УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ СБОРНИК.

5

1935

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

МАТЕМАТИКА и ФИЗИКА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ СБОРНИК

№ 5

СЕНТЯБРЬ 1935 ОКТЯБРЬ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНЫЙ И НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

Стр.

Доц. А. Романский—Процесс кристаллизации....... 3

H Хлебников — Применение фотоэлементов и тиратронов...... 14

М. Шайкевич — Случай появления посторонних корней в иррациональных уравнениях с радикалами третьей степени.......... 26

Р. Иглиш — О делении угла на три равные части и об удвоении куба при помощи циркуля и угольника................ 27

Проф. С. Богомолов — Сумма углов вогнутого многоугольника ... 28

И. Кастровицкий—Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника ............................ 29

ОБЩАЯ МЕТОДИКА

Проф. А. Астряб — Почему трудно решать геометрические задачи на вычисление.........................30

Проф. Фурсанко — О математической подготовке оканчивающих среднюю школу.......................... 35

М. Петров — Сознательное усвоение и математические рецепты ... 37

Проф. А. Калашников — Сравнение общеклассных занятий и самостоятельных лабораторных работ по физике (на примере темы .Переход электрической энергии в механическую“) .......... 39

ЧАСТНАЯ МЕТОДИКА

В. Матышук — Учение об иррациональных числах в средней школе 54

М. Змиева — Опыт подготовки учащихся к составлению уравнений первой степени......................... 61

3. Костина — Первоначальные упражнения на составление уравнений 66

А. Берколайко-Теорема о квадрате стороны, лежащей против острого или тупого угла............... ..... 68

И. Дуб — По поводу формулировки задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении (золотое деление)........... 69

Н.Попов — Расположение вычислений при извлечении квадратного корня............................ 70

Л. Кандауров — Звездная карта............. ... —

А Калашников—Прибор для демонстрации вращения витка в магнитном поле......................... 72

Л. Ковалева — О взаимодействии магнитов с одноименными полюсами 76

A. Глазырин — Школьный телескоп из стекол бинокля...... 79

ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ ЗА ГРАНИЦЕЙ

М. Берг — Опыт характеристики школьных программ математики во Франции и Германии ...................... 82

ИЗ ОПЫТА ШКОЛ

П.Кузнецов — Два года работы школьного математического кружка 88

Н. Кравченко — Выборочное обследование знаний по физике за первое полугодие 1934/35 учебного года................ 91

Ф. Курилов — Внеурочные лабораторные работы по физике..... 101

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

B. Морев — Методико-математическая библиография по темам . . . . 105

ЗАДАЧИ

Решения задач, помещенных в № 1 сборника за 1935 г........108

Задам..............................112

Редакционная коллегия: И. К. Андронов, А. Н« Барсуков, Б. С. Березанская, А. Н. Зильберман, А. Г. Калашников, В. Н. Молодший, П. И. Попов, Н. И. Суворов.

Отв. ред. А. Н. Барсуков, ван. отв. ред. А. Г. Калашников, отв. секр. К. И. Коровин. Тех. редактор В. С. Якунина.

Адрес редакции: Москва, Орликов, 3, Учпедгиз,

периодсектор, жури. „Матем. и физика".

Сдано в производство 4/viii Подписано к печати 8/ÏX.

Учгиз № 349. Объем 7 п. л.

В 1 п. л. 78 000 вн. Бумага 72х 105

Заказ 2648

Тираж 25 300

Уполномочен. Главлита № б-13127

Отпечатано с матриц в тип. и офсет-печатне Изд-ва „Крестьянская газета“, Москва, Сущевская, 21.

Набрано в 1-е Образцовой типографии Огиза рсфср треста „Полиграфкнига“. Москва, Валовая 28.

НАУЧНЫЙ И НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

ПРОЦЕСС КРИСТАЛЛИЗАЦИИ

Доц. А. РОМАНСКИЙ (Москва)

1. На заре новой атомистики — в первой половине XVII в. Пьер Гассенди (1592— 1655 гг.) положил начало физике кристаллов.

То, что было известно о кристаллах в его время, то, что узнали главным образом алхимики и врачи,—даже после работы Кеплера „О снеге“ (1615 г.), сводилось к некоторым, самым общим, геометрическим положениям.

Шотландец Дависсон (1630 г.) формулировал идею о простой форме и комбинации. Намечался и был высказан уже позднее (1669 г.) закон постоянства гранных углов— основной закон кристаллографии. А Гассенди с непосредственностью, присущей натурфилософам его времени, решал загадку строения кристалла. Констатировав постоянство формы кристалла, получающегося для данного химического соединения, Гассенди заключает, что эти многогранники — выразители формы атомов данного тела. Геометрическое подобие форм малых и больших кристаллов одного и того же вещества приводит его к мысли о росте кристаллов путем послойного наложения атомов друг на друга.

Наивные представления Гассенди, в которых мы, однако, узнаем слабые контуры со временных нам теорий, возникают через столетие еще раз, опять во Франции.

Аюи (1743—1822 гг.), как и Гассенди, рассматривает кристалл как сросток правильных полиэдров, форма которых находится в тесной зависимости от химической природы тела. Впрочем, его полиэдры не представляют уже собою атомов Гассенди.

Со времени Аюи кристаллография принимает с каждым годом характер все более и более математической науки. Необыкновенные успехи учения о симметрии, нашедшие свое замечательное выражение в XIX столетии в трудах Шенфлисса и Федорова, дают возможность Бравэ уже в 1851 г., задолго до открытия рентгеновских лучей, построить пространственную решетку.

Странным образом, вероятно, в силу своеобразия исследовательских методов, выработанных кристаллографией, и своеобразия ее математического аппарата, общая физика, рассматривая детально строение газов и жидкостей, долгое время ограничивалась при изучении твердых тел лишь некоторыми главами, посвященными оптическим свойствам кристаллов.

Между тем, по самой сущности изучаемых объектов, кристаллография как наука давно уже стала главою физики твердого состояния.

Подарив физике свои особые методы, обогатив ее высокоразвитым учением о симметрии, получив от нее, в свою очередь, после открытия рентгеноанализа, оправдание своих основных теоретических положений — кристаллография, — или, может быть, лучше сказать кристаллофизика, в наше время является важной частью технологии многих производств.

Дело в том, что в процессе развития науки стало совершенно ясно, что большинство, и притом громадное большинство, твердых тел принадлежит к обширному классу кристаллов.

Давно уже утрачено представление о кристалле как о правильном многограннике. Только в исключительно благоприятных условиях, крайне редко осуществляемых в природе и требующих особых ухищрений в лабораторной обстановке, возникает действительно правильный, хорошо развитый полиэдр. В стесненных условиях образования горных пород в земной коре, затвердевания металлов в формах и изложницах, выпадения кристаллических осадков из пересыщенных растворов,— во всех этих случаях кристалл более или менее теряет правильную полиэдрическую внешность. Если он, как это имеет место в последнем случае, еще обнаруживает хотя бы

несколько свободных граней — они пересекаются, образуя двугранные углы, типичные для данного химического соединения. Но если он растет в тесном окружении себе подобных, если он не отделяется от своих соседей простыми механическими воздействиями, если, таким образом, мы имеем дело с поликристаллическим телом, — его грани уже не представляют правильно очерченных плоскостей. Больше того, они и вовсе не различимы в каждом, составляющем поликристаллический агрегат, кристаллике.

По мере того как внешняя огранка кристалла становится все менее и менее типичным признаком кристаллического состояния вещества, оно получает в наших глазах иные, более универсальные и обязательные признаки. Отвлекшись от внешней формы, мы переходим к другому признаку, теснейшим образом связанному с внутренним строением кристалла.

Анизотропия и гомогенность — вот те особенности, которые в своей совокупности характеризуют кристаллическое состояние.

Однородная среда называется анизотропною, если одно и то же ее физическое свойство обладает в зависимости от направления различным числовым выражением. Кубический кристалл каменной соли анизотропен, так как скорость роста кристалла в направлении диагоналей куба в у^З раза больше скорости роста в направлении нормалей к граням. В кристалле кварца можно найти такое направление, в котором его средний термический коэфициент линейного расширения равен 7,15-10—5 грд-1. Но в перпендикулярном к нему направлении этот коэфициент имеет величину 13,25-10“6 грд—1.

Однородность — гомогенность среды — характеризуется, при более углубленном рассмотрений ее природы, правильной повторяемостью, периодичностью свойств вещества в данном направлении. Действительно, констатируя однородность вещества, мы в исследовании обычно пользуемся анализаторами таких размеров, сравнительно с которыми междуатомные промежутки являются величинами меньших порядков. Так, определяя плотность тела в его различных участках, измеряют массу и объем практически громадных количеств атомов: метод не в состоянии здесь уловить нарушений гомогенности вне пределов чувствительности наших весов и точности определения объема.

Однако, перемещаясь мысленно от атома к атому кристаллической решетки, мы непрерывно замечаем изменение окружающей нас картины. Лишь приходя через определенные расстояния, характеризующие решетку данного вещества, в совершенно тождественные „гомологичные“ точки, мы видим полное восстановление ранее наблюдавшейся картины. Таким образом, при перемещении в заданном направлении внутри кристалла мы периодически оказываемся в точках, из которых окружающее нас пространство кажется совершенно одинаковым, не претерпевшим никакого изменения.

Можно ли трактовать кристалл как гомогенную среду именно с этой точки зрения— сказать сейчас еще трудно. Повидимому, нарушения однородности здесь встречаются чаще, нежели ранее предполагали. Однако можно утверждать, что высказанное определение отражает вполне ту глубокую математическую сущность, которая обычно связывается с понятием гомогенности.

Несмотря на постоянное общение с твердыми телами, мы привыкли к существованию в изотропной среде. Так понятно и совершенно очевидно, что метр, этот простейший выразитель наших представлений о пространстве, остается неизменным и равным себе вс всех своих положениях, так кажутся чужды повседневному опыту представления о лоренцовском изменении его длины в направлении движения да еще в функции скорости. Но ведь мы окружены телами, которым эта особенность — эта векториальность свойств — присуща как основной и постоянный их признак.

Наряду с обычным изотропным пространством— изотропным лишь при относительно малых скоростях движения — существует анизотропное пространство кристаллической среды. Загадка его существования, проблема его образования связана с наиболее глубокими свойствами материи, свойствами атомов и их составных частей.

2. Атомная теория твердого тела, разработанная главным образом Борном (1919 г.), л о последнего времени почти исключительно трактовала вопросы строения гетерополярных кристаллов, в узлах решетки которых находятся разноименные ионы, как в решетке, например, каменной соли.

Образование кристалла каменной соли возможно в двух весьма различных по условиям случаях. Каменная соль плавится при тем тературе 801° С, образуя жидкую каменную соль — расплав. При охлаждении ниже 801° наблюдается обратное превращение в твердую соль — кристаллизация из расплава. Процесс кристаллизации можно вызвать у соли, производя также охлаждение насыщенного раствора соли в каком-нибудь раствори-

теле, например воде. Кристаллизация из раствора будет отличаться целым рядом явлений от кристаллизации из расплава. Это нетрудно уяснить себе уже из того факта, что кулоновские силы взаимодействия между ионами значительно ослаблены в растворителе, молекулы которого обычно об падают большим дипольным моментом и представляют среду с высоким значением диэлектрической постоянной. В обоих случаях кристаллизации—из раствора и из расплава — различны условия образования первичных кристалликов, так как эти процессы происходят при очень различных температурах. Кроме того, взаимодействующие ионы в растворах находятся друг от друга на значительных расстояниях, и для их сближения, необходимого для осуществления связи, должны быть достигнуты особенно благоприятные условия. Последние и соответствуют насыщению раствора.

При кристаллизации гетерополярного кристалла два встретившихся в растворе разноименных иона сближаются под действием сил кулоновского притяжения до того расстояния, на котором силы притяжения уравновесятся силами отталкивания.

Эти последние становятся заметными лишь на достаточно малых расстояниях между ионами. Они являются в результате взаимодействия одноименно заряженных электронных оболочек ионов. Таким образом, для каждого данного вещества при кристаллизации устанавливается между ионами такое определенное расстояние, которое, как это легко заключить, должно зависеть от числа и распределения зарядов во взаимодействующих ионах.

В физической химии со времен Вант Гоффа известно, что предоставленная самой себе система всегда приходит в состояние, при котором ее потенциальная энергия принимает наименьшее значение.

Универсальность высказанного принципа позволяет применить его и к случаю кристаллизации. Соединение двух ионов в результате сил взаимодействия, очевидно, поэтому должно сопровождаться выделением некоторого количества энергии, соответствующего убыли потенциальной энергии системы при ее переходе в равновесное состояние. Эта энергия вновь должна быть затрачена для разрушения системы из двух ионов.

Когда в растворе появляется образование, состоящее из двух разноименных ионов, присоединение к нему третьего иона происходит уже с некоторыми затруднениями. Дело в том, что приближающийся ион будет теперь испытывать, с одной стороны, силы притяжения со стороны разноименного с ним иона, с другой — силы отталкивания со стороны одноименного. Положение равновесия будет достигнуто тогда, когда приблизившийся ион будет находиться в наиболее близком расстоянии к разноименному и наиболее далеком— к одноименному иону. Такому требованию удовлетворит выстраивание нового иона на продолжении прямой, соединяющей центры предыдущих ионов. Растет ионная цепочка. При этом присоединение к ней каждого нового иона сопровождается уже меньшим выделением энергии, чем в случае соединения первых двух ионов. Потенциал иона относительно цепочки разноименных ионов меньше, нежели относительно одного иона.

Когда цепочка становится очень длинной, придвигающиеся к ней ионы могут оказаться на очень большом расстоянии от ее концов. Тогда ион присоединится к цепочке сбоку, дав начало росту второй параллельной цепочки. Образуются ионные плоскости. В свою очередь, приближение к какой-нибудь точке над поверхностью подобной тоской сетки ионов нового члена системы положит начало второй параллельной плоскости (рис. 1).

Такую картину механизма кристаллизации нарисовал для гетерополярных кристаллов Коссель (1928 г.).

Вычисления, проделанные Маделюнгом, позволили Косселю внести в высказанную им теорию количественные характеристики. Ока-

Рис. 1.

Р. с. 2.

залось возможным вычислить энергию, освобождающуюся при присоединении иона к ионной цепочке или плоскости к готовому кристаллу.

Если энергию, затрачиваемую на разделение двух находящихся на нормальном расстоянии ионов, принять за единицу, то энергия, выделяемая при присоединении одного иона к ионной цепочке, оказывается равною

£ = 0,6932.

При присоединении к ионной плоскости еще одного иона выделяется энергия, равная

0,1144.

Наконец, ион, попадающий на одну из плоскостей готового кристалла, выделяет при своем присоединении энергию, равную

0,0662

тех же единиц.

Вообразим теперь поверхность кристалла вроде изображенной на рисунке 2. Присоединение иона в точке А кристалла явится, как нетрудно сообразить, не только присоединением иона к цепочке (AB), но и присоединением к плоскости Р и оседанием на готовый кристалл.

В соответствии с этим величина выделившейся энергии будет равна

£ = 0,6932 -f 0,1144 + 0,0662 = 0,8738

тех же единиц.

Сравнение всех приведенных величин показывает, что на находящемся в жидкости кристалле в процессе его кристаллизации в первую очередь зарастают все неровности его граней, все царапины и повреждения, и уже вслед затем начинается образование новых плоскостей, так как при присоединении иона к законченной плоскости кристалла при образовании новой параллельной плоскости выделяется меньшее количество энергии.

Эта способность кристалла в растворе заращивать свои поврежденные грани давно хорошо известна и одно время давала возможность механистам проводить наивные аналогии между способными к регенерации организмами и кристаллами.

С другой стороны — очень давно известен закон „плоскогранности“ кристаллов. Теория Косселя показывает, что этот закон является, по сути, не чем иным, как выражением универсального принципа минимума потенциальной энергии системы. Действительно, раз в процессе роста кристалла в первую очередь зарастают всегда грани кристалла, можно думать, что появление на них неровностей будет противоречить принятому нами принципу.

Появление и развитие в растворе кристаллического зародыша —центра кристаллизации— является след:твием сближения ионов на достаточно близком расстоянии.

Но устойчивость, жизнеспособность этих зародышей должна быть поставлена в тесную связь с тепловым движением молекул раствора. Действительно, энергичная молекулярная бомбардировка среды будет разрушать образующиеся центры и препятствовать кристаллизации до тех пор, пока скорость их появления не возрастет до столь больших значений, чтобы, как это имеет место в насыщенных растворах, положительный итог баланса был на стороне растущих центров. Такое же благоприятное влияние на процесс кристаллизации должно иметь и понижение температуры, ослабляющее молекулярную бомбардировку среды.

Схема процесса кристаллизации, проводимая Косселем, в ряде случаев осложнена многочисленными сопутствующими явлениями. Так, в настоящее время известно, что находящиеся в растворе ионы окружены плотными оболочками молекул растворителя, движущимися совместно с ними. Они, как говорят,— гидратированы или (в случае неводных растворов)— сольватированы. В момент откладывания иона на растущий кристалл происходит (как показал Гапон в 1928 г.) дегидратация иона — обстоятельство, несколько изменяющее энергетический баланс, принятый нами.

3. Если нам удалось объяснить плоскогранность кристаллов, то теперь попробуем уяс-

нить себе условия, благоприятствующие образованию из раствора правильного кристаллического многогранника.

Методы получения правильных кристаллических многогранников, по крайней мере, для растворимых в воде солей, известны уже давно. Их подробно и интересно описал в своей популярной книге—„Кристаллы, их вид, образование и строение“— Г. В.Вульф*.

Кристалл, положенный на дно сосуда с насыщенным раствором, растет неравномерно. Он лишен притока ионов со стороны, обращенной к стенке кристаллизатора. Форма выросшего в таких условиях многогранника несимметрична.

Кристалл подвешивают на тонких нитях вдали от стенок. Но и тут наблюдаются явления, искажающие рост кристалла. Теперь он увеличивается в направлении вниз больше, чем вверх. Это объясняется существованием в жидкости вследствие роста кристалла концентрационных токов. В непосредственном соседстве с растущим кристаллом в растворе число ионов соли убывают — концентрация его уменьшается. Это влечет за собою уменьшение плотности, и слои жидкости, прилегающие к кристаллу, поднимаются вверх. На их место поступают массы более богатой солью жидкости. Поступают они снизу и обусловливают лучшее снабжение криссталлических граней, обращенных вниз.

Существуют специальные приспособления, перемешивающие все время раствор и препятствующие тем самым возникновению концентрационных токов.

Скорость роста кристалла — величина, имеющая ярко выраженный векториальный характер. Именно эта особенность и сообщает кристаллическому многограннику своеобразный, подчас очень сложный вид, обогащая его множеством граней, находящихся на различных расстояниях от центра кристалла.

Опытные данные указывают на то, что скорость роста изменяется для различных направлений неодинаково в функции температуры.

На это указывает хотя бы такой общеизвестный факт, что кристаллы, выросшие из раствора при более высокой температуре, отличаются общим видом („габитусом“) от выросших при более низкой температуре. При этом наблюдается часто удлинение кристаллов и уменьшение общего числа граней. Величины двугранных углов между гранями для данного соединения остаются, однако, неизменными.

Естественно, что во избежание неравномерности в росте кристалла приходится учитывать эти особенности его образования и стремиться создать для него вполне изотермические условия.

Поэтому-то в лабораториях, в которых получаются кристалы, пользуются особо построенными термостатами.

4. Процесс кристаллизации из расплава, в особенности для гомополярных кристаллов, представляет с теоретической точки зрения проблему более сложную, нежели образование из раствора гетерополярной структуры. Мы приходим к необходимости изучения природы связи в гомополярной решетке. Современные теории, развитые в работах Гайтлера и Лондона (1929 г.), опираются преимущественно на представления квантовой механики и потребовали бы для своего изложения специальной статьи. Некоторой возможности моделирования можно достигнуть, исследуя способность атома к поляризации.

Даже и то сближение частиц, которое мы описали выше (§ 2), не проходит безнаказанно для внутреннего строения каждого из взаимодействующих ионов. Каждый из них в большей или меньшей степени поляризуется, приобретая характер диполя, в котором все отрицательные заряды электронов несколько смещены относительно положительного заряда ядра. Смещение это вызывается приближением, например, положительного иона, притягивающего к себе отрицательные электроны и отталкивающего одноименное с ним ядро. Явление поляризации, изменяющее несколько форму и размеры иона, играет большую роль в образовании той или иной пространственной решетки.

Явление поляризации имеет место не только при взаимодействии ионов гетерополярных кристаллов, но и в случае сближения частиц— нейтральных атомов или однополюсных — гомополярных ионов.

В этом случае процесс кристаллизации напоминает несколько те перипетии, которые мы наблюдали при рассмотрении теории Косселя о росте гетерополярного кристалла.

Обратимся теперь к вопросу образования и роста кристалла из расплава. Рядом многочисленных и интересных экспериментальных работ Тамманн еще в начале нынешнего столетия установил громадное значение для течения процеса кристаллизации двух факторов, характеризуемых величинами линейной скорости кристаллизации (ЛСК) и скорости зарождения центров (СЗЦ). Первую из этих величин можно определить как отношение величины перемещения грани кристалла по

* См. также Болдырев —„Кристаллография“

Рис. 3.

данному кристаллографическому направлению к протекшему времени:

Очевидно, что размерность этой величины

I С I =LT-\

Вторая величина рассматривается как отношение приращения числа новых центров, возникших в жидкости, к протекшему времени и величине объема жидкости, в которой происходит кристаллизация. Таким образом, Тамманном было установлено, что обе величины являются независимыми функциями температуры.

Дело в том, что и кристаллизация из расплава, как и кристализация из раствора, происходит для одного и того же вещества далеко не при одной и той же фиксированной температуре. Эта температура зависит не только от давления, под которым находится система. Технологам уже давно знаком тот факт, что точка плавления всегда значительно более постоянна и лежит выше температуры кристаллизации. Мы сталкиваемся здесь с очень интересным и важным явлением— явлением переохлаждения.

Зависимость температуры от времени в процессе плавления чистого вещества изображается графически кривою (рис. 3), на которой изотермический участок ab соответствует затрате скрытой теплоты плавления, разрушающей кристаллическую решетку. Обратный процесс — охлаждение полученного расплава — выражается обычно кривою, не симметричною с кривой плавления. Понижение температуры до точки плавления не вызывает кристаллизации. Для многих веществ она наступает только после того, как температура понизится, например до Тл или Т9 (рис. 4). В обоих случаях начавшаяся кристаллизация вызывает, благодаря выделению скрытой теплоты кристаллизации, повышение температуры системы. Это повышение может достигнуть точки плавления &, и тогда (кривая acdef или ab de/) кристаллизация протекает, конечно, в условиях охлаждения, при температуре плавления. Однако, при интенсивном отнятии теплоты кристаллизации можно весь процесс провести при температуре более низкой (acfg), а то и заставить его протекать изотермически (кривая acg).

Наконец, для целого ряда различных веществ, в особенности органических соединений, оказалось возможным столь значительное переохлаждение, при котором кристаллизация и вовсе не наступала. При значительном охлаждении расплава вязкость его непрерывно возрастала, достигая многих тысяч пуазов, и вещество затвердевало, не кристаллизуясь, образуя аморфные твердые тела — стекла. Непрерывность свойств жидкого и стеклообразного состояния вещества позволила Тамманну высказать утверждение, что аморфные твердые тела представляют собою, строго говоря, сильно пepeoxлаждeнныe жидкости.

Рис. 4.

Рис. 5.

Переохлаждение при кристаллизации свойственно в большей или меньшей степени всем расплавам. Впрочем, некоторые расплавы переохлаждаются очень мало и никогда не переохлаждаются до образования стекол. Таковы, например, металлы. Иные, напротив, легко переохлаждаясь, образуют, аморфные твердые тела и трудно кристаллизуются — „расстекловываются“. К ним принадлежат многие силикаты, техническое и бытовое применение которых в качестве собственно стекол насчитывает уже несколько столетий.

Большое число сложных органических соединений может быть получено и в кристаллическом и в аморфном твердом состоянии. Над их исследованием много работал Тамманн, и к ним мы сейчас вернемся.

5. Наблюдая линейную скорость кристаллизации различных веществ, Тамманн обнаружил ее зависимость от температуры переохлаждения. Экспериментальное определение ЛСК выполняется следующим образом. Очень тонкая и тонкостенная трубка ab (рис. 5) помещается внутри муфты М9 служащей термостатом. Через отверстия с и d протекает вода (или иная жидкость), поддерживающая постоянной температуру в термостате. Через отверстие е вводятся термометр или окончания термопар, измеряющие температуру термостата в непосредственной близости к трубке ab. Через отверстие b в трубку засасывается из подставляемого тигелька исследуемый расплав, после чего кран К закрывается и расплав переохлаждается при помощи понижения температуры в муфте M до заданной температуры.

Вызвать кристаллизацию переохлажденной жидкости можно либо механическим сотрясением, либо внесением в нее постороннего тела, или, легче всего, внесением „затравки“—кристаллика переохлажденного вещества. В нашем эксперименте выбирается этот последний способ. Кристаллик-затравка подносится к отверстию в трубочке. Затем наблюдают перемещение границы кристаллизующейся жидкости с течением времени снизу вверх по трубке. Расстояния измеряются для быстро кристаллизующихся веществ по миллиметровым делениям, нанесенным на трубке, для медленно кристаллизующихся— при помощи катетометра, как это делали в своих замечательных измерениях ЛСК глицерина Фольмер и Мардер (1931 г.).

К сожалению, в целом ряде случаев описанный метод измерения ЛСК является малопригодным. В таком интересном и важном вопросе, как измерение ЛСК металлов, по целому ряду соображений приходится изменять методику эксперимента. Высокие температуры и окислительные процессы, происходящие на поверхностях соприкосновения расплавленного металла и воздуха, заставляют прибегнуть к иной установке. Чохральский определил ЛСК некоторых металлов следующим способом (рис. 6).

Тигель с расплавленным и переохлажденным до исследуемой температуры металлом помещается так, что в отверстие его крышки опускается тонкая (кварцевая) нить, на конце которой находится затравка. Нить может подниматься вверх при помощи часового механизма /?, вращающегося с заданной скоростью. На конце нити у затравки начнет расти кристалл. По мере его роста часовой механизм вытягивает образующуюся металлическую проволоку. Понятно, что скорость кристаллизации будет равна скорости вращения часового механизма, когда образующаяся проволока не разрывается и не образует сгустков и утолщений. Определение происходит в атмосфере инертного газа или азота. Заметим, кстати, что получающаяся при этом металлическая проволока монокристальна.

Оба описанных нами метода обладают некоторыми недостатками, на которых нельзя не остановиться. Во-первых, ЛСК — величина,

Рис. 6.

Рис. 7,

как это мы уже не раз отмечали, векториальная. Ее зависимость от строения пространственной решетки выяснить нетрудно. Очевидно, что наименьшую скорость роста имеют грани, наиболее богатые атомами, обладающие наибольшим числом атомов на единице поверхности, иначе говоря — наибольшею ретикулярной плотностью. Действительно, при равномерном притоке вещества со всех сторон к центру кристаллизации медленнее всего будет заполняться свежими частицами наиболее плотная в отношении расположения атомов грань.

Еще Бравэ (1861 г.) установил, что именно эти-то обладающие наибольшею ретикулярною плотностью грани будут преобладать в выросшем кристалле. Таким образом, грани, перпендикулярные к направлению наибольшей линейной скорости роста, исчезают в кристалле и остаются те, которые перпендикулярны к направлениям наименьшей ЛСК.

На нашем рисунке 7 схематически показано изменение сечения кристалла, помещенного в раствор (или в расплав), если ЛСК выражается для него векторами А, В и С в четыре последовательные момента его роста. Ясно видно, как исчезают в нем грани Я, перпендикулярные к наибольшим значениям ЛСК, и „выживают“ грани Q и S, растущие в направлении наименьшей ЛСК.

Описанная методика определения ЛСК дает значения ее для направлений, в которых кристалл имеет наиболее вытянутую форму,— направлений наибольшей скорости роста. Ни первый, ни второй способы не дают возможности определения ЛСК в произвольно заданном направлении. Их можно определить относительно на выросшем кристалле, если удается его выделить из поликристаллического агрегата измерением длин в разных направлениях.

С другой стороны — в обоих методах измерения ЛСК исследуемая величина определяется в функции температуры среды — термостата, а не в функции температуры на грани растущего кристалла. Между тем, обе эти температуры друг от друга, разумеется, отличаются, так как в процессе роста на грани выделяется скрытая теплота, повышающая температуру в непосредственной близости к растущему кристаллу.

Разница в температурах среды и кристалла также может быть неодинакова при разных температурах переохлаждения. Как мы сейчас увидим, это обстоятельство повлечет за собою некоторые затруднения при объяснении результатов измерений.

Порядок величин, получаемых Тамманном и другими исследователями, для разных веществ очень различен. Для многих органических веществ эта величина колеблется между 0,1 (нитроглицерин) и 1117 (бутилфенол). Для трудно кристаллизующихся стекол получается величина порядка 10~3-.

Результаты измерений ЛСК в функции температуры переохлаждения представлены на рисунке 8. Кривые I и II получены Тамманном и его школою экспериментально: I — для быстро и II — для медленно кристаллизующихся веществ. На кривой I характерен разрыв: область некоторых температур переохлаждения дает очень непостоянные значения ЛСК. Начало координат на оси абсцисс соответствует точке плавления — 9.

Различие в виде кривых I и II можно объяснить следующим образом. При быстрой кристаллизации, т. е. в условиях, интерпретируемых первою кривою, выделяющееся при кристаллизации скрытое тепло не успевает отдаваться в окружающую среду и поддерживает температуру на грани растущего кристалла, близкую к L—значительно более

высокой, чем наблюдаемые в это время температуры t2 или t3 термостата. Лишь при достижении известного значительного переохлаждения разность температур на грани растущего кристалла и термостата становится столь значительной, что теплоотдача идет энергичнее, и температуры среды и кристалла выравниваются в значительно большей степени. Именно при этих условиях имеет место вначале несколько непостоянный характер ЛСК, соответствующий сложной и трудно воспроизводимой обстановке теплоотдачи, а затем и ниспадание кривой.

При малых значениях ЛСК подобных явлений не наблюдается, и кривая имеет ясно выраженный максимум.

Кривая III представляет собою теоретическую кривую ЛСК, полученную Фольмером и Мардером в соответствии с экспериментальной кривой, найденной ими для очень медленно кристаллизующегося глицерина. Теоретический анализ явления поставил его в тесную связь с вычислением работы образования новой кристаллической поверхности. Впоследствии (1933 г.) Странский, уточнив рассуждения Фольмера, получил кривую того же (III) вида, но еще более близкую к экспериментальным данным. Из других соображений к такому же виду этой кривой приходит и Френкель*. Мы видели выше, что и экспериментальная кривая I совпадает с теоретической, если отнести измеряемые значения ЛСК не к температуре термостата, а к температуре на грани растущего кристалла.

6. Заканчивая свой мемуар „О непрерывности газообразного и жидкого состояний вещества“, Т. Эндрюс в 1869 г.** завещает грядущему поколению исследователей: „Остается еще решить гораздо более трудную проблему — о возможности непрерывности твердого и жидкого состояний материи“. Попытки разрешить эту задачу, в особенности теми же методами, которыми самим. Эндрюсом была разрешена проблема непрерывности газообразного и жидкого состояний, до последнего времени терпели неудачи. Однако целый ряд фактов уже сейчас свидетельствует как будто о том, что жидкое и твердое состояния не отделены резко друг от друга особенностями своего строения. Как рентгеновские исследования, так и существование в жидкости ассоциированных групп молекул приводит нас к выводу, что внутри жидкости при температурах значительно выше точки плавления могут образовываться анизотропные уплотнения, столь типичные при более низких температурах, когда в жидкости возникают „центры кристаллизации“. Повидимому, аналогия между такими появляющимися в жидкости анизотропными образованиями и центрами кристаллизации имеет не только статический, структурный характер. Дебай* подчеркивает и некоторое сходство в характере колебательных движений, обнаруживаемых в жидкостях с колебательными движениями, присущими атомам кристаллической решетки.

Образование центра кристаллизации, поэтому, представляет собою результат случайного, флюктуационного явления. Картина образования центра рисуется в следующем виде. При всяких температурах внутри жидкости возможны местные изменения плотности и скоростей молекулярных движений —флюктуации плотности и температуры. Смолуховскому (1913 г.) удалось доказать, что вероятность изменения на 1% средней плотности газа такова, что это событие осуществляется дл5 каждого куб. миллиметра лишь через каждые 10140 сек. То же уплотнение в объеме куба со стороной в 0,2 ji происходит в среднем раз в 10~7 сек. При благоприятном соотношении скоростей движения молекул в окружающей среде и сил связей возникшей элементарной ячейки пространственной решетки, последняя имеет возможность развиваться за счет окружающих ее уплотнившихся молекул. Слишком высокая температура жидкости

Рис. 8.

* См., например, Френкель Я. И.—,Теория твердых и жидких тел-. 934, стр. 5—77.

** „Philosophical Transactions', 159 Русский перевод под ред. А Багинского в изд. „Классики естествознания“, 1933.

* Debye Р.—„Struktur der Materie“. Leipzig, 1933. Перев. см. „Успех физических наук“ 1934, вып. 7-й, стр. 846,

Рис. 9.

будет препятствовать образованию центров. Молекулярная бомбардировка среды вызовет их непрерывное разрушение. Центры будут представлять собою неустойчивые образования. Понижение температуры ниже некоторого, типичного для данной жидкости, предела вызовет увеличение вязкости жидкости, а следовательно, затруднит приток и ориентацию молекул, необходимые для образования кристалла: понизится и ЛСК и скорость зарождения центров (СЗЦ)*. Из сказанного следует ожидать для кривой зависимости СЗЦ от температуры переохлаждения некоторого максимума, соответствующего наиболее благоприятной температуре образования центров. Можно теоретически построить и вид кривой этой зависимости.

Для увеличения СЗЦ необходимо установить в кристаллизационной среде такие наиболее благоприятные условия, при которых скорости движения молекул были бы недостаточны для разрушения образующихся центров и превосходили некоторую величину, при которой повышенная вязкость жидкости препятствовала бы образованию флуктуации плотности и ориентировке флуктуирующих частиц. Можно поэтому утверждать, что максимум кривой СЗЦ выпадает на некоторый интервал v-\-kv средней квадратичной скорости молекулярных движений кристаллизационной среды.

Как известно, скорости молекулярных движений подчиняются закону распределения Максвелла. Кривая распределения для данной температуры имеет асимметрический вид, представленный на рисунке 9 (кривая А).

При другой, более высокой температуре максимум кривой смещается в область больших скоростей (кривые В и С). Если наиболее благоприятными для кристаллизации данного вещества являются скорости от v до v -f- Ди, то при различных температурах ими будет обладать в жидкости различное число молекул — обстоятельство, наглядно видимое из нашего графика. Можно утверждать, что и кривая зависимости числа п молекул, обладающих заданной „благоприятной" скоростью, от температуры кристаллизации будет иметь вид, аналогичный кривой распределения Максвелла. Следовательно, так как СЗЦ определяется, согласно нашим рассуждениям, именно этими наиболее благоприятными скоростями движений, кривая СЗЦ имеет тот же вид кривой распределения Максвелла.

Эксперимент вполне подтверждает высказанное положение. Все кривые, построенные на основе наблюдений различных объектов, обнаруживают с достаточной убедительностью указанное сходство — обстоятельство, уже не раз отмечавшееся в литературе.

Методика экспериментального определения СЗЦ сложнее, нежели ЛСК. В простейших случаях определенный объем жидкости, переохлажденной до исследуемой температуры, быстро переносится в среду с температурой, наиболее благоприятной для ЛСК. Тогда центры кристаллизации, обладающие при температурах малой ЛСК субмикроскопическими размерами, быстро вырастают и становятся доступными для непосредственного счета при помощи микроскопа. Величина СЗЦ весьма колеблется: от единиц до сотен в куб. сантиметрах в минуту.

Понятие „центра кристаллизации“ является в ряде случаев недостаточно определенным. Как мы уже отмечали, в жидкости могут появляться и при температурах выше точки плавления элементарные анизотропные образования. Разумеется, их еще нельзя считать центрами кристаллизации. Центр кристаллизации, повидимому, не может включать в себя всего одну элементарную ячейку. Для того чтобы противостоять внешней молекулярной бомбардировке среды, центр кристаллизации уже должен обладать достаточным числом атомов. К сожалению, вопрос о размерах первичного центра и числа атомов в нем сейчас еще далеко не разрешен. Неко-

* Френкелем теоретически установлена зависимость между ЛСК и вязкостью жидкости.

торые работы указывают как будто на то, что размеры центра кристаллизации или, как его иногда называют, зародыша кристаллизации, лежат на пределе „видимости“ рентгенова луча.

7. Среди множества веществ, претерпевших изменение агрегатного состояния, одни, к которым принадлежат в особенности металлы, затвердевают исключительно в кристаллические тела. Другие, напротив, преимущественно превращаются в стекла и лишь на протяжении значительных периодов времени способны к медленному расстекловыванию, превращению в кристаллы. Наконец, существует большой класс веществ, сравнительно легко переохлаждающихся до стеклообразного состояния и, тем не менее, способных к довольно быстрой кристаллизации, когда охлажтение их идет в присутствии кристаллического центра— затравки.

Повидимому, чем сложнее структура молекулы вещества и чем больше его склонность к ассоциации в жидком состоянии, тем легче оно образует аморфное твердое тело. Просто построенные молекулы, в особенности одноатомные молекулы металлов, при всех своих относительных положениях с большей вероятностью образуют анизотропные структуры, нежели сложно построенные, например органические, молекулы.

Интересно проследить, какой вид принимают для типичных кристаллических веществ и веществ, преимущественно превращающихся в стекла, графики ЛСК и СЗЦ. Приводим два примера (рис. 10 и 11), заимствованные— первый у Чохральского для олова и второй —для бетола ({$ = нафтилсалицилат) по Тамманну.

В то время как в первом из них совпадение максимумов обеих кривых препятствует достижению значительных переохлаждений, во втором случае охлаждение в области, близкой к точке плавления, не дает еще образования центров, хотя центр, внесенный в жидкость извне, при этих температурах будет расти достаточно быстро.

Дальнейшее понижение температуры приведет нас к увеличению числа зарождающихся центров, которые, однако, вследствие сильно возрастающей вязкости (кривая Ь) уже почти не растут; ЛСК при этой температуре очень мала. Получение такого вещества в кристаллическом состоянии достигается предварительным охлаждением его до температуры максимума СЗЦ, а затем быстрым нагреванием до температуры максимума ЛСК. При этом некоторые из центров, возникших при более низкой температуре, не только сохраняются, но и начинают разрастаться при более высокой температуре, соответствующей максимуму ЛСК.

Очень редко кристаллизация из расплава происходит из одного центра кристаллизации. В случае металлов приходится прибегать к специальным методам для получения такого металлического монокристалла.

Обычно при кристаллизации из расплава, например металлов, одновременно развивается и растет множество центров. Разрастающиеся кристаллики сталкиваются друг с другом, теснят друг друга, поворачиваются в случайные относительные положения и, в конце концов, когда процесс кристаллизации закончился, образуют поликристаллический агрегат.

Образование поликристалла зависит от многих условий, в первую очередь от ЛСК и СЗЦ, скорости охлаждения системы и усло-

Рис. 10.

Рис. 11.

вий теплоотдачи. Лишь в самое последнее время делаются попытки связать эти величины математическими зависимостями. Задача эта имеет громадное практическое значение, но встречает значительные теоретические затруднения. Одно из основных затруднений заключается в том, что ни один центр кристаллизации, появившийся в начале процесса, не растет непрерывно до конца остывания, так как рост его стеснен ростом его соседей.

В заключение вопроса о кинетике процесса кристаллизации уместно упомянуть, что и процесс рекристаллизации, как выяснено в самое последнее время, следует закономерностям, намеченным Тамманном для процесса кристаллизации.

Исследование процесса кристаллизации и его кинетики можно вести под различными углами зрения. Можно, как это мы делали в настоящей статье, изучать образование кристаллического тела в целом, не интересуясь строением получающейся при этом кристаллической решетки. Можно поставить задачей исследование причин, вызывающих образование определенной внутренней геометрической структуры. Наконец, — ответить на вопрос правильности внешней огранки и вообще внешнего оформления естественно выросшего кристалла.

Проблема образования того или иного типа кристаллической решетки решается в наше время на основе работ В. М. Гольдшмидта (Осло) рядом исследователей. Мы не имеем возможности осветить здесь вопрос, требующий для своего изложения особой статьи, и сошлемся на мастерское изложение взглядов Гольдшмидта в первом томе „Геохимии“ акад. А. С. Фрамана или в книге учебного характера „Физическая химия металлургических процессов“ А. Ф. Капустинского—автора глубоких оригинальных исследований рассматриваемой проблемы.

Мы являемся сейчас свидетелями интересного процесса создания кинетической теории жидкого и твердого состояний. Несомненно, наши познания в этой области еще далеки от той высоты, которой удалось добиться физике в кинетической теории газов. Тем не менее, уже сейчас намечаются контуры той важной главы молекулярной физики, которая включит в себя как составные части кинетическую теорию твердого состояния, кинетику его образования и учение о симметрии анизотропного пространства, развитое кристаллографией прошлых лет. Этот раздел физики будет теснейшим образом смыкаться с другой молодой наукой современности — кристаллохимией, возникшей на основе работ Федорова и Гольдшмидта.

ЛИТЕРАТУРА:

Кузнецов В. Д.—„Физика твердого тела“, Томск 1932 г.

Френкель Я. И. — .Электрическая теория твердых тел“, Л. 1924 г.

Френкель Я. И. — „Теория твердых и жидких тел“, Л. 1934 г.

Ван Аркель — „Химическая связь с электростатической точки зрения“, Л. 1934 г.

Гельгофф — „Физика материалов“ (Lehrbuch der technischen Physik. В. III. Physik der Stoffe) (переводится).

ПРИМЕНЕНИЕ ФОТОЭЛЕМЕНТОВ И ТИРАТРОНОВ

Н. ХЛЕБНИКОВ (Москва)

ВВЕДЕНИЕ

Применение фотоэлементов можно разбить на четыре крупных раздела:

1. Применения для измерительных целей (фотометрия).

2. Передача звука (звуковое кино и световая телефония).

3. Передача изображений (передача неподвижных изображений и телевидение).

4. Автоматика (управление теми или иными механизмами или даже целыми производственными процессами).

Только при работе в измерительных схемах фототок непосредственно производит нужное действие. Происходит это потому, что фототоки весьма слабы и, в лучшем случае, достаточны для того, чтобы привести в действие гальванометр средней чувствительности. В силу этого в тех случаях, когда для приведения в действие прибора требуется значительная мощность, приходится прибегать к предварительному усилению фототоков.

Если ток после усиления должен в точности воспроизводить все изменения фототока, усиление осуществляется при посредстве катодных ламп и обычных усилительных

схем. Таковы способы усиления при передаче звука и изображений. Если же фототок служит лишь для того, чтобы замкнуть или разомкнуть цепи более сильного тока, который, в свою очередь, приводит в действие то или иное приспособление (что обычно имеет место в применениях для целей автоматики), то усилители с катодными лампами с успехом могут быть заменены более простыми схемами, в которых вместо катодных ламп работают вакуумные приборы, называемые тиратронами. Об этих приборах мы подробно расскажем ниже, в разделе, посвященном автоматике, а сейчас перейдем к описанию применений, отмеченных выше под пунктами 1, 2, 3.

Применения фотоэлементов для измерительных целей

Этот вид применений основан на существовании определенной зависимости между силой фотоэлектрического тока и количеством световой энергии, падающей на фотоэлемент. Очень существенно, что эта зависимость, выражаемая световой характеристикой фотоэлемента, представляет собой обычно прямую пропорциональность. Это значительно упрощает измерения.

Принципиальная схема для измерений изображена на рисунке 1, где Ph обозначает фотоэлемент, В — батарею, Р — потенциометр, G — гальванометр и S — источник света. Установив на определенном расстоянии стандартную лампу и заметив соответствующую ей силу фототока, можно очень быстро определять интенсивность других ламп, помещая их на том же расстоянии. Помимо быстроты, фотометрирование с помощью фотоэлемента имеет перед обычным „визуальным“ фотометрированием и другие преимущества. К ним нужно отнести возможность вести измерения в течение сколь угод но долгого времени непрерывно. Для этого достаточно воспользоваться самопишущим при бором. Эта особенность фотоэлектрической фотометрии весьма ценна, когда нужно, напри мер, исследовать изменения силы света лампы в зависимости от продолжительности горения.

Фотоэлектрическая фотометрия находит себе также применение и в других областях, например в астрономии (сравнение яркости звезд) и в метеорологии (изучение зависимости яркости дневного света от атмосферных условий). В первом случае достоинством фотоэлектрического фотометра является возможность получить с ним весьма большую чувствительность — для этого достаточно воспользоваться высокочувствительным прибором. Это очень существенно, так как количество света, доходящее до нас от звезд, весьма мало. С точки зрения метеорологических применений фотоэлектрический фотометр обладает двумя крупными достоинствами: возможностью вести непрерывные наблюдения и портативностью; это позволяет пользоваться им в самых разнообразных условиях. Особенной портативностью отличаются, конечно, фотометры, в которых используются фотоэлементы с запирающим слоем, так как в этом случае не нужна батарея.

Звуковое кино

В звуковом кино фотоэлемент участвует только в воспроизведении звука, являясь основным звеном звуковой проекционной установки. Тем не менее, для того чтобы уяснить его роль, необходимо рассмотреть и способы съемки звуковых фильмов.

Пленка звукового фильма отличается от обычной тем, что параллельно кадрам идет узкая полоска с более или менее широкими чередующимися темными и светлыми полосами (рис. 2). Эта полоска и представляет собой записанный звук.

Принцип записи заключается в том, что звуковые колебания при помощи микрофона обращаются в колебания электрического тока, а эти последние — в колебания силы света, действующего на пленку. Поэтому-то звуковая запись и имеет вид чередующихся темных и светлых полос.

На рисунке 2 можно видеть, что звуковая дорожка состоит или из полос, занимающих всю ее ширину, но различной протяженности вдоль ленты и различной степени почернения, или же из полосок, имеющих одинаковую черноту, но различной протяженности по ширине дорожки. Дорожка первого типа получается при записи по способу „изменения интенсивности“, второго—по способу „изменения ширины щели“.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Принципиальная схема записи по второму способу изображена на рисунке 3. Источник света S через щель К и линзу L дает узкую полосу света d на пленке F. На пути этого светового пучка находится пластинка Я, подвешенная на проволочке /таким образом, что при отсутствии тока в этой проволочке она загораживает как раз половину пучка. Но как только по проволочке начинает протекать ток, она, вследствие того, что расположена в поле магнита М, смещается и смещает пластинку. Ток переменной силы, полученный в цепи микрофона, после усиления пропускается по проволочке, в результате чего пластинка начинает колебаться в такт с звуковыми колебаниями, и на движущуюся ленту падает то более широкий, то более узкий пучок, и звуковая запись оказывается имеющей вид, изображенный на рисунке 2 а.

Запись по способу изменения интенсивности может осуществляться различными способами, например при помощи источников света, интенсивность которых можно менять в такт колебаниям микрофонного тока. Такими источниками являются, например, лампы газового разряда. При записи по этому способу на ленту все время падает пучок света, занимающий всю ширину звуковой дорожки, и изменяется только интенсивность пучка. В результате дорожка имеет вид, как на рисунке 2 Ь.

Одним из наиболее распространенных устройств для записи по этому способу является так называемой конденсатор Керра, представляющий собой две изолированные друг от друга параллельные металлические пластинки (рис. 4), погруженные в нитробензол или какую-либо другую жидкость, в которой обнаруживается явление Керра — вращение плоскости поляризации под действием электрического поля. Схема звукозаписывающего устройства с конденсатором Керра изображена на рисунке 5. Оптическая часть схемы состоит из источника света S, щели /, пройдя которую, свет собирается линзой L в узкий пучок и направляется на поляризатор — призму Николя Nr После свет, уже поляризованный, проходит между пластинками конденсатора Керра К, падает на вторую призму Николя N2 и затем фокусируется линзой L2 в виде узкой полоски на ленте F. Если обе призмы расположены так, что соответствующие им плоскости поляризации перпендикулярны, то свет через такую систему не проходит. Если плоскости поляризации расположены под углом в 45°, интенсивность света, выходящего из второго Николя, равна половине полной интенсивности. Это расположение и является нормальным при записи звука.

Электрическая часть схемы состоит из микрофона М, усилителя А и конденсатора Керра AT. При наложении на него колебаний микрофонного тока (после усиления) в нитробензоле происходит поворот плоскости поляризации, величина которого пропорциональна напряжению между пластинами конденсатора. Благодаря этому направление плоскости поляризации светового пучка после прохождения конденсатора составляет с направлением, соответствующим второму Николю, то больший, то меньший угол и, следовательно, интенсивность света, попадающего на пленку, меняется, причем это изменение происходит в такт звуковым колебаниям, падающим на микрофон, и после проявления на звуковой дорожке ленты получается то, что изображено на рисунке 2 Ь.

Проектор звукового кино отличается от обычного лишь тем, что к первому добавлены: специальный источник света, фотоэлемент и приспособление для плавного пропускания ленты перед фотоэлементом. Общий вид звукового проектора изображен на ри-

Рис. 4.

Рис. 5.

Рис. 6.

сунке 6, схема звуковоспроизводящей аппаратуры— на рисунке 7, где 6*—источник света, / — щель, L — линза, фокусирующая изображение щели на звуковой дорожке ленты F, Р—фотоэлемент, А — усилитель и /? — репродуктор.

Рис. 7.

Световая телефония

За последнее время в обиход военной связи, наряду с радиотелефонной связью на ультракоротких волнах, входит так называемая светотелефония. Телефонная передача в этом случае осуществляется при помощи световых, ультрафиолетовых или инфракрасных лучей, причем применяемые длины волн лежат в пределах от 250 до 1200 т\х. Нижний предел этого интервала обусловлен тем, что более коротковолновое ультрафиолетовое излучение сильно поглощается воздухом. Волны длиннее 1200 m\i не применяются вследствие того, что они уже действуют даже на наиболее чувствительные к инфракрасным лучам талофидные фотоэлементы.

По сравнению с передачей на УКВ световая телефония имеет значительное преимущество в отношении легкости осуществления направленной передачи, так как в этом случае для получения параллельного пучка лучей достаточно поместить источник в фокусе вогнутого (параболического) зеркала.

Существуют две системы световой телефонии.

Первая, представляющая в настоящее время лишь исторический интерес, была предложена Бэллом (известный американский ученый и инженер, изобретатель телефона и основатель одной из крупнейших американских электротехнических компаний, носящей его имя) в 1880 г.

Принцип действия передающего устройства заключается в том, что пучок света от источника постоянной интенсивности на своем пути к приемнику подвергается в каком-нибудь приборе—„модуляторе“—воздействию звуковых колебаний, благодаря чему интенсивность светового пучка за модулятором оказывается меняющейся в такт со звуковыми колебаниями. В качестве модулятора может служить, например, уже известный нам конденсатор Керра. На рисунке 8 изображена схема передающего и приемного устройства, где S—источник света, D — диафрагма, L — линза, создающая параллельный световой пучок, M — модулятор — части светотелефонного передатчика; зеркало G, фотоэлемент Я, батарея В и телефон Т составляют простейший приемник. С подобной установкой Бэллу в 1882 г. удалось установить связь на расстоянии в 1/8 км.

Современные светотелефонные приемники в принципе не отличаются от того, с которым работал Бэлл. Единственным усовершенствованием явилось добавление лампового усилителя, усиливающего ток фотоэлемента до того, как он попадает в телефон. Устройство же современных передатчиков отличается от бэлловского довольно существенно. Дело в том, что вместо того, чтобы модулировать звуком световой пучок, испускаемый источником постоянной силы, модуляцию производят в самом источнике. Здесь уже неприменима обычная лампа накаливания и необходимо пользоваться либо вольтовой дугой либо специальными лампами, так называемыми лампами тлеющего разряда.

Рис. 8.

Рис. 9.

В этих лампах источником света является газовый разряд, происходящий между двумя электродами, находящимися в стеклянном баллоне, содержащем газ (гелий, неон), под небольшим (несколько миллиметров ртутного столба) давлением. На рисунке 9 изображено устройство двух типов ламп: (а) — „точечной“, т. е. такой, у которой интенсивное свечение распределяется в небольшом объеме, (Ь) — лампы с значительной поверхностью свечения. На обоих рисунках К и А обозначают катод и анод соответственно. При наложении на электроды лампы достаточно высокого напряжения газ в ней начинает светиться, причем интенсивность свечения зависит от приложенного напряжения и в некотором интервале напряжений может считаться ему пропорциональной. Поэтому, если помимо постоянного напряжения, создающего некоторую среднюю силу свечения, на электроды лампы наложить еще переменное напряжение, то сила свечения будет меняться в такт последнему, колеблясь около средней величины, соответствующей значению постоянного напряжения. На этом и основана модуляция света в современных светотелефонных передатчиках. Колебания микрофонного тока после усиления в усилителе А (рис. 10) подаются через трансформатор Т на электроды лампы S, питаемой батареей В, и параболическое зеркало О отбрасывает параллельный пучок лучей, интенсивность которого меняется в такт звуковым колебаниям, падающим на микрофон.

Благодаря введению усилителей и тому, что мощность пучка от модулируемого источника может быть сделана больше, чем при модуляции не самого источника, дальность связи удалось значительно повысить. В таблице 1 приведены данные, показывающие, как постепенно достигалась все большая и большая дальность действия.

В зависимости от того, с каким интервалом длин волн желают работать, применяют те или иные источники света. Вольтова дуга допускает работу как на инфракрасных, так на видимых и ультрафиолетовых лучах. Наибольший интерес с военной точки зрения представляют невидимые, т. е. ультрафиолетовые и инфракрасные лучи, причем последние имеют то преимущество, что они значительно слабее поглощаются воздухом и особенно водяными парами, присутствующими в нем. В качестве источника ультрафиолетовых лучей помимо дуги могут служить лампы, наполненные парами ртути, для получения инфракрасных — лампы с гелиевым наполнением. Приемником для ультрафиолетового света может служить почти всякий фотоэлемент, при условии, что его бал-

Рис. 10.

ТАБЛИЦА I

Развитие светотелефонии

Исследователь

Годы

Источник света

Фотоэлемент

Достигнутая дальность действия

Бэлл..........

1880

Вольтова дуга

Селеновый

0,25 км

Симон .........

1897

1,3 .

Румер ........

1904

*

7-15 .

Тиррин ........

1920

• >

9 .

Майорана.......

1927

Ртутная ,

С внешним фотоэффектом

16 .

Шретер........

1930

Лампа накаливания и гелиевая лампа тлеющего разряда

Селен-теллуровый

28 ,

лон прозрачен для ультрафиолетового света, т. е. — практически — сделан из кварца или имеет кварцевое окно. Для работы на инфракрасных лучах применимы только фотоэлементы, особенно чувствительные в этой области, т. е. цезиевые и талофидные.

Передача неподвижных изображений

В этой статье мы не будем останавливаться на проблеме телевидения, т. е. передачи изображений движущихся предметов, так как этот вопрос, особенно в связи с новейшими достижениями в этой области, заслуживает несравненно большего внимания, чем то, которое может быть уделено ему здесь, и поэтому мы рассмотрим только передачу чертежей, рисунков, факсимиле и т. п., известную у нас под названием „фототелеграфии“ .

Сущность передающего устройства поясняется рисунком 11. Свет от источника £ фокусируется линзой Ьл на поверхность барабана D в виде пятнышка возможно меньших размеров. На барабане укреплен лист бумаги с передаваемым рисунком, чертежом и т. п. Барабан вращается на оси и одновременно движется параллельно ей, вследствие того, что ось имеет резьбу. Таким образом, по мере вращения барабана световой пучок падает последовательно на все точки рисунка. В зависимости от того, темное это место или светлое, будет изменяться количество отраженного света, который, будучи собран линзой L2y попадает в фотоэлемент Р и вызывает появление фототока. Сила фототока будет, очевидно, меняться в такт с изменениями черноты точек передаваемого рисунка. Фототок усиливается при посредстве усилителей, после чего им модулируют несущую частоту (при радиопередаче) или направляют по проводам на приемную станцию.

Схема приемной установки показана на рисунке 12. На барабан D, заключенный в светонепроницаемый ящик, навернута фотографическая бумага. Этот барабан имеет те же размеры и должен двигаться совершенно одинаково с барабаном передатчика. В одной из стенок ящика имеется отверстие, через которое внутрь проходит узкий пучок света от источника S. Сила света последнего должна меняться в такт изменениям тока, поступающим с передающей станции. Для этого можно воспользоваться или модулируемым источником, например лампой тлеющего разряда, или же модулировать свет постоянного источника при помощи установки с керровским конденсатором. Подавая на электроды лампы или конденсатора импульсы, пришедшие с передающей станции, получают изменения силы света, соответствующие изменениям светового потока, попадающего в фотоэлемент передатчика, т. е. чередованию светлых и темных мест передаваемого объекта, а благодаря тому, что барабан приемника имеет те же размеры, что и барабан передатчика, и движется точно таким же образом, то на фотобумаге получается точное воспроизведение передаваемого рисунка.

Автоматика

Применение фотоэлементов для целей автоматики в значительной степени облегчается благодаря наличию сравнительно недавно вошедших в обиход электровакуумных приборов — тиратронов.

Требования, предъявляемые к контуру, предназначенному для управления тем или иным механизмом, совершенно отличны от тех, которые существуют в случаях, рассмотренных нами выше. В этих случаях усилительные устройства должны давать совершенно точное воспроизведение изменений фототока, что, очевидно, необходимо для правильного воспроизведения звука или передачи изображения. С другой стороны — для указанных целей необходимы сравнительно незначительные мощности (несколько ватт). Прибором, могущим давать усиление без искажений, является катодная лампа, которая и используется в усилителях. Однако без применения чрезвычайно высоких анодных напряжений невозможно получение при помощи катодной лампы значительных мощностей. Это не является препятствием к использованию фотоэлементов в рассмотренных нами случаях, ибо, как мы уже упоминали, там не требуется слишком высоких мощностей.

Мощности, необходимые при управлении механизмами, часто имеют значительную величину (десятки и даже сотни ватт). Поэто-

Рис. 11. Рис 12.

му в таких случаях применение катодных ламп оказывается крайне неудобным и невыгодным и единственным выходом является использование тиратронов, одним из замечательнейших свойств которых является то, что они способны при весьма низких значениях анодного напряжения давать уже весьма значительные мощности.

Тиратроны

По своей конструкции тиратрон весьма близок к катодной лампе. Как и последняя, он состоит из стеклянного баллона, содержащего три изолированных друг от друга электрода, носящих те же названия, что и электроды катодной лампы: катод, сетка, анод. Единственным существенным отличием тиратрона является то, что его балл н непременно содержит под небольшим давлением инертный газ (неон, аргон) или пары таких веществ, как ртуть или щелочные металлы (натрий, цезий). Применение наполнения такого рода имеет то основание, что при работе тиратрона катод его находится в накаленном состоянии, благодаря чему наполнение газами и парами, могущими реагировать с металлом катода, невозможно.

Такое, казалось бы, ничтожное отличие, как присутствие в баллоне небольшого количества газа, является, однако, первопричиной всех достоинств и недостатков тиратрона.

Анодный ток обычной катодной лампы создается только за счет электронов, испускаемых нитью. А так как эти электроны образуют вблизи нити „пространственный заряд“, отталкивающий обратно на нить новые электроны, поступающие из нити, то для того чтобы получить полную величину анодного тока, т. е. тот ток, при котором все испущенные нитью электроны попадают на анод, необходимо разрушить пространственный заряд. Для этого на анод и сетку должно быть наложено достаточно высокое напряжение. В случае мощных ламп анодное напряжение достигает сотен и тысяч вольт. Изображенная на рисунке 13 типичная характеристика катодной лампы (по оси абсцисс отложено напряжение на сетке В' по оси ординат—сила анодного тока Ja; анодное напряжение — постоянно) показывает это постепенное возрастание анодного тока. Из того же рисунка можно видеть, что мы можем получить любую величину анодного тока (в пределах от нуля до тока насыщения), подавая на сетку соответствующее напряжение. Таким образом, наличие электронного пространственного заряда является недостатком катодной лампы — в том смысле, что требует для получения больших мощностей применения высоких напряжений. В то же время на этом пространственном заряде основано управляющее действие сетки, и в этом смысле пространственный заряд — ценнейшее свойство катодной лампы.

В тиратроне пространственного заряда не существует, он разрушается во время работы тиратрона автоматически. Поэтому свойства тиратрона прямо противоположны свойствам катодной лампы: для получения больших анодных токов достаточны сравнительно невысокие анодные напряжения, но управление анодным током при помощи сетки в том простом виде, в каком оно осуществляется в катодной лампе, — невозможно. В тиратроне можно регулировать при помощи сетки лишь среднюю линию анодного тока. Каким образом это делается, мы увидим ниже.

Посмотрим, почему в тиратроне отсутствует электронный пространственный заряд и каков механизм прохождения анодного тока.

Когда между накаленным и, следовательно, испускающим электроны катодом тиратрона и его анодом накладывается напряжение таким образом, что анод был соединен с плюсом источника напряжения, вылетевшие из катода электроны начинают двигаться к аноду. На своем пути они сталкиваются с молекулами газа, и если скорость их достаточна— ионизуют эти молекулы. В результате каждой ионизации образуется электрон и положительный ион. Электроны направляются к аноду, а положительные ионы идут на катод, где и начинают нейтрализовать созданный электронами пространственный заряд. В результате этой нейтрализации увеличивается число движущихся к аноду электронов. Следствием этого является возрастание числа положительных ионов и, следовательно, дальнейшее разрушение пространственного заряда и дальнейшее увеличение силы анодного тока. Этот процесс будет продолжаться, очевидно, до тех пор, пока из области вблизи катода не будут удаляться все испущенные им электроны, т. е., пока ток не достигнет силы, равной силе тока эмиссии, т. е. того значения, которое в случае катодной лампы

Рис. 13.

называется током насыщения. При этом в тиратроне все это происходит без всякого повышения анодного напряжения. Достаточно того, чтобы оно стало настолько большим, чтобы хоть один электрон смог произвести ионизацию. Дальше возрастание тока пойдет совершенно автоматически, как описано выше.

Благодаря этому характеристика тиратрона, выражающая зависимость анодного тока от напряжения на сетке, при постоянном анодном напряжении выглядит совершенно не так, как характеристика катодной лампы: как только напряжение на сетке окажется достаточно малым для того, чтобы хоть небольшая часть электронов попала под действие анода и началась ионизация, кривая поднимается от оси абсцисс перпендикулярно (рис. 14) и переходит в горизонтальную прямую при том же сеточном напряжении.

Когда анодный ток становится равным току эмиссии — тиратрон находится в нормальных рабочих условиях. Однако нарастание тока при этом, вообще говоря, не останавливается, так как в результате ударов положительных ионов о катод, последний разогревается и начинает испускать больше электронов. Это ведет к усилению ионизации и к еще более сильному разогреванию катода и т. д. до бесконечности или, точнее, до тех пор, пока не расплавятся электроды. Поэтому для нормальной работы тиратрона в его анодную цепь необходимо последовательно с источником напряжения вводить сопротивление (рис. 15), ограничивающее силу тока. Нормальная величина силы тока — это величина тока эмиссии, так как при более сильных токах, если и не происходит расплавления катода, то быстро разрушается эмиттирующий слой (катоды тиратронов всегда оксидные, бариевые или торированные).

Как только в тиратроне начался разряд, сетка оказывается неспособной влиять на силу тока. Напряжение на ней можно сделать равным и меньше того, при котором возник разряд, но разряд не только не прекратится, но даже сила тока не изменится сколько-нибудь существенно. Происходит это вследствие того, что всюду в пространстве между анодом и катодом, а следовательно, и вблизи сетки, присутствуют положительные ионы. При наложении на сетку отрицательного напряжения эти ионы устремляются к сетке и образуют вокруг нее как бы чехол (рис. 16) из положительных зарядов. Этот чехол, или, как его обычно называют, пленка,— нейтрализует поле, создаваемое сеткой, а потому препятствует ее воздействию на электроны, идущие от нити, и не дает возможности прекратить разряд.

Единственным способом прекращения анодного тока в тиратроне является снятие анодного напряжения (или придание ему отрицательной величины). Поэтому-то и оказывается возможным регулировать лишь среднюю силу анодного тока тиратрона, т. е. количество электричества, протекающее через тиратрон за единицу времени. Очевидно, что этот способ должен состоять в том, что анодное напряжение периодически включается и выключается, а напряжением на сетке устанавливается момент возникновения разряда. Совершенно ясно, что вместо включения и выключения анодного напряжения можно просто воспользоваться переменным анодным напряжением от сети переменного тока.

Управление средним анодным током

Рассмотрим подробнее, каким образом можно осуществить регулирование средней силы анодного тока. Для этой цели применяются два метода. Один из них состоит в том, что при переменном напряжении на аноде на сетку подается постоянное напряжение. Что происходит при этом, легко понять с помощью рисунка 17.

На этом рисунке синусоида изображает переменное анодное напряжение. Дуги сину-

Рис. 14. Рис. 15.

Рис. 16.

соиды меньшей амплитуды, построенные в направлении отрицательных значений ординат, дают те значения сеточного напряжения, при которых (при соответствующем данному моменту значении анодного напряжения) в тиратроне возникает разряд. Эти дуги изображают так называемое „критическое сеточное напряжение“*.

До тех пор пока фактически существующее постоянное напряжение на сетке имеет большую отрицательную величину, чем амплитуды критического напряжения, разряда не происходит (случай а рис. 17 — прямая сеточного напряжения не пересекает дуг критического потенциала). Как только напряжение на сетке станет равным амплитудному значению критического (случай b рис. 17 — прямая сеточного напряжения касается дуг критического потенциала) — разряд будет возникать. При этом он будет начинаться в каждом положительном полупериоде анодного напряжения при максимальном значении анодного напряжения, т. е. в середине полупериода, и оканчиваться в конце каждого такого полупериода, когда анодное напряжение будет обращаться в нуль. Ток через тиратрон будет таким образом, протекать лишь в течение половины каждого положительного полупериода, и, следовательно, средняя сила тока будет равняться половине максимальной возможной величины средней силы тока, соответствующей возникновению разряда в начале каждого полупериода (случай с рис. 17).

На рисунке 18 изображена схема включения тиратрона, применяемая для управления анодным током по этому способу.

Недостатком описанного способа является то, что путем изменения постоянного сеточного напряжения оказывается возможным непрерывное изменение средней силы анодного тока лишь в пределах от половинного значения до полного. Это сильно ограничивает применимость его, и потому мы на нем дольше останавливаться не будем.

Гораздо более совершенным способом управления является другой, основанный на изменении разности фаз между переменными напряжениями на сетке и аноде и тиратроном, который поэтому носит название „фазового управления“. Соотношения между напряжениями на сетке и аноде и средней силой тока в этом случае иллюстрируются рисунком 19, где, как и на рисунке 17, синусоида изображает переменное анодное напряжение, дуги синусоиды — критический сеточный потенциал. Напряжение на сетке в этом случае изображается также синусоидой. Чертеж а этого рисунка соот-

Рис. 17.

Рис. 18.

Рис. 19.

* Что кривые критического сеточного напряжения должны быть синусоидальными дугами, следует из того, что соотношение между сеточным и анодным напряжениями, при котором возникает разряд, имеет вид:

— Eg — DEa,

где Eg и Еа — сеточное и анодное напряжение, соответственно, a D—„фактор сеточного контроля"— эквивалентен „проницаемости“ катодной лампы. Таким образом, если Еа = A sin wf, то Eg = = AD sin <ût\ так как D правильная дробь,—амплитуда критического сеточного напряжения меньше амплитуды анодного; знак минус показывает, что дуги обеих кривых должны лежать по разные стороны оси абсцисс.

ветствует разности фаз между сеточным и анодным напряжением, равной 180°. При этом кривая сеточного напряжения никогда не пересекает кривую критического потенциала, и разряд вообще не возникает; средняя сила тока равна, следовательно, нулю. На чертеже b разность фаз близка к 90°. В этом случае разряд возникает в середине каждого положительного полупериода анодного напряжения, и средняя сила тока равна половине максимальной. Чертеж с изображает разность фаз, близкую к нулю. В этом случае средняя сила тока имеет максимальное значение.

Способы смещения фазы

Для смещения фазы напряжения на сетке по отношению к анодному пользуются известными свойствами цепи, содержащей сопротивление и самоиндукцию или сопротивление и емкость. На рисунке 20 изображен контур, содержащий первую, на рисунке 21 — вторую из этих комбинаций. В контуре первого типа изменение величины переменного сопротивления R от оо до 0 влечет за собой изменение разности фаз от 0 до 180°. В случае контура рисунка 21 изменение сопротивления в тех же пределах вызывает изменение разности фаз от 180° до 360°. Если в качестве переменных сопротивлений пользоваться фотоэлементами, мы, очевидно, будем иметь контуры, позволяющие регулировать силу анодного тока путем изменения светового потока, падающего на фотоэлемент. При этом оказывается возможным управлять даже очень значительными мощностями (порядка киловатт). Это, конечно, чрезвычайно сильно расширяет область применения фотоэлементов.

На рисунках 22 и 23 изображены схемы для управления анодным током с помощью фотоэлемента. Первая из них позволяет получать возрастание средней силы анодного тока при увеличении освещения фотоэлемента. Особенностью второй является то, что в ней при некоторой вполне определенной интенсивности освещения происходит мгновенное выключение тиратрона. Он включается вновь, когда освещение станет слабее этого предельного значения. Это свойство схемы рисунка 23 делает ее чрезвычайно удобной для автоматического включения и выключения освещения на улицах и в общественных местах. Отрегулировав однажды схему на выключение при определенной силе естественного освещения, можно быть уверенным, что включение и выключение света будет всегда происходить своевременно, вне зависимости от времени года, погоды и т. д.

Нужно отметить, что большим распространением пользуются схемы с емкостью. Происходит это вследствие того, что наивыгоднейшими условиями работы схемы являются те, при которых сопротивления емкости или самоиндукции, с одной стороны, и фотоэлемента — с другой, близки друг другу. Так как обычно пользуются фотоэлементами с внешним фотоэффектом, сопротивление которых того же порядка, что и (емкостное) сопротивление конденсатора средних размеров, то именно для этой комбинации условия оказываются наивыгоднейшими (при обычных

Рис. 20.

Рис. 21.

Рис. 22

Рис. 23

частотах переменного тока в 50—60 периодов в секунду). Если возникает необходимость пользоваться вместо емкости самоиндукцией, следует брать фотоэлементы с меньшим внутренним сопротивлением. Таковыми яв1яются, например, селеновые фотоэлементы (с внутренним фотоэффектом).

Другие применения тиратронов

На этом мы закончим наш обзор применений фотоэлементов и обратимся к приме нениям тиратронов.

Тиратроны, разработка которых связана, главным образом, с именами Лэнгмюира и Хэлла, как мы уже говорили выше, в некоторых отношениях весьма выгодно отличаются от катодных ламп. Отсутствие электронного пространственного заряда обусловливает возможность получения сильных анодных токов при малых напряжениях и, кроме того, допускает устройство катодов, дающих большую эмиссию при малом расходе мощности на накал. Достигается это путем экранирования накаленной поверхности катода, благодаря чему почти совершенно устраняется потеря тепла на лучеиспускание, весьма значительная в катодных лампах, где катод непременно должен иметь форму нити или ленты. В результате всего этого коэфициент полезного действия тиратрона может быть доведен до 98—99%. Так как, с другой стороны, не представляет таких затруднений построение тиратронов на мощности в сотни и тысячи киловатт, то этот вакуумный прибор, в отличие от всех прочих, оказывается не только прибором слаботочной электротехники. И действительно, существует ряд схем, в которых тиратрон может заменить обычные электрические машины. Он позволяет также осуществлять процессы, никакими другими приспособлениями не осуществимые.

Для того чтобы подойти к этим схемам, рассмотрим работу тиратрона на постоянном токе. Когда анодная цепь тиратрона питается постоянным током, то прекратить возникший разряд можно, лишь разорвав цепь анода или сделав анодное напряжение отрицательным.

Первый способ требует лишь наличия рубильника. Интерес, однако, представляет именно второй способ, так как развитие первоначальной схемы этого способа как раз и приводит к тем применениям, о которых мы упоминали.

Простейшая схема для наложения на анод отрицательного напряжения изображена на рисунке 24. Конденсатор С и сопротивление R включены последовательно между анодом тиратрона и положительным полюсом источника напряжения. При протекании тока конденсатор заряжается до разности потенциалов, существующей между концами нагрузки, которая равна напряжению источника минус падение напряжения на тиратроне. Пусть э. д. с. источника равна 250 V, падение на тиратроне— равно 15 V. В таком случае между обкладками конденсатора имеется разность потенциалов в 235 V. Замыкание ключа К приведет потенциал правой обкладки к нулю, т. е. понизит его на 235 V. Вследствие этого и левая обкладка, соединенная с анодом тиратрона, должна мгновенно оказаться при потенциале, на ту же величину более низком по сравнению с первоначальным (вследствие большого сопротивления нагрузки для толчка тока по сравнению с сопротивлением конденсатора). Таким образом, анодный потенциал окажется на 220 V ниже потенциала катода, т. е. равным — 220 V, что приведет к прекращению разряда.

Для замыкания цепи вместо ключа можно воспользоваться вторым тиратроном (рис. 25). Задав на сетку второго тиратрона положительный потенциал, мы вызовем в нем разряд и, следовательно, добьемся того же, чего достигали замыканием ключа в предыдущей схеме, т. е. подадим на анод первого тиратрона отрицательный потенциал и прекратим в нем разряд. Разница будет заключаться только в том, что (если взять цифры предыдущего примера) величина отрицательного напряжения будет равна не 220, а 205 V,

Рис. 24.

Рис. 25.

Рис. 26.

т. е. меньше на величину внутреннего падения напряжения второго тиратрона. Совершенно очевидно, что этот процесс можно повторить, выключив второй тиратрон путем включения первого. Для этой цели в схеме рисунка 25 служит трансформатор со средней точкой, вторичная цепь которого включается между сетками и катодами тиратронов, а в первичную подается переменный ток нужной частоты. Частота этого тока определяет собой частоту переключения тиратронов. Она может быть любой, но достаточно низкой для того, чтобы после каждого выключения в тиратронах успевала происходить деионизация (исчезновение положительных ионов вследствие разряжения на электродах и стенках).

Инвертор и трансформатор постоянного тока

Легко видеть, что схема рисунка 25 может быть приспособлена для обращения постоянного тока в переменный. Для этого достаточно заменить сопротивление схемы рисунка 25 первичной обмоткой трансформатора, из вторичной о мотки которого будет отбираться генерируемый переменный ток. Подобная схема изображена на рисунке 26, где включенная в цепь постоянного тока дроссельная катушка l предназначена для непропускания в эту цепь переменного тока.

Если полученный переменный ток обратить при помощи выпрямителя снова в постоянный, мы получим устройство, которое с полным правом может носить название „трансформатора постоянного тока“. В самом деле, выбором трансформатора, включенного в анодные цепи тиратронов, мы можем вместо подаваемого на тиратроны постояннного напряжения получить после выпрямителя постоянное же напряжение и притом любой величины. Схема трансформатора постоянного тока приведена на рисунке 27.

Две последние из приведенных схем представляют большой интерес для техники сильных токов, так как с их помощью решаются две важных проблемы: а) преобразование постоянного тока в переменный и б) изменение напряжения постоянного тока.

Преимущества инвертора с тиратронами перед обычным способом, представляющим собой комбинацию мотсра постоянного тока с альтернатором, очевидны: отсутствие механических движущихся частей, легкая заменяемость частей (тиратроны), возможность изменять напряжение получаемого переменного тока (секционированный трансформатор). Что касается второй задачи, то она, в технических масштабах, для высоких напряжений с достаточно большим к. п. д. может быть решена лишь с помощью тиратронов.

Важно отметить, что к. п. д. обеих схем при правильно подобранном режиме работы тиратрон в весьма высок. В самом деле, для

Рис. 27.

инвертора мы имеем:

К. П. Д.инв. = К. П. Д.трансф. X к« п- Д-тир

Принимая к. п. д. обоих приборов равным 98%, находим:

Тем же путем для трансформатора постоянного тока получаем:

СЛУЧАЙ ПОЯВЛЕНИЯ ПОСТОРОННИХ КОРНЕЙ В ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ С РАДИКАЛАМИ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ

М. ШАЙКЕВИЧ (Москва)

Посторонние корни, появляющиеся при решении уравнений с квадратными радикалами, выявляются легко. Значительно труднее выявить посторонние корни, появившиеся при решении уравнения с кубическими радикалами. Поэтому мы считаем нелишним дать простой пример, ярко показывающий появление посторонних корней в уравнении с кубическими радикалами.

Рассмотрим уравнение

(1)

Возведем обе части этого уравнения в куб; получим:

Перенесем рациональные члены в одну часть уравнения, иррациональные — в другую; после приведения подобных членов получим:

В силу (1) имеем:

Возводим обе части уравнения в куб; получаем:

или

X* — 63*2 _ о.

Это уравнение имеет три корня *! = 63, х2 = х3 = 0.

Первый корень удовлетворяет уравнению (1).

Корни х2 и а:3 даю г при подстановке в уравнение (1):

Вещественные значения кубических корней у—Т и у 1 не удовлетворяют равенству, но комплексные значения вполне удовлетворяют.

Как известно, у — 1 имеет комплексные значения ——^- и -^-, а у имеет комплексные значения -^- и

Проверим теперь результат подстановкой этих комплексных значений кубических корней; мы получим тождества:

Все уравнения вида у Ах— 1 — у Вх -f- 1 = 1 дают по два равных посторонних корня хг=х2 = 0 и один действительный рациональный корень.

О ДЕЛЕНИИ УГЛА НА ТРИ РАВНЫЕ ЧАСТИ И ОБ УДВОЕНИИ КУБА ПРИ ПОМОЩИ ЦИРКУЛЯ И УГОЛЬНИКА

Р. ИГЛИШ

(Статья напечатана в „Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht aller Schulgattungen“ за 1933 г., книга 5-я).

Проф. Бибербах показал недавно, что каждую геометрическую построительную задачу 3-й и 4-й степени можно решить при помощи циркуля и угольника, если сделать следующее построение.

Даны: точка Л, прямая g и круг R (черт. 1). Надо наложить угольник так, чтобы вершина прямого угла находилась на прямой g и чтобы один из катетов проходил через точку А, другой же катет касался круга R. Вершина угольника отметит на прямой g точку X. С помощью элементарного векторного исчисления проф. Бибербах показал, что эта операция тождественна с решением некоторого уравнения 4-й степени и что, выбирая известным образом данные, можно этим путем решить знаменитые задачи о трисекции угла и об извлечении кубического корня (включая как частный случай задачу об удвоении куба). Отсюда следует, что этим путем легко разрешить и каждую задачу на построение 3-й и 4-й степени. Так как обе упомянутые выше задачи представляют большой интерес, а самые построения очень просто выполнимы, то дадим оба решения элементарным геометрическим путем для того, чтобы обе задачи могли найти себе место в школьном курсе.

1. Деление угла на 3 равные части

Чтобы решить эту задачу, нужно, следуя в основном построению проф. Бибербаха, поступить так: на одной из сторон данного угла ß (черт. 2) от его вершины отложить в разные стороны равные отрезки AB и ВС; из точки С радиусом = ВС провести круг и положить угольник так, чтобы его вершина находилась на второй стороне угла ß, один из катетов проходил через точку А, а другой касался бы круга R в точке D. Можно доказать, что ^^ = CBD = ^ ß.

Для доказательства проводим CD и BE || CD. Обе прямые || АХ, так как ^АХЕ = £ CDE = ^ . Так как AB == СВ по построению, то и DE=EX. Значит, Д DBE = = /\ХВЕ, a Z.DBE = /_XBE. Далее РВЕ= / BDC как накрестлежащие при параллельных BE и CD, но ^/ BDC= Ç, так как BC=CD. Из всего этого следует, что Z.^ = \ (*•

2. Извлечение кубического корня

Можно предложить следующее построение, несколько более простое, чем данное проф. Бибербахом. Пусть нужно извлечь кубический корень из данного отрезка а. При этом можно заранее условиться, что 0<а<С1; в противном случае, можно подобрать такое число о3, чтобы обладало данным свойством. Откладываем на прямой (черт. 3) отрезки: AB = ВС = DA — у , ВЕ=а, и проводим BF так, чтобы Д В FE имел при точке Е прямой угол и чтобы гипотенуза BF=\. Опускаем из точки С на В F перпендикуляр и продолжаем его до пересечения в точке О с GD^_DE. Принимая точку О за центр, строим круг радиуса 1 и накла-

Черт. 1.

Черт. 2.

Черт. 3.

дываем угольник так, чтобы его вершина X находилась на BF, один из катетов проходил через А, а другой касался круга в точке У.

Можно доказать, что ВХ = х = уа.

Для доказательства соединяем центр G с точками А, В и X, опускаем перпендикуляры G J и GH на соответственные катеты угольника и обозначаем через К точку пересечения BF и GC и через у отрезок АХ Тогда, применяя теорему Пифагора к треугольникам DXI, GHA и GAD, имеем: GX2= 1 +7х~2= 1 + GH*~=

Заметим, что cos EBF=a, откуда ВК— ~ . Рассматривая треугольники XGK, BGK и BGD, имеем:

(2)

Из уравнений (1) и (2) получаем:

Перед корнем следует взять положительный знак, так как из черте&а видно, что должен быть больше 1. Наконец, выражая квадрат стороны АХ в /\АВХ, имеем ,

Подставляя в последнее уравнение найденное ранее значение для у, получим:

Возведя в квадрат, имеем:

откуда xz = a, что и нужно было доказать.

СУММА УГЛОВ ВОГНУТОГО МНОГОУГОЛЬНИКА

Проф. С. К. БОГОМОЛОВ (Ленинград)

Во всех учебниках геометрии доказывается, что сумма внутренних углов выпуклого п-угольника равна:

2d{n — 2);

но почти нигде не говорится, что эта формула верна и для вогнутого многоугольника*; между тем, это доказывается без особо го труда. Выпуклые (черт. 1) и вогнутые (черт. 2, сплошные линии) многоугольники имеют то общее свойство, что у сторон их нет общих точек за исключением общей вершины у двух смежных сторон, тогда как у так называемых звездчатых многоугольников (черт. 3) стороны могут пересекаться. Вогнутый же многоугольник отличается от выпуклого наличием входящих углов (углы при вершинах А2 и Аъ на рис. 2), которые измеряются числами, большими 2 d.

Черт. 1.

Черт. 2

* Я нашел краткое указание у Hadamard'a (.Logans de Geometrie“, 1, p. 44), что это можно доказать с „небольшим усложнением" рассуждения; затем Thieme (.Die Elemente der Geometrie“, S. 37» выводит эту формулу для обоих случаев вместе

Черт. 3

Условимся обозначать сумму углов выпуклого или вогнутого л-угольника Рп через

5 {рп)>

тогда для треугольника всегда имеем: 5 (Р,) = 2 d.

Возьмем теперь вогнутый л-угольник Аг А2 А3 А4 ... (рис. 2) и пусть при вершине А2 имеем входящий угол. Соединив отрезком две соседние с ней вершины Ал и Аг и выбросив вершину А2, получим (п —1)-угольник Аг А3 А4 ... , который может быть как выпуклым, так и вогнутым.

Допустим, что искомая формула верна для (п — 1)-угольника, и докажем, что она будет верной и для л-угольника. Рассматривая чертеж 2, убеждаемся, что сумму углов данного п-угольника Аг А2 Az А4 ... можно получить, взяв сумму углов (п—1)-угольника Аг А3 А4 ..., прибавив к ней 4 d (полный угол при точке А2) и вычтя» сумму углов треугольника АгА2Ап:

S (Pn) = S (Ря_1) + 4 d-S (Д VW;

но согласно допущению:

5 (^n-i)=2 d (.-3),

так что;

S (Р„)=2 d (п — 3) + 4 d - 2d, S (Рл)=2 d (п-2).

Но мы знаем, что эта формула верна для я = 3, а потому она Берна и для п = 4, 5, 6 ..., т. е. верна всегда.

Можно найти выражение и для суммы внутренних углов звездчатого многоугольника, которое, однако, имеет более сложное строение*; но определение внутреннего угла для такого многоугольника теряет интуитивную наглядность.

СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ ВНУТРЕННЕГО УГЛА ТРЕУГОЛЬНИКА

И. КАСТРОВИЦКИЙ (Красногвардейск)

Обычное доказательство теоремы о свойстве биссектрисы внутреннего угла треугольника опирается на свойство параллельных прямых, пересекающих стороны угла (см. учебники: стабильный и Киселева).

Покажем, как ту же теорему легко доказать, исходя из следующей истины: площади двух треугольников, имеющих равные высоты, относятся, как их основания.

Пусть в Д ABC проведена биссектриса BD (черт. 1). Надо доказать, что

примем AD и DC за основания треугольников ABD и DBC; тогда высота у этих треугольников будет одна и та же, и, следовательно,

(1)

Примем теперь за основания тех же треугольников ABD и DBC стороны AB и ВС; и в этом случае высоты треугольников равны: DP = DQ как расстояния точки D на биссектрисе угла от сторон угла; следовательно, имеем:

(2)

Из (1) и (2) получаем:

Черт. 1.

* Brückner — „Vielecke una Vielflacke“, S. 4.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА

ПОЧЕМУ ТРУДНО РЕШАТЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ*

Проф. А. АСТРЯБ (Украинский научно-исследовательский институт педагогики)

Уважаемые товарищи, в продолжение этих двух с половиной дней мы прослушали целый ряд требований, которые предъявляются к преподавателям математики. Эти требования были чрезвычайно разнообразны и ответственны. Остановим свое внимание еще на одном требовании, которое предъявляют к преподавателю сами дети.

Когда мы говорим здесь о том, что ученики должны уметь хорошо решать задачи, го ученики, в свою очередь, должны предъявить к преподавателям математики требование научить их, учеников, решать все эти задачи, помочь им преодолеть те многочисленные трудности, на которые наталкиваются дети во время решения геометрических задач.

Я и хотел бы занять ваше внимание анализом тех трудностей, которые возникают у ученика во время решения геометрических задач, причем мы будем иметь в виду только задачи на вычисление.

Прежде всего у ученика при решении геометрической задачи на вычисление возникают все те же самые трудности, с которыми он имеет дело при решении задач — арифметических и алгебраических. Но, кроме этих трудностей общего характера, ученик, решая геометрическую задачу на вычисление, наталкивается на ряд трудностей, связанных с самой спецификой геометрической задачи, связанных с особенностями, присущими, главным образом, геометрическим задачам на вычисление. Остановим свое внимание на двух таких особенностях.

Во-первых, когда ученик читает текст арифметической задачи, то он обыкновенно ищет ту зависимость, которая поможет ему разрешить задачу, в самом тексте задачи. Он мало интересуется тем, что дается вне текста арифметической задачи. Он все внимание обращает на зависимость, выраженную в явной форме в самой задаче. Такого характера трудность возникает у ученика в некоторой мере и при составлении уравнения по алгебре. Тут все внимание ученика снова сосредоточивается только на словесном тексте данной задачи, и здесь, в самом тексте, он старается найти необходимую зависимость, которая помогла бы ему разрешить задачу. Правда, и в алгебре есть целый ряд задач, которые принуждают ученика выходить за рамки условий задачи. Ученик должен знать ряд формул, ряд зависимостей (скажем, задачи на прогрессии, на сложные проценты), без которых он не сможет довести дело до конца. Но в алгебре количество таких формул небольшое. Совершенно иная картина получается, когда ученик приступает к разрешению задачи по геометрии. Здесь ученик, помимо текста задачи, должен быть хорошо знаком с целым рядом различных формул, различных теорем. Ученик принужден те зависимости, которые необходимы ему для решения геометрической задачи, искать не только в самом тексте ее, но и выбирать эти зависимости из целого ряда теорем, не имеющихся в тексте задачи. А это — чрезвычайно сложная задача для ученика. Эга первая особенность геометрической задачи в значительной мере усложняет ученику процесс решения.

Вторая характерная особенность геометрической задачи — это рисунок. Рисунок геометрической задачи играет две роли: с одной стороны, этот рисунок конкретизирует те величины, о которых идет речь в условии задачи и с которыми ученику надо оперировать; с другой стороны,— этот геометрический рисунок должен помочь ученику найти из целого ряда теорем и зависимостей ту зависимость, которая свяжет между собой вели-

* Стенограмма доклада на совещании преподавателей математики, Москва, 31 марта 1935 г.

чины, данные в тексте задачи. Вот эти две особенности геометрической задачи и являются источником тех основных трудностей, с которыми ученик встречается на пути решения геометрической задачи на вычисление.

Все эти трудности можно распределить на три основные группы. Первая группа трудностей связана с рисунком. Вторая группа трудностей связана с выбором необходимых теорем и необходимых формул. И, наконец, третья группа трудностей — это трудности арифметического и алгебраического характера.

Разрешите несколько подробнее остановиться на каждой из этих групп трудностей. Начнем с рисунка. Дается текст задачи. Первое, что надо сделать ученику, это четко представить себе те пространственные формы, о которых идет речь в задаче. И вот, часто ученику трудно представить правильно ту форму, о которой идет речь. Возьмем, например, такую задачу: „Диаметр шара равен 30 см. Он служит осью цилиндра, у которого радиус основания 12 см. Вычислить объем той части шара, которая находится внутри цилиндра“ (Рыбкин, 2-я ч., §21, № 20). У ученика, который прочел текст этой задачи, может возникнуть план решения ее только тогда, когда он ясно представит себе форму той части шара, о которой идет речь. А для ряда учеников представить себе четко эту несложную форму бывает трудно.

Возьмем еще такой пример: „Две взаимно перпендикулярные грани треугольной пирамиды — равносторонние треугольники со стороной в 4 см. Вычислить объем пирамиды“ (2-я.ч., § 17, № 21). Четкое представление формы этой пирамиды является главным источником, который поможет решить задачу ученику. Если ученик четко не представляет форму этой пирамиды, он не найдет высоту, он не представит себе расположения этих граней и будет считать, что у него данных чрезвычайно мало: одно только 4-сантиметровое ребро и больше ничего! Таких примеров можно привести очень много.

Часто эта трудность усложняется еще тем, что ученику эту геометрическую форму надо изобразить рисунком. А наших детей часто затрудняет самая элементарная техника рисования. Тем более будут чрезвычайно затруднять его такие рисунки, в которых мы имеем дело с шаром, вписанным в пирамиду, с пирамидой, описанной вокруг шара и т. д. Вот пример такой задачи: „Диагонали ромба 15 а и 20 см. Шаровая поверхность касается всех его сторон. Радиус шара 5 см. Вычислить расстояние центра шара от плоскости ромба“ (2-я ч., § 20, № 14). В этой задаче ученику легче представить данную пространственную форму, если он ограничится только внимательным чтением текста задачи, чем тогда, когда он попробует изобразить ее на доске.

Можно привести ряд случаев, когда тот рисунок, который ученик пытается сделать на доске, не только не помогает ему правильно представить геометрическую форму, а, наоборот, еще больше запутывает и осложняет работу ученика. А потому неумение правильно нарисовать на доске рисунок, который является исходным моментом в решении геометрической задачи, очень часто чрезвычайно усложняет процесс этого решения.

Но, если даже и предположить, что рисунок сделан учеником удачно, то этого еще мало для того, чтобы ученик мог уже уверенно приступить к решению геометрической задачи. В целом ряде геометрических задач надо не только механически представлять геометрическую форму в целом, а надо в целом ряде случаев ученику уметь эту геометрическую форму анализировать, надо уметь рассматривать ее в виде отдельных составных частей, надо уметь между этими составными частями (а их очень много!) выделить как раз ту группу, ту комбинацию, которая поможет найти необходимую зависимость между данными. И вот эта трудность является самой крупной, самой основной трудностью, которая связана с рисунком. Можно привести очень много примеров, из которых вы ясно увидите, что при решении геометрической задачи самое трудное — это умение выделить из рисунка определенную часть его и рассматривать ее под определенным углом зрения. Ограничусь двумя примерами.

„Вокруг шара описан усеченный конус. Радиусы основания этого конуса гл и г2. Вычислить радиус шара“ (2-я ч., § 23, № 41).

На какие трудности наталкивается ученик при решении этой задачи?

Во-первых, ему здесь надо переключить свое внимание на плоский рисунок. Фактически эта задача не стереометрическая, а планиметрическая. Но этого мало. Что будет перед глазами ученика? Трапеция и вписанный круг. Он начинает всматриваться в этот рисунок. Если он не сумеет выделить из рисунка вершину трапеции, из которой выходят по две касательных, он задачи не решит. Если он не сумеет рисунок рассматривать не в целой комбинации его, а в отдельных частях, и вместо трапеции не увидит отдельной точки с двумя касательными, которые равны, он задачи никогда не решит.

Пример второй. Одна из первых задач, которая дана у Рыбкина в 1-й части, такова: „Дан треугольник. В треугольнике дана произвольно точка. Эта точка соединена со всеми вершинами треугольника. Доказать, что сумма расстояний этой точки от трех вершин треугольника будет, во-первых, меньше периметра, а, во-вторых, больше полупериметра нашего треугольника“.

Представьте перед своими глазами этот рисунок. Что ученик начинает делать? Перед этим он учил теоремы, связанные с отношением между сторонами треугольника. Ясно, он и применит зависимость между этими сторонами. Он наш треугольник разделит на три отдельных треугольника. Решение второй задачи пойдет очень просто и легко. Попробуйте решить первую задачу. Попробуйте доказать, что сумма трех расстояний меньше периметра. Если вы начнете применять здесь теорему о том, что одна сторона будет меньше суммы двух других, применяя эту теорему к трем маленьким треугольникам, то у вас ничего не выйдет. Нужно в этом рисунке суметь выделить ломаные линии и рассмотреть объемлемую и объемлющую. Это может сделать ученик только тогда, когда он привык к глубокому анализу рисунка, когда он научился рассматривать рисунок как ряд комбинаций, а не как одну мертвую неподвижную форму. Вот эта конструктивная способность ученика здесь и играет решающую роль.

Еще есть трудность очень серьезная, связанная с задачами, я сказал бы—трудность самого сложного характера по сравнению с другими трудностями, связанными с рисунком. Эта трудность состоит в том, что иногда при решении геометрической задачи возникает необходимость построить дополнительную линию, сделать дополнительное построение фигур. Есть целая категория задач, трудность которых как раз и построена на том, что перед учеником возникает необходимость построить ряд дополнительных линий, при помощи которых он сможет выделить из всего рисунка нужную ему форму и при помощи этой формы получить ключ к решению задачи.

Возьмите хотя бы такую задачу: „Определить площадь треугольника по радиусу описанного круга и двум углам: 45° и 60Эа (1-я ч., § 14, № 21). Аналогичного характера трудность встретит ученик и в такой задаче: „Через точку, лежащую на поверхности шара, проведены две взаимно-перпендикулярные площади, которые пересекают шар по кругу радиусов г и гг Вычислить радиус шара“ (2-я ч., § 20, № 16). Рисунок предположим, уже есть. Начинается стремление найти зависимость между тем, что ищется и тем, что дано. В обоих случаях необходимо диаметр провести особым образом, чтобы получить те прямоугольные треугольники, которые нас интересуют. И вот, умение провести линию именно так, чтобы выделить ту фигуру, которая нам нужна, чрезвычайно трудно дается. Здесь без определенной длительной методической подготовки дело не пойдет. К этой же категории трудностей нужно отнести и трудность при решении такой задачи: „Даются два круга с внешним касанием. Известны радиусы их. Нужно вычислить длину внешней общей касательной“ (1-яч., §20,№40).

Вот анализ основных трудностей, связанных с рисунком. Остановимся теперь на анализе двух других групп трудностей. Начнем с трудности подбора теорем. Здесь нужно подобрать из большого запаса теорем и формул ту формулу и ту теорему, которые нужно применить к данной задаче. Тут надо иметь в виду три категории теорем. К первой категории нужно отнести те группы теорем, которые основательно прорабатываются в стабильном учебнике. Это — та группа теорем, которые ученик умеет четко сформулировать, внутренний смысл которых умеет четко осознать. Тут дело упрощается тем, что ученик чувствует себя хорошо, как у себя дома. Теорема его не пугает ни своей формулировкой, ни своим внутренним смыслом. Здесь трудность заключается, главным образом, в том, что ученику надо из большого количества хорошо известных ему теорем остановить свой выбор на одной какой-нибудь теореме или формуле. Вот в этом-то выборе теоремы, необходимой для решения задачи, ученики часто и затрудняются.

Вот пример такой задачи: „На поверхности шара даны три точки А, В, С. Радиус шара 13 см. Нужно найти расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через точки А, В, С“ (2-я ч., § 20, № 7). Здесь при решении этой задачи ученик может не догадаться применить к пирамиде ОАВС (О —центр шара) теорему о равенстве проекций у одинаковых наклонных 0 4, OB, ОС. Это необходимо вспомнить, чтобы получить право вычислить длину этих проекций (MA, MB, MC) как радиусов окружности, описанной вокруг треугольника ABC. Это может броситься в глаза только тогда, когда у ученика будет достаточно тренажа в анализировании рисунков.

Значительное осложнение возникает здесь, когда решение задачи строится на добавоч-

ной теореме, которая не входит в категорию основных теорем. Ряд теорем, которые в основном курсе не являются перворазрядными, часто выпадают из поля зрения преподавателя и ученика. И если не будут приняты определенные методические меры для того, чтобы эти теоремы были приведены в определенный порядок, в определенную систему; если не будет проведена определенная работа для усвоения их учащимися, тогда мы поставим ученика в тяжелое положение. Ученик вправе требовать от преподавателя помощи в этом деле, так как этот процесс чрезвычайно трудный.

В следующей группе трудностей речь идет об увязке не с добавочными теоремами, а просто с предыдущими задачами. Остановимся, например, на такой задаче: „У треугольника две стороны в 6 см и 12 см образуют угол в 120°. Нужно вычислить биссектрису этого угла“ (1-я ч., § 14, № 11). Решить эту задачу ученику будет очень трудно, если он не решит перед этим задачу № 9. Дело в том, что в задаче № 9 предлагается доказать теорему, связывающую величину биссектрисы угла со сторонами. Ясно, что если эта задача будет решена перед задачей № 11, то решение задачи № 11 будет очень несложным. К сожалению, учебники очень часто не выделяют в тексте этих задач, которые являются родоначальником целой нити следующих задач.

Наконец, разрешите перейти к третьей, последней группе трудностей — это трудности, связанные с вычислением. Часто ученики, применяя ту или другую формулу, не знают алгебраического вида этой формулы и путают самую формулу. Скажем, алгебраическое выражение для вычисления длины окружности они путают с формулой для вычисления площади круга; формулу для вычисления объема пирамиды путают с формулой для вычисления поверхности пирамиды и т. д.

Следующая трудность вытекает из того, что ученик слабо овладел аппаратом алгебро-геометрических преобразований. Особенно здесь страдает дело, когда оно касается операций над иррациональными числами, над радикалами; трудно также даются ученикам задачи, в состав которых входит ряд пропорциональных чисел.

И, наконец, последняя категория трудностей связана с решением полученного алгебраического выражения.

Например, при решении задачи: „Доказать, что у треугольника ^--т-^-+ —=—• (1-яч., § 14, № 20), ученик получит ряд несложных уравнений, и вся трудность будет состоять только в преобразованиях этих уравнений в необходимое нам равенство.

Решаем задачу: „Площади трех граней прямоугольного параллелепипеда равны 2 м2, 3 м2 и 6 м2. Вычислить объем“. Ученик легко составит такую систему уравнений:

ху = 2; xz=3; yz = 6,

и вся трудность будет состоять только в уменье решить эту систему и т. п.

Вот анализ всех тех трудностей, с которыми имеет дело ученик, когда он решает геометрическую задачу на вычисление. Трудностей этих чрезвычайно много. Они чрезвычайно разнообразны, бывают самой различной категории и самой различной степени.. Ученик имеет право требовать от преподавателя помощи в работе, а преподаватель, в свою очередь, имеет право потребовать себе помощи и от методистов и от авторов. Но, к сожалению, в этом направлении сделано чрезвычайно мало. Правда, делались попытки со стороны преподавателей пользоваться так называемыми ключами, в которых помещены решения всех задач, но пользование такими ключами не научит преподавателя решать задачи, а только свяжет его методическую мысль.

До сих пор ни серьезного методического анализа этих трудностей, ни учета их при составлении и распределении задач в задачниках мы не имеем. А потому крайне необходимо и научно-методическим объединениям, и авторам учебников, и преподавателям-практикам заняться серьезной работой по изучению и классификации (по степеням их трудностей) тех задач, которые имеются в стабильных учебниках, по анализу всех этих трудностей и по изучению способов преодоления их учащимися.

Все задачи стабильного учебника должны быть тщательно исследованы и расположены в порядке их постепенно возрастающей трудности, причем на показатель трудности задачи должны влиять два отдельных фактора: количество равной категории трудностей в одной и той же задаче (трудность понимания рисунка, трудность выбора теоремы, трудность алгебраических вычислений) и степень трудностей одной и той же категории (в одной задаче рисунок несложный, а в другой—значительно сложнее).

Из всех задач надо выделить группу основных задач, решение которых надо сделать центральным пунктом и методику решения которых надо тщательно проработать. В эту группу задач не должны попадать обязательно

все трудные задачи. Главным признаком принадлежности какой-нибудь задачи к этой основной группе должнэ быть то, что метод решения этой задачи можно применить к ряду других задач.

Каждая такая основная задача должна быть в задачнике не одинокою, а сопровождаться рядом других задач, которые представляли бы вариации этой же основной задачи, что даст возможность ученикам приобрести навыки в решении задач данного характера.

На рисунки в геометрической задаче надо обращать самое серьезное внимание. Рисунок плоский надо чертить с правильным соотношением данных в условии задачи размеров величин. Несоответствие рисунка условию задачи может повести к неправильному решению задачи. Особенное внимание надо обратить на рисунок трех измерений. Надо специально учить учеников чертить и правильно читать такие рисунки. Рисуя на доске или в тетради пространственные формы, ученики должны приучаться сопровождать эти основные рисунки добавочными чертежами отдельных детальных частей, нужных для решения задачи.

В некоторых стереометрических задачах гело имеет настолько сложную форму, что на рисунке изобразить или четко представить ее себе трудно (шар, вписанный в пирамиду; октаедр, вписанный в куб). В таких случаях чрезвычайно полезна модель. Однако эта модель не должна заменять собой рисунок, а только дополнять его. Основное решение задачи проводится при помощи рисунка с ссылкой на модель.

Нужно обратить серьезное внимание на тщательный подбор, методику подачи тех теорем и формул, которые необходимы для решения определенной группы задач и которые ученик должен хорошо и сознательно усвоить, прежде чем приступить к решению задач.

Нужно приучить учеников анализировать условие и рисунок геометрической задачи, намечая план решения ее, причем при решении задач основного и сложного типа такой анализ нужно проводить, сохраняя инициативу в руках учителя, но делать это надо с таким расчетом, чтобы постепенно эта инициатива переходила в руки учеников, чтобы ученики приучались совершенно самостоятельно и анализировать, и решать, и исследовать геометрическую задачу.

Надо еще обратить серьезное внимание на формулирование условий задачи, на язык этих условий. Чтобы не утомлять вашего внимания, я прочитаю вам текст только одной задачи: „Даны два прилежащих угла: острый и тупой. Прямая, проведенная через их вершину перпендикулярно к их общей стороне, отклонена от другой стороны острого угла на 35°, отклонена от другой стороны тупого угла на 27°. Найти сумму данных углов, сделать точный чертеж“ (1-я ч., § 2, № 18).

Представьте себе ученика VI класса, который встречается с такими условиями задачи, заставьте его самого прочитать текст этой задачи. Что он из этого текста вынесет? Язык задачи обязательно надо приспособить к детям. Это не значит, что надо все время разговаривать на каком-то детском языке. Надо иметь в виду, что от VI до X класса условия задач постепенно осложняются, но, к нашему удивлению, язык текста задачи X класса часто легче, чем язык задач VI класса.

Затем, почему наше социалистическое строительство со своим реальным содержанием не находит своего конкретною отражения в условиях геометрических задач? Почему даже малейшего намека на него нет? Неужели это не пробудит интереса детей? Разве этим самым мы не пробудим у детей более внимательного отношения к чтению текста? Безусловно, что здесь есть определенная ошибка!

Особое внимание надо обратить на подбор вспомогательных теорем и вспомогательных задач, о которых я говорил, и в учебниках и в задачниках. К сожалению, даже шрифтом они не отмечаются. Возьмите наш стабильный учебник по геометрии. Там подряд даются тем же самым шрифтом и основные теоремы, и задачи, и вспомогательное теоремы и т. д. Кроме того, полностью совсем из учебника выпали упражнения, которые иллюстрируют основные теоремы. В даваемых упражнениях даются нетипичные задачи.

О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКЕ ОКАНЧИВАЮЩИХ СРЕДНЮЮ ШКОЛУ*

Проф. ФУРСАНКО (Москва) (Инспектор Всесоюзного комитета по высшему техническому образованию при ЦИК СССР)

Приемные испытания в высшую техническую школу СССР этого года и наблюдения над работой студентов 1-го и 2-го курса показали, что с каждым годом наблюдается несомненное повышение уровня знаний у поступающих в высшую школу по математике.

Если в прошлые годы мы имели еще такие случаи, когда приходилось в процессе испытаний допускать к переэкзаменовкам лиц, получивших неудовлетворительные оценки по математике, или если были случаи приема с неудовлетворительной оценкой по математике, то в этом году таких случаев не было.

В этом году высшая школа получила возможность выбирать контингент из лиц, получивших оценку „удовлетворительно“, „хорошо“ и „отлично“.

Однако, думать, что в этом отношении, т. е. в отношении подготовки учащихся средней школы, больше нечего желать, было бы ошибочно. Имеется еще целый ряд недостатков, которые говорят о том, что на некоторые частные вопросы в средней школе обращено недостаточное внимание.

Прежде всего я отмечу, что материалы, о которых я говорю, основаны на данных, изученных мною как работником Всесоюзного комитета по высшей технической школе, и получены из многих вузов, а также на основании того опыта, который я имею лично как профессор Высшей технической школы.

Поэтому я считаю, что эти данные являются довольно характерными.

Второе, что я хочу сказать, это то, что эти данные касаются лишь лиц, получивших оценку „удовлетворительно“ и „хорошо“.

Значит, я не буду говорить о тех, которые получили оценку „неудовлетворительно“.

Наконец, третье, на что я хотел обратить внимание, это то, что данные касаются контингентов, поступающих из средних школ. Эти да :ные не касаются того контингента, который получили вузы из техникумов, подготовительных курсов и прочих учебных заведений. Итак, что можно сказать на основании этих материалов?

Я сказал вначале, что мы имеем значительный рост показателей средней школы и если раньше мы говорили о том, что из источников, из которых мы получаем в наши вузы пополнение, средняя школа не стоит на первом месте, то в последние годы средняя школа выходит на первое место, т. е. учащиеся средней школы показывают наилучшую подготовку.

Не буду повторять того, что говорил вчера П. С. Александров и докладчики сегодня, которые полно осветили недостатки, имеющиеся в работе школ; я хочу сосредоточить ваше внимание на некоторых мелочах, весьма значительных мелочах, которые, если собираются в систему, то мешают иной раз плодотворно работать. Прежде всего, учащиеся, приходящие к нам из средней школы, очень мало знакомы с терминологией математики. Такие слова, как слагаемые, сумма, абсолютная величина, — эти слова до сознания учащихся доходят не так быстро, как этого бы хотелось. А такой термин, как обратная величина, весьма значительному количеству учащихся незнаком.

Надо отметить, что учащиеся очень медленно и плохо вычисляют. Некоторые такие весьма простые вещи, как правило сокращения и умножения чисел или возвышение во вторую степень чисел, оканчивающихся на пять или близких к степеням 10, например 99, 101,— эти вещи большое количество учащихся совершенно не знает. Также совершенно неизвестны им сокращение и умножение двузначных чисел без выписывания промежуточных слагаемых, хотя это такая простая вещь.

Когда приходится на лекции вычислять, пользуясь сокращенными способами, то студенты спрашивают: как вы это делаете, и объяснение вызывает бурный восторг, совершенно неожиданный и незаконный, потому что они должны были это знать до поступления в вуз. Самое скверное то, что учащиеся (это говорит о слабости работы в области составления уравнений) с большим трудом могут словесно высказанные положения облечь в математическую форму. Это становится особенно трудным, когда мы вычисляем определенные интегралы или составляем диференциальные уравнения. Тогда чувствует-

* Стенограмма выступления на совещании преподавателей математики в Москве 30 марта 1935 г.

ся, что учащиеся и обыкновенные уравнения составлять затрудняются. Далее, у учащихся слабо знание, например, даже такого основного понятия, как коэфициент. Оно нечетко усвоено. Если возьмем и нас будет интересовать коэфициент при х% то очень редко кто даст правильный ответ. Или просто, когда возьмем мы jc, деленное на 2, величину коэфициента при х часто учащиеся затрудняются сказать.

Далее очень трудным является извлечение корней из десятичных дробей. Обычно начинают грани отделять справа налево, а не от запятой в обе стороны.

Следующий вопрос, это—действия с радикалами. Когда мы вычисляем пределы (в задачниках это теперь введено), то приходится делать числитель рациональным. Это действие дается учащимся с большим трудом. Они знают, как сделать знаменатель рациональным, а числитель не умеют. Затем диковинкой является для учащихся такое преобразование: q-4-&=c(-~ , а, между тем, приходится такими выражениями часто пользоваться. Далее, очень слабо проработанным вопросом является вопрос о неравенствах. Например, когда надо выяснить, что больше: b или корень из Ь, и при каких условиях, то на этот вопрос большинство учащихся не знает, как ответить.

И, наконец, совсем неизвестен вопрос о существовании данного выражения в заданной области значений входящих в него букв.

В области геометрии я не буду повторять того, что говорилось. Самое скверное это то, что для учащихся такие понятия, как угол между прямой и плоскостью, вообще понятия, которые характеризуют взаимное положение прямых и плоскостей в пространстве, являются весьма трудными. Видно, что проходили, изучали эти вопросы, но нет у учащихся ясного, отчетливого представления. А в одном из классов пришлось даже слышать такого рода замечание. Когда речь зашла о том, как провести плоскость, перпендикулярную к двум плоскостям, то многие высказывали сомнение в возможности решения этой задачи. Вообще пространственное представление очень слабо. Еще я хотел обратить внимание на то, что учащиеся абсолютно не умеют рисовать на доске стереометрические чертежи. Если планиметрические у них получаются, то выполнить стереометрический чертеж они никак не могут; правда, в тетрадях у них это получается лучше.

И, наконец, о решении задач на построение, в частности задач на приложение алгебры к геометрии (как построить корень или построить ряд пропорциональных отрезков). Эти задачи также кажутся отдельным учащимся очень трудными. А нам иногда нужно построить отрезки, отношение которых к избранной единице масштаба иррационально, учащиеся же этого сделать не умеют.

Теперь относительно тригонометрии. Здесь основной недостаток тот, что учащийся не умеет построить угол по заданным значениям его тригонометрических функций.

Дается значение синуса, но не говорится о том, каков должен быть искомый угол, острый или тупой. Многие учащиеся не знают, что в этом случае нельзя дать вполне определенный ответ. Затем отмечается полное неуменье оканчивающих среднюю школу решить тригонометрическое уравнение. А в тех случаях, когда тригонометрическое уравнение учащийся может решить, то часто он не может написать ответ в общем виде и ограничивается только острым углом.

Есть еще одно слабое место в знаниях по тригонометрии. Это — понятие о радиане.

Здесь говорили, что по геометрии замечается значительное улучшение в смысле оформления математических записей. Это верно. Учащиеся пишут более ровным почерком, лучше оформляют, но все же такие вещи, как черта, скобка, знак равенства, плюс или минус часто ставятся не на надлежащем месте и надлежаще не оформляются. С этим явлением приходится вести борьбу в течение многих лет в высших школах.

И, наконец, последнее, о чем я хочу говорить— это о том, как ученики решают задачу. Если мы возьмем даже наиболее простую вещь, как, например, перемножение дробей — на то они сначала подробно запишут, а потом начнут сокращать, но сначала осторожно на 2, потом еще раз на 2, и потом уже на 3. Такой порядок действия у них обязателен. Или когда мы имеем дело, например, со сложением смешанных чисел. Это обязательно требует предварительного обращения их в неправильную дробь, причем иногда получается ответ очень громоздкий. Бывают случаи, когда при умножении дробей их приводят к общему знаменателю и т. п.

Правда, в конце концов, задача решается правильно, но как это делается!

Теперь вопрос о применении алгебраической формулы для устного счета. Было предложено вычислить устно 392 — 37. 39.

Ответ студента был такой: „Я не знаю, сколько будет 39 в квадрате и вычислить не могу“. После этого он письменно возвел 39 8 квадрат, потом умножил 37 на 39, а потом вычел. Или вот такая задача. Предлагается значение гипотенузы 313 и значение одного из катетов 312. Требуется определить величину второго катета. Задача эта предлагалась одним из моих коллег в течение 5 лет на вступительных экзаменах. Все экзаменующиеся возводили в квадрат 313 и 312 и пока они доходили до результата, они вели очень долгие утомительные вычисления.

Теперь о решении уравнений. Здесь я буду говорить вам опять как будто о мелочах, но когда этих мелочей много, а у нас математических выкладок много, и когда люди некультурно вычисляют, то они решают простейшую задачу несколько часов.

Например, решается уравнение 5 — х=1. Последовательность действий такова:

лг=*1—5; —х =— 4; х = 4.

Или решается уравнение: (х — а)з = 0. Сначала раскрывают скобки, затем разлагают на множители последний член, подставляют а в левую часть, делят левую часть на (х — а) и решают полученное квадратное уравнение.

Или решается обычная пропорция: -|.=~ .

Дается такая последовательность действий:

Теперь дальше. Действия с корнями. У нас обычно часто встречается такое выражение: а. деленное на корень из а. Тогда появляется

И, наконец, последний вопрос. Это в части логарифмов. Я не буду перечислять фактов незнания целого ряда примеров, облегчающих действия с отрицательными логарифмами, но вот на испытаниях я предложил целой группе учащихся вычислить устно, чему равняется логарифм 8, деленный на логарифм 2.

Возник такой вопрос со стороны учащихся: „Какие именно логарифмы?“ Некоторые сказали, что они не обязаны знать логарифмы на память. Между прочим, я считаю, что логарифмы чисел до 10 можно знать на память, но вся беда в том, что в данном случае как раз и не требовалось знания на память логарифмов.

Я привожу эти отдельные мелочи, которые говорят о том, что известные части курса математики прорабатываются недостаточно глубоко, и, главное, нет того, что я называю математической ориентировкой учащегося. Когда он подходит к выражению, он не может сразу уловить того порядка действий, при котором выражение сразу вычисляется устно или путем целого ряда сокращенных способов; он исписывает целую тетрадь, в результате запутывается и вместо того, чтобы, решив задачу, получить „удовлетворительно“, получает „неудовлетворительно“.

Было бы весьма желательно, и на этом следует настаивать, — чтобы новые выпуски учащихся средней школы были подготовлены лучше не только в смысле полного охвата всех вопросов программы, но и уменья быстро, культурно и правильно вычислять, и чтобы отмеченные мною пробелы в дальнейшем не наблюдались.

СОЗНАТЕЛЬНОЕ УСВОЕНИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕЦЕПТЫ

М. ПЕТРОВ (Москва)

— Тов. преподаватель, я забыл: при умножении или при делении дробей дробь „перекувыркивается“,— заявил мне один из учащихся, год назад окончивший семилетнюю школу.

— Я забыл: на нуль нужно множить или нет? — заявляет другой.

И т. д. и т. п.

О чем говорят эти факты? Они безусловно говорят о том, что в свое время и тот и другой чисто механически запомнили правила-рецепты, забыли их и не могут вновь

восстановить. Основательно также были забыты и такие, например, моменты: почему при делении целых чисел мы „сносим“ цифру последующего разряда к цифре остатка предыдущего. Один ответ:

— Так нас учили в школе.

Не получившие в школе, так сказать, вкуса к объяснениям правил учащиеся часто заявляют:

— А вы, т. преподаватель, скажите нам просто правило, как нужно делать.

И так бывает трудно ум, привыкший к восприятию готовых математических рецептов (шпаргалок), перестроить на путь сознательного усвоения.

— Зачем это нам, — заявляют иногда слушатели,— ведь нам не учить кого-либо, а только самим знать, как это делается.

Одно звучит: „Давайте нам рецепт и больше нам ничего не нужно“.

Даже больше. Устроители тех или иных курсов для взрослых иногда дают такой наказ:

— Вы очень-то в теорию с ними не вдавайтесь. Главное, чтобы знали правила и умели производить действия.

Положительно становится жутко от всех этих заявлений. Мало того, что в них нет ни капельки математического духа, но из всех их пор прет старая теория „отмирания школы“, когда в погоне за разрешением поставленной задачи по методу проектов некогда было пускаться в долгие рассуждения и размышления по поводу тех или иных математических правил. Ближе к делу: „При делении на дробь ее нужно перекувыркнуть и помножить“; „На ноль множить не надо“ и т. д.

А в результате — в головах учащихся полный сумбур всевозможных „перевертываний“, „два пишем, один в уме“, „сносим 4“ и т. д.

Прошел год.

— Тов. преподаватель, я вот забыл...

„Сознательное усвоение наук“—так был поставлен со всей решительностью вопрос ЦК ВКП(б).

А вот картинки из жизни современной школы.

Ученица средней школы решает примеры на все действия с обыкновенными дробями. Домашняя работа. Сложение. Складывает и числители и знаменатели.

— Почему?

А как же? Ведь при умножении нужно множить числитель на числитель и знаменатель на знаменатель.

Аналогия очень неудачная. Это вроде неудачной мнемоники. А при механическом заучивании правил учащиеся часто стремятся подыскать какое-либо мнемоническое правило.

А вот другая картинка. Работа в классе.

Ученик у доски делит 4 на —. Забыл правило.

— Пишем, — заявляет другой ученик с места: — : — ; — перевертываем и — умножаем на —, т. е. числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель.

— Ну вот,—подтверждает учительница. И ученик делает.

Этим я вовсе не хочу сказать, что современная наша школа не борется за сознательное усвоение математики, что правила даются исключительно рецептурно. Нет, борьба за сознательное усвоение „основ наук“ в школах ведется, но, к сожалению, нужно отметить, что она проводится недостаточно выдержанно, настойчиво и до конца последовательно. Иногда учителя просто пасуют перед трудностями. Не дается, например, учащимся сознательное усвоение правила, как учитель ни старается. Тогда учащимся преподносится просто правило (шпаргалка), как поступать в данном случае. И к тому же нет хорошей методики по математике для II ступени, а учебник, например, Попова („Арифметика для средней школы“) в своем большинстве представляет именно сборник математических правил без ясных, конкретных обоснований (например раздел обыкновенных дробей и др.).

Основные недостатки в работе по сознательному усвоению математических правил заключаются в следующем: 1) учащиеся мало привлекаются к созданию (выводу) того или иного правила; 2) очень рано им дается в руки правило как рецепт; 3) очень редко в последующей работе школы возвращаются к повторению того, как выводится то или иное правило.

А отсюда вывод. Чтобы учащиеся сознательно (а не механически) усваивали правило, необходимо: 1) к выводу правил привлекать самих учащихся путем анализа достаточного количества материала (примеров или задач); 2) не спешить с заучиванием учащимися правила (дать сначала достаточный материал для упражнений); 3) время от времени возвращаться к повторению вывода правила, а в случаях затруднения учащихся выполнить то или иное действие, не подсовывать им готовое правило, а провести его объяснение; 4) совершенно изъять из употребления ненужные (и вредные) „технические“ слова, вроде: „сносим“ (при делении целых чисел), „перекувыркнем“ (при делении на дробь) и т. д.

Сознательному усвоению математических правил способствует и установление правильных аналогий (по связи с предыдущим). Так, например, выясняя вопрос сложения обыкновенных дробей, мы делаем экскурс в сложение целых чисел (в данном случае — в сложение именованных чисел).

— Можно ли найти сразу сумму 2 кг и 4 л? (Нельзя — разнородные величины.)

Вывод — не всякие величины можно складывать.

— Можно ли сразу (непосредственным сложением) найти сумму 2 дюжин и 7 карандашей? (Нельзя — разные меры.)

— А как найти? (Нужно узнать — раздробить — сколько карандашей в 2 дюжинах и тогда сложить 24 и 7.)

Далее делается несколько примеров на сложение именованных чисел с раздроблением в низшие меры (например: 3 пятачка и 2 гривенника — сколько пятачков и др.).

А отсюда переход и к сложению дробей — сначала с одинаковыми знаменателями, а затем с разными. Так, чтобы сложить и -i-, нужно — раздробить в четвертые доли.

Раннее сообщение недостаточно осознанного правила педагоги чаще всего склонны объяснять тем, что глубокая их проработка требует всегда много времени, а его и так мало в сравнении с программными требованиями. Может быть, это и верно, но во всяком случае сознательное усвоение математических правил компенсируется усвоением учащимися математики и уменьем сознательно работать по математике; и учащиеся будут смотреть на математику не как на собрание определенных рецептов на тот или иной жизненный случай (что очень скучно и неинтересно), а как на науку.

СРАВНЕНИЕ ОБЩЕКЛАССНЫХ ЗАНЯТИЙ И САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ПО ФИЗИКЕ (НА ПРИМЕРЕ ТЕМЫ „ПЕРЕХОД ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ В МЕХАНИЧЕСКУЮ“)

Проф. А. КАЛАШНИКОВ (Институт политехнического образования. Опытно-показательная школа им. Радищева)

1. Проблема и ее обоснование

В настоящее время в огромном большинстве школ работа по физике ведется путем объясняющего фронтального урока, который состоит в том, что все учащиеся в одно время изучают одно и то же (один фронт), а учитель объясняет и показывает, спрашивая и контролируя. Успех этого метода в высокой мере зависит от того, насколько активность учителя может поддерживать активное усвоение материала всеми учащимися класса. Опыт показывает, что на практике учитель в разнородном классе работает всегда с какой-нибудь одной частью класса: или со средней, когда он излагает новый материал, или с сильной — когда он дает углубляющие подробности, или с отстающей — когда он повторяет материал и обнаруживает отсутствие усвоения у этой части класса. При фронтальном уроке почти всегда определенная часть класса выпадает из процесса активного усвоения материала.

Задача правильно организованного урока заключается в том, чтобы всех учащихся равномерно держать под учебной нагрузкой, давая им возможность максимально активно усваивать материал. Это можно сделать, систематически привлекая учащихся к самостоятельной работе над учебным материалом, при котором процесс усвоения его может быть организован сообразно силам и возможностям каждого.

Постановление ЦК ВКП(б) о школе от 25 августа 1932 г., говоря о методах работы на уроке, указывало: „Надо систематически приучать детей к самостоятельной работе, широко практикуя различные задания в меру овладения определенным курсом знаний (решение задач и упражнений, изготовление моделей, работа в лаборатории... и т. д.)“.

Надо определенно сказать, что это указание ЦК весьма мало выполняется при работе по физике. Здесь сказывается и недостаток оборудования и отсутствие разработанных форм организации самостоятельных занятий учащихся на основе диференцированного подхода.

Поэтому совершенно естественно встал вопрос относительно сравнения фронтального объясняющего урока с уроком, который был бы организован по преимуществу на основе самостоятельных работ учащихся.

В курсе физики мы имеем ряд вопросов, для которых наиболее подходящим приемом

будет фронтальное объяснение, и, наоборот, имеется другой ряд вопросов, для которых наиболее целесообразной формой усвоения будет самостоятельная работа учащихся. Но имеются также вопросы, которые, теоретически рассуждая, могут быть с одинаковым успехом изучены как путем фронтальных занятий, так и путем самостоятельных лабораторных работ. К числу таких вопросов относится тема VII класса, которая называется в программе и учебнике „Переход электрической энергии в механическую“.

Мотивами выбора этой темы являлось наличие разработанного оборудования для постановки самостоятельных занятий учащихся, небольшой, строго ограниченный материал, позволяющий выделить содержание этой темы из всего курса.

Таким образом, была установлена цель сравнительного экспериментального исследования, которую можно формулировать в следующих выражениях:

Изучить эффективность и организационные условия проработки данной темы при двух типах уроков:

а) при фронтальном объясняющем уроке,

б) при уроках с преобладанием самостоятельной работы учащихся по специальному дидактическому материалу.

Кроме этой основной цели, исследование преследовало задачу выяснить попутно некоторые методические и психологические вопросы; в частности, предполагалось выяснить, насколько доступ ю в этом классе усвоение сущности понятия о переходе электрической энергии в механическую, а также, насколько набор по электромагнетизму, применяемый в качестве основного оборудования, удовлетворяет определенным методическим требованиям.

2. Методика эксперимента

Для проведения данного исследования было выбрано пять седьмых классов в московских опытных школах Наркомпросам школе им. Радищева—два класса, преподаватель т. Зотиков; в школе им. Лепешинского—два класса, преподаватель т. Левина, и в школе им. Горького— один класс, преподаватель т. Назаров. Из этих пяти классов два класса выделены в качестве экспериментальных, три класса — в качестве контрольных. Экспериментальные классы выделялись в школе им. Радищева и в школе им. Горького. В работе, кроме группы физики ИПО, большое участие принимал Е. В. Гурьянов, который проводил все наблюдения и беседы в школе им. Радищева, а также произвел весьма тщательную обработку материала по этой школе.

В контрольных классах работа по этой теме ставилась обычным фронтальным путем, а в экспериментальных классах эта тема прорабатывалась с преобладанием самостоятельных работ учащихся. Планы работы в контрольных и экспериментальных классах, даны в нижеследующей сравнительный таблице:

Планы занятий в контрольных и экспериментальных классах

Контрольные классы

Экспериментальные классы

1-й урок

Общеклассные занятия:

Общеклассные занятия:

введение в тему путем ознакомления с электромотором; изучение движения проводника в магнитном поле.

введение в тему; знакомство с электромотором; движение проводника с током в магнитном поле; вывод правила левой руки.

2-й урок

Общеклассные занятия:

Общеклассные занятия:

изучение всех возможных комбинаций взаимодействия проводника с током и магнита; вывод правила левой руки.

рамка с током в магнитном поле; непрерывное движение рамки в магнитном поле; устройство коллектора; знакомство с деталями простейшего мотора.

3-й урок

Общеклассные занятия:

изучение движения рамки в магнитном поле; рамка с полукольцами и принцип непрерывного вращения.

Самостоятельные занятия учащихся по звеньям.

изучение различных случаев движения проводника с током в магнитном поле.

4-й урок

Общеклассные занятия:

основные части мотора — якорь, коллектор, щетки, индуктор; демонстрация мотора и беседа о применении мотора на практике.

Самостоятельные занятия учащихся:

изучение движения рамки при различных направлениях тока в ней и магнитного поля.

5-й урок

Лабораторная работа по звеньям:

сборка мотора из набора по электромагнетизму; пуск и изучение вращения модели электромотора.

Самостоятельные занятия учащихся:

сборка простейшего электромотора из набора по электромагнетизму; изучение его вращения.

При самостоятельных занятиях учащиеся экспериментальных классов были разбиты на звенья по два-три человека. Каждое звено получало ящик с деталями из набора по электромагнетизму, необходимыми для данного урока. Каждый учащийся получал на руки инструктивно-учебный материал, в котором указывалось, как и в какой последовательности надо произвести опыты, и давались необходимые пояснения сущности наблюдаемых явлений. Рабочий материал был иллюстрирован (образцы рабочего материала см. ниже) и включал в себя контрольные задания, которые должны были выполнять учащиеся в конце каждого урока. Когда детали для опытов, источники тока и рабочий материал были розданы по звеньям, преподаватель ходил по классу и, наблюдая работу учащихся, давал соответствующие указания, отвечал на вопросы. В решении контрольных заданий он, разумеется, учащимся не помогал, а, наоборот, наблюдал за тем, чтобы эти задания выполнялись совершенно самостоятельно каждым учащимся.

Перед постановкой этой темы во всех классах была проведена начальная контрольная работа (измеритель), имевшая целью выяснить подготовленность каждого учащегося для работы по этой теме.

Точно так же после окончания работы по теме была проведена конечная контрольная работа (измеритель), состоявшая из 18 вопросов по проработанной теме.

В процессе проведения всего эксперимента в каждом классе присутствовал наблюдатель, который вел запись содержания урока и хронометраж отдельных ею форм. В экспериментальных классах на самостоятельных занятиях учащихся наблюдалась работа звена, составленного из средних по успеваемости учащихся класса. Некоторые уроки полностью стенографировались для установления полноты записей наблюдателя.

После проведения темы были организованы групповые и индивидуальные беседы с учащимися с целью выяснения того, что им дал каждый метод и как они выявляют свое понимание основных вопросов данной темы. Некоторые из этих бесед также стенографировались.

Для того чтобы резче подчеркнуть действие того или иного метода ведения урока в качестве экспериментальных классов выбирались средние по успеваемости из всех взятых для работы классов.

3. Оборудование

Для данной темы было разработано оборудование, которое приблизительно в одинаковой форме применялось как в контрольных, так и в экспериментальных классах. Более или менее оригинальными образцами оборудования являлись приборы, изображенные на рисунках 4 и 5 — рамка, подвешенная на гибких проводниках между полюсами магнита, и рамка с полукольцами, вращающаяся в междуполюсном пространстве (см. ниже). В экспериментальных классах в качестве основного пособия при самостоятельных работах употреблялся набор по электромагнетизму, разработанный Институтом политехнического образования, выпускаемый конторой „Техучпособие“(рис. 1).

4. Сравнение классов по начальным измерителям

Как уже было выше сказано, перед началом эксперимента был проведен начальный измеритель, состоящий из двух частей. При изучении данной темы большую роль играет умение устанавливать пространственные соотношения, пользуясь правилом левой руки. Поэтому мы считали целесообразным исследовать способности учащихся в этой области. Одна часть начального измерителя включала задачи, решение которых должно было показать распределение способности устанавливать пространственные соотношения учащимися. Тест состоял из семи эадач: четыре задачи — на определение направления

Рис. 1.

движения, одна задача — на деление квадрата, одна — на определение числа вырезов сложенной в два раза бумаги и одна задача — на перестановку стрелок на часах. Вторая часть измерителя состояла из десяти заданий, решение которых имело целью определить подготовленность учащихся по физике и именно по тем вопросам, применение которых встречалось в экспериментальной теме. Эти задания включали в себя следующие вопросы: 1) определить направление тока, даваемого гальваническими элементами; 2) указать, как включаются амперметр и вольтметр; 3) указать направление силовых линий магнита; 4) определить (на чертеже) полюсы магнитной стрелки по притяжению ее магнитом; 5) указать по распределению молекулярных магнитов в куске железа, намагничено ли оно; 6) указать направление магнитных силовых линий электрического тока; 7) определить полюсы соленоида; 8) начертить схему электромагнита; 9) дополнить чертеж схемы электрического звонка; 10) рассчитать силу тока по данному сопротивлению и напряжению.

Так как все классы, с которыми проводилась экспериментальная работа, имели известные отличия как в составе учащихся, так и в деталях проработки темы, то мы должны их характеризовать в дальнейшем каждый в отдельности. Для этого, введем следующие обозначения: два экспериментальных класса будем обозначать 1Э и НЭ. Три контрольных класса обозначим — IK, ПК, ШК.

Сравнивая диаграммы (рис. 2), показывающие распределение решаемости начального измерителя (пространственное воображение плюс знания физики), мы видим довольно пестрое распределение колонок. Однако, если мы уравняем число учащихся в каждом классе, приняв его за 100, а также переведем в проценты число задач, решаемых тем или иным количеством учащихся, то получим сравнимые показатели в виде процентного графика, который изображен на рисунке 3. Из него мы видим, что различие между всеми классами, взятыми для эксперимента, невелико, но все же оно имеется. Из этого графика видно, что кривые, представляющие собой распределение решаемости в отношении экспериментальных классов, лежат ниже, чем кривые, относящиеся к контрольным классам. Если же мы обратим внимание на темп, с которым решались задачи в контрольных и экспериментальных классах, то преимущество в пользу контрольных скажется ярко. Сравнивая, например, время решения начального теста в 1Э классе и в IK классе, мы видим, что медиана для первого IK класса равняется 11 минутам, а для 1Э класса —15 минутам. 24% учеников контрольного класса затратили на решение начального теста (на пространственное воображение) менее 8 минут, в то время как в экспериментальном классе таких учеников не оказалось ни одного. Наименьшую решаемость как в контрольных, так и в экспериментальных классах дали задачи на вычерчи-

Рис. 2.

вание схемы электрического звонка, на черчение направления силовых линий магнита и направления силовых линий магнитного поля тока.

Однако, среди учащихся как в контрольных, так и в экспериментальных классах оказалось значительное число имеющих одинаковые показатели по начальному измерителю (около 70%), что давало возможность делать затем известное сопоставление, отбирая „парных“ учащихся, т. е. имеющих одинаковые показатели по начальному измерителю и одинаковые показатели по учительским отметкам.

С точки зрения начального измерителя, классы распределялись в отношении уровня знаний по физике в следующем порядке: на первом месте был IK, на втором месте — ШК, на третьем — ПК, на четвергом — 1Э и на пятом— НЭ, Таким образом, экспериментальные классы с точки зрения уровня знаний по начальному измерителю, а также и по характеристике педагогов стояли на последнем месте. Это не совсем было правильно в отношении получения наиболее достоверных результатов. Лучше было бы выбрать экспериментальные классы в середине этого ряда,

Рис. 3. Процентные графики решаемости начальных измерителей во всех классах

как показывают американские исследования*. По организационным причинам этого сделать не удалось. По условиям эксперимента сравнение устанавливалось между классом 1Э и IK, между НЭ и ПК. Из таблицы видно, что экспериментальный фактор — комбинированная форма преподавания с большим объемом самостоятельной работы учащихся — был поставлен с точки зрения состава групп в менее благоприятные условия.

5. Наблюдение и хронометраж уроков

Так как в течение всего эксперимента в каждом классе велся хронометраж, то мы можем на основании его привести сводку распределения времени на каждом уроке по основным формам занятий, которая и дается ниже в таблицах.

ТАБЛИЦА I

Распределение времени на каждом уроке в экспериментальных классах (в минутах и процентах)

1-й урок

2-й урок

3-й урок

4-й урок

5-й урок

Среднее

мин.

%

мин.

%

мин.

%

мин.

%

мин.

%

мин.

%

Объяснение ....

16,2

36

18

40

5,8

13

Вопросы и ответы .

18,9

42

14,6

33

6,8

15

Демонстрации ....

8,1

18

9,9

32

3,6

8

Организационные моменты ......

1,8

2,5

5

1,8

4

2,7

6

2,7

6

2,3

5

Самостоятельные работы учащихся . .

43,2

98

42,3

94 42,3

94

26,5

59

ТАБЛИЦА II

Распределение времени на каждом уроке в контрольных классах (в минутах и процентах)

мин.

0/0

мин.

%

мин.

•/а

мин.

%

мин.

%

мин.

Объяснение ....

16,2

36

13

29

18,9

42

8,5

19

7,7

17

29

Вопросы и ответы •

21,2

47

14

31

17,1

38

14,4

32

7,2

16

33

Демонстрации ....

5,8

13

13,5

30

7,2

16

18,9

42

20

Организационные моменты ......

1,8

4

4,5

10

1,8

4

3,2

7

5

Самостоятельные работы учащихся . .

35,1

67

13

* Ernest O. Melby, Agnes Lien —.A practicable technique for determining the relative effectiveness of different methods of teaching“, .Journal of Educ. Research“, april 1929.

В то время как в контрольных классах из общего количества времени, посвященного на изучение темы, на самостоятельную работу ушло 13%, в экспериментальных классах на ту же работу ушло 59%. Таким образом, в экспериментальных классах на самостоятельное изучение учебного материала было затрачено времени на 45% больше, чем в контрольных классах.

6. Сравнение наблюдений за уроками в контрольных и экспериментальных классах

Поурочные записи работы в каждом классе дают возможность сопоставить работу в контрольных и экспериментальных классах по ряду основных сторон учебного процесса.

Первые два урока в экспериментальных и в контрольных классах.

Как показывают данные выше таблицы, относительное распределение времени по основным формам занятий на первых двух уроках в экспериментальных и контрольных классах не сильно различаются.

Темп работы при фронтальной форме занятий в тех и других классах, разумеется, был разным. Насколько соответствовал он возможностям и силам учащихся? В контрольных классах первые два урока, посвященные введению в тему и изучению движения проводника в магнитном поле, прошли в явно замедленном темпе. Реплики учащихся в конце второго урока указывали на то, что материал проходится слишком медленно, много повторений и остановок. Это же содержание было проработано в экспериментальных классах в течение одного урока, работа проходила нормально; потребовалось, однако, несколько изменить распределение времени в первоначально намеченном плане в сторону увеличения его на детальный разбор правила левой руки. В первой половине темы этот вопрос является основным и на него следует потратить не менее половины урока, так как наблюдения показали, что наибольшее затруднение вызывает не столько вывод этого правила, сколько применение его к четырем основным случаям взаимодействия между током и магнитом. Отсутствие у учащихся экспериментальных классов закрепления этого правила приводило к тому, что решение задач на его применение делалось зачастую наугад, без достаточного осмысливания ответов.

3-й и 4-й уроки в контрольных классах. В контрольных классах этот вопрос был проработан несомненно лучше, так как изучение движения проводника в магнитном поле было разделено между двумя уроками, и применение правила левой руки не встречало больших затруднений.

Центральным вопросом этой темы является усвоение учащимися движения рамки в магнитном поле. Наблюдения показали, что как в контрольных, так и в экспериментальных классах этот вопрос вызывал наибольшее затруднение. В экспериментальных классах этот вопрос изучался при помощи приборов, разработанных нами в школе им. Радищева, изображенных на рисунках 4 и 5. На приборе 4 демонстрировались движения рамки с качественной стороны как при перемене направления тока, так и при перемене полю-

Рис. 4.

Рис. 5.

Рис. 6.

сов магнита. Прибор 5 является до известной степени оригинальной конструкцией (описание см. в этом номере, стр. 72); он позволяет очень наглядно демонстрировать все случаи движения рамки в магнитном поле, а также изучить принцип коллектора. Эти два прибора с методической стороны себя оправдали полностью, так как весьма облегчали понимание движения рамки в магнитном поле. Но, несмотря на эти демонстрации, все-таки самыми трудными вопросами данной темы являются: 1) движение рамки в магнитном поле и особенно тот случай, когда плоскость рамки перпендикулярна силовым линиям поля и когда угол поворота в зависимости от направления тока в рамке будет или 0° или 180°; 2) перемена направления тока в рамке с помощью полукольцевого коллектора. Для наглядного изучения принципа коллектора была построена большая деревянная модель, изображенная на рисунке 6, которая применялась также и для решения ряда задач.

В экспериментальных классах изучение этих вопросов было сосредоточено на одном втором уроке, причем на объяснения и демонстрации было отведено две трети всего времени.

3-й урок в экспериментальных классах. В экспериментальных классах, начиная с третьего урока, все остальное время посвящалось самостоятельной работе учащихся. Третий урок был посвящен самостоятельной проработке вопроса о движении проводника в магнитном поле. Для работы каждому учащемуся был роздан инструктивно-учебный материал с контрольными заданиями. Опыты собирались из набора по электромагнетизму, так, как изображено на рисунке 7. Запись опытов (четыре случая взаимодействия проводника и поля) производилась на напечатанных в рабочем материале рисунках сокращенным путем с помощью обозначения стрелками и буквами направления тока, движения проводника и полюсов магнита (см. образцы рабочего материала к первому уроку). Учащиеся должны были в течение урока произвести четыре опыта, собрав самостоятельно установку, и решить две контрольных задачи.

РАБОЧИЙ МАТЕРИАЛ К ПЕРВОМУ УРОКУ

Как двигается проводив к с током в магнитном поле

Если к проводнику, по которому идет электрический ток, приблизить магнит, то проводник приходит в движение. Точно так же, если подвижный проводник находится между полюсами магнита, то при пропускании через этот проводник электрического тока проводник смещается. Движение оказывается тем заметнее, чем сильнее магнитное поле магнита. Вместо простого магнита можно взять электромагнит и получить с помощью него довольно сильное поле.

Движение проводника между полюсами магнита в момент замыкания тока в проводнике мы видели на опыте. Изучите теперь сами движение проводника с током в магнитном поле.

Возьмите набор по электромагнетизму и составьте из частей этого набора цепь по рисунку 7. Проследите, какое направление тока будет в проводнике и какие полюса будут на концах электромагнита при замыкании тока. Для того чтобы это определить, надо воспользоваться маленькой магнитной стрелкой или компасом. На проводничок можно надеть стрелку, вырезанную из бумаги, для того чтобы отметить направление тока в нем.

На листочках к первому уроку на рисунке 8 каждый должен отметить буквами N и 5 полюса

Рис. 7.

Рис. 8.

электромагнита. Так же надо отметить стрелкой направление тока в проводничке (см. рис.). Эту работу надо проделать до замыкания тока ключом.

Опыт 1.

Замкните ток ключом и посмотрите, как будет двигаться проводничок. Каждый из вас делает замыкание и наблюдает движение проводника. Нарисуйте теперь на рисунке 1 (рис. 8) стрелку (по пунктиру), показывающую движение проводника.

Опыт 2.

Перемените направление тока в электромагните, оставив то же направление тока в проводничке. Для этого необходимо переключить концы проводничка, не меняя с го части между полюсами. Определите полюса электромагнита, замкните ток и наблюдайте движение проводничка так же, как в опыте 1 Поставьте буквы и стрелки на рисунке 2 (рис. 8) так же, как в опыте 1.

Опыт 3.

Перемените паправление тока в проводничке, не меняя направления тока в электромагните. Замкните ток, наблюдайте, как будет двигаться проводничок; зарисуйте все это на рисунке 3 (рис. 8).

Опыт 4.

Снова перемените направление тока в электромагните, не меняя направления тока в проводничке. При замыкании тока наблюдайте движение проводничка и также зарисуйте это на рисунке 4 (рис. 8).

Правило левой руки

Теперь по отношению ко всем четырем случаям движения проводничка проделайте следующее. Поместите ладонь левой руки с отогнутым большим пальцем между полюсами электромагнита. Внутренняя сторона ладони была повернута к северному полюсу; сложенные четыре пальца указывали бы направление тока в проводничке; что будет указывать большой палец?

Снова проделайте опыты, указанные выше, ставя ладонь левой руки соответствующим образом; определите, что показывает направление большого палльца.

В заключение составьте и напишите „правило левой руки“ на листочке к первому уроку.

Уже первый урок показал резкое различие между двумя экспериментальными классами: в то время как в классе 1Э большинство звеньев в течение урока выполнило первую половину задания, в классе НЭ лишь одно звено выполнило ту же работу. Таким образом, задание произвести четыре опыта с самостоятельной сборкой установки и решить два контрольных вопроса оказалось выполнимым лишь для очень небольшой части учащихся. Все задание резко диференцировало группы. Наблюдение показало, что учащихся особенно затрудняет понимание предложенной инструкции; при этом заметно сказывается недостаток уменья действовать по письменной инструкции, недостаток технических навыков (особенно у девочек) и неуменье планово организовать самостоятельную работу. У большинства учащихся большие затруднения вызывает отыскивание нужных клемм в катушках для включения тока в электромагнит; затруднения также вызывает определение полюса электромагнита при помощи компаса (хотя аналогичная задача в начальном измерителе большинством учащихся была выполнена правильно — здесь налицо разрыв между знаниями и навыками в лабораторной практике).

4-й урок в экспериментальных классах посвящался по плану изучению вопроса о движении рамки с током в магнитном поле. Так же, как и на третьем уроке, всем учащимся был роздан инструктивно-учебный материал и на каждое звено — набор по электромагнетизму. Кроме того, заранее была изготовлена на каждое звено рамочка из нескольких витков проволоки, подвешенная на гибких проводниках на штативе. Учащиеся должны были проделать с этой рамкой и с электромагнитом, собранным из набора, опыты, при которых они могли наблюдать вращение рамки при перемене направления тока и проверять эти движения с помощью правила левой руки. Для записей этих опытов в инструктивном материале были даны соответствующие чертежи установки. Кроме этого, в рабочем материале были даны два задания на определение поворота рамки в том случае, когда плоскость ее перпендикулярна к направлению силовых линий, и на изучение вращения рамки с полукольцами.

В классе 1Э всем учащимся, которые не закончили задания 3-го урока, давалось предложение закончить этот материал и затем приступить к новому заданию. Работа протекала с теми же техническими затруднениями, как и на 3-м уроке. Учащиеся терялись при составлении установки, у большинства не было сознательного плана действий, отсутствовали навыки монтажа. К концу урока пять звеньев закончили проработку всего материала 3-го и 4-го уроков. Одно звено закончило 3-й урок и три опыта 4-го урока и одно звено успело проработать только материал 3-го урока.

В классе НЭ проведение самостоятельных работ осложнялось тем, что у каждого звена не было самостоятельного источника тока (как в классе 1Э), а все звенья получали ток от одной“ динамомашины, причем последняя включалась тогда, когда у учащихся установки для опыта были собраны. Учитывая результаты 3-го урока, было облегчено

задание и были сняты с катушек набора лишние клеммы, не употреблявшиеся в опыте, которые путали учащихся. Причины, затруднявшие работу в классе 1Э, особенно резко выявились на этом уроке в данном классе: отсутствие навыка к самостоятельной работе по письменной инструкции, беспомощность в элементарных приемах монтажа, неуменье связать теоретические знания с приложением их к экспериментальной установке. В этом классе результаты были еще хуже, чем в 1Э. Никто из учащихся не выполнил полностью задания, хотя опыты были проделаны всеми (не решены контрольные примеры).

Как уже указывалось выше, вопрос об изучении вращения рамки в поле магнита является наиболее трудным не только для его усвоения путем обычных фронтальных занятий, но, очевидно, также и путем самостоятельной лабораторной работы. На эту часть темы необходимо было отвести больше времени и менее сложно поставить ее проработку.

5-й урок в контрольных и в экспериментальных классах посвящался одной и той же теме — сборке электромотора и знакомству с его техническими применениями. В контрольных классах эта часть темы ставилась путем обычной лабораторной работы с предварительными пояснениями учителя, после чего учащиеся из набора по электромагнетизму собирали действующую модель мотора. В классе IK эта работа прошла очень быстро и организованно. Четыре минуты от начала урока ушло на объяснение преподавателя и на раздачу наборов. Через 5 минут после этого и на 9-й минуте после начала урока заработал первый мотор; на 13-й минуте — второй, на 14-й — третий (все три звена — мальчики). На 15-й минуте заработал мотор у звена, составленного из девочек, вызвавший у них сильную эмоциональную реакцию. Через 30 минут закончены все самостоятельные работы.

В классе ПК работа проходит менее организованно, хотя почти все звенья к концу урока собрали мотор и пустили его в действие. Девочки также и здесь отстают от мальчиков. Значительную роль в слабом темпе работы играет также общий источник тока, так как уходит время на ожидание его включения.

Сборка мотора в экспериментальных классах производилась на основе письменной инструкции с использованием той брошюры, которая приложена к набору по электромагнетизму. Темы предыдущих уроков были относительно просты по сравнению со сборкой мотора, поэтому в обоих экспериментальных классах здесь особенно резко выявилось неуменье планировать работу. В нескольких звеньях сборка мотора велась наугад, методом проб и ошибок, без предварительного обдумывания плана действия. Вследствие этого детали — подшипники и якоря — собирались и разбирались несколько раз.

В классе 1Э самое сильное звено затратило на сборку мотора 10 минут (через 15 минут после начала урока). Следующие два мотора были собраны на 20-й минуте после начала урока. К концу урока успели проработать материал 5-го урока два звена, остальные лишь частично выполнили задания, причем два звена не закончили сборки мотора. В классе НЭ эта работа проходила с большими затруднениями по указанным выше причинам и по меньшей подготовленности учащихся к самостоятельным работам. К концу урока из восьми звеньев собрали мотор и пустили его в ход только два звена. Особенно затрудняли учащихся крепление щеток и их изгибание, а также завинчивание болтиков, скрепляющих подшипники с башмаками электромагнита.

В обоих экспериментальных классах на всех трех самостоятельных занятиях работа велась всеми учениками достаточно активно и с повышенным интересом; но при проведении опытов разные звенья организовали свою работу по-разному. В одних звеньях все учащиеся принимали активное участие в технических операциях; в большинстве же— вся работа по сборке сосредоточивалась в руках одного-двух более активных учеников, остальные ограничивались ролью наблюдателя.

7. Сравнение классов по конечному измерителю

После описанных выше пяти уроков во всех классах был дан один и тот же конечный измеритель в двух формах, которые включали в себя 18 заданий. Эти задания были выработаны на основе тщательного анализа темы и процессов ее усвоения учащимися.

Решением измерителя испытывалось знание и понимание всех основных вопросов данной темы: 1) определение направления движения проводника при различных направлениях тока в нем и магнитного поля; 2) определение движения рамки в зависимости от направления тока в ней, от направления силовых линий в иоле и от положения рамки по отношению к направлению поля; 3) знание условий непрерывного врашения рамки в магнит-

ном поле; 4) знание правила левой руки; 5) знание направления движения рамки с полукольцами при заданном направлении тока в ней; 6) знание основных частей электромотора; 7) знание роли железа в якоре; 8) знание порядка сборки электромотора; Э) знание схемы соединений цепи электромотора; 10) понимание выражения „переход электрической энергии в механическую“.

Распределение решаемости в экспериментальных и контрольных классах всех указанных выше заданий показано на следующем процентном графике (рис. 9).

Из него видно, что конечный гест значительно расслоил классы, которые по начальному измерителю казались ближе друг к другу.

Но наблюдения, проводившиеся во время работы, позволяли уже заранее делать прогноз относительно различия как в темпах работы, так и в уровне знаний в данных классах.

Оба экспериментальных класса оказались по конечному измерителю ниже соответствующих контрольных классов (по числу решенных одинаковыми частями класса заданий). Но так как и по начальному измерителю и по учительским оценкам экспериментальные классы стояли на последнем месте, то этот результат сам по себе еще ничего не говорит.

Поэтому для сопоставления эффективности сравниваемых методов были выбраны так наз. „парные учащиеся“, т. е. такие, которые

Рис. 9. Процентные графики решаемости конечных измерителей во всех классах

имеют одинаковые показатели по начальным измерителям или по учительским оценкам. Сравнение парных учеников производилось по отношению к классам, работавшим примерно в одинаковых условиях: IK и 1Э; ПК и ИЭ. Данные о показателях этих парных учеников по начальным и конечным измерителям приведены в нижеследующей таблице (таблица 3 на стр. 51).

Суммирование разностей конечных показателей этих парных учеников дает некоторое преимущество в пользу самостоятельных занятий; однако, в виду чрезвычайно малого числа сравниваемых учеников и небольшого количества измерений как в начальной, так и в конечной стадии эксперимента эти показатели не могут считаться решающими и требуют дальнейшей проверки.

Интересно теперь посмотреть, как был решен конечный измеритель контрольными и экспериментальными классами по отдельным заданиям. На первом месте стоит формулировка правила левой руки (93% в контрольных классах, 91% — в экспериментальных классах). На втором месте — решаемость задания, требующего перечислить основные части электромотора (93% в контрольных классах, 73% — в экспериментальных). Далее, высокую решаемость дали задания на определение движения проводника в магнитном поле (72% в контрольных классах, 70% — в экспериментальных) и движения рамки с полукольцами (71% в контрольных классах, 75% — в экспериментальных). Но вопросы о движении рамки в магнитном поле в зависимости от направления тока в ней и положения ее решались весьма слабо. Эта часть данной темы, особенно вопрос о том, как будет вращаться рамка, если плоскость ее перпендикулярна силовым линиям поля, является самой трудной. Наблюдения на уроках также показали затруднения в усвоении этого вопроса, что полностью отразилось и в конечном измерителе.

Для того чтобы установить, имеется ли какая-нибудь связь между решением заданий, данных в начальном тесте на пространственное воображение, и решением заданий в конечном измерителе, требующих применения пространственного воображения в различных случаях использования правила левой руки,— были вычислены коэфициенты корреляции между соответствующими частями начального и конечного измерителя. Корреляция оказалась как в контрольных, так и в экспериментальных классах сравнительно низкой К = 0,2; гЦэ = 0,33; г1к = 0,3; г11к = = 0,05).

Это показывает, что пространственное воображение при решении физических задач, очевидно, особого типа, чем при решении задач, данных в начальном измерителе.

8. Дополнительное изучение вопроса методом беседы

После окончания экспериментальных уроков и проведения конечного измерителя была проведена проверка успешности изучение экспериментальной темы путем индивидуального опроса шестнадцати учеников из четырех классов (1Э, ИЭ, IK, ПК). При опросе предлагалось: 1) указать на приборе, при каких условиях рамка с током в магнитном поле повертывается на 90°, на 180° и совсем не повертывается; 2) начертить схему цепи электромотора и 3) собрать электромотор.

Результаты опроса не дали существенного различия между учениками экспериментальных и контрольных классов. Однако, в классах ПЭ и ПК, где такие опросы происходили спустя 12 и 15 дней после окончания темы, можно было ответить, что забываемость в контрольном классе несколько выше, чем ь экспериментальном классе, но этот вывод, сам по себе очень важный, нуждается в тщательной проверке.

Кроме индивидуального опроса, в экспериментальных классах проводились беседы с двумя-тремя звеньями для выяснения отношения учащихся к самостоятельной работе и к основным вопросам темы. В результате бесед установлено, что наименее понятным из всего проработанного материала были случаи поворота рамки на 180° или отсутствие поворота (это соответствует наблюдениям и результатам конечного измерителя). Самыми легкими работами учащиеся считают опыты с выкидыванием проводника, а самыми трудными — сборку электромотора.

По вопросу о том, когда материал усваивается лучше, — при обычных классных занятиях или лабораторном, мнения разделились без достаточного преимущества в ту или иную сторону. Но все учащиеся утверждали, что лабораторные занятия должны быть в той или иной мере включены в преподавание, так как они интереснее классных занятий. Девочки отмечали, что вместо письменной инструкции лучше, чтобы учитель давал устные пояснения и указания. Мальчики стояли за самостоятельную лабораторную работу.

Особое внимание при проведении этого эксперимента обращалось на то, насколько

ТАБЛИЦА III

Таблица показателей решаемости конечного измерителя парными учащимися, отобранными по начальным измерителям

I контр.

I эксп.

№ ученика

Нач. изм.

№ ученика

Нач. изм.

Физика

П. В.

К. И.

Физика

П. В.

К. И.

Разн.

1

7

6

14

1

7

6

12

— 2

2

7

6

14

2

7

6

13

— 1

3

7

4

16

3

7

4

14

— 2

4

7

6

11

4

7

6

14

+ з

5

8

15

13

5

8

5

19

+ 6

6

9

4

8

6

9

4

14

+ 6

7

9

6

13

7

9

6

21

+ в

8

10

6

17

8

10

6

12

— 5

В пользу лабораторного метода .....

+13

II контр.

II эксп.

1

7

6

13

1

7

6

9,5

-3,5

2

7,5

6

12,5

2

7,5

6

14,5

+ 2

3

5,5

6

2,5

3

6

6

5

+2,5

4

7

4

12,5

4

6,5

4

8

-4,5

5

6,5

6

8,5

5

6,5

6

7

-1

6

7

5

8,5

6

6,5

5

6,5

—2

7

4

5

11

7

4,5

5

8

—3

8

9

4

8,5

8

9

4

12,5

+4

9

8

5

8

9

8,5

5

12

+4

10

8

6

15

10

8,5

6

16

+ 1

11

7,5

5

11

11

7,5

5

9,5

-1,5

12

5,5

5

4,5

12

5,5

5

9

+4,5

В пользу лабораторного метода .....

+2,5

учащиеся понимают смысл выражения: „Переход электрической энергии в механическую* (как известно, так называется эта тема в программе и в учебнике). Для этого в конечный измеритель были включены два вопроса, ответы на которые показывают, что учащиеся весьма смутно понимают смысл этого выражения. Типичные ответы приводим ниже:

„Электрический ток заставляет вращаться мотор . . . вращение мотора есть механическая работа“.

„Это значит, что ток заставляет вращаться якорьа.

„Это значит, что электрическая энергия начинает делать какую-нибудь работу“.

„Электрическая энергия . . . передается приспособлению. . . , которое . . . вертясь . . . производит механическую работу“.

„. . . что электрическая энергия приводит в движение части мотора, а движение частей— это механическая энергия“.

Этот же вопрос ставился учащимся в беседах. Большинство учащихся при ответах перефразируют вопрос: „Берется электроэнергия и превращается в механическую“; „Берется электроэнергия и в каком-нибудь моторе, в каком-нибудь приборе перерабатывается посредством влияния магнитного поля в механическую энергию, в движение проводника или якоря“; „Прямолинейное движение электричества в проводнике переходит в механическое движение якоря“.

Даже у лучших учеников, несмотря на наводящие вопросы, ответ на этот вопрос дается описательно, без выяснения внутренней сущности преобразования энергии из одной формы в другую. Девочки на этот вопрос в беседах не давали никакого ответа.

Чтобы уравнять условия работы в экспериментальных и контрольных классах, по учебнику ничего не задавалось, но и не запрещалось им пользоваться. В контрольных классах учебником пользовались на уроках, и часть учащихся просматривала его дома. С нашей точки зрения, эта глава в учебнике изложена недостаточно удовлетворительно. В ней слабо раскрыт процесс движения проводника в магнитном поле; приведен запутывающий учащихся рисунок магнитного поля тока и магнита; очень много места отведено описанию технических подробностей устройства электромотора.

Анализ понятий, имеющихся в этой главе учебника, показал, что их объем не покрывает того минимума понятий, который соответствовал бы этой теме.

Отзывы учащихся об учебнике: „Когда смотришь в учебник, то, во-первых, там то, о чем говорится, кратко изложено, а потом» в нем изложено все то, что нам говорят на лекции, а на лекции говорят более доступно, понятнее и интереснее, а в учебнике более сухо“; “В учебнике суше и. не совсем так, как на лекции“; „Рисунок 93 не разбирали: он непонятен“.

Активность учащихся на фронтальных занятиях, несомненно, меньше, чем на лабораторных занятиях. Если судить о ней по числу высказываний после каждого вопроса учителя или по числу поднятых рук, то из наблюдения выясняется, что это число охватывает не более четверти класса.

Выводы

Результаты данной работы могут быть сведены в три основных группы: выводы по методике исследования, по методам преподавания и по содержанию данной темы.

Методика исследования. Примененные в настоящей работе методы исследования, несомненно, обеспечили получение обширного материала, с помощью которого является закономерным сделать ряд выводов относительно сравниваемых методов преподавания и содержания данной темы в конкретных условиях. Однако, в силу того, что для эксперимента были выбраны неуравненные классы, и так как продолжительность экспериментов была сравнительно мала, то мы не можем пользоваться количественными показателями с большой надежностью.

Для того чтобы иметь достаточно веские количественные показатели, необходимо поставить ряд подобных экспериментов на различных участках программы физики.

В дальнейшем необходимо стремиться к тому, чтобы подобные эксперименты ставить или с уравненными классами или с классами, близкими друг другу по своим педагогическим показателям, причем общее число классов должно быть в последнем случае не меньше четырех.

Сравнение методов преподавания. Учитывая то, что экспериментальные классы по успешности и по темпу работы в начале эксперимента стояли ниже, чем контрольные классы, сравнение их по общей успешности не может привести к каким-либо убедительным выводам; но, при применении методики парных сравнений, из данного исследования выясняется, что эффективность прохождения данной темы путем общеклассных занятий и уроков с самостоятельными лабораторными занятиями почти одна и та же,

с небольшим преимуществом в пользу лабораторных работ.

Неравенство экспериментальных и контрольных классов усугубляло еще то обстоятельство, что контрольные классы работали по привычной методике, а экспериментальные— по новой, ни разу у них не применявшейся, приспособление к которой требовало ряда новых навыков и умений. Наблюдения обнаружили, что большинство учащихся экспериментальных классов не имело достаточного навыка в организованной самостоятельной работе, плохо понимало письменную инструкцию; не выделяло основной идеи задания; работало без определенного плана, преимущественно по методу проб и ошибок, концентрируя внимание на случайных мелочах. Этот основной вывод, вероятно, можно распространить не только на экспериментальные классы, но и на большинство классов нашей советской школы. Наблюдатели и преподаватели в экспериментальных классах столкнулись с почти полным неуменьем учащихся производить элементарные монтажные работы; это оказалось тем более неожиданным, что в опытных школах Наркомпроса трудовое обучение поставлено сравнительно хорошо, и если учащиеся плохо владеют своими руками, то это, вероятнее всего, определяется содержанием программы трудового обучения. При контрольных заданиях с чертежами обнаруживается также слабое уменье учащихся читать чертежи.

В процессе работы и в контрольных заданиях выявилась резкая диференциация между мальчиками и девочками: в то время как мальчики достаточно активно относились ко всем формам работы, девочки обнаруживали значительную пассивность и слабый интерес. Это надо приписать отсутствию специального внимания к этой части класса, которая нуждается в применении особых приемов для того, чтобы разбудить в ней интерес к физике (например, сборка мотора показала что девочек эта работа крайне интересует).

Вследствие этих причин учащиеся экспериментальных классов и по своему составу и по требованиям, которые к ним предъявлял лабораторный метод работы, были в более неблагоприятных условиях, чем учащиеся контрольных классов. Сами учащиеся высказывают желание о более широком введении лабораторных занятий в преподавание.

Содержание темы. При фронтальном прохождении этой темы разработанный план оказался в целом методически правильно построенным. Необходимо несколько перераспределить время между первым и четвертым уроком, отводя на содержание последнего большее количество времени. При комбинированной форме при данном составе учащихся времени для самостоятельных работ требуется больше, чем это отведено по плану (примерно 6 — 7 часов).

Самым трудным вопросом данной темы является вопрос о движении рамки в магнитном поле; в частности, особенно трудно понимается движение рамки, когда плоскость ее перпендикулярна силовым линиям поля; этот вопрос необходимо исключить из курса VII класса.

Наименование этой темы—„Переход электрической энергии в механическую“ — не имеет под собой достаточных оснований, так как учащиеся не вкладывают в это выражение необходимого смысла. Из конечного измерителя и из бесед с учащимися выяснилось, что они не обладают достаточным запасом физических понятий и представлений, чтобы наполнить это выражение соответствующим физическим смыслом.

В учебнике эта глава изложена очень конспективно и сухо и недостаточно разъясняет труднейшие вопросы этой темы о движении рамки с током в магнитном поле. По отзывам учащихся учебник мало помогает им.

Оборудование, примененное для проработки этой темы, с методической стороны себя полностью оправдало. Однако, для неумелых рук, которыми обладают в большинстве учащиеся седьмых классов, набор по электромагнетизму представляет некоторые трудности в процессе использования на лабораторных занятиях: учащихся путает обилие клемм на катушке; при сборке электромотора катушки повертываются, так как штыри в станине слишком коротки, а дерево катушек мягкое. Увеличивает также затруднения учащихся несовершенство технического выполнения этого набора в старых выпусках (винты, скрепляющие части мотора, не всегда легко и плотно ввинчиваются, крепление щеток крайне ненадежное и т. д.).

ЧАСТНАЯ МЕТОДИКА

УЧЕНИЕ ОБ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

В. МАТЫШУК (Ростов-на-Дону)

Моя многолетняя работа в высших технических и учебных заведениях, а также на математическом отделении педагогического института заставляет меня признать, что преподавание в средней школе того отдела алгебры, который посвящен учению об иррациональном числе и действиям с радикалами, не стоит на должной высоте. Основные недостатки и недочеты в этой области, которые из года в год постоянно обнаруживают студенты при изучении высшей математики, следующие:

1) Нетвердые и нечеткие навыки в действиях с радикалами.

2) При решении задачи № 26 из задачника по аналитической геометрии Цубербиллер, где надо нанести на плоскость точку (\/^2 — |/з), всегда находится достаточное количество студентов, которые не представляют себе, как можно нанести на плоскость точку, координаты которой — иррациональные числа.

3) Подавляющее большинство студентов не представляет себе, почему мы избавляемся от иррациональности именно в знаменателе дроби, а не в ее числителе, и вообще, какова цель этой операции.

4) Студенты не умеют должным образом находить приближенные значения иррациональных выражений. Например, когда нужно вычислить с точностью до 0,01 выражение 25 j/З, студенты вычисляют с точностью до 0,01 значение \/3 и результат множат на 25.

5) По мнению многих студентов иррациональные числа в000бще складывать нельзя. Можно складывать только подобные радикалы. Так, числа /2 и ]/3, по их мнению, сложить нельзя, а можно. В последнем случае будет 3 у2.

Все эти ошибки и недочеты в знаниях встречаются не у отдельных учащихся, а представляют весьма распространенное явление в среде студенчества. Они говорят о том, что студент не понимает природы иррационального числа. Для него выражение, представляющее собой корень, под которым стоит число, есть просто символ, над которым он умеет производить известные операции, но содержание которого ему неясно. А отсюда понятно, почему у студентов нет также и твердых навыков в операциях с иррациональными выражениями: они усвоили их механически, не представляя себе, что фактически они при этом делают и зачем.

О чем говорят все эти факты? Они говорят о том, что в средней школе при преподавании алгебры учитель уделяет мало внимания вопросу о природе иррационального числа, быстро переходит к действиям с радикалами и видит в приобретении учащимися твердых навыков в этих действиях свою главную задачу.

Между тем, ясное и четкое понимание учащимися природы иррационального числа и смысла действий с радикалами имеет громадное значение. Прежде всего это необходимо для того, чтобы уметь правильно найти приближенное числовое значение всякого выражения, имеющего в себе радикалы.

Для инженера, производящего расчет, важно уметь найти с нужной ему точностью приближенное значение всякого выражения, куда входят корни разных степеней из чисел, соединенные различными действиями. Преобразования радикалов нужны ему для того, чтобы привести к простейшему виду то выражение, которое подлежит вычислению. Они нужны для того, чтобы количество выкладок, приводящих к приближенным вычислениям отдельных радикалов в сложном выражении, было наименьшим. Отсюда понятно, как это неприятно, когда студенты при проработке специальных дисциплин не умеют свободно обращаться с радикалами и видеть в них тоже числа, несколько отличающиеся от рациональных.

Но и в процессе преподавания алгебры в средней школе чрезвычайно важное значение

имеет правильное понимание учащимися природы иррационального числа. Перед глазами учащегося сперва в арифметике, затем в алгебре разворачивается картина развития понятия о числе. Сперва целое и дробное число в арифметике. Затем относительные числа и, наконец, самое широкое понятие о числе — комплексные числа в конце алгебры. Этот процесс логического развития понятия о числе есть процесс диалектический, происходящий через преодоление противоречий. На определенном этапе своего обучения учащийся видит, что тот круг сведений о числе, который у него к этому времени имеется, не в состоянии разрешить ряд вопросов, которые выдвигаются перед ним или задачами жизненного характера или требованиями самой математики. Отсюда возникает необходимость введения чисел новой природы, благодаря чему все затруднения снимаются (подробнее об этом сказано в статье Выгодского „Понятие числа в его развитии“ в сборнике “В борьбе за материалистическую диалектику“ или в журнале „Естествознание и марксизм“ № 2 за 1929 г.).

Остановимся подробнее на рассмотрении этого вопроса в связи с иррациональными числами. На определенном этапе своего обучения, в частности, например, при проработке теоремы Пифагора, учащийся сталкивается с прямолинейными отрезками, длина которых не может быть выражена ни целым, ни дробным числом. Например, если мы построим квадрат, сторона которого равна 1 м, то диагональ не может быть выражена ни целым, ни дробным числом, т. е. никаким из тех чисел, которые известны учащимся. Вопрос преподавателя, сколько миллиметров имеет длина этой диагонали, естественно остается без ответа. Зная девять знаков цифр, знак нуля и правила соединения этих знаков, учащийся может выразить любое целое и дробное число. Но при помощи этих же знаков выразить длину диагонали указанного выше квадрата он не может. Отсюда возникает необходимость ввести числа новой категории— иррациональные числа, и тогда длина диагонали квадрата со стороной 1 м найдет свое место среди чисел. Здесь мы имеем типичный процесс диалектического развития, развитие через преодоление противоречий. Вполне понятно, что мы не будем говорить учащемуся при этом что-нибудь о диалектике, но необходимость введения иррациональных чисел, их отличную природу от рациональных чисел он должен видеть. Такого рода процесс происходит при всяком расширении понятия о числе. Учащийся, оканчивающий среднюю школу, должен отчетливо представлять себе всю картину развития понятия о числе, начиная с целого и дробного числа в арифметике и кончая комплексными числами в алгебре на восьмом году обучения.

Программа по алгебре для средней школы предусматривает дважды проработку вопроса об иррациональных величинах. В первый раз в VII классе, когда учащийся знакомится с извлечением квадратного корня из числа. Это связывается с решением задач на теорему Пифагора. Во второй раз учащийся прорабатывает иррациональные числа и действия с радикалами в VIII классе и тут уже — во всей полноте.

Приступая в VII классе к проработке главы об иррациональном числе, преподаватель вспоминает с учащимися алгоритм извлечения квадратного корня из целых чисел и на задачах, связанных с теоремой Пифагора, показывает им необходимость извлечения квадратного корня из любого целого или дробного числа. В частности, преподаватель предлагает учащимся найти длину диагонали квадрата со стороной в 1 дм, т. е. число миллиметров, какое это длина имеет. Мы упираемся в необходимость извлечения квадратного корня из 2. В связи с этим выясняется, что квадратный корень извлекается из такого целого числа, которое само есть вторая степень другого целого числa. На доске выписывается последовательность натурального ряда чисел, примерно до 25, а под ним квадраты этого ряда чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100...

Верхний ряд таким образом представляет собой квадратные корни из чисел нижнего ряда, В нижнем ряду нет числа 2, Следовательно, корень из него не есть целое число. Но может быть т/2 есть дробное число? Тогда учитель доказывает невозможность равенства

где справа несократимая простая дробь. Таким образом, учитель обращает внимание учащихся на то, что диагональ взятого им квадрата имеет длину, которая не может быть выражена ни целым, ни дробным числом. Длина этой диагонали выражается особым числом, к изучению свойств которого ученик должен приступить.

На доске выписывается затем натуральный ряд чисел, примерно до 10, а под ним пишется ряд кубов этих чисел. Таким же самым путем учитель обращает внимание ученика на то, что не из всякого целого числа извлекается кубический корень. Затем доказывается общая теорема, что корень степень п из целого числа, которое не есть л-я степень другого числа, не есть ни целое, ни дробное число, т. е. доказывается невозможность равенства

где справа несократимая дробь. Тут же доказывается невозможность равенства

если — несократимая, дробь ^- не есть степень дроби

Напомнив учащимся, что все известные им до сих пор числа выражались посредством девяти знаков цифр и знака нуля, преподаватель подчеркивает, что эти новые числа посредством этлх знаков выражены быть не могут. Но числа эти тем не менее существуют—длина диагонали квадрата со стороной 1 дм, длина стороны куба, объем которого 2 куб. дм и т. д. Числа эти имеют особое название — иррациональные числа — в отличие от до сих пор известных учащемуся чисел — целых и дробных чисел, которые получают теперь название рациональных чисел.

Установив наличие иррациональных чисел, учитель подходит к вопросу о том, как же выражать эти числа. Устанавливаются понятия о приближенном извлечении квадратного и кубического корня с точностыо до 1, а затем с точностью до —.

При этом следует вспомнить превращение простых дробей в десятичные с заданной точностью с недостатком и избытком. После этого следует приступить к решению задач на извлечение квадратного корня из целых чисел с разной точностью, но вначале недесятичной. Например, ставится задача: „Извлечь квадратный корень из 6 с точностью до -^я. Как известно, дело сводится к решению неравенства

или, что то же, к вычислению j/54 с точностью до единицы. Таким образом, находим

Сейчас же после этого делается проверка, что

т. е. число 2 ^- действительно есть выражение |/б с недостатком, а 2-^— с избытком.

Таких задач нужно сделать не меньше 10— 15, пока учащиеся не научатся бегло находить квадратные корни из целых чисел с любой заданной точностью. При первых 5—6 задачах нужно делать проверку, возводя пределы, между которыми найден корень, в квадрат. После всего этого приступить к извлечению квадратного корня из чисел с точностью до .-g, щ, jogg и т. д. В заключение полезно рассмотреть приближенное извлечение кубического корня из чисел, конечно в пределах, доступных учащемуся (пользуясь таблицей кубов чисел от 1 до 10), например:

„Извлечь у 10 с точностью до точностью до ~“ и т. д.

Подводя итоги этого урока, преподаватель обращает внимание учащихся на то, что мы имеем возможность извлечь квадратный корень из чисел с любой точностью. При этом учитель должен иметь заготовленную большую таблицу значений j/2 следующего характера: гг.

и повесить ее на стену. Учитель показывает, что теоретически можно извлекать квадратный корень из числа неограниченно, и что, следовательно, эта таблица не имеет конца. Затем учитель применяет эту таблицу к решению той задачи, которая была поставлена им вначале, а именно: „Найти в миллиметрах длину диагонали квадрата, сторона которого 1 м“. Если воспользоваться первой строчкой таблицы, то можно сказать, что длина данной диагонали заключается между 1 м и

2 м, т. е. между 1000 и 2000 мм. Вторая строчка таблицы дает нам такие результаты: длина диагонали квадрата заключается между 1400 мм и 1500 мм. Третья строчка таблицы дает нам соответственно значения 1410 и 1420 мм и т. д. Пятая строчка дает нам такие результаты: длина диагонали квадрата заключается между 1414,2 мм и 1414,3 мм, т. е., если принять j/2 равным 1,4142, то в этом случае длина диагонали квадрата будет равняться 1414,2 мм. Это, конечно, с математической точки зрения неверно, но ошибка, которую мы при это сделаем, будет меньше 1 мм. Аналогично, приняв

/2“= 1,41421,

мы получим длину диагонали, равную 1414,21 мм, причем ошибка будем меньше 0,01 мм. Не вооруженным микроскопом глазом мы ее не увидим. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. Выводы, к которым учащиеся должны будут притти, следующие:

1) Теоретически можно извлекать квадратный корень из 2 неограниченно. При этом получатся два ряда чисел: один — возрастающий, другой — убывающий. Между каждыми двумя соответствующими числами этих рядов заключается истинное значение |/2.Разность этих двух соответствующих чисел может быть сделана сколь угодно малой.

2) Точно извлечь квадратный корень из 2 нельзя. Но практически это не имеет никакого значения, так как извлечение корня может быть всегда так далеко осуществлено, что ошибка, которая будет произведена при замене ]/ 2 конечной десятичной дробью, т. е. рациональным числом, сделается фактически неощутимой для нас.

Я придаю огромное значение этому уроку; он не только подводит учащегося к правильному пониманию природы иррационального числа, но и подготовляет его к восприятию идей анализа бесконечно малых. В X классе учащийся еще раз встретится с только что рассмотренной таблицей приближенных значений j/2, когда будет знакомиться с переменной, стремящейся к пределу. С аналогичными двумя рядами, одним — возрастающим, другим— убывающим, учащийся встретится, когда будет рассматривать длину окружности как предел периметров вписанных и описанных многоугольников. Вполне понятно, что сейчас, в VIII классе, мы ничего не будем говорить учащемуся о пределе или даже упоминать этот термин.

Установив понятие об иррациональном числе и показав, что оно приближенно с любой, наперед заданной, точностью может быть выражено рациональным числом, надо показать его место на шкале чисел. Учащийся знакомится со шкалой чисел, когда в начале алгебры изучает относительные числа. Он знает, как нанести на эту шкалу любое целое положительное или отрицательное число или дробное. Но далеко не всегда учитель считает нужным показать учащимся, какое место на этой шкале занимает иррациональное число. Ясно, какой это пробел составляет в их математическом образовании. Конечно, мы могли бы воспользоваться для проработки настоящего вопроса рассмотренной выше таблицей значений j/2. Взяв миллиметровую бумагу или в крайнем случае лист обыкновенной клетчатой бумаги из тетради и выбрав дециметр за единицу масштаба, мы смогли бы нанести фактически на шкалу чисел только три первые строчки этой таблицы. Значение четвертой точки (141,4л*л*и 141,5 мм) уже слилось бы. Следовательно, взятый при-

Черт. 1.

мер оыл оы малопоказателен. Поэтому лучше не с него начинать. Возмем |/3 и вычислим его значения с разной точностью.

Постановка задачи будет такая: „Нанести на шкалу чисел иррациональное число с точностью

Масштаб взять: единица равна 60 мм“. Ученики чертят на странице тетради в клетку 12 полосок толщиной в одну клетку, строго одна над другой, так, как указано на чертеже (черт. 1). Предварительно вычисляют j/З с указанной выше точностью. Получится следующая таблица

Сперва чертится полоска для первой строки таблицы так, что AB = 90 мм и АС = 120 мм. На расстоянии 60 мм от точки А делается поперечная черточка M (AM единица масштаба). AB раскрашивается в красный цвет, ВС—в синий. Учитель говорит; „Где приходится конец отрезка, длина которого /3 и начало в точке Л, я не знаю. Знаю только, что он упадет где-то между точками В и С“ (т. е. на части линии, окрашенной в синий цвет). Затем чертится полоска, отвечающая второй строчке таблицы. Только теперь AB—SO мм и ЛС=120 мм. AB и ВС раскрашиваются так же, как и в предшествующем случае. Учитель опять говорит, что конец отрезка, выражающего собой ]/3, падает где-то между В и С. Затем ученики чертят третью полоску, отвечающую третьей строчке таблицы, так же раскрашивают ее и т. д. Получается ряд полосок, у которых синяя часть будет все время уменьшаться, следовательно, будут уменьшаться те границы, между которыми заключается истинное значение 1/^3. Этот процесс теоретически может продолжаться беспредельно. Если вообразить себе все 12 полосок, наложенных друг на друга, то получим ряд точек В слева и ряд точек С справа, которые безгранично будут сближаться и между которыми заключается искомая точка. Эти два ряда точек фактически будут определять положение искомой точки. Такое положение следует осуществить, построив к двенадцати указанным полоскам тринадцатую, нанеся на ней все точки В и все точки С с этих полосок.

Учитель должен иметь заготовленный большой чертеж, воспроизводящий чертеж 1 (в большом масштабе), который можно было бы повесить на стене в классе на время, когда идет изучение природы иррационального числа. Аналогично должен быть изготовлен на миллиметровой бумаге такой же чертеж, воспроизводящий рассмотренную таблицу значений Y2 в масштабе: единица равна 1 м.

После того как установлено понятие об иррациональном числе, и природа его достаточно хорошо усвоена учащимися, надо приступить к действиям над этими числами. Вообще всякий раз, когда происходит расширение понятия о числе, приходится уславливаться о том, что следует понимать под действиями над этими числами, т. е. под сложением, вычитанием, умножением, делением, возведением в степень и извлечением корня. Переходя, например, в арифметике к дробям, мы даем действию умножения новое определение, отличное от того, что имело место в отношении целых чисел. При проработке относительных чисел очень много внимания уделяется действиям над ними. Ясно, что то же самое нужно сделать и в отношении иррациональных чисел. Что такое значит сложить дна иррациональных числа? Этот вопрос далеко не всегда учитель считает нужным поставить перед учащимися. Поэтому многие ученики убеждены, например, в том, что а в особенности j/2 и т/3 сложить нельзя, ибо это не подобные радикалы. Следовательно, при преподавании иррациональных чисел обязательно необходимо добиться того, чтобы учащиеся отчетливо представляли себе, что значит сложить эти числа, вычесть, помножить и т. д. Я не буду подробно останавливаться на освещении этого вопроса, так как в последних изданиях учебника алгебры Киселева это хорошо сделано. Замечу только следующее: сложить два иррациональных числа, это значит — найти такое новое число, все приближенные значения которого равны сумме приближенных значений слагаемых, взятых с одинаковой точностью и притом оба с недостатком или оба с избытком.

Пример: „Найти сумму j/2-|-V^3a. Составляется такая таблица (ом. на странице 59).

Здесь для определения суммы |/2-}-^3 складываются последовательно приближенные значения |/2 и /3, взятые сперва с недостатком, потом с избытком, причем полученные результаты будут представлять приближенные значения искомой суммы с точностью до 0,2; 0,02; 0,002 и т. д. (ученик, естественно, должен быть знаком с элементарными правилами сложения приближенных величин). Таким образом, мы будем иметь два беспредельных ряда чисел:

3,1 3,3

3,14 3,16

3,146 3,148

3,1462 3,146*

3,14627 3,14623

3,146273 3,14627о

один — возрастающий, другой — убывающий. Разность соответствующих чисел этих двух рядов безгранично убывает. Искомое число |/2-|-j/3 всегда заключается между двумя соответствующими числами этого ряда. Такого рода сложение можно распространить на сумму трех и больше слагаемых.

Полезно решить одну-две задачи такого типа: „С точностью до 0,1 мм найти сумму длины диагонали куба и диагонали его боковой грани, если ребро куба равно 1 м““.

Так же, как мы установили понятие о сложении иррациональных чисел, мы устанавливаем понятие и об их вычитании, умножении, делении, возведении в целую степень и извлечении корня. Дело всегда сводится к соответствующим операциям над приближенными их значениями в указанном смысле, с соблюдением элементарных правил действий с приближенными числами. При этом нет нужды вести эту практику дальше умножения иррациональных чисел. Важно, чтобы учащийся понимал и деление, и возведение в степень, и извлечение корня из иррационального числа в том же смысле, как сложение и вычитание.

На этом мы можем закончить в школе тему об иррациональном числе и приступить к следующему вопросу — действия с радикалами. Однако, проработка этого последнего вопроса все время должна итти под углом зрения тех фактов, которые учащиеся усвоили в предшествующей теме. Прежде всего, конечно, нужно уяснить смысл символов, которыми мы обозначаем иррациональные числа. В математике мы обозначаем всякое число, несоизмеримое с единицей и постоянно встречающееся, особым символом. Таково, например, число тг — отношение длины окружности к диаметру. Это делается потому, что мы не можем же сказать, что 3,14 есть отношение длины окружности к диаметру, так же, как и 3,141 или 3,1415 и т. д., ибо это всегда будет неточно. Число тг, как число, несоизмеримое с единицей, не может быть выражено при помощи знаков девяти цифр и нуля, как это выражается любое рациональное число. Кроме числа тг, существуют и другие, несоизмеримые с единицей числа, имеющие специальные обозначения, например число е в высшей математике — основание системы натуральных логарифмов. Иррациональные числа также несоизмеримы с единицей. Так как происхождение иррациональных чисел одинаково, и они обладают многими общими свойствами, то для них созда \ одинаковый символ. Этот символ есть стилизованная буква „г“ латинского алфавита — первая буква латинского слова „radix“, что значит корень. Раньше писали (/' (a + L), потом if (а + Ь) и, наконец, \fa-\-b.

Преобразование радикалов потому необходимо, что благодаря этому многие сложные иррациональные выражения упрощаются и количество операций над приближенными числами при вычислении этих выражений уменьшается. Поэтому при ознакомлении учащихся с действиями с радикалами во всех воз-

можных случаях надо показать, как при этом упрощается приближенное вычисление выражения. Остановимся подробнее на этом.

При приведении корня к нормальному виду мы, между прочим, преобразовываем его так, чтобы под корнем не было дроби.

В связи с этим надо решить две-три, примерно, таких задачи:

„Вычислить с точностью до щ выражение

Приводим к нормальному виду данное выражение:

Так как 15>10, то надо извлекать квадратный корень из 110 с точностью не а всего лишь #

с недостатком с точностью до 0,1. Отсюда

Так как

то

Следовательно,

с недостатком с точностью до

При введении множителя под знак корня полезно решить две-три таких задачи: „Вычислить с точностью до jJqq выражение 23 j/~7tt. Здесь 23 вводится под знак корня :

Затем последний радикал вычисляется с точностью до jig :

(с недостатком).

При приведении подобных радикалов никогда в школе не решают задач, связанных с приближенным вычислением сложных сумм. Ограничиваются только самим приведением радикалов. Обязательно необходимо решить несколько примеров (три-четыре) такого типа:

1) Вычислить с точностью до щ такое выражение

2) Вычислить с точностью до щ такое выражение

Тогда для учащегося будет видно, как облегчается задача приближенного вычисления выражения, если предварительно произвести соответствующее преобразование радикалов.

Особенно тщательно необходимо преподавателю под рассматриваемым углом зрения проработать те действия с радикалами, которые связаны с уничтожением иррациональности в знаменателе. Как это ни странно, но когда спросишь студента, зачем мы уничтожаем иррациональность именно в знаменателе, а не в числителе, он обыкновенно этого не знает. Для него новость, что эта операция связана с приближенным вычислением иррационального выражения. В самом деле, если нужно найти приближенное значение выражения с точностью до щ, то извлекать корень из 7, а потом делить 3 на полученный результат не рекомендуется, так как мы будем иметь две операции приближенных вычислений, причем вторая операция — деление — производится над приближенным же выражением, так что здесь очень трудно судить о точности полученного результата. Если же мы напишем, что

то деление здесь легко осуществляется, и от деления приближенного выражения 3 |/ 7 на 7 точность увеличивается. Эти соображения безусловно должны быть доведены до учащихся.

В связи с этим нельзя ограничиться только решением таких задач, где мы просто избавляемся от иррациональности в знаменателе, а нужно также провести упражнение, примерно, такого типа:

1) Вычислить с точностью до ~выражение .

2) Вычислить с точностью до ^ выражение

Учителю полезно знать, что в таблицах разных справочников, в частности в логарифмических таблицах, помимо числа тс, дается и выражение для — : it

Это позволяет в случае необходимости делить на тт, т. е. фактически на его приближенное выражение, заменять действие деления умножением на —. Здесь мы, в сущности, делаем то же самое, что и при делении на иррациональное число. Аналогичный смысл имеет и введение вспомогательных тригонометрических функций — котангенса, секанса и косеканса.

В тесной связи с учением об иррациональном числе в алгебре стоит учение о несоизмеримых величинах в геометрии. Я не имею возможности останавливаться здесь на рассмотрении того чрезвычайно интересного исторического факта, что учение о несоизмеримых величинах в геометрии было доведено до высокой степени совершенства у древних греков— в „Началах“ Эвклида — в то время, как в отношении чисел Эвклид признавал только целые числа. Учение об иррациональных числах есть продукт уже позднейшей эпопеи, причем происхождением своим арифметическая теория иррациональных чисел так или иначе обязана учению о несоизмеримых величинах. Отражения этого факта мы видим в дореволюционных учебниках геометрии, геометрии Киселева, Давыдова и др. В этих учебниках существовало учение о несоизмеримых величинах, совершенно независимо от учения об иррациональных числах в алгебре; уже в самом начале курса геометрии при доказательстве георемы о том, что центральные углы пропорциональны дугам, стягивающим их, рассматривался строго и случай, когда центральные углы несоизмеримы друг с другом. В учении о подобии треугольников, при рассмотрении леммы с прямой, параллельной основанию треугольника, также рассматривался случай, когда стороны соответствующих треугольников были несоизмеримы. Все это делалось задолго до того, как учащиеся знакомились в алгебре с иррациональными числами. Ясно, что такое положение вещей, с нашей точки зрения, недопустимо, ибо приводит к разрыву понятий у учащихся о несоизмеримых величинах в геометрии и иррациональных числах в алгебре. Поэтому в условиях современной школы понятие о несоизмеримых величинах в геометрии дается лишь после того, как проработано учение об иррациональных числах в алгебре. Таким образом, доказательства некоторых теорем в геометрии VI и VII классов носят соответственно упрощенный характер. Само же учение об иррациональных числах в алгебре строится в тесной связи с геометрическими представлениями.

ОПЫТ ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ К СОСТАВЛЕНИЮ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ

М. ЗМИЕВА*

I

1. Состояние знаний учащихся к концу 1934/35 учебного года по составлению уравнений первой степени из условий задач

В курсе алгебры одним из самых трудных разделов является раздел .Составление уравнений из условий задач“.

Контрольная работа, проведенная нами после проработки в классе указанного раздела, обнаружила неудовлетворительность знаний учащихся.

Обследованием было охвачено два класса массовой школы и два класса образцовой школы, всего 129 учащихся. Было предложено решить две задачи:

Задача 1. „Нужно найти 3 слагаемых, сумма которых =100, причем второе слагаемое больше первого на 10, а третье больше второго на 20“. Правильно составили уравнение 63% всех учеников (по отдельным классам от 38 до 80°/р).

Задача 2. „Пароход должен был пройти расстояние между двумя городами со скоростью 15о в час. Вследствие порчи машины он мог проходить только \2 км в час и потому опоздал на 3 часа. Найти расстояние между городами“. Правильно составили урав-

* Яснополянская опытная средняя школа Наркомпроса им. Л. Толстого.

чение только 15% (по отдельным классам от 0 до 27%).

Между тем, решение задач методом составления уравнений имеет огромное значение во всем курсе алгебры „не только для усвоения сведений из алгебры, но, главным образом, для развития у учащихся вообще математического мышления“.

2. Где же причина плохих успехов нашей школы в составлении уравнений из условий задач?

Для хорошего усвоения раздела по составлению уравнений учащиеся должны иметь следующие навыки: во-первых, ученики должны хорошо решать арифметические задачи, во-вторых, — понимать условие задачи и, в-третьих, уметь перевести это условие на сокращенный язык алгебры.

Владеет ли этими навыками наш ученик?

Мы провели в октябре 1934 г. обследование этих навыков у учеников VII класса двух школ (Яснополянской и Телятинсксй Московской области), для чего ученикам было дано 6 задач для самостоятельного решения в классе.

Это обследование установило следующие факты:

а) Простейшие арифметические задачи учащиеся решали удовлетворительно.

б) Хуже обстояло дело с пониманием условия задач.

Например, в задаче 1: „Курьерский поезд вышел на 1 час позже пассажирского и догнал его через 3,5 часа. Сколько времени шел пассажирский поезд?“—трудность заключалась не в процессе решения, а в непонимании слова „позже“. Для того чтобы узнать, сколько времени шел пассажирский поезд, 20% учеников вычитали один час.

В задаче 5: „Два велосипедиста выехали одновременно из двух городов и едут навстречу один другому. Одинаковое ли число часов каждый из них проедет до встречи?“—трудность была в непонимании слова „од к временно“, что выяснилось в последующей беседе. Поэтому 587о старались связать время со скоростью и расстоянием и отвечали: „Одинаковое при одинаковой скорости“, „Неодинаковое, а может быть одинаковое, потому что мы не знаем, на одинаковом ли расстоянии были они друг от друга“(I), „Если города стоят на равном расстоянии !) и велосипедисты едут с одинаковой скоростью, то приедут в одно время“, “Неодинаковое потому, что скорость у одного может быть больше, а у другого меньше“ и т. д.

Оба эти вопроса входят как составные части в задачи, помещенные в задачнике Шапошникова (глава VI, № 399 и 401). Следовательно, учащиеся не справятся с решением этих задач уже по одному тому, что они не поймут условия.

Ь) И совсем плохо обстоит дело с решаемостью вопросов, где нужно перевести условия задачи на алгебраический язык.

По данному вопросу учащимся были даны следующие задачи:

Задача 3. „Один рабочий получил а руб. Другой — половину того, что получил первый и еще 2 руб. Выразить алгебраически, сколько получил второй.“ 42% учеников не могли ответить на поставленный вопрос потому, что пытались составить уравнение.

Задача 4. „Ребро одного куба а сантиметров, другого b сантиметров. Выразить алгебраически, сколько весят оба куба, если удельный вес материала, из которого они сделаны, d“. 54% учеников дали нелепые ответы: сложили ребра обоих кубов (a-f-ô), нашли разность объемов кубов (а3 — Ь3) и т. д.

Вывод, которой мы сделали на основании предварительного обследования : основной трудностью для учащихся является процесс перевода условия, выраженного словами, на язык алгебры.

Это мешает сознательному и быстрому составлению уравнения из условия задачи.

3. Пути исправления обнаруженных недостатков в математическом образовании учащихся

Проработка систематического курса с вышеуказанными классами по программе VII класса уже не могла исправить обнаруженных недостатков.

С процессом перевода условий задач на язык формул учащиеся знакомятся в самом начале изучения алгебры, в разделе „Буквенные обозначения“. Этот раз чел является основой дли составления уравнений и потому должен быть неразрывно связан с последним. На практике же существует полнейший разрыв. Ученик, получив некоторые навыки в составлении формул в начале VI класса, на протяжении почти целого года не упражняется в них и приходит к составлению уравнений слабо подготовленным. Между тем, в VI классе при проработке раздела „Целые одночленные и многочленные выражения и действия над ними“ можно проложить мост между началом алгебры и составлением урав-

нений, связывая упражнения этого раздела с переводом словесного выражения на язык формул.

В VII же классе перед нами открылись только такие пути:

1. Продолжать преподавание алгебры в VII классе по систематическому курсу, не обращая пока внимания на обнаруженные недостатки в математической подготовке учащихся, примиряясь с тем, что раздел составления уравнений вызовет большие затруднения у учащихся, будет освоен механически, не даст сознательных практических навыков

2. Продолжая преподавание алгебры па систематической программе, ввести ряд предварительных упражнений в начале самого раздела на составление уравнений. Ряд пропедевтических уроков может отчасти восполнить обнаруженные пробелы в проработанных ранее разделах алгебры,

3. И, наконец, возможен был третий путь: теперь же ввести во всех разделах, предшествующих составлению уравнений, подготовительные упражнения и задачи и проверить влияние их на повышение эффективности работы в разделе „Составление уравнений“.

Мы решили пойти по этому последнему пути и при проработке разделов „Разложение многочленов на множители“, „Алгебраические дроби“ и „Решение уравнений“ отводить на уроках 5 — 10 минут на решение задач, условие которых требуется выразить алгебраически Таким образом, тождественные преобразования будут связаны с составлением уравнений.

II

1. Несколько слов о характере подготовительных задач и системе их расположения в курсе алгебры

Мы разработали систему подготовительных упражнений для каждого раздела. Эти упражнения не были посторонними материалами в указанных разделах, а помогали учащимся видеть на практике применение тождественных преобразований.

Покажем это на некоторых примерах.

Задача 5. „Из куска фанеры, имеющей форму квадрата со стороною а сантиметров, вырезали квадратную рамку, ширина которой b сантиметров. Найти площадь рамки“. Здесь учащиеся на конкретном примере увидели необходимость преобразования выражения: д2 — (а — 2Ь).

Задача 27— „Два тела проходят расстояние, равное s километров. Первое тело проходит все расстояние в t часов, второе в t1 часов. При каком условии скорость первого тела будет больше скорости второго?“ — конкретизирует понятие алгебраических дробей.

Задача, 11— „Найти формулу, выражающую площадь кольца“ — иллюстрирует применение тождественных преобразований в геометрии.

Задача, 22— „Даны два квадрата и два равных прямоугольника. Сторона первого квадрата а сантиметров, второго b сантиметров; длина каждого прямоугольника а сантиметров и ширина b сантиметров. Найти общую площадь этих фигур“—еще раз дает геометрическую иллюстрацию формулы (a -f- b)2 = = a2-f 2ab + b2.

Большинство вопросов для подготовительных упражнений взято из условий задач стабильного задачника Шапошникова и Вальцева.

В разделе „Решение уравнений“ имеются также большие возможности подготовить учащихся к сознательному пониманию алгебраических выражений и символов, показав применение их в окружающей жизни. С этой целью можно использовать различные формулы из физики и техники. Например, преподаватель, объяснив значение сопротивления воздуха при движении автомобиля, дает формулу R = kSv2 с указанием, что означают символы /?,.£, vy а ученики передают словами содержание этого соотношения и решают уравнение относительно S.

Материал для конкретизации алгебраических символов и уравнений дает также работа в школьной мастерской. Например, ученикам дается задача: „Если к головке винта диаметра d приложить силу /?, то существует следующее соотношение — = —, где h — шаг винта, Q — получаемая сила сжатия“. Ученики находят на винтах соответствующие величины и выясняют значение символов и зависимость между ними; после этого они передают словами содержание предложенной формулы и решают уравнение относительно /?, Q, h у d. В этом- же разделе „Решение уравнений“ учащиеся упражнялись в составлении задачи по данному уравнению. Подобного рода упражнения заставляют ученика отчетливо представлять себе смысл алгебраических символов.

Предлагаемые подготовительные упражнения не только соответствуют указанным разделам систематического курса, но и внутри каждого раздела распределяются в определенной нарастающей последовательности.

2. Методические указания к проведению подготовительных упражнений в VII классе

1. Сначала решали задачи, в которых все данные имеют обозначения, например задача 14: „Основание одного треугольника а сантиметров, высота h сантиметров. Основание другого треугольника b сантиметров, высота h сантиметров. Найти общую площадь обоих треугольников“. Затем перешли к задачам, в которых учащиеся сами должны ввести обозначения. Например: „Два треугольника имеют одинаковые основания, но разные высоты. Найти разность площадей этих треугольников“.

Задачи последнего типа заставляли учащихся выделять нужные величины и, дав им обозначение, находить соотношения между ними. Это помогло ученикам при составлении уравнений сознательно вводить обозначение неизвестного и оперировать с ним как с определенной величиной.

2. Конспект урока. К каждой задаче необходимо составлять конспект — план последовательного хода ее решения.

Для примера приведем конспект анализа задачи: „Найти площадь кольца, если радиус внешней окружности R, а радиус внутренней г“. Задачу решает у доски один из учеников. Прежде всего, придется выяснить, как учащиеся понимают условия задачи. Для этого предлагается всем ученикам следующее:

1) Сделать рисунок.

2) Заштриховать кольцо.

3) Выяснить на рисунке, как получается площадь кольца.

После чего учащиеся пробуют решить задачу.

Если они не смогут ее решить, то поставить вопросы:

1) С чего надо начинать решение задачи?

2) Для того чтобы найти площадь кольца, что надо знать?

3) Можно ли из условия задачи найти площадь внешнего круга?

4) Можно ли из условия задачи найти площадь внутреннего круга?

Если задачу правильно сделают только сильные ученики и часть средних, то после решения задачи повторить весь ход работы еще раз, задавая слабым ученикам те же вопросы.

В конце, в качестве контроля, дать всему классу следующие вопросы:

1) Какие слова в условии задачи заставляют нас найти разность площадей внешнего и внутреннего кругов?

2) Каким указанием в условии задачи мы воспользовались, чтобы найти площадь внешнего круга?

3) Что в условии задачи дало возможность написать, что площадь внутреннего круга = пг2?

Следовательно, в конспекте наиболее ответственными моментами являются:

1) предварительный анализ условия задачи;

2) воспроизведение слабыми учениками последовательного хода рассуждений в процессе решения задачи и

3) контрольные вопросы всему классу после решения.

3. Среди методических приемов подхода к решению задач большое значение имеет правильная запись условия задачи. Она должна четко выявлять данные и искомые задачи и помогать учащимся увидеть зависимость между ними. Поэтому, начиная с первых моментов подготовительных упражнений, ученики приучались к такой записи условия, которая помогала бы им анализировать и решать задачи.

На примере покажу один из наиболее рациональных способов записи условия задачи.

„Одна бригада в колхозе косила b дней и каждый день скашивала а гектаров. Другая бригада косила с дней с той же производительностью. Как велика площадь произведенного покоса?“

Учащиеся составляют „табличку“, в которую вносят только названия данных величин:

Бригады

Количество дней

Производительность

S покоса

Затем заполняют колонки „таблички“ конкретным материалом из условия задачи.

Сделав анализ условия задачи, ученики приступают к выявлению зависимости между величинами, заполняют пустые колонки и решают задачу.

В окончательном виде „табличка“ давала запись условия и решения задачи:

Бригады

Количество дней

Производительность

S покоса

I

11

b

с

а а

ab ас

ab + ac

Такая .табличка" служит не только записью условия задачи, но и наглядным анализом взаимоотношения величин. Это упорядочивает весь последующий ход решения задачи.

При решении задач на движение, одновременно с анализом условия в виде „таблички“, ученики конкретизировали данный вопрос на прямой линии, причем делали не один обобщающий рисунок, а несколько, из которых каждый иллюстрировал отдельные моменты условия и хода решения задачи. Например, при решении задачи — „Поезд идет из В в А со скоростью а километров в час и проходит t часов. На каком расстоянии от А будет поезд через / часов, если расстояние между A w В — b километров?“ — учащиеся наглядно изображали задачу на двух рисунках:

Черт. 1.

Первый рисунок иллюстрирует первую часть задачи: он указывает расстояние между городами, направление и скорость движения.

Черт. 2.

Второй рисунок конкретизирует вторую часть задачи и дает представление о пройденном расстоянии.

III

Эффективность введения подготовительных упражнений

Для определения влияния на учащихся подготовительных упражнений уже на первых уроках были введены специальные контрольные задачи. Они показали, что к началу раздела „Составление уравн°ний“ перевод данного сложного соотношения на алгебраический язык правильно делают около 60% учащихся.

Это подтвердила и письменная контрольная работа („Дана дробь, у которой числитель Ьу а знаменатель больше числителя на

4. Если к числителю и знаменателю прибавить по 5, то получится дробь -g-. Выразить условие задачи алгебраически“.)

Что касается быстроты составления формул, то на решение контрольной задачи каждый ученик в среднем потратил 6,5 минут, причем амплитуда колебаний была от 0,5 минут до 14,5 минут.

Последующие письменные контрольные работы проводились для выяснения подготовительных упражнений на решение задач методом составления уравнений.

Первый контроль проводился в конце первого урока, на котором учащиеся только приступили к составлению уравнений.

Задача: „В одном классе 20 учеников, в другом 50 учеников. Сколько учеников надо пересадить из второго класса в первый, чтобы в обоих классах было поровну?“

Результаты: 8% всех учеников вовсе не могли составить уравнения, 71% составили правильно, а 21% сначала решили задачу в уме, а потом составили равенство 20 + 15 = = 50—15. В среднем на решение задачи каждый ученик затратил 2,5 минуты. Скорость решения задач колебалась для отдельных учеников от 0,5 до 4,5 минут.

Второй контроль был проведен после проработки раздела „Составление уравнений“.

Он обнаружил удовлетворительное решение задач:

1) „Сумма трех слагаемых равна 100. Второе слагаемое больше первого на 10, а третье слагаемое больше второго на 20. Найти слагаемые*.

2) „Учитель должен раздать учащимся тетради. Если он даст каждому по 4 тетради, то у него останется 12 тетрадей. Если же он раздаст по 5 тетрадей, то нехватит 7 тетрадей. Сколько было учеников?“

3) „Пароход должен был проплыть все расстояние между городами со скоростью 15 км в час. Но вследствие порчи машины он мог проходить только 12 км в час и потому опоздал на 3 часа. Найти расстояние между городами“.

Несомненно, что подготовительные упражнении к составлению уравнений влияют на сознательное отношение к алгебраическим формулам и повышают правильность и быстроту решения задач при помощи составления уравнений. Те ученики, которые не овладели переводом соотношения величин, данных в задаче, на язык алгебры, не могли правильно и составлять уравнения.

ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

З. КОСТИНА. (Москва)

Составление уравнений считается одним из труднейших вопросов в педагогической практике математики средней школы, но, мне кажется, трудность его в значительной степени обусловливается слабой проработкой теории.

Мы предоставляем учащимся самим интуитивно открывать, улавливать эту теорию при решении задач, не давая ее как руководство, а, между тем, есть ряд вопросов, которые необходимо проработать с учащимися, на которые надо обратить их внимание, и тогда учащиеся не будут с закрытыми глазами бродить среди разнообразных задач на составление уравнений.

По одному из этих вопросов, а именно — составлению уравнений, когда в задаче два условия и два неизвестных, я и предлагаю вниманию товарищей-педагогов схемы-упражнения.

Я сознательно упрощаю задачи, чтобы с первых шагов сосредоточить внимание учащихся на содержании схемы. В дальнейшем можно их разнообразить, что может быть предметом как самостоятельных домашних упражнений, так и классной работы.

СХЕМА 1

1) Первое условие используем для обозначения неизвестных

2) Второе , . , составления уравнений

1-е условие задачи

1) Первое число больше второго на 2.............

2) Первое число меньше второго на 3.............

3) Второе число в 2 раза больше первого ...........

4) Второе число в 3 раза меньше первого ...........

5) Первое число в 2 раза больше второго ...........

6) Первое число в 3 раза меньше второго ...........

7) Второе число составляет 5% от первого .........

8) Первое число составляет i% от второго ..........

9) Отношение первого числа ко второму =2 (т. е. первое число больше второго в 2 раза)

10) Отношение 1:11 = -g-.....

11) . 1:11=5:6 . . .

12) . 1:11 = 5:6 . . . .

13) Первое число составляет -|-второго ...........

Схема 1

Что необходимо для составления уравнений по условию задачи?

Прежде всего, умение обозначить неизвестное, но для этого надо понимать термины „больше на“, „меньше на“, „больше в 2 раза“ „отношение равно“ и т. д.

Всегда ли есть у учащихся подобное понимание? Мне приходилось наблюдать обратное. Это можно проверить на первом упражнении-схеме, а также можно научить использовать эти термины для обозначений неизвестных.

В этой схеме я оставляю неизменным второе условие, чтобы в данном случае учащихся не затрудняло составление уравнения.

После проработки схемы 1 можно дать учащимся самостоятельные письменные упражнения-варианты и дать решение задач № 371 —379 по задачнику Шапошникова.

Схема 2 — для упражнений в составлении уравнений.

При решении задач есть одна тонкость, которую учащимся, без помощи учителя, трудно уловить, а именно: различие в использовании одних и тех же терминов для обозначений неизвестных и для составления уравнений.

Беру пример: термин „больше на 2“. Если первое число больше второго на 2, то, обозначив второе лг, мы первое обозначаем х-{-2. Если этот же термин использовать для составления уравнения, то окажется, что нам придется от х отнять 2 и т. п.

Подобное же различие получается и при использовании других терминов—„больше в 2 раза“ и т. п.

На способах использования различных условий для составления уравнения я сосредоточиваю внимание учащихся в схеме 2.

Можно изложить в виде схемы задачи из задачника Шапошникова и Вальцева, например № 384, 386, 388, 391; приучить каждому условию давать свое место. Но на этой записи долго останавливаться нельзя: надо переходить к обычной записи задач.

СХЕМА 2

1) Второе условие используется для обозначения неизвестного

2) Первое . , , составления уравнения

СХЕМА 3

ТЕОРЕМА О КВАДРАТЕ СТОРОНЫ, ЛЕЖАЩЕЙ ПРОТИВ ОСТРОГО ИЛИ ТУПОГО УГЛА

А. БЕРКОЛАЙКО

После прохождения теоремы Пифагора, перед тем как перейти к доказательству этих теорем, я даю следующую задачу:

AB =10 см, АС= 12 см,

AD (проекция AB) = 8 см.

Определить 3-ю сторону — ВС.

Решение и объяснение этой задачи вполне понятно.

Для нахождения стороны ВС как гипотенузы, необходимо знать величину BD и DC; BD определяется, как катет, из ДЛЯО, a DC = AC — AD=\2—8 = 4 см. Тут же можно разъяснить, что значения

Черт. 1.

Черт. 2.

BD не следует вычислять, а ограничиться вычислением BD2.

После уяснения всего хода решения задачи я даю эту задачу в общем виде:

„Даны две стороны b и с и проекция d стороны с. Определить сторону а“.

Ученик „сознательно“ берет ДЛ/Ю (зная наперед весь план своей работы), вычисляет значение

после чего по теореме Пифагора вычисляет:

Формулируя этот вывод словесно, получаем формулировку необходимой нам теоремы.

При таком способе доказательства эта теорема является только выводом задачи, решаемой в общем виде. Никакой „надуманности“, „произвола“ в выборе треугольников, никакой потребности в почленном сложении каких-то равенств (см. Гурвиц и Гангнус) — все решение, весь вывод идет по заранее ясному плану.

Ученики, даже самые слабые, давали вполне четкое доказательство этой теоремы и, аналогично, теоремы о квадрате стороны, лежащей против тупого угла.

Считаю, что предложенный мною метод даст возможность как преподавателю, так и учащимся сделать доказательство этих теорем более понятным и ясным.

ПО ПОВОДУ ФОРМУЛИРОВКИ ЗАДАЧИ О ДЕЛЕНИИ ОТРЕЗКА В КРАЙНЕМ И СРЕДНЕМ ОТНОШЕНИИ (золотое деление)

И. ДУБ (Одесса)

Задача формулируется так: разделить отрезок в крайнем и среднем отношении, значит— разбить его на две части таким образом, чтобы большая из них была средней пропорциональной между всем отрезком и меньшей частью.

Слово „большая“ является лишним указанием. Это видно из того, что при решении задачи не приходится этим обстоятельством пользоваться. Задача обычно решается так: обозначив большую часть через х, получаем для меньшей а — jc, где а обозначает весь отрезок, по условию а:х = х: (а — х).

При составлении уравнения как будто принято во внимание, что х есть большая часть; по существу это неверно. Попробуем из формулировки удалить указание „большая“. Скажем так: „Разделить отрезок в крайнем и среднем отношении, значит — разбить его на две части так, чтобы одна из них была средней пропорциональной между всем отрезком и другой частью“.

Обозначим первую часть через х, тогда вторая а — х по условию а:х = х:(а — х). Дело сводится к тому же уравнению. Полученное квадратное уравнение дает решения.

х2 не является ответом на вопрос задачи, где речь идет только о длине отрезка, и х2, как отрицательное число, не подходит; радикал дает результат, больший ~ и меньший у ; хг поэтому будет положительным числом, меньшим а и, таким образом, является ответом.

Так как радикал дает число, большее а, то хг будет больше -2.. Оказывается, что искомая часть действительно большая, но поскольку это вытекает из требования о средней пропорциональности, в условии этого указания уже не должно быть. Не формулируем же мы так: „Параллелограм это такой четыреугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны“,

хотя противоположные стороны в параллелограме действительно равны; мы исходим из тех соображений, что параллельность в данном случае приводит к равенству и поэтому в определении таких двух указаний не следует приводить. Учащимся при разборе задачи о золотом делении указанное нами обстоятельство необходимо выяснить и на этом примере помочь им приучиться взвешивать при формулировках каждое слово, не пропускать необходимого, но не употреблять лишних; надо думать, что полученные указания побудят их внимательнее следить за тем, использованы ли при решении задачи все данные условия; приняты ли при доказательстве теоремы во внимание все детали условия или же имеется для приведенного решения задачи либо доказательства теоремы что-нибудь лишнее в условии. Обратить внимание учащихся на такие обстоятельства, несомненно, важно в целях развития и изощрения их критического чутья.

РАСПОЛОЖЕНИЕ ВЫЧИСЛЕНИЙ ПРИ ИЗВЛЕЧЕНИИ КВАДРАТНОГО КОРНЯ

Н. ПОПОВ (Новочеркасск)

Общепринятый и рекомендуемый всеми учебниками (в том числе и стабильным) способ расположения вычислений при извлечении квадратного корня дает странное и непривычное расположение делителя (найденной части корня, умноженной на два) — налево от делимого. Этим отчасти объясняется то, что правило извлечения квадратного корня забывается учащимися. Прочнее запоминается привычное расположение делимого налево от делителя. Примеры:

ЗВЕЗДНАЯ КАРТА

Л. КАНДАУРОВ (г. Калинин)

Какова бы ни была судьба астрономии в школьной сетке часов, необходимо, чтобы учащиеся тем или иным путем получили самые необходимые сведения о мироздании. Для этого важно научить учащихся ориентироваться в астрономических явлениях повседневности и, главное, — разбираться в картине звездного неба. Наблюдать небо с руководителем учащиеся могут лишь изредка и для большей эффективности следует производить это с возможно лучшей предварительной подготовкой. Об этой подготовке и идет в настоящей заметке речь.

Существуют звездные глобусы, но редко есть они в школах. Пособие это не легко может быть использовано. Глобус один, а учащихся много, глобус невелик, издали ничего не разберешь. Но самый глобус представляет звездную сферу, видимую сверху извне, в то время как небо мы наблюдаем снизу изнутри. Редко кто может освоиться с этим. Во всяком случае для первоначального знакомства это пособие не годится.

Есть звездные карты самых разнообразных систем. Преобладают планисферы — карты

звездного неба, на плоскость которых нанесена более чем половина сферы с северным полюсом мира в центре. Для обозрения частей неба, лежащих недалеко от этого полюса, такие карты удобны. Для ориентировки на северной стороне небесного свода в наших широтах ими можно пользоваться. Что касается южной стороны неба, то тут эти карты немногим лучше помогают, чем звездный глобус. Надо их держать над головой, смотреть снизу на них, чтобы понять, как располагаются звезды и как происходит суточное движение небесного свода. Наиболее важные созвездия пояса зодиака сильно искажены. В данном случае для ознакомления с южной стороной небосвода лучше воспользоваться картой звезд в виде полосы с небесным экватором посредине, захватывающей градусов 30—40 по обе стороны экватора. Созвездия здесь имеют неискаженные очертания, на карту легко нанести эклиптику, если она не нанесена. По такой карте удобно усвоить главные созвездия пояса зодиака. В классе следует повесить подобную карту и отмечать на ней положение Солнца, Луны, планет.

Кроме карт такого типа, существуют карты подвижные. Обычно это та же планисфера с северным полюсом мира в центре, но на нее накладывают бумажный лист с прорезом в середине. Прорез этот ограничивает по горизонту данной широты видимую часть небесной сферы.

В основном остается то же неудобство, т. е. надо помнить, что карта представляет небо, если смотреть на него снизу вверх. Делать так неудобно по многим причинам. Наше зрительное восприятие есть сложный процесс. Много значит привычное положение головы. Автору этой статьи пришла мысль построить подвижную карту звездного неба для того, чтобы ставить ее перед собой и смотреть на нее так же, как мы смотрим на звездное небо. Карта эта, системы Кандаурова, построена следующим образом. В виде рамки применена не линия горизонта, соответствующая широте места, а прорез в виде арки или окна. Окон этих два, одно — на север, другое — на юг. Соответственно и карт две: одна — для северной стороны, другая — для южной стороны неба. Прорез окон сделан с таким расчетом, чтобы карта годилась для широт от 40 до 60°. В этой полосе северного полушария земного шара живет наверно около трех четвертей всего его населения. Обе карты совмещены на одном листе картона и дают возможность поставить в прорез окна ту картину звездного неба, которая представляется в данный день и час. Часы взяты в пределах 12 часов суток, от 6 вечера до 6 утра. Издана она Педагогическим институтом г. Калинина, куда и надо обращаться за ней.

Рассмотрим вопрос об использовании этой карты на уроках астрономии. Необходимо иметь в школьной библиотеке такое количество карт, которое хватило бы на класс, из расчета одна карта на двоих или троих учащихся, т. е. 10—15 карт. Имея карты в руках, учащиеся под руководством учителя знакомятся со звездным небом, связывают с ним учение о звездной сфере и ее суточном движении и перемещении цо ней Солнца, Луны, планет. На уроках можно проработать ряд следующих вопросов:

1. Научиться находить Полярную звезду на северной стороне неба, руководясь звездами-указателями из семи главных звезд Б. Медведицы.

Тут можно указать, что созвездие М. Медведицы нелегко находить, так как средние звезды в ней очень слабы. Тут же выяснить, что понятие созвездия имеет два смысла: группа ярких звезд и область неба с условными границами. Слова „туманность в созвездии Б. Медведицы“ не надо понимать так, что этот объект находится внутри семизвездия. Так как беседа будет происходить осенью, удобно поставить карту срединой сентября на полночь. Высоко над Полярной будет Кассиопея, на востоке Возничий с яркой Капеллой, на западе Лира с яркой Вегой. Ярких, выдающихся звезд, имеющих собственные имена, так мало, что их нужно выучить наряду с главными созвездиями.

Конечно, тут же надо выяснить суточное движение звездного неба на его северной стороне. Чтобы проверить, поняли учащиеся или нет, надо спросить: как будут расположены звезды к 6 час. утра, в полдень (когда звезды не видны), к 6 час. вечера и т. п.

Жителям северной половины земного шара помогает находить полюс мира близость к нему Полярной звезды. Между этой звездой и полюсом мира может уложиться около трех лунных дисков.

В ближайшие к уроку звездные вечера следует познакомить учащихся с видом неба, чтобы они научились от карты переходить к звездному небу, и наоборот; условиями конструкции вызвано то, что на карте северной стороны отсутствуют близкие к горизонту участки неба с восточной и западной стороны. Эти участки перенесены на карту южной стороны неба.

Для наших широт звезды северной стороны карты неба не заходят и всю суточную параллель описывают над горизонтом.

2. Познакомимся, что видно на южной стороне неба в полночь в середине сентября. Карта так смонтирована, что установка, сделанная по северной стороне, годна и для южной стороны, или наоборот. Звезды Капелла Возничего и Вега Лиры связывают обе карты, повторяясь на них. Здесь следует ознакомиться с созвездиями Орла, Лебедя, квадратом Пегаса (указав, что одна из угловых звезд квадрата относится к созвездию Андромеды), Тельца, Лебедя и т. д. Главное— усвоить суточный путь звезд над горизонтом, их восход, кульминацию и заход. В этом изображении движения звездного неба карта является как бы школьным планетарием.

3. На карте южной стороны нанесен небесный экватор. Его положение на небе таково, что горизонт он рассекает в точках запада и востока, а над точкой юга поднимается тем выше, чем дальше поднимаемся мы по земле в южную сторону. Часть звезд южного полушария никогда у нас не восходит. Там, в той части неба, находится южный полюс мира. В этой точке, невидимой у нас, помещена опора для вращения карты.

4. На карте южной стороны неба нанесена эклиптика. Это — линия, которую проходит на небе центр солнечного диска в течение года. Внизу на раме нанесен чертеж, изображающий на эклиптике Солнце в 12 положениях, отнесенных к 22-му числу каждого месяца.

Сравнивая этот чертеж с картой, можно выяснить, почему в разное время года мы видим ночью разные звезды.

5. Учитывая перемещение солнца по звездному небу, в сочетании с суточным вращением небосвода, легко выяснить различие между звездным и солнечным счетом времени.

6. На карте легко проследить положение эклиптики в разное время года и в разное время суток с вечера до утра. Путь собственного движения для луны и планет лежит недалеко от эклиптики, и ряд созвездий, лежащих вдоль эклиптики, так называемых зодиакальных, необходимо усвоить прежде всего. В этой полосе надо научиться находить планеты. Зная их положение по астрономическому календарю, нетрудно выяснить наиболее выгодное время их наблюдения.

7. Имея в виду взаимное положение луны и солнца в первой четверти, в полнолуние и в последней четверти, легко заметить, что луна весной очень удобна для наблюдения вечером в первой четверти, а осенью — утром в последней четверти. Зимой полная луна высоко, а летом — низко.

Разобранные примеры не исчерпывают всех случаев применения звездных карт как учебного пособия. Редко, лишь урывками, приходится наблюдать звездное небо, и невелик срок, отводимый на курс астрономии. По необходимости центр тяжести с наблюдений переносится на классные пособия, и подходящая звездная карта дает возможность многого достигнуть.

Самое важное, чтобы учащиеся, выйдя из школы, вынесли уменье пользоваться звездной картой и усвоили элементарные сведения о мироздании. По выходе из школы они смогут тогда самостоятельно пополнять свои знания, сумеют и других многому научить.

ПРИБОР ДЛЯ ДЕМОНСТРАЦИИ ВРАЩЕНИЯ ВИТКА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

А. КАЛАШНИКОВ (Москва)

Одним из сложных вопросов учения об электричестве является вопрос о связи между электрическим током и механическим движением проводника, происходящим в магнитном поле. Обычно для изучения этого вопроса на демонстрации применяют станок Ампера, а в пояснение приводят чертеж вращающейся в магнитном поле рамки. Этот чертеж служит как для пояснения возникающих здесь индуктивных токов, так и для объяснения направлений и характера движений рамки, если по ней идет электрический ток (рис. 1). Однако, разрыв между демонстрационной установкой и способом объяснения взаимодействий магнитного поля и проводника в форме витка или рамки, который обычно употребляется на чертежах, несомненно, является методическим дефектом.

Для устранения этого дефекта мной была предложена конструкция, которая полностью

воспроизводила бы конфигурацию вышеуказанного схематического чертежа (рис. 2). Эта конструкция была осуществлена под моим руководством механиком опытно-показательной школы им. Радищева И. М. Тихомировым и затем окончательно доработана в Институте политехнического образования.

В основе конструкции, которую легко можно изготовить в школе, лежит большой магнит от магнето. К полюсам этого магнита приставляется насадка, состоящая из железных наконечников, выгнутых по окружности, между которыми вращается виток в форме рамки. Концы витка прикрепляются к коллектору особой формы, который дает возможность путем передвигания щеток получить соединение с рамкой для переменного и для постоянного тока.

Для изготовления этого прибора надо взять подковообразный магнит от магнето с внутренним расстоянием между полюсами от 70 мм и больше. Далее надо изготовить следующие основные части прибора: 1) 2 полукольца из мягкого железа, 2) подшипники, 3) виток, 4) ось, 5) коллектор, 6) шкив, 7) щетки, 8) подставку.

1) Полукольцевые наконечники можно изготовить различным путем. Можно взять полосовое железо 40 X Ю мм, длиной 0,5 м; с помощью горячей поковки выгнуть фигуру, профиль которой показан на рисунке 3. Далее напильником выравнивают наружные части концов (к), чтобы они плотно входили между полюсами магнита. Между концами (к) вставляют кусок дерева вровень с наружными краями, просверливают в железе по два отверстия и стягивают шурупами (рис. 4). После подгонки кольца к магниту кольцо разрезают в верхней части в двух местах по указанным на рисунке линиям так, чтобы расстояние между верхними концами кольца было не меньше нижнего зазора (рис. 5).

Можно также взять кольцо из железа соответствующих размеров, разрезать его в трех местах, как указано на рисунке 6, и к двум большим кускам приварить по куску плоского железа для междуполюсных наконечников.

2) Подшипники делаются из металлических полосок — железо или латунь, 15 X Зл*л/, длиной в 120 и в 100 мм (рис. 7). Одну полоску

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3. Рис. 4.

Рис. 5.

Рис. 6.

сгибают в двух местах так, как показано на рисунке, а другую не сгибают.

3) Виток представляет собой по существу ряд последовательно соединенных между собой витков тонкой проволоки, образующих плоскую катушку. Можно взять и один виток из толстой медной проволоки и все нижеуказанные опыты провести с ним, только с меньшим количественным эффектом; с методической же стороны замена одного витка из толстой проволоки витком, состоящим из нескольких тонких проволок, является вполне допустимой. Для изготовления такого витка надо взять прямоугольную деревянную дощечку, у которой длинная сторона должна быть на 14 мм меньше внутреннего диаметра кольца. На ребро такой дощечки наматывают изолированную медную проволоку, диаметром 0,4 мм, от 30 до 35 оборотов. Намотанную проволоку в нескольких местах связывают ниткой, снимают обмотку с дощечки и сплошь обматывают тонкой тесьмой. Затем виток покрывается спиртовым или масляным лаком и окрашивается в желтый или оранжевый цвет (рис. 8).

4) Ось делается из куска стальной или железной проволоки, диаметром в 4 мм, и на концах затачивается так, как показано на рисунке 9. Короткий конец запиливается немного на конус и на него насаживается деревянный или эбонитовый цилиндрик для коллектора.

5) Коллектор делается из латунной или медной трубки диаметром в 15—20 мм и длиной в 20 мм. Трубка размечается так, как показано на рисунке 10; затем по плоскости abc разрезается лобзиком поперек, а по плоскости abde — вдоль. По линиям распила надо опилить трубку на 0,7 мм. Полученные 2 кольца с полукольцами плотно пригнать на деревянном или эбонитовом цилиндрике так, чтобы меясду двумя частями коллектора был зазор до 1,5 мм. В деревянном цилиндрике просверливают параллельно оси отверстие для пропуска провода от витка. Виток, ось, коллектор собирают вместе, причем виток привязывается нитками по средней линии к оси, а концы от витка припаивают к обеим частям коллектора (рис. 8).

Для укрепления подшипников вырезают картонный круг, плотно входящий в кольцо полюсных наконечников, и по центру этого круга привинчивают к деревянной пластинке между ними с той и другой стороны подшипники.

6) Щетки делаются из жести в форме, указанной на рисунке 11; в месте соприкосновения с коллектором ширина их должна

Рис. 7.

Рис. 8.

Рис. 9.

Рис. 10.

Рис. 11.

быть не больше 4 мм, в месте а они изгибаются между губками двух плоскогубцев поворотом их на 90°. Для придания большей жесткости щетки можно слегка изогнуть вдоль.

На той стороне бруска между полюсными наконечниками, где помещается изогнутый подшипник для коллектора, по бокам его ввертываются две клеммы (стандартные от радио). К ним поджимают сделанные щетки (рис. 12).

7) Собранную таким образом основную часть прибора укрепляют на подставке, показанной на рисунке 13; при этом расстояние от нижней плоскости подставки рассчитывается таким образом, чтобы магнит мог свободно выниматься и снова надеваться на полюсные наконечники. Для нижеуказанного опыта 6 нужно сделать кольцо, форма которого дана на рисунке 14, а также изогнуть щетку так, как указано на рисунке 11(a).

С этим прибором можно проделать следующие опыты:

1. Поворот рамки в ту или другую сторону в зависимости от направления тока и направления поля; в этом случае щетки ставятся на кольца, и в цепь витка включается последовательно источник постоянного тока. Ставя плоскость рамки в положение, параллельное силовым линиям магнитного поля, меняя затем направление тока и перевертывая магнит, можно показать все случаи взаимодействия витка с током и поля.

Для опыта нужен ток на 4 вольта. При этом по витку идет ток приблизительно в 2,5 ампера.

2. Устойчивое и неустойчивое положение витка с током, когда плоскость его перпендикулярна силовым линиям поля.

Установка такая же, как и в прошлом опыте, только виток ставится перпендикулярно силовым линиям поля. Учащимся разъясняется, что в этом случае мы имеем пару сил, причем при одном направлении тока эта пара направлена в противоположные стороны вне рамки, а при другом направлении — внутри рамки: первое положение — устойчивое, второе—неустойчивое, при котором рамка поворачивается при малейшем толчке на 180°; условия те же, что и в предыдущем опыте.

3. Непрерывное вращение витка. Для этого щетки ставятся на полукольца, а рамка — в положение, параллельное силовым линиям; тогда при замыкании тока в рамке она приходит в быстрое вращение. Принцип электромотора здесь дается в предельно наглядном виде (виток вращается при напряжении даже в 2 вольта).

4. Получение переменного тока во вращающейся рамке. Шкив оси рамки соединяется путем бесконечного шнурка с каким-либо колесом (с центробежной машиной, с большим блоком на оси и т. д.). Щетки ставятся на кольца и соединяются с гальванометром. При медленном вращении рамки, примерно один оборот в секунду, стрелка гальванометра будет отклоняться то в одну, то в другую сторону от нулевого положения.

Гальванометр для этого опыта нужен с чувствительностью 10~4 степени ампера на 1 деление.

5. Получения постоянного тока во вращающейся рамке.

Установка такая же, как и в предыдущем опыте. Щетки ставятся на полукольца. При вращении рамки гальванометр отмечает пульсирующий ток одного направления.

6. Зависимость электродвижущей силы от числа пересекаемых силовых линий. Если имеется зеркальный гальванометр, то, включив его вместо стрелочного так, как в прошлом опыте, можно показать изменение величины электродвижущей силы в зависимости от числа пересекаемых силовых линий. Для этого ставят виток в положение, параллельное силовым линиям; давая небольшой поворот рамки от руки (на угол 10-—15°), получают сильный

Рис. 12.

Рис. 13.

Рис. 14.

размах зайчика гальванометра. Переведя виток в нейтральное положение и делая около него такой же поворот с такой же скоростью, убеждаются, что размах значительно меньше.

Для наглядности можно перед рамкой поставить стекло с нанесенными на него тонкими белыми линиями (путем наклейки белых ниток, узких полос бумаги и т. д.). Тогда при вращении витка наглядно видна связь между электродвижущей силой и изменением числа силовых линий, проходящих при данном повороте через контур рамки.

Этот в методическом отношении очень важный опыт можно произвести и со стрелочным гальванометром, если несколько изменить форму кольца коллектора и одной из щеток. На переднее кольцо коллектора надевается второе кольцо с выступом (рис. 14), вращающееся с трением на основном кольце. Одна из щеток изгибается таким образом, чтобы она могла на мгновение касаться выступа кольца при вращении рамки (рис. 11). Помещая выступ кольца в различные положения на окружность и соответствующим образом изгибая щетку, можно и на стрелочном гальванометре убедиться в изменении электродвижущей силы в зависимости от числа пересекаемых силовых линий.

Для опытов 4 и 5 особенно подходит зеркальный гальванометр Физического института при Ленинградском государственном университете; опыт 5 для небольшого круга лиц можно поставить и со стрелочным гальванометром того же института.

О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ МАГНИТОВ С ОДНОИМЕННЫМИ ПОЛЮСАМИ

Л. КОВАЛЕВА (Ленинград)

1. Введение

Целью предлагаемой статьи является выяснение парадоксального явления смены отталкивания между одноименными полюсами магнита притяжением. В ней рассматривается, как можно устранить это явление и в яркой форме продемонстрировать наличие отталкивающих сил между одноименными магнетизмами. Начиная говорить о взаимодействии магнитов, учебники обычно приводят основное положение о том, что разноименные полюса магнитов взаимно притягиваются, а одноименные— отталкиваются. Для того чтобы убедиться в этом, предлагают проделать целый ряд опытов, например: поднести магнит к одному и другому концу стрелки. Эти опыты иногда приводят к неожиданным результатам, а для учащихся, впервые получивших в руки магнит, явятся не подтверждением, а опровержением слов педагога. При поднесении северного полюса стрелки к одноименному концу магнита или электромагнита он оттолкнется, и стрелка повернется, но на близком расстоянии вы будете наблюдать, как одноименные концы стрелки и магнита притянулись. Возьмем наугад два магнита и сблизим их одноименными полюсами. Вместо ожидаемого отталкивания, во многих случаях будем наблюдать притяжение. То же явление обнаружится и при сближении электромагнитов, причем сила, с которой они притягиваются при приближении одноименными полюсами, лишь несколько меньше нормальной силы притяжения.

Все это не является, разумеется, опровержением вышеизложенного положения о взаимодействии полюсов, но напоминает о том, что этот вопрос гораздо сложнее и требует дополнительных объяснений.

При сближении двух магнитов одноименными полюсами поле первого магнита оказывает размагничивающее действие на поверхностные слои второго, и наоборот. Поэтому мы и наблюдаем в некоторых случаях отталкивания, а в других, когда один из магнитов размагнитился или когда произошло поверхностное перемагничивание — наблюдаем притяжение магнитов одноименными полюсами. Для выяснения разницы в действии одноименных и разноименных полюсов друг на друга обычно пользуются магнитными спектрами. Но тут при помощи магнитных спектров нельзя увидеть коренного изменения в распределении линий сил при наступившем размагничивании, т. е. когда одноименные полюса притягиваются.

Опыты с постоянными магнитами

Интересной и важной в методическом отношении является постановка опытов, при помощи которых можно видеть непосредст-

Рис. 1.

венное движение магнита под влиянием сил отталкивания другого магнита при сближении их одноименными полюсами.

Здесь можно сделать нижеследующие опыты :

1. Обычно для демонстрации этого явления пользуются магнитной стрелкой, которую располагают сначала около одного, потом около другого конца магнита, но, как уже было указано, одноименные полюса стрелки и магнита на близком расстоянии друг от друга притянутся.

2. Взяв два одинаковых по величине и силе круглых магнита и расположив их на ровной поверхности, например на куске стекла, параллельно друг другу, будем постепенно сближать их одноименными полюсами, подвигая один к другому (рис. 1).

Тогда сила отталкивания обнаружится в откатывании одного магнита от другого.

3. На тележки с хорошо центрированными колесами, поставленные на гладкую поверхность, положить по подковообразному магниту так, чтобы одноименные полюса были друг против друга. При приближении одной тележки другая начинает откатываться или обе тележки раскатываются в разные стороны, если в момент соприкосновения одноименных полюсов устранить механические причины, препятствующие движению (рис. 2).

Последний случай относится к магнитам из хорошей магнитной стали. Если на тележках лежат обыкновенные магниты или магниты, различные по силе и из разной стали, то при непосредственном соприкосновении обнаруживается явление перемагничивания: магниты притянутся, и, потянув одну тележку, можно заставить другую двигаться в ту же сторону.

Уже из этих опытов мы можем сделать следующие выводы: для того чтобы отталкивание одноименных полюсов проявлялось достаточно ярко, необходимо брать магниты, равнозначные по силе и из одинакового материала— стали, коэрцитивная сила которой должна быть возможно больше. Размагничивающее действие одноименных полюсов особенно сильно сказывается на небольших расстояниях друг от друга одноименных полюсов магнитов, неравных по своим магнитным массам.

Опыты с электромагнитами

Работа с электромагнитами подтверждает все вышесказанное и прибавляет некоторые характерные особенности. Воспроизведение явления отталкивания на электромагнитах представляет еще большую трудность из-за необходимости иметь ток большой силы и подбора одинаковых магнитов.

1. Интересным случаем явилось бы непосредственное висение одного электромагнита над другим вследствие наличия сил отталкивания. Но это является трудно осуществимым, так как требует большой силы магнита (при обычных железных и стальных сердечниках), а, следовательно, или большого числа витков или сильного тока. Увеличение числа витков увеличит сильно вес магнита, что является невыгодным, а увеличению тока ставит предел сечение проводника. Можно заменить: этот опыт следующим.

Верхний прямой электромагнит уравновесить на весах и подвести к нему снизу одноименными полюсами другой электромагнит (рис. 3); тогда, несмотря на небольшую силу взаимодействия, получится поднимание верхнего электромагнита на большое расстояние. Снова приводя весы в равновесие (не включая тока), можно определить силу взаимодействия.

Чтобы электромагниты не поворачивались и не соскальзывали, их нужно заключить между двумя параллельными стеклами.

2. Два прямых электромагнита одинаковых размеров и с одинаковым числом витков (на-

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

пример число витков на 1с* =10, число слоев = 4) кладем на тележки. Включаем обмотки электромагнитов в цепь при помощи гибких проводников параллельно, ставя в каждой параллельной цепи амперметр и в одной из них реостат (рис. 4). Подводим тележки на близкое расстояние и включаем ток. Тележки притянулись. При помощи амперметров устанавливаем, что сила тока, проходящего по электромагнитам, различна. Теперь начинаем выключать реостат, добиваясь равенства силы тока в обеих цепях. В определенный момент магниты начинают отталкиваться, и тележки отходят друг от друга в разные стороны. Амперметры регистрируют одинаковую силу тока в обеих цепях. На этом опыте особенно наглядно может быть продемонстрирована необходимость иметь одинаковые магниты для получения явления отталкивания одноименных полюсов. Стоит только увеличить или уменьшить в одной цепи силу тока, т. е. нарушить равенство магнитов, как вместо отталкивания обнаружится притяжение.

Сравнение силы различных магнитов и оценка устойчивости постоянных магнитов

Отталкивание одноименных полюсов наиболее ярко проявляется у магнитов, равных по магнитным массам. Если есть два электромагнита, различных по числу витков и площади поперечного сечения, но сердечники которых сделаны из одинакового материала, то можно добиться их равновеликости, пользуясь следующей формулой:

где п — число витков на 1 см, / — сила тока и а — площадь поперечного сечения.

Таким образом, равновеликости электромагнитов можем достигать, комбинируя число витков и силу тока. Подбор постоянных магнитов одинаковой силы может быть легко осуществлен экспериментально, способом обычного демонстрационного гальванометра.

Возьмем катушку медной проволоки с отверстием, в которое входили бы два сравниваемых магнита, и присоединим ее к демонстрационному гальванометру (рис. 5). Если в такую катушку одновременно вводить два равносильных магнита, сложенных противоположными полюсами, то гальванометр не будет обнаруживать индукционного тока. Если один из магнитов будет сильнее, то гальванометр даст некоторое отклонение при вводе магнитов или выводе. Направление этого толчка тока укажет, какой из взятых магнитов является более сильным. Более точное измерение силы постоянных магнитов производится при помощи баллистического гальванометра*.

Заключение

В заключение необходимо остановиться на том, какое значение имеет четкое представление о явлении размагничивания магнитов при сближении их одноименными полюсами.

1. Вопрос этот не разработан теоретически. В результате этого целый ряд формул на взаимодействие между магнитами можно применять только для случая притяжения и на опыте выводить поправки на отталкивание.

2. Кроме чисто физического значения, выяснение вопроса о размагничивании представляет интерес и с точки зрения методологии.

В явлениях магнетизма притяжение и отталкивание вполне компенсируют друг друга. А между тем, потому, что притяжение находит более широкое применение в производстве (например электромагниты) и потому, что отталкивание, благодаря размагничиванию, является труднее воспроизводимым, может создаться у учащихся впечатление о преобладании именно притяжения. А между тем, Энгельс, разбирая

Рис. 5.

* Описание этого способа измерения силы постоянных магнитов можно найти в книге А. Н. Бойко—„Постоянные магниты“, 1934 г.

вопрос о притяжении и отталкивании, подчеркивает, что „отталкивание представляет обыкновенно активную сторону процесса, более наделенную движением или требующую притока движения, а притяжение — пассивную сторону его, делающую излишним движение и выделяющую его“*.

Руководствуясь этим при демонстрации притяжения и отталкивания в магнетизме, нужно особый упор сделать на демонстрацию отталкивания и выяснить причины всех случаев, когда равенства между этими явлениями не наблюдается.

3. Разбор вопроса о размагничивании одноименных полюсов в школе диктуется еще следующими соображениями: во-первых, этот вопрос будет подниматься более любознательными учащимися, которым в их кружковой любительской работе пришлось иметь дело с магнитами; кроме того, важным и больным вопросом в школе является привитие ребятам навыков правильного обращения с приборами и материалами, а без выяснения явлений размагничивания преподнесенные правила обращения с постоянными магнитами окажутся голословными.

В качестве дополнения нужно сказать, что силы отталкивания магнитов могут быть очень рационально использованы в опытах к III закону Ньютона. Для этого можно использовать второй опыт с электромагнитами — опыт с разбегающимися тележками. Сила отталкивания одноименных полюсов друг от друга будет заставлять тележки разъезжаться в разные стороны после того, как мы подожжем нитку, их связывающую (рис. 6).

Такая демонстрация закона на явлениях различного характера является вполне оправданной.

Рис. 6.

ШКОЛЬНЫЙ ТЕЛЕСКОП ИЗ СТЕКОЛ БИНОКЛЯ**

А. ГЛАЗЫРИН (Уфа)

Редкая школа имеет в своем распоряжении хотя бы плохонький телескоп для наблюдения неба, между тем всем известно, с какой жаждой многие школьники мечтают о „трубе“, в которую можно было бы взглянуть на лунные горы, посмотреть на фазы Венеры, пятна на Марсе или на загадочные кольца Сатурна.

Отсутствие телескопов на рынке и их крайне высокая цена лишают большинство школ возможности иметь этот необходимейший оптический инструмент.

Самые доступные для школы оптические инструменты — это бинокль и микроскоп. Но в бинокль на небе много не увидишь — мало увеличение.

Однако, имея бинокль (трубу Галилея) и микроскоп или вообще какой-либо окуляр (хотя бы от зрительной трубы или сложную лупу, например лупу Лейтца), можно сделать довольно хороший телескоп, которому будут доступны не только горы на Луне и спутники Юпитера, но и фазы Венеры, полосы на диске Юпитера, многие двойные звезды и т. д.

Телескоп этот, в отличие от обычных (труба Кеплера), обладает двумя большими преимуществами :

1. Имея всего лишь один окуляр, он может менять увеличение в непрерывной последовательности между довольно широкими пределами.

* Энгельс — „Диалектика природы“, 1931 г., стр. 171.

** От редакции. Помещая статью А. И. Глазырина, описывающую изготовление простыми средствами небольшого телескопа, нельзя не отметить следующее:

1) Предлагаемая комбинация линз применялась и раньше; вогнутая линза носит название линзы Барлоу.

2) Несомненно, что окраска изображения и дифракционная картина будут значительно уменьшать ясность изображения, что будет ставить предел разрешающей силе телескопа.

3) Поле зрения телескопа очень ограничено.

Так как описанная конструкция очень просто осуществима, то желательно проверить ее коллективным опытом, почему редакция считает целесообразным помещение этой статьи, несмотря на указанные недостатки телескопа.

Редакция обращается с просьбой ко всем сделавшим подобного рода телескопы сообщить о его качествах и о том, какие объекты при помощи его удается наблюдать.

Особое значение этот телескоп может иметь для биологических наблюдений, на что указывает и автор.

Рис. 1.

2. Этому телескопу доступны как тела бесконечно удаленные, так и близко находящиеся (до 0,7—1 м) от трубы, и тогда телескоп становится микроскопом для наблюдения предметов на близком расстоянии, что важно, например, для натуралиста при наблюдении разных мелких насекомых и т. д. При этом увеличение микроскопа также может меняться в непрерывной последовательности в широких пределах. Недостатком является малое поле зрения.

Минимальное увеличение телескопа диктуется фокусными расстояниями объектива и окуляра, а максимальное — длиной сделанной трубы и, главное, диаметром объектива и яркостью рассматриваемого объекта.

Телескоп состоит из трех стекол: 1) объектива, 2) рассеивающего стекла, меняющего фокусное расстояние объектива и 3) окуляра.

Расположение стекол такое, как указано на рисунке 1.

От бинокля, лучше полевого, но не призматического, отвинчивают один из объективов и соответствующий окуляр. Объектив бинокля служит объективом телескопа, а окуляр (двояковогнутый) бинокля служит для телескопа вторым стеклом. Из тонкого картона или плотной (например чертежной) бумаги склеивают трубку, туго накатывая картон или бумагу на деревянный цилиндрический каток, сделанный по диаметру объектива, тщательно проклеивая всю бумагу столярным клеем. Когда трубка накатана достаточной толщины (3—4 мм), ее обрезают, оставляя длину сантиметров на 8 больше фокусного расстояния объектива.

Объектив вставляют в один из концов трубки, следя за тем, чтобы объектив был перпендикулярен к оси трубки, а наружу был бы обращен той стороной, как и в бинокле, т. е. выпуклой.

Если есть токарный станок, то объектив можно вточить в деревянное кольцо, а последнее вставить в трубку.

Объектив следует крепить как можно лучше. Окуляр бинокля (рассеивающая линза) служит для изменения фокусного расстояния объектива и, стало быть, для изменения увеличения телескопа. Помещается он подвижно между объективом и главным его фокусом.

Для этой линзы следует скатать другую трубку, соответственно меньшего диаметра, и также с одной стороны хорошо укрепить в ней окуляр бинокля, но внешнюю сторону окуляра направить внутрь трубки. Трубка окуляра должна плотно, но подвижно, входить в трубку объектива тем концом, на котором укреплен окуляр бинокля. Если разница в диаметрах трубок слишком велика, то между ними придется вставить втулку, выточенную из дерева или также сделанную из картона достаточной длины, чтобы собранная труба не прогибалась. Эту втулку можно прикрепить к трубке объектива или к трубке окуляра бинокля. Длина второй трубки зависит от желаемого увеличения: короткая трубка — для небольших и длинная — для больших увеличений. Длину ее легко установить из опыта, но обычно я делал две трубки: одну — длиной сантиметров в 15—20 и другую — сантиметров в 30 — 40. Так как в бинокле два окуляра, то можно в каждую трубку вставить по окуляру и при их смене не возиться с установкой стекла.

Окуляром для телескопа служит любой собирающий окуляр от микроскопа или зрительной трубы. Для него делается третья трубка, которая должна плотно, но подвижно, входить во вторую трубку с рассеивающей линзой. Собрав эти трубки, как указано на рисунке, мы получаем телескоп.

Третьих трубок можно сделать тоже две, такой же длины, как и соответственная вторая трубка.

Выдвигая среднюю трубку из объективной, т. е. приближая рассеивающую линзу к главному фокусу объектива и вдвигая соответственно окулярную трубку, мы получаем небольшие увеличения (фокусное расстояние системы, — объектив — рассеивающее стекло,— уменьшается, трубка становится короче). Вдвигая среднюю трубку в объективную, т. е. приближая рассеивающее стекло к объективу и выдвигая соответственно окулярную трубку,

мы получаем большие увеличения (фокусное расстояние системы, — объектив — рассеивающее стекло,—увеличивается, трубка становится длиннее).

Надо иметь в виду, что небольшое передвижение средней трубки вызывает значительное изменение в увеличении и, следовательно, значительное передвижение окулярной (третьей) трубки.

При наблюдении небесного объекта следует постепенно изменять положение стекол и остановиться на наиболее лучшем увеличении. Стекла от хорошего полевого бинокля с диаметром объектива в 35—40 мм позволяют сделать телескоп с увеличением от 20 до 120.

Если телескоп дает мешающую наблюдению окраску или мутный ореол, особенно заметный по краям яркого предмета, например луны на темном фоне неба, то необходимо ставить у объектива диафрагму (картонный кружок с отверстием посредине). Величина отверстия делается максимальной, при которой окраска или рассеивание становятся не мешающими наблюдению. Внутреннюю часть трубы и диафрагму следует окрасить в матовый черный цвет или оклеить черной бумагой (например употребляемой для упаковки фотопластин и фотобумаги).

Наводя трубу на кирпичную стену или покрытую железом крышу, нетрудно определить увеличение телескопа. Смотрим одним глазом в трубу, а другим — непосредственно на предмет, видимый простым глазом. Увеличение получим, сосчитав, сколько рядов кирпичей, видимых простым глазом, покрывается одним слоем кирпича, видимым в телескоп. На второй и третьей трубках следует нанести соответствующие деления (в местах входа их в соответствующие трубки), с обозначением увеличения при данном положении стекол. Эти деления, во-первых, дадут возможность судить о данном увеличении при наблюдении неба, а, во-вторых, помогут быстрее наводить трубу на фокус.

Без делений предварительную наводку делаем, передвигая вторую трубку в первой. Когда рассматриваемый предмет вырисуется довольно ясно, то передвижением окуляра (третьей трубки) окончательно наводим на фокус.

Если увеличение нас не удовлетворяет, то слегка передвигаем в ту или другую сторону вторую трубку и соответственно перемещаем третью трубку.

Если нет бинокля, то можно сделать такой же телескоп из очковых стекол. Для объектива следует выбрать собирающее стекло с фокусным расстоянием в 50—80 см. Среднее, рассеивающее стекло должно иметь фокусное расстояние в 12— \8 см, и лучше, если оно будет сделано из тяжелых сортоз стекла (флинтглас).

Окуляр очковыми стеклами не заменить, его придется достать от какого-либо прибора. Телескоп из очковых стекол будет сильнее окрашивать предметы, и диафрагмы к нему придется ставить с небольшими отверстиями (миллиметров 15—20). Но все же и с таким телескопом я наблюдал кольца Сатурна, полосы на Юпитере, горы на Луне, доводя увеличение при наблюдении Луны до 60.

Для наблюдения в трубу ее необходимо прочно, но подвижно, укрепить в соответствующий штатив. Здесь я не буду описывать устройство самодельных штативов, их описания можно найти в соответствующих книгах и журналах, но укажу, что с штативом Бунзена все же можно вести кое-какие наблюдения.

Тот же телескоп может служить и микроскопом, для микроскопического рассматривания предметов, удаленных от трубы сантиметров на 70—100. Такой микроскоп очень удобен естествоиспытателю для наблюдения над жизнью насекомых, не мешая им непосредственной близостью и имея увеличение раз в 10—40 против натуральной величины.

В случае употребления телескопа для рассматривания микроскопических предметов приходится среднюю трубку значительно больше выдвигать из первой; это надо предусмотреть при выборе длин трубок, которые, как я уже говорил, определяются опытным путем.

В случае использования прибора в качестве микроскопа и увеличение мы также можем непрерывно менять. Кроме расположения стекол, на увеличение микроскопа влияет расстояние от предмета до трубы; чем ближе к трубе рассматриваемый предмет, тем больше увеличение.

Надеюсь, что школы, сделавшие телескопы, согласно изложенному здесь, получат неплохое пособие как при изучении астрономии, так и при изучении естественных наук.

ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ ЗА ГРАНИЦЕЙ

ОПЫТ ХАРАКТЕРИСТИКИ ШКОЛЬНЫХ ПРОГРАММ МАТЕМАТИКИ ВО ФРАНЦИИ И ГЕРМАНИИ

М. БЕРГ (Москва)*

Настоящая статья представляет собою попытку анализа заграничных программ по математике в средней школе сравнительно с нашими программами.

Имеющийся в распоряжении печатный материал ке может быть назван полным: из программ последнего времени мы имеем только программы французские, бельгийские и отчасти германские до фашистского периода. Италия, Швейцария, Австрия и Дания представлены более старыми программами, отпечатанными в книге, составленной проф. Д, М. Синцовым в 1914 г. в связи с работами Международной комиссии (УМИК) по реформе математического образования. В Англии и США средняя школа пользуется в широкой мере автономией: каждая школа составляет свою программу, единой программы нет; но об общем направлении реформы преподавания в этих странах дают некоторые СЕед.ния педагогические журналы. Интересные данные о проведении требований, выставлявшихся УМИК, сообщаются в книге проф. Феликса Клейна — „Элементарная математика с точки зрения высшей“, т. II.

В настоящей статье речь будет итти почти исключительно о французской и немецкой школах, так как именно они являлись ведудущими в работе по реформе преподавания. Только в создании курсов пропедевтики геометрии наиболее активно проявили себя Австрия, Америка и отчасти Англия, где, впрочем, уже в двадцатых годах XIX столетия отец философа Спенсера, сам учитель математики, проводил пропедевтический наглядный курс геометрии, но не нашел тогда последователей.

Так как наша советская школа есть школа массовая, то мог бы возникнуть вопрос о том, что для сравнения постановки преподавания у нас и за границей следовало бы ориентироваться на заграничную массовую школу. Но западноевропейская массовая школа (Secondaire во Франции, Bürgerschule в Германии) не дает полного среднего образования; доступ из нее в высшую школу закрыт, и мы обращаемся к программам полноценной средней школы, причем выбираем те типы ее, которые по кругу преподаваемых дисциплин ближе всего к нашей школе: такими являются во Франции циклы „В“ лицеев и колледжей с надстройкой классов специальной математики, готовящие в технические вузы и на физмат, в Бельгии—„Современный научный цикл“, в Германии—повышенные реальные училища (Oberrealschule) в Австрии — Realschule.

Притом, однако, необходимо отметить, что во Франции, Германии и Австрии учащиеся переходят в среднюю школу годом раньше, чем у нас. Программы младшего класса средней школы несколько ниже программ нашего V класса. Поэтому мы будем считать соответствующими нашему V классу во Франции Cinquième, в Германии Quinta, в Австрии Secunda. Но и при таком расчете срок обучения в этих странах продолжительнее, чем у нас: во Франции — 7 лет, в Германии и Австрии — 8 лет, против наших шести лет. Поэтому вполне естественно, что их программы значительно шире наших, и добиваться равенства в этом направлении весьма трудно.

Программы и способы их проведения в поименованных странах претерпели значительные изменения под влиянием вышеуказанной УМИК, работа которая была начата с первых годов XX в. и продолжалась до 1914 г., т. е. до начала войны. В комиссию входили целый ряд выдающихся математиков и методистов, из которых особо упомянем о Клейне и Бореле. На наши дореволюционные программы движение по реформе преподавания математики оказало тоже некоторое влияние,

* Центральный научно-исследовательский институт политехнического образования.

благодаря инициативе некоторых передовых русских профессоров; проводниками такого влияния были отчасти методические и научные журналы, отчасти научно-педагогические общества и съезды.

В предлагаемой статье программы обследуются в следующих направлениях: 1) по тому базису, который дает низшая школа; 2) по объему; 3) по распределению учебного материала по классам и методам его прохождения; 4) по той подготовке, которую младшие классы дают для восприятия новых точек зрения и обобщений в последующих классах.

1. Подготовка, даваемая начальной школой

В Западной Европе дети поступают в начальную школу не позже семилетнего возраста, т. е. до достижения возраста, соответствующего нашему V классу, учатся не меньше 5 лет. В начальной школе главный упор делается на полное усвоение вычислений над целыми числами: дети вполне овладевают письменным и устным счетом, усваивают употребительные меры метрической системы, причем переход от одних единиц к другим естественно приводит к распространению десятичной системы счислений на „десятичные числа“ и простейшие действия над ними, т. е. к сложению и вычитанию несложных десятичных дробей, а также к умножению и делению их на целые числа.

Систематическое изучение дробей откладывается до средней школы, но предварительную подготовку дает начальная школа наглядным ознакомлением детей с простейшими дробями, их записью и вычислением частей целого.

Кроме того, начальная школа дает еще наглядный пропедевтический курс геометрии, начинающийся со второго или третьего года обучения и проводимый, таким образом, в течение трех-четырех лет. Этот курс, чисто практический, знакомит учащихся с простейшими плоскими фигурами и пространственными формами: работы по вычерчиванию, вырезанию, склеиванию, раскраске в соединении с измерением и элементарными подсчетами дают возможность приводить учащихся к вскрытию простейших соотношений в области геометрии.

2. Объем программ

Арифметика

Во Франции и в Германии (до фашистского периода) систематический курс арифметики, начатый в начальной школе, продолжался в течение трех лет (Cinquième, Quatrième, Troisième и Quinta, Quarta, Untertertia), причем первые два года посвещаются весьма обстоятельному и постепенно усложняющемуся усвоению обыкновенных и десятичных дробей и применению их к решению задач, особенно на „тройные правила“ и проценты. Третий год во Франции посвящается подытоживанию интуитивно усвоенных уже знаний об основных законах арифметических действий и учению о пропорциональности, причем одновременно учащиеся знакомятся с буквенным обозначением чисел и составлением простейших уравнений, легко разрешаемых по соображению, без применения алгоритма. В Германии систематическое изучение законов арифметических действий переносится на занятия по алгебре, но зато круг решаемых задач с применением буквенных обозначений расширяется: производятся расчеты, относящиеся к городскому и государственному хозяйству. Во Франции в специальных классах математики проходится еще теоретический курс арифметики, в который входит также вопрос о приближенных вычислениях, с которым учащие я практически ознакомлены раньше. Объем этого заключительного курса арифметики определяется известными учебниками, предназначенными именно для специальных классов математики.

Геометрия и тригонометрия

Школьная программа геометрии в том виде, как она представлялась до начала нашего столетия, складывалась постепенно, главным образом во Франции.

До средины шестнадцатого столетия геометрия изучалась исключительно по Эвклиду, и в этой форме изучение геометрии не могло проводиться успешно в школах и благодаря строго формально-логическому построению и благодаря сухому стилю элементов Эвклида.

Сознание того, что должен быть создан другой, наглядный, считающийся с запросами практической жизни курс геометрии, вызвало появление в конце шестнадцатого столетия учебника Петра Рамюса, имеющего чисто практическую установку, направленную на то, чтобы землемеры, строители и т. п. практические деятели могли почерпнуть в нем нужные им геометрические сведения. Подобные же цели заложены были знаменитым математиком Клеро в его учебнике геометрии, появившемся в 1741 г. Но, исходя в своем изложении из практических землемерных задач, Клеро вместе с тем дает и логическое построение курса элементарной геометрии. Такое построение курса оказалось вполне подхо-

дящим для подготовки инженеров и получило свое завершение в конце восемнадцатого столетия под влиянием Монжа присоединением курсов начертательной и аналитической геометрии.

Но как общеобразовательный предмет геометрия в изложенном виде требовала изменения; в основу изучения должна быть все-таки положена сама геометрия: необходимо было приблизиться опять к Эвклиду, изменив, однако, его стиль и сделав изложение более наглядным, усилив вместе с тем вычислительный элемент. Такая работа была выполнена Лежандром, учебник геометрии которого впервые появился в 1794 г. и над переработкою которого Лежандр работал впоследствии еще долго, внося изменения в построение, главным образом, учения о параллельных прямых. Этот курс Лежандра и явился определяющим для построения программ школьной геометрии и учебников не только Франции, но и большинства других стран Европы, в том числе Германии и России. Но уже до возникновения в 1908 г. УМИК этот курс был дополнен и во Франции и в Германии некоторыми вопросами „новой“ геометрии: учением о гармонических точках, трансверсалях, полюсах и полярах, а также элементами начертательной геометрии. Во французских классах математики проходится, кроме того, весьма полный курс аналитической геометрии, настолько подробно, что высшие технические школы Франции не включают этого предмета в свои программы, а требуют знания его на вступительном конкурсном экзамене. В Германии аналитическая геометрия на плоскости проходится менее подробно, но зато проходятся начала аналитической геометрии в пространстве. Вообще фузионистское направление преподавания геометрии в Германии проявляется больше, чем во Франции.

Преподавание тригонометрии в этих странах увязывается с геометрией более тесно, чем у нас. Впрочем, во Франции систематический полный курс тригонометрии, со включением начал сферической тригонометрии и приложений к геодезическим измерениям, откладывается до специальных классов математики. Учащиеся, не переходящие в эти специальные классы, знакомятся только с тригонометрией прямоугольного треугольника. В Германии тригонометрия — в нашем понимании— заканчивается до перехода в Unterprima; в старших двух классах UI и Ов1 присоединяются начала сферической тригонометрии с приложениями к геодезии и астрономии.

Алгебра

Программа школьной алгебры не имеет такого целостного характера, как программа геометрии. В научной математике под алгеброй до последнего времени понималось учение об „алгебраических“ уравнениях вместе с тем кругом вопросов, которые непосредственно соприкасаются с учением об уравнениях. Такие вопросы, как прогрессии, логарифмы, неопределенные уравнения, относятся не к алгебре, как таковой, а к другим отделам математики. Включение указанных вопросов в школьную программу вызвано практическими потребностями. Идейное объединение отдельных частей школьной алгебры возможно путем подчинения их вопросу об изучении функциональной зависимости величин, и такое объединение было проведено работою УМИК.

Несомненно, в школах Западной Европы геометрия как учебный предмет превалирует над алгеброй, чего нельзя сказать относительно нашей школы. Тождественные преобразования как рациональных, так и иррациональных выражений проходятся в Западной Европе несколько упрощенно и лишь постольку, поскольку это наобходимо для решения и исследования уравнений. Весьма важно отметить, что при решении уравнений принимаются в расчет только действительные корни; таким образом, квадратные уравнения делятся на две категории: на имеющие решение (или два решения) и не имеющие решения. Ознакомление с комплексными числами откладывается до старших классов (специальных во Франции и Prima в Германии), когда этот вопрос может быть трактуем с надлежащей полнотой, т. е. с геометрическим истолкованием сущности комплексных чисел и действий над ними и представлением их в тригонометрическом виде.

Элементы высшей математики

Кроме начертательной и аналитической геометрии, о которых упомянуто выше, в программу средней школы Франции и Германии входят также начала диференциального и интегрального исчислений. Из диференциального исчисления проходится: понятие производной, диференцирование основных функций и применение производных к задачам на касательные и на maximum и minimum. По интегральному исчислению: понятия неопределенного и определенного интегралов, простейшие случаи интегрирования и применение определенного интеграла к задачам геометрии, механики и физики.

Таким образом, средняя школа Франции и Германии дает по началам высшей математики, хотя в популяризованном освещении, значительную часть программы I курса наших высших технических школ.

3. Распределение и метод прохождения учебного материала по классам

Подход к распределению учебного материала по классам и метод его проработки, поскольку это находит отражение во французских инструкциях и немецких методических записках, крайне осторожны и вполне считаются с возрастом и уровнем развития учащихся. Выяснение каких-либо новых теоретических понятий всегда исходит из конкретных, вполне доступных пониманию учащихся задач.

В курсе арифметики, состоящем из учения о дробях и их приложениях к известным типам задач, выяснение основных свойств обыкновенных дробей происходит на примерах с весьма простыми знаменателями; действия выполняются вначале без разложения знаменателей на простых сомножителей и без вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного; лишь постепенно числовые данные усложняются, после чего даются общие методы выполнения действий над дробями: это проделывается лишь на втором году прохождения дробей; то же самое относится и к десятичным дробям, которые за первый год обучения (наш V класс) проходятся тоже в упрощенном виде, а во втором году заканчиваются непосредственно после того, как подытожены действия над обыкновенными дробями. Параллельно с этим решаются задачи на тройные правила, проценты и пропорциональное деление — также с постепенным усложнением как числовых данных, так и конкретного содержания. Необходимо еще отметить, что устному счету уделяется весьма большое внимание. Во Франции, кроме задач, содержание которых относится к практике повседневной жизни, решаются, хотя и в значительно меньшем числе, задачи элементарно-теоретического характера; такие задачи, довольно разнообразного содержания, имеются в сборнике, составленном под редакцией известного геометра Картана его сестрою, преподавательницей одной из парижских школ.

Наша дореволюционная школа уже на этой ступени преподавания, несомненно, увлекалась теоретичностью: в большинстве случаев преподаватели, проходя действия над дробями, давали с самого начала общие приемы выполнения действий, предпосылая дробям главу о делимости чисел со сложными вычислениями при отыскании общих делителей и общих кратных. Такие детали часто затрудняли понимание основных идей и, вместе с тем, приводили к тому, что учащиеся применяли усвоенные логарифмы к таким простым примерам, где задача могла решаться проще. Заметим еще, что под отношением и пропорцией в школах Западной Европы всегда понимаются кратные (геометрические) отношение и пропорция. Желательно и у нас совершенно отказаться от терминов „арифметическое отношение“ и „арифметическая пропорция“, как не соответствующих общепринятой математической терминологии.

Та же постепенность в усложнении учебного материала и метода его проработки проводится и в геометрии.

Планиметрия проходится в течение трех лет, соответствующих нашим VI, VII и VIII классам. Инструкции и методические записки определенно настаивают на том, чтобы материал не преподносился догматически с готовыми формулировками и доказательствами; наоборот, они требуют, чтобы преподаватель путем надлежащим образом выбираемых фигур, наводящими вопросами доводил учащихся до самостоятельного отыскания, свойств геометрических форм, до логического обоснования делаемых выводов и до окончательной их формулировки. Так как этот курс опирается на довольно широкий круг представлений и практических умений, сложившихся у учащихся из пропедевтики геометрии, то оформление этого материала в указанный срок не должно их затруднять. Такие сложные понятия, как соотношение между взаимно-обратными теоремами или аксиома Эвклида в начале систематического курса не могут быть правильно поняты, и поэтому подробное освещение их откладывается до повторительного, обобщающего курса геометрии в старших классах. Важно еще отметить, что вопросам построения уделяется в Западной Европе значительно больше внимания, чем у нас; наоборот, вычислительный элемент входит в занятия по геометрии лишь постольку, поскольку он освещает вопросы геометрических свойств фигур.

Стереометрия проходится во Франции за один год, соответствующий нашему IX классу, причем особенное внимание уделяется начальным главам о взаимном положении прямых и плоскостей в пространстве; такие понятия, как скрещивающиеся прямые, взаимноперпендикулярные или наклонные или параллельные прямые и плоскости изучаются не

только сами по себе, но иллюстрируются также на геометрических темах. В Германии стереометрия проходится в том же классе, но в предыдущем (нашем VIII классе) систематическому изложению стереометрии предпосылается наглядное изучение основных свойств простейших геометрических тел, дающее запас пространственных представлений, облегчающий проведение систематического курса.

Как уже упомянуто было выше, этим не ограничивается геометрический материал программ: занятия по начертательной геометрии и тригонометрии плоской и сферической в специальных классах Франции и Prima Германии, несомненно, закрепляют и углубляют ранее приобретенные сведения.

Курс тригонометрии, как выше отмечено, делится на два концентра. К главе о подобии и о метрических соотношениях в прямоугольном треугольнике присоединяются элементарные сведения о тригонометрических величинах и применяются к решению практических вычислительных задач.

Систематический курс тригонометрии, в полном контакте с геометрией, проходится в Германии одновременно со стереометрией (в нашем IX классе). Если во Франции этот курс откладывается до специальных классов, то в оправдание этого следует указать на то, что нематематику и неинженеру навряд ли приходится пользоваться тригонометрией в более широком объеме, чем тригонометрия прямоугольного треугольника.

Алгебра, с точки зрения нашей школы, в школах Западной Европы несколько отстает от геометрии, но это навряд ли мешает успешному проведению занятий по геометрии, если на решение геометрических задач смотреть как на средство развития геометрических представлений, а не вычислительных приемов. Систематический курс алгебры, подготовленный, как выше указано, занятиями по арифметике, начинается в классах, соответствующих нашему VII классу. После ознакомления с относительными числами и действиями над ними изучаются, как и у нас, тождественные преобразования целых рациональных выражений, но самые примеры, на которых эти преобразования усваиваются, гораздо проще; например, степени рассматриваются только с числовыми показателями; число членов в многочленах дается небольшое, многие из примеров таковы, что представляется удобным вкладывать в них несложное конкретное содержание; параллельно с указанными преобразованиями они тут же применяются к решению уравнений, и таким образом постепенно вырабатывается алгоритм решения целых уравнений первой степени; аналогично прорабатываются алгебраические дроби, причем окончательно закрепляется общий прием решения уравнений первой степени с одним неизвестным; переход к системам уравнений после проделанной таким образом работы не затрудняет.

К решению уравнений присоединяется решение линейных неравенств и введение в понятие функциональной зависимости в применении к линейной функции, график которой используется для графического решения линейных уравнений. Во Франции придается также большое значение исследованию (discussion) полученных решений. Указанный материал укладывается в два года (наши VII и VIII классы).

Следующий год (наш IX класс) посвящается изучению более сложных зависимостей: изучаются простейшие иррациональности, решение квадратного уравнения (только действительные корни) и квадратичная функциональная зависимость, т. е. трехчлен второй степени вместе с решением соответствующих неравенств второй степени. В том же классе изучаются: расширение понятия степени, показательная функция, логарифмы и прогрессии, но повторение и углубление этих вопросов захватывают и первую половину следующего года (нашего X класса).

Комбинаторика, бином Ньютона, комплексные числа и основные сведения об уравнениях высших степеней перенесены во Франции на специальные классы, в Германии — на двухгодичный курс Prima, причем даются и простейшие методы приближенного решения уравнений.

Методика школьной алгебры далеко еще не выработана в той степени, как методика арифметики и геометрии.

Все-таки можно резюмировать общее направление преподавания алгебры в том смысле, что первые 2—4 года центральным вопросом является изучение уравнения как метода решения конкретных задач, после чего уже решение уравнений и неравенство подчиняются более общему вопросу исследования функциональной зависимости конкретных величин.

4. О подготовке, даваемой младшими классами, для работы в следующих классах

Этот вопрос по отношению к арифметике, геометрии и алгебре был выяснен уже в предыдущем разделе предлагаемой статьи.

Следует еще остановиться на подготовке к усвоению идеи функциональной зависимости.

Некоторые указания в этом направлении даются немецкими методическими записками, сложившимися, несомненно, под влиянием Клейна, который с особенной определенностью настаивал на том, чтобы развитие функционального мышления было поставлено как центральная цель преподавания математики.

В занятиях по геометрии изменение одного или нескольких данных, входящих в фигуру, подлежащую построению, и вызываемые им изменения размеров построенной фигуры, в занятиях по арифметике и алгебре изменение числовых данных и вытекающие отсюда изменения в конечном результате вычисления уже дают учащимся интуитивное представление о зависимости между изменением величин, входящих в один математический комплекс; то же относится к простейшим работам по физике. Итак, идея совместного изменения величин может быть начата подготовлением довольно рано.

Но, кроме этой идеи, в понятие функциональной зависимости входит еще идея непрерывности. Если она легко поддается геометрической иллюстрации, то гораздо сложнее обстоит дело с ее алгебраическим, т. е. количественным, оформлением: без предварительного усвоения понятий несоизмеримости и иррационального числа идея функциональной зависимости будет слишком неполной.

Поэтому автору этой статьи представляется, что формулирование этой идеи вслед за изучением решения уравнений и неравенств первой степени и построение „графиков линейных функций“ на этой ступени развития учащихся — преждевременно: у наиболее способных учащихся может возникнуть вполне законное сомнение относительно „сплошности“ построенных графиков. Если такое предвосхищение может быть оправдано на занятиях по физике и по другим учебным предметам, то преподавание метематики должно быть более требовательным к применению графических методов в таком тонком вопросе. Думается, что уравнения и неравенства имеют самодовлеющую ценность и что правильно отложить выявление идеи функциональной зависимости до усвоения отделов иррациональных выражений и квадратных уравнений. Конечно, и тут останется пробел: невозможно будет говорить о разделении иррациональных чисел на алгебраические и трансцедентные, но этот пробел вскоре может быть пополнен при прохождении тригонометрии и логарифмов.

При указанном перенесении формулирования понятия функции оно может быть сразу охвачено более широко, и смысл графиков функций, при их сопоставлении, будет выявлен сразу гораздо полнее. Целесообразно проведенные подсчеты смогут вместе с тем подготовить к вопросу о сравнительной скорости изменения функции и ее аргумента, т. е. к основной идее диференциального исчисления.

ИЗ ОПЫТА ШКОЛ

ДВА ГОДА РАБОТЫ ШКОЛЬНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

П. КУЗНЕЦОВ (Москва)

Учащиеся средней школы видят и чувствуют живую связь математики с гигантским строительством пролетарской страны и настойчиво требуют ответов на возникающие вопросы.

В последние годы преподавателя средней школы учащиеся забрасывают и на уроках и во внеурочное время вопросами, имеющими то или иное отношение к математике.

Это показывает, что математике стало уже тесно в рамках школьной программы и назрела потребность в математическом кружке.

В 15-й школе Октябрьского района (Москва) течение за образование математического кружка ярко наметилось еще в прошлом учебном году, и наш кружок заканчивает теперь второй гол своей работы.

С самого начала пришлось поставить вопрос: будет ли работа кружка расширением и углублением программного материала или же следует сделать кружковую работу совершенно независимой от учебных программ?

От первого мы решительно отказались и сделали ставку на расширение математического кругозора учащихся и на дальнейшее поднятие у них интереса к математике.

Кажется, мы не ошиблись

Кружок объединил сначала более сильных и интересующихся учащихся седьмых, восьмых и девятых классов; в нынешнем году прибавился X класс.

Предполагалось, что по некоторым вопросам, которые доступны и интересны разным классам, придется разбиться на секции, соответственно порядковым номерам классов, но практически к такому дроблению приходилось прибегать редко: почти всегда темы выбирались так, что были интересны и для девятых и десятых классов и доступны для восьмых; из седьмых же классов у нас было немного ребят, и притом достаточно сильных, которые на затруднения не жаловались. Такие ограничения мы сделали лишь при проработке тем „О теории относительности“ и „Что такое диференциал?“, на которые приглашали лишь учащихся девятых и десятых классов. Кроме того, выделили в совершенно особую группу занятия со счетной линейкой. Вначале в прошлом году собрания кружка происходили, примерно, один раз в декаду; в этом году аккуратно собираемся раз в шестидневку.

И здесь одна ничтожная мелочь чуть не погубила всей работы. Надо заметить, что наша школа—большая и до последней степени перегруженная, работает в две смены при непрерывной шестидневке. Почти все вечера у учащихся заняты собраниями, политучебой, сборами, военной учебой и работой других кружков. И вновь возникшему математическому кружку положительно некуда было вклиниться.

Мы пробовали собираться до уроков между сменами, и тут посещаемость кружка упала. Получилась странная картина: с одной стороны, ребята ждут не дождутся сбора кружка, пристают с вопросами, когда будет кружок, а когда собрание кружка назначено, не приходят или приходят слишком поздно. В чем же дело? Объяснялось просто: вечера у ребят заняты, приходят домой поздно; значит, уроки готовят утром и до 12 часов не успевают покончить с заданиями. И они, конечно, правы, если на первое место ставят все-таки основную учебу, а потом уже кружок.

И мы перенесли наши собрания на вечерние часы в те дни. когда меньше занятий,— дело пошло на лад.

Всего членов кружка числилось 38 при средней посещаемости 18—20 человек; на некоторых же собраниях число присутствующих доходило до 32 человек.

Всего за первый год работы кружка было проведено 15 собраний, за второй год число собраний доведено до 27; всего 42 занятия по 2 часа.

По содержанию темы наших занятий можно разбить на следующие разделы:

1. Отдельные вопросы математики, которых школьная программа или не касается вовсе или не захватывает с достаточной широтой.

К таким мы относим следующие большие доклады, сделанные или самими учащимися или руководителями кружков:

1) „Об абсолютных единицах мер“.

2) .Приближенные вычисления“.

3) „Методы решения геометрических задач на построение“.

4) „Золотое сечение“.

5) „Прикладная математика и ее значение в технике" (препод. А. Н. Свешников).

6) „Развитие понятия о числе" (препод. Кузнецов).

7) „Что такое диференциал?“ (он же), и целый ряд других, более мелких, как например:

8) „О свойствах числа 9. Проверка девяткой“.

9) „Можно ли делить на нуль?“

10) „О малоизвестных способах умножения“.

11) „Теорема Птоломея“.

12) „Теорема Софии Жермен“ и др.

2. Ко второму разделу нашей работы мы относим вопросы истории математики, к которым учащиеся относятся всегда с исключительным интересом.

В этой области у нас проделано следующее.

На трех собраниях кружка проработана большая тема: „Историческое развитие геометрии“ (препод. Кузнецов). Этот цикл был разбит на три части:

а) геометрия в древнем Египте, Вавилоне и Китае;

б) геометрия в древней Греции (периоды ионийской, пифагорейской и платоновской школ; теоремы Фалеса; пифагорейцы и Платоновская академия);

в) геометрия в древней Греции (Александрийский период. Эвклид. Архимед. Беглый взгляд на дальнейшее развитие геометрии). К этому же отделу относим темы:

„Числовые суеверия“ (препод. Кузнецов), „Великая теорема Ферма“ (он же) и ряд более мелких тем:

„Происхождение счета и системы счисления“.

„Стевин и история десятичных дробей“. „Математические загадки египетских пирамид“ и др.

3. Следующим разделом нашей работы является область занимательной математики. Здесь неисчерпаемым источником служат для нас книги Я. И. Перельмана и некоторые математические хрестоматии (Лямин, Игнатьев и др.). Больше всего ребят интересуют софизмы. В этом направлении у нас были проведены такие занятия:

Геометрические софизмы (окружность равна диаметру: из точки вне прямой можно опустить на эту прямую два перпендикуляра; всякая хорда равна диаметру; все треугольники — равнобедренные).

Математические анекдоты („Хорошо разделил, а еще лучше проверил“; ряд алгебраических софизмов и их раскрытие).

Другой вид этой области — занимательные задачи; нет возможности привести здесь все проделанные в кружке задачи подобного рода, перечислю только некоторые из них:

„Кто на ком женат?“; „Задача о сукне" (из старинного учебника арифметики): „Памятник Диофанту“ ; „Число учеников“ (тоже из старинного задачника); „Паук и муха“; „Земля и апельсин“; „Пароход и булавки* и многие другие.

К этому же разделу мы относим следующие темы:

„Музыка логарифмов":

„Универсальная библиотека“;

„Толчок мозгам" (загадки и шарады);

„Математические фокусы и игры“;

„Стомахион“—игра Архимеда.

Кроме того, с большим вниманием на собраниях кружка учащиеся занимались и более трудными задачами, в числе которых были задачи, предложенные для подготовки к олимпиаде, задачи Ленинградской олимпиады, задачи из журналов „Наука и жизнь“, „Математика и физика в средней школе“ и др. Общее число таких задач, предложенных и разрешенных в кружке, было около 40.

Наконец, особо мы ставим темы:

„Процесс и время“;

„Литературные задачи и недоумения у Лермонтова, Гоголя и Л. Толстого“;

„О теории относительности“;

„Путешествие Вани Логарифмова из страны случайностей в страну вероятности“ (доклад о теории вероятности в форме рассказа с приключениями).

Чрезвычайно тяжело было с литературой: школа наша окраинная, в центральную библиотеку не скоро выберешься, а в нашей, районной, по математике буквально десяток книг, среди которых попадаются древние издания 1891 г. и едва ли не новейшей оказался Шапошников 1931 г.

Приходилось почти исключительно пользоваться своими книгами: Лямин—„Физико-математическая хрестоматия“ в 4 частях; Игнатьев—„Математическая хрестоматия“ ; Игнатьев—„В царстве смекалки“ (3 книги); Лоренц—„Элементы высшей математики“; Виллейтнер—„Какрождалась современная

математика“; Васильев — „Целое число“; Лебедев — „Очерки по истории точных наук“ (кто изобрел алгебру, кто автор первых теорем по геометрии и др.); Дюшен —„Теория относительности“; Литцман и Трир—„Где ошибка?“; Тиммердинг — „Золотое сечение“; Марчевский — „Как люди научились считать“; Лянченко — „Математическая хрестоматия“ (2 книги); Попов—„Очерки по истории математики“.

Приходилось широко пользоваться словарями, энциклопедиями и другими книгами (например, Розенбергер—„Очерки по истории физики“), но совершенно незаменимыми были общеизвестные произведения талантливого автора книг из области занимательной науки Я. И. Перельмана.

Эти книги так увлекательно написаны, что известны случаи, когда учащиеся буквально ночи на пролет просиживали за ними как за увлекательным романом, и только Я. И. Перельману мы обязаны тем, что некоторые из бывших „врагов“ математики сделались ее верными друзьями в нашей школе.

С начала нынешнего года в нашей школе начал работать второй математический кружок для учащихся пятых и шестых классов. (руководитель — препод. Н. Н. Свешников), также систематически и аккуратно собирающийся раз в шестидневку. Работа этого кружка базируется, главным образом, на решении занимательных задач; ребята делают каждый по нескольку небольших докладов, вызывающих обыкновенно оживленные и интересные прения.

Кроме докладов и выступлений на собраниях, отдельные кружковцы проделали целый ряд работ, как изготовление пособий, моделей, таблиц, плакатов, портретов, макетов и т. д. Выпущено несколько стенгазет: младший кружок выпускает газету „Юный математик“—вышло 5 номеров; старший кружок выпустил 3 листа монтажа из газетных вырезок, 4 номера газеты „Математическая мысль“ и 2 бюллетеня, посвященных 2-й математической олимпиаде.

На математическую олимпиаду кружок выделил 4 человек, из них двое оказались в числе победителей второго тура и допущены к участию в третьем туре.

Второй год своей работы кружок закончил большим общешкольным математическим вечером, на котором, кроме учащихся, присутствовали представители Наркомпроса и роно, а также ряд педагогов других школ и родители. Надо заметить, что сравнительно небольшая вместимость зала, к сожалению, не дала возможности присутствовать на этом вечере всем учащимся школы: на каждый класс было дано лишь по 10 билетов, несмотря на то, что желавших присутствовать на вечере было гораздо больше.

Таким образом, всего присутствовало лишь 400 человек. После отчетов кружков о проделанной работе, приветствий и премирования ударников кружка, в художественной части в ступил один из победителей второго тура олимпиады ученик IX „а“ класса Воронин с рядом веселых задач и математических фокусов; ребята живо и с интересом откликались на ставившиеся вопросы, в большинстве случаев давая совершенно правильные ответы, несмотря на „каверзную“ постановку вопросов.

Кружком был заготовлен комплект номера световой газеты для проектирования на экране с портретами ударников и руководителей кружка, картиной из истории математики, портретами знаменитых математиков и с несколькими кадрами математического юмора. Номер этот прекрасно оформлен диапозитивами на стекле, над которыми много поработал наш фотокружок.

В заключение вечера была поставлена переработанная нами математическая пьеса в 1-м действии под названием „Ожившая геометрия“. В этой пьесе мы хотели в легкой и доступной для ребят стихотворной форме показать, что математические понятия и, в частности, геометрические представления самым тесным образом связаны с окружающей действительностью. Поэтому фигуры, выведенные в пьесе, не только выявляют свое отвлеченное геометрическое содержание, но и стремятся показать на фоне исторической переспективы свою значимость в условиях современности.

Пьеса иллюстрировалась музыкой, подобранной ученицей IX „а“ класса Рыковой.

Вечер ребятам понравился, и на другой день в школе только и было разговору, что о вчерашнем математическом вечере.

К сожалению, мы не видели на вечере ни одного из представителей печати; между тем, мы послали приглашения и „ЗКП“, и „Комсомольской правде“, и „Пионерской правде“.

А жаль! Мы делали первый робкий опыт широкого математического вечера с новой постановкой и с новыми формами работы, и здесь-то критика и указания печати были бы очень нужны и ценны в этом новом

еще деле внедрения одного из видов внешкольной работы.

В заключение, хотелось бы еще высказать пожелание о том, чтобы наши кружки были достаточно снабжены литературой, чтобы выпущенные книги имели достаточный тираж и чтобы старые хрестоматии и другие ценные книги по математике были переизданы вновь, конечно, в переработанном виде.

ВЫБОРОЧНОЕ ОБСЛЕДОВАНИЕ ЗНАНИЙ ПО ФИЗИКЕ ЗА ПЕРВОЕ ПОЛУГОДИЕ 1934/35 УЧЕБНОГО ГОДА*

Н. КРАВЧЕНКО (Москва) (Группа физики Института политехнического образования)

Обследованием было охвачено 39 школ из четырех областей (Воронежская область, Горьковский край, Ленинградская и Свердловская области); были выбраны и городские и сельские школы, и массовые и образцовые.

Материалы обследования дали возможность сделать выводы:

1) о состоянии знаний,

2) о состоянии оборудования приборами и учебниками,

3) о состоянии преподавательских кадров в школах, подвергшихся обследованию.

I. Состояние знаний учащихся

Для обследования учащимся были даны измерители, составленные Центральным научно-исследовательским институтом политехнического образования. Измерители требовали от учащихся формулировки физических законов; словесного определения физических величин (приведения полного определения и только дописывания начатой фразы); приведения формул (или словесного наименования величины в формуле); умений графического характера; знания теории; ориентировки ученика в окружающих его природных и технических явлениях.

Обследование показало, что успеваемость в городских школах стоит незначительно выше сельских школ, знания (см. диаграмму 1** в образцовых школах значительно выше знаний в массовых школах, однако в некоторых массовых школах знания много выше, чем в образцовых, и некоторые образцовые школы дают низшие знания против средних знаний по всем школам (см. диаграмму 2).

Общие результаты обследования знаний учащихся по физике в первом полугодии

Диаграмма 1. Решаемость контрольных работ в городских и сельских школах

* Краткое изложение отчета о выборочном обследовании знаний по физике за первое полугодие 1934/35 учебного года, составленного группой физики Института политехнического образования.

** Диаграммы составлены по решаемости измерителей контрольных работ: решаемость вычислена не в процентах, а по медианам, расположенным в ранговом порядке.

Диаграмма 2. Решаемость контрольных работ в образцовых и массовых школах

Диаграмма 3. Решаемость контрольных работ всех школ по классам

Диаграмма 4. Решаемость теоретических вопросов и задач

1934/35 учебного года могут быть охарактеризованы диаграммой 3 (медиана медиан всех школ по классам).

По отдельным классам школы наилучшие знания дает IX класс по физике и X класс по астрономии, — в этих классах знания могут быть оценены, как хорошие (медиана около 80). В VIII классе, X классе и VII классе знания могут быть оценены, как удовлетворительные (медиана 72, 69 и 64). В Vi классе знания несколько хуже (медиана 60). Худшие знания по VI классу, очевидно, объясняются сложностью программы, упрощение которой намечено в будущем году, — общую оценку знаний по VI классу снизили именно те вопросы контрольной работы, которые выходят за пределы новой программы.

Материалы обследования устанавливают, что формальные знания — знания законов, определений, формул—стоят значительно выше умения применять эти знания к разрешению практически важных жизненных вопросов: по решению задач по объяснению различных явлений в быту, в промышленности, в обороне нашей страны (см. диаграмму 4); особенно плохие уменья показал X класс.

Каково же состояние знаний по отдельным классам, что и как знают и чего и как не знают учащиеся каждого класса?

VI КЛАСС

Определения и формулы в общем даются учащимися правильно, но понимание этих определений и формул стоит невысоко.

Равномерное движение

Так, например, при определении понятия равномерного движения учащиеся в большинстве дают определение по учебнику: „Движение с постоянной скоростью“. Однако, в тех случаях, когда они пытаются дать определение равномерного движения через связь пройденного пути и времени, — они дают неверное определение и не указывают, что равенство путей должно выполняться в любые равные промежутки времени. Можно думать, что такие определения обусловлены недостаточно правильным изложением учителей.

Наклонная плоскость

В измерителе, требующем только знания формулы наклонной плоскости, учащиеся дали высокий показатель (83), в вопросе же, вскрывающем сущность формулы, ответы только едва удовлетворительны (57,5)—учащиеся должны были объяснить, почему по более отлогой плоскости поднятие груза совершается легче.

Кинетическая и потенциальная энергия

Во всех измерителях, где требовалось привести примеры явлений на основе понимания их сущности, учащиеся дали особенно низкие показатели (58, 44, 39). Так, на измеритель, предлагающий привести примеры кинетической и потенциальной энергии, учащиеся дали ответы, в которых они приводят не явления движения, а указывают тела, которые могут быть и в движении и в покое. Особенно характерен пример маятника, который учащиеся приводят то в качестве примера кинетической, то потенциальной энергии.

Задачи

Задачи, в тех случаях, когда их можно было решать формально, в общем решались удовлетворительно. Однако, во всех случаях, когда нужно было не просто применить формулу, а проявить знание сущности явления, задачи оказывались решенными неудачно. Так, например, простая задача, в которой был изображен рычаг 2-го рода и требовалось подсчитать силу на длинном плече, либо не решалась вовсе, либо во многих случаях решалась неверно. Еще хуже обстояло дела с задачей, в которой требовалось, имея данные о работе, совершонной на одном конце рычага 1-го рода, подсчитать перемещение другого конца (по известной силе). Эту задачу большинство учащихся не решало или решало неверно.

Кинематика

Вопросы кинематики учащиеся усвоили, но не умеют пользоваться преобразованными формулами и не понимают сущности равномерного движения.

Законы Ньютона

Законы Ньютона с формальной стороны усвоены, но формулировки недостаточно точны, что возбуждает сомнение в глубине знаний.

Работа и мощность

Раздел работы и мощности усвоен недостаточно со стороны понимания сущности. Уменья в этом разделе несколько ниже теории.

Простые машины

Простые машины усвоены хорошо как со стороны теории, так и со стороны практики.

Круговое движение

Круговое движение с формальной стороны усвоено, но далеко не благополучно обстоит дело с пониманием центробежной силы.

Обследование Ш3/34г.

По данным обследования знаний по физике и 1933/34 учебном году общая решаемость по всем вопросам механики дала 68,}/0.

VII КЛАСС

Учащиеся хорошо усвоили из отдела электричества сведения, которые требуют запоминания, и могут делать элементарные расчеты по формулам.

Учащиеся удовлетворительно знают теоретические вопросы курса и имеют некоторые элементарные сведения по электротехнике.

Учащиеся не усвоили энергетических соотношений в цепи электрического тока, плохо разбираются в единицах работы и мощности электрического тока, не могут объяснить, с точки зрения теории, весьма простые явления в цепи тока.

Направление тока

Так, например, простой вопрос о направлении тока, идущего от элемента, дал плохую решаемость (медиана 66). Есть школы, в которых процент правильных решений не превышает 10. При этом обозначения полюсов элемента не вызывают сомнений, но указания направления тока сделаны неверно. Очевидно, понятие цепи электрического тока ясно далеко не всем учащимся, и преподаватели на этот вопрос не обращают достаточного внимания.

Мощность и работа тока

Вопрос о мощности и работе тока не дает даже хороших формальных знаний. Так, измеритель, требующий различения единиц мощности, дал низкую решаемость (медиана 60), три школы дали менее 10% правильных решений. Задачи на вычисление работы тока дали еще меньшую решаемость (медиана 56); десять школ дали менее 10% правильных решений. В 1933/34 г. решаемость этого вопроса равнялась 41%.

Формулу закона Джоуля учащиеся знают хорошо (медиана 94); в 1933/34 г. этот вопрос дал решаемость 87%.

Закон Ома

Оказался непосильным простой измеритель: почему две лампочки, включенные в цепь источника последовательно, хуже горят, чем одна (если источник и лампочки одинаковы)? Этот измеритель дал медиану 24, причем 12 школ дали решаемость ниже 10%, а 6 школ — нулевую.

Любопытны некоторые ответы на этот вопрос; они очень разнообразны (всего 45 модификаций). Классифицируя эти ответы, можно наметить три группы.

Первая группа просто констатирует наличие двух ламп: „Во второй цепи две лампы“. Иногда к этому добавляют еще какое-либо соображение: „Горят две лампы, а сила тока меньше“, „Лампочек больше, чем в первой“ и т. д.

Вторая группа как на причину указывает на энергетические соображения: „Электрическая энергия питает две лампочки“, „Энергия распределяется на две лампы, а потому сила тока уменьшается“, „Напряжение и мощность тока меньше“.

Третья группа дает самые разнообразные соображения: „Воздух в баллоне не выкачан“, „Введено добавочное сопротивление“, „Больше затрачивается тока“, „Ток расходуется на две лампы“ и т. д.

Приведенных ответов достаточно, чтобы хорошее впечатление от решения измерителя о включении амперметра и вольтметра было совершенно поколеблено. Следует отметить, что формула закона Ома учащимся хорошо известна (медиана 97); в 1933/34 г. этот же вопрос имел решаемость 88%.

Электромагнетизм

Измерители по магнитному действию тока также установили недостаточность знаний.

Учащиеся плохо знают расположение магнитных силовых линий (медиана 57). Ри:унки очень часто совершенно неверно передают картину силовых линий, например:

Рис. 1.

Применение общих законов к объяснению явлений сразу дает и в этом отделе очень резкое снижение верных решений.

Так, вопрос о действии катушки с током на магнитную стрелку почти не дает верных решений (медиана 44), а вопрос о движении проводника с током в магнитном поле дает медиану 22.

Слабые знания учащиеся проявили и при ответе на вопрос, который требовал обозна-

чения полюсов электромагнита при данном направлении тока (медиана 69); в 1933/34 г. решаемость этого вопроса была еще более низкой (58%).

С вопросом о движении якоря в электромоторе учащиеся совсем не справились (10 школ не дали ответов). Возможно, что учащиеся не успели дать ответ на этот вопрос, так как он был предложен последним.

VIII КЛАСС

Хорошие результаты (медиана выше 70) получились при решении следующих вопросов: определения различных величин, формулировка 2-го закона Кеплера, определение ускорения центростремительной силы, закон тяготения, путь тела, брошенного горизонтально и под углом к горизонту, изменение ускорения силы тяжести при перемещении от экватора к полюсу, названия и определения различных величин по динамике.

Удовлетворительные знания дали следующие вопросы: формула линейной и угловой скорости, система единиц, построение равнодействующей, формулы центростремительной силы.

Плохо решаются следующие вопросы (медиана близка или ниже 60): формулы равномерно-переменного движения, определение центробежной силы, задачи на падение тел, графики пути и скорости равномерного движения, определение вида движения по чертежу.

Кинематика

Чтобы проверить уменье учащихся сознательно определить вид движения, им был предложен измеритель, в котор:м по чертежам, изображающим положение точки через равные промежутки времени, надо было определить виды движения. В двух последних чертежах, дававших неравномерно-переменное движение, подавляющее большинство учащихся усмотрели равномерно-замедленное и равномерно-ускоренное движение.

Это обстоятельство указывает на недостаток вдумчивости и осторожности в суждениях. Правильно схватив по чертежу характер переменного движения, учащиеся без достаточных оснований приняли его за равномерно переменное движение, вероятно по той только причине, что в курсе физики они подробнее изучали равномерно-переменное движение, чем останавливались на общем понятии переменного движения.

Центробежная сила

Картина сравнительного благополучия значительно изменяется, как только ученики отступают от заученного словесного выражения и пытаются дать определение понятия своими словами. Такая картина раскрывается при анализе ответов на вопрос: „Что называется центробежной силой?“

Повидимому, учащиеся не овладели словесным определением, данным в учебнике, и дают свои разъяснения. Многие из этих разъяснений показывают, что ученики совершенно не понимают характера, действия, места приложения этой силы.

Ошибки распределяются по пяти группам:

1-я группа — утверждение, что центробежная сила действует на вращающееся тело (около 2/3 всех ошибок).

2-я группа — смешение центробежной силы и центростремительной.

3-я группа — утверждение, что центробежная сила сама стремится удалиться от центра.

4-я группа — утверждение, что центробежная сил л изменяет вращательное движение на прямолинейное.

5-я группа — утверждение, что центробежная сила движет тело по окружности.

В то время как медиана правильных ответов по другим словесным определениям достигает 85,6, по этому вопросу она падает до 65,9.

Однако гораздо большую опасность представляет ошибка самих преподавателей в оценке этого ответа учащихся. По другим вопросам имеются единичные ошибки в оценке, не выходящие за пределы случайных ошибок; по рассматриваемому же вопросу у ряда преподавателей, очевидно, нет достаточно отчетливого представления.

Сложение сил и построение графиков

Отдельную группу составляют уменья: сложение сил и построение графиков.

При ответе на вопрос — сложить три силы по правилу параллелограма — около 25 '/0 учащихся не смогли построить параллелограмм сил. Искажение построения произведено различными способами, из которых некоторые повторяются неоднократно.

Построение графиков занимает самое низкое место среди всех видов знаний и умений, проверенных контрольной работой, за исключением решения задач (медиана 35). В шести школах учащиеся не построили правильно ни графика пути, ни графика скорости равномерного движения.

Задачи

Решение задач все еще является слабым местом учащихся: ошибки в задачах связаны, главным образом, с непониманием физических

явлений. В двух школах не были решены вовсе все три задачи, в одной школе не были решены две задачи.

В первой задаче было дано время поднятия тела вверх по вертикали и обратного падения тела вниз. Для решения задачи ученикам надо было учесть, что время падения равно времени подъема на высоту (без учета сопротивления воздуха).

Во второй и третьей задачах требуется навык в производстве вычислений в определенной системе единиц (определение массы в технической системе).

Примеры безграмотности

Нельзя не привести несколько примеров крайней безграмотности:

„Диной называется сила, массовой которая в 1 г сообщает ускорение в 1 см\сек2<\

„Диной называется сила массой 1 г, способствует ускорению в \ см в сек“.

„Диной называется сила, которая сообщается одним граммом I см в секунду2“.

„Диной называется единица, где за единицу силы принимается такая сила, которая в массе 1 г сообщает ед. ускорения“.

„Диной в физике принимается масса 1 г, сообщает ускорение 1 см в сек2"

IX КЛАСС

Знания теории можно считать хорошими. Значительно ниже уменья применять знания к решению задач.

Можно сделать общий вывод, что те вопросы программы, на которые имеются прямые ответы в учебнике (в виде определений, формулировок, законов и т. д.), выделенные особым шрифтом, усвоены учащимися значительно лучше остальных вопросов. В этом сказывается большая роль заучивания учащимися особо выделенных мест в учебнике.

Молекулярно-кинетическая теория

Ответы на вопрос: „Что называется граммолекулой“, устанавливают неправильное понимание этого определения значительным числом учащихся.

Многие определяют граммолекулу как такое количество вещества, вес которого равен молекулярному весу, выраженному в граммах. Встречаются различные формулировки, выражающие эту мысль. Многие преподаватели не считают это за ошибку и дают положительную оценку ответа.

Нечеткость понимания, что такое граммолекула, сказывается в ответах на вопрос о числе Авогадро („Допиши фразу: „В одной граммолекуле водорода содержится . • . молекул, кислорода содержится . . . молекул“), причем резко подчеркивается разница между ответами сильных и слабых учащихся (медианы 94 и 27). Здесь замечается путаница понятий: граммолекула, молекулярный вес, атомный вес и количество атомов в молекуле. В ответах в:тречаются числа: 1, 2, 16, 32.

Случаи, когда учащиеся, давая верный ответ на первый вопрос, ошибаются в ответе на второй, лишний раз подчеркивают, что в значительной мере имеется механическое заучивание учебника без достаточного понимания. Преподаватели же не всегда достаточно четко подчеркивают смысл значения массы, а не веса вещества при определении граммолекулы.

Свойства газов

Хорошее знание формулировок, законов и совершенно, неудовлетворительное уменье применять их ярко сказалось при решении задачи на определение веса газа по давлению, объему и плотности газа. Формула закона Бойля-Мариотта — Гей-Люссака имеет медиану 84, тогда как задача — всего 33.

В ответах на вопрос о формулах закона Гей-Люссака редко встречается формула

Pt = Po0+at).

Большинство преподавателей оценивают ответ, в котором дается только формула

Vt=V0(\+at)

как полный ответ. Незнание же учащимися первой формулы сказалось на решении задачи на определение термического коэфициента по давлениям и температурам газа при постоянном объеме. Ясно, что со стороны преподавателей не было сделано достаточного упора на уяснение и запоминание учащимися закона Гей-Люссака в форме Pt = Р0(\ -}- at). Кроме того, следует отметить, что при объяснении учащимися, что обозначает каждая буква в формуле, значительное число учащихся пишет: температура. Это же повторяется и в ответах на вопрос о формуле

Возникает сомнение в том, насколько прочно понято и усвоено учащимися, что в данных случаях надо учитывать именно разницу между начальной и конечной температурами тела.

Решение вопроса о давлении газа при нагревании дало медиану 87; в 1933/34 г. вопрос об изменении плотности газа при нагревании дал 64% правильных решений.

Свойства жидкостей

Вопрос о положении уровней смачивающей и несмачивающей жидкости в капиллярных сосудах дал низкую решаемость (46,6) Учащиеся го указывают одинаковый уровень жидкостей в широкой и капиллярной трубках, то не принимают во внимание форму мениска, то одновременно делают и ту и другую ошибку.

Вопрос о равнодействующей молекулярных сил внутри жидкости и в поверхностном слое также собрал немало ошибок. Подавляющее большинство учащихся не дает на чертеже равнодействующие, а чертит направления действующих сил, копируя, по существу, рисунок, имеющийся в учебнике (на стр. 26, изд. 1933 г.); в объяснении этого рисунка не подчеркнуто различие величин равнодействующих для трех случаев положения молекул в жидкости.

Свойства твердых тел

Вопрос о коэфициенте удлинения также имеет ряд ошибок. Они заключаются в том, что учащиеся: 1) коэфициент удлинения относят не к 1 мм2 сечения бруска, а к псм2“, 9мм*у „уи2*, т. е. недостаточно сознательно относятся к наименованиям единиц; 2) упускают указания на величину нагрузки и 3) что особенно важно подчеркнуть, так как такие ошибки встречаются чаще всего: учащиеся считают коэфициент удлинения зависящим от изменения температуры. Видимо, учащиеся путают коэфициент удлинения с линейным коэфициентом теплового расширения.

Решение задачи на определение сечения каната по весу груза, запасу прочности и сопротивлению разрыву дало медиану 69, тогда как решение подобной же (более простой) задачи на определение сечения троса по максимальной нагрузке и временному сопротивлению собрало 57% правильных ответов.

X КЛАСС

Хорошие знания (медиана выше 80) получились при решении следующих вопросов: движение проводника в магнитном поле, последовательное соединение, закон Ома, задача на определение внутреннего сопротивления по закону Ома для всей цепи. Удовлетворительные знания дали следующие вопросы; электролиз, индукция.

Недостаточны знания по следующим вопросам: электрическому и магнитному полю, самоиндукции, параллельному соединению проводников, задача по электролизу.

Электрическое и магнитное поле

Одним из важных моментов в теме „Электрическое поле“ является ясное представление о картине силовых линий. Ряд рисунков учащихся по этому вопросу ясно показывает, что преподаватели не обращают на это достаточного внимания. Вот типичные ошибки (см. рис. 2).

Ряд рисунков магнитного поля прямого магнита имеет также весьма курьезный вид:

Рис

Напряженность магнитного поля

Вопрос: „Что называется напряженностью магнитного поля“, оказался очень трудным (медиана 68,8), тогда как вопрос о формуле напряженности магнитного поля дал гораздо лучшую решаемость (медиана 85).

Это свидетельствует о нежелательном уклоне в сторону большего обращения внимания на формулы по сравнению с более глубоким знакомством с явлениями. Не будучи в состоянии определить, что такое напряженность поля, и даже плохо научившись изображать поле в виде картины силовых линий, ученики формально знают (или списали из учебника) формулу, требуемую контрольной работой.

Диаграмма 5. Решаемость вопросов контрольной работы по астрономии

Любопытны следующие ошибки:

Эти ошибки указывают на слабое понимание учащимися приводимых формул.

Законы электрического тока

Вопрос и задача на параллельное соединение проводников и нахождение напряжения но силе тока и сопротивлению показывают, что учащиеся не справляются с параллельным соединением.

Низкая решаемость вопроса о выделении тепла в параллельных ветвях разного сопротивления показывает неуменье приложить знания к решению конкретной задачи.

Индукция

Измеритель, спрашивающий об индукции в проволочном прямоугольнике, вращающемся з магнитном поле, дал уже катастрофически плохую решаемость (медиана 28). Это показывает, что, неплохо зная теорию, учащиеся совершенно не умеют справляться с применением своих знаний даже к такому простому случаю.

Задачи

Первая задача на закон Ома для всей цепи, задача, требующая применения одной формулы для нахождения внутреннего сопротивления элемента, оказалась решенной все же далеко не всеми учащимися. Большинство учащихся использовали формулу закона Ома причем сейчас же переходили к подстановке числовых значений, не давая предварительного решения формулы относительно га. Прием, который показывает понимание сущности вопроса, но несколько неправильный с точки зрения точной математической обработки.

Вторая задача на последовательное соединение, требовавшая комбинации двух формул и ясного представления о разветвлении токов, оказалась непосильной (медиана 31). Здесь прежде всего надо отметить отсутствие схем у большинства учеников. Учащи:ся, очевидно, не привыкли при решении задачи пользоваться схемами. Затем, в большом количестве работ неправильно рассчитано общее сопротивление параллельно соединенных проводников, как сумма сопротивлений отдельных проводников, причем иногда рядом с неверным вычислением указана верная формула. Эти ошибки указывают hi малую сознательность при решении задачи, и приходится прийти к заключению, что этого типа задачи превышают силы учащихся.

Третья задача - на нахождение массы, отложенной при электролизе меди, по ее объему и плотности — также встретила большее затруднения, отчасти по недостатку времени, а отчасти из-за неуменья по объему отложенного при электролизе вещества найти его вес. Эти обстоятельства дали для этой задачи медиану 0. Во многих работах удельный вес меди спутан с электролитическим эквивалентом, а в одной работе — с сопротивлением. Отсутствие уменья найти массу вещества по объему и плотности надо считать весьма показательным симптомом забывания элементарнейших физических знании из материала предшествующих классов.

На этой же задаче (в тех случаях, когда она решалась) учащиеся часто показывали неуменье обращаться с десятичными дробями и вести сокращенные вычисления.

X КЛАСС

Астрономия

Контрольная работа по астрономии проводилась в четырех классах (четырех школ).

Работа содержала 20 вопросов, которые можно разделить на следующие три группы

1) знание теории,

2) знание звездного неба по наблюдениям,

3) уменье решать задачи.

Решаемость вопросов по указанным группам характеризуется диаграммой 5.

Сферическая астрономия

Знание теории дает довольно высокую медиану. Анализ ошибок учащихся показывает, что преподаватели обследованных школ дают не вполне верные определения в области элементов сферической астрономии. Так, например, определения учащимися созвездия довольно разнообразны, но ни одно из них не указывает, что созвездием в современной науке называют определенно ограниченную область неба. Особенно это сказывается в определении небесной сферы. Все остальные определения и понятия сферической астрономии у учащихся стоят на надлежащей высоте.

Однако, следует обратить внимание, что прямое восхождение учащиеся мыслят измеряемым в градусах, а не в часах и их долях, как это принято в науке.

Учение о вращении земли

Что касается вопросов, относящихся к вращению земли и развитию этого учения, то здесь замечается следующее: учащиеся не отделяют четко доказательства вращения земли от доказательств обращения земли около солнца. Вопрос по истории развития взглядов на вращение земли показывает, что учащиеся хорошо знакомы с именами тех ученых, которые боролись за это учение.

Наблюдения

Очень плохо обстоит дело с проведением наблюдений невооруженным глазом. Громадное большинство учащихся не знает вида осеннего звездного неба.

Некоторая часть учащихся знает, но довольно неясно представляет расположение созвездий. Видимо, обзор звездного неба был произведен недостаточно хорошо, перегружен излишним числом созвездий.

Ответы на вопрос о производившихся наблюдениях показывают, что в громадном большинстве случаев наблюдений не было. Только в одной школе производились наблюдения с трубой, и, видимо, педагог обратил главное внимание на знакомство с лунной поверхностью и недостаточно показал и рассказал о всем звездном небе.

Основные недостатки

Основными недостатками преподавания, обнаруженными обследованием, являются:

1) отсутствие наблюдений и 2) недостаточная осведомленность самих преподавателей (неточные и неясные определения).

Основные выводы по состоянию знаний по физике в 1934/35 учебном году

Если теоретические знания по ряду вопросов программы могут быть оценены как хорошие, то практические уменья приходится оценить как неудовлетворительные.

Преподавание физики в школе все еще носит несколько формальный характер, сводящийся к заучиванию определений, законов, формул без уменья применять знания к решению конкретных вопросов жизни, требующих самостоятельного анализа и соображения.

Диаграмма 6. Оборудование школ физическими кабинетами

Диаграмма 7. Снабжение учебниками городских и сельских школ

Формальный характер знаний учащихся обусловливается формальным методом преподавания.

Для изжития недостатков формального догматического обучения:

А. Преподаватели физики должны:

1) сочетать передачу теоретических знаний с приложением этих знаний к разрешению практически важных жизненных вопросов;

2) всемерно усилить демонстрации физических явлений;

3) ввести обязательный минимум лабораторных работ;

4) отводить достаточное время на решение задач, облегчающих разъяснение и усвоение сущности физических явлений.

Б. Органы Наркомпроса, отделы народного образования и школы должны срочно принять меры к организации и оборудованию физических кабинетов.

Отсутствие физических кабинетов не должно побуждать преподавателей физики к отказу от обучения с самодельными физическими приборами, которыми можно и должно иллюстрировать многие основные физические явления.

II. Состояние оборудования приборами и учебниками Из 39 школ, охваченных обследованием, только 22 школы сообщают о состоянии оборудования по физике. Так как маловероятно, чтобы школа, имеющая кабинет, могла „забыть“ упомянуть о нем, то приходится предположить, что в остальных 17 школах кабинета вовсе не имеется.

Тогда оборудование школ физическими кабинетами может быть приставлено диаграммой 6.

Так как школы не дали достаточных указаний относительно оборудования их физических кабинетов приборами для лабораторных работ, то трудно сказать, какое количество школ может вести лабораторные работы. В лучшем случае практические занятия могут вести 18% всех обследованных школ (с хорошим и удовлетворительным оборудованием).

Если предположить, что школы с „недостаточным“ оборудованием, не имея возможности проводить лабораторные работы, в состоянии ставить демонстрационные опыты, то можно будет заключить, что 44% всех обследованных школ могут вести преподавание с опытными иллюстрациями.

Обеспечение нормального преподавания зависит не только от оборудования физического кабинета, но также и от снабжения школы учебниками.

Снабжение школ учебниками находится в гораздо лучшем положении (см. диаграмму 7; учебника для X класса нет.)

Диаграмма 7 ясно показывает, что в VI и VII классах обеспечение учебниками как городских, так и сельских школ приблизительно одинаково, в VIII же и IX классах снабжение учебниками сельских школ сильно отстает от снабжения городских.

III. Преподавательские кадры

В материалах обследования имеются данные о 32 преподавателях (от 22 школ из всех обследованных 39 школ). Эти данные дают возможность привести сравнения в отно-

Диаграмма 8. Возрастной состав преподавателей

Диаграмма 9. Образование преподавателей

шении возрастного состава преподавателей, их образования, педагогического стажа, совместительства (по предметам), а также в отношении форм повышения квалификации.

Диаграмма 8 говорит, что в возрастном отношении преподаватели обследованных школ в подавляющем большинстве люди сравнительно молодые, старше 44 лет всего только 2 человека (6%).

Распределение преподавателей по полученному ими образованию характеризует диаграмма 9.

Из 14 преподавателей с законченным высшим образованием 12 человек имеют педагогическое образование. Из них только один преподаватель снова учится — в заочном автодорожном институте.

Из 10 преподавателей с незаконченным высшим образованием 4 человека продолжают учиться в очных и заочных пединститутах.

Из 8 преподавателей со средним образованием 4 человека состоят заочниками пединститутов.

Следует отметить, что именно в тех двух школах (о преподавателе третьей школы с неблагополучной успеваемостью данных не имеется), в которых обнаружено особенно плохое состояние знаний, физике обучают преподаватели, имеющие только среднее образование. А в школах, давших особенно высокий процент решаемости контрольных работ (в четырех из пяти, о преподавателе пятой школы сведений нет), три преподавателя имеют высшее педагогическое образование и один преподаватель — незаконченное высшее образование.

Данные о педагогическом стаже показывают, что основную группу составляют преподаватели, работающие в школе от 6 до 15 лет (см. диаграмму 10) (2 преподавателя не дали о своем стаже сведений).

Из 32 преподавателей, о которых имеются сведения, преподают:

Только физику

Физику и астрономию

Физику и математику

Физику, астрономию, математику

Физику, математику, химию

Физику и химию

Физику, математику, русский

Физику, химию, черчение, рисование

Физику, историю, географию

Физику, немецкий, физкультуру

17

1

7

1

1

1

1

1

1

1

Из этой таблицы видно, что преподаватели физики в количестве 4 человек из 32 (12%) берут на себя преподавание таких предметов, к которым они, конечно, совер-

шенно не могут быть подготовлены (русский, немецкий языки, черчение, рисование, история, география, физкультура).

Диаграмма 10. Педагогический стаж

ВНЕУРОЧНЫЕ ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ ПО ФИЗИКЕ

Ф. КУРИЛОВ (Златоуст)

Современное преподавание физики немыслимо без выполнения учащимися ряда лабораторных работ.

Лабораторные работы, индивидуально выполняемые учащимися, играют очень большую роль в усвоении проходимого материала по курсу физики.

Учащиеся, проделывая ту или иную работу, основательно знакомятся с приборами, их использованием, знакомятся с измерениями и т. д.

При демонстрации опытов в классе учащиеся могут опустить те или иные детали, как бы ни была тщательно демонстрация поставлена. При лабораторных занятиях выполнение всей работы, от начала до конца, своими руками, создает полное впечатление о работе, и достигается гораздо большая цельность, нежели при демонстрации.

Исходя из этого, я ввел в средней школе № 1 г. Златоуста в текущем учебном году для учащихся обязательные индивидуальные лабораторные работы и достиг в этом больших результатов.

В программах по физике для средней школы указан ряд лабораторных работ, которые являются обязательными для выполнения учащимися.

Но выполняются ли они? Я беру на себя смелость утверждать, что не выполняются. По Златоусту и Златоустовскому району лабораторный минимум, указанный в программах физики Наркомпроса, не выполняется.

Причин много: нет приборов и материалов, нет времени, неподготовленность преподавателей и т. д. В лучшем случае эти опыты демонстрируются педагогом, да и то далеко не все.

В прошлом учебном году я проводил в классах на уроках физики лабораторные работы. Но они не удовлетворили ни учащихся, ни меня.

В нашей школе имеется довольно богатый физический кабинет (по сравнению с другими кабинетами средних школ Златоустовского района). Но дуплетных приборов в кабинете почти нет. Когда я в классе ставил лабораторную работу, то с одним прибором работало 6—7 человек. Двое учеников работают, остальные являются пассивными участниками. Им становится неинтересно, они все вмешиваются, путая работу и портя ее, или занимаются чем-нибудь посторонним. И в итоге не все учащиеся данного класса достигают поставленной цели: пронаблюдать данное физическое явление, сделать из него выводы и освоить прибор. Такие лабораторные работы, в конце концов ничего не дают. Они в большинстве случаев оказались почти безрезультатными.

В 1934/35 учебном году я решил совершенно видоизменить характер лабораторных работ.

Для всех учащихся III концентра был составлен список лабораторных работ, обязательных для выполнения каждым учащимся в течение года.

По классам работы были намечены следующие:

VIII КЛАСС

1. Работа с машиной Атвуда срок 15 ноября

2. Изучение движений падающих тел (работа с желобом Галилея) » 15 .

3. Сложение параллельных сил, направленных в одну сторону . 1 января

4. Наклонная плоскость „ .

5. Закон Архимеда . 15 февраля

6. Законы плавающих тел , 1 марта

7. Определение удельного веса при помощи закона Архимеда ,

8. Проверка закона Бойля-Мариотта 15 .

9. Маятник . 15 апреля

10. Определение длины волны по методу резонанса , я

IX КЛАСС

1. Определить коэфициент растяжения резины срок 15 октября

2. Временное сопротивление разрыву ,

3. Определить поверхностное натяжение различных жидкостей . 1 ноября

4. Определить температуру электропечи , 15 декабря

5. Теплоемкость вещества , 1 января

6. Определить механический эквивалент теплоты при помощи прибора Гримзеля . ,

7. Линейный коэфициент расширения твердых тел . ,

8. Определение термического коэфициента упругости газа , 1 февраля

9. Теплота плавления льда , 1 марта.

10. Определить влажность воздуха психрометром Августа . 1 апреля

X КЛАСС

1. Закон Джоуля. Термический эквивалент работы срок 1 ноября

2. Мостик Уитстона срок 15 ноября

3. Электрохимический эквивалент меди . 1 декабря

4. Вогнутое зеркало , 15 апреля

5. Показатель преломления стекла и воды „ .

6. Преломление в призме

7. Полное внутреннее отражение, предельный угол

8. Наблюдение спектра

9. Зависимость лучеиспускательной способности тел от рода поверхности » »

Лабораторные работы выполнялись по книге „Лабораторные работы“ Григорьева и Знаменского. В этом списке нет некоторых работ, которые программой Наркомпроса указаны как лабораторный минимум. Это объясняется отсутствием приборов по данным вопросам. Некоторые работы, указанные в вышеприведенном списке, введены или взамен данных в программе или просто введены по моему усмотрению как нужные работы в методическом или практическом отношении Для некоторых работ в физическом кабинете приборов не имеется, но их можно изготовить силами учащихся, что постепенно и проделывается.

Работы выполняются или индивидуально каждым из учащихся или двумя вместе, но не больше. Для выполнения их отведен один вечер в пятидневку (школа работает так, что вечером аудитория при физическом кабинете бывает свободна).

Учащиеся при прохождении материала по физике получают задание к данной работе.

Задания всегда разбираются весьма детально. Прежде всего указывается цель данной лабораторной работы. Затем, какие необходимы для работы приборы и материалы, ход работы, как нужно делать запись получаемых в процессе работы данных и проработка этих данных.

При объяснении разбирается устройство необходимых для работы приборов. Обыкновенно на объяснение очередной лабораторной работы расходуется 15—20 мин. из учебного времени.

Учащиеся, получив задание, записываются у лаборантов в очередь и в указанный лаборантом день и час приходят в физическую лабораторию для выполнения задания.

Лабораторную работу учащиеся делают под руководством и при помощи лаборантов в присутствии педагога.

Лаборанты дают учащимся приборы, материалы, инструктируют еще раз, как нужно проделать работу, и помогают при ее выполнении, если у работающих возникают затруднения в том или ином вопросе.

Лаборанты выделяются из среды учащихся каждою класса. Преподаватель с лаборантами предварительно проводит занятия, где они под его руководством выполняют работу. К руководству работами учащихся они допускаются только тогда, когда сами очень тщательно выполняют работу, когда им все будет ясно до последней мелочи.

Проделав работу, учащиеся составляют о ней подробный отчет. В отчете должно быть: описание работы, схема опыта, цифровые данные и вывод. Так как большинство выполняемых работ имеет количественный характер, то вывод получается цифровой. Этот цифровой итог всегда можно сравнить с табличными данными и определить процент ошибки. Поэтому во всех работах учащиеся указывают процент ошибки по сравнению с табличными данными и, по возможности, стараются объяснить причину получившегося отклонения от точного табличного данного.

Очень интересно выглядит аудитория физики по время выполнения этих лабораторных работ. Обыкновенно там работают 10—15 человек одновременно, все они по одному или по два выполняют отдельную работу. Сразу можно наблюдать от 5 до 9 различных работ. Здесь есть учащиеся и восьмых, и девятых, и десятых классов. Делают: кто — первую, кто—вторую, кто— четвертую и т.д. работы.

У всех видны глубокая заинтересованность и внимательное отношение к работе. Проделав работу, проверив полученные в итоге наблюдения цифры при помощи повторения работы, учащиеся сдают все приборы лаборанту и дома проделывают обработку полученных данных, делая тот или иной вывод. Ту же работу получает новый учащийся, пришедший в указанное ему время. За три часа, которые отведены на лабораторные работы в шестидневку, одну и ту же работу успевают выполнить 2—3, а иногда и 4 пары учащихся, т. е. за один день одну работу сумеют проделать до 8 человек. Следовательно, класс, состоящий из 24 учащихся, успевает проделать одну работу в 3—4 шестидневки. Выходит, что одного имеющегося в кабинете прибора вполне достаточно для того, чтобы все учащиеся проделали с ним работу. Этим самым позволяется не приобретать дублетные приборы, а покупать большее количество разнообразных приборов.

Почему я лабораторные работы перевел на внеурочное время, на вечерние часы?

В физическом кабинете школы нет достаточного количества дублетных приборов. Пос-

тавить же в классе 10—15 различных работ и охватить всех помощью преподаватель физически не в состоянии. Кроме того, лабораторные работы отнимут много времени, которого и так с трудом хватает для проработки программного материала.

Сейчас в каждом классе имеется по 4—5 лабораторных работ, которые выполнены всеми учащимися.

Опыт показал, что тот материал, на который были проделаны лабораторные работы, усвоен лучше и имеется более глубокое понимание его.

В моей постановке лабораторных работ основным недостатком является отрыв (во времени) учебного материала, прорабатываемого в классе, от лабораторные работ. Для некоторых учащихся очередь выполнения лабораторной работы доходит только через месяц после проработки соответствующего материала в классе. Но этот недостаток является неизбежным при данной постановке лабораторных работ.

Учащиеся очень довольны лабораторными работами, с большим удовольствием их выполняют и достигают хороших результатов.

Некоторые работы вызывают большие затруднения при выполнении.

Например, работа с приборами Гримзеля по определению механического эквивалента теплоты весьма затрудняет учащихся.

Они очень долго выполняют ее и не могут получить точных итогов. Ошибки достигают 15—20%.

При таких ошибках теряется ценность работы. Многие приборы очень неточно приготовлены. Например, амперметры и вольтметры почти все дают неверные показания. Имеются разногласия в показаниях термометров, находящихся в совершенно одинаковых условиях. Это сильно мешает точности выполняемых лабораторных работ.

Часть приборов, которые необходимы для работ, являются самодельными. Они приготовляются лаборантами в порядке подготовки к лабораторным работам.

Несмотря на указанные недостатки, итоги первого полугодия говорят о большом количестве положительных сторон и говорят о необходимости продолжения работы для того, чтобы весь намеченный лабораторный минимум выполнить до конца.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

МЕТОДИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИБЛИОГРАФИЯ ПО ТЕМАМ

В. МОРЕВ (Ленинград)

Признаки делимости чисел

1. Тихомиров В.— Способ узнавать, делится ли данное число без остатка на другое число, М., 1852, стр. 42, 30 коп. Рец. „Отечественные записки“, 1852, т. 84, № 9, отд. 6, стр. 23-25. Ответ автора — „Московские ведомости', 1852, № 124.

2. Жбиковский А.— Относительно признаков делимости чисел. „Вестник математических наук“, 1861, 1, стр. 5.

3. Мазинг К. — Простые признаки делимости чисел. „Педагогический сборник“, 1872, V, стр. 527-5 5.

4. Воронов А. — О некоторых признаках делимости чисел. „Педагогический сборник', 1873, II, стр. 202-207.

5. Ф. Н.—Новый признак делимости чисел на 11. Спб., 1877, стр. 85, ц. 35 к. Рец. П Литвинский. „Педагогический музей“, II, 1877, V, стр. 360.

6. Вейль С. — О признаках делимости чисел. „Педагогический сборник“, 1878, VI, стр. 609—623.

7. Гольденберг А. И. — К теории делимости чисел. „Математический листок“, I, М., 1878, X, стр. 319—322.

8. Вейль С. — К теории делимости чисел. Киев, 1879, стр. 12, ц. 20 к. - 400.

9. Яржембковский. — Признак делимости на 37. „Математический листок“, II, М., 1881, II, стр 33—34.

10. Леве А. — Признак делимости чисел на 11. „Педагогический сборник', 1884, V, стр 426—427.

11. Леве А. — Признак делимости чисел на 7. „Педагогический сборник“, 1883, стр. 158—160.

12. Вахрушев М. — Новый вывод признаков делимости на 9 и на 3. „Записки учителя“, М., 1884. III, стр. 229.

13. Ермаков В. П. — Признаки делимости чисел. „Журнал элементарной математики“, 1884, V, стр. 101-103.

14. Рождественский Я. — Признак делимости чисел на 6. „Педагогический сборник“, 1888, VII, стр. 52-54.

15. Ш. — Об общем признаке делимости чисел. „ВОФЭМ“, 1888, сем. IV, № 45, стр. 200—203.

16. Сорокин Н. — О сумме цифр при различных системах счисления. „ВОФЭМ“, 1890, сем. IX, № 105, стр. 161—168.

17. Эсве, — К элементарной теории делимости чисел. Тип. Л. Бермана, Сб., 1890, стр 46.

18. Ипатов В. — О делимости чисел. „Гимназия“, Ревель, 1892, IX, стр. 766 —786.

19. Лещинский А, — Некоторые изыскания о делимости на числа, оканчивающиеся на 9, 7, 1 и 3. „Гимназия', 1892, V, стр. 453—463.

20. Рождественский Я.—Заметка о признаке делимости чисел на 8. „Педагогический сборник“, l893, XI, стр. 447 — 451.

2 . Р...... А. А.— Признаки делимости на первые сто чисел. Спб., 1894, стр. 16, ц. 30 к.

22. Родных А. А. — Простейшие признаки делимости чисел на 7 и 17. Спб., 1895, 8°, стр. 6, ц. 10 к.

23. Р...... А. А. — Новый способ нахождения общего наибольшего делителя, дающий признаки делимости на любые числа и функции. Ч. 1-я, Спб., 1896, 8°, стр. 1 -f- 15, и. 40 к.

24. Слешинский И. — О делимо;ти чисел. „ВОФЭМ“, 1897, сем. XXII, № 258, стр. 141—142.

25. Рис Л. Ф. — Общий признак делимости на все первоначальные числа в частности и на нечетные числа (кроме 5, 15, 25, 35____) вообще.

„Дневник X съезда русских естественников и врачей“. Киев, 1893, IX, стр 329-331.

2с. Н. С. — Теорема о делимости на составные числа. „Педагогический сборник“, 1900, IV, стр. 336-344.

27. Признаки делимости на 9 и 11. [Доказательство G. Candido]. „ВОФЭМ", 1901, №303, стр. 68.

28. Волковский Д. Л. — К вопросу о признаке делимости на 8. „Педагогический сборник“, 1901, III, стр. 254—260

29. Чистяков И. И. — Об одной группе признаков делимости. „Математический вестник“, М., 1914, II (окт.), стр. 37—40.

30. Чистяков И. И. — О некоторых признаках делимости. „Математическое образование“, 1914, VIII (дек.), стр. 353-357; 1915, I стр. 4-10; III, стр. 97—100.

31. Извольский Н. А. — Еще о признаках делимости. „Математический вестник', 1915, I, стр. 12—16.

32. Агрономов Н. А. — По поводу нового признака делимости на 11. „Математический листок'. Ревель, 1915, VI, стр. 75—76.

33. Гохман X. И. — Новый признак делимости на 11. ,Математический листок', Ревель, 1915, VI, стр. 73—74.

34. Слугинов С. — Заметка о признаках делимости чисел на 9 и 11. „Математическое образование', 1916, I—II, стр. 3—5.

35. Артемьев А.—О признаках делимости чисел на 8. „Математический вестник', 1917, I, стр. 21-23.

36. Шохор-Троцкий С. И.— Отклики. (О признаках делимости и пр.) „Математический вестник', 1917, III, стр. 82-85.

37. Синькевич А. Н. — Применение неопределенных уравнений к выводу признаков дели-

мости на любые числа. „Математическое образование“, М., 1928, V, стр. 202-2 4.

38. Волковский Д. - К вопросу о признаке делимости на 8. „Математика и физика в средней шкоде“, М., 1934, IV, стр. 76-78.

Теорема Пифагора

1. Дуров К. — Графическое доказательство Пифагоровой теоремы. „Семья и школа“. (Родители и воспитатели.) 1873, т. I, стр. 192—193.

2. Серебровский М. — Еще графическое доказательство Пифагоровой теоремы. „Семья и школа“. (Родители и воспитатели.) 1874, X, стр. 229—231.

3. Серебровский М. — Решение теоремы Пифагора в общем виде. „Учебные записки Казанского университета“, 1877, стр. 283 — 286.

4. Гольденберг А. И. — Одно из доказательств Пифагоровой теоремы, „математический листок-, I, М., 1879, IX, стр. 301 - 302.

5. Гольденберг А. И. - Систематическая таблица первоначальных пифагоровых треугольников. .Математический листок“, I, М., 1879 (80), XII, стр. с78.

6 Виппер Ю. — Сорок пять доказательств Пифагоровой теоремы, с приложением кратких биографических сведений о Пифагоре. С 58 рисунками, М., 1879, 8°, стр. 46, ц. 75 к. Рец.: „Педагогическая хроника“ („Семья и школа“), 1879, III, стр. 64.

7. Сердобинский В. — Сложение квадратов. „Семья и школа“. (Учебно-воспитательное отделение.) 1883, X (дек.), стр. 389-391.

8. По поводу заметки г Сердобинского о сложении квадратов. .Семья и школа“. (Учебно-воспитательное отделение.) 1884, I, стр. 73-74.

9. Филиппов М. М. — Теорема, аналогичная Пифагоровой „Семья и школа“. (Учебно-воспитательное отделение.) 1884, I, стр 212—214.

10. Семиколенов Г. С. — Этюды по геометрии Лобачевского. Этюд I Теорема Пифагора в геометрии Лобачевского. Либава, 1893, ц. 1 р. (вырученные от продажи деньги поступают в фонд им. Н. И. Лобачевского).

11. Волков М. С —Новое доказательство теоремы Пифагора. (Математические мелочи) .ВОФЭМ'. 1897, № 249, стр 246.

12. Мальцев М. — Теорема Пифагора как частный случай теоремы Птоломея. Казань, 1897.

13. Рейес П. — Note sur la théorème de Pythagore et la géométrie non-euclidienne. „Известия Физико-математического общества при Казанском университете“, VII, 1897, II, стр 67-68.

14. Игрек —Арифметика, составленная по программам конкурсных экзаменов в институты, инженеров путей сообщения. Горный, Технологический и др., и разбор двенадцати случаев Пифагоровой теоремы Изд. И, Базлова, Спб., 1901, стр. 63, п. 75 к.

15. Новое доказательство Пифагоровой теоремы. „ВОФЭМ“, 1902, № 334, стр. 235.

16. Михайлов В. — Геометрическое доказательство обобщенной теоремы Пифагора. „ВОФЭМ“, 1903, № 338, стр 37-38.

17. А. Б. — Доказательство теоремы Пифагора. „ВОФЭМ“, 1904, № 379, стр. 164.

18. Григорьев Е. — Теорема Пифагора у японцев. „ВОФЭМ“, 1904, № 375, стр. 64—65.

19. Влодавер Н. — Варианты доказательства теоремы Пифагора. „ВОФЭМ“, 1911, № 546, стр. 152—154.

20. Литцманн В. — Теорема Пифагора, с приложением некоторых сведений о теореме Ферма. Перевод с немецкого под редакцией приват-доцента С. О. Шатуновского. Изд. „Mathesis“, Одесса, 1912, стр. IV 4- 80, с 44 рис., ц. 40 к. („Библиотека элементарной математики“, I)

21. Агрономов H. А —О некоторых следствие X теоремы Пифагора. „Математический листок“, Ревель, 1915, III, стр. 32- 33.

22. Некоторые доказательства теоремы Пифагора. (Доказательство Bezout u Hofmann'a.) „Математический листок“, Ревель, 1915, IX (дек.), стр. 124-125.

23. Об одном доказательстве теоремы Пифагора. „Магматический листок“, Ревель, 1915, II, стр. 14.

24. Турчанинов А. — Об одном обобщении теоремы Пифагора. „ВОФЭМ“, 1916, № 655—656, стр. 170-179.

25. Пистрак М. — Об аналогонах теоремы Пифагора в трех-четырехмерном пространстве. „Физика, химия, математика, техника в трудовой школе“. М., 1930, IV, стр. 62—63.

26. Кастровицкий И. — Пифагоровы числа. „В помощь учителю“, 1933. № 19 — 20, стр. 39-40.

27. Федорович Ф. — Показательный урок по математике. (Теорема Пифагора.) „За политехническую школу“, М., 1933, II, стр. 61—69.

28. Яковлев П. — Обобщение теоремы Пифагора. „Математика и физика в средней школе“, М, 1934, II, стр 29-30.

Теорема Гюльдена

1 Гольденберг А. И— К учению о телах вращения (Собрание теорем и задач.) .Математический листок', М., 1879 1 стр 18—24; II, стр. 45-52, III, стр 75-78.

2 Сорокин H — Тела вращения Пособие при решении задач. Киев, 1890, ц. 15 к.

3 Чемолосов С. С — Определение поверхностей и объемов тел вращения при помощи теоремы Гюльдена. Большое число примеров с решениями. Для учеников VII и VIII классов. M., 1899

4. Белянкин И. И. — Обобщение теоремы Гюльдена. „Отчеты и протоколы Физико-математического общества при Киевском университете“, Киев, 1901 (1902), стр. 89-98.

5. Веребрюсов А. — Элементарное доказательство теоремы Гюльдена. „ВОФЭМ“, 1901, № 303, стр 56—61. Отд. отт., Одесса, 1902.

6. Белянкин И. И. — Обобщение теоремы Гюльдена относительно объемов. „Дневник XI съезда русских естественников и врачей“, Спб., 19^2, стр. 121.

7. Он же. Обобщение теоремы Гюльдена, относящейся к поверхностям. „Дневник XI съезда русских естественников и врачей“, Спб., 1902, стр. 240-241

8. Василевский В. Ф. — Полные решения и объяснения „Стереометрических задач“ А. К. Клионовского. С 270 черт, и описанием теоремы Гюльдена. Белая Церковь, 1908, ц. 1 р.

9. Асланов К. — Определение объемов и поверхностей тел вращения. (Теорема Гюльдена.) „Физико-математическое приложение к циркуляру Кавказского учебного округа“, 1909, 1, стр. 49—53.

10. Оглоблин H. В.— Об определении поверхностей и объемов тел вращение. .Университетские известия“, т. 50, Киев, 1910, I. Отчеты и протоколы Физико-математического общества за 1903 г., стр. 25-31.

11. Исачкин Б. И. — Методы решения задач на тела вращения. Спб., 1910, стр. 51, ц. 85 к.

12. Колянковский Д. П. — Две теоремы Гюльдена о вычислении поверхностей и объемов тел, полученных от вращения фигур около оси, лежащей в плоскости фигуры. Для средних учебных завгдений. Киев, 1910 , стр. 8, ц. 10 к.

13. Яралянц П. - Учение о поверхностях и телах вращения, основанное на теоремах Гюльдена— Паппуса. Применение теоремы Гюльдена — Паппуса к простейшему вычислению поверхностей и объемов тел вращения. Элементарное изложение. Уфа, 1912, стр. 32, ц. 15 к.

14. Романовский Б. В.— Теоремы Гюльдена. „Физика, химия, математику техника в трудовой школе-. М., 1929, IV, стр. 61—71.

15. Билима — Пастернаков А. — Чисто-геометрическое элементарное доказательство теорем Гюльдена о телах вращения. (Доклад в заседании Тульского математического кружка), .Физика, химия, математика, техника в трудовой школе“, М., 1930 V, стр. 30—39.

16. Поляков С. — Доказательства теоремы Паппа — Гюльдена методом неделимых. „Математика и физика в средней школе“ M., 1934, III, стр. 31-34.

Ошибки учащихся и борьба с ними

1. А. Л,—Несколько заметок и наблюдений над больными сторонами математического сознания в связи с навыками учащихся. „Наш труд“, Ярославль, 1927, III, стр. 42—44.

2. Попов И. Г.— Привычные ошибки в математике. „Просвещение на транспорте“, М., 1927, I, стр. 60—64.

3. Сазонов И.— Ошибки по арифметике и способы их предупреждения. „Вестник просвещения*, М., 1927, IX, стр. 28—41.

4. Маловичко В. — Борьба с ошибками в вычислениях. „Физика, химия, математика, техника в средней школе“, М., 1931, V, стр. 60—64.

5. Никифорова О. — Анализ ошибок по элементарной математике. „Помощь общему самообразованию“, 1931, X, стр. 15—20; XI-XII, стр. 19—29.

6. Зяблицкий В. В. — Еще раз об одной распространенной ошибке. (Критика на ст. Сафонова.) „За коммунистическое просвещение Иваново-промышленной области“, 1932, IX, стр. 3—38-

7. Лезедов П. — Анализ контрольных работ по математике (по материалам политпедстанции УМС ЛООНО. (I - VII гр.) „В помощь сельскому учителю“, /1., 1932, № 15-16, стр. 17—1Р.

8. Никитина. — Опыт тренировочной работы по математике в VI классе начальной школы. .Методика политехнической школы“, М., 1932г VII, стр. 47.

9. Сафонов А. — Об одной распространенной ошибке (о примерах, где путают порядок действий) I и И годов обучения. „За коммунистическое просвещение Иваново-промышленной области“, 1932, IV—V, стр. 58.

10. Беляевская Ю. А. — Типичные ошибки учащихся в области арифметики. „В помощь учителю“, Л., 1934, № 15, стр. 3-6.

11. Волковский Д. Л. — Борьба за культуру арифметического языка. „Начальная школа“. 1934, IX, стр. 31—33.

12. Киселев А. Е. — Ученические ошибки по алгебре, происхождение их и меры борьбы с ними. „Культфронт“, Воронеж, 1934, № 17 — 18, стр. 45-54.

13. Корольков А. — Ошибки учащихся в трудных случаях умножения. „Повысим грамотность“, 1934, II.

14. Логинова У. — Язык на уроках математики (из наблюдений об лественника-инструктора^. „Зз коммунистическое воспитание", 1934, I, стр. 37-38.

15. Снигирев В.—Основные недостатки в подготовке по математике окончивших курс педтехникумов. По данным приемных испытаний в Московском пединституте им. К, Либкнехта в августе 1933 г. „Педагогическое образование“. М., 1934, I, стр. 34-37.

16. Шаморовский В. — Об ошибках на уроках математики и в тетрадях учеников. „В помощь учителю“, Л., 1934, № 15, стр. 16—20

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 1 ЗА 1935 г.

От редакции. Идя навстречу пожеланиям, высказанным многими читателями сборника, редакция постановила премировать первых пятнадцать читателей, решивших наибольшее количество задач, помещенных в течение 1935 г.

В качестве премий намечены следующие книги:

1. .Анализ“ (под ред. акад. Лузина), ч. 1-я — „Введение в анализ“,

4. 2-я — „Диференциальное исчисление“.

2. Шапиро — „Высшая алгебра“.

3. Четверухин — „Введение в высшую геометрию“.

4 Брадис—.Теория и практика приближенных вычислений“.

5. Калецкий — . Черчение".

6. Бронштейн — .Методика алгебры“.

7. Гурвиц и Гангнус — „Методика геометрии“, ч. 1-я и 2-я.

8. Путилов — .Физика'.

9. Знаменский и л р. — .Методика физики“.

10. Ган (перев. с нем.) — .Методика физики“.

В этот список могут быть включены книги, имеющие выйти до окончания конкурса.

Редакция считает нужным отметить, что многие решения, как показал опыт, получаются редакцией тогда, когда очередной номер с этими решениями находится уже в производстве, и фамилии приславших решения позднее уже не могут быть в нем опубликованы.

Редакция считает, что все решения, полученные редакцией до выхода в свет номера с этими решениями, должны засчитываться. Желательно получить мнение читателей по этому вопросу.

В целях облегчения работы по проверке и учету решений редакция убедительно просит соблюдать следующие правила:

1. Под решением каждой отдельной задачи должна быть подпись.

2. Никоим образом не помещать в одной тетради, а тем более на одном листке, решений задач, помещенных в различных номерах сбор тика.

3. Желательно, чтобы решение каждой задачи было написано на особом листке.

4. В сопроводительной записке обозначать число и месяц отправки решений.

Редакция.

1. Решить уравнение

1) Первый способ.

Отсюда;

2) Второй способ. Замечая (при помощи разложения на первоначальные множители числа 60), что данному уравнению удовлетворяет корень * = 2, делим левую часть данного уравнения hi х-- 2. Получаем:

X* - 12лЗ + 51*3 _ 92* + 60 = (*• - 10** + 31* — — 30) (* — 2).

Итак, один корень хк = 2.

Замечая, что многочлен *3 — 10*а -f- 31* — 30 имеет корень, равный двум, получаем:

*з - Юлг2 + 31* — 30 = (*2 - 8* + 15, (* — 2) = 0.

Итак, второе корень уравнения *2 = 2.

Решая квадратное уравнение ** — 8*+15, находим, что *з = 5; *4 = 3.

К. Агринский (Москва), И. Алексеев (Казань), А. Голубченко (Лохвица), А. Егоров (Демянск), В. Ефимов (ст. Сходня), В. Зяблицкий (Калинин), Б. Кобылин (Галич), Н. Курицын (Ярославль), С. Липилин (Оренбург), П. Милов (Люблино), К. Ситников (Змеиногорск), Е. Соловьев (Одесса), И. Черкасов (Выгоничи), Я. Шор (Тула).

2. Сумма четырех последовательных членов геометрической прогрессии равна a, a сумма их квадратов Ь. Показать, что сумма средних членов удовлетворяет квадратному уравнению:

Обозначив первый член прогрессии через р, а знаменатель ее через q, будем иметь:

Сумма средних членов равна pq + pq* = pq (1 -f- q). Подставляя значения a, b и суммы средних членов в левую часть уравнения, найдем:

Подставляя значения а и b в правую часть уравнения, найдем:

Итак, подстановка суммы средних членов в уравнение обращает его в тождество. Следовательно, она удовлетворяет уравнению.

К. Агринский (Москва), Б. Кобылин (Галич), С. Липилин (Оренбург), К. Ситников (Змеиногорск).

3. Решить уравнение:

1) Данное уравнение представим в таком виде:

Подставляя в данное уравнение, преобразуем его в такое:

Обозначим

Отсюда:

у* + 10у» + 5> = 5>4 + 10у2 + 1,

или

у* — 5yi + 10у8 — loyj + 5i/ — 1 = 0.

Замечаем, что левая часть представляет из се^я разложение бинома (у — \)\ Отсюда (у— 1)5 = 0. Следовательно, у = 1, и далее

— 2=1; * —2=1; * = S.

2) Возведя обе части уравнения в квадрат, освободясь от знаменателя и перенеся все в левую часть, получим:

х* _ 15*4 + 90лг* _ 270*2 + 405* - 243 = 0, или:

** — 5-3*4+ 10-32*3 — 10-33*2 + 5-3* jc— 35 = 0.

Откуда (* —3)з = 0; * = 3.

К. Агринский (Москва), А. Вепланд (Москва), А. Голубченко (Лохвица), В. Зяблицкий (Калинин), П. Милов (Люблино), К. Ситников (Змеиногорск>.

4. Решить уравнение =*, где « =

= 3,14159.... и [п] — целая часть числа л. Испытываем числа 1, 2, 3.

При *= 1; п> 3, следовательно

Испытываем далее * = 4; п>3,14, откуда к* > 97 (вычисляем пои помощи таблиц логарифмов).

Далее: к < 3,2, откуда и* < 105 Итак,

Отсюда

или

Следовательно

т. е. * = 4 есть корень уравнения.

Больше корней уравнение иметь не может, так как при дальнейшем увеличении * знаменатель растет быстрее числителя, и левая часть уравнения будет всегда меньше правой. Нетрудно показать, что, начиная с * = 7, левая часть будет равна нулю.

К. Агринский (Москва), Б. Кобылин (Галич), С. Липилин (Оренбург).

5. По одну сторону прямой линии CD даны точки А и В\ найти на прямой CD такую точку Я, чтобы £ CPA = 2£ DP В.

черт. 1.

Построим точку О, симметричную точке В, относительно СО, и из этой точки опишем окружность радиусом, равным ВО. Из точки А проведем к этой окружности касательную, которая пересечет прямую CD в некоторой точке Р. Эта точка ^ и будет искомой. Действительно ^ DPO — = / DPB - а (из равенства треугольни чов ОРК и РВК). Далее, 2 DP0 = L OPF = а (т к как центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла). Но DPF= £ CPA = 2e (как противоположи й). Итак, / CPA = / DPF = = 2 £ DPO =2£ DPB.

Б Кобылин (Галич), П. Милов (Люблино).

6. Доказать, что если в треугольнике ^С = 60°г

то

1) Опустим из точки В перпендикуляр на АС. Так как ^С=60°, то DC — у (как катет, лежащий против угла в 30е*). Определяем сторону AB:

или

Черт. 2.

Прибавим к обеим частям последнего равенства по (а + Ь)с:

а* + Ы-\-(а + Ь) с = с*+ ab +{а + Ь)с9

или

а (а + с) f b {b -f с) = (с + а) {с + Ь). Разделим обе части на (с + а) (с 4- М:

Отсюда

или

Наконец, деля на а + b + с, получаем окончательно:

2) Можно, преобразуя данное равенство, привести его к виду с* = а* + № — справедливость же последнего для данного треугольника доказана выше.

К. Агринский (Москва), А. Вепланд (Москва), В. Ефимов (ст. Сходня), Б. Кобылин (Га ич), Н. Курицын (Ярославль), П. Милов (Люблино), Я. Шор (Тула).

7. Данный отрезок разделить на две части так, чтобы площадь квадрата, построенного на одной части, была втрое более площади квадрата, построенного на другой.

Присланные решения можно разбить на две группы. В решениях первой группы сначала вычисляется длина отрезков, на которые делится данный, а затем производится построение. В решениях второй группы искомые отрезки находятся сразу построением, без предварительного их вычисления. Приведем решения из обеих групп.

1) Пусть длина данного отрезка равна а. Обозначив длину хотя бы большего отрезка через х, будем иметь

х* = г(а— х)'\

откуда

Величина другого отрезка будет:

Оба отрезка легко построить. Воспользуемся, например, построением, предложенным Б. Кобылиным (Галич). Взяв данный отрезок а за диаметр, строим окружность. Находим в последней сторону правильного вписанного треугольника (для чего достаточно сделать по окружности от некоторой точки две засечки радиусом). Длина этой стороны а О . Вычитая из нее отрезок, равный , получим отрезок, равный— т. е. меньший из искомых.

К. Агринский (Москва), А. Вепланд (Москва) А. Егоров (Демянск), Б. Кобылин (Галич), Шор (Тула).

2) Из решений, даюших ответ непосредственным построением, приведем решение, предложенное П. Миловым (Люблино) как наиболее простое и изящное. Построения, предложенные другими - сложнее.

Положим, искомая точка находится в С, т. е,

АС*= ЪСВК

Черт. 3.

Обозначив отрезок СВ через х, будем иметь: ЛСа = 3^2; АС = Угх.

Восставим перпендикуляр к AB в точке С н отложим на нем CD = CB. Точку D соединим с А и В. Имеем:

1 ) DC.z= С В = а (по построению). Следовательно £В = 45°.

2) DC= а, АС = УЪа. Отсюда АР = = VАС1 ->г DC*?=V?>a% Л- а* = 2а.

Следовательно, ^Л = 30э (так как катет, лежащий против него, равен половине гипотенузы).

Теперь мы имеем все для построения.

Берем данный отрезок AB и при его концах строим углы: при одном — в 30°, при другом — в 45° (оба угла можно построить при помощи циркуля и линейки). Из точки пересечения С вторых сторон этих углов опускаем перпендикуляр на AB. Полученная точка D и будет искомой.

П. Милов (Люблино), К. Ситников (Змеиногорск).

8. Полагая, что M, N, Р, Q суть соответственно середины сторон AB, ВС, CD, DA квадрата ABCD, показать, что в пересечении линий AN, BP, CQ, DM образуется квадрат, площадь которого равна ~ площади данного квадрата. Докажем, что фигура Ai В{ Câ Dâ — квадрат.

1) &ABN = &BCD (по двум катетам). Отсюда

Черт. 4.

2) Из треугольника BB^i находим:

£ NBBX + Z. = « 4- 90°.

Следовательно, ^ ß^W = 90°.

3) To же можно доказать относительно углов при точках Clt А и Л4. Таким образом, четыреугольник А{В{С^{—прямоугольный. Отсюда же находим, что AN и CQ и £Я || MD.

4) Из треугольника АВ{В, в котором /И/4 средняя линия, находим AAt = А{В{\ ВВ{ — 2 МА{.

Точно так же: ВВ{ =г ßtC4; СС4 = CD4; DD{ = = 04Л4; CC{ = 2NB{ и т. д.

5) Из равенства треугольников АА{М и ßß,/V <по гипотенузе и острому углу) находим: АА{ — ВВ{, а отсюда, принимая во внимание п. 4,

A{Bi = BiCi = C|Oj = DHi-

Следовательно, в четыреугольнике A^fi^Di все стороны равны и все углы прямые, т. е. доказано, что /44ß4C,D4 — квадрат.

Обозначим сторону квадрата AlBlClDl через х. Тогда его площадь х\ Площадь данного квадрата а\ Из C\ABN находим:

К. Агринский (Москва), И. Алексеев (Казань), А. Вепланд (Москва), А.Егоров (Демянск), Б. Кобылин (Галич), П. Милов (Люблино), К. Ситников (Змеиногорск), Я. Шор (Тула).

10. Показать, что

Обозначим величину первой скобки через m, а второй через п. Тогда мы можем написать:

(1) (2)

Сложив эти два равенства, получим

Но.

Аналогично:

Теперь имеем:

Найдем теперь разность m — п,

Аналогично

Имеем:

Из равенств

находим m и п.

Окончательно находим:

К. Агринский (Москва), Б. Кобылин (Галич), П. Милов (Люблино), Я. Ш о р (Тула). 11. Решить уравнение:

х* sin 2 а + 2х (sin а + cos а) + 2 = 0.

1) Из присланных решений наиболее изящным нам представляется решение, присланное Б. Кобылиным (Галич).

Преобразуем уравнение, взяв формулу для sin 2i и, раскрыв скобки, получим:

2*2 sin a cos а + 2х sin а 2х cos а + 2 = 0.

Сокращаем на 2 и группируем:

Отсюда непосредственно получаем

Б. Кобылин (Галич).

2) Более трафаретный способ:

К. Агринский (Москва), П. Милов (Люблино), Я. Шор (Тула).

12. Показать, что в треугольнике имеет место соотношение:

Преобразовываем левую часть:

К. Агринский (Москва), А.Егоров (Демянск), Б. Кобылин (Галич), П. Милов (Люблино).

13. Показать, что при л> 1 2п\<[п (л+ \)]п.

В формулировке задачи пропущены скобки: (2 л)! Поэтому большинство присланных решений исходили из выражения 2 (л!)*

Так как среднее геометрическое нескольких чисел меньше их среднего арифметического, то мы можем написать:

Поэтому, перемножая неравенства, получим

откуда

Б Кобылин (Галич)

14 Показать, что если а есть нечетное число, не делящееся на 5 и на 3, то число

(а*~ 1)(а« - 16) (а» - (2л f Щ*

делится на 23 040 Число 23 040 = 2* 31.5

Преобразуем данное выражение при помощи известных формул:

а*- 1 =(a- 1)(а + 1); (а« - 16) = (а -2) (а + 2) (а*+ 4); а* - (2л - 1)» = (а» - lj _ — 4л (л +- 1).

Данное выражение примет вид:

(a -2)(a - 1)(û+ \)(а + 2)(a* + 4) - 1) -4л(я + 1)1».

1) Так как а нечетно, то (а — 1) (a -f* 1) = а* — I

кратно 8.

2) а1 — I кратно 8 и \п (п + I) кратно 8, следовательно и их разность, заключенная в прямые скобки, кратна 8. а квадрат этой разности кратеи 64 Итак, все выражение делится на 8-64 = 29.

3) Произведение трех последовательных чисел: (а-2) (а — 1) a или а (а + 1) (a + 2), должно быть кратно трем, а так как а не делится на три, то (а-2) (а - 1) и (а + 1)(д -f-2) делятся на 3.

Следовательно, все выражение делится на 9.

4) Произведение пяти последовательных чисел: (в_2) (а — 1)а(а «+• \){а + 2), делится на 5, а гак как а не делится на 5, то (а — 2) (а — 1 )(д + I) (a + 2) делится на 5.

Итак, данное выражение делится на 29-32-5 = = 23 040.

Б. Кобылин (Галич), П. Милов (Люблино).

* Редакция не считает возможным засчитать эти решения, так как в этом случае неравенство слишком уже очевидно.

ЗАДАЧИ

От редакции. Все задачи, присылаемые для помещения в сборнике, должны сопровождаться подробными решениями.

1. Решить систему уравнений:

Л. Москалев (Москва).

2. Показать, что при любом целом п выражение

п {п* — 36 ) + 13л« (3 — л2) + л» (10 — л2) делится иа 5040.

Г. Делибаш (Баку).

3. Доказать, что если в треугольнике периметр втрое больше какой-либо из сторон, то котангенсы половинных углов треугольника составляют арифметическую прогрессию.

Г. Делибаш (Баку).

4. Решить систему уравнений:

Г. Делибаш (Баку).

5. Доказать, что если в треугольнике биссектрисы двух каких-либо его углов равны, то треугольник равнобедренный.

Л. Москалев (Москва^

6. Решить в целых числах уравнение:

х-\{х—У)=:У*.

А.Вепланд (Москва).

7. Решить уравнение

(xl)! + x\+x=*x*t

А. Вепланд (Москва).

8. Доказать тождество:

eie« + CKÎa + cfc4«+_. + cic2««= ctg у—

Г. Делибаш (Баку).

9. Доказать тождество:

Г. Делибаш (Баку).

10. В Д ЛВС проведены прямые AF, BD и СЕ

так, что С/7 =-1 ВС, AD=~AC и ВЕ^~АВ.

Площадь треугольника, сторонами которого являются эти прямые, равна р. Найти площадь треугольника ABC.

Г. Делибаш (Баку).

11. Имеем четыреугольную доску размером 5 X2-Построить из этого четыреугольника квадрат, разрезав доску только на 4 части. Эта задача была предложена каирским ученым Али еврейскому Ученому — врачу и математику— Иосифу Соломону ель-Медичо, современнику Галилея. Она приведена в математическом сочинении последнего, известном под названием .Элнм“.

М. Китай (Москва).

12. Написать арифметическую прогрессию, если сумма всех ее членов выражается через число всех членов п следующим образом:

S = рп* + q

для всякого п (р и q некоторые данные числа).

К. Бутомо (Ленинград).

13. Доказать, что

для всякого целого положительного я.

К. Бутомо (Ленинград).

14. Найти два целых положительных числа, разность которых равна -g- ях произведения.

И. Чистяков.

15. Треугольник ЛВС с основанием 50 м и боковой стороной ЬО м имеет площадь, равную 500 м*. Линиями, параллельными основанию, разбить треугольник на 5 равновеликих частей.