоенный материал дальнейшего прохождения программы (перенос нового содержания на старое).

Взаимодействие между указанными выше факторами является весьма сложным; изолировать каждый из них и выяснить роль его в последующем состоянии знаний учащихся надлежит в дальнейшем экспериментальном исследовании.

Нам известно много психологических экспериментов, относящихся, главным образом, к прочности усвоения знаний (запоминание) по родному языку или по математике. В области физики таких экспериментов до сих пор не производилось; между тем, с точки зрения структуры знания, физика представляет собой весьма интересное содержание, поскольку мы здесь имеем: знания, получаемые путем непосредственных наблюдений; знания, представляющие собой обобщения наблюденных и исследованных фактов (определения, законы) и, кроме того, знания, основанные на ряде ранее усвоенных математических понятий и навыков.

Я начал изучение этого вопроса в прошлом году, выбрав для этого часть программного содержания X класса. Как известно, в начале программы этого класса имеется отдел „Электростатика“, который по отношению к дальнейшим разделам курса имеет самостоятельное значение и материал которого не повторяется на протяжении следующих за ним разделов программы вплоть до раздела „Электромагнитные колебания“

Вследствие этого содержание данного отдела является очень удобным для того, чтобы

на нем провести эксперимент относительно изменения знаний на протяжении достаточно длительного промежутка времени.

Эксперимент заключался в следующем: после прохождения этого отдела учащимся X класса был дан вопросник, состоящий из 29 вопросов, которые охватывали наиболее существенные части раздела „Электростатика“; спустя 46 дней после проведения первой контрольной работы была дана без предупреждения совершенно такая же вторая контрольная работа. Через 142 дня после второго испытания эта же контрольная работа была повторена также без предупреждения. Решаемость всех вопросов контрольной работы, которую дали учащиеся в каждом из трех экспериментов, была подвергнута анализу, который мы приводим ниже.

Прохождение всей темы в классе заняло 10 час; при этом все основные явления электростатики сопровождались многочисленными демонстрациями; глубина прохождения этой темы примерно соответствовала учебнику физики для педтехникумов И. И. Соколова.

Контрольная работа включала в себя, как уже указано выше, 29 вопросов, имевших целью выяснить знания: явлений и свойств тел, формулировок законов и определений, формул, решений задач и объяснения явлений. Вопросы предлагались в трех формах: в форме прямого вопроса (большинство), в форме дополнения с пропуском слов и два вопроса в форме сложного альтернативного теста. Вопросы обрабатывались следующим образом: совершенно правильные ответы получали оценку—единицу, приблизительно правильные — неправильные — минус, нерешенные— 0. Таким образом, если бы учащийся все вопросы решил правильно, то его работа получила бы оценку—29; всего в обработку попали контрольные работы 24 учащихся.

В первом эксперименте наименьшая решаемость контрольной работы была—13, и наибольшая —27. Во втором эксперименте соответствующие цифры будут— 11 и 27, а в третьем эксперименте — 8 и 271/2. Из этого следует, что в то время, как максимальные показатели решаемости работ почти не меняются, минимальные показатели прогрессивно уменьшаются. Среднее арифметическое по всему классу будет для первого эксперимента — 20,9, для второго эксперимента—19,5, для третьего эксперимента—18,9. Рассматривая только эти средние данные, приходится констатировать, что забываемость усвоенного материала по электростатике растет в общем незначительно на протяжении примерно полугода. При диференцированном рассмотрении решаемости отдельных вопросов дело оказывается значительно сложнее: если на протяжении следующих за электростатикой разделов усвоенный материал прямо и не повторялся, то, однако, косвенным путем отдельные сведения из электростатики укреплялись и восстанавливались в памяти путем переноса сходных понятий из других разделов (например, знание структуры электрического поля частично укреплялось последующим изучением структуры магнитного поля и т. д.).

Для того чтобы видеть, как изменяются знания в течение трех этапов эксперимента, ниже я привожу таблицу, в которой все вопросы контрольной работы сгруппированы по некоторым общим категориям знания физики с указанием характера их решения: полное решение (с оценкой 1), приблизительное решение (с оценкой */2), неправильные решения (с оценкой минус) и отказ от решения (с оценкой 0).

Решаемость контрольной работы, данной сразу после прохождения темы (первый эксперимент), показывает, какие группы знаний из указанных выше в таблице были усвоены лучше и какие—хуже. Если взять среднее арифметическое правильных ответов по каждой группе вопросов, то окажется, что на первое место следует поставить группу „В“ (среднее 18,4) и группу „А“ (среднее 17,5), т. е. знание формулировок, знание явлений и фактов. Группа „D“ — выводы формул и установление размерности величин (среднее 14), а также группа „F“ (среднее 15), включающая в себя вопросы, связанные с объяснением явлений с точки зрения электронной теории, должны быть отнесены на второе место. На третье место попадает группа „Е“ — решение задач (среднее 5). Надо прежде всего отметить, что число вопросов по каждой группе не было одинаковым и поэтому сравнение может быть сделано лишь приблизительно. Однако, тенденция понижения решаемости вопросов контрольной работы по указанным выше группам совершенно правильно отражает действительный характер усвоения этого материала и по другим наблюдениям преподавателей.

Изменение состояния знаний по этим же группам вопросов выясняется из сравнения всех трех столбцов таблицы.

Рассматривая изменения знаний по группе „А“, мы видим, что эти знания довольно устойчивы; в большинстве случаев они не только не забываются, но даже растут и укрепляются. Особенно показательным здесь является

ТАБЛИЦА

Гр. А. — Знание явлений и свойств тел

I

Эксперимент, оценка

II

Эксперимент, оценка

III

Эксперимент, оценка

1

— 1

1

2

0

1

- 1

1

2

0

1

— 1

1

“2

0

1. Знание знаков зарядов при соприкосновении известных тел.........

22

1

1

21

1

2

24

2. Знание характера взаимодействия наэлектризованных тел.........

3. Знание, что при трении двух тел электрические заряды возникают противоположных знаков и в одинаковом количестве ..............

23 24

1

24

23

1

24 24

ников не удастся, если они не будут изолированы............

20

2

2

20

2

2

18

3

2

1

5. Знание конкретных тел, относящихся к полупроводникам .......

15

7

2

24

_

20

2

1

1

6. Знание, что взаимодействие наэлектризованных тел передается только через непроводящую среду.........

6

14

1

3

10

8

5

5

16

5

1

2

7. Знание того, что в проводниках элекповерхности ............

24

22

2

19

1

4

чества зависит от кривизны поверхности (на примере) .........

22

4

8

17

5

1

1

18

2

3

1

9. Знание того, что большее тело, заряженное одинаковым количеством электричества, получает меньший потенциал, чем меньшее тело..........

14

2

8

19

5

20

1

2

1

10. Знание того, где располагаются заряды в лейденской банке .........

15

4

19

2

14

1

Среднее ......

17,5

3,6

2,5

0,4

20

1,7

1,3

1,3

19,7

2,3

1

1

Гр. В. Знание формулировок законов и определение понятий и величин

1. Формулировка закона Кулона . . .

22

1

1

_

20

1

2

_

22

1

_

1

2. Определение электрического поля . .

21

3

17

2

5

19

3

2

3. Определение силовой линии ...

9

8

6

1

9

1

11

3

13

3

4

4

4. Определение диэлектрической постоянной.................

23

1

,

23

1

_

_

23

1

5. Определение электростатической единицы количества электричества . . .

6. Определение потенциала электрического поля.............

22 12

11

7

1

5

-

16 12

4 5

2

4

5

14 12

4 7

2 3

4

2

7. Определение электроемкости.....

20

3

1

9

7

1

7

8

5

2

9

Среднее ......

18,4

3,4

2

0,1

15,1

3

3

2,9

15,8

3

2

3,1

Продолжение

Гр. С. - Знание структуры эдектрического поля на чертежах

I

Эксперимент, оценка

II

Эксперимент, оценка

III

Эксперимент, оценка

1

—1

1

2

0

1

-1

1

2

0

1

— 1

1

“2

0

1. Уменье начертить поле двух одноименно заряженных шариков.........

18

6

17

7

И

1

12

Гр. D. —Выводы формул и установление размерности величин

1. Вывести из формулы закона Кулона размерность единицы количества электричества .............

14

6

3

1

8

4

5

7

8

4

3

9

2. Вывести формулу работы из определения потенциала............

13

3

_

3

14

5

1

4

16

4

1

3

3. Вывести единицы потенциала в абсолютной и в практической системах и установить их размерность .....

13

2

2

7

3

5

1

15

2

6

16

4. Вывести из формулы единицы емкости в абсолютной и в практической системах............

11

3

5

5

3

2

3

16

3

3

18

Среднее ......

14

3,5

2,5

4

7

4

2,5

10,5

7,3

4,2

1

11,5

Гр. Е. — Решение задач

1. На применение закона Кулона ....

4

10

8

2

9

3

7

5

9

5

6

4

2. На вычисление поверхности плоского конденсатора, если известна его емкость, диэлектрическая постоянная и толщина диэлектрика .............

6

8

1

9

1

4

1

18

1

3

1

19

Среднее ......

5

9

4,5

5,5

5

3,5

4

11,5

5

4

3,5

11,5

Гр. F. — Объяснение, исходя из электронных представлений электростатических явлений

1. Знание того, что отрицательный заряд представляет избыток электронов, а положительный — недостаток их ... .

16

7

1

20

2

1

1

21

1

2

2. Знание того, что в проводниках электроны свободно перемещаются, а в непроводниках— только смещаются . . .

18

2

4

16

3

3

12

3

7

2

3. Знание того, как распределяются заряды на проводнике в случае электростатической индукции в нем . ...

22

2

16

8

18

6

4. Знание явления поляризации диэлектриков ........... ....

13

4

4

3

9

14

_

1

9

14

1

5. Объяснение притяжения легких тел с точки зрения индукции .......

6

13

15

11

7

4

2

8

14

2

Среднее ......

15

5,2

3,2

0,6

14,8

6,2

1,6

1,4

13,6

7,6

1,8

1

вопрос 6: знакомство с учением об электричестве, очевидно, все больше и больше выясняет для учащихся роль среды во взаимодействии наэлектризованных тел. Если в первом эксперименте средняя была на втором месте, то во втором и третьем она выдвигается на первое место.

Число неправильных ответов по этой группе по всем вопросам также уменьшается, за исключением вопроса 10.

Почти так же обстоит дело и с вопросами группы „В“. Знание формулировок законов и определений величин также довольно устойчиво, хотя имеются два вопроса из семи, по которым мы наблюдаем значительную прогрессивную забываемость; это—определение электростатической единицы количества электричества и определение электроемкости.

Неправильные ответы также растут именно по этим двум вопросам. И то и другое понятие стоят особняком по отношению к остальным пяти в этой группе, так как не имеют сходных понятий в дальнейших разделах курса. Между тем, из этих пяти понятий все так или иначе повторяются при изучении магнитного поля (закон Кулона, определение электрического поля, силовой линии, потенциала).

Точно так же резко уменьшается число неправильных ответов по этим вопросам, что особенно видно на вопросе об определении силовой линии.

Группа „С“ заключает в себе только один вопрос — уменье начертить картину поля двух одноименно заряженных шариков; как видно из сравнения показателей решаемости, картина поля постепенно утрачивает свою отчетливость. В третьем эксперименте особенно возрастает количество приблизительных оценок (1).

Группа „D“, обнимающая собой вопросы, связанные с выводом формул и установлением размерности величин, представляет совершенно другую картину по сравнению с группами „А“ и „В“. Здесь за исключением одного простого вопроса: написать формулу работы, исходя из определения потенциала,—остальные три вопроса показывают резкое уменьшение решаемости от первого эксперимента ко второму. Кроме этого, и первоначальные показатели решаемости (в первом эксперименте) по этим трем вопросам ниже 60%. Следовательно, наиболее слабо усвоенным из всего отдела „Электростатики“ являются выводы указанных выше формул, которые также весьма быстро забываются.

Если рассмотреть неправильные ответы на вопросы этой группы, а также нулевые, то оказывается, что число нулевых ответож растет от одного эксперимента к другому; это показывает, что чем дальше проходит время, тем меньше становится учащихся, которые пытаются решать вопросы этой группы, хотя бы и неправильно. Отказ от решения вопросов 1, 3, 4 в последнем эксперименте говорит почти о полном забвении выводов формул и установления размерности величин.

Еще более слабую решаемость мы обнаруживаем по группе „Е“—решение задач. Здесь решаемость как в первом эксперименте, так и в последующих экспериментах ниже 25%. Любопытно, однако, изменение решаемости задачи на применение закона Кулона: после того как подобного рода задачи решались в области магнетизма, во втором и в третьем экспериментах показатели решаемости почти на 100 % выше, чем в первом эксперименте. Иную картину мы имеем во второй задаче—на вычисление поверхности плоского конденсатора, где обнаруживается чрезвычайно быстрая забываемость формулы емкости плоского конденсатора, которая давалась в процессе преподавания совершенно догматически, без вывода: вследствие этого она быстро исчезла из памяти. Задач на ее применение решалось также мало.

То же доказывается и увеличением количества нулевых ответов для второй задачи — с 9 до 19.

Последняя группа — „F“, дающая представление о знаниях учащихся в объяснении явлений, исходя из электронных представлений, показывает, что и здесь мы наблюдаем влияние переноса знаний, полученных из других отделов. Ясно, что понятие об отрицательном заряде как избытке электронов, а о положительном — как о недостатке их, с течением времени укрепляется (вследствие частого употребления такого объяснения в явлениях электрического тока). Наоборот, вопросы 2 и 4, относящиеся к объяснению свойств диэлектриков, показывают в общем прогрессивное уменьшение решаемости. Это легко объясняется тем, что на протяжении дальнейшего курса о свойствах диэлектриков почти ничего не говорилось.

Увеличение количества неправильных ответов по вопросу 4 при стабильности нулевых ответов показывает прогрессивно увеличивающуюся нечеткость знаний явления поляризации диэлектриков.

Также показывают значительные колебания в решаемости вопросы, связанные с объяснением электростатической индукции; особенно низшую решаемость и резкие колебания дает вопрос 5, в котором требуется дать объясне-

ние притяжения легких тел с точки зрения индукции.

Интересно теперь проследить, как изменялись знания учащихся различных категорий по успеваемости. Для этого мы проделали следующую работу: мы выбрали по трое учащихся из самой сильной части, из середины и из самой слабой части класса. Для каждой из этих трех групп учащихся взяли среднее по каждому эксперименту, применительно к группам вопросов, данных в таблице. Оказалось следующее: учащиеся, имевшие наивысшую успеваемость, укрепляли свои знания по группам „А“ и „В“; решаемость вопросов по этим группам не только не уменьшалась от одного эксперимента к другому, но даже несколько возрастала (среднее для первого эксперимента 14,5, для третьего— 16,5). По группе „D“ решаемость прогрессивно падала в таком отношении: 12:8:7 у.

По группе „Е“— решения задач — также решаемость падала, но не так сильно:

В таком же примерно отношении изменялась решаемость и по группе объяснения явлений.

У средних учеников в отношении групп ,А“ и „В“ также наблюдается устойчивость знаний, причем среднее по второму эксперименту несколько ниже, чем по первому, а по третьему снова приближается к первоначальной решаемости. Таким образом, в этой группе под влиянием изучения вопросов, до известной степени связанных с содержанием экспериментальной темы, знания укрепляются по этим вопросам и не замечается их прогрессивного снижения, которое наблюдается по группе „D“; там падение решаемости от одного эксперимента к другому выражается в следующем отношении: 11 ~:4:3. Так же резко падает и решаемость задач. Значительно менее резки изменения по группе „F“ — объяснение явлений (l 1:10 :10-^- ) .

Переходя теперь к слабым ученикам, приходится прежде всего отметить резкое падение решаемости по всем группам, в том числе и по первым двум „А“ и „В“: отношение решаемости вопросов для обеих групп в первом эксперименте и в последнем равно 11:8,3. По другим группам изменение решаемости в отношении этих учащихся проследить трудно, так как по группам вопросов „D“ и „Е“ три слабейших ученика класса не решили полностью ни одного вопроса.

Выводы из данной работы имеют ценность пока лишь постольку, поскольку относятся к конкретному материалу экспериментальной темы. Эти выводы даны выше. Что касается обобщений, относящихся к изменению состояния знаний по физике в целом и для разных классов, то такие обобщения делать пока преждевременно, за отсутствием более обширного материала, охватывающего целый ряд разделов программы физики.

МАЯТНИК В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

М. ГРАБОВСКИЙ (Москва)

Демонстрация „Математический маятник“ и лабораторная работа того же названия широко известны преподавателям средней школы. В подавляющем числе случаев демонстрация и лабораторная работа на эту тему преследуют одну цель: установить зависимость периода колебания маятника Т от длины подвеса математического маятника /, согласно формуле

(1)

Зависимость между T u g преподаватель обычно устанавливает догматически, ссылкой *а опыты, произведенные с математическим маятником в различных пунктах земного шара. Отсюда понятно, почему учащиеся значительно яснее представляют первую связь и менее твердо усваивают вторую. Исходя из последних соображений, мы рекомендуем при прохождении в средней школе главы „Колебания“ показывать наряду с опытом „Маятник в поле сил тяжести“ демонстрацию „Маятник в магнитном поле“, так как последняя Д1ет возможность проиллюстрировать с качественной стороны, а иногда и с количественной, вторую зависимость. Настоящая заметка преследует цель ознакомить преподавателей средней школы с поставленными выше вопросами.

I. Демонстрация

Железный или стальной шарик (диаметром в 1—2 */., см) подвешивается на нити (длиною около 100 см) к демонстрационной стойке (раме) (см. рис. 1). Под шариком располагается сильный электромагнит с большим по сечению сердечником. Последнее необходимо для получения возможно более однородного магнитного поля.

Если в физическом кабинете школы нет такого магнита, то для этой цели можно использовать трансформатор Неймана. У последнего следует снять вертикальную стойку с прижимающим детали трансформатора винтом, а из остальных частей — собрать электромагнит, состоящий из: 1) катушки (с большим числом витков),

2) вертикального сердечника, входящего в катушку и

3) горизонтальной накладки (ярма).

В случае использования трансформатора Неймана установка имеет приблизительно тот вид, который изображен на рисунке 2.

Назначение горизонтальной части а электромагнита — обеспечить некоторую однородность магнитного поля вдоль стержня а, о котором мы упомянули выше. Напряженность магнитного поля над горизонтальной частью установки зависит от ряда факторов. Мы можем воздействовать в данной постановке опыта лишь на один: на силу тока в обмотках электромагнита. Последним мы будем пользоваться при регулировании интенсивности магнитного поля, в котором происходит колебание металлического шарика.

В опыте с трансформатором Неймана присутствие второго горизонтального сердечника с искажает немного однородность магнитного поля. Шарик необходимо подвесить над магнитом таким образом, чтобы воздушный зазор между шариком и вертикальной накладкой а был 0,5—1,5 см. Причем следует помнить, что при сильном поле нить, на которой подвешен шарик, будет вытягиваться, воздушный зазор будет уменьшаться и даже шарик может быть вплотную притянут к вертикальной металлической накладке. Поэтому к нити предъявляем следующие требования: прочная, тонкая и не вытягивающаяся. Шарик необходимо подвесить над серединой накладки. Плоскость колебания маятника должна совпадать с той плоскостью, в которой напряженность магнитного поля изменяется лишь в вертикальном направлении и не меняется в горизонтальном. Эта плоскость, естественно предположить, должна совпадать с вертикальной плоскостью, проходящей вдоль накладки а.

Однако, такое совпадение этих двух плоскостей не всегда можно наблюдать. Вследствие неоднородности поля, получаемого на описываемой установке, совпадение рассматриваемых плоскостей необходимо подобрать в каждом отдельном случае. Последнее устанавливается таким образом: если при наложении поля колеблющийся шарик начнет описывать „восьмерки“ или еще более сложные фигуры, плоскость колебания и линия одинаковой магнитной напряженности не сливаются. Необходимо весь магнит или горизонтальную накладку сдвинуть на небольшой угол до тех пор, пока колебания маятника в магнитном поле не будут“ происходить в одной плоскости.

Однако, наши рассуждения будут неверны, если мы не упомянем о следующем обстоятельстве: размах колебания маятника в магнитном поле должен быть немного меньше длины железного стержня а (см. рис. 1 и 2). Для опыта с трансформатором Неймана — 12—\Ъ см* Интенсивность поля и размеры воздушного зазора перед демонстрацией следует подобрать. Ориентировочно можно сказать, что при указанных выше условиях и при силе тока в обмотках электромагнита 5—6 ампер постоянного тока в момент наложения поля произойдет изменение периода полного колебания маятника с 2 сек. до 1,2—1,4 сек. Такое изменение периода колебания хорошо видно на-глаз.

Демонстрировать следует таким образом: отклонив шарик на небольшой угол, фиксируем внимание аудитории на полученном периоде колебания; включив ток (получив магнитное поле), отмечаем уменьшение периода колебания. Для большей убедительности следует рекомендовать преподавателю во время демонстрации при помощи секундомера или метронома определить период колебания шарика без поля и в магнитном поле. Полученная разница дает возможность преподавателю с качественной стороны установить зависимость между Т и g. В заключение следует внести одно уточнение в наше изложение.

Рис. 1.

Рис. 2.

При наложении магнитного поля поле сил тяжести продолжает действовать на шарик. Следовательно, мы наблюдаем колебания металлического маятника одновременно в двух полях: земного тяготения и магнитного. Действие на шарик двух полей суммируется. В дальнейшем для краткости изложения в подобном случае мы будем упоминать лишь о магнитном поле. Поле сил тяжести в равной степени присутствует в двух вариантах опыта.

Исходя из последних соображений, возможно произвести приблизительный расчет этого явления. Сущность этого расчета изложена ниже.

II. Лабораторная работа

Данная демонстрация ценна еще тем, что эту установку можно использовать для лабораторной работы. Наблюдаемое изменение периода колебания маятника вызвано появлением добавочной силы притяжения Q, действующей на металлический шарик, которая вместе с силой тяжести тянет шарик вниз, увеличивая тем самым величину ускорения. Определим эту добавочную силу.

На рисунке 3 изображена уже описанная установка с некоторыми изменениями. Шарик О уравновешен при помощи чашки с грузами N. Между шариком и полюсом магнита располагаются кусок картона, толщиной, равной величине воздушного зазора, при которой маятник колебался при наложении магнитного поля. В этом случае следует учесть возможное удлинение нити. Следовательно, без поля вес чашки с гирями равен весу шарика. Если включить ток в обмотку электромагнита, шарик будет плотно притянут к картону, разделяющему его от полюса.

Нагружая чашку N добавочными грузами, мы определим ту силу, с которой груз притягивается к магниту. Допустим, что этот груз равен Q; тогда, зная массу шарика /я, возможно приблизительно подсчитать то добавочное ускорение, которое получает шарик при колебании в магнитном поле:

(2)

Следовательно, период колебания маятника в поле будет выражен следующей формулой

(3)

Если произвести определение периода колебания данного маятника без поля

разделив Т2 на Tv получим:

откуда

Следует теперь объяснить, почему такой расчет дает лишь приблизительные результаты для силы Q: 1) магнитное поле нашей установки весьма неоднородно и при этом с весьма большим градиентом убывания; 2) силы взаимодействия между движущимся металлическим шариком и магнитным полем можно свести к механическому отрыву лишь в первом приближении.

Однако, несмотря на указанные трудности, эта задача может быть поставлена в средней школе. Расчет ошибки, получаемой здесь, мы из-за краткости изложения опускаем.

Данную лабораторную работу можно поставить в следующем порядке:

1. Определить период колебания маятника (без магнитного поля), наблюдая время 10— 15 полных колебаний.

2. Определить период колебания маятника при определенной напряженности магнитного поля.

3. Определить период колебания маятника при уменьшенной напряженности магнитного поля. Напряженность магнитного поля следует оценивать силой тока, проходящего по обмотке электромагнита.

4. Изменяя силу тока в обмотке электромагнита и уменьшая величину воздушного зазора между металлическим шариком и полюсом магнита, добиться уменьшения периода колебания маятника по сравнению с колебанием без поля в 2; 1,5; 1,25 и т. д. раз.

5. Определить силу отрыва Q шарика от накладки а при данном воздушном зазоре и при определенной напряженности поля. Постоянство напряженности поддерживается постоянством силы тока в обмотке электромагнита.

Рис. 3

Желательно сохранить условия опыта, при которых было определено Т2. Например, из опыта 2. Определение Q необходимо произвести несколько раз и взять среднее значение.

Так как металлический шарик движется по дуге, то величина воздушного зазора между ним и накладкой несколько меняется. Для большей точности следует измерить значение силы отрыва Q при двух воздушных зазорах: минимальном и максимальном. Минимальный воздушный за юр получается при прохождении колеблющегося шарика через положение равновесия; максимальный соответствует положению наибольшего отклонения.

В результате значение Q берется как среднее всех наблюденных значений.

6. Определить массу шарика и при помощи формулы

рассчитать Т2.

Полученное из расчета значение периода колебания маятника в магнитном поле Т2 сопоставить с значениями Г2, наблюденными в опыте 2.

Согласно программному материалу по физике для средней школы, демонстрацию можно показать в VIII классе при проработке вопроса „Математический маятник“, лабораторную работу поставить в X классе, т. е., когда учащиеся познакомятся с понятием напряженности магнитного поля.

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ТЕРМОМЕТР СОПРОТИВЛЕНИЯ СО СТРЕЛОЧНЫМ ГАЛЬВАНОМЕТРОМ

А. РАБИНОВИЧ

Целый ряд нужных и интересных опытов обычно не демонстрируются в средней школе за отсутствием в школах демонстрационного термометра. В старой школе встречались термометры с прозрачной шкалой, которую можно было проектировать на экран. Недостатками этого метода являются необходимость располагать аппаратуру на оптической скамье проекционного фонаря и прочие неудобства, связанные с проекцией приборов.

Мы предлагаем вниманию читателей сконструированный нами на принципе болометра демонстрационный термометр. Кроме общего значения, предлагаемый нами прибор имеет и специальное значение как демонстрационный телетермометр. Как известно, термометры подобного рода бывают двух типов: 1) по схеме мостика Уитстона, когда термометрическое тело включается в цепь как ветвь мостика; сопротивление (а по нему и температура) отсчитывается по струне при нулевом положении указателя гальванометра, и 2) по схеме последовательного включения термометрического тела с гальванометром и источником тока. Второй тип требует источника тока с очень постоянными сопротивлением и электродвижущей силой, так как даже малые изменения этих величин могут заметно влиять на правильность отсчета температур по гальванометру. Первый тип, основанный на нулевом методе, от этих недостатков свободен, почему наш выбор и остановился на этом типе.

Основное требование, которое мы поставили себе при конструировании прибора, заключалось в возможности использования стрелочного демонстрационного гальванометра в качестве указателя тока. Как покажет нижеследующий расчет, это требование при некоторых условиях может быть выполнено.

На рисунке 1 приведена схема мостика Уитстона. Сила тока, проходящего через гальванометр, вычисляется по формуле (Хвольсон, т. IV):

Рис 1.

где

Если пользоваться аккумуляторами в качестве источника тока, то R практически можем считать равным нулю, так что:

Пусть положение R2 занимает термометрическое тело, переменное сопротивление которого обозначим через Т. В качестве /?4 поставим постоянное сопротивление из константана, равное сопротивлению термометрического тела при 0°С, которое обозначим через Т0. Пусть измеряемая температура равна 1°, но движок поставим посредине струны, т. е. на месте, соответствующем температуре 0°. Тогда через гальванометр потечет ток, приблизительная сила которого определится из последней формулы, а также из того обстоятельства, что Т= Т0 1,004, где 0,004 — температурный коэфициент сопротивления. Итак:

(1)

Мы пользовались гальванометром с сопротивлением в 50 омов, у которого расстояние по шкале, соответствующее 1 тА равно 5 см. Если сделать Т0 -]- /?j равным, скажем, 150 Q, а Е = 5 вольт, то:

что будет соответствовать отклонению в 2 мм на 1°.

Если считать расстояние от последней парты до лекционного стола в 7 му то это отклонение будет видно под углом зрения, равным:

что, как известно, является порогом различения. Отклонение же, соответствующее 2—3°, будет уже хорошо видно даже с последних парт. Для демонстратора же чувствительность будет значительно больше, и движок мостика может быть отрегулирован им с точностью, соответствующей 0,2—0,3э—вполне достаточной для наших целей.

Однако, мы встречаемся здесь с основным затруднением, вытекающим из того обстоятельства, что при условии пользования стрелочным гальванометром мы вынуждены ставить термометрическое тело под напряжение в несколько вольт, что может сообщить такое джоулево тепло, под влиянием кототого температура термометрического тела может оказаться заметно выше измеряемой им температуры среды. При производстве некоторых опытов в целях обхода этого неприятного явления мы, между прочим, натолкнулись на следующий любопытный опыт. Если в качестве сопротивления /?2 в мостике Уитстона взять 60-ваттную газополную лампочку накаливания, нить которой освобождена от прикрывающего ее стеклянного колпака, и если, пользуясь источником в 5—6 вольт, установить стрелочный гальванометр на нуль, то дуновение ртом на расстоянии целого метра от лампочки вызывает резкое отклонение стрелки; защита же проволоки прикрыванием ее рукой вызывает отклонение стрелки в другую сторону. Опыт этот может служить хорошей иллюстрацией к тому положению, что форма нити накаливания такова, что теплообмен между ней и окружающим ее под стеклянным колпаком спокойным газом в значительной степени затруднен. Очевидно, что борьбу с вышеуказанной помехой можно вести по двум направлениям: 1) путем увеличения сопротивления термометрического тела и 2) путем увеличения поверхности в целях лучшего теплообмена с окружающей средой.

Для выбора сопротивления термометрического тела сопоставим формулу (1) с законом Джоуля-Ленца в форме: Q = --T . Как видно из этих формул, увеличение сопротивления в п раз во столько же раз уменьшает количество теплоты. Вместе с тем сопротивление термометрического тела мало влияет на силу тока, проходящего через гальванометр, и тем самым — на чувствительность прибора, пока это сопротивление остается небольшим по сравнению с постоянным слагаемым 2/?о + /?г

В нашей конструкции мы выбрали 7}> равным приблизительно 2/?0 -)- Rr В качестве материала для термометрического тела мы взяли медную эмалированную проволоку диаметром 0,05 мм, употребляемую в телефонных электромагнитах. Проволоку с большим сечением мы отвергли по той причине, что ее в наших целях всегда выгоднее заменить параллельно-соединенными проводами меньшего сечения, так как при этом увеличивается поверхность проводника, что в отношении теплопередачи существенно важно.

Вместе с тем теплопередача сильно зависит от свойств той среды, температуру которой

нам желательно измерить. При некоторых предварительных опытах оказалось, что в керосине термометр показывал на 1—2° выше, чем в воде, имевшей в действительности точно такую же температуру, что и керосин. Также замечалось, что при перемешивании жидкости температура, указываемая термометром, была в этих опытах ниже, чем при спокойном состоянии.

При окончательном конструировании термометра критерием достаточной теплопередачи нам служила проверка показаний в керосине и в воде, в спокойном состоянии и при перемешивании, причем мы добились отклонения в показаниях не больше, чем на 0,1°.

Переходим теперь к описанию устройства и приемов выполнения термометра. Термометрическое тело изготовлено мною из 18 м эмалированного провода диаметром 0,05 мм. Провод навивается в форме многослойной цилиндрической катушки, с образующей в 3 СМ длины, причем каждый слой состоит всего только из 4—5 витков. Для удобства работы и для прочности катушки наматывание можно производить так. На стеклянную трубку одевается бумажный цилиндрик. На двух диаметрально-противоположных образующих этого цилиндрика приклеиваются кончиками 2 полоски папиросной бумаги. Полоски по длине (в средней своей части) покрываются лаком. Намотка ведется поверх этих бумажных полосок. Когда намотка будет закончена, выдвигающиеся концы полосок тоже покрываются лаком, отделяются от бумажного цилиндрика, загибаются и прижимаются к наружной поверхности катушки и таким образом оказываются приклеенными к катушке. Бумажный цилиндрик снимается со стеклянной трубки вместе с катушкой, а затем катушка освобождается от бумажного цилиндрика. К зачищенным концам катушки приписываются выводные проволоки, эмалированные, диаметром 0,8 мм. Термометрическое тело вкладывается в стеклянную пробирку, внутренний диаметр которой по возможности совпадал бы с наружным диаметром катушки. Толщина стенок трубки должна быть возможно меньше. В изготовленных нами термометрах при толщине стекла в 0,8 мм время, необходимое для установления теплового равновесия между жидкой средой и термометром, равно 1 —1,5 мин. К сожалению, в нашем распоряжении не было более тонкостенного стекла, и мы не могли использовать преимущества этого стекла. Надо полагать, что при тонкостенном стекле для термометрического тела можно было бы также повысить напряжение и тем увеличить чувствительность.

В целях большей прочности и избежания возможности короткого замыкания внутри пробирки выводные проволоки продеваются через две изолирующих пластиночки и через пробку, половина которой входит в пробирку. В пробке необходимо сделать отверстие для выхода воздуха при нагревании (рис. 2).

Рис. 2.

К концам выводных проволок припаивается телефонный шнур. На вторую половину пробки надевается стеклянный колпачок, через отверстие которого выводится шнур, причем 2—3 см этого шнура оставляется над колпачком (рис. 3). Колпачок с трубкой скрепляются хотя бы изолировочной лентой и перевязываются проволочкой. Шнур защищается от паров жидкости резиновой трубкой, один конец которой надевается на конец колпачка, а другой скрепляется со шнуром. В резиновой трубке у колпачка прожигается маленькое отверстие для выхода воздуха.

Рис. 3.

Устроенный таким образом термометр может служить только для измерения температуры жидкостей, так как для измерения температуры воздуха теплопередача оказывается недостаточной. Для измерения температуры воздуха изготовляются 3 катушки по 54 м каждая, которые соединяются параллельно. Размеры катушек можно делать побольше, так как при измерении температуры воздуха мы обычно не стеснены размерами сосуда. Катушки помещаются в какую-нибудь коробочку, в которой для циркуляции воздуха проделаны отверстия,

Для отсчета температур служит вертикальная панель длиной в \,2м с тремя шкалами: от —30° до +40°, от 15° до 120° и от 100° до 450°. Для каждой шкалы имеется своя никелиновая проволока, причем к каждому концу каждой проволоки присоединены последовательно балластные сопротивления ab и cd, помещающиеся на задней стороне панели и рассчитанные так, чтобы на видимой стороне умещались заданные для данной шкалы пределы температур (рис.. 4). Сопротивле-

Рис. 4.

ния также помещаются на задней стороне панели. В клеммы А включается термометрическое тело. Эти клеммы помещаются на горизонтальном основании прибора.

Двойной контакт В служит для включения любой из трех шкал; он включается в стык между сопротивлениями cd и ef} клеммы которых d и е помещаются на передней стороне панели.

Клеммы Си D служат для использования панели в качестве диференциального термоскопа. Для этого два одинаковых термометра включаются: один, как обычно, к Л, а другой— к клеммам С. При замыкании контактом В клемм Dx термометр, включенный в С, заменяет собой постоянное сопротивление e^fv При положении движка посередине первой шкалы (на нуле) и при одинаковой температуре обоих термометров гальванометр будет на нуле. Неодинаковость температур заставит стрелку отклониться от нулевого положения.

Употребление диференциального термоскопа может в значительной мере увеличить чувствительность, так как помехи со стороны джоулева тепла в обоих термометрах в значительной степени компенсируют друг друга.

Пользуясь батареей в 6 вольт, можно получить прекрасное отклонение от инфракрасных лучей в фокусе зеркала Пикте, а также хорошие результаты с кубом Лесли. Термометрические тела для подобных опытов мы устраивали из той же проволоки от телефонного электромагнита, наматывая ее на рамочки, вырезанные из деревянной линейки. Размеры рамочки 3 см X 3 см.

Расчет сопротивлений ab, cd и ef для второй шкалы производится следующим образом.

Пусть сопротивление ар2, равное сопротивлению c2d2, равно г2, сопротивление струны — г; сопротивление e2f2 пусть будет равно /?2, а температурный коэфициент сопротивления равен d. Тогда при положении движка в точке Ь2, соответствующей 15°, должно быть справедливо равенство:

а для точки, соответствующей 120°:

Из этих двух уравнений и находим значения /?2 и г2. Аналогично производится расчет и для третьей шкалы.

Сопротивления первой шкалы рассчитываются несколько иначе. Сопротивление RY берется равным Т0, а сопротивление рассчитывается из уравнения:

Градуировку первой и второй шкал удобнее всего производить по хорошему ртутному термометру, помещая оба термометра — электрический и ртутный — в большой сосуд Дьюара и меняя в нем температуру жидкости. Градуировка при аккуратном изготовлении прибора (прочная пайка, чистые контакты) получается весьма удовлетворительная, так что проверочные градуировки дают показания, расходящиеся в пределах только 0,1°. Градуировку третьей шкалы можно произвести по небольшому числу постоянных точек, как-то: по кипению воды, масла, плавлению олова и т. п. Промежуточные же температуры вычислить, принимая линейный закон зависимости сопротивления от температуры, что для этой шкалы является для демонстрационных целей в достаточной мере точным.

Рис. 5.

Внешний вид прибора приведен на фотографии (рис. 5). Обращение с прибором простое. Перед пользованием необходимо только сделать следующие включения:

1) термометр в клеммы Л,

2) гальванометр и батарею в две пары клемм, помещающиеся с задней стороны панели.

3) контакт В — к той шкале, которой желательно пользоваться и

4) замкнуть ключ К.

О МАГНИТНОМ НАПРЯЖЕНИИ ВНУТРИ КОЛЬЦЕВОГО СОЛЕНОИДА

В. КУБИНЦЕВ

В курсе физики О. Д. Хвольсона, т. IV, первая половина, на странице 637, изд. 1907 г., выведена формула F — r для вычисления магнитной силы, действующей на магнитный полюс в m единиц, находящийся внутри кольцевидного соленоида, состоящего из N оборотов, на расстоянии г от оси, проходящей через центр перпендикулярно к плоскости круга сечения, пересекающего ортогонально меридиональные сечения соленоида, когда по нему проходит ток силой / электромагнитных единиц.

Возьмем два кольцевидных соленоида, причем один из них находится внутри другого и так, что оси их совпадают. Пусть у одного из них — меридиональные сечения окружности, а у другого — прямоугольники произвольных размеров.

Число оборотов проволоки в этих соленоидах одинаковое и по ним проходит один и тот же ток, в разных направлениях.

Для первого соленоида магнитная сила, действующая на полюс /я, находящийся на расстоянии г от оси, равна F1 = —^L, для второго соленоида она равна /2 =--— 9 отсюда /, = — /2 и, следовательно, свободный фиктивный магнитный полюс, находящийся внутри двух соленоидов, будет находиться в покое и не будет вращаться.

Чтобы подтвердить результат, полученный на основании формулы кольцевидного соленоида, мною устроен следующий прибор.

Он состоит из двух одинаковых деревянных плоских колец, причем внешний радиус равен 4 см, а внутренний— 1,5 см, толщина колец 0,5 см.

По направлению радиусов внутри колец проделано \2 отверстий. Через эти отверстия проходит медная проволока толщиною около 1 мм и таким образом, что обороты проволоки образуют два соленоида с общей осью, причем деревянные кольца параллельны, расположены друг над другом и внутренние их плоскости находятся на расстоянии 3 мм.

Соленоиды устраиваются следующим образом (черт. 1 и 2). Отверстия в верхнем кольце я обозначу цифрами /, 2, 3 и т. д., в нижнем — соответственно 13, 14, 15, и т. д. Конец проволоки продевается от оси через от-

верстие 7, далее проволока заворачивается в кольцо радиусом 1 см, потом направляется в отверстие 13 второго кольца, проходит под нижним кольцом в виде окружности радиусом 3,5 см и далее направляется от оси через отверстие 2, потом снова образует кольцо радиусом 1 см и направляется в отверстие 14; по выходе из него проволока загибается в кольцо радиусом 3,5 см и т. д. Наконец, из отверстия 24 конец проволоки выходит наружу, причем он и конец оставшейся проволоки заворачиваются в кольцо радиусом 3,5 см, но так, что эти концы оказываются изолированными друг от друга.

Присоединяя их к полюсам генератора электричества, получим ток, идущий в наружном соленоиде в одном направлении, а во внутреннем — в другом.

Нижнее деревянное кольцо укреплено на трех стойках высотой 7,5 см, прикрепленных к деревянной квадратной дощечке 18,5 см X X 18,5 см.

На оси соленоидов укреплена четвертая стойка, оканчивающаяся стальным острием; на нем может вращаться в горизонтальной плоскости, в пространстве между деревянными кольцами, стрелка, состоящая из двух прямолинейных магнитиков, сделанных из вязальной спицы. Южными полюсами магнитные палочки обращены к оси вращения, а северными— наружу. Северные полюсы могут вращаться таким образом, что проходят через центры кольцевидных оборотов внутреннего соленоида. Внешнему соленоиду можно придать произвольную форму и размеры, например: согнуть проволоку так, чтобы меридиональные сечения были прямоугольниками.

К недостаткам сделанного мною прибора нужно отнести то, что соленоиды состоят только из 12 оборотов каждый.

При пропускании токов различной силы, до 10 ампер, стрелка прибора отклонялась приблизительно на 10°: отклоняющее действие оказывает внутренний соленоид, и, очевидно, отклонение стрелки тем будет меньше, чем больше оборотов проволоки в соленоидах.

Описанный прибор возник благодаря неудачой попытке осуществить вращение одноименных полюсов по круговым магнитным силовым линиям.

Черт. 1.

Черт. 2.

ДОСТУПНЫЕ ИНДИКАТОРЫ В ОПЫТАХ ПО ЭЛЕКТРОЛИЗУ СОЛЕЙ

С. ИВАНОВ (Москва)

При демонстрации электролиза солей требуется показать учащимся одновременно образование у электродов кислоты (у анода) и щелочи (у катода).

Употребляемые обычно химиками индикаторы (лакмус, фенолфталеин) для этого случая неудобны, так как дают два, а не три цвета; нам же надо различать: нейтральный, кислый и щелочной растворы. Приходится искать индикаторы хотя бы и менее чувствительные, но трехцветные. Одним из наиболее простых и дешевых оказывается отвар синей („красной“)* капусты

Так как он чрезвычайно плохо сохраняется, его пришлось бы хранить с каким-нибудь антисептиком, как это и рекомендует Верховский (см. „Техника и методика эксперимента в школе“, ч. 2-я, Гиз, 1926, стр. 143 и 144). Однако, это могло бы подорвать убедительность опытов. Удобнее пользоваться свежеизготовленными отварами, консервируя капусту на зиму путем простой сушки (в печи, так же, как сушат хлебные сухари). На возможность такого решения вопроса мне и хотелось бы обратить внимание преподавателей.

Отвар из сушеной капусты удобно получать, заваривая ее, как чай и, примерно, в такой же пропорции.

Один небольшой вилок обеспечит потребности самой большой школы на много лет, Верховский называет ряд растительных индикаторов, содержащихся в плодах ежевики, черной смородины, бузины, вишни, черники; в цветах фиалки, колокольчиков, васильков и т. д.

Было бы интересно выяснить, в каких случаях получается трехцветный индикатор и как его наиболее просто получить и сохранить.

АЛОСКОП КАК ОСВЕТИТЕЛЬ

Доц. А. БЕЛОГОРСКИЙ (Свердловск)

Если диафрагмировать объектив алоскопа обыкновенным картонным кружком с небольшим отверстием, который очень легко можно установить у линзы объектива, то им можно воспользоваться в качестве осветителя к ряду приборов. В данном случае алоскоп обладает некоторыми положительными качествами, среди которых первое место занимает его портативность, легкость, сравнительно небольшие размеры, достаточная светосила и возможность пользоваться от городского тока в 220—120 вольт. Этими качествами и должен обладать осветитель.

Чрезвычайно полезной и необходимой для физического кабинета является установка зеркального гальванометра, при помощи которого можно производить некоторые необходимые лабораторные работы и демонстрации. В качестве последней укажу хотя бы на опыт с термоэлементом, когда его хотят продемонстрировать для большой аудитории.

Зеркальный гальванометр для этой цели необходимо установить достаточно высоко на отдельной полочке, которую следует прибить к капитальной стене, иначе всевозможные сотрясения будут так или иначе влиять на показания гальванометра. Если установить гальванометр при помощи уравнительных винтов на такой полочке таким образом, чтобы его рамка свободно вращалась, а затем направить луч света от алоскопа на зеркальце гальванометра, то на противоположной стене в затемненной комнате получится световой зайчик (алоскоп в этой установке должен быть установлен на той же полочке). Присоединив к гальванометру термоэлемент и нагревая его в месте спая двух различных металлов хотя бы теплотой своей руки (для этого гальванометр должен быть достаточно чувствителен, чем, между прочим, не отличается школьный зеркальный гальванометр), мы заметим, что све-

* Цвет вилка синий; красной капуста становится в присутствии кислоты (маринованная).

товой зайчик переместится на значительное расстояние.

Будет очень удобно при постановке этого опыта на протяжении всей стены, по которой должен двигаться световой зайчик, вдоль его хода укрепить длинную бумажную шкалу с крупными делениями, заметными издали (шириной в 1 дм).

Аналогичную же установку можно собирать для опыта с осциллографом, причем все необходимые указания в этом случае можно найти в руководстве „Физика и техника“, изд. Культснабторга, Москва, 1933 г.

Кроме того, алоскопом можно воспользоваться для демонстрации кривой переменного тока.

Автору не раз приходилось ставить этот опыт и, надо заметить, что в таком виде, как это рекомендует Горячкин в своей книжечке („Радио в школе“, ч. 1-я, Москва, 1927 г.), опыт не всегда сходит гладко, так как железная полоска, к которой прикреплено зеркальце, дает очень заметные собственные колебания, искажающие синусоиду тока. Мало того, электрическая лампочка, включенная последовательно с электромагнитом и являющаяся в данном случае реостатом, слишком сильно ослабляет ток.

Вместо лампочки нужно взять несколько металлических реостатов на большое сопротивление, а электромагнит заменить катушкой Румкорфа с молоточкообразным прерывателем, к подвижной части которого приклеивается небольшое зеркальце (приблизительно в 1 кв. см).

Теперь надо пропустить через катушку городской переменный ток, а от алоскопа на зеркальце направить луч света, который в свою очередь после отражения от зеркальца падает на вращающееся зеркало, от которого на стене затемненной комнаты получается синусоида тока.

Во время подготовки к опыту нужно добиться, чтобы отраженный луч, упавший на вращающееся зеркало, попал как раз на его середину, иначе получится синусоида со срезанными верхушками.

Этот опыт очень интересен и эффектен, но при его постановке требуются большая настойчивость и терпение.

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛЯ ВОКРУГ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЛАМПОЧЕК С ПОМОЩЬЮ ФОТОЭЛЕМЕНТА

Н. ЕЖЕВ (Ижевск)

Известно, что сила тока, даваемого купроксидными фотоэлементами, пропорциональна падающей световой энергии* и, следовательно, если сила тока будет оставаться постоянной, то и падающий поток световой энергии также постоянен. Этим обстоятельством можно воспользоваться для того, чтобы дать представление о распределении силы света электрической лампы в различных направлениях. Для этой цели можно с большим удобством применить медно-закисный фотоэлемент конструкции Ленинградского института прикладной физики в соединении с подходящими гальванометром или милливольтметром. Берем фотоэлемент А (рис. 1) и заключаем его в деревянную или металлическую оправу В. Оправа В представляет кусок дерева, в котором взаимно-перпендикулярно просверлены два отверстия: одно—а, для фотоэлемента, с диаметром соответственно диаметру футляра, в который заключен фотоэлемент, другое — Ь, с диаметром, соответственно толщине карандаша, на который может быть надета эта оправа. Если в качестве оправы В применяется металлическая трубка, то нужно перпендикулярно оси трубки просверлить отверстие для вставки карандаша.

Для производства опыта оправа В надевается на конец карандаша С. В некотором расстоянии от лампы L, зажатой в штативе таким образом, чтобы большая ось ее баллона занимала горизонтальное положение, помещаем на горизонтальной поверхности лист бумаги Е и, установив фотоэлемент вертикально, в некотором расстоянии, сбоку или от середины лампы так, чтобы он находился на

* Лепешинская — «Экспериментальное исследование фотоэлектродвижущей силы в меднозакисных элементах», «Журнал технической физики», стр. 710—711 за 1931 г.

Л. А. Тумерман- «Фотоэлемент и его применения», стр. 42, ОНТИ — ГТТИ, 1934 г.

В. Ланге — «Фотоэлементы в науке и технике», «Успехи физических наук», т. XI, вып. 5-й, стр. 758, 762, 1931 г.

высоте оси баллона лампы, замечаем максимальное показание гальванометра или милливольтметра G, соединенного с фотоэлементом А. Легким нажимом карандаша С, на котором укреплен фотоэлемент, отмечаем точку О на лежащей под лампой бумаге. Передвигая карандаш с фотоэлементом в другую точку и наблюдая, чтобы он был вертикален, добиваемся того, чтобы и в этой новой точке показания гальваномера G были одинаковы с предыдущим отсчетом. Для того чтобы сделать точнее установку, карандаш слегка поворачиваем около его вертикальной оси, чтобы этим вернее установить фотоэлемент против лампы. После новой установки фотоэлемента наносим на бумаге карандашом опять точку. Передвигая таким способом карандаш с фотоэлементом вокруг лампочки и каждый раз устанавливая его на таком расстоянии от лампы, чтобы показания гальванометра G были одинаковы с первоначальным отсчетом, получим на бумаге Е ряд точек.

Соединив полученные точки плавной кривой, получим кривую, характеризующую распределение яркости данной лампы в плоскости, проходящей через ее ось. Такая кривая называется меридиональной кривой силы света или продольной кривой светораспределения лампы*. Таким же способом можно получить и экваториальную кривую силы света, т. е. кривую, характеризующую распределение силы света данной лампы, в плоскости, проходящей через центр лампы перпендикулярно ее оси. На рисунке 2 приводятся две меридиональные кривые силы света двух ламп, полученные этим способом. Одна кривая, точки которой отмечены на рисунке крестиками, получена для полуваттной лампы (100 W), а другая, — точки которой обозначены кружками,— для экономической (25 W). Масштаб кривых рисунка 2 уменьшен с помощью пантографа вчетверо. Положение лампочек отмечено на рисунке точками А и В.

Если перпендикулярно оправе В, в которую вставляется фотоэлемент А, приделать рейку С длиною 25 см, в которой на расстоянии 15 см от оправы просверлено отверстие D для вставки карандаша (рис. 3), то да при помощи этого приспособления можно получить этим же способом кривые распределения яркости лампочек сразу в малом масштабе, пользуясь небольшими листами бумаги. Для того чтобы этим приспособлением было удобно работать, оправа В должна быть сделана возможно легкой, а на конце рейки, в которую вставлен карандаш, должен быть устроен противовес Е.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

* Проф. А. Л. Корольков — «Курс электрического освещения», стр. 45, ГНТИ, 1931 г.

Мешков и Емельянский — «Гигиена освещения», стр. 128, 1934 г.

КАК БЫСТРО ЗАПОМНИТЬ АЗБУКУ МОРЗЕ

Н. КЕСЛИН (Киев)

Учащиеся средней школы — это будущие телеграфисты, радисты и т. д. Кроме этого, когда понадобится, они сменят книгу на ружье, а в армии азбука Морзе имеет большое значение, а потому очень полезно запомнить ее. Работая в кружке, я научил учащихся, как быстро запомнить азбуку Морзе. Этот способ был ими легко усвоен, и азбуку знали даже ученики V и VI классов.

Очень хороший способ быстрого запоминания азбуки Морзе состоит в запоминании отдельных слов. Каждой букве соответствует одно запоминаемое слово. Оно начинается с запоминаемой буквы, и количество его слогов равняется количеству знаков, обозначающих данную букву в азбуке Морзе (точка и тире —2 слога, точка, тире, точка — 3 слога и т. д.); причем слог с буквой а обозначает точку, а слоги с остальными гласными — тире. Например, для запоминания буквы А (.—) нужно запомнить слово А-зот. Это слово начинается с буквы А и количество его слогов равно количеству знаков, обозначающих его в азбуке Морзе. Слог А (с гласной а) обозначает точку, слог зот (с гласной о) — тире. Ясно, что для гласных а, и, у, э, ю и я, начинающихся в обозначении азбуки Морзе точкой (которой соответствует в нашем способе слог с буквой а), нельзя подобрать слов для запоминания по данному способу.

Все же остальные буквы легко запоминаются, стоит лишь запомнить соответствующие им следующие слова:

А А-зот . —

Б Бес-са-раб-ка —...

В Ва-зе-лин .---

Г Го-ло-ва --.

Д До-гад-ка — .. Е

Ж Жа-тва зла-ков ... —

3 Зем-ле-паш-ца--

И

К Ки-па-рис —. —

Л Ла-до-жан-ка . —..

M Mo-лот --

H Но-га —.

О О-ло-во ---

П Па-пи-ро-са .--.

Р Ра-ду-га . —.

С Са-ма-ра

Т Ток —

У

Ф Фа-на-тич-ка .. —.

X Ха-на-ан-ка ----

Ц Цы-га-ноч-ка — . —.

Ч Че-ре-му-ха ---.

Ш Шел-ко-вод-ство------

Щ Щу-ро-гла-зый--. —

Ы Ы-ка-ни-е —.--

Ю ..--

Э

я

ь — ..—

Ясно, что можно по своему усмотрению подобрать другие слова.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

ЕЩЕ О ЗЕРКАЛАХ АРХИМЕДА

(Отклики читателей)

В журнале „М. и Ф“. № 1 за 1935 г. был помещен вопрос т. Новикова о достоверности известной легенды о зеркалах Архимеда и ответ на него, написанный В. И. Лебедевым. По поводу этого ответа мы получили несколько писем, с разных точек зрения толкующих его содержание. Как помнят читатели, автор ответа указывал, что Архимед не производил такого опыта, так как ни Полибий, ни Плутарх в своих повествованиях об Архимеде не упоминают об этом опыте, но так как в произведениях более поздних писателей (VI век н. э.) имеется указание, что .Архимед сжег при помощи зеркал римские корабли“, то автор сделал предположение, что такой опыт мог произвести кто-либо другой, но не Архимед Сиракузский. Эта немотивированная гипотеза автора ответа явилась причиной обильной корреспонденции.

А. И. Белогорский прислал письмо, в котором пишет, что вопрос о легендарности этого опыта в советской литературе решен, и ссылается при этом на книжечку В. А. Зибера „Живые задачи по физике“. Автор этой книжечки, разбирая вопрос, мог ли Архимед поджечь римские корабли, если бы у него было зеркало Пикте, доказывает, что Архимед этого не мог сделать, и приводит ответ одного учащегося по поводу разбора этого вопроса: „Я утверждаю, что Архимед не только никогда не сжигал кораблей, но что эта мысль ни на минуту не могла притти в его могучую голову ученого. Эта легенда — продукт досужей фантазии“.

Далее А. И. Белогорский ставит вопрос: „Нужно ли приводить на уроках физики в нашей средней школе всевозможные легенды, которые кажутся совершенно невероятными не только историкам науки, но и учащимся? Ответ на него может быть только отрицательный. Между тем, несмотря на это, эти легенды у иных преподавателей имеют место не только на отдельных уроках, а проходят через весь курс физики под флагом выдержек из истории физики. Нам кажется, что таким явлениям не место в советской школе“.

Замену легенды об Архимеде предположением о существовании какого-то древнего математика, который решил эту задачу (о сожжении кораблей) помощью большого количества плоских зеркал, А. И. Белогорский считает лишенной всякого основания; это „является не больше, как излишним наслоением к маловероятной легенде“. Он подробно разбирает возможность этого опыта, ставит вопрос о кривизне поверхности, по которой должны быть расположены плоские зеркала, о размере сегмента, о времени дня и высоте солнца, при которых это возможно, и приходит к выводу, что на страницах нашего журнала „вместо одной легенды выдвинута другая, вероятность которой равна нулю“. Кроме того, он указывает, что большое количество рабов, не обладая достаточными познаниями в геометрии,, не могло бы справиться с постановкой этого опыта даже при большом числе репетиций. В заключение он приводит замечания Розенбергера по поводу этой легенды: „Подобные сказки рассказывает Плутарх, а за ним Ливий и Полибий, — наглядное доказательство, до какой степени ненаучно и некритически могли писать даже серьезные люди в начале нашей эры“.

И. И. Кацман в своем письме держится противоположной точки зрения. Он пишет: В „Истории математики“ Ващенко-Захарченко, 1883 г., стр. 79, читаем: „Далее со слов Полиция Тит Ливий и Плутарх повторяют то же: „Когда корабли Марцелла приблизились на расстояние полета стрелы, говорит Тзетз, то старик (Архимед) велел приблизить шестигранное зеркало, сделанное им. На известном расстоянии от этого зеркала он поместил другие зеркала поменьше, такого же вида ... Лучи, отраженные от этих зеркал, произвели страшный пожар на кораблях, которые были обращены в пепел на расстоянии, равном полету стрелы“. Теперь хронология: Архимед (287—212 гг. до н. э.), Полибий (205—123 гг. до н. э). Полибий — грек и римский историк, сопровождавший Сципиона в походе на Карфаген. Как историк он объективен, беспристрастен и хорошо анализировал описываемые им события. Тзетз, со слов которого говорит сам Полибий, очевидно, является современником как Архимеда, так и Полибия и одновременно — очевидцем описанного события, так как Полибий все свои сообщения брал из достоверных источников. Ващенко-Захарченко как выдающийся знаток греко-римской литературы, надо полагать, передает это сообщение по первоисточникам. Он поэтому на той же странице 79 считает нужным добавить к своему сообщению следующее: „Этот последний рассказ долгое время считали басней, пока известный Бюффон в 1747 г. не показал на опыте, что это возможно. При помощи 168 зеркал он в апреле месяце зажег дерево и расплавил свинец на расстоянии 45 м“. Нам кажется, что при наличности приведенных данных незачем подменять величайшего математика и механика древности каким-то неведомым математиком, чтобы сжечь римские корабли при помощи рабских рук. Без

этих рук и Архимед не обошелся, но руки эти действовали по указаниям его гениальной головы“

В. И. Лебедев, автор заметки, с своей стороны пишет следующее: „В наши курсы по истории физики и математики вкралась ошибка. Многие авторы утверждают, что будто бы Плутарх, Полибий и Тит Ливий „упоминают об опыте Архимеда с зеркалами".

Это утверждает Ващенко-Захарченко, Розенбергер, неизвестный автор в Энц. словаре Брокгауза и Ефрона и пр. Между тем, прав проф. Любимов, который заявляет категорически: .Древние историки Полибий и Тит Ливий ничего не говорят о подобном событии (т. е. о сожжении зеркалами). Плутарх... не упоминает об этом ни словом“ („История физики“, ч. 1-я, СПБ, 1892, стр. 190). Перед историком физики возникает задача: найти объяснение, почему вдруг всплывает в VI в. рассказ о сожжении флота зеркалами, произведенном, будто бы, Архимедом. „Наша гипотеза была основана на том, что такую задачу еще в XVIII в. при сравнительно скромных условиях решил французский естествоиспытатель Бюффон. Это было в 1747 г. Бюффону удалось при помощи 168 плоских зеркал зажечь сосновую доску на расстоянии 158 футов (48 м). Ясно, что увеличивая число зеркал, можно усилить и эффект опыта. Прежде всего попытаемся ответить на вопрос: почему в главном фокусе сферического зеркала получается высокая температура и почему температура зависит от диаметра зеркала? Ответ может быть только один. Всякое сферическое зеркало можно рассматривать как огромное число плоских зеркал, которые и отражают солнечные лучи в одну точку и потому в этой точке образуется высокая температура". „Нашу гипотезу о каком-то математике, произведшем опыт с зеркалами (а, может быть, только выдвинувшем такую проблему) мы мотивируем еще и следующими соображениями. Историки техники установили уже давно, что, кроме Архимеда Сиракузского, были еще другие „Архимеды“, которые, повидимому, для придания большего веса и большей цены своим писаниям, выбирали своим псевдонимом имя „Архимеда“. „Если в VI в. начали приписывать Архимеду опыт с зеркалами, то, повидимому, на основании рукописи, кем-то написанной, автором которой был мнимый Архимед. Как видят наши читатели, когда мы выдвигали гипотезу о мнимом математике, „задачу Архимеда“, мы имели на то основания. Это не легенда, как думает т. Белогорский, а довольно вероятная гипотеза. А в этом большая разница“

Примечание редакции.

Мы считаем, что легендарность опыта Архимеда с зеркалами является доказанной. Автор заметки В. И. Лебедев имел некоторые основания выдвигать гипотезу о каком-то математике, который мог этот опыт сделать. Однако, нельзя было в кратком ответе выдвигать эту гипотезу немотивированно, без ссылок на имевшиеся обсуждения этого вопроса в исторической литературе. Такую гипотезу из курса элементарных сведений по истории физики необходимо снять и перенести на страницы специальных изданий по истории науки и техники. Вместе с этим редакция считает исчерпанной полемику о зеркалах Архимеда.

ПО ПОВОДУ ОДНОЙ ЗАМЕТКИ*

Р. ГАНГНУС (Москва)

Нам кажется методически неудачным подход автора заметки к сравнению двух треугольников. Нельзя ставить три вопроса: треугольники не равны, треугольники равны или, наконец, треугольники подобны. Выходит так, как будто неравенство треугольников исключает их подобие или подобие исключает равенство. Методически правильно будет ставить прежде всего вопрос о том, равны ли треугольники; это тем более естественно, что учащиеся в такой последовательности и рассматривали учение о треугольниках (сначала равенство или конгруэнтность, а затем уже подобие); а в данном вопросе это еще более поучительно для них. Учащимся предлагается записать следующее:

Оказывается, у обоих треугольников имеется по три независимых равных элемента, из которых один линейный, и все же треугольники не равны. Здесь лишний раз подчеркивается, что расположение элементов имеет немалое значение. Можно воспользоваться этим и дать два таких треугольника, у которых имеется еще большее число равных элементов, например: треугольник со сторонами 6, 9 и 12 и 9, 12 и 18 и попарно равными углами: несмотря на равенство двух сторон и всех трех углов — треугольники эти не равны, а только подобны.

Установив затем, таким образом, что треугольники не равны, мы уже делаем заключение, что они подобны, ибо два угла одного равны двум углам другого.

Само решение можно было бы записать так, после того как отмечены все равные углы на рисунке:

подчеркнув, что:

1) берутся только отрезки, данные или обозначенные;

* Е. Рачко — „К методике решения геометрических задач на вычисление“, № 4 „Мат. и физ. в средн. школе за 1935 г.

2) берется отношение двух отрезков сначала из одного только треугольника, а потом соответствующее (<—> знак соотв.) из другого треугольника;

3) начинать удобнее с неизвестного отрезка.

Затем непосредственно из сделанной записи вытекает:

откуда

Отв.: АС=\8 см.

Если же не окажется и двух подобных треугольников, то учащиеся прибегают к метрическим зависимостям между линейными элементами треугольника или, наконец, к тригонометрии. Итак, порядок разбора такой: 1) равенство треугольников, 2) подобие треугольников, 3) метрическая зависимость между элементами и 4) тригонометрия.

Несколько слов и о втором примере.

Нам кажется, что методически лучше будет ставить вопрос так: обозначив искомый угол через X, следует поставить вопрос, в какой из треугольников входит £ х?

Ответ: в Д ABC и в Д ADC. Следовательно, имеются два пути. Рассмотрим ДЛлВС. Чтобы узнать ж, надо знать еще ^ В или ^ CAB. Допустим, что £В=у, тогда

x+y+y = 2d, или x = 2d — 2у. (1).

Черт 1.

Следовательно, для вычисления х надо знать у, £ у входит в Д ADB% в котором ^ ADB =Vrf и £ DAB = ^, так как AD —биссектриса, а потому

Это уравнение с одним неизвестным и решается легко:

(2)

Возвращаясь теперь к равенству (1), получаем

Если начать с Д ADC, то ход решения такой:

1) x + z + t = 2dt

X = 2d — z — t. (1)

2) z = 2d — y d = ^ d. (2) (смежные углы).

3) £DAB = t (бисс. AD), £ DBA = 2r,

(3)

В обоих случаях вводятся новые неизвестные, которые затем вычисляются и, идя обратным путем, мы вычисляем искомую величину.

Такой способ решения выгоден тем, что он соответствует методу составления уравнения по условиям задачи и всегда приводит к цели, если только число составленных уравнений будет соответствовать числу неизвестных.

Здесь исходным является искомый угол, и всегда ясно, что требуется найти для его вычисления.

О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ № 11 ИЗ № 4 „М. и Ф.“ (1935 г.)

Р. ГАНГНУС (Москва)

Укажу на более простой способ решения задачи. Пусть S—площадь данного треугольника, S2— площадь треугольника, составленного из медиан первого треугольника, S3 — площадь треугольника, составленного из медиан второго треугольника и т. д.

Площадь треугольника АОВ = ^ St на основании свойств медиан.

Продолжив OCi на СкО{ = ОСь имеем

Сторонами Д OBOi служат у та, -^и —тс; сторонами второго треугольника служат та, ть и mc, а потому

Черт. 1.

Точно так же

или

Сумма 2 всех площадей будет равна:

или предел суммы всех образованных треугольников равен 4S4 — S{ = 3S4.

Таким образом, отпадают все сложные выкладки и вычисления, приведенные в решении этой задачи.

РЕЦЕНЗИЯ

С. ПЛИТКИН (Москва)

Проф. И. А. Лобко — Стандартные физико-математические единицы и величины. Термины, обозначения и определения.

Изд. „Стандартизация“, Москва 1935 г., тир. 40.0, 74 стр. цена 1 р. 40 к.

Автор рецензируемой книги является хорошим знатоком в вопросе о стандартных физико-математических единицах и величинах и имеет свои труды в этой области. Во введении к его книге мы находим исторический обзор создания систем механических единиц (CGS, MKS и MTS), создания международных электрических и световых единиц, выработки точных терминов, определений и наиболее подходящих условных обозначений. Этот исторический обзор весьма поучителен. В нем отражена продолжающаяся до сих пор борьба с недопустимой путаницей, существующей в научной, учебной и технической литературе, в терминологии, определениях, а также борьба с необычайным разнообразием в символических обозначениях одних и тех же физических величин. И теперь, как правильно говорит автор книги, приходится наблюдать, что даже один и тот же автор под одним и тем же термином разумеет неодинаковое содержание. Так, например, в лучших справочных таблицах по физике проф. А. И. Бачинского и К. А. Путилова мы читаем: „5. Плотность (удельный вес)= частному объем (стр. 26, изд. 1934 г.). Прочитав это определение, можно подумать, что плотность и удельный вес имеют одно и то же значение. Однако, в том же справочнике на странице 28 мы читаем: ,2. Удельный вес, или частное:

вес (тяжесть)“ „ «. Доверчивый к авторитетным справочникам читатель может подумать, что в системах CGS и MKS удельный вес различается не только по величине, но и по содержанию.

С другой стороны, одно и то же понятие часто имеет несколько разных названий. Например: напряжение, разность напряжений, вольтаж, потенциал, разность потенциалов и т. д.

Хотя путаница в определениях и разнобой в символических обозначениях имеют историческое объяснение, тем не менее примиренчество к этим историческим пережиткам недопустимо, ибо они создают большие затруднения в работе учащихся, стремящихся овладеть техминимумом и тем более достичь современных высот науки и техники.

Всесоюзный комитет стандартизации при Совете труда и обороны ведет практическую борьбу с индивидуальным произволом авторов при установлении терминов, определений и обозначений для того, чтобы облегчить освоение научно-технических знаний и обмен опытом. С этой целью ВКС при СТО уже разработал и утвердил ряд стандартов единиц измерения, терминов, определений и обозначений, которые должны стать обязательными для применения в науке и технике.

Рецензируемая книга в основной своей части содержит ряд важнейших общесоюзных стандартов. Сюда входят: а) наименования, сокращенные обозначения, определения и отношение к основной единице или размерность — метрических мер, механических единиц, тепловых единиц, единиц частоты, световых единиц, международных электрических единиц и т. д.; б) обозначения основных величин— в теоретической механике, в технической термодинамике, для электромагнитного поля и переменных электрических токов, в радиотехнике, в геометрической и физической оптике и т. д.

Таблицы общесоюзных стандартов имеют важное самостоятельное значение. В них весьма нуждаются учащиеся средней и высшей школы, педагоги, научные работники и инженерно-технические работники любой специальности, ибо они помогут им включиться в борьбу с существующей путаницей и разнобоем в ответственной области науки и техники и наконец ликвидировать их.

Тираж книги (4000 экз.) безусловно скромен в наших условиях бурного культурного расцвета. Книгу безусловно придется переиздать и рекомендовать всем школам. Накануне этого переиздания позволю себе высказать некоторые пожелания.

1. Рецензируемая книга как руководящая должна быть прокорректирована технической редакцией при переиздании самым тщательным образом, чтобы не допустить в ней ни единой опечатки, а таковые встречаются. Например: Е£= = 1,43289 — 0,0011975 (t=l5°) — 0,00000585 (*=15°); аналогичная ошибка (равенство вместо минуса) допущена в уравнении на стр. 16; микрон вместо микрома (на стр. 43) и др.

2. Следует ВКС при СТО и в своих таблицах избегать вредного и ненужного разнобоя в условных обозначениях, приведенных в книге.

Примеры:

Наименования

Обозначения основных величин в

теорет. механике

технич. термодинамике

электротехнике

Работа ........

W (стр. 54)

W или L (стр. 58)

А (стр. 60)

Мощность.......

N (стр. 54)

Р (стр. 60)

Энергия ........

Е (стр. 58)

W (стр. 60)

Кинетическая энергия .

Е (стр. 54)

Потенциальная энергия

П (стр. 54)

Внутренняя энергия . .

U (стр. 58)

Свободная энергия . . .

F (стр. 58)

Нет нужды обозначать одни и те же основные величины в разных технических дисциплинах по-разному.

Для разновидностей энергии лучше было бы применять индексы. Например: Ek — энергия кинетическая, Еп — энергия потенциальная.

Вес в пустоте обозначен на странице 52 буквою G. Вес в воздухе на той же странице обозначен буквою Р.

В примечании сказано, что слова „в воздухе“ опускаются, если взвешивание производится с точностью до 0,1%-

На страницах 53 и 58 слово „вес“ не имеет добавления слов „в воздухе“ и, однако, обозначается буквою G.

3. В следующем издании необходимо дать все нужные для учебников физики условные обозначения. В книге нет их, например для коэфициентов линейного и объемного расширения.

4. Не следует заменять условные обозначения, получившие очень широкое распространение в научно-технической и учебной литературе, новыми без достаточной для этого нужды. Например, вместо d для удельного веса и плотности D (стр. 52).

5. Указанные в книге обозначения, определения и новые единицы (например фот вместо люкс) должны быть приняты в наших учебниках и задачниках на всех ступенях образования. Отношение к старым мерам, попрежнему пока встречающимся в научно-технической и учебной литературе, следует указать в особой табличной колонке.

НОВЫЕ КНИГИ ПО МАТЕМАТИКЕ

В 1935 г. книжный рынок значительно пополнился научной и методической литературой, могущей служить серьезным пособием для преподавателей математики и физики в средней школе, а также для студентов педагогических институтов. Дело близится к тому, что в ближайшее время и не позднее 1936 г. преподаватель по каждой из дисциплин будет иметь как основные руководства, так и методику преподавания своего предмета. К сожалению, приходится признать, что тиражи выпускаемых книг далеко еще недостаточны для того, чтобы удовлетворить полностью спрос. Но чрезвычайно важно уже то, что книги созданы, выпущены в свет, и дальше речь

пойдет уже о повторных изданиях, что неизмеримо легче.

Здесь мы имеем в виду дать краткую аннотацию книг, выпущенных Учебно-педагогическим издательством в 1935 г.

1. В. М. Брадис—.Теория и практика вычислений“.

Пособие для высших педагогических заведений.

Издание 4-е, переработанное и дополненное, 280 стр., цена в перепл. 5 р. 10 к., тираж 10000 экз.

В 1933 г. вышла третьим изданием первая часть этой книги. В связи с изменением количества часов, отводимых на данную дисциплину в педвузе, было признано целесообразным выпустить весь курс в одной книге, переработав и сократив первую часть и добавив к ней недостающие главы. Результатом этой работы и явилось настоящее издание. Первая часть в несколько переработанном виде составила главы: I. Общие сведения о числовых расчетах. II. Вспомогательные средства вычислений. III. Различные способы оценки точности приближения чисел. ГУ.Учет погрешности в результатах измерений. V. Учет погрешности в результатах вычислений.

Добавлены новые главы: VI. Логарифмическая линейка. VII. Элементы номографии. VIII. Решение численных уравнений. XI. Интерполяция. X. Диференцирование и интегрирование функций, заданных таблицей значений или графиком.

Будучи основным руководством для студента, книга является ценным пособием для педагога, особенно принимая во внимание, что в былое время в учебных планах университета эта дисциплина не находила места, а поэтому педагог найдет здесь много для себя нового, неожиданного и практически ценного.

2. С. С. Бронштейн — „Методика алгебры“.

Для высших педагогических учебных заведений и преподавателей средней школы, 325 стр., цена в перепл. 4 р. 60 к., тираж 30 000 экз.

Книга не совсем полностью отвечает своему названию. Основное ее содержание, — несколько расширенное по сравнению со стабильным учебником, изложение элементарного курса алгебры. Более подробно изложены разделы: разложение на множители, иррациональные числа, комбинаторика, уравнения степени выше второй и др. Отдельные темы сопровождаются краткими историческими сведениями, хотя эти исторические экскурсы не проводятся достаточно последовательно. Так, даны сведения из истории иррациональных чисел, комплексных чисел, но нет ничего из истории относительных чисел.

Будучи предназначена для педагога, книга стремится поднять изложение алгебры на большую теоретическую высоту, увязывая алгебру с основными понятиями теории множеств, знакомя с формальным методом введения относительных чисел при помощи теории пар чисел и пр.

Наконец, книга снабжена рядом методических замечаний для преподавателя по вопросам выбора того или другого метода изложений темы, указывает на наиболее трудные для усвоения места, типичные ошибки учащихся и пр.

3. Р. В. Гангнус и Ю. О. Гурвич — „Геометрия“ ч. 1-я .Планиметрия".

Методическое пособие для высших педагогических учебных заведений и преподавателей сренней школы. Под ред. проф. И. К. Андронова, 2-е изд., 312 стр., ц. 4 р. .50 к., тир. 20 000.

4. Р. В. Гангнус и Ю. О. Гурвич — „Геометрия“, ч. 2-я, .Стереометрия“.

Методическое пособие для высших педагогических учебных заведений и преподавателей средней школы. Под редакцией проф. И. К. Андронова, стр. 328, ц. Зр. 95к., тираж 20 000.

Первая часть этой работы, посященная планиметрии, вышла в 1934 г. и вторым изданием в 1935 г.

Обе книги в общем построены приблизительно по тому же принципу, что и книга Бронштейна. После краткого исторического введения и нескольких замечаний общеметодического характера авторы переходят к детальному разбору каждой темы. В каждой главе дается углубленное (для преподавателя) изложение темы, сопровождаемое рядом указаний о порядке и методе прохождения данной темы с учащимися. Каждая глава сопровождается вопросами и задачами по теме. Вместе с первой частью преподаватель получает солидное пособие для повышения своей теоретической (в области элементарной геометрии) и методической квалификации.

5. Проф. И. И. Жегалкин и доц. М. П. Слудская— „Введение в анализ“.

Под редакцией академика Н. Н. Лузина.

Учебник для высших педагогических учебных заведений (математический факультет), 240 стр., цена в перепл. 4 р. 16 к.| тираж 10 0U).

Эта книга представляет собою первую часть капитальной работы, предпринятой группой профессоров и доцентов вузов под общей редакцией академика Н. Н. Лузина, именно: полного курса анализа для студентов математических факультетов педвузов. Весь курс будет состоять из семи частей: 1. Введение в анализ. 2. Диференциальное исчисление и диференциальная геометрия. 3. Интегральное исчисление. 4. Теория рядов. 5. Диференциальные уравнения. 6. Теория функций действительного переменного. 7. Теория функций комплексного переменного.

Полностью курс будет закончен выпуском в 1936 г.

Уже само появление такого капитального труда, построенного по программе педвузов и учитывающего специфику профессии педагога, представляет крупное событие для студентов и преподавателей математики. Этой специальной направленностью курса и объясняется ряд особенностей данной книги .Введение в анализ". В самом начале авторы делают экскурс в элементарную математику, напоминая и уточняя основные понятия последней — время, скорость, число, относительное число, законы действий, степень и пр.

Придавая особое значение для понимания и прочного усвоения курса сознательному и ясному представлению всех новых, вводимых в анализ, понятий, как переменная величина, функция, предел и пр., авторы особенно детально выясняют эти понятия на примерах, на чертежах. Стремясь к наибольшему уточнению понятий, авторы не останавливаются перед введением новых, неведомых еще в математической литературе, терминов. Так, вводится понятие бесконечно умаляющейся величины, не совпадающее с вводимым в дальнейшем понятием бесконечно малой.

Именно этот подход к изложению дисциплины и имеет в виду академик H.H. Лузин, говорящий в предисловии к этой книге, что „самой характерной чертой предполагаемого курса анализа, чертой, отличающей его от всех остальных

курсов, является исключительная ориентировка его на понимание учащимся всех процессов рассуждения“.

Содержание „Введения в анализ“ в общем охватывает обычные темы этого курса: функция, переменная величина, теория пределов, неопределенные выражения, число е, но идет и дальше обычного курса, вводя уже здесь понятия о приращении, касательной, скорости, классификации точек кривых (особые точки), о свойстве предела функций и пр.

Книга, несомненно, будет служить основным руководством для студентов педвузов и для преподавателей, повышающих свою квалификацию.

6. Проф. И. И. Жегалкин и доц. М. И. Слудская — „Диференциальное исчисление“.

Учебник для высших педагогических заведений, под редакцией акад. Лузина, 367 стр., цена в перепл. 6 руб., тираж 10 000 экз.

Это — вторая часть упомянутого уже нами „Курса математического анализа“. Книга делится на три больших раздела: функции одного переменного, функции многих переменных и приложение диференциального исчисления к геометрии. Все особенности изложения и достоинства первой части налицо и здесь и, пожалуй, еще в большей степени, ибо здесь именно начинается систематическое изложение курса анализа, и поэтому авторы во всех выводах стремятся достигнуть предельной ясности.

Нужно отметить также, что как первая, так и вторая часть почти не оставляют желать ничего лучшего со стороны оформления: прекрасная бумага, коленкоровый переплет, хорошая печать, четкие рисунки. Не обошлось, конечно, дело без опечаток, но они замечаются все же в очень незначительном количестве и легко исправляются при внимательном чтении. Еще более, чем первая часть, книга должна стать основным руководством для студента в педагога.

7. Проф. И. И. Привалов и С. А. Гальперн — „Основы анализа бесконечно-малых“.

Пособие для учителей, 155 стр., цена 2 руб., тираж 5000 экз.

Книга содержит элементарные сведения из теории пределов, диференциального и интегрального исчислений. По своему объему она охватывает приблизительно программу VII класса бывших реальных училищ, но, конечно, и по изложению и по научному уровню стоит несомненно выше издававшихся ранее руководств. Имя проф. И. И. Привалова служит достаточной гарантией для этого.

Книга в основном предназначалась для преподавателей V—VI классов, не имеющих высшего математического образования и желающих повысить свою квалификацию. Но научный уровень книги, а также ее почти полное соответствие по объему и содержанию программе по математике биологических отделений педвузов вполне допускает ее в качестве основного руководства для студентов биологических отделений. В связи с этим нужно пожелать переиздания книги в ближайшем будущем в увеличенном тираже.

8. Проф. И. Ф. Четверухин — „Введение в высшую геометрию“.

Учебник для высших педагогических заведений, изд. 2-е, 216 Стр., цена в перепл. 4 р. 25 к., тираж 15 000 экз.

Первое издание этой книги вышло в 1934 г. Необходимость переиздания за такой короткий срок указывает на действительную потребность в таком руководстве, а главное на то, что книга по своему содержанию, методу, ясности изложения, научности стоит на должной высоте и вполне удовлетворяет читателя.

Содержание ее по главам таково: I. Параллельная проекция. Аффинное преобразование. II. Построение изображений по методу параллельной проекции. Аксонометрия. III. Центральная проекция. Перспективное преобразование. IV. Основные понятия проективной геометрии. V. Конические сечения. VI. Проективное обоснование метрической геометрии. VII. Метрическая перспектива и ее применение (фотограмметрия). VIII. Шар и эллипс. IX. Исторический очерк.

Из этого краткого перечня содержания уже видно, каким ценным руководством является данная книга не только для студента, но и для педагога, стремящегося повысить свою научную квалификацию.

Во второе издание книги не внесено каких-либо существенных изменений. Уточнены отдельные места, внесены редакционные исправления, выправлены опечатки. К сожалению, последних еще осталось около 3 — 5. Из них наиболее крупной является опечатка (или описка) на странице 157, строка 6 снизу, где вместо слова „преобразованиями“ написано „инвариантами“, что, понятно, ведет к искажению смысла. Конечно, эта мелочь не мешает книге оставаться ценным пособием, стоящим на уровне современной науки.

9. Проф. Г.М. Шапиро— „Высшая алгебра“.

Учебник для высших педагогических учебных заведений, 320 стр., цена в перепл. 5 р. 40 к., тираж 20 00Ü экз.

Книга принадлежит к той же серии ценных и основных руководств для студентов математических отделений педвузов, как и только что перечисленные руководства проф. Жегалкина и проф. Четверухина. Блестящее изложение, высокий научный уровень, позволяющий ввести книгу в качестве основного руководства не только для педвузов, но и университетов, уже отмечались специалистами, рецензировавшими книгу.

Содержание книги по главам: I. Числа и числовые области. II. Целые рациональные функции и действия над ними. III. Непрерывность целой рациональной функции. Существование корней. IV. Симметрические функции. V. Алгебраическое решение уравнений низших степеней. VI. Исследование целой рациональной функции в области действительных чисел. VII. Основные свойства детерминантов. VIII. Линейные уравнения и линейные преобразования. IX. Алгебраические расширения.

Первое издание книги быстро разошлось. Налицо настоятельная нужда в повторном издании.

А. Б.

КНИГИ О СТРАТОСФЕРЕ

С. ШОРЫГИН (Москва)

Замечательные полеты советских стратостатов, совершенные в 1933—1935 гг., выдвинувшие СССР на первое место среди стран, производящих исследования стратосферы, вызвали огромный интерес к проблемам изучения и освоения стратосферы. За последние два года был издан ряд книг, посвященных этой теме. В ряде из них описаны полеты стратостатов „СССР“ 30 сентября 1933 г. и „СОАХ 1 (Осоавиахим)“ 30 января 1934 г., а также полеты стратостатов Пикара и др. (полет стратостата „СССР 1-бис" 26 июля 1935 г. ни в одной книге еще не описан). Кроме того, в этих книгах сообщаются краткие сведения по метеорологии и аэрологии, необходимые для понимания описаний полетов стратостатов. Написаны эти книги более или менее общедоступно и некоторые из них доступны пониманию учащихся средней школы.

Исследованиям стратосферы, произведенным иными методами, посвящен ряд других книг, большинство которых входит в состав серии „Успехи геофизики“, издававшейся в 1934 г. Государственным технико-теоретическим издательством. Эти книги носят более специальный характер. Они с большой пользой смогут быть использованы преподавателями физики. В настоящем обзоре книги расположены в порядке возрастающей трудности.

Проф. П. А. Молчанов—„Полеты в стратосферу“.

48 стр., 12 рис., ОНТИ, главная редакция авиационной литературы, М-Л., 1935, ц. 40 коп.

Популярная брошюра, написанная крупнейшим советским аэрологом — директором Института аэрологии, имя которого широко известно как конструктора радиозонда. Она содержит в совершенно элементарном изложении основные сведения об атмосфере, о происходящих в ней явлениях и о полетах в стратосферу, главным образом советских стратостатов. Написана удачно, но носит некоторые черты недоработанности. В частности, на странице 13 дается неудачное определение ветра: „Ветер представляет собой перемещение воздуха вокруг Земли“. Если это определение и может иметь место в отношении пассатов и мусонов, то явлениям местных ветров оно не соответствует. Далее, на странице 29 делается ошибочное утверждение о том, что „ни одна лаборатория в мире не обладает такими средствами, которые позволили бы создать удар на атом, способный его разрушить“. Иллюстрирована книга неудовлетворительно. Рисунок 8, выполненный в совершенно немыслимом масштабе, дает превратное представление о явлении отражения радиоволн от слоя Хивисайда (на этом рисунке расстояние от Москвы до Владивостока сократилось до 250 км). Вместо одного наглядного рисунка ртутного барометра их на рисунке 3 изображено целых четыре, причем масштаб всех их тоже неверен. Схема барометра-анероида, изображенная на рисунке 4, начинающему читателю будет непонятна. При переиздании этой брошюры, которое, вероятно, скоро потребуется, она должна быть доработана как автором, так и издательством. Большинство рисунков должно быть при этом заменено.

Проф. П. А. Молчанов — „Тропосфера и стратосфера“.

67 стр., 23 рис., „Научно-популярная библиотека по геофизике-, ГТТИ, М-Л., 1934, ц. 75 коп.

Живо и содержательно написанная книжка, рассчитанная на несколько более подготовленных читателей. В первой половине ее излагаются элементарные сведения о нижнем слое атмосферы — тропосфере, а во второй описываются физические явления, происходящие в стратосфере, и методы ее исследования. В последнем разделе даны краткие описания первых двух полетов советских стратостатов, в организации которых автор принимал непосредственное участие. При составлении этой книги автор в весьма широкой степени использовал текст другой своей книги — „Воздушный океан“, изданной в 1924 г.

Проф. Н. А. Рынин— „В стратосферу!“

Изд. 2-е, дополн. и перераб., 152 стр., 39 рис. „Молодая гвардия“. Л., 1934, ц. 1 р. 20 к.

Книга представляет исторический обзор важнейших полетов на свободных аэростатах и стратостатах в верхние слои тропосферы (в субстратосферу) и стратосферу. Много места уделяется описанию устройства и полетов стратостатов Пикара „СССР“ и „СОАХ 1“ и подробно излагается история трагической гибели последнего. В тексте приводятся обширные извлечения из дневников Пикара и Прокофьева. Приведено довольно подробное описание устройства германского субстратостата „Барч фон-Зигсфельд“, опустившегося на советской территории с трупами задохшихся в нем пилотов. Автор напрасно не делает должного различия между субстратостатами с открытыми гондолами и стратостатами с герметически замкнутыми гондолами. В таблицах 2 и 3 совершенно неправильно отнесены к числу стратостатов все аэростаты, начиная с 1893 г. совершавшие подъемы на высоты в 6000—10 000 лс, и в том числе и тот аэростат, на котором в 1910 г. поднялся на высоту в 6400 м автор книги. Книгу пора переиздать, соответственным образом дополнив ее и сделав изложение второй ее половины более сжатым.

Д. О. Святский— „Что такое стратосфера“.

120 стр., 32 рис., ГТТИ, Л.-М., 1935, ц. 90 коп., перепл. 40 коп.

Автор поставил себе целью дать в популярной и занимательной форме ответы на вопросы о том, что собой представляет стратосфера и зачем необходимо стремиться проникнуть в нее. С этой задачей автор справился мастерски. Книга начинается с описания представлений о небе в древние времена. Затем описываются метеорологические явления, происходящие в тропосфере, после чего автор переходит к изложению сведений о стратосфере, полученных различными методами. При этом автор стремится сосредоточить внимание читателей на тех явлениях, происходящих в стратосфере (аномальные зори, поляр-

ные сияния и др.), наблюдения которых доступны всем. Подробно излагается история исследований различных явлений, происходящих в стратосфере. Недостатком книги является нарушение естественной последовательности изложения, получившееся в результате попытки автора подытожить наши знания о стратосфере до изложения результатов полетов стратостатов. Книга удачно иллюстрирована и хорошо издана.

В. И. Виткевич — „Стратосфера, ее основные свойства и методы ее исследования“.

116 стр., 50 рис. в тексте и на 5 вкладных листах, ОНТИ, главная редакция общетехнической литературы, Л.-М, 1934, ц. 1 р. 20 к.

Автор дает не только сведения о стратосфере, но и основные понятия по метеорологии и аэрологии. Начиная с вопросов о химическом составе атмосферы и о содержании в ней пыли, он затем переходит к распределению давления воздуха по высоте, температуре, влажности и ветрам. Вторая половина книги посвящена обзору различных методов исследования стратосферы с помощью шаров-пилотов, шаров-зондов, свободных пилотов, ракет, звуковых волн и др.). Книга обладает рядом серьезных недостатков: весьма сухое ее изложение, местами совершенно конспективное, перегружено цифровыми таблицами; всего их в книге 38, причем ряд из них недостаточно увязан с текстом. Весьма неприятное впечатление производит тенденция автора выдвигать на первый план результаты собственных работ, одновременно замалчивая результаты работ других советских ученых. Так, например, на странице 97, касаясь вопроса о возникновении зоны анормальной слышимости взрывов, он пишет: .Одной из лучших иллюстраций этого являются зоны нормальной и анормальной слышимости, полученные В. Виткевичем при исследовании взрыва артиллерийских складов в Москве 9 мая 1920 г.“ Однако, как из дальнейшего изложения автора, так и в еще большей степени из книги П. Дуккерта, о которой речь будет ниже, видно, что гораздо лучшие иллюстрации этого явления были получены с помощью специальных звукозаписывающих аппаратов. Зато, говоря об изготовлении в настоящее время радиозондов, автор ограничивается следующей глухой фразой: „Подобные приборы изготовляются берлинской фирмой „Аскания“ и ленинградскими мастерскими“, забывая при этом упомянуть, что как в том, так и в другом месте изготовление радиозондов производится по чертежам проф. П. А. Молчанова, являющегося конструктором этого прибора.

А. Гарри, Л. Кассиль — .Потолок мира“.

132 стр., с рис., .Советская литература“, 1934, цена 2 р. 75., к., переп. 1 р. 25 к. (удешевленное издание, 126 стр. с рис., 1934, цена 75 коп.)

Книга написана двумя писателями-журналистами, по их выражению, „прикомандированными к стратостату“. В ней в форме живых публицистических очерков охарактеризована работа по проектированию и строительству стратостата „СССР“ и описан его полет 30 сентября 1934 г. Книга написана с подъемом, но обладает рядом минусов, обусловленных недостаточным знакомством авторов с научной стороной вопроса. Текст обоих изданий один и тот же, но удешевленное издание содержит гораздо меньшее количество иллюстраций и совершенно не содержит репродукций фотографий.

„Главная геофизическая обсерватория и полет в стратосферу 30 сентября 1933 г.“

26 стр., 24 рис. на вкладные листах, изд. ГГО, 1934, цена 1 рубль.

Брошюра представляет собой сборник статей специалистов Главной геофизической обсерватории, принимавших участие в разработке программы научных набюдений во время полета стратостата „СССР“ и в конструировании и постройке для этой цели специальных приборов. Наиболее крупное значение имеют статьи А. Б. Вериго — „Измерение интенсивности космических лучей на стратостате „СССР“ и М. И. Гольцмана — „Как определен был состав воздуха в стратосфере“. В сборнике содержатся также три статьи отчетного характера: Н. Д. Парского — .Организация научно-исследовательских работ при полете стратостата „СССР“ и Н. Н. Калитина и П. А. Молчанова об участии в этих работах Институтов актинометрии и аэрологии и ряд других статей, в которых описываются приборы, сконструированные, но не использованные при полете стратостата. Большинство статей носит характер предварительного подведения итогов полета. Однако, более подробный сборник трудов, подытоживающий результаты полета, издан не был, несмотря на ряд публикаций о предстоящем его выходе в свет.

„Герои стратосферы“,

79 стр., изд. ЦС Осоавиахима, М., 1935, ц. 35 коп.

Сборник статей, посвященный закончившемуся катастрофой полету стратостата „СОАХ 1“ 30 января 1934 г., во время которой трагически погиб его экипаж в составе П. Ф. Федосеенко, А. Б. Васенко и И. Д. Усыскина. Стратостат достиг рекордной высоты в 22 км. Сборник содержит стенограмму доклада Г. Прокофьева об этом полете, им же написанную вступительную статью, статью К. Томсона — .Оптические наблюдения в стратосфере по записям в бортовом журнале стратостата .Осоавиахим“ и ряд статей и материалов, перепечатанных из газет. Издан сборник бедно и совершенно без иллюстраций. В тексте нет даже портретов погибших стратонавтов и диаграммы, на которую ссылается Г, Прокофьев в своем докладе.

Т. Кладо— „Высокие слои атмосферы“.

24 стр., 6 рис. Изд. Главной геофизической обсерватории, Л., 1934, ц. 1 рубль.

В брошюре в общедоступной форме дается понятие об основных методах исследования высоких слоев атмосферы и, в частности, о радиозондах, о связи между высотой и давлением, об обработке аэрологических наблюдений, о строении атмосферы, о явлениях, происходящих в тропосфере, и физических условиях, в ней господствующих — о ветре, температуре и влажности. В заключение дается общая картина строения атмосферы.

С. И. Троицкий — „Распределение температуры и ветра в стратосфере“,

32 стр., 1 рис., изд. Главной геофизической обсерватории. Л., 1933, ц. 2 руб.

Очерк, являющийся по существу справочником, содержит обширный цифровой материал. В нем излагаются результаты непосредственного зондирования атмосферы шарами-зондами, рассматриваются изменения атмосферного давления

я плотности воздуха с высотою в стратосфере, распределение ветра в стратосфере и дается понятие о косвенных методах исследования стратосферы (путем наблюдений сумерек, светящихся облаков и метеоров, ошибочно названных метеоритами). Результаты, полученные при полетах стратостатов, не могли найти отражения в этом очерке.

Ю. Бартельс — „Высшие слои атмосферы“.

Перевод с немецкого Е. Л. Старокадомской, 58 стр., 9 рис., серия „Успехи геофизики“, ГТТИ, М.-Л., 1932, ц. 1 р. 50 к.

Ю. Бартельс — „Физика высоких слоев атмосферы“.

Перевод с немецкого В. В. Фурдуева, 78 стр., 42 рис., серия „Успехи геофизики“, ГТТИ, М.-Л., 1934, ц. 1 р. 60 к.

Книги представляют собой последовательно составленные, весьма содержательные сводки о физических явлениях, происходящих в стратосфере. Вторая книга дополняет первую. В них вкратце рассматриваются оптические явления, полярные сияния, содержание озона, распространение звуковых и электромагнитных волн, состав и давление воздуха, явления немного магнетизма, ионизация и др. В конце второй книги автор более подробно останавливается на истолковании явлений, происходящих в стратосфере и имеющих связь с земным магнетизмом.

П. Гетц — „Атмосферный озон“.

Перевод с немецкого А. Ю. Депутовича под редакцией С. А. Шорыгина. 76 стр., 35 рис в тексте и 6 фотогоафий на вкладных листах, серия „Успехи геофизики“, ГТТИ, М.-Л., 1934, ц. 1 р. 50 к.

Книга представляет собой систематическую сводку имеющихся данных об атмосферном озоне, охватывающую как методику измерений общего содержания и вертикального распределения озона в верхних и нижних слоях атмосферы, так и полученные результаты наблюдений. В конце книги рассматривается связь содержания озона с другими проблемами космической физики. Озон поглощает значительную часть ультрафиолетовых лучей солнца и задерживает около 20в/0 теплового излучения земли, что значительно повышает отепляющее действие атмосферы.

П. Дуккерт — „Распространение волн взрывов в атмосфере“.

Перевод с немецкого А. Ю. Депутовича под редакцией С. А. Шорыгина, 72 стр., 16 рис, серия „Успехи геофизики“, ГТТИ, М.-Л., 1934, ц. 1 р. 50 к.

После краткого изложения теории распространения продольных волн в атмосфере автор дает обзор проведенных, преимущественно в Германии, работ по изучению стратосферы с помощью взрывов, намечая контуры новой дисциплины — воздушной сейсмики как метода современной аэрологии. Выясняется огромная роль такого рода работ. В связи с производством в последнее время в СССР ряда мощных взрывов с целью обнаружения залежей полезных ископаемых, книга приобретает значительный интерес.

Г. Рукоп, К. Штермер, В. Бауэр, Г. Губо, П. Гандель и Г. Плендль — „Электрофизика высоких слоев атмосферы“.

Перевод с немецкого Н. Н. Малова. 104 стр., 69 риг, серия .Успехи геофизики“, ГТТИ, М.-Л.. 1934, ц. 2 р. 25 к.

Книга представляет собой сборник докладов, излагающих результаты исследований стратосферы при помощи электромагнитных волн. Она содержит обзорный доклад Рукопа, подытоживающий результаты, полученные в этой области до 1933 г., статьи Штермера и Бауэра, посвященные результатам исследований полярных сияний, сообщение Губо о результатах произведенного им систематического исследования отражения электромагнитных волн различной длины и статью Ганделя и Плендля о новом способе истолкования метода радиосигналов, рассматривающего единый сигнал, как комплекс различных частот. Бауэром были произведены кинематографические измерения высоты полярных сияний и доказано наличие в них инфракрасного излучения.

С. Чепмэн — .Некоторые явления верхних слоев атмосферы“.

Перевод с английского Е В. Болдыревой под редакцией д. И. Еропкина, 32 стр., 2 рис., серия „Успехи геофизики“, ГТТИ, М.-Л. 1934, ц. 60 коп.

Автор, являющийся одним из крупнейших современных геофизиков-теоретиков, дает сжатую сводку имеющихся сведении о некоторых физических явлениях, происходящих в стратосфере и ионосфере под действием солнечных лучей. В основном автор излагает результаты своих собственных работ. Общие его выводы сводятся к установлению существования трех атмосферных слоев, в значительной степени поглощающих солнечную радиацию: слоя на высоте около 50 км, содержащего озон, и двух ионизированных слоев на высотах около 100 и 220 км. Кроме того, рассматриваются вопросы о диссоциирующем действии солнечной радиации, о коэфициенте поглощения, об ежедневных изменениях ионизации в обоих ионизированных слоях и о зеленом цвете ночного неба.

Эрик Пальмен — „Аэрологические исследования атмосферных возмущений в связи с процессами в стратосфере“.

Перевод с немецкого С.П. Хромова, 80 стр., 26 рис., серия „Успехи геофизики“, ГТТИ, М.-Л., 1934, ц. 1 р. 50 к.

Автор излагает результаты произведенного им анализа поднятий в стратосферу шаров-зондов с точки зрения динамической метеорологии (теории фронтов). Его исследования подтвердили предположение о том, что большие вторжения тропических и полярных масс воздуха захватывают не только всю тропосферу, но и стратосферу до больших высот. В приложении дается перевод статьи того же автора — .О распределении температуры в стратосфере и его влиянии на динамику погоды“.

К. Штермер — „Проблема полярных сияний“.

Перевод с немецкого В. И. Пришлецов а, 110 стр., 70 рис., ГТТИ, М.-Л., 1933, ц. 3 руб., перепл. 1 р. 25 к.

Книга написана крупнейшим знатоком излагаемого вопроса. Она целиком посвящена ряду проблем, находящихся в связи с красивейшим, но доныне еще во многих отношениях загадочным явлением полярных сияний, происходящим в стратосфере. Таковы проблемы: определения высот полярных сияний, получения и истолкования их спектра, математическая теория полярных сияний, волн земного магнетизма, „мирового эхо“ и др. Книга богато иллюстрирована, но напечатана на недостаточно хорошей бумаге, вследствие чего значительная часть рисунков вышла плохо. В настоящее время книга уже несколько устарела.

„Труды Всесоюзной конференции по изучению стратосферы 31 марта—6 апреля 1934 г.“

XXIV 4-927 стр. с рис. и 19 табл. Изд. Академии наук СССР, Л.-М., 1935, ц. 28 руб., перепл. 2 руб.

В книге помещено 85 докладов, сделанных на конференции. Они охватывают проблемы аэрологии, акустики, оптики, актинометрии, атмосферного электричества, космических лучей, астрономии, биологии, медицины и техники. Особенно большой интерес представляют доклады П. А. Молчанова — „Современные представления о строении атмосферы-, П.Н. Тверского—„Электрическое состояние атмосферы“, доклады А. Ф. Иоффе, Л. В. Мысовского, Д. В. Скобельцына и А. Б. Вериго о космических лучах, H.A. Рынина — „Методы освоения стратосферы“ и Е. Е. Чертовского — „Современные стратостаты“. Большинство докладов являются рефератами, подытоживающими сведения, относящиеся к той или иной область исследования стратосферы. Благодаря этому в целом „Труды“ представляют своего рода энциклопедию наших знаний о стратосфере. Специальных докладов о полетах советских стратостатов и о результатах произведенных наблюдений в книге не содержится, о чем остается только сожалеть.

МЕТОДИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИБЛИОГРАФИЯ ПО ТЕМАМ

В. МОРЕВ (Ленинград)

Решение арифметических задач

1. „Решение задач сложного тройного правила посредством одной пропорции“, Спб., 1873, ц. 10 коп., 1200.

2. С.— „Анализ и решение арифметических задач, для учащих и учащихся в низших и средних учебных заведениях“, Одесса, 1880, 8°, 25 стр., ц. 20 коп., 1000. Рец.: С. Корытин — „Обзор учебной литературы“, Спб., 1897, стр. 128.

3. Никульцев П. — „Образцы решения арифметических задач. Пособие для учащихся“, М. 1881 (80), 8°, 34 стр., ц. 20 коп., 3600. Рец.: С. Корытин — „Обзор учебной литературы“, Спб., 1897, стр. 129. („Пригодна больше для учителей“.)

4. „Письменные задачи по арифметике“,„Женское образование“, 1881, стр. 553—555.

5. „Арифметика — искусство и роль задач в начальной школе“, „Семья и школа“, 1883, отд. II („Воспитание и обучение“), III, IV, V.

6. Щелкунов Ф. А. — „Краткое пособие для решения письменных практических арифметических задач с простыми дробями, когда при условии задания не дана единица, а только части ее“. Из курса вторых классов гимназий и вообще средних и низших учебных заведений, Спб., 1883, 8°, 14 стр., ц. 30 коп., 1000. Рец.: „Ж. М. Н. Пр.“, 1884, ч. 232, III, отд. 3, стр. 49-54.

7. Пламеневский И.—„Арифметические задачи на нахождение общего делителя и кратного числа“, „Журнал элем, математ.“, I, Киев, 1884, IV, стр. 80—81. .

8. Конашевич Е. Д. — „Опыт систематизации арифметических задач“, изд. А. Карцева, М., 1885, 8°, 91 стр., ц. 60 коп., 1200. Рец.: „Нар. школа“, 1885, X, стр. 50—51; „Ж. М. Н. Пр.“, 1885, ч. 242, XI, отд. 3, стр. 13—15; Б. Воленс — „Нар. школа“, 1888, XI, стр. 41; С. Корытин— „Обзор учебной литературы“, Спб., 1897, стр. 116.

9. Офицеров Н. — О задачах по арифметике“, „Женское образование“, 1885, VIII (окт.), стр. 581—584.

10. Александров И. И. — „Методы решений арифметических задач“. Для старших классов средних учебных заведении (с приложением 80 типичных задач), Киев, 1886, 8°, 29 стр., ц. 30 коп., 600. Изд. 2-е, переем, и испр., Киев, 1887, 8°, 32 стр., ц. 30 коп., 600. Изд. 3-е, Киев, 1889, 8°, 39+ 11 стр., ц. 30 коп., Ю00. Изд. 4-е, испр.. М., 1891, 8°, 36 стр., ц. 30 коп., 1200. Рец.: „Ж. М. Н. Пр.“, 1889, ч. 262, IV, отд. 3, стр. 64— 73; „Русск. нач. учитель“, 1889, V, стр. 207—209.

11. Конашевич Е. Д. — „О методах решения арифметических задач“, „Пед. сборник“, 1886, V, стр. 438—459.

12. „Задачи по арифметике“, „Пед. сборник“, 1886, XI, стр. 363—366.

13. Офицеров Н. — „О решении наиболее трудных задач из элементарного курса арифметики“, „Женское образование“, 1886, X (дек.), стр. 706—714.

14. Офицеров Н. — „О задачах на проценты“, „Русск. нач. учитель“, 1887, X, стр. 429—434.

15. Гольденберг А. И.— „Задача остатков“, „ВОФЭМ“, 1887, № 35, стр. 247—253.

16. Киричинский Р. — „О методе решения арифметических задач по данным произведению и сумме или разности двух искомых чисел, „ВОФЭМ“, 1889, № 78, стр. 114—116.

17. Комаров А. Ф. — „Методическое решение типических арифметических задач в начальных училищах“, Воронеж, 1889, 8°, 99 стр., ц. 40 коп., 1200; изд. 6-е, К. И. Тихомирова, М., 1889, 8°, 108+Н стр., ц. 40 коп., 3000; изд. 14-е, К. И. Тихомирова, М., 1916,94 стр., ц. 50 коп., 5000 (всего 56 000). Рец.: „Русск. нач. учитель“, 1889, VIII—IX, стр. 299—300; В. Л-е в — „Воспитание и обучение“, 1891, IV, стр. 121—122; С. И. Корытин—„Обзор учебной литературы“, Спб., 1897, стр. 119-123; „Ж. M. Н. Пр.“, 1904, XII, стр. 171—176.

18. Киричинский Р.— „Методы решений арифметических задач с историческими примечаниями и подробным решением технических задач“, „Гимназия“, Ревель, 1890, I, стр. 66—102 и отд. отт. —Ревель, 1890, 8°, 38 стр.

19. Острейко С.— „Заметка о решении задач на вычисление времени“, „ВОФЭМ“, 1891, N2 119, стр. 208—209.

20. Стеблов А. — «Руководство к решению арифметических задач на тройные правила“, Спб.,.

1891, 8°, 136 стр., ц. 65 коп., 1200. Рец.: „Ж. М. Н. Пр.“, № 1892, ч. 279, 1, отд. 3, стр. 46-47.

21. Шпакович Н. — „К вопросу о решении арифметических задач4*, „Школьное обозрение', 1891, IX-X.

22. Анастасиев А. — „Особенности обучения в начальных школах и примерные уроки как указатели этих особенностей“ (уроки: счисление, примерное решение устных задач), „Образование“, Спб., 1892, XII, стр. 1—34 (прилож.).

23. „Какое значение имеет систематизация арифметических задач при начальном обучении“ „Пед. листок“, 1892, I, стр. 63—67.

24. Ларионов — „К вопросу о приемах решения арифметических задач“, „Русск. нач. учитель“, 1892, XI, стр. 401—406.

25. Сенигов Н. — „Образцы объяснительного решения задач в практическом курсе арифметики“ (отдельно напечатанная статья, вып. 1-й издававшегося Н. Сениговым сочинения под заглавием „Опыт усовершенствования элементов математики“), М., 1893, 8°, 87 стр., ц. 50 коп., 1200.

26. Синский И.— „Простая задача и отдельное действие в арифметике“, „ВОФЭМ“, 1893, № 176, стр. 181-184; № 177, стр. 201—205; № 178, стр. 224—227.

27. Терешкевич А. А. — „Опыт систематизации употребительнейших арифметических задач по типам“. С приложением численных примеров на четыре действия с целыми числами. М., 1893, 8°, 100+II стр., ц. 30 коп., 2700. Рец.: Н. 3.—„Русск. школа“, 1894, I, стр. 181—183.

28. Шпакович Н. В. — „Ключ к решению арифметических задач на все правила“, Киев, 1893, 8°, 39 стр., 1200. Рец.: „ВОФЭМ“, 1893, № 169, стр. 13—17; „Школьное обозрение“, 1893, № 24—26, стр. 6.

29. Агапов Д. В. — „Подробное решение и объяснение типических задач по арифметике“, Оренбург, 1894, 8°, 84 стр., ц. 50 коп., 1000; изд. 2-е, Оренбург, 1898, 8°, 132 стр. ц. 50 коп. Рец.: „Школьное обозрение“, 1894, № 40—42, стр. 3—4; № 51—52, стр. 2—4.

30. Куприянов В. Н. —„Начальные уроки арифметики с приемами устного решения задач на четыре арифметические действия“. Для элементарного обучения и для подготовления к поступлению в средние учебные заведения, М., 1894, 8°, 95 стр. ц. 35 коп., 1200.

31. Воробьев А. Н. — „Учебник начал математики“, в двух частях. Составлен по министерским программам для средних учебных заведений, ч. 1-я—Элементарное счисление. Алгебраическое (или буквенное) счисление. Алгебра (теория элементарных уравнений). Алгебраический анализ. С приложением: 1) оснований теоретической арифметики, 2) методов решения арифметических задач, 3) таблицы четырехзначных логарифмов, 4) таблицы чертежей и 5) собрания задач, Казань, 1896, 8°, 445 + XXIV + VII стр., ц. 1 рубль. Рец.: „Ж. М. Н. Пр.«, 1898, IV, отд. 3, стр. 20—25.

32. Павлов Н. — „Методические заметки о решении сложных задач начальной арифметики“. Учебное пособие при прохождении арифметики в начальных школах, изд. А. Дубровина, Казань, 1896, 8°, 61 +IV стр., ц. 30 коп., 1200. Рец.: „Русск. нач. учитель“, 1899, стр. 31.

33. Шпакович Н. В. — „Типы и группы задач в наших учебниках арифметики“ (к решению арифметических задач алгебраического характера), „Жизнь и школа“, 1896, № 46—47, стр. 3—4.

34. Плетнев И. — „Как научиться решать задачи. Целые числа“. Пособие для учащихся и для лиц, поступающих в специальные низшие и средние учебные заведения, Спб., 1899, 8°, 97 стр., ц. 65 коп. Изд. 2-е, Спб., 1908, 8°, 118 стр., ц. 65 коп.

35. Бобиков В.— „Арифметические задачи. Методические разъяснения“, „Нар. образование“, Спб., 1900, X.

36. Шохор-Троцкий С. Н. — „Об арифметических задачах алгебраического характера“, „Русск. школа“, 1900, II, стр. 186—195.

37. Цветков П. — „Методические заметки о решении арифметических задач, составляющих курс начальной арифметики, и новые систематизации задач“, Спб, 1905,8°, 56 стр., ц. 15 коп., 25000.

38. Рафаилов А.— „Наглядный аналитико-синтетический прием решения арифметических задач“, „Нач. обучение“, Казань, 1906.

39. Лукашевич Ф. — „Основные приемы решения арифметических задач в начальной школе“, „Нар. образование в Виленском учебном округе“, 1909, IV, стр. 37—43.

40. Бондарев С. И. — „Как строятся и решаются задачи“ (методическое руководство для первоначального обучения арифметике), изд. т-ва И. Д. Сытина, М., 1911, 119 стр., ц. 25 коп., 3000. Рец.: А. Павлов — „Пед. листок“, 1910, VII, стр. 551; В. Соллертинский — „Ж.М.Н.Пр.“, 1911, IV.

41. Виноградов Н. — „Арифметические задачи алгебраического характера“, „Нар. образование“, Спб., 1911, II.

42. Виноградов Н. — „Опыт методики задач“, „Нар. образование“, Спб. 1911, IV.

43. Н. Б. — „О решении арифметических задач в народной школе“, „Нар. образование в Виленском учебном округе“, 1912, V, стр. 195—209.

44. Подсыпанин Н. — „Синтетический“ и аналитический приемы решения задач в начальной школе“, „Пед. вестник Московского учебного округа“, 1913, II, стр. 21—31.

45. П-с — „Решение задач в низшей начальной школе“, „Нар. образование в Виленском учебном округе“, 1913, IX, стр. 463—468.

46. Псарев Н. — „Исследование числового тождества как общий метод решения аналитических задач школьной арифметики“, „ВОФЭМ“, 1913, № 585, стр. 238—240.

47. Церетели Г. Д. — „Конспект примерного урока в I классе Кутаисской мужской гимназии (тема—решение задачи). Обсуждения урока“, сборник „Материалы по улучшению преподавания матем.“, Кавказский учебный округ, Тифлис. 1913, стр. 73—81.

48. Каплинский Я. — „О решении арифметических задач“, „Пед. листок“, 1914, III, стр. 195-205; IV, стр. 259—273; V, стр. 338—345.

49. Гинеевский В. — „Работы при решении арифметических задач“, „Кубанская школа“ 1915, VI, стр. 14—20; VII, стр. 69—79; VIII, стр 133-143; IX, стр. 177-181.

50. Извольский Н. А. — „Арифметические задачи и их решение“, „Матем. вестник“. М., 1915, VII (ноябрь), стр. 189—196.

51. Метько А. — „К вопросу о письменном решении задач по арифметике в начальной школе“, „Нар. образование в Виленском учебном округе“, 1915, IV.

52. Смирнов С. — „Арифметические задачи в высшей начальной школе“, „Пед. вестник Московского учебного округа“, 1915, II.

53. Фаддеев Н. — „Придумывание задач самими учениками“, „Матем. вестник*, М., 1915, III, стр. 79—82; IV, стр. 109—110.

54. Извольский Н. А. — „О задачах на пропорциональное деление“, „Матем. вестник“, 1916, VI (окт.), стр. 166—171.

55. Лапик Т. Ф.— „Решение, придумывание и построение задач по арифметике с учениками“, „Кубанская школа“, 1916, VI, стр. 295—304.

56. Цветкова А.— „О статье В. Гинеевского „Работы при решении арифметических задач“, „Матем. вестник“, 1916, III, стр. 87-89 и перепеч. — „Кубанская школа“, 1916, V, стр. 257- 259.

57. Эрн Ф.—„К вопросу о придумывании задач учащимися“, „Матем. вестник“, 1916, IV, стр. 111—121.

Из общих руководств методики арифметики дореволюционного периода, вообще содержащих раздел решения задач, этот вопрос разрабатывается наиболее тщательно и подробно в следующих (по алфавиту авторов):

58. Беллюстин В. Методика арифметики. Решению задач отведены:

В ч. 1-й, изд. 6-е, М. 1913 —стр. 48, 50, 56—61. В ч. 2-й, изд. 4-е, М. 1908 —стр. 58-65. В ч. 3-й, изд. 6-е, М. 1911 —стр. 49—73. В ч. 4-й, изд. 3-е, М. 1911 —стр. 61—64.

59. Геде Ф. В. — „Руководство к первоначальному обучению арифметике“, Спб., 1891 — „О простых задачах“, стр. 3—14.

60. Гольденберг А. И.— „Методика начальной арифметики“, изд. 21-е, Спб., 1914. „Задачи на числа 1 сотни“, стр. 47—57. „Задачи на числа любой величины“, стр. 99—112. „Задачи на составные имен, числа“, стр. 144—150.

61. Егоров Ф. И.— „Методика арифметики“, изд. 7-е, М., 1917, Гл. I — „Задачи и другие упражнения на уроках арифметики“, стр. 58 — 152.

62. Житков С. В.—„Методика арифметики“, Спб., 1894, гл. XIII —„Задачи на квадратные и кубические меры“, стр. 108—115. Гл. XVI —„Решение задач“, стр. 115—124.

63. Латышев В. А. — „Руководство к преподаванию арифметики“, М., 1897; изд. 3-е, М., 1904, гл. IV—„О задачах“.

64. Шохор-Троцкий С. И.— „Методика арифметики для учителей средних учебных заведений“; изд. 2-е, Спб., 1912.

„Сложные чисто-арифметические задачи“, стр. 69—87.

„Задачи алгебраического характера“, стр. 420-471.

Послереволюционный период

65. Казанцев П. — „Схема задачника для сельской школы I ступени“, Гиз, М., 1920, 62 стр., ц. 22 р., 50 000.

66. Эменов В. Л. — „Арифметическая задача в школе I ступени“, „Нар. учитель“, М., 1925, X, стр. 66—71.

67. Эменов В. Л.— „Как составлять и решать задачи в школе I ступени“, изд. „Новая Москва“, М., 1926, 34 стр., ц. 28 коп., 8000; изд. 2-е, М., 1927, 32 стр., ц. 28 коп., 5000. Рец.: „Сборник рецензий на методлитературу“, М., 1929, стр. 115—116.

68. Петров М. — „Из дневника инспектора“ (о подборе материала для задач в школе I ступени), „Вести, просв.“, М., 1927, V, стр. 103—105.

69. Эменов В. Л. — „О письменном решении задач в IV группе“, „Метод, путеводитель“, М., 1927, II, стр. 45.

70. Георгиев Л. Г. — „Как и над какими математическими задачами надо работать в сельской школе I ступени“, „Просвещение“, Л., 1929, VII—VIII, стр. 76—86.

71. Глаголева Л. В. — „Как научить детей школы I ступени понимать, решать и составлять задачи“, изд. „Раб. проев.“, Л.-М., 1930, 77 + 3 н. стр., с черт., ц. 60 коп., 8000.

72. Ланков А. В.—„Как учить детей в школе I ступени решать задачи“, „Метод, путеводитель для фабр.-зав. и гор. школ“, М., 1930, I, стр. 35-42; II, стр. 38—41.

73. М. С. — „О жизненных арифметических задачах“, „Метод, путеводитель для сельских школ“, М., 1930, II, стр. 36—38.

74. Зейгерман А.— „Роль пифагоровой таблицы умножения в решении некоторых задач“, „Физика, химия, математика и техника в советской школе“, М., 1932, II, стр. 59—61.

75. Попова — „Методы решения задач“, „В помощь учителю“, методсборник № 2, Западносибирского крайоно, Новосибирск, 1932.

76. Сафонов А.— „Анализ и синтез при решении задач в школе I ступени“, „За комм, просв. Ивановской пром. области“, 1932, IV—V, стр. 56—58.

77. Васильев Н.— „Решение задач в школе I ступени“, „Культфронт ЦЧО“, Воронеж, 1933, № 21—22, стр. 11-12.

78. Денисов Л. А. — „Затруднения детей в решении задач и методы работы“ (Уральский научно-исследовательский педагогический институт), Уралоно — Уралгиз, Свердловск — Москва, 1933, 30 стр., беспл., 800Э.

79. Никитин Н. Н. — „Как решать задачи в школе I ступени“. Глава в книге: Д. Волковский— „Арифметика в начальной школе“ (методика целых чисел). Под ред. А. Пчелко, НКП РСФСР — Учпедгиз, М., 1933, стр. 153—164.

80. „Решение задач“, Сборник „Математика в средней школе“. Инстр.-метод. материал, вып. 8-й, Школьный сектор НКП РСФСР — Учпедгиз 1933, стр. 21—27.

81. Серебровская Е.— „Как решать в начальной школе арифметические задачи“, .Культфронт“, Иркутск, 1933, VI, стр. 25—29.

82. Эменов В. Л. — „Решение задач“ (методические указания), „За политехническую школу“, М., 1933, IV, стр. 64-66.

83. Багашев К. — „Арифметические задачи и методика их решения на третьем и четвертом году обучения в школе I ступени“, „Просвещ. Сибири“, 1934, I, стр. 34—39.

84. Володина Л. — „Развитие уменья решать задачи“, „Нач. школа“, М.,1934, III, стр.28—33.

85. Воронов Д. — „Самостоятельное составление учащимися арифметических задач“, „Математика и физика в средней школе“, М., 1931, II, стр. 91—93.

86. Воронов Д.— „Работа над задачами“, „За политехническую школу“, М., 1934, VI, стр. 28—31.

87. Георгиев Л. Г.— „О решении задач“, „В помощь учителю“, ЛООНО, Л., 1934, IV, стр. 10—14.

88. Георгиев Л. Г. — „Составление арифметических задач учащимися в начальной школе“, „В помощь учителю“, ЛООНО, Л., 1934, № 22, стр. 1—6.

89. Кавун И. Н. — „К вопросу о задачах по арифметике-. V кл. — „В помощь учителю“, Л., 1934, № 21.

90. Качкаев С.— „Как решать сложную задачу в IV группе“, .Нач. школа“, М., 1934, III, стр. 33—35.

91. Никитин Н. Н.— „Простые задачи в начальной школе“, „На культ, посту“, Смоленск, 1934, VI, стр. 43—47.

92. Новоселов Ф. — „Решение задач аналитическим методом (в школе I ступени)“, „За комм, воспит.“, М., 1934, II, стр. 32—35.

93. Новоселов Ф. — „Решение задач в III и IV классах“, „Нач. школа“, М., 1934, VI, стр. 20-21.

94. Пантелеева С. — „Как добиться овладения решением задач“, „За комм, воспит.“, М., 1934, IV (июль-август), стр. 18—25.

95. Поляк Г. — „Аналитический способ решения задач“, „Нач. школа“, М., 1934, XII, стр. 18-23.

96. Третьякова Н. — „Графическое изображение анализа задач (урок, данный в IV классе образцовой средней школы г. Воронежа)“, „Культфронт“, Воронеж, 1934, № 19—20(окт.), стр. 19—22.

97. Яшанин И. — „Решение текстовых задач“ (методуказания), „Горьковский просвещенец“, 1934, V, стр. 21—35.

В новых методических руководствах решению задач отведены следующие страницы:

98. Березанская Е. С—„Методика арифметики“, Учпедгиз, М., 1934, гл. XIII — „Задачи“, стр. 238—274, а также стр. 34, 35, 48, 67, 69, 161, 207, 224—237.

99. Волковский Д. Л. — „Арифметика в начальной школе. Методика целых чисел“, под ред. А. Пчелко, Учпедгиз, М., 1933, гл. IX — „Об основных способах решения задач в начальной школе“, стр. 138—153, а также стр. 20,29, 47.

100. Волковский Д. Л.—„Методика арифметики в начальной школе“, пособие для учителей, Учпедгиз, М., 1934, задачи, стр. 18, 43, 53, 79, 145, гл. X—.Арифметические задачи“, стр. 163—182; гл. XI — „Об основных способах решения задач в начальной школе“, стр. 184—196.

101. Кавун И. Н., Попова Н. С. — „Методика преподавания арифметики“. Для учителей начальной школы и студентов педтехникумов, Учпедгиз, М.-Л., 1934, задачи: 1-й год обучения, стр. 146—160; 2-й год обучения, стр. 230—234; 3-й год обучения, стр. 305 — 320; 4-й год обучения, стр. 361—371.

102. Снигирев В. П. и Чекмарев Я. Ф. — „Методика арифметики“, пособие для учителей начальной школы, Учпедгиз, М., 1934, арифметические примеры и задачи, стр. 28—45-

ХРОНИКА И КОНСУЛЬТАЦИЯ

Краевые и областные журналы призваны играть весьма большую роль в улучшении качества преподавания основ наук, в том числе и физики. Особенное значение должны иметь эти журналы для отражения, сохранения опыта лучших школ и передачи его остальным школам. Однако, не все преподаватели физики используют страницы своего областного журнала для указанной цели.

Так, журнал „За ленинскую школу“ (г. Архангельск) на страницах восьми номеров за 1935 г. не дает ни одной заметки о преподавании физики в школах Северного края.

Ежемесячный журнал Запоблоно „На культурном посту“ (Смоленск) в восьми номерах не имеет ни одной статьи о состоянии работы по физике в школах. В № 2 за 1935 г. этого журнала печатается статья И. А. Чикина о „Маятнике Фуко в Смоленском музее-соборе“.

„За коммунистическое просвещение“ (г. Иваново) из 12 номеров только в № 7—8 печатает две заметки: Глаголевой, преподавателя Кольчугинской средней школы —„Как я преподаю физику“ и С. Капусткина, преподавателя той же школы — „Как я применяю наглядные пособия в преподавании физики“. Тов. Глаголева рассказывает о темах по механике, которые проработаны в школе с применением различных демонстраций и наглядных пособий. У читателя вызывает недоумение опыт „сцепления двух диаметров, растяжение и сравнение их показателей“(!). Речь идет, видимо, о динамометрах при проработке 3-го закона Ньютона. Вместо „металлических брусков“, автор берет „металлургические бруски“ при проработке законов трения.

Тов. Капусткин рассказывает о том, как прорабатывается им тема „Вращательное движение“.

Методический журнал Леноблоно „В помощь учителю“ тоже не изобилует заметками о преподавании по физике. Только в № 3 за 1935 г. печатается очень интересная статья А. Михайлова—„Мой опыт преподавания физики“. Автор статьи работает во 2-й средней школе г. Кировска (бывш. Хибиногорск). Тов. Михайлов показывает, чего может добиться преподаватель физики, любовно относящийся к своему делу и предмету даже при отсутствии физического кабинета в школе. При отсутствии мастерской учащиеся под руководством преподавателя физики сделали более 50 приборов: амперметры, перископ, микроскоп, электрические часы, модель мотора и динамо и много других. „Я не успеваю удовлетворить всех ребят, желающих изготовлять приборы“,—замечает т. Михайлов. Вся постановка преподавания направлена на выявление способностей учащихся, на возбуждение интереса их к физическим явлениям, на подтягивание отстающих.

Тов. Михайлов в заключение пишет: „Применяя в своей работе перечисленные приемы, я добиваюсь высокой заинтересованности ребят физикой и хорошей успеваемости. Ребята утверждают, что физика — самый легкий, самый интересный предмет“.

На страницах журнала „Горьковский просвещенец“ мы встречаемся с подачей методической помощи учителю физики по ряду вопросов. Так, М. А. Грабовский в статье „Простые опыты по отделу „Деформация твердого тела“ разбирает несколько демонстраций из лекций А. Б. Млодзеевского по деформации твердых тел. Тот же автор консультирует учителей об изготовлении прибора „мертвой петли“ и о демонстрировании с ним действий центробежной силы.

Дается обзор вышедших методических пособий по физике (статьи Петрова Е. П., Грабовского М. А.). В № 4 за 1935 г. т. Слуцкая А. 3. инструктирует учителей о проведении весенних испытаний по физике. Следует отметить еще две статьи Е. П. Петрова об „Антирелигиозном воспитании и преподавании физики“ (№ 4 за 1935 г.) и „Преподавании физики в первом полугодии по 10 школам Горьковского края“.

Однако, нужно пожалеть, что и в последнем журнале опыт самих преподавателей физики школ Горьковского края не нашел себе места.

Учгиз выпускает в IV квартале 1935 г. следующие наглядные пособия:

1) „Электроизмерительные приборы“: а) вольтметр и амперметр, устройство и включение, б) зеркальный гальванометр.

2) „Передача электроэнергии на расстояние и ее распределение между потребителями“.

3) „Оптические приборы“: а) микроскоп, б) рефрактор, в) рефлектор.

В. Юськович

ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ КОНСУЛЬТАЦИЯ

1. В сборнике задач О. В. Агапова, изд. 1901 г., уравнение + 350,42 х — 3489,1 = 0 предлагается решить по формулам

где

Просьба к редакции дать вывод этой формулы в общем виде.

Ответ. Решаем квадратное уравнение вида:

(1)

(2)

Так как ^|>0(при #>0),то Мы можем положить:

(3)

Подставляя (3) во (2), получим

Отсюда:

(4)

Определим из (3) cos?:

(3)

Подставляя (5) в (4) и принимая во внимание,

что

найдем

(6)

Аналогично получаем

(7)

Формулы (6) и (7) и являются теми, частный случай которых при /7 = 360,42 и q = 3489,1 приведен в задаче.

В сборнике задач по тригонометрии Рыбкина (§ 11, задача № 314) имеется аналогичная формула для у + --q при р > 2 у q > 0.

Для вспомогательного угла здесь берется sin ? = — - , что в данном случае возможно, так как согласно условию 0<^-^-^<1.

2. Мне хочется иметь литературу по вопросу подготовки учебно-наглядных пособий по математике в средней школе силами преподавателя и учащихся. Укажите пожалуйста литературу.

М. Рослянов.

Литература эта очень немногочисленна. Могут быть использованы следующие книги:

П. А. Карасев — „Учебно-наглядные пособия по математике“.

П. А. Карасе в — „Работа с миллиметровой бумагой“.

Г. Дресслер — „О наглядных пособиях по математике“.

Шугар — „Математика в трудовой школе“;

Роу Сундара — „Геометрические упражнения с куском бумаги“.

Кроме того, может быть использован ряд статей в журналах. Например, в журнале „Математика, физика, астрономия и техника в советской школе“ имеются статьи:

С. Рыбников — „Складной метр как наглядное математическое пособие“, 1931 г., № 8.

Н, Нестерович — „О внеклассных занятиях по математике“, 1930 г., № 1.

В. Репьев — „Модельно-математический кружок в школе“, 1931 г., № 2.

Р. Гангнус — „Об одной модели для математического кабинета“, 1932 г., № 3.

А. Б.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, помещенных в № 3 сборника „Математика и физика в средней школе“ за 1935 г.

1. Доказать, что если сторона квадрата и стороны равновеликого ему прямоугольника выражаются целыми числами, то отношение периметров этих фигур не равно целому числу.

1-й способ. Обозначив сторону квадрата через а, а стороны прямоугольника через Ь и с, будем иметь по условию:

а*=Ьс.

При равных площадях периметр прямоугольника больше, чем периметр квадрата. Так как целым числом может выражаться лишь отношение большего числа к меньшему, беоем отношение:

Выражения k и — не могут быть одновременно целыми. Если одно из них целое, то другое—дробь, и искомое отношение представляется дробным числом. Если оба выражения k и дробные, то сумма их опять-таки дает дробное число у — -f- — ==——— несократимая дробь при тип взаимно-простых). Исключение представляет случай k=l, т. е. Ь = с = а, но тогда будем иметь два равных квадрата.

2-й способ (принадлежит Н. А. Карелиной, Смоленск). Пусть отношение периметров прямоугольника и квадрата равно целому числу г\ Будем иметь

Отсюда:

Ь2 + 2Ьс + с^ — 4л2д2; 4Ьс = 4д2.

Вычитая из первого равенства соответственные части второго, получим

(Ъг- г)2=4а2(Л2 - 1),

или

Отсюда следует, что л2 — 1 должно быть точным квадратом некоторого целого или дробного рационального числа, что невозможно, так как целое число, не будучи квадратом целого же числа, не может быть и квадратом дроби.

Многие из присланных решений имеют ту ошибку, что, беря отношение меньшего периметра к большему, т. е. ятггт—; » доказывали дробность этого выражения, что недостаточно, так как дробь может быть вида —, где m целое число.

М. Варно (Новозыбков), Н. Карелина (Смоленск), Б. Кобылин (Галич), К. Краевский (Урусово), П. Милов (Люблино), П. Любовников (Сталинград), С. Орлов (ст. Ново-Величковская), А. Сафонов (Бурмакино), И. Смирнов (Рыбинск), Б. Сосницкий (Калуга).

2. Доказать, что всякое четное число можно представить как разность произведений двух пар последовательных целых чисел.

Представим четное число в виде 2л, где п произвольное целое число. Тогда

2П = «2 2П — л2 г.тг (/22 + П) — (ri* — П) =

= л(л+ 1) — (п— 1)л.

В. Асафьев (с. Гулгошево), М. Варно (Новозыбков), А. Вепланд (Москва), И. Гришин (Осташков), М. Гусев (Кимры), А. Егоров (Демянск), А. Задвиженец (Брасово), Г. Знаменский (Ялта), Н. Карелина (Смоленск), В. Камендровский (Оренбург), Б. Кобылин (Галич), К. Краевский (Урусово), П. Милов (Люблино), П. Любовников (Сталинград), С. Орлов (ст. Ново-Величковская), П. Савчук (Скопин), А. Сафонов (Бурмакино), А. Соловьев (Калинин), С. Тарарин (Тамбов).

3. Найти два числа, зная их общее наименьшее кратное 1620 и частное 0,75.

Обозначим искомые числа через х и у. Тогда

(1)

Так как х и у числа целые, то х должно делиться на 3, а у на 4. Положив х = 3а, у —Ab и подставив эти выражения в (1), полд/чим а = Ь.

Следовательно, общее наименьшее кратное чисел X и у будет 12а = 1620. Отсюда находим а= 135, X = 405, .у = 540.

H. Богданович (Донбасс), П. Буданцев (Оренбург), М. Варно (Новозыбков), И. Гришин (Осташков), И. Дьяченко (с. Ново-Александровка), А. Егоров (Демянск), А. Задвиженец (Брасово, Зап. обл.), Г. Знаменский (Ялта), Н. Карелина (Смоленск), В. Камендровский (Оренбург), Б. Кобылин (Галич), К. Краевский (Урусово), Н. Милковский (Новозыбков), П. Милов (Люблино), П. Любовников (Сталинград), В. Морев (Ленинград), Павлов (Балятино), А. Сафонов (Бурмакино), П. Сергеев (Москва), И. Смирнов (Рыбинск), А. Соловьев (Калинин), Б.Сосницкий (Калуга), С. Тарарин (Тамбов), С. Орлов (ст. Ново-Величковская), Я. Шор (Тула).

4. Найти дробь со знаменателем 241, зная, что ее квадратный корень, извлеченный с точностью до 0,01 (с недостатком) равен 0,87.

Обозначив числитель искомой дроби через х, будем иметь, согласно условию,

откуда

или

Произведя умножение, найдем, что х может быть равен 183, 184, 185 и 186.

Большинство присланных решений ограничивается ответом je = 183. Но задача настолько проста, что весь смысл ее заключался в том, чтобы дать все возможные решения.

И. Дьяченко (с. Ново-Александровка), Г. Знаменский (Ялта), Н. Карелина (Смоленск), Б. Кобылин (Галич), К. Краевский (Урусово), Павлов (Балятино), А.Сафонов (Бурмакино), А. Соловьев (Калинин).

5. Сколько раз в сутки стрелки часов перпендикулярны друг к другу?

Пусть между двумя последовательными перпендикулярными положениями стрелок проходит х минут. За это время минутная стрелка должна повернуться на угол на 180° больший, чем часовая. Угол поворота часовой стрелки за х минут будет равен ^ = 0,5°лг, а минутной

Согласно сказанному выше 6* - 0,5л: = 180°,

или

5,5* = 180°,

отсюда

Итак, перпендикулярное положение стрелок бывает через каждые -yj- минут или — часа.

Следовательно, за сутки такое положение будет иметь место 24 : = 44 раза.

М. Варно (Новозыбков), М. Гусев (Кимры), А. Егоров (Демянск), Г.Знаменский (Ялта), Н. Карелина (Смоленск), В. Камендровский (Оренбург), Б. Кобылин (Галич), Н. Милковский (Новозыбков), Павлов (Балятино), А. Сафонов (Бурмакино), И. Сергеев (Москва), И.Смирнов (Рыбинск), А. Соловьев (Калинин), Б. Сосницкий (Калуга).

6. Найти lim Y ах* + Ьх + с — х Y а при а > 0 и X, стремящемся к со.

Имеем

П. Буданцев (Оренбург), М. Варно (Новозыбков), А. Вепланд (Москва), И. Гришин (Осташков), М. Гусев (Кимры), И. Дьяченко (с. Ново-Александровка), Г. Знаменский (Ялта), H. Карелина (Смоленск), В. Камендровский (Оренбург), Б. Кобылин (Галич), Н. Милковский (Новозыбков), П. Милов (Люблино), П. Любовников (Сталинград), А. Сафонов (Бурмакинс), И. Смирнов (Рыбинск), А. Соловьев (Калинин), Б. Сосницкий (Калуга).

7. Извлечь квадратный корень из выражения:

Расположив многочлен по убывающим степеням относительно а, получим:

Извлекая из этого многочлена квадратный корень обычным методом, найдем

П. Буданцев (Оренбург), М. Варно (Новозыбков), А. Вепланд (Москва), И. Гришин (Осташков), И. Дьяченко (с. Ново-Александровка), А. Задвиженец (Брасово, Зап. обл.), Н. Карелина (Смоленск), В. Камендровский (Оренбург), Г. Клопов (Ливны), Б. Кобылин (Галич), К. Краевский (Урусово), И. Милковский (Новозыбков), И. Любовников (Сталинград), Павлов (Балятино), А. Сафонов (Бурмакино), И. Смирнов (Рыбинск), А. Соловьев (Калинин), Б. Сосницкий (Калуга), С. Тарарин (Тамбов), С. Орлов (ст. Ново-Величковская), Я. Шор (Тула).

8. Решить уравнение:

Xi 4хз + 5д2 I- 8лг — 14 = 0.

Представив 14 в виде 10 + 4, будем иметь:

Отсюда получаем:

M. Варно (Новозыбков), И. Гришин (Осташков), М. Гусев (Кимры), И. Дьяченко (Ново-Александровка), А. Егоров (Демянск), А. Задвиженец (Брасово,Зап. обл.), Г. Знаменский (Ялта), В. Камендровский (Оренбург), Б. Кобылин (Галич), Н. Милковский (Новозыбков), П. Милов (Люблино), В. Морев (Ленинград), Павлов (Балятино), П. Савчук (Скопин), А. Сафонов (Бурмакино), И. Сергеев (Москва), И. Смирнов (Рыбинск), А.Соловьев (Калинин), Б. Сосницкий (Калуга), С. Тарарин (Тамбов).

9. Найти сумму членов ряда

Преобразуем вторую часть ряда

Суммируя, получаем:

(m 1) (m» + m) - [1 -2 + 2-3 + ... + (m - 1 ) т].

Наконец, прибавляя первую часть, которая отличается от выражения в прямых скобках лишь членом т(/я + 1), будем иметь:

(m — 1)(т* + т) + т(т + 1)=т*(т + 1).

M. Варно (Новозыбков), А. Вепланд (Москва) И. Гришин (Осташков), М. Гусев (Кимры), И. Дьяченко (Ново-Александровка), Г. Знаменский (Ялта), В. Зяблицкий (Калинин), Н. Карелина (Смоленск), В. Камендровский (Оренбург)), Б. Кобылин (Галич), К. Краевский (Урусово), Н. Милковский (Новозыбков), Павлов (Балятино), А. Сафонов (Бурмакино), И. Смирнов (Рыбинск), А. Соловьев (Калинин), Б. Сосницкий (Калуга).

10. В круг радиуса R вписать фигуру, состоящую из квадрата, на сторонах которого построены равносторонние треугольники, и найти длину стороны этой фигуры.

Черт. 1.

Обозначив сторону фигуры через х, для высот треугольников будем иметь _—. Рассматривая диаметр АС, проведенный через противоположные вершины фигуры, получаем:

или откуда

Построение можно выполнить следующим образом. Сторона х находится как сторона вписанного треугольника, уменьшенная на длину радиуса. Проводим в окружности два взаимно-перпендикулярных диаметра и из их концов радиусом X делаем засечки внутри окружности. Соединив последовательно полученные точки с концами диаметров, получим искомую фигуру.

М. Варно (Новозыбков), А. Вепланд (Москва), И. Гришин (Осташков), М. Гусев (Кимры), И. Дьяченко (Ново-Александровка), А. Егоров (Демянск), А. Задвиженец (Брасово), Г. Знаменский (Ялта), Н. Карелина (Смоленск), В. Камендровский (Оренбург), Б. Кобылин (Галич), Н. Милковский (Новозыбков), П. Милов (Люблино), П. Любовников (Сталинград), В Морев (Ленинград), Павлов (Балятино), П. Савчук (Скопин), А. Сафонов (Бурмакино), В. Смирнов (Рыбинск), А. Соловьев (Калуга), С. Орлов (ст. Ново-Величковская), Б. Сосницкий (Калуга), Я. Шор (Тула).

11. В данный угол вписать окружность так, чтобы перпендикуляр, опущенный из точки прикосновения одной касательной на другую, имел данную длину = а.

Проводим прямую, параллельную одной из сторон данного угла на расстоянии а от нес. В точке пересечения D этой прямой с другой стороной данного угла восставляем перпендикуляр к этой стороне. Пересечение этого перпендикуляра с биссектрисой данного угла даст центр искомой окружности.

М. Варно (Новозыбков), И. Гришин (Осташков), С. Орлов (ст. Ново-Величковская), А. Егоров (Демянск), Г. Знаменский (Ялта), Н.Карелина (Смоленск), В. Камендровский (Оренбург), Б. Кобылин (Галич), К. Краевский (Урусово), Н. Милковский (Новозыбков), П. Милов (Люблино), П.Савчук (Скопин), А. Сафонов (Бурмакино), П. Любовников (Сталинград), П. Сергеев (Москва), Б. Сосницкий (Калуга), Я. Шор рула).

12. Доказать, что если диагонали четырехугольника взаимно-перпендикулярны, то сумма радиусов кругов, вписанных в получившиеся от

Черт. 2.

пересечения диагоналей четыре треугольника, равна разности между суммой диагоналей и полупериметром четырехугольника.

Применяя для каждого из треугольников формулу

где за А берем прямой угол, будем иметь

Отсюда

Складывая последние равенства, получим

Черт. 3.

М. Варно (Новозыбков), Г. Знаменский (Ялта), Н. Карелина (Смоленск) В. Камендровский (Оренбург), Б. Кобылин (Галич), Н. Милковский (Новозыбков), Павлов (Балятино), А. Сафонов (Бурмакино), И. Сергачев (Москва), А. Соловьев (Калинин), Б. Сосницкий (Калуга), С. Тарарин (Тамбов).

13. На прямой линии даны четыре точки A ß, С, и D. Найти на плоскости точку, из которой отрезки AB, ВС и CD были бы видны под равными углами.

Пусть точка M будет искомой, тогда ^/ АМВ— = £ ВМС -= ^СМи. Следовательно, MB является биссектрисой угла AMC, а MC — биссектрисой угла BMD. Но тогда по свойству биссектрисы АМ:СМ = АВ:ВС и BM:DM = ВС:CD. Отсюда вытекает построение. Находим геометрическое место точек, из которых AB и ВС видны под равными углами. Для этого находим точку Bit четвертую гармоническую к точкам А,В,С\ и на ВВ{, как на диаметре, строим окружность. Она и будет искомым геометрическим местом. Так же поступаем по отношению к точкам В, С и D. Точки пересечения этих окружностей и дают ответ на задачу. Задача возможна при условии ВС*< ABCD; в противном случае окружности не пересекутся.

М. Варно (Новозыбков), А. Вепланд (Москва), В. Камендровский (Оренбург), Б. Кобылин (Галич), Ä. Сафонов (Бурмакино), А. Соловьев (Калинин), Б, Сосницкий (Калуга), Я. Шор (Тула),

14. Построить треугольник, зная сторону я» радиус вписанного круга г и вневписанного га.

Из присланных решений приводим наиболее простое. Пусть ABC искомый треугольник (черт. 4). По свойству касательных имеем AM = = AK; AN = AL; AN — AM — AL— AK, MN = KL.

Покажем, что KL = MN s= ВС = a.

Действительно, KL = КС + CL = CP + CQ = = 2CP -f- PQ.

MN=BM + BN = BQ -\- BP = 2BQ ± PQ.

Отсюда: CP = BQ и, наконец,

KL = CP + CQ = BQ+ CQ = BC = a.

Отсюда построение: на прямой в точках К и L, находящихся на расстоянии а друг от друга, строим обычным приемом касательные окружности радиусов г и га. Проводим другую внешнюю касательную к этим окружностям и внутреннюю касательную (их будет две). Пересечения двух внешних касательных с любой из внутренних и дадут искомый треугольник.

Черт. 4.

М. Варно (Новозыбков), В. Камендровский (Оренбург), Б. Кобылин (Галич), Н. Милковский (Новозыбков), В. Морев (Ленинград), Павлов (Балятино), А. Сафонов (Бурмакино), А. Соловьев (Калинин), Б. Сосницкий (Калуга).

15. Показать, что в треугольнике

Из многих решений приведем два:

1. Приняв во внимание, что в треугольнике

будем иметь

2. Взяв известные формулы

подставив их в данное выражение, произведя сокращения и извлечение корня, получим

Н. Богданович (Донбасс), П. Буданцев (Оренбург), М. Варно (Новозыбков), И. Гришин (Осташков), М. Гусев (Кимры), И. Дьяченко (с. Ново-Александровка), А. Егоров (Демянск), Н. Ежев (Ижевск), Г. Знаменский (Ялта), Н. Карелина (Смоленск), В. Камендровский (Оренбург), Б. Кобылин (Галич), Н. Милковский (Новозыбков), П.Милов (Люблино), П. Любовников (Сталинград), Павлов (Балятино), Ф. Рышков (Донбасс), П. Савчук (Скопин), А. Сафонов (Бурмакино), А.Соловьев (Калинин), Б. Сосницкий (Калуга), С. Тарарин (Тамбов).

16. Решить уравнение:

Приведем два способа.

1-й способ. Преобразуем уравнение

освобождаясь от знаменателей,

Отсюда:

2-й способ. Применив формулу tg a — tg } —

получим

Но

следовательно:

Н.Богданович (Донбасс), М. Варно (Новозыбков), А. Вепланд (Москва), И. Гришин (Осташков), М. Гусев (Кимры), И. Дьяченко (с. Ново-Александровка), А. Егоров (Демянск), Н. Ежев (Ижевск) Г. Знаменский (Ялта), Н. Карелина (Смоленск), В. Камендровский (Оренбург), Б. Кобылин (Галич), Н. Милковский (Новозыбков), П. Любовников (Сталинград), Павлов (Балятино), П. Савчук (Скопин), А. Сафонов (Бурмакино), И. Сергачев (Москва), А. Соловьев (Калинин), Б. Сосницкий (Калуга), С. Тарарин (Тамбов), С. Орлов (ст. Ново-Величковская).

17. Упростить выражение:

Имеем:

Н. Богданович (Донбасс), П. Буданцев (Оренбург), М. Варно (Новозыбков), М.Гусев (Кимры), И.Дьяченко (с. Ново-Александровка), А. Егоров (Демянск), Н. Ежев (Ижевск), Г. Знаменский (Ялта), Н. Карелина (Смоленск), В. Камендровский' (Оренбург), Б. Кобылин (Галич), Н. Милковский (Новозыбков), П. Милов (Люблино), П. Любовников (Сталинград), Павлов (Балятино), П. Савчук (Скопин), А. Сафонов (Бурмакино), И. Сергачев (Москва), И. Смирнов (Рыбинск), А. Соловьев (Калинин), Б. Сосницкий (Калуга), С. Тарарин (Тамбов),

18. Решить систему уравнений:

sin2 X + sin2 у = а, Преобразуем данные уравнения:

Из второго уравнения находим

cos2* + cos2j/ = (b + 2) cos2 X cos2 у. Откуда:

Из этого уравнения и первого из данных находим cos2 х и cos2у как корни уравнения:

Н.Богданович (Донбасс), П. Буданцев (Оренбург), М. Варно (Новозыбков), А. Вепланд (Москва), А. Егоров (Демянск), Г. Знаменский (Ялта), Н. Карелина (Смоленск), В. Камендровский (Оренбург), Б. Кобылин (Галич), Н. Милковский (Новозыбков), Павлов (Балятино), П. Савчук (Скопин), А. Сафонов (Бурмакино), А. Соловьев (Калинин), Б. Сосницкий (Калуга), С. Тарарин (Тамбов).

19. Исследовать изменение функции

у = sin2 X + sin X — 2

и построить соответствующую кривую (при изменении X от 0 до 2г.).

Находим первую производную и определяем значения х, при которых функция имеет экстремум.

Находим соответствующие значения функции, а также значения ее в крайних точках при х = 0 и X = 2к:

Течение функции ясно. При помощи второй производной можно убедиться, что функция действительно имеет максимум при

и минимум при

Для построения функции можно взять ее значения при х —

М. Варно (Новозыбков), I Н. Дьяченко (с. Ново-Александровка), Г. Знаменский (Ялта), Н. Карелина (Смоленск), Б. Кобылин (Галич), Н. Милковский (Новозыбков), А. Сафонов (Бурмакино), А. Соловьев (Калинин), Б. Сосницкий (Калуга).

20. Решить уравнение:

5(1 — sin 2х)~ 16 (sin х — cos х) -f- 3 = 0.

Преобразуем левую часть:

Решая квадратное уравнение, найдем:

(другой корень не годится, как больший единицы). Отсюда находим

Возможны и другие способы решения, приводящие к sin X = -=- , к sin 2х = ^= и пр.

Н.Богданович (Донбасс), П. Буданцев (Оренбург), М. Варно (Новозыбков), И. Гришин (Осташков), И. Дьяченко (Ново-Александровка), А. Егоров (Демянск), . Ежев (Ижевск), Г. Знаменский (Ялта), Н. Карелина (Смоленск), В. Камендровский (Оренбург), Б. Кобылин (Галич), П. Милковский (Новозыбков), П. Любовников (Сталинград), Павлов (Балятино), И.Савчук (Скопин), А.Сафонов (Бурмакино), А. Соловьев (Калинин), Б. Сосницкий (Калуга) С. Тарарин (Тамбов), С.Орлов (ст. Ново-Величковская).

Черт. 5.

ЗАДАЧИ

1. Решить уравнение

X* — Юл* + 24*2 Sx — 6 = 0.

И. Гришин.

2. Упростить выражение

/2 +у$ +/6 +/8 4-4

И. Гришин.

3. Доказать, что для всякого прямоугольного треугольника имеют место соотношения

r? + r2 = r2 и R\ + R\= Ä2,

где г, Г|, г2 и R, В{> В2 — радиусы вписанных и описанных окружностей данного треугольника и треугольников, на которые разбивает его высота, опущенная на гипотенузу.

И. Гришин.

4. В треугольнике проведены высоты, основания которых соединены. Доказать, что в полученном треугольнике (центральном) высоты данного треугольника служат биссектрисами.

Б. Елуферьев.

5. Решить систему уравнений:

И. Бутомо.

6. Если на одной из диагоналей квадрата, как на стороне, построить равносторонний треугольник, а стороны квадрата, заключенные внутри этого треугольника, продолжить до пересечения со сторонами треугольника, то каждый из больших отрезков последних равен стороне вписанного в данный квадрат равностороннего треугольника, имеющего с квадратом общую вершину.

П. Любовников.

7. Угол в 54° разделить на три равные части при помощи циркуля и линейки.

П. Любовников.

8. Доказать, что во всякой бесконечно-убывающей геометрической прогрессии с положи-

тельными членами, знаменатель которой не равен у , предел суммы всех членов более учетверенного второго члена.

И. Чистяков.

9. Найти четырехзначное число, сумма цифр которого равна двузначному числу, выражаемому двумя его первыми цифрами.

И. Чистяков.

10. Доказать неравенство

И. Чистяков

11. Доказать, что в круге никакие две пересекающиеся хорды, кроме диаметров, не делят друг друга пополам.

Примечание. Эта задача — предложение 4-й книги III „Начал“ Эвклида. Формулировано оно там несколько иначе, а именно: .Если в круге две прямые линии, не проходящие через центр, встречаются, то каждая из них делит другую на две неравные части“.

И. Кацман.

12. Доказать, что радиус круга, вписанного в прямоугольный треугольник, равен р — а, где а — гипотенуза, ар — полупериметр треугольника.

Примечание. Французский математик Шаль приписывает это предложение римскому землемеру Фронтину, жившему в I в. н. э. Так как это имело место до Птоломея, жившего во II в. н. э. и положившего начало тригонометрии то задачу эту следует решать не по формуле г = (р — а) ig при А — 90°, а чисто геометрическим способом.

И. Кацман.

* * *

Начиная с настоящего номера журнала .Математика и физика в средней школе“, будут регулярно помещаться задачи по физике. Редакция обращается к читателям с просьбой присылать свои* задачи и решения задач, помещаемых в сборнике. Каждая задача должна сопровождаться подробным решением или указанием, что решение задачи автору не известно. В случае заимствования задачи следует указывать источник, откуда она взята.

1. Разъяснить следующее недоразумение: пусть камень с массой m находится на поезде, движущемся со скоростью v{. В таком случае он обладает относительно земли энергией Г) .

Затем камень бросают по направлению движения поезда со скоростью относительно поезда, сообщая ему таким образом энергию Итого он будет обладать энергией mvi , .Но можно рассуждать и так: камень движется относительно земли со скоростью (v{ + v2) и, следовательно, обладает энергией “byvi^~ . Это выражение больше предыдущего на mviV* В чем здесь дело?

2. Шарик радиуса г скатывается по жолобу с „мертвой петлей“, радиус окружности которой /?. Определить наименьшую высоту, скатываясь с которой шарик не выпадает из петли. Считать, что шарик катится по дну жолоба и пренебречь трением.

Рис. 1.

3. Вдоль неподвижной наклонной плоскости скользит без трения другая наклонная плоскость с массой т{, по которой в свою очередь скользит без трения тело с массой wa (рис. 1). Определить ускорение этого тела. Разобрать частные случаи:

1) а == 90°; 2) ß = 0; 3) ч + р = 90° и др.

Д. Сахаров.

* * *

Печатаемые ниже задачи заимствованы из американского журнала „School Science and Mathematics“ за 1934 и 1935 гг.

Задача 1. Два парашютиста А и В прыгали с двух аэропланов в один и тот же момент. А находится на высоте а метров и В — на высоте Ь метров над землей. Сопротивлением воздуха до раскрытия парашютов пренебрегаем; движение парашютистов после раскрытия парашюта принимаем за равномерное со скоростью = v ~-~ .

Нужно определить высоту, на которой А должен раскрыть свой парашют, чтобы приземлиться одновременно с В.

Задача 2. Деревянное колесо вертится на оси, вделанной в боковую стенку резервуара, наполненного водой. При этом одна половина его вращается в воде, а другая — в воздухе. Дерево всплывает в воде и тонет в воздухе. Почему колесо не будет вертеться само собой, производя таким образом вечное движение?

Задача 3. Железная труба в 15 км длиной и 4,5 м в диаметре помещена на земле так, что она составляет прямую линию, параллельную касательной к земле в середине длины трубы. Эта труба закрыта у обоих концов и наполнена водой. Когда концы трубы открываются, то выльется воды менее, чем половина. Почему выльется не вся вода?

Задача 4. Два конькобежца стоят вместе на середине пруда. Поверхность льда горизонтальна. Предположим, что движение коньков по льду происходит без трения. Как могут конькобежцы достигнуть берега, не снимая коньков и не призывая кого-либо на помощь?