УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ СБОРНИК

6

1935

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

МАТЕМАТИКА и ФИЗИКА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ СБОРНИК

№ 6

НОЯБРЬ 1935 ДЕКАБРЬ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

НАУЧНЫЙ И НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

ОЧЕРКИ ПО ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО

Проф. Н. ИОВЛЕВ (Москва)

Очерк первый

Геометрия Лобачевского считается одной из самых трудных областей математики. Происходит это оттого, во-первых, что многие свойства пространства Лобачевского прямо противоположны наиболее „очевидным“ свойствам пространства Эвклида, к которым мы настолько привыкли, что отрицание их кажется абсурдным, а существование пространственных форм, обладающих такими „отрицательными“ свойствами, — немыслимым и противоречащим всякому здравому смыслу и очевидности. Доказательства же всех этих свойств, самые строгие, кажутся вначале просто математическими фокусами и софизмами.

Недаром сам Н. И. Лобачевский назвал сначала свою геометрию „воображаемой геометрией“. Между тем, без знания элементов геометрии Лобачевского нельзя понять и основ геометрии Эвклида. Однако, эта абсурдность геометрии Лобачевского исчезает, если подойти к изучению этой геометрии несколько с иной стороны, и вместо того, чтобы сразу „строго“ доказывать все эти свойства, начать изучение ее с разбора некоторых из попыток доказать „постулат Эвклида“ о параллельных линиях, на отрицании которого построена геометрия Лобачевского; при этом нас будут интересовать, главным образом, не самые доказательства, а те „самоочевидные истины“ и часто скрытые допущения, на которых все эти доказательства основываются.

Другой причиной „непонятности“ геометрии Лобачевского служит относительная сложность и трудность ее построений и выводов по сравнению с геометрией Эвклида.

§ 1. Как известно, в основе геометрии Эвклида лежат определения, постулаты и аксиомы — общие и собственно геометрические. Приняв их за истинные, геометрия выводит из них все остальное свое содержание как необходимое следствие.

У Прокла (IV в. нашей эры) дано три разных определения аксиомы и постулата.

Согласно первому определению, различие между аксиомой и постулатом такое же, как между теоремой и задачей. Постулат только утверждает возможность того или иного основного построения ; Есе остальные построения приводятся к тем основным, возможность которых допускается постулатами.

По второму определению, постулат есть недоказуемое предложение геометрического характера, аксиома же относится вообще к величинам.

По третьему определению (Аристотеля) , аксиома есть то, что истинно само по себе, в силу самого значения слова; постулат же, не обладая очевидностью аксиомы, принимается на веру в силу необходимости.

Это определение Аристотеля было принято до последнего времени. Но в настоящее время очевидность уже не считается необходимым признаком аксиом, и за аксиомы геометрии (или другой науки) принимают совокупность истин, выбранных таким образом, чтобы число их было возможно меньше и чтобы из них наиболее просто и строго выводилось все остальное содержание геометрии (или другой науки). При этом аксиомы должны удовлетворять трем условиям:

1) непротиворечивости: аксиомы не должны противоречить друг другу;

2) независимости: аксиомы должны быть совершенно независимы одна от другой;

3) постулату полноты: аксиом должно быть достаточно для того, чтобы все остальное содержание геометрии (или другой науки) можно было вывести из них и из определений и доказать чисто математически.

Тут возникает вопрос: что называется математическим доказательством?

Для математического доказательства какого-нибудь положения не нужно никаких опытов, наблюдений или приборов. Различные вычисления и геометрические построения также не вполне определяют математический характер доказательства.

В самом деле, в математике сплошь и рядом доказывают теоремы, не производя никаких вычислений и геометрических построений.

С другой стороны, при многих доказательствах путем опыта и наблюдения пользуются очень часто весьма сложными математическими вычислениями и построениями, но это еще не делает самые доказательства математическими.

Математическое доказательство представляет из себя цепь вычислений, геометрических построений и логических умозаключений, которые основываются на определениях, постулатах и аксиомах, а также на теоремах, ранее математически доказанных на основании исходных определений и аксиом.

Математические вычисления и преобразования формул представляют из себя те же логические умозаключения, только записанные в символической форме.

§ 2. В основание своих „Начал геометрии“ Эвклид положил следующие аксиомы и постулаты.

Требования (Postulata)

Допускается: 1) что от одной точки до другой какой-нибудь можно провести прямую;

2) что конечную прямую можно продолжить неопределенно;

3) что из какой-нибудь точки, как из центра, произвольным радиусом можно описать круг.

Аксиомы

1. Величины, равные одной и той же величине, равны между собой.

2. Если к величинам равным придадим величины равные, то суммы получим равные.

3. Если от величин равных отнимем величины равные, то остатки получим равные.

4. Если к величинам неравным придадим величины равные, то суммы их получатся неравные.

5. Если от величин неравных отнимем величины равные, то остатки получим неравные.

6. Величины, двойные одной и той же величины, равны между собою.

7. Половины одной и той же величины равны.

8. Величины, которые по наложении совмещаются, равны между собой.

9. Целое больше своей части.

10. Все прямые углы равны между собой.

11. Если две прямые линии пересекаются третьей так, что сумма внутренних углов, лежащих по одну сторону третьей, меньше двух прямых углов, то две прямые, по достаточном продолжении, встретятся по ту сторону третьей прямой, на которой сумма внутренних углов меньше двух прямых.

Короче эту аксиому можно выразить так:

Если сумма внутренних односторонних углов меньше 2d, то прямые пересекаются.

12. Две прямые линии не могут заключать пространства.

Аксиомы 1—7 и 9 называются общими, так как относятся вообще к величинам, аксиомы же 8, 10, 11 и 12, определяющие свойства пространства, называются геометрическими. Первые 28 предложений „Начал“ Эвклида доказаны им без помощи 11-й аксиомы, или так называемого „V постулата Эвклида“, и потому определяют свойства, общие и эвклидову пространству и пространству Лобачевского, построившего свою геометрию на отрицании постулата Эвклида.

Кроме перечисленных, мы будем в дальнейшем изложении пользоваться так называемой „аксиомой Архимеда“.

Аксиома Архимеда. Как бы величина а ни была мала по сравнению с однородной ей величиной А, но, повторив ее (а) слагаемым достаточное число (п) раз, мы всегда получим величину па^>А.

§ 3. В планиметрии без помощи постулата Эвклида доказываются следующие теоремы:

1. Теоремы об измерении отрезков, дуг и центральных углов.

2. Теоремы о смежных и вертикальных углах.

3. Условия равенства треугольников и противоположные им теоремы.

4. Теоремы о перпендикуляре и наклонных.

5. Теоремы о хордах и их расстояниях до центра; о касательной и ее перпендикулярности с радиусом точки касания.

6. Условия пересечения прямой и окружности и двух окружностей.

7. Прямые теоремы о параллельных линиях.

Прямые линии параллельны:

а) если внешние (или внутренние) накрестлежащие углы равны;

б) если соответственные углы равны;

в) если сумма внешних (или внутренних) односторонних углов равна 2d.

Но доказательство обратных теорем о параллельных линиях без постулата Эвклида уже невозможно.

В стереометрии без помощи постулата Эвклида доказываются:

1) теоремы об определении плоскости тремя ее точками, о пересечении двух плоскостей, имеющих одну общую точку, и плоскости с прямой, имеющей с ней общую точку;

2) теоремы о плоскостях и прямых, перпендикулярных между собою, и о перпендикулярах и наклонных к плоскости;

3) теоремы о двугранных углах (линейном измерении их углами, о смежных и вертикальных двугранных углах) и некоторые другие.

Замечание. Теорема о том, что „внешний угол треугольника более каждого из двух внутренних, с ним не смежных“, доказывается без постулата Эвклида, но то, что внешний угол треугольника равен сумме внутренних с ним несмежных, а сумма всех внутренних углов треугольника равна 2d, доказать без помощи постулата Эвклида невозможно. Можно только доказать, что сумма внутренних углов треугольника не может быть более 2d (см. ниже „Первая теорема Лежандра“).

§ 4. Постулат Эвклида очень часто употребляется в несколько иных формах.

1. Перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой всегда пересекаются.

Этот постулат есть непосредственное следствие постулата Эвклида. В самом деле, сумма внутренних односторонних углов, образуемых прямой AB с перпендикуляром ВВ' и наклонной к ней АА', будет меньше 2d, а потому А А1 и ВВ' должны пересечься.

2. Через точку вне данной прямой можно провести только одну прямую, параллельную этой прямой.

В этой форме постулат Эвклида обыкновенно и приводится в учебниках, а самый постулат доказывается, как теорема.

§5. 11-ю аксиому Эвклид ввел потому, что без нее невозможно доказательство теорем, следующих за первыми 28.

Однако постулат Эвклида не обладает совершенно той очевидностью, как остальные его 11 аксиом. По всей вероятности, это обстоятельство явилось причиной того, чтв геометры, в том числе самые знаменитые, в течение двух тысячелетий напрягали все усилия доказать постулат Эвклида при помощи остальных аксиом его „Начал“.

Несмотря на неверность всех этих доказательств, рассмотрение постулатов, на которых они основаны, может принести очень большую пользу при изучении начал геометрии Лобачевского. Дело в том, что каждое такое доказательство, в конце концов, основывалось на каком-нибудь „очевидном“ свойстве пространства, а это свойство, на самом деле, оказывалось само следствием постулата Эвклида. Таким образом, все эти доказательства содержат „порочный круг“.

Но раз из какого-нибудь свойства пространства вытекает постулат Эвклида, и, наоборот, это свойство является следствием постулата Эвклида, то ясно, что пространство, не удовлетворяющее этому постулату, должно обладать как раз свойствами противоположными.

Это вытекает из того, что, „если справедливы теоремы — прямая и обратная ей, то должны быть справедливы и противоположные им теоремы“.

Например, в геометрии Эвклида доказывается, что:

Теорема 1. Если справедлив постулат Эвклида, то сумма внутренних углов во всяком треугольнике равна 2d.

Докажем, что справедлива

обратная теорема 2. Если сумма углов треугольника равна 2d, то постулат Эвклида справедлив, т. е. сумма внутренних односторонних углов, полученных от пересечения двух не встречающихся линий третьей, равна 2d.

Для доказательства этой теоремы допустим, что она неверна, и покажем, что подобное допущение приведет нас к нелепости.

В самом деле, возьмем две не пересекающиеся прямые AB и CD, пересечем их третьей прямой АС и допустим, что сумма внутренних односторонних углов ВАС и АСЕ меньше 2d, т. е. (рис. 1).

/_ВАСАг/_ACE = 2d — а, где а>0. (1)

Затем проведем через точку С другую секущую СВ так, чтобы она образовала с AB /тСВА = а... (2)

По условию теоремы, сумма внутренних углов в треугольнике равна 2d, а потому

ZBAC+ZACB + Z.CBA=x2d- (3)

Подставляя сюда вместо 2d их значение из равенства (1), получаем:

£ ВАС-\- /_ АСВ + Z. СВА = Z ВАС+

откуда по сокращении находим:

АСЕ = Z. АСВ + СВА - а).

Но равенство (2) показывает, что разность углов СВА — а = 0, а потому

/_АСЕ = ^АСВ,

т. е. целый угол АСЕ равен своей части — углу АСВf что невозможно. Таким образом, наше предположение, что теорема неверна, привело к отрицанию одной из аксиом: целое больше своей части. А так как из истинного положения нельзя вывести ложного заключения, то, стало быть, наше предположение неверно, а верна теорема прямая (1) и обратная ей (2); следовательно, должны быть справедливы и противоположные им теоремы:

Теорема 3 (противоположная!). Если постулат Эвклида неверен, то сумма углов в треугольнике не равна 2d.

Теорема 4 (противоположная 2). Если сумма углов в треугольнике не равна 2d, то постулат Эвклида не имеет места.

Поэтому предложение: „Сумма углов в треугольнике равна 2d“ равносильно постулату Эвклида.

Следствие. Предложение: „Сумма углов в четыреугольнике равна 4da также равносильно постулату Эвклида.

Перейдем теперь к рассмотрению „доказательств“ постулата Эвклида.

§ 6. Возьмем, например, доказательство Джона Валлиса (1616 — 1703 гг.), который принял за очевидное, что „для каждой фигуры можно построить подобную ей фигуру произвольной величины“ (рис. 2).

В самом деле, нам надо доказать, что две прямые А А' и В В9 непременно пересекутся, если сумма внутренних односторонних углов аир, полученных от пересечения этих линий третьей прямой AB, меньше 2d. Чтобы доказать это, Джон Валлис, оставляя угол ß неизменным, передвигает прямую ВВ' к AÄ до тех пор, пока она не пересечет АА! в какой-нибудь точке D. Так как, согласно допущению Валлиса, для треугольника ADC можно построить подобный треугольник любой величины, то таковым может быть треугольник, построенный на основании AB со сторонами AÄ и ВВ\ образующими с AB углы а и ß. Отсюда следует, что АА* и BBf непременно пересекутся, если a -f- ß <С 2d, что и требовалось доказать.

Итак, справедлива следующая

1-я теорема. Если для каждой фигуры можно построить подобную ей фигуру любой величины, то постулат Эвклида справедлив.

Но из геометрии Эвклида мы знаем, что справедлива —

2. Обратная теорема. Если верен постулат Эвклида, то для каждой фигуры можно построить подобную ей фигуру любой величины.

А раз справедливы теоремы — прямая и обратная ей, то должны быть справедливы и противоположные им теоремы:

3. Если подобных фигур не существует, то постулат Эвклида несправедлив.

4. Если постулат Эвклида несправедлив, то подобных фигур быть не может.

§ 7. Прокл (410—485 гг.) доказывает постулат Эвклида, принимая за очевидное такое предложение:

Расстояние между параллельными прямыми AB и CD конечно.

В самом деле, без постулата Эвклида доказывается теорема: „Если сумма внутренних односторонних углов ACD и CAB равна 2d, то прямые AB и CD не пересекутся“.

Чтобы доказать постулат Эвклида, достаточно показать, что всякая прямая АЕ, про-

Рис. 1

Рис. 2.

Рис. 3.

веденная внутри угла CAB, пересечет прямую CD (рис. 3).

Но АЕ должна пересечь CD, так как стороны ^ ВАЕ расходятся до бесконечности, а расстояние между AB и CD — конечно.

Из геометрии Эвклида мы знаем, что расстояние между двумя параллельными линиями везде одинаково и потому конечно. Следовательно, на неэвклидовой плоскости, где постулат Эвклида не имеет места, расстояние между двумя непересекающимися линиями, при их продолжении в одну и ту же сторону, вообще может быть сделано сколько угодно большим.

§ 8. Нассир-Эддин (1201 —1274 гг.), арабский математик, основывает свое доказательство иа таком „очевидном“ свойстве перпендикуляра и наклонной:

„Перпендикуляр и наклонная к данной прямой сближаются в одном направлении и расходятся до бесконечности в другом“.

Мы не станем здесь приводить доказательства Нассир-Эддина, потому что из его допущения непосредственно вытекает положение, равносильное постулату Эвклида, а именно, что сумма углов в четыреугольнике равна id (рис. 11)

В самом деле, восстановим к прямой AB с одной ее стороны два равных перпендикуляра ВС и AD и соединим их концы С и D. В полученном четыреугольнике углы ADC и BCD должны быть, очевидно, равны.

Но, кроме того, они должны быть и прямые. В самом деле, если бы они были острые, то AD и ВС не могли бы быть равны в силу допущения Нассир-Эддина.

Отсюда заключаем, что:

Если постулат Эвклида несправедлив, то перпендикуляр и наклонная могут иногда сближаться до известного предела, а потом снова расходиться.

Легко видеть, что на нашем чертеже, если равные углы С и D — острые, то прямые AB и DC сближаются до середины H отрезка DC, а затем расходятся. Легко также видеть, что прямая НМ, перпендикулярная к AB, будет перпендикулярна и к DC Для этого стоит только провести НМ\_АВ и перегнуть по H M чертеж. Тогда правая сторона совпадет с левой.

§ 9. Вольфганг Больяи (1775 — 1856 гг.) доказывал постулат Эвклида, считая очевидным, что:

Через всякие три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность.

Между тем, легко убедиться в том, что это положение равносильно постулату Эвклида в форме: перпендикуляр и наклонная пересекаются. В самом деле, пусть три точки M, М1 и Мп не лежат на одной прямой; согласно постулату, через них всегда можно провести окружность; отрезки ММ1 и ММп будут хордами этой окружности, а перпендикуляры ВВ' и АА', восстановленные из середин этих хорд, будут ее радиусами и всегда встретятся в центре окружности. Но В В1 J_AM, а Л Л' —наклонна к ней, причем расположение их произвольно меняется вместе с положением точек M, М1 и М1'*.

Итак, справедливы следующие предложения :

1. Если через три точки, не лежащие на одной прямой, всегда можно провести окружность, то перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой всегда пересекаются, т. е. постулат Эвклида справедлив.

Рис. 4.

* Если дана прямая AB и к ней — перпендикуляр ВВ1 и наклонная АА1, тс, взяв на A3 какую-нибудь точку M, всегда можно построить точку М\ симметричную с M относительно ВВ1, и точку M“, симметричную с M относительно АА'. Тогда прямые ВЬ1 и А А', проходящие через середины ММ' и ММ“ перпендикулярно к ним и будут, очевидно, радиусами круга, проходящего чрез точки Af, M* и Mft.

2. Обратно, на плоскости Эвклида* через три точки, не лежащие на одной прямой, всегда можно провести окружность.

Но если справедливы предложения — прямое и обратное ему, то должны быть справедливы и противоположные предложения:

Если постулат Эвклида несправедлив, то не через всякие три точки плоскости, не лежащие на одной прямой, можно провести окружности, и наоборот.

Из этого положения непосредственно вытекает чрезвычайно важное следствие. Именно, возьмем на неэвклидовой плоскости прямую ВС и построим окружность, касающуюся ВС в точке А. Центр этой окружности будет лежать на перпендикуляре АА!, восстановленном к ВС из точки А.

Если мы станем радиус этой касательной окружности неограниченно увеличивать, удаляя ее центр по перпендикуляру АА! в бесконечность в направлении от Л к А\ то окружность начнет приближаться к касательной ВС у но не сольется с ней, как это имеет место в геометрии Эвклида.

В самом деле, если через три точки плоскости не всегда можно провести окружность, то мы можем выбрать точки Е и F, симметричные относительно прямой AÄ, настолько близко к прямой ВС, что наша окружность через эти точки не пройдет, как бы мы ее радиус ни увеличивали.

Другими словами, на плоскости Лобачевского пределом окружности, радиус которой неограниченно увеличивается, будет не прямая линия, а кривая, которая называется поэтому предельной линией или предельным кругом (ороциклом; „орос“—по гречески — предел).

Так как переменная величина в одно и то же время может стремиться только к одному пределу, то все предельные линии тождественны.

То обстоятельство, что предельная линия есть предельный круг, является причиной того, что она имеет целый ряд свойств, аналогичных свойству окружности, как мы это очень просто докажем в следующем очерке.

В заключение мы рассмотрим доказательства постулата Эвклида, данные знаменитым французским математиком Лежандром (1752—1833 г.) и итальянским патером Джероламо Саккери (1667—1733 гг.)

Начнем с доказательств Лежандра, так как они значительно проще.

§ 10. Лежандр старался подойти к доказательству постулата Эвклида исследуя вопрос о сумме углов в треугольнике. Мы уже видели, что теорема: „Сумма углов в треугольнике равна 2d“ — равносильна постулату Эвклида. Отрицая постулат Эвклида, мы тем самым утверждаем, что сумма углов в треугольнике не равна 2d.

Но тут возможны два предположения:

1. Сумма внутренних углов в треугольнике более 2d.

2. Сумма внутренних углов в треугольнике меньше 2d.

Лежандр чрезвычайно остроумно и просто доказывает, что первая гипотеза неверна.

Первая теорема Лежандра: „Во всяком треугольнике сумма углов или меньше 2d или равна 2d“.

Доказательство. Пусть на какой-нибудь прямой отложено последовательно п равных отрезков: АгА2, А2А3, . . ., АпАп+1; на этих отрезках по одну и ту же сторону прямой построено п равных треугольников, третьи вершины коих находятся в точках Bv В2, В3, Вп (рис. 6).

Отрезки ВгВ2, В2В3, ..., Вп_гВп, соединяющие эти вершины, также будут равны

Рис. 5.

Рис. 6.

* Т. е. на плоскости, где имеет место постулат Эвклида.

между собою, и их можно рассматривать как основания других п—1 равных треугольников: В}А2В2, B2AZBV......., Вп_лАпВп.

Пополним наш чертеж треугольником ВаАп+1 Bn+V равным предыдущим.

Обозначим через ß угол при вершине Вг в треугольнике А1В1А2 и через 8—угол при вершине А2 в следующем треугольнике ВгА2В2.

Докажем, что угол

ß<8.

С этой целью допустим противоположное, т. е., что р>5

Но у двух треугольников АгВгА2 и В}А2В2 две стороны, заключающие углы ß и 8, равны, а третьи — неравны, так как против большего угла ß будет лежать и большая сторона, т. е.

С другой стороны — ломаная линия А1В1В2 ... Ва+2Ап+1 больше прямой АгАп+1 (соединяющей концы этой ломаной), т. е.

или*

или еще •

Разность АгА2 — ВгВ2 у нас конечна, а число треугольников п — ничем не ограничено, и мы можем сделать это число сколь угодно большим. Но тогда** и правая часть неравенства может быть сколь угодно большой, между тем, она меньше 2АгВг. Итак, наше предположение, что ß > 8 привело к нелепости; следовательно, ^/ ß может быть или меньше или равен углу 8.

Но ^8, вместе с двумя другими внутренними углами а и у треугольника А1А2В1 образует два прямых угла, т. е. a-\-y-\-b = 2d, а . так как, по доказанному, ß ^ 8, то а~ЬУ“1“? <2rf, что и требовалось доказать.

Вторая теорема Лежандра. Если сумма внутренних углов = 2d или <^2d в каком-нибудь одном треугольнике, то эта сумма будет соответственно = 2d или <^2d и во всяком другом треугольнике.

Доказательство.

1. Докажем сначала, что если сумма углов в треугольнике ABC равна 2d, то она равна 2d и в каждом из треугольников, отрезанных от треугольника ABC.

В самом деле, проведем из вершины треугольника С прямую CD. Она разделит треугольник ABC на два треугольника ACD и CDB. Предположим, что в одном из треугольников, ACD, сумма внутренних углов меньше 2d и равна 2d — а, а в другом (CDB) равна 2d; тогда сумма углов в треугольнике ABC будет равна 2d—a-\-2d — (ADC-\- CDB) = 2d — a (так как ADC и CDB смежные углы н их сумма = 2d).

Таким образом, наше предположение привело к противоречию и потому — неверно, т. е. сумма углов и в треугольнике ACD равна 2d.

2. Теперь докажем, что если сумма углов в одном треугольнике (ABC) равна 2d у то она будет равна 2d и в о всяком треугольнике любой величины.

С этой целью разделим наш треугольник ABC высотою на два прямоугольных треугольника ACD и CDBy и один из них, например ADC, дополним равным ему треугольником АЕС до четыреугольника ADÉC, в котором, очевидно, все углы будут прямые (рис. 8).

Легко видеть,что, приставляя к прямоугольнику ADCE равные ему прямоугольники, можно построить прямоугольник HJCF любой величины. Этот прямоугольник разделяется диагональю FJ на два треугольника, причем сумма углов в каждом из этих треугольников равна 2d. А так как от каждого треугольника, в котором сумма углов равна 2d, можно отрезать сколь угодно малый треугольник с той же самой суммой углов, то первая часть теоремы доказана.

3. Остается доказать, что если сумма углов в одном каком-нибудь тре-

Рис. 7.

Рис. 8.

* По построению, В{В2 = B2BZ — ... =ВаВа+,; AiBi =An+iBn+,.

** По аксиоме Архимеда.

угольнике ABC окажется меньше 2d, то она будет меньше 2d и во всяком другом треугольнике.

В самом деле, если мы допустим, что в каком-нибудь треугольнике сумма углов равна 2d, то (в силу доказанного в п. 1 и 2) она должна быть равна и во всяком другом, в том числе и в треугольнике ABC, что противоречит условию.

Теорема доказана.

Теперь посмотрим, как Лежандр пытался доказать самый постулат Эвклида.

Рассмотрим два из его доказательств.

§ 11. Первое доказательство Лежандра основывается на таком „очевидном“ допущении (постулате):

„Через произвольную точку, взятую внутри угла, всегда можно провести прямую, пересекающую обе стороны этого угла“.

Возьмем треугольник ABC и предположим, что сумма его внутренних углов равна 2d — а.

Прибавим к треугольнику ABC равный ему треугольник BCD и через его вершину D проведем прямую EF так, чтобы она встретила обе стороны^/ А, именно: продолжение стороны AB в точке Е, а продолжение стороны АС— в точке F.

Предположим, что в полученных таким образом треугольниках BDE и CDF суммы внутренних углов равны соответственно 2d — ß и 2d —у. Тогда очевидно, что сумма углов в треугольнике AEF будет равна сумме углов во всех четырех треугольниках, из которых он состоит, без суммы углов при точках С, D и В, т. е. равна:

2 [2d — а) + 2d - ß + 2d - у - 3. 2d = = 2d - 2а — ß — у < 2d — 2а.

Повторяя то же построение еще раз, мы получим треугольник AHJ, в котором сумма углов будет меньше 2d — 4а = 2d — 2га. После третьего построения получим треугольник с суммой углов меньше 2d — Sa = 2d — — 28а, и т. д. После л-ого построения мы получим, очевидно, треугольник, сумма углов которого меньше 2d — 2ла.

Но как бы мал ни был „недостаток“ до 2d (т. е. угол а), однако, будучи повторен слагаемым достаточное число раз, он может быть* сделан больше 2d; поэтому после некоторого числа построений мы получим треугольник, в котором сумма углов будет 2rf_2'*a<0 (2rf<2*.a), т. е. будет величиной отрицательной, что невозможно уже потому, что она не может быть меньше /А, который является общим для всех наших треугольников.

а) Рассматривая это доказательство Лежандра и постулат, на котором оно основано, мы прежде всего убеждаемся в том, что постулат Лежандра—это только замаскированная форма постулата Эвклида.

В самом деле, возьмем какой-нибудь угол АСВ и проведем его биссектрису CD. Если постулат Лежандра справедлив, то перпендикуляр к биссектрисе, восстановленный из любой ее точки D, должен встретить обе стороны угла — наклонные СВ и АС.

Таким образом, из постулата Лежандра непосредственно вытекает положение: перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой всегда пересекаются. А это и есть одна из форм постулата Эвклида.

б) Обращаясь к самому доказательству Лежандра, мы видим, что если в каком-либо треугольнике сумма внутренних углов меньше 2d, то сумма внутренних углов треугольника уменьшается по мере того, как возрастает его площадь.

Если мы приставим друг к другу равными катетами два одинаковых прямоугольных треугольника ACD и BCD с суммою углов 2d — а в каждом из них, то получим треугольник ABC, сумма углов которого = 2d — 2а, а площадь — вдвое больше площади каждого из этих треугольников. Таким образом, с возрастанием площади треугольника вдвое, и „недостаток“ (или „дефицит“) суммы его углов увеличился вдвое (2а вместо а). Это наводит на мысль, что площадь треугольника пропорциональна „дефициту“ суммы его внутренних углов (если постулат Эвклида несправедлив).

Это предложение было доказано еще до Лежандра Иоганном-Генрихом Ламбертом (1728—1777 гг.) в его „Theorie der Parallelinien“ (1766 г.), где он пытался доказать постулат Эвклида.

Рис. 9.

* В силу аксиомы Архимеда.

§ 12. Другое доказательство постулата Эвклида, данное Лежандром, также связано с исследованиями Ламберта. Ламберт показал, что если сумма углов в треугольнике меньше 2d, то должна существовать так называемая „абсолютная единица длины“. Постараемся выяснить, что называется абсолютной единицей длины.

Конкретные геометрические фигуры имеют определенные размеры, которые могут изменяться. Но есть такие „основные неизменяемые геометрические образы“, которые остаются всегда и при всех построениях неизменными. Таковы, например, прямые, плоскости, пучки лучей и плоскостей и т. д. „Полный пучок лучей“, заполняющий всю плоскость, т. е. угол 4d, является таким „основным неизменяемым образом“. Он является абсолютной единицей для измерения углов, так как может быть всегда и везде построен.

Совершенно иначе дело обстоит с единицей для измерения длин на плоскости Эвклида. В самом деле, такой меры, которая зависела бы от какого-нибудь основного неизменяемого геометрического образа, подобно тому как прямой угол зависит от „полного пучка лучей“, нет и быть не может, вследствие существования на плоскости Эвклида подобных фигур.

При отрицании же постулата Эвклида (т. е. при допущении, что сумма углов в треугольнике меньше 2d) подобных фигур на плоскости не будет, а следовательно, должна существовать и „абсолютная единица длины“.

Второе доказательство Лежандра основывается на утверждении (постулате), что абсолютной единицы для измерения отрезков не существует.

Приняв этот постулат за истину, мы предположим, что в треугольнике ABC сумма внутренних углов меньше 2d. Затем через точку D на стороне А В проведем секущую DE так, чтобы £ ADE был равен (соответственному) ^АВС. Тогда /_АСВ должен быть меньше /_AED (рис. 10).

В самом деле, если бы и эти соответственные углы были равны, то сумма углов в четырехугольнике CBDE была бы равна 4d (а в треугольнике=2д?) ; она была бы больше 4d, если бы AED<ACB.

Каждому положению точки D на стороне AB будет соответствовать свой AED, и взаимно, — каждому значению углов AEDt ВАС и ABC (выраженному в прямых углах) будет соответствовать одно вполне определенное численное значение длины AD и это значение будет зависеть только от 4d, т. е. будет абсолютной мерой отрезка. А такой меры, согласно постулату Лежандра, быть, не может.

§ 13. Теперь перейдем к доказательству постулата Эвклида Саккери. Саккери посвящает этому доказательству большую часть своей работы „Euclides ab omne naevo vendicatus etc.“ (Милан, 1733 г.).

Для доказательства истинности постулата Эвклида и ложности его отрицания Саккери применяет метод, называемый „анализом Эвклида“.

„Предложение доказывается аналитически, — говорит Эвклид, — если искомое принимают за известное и на основании выведенных отсюда следствий получают известные уже истины. Напротив, предложение доказано синтетически, если с помощью известных истин доходят до искомого“*.

Из определения Эвклида и тех примеров, которые он приводит, видно, что он считает теорему доказанной, если из нее вытекает, как необходимое следствие, какое-нибудь уже доказанное или принятое за истинное предложение.

Таким образом, по методу Эвклида, из данного предложения (М) выводят ту теорему (N), которая служит ее ближайшим следствием.

Если это следствие есть аксиома или предложение, ранее доказанное, то на нем и останавливаются; если же нет, переходят к дальнейшему следствию О, и т. д.— продолжают до тех пор, пока не дойдут или до предложения (Р), уже доказанного, или до такого, которое противоречит предложениям, уже доказанным.

Если последнее предложение неверно, то и данное неверно, так как неверное следствие нельзя получить из верного предложения**.

Рис. 10.

* См. „Начала“ Эвклида, перев. проф. Ващенк о-З ахарченко, стр. 538.

** Но если последнее предложение (Р) верно, то, вопреки Эвклиду, для доказательства верности данного предложения (М) этого еще недостаточно. Дело в том, что, как заметил еще Аристотель, верное следствие можно получить и из неверного предложения. Например, из заведомо неверного предложения, что в каждом треугольнике углы пропорциональны сторонам, вытекает (как необходимое следствие) верное предложение: равным углам противолежат равные стороны. Поэтому, чтобы доказать теорему Р по способу Эвклида, надо доказать в цепи следствий M -> N -> О -> Р обратность каждых двух рядом стоящих теорем.

Вот на этом положении Саккери и основал свое доказательство. Он принимает первые 28 предложений первой книги „Начал“ Эвклида, допускает затем ложность постулата Эвклида и старается из этого предположения вывести такое следствие, которое противоречило бы сделанным допущениям и, таким образом, показало бы ложность отрицания постулата Эвклида.

Основной фигурой у Саккери является четыреугольник с двумя прямыми углами и с двумя равными сторонами, прилежащими к этим углам. Саккери рассматривает три предположения относительно непрямых равных углов С и D своего четыреугольника:

1) /_С= = 90° (гипотеза прямого угла),

2) ^/C=^/Z)>90° (гипотеза тупого угла),

3) /С— /D<Ç90° (гипотеза острого угла),

и доказывает, что если какая-нибудь из этих трех гипотез справедлива относительно одного „четыреугольника Саккери“, то она будет верна и относительно остальных его четыреугольников, причем при гипотезах прямого, тупого и острого угла сумма углов в треугольнике соответственно:

равна 2d, более 2d и менее 2d.

В предложении XIII Саккери доказывает, что постулат Эвклида справедлив при гипотезе прямого и тупого угла. Но если постулат Эвклида справедлив, то сумма углов в четыреугольнике равна Ad, т. е. углы С и D должны быть прямые, а не тупые. Таким образом, Саккери показал, что гипотеза тупого угла ведет к противоречию.

Все эти предложения доказаны были гораздо проще Лежандром (см. выше), принявшим за основную фигуру треугольник. Поэтому на выводах Саккери мы останавливаться не будем.

В дальнейшем Саккери старается привести к противоречию и гипотезу острого угла.

Прежде всего он отмечает, что при этой гипотезе перпендикуляр и наклонная могут и не пересекаться и тогда они имеют общий перпендикулярам. выше§ 8).

Далее он доказывает, что если две непересекающиеся прямые не имеют общего перпендикуляра, то они асимптотически приближаются друг к друг у, т. е. расстояние между ними может быть сделано сколь угодно малым. Эта теорема представляет для нас существенный интерес. Для доказательства существования асимптотических прямых Саккери проводит к прямой ab перпендикуляр вв1 и наклонную аа1, которые друг друга не пересекают. Затем он вращает перпендикуляр ab около точки а по направлению к аа1 до их совпадения (рис. 12).

Очевидно, что вращаемая прямая сначала будет пересекать вв*\ а затем точка пересечения уйдет в бесконечность; начиная с этого положения aq, вращаемая прямая перестает пересекать вв9. Таким образом, /baq является высшим пределом для углов babv вав2, вав3...

Очевидно, что с другой стороны перпендикуляра а в существует асимптотическая прямая aq?, симметричная с aq. Эти две прямые aq и aq1 разделяют все прямые, исходящие из точки а на пересекающие вв1 и на имеющие с ней общий перпендикуляр.

Наконец, Саккери доказывает, что при гипотезе острого угла прямая вв1 и асимптотическая с ней прямая aq имели бы на бесконечности общий перпендикуляр*, что, по мнению Саккери, противоречит природе прямой линии.

Исследования Саккери важны потому, что, стараясь доказать ложность отрицания постулата Эвклида при помощи анализа Эвклида, он вывел из этого отрицания целый ряд интересных теорем геометрии Лобачевского и выяснил понятие о параллельных и непересекающихся прямых в этой геометрии. § 15. Выводы.

Подведем теперь итоги тем выводам, которые мы можем сделать о свойствах пространства Лобачевского на основании рассмотрения

Рис. 11.

Рис. 12.

* Восстановленный в их общей, бесконечно удаленной точке.

некоторых попыток доказать „постулат Эвклида“.

На плоскости Лобачевского:

1. Параллельные линии не являются равноотстоящими друг от друга, но асимптотически сближаются друг с другом в направлении их параллельности и расходятся до бесконечности в направлении противоположном.

2. Перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой не всегда пересекаются друг с другом. Только часть из наклонных, проходящих через данную точку, встречает перпендикуляр; две из них „асимптотически“ приближаются к нему, а остальные сближаются до известного предела (где они имеют общий перпендикуляр), а затем снова расходятся до бесконечности.

3. Из (2) вытекает, что две прямые, перпендикулярные к третьей, на плоскости Лобачевского расходятся по мере продолжения их в обе стороны до бесконечности (а не равноотстоят друг от друга, как на плоскости Эвклида).

4. Геометрическое место точек, находящихся с одной и той же стороны и на одном и том же расстоянии от данной прямой, есть линия кривая (а не прямая, параллельная данной прямой, как на плоскости Эвклида).

5. Через точку вне данной прямой можно провести к этой прямой две параллельных линии (асимптотически приближающихся к данной прямой в противоположных направлениях).

6. Сумма внутренних углов в треугольнике меньше 2dy причем „недостаток“ (дефицит) этой суммы до 2d возрастает пропорционально площади треугольника.

7. Подобия фигур на плоскости Лобачевского не существует.

8. Вследствие отсутствия подобия фигур на плоскости Лобачевского существует „абсолютная единица длины“.

9. Через три точки, не лежащие на одной прямой, не всегда можно провести окружность.

10. Если увеличивать до бесконечности радиус круга, касающегося данной прямой в одной ее точке, то круг не сольется в пределе с этой касательной, а обратится в так называемую „предельную линию“ или „предельный круг“.

КРАТКИЙ ОЧЕРК ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ЯПОНИИ

Проф. И. ЧИСТЯКОВ

До начала текущего XX в. история развития математических наук в Японии не только не была известна в Европе, но даже недостаточно знакома и японским математикам, которые уделяли ей мало внимания. Лишь в последние десятилетия, благодаря выдающимся работам некоторых японских ученых, в особенности члена японской Академии наук Миками, наука обогатилась исследованиями, позволяющими составить понятие о ходе развития математики в Японии. При этом оказалось, что эта история в некоторых отношениях представляет выдающийся интерес, так как, ввиду многовековой изолированности Японии от других стран, японские математики разрабатывали математическую науку самостоятельно и пришли ко многим своеобразным методам и весьма замечательным результатам. Настоящий очерк и имеет в виду вкратце познакомить читателей с историей японской математики на основании новейших исследований японских, американских и английских ученых.

Эти исследования обнаруживают, что за 2 века до нашей эры японцы были знакомы с десятичной системой нумерации и имели числительные имена для названия десятичных разрядов чисел, впрочем, не далее 10 000. Повидимому хозяйственная жизнь страны тогда еще не требовала расширения знакомства с натуральным рядом чисел за этот предел. В этом отношении, следовательно, Япония не отличается от многих других стран, долго стоявших на той же границе счисления, как, например, древняя Греция, где слово „мириада“, обозначавшее 10 000, было в то же время синонимом самого большого числа, или древняя Русь, где слово „тма“, или „тьма“, которое обозначало тоже 10 000, имело подобное же значение предела числового ряда. В ту же эпоху у японцев были собственная система мер и весов и лунно-солнечный календарь. Но с введением в начале VI в. н. э. в Японии буддизма в нее

сильно стало проникать через Корею китайское влияние. Японцами было введено письмо по китайскому образцу, принят китайский календарь, стали изучаться китайские сочинения по всем отделам науки и литературы. В области математики были введены так называемые „пять классических книг“. В этих книгах элементарные сведения из математики переплетались с различными мистическими толкованиями и числовыми суевериями, заимствованными из китайской религиозной философии. Тем не менее, китайское влияние сказалось благоприятно на развитии в Японии просвещения вообще и математики в частности. В Японии быстро усвоили начатки математических знаний и даже выдвинулся ряд знатоков науки; так, в 600 г. н. э. получил известность своими арифметическими знаниями Шотоку-таши, получивший впоследствии название отца японской арифметики. Постепенно, под китайским влиянием, в Японии были открыты общеобразовательные школы, в частности в 607 г. — школа математических наук, а в 701 г.—даже университет и обсерватория. В этих учреждениях по математике изучалась знаменитая китайская энциклопедия математических наук, известная под названием „Десять классических книг“. В этих книгах излагались основы арифметики, в частности — действия над целыми числами и дробями, сведения о пропорциях, тройных правилах и о правиле ложного положения, а также разные приложения арифметики к торговому делу. Из области алгебры давались сведения о решении уравнений первой степени с одним и несколькими неизвестными, о решении квадратных уравнений, об извлечении квадратных и кубических корней и некоторые способы для решения неопределенных уравнений. По геометрии сообщались сведения об измерении площадей прямоугольных фигур и круга, причем число тт принималось, как и у вавилонян, равным 3; излагалась теорема Пифагора, которая в Китае была известна за 500 лет до Пифагора; давались сведения об измерении поверхностей и объемов призм, пирамид, цилиндров и конусов. В эту же эпоху японцы познакомились с китайским способом инструментального счета и производства арифметических вычислений при помощи каменных счетных палочек, называемых с а н г и, и счетного столика, называемого сампан. Именно для обозначения чисел первого десятка употреблялись каменные палочки с квадратным сечением, причем числа 1—5 представлялись с помощью 1, 2, 3, 4, 5 таких палочек, положенных рядом вертикально; числа же от 6 до 9 изображались тем же способом с прибавлением сверху горизонтально положенной палочки:

I II III IUI ШП Г ff Ш ïîïï 1234 5 6789

Счетный столик был разграфлен на полосы, соответствующие десятичным разрядам нумерации: единицам, десяткам, сотням и т. д. Для обозначения числа в каждую графу клалось соответствующее число палочек санги.

В случае, если единиц какого-либо десятичного разряда в числе не было, соответствующая графа на сампане оставалась пустой. Отсюда видно, что сампан представляет большую аналогию с „абаком“—счетным столиком, который применялся у европейских народов в древности и в средние века для представления чисел и производства арифметических действий, и способы для этого производства были, очевидно, те же, что и на абаке, т. е. сводились к соединению в соответствующих столбцах единиц одинаковых десятичных разрядов. В связи с представлением чисел при помощи палочек на сампане возникла и система письменной нумерации, на основании принципа положения, как это делается теперь у нас, с той разницей, что цифры, изображаемые вышеприведенными знаками, писались не в горизонтальных строчках, а в вертикальных столбцах. В случае отсутствия единиц какого-либо разряда на соответствующем месте ставился кружок, заменявший наш нуль. С помощью пластинок санги и сампана японцы приобрели большое искусство в производстве арифметических вычислений, а также усвоили начальные сведения из геометрии, алгебры и астрономии.

II.

Вышеизложенное успешное развитие математических и других наук, возникшее под влиянием экономического подъема страны и на основе усвоения китайской науки, продолжалось, однако, лишь до конца XI в. Начиная с этого времени, образованность в стране и, в частности, математические знания стали быстро падать.

Подобно тому как в Европе в средние века незначительные математические знания сохранялись лишь среди монахов, вынужденных производить вычисления для определения времени празднования пасхи и других праздников, в Японии тоже знание математики сохранялось с XI по XVII в. лишь в буддийских монастырях, где духовные лица занимались календарными вычислениями. Лишь

в малой степени изучались и комментировались самые элементарные китайские математические сочинения, преимущественно с мистическими и суеверными целями; так, в эту эпоху получило начало изучение в Японии магических квадратов и кругов, которым приписывались таинственные и волшебные свойства.

Этот застой просвещения продолжался в Японии до 1603 г.

Начиная с XVII в., в Японии снова распространяется китайское влияние; японские ученые командируются в Китай для ознакомления с его наукой. В частности, предание говорит, что в Корею и Китай был послан знаменитый ученый того времени Мори (1598—1672 гг.), который вывез оттуда счетный прибор суанпан, получивший у японцев название соробан, и научил пользованию им своих соотечественников. Этот прибор, который, как известно, явился родоначальником многих других счетных приборов, в частности русских торговых счетов, представляет собою прямоугольную раму с натянутыми шнурками, по которым передвигаются просверленные шарики. Каждый шнурок соответствует особому десятичному разряду, так что прибор позволяет представлять числа по принципу положения, что облегчает производство над ними арифметических действий. Введение соробана, пользование которым Мори изложил в особом сочинении в двух томах, имело большой успех в Японии; он получил массовое распространение среди японского народа и повел к повышению у японцев уровня математических знаний. Повидимому, однако, суан-пан уже и до Мори частично был известен в Японии, и заслуга последнего состоит, главным образом, в издании вышеназванного руководства. Одновременно с соробаном среди научных работников Японии вновь стали распространяться методы числовых вычислений с помощью каменных счетных пластинок, т. е. санги. Эти методы, достигшие к тому времени большого совершенства в Китае и еще более усовершенствованные японскими учеными, привели последних к самостоятельной разработке и решению многих вопросов, которые мы относим к алгебре. Начало этой работе японских ученых было положено изучением ими китайских сочинений алгебраического содержания, посвященных, главным образом, решению численных уравнений. Китайские математики к этому времени уже разработали приемы решения уравнений, в том числе даже приближенные способы для вычисления корней уравнений 6-й, 7-й и 8-й степени, решали системы уравнений первой степени со многими неизвестными; были знакомы с треугольником Паскаля и решением в целых числах уравнения ах — by = 1. В 1247 г. китайский математик Чин предложил способ приближенного вычисления кор« ней алгебраических уравнений, по существу совпадающий со способом Горнера, опубликованным в 1819 г. Этот способ получил у китайцев название тенген. В то же время китайские ученые начали уже применять способы сокращенных и символических обозначений, чему способствовал характер принятой в Китае иероглифической письменности. Японские ученые ревностно изучали китайские математические трактаты, а затем и сами принялись работать над теми же и новыми проблемами науки.

Наиболее знаменитым из японских математиков рассматриваемой эпохи был Секи Кова, родившийся в 1642 г., т. е. в год смерти Галилея и рождения Ньютона, и умерший в 1708 г. Одаренный блестящими математическими способностями, он создал школу учеников и последователей, которые под его руководством изучали тензан, т. е. вообще способы для численного решения уравнений. Подобно пифагорейцам, ученики Секи многие его открытия должны были держать в секрете, вследствие чего из его сочинений лишь немногое дошло до потомства. Решение уравнений по методам Секи производилось частью письменно, частью при помощи палочек санги. Для письменного решения он ввел ряд сокращенных и символических обозначений, сходных с обозначениями у нас алгебраических количеств, но члены уравнений, согласно с принятыми в Китае и Японии способами письменности, располагались вертикально. Так, выражения, соответствующие нашим

a-\-b, а — b, ah, у, 2аъ

должны были изображаться так:

хь *а аЪ^ и пр. (где вместо а и b стоят, конечно, японские иероглифы).

Чтобы привлечь интерес японских ученых к математике, Секи часто опубликовывал различные задачи, а несколько времени спустя сообщал их решение; условия и решения вывешивались в храмах.

В одной задаче, предложенной им в 1695 г., читателям пришлось решать уравнение 1458-й степени, причем один из решивших должен был покрыть счетными палочками весь пол своей комнаты. Для решения систем уравнений и исключения неизвестных Секи в 1683 г. ввел в употребление пользование детерминан-

теми, которые, таким образом, были им открыты ранее, чем Лейбницем и Крамером в Европе. Он же ранее Декарта пользовался методом неопределенных коэфициентов. Способы Секи для решения уравнений были изложены в семи книгах одним из лучших его учеников, Араки, но это сочинение сохранялось учениками Секи в тайне и было опубликовано Математическим обществом в Токио лишь в 1907 г. Следует, однако, отметить, что японские ученые интересовались почти исключительно числовыми значениями корней уравнений высших степеней, но не пытались разработать их теорию. Точно так же они почти не делали никаких приложений своих способов к решению конкретных задач из области естественных наук или хозяйственной жизни, чем сводили математические проблемы исключительно к абстрактной игре ума. Особенно это следует сказать о решении неопределенных уравнений, которое не могло иметь никаких практических приложений, но которое с большим увлечением разрабатывалось японскими учеными, причем они в этой области достигли многих результатов ранее европейских математиков. Так, один из учеников школы Секи Кова Аида (1747—1817 гг.) дал будто бы решение общего неопределенного уравнения 2-й степени

Pi*\ + Ргх\ + • • • + РА =У2-

К сожалению, большинство сочинений этого ученого погибло во время столь частых в Японии пожаров. Некоторые частные виды вышеприведенного уравнения были решены в сочинениях также крупного японского ученого Мацунага в начале XVIII в.; тогда же появились решения и других видов неопределенных уравнений высших степеней.

III.

Подобно тому как японцы мало интересовались теоретическими вопросами алгебры, они мало занимались теми же вопросами и в области геометрии. Ознакомившись со свойствами геометрических фигур и тел путем опыта или интуиции, они не стремились их логически обосновать и доказать. Хотя в начале XVIII в. перевод „Начал“ Эвклида (с китайского языка) появился в Японии, но он не возбудил никакого интереса и не имел никакого влияния на развитие в Японии теоретического изучения геометрии. Но в то же время решение вопросов практической и измерительной геометрии возбуждало огромный интерес среди японских математиков, и их работы в этом направлении повели к созданию замечательного особого исчисления „йенри“, близкого по существу к интегральному исчислению.

Как и у всех других народов, особенный интерес из геометрических вопросов и наибольшее внимание японцев привлекли: теорема Пифагора и величина отношения длины окружности к диаметру. Для теоремы Пифагора уже в одном из сочинений Секи находится следующее оригинальное доказательство, очевидное из чертежа (см. чертеж)

Черт. 1.

Действительно:

j\ABC= &ADE=&KJC; &FEG=/\MNC; l\KGJ= £\JLM

(соответствующие треугольники равны, так как имеют по равному острому углу и по катету).

Что касается числа тт, то первоначально японцы пользовались заимствованными из китайских источников значениями ^=25 (1627 г) и тс = 1^10 (1660 г.), но затем приступили сами к вычислениям этого числа в связи с вопросами о длине окружности, площади круга, объема и поверхности шара. Подобно европейским ученым, они для этого пользовались вписыванием в окружность правильных многоугольников с возможно большим числом сторон. Постепенно точность получаемых ими значений числа тс все повышалась; в частности, Секи вычислил для этого периметр правильного многоугольника о 217 сторонах, причем получил: тс = 3,14159265359. При этом, желая достигнуть возможно большей точности, он за исходный периметр взял периметр многоугольника:

где а, b, с, — периметры трех последних правильных многоугольников. Подобный способ интерполирования впоследствии часто применялся японскими учеными в различных вычислениях.

К вышеупомянутому исчислению йенри, которое буквально означает „круговая теория“, японцы пришли при попытках вычислить объем шара. Первоначально они для этого делили диаметр шара d=l на возможно большее число равных частей, проводили через точки деления параллельные плоскости и вычисляли объемы полученных шаровых слоев, допуская, что объем шарового слоя равен полусумме объемов двух цилиндров, построенных на его основаниях. Таким образом, японские ученые XVII в. получили несколько значений для объема шара с различной степенью точности: V=0,51 ; V=0,5625 и пр., но они первоначально не установили никакой зависимости между величиной объема шара и его диаметра. Эта последняя зависимость была открыта Секи, который, вычислив объем шара при делении его на 50, 100 и 200 слоев, применил к полученным трем результатам свою вышеприведенную формулу интерполирования; она дала в результате V= ff^Tg у а так как в это время уже было известно выражение числа я = щ, то Секи правильно вывел теорему, что объем шара V=^r-. Таким образом, правильное заключение было сделано на основании остроумных, но частных результатов, и потому последующие ученые стремились дать теореме об объеме шара более строгое обоснование. С этой целью они самостоятельно пришли к тому способу вычисления, основу которому положил еще Архимед в III в. до н. э. и который употреблялся европейскими учеными в эпоху, предшествующую открытию анализа бесконечно малых, и повел к открытию интегрального исчисления. Именно, разделив радиус шара /? на п равных частей, они делили полушар плоскостями, параллельными его основанию, на п слоев, причем в каждый из этих слоев вписывали цилиндр. Выражая объем каждого из этих цилиндров и суммируя полученные объемы, они получали все более и более точные значения величины объема полушара, от которых они сумели интуитивно перейти к пределу полученной суммы при п = оо и получить правильную формулу для выражения объема полу шара и шара. Следовательно, ход их вычислений был тот, который и сейчас можно встретить в наших учебниках для получения объема шара, именно: высота каждого из вписанных в полушар цилиндров равна — ; радиусы их оснований:

а потому сумма их объемов

или

Так как

(эту формулу японские ученые знали ранее европейцев), то выражению для V можно придать вид:

Полагая в пределе п=ос, имеем

откуда объем полушара

а объем шара равен -g-, где a — диаметр шара.

Японское исчисление йенри и было построено на схеме, использованной в приведенном примере вычисления объема полу шара. Именно: какую-либо из величин, входящих в вычисление, они делили на несколько равных частей, вычисляли элементы определяемой величины, находили сумму таких элементов для возможно большего числа делений и, наконец, переходили к пределу для бесконечно большого числа делений, причем находили его, руководясь неполной индукцией. Переход к пределу не всегда было возможно произвести, и потому японские ученые составили множе-

ство таблиц, содержащих числовые результаты суммирования различных выражений, фигурирующих в получаемых ими результатах. Эти таблицы позволяли вычислять искомые величины с огромной степенью точности. Так, знаменитый ученый Та кебе, ученик Секи, дал, например, для выражения квадрата длины дуги /2 в окружности диаметра d, когда хорда, стягивающая эту дугу, имеет длину s, — ряд, сумма членов которого при наших обозначениях может быть представлена в виде:

Такебе произвел вычисление членов этого ряда до п = 10 и, руководствуясь неполной индукцией, дошел до общего выражения. Числовые таблицы для суммирования многих рядов по их общему члену были даны ученым Вада Неи (1787—1840 гг.), но возможно, что они употреблялись уже и ранее. В тех случаях, когда предел суммы членов ряда мог быть получен в конечном виде, то в упомянутых таблицах он и помещался; так, например, в таблицах Вада Неи даны значения для пределов выражений

при п —>► оо . Таким путем японские математики, в сущности, нашли значения многих определенных интегралов, не будучи знакомы с интегральным исчислением. В частности, они применили метод йенри не только к вычислению длины окружности и площади круга, поверхности и объема шара и его частей, но и к гораздо более трудным и серьезным вопросам вычислительной геометрии, каковы: определение площади и длины дуги эллипса, поверхности и объема эллипсоида; вычисление объема общей части двух пересекающихся тел, начиная с пересечения двух цилиндров; длины циклоиды, архимедовой спирали и многих других вопросов. Особенно многочисленны исследования способом йенри различных свойств эллипса; так, упомянутый ученый Аида (1747—1817 гг.) написал об эллипсе работу в 20 томах. В то же время японцы до середины XIX в. не занимались свойствами параболы и гиперболы и, повидимому, даже не были с ними знакомы. Своим вычислительным методом они открыли многие разложения функций в ряды, которые мы теперь получаем при помощи диференциального исчисления, хотя они с этим исчислением совершенно не были знакомы, — например, ряд для sin*.

Тот же метод они с успехом прилагали и решению некоторых задач на построение, например известной задачи Мальфатти: в данный треугольник вписать три окружности, касающиеся сторон треугольника и друг друга, а также ряда других задач на касание окружностей. Метод йенри применялся японскими учеными еще для вычисления положения центров тяжести фигур и тел.

IV.

Развитие метода йенри продолжалось в Японии до середины XIX в., когда в нее стали все более и более проникать европейские влияния, сначала через Китай, а затем и непосредственно, вплоть до 1868 г., когда страна, наконец, была открыта для иностранцев. Метод йенри представляет, таким образом, высшее достижение национальной японской математики. По существу он близок, как было выяснено, к интегральному исчислению, или вернее, к тем методам, на основе которых выросло это исчисление: „методу исчерпания“ Архимеда, „методу неделимых“ Кавальери, способу суммирования рядов Валиуса и других математиков — предшественников Ньютона, Лейбница, братьев Бернулли и других основоположников анализа. Является вопрос: почему японские ученые не открыли диференциального исчисления? Ответ на него, пожалуй, можно дать, учтя характер японской науки рассматриваемой эпохи в сравнении ее с европейской математикой. Японские ученые пришли к своим открытиям вне связи с разнообразной практикой, тогда как европейские ученые стремились прилагать математику к проблемам естествознания, что и привело их в первую очередь к понятию о функциональной зависимости величин, о бесконечно малых их изменениях и о пределе отношений этих изменений. В частности, европейские ученые прилагали свои математические знания к вопросам физики, механики, астрономии и таким путем изощряли и расширяли метод анализа. Японцы же совершенно не стремились прилагать математику к изучению природы; она была у них предметом кабинетной учености небольшого круга интересующихся специалистов. Поэтому, хотя достигнутые ими результаты говорят об одаренности, трудолюбии и глубоком интересе к математике японских ученых, они не могут по своему значению итти в сравнение с достижениями европейских математиков. Естественно поэтому, что когда им стала доступна европейская наука, они поспешили ее усвоить и оставили исчисления йенри.

Так, с 60-х годов XIX в. в Японии начало распространяться применение логарифмов при вычислении. С 1855 г. японцы с огромным интересом начинают изучать европейскую высшую математику под руководством некоторых голландских ученых. В 1857 г. уже появляется первая книга по анализу на японском языке. В 1865 г. в Японию были приглашены иностранные профессора математики, и знание основ современной европейской высшей математики стало быстро распространяться среди японских математиков. Однако, оставались еще долго ученые старой школы, которые отдавали предпочтение способу йенри перед анализом бесконечно малых. Последним из них был ученый Хативара (1828 — 1909 гг.), который, познакомившись с европейской наукой, находил, что она не выдерживает сравнения с японской, так как будто бы не может решать те труднейшие вопросы» которые ставила себе и решала эта последняя и, в частности, решил он сам. Однако, для большинства преимущества европейских методов были совершенно очевидны, и с 1868 г. в Японии высшая математика получила полные права существования. В 1877 г. был открыт университет в Токио по европейскому образцу с физико-математическим факультетом, а в 1879 г. — Академия наук с математическим отделением. С 1888 г. стал выходить в Токио журнал Математического общества для изучения кватернионов. В конце XIX и начале XX в. многие японские ученые заявили себя крупными научными работами в области математики, и в настоящее время японская математическая наука стоит на таком же уровне, как и в государствах Западной Европы.

ПРОСТОЙ СПОСОБ ВЫВОДА ПРАКТИЧЕСКИ УДОБНЫХ ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ НА ВСЕ НЕЧЕТНЫЕ ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ПЕРВОЙ СОТНИ (КРОМЕ 5)

Б. КОСТРИЦ (Ленинград)

Признаки делимости одного числа на другое, как известно, выражаются совокупностью тех необходимых и достаточных условий, наличие которых позволяет утверждать, что первое число делится на второе. При этом в качестве делителя обычно рассматриваются только простые числа. Общий способ вывода признака делимости на любое простое число можно найти в подробных курсах арифметики. Так как он, за редкими исключениями, не ведет к получению практически удобных признаков делимости, то представляет интерес вопрос, нельзя ли в этот способ ввести изменения, которые позволят получить более удобные признаки.

Сначала напомним, в чем состоит сущность общего способа вывода признаков делимости.

Пусть a = bqt где делимое есть число, выражаемое k цифрами Цк-1У Z/Ä_2,.. .Z/0, так что а есть многочлен Цк-г • Ю*““1-)--f#.10*-2-f ...Z^.lO-f-Z/o. Делитель £ — любое простое число (кроме 2 и 5).

Составим ряд остатков от деления последовательных целых положительных степеней числа десять (к которым присоединена и нулевая степень числа десять) на рассматриваемый делитель Ь\

10°( = 1), 101, 102,. ..10*-2, ю*-1. (1)

Пусть эти остатки (степенные вычеты) будут соответственно:

М™1)' rv /-2,...rÄ_2, rft_r (2)

Для любого нечетного простого делителя b (кроме 5), как указывает теория чисел, остатки в ряду (2) периодически повторяются, причем число членов в периоде, в зависимости от вида числа Ь, есть или b — 1 или же один из делителей (f) числа b — 1*.

Обозначив число членов в периоде через/, разобьем соответственно этому ряд (2) на группы по / членов в каждой:

rmf> rmf+i>--- где в последней группе может быть и неполное число членов.

* В „Disquisitiones arlthmeticae“ (art. 313—318) Гауссом указаны все числа первой сотни с длиной периода f=b — 1. Это числа 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 и 97.

Тогда числу а можно придать вид.

(3)

Принимая же во внимание периодичность остатков, в правой части равенства (3) можно сделать еще упрощение, после которого (3) примет следующий вид:

(4)

Правые части обеих формул (3) и (4) указывают, что необходимым и достаточным условием делимости a m b является делимость на b суммы всех слагаемых в правых частях этих формул, кроме очевидно делящегося на b последнего слагаемого bQ.

Пример 1. Вывести признак делимости на 7.

В этом случае Ь = 7; г0 — 1;гг = 3; г2 = 2; г3 = 6; г4 = 4; г5 = 5; и следовательно, /=6.

Условие делимости заключается в делимости суммы:

Замечая, что r0 + ^ = г, + г4 = г2 + + /v=7, преобразуем эту сумму в такую:

Поэтому

После этого преобразования очевидно, что для делимости числа (а) на 7 необходимо и достаточно, чтобы число:

(Ц+ ЪЩ + 2Ц2) - (Ц3 + ЗЦ4 + 2ЦЪ) + ...

делилось на 7. Отсюда вытекает следующее правило. Разбиваем данное число а на грани по три цифры в каждой, начиная от правой руки к левой, причем в крайней левой грани может оказаться и неполное число цифр. Затем в каждой грани умножаем, считая справа, первую цифру на единицу, вторую цифру на три и третью цифру на два. Находим сумму таких произведений для всех граней, после чего отдельно складываем суммы этих произведений для граней, занимающих в числе нечетные номера мест (считая с правой руки), и отдельно же — для граней, занимающих четные номера мест.

Если разность этих последних сумм есть кратное семи или равно нулю, то число а делится на 7.

Пример 1.

Так как (16 + 43) — (25 + 20) = 14, то данное число а=51354981902 делится на 7. Замечания. 1°. В соотношении

а = bq + г,

где численное значение r<^bf число г называется остатком (или вычетом) числа а по делителю (или модулю) Ь.

Два числа а, и а2, дающие при делении на b один и тот же остаток, называются равноостаточными, или сравнимыми между собой по модулю Ь. Сравнимость двух чисел обозначается так

а~а2 (мод. Ь),

причем самое соотношение называется сравнением. Например, имеет место сравнение 13=10 (мод. 3). Указание модуля может опускаться, если это не вызывает недоразумений (например в процессе вычислений по определенному заранее модулю). Далее, очевидно, что всякое число (а) сравнимо со своим остатком, если за модуль взять делитель (Ь). Сравнимость какого-либо числа с нулем показывает, что это число есть кратное модуля. Например, сравнение 42 = 0 (мод. 7) равносильно утверждению, что 42 кратно 7.

Этими обозначениями мы воспользуемся в дальнейшем для сокращения письма.

2°. В тех же целях при дальнейшем изложении введем следующие удобные обозначения для каждого из двух слагаемых, на которые придется разбивать число а:

1) Через Ц0; ЦгЦ0; Ц2Ц,Ц0 и т. д. будем обозначать слагаемое, изображаемое одной, двумя, тремя и т. д. последними цифрами справа в числе а.

2) Полное число десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч и т. д., содержащееся в числе а, т. е. Цк^1Цк.2.. .Цг\ Цк-гЦк-2.. .Ц2

и т. д. будем обозначать соответственно через Д, С, Г, ДТ и т. д.

Таким образом, число а может быть представлено в одном из следующих видов:

а=Д-10 + Ц0=С-10*+Ц1Ц0=Т-1(Р + + Ц2ЦгЦ0 и т. д.

3°. Возвратимся к примеру 1. Нетрудно видеть, что значительное число остатков (6), правда, сведенное при обработке признака к половине* их числа (трем), служит главной причиной, обесценивающей практическое значение выведенного признака. Еще больше остатков получится для чисел: 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 и 97. Причины этого могут быть вскрыты средствами элементарной арифметики.

Немногим лучше обстоит дело и для остальных простых чисел первой сотни, кроме 3, 11, 37, для которых признаки делимости общеизвестны и на которых поэтому мы в дальнейшем особо останавливаться не будем.

Все вышесказанное заставляет искать такие новые формы признаков делимости, не упуская из вида общности их структуры, которые основывались бы на разложении числа (а) либо на возможно меньшее число слагаемых, либо на ряд слагаемых с легко исчислимыми остатками от деления на данный делитель, для которого выводится требуемый признак делимости. Эти условия легче всего осуществить, подбирая для каждого отдельного делителя наиболее подходящую форму вида

и переводя ее в форму

а = ЬС±а.Цк.1ЦА_2..Мп±

где anß (неопределенные коэфициенты) некоторые целые числа (желательно однозначные). Также приводит к поставленной цели нахождение в каждом отдельном случае (для данного простого делителя рт или произведения простых чисел pip2...pe) наименьшего значения показателя степени (дг), при котором \Ъх=±а (мод. рт или мод. Р\Рг'“Ре>> где а некотоРое целое однозначное число.

Как удовлетворить этим условиям, не выходя из круга элементарных арифметических соображений, будет показано ниже.

Пример 2. Улучшить в практическом отношении выведенный выше признак делимости на 7.

Выбираем вид: а = Д*101-\-Ц0.

Так как г2 = 3, то делимость числа а на 7 обусловливается делимостью на 7 суммы Д'3-j-Z/q. Но так как число 2 взаимнопростое с 7, то 2 (Д-3-\-Ц0), равное (2ц0— Д)-\-7д, делится или не делится на 7 одновременно с Д.Ъ-\-Ц0. Отсюда простой, практически удобный признак делимости на 7*.

Признак делимости на 7. Число делится на 7, если разность между полным числом его десятков и удвоенной „цифрой“ единиц делится на 7.

Например, число 889 делится на 7, так как 88—18 делится на 7.

Пример 3. Вывести признак делимости на 111 (составное число!). Начав составлять для делителя 111 ряды (1) и (2)

10°=1; 10^=10; 102 = 100; 103 = 1000;

го= i; ^i = 10; ^2 = 100; гз=1=го>

видим, что дальше остатки периодически повторяются. Поэтому

azr(tf0+10tf1 + 100tf2) +

+ (z4 + ioa4 + iooz4)+...,

или, в соответствии с введенными сокращенными обозначениями,

а-д2ад0+^5ад3+... (мод. ni)

Отсюда вытекает следующий признак делимости на 111.

Признак делимости на 111. Число делится на 111, если делится на 111 сумма всех чисел, изображаемых гранями по три цифры в каждой, на которые разбивается данное число от правой руки к левой.

Например, число 84 138 делится на 111, так как 138 + 84 = 222.

Замечание. Составное число 111 есть произведение двух простых чисел 3 и 37; кроме того, каждое из чисел 3, 37 и 111 делитель числа 103 — 1. Поэтому форма только что выведенного признака есть общая для делителя 111, делителя 37 и делителя 3.

* Например, при обращении ^ в периодическую дробь ^ = 0, (0163934426229508196721311 47540983606557377049180327868852459) получается аналогичная признаку делимости на 7 зависимость между шестьюдесятью остатками:

* Т. е. а = Д — 2Ц0 (мод. 7). В приведенном примере: а = + 1 и ? = — 2.

Например, 4206 делится на 3, так как 206 -j- 4 = 210 есть число, делящееся на 3.

8066 делится на 37, так как 66 + 8 = 74 есть число, делящееся на 37;

20 535 делится и на 3 и на 37, так как 535 + 20 = 555.

Этот пример раскрывает возможность получения признаков делимости обобщенных на группы простых делителей путем отыскания признаков делимости на составные числа.

Пример 4. Число 833 делится на 71 (так как 83 — 6 делится на 7). Узнать, не делится ли это число на более высокие степени числа 7.

Так как 100 = кр. 49 —}— 2, то число (а) представляется в виде 72-С-\-2С-\-Ц1Ц0, откуда получаем критерий: „Число делится на 72, если 2С-\-ЦлЦ0 делится на 72\

Для данного примера получается утвердительный ответ, так как 2 • 8 + 33 делится на 72.

Рассмотренных примеров достаточно для уяснения приемов, с помощью которых получены следующие выводы:

ТАБЛИЦА I (Первоначальный вид признаков)

ПРИМЕЧАНИЯ

3; 11; 7. Из ряда остатков (1) использованы только г0 и г1. Для делителя 7 признак делимости см. пример 2. Для делителя 3 многократное применение признака, данного в таблице I, приводит к его обычной формулировке.

13—31. Для этих шести делителей признаки получены с помощью разбиений: 100 = = кр. 13 + 4 = кр. 17 + 2 = кр. 19 + 5 = = кр. 23 + 8 = кр. 29 + 13 = кр. 31+7.

37. См. вывод признака 111. 41. -^ = 0,(02439). Так как период пятичленный, то

а = bQ + Ц4Ц,ЦДгЦ0 + Ц9Ц8Ц7Ц6Ц5 +...

Отсюда легко получить признак (аналогичный признаку делимости на 37), который приложим к числам, состоящим не менее, чем из шести цифр. Для чисел с меньшим числом цифр он бесполезен и ниже будет заменен другим.

Составление остальной части очевидно, так как основано на вышеприведенных соображениях.

Так как в обычной практике разложения объектами являются числа не более чем шести-семизначные, то целесообразно большинству из выведенных признаков придать более простую форму, специально приспособленную к практическим целям разложения чисел не более, чем о шести-семи знаках. Вместе с тем, соображения практического характера требуют придания выведенным признакам единообразной для всех их формы. При переработке таблицы 1 оказалось полезным составление „Таблицы умножения нечетных простых чисел с выключением числа 5е.

Самую таблицу, которую здесь излишне приводить, легко построить, а пары простых сомножителей, произведения которых близки к целому числу сотен, указаны в конце статьи.

ТАБЛИЦА II (Окончательный вид признаков)

ПРИМЕЧАНИЯ

1) После примеров 2, 3 и 4 и замечания о выборе общей формы обработки признаков делимости, остается только на нескольких примерах показать детали преобразований, быстрее всего ведущих к поставленной цели.

Учитывая, что испытуемые делители принадлежат к первой сотне, а числа, делимость которых исследуется, суть обычно четырехсемизначные, целесообразно формуле

вообще говоря, придать вид

a = bQ± аЦ^Ц^,. ,.Ц2± ЩДй, или в вышепринятом сокращенном обозначении

a = bQ+z aCzt №jU2

h искать значения коэфициентов а и ß в процессе преобразований правой части последней формулы. Детали этих преобразований (имеющих общий для всех делителей характер) легко уяснить из отдельных примеров.

Так, при выводе признака делимости на 13 имеем

а= С-100 -\-ЦгЦ0 = С- (кр. 13 — 4) + + ад = кр. 13 + (-4С+ад0).

Признак уже получен, именно: для делимости числа (а) на 13 необходимо и достаточно, чтобы разность между учетверенным числом его сотен и числом, изображенным цифрами его десятков и единиц, делилась на 13. Для выведенного признака

а= -4 и ß=+l.

Но признак тем практичнее, чем меньше коэфициенты а и (J. В данном случае замены их на меньшие можно достичь следующим преобразованием. Замечая, что — 4С+//2//0 делится или не делится на 13 одновременно с 3 (—4C+Z/jZ/0), преобразовываем:

3(-4С+ОД0)=*- 12С+Зад0 = = -13С+(С+ЗВД0),

откуда видно, что для делимости числа на 13 требуется, чтобы сумма (С + ЪЦгЦ0) делилась на 13. А это и есть выведенный в таблице II признак.

2) Так как 800 = кр. 17+1, то 800С + + 8ОД0 = кр. 17 + (С + &СгЦ0). Чтобы получить второй вид признака делимости на 17, достаточно выполнить преобразование:

2 (С+ ЩгЦ0) = 2С+ \6ЦгЦ0 = = 17ад0+ (2С—ЦгЦ0).

3) Для приведения признака делимости на 19 из формы, указанной в таблице I, в форму, данную в таблице II, требуется преобразование

4 (5С+ ЦгЦ0) = 19С+ (С+ 4ОДо).

4) Для делителя 23 выполнено преобразование 3 (8С+Ц3Ц0) = 23С+ (С+ ЩгЦ0), результат которого (общность формы признака делимости на 13 с признаком делимости на 231) трудно было бы предвидеть без вышеупомянутой „Таблицы умножения“. Последняя, очевидно, дает ключ к отбору пар простых чисел, для которых можно дать одну и ту же форму удобного признака делимости.

Вывод признака, общего для 13 и 23, является в то же время выводом признака делимости на их произведение 299 и состоит в следующем преобразовании: IOOC + Z/^q заменяется на

300С+ЗВД0 = кр. 299+(С+Зад>).

Аналогично обобщается признак делимости для пар (17; 47) и (29; 31).

5) Так как

700 = кр. 37-3 = кр. 41+3, то формы

(ЗС-7ВД,) и (ЗС+7ад),

которыми определяются условия делимости на 37 и на 41, различаются только знаками (+) и (-).

6) Для делителя 53 выполнено преобразование

С.100 + ВДо=кр. 53 - (6С+ОДо)-

Двойные признаки

Составив „Таблицу умножения простых чисел“, отберем все пары простых чисел, произведения которых близки к целому числу сотен. Эти пары разбиваются на следующие четыре группы:

а) 17X23; 17X41; 17X47; 17X53 и 17 x 59. Преобразования

давая признаки делимости на 391, 697, 799, 901 и 1003, тем самым доставляют соответственные признаки делимости на пары группы (а). Эти же признаки могут служить: первый — признаком делимости на 23, второй — для 41, третий — для 47, четвертый — для 53 и пятый—для 59. Кроме того, каждый из них представляет одну из форм признака делимости на 17.

Ь) 7 x 13; 7 x 29; 7 x 43 и 7 x 71.

Преобразования

приводят к аналогичным выводам относительно делимости на числа 91, 203, 301 и 497; на пары группы (Ь) и на делители 7, 13, 29, 43 и 71.

с) 13X23; 13X31 и 13X61.

Преобразования

дают аналогично признаки делимости на числа 299, 403 и 793 и на их делители.

d) Наконец, для группы 19 x 37, 1^ x 53 той же цели служат преобразования:

„Таблица умножения“ дает еще одно удобное число 899 (=29-31). Преобразование 900C+9Z/1//0=C-f уже послужило для вывода соответствующих признаков в таблице II.

Запомнить все выведенные здесь признаки, может быть, затруднительно. Однако, многие из них так просты (признаки делимости на 7; 11; 13 и 23; 97; 19; 17 и 47; 67), что без труда удержатся в памяти, значительно обогатив обычный запас признаков делимости.

Кроме того, не следует упускать из виду, что, пользуясь признаками делимости, можно легко и быстро находить остатки от деления любого числа на заданный делитель, если только известен соответствующий признак делимости.

О МЕТРИЧЕСКИХ СООТНОШЕНИЯХ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ

Проф. Н. ИЗВОЛЬСКИЙ (Москва—Ярославль)

В статье С. И. Зетеля „Определение длин биссектрис внутренних и внешних углов треугольника („Математика и физика в средней школе“, № 4 за 1934 г.) автор получает, исходя из соотношений, связывающих различные отрезки треугольника, известное равенство для углов треугольника:

Но возможно итти обратным путем: из тригонометрических соотношений для углов треугольника получать соотношения метрического характера для отрезков, определяемых треугольником.

В дальнейшем даны примеры, приводящие, правда, не к очень интересным соотношениям, но, быть может, этот метод позволит найти и другие, более интересные, соотношения.

Известно, что если А-\-В-\- С=ъ, то

Пусть в ДЛ£С (черт. 1) построены высоты AD, BE и CF; будем их обозначать соответственно через hv h2 и h3. Эти высоты делят стороны треугольника на отрезки, которые обозначим через av а2, bv bv сг и cv как на чертеже. Тогда

Подставляя это в данное выше равенство для тангенсов, можем получить:

Так же получим:

Черт. 1.

или

Отсюда получаем:

или

2. Складывая все шесть выражений для тангенсов углов, получим:

или, замечая, что аг-\- а2 — а, Ьг-\- b2 = b и сг-{-с2 = с:

Но h1a = h2b = hzc = 2Q, где Q площадь треугольника.

Следовательно, получим:

Предостерегаем о возможности одной ошибки.

Мы можем получить:

Вычитанием из этих двух равенств получим:

но нельзя обе части этого равенства разделить на — у j , так как это выражение

равно нулю.

Воспользуемся теперь равенством

ЛВС sin A -J- sin 5-f- sin C=4cos~2 cos-^ cos y.

Если обозначим, как обычно, стороны треугольника через а, Ь, с> его периметр через 2р, радиусы вписанного и описанного кругов через г и /?, то имеем:

для косинусов половин углов получим (см. черт. 2):

Черт. 2

Пусть OA = av ОВ = Ьг и ОС=с:; это суть расстояния вершин треугольника от центра вписанного круга. Тогда, согласна равенству

получим

или

где Q площадь треугольника и Q = рг. Итак: произведение расстояний центра вписанного круга от вершин треугольника равно произведению радиуса описанного круга на квадрат диаметра вписанного.

О ТВЕРДОСТИ И ТЕКУЧЕСТИ

Доц. Н. КУЛАКОВ (Москва)

Классические работы Эндрюса и Ван-дер-Ваальса, имеющие большое значение и по настоящее время, твердо установили непрерывность жидкого и газообразного состояний вещества и в связи с понятием о критической точке дали количественное выражение этой непрерывности. Несколько иначе обстоит дело с вопросом о связи между жидким и твердым состояниями. Несмотря на то, что по ряду свойств, например по плотности, сжимаемости, теплоте испарения, жидкости ближе к твердому состоянию, их все же больше принято сближать с газами, а не с твердыми телами. Само разделение тел на жидкие и твердые имеет в основе своей нередко различные признаки. В недавнее время казалось, что в основу классификации тел можно положить различие внутренней структуры.

Большинство твердых тел имеет правильное расположение атомов или молекул, имеет так называемую кристаллическую структуру, и эта структура, казалось, резко отличает твердое кристаллическое тело от жидкого и газообразного состояний, не имеющих этого правильного расположения атомов или молекул. Эта точка зрения как будто подтверждается явлением скачкообразного перехода кристаллических тел в жидкое состояние при температуре плавления. Подтверждением этой же точки зрения является как будто и недавно открытый Бриджменом факт существования под большим давлением тел в твердом состоянии при температурах выше критической, когда всякое различие между жидким и газообразным состоянием уже исчезает. Совершенно ясно, что при такой классификации все так называемые аморфные тела, не имеющие кристаллической структуры и являющиеся по Тамманну переохлажденными жидкостями, относятся к телам жидким, между тем как по ряду свойств они ближе к телам твердым, кристаллическим.

Структурное различие, положенное в основу классификации тел на твердые (кристаллические) и жидкие (аморфные), оказалось различием лишь кажущимся. Еще в 1888 г. О. Леман и Рейницер обнаружили при плавлении бензойно-кислого холестерина для того времени странное явление,—это вещество обладало двумя жидкими фазами: при 145° С оно плавилось и превращалось в мутную жидкость, а при 179° С эта мутная жидкость становилась светлой. При обратном охлаждении явления протекали в обратном направлении. При исследовании в поляризационном микроскопе мутная фаза оказалась двояко-преломляющей, т. е. обладающей свойством, в те времена известным только у кристаллов. Леман назвал эту мутную жидкую фазу бензойно-кислого холестерина текучим кристаллом.

Вскоре к бензойно-кислому холестерину присоединились другие вещества, преимущественно из производных бензола и родственного ему нафталина, у которых также наблюдалась жидкая фаза, обладающая двоякопреломляющей способностью. В настоящее время, благодаря рентгенографическим и электронографическим исследованиям, совершенно определенно установлено для многих жидкостей наличие у них правильного кристаллического строения, хотя кристаллики этих жидкостей весьма малы, имеют размытые очертания и разделены значительной по сравнению с размерами кристалликов аморфной прослойкой. Эта прослойка, возможно, с повышением температуры утолщается, кристаллики при этом мельчают, и только при очень высокой температуре, близкой к критической, жидкость становится подлинно аморфным телом. Наконец, известно, что в переохлажденных жидкостях имеются центры кристаллизации, которые также представляют собою маленькие кристаллики.

Все это, как говорит Я. М. Френкель в монографии „Теория твердых и жидких тел“, „делает жидкости подобными микрокристаллическому твердому телу и заставляет рассматривать процесс плавления не как переход кристаллического состояния в аморфное, а как бы аллотропическую модификацию, сопровождаемую изменением величины кристаллов и типа кристаллической структуры“.

В обычной классификации тел на газообразные, жидкие и твердые в основе лежит разделение тел по их упругости формы и объема, в частности различие между жидким и твердым состояниями усматривается в отсутствии у жидкости, в противоположность твердому телу, упругости формы.

Согласно этим обычным представлениям характерной особенностью жидкого состояния считается большая подвижность частиц жидкости и отсюда ее текучесть.

„Текучесть“ жидкости определяют как величину, обратную коэфициенту внутреннего

трения, или вязкости, жидкости. Явление вязкости, или внутреннего трения, жидкостей состоит в следующем : когда одна часть жидкости приводится в движение, то соседние части также вовлекаются в это движение, оказывая при этом большее или меньшее, в зависимости от природы жидкости, сопротивление. Это явление легко объяснимо с точки зрения кинетической теории: молекулы пришедшего в движение слоя жидкости, участвуя в общем движении слоя, сохраняют свои собственные относительные движения. Те, которые вследствие теплового движения переходят в соседний слой, сохраняют здесь свою скорость, которую они имели в первом слое, участвуя в его движении, и сообщают посредством соударений молекулам нового слоя некоторую скорость в направлении общего движения. Вследствие этого все новые и новые слои жидкости вовлекаются в движение в направлении движения первого слоя. Обратно, молекулы второго слоя, медленнее движущегося, переходя в результате теплового движения в первый слой, вовлекаются в его движение, в то же время замедляя его. Таким образом, между двумя слоями возникают как бы силы трения.

Теория течения вязкой жидкости дана была еще Ньютоном. По основному положению Ньютона величина силы взаимодействия между слоями жидкости, движущимися относительно друг друга, пропорциональна поверхности „соприкосновения“ слоев (S) и градиенту скорости - , т. е.

где т] — коэфициент, зависящий от рода жидкости и называемый коэфициентом внутреннего трения, или вязкостью жидкости. Если F выражена в динах, 5 — в см2> а градиент скорости в се/с1, то tj выражается в пуазах. Употребительна единица вязкости в 100 раз меньшая, чем пуаз, называемая центипуазом. Вязкость воды при 20° С примерно равна одному центипуазу.

Уравнение Ньютона лежит в основе разнообразных методов определения вязкости жидкостей. Распространено определение коэфициента внутреннего трения из определения времени истечения определенного объема жидкости через капиллярную трубку. При движении жидкости по трубке слой ее, непосредственно соприкасающийся со стенкой трубки, остается вследствие прилипания к стенкам неподвижным, в то время как скорость жидкости вдоль оси наибольшая. Знание давления, под которым протекает жидкость, объема протекающей жидкости за определенное время и размеров капилляра позволяет определить вязкость жидкости.

Теория течения вязкой жидкости в капиллярах была разработана еще в 40-х годах прошлого столетия Гагеном и Пуазейлем. Согласно этой теории, объем жидкости, протекающей через капилляр, находится в прямой пропорциональной зависимости от величины давления. Графически эта зависимость представляется прямой, проходящей через начало координат. Последнее обстоятельство особенно важно, так как этим подчеркивается, что жидкость, в отличие от твердого тела, абсолютно лишена упругости формы и что в ней при всяком, даже весьма малом, давлении имеет место распространяющееся по всему сечению трубки вязкое течение. Другими методами определения вязкости жидкости являются метод коаксиальных цилиндров и метод падающих шариков. Подробное изложение как самой методики определения вязкости, так и описание применяемой при этом аппаратуры можно найти в книге Э. Гатчека „Вязкость жидкостей“, переведенной с английского под ред. проф. М. П. Воларовича.

Коэфициент внутреннего трения жидкости является константой для каждой жидкости, величина которой, однако, зависит от температуры и давления. Вязкость всех жидкостей уменьшается с повышением температуры. На рисунке 1 приведены кривые зависимости вязкости от температуры для воды и ртути, заимствованные из книги Гатчека. Увеличение давления вызывает увеличение вязкости жидкости. На рисунке 2 представлены кривые

Рис. 1.

зависимости вязкости от давления для этилового спирта и сероуглерода. С качественной стороны зависимость вязкости от давления для всех жидкостей за исключением воды такова же, как и представленная на рисунке 2. Для воды при температурах ниже 30° С вязкость с ростом давления сперва убывает, достигая минимума около 1000 атм., а затем снова возрастает. При температурах выше 30° С вязкость поды с ростом давления неуклонно возрастает.

Итак, распространенное представление считает характерной особенностью жидкого состояния его текучесть.

Твердому телу, в отличие от жидкости, приписывается „твердость“, т. е. упругость формы, или свойство сохранять свою форму и восстанавливать ее, если деформирующие силы не превзошли так называемого предела упругости, величина которого и принимается за меру твердости. Неправильность такого представления ясна хотя бы из того обстоятельства, что переохлажденные жидкости, каковыми являются аморфные тела, обладают значительной твердостью. Эта твердость отнюдь не лишает их текучести, хотя вязкое течение аморфных тел под влиянием внешних сил происходит так медленно, что трудно наблюдаемо. Общеизвестно явление течения сапожного вара даже под действием своего веса. Если в воронку положить несколько кусков вара, то через день, через два они сами собою срастаются в один сплошной кусок. Этот кусок мало-помалу начнет вытекать, и через 15—20 дней покажется снизу первая капля, и через несколько месяцев вытечет большая часть вара. Если на пластинку вара положить металлический шарик, а под нее пробки, то через некоторое время пробки всплывают, а шарик тонет. Вместе с тем, если ударить по пластинке из вара молотком, та она раскалывается на куски. Таков же по своим свойствам асфальт, который способен течь и в то же время дает осколки, как стекло если ударить по нему молотком; по растекающемуся асфальту можно ходить, не оставляя следов, но длительное стояние на нем оставляет следы. Не менее известны также явления течения при больших давлениях тел кристаллических, например металлов. Явление течения металлов наблюдал Треска. Он накладывал друг на друга ряд металлических, пластинок, помещал их в прочный цилиндр с отверстием в дне и подвергал давлению в несколько тысяч атмосфер. Во всех случаях металл вытекал из отверстия в виде выступающего из цилиндра наружу стержня. Этот стержень в опытах Треска продольно пополам распиливался и подвергался шлифовке. Тогда ясно выступали линии, соответствующие границам ранее наложенных пластинок. Форма этих слоев весьма похожа на контуры вытекающей вязкой жидкости. На текучести металлов основан ряд приемов обработки металлов давлением.

Значительной текучестью обладает лед, причем его течение также во всех подробностях напоминает течение вязкой жидкости. Это течение льда, например, наблюдается на ледниках, медленно спускающихся с гор. Массы льда, в зависимости от ширины и формы русла, то суживаются, то расширяются, подобно вязкой жидкости. Середина потока при этом перемещается с большей скоростью, чем края. Грандиозность этого явления всегда возбуждала удивление. В свое время еще Тиндаль много внимания уделил изучению движения ледников. Во времена Тиндаля предполагали, что ледник плавится в тех местах, где напряжение делается очень большим и что образовавшаяся вода уходит прочь, вследствие чего давление в этих местах уменьшается. Освободившаяся вода попадает в пустое место или трещину и снова замерзает. Таким образом происходит приспособление ледника к форме русла. Такое объяснение встречает серьезное возражение и неприменимо для ледников Арктики и Антарктики, где температуры настолько низки, что практически никакое давление не в состоянии расплавить лед. Остается допустить, что лед течет, оставаясь в твердом состоянии. Можно было бы привести еще примеры течения твердых тел, но и из тех, которые мы привели, совершенно ясно следует, что текучесть не является качеством, присущим только жидкостям, но,

Рис. 2.

хотя и не в равной мере, текучестью обладают и твердые тела.

С другой стороны, и так называемая „твердость“, т. е. упругость формы, отнюдь не является качеством, присущим только твердым телам. Еще в 1900 г. Шведов показал, что ряд жидкостей проявляет, правда — в слабой степени, свойства твердых тел. Шведов помещал исследуемую жидкость между двумя концентрическими цилиндрами; внешний цилиндр был неподвижен, а внутренний подвешивался на металлической нити, являющейся продолжением его оси. Если закрутить нить у верхней точки ее прикрепления, то подвешенный на ней цилиндр под действием крутящей пары поворачивается вокруг своей оси. Если жидкость лишена „твердости“, она следует за движением цилиндра, и лишь вязкость ее несколько замедляет движение цилиндра. Цилиндр возвратился бы в состояние покоя, когда угол кручения нити сделался бы равным нулю. Это действительно и наблюдается даже для таких вязких жидкостей, как глицерин. Шведов производил свои опыты с водным раствором желатины, и оказалось, что даже при весьма малой концентрации движение цилиндра останавливалось раньше, чем он повернется на угол, равный углу кручения нити.

Следовательно, жидкость оказывает статическое сопротивление крутящей паре, которая продолжает действовать со стороны не совсем раскрутившейся нити, т. е. жидкость определенно проявляет упругость формы. Произведенные Шведовым определения твердости 0,5 % раствора желатины дали величину, правда, малую, но измеримую и сравнимую с аналогичной величиной для твердых тел. Сопоставление найденной величины с упругостью стали показало, что „твердость“ раствора желатины примерно в 2.1012 раз меньше, чем для стали.

В описываемых нами опытах Шведову удалось наблюдать у раствора желатины наличие остаточной длительной деформации. Если после того как нить, на которой подвешен внутренний цилиндр, была закручена на некоторый угол, а цилиндр, следуя за ней, повернулся на угол меньший, чем угол кручения нити, возвратить нить обратно к состоянию, при котором угол кручения ее был бы равен нулю, то казалось, что раствор желатины должен был бы вернуться к своему первоначальному состоянию, вращая внутренний цилиндр в обратную сторону. Однако, когда деформация закручивания жидкости была достаточно длительной, то она не раскручивалась полностью, а в ней наблюдалась некоторая остаточная деформация.

Следует заметить, что раствор желатины относится к так называемым коллоидным растворам, представляющим собою двухфазные системы. Исследования последних 30 лет, произведенные рядом исследователей, показали, что у коллоидных растворов, равно, как и у грубых дисперсных систем, например суспензий, коэфициент внутреннего трения не остается постоянным. При измерениях в капиллярных вискозиметрах вязкости коллоидных систем обнаруживается уменьшение вязкости с увеличением скорости истечения коллоидного раствора из капилляра, а в случае коаксиальных цилиндров вязкость оказывается уменьшающейся с увеличением угловой скорости вращающегося цилиндра. Явление это получило название „аномалии вязкости“, поскольку такие системы не подчиняются основному уравнению Ньютона.

Для описания явления „аномалии вязкости“ был предложен ряд эмпирических уравнений, из которых наибольший интерес представляют те, которые являются попытками изменить основное уравнение Ньютона. Таковы уравнения, предложенные исследователями Бингамом, Букингамом, Рейнером и др. В основе большинства этих исследований предлагается для характеристики систем с аномальной вязкостью принять две константы: предельное напряжение сдвига и величину, аналогичную коэфициенту внутреннего трения в уравнении Ньютона. Согласно этим представлениям коллоидный раствор сохраняет свою форму под действием малых сил, т. е. испытывает только упругие деформации, не увеличивающиеся со временем, но после того как эти силы достигли определенного предельного значения, он легко деформируются и течет аналогично вязкой жидкости.

Мысль о сочетании в одном теле свойств текучести и „твердости“, т. е. упругости формы — не новая. Эта идея была сформулирована еще Максвеллом в его теории пластичного, или вязко-упругого, тела. Основное уравнение этой теории имеет вид:

где x—элемент деформации, например сдвига, Р — соответствующее напряжение сдвига, k — модуль сдвига (или упругости, в случае иного вида деформации). Уравнение показывает, что результирующее усилие складывается из усилия, вызывающего упругую деформацию, и усилия, обусловливающего собою вязкое течение. Идеи Максвелла можно вы-

разить и иначе, а именно:

Согласно этому уравнению, деформация упругого вязкого тела складывается из упругой и вязкой. Если в последнем уравнении положить ;e = cosnst., то получается следующее выражение:

Это уравнение характеризует процесс релаксации, т. е. расслабления напряжения. Величина Т называется периодом релаксации, это — то время, за которое величина напряжения убывает в е раз (е — основание натуральных логарифмов). В описанном выше опыте Шведова раствор желатины обладал некоторым модулем сдвига и определенным периодом релаксации. Время релаксации связано в теории Максвелла с модулем сдвига и вязкостью соотношением:

Этим соотношением и пользовался Шведов в описанных выше опытах для определения ft и Г, а отсюда и коэфициента внутреннего трения желатины. Однако, эти определения имеют лишь приблизительное значение, так как закон релаксации для коллоидных систем не выполняется полностью.

С точки зрения изложенной теории Максвелла, „твердость“ или текучесть тела зависит от той скорости, с которой совершается деформация.

Если деформация тела возрастает очень быстро, то второй член уравнения Максвелла делается большим, напряжение Р может достигнуть величины большей, чем предел прочности данного вещества, и наступает разрушение материала; в этом случае говорят, что тело хрупкое. При медленном же возрастании деформации тело течет, не разрываясь, т. е. так, как вязкая жидкость. Отсюда понятие текучести есть понятие относительное, зависящее от скорости изменения деформации, и обнаруживается, если деформация возрастает медленно. Также относительно, с этой точки зрения, и понятие „твердости“, которая проявляется лишь при условии быстрого возрастания деформации.

Изложенные соображения, развитые Максвеллом применительно к аморфным телам, применимы, очевидно, и к жидкостям. Различная текучесть и „твердость“ аморфных твердых и жидких тел целиком объясняется тем, что период релаксации для жидкостей мал, в то время как для твердых аморфных тел он велик. Приведем значения периода релаксации для воды и канифоли, заимствуя их из книги Н. П.Пескова „Физико-химические основы коллоидной науки“: период релаксации воды равен 3«10~6сек., а канифоли, при 12°С, 4» 10е сек. Из приведенных значений совершенно очевидно, что всякая практически быстро возрастающая деформация воды все же будет весьма медленной по сравнению с величиной ее периода релаксации, а потому вода всегда практически текуча. Для канифоли даже относительно медленно изменяющаяся деформация оказывается быстрой по сравнению с очень большим периодом релаксации, отсюда „твердость“ и, наконец, хрупкость канифоли.

Приведенные рассуждения находятся в полном соответствии с явлением, о котором мы уже упоминали, а именно: с убыванием вязкости жидкостей при повышении температуры. С повышением температуры жидкости мы приближаем ее к газообразному состоянию; наоборот, понижая температуру, мы приближаем жидкость к твердому аморфному состоянию. По исследованиям Варбурга, вязкость жидкого ангидрида угольной кислоты вблизи критической температуры будет приблизительно того же порядка, что и для газообразного, находящегося под давлением, равным критическому давлению. При этом интересно, что у газов в обычном состоянии вязкость не зависит от давления, а при температурах, близких к критической, наблюдается такая же зависимость вязкости от давления, как и у жидкостей. Тамманн исследовал вязкость переохлажденных жидкостей. Он нашел, что с понижением температуры ниже нормальной температуры затвердевания вязкость возрастает быстрее, чем она возрастала до этого. Для пиперина, например, при убывании температуры от 95°С до 65°С вязкость возрастает только в 10 раз, тогда как с понижением температуры от 65°С до 45°С она увеличивается в 2000 раз. Если принять, что, согласно теории Масквелла, соответственно возрастает период релаксации, тогда станет совершенно понятной различная текучесть и „твердость“ жидкостей и твердых аморфных тел. Можно рассматривать жидкости как аморфные тела с малой вязкостью и малым периодом релаксации.

Обращаясь к течению тел кристаллических и принимая во внимание особенности их структуры, придется признать, что их текучесть иная, чем текучесть аморфных тел. В случае монокристалла приходится отказаться от

самого понятия вязкого течения. Вязкое течение предполагает непрерывное изменение скорости от одного слоя атомов к другому. В кристаллах это невозможно без нарушения правильного расположения атомов или молекул. В кристалле остаточная деформация может осуществляться только путем ряда последовательных сдвигов, происходящих вдоль определенных кристаллографических плоскостей и по определенным направлениям. При каждом таком сдвиге целые слои атомов или молекул мгновенно как бы срываются со своих мест, переходят по другим атомам, находящимся в параллельном с ними слое, в новое положенение. Когда переход их в это новое положение осуществился, восстанавливается однородность кристалла до нового сдвига. Ряд последовательных сдвигов обуславливает изменение формы кристалла. Таков механизм пластических деформаций в кристалле, таков механизм и пластического течения кристаллических тел. Каждый сдвиг, из которых складывается пластическое течение кристаллического тела, представляет собою как бы законченный процесс, отделенный от другого такого же процесса определенным промежутком времени. Величина этих промежутков времени зависит от величины прилагаемых усилий. При малых усилиях эти промежутки, разделяющие сдвиги, могут быть велики; наоборот, при значительных усилиях сдвиги совершаются чаще, создается впечатление непрерывного течения. Опыты акад. Иоффе, Обреимова и др., произведенные в Ленинградском физическом институте, показывают, что число сдвигов за единицу времени пропорционально величине скалывающего усилия. Законченной теории пластических деформаций кристаллических тел пока еще не существует, но приведенные выше соображения все же позволяют перекинуть мост между пластическими деформациями твердых кристаллических тел и вязким течением тел аморфных. Вязкое течение можно рассматривать как предельный случай пластического течения. Если представить себе, что промежутки, как пространственные, так и временные, отделяющие один сдвиг от другого, делаются все меньше и меньше, то, как говорит Я. И. Френкель, в пределе мы будем иметь вязкое течение.

К такому же заключению приводит и изучение зависимости пластичности кристаллических тел от изменений температуры и давления. Если твердое кристаллическое тело нагревать до высоких температур, то пластичность его возрастает, а твердость большей частью убывает, т. е. требуются меньшей величины скалывающие усилия, чтобы вызвать деформацию. При приближении температуры к температуре плавления кристаллические тела становятся часто весьма пластичными. Тамманну удалось показать для многих силикатов, что величина внутреннего трения кристаллов силикатов при приближении к точке плавления становится близкой к величине внутреннего трения расплава. Многие тела, не обладающие пластичностью при температурах значительно ниже их точки плавления, становятся пластичными с приближением к точке плавления. Увеличение давления обычно уменьшает пластические свойства тел. На прилагаемом рисунке 3 приведена зависимость скорости истечения льда из круглого отверстия сечением 0,014 см2 при различных давлениях и температурах по измерениям Тамманна. Как видно из этого рисунка, скорость истечения льда тем больше, чем ближе кривая скорости к кривой плавления. То, что кривая плавления (S) льда загибает влево, в сторону низких температур, как известно, является одним из немногих исключений.

Подводя итоги всему сказанному, следует еще раз отметить трудность разделения тел на твердые и жидкие. В свойствах, которые отличают твердые тела от жидких, все зависит лишь от степени. Среди различных веществ всегда можно найти такие, которые обладают тем или иным свойством в такой мере, что в совокупности могут составить ряд с постепенным переходом от свойств твердого тела к свойствам жидкого. Если же взять какое-либо вещество, то при плавлении всегда имеет место скачкообразное изменение свойств. Но, как известно, скач-

Рис. 6.

кообразное изменение свойств имеет место не только при плавлении. Переход кристаллических тел из одной аллотропической модификации в другую осуществляется всегда при определенной температуре, сопровождаясь поглощением или выделением тепла и скачкообразным изменением многих свойств. Мы привели выше пример, когда вещество обладало двумя жидкими фазами, причем переход из одной фазы в другую также был связан со скачкообразным изменением свойств. Все это говорит о том, что вопрос о связи между твердым и жидким состояниями разрешается не так, как он решен для жидкого и газообразного состояний. Вероятнее всего, что противопоставление твердого тела жидкому неправильно, и, может быть, следует говорить о едином твердо-жидком состоянии вещества.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Морен — „Физические состояния материи“.

2. И. Обреимов — „Состояние вещества“.

3. Я. И. Френкель— „Теория твердых и жидких тел“.

4. П. П. Кобеко — „Аморфное состояние“.

5. Э. Гатчек — „Вязкость жидкостей“.

ПАРАЛЛЕЛОГРАМ СИЛ*

Статическое обоснование

В. БАКУШИНСКИЙ (Москва)

Определим понятие силы статически как некоторый эффект натяжения, не связывая ее ни с какими кинематическими величинами. При таком определении силы нетрудно доказать, что истоки параллелограма сил лежат в двух простейших постулатах, аксиоматичность которых весьма легко приемлема нашим умом.

Перейдем к доказательству.

1-й постулат. Силы, приложенные к точкам прямой линии твердого тела и направленные вдоль нее, могут быть заменены одной равнодействующей им силой, направленной вдоль этой же линии и равной алгебраической сумме их.

2-й постулат. Две силы, приложенные к одной точке твердого тела, могут быть заменены одной равнодействующей, лежащей в плоскости этих сил и внутри меньшего угла между ними.

Например, если даны две силы р и q, то по нашему условию равнодействующей будет какая-то сила /?, неизвестная нам пока ни по величине, ни по направлению, но лежатцая в той же плоскости внутри меньшего угла (черт. 1).

Прежде чем производить дальнейший вывод, докажем следующую лемму, исходя из тех же постулатов.

Лемма. Равные и параллельные силы, приложенные к серединам равных отрезков прямой линии твердого тела, имеют равнодействующую, равную их сумме, параллельную им и приложенную к середине этой прямой.

Пусть к концам отрезка AB прямой линии твердого тела приложены равные и параллельные силы Р и Р. Мы ничего не изменим, приложив к тем же точкам А и В равные и противоположные силы Q (черт. 2). Каждая пара сил Я и Q сложится в некоторую равнодействующую силу /?. Для обеих точек А и В условия будут симметричны. Перенесем силы /? в точку их пересечения С, где снова каждую из них разложим на Р и Q. Здесь силы Q взаимно уничтожаются, а силы Р дадут 2Р. Перенесем 2Р в точку О, которая в данном случае в силу симметричности и будет серединой отрезка AB. Если бы силы Р были скошены относительно AB, то путем переносов их на линию А'В' и при помощи предыдущих рассуждений мы на ней получили бы точку (У, а затем уже обратным переносом силы 2Р — точку О (черт. 3)

Если нам будет дана линия AB (черт. 4)“ состоящая из нескольких равных отрезков*

Черт. 1

* Рецензия на работу, данная профессором Н. Е. Жуковским летом 1918 г.:

«Доказательство ваше похоже на доказательство Штурма, но отличается от него тем, что опирается на лемму о возможности разложения сил по любым двум направлениям.

Оно заслуживает внимания и может быть включено в серию многих доказательств по теореме параллелограма сил.

Н. Жуковский“.

Черт 2.

Черт. 3.

Черт. 4.

к серединам которых приложены равные и параллельные силы Р, то каждая пара сил, равноотстоящих от концов А и В, будет давать равнодействующую в средней точке О; следовательно, и общая равнодействующая всех сил будет лежать в этой же точке О и будет равна сумме всех Р.

Таким образом, лемма доказана и можно перейти к непосредственному вычислению равнодействующей.

Теорема направления. Равнодействующая двух любых по величине и направлению сил, приложенных к одной точке, проходит по диагонали параллелограма, построенного на силах.

Допустим, что к точке А твердого тела будут приложены две силы Р = 3р и Q = 5p (графически Р=АВ и Q = AC). Разложим нашу силу Р на три отдельных силы р того же направления и приложенных к серединам каждого из трех равных отрезков линии AB. В свою очередь, каждую из этих сил р разложим на две силы s и t, причем t — параллельно биссектрисе ДЛ£С, проведенной из точки A, s — перпендикулярно к ней. Так же поступим и с силой О (черт. 5).

Черт. 5.

Если мы перенесем все восемь сил t на линию ВС по их направлению, то они лягут на середины восьми равных отрезков, на которые разделится линия ВС. Равнодействующая их по нашей лемме будет равна Г= 8/ и проходить через середину линии ВС, т. е. через точку О. Три силы 5 на линии AB взаимно уничтожатся с тремя противоположно-направленными силами s на линии АВ' = АВ. Две же силы s, остающиеся на линии ß'C, перенесенные на линию ВС, дадут в силу предыдущих рассуждений для t — равнодействующую S=2s, проходящую через ту же середину линии ВС точку О.

Таким образом, две силы Р и Q, имеющие равнодействующую где-то в точке А, сводятся к двум силам S и Т, имеющим равнодействующую в точке О, но так как эта равнодействующая должна быть одна и та же, то она проходит и через А и через

Черт. 6.

О, т. е. идет по линии АО. Линия АО есть медиана ДЛ£С, или линия, по которой направлена диагональ параллелограма, построенного на АВ = Р и AC*=Q. То, что мы доказали для Р = 3р и Q — 5pf таким же образом может быть доказано и для любых Р и Q.

Теорема величины. Равнодействующая двух сил по величине и направлению равна диагонали параллелограма сил.

Допустим, что к точке В твердого тела приложены две силы ВА—р и BD = 2q. Равнодействующая этих сил ВК должна пройти по диагонали BG параллелограма ABDO (черт. 6).

Произведем нахождение этой равнодействующей следующим путем.

Найдем сначала равнодействующую сил рид. Пусть она будет ВМ. Она должна итти по диагонали BL парал/елограма ABCL. А теперь находим равнодействующую у силы ВМ и оставшейся силы q, которую будем считать приложенной в той же точке В. Эта окончательная равнодействующая BF должна итти по диагонали BN параллелограма BCNM. В то же время сила BF должна представлять собою силу ВК, но это может быть лишь в том случае, если отрезок NM сольется с отрезком GL. В таком случае сила ВМ — равнодействующая сил р и q — будет равна (графически) диагонали BL параллелограма ABCL, построенного на этих силах.

Силы р и q взяты произвольной величины, следовательно, теорема параллелограма сил является доказанной в общем виде.

Итак, теорему параллелограма сил можно вывести из двух примитивных положений.

О ЗАВИСИМОСТИ КРИТИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОТ МАССЫ

М. МАРКОВИЧ (г. Алма-Ата)

При прохождении вопроса о критической температуре в курсе экспериментальной физики на физических и математических отделениях университетов и пединститутов приходится сталкиваться с некоторым методическим пробелом общеупотребительных руководств в отношении выяснений зависимости критических величин (критической температуры, критического давления и критического объема) от массы исследуемого вещества.

Прямого ответа на этот вопрос нет ни в одном из употребительных руководств. Сырым материалом могут послужить ряд сведений; так, в ряде руководств (см. хотя бы Млодзеевский — „Краткий учебник молекулярной физики“, изд. 1932 г., стр. 145 и др.), полагая для критического состояния все три корня уравнения Ван-дер-Ваальса равными, находятся критические величины. Общеизвестны получаемые в этом случае формулы.

Так как величины a, b и /? зависят от массы (следует отметить, что об этой зависимости по отношению к величинам а и b большинство руководств забывают упомянуть), легко может создаться впечатление о зависимости и всех критических величин от массы. Это представление входит, однако, в противоречие с общеизвестными таблицами критических температур и давлений, где отсутствие каких-либо указаний на величину массы ясно указывает на независимость критических температур и давлений от массы. Это „противоречие“ является причиной путаных представлений.

Путаницы этой можно было бы избежать, если бы руководства дополнили соответствующие главы следующими краткими рассуждениями.

Величины a, b и JR действительно зависят от массы, но количественный характер этой зависимости различен от различных величин. В то время как величины /? и Ь, по общеизвестным соображениям, пропорциональны величине массы в первой степени, величина а пропорциональна величине массы во второй степени. Действительно, увеличение массы, например, в 2 раза при неизменном объеме должно вызвать увеличение поправочного числа ^ в уравнении Ван-дер-Ваальса в 4 раза (так как в 2 раза возрастает плотность, а поправочный

член прямо пропорционален квадрату плотности). Увеличение же поправочного члена в 4 раза при неизменном объеме означает увеличение и величины а в 4 раза. Возвращаясь, наконец, к формулам для Vk, Pk и Tk, легко, учтя сказанное, притти к выводу, что наряду с зависимостью от массы величины Vk (величина Vk пропорциональна величине массы в первой степени) величины Pk и Tk не зависят от массы (так как числитель и знаменатель соответствующих выражений одинаково изменяются). Из сказанного следует также и независимость от массы и величины критической плотности.

Необходимый мостик между уравнениями и таблицами может быть этими соображениями перекинут, и путаница устранена.

ПРОСТОЙ СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФАЗЫ ЛУНЫ

П. ГОЛУБЕВ (г. Кинешма)

Определение фазы Луны для данного времени требуется в жизни довольно часто.

Мне лично несколько раз приходилось пользоваться простым приемом определения фазы Луны в путешествиях (для расчета возможности продолжать путь ночью, пользуясь лунным освещением).

Рыбаки-любители говорят, что щука охотится за добычей по преимуществу в новолуние и полнолуние (т. е. в это время она лучше ловится на крючки).

Наиболее сильные морские приливы и отливы бывают в новолуние и полнолуние.

Кроме того, этот материал не безынтересен и для школьной астрономии, так как при разборе этого способа приходится затрагивать вопрос о движении Луны вокруг Земли и Земли с Луной вокруг Солнца.

Для определения фазы Луны нужно запомнить только одно постоянное число для одного какого-нибудь года, ну хотя бы для 1935 г., а далее уже будет довольно просто определить фазу Луны в любое число любого месяца и даже года.

Опишем этот прием.

К постоянному числу прибавляется порядковый номер месяца и то число, для которого определяется фаза Луны. Полученная от сложения сумма и будет указывать возраст Луны, считая от новолуния.

Если полученная сумма будет больше 30, то нужно из данной суммы вычесть 30, и тогда остаток дает возраст Луны. Если в сумме получится 30, то значит будет последний день перед новолунием; если 15—полнолуние, 7 — первая четверть заканчивается и т. д.

Возьмем пример для числа, в которое я пишу эти строки, т. е. для 10 августа 1935 г.

Постоянным числом для начала 1935 г. будет 23. Находим сумму этого постоянного числа, порядкового номера месяца августа (8) и числа 10

23 + 8 + 10 = 41;

вычитаем из данной суммы 30 (округленно синодическое время оборота Луны вокруг Земли) :

41—30 = 11;

полученный остаток 11 и дает возраст луны на 10 августа 1935 г. т. е. остается 4 дня до полнолуния, с вечера будет луна, хотя и неполная, или прошло три дня от первой четверти.

Чем объясняется такой легкий способ определения фазы Луны?

Дело в том, что Луна делает полный оборот вокруг земли в 27 суток 7 час. 43 мин. 11 сек., т. е. округленно — 27 суток и 8 час. Земля же вместе с Луною движется вокруг Солнца в 365 дней 5 час. 48 мин. 46 сек., т. е. приблизительно в 365 дней 6 час.

Фазы Луны зависят от взаимного расположения Солнце — Луна — Земля и за 27 — 28 дней Земля успеет переместиться приблизительно на 28° (по своей орбите), а потому для получения известной фазы Луна должна дополнительно к полному своему обороту пройти эти 28°.

Так как Луна описывает 360° около Земли в 27 дней 8 час, то в один день она приблизительно опишет дугу

27,3 ^ 16 9

а 28° опишет в у| дня; следовательно, между одинаковыми фазами Луны проходит 29 дней

12 час. (точнее синодическое время оборота — 29 дней 12 час. 44 мин. 3 сек.).

Если бы продолжительность земного года была 354 дня 8 час. 48 мин., а продолжительность месяца равнялась бы синодическому времени оборота Луны вокруг Земли, тогда бы одинаковые фазы Луны совпадали с одинаковыми числами месяца. На самом же деле продолжительность земного года почти на одиннадцать дней больше, а продолжительность месяца — 30 и 31 день (кроме февраля).

Указанные 11 суток года (лишних по сравнению с двенадцатью лунными месяцами) в приведенном нами выше способе определения фазы Луны навёрстываются из месяца в месяц порядковым номером месяца, а при переходе к следующему году эту поправку нужно вносить в постоянное число, увеличивая последнее при переходе к новому году на 11 единиц. Конечно, и в этом случае, получая число больше 30, уменьшаем его на 30 и пользуемся остатком. Так, например, постоянное число для 1936 г. должно быть

23 + 11=34

34 — 30 = 4,

т. е. будет 4.

Определим, например, каков будет возраст Луны 19 декабря 1936 г.

4+12 + 19 — 30 = 5,

т. е. пятый день после новолуния. С вечера Луна недолго будет светить. При прибавлении 11 дней при переходе к следующему году мы прибавляем на 3 часа больше, чем следует, а потому в годах, оканчивающихся нулем (1930, 1940,1950 и т. д.), лучше прибавлять к постоянному числу предыдущего года не 11, а то же округленное число с нулем, т. е. 10. Например, постоянное число для 1939 г. будет 7, а для 1940 г. лучше взять не 7 + 11, а 7+10, т. е. не 18, а 17.

При отыскании постоянного числа для какого-нибудь отдаленного года нет надобности прибавлять (вперед) или отнимать (назад) по 11 единиц год за годом, а можно фазу рассчитать умножением одиннадцати на число лет (вперед или назад). Например, постоянное число 1945 г. можно найти так: 1945 г. имеет число 23, далее 10 лет по одиннадцати будет

остаток 13 и является искомым числом. Принимая во внимание сделанную выше оговорку, при отыскании более точного числа уменьшаем на единицу и берем число 12.

Пользуясь полученным числом, решим еще одну задачу.

Найти день, когда будет новолуние в июле 1945 г.

Так как ищется наступление новолуния, то сумма должна в этом случае равняться 30 или кратному 30, т. е. 30 п.

Составляем небольшое уравнение, левая часть которого состоит из суммы постоянного числа (12), порядкового номера месяца июля (7) и неизвестного числа (х), а правая есть 30 или 30 п

12 + 7 + л: = 30 лг=11.

Новолуние будет 11 июля.

В заключение нужно оговориться, что указанный способ определения фазы Луны был бы сравнительно точен для практических целей, но ввиду того, что месяцы в году имеют неодинаковое число дней (январь — 31 день, февраль — 28), то расчеты наши могут расходиться на сутки.

В школе можно использовать данный способ определения фазы Луны как астрономическую задачу. В этом случае после указания способа определения фазы Луны можно не объяснять, почему сумма при сложении некоторого числа с порядковым номером месяца и числом месяца дает возраст Луны, а предложить самим учащимся разъяснить этот способ по некоторым астрономическим данным, которые сочтет нужным указать преподаватель (время оборота Земли, Луны).

Этот же материал можно использовать на занятиях астрономического кружка, если он не будет использован в обычных занятиях.

АСТРОНОМИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ПЕРИОД ДЕКАБРЬ 1935 г. — ФЕВРАЛЬ 1936 г.

Проф. П. ПОПОВ (Москва)

Наблюдая еще в течение осенних месяцев последовательное изменение вида звездного неба, а параллельно с этим — изменение полуденной высоты Солнца и долготы дня, мы в декабре подходим к моменту наименьшей высоты Солнца в полдень и наиболее короткого дня, т. е. к моменту зимнего солнцестояния, который наступит 22 декабря в 21 час. В это время мы будем видеть в полночь созвездие Близнецов (по соседству с созвездием Рака) проходящим через меридиан. Солнце же, находясь в противоположной стороне небесной сферы, располагается в созвездии Стрельца (по соседству с созвездием Козерога). Здесь уместно напомнить, что в древности, когда определялись времена года и месяцы по нахождению Солнца в том или ином созвездии, Солнце в момент зимнего солнцестояния располагалось в созвездии Козерога, а кульминировало в полночь созвездие Рака. Отсюда сохранившиеся до сих пор названия тропиков Рака и Козерога на Земле. Около момента солнцестояния склонение Солнца почти не меняется на протяжении нескольких дней, а вместе с тем почти не меняется полуденная высота Солнца и долгота дня, и только к 25 декабря это изменение проявляется некоторой заметной величиной. Приведем значение склонения Солнца для нескольких дней до и после момента солнцестояния:

19 декабря 23°23'32“

20 „ 23 25 4

21 я 23 26 9

22 „ 23 26 45

23 . 23 26 52

24 „ 23 26 32

25 . 23 25 43

26 „ 23 24 26

Звездное небо в зимний период (декабрь — февраль) особенно привлекает к себе наше внимание, так как в это время на южной половине неба сияют наиболее приметные и самые красивые созвездия: Орион, выделяющийся своими тремя звездами, расположенными в ряд; левее и ниже его — Большой пес с самой яркой звездой нашего неба — Сириусом; над ним, влево от Ориона — Малый пес с звездой первой величины Процион; правее и выше Ориона занимает большую область неба Телец, среди звезд которого мы выделяем звезду первой величины Альдебаран и особенно приметную кучку звезд — Плеяды. Телец относится к зодиакальным созвездиям; направо от него — другое зодиакальное созвездие Овен, состоящее из сравнительно слабых звезд; налево от Тельца — созвездие

Близнецов с двумя яркими звездами Кастор и Поллукс, а еще левее и ниже — созвездие Рака, в котором мы совсем не найдем ярких звезд. По этим зодиакальным созвездиям проходит Солнце в конце весны и начале лета. Поэтому мы и не находим их на летнем ночном небе. Но описываемые нами созвездия не только придают особую красоту вечернему зимнему небу, но они содержат и целый ряд таких небесных объектов, которые особенно интересны в науке и дают много материала для наших представлений о вселенной и ее строении. Упомянем знаменитую туманность в Орионе, окружающую кратную звезду, так называемую Трапецию, ряд двойных звезд в том же Орионе, из них особенно красивая пара Ригель (яркая нижняя звезда Ориона). В созвездии Тельца мы находим звездные скопления, Плеяды и Гиады, в которых звезды, видимо, связаны друг с другом и имеют одинаковое собственное движение. Изучение этого собственного движения дало возможность определить расстояние от скопления до нас, измерение которого по годичному параллаксу недоступно вследствие большой удаленности. Сириус за последнее время стал известен наличием у него спутника, обладающего малой абсолютной яркостью и относящегося по спектральному классу — к горячим звездам, так называемым „белым карликам“, плотность которых превосходит плотность платины в тысячи раз и изучение которых приводит к интересным и ценным выводам о развитии звезд.

Планеты

В рассматриваемый период времени можно наблюдать в той или иной мере (одни лучше — другие хуже) все планеты, доступные вообще для любительских наблюдений. Одни из них видны по вечерам, другие по утрам, перед восходом Солнца.

Венера. Будучи видима как утренняя звезда в течение осенних месяцев, Венера всего выше поднималась над горизонтом в ноябре. Теперь она уже прошла свое наибольшее удаление от Солнца. В декабре она проходит прямым движением по созвездию Девы и, значит, находится вблизи экватора. Новый год застает Венеру в созвездии Весов, а скоро она перейдет в созвездие Скорпиона и Стрельца и тем самым все приближается к Солнцу (Солнце в январе находится в Стрельце). В начале декабря Венера восходит около 4 час. утра, а в январе — уже около 5 час, но так или иначе за час-два до восхода Солнца ее можно еще хорошо наблюдать благодаря большой яркости ее.

Марс. В декабре Марс можно найти в южной стороне неба, невысоко над горизонтом, вечером, как только стемнеет. К концу декабря он поднимается несколько выше над горизонтом. Невысокое положение Марса во весь рассматриваемый период делает неблагоприятным наблюдение его в трубу. К этому присоединяется также то, что Марс находится в наибольшем удалении от Земли. Марс идет прямым движением по созвездиям Козерога и Водолея и в январе заходит около 7 час. вечера.

Юпитер. Юпитер можно найти на небе только со второй половины декабря в юго-восточной части утром, перед восходом Солнца. Он в это время расположен левее и ниже Венеры. В январе произойдет соединение Венеры с Юпитером. В это время Юпитер будет заходить около 6 час. утра. Идет Юпитер прямым движением по созвездию Скорпиона.

Сатурн. Переменив в ноябре попятное движение на прямое, Сатурн идет в рассматриваемый период по созвездию Водолея. В декабре с вечера мы видим его на юге сравнительно высоко над горизонтом; заходит он около 10 час. вечера. Но чем дальше, тем видимость Сатурна ухудшается, и в феврале он заходит уже около 7 час. вечера.

Уран. Можно попытаться розыскать на небе Уран, который находится в созвездии Овна и виден как звездочка 6-й величины. Его координаты на 1 января следующие: прямое восхождение 1 ч. 58,4 м.; склонение +11°36'. В январе созвездие Овна видно высоко над горизонтом и Уран можно видеть простым глазом, а еще лучше в бинокль.

Луна. Для планирования наблюдений над Луной приводим календарное распределение фаз Луны (см. статью П. В. Голубева в настоящем номере).

1935 г. 1936 г. Первая четверть 3 декабря 1 января 31 января Полнолуние 10 8 , 7 февраля

Последняя четверть 18 „ 1 ) „ 14 п Новолуние 25 „ 2\ » 22

В момент полнолуния 8 января произойдет как раз полное лунное затмение, причем середина затмения приходится на 21 час. 15 мин. или в 9 час. 15 мин. по московскому времени. Так как радиус земной тени значительно больше радиуса Луны, то затмение Луны продолжается обычно довольно долго — несколько часов. Надо заметить, что при наблюдении лунного затмения мы никогда не замечаем резкого надвигания тени на диск Луны, а постепенное ослабление ее блеска при вступлении в полутень. Но все-таки, когда Луна уже вступает в самый конус тени Земли, то можно усмотреть (в трубу или хороший бинокль) неровность, зазубренность края тени— это земные горы проектируются на Луне, но неровность края земной тени на диске Луны может получаться и благодаря рельефу самой лунной поверхности: край тени то набегает на лунные возвышенности, то спускается вниз; когда уже низкие места в тени, вершины гор еще освещены, и в этих местах получается как бы выемка в крае тени. Даже и во время полного затмения Луна обычно не темнеет совсем, а видна окрашенной в тёмнокрасный или бурый цвет. Эта окраска Луны во время хода затмения меняется: край тени окрашен обыкновенно в голубовато-серый цвет, который переливами переходит в розовый и бурый. Окраска Луны зависит от атмосферных условий тех стран на Земле, где солнечные лучи в данное время касаются земной поверхности. Более подробную инструкцию для наблюдения лунных затмений можно найти в брошюре „Затмения и их наблюдения“ изд. Горьковского астрономо-геодезического общества (быв. Нижегородского кружка), цена 25 коп.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В УЧЕБНОЙ И МЕТОДИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЕ

Ф. ДЗЮБА (Краснодар)

Со времени Великой французской революции в школы была введена алгебра как учебный предмет. Одним из первых авторов пособий по алгебре был знаменитый Эйлер. Его руководство алгебры было долгое время господствующим в школах Европы и оказало огромное влияние на позднейших составителей пособий по алгебре.

Влияние Эйлера сказалось и на русских авторах учебников алгебры. Начиная с таких авторов, как Сомов и Билибин, и кончая Давыдовым и Киселевым, можно сказать, что на их расположении учебного материала отразилось влияние руководства алгебры Эйлера. Но особенно большое влияние на русских алгебраистов имел французский математик Жозеф Бертран, написавший в середине XIX в. свой трактат по алгебре. Характерным для этих авторов является то, что они в своих пособиях учение об уравнениях первой и второй степени отодвигают на задний план, отводя первенствующее место отделу тождественных преобразований.

Иной точки зрения придерживался другой знаменитый автор руководства алгебры — Ньютон. Он считал, что учение об уравнениях первой и второй степени должно являться стержнем алгебры и его необходимо выдвигать на первый план, как это было и у знаменитого арабского математика Могамеда Бен-Музы Альховарезми — автора трактата „Альджебр в'аль мукабала“. Этой же точки зрения придерживался и Дека р т. Из русских авторов — сторонников этой точки зрения — можно назвать Лермонтова и Лебединцева. Они считают, что целью обучения алгебре является решение уравнений первой и второй степени, поэтому действия над алгебраическими выражениями должны излагаться по мере надобности, лишь как средство для решения уравнений.

Конец XIX в. и начало XX в. ознаменовались мощным движением в среде математиков за внедрение в школьную алгебру идеи функциональной зависимости, широко используя графическую интерпретацию. Знаменитым поборником этой идеи был Ф. Клейн. Виднейшим автором руководства алгебры, поддерживающим это движение, является Борель. Среди русских алгебраистов, сторонников внедрения в школьную алгебру идеи функциональной зависимости и графиков, следует отметить Лебединцева.

Алгебра Бертрана была переведена Билибиным в конце XIX в. на русский язык и с тех пор нашла себе подражателей среди русских авторов учебников алгебры. Учебники Давыдова или учебники Киселева, по которым обучались алгебре в старой школе несколько поколений, дают представление о построении учебного материала в курсах алгебры этого течения. Сухое изложение, догматическая форма построения курса без конкретных примеров и графических иллюстраций, стремление свести курс к системе определений и теорем — вот особенности этих курсов. Правда, учебники алгебры Киселева за свое долголетнее существование претерпели несколько переработок, идя навстречу методическим требованиям эпохи.

Бертран квадратные уравнения начинал излагать, идя от общего к частному. Рассмотрев общий вид квадратного уравнения ах2-\-Ьх-\-с = 0, он, положат = О, получал неполное квадратное уравнение ах2-\-с = 0, а положа с = 0, получал неполное квадратное уравнение вида ах2 -{-Ьх — О. Здесь же для решения этих неполных квадратных уравнений он выводил формулы. Для решения полных квадратных уравнений вывод формулы давался такой:

отсюда Бертран выводил хг и xv а потом давал уже формулу х =-^- .

Из полученной формулы, положив а=1, b=p, c=q, Бертран выводил формулу для решения уравнений вида x2-\-px-\-q = Q а положа b = 2k, получал и формулу для решения уравнений вида ax2-\-2kx-\-c = 0. После вывода формулы для решения квадратных уравнений излагалось исследование квадратных уравнений, свойство их корней и разложение квадратного трехчлена на множители.

Подобное изложение квадратных уравнений находим у Бархова в его „Руководстве алгебры“. Отличие от Бертрана у Бархова в том, что он прежде выводит формулу для решения квадратного уравнения вида X2 -f- рх -f- Я — 0» а потом уже выводит формулу для решения уравнения вида ах2-\--\- bx -f- с = 0, приводя его к виду х2 -|- рх \--\-q = 0. Вот вывод формул у Бархова для решения этих видов уравнений:

Получивши формулы для решения квадратных уравнений, Бархов переходит к изложению зависимости между корнями и коэфициентами квадратного уравнения, разложению квадратного трехчлена на множители, составлению квадратных уравнений по их корням и исследованию квадратных уравнений. Форма изложения у Бархова, как и у Бертрана, догматическая.

Примером пособий по алгебре иного рода, чем рассмотренные выше, является „Руководство алгебры“ Лебединцева. Это руководство получило лестный отзыв в „Большой советской энциклопедии“, где оно названо одним из лучших пособий по алгебре, имеющихся в русской математической литературе. Свой метод изложения Лебединцев называет конкретно-индуктивным, а расположение материала — концентрическим. Сначала на ряде конкретных примеров он устанавливает общие положения, а потом уже дает доказательства этих положений. Об алгебраических преобразованиях Лебединцев в предисловии говорит, что они должны иметь лишь вспомогательное, служебное значение для изучения функциональной зависимости между конкретными величинами, а алгебраические выражения являются лишь способом обозначения этой зависимости. Уравнения же являются методом решения конкретных задач, взятых, главным образом, из различных отраслей математики и физики. Концентрическое расположение учебного материала обусловливается требованиями возрастов учащихся. Лебединцев рекомендует при исследовании различных функций широко использовать графики. Учебный материал у Лебединцева расположен в такой последовательности: возведение в степень и извлечение квадратного корня из чисел, решение простейших квадратных уравнений, иррациональные числа и действия над ними, действия над иррациональными выражениями и преобразования их, исследование квадратных уравнений, биквадратные уравнения, квадратные уравнения со многими неизвестными, графики функций второй степени и графическое решение квадратных уравнений.

Квадратные уравнения Лебединцев начинает с частных примеров неполных уравнений, а потом переходит к частным примерам полных уравнений. При этом сразу же и решает эти частные примеры. Вот конкретные примеры, с которых Лебединцев начинает знакомить с квадратными уравнениями:

После решения нескольких подобных примеров неполных и полных квадратных уравнений частного вида он обращает внимание на число решений квадратного уравнения и делает переход от частного вида неполных и полных квадратных уравнений к их общему виду. Попутно отмечает, что неполные квадратные уравнения являются частным видом полных квадратных уравнений, и дает общий вид уравнения, у которого коэфициент при неизвестном второй степени равен единице. Вывод формулы для решения полного квадратного уравнения у Лебединцева дается совершенно так же, как и у Бертрана. Уравнение ax2-{-bx-\-c = 0 умножается на 4а и т. д., пока получится хг и дг2, после чего оба результата выражаются в одной формуле. Вывод остальных двух формул для решения уравнений вида х2 -\-px-]-q = 0 и вида ах2-\--f - 2kx -f- с = О тоже делается так же, как это мы видели у Бертрана, но с той лишь разницей, что у Лебединцева сначала выводится формула для решения уравнения вида ах2-\--\-2kx-\-c = 0y а потом уже формула для решения уравнения вида х2-\-px-\-q = 0, тогда как у Бертрана это делается наоборот. В выводе формулы для решения квадратных уравнений влияние Бертрана сказалось и на Лебединцеве, хотя этот вывод в методическом отношении и является довольно трудным. После вывода формул для решения квадратных уравнений Лебединцев останавливается на решении примеров этих уравнений и на составлении уравнений с одним неизвестным по условиям задач, а затем переходит, как уже отмечалось, к иррациональным числам и выражениям.

Совершенно так же; как и Лебединцев, излагает квадратные уравнения Г. Симмондс в своей „Практической математике“ (пер. с английского под ред. В. В.Добровольского, Гиз, 1926 г.). Автор этого учебника в предисловии отмечает, что он ставит своей целью развитие самодеятельности и индивидуальных данных учащихся. Отсюда при построении учебника он кладет в основу концентричность, конкретно-действенный метод и широкое применение графиков. К квадратным уравнениям Г. Симмондс идет от конкретной задачи путем составления уравнения. После этого он берет ряд частных случаев неполных квадратных уравнений, решает их и переходит к решению частных случаев полных квадратных уравнений сначала разложением на множители, а потом сведением их к решению неполных квадратных уравнений, как называет автор способ перенесения свободного члена в правую часть и дополнения левой части до полного квадрата. Этот способ показан на следующем примере:

После самостоятельного решения ряда подобных примеров учащиеся знакомятся с выводом формулы для решения квадратных уравнений. Эту формулу Симмондс выводит так же, как выводили ее Бертран и Лебединцев, и, после ряда упражнений в решении квадратных уравнений, знакомит учащихся с системами квадратных уравнений и составлением квадратных уравнений по условиям задач. Далее идут графики. Графиками щедро насыщена вся книга.

Широко использованы графики и в коллективном труде американских профессоров. Л. Карпинского, Г. Бенедикта и Дж. Кальгуна —„Единая математика“ (Гиз, 1926 г.). Квадратные уравнения авторы излагают, идя от частных случаев к общим. Формула для решения квадратного уравнения выводится по аналогии с ходом решения частного случая квадратного уравнения. Решение частного примера квадратного уравнения и вывод формулы для решения квадратных уравнений они помещают рядом:

Далее идут исследование квадратных уравнений, свойства корней, историческое примечание о квадратных уравнениях и графическое

решение квадратных уравнений. Историческими примечаниями снабжены все отделы книги. Остальных двух формул для решения квадратных уравнений авторы не дают, а пользуются одной формулой.

Подобно американским авторам „Единой математики“, одной формулой при решении квадратных уравнений пользуется Р. Нейендорф в своей книге „Элементы математики для техников“ (пер. с немецкого, Гиз, 1925 г.). Он гоже выводит только одну формулу для квадратных уравнений, но эту формулу дает для решения уравнений вида х2 -\- рх -\- q = Q, мотивируя тем, что к этому виду может быть приведено любое полное квадратное уравнение. При изложении квадратных уравнений Нейендорф следует от общих случаев к частным. Вывод формулы для решения квадратного уравнения он делает так же, как и Бархов. Показав свойства квадратного уравнения, Нейендорф переходит к решению квадратных уравнений при помощи счетной линейки и номограммы.

В известном труде В. А. Юнга „Как преподавать математику“ о квадратных уравнениях сказано очень мало. Юнг считает, что центральным вопросом алгебры являются уравнения, а алгебраические преобразования должны служить лишь вспомогательным средством для решения уравнений. Концентричность в расположении учебного материала и использование графиков для уяснения функциональной зависимости Юнг считает весьма желательными. Метод изложения материала Юнг рекомендует конкретно-индуктивный. Не говоря о том, как должна быть разработана тема о квадратных уравнениях, Юнг указывает на желательное расположение материала. Квадратные уравнения он советует начинать решать уже после систем уравнений первой степени и извлечения квадратного корня из чисел путем разложения на множители. Изучение отрицательных и дробных показателей, а также иррациональных выражений, по мнению Юнга, должно иметь место в школе уже после решения простейших квадратных уравнений. Затем должны быть изучены уравнения, приводящиеся к квадратным, системы квадратных уравнений, а потом уже нужно приступить к изучению теории квадратных уравнений.

Немного говорит о квадратных уравнениях и проф. М. Симон в своем замечательном труде „Дидактика и методика математики“. Симон является сторонником концентрического расположения учебного материала. Вопросу об уравнениях он придает большое значение, считая, что алгебраические преобразования должны иметь лишь служебную цель. Особенно большое значение Симон придает уменью составлять уравнения по условиям задач и настойчиво рекомендует не увлекаться решением готовых квадратных уравнений, а вместо этого решать квадратные уравнения, полученные из условий задач. О квадратных уравнениях Симон говорит, что они, помимо практического значения, имеют еще и теоретический интерес, так как дают все то, чем уравнения высших степеней отличаются от линейных уравнений, а также служат исходным пунктом для дальнейшего расширения понятия о числе. При изложении квадратных уравнений Симон рекомендует итти от частных случаев к общим, от примеров неполных квадратных уравнений к полным квадратным уравнениям и указывает на необходимость обратить внимание учащихся на различие между уравнением /(л:) = 0и функцией f(x). Основным видом квадратного уравнения Си мон советует избрать каноническую форму: х2-\- px-\-q = 0. Важным моментом он считает: обратить внимание учащихся на то, что квадратное уравнение всегда имеет более общий характер, чем вопрос, который привел к этому уравнению. Поэтому учащиеся должны понимать, что не всякий корень квадратного уравнения должен удовлетворять задаче, которая выражена этим уравнением. Учащиеся долгое время не могут свыкнуться с мыслью, что и отрицательное число может служить корнем квадратного уравнения наравне и одновременно с положительным корнем этого уравнения. Чтобы показать учащимся, что отрицательный корень квадратного уравнения может не только удовлетворять уравнению, но и условию задачи, из которого составлено это уравнение, Симон рекомендует давать соответствующие задачи. Он приводит пример такой задачи: „В данный прямоугольник вписать другой прямоугольник заданной площади, всюду одинаково от первого отстоящий“. Вот те немногие сведения о квадратных уравнениях, которые дает Симон в своем труде.

Отдельную главу о квадратных уравнениях находим в книге А. Н. Шапошникова „Основы математической методики“ (изд. „Раб. просв.“, 1930 г.). Называя свою методику методикой исследовательского преподавания, Шапошников требует передачи учащимся знаний в развивающемся виде с обязательным участием в этом развитии самих учащихся, чтобы процесс их мысли был близок к процессу мысли изобретателя и чтобы ум и воображение возбуждались, способствуя продуктивной работе. Шапошников считает, что учение о логарифме и учение о синусе имеют гораздо более широкое применение в практической жизни, чем

квадратное уравнение, поэтому в случае необходимости сократить программу, по его мнению, нужно в первую очередь из числа этих отделов сократить или совсем опустить отдел о квадратных уравнениях. Если все же квадратные уравнения приходится прорабатывать, то их следует отнести к VII или VIII классу, а проработку неполных квадратных уравнений следует отнести даже к VI классу. Вопрос о существовании двух корней квадратного уравнения следует показать путем разложения на множители первой части неполного квадратного уравнения. Проработку полных квадратных уравнений Шапошников советует начинать с решения частных примеров, у которых левая часть представляет полный квадрат суммы или разности. Такие примеры легко решаются и легко преобразовываются в иные формы квадратного уравнения. На эти преобразования Шапошников рекомендует обратить серьезное внимание учащихся, чтобы они после достаточного числа упражнений в решении и преобразовании частных случаев квадратных уравнений могли перейти к аналогичным преобразованиям буквенного квадратного уравнения и к выводу формулы для его решения. Эту формулу, по мнению Шапошникова, нужно выводить для уравнения вида ах2-\--\-2bx-\- с = 0, так как любое полное квадратное уравнение может быть приведено к такому виду путем умножения его частей на два. Формулу х — Y — V^(^У — (7 можно дать не ранее, как в VIII классе, и то лишь потому, что она имеет теоретический интерес. Для решения же квадратных уравнений Шапошников считает вряд ли целесообразным давать учащимся более одной формулы. Но зато эту формулу следует рекомендовать учащимся выводить всякий раз при решении частных случаев квадратного уравнения. Раньше, чем выводить формулу для решения квадратного уравнения, вот какие преобразования рекомендует проделать Шапошников:

После подобных преобразований уже можно приступить и к решению полученных квадратных уравнений, проделав обратный путь, показанный на приведенных примерах стрелками. Вот круговое преобразование, плакат которого Шапошников советует вывесить нэ стене и которое нужно проделать при выводе формулы решения квадратного уравнения:

На доске запись решения квадратного уравнения Шапошников рекомендует производить так:

Проф. Михаловский в своей книге „Основы методики математики“ (изд. „Радянська школа“, 1931 г.) полемизирует с т. Шапошниковым, отмечая, что последний недооценивает значение квадратного уравнения как в практической жизни, так и в школьном обучении. Не согласен Михаловский с Шапошниковым и в оценке формулы х = — £ + j/7 у j2— q, которую считает более важной и простой, чем две остальные формулы. По поводу вывода формулы Михаловский говорит, что Шапошников в этом отношении ничего принципиально нового не дает. Методическую разработку квадратного уравнения, по мнению Михаловского, хорошо начинать с изучения уравнения (х — а) (х — — Ь) = 0 и установления его корней. После этого следует развернуть левую часть этого уравнения и решить его путем разложения на множители. Проделав достаточное число подобных упражнений, уже легко будет вывести формулу сначала для решения уравнений вида x2-\-px-{-q = Q, а потом и для решения уравнений вида ах2-\-bx-\-c = Q путем до-

полнения левой части до полного квадрата. При решении квадратных уравнений следует требовать, чтобы учащиеся заканчивали это решение извлечением квадратного корня. Михаловский является сторонником графического метода.

Познакомимся еще с методическими соображениями о квадратных уравнениях В. Мрочека и Ф. Филипповича, которые в своей книге „Педагогика математики“ вопросу о преподавании квадратных уравнений посвящают отдельную главу. В. Мрочек и Ф. Филиппович являются представителями реформаторского движения в России начала XX в., движения, вождем и вдохновителем которого в международном масштабе был Ф. Клейн. „Педагогика математики“ Мрочека и Филипповича до сих пор не утратила интереса. Эти методисты считают, что при преподавании квадратных уравнений важно избежать затруднений о понимании двузначности корня, в нахождении своими активными усилиями способа решения частных примеров квадратных уравнений и в переходе от этих частных примеров к решению квадратного уравнения в общем виде. Лучшим путем к этому служит разложение на множители. В зависимости от сложности преобразований авторы при решении примеры квадратных уравнений делят на пять групп. Вот образцы этих примеров и способы решения их:

и т. д.

и т. д.

После этого уже по аналогии можно решить квадратное уравнение и в общем виде. Для запоминания учащимся лучше давать, по мнению авторов, формулу х = —-^±: ^£.у__д (авторы дают эту формулу в таком виде: х=~~р ~Е Ур*~~*У). Авторы советуют познакомить с геометрическим решением квадратного уравнения, а потом уже перейти к графикам.

Учебники алгебры Киселева, как уже отмечалось выше, за свое существование претерпели много переработок. Поэтому будем говорить лишь о последней редакции этого учебника, переработанного при участии проф. Барсукова в 1933 г. применительно к стабильной программе и утвержденного в качестве стабильного учебника. Раньше, чем говорить об изложении квадратного уравнения в учебнике Киселева, мы остановимся на программе по математике для средней школы (1933 г.)

„Основная задача обучения алгебре на шестом, седьмом и восьмом годах обучения — овладение учащимися методом составления и решения уравнений. Согласно программе: на шестом году в основном — методом составления и решения линейного уравнения, на седьмом и восьмом годах обучения — уравнений второй степени“ (из объяснительной записки к программе по математике для средней школы). Такова задача, поставленная перед школой и в первую очередь перед методистами и преподавателями математики. Составление и решение квадратных уравнений на седьмом и восьмом годах обучения являются стержневой темой при изучении алгебры. „Полная теория квадратного уравнения с соответствующим исследованием корней уравнений относится на восьмой год обучения“, — этим в объяснительной записке к программе по математике указывается, что в основу изложения учения о квадратных уравнениях должен быть положен принцип

концентричности. Обзор учебной и методической литературы по математике блестяще подтверждает правильность как основной задачи обучения алгебре, так и принципа концентричности в расположении материала, которые выдвинул Наркомпрос перед школой. За этот принцип и эту целевую установку в преподавании алгебры стоят лучшие методисты. То же самое можно сказать и об идее функциональной зависимости и графиках, важность которых при изучении математики подчеркивается в объяснительной записке к программе по математике, где относительно квадратных уравнений указывается, что „в связи с теорией квадратных уравнений рассматривается график квадратной функции“. Целесообразным и удовлетворяющим требованиям педагогики является отнесение проработки учения о квадратном уравнении к седьмому и восьмому годам обучения.

В объяснительной записке к программе по математике есть еще очень важное указание, которое, как видно из сделанного обзора учебно-методической литературы, большинство авторов и методистов в своих книгах упускают. Указание это направлено к тому, что при проработке различных отделов математики „должны быть сообщены исторические факты развития того или иного отдела математики“. История отдельных вопросов математики при изучении ее играет весьма существенную роль, помогая учителю нащупать правильный метод преподавания, расширяя умственный кругозор учащегося и возбуждая в нем интерес к изучаемым вопросам.

В объяснительной записке к программе по математике не указаны методы, которыми следует прорабатывать квадратные уравнения, — эти методы должны быть разнообразны, но порядок расположения учебного материала говорит о том, что проработка должна проводиться от частных случаев квадратных уравнений к общим случаям. Формула для решения полного квадратного уравнения должна быть выведена сначала для х2 -f- рх -f- g О, а потом уже для уравнения ах2 -|~ ах -f-с = 0. Относительно формулы для решения уравнений вида ах2 -\-2kx -f- с = 0 в программе не сказано ничего. Составлением и решением квадратных уравнений заканчивается программа по алгебре в VII классе. Такой порядок расположения учебного материала в квадратных уравнениях соответствует и их историческому развитию и требованиям методики.

Вторая, теоретическая часть учения квадратных уравнений отнесена к концу программы по алгебре на восьмой год обучения. Расположение учебного материала и в этой части программы следует признать удачным и сделанным с учетом требований педагогической мысли. Следует только вынести пожелание, чтобы в дальнейших изданиях программы по математике для средней школы вопрос об исторических фактах был больше уточнен. Хорошо было бы при изложении программного материала вкрапливать и вопросы истории соответствующих разделов математики, чтобы требование сообщать исторические факты — превратить в конкретно-обязательное, а учителю указать программный минимум исторических сведений и их систематическое расположение. Это пожелание тем более уместно, что в стабильном учебнике алгебры Киселева исторические сведения почти отсутствуют, если не считать тех незначительных выносок, которыми изредка снабжена вторая часть учебника. О квадратных уравнениях в стабильном учебнике никаких исторических сведений не сообщено даже в выносках. Отсутствие исторического материала в учебнике алгебры Киселева является одним из его недостатков. Рассмотрим, как же изложено учение об уравнениях второй степени в этом учебнике.

Огромный тираж и монопольное положение в школе учебника алгебры Киселева делают этот учебник весьма популярным как среди учащих, так и среди учащихся. По этому учебнику учатся миллионы людей. Это обязывает к тому, чтобы стабильный учебник был во всех отношениях образцовым. Чтобы помочь стабильному учебнику стать действительно образцовым, критика должна предъявить к нему ряд серьезных требований, отмечая в первую очередь допущенные в учебнике ошибки и вынося соответствующие пожелания.

Путь изложения материала в учебнике должен начинаться от частных случаев и итти к обобщениям, чтобы потом ученик, будучи обогащен добытыми знаниями, мог вернуться снова к частным случаям. Круг должен быть замкнутым: от практики к теории и от теории — снова к практике и т. д. Взаимно обогащаясь, практика и теория должны дополнять друг друга. На этом пути учащийся должен быть исследователем. Глубоко прав А. Н. Шапошников, когда он требует, чтобы ум учащегося шел изобретательским путем, обогащаясь, возбуждаясь и давая продуктивную работу.

Прав Симмондс, когда он, борясь за развитие самодеятельности учащихся, ополчается против „кормления с ложечки“ при преподавании, так как такое преподавание тормозит развитие их умственных способностей.

Учебник алгебры Киселева, переработанный с участием проф. Барсукова, является лучшим учебником алгебры. Он заслуживает той популярности, которой пользуется в школе. Но это не исключает того, чтобы при последующих изданиях в этом учебнике были устранены отдельные недочеты. В изложении учения о квадратных уравнениях в этом учебнике не вполне выдержаны те требования к учебнику, которые изложены нами выше. Так, глава о квадратных уравнениях вполне правильно начинается с конкретной задачи. Но задача выбрана не совсем удачная, поэтому вместо элементарного решения дается совет „непосредственной подстановкой“ убедиться в правильности корней 9 и —1, а также в том, что ответом на задачу может служить только первый корень уравнения 7а:2 — 56л: — 63 = 0. Ясно, что приступить сразу к решению такого уравнения нельзя и поэтому пришлось прибегнуть к совету убедиться „непосредственной подстановкой“ в правильности неизвестно откуда появившихся корней и заявить: „Выведем общее правило для решения квадратных уравнений“, хотя такое заявление и является преждевременным, так как этот вывод дается в учебнике лишь через шесть страниц.

Лучше было бы главу начать с конкретной задачи, которая была бы по силам учащемуся и выражалась бы неполным квадратным уравнением. После этого уже можно было бы перейти и к задаче, выражающейся полным квадратным уравнением, которое учащиеся смогли бы уже по аналогии с неполным квадратным уравнением решить самостоятельно. Следует отметить и некоторую небрежность, допущенную в учебнике при расположении преобразований составленного по условию данной задачи уравнения, которое изображено так:

28ЛГ-84 -f 28* -f- 84 = 7(лг2 - 9) = 7*2-63.

Такая запись дезориентирует учащихся, с трудом привыкающих к правильным записям, и путает представление о двух частях уравнения.

Вряд ли можно назвать удачным и заглавие следующего после конкретной задачи параграфа — „Нормальный вид квадратного уравнения“, определение которого к тому же дается такое: „Общий вид такого уравнения (нормальный вид) есть следующий: ах2-\-Ьх-\--|— с = 0“. Нельзя считать удачным и получение неполных квадратных уравнений, которые даны сразу в общем виде из определений их, а потом уже приведены частные примеры этих уравнений и дано их решение. Такой прием изложения мы уже видели у Бертрана и Билибина — сторонников пути изложения материала от абстрактного к конкретному. Дальнейшее решение частного примера полного квадратного уравнения, полученного еще из первоначальной задачи о моторной лодке, связи с решением неполных квадратных уравнений не устанавливает.

Вывод формулы для решения полного квадратного уравнения путем дополнения первой части квадратного уравнения до квадрата следует признать весьма удачным. Такой вывод наиболее употребителен и наиболее понятен учащимся. Но число корней квадратного уравнения следовало бы исследовать сначала на неполных квадратных уравнениях, где легче можно было бы выяснить трудный для учащихся вопрос о двузначности корня квадратного уравнения, тем более, что этого требует и программа по математике.

Совершенно обойден в учебнике вопрос о пригодности в некоторых случаях отрицательного корня в качестве ответа на поставленную задачу. В учебнике указано только, что положительный корень годится, а отрицательный корень не годится для задачи, „так как в задаче отыскивается абсолютная величина скорости“ (как будто абсолютная величина должна быть положительной.) В отношении пригодности отрицательного корня уравнения для задачи следовало воспользоваться советом Симона и указать, что уравнение всегда более обще, чем задача, поэтому не всегда оба корня удовлетворяют условию данной задачи, и что отрицательные корни уравнения бывают пригодны для получения ответа на данную задачу, поэтому нельзя игнорировать отрицательный корень, как это делали в древности и как это делают часто и теперь учащиеся.

Для примера следовало бы привести в учебнике, как это советует Симон, соответствующую задачу, примерно, такого содержания: „Длина прямоугольного зеркала 150 см, а ширина 50 см. Вместе с рамой из прямоугольных брусков поверхность зеркала составляет 9600 см2. Какова ширина рамы?“. На подобной задаче ученики убедятся, что и отрицательный корень уравнения имеет равноценное с положительным корнем значение и может служить ответом на поставленную задачу, почему его игнорировать нельзя.

Роль стабильного учебника в школе огромна. Его необходимо с каждым новым изданием совершенствовать, исправляя допущенные недочеты. Необходимо привлечь к участию в исправлении недочетов в стабильном учебнике широкие массы квалифицированных преподавателей, используя их опыт.

БОРЬБА С НЕБРЕЖНОЙ ЗАПИСЬЮ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

В. ПАДУЧЕВ (ст. Лиски)

Во всякой области человеческого труда поверхностное и небрежное отношение к делу является величайшим злом. Качество изделий в промышленности расценивают не только по общему их виду, но и по точности, изяществу выполнения отдельных деталей. Грубо сделанные часы, если даже они будут показывать верное время, мы признаем браком как незаконченную, топорную работу и вернем их в цех для доработки. Форма не отделима от содержания и должна соответствовать содержанию.

Школа, обучающая нашу молодежь основам наук и одновременно воспитывающая будущих строителей социалистического общества, должна считать одной из своих основных задач планомерное развитие среди учеников здоровых и полезных трудовых навыков: внимательное и добросовестное отношение ко всем частям выполняемой работы, чистота, аккуратность, точность и полноценность во всех деталях. Если ученик воспитан в повышенном чувстве ответственности за качество своей продукции, и не за качество „вообще“, не только за вещь в целом, но и за конкретные деловые мелочи результата, — это послужит фундаментом его дальнейшей трудовой деятельности на всю жизнь. Из него выйдет тогда хороший, добросовестный врач, агроном, мастер цеха, руководитель предприятия или рядовой работник промышленности. А такие люди смогут и должны будут любить свой труд, считать его делом своей чести, делом славы, делом доблести и геройства.

Помня об этой высокой воспитательной задаче, каждый преподаватель должен развивать в учениках критическое чутье и требовательность ко всем элементам работы. Имея постоянное наблюдение за ученическими тетрадями и записями, преподаватель должен систематически добиваться чистоты и аккуратности с внешней стороны, четкости чертежа и рисунка, целесообразного и рационального использования площади рабочего поля на листе бумаги. Казалось бы, все это является настолько элементарным и очевидным, насколько очевидным и элементарным считаем мы требования о санитарном состоянии любого промышленного предприятия. Но жизнь говорит о том, что благодушно рассчитывать на выполнение многих элементтарных положений нельзя, что соответствующее напоминание и разъяснение бывает иногда не только полезным, но и совершенно необходимым.

Сошлемся на факты:

1) Ученик VII класса на уроке алгебры вызывается к доске и делает такие записи, которые могут быть воспроизведены в печати разве только с помощью фотографии. Буква x принимает самые разнообразные очертания; знак равенства тянется наклонно то вверх, то вниз, размеры цифр не выдерживаются, самые цифры пишутся кое-как, до полной их неузнаваемости.

После „благополучного“ решения заданных примеров вызванный ученик возвращается на место, причем не делается никаких замечаний о внешней стороне его работы ни со стороны преподавателя, ни со стороны класса.

2) При просмотре проверенных классных и домашних работ по тетрадям учеников VIII класса обнаруживаются записи такого же или еще худшего типа и ни в отметке, ни в замечаниях преподавателя такая домашняя, с позволения сказать, работа не находит должного отражения и должной оценки. Ведь можно подумать, что это каррикатура для сатирического журнала.

О чем сигнализируют такие факты? Можно ли за это обвинять одних учеников, провести с ними соответствующую беседу и думать, что это исправит дело?

Мы полагаем, что такие случаи явной и недопустимой небрежности в записи математических символов относятся всецело за счет преподавателя, который не уделил должного внимания внешнему оформлению работ.

Дело это не так просто, как может показаться с первого взгляда. Вопрос о внешней стороне математических работ требует самого серьезного внимания, так как здесь прививаются навыки, которые будут сопровождать человека всю жизнь.

Укажем на те минимальные требования, которые должны предъявляться ко всем работам по математике на протяжении всех лет обучения от I до X класса.

1. Может показаться банальным, если мы скажем, что преподаватель математики должен не только научить, но и следить до самого последнего класса за правильным написанием цифр. Обычно считают, что цифры проходятся на первом году и ника-

кой работы в средних и старших классах в этом отношении проводить не требуется. К сожалению, этот взгляд очень распространен, преподаватели часто не обращают внимания на небрежную запись цифр, считая это „мелочью“, делом второстепенным, а в результате получается такая неряшливость в написании цифр, которая создает полную неразбериху и разнобой.

Например, при небрежной записи цифра 4 перерождается иногда в 7, иногда в 9; единицу часто нельзя бывает отличить от 7, 3 от 8 и т. д. На классной доске и в ученических тетрадях появляются замысловатые числовые ребусы, разгадать которые стоит большого труда. Авторами этих ребусов бывают иногда ученики с хорошими математическими способностями, но им не было своевременно внушено, что цифры являются важнейшими математическими символами и требуют правильного, четкого написания. Если поправить у такого ученика небрежно написанную цифру, он удивится и будет внутренне убежден, что это простая придирка к несущественным мелочам.

Показав правильное написание цифр, преподаватель должен во всех разделах средней (да, пожалуй, и высшей) математики требовать их четкого и верного изображения. Малейшая небрежность, всякий намек на числовой ребус должны вызывать соответствующее методическое воздействие. Но борьба за цифры ни в коем случае не должна превращаться в сухой педантизм. Надо показать ученикам на живых и наглядных примерах, что происходит от небрежного обращения с цифрами в различного рода документации, при составлении планов, в счетном деле и т. д. Расскажите, как был заслан за тысячи километров по другому маршруту срочный и ценный груз вагона № 383 725, на котором была сделана небрежная запись цифр и он был принят за № 333 125. Ученики быстро поймут эти объяснения и навсегда запомнят, что цифры являются важнейшими математическими знаками, что всякая недооценка их внешней стороны влечет за собой путаницу, неразбериху, напрасную потерю времени, лишний труд, явный вред производству.

Надо подчеркнуть, что если неправильно написанная буква искажает слово, создавая орфографическую ошибку, то эту ошибку все же можно обнаружить путем смыслового значения целой фразы, а небрежная запись цифр создает головоломный числовой ребус, разгадать который во многих случаях невозможно. Цифровая небрежность часто бывает непоправима.

2. Вторым источником числовых головоломок является общераспространенная склонность учеников исправлять ошибочно написанную цифру путем переделки ее в правильную цифру. Это применяется не только к цифрам, но и к словам текстовой записи.

Например, было ошибочно записано число 46, вместо которого надо было написать 53. Ученик старательно переделывает цифры 4 и 6 на 5 и 3, после чего получается сплошная мазня.

Преподаватель должен разъяснить на убедительных и наглядных примерах, что никакая переделка цифр и слов недопустима, что исправление ошибок делается только путем зачеркивания неверного и надписи верного.

Опыт показывает, что приучить учеников к исправлению путем зачеркивания, а не переделки — дело не такое простое, каким оно может показаться. Зачеркивание написанного всегда требует известного психологического усилия и ученик более склонен итти по линии наименьшего сопротивления, путем переделки. Но преподаватель может добиться результата, если он будет внимательно и терпеливо, последовательно и систематически, пользуясь каждым конкретным случаем, демонстрировать в классе ту неразбериху, которая получается от переделки. Насколько ученики предрасположены именно к переделке, можно проверить на таком простом опыте: предложите всем записать какое-нибудь выражение, например: л:-|-626. Когда все запишут, сообщите, что вы оговорились и вместо -}“626, надо написать—848. Просмотревши тетради, вы увидите, что 90% исправлений (независимо от возраста учеников) будет сделано путем переделки. Можно использовать этот опыт для короткой разъяснительной беседы и тут же условиться, что все исправления записей на доске должны делаться исключительно путем зачеркивания.

3. В действиях с относительными числами большим злом является неуменье исправлять ошибочно записанный плюс (-{-) на минус (—). Положим, вместо—За ошибочно записали -j-За. При исправлении этой ошибки на классной доске или в тетради ученик добросовестно наращивает горизонтальный элемент плюса до известного предела (так поступают и некоторые преподаватели), думая, что этим цель будет достигнута, что совершенно неверно.

Кустарная переделка плюса на минус всегда столь несовершенна, что уже через несколько минут нельзя понять, как читать

исправленный знак. Этому вопросу следует уделить особое внимание, так как общепринятая грубая переделка плюса на минус часто сбивает с толку самого автора переделки, ставит его втупик и заставляет начинать решение всего примера с самого начала.

4. Говоря о зачеркивании, необходимо коснуться широко распространенного дурного навыка в оперировании с запятой при делении на десятичную дробь. Покажем это на следующем примере:

Правильная запись действия:

Неправильная запись действия:

Выполняя деление на десятичную дробь, большинство учеников склонны зачеркнуть запятую в делителе и в делимом, поставить новую запятую в делимом (или добавить соответствующее число нулей), после чего делить на целое число. Излишне говорить, что этот нехороший прием является источником бесчисленного числа ошибок и напрасной потерей времени в комбинированных расчетах. Преподаватель должен во всех случаях требовать от учеников единственно правильной записи действия — указанной выше, не разрешая зачеркивания запятой, разъясняя, что это гарантирует от просчетов и ошибок, что написание лишней строки вполне компенсируется возможностью быстро проверить результат.

5. В действиях с обыкновенными дробями, арифметическими и алгебраическими, следует поставить жесткое требование о выписывании дробной черты у дробных компонентов на одном уровне, не допуская часто практикуемой расхлябанности и небрежности, как, например:

Неправильная запись

Правильная запись

Ученики охотно согласятся с этим требованием, если преподаватель покажет им на наглядных примерах, что неправильная запись искажает смысл числовых и буквенных выражений, создавая бесформенную толпу цифр и букв.

6. Перейдем теперь к вопросу о правильном написании основных, чаще других употребляемых букв математической символики и к знаку радикала. Если преподаватель не уделял этому должного внимания, здесь имеет место полный разнобой и небрежность, переходящие всякие границы.

Буква а часто переходит в d, и наоборот; вместо z появляется неизвестный символ, буква v переходит в отдаленный намек на знак радикала, а несчастный радикал превращается в полного инвалида. Высота букв и коэфициентов часто не выдерживается, а ученики не имеют представления, что коэфициент пишется „примерно на одну треть выше буквы.

Если преподаватель уделит несколько минут для соответствующих разъяснений, покажет правильную запись и будет последователен в своих требованиях выдержанной, аккуратной и четкой записи, — всякая небрежность быстро исчезнет без следа.

7. Большое значение имеет вопрос о правильном оперировании знаком равенства при тождественных преобразованиях. Возьмем пример такой неправильной записи:

лг = 2+ /29—4 = 25 = 5; лг=2 + 5 = 7.

Это — обычная ошибка начинающих, но она повторяется иногда и хорошими учениками, ссылающимися на то, что „так короче“. Мы считаем, что преподаватель математики должен в порядке повседневной работы добиться ясного понимания учениками смысла знака равенства как одного из важнейших и ответственных математических символов, жонглирование с которыми недопустимо. Следует использовать для наглядности числовые примеры с „доказательством“ мнимых арифметических „парадоксов“:

100-f/25 = 5 (!), т. е. 105 = 5 или

21 = 1.

Своевременный шарж может быть незаменимым орудием в классной работе.

На практике бывают случаи, когда ученики старших классов ставят знак равенства между алгебраическими выражениями, хотя по смыслу задачи эти выражения явным образом не равны. А объясняется это тем, что на уроках математики не было проведено соответствующей разъяснительной работы.

8. В связи с этим должен быть показан образец правильного расположения действий при решении уравнений.

Пример 1. Правильная запись: | Неправильная запись:

Пример 2.

Правильная запись:

Неправильная запись:

Все примеры по решению уравнений должны выполняться только „столбиком“, стройной колонкой, чтобы знак равенства выписывался под знаком равенства. Поняв удобства и наглядность правильной записи, ученики будут охотно выполнять это требование.

9. При вычитании многочленов, когда действие располагается путем подписывания подобных членов под подобными, чрезвычайно характерным является неправильное обозначение перемены знаков перед одночленами вычитаемого выражения. Покажем это на примере:

Правильная запись: Неправильная запись

Если перед первым членом знак плюс, как подразумевающийся, поставлен не был, ученик склонен писать новый знак минус, не показывая старого знака (плюс). Этим создается явная путаница и недоделка, так как при проверке приходится каждый раз снова решать вопрос, поставлен ли минус взамен подразумевавшегося плюса или минус является старым знаком, который должен быть изменен на плюс. Разъяснив неправильность такого обозначения, преподаватель должен поставить обязательное требование, чтобы во всех случаях перемены знаков перед алгебраическими выражениями ставился не только новый, но и старый (первоначальный) знак.

Мы остановились только на основных, наиболее типичных и распространенных случаях проявления неряшливости на уроках математики. Перечислить все возможные варианты небрежной записи в математических операциях нет никакой необходимости.

Подведем итоги. Небрежность в обращении с математическими символами недопустима. Преподаватель должен уделять максимум внимания внешнему виду работ, их форме, правильному написанию цифр, букв, математических символов и расположению действий. Здесь не должно быть самотека и благодушия. Преподаватель должен вести развернутую, планомерную и систематическую борьбу за правильность работ не только по содержанию, но и по форме, пользуясь каждым случаем, каждой ошибкой ученика, чтобы лишний раз напомнить, подчеркнуть, разъяснить и доказать важность правильного и полноценного внешнего оформления.

Следует всемерно поощрять образцовые работы, показывая, как делать надо и как — не надо, составить демонстрационную классную таблицу характерных случаев неряшливой записи и реагировать на всякий случай рецидива неряшливости или нового вида небрежности.

Если преподаватель проявит последовательность и настойчивость в этой методической борьбе, можно быть уверенным, что она закончится полным и решительным успехом за короткое сравнительно время. Основная воспитательная задача на этом пути заключается в том, чтобы развить среди учеников чувство ответственности и требовательность к внешнему оформлению своих работ, укрепив полезные трудовые навыки.

Преподаватель должен считать своей обязанностью и делом своей чести удачное выполнение этой важнейшей и благодарной воспитательно-методической работы.

КАК УЧИТЬ ЧИТАТЬ МАТЕМАТИЧЕСКУЮ КНИГУ

В. РЕПЬЕВ (г. Горький)

Горьковский краевой научно-исследовательский институт политехнической школы

Борьба за уменье, за навыки читать книгу должна являться одной из основных задач школы, одной из важнейших задач образования как в среднем его звене, так и в высшем.

Чтение математической книги имеет особую значимость еще с другой точки зрения. Наша страна, строящая социализм, ведет гигантскую работу по овладению современной техникой. Научиться читать серьезную научную техническую книгу можно только при условии умелого чтения серьезной научной математической книги. Подъем уровня математического образования также немыслим без уменья, без навыка читать математическую книгу.

Кроме того, овладение чтением математической книги приобретает на данном отрезке времени особый отпечаток в связи с наличием стабильных учебников и требованием работать по ним.

И, очевидно, перед школой стоит задача умело использовать учебник, использовать его методически целесообразно и правильно, сделать его существенным и неотъемлемым звеном в общей структуре педагогического процесса.

А как обстоит дело с навыками чтения математической книги в средней школе?

Приведем несколько фактов из опыта школ г. Горького.

Преподавательница математики школы-десятилетки г. Горького отмечает, что даже в X классе математическую учебную книгу хорошо и сознательно читают приблизительно 80 — 85% учащихся.

Для выявления навыков в чтении математического учебника один преподаватель произвел небольшой эксперимент с учащимися VIII класса. После выяснения цели эксперимента учащимся была предложена для чтения одна из задач стабильного учебника по стереометрии. Эта задача была связана с прорабатываемым материалом по курсу стереометрии. Затем каждый учащийся должен был написать, понял ли он задачу, должен был начертить соответствующий чертеж и затем решить задачу. Из 36 учащихся 27 человек, или 75%, заявили, что они задачу поняли, 6 человек, или около 17%, не были уверены в правильном понимании задачи или прямо признались, что задачу не поняли, („не очень поняла“, „наполовину понял“, „задачу понял плохо“ и т. п.), и, наконец, 3 человека, или около 8%, не дали ответа. Таким образом, по признанию самих учащихся, задачу, непосредственно связанную с курсом геометрии, поняли только 75% учащихся. Контрольные вопросы во время этого эксперимента о чертеже и некоторые другие позволяют думать, что это число заслуживает доверия.

Если так плохо обстоит дело с чтением задачи, то, конечно, с чтением доказательства теоремы дела еще хуже. Часть учащихся этого же VIII класса всегда выражала испуг и полную неуверенность в своих силах, когда им предлагали по учебнику геометрии прочитать дома и усвоить доказательство несложной теоремы, частично выясненной в классной работе.

Нельзя не отметить другое явление. После так называемого „бригадно-лабораторного метода“, при котором работа строилась по заданию с использованием учебника, многие преподаватели ударились в другую крайность: они совершенно забросили работу с книгой. Об этом говорят и наблюдения за работой отдельных школ, об этом свидетельствуют чистосердечные признания некоторых преподавателей. Среди преподавателей встречается даже такое неправильное мнение, что чтение учебника в классе запрещено.

Таким образом, приходится констатировать, что в наших школах работа с математической книгой находится не на должной высоте, что нередко преподаватели не уделяют внимания этой работе, или недооценивая ее или не умея ее наладить.

Умелое чтение серьезной книги — дело вообще трудное. Но при чтении математической книги эти трудности значительно возрастают, усиливаются, появляется ряд трудностей, специфических для математики. В чем же специфичность этих трудностей?

Математика по своей природе 1ребует точности языка; краткость языка, сжатость изложения являются специфическими чертами

математической книги, создающими трудности при ее чтении.

Но это далеко еще не все. Математика широчайшим образом использует в развитии своих концепций дедуктивный метод. А он сводится к очень длительной цепи силлогизмов, тончайшим образом связанных между собой, переплетающихся в сложных комбинациях. Он требует развитого интеллекта, могущего уловить и понять эти длинные и замысловатые цепи рассуждений. Он требует навыка в математическом мышлении. Все это создает новый ряд трудностей в чтении математической книги.

Наряду с этим математика часто излагается в книгах так, что в этом изложении крайне бедно представлен эмоциональный элемент. Для подростка, для юноши, иногда и для взрослого отсутствие или бедность эмоционального элемента в изложении математики также создает трудности в чтении книги.

Мы здесь можем встретить возражения, что стройность математических положений, богатство и сила символики, сжатость и точность определений, изящество преобразований дают достаточную зарядку для эмоциональных переживаний при работе над математической книгой. Но надо помнить, что наслаждаться этими тонкими переживаниями еще не вполне доступно для начинающих изучать математику, для начинающих читать книгу.

Наконец, нельзя не отметить, что при чтении математической книги в ряде математических предметов приходится наряду с таким текстом тщательно следить еще за чертежом. Но это тоже дело нелегкое, требующее большого внимания, вызывающее трудности у начинающих читать книгу.

Каковы же основные положения, которые следует иметь в виду при обучении чтению математической книги?

1. Приучать к чтению математического учебника надо начинать с того времени, как только дети научатся читать связный текст, примерно, со второй половины первого года обучения. Это обучение систематически надо продолжать на протяжении всего обучения в начальной и средней школе, а заканчивать в высшей школе.

2. Начинать обучение следует с чтения фразы, двух фраз. Потом надо перейти к чтению небольшого параграфа, связного отрывка учебника, затем целой главы и, наконец, книги.

3. Первой книжкой, которую дети начнут читать еще в первом году обучения, явится задачник. Задачники используются школой очень широко: вначале — арифметические, затем они сменяются алгебраическими и геометрическими, а позднее — в третьем концентре — тригонометрическими. На протяжении всех лет обучения задачник должен служить существенным пособием при обучении чтению книги.

4. Начиная с третьего года обучения, наряду с задачником, появляется учебник арифметики, с пятого года появляется учебник по геометрии, с шестого года — по алгебре, а в третьем концентре — по тригонометрии.

5. Чтобы научить учащихся работать с книгой, педагог обязан проводить соответствующую работу в классе:

а) инструктировать и разъяснять особенности работы по данному учебнику;

б) проводить самостоятельные работы в классе по учебнику под наблюдением и непосредственным руководством педагога;

в) читать текст учебника с соответствующими разъяснениями и т. д.

6. При чтении книги следует учитывать возрастные особенности учащихся. Пока мышление учащихся еще развито слабо, пока навыки к абстрактному мышлению находятся еще в зародыше, чтение математической книги должно опираться с особенной настойчивостью на конкретный материал — вещи, чертежи, рисунки и модели. Позднее конкретный материал несколько отодвигается, употребление его ограничивается, но он все же не забрасывается, он в необходимых случаях в подходящих дозах используется и за пределами переходного периода. Однако, в третьем концентре математические абстракции вступают в свою силу, математическое мышление должно культивироваться полно и достаточно глубоко, а это накладывает своеобразный отпечаток и на характер работы с книгой.

7. Необходимо учитывать при чтении книги и особенности математических предметов. Особенные трудности вызывает чтение геометрических книг, где необходимо устанавливать взаимосвязь текста с чертежом. Надо учитывать и специфические особенности того или другого автора книги.

8. Полезно натолкнуть учащихся на популярные математические книги и организовать внеклассное чтение их.

Теперь остановимся на отдельных приемах обучения чтению книги, иллюстрируя их разнообразными примерами.

1. Одним из видов использования задачника в интересующем нас направлении является фронтальная работа всего класса над решением задач с предварительным индивидуальным чтением задач по книжке.

Работа организуется так.

Учащиеся обеспечиваются задачниками. Желательно, чтобы у каждого был отдельный задачник.

Преподаватель предлагает учащимся открыть такую-то страницу и прочитать каждому про себя указанный номер задачи, затем написать кратко числовые данные в тетради, выписать их, если этого требует решение задачи, так, чтобы удобнее было решать задачу.

После небольшой паузы, однако настолько длительной, чтобы учащиеся могли свободно прочитать задачу не менее двух раз и переписать числовые данные в тетрадь, преподаватель начинает проверку, насколько учащиеся поняли задачу. Проверка заключается прежде всего в том, что по записи числовых данных в тетради учащиеся повторяют своими словами условие задачи. В зависимости от сложности сюжета это можно сделать 2 — 3 раза.

Затем преподаватель спрашивает, кому и что непонятно из условия задачи. На все недоуменные вопросы даются объяснения. Эти объяснения могут дать другие учащиеся по вызову преподавателя, а в крайнем случае — сам преподаватель.

Не довольствуясь вопросами учащихся о неясных местах условия задачи, преподаватель ставит учащимся, чаще всего слабым, вопросы, вскрывающие, насколько правильно понята задача.

Таким образом, происходит после самостоятельного чтения задачи достаточное осмысливание прочитанного.

После этого приступают к фронтальной работе по решению задачи. Вот конспекты части урока на пятом году обучения с таким анализом условия задачи:

— Дети, откройте задачник на странице 82...

— Прочитайте про себя и уясните задачу № 156. Выпишите числа, данные в условии, в тетрадь.

„156. Шкив диаметром в 729 мм, делающий 143 об\мин, соединен ременной передачей с другим шкивом, делающим 896 обIмин. Найти диаметр второго шкива“.

(Е. С. Березанская — „Сборник задач и упражнений по арифметике“, 1933 г.)

После паузы, достаточной для трехкратного чтения задачи и выписывания данных, преподаватель продолжает:

— Муся Иванова! Скажите условие задачи...

— Вася Романов! Повторите еще раз условие задачи...

— Поднимите руки, кому что-нибудь непонятно в условии.

— Коля Судаков, что непонятно?

Коля не знает, что такое шкив. Некоторые другие дети также не знают шкива.

— Кто может объяснить, что такое шкив? Соня Шермакова. Объясните.

Соня напоминает, что дети видели шкив во время экскурсии на завод, кратко рассказывает, в чем сущность устройства шкива.

— Кому еще что-нибудь непонятно в условии задачи?

Вопросов больше нет. Тогда преподаватель ставит сам вопросы, направленные к выяснению встречающихся понятий.

— Петя Спорынин, что такое диаметр шкива?

— Ваня Ершов, как понимать выражение „143 об/мин“?

Убедившись, что все встречающиеся понятия в условии задачи учащимися поняты, учитель предлагает одному из них еще раз повторить условие задачи и затем приступить к решению.

Может возникнуть сомнение, что такой анализ условия задачи занимает много времени, и отсюда сомнение, стоит ли его делать, не лучше ли обойтись без такого разбора.

Надо иметь в виду, что задача будет решаться каждым учащимся хорошо только в том случае, если учащийся понял все детали условия. Таким образом, излишняя затрата времени на анализ условия покроется экономией времени при решении задачи.

А главное — такой анализ способствует овладению книгой, приучает читать и понимать книгу.

2. Задачник с интересующей нас точки зрения может быть использован несколько иначе — от времени до времени полезно организовать по нему самостоятельную работу по решению задач на уроке.

Часто при таком решении задач полезно конструировать модели. Модель выполняет довольно многогранную роль: а) она является опорой, позволяющей ученику понять условие решаемой задачи, понять читаемое; б) самостоятельное конструирование модели вызывает чувство удовлетворения элементами творчества, которым неизбежно сопровождается конструирование, а это придает всей работе недостающую математической книге эмоциональную окраску; в) она вызывает интерес к работе, делает работу привлекательной; г) она дает опору для развития пространственного воображения.

Опишем пример, заимствованный из опыта IX класса школы им. Бубнова в г. Горьком.

Класс, придерживаясь стабильного учебника Гурвица и Гангнуса „Систематический курс геометрии“, проработал первую главу по стереометрии — „Взаимное положение прямых плоскостей в пространстве“ и вторую главу—„Перпендикуляр и наклонные“.

При изучении второй главы в ряде теорем перед учащимися была вскрыта сущность геометрического анализа (при рассмотрении теорем о двух и трех перпендикулярах). В фронтальной коллективной работе всей группы были решены несколько задач из „Сборника геометрических задач по стереометрии“ Н. Рыбкина.

При решении этих задач также подчеркивалась целесообразность использования анализа. Как при теоретических вопросах, так и при решении задач пользовались различными моделями и чаще всего небольшой доской из мягкого дерева (12 X 18 см), спицами с заостренными концами, которые употребляются при ручной кустарной вязке чулок, и шарикообразными пробками для скрепления спиц.

Затем в целях овладения техникой решения задач, а в частности в целях овладения уменьем читать геометрический задачник, была проделана индивидуальная самостоятельная работа учащихся по задачнику Рыбкина.

— Решите на странице 5 задачника Рыбкина задачи № 17, 18 и 19.

— При решении придерживайтесь такого порядка (порядок работы выписывается заранее):

1) прочитать про себя несколько раз эту задачу;

2) построить, пользуясь дощечкой, спицами и пробкой, пространственную фигуру, примерно, соответствующую условию задачи;

3) пользуясь полученной моделью, составить чертеж в тетради;

4) приступить к непосредственному решению, используя, где целесообразно, анализ.

Если при чтении задачи вы легко поняли ее условие и можете начертить нужную фигуру, то пункт второй — составление модели — лучше опустить.

— Какие имеются вопросы по заданию?

Небольшие группы учащихся в 3—4 человека снабжаются дощечкой (из липы), набором спиц, примерно, такого размера: 3— 4 спицы длиной 20 см, примерно по стольку же спиц длиною 15 см, 10 см, 3 см и небольшой шарикообразной пробкой. На дощечку кладется кусок бумаги, и все линии, которые должны проводиться на плоскости, вычерчиваются на этой бумаге.

Учащиеся приступают к самостоятельной работе. Преподаватель в случае затруднений учащихся в понимании сюжета задачи, в конструировании соответствующей модели, в решении задачи оказывает осторожную и нужную помощь.

Более подготовленные учащиеся задачу решают без помощи модели.

Опыт показывает, что работа, организованная описанным способом, вызывает интерес учащихся. Задачи с помощью моделей решаются даже слабыми учащимися, а сильные обычно стараются овладеть задачей без помощи модели.

Вторым типом математической книги, с каким встречается ученик в школе, являются учебники по всем математическим дисциплинам.

Можно рекомендовать различные способы, дающие возможность научить учащихся, читать учебник.

3. В классах, начиная с III и кончая VI, можно пользоваться фронтальным чтением учебника, предваряя его проработкой соответствующего материала с учащимися путем беседы, эвристическим приемом.

Приведем пример.

Темою урока в V классе является понятие о степени. Учитель на примере выяснил, что при умножении одинаковых сомножителей возможно некоторое упрощение записи, показал эту новую запись, сообщил, что умножение одинаковых сомножителей есть новое, по счету пятое действие, которое называется возведением в степень. Затем дети решили ряд примеров, в которых произведение одинаковых сомножителей записывали с помощью показателя степени. При разборе примеров введены термины: основание степени, показатель степени и степень. Далее решили несколько примеров, в которых степень заменяли произведением равных сомножителей и подсчитывали результат.

После этого преподаватель предлагает раскрыть учебник арифметики на странице 32 (И. Попов—„Арифметика“) и предлагает прочитать § 10 „Понятие о степени“. Один из учеников, по вызову преподавателя, читает вслух первые строки, а остальные следят по книгам.

„§ 10. Понятие о степени. При умножении одинаковых сомножителей возможно некоторое упрощение записи.

I. Например, надо найти произведение:

1) 3-3; 2) 2-2-2; 3) З-З-З; 4) 5.5-5.

Для таких произведений существует особый способ записи:

1) 3-3 = 32 = 9; 2) 2-2-2 = 23 = 8; 3)3-3.3.3 = 3*=81;4)5.5-5.5 = 5*=625; 5) 10.10.10 = 103=1000“.

После этого учитель для возбуждения внимания, активности детей к читаемому предлагает проверить примеры, приведенные в книжке. Все сомнения подвергаются обсуждению.

Затем второй ученик читает следующий отрывок учебника.

Учитель спрашивает, кому и что непонятно. Ставит контрольные вопросы:

— Что значит возвести четыре в третью степень?

— Сколько получится?

— Как возвести два в четвертую степень? Сколько получится?

Далее третий ученик, по вызову преподавателя, читает последний отрывок, содержащий определения понятий об основании, показателе и степени.

В последующей беседе проверяются, правильно ли решены примеры, приведенные в учебнике, и поняты ли определения и т. д.

В качестве домашней работы предлагается детям запомнить определения, напечатанные в § 10 жирным шрифтом, и решить ряд примеров из задачника.

Работа с книгой описанного типа интересна с той точки зрения, что она вселяет в учащегося уверенность в уменье его читать учебник; проводимая постепенно и систематически, она дает некоторые навыки в этом чтении, показывает те существенные места прочитанного, которые необходимо запомнить, позволяет контролировать уменье понимать прочитанное, дает возможность ученику ориентироваться в том, на что ему следует обратить внимание при домашней работе с учебником.

Некоторые преподаватели в Горьком, практикуя работу с учебником описанного типа, считают ее целесообразной и полезной.

4. Полезно показать учащимся, как следует рационально прорабатывать по учебнику новый материал. С этой целью можно рекомендовать фронтальную работу всего класса.

Этот вид работы с книгой следует провести с учащимися так, как обычно надлежит читать математическую книгу,— с конспектированием, вычерчиванием всех чертежей, с осмысливанием всех деталей изложения, доказательства и, наконец, с последующим воспроизведением доказательства, независимо от книги.

Пример. Шестой класс прорабатывает основные задачи на построение. Проработан ряд задач, примерно, в той последовательности, как они даны в утвержденном учебнике.

На очереди задача о делении данного угла пополам. С техникой деления угла пополам дети уже знакомы из курса V класса. Этот факт только надо вспомнить. Новым является доказательство.

Учащиеся вооружаются линейками и циркулями.

Преподаватель предлагает раскрыть учебники планиметрии на странице 33 и объясняет:

— Будем вместе читать задачу 6 и конспектировать прочитанное.

Учитель предлагает записать: „Задача 6. Разделить данный угол пополам“.

После небольшой паузы, нужной для записи, преподаватель ставит вопрос:

— Что следует начертить в тетрадях, Панова?

— Начертить угол.

— Начертите. Назовите его так, как в учебнике. Сперанская, как вы назвали угол?

— Кто назвал иначе? Следите по учебнику. Я читаю... „Дан угол ABC (рис. 70). Проведем произвольным радиусом дугу с центром в вершине В; дуга пересечет стороны угла в точках D и Еи.

— Сделайте это построение в тетрадях.

— Кто не понял, как сделать, пусть прочтет еще раз по учебнику.

Оказав помощь не справившимся с пониманием учебника и убедившись, что построение выполнено всеми, учитель предлагает:

— Иванов, читайте дальше... Читайте и следите за чертежом. „С центрами в точках D и Е проводим равными радиусами дуги так, чтобы они пересеклись; получим точку F. Соединив затем точку F с вершиной В, получим биссектрису данного угла ABC1.

— Сделайте в тетрадях это построение.

— Поставьте те же буквы, что и в книжке.

— Петров, читайте доказательство, следите по чертежу.

Неторопливо читается доказательство до конца.

— Кратко, как мы пишем на доске, запишите доказательство в тетрадях. Читайте для этого его про себя еще раз, показывайте карандашом на чертеже и записывайте в тетрадях.

Убедившись, что громадное большинство сделало необходимые записи, преподаватель чертит на доске тупой угол, предлагает в тетради сделать заголовок: „Упражнения“, начертить, примерно, такой угол, как на доске, разделить его пополам и дать доказательство применительно к новому чертежу.

Эта работа служит контролем понимания прочитанного и упражнением в технике доказательства. Если доказательство встретило массовое затруднение, его выполнение пере-

носится на доску. Если оно идет гладко, все же для слабых учащихся оно дается на доске, когда большинство группы его закончит в тетрадях.

Описанный прием чтения книги полезно применять в VI—VII классах. Его характерная черта в том, что учащиеся под непосредственным руководством учителя читают книгу так, как ее полагается читать при серьезной самостоятельной работе. Этот прием демонстрирует способ чтения.

5. Если в только что описанном способе работа по книге велась фронтально, то другим видом этой работы можно считать индивидуальную классную работу по изучению небольшого задания по учебнику. Наиболее целесообразно такие задания давать, начиная с VI класса. Задания должны даваться небольшие, с тем расчетом, чтобы они, с последующим разбором их, занимали не более одного-двух учебных часов. На первых порах материал для таких заданий надо подбирать нетрудный, неответственный. Задание в виде немногих кратких требований и указаний следует записать на доске; лучше до начала урока, чтобы сэкономить время. При чтении книги надо требовать, чтобы учащиеся вели конспектирование в тетрадях. Если предложена для проработки теорема, то ее проработка по книге должна закончиться самостоятельным доказательством каждым учащимся изучаемой теоремы. Проверкой усвоения прочитанного, проверкой уменья читать книгу является доказательство теоремы у доски одним из учащихся.

Пример. В VII классе темою для такого самостоятельного изучения может служить свойство отрезков хорд, пересекающихся внутри круга.

Задание записывается на доске, примерно, в таком виде:

1) По учебнику геометрии на странице 132 проработать § 2—„Свойство отрезков пересекающихся хорд“.

2) Составить конспективную запись теоремы, как обычно записываем на доске условия, вывод и доказательство.

3) Не пользуясь книжкой и записью, доказать самостоятельно изученную теорему.

4) На странице 135 под заголовком „Вопросы и упражнения“ выполнить 1-е и 2-е упражнения.

Когда учащиеся закончат изучение теоремы, до того как они приступят к решению задач, надо вызвать одного из учеников для доказательства теоремы на доске. Это явится контролем выполнения основной части задания — изучение теоремы. А незаконченные упражнения предлагается докончить дома.

6. Конечно, надо всячески побуждать учащихся к работе по учебнику дома. Такая работа может быть уже по изученному материалу трех видов:

а) по подготовке домашней работы к следующему уроку;

б) по повторению целой главы или части главы к письменной или устной контрольной работе;

в) повторение всего курса к весенним испытаниям.

Как правило, при втором и третьем указанных видах использования учебника целесообразно устраивать в определенные часы, широко оповестив об этом учащихся, индивидуальную консультацию по всем недоуменным вопросам, какие встречаются у учащихся при повторении материала по учебнику.

7. Иногда, но не часто, можно поручить учащимся VII—X классов проработку новых вопросов дома по учебнику с непременным последующим повторением этого вопроса в классе. Но при этом работа, даваемая на дом, не должна содержать в себе ничего принципиально нового; она должна быть соответственным образом подготовлена во время классных занятий.

Пример. В IX классе на уроке проработана эвристическим приемом теорема о трех перпендикулярах. Дан анализ теоремы, дан синтез. Затем вспомнили понятие о прямых и обратных теоремах, о том, что обратные теоремы иногда бывают верны, а иногда нет, привели примеры того и другого. Поставлен вопрос об обратной теореме по отношению к той, которая только что изучена на уроке.

А далее в качестве домашней работы поручено учащимся:

1) научиться доказывать прямую теорему, изученную в классе;

2) по учебнику (стр. 14) изучить доказательство обратной теоремы.

Следующее занятие по геометрии начинается с поверки результатов выполнения этого задания — с доказательства учащимися теорем на доске.

Описанные приемы освоения книги непосредственно связаны с учебными занятиями по математике, с уроками, с подготовкой домашней работы.

Но преподаватель математики организует и внеклассные математические занятия, кружки юных математиков-моделистов, кружки математиков, разные доклады, лекции, внеклассное математическое чтение, вечера занимательной математики и т. д.

Во всех этих многообразных мероприятиях математическая книга, овладение этой книгой должны играть видную роль. Работа с книгой здесь носит существенно другой характер. В основу работы, а значит и работы с книгой, положен принцип добровольности; мотивом служит наличие интереса к тому или другому вопросу, общая заинтересованность математикой. Преподаватель получает больше возможности в отношении учета индивидуальных склонностей учащихся, а это позволяет давать учащимся такие книжки, которые соответствуют их интересам, нравятся им.

Чтобы конкретизировать эти общие указания о внеклассной работе с математической книгой, приведем несколько примеров, заимствованных из опыта школ г. Горького.

Одна из школ организует для учащихся II концентра кружок юных математиков-моделистов. Основная задача такого кружка — изготовление моделей по различным отделам математики. Не останавливаясь на этой основной задаче, как выходящей за пределы темы настоящей работы, мы расскажем о других занятиях этого кружка. В целях культивирования интереса к математике, в целях усиления интереса к внеучебной математической книжке кружок устраивает специальные занятия, посвященные занимательной математике. На этих занятиях предлагаются для решения интересные задачи, задачи-шутки, разбираются математические софизмы, парадоксы, рассказываются математические анекдоты, читаются рассказы и стихотворения о математических сюжетах и т. д. К первому занятию кружка описанного вида преподаватель-руководитель кружка подготовляет материал сам. Вызвав своими выступлениями интерес, преподаватель рекомендует учащимся соответствующие книжки и предлагает двум-трем учащимся к следующему собранию кружка подготовить материал для выступления. Готовясь к следующему собранию, руководитель кружка тщательно проверяет, что подготовлено учащимися, оставляя только действительно ценный и интересный материал, а вместе с тем на всякий случай подготовляет материал и сам.

Этот материал он использует в случае, если выступления учащихся будут неудачны. В порядке подготовки к занятиям кружка вычерчиваются, если надо, чертежи, схемы, рисунки.

Чтобы приблизить литературу, связанную с внеклассными занятиями, к учащимся, при математическом кабинете полезно создать маленькую библиотечку математической литературы для внеклассного чтения.

В эту библиотечку надо включить довольно многочисленную литературу по занимательной математике.

Указываем наиболее распространенные книги:

Литцман — „Великаны и карлики в мире чисел“.

Воронец и Попов — „Математические развлечения“.

Перельман — „Занимательная арифметика“.

Перельман — „Занимательная геометрия“.

Перельман — „Занимательная математика“.

Перельман —„Занимательная алгебра“.

Литцман и Трир — „Где ошибка?“.

Литцман — „Веселое и занимательное в фигурах и числах“.

Конечно, полезно использовать с этой целью и периодическую детскую литературу, уделяющую внимание математике (детские журналы, газеты).

В эту же библиотечку полезно включить брошюры и книги по истории математики, биографии великих математиков. Указываем наиболее желательные книги:

Воронцов и Попов—„О мерах и счете древности“.

Овсянников — „Нуль“.

Воронцов и Попов — „Дети и юноши — математики“.

Чистяков — „Числовые суеверия“.

Лебедев — „Очерки по истории точных наук“ (несколько книжек).

Попов — „Как применялась и применяется тригонометрия на практике“.

Попов — „Памятники математической старины в задачах“.

Попов — „Очерки по истории математики“.

Беллюстин — „Как люди дошли до настоящей арифметики“.

Вилейтнер — „Как рождалась современная математика“.

Для развития и поддержания интереса к внеклассному математическому чтению можно использовать школьную стенную газету, групповые газеты, школьные журналы, помещая в них интересно подобранный материал по занимательной математике. Возможен выпуск отдельного листка, специально посвященного математическим развлечениям. Опыт показывает, что такой материал вызывает у учащихся подъем интереса к школьной газете: число читателей увеличивается, а свободное от уроков время используется на разбор задач, помещенных в стенной газете.

В математическом кабинете следует повесить художественно оформленный список литературы для внеклассного математического чтения.

Можно использовать популярно-техническую книжку, связанную с математикой. Примеры:

Идельсон—„Механизация счета“.

Ленц—„Счетные машины“.

Дрокин — „Трактор на уроках физики и математики“.

Добровольский — „Паровоз на уроках физики и математики“.

Добровольский — „Самолет на уроках математики“.

Наконец, возможно использовать литературу по изготовлению наглядных пособий.

Примеры:

Карасев — „Учебные наглядные пособия по математике“.

Его же—„Работа с миллиметровой бумагой“.

Шугар—„Математика в трудовой школе II ступени“.

К сожалению, за последние годы выпуск литературы, которую можно использовать для внеклассного математического чтения, совсем прекратился. Это затрудняет подбор библиотечек для такого чтения.

Надо пожелать, чтобы на издание популярной математической литературы для подростков и юношей, которую было бы возможно использовать во внеклассном чтении, было обращено серьезное внимание.

В заключение отметим:

1) Педагог начальной школы, педагог-математик средней школы, работая с классом, должен всегда помнить задачу — научить работать с математической книгой.

2) Культивировать чтение книги надо начинать с начальной школы — c l класса, продолжать на протяжении всего обучения в средней школе и заканчивать в высшем учебном заведении.

3) Следует использовать для получения хороших результатов в чтении математической книги все многообразие приемов, связанных с классной и домашней работой учащихся.

4) Полезно использовать внеклассную работу с математической книгой.

5) Целесообразно организовать соревнование, конкурсы на лучшее уменье читать математическую книгу.

ИЗМЕРИТЕЛЬ ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ ПО ТЕМЕ „ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА“

Е. ЗАГОСКИНА (Москва*)

Предлагаемый измеритель является одним из серии „измерителей“ знаний учащихся средней школы по арифметике, разработанных группой математики Центрального научно-исследовательского института политехнического образования. Данный измеритель имеет целью помочь учителю учесть знания и навыки учащихся V класса в области целых чисел; в основу его лег материал экспериментального измерителя, проведенного в 1933/34 учебном году в нескольких группах V класса после изучения соответствующего раздела. Экспериментальный измеритель подвергся некоторой переработке в смысле исключения вопросов, оказавшихся слишком простыми для данной ступени обучения, изменения формы отдельных вопросов и пр. Предлагаемая нами в некоторых вопросах форма „закончить фразу“ или „заменить многоточие“ требуемым термином, как показало проведение экспериментального измерителя, не затрудняла учащихся V класса. Задачей измерителя является, с одной стороны, — выявить навыки учащихся в действиях над многозначными числами как в тех случаях, когда требуется выполнить одно действие, так и в случаях совместного выполнения действий; с другой стороны — выявить понимание смысла отдельных действий, их взаимной связи, знание свойств действий и уменье сознательно их использовать при вычислениях; проверить понимание зависимости между данными и результатами действий и уменье применять эти зависимости. Соответственно этому измеритель разбит на две части, причем каждая из них ставит себе задачей учесть качество ука-

* Центральный научно-исследовательский институт политехнического образования.

занных навыков или знаний для каждого из четырех арифметических действий.

Мы предлагаем учителю провести первую часть измерителя в начале учебного года для учета тех знаний, которые имеются у учащихся, перешедших из начальной школы. Предлагаемые вопросы могут быть предложены учащимся все полностью или разбиты на несколько отдельных работ. Последние два вопроса из первой части измерителя (№ 24 и 25), относящиеся к округлению чисел, могут быть опущены при первом его проведении. После работы над данной темой, согласно программе V класса, рекомендуется вновь полностью провести первую часть измерителя, а также и вторую его часть. Это поможет учителю выявить, как исправлены учащимися те недочеты в навыках, которые имелись в начале года. Результаты проведения измерителя должны сообщаться учащимися с тем, чтобы в процессе дальнейшего изучения программы V класса они исправили выявленные недочеты путем повторения отдельных вопросов на уроках и выполнения соответствующих дополнительных домашних заданий.

Перейдем к рассмотрению содержания измерителя.

Первая часть измерителя содержит 25 вопросов, из них 1, 5, 8, 9, 13, 15 в каждом из вариантов А и В проверяют навыки в производстве сложения, вычитания, умножения и деления целых многозначных чисел в ряде наиболее трудных случаев; так, в примере на сложение (№ 1, варианты А и В) даны слагаемые разной значности, причем в сумме получается число, выраженное единицей с нулями, в примере же на вычитание мы имеем нули в конце и в середине уменьшаемого; на умножение даны примеры № 8 и 9; в первом случае имеются нули в середине множителя, во втором — для перемножения даны числа, оканчивающиеся нулями; в пример № 8 включены некоторые из наиболее трудных комбинаций таблицы умножения (6X9; 7X8; 7X9).

Для деления (№ 13, 15 и 16) даны случаи: 1) с нулями в середине частного, 2) с нулями в конце частного и остатком и 3) случай деления с остатком, когда делимое и делитель оканчиваются нулем. Таким образом, охвачены случаи умножения и деления, обычно наиболее затрудняющие учащихся.

Примеры № 2, 4, 7, 12 проверяют знание названий компонентов действий и их результатов, примеры № 3, 6, 11, 14, 17— знание обратных действий и уменье выполнить проверку каждого действия двумя способами.

Целый ряд вопросов (№19— 23) предназначен для учета знания учащимися порядка действий, уменья выполнять действия совместно при записи со скобками и без них.

В конце первой части измерителя даны примеры на округление целых чисел, причем пример № 25 проверяет, умеют ли учащиеся пользоваться при округлении правилом четной цифры.

Вторая часть измерителя содержит 23 вопроса, проверяющих знания учащихся в отношении:

а) свойств действий (№ 26—32); б) зависимостей между данными и результатами действий и применения их к нахождению неизвестных компонентов (№ 33—41); в) изменений результатов действий в зависимости от изменения данных (№ 42—48).

В этой части измерителя вопросы поставлены в различной форме (например, в случаях нахождения неизвестных компонентов действий даются примеры со знаком ?, с многоточием, даются вопросы в различной словесной форме); это имеет целью проверить, насколько глубоки знания в данной области, так как часто учащиеся умеют ответить только на вопрос, поставленный в одной форме, привычной для их учителя и для них.

АНАЛИЗ ПРОВЕДЕНИЯ ИЗМЕРИТЕЛЯ

1. Навыки в действиях с многозначными числами

Твердые навыки в выполнении действий с целыми числами учащиеся должны приобрести в начальной школе, но в V классе необходимо проверить их и изжить выявленные недочеты путем повторения и соответствующих домашних заданий. Практика проведения измерителя показала, что имеются группы V класса, где при сложении (прим. № 1) делают ошибки при переносе разряда или неправильно подписывают слагаемые. При вычитании (прим. № 5) значительное число ошибок падает на неуменье „занимать“ единицы высшего разряда в уменьшаемом „через нуль“. В примере на умножение (прим. № 8) лишь незначительное число ошибок зависит от неверно подписанных неполных произведений (в середине множителя имеются нули), большинство же ошибок падает на неверно получаемые отдельные произведения — недостаточное овладение техникой умножения вообще. При решении примера № 9 на умножение также встречается большое число ошибок указанного порядка; около 10% обследованных учащихся поставили неправильное число нулей в конце произведения. При решении примера

№ 13 на деление с нулями в середине частного (лишь 76% решаемости) все ошибки обусловлены отсутствием нулей в частном или постановкой неправильного их числа.

ИЗМЕРИТЕЛЬ ПО ТЕМЕ „ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА"

Вариант А

1-я ЧАСТЬ

1. Сложите числа: 894 581, 3005, 10 602, 91 000, 812.

2. Дайте полный ответ на следующие вопросы:

а) Как называются числа, которые даны для сложения?

б) Как называется результат сложения?

3. Какое действие обратно сложению?

4. Докончите фразы:

а) Уменьшаемым называется число . . •

б) Вычитаемым называется число ....

в) Разностью называется число .....

5. Найдите разность чисел 2 0Ö0 010 и 90 973.

6. Решен пример 1006 — 987=19. Выполните проверку вычитания двумя способами:

1-й способ 2-й способ

7. Впишите вместо точек названия:

а) Число, которое умножают, называется...

б) Число, на которое умножают, называется ...............

в) Число, которое получается при умножении, называется . - .....

8. Найдите произведение чисел 476 и 8009.

9. Умножьте 8600 на 2000.

10- Закончите следующие фразы:

а) Если какое-нибудь число умножить на нуль, то получится.........

б) Если какое-нибудь число умножить на единицу, то получится........

11. Закончите фразу:

Действие, обратное умножению, называется..................

12. Дайте полные ответы на следующие вопросы:

а) Что называется делимым? '

б) Что называется делителем?

в) Что называется частным?

13. Найдите частное от деления числа 570 285 на 285.

14. Решен пример: 390:15 = 26.

Сделайте проверку деления двумя способами:

1-й способ 2-й способ

15. Разделите 5690 на 330 и укажите остаток.

16. Выполните деление с остатком 91 234:76.

17. Разделите 219 на 25 и выполните проверку деления.

18. а) Уменьшите 25 на 10.

б) Увеличите 32 в 4 раза.

19. а) Назовите действия I ступени

1)..... 2) ....

б) Назовите действия II ступени 1)..... 2).....

20. Решите примеры: 144:6-3 =

320 + 64:8= 4-17-8:4 =

21. Запишите в строчку, не производя действий, что к числу 40 надо прибавить произведение чисел 10 и 9.

22. Запишите в строчку, не производя действий, что разность чисел 67 и 35 надо разделить на 8.

23. Решите примеры: 100 + 20.(16-6) = (85-75).25-15:3=»

24. За десять дней переработано 237786 m нефти и 55 128 m мазута.

Округлите до тысяч тонн числа

237 786 m =..............

55128 m=.............

25. Следущие числа округлите до сотен:

76 350= ..............

42 850=................

2-я ЧАСТЬ

26. Почему можно написать

2.6.5 = 6-2.5 = 5.2.6?

27. К числу 8 надо прибавить сумму 5 + 9. Произведите вычисления двумя различными способами

1-й способ: 1-е действие, 2-й способ: 1-е действие» 2-е действие. 2-е действие.

28. Замените произведение 9-25«7«4 произведением двух чисел; данные сомножители соедините наиболее удобным способом. 9.25.7-4 =

29. Вычислите (40+19).4 двумя способами: 1-й способ: 1-е действие ........

2-е действие.......

2-й способ: 1-е действие.......«

2-е действие ........

3-е действие.......

30. К числу 215 надо прибавить разность чисел 35 и 23. Произведите вычисления, не находя этой разности.

31. Разделите произведение 250« 13 на 50, не перемножая данных чисел

1-е действие ..............

2-е действие ..............

32. Разделите сумму 190 + 38 на 19, не складывая данных чисел.

1-е действие .............

2-е действие..............

3-е действие ..............

33. Вставьте вместо многоточия пропущенное число .... +129 = 865.

34. Напишите словами, как найти неизвестное вычитаемое, если известны уменьшаемое и разность.

35. Чему равно уменьшаемое, если вычитаемое 27, а разность 19?

36. 16-5. ?.2 = 640.

Вставьте вместо вопросительного знака нужное число.

37. С помощью какого действия можно найти делитель, если известны делимое и частное?

38. Замените вопросительный знак нужным числом:

135:? = 5.

39. Чему равно делимое, если делитель равен 9, а частное 12?

40. Делимое 187, частное 15, остаток 7. Найдите делитель.

41. Одно из слагаемых увеличено на 27, а сумма увеличилась на 45. Как изменили второе слагаемое?

42. Разность двух чисел была 57. Уменьшаемое уменьшено на 25. Найдите новую разность.

43. От уменьшаемого отняли 21. Как надо изменить вычитаемое, чтобы разность не изменилась?

44. Закончите фразу:

Если и множимое и множитель разделить на 100, то произведение........

45. Как изменится произведение, если один из сомножителей увеличить в 40 раз, а другой — уменьшить в 8 раз?

46. Делитель увеличили в 7 раз. Как при этом изменится частное?

47. Частное двух чисел было 62. Делимое увеличили в 2 раза. Найдите новое частное.

48. Почему при делении 84 000:6000 и 42:3 частное получается одно и то же?

Вариант В

1-я ЧАСТЬ.

1. Сложите числа: 895 642,2003, 10 904, 91 000,

451.

2. Докончите фразы:

а) Слагаемыми называются числа.....

б) Суммой называется число.......

3. Какому действию обратно вычитание?

4. Впишите вместо точек названия:

а) То число, из которого мы вычитаем, называется ................

б) То число, которое мы вычитаем, называется ..................

в) Результат вычитания называется . .

5. Найдите разность чисел 3 000 100 и 90 752.

6. Решен пример: 1003—975=28.

Выполните проверку вычитания двумя способами:

1-й способ...............

2-й способ ...............

7. Впишите вместо точек названия:

а) Число, которое умножают, называется

б) Число, на которое умножают, называется ..................

в) Число, которое получается при умножении, называется.............

8. Найдите произведение чисел 476 и 9008.

9. Умножьте 6800 на 2000.

10. Закончите следующие фразы:

а) Если какое-нибудь число умножить на нуль, то получится...........

б) Если какое-нибудь число умножить на единицу, то получится.........

11. Закончите фразу:

Действием, обратным умножению, будет...

12. Дайте полные ответы на следующие вопросы:

а) Что называется делимым?

б) Что называется делителем?

в) Что называется частным?

13. Найдите частное от деления числа 530 265 на 265.

14. Решен пример: 360:15 = 24.

Сделайте проверку деления двумя способами:

1-й способ: 2-й способ:

15. Разделите 4180 на 290 и укажите остаток.

16. Выполните деление с остатком 98 435:82.

17. Разделите 329 на 75 и выполните проверку деления.

18. а) Увеличьте 40 на 5.

б) Уменьшите 36 в 4 раза.

19. а) Назовите действия I ступени.

1).........2).........

б) Назовите действия II ступени:

1).........2).........

20. Решите примеры: 216 : 4 »3 =

160 + 40:5 = 4 • 18—12 :3 =

21. Запишите в строчку, не производя действий, что от числа 50 надо отнять частное чисел 24 и 6.

22. Запишите в строчку, не производя действий, что сумму чисел 24 и 36 надо умножить на 5.

23. Решите пример: 120—20: (17—7) =

(75 -h 25)-15 — 10:2 =

24. За десять дней переработано 237 786 m нефти и 55 128 m мазута.

Округлите числа до тысяч тонн,

237 786 т...............

55 128 m.................

25. Следующие числа округлите до сотен.

84 750..................

32 650 ..................

2-я ЧАСТЬ

26. Почему можно написать:

4.3.9 = 3.4.9 = 9.3.4 =

27. К числу 7 надо прибавить сумму 9 + 6.

Произведите вычисления двумя различными способами:

1-й способ: 1-е действие .........

2-е действие.........

2-й способ: 1-е действие .........

2-е действие .........

28. Замените произведение 17.25.3-4 произведением двух чисел; данные сомножители соедините наиболее удобным способом: 17.25.3.4 =

29. Вычислите (15 + 27)«3 двумя способами:

1-й способ: 1-е действие.........

2-е действие.........

2-й способ: 1-е действие .........

2-е действие .......

3-е действие ........

30. К числу 145 надо прибавить разность чисел 25 и 17. Произведите вычисление, не находя этой разности.

1-е действие ..............

2-е действие .............

31. Разделите 240« 17 на 60, не перемножая данные числа.

1-е действие .............

2-е действие ..............

32. Разделите сумму 170 + 34 на 17, не складывая данных чисел.

1-е действие ..............

2-е действие ..............

3-е действие ..............

S3. Вставьте вместо многоточия пропущенное число

. . . + 137 = 856.

34. Напишите словами, как найти неизвестное вычитаемое, если известны уменьшаемое и разность.

35. Чему равно уменьшаемое, если вычитаемое равно 23, а разность 17?

36. 12.5-?.2 = 360.

Вставьте вместо вопросительного знака нужное число.

37. С помощью какого действия можно найти делимое, если известны делитель и частное?

38. Чему равно делимое, если делитель равен 16, а частное 19?

39. Замените вопросительный знак нужным числом:

216: ? = 8.

40. Делимое 186, частное 12, остаток 6. Найдите делитель.

41. Одно из слагаемых уменьшено на 19, а сумма уменьшилась на 34. Как изменено второе слагаемое?

42. Разность двух чисел была 43. Уменьшаемое увеличено на 15. Найти новую разность.

43. От уменьшаемого отняли 29. Как надо изменить вычитаемое, чтобы разность не изменилась?

44. Закончите фразу:

Если и множимое и множитель помножить на 100, то произведение.........

45. Как изменится произведение, если один из сомножителей увеличить в 6 раз, а другой уменьшить в 24 раза?

46. Делитель уменьшили в 8 раз. Как при этом изменится частное?

47. Частное двух чисел было 75. Делимое увеличили в 3 раза. Найдите новое частное. Отв.:

48. Почему при делении 64 000 :8000 и 32: 4 частное получается одно и то же?

Пример № 16 на деление с нулями в конце частного и с остатком дал среди обследованных учащихся очень низкий процент решаемости, причем большинство ошибок падает

на отсутствие нулей в конце частного или неправильное их число. Как и при умножении, встречались ошибки, зависящие от недостаточного усвоения техники деления (например остаток при промежуточном вычислении больше делителя, а деление продолжается дальше и др.). Полученные результаты указывают на необходимость в V классе обращать внимание на технику арифметических действий вообще, а не только в трудных случаях, выделенных предполагаемым измерителем. Что же касается этих отдельных трудных случаев, они должны быть при повторении четко выделены учителем V класса, должны включаться при решении задач. При решении учащимися примеров на доске необходимо требовать от них четкого объяснения процесса выполнения действий, полного понимания этого процесса на основе разрядного строения числа и законов арифметических действий. В примере № 15 даны для деления числа, оканчивающиеся нулями, причем получается остаток; этот пример решили правильно лишь 35% обследованных учащихся. Все учащиеся, зачеркивающие по нулю в делимом и делителе, получают при делении неверный остаток (в 10 раз меньший).

Мы не советуем применять указанный прием, тем более, что он обращается в механическое „зачеркивание“ нулей, а не в сознательное уменьшение делимого и делителя в одинаковое число раз, но в V классе при изучении вопроса об изменениях частного надо остановиться и на изменениях остатка, уясняя вопрос разбором ряда примеров, в том числе и данного типа; в стабильном учебнике арифметики имеется соответствующий раздел.

2. Название данных и результатов действий

Проверка знания названий компонентов и результатов действий дала хорошие результаты (решаемость: для сложения — 99%, для вычитания — 86%» для умножения — 88%, для деления—87ü/q). Но в дальнейшем при проведении измерителя были получены указазания, что иногда слову „сумма“ учащиеся не всегда „придают смысл и результат сложения“, а мыслят здесь и „результат любого действия“. Когда внимание учащегося сосредоточено только на этих названиях, он отвечает правильно; когда же названия встречаются в более сложных вопросах, они не всегда вызывают у учащегося нужное представление. Таким образом, ясно, что надо чаще давать различного рода вопросы и задачи, где встречались бы названия данных и результатов четырех действий как при повторении целых чисел, так и при получении дробей. Укажем здесь, что требование примера № 12 дать „полный“ ответ на вопрос было выполнено лишь немногими учащимися; большинство начинают со слова „которое“ или „который“. Уменье дать правильный и полный ответ на поставленный вопрос по теории относится к навыкам математической речи, которые должны постепенно приобретаться учащимися в V классе; этого уменья должен добиваться учитель, и оно подлежит учету наравне с другими факторами качества знаний учащихся средней школы.

3. Проверка действий

Большинство учащихся умеют проверить вычитание сложением, а деление—умножением, и умеют назвать обратные действия, но выполнить проверку вычитания и деления двумя способами смогли лишь 65% и 68% всех обследованных учащихся. Учащиеся должны уметь проверять каждое действие как обратным ему действием, так и тем же действием; это поможет им усвоить зависимость между данными и результатами отдельных действий и укажет им различные пути, по которым они могут проверять свою работу; этого же большинство наших учащихся не привыкли делать. В стабильном учебнике вопросы проверки действия достаточно подробно и четко изложены.

4. Умножение на О и 1

Пример № 10 ставит вопрос об умножении числа (а) на нуль. Около 30% обследованных учащихся ответили, что при умножении на 0 число не изменится. Полученные результаты показывают, что учитель должен обратить больше внимания на указанный вопрос. Эти соответствующие правила имеются в стабильном учебнике; путем конкретных жизненных примеров надо добиться у учащихся полного их понимания: разобрать ряд числовых примеров, беря в качестве второго сомножителя не только однозначные, но и многозначные числа; рассмотреть примеры на умножение многозначных чисел, где встречается умножение на 0 и 1. При изучении обыкновенных и десятичных дробей надо также остановиться на соответствующих примерах.

5. Значение выражений „на сколько“ и „во сколько“

В экспериментальном измерителе (пример № 18 в первоначальном варианте, подвергшемся проверке, отсутствовал) был поставлен вопрос: с помощью какого действия число

увеличивается или уменьшается на столько-то единиц и во столько-то раз. 34% всех опрошенных учащихся ответили, что для того чтобы увеличить число на несколько единиц, надо выполнить умножение; 29% учащихся не могли ответить правильно на вопрос, какое действие надо выполнить, чтобы уменьшить число в несколько раз. В дальнейшем, во второй части работы при решении примеров на измерения результатов действий в связи с изменением данных часто получались ответы: разность увеличится в 15 раз (при увеличении уменьшаемого на 15) или: произведение увеличится на 10 000 (при увеличении обоих сомножителей в 100 раз). Эти результаты свидетельствуют о том, что вопрос недостаточно усвоен обследованными учащимися. Конечно, он должен быть изучен в начальной школе, но в V классе необходимо проверить, как усвоили учащиеся смысл выражений „насколько“ и „во сколько раз“; надо постоянно решать соответствующие примеры и задачи как при повторении целых чисел, так и при изучении дробей: иначе недочеты в понимании смысла каждого действия скажутся в дальнейшем: при изучении отношений, при составлении уравнений по условиям задач. В стабильном учебнике Попова (стр. 36, изд. 1934 г.) имеется ценное замечание по данному вопросу: к сожалению, оно напечатано мелким шрифтом, тогда как является крайне существенным.

6. Действия I и II степени. Порядок действий

Ответы, полученные на вопросы № 19— 23, показали, что на правила порядка действий учитель V класса должен обратить самое серьезное внимание. Мы встретились с таким, правда, единичным случаем, когда большинство учащихся группы пишут 100 —J— -{-20.(16 —6) =1200 (вместо 300), а учитель считает такой ответ верным. С учащимися V класса надо как при повторении целых чисел, так и при изучении дробей решать примеры, выявляющие значение скобок и без них, что можно сделать, беря одни и те же числа и действия, но выполняя последние в различном порядке, при записи со скобками и без них. Упражнения типа № 21 и 22 на записывание „числовой формулы“ по данному ее словесному выражению также помогут усвоить правила порядка действий.

7. Округление чисел

Примеры № 24 и 25 на округление целых чисел дали в обследованных группах низкий процент решаемости (21 и 30%); некоторые из опрошенных учащихся совершенно не знали, что значит „округлить“ число, так как совсем отбрасывали низшие разряды или приписывали нули справа к данному числу и т. д. Правила округления часто не соблюдаются, хотя в стабильном учебнике (изд. 1934 г., § 16) вопросы округления целых чисел разработаны.

8. Свойства действий

Отвечая на вопрос № 26, учащиеся часто вместо переместительного закона умножения ссылаются на сочетательный; это указывает на то, что название закона не всегда связывается учащимися с его сущностью; применение того или иного закона на практике при вычислениях также бывает затруднительно, как, например, при умножении суммы на число. Для того чтобы законы действий были лучше поняты учащимися, надо больше обращать внимания на применение этих законов при устном счете, при действиях над многозначными числами, требуя объяснения, какой закон применялся учащимся в случае решения того или иного примера.

Ответы на вопросы № 31 и 32 выявили, что учащиеся путают деление суммы с делением произведения: некоторые учащиеся при делении суммы делят одно из слагаемых, а затем прибавляют второе; при делении произведения, наоборот, делили оба сомножителя. Эти два вопроса необходимо изучать параллельно, производя сравнение того и другого случая. Известно, как важны они в дальнейшем при изучении курса алгебры.

9. Зависимость между данными и результатами действий

Пример на нахождение неизвестного слагаемого (№ 33) дал сравнительно малую решаемость — 87и/о- Возможно, что это объясняется отсутствием в стабильном учебнике Попова ясно выраженного правила для этого случая: учителю V класса необходимо принять это во внимание и восполнить пробел. Наибольший процент решаемости в данном разделе — 96% — дал пример № 39 на нахождение неизвестного делителя по делимому и частному. Результаты, полученные по примеру № 40, указывают на недостаточное усвоение обследованными учащимися зависимости между делимым, делителем, частным и остатком. В стабильном задачнике Березанской (изд. 1934 г., стр. 23, 24) имеется целый ряд примеров, уясняющих данные зависимости; если учащиеся с трудом разбира-

ются в зависимости при делении с остатком, полезно разобрать с ними вместо отвлеченных примеров нескольно конкретных задач, приводящих к делению с остатком.

10. Изменения результатов действий и зависимости от изменений данных

Вопросы этого раздела в обследованных группах дали невысокий процент решаемости; на вопрос № 44 об изменении произведения более 20% обследованных учащихся дали ответ: „Увеличится на 1000“; о необходимости своевременного четкого выяснения смысла выражений „на сколько“, „во сколько раз“ уже указывалось при разборе первой части измерителя. При изучении данного раздела надо внимательно следить за речью учащихся, не допуская ответов вроде: „Увеличится на 5 раз“ и т. п. В ответах на вопрос № 48 лишь очень немногие из опрошенных учащихся четко указали, что частное не изменится потому, что делимое и делитель уменьшены в одинаковое число раз. При делении десятичных дробей им придется применять правило изменения частного, поэтому необходимо путем решения примеров данного типа своевременно подготовить их к дальнейшему. Методика изучения раздела об изменениях результатов действий, в зависимости от изменения компонентов, подробно изложена в „Методике арифметики“ Е. С. Березанской.

К МЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ ВОЛНООБРАЗНОЙ ТЕОРИИ СВЕТА

А. РАБИНОВИЧ (Научно-методический сектор при МИПИ)

Среди обширного и разностороннего материала программы физики в школе вопрос о волнообразной природе света принадлежит к труднейшим для усвоения вопросам. Трудности эти имеют различные причины.

Основной трудностью является укоренившееся в сознании учащихся „лучевое“ ощущение света, невольно укрепляемое преподавателями при прохождении геометрической оптики. Выражения „пучок лучей“, „интенсивность лучей“ — вполне законные в качестве условных терминов — создают, однако, у учащихся впечатление материальности лучей. Поэтому первейшей задачей преподавателя является, так сказать, „дематериализация“ луча и отведение ему его настоящей роли — удобного слова для выражения исключительно направления распространения эфирных волн.

Другая трудность заключается в совершенном отсутствии на рынке необходимой для нашей темы демонстрационной аппаратуры. В настоящей статье мы надеемся показать, что эта трудность может быть преодолена простыми средствами, при некоторой настойчивости преподавателя, безусловно необходимой, принимая во внимание высокую образовательную ценность разбираемой темы. „Разоблачение“ луча и внедрение основных представлений о световых волнах проще всего вести на примере водяных волн. Мы колеблем спокойную водную поверхность в одном месте и получаем расширяющиеся и удаляющиеся от центра колебания водяные волны. Волны распространяются по всем направлениям от центра, по радиусам. Каждый радиус есть луч. Волны — материальны, мы их можем считать; лучи-радиусы это только геометрические линии: их мы сосчитать не можем. Если разрезать водную поверхность нормальной к ней плоскостью, проходящей через центр колебаний, то мы получим изображенную на рисунке 1 кривую. Луч — это воображаемая полупрямая, изображенная на чертеже пунктиром; к каждому действительному волновому явлению мы можем дать условную, и во многих случаях очень удобную, лучевую интерпретацию.

Это очень наглядно разъясняется путем демонстрации некоторых свойств волн на водной поверхности. Для этой цели служит

Рис 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

прибор, состоящий из волновой ванны, вибратора и осветителя. Волновая ванна (рис. 2) представляет четырехугольную тарелку со стеклянным дном и отлогими бортами. Размеры дна приблизительно 40 см x 60 см. Борты должны быть отлогими для ослабления отраженных от них волн, которые могли бы запутать наблюдаемую картину.

Вибратор устраивается следующим образом.

На вал маленького моторчика (хотя бы „динамо“ типа дд/4) эксцентрически насаживается колесико диаметром 15—18 мм. Расстояние между центром колесика и осью вала 2 — 3 мм; по окружности вытачивается неглубокая канавка для того, чтобы рычажок не соскакивал с эксцентрика. Где-нибудь между О и А (рис. 3) прикрепляется пружинка, которая должна прижимать рычажок к окружности эксцентрика. В качестве такой пружинки можно взять кусок резиновой трубки. Все части вибратора не должны давать заметных собственных колебаний. Поэтому, например, в качестве рычажка нельзя брать тонкую стальную полоску, хотя в других отношениях такая полоска была бы наиболее желательной. Резинка по той же причине должна быть достаточно туго натянута, не переходя, однако, известного предела, который обусловливается моментом силы на валу мотора.

К концу в рычага приклепывается винтовой зажим, служащий для удержания проволочки, погружаемой в ванну на несколько миллиметров и создающей волны при вращении мотора, Для регулирования числа оборотов в цепь мотора необходимо включить реостат со скользящим контактом. Для проектирования волн на экран служит стробоскопический осветитель, дающий возможность наблюдать движение волн с желаемой степенью замедления. Осветитель устраивается так.

На вертикальный вал моторчика (рис. 4) насаживается жестяной диск с рядом равноотстоящих отверстий, расположенных почти у самого края диска. Число отверстий должно быть приблизительно равно отношению нормального числа оборотов моторчика вибратора (12—15 в секунду) к нормальному числу оборотов осветителя.

В таком случае при вращении обоих моторчиков с нормальным числом оборотов волны будут казаться неподвижными. Уменьшая затем быстроту вращения осветителя или увеличивая число оборотов вибратора в большей или меньшей степени, получим картину замедленного движения волн с желательной степенью замедления. В цепь моторчика осветителя также включается реостат со скользящим контактом.

Для осветителя в качестве источника света удобна кинолампа на 50 ватт, устанавливаемая так, чтобы расстояние от светящейся нити до отверстия диска было равно 2—3 см. Патрон лампы зажимается в лапке бунзеновского штатива.

Волновая ванна располагается по двум краям раздвинутых столов, осветитель — над ванной на полу, вибратор—на одном из столов или, еще лучше, на отдельной стойке. Теневая проекция волн получается на потолке. Если есть большое стенное зеркало или, в крайнем случае, зачерненное с одной стороны оконное стекло, то, расположив это зеркало под углом в 45° к поверхности воды, можно проектировать волны на вертикальный экран.

При установке осветителя полезно иметь в виду, что величина изображения и его яркость зависят от взаимного расположения и размеров ванны, отверстий осветителя, источника света и экрана, что видно из рисунка 5.

При помощи описанного прибора демонстрируем следующие явления, указывая одно-

Рис. 4.

временно их лучевую интерпретацию (рис. 6).

Для демонстрации явлений изготовляются металлические перегородки, имеющие форму, изображенную на рисунке 7. Ширина перегородки 2—3 см, высота 3 — 4 см. Для опыта 1 нужны две перегородки, по длине равные друг другу и имеющие вместе длину сантиметров на 5 меньше ширины ванны. Для опыта 2 необходима перегородка длиной 5—7 см.

Отражение волн наиболее рельефно демонстрируется при помощи перегородки, имеющей параболическую форму. Парабола вычерчивается раньше на бумаге (по формуле y2z=2px, удобное значение для р — 12,5 см). Затем по вычерченной кривой вырезается жестяная перегородка, вдоль середины которой вделывается и припаивается вертикальный бортик.

Погружением ребра плоской пластинки в воду создают плоскую волну, которая, отражаясь от зеркала, дает в фокусе колебание с большой амплитудой (рис. 8). Обратный опыт удается так же легко. Погружая палец в воду в месте, где находится фокус зеркала, наблюдаем отраженную плоскую волну.

Пользуясь тем обстоятельством, что скорость волн в мелкой воде меньше, чем в глубокой, можно показать и преломление волн. Для этого приготовляют жестяную двояковыпуклую цилиндрическую линзу длиной 15 — 18 см, с радиусом кривизны обеих поверхностей тех же размеров. Ее вправляют в жестяную перегородку, имеющую высоту на 10—12 мм больше, чем высота линзы (3 — 4 см). Воды в ванну наливают столько, чтобы ее уровень находился над линзой на 2 — 3 мм. Тогда можно продемонстрировать опыт, изображенный на рисунке 9.

Указанные демонстрации, базирующиеся на оптических представлениях, полученных учащимися при изучении геометрической оптики, достаточно убедительны, чтобы внушить им, что луч есть только удобный способ изображения волнового движения в тех случаях, когда нас интересует только направление этого движения.

Вслед за этим можно ввести учащихся в круг новых, неизвестных им до сих пор явлений оптической интерференции, дифракции и поляризации.

Начинаем с явления интерференции, поскольку его можно наблюдать без усложнений со стороны других оптических явлений и поскольку это явление знакомо из темы о звуке.

Рис. 5.

Рис. 6.

Рис. 7.

Рис 8.

Рис. 9.

Рис 10.

Явление интерференции демонстрируется в волновой ванне следующим образом.

В зажим В вибратора вставляем проволочку, имеющую вид двузубой вилки. Расстояние между зубцами можно изменять простым сгибанием. От такого вибратора мы имеем два ряда волн, которые, интерферируя, дают места максимального колебания и места покоя (рис. 10). Это же явление интерференции волн мы могли бы трактовать и лучевым способом.

В точках А, В, С, D и т. д. имеем места максимального колебания, так как лучи аг Ау а2 А, аг В, а2В и т. д.—одинаковой длины; в точках AVBVCV Z)j и т. д. колебания отсутствуют, так как луч а1А1 короче а2Аг на */2 длины волны; а^Вг короче d2B1 на столько же и т. д.*

Наоборот: в точках Л2, £2, С2 и т. д. имеем места максимальных колебаний, так как лучи а3Л2, агВ2, алС2 соответственно длиннее лучей а2А2, а2В2, а2С2 на целую длину волны.

Такой же способ изучения интерференции мы применяем в ощутимой форме на приборе Квинке. Этим же удобным способом будем пользоваться при изучении интерференции оптических волн.

Оптическую интерференцию следует изучать, начиная с явлений в монохроматическом свете. Учащимся даются проволочные каркасики, блюдечки с мыльной водой и спиртовки. На вертикальной мыльной пленке в отраженном желтом свете отчетливо видны интерференционные полосы. При объяснении этого явления полезно указать аналогию со звуковой интерференцией волн в приборе Квинке, один источник волны: в некотором положении происходит раздвоение волны; в другом пункте — схождение раздвоенных волн, но уже с определенной разностью фаз, зависящей от разности хода лучей.

Вторым опытом, который дает возможность наблюдать такую же картину, является опыт с двумя кусками стекла, хотя бы оконного, хорошо вытертых и сложенных вместе. При рассматривании их в отраженном от спиртовки свете видны интерференционные кривые разнообразнейшей формы, зависящей от толщины воздушного промежутка между стеклами. Необходимо обратить внимание учащихся, что при незначительном изменении расстояния между этими стеклами, путем изменения силы их сдавливания пальцами, заметно резкое перемещение полос. Этот опыт дает убедительное доказательство высокой чувствительности интерференционного метода измерений, и я не наблюдал никаких особых затруднений в усвоении учащимися схемы какого-либо интерферометра, например Жамена (см. Гримзель, 1930 г., стр. 335). Это же обстоятельство в соединении с кратким перечнем достижений измерительной техники, основанной на интерференционном методе, дает учащимся большое удовлетворение.

Для лучшего разъяснения вопроса об интерференции белого света полезно при изучении прибора Квинке решить пару задач такого типа:

„Одно колено прибора Квинке больше другого на длину волны камертона в 500 колебаний. Будет ли при данных условиях слышен камертон, дающий 400 колебаний в секунду?“

Такие задачи выясняют учащимся, что если для волн некоторой длины происходит совпадение фаз или разность фаз на г/2 периода, то для волн других, близких по величине периодов мы при тех же обстоятельствах наверно не имеем этих пограничных условий (разность фаз, равная 0 или 1/2). Отсюда вывод: если потухли (усилились), благодаря интерференции, волны красного цвета, то наверно не потухли (не усилились) волны других цветов.

Рис. 11.

* а£ и ал — источники колебаний, не обозначенные на рисунке.

Демонстрацию цветной интерференции можно провести на тех же приборах, что и демонстрацию монохроматической интерференции. Если есть время, то можно показать и классический опыт с зеркалами Френеля Прибор изготовляется следующим образом.

Проявленная до черноты фотографическая пластинка помещается на дощечку и прижимается к ней резиновыми накладками, прибиваемыми к дощечке гвоздиками (рис. 11). Пластинка разрезается пополам проволокой, нагретой докрасна током.

Чрезвычайно важно, чтобы линия раскалывания была совершенно ровной, для чего проволока должна быть во время прохождения тока натянутой. Угол между двумя зеркалами можно регулировать при помощи клинообразно заточенной спички, подсовываемой между дощечкой и одним из зеркал. Зеркала устанавливаются так, чтобы линия их раздела была параллельна сильно освещенной щели. Лучи от щели должны падать на зеркало, почти скользя по поверхности. Угол между зеркалами регулируется так, чтобы мнимые изображения щели отстояли друг от друга на 2—3 мм, при расстоянии щели от зеркал в 2—3 м и расстоянии глаза от зеркала в 3—4 дм. Эти два изображения рассматриваются через окуляр микроскопа, и тогда нетрудно заметить цветные интерференционные полосы. Если они оказываются перевитыми, подобно волокнам веревки, то это доказывает, что щель не совсем параллельна общей линии обеих зеркальных поверхностей.

Изучение дифракции начинаем на примере водяных волн. Если проделать 2—3 опыта по рисунку 12, с постепенно уменьшающимися щелями или перегородками, то заметим отклонение от прямолинейного распространения.

В предельном случае, при очень узкой щели, волны будут иметь вид, изображенный на рисунке 13. Из этого опыта видно, что колеблющаяся точка А (рис. 13) волновой поверхности ВАС является источником колебаний для волн, распространяющихся от А за преграду. На основе этого опыта можно было бы сделать принцип Гюйгенса-Френеля наглядным в части, касающейся рассматривания любой точки поверхности волны как самостоятельного центра колебания.

Оптическую дифракцию удобно наблюдать при помощи тонкой щели, полученной на фотопластинке, проявленной до черноты, если бритвой провести по эмульсии черту. Стекло против щели с другой стороны закрашивается цветным лаком. Учащиеся, которым раздаются такие щели, должны быть предупреждены, что щель лучше держать у самого глаза параллельно накаленной нити электрической лампы, которая устанавливается на лекционном столе. Вторым опытом по дифракции света может служить опыт дифракции от узкой преграды. Опыт демонстрируется на экране. На расстоянии 3—4 дм от узкой, сильно освещенной щели помещается тонкая нить (проволока от катушки телефонного наушника). Экран помещается на расстоянии 2—3 м от проволочки.

Получаем на экране тень проволоки, в середине которой хорошо заметна светлая полоса.

Изучение дифракционной решетки затрудняется отсутствием этих решеток на рынке. Это тем более удивительно, что получение копий таких решеток не представляет особых трудностей. Привожу способ копирования дифракционной решетки по Abraham'у.

„Приготовить раствор желатины, содержащий: воды 30 г, твердой желатины 1 г, двухромокислого аммония 0,15 г. Этот раствор сохраняется произвольно долго. Для того чтобы им пользоваться, распускают его тогда, когда надо, в водяной тепловатой бане и вливают небольшое количество его в воронку, снабженную маленьким куском ваты. Под фильтрующуюся почти холодную жидкость подставляют стекляную, весьма плоскую, пластинку, на которой и образуется пленка. Эта пластинка ставится затем вертикально, потом помещается в темноту, где она довольно быстро сохнет и становится чувстви-

Рис. 12.

Рис. 13.

тельной по мере высыхания. Прежде чем пользоваться пластинкой, соскабливают валик желатины, который образовался на нижней ее части. Берут пластинку, приготовленную таким образом, приставляют к чувствительной стороне исчерченную сторону стеклянной дифракционной решетки и помещают все в копировальную рамку. Экспонируют десять минут на солнце, стараясь держать рамку нормально к свету. При рассеянном свете надо держать час и при этом получится менее хороший результат. Пластинку сначала фиксируют в очень горячей воде, а затем промывают холодной водой; на ней получается тогда решетка, которая может заменить оригинал“.

При объяснении определения длины волны дифракционной решеткой полезно подчеркнуть, что: 1) чертеж, приводимый на классной доске, дает изображение решетки, увеличенное в несколько десятков тысяч раз; 2) сортировка лучей всевозможных направлений по отдельным параллельным пучкам производится сама собой в линзе, собирающей в каждом фокусе только лучи, параллельные соответствующей главной или побочной оси; 3) наблюдая решетку субъективно, мы только замещаем линзу хрусталиком нашего глаза, а экран — сетчаткой. Поляризация света представляет трудности вследствие сложности пространственного представления неполяризованной волны. Все механические иллюстрации (водяные ванны, обычные волны на веревке и т. п.), колебания частиц в которых происходят в одной плоскости, являются в сущности волнами поляризованными, хотя их обычно так не называют.

Поэтому после демонстрации известного опыта с волнами на веревке, проходящими через две деревянных решетки, необходимо подчеркнуть своеобразие оптических волн и обратить внимание на сравнительную простоту поляризованного луча по отношению к естественному. Демонстрация явления проста, если в кабинете имеются турмалиновые щипцы или николи. В случае же их отсутствия явление можно демонстрировать при помощи пластинчатых поляризатора и анализатора, составленных из пачек предметных стекол для микроскопа. Мы считаем лишним в этом случае объяснять явление поляризации при преломлении. Достаточно сказать, что стопка стеклянных пластинок обладает тем же свойством, что и турмалин, причем нет смысла указывать на необходимость определенного угла падения. Явление вращения плоскости поляризации легко демонстрируется при помощи слюдяной пластинки; необходимо только пробами заранее найти приблизительно угол между осью поляризатор-анализатор и плоскостью пластинки.

УЧЕНИЕ О НЕБЕСНОЙ СФЕРЕ В КУРСЕ АСТРОНОМИИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Л. КАНДАУРОВ (г. Калинин)

На курс астрономии в средней школе не может быть отведено много времени. Поэтому особенно важно использовать это время возможно лучше. Для облегчения проработки наиболее трудных мест курса следует использовать все средства. Таким трудным местом курса является учение о видимой небесной сфере с ее кругами, часть которых связана с местом наблюдения и неподвижна, а часть связана со звездной сферой и находится в постоянном движении. Все учебники астрономии обильно снабжены чертежами, но редко у кого из учащихся хватает геометрического воображения, чтобы легко разобраться в этих чертежах. Звездные глобусы непрозрачны, малы и педагогически не обработаны. Это дело еще впереди. Для облегчения усвоения этого основного и важного отдела астрономии — учения о небесной сфере. мною предложена простая проволочная модель небесной сферы, описанная в книге Н. Платонова „Практические занятия по начальной астрономии“, Гиз, стр. 84.

В настоящее время мною построена модель этого прибора, легко разбирающаяся, простая по конструкции, удобная для пересылки. Производство ее должно стоить недорого.

На рисунке 1 изображен прибор в собранном виде, со всеми кругами и дугами. Он может собираться на глазах учащихся постепенно, по мере объяснения им соответствующих понятий.

Все круги носят особую стандартную окраску и в собранном приборе легко различаются: горизонт — зеленый, небесный меридиан — синий. Эти круги неподвижны. Горизонт покоится в четырех точках стран

Рис. 1.

света, а меридиан — в точках юга и севера.

Меридианный круг несет ось мира, и ось может быть поставлена соответственно желаемой широте от полюса до экватора.

Для поддержания небесного экватора — красного круга — ось мира перекрещена дополнительной планкой. В центре перекреста предполагается глаз наблюдателя.

На концах этой дополнительной планки экватор пересекает под углом в 231/2° эклиптика — желтый круг. Таким образом, здесь в месте пересечения круга получаются точки весеннего и осеннего равноденствия. Ось мира вращается и вместе с ней вращаются небесный экватор и эклиптика.

Для объяснения измерения высоты светила или его зенитного расстояния служит дуга голубого цвета, опирающаяся в точках зенита и надира. Для объяснения измерения склонения светила служит дуга розового цвета, опирающаяся в точках полюсов мира (северного и южного).

Для изображения Солнца, Луны, планеты или звезды применяют пробковые кружки, соответственно окрашенные, например: Солнце — желтое, Луна, Венера или звезды—белые.

Помещая кружок на эклиптику (рис. 2), для чего в пробке делают вырез сообразно толщине проволочного круга, вращают за ось мира и наблюдают путь светила над горизонтом.

Постепенное перемещение Солнца по эклиптике с запада на восток покажет соответствующее изменение по временам года высоты Солнца в кульминации, изменение точек восхода и захода Солнца. Перемещая ось мира по широте, можно легко показать, что происходит в течение года с Солнцем для полюса, полярного круга, средней широты, тропика и экватора.

Имея в виду, что Луна в своем собственном движении лишь немного отклоняется от эклиптики, помещая ее на этот круг, легко выяснить, почему летом в средних широтах полная Луна ходит низко, а зимой высоко. Почему Луна в первой четверти весной высока, а осенью низка, а в последней четверти — наоборот.

Трудно исчерпать все разнообразные применения этой проволочной модели. Преподаватели, пользующиеся ею, объясняют как элементарные понятия, так и более сложные. Даже учащихся начальной школы интересует, как движется Солнце в разное время года, как делятся сутки на день и ночь. Для показа этого стоит только слегка передвигать по желтому кругу пробочку — Солнце — и вращать за ось мира.

Размеры модели достаточно велики (около 60 см) для пользования в классе, но в разобранном виде прибор занимает немного места.

Рис. 4

ЧАСТНАЯ МЕТОДИКА

К ВОПРОСУ МЕТОДИКИ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ*

И. ГАЛАЙ (Киев)

1. Роль геометрической задачи в курсе геометрии средней школы

Геометрическая задача играет весьма важную роль в систематическом курсе геометрии. Она: а) воспитывает у детей способности находить и осознавать функциональную зависимость между величинами вообще, ибо эта зависимость и величины выступают здесь более выразительно и ярко, нежели в задачах других разделов математики; б) развивает уменья применять приобретенные теоретические положения геометрии к решению практических заданий; в) развивает у них пространственные представления и конструкторские способности; г) воспитывает у детей уменье доказывать, четко определять и классифицировать математические понятия; д) содействует развитию точности мышления и математического творчества.

Между тем, в предыдущие годы работы по математике в средней школе, значение геометрических задач недооценивались. В пореволюционные годы по вопросу методики решения геометрических задач вышла одна оригинальная работа М. Берга—„Приемы решения геометрических задач на построение“ и переиздана известная книжка Александрова— „Методы решения задач на построение“. Но и в этих книжках и в известной старой литературе, которая трактует вопросы решения геометрических задач (как Петерсон, Адлер и др.), вопросы методической техники решения этих задач, вопросы организации и структуры урока не рассматриваются. А между тем, эти именно вопросы сейчас являются для практического работника чрезвычайно актуальными, важными и интересными.

Условия журнальной статьи не дают возможности глубже осветить вопросы методики решения геометрических задач. Поэтому здесь мы остановимся только на некоторых, более важных вопросах методики геометрических задач, причем в качестве иллюстративного материала будем пользоваться выдержками из трех застенографированных нами уроков. Эти уроки были посвящены решению трех задач: одной на построение и двух на вычисление, причем одна — из отдела стереометрии (VIII класс). Содержание их таково:

1. „На данном отрезке AB построить сегмент, вмещающий данный угол а“.

2. „В прямоугольном треугольнике ABC из вершины С прямого угла опущен перпендикуляр на гипотенузу и на нем, как на диаметре, описана окружность, которая на катетах CA и СВ дает внутренние отрезки т и п. Определить катеты (т = 12, п— 18)“.

3. „Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а плоскости их отклонены на 60°. Общее основание равно 16 см; боковая сторона одного треугольника равна 17 см, г боковые стороны другого — взаимно-перпендикулярны. Определить расстояние между вершинами треугольников“.

Задачи по характеру и содержанию взяты типичные.

2. Особенности геометрических задач

Геометрические задачи по своему характеру и целеустремленности можно разделить на три основные группы: а) на доказательство теорем, б) на вычисление и в) на построение. Во всех геометрических задачах есть особенные характерные черты, которые резко отличают их от задач арифметических и алгебраических. В этих последних связи между данными и искомыми величинами даются или непосредственно или в форме неявных функций в самом тексте задач. В геометрических

* При обработке настоящей статьи мне сделал ценные указания проф. А. М. Астряб (Украинский научно-исследовательский институт педагогики).

же задачах для выявления подобных связей необходимо находить соответствующие теоремы и нужные геометрические формулы, которых непосредственно в тексте задачи не дано, и взять те из них, которые полностью обнаруживают особенности и взаимные связи отдельных элементов, данных в составе геометрических построений задачи. Эта особенность геометрической задачи требует от учащегося достаточных знаний из области соответствующего раздела геометрии и уменья решать уравнения первой и второй степени. Яркой иллюстрацией этому будут служить приведенные нами задачи: в первой необходимо применить теорему об измерении вписанных углов и перпендикуляре, проведенном к хорде через её середину и к касательной в точке касания; в другой — теорему о перпендикуляре, проведенном из вершины прямого угла на гипотенузу; в третьей — теорему о свойстве стороны треугольника, которая лежит против острого угла, и свойстве катета прямоугольного треугольника, который лежит против угла в 30°.

Вторая особенность геометрической задачи есть ее неотъемлемый атрибут — чертеж. Опыт целого ряда педагогов-практиков свидетельствует, что одной из важных причин ученических „провалов“ при решении геометрических задач является неуменье сделать и полностью осознать геометрический чертеж задачи, в особенности из отдела стереометрии. Чертеж конкретизирует, правильно отражает, делает наглядными все величины, которые входят в состав задачи. Он помогает ученику находить взаимозависимость между величинами и подбирать нужные для задачи теоремы геометрии, ассоциируя их с отдельными элементами чертежа.

Особенно важную роль играет чертеж в задачах на построение. Процесс решения таких задач требует пользоваться не одним, а несколькими чертежами, в зависимости от отдельных этапов решения, как это имеет место в задачах на построение.

В нашей задаче — на данном отрезке AB построить сегмент, вмещающий угол а,— мы разбиваем чертежи на три группы и размещаем их на отдельных местах классной доски (черт. 1, 2 и 3).

Первая группа чертежей — это данные условия задачи: отрезок AB и угол а. Эту группу чертят отдельно вверху слева. Вторая группа — полный чертеж условно решенной задачи, на котором производится детальный анализ. Помещаем его тоже вверху, но справа. Третья группа — готовый чертеж построенной задачи, на котором производятся заключительные этапы: проверка и исследование. Этот чертеж надо помещать посредине доски, на главном месте.

Часто при решении сложных задач (особенно задач стереометрии) является необходимость из целой геометрической фигуры выделить отдельные составные ее элементы для лучшего понимания свойств этих частей. Эти, уже дополнительные, чертежи нужно размещать около основной фигуры, из которой они выделены. Из приводимых нами задач такой дополнительный чертеж мы выделили в третьей задаче, когда явилась необходимость в выяснении свойств стороны трегольника, лежащей против острого угла.

Остальные свободные места классной доски отводятся для арифметических и алгебраических операций решения. Эта внешняя плановость и опрятность в расположении чертежей и записей помогают учащемуся лучше воспринимать и внутреннюю суть задания. Чертить с помощью циркуля и линейки должны сами ученики, роль учителя здесь сводится к оказанию помощи и исправлению допущенных учениками неточностей и ошибок. В задачах на вычисление чертежей меньше, но роль их в процессе решения задач так же значительна. Верно построенный по условию чертеж в этих задачах является базой, из которой рождается и окончательно формируется идея решения задачи.

Отсюда следует, что педагог должен добиваться полной четкости и ясности в выявлении данных и искомых величин геометрической задачи через интерпретацию их в форме правильного чертежа.

Черт. 1. Черт. 2.

Черт. 3.

Подобную же роль в решении геометрической задачи играет и модель. Хорошо изготовленная и своевременно продемонстрированная модель помогает более глубокому пониманию содержания, особенно стереометрической задачи. В задачах из планиметрии модель играет значительно меньшую роль, ибо двухмерные фигуры, вмещающиеся в одной плоскости, своим содержанием элементарнее и доступнее для детского восприятия. При использовании модели необходимо одновременно пользоваться и чертежом на доске. При этом чертеж должен целиком отображать размещение плоскостей и линий на модели, все соответствующие точки чертежа и модели должны быть обозначены одинаковыми буквами. При решении задачи в таких случаях необходимо всякий раз указывать и на модель и на рисунок.

Вот, например, как была использована нами модель во время решения стереометрической задачи.

Учитель. Я хочу показать вам еще модель, которая изготовлена мною к этой задаче. Посмотрите — вот треугольник, стороны которого имеют по 17 см, а это — тот, у которого стороны взаимно-перпендикулярны. Вот его прямой угол С. Основания, как вы видите, у этих треугольников равны.

Теперь смотрите, как образуется угол между плоскостями: он может быть большим и меньшим, плоскости этих треугольников можно ставить в разные положения относительно друг друга. В нашей задаче они расположены так, что этот, посмотрите, угол равен 60°. Ищем в этой задаче расстояние между вот этими вершинами. Я тут повесил ниточку, вам ее хорошо видно. На нашем чертеже, обратите внимание, это расстояние обозначено буквами DC...

Злоупотреблять моделями, перегружать ими задачи нецелесообразно, но типичные задачи из каждого раздела показать на наглядных пособиях безусловно нужно.

3. Формы подачи учениках условия задачи

Без полного и глубокого осознания учениками содержания условия, без четкой диференциации данных и искомых величин в ней, решение задачи невозможно. Поэтому всестороннее усовершенствование приемов, отыскание самых экономных путей, ведущих к надлежащему усвоению условия, является также чрезвычайно важным вопросом методики решения геометрических задач.

Наилучшим способом, по нашему мнению, подачи ученикам условия задачи будет такой: вначале учитель сам читает условие задачи перед всем классом, четко и ясно, с целью познакомить учащихся с условием задачи в целом. Следующим этапом будет повторение задачи учителем или учениками отдельными, логически законченными частями. Это повторение нужно связывать с одновременным исполнением соответствующего чертежа одним учеником на классной доске, а остальными — в своих рабочих тетрадях. Учитель должен внимательно следить, чтобы чертеж полностью соответствовал содержанию условия задачи, и наоборот. В дальнейшем, в зависимости от сложности задачи, она повторяется одним или несколькими учениками в целом; иногда же это делает сам педагог с вторичным подчеркиванием самых трудных и сложных мест условия. Наконец, заключительным этапом будет окончательное фиксирование данных и искомых величин задачи и постановка основного вопроса: что же в задаче нужно определить?

Вот, например, как мы разбирали в классе условие первой задачи.

Учитель. Послушайте, условие задачи таково:

„На данном отрезке прямой AB построить сегмент, вмещающий данный угол а“.

Вот и все условие, правда, очень краткое.

Но решается эта задача не особенно легко.

Рая, иди к доске. Разберем подробно условие задачи, данные в ней величины запишем на доске, а вы все — в своих тетрадях. (Ученица выходит к доске, остальные внимательно слушают.)

Теперь я буду читать условие задачи отдельными частями, и одновременно будем пополнять чертеж. „На данном отрезке прямой AB построить сегмент“... Что ты, Рая, запишешь на доске из этой части условия?

Ученица. Я начерчу отрезок AB, который дан в условии.

Учитель. Хорошо (обращается к классу). Кто скажет, какой длины должен быть этот отрезок? (Ученики поднимают руки.) Скажи, Цилык.

Ученик. Длина этого отрезка нам неизвестна, его можно взять любой длины.

Учитель. Верно. Отрезок этот нам дан не числом, а в натуральном виде, просто отрезок некоторой длины. Начертим на доске любой длины отрезок и будем считать его данным. В тетрадях вы начертите тоже отрезки определенной длины. (Ученица на доске с левой стороны с помощью линейки и цир-

куля чертит данный отрезок, остальные ученики чертят в тетрадях.)

Учитель. Продолжаем... „на данном отрезке AB нужно построить сегмент, вмещающий данный угол а“.

Скажи, Рая, что еще дано в условии задачи?

Ученица. Дан угол а.

Учитель. Начертим этот угол а на классной доске, а вы — у себя в тетрадях. (Ученики чертят.) Повтори, Рая, какие данные мы имеем в этой задаче.

Ученица. Нам дан отрезок AB и угол а.

Учитель. Кто теперь скажет, что же на основании этих данных мы должны построить?

Ученица. На основании этих данных мы должны построить сегмент... и т. д.

В третьей задаче этот процесс сложнее и проходил он у нас так:

Учитель. Читаю условие, слушайте внимательно: „Два равнобедренных треугольника имеют общее основание“... и т. д. (условие читается до конца). Теперь один из учеников пойдет к доске, я буду читать условие задачи по частям, и одновременно будем исполнять чертеж. Иди к доске, Ш. Читаю первую часть условия: „Два равнобедренных треугольника“... и т. д. (Ученик чертит на доске два равнобедренных треугольника с общим основанием, как требуется по условию.)

Черт. 4.

Теперь укажем отклонение плоскостей треугольников на 60°. Кто скажет, как обозначить этот угол, указать его величину?

Ученик. Это сделать нетрудно — надо провести перпендикуляры с вершин равнобедренных треугольников на их общее основание AB. Эти перпендикуляры упадут в одну общую точку, потому что треугольники равнобедренные.

Учитель. Хорошо. Скажи, Ш., для чего же проводить эти перпендикуляры?

Ученик. Эти перпендикуляры образуют линейный угол, который будет служить мерой двугранного угла, образованного плоскостями треугольников. Этот именно угол и будет равен 60°.

Учитель. Ш., проведи перпендикуляры и обозначь буквами полученный линейный угол. (Ученик исполняет.)

Так. Заканчиваем условие: „Общее основание равно 16 см; боковая сторона одного треугольника равна 17 см, а стороны другого — взаимно-перпендикулярны. Ш., запиши эти данные на нашем чертеже.

(Ученик пишет АВ = 16 см, а на чертеже записывает на стороне AD и DB = \7 см.)

Учитель. Какие стороны у тебя, Ш., взаимно-перпендикулярны?

Ученик. Перпендикулярны стороны АС и СВ, угол С—прямой. Второй треугольник: ADB — тоже равнобедренный, стороны которого имеют по 17 см.

Учитель. Хорошо. Заканчиваем... „определить расстояние между вершинами треугольников“. На нашем чертеже, как вы видите, это расстояние будет DC. LU., соедини вершины прямой. (Ученик соединил и обозначил это расстояние через х.)

Учитель. Обращаю ваше внимание, что решить с успехом задачу можно лишь при одном непременном условии: хорошо понять содержание задачи, правильно сделать чертеж, из которого была бы видна взаимная связь между данными величинами и искомыми. Поэтому условие задачи надо повторить еще раз. Повтори первую часть условия. (Ученик повторяет.) Продолжай.

Ученик. Плоскости этих треугольников отклонены на 60°.

Учитель. Назови этот угол и скажи, что он здесь показывает.

Ученик. Угол этот на чертеже обозначен DMC. Он образован перпендикулярами из вершин равнобедренных треугольников на общее основание и является мерой двугранного угла, образованного плоскостями этих треугольников.

Учитель. Хорошо. С условием задачи закончили...

На этом уроке при разборе условия демонстрировалась и модель, но ее роль была второстепенная, основной же базой анализа условия, а потом и решения, был чертеж.

Этот порядок можно применять тогда, когда у учащихся налицо достаточно развиты пространственные представления и когда сам чертеж не особенно сложный. В противном же случае целесообразнее делать наоборот: начинать разбор условия на стереометрической модели и только после этого приступать к исполнению чертежа на классной доске и в тетрадях.

Эти примеры показывают, как серьезно и внимательно нужно проводить разбор условия задачи, выполнение чертежей и использование моделей.

4. Процесс решения задачи

Решение геометрической задачи на построение, как известно, проходит такие этапы:

а) анализ, когда представляют искомую фигуру построенной и с помощью ряда соображений изучают взаимозависимость составных элементов данной фигуры, с целью найти тот путь, которым задача может быть решена;

б) построение, когда на основании установленных связей, применяя соответствующие методы, исполняют построение;

в) проверку, когда проверяют правильность полученной фигуры, т. е. соответствует ли она данным условия, и

г) исследование, когда выясняют, при каких условиях задача возможна и сколько она может иметь решений.

Основным этапом здесь будет анализ, где детально анализируются все связи между составными элементами задачи. Из целого ряда комбинаций, возможных путей и методов построения искомой фигуры выбирается и обосновывается наиболее простой и в то же время наиболее эффективный.

Приводим образец анализа первой задачи на построение.

Учитель. Чтобы легче было обнаружить способы построения этого сегмента, допустим, что задача наша уже решена. Сделаем справа новый чертеж условно решенной задачи и будем искать связей между данными нам в задаче величинами и тем сегментом, построить который нам нужно. П., иди к доске. Возьми произвольным радиусом окружность и начерти в нем сегмент. (П. с помощью циркуля чертит окружность и проводит хорду AB.)

Черт. 5.

Скажи, Г., что такое сегмент?

Ученик. Сегмент — это часть круга, ограниченная хордой и дугой.

Учитель. Покажи, П., какая именно часть круга будет сегмент. (П. показывает.)

Так. Начерти, II., в этом сегменте угол, который вмещался бы в нем, как об этом сказано в задаче. (П. чертит вписанный угол, который опирается на хорду AB, и обозначает его через F.)

Черт. 6.

Учитель. Скажи, где должна лежать вершина этого угла?

Ученик. Вершина этого угла должна лежать в какой-нибудь точке окружности, ибо эта дуга есть геометрическое место точек, из которых хорда AB видна под углом F.

Учитель. В., как называется угол F и чем он измеряется?

Ученик. Этот угол называется вписанным и измеряется половиною дуги, на которую он опирается, половиною дуги AB.

Учитель. Обратите внимание на величины, данные нам в задаче, и на полученный чертеж, не найдете ли вы в нем данных в задаче элементов? (Ученики поднимают руки.) Скажи, Ш.

Ученик. Мне кажется, что в этой окружности такие элементы есть: вот эта хорда AB есть данный нам в задаче отрезок AB, а угол F есть данный в задаче угол а.

Учитель. Ты сказал верно: в этой окружности есть данный нам в задаче отрезок AB — это хорда AB, а данный угол а есть вписанный угол F. Значит, мы построили тот самый сегмент, который вмещает в себе данный угол. Теперь давайте будем искать связей между данными в задаче величинами и искомым сегментом.

Вы видите, что для построения сегмента нам нужно построить окружность. Это первый и основной вопрос, который мы должны будем с вами решить.

Ученик. Для построения окружности нужно прежде всего найти центр.

Учитель. Это совершенно верно, нам нужно сейчас искать центр. Как же это сделать?

Ученик. Необходимо две хорды разделить пополам, из этих середин провести к хордам перпендикуляры и там, где перпендикуляры пересекутся, будет центр окружности.

Учитель. Правильно. Иди, К., и найди центр этой окружности (К. выходит и находит

центр, как Оыло сказано.) Хорошо. Садись. Скажите, обе ли хорды нам даются в задаче?

Ученик. Нет, нам дана лишь одна хорда AB.

Черт. 7.

Учитель. Одной хорды будет достаточно для отыскания центра?

Ученик. Нет. Надо иметь две хорды.

Учитель. Верно, но дается-то нам лишь одна хорда. Не припомнит ли кто из вас другого способа отыскания центра окружности?

Ученик С. Центр окружности можно найти с помощью одной хорды и касательной. Для этого нужно провести касательную и из. точки касания провести перпендикуляр к касательной, он тоже будет проходить через центр.

Учитель. Да, этот второй способ отыскания центра мы в данной задаче используем.

Проведи, К., через точку В касательную к окружности. (К. проводит.) Обозначь угол, который образован этой касательной и хордой, через букву ß (К. обозначает)*.

Ученик Г. Я не понимаю, как мы можем проводить касательную, если у нас не будет окружности?

Учитель. Конечно, к несуществующей окружности вообще касательной провести нельзя. Но в данной задаче на основании данных условия мы такую касательную провести сумеем раньше, нежели будем иметь окружность. Вот вы обратите внимание на угол ß, который образован хордой и касательной. Вспомните, как измеряется угол, образованный хордой и касательной.

Ученик Б. Угол, составленный касательной и хордой, измеряется половиной дуги, которая заключена в этом угле.

Учитель. Какая же дуга находится в этом угле?

Ученик С. В нем находится дуга AB.

Учитель. Скажите, какой еще угол измеряется половиной этой дуги AB?

Ученик Б. Половиной дуги измеряется еще вписанный угол а.

Учитель. Какая же связь тогда существует между углами а и р?

Ученик С. Эти углы будут равны, потому что измеряются половиной одной и той же дуги AB.

Учитель. Верно. Теперь посмотрим, откуда мы взяли угол а?

Ученик Б. Угол а нам дан в условии задачи.

Учитель. Так. Угол а нам дан в условии задачи, а угол ß ему равен, значит угол ß может быть заменен углом а.

Теперь вы видите, что с помощью угла а мы можем провести касательную раньше, нежели у нас будет построена окружность. Скажите теперь, как же это можно сделать?

Ученик М. Теперь это сделать совсем легко. Нужно провести отрезок AB и около одного его конца, допустим В, с помощью циркуля построить данный угол а, вторая сторона его будет служить касательной.

Учитель. Правильно. Подведем теперь итоги нашей беседы. Имеем отрезок AB, который в построенной задаче будет служить хордой. Для построения касательной отложим при точке В данный угол а. Из середины отрезка AB и из точки касания к касательной проведем перпендикуляры; там, где эти перпендикуляры пересекаются, будет центр искомой окружности. Проведя окружность, получим искомый сегмент, который будет вмещать в себе данный угол а, потому что дуга этого сегмента будет геометрическим местом точек, из которых данный отрезок AB виден под углом а..,

Черт, a

Черт. 9.

* Маленькие дуги внутри угла ß (черт. 8) и угла а (черт. 9) ошибочно не доведены до касательной.

Само построение задачи после надлежащего предварительного анализа проходит без осложнений и довольно быстро. Это ярко подтвердилось на примере построения первой задачи, когда ученик Березенко в течение 2 минут выполнил все построение.

Приведем выписку из стенограммы:

Учитель. Иди, Б., сделай построение.

Ученик Б. Отложим данный отрезок AB (откладывает). Теперь нам надо перенести сюда угол а. Перенесем его к точке В (переносит угол а). В полученном угле сторона угла a BE будет служить касательной. Из точки касания В проведем один перпендикуляр, а из середины отрезка AB — другой перпендикуляр. Точка их пересечения О будет служить центром искомой окружности. Из центра О радиусом OB опишем окружность. Теперь можно построить угол а. Вершина его будет лежать в какой-нибудь точке дуги сегмента, ибо все углы, вершины которых лежат на этой дуге, будут измеряться половиной дуги AB, на которую они опираются, т. е. все они равны между собою и равны данному углу а. (Все сказанное выполняет циркулем и линейкой.)...

Приведем образцы проведения следующих этапов решения задачи — проверки и исследования.

Учитель. Осталось произвести проверку, все ли требования задачи нами исполнены.

Скажите, есть ли здесь данный в задаче отрезок AB?

Ученик П. Да, этот отрезок здесь есть, это хорда AB, мы его построили в самом начале.

Учитель. А угол а?

Ученик А. Угол тоже есть, мы его построили возле отрезка AB без изменений, как дано в задаче.

Учитель. Почему же этот угол, построенный возле отрезка AB, будет равен углу, который вмещается в сегменте?

Ученик С. Эти углы равны, потому что измеряются половиной одной и той же дуги AB.

Учитель. Хорошо. Нам осталось ответить еще на два вопроса. Первый: всегда ли такая задача возможна?

Ученик К. Я думаю, что эта задача всегда возможна.

Учитель. Посмотрим. Обратите внимание на чертеж. Если вписанный угол будет острый, он будет измеряться половиной дуги меньшей полуокружности; если угол будет прямой, он будет измеряться половиной полуокружности; если мы угол будем увеличивать дальше, то дуга, которой он будет измеряться, увеличиваясь, никогда не может стать больше целой окружности, а потому этот вписанный угол никогда не может стать больше двух прямых углов, а всегда должен быть меньше двух прямых углов.

Второй вопрос: сколько решений может иметь эта задачи?

Ученик Ш. Я полагаю, что задача имеет только одно решение.

Учитель. Да. Для каждого данного угла сегмент можно построить только один по величине. Положение этот сегмент может занять и по одну и по другую сторону отрезка AB. К этому нужно прибавить, что острому углу соответствует больший сегмент, прямому углу — полуокружность, тупому углу — меньший сегмент...

Правда, в этой задаче прозерка несложная, она ограничена 2—3 вопросами. Процесс исследования ставит перед учащимися серьезные требования в смысле знаний основных геометрических теорем, хорошо развитых математических представлений и умений все это соответствующим образом комбинировать и использовать для решения данного задания. Благодаря довольно большим трудностям в этой области, этап исследования часто совсем выпускают из процесса решения. В нашем уроке, как видно из стенограммы, этот вопрос проработан тоже недостаточно глубоко.

В задачах на вычисление процесс решения по своим структурным особенностям значительно проще. Здесь, после разбора условия и изготовления чертежа, приступают непосредственно к самому решению. Основным в решении здесь есть момент подбора нужных теорем на основании детального анализа составных элементов чертежа. Дальше нужно их расположить в определенной логической последовательности и составить общий план решения задачи.

Приведем отрывок из стенограммы урока решения второй задачи (первая половина):

Учитель. Приступайте к решению, (черт. 10)

/71=12,

я = 18.

(Ученики наклоняются над тетрадями и тихо между собой советуются. Проходит полминуты.)

Учитель. Послушайте, я вам помогу. Соедините точки Е и F с точкой D. Так советует, между прочим, и Рыбкин в своем задачнике. (Ученик возле доски дополняет рисунок новыми отрезками.)

Присмотритесь внимательно к новой фигуре, которая образовалась. (Ученики внима-

Черт. 10.

тельно рассматривают рисунок. Решают самостоятельно. Проходит 2 минуты. Несколько учеников поднимают руки.)

Ученик Г. Мы имеем здесь прямоугольный четырехугольник FCED, в котором сторона FC=ED и обе они равны т, а сторона FD = СЕ и обе они равны п.

Учитель. Верно. Нам нужно только доказать, что этот четырехугольник будет прямоугольный, т. е., что у него все углы прямые.

Ученик С. Эти углы будут прямые, потому что угол С прямой по условию, а угол F и Е прямые потому, что опираются на диаметр. Значит и четвертый угол D тоже будет прямой.

Учитель. Правильно. Имеем прямоугольный четырехугольник с равными, конечно, противоположными сторонами. Соболь, обозначь, что FD = n, a ED—т.(С. обозначает.)

Продолжайте дальше сами. (Пауза.)

Ученик Б. У нас здесь создалось такое: треугольники CFD и CED, имеющие по одному равному углу и одну общую сторону, будут подобны, а если они подобны, то из отрезков можно будет составить пропорцию.

Учитель. Этот путь, Б., не даст нам нужных результатов, так как искомые отрезки AF и ЕВ в названные тобой треугольники не входят. Ищите других способов. (Пауза.)

Рекомендую обратить внимание на треугольник ACD и отрезок в нем FD.

Ученик М. Это прямоугольный треугольник, так как угол около точки D—прямой, отрезок FD будет перпендикуляром к АС.

Учитель. Очень хорошо. Нам именно это и нужно.

Давайте этим путем будем двигаться дальше. Треугольник ACD — прямоугольный, из вершины прямого угла D провели перпендикуляр FD на гипотенузу. Теперь припомните свойства этой высоты и т. д.

Составляется пропорция

Учитель. Б., прочитай полученный результат. (Ученик Б. читает.) Подумаем, как же теперь найти весь катет АС.

Ученик П. Надо к полученному результату прибавить тот отрезок, который находится в середине окружности, т. е. отрезок т.

Учитель. Сделаем сложение.

^Ученик пишет:

Учитель. Таким образом, один катет прямоугольного треугольника нашли. Теперь таким же путем ищите другой катет и т. д...

Приведем еще отрывок из процесса решения третьей задачи (черт. 4):

Учитель. Приступайте к решению. (Ученики начинают работать. Проходит около 1 минуты. Несколько человек поднимают руки.)

Учитель. У тебя, Н., есть какое-нибудь предложение?

Ученик Н. Да, по-моему, здесь надо прежде всего определить высоту DM из прямоугольного треугольника ADM.

Учитель. Правильно. Кто же скажет, как найти высоту DM?

Ученик М. Найдем прежде отрезок AM. Опущенный перпендикуляр делит основание AB пополам, а потому AM = 8 см, ибо все AB = 16 см. После этого применим непосредственно теорему Пифагора и найдем катет AM.

Учитель. Хорошо. Ш., сделай вычисления.

(Ш. пишет: DM2 = AD2 — AM2; DM2= 172 — 82 = 289 — 64 = 225; /Ж = /225 = 15 см.)

Учитель. Так. Высота DM у нас есть. Будем искать высоту второго треугольника MC. (Ученики работают самостоятельно.)...

Роль учителя

Не приводя далее разбора третьей задачи, укажем, что в наших примерах мы хотели подчеркнуть, как в зависимости от сложности задачи и возраста учащихся (первая и вторая задачи давались в VII классе, а третья в VIII) в процессе организации урока могут то усиливаться, то уменьшаться активность и самодеятельность учащихся. Но учитель неизменно остается центральной фигурой на уроке, руководителем педагогического процесса. Если в первой задаче на построение в течение целого урока инициатива находится в руках учителя, то в другой и особенно в третьей

задачах заметно усилена роль учеников. Здесь учитель лишь организует и направляет инициативу учеников на правильные пути решения и только в более трудных местах берет на себя инициативу и ускоряет процесс решения. Соответственно с этим в первой задаче превалирует форма эвристическая, и урок проходит довольно напряженно, в другой и особенно третьей задачах форма эвристическая применяется значительно реже, ученики много работают самостоятельно, и урок проходит гораздо

спокойнее. Чтобы полностью использовать в решении геометрических задач, а это безусловно необходимо, инициативу и самодеятельность учеников, нужно рассчитывать содержание задач соответственно развитию и общей подготовке учащихся. Здесь полезно будет провести одну интересную мысль, высказанную известным старым педагогом — методистом Шохор-Троцким: „Работа, которую должны преодолеть учащиеся, не должна быть выше их сил, но она не должна быть и ниже их“.

ОБ ОДНОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ МНОГОЧЛЕНОВ, СОДЕРЖАЩИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Р. ГАНГНУС (Москва)

I. При прохождении раздела о приведении многочленов, содержащих тригонометрические функции, к виду, удобному для логарифмирования, обычно учащимся дают для преобразования многочлены

sin а + sin ß -f sin у и tg а —[— tg ß -j— tg y

при условии, что а —f- ß —|— у = тг.

Этим и ограничивается все преобразование, и полученные результаты не находят затем никакого приложения. Между тем, учащиеся без всякого труда запоминают симметричный результат этих преобразований:

(1)

(2)

а потому немалый интерес представляют и ге вопросы, которые быстро и изящно решаются на основании полученных формул.

II. Рассмотрим некоторые приложения названных формул.

Пусть требуется преобразовать в одночлен выражение

1. sin a -f-sin 2а -f- sin За.

Заменяя последний из членов выражения минусом положительного угла, имеем

sin а -}- sin 2а -f - sin За = = sin а -f- sin 2а + sin (тс — За),

после чего на основании формулы (1) очевидно получаем:

ибо a-\-2a-{-Ti — За = тс, и условие, при котором указанные формулы имеют место, выполнено.

Сопоставим обычное решение с только что полученным:

Получен тот же результат, но быстрее.

Таким же образом легко преобразовать в одночлен сумму трех синусов, при условии, что один из аргументов равен сумме двух остальных. Например:

Так же просто решаются следующие примеры, приводящиеся к формуле (1):

Таких примеров можно подобрать очень много.

III. Весьма удобно также использовать формулу (1) при решении тригонометрических уравнений. Так, например, уравнение

1. sin2*-j-sin 3#-(-sin5.k = ()

на основании формулы (1) легко решить путем разложения левой части на множители:

Все полученные решения, как нетрудно убедиться, удовлетворяют данному уравнению. Решим еще несколько уравнений:

И, таким образом, решение данного уравнения сводится к решению трех простейших уравнений.

И таких примеров можно подобрать сколько угодно, лишь бы сумма аргументов трех синусов, получаемых после замены, равнялась 180° или тт.

IV. Все сказанное в равной мере относится и к применению формулы (2)

tga + tgß4-tgy = tgatg?tgy

при

а + Р + У = “

Так, например,

Точно так же решаются уравнения:

На основании предыдущего примера имеем:

а потому

откуда

остается только проверить полученные решения.

V. При достаточных навыках в преобразованиях можно учащимся предложить еще доказать, что

Тогда на

основании формулы (3) легко решить, например, уравнение

Результат этот мы получили в разделе IV, пример 4.

VI. Подобного рода преобразования могут быть продолжены еще дальше, если пользоваться легко доказуемыми тождествами

при условии, если a-f-ß-t-y^^O , или тг, или тождеством

при условии, если а-J-ß + y4-& = 360°, или 2тг.

Останавливаться на этом, однако, мы сейчас не будем. Вполне достаточно, если учащиеся применят при решении уравнений или при преобразованиях многочленов, содержащих тригонометрические функции, первые две формулы (1) и (2), приведенные в самом начале.

ПРОСТЫЕ ПРИБОРЫ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ ВРЕМЕНИ

(В помощь школьному кружку по физике)

М. ГРАБОВСКИЙ (Москва)

Первое сложное физическое понятие, которое учащиеся усваивают до знакомства с физикой в школе, конечно, — время. Год, месяц, шестидневка, сутки, минута и секунда известны школьникам как единицы, служащие для измерения времени. В подавляющем числе случаев ребята без преподавателя физики научились определять время по часам, по солнцу, умеют разбираться в различных циферблатах (арабские и римские цифры, деление циферблата на 12, на 24), некоторые знают правила обращения с часами, а иногда с секундомерами. Этих сведений средняя школа почти не расширяет. Разве при прохождении системы CGS преподаватель физики сообщит о существовании понятия солнечных и звездных суток и даст определение единицы времени — секунды.

Нам кажется, что этого мало. Если от молодого человека, окончившего среднюю школу, никто не потребует определения времени с точки зрения теории относительности, то знать учащемуся о возможных приемах измерения времени необходимо.

Если последнее трудно сделать в классной обстановке из-за обилия программного материала по курсу физики, то мы считаем возможным перенести тему „Как измерять время“ в школьный кружок любителей физики. Эта тема дает много простых демонстраций, самостоятельная постановка которых вполне по силам школьникам старших классов.

Исходя из вышесказанного, мы в настоящей статье опишем ряд периодических процессов, которые, вследствие постоянства их периода, могут быть использованы для измерения времени. Помимо периодических процессов в этот перечень будут отнесены все явления, продолжительность которых при неизменных условиях постоянна. Некоторые демонстрации, описанные ниже, известны читателю, но все же мы считаем необходимым

хоть вкратце о них упомянуть с точки зрения возможности использования последних для измерения определенных промежутков времени. Некоторые демонстрации имеют историческое значение. Показ последних в кружке будет неплохой иллюстрацией истории развития техники измерения времени.

I. Время выливания жидкости из сосуда или время заполнения жидкостью сосуда — единица времени

1. В дне или сбоку у дна любой формы сосуда (бутылка, банка) делается отверстие, закрывающееся пробкой. Затем сосуд заполняется до определенной метки водой. Открыв пробку с одновременным пуском метронома или секундомера, демонстратор определяет продолжительность выливания воды из сосуда. Опыт повторяется еще не менее двух раз для установления постоянства во времени этого явления.

Подбирая различные сечения отверстий сосудов и изменяя уровень метки, до которой будет заполняться водой сосуд, возможно получить такой сосуд, из которого вода выливается ровно в 15, 40, 60 минут. Если сосуд имеет форму, например, цилиндра, то проще предварительно произвести такой расчет;

(1)

где t—время опоражнивания сосуда, St— площадь сечения сосуда, S2 — площадь сечения струи, H — расстояние между уровнем жидкости и уровнем отверстия и g—ускорение поля тяжести. Рекомендуем на боковой поверхности цилиндрического сосуда отметить ряд уровней, соответствующих времени вытекания в 5, 10, 15 минут. Следует заметить, что отложенные отрезки не пропорциональны промежуткам времени выливания.

2. Этот опыт возможно изменить таким образом. К отверстию сосуда прикрепляем различные насадки, имеющие различные сечения (цилиндрические, конические и т. д.). Последнее обстоятельство вызовет изменение площади сечения струй у самого отверстия. Так как в формулу, определяющую время вытекания воды, входит S2 (см. формулу 1), то нетрудно сделать такой вывод, что время выливания воды при одинаковом H и S1 (сечение сосуда) обратно-пропорционально сечению струи.

Следовательно, если взять два сосуда одинаковой формы и сечения, с равными по сечению отверстиями, но с насадками разного типа, то такие сосуды будут опорожняться в разные промежутки времени лишь при условии заполнения их водой до различного уровня.

Практически смену насадок следует осуществлять таким образом: отверстие сосуда Л (рис.1) закрывается пробкой ab, сквозь которую проходит стеклянная трубка, имеющая всегда одно сечение с внутренней стороны и разное — с внешней.

Последние опыты помимо интереса, связанного с темой статьи, имеют также гидродинамическое значение.

3. Возьмем металлическую чашку (или другой формы сосуд), устойчиво плавающую на поверхности воды. В центре дна сделаем маленькое отверстие, сквозь которое будет поступать вода, вызывающая погружение чашки в воду. Подбирая резмеры отверстия и снабжая чашку в верхней части предметами, удельный вес которых меньше воды (пробка и т. д.), возможно создать такие условия, что время погружения сосуда в воду в точности равно 5, 10 и т. д. минутам. Этот и первый опыт этой главы имеет историческое значение. В древней Греции описанным методом регулировали время, предоставленное защите и обвинению для произнесения речей в суде, устанавливали время явки на собрания, отмечали время между двумя поливками полей* и т. д.

4. Все три описанных опыта относятся к воде. Демонстрация, однако, изменится, если следить за вытеканием разных жидкостей. Вязкость вызовет изменение скорости вытекания жидкостей, несмотря на сохранение прочих равных условий (объем, форма сосуда, площадь отверстия).

Для демонстрации этого опыта (рис. 2) следует взять небольшой сосуд с капиллярной трубкой в нижней части сосуда и с воронкой в верхней. В двух наиболее узких местах сосуда поставить метки. Заполнив воронку а водой, следят за тем моментом, когда поверхность воды при вытекании проходит метку Ь. В этот момент пускают секундомер. Второй отсчет секундомером следует сделать при прохождении понижающегося уровня воды мимо метки с. Разности отсчетов времени укажут на продолжительность вытекания воды в объеме части сосуда между метками

Рис. 1.

* Дильс — „Античная техника“, Государственное технико-теоретическое издательство, 1934 г.

Рас. 2.

b и с. Опыт повторяется еще два раза и устанавливается постоянство времени этого процесса. В условиях демонстрационного опыта это показать нетрудно. Вели сосуд мал, то возможно этот опыт показывать в проекции. Затем тот же сосуд заполняется спиртом или раствором поваренной соли в воде, и опыт повторяется аналогично первому. Экспериментатор убедит аудиторию, что время вытекания для другой жидкости изменилось. В зависимости от диаметра трубки следует брать жидкости с большей или меньшей вязкостью, чтобы получить заметное в демонстрационном отношении изменение продолжительности процесса. Из последней демонстрации можно сделать два вывода : 1) время вытекания жидкости из сосуда определенной формы и объема является критерием вязкости, жидкости. Прибор для определения вязкости, основанный на этом принципе, называется вязкозиметром; 2) явление вытекания любой жидкости из сосуда может служить приемом для измерения времени.

5. Далее следует остановиться на рассмотрении песочных часов, которые по устройству принципиально ничем не отличаются от „водяных“ часов (рис. 3). Песок, применяемый для этой цели, должен быть мелким, тщательно просеянным от крупных песчинок. Песочные часы, отрегулированные на 1, 2, 5 и т. д. минут, можно приобрести в магазине наглядных пособий. Задержать внимание ребят на песочных часах необходимо, так как за последними большая и почетная история. Время на судах в течение нескольких столетий измерялось песочными часами, отмечавшими полчаса, 1 час. В момент пересыпания всего песка из верхнего сосуда в нижний матрос, стоящий на вахте, ударял в колокол, отбивал „склянку“.

6. Наряду с песочными часами в средние века применялись ртутные. Вместо пересыпающегося песка пользовались ртутью*. Мы выделяем вопрос о ртутных часах отдельно, так как прием измерения времени при помощи ртутных часов можно несколько обновить современной техникой и сделать этот прибор предметом изготовления школьного кружка.

На рисунке 3 изображен сосуд, в узкую часть которого впаяны два электрода: а и b (желательно платиновые). Располагать электроды рекомендуется возможно ближе друг к другу.

Электроды соединены с электромагнитным источником постоянного тока (4-вольтовый аккумулятор). Описываемый сосуд, подобно песочным часам, заполняется чистой ртутью, переливание которой из верхней части сосуда в нижнюю (при данной площади сечения соединительной трубки) происходит в определенный промежуток времени. При переливании ртути последняя осуществит контакт между впаянными электродами, и цепь электромагнита M будет замкнута. Следовательно, продолжительность переливания ртути равна времени замыкания электрической цепи. Этот прием контактирования при. помощи ртутной струи распространен в технике; желательно обратить внимание участников кружка на

Рис 3.

* Ртутными часами впервые пользовался при наблюдениях Тихо-де-Браге.

Рис. 4.

это обстоятельство. Что же касается дальнейших деталей этого опыта, то они могут быть весьма разнообразны. Мы предлагали такой вариант. Цепь электромагнита и ртутных часов является лишь реле к другой цепи, состоящей из электрической лампы и другого источника тока. При полном вытекании ртути ток в электромагните прекратится, пружина с отойдет от электромагнита и замкнет цепь лампы. Повертывание сосуда „вверх дном“ повторит процесс в том же порядке. Так как впаивание электродов в соединительную шейку сосуда А проделать довольно трудно, а также представляет некоторые трудности осуществление контакта при помощи ртутной струи, то возможен другой вариант. Четыре электрода впаиваются в узкие части конусов (рис. 4), и контакт в данном случае осуществится просто заполнением ртутью всего пространства между двумя верхними действующими электродами. Все остальные детали опыта остаются неизменными.

II. Измерение времени методом капли

Если жидкость вытекает из тонкой трубки, го сплошная струя жидкости разбивается на капли, частота образования которых зависит от ряда причин. К последним относятся: диаметр трубки, из которой вытекает жидкость; силы поверхностного натяжения, величина которых в свою очередь зависит от температуры; степень чистоты жидкости и т. д.

Особенно важно в данном опыте поддерживать постоянство гидростатического давления в сосуде. Последнее достигается: 1) значительными размерами сосуда, из которого вытекает по каплям жидкость или 2) пополнением на протяжении всего опыта объема жидкости в сосуде в такой степени, что уровень жидкости остается практически постоянным. Скорости вытекания можно удобно регулировать краном, впаянным в стеклянную трубку*. Демонстрация образования капель вообще весьма поучительна. Однако, не останавливаясь на приемах демонстрации этого опыта, мы обращаем внимание читателя на другую сторону дела.

7. Явление образования капель при определенных условиях происходит почти периодически. Время нарастания капли, образование „шейки“ капли и, наконец, отрыв капли от края трубки остается одним и тем же на протяжении всего опыта.

Демонстратор без труда отрегулирует краном такой ток жидкости (воды), что время образования капли, например, равно 2 секундам. Методически правильно будет задержать внимание аудитории на 1 минуту и вслух сосчитать 30 капель, образовавшихся в течение этого времени. Для того чтобы в аудитории не только была видна работа такого „водяного секундомера“, но и слышна, мы рекомендуем натянуть на открытый конец широкой трубки тонкую резиновую пленку и расположить трубку таким образом, чтобы капли падали на натянутую резину. Аудитория в этом случае услышит „тиканье секундомера“.

8. Практическим применением такого „водяного секундомера“ будет установка, изображенная на рисунке 5. На основании последней проф. Ребиндер предложил определять величину поверхности натяжения любой жидкости, сравнивая ее с величиной поверхностного натяжения воды. На принципе определения поверхностного натяжения этим методом мы здесь лишены возможности останавливаться. Из сосуда Л, плотно закрытого стеклянной пробкой с, вытекает через трубку с краном по каплям вода (рис. 5). Вследствие этого во всей системе—в том числе и над водой—сосуда В будет наблюдаться уменьшение атмосферного давления. В сосуд В, где может быть налита любая жидкость, погружена трубка /, кончающаяся тонким капиллярным кончиком. Этот конец должен быть погружен в жидкость не глубже 1 2 мм. До начала опыта, т. е. до вытекания воды, жидкость сосуда В поднимается на некоторую высоту в капилляре k. Если

* См. „Демонстрации по молекулярной физике“ А. Б. Млодзеевского, Гос. технико-теоретическое издательство.

Рис. 5.

ке теперь открыть кран, то, вследствие указанного уменьшения давления в системе, уровень жидкости в капилляре k будет опускаться до тех пор, пока он не опустится чуть-чуть ниже уровня жидкости в сосуде В.

В этот момент пузырек воздуха по трубке / прорвется в нашу систему и повысит давление в такой степени, что жидкость вновь несколько войдет в капилляр. Продолжающееся вытекание воды из сосуда А вызовет вновь разрежение давления, которое создает явление, только-что рассказанное.

Регулируя скорости вытекания воды и подбирая толщину капилляра, возможно создать такие условия, что через каждые, например, тридцать капель, вытекших из сосуда Л, в сосуд В прорывается один пузырек воздуха. Опыт представляет некоторые трудности : скорость вытекания воды может в течение времени изменяться. Поэтому прибор нельзя отрегулировать на продолжительное время. Однако, дать члену кружка задание создать такой прибор, работающий при определенных условиях, мы считаем целесообразным для получения школьником определенных экспериментальных навыков.

9. Если капли воды при неизменных условиях образуются в определенное время, то, видимо, пополнение каплями определенного объема будет также происходить в строго определенный промежуток времени. Это обстоятельство использовано было в средние века для устройства водяного будильника*.

Описание этого будильника мы сохраняем в том виде, в каком оно сделано в рекомендованной читателю книге. „У Леонардо (Леонардо да-Винчи — знаменитый итальянский живописец, механик, архитектор и ученый) вода капала в чашу, которая с помощью рычага соединялась с другой чашей, куда была налита вода. Когда количество воды, назначенное до времени вставания, вытекало, первая чаша опускалась, вторая поднималась, вода из нее тоже выливалась в первую чашу, и силы этого давления было достаточно, чтобы поднять за ноги человека, спавшего в постели, и тем самым заставить его встать“ (Дильс, стр. 175).

Оставляя в стороне некоторую неясность в описании конструкции водяного будильника, мы можем все же сказать, что основная идея прибора ясна. Мы, конечно, не собираемся рекомендовать в кружке воспроизводить то, что описано в цитированном нами отрывке, но использовать общую идею для простого водяного реле нам кажется целесообразным.

На рисунке 6 изображена схема такого реле. На пружинных весах находится сосуд d, который заполняется водой, поступающей каплями из трубки М. Ток воды следует отрегулировать таким образом, чтобы вода, поступившая в сосуд в течение, например, часа, вызвала растяжение пружины до соприкосновения стержней b и с друг с другом (рис. 6). Последние соединены через лампу с осветительной сетью. Следовательно, лампа загорится или звонок зазвонит ровно через час.

Следует указать на некоторые предосторожности при постановке этого опыта. Напряжение в 120 вольт при сырости, которая возможна при демонстрации этого опыта, представляет некоторую опасность для экспе-

* Г. Дильс-— „Античная техника“, пер. с немецкого языка.

Рис. 6.

риментатора. Рекомендуем пользоваться низким, напряжением до 12 вольт.

10. Еще один вариант той же идеи. В сосуд А поступает вода через трубку М. В сосуде устойчиво плавает пробка (рис: 7). На последней укрепляется металлическая пластинка в виде скобы. По мере поступления воды в сосуд пробка всплывает и через определенный, нами отрегулированный, срок касается пластинок 5 и t, к которым подведен электрический ток. Последнее обстоятельство вызывает тот или иной внешний эффект. Необходимо пластинкам s и t придать вид довольно широких дуг, чтобы при возможном вращении пробки скоба обязательно коснулась пластин и тем самым произошел контакт. Возможно подачу воды производить через отверстие в нижней части сосуда, что обеспечит более спокойное всплывание пробки. Способ всплывающих пробок как прием регулировки нашел себе довольно широкое распространение в лабораторной и технической практике.

11. В начале этой главы мы указывали, что получение капель, отрывающихся от трубки в строго определенный момент, возможно при соблюдении ряда условий, в том числе и при сохранении на протяжении опыта постоянства гидростатического давления. Последнее возможно достичь способом поплавка-регулятора. На рисунке 8 изображен сосуд Л, из дна которого вытекает вода. На поверхности воды плавает пробка, верхней части которой придан вид конуса. Конус своей вершиной входит в отверстие трубки. Из трубки M поступает в сосуд А вода.

Принцип работы регулятора прост: уменьшение уровня воды в сосуде вызовет выход конуса из конца трубки и тем самым создаст увеличенный приток воды в сосуд. Последнее обстоятельство поднимет пробку вверх, и конус закроет отверстие.

В данном случае для поплавка следует взять полый металлический цилиндр (материал — тонкая листовая латунь) с площадью основания, равной внутреннему сечению сосуда. Этот способ применяется в моторе внутреннего сгорания для регулировки поступающего в карбюратор бензина, для автоматического закрывания воды в водопроводных трубах и т. д. Следует обратить внимание членов кружка на последнее обстоятельство.

III. Измерение времени при помощи сифона

Развивая мысль, что любой, периодически повторяющийся процесс может быть использован для измерения времени, преподаватель может показать такой занятный опыт.

12. В сосуд А (рис. 9) через боковое отверстие В пропущена резиновая трубка.

Рис 7.

Рис. 8.

Рис. 9.

Одним концом трубка почти доходит до дна сосуда (расстояние между концом трубки и дном сосуда 1 — 2 см), вторым концом трубка опущена в раковину водопровода. Отметим, что второй конец трубки должен быть ниже уровня дна сосуда. Сверху в сосуд черев трубку с краном С равномерно поступает вода из водопровода или из какого-либо емкого сосуда, поднятого на достаточную высоту для обеспечения некоторого, и притом постоянного, притока воды. Количество воды, поступающее в сосуд А у можно регулировать краном С (зажим Моора).

Кран следует оставить в таком положении, чтобы вода, равномерно поступая в сосуд, заполняла его до соска В в течение определенного промежутка времени (15, 30 или 60 минут). Когда уровень воды в сосуде подымется выше соска Bt то вся трубка заполнится водой. Так как конец трубки, опущенной в раковину, расположен ниже дна сосуда, то вода начнет вытекать из сосуда (сифон). Следовательно, через некоторое время вода в сосуде вся выльется через трубку Bf водяной столб в сосуде разорвется, и дальнейшее вытекание воды прекратится, несмотря на непрерывное поступление воды по трубке С в сосуд. Описанное явление автоматического вытекания будет повторяться в определенные моменты времени, соответствующие заполнению водой сосуда А выше отростка В. Для того чтобы описываемое явление получалось наиболее четко, необходимо: 1) осуществление равномерного поступления воды в сосуд АУ 2) резиновая трубка, проходящая через боковое отверстие сосуда, должна быть возможно большего сечения. Последнее обстоятельство обеспечит вытекание воды из сосуда за время, значительно (в 30, 40 раз) меньшее, нежели время наполнения сосуда. Если ввести достаточно толстую трубку (1—1,5 см диаметром) невозможно, то можно рекомендовать впаять с противоположной стороны еще один отросток (на уровне первого), через который пропустить трубку, подобно первой.

Возможно внести в прибор некоторые детали, которые сделают последний более интересным для демонстрации. В сосуд В впаиваются или опускаются через верх два угольных контакта, расположенных на уровне несколько ниже (1—2 см) уровня отростка В. Между контактами оставляется воздушный зазор не более 1—2 мм. Внешние концы впаянных электродов соединены с электрической лампой и сетью городского освещения. Следовательно, электрическая лампа гореть не будет. Однако, картина изменится, если водяные часы пустить в ход. Подымающаяся вода в сосуде заполнит промежуток между электродами и обеспечит контакт электрической сети. Лампа загорится. Она будет гореть в течение 1—2 минут, именно столько времени, сколько необходимо для подъема воды от контактов до уровня соска В и затем при выливании воды от соска В до контактов. Иными словами, лампа будет загораться через те промежутки времени, на которые отрегулированы часы. К данному случаю относятся те замечания относительно напряжения в 120 вольт, которые сделаны в описании опыта 9.

* * *

В заключение мы считаем необходимым высказать несколько соображений относительно школьного кружка любителей физики.

„Кружок любителей физики“— весьма редкое явление в наших школах. Причины последнего кроются в следующем: отсутствие помещения, опытных руководителей, а также планов кружка, способных заинтересовать юных участников.

В лучшем случае кружок занимается дублированием урока или превращается в кружок радиолюбителей. Нам кажется, что делу оживления работы школьного кружка поможет внедрение в план его работы тем, связанных с техникой демонстрирования физических опытов. Последняя работа дает большой экспериментальный материал, способный заинтересовать членов кружка. Участие в постановке ряда опытов по физике будет способствовать закреплению того программного материала,

над которым участники кружка работают в классе. Кроме того, ряд интересных в демонстрационном отношении тем, исключенных из программного материала за недостатком времени, может быть отнесен для работы в кружке. Исходя из вышеизложенного, мы предлагаем одну из тем, которую следует включить в план работы кружка.

Эта тема может быть проработана в кружке таким образом: 1) постановка всех 12 описанных опытов, 2) разработка других, вариантов этих опытов, 3) изготовление „сифонных часов“, отрегулированных строго по часам и установленных в школе (в физическом кабинете), 4) постановка доклада в кружке на тему: „Как в древние и средние века люди измеряли время“, с демонстрацией соответствующих опытов.

ПРОСТЕЙШИЙ СПОСОБ ИЗМЕРЕНИЯ ДЛИНЫ СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ

Проф. В. ШУЛЬГИН (Москва)

Заметка „Определение длины световой волны при помощи почтовой открытки“ (перевод В. Юськовича), помещенная в № 4 „Матем. и физики“ за 1934 г., представляет интерес для качественного демонстрирования явления дифракции*.

Опыт удается легко: при визировании на белый бумажный экран, освещенный сзади электрической лампой, картина дифракции хорошо заметна в виде чередующихся темных и светлых полосок. Но измерить расстояния между полосками крайне трудно. Предлагаемый в заметке способ совмещения светлых полосок с заранее проделанными дырочками непригоден ввиду того, что расстояния между полосками очень малы**, самые же дырочки должны быть поневоле достаточно велики, чтобы их можно было рассмотреть на расстоянии в полметра: относительная ошибка такого измерения достигает 50% и более. Длина волны, например, красного цвета может оказаться меньше, чем длина волны зеленого цвета. Никаких спектральных цветов при опыте с белым экраном, пользуясь щелями в открытках, рассмотреть не удается. Вместе с тем, опыты, подобные описанному в заметке, имеют большое педагогическое значение, так как в качестсве оптического прибора, дополняющего установку, применяется глаз самого учащегося.

В физической лаборатории МГМИ мы ставим специальную задачу:

„Определение длины световой волны методом проектирования дифракционной картины на сетчатку глаза“.

Позволим себе привести описание этой задачи :

Принадлежности: прибор, состоящий из оптической скамьи с двумя щелями Щу и Щ2 (рис. 1). Одна из них (Щ ) установлена на ползунке П и может передвигаться вдоль скамьи; другая (Щ2) закреплена неподвижно в точке А. К щели Щг приложена вплотную дифракционная решетка Р, имеющая 20 штрихов на 1 мм (Ь - 0,05 мм); ползунок П снабжен индексом i для отсчета расстояния iA между щелями. Щель Щ2 освещается сзади лампой с рефлектором. Отверстие последнего закрывается белой матовой пластинкой* или стеклянным светофильтром, пропускающим свет определенной длины**.

Теория прибора. Она основана на ходе лучей, показанном на рисунке 2 (вид сверху).

Щг представляет собой попрежнему подвижную щель, Щ2 — неподвижную; Р — дифракционная решетка; О — отверстие глаза.

Луч света Ai, идущий из освещенной щели Щ2, падая на решетку Р, претерпевает дифракцию и дает побочные ответвления юлг

* См. также статью В. Бакушинского — „Лабораторные работы по физике“ в журнале „Физика, химия, математика, техника в трудовой школе“, № 3, за 1930 г.

** Необходимо исправить опечатки, вкравшиеся в заметку: в первой колонке вместо d = = 24 ли*, следует читать: d = 0,25 мм, а во второй колонке вместо ~ X следует читать X.

* Матовая пластинка может быть заменена писчей бумагой.

** Строго монохроматических стекол, конечно, не имеется: всякий фильтр пропускает ряд волн различных цветов, но все же мы можем с некоторым приближением говорить о монохроматическом „красном“ стекле, „зеленом“ и пр.

Рис 1.

io2 по обе стороны основного луча /о. Пройдя через хрусталик, лучи проектируются на сетчатке глаза, где и получается центральный максимум а0 и по обе стороны от него ряд боковых максимумов av а9, ав и т. д., дающих изображения щели Щ2 или в виде дифракционных спектров — в случае белого света, или в виде одноцветных полос — в случае света монохроматического. Эти изображения проектируются обратным ходом из глаза на фоне пластинки со щелью Щ2 в местах ао' av а\ и т- д* ^ни довольно отчетливы благодаря узкой щели Щг, играющей роль диоптра. Следовательно, стоит лишь посмотреть сквозь щель Щг, прикрытую решеткой, на освещенную щель Щ2, как мы увидим на фоне пластинки Щ2 обычную картину дифракции: ряд спектров—в случае белого света, или ряд одноцветных полос—в случае света монохроматического. Длину волны следует определить по формуле решетки:

X = £sincp, (1)

где X — -искомая длина волны монохроматического света, b — постоянная решетка (в нашем приборе Ь = 0,05 мм), ср— угол между центральным лучом и первым боковым (см. рис. 2);

ig ср = — , где о — расстояние между соседними изображениями, а — расстояние между щелями. Ввиду малости 5 по сравнению с а, все Ь можно считать равными между собой. По этой же причине

а поэтому:

(2)

b — константа решетки, Ъ и а следует измерить на опыте. Для этой цели, смотря в щель Щг, как в диоптр, передвигаем ее вдоль скамьи до тех пор, пока на ширине пластинки СВ не уложится целое число промежутков Ь (например 4), и в этот момент отсчитываем на скамье расстояние а между Щг и Щ2. Измерив ширину пластинки СВ и разделив ее на число промежутков (в нашем примере 4), получаем Î. Подставляя а и Ъ в формулу (2), получаем величину X.

Пример. Ширина пластинки СВ =38,5 мм; расстояние между щелями а = 80 см; число промежутков между изображениями =4; b = = 0,05 мм. Отсюда:

Ход работы:

1) Зажигаем лампу, покрываем отверстие рефлектора белой матовой пластинкой, смотрим сквозь щели Щг и Щ2 и наблюдаем на фоне пластинки со щелью Щ2 ряд дифракционных спектров. (В этом опыте никаких измерений делать не нужно, обратим лишь внимание на порядок цветов в спектрах и разрешим вопрос: почему спектральные полосы обращены к щели сине-фиолетовой стороной, а не красной?)

2) Убираем белую матовую пластинку и покрываем отверстие рефлектора красным светофильтром (красной бумагой) ; смотрим в отверстие Щг, наблюдаем дифракционные изображения щелей, передвигаем Щ} до тех пор, пока на всей ширине пластинки со щелью Щ2 не уложится целое число промежутков между спектрами.

3) Измеряем расстояние между щелями а, ширину пластинки СВ, делим СВ на число промежутков, получаем величину $ — расстояние между двумя соседними спектрами.

4) По формуле (2) вычисляем длину волны X для красного цвета.

5) Передвигая Щх, изменяем а и ?, производим новый отсчет а при ином числе про-

Рис. 2.

Схема записей

постоянная решетки £ = 0,05 лик = 50 ц а) Опыт с красным светофильтром

Расстояние между щелями а (отсчет по скамье)

Число промежутков между дифракционными полосами

Ширина пластинки со щелью Щ2

Расстояние между двумя соседними дифракционными полосами

Длина волны по формуле

Первый опыт Второй ,

80 см 52 .

4

6

38,5 мм 38,5 .

9 6 мм 6,42 .

0,60 и 0,62 р

Среднее: Х = 0,61 ц

Первый опыт Второй »

б) Опыт с зеленым светофильтром

Среднее: Х = — р

межутков о и вновь вычисляем X (для поверки).

6) Заменяем красный светофильтр зеленым и таким же способом измеряем X зеленого цвета.

Для опыта необходима дифракционная решетка указанного порядка—20 штрихов на 1 мм.

Такую решетку может изготовить любая мастерская, располагающая делительной машиной с алмазным резцом. Можно обойтись без услуг мастерской, если воспользоваться фотографическим аппаратом. Поместив на стене увеличенное изображение решетки в виде ряда вертикальных линий с равными промежутками, следует отойти на расстояние в несколько метров и сфотографировать это изображение. После проявления получается пригодная для нашего опыта решетка, если фотопластинку взять с тонкой эмульсией („диапозитивную“).

Измерение X удается и в комнате с плохим затемнением.

ДИНАМОПРИВОД КАК ГЕНЕРАТОР ПОСТОЯННОГО ТОКА ДЛЯ КЛАССНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Б. ФЛОРИНСКИЙ (Балипинский педагогический институт)

Затрудненья с выбором источника электрического тока для классных демонстраций в школах, удаленных от электрических сетей, достаточно велики. В самом деле: аккумуляторы обычно неприменимы за отсутствием зарядной станции, элементы Леклянше малоудовлетворительны из-за непостоянства напряжения и слабости тока; гальванические элементы мощных типов слишком дороги, непостоянны и трудоемки в обслуживании; что же касается до выпускаемых школьной промышленностью моделей электрогенераторов, то они, к сожалению, маломощны и столь несовершенны в механическом отношении, что едва ли могут быть рекомендованы в качестве практически пригодных источников тока.

Настоящей заметкой я хотел бы обратить внимание еще на один возможный путь решения вопроса о питании током, методические качества которого были изучены в лаборатории Калининского пединститута. Я имею в виду использование в школьной обстановке динамомашин, служащих для питания электрических ламп передвижных кинопроекционных аппаратов. Эти машины уже давно получили широкое распространение в сельских киноустановках и хорошо оправдывают свое прямое назначение. Рынок располагает не-

сколькими типами подобных генераторных машин; из них, повидимому, наиболее соответствует школьным требованиям сериэс — генератор кинопередвижки ТОМП, так наз. „динамопривод“, представляющий собою технически весьма совершенно выполненную в механической и электрической частях ручную машину, развивающую при нормальной скорости вращения мощность до 50 ватт.

Значения электрических параметров динамопривода являются вполне удобными для целей классного эксперимента, обеспечивая возможность получения во внешней цепи напряжения и тока, достаточных для подавляющего большинства экспериментов. Само собой разумеется, что как форма внешней характеристики машины, так и лимиты ее тока, напряжения и мощности требуют для получения оптимального педагогического эффекта соответствующего подбора констант для приемников тока, в частности величины электросопротивления приборов, правильный выбор которых особенно важен для обеспечения успеха эксперимента. Приводимая ниже диаграмма дает руководящие указания по этому вопросу.

Рис. 1.

Зависимость напряжения — V, силы тока — / и мощности — Р динамопривода от величины сопротивления внешней цепи — /? при скорости вращения рукоятки привода 60 оборотов в минуту.

Оптимальное сопротивление, оказывается, имеет, вообще говоря, порядок немногих омов — обстоятельство весьма благоприятное для упрощения и удешевления конструкции приборов.

Далее из диаграммы следует, что для постановки экспериментов, требующих наибольшего энергетического эффекта, следует выбирать сопротивление приемников в пределах от 1 до 4 омов, тогда как наибольшее напряжение развивается при сопротивлении в 6—8 омов (при этом же сопротивлении машина работает с наивысшим к. п. д).

Например, при калориметрическом измерении джоулевского теплового эффекта помещают в калориметр емкостью в 140 г воды проволочную спираль с сопротивлением в 3 ома (1 м никелиновой проволоки диаметром 0,4 мм); при 60 оборотах в минуту рукоятки привода нагревание пойдет со скоростью 5 градусов в минуту.

В опытах, в которых мы заинтересованы только силой тока, например при демонстрации спектра магнита поля тока, можно брать сопротивление меньше одного ома, получая токи свыше 7 ампер, однако в таких условиях машина работает с большой перегрузкой и столь малым к. п. д., что рекомендуется ограничиваться силой тока 6 ампер, снижая число оборотов привода.

Студентами-дипломантами Калининского института тт. Веселовой и Пэрн были изучены условия выполнения классных опытов по основным законам тока (законы Ома и Джоуля), электрохимическим явлениям (электрохимические реакции, гальваностегия, закон Фарадея), электромагнетизму (поле тока, магниты, моторные и индукционные явления) с динамоприводом в качестве генератора. Было установлено, что все эти явления, не исключая и количественных соотношений, могут быть воспроизведены в весьма убедительных формах. В случаях переменного состояния цепи при некотором навыке не представляется затруднительным поддерживать постоянство силы тока или напряжения в течение эксперимента, воздействуя на число оборотов рукоятки привода. Было установлено также, что для отчетливого выполнения экспериментов достаточно давать рукоятке привода всего 40 оборотов в минуту, чем значительно облегчается труд „двигателя“ ; характеристики машины при этом, естественно, несколько снижаются.

Фундаментальный недостаток динамопривода— необходимость иметь в дополнение к нему живую рабочую силу — заставляет отнести привод к числу суррогатных источников питания; но для правильной оценки практического значения этого недостатка нужно учесть, что большинство экспериментов имеет длительность порядка одной минуты — живой двигатель не успеет утомиться; требуется только, чтобы он вращал рукоятку плавно.

В заключение позволю себе заметить, что, повидимому, даже в школах, присоединенных к сети переменного тока, динамопривод может явиться весьма сильным конкурентом среди других источников питания экспериментального стола постоянным током.

К ДЕМОНСТРАЦИИ ОБЕРТОНОВ СТРУНЫ

Н. ЕЖЕВ (Ижевск)

При демонстрации обертонов струны обычно прибегают для уничтожения основного тона или обертонов к способу искусственного уничтожения колебаний тех точек струны, на которых находятся пучности тех или иных обертонов или основного тона. Для достижения этой цели или касаются бородкой гусиного пера в соответствующей точке струны или же подставляют под эту точку кобылку, находящуюся на деке монохорда. В первом случае приходится вслушиваться в тон струны, что не всегда удобно, особенно в большой аудитории. При применении второго способа отделяют кобылкой некоторую часть струны, а на второй части струны развешивают легкие рейтеры в точках, соответствующих узлам и пучностям. При неумелом действии смычком размещенные на струне рейтеры слетают не только с точек, соответствующих пучностям, но и с узлов. Между тем, можно обнаружить обертоны струны, не прибегая к искусственному уничтожению того или иного тона струны, что можно легко осуществить, имея в распоряжении набор камертонов с числом колебаний N, 2N и 47V (например С°, С1 и С2; такой набор часто встречается в физических кабинетах). Струну, находящуюся на монохорде, настраивают в тон камертона с числом колебаний N. Для настройки пользуются небольшим легким рейтером, сделанным из тонкой проволоки, например из алюминиевой, или из бумаги. Регулируя натяжение струны или изменяя ее длину передвижением кобылки, помещают рейтер на средину струны, и когда струна настроена в тон данного камертона, она начнет резонировать на колебания этого камертона, поставленного ножкой на деку монохорда; рейтер, висящий на средине струны, моментально с нее слетает. Если теперь на этой струне разместить три рейтера таким образом, что один из них будет висеть посредине струны, а два другие — посредине каждой половины струны, то, поместив на деку монохорда звучащий камертон с числом колебаний 2N, мы увидим, что рейтер, висящий на середине струны, останется в покое, а два другие, вследствие резонанса струны на этот тон, будут сброшены, чем будет обнаружен обертон струны, соответствующий октаве основного. Помещая на струне семь рейтеров и располагая их так, что один будет висеть на средине всей струны, два — на средине каждой половины струны и по рейтеру на середине четверти длины струны, и помещая на деку монохорда звучащий камертон с числом колебаний 4ЛГ, мы увидим, что все рейтеры, висящие на средине четверти длины струны, будут сброшены со струны, что опять показывает, что струна резонирует и на этот тон, т. е. она обладает и этим обертоном.

Чтобы удобнее было наблюдать за рейтерами, помещенными на струне, можно осветить монохорд светом проекционного фонаря и наблюдать на экране тень струны и повешенных на нее рейтеров.

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ОПЫТ НА ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА

Б. ЗИНОВЬЕВ (г. Калязин)

Ход лучей при переходе из среды оптически более плотной в среду оптически менее плотную можно продемонстрировать на следующем простом, но красивом опыте.

Рис. 1.

I. Берется консервная банка и вдоль ее цилиндрической поверхности вырезается ряд узких параллельных щелей.

II. В банку вкладывается 30-ватная (12 вольт) кинолампа, соединенная через реостат или трансформатор с городской сетью. На шнур, патрон и части лампы надевается велосипедная камера и тщательно завязывается прочной ниткой так, чтобы при наливании воды не смочить шнура, патрона и соединений.

III. Банка с лампой помещается в плоскопараллельный сосуд (аккумуляторный сосуд, аквариум и т. д.) так, чтобы цилиндрическая поверхность банки была перпендикулярна к передней стенке сосуда.

Чтобы банка не всплывала, к ней привязывается груз.

IV. Наливаем в сосуд воды и включаем ток.

Чтобы лучше наблюдать ход лучей, опускаем в сосуд белый экран (лист фанеры, железа, окрашенный белой краской). На экране отчетливо виден ход преломленных лучей.

Луч, идущий перпендикулярно к поверхности воды, не преломляется. Чем больше угол падения, тем больше угол преломления. Луч, идущий под углом, равным предельному углу и большим его, испытывает полное внутреннее отражение, что также очень хорошо видно на экране (см. рис.).

Примечание. Описанный опыт представляет собой переделку и упрощение (при равном эффекте) опыта, описанного в книге: Гримзель—„Курс физики“, ч. 3-я, „Оптика“, 1932 г., стр. 51.

ИЗ ОПЫТА ШКОЛ

САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ ЗАНЯТИЯ ПО ФИЗИКЕ

(Из практики школ Горьковского края)

Е. ПЕТРОВ (г. Горький)

При изучении опыта работы школ Горьковского края по проведению и организации ими самостоятельных занятий по физике мы установили, что в практике школ Горьковского края имеют место следующие виды этих занятий:

1. Лабораторные занятия.

2. Конструирование и изготовление самодельных физических приборов.

3. Самостоятельные работы нелабораторного типа.

4. Экскурсии.

Дадим краткое описание организации и техники проведения каждого из этих видов самостоятельных работ, основываясь на опыте работы школ г. Горького и края за 1933/34 учебный год и за первую половину 1934/35 учебного года.

I. Лабораторные занятия

Должного внимания со стороны преподавателей физики к организации лабораторных занятий у нас в целом ряде школ все еще нет. „Меловая“ физика все еще преобладает в нашей школе. В Горьковском крае есть такие школы, которые в течение прошлого учебного года и первой половины нового учебного года не провели ни одной лабораторной работы.

К таким школам надо отнести: Кантауровскую (Борского района), Буяковскую (Верховенского района) и др.

А такая школа, как Б.-Покровская (Дальнеконстантиновского района), имеющая физический кабинет, равный физическому кабинету Варнавинской школы, провела в прошлом учебном году всего одну лабораторную работу — определение объема твердых тел.

Не то в Варнавинской школе (Краснобаковский район).

В Варнавинской школе преподаватель физики т. Комлев при недостаточно оборудованном физическом кабинете сумел провести за год до 30 лабораторных работ, охватив ими все классы школы. Он сумел для проведения лабораторных занятий в школе использовать физический кабинет лесотехникума; он закупал все, что появлялось в местных магазинах райпо для проведения лабораторных занятий.

Школы г. Горького, имеющие большее и лучшее физическое оборудование по сравнению со школами края, казалось бы, должны быть передовиками в этом деле, но этого на самом деле нет. Есть целый ряд школ г. Горького, которые должного внимания лабораторным занятиям не уделяют (Покровская, Ленинская — Свердловский район, Тимирязевская — Канавинский район и др.). Правда, наряду с подобными школами в г. Горьком есть и такие школы, которые этому вопросу уделяли достаточное внимание (Молитовская им. Крупской — Канавинский район и др.).

В самой же технике проведения лабораторных занятий наблюдается целый ряд неправильностей. Главные из них:

1. Приступая к лабораторной работе преподаватель не прорабатывает с учащимися теоретических основ.

2. Часто бывает, что подготовка к лабораторной работе (расстановка приборов и материалов) происходит в момент прихода учащихся на урок.

3. Остаются без поверки составленные учащимися письменные работы и т. д.

Всему этому должен быть положен коней: лабораторные работы должны занять свое почетное место в преподавании физики в средней школе.

В тех школах края, где лабораторные занятия проводятся, распространенной формой

организации лабораторных занятий является „фронтальная“, т. е. такая, когда все учащиеся класса, разбитые на группы в 3—5 человек, получают одно и то же задание и выполняют одну и ту же лабораторную работу.

Примером такого проведения лабораторных работ могут служить лабораторные работы, проведенные в Б.-Мурашкинской и Варнавинской школах.

В VI классе Б.-Мурашкинской школы лабораторная работа на тему „Условия равновесия сил на рычагах“ была проведена так: на лабораторную работу было отведено 2 часа. В начале урока в течение 15 мин. было повторено, что называется рычагом, моментом силы и для чего употребляются рычаги. На доске преподавателем была дана таблица:

Левое плечо

Правое плечо

Груз

Плечо

Произведение силы на плечо

Груз

Плечо

Произведение силы на плечо

Перед учащимися преподавателем была поставлена задача: подвешивая на рычаг грузы различной величины, добиться такого расположения грузов на концах плеч, чтобы рычаг остался в равновесии, и из полученных данных установить: при каком условии рычаг остается в равновесии, и записать это в виде правила.

Перед началом работы учащиеся разбились на семь групп по 3—4 человека в группе (в классе 27 человек).

Разбивка по группам была произведена учащимися по собственному желанию. Рычаги, изготовленные учащимися на уроках труда, масштаб, грузы различной величины, нитки — все было преподавателем приготовлено заранее на столах класса (отдельного кабинета в школе нет). Учитель во время работы внимательно следил за работой всех групп, помогая и исправляя ошибки учащихся.

Запись результатов производил в свою тетрадь каждый учащийся. Все записи учащихся преподавателем дома были тщательно проверены и на заключительном занятии по этой теме был подведен итог лабораторной работе. Работа прошла живо, организованно и вызвала большой интерес учащихся.

Преподаватель физики данной школы отмечает, что „лабораторные работы чрезвычайно помогают прочности усвоения материала, повышают активность учащихся, а потому я и стремлюсь выполнить все указанные в программе и возможные для нашей школы лабораторные работы“.

Преподаватель физики Варнавинской школы т. Комлев в своем годовом отчете дает следующее описание проведенной им в VII классе лабораторной работы — „Измерение в электрической цепи силы тока, напряжения и сопротивления“:

„В краткой беседе учащиеся были ознакомлены с целью работы: измерить сопротивление на участке цепи. Для проведения данной работы мною заранее было оборудовано семь столов, на каждом из них были положены следующие измерители и материалы: три элемента, провода, ключ, два сопротивления, вольтметр и амперметр.

На доске мною были вычерчены, а учащимися записаны в тетрадь, следующие четыре схемы:

1. Источник тока, оба испытуемых сопротивления, амперметр, соединенные последовательно; вольтметр — параллельно к клемам первого сопротивления.

2. Вольтметр — параллельно к клемам второго сопротивления.

3. Вольтметр — параллельно к клемам обоих сопротивлений.

4. Испытуемые сопротивления соединяются параллельно; вольтметр — параллельно к клемам сопротивлений.

На доске учащимся была дана и ими в тетради записана следующая таблица:

№ схем

Сила тока

Напряжение

Сопротивление

Примечание

За столом работало 5—6 человек (в классе 40 учеников).

Разбить учащихся на еще более мелкие группы не позволило оборудование кабинета. По начерченным схемам учащимся предлагалось: каждому составить цепь; включив ток, получить нужные показатели, занести их в таблицу и вычислить сопротивление. При этом учащиеся были предупреждены, что сопротивление по каждой схеме надо брать среднее, повторив опыт не менее трех раз. Полученные результаты каждый записывал в свою тетрадь. В итоге проведенной лабораторной работы учащиеся дали письменные ответы на следующие вопросы:

1. Больше или меньше суммы сопротивлений общее сопротивление, обоих проводников, включенных последовательно?

2. Больше или меньше суммы сопротивлений общее сопротивление обоих проводников, включенных параллельно?

3. Что больше: сопротивление одного проводника или общее сопротивление двух, включенных параллельно? Почему?

На всю эту лабораторную работу было затрачено 2 часа.

При даче ответов была соблюдена индивидуальность в работе. После работы тетради учащихся мною были взяты на дом для проверки. На заключительном занятии по данной теме был произведен разбор данной лабораторной работы, где я указал на общие для класса достижения и недостатки, полученные в результате работы. Ответы учащихся были вполне удовлетворительны, и это произошло лишь благодаря тому, что была проведена лабораторная работа; без нее таких ответов учащиеся дать не смогли бы“.

Приведенные нами примера проведения лабораторных работ в Б.-Мурашкинской и Варнавинской школах являются показателем того, как преподаватели физики массовых школ могут проводить лабораторные занятия.

А ведь Б.-Мурашкинская и Варнавинская школы — сельские школы, ничем не отличающиеся от других массовых школ, разве только тем, что преподаватели физики этих школ, используя все возможности, проводят и организуют лабораторные занятия, совершенно необходимые при проработке курса физики средней школы.

II. Конструирование и изготовление самодельных физических приборов

Казалось бы, что недостаточное оборудование физических кабинетов в целом ряде школ края должно обязывать преподавателей к развертыванию работы по изготовлению самодельных физических приборов, но этого, к сожалению, в подавляющем большинстве школ края нет. Проведенное весной 1934 г. Горьковским крайоно обследование 20 школ края показало, что из двадцати школ физические кабинеты имеют 12 школ (в пяти школах кабинеты слабо оборудованы), а в 8 школах их нет совсем.

Из этих двадцати школ конструированием и изготовлением физических приборов занималось только 8 школ, и как раз те школы, которые имели физические кабинеты; школы, не имеющие физических кабинетов, не занимались изготовлением самодельных физических приборов и, очевидно, не намерены заниматься этим делом и впредь. Правда, наш край имеет и такие школы, которые в изготовлении самодельных физических приборов показывают подлинные образцы. К таким школам надо прежде всего отнести: Гнилицкую школу Дзержинского района (преподаватель т. Лосев) и Б.-Мурашкинскую.

Тов. Лосев, начав изготовление самодельных приборов в 1930/31 учебном году, успешно продолжает эту работу и сейчас. Им вместе с учащимися изготовлено 47 различных приборов в количестве 83 штук, при этом качество приборов безукоризненно: они отличаются правильностью и чистотой, аккуратностью и красотой изготовления. Свой опыт по изготовлению самодельных физических приборов т. Лосев описывает в своем письме на имя крайоно так: „В 1930/31 учебном году, приступая к занятиям по физике, я столкнулся с большими трудностями в смысле проведения лабораторных работ, демонстраций, так как кабинет по физике был оборудован очень плохо, а средств, отпускаемых на покупку приборов, было совершенно недостаточно.

Первое, чем пришлось заняться — это изготовлением гальванических элементов типа Гренэ.

Для работы нужно было не менее 20 элементов. Они стоили очень дорого. Закупил только стеклянные банки, серную кислоту, двухромовокислый калий (стоило это 25 руб.). Цинк и уголь взял из использованных сухих элементов Лекланше, которые мне принесли учащиеся от радиолюбителей.

В 1930/31 учебном году я заключил с учащимися договор по соцсоревнованию, одним из пунктов которого было обязательство (обоюдное) по изготовлению приборов. Работа началась и продолжается до настоящего времени.

Большинство приборов по конструкции просты, расчеты и чертежи приходилось делать

ло рисункам приборов различных учебников физики, каталогов и осмотру продаваемых приборов.

Требования, предъявляемые к изготовленному прибору, были следующие:

1. Правильность работы прибора.

2. Чистота, аккуратность и красота изготовляемого прибора. Работа по изготовлению приборов ведется желающими учащимися коллективно, по принципу распределения операций.

В наиболее ответственных местах работу провожу я. Кроме того, и сам я делаю приборы. Что нужно было для этой работы? Желание, материалы, уменье владеть простейшими столярными и слесарными инструментами. Трудности были в изыскании материалов, так как нужны были, главным образом, цветные металлы: олово, свинец, цинк, медь, провода различного сечения, клей, картон, угли и т. д. и т. п., что в продаже трудно достать. Выход был найден в использовании внутренних ресурсов.

Каждый учащийся приносил, что мог: пару гвоздей, винты, кусочек клея, олово и т. д.

Что касается уменья владеть инструментами, то в процессе работы пришлось учиться; например, я не умел раньше паять — научился.

Большинство приборов было изготовлено мною и учащимися школы (VI и VII классов) под моим руководством, часть же приборов была изготовлена под руководством преподавателя по труду, по договоренности с ним.

К настоящему времени изготовлены и состоят в эксплоатации школы 83 прибора“.

Опыт Гнилицкой школы, опыт т. Лосева, заслуживает большого внимания. Из этого опыта преподавателям физики многое можно позаимствовать. В школах края организация работ по конструированию и изготовлению самодельных физических приборов строится следующим образом: а) в порядке программной работы учащихся в школьных мастерских и рабочих комнатах в часы занятий по труду под руководством инструкторов труда; б) в порядке домашних заданий отдельным учащимся; в) в порядке кружковой работы учащихся до внешкольное время, построенной на принципе свободного выбора объектов работы, широкого использования инициативы учащихся, их изобретательских способностей, творчества, рационализаторских предложений и т. п.

Работа по созданию приборов — дело не только преподавателя физики, оно — дело общешкольное, и эту работу возможно провести лишь в увязке физики с другими дисциплинами (математика, изо, труд и др.).

В качестве примера правильно проведенной работы по изготовлению самодельных физических приборов опишем ход работы по изготовлению приборов для изучения действия рычагов 1-го и 2-го рода, проведенной в VI классе Б.-Мурашкинской школы.

На уроке изо преподаватель дал рисунки приборов (рычага 1-го и 2-го рода) с указанием основных размеров. Учащиеся разбились на группы по 3 человека. Каждый учащийся в своей тетрадке сделал рисунки обоих приборов, а затем составил чертежи с указанием размеров деталей. Здесь учащиеся получили навыки, соответствующие программе: проектирование предмета на две плоскости, простановка размеров, применение масштаба и др. Чертежи были проверены и исправлены преподавателем. По готовым чертежам учащиеся под наблюдением и руководством инструктора сделали приборы в мастерской.

Всего приборов было изготовлено 18, по два прибора каждой тройкой учащихся: один прибор для демонстрации действия рычага 1-го рода и другой — для демонстрации действия рычага 2-го рода.

Каждая школа, каждый преподаватель физики безусловно сумеют сделать многое в конструировании и изготовлении самодельных физических приборов; для этого нужно лишь одно: инициатива и желание самого педагога, уменье использовать все возможности для этого ценного, важного и безусловно необходимого дела.

Преподаватель физики всегда должен помнить, что, конструируя и изготовляя приборы, учащиеся проникают в самую сердцевину понимания законов, на основе которых действуют эти приборы. В процессе изготовления приборов преподаватель связывает теорию с практикой на такой основе, когда практика естественно и целиком вытекает из теоретических знаний учащихся, когда общественно-производительный труд действительно подчинен учебным и воспитательным целям.

III. Самостоятельная работа нелабораторного типа

В практике работы школ края имеют место следующие виды самостоятельных работ нелабораторного типа: письменные работы, решение задач физико-математического характера, работа над учебником; чтение научно-популярных книг по физике; составление рефератов, таблиц, черчение графиков и т. д.

а) Письменные работы по физике имеют целью приучить учащихся к самостоятельному изложению мыслей и осу-

ществить одновременно с этим контроль над усвояемостью. Письменные работы проводятся преподавателями физики, как правило, после прохождения темы или отдела курса физики. Преподаватели физики в своих отчетах указывают, что учащиеся дают лучшие результаты в том случае, если они о письменной работе были заранее уведомлены, и худшие — если этого уведомления не было. На письменную работу в VI—VII классах отводятся обычно часовые уроки, а для VIII—X классов — преимущественно двухчасовые. В содержание письменных работ чаще всего входят или описание физических явлений или решение задач. Признать нормальным такое явление нельзя. Письменная работа должна быть разносторонней. В ее содержание должны войти: описание физических явлений, ответы на вопросы, вывод формул и решение задач. Письменная работа должна возможно полнее охватить ту или иную пройденную тему. Письменные работы по физике выполняются обычно на отдельных листочках. Это не совсем удобно. Для письменных работ по физике каждый учащийся должен иметь отдельную тетрадь. Тетради должны храниться в делах школы: это даст возможность наглядно провести сравнение и наблюдение за ростом и развитием успеваемости учащихся. При постановке письменных работ по физике преподаватель должен добиваться краткости изложения, четкости и ясности; вывод формул должен быть с соответствующими разъяснениями; решение задач должно быть полное, с подробными вычислениями. Работа должна быть выполнена чисто и аккуратно, без грамматических ошибок и, самое главное,— самостоятельно. Письменные работы по окончании урока собираются и проверяются преподавателем. При проверке обычно преподавателями исправляется лишь содержание работы и очень часто остаются неисправленными орфография и стиль. При раздаче письменных работ учащимся преподаватель не всегда проводит беседу об итогах письменной работы. При раздаче письменной работы преподаватель обязан провести с учащимися беседу, указав на общие недостатки и достоинства работы и как следовало бы выполнить тот или иной пункт ее.

Оценку «письменной работы преподаватели обычно делают кратко: „оч. хор“, „хор“, „уд“, „неуд“, и нет совершенно в оценках указаний, на что тот или иной учащийся должен обратить внимание в дальнейшем. Подобные указания имеют очень важное значение, а потому преподаватели физики при оценке письменных работ и должны их давать.

б) Решение задач физико-математического характера является важным элементом учебного процесса, самостоятельной частью углубленной проработки физического материала. Задачи должны раскрыть перед учащимися смысл и содержание физических понятий, законов и теорий в практике их применения к решению физических и технических проблем. Задачи должны оживить физические формулы и показать их значение для решения различных практических вопросов. Решение задач должно дать учащимся навыки в выборе и пользовании формулами, а также в пользовании таблицами, содержащими постоянные физические величины, и в производстве необходимых математических операций. Уменье решить задачу показывает усвоение и уменье приложить теорию к практике. Над решением задач также раскрывается смысл явлений, который мог бы ускользнуть при изучении теории. Необходимо при решении задач наблюдать, чтобы физический и технический смысл их выступал на первое место и не затемнялся сложными математическими вычислениями. Поэтому продуманный подбор задач имеет огромное значение. Система задач должна охватить более или менее полно и всесторонне каждый раздел курса; нужно, чтобы каждый выведенный физический закон получал свое закрепление при применении его или к практическим работам или к решению практических задач.

Здесь уместно подчеркнуть необходимость построения физических задач на материале социалистического строительства, чтобы преподаватели физики не упустили этого важного момента. Решение задач преподаватели проводят как в классе (на доске), так и путем заданий на дом. На дом даются задачи, как правило, аналогичные решенным в классе, но беда здесь в том, что решение задаваемых на дом задач не всегда преподавателем проверяется. При самом же решении задач встречаются следующие недостатки:

1) учащиеся приступают к решению задачи, не усвоив хорошо ее условия;

2) решают задачи без соответствующего чертежа ;

3) не всегда производится запись условия задачи;

4) часто решают задачи, не выразив данные в одной системе единиц и т. д.

в) Занятия по учебнику надо также отнести к самостоятельным занятиям учащихся, проводимым по плану, разработанному преподавателем. Занятия по учебнику должны проводиться во внеурочное время. Проработка

темы по книге ъ классе — явление ненормальное, а оно у нас, к сожалению, еще имеет место (из 20 школ отмечают проработку материала в классе по книге 12 школ). С подобного рода явлениями мы должны вести борьбу. Учитель должен рассказать учащимся, как нужно пользоваться учебником при проработке той или иной темы, а не заставлять учащихся прорабатывать эту тему по учебнику в классе.

Нужно организовать занятия так, чтобы основные знания учащийся получал от преподавателя, а учебник использовал лишь для закрепления и углубления знаний.

г) Вместе с работой над учебником надо приучать учащихся к чтению научно-популярных физико-технических книг, рекомендуя всякий раз две-три таких книги для прочтения после проработки того или иного раздела физики. Чтению физико-технических книг учащимися школы внимания не уделяют, они этой работы не организуют, они не знают, какую физико-техническую литературу читают учащиеся; школы не учат учащихся работе с книгой вообще и в частности с книгой физико-технической.

Научить работать с книгой, это значит — научить ее читать, понимать общее направление, уметь отыскать нужное место, процитировать, ответить на вопросы, пользуясь данной книгой, проконспектировать ее и т. д., а эти навыки работы с книгой учащиеся как раз и получат, работая с популярными книгами физико-технического характера.

д) Составление рефератов учащимися имеет место далеко не во всех школах края. Из изучаемых нами 20 школ составление рефератов имеет место только в трех школах. В этих школах составление рефератов поручается обычно одному учащемуся или двум-трем на темы, выходящие за пределы программы.

Рефераты составляются учащимися, как правило, на темы, их интересующие, а рефератов, дополняющих и углубляющих общеклассную проработку, в школах почти нет. Заслушиваются и обсуждаются рефераты обычно на кружковых собраниях и, как редкий случай, на классных занятиях учащихся. Школами не практикуется такое важное мероприятие, как заслушивание рефератов учащихся на родительских и других собраниях, а ведь это явится важным моментом в общественно-полезной работе школы и учащихся.

е) В работе школ края имеет большое место составление таблиц, схематических чертежей, вычерчивание графиков учащимися. Составленным учащимися графикам, чертежам, таблицам всегда придается демонстрационный характер: они школами используются при классных занятиях и выставках, устраиваемых школами.

Как общий недостаток всех школ при проведении и организации самостоятельных занятий учащихся надо отметить отсутствие достаточной плановости, согласованности в проведении самостоятельных работ по всем предметам школы, а это и приводит либо к обременению домашними работами учащихся, либо к невыполнению их совсем.

IV. Экскурсии

На вопрос об организации и проведении экскурсий преподаватели физики обычно отвечают: экскурсий в школе не было.

Чем объяснить отсутствие экскурсий в школе? Очевидно — нежеланием, а может быть и неумением преподавателей организовывать и проводить их. Чем объяснить такой факт, когда Семеновская школа (г. Семенов) при наличии в городе большого лесопильного завода, электростанции, радиоузла, телеграфа, телефона, водопровода и канализации (в местной больнице), пожарного депо и колхозных кузниц в течение всего учебного года провела только одну экскурсию VI класса и при этом не зафиксировала материала экскурсии.

Очевидно, и эта экскурсия преподавателем физики организована как следует не была.

Кантауровская школа (Борский район) в течение целого учебного года не провела ни одной экскурсии, а рядом со школой — электростанция, радиоузел, почта, телеграф, колхоз и т. д. В тех же школах, которые экскурсионную работу проводят, — экскурсии носят преимущественно общий характер и почти нет экскурсий по отдельным вопросам программы той или иной дисциплины (физики, химии, обществоведения, труда и др.).

В силу того, что преподаватель физики учащимся не показывает, как практически используются на производстве все те физические законы, которые они изучают, наиболее любознательные учащиеся вынуждены „контрабандным путем“ бегать на завод и расспрашивать рабочих об интересующих их вопросах. Так и было в школе им. Ленина (Свердловский район г. Горького). В этой школе группа учащихся VI класса сама пошла в цехи подшефного школе предприя-

тия — фабрики Швейпрома — и там расспрашивала рабочих как о самой фабрике, так и о ее станках и их работе.

Было бы неверным, если бы мы здесь не отметили тех школ, которые уделяли внимание экскурсионной работе. А такие школы в крае есть.

Вот они: Молитовская образцовая школа им. Халтурина (Канавинский район г. Горького) и др.

В практике этих школ экскурсии обычно являются завершающим этапом в проработке той или иной темы и очень редко служат исходным материалом при изучении темы.

Работа по стабильным программам резко повысила требования к самому педагогу. Все еще слабая методическая подготовка учителя создает большие затруднения для постановки образцовой работы в школе.

Беда в том, что не все преподаватели физики владеют методикой проведения экспериментов, экскурсий и т. д.

Все это требует от преподавателя физики работы над собой, над повышением своей квалификации, в чем ему и должны оказать помощь научно-исследовательские, индустриальные и педагогические институты и институты повышения квалификации кадров народного образования.

КАК УСВАИВАЮТСЯ ЗАКОНЫ НЬЮТОНА В ШКОЛЕ

В. ЮСЬКОВИЧ (Москва)

Данные массового обследования школ и высказывания преподавателей физики говорят о трудности усвоения законов Ньютона не только учащимися VI, но и VIII классов. Об этом же свидетельствует итог опытного изучения данной темы в школе им. Радищева (Москва). Между тем, значение законов Ньютона в курсе физики и механики столь велико, что указанные трудности должны быть сведены к минимуму. Одним из путей установления и изжития этих трудностей является опытно-экспериментальное изучение темы.

Изучение педпроцесса в школе им. Радищева состояло: 1) в наблюдении всех уроков в двух VI и одном VIII классе; это позволило изучить методы, применявшиеся на уроках, характер изложения каждого вопроса темы, характер и качество проводимых экспериментов и т. п.; 2) в проведении начального теста (в VIII классе), позволившего установить уровень знаний учащихся по теме до изучения материала; 3) в проведении конечного теста во всех классах, что позволило судить о степени овладения учащимися учебным материалом. Тесты составлялись на основе анализа программ и учебников соответствующих классов по данной теме. Тесты, которые давались в VI классах в качестве конечных, являлись начальными в VIII классе. Они же давались наряду со специальным тестом и после проработки материала VIII классом.

Как в VI, так и в VIII классах преподавание вели весьма опытные и квалифицированные физики (тт. Зотиков и Самгин). Они спокойно, настойчиво и умело ведут урок, последовательно методично ставят вопросы, добиваются четких ответов и прочных знаний, поддерживают хорошую дисциплину классов. И, вместе с тем, не все было использовано ими из богатого педагогического арсенала. Явно недостаточно было число демонстраций.

В VI классах имели место только три опыта: 1) опыт с шарами разной массы для проверки второго закона Ньютона, 2) опыт с динамометрами (третий закон Ньютона) и 3) опыт с сегнеровым колесом. В VIII классе единственным прибором при изучении темы была машина Атвуда. Серия опытов на ней имела целью экспериментальное обоснование второго закона Ньютона.

При изложении законов Ньютона ничего не говорилось о самом Ньютоне, о его предшественниках, об их эпохе и т. п. Все это преподаватель хотел изложить в конце курса механики VIII класса.

* Статья представляет краткое резюме результатов опытного изучения темы законов Ньютона в VI и VIII классах школы им. Радищева (Москва) группой физики Института политехнического образования.

Приведем средние результаты по одному и тому же тесту (в процентах измерительной шкалы) :

VI класс

VIII класс (начальный тест)

VIII класс (конечный тест)

Среднее арифм. M

72,5

66,8

77,5

Дециль первый D{*

47,2

41,0

62,0

Квартиль перв. Qt

63,4

45,7

67,6

Медиана Aid

73,7

61,0

79,6

Квартиль третий Qt

84,5

68,0

84,5

Дециль девятый D9

88,4

71,5

86,6

Эти данные позволяют сделать ряд заключений:

1) Количественные показатели успешности по теме в VI классе удовлетворительные (М = 72,5э/о). Однако, свыше 25% учебного материала в этих классах не усвоено.

2) Как VI, так и VIII класс являются весьма разнородными по своему составу (D2 равно 47,2%, D9 =88,4% по VI классам).

3) Начальный тест в VIII классе показывает, что 66,8% знаний ученики сохранили за два года. Уровень их знаний значительно ниже, чем даже в слабом классе (VI„6“).

4) После проработки темы законов Ньютона знания учащихся VIII класса значительно возросли, в среднем почти на 21%. При этом для четверти слабых учащихся это увеличение равно 29%, для четверти сильных—только 20%. Слабые ученики получили относительно больший прирост их знаний, чем ученики сильные.

5) Слабые ученики VIII класса дали больший процент выполнения контрольной работы, чем такие же ученики в VI классах (на 14,8%). Сильные же ученики VIII класса дали процент выполнения работы меньший, чем сильные учащиеся VI класса (на 1,8%). Этот тест составлялся применительно к программе шестого года обучения, и тот факт, что в VIII классе, после проработки учебного материала своего года, знания учащихся мало разнятся от знаний учащихся VI классов, свидетельствует о том, что сравнительно высокая трактовка вопросов темы в VIII классе не обеспечивает правильного понимания элементарных вопросов динамики. Это является разрывом между теорией и практикой в данной теме на восьмом году обучения.

Для характеристики того, как усвоены отдельные части темы приведем следующую таблицу (числа дают процент учащихся, правильно ответивших на тесты соответствующих разделов):

VI класс

VIII класс (нач.)

54,6

VIII класс (кон.)

69,9

1. Инерция, первый закон Ньютона

73,3

2. Масса, ее измерение

71,2

30,7

79,1

3. Сила, вес, их измерение

62,8

60,4

72,1

4. Второй закон Ньютона

74,3

77,1

86,7

5. Третий закон Ньютона

60,7

38,1

68,0

Среднее

68,5

52,2

75,2

Эти данные говорят о том, что наиболее трудными вопросами темы для учащихся опытной школы им. Радищева оказались: третий закон Ньютона, силы и их измерения. Вся тема проработана удовлетворительно только 68,5% учащихся VI и 75,2% — VIII класса. Для одной трети учащихся VI классов и четверти — VIII класса учебный материал шестого года оказался непосильным. Это говорит о большой трудности вопросов темы для VI класса.

Остановимся кратко на тех неправильных ответах, которые дают учащиеся на вопрос о том, что такое инерция, масса и т. п.

Говоря об инерции, учащиеся часто отмечают только одну сторону вопроса — сохранение только покоя или только прямолинейного и равномерного движения. Многие ученики пишут, что инерция есть „свойство тела сохранять свое прежнее состояние“. Имеются и более оригинальные ответы на этот вопрос: „Сохранять состояние относительного покоя по прямой линии“; инерция есть свойство „по прекращении действия силы, действовавшей на тело, некоторое расстояние двигаться самостоятельно “, „продолжать работу, т. е. сохранять первоначальное положение тела“, „сохранять в продолжение еще нескольких минут или секунд свою скорость“ и т. п. Так же превратно усвоен этими учащимися и первый закон Ньютона не только в VI, но и в VIII классе. Долг преподавателя — предвидеть возможность этих странных искажений, и не только на словах, в формулировках, но и наглядно, на опыте, фиксировать внимание учащихся на основных характеристиках данного понятия или закона.

Не меньшее разнообразие в ответах имеется и на вопрос о массе (в VI классах, главным образом). Масса это и „сила в движении“ и „вес в г или /ег“, и „движение по прямой линии“ и „скорость“. Оказывается, масса есть и „свойство состояния“, и „пройденное расстояние (самостоятельно)“, и „вели-

* D — дециль; D4 — первый дециль, т. е. — 10% учащихся по ранговому расположению достигают 47,2% решаемости теста.

чина“, и „вес, масса и сила, приложенные к данному телу“, и, наконец, „масса — сила инерции“ и „масса — вес инерции“. Таков диапазон детских представлений о массе после многократных формулировок в классе, повторений и изучений по учебнику. На трудность усвоения понятия о массе и на конкретность мышления шестиклассника, на смешение понятия масса и вес указывает следующий диалог, имевший место между учителем и учеником.

Учитель. Как узнать, масса которого шара больше?

Ученик. Шар взвесить нужно.

Учитель. А если нет весов?

Ученик. Нужно купить весы.

На вопросы о силе имеются такие неправильные ответы: причина, вызывающая изменения движения, называется и массой, и инерцией, и скоростью, и ускорением, и препятствием. Дальше идут — сопротивление (некоторые добавляют: сопротивление среды или сила трения), трение, причина трения, энергия. Так преломляется в головах многих учащихся понимание силы.

Если на предыдущий вопрос требовалось вписать только одно слово в качестве ответа, то в иной постановке этого вопроса учащемуся нужно самому дать определение силы. Вопрос был такой „Силой называется...“; ответы на этот вопрос дали решаемость (в процентах учащихся) на 15% более низкую в VI классах и на 29% более низкую в VIII классе. Это значит, что приобретенные знания не являются достаточно устойчивыми, так как ответ зависит от формы вопроса. Среди неправильных ответов встречаются такие: силой называется „скорость, с которой тело привелось в движение“, „действие на какое-либо тело“, „вес тела“, „ускорение, с которым тело падает к земле“, „тело, которое притягивается к земле“, „вес действия на тело“ (все это в VI классе); „причина, нарушающая спокойствие тела“, „причина, изменяющая первоначальное положение тела“ (VIII класс).

Формулировки второго и третьего законов Ньютона оказались также очень трудными для шестиклассников. Наличие правильной формулировки в ответе не гарантирует правильного понимания его учащимся. Ответы на другие вопросы вскрывают заученность этих формулировок, без уменья применять их в частных случаях.

Учащиеся дают высокую решаемость вопросов, требующих простой констатации явления, факта и т. п. Лишь половина этих учащихся могут справиться с вопросом, требующим объяснения явления, факта и пр. В качестве иллюстрации приведем один пример: 94% учащихся знают, как нужно насаживать топор на топорище. Правильное же объяснение этому факту дали только 52% учащихся в VI классах и 9% учащихся в VIII классе. И это, несмотря на неоднократный разбор этого примера на уроках в VI классах 74% учащихся VIII класса дали неправильное объяснение и 17% оставили вопрос без ответа. Среди объяснений встречаются такие: „Если ударим по топорищу киянкой, то молоток сядет на ручку“, или: „Когда бьют по топорищу, то молоток наскакивает“. Имеются и другие ответы: „Рукоятка движется по инерции“, бьем по топорищу для того, чтобы „передать скорость“, „передать движение“. Уже в VI классах пытаются объяснить явление третьим законом Ньютона: „Топорище противодействует действию“, „Мы действуем на ручку, а ручка передает силу топору“. Такие ответы особенно часты в VIII классе. В этом классе имеются 4 ответа в начальном и 8 — в конечном тестах такого содержания: „Сила, с которой бьем по топорищу, равна противодействию топора“; три ученика (конечный тест) обосновывают действие тем, что топорище имеет меньшую массу, а топор — большую. Пять учеников этого же класса, ответив неправильно на первый вопрос, пишут: „Так нужно делать для того, чтобы не расколоть топорище“. Один ученик (VIII класса) удовлетворяется объяснением: „Насаживаем топор на топорище, а не наоборот“. Наконец, четыре ученика пишут: „Знаю это из практики, но почему так делают — не понимаю“ Этот пример показывает, насколько своеобразен процесс детского мышления, сколь неадэкватно преломляются иногда в головах учащихся те понятия, о которых неоднократно говорит учитель в классе и сам ученик читает в учебнике. Этого ни на минуту нельзя упускать из виду учителю в процессе преподавания.

В заключение проработки темы законов Ньютона в VIII классе был проведен специальный тест, построенный на программе и стабильном учебнике восьмого года обучения.

Тест состоял из вопросов, выявляющих знания теории (7 вопросов), уменье решать задачи, в частности задачи, относящиеся к машине Атвуда (5 вопросов), и вопрос об истории установления законов Ньютона. Средние результаты по этому тесту получены следующие (в процентах измерительной шкалы):

M =68,5 Afrf = 65,5 Ог =52,0 <?з =74,0 Сг =58,3 D9 =81,0

Следует указать, что здесь учтены половинные оценки сомнительных ответов. Только 68,5% учебного материала усвоены учащимися надлежащим образом. Правильные ответы по вышеуказанным группам вопросов получены следующие (в процентах учащихся) :

1. Теория —83,3

2. Задачи —24,9

3. Машина Атвуда — 45,2

4. История — 8,9

1) Учащиеся лучше всего усвоили вопросы, относящиеся к области теории (84% учеников дали правильные ответы). Как и следовало ожидать, учащиеся хорошо овладели определением таких понятий, как импульс силы, количество движения, единицы и их соотношения в разных системах. Ими хорошо усвоены размерности величин. Хуже других единиц силы усвоен стен; многие не усвоили формулы веса p = mg и пишут ее так:

2) Только четверть учащихся справилась с задачами (тип задач был взят из стабильного учебника). 75% учеников задач или совсем не решили или решили их неправильно; следовательно, приложить свои знания к практическим задачам для громадного большинства учащихся оказалось делом непосильным.

3) Машина Атвуда, объяснение ее устройства, опыты на ней и т. п. потребовали двух часов учебного времени, но она не оправдала своего назначения. Машина Атвуда не понята учениками надлежащим образом. Четыре простых расчета, касающиеся машины Атвуда и второго закона Ньютона, решили только 45,2% учащихся. Задачу такого содержания: „Вес перегрузка на машине Атвуда равен 5 г, масса всех грузов 105 г. С каким ускорением будут двигаться грузы?“ — решили только 6 учеников—17% класса; решили неправильно 49% и оставили без ответа 34%. Большой расход времени, требуемого на опыт с машиной Атвуда, значительная неточность результатов, малая эффективность ее использования говорят за то, что вряд ли можно рекомендовать этот прибор в качестве основного при изучении законов Ньютона в средней школе.

4) Мы уже говорили выше, что вопроса истории возникновения законов Ньютона преподаватель совсем не касался. В результате у учащихся почти полное отсутствие представления об истории их установления. Только 9°|0 учеников (3 человека) дали верные ответы на вопрос: „Укажи, в каком веке жили и какие открытия сделали: Коперник, Кеплер, Галилей, Ньютон“. Из ответов можно узнать, что Галилей жил в XIV в. и установил, что земля — шар; другой учащийся утверждает, что Галилей жил в XVIII в., открыл, что земля вертится и т. п.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ. ХРОНИКА

МЕТОДЫ ПРЕПОДАВАНИЯ И ФОРМЫ ОРГАНИЗАЦИИ ЗАНЯТИЙ В НОВЫХ РУКОВОДСТВАХ ПО МЕТОДИКЕ ФИЗИКИ (СОКОЛОВА И „ЛЕНИНГРАДЦЕВ“ ЗНАМЕНСКОГО, КЕЛЬЗИ, ЧЕЛЮСТКИНА)*

С. ИВАНОВ (Москва)

Основная идея диалектического материализма — идея изменчивости, изучения мира в его изменениях, в динамике. Марксистская педагогика и, в частности, методика физики должны учитывать изменения, происходящие в сознании учащихся под влиянием как неорганизованного жизненного опыта, так и планомерного воздействия педагога.

Марксистская методика физики должна найти такую систему построения курса, которая обеспечила бы возможность развить у учащихся законченный круг физических понятий, необходимых для дальнейшего образования и для активного участия в социалистическом строительстве.

Все вопросы методики физики: вопрос об отборе, последовательности и характере изложения учебного материала, анализ методов преподавания, определение оптимального выбора методов для каждого конкретного участка программы, вопросы материальной базы — легко решаются с точки зрения динамики понятий и представлений учащихся; только такое построение методики может быть признано диалектичным.

В обеих книгах этого нет. Все вопросы методики, и в том числе важнейшие — о принципах систематизации учебного материала в программе и о методах работы — решаются интуитивно и эмпирически, причем часто остаются неиспользованными даже те неполные принципиальные соображения, которые были высказаны в первых главах той и другой работы.

Чтобы обеспечить единство критических замечаний к обзору методов преподавания и организационных форм занятий по физике, необходимо предварительно установить роль каждого из них, с точки зрения динамики представлений учащихся.

Можно считать, что наиболее типичной (но допускающей многочисленные варианты) будет такая схема смены методов, при которой преподаватель начинает беседы, мобилизуя, организуя и выправляя уже имеющийся у учащихся запас пока еще разрозненных, случайных и не всегда правильных представлений по данному вопросу, или же знакомит их с новыми явлениями и отношениями между ними. При этом, чтобы передать всю совокупность признаков того или иного явления, преподаватель демонстрирует его. Совершенно очевидно, что вся совокупность признаков демонстрируемого явления не может быть осознана учащимися; осознается лишь часть их, так или иначе выделенная во время демонстрации или в беседе.

Совершенно очевидно, что созданные во время беседы новые физические представления как обобщенные в физическое понятие или физический закон, так и не обобщенные, будут еще весьма несовершенными. Здесь не место разбирать все возможные случаи несовершенства первых представлений, данных в беседе. Укажем одно наиболее важное и наиболее частое — отвлеченность, тесно связанную с вербальностью (разрывом между словесной формулировкой и непосредственным представлением) и со „стерильностью" (с отсутствием ассоциативных связейг между данным представлением и его возможным использованием в науке и технике).

Выполнение лабораторной работы ставит учащихся лицом к лицу с явлением, максимально концентрируя внимание на ограниченном объекте, благодаря чему круг представлений о данном явлении сильно пополняется рядом мелких признаков, упущенных во время демонстрации. Это значительно конкретизирует представление о данном явлении. В то же время сознательная работа в лаборатории над поставленной экспериментальной задачей не только способствует развитию у учащихся ряда навыков, но и помогает осознанию ранее упущенных сторон явлений, вскрытию и устранению ошибочных представлений о них.

Отчет по лабораторной работе фиксирует внимание учащихся на определенных сторонах явления, одновременно устраняя или смягчая вербальность первых представлений. Дальнейшее вскрытие ошибочных представлений о тех или иных сторонах явления производится путем многократного применения полученных знаний к решению задач. Отсюда — огромная важность задач в методике физики, так как только они способны обеспечить многократное применение новых понятий.

Здесь играет роль и многократное повторение и более полное осмысление. Я хочу ска-

* Примечание редакции. В своей статье С. И. Иванов правильно обвиняет авторов вышедших методик в эмпиризме и рецептурности. Но, требуя, чтобы методики были построены на основе анализа понятий и их развития, он сам, тем не менее, зачастую противопоставляет методическим рецептам авторов свои, которые также являются лишь обобщениями другого опыта или догматическими утверждениями. Поэтому настоящая статья помещается в порядке обсуждения.

зать, что при этом представления о тех или иных сторонах данного явления ассоциируются в сознании учащихся с представлением о возможной области их применения и о методах этого применения.

Эта сторона изменения в представлениях учащихся может быть резко усилена непосредственным осмотром производственных установок, особенно в соединении с определенными задачами, поставленными для этого осмотра. Отсюда значение иллюстративных или исследовательских экскурсий, производственных кинофильмов, работы на производстве. При этом часто бывает, что изменение масштаба явления или включение его в единый производственный комплекс с другими явлениями придает представлению учащихся о данном явлении новое качество.

Многообразие методов нужно нам не для формального выполнения постановления ЦК ВКП (б) об обязательности этого многообразия; не только для того, чтобы постоянно стимулировать активность и самодеятельность учащихся; не потому, что надо использовать разнообразные методы, раз уже они появились; не для „оживления“ преподавания. Оно нам нужно прежде всего для того, чтобы обеспечить необходимую степень совершенства представлений и понятий учащихся, связанных с определенным конкретным отделом курса. Мы должны брать всякий раз те методы, и только те, какие нужны для этой цели.

Методика беседы в обоих руководствах разобрана достаточно подробно и обоснованно, хотя и не с точки зрения динамики представлений.

Нет в них психологического анализа состояния учащихся, хотя именно в беседе вопрос управления вниманием играет огромную роль. В частности, ни в том, ни в другом руководстве не сказано об обязательности соответствия темпа изложения с темпом восприятия учащихся; об опасности срыва темпа; о приемах управления вниманием; об объеме внимания; о внутреннем единстве содержания беседы.

Рассмотрим недочеты той и другой книги отдельно*.

Хотя Соколов и оговаривает условность своей схемы беседы (стр. 56), но, как показывает опыт, и студенты и молодые преподаватели склонны всегда шаблонно применять ее, почему эти указания было бы лучше усилить. Особенно важно было бы уточнить смысл повторения в начале беседы, так как часто такое повторение не служит введением к основной теме беседы, а превращается в самоцель и разрушает единство урока.

Советуя вести подобное повторение мелкими вопросами, Соколов наталкивает на срыв темпа и не замечает грозной (для молодого преподавателя) опасности разменяться на мелочи, упустить из виду основную идею урока.

Замечания о деловой установке темы (стр. 57 и 58), хотя и снабжены оговоркой о недопустимости узкого утилитаризма, своим обоснованием наталкивают на него.

Совет, выделенный курсивом, как особо важный: „добиваться, чтобы как отдельные частные выводы, так и общий вывод по всей теме были сделаны самими учащимися- (стр. 58 и 59), дан без мотивировки и явно не выдерживает критики. Он грозит потерей темпа и утратой концентрации внимания к основному, благодаря равномерному распределению его на частные и общие выводы.

Это — уравниловка.

Совершенно непонятно, почему Соколов считает, будто лекция цельнее беседы. Это, конечно, неверно.

Неверно и то, что Соколов всякое изложение вопроса преподавателем, хотя бы и обоснованное доказательствами, считает догматизмом. Это резко расходится с общепринятым мнением и может повести к серьезным недоразумениям.

Необходимо отметить как важную заслугу Соколова большое внимание, которое он уделяет развитию мышления учащихся и, в частности, анализу методологических причин их ошибок.

Крайне ценно замечание Соколова о сходстве требований к лектору и актеру. Хотелось бы только усилить эти требования, расширить их на всю работу учителя и обосновать анализом элементов внушения, всегда имеющихся в уроке.

Изложение Челюсткина (глава о методах написана им) гораздо менее подробно и почти не обосновано.

Вызывает недоумение его предложение заменять иногда введение в раздел рассказом. Странно утверждение, что беседа должна вестись по вопросо-ответному методу (стр. 41); странно резкое противопоставление ее лекции, которая, якобы, применяется, начиная с VII класса; странно утверждение, будто лекция может переходить в беседу в наиболее трудных местах, тогда как в школьной практике вполне обоснованно применяется обратное.

Серьезнее недочеты обеих книг в части, посвященной демонстрациям.

Соколов противопоставляет „беседный метод“ „демонстрационному“ (стр. 63), словно демонстрации не являются лишь одним из элементов беседы. Соколов каким-то образом измеряет степень активности обучения при разных методах, забывая ставшую азбучной истину о том, что нет „активных“ и „пассивных“ методов.

Роль демонстрации он видит в привлечении зрительных впечатлений учащихся, в повышении внимания, активности и, как следствие, в лучшем запоминании.

Основного, того, что демонстрация показывает учащимся не только главные, но и все второстепенные признаки явления, апеллирует не только к сознательному, но и к подсознательному восприятию, конкретизирует явление, — Соколов не замечает. Ведь динамика представлений ему чужда.

Поэтому же он, как и Знаменский с Челюсткиным, не делает коренного различия в действии на учащихся демонстраций и лабораторных работ; у него, как и у Челюсткина, демонстрации нужны прежде всего по чисто внешним соображениям (бюджет времени, стоимость, сложность эксперимента и т. д.).

Правда, он признает, что .хорошо поставленная демонстрация... дает более высокие показатели усвоения“ (стр. 64), и требует экспериментального исследования „сравнительной эффективности демонстрационного и лабораторного методов“, но эта грубо эмпирическая постановка вопроса как раз и показывает, что он не понял главного, ясного и без специального эксперимента, того, что области применения демонстраций и лабораторных работ резко различны. Без этого эксперимен-

* В данной статье я сознательно концентрирую внимание, главным образом, на недочетах.

тальная проверка эффективности дала бы противоречивые результаты, Так как каждый метод дал бы лучшие показатели в своей области. В то время как демонстрация проходит быстро и задерживает на себе внимание учащихся сравнительно немного, — столько, сколько хочет учитель, — и позволяет следить за общей идеей в изложении преподавателя, — лабораторная работа приковывает внимание учащихся на длительный срок лишь к одному или к очень ограниченному кругу явлений.

Ни у Соколова, ни у Челюсткина не заострено требование максимальной выразительности опыта.

Челюсткин в изложении методики демонстраций ограничивается немногими замечаниями, не всегда мотивированными и совершенно недостаточными.

Большой заслугой его является попытка некоторых „оргвыводов“ из методики в части обязанностей школьной администрации и пожеланий к постановке экспериментальной подготовки будущих преподавателей физики в педвузах и по переподготовке уже работающих преподавателей.

К сожалению, здесь он не решился выдвинуть совершенно обязательного требования к ОНО об организации для учителей практикумов по методике и технике эксперимента и по адресу Наркомпроса — не менее категорического требования об организации действительного контроля как за учителем (ставит ли эксперимент), так и за директорами школы и заведующими ОНО (создают ли материальную и организационную базу).

Естественным продолжением методики беседы служит вопрос об иллюстративных наглядных пособиях (таблицы, макеты, диапозитивы и т. д.). Челюсткин обошел этот вопрос молчанием. Соколов подробно разбирает его, к сожалению, упустив вопрос о серийности диапозитивов и об обеспечении требования видимости, постоянно нарушаемого в отношении к плакатам (размеры, перегрузка материалом, расположение надписей и рисунков, шрифт, рассеяние внимания на несколько объектов, „методика“ Изогиза и т. д.).

Совершенно особое место в методике беседы занимает киноурок. То обстоятельство, что фильм (во всяком случае, целостный) имеет свое содержание, свою систему изложения и свою методику, резко выделяет его из числа других учебных пособий.

Все это оправдывает выделение киноурока в особый тип учебной работы, нуждающийся в подробном разборе.

Попытку подробного разбора мы встречаем у Челюсткина. Однако, его положение не свободно от ряда существенных недочетов.

Он не касается вопроса о типах фильмов (целостная, крупнофрагментарная, дробнофрагментарная), не указывает различия в методике работы с каждым типом фильма.

Совершенно не соответствует действительности его (и Соколова) утверждение, будто .наиболее распространенными являются .кольцевые“ (короткометражные)“ (стр. 84). В настоящее время в прокате (а для школы интересен именно прокат) нет ни одного короткометражного или кольцевого (это далеко не одно и то же) фильма.

Все фильмы, указанные Соколовым (стр. 77), имеются в небольшом числе вузов и не размножались.

Неверно утверждение Челюсткина о возможности в неограниченных пределах менять скорость проекции (стр. 84).

На недоразумении основано и утверждение,, будто грубость и ошибки в мультипликации вызваны неграмотностью редакторов фильмов. Как раз в названных Челюсткиным фильмах консультантами были проф. Бонч-Бруевич и проф. Тарасов. Вопрос о мультипликации много сложнее.

Остались невскрытыми специфика .словесного сопровождения“, область применения киноуроков, специфика подготовки к киноуроку, специфика повторительного киноурока.

В небольшой литературе по кино пропущены два важных источника: „Справочник по учебному кино“, составленный киносектором ЦДХВД* и журнал-сборник „Учебное кино“, издаваемый трестом „Союзтехфильм“ еще с 1933 г.

Все, что говорит о киноуроке Соколов, неверно от начала до конца.

Одно недоразумение уже было указано. Укажем остальные ошибки.

Неверно, будто применение кино меняет характер урока: будто при этом становится невозможной беседа; будто отпадает эвристический подход; будто киноурок всегда приближается к лекции. Ведь сам же Соколов только что говорил о кольцовках. Совершенно очевидно, что как раз к ним все сказанное не относится. Впрочем, как может убедиться каждый, просмотрев книгу Полонского .Методика и техника киноработы в школе“**, это неверно и для целостной фильмы.

Наибольшее внимание в обеих книгах уделено методике лабораторных работ.

Здесь прежде всего бросается в глаза тот же основной недочет, с которым мы уже встречались, — непонимание различия между лабораторным и демонстрационным экспериментом и тенденция расценивать „лабораторный метод“ не по его воздействию на динамику представлений у учащихся, а, например, по числу органов чувств, участвующих в восприятиях учащихся. Основное — огромная концентрация внимания на ограниченном объекте — ускользает от внимания авторов.

Отсюда невозможность обосновать ряд правильных положений: об органической связи работ с курсом, о преимуществах фронтального способа проведения работ, о численности звена и т. д.

Отсюда же и ряд ошибочных утверждений: предложение давать приборы „в возможно более разнообразном виде“ (Соколов, стр. 85); бухгалтерские выкладки о процентах времени, нужных и отводимых для лабораторных работ огульно, без учета специфики материала (Соколов, стр. 86); однообразие в определении хода работы (Соколов, Челюсткин); рассеивание внимания путем включения в .лабораторный урок“ повторения, длительных разъяснений (Челюсткин, стр. 61).

Вызывает недоумение утверждение Соколова, будто большее число ученических наблюдений может дать большую уверенность в физическом законе (стр. 81). Только очень тупой ученик может изменить степень уверенности в законе на основании своих опытов.

* Центральный дом художественного воспитания детей.

** Книга вышла после выхода обоих руководств — Соколова и „ленинградцев“.

Напрасно Соколов не различает работ проверочных (в смысле проверки закона) и измерительных (определение константы). Отношение к ним учащихся далеко не одинаковое. Напрасно он противопоставляет один тип работы другому (,... где только возможно, лабораторные работы должны ставиться эвристически“, стр. 83), а не ищет областей рационального применения каждого типа. Например, для развития навыков взвешивания измерительная работа, концентрирующая внимание на своих операциях, предпочтительнее каких-либо других „эвристических“ работ, основанных на взвешивании, но формально ориентированных на другую цель (хотя бы на определение удельного веса).

Необходимо решительно возразить против рекомендуемой Соколовым методики проведения работы (стр. 86). Во-первых, в инструкции слишком много опеки над учащимися, причем недостаточно решительно оговорена обязательность ослабления ее по мере роста развития учащихся. Во-вторых, совершенно неприемлем совет на время выполнения работы предоставлять учащихся самим себе (?!).

Не говоря уже о необходимости обеспечить контроль за сохранностью приборов, учитель обязан во избежание закрепления неправильных навыков обращения с аппаратурой следить за ходом работы и исправлять замеченные ошибки. Именно во время работы мысль учащихся напрягается и именно тогда руководство ею со стороны преподавателя особенно важно.

Челюсткин рекомендует такую же дробную опеку над учащимися (стр. 54). Правда, на следующей странице он делет оговорку что „план ... не должен превращаться в рецепт“, но помещенные там же рисунки, заменяющие инструкцию, дают именно рецепт.

Приведенный им пример проведения лабораторной работы на закон Ома вызывает серьезные возражения.

Ни в том, ни в другом руководстве не затронут колоссальной важности вопрос о технике безопасности при лабораторных работах и демонстрациях.

Я уже отмечал совершенно исключительную роль задач как оселка, на котором оттачиваются возникшие у учащихся представления и понятия. Между тем, надлежащего освещения этого вопроса мы не находим ни в той, ни в другой книге.

Челюсткин даже не выделяет методики задач в особый параграф, а разбирает их как частный случай в параграфе „Значение математики в курсе физики и вычерчивание графиков". Соколов объединяет методику задач с методикой проведения других видов .семинарских занятий".

И у Челюсткина и у Соколова решение задач это прежде всего средство для освоения формул (уменье применять формулы и закрепление их в памяти), отчасти — средство связи теории и практики. Правда, Челюсткин пишет, что «задачи предлагаются для более ясного и более прочного усвоения изученного отдела курса физики" (стр. 67), но кто знает, что он под этим понимает.

С точки зрения динамики представлений у учащихся, в первом концентре систематического курса физики предпочтительнее всюду, где можно, пользоваться арифметическим, а не алгебраическим способом решения. Дело в том, что при арифметическом решении учащийся всякий раз анализирует существо вопроса, пуская в ход

сумму своих физических представлений; при алгебраическом же решении учащийся только вспоминает формулу и подставляет в нее числовые значения.

Математики говорят, что за них думают уравнения. Именно этой роскоши — не думать — мы и не можем позволить учащимся.

Правда, есть один тип задач, где именно это («не думать“) обязательно. Это — задачи на применение эмпирически найденных зависимостей. Так как эмпиризм «запрещает мышление“*, здесь думать нельзя; надо лишь применять найденную зависимость, т. е. пользоваться формулой.

Лишь позже, когда учащиеся настолько овладеют алгеброй, что сумеют видеть физическую реальность через ее формальный язык, можно уверенно переходить на алгебраическое решение. Это и будет, примерно, в конце первого и в начале второго концентра.

Эта точка зрения, несколько смягченная (компромисс), изложена в объяснительной записке к программам 1932 г. Об этой проблеме «арифметически первого концентра“** Челюсткин умалчивает.

Соколов становится на компромиссную точку зрения объяснительной записки и полемизирует против последовательной арифметизации. При этом он признает, что «механизация действий составляет цель введения формул в науку, и, следовательно, с этой же целью формулы должны вводиться и в преподавание“ (стр. 49). Здесь полное непонимание различия между физикой — наукой и физикой — школьным предметом. В первом случае нам важен только результат, а во втором — наряду с результатом и процесс его получения. Если преподаватель и последует дальнейшему совету Соколова, учтет опасность «утраты физического смысла формулы“ и будет иногда напоминать о нем, он не достигнет все же главного — длительного упражнения в применении данных физических понятий и представлений, необходимого для их совершенствования.

Кроме того, постоянно видеть через формулу ее физический смысл можно только тогда, когда внимание ученика не двоится между математическими трудностями обращения с еще плохо усвоенными алгебраическими приемами и физическими трудностями применения новых, тоже еще не освоенных, понятий и представлений.

Соколов подходит к вопросу узко-практически, оставляя в стороне все соображения, связанные с психологией учащихся.

Роль задач требует особенной продуманности их подбора, определенной последовательности, чего нет пока еще в наших задачниках.

Давая каждую задачу, учитель должен знать, что именно в представлениях учащегося об явлении он хочет проверить; какие недочеты понимания выявить и исправить; на какие стороны явления обратить внимание.

Следует учесть, что решение задач является чрезвычайно мощным средством концентрации внимания учащихся на узком круге вопросов. Это средство иногда бывает целесообразно ис-

* Энгельс — „Диалектика природы“, изд. 4-е, 1930 г., стр. 206.

** Термин, предложенный в 1924 г. проф. Колмогоровым, тогда преподавателем Потылихинской опытно-показательной школы Наркомпроса.

пользовать для продвижения вперед по курсу (когда надо особо выделить каждый этап продвижения).

В таком случае, опираясь на наличный фонд физических понятий и представлений учащихся, мы путем рассуждения, на ряде задач, шаг за шагом, постепенно продвигаемся вперед, создавая новый круг представлений и понятий, время от времени опираясь на эксперимент.

Получается прием, который хочется назвать расчлененной дедукцией, вполне посильный для учащихся первого концентра и успешно решающий важную задачу диалектического объединения индукции и дедукции еще в рамках первого концентра.

Классическим примером подобного рода может служить проработка в VI классе темы „Простейшие механизмы“, если свойства механизма выводятся из закона сохранения энергии, а не эмпирически. При этом непосредственно из закона сохранения энергии выводится .золотое правило“ (строго говоря, начало возможных перемещений).

С этой точки зрения разбираются: любые машины — по заданным перемещениям и силам, блоки, ступенчатый полиспаст и тали, ворот, наклонная плоскость, рычаг как обрезанный ворот. При этом от понятий о работе и энергии учащиеся подводятся к понятию о моменте силы. Закон сохранения энергии и понятия о работе и энергии применяются на всем протяжении темы самым разнообразным образом; из него выводятся различные следствия. Понятное дело, что за эту тему учащиеся действительно усвоят (и усваивают) закон сохранения энергии, и притом не как отвлеченную формулу, а как инструмент исследования, навыки пользования которым они получили.

Об этой очень важной, как видит читатель, возможности применения задач в обеих книгах нет ничего.

Не освещен там и частный случай предыдущего, когда при помощи задач можно помочь оформиться понятию, элементы для осознания которого уже накоплены учеником из его жизненного опыта.

Дело в том, что словесное определение такого понятия не в состоянии мобилизовать и упорядочить накопленные, но не осознанные запасы представлений. Оно запоминается, но не применяется. Например, зная словесное определение понятия „удельный вес“, дети не могут еще решить задачи на определение объема, так как само понятие ими не осознано. В то же время аналогичную задачу о числе бараков, нужных для размещения определенного числа рабочих при заданной норме, они решают совершенно свободно.

Чтобы мобилизовать их жизненный опыт и пробудить у них потребность в новом понятии (психологически чрезвычайно важный фактор), полезно еще до словесного определения дать решить несколько соответствующим образом подобранных задач. Для случая удельного веса это будут задачи на определение веса тела по объему и весу другого заданного объема с такими числовыми данными, чтобы напрашивалось решение по методу „приведения к единице“.

Почти совершенно незатронутым остался в обоих руководствах крайне важный вопрос о способах обеспечения самостоятельности и максимальной активности при решении задач (решение у доски и на местах*; характер помощи преподавателя; решение индивидуальное или звеньями; необходимость в задачниках, кроме ответов, завести отдел наводящих указаний; характер и место ответов и т. д. А между тем, лишь обеспечив самостоятельность решения, мы можем рассчитывать на совершенствование связанных с данной задачей физических понятий и представлений.

Также неосвещенным остался вопрос о примерах — качественных физических задачах, где мы встречаемся с серьезной опасностью привить учащимся неправильные методологические навыки искать решения подобных задач только рассуждением, без экспериментальной проверки, и довольствоваться первым найденным решением, не учитывая возможности иных решений.

Не сказано и о роли задач при повторении, о задачах как средстве синтеза из разных отделов и тем.

Читатель вправе спросить, что же есть в том и другом руководстве по вопросу о задачах.

Соколов, в основном, подробно разбирает вопрос о производственных задачах и, как мне кажется, разбирает правильно, хотя его понимание того, какая задача является производственной, не может не вызвать возражений.

По Соколову, настоящими производственными задачами являются те задачи, которые ставятся и решаются в конторах — цеховых, заводских, технических и т. п. (стр. 99).

Здесь явное преувеличение и следы .проектных“ увлечений. Дело в том, что „в конторах“ всегда имеют дело с комплексом явлений: в школе же мы стремимся более или менее изолировать интересующие нас соотношения. Поэтому школьная производственная задача будет более или менее схематизирована.

Помимо вопроса о производственных задачах, у Соколова есть ряд замечаний о содержании задач, характере записей, решений у доски и на местах и т. д. Но эти меткие и почти всегда полезные замечания не объединены какой-либо общей идеей; они почти что откровенно эмпиричны.

У Челюсткина мы найдем лишь попытку определить место задач в курсе и ряд кратких догматических указаний по их содержанию и методике, так же, как и у Соколова, не объединенных руководящей идеей.

Заслуживает возражения известное „равнение“ ленинградских авторов на „политехнический задачник“ Неймана и Соколика, но в этой части можно направить читателя к руководству Соколова, где недочеты этого задачника вскрыты достаточно убедительно.

Непонятно, почему качественные задачи .особенно желательны“ в первом концентре.

Вызывает опасения утверждение, будто во втором концентре .должны преобладать задачи на вычисление (это верно. — С. И.) и технические расчеты разных проектов“ (стр. 68). Что материал для физических задач надо черпать и из техники, — бесспорно, но что в классе (а не в клубе) нужны „проекты“, — это более чем сомнительно. Во всяком случае здесь следовало бы уточнить мысль автора. Уже отмеченная выше переоценка формальных математических приемов решения приводит Челюсткина к сильно преуве-

* Это у Соколова есть; нет указаний по остальным, перечисленным здесь вопросам.

личенному утверждению, будто успех решения задач в значительной степени будет зависеть от математической подготовки учащихся. Решающим моментом все же останется степень осознания физических закономерностей; для ее выражения можно найти несколько математических путей в зависимости от степени математической подготовки учащихся.

Один из этих путей сами „ленинградцы“ (и Челюсткин в том числе) усиленно выдвигают. Это — широкое применение графиков*. В этом большая заслуга „ленинградцев“. В то время как Соколов видит в графиках „еще лишний способ выражения связи между двумя взаимозависящими величинами“ (стр. 73), признает их большую наглядность и рекомендует применять для обработки результатов лабораторных работ, .ленинградцы“ предлагают использовать графики как метод исследования, как средство развития функционального мышления учащихся.

Они не говорят лишь об одном, очень существенном. Применив графиков является великолепным средством обхода математических трудностей, возникающих при изучении явлений, характеризуемых переменными величинами, вплоть до графического интегрирования.

Ошибочным является утверждение Челюсткина, будто отдельные приводимые им случаи использования математики на уроках физики могут способствовать подготовке учащихся по математике. Конечно, ни один математик для конкретизации представления о прямой и обратной пропорциональности не возьмет предлагаемого ему Челюсткиным примера сообщающихся сосудов с разными жидкостями, так как при этом он поставил бы успех по математике в зависимость от ясности представлений по физике. Связь физики и математики много глубже, чем это кажется Челюсткину. Она — в совместной работе по развитию математического мышления.

Глубоко неправ Соколов, когда он почти что отвергает математический вывод новых физических законов с последующей экспериментальной проверкой их (стр. 50). Только при плохой методике такой подход может затемнять физический смысл явлений. Именно в случае закона Архимеда (пример, который приводит Соколов) математический вывод, и только он, вскрывает природу выталкивательной силы, тогда как рекомендуемый Соколовым эмпирический подход, строго говоря, позволяет говорить лишь о „потере веса“.

Большим недочетом книги Соколова является отсутствие разбора специфических особенностей методики задач в профессиональных учебных заведениях.

По методике учебной работы с книгой** каждое из разбираемых руководств дает ряд ценных указаний. Следует отметить лишь отсутствие вопроса о том, каким должен быть учебник по физике.

Существующий стабильный учебник, как это видно из других мест той и другой книги, мало удовлетворяет авторов. Следовало проанализировать, правильно ли нащупан в нем нужный современной школе тип учебника.

Странное впечатление производит совет Челюсткина держаться возможно ближе к учебнику, в то время как его соавторы в специальной части идут на очень большие отступления от него.

В обеих книгах выдвигается требование наряду со стабильным учебником иметь конспект. Аргументируя за конспект, Соколов учитывает привлечение „моторного чувства“, явно апеллируя к памяти; Челюсткин расширяет это требование даже на область домашнего чтения по физике.

Спору нет, составление конспектов полезно. Однако, авторы забыли проанализировать вопрос о „стоимости“ этого (в смысле трудовых затрат ученика) и о соответствии этой „стоимости“ с полученным результатом; забыли составить конкурирующие параллельные проекты использования учащимися того времени, какое пойдет на составление конспекта, с тем, чтобы сравнить эффективность этих форм использования с эффективностью конспекта. Нет сомнения, что совет Челюсткина конспектировать всякую книгу при этом неизбежно отпал бы.

В приложенном у Челюсткина списке литературы для X класса нет там также и аннотаций научно-популярных журналов для молодежи.

Смысл школьных экскурсий по физике в обеих книгах понят несколько формально.

Соколов рассматривает экскурсии лишь как средство связи курса физики с изучением производства и, следовательно, как средство осуществления политехнизма (стр. 88). Строго говоря, такое понимание едва ли позволяет говорить об экскурсиях как об одном из методов преподавания физики. И в самом деле, в дальнейшем изложении Соколов говорит об изучении производства. Может быть, и это было бы приемлемо, если бы одновременно были указаны физические задачи, разрешаемые экскурсией.

Челюсткин много подробнее характеризует роль экскурсий (стр. 74), однако, и он ничего не говорит о тех качественных изменениях, какие происходят с представлениями учащихся о физическом явлении в то время, когда они встречаются с ним в производственной обстановке или в природе (новый масштаб, связь теории с практикой, воздействие сопутствующих явлений).

Челюсткин довольно обстоятельно дает методику иллюстративной (описательной) экскурсии» совершенно умалчивая о существовании экскурсий „исследовательских“ (в условно-школьном смысле этого слова) и тесно примыкающих к ним обследований, проводимых учащимся самостоятельно, в порядке домашнего задания, на прикрепленном предприятии, в природе или в музее. Несмотря на участие в составлении книги крупнейшего авторитета по экскурсиям „в природу“ проф. Пиотровского, специфика этого рода экскурсий в ней не затронута.

Совсем уже неприятное впечатление, и именно вследствие наличия в числе соавторов проф. Пиотровского, производит отсутствие упоминания о роли его гениального предшественника па методике экскурсии в природу— проф. Цингера. Об его „Послесловии“ нет упоминания даже в списке литературы.

Список литературы по экскурсиям недостаточно полон. Почти нет журнальной литературы;

* Большое внимание к графикам мы встречаем не только в общей методике — оно широко отражено и в специальной части.

** Настоящая статья посвящена вопросам учебной работы, а потому все относящееся к внеучебной работе, хотя бы и очень важное, заранее исключается из поля зрения.

нет книг, в которые методика экскурсий входит как составная часть (например Медянцева).

Чтобы не возвращаться к этому вопросу, отмету кстати, что у Соколова, где подробнее дана журнальная литература, пропущены очень интересные, бесспорно талантливые, хотя и полные грубых методических ошибок, статьи Григорьевой („На путях к новой школе“, 1928 г., № 1, 4, 5—6 и в одном из номеров за 1929 г.).

В обеих книгах чрезвычайно бегло затронут вопрос о технике безопасности при экскурсионной работе. Оба автора ссылаются на специфику различных производств, хотя есть ряд общих положений и мероприятий, актуальных для всякого производства.

Оба автора слишком охотно идут на перегрузку экскурсий и даже на „комплексные“ экскурсии (под этим термином в обеих книгах понимается экскурсия, проводимая одновременно по нескольким дисциплинам). Видимо, вопросы концентрации внимания и управления им в производственной обстановке, где масса факторов рассеивает внимание, равно как и соображения об утомлении учащихся в силу неблагоприятной обстановки (шум, пребывание в верхней одежде, невозможность присесть, необходимость напрягать слух и зрение) и в силу эмоционального подъема, — все это ускользнуло от внимания авторов.

Между тем, все это категорически требует, чтобы основным принципом экскурсионной работы было положение о недопустимости перегрузки, о резком самоограничении при определении тематики, о безусловной вредности одновременных экскурсий по нескольким дисциплинам, может быть, с отдельными исключениями для труда.

Приведенная Челюсткиным в качестве образца экскурсия перегружена, ведется по двум предметам (физика и химия) и носит ярко выраженный описательный характер (дает описание технических установок, а не выясняет их физические основы). Эта экскурсия, безусловно, должна быть разбита на ряд более мелких экскурсий — или по физике, или по химии, или по труду, с четкими заданиями, которые (по физике) вскрывали бы физическую сущность отдельных процессов. Может быть, понадобилась бы и заключительная синтетическая экскурсия (скорее всего не по физике, а по труду).

Соколов подробно разбирает вопросы о проработке экскурсии и подготовке к ней, но оставляет в тени особенности работы преподавателя во время самой экскурсии. Этому вопросу у него посвящено 15 строчек, причем они целиком заполнены соображениями о записях на экскурсии и о том, кому вести экскурсию.

У него мы находим скорее аннотированную классификацию, чем методику экскурсии. А между тем, вопросы расстановки, выбора маршрута, техники ведения объяснений для иллюстративной экскурсии; вопросы приемов руководства работой при исследовательской экскурсии и особенно при обследованиях; вопросы приспособления музеев и предприятий к ученическим обследованиям — все это крайне актуально для учителя.

Нет всего этого и у Челюсткина.

Подводя итоги изложенному о методах работы, необходимо подчеркнуть, что в каждом отдельном случае выбор и последовательность применения методов определяются конкретным тематическим заданием на основании тщательного анализа наличного фонда навыков, понятий и представлений учащихся и тех изменений, какие в них надо внести. В предыдущем изложении уже было показано, что последовательность различных методов и форм занятий как в рамках темы, так и в пределах каждого урока может быть самой разнообразной. Поэтому нужно самым решительным образом протестовать против каких бы то ни было категорических утверждений, хотя бы против следующего положения, выдвигаемого Челюсткиным: „Каждый урок должен состоять из следующих частей...“ (стр. 90). Прав Соколов, когда он неоднократно говорит о вреде слишком прямолинейного выполнения даже лучших методических советов.

Оканчивая настоящую работу, хочется рассеять впечатление, которое могло сложиться у читателя благодаря тому, что его внимание фиксировалось почти исключительно на недочетах обеих книг.

Я высоко расцениваю обе эти книги вместе взятые (так как одна дополняет и выправляет другую). В них масса интереснейшего и ценнейшего материала, приведенного в стройную систему, — насколько это возможно при эмпирическом построении методики. Именно против эмпиризма в методике я и возражаю; именно его отрицательное влияние на качество той и другой книги я и пытался показать, хотя бы на примере одного вопроса.

Хочется, чтобы обе эти книги были последними, наиболее удачными произведениями эмпирической методики. Я осмеливаюсь утверждать, что с этих методологических позиций нельзя дать больше, чем дали „ленинградцы“ и Соколов. Мне кажется, что детальный анализ динамики физических понятий и представлений учащихся, силу которого я пытался бегло показать, является единственно адэкватным диалектическому материализму методом, спицифичным для методики физики.

МЕТОДИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИБЛИОГРАФИЯ ПО ТЕМАМ

В. МОРЕВ (Ленинград)

Длина окружности и площадь круга

Вычисление и построение я

1.Навроцкий Н. О спрямлении окружности круга. Сочинение Николая Навроцкого, Лейпцигского университета доктора, имп. Спб. Академии наук и во многих ученых обществах члена-корреспондента. В Универс. тип., М. 1835, 8°, стр. 8.

2. Смирнов В. С. О способе измерения площадей на планах и о системе, как находить квадрат каждого круга и квадрат поверхности

каждого шара. Соч. Вл. Ст. Смирнова. В тип. А.. Семена, М. 1855, 8°, стр. 15.

3. Гольденберг А. И. К графическому выпрямлению окружностей (построения Маскерони, Пиоши и П. А. Чиркова), .Матем. листок“ I, М. 1879, X, стр. 335—336.

Гольденберг, А. И. Об измерении круга (по Архимеду), .Матем. листок-, I, М. 1879, IX, стр. 265-270.

4. Гирш, Иофе. К графическому выпрямлению окружности, .Матем. листок“, 1881—1882, VII —IX, стр. 149-154.

5. Tачалов Н. Вычисление отношения окружности к диаметру, .Журн. элемен. матем.“ 1, Киев, 1885, № 18, стр. 358—362.

6. Воинов А. Построение длины окружности. .ВОФЭМ“*, сем. II, Киев, 1887, № 21, стр. 220.

7. Построение длины окружности, .ВОФЭМ“, сем. II, Киев, 1887, № 15, стр. 65— 66.

8. Вощинин С. Приближенное построение отношения окружности к диаметру, .ВОФЭМ“, сем. IV, 1888, № 41, стр. 112.

9. Ефремов Д. Заметка по поводу задачи о вычислении я, .ВОФЭМ“, сем. IV, 1888, № 47, стр. 252—254.

10. Клейбер И. А. Парадоксальная формула для «, .ВОФЭМ“, сем. V, 1888, № 57, стр. 196-198.

11. Ржевуцкий С. Построение длины окружности, .ВОФЭМ“, сем. IV, 1888, № 38, стр. 42-43.

12. Полтавцев В. К вопросу о построении иррациональных чисел « и l/ic, .ВОФЭМ“, сем. VII, 1889, № 73, стр. 9—14, и № 76, стр. 72—77.

13. Попруженко М. Об отношении окружности к диаметру и о квадратуре круга, .ВОФЭМ«, сем. VIII, 1889, № 91, стр. 121-130.

14. Ромер П. Новое выражение для к, .ВОФЭМ“, сем. IX, 1890, № 97, стр. 2—4.

15. Старков А. и Попруженко М. Письма в редакцию по поводу статьи П. Ромера, .ВОФЭМ“ сем. IX, 1890, № 100, стр. 74—76.

16. Флоров П. Учение о круге, изложенное независимо от понятия о пределе, .ВОФЭМ", сем. IX, 1890, № 105, стр. 168-173.

17. Энештром Г. Две исторические заметки о числе я, .ВОФЭМ“, сем. VIII, 1890, № 94, стр. 186-187.

18. Попруженко М. Погрешность при вычислении по способу периметров, .ВОФЭМ“, сем. X, Одесса, 1891, № 120, стр. 220—222.

19. Ф. П. В. Площадь круга и длина окружности, .ВОФЭМ“, Одесса, 1891, N° 132, стр. 257— 258.

20. Захаров В. К выводу формулы длины окружности, .ВОФЭМ“, 1893, № 174, стр. 134—136. Андреянов П. По поводу ст. Захарова, .ВОФЭМ“. 1893, № 178, стр. 228.

21. Коваржик Ф. Новый способ выпрямления окружности, .ВОФЭМ“, 1893, № 163, стр. 142—144.

22. Кричевский С. По поводу парадоксальной формулы проф. Никольсона, »ВОФЭМ“, 1893, № 176, стр. 175—180, № 177, стр. 198—201.

23. Вейерштрасс. К мемуару Линдемана .О лудольфовом числе“ (доказательство невозможности квадратуры круга). Перевод с до пол н. И. Л. Скалозубов а. Под. ред. проф. А. В. Васильева, .Известия физ.-математического общества при Казанском университете“ сер. 2, т. IV, 1894; III, стр. 1—40 (прилож.), отд. отт. Казань, 1894, стр. 40, ц. 30 коп.

24. Травчетов И. М. Иррациональные числа и длина окружности. Для учеников старших классов гимназий и реальных училищ и поступающих в высшие учебные заведения. Спб., 1895, 8°, стр. 38, ц. 50 коп.

Рец.: .Ж. М. Н. Пр.“ 1896, VI, отд. 3, стр. 87-89.

25. Ефимов М. Ф. Построение я с точностью до 0,0001. .Известия физ.-математического общества при Казанском университете“, сер. 2, т. V, 1895, IV, стр. 63. Перепечатано: .ВОФЭМ“, 1896, № 236, стр. 207.

26. Волжин В. Теория прилов и ее приложения. Для V—VII классов реальных училищ. Моршанск, 1896, 8°, стр. 19—200.

27. В. С. Графическое построение величины }Лс и к (сообщение Эд. Бинга, помещ. в № 2 .Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenerie“), .Научн. обозрение“, Спб., 1899, VI, стр. 1235— 1237.

28. Каган В. Ф. Новое доказательство трансцендентности чисел к и е (доказательство Ф. Валена), .ВОФЭМ“, 1900, № 286, стр. 223—231; № 287, стр. 261-266; 1901, № 290, стр. 25-35; № 291, стр. 56—63. Отд. отт., Одесса, 1901, стр. 32.

29. Певцов А. Построение ic с точностью до jfr, .ВОФЭМ“, 1900, № 277, стр. 12—13.

30. Флоров П. Зависимость между периметрами правильных многоугольников и вычисление к (тема для учащихся), .ВОФЭМ“, 1903, № 344, стр. 182—183.

31. Фоменко Н. Новые способы геометрического^ построения приблизительной величины « и j/ic, .ВОФЭМ“, 1904, № 369, стр. 203—211.

32. Фоменко Н. Механические способы квадратуры круга и выпрямления окружности с достаточным приближением, »ВОФЭМ“, 1905, № 388, стр. 82-87.

33. Отчет о работах на тему для учащихся: .Зависимость между периметрами правильных многоугольников и вычисление ic«, .ВОФЭМ“, 1907, № 433. стр. 12—18; № 434, стр. 40—44.

34. Флоров П. С. Заметка о вычислении *, .ВОФЭМ“, 1908, № 457, стр. 12-16; № 458, стр. 34-37.

35. Белянкин И. И. Спрямление круговых дуг, .Отчеты и протоколы Физ.-мат. общества“, Киев, 1908 (1909), стр. 33—45; .Унив. изв.“ т. 50, Киев, 1910, I, стр. 33—45.

36. Мюллер А. Новое предложение о круге, .ВОФЭМ", 1909, № 488, стр. 183—185. По поводу .Нового предложения о круге" замечания В. Смосарского, И. Чистякова и Д. Ефремова, .ВОФЭМ*, 1909, № 493, стр. 16—19.

37. Smosarski W. W sprawie .nowego twierdzenia о kole“ (по поводу будто бы новой теоремы о круге) — .Wiadom. matem.", t. 14, Dodatek, Warszawa, 1910, стр. 87—89.

38. Флоров, П. С. Способ вычисления « с пятью десятичными знаками, пригодный для преподавания в средних школах, .Дневник XII съезда русских естествоиспытателей и врачей", М. 1910, VIII, стр. 316; .ВОФЭМ“, 1910, № 505, стр. 12-15.

* .ВОФЭМ“ — .Вестник опытной физики и элемент, математики“.

39. Рудио Ф. Архимед, Гюйгенс, Лежандр, Ламберт 6 квадратуре круга. С прилож. истории вопроса, составл. проф. Цюрихского политехникума Рудио. Перев. с немецк. под ред. прив.-доц. С. Бернштейн а. Изд. „Матезис“, Одесса, 1911, 80, стр. VIII 155, с 21 черт., ц. 1 р. 20 к.

Рец.: „Природа и люди“, 1911, № 42.

40. Власов А. К. Квадратура круга и циркулятура квадрата, „Матем. образов.“ М. 1912, I, стр. 11-21; VII, стр. 293-309.

41. Сорокин П. Новое изложение теории круга и элементарные приемы вычисления я, .Педаг. сборник“, Спб. 1912, III, стр. 334—356.

42. Песоцкий М. Приближенное выпрямление окружности в связи с вопросом о точности геометрических построений вообще, „Физ-мат. сборник“, IV, Тифлис, 1913, стр. 108—125.

43. Синцов Д. М. Выпуклый многоугольник с бесконечно-большим числом сторон, „Матем. образов.“ М. 1913, VII (ноябрь), стр. 303—305.

44. Соловьева А. В. Урок на тему: „Определение длины окружности“ и разбор его. Сборн. „Материалы по улучшению препод, математики в Кавказском учебном округе“, Тифлис 1913, стр. 142—144.

45. Извольский Н. А. К вопросу об определении длины окружности. „Доклады на II Всероссийском съезде преподавателей математики“, М. 1915, стр. 186—204; „Матем. вестник“, М. 1914, III, стр. 65—73. Отд. изд. (с добавлениями), ред. журнала „Матем. вестник“, М. 1914, стр. 33, ц. 35 коп., 1600.

46. Толкачев Ф. Определение длины окружности, площади круга, поверхностей и объемов круглых тел, Спб. 1914, стр. 55, с черт. 200.

47. Вычисление числа «, „Матем. листок“, Ревель, 1915, стр. 15.

48. Соколов В. А. Когда и как проходить об измерении длины окружности в VII классе реальных училищ и в средних учебных заведениях вообще, „Доклады на II Всероссийском съезде преподавателей математики“, М. 1915, стр. 255-266.

49. Успенский Я, В. Изложение геометрических способов приближенного вычисления отношения окружности к диаметру, изд. Отд. математики Педагогического музея воен.-учебн. заведений, вып. IV, Пгр. 1916, стр. 16,ц. 15 коп., 1000.

Рец.: В. Фридман — „Школа и жизнь“, 1916, № 30, стр. 12.

50. Гусев Ф. Об элементарном вычислении числа л, „Матем. вестник“, М. 1917, II, стр. 49—56.

51. Чистяков И. И. К статье об определении длины окружности и площади круга, „Матем. образ.“ М. 1917,1—II (№ 41—42), стр. 19-22.

52. Лебедев В. И. Очерки по истории точных наук, вып. IV, „Знаменитые геометрические задачи древности“, М. 1917, стр. 79, с рис., ц. 1 р. 25 к. 2000. Изд. 2-е, Пгр. 1920, стр. 72, с илл., Б. ц., 30 000.

Рец.: В. Г. Фридман — „Школа и жизнь“, 1916, № 35, стр. 12; В. И.— „Единая школа“, Псков 1919, II, стр. 85.

53. Попов Г. Н. Об одном способе вычисления к с помощью ряда у математиков старой японской школы, »Физ.-мат. сборник“, М. 1924, I.

54. Четверухин Н. Ф. О спрямлении дуг окружности, „Физ.-мат. сборник“, М. 1924, I.

55. Чистяков Н. Вычисление длины окружности и кривых по некоторой новой формуле, Владикавказ 1927, стр. 4, с черт., Б. ц., 150.

56. Лезедов П. Е. Окружность и круг „Сборн. методич. статей по матем.“ ЛООНО Л., 1933, стр. 40-48.

57. Адрианов В. В. Вывод формулы длины окружности, „Горьк. просвещенец“, 1934, XI—XII, стр. 62-63.

58. Рудио Ф. Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр о квадратуре круга. С приложением истории вопроса. Составил Ф. Рудио. Перев. с нем. под ред. и с примеч. акад. С. Н. Бернштейна, изд. 2-е, Гос. техн.-теор. изд., М.-Л.

1934, стр. 235, ц. 2 р. 50 к., 5000.

К этой же теме примыкает ряд брошюр, авторам которых казалось, что им удалось решить вековую задачу о „квадратуре круга“. Журналы их не печатали, поневоле приходилось прибегать к отдельным изданиям.

59. Шарубин Н. Квадратура круга и удвоение куба. Тип. М. О.Вольф., Спб., 1854,8°, стр. 16, ц. 50 коп.

60. Флор Оскар. Решение проблемы — квадратура круга. Поправление постоянной величины я, Рига, 1892, ц. 1 р.

Рец.: В. Г.—„ВОФЭМ“, 1893, № 157, стр. 12-13.

61. Попов М. Л. д-р мед. Особый метод выпрямления обвертываемых линий и алгебраическое выражение их обвертки (квадратура круга). Тип. Гл. упр. уделов, Спб. 1894, 8°, стр. 23. ц. 1 р., 1200.

62. Кирьянов И. И. Ответ математикам, назвавшим заблуждением вывод, что отношение окружности к диаметру равно 10, Спб. 1897. Рец.: „Научн. обозр.“, 1897, IV, стр. 151.

63. Сызранский П. И. Решение квадратуры круга с математической точностью, Одесса 1897, 8°, стр. 10 + 2 стр. черт., ц. 20 коп., 1000.

64. Икс-плюс. Решение квадратуры круга, Спб. 1898, стр. 15, ц. 5 коп.

65. Dolanski, Zwei Problene: Dreitheilung des Winkels und Quadratur des Kreises, Rewal, 1899.

66. Савин M. С. Решение вопросов о квадратуре круга и трисекции угла. Построение квадрата, равновеликого данному кругу, и точное деление угла на три равные части по правилам элементарной геометрии, изд. Д. Агапова, Оренбург 1901, стр. 26, ц. 65 коп., 7000.

67. Лабутин Р. Популярно изложенное решение квадратуры круга. Спб. 1902. Стр. 1.

68. Ландау Г. Квадратура круга и круг квадрата. Одесса. 1902.

69. Риппас Вл. Квадратура круга. Спб. 1910, стр. 21, 300.

70. Линнинг П. Приближенное вычисление */б части окружности (квадратура круга), Одесса 1911, стр. 2, ц. 50 коп., 400.

71. Фрейденталь В. Решение древнейших геометрических задач, считавшихся неразрешимыми, и формулировка единицы, Симферополь, 1914, стр. 4, ц. 15 коп, 1000.

Формула Герона

1. Гольденберг А. И. Площадь треугольника в зависимости от его сторон, „Матем листок“, т. II, М. 1881, стр. 34.

2. Шохор-Троцкий С. И. Заметка о площади треугольника, .Семья и шкала“ (уч.-восп. отдел), Спб. 1882, т. I, стр. 48—53.

3. Ващенко-Захарченко М. Е. Выражение площади треугольника в функции его сто-

рон, ,Журн. элемент, матем.“ т. I, Киев, 1884, II, стр. 49-51.

4. Николаев Н. О площади треугольника, .ВОФЭМ-, 1890, № 108, стр. 227—228.

5. Сикстель В. Еще способ определения площади треугольника в зависимости от полупериметра и сторон и доказательства некоторых формул, легко находимые из рассмотрения чертежа, употребляемого при этом, ,Пед. сборник“, Спб. 1897, X, стр. 389-392.

6. Everrett I. Вывод площади треугольника по трем сторонам, .ВОФЭМ“, 1903,№ 343, стр. 164.

7. Дмитровский А, А. Вывод формулы Герона и формулы площади вписанного четыреугольника, ,Физ.-мат. сборник“, I, М. 1924.

8. Адамович С. Геометрический вывод формулы площади треугольника в функции его сторон, „Матем. образов.“ М. 1928, III, стр. 343—345.

9. Беневольский М. Простой вывод формулы Герона, »Физ., хим., мат., технология в трудовой школе“, М. 1930, VI, стр. 82—83.

О РАБОТЕ НАУЧНОЙ СЕССИИ ПО СЕКЦИИ МЕТОДИКИ ФИЗИКИ ГОСУДАРСТВЕННОГО ИНСТИТУТА НАУЧНОЙ ПЕДАГОГИКИ ПРИ ПЕДАГОГИЧЕСКОМ ИНСТИТУТЕ имени ГЕРЦЕНА

И. ЧЕЛЮСТКИН (Ленинград)

Научная сессия ГИНП состоялась с 13-го по 16 июня 1935 г.

По секции методики физики сессия была проведена по следующей повестке:

Доклады: 1) П. А. Знаменского — „О методике преподавания в X классе“ (вводный доклад); 2) В. А. Зибера — .Электрическое поле“; 3) П. А. Знаменского — .Природа лучистой энергии“; 4) М. Ю. Пиотровского — „Управление лучистой энергией“.

I

На первом заседании сессии были заслушаны:

1) Вводный доклад П. А. Знаменского— .О методике преподавания физики в X классе средней школы“.

Курс физики X класса является завершающим все построение школьной физики. Для тех учащихся, которые не имеют в виду продолжать свое образование в области физико-математических и технических дисциплин, он должен закрепить ту сумму знаний какая является необходимой для сознательного участия в социалистическом строительстве; а для тех, которые переходят в высшую школу по указанным специальностям, он должен, сверх того, создать достаточную базу для успешного продолжения образования в вузе.

Составленные к началу истекшего учебного года предварительные тезисы и намеченная гипотеза проверялись экспериментально на школьной практике, на собраниях преподавателей, на заседаниях секции, при обследовании школы. Полученные результаты от этих экспериментов и практики подвергались критическому анализу в секции физики.

Был учтен весь положительный опыт в построении преподавания подобного курса физики в дореволюционной школе и в практике заграничных школ послереволюционного периода.

Методика X класса обсуждалась на заседаниях кафедр педагогического института и частично прорабатывалась на занятиях со студентами IV курса пединститута. Отдельные вопросы из этой методики прорабатывались дипломантами пединститута под руководством сотрудников секции, работающих в педвузах.

2) Второй доклад В. А. Зибера — „Электрическое поле“. Из этой темы докладчик выделил некоторые вопросы или как наиболее трудные в изложении курса физики X класса или требующие более методологически обоснованного подхода, чем это дается в учебниках физики для средней школы, вышедших даже в последнее время.

Докладчик дал методический анализ и указал на возможную и желательную разработку следующих вопросов: электризация тел, напряженность поля, силовые линии, потенциал, значение разности потенциалов, принцип определения электромагнитного заряда Милликеном и др.

Этот методический анализ был проведен с точки зрения: 1) развития идеи движения материи, 2) понятия о материальности пространства.

Доклад вызвал оживленный обмен мнений по затронутым докладчиком вопросам.

II.

На втором заседании сессии были заслушаны и обсуждены следующие два доклада:

1) П. А. Знаменского — .Природа лучистой энергии“. Изучение вопроса о природе света дает возможность подвести учащихся к современному физическому миропониманию, закрепить в них основы диалектико-материалистического мировоззрения. Докладчик предлагает (вопреки установившимся традициям) ввести .волновую теорию“ возможно раньше.

Для этого необходимо рассмотреть некоторые примеры интерференции света, а затем переходить к постулированию и разъяснению принципа Гюйгенса. После этого переходят к дифракции и поляризации света. Затем докладчик подчеркивает необходимость обоснования перед учащимися представления о свете как о процессе электромагнитном. Изучение явлений испускания и поглощения света приводит учащихся к изучению вопроса о строении атома и учения о квантах.

В связи с этими вопросами учащимся дается краткий исторический обзор о развитии учения о природе света: от механической волновой теории Гюйгенса — Юнга, Френеля к электромагнитной волновой теории Максвелла — Герца, к тео-

рии Планка — Эйнштейна и теории строения атома Бора. Заканчивается вопрос указанием, что проблема света далеко еще не разрешена. На этом историческом обзоре показывается, что всякий закон, всякая гипотеза и теория представляют только известное достижение на пути развития науки, неполно охватывая явления природы.

2) Второй доклад — М. Ю. Пиотровского— .Управление лучистой энергией“.

Докладчик отмечает, что вопросы оптической техники, рассматриваемые с точки зрения их физического содержания, должны получить в политехнической школе достаточно полное и глубокое освещение. Докладчик считает равноценными при изложении данного отдела волновой и лучевой методы проработки указанных вопросов. На протяжении всего этого отдела отмечаются достижения советской оптической техники.

В заключение докладчик предлагает элементарно ознакомить учащихся с современным положением фотографии и репродукции в естественных цветах, под углом зрения Юнга — Гельмгольца.

III.

Оба доклада вызвали оживленный обмен мнений по затронутым вопросам. По этим докладам конференция вынесла следующую резолюцию:

1) Конференция признает, что данная исследовательская работа провелена целесообразно; авторы использовали не только личный опыт, но и лучшие достижения дореволюционной школы, и особенно считает ценным постановку экспериментальной проверки прорабатываемых положений в нашей советской школе. Методику преподавания физики в X классе желательно в ближайшее время напечатать.

2) В главе об электрическом поле необходимо дать не только изложение о положительном потенциале, но и об отрицательном.

3) В главе о законах электрического тока много указано опытов, но недостаточно дано методических указаний. Есть лишнее, как, например, электронная теория металла. Это можно было бы выпустить.

Наряду с этими небольшими недостатками отмечаются и ценные указания, например по вопросу, как надо решать задачу Джоуля.

4) По темам „Природа лучистой энергии“ и „Управление лучистой энергией“ предлагается авторам выделить, что из предлагаемого материала надо использовать в первую очередь, что — во вторую, пользуясь приемами перенесения второстепенного материала в мелкий шрифт и подстрочный текст.

5) Предлагается в этих статьях изменить расположение материала: начать с интерференции, заменив опыт с двумя щелями зеркалами Френеля или бипризмой; затем принцип Гюйгенса, явления отражения и преломления; дисперсия, дифракция, испускание и поглощение.

Поляризация представляет определенные трудности для изложения и усвоения учащимися. Поэтому этот вопрос можно было бы либо совсем снять, либо дать указания подстрочно.

IV.

Во время сессии секции методики физики была организована выставка приборов, сконструированных сотрудниками секции или по указаниям сотрудников секции:

1) Высокочастотный генератор В. А. Зибера с набором приборов к нему.

2) Лабораторные приборы по механике, выявляющие политехнизацию в оборудовании и дающие возможность поставить опыт с учетом количественных результатов, зубчатые колеса, подъемный кран с лебедкой, реечный домкрат с зубчатой передачей и др., сконструированные по указаниям П. А. Знаменского.

3) Набор приборов по волновой оптике — установки по дифракции, проработанные аспирантом Роговым.

4) Образцы таблиц по оптике, сделанные по указаниям М. Ю. Пиотровского.

Во время выставки демонстрировались опыты на указанных приборах.

Кроме этого, были выставлены печатные и подготовляемые к печати труды сотрудников, таблицы и другие материалы, выявляющие научно-исследовательскую и массовую работу секции методики физики ГИНП.

СТАТЬ БЛИЖЕ К УЧИТЕЛЮ

Б. ТАРАСОВ (г. Кирсанов)

(Заметки учителя математики о методических сборниках „Математика и физика в средней школе“)

В прошлом году, наконец, возобновлен был выход методического журнала по физике и математике, правда, пока в виде „сборников“. За этот период времени журнал уже дал много ценного материала учителю физики и математики (особенно в отделе „Частная методика“). В частности, можно отметить как наиболее интересные и важные для учителя статьи (отмечаю только статьи по математике):

1. Отдел научный и научно-популярный:

Чистяков — .О новейших исследованиях в области древнейшей истории математики“ (1934 г., № 1—3); Креер — .Алгебраические уравнения“ (№ 2 за 1934 г.); Гребенча — .Число и его значение в естествознании и технике“ 1934 г., № 2); Молодший —,11 Всесоюзный математический съезд“ (1934 г., № 3); Кастро-

вицкий —,Общие признаки делимости“ (1934 г., № 3); Крыжановский — „Построение ряда самостоятельных геометрий“ (1934 г., № 4); Извольский — „Геометрическое учение о площадях“ (1935 г., № 2).

2. Отдел общей методики. Наиболее интересна статья Сталькова- „Домашние задания по математике“ (1934 г., № 2).

3. Частная методика.

Снигирев — „Буквенные выражения“ (1934 г., № 1); Воронов — .Самостоятельное составление учащимися арифметических задач“ (1934 г., №2); Волковский — „Зависимость между членами арифметических действий“; Сапунов— „Решение задач методом составления уравнений с одним неизвестным“; Островский — „Метод составления уравнений первой степени с одним неизвестным“ (1934 г., № 3); Грошев — .Геометрические задачи, заимствованные из механики“; Берг— „Обратные круговые функции в средней школе“; Ефремов — „Первые уроки при прохождении тригонометрических уравнений“; Волковский — ,К вопросу о признаке делимости на 8“ (1934 г.. № 4); Шевченко — .Преподавание II концентра тригонометрии“ (1935 г., № 1); Черняев — „Принцип двойственности при школьном преподавании геометрии“; Альтшулер — .Методика иррациональных уравнений“ (1935 г., № 2).

Очень интересен раздел задач, особенно ценны задачи для учащихся, которые можно использовать и в классной работе и для кружковых занятий.

Наряду с положительными сторонами нужно отметить и ряд недочетов в журнале, которые необходимо устранить в дальнейшем.

1. Журнал оторван от массы рядового учительства средней школы. В нем нет отдела педагогической консультации, который намечала организовать редакция (только в № 1 за 1935 г. есть один ответ на запрос читателя). Между тем, свою основную задачу — организовать методическую помощь — журнал может выполнить, лишь установив тесную связь с учителями. Поток писем с запросами должен итти к редакции, и редакция, обработав их, должна давать в каждой книжке обстоятельные разъяснения по самым злободневным вопросам методики.

2. Нельзя считать удовлетворительным библиографический раздел. Нужно в журнале помещать: а) подробные списки книг по математике, физике, астрономии, выходящих в издании Учпедгиза, Научно-технического издательства (которое, кстати сказать, издает очень много научной литературы, ценнейшей для учителя), издательств, выпускающих физико-математическую литературу для детей и юношества и т. д. Желательны списки книг с аннотациями, но если это не всегда возможно, то хотя бы помещать просто списки книг, и это очень полезно, так как ставит в известность учителя о том, что можно достать на книжном рынке. Списки нужно помещать своевременно, а не после того как эти книги распроданы, б) Рецензии и критические обзоры книг и журнальных статей по математике (этого пока в журнале тоже очень и очень мало).

3. Отдел „Хроники“ незаслуженно не пользуется вниманием редакции. Ведь учителя не мешало бы систематически информировать: а) о жизни научных и методических обществ, исследовательских институтов, имеющих отношение к физико-математическим наукам, о работе физико-математических факультетов, университетов и педвузов; б) о съездах и совещаниях физиков и математиков, в) о математических олимпиадах, 4) об итогах приемных испытаний в вузы (по физико-математическим наукам) и выпускных испытаний по средней школе, техникумам и рабфакам и т. д.

Редакция в одной статье слегка познакомила с итогами Ленинградской олимпиады и одной статьей отозвалась на II Всесоюзный математический съезд. Маловато. Ждем от редакции в научном отделе статей, излагающих в популярной форме наиболее важные и интересные доклады на съезде. Учитель ведь не ремесленник, довольствующийся Шапошниковым и Вальцевым.

4. В научном отделе желательно помещение статей по важнейшим основным научным проблемам, а не случайных этюдов любителей математики (какое, например, особенное значение имеют статьи Зеттель— ,Об одном замечательном случае неравенства треугольников“ или Демме — ,О многолепестковых розах как геометрическом месте точек“?). Нужно в этом разделе уделить большее внимание философии и истории математики. Политическое просвещение, выработка марксистского мировоззрения у учителя — задача огромной политической важности, а чтобы приучиться владеть диалектическим методом, чтобы овладеть основами марксизма, нужно связывать эту учебу со своей практической работой. Журнал обязан дать ряд статей по марксистской философии математики, освещающих вопрос о кризисе современной буржуазной математики, дающих критику важнейших направлений в математике Запада (формалисты, интуиционисты и т. д.). Нужно помещать также в научном отделе статьи о теории множеств и ее значении в современной математике, о современной топологии (вообще целесообразно было бы поместить ряд очерков .Современная математика и физика“; нужно лишь, чтобы изложение было простым и рассчитано на лиц, знакомых только с элементами анализа и аналитической геометрии, так как иначе большая часть читателей не поймет этих статей), о теории групп, теории Галуа, об исследованиях Гельфонда в области трансцендентных чисел.

5. В разделе общей методики желательны статьи на следующие темы: годовые производственные планы, методы работы по математике, учет успеваемости учащихся, поверка письменных работ по математике, о математических кружках (содержание и методы их работы), о воспитательной работе на уроках математики, о рабочих тетрадях.

6. В разделе частной методики нужны статьи: как научить учащихся решать задачи по геометрии, о решении алгебраических задач путем составления уравнений (редакция поместила в № 3 за 1934 г.; необходимо продолжать разработку этого вопроса), описания отдельных уроков с критическим разбором их, образцы планов отдельных уроков.

7. Нужно подвести итоги выпускных и поверочных испытаний: дать статью об итогах испытаний, а также образцы контрольных письменных работ из практики работы лучших школ Москвы и Ленинграда (это дало бы возможность нам — провинциальным учителям — сопоставить свои требования и уровень знаний своих учащихся с уровнем знаний учащихся лучших школ). После осенних приемных испытаний в техникумы

и вузы нужно также дать несколько статей, подводящих итоги, а также образцы письменных работ и вопросов на устных испытаниях.

8. Нужно увеличить также отдел .Обмен опытом“, в котором необходимо систематически освещать опыт образцовых школ, а также интересные достижения и рядовых школ.

9. В заключение необходимо выразить пожелание о регулярном выходе методических сборников и о превращении „методических сборников“ в журнал. Желательно было бы увеличить количество номеров, выходящих в год. В будущем 1936 г. нужно добиться, если не ежемесячного журнала, то по меньшей мере 10 номеров в год.

Тесная связь редакции журнала с учительством, отражение запросов современной педагогической и научной мысли, повседневная методическая помощь учителю-математику и физику, освещение важнейших научных проблем физико-математических наук, вооружение учителя диалектико-материалистическим методом, ознакомление учителя с новейшими достижениями этих наук,— вот основные задачи журнала. А для осуществления их журнал должен стать ближе к рядовому учителю, должен создать свой актив сотрудников и корреспондентов.

ОТВЕТ т. ТАРАСОВУ

Из многочисленных отзывов о журнале, полученных от читателей, редакция печатает письмо т. Тарасова лишь потому, что оно более полно и подробно поднимает те же вопросы, которые в большей или в меньшей степени затрагиваются во всех остальных письмах. Общим для всех писем является следующее:

1. Высказывается большое удовлетворение по поводу возобновления методического журнала.

2. Указывается, что журнал и в настоящем его виде оказывает значительную помощь педагогу в повышении его научной квалификации и в его педагогической работе (для ряда преподавателей журнал являлся единственным научным и методическим пособием).

3. Выражается единодушное пожелание, чтобы журнал выходил более регулярно и не менее 10—12 номеров в год.

4. Одновременно с этим предъявляется целый ряд требований, сводящихся к расширению тематики журнала, к более полному охвату интересов и запросов педагога, причем одни письма (очевидно, более подготовленных педагогов) делают упор на углубление научного раздела, другие, наоборот — на конкретную методическую помощь начинающему педагогу, чуть ли не на каждом шагу его педагогической работы.

Так, к темам, упомянутым в письме т. Тарасова, можно прибавить из других писем такие: основы теории чисел и ее практическое применение; обзор геометрических систем; о трансфинитных числах; вопрос существования эфира; принцип относительности; введение в волновую механику; теория квант и пр.

С другой стороны, пишут о необходимости дать подробные методразработки таких тем, как: первые уроки алгебры, раздел процентов в арифметике, закон Архимеда по физике и пр. Выдвигается пожелание, чтобы журнал давал в строгой последовательности детальные методразработки (или даже стенографические записи показательных уроков) по всем темам предмета так, чтобы годовой экземпляр журнала давал в итоге полную методику дисциплины (требование явно невыполнимое да и нецелесообразное).

Признавая в огромном большинстве случаев законность требований, выдвигаемых читателями, редакция тем не менее считает необходимым указать на обстоятельства, неизбежно суживающие возможности удовлетворения всех запросов читателей.

1. Журнал охватывает три дисциплины: математику, физику и астрономию,— дисциплины, в свою очередь разбивающиеся на ряд специальных дисциплин, охватывающих многочисленные проблемы, подвергнувшиеся особенно глубокой разработке за последние десятилетия. Один только перечень и хотя бы краткая характеристика этих проблем могут заполнить целиком не один номер журнала. А ведь надо оставить место и вопросам методики и опыта школ и вопросам заграничной педагогики и методики, критике и библиографии и т. д.

Выход из этого затруднительного положения может быть только таков: давая в краткой (в пределах журнальной статьи) и возможно популярной форме сведения по той или иной проблеме, отсылать читателя для более углубленного изучения ее к имеющейся на книжном рынке литературе, с указаниями, о чем именно трактует данная книга и какой подготовки требует от читателя. На этот путь и вступает редакция, расширяя в 1936 г. критико-библиографический раздел, с одной стороны, добиваясь от соответствующих издательств присылки в редакцию контрольных экземпляров книг для своевременной их аннотации — с другой.

Немалую помощь педагогу оказало бы издание серии отдельных небольших (но уже выходящих за пределы журнальной статьи) книжек по актуальным вопросам математики, физики и астрономии. К организации этого дела редакция также приступила. В настоящий момент Учебно-педагогическим издательством уже принята от редакции к напечатанию научно-популярная работа т. Бакушинского — „Принцип относительности».

2. Журналу приходится иметь дело с чрезвычайно разнообразным составом читателей как п© их образовательной подготовке, так и педагогической квалификации. Вот почему иногда статья, вполне удовлетворившая одного читателя, оказывается слишком элементарной для другого и, наоборот, почти недоступной для третьего. Не имея возможности дать трактовку темы .на все вкусы“, редакция вынуждена ориентироваться на „среднего“ читателя с некоторой амплитудой колебаний в ту и другую сторону. В этих целях редакция старается избегать как тем, слишком элементарных, так и тем, требующих подготовки, значительно превышающей уровень педагога средней квалификации.

3. Расширение объема и увеличение количества номеров журнала несомненно несколько увеличит его возможности, и кое-что в этом направлении будет достигнуто уже в 1936 г., но все эти возможности останутся ограниченными в силу высказанных выше соображений.

Считаем нужным отметить, что все изложенное выше нисколько не умаляет ценности кри-

тических замечаний и предложений, излагаемых в письмах наших читателей. Наоборот, они как нельзя лучше позволяют нащупать недочеты в организационной стороне, в структуре, в содержании журнала и наметить пути к их изжитию. В частности уже полученные письма заставили редакцию принять ряд решений на 1935 г.

От этих высказанных общих соображений перейдем к частным вопросам, затронутым в письме т. Тарасова (а также других читателей).

1. Совершенно верно, что раздел „Педагогическая консультация" не был использован редакцией. Объясняется это в первую очередь тем, что вопросы читателей по линии этого раздела не носили такого характера, который мог бы заинтересовать более или менее значительную группу читателей. В лучшем случае это были просьбы о рекомендации (или присылке) литературы по тому или иному вопросу, иногда очень узкому; в большинстве же письма содержали вопросы юридически-правового характера, просьбы о решении задач, ° проверке решений, найденных автором письма (в том числе между прочим задач о трисекции угла и квадратуре круга).

Дорожа местом на страницах журнала, редакция предпочитала отвечать на эти письма в индивидуальном порядке. За восемь месяцев 1935 г. таких писем было послано около сорока.

2. О библиографическом разделе говорилось выше. Тов. Тарасов вполне прав, и этот раздел в 1936 г. будет расширен.

3. Также прав т. Тарасов и в вопросе о разделе „Хроника“. Сведения по этому разделу носили случайный и отрывочный характер. В будующем году организация этого раздела поручается определенному лицу, и хроника займет постоянное место в журнале.

4. О научном отделе достаточно сказано выше. Сделаем лишь два замечания. Во-первых, все же существуют темы, которые, при соблюдении требования популярности, не смогут уместиться в рамках журнальной статьи или же потребуют солидных знаний от читателей. Таковы, например, выдвигаемые некоторыми читателями темы: „Векторный анализ“, „Тензорный анализ“, отчасти выдвигаемые самим т. Тарасовым темы: „Теория групп“, „Теория Галуа“ и др. Во-вторых, редакция совершенно несогласна с оценкой, даваемой т. Тарасовым статьям тт. Зеттель и Демме. Помимо их теоретического интереса, они дают прекрасный материал для математических кружков. В частности, статья т. Зеттель была заслушана с большим интересом московскими педагогами в виде доклада на заседании Московского математического кружка и после этого принята к напечатанию в журнале.

5. Темы, выдвигаемые т. Тарасовым для раздела общей методики, частью освещались на страницах журнала и будут впредь подвергаться дальнейшей проработке.

6. То же можно сказать о разделе частной методики. Достаточно просмотреть напечатанное в этом номере содержание журнала за 1934— 1935 гг., чтобы убедиться как в разнообразии тем, помещавшихся в журнале, так и в некоторой системе подбора этих тем с упором на наиболее трудные темы и с неоднократным возвращением к ним (пример: задачи на составление уравнений, геометрические задачи и пр.).

7. Итоги выпускных, поверочных и приемных испытаний освещались и будут в известной мере освещаться на страницах журнала. Однако, редакция не склонна придавать этому разделу особо важное значение.

8. Раздел „Обмен опытом“ или „Из школьной практики“ на первый взгляд занял очень небольшое место в журнале. На самом деле это не так. Более внимательный взгляд на содержание раздела методики убеждает, что значительная часть этого раздела может быть отнесена именно к разделу „Обмен опытом“. Сюда относятся небольшие заметки о том или ином методическом приеме, о порядке проведения того или иного опыта, о конструировании того или иного самодельного физического прибора и пр.

Может быть, в дальнейшем и следует оставить в разделе частной методики лишь разработки более или менее крупных тем, относя большинство мелких заметок в раздел „Из опыта“.

9. Совершенно законно пожелание о регулярном выходе журнала. Во втором полугодии настоящего года эта регулярность была достигнута и необходимо сохранить ее и на будущее.

В заключение редакция еще раз заявляет, что все присылаемые критические замечания и пожелания по журналу она считает для себя чрезвычайно ценными, практически полезными, ведущими к улучшению журнала, к более полноценному выполнению задач, перед ним поставленных.

Редакция

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 2 СБОРНИКА „МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ“ ЗА 1935 г.

1. Полагая а + b + с = О, вычислить величину выражения:

Преобразуем первое выражение

Преобразуем второе выражение, приняв во внимание, что a -f о -\- с = О

Перемножив оба выражения и произведя сокращения, получим:

К. Агринский (Москва), Е. Вегеман (Курск), А. Егоров (Демянск), В. Зяблицкий (Калинин), Б. Кобылин (Галич), В. Комендровский (Оренбург), К. Краевский (Урусовское), В. Лебедевская (Саратов), П. Милов (Люблино), М. Носов (Свердловск), И. Сергачев (Москва), А. Соловьев (Калинин), Е. Соловьев (Одесса).

2. Показать, что

Покажем, что если равенство справедливо для некоторого л, то оно справедливо и для я + 1.

что и требовалось доказать.

Непосредственно убеждаемся, что равенство справедливо для л=1. Следовательно, онр справедливо для л = 2, 3, 4 и т. д.

Е. Вегеман (Курск), Б. Кобылин (Галич), К. Краевский (Урусовское), Н. Сафонов (Ярославль), А. Соловьев (Калинин).

3. Найти

Принимая во внимание формулы:

будем иметь:

Следовательно:

К. Агринский (Москва), Е. Вегеман (Курск), А. Вепланд (Москва), И. Гришин (Осташков), В. Ефимов (ст. Сходня), Б. Кобылин (Галич), В. Комендровский (Оренбург), М. Носов (Свердловск), Ф. Рыжков (Кашин), Н. Сафонов (Ярославль), А. Соловьев (Калинин), Е. Соловьев (Одесса).

4. Решить уравнение

Группируем:

Отсюда:

Полагая

X* + 7х = у,

получим:

или

Решая это уравнение, найдем: y = 9 + 3L

Подставляя найденное значение у в выражение

х* + 7х=у,

получим два квадратных уравнения, решив которые, найдем

Е. Вегеман (Курск), Б. Кобылин (Галич), К. Краевский (Урусовское), П. Милов (Люблино), Н. Сафонов (Ярославль), А. Соловьев (Калинин).

5. Решить систему уравнений:

Имеем:

Делаем подстановку:

Будем иметь:

Определяем из первого уравнения и:

Подставляем во второе уравнение:

Решая это квадратное уравнение, получим:

Е. Вегеман (Курск), И. Гришин (Осташков), Б. Кобылин (Галич), В. Комендровский (Оренбург), К. Краевский (Урусовское), Н. Милковский (Новозыбков), П. Милов (Люблино), Н. Сафонов (Ярославль), И. Сергачев (Москва) Л. Соловьев (Калинин).

6. Определить коэфициенты An В трехчлена Ar* + Вх* + 1

так, чтобы он делился на (* —1)*.

Обозначив частное: ах* + &г + <\ будем иметь тождество

Ах* + Вх* + 1 = ( *2 — 2х + 1 ) ( ах* + Ьх + с ) = = я** + (& — 2л) л? + (а — 2& + с) дг« + + (£ — 2с)х + с.

Приравнивая коэфициенты при одинаковых степенях х левой и правой части, будем иметь:

с=\;

Ь — 2с=0; Ь = 2\

а — 2Ь + с = Oj ö = 4—l = 3. В=Ъ — 2д = 2 — 6 = — 4, i4=ß = 3

Итак, искомый трехчлен имеет вид:

К. Агринский (Москва), Е. Вегеман (Курск), А. Вепланд (Москва), И. Гришин (Осташков), В. Ефимов (ст. Сходня), Б. Кобылин (Галич), В. Комендровский (Оренбург), К. Краевский (Урусовское), H. Милковский (Новозыбков), М. Носов (Свердловск), Н. Сафонов (Ярославль), И. Сергачев (Москва), А. Соловьев (Калинин).

7. Найти треугольник, стороны которого выражаются целыми числами, а площадь и сумма трех высот выражаются одним и тем же числом.

Так как:

2s — aha = bhb = chc, то из условия задачи будем иметь:

(1)

Задача сводится к отысканию целых значений для a, b и с, удовлетворяющих уравнению (1).

Из всех присланных решений только одно детально исследует вопрос и дает исчерпывающий ответ. Это решение принадлежит 15-летнему ученику X класса Курской средней школы № 5 Евгению Вегеману. Все остальные решения или дают одно, полученное путем подбора, решение, или, давая верный ответ, не до конца исследуют уравнение с достаточной строгостью.

Приводим решение Е. Вегеман а.

Рассмотрим два случая.

I. Между сторонами треугольника нет равных.

Пусть

а>Ь>с. (2)

Кроме того, из уравнения (1) следует:

а>2; Ь>2; с>2. (3)

Из уравнения (1) находим:

Так как из (2) а > Ь, то ~ < и, следовательно, из (3)

Отсюда:

(4>

Но по (2) b > г, следовательно 4 > с — 2, откуда, приняв во внимание (3), найдем:

2 < с < 6. (5)

Итак, с может быть равно лишь 3, 4 и 5. Рассмотрим все эти три случая, а) с = 3. Тогда:

Отсюда:

Но а > Ь, следовательно:

(6)

Кроме того, выражение

(7)

должно быть целым числом. Следовательно» b — 6 должно быть делителем 36. Из (6) и (7) следует, что Ь — 6 может быть равно лишь 1,2» 3, 4 [при о — б=6 уже нарушается условие (6)].

Так как £ = 3, то, давая b одно из значений 7, 8, 9, 10, легко вычислим а. Составим таблицу:

Ь — 6

с

b

а

1

3

7

42

2

3

8

24

3

3

9

18

4

3

10

15

Все четыре решения удовлетворяют уравнению, но не дают решения задачи, так как во всех случаях мы имеем

а > b + с%

что противоречит основному свойству треугольника.

в) Пусть с = 4. Тогда:

Отсюда: Кроме того:

должно быть целым числом. Следовательно, b — 4 является делителем 16, т. е. может принимать лишь значения 1 и 2, а Ь, соответственно, 5 и 6. Составляем таблицу:

с

b

а

4

5

20

4

6

12

Оба решения удовлетворяют уравнению, но ответа на задачу не дают по той же причине, что и в случае (а).

с) Исследуя таким же способом случай с — = 5, найдем два решения уравнения (1), которые оба непригодны.

Итак, не существует трех различных чисел, удовлетворяющих условию задачи.

II. Между сторонами треугольника есть равные.

пусть

а = Ь,

тогда

Так как с целое число и

то а — 4 делит 8. Следовательно, а — 4 = 1, 2, 4, 8 и а==5, 6, 8, 12.

Составим таблицу:

а

b

с

5

5

10

6

6

6

8/

8

4

12

12

3

Первое решение не годится. Следовательно имеем три решения задачи.

Е. Вегеман (Курск), Б. Кобылин (Галич), А. Соловьев (Калинин).

8. Построить треугольник ABC по стороне b а\ высоте ha при условии, что сторона вписанного в этот треугольник квадрата, две вершины которого лежат на ВС, равна диаметру вписанной треугольник окружности.

Черт. 1.

Йз чертежа 1 находим:

Или, так как EF= MD = 2r:

Отсюда:

откуда:

Покажем, что это равенство невозможно. В самом деле, из чертежа 1 находим:

Таким образом, треугольник, удовлетворяющий условиям задачи, невозможен.

Е. Вегеман (Курск), А. С оловьев (Калинин), И. Туминский (Волоколамск).

9. Найти треугольник, у которого сторона и одна из высот образуют ряд последовательных целых чисел. Пусть четыре последовательных целых числа будут:

х; х+\; х + 2; х + Ъ.

Так как высота BD, опущенная на сторону АС, должна быть меньше каждой из остальных сторон, то h может быть равно х или х + 1, но при h = X -f-1 будем иметь:

откуда:

Последнее же уравнение целых решений не имеет (в этом легко убедиться, освободив уравнение от радикалов и испытывая в полученном уравнении четвертой степени целые делители свободного члена). Следовательно: h — x.

Вычислим площадь по формуле Герона. В данном случае:

откуда:

В зависимости от того, на какую из сторон: х-\-\; х + 2; д:-f-3 опущена высота х, будем иметь:

(1)

или

(2)

(3)

Исследование этих трех уравнений показывает, что только (2) дает целое решение для лг, именно д;=12. Таким образом, искомый треугольник имеет: h =12; а =14; £=13; £=15 (из присланных решений полное исследование всех случаев проведено Е. Вегеманом).

К. Агринский (Москва), Е. Вегеман (Курск), А. Вепланд (Москва), В. Ефимов (ст. Сходня), Б. Кобылин (Галич), К. Краевский (Урусовское), П. Милов (Люблино), П. Сергеев (Москва), А. Соловьев (Калинин).

10. Доказать, что если в треугольнике со сторонами я, Ь, с имеет место соотношение № — с2 = = 2aR, то В — С =90°.

По известной формуле:

о — 2RsinA; b = 2RsiriB; c = 2RsinC.

Подставляя эти соотношения в данное, будем иметь:

или

Преобразуем левую часть:

Итак, имеем:

sin A sin (В — С) = sin А,

откуда:

sin(B — C)=\; В — С = 90°.

К. Агринский (Москва), Е. Вегеман (Курск), А. Егоров (Демянск), В. Ефимов (ст. Сходня), Б. Кобылин (Галич), В. Комендровский (Оренбург), К. Краевский (Урусовское), Н. Милковский (Новозыбков), П. Милов (Люблино), Ф. Рыжков (Калинин), А. Соловьев (Калинин).

11. Дан круг и вне его точка А. Найти геометрическое место таких точек М% чтобы расстояние MA было равно длине касательной МТУ про веденной к окружности из точки М.

Черт. 2.

Проведем из точки А касательные AB и АС. Середины отрезков AB и АС удовлетворяют условиям задачи. Покажем, что этому условию удовлетворяет любая точка прямой, проведенной через точки Мк и М2.

Из Д ODM находим:

(1)

(2)

(3)

Подставляя выражения для ОМ и ME в (1), получим:

Но для точек Mi и М2 ВМ\ — АМ\ = 0 и

СМ\— АМ\ = 0.

Следовательно: ОЕ* — АЕ% — /р = 0 и DM* = AM2. Откуда:

DM = AM, ч. т. д.

Построение очевидно; оно дано в начале решения.

Е Вегеман (Курск), А. Егоров (Демянск), В. Комендровский (Оренбург), К. Краевский (Урусовское), А. Соловьев (Калинин).

12. Через середины трех ребер куба, выходящих из одной и той же вершины трехгранного угла, проводят плоскость, отсекающую от куба пирамиду; найти полную поверхность и объем тела, получающегося после отсечения таких пирамид из всех вершин куба.

Черт. 3.

Далее:

Е. Вегеман (Курск), Б. Кобылин (Галич), В. Комендровский (Оренбург), Н. Милковский (Новозыбков), Н. Сафонов (Ярославль), А. Соловьев (Калинин).

13. Доказать формулы:

Имеем:

Вычислим

Теперь имеем:

К. Агринский (Москва), Е. Вегеман (Курск), А. Вепланд (Москва), И. Гришин (Осташков), А. Егоров (Демянск), В. Ефимов (ст. Сходня), Б. Кобылин (Галич), В. Комендровский (Оренбург), К. Краевский (Урусовское), Н. Милковский (Новозыбков), П. Милов (Люблино), Ф. Рыжков (Калинин), Н. Сафонов (Ярославль), А. Соловьев (Калинин).

14. Показать, что если a-f-p + Y+ S = 0, то

Так как, кроме условия a-|-p + Y + ^ = 0. на эти углы не наложено никаких ограничений, то положим:

7 = — a; S = — g.

Будем иметь

При cos а + cos ? ф О (что мы можем предположить) левая часть равенства равна нулю, вторая же при a =^ О и ß^O не равна нулю. Равенство невозможно.

Е. Вегеман (Курск), А. Соловьев (Калинин), И. Туминский (Волоколамск).

15. Обозначая через г и R радиусы вписанного и описанного кругов около ДЛ£С, доказать, что площадь его равна

Воспользовавшись формулами:

будем иметь:

К. Агринский (Москва), Е. Вегеман (Курск), А. Вепланд (Москва), А. Егоров (Демянск), В. Ефимов (ст. Сходня), Б. Кобылин (Галич), В. Комендровский (Оренбург), К. Краевский (Урусовское), Н. Милковский (Новозыбков), П. Милов (Люблино), А. Соловьев (Калинин).

16. Решить систему уравнений:

a sin* + Ь sinj/=û; л cos л: + bcosy = Ъ.

Возведем оба уравнения в квадрат и сложим:

Отсюда:

В зависимости от четности или нечетности к будем иметь

Делая подстановку в данные уравнения, получим:

a cosy -f- bsiny = a, a sin j/ + * cos .y = b.

Исключая sin y, найдем (беря наименьшие значения):

Таким же путем, как и в случае (1), найдем:

откуда определяются х и v.

Е. Вегеман (Курск), А. Вепланд (Москва), А. Егоров (Демянск), К. Демий (Харьков), В. Ефимов (ст. Сходня), Б. Кобылин (Галич), В. Комендровский (Оренбург), К. Краевский (Урусовское), Н. Милковский (Новозыбков), А. Соловьев (Калинин).

17. Определить вид треугольника, в котором

имеем:

или

Отсюда:

К. Агринский (Москва), Е. Вегеман (Курск), И. Гришин (Осташков) А. Егоров (Демянск), В. Ефимов (ст. Сходня), Б. Кобылин (Галич), В. Комендровский (Оренбург), К. Краевский (Урусовское), Н. Милковский (Новозыбков), И. Сергачев (Москва), А. Соловьев (Калинин), Е. Соловьев (Одесса).

18. Доказать, что число вида

делится на 2304. Имеем:

Итак, данное выражение делится на 48> = 2304.

К. Агринский (Москва), Е. Вегеман (Курск), А. Вепланд (Москва), И. Гришин (Осташков), А. Егоров (Демянск), В. Зяблиц-

кий (Калинин), Б. Кобылин (Галич), В. Комендровский (Оренбург), Н. Курицын (Ярославль), Н. Милковский (Новозыбков), П. Милов (Люблино), Ф. Рыжков (Калинин), А. Соловьев (Калинин). 19. Найти:

Имеем:

Отсюда:

Е. Вегеман (Курск), А. Вепланд (Москва), И. Гришин (Осташков), А. Егоров (Демянск), В. Ефимов (ст. Сходня), Б. Кобылин (Галич), В. Комендровский (Оренбург), К. Краевский (Урусовское), H. Милковский (Новозыбков), А. Соловьев (Калинин), Е. Соловьев (Одесса).

20. Показать, что при целом и положительном

Введем обозначения:

и т. д.

Вычислим разность

Сравнивая с данным рядом, имеем:

Таким образом, найдем:

откуда:

Е. Вегеман (Курск).

ЗАДАЧИ

1. Доказать, что если тип целые положительные числа и m > я, то

где Сдр означает число сочетаний из р элементов по q.

И. Туминский (Волоколамск).

2. Решить уравнение

(лг2 - 6* + 10) (*«-&*+ 17) = 26.

И. Туминский (Волоколамск).

3. Доказать, что во всяком треугольнике

где S площадь, г радиус вписанного круга, а а, р и y —отрезки сторон, отсекаемые точками касания вписанной окружности.

4. Доказать, что, если биссектрисы двух углов треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

5. Доказать, что

делится на 1296.

6. Решить уравнение

7. Решить систему уравнений:

8. Решить систему уравнений:

*У(х+У — *) = Ъ yz(y + z — *) = 60; zx (z + x — у) = 24.

9. Задача Архимеда (из трактата „Леммы“)*. Если в круге две хорды пересекаются под прямым углом, то сумма квадратов, получившихся от четырех отрезков хорд, равна квадрату диааметра.

10. Задача Архимеда (из трактата „Леммы“). Дан полукруг. Точкой А диаметр полукруга делится на два отрезка. На этих отрезках, как на диаметрах, построены полукруги (по одну сторону с данным полукругом). Доказать, что площадь фигуры, ограниченной полуокружностями (арбелон), равна площади круга, диаметр которого равен длине перпендикуляра к диаметру в точке А до пересечения его с окружностью.

11. Задача Телена. Пять разбойников отняли у прохожего кошелек, наполненный дукатами. Самый сильный из них взял 81 дукат, каждый из четырех остальных взял неодинаковую сумму; вследствие неравного раздела возник спор; пришедший в то время атаман приказал, чтобы тот, кто взял больше всех, удвоил каждому из остальных число его дукатов и чтобы то же самое сделал затем захвативший второе по величине количество дукатов, потом захвативший третье, четвертое и пятое.

В результате оказалось, что каждый из пяти разбойников получил одно и то же количество дукатов. Узнать, сколько дукатов было в кошельке и сколько каждый захватил вначале.

От редакции. Всего за 1935 г. было помещено 100 задач.

* В связи с пожеланием, высказанным в письмах читателей, помещаем несколько исторических задач.

СОДЕРЖАНИЕ СБОРНИКОВ „МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА в СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ“ ЗА 1934 г.

От редакции. Ввиду ряда писем читателей (очевидно имеющих или читавших разрозненные номера сборников) с просьбой дать сведения о содержании всех номеров, редакция и помещает настоящий список. После названия каждой статьи указан номер сборника, затем страницы начала и конца статьи.

I. Научный и научно популярный отдел

Математика № Стр.

1. Проф. П. Белоновский. О рациональных треугольниках ... 3 20—27

2. Проф. П. Белоновский. Фигурные числа . . . .....4 9—12

3. Р. Бончковский. Заметка о числе различных форм многоугольников .........4 12-15

4. Проф. М. Гребенча. Число е и его значение в естествознании и технике............2 15—29

5. Ч. Домбровский. Применение метода функциональных шкал к решению треугольника по трем биссектрисам внутренних углов . 3 30—31

6. Доц. С. Зеттель. Об определении длины биссектрис внутренних и внешних углов треугольника ...........4 15—18

7. Доц. С. 3еттель. Об одном замечательном случае неравенства треугольников.........1 10—14

8. Доц. С. Зеттель. Теорема Жергона и следствия из нее..... 3 23 -29

9. Проф. М. Зимин. О тригонометрических тождествах Biua/(sin)= =/(cosat)..........1 14-15

10. И. Кастровицкий. Общие признаки делимости......3 14—20

11. Проф. Л. Креер. Алгебраические уравнения ........2 6—14

12. В. Крыжановский. Построение ряда самостоятельных геометрий ............4 4— 8

13. Доц. В. Молодший. II Всесоюзный математический съезд .3 3—8

14. Проф. С. Поляков. Доказательство теоремы Паппа — Гульдена методом неделимых......3 31—34

15. Проф. И. Чистяков. Несколько замечаний о прогрессиях .... 1 5—17

16. Проф. И. Чистяков. О квадратных уравнениях.......4 18—23

17. Проф. Й. Чистяков. О новейших исследованиях в области древнейшей истории математики............ 1 5—10

то же (прод.) 2 3— 5

то же (оконч.) 3 18—13

18. П. Яковлев. Обобщение теоремы Пифагора......... 2 29—30

Физика

1. Проф. Б. Воронцов-Вельяминов. Космос и развитие физики .............. 3 35— 42

2. Инж. 3. Гинзбург. Основные идеи телевидения..... 1 38— 44

3. Доц. Ю. Кушнир. Фотоэлектрический эффект и его применение .............1 32— 37

4. Проф. П. Лобко. Из истории установления метрических мер . . 1 18— 32

5. Е. Островский. Магнитная дефектоскопия металлов..... 4 29— 35

6. Е. Островский. Ультразвуки и их применения........ 2 55— 60

7. В. Пульвер. Космические лучи. 2 42— 55

8. Асc. И. Турбович. Элементарные частицы.......... 2 30— 42

9. В. Фурдуев. Запись звука в звуковом кино........ 3 42— 49

10. Проф. К. Чибисов. Физические основы фотографии .... 4 23— 29

Астрономия

1. Г. Гурев. Конечно ли пространство вселенной.........2 61—69

2. Н. Львов. Измерение звездных расстояний........... 3 49— 59

3. Проф. П. Попов. Энергия

Солнца и звезд и ее источники . 4 34— 41

II.Общая и частная методика

Математика

1. В. Антропов. О кологарифме . 3 86— 87

2. Е. Бедловский. Идея функциональной зависимости величин в математике средней школы ............... 4 42- 50

3. М. Берг. Обратные круговые функции в средней школе ... 4 66— 72

4. М. Берг. Учение о мнимых числах в средней школе . ... 2 98-103

5. Проф. Е. Березанская. Алгебраические дроби с одночленными знаменателями...... 2 94— 93

6. Д. Волковский. Зависимость между членами арифметических действий........... 3 70— 72

7. Д. Волковский. К вопросу о признаке делимости на 8 • . . 4 76— 78

8. Д. Воронов. Самостоятельное составление учащимися арифметических задач.........2 91—93

9. А. Грошев. Геометрические задачи, заимствованные из механики .............4 61— 66

10. В. Ефремов. Первые уроки при прохождении тригонометрических уравнений........ 4 72— 76

11.E. Загоскина. Площадь прямолинейных фигур...... 1 66— 69

12. Н. Зерченинов. Как проводить поверочные испытания по математике.......... 1 78— 81

13. Г. Ключарев. К вопросу о выводе формул сложения и вычитания углов, основанном на рассмотрении площадей...... 3 87— 88

14. П. Ларичев. Годовой производственный план работы по математике в средней школе .... 2 77— 81

15. П. Ларичев. Система уравнений первой степени......1 61— 66

16. П. Ларичев. Квадратные уравнения ..... .....1 70— 77

17. Н. Островский. Метод составления уравнений первой степени с одним неизвестным ... 3 76— 84

18. Д. Павлов. Больше, внимания арифметике .........4 125—130

19. В. Петров. Деление на дробь . 2 87— 90

20. П. Сапунов. Извлечение квадратного корня из многочленов как метод разложения многочленов на множители и решения уравнений........... 3 84— 86

21. П. Сапунов. Решение задач методом составления уравнения с одним неизвестным...... 3 72— 75

22. В. Скворцов. Один из способов построения квадратных корней ..............2 143-143

23. В. Снигирев. Буквенные выражения . ...........1 57— 61

24. Г. Стальков. Домашние задания по математике....... 2 70— 77

25. Е. 3. Способ быстрого возвышения в квадрат некоторых чисел . 2 143—144

26. Ф. Циглер. Элементы истории математики в средней школе ...............3 122-128

Физика

1. Доц. А. Белогорский. Некоторые пояснения к опыту с разборной лейденской банкой ... 4 92— 94

2. Доц. А. Белогорский. Некоторые указания при работе с универсальным мостиком Кольрауша ....... .... 1 84— 85

3. Доц. А. Белогорский. Некоторые явления, наблюдаемые во время кипения под уменьшенным .давлением...... . .3 105—106

4. Доц. А. Белогорский. Определение коэфициента поверхностного натяжения........3 103—105

5. Проф. Д. Галанин. Как показать парадокс Паскаля.....4 101 —104

6. Проф. Д. Галанин. Набор приборов для лабораторных работ по геометрической оптике..... 4 78— 81

7. Е. Горячкин. К вопросу о методике преподавания трехфазного тока............. 3 82 - 88

8. С. Иванов. Как дать характеристику и классификацию движений в VI классе ......2 113—117

9. Н. Иващенко. Демонстрация экстратоков.......... 4 94— 95

10. Проф. А. Калашников. Опыт систематического применения измерителей по физике...... 4 97—101

11. Проф. А. Калашников и асп. В. Юськович. Опыт проведения хронометража лабораторных работ по физике...... 4 95— 97

12. Проф. А. Калашников и асп. В. Юськович. Педагогические требования к письменным работам по физике ....... 4 56— 60

13. В. Кюнцель. Определение показателя преломления жидкости . 4 133—133

14. А. Лебедев. Молекулярная физика газов...........2 127—130

15. А. Лебедев. Молекулярная физика жидкостей .... ... 2 131—133

16. И. Малышев. Модель действия генератора постоянного тока..............4 130-132

17. Мирошниченко. Вентильный выпрямитель Гретца......3 120-121

18. Е. Островский. Постоянные магниты, материал для них и способы их намагничивания ... 2 134—140

19. Н. Плешков. Определение длины световой волны с помощью проволочной сетки . . . 3 116—117

20. Н. Плешков. Определение частоты перемен переменного тока методом звукового резонанса . . 1 82— 83 21.

С. Прокофьев. Демонстрация геометрического сложения количеств движения при помощи струек жидкости........3 102—103

22. С. Прокофьев. Определение скорости вращения при помощи камертона...........3 101—101

23. И. Пташинский. Ознакомление с природой электрического тока на занятиях по физике ... 2 140—142

24. П. Ромадин и А. Диденко. Методические разработки темы .Законы Ньютона“ для VIII класса. 3 88—101

25. А. Романский. Анилин в демонстрациях молекулярных свойств жидкостей.......4 81—82

26. В. Сирочинский. Несколько приборов по физике......4 105—115

27. И. Сутчев. Стробоскопический способ определения частоты колебаний струны..........3 106—115

28. Г. Фалеев. Демонстрация стоячих волн............1 83— 83

29. Г. Фалеев. Первые занятия по физике..........2 104—112

30. Г. Фалеев. Проработка законов Ньютона в VII классе .... 2 117—127

31. Б. Флоринский. Демонстрационный фотоэлемент.....3 117—120

32. Проф. И. Челюсткин. Исторический обзор важнейших направлений в методах и организа-

ции преподавания физики в буржуазной и советской школе ... 4 50— 56

33. Асп. Т. Щербакова. Состояние преподавания физики в средней школе в 1932/33 учебном году..............1 45— 52

Астрономия

1. Э. Галлер. Небесный глобус, заменяющий подвижную карту неба . . . .... 4 88— 89

2. М. Набоков. Самодельные модели и приборы к курсу астрономии ............ 4 89— 92

3. Проф. П. Попов. Работа по астрономии в школе в осенне-зимний семестр . ..... 2 82— 85

4. Проф. П. Попов. Состояние астрономических знаний в школе ...............1 52-56

III. Вопросы преподавания за границей

1 A. Барсуков. Программа по математике в средней школе Франции .........1 86— 91

2. Проф. И. Кавун. Американская методика математики и ее библиография ... ........4 116—123

3. Асп. В. Юськович. Математика на службе Третьей империи .............4 123-124

4. Асп. В. Юськович (перев.). Определение длины световой волны при помощи почтовой открытки............4 125—125

IV. Критика и библиография

1. A. Белогорский. Бракоделы за работой...........3 132—133

2. М. Берг. О приемных испытаниях в Московский электроинститут ............4 135—138

3. А. Белецкий. Заметки о стабильном учебнике физики для V класса............2 145—148

4. Д. Гончаров. Вопросы преподавания математики в периодической литературе........4 139—140

5. Г. Килачицкий и Ф. Доши, 1) Курс арифметики, 2) Элементы алгебры и 3) Задачи и упражнения по арифметике .... 4 147—149

6. Н. Л. Книги по астрономии ... 2 148—150

7. , п „ ... 3 134-135

8. В. М. Книги по математике ... 2 150—151

9. , „ , ... 3 135-136

10. В. Морев. Методико-математическая библиография по темам . 3 140—147

11. Н. Павша, Справочные таблицы по физике проф. А. Н. Бачинского и К. А. Путилова. . 4 151—151

12. В. Поляков. Наглядные пособия по математике....... 2 151—151

13. Д. Сахаров. Я. И. Перельман — «Знаете ли вы физику?“ .... 4 149—151

14. Солев. Диапозитивные фильмы в помощь преподавателю физики............3 136-137

15. Проф. И. Чистяков. Итоги Ленинградской математической олимпиады...........4 134—136

16. С. Чуканцев. О четырехзначных математических таблицах Брадиса............3 129—132

СОДЕРЖАНИЕ ЖУРНАЛА „МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ“ ЗА 1935 г. № 1—5

I. Научный и научно-популярный отдел

Математика № Стр.

1. Проф. С.Богомолов. Сумма углов вогнутого многоугольника 5 28—29

2. Р. Бончковский. Покрытие плоскости конгруэнтными четырехугольниками ........ 2 12—14

3. Проф. М. Гребенча. Решение неопределенных уравнений первой степени..........1 3— 8

4. Доц. А. Демме. О многолепестковых розах как геометрическом месте точек...........1 8—14

5. Доц. С.Зеттель. О вычислении сторон и апофем правильных 12-угольника и 24-угольника ... 2 14-16

6. Доц. С. Зеттель. О шестиугольниках, вписанных в треугольник 3 13—18

7. Р. Иглиш. О делении угла на три равные части ........ 5 27—28

8. Проф. Н. Извольский. Геометрическое учение о площадях 2 3—12

9. И. Кастровицкий. Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника.......... 5 29—29

10. Проф. Л. Креер. Неопределенные уравнения......... 3 3—13

11. Доц. В. Молодший. Энгельс и математика........... 4 8—14

12. Д-р В. Серпинский. Сечение (пер. с польского)....... 4 14—27

13. М. Шайкевич. Случай появления посторонних корней в иррациональных уравнениях с радикалами третьей степени..... 5 25—26

Физика

1. Доц. В. Грановский. Движение атомов и предел точности физического эксперимента ... 3 18—27

То же (оконч.) . ,...... 4 35—44

2. Научн. сотр. И. Касаткина. Тяжелая вода.......... . 1 14—22

3. А. Романский. Поверхностная энергия твердого тела.....2 16—23

4. А. Романский. Процесс кристаллизации ..........5 3—14

5. Научн. сотр. Г. Сидоренков. Получение рентгеновых лучей и их природа...........1 23—33

6. Инж. Г. Тягунов. Катоды электронных ламп.......... 4 28—36

7. Н. Хлебников. Применение фотоэлементов и тиратронов . . 5 14—26

8. Н. Хлебников. Фотоэлементы и их характеристики...... 3 27—38

Астрономия

1. Проф. Воронцов-Вельяминов. Новая звезда в созвездии Геркулеса........... 2 23—32

2. Доц. П. Паренаго. Новейшие успехи астрономии.......1 33—38

3. Проф. П. Попов. Обзор явлений на небе в период январь-март 1935 г.............1 38-41

4. Проф. П. Попов. Астрономические явления в апреле-июле 1935 г.............. 2 32-35

5. Проф. П. Попов. Астрономические явления в августе-ноябре 1935 г............. 4 45-43

II. Общая и частная методика Математика.

1. Доц. И.Альтшулер. Методика иррациональных уравнений ... 2 47—49

2. Доц. И. Альтшулер. Прямые в пространстве......... 3 54—59

5. Антропов. Об одном математическом софизме........ I 63—63

4. Проф. А. Астряб. Почему трудно решать геометрические задачи на вычисление......... 5 30—34

5. Проф. Е. Березанская. Краткий отчет о совещании преподавателей математики....... 4 49—54

6. А. Берколайко. Теорема о квадрате стороны, лежащей против острого или тупого угла . . 5 68—69

7. Р. Бончковский. Простейший способ вычисления логарифмов 3 50—52

8. Проф. М. Гребенча. Функции и уравнения.......... 4 65—70

9. И. Гришин. К вопросу о приложении теории пределов в средней школе........... 3 46—50

10. И. Дуб. По поводу формулировки задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении . . 5 69—70

11.М. Змиева. Опыт подготовки учащихся к составлению уравнений первой степени.......5 61—65

12. Проф. И. Кавун. Методы преподавания математики..... 4 70—72

13. Л. Калецкий. О решении некоторых уравнений высших степеней через замену неизвестного 2 50—51

14. 3. Костина. Первоначальные упражнения на составление уравнений ............. 5 66—68

15. Л. Кременштейн. К методике преподавания уравнений .... 2 49—50

16. В. Матышук. Учение об иррациональных числах в средней школе............. 5 54—61

17. Ф. Нагибин. Развитие глазомера на уроках математики ... 4 72—75

18. Президиум совещания. Обращение научно-методического совещания преподавателей математики ............. 4 54—55

19. М. Осмоловский. К проработке темы о логарифмах .... 3 54—59

20. М. Петров. Сознательное усвоение и математические рецепты . 5 37—39

21. Н. Попов. Расположение вычислений при извлечении квадратного корня........ . 5 70—70

22. Е. Рачко. К методике решения геометрических задач на вычисление ........... 4 76—78

23. П.Сапунов. Тригонометрия острого угла........... 1 42—49

24. А. Сафонов. К проработке бинома Ньютона........ 4 78—79

25. Г. Стальков. Ведение тетради по математике . . ..... 3 40—46

26. М. Таль. Замечания и дополнения к статье П. Ларичева: „Система уравнений первой степени* 2 51—55

27. Т. Туманьян. К методике проведения логарифмических вычислений ........... . 1 60—62

28. Проф. Фурсанко. О математической подготовке оканчивающих среднюю школу ........ 5 35—37

29. Проф. М. Черняев. Принцип двойственности при школьном преподавании геометрии .... 2 36—46

30. Проф. Н. Четверухин. Вопросы элементарной геометрии и ее преподавание....... 4 56—64

31. Шевченко. Преподавание второго концентра тригонометрии . . 1 49—60

Физика и астрономия

1. В. Бакушинский. Гигрометр 1 76—77

2. Доц. А. Белогорский. Как определить, к какой системе относится измеритель электрического тока .... ........ 1 79—80

3. Доц. А. Белогорский. О подборе поплавка и рейтеров к весам Вестфаля.......... 1 77—78

4. А. Бориславский. Самодельная центробежная дорога .... 1 74—76

5. В. Васильев. Простой высотомер .............. 4 32—93

6. А. Гельфенбейн. Закон Ома . 4 80—87

7. А. Глазырин. Набор но механике . . ......... 4 87—91

8. А. Глазырин. Школьный телескоп из стекол бинокля .... 5 79—81

9. Е. Горячкин. К вопросу о методике преподавания трехфазного тока . .......... 2 69—75

10. С. Жарков. Метеорология в школе............ 1 70—74

11. С. Иванов и В. Смирнова. Техника безопасности на уроках физики и химии........ 2 84—89

12. Проф. А. Калашников. Понятие механического и электрического потенциала . . .... 2 65—68

13. Проф. А. Калашников. Прибор для демонстрации вращения витка в магнитном поле ... 5 72—76

14. Проф. А. Калашников. Сравнение общеклассных занятий и самостоятельных лабораторных работ по физике........ 5 39—53

15. Л. Кандауров. Звездная карта . 5 70—72

16. Л. Ковалева. О взаимодействии магнитов с одноименными полюсами .............. 5 76-79

17. Ф. Красиков. Демонстрирование волнообразного движения на шнурковом приборе......2 61—65

18. А. Максимова. Размерность физических величин...... 3 59—64

19. Л. Москалевич. Геометрия в приложении к исследованию силы тока батареи........2 81—83

20. М. Пиотровский. Элементы учения о сопротивлении материалов в средней школе......? 55—61

То же (оконч.) . 3 65—69

21. Н. Платонов. Прибор для изучения закона центробежной силы • 3 72—75

22. П. Ромадин. Методические разработки по теме .Механическая энергия“ для VIII класса .... 1 64—70

23. H. Руткевич. О графическом способе изучения равномерно-переменного движения...... 3 70—72

24. Б. Спасский. Новая тарелка к воздушным насосам......1 78— 79

25. Б. Спасский. Прибор Гримзеля для определения механического эквивалента теплоты...... 2 75— 81

26. Б. Яковлев. Малый демонстрационный столик........ 3 75— 76

27. Б. Яковлев. Прибор Атвуда, полностью электрифицированный . . 4 94—94

III. Из школьной практики

1. Н. Кравченко. Выборочное обследование знаний по физике • . 5 91—101

2. П. Кузнецов. Два года работы школьного математического кружка ............... 5 88— 91

3. Ф. Курилов. Внеурочные лабораторные работы по физике ... 5 102—104

4. А. Павша. Как .помогают“ школе............. 2 90— 91

5. В. Селиванов. Как преподает физику учитель Кошелев .... 1 95— 99

IV. Вопросы преподавания за границей

1. Проф. М. Берг. Опыт характеристики школьных программ по математике во Франции и Германии .............. 5 82— 8?

2. А. Калашников. Экспериментальные работы по методике физики в Германии........1 81— 85

3. Ф. Циглер. Преподавание математики в средней школе в Германии ............. 2 92—105

4. Асп. В. Юськович. Методика физики в Германии...... . 1 86— 94

5. Асп. В. Юськович. Из опыта германской школы.......2 105—108

V. Критика и библиография. Хроника

1. Б. Богатков. Недостатки физприборов ........... 3 88— 89

2. Д. Гончаров. Вопросы преподавания математики в периодической литературе........ 4 99—100

3. А. Лебедев. Книги по оборудованию физического кабинета 1 102—106

4. И. Лобко, Е. Ляхов, А. Пятаков. Итоги приемных испытаний по физике в МЭТИИСС 1 100—102

5. В. Морев. Методико-математическая библиография......5 105—107

6. Я. Перельман. Почему вверху атмосфера холоднее, чем внизу . 4 95— 93

7. И. Соколов. .В. А. Зибер, Ф. Н. Красиков, И. А. Челюсткин— Методика и техника демонстрационных опытов по физике“............ 4 96- 98

8. Г. Фалеев. Оборудование лаборатории по физике в средней школе............. 3 83— 87

9. В. Юськович. Хроника ... 2 109—110

10. ЦНИИПО. Ответ на рецензию Г. Фалеева........... 3 87—- 88

СОДЕРЖАНИЕ

Научный и научно-популярный отдел

Проф. И. Иовлев, Очерки по геометрии Лобачевского............. 3

Проф. И. Чистяков, Краткий очерк истории математики в Японии . ..... 13

Б. Костриц, Простой способ вывода практически удобных признаков делимости на все нечетные простые числа первой сотни (кроме 5)...... ... 19

Проф. Н. Извольский, О метрических соотношениях в треугольнике...... 25

Доц. Н. Кулаков — О твердости и текучести............... 27

В. Бакушинский, Параллелограм сил....... ............. 33

М. Маркович, О зависимости критических величин от массы........ 35

П. Голуб в, Простой способ определения фазы луны............ 36

Проф. П. Попов, Астрономические явления в период декабрь 1935 г. — февраль 1936 г................................. 38

Общая методика

Ф. Дзюба, Квадратные уравнения в учебной и методической литературе .... 41

В Падучев, Борьба с небрежной записью на уроках математики........ 49

В. Репьев, Как учить читать математическую книгу . ,............ 53

Е. Загоскина, Измеритель знаний учащихся по теме „Целые числа*...... 60

А. Рабинович, К методике преподавания волнообразной теории света..... 67

Л. Кандауров, Учение о небесной сфере в курсе астрономии средней школы . 7?

Частая методика

И. Галай, К вопросу методики решения геометрической задачи........ 74

Р. Гангнус, Об одном преобразовании многочленов, содержащих тригонометрические функции.............................. 82

М. Грабовский, Простые приборы для измерения времени........... 84

Проф. В. Шульгин, Простейший способ измерения длины световой волны ... 91

Б. Флоринский, Динамопривод как генератор постоянного тока для классного эксперимента...................... ...... 93

И. Ежев, К демонстрации обертонов струн..... .......... 95

Б. Зиновьев, Демонстрационный опыт на преломление света.......... 96

Из опыта школ

Е. Петров, Самостоятельные занятия по физике................97

В. Юськович, Как усваиваются законы Ньютона в школе...........103

Критика и библиография. Хроника

С. Иванов. Методы преподавания и формы организации занятий в новых руководствах по методике физики (Соколова и .ленинградцев“ — Знаменского, Кельзи, Челюсткина)............ . ........... 107

В. Морев, Методико-математическая библиография по темам......... 113

И. Челюсткин, О работе научной сессии................ 116

Б. Тарасов. Стать ближе к учителю................... 117

Редакция, Ответ тов. Тарасову....................... 119

Задачи

Решения задач ...............................121

Задачи...................................129

Содержание сборников .Математика и физика в средней школе“ за 1934 и 1935 гг.................................13Ф

От редакции. В задачи, помещенные в № 5 сборника, вкрались опечатки

Задача 1. Третье уравнение надо читать:

Задача б. Надо читать: Требуется найти решение в целых числах уравнения:'

[х-\)1(х-у)=У*.

Задача 8. Надо читать: Доказать тождество:

сзс о -f esc 2а 4- es : 4а +... -{- esc 2*а - ctg — ctg 2« а.

Задача 9. Первый член — cos а — лишний.

Задача 12. Формула такова:

S = рп* -f qn.

Задача 13. На месте знака > должно стоять

Редакционная коллегия: И. К. Андронов, А. Н. Барсуков, Е. С. Березанская, А. Н. Зильберман, А. Г. Калашников, В. Н. Молодший, H. П. Попов, И. П. Суворов.

Отв. ред. А. Н. Барсук >в, зам отв. ред. А. Г. Калашников, отв. сокр. К. И. Коровин. Тех. редактор В. С. Якунина.

Адрес редакции: Москва, Орликов, 3, Учпедгиз,

периодсектор, журн. „Матем. и физика“.

Сдано в производство 9/Х подписан \ к печати S/XII

Учгиз № 7522. Объем 8'/, п. л.

В 1 п. л. 78 uoj зн. Бумага 72 X Ю5

Заказ 3245

Тираж 25700 Уполномочен.

Главлита № Б-16128

1-я Образцовая типография Огиза РСФСР треста „Полиграфкнига“. Москва, Валовая, 28.

Отпечатали с матриц в тми. мз-ва Крестьянская газета», Москва, сущевская

Цвиа I руб.

ОТКРЫТА ПОДПИСКА НА 1936 г. НА ЖУРНАЛЫ И СБОРНИКИ УЧПЕДГИЗА

Биология и химия в средней школе.

6 номеров в год. Орган Наркомпроса РСФСР.

Сборник рассчитан на преподавателей биологии и химии в средней шкоде. Подписная цена на год— в руб., отдельный номер — 1 руб.

География в школе.

6 номеров в год. Орган Наркомпроса РСФСР.

Журнал рассчитан на преподавателей географии в начальной и сред гей школе. Подписная ценаз на год в руб., отдельный номер — 1 руб.

Дошкольное воспитание.

6 номеров в год. Орган Наркомпроса РСФСР.

Сборник рассчитан на руководящих и практических работников дошкольных учреждений. Подписная цена: на год —4 р. 50 к., отдельный номер 75 коп.

Иностранный язык в средней школе.

Сборник рассчитан на преподавателей иностранных языков в неполной средней и средней школе. Подписная цена: на год —3 р. 60 к., отдельный номер 60 коп.

История в средней школе.

6 номеров в год. Орган Наркомпроса РСФСР.

Журнал рассчитан на преподавателей истории в средней школе. Подписная цена: на год —в руб., отдельный номер - 1 руб.

Красный библиотекарь.

12 номеров в год. Орган Библиотечного управления Наркомпроса. Культинспекции ВЦСПС и АМО ПУРа.

Журнал рассчитан на работников городских, сельских, красноармейских, детских библиотек и работников бибколлекторов.

Подписная цена: на год —8 р. 40 в., на в месяцев—4 р. 20 к., на 3 месяца — 2 р. 10 в., отдельный номер — 70 коп.

Коммунистическое просвещение.

6 номеров в год. Руководящий политический орган Наркомпроса РСФСР.

Журнал рассчитан на руководящие кадры в области народного образования, актив партийных* комсомольских и профсоюзных организаций.

Подписная цена: на год — 7 р. 20 в., на в месяцев — 3 р. 60 в., отдельный помер — 1 р. 20 в.

Математика и шизика в средней школе.

6 номеров в год. Орган Наркомпроса РСФСР.

Сборкин рассчитан на преподавателей математики, физики и астрономии в средней Школ s но является также пособием для студентов педвузов. Подписная цена: на год в—руб., отдельный номер—1 руб.

Начальная школа.

12 номеров в год. Орган Управления начальной и средней школы.

Журнал рассчитан на учителей начальной школы, городской, сельской и районных школьны} инструкторов.

Подписная цена: на год — 3 р. вО ж., на 6 месяцев — 1 р. 80 к., на 3 месяца—90 коп., отдельный номер 30 кол.

Педагогическое образование.

6 номеров в год. Орган Управления подготовки учителей Наркомпроса РСФСР

Журнал рассчитан на работников пединститутов, педтехникумов, педкурсов, научно-иссдедоваюл! ских институтов и органов народного образования.

Подписная цена: на год —б руб., на 3 месяца — 3 руб., отдельный номер — 1 руб.

Повысим грамотность.

6 номеров в год. Орган отдела школ взрослых Наркомпроса и Центрально совета ОДН.

Журнал рассчитан на работников школ взрослых и поеподавателей-культармейцев и методистов. Подписная цена: на год — 3 руб., на 3 месяца —1 р. 50 к., отдельный номер — 50 коп.

Русский язык и литература в средней школе.

6 номеров в год. Орган Наркомпроса РСФСР.

Журнал рассчитан на преподавателей русского языка и литературы в средней школе. Подписная цена: на год—в руб., отдельный номер—1 руб.

Сборник приказов и распоряжений Наркомпроса РСФСР.

24 номера в год. Орган Наркомпроса РСФСР.

Рассчитан на всех работников народного образования.

Подписная цена: на год —7 р. 20 к., ва 6 месяцев — 3 р. 60 к., на 3 месяца —1 р 80 в., отдел, номер — 30 коп.

Средняя школа.

12 номеров в год. Орган Управления начальной и средней школы РСФСР Наркомпроса.

Журнал обслуживает учителей средней школы, районную и краевую инспектуру, заведующих ОНО, I аботников методических кабинетов и научно-исследовательских институтов.

Подписная цена: на год —7 р. 20 к., на в месяцев —а р. 60 к., на 3 месяца — 1 р, 80 к., огд 1ьный номер — 60 вол.

ПОДПИСКА ПРИНИМАЕТСЯ ВСЕМИ ОТДЕЛЕНИЯМИ, МАГАЗИНАМИ, КИОСКАМИ, УПОЛНОМОЧЕННЫМИ КОГИЗА И ВСЮДУ НА ПОЧТЕ.