УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ СБОРНИК

4

1935

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

МАТЕМАТИКА и ФИЗИКА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ СБОРНИК

№ 4

ИЮЛЬ 1935 АВГУСТ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

В. И. Ленин — Фридрих Энгельс........................ 3

Научный и научно-популярный отдел

Доц. В. Молодший — Энгельс и математика................. 8

Д-р Вацлав Серпинский — Сечение (перевод с польского научн. раб-ка К. Плескачевского) ............................... 14

Инж. Г. Тягунов — Катоды электронных ламп................. 28

Доц. В. Грановский — Движение атомов и предел точности физического эксперимента 36

Проф. П. Попов — Астрономические явления в августе—ноябре 1935 г..... 45

Общая методика

Проф. Е. Березанская — Краткий отчет о совещании преподавателей математики 49

Обращение научно-методического совещания преподавателей математики ко всем преподавателям математики в средней школе ... ............ 54

Проф. Н. Четверухин — Вопросы элементарной геометрии и ее преподавания . . 56

Проф. М. Гребенча—Функции и уравнения.................. 65

Проф. И. Кавун — Методы преподавания математики.............. 70

Ф. Нагибин — Развитие глазомера на уроках математики............ 72

Частная методика

Е. Рачко — К методике решения геометрических задач на вычисление...... 76

А. Сафонов — К проработке бинома Ньютона.................. 78

А. Гельфенбейн — Закон Ома......................... 80

A. Глазырин — Набор по механике Глазырина............... 87

B. Васильев — Простой высотомер....................... 92

Б. Яковлев — Прибор Атвуда, полностью электрифицированный......... 94

Критика и библиография

Я. Перельман — Почему вверху атмосфера холоднее, чем внизу......... 95

И. Соколов — В. А. Зибер, Ф. Н. Красиков, И. А. Челюсткин —.Методика и техника демонстрационных опытов по физике.................. 96

Д. Гончаров — Вопросы преподавания математики в периодической литературе . . 99

Задачи

Решения задач, помещенных в № 4 .Математика и физика в ср. школе" за 1934 г. 101

Задачи.................................... 104

Редакционная коллегия: И. К. Андронов, А. Н. Барсуков, Е. С. Березанская, А. Н. Зильберман, А. Г. Калашников, В. Н. Молодший, П. И. Попов, Н. П. Суворов.

Отв. ред. А. Н. Барсуков, отв. сокр. К. И. Коровин. Тех. редактор В. С. Якунина.

Адрес редакции: Москва, Орликов, 3, Учпедгиз,

пеоиодсектор, журн. „Матем. и физика“.

Сдано в производство 31/V Подписано к печати 17/VII

Учгиз № 7220. Объем 6*/2 п. л. В 1 п. л. 78 000 зн. Бумага 72ХЮ5 Заказ 1906

Тираж 25 100

Уполномочен. Главлита № Б-9306

1-я Образцовая типография Огиза РСФСР треста „Полиграфкнига“. Москва, Валовая, 28.

В. И. Ленин

ФРИДРИХ ЭНГЕЛЬС

Какой светильник разума погас, Какое сердце биться перестало!

5-го августа нового стиля (24 июля) 1895 года скончался в Лондоне Фридрих Энгельс. После своего друга Карла Маркса (умершего в 1883 г.), Энгельс был самым замечательным ученым и учителем современного пролетариата во всем цивилизованном мире. С тех пор как судьба столкнула Карла Маркса с Фридрихом Энгельсом, жизненный труд обоих друзей сделался их общим делом. Поэтому, для того чтобы понять, что сделал Фридрих Энгельс для пролетариата, надо ясно усвоить себе значение учения и деятельности Маркса в развитии современного рабочего движения. Маркс и Энгельс первые показали, что рабочий класс с его требованиями есть необходимое порождение современного экономического порядка, который вместе с буржуазией неизбежно создает и организует пролетариат; они показали, что не благожелательные попытки отдельных благородных личностей, а классовая борьба организованного пролетариата избавит человечество от гнетущих его теперь бедствий. Маркс и Энгельс в своих научных трудах первые разъяснили, что социализм не выдумка мечтателей, а конечная цель и необходимый результат развития производительных сил в современном обществе. Вся писаная история до сих пор была историей классовой борьбы, сменой господства и побед одних общественных классов над другими. И это будет продолжаться до тех пор, пока не исчезнут основы классовой борьбы и классового господства — частная собственность и беспорядочное общественное производство. Интересы пролетариата требуют уничтожения этих основ, и потому против них должна быть направлена сознательная классовая борьба организованных рабочих. А всякая классовая борьба есть борьба политическая.

Эти взгляды Маркса и Энгельса усвоены теперь всем борющимся за свое освобождение пролетариатом, но когда два друга в 40-х годах приняли участие в социалистической литературе и общественных движениях своего времени, такие воззрения были совершенной новостью. Тогда было много талантливых и бездарных, честных и бесчестных людей, которые, увлекаясь борьбой за политическую свободу, борьбой с самодержавием царей, полиции и попов, не видели противоположности интересов буржуазии и пролетариата. Эти люди не допускали и мысли, чтобы рабочие выступали как самостоятельная общественная сила. С другой стороны, было много мечтателей, подчас гениальных, думавших, что нужно только убедить правителей и господствующие классы в несправедливости современного общественного порядка, и тогда легко водворить на земле мир и всеобщее благополучие. Они мечтали о социализме без борьбы. Наконец, почти все тогдашние социалисты и вообще друзья рабочего класса видели в пролетариате только язву, с ужасом смотрели они, как с ростом промышленности растет и эта язва. Поэтому все они думали о том, как бы остановить развитие промышленности и пролетариата, остановить „колесо истории“. В противоположность общему страху перед развитием пролетариата, Маркс и Энгельс все свои надежды возлагали на беспрерывный рост пролетариата. Чем больше пролетариев, тем больше их сила как революционного класса, тем ближе и возможнее социализм. В немногих словах заслуги Маркса и Энгельса перед рабочим классом можно выразить так: они научили

рабочий класс самопознанию и самосознанию, и на место мечтаний поставили науку.

Вот почему имя и жизнь Энгельса должны быть знакомы каждому рабочему, вот почему в нашем сборнике, цель которого, как и всех наших изданий, будить классовое самосознание в русских рабочих, мы должны дать очерк жизни и деятельности Фридриха Энгельса, одного из двух великих учителей современного пролетариата.

Энгельс родился в 1820 г. в г. Бармене, в Рейнской провинции Прусского королевства. Отец его был фабрикантом. В 1838 г. Энгельс семейными обстоятельствами был вынужден, не кончив гимназии, поступить в приказчики одного бременского торгового дома. Занятия купеческим делом не помешали Энгельсу работать над своим научным и политическим образованием. Еще гимназистом возненавидел он самодержавие и произвол чиновников. Занятия философией повели его дальше. В то время в немецкой философии господствовало учение Гегеля, и Энгельс сделался его последователем. Хотя сам Гегель был поклонником самодержавного Прусского государства, на службе которого он состоял в качестве профессора Берлинского университета,—учение Гегеля было революционным. Вера Гегеля в человеческий разум и его права и основное положение гегелевской философии, что в мире происходит постоянный процесс изменения и развития, приводили тех учеников берлинского философа, которые не хотели мириться с действительностью, к мысли, что и борьба с действительностью, борьба с существующей неправдой и царящим злом коренится в мировом законе вечного развития. Если все развивается, если одни учреждения сменяются другими, почему же вечно будут продолжаться самодержавие прусского короля или русского царя, обогащение ничтожного меньшинства на счет огромного большинства, господство буржуазии над народом. Философия Гегеля говорила о развитии духа и идей, она была идеалистической. Из развития духа она выводила развитие природы, человека и людских, общественных отношений. Маркс и Энгельс, удержав мысль Гегеля о вечном процессе развития*, отбросили предвзятое идеалистическое воззрение; обратившись к жизни, они увидели, что не развитие духа объясняет развитие природы, а наоборот — дух следует объяснить из природы, материи... В противоположность Гегелю и другим гегелианцам, Маркс и Энгельс были материалистами. Взглянув материалистически на мир и человечество, они увидели, что как в основе всех явлений природы лежат причины материальные, так и развитие человеческого общества обусловливается развитием материальных, производительных сил. От развития производительных сил зависят отношения, в которые становятся люди друг к другу при производстве предметов, необходимых для удовлетворения человеческих потребностей. И в этих отношениях — объяснение всех явлений общественной жизни, человеческих стремлений, идей и законов. Развитие производительных сил создает общественные отношения, опирающиеся на частную собственность, но теперь мы видим, как то же развитие производительных сил отнимает собственность у большинства и сосредоточивает ее в руках ничтожного меньшинства. Оно уничтожает собственность, основу современного общественного порядка, оно само стремится к той же цели, которую поставили себе социалисты. Социалистам надо только понять, какая общественная сила, по своему положению в современном обществе, заинтересована в осуществлении социализма, и сообщить этой силе сознание ее интересов и исторической задачи. Такая сила — пролетариат. С ним Энгельс познакомился в Англии, в центре английской промышленности, Манчестере, куда он перебрался в 1842 г., поступив на службу в торговый дом, одним из пайщиков которого был его отец. Здесь Энгельс не только сидел в фабричной конторе,— он ходил по грязным кварталам, где ютились рабочие, сам своими глазами видел их нищету и бедствия. Но он не удовольствовался лич-

* Маркс и Энгельс не раз указывали, что они в своем умственном развитии многим обязаны великим немецким философам и в частности Гегелю. „Без немецкой философии,— говорит Энгельс,— не было бы и научного социализма".

ными наблюдениями, он прочел все, что было найдено до него, о положении английского рабочего класса, он тщательно изучил все доступные ему официальные документы. Плодом этих изучений и наблюдений была вышедшая в 1845 г. книга: „Положение рабочего класса в Англии“. Мы уже упомянули выше, в чем главная заслуга Энгельса как автора „Положения рабочего класса в Англии“. И до Энгельса очень многие изображали страдания пролетариата и указывали на необходимость помочь ему. Энгельс первый сказал, что пролетариат не только страдающий класс; что именно то позорное экономическое положение, в котором находится пролетариат, неудержимо толкает его вперед и заставляет бороться за свое конечное освобождение. А борющийся пролетариат сам поможет себе. Политическое движение рабочего класса неизбежно приведет рабочих к сознанию того, что у них нет выхода вне социализма. С другой стороны, социализм будет только тогда силой, когда он станет целью политической борьбы рабочего класса. Вот основные мысли книги Энгельса о положении рабочего класса в Англии, мысли, теперь усвоенные всем мыслящим и борющимся пролетариатом, но тогда совершенно новые. Эти мысли были изложены в книге, увлекательно написанной, полной самых достоверных и потрясающих картин бедствий английского пролетариата. Книга эта была ужасным обвинением капитализма и буржуазии. Впечатление, произведенное ею, было очень велико. На книгу Энгельса стали всюду ссылаться как на лучшую картину положения современного пролетариата. И действительно, ни до 1845 г., ни позже не появлялось ни одного столь яркого и правдивого изображения бедствий рабочего класса.

Социалистом Энгельс сделался только в Англии. В Манчестере он вступил в связь с деятелями тогдашнего английского рабочего движения и стал писать в английских социалистических изданиях. В 1844 г., возвращаясь в Германию, он по пути познакомился в Париже с Марксом, с которым уже раньше у него завязалась переписка. Маркс в Париже под влиянием французских социалистов и французской жизни сделался тоже социалистом. Здесь друзья сообща написали книгу: „Святое семейство, или критика критической критики“. В этой книге, вышедшей за год до „Положения рабочего класса в Англии“ и написанной большей частью Марксом, заложены основы того революционно-материалистического социализма, главные мысли которого мы изложили выше. „Святое семейство“ — шуточное прозвание философов братьев Бауэров с их последователями. Эти господа проповедывали критику, которая стоит выше всякой действительности, выше партий и политики, отрицает всякую практическую деятельность и лишь „критически“ созерцает окружающий мир и происходящие в нем события. Господа Бауэры свысока судили о пролетариате как о некритической массе. Против этого вздорного и вредного направления решительно восстали Маркс и Энгельс. Во имя действительной человеческой личности — рабочего, попираемого господствующими классами и государством, они требуют не созерцания, а борьбы за лучшее устройство общества. Силу, способную вести такую борьбу и заинтересованную в ней, они видят, конечно, в пролетариате. Еще до „Святого семейства“ Энгельс напечатал в „Немецко-французском журнале“ Маркса и Ругэ „Критические очерки по политической экономии“, в которых с точки зрения социализма рассмотрел основные явления современного экономического порядка как необходимые последствия господства частной собственности. Общение с Энгельсом бесспорно содействовало тому, что Маркс решил заняться политической экономией, той наукой, в которой его труды произвели целый переворот.

Время от 1845 по 1847 г. Энгельс провел в Брюсселе и Париже, соединяя научные занятия с практической деятельностью в среде немецких рабочих Брюсселя и Парижа. Тут у Энгельса и Маркса завязались отношения с тайным немецким „Союзом коммунистов“, который поручил им изложить основные начала выработанного ими социализма. Так возник напечатанный в 1848 г. знаменитый „Манифест коммунистической партии“ Маркса и Энгельса. Эта небольшая книжечка стоит целых томов: духом ее живет и движется до сих пор весь организованный и борющийся пролетариат цивилизованного мира.

Революция 1848 г., разразившаяся сперва во Франции, а потом распространившаяся и на другие страны Западной Европы, привела Маркса и Энгельса на родину. Здесь, в Рейнской Пруссии, они стали во главе демократической „Новой рейнской газеты“, издававшейся в Кельне. Оба друга были душой всех революционно-демократических стремлений в Рейнской Пруссии. До последней возможности отстаивали они интересы народа и свободы от реакционных сил. Последние, как известно, одолели. „Новая рейнская газета“ была запрещена, Маркс, потерявший за время своей эмигрантской жизни права прусского подданного, был выслан, а Энгельс принял участие в вооруженном народном восстании, в трех сражениях бился за свободу и после поражения повстанцев бежал через Швейцарию в Лондон.

Там же поселился и Маркс. Энгельс вскоре снова сделался приказчиком, а потом и пайщиком того торгового дома в Манчестере, в котором он служил в 40-х годах. До 1870 г. он жил в Манчестере, а Маркс в Лондоне, что не мешало им находиться в самом живом духовном общении: они почти ежедневно переписывались. В этой переписке друзья обменивались своими взглядами и знаниями и продолжали сообща вырабатывать научный социализм. В 1870 г. Энгельс перебрался в Лондон, и до 1883 г., когда скончался Маркс, продолжалась их совместная духовная жизнь, полная напряженной работы. Плодом ее были — со стороны Маркса — „Капитал“, величайшее политико-экономическое произведение нашего века, со стороны Энгельса — целый ряд крупных и мелких сочинений. Маркс работал над разбором сложных явлений капиталистического хозяйства, Энгельс в весьма легко написанных, нередко полемических работах освещал самые общие научные вопросы и разные явления прошлого и настоящего — в духе материалистического понимания истории и экономической теории Маркса. Из этих работ Энгельса назовем: полемичекое сочинение против Дюринга (здесь разобраны величайшие вопросы из области философии, естествознания и общественных наук*), „Происхождение семьи, собственности и государства“ (переведена на русский язык, издана в С.-Петербурге, 3-е изд., 1895), „Людвиг Фейербах“ (русский перевод с примеч. Г. Плеханова, Женева, 1892), статья об иностранной политике русского правительства (переведена на русский язык в женевском „Социал-демократе“, № 1 и 2), замечательные статьи о квартирном вопросе, наконец, две маленькие, но очень ценные статьи об экономическом развитии России („Фридрих Энгельс о России“, переведена на русский язык В.И.Засулич, Женева, 1894). Маркс умер, не успев окончательно обработать свой огромный труд о капитале. Вчерне, однако, он был уже готов, и вот Энгельс после смерти друга принялся за тяжелый труд обработки и издания II и III тома „Капитала“. В 1885 г. он издал II, в 1894 г. III том (IV том он не успел обработать). Работы над этими двумя томами потребовалось очень много. Австрийский социал-демократ Адлер верно заметил, что изданием II и III томов „Капитала“ Энгельс соорудил своему гениальному другу величественный памятник, на котором невольно неизгладимыми чертами вырезал свое собственное имя. Действительно, эти два тома „Капитала“—труд двоих: Маркса и Энгельса. Старинные предания рассказывают о разных трогательных примерах дружбы. Европейский пролетариат может сказать, что его наука создана двумя учеными и борцами, отношения которых превосходят все самые трогательные сказания древних о человеческой дружбе. Энгельс всегда — и, в общем, совершенно справедливо,— ставил себя позади Маркса. „При Марксе,— писал он одному старому приятелю,— я играл вторую скрипку“. Его любовь к живому Марксу и благоговение перед памятью умершего были беспредельны. Этот суровый борец и строгий мыслитель имел глубоко любящую душу.

После движения 1848—1849 гг. Маркс и Энгельс в изгнании занимались не одной только наукой. Маркс создал в 1864 г. „Международное общество ра-

* Это удивительно содержательная и поучительная книга. Из нее, к сожалению, на русский язык переведена только небольшая часть, содержащая исторический очерк развития социализма („Развитие научного социализма“, 2-е изд., Женева, 1892). (Полный русский перевод „Анти-Дюринга“ вышел в 1904 г. — Ред.)

бочих“ и в течение целого десятилетия руководил этим обществом. Живое участие в его делах принимал также и Энгельс. Деятельность „Международного общества“, соединявшего, по мысли Маркса, пролетариев всех стран, имела огромное значение в развитии рабочего движения. Но и с закрытием в 70-х годах „Международного общества“ объединяющая роль Маркса и Энгельса не прекратилась. Наоборот, можно сказать, что значение их как духовных руководителей рабочего движения постоянно возрастало, потому что непрерывно росло и само движение. После смерти Маркса Энгельс один продолжал быть советником и руководителем европейских социалистов. К нему одинаково обращались за советами и указаниями и немецкие социалисты, сила которых, несмотря на правительственные преследования, быстро и непрерывно увеличивалась, и представители отсталых стран,— например испанцы, румыны, русские, которым приходилось обдумывать и взвешивать свои первые шаги. Все они черпали из богатой сокровищницы знаний и опыта старого Энгельса.

Маркс и Энгельс, оба знавшие русский язык и читавшие русские книги, живо интересовались Россией, с сочувствием следили за русским революционным движением и поддерживали сношения с русскими революционерами. Оба они сделались социалистами из демократов, и демократическое чувство ненависти к политическому произволу было в них чрезвычайно сильно. Это непосредственное политическое чувство вместе с глубоким теоретическим пониманием связи политического произвола с экономическим угнетением, а также богатый жизненный опыт сделали Маркса и Энгельса необычайно чуткими именно в политическом отношении. Поэтому героическая борьба малочисленной кучки русских революционеров с могущественным царским правительством находила в душах этих испытанных революционеров самый сочувственный отзвук. Наоборот, поползновение ради мнимых экономических выгод отворачиваться от самой непосредственной и важной задачи русских социалистов— завоевания политической свободы — естественно являлось в их глазах подозрительным и даже прямо считалось ими изменой великому делу социальной революции. „Освобождение пролетариата должно быть его собственным делом“—вот чему постоянно учили Маркс и Энгельс. А для того чтобы бороться за свое экономическое освобождение, пролетариат должен завоевать себе известные политические права. Кроме того, и Маркс и Энгельс ясно видели, что и для западноевропейского рабочего движения политическая революция в России будет иметь огромное значение. Самодержавная Россия всегда была оплотом всей европейской реакции. Необыкновенно выгодное международное положение, в которое поставила Россию война 1870 г., надолго поселившая раздор между Германией и Францией, конечно, только увеличило значение самодержавной России как реакционной силы. Только свободная Россия, не нуждающаяся ни в угнетении поляков, финляндцев, немцев, армян и прочих мелких народов, ни в постоянном стравливании Франции с Германией, даст современной Европе свободно вздохнуть от военных тягостей, ослабит все реакционные элементы в Европе и увеличит силу европейского рабочего класса. Вот почему Энгельс и для успехов рабочего движения на Западе горячо желал водворения в России политической свободы. Русские революционеры потеряли в нем своего лучшего друга.

Вечная память Фридриху Энгельсу, великому борцу и учителю пролетариата!

НАУЧНЫЙ И НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

ЭНГЕЛЬС И МАТЕМАТИКА

Доц. В. МОЛОДШИЙ (Москва)

Сорок лет назад, 5 августа 1895 г., мировое революционное движение понесло тяжелую утрату — в Лондоне скончался Фридрих Энгельс, ближайший друг и соратник Карла Маркса. В лице Фридриха Энгельса пролетариат всего мира потерял одного из самых замечательных своих ученых, учителя, вождя.

„Великая всемирно-историческая заслуга Маркса и Энгельса,— говорил Ленин, — состоит в том, что они научным анализом доказали неизбежность краха капитализма и перехода его к коммунизму, в котором не будет больше эксплоатации человека человеком.

Великая всемирно-историческая заслуга Маркса и Энгельса состоит в том, что они указали пролетариям всех стран их роль, их задачу, их призвание: подняться первыми на революционную борьбу против капитала, объединить вокруг себя в этой борьбе всех трудящихся и эксплоатируемых“*.

Учение Маркса и Энгельса впервые подтвердилось ходом революционных событий 1848—1849 гг. Затем его подтвердили Парижская коммуна, Русская революция 1905 г. и, наконец, Великая Октябрьская революция, означавшая начало эпохи пролетарских революций во всем мире.

Мы живем в то прекрасное время, когда научное предвидение Маркса и Энгельса претворяется в действительность. Под руководством нашей коммунистической партии и ее гениального вождя т. Сталина рабочий класс и трудящиеся СССР строят социализм, успешно выполняя вторую пятилетку, пятилетку построения бесклассового социалистического общества.

Маркс и Энгельс смогли научно обосновать роль и задачи пролетариата, развив цельную, последовательную систему взглядов — марксизм. Марксизм дает людям цельное научное мировоззрение, не мирящееся ни с какой защитой буржуазного гнета. Проверенный в огне революций, поднятый гениальными трудами Ленина и Сталина на новую, высшую ступень — марксизм-ленинизм является незаменимым теоретическим орудием побед революционного пролетариата во всем мире. Поэтому марксизм-ленинизм вызывает ненависть у всего буржуазного мира. Идеологи капитализма стараются опорочить марксизм или вытравить из него революционное содержание. В периоды обострения классовой борьбы, как, например, в современной фашистской Германии, буржуазия старается физически уничтожить приверженцев марксизма-ленинизма, разгромить компартию, профсоюзы и другие рабочие организации.

Взгляды Энгельса на математику изложены им в основном в „Анти-Дюринге“ и „Диалектике природы“. Хотя Энгельс не занимался специально проблемами математики, значение высказываний его по вопросам математики для философа и математика-материалиста чрезвычайно велико; высказываний, взятых, конечно, не изолированно, а в неразрывной связи с изучением математики и марксизма в целом.

В этой статье я не пытаюсь изложить все сказанное Энгельсом о математике. Моя задача— осветить узловые пункты во взглядах Энгельса на математику.

Предмет и факторы развития математики

„Великим основным вопросом всякой, а особенно новейшей, философии является вопрос об отношении мышления к бытию“*.

* В. Ленин—.Речь при открытии памятника Марксу и Энгельсу 7 ноября 1918 г.“ Цитирую по сборнику статей Ленина „Маркс, Энгельс, марксизм“, Партиздат 1932 г., стр. 58.

* Энгельс — „Людвиг Фейербах“, гл. II.

С давних пор, сообразно ответам на этот вопрос, философы разделились на два больших враждующих лагеря. Философы, которые природу, материальный мир считали основным началом, составили материалистический лагерь. Наоборот, философы, которые считали основным началом разум, дух, „я“ и т. п. (последние так или иначе всегда связывали свою философию с религией) составили идеалистический лагерь. Эти два лагеря философов ведут борьбу и сейчас: против марксизма-ленинизма борются всевозможные идеалистические направления, все более и более вырождающиеся в откровенный мистицизм, и поповщину, в варварские расовые „теории“ фашизма.

Маркс и Энгельс ответили на основной вопрос философии материалистически; в полном согласии с новейшими данными естествознания, истории техники и классовой борьбы они признали основным началом природу. Маркс и Энгельс доказали, что не сознание людей определяет их бытие, а, наоборот, их общественное бытие определяет их сознание“. До Маркса и Энгельса материализм был ограниченным, метафизическим. Метафизический материализм был неспособен взглянуть на мир как на процесс, объяснить развитие человеческого общества. Маркс и Энгельс подняли материализм на более высокую ступень, развив диалектический материализм. Это и позволило им объяснить развитие человеческого общества.

А. Предмет математики

Свой взгляд на этот основной вопрос философии математики Энгельс высказал, возражая Дюрингу, который в вопросе о предмете математики и характере математического познания стоял на идеалистической позиции.

Дюринг утверждал, что математические понятия порождаются нашим мышлением, причем в актах этого порождения ни природа, ни наша практическая деятельность никакой роли не играют. Дюринг отождествлял предмет математики с продуктами свободной (в указанном смысле) деятельности мышления*.

Отвечая Дюрингу, Энгельс указывал, что основные понятия математики — понятия числа и пространственной фигуры— отнюдь не возникли из чистого мышления. Пальцы рук и ног, камешки, на которых люди учились считать, объекты, формы которых сравнивали и изучали — вот те реальные вещи, которые помогли людям выработать понятия о натуральном числе и геометрической фигуре. Понятия о целом числе и простейших геометрических фигурах являются копиями, снимками с простейших количественных отношений и пространственных форм материального мира. Копиями, снимками с количественных отношений и пространственных форм действительности являются и другие математические понятия, как, например, понятия функции, бесконечности и т. п. Наравне с другими научными дисциплинами математика изучает материальный мир. Особенность математики заключается в том, что она „имеет своим предметом пространственные формы и количественные отношения действительности“*.

Чтобы изучить количественные отношения и пространственные формы в чистом виде, математика отрывает их от их содержания. Математике безразлично, из какого материала сделан шар; ей важно только то, что исследуемое тело имеет форму шара. В равной мере математике безразлично, исследование какого процесса природы привело к необходимости рассматривать функциональную зависимость у-=.х2\ математике важна сама функциональная зависимость у = х2, которую она и изучает. В процессе такого, все усиливающегося, абстрагирования от качественного содержания вещей и процессов и создаются математические точки, прямые и плоскости, величины а и Ьу постоянные и переменные.

Процесс логического развития математики— диалектический процесс. Математика есть целостная, развивающаяся по диалектическим закономерностям наука, все конкретнее и содержательнее отображающая пространственные формы и количественные отношения материальной действительности.

Все понятия и теории математики, как это на многих примерах показал Энгельс, развиваются по диалектическим законам. Особенно замечательны указания Энгельса на проявление закона отрицания в диференциальном и интегральном исчислении**. Как известно, эти идеи Энгельса развил Маркс, разработав диалектико-материалистическое обоснование диференци-

* См. „Анти-Дюринг“, § III.

* См. „Анти-Дюринг“, § III.

** См. „Анти-Дюринг“, § XIII. Диалектика. Отрицание отрицания.

ального исчисления*. До тех пор пока мы занимаемся анализом постоянных величин, в основном мы не выходим за рамки формальной логики. Но как только мы начинаем изучать переменные величины — совершенно необходимой становится диалектика, которая только одна может гарантировать точность наших рассуждений. Энгельс был совершенно прав, говоря, что вместе с переменными величинами в математику вошла и диалектика. „Элементарная математика, математика постоянных величин движется, по крайней мере в целом и общем, в границах формальной логики; математика переменных величин, существеннейший отдел которой составляет исчисление бесконечно малых, есть в сущности не что иное, как применение диалектики к математическим отношениям**.

За истекшие после смерти Энгельса сорок лет математика пережила период революционного развития, который подтвердил взгляд диалектического материализма на предмет математики.

С большим успехом покорять природу может тот, кто лучше изучил ее законы. Когда до великих трудов Ньютона люди не знали законов механики, не могло быть и речи о научно-обоснованной технике. Развитие воздухоплавания не довольствуется механикой, но также требует знания законов физики и химии. Кроме того, каждый, очевидно, согласится с тем, что наше знание тем лучше, тем полнее, чем больше мы познали всеобщие, всеобъемлющие законы развития природы и человеческого общества. Познание всеобщих законов природы позволяет объяснить глубокие взаимосвязи в явлениях, эффективнее использовать науку в деле покорения природы человеком***. Именно по этой причине ученые всегда стремятся, как они часто говорят, свести все явления к минимуму общих законов. Точно так же знание общих законов развития человеческого общества позволяет объяснить массу ранее казавшихся разрозненными событий, понять историю как процесс, предвидеть будущие события. Например, до Маркса и Энгельса многие ученые видели классовую борьбу, однако мало кто из них понял значение классовой борьбы для развития человеческого общества. Только гениальным основоположникам марксизма, развившим теорию исторического материализма, удалось вскрыть движущие силы развития общества и показать, что „история всех до сих пор существовавших обществ была историей борьбы классов*. Анализируя проявление классовой борьбы в капиталистическом обществе, Маркс научно доказал неизбежность пролетарских революций и диктатуры пролетариата как переходной ступени к коммунизму.

Математике также не чуждо стремление найти наиболее общие законы в изучаемой ею стороне действительности и с помощью их объяснить (доказать) всю совокупность известных ей конкретных фактов.

В борьбе математики за познание основных законов ее предмета можно выделить три больших периода.

В первом периоде своего развития математика в основном изучала постоянные количественные отношения и пространственные формы, с постоянными отношениями между ними. Математику интересовали постоянные числа (целые и дробные), прямые, плоскости, треугольники, круги, пирамиды и т. п. Понятия отношений — сложить, умножить, пересекаться, между, быть взаимно параллельными — понимались водном, не допускающем различных толкований смысле. Классический труд этого времени— „Начала“ Эвклида. Однако и в первом периоде своего развития математика смогла постигнуть довольно общие законы своего предмета и отразить их в аксиомах и постулатах „Начал“. Аксиомы и постулаты Эвклида описывают основные свойства изучаемых в „Началах“ геометрических форм; с их помощью Эвклид доказывает остальные свойства геометрических форм.

Основным недостатком математики постоянных величин является ее неприспособленность к отображению количественной стороны разнообразных форм движения. Поэтому, когда в XVI и XVII вв. возникла необходимость в глубоком изучении форм движения материи, математика занялась анализом переменных величин**. Ближайшим следствием нового направления в творчестве математиков явились открытия аналитической геометрии и анализа бесконечно малых. Ма-

* Математические рукописи Маркса впервые были опубликованы в журнале „Под знаменем марксизма“, № 1 за 1933 г. Потом они были переизданы в сборнике „Марксизм и естествознание“, Партиздат 1933 г.

** См. „ Анти-Дюринг“, § XIII.

*** См. IX „Ленинский сборник“, стр. 165.

* Маркс и Энгельс — „Коммунистический манифест“.

** См. ниже о причинах нового этапа развития математики.

тематика вступает во второй период развития; главное внимание всех математиков направляется на изучение переменных величин и на приложения новых математических методов к разнообразным проблемам естествознания, в первую очередь механики. Существенно отметить, что во втором периоде, благодаря открытию еще более общих законов и методов, какова, например, теория пределов, удалось глубже проникнуть в структуру свойств постоянных величин. Напомню только, что с XVI столетия по середину XIX в. были открыты логарифмы, обоснованы тригонометрия, комплексные числа и т. п. Однако понятия суммы, произведения, степени, пересечения, параллелизма и т. п., т. е. понятия отношений между изучаемыми в математике объектами, попрежнему трактовались в одном, не допускающем многих интерпретаций, смысле.

Третий период развития математики датируется от конца XIX столетия. Его начало относят к трудам Георга Кантора, который развил основные положения теоретико-множественного обоснования математики. Чтобы разобрать основную идею современной математики, я рассмотрю два примера.

Известно, что числа совокупности всех рациональных чисел (без нуля) обладают следующими четырьмя свойствами:

1. Произведение любых двух рациональных чисел есть рациональное число:

ab = с.

2. Произведение любых трех рациональных чисел обладает свойством ассоциативности: (ab)c = a(bc).

3. Любое рациональное число не меняется от умножения на единицу: \а = а.

4. Для любого рационального числа а существует одно, ему обратное, рациональное число а“1, обладающее тем свойством, что а-*а=\.

Рассмотрим теперь множество всех положительных и отрицательных целых чисел, включающих нуль. Легко видеть, что числа этого множества обладают следующими четырьмя свойствами:

1. Сумма любых двух целых чисел есть целое число: а-\-Ь = с.

2. Сумма любых трех целых чисел обладает свойством ассоциативности: (а-)-£) + + с = а + (Ь + с).

3. Любое целое число не меняется от сложения с нулем: 0 + а = я.

4. Для любого целого числа а существует одно, ему обратное, целое число — а, обладающее тем свойством, что: — а-\-а = 0.

Сравнивая отмеченные свойства рациональных чисел со свойствами целых чисел, мы видим, что по структуре они совершенно одинаковы. Достаточно заменить в свойствах, относящихся к рациональным числам, термины „произведение“, „единица“ и а-1 на „сумма“, „нуль“ и —а, как автоматически получаются соответствующие свойства целых чисел; обратная замена приводит от свойств целых чисел к соответствующим свойствам рациональных чисел. Из последнего замечания видно, что законы рациональных и целых чисел, казавшиеся ранее совершенно обособленными, являются проявлением общих законов, если только понято, что отношение (операция), выступающее в этих законах, может трактоваться не в одном, а в нескольких значениях.

Чтобы подчеркнуть всеобщность рассматриваемых четырех законов, целесообразно не называть операцию, выражащую отношение между числами, словом „произведение“ или „сумма“, а лучше заменить ее безличным термином „операция“. Но тогда оказывается, что эти четыре закона выражают основные свойства не только целых или рациональных чисел, но и объектов совершенно отличной от чисел природы. Примером множества, объектов, элементы которого, не являясь числами, в то же время подчиняются отмеченным четырем законам, может служить множество поворотов плоскости вокруг неподвижной точки. Поэтому целесообразно продолжить „формализацию“ и дальше, говорить не о числах, а об элементах, и ввести соответствующие символические обозначения для „единицы“ и обратного элемента.

После такой формализации мы приходим к одному из фундаментальных понятий современной математики, понятию группы*.

Множество элементов G называется группой, если для них выполняются следующие четыре условия:

1. Даются правила, по которым всяким двум элементам a, b множества G сопоставляется третий элемент с того же множества: ab = c.

2. Ассоциативный закон: (ab)c = a(bc), где д, Ь, с — любая тройка элементов из G.

* Нижеследующее изложение несколько упрощает понятие группы. Точное определение группы читатель может найти, например, в двух книгах: О. Ю. Шмидт — „Абстрактная теория групп“, ОНТИ, 1934 г.; Ван-дер-Варден— „Современная алгебра“, первая часть, ОНТИ, 1934 г.

3. В О существует единица е, обладающая тем свойством, что еа = а, для всех а из G.

4. Для всякого элемента а из G существует обратный элемент а-1 из G, обладающий тем свойством, что а~1а = е.

Перейдем к рассмотрению второго примера.

Элементарное пространственное представление связывает свойства, выражаемые аксиомами геометрии, с наглядными представлениями точек, прямых и плоскостей. Иначе говоря, может казаться, что свойства объектов, выражаемые аксиомами геометрии, принадлежат только точкам, прямым и плоскостям в их обычном представлении, и ничему больше. Такое представление, однако, ошибочно. Как и свойства, выраженные в понятии группы, аксиомы геометрии могут допускать многие интерпретации, являются общими законами, справедливыми для элементов самых разнообразных множеств*. Точки, прямые и плоскости, в обычном их понимании, являются одной из возможных интерпретаций аксиом геометрии. Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть известную многим аналитическую геометрию.

В плоскости координат каждой точке соответствует пара действительных чисел (л:, у) (называемых координатами точки), и обратно: каждой паре действительных чисел (л:, у) соответствует одна, и только одна, точка плоскости координат. Прямой соответствует уравнение Ах-\-Ву-{-С = 0 (где А, В и С—постоянные действительные числа, и А и В не нули одновременно), которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на прямой. Поэтому можно сказать, что прямой соответствует отношение трех чисел (А:В:С) (где Л и ß не нули одновременно), причем условием того, что точка (xQ, у() лежит на прямой ( А : В : С) является существование равенства Ах0 -f- Ву0 -f- С = 0. Обратно, каждому отношению трех действительных чисел (А:В:С) (где Л и В не нули одновременно), соответствует в плоскости координат одна, и только одна, прямая. Движению в плоскости соответствует преобразование с помощью формул преобразования координат. Вообще, всякое свойство, присущее точкам и прямым, находит себе некоторое соответствующее свойство пар чисел (х, у) и отношений (А:В:С). Так, факту пересечения двух прямых, т. е. наличию у них общей точки, соответствует существование решения системы уравнений Агх -f- Вгу-\- С3 = 0, А2х-\- В2у-\-С2 = 0, из коих первое соответствует первой прямой, второе — второй. Обратно, вообще говоря, каждому предложению, которое можно высказать относительно пар действительных чисел и уравнений первой степени, соответствует некоторое геометрическое свойство, относящееся к точкам и прямым. И как точки и прямые подчиняются аксиомам геометрии, так подчиняются этим же аксиомам пары действительных чисел и отношения троек чисел (или уравнения Ах-\-Ву-\-С = 0). Чтобы перейти от формы аксиом геометрии, соответствующей их элементарному пространственному толкованию, к аксиомам, соответствующим парам действительных чисел и отношениям троек действительных чисел, достаточно заменить в них геометрические термины на термины, выражающие соответствующие отношения пар действительных чисел и отношения троек действительных чисел. Так, например, аксиома „две различные точки А и В всегда определяют прямую а“, после такой замены утверждает, что „две различных пары действительных чисел ^i)» (*2» У 2) определяют отношение трех действительных чисел (A:B:C)U. Таким образом, ничто не может нам помешать называть пары действительных чисел „точками“, отношения троек действительных чисел „прямыми“ и развить геометрию плоскости без привычных нам пространственных представлений точек и прямых.

Можно было бы указать и на другие, не геометрической природы, множества объектов, которые также обладают свойствами, выраженными в аксиомах геометрии. Но это излишне; из сказанного ясно, что аксиомы геометрии являются общими законами, благодаря чему они допускают множество интерпретаций.

Итак, смысл третьего этапа развития математики состоит в том, что в математике стали рассматривать как переменные не только изучаемые математические объекты, но и отношения между ними. Иначе говоря, начиная с конца XIX столетия математики перешли к изучению еще более общих закономерностей, свойственных количественным отношениям и пространственным формам материальной действительности.

Что дало для развития математики новое направление в творчестве математиков? Очень

* Я говорю здесь о эвклидовой (параболической) геометрии; однако сказанное относится и к другим геометрическим системам.

и очень многое. Были развиты новые дисциплины, в число которых входят теория функций действительного переменного, топология и функциональный анализ. До основания изменилась структура существовавших ранее математических дисциплин, примером чего может служить современная алгебра. Наконец, и это главное, были развиты большой общности, а потому и исключительной силы, математические методы, с помощью которых математика может решать проблемы исключительной сложности, как практические, так и теоретические*.

Наконец, третий этап развития математики подтвердил, что и математические теории являются приближенными копиями, снимками с изучаемой математикой стороны действительности. Например, около ста лет назад полагали, что теорема Пифагора присуща только обычным прямоугольным треугольникам; теперь мы знаем, что свойство, выражаемое этой теоремой, присуще всякому объекту, соответствующему прямоугольному треугольнику, который входит в множество объектов, подчиняющихся аксиомам геометрии Эвклида.

В. Факторы развития математики

Решающим, основным фактором развития математики является практическая деятельность людей.

Чтобы развивать промышленность, торговлю, мореплавание, сельское хозяйство и т. п. нужно знать законы природы; надо, стало быть, развивать научное знание, в частности математику. Вот почему Энгельс в письме к Штаркенбургу (от 25 января 1894 г.) писал: „Если, как вы утверждаете, техника в значительной степени (по большей части) зависит от состояния науки, то обратно — наука гораздо больше зависит от состояния и потребностей техники. Если у общества появляется техническая потребность, то это оказывает науке гораздо больше помощи, чем десять университетов“. Например, в эпоху Возрождения революционная тогда буржуазия всемерно поддерживала науку. „Буржуазии для развития ее промышленности нужна была наука, которая бы исследовала свойства материальных тел и формы проявления сил природы“.

В эпоху Возрождения наука боролась против религии, в то время главного оплота феодализма. Буржуазия была заинтересована в свержении феодализма и поэтому поддержала науку.

Условия развития математики в эпоху Возрождения, как, впрочем, и вся история математики, говорят за то, что развитие математики нельзя рассматривать изолированно от борьбы классов.

Решающим фактором развития математики является практическая деятельность людей. Однако это не исключает, а, наоборот, предполагает, что и естествознание и философия оказывают влияние на развитие математики. История показывает, что развитие математики особенно тесно переплеталось с развитием механики, астрономии, физики и философии.

Обратно,—возникнув, всякая математическая теория, непосредственно или через посредство других математических дисциплин, если к этому есть соответствующие общественныe условия, в той или иной степени влияет на развитие производительных сил, других наук и философии, используется как орудие классовой борьбы. „Как и во всех областях мышления, отвлеченные из действительного мира законы на известной ступени развития отрываются от действительного мира, противопоставляются ему как нечто самостоятельное, как явившиеся извне законы, по которым должен направляться мир. Так было с обществом и государством; так, а не иначе, применяется впоследствии чистая математика к миру, хотя она и заимствована из этого мира и представляет только часть его составных форм, и, собственно, только поэтому она вообще применима к нему“*.

Практика социалистического строительства целиком и полностью подтвердила учение Энгельса о факторах развития математики.

Дореволюционная Россия имела несколько крупных, даже гениальных математиков. Всему математическому миру известны работы Лобачевского и Чебышева. Работы Ляпунова, Маркова, Золотарева, Стеклова и др. вошли в сокровищницу математики. Однако, несмотря на работы названных математиков, нельзя сказать, что в дореволюционной России велась непрерывная и интенсивная работа почти во всех областях математики. Математика дореволюционной России никогда не занимала одного из первых мест в мировой ма-

* См. статьи тт. Яновской, Колмогорова, Александрова, Куроша и др. в журнале „Фронт науки и техники“, № 5—6 за 1934 г.

* См. „Анти-Дюринг“, § III.

тематике. Слабая в промышленном отношении, отсталая, реакционная царская Россия смогла дать миру только несколько блестящих математиков и одну математическую школу в Ленинграде, во главе с Чебышевым.

Октябрьская революция создала необходимые предпосылки для интенсивного развития науки в СССР. Исключительные успехи Советского союза на хозяйственном и культурном фронтах нашли яркое отражение и на состоянии научно-исследовательской работы.

Вот некоторые количественные показатели.

В дореволюционной России было 18 научно-исследовательских институтов. В конце первой пятилетки в СССР было 770 научно-исследовательских институтов. В их число входят шесть математических: Институт им. Стеклова при Академии наук СССР; институты при Московском и Ленинградском университетах; институты в Харькове, Томске и Тифлисе.

Число научных работников в СССР превышает 50 тыс.; из них более двухсот активно работают над развитием современной математики.

Не менее значительны качественные показатели научно-исследовательской работы в области математики.

Нет ни одной математической области, в которой не велась бы интенсивная работа советскими математиками. В ряде областей удалось получить исключительной силы результаты и методы, играющие ведущую роль в мировой математике. Для примера достаточно назвать работы проф. Шнирельмана Л. Г. в области теории чисел, проф. Гельфонда А. О. в теории трансцендентных чисел, проф. Понтрягина А. С. в теории непрерывных групп.

Научно-исследовательские математические институты организуют научно-исследовательскую работу согласно тщательно разработанным планам, в которых всемерно учитываются как теоретические, так и практические проблемы. Планирование развития математики дало много положительных результатов, показав, что советская математика переросла организационные формы и методологические принципы буржуазной математики.

Особо важно отметить наличие живых связей в научной работе наших исследовательских математических институтов с практикой социалистического строительства. Отмечу только работу наших математиков и механиков в ЦАГИ и Сейсмологическом институте Академии наук СССР, которые развили математические методы гидро- и аэродинамики и теории упругости.

Дореволюционная Россия не знала математических съездов. За время существования советской власти было проведено три математических съезда: один Всероссийский и два Всесоюзных.

Наконец, следует отметить, что интенсивная работа в области математики протекает не только в основных научных центрах СССР — Москве и Ленинграде, но и в национальных республиках. Например, в Тифлисе работает хороший коллектив научно-исследовательского института во главе с проф. Мусхелишвили Н. И.

Конечно, в работе советских математиков есть ряд очень крупных недостатков. Но уже сейчас можно сказать, что математика СССР занимает одно из первых мест в мире. Ближайшая задача советской математики — стать ведущей во всем мире. Решение этой задачи целиком и полностью зависит от дальнейшего роста математических кадров, в первую очередь их качественного роста. Если мы сумеем вырастить кадры, которые, в совершенстве владея данными современной математики, вместе с тем смогут руководить основными направлениями в научной работе, т. е. если мы сумеем правильно реализовать лозунг т. Сталина о кадрах — задача превращения советской математики в ведущую во всем мире будет решена.

Советская математика добилась многого; она добьется большего,—порукой этому гениальное ленинское руководство нашей большевистской партии и ее вождя т. Сталина!

СЕЧЕНИЕ

Введение в теорию иррациональных чисел

д-р ВАЦЛАВ СЕРПИНСКИЙ (проф. Варшавского университета)

Перевод с польского научн. раб-ка Н. Плескачевского

Предисловие переводчика

Работа, перевод которой здесь предлагается, принадлежит перу одного из крупнейших в Европе представителей теоретико-множественного направления в математическом анализе, члена Краковской академии

наук и проф. Варшавского университета — В. К. Серпинского.

Редакция выходящей в Варшаве „Математической библиотечки“, первый томик которой и представляет собою эта работа, в своем проспекте названного издания характеризует проф. В. К. Серпинского как „ученого мирового значения и известности, автора многочисленных работ (соответствующих указанному выше направлению), а также многих руководств и монографий, основателя и соредактора „Fundamenta Mathematicae“ и „Monografij Matematycznych“*, бывшего, кроме того, в течение многих лет инициатором и деятельным участником всех наиважнейших математических начинаний Польши“.

В дополнение к только что приведенному материалу научной характеристики В. К. Серпинского я скажу только следующее: если, как справедливо указано в том же проспекте, „математическое творчество в Польше в течение немногих лет достигло качественно и количественно высокого уровня своего развития“, то это необходимо отнести почти всецело к результатам как личного творчества В. К. Серпинского, которое проникнуто исключительной глубиной математической мысли в сочетании с идеальным совершенством ее логического изложения, так равно и его творческого, обладающего той же особенностью, руководства школой математиков, им же самим созданной в Польше.

Не приходится, конечно, говорить о том, что и настоящая работа проф. В. К. Серпинского, имевшая своей целью, как говорит сам автор**, ознакомление читателя не с теорией иррациональных чисел, а только с понятием и главными свойствами сечения, не представляет собой исключения ни в своем научном направлении, ни в смысле своего творческого исполнения, чем, мне кажется, совершенно оправдывается моя инициатива в деле ее перевода.

Переходя затем к факту помещения этого перевода в настоящем журнале („Математика и физика в средней школе“), я, в целях оправдания и этого обстоятельства, укажу здесь, что издание варшавской „Математической библиотечки“, к которой, по сказанному выше, принадлежит и настоящая работа, возникло исключительно благодаря указаниям новых (1933 г.) программ преподавания математики в государственных гимназиях Польши на то, что „надлежит стремиться к такому преподаванию, которое давало бы учащимся благодарный материал для самостоятельных исследований и возбуждало бы в них интерес к последним, так как важнейшим средством достижения целей обучения является именно побуждение учащихся к самостоятельной творческой работе в доступной им области“.

Приведя эти выдержки из программ в упомянутом выше проспекте „Математической библиотечки“, редакция ее продолжает так: „Нам кажется, что именно „Библиотечка“ сделает возможным плодотворное осуществление такого обучения, так как, давая материал не только для чтения более способным учащимся высших классов гимназий и лицеев, но и для работы в школьных математических кружках, она тем самым будет не только способствовать расширению круга математических знаний учащихся вообще, но и позволит учащим направить их на путь умелого чтения математической книги, что является необходимым условием соответствующего образовательного ее влияния“.

„Таким образом, томики библиотечки будут, несомненно, читаться не только учащимися, но и прежде всего самими учащими, которые с помощью их получат возможность время от времени разнообразить и расширять материал школьного обучения. Наконец, найдутся многочисленные читатели „Библиотечки“ и за пределами школы, так как каждый, кто не имеет специального математического образования, желая узнать по математике все то, что выходит за рамки обучения ей в средней школе, будет в состоянии с пользой для себя читать ее томики“.

Само собою разумеется, что все только что сказанное свидетельствует лишь о целесообразности помещения здесь настоящего перевода.

Что касается, собственно, перевода, то несомненно одно: отчет по вопросу о его выполнении неизбежен, причем совершенно очевидна и соответствующая моя за него ответственность.

Ответственность эта обусловлена исключительно указанной выше особенностью математического творчества В. К. Серпин-

* Отдельные статьи журнала .Основы математики“ и выпуски серии „Математические монографии“ выходят в Польше на одном из языков: французском, немецком, английском и итальянском. — Прим. пер.

** В § 16 настоящей работы, который, за исключением помещенной здесь своей части, в переводе опущен, как заключающий только указания на литературу по теории иррациональных чисел, каковая в содержание переводимой работы никак не входит.

ского, требующей того, чтобы все присущие ему черты были отчетливо отображены в переводе, несмотря на все соответствующее различие строения языков этого последнего и подлинника. Полагаю, что тщательное отношение к логическому смыслу написанного автором позволило мне достигнуть в этом отношении положительных результатов, как в том можно будет отчасти убедиться по следующим данным о замене мною некоторых терминов работы.

Термины „wlasciwe“ и „niewlasciwe“ („подлинное“, „точное“ и „неподлинное“, “неточное“), определяющие различие между собою сечений, не имеющих пустых классов и таких, в которых один из классов пустой, а другой содержит все рациональные числа, я заменяю терминами „правильное“ и „неправильное“ на том основании, что данное в подлиннике общее определение сечения по своему смыслу отнюдь не допускает понятия сечения с пустым классом и, таким образом, допуская все же такое понятие, мы обязаны соответствующее ему сечение, как противоречащее его общему определению, назвать „неправильным“; естественно, что сечение, в точности соответствующее по своему понятию этому определению, должно считаться „правильным“.

Термин „wlasciwe“ применяется также и к определению понятия „часть множества“, для того случая, когда некоторое множество, соответствующее данному в работе общему определению его как части другого множества, не заключает в себе всех элементов последнего. Я не вижу необходимости изменять здесь принятый уже мною в переводе этого слова термин „правильный“, так как выражение „правильная часть“, оставляя в силе данное автором общее определение части множества, вообще вполне точно указывает на соответствующую особенность ее самой в рассматриваемом случае.

Следуя тому же методу перевода терминов, я должен отметить следующее: сечения, в первом классе которых есть „наибольшее число“, и во втором—„наименьшее“ (с точки зрения данного общего определения такие сечения существуют), называются в подлиннике „образующими скачок“, а не имеющие ни того, ни другого — „образующими отверстие“.

Нельзя не согласиться с тем, что такая терминология дает вполне ясное представление о форме сечений в том и другом случае, но на особенность их в целом с точки зрения данного в работе общего определения сечения совершенно не указывает, что, однако, не только необходимо, но и оказывается вполне возможным.

В самом деле: если в первом классе сечения нет наибольшего числа, то чисел, которые были бы последовательно одно больше другого и принадлежали бы к первому классу сечения, можно вообразить себе сколько угодно; если при этом во втором классе нет наименьшего числа, то и здесь последовательно уменьшающихся чисел можно вообразить сколько угодно.

Если теперь обратить внимание на совокупность тех и других чисел в их идущих друг другу навстречу последовательностях, то представление о рассматриваемом сечении как стягивающемся посредством этих воображаемых последовательностей, станет неизбежным.

Так как эта, только что указанная черта соответствующего сечения определяет его именно в целом, оставляя неизменным данное в начале работы общее определение сечения, то естественно установить для такого рода сечений термин „стягивающееся сечение“, тогда как для вышеуказанного первого рода сечений, называемых по терминологии подлинника „образующими скачок“, а в целом совершенно отрицающих только что отмеченный положительный признак первых — необходимо установить термин „нестягивающееся сечение“.

Далее, так как в § 7 переведенной работы доказывается, что нестягивающееся сечение рациональных чисел невозможно, а в дальнейшем говорится, что сечения, определяющие такие числа, имеют или тот характер, что в первом классе их нет наибольшего числа, а во втором есть наименьшее число, или что во втором классе нет наименьшего числа, а в первом есть наибольшее, то в первом случае я ввожу термин „стягивающееся слева сечение“, а во втором-„стягивающееся справа сечение“. При этом я совершенно отбрасываю термины „нестягивающееся справа“ и „нестягивающееся слева“ сечение как не только отрицательные-но и параллельно определяющие те же сечения, а потому излишние, в силу сказанного в начале § 15 настоящей работы, и тем более приведенных в нем далее соображений в пользу того положения, что вещественные числа, будь то рациональные или иррациональные, определяются вообще говоря, теми или иными, но исключительно „стягивающимися сечениями“.

Заканчивая таким образом настоящее предисловие, я хотел бы только одного-

чтобы перевод настоящей работы В. К. Серпинского имел тот же успех в среде его читателей, как и соответствующий подлинник.

Введение

Понятие числа, исходным началом которого служат натуральные числа 1, 2, 3 .. , подвергалось в математике последовательным обобщениям. С присоединением к натуральным числам нуля и целых отрицательных чисел — 1,—2,—3. . . получилось множество целых чисел, а со включением в это множество чисел дробных возникло понятие о множестве рациональных чисел.

Последующее обобщение связано с мыслью о присоединении к числам рациональным иррациональных чисел, отчего образовалось понятие множества действительных чисел. На этой стадии обобщения появились значительно более серьезные, чем прежде, теоретические затруднения, причем одним из средств, давших возможность осуществить это обобщение, и является понятие сечения. Впрочем, роль сечений не заканчивается с моментом соответствующего введения иррациональных чисел; понятие это часто применяется в теории действительных чисел. Несомненно, что сечение есть одно из важнейших понятий современного анализа.

В настоящей работе мы не будем заниматься вплотную вопросом о расширении понятия числа: цель ее заключается только в ознакомлении читателя с понятием сечения множества рациональных чисел. Понятие это чрезвычайно просто, однако с его помощью без введения иных понятий и без каких-либо других знаний, кроме полученных из элементарной арифметики, можно вывести ряд положений, совершенно обеспечивающих подготовку к изучению теории иррациональных чисел. Эти выводы, как опирающиеся на одно только новое понятие (не считая известных из арифметики), облегчат также и его собственное непосредственное понимание; доказательства же соответствующих выводов чрезвычайно кратки, благодаря чему они служат превосходным материалом для последовательного приобретения привычки к тем логическим рассуждениям, овладение которыми, однако, так неизбежно при изучении математики.

§ 1. Сечением множества всех рациональных чисел называется всякое подразделение этого множества на два класса, первый и второй, так, что каждое число первого класса меньше каждого числа второго класса.

В дальнейшем, говоря о сечениях, мы будем иметь в виду только так называемые правильные сечения, т. е. такие, в которых ни один из классов не пуст (иначе говоря, существуют рациональные числа, принадлежащие к первому классу, как равно рациональные числа, принадлежащие ко второму классу). Так называемых неправильных сечений мы не будем рассматривать. (Существует только два таких сечения: в одном из них мы не причисляем к первому классу ни одного числа, а к другому — все рациональные числа; в другом таком сечении наоборот: мы относим к первому классу все рациональные числа, тогда как второй класс будет пустым.)

Примеры:

1) Отнесем к первому классу каждое рациональное число, меньшее числа 7, тогда как ко второму — все остальные рациональные числа (т. е. каждое рациональное число, которое не меньше числа 7, и потому число 7, а также каждое рациональное число больше числа 7). Очевидно, что такое подразделение образует сечение множества всех рациональных чисел, где: 1° каждое рациональное число будет заключаться в одном из наших двух классов и 2° каждое число первого класса будет меньше каждого числа второго класса.

Легко видеть, что в первом классе нашего сечения нет наибольшего числа (так как не усматривается наибольшего рационального числа, меньшего числа 7), зато во втором классе существует наименьшее число (именно число 7).

2) Отнесем к первому классу каждое рациональное число, меньшее числа (отрицательного) — 2у, а также и само число — 2 —, ко второму же классу — все остальные рациональные числа (т. е. все рациональные числа, большие числа — 2 у). Очевидно, что таким образом мы получим сечение всех рациональных чисел.

Легко видеть, что в первом классе нашего сечения существует наибольшее число, именно число—2-^-, тогда как во втором классе нет наименьшего числа.

3) Отнесем к классу С каждое целое число, а к классу d все остальные рациональные числа (т. е. все те, которые не

будут целыми числами). Такое подразделение не будет сечением, независимо от того, который из классов С и D мы признаем за первый и который — за второй, так как оно не обладает ни свойством, что каждое число класса С меньше каждого числа класса D, ни тем свойством, что каждое число класса D меньше каждого числа класса С. (Так здесь, например, числа 2 и 3 принадлежат к классу С, тогда как число 2~- — к классу D.)

§ 2. Обозначения. Классы, образующие данное сечение, мы будем обозначать большими буквами латинского алфавита, например: А и В, M и Л/, Р и Q, и т. д. Для обозначения сечения мы будем заключать в квадратные скобки буквы, обозначающие его классы: сначала обозначение первого класса, затем второго, отделяя соответствующие тому буквы запятой. Так, например [Л, В] будет означать сечение, в котором А означает его первый класс, а В — второй.

Рациональные числа мы будем обозначать малыми буквами латинского алфавита: я, Ь, v, w% Ху у и т. п. Для выражения на письме, что данное число w принадлежит к данному классу Z, мы будем пользоваться символическим выражением: w£Z (следует читать: w принадлежит к Z), желая же выразить, что w не принадлежит к клас су Z, мы будем писать: w£Z (следует читать: w не принадлежит к Z). Так, если [M,N] означает сечение, приведенное выше в примере 1, то имеем выражения:

тогда так:

Обозначая через [P,Q] сечение, приведенное в примере 2, мы будем иметь:

§3. Чтобы представить себе сечение, достаточно знать один из его классов, например, первый,—тогда к другому будут принадлежать все прочие рациональные числа (которые не принадлежат к первому классу). Легко видеть, что не каждое множество рациональных чисел может рассматриваться как первый класс некоторого сечения. Для того чтобы быть первым классом некоторого сечения, множество рациональных чисел должно обладать особым свойством. Докажем, что если множество А представляет собой первый класс некоторого сечения [А, В], то оно обладает следующим свойством:

Свойство (W): Если а рациональное число, принадлежащее к множеству А, то каждое рациональное число, меньшее а, также принадлежит к множеству А.

Пусть [А,В] означает данное сечение, тогда как а — данное рациональное число, принадлежащее к классу А; пусть вместе с тем w будет рациональное число, меньшее а. Так как каждое рациональное число сечения [А,В] принадлежит к классу А или к классу В, то и число w принадлежит к одному из них. Если бы число w принадлежало к классу В> то некоторое число первого класса, именно число я, было бы больше некоторого числа второго класса, именно числа w (так как w<Ca), что невозможно, так как каждое число первого класса меньше каждого числа другого класса. Число w не может, таким образом, принадлежать к классу В и поэтому принадлежит к классу А. Этим доказано, что класс А обладает свойством (W).

§4. Кроме свойства (W) первый класс каждого данного сечения (правильного) обладает, очевидно, еще и тем свойством, что он не пуст, а также не заключает в себе всех рациональных чисел (причем и второй класс не может быть пустым в правильном сечении). Укажем, что приведенные три свойства оказываются характерными для множеств рациональных чисел, являющихся первыми классами сечений. Установим следующее:

Теорема: Для того чтобы множество рациональных чисел Z было первым классом некоторого (правильного) сечения множества всех рациональных чисел, необходимо и достаточно, чтобы множество Z обладало свойством (и7), не было пустым и не было бы множеством всех рациональных чисел.

Из того, что мы установили выше, непосредственно вытекает, что условие нашей теоремы необходимо. Таким образом, остается показать, что оно достаточно.

С этой целью докажем, что если некоторое множество рациональных чисел Z обладает свойством (У7), не пусто и не есть множество всех рациональных чисел, то существует сечение всех рациональных чисел, в котором множество Z является первым классом. Пусть таким образом Z означает данное множество рациональных чисел, обладающее свойством (У7), не пустое и не представляющее собою

множества всех рациональных чисел. Обозначим через Т множество всех рациональных чисел, не принадлежащих к множеству Z. Множество Г, очевидно, не пусто, так как множество Z не есть множество всех рациональных чисел. Каждое рациональное число принадлежит, очевидно, к одному из множеств Z или Г. Покажем далее, что каждое число множества Z меньше каждого числа множества Т.

Пусть и означает данное число множества Z, тогда как v данное число множества Г. Следовательно, v не принадлежит к Z. Так как к Т принадлежат только числа, не принадлежащие к Z, то не может быть u = v. Если бы было v<iu, то благодаря тому, что и принадлежит к Z, a Z обладает свойством (У7), и v принадлежало бы также к Z, тогда как именно v не принадлежит к Z. Таким образом, невозможно, чтобы было v = u или v<^u, может быть поэтому только: и < v.

Каждое число класса Z поэтому меньше каждого числа класса Г. Эти классы образуют таким образом (правильное) сечение множества всех рациональных чисел, в котором Z является первым классом. Наша теорема доказана.

Точно так же можно доказать:

Теорема: Для того чтобы множество рациональных чисел Z было вторым классом некоторого (правильного) сечения множества всех рациональных чисел, необходимо и достаточно, чтобы множество Z не было пусто и не было также множеством всех рациональных чисел, а вместе с тем обладало тем свойством, что если данное число принадлежит к множеству Z, то каждое число, большее Ь, также принадлежит к множеству Z.

§ 5. Классы в сечениях обладают еще, как это легко видеть, следующим свойством :

В первом классе каждого данного сечения можно всегда найти рациональное число, меньшее каждого заданного рационального числа, тогда как во втором классе каждого данного сечения можно всегда найти рациональное число, большее каждого заданного рационального числа.

Другими словами, если [Л,Я) какое-нибудь данное сечение (правильное) множества всех рациональных чисел, то каково бы ни было рациональное число w, существуют такие рациональные числа а и Ь, что a<^w<^bt причем а£А, тогда как bdB.

В самом деле, если сечение [А,В] правильное, то существует такое рациональное число и, что udA, а также такое рациональное число v, что vdB. Очевидно, что существуют рациональные числа, меньшие, чем и и w: пусть а одно из них, тогда имеем (неравенства) а<^и и a<^w. Так как а<^и, причем udA, то заключаем в силу свойства (W), что ad А. Подобным образом существуют рациональные числа, одновременно большие и v и w: пусть b — одно из них. Тогда имеем b^>v и b^>w. Так как £>г>, причем vdB, то заключаем (в силу родства второго класса всякого сечения), что b£B. Таким образом, имеем а < w < b, притом абЛ и bdB, ч. и т. д. Из доказанного свойства сечений непосредственно вытекает, что в первом классе всякого сечения рациональных чисел нет наименьшего числа, тогда как во втором классе нет наибольшего числа.

§ 6. О двух множествах чисел U и Z, мы говорим, что множество U есть часть множества Z (или что то же: множество U заключается во множестве Z), когда каждое число, принадлежащее к множеству U, принадлежит также к множеству Z (т. е. если к множеству Z принадлежат все числа множества U и, может быть, некоторые другие).

Часть множества Z, к которой принадлежат не все числа множества Z, называется правильной частью множества Z.

Например, множество всех целых чисел есть часть множества всех рациональных чисел и именно его правильная часть. Таким же образом множество всех четных чисел есть правильная часть множества всех целых чисел.

Всякое множество, например множество всех целых чисел, есть его собственная часть (или, иначе говоря, заключается в себе самом), но не есть его правильная часть.

Для выражения того, что множество U есть часть множества Z, пишут U с Z (следует читать: U заключается в Z), а для выражения, что множество U есть правильная часть Z, надо писать: U с Z, причем Udç.Zy (т. е. U заключается в Z, причем отличается от Z).

Читатель может легко убедиться, что первый класс сечения, приведенного в примере 2 (стр. 7) есть правильная часть первого класса сечения, приведенного там же в примере 1. Теперь же докажем следующее:

Теорема: В двух различных сечениях [/И,Л/] и [P,Q] множества всех рациональных чисел первый класс одного из этиX сечений есть всегда

правильная часть первого класса другого (т. е. или M есть такая часть Я, или же Я есть правильная часть М).

Доказательство. Если бы классы M и Я не были различны, то и классы N и Q не были бы различны, а следовательно, и наши сечения не были бы различны, что противоречит предположению. Классы M и Р таким образом являются различными множествами. Это значит, что одно из этих множеств заключает в себе такое рациональное число, которого нет в другом множестве; таким образом, или множество M заключает в себе такое число и, которого нет в множестве Я, или же множество Р заключает такое число г>, которого нет в множестве М.

Предположим сначала, что множество M заключает число и, которого нет в множестве Р. Таким образом, имеем: (1) wÇ/W, кроме того, wçP.

Докажем, что при этом будет Р с M или что всякое число множества Р принадлежит к множеству AI.

Итак, пусть w означает произвольно данное число множества Р. Допустим вопреки тому, что мы хотим доказать, что wtzNL. Так как в сечении [М,М] число w должно принадлежать к одному из классов M или Ny то в силу положения w£M имеем w£N. Но так как в сечении [/И,Л/] каждое число класса M меньше каждого числа класса N, то из и£М, причем w£Ny заключаем, что u<dw. На основании того, что w(*P согласно свойству (W) и неравенству u<^w, заключаем, что и 6 Я, что противоречит положению (1). Предположение, что wÇM, привело таким образом к противоречию. Поэтому должно быть w£M. Таким способом мы доказали, что если w есть число множества Я, то w принадлежит также к множеству М, чем доказано положение Я с M (так как w произвольно данное число*). На основании того, что Я с Ж, причем РфМ (так как множества Я и M должны быть, как мы знаем, различными), множество Я есть правильная часть множества М.

Если бы мы предположили, что множество Я заключает число которого нет в множестве М, то совершенно так же доказали бы, что множество M есть правильная часть множества Я. Теорема наша, таким образом, доказана полностью.

Если имеем два сечения [Af,/V] и [Я,С] и если класс M есть правильная часть класса Я, то, как легко усмотреть, класс Q есть правильная часть класса N. Потому что, если M с Я и w € Q, то не может быть w(zM, так как тогда из M с Я следовало бы w(*P, между тем как w£Q. Но коль скоро не может быть w£M, то должно быть w£N. Если, таким образом, M с Р, то из положения w£Q вытекает положение w(*N или Q с N. Если при этом M ф Я, то имеем также N ф Q.

§ 7. Если в первом классе данного сечения существует наибольшее число, а во втором классе наименьшее число, то такое сечение называется нестягивающимся.

Как легко видеть, в сечениях множества всех рациональных чисел такого случая не может быть. В самом деле, допустим, что в первом классе сечения [А,В] множества всех рациональных чисел есть наибольшее число я, a во втором классе — наименьшее число Ь\ при этом должно быть, как известно, а<^Ь. Возьмем какое-либо рациональное число w, лежащее между а и b (т. е. такое, что a<^w<^b)y например число w= 75-(я-(-£).

Это число должно принадлежать к одному из классов А или В. Но оно не может принадлежать к классу Л, так как оно больше наибольшего числа а этого класса, к классу же В оно не может принадлежать потому, что оно меньше наименьшего числа b этого класса. Таким образом, приходим к противоречию. Предположение, что существуют нестягивающиеся сечения множества всех рациональных чисел, таким образом, невозможно. Поэтому: нет нестягивающихся сечений множества всех рациональных чисел.

Заметим при этом, что, например, во множестве всех целых чисел каждое сечение (правильное) является нестягивающимся.

§ 8. Если в первом классе данного сечения нет наибольшего числа, а во втором классе нет наименьшего числа, то такое сечение называется стягивающимся. Докажем, что существуют стягивающиеся сечения множества всех рациональных чисел (сечения, приведенные в примерах 1 и 2 § 1, не обладали этим свойством и называются стягивающимися слева, если в первом классе их нет наибольшего числа, и стягивающимися справа, если нет наименьшего числа во втором классе).

Определим с указанной целью сечение [А,В] следующим образом. Отнесем к классу В всякое такое положительное рациональное число w что те/2]>2, а к классу А все остальные рациональные числа (т. е. рациональные отрицательные числа, нуль, а также рациональные положительные числа, для кото-

* Примечание переводчика.

рых w2 ^ 2). Как легко видеть, классы А и В образуют некоторое (правильное) сечение. (Так как, если aÇ Л, а Ь£В, то 0, причем £2>2, тогда как а«^0, или также а]>0, причем а2 ^2. Если а^0, то, очевидно, имеем а<^> если же а>0, причем а* ^2, то из b > 0 и £2 > 2 найдем д2 < £2, что из а > О и £>0 приводит снова к а<Ь).

Для того чтобы вывести, что в классе А нет наивысшего числа, докажем предварительно, что нет такого рационального числа wy которое давало бы равенство w2 = 2.

Допустим, однако, что существует такое рациональное число w, что w2 = 2. Такое число мы можем написать в виде дроби —, где числитель р — целое число, тогда как знаменатель q — натуральное число, почему можем утверждать, что дробь -у неприводима, т. е. что числа р и q не имеют общего делителя, большего единицы. Поэтому оба числа р и q не могут быть четными. Из того, что w =~~г> причем w2 = 2, имеем ^- = 2, что по умножении на q2 дает

(2) p2 = 2q2,

откуда следует, что число р2, а следовательно и число /?, четное. Но в таком случае число р2 = р.р делится на 4 и в равенстве (2) делятся обе части его на 2, откуда следует, что число q2, а следовательно и число q, четное. Числа р и q были бы тогда оба четные, что, как мы знаем, невозможно.

Предположение, что существует такое рациональное число w, что wc* = 2, приводит к противоречию. Поэтому нет такого рационального числа w, что w2=2.

По определению класса А вытекает отсюда, что если w число первого класса, то или w ^ О или же w^> О, причем w2 <2. Теперь докажем, что каково бы ни было рациональное число w, принадлежащее к классу Л, существует число и, принадлежащее также к классу Л и большее w.

Если w ^ О, то в классе Л существует число, большее ад, например число 1 (число 1 принадлежит к классу Л, так как 1>0, причем 12^2. Допустим, что ад такое число класса Л, что ад >0. Итак, имеем ад>0, но притом ад2<2.

Положим :

(3)

Это число будет положительным рациональным, причем из ад2<2 и (3) следует:

откуда и2<2, что вместе сн>0 приводит к заключению, что число и принадлежит к классу Л. Но согласно (3) и тому, что ад>0 и ад2<2 найдем

откуда и>ад. В классе А существует поэтому число и>ад. Таким образом, доказано, что для каждого числа ад класса Л существует в этом классе число #>ад. Отсюда вытекает, что в классе Л нет наибольшего числа.

Пусть теперь ад означает какое-либо данное число класса В. Тогда имеем (по определению класса В) ад>0, причем ад2>2.

Положим:

(4)

откуда очевидно, что рациональное число v положительно, причем на основании (4) и того, что ад2>2, найдем:

откуда я2>2, что при г>>0 приводит к заключению, что число v принадлежит к классу В. Так как на основании (4)

то v<^w. В классе В существует поэтому число v<C,w. Таким образом, доказано, что для каждого числа ад класса В существует в этом классе число v < ад. В классе В таким образом нет наименьшего числа.

Этим самым мы доказали, что данное сечение [А,В] является стягивающимся. Поэтому:

Существуют стягивающиеся сечения множества всех рациональных чисел.

В качестве другого примера предлагается читателям доказать, что существуют сечения, в которых второй класс есть множество всех положительных рациональных чисел ад, для которых ад2>3, как равно сечения, в которых второй класс есть множество всех рациональных положительных чисел ад, для которых ад3>2. Легко показать, что сечения эти различны между собой и что они различны с исследованным выше сечением [Л,В].

§ 9*. Дадим далее еще один пример стягивающегося сечения, который имеет большое значение в математическом анализе.

* Звездочкой обозначаются более трудные параграфы, которые могут быть и опущены при первом чтении.

Произведение п первых последовательных натуральных чисел 1, 2, 3... п обозначим для краткости символом п\ (следует читать п факториал). Положим при п целом и положительном:

(5)

Таким образом, например:

Разделим далее множество всех рациональных чисел на два класса Р и Q, относя к классу Р рациональные числа тогда и только тогда, если для каждого из них существует такое натуральное число я, что w<^un, а к классу Q все остальные числа. Класс Я, очевидно, обладает свойством (W) (в § 3). Далее докажем последовательно, что в классе Р нет наибольшего числа, затем что в классе Q нет наименьшего числа и, наконец, что оба класса не пусты.

Из теоремы § 4 и определения стягивающихся сечений будет следовать, таким образом, что рассматриваемое разделение есть (правильное) стягивающееся сечение.

Пусть w означает произвольно данное число класса Я. Следовательно, существует такое натуральное число, например k, что w ^ uk. Но на основании (5) имеем очевидно:

число ик+1болъше uk, а также больше w (так как uk^w). Но в силу определения класса Р число uk+1 принадлежит к классу Р (так как существует такое натуральное число я, именно: n = k-\-\y что uk+1^un). Для каждого числа w класса Р существует, таким образом, в этом классе число ^>w, что доказывает, что в классе Р нет наибольшего числа.

Пусть теперь w означает произвольно данное рациональное число, принадлежащее к классу Q. Представим число w в виде дроби Р

У с целым числителем р и натуральным знаменателем q^2. Коль скоро число — принадлежит к классу Q, то оно, таким образом, не принадлежит к классу Р: не может быть р поэтому — ^идУ а отсюда заключаем, что

(6)

Покажем, что число т/=— — —-—тт-, также принадлежит к классу Q. Предположим, вопреки тому, что хотим доказать, что число это принадлежит к классу Р: существует таким образом такое натуральное число я, что

и тем более (на основании

/5/): (7)

Но на основании (5): (8)

Положим

Будем иметь

Но очевидно, что

Выражение qS дает таким образом:

что на основании (8) и (9) дает

а затем

и на основании (7)

(10)

(так как (q + \)\ = q\(q-\-\)>q\q). Неравенства (6) и (10) дают

откуда, умножив на q\

(11)

Но на основании (5) число k=p(q — 1)! — — и ql целое, откуда, ввиду того, что ^2 и в силу (11), имеем 0<£<1, что невозможно. Предположение, что число v принадлежит к классу Р, приводит к противоречию. Число v принадлежит к классу Q и притом, очевидно, v <cj>- = w.

Для каждого числа w класса Q существует таким образом в том же классе число v<^w, что доказывает, что в классе Q нет наименьшего числа.

Покажем далее, что ни один из классов Я и Q не пуст. Как легко видеть, имеем например 2 = и1СР; класс Р, таким образом, не пуст. Для вывода же того, что класс Q не пуст, покажем, что 3ÇQ.

Выше доказано, что для всяких натуральных чисел п и q удовлетворяется неравенство

затем в частности (для q = \)

для каждого натурального числа п; далее, на основании (5), тем более #я<3 для каждого натурального числа п, откуда теперь вытекает, что 3ÇQ, ч. ит. д.

На основании того, что 2gP, заключаем теперь, что сечение [P,Q] отличается от рассмотренного выше также стягивающегося сечения [Л,В], так как при 2 > 0, причем 22>2, мы имеем 2gZ? и затем 2£А.

Можно бы доказать, хотя это не так легко, что сечение [P,Q] не отличается от сечения [М,Л/], в котором к классу M относим каждое такое, и только такое, рациональное число w, для которого существует такое натуральное число п, что

Заметим, что иногда очень трудно разрешить вопрос о том, различны ли два данных сечения, определенных различным образом, или нет, а нередко при настоящем положении науки мы даже совершенно не в состоянии этого разрешить.

Подобным образом иногда очень трудно решить, будет ли данное сечение стягивающимся. Трудно, например, вывести, является ли стягивающимся сечение определенное таким образом, что к классу U относится каждое такое, и только такое, рациональное число w, для которого существует такое натуральное число я, что

(основываясь на том, что сечение [U,V] стягивающееся, доказывается, что отношение окружности к ее диаметру не выражается рациональным числом).

Известны также примеры таких сечений, относительно которых при настоящем состоянии науки мы совершенно не можем решить вопроса о том, представляют ли они собой стягивающиеся сечения.

§ 10. Теорема: Для каждого правильного сечения [А,В] и для каждого рационального положительного числа г существуют такие рациональные числа а и Ь, что

(1) аСЛ, Ь£В, причем b — а = г.

Доказательство. Коль скоро [А,В] есть (правильное) сечение, то существуют такие рациональные числа и и v, что и («А, v£B. Таким образом, имеем v — и > 0. Пусть г означает данное положительное число и m натуральное число, большее (рационального положительного) числа ; таким образом, будет: m >—— i откуда v<^u-\- тг9 что приводит к заключению (в силу свойства второго класса каждого сечения и того, что v£B), что число и-\-тг принадлежит ко второму классу В.

Займемся теперь рассмотрением конечного ряда, состоящего из следующих т-\-1 чисел: (2) и, и -f- /*, и 4- 2/-, и -\- Зг,... и -f- тг.

Первое из выражений этого ряда принадлежит к классу Л, а последнее принадлежит к классу В.

Если бы мы обозначили последнее из выражений ряда (2), принадлежащее к классу Л, соответствующим выражением и-{-kr, то, очевидно, k было бы не отрицательным числом, меньшим m (так как число, выраженное, как tt-f-tfzr, принадлежит к классу В) притом таким, что число и + (k-\- 1)г, будучи еще выражением ряда (2), принадлежало бы уже к классу В. Положим, а = и-]-&', b = u-\- (k-\-\)г: числа а и Ь, очевидно, удовлетворяют условию (1). Теорема, таким образом, доказана.

Доказанную теорему можно еще выразить иначе:

В каждом правильном сечении множества всех рациональных чисел существуют числа, принадлежащие к разным его классам и отличающиеся друг от друга на произвольно данное рациональное число.

§ 11. Теорема: Для каждого правильного сечения [Л, В] и каждого натурального числа п существует такое целое число k% что

(2')

Доказательство. Пусть [Л,в] правильное сечение. Существуют поэтому такие рациональные числа и и v, что w g Л, a v£B. Пусть п означает данное натуральное число. Очевидно, существует такое целое число t, что t < nu. Поэтому будет ^ < и и далее Л (так как и£А). Существует также натуральное число m^>nv — t.

Таким образом, будет *~^m^>ts откуда

t~^im dB (так как v£B).

В последовательности т-\-\ чисел:

первое число соответствующего выражения принадлежит к классу Л, а последнее — к классу В.

Обозначим через — последнее по выражению в нашей последовательности число, принадлежащее к классу Л: число Сбудет, очевидно, целым (так как числители выражений нашего ряда — числа целые), причем оно будет удовлетворять условию (2').

Таким образом теорема наша доказана.

В частности из доказанной теоремы вытекает, что для каждого правильного сечения [Л,В] и для каждого натурального числа m существует такое целое число km, что

(3)

Каждое правильное сечение образует собой, таким образом, некоторую бесконечную последовательность десятичных дробей

(4)

которые удовлетворяют условию (3). (Последовательность эта есть так называемое десятичное приближение данного сечения.)

Так, например, сечение, рассмотренное в § 8, представляет собой последовательность чисел, которые получаются при приближенном вычислении квадратного корня из числа 2, а именно:

1,Ь4, Ь41, 1-414, 1-4142,...

Докажем, что двум разным сечениям, первые классы которых не имеют наибольшего числа, соответствуют всегда две разных последовательности (4), удовлетворяющих требованиям условия (3).

Пусть теперь [А,В] и вместе с тем [M,N] два разных сечения, первые классы которых не имеют наибольшего числа, и допустим, что им соответствует такая именно последовательность (4), которая удовлетворяет условию (3) и вместе с тем положениям:

(5)

Заметим, что если первый класс Л не имеет наибольшего числа, то это есть множество всех тех рациональных чисел w, для которых существует такое натуральное т, что

В самом деле, с одной стороны на основании (3) и в силу свойства (W) очевидно, что если для рационального числа w существует такое натуральное число /я, при котором w < , то w СЛ.

С другой стороны, пусть w означает такое рациональное число, что адСЛ. Коль скоро, как мы показали, в классе Л нет наибольшего числа, то существует такое число #СЛ„ что u^>w. Отсюда имеем и — w^>0 и поэтому существует такое натуральное число т, что:

(5)

На основании (3), причем и£А, найдем:

(6)

по совокупности неравенств (5) и (6) полчим w<Cîqu* Таким образом, доказано, что

не только каждое сечение [Л,Б], в первом классе которого нет наибольшего числа, образует соответственную последовательность десятичных дробей (4), удовлетворяющих уcло-

вию (3), но и наоборот, такая последовательность представляет собою полностью сечение [Л,/?]. Сечения, первый класс которых не имеет наибольшего числа, могут быть, таким образом, определены некоторыми бесконечными последовательностями десятичных дробей.

§ 12. Теорема: Для каждых двух рациональных чисел а и Ь^>а существует такое стягивающееся сечение [G,//], что a£G, тогда как Ь£Н. Пусть а и b будут два данных рациональных числа и пусть [А,В] представляет собой (правильное) стягивающееся сечение (такие сечения, как мы доказали выше, существуют). Положим b — а = г, где г рациональное положительное число. В силу выведенной выше теоремы существуют такие рациональные числа и и v, что:

иСЛ, v£B, причем v—и = г.

Определим теперь сечение [G,//], относя к классу G каждое такое, и только такое, рациональное число wy для которого число w Л- а — а принадлежит к классу А. Очевидно тогда, что aÇG (потому что а-\-и — а = =и ç Л), тогда как b £ //, так как b -f- и — а — = u-]-r = vQA (коль скоро v£B). Легко убедиться, что класс G обладает свойством (W); остается таким образом показать, что сечение [G,//] стягивающееся.

Пусть теперь w означает произвольно данное число класса G. Тогда имеем (на основании определения класса G) w-\-u — а£А. Но в классе А нет наибольшего числа (так как сечение [Л,В] стягивающееся). Существует тогда такое рациональное число х, что

*6Л, причем x^>w-\-u — а,

откуда: у = х — и-\- a^>w.

Но в силу определения класса G имеем y£G, так как у-\-и — а = х£А. В классе G существует, таким образом, число у^> w. Так доказано, что в классе G нет наибольшего числа.

Пусть теперь w означает произвольно данное число класса Н. Имеем тогда wÇG, откуда в силу определения класса G найдем w-\-u — аСЛ, поэтому w -f- и—а£В. Но в классе В нет наименьшего числа (коль скоро сечение [А,В] стягивающееся), тогда существует такое рациональное число t, что

t£B, причем t<^w-\-u — а,

откуда z=t— и-\- a<^w.

Но в силу определения класса G имеем z £ G, так как z~\-u — a = t£A (ввиду того, что t£B). Поэтому z£H. В классе //существует, таким образом, число z<Cw. Этим доказано, что в классе H нет наименьшего числа.

Сечение [G,H] представляет собою стягивающееся сечение, ч. и т. д.

§ 13. Теорема: Если KwL—дватаких (не пустых) множества рациональных чисел, что каждое число множества К меньше каждого числа множества/., то существует такое сечение множества всех рациональных чисел [Л,В], что К с Л, тогда как L с В.

Доказательство. Пусть К и L будут два таких не пустых множества рациональных чисел, что каждое число множества /С меньше каждого числа множества L. Образуем сечение [Л,В], относя к классу Л каждое такое, и только такое, рациональное число w, для которого существует такое число и множества К, что w^u. Покажем, что будет К с Л, тогда как L с В.

В самом деле, пусть w означает число множества К.

В силу определения множества Л будет, очевидно, wÇA. Каждое число множества К принадлежит, таким образом, к классу Л, откуда К с А.

Пусть теперь w означает число множества /,. Если бы было ^СЛ, то существовало бы (в силу определения множества Л) такое число и£К, что w^u, что, однако, на основании w£L, а также свойства множеств К и /., невозможно. Поэтому должно быть wÇA или wÇB. Отсюда имеем L с В.

Теорема наша таким образом доказана.

§ 14*. Теорема. Для каждой бесконечной последовательности сечений [Av ßj, [Л2, В2], [Л3, £3]... существует правильное сечение [Л, В], отличное от каждого из сечений рассматриваемой последовательности.

Доказательство. Возьмем два рациональных числа üj и г>! > uv которые в сечении [Л, В] принадлежат к одному и тому же классу (такие числа, как легко усмотреть, всегда существуют). Если в сечении [Л2, В2] числа иг и Уг принадлежат к одному и тому же классу, то положим и2 = иг, и v2 — v^ Допустим теперь, что числа иг и Уг принадлежат в сечении [Л2, В2] к разным классам, так что^сЛз, тогда как УгсВ2. Если в классе Л2 нет наибольшего числа, то в том классе существует число w^>u}. Положим тогда u2==uv тогда как v2 = w. Если же

в классе А2 есть наибольшее число, то (принимая во внимание, что ни одно из сечений не является нестягивающимся) в классе В2 нет наименьшего числа и потому в этом классе существует число w<^vv

Положим теперь и2 = w9 тогда как v2 = v}. Таким образом, каждый раз числа и2 и v2 принадлежали бы в сечении [Л2, В2] к тому же самому классу, причем в каждом случае было бы их и2 <. v2 ^ vv Совершенно так же определим такие числа и3 и vB, принадлежащие в сечении [Л3, В3] к тому же классу, что u2^u3<v3^v2.

Само собой разумеется, что, продолжая так рассуждать, образуем две таких бесконечных последовательности рациональных чисел:

(1) «j, и2> и3.....

и (2) vv vv v3..... что для каждого натурального числа п числа ип и vn принадлежат в сечении [ЛЛ, /?я] к тому же самому классу, причем

(3) un^un+1<vn + 1^vn.

Как легко видеть, каждое число последовательности (1) меньше каждого числа последовательности (2). В самом деле, пусть р и q будут два натуральных числа. Если p = qy то из(3) (дляn=p = q) найдем ир<vq. Если p<Zq, то из (3) (полагая последовательно п=р,р-\-1* ••• Я — 1) найдем ир^ ир4т1 < ... ^ uq < vg, откуда тотчас же ир < v. Если, наконец, р > q> то из (3) (полагая последовательно п =р—1, р — 2,... q) найдем:

р р р — 1 ^* /7 — 2 ^а <7'

откуда снова up<^vq.

Обозначим через К множество всех рациональных чисел, которые будут соответствовать по крайней мере одному из всех выражений последовательности (1), а через L — множество всех рациональных чисел, которые будут соответствовать по крайней мере одному из всех выражений последовательности (2).

Из того, что мы только что доказали о выражениях последовательностей (1) и (2), вытекает следствие, что каждое число множества К менее каждого числа множества L. На основании теоремы § 13 существует, таким образом, такое сечение(очевидно, правильное) всех рациональных чисел [Л, В], что /С с Л, тогда как L с В.

Пусть теперь п означает произвольно данное натуральное число. Число ип принадлежит, очевидно, к множеству К и затем, вследствие того, что К с Л, к классу Л, число же vn принадлежит к множеству L (в силу определения того множества), а затем к классу В (так как L а В). Числа ип и vn принадлежат, таким образом, в сечении [н9 В] к разным классам, тогда как в сечении [Л„, ßn] они принадлежат, как мы знаем, к тому же самому классу. Сечения [Л, В] и [Ля, £л], таким образом, различны. Отсюда вытекает, что для каждого натурального числа п сечение [Л, В] отлично от каждого из сечений бесконечной последовательности [А19 ВЛ, [А2,В2]...

Сечение [Л, В] удовлетворяет, таким образом, условиям нашей теоремы, которая этим доказана.

Из доказанной теоремы вытекает, что не существует бесконечной последовательности, состоящей из всех сечений множества всех рациональных чисел.

Следствие это мы выразим такими словами, что множество всех сечений (множества всех рациональных чисел) несчетно.

§ 15. Всякое стягивающееся с той или другой стороны сечение определяет собою, как известно, какое-либо рациональное число, которое является либо наибольшим числом первого класса, либо наименьшим числом второго.

Наоборот, каждому рациональному числу w соответствуют два таких сечения, а именно: сечение [Л, В], в котором Л состоит из всех рациональных чисел <^w, и сечение [А19Вг]9 в котором Аг состоит из всех рациональных чисел ^ w. Чтобы каждому рациональному числу соответствовало только одно сечение, можно рассматривать исключительно такие сечения, первый класс в которых не имеет наибольшего числа (т. е. стягивающиеся слева).

Теперь введем некоторое обобщение понятия числа, а именно: предположим, что каждому стягивающемуся сечению (множества всех рациональных чисел) соответствует число нового рода (таким образом, что двум разным сечениям соответствуют два разных же числа); эти новые числа назовем иррациональными. В рассуждение того, что такое, собственно, иррациональные числа, мы не входим. Заметим, что в математике важно знать лишь то, что можно делать с этими числами (как производить над ними вычисления, какие действия можно на них распространять), а также -какое применение они могут иметь, а не то, чем они являются по существу („Математика, — как говорит Poincaré (Пуанкаре),— не исследует самих предметов, но только соотношения между ними: таким образом, она не заинтересована в развитии исследований иного направления, а только в том, чтобы полученные в них „зависимости“ не подверглись изменению“).

Иррациональными числами можно считать даже самые стягивающиеся сечения,—тогда уже в каждом таком случае сечению (множества всех рациональных чисел) будет соответствовать некоторое (рациональное или иррациональное) число. Если, как сказано выше, ограничиться сечениями, в которых первый класс не имеет наибольшего числа, то каждому числу (рациональному или иррациональному) будет соответствовать только одно такое сечение.

Числа рациональные и иррациональные называются действительными (вещественными) числами. Если имеем два разных действительных числа а и ß и если [Л, В] и [С, D] суть сечения, соответствующие этим числам, то число а мы полагаем меньше ß, т. е. a<Cß> тогда и только тогда, если класс Л есть (правильная) часть класса С. Отсюда, как сказано выше о сечениях, следует, что каждые два действительных числа могут быть соединены между собою одним, и только одним, из трех знаков:>, = и <(закон „трихотомии“ для действительных чисел ) так что, если а, р и у три таких действительных числа, что а<р и также ß<Y» то а<Л (закон транзитивности отношения <).

Иррациональные числа мы обозначаем с помощью символов (письменных знаков),, отличных от тех, которые служат для обозначения рациональных чисел.

Таким образом, например, иррациональное число, определенное сечением, исследованным в § 9, обозначается символом е.

Действия над действительными числами являются собственно действиями над сечениями. Для примера приведем здесь одно из таких действий: сложение двух действительных чисел.

Пусть, таким образом,^ и а, будут два данных действительных числа, [Av В^] и [Л2, В2] — соответствующие им сечения (в которых классы Aj и Л2 не имеют наибольшего числа). Обозначим теперь через А множество всех рациональных чисел w вида w = w1-\-w2, где w1 какое-либо число класса Аг, тогда как w2 какое-либо число класса А2.

Пусть теперь w означает число множества Л, тогда как -о/рациональное число<^w. Коль скоро w принадлежит к Л, то (в силу определения множества Л) имеем w=w1+w2, где w1ÇA1, тогда как w2£A2. Положим, w'1 = w1-\-w' — w; это число будет рациональным (так как числа wly w' и w — рациональны), причем на основании того, что w1 <я03 будет w\<^ Wj ; но число w1ÇA, и (на основании свойства первых классов сечений) имеем, таким образом, также w\Ç«A. Но из w\=w1 -f- w—w, a также из того, что w= — w-i+Wcy, имеем w,= wf1 + w21 причем w'Ç Ал hw2£A2, что приводит окончательно к w'ÇA. Множество Л обладает, таким образом, свойством (W) (§ 3).

Очевидно, что множество А не пусто (так как множества Л5 и Л2 не пусты), причем оно не является множеством всех рациональных чисел. Если же w£A, затем w=wl-^ -f- w2, где WiQAvтогда как w2£A2, и если u^ÇBj, тогда как и2£В2У то w1<^ult а также w2 <«2, откуда w = w1 -\-w2 < ui + и2: каждое число множества Л, таким образом, меньше, чем ал -f- «2, и поэтому рациональное число ил -f- и2 не принадлежит к множеству Л.

Множество Л удовлетворяет, таким образом, всем условиям теоремы § 4 и поэтому представляет собою первый класс некоторого сечения (множества рациональных чисел) [Л, В]. Действительное число, определяемое этим сечением, называется суммой действительных чисел а и ß и обозначается через a + ß.

Таким образом, двум действительным числам а и ß соответствует определенная вполне сумма a-j-ß. Можно было бы легко вывести, что если числа а и ß рациональны, то их сумма, определенная по вышеизложенному способу, есть обыкновенная их сумма. Можно было бы также, исходя из определения суммы двух действительных чисел, вывести разные свойства сумм (транзитивность и сочетательность).

Другие действия над действительными числами приводятся подобным же образом к действиям над сечениями.

Читатель легко усмотрит, что различные положения о сечениях, которые мы вывели в предшествующих параграфах, позволительно теперь рассматривать как положения об иррациональных числах. Так, например, относительно каждых двух рациональных чисел а и b существует такое иррациональное число с> что а<с<£ (§ 12).

Для каждого действительного числа а и каждого натурального числа п существует такое целое число ky что

Для каждой последовательности av а2У Яд... действительных чисел существует действительное число а, отличное от каждого из чисел приведенной последовательности (§ 14).

КАТОДЫ ЭЛЕКТРОННЫХ ЛАМП

инж. Г. ТЯГУНОВ (Москва)

1. Краткий исторический обзор

Самой ответственной с физической точки зрения и наиболее интересной частью электронной лампы является нагретая нить-катод. На рисунке 1 показана схема простейшей электронной лампы— двухэлектродной лампы, диода или кенотрона, дающей возможность только выпрямлять ток, проходящий через нее; все другие типы современных электронных ламп, включающих иногда очень большое количество дополнительных электродов — свыше десятка — не отличаются от диода в отношении физики процессов, происходящих на катоде.

Для того чтобы через вакуум электронной лампы мог проходить ток, в ней должны появиться носители электричества — электроны. Источником их в данном случае является катод. Явление испускания электронов проводником было обнаружено около полувека назад (1881 г.) знаменитым американским изобретателем-самоучкой Томасом Альва Эдиссоном (умер два года назад). В изобретенной им лампе накаливания (тогда еще с угольным волоском) он для опытов помешал металлическую пластинку, не соединявшуюся с нитью металлически. Однако от этой пластинки к нити шел ток, если нить была накалена и пластинка соединялась с положительным концом нити. При перемене полярности нити и пластинки или при холодной нити ток не шел. Окончательно это явление было изучено в опытах Флемминга, Эльстера и Гайтеля, Джона Джозефа Томсона, Ричардсона и многих других и по настоящее время продолжающих свои опыты. Впервые правильное объяснение того, что электрический ток в вакууме переносится электронами, вылетающими из накаленного катода (это и соответствует течению тока от анода к катоду, так как электроны заряжены отрицательно), было дано Томсоном и подтверждено им экспериментально. Впоследствии наиболее крупные теоретические исследования были произведены Ричардсоном, Шоттки, Дешманом, а в самое последнее время —Зоммерфельдом, Нордгеймом и Фаулером, развившими теорию движения электронов внутри металлов и выхода их из металла в вакуум, о чем мы и должны сейчас сказать несколько слов.

2. Электронная теория металлов и теория вылета (эмиссии) электронов из поверхности металла

Вместе с возникновением электронной теории развилось представление о металлических проводниках как о телах кристаллического строения, в которых электроны атомов металла очень слабо связаны с этими атомами (потому что часть энергии атомов превращается в энергию связи с соседними атомами— энергию образования неизменной решетки). Такие слабо связанные с атомами электроны получают возможность передвигаться по всему кристаллу от одного атома к другому и даже совсем вылетать за пределы металла, если случайно приобретут достаточную для этого энергию. Все старые и современные видоизменения теории эмиссии электронов сохраняют эти основные предположения.

Первоначально Друде предполагал, что электроны в металле совершенно не связаны ни с атомами металла, ни между собою и ведут себя, как молекулы газа, двигаясь совершенно хаотически от столкновения до столкновения с атомами металла или с другими электронами. Скорость v электрона может иметь любую величину и направление, причем все направления равновероятны, а вероятность иметь определенную скорость определяется законом Максвелла*. Средняя кинете 3 ,~ тическая энергия электрона = — я/, где m = 9 • 10 “ 28 г— масса электрона, /г = 1,37 IQ-16 ü£i—постоянная Больцмана, и Т — град абсолютная температура. Ричардсон предположил, что на границе металла действуют силы, сдерживающие электроны, не дающие им вылететь за пределы металла, и лишь некоторые электроны могут преодолеть эти силы, в случае же, если произойдет вылет электрона, то он приведет к потере им некоторого количества энергии W. Ввиду того, что электрон представляет собой заряжен-

Рис. 1.

* О законе Максвелла можно найти сведения, например, в книгах, отмеченных в списке литературы под № 1 и 2, а также кратко и в других.

ную частичку, и работа, совершаемая им, имеет электрическую природу, ее можно представить себе как произведение заряда электрона на разность потенциалов между наружным и внутренним пространством металла*. Поэтому раоота, которую нужно затратить, чтобы перевести электрон из металла во внешнее пространство, часто измеряется просто вольтами, подразумевая всегда, что собственно для получения работы в эргах надо эти вольты помножить на постоянную величину— заряд электрона е — 4у77* 10 “ 10 г 2 см 2 сек“1 и поделить на 300.

В последнее время в работах Зоммерфельда, Нордгейма и Фаулера выяснилось, что распределение энергии между электронами в металле нельзя считать максвелловским по причине того, что электронов в металле много и они взаимодействуют как друг с другом, так и с ионами металлической решетки своими электрическими и магнитными полями, и это взаимодействие приводит к тому, что электрон может иметь лишь определенные величины энергии, а не всевозможные, — как говорят, может занимать только определенные уровни энергии. В добавление к этому, взаимодействие электронов приводит к своеобразному явлению: они как бы вытесняют друг друга, если имеют одинаковые энергии, и притом так, что электронов, имеющих совершенно одинаковую энергию, может ужиться в одном кристалле только совершенно определенное число; остальные электроны должны занимать оставшиеся свободными энергетические уровни в кристалле. Чем меньше дозволенная энергия электрона, тем меньше возможное число таких электронов (т. е. имеющих малую энергию). Таким образом, при низкой температуре, когда кинетические энергии электронов стремятся стать минимальными, все наименьшие возможные энергии (нижние энергетические уровни) оказываются „занятыми“, и остается еще много электронов, обладающих весьма значительными энергиями — до 10 вольт-электронов (можно запомнить, что энергия, выраженная через температуру, пропорциональна энергии в вольт-электронах, и температуре в 1000° абс. соответствует около 0,14 вольт-электрона). При повышении температуры электроны могут только увеличивать свою энергию сверх этой, наибольшей при абсолютном нуле, температуры, так как всевозможные состояния с меньшей энергией уже заняты. Таким образом, функция работы выхода ср не может уже считаться просто разностью потенциалов между наружным пространством и внутренней частью металла. Приходится иметь в виду, что ср определяется разницей между разностью потенциальных энергий электрона внутри и вне металла и собственной энергии электрона внутри металла при абсолютном нуле температуры. Конечно, последнюю величину надо было бы всегда принимать во внимание, но при максвелловском распределении электронов по энергиям энергии самых быстрых электронов при абсолютном нуле температуры ничтожно малы по сравнению с разностью потенциалов между внутренней и наружной по отношению к поверхности металла областями, и потому взаимодействие электронов в этом случае не принимают во внимание. В металлах этот случай не имеет места, так как число электронов в одном куб. сантиметре металла того же порядка, что и число атомов его. Однако с максвелловским распределением по энергиям мы встречаемся в полупроводниках, а к полупроводникам относятся так называемые оксиды — смеси окислов щелочно-земельных металлов, наносимые на катод в виде слоя, иногда довольно значительной толщины.

3. Общий закон электронной эмиссии

Электронная эмиссия подчиняется закономерностям типа:

(1)

где Is — ток насыщения электронной эмиссии катода в амперах при температуре Т° абс, е = 4,77.10 “ 10 CGSE—заряд электрона, k — постоянная Больцмана (см. выше), а — площадь катода в кв. сантиметрах, А — постоянная термионной эмиссии, для металлов равная приблизительно 60,2—--— , и п для металлов по современным теориям равно 2» (Расчеты Ричардсона, Зоммерфельда, Фаулера.) Для 5 полупроводников п = «j- и А не является постоянной величиной, а зависит от чистоты оксида, точнее от количества примеси в нем атомов щелочно-земельного металла, не входящего в соединение, т. е. находящегося в свободном состоянии в оксиде. Теоретическая величина постоянной А для металлов 60,2 см^грао^ ^ыла вычислена Дэшманом, американским физиком, в 1923 г. и в настоящее время подтверждена экспериментально, правда, не для всех случаев, так как теоретически она должна была быть универсальной

* <Р во всех формулах входит в абсолютных электростатических единицах и для перевода в вольты ее надо помножить на 300.

ТАБЛИЦА I

см2 грао*

вольт

Примечание

Углерод G ............

5,93

3,93

Цезий Cs .............

162

1,81

Молибден Mo...........

60

4,44

Платина Pt ............

1,7.10«

6,27

Никель Ni ............

26,8

3,77

Торий Th .............

60,2

3,35

Вольфрам W............

60,2

4,52

Барий Ва .........

2,2

Торированный вольфрам W — Th . .

3

2,63

Тонкая пленка Th на W, как описано ниже

Цезированный вольфрам W—Cs

0,001

0,71

0-W...............

5,10“

9,22

„Отравленный“ кислородом катод

Ba-W .............

2,0

BaO ..............

0,08

0,99

Оксид (см. в тексте ниже)

BaO + SrO............

0,01

0,86

По 50% оксидов

CsJ-W.............

0,003

0,71

константой для всех металлов, а опыт показывает, что величина А для разных металлов весьма различна, как видно из таблицы 1.

В уравнении (1) ср— упомянутая выше функция работы выхода — должна быть выражена в абсолютных электростатических единицах, тогда как в таблице I ср и А даны в практических единицах.

4. Некоторые детали о работе выхода

Как ясно из всего вышесказанного и, пожалуй, всего нагляднее видно из уравнения (1), при некоторой заданной температуре Т ток термионной эмиссии будет тем больше, чем меньше ср. Величина ср или эквивалентная ей работа выхода зависит как от рода материала катода, так (и это сказывается сильнее всего) от характера эмиттирующей поверхности катода, ее чистоты, наличия на ней тонких слоев посторонних веществ, как тонкие пленки приставшего (адсорбированного) газа — чаще всего кислорода или других неблагородных газов. Также и тонкие пленки металлов (вообще — электроположительных по отношению к материалу катода) первого и второго столбца таблицы Менделеева сильно меняют величину ср. В то время как пленки кислорода и других газов (веществ электроотрицательных по отношению к материалу катода) обычно сильно понижают ток эмиссии или, как говорят, отравляют катод, увеличивая ср,— пленки металлов уменьшают ср, а ток эмиссии увеличивают, причем это снижение работы выхода особенно значительно в том случае, когда пленка металла наносится на пленку газа, скажем, кислорода или окисленного основного материала катода. Пленки посторонних веществ различной толщины производят различное изменение работы выхода электронов, и наименьшая величина работы выхода получается при пленке толщиной в один атом; если пленку начать наносить на катод с момента, когда катод был совершенно чист, то ср изменяется вначале быстро до полного покрытия катода пленкой, когда ср достигает экстремума, затем изменение ср идет в обратном направлении и при толщине пленки в несколько атомных диаметров достигает постоянной величины, соответствующей сплошному (массивному) слою наносимого вещества.

Объясняется это явление так. Представим себе кристалл металла (рис. 2), на внешней границе которого нет никаких слоев — чистый катод. Ход кривой потенциала внутри металла и вне его — в вакууме, можно представить тогда в виде ломаной линии A BCD, указывающей, что внутри металла потенциал постоянен и равен Vv вне его — тоже постоянен и равен V2, а на границе этот потенциал скачком меняется от величины Vj до

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

При наличии на катоде пленки электроположительного металла (рис. 3), потенциал которой выше потенциала внешнего пространства и металла, V2—Уг уменьшается на величину Vz— V2 (часть ВС минус DE). В случае электроотрицательной пленки на поверхности ступенька потенциала будет не вниз, а вверх (часть DE1), т. е. потенциал внешнего пространства еще увеличится на величину скачка потенциала в пленке. Говоря о скачке потенциала и изображая его, как на рисунках 2 и 3, в виде скачка, не протяженного в пространстве (в данном случае — по оси х), мы вводим известную идеализацию в действительную картину; это вызывается тем, что нам не известен точный вид кривой потенциала на границе; приблизительный вид такой действительной кривой представлен на рисунке 4. При наличии внешнего электрического поля, направленного к поверхности металла, кривая потенциала во внешнем пространстве (DE на рис. 4) из горизонтальной в падающую тем круче, чем больше сила поля.

Причина появления скачков потенциала на поверхности металла, так называемых „потенциальных барьеров“, заключается в том, что кристаллическая решетка из положительных ионов металла заряжена положительно и втягивает в себя все свободные или полусвободные электроны. Внутри металла притяжение отдельными ионами в среднем уравновешивается, тогда как на границе металла притяжение ионов действует только внутрь металла. Конечно, кроме этих сил на поверхности металла действуют силы отталкивания со стороны электронов, оставшихся в металле; поэтому сила, удерживающая электрон у поверхности, есть сложная сила, включающая ряд причин электрического происхождения. Так как действие их локализуется на очень малом расстоянии от металла (от 10~8 до 10~4 см), мы и можем говорить о более или менее определенных потенциальных барьерах. Если кинетическая энергия электрона меньше работы, которую надо затратить, чтобы преодолеть действие сил у поверхности, то такой электрон, по представлениям классической механики, не может выйти за пределы барьера потенциала; однако современная квантовая механика показывает, что если расстояние, на котором эта энергия недостаточна, мало или мал сам недостаток энергии электрона, то электрон все же может пройти „сквозь“ барьер, конечно, только в том случае, если энергия его внутри металла больше V2 (см. рис. 4), но вероятность такого прохождения падает экспоненциально с ростом ширины и высоты барьера. Пространство, на котором локализуется барьер (как на рис. 3 и 4), имеет величину порядка диаметра атома, т. е. c/d3• 10~8 см, так как поверхностная пленка обычно одноатомна по толщине (более толстые слои щелочноземельных металлов легко удалить нагреванием, так как они испаряются легче одноатомного адсорбированного слоя); и хотя силы притяжения действуют на электрон и на больших расстояниях (почти до Ю-4 см) они делаются очень малыми на расстояниях в 2 — 3 атомных диаметра (меньше Ю-7 см), Вероятность прохождения электрона через потенциальный барьер „толщиной“ 3« 10~8 см, при высоте барьера в несколько вольт-электронов (от 1 до 4). имеет величину порядка от нескольких сотых до нескольких десятых. Столь большая верояность выхода и позволяет получать значительные электронные токи эмиссии при не очень высокой температуре с катодов, на поверхности которых нанесен тонкий слой „активизирующего“ вещества-

5. Материал и приготовление катодов

Наиболее употребительные в технике катоды используют в настоящее время все вышеуказанные возможности получить элек-

тронный ток наибольшей силы при наименьшей температуре катода. Малая температура катода выгодна, потому что бесполезно теряемая им энергия вследствие отвода тепла по концам катода через поддерживающие его проволоки (эта величина пропорциональна разности температур катода Tk и комнатной Т0) и вследствие лучеиспускания катода, которое пропорционально разности Tk*— Г04, значительно снижается, при этом и катод делается экономичнее, требуя гораздо меньше энергии на накал.

Из формулы Ричардсона (1) видно, что снижение работы выхода, т е. величины ср, мало изменит величину тока эмиссии, если одновременно снизить температуру катода пропорционально ср; иными словами, если отношение у поддерживается постоянным, то уменьшение Т будет влиять на ток эмиссии только за счет множителя Г2. Это изменение гораздо меньше того, которое получилось бы при том же изменении Г, но постоянной ср. Итак, снизив величину ср и подобрав соответствующую пониженную температуру, мы можем получить нужный нам ток электронной эмиссии при малом расходе мощности на нагрев нити. Для снижения работы выхода пользуются тонкопленочными катодами следующих типов: торированными, барированными и цезированными. Они состоят из основного металла — обычно никеля, вольфрама или платины, — на который нанесен одноатомный слой электроположительных металлов, тория, бария или цезия.

Торируют обычно только вольфрамовые нити, причем торий вводится в вольфрам при изготовлении из него нитей. Изготовленная вольфрамовая нить содержит в себе около 1,5% окиси тория, которая при высокой температуре постепенно разлагается, и металлический торий диффундирует на поверхность нити, переползая по поверхностям кристаллов, из которых состоит вольфрамовая проволока. С поверхности проволоки торий испаряется, и это испарение идет тем интенсивнее, чем выше температура поверхности. Поэтому температуру следует поддерживать в определенных пределах (от 1600 до 1800°); при более низкой температуре торий слишком медленно выделяется на поверхность нити при активировании ее, а при уже активированной нити ток эмиссии оказывается очень малым; при слишком высокой температуре торий начинает испаряться с вольфрама быстрее, чем пополняется его убыль диффузией изнутри новых атомов тория, и нить теряет способность эмиттировать электроны, теряет свою активность, дезактивируется. Такая нить будет эмиттировать лишь при значительно повышенной температуре, как нить из чистого вольфрама, и, чтобы ей вернуть прежнюю активность, необходимо накалить ее до 2800° К на несколько минут (1—2) без отбора тока эмиссии, а затем накал снизить до температуры 2100° К, при которой и продержать минут 30, также без отбора тока эмиссии. Перекал нужен для того, чтобы произошло разложение окиси тория для пополнения запаса металлического тория в нити. Температура же 2100° К несколько ниже критической температуры, при которой скорость испарения тория равна скорости поступления изнутри новых порций; следовательно, при 2100° К на поверхности нити накопляется торий. Скорость испарения тория зависит от толщины слоя его и тем больше, чем слой толще: это дает возможность автоматически устанавливаться условиям, при которых эмиссия имеет наибольшую величину— автоматически образуется слой, по толщине близкий к одноатомному (чаще образуется не совсем полное покрытие атомами тория поверхности вольфрамовой проволоки, что, однако, мало меняет дело).

Барием и цезием покрывают нити всех типов, но в виду легкой испаряемости этих металлов предпочитают искусственно укреплять их на катоде. Для этого нити окисляют с поверхности (вольфрам, никель) или предварительно покрывают их тонким слоем меди или серебра в электрической ванне и уже потом окисляют этот верхний слой. В вакууме на эту поверхность дестиллируется из специального источника цезий или барий. Источниками могут служить разного рода термитные смеси, например смесь окиси бария (ВаО) и металлического порошкообразного алюминия. При нагревании эта смесь дает окись алюминия и чистый барий по реакции ЗВаО-(-2А1 = А120з+3 Ва. Этот термит прессуется в форме лепешек подходящего размера для каждого типа катода и укрепляется внутри электронной лампы, обычно на внутренней поверхности анода над катодом. Для получения цезия обычно берут смесь хлористого цезия с металлическим кальцием, представляющую собой также термитную смесь, реакция которой при нагревании идет следующим образом:

2CsCi -t- Ca = 2Cs -f CaCl2.

В виду того, что цезий плавится уже при 26° С и затем очень легко перегоняется в вакууме, его нет надобности получать непосредственно над катодом, а можно из спе-

циального сосуда дестиллировать нагревом на нить. Надо сказать, что цезированные катоды, несмотря на очень низкую температуру работы их — около 400° С — не привились из-за сложности их изготовления и из-за того, что барий дает почти те же результаты.

Поэтому очень много способов было испробовано для получения катодов с нанесенным на поверхность барием; кроме уже названного термитного способа, привился еще азидный, использующий способность пересыщенного азидом соединения бария BaN6, называемого азидом бария, распадаться при нагревании по уравнению: 4BaNe = Ba3N2 -j--f-Ba-f- 11N2; выделяющийся при этом азот откачивается, нитрид бария остается и не влияет на дальнейшие процессы, а металлический барий образовывает нужную эмиттирующую поверхность нити. Барированные катоды уже при тёмнокрасном калении дают нужную эмиссию и не боятся незначительных перегревов; зато при сильном перегреве, когда разрушается поверхностная пленка, восстановить ее уже нельзя, и катод оказывается испорченным совсем.

Есть еще очень часто используемый тип катода — оксидный, использующий те же свойства тонкопленочного бария и обладающий способностью восстанавливаться, чем и обуславливается его большая распространенность. В этом катоде поверх платиновой или никелевой нити или никелевого цилиндра, подогреваемого изнутри специальным подогревателем (об этом ниже), наносится смесь углекислых солей щелочно-земельных металлов: ВаС03, SrC03 и СаС03. Эти соли наносятся на нить в виде эмульсии их в смеси эфиров или в воде и затем, после высыхания их и прогрева в вакууме, в большей своей части переходят в окислы по уравнению:

ВаС03 = ВаО + С02.

Затем эти катоды активируют, т. е. прокаливают, нагревая до 1500°, и отбирают ток эмиссии для выделения небольшого количества атомов бария в толще оксидного слоя (это придает ему электропроводность) и на поверхности в виде необходимой для эмиссии тонкой пленки бария на кислороде. Процесс активирования требует температур около 1200° С, а работа катода нормально происходит при температуре 900°—1000° С (желтое каление).

Оксидные катоды, в виду того, что они не представляют собой металлических проводников, подверглись интенсивному изучению в последние годы, причем оказалось, что их следует причислить к классу полупроводников-изоляторов при низкой температуре (около абсолютного нуля) и проводников при высокой температуре с сопротивлением, экспоненциально падающим с температурой. Такая зависимость сопротивления от температуры является результатом быстрого роста числа полусвободных электронов внутри полупроводника при повышении температуры, что в свою очередь обусловлено увеличением числа электронов, отщепляющихся от атомов металлического бария, примешанного к оксиду. Эти же электроны проводимости образуют потом и ток эмиссии и слоя оксида, но относительно малое число их на единицу объема оксида обуславливает малую величину А (см. табл. 1) в уравнении Ричардсона (1). Надо заметить, что и само уравнение (1) для этого случая приходится несколько видоизменить, хотя характерный общий вид его сохраняется.

Наконец, для закрепления слоев активирующих веществ (обычно тория) применяется иногда карбидирование катода, т. е. перевод поверхностного слоя вольфрамовой торированной проволоки в карбид, посредством прокаливания проволоки в атмосфере паров органических веществ. На этот карбидированный слой вольфрама выделяется потом торий при активации катода; торий держится на карбидированной поверхности так же прочно, как барий на окисленной, и не подвергается разрушению под ударами положительных ионов остатков газов, которые всегда, хотя и в очень малых количествах, присутствуют в лампе.

Этот тип катода употребляется в лампах, предназначенных для высокого анодного напряжения, чаще всего — генераторных, так как чем выше анодное напряжение лампы, тем больше энергии положительных ионов, разгоняющихся в электрическом поле от анода к катоду, и тем больше механическое действие распыления катода ударами этих ионов.

6. Конструкция катодов

При техническом выполнении катодов им придают различные формы. Чаще всего употребляют нити, причем они бывают прямые (рис. 5), или изогнутые петлей (рис. 6), или в несколько зигзагов. Такая форма катода вызывается необходимостью иметь достаточно большой ток эмиссии с нити, для чего стремятся увеличить ее поверхность, увеличивая длину.

Этим способом не всегда удается получить достаточную поверхность катода и потому

Рис. 5.

Рис. 6.

его делают иногда в виде металлического (обычно никелевого) цилиндра А (рис 7), надетого на фарфоровую трубку В, во внутренних каналах которой помещается вольфрамовая проволока С.

Эта проволока нагревается переменным или постоянным током, подогревает фарфор и накаливает до достаточно высокой температуры никелевый цилиндр. Последний обычно покрывается оксидами, и их активирование и работа происходят, как у описанных выше оксидных катодов. Очевидно, что поверхность такого цилиндра можно сделать достаточно большой для получения желаемого эмиссионного тока. Кроме того, катод этот обладает еще преимуществами перед катодом в виде нити: по нити течет ток накала, который вызывает появление падения напряжения вдоль нити и потенциал ее уже нельзя принять постоянным по отношению к аноду — он различен в разных местах нити; никелевый же цилиндр В имеет всюду по поверхности постоянный потенциал, вследствие чего и называется эквипотенциальным катодом. Это обстоятельство сказывается на характеристике лампы, делая поворот к насыщению (точка А на рис. 8) более резким, чем в случае неэквипотенциального катода.

Наконец, самым существенным преимуществом такого подогревного катода является возможность употреблять для накала переменный ток, экономя этим батареи постоянного тока. При нитях же переменный ток создает непрерывное изменение силы анодного тока с частотой переменного тока из-за изменения потенциала разных точек катода по отношению к аноду по отмеченным выше причинам. Этими типами катодов обычные современные лампы и ограничиваются.

Рис. 7.

Рис. 8.

7. О вольтамперной характеристике катода

Только что мы указывали на важность иметь определенную разность потенциалов между катодом и анодом. Между тем, ток эмиссии fs по формуле (1) не зависит от анодного напряжения. Оказывается, что это имеет место лишь при высоких напряжениях на аноде. При малых же напряжениях на аноде электроны от катода к аноду движутся гораздо медленнее, а так как сила тока определяется числом электронов, попадающих на анод за 1 секунду, то необходимо, чтобы для тока той же силы число электронов в пространстве между катодом и анодом было больше во столько раз, во сколько скорость движения их меньше. Но каждый электрон своим зарядом отталкивает другие электроны. Электроны, подлетающие к аноду, отталки-

вают те, которые в это мгновение находятся между ними и катодом. Если электронов очень много, то они могут отталкивать большую часть вылетающих из катода электронов обратно к катоду, и ток электронной эмиссии будет уже определяться не температурой катода, а пространственным зарядом электронов между катодом и анодом. Так как этот пространственный заряд зависит от скорости улетания электронов, т. е. от анодного напряжения, то в этом случае ток электронной эмиссии зависит от анодного напряжения. Для электронных ламп это явление было изучено американским физико-химиком Ирвингом Лэнгмюиром, одновременно давшим и теоретический закон зависимости тока через лампу от анодного напряжения:

(2)

где — / длина нити в сантиметрах, Va — анодное напряжение (по отношению к катоду), га — радиус анода, — некоторая, зависящая от отношения диаметра анода к диаметру катода функция, которая приводится нами в таблице II: ——отношение заряда электрона к массе его*. Закон этот носит название „закона трех вторых“. Если подставить в него величину —= 1,77-107 электромагнитных единиц заряда на грамм и выразить ток в амперах, напряжение — в вольтах, а радиус — в сантиметрах, то получится следующее выражение для тока в лампе:

Полная характеристика тока в лампе имеет поэтому вид, представленный на рисунке 8, где нанесена зависимость тока эмиссии от анодного напряжения. От нуля до точки А характеристика следует „закону трех вторых“, представляя собой полукубическую параболу**. В точке А получится насыщение; ток равен

Рис. 9.

Рис. 10.

ТАБЛИЦА II*

го

Р

го

Р2

г_а го

га го

Р2

го

1

0

30

1,091

70

1,088

300

1,044

1,500

1,011

16

1,051

40

1,095

НО

1,085

400

1,036

2,000

1,008

18

1,063

50

1,094

юо

1,078

500

1,030

00

1,000

20

1,072

60

1,091

200

1,056

1000

1,017

* Формулой (2) можно воспользоваться для определения величины — из характеристики электронной лампы.

* Величины ß2 для значений, промежуточных между указанными в таблице значениями —, можно вычислять линейной интерполяцией, а для — больше 2000 принять равными единице.

** Это можно проверить при съемке характеристики лампы нанося по оси ординат не измеренные силы тока /, а / з в зависимости va (по оси абсцисс); при этом должна получиться прямая линия.

/с по уравнению (1) и дальнейшее повышение напряжения не меняет его.

На рисунке 9 представлена полная характеристика тока в лампе в зависимости от температуры катода Т. До точки В от нуля она следует уравнению (1), а далее наступает ограничение тока объемными зарядами, и ток не зависит от температуры катода, меняясь зато с напряжением на аноде.

Конечно, резкого перехода, как в точках А и В (рис. 8 и 9), никогда не бывает, вследствие того, что насыщение не наступает на всех частях катода одновременно, если он не эквипотенциальный; кроме того, сказываются не вполне математически точное устройство электродов лампы, несколько эксцентричное положение нити внутри анода, влияние концов электродов, также приводящие к неодновременному наступлению насыщения во всех точках катода.

На рисунке 10 изображены истинные характеристики I=f(Va) и /=ср(7).

Литература для более подробного ознакомления с физикой и техникой катодов:

Н. А. Капцов — „Физические явления в вакууме и разряженных газах“, ГТТИ, 1933 г.

С. Дешман — „Термионная эмиссия“, Кубуч, 1932 г.

A. Шапошников — „Электронные и ионные приборы“, ГТТИ, 1934 г.

Mоллер —„Электронные лампы“, ГТТИ, 1933 г.

B. И. Шаров—„Электронные приборы и их техническое применение“, Кубуч, 1932 г.

И. Лэнгмюир и К. Комптон — статья в „Успехах физических наук“ № 1 за 1931 г.

ДВИЖЕНИЕ АТОМОВ И ПРЕДЕЛ ТОЧНОСТИ ФИЗИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

(Окончание*)

Доц. В. ГРАНОВСКИЙ (Москва)

5. Броуновское движение в измерительных приборах

Важность флюктуации и броуновского движения для проникновения в законы молекулярного мира не подлежит сомнению. Однако какое же отношение имеют эти явления к дальнейшему увеличению точности и чувствительности физических приборов? Оказывается — самое непосредственное; именно они кладут предел чувствительности большинства наших приборов и тем самым в известном направлении ограничивают возможности физического эксперимента.

К этому выводу можно подойти с разных сторон, но во всех случаях конечная причина оказывается одной и той же: это — тепловое движение элементарных частиц вещества.

Возьмем, например, приборы, в которых определение измеряемой величины производится благодаря перемещению в пространстве какой-либо части прибора. Сюда относятся, например, рычажные весы (наклон коромысла), крутильные весы (закручивание подвеса), манометры (прогиб мембраны или опускание уровня жидкости), гальванометры (поворот катушки или подвеса с магнитами) и т. д. Во всех этих случаях в приборе имеется какая-либо подвижная часть, которая удерживается в положении равновесия упругой или квази-упругой силой.

Если прибор подвергается воздействию измеряемой величины х, то на подвижную часть действует отклоняющая сила Fv которая растет вместе с увеличением х.

Для небольших значений х можно считать пропорциональным х:

Гг = Вх,

где В — некоторый коэфициент пропорциональности („фактор отклонения“). Отклонению подвижной части противодействует сила F2; если отклонение измеряется величиной ср, то F2 пропорционально ср и направлено в обратную сторону:

F2 = Ay.

Величину А называют обычно направляющей силой. При действии величины х прибор устанавливается на таком отклонении ср, чтобы имело место равновесие между отклоняющей и направляющей силами:

Длг = Лср,

откуда

(12)

ß

Отношение -г показывает, какое отклонение дает прибор, если измеряемая величина х = 1. Таким образом, оно характеризует собой чувствительность прибора. Чем большее и чем меньше А (направляющая сила), тем выше

* Начало см. в № 3 журнала „Матем. и физика“ за 1935 г.

чувствительность прибора S:

(13)

Поэтому, чтобы получить большую чувствительность, нужно наряду с увеличением В всячески уменьшать направляющую силу А. Для этого подвижную часть стараются как можно более облегчить, уменьшить и сделать более легкоподвижной. Действительно, в высокочувствительных приборах: микровесах, гальванометрах, электрометрах и т. д., подвижные части и поддерживающие их подвесы делаются крайне тонкими и легкими; направляющие силы уменьшаются до ничтожных значений. Но тогда оказывается, что подвижная часть прибора подвержена броуновскому движению. Неравномерность толчков молекул воздуха отбрасывает ее то в одну, то в другую сторону от положения равновесия. Чем меньше направляющая сила А, т. е. чем выше чувствительность прибора, тем сильнее отклонения подвижной части прибора под действием молекулярных ударов. Положение равновесия прибора как в отсутствии измеряемой величины, так и при наличии ее оказывается невозможным определить точно, а следовательно, становится неточным отсчет прибора. Мы сталкиваемся, таким образом, с флюктуациями показаний прибора.

Можно подсчитать, какую неточность вносит броуновское движение в отсчет прибора, пользуясь теоремой о равномерном распределении энергии. Если считать подвижную часть прибора огромной броуновской частицей, то как средняя кинетическая, так и средняя потенциальная энергия его должна поддерживаться ударами молекул на уровне — kT (измерительный прибор обычно обладает одной степенью свободы). Потенциальную энергию прибора легко выразить через ср и А. Отклонение <р представляет собой обычно или некоторую длину или угол; направляющая сила представляет собой в первом случае силу при отклонении на 1 см, во втором случае — момент пары сил при отклонении на 1 радиан. Потенциальная энергия прибора при отклонении ср равна той работе, которую его подвижная часть отдает при обратном движении от у к 0. Так как сила на этом пути не постоянна, а убывает пропорционально отклонению (F2 = Av), то для вычисления работы нужно взять среднюю величину силы между начальным и конечным значением:

Работа = произведению средней силы на путь =—-—•(—ср)=-~-. Это и есть потенциальная энергия отклоненного прибора. По теореме о распределении энергии по степеням свободы мы можем написать:

(14)

Отсюда определяем среднее отклонение прибора от положения равновесия:

(15)

Эта формула подтверждает наше утверждение, что чем меньше А, чем выше чувствительность прибора, тем больше его самопроизвольные отклонения от положения равновесия.

Допустим, что отсчет показаний прибора производится по шкале рисунка 4. Пусть деление, обозначенное через 0, представляет собой положение равновесия прибора в отсутствии измеряемой величины—„нулевая точка“. Вследствие броуновского движения, показание прибора колеблется в обе стороны от 0, причем среднее отклонение у нас показано буквами а с обеих сторон. Отдельные отклонения прибора могут быть и больше и меньше <рсредн>, так что указатель прибора может и выходить за пределы отрезка шкалы а — а и находиться внутри него. Однако большие отклонения будут встречаться редко: они маловероятны; большую часть времени прибор будет указывать деления в интервале а — а. Если при измерении некоторой величины получается отклонение, далеко выходящее за пределы среднего самопроизвольного отклонения прибора (например до деления Ь), то можно быть уверенным, что это показание соответствует какой-то реальной величине. Если же получается отклонение, близкое к среднему, а в особенности меньше среднего (например с), то нельзя иметь никакой уверенности в том, что это не самопроизвольное отклонение, т. е.

Рис. 4.

что оно произошло от измеряемой величины ху а не от толчков молекул. Поэтому отсчеты, меньшие, чем <рсредн>, или даже равные ему, являются по существу иллюзорными; из них нельзя сделать никакого вывода; нельзя даже с уверенностью сказать, что какая-либо измеряемая величина была вообще приложена к прибору.

Отклонению у средн. соответствует определенное значение xmia, которое мы найдем по формуле (13)

(16)

Из предыдущего следует, что невозможно обнаружить с помощью данного прибора при одном отсчете величину л*, меньшую, чем *min. Необходимо отметить, что если мы можем произвести много отсчетов или длительно наблюдать нулевую точку и положение равновесия после отклонения, то точность отсчета может быть значительно выше. Определив в результате длительного наблюдения среднее положение нулевой точки и среднее положение отклоненного прибора, мы можем заметить между ними разницу и в том случае, если она меньше, чем юСредн. Однако далеко не во всех опытах мы можем делать такие длительные наблюдения.

6. Независимость величины броуновского движения от механизма передачи

На первый взгляд кажется совершенно неправдоподобным, чтобы удары молекул могли заметно отклонять подвижную часть какого-либо реального измерительного прибора. Ведь массы молекул газа — порядка 10“23 — 10~24 грамма, тогда как самая легкая подвесная система весит не менее миллиграмма; отношение масс— 1020 раз! Однако действительность и расчет показывают иное: броуновское движение в измерительных приборах существует и наблюдается. Рассмотрим, как пример, крутильные весы (рис. 5).

Рис. 5.

На тонкой нити Я, неподвижно укрепленной на верхнем конце, висит коромысло тг, к нити привешено зеркальце 3, отражающее пучок световых лучей, с помощью которого определяется поворот всей системы. Нить может закручиваться относительно точки закрепления. Такие нити для приборов высшей чувствительности приготовляют обычно из плавленого кварца, обладающего большой прочностью и допускающего вытягивание до очень малых диаметров. Вполне возможно изготовление такой нити, что для нее

и даже меньше. Тогда по формуле (15) легко подсчитать, что при t= 18°С(Г=291°) <рсРедн. ^6,310“4 радиана ^2'.

Такое отклонение нетрудно заметить Если поставить шкалу на расстоянии хотя бы D = 2 м от зеркала, то смещение по шкале будет равно

/i = D.tg2ycpeÄH. = 2,5 мм.

Немецким физикам Герлаху и (в особенности) Капплеру удалось тщательно промерить броуновское движение такой системы. Путем фотографической регистрации, продолжавшейся 101 час при температуре 14°, Капплер зафиксировал огромное число отклонений, из которых вывел среднее; оказалось, что <рсредн = 2,042- Ю-3 радиана. Направляющая сила была равна 9,428-10“9-~^. От-

Рис. 6.

сюда можно вывести величину k и число Авогадро N. Находим для последнего

N= 6,059-1023.

Это число совпадает с точностью до 0,06% со значением N, найденным, с одной стороны, Милликеном путем определения заряда электрона, с другой стороны—А. Вестгреном из наблюдений над броуновским движением микроскопических частиц. Трудно ожидать более блестящего подтверждения теории!

Чрезвычайно интересно взглянуть на самые фотографии Капплера. На рисунке 6 воспроизведены две кривые, полученные при регистрации самопроизвольных отклонений одной и той же системы. Первая кривая (а) представляет собой флюктуации положения нулевой точки при нахождении крутильных весов в воздухе при нормальном давлении. Видно, что подвижная система получала очень частые импульсы и после каждого из них могла очень недолго двигаться в том же направлении по инерции; новые толчки очень быстро нарушали ее движение. В результате весь ход кривой носит характер медленных, но крайне неправильных перемещений. Вторая кривая (Ь) изображает движение той же системы в сильно разреженном воздухе при давлении в 10~4 мм (по сравнению с атмосферой плотность воздуха уменьшена в несколько миллионов раз). Мы видим, что весы качаются взад и вперед, совершая по нескольку правильных колебаний подряд; толчки, нарушающие правильную последовательность движений, происходят несравненно реже, чем в первом случае. Однако среднее отклонение в обоих случаях оказывается одинаковым. Весы вовсе не становятся спокойнее при разрежении окружающего воздуха, только характер движения меняется. Этими наблюдениями подтверждается замечание, которое мы сделали в конце предыдущего параграфа о независимости средней величины броуновского движения от плотности среды.

Естественно, что после прочтения всего предыдущего читатель мог бы спросить, не добился ли бы экспериментатор полного спокойствия прибора, если бы он мог поместить прибор в совершенный вакуум, где никакие молекулы его не толкали бы. Тогда всякое начальное движение постепенно затухло бы благодаря внутреннему трению, неизбежному в любом приборе; новых импульсов прибор не получал бы и никаких самопроизвольных смещений не было бы.

Однако это не так. Даже в таком, в действительности неосуществимом случае, крутильные весы и любой другой прибор все равно качались бы. Можно хотя бы мысленно устранить внешние толчки от молекул газа, окружающего прибор; но никак нельзя устранить внутренних толчков, происходящих от теплового движения атомов или молекул в самих движущихся частях прибора. В твердых телах (например в кварцевой нити крутильных весов) атомы колеблются около положений равновесия; эти колебания должны вызывать сотрясения всей нити в целом. По теореме о равномерном распределении энергии мы можем утверждать, что на любую степень свободы всей нити в целом будет также приходиться средняя энергия kT9 как и на одну степень свободы молекулы или атома. Но тогда немедленно появляется вопрос: если средняя потенциальная энергия, которую нить получает от внутренних толчков, равна у и тому же равна энергия, сообщаемая ей толчками внешних молекул, то почему же средняя потенциальная энергия нити в воздухе не равна \^kT + kT— kT на каждую степень свободы? Почему в опытах Капплера при совместном действии обеих причин получилась та же величина самопроизвольных колебаний, какая должна была получиться от действия одной причины? Ответ мы находим снова в той двойственной, противоречивой роли теплового движения, о которой мы уже упоминали выше. Каждый новый источник флюктуации, воздействующих на нашу систему и сообщающих ей движение, в то же время увеличивает и торможение ее движений. Если прибор находится в вакууме, то движение атомов внутри него сообщает ему импульсы и вместе с тем создает внутреннее трение, вследствие которого его движения затухают. Если прибор находится в воздухе, то к внутренним толчкам добавляются внешние: увеличивается сумма импульсов, но увеличивается и трение, в результате средняя энергия остается неизменной. Мы приходим, таким образом, к следующему выводу: средняя энергия броуновского движения прибора не зависит от того механизма, которым возбуждается это движение.

7. Флюктуации приборов, измеряющих механические величины

В предыдущем параграфе мы рассматривали колебания системы, представляющей собой микроскопические крутильные весы.

Мы можем теперь перейти к рассмотрению флюктуации других приборов.

Рычажные весы. Измерение ими основано на том, что превышение нагрузки одной чашки над другой вызывает наклон коромысла весов, который мы замечаем благодаря указателю — стрелке, движущейся перед специальной шкалой. Для того чтобы мы могли заметить и взвесить какую-либо малую массу т, необходимо, чтобы помещение ее на одну из чашек вызвало отчетливо заметное отклонение весов. Но вследствие броуновского движения коромысло и чашки должны сами все время колебаться. Пусть чувствительность весов будет S=cp, где ср — угол отклонения, вызываемый массой т. Если флюктуации весов в среднем равны некоторому срС) дн., то ясно, что массу, меньшую, чем тмин. = -С1^дн' мы с помощью данных весов обнаружить не сможем. При взвешивании большей массы мы по той же причине не сможем добиться большей точности в ее определении, чем тмнн/. весы будут беспорядочно качаться около положения равновесия так, как будто измеряемая масса сама колеблется по величине, причем ее кажущиеся флюктуации в среднем равны /rcMHH.. Таким образом, тмин. представляет собой порог точности взвешивания. Для определения его величины можно пользоваться следующей формулой, выведенной Изингом:

где d — период качания весов, g — ускорение силы тяжести, M — нагрузка каждой чашки; эта формула справедлива, если все три призмы весов лежат в одной плоскости, и массой коромысла можно пренебречь по сравнению с М. Возьмем в виде примера Г=288°, 0=10 сек., M =1000 граммов; найдем:

/ямин =5,7-10“9 грамма.

Такая точность при взвешивании 1 кг еще совершенно недостижима; в самом лучшем случае можно взвесить 1 кг с точностью до 10~5 грамма. Следовательно, в настоящее время для рычажных весов тепловое движение еще не является ограничением точности работы.

Аналогичные рассуждения можно провести и относительно пружинных весов. Здесь также чашка весов будет совершать броуновское движение вверх и вниз в некоторых пределах, как если бы измеряемая масса испытывала флюктуации. Разумеется, в обоих этих случаях флюктуации измеряемой величины только кажущиеся: масса тела не является статической величиной и никаких флюктуаций не испытывает; флюктуациям подвержены только показания приборов.

Иначе обстоит дело при измерениях длины. Допустим, что дело идет об определении длины какого-либо твердого стержня. Вследствие теплового движения частиц в нем, его длина будет испытывать действительные флюктуации, величину которых можно вычислить по теореме о равномерном распределении энергии. Стержень обладает определенной упругостью; его удлинение или сжатие соответствует появлению добавочной потенциальной энергии, которая должна быть в среднем равна -i kT. Если длина стержня /, площадь поперечного сечения sy модуль Юнга Е, то удлинение Д/ требует работы = а/ 1 FsM = А/^ — » следовательно

В среднем должно быть

откуда

Положим £=4.1010^«- (дерево), s=0,5c*?r

1 = 2 м, Г=15°С; СМ тогда

Мы видим, что флюктуации длины получаются размеров настолько малых, что о них вообще вряд ли имеет смысл говорить: они гораздо меньше диаметра отдельных атомов и также гораздо меньше, чем смещения отдельных атомов в их тепловом движении. Противоречия, однако, в этом нет. Длину тела мы можем определить, как расстояние между плоскостями, проходящими через крайние атомы. Каждый атом в отдельности испытывает колебания с амплитудой порядка 10~8 см; однако различные атомы движутся беспорядочно по отношению друг к другу. Вся же плоскость, проходящая через центры крайних атомов (или, точнее, через их положения равновесия), колеблется с амплитудой гораздо меньшей.

Заметим, что такие же флюктуации длины испытывает и любой масштаб, с которым мы хотели бы сравнить наш стержень, и любой прибор, с помощью которого мы пытались бы их сравнить. Но к счастью, как мы уже

видели, эти флюктуации практической опасности не представляют.

Измерение времени основано на сравнении измеряемого промежутка времени с периодом какого-нибудь строго-периодического процесса, например качания маятника. Однако всякий маятник испытывает броуновское движение; если он обладает одной степенью свободы, то средняя кинетическая и потенциальная энергия в этом движении должны равняться — kT. Накладываясь на основное движение маятника, броуновское движение нарушит его строгую периодичность и тем внесет известную неточность в определение его периода. Кроме того, нужно иметь в виду, что период маятника будет колебаться вследствие флюктуации его длины. Однако в действительности эти флюктуации для сколько-нибудь массивного маятника будут ничтожны.

Рассмотрим еще измерения давления. Для этой цели может применяться или жидкостный манометр, или манометр с мембраной, или со спиральной камерой. Во всех этих случаях будут иметь место как флюктуации самой наблюдаемой величины (неравномерность молекулярной бомбардировки), так и колебания подвижной части прибора от молекулярного движения в ней самой. Например, в барометре анероиде с металлической круглой камерой дно последней будет колебаться под действием обеих причин: внутренних и внешних толчков. Но, как мы уже говорили выше, полная энергия этого колебания будет равна kT так же, как если бы действовала только одна из этих причин. Если пользоваться мембраной как средством наблюдения периодически меняющегося давления, т. е. звука, например в любом микрофоне, то мы сталкиваемся с наличием у мембраны перманентного собственного шума, происходящего от ее броуновского движения. Поэтому звуков более слабых, чем этот шум, с помощью микрофона различить нельзя. Мембрана микрофона должна шуметь и в том случае, если она находится в вакууме. Разумеется, шум этот крайне слаб.

8. Флюктуации электрического тока

Все, что мы говорили о флюктуациях различных приборов, относится, конечно, и к электроизмерительным приборам. Катушка гальванометра или нить электрометра подвержены броуновскому движению и, следовательно, показания этих приборов должны обнаруживать самопроизвольные отклонения. Качания катушки зеркального гальванометра вследствие броуновского движения будут происходить так, как если бы ток, протекающий по катушке, испытывал флюктуации. Однако эти флюктуации тока не только кажущиеся: они действительно происходят. Откуда же они берутся?

По современным воззрениям, в металлах часть электронов находится в более или менее свободном состоянии. Эти свободные электроны образуют между атомами металла своего рода „электронный газ“, отдельные частицы которого (электроны) хаотически движутся взад и вперед в тепловом движении с большими скоростями. Под действием электрического поля электроны, сохраняя свое тепловое движение, начинают медленно продвигаться в направлении, противоположном полю: получается электрический ток. Чем сильнее электрическое поле, тем быстрее общее перемещение электронов и тем больше сила тока. В отсутствие электрического поля упорядоченного движения электронов нет. Что касается теплового движения, то для него все направления равновероятны; в любом проводнике в среднем одинаковое количество электронов движется к одному и к другому концу, и общая сила тока должна равняться нулю. Но это верно только в среднем; в отдельные моменты времени может оказаться, что больше электронов летит направо, чем налево, или наоборот. В такие моменты мы должны будем констатировать наличие в металле самопроизвольно возникшего тока. Как ни мал этот ток, который определяется разностью количеств электричества, переносимых в одном и в другом направлении, он все же обладает всеми свойствами тока: 1) образует магнитное поле, благодаря которому он не может исчезнуть мгновенно (самоиндукция), 2) несет заряд от одного конца проводника к другому и тем создает между ними разность потенциалов, 3) расходует свою энергию вследствие сопротивления проводника. Последнее состоит в том, что движущиеся электроны рассеиваются при столкновении с колеблющимися атомами и отдают последним свою энергию. Мы опять встречаемся с двойственной ролью теплового движения, с одной стороны, создающего упорядоченное движение, с другой — тормозящего его. Благодаря ему во всяком проводнике все время должны существовать флюктуации силы тока и напряжения.

Мысль о существовании электрических флюктуации была впервые высказана Эйнштейном в 1907 г.; он же указал и на метод, которым можно определить среднюю величи-

ну этих флюктуации. В основе его лежит применение все той же теоремы о распределении энергии по степеням свободы. Пусть рассматриваемый нами проводник обладает емкостью С и самоиндукцией L. В таком проводнике могут происходить собственные электрические колебания с периодом

Энергия магнитного поля вокруг него выражается формулой

а энергия электрического поля

Первую мы обычно рассматриваем как аналог кинетической энергии, так как она связана с движением зарядов, а вторую — как аналог потенциальной энергии, так как она определяется статическими зарядами. Эйнштейн сделал чрезвычайно смелый шаг: он применил к обеим величинам теорему о распределении энергии и потребовал, чтобы

(17)

В этих равенствах — ключ к теории электрических флюктуации: Отсюда можно определить среднюю величину флюктуации тока и напряжения; находим

(18),

(19)

Величина /гГ при 17° С равна 4,0-10“14 эрг. Положим, например, L = 0,1 генри = 108 см и С=10 000 см; тогда

Эти величины, в отличие от флюктуации большинства механических величин, уже доступны нашим измерениям. Правда, во время выхода в свет работы Эйнштейна необходимых экспериментальных средств еще не было; но 20 лет спустя существование электрических флюктуации было доказано экспериментально двумя совершенно разными методами.

Прежде всего, усовершенствование гальванометра и методов наблюдения его показаний позволило наблюдать его флюктуационные движения. Серьезный шаг вперед в этом направлении был сделан голландскими физиками Моллем и Бургeром, изобретшими способ усиливать показания зеркального гальванометра посредством так называемого „термореле“. Они добивались при помощи такого реле стократного увеличения отклонений. На рисунке 7 показана одна из кривых, полученных этими исследователями при стократном усилении. Два более сильных отклонения соответствуют включению в цепь гальванометра напряжений: один раз — в 1-Ю“7 вольта, другой раз — в 1-10“8 вольта. Из кривой видно, что и в то время, когда никакого внешнего напряжения к гальванометру не приложено, в нем все Бремя происходят флюктуации, и катушка колеблется. Такие же результаты получили и другие исследователи: Орнштейн, Цернике, Эйнтховен (струнный гальванометр), Изинг (специальный гальванометр с микроскопическим отсчетом), Эггерс (весьма чувствительный бинантный электрометр) и др. Во всех этих случаях оказалось, что флюктуации приборов соответствуют теореме распределения энергии по степеням свободы; определенная на опыте постоянная Больцмана k оказалась в согласии с известным ее значением 1,36-10~16—^—- .

При истолковании этого результата прежде всего встает следующий вопрос: флюктуации катушки или струны гальванометра вызываются не только электрическими флюктуациями, но и ударами молекул воздуха. Мы уже подготовлены к тому, что обе эти причины вместе вызывают такой же величины флюктуации, как и каждая из них порознь, а не удвоенную величину флюктуации. Однако доказывают ли эти опыты действительно существование флюктуации электрического тока? Может быть, здесь действуют только удары молекулы? Ведь эффект получился бы и в том случае такой же. Нельзя ли каким-либо образом наблюдать электрические флюктуации, не прибегая к приборам, подверженным броуновскому движению?

Оказывается, можно. Эту возможность дает катодная лампа. С помощью последней можно

Рис. 7.

усилить флюктуации напряжения, возникающие в проводнике, до такой величины, чтобы их можно было измерять грубым прибором, совершенно не обнаруживающим броуновского движения. Такие опыты произвел прежде всего американский физик Джонсон, а затем и другие исследователи; особенно точные опыты произвели англичане Моулин и Эллис. Принципиальную схему таких опытов можно представить себе на основании рисунка 8.

Проводник или цепь флюктуации в которой желательно измерить, включается между катодом и сеткой первой лампы; усиленный ею ток подается на следующую лампу и т. д. В анодную цепь последней лампы включается измерительный прибор для переменного тока, обладающий по возможности большой инерцией. Отсчитывая показания прибора и зная, во сколько раз вся установка усиливает напряжение начальной цепи, можно определить флюктуации напряжения в последней. Названные выше исследователи не только установили, что такие флюктуации действительно происходят, но и доказали, что эти флюктуации имеют среднюю величину, соответствующую теореме равномерного распределения энергии. Исследовались различные металлы, их сплавы, а также электролиты. Оказалось, что от природы вещества эти флюктуации не зависят; от температуры они зависят в согласии с законом kT. Значение этих опытов чрезвычайно велико как для теории, так и для практики. Теоретическое значение их в том, что они подтверждают правильность наших представлений о природе электрической прово1имости в различных средах и об участии носителей электричества в тепловом движении; они оправдывают также смелую идею Эйнштейна о приложимости „закона kT“ к электрическим цепям. Практическая же роль их состоит в установлении предела возможных достижений электротехники слабых токов. Как пример, можно указать на выводы, вытекающие из них для радиотехники. До этих работ можно было думать, что радист может принять какой-угодно слабый сигнал, если ему не мешают другие станции и атмосферные помехи; если напряжение, получаемое в приемной антенне, очень мало, то его можно усилить, применяя достаточно большое число усилительных ламп. Но теперь мы знаем, что это не так. В антенне (и вообще в приемном контуре) все время происходят самопроизвольные колебания напряжения и тока; при достаточном усилении они слышны в качестве постоянного шума. Если сигнал, принимаемый антенной, меньше, чем флюктуации напряжения в ней, то он потонет в этом шуме и его нельзя будет разобрать,—тут не поможет никакое усиление. Для того чтобы радиопередачу можно было принять, необходимо во всяком случае, чтобы создаваемое ею напряжение было значительно сильнее, чем флюктуации напряжения в приемном контуре. Вот каким образом тепловое движение электронов ограничивает возможности радиоприема. Нужно отметить, что в некоторых типах заграничной приемной аппаратуры уже достигнута такая чувствительность, что флюктуации становятся слышными в качестве шумового фона и вопрос об уменьшении их вредного влияния становится уже практической задачей настоящего дня.

9. Дробовой эффект (явление Шоттки)

Изучение действия катодной лампы показало, что замечательный прибор несет в себе самом еще один источник флюктуации, ограничивающий возможности его применения. Он состоит в непостоянстве анодного тока, вызываемом атомной структурой электричества. Представим себе любую катодную лампу. Если ее катод накален и анод заряжен положительно по отношению к катоду, то сквозь лампу течет электронный ток. Он состоит из отдельных электронов, которые вырываются из катода независимо один от другого и так же независимо (если только их не слишком много) долетают до анода. Если сила анодного тока в лампе /0, а заряд одного электрона е, то в секунду до анода долетает

(20).

В любой промежуток времени т должно было бы перейти через лампу

Но в действительности это не так. Вылет отдельного электрона есть явление случайное и не связанное с другими. В таком случае их распределение ео времени не будет строго

Рис. 8.

равномерным, а определяется законами вероятности. Мы уже знаем, что в этом случае возможны отклонения от среднего: в один промежуток времени их перелетит несколько больше, в другой — несколько меньше. Среднее отклонение от нормы, как уже было показано, выражается формулой (11), которая в данном случае дает

(21)

Но это и значит, что сила анодного тока не будет постоянной, а должна испытывать флюктуации. Если за некоторый промежуток времени перелетело п электронов, то сила тока за этот промежуток

Отклонение силы тока от средней

можно рассматривать, как некоторый беспорядочный переменный ток, накладывающийся на основной.

Его эффективную величину

с помощью формулы (21) найдем равной

(22)

Необходимость существования флюктуации анодного тока вследствие только что указанной причины теоретически вывел немецкий физик В. Шоттки в 1918 г., который и дал ему название дробового эффекта (Schroteffekt). Таким названием Шоттки хотел подчеркнуть атомный характер явления, сравнивая его с потоком дроби, высыпаемой на стол. Дробовой эффект так же, как и тепловое движение, вызывает шум в усилителе и препятствует различению слабых сигналов; в этом практическая сторона открытия Шоттки. Этот эффект наблюдали многие экспериментаторы. Для этого обычно в анодную цепь лампы включают какое-либо сопротивление для переменного тока (омическое или иное, вплоть до целого колебательного контура); на концах этого сопротивления получается благодаря дробовому эффекту переменное напряжение. Последнее усиливается с помощью многолампового усилителя и затем измеряется прибором переменного тока. Формула (22) показывает, что, измеряя величину дробового эффекта, можно определить заряд электрона е. Американские физики Хэлл, Уильяме и Винцент, измерив в различных лампах дробовой эффект, определили элементарный заряд е с такой точностью, которая может поспорить с точностью знаменитых опытов Милликэна по определению той же величины методом масляной капли. Опыты этих физиков, таким образом, дали новое доказательство атомной структуры электричества; одновременно они явились блестящим количественным подтверждением теории Шоттки.

10. Заключение

Представление о флюктуациях — одно из наиболее прямых и существенных следствий нашего атомно-молекулярного физического мировоззрения. Обнаружение на опыте этих явлений было поэтому чрезвычайно важным для физики фактом, значительно упрочившим атомную теорию. Прогресс физической техники привел к тому, что эти явления приобрели и практический интерес, так как оказалось, что они могут встать, а в некоторых областях (электричество) уже стоят на пути к дальнейшему повышению точности и чувствительности наших приборов. Поэтому необходимо глубокое изучение этих явлений, чтобы ясно представить себе те трудности, которые они ставят развитию техники малых величин, и отыскать те пути, по которым эти трудности можно обойти и преодолеть.

Литература на русском языке

А. По флюктуациям и броуновскому движению вообще.

Ж. Перрен — „Атомы“, главы III—V (Госиздат 1922 г.).

Д. А. Гольдгаммер — .Невидимый глазу мир“, главы V—VI (Госиздат 1923 г.).

Е. Блох — „Кинетическая теория газов“, главы VII—VIII (ГТТИ 1932 г.).

А. К. Тимирязев — .Кинетическая теория материи-. Лекции XI и XX (ГТТИ 1933 г.).

Б. По флюктуациям электрических приборов.

Статьи В. Грановского в журнале „Успехи физических наук“, т. XIII, вып. 6-й, за 1333 г.; т. XV, вып. 4 и 5-й за 1935 г.

АСТРОНОМИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В АВГУСТЕ — НОЯБРЕ 1935 г.

Проф. П. ПОПОВ (Москва)

Период времени с августа до ноября совпадает с началом учебного года, когда преподавателю нужно планировать свою работу на год и по четвертям. В отношении астрономии для этого планирования совершенно необходимо учесть, какие явления на небе могут быть наблюдаемы в рассматриваемый период, чтобы соответствующим образом распределить прорабатываемый материал там, где это возможно. Поэтому мы дадим здесь сначала для ориентировки общую характеристику всего учебного года в отношении изменяющихся явлений, а затем более подробно опишем явления, относящиеся к первой четверти года.

Повторяющееся из года в год изменение вида звездного неба по временам года и описываемое обычно в учебниках лучше всего может быть прослежено по подвижной карте звездного неба, которая дается в приложении к постоянной части „Русского астрономического календаря- и намечена к отдельному изданию в Учпедгизе. Эта карта дает возможность получить картину видимого звездного неба в любой день и час года, а стало быть — спланировать видимость тех или других созвездий и отдельных объектов в них, как скоплений, туманностей, двойных звезд и пр. При этом можно наметить приблизительно время восхода, кульминации, захода светил наперед. Но на такой карте нет светил, которые меняют свое положение среди звезд: Луны, планет и т. д., и притом это изменение положения в разные годы происходит по-разному.

Луна, изменение фаз которой повторяется в среднем через каждые 29 дней 12 час. 44 мин., может быть включена в план наблюдений в любой месяц. Планеты же по необходимости приходится включать каждую в те месяцы, когда она будет на ночном небе и притом, по возможности, в наилучшей своей видимости. В течение 1935/36 уч. года все наиболее доступные для наблюдений планеты так или иначе могут быть наблюдаемы.

В осенние месяцы наилучшей видимостью будет отличаться Сатурн, который в это время будет находиться в созвездии Водолея, и лучшее время для его наблюдений сентябрь — октябрь. В это же время можно видеть по вечерам Марс, но он виден очень низко над горизонтом, и только к декабрю несколько выше. Вообще же этот год для наблюдения Марса не является благоприятным. Очень хорошо осенью будет видна Венера, но только она в это время является утренней звездой и может быть наблюдаема перед восходом Солнца. Со средины зимы можно заметить Юпитер рано утром перед восходом солнца в юго-восточной стороне неба. К весне его видимость будет улучшаться, он будет всходить все раньше, к концу апреля будет показываться над горизонтом уже около полуночи и в мае его можно будет наблюдать всю ночь. Если поставить себе задачу усмотреть на небе Меркурий, то надо иметь в виду, что в наибольшем западном удалении от Солнца Меркурий будет находиться 2 ноября и что такое же положение Меркурия будет повторяться через каждые приблизительно 116 суток (синодический период обращения).

Из особых явлений, которые будут видны в предстоящем учебном году, надо отметить полное лунное затмение, которое произойдет 8 января 1936 г., причем средина затмения приходится на 21 ч. 15 м. по гражданскому времени, принятому в Москве. Это явление следует обязательно поставить в план наблюдений с учащимися.

Надо иметь также в виду, что летом 1936 г., именно 19 июня, произойдет полное солнечное затмение, видимое в полосе от Черноморского побережья (Туапсе) до Хабаровска на Дальнем Востоке, и на всей почти территории нашего Союза оно же будет наблюдаться как частное с различными фазами. Не только преподаватель астрономии, но и школа в целом должны предусмотреть это, чтобы подготовить учащихся к этому явлению природы, которое, несомненно, будет привлекать всеобщее внимание. В научных кругах подготовка к затмению идет уже давно, и готовится для широких кругов ряд брошюр, где можно будет найти все подробности, относящиеся к видимости затмения в разных местах и указания для его наблюдения. Карта полосы полного затмения была напечатана в „Русском астрономическом календаре“ за 1934 г., а также Учпедгизом издана стенная таблица с картой. В малом масштабе карта видимости затмения на всей территории Союза имеется в „Курсе астрономии для педвузов“ Попова, Баева, Львова, ч. 1-я, стр. 207.

Осеннее звездное небо. Расположение главнейших созвездий и отдельных звезд как на северной, так и на южной стороне неба можно легко проследить по карте. Мы обращаем внимание на то, что осеннее небо дает возможность непосредственно на нем провести знакомство с главнейшими объектами, которые мы вообще видим на небе. Это общее знакомство и рекомендуется в начале программы. Помимо общеизвестных околополярных созвездий (Большая и Малая Медведицы, Кассиопея, Лира с Вегой, Возничий с Капеллой и пр.), с которых надо начинать ознакомление с небом, надо отметить на южной стороне: Лебедь и Орел, склоняющиеся уже к западу, Персей, Андромеда и Пегас, занимающие как бы центральную часть; Овен, Телец и позднее Орион, поднимающиеся на востоке. Для оживления и лучшего запоминания можно рассказать греческие мифы о целой группе созвездий, главенствующих на осеннем небе, как это приведено в указанном уже курсе астрономии с изображением самих фигур (ч. 2-я,стр.55—58). Это даст также некоторое представление о происхождении названий созвездий и о той фантастике, которая царила в области представлений о небе, когда люди не имели подлинных знаний о строении вселенной. Этим незнанием и питалось религиозное мировоззрение. Приведем здесь несколько строк из пересказа мифов.

„Кассиопея, супруга эфиопского царя Цефея, имела однажды неосторожность похвалиться, что она красивее нереид. Эти обидчивые морские нимфы стали просить бога моря Поссейдона отомстить за них. И вот бог морей наслал на берега Сирии морское чудовище, которое там стало производить страшные опустошения. Чтобы отвратить это бедствие, Цефей, по совету оракула, решил принести в жертву чудовищу собственную дочь Андромеду, велев приковать ее к прибрежной скале. Но вот, тронутый всеми этими несчастиями, славный герой Персей, оседлав чудесного коня Пегаса и захватив в руку

голову Медузы, при виде которой все живое каменело от ужаса, летит к роковой скале. Он как раз поспевает к тому моменту, когда чудовище уже готово было пожрать свою жертву. Стоило только храброму герою показать морскому чудовищу отвратительную голову Медузы, как оно обратилось в камень. Персей освобождает от цепей Андромеду и в награду получает ее в жены. Как бы в воспоминание обо всех этих событиях и чтобы не обидеть никого, вся эта почтенная семья водворена на небо“.

На осеннем небе можно выделить наиболее яркие звезды: Вега в созвездии Лиры, Альтаир в Орле; Денеб в Лебеде; Альдебаран в Тельце. В бинокль можно показать звездное скопление в Персее, недалеко от Кассиопеи. Позднее, вечером, восходит видимое простым глазом звездное скопление Плеяды в созвездии Тельца. Как пример двойной звезды можно указать Мицар в Б. Медведице (вторая от хвоста). В бинокль, а еще лучше в трубу, можно показать туманность в созвездии Андромеды как образец спиральной туманности. Поздней осенью или поздно ночью в начале осени, когда взойдет созвездие Ориона, можно посмотреть в трубу газовую туманность. Но наиболее благоприятным временем является осень для наблюдения Млечного пути и этого не следует упускать. В это время Млечный путь как бы опоясывает все небо, поднимаясь высоко к зениту и опускаясь к горизонту на востоке и западе. В темные безлунные осенние ночи в Млечном пути можно хорошо рассмотреть подробности его строения, обратить внимание на раздвоение его в созвездии Лебедя, наметить все те созвездия, по которым он проходит.

Падающие звезды, или метеоры, в течение осени в большем количестве можно наблюдать в следующие числа : 1—2, 29-—30 сентября; 1—2, 13—16, 18—20 октября и особенно в средине ноября.

Планеты

В осенние месяцы будут видны на ночном небе Венера, Марс и Сатурн.

Венера в средине сентября восходит около 5 часов утра и начинает быть видима как яркая утренняя звезда, как бы предупреждающая восход Солнца, и чем дальше, тем она будет всходить все раньше, удаляясь от Солнца. В октябре она уже задолго до восхода Солнца высоко сияет над горизонтом, значительно ярче всех звезд. В трубу всего лучше наблюдать Венеру в октябре, когда можно отчетливо видеть ее в виде серпа, и показать фазы Венеры, подобные фазам Луны. Наибольшего блеска Венера достигает 15 октября, а наибольшее ее удаление от Солнца, и именно к западу на 47°, произойдет 19 ноября. В соединении с Луной Венера будет 25 сентября и 23 октября.

Марс лучше всего был виден весной. В осенние же месяцы Марс заходит вскоре после захода Солнца, виден весьма короткое время с вечера низко над горизонтом в юго-западной части неба. Поэтому его можно только показать как одну из планет в отличие их от звезд, обратить внимание на его красноватый цвет, указать разницу с звездами в отношении мерцания. Можно еще отметить моменты соединения Марса с Луной: 3 октября и 1 ноября.

Сатурн находится в наиболее благоприятных условиях для наблюдения в осенние месяцы: он виден всю ночь, восходя почт одновременно с заходом Солнца и заходя с восходом Солнца, а следовательно, кульминирует около полуночи. Такое его положение относится к началу сентября, но в дальнейшем он постепенно начинает восходить и заходить все раньше и в ноябре он еще до полуночи уже скрывается за горизонтом. В момент кульминации Сатурн осенью нынешнего года достигает высоты 23°—24° над горизонтом. Среди звезд Сатурн перемещается попятным движением, проходя по созвездию Водолея, и это попятное движение продолжается до 8 ноября, когда Сатурн останавливается, а затем идет обратно прямым движением среди тех же звезд, описывая таким образом петлю. Наибольший интерес представляет наблюдение Сатурна в трубу: даже при небольшом сравнительно увеличении можно заметить кольцо вокруг диска Сатурна. Нужно сказать, что видимость кольца Сатурна с каждым годом в настоящее время все ухудшается: оно как бы суживается в своем поперечном видимом размере, благодаря изменяющемуся нашему расположению по отношению к плоскости кольца. В этсм году раскрытие кольца — меньше среднего, так что малая ось кольца представляется меньше половины диаметра диска планеты.

Вся указанная выше видимость Сатурна обясняется тем, что в это время Сатурн близок к противостоянию по отношению к Солнцу (оппозиция). Самый момент противостояния произойдет 31 августа. Этим же объясняется, что соединения Сатурна с Луной будут происходить вблизи полнолуния. Эти моменты следующие: 12 сентября, 9 октября и 5 ноября.

Луна является наиболее доступным объектом для наблюдения перемещения ее среди звезд и, одновременно, изменения фаз и расположения по отношению к Солнцу. Время для этих наблюдений можно выбирать, ориентируясь по следующим данным:

Полнолуние

Последняя четверть

Новолуние

Первая четверть

12 сент. 23 час.

19 сент. 17 час.

27 сент. 20 час.

5 окт. 17 час.

12 окт. 8 »

19 окт. 9 „

27 окт. 13 „

4 нояб. 2 .

Для наблюдения в трубу и даже в бинокль Луна также является наиболее доступной из всех небесных светил. Укажем здесь, что в приложении к „Русскому астрономическому календарю“ на 1935 г. имеется хорошая карта Луны, дающая возможность ориентироваться в подробностях ее топографии.

Солнце проходит в осенние месяцы через созвездия Девы, Весов, Скорпиона, т. е. как раз в той области неба, которая ночью скрыта под горизонтом, а ночными зодиакальными созвездиями в это время являются Водолей, Рыбы, Овен. Через точку осеннего равноденствия центр Солнца пройдет как раз в полночь с 23 на 24 сентября. Для определения высоты Солнца в полдень и поверки часов по Солнцу приводим следующие данные о Солнце, относящиеся к изменению склонения — Ô и уравнения времени: (см. табл. на след. колонке).

При возможности наблюдения Солнца в трубу, отбрасывая его изображение на экран, нужно иметь в виду, что мы миновали минимум солнечных пятен, и в настоящее время деятельность Солнца развивается в направлении к максимуму пятен. Следовательно, в 1935/36 г. можно ставить задачу наблюдения появления пятен на Солнце и зарисовывания их.

Для получения более полных сведений и указаний при постановке наблюдений надо обратиться к следующей литературе:

1. „Русский астрономический календарь“ — постоянная часть, изд. Горьковского астрономо-геодезического общества.

2. „Русский астрономический календарь“ — переменная часть на 1935 г., того же издательства.

3. Покровский К. Д.—„Путеводитель по небу“.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА

КРАТКИЙ ОТЧЕТ О СОВЕЩАНИИ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ

Проф. Е. БЕРЕЗАНСКАЯ (Москва)

Согласно постановлению от 21/XII 1934 г. Управления начальной и средней школы НКП РСФСР было созвано в Москве расширенное методическое совещание преподавателей математики средней школы. Совещание работало 4 дня — с 29/III по 1 /IV включительно.

Основной задачей совещания было: организовать встречу преподавателей математики с представителями науки и с методистами для заслушания и обсуждения лучшего опыта школ по преподаванию математики с тем, чтобы наметить ряд конкретных мероприятий по повышению качества работы в школе.

На съезде присутствовало 62 делегата из областей и краев РСФСР. Было заслушано 13 докладов и 36 выступлений с мест.

Для участников совещания группой математики ЦНИ Института политехнического образования в клубе Наркомпроса была развернута выставка наглядных пособий как фабричного производства, так в большом числе самодельных пособий, изготовленных школами и отдельными лицами. Делегаты совещания пополнили выставку материалами с мест. На выставке было представлено много методических документов, конспектов образцовых уроков, материалов кружковой работы учащихся и др. Была представлена на выставке учебно-методическая литература зарубежных стран — Франции, Дании, Америки, Японии и др.

В первый день заседания утром 29/III после приветственного слова т. Каменева от Наркомпроса РСФСР были заслушаны 2 доклада :

1) президента Математического общества проф. П. С. Александрова: „О некототорых направлениях в математике и их значении для преподавания“. В своем докладе проф. Александров охарактеризовал определяющее в развитии математической науки за последние 100 лет, а именно — аксиоматизацию геометрии, переустройство математического анализа, возникновение современной абстрактной алгебры и все большее влияние алгебры на различные отделы математики. Проф. Александров указал, что соответствующие выводы должны быть сделаны и для преподавания математики в средней школе и для работы со старшими учащимися во внеклассное время.

2) Доклад проф. Института математики Академии наук Б. Н. Делоне „О некоторых вопросах кристаллографии“, в котором проф. Делоне ярко охарактеризовал роль теории групп как одного из могущественнейших орудий в познании природы и высказал сожаление, что эта теория не входит в преподавание в средней школе, хотя в элементарной математике имеется множество интересных и вполне доступных примеров групп. Проф. Делоне выразил пожелание, чтобы за внедрение теории групп в школьное преподавание велась борьба так же, как велась борьба в конце прошлого столетия за внедрение идеи функции в элементарную математику.

В вечернем заседании 29/Ш были заслушаны 2 доклада:

1) проф. С. А. Яновской* „О числе и операциях над ним и 2) проф. И. И. Чистякова** „О новейших открытиях в области истории элементарной математики“.

Во второй день совещания (30/III) в утреннем заседании были заслушаны 2 доклада Наркомпроса „О постановке преподавания математики в средней школе в связи с результатами выборочного обследования“, сделанные сотрудниками Центрального научно-иследовательского института политехнического образования, а также содоклады с мест.

Проф. Е. С. Березанская охарактеризовала содержание и организацию работы Школьного управления НКП РСФСР по выяв-

* Доклады, отмеченные звездочкой, будут печататься в журн. „Математика и физика“

** См. журн. .Математика и физика*, 1934 г., № 1, 2, 3.

лению уровня знаний учащихся по математике с 1932 г. по настоящее время (выборочное обследование) и указала мероприятия, которые принимались НКП в результате учета имеющихся затруднений и недочетов в работе массовой школы по математике. Этими мероприятиями были в первую очередь распределение материала программы 9 лет на 10 лет обучения, выпуск к началу каждого учебного года инструктивно-методического письма, снабжение школ учебниками, задачниками, пособиями; организация методической помощи учителю и т. п.

Результаты выборочного обследования показывают, что в настоящее время в массовой школе все еще имеется количественная недоработка программы по отдельным классам, (в частности по шестым и девятым) примерно на 10%, что наличие учебников безусловно облегчает работу и экономит время, но что книг еще недостаточно, а наглядных пособий на местах совсем мало.

Тов. Березанская охарактеризовала состояние знаний учащихся средней школы по арифметике и алгебре. Наряду с имеющимися достижениями в овладении учащимися навыками в выполнении и преобразовании отдельных действий, несмотря на тщательную работу по приобретению и закреплению знаний, проводимую в массовой школе, достижения, уровень знаний по алгебре и арифметике нельзя еще считать удовлетворительными. Имеются отдельные школы, в которых учащиеся в среднем дают от 80 до 100% решаемости всех вопросов, поставленных в контрольных работах, но имеются и школы, в которых учащиеся дают 30%, и даже ниже, решаемости той же работы. Решение задач и доведение комбинированного примера, требующего выполнения ряда последовательных действий, верно до конца — вот те участки, на которых учащиеся нашей средней школы как по арифметике, так и по алгебре показывают слабое умение сосредоточить свое внимание, выяснить имеющуюся зависимость между данными и искомыми и выявляют отдельные недочеты в знаниях по отделам курса (в действиях с числовыми и буквенными дробными выражениями, пользовании скобками, формулами и т. п.). Тов. Березанская заостряет вопрос на необходимости в последнюю четверть нынешнего учебного года ликвидировать недочеты в подготовке по алгебре учащихся VII класса, выпускаемых из неполной средней школы, и дает соответствующие методические указания.

Доц. С. Н. Шредер охарактеризовал состояние знаний учащихся средней школы по геометрии, останавливаясь на достижениях и недочетах в каждом классе. Так же, как в знаниях по алгебре, амплитуда колебаний и в знаниях по геометрии в различных школах и классах крайне велика. Тов. Шредер обращает внимание совещания на то, что основные понятия геометрии часто сообщаются учащимся без развития соответствующих представлений и вследствие этого заучивание определений часто носит механический характер; представление о фигуре часто связывается у учащихся с представлением об определенном положении ее, данном в учебнике или на доске: пространственные представления учащихся даже старших классов средней школы недостаточны. Тов. Шредер отмечает, что успешность прохождения курса геометрии в VI—VII классах тесно связана с тем, насколько учениками усвоены обороты речи.

Проф. Фурсенко, выступая от Комитета по высшему техническому образованию при ЦИК СССР, отметил, что лучший контингент слушателей высшая техническая школа теперь получает из средней школы, а не от подготовительных курсов, рабфаков и др., как было раньше, причем уже имеется возможность выбирать лучших из хорошо и удовлетворительно сдавших испытания. Наряду с этим проф. Фурсенко отмечает многие недочеты в подготовке абитуриентов — как недостаточность пространственных представлений у оканчивающих среднюю школу, так и не всегда достаточное знакомство их с математической терминологией, слабое пользование формулами общего вида (в частности в тригонометрии); особенно подчеркивает проф. Фурсенко неумение студентов пользоваться приемами сокращенных и быстрых вычислений. Проф. Фурсенко приводит несколько ярких примерев, как, например, требование студента дать ему таблицы логарифмов для вычисления -—^ и т. п., и высказывает пожелание, чтобы наши учащиеся средней школы не только усвоили программу, но умели быстро, культурно и правильно вычислять.

В прениях проф. Кавун (Ленинград) и т. Кондратьев (Северный Кавказ) отмечают, что результаты проведения только письменных контрольных работ, как было при выборочном обследовании Наркомпроса, часто показывают более сниженные знания учащихся, чем это имеет место в действительности. Проф. Кавун объясняет это тем, что от учащегося при письменной проверке его знаний требуется большое внимание, которое недостаточно воспитывается в нашей школе. Тов. Кондратьев сообщает, что на Северном

Кавказе взято сейчас несколько школ для постоянного наблюдения за постановкой и результатами преподавания математики.

Тов. Петрова В. Е. (Воронежский край) сообщила о своих наблюдениях над знаниями учащихся по математике массовой школы самых отдаленных от центра мест Воронежского края и перечислила много грубых ошибок, допускаемых учащимися в работах.

Тов. Логинова (Москва, 7-я школа СОНО) подчеркивает, что одним из недочетов в работе школы, снижающим качество знаний учащихся, является то, что в процессе работы учитель недостаточно следит за языком учащихся, что и учитель нередко допускает неточности и оговорки в своей речи.

Тов. Е. М. Отто, заведующая математической секцией Педагогической лаборатории в Ленинграде, сделала подробнее сообщение о той методической работе, которая проводится с учительством в Ленинграде, а именно: по арифметике ведется работа по во росу о методике решения задач, причем семинаром учителей составляется картотека задач, которая в будущем может стать задачником, основанным на опыте школ. По алгебре и тригонометрии ставятся доклады по вопросам методики составления и решения уравнений; по геометрии организован семинар, который успешно работает над методами решения задач на построение. Таким образом, ленинградским методическим руководством оказывается помощь по наиболее актуальным вопросам, затрудняющим учителей-практиков в их работе. Тов. Отто отмечает, что результаты указанных мероприятий уже оказали положительное влияние на постановку преподавания математики в школах Ленинграда.

Тов. Логиневская* (Москва, 29-я школа БОНО) поставила перед совещанием вопрос о том, что крайне затрудняет работу школы отсутствие стандартизации математических обозначений и записей. Тов. Логиневская привела много примеров разнообразия применяемых обозначений в печати в учебниках и методических руководствах, несмотря на то, что имеются некоторые стандарты в официальных документах (изд. НКП РСФСР 1931 г.), и указала, что выдвинутый ею вопрос давно назрел и требует разрешения.

В вечернем заседании 30/Ш была заслушана информация доц. М. Ф. Берг (Центральный научно-ислеловательский институт политехнического образования) о новой редакции программы по математике для средней школы. В новой редакции указания, которые были даны на 1934/35 учебный год, внесены в текст основной программы 1932 г., и, таким образом, курс математики, который предназначался на 9 лет обучения, распределен на 10 лет. Значительно уменьшен объем материала для VI и VII классов с тем, чтобы массовая школа могла тщательно его проработать при большем количестве часов.

Затем были заслушаны сообщения о внеклассной работе школ.

Тов. Л. В. Федорович (Москва, Краснопресненский район) сделала подробный доклад об опыте, проведенном в школах Краснопресненского района Москвы, по организации математических кружков, вечеров и по выпуску стенгазет. Докладчицей была указана организация и тематика внеклассной работы по математике для младшего, среднего и старшого возраста учащихся. Внесены предложения: издавать журнал для учащихся, переиздать вышедшую и издать новую литературу по математике для чтения учащихся, организовать обмен опытом.

Тов. Р. Н. Бончковский (Москва) предложил совещанию поддержать предложение т. Федорович перед НКП РСФСР об издании математического журнала для учащихся и сообщил об имеющемся иностранном опыте в этой области.

Тов. Н.В.Плеханова (Москва) сообщила, что имеется составленный ею список литературы по математике с аннотациями для чтения учащихся, который напечатан в журнале „Красный библиотекарь“ № 9 за 1934 г., а также указала, что учителя мало используют те статьи, которые имеются по многим вопросам математики в энциклопедиях, и что эти статьи могут быть использованы и учащимися.

В вечернем заседании 30/Ш совещанием был заслушан также доклад представителя Учпедгиза С. Ю. Калецкого о ходе реализации постановления ЦК ВКП(б) от 12/11 1933 г. о создании учебников для школы. Тов. Калецкий указал, что за истекшие 2 года уже выпущено до 30 млн. учебников, что начальная школа в общем количественно удовлетворена учебниками, но по средней школе и в этом году будет только от 60 до 80% требуемых книг. Тов. Калецкий призывает учителей помочь издательству сообщением обо всех замечаемых ими ошибках и опечатках в издаваемых учебниках и особенно задачниках; борьба с опечатками в математической литературе крайне затруднительна.

Затем т. Калецкий указал, что в нынешнем году изданы для учителей методики по всем разделам математики и что в 1935/36 учебном году будут изданы ценные учебные

пособия для педвузов, которые смогут быть использованы преподавателями средней школы для поднятия их математической квалификации. Кроме того, будет издан труд по истории математики для учителей и сборник статей по философии математики.

Третий день совещания (31/III) был посвящен вопросам преподавания геометрии.

Проф. Н.Ф. Четверухин* (Москва) в своем докладе осветил основные вопросы элементарной геометрии и показал преподавателям математики необходимость подымать свою математическую квалификацию в этой области для того, чтобы, понимая возможные построения курса элементарной геометрии, правильно ставить преподавание геометрии в средней школе.

Проф. А. М. Астряб* (Киев) в своем сообщении проанализировал специфические трудности учащихся при решении вычислительных задач по геометрии. Проф. А. М. Астряб на примерах задач из стабильного задачника по геометрии показал трудности, связанные с необходимостью при решении задач выискивать те зависимости, которые известны ученикам как „теоремы“ и .формулы“ в курсе геометрии; проиллюстрировал трудности, возникающие у ученика в связи с необходимостью выполнить рисунок, согласно условию задачи, проанализировать его и часто— дополнить; указал на нечеткость формулировок условий, даваемых в задачнике и создающих излишние трудности для учащихся.

Проф. И .H. Кавун* (Ленинград) сделал сообщение по вопросу о том, как следует учить ученика, чтобы действительно развить его творческие способности, математическое мышление и внимание. Проф. И. Н. Кавун особо остановился на роли индуктивного и аналитического метода в этом деле, полагая что синтетически-дедуктивный метод рассуждения преимущественно служит для оформления, систематизации, целостного изложения.

Проф. И. Н. Кавун сделал много ценных указаний учителю, как учить ученика, чтобы тот хорошо понял основную мысль изучаемого, как надо решать с ним упражнения и как затем переходить к сообщению правила. Проф. И. Н. Кавун предложил совещанию свою схему учебно-познавательного процесса, его наиболее планомерной и целесообразной организации.

Три перечисленные выше доклада будут напечатаны в нашем журнале полностью.

В прениях проф. Н. А. Извольский остановился на трудностях и ошибках в преподавании первой главы курса стереометрии. Проф. Извольский подчеркивает требование такой постановки преподавания геометрии, чтобы у учащегося развивалось стремление к самостоятельным открытиям, к созданию нового фактического материала.

Тов. Шидловская (Ленинград) сообщила совещанию о той экспериментальной работе, которая проводится в некоторых ленинградских школах по вопросу преподавания систематического курса геометрии в VI классе. Считая, что в массе учащиеся VI класса не понимают доказательства теорем, что они его заучивают на память, т. Шидловская в своей практической работе тщательно разрабатывает методику проведения метода наложения при доказательстве теорем о треугольнике, пользуясь самодельными наглядными пособиями

В нескольких ленинградских школах ставится в порядке эксперимента курс геометрии в иной системе, чем это дано в стабильном учебнике, а именно — отдел о параллельных прямых предшествует отделу о треугольниках, как в некоторых учебниках геометрии дореволюционного времени.

Тов. Г. А. Ендржеевский (Пятигорск) высказывает пожелание, чтобы была создана специально методика по вопросу обучения доказательству теорем, так как и все высказывания здесь на совещании подтверждают, что с этим дело обстоит на местах неблагополучно. Тов. Ендржеевский причину этого видит, во-первых, в учебнике, где текст изложения крайне сжат, а иногда недостаточно четок; учитель же нередко повторяет его слово в слово; во-вторых, в том, что мало применяется наглядность при обучении, что наглядность часто фигурирует только на „открытых“ уроках; в-третьих, в том, что учащиеся почти не решают задач на доказательство и, в-четвертых, в том, что учителя не требуют от учеников „своих“ доказательств.

Тов. A.B. Бызов (Ленинград) сообщил детально разработанный и обсужденный на объединении учителей Ленинграда план и распределение времени по изучению основ теории пределов в X классе средней школы.

Тов. Петровская (Москва, 2-я школа Фрунзенского района) конкретно изложила, как в школе, где она преподает, ставится вопрос об объеме тел на основании принципа Кавальери.

За недостаточностью времени не удалось высказаться всем желающим, в частности вопросам преподавания тригонометрии не было уделено достаточно времени. Т о в. Р. В. Гангнус (Москва) привел конкретные решения

задач по геометрии с применением тригонометрии. Тов. Н. К. Миткевич* (Москва, 25-я образцовая школа Октябрьского района) поделилась своим опытом по проведению устных упражнений на уроках тригонометрии. Тов. Миткевич придает большое значение устным упражнениям, добивается их применением прочного знания формул, развития сообразительности, быстроты мышления у учащихся. Даже при решении геометрических задач с применением тригонометрии при решении уравнений учащиеся т. Миткевич выполняют отдельные преобразования устно.

В вечернем заседании 31/III т. П. Я. Дорф (Центральный научно-исследовательский институт политехнического образования) сделал обзор выставки научных пособий по алгебре, планиметрии, стереометрии, тригонометрии, развернутой в клубе Наркомпроса, где происходило совещание преподавателей математики. Тов. Дорф указал достоинства и недостатки конструкций и некоторые методические приемы их использования.

Четвертый день совещания (I/IV) был посвящен вопросам преподавания алгебры и арифметики.

Был заслушан доклад проф. М. К. Гребенча* „О функциональной зависимости и уравнениях“ как об основном методе изучения окружающей действительности. Проф. М. К. Гребенча остановился на педагогических проблемах и отдельных трудностях, связанных с составлением уравнений.

В прениях тт. Острогский (Москва), Горская (Кострома), Сенкевич (г. Куйбышев, школа № 30) изложили каждый свой опыт и метод обучения решению и составлению уравнений.

За недостатком времени по алгебре был заслушан, но не обсужден, еще лишь один доклад т. Яковенко (Армавир, Азово-черноморского края) о преподавании отдела „Относительные числа“.

По арифметике были заслушаны следующие сообщения.

Тов. Н. А. Принцев (Старая Русса, образцовая средняя школа № 1) сообщил о тех наглядных пособиях по арифметике, которые можно изготовить для учащихся V и VI классов. Преимущественно т. Принцев остановился на таблицах — таблицах мер, действий с целыми и дробными числами, пропорциональных величин и др.

Тов. Малинин* (Москва, 20-я школа Октябрьского района) поделился интересным опытом преподавания трудно усвояемого учащимися V класса вопроса „Законы действий“. Тов. Малинин показал: а) как на анализе примеров устного счета он выясняет учащимся, что, решая эти примеры любыми приемами, они всегда основываются на ограниченном числе определенных законов, б) как он учит записывать и формулировать эти законы и в) как в дальнейшем показывает ученикам применение тех же законов к письменным вычислениям.

Тов. Малинин особо отметил то значение, которое имеет эта работа для развития у учеников сознательного отношения к выполнению действий и для подготовки их к изучению курса алгебры.

Тов. Кондратьев (Северный Кавказ) высказался по вопросу о методике решения задач в курсе арифметики, причем настаивал на преимуществах аналитического ментола решения задач. В этом направлении ведется экспериментальная работа в школах Северного Кавказа.

Тов. Карпович (Москва, 1-я школа Октябрьского района) сообщила о той работе, которая проводится в школе, где она преподает, по борьбе с ошибками, допускаемыми учащимися в работе по арифметике. Тов. Карпович считает, что многие ошибки можно изжить простыми средствами: требованием аккуратной записи, внимательным отношением учителя к каждому недочету в работе ученика.

Тов. Карпович обращает внимание преподавателей средней школы на то, что достичь хороших результатов в знаниях учащихся по арифметике можно будет значительно скорее, если будет налажена совместная работа учителей начальной и средней школы.

Тов. З. П. Корчиго (Москва, опытная школа им. Лепешинского) сообщила о той работе, которая велась в школе им. Лепешинского с 1932 г. по искоренению недочетов в знаниях учащихся по математике, о той тщательной работе, которая ведется ежедневно с каждым учащимся, у которого выявляются те или иные недочеты.

По окончании каждой темы программы по математике проводятся детально разработанные контрольные работы (используются „измерители успешности“, разработанные Центральным научно-исследовательским институтом политехнического образования), выявляются все недочеты в знаниях каждого учащегося и всего класса в целом, делаются соответствующие выводы. До сведения каждого учащегося доводятся все ошибки в его работе и дается ему специальное задание, выполнение которого контролируется преподавателем.

I/IV в вечернем заседании была подытожена работа совещания преподавателей математики и принята резолюция.

В кратком очерке нет возможности более полно изложить содержание выступлений товарищей на совещании преподавателей математики, нет возможности привести все высказывания в прениях. По желанию делегатов совещания Управлением начальной и средней школы НКП РСФСР будет выпущен сборник трудов проведенного совещания*.

Совещание выработало приводимое ниже обращение ко всем преподавателям математики в средней школе.

ОБРАЩЕНИЕ НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКОГО СОВЕЩАНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ КО ВСЕМ ПРЕПОДАВАТЕЛЯМ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Совещание преподавателей математики в средней школе, состоявшееся в Наркомпросе с 29 марта по 1 апреля, показало, что в настоящее время по всей стране идет напряженная борьба за лучшую постановку математического образования в школе. За последние три года школа по-настоящему стала разрешать основные задачи преподавания математики: серьезное внимание обращено на решение задач, на ликвидацию этого прорывного участка в школьной работе; проявляется большая забота о развитии математического мышления и о культуре математической речи учащихся; определенное место заняло на уроках математики создание прочных вычислительных навыков.

Школа из разных мест нашей страны продемонстрировала на совещании образцы своей работы, и этот показ обнаружил, что улучшение преподавания математики идет широким развернутым фронтом и что на разных участках этой работы мы имеем интересные начинания и значительное продвижение. Вот Костромская школа № 1 : преподавательница Горская добилась при помощи простых и безыскусственных приемов хороших успехов в составлении и решении уравнений. В 25-й образцовой школе Октябрьского района (Москва) преподавательница Миткевич сумела ввести культуру устного счета и в уроки тригонометрии. Преподаватель Ендржеевский в Пятигорской школе успешно преодолевает трудности, связанные с обучением учащихся доказательству теорем; умелое применение аналитико-синтетического метода привело к тому, что ученики не только хорошо доказывают теоремы по учебнику, но и проявляют большое творчество в изыскании собственных способов доказательства. Из докладов школы им. Лепешинского (преподавательница т. Корчиго) и школы № 1 Октябрьского района (преподавательница т. Карпович) было видно, как при помощи хорошо поставленного учета, изучения ошибок и оказания своевременной помощи отдельным учащимся можно добиться почти поголовной и высокой успеваемости всего класса. Преподадавательница Краснопресненской школы № 3 г. Москвы т. Федорович сумела интересно развернуть в школе кружковые занятия, которые, обслуживая, с одной стороны, повышенные интересы наиболее одаренных учащихся, поднимают в то же время математическую культуру у всей массы учащихся.

Армия прекрасных мастеров урока у нас значительна, и она растет с каждым днем, доказывая своей работой, на какую огромную высоту может быть поднята у нас математическая культура и какие широкие возможности у нас для этого имеются. Но эти возможности, к сожалению, далеко не всеми школами и не в полной мере использованы.

Наряду с достижениями совещание вскрыло серьезные недостатки в постановке математики в массовой средней школе, особенно в сельской школе. Недопустимо медленно идет там улучшение преподавания математики и повышение уровня математических знаний у учащихся, а по некоторым разделам положение продолжает оставаться явно неудовлетворительным.

Ведь это факт, что мы до сих пор не вылезаем из 50-процентной средней решаемости задач по арифметике и алгебре. А контрольные работы за первое полугодие, проведенные Институтом политехнического образования в школах, дали только 43% решаемости задач по арифметике в V классе. Это факт, что решаемость задач по геометрии — на вычисление и, в особенности, на построение — до сих пор не поднимается в массе сельских средних школ даже до 50%. Есть школы — и они далеко не единичны, — в которых сравни-

* Отдельные доклады (отмеченные звездочкой в настоящей статье) будут помещены в журнале „Математика и физика в средней школе“

тельно простые алгебраические преобразования правильно выполняются только меньшинством учащихся в классе. И в массе школ учащиеся VII класса, которые в нынешнем учебном году оканчивают неполную среднюю школу, не умеют довести до конца решение примера, требующего выполнения последовательного ряда даже известных им алгебраических действий и преобразований. В области стереометрии даже лучшие школы считают достижением, если научат по формулам вычислять площади и объемы; о культуре пространственных представлений у учащихся еще нет достаточной заботы. Из года в год Наркомпрос в своих методических письмах указывает школам на одни и те же ошибки, а эти ошибки упорно продолжают оставаться до сих пор.

Все эти недочеты имеют своей главной причиной недостаточную работу преподавателей математики над повышением своей научной и методической квалификации. Ведь это же факт, что при исправлении тетрадей некоторые преподаватели оставляют ошибки неисправленными не только из-за недосмотра, но и потому, что преподаватель солидаризируется с ошибками ученика и не замечает их.

Такое положение мы считаем нетерпимым. В дальнейшем этим фактам не место в школе: они позорят советскую школу.

Совещание призывает всех преподавателей математики мобилизовать свои силы на борьбу с этими недостатками. Пора покончить с ними. Для этого нужно неустанно работать над повышением своей квалификации и, прежде всего, в тех разделах математики, которые они преподают в школе. Совещание призывает всех квалифицированных преподавателей оказать самую действенную помощь молодым педагогам и педагогам без достаточной квалификации. К молодым же педагогам совещание обращается с призывом тщательно изучать лучшие образцы работы и равняться на лучших мастеров урока.

Все преподавание математики нужно поставить на большую научную высоту, кладя в основу преподавания тщательное изучение теории и сознательное применение ее выводов к решению задач и примеров.

Для закрепления знаний учащихся и создания прочных навыков нужно: а) упражнять учащихся во все времена учебного года в тех вопросах, которые оказались трудными; б) нужно систематически проводить беглый опрос класса по существенным вопросам курса; в) вводить устные упражнения не только в арифметику, но и в алгебру и тригонометрию; г) для более глубокого понимания алгебраических преобразований нужно проводить проверку алгебраических действий на числах.

Совещание особо подчеркивает необходимость полного и широкого использования воспитательного значения математики, развивая в учащихся математическое мышление, конструктивные способности, пространственные представления; прививая учащимся глубокий интерес к точному знанию; вовлекая учащихся в различные формы внеклассной работы и выделяя особо одаренных учащихся. Нужно повседневно приучать учащихся к аккуратности в работе, к тщательному выполнению чертежей и записей.

Делегаты совещания твердо уверены в том, что преподаватели математики приложат все усилия к тому, чтобы в кратчайший срок выправить ошибки и недочеты в преподавании этой важнейшей дисциплины в школе.

Но для того чтобы преподаватель мог успешно справиться с этими задачами, ему нужно помочь, и за этой помощью совещание обращается к Наркомпросу и другим организациям. Совещание считает необходимым:

1) Своевременно снабдить школы вновь отредактированными программами, учебниками и пособиями к новому учебному году.

2) Продолжать издание и переиздание методик, приспособив их к практическим нуждам учителя; издать для учителя специальные труды по математике, а также по истории математики, богатые фактическим материалом. Увеличить тираж журнала „Математика и физика в средней школе“ и сделать журнал строго периодическим.

3) Издать математическую библиотечку для учащихся.

4) Увеличить количество и номенклатуру выпускаемых наглядных пособий по математике, а также чертежных принадлежностей.

5) Обеспечить обслуживание школ полуфабрикатами и раздаточным материалом. Обеспечить преподавателя математики удобными классными досками и хорошим мелом.

По поручению совещания президиум совещания преподавателей математики в средней школе:

Александров П. С. Делоне Б. Н., Яновская С. А., Березанская Е. С., Четверухин Н. ф., Гребенча М. К., Фриденберг В. Э., Астряб А. М., Кавун И. Н., Малышев Т., Харченко К. и., Брадис В. М., Змиева М. И., Федорова В. П., Мальчина, Отто Е. М., Синчукова, Дейнеко М. М.

ВОПРОСЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЯ*

Проф. Н. ЧЕТВЕРУХИН (Москва)

Одним из основных условий успешного преподавания каждой дисциплины является глубокое отчетливое понимание ее самим учителем. Это обстоятельство надо учитывать с двух сторон. С одной стороны, знания учителя не могут оставаться на той же грани, на которой находятся знания его ученика. А между тем, нужно сказать, у нас до сего времени бывают даже такие явления, что учитель средней школы владеет как раз тем объемом знаний, который дает эта средняя школа. Чрезвычайно важно для самого преподавания предмета, чтобы учитель имел какую-то перспективу в своей дисциплине, чтобы он, с другой стороны, умел разбираться в материале, который преподает, с несколько более высокой научной точки зрения, чем это имеет место в школе.

Однако многочисленные сигналы, которые мы имеем по этому вопросу, заставляют признать, что эта сторона дела у нас недостаточно благополучна. Здесь можно сослаться и на самое преподавание, и на беседы с учителями, и на учебно-методическую литературу — на всем этом очень ясно заметно, что учитель еще не владеет в полной мере тем предметом, который он должен преподавать. Мне кажется, что это весьма существенная сторона вопроса и что по этому поводу нам нужно подумать о тех конкретных мероприятиях, которые могли бы исправить положение.

В геометрии этот вопрос стоит особенно серьезно и именно потому, что геометрия всегда была связана с представлением о том, каковы взаимоотношения нашей школьной геометрии с научной геометрией, с учением о пространстве, с философскими взглядами на пространство и т. д. И вот, поэтому, мне кажется, в геометрии этот вопрос стоит особенно серьезно и остро.

Совершенно понятно, что если говорить о научной геометрии, то геометрия научная имеет дело с абстрактным пространством, с абстрактными элементами, которые составляют это пространство, „идеальными“ элементами, лишенными какой бы то ни было материальности. Поэтому, когда я говорю о точке, прямой или плоскости пространства, то, ясное дело, не может быть поставлен вопрос о том, какой объем или вес имеет точка или прямая, какой у нее цвет или запах. Все это совершенно невозможно по отношению к тем „идеальным“ элементам, которые изучает геометрия, и к тому абстрактному пространству, в котором они находятся.

Но, вместе с тем, для преподавателя весьма существенна вторая сторона дела, а именно: как образуется это абстрактное геометрическое пространство, какие процессы привели к его образованию вместе с его „идеальными“ элементами. Нужно понять, что это абстрактное пространство получилось в результате абстракции (отвлечения) от материального мира, от той материальной действительности, которая нас окружает. И вот, учителю очень важно учесть эти оба момента, ибо они имеют существенное значение в преподавании математики. Без этого будет великая путаница, которая будет мешать ему не только в его преподавании, но она будет мешать его научному мировоззрению вообще.

Итак, абстрактное геометрическое пространство и его „идеальные“ элементы получили свое происхождение от материальной действительности и в то время, как путем абстракции были получены эти „идеальные“ элементы, были получены также и взаимоотношения между этими элементами. Это значит, что мы имеем не только элементы пространства: точки, прямые, плоскости, но мы имеем их в определенных взаимосвязях, которые называются „аксиомами“.

Очень важно иметь отчетливую точку зрения в этом вопросе — учитель должен себе отчетливо представлять, что все теоремы, все свойства и факты, которые он изучает в геометрии, суть факты, относящиеся к определенному абстрактному пространству.

„Логическая дедукция может начать функционировать лишь с того момента, когда решена первая часть проблемы, т. е. когда уже обладают системой некоторых простых основных понятий и некоторых простых предложений, так называемых аксиом, которая учитывает простейшие факты нашей интуиции (Ф. Клейн— „Элементарная математика с точки зрения высшей“, т. II, стр. 233).

Но тогда возникает вопрос, в какой же мере мы изучаем тот именно материальный мир, в котором мы живем и который нас интересует. Здесь не надо упускать из виду, что абстрактное пространство представляет

* Стенограмма доклада на Всероссийском совещании преподавателей математики в Москве 31 марта 1935 г.

собой геометрическую модель материального физического мира и поэтому ясно, что и сама геометрия будет отражать этот физический мир и, следовательно, изучая геометрию абстрактного пространства, вы будете вместе с тем изучать и свойства физического материального пространства. Этот пункт должен быть выяснен также потому, что нередко приходится слышать вопрос, как это в науке может быть одновременно несколько пространств и какое же из них „настоящее“ или действительное. Какое из этих пространств существует в действительности, в каком мы живем? Вы видите, что здесь путают абстрактное геометрическое пространство с физическим пространством.

Дело в том, что можно иметь сколько угодно абстрактных пространств, которые являются геометрическими моделями физического пространства и все они отражают материальный физический мир с различных сторон и в его различных свойствах.

Мне хотелось бы здесь отметить, что для учителя чрезвычайно важно иметь ясное представление о том, как образуется геометрия как абстрактная дисциплина и, прежде всего, обыкновенная эвклидова или обыкновенная метрическая геометрия, которая является предметом преподавания в средней школе. Ясно, что в этой геометрии мы также имеем первоначальные понятия, полученные путем абстракции, и некоторые связывающие их свойства, выражаемые аксиомами. Это составляет основной фундамент, и без него невозможно было бы строить самую геометрию.

Надо сказать, что такая система первоначальных понятий и их взаимоотношений (аксиом) и является основой научного курса геометрии, следовательно, все дальнейшие свойства могут быть получены путем логических выводов из этой системы. Я хотел бы несколько подробнее сказать о том, что представляет собой система аксиом обыкновенной (эвклидовой) метрической геометрии в том виде, как она была дана Давидом Гильбертом, одним из величайших ученых современности.

Гильберт располагает свои аксиомы в пять групп. Первая из них — группа аксиом .взаимопринадлежности“ (или „связи“). Аксиомы этой группы изучают, например, такие свойства элементов: „Две различные точки А и В всегда определяют прямую g“.

„Три, не лежащие на одной прямой, точки А, В, С всегда определяют плоскость у“ и т. д.

Вот эти свойства первоначальных элементов (точек, прямых и плоскостей) и составляют группу аксиом связи, или соединения. Всего в системе Гильберта пять групп аксиом.

1-я группа — это аксиомы соединения, которые устанавливают свойства взаимопринадлежности элементов. Для памяти я хотел бы изобразить это в виде двух точек, определяющих прямую,через них проходящую.

2-я группа — группа аксиом порядка. Здесь имеется в виду установить расположение элементов и свсйства расположения элементов. Здесь первоначальным понятием является понятие „между“. Следовательно, например, аксиома о том, что между каждыми двумя точками А и В имеется точка С, относится к этой группе.

3-я группа — это аксиомы конгруентности, устанавливающие понятия о геометрическом равенстве отрезков, углов, треугольников и т. д.

4-я группа — это аксиома параллельности (постулат Эвклида),

5-я группа — аксиомы непрерывности.

Постулат параллельности всем хорошо известен, он содержится в любом учебнике по геометрии. Его можно формулировать так: „Через каждую точку плоскости всегда можно провести, и притом лишь единственную, прямую, параллельную заданной прямой“.

Этот постулат выделяет эвклидову геометрию среди других.

Наконец, последнюю группу составляют аксиомы непрерывности, устанавливающие важные свойства нашего пространства, свойства непрерывности.

Вот, собственно говоря, это и есть тот основной материал, из которого уже может быть затем построено все здание геометрии. Первоначальные понятия—это как бы кирпичи, из которых это здание строится, аксиомы— это цемент, соединяющий эти кирпичи. Все дальнейшие свойства, факты, теоремы, следствия нашей геометрии могут быть получены путем выводов, логических выводов из этой системы аксиом.

Теперь я хотел бы остановиться на том, в чем же, следовательно, заключается различие между аксиомами, теоремами, определениями и т. д. В этих понятиях тоже, надо сказать, очень много путаницы; достаточно присмотреться к учебной литературе. Как вы видите, аксиомы представляют собой предпожения, выражающие взаимоотношения между основными первоначальными элементами или первоначальными понятиями, которые получаются путем абстракции.

Далее, что касается до теорем, то они получаются путем выводов, логических заключений из имеющихся уже аксиом.

Что касается до определений, то различие их с первоначальными понятиями таково: первоначальные понятия получаются путем абстракции и свойства их устанавливаются аксиомами. Например, вы не можете определить, что такое точка, вы не можете определить, что такое прямая; эти первоначальные понятия были получены путем абстракции из окружающей нас материальной действительности, и свойства их „описываются“ аксиомами.

Что касается до определений, то здесь дело обстоит существенно иначе; здесь, наоборот, вы просто имеете новый термин, который весьма полезен для того, чтобы облегчить и упростить изложение, но без которого фактически вы всегда можете обойтись. Так, например, вы можете, скажем, определить, что такое „отрезок“ или что такое „угол“. Но вы можете также и исключить эти понятия путем определения. Например у Гильберта дается такое определение: „отрезок“— это система двух точек; каждый отрезок определяется двумя точками. Я не хочу этим сказать, что надо определять так, а не иначе, это не существенно, но констатирую, что вы в дальнейшем принимаете это новое понятие отрезка, между тем как вы могли бы обойтись и без него, могли бы это определение раскрыть, если бы всюду писали вместо слова „отрезок“ то предложение, которым отрезок определяется.

Таким образом, совершенно ясно, что определения имеют своей целью внести некоторые упрощения в систему изложения и не представляют чего-нибудь столь необходимого, без чего нельзя обойтись. Они, поэтому, бывают различны.

Возможно, например, такое изложение геометрии, где не вводится понятие угла. Можно обойтись без этого, можно говорить о паре прямых и т. д.

Таким образом, как видите, определение является хотя и существенной, но все же не обязательной принадлежностью; их назначение— внести упрощение в изложение. Все это полезно напомнить, чтобы не было той путаницы, которая мешает нашей работе.

Я уже упоминал здесь, что путем абстракции мы приходим от наглядного созерцания к первоначальным понятиям вместе с их взаимоотношениями, выражаемыми аксиомами.

Буду иллюстрировать грубым примером. Когда мы видим этот край доски, возникает представление о геометрической прямой. Вы видите здесь, что одновременно с этим возникает и та аксиома, которую я написал, так как две точки (углы этой доски) определяют прямую линию (ребро доски), которая через них проходит. Следовательно, у нас в этом процессе абстракции образуются первоначальные понятия и те взаимоотношения, в которых эти первоначальные понятия находятся. Так получается определенная система первоначальных понятий и аксиом.

Но когда эта система образована, нужно проверить, содержит ли она все действительно необходимые свойства (аксиомы), чтобы уже в дальнейшем мы могли чисто логическим путем развить всю геометрию, т. е. иначе говоря: достаточна ли эта система? Это—одна сторона вопроса. Вторая сторона — независимость аксиом этой системы. Может случиться так, что какая-либо „аксиома“ доказывается с помощью других аксиом системы. Тогда она уже является „теоремой“ и должна быть исключена из списка аксиом.

Вот те сложные вопросы, которые приходится рассматривать в науке.

Абстрактное геометрическое пространство, которое изучается в элементарной геометрии, есть так называемое эвклидово геометрическое пространство.

Каковы его свойства? Свойства его как раз зафиксированы той системой аксиом (Гильберта), о которой я здесь говорил. Она достаточна для того, чтобы развить в эвклидовом пространстве обыкновенную метрическую геометрию.

Но можно ли утверждать, что все свойства физического материального мира отображены его эвклидовой моделью — абстрактным эвклидовым пространством? Оказывается, что это не так, и в этом очень легко убедиться.

Предположим, что мы захотели бы изучить наше пространство по его проективным свойствам. Что это значит? Это значит, что основным методом изучения будет метод проекций и что каждый геометрический образ мы будем изучать при посредстве его проекции.

Как это понимать конкретно? Вообразите, что вы имеете какую-нибудь фигуру. Так вот, я буду изучать эту фигуру по тому ее изображению, или проекции, которую я получил на какой-нибудь плоскости; назовем эту плоскость — плоскостью изображений (черт. 1)

Черт. 1.

Итак, будем предполагать, что мы говорим об эвклидовом пространстве, т. е. мы имеем дело с обыкновенной эвклидовой геометрией, которая проходится в средних школах, и хотим при этих условиях подвергнуть изучению пространство с проективной стороны.

Мы сейчас увидим, что это сделать невозможно. Оказывается, что эвклидово пространство для этой цели не годится.

Если я буду проектировать из центра S прямую, обозначенную буквой а\ и разные ее точки на плоскости то естественно, что я должен найти вот эту прямую а (черт. 1), которая дает изображение прямой а! на плоскости /. Далее я должен провести из 5 соответствующий луч в точку Л' и получу на плоскости / точку, которую я обозначу буквой А.

Таким образом, прямая а является изображением прямой а*. В сущности, с аналогичным процессом мы имеем дело в фотографии. При фотографировании происходит то же самое. Предмет изображается на плоскости. Итак, мы хотим в эвклидовом пространстве подвергнуть изучению эту прямую а! по ее проекции, и вы видите, что все точки этой прямой будут изображены точками на плоскости /. Так что можно сказать, что точкам изображения соответствуют и точки оригинала. Так точка А есть изображение соответствующей точки А* оригинала и т. д. Спросим себя, каждой ли точке изображения этой прямой соответствует точка оригинала? Но теперь вы сами видите, что в этой плоскости, которая проходит через центр проекций S и обе прямые а и а\ можно провести луч, параллельный к данной прямой а'. Я обозначаю точку, в которой он пересекает плоскость /, через А оо. Я прошу извинения, что это обозначение ввожу пока без объяснений, об этом я скажу ниже.

Итак, я изучаю прямую по ее изображению. Для этого, как видите, необходимо, чтобы каждая точка имела свое изображение и каждое изображение имело свой оригинал.

Так вот, я провожу луч SA оо, параллельный прямой а1. Это значит (в эвклидовой геометрии), что луч SA оо не пересекает прямой а\ Значит, точки пересечения нет, а если нет оригинала, то, следовательно, не может быть и изображения. Оказывается, когда я изображу прямую а! на плоскости S, то у меня все будет хорошо, за исключением одного пункта—именно вот этой точки Л оо, поскольку ей никакой „оригинал“ не соответствует (мы не имеем никакой точки пересечения параллельных в эвклидовой геометрии), поэтому я должен точку Аоо исключить. Оказывается, в эвклидовой геометрии я должен буду исключить, выбросить одну обыкновенную точку прямой а. Но ведь совершенно понятно, что я могу изменять положение центра проекций, и мне тогда придется исключить вторую, третью и т. д. точки. Следовательно, все эвклидово пространство будет разрушено, Как видите — проективное изучение обыкновенной прямой в эвклидовом пространстве невозможно.

Я этот пример взял не только для того, чтобы показать, что можно и должно изучать пространство с других сторон, которые не затронуты в элементарном курсе геометрии, но также для того, чтобы показать вам различие между абстрактным эвклидовым и абстрактным проективным пространством. Это два существенно разных пространства, причем второе можно получить из первого, и обратно. Я покажу, как нужно дополнить эвклидово пространство, чтобы оно стало пространством проективным, в котором будет осуществляться проективный метод, описывающий нам наш материальный мир с другой стороны.

Очевидно, это нужно сделать так: нужно сделать вывод, обратный тому, который я делал ранее, т. е. если у меня имеется точка-изображение (А оо), то я должен иметь и точку-оригинал Л'оо. Если мы хотим иметь возможность проективно изучать пространство, то это значит, что в проективном пространстве точкам-„изображениям“ будут соответствовать точки-„оригиналы“. Точка-оригинал, соответствующая изображению, обозначена у меня буквой Л'оо; можно назвать ее просто „несобственной точкой“, как это и делается в научных курсах. Почему она несобственная? Потому что она не принадлежит к числу тех точек, которые входят в обыкновенную эвклидову геометрию, но она является совершенно обыкновенной точкой в проективном пространстве.

Что же у вас получается, когда вы вносите это неизбежное дополнение для того, чтобы можно было изучить проективные свойства пространства? Очевидно, эвклидова модель или эвклидово абстрактное пространство не годится, и нам нужно взять другую абстрактную модель пространства, которое называется проективным пространством. Она может быть получена из эвклидовой модели путем присоединения „бесконечно удаленных“ или „несобственных“ точек. Предположим, что вы имеете две параллельных прямых и тогда вы, согласно предыдущему, утверждаете, что они пересекаются в несобственной или бесконечно удаленной точке. Нетрудно по-

нять, что такая бесконечно удаленная точка на прямой окажется единственной. В самом деле, если бы я шел в направлении, указанном стрелкой (см. чертеж), т. е. дальше и дальше вращал проектирующий луч SA', то я пришел бы к параллельному положению и определил для этого положения соответствующую ему несобственную или бесконечно удаленную точку. Можно прямо сказать, что это — та точка-оригинал, для которой изображением является Аоо.

Но если бы я вращал луч в противоположном направлении, то он занял бы то же самое параллельное положение и определил бы на плоскости то же самое изображение Лоо, а, следовательно, и соответствующую ему точку-оригинал Л'оо.

Таким образом, устанавливается, что на прямой вы будете иметь одну несобственную или бесконечно удаленную точку (А'оо). Всю картину очень хорошо видно на этой плоскости /.

Когда луч вращается в одном направлении, то вы подходите к этой точке снизу, а если в противоположном направлении, то — сверху (черт. 1). Таким образом, вы получите одну определенную точку, которая является дополнением к эвклидовой прямой.

Теперь вы заметите, что включение бесконечно удаленной точки сильно изменяет свойства нашей прямой.

Вы видите, что прямая с помощью бесконечно удаленной точки замкнута. Обыкновенная прямая эвклидовой геометрии, которую мы изучаем в элементарном курсе, оказалась замкнутой прямой проективной геометрии в проективном пространстве.

Два слова относительно свойств такой „проективной“ прямой Аксиомы на прямой при этом также изменяются.

Если бы я теперь на нашей проективной прямой, которую нужно себе мыслить как прямую замкнутую, отметил две точки А и В, то уже нельзя сказать, что эти две точки определяют один отрезок. Нет, они определяют теперь два отрезка : первый отрезок AB, который совпадает с обыкновенным (эвклидовым), и другой, который содержит бесконечно удаленную точку прямой. Это очень похоже на то, когда две точки А и В образуют на окружности две дуги, дополняющие одна другую до полной окружности.

Понятно, что аксиомы порядка на прямой также изменяются. Теперь уже нельзя будет сказать про какую-нибудь точку M (черт. 2), что она лежит „между“ точками А и В, в то время как другая точка N не лежит „между“ А и В. Обе точки оказываются в одном и том же положении. Понятие „между“ потеряло свой смысл и должно быть заменено другим. Таким образом, при перестройке эвклидовой модели в проективную первоначальные понятия и аксиомы подвергнутся изменениям.

Посмотрим теперь, к каким новым выводам мы придем в геометрии на плоскости, исходя из того положения, что две параллельные прямые пересекаются в бесконечно удаленной точке. Положение, что две прямые пересекаются в одной точке, не будет уже больше иметь исключения (раньше в эвклидовой геометрии мы имели исключение, когда прямые были параллельны).

Теперь мы скажем, что никакого исключения нет, всякие две прямые пересекаются в одной точке (либо в обыкновенной, либо несобственной). Каково же геометрическое место бесконечно удаленных или несобственных точек на самой плоскости? Для решения этого вопроса заметим следующее: каждая прямая имеет по одной несобственной или бесконечно удаленной точке. Это значит, что искомое геометрическое место можно характеризовать тем, что каждая прямая пересекается с ним в одной точке, но это, очевидно, свойство прямой линии, и мы приходим к выводу, что геометрическое место бесконечно удаленных точек будет представлять собою прямую линию на плоскости. Это — бесконечно удаленная или несобственная прямая плоскости.

Таким образом на плоскости будем иметь целую бесконечно удаленную прямую как геометрическое место бесконечно удаленных точек. Если вы в проективной плоскости сделаете разрез по одной прямой, то плоскость не распадается.

Как это выходит? Получается это так: из каждой точки А я могу провести в точку В прямую (черт. 3). Значит, эти две точки остаются соединенными прямолинейным путем, который не пересекает линии разреза. Следовательно, плоскость не распадается на две части, как в эвклидовом пространстве. Обе части оказываются соединенными по бесконечно удаленной прямой.

Черт. 2.

Черт. 3.

Я не буду далее развивать свойства проективного пространства, потому что не это является моей целью. Моей целью является установить, какое значение имеет все это в школьном преподавании.

Итак, элементарная геометрия занимается эвклидовой плоскостью и эвклидовым пространством, определенной абстрактной моделью материального мира. Если бы мы захотели изучить проективные свойства физического пространства, то для этого нам нужно было бы иметь другую модель — абстрактное проективное пространство.

Мы видели здесь, как из эвклидовой модели можно получить проективную, путем присоединения несобственных элементов. Возможен и обратный переход. В самом деле, как из проективной плоскости построить эвклидову плоскость? Чем отличается эвклидова модель плоскости от проективной? Тем, что на последней имеется лишняя несобственная прямая, геометрическое место бесконечно удаленных элементов. Что же нужно сделать, чтобы получить эвклидову плоскость? Надо исключить несобственную прямую, роль которой может играть любая прямая проективной плоскости, ибо она ничем не отличается от других прямых.

Предположим, что плоскость нашего чертежа представляет собою проективную плоскость. Для того чтобы сделать из нее эвклидову плоскость, нужно выкинуть какую-нибудь прямую как несобственную. Тогда две прямые, пересекающиеся в точке несобственной прямой, станут „параллельными“, так как точка их пересечения исключена вместе со всей несобственной прямой. Эти прямые не имеют общих точек.

Будет ли в этой геометрии осуществляться постулат Эвклида? Очевидно, будет.

В самом деле, если мы имеем точку А и прямую а, то, как вы видите, всегда можно провести через А единственную прямую, пересекающую прямую а в несобственной точке— это и есть прямая, „параллельная“ а (черт. 4).

Черт. 4.

Таким образом, постулат Эвклида вступил в свои права, и вы можете далее развить обыкновенную эвклидову геометрию. Отсюда видно, что действительно вы имеете здесь два различных геометрических пространства, или, если говорить о двухмерном пространстве, то две различные геометрические плоскости. Эвклидова геометрия удовлетворяет нас потому, что она нас хорошо устраивает в тех небольших размерах пространства, в которых находит применение наш практический опыт. С другой стороны, некоторые свойства просто ускользают при пользовании эвклидовой моделью. Так, например, вы это видели в отношении проективных свойств пространства. Если вы хотите заняться проективными свойствами, то придется иметь дело с другой геометрической моделью.

Разобраться в этом вопросе очень важно для учителя, так как многое в его педагогической работе станет ему тогда ясным.

Мне приходилось выступать в одном методическом объединении, и там мне задали вопрос: „Что же на самом деле параллельные прямые где-то пересекаются, или не пересекаются, или быть может они пересекаются в очень отдаленной точке?“ Мое впечатление таково, что самый распространенный взгляд у учителя на этот вопрос заключается в следующем: если говорить о преподавании в средней школе, то параллельные прямые не пересекаются, а если взять стиль повыше, то тогда пересекаются, но в какой-то фиктивной точке. Но раз учитель так смотрит на эти вещи, то он и говорит ученику, что параллельные прямые не пересекаются, поскольку речь идет об обыкновенной геометрии в школе, но если забраться повыше в науку, то это дело уточняется; тогда, как оказывается, они все-таки пересекаются в так называемых бесконечно удаленных точках, о которых имеется весьма неясное представление. Как видите, этот взгляд не соответствует тому, что имеется в науке, и я помню, что встретил большое удовлетворение, когда говорил в объединении, что в том курсе, который проходится в средних школах, когда изучают эвклидово пространство, параллельные прямые не пересекаются, никаких бесконечно удаленных точек нет и о них не надо упоминать.

В эвклидовой геометрии не существует бесконечно удаленных точек и прямых, и говорить о них в школе не нужно. В стабильном учебнике, в первой его части, выдержана эта точка зрения, параллельные прямые не пересекаются, никакой точки пересечения нет, но во второй части оказалось иначе. Там расматривают параллельный пучок лучей и говорят, что все-таки лучи пересекаются, но в весьма отдаленной точке, до которой прак-

тически не достанешь*. Это и есть распространенный взгляд, но, конечно, взгляд неверный.

Поскольку в своем докладе я затронул вопрос об абстрактном пространстве, я хочу привести еще один пример, чтобы показать, что и другие абстрактные геометрические пространства, изучаемые в геометрии, не представляют чего-нибудь искусственного, возникшего в голове, а имеют своим единственным источником материальный физический мир.

Речь идет об интересующем всех, в особенности учеников, так называемом четырехмерном пространстве. Мне пришлось в этом году встретиться с фактом, что в одном провинциальном городе было распространено мнение, что четырехмерное пространство — вещь вообще весьма сомнительная и мистическая и говорить о нем публично не рекомендуется. По этому поводу надо сказать, что в науке, в частности в геометрии, и четырехмерные и многомерные пространства стали уже обыкновенным рабочим аппаратом геометрии.

Мне не раз приходилось убеждаться в том, что многое из геометрии становится ясным после того, как вы рассмотрите вопрос в многомерной геометрии. Это один из самых существенных моментов в значении многомерной геометрии для трехмерной, или обыкновенной, геометрии.

Рассмотрим несколько примеров. Когда мы говорим о нашем обыкновенном эвклидовом пространстве, то его размерность может быть грубо определена следующим образом. Вы видели, что на прямой имеется бесконечное множество точек. Совокупность этих точек, эту бесконечную совокупность вы можете обозначить знаком (со1). Если вы будете учитывать точки на плоскости, то вы можете сделать так — на каждой прямой X имеется бесконечная совокупность точек, а если вы будете эту прямую передвигать по прямой К, вы полностью заполните плоскость. Сколько будет различных положений прямой Л? Столько, сколько точек на прямой Y. Прямая У так же богата точками, как и прямая X, следовательно у вас получится оо1. сс1 = = ос2 (бесконечная совокупность двух измерений или с двумя независимыми параметрами).

Если я теперь буду плоскость OXY передвигать по оси Z параллельно самой себе, то я получу для плоскости в пространстве столько положений, сколько точек на оси Z. Значит, в конце концов, я получу со2. оо1 = со3 (бесконечную совокупность трех измерений или с тремя параметрами). Это позволяет установить размерность нашего обыкновенного пространства.

Стало быть, вы видите, что размерность нашего пространства равна трем. В качестве элемента пространства у нас здесь служит точка, и мы определяем размерность нашего пространства как точечного многообразия.

Посмотрим теперь, какова будет размерность пространства по отношению к прямой. Легко убедиться в том, что это будет четырехмерное пространство. Я должен учесть все прямые, находящиеся в нашем обыкновенном трехмерном пространстве. Чтобы учесть все прямые нашего обыкновенного трехмерного пространства, можно поступить так. Во-первых, я могу различить всевозможные направления в этом пространстве, причем не думайте, что эти все направления лежат в одной плоскости чертежа. Нет, это прямые в различных плоскостях, проходящих через точку S. Получаем то, что в геометрии называется „связкой“ прямых. Это — те направления, которые могут иметь прямые в пространстве. Это — одна сторона. С другой стороны, мы должны учесть все прямые, имеющие одно и то же направление в пространстве.

Черт. 5.

Черт. 6.

* Во втором издании стабильного учебника это место исправлено.

Черт. 7.

Черт. 8.

Если вы рассмотрите связку (черт. 7), то эту связку можно отобразить на плоскости и, стало быть, поскольку многообразие точек на плоскости является двухмерным, вы получите двухмерное многообразие (оо2) направлений. Это известный вам факт, что связка есть двухмерный геометрический образ. Если теперь вы возьмете какую-нибудь одну прямую и будете передвигать ее, давать ей всевозможные параллельные положения в пространстве (черт. 8), то сколько будет различных положений прямой в пространстве? Очевидно, столько, сколько точек на плоскости, потому что через каждую точку плоскости проходит единственная прямая данного направления, а точки плоскости образуют, как мы знаем, бесконечную совокупность двух измерений (оо2). Значит, мы имеем оо2-оо2 = оо4, т. е. бесконечную четырехмерную совокупность прямых в пространстве.

Итак, если вы подсчитаете размерность пространства по прямым, а не по точкам, то вы получите четырехмерное пространство. Как видите, четырехмерное многообразие так же нужно нам, как и трехмерное, причем это многообразие находится в обыкновенном трехмерном пространстве. Элементом его является прямая, которая наряду с точками и плоскостями играет основную роль в геометрии обыкновенного пространства.

Точно так же, если бы мы рассмотрели геометрию, в которой элементами являются все сферы в нашем пространстве, мы убедились бы, что имеем четырехмерное многообразие. В самом деле, сферы могут различаться центром и радиусом. Каждый центр определяется тремя числами — координатами. Четвертой координатой является радиус. Следовательно, имеем четырехмерное многообразие. Его можно рассматривать, как изображение четырехмерного пространства на трехмерном. Таким образом, вы видите, что если вы будете изучать конкретные многообразия, находящиеся в нашем трехмерном пространстве, то сказывается, здесь вы встретитесь с четырехмерной геометрией. Это очень существенно для того, чтобы опять-таки не было различных недоразумений с этой стороны.

Если мы рассмотрим совокупность всех окружностей на плоскости, то нетрудно понять, что эта совокупность есть трехмерное многообразие. Интересно то, что трехмерное пространство можно отобразить на плоскость при помощи окружностей, а четырехмерное пространство можно отобразить на трехмерное при помощи сфер.

Этот пример я хотел дать для того, чтобы стало ясно, что и изучение четырехмерного пространства наряду с другими пространствами не занимает какого-нибудь исключительного положения. Это все — абстрактные пространства, которые являются отображением реальной, материальной действительности.

Какой вывод я сделал бы еще для практического преподавания? Прежде всего из того, что я здесь говорил, с полной ясностью вытекает, что процесс обучения геометрии складывается из двух этапов. С одной стороны, нам нужно создать у учащегося то геометрическое пространство, с которого собственно и начинается сама геометрия как наука. Но ведь для этого нужно проделать процесс абстракции, получить запас необходимых понятий и элементов, получить известный геометрический опыт — образовать ту базу, о которой я говорил и которая служит основанием для построения уже подлинно систематического курса геометрии. Это ясно говорит нам о том, что необходим некоторый пропедевтический курс геометрии. Его не совсем правильно называют пропедевтическим курсом геометрии, потому что в нем нет еще собственно геометрии,— это есть стадия, которую можно назвать „предгеометрией“. Геометрия же начинается тогда, когда есть абстрактное пространство. Она может быть эвклидовой или проективной геометрией Риманна, Лобачевского и т. д., в зависимости от того абстрактного пространства, с которым имеют дело.

Значит, геометрия как научная дисциплина развивается тогда, когда у вас имеется абст-

рактное пространство, а весь предыдущий период, это — период предгеометрии, которая должна дать учащимся определенный геометрический опыт и запас объектов и понятий, которые будут затем им нужны для геометрии. Это первый вывод, на который мне хотелось бы указать.

Часто мы еще не умеем отчетливо отделить нашу геометрию — геометрию абстрактного пространства — от той области опыта и интуиции, из которой она получена. Например, когда мы выражаемся так: „прямую можно продолжить в обе стороны“, то, конечно, в абстрактной геометрии это не имеет никакого смысла. Другое дело, если речь идет о „практической“ прямой; например, когда вы чертите мелом на доске,— тогда ваши слова будут понятны всякому. Но в абстрактной геометрии о такой операции говорить не имеет смысла, ибо прямая понимается там как геометрический образ, данный в целом, а не какой-либо частью. Однако мы себя часто ловим на подобных выражениях просто потому, что наша научная терминология естественно должна обслуживать не только абстрактную науку, но и практическую жизнь, с которой она неразрывно связана. Однако надо воздержаться от того, чтобы рекомендовать указанное выше положение в качестве „аксиомы прямой“, как это еще до сих пор делается в учебной литературе.

Затем я бы хотел заметить, что когда возникает вопрос о строгости изложения, то здесь опять-таки огромнейшую роль играет то, насколько отчетливо представляет себе учитель ту научную картину, из которой вытекает и учебный курс. Вопрос о строгости, с моей точки зрения, стоит так: можно излагать или более полно или менее полно, потому что излагать неверно вообще воспрещается. Мы не имеем права говорить ученику то, что было бы научно неверно; так, например, совершенно неприемлемым, с моей точки зрения, является такое положение, когда дают неправильный вывод или формулировку, пользуются этим, а затем впоследствии обнаруживают, что принятое положение неверно и нуждается в пересмотре. Гораздо лучше в этом отношении действовать совершенно прямо и честно: одну теорему дать с доказательством, другую без доказательства, а в третьей теореме вы даете только мысль о доказательстве.

Но для того чтобы принять решение, как поступить в том или другом случае, учитель должен иметь научную картину всего вопроса. Если учитель сам достаточно вооружен, тогда он будет знать, что является научно верным и какой материал и как он может дать ученику.

Так обстоит дело в целом ряде вопросов элементарной геометрии, которые стоят в теснейшей связи с наукой. Возьмите, например, главу о площадях и объемах. Этот вопрос, как вы знаете, чрезвычайно нуждается в научном исследовании. Затем такой вопрос, как длина окружности и площадь круга.

Все это требует очень основательного знакомства с наукой для того, чтобы судить, что здесь следует дать, чего не следует давать и почему. Это все в руках преподавателя, и он должен быть на высоте положения.

Преподаватель должен быть хорошо подготовлен по своей дисциплине. Вот цитата из известной книги М. Симона: „В этой области основ и основных представлений как раз за последнее время созданы труды, которые могут быть поставлены на одну доску с творением автора „Начал“. Я говорю о работах Веронезе, Паша и Гильберта. Никого не следовало бы допускать к преподаванию, пока он не доказал основательного знакомства с этими работами“ (М. Симон—„Дидактика и методика математики“, стр. 119).

Как видите, требования очень высокие. Мне кажется, что это требование обоснованное, и нам нужно взять курс на то, чтобы наш учитель мог овладеть теми основными научными сведениями, которые нужны для ясного понимания того предмета, который он сам преподает. А для того чтобы он это мог сделать, нужно вооружить его книгой. К сожалению, с этой стороны делается очень мало. Если мы имеем сейчас серию методик, где развиваются, главным образом, вопросы о том, как преподавать пункты программы, и даются дидактические советы, то я считаю, что не менее важной является и другая сторона дела: дать для учителя такую книгу, в которой он мог бы найти научное освещение тех вопросов, которые он преподает.

Те книги, которые уже назывались здесь на первом докладе, являются книгами очень трудными и не для этой цели написанными. Наши издательства еще остаются в долгу перед учительством. Наша огромная героическая армия учительства должна иметь достойное вооружение, т. е. такие книги, которые бы действительно вооружили учительство научно. Тогда можно требовать от учителя, чтобы его преподавание стояло на должной высоте и чтобы он успешно разрешил ту задачу, которая в настоящее время является на фронте просвещения самой главной — это воспитать и обучить наши молодые кадры.

ФУНКЦИИ И УРАВНЕНИЯ*

Проф. М. ГРЕБЕНЧА (Москва)

§ 1. Функциональная зависимость

Понятие о функциональной зависимости является основным понятием математического анализа. Идея функциональной зависимости навеяна окружающей нас действительностью, ибо в каждом явлении природы мы имеем дело с величинами, находящимися во взаимосвязи, причем изменение одних величин сопровождается изменением других. Хотя в каждом явлении природы мы имеем бесчисленное множество переменных величин, однако учитывать все их во взаимосвязи мы не можем. Мы ограничиваемся изучением взаимосвязи лишь между некоторыми из них, наиболее существенными для изучаемого явления природы. Постепенно вовлекаются и другие переменные величины, что приводит к более глубокому пониманию явления и к лучшему использованию его для наших потребностей. Таким образом, мы подходим к полному изучению интересующего нас явления природы ассимптотически. Например, изучая падение тела, сначала считали, что движение происходит с постоянной скоростью (Аристотель), затем установили, что движение происходит с постоянным ускорением (Галилей). Изучение артиллерийской стрельбы показало, что нужно принимать во внимание фактор сопротивления среды, плотность которой считается постоянной; вопросы сверхдальней стрельбы требуют, чтобы учитывалась плотность воздуха как переменная величина и т. д. Чем глубже нужно изучить явление, тем более факторов взаимосвязи нужно учитывать. Основным орудием изучения явления является выражение взаимосвязи межу величинами явления с помощью математических действий.

§ 2. Математическое (аналитическое) выражение функциональной зависимости

Осуществляется этот процесс следующим образом: если мы имеем в явлении переменные величины, обозначаемые буквами х, у, <£,... иу v, то мы стараемся подобрать такое аналитическое соотношение между x,y,zf... и, vy чтобы при всех возможных одновременных значениях этих величин имело место тождество

/(*, у, zf...u,v) = 0 (1)

В таком случае мы говорим, что соотношение (1) определяет функциональную зависимость между изучаемыми переменными величинами.

Само собой разумеется, что получение соотношения (1), которое удовлетворяло бы точно поставленным условиям, невозможно потому, что никаким конечным числом переменных величин исчерпать все многообразие переменных величин в явлении невозможно. Обыкновенно ограничиваются лишь наиболее существенными из них, пренебрегая до поры до времени прочими, менее влияющими на процесс.

В силу этого мы имеем дело в каждой функциональной зависимости, выраженной с помощью соотношения (1), не с истинным явлением, а упрощенным, в котором мы обращаем внимание лишь на некоторые переменные величины, наиболее существенные.

Таким образом, соотношение (1) является не истинным соотношением; однако мы его до поры до времени считаем точным, а потому мы тем самым уже приступаем к изучению не истинной взаимосвязи величин в данном явлении природы, а абстрактной, которая тем ближе к истинной, чем более факторов взаимосвязи при составлении соотношения (1) было принято во внимание.

Получить соотношение (1) очень не просто; наука помнит имена тех ученых, которым удалось подобрать такие достаточно точные соотношения. Достаточно вспомнить закон Ньютона, Бойля-Мариотта, Гука и многих других.

Получение соотношения (1) играет ту огромную роль, что позволяет из одних соотношений (законов природы) выводить новые путем математических операций. Например, исходя из закона падения в пустоте

и законов Ньютона, мы можем установить закон движения тела, брошенного под углом к горизонту, дальность, высоту и продолжительность полета.

Для того чтобы овладеть этими знаниями, чтобы самому научиться выводить из одних законов (опытных) другие, нужно хорошо овладеть идеей функциональной зависимости.

* Доклад на совещании преподавателей математики 1 апреля 1935 г. в Москве.

§ 3. Уравнения

Для функциональной зависимости /(л:, у, z9... и, v) = О

характерно то, что, зная одновременные значения всех величин, например х, у, z,... и, кроме одной v9 мы можем значение этой последней вычислить; эта операция называется операцией решения уравнения. Таким образом, решение уравнения есть операция, связанная с изучением функциональной зави.имости, когда мы, зная одновременное значения всех величин, кроме одной, хотим вычислить значение этой последней.

Если ста:ь на такую точку зрения, то естественно вытекает, что задаче решения уравнения предшествует наличие функциональной зависимости между величинами, причем одновременные знания п—1 из этих величин известны. Если внимательно пересмотреть все задачи на составление уравнений, то мы увидим, что та трудность, в которой даются учащимся эти задачи, в значительной степени объясняется тем, что идея функциональной зависимости выхолощена, динамичность вопроса (функциональная зависимость) заменена статичностью („равенство, справедливое не для всех значений букв, а для некоторых“).

Несмотря на то, что идея функциональной зависимости является тоже не легко воспринимаемой, однако легко видеть, что все задачи на составление уравнений связаны с идеей прямой пропорциональности и обратной, которые воспринимаются учащимися довольно рано.

Остановимся сначала на явных функциональных зависимостях, т. е. данных соотношением:

v=f(x, У, z,...u).

Если нам заданы одновременные значения величин ху у, 2,... и, то вычисление соответствующего значения v не требует уменья решать уравнения; в данном случае процесс вычисления называется „вычислением численной величины выражения“, а потому мы в дальнейшем этого вопроса касаться не будем.

§ 4. Элементарные функциональные зависимости

Основные типы функциональных зависимостей, могущих быть освоенными учащимися, следующие:

1. Вопросы стоимости товара.

Куплено а единиц товара, стоимость единицы Ь; общая стоимость с; между числами а у b и с существует тождество с = ab.

В случае покупки товаров нескольких сортов в разном количестве имеем функциональную зависимость

c=ab + a1b1+a2b2 + . ..+anbn.

Дальнейшее осложнение этой фукциональной зависимости может быть таково: приобретено aj единиц товара по цене Ьл за единицу, а2 по цене Ь2...ап по цене Ьп; товар смешан, — цена единицы смеси k\ имеем наличие такой функциональной зависимости

Далее можно усложнить зависимость следующим образом:

Продается ал единиц товара ценою Ьл за единицу, а2 единиц ценою Ь2 ... аг единиц ценою Ьпу за сумму с. Прибыль (или убыток) есть к; следовательно, между этими величинами существует функциональная зависимость

aA+V2 + - • - + anbn=c — k-

К этому же типу примыкают зависимости, связанные с оплатой труда.

Несколько партий рабочих численностью а*. ап.. . а .

Зарплата суточная рабочих в партиях

Продолжительность работы партии в днях tv t2.. Лп.

Общая сумма заработка S; между этими величинами существует зависимость: S = = a1b1tl+a2b2'2-\-...anbntn. К этому же типу относятся зависимости, связанные со стоимостью перевозки грузов: груз весом а перевозится на b километров; стоимость перевозки единицы груза на 1 нм равна с; упаковка единицы груза стоит d; общая стоимость транспорта 6; имеем функциональную зависимость S = ad -f- abc.

К этому же типу относятся задачи на смешение и сплавы и температуры смеси.

2. Функциональные зависимости, связанные с наполнением или опорожнением бассейнов.

В основе этих задач лежит зависимость между следующими величинами: скоростью наполнения v и временем наполнении причем v измеряется в единицах объема бассейна; имеем такую зависимость \=vi или 1

V=T

При наличии двух труб даются числа tj (время наполнения одной трубы) и t2 (та же

величина для другой трубы) и t — время наполнения при одновременном действии обеих труб. В таком случае имеем зависимость:

При увеличении числа труб соответственно увеличивается число слагаемых в левой части последнего соотношения.

В случае опорожнения некоторыми трубами соответствующие слагаемые левой части входят со знаком—. В случае опорожнения полного бассейна функциональная зависимость остается неизменное, так как эти задачи (наполнение пустого и опорожнение полного бассейна) эквивалентны.

Дальнейшее усложнение зависимости может произойти, если действие труб не происходит одновременно.

В этом случае продолжительность действия труб неодинакова.

Наконец, если имеет место наполнение части бассейна, например —, то в правой части функциональной зависимости пишем - вместо 1.

К этому же типу относятся задачи, связанные с выполнением одной работы двумя рабочими или двумя партиями рабочих с неодинаковой производительностью.

3. Задачи на процента связаны с такой функциональной зависимостью

где а — капитал, р — начисленный процент, t продолжительность наращения процентов и .S—наращенный капитал.

Усложнение может быть таково, что две части капитала получают наращение в разные сроки и по различной таксе.

4. Наиболее обширный тип задач связан с равномерным движением. В основе этого типа лежит основная зависимость между скоростью равномерного движения г/, временем движения t и пройденным путем S:

S=vt.

Дальнейшее усложнение этой зависимости таково: при одновременном движении (равномерном) со скоростями ZP] и v2 навстречу друг к другу из мест, расположенных на расстоянии я, расстояние 5 между движущимися точками через / единиц времени после начала движения связано с этими величинами формулой

При неодновременном начале движения, если первая точка начала двигаться через t1 единиц времени после вюрой, имеем зависимость

S = а — vxt — v2 (t -f-

В случае, если движение происходит в одном направлении, то зависимость между величинами, перечисленными выше, есть

S=a -f- v2t —

и в случае неодновременного начала движения

S=a-+v2 (t + tJ — Vjt.

5. В задачах, связанных с оборотами колес, имеет место соотношение ргпл = р2п2, где рл и р2 суть длины окружности, а пг и п2 — числа оборотов.

6. Зависимость числа n от цифр единиц, десятков, сотен и т. д. есть: n—a1-\- 10а2~|-

Большое количество функциональных зависимостей дается физикой: температура смеси; связь массы, плотности и объема; формула Гей-Люссака; длина стержня в зависимости от температуры и многие другие.

Наконец, имеется некоторое число зависимостей геометрической природы; это - формулы площадей фигур, площадей поверхностей, объемов тел. соотношения между сторонами треугольников, пропорциональные отрезки и др.

§ 5. Обобщение элементарных зависимостей

Все приведенные выше функциональные зависимости можно объединить в два типа. I тип—это явные целые алгебраические функции любого числа переменных, вида

и II тип — это дробные алгебраические функции переменных, вида

Функции I типа являются частным случаем функций II типа, когда знаменатель равен 1.

Все функции, которые нами были приведены, могут быть получены из типичных приписыванием тем переменным, которые являются лишними, значений, равных 0, если они входят в качестве множителя в те слагаемые, множители которых все являются лишними переменными и значение 1, если не все множители этого слагаемого являются лишними. Например, зависимость вида

есть частный случай зависимости

Зависимость

есть частный случай зависимости

при x1 = t1; yj=t; x2 = t2; y2=t; v^=t2\ v2 = 0; S=\.

Таким образом, мы видим, что функциональные зависимости, нами рассмотренные в предыдущем параграфе, являются обобщением простейших зависимостей, прямо и обратно пропорциональных.

Всякая пропорциональная зависимость может быть обобщена в зависимость более сложного типа, причем при этом обобщении математическое выражение функциональной зависимости не будет выходить за пределы типов I и II, т. е. не будет содержать иных действий над величинами, кроме рациональных.

§ 6. Получение уравнения

Если мы зададим численные значения всех переменных, кроме одной, из xi (либо yi% zp v^w^y то отыскание соответствующего значения этой переменной требует решения уравнения с одной неизвестной первой степени, если xi входит множителем в слагаемое один раз, т. е. в первой степени. Обычно для усложнения задачи значения некоторых переменных, которые не вошли множителями в слагаемые, содержащие xt множителем, задаются как линейные функции хп обычно вида xi-\-a или kxt.

В таком случае числитель и знаменатель дробной функции (II типа) становятся линейными функциями переменной л:, и уравнение будет после избавления от дробей первой степени относительно хг Если среди переменных найдутся две таких, которые принимают равные значения и входят одновременно множителем хоть один раз в одно слагаемое (числителя или знаменателя), то, задавая значения всех переменных, кроме этих, мы для отыскания численного значения этих переменных должны решить квадратное уравнение. Таких функциональных зависимостей может быть рассмотрено довольно мало: это обычно суть либо зависимость между пройденным расстоянием и временем при падении в пустоте с начальной скоростью v0 и начальным значением пути S0

^S = g^ -f- v0t -|-£0^,

либо зависимости, связанные с площадями фигур.

Для получения квадратных уравнений из обычных зависимостей (обобщенных линейных и дробнолинейных) обычно задают одну из величин, входящую множителем в слагаемое, содержащее xi как линейную функцию xt\ тогда это слагаемое становится неполным квадратным двучленом относительно xt вида axj2 -f- ßje,., а уравнение становится квадратным относительно хг

§ 7. Примеры

Рассмотрим некоторые типичные примеры на составление уравнений с одной неизвестной величиной.

Из двух сортов чая ценой в 6 и 10 руб. за 1 кг нужно составить 12 кг смеси в 9 руб. кг. Сколько нужно взять каждого сорта?

Отвлекаемся от численных условий задачи. Здесь фигурируют такие величины: количество товаров двух сортов, цена одного веса каждого сорта и цена смеси. Обозначив эти величины буквами, имеем:

хг — стоимость 1 кг чая одного сорта, х2 — „ „ п п другого „ уг—количество кг чая одного сорта, У 2 — » п ш другого „ 6>—стоимость 1 кг смеси. Эти величины находятся в такой зависимости

Заданы условием задачи: х1 =6, х2— 10, S=9; уу и у2 не заданы, но связаны линейной зависимостью: уг -f~y2 = 12, следовательно у2 = 12— уг

Следовательно, при этих значениях переменных функциональная зависимость обращается в уравнение первой степени с одной неизвестной величиной:

Очевидно, эта функциональная зависимость может быть основной для целого ряда задач: например, не задавая стоимости смеси, можно сказать, что она больше у1 на 2.

Тогда получим уравнение

Или—отыскать стоимость единицы смеси, если известно, что стоимость килограмма чая первого сорта на 2 руб. меньше, а стоимость 1 кг другого сорта вдвое больше стоимости 1 кг смеси, причем уг = 5 и у2 = 7.

В таком случае

Достаточно лишь помнить, что задавать можно численные значения не всех п — 1 величин, в данном случае 2, связывая в таком случае дополнительной линейной зависимостью остальные величины, лишь бы они не входили одновременно множителями ни в одно из слагаемых.

Если мы свяжем линейной зависимостью например хг и уг, то уравнение получится квадратное.

Например, если мы скажем, что лг2=10; у2 = 12—уг; хг —ул + 1 и S=b9, то имеем:

т. е. квадратное уравнение относительно ул.

Если свяжем линейной зависимостью у1 и 5, задав численные значения прочих величин, то также получим квадратное уравнение.

Рассмотрим такую задачу.

Из мест А и В, находящихся на расстоянии 1817 м, одновременно начали двигаться равномерно навстречу друг другу два тела; скорость одного из них на 9 м в секунду больше другого. Какие расстояния прошли эти тела, если встреча произошла через 23 секунды? Отвлекаясь от численных данных, мы имеем дело с наличием таких величин:

t—время, отсчитываемое от начала движения, V] — скорость движения одного тела, v9 — скорость движения другого те та, d — расстояние между точками А и В, S—относительное расстояние движущихся тел в момент времени t. Эти величины находятся в такой функциональной зависимости:

S — d — Vjt — v2t.

Условием задачи даны: t — 23; = 1817; S=0; величины и v2 заданы соотношением v2 = v^-\- 9.

Следовательно, мы имеем дело с уравнением 0 = 1817 — 23^—23(^ + 9) первой степени относительно v1.

Найдя Vv находим путь 23^, пройденный первым телом до встречи.

Легко видеть то многообразие задач, которые могут быть получены из этой функциональней зависимости.

Например, можно поставить вопрос при условии, что по истечении 23 секунд тела находились на расстоянии не равном 0, а, например, равном 100 м.

Можно задать rf, vv v29 S и искать время движения, по истечении которого тела отстояли на расстоянии S. Можно ввести условие, что движение одного тела началось позже другого на /2 секунд и т. д.

Для получения задачи на решение квадратного уравнения достаточно задать d, S, v2, a v1 связать с t линейной зависимостью. Например, d= 1817, S=0; г<2=10, а

Vj + * = 30;

тогда

0 = 1817-f (30 — 10/.

Можно v2 также связать линейной зависимостью с tt например

v4 + t = 20.

Тогда

0 = 1817 + (30—t)t -f- (20 — t)t.

§ 8. Системы уравнений

Весьма типичной задачей для составления уравнения является следующая:

Имеем функциональную зависимость f(x, y,z) = 0.

Если определенные, но неизвестные значения переменных х и у увеличить на а и 6 (соответственно), то соответствующее значение z увеличится на с; если эти же значения увеличить на av bv то г увеличится на Cj.

В таком случае имеем:

систему из трех уравнений с тремя неизвестными.

Таким образом, обобщая этот пример, можно иметь такой рецепт создания задачи на составление системы из п уравнений с п неизвестными: имея какую-либо функциональную зависимость между п величинами, задать п—1 систему значений приращений этих величин по отношению к одной системе значений этих величин. Для определения системы значений этих величин нужно решить систему из уравнений с п неизвестными.

Пример. Если бы капитал, помещенный в банк, был на 2С00 руб. больше, а банк платил на 2% меньше, то прирост процентных начислений был бы больше на 40 руб. того, что есть на самом деле; если бы капитал был на 2000 руб. меньше, а банк платил на 2% больше, то процентные начисления были бы на 120 руб. меньше, чем на самом деле есть. Каков капитал и сколько процентов платит банк?

Процентные начисления по истечении года вычисляются по формуле:

Даны значения величин:

Л+ 2000; /7 — 2; 5+40

и

А — 2000; /7 + 2; 5—120.

Следовательно, имеем систему из трех уравнений с тремя неизвестными.

Для уменьшения числа неизвестных можно было бы р осмотреть зависимость между такими величинами: разность В процентных начислений двух капиталов Ал и А2, помещенных в банк с начислениями соответственно рг и /72%; тогда имеем функциональную зависимость:

При

р2=р1 — 2 и Л2 = ЛЬ+2000 В = — 40, при

P2=Pi + 2 и А2 = Аг — 2000 £ = 120.

Тогда имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными

§ 9. Выводы

Можно, исходя из изложенного выше, сформулировать следующие выводы:

1. Задачи на составление уравнений трудны не потому для учащихся, что они не носят формально вычислительного характера, а содержат моменты диалектики, ибо природа этих задач обусловлена существованием функциональной зависимости между величинами.

2. Так как усвоение идеи функциональной зависимости является весьма существенным фактором не только д я сознательного изучения окружающей действительности и ряда дисциплин, но и весьма повышает уровень развития учащегося, то весьма полезно при изучении пропорциональной зависимости несколько ее обобщить и научить учащихся к выражению функциональной зависимости с помощью математических действий. Само собой разумеется, что идет речь о простых зависимостях вида

S=ax + by, s=imx

и им подобных.

3. Показать, что наличие функциональной зависимости позволяет по данным п — 1 величин находить соответствующее значение я-й величины, причем эта операция сводится либо к вычислению численной величины алгебраического выражения, либо к решению уравнения с одной неизвестной.

Такого рода метод подхода при изучении уравнений желательно было бы попробовать в одной из опытных школ.

4. Все задачи на составление уравнений, фигурирующие в задачниках, покоятся на функциональных зависимостях, являющихся обобщением пропорциональных величин.

5. Наконец, имелось в виду показать, что всякая функциональная зависимость может быть источником для составления сколь угодно большого числа задач на составление уравнений с одной неизвестной; достаточно лишь разнообразить способы задания п — 1 величин, входящих в состав функциональной зависимости.

МЕТОДЫ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ*

Проф. И. КАВУН (Ленинград)

Товарищи! Обсуждая преподавание предмета, ставят два вопроса — чему учить и как учить. Оба эти вопроса существенны. Остановимся сегодня лишь на одном, крайне важном для современного состояния советской школы, втором вопросе — как учить. Обследование математических знаний учащихся в наших школах обнаруживает низкий уровень их математического развития, который зависит не столько от программы, сколько от методов преподавания. От программы требуется одно — не перегружать ученика и преподавателя количеством фактов, чтобы за то

* Стенограмма доклада на совещании преподавателей математики (Москва) 31 марта 1935 г.

время, которое отведено школе на преподание математики, ученик успевал усвоить материал и довести его до твердых и в то же время вполне осознанных навыков. Методы же преподавания должны быть таковы, чтобы они могли вполне развить творческие способности ученика, математическое мышление и внимание ученика. Обследование математического развития наших учеников путем изучения их уменья решать задачи приводит нас к основным причинам коренных недостатков их математического образования — к недостаточному развитию творческих способностей, математического мышления и внимания. Остановим же свое внимание на методах преподавания математики, при помощи которых эти недостатки могли бы быть устранены.

Как учить математике, чтобы достичь развития творческих способностей? Для этого служит индуктивный и аналитический методы.

Индуктивным методом следует пользоваться для восприятия теоремы или правила, для усмотрения основной ее мысли, для наведения учеников на догадку. Приводим примеры.

1) Пример из геометрии: наблюдать на хороших, заранее приготовленных чертежах или подвижной модели свойство биссектрисы угла треугольника В, когда стороны АВ = ВС, АВ = 2ВС, АВ = ЪВС. Наблюдение должно быть кратким, непродолжительным, после чего формулируется теорема.

В тех случаях, когда теорема устанавливает числовые соотношения, хорошо дать предварительно задачу, решение которой разъясняет и содержание теоремы и способ доказательства. Например: вычислить сторону треугольника, зная, что две другие стороны равны 5 см и 6 см и что проекция первой из них на вторую равна 1 см; за решением этой задачи следует теорема о квадрате стороны в треугольнике, лежащей против острого его угла.

2) Пример из алгебры: решение квадратного уравнения и вывод формулы его корней. Сперва решается множество квадратных уравнений по соображению, без обращения к формуле их корней, при этом разных типов с численными и буквенными коэфициентами: а) х(х -f- а) = 0; Ь) (х -\- а)(х -+-Ь) = 0; с) x* + (a+b)x + ab = 0; d) jc2+px = q; e) x2 + px4-q = 0; f) ax2-{--f- bx -j- с = 0. После того как учащиеся перерешают множество уравнений этих типов с численными и отчасти буквенными коэфициентами, они выводят формулу и последующие уравнения уже решают по этой формуле.

3) Пример из тригонометрии: чтобы навести учеников на идею теоремы lim f^l ) = 1, необходимо дать им возможность на чертеже наблюдать дугу и линию ее синуса для случаев, когда х= -^(30°); и вместе с тем показать численное значение разности 1--— для случаев х — ^ ; — ; .

Когда на основании наблюдавшихся единичных фактов сделана догадка о содержании теоремы, подмечена учениками идея теоремы, то теорема формулируется. Лучше, конечно, если теорему формулируют ученики, а преподаватель помогает им, исправляет их несовершенную формулировку. Во всяком случае, словесное выражение теоремы должно быть ученикам совершенно понятно, должны быть ясны отдельные слова, вводные фразы. Смысл каждого слова теоремы должен быть совершенно ясен.

Переходим к доказательству теоремы или правила. Когда теорема важна, заслуживает внимания, то доказательство ее вырабатывается аналитическим методом. Анализ — рассуждение, идущее от заключения к условию. Анализ как метод искания доказательства есть творческий метод. Декарт в своем сочинении „Discours de la méthode pour bien condui:e la raison et chercher la vérité“ называет аналитический метод изобретательным, а синтетический — методом школьного изложения.

Приведем пример разработки доказательства теоремы аналитическим методам. Обратимся снова к теореме о биссектрисе угла треугольника.

Дано: /\АВС; BD — биссектриса; ^/1 =

п AD AB

Доказать: т =

Пересматриваем предыдущие теоремы, на которые мы могли бы опереться. Вспоминаем теорему о двух параллельных, пересекающих стороны угла. Дополняем чертеж /\АВС так, чтобы получились две параллельные, пересекающие стороны угла с отрезками AD, DC и AB. Получим пропорцию ^ = ßg -

Если докажем, что ВЕ=ВС, то докажем теорему. Если докажем, что ^/3 = /4, то докажем, что ВС = ВЕ. /Jt — /2, a /ß = = /\л но /2= /\, следовательно /\ = = ^/3, а значит ВС=ВЕ и т. д.

Когда аналитическим путем выработано доказательство теоремы, то оформляем, систе-

матизируем его уже синтетическим методом. Синтетический метод рассуждения .есть рассуждение, идущее от условия к заключению. Оно служит для оформления, систематизации, изложения теоремы. Синтетически теорема доказывается, коротко говоря, так: ^/1 = = Z2> но Z1 = Z3 и Z4=Z2- Следовательно ZJ^ = Zß- Поэтому в _Д СВЕ стороны ВС и BE равны.

следовательно

Это же окончательное доказательство есть и дедуктивное доказательство. Учащиеся должны понимать, что доказательством теоремы устанавливается логическая связь ее с предыдущими, более общими предложениями и понятиями, т. е. с теоремами, аксиомами, определениями; поэтому оно называется дедуктивным. Но доказательством устанавливается логическая связь условия теоремы с заключением, поэтому оно называется синтетическим.

При доказательстве теоремы, как и при ее формулировке, преподаватель должен внимательно наблюдать за рассуждениями ученика, чтобы удостовериться в том, понимает ли ученик доказательство или только повторяет слова преподавателя или учебника.

Аналитическим методом надо пользоваться широко и при решении геометрических и алгебраических задач.

Не надо думать, что каждую теорему надо провести через все этапы — индукцию, анализ, синтез и дедукцию. Некоторые теоремы могут быть доказаны и самим преподавателем или предложены ученикам для самостоятельного чтения и изучения.

Ученик не только должен хорошо понимать теорему, но и усвоить ее.

Усвоению правил способствуют следующие приемы:

а) временная задержка правила, т. е.

решение примеров по соображению, без правила; при этом ученики повторяют все рассуждения, служащие для вывода правила, применительно к данному конкретному примеру;

б) возвращение к правилу через намеченные периоды времени.

Для усвоения геометрических теорем требуется:

а) беглое повторение их в начале урока;

б) целесообразно составленная схема всех теорем главы;

в) формулировка всех теорем, на которые ссылались при доказательстве данной теоремы.

Для того чтобы ученик хорошо помнил доказательство теоремы, надо:

а) чтобы он хорошо его понял;

б) чтобы он хорошо помнил основную мысль доказательства;

в) чтобы хорошо помнил типичное в доказательствах теорем геометрии или алгебры.

Скажем весьма кратко о развитии внимания учеников. Для развития внимания при изучении математики требуются:

а) постепенный переход к большему и большему числу операций;

б) короткие, но частые самостоятельные работы;

в) внимательное отношение к ошибкам ученика со стороны учителя.

Покажу еще схему учебно-познавательного процесса при планомерном, целесообразно-организованном преподавании математики:

1. Наблюдение единичных фактов—опытный этап

2 Усмотрение связей — образный этап

3. Оформление доказательства — логический этап

4. Практика —прикладной этап

Индуктивно-аналитический период

Дедуктивно-аналитический период

РАЗВИТИЕ ГЛАЗОМЕРА НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

Ф. НАГИБИН (г. Киров)

В жизни человеку почти на каждом шагу приходится измерять и сравнивать между собой различные расстояния, размеры и протяжения. И очень часто приходится определять расстояния на-глаз, без применения каких-либо приборов. Поэтому большое значение в воспитании учащегося должно иметь развитие у него навыков глазомера. Между тем на эту сторону обучения обычно или совсем не обращают внимания или обращают внимание явно недостаточное.

Навыки глазомера учащемуся нашей школы необходимы и потому, что он может широко ими пользоваться в учебе при сравнении и измерении величин, расстояний, углов, площадей, объемов, при выполнении чертежей, рисунков. Кроме этого, навыками глазомера учащиеся будут пользоваться в

жизни, в труде, в быту и, что особенно важно, в свое время — в военной обстановке. Следовательно, наши школы — начальная и средняя — должны развивать у учащихся навыки достаточно точного глазомера. Этим развитием навыков глазомера должны заниматься преподаватели по труду, но изо, по военному делу, но особенно важную роль должен играть преподаватель математики.

Навыки глазомера можно подразделить на такие виды: 1) определение расстояний и размеров в длину, ширину и высоту: а) в классной обстановке, б) на местности, в) по плану и карте; 2) сравнение кривых и ломаных линий с прямыми; 3) измерение углов; 4) измерение и сравнение площадей, в особенности по планам и картам; 5) измерение и сравнение объемов.

Знакомство с этими видами навыков начинается в начальной школе. Здесь должны быть использованы различные измерительные работы, детские игры, разнообразные экскурсии, рисование и работа по труду. Средняя школа продолжает развитие указанных видов глазомера прежде всего на уроках математики и особенно на уроках геометрии и тригонометрии.

Глазомерным определением расстояний в классной обстановке на местности, по плану и карте удобно заниматься и в V классе при изучении всех разделов пропедевтического курса геометрии и в старших классах—при проработке разделов систематического курса геометрии. В курсе тригонометрии можно заниматься глазомерным определением расстояний при изучении тригонометрических линий и при решении треугольников.

Как развивать навыки глазомерного определения расстояний? Для ответа на этот вопрос надо разобрать возможные виды работы и оборудование, которым следует пользоваться при этом. Первая стадия развития глазомера — это определение небольших расстояний, а именно: 1 см, Ъ см, 5 дм, 7 дм, 1 м, 2 м, 5 м, 10 м. Изучаемое расстояние сначала показывается в виде отрезка, начерченного на бумаге, на доске или на полу, затем этот отрезок сравнивается с другими, приобретаются навыки выделения из многих отрезков данного. После этого следует поставить ряд упражнений на определение изучаемого расстояния в классной обстановке, на моделях геометрических тел, на машинных частях. Для закрепления навыков необходимо любое измерение расстояний проводить так: сначала определить измеряемое расстояние на-глаз, затем — при помощи определенного измерительного инструмента. Инструментальное измерение, таким образом, будет служить контролем глазомерного измерения. Упражнения, сопоставляющие инструментальное измерение и глазомерное, должны выполняться не только* в классе, но и дома.

Объект

Глазомерное измерение

Инструментальное измерение

Длина спичечной коробки ...... .

Ширина готовальни . . Ширина комнаты . . Длина дома .....

0,6 дм 0,8 дм 5 м 12 м

0,54 дм 0,74 дм 4,2 м 10,5 м

Для более прочного закрепления навыков измерения небольших расстояний следует ставить и такие упражнения: предлагается учащимся в своих тетрадях, или на листочках бумаги, или на классной доске провести линию определенной длины или построить какую-нибудь геометрическую фигуру данных размеров. Учащийся указанное построение выполняет при помощи глазомера, а затем проверяет себя, измеряя линии или размеры масштабной линейкой.

Необходимым оборудованием на этой ступени обучения будут таблицы с отрезками различной длины в различных положениях, таблицы с геометрическими фигурами, части различных машин, геометрические тела и обычный штангенциркуль.

Полезно наклеить на края классной доски бумажную ленту с сантиметровыми делениями. Лента, наклеенная горизонтально и вертикально, будет служить для постоянной ориентировки в размерах при выполнении чертежей.

Навыки глазомерного определения расстояний на местности усваиваются двумя путями. Первый путь — работа всем классом на местности вместе с преподавателем. Нет смысла с этой целью проводить специальные экскурсии в поле, к реке и т. д. Можно воспользоваться временем, отводимым на геодезические работы и на экскурсии по другим разделам и предметам. В начале геодезических работ преподаватель должен познакомить учащихся с такими расстояниями, как 20 м, 100 м, 200 м, 500 м, 1 км. Здесь так же, как при небольших расстояниях, следует, показав расстояние определенной длины, сравнить его с другими и только после достаточного усвоения основных расстояний можно перейти к измерению расстояний самими учащимися. Так же, как при измерениях в

классной обстановке, любое измеряемое расстояние сначала следует оценивать на-глаз, а затем проверять эту оценку инструментальным измерением или шагами. Второй путь — путь индивидуальный работы. Можно также, как при небольших расстояних, давать домашние задания по развитию глазомера на местности. Учащиеся с большим интересом будут выполнять эти задания, приобретая таким образом прочные навыки глазомера. Понятно, что измерения надо выполнять не только вглубь, но и по фрэнту и в высоту, обращая, однако, главное внимание на измерение расстояний вглубь. В отношении военной подготовки необходимыми глазомерными навыками будут: 1) 4 м— промежуток между стрелками в цепи, 2) 28 —30 м — ширина цепочки в бою, 3) 200—400—600 шагов — прицельные расстояния, 4) 200 м— расстояние, с которого возможен переход в атаку. Эти навыки следует настойчиво вырабатывать у учащихся.

Значительно сложней будет глазомерное определение расстояний по плану или карте. Здесь необходимо все время иметь в виду масштаб, в котором выполнены план или карта. Таким образом, к трудности определения расстояния присоединяется трудность перехода с помощью масштаба от размеров на плане или карте к действительным. Поэтому особо следует позаботиться о подборе чертежей, планов и карт в определенном порядке. Последовательность масштабов может быть такой:

Работу с планами и картами можно начать с измерения расстояний самими учащимися. Сначала следует повторить такие основные расстояния, как 1 см9 2 см, 5 см, 7 см, 1 дм, 3 дм, 5 дм. Для дальнейшей работы каждый учащийся должен иметь чертеж, план или карту данного масштаба, масштабную линейку, измерительный циркуль или полоски бумаги вместо циркуля. Следует практиковать одновременно с определением расстояний отыскивание по карте или плану определенных расстояний. Можно давать, например, такие задания: между какими пунктами расстояние составляет 2 км, какой размер чертежа составляет 2 дм?

Основным в усвоении навыков глазомерного измерения расстояний, размеров тел и протяжений является достаточная практика. Следует помнить, что без повседневной тренировки невозможно приобрести прочные навыки глазомера. Поэтому следует пользоваться всеми возможностями при проработке различных разделов математики для того, чтобы повторять и укреплять навыки глазомерного определения расстояний. Таких возможностей много. Например, при изучении треугольника следует измерять на-глаз длины сторон, высоты, биссектрисы, медианы. При изучении параллельных возможно определять расстояния между ними, длину отрезка секущей, заключенного между параллельными. При изучении наклонных и перпендикуляра возможны упражнения по определению расстояния от точки до данной прямой, длины наклонных и их проекций. В таком разделе геометрии, как окружность, следует проводить упражнения по определению градусов, диаметров, хорд, расстояний между центрами, длин общих касательных к двум окружностям и др. Далее, в работе по курсу тригонометрии такие упражнения широко можно проводить, определяя, например, длину тригонометрических линий, величины элементов треугольников. Наконец, в этой работе нельзя ограничиваться только работой на уроке и домашними заданиями. Следует настойчиво рекомендовать учащимся развивать свой глазомер при различных играх, работах, при прогулках и ходьбе. Надо убедить учащихся в необходимости этого и систематически показывать им их собственные успехи. Если учащийся будет видеть свой рост в развитии навыков глазомера, то это будет лучшей агитацией за необходимость повседневных упражнений.

При проработке прямой линии, треугольника и окружности следует заняться сравнением ломаных и кривых линий с прямыми. Этот вид глазомера в практике школьной работы обычно отсутствует. Между тем, важно научиться измерять не только отрезки прямых линий, но также части ломаных и кривых. Для этого следует выполнять упражнения на сравнение длин ломаных и прямых, кривых с прямой, дуг с хордами и т. д. Сравнения и измерения должны итти по общему плану: сначала глазомерное измерение, затем контрольное инструментальное. Инструментальное измерение кривых может быть выполнено укладыванием по кривой нити и измерением ее длины или при помощи особого приспособления — курвиметра, состоящего из ручки и прикрепленного к ней свободно вращающегося круга из жести (черт. 1).

Если нужно измерить длину кривой этим приспособлением, то поступают так: устанавливают колесико нулевым делением в начальной точке, от этой точки передвигают ко-

лесико до второй конечной точки. Длину линии находят по числу полных поворотов колесика и по делению его, совпавшему с конечной точкой. Например: если колесико сделало 2 полных поворота, и против конечной точки оказалось деление 34, то длина кривой составляет 284 мм.

В начале упражнений на сравнение кривых и ломаных с прямой, а также на измерение кривых и ломаных, обычно имеют место грубые ошибки. В дальнейшей работе эти ошибки становятся значительно меньше.

При проработке таких разделов геометрии и тригонометрии, где фигурируют углы, следует заниматься глазомерным измерением углов. Необходимым оборудованием здесь будут таблицы с чертежами углов различных размеров, углы, вырезанные из бумаги, и особый прибор для развития навыков глазомерного измерения углов (черт. 2).

Этот прибор состоит из фанерного круга, разделенного с одной стороны по окружности на градусы или радианы, с другой стороны от центра проводится черта, соответствующая нулю градусов, а в центре закрепляется вращающаяся планка. Преподаватель, повернув прибор стороной с делениями к себе, может ставить планку на различные градусные или радианные деления. Учащиеся определяют на-глаз угол между нулевой чертой и подвижной планкой. Затем преподаватель для сопоставления сообщает действительную величину угла.

Упражнения на глазомерное измерение углов следует проводить в таком порядке: 1) усвоить углы: 5°, 10°, 20°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 180°, 270°; 2) из многих углов выделять угол требуемого размера; 3) применить полученные знания к измерению углов на чертежах; 4) вычертить в тетрадях на-глаз или отложить на приборе углы требуемых размеров, а затем измерить их транспортиром или соответственно определить по обратной стороне прибора.

Особо следует подчеркнуть необходимость упражнений на глазомерное измерение углов в радианах. Эти упражнения очень важны для понимания двух способов измерения углов, с которыми приходится знакомиться в тригонометрии.

Черт. 1.

Из всех углов наибольшее внимание следует уделить прямому, так как с ним больше всего приходится иметь дело.

Глазомерное измерение и сравнение площадей представляет собой большие трудности. Оно важно, главным образом, для понимания сущности измерения площадей. Основным видом работы здесь будет сравнение и измерение площадей по картам. Возможно также использование особых таблиц с чертежами различных геометрических фигур. Следует сравнивать и измерять на планах и таблицах площади с различными контурами. Для проверки удобно использовать палетку. Из площадей, окружающих учащихся в жизни, следует измерять на-глаз такие, как площадь пола, стен, окон, дверей, стола, доски и т. д.

Меньшее значение, чем измерение площадей, имеет сравнение и измерение объемов различных тел и емкостей различных сосудов. По этому навыку возможны такие упражнения: 1) сравнение объемов геометрических тел и предметов (больше, равно, меньше); 2) глазомерное измерение объемов геометрических тел, ящиков; определение кубатуры помещений; 3) сравнение и измерение емкости различных сосудов.

Возможен целый ряд других более мелких работ, имеющих целью развить глазомер у учащихся. Таковы упражнения в определении центра окружности, в делении окружности или прямой на несколько частей. К числу этих работ относится определение конусности, определение точки пересечения двух прямых, приближенное определение тригонометрических функций при помощи глазомерного определения тригонометрических линий и радиуса, деление отрезка в данном отношении и др.

В работе по развитию навыков глазомера громадное значение должно иметь социалистическое соревнование. Хорошо будет, если учащиеся будут соревноваться на лучшее развитие навыков глазомера. Можно даже по примеру стрелковых соревнований или шахматных турниров проводить специальные соревнования по глазомеру. Опыт показывает, что эти соревнования проходят очень удачна и дают хорошие результаты.

Черт. 2.

ЧАСТНАЯ МЕТОДИКА

К МЕТОДИКЕ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ

Е. РАЧКО (г. Иваново)

При решении геометрических задач на вычисление ставится следующие цели:

1. Установление связи теории с практикой.

2. Повторение и закрепление на задачах изучаемых и ранее изученных теорем.

3. Развитие логического мышления учащихся.

4. Развитие плоскостных и пространственных представлений учащихся.

5. Развитие умения находить и устанавливать зависимость между величинами.

6. Развитие умения воспроизводить и сопоставлять результаты наблюдений над различными образами и обобщать их.

7. Развитие конструктивных сопсобностей учащихся.

Следовательно, решение геометрических задач на вычисление должно быть неотъемлемой частью урока по геометрии. А между тем, часто можно слышать от преподавателей заявление, что учащиеся не умеют решать задачи на вычисление. Это происходит потому, что учащимся часто не ясна зависимость между данными условиями и искомой величиной; учащиеся не представляют себе взаимных положений данных и искомых величин на плоскости или в пространстве. Часто задача для своего решения требует знаний теорем, которые изучены в предыдущих классах, и нетвердое, неясное усвоение пройденного материала является тормозом в работе. Затем слабые знания некоторых разделов арифметики, например отношений, пропорций, пропорционального деления, наконец, недостаточное количество решаемых задач — все это не способствует развитию у учащихся данного навыка.

Для выработки умений решать задачи на вычисление геометрического содержания необходимо соблюдать следующие методические условия:

1) постепенно переходить от более легких задач к более сложным;

2) вначале брать задачи, связанные непосредственно с изучаемой теоремой, а затем с теоремами, изученными ранее;

3) для более отчетливого представления положения фигуры или тела и его элементов следует учащимся предлагать изготовить модель — наглядное пособие — и на нем отмечать данные и искомые величины;

4) выяснить условие задачи: что дано, что требуется определить;

5) сделать тщательный чертеж;

6) выяснить на чертеже, что дано и что требуется определить;

7) наметить план решения и установить теоремы, с помощью которых можно найти зависимость между искомой величиной и данными;

8) составить зависимость в общем виде;

9) подставить в полученные формулы данные условия и определить искомую величину ;

10) записать ответ задачи;

11) проверить чертеж, соответствует ли он полученному ответу задачи, и если нет, то исправить его;

12) если учащиеся затрудняются в некоторых разделах арифметики, преподавателю это следует учесть и отвести 4—5 мин. на повторение этих разделов на уроке или дать соответствующие небольшие задания на дом повторительного характера.

Итак, преподаватель, готовясь к уроку по геометрии, должен наметить задачи, проанализировать их всесторонне, т. е. со стороны условия, данных, вопроса, тех зависимостей, которые связывают данные условия с вопросом; определить теоремы, необходимые для их решения; установить, каких знаний из арифметики потребует данная задача, наметить план решения, дать самое решение, исследовать пригодность этого решения, дать ответ и проверить чертеж.

После решения сложной задачи преподаватель предлагает учащимся повторить еще раз весь ход решения. Если задача дается на дом, то указываются те затруднения, с

какими могут встретиться учащиеся, например, какие еще, кроме изученной теоремы, потребуются, т. е., какие теоремы надо повторить и т. п.

Рассмотрим пример:

В трапеции ABCD с диагональю АС углы ABC и ACD равны.

Определить диагональ АС, если основания AD и ВС соответственно равны 12 см и 27 см (Рыбкин, ч. 1-я, задача № 26 из § 9).

Задача связана с вопросом о подобии фигур и может быть предложена учащимся после решения нескольких простых задач, связанных исключительно с вопросом подобия и не требующих для разрешения ранее изученных теорем.

Задачу читает или преподаватель, причем один из учеников записывает на доске то, что дано, что нужно определить, или ученик прочитывает условие задачи по книге, проводится соответствующая запись на доске, выполняется чертеж и обозначаются на чертеже данные величины.

Следующий момент — разбор условия. Какой дан четырехугольник? Что дано? Что нужно определить?

Замечают, что искомая диагональ является общей стороной двух треугольников — ABC и ACD, следовательно, необходимо рассмотреть данные треугольники. Сравнивая их друг с другом, учащиеся могут дать треугольникам одну из следующих характеристик: треугольники не равны, треугольники равны или, наконец, треугольники подобны.

Рассматривая данные треугольники, учащиеся видят, что у них есть по равному углу (по условию задачи), затем, сравнивая другие углы между собою, находят, что / ВСА и j/CAD равны как внутренние накрестлежащие при параллельных прямых AD и ВС и секущей АС. Следовательно, данные треугольники подобны, а из подобия вытекает пропорциональность сходственных сторон.

Итак, для решения данной задачи потребовались теоремы:

1) о равенстве внутренних накрестлежащих углов;

2) о подобии треугольников.

Наметив план решения, учащиеся записывают решение в тетрадях, а один из учащихся записывает его на доске.

Запись следующая.

Задача № 26 из § 9 (задачник Рыбкина, ч. 1-я).

Дано: трапеция ABCD;

АС— диагональ; /_АВС = Z.ACD; лО = 12 см; ВС =27 см (черт. 1).

Вычислить диагональ АС.

Решение. £ACD = ^ABC (по условию). /_DAC= /_ВСА (как внутренние накрестлежащие).

Следовательно /\ABCïsï/\ACD. Откуда :

Черт. 1.

Ответ берется только положительный, так как диагональ не может быть выражена отрицательным числом.

Второй пример.

ABC — равнобедренный треугольник с основанием АС;

CD биссектриса /_ с; /^ADC=^-d. Определить /В.

Задача связана с вопросом о свойстве углов треугольника.

Изучение задачи, ее условия, данных и вопроса проходит так же, как и в первом примере.

В какие треугольники входит / В?

Искомый /В входит в равнобедренный треугольник ABC и в треугольник BCD.

Нельзя ли воспользоваться этими треугольниками для определения / В?

Черт. 2.

Учащиеся должны сделать вывод, что из равнобедренного треугольника ЛВС ^/_В определить нельзя, так как неизвестны два других равных угла Л и С. В треугольнике же BDC оба угла: Z.B = Z.X и 2lBCD = =/у — неизвестны, но дан внешний ^/ ADC этого треугольника.

Вспоминается, каким свойством обладает внешний угол треугольника, т. е. + -f- ^/ BCD = ADC. В этом равенстве /_В искомый, ^/ ADC—данный, неизвестен еще /_BCD.

Следовательно, надо постараться определить величину /_BCD. Учащиеся устанавливают, что ^mBCD = /imDCA, так как CD — биссектриса ^/ С, а DCA входит в треугольник ADC.

Рассматривают углы этого треугольника: /_А равен / С, следовательно ]/_А равен двум половинам ^/С, т. е. 2 / DCA ; j^ADC известный, а сумма всех внутренних углов треугольника равна двум прямым, или 2 d.

Следовательно, можно определить DCA.

После данного разбора и составления плана переходят к письменному решению задачи. Задачу можно решить методом уравнений.

Зашсь на доске и в тетрадях следующая. Д а н о : Д ABC—равнобедренный ; AB = ВС; DC— биссектриса;

/_ADC=\d.

Определить £В (черт. 2) Решение.

Обозначим: /_В через х

1. Определение у. Из Д ADC находим:

2. Опрелеление х. Из /\BCD находим:

Поверка.

Ответ.

В данной задаче после ее решения необходимо посмотреть, соответствует ли чертеж полученному ответу и, наоборот, удовлетворяет ли ответ предварительному чертежу. В данном случае чертеж должен быть исправлен, так как ^/ß должен быть тупей, равный ^d.

Учащиеся должны построить тупоугольный равнобедренный треугольник.

Черт. 3.

К ПРОРАБОТКЕ БИНОМА НЬЮТОНА

А. САФОНОВ (село Бумаркино)

Задачами, решением которых сопровождается проработка бинома Ньютона, обычно являются задачи на разложение двучленов в ряд, определение т-го члена этого ряда и степеней букв, входящих в разложение.

Указанную серию задач можно увеличить одним типом арифметических задач, поднимающих интерес у учащихся и в то же время показывающих одно из приложений бинома Ньютона. Таким типом задач являются задачи на доказательство делимости некоторой целочисленной показательной функции на некоторое число при частных значениях переменного, например:

1) Доказать, что 32л+3 — 24 п -f 37 делится на 64 при всяком целом и положительном п.

Доказательство.

Откуда, на основании теорем о делимости заключаем, что данное число при п целом и положительном кратно 64.

2) Доказать, что 62п — Зл+2 — 3“ кратно 11 при всех целых и положительных значениях п.

что очевидно кратно 11.

Так как в задачниках и главах бинома Ньютона (нам известных) задачи указанного типа отсутствуют, то перед преподающим встает вопрос, как самому составить указанные задачи. Последнее сделать нетрудно, приведем примеры.

1) Возьмем разность 28* — 36г/г (1)

и зададимся целью составить число, кратное 13 при всяком целом и положительном п.

Л?гко увидеть, что при делении на 13 (1) будем получать о:таток, равный 2п— 32/I. Чтобы его уничтожить, прибавляем к (1) равнопротивоположное число: 32л — 2п; получим число 28я — Зб^ + З2“ — 2Л, кратное 13 при всех целых и положительных значениях //.

2) Исходя из разности 31п+1 — 5я(1) найти число, кратное 64.

Первое слагаемое (многочлен) кратно 64; второе слагаемое также легко сделать кратным 64: прибавим к данному выражению 45п— 67, тогда второе слагаемое получит вид 64л — 64 — 64 (п — 1) и будет кратно 64. Итак, чтобы получить чи.ло, кратное 64, нужно к (1) прибавить 45я — 67; будем иметь 3 л + 1 +40л - 67.

Можно было также вычесть из данного выражения 19/2 + 3. Тогда второе слагаемое равно нулю, и искомое выражение примет более простой вид: 32п+1 — 24/z — 3. Это выражение также делится на 64 при всяком целом и положительном п.

3) Исходя из выражения 26л+1 -f- 32я+2 — — 17п — 31 (1), составить число, кратное 11 при всяком целом и положительном п.

следовательно, достаточно в (1) отбросить — 17/Z + 31, чтобы получить число, кратное 11.

ЗАКОН ОМА*

А. ГЕЛЬФЕНБЕЙН (Москва)

§ 1. О целях статьи

Казалось бы, что такой важный вопрос физики, как закон Ома, должен быть хорошо известен не только физикам или инженерам, но и всякому изучавшему физику хотя бы и в скромном объеме. Однако мы позволим себе утверждать, что в действительности это далеко не так. Тем из читателей, которые пожелают убедиться в справедливости последнего утверждения, можно рекомендовать проделать следующий опыт. Предложите возможно большему числу подозреваемых в знании закона Ома изложенную ниже задачу и попросите этих лиц дать точно и ясно обоснованное решение этой задачи.

Задача заключается в следующем. Замкнутая цепь составлена из произвольного числа совершенно одинаковых элементов (черт. 1). К произвольным точкам этой цепи А и В присоединяется вольтметр. Что этот вольтметр будет показывать?** Вместо ответа заметим: печальная практика автора этих строк показывает, что умеющих сознательно решить эту задачу гораздо меньше, чем следовало ожидать.

Причины столь печального положения вещей становятся вполне понятными, если посмотреть, как излагаются основные законы постоянного тока в учебной литературе, а следовательно, и на уроках физики. Весьма часто при изложении закона Джоуля, закона Ома, понятия о разности потенциалов, об электродвижущей силе и т. п. делаются грубые ошибки. Так, например, часто можно слышать безоговорочное утверждение, что формулу, выражающую закон Джоуля-Ленца можно написать в виде

Q = 0,24/W, (1)

тогда как это совершенно неверно в целом ряде случаев (см. § 7) и тогда как выражение

Q = 0,24/2/ft (2)

справедливо во всех случаях (разумеется, при I и R постоянных в течение времени t).

Если же даже изложение и не содержит подобного рода ошибок, то оно носит чисто формальный характер, не вскрывая физической сущности ни формул, выражающих, например, закон Ома, ни тех величин, которые в эти формулы входят. Например, величайшей важности понятие об электродвижущей силе почти ни в одном учебнике по существу не разъясняется. Обычную фразу о том, что электродвижущая сила равна разности потенциалов на концах разомкнугого источника, ни в коем случае нельзя рассматривать ни как определение, ни, тем более, как разъяснение этого понятия. Чтобы уяснить сказанное, достаточно вспомнить хотя бы динамомашину сериес. Известно, что при замкнутой цепи электродвижущая сила такой машины вовсе не равна той разности потенциалов, которая имеет место на зажимах разомкнутой машины.

Утверждение, что электродвижущая сила равна сумме падений напряжения, правильно, но и оно не всегда может служить определением. Если в цепи содержится несколько источников, то что такое электродвижущая сила одного из них? Приведенные „определения“ не могут ответить на этот вопрос. Иных же определений в учебниках обычно не встречается, и ничего нет удивительного, что при таких условиях „понимание“ закона Ома в большинстве случаев не идет дальше привычки применять формулу к ограниченному числу тривиальных примеров.

Чтобы поправить дело, нам представляется необходимым вести преподавание электричества таким образом, чтобы учащиеся

Черт. 1.

* Доложено на заседании научно-методического совещания при Институте политехнического образования.

Прим. ред.

** Эта задача была в свое время предложена проф. Я. Н. Шпильрейном.

получали правильные и достаточно общие определения основных понятий учения об электричестве, во-первых, и, во-вторых, чтобы основные законы электричества (в частности закон Ома) предстали перед учащимися не как голые формулы, не как просто численные соотношение между некоторыми величинами, а как равенства, выражающие некоторые идеи, как равенства, наполненные определенным физическим содержанием.

Настоящая статья заключает в себе изложение энергетического истолкования закона Ома. Наиболее существенной частью статьи является § 7.

§ 2. О так называемых точных определениях

Прежде, чем перейти к обещанному истолкованию, необходимо сделать некоторые замечания общего характера, касающиеся точности определений, даваемых в курсах физики.

Допустимо ли в преподавании физики давать учащимся „неточные“ определения? Чтобы уяснить себе смысл этого вопроса и чтобы на него ответить, рассмотрим в качестве примера определение понятия напряжения или разности потенциалов.

Одно из возможных определений таково: „Разность потенциалов двух точек электрического поля равна работе, совершаемой электрическими силами при перемещении единичного поло кительного заряда из первой точки во вторую“.

В этом определении имеется ряд неточностей, которые могут быть подразделены на неточности формально-логического порядка и неточности, так сказать, физические. Логическая неточность заключается в утверждении, что разность потенциалов равна работе. Это неверно прежде всего потому, что разность потенциалов и работа — величины различного рода, имеющие различную размерность и, следовательно, не сравнимые между собой. Утверждать, что разность потенциалов равна работе, строго говоря, так же нелепо, как, например, нелепо утверждать, что какая-нибудь длина равна промежутку времени — на том основании, что упомянутая длина равна 10 см, а промежуток времени 10 сек.

Это неверно еще и потому, что если из первой точки во вторую никто и никогда не перемещал единичного заряда, то никакая работа электрическими силами не совершалась, что не мешает, однако, существованию разности потенциалов.

Такие логические неточности часто стараются устранить заменой слова „равна“ словами „численно равна“, „измеряется“и т. п., причем многие авторы и преподаватели считают своим долгом подробно разъяснять учащимся различие между этими выражениями, правильность одних и неправильность других. Мы позволим себе высказать здесь следующую мысль: логическая точность определений имеет очень отдаленное отношение к физике и хотя сама по себе является, конечно, желательной, но она становится вредной, коль скоро отвлекает внимание учащихся и преподавателей от физики и направляет это внимание в сторону (по совести говоря схоластики. В большинстве случаев формальные неточности определений не ведут к сколько-нибудь существенным недоразумениям, и если внимание учащихся достаточно фиксируется на физической сущности вопроса, то понятия о работе и потенциале не путаются между собой.

Приведем два примера, иллюстрирующие несущественность формальных неточностей.

1. Почти всегда определяют удельную теплоемкость как количество тепла... и т. д. и почти никогда и никто понятия количество тепла и удельная теплоемкость не путает.

2. Достаточно посмотреть с должным вниманием на формулу термического расширения, чтобы убедиться в том, что коэфициент расширения имеет размерность „градус в степени минус единица“. Однако почти все физики считают термические коэфициенты отвлеченными числами, и это до сих пор не повлекло за собой ни одного несчастья.

Гораздо более существенными являются неточности „физические“, между тем как на эти неточности сплошь и рядом обращается гораздо меньше внимания.

Возвращаясь к приведенному определению разности потенциалов, заметим, что если попытаться измерить работу, совершаемую при перемещении единичного заряда в поле заряженного проводника, то найденная работа не будет равна разности потенциалов даже численно. Это произойдет потому, что вследствие явления электростатической индукции при перемещении единичного заряда в поле будут перемещаться заряды на проводнике.

В точном определении понятия о разности потенциалов обязательно должно быть так или иначе указано, что при измерении разнести потенциалов заряды, вызывающие поле, должны оставаться неподвижными, а для этого иногда придется перемещать достаточ-

но малый пробный заряд, а работу единичного заряда вычислять.

Если все совершенно необходимые оговорки включить в определение, то определение получится столь громоздким, что сделается совершенно недоступным для начинающего; поэтому точность представлений должна достигаться не нагромождением тончайших и искуснейших оборотов речи, а подробным анализом явлений, в чем, между прочим, и состоит задача науки и ее преподавания. Само собой разумеется, что почти ни одно понятие не может быть преподнесено учащимся сразу во всей своей полноте, а поэтому весьма существенные неточности физического порядка подчас совершенно неизбежны вначале. Необходимо только иметь в виду эти неточности и оговаривать их и уточнять определения, как только к этому представится реальная возможность, т. е., как только учащиеся познакомятся с явлениями, на которых могут быть выяснены реальное значение и необходимость различных оговорок и тонкостей. При первом же знакомстве с тем или иным понятием почти неизбежны некоторые схематичность, упрощение, приближенность, „неточность“ представлений, и в этом нет большой беды.

В частности, обратим внимание на одну неточность, касающуюся понятия о потенциальной энергии.

Почти всегда говорят, что камень, поднятый над поверхностью земли, обладает потенциальной энергией.

Одна из весьма существенных неточностей такого утверждения заключается в том, что в сущности нельзя приписывать потенциальную энергию камню. Нужно считать, что этой энергией обладает или система, состоящая из земли и камня (точка зрения дальнодействия), или то поле тяготения, которое имеется в окружающем пространстве (точка зрения близкодействия). В той же мере неточно утверждение, что заряд, помещенный в электрическое поле, обладает потенциальной энергией. Все это так же неточно, как утверждение, что при растяжении пружины мы сообщаем потенциальную энергию тому концу, который при этом растяжении перемещается. Всякому понятно, что в действительности энергия сообщается всей пружине, а не ее концу.

И, тем не менее, нет никакого смысла, и даже вредно при первом знакомстве с понятием о потенциальной энергии, оглушать учащихся рассуждениями о „системе“ или о „гравитационном поле“. Эти представления должны являться позже.

Не будет никакой беды, если при первом знакомстве с физикой учащийся будет считать, что потенциальной энергией обладает поднятый над землей камень или помещенный в электрическое поле заряд. Последним, безусловно неточным, представлением мы воспользуемся в § 4.

§ 3. Закон Джоуля-Ленца и понятие о сопротивлении

Для полноты картины ниже приводится схема одного из возможных порядков изложения основных законов электричества; однако следует особо подчеркнуть, что приводимое истолкование закона Ома ни в коем случае не связано именно с этой схемой. Хотя автору этой статьи естественно кажется, что излагаемый подход очень хорош, но он все же не представляется сколько-нибудь обязательным: истолкование же закона Ома, возможное при любом подходе и при любом порядке изложения, представляется совершенно необходимым по причинам, уже изложенным в § 1.

Почти всегда изложение учения об электричестве начинается с простейших явлений электролиза, на которых легко выяснить понятия о количестве электричества и о силе тока.

После этого представляется в высшей мере целесообразным перейти к изложению закона Джоуля-Ленца, при котором должно быть введено понятие о сопротивлении. Следующие три положения аргументируют эту целесообразность.

1. Наиболее правильное представление о сопротивлении получается именно в связи с тепловым эффектом тока,

2. Предварительное изложение закона Джоуля-Ленца открывает интересные возможности подхода к закону Ома.

3. Закон Джоуля-Ленца прост и потому легко усваивается.

Закон Джоуля-Ленца естественнее всего излагается как установленная на опыте пропорциональность между количеством выделяемого тепла и произведением квадрата силы тока на время, причем выясняется, что, кроме того, количество выделяемого тепла зависит от проводника, по которому течет ток. В разных проводниках при прочих равных условиях выделяется различное количество тепла. Количество тепла, выделяющееся в проводнике в секунду при токе в один ампер, служит мерой электрического сопротивления этого проводника. Сопротивление проводника принимается за единицу, если при указанных

условиях в нем выделяется один джоуль тепла. После таких, примерно, рассуждений, нетрудно написать закон Джоуля в форме:

Q = I*Rt, (3)

если количество тепла Q выражено в джоулях, или в форме (2), если то же количество тепла выразить в малых калориях.

Можно тут же выяснить зависимость сопротивления от длины, сечения и т. д. или с тем же успехом можно отложить это до того, как будет изложен закон Ома.

§ 4. Превращения энергии в цепи постоянного тока

Пожалуй, лучше всего было бы истолковать законы постоянного тока, исходя из представлений Пойнтинга о потоке энергии, но, к сожалению, с законами постоянного тока приходится знакомиться неизбежно и гораздо раньше, чем с представлением Пойнтинга, и этот путь истолкования, таким образом, закрыт. Остается сделать попытку более грубого, не вполне точного истолкования, что гораздо лучше сообщения голых формул.

Вполне заслуженной популярностью при объяснениях законов электрического тока пользуются гидродинамические аналогии. Эти аналогии чрезвычайно полезны, нужно только сравнивать электрическую цепь не с водопадом или ручьем, а с замкнутой системой труб, включающей в себя насос. При этом надо обращать внимание учащихся главным образом на то, что жидкость в местах большого напора обладает большей потенциальной энергией; на то, что потеря напора в трубе есть не что иное, как превращение этой потенциальной энергии в тепло; что если в какое-либо место трубы включить турбину, то в ней тоже будет происходить потеря напора, но тут уже главная часть потенциальной энергии не будет превращаться в тепло, а будет передана на вал турбины.

Заметим, во-первых, что, быть может, лучше подойдет для аналогии не жидкость, а газ, циркулирующий в замкнутой системе труб, но это уже дело вкуса. Во-вторых,— что не обязательно,— все детали этой аналогии желательно излагать сразу.

Очень важно обратить внимание учащихся на то, что напор, характеризующий потенциальную энергию, поднимается насосом и постепенно падает во „внешней цепи“.

На основе такой аналогии можно следующим образом разъяснить явления, происходящие в замкнутой цепи постоянного тока.

В источнике какая-либо „посторонняя“ энергия (например химическая) превращается в потенциальную электрическую энергию. К плюсу источника подается электричество, обладающее высокой потенциальной энергией (вот она, неточность-то). По мере перемещения электричества во внешней цепи происходит превращение электрической энергии в различные другие виды и чаще всего в тепло. Следует обратить внимание на два обстоятельства: на то, что движение электричества и превращение энергии совершается одновременно во всей цепи, и на то, что каждой точке цепи соответствует определенное значение потенциальной энергии (приходящейся хотя бы на единицу количества электричества). Наименьшая потенциальная энергия имеет место у минуса источника. Израсходовав энергию, электричество вливается в источник, проходя который, вновь приобретает энергию.

Вся эта энергетическая картина явлений, происходящих в цепи постоянного тока, позволяет ввести понятие об электрическом напряжении или о разности потенциалов: разность потенциалов есть разность потенциальных энергий, которыми обладает единица количества электричества в двух данных точках цепи. Иначе: разность потенциалов на концах какого-либо участка цепи есть убыль потенциальной энергии, приходящейся на каждую единицу количества электричества, проходящего по данному участку.

Все приведенные ранее рассуждения вплотную подводят к понятию о напряжении; поэтому и естественно ввести здесь это понятие, однако свое полное развитие это понятие получит только после того, как будет дан закон Ома, который позволит изыскать способ измерения напряжения. Что же касается единицы напряжения, то ее можно ввести и в этом месте, определив вольт как разность потенциалов, при которой каждый кулон электричества теряет один джоуль потенциальной энергии.

Возможен и другой вариант: понятие о напряжении можно ввести тогда, когда будет выясняться закон Ома.

§ 5. Закон Ома для участка цепи, не содержащего электродвижущих сил

Участок цепи называется не содержащим электродвижущих сил, если в нем не происходит никаких превращений энергии, кроме превращения потенциальной энергии электричества в джоулево тепло.

Из этого определения и из закона сохранения энергии вытекает, что убыль потенци-

альной энергии электричества должна быть равна получившемуся джоулеву теплу:

Ve = PRt, (4)

где V — разность потенциалов, е — количество прошедшего электричества, а следовательно, Ve — убыль потенциальной энергии. Разделив (4) на:

с —It (5)

получим:

V=/R (6)

равенство, смысл которого нетрудно истолковать на основании сказанного ранее: убыль потенциальной энергии, приходящаяся на единицу количества электричества (I/), равна джоулеву теплу, выделяющемуся при прохождении той же единицы заряда (Л?).

Величина IR называется падением напряжения внутри данного участка цепи.

Только что сказанное и представляет собой энергетическое истолкование закона Ома. Повторяем, что нет необходимости следовать изложенному здесь ходу мыслей, чтобы дать такое истолкование. Если закон Ома установлен как-либо иначе, то стоит только, перемножив почленно равенства (5) и (6), получить равенство (4), чтобы получить вместе с тем и возможность такого истолкования.

Было бы печальным заблуждением рассматривать (6), как определение разности потенциалов. V равно IR только при определенных условиях, формулированных в начале параграфа. Понятия „напряжение“ и „падение напряжения“ суть разные понятия. Первое всегда характеризует убыль потенциальной энергии электричества, второе — количество выделяющегося тепла.

При желании ввести понятие о напряжении при изложении закона Ома можно поступить так: обозначив убыль потенциальной энергии или работу электричества хотя бы буквой U, пишем уравнение энергетического баланса:

U = PRt. (7)

Разделив это на (5), получим:

т=т> (8)

и теперь левую часть, представляющую убыль потенциальной энергии единицы количества электричества, можно назвать напряжением и обозначить буквой V.

После того как закон Ома так или иначе изложен, весьма желательно несколько развить представление о напряжении, обратив внимание учащихся на то, что если два проводника соединены параллельно, то падения напряжения в обоих будут одинаковы. Это можно подтвердить экспериментально, показав, например, что если параллельно соединить два различных по длине куска одной и той же проволоки, то силы токов будут обратно пропорциональны длинам, а следовательно, и сопротивлениям. Это можно и объяснить, обратив внимание на то, что потенциальная энергия, приходящаяся на единицу заряда в точке разветвления и в точке схода токов, имеет совершенно определенные значения; следовательно, убыль этой энергии вдоль обоих проводов одна и та же.

Если равенство напряжений в параллельных ветвях выяснено, то это прежде всего вскрывает самую существенную черту понятия о напряжении: работа, совершаемая единицей количества электричества между двумя точками, не зависит от пути. Тут снова весьма уместны аналогии, в частности с силой тяжести.

Далее открывается возможность объяснить действие вольтметра как амперметра с большим сопротивлением, показания которого умножены на его собственное сопротивление, включаемого параллельно участку, разность потенциалов на концах которого желательно измерить.

§ 6. Закон Ома для замкнутой-цепи

В § 5 закон Ома для участка цепи, не содержащего электродвижущих сил, представлен в качестве энергетического баланса. Так же представляется и закон Ома для всей цепи.

Джоулево тепло, выделяемое во всей цепи, получается там за счет энергии, отдаваемой источником. Обозначив последнюю через U, получаем :

U=I2Rt. (9)

Равенство (9) только внешне повторяет равенство (7). Значения U и R тут другие. В частности R теперь сопротивление всей цепи. (Можно было бы написать R-\-r.)

Поступая попрежнему, обозначим:

%-=Е. (10)

Величина Е называется электродвижущей сил ой источника. Это — энергия, отдаваемая источником каждой единице количества электричества, проходящего через источник.

Закон Ома для всей цепи получается в виде:

£ = //?. (11)

Это равенство выражает следующее: при прохождении по замкнутой цепи единицы количества электричества в цепи выделяется тепло, количество которого (//?) равно энергии, затраченной при этом источником (Е). Короче говоря, электродвижущая сила равна падению напряжения во всей цепи. Не надо только думать, что электродвижущая сила есть падение напряжения во всей цепи. Если в цепи несколько источников, то ни один из них не имеет электродвижущей силы, равной падению напряжения во всей цепи. Приведенное же выше определение электродвижущей силы является вполне общим и, по мнению автора, должно обязательно фигурировать в курсе элементарной физики. Желательны, конечно, разъяснения в том духе, что электродвижущая сила есть не сама энергия, а особое свойство источника, измеряемое этой энергией, и что даже в том случае, когда ток равен нулю, и, следовательно, никакая энергия не отдается, электродвижущая сила все же может иметь место.

§ 7. Общее выражение закона Ома

Совершенно отчетливое понимание явлений, происходящих в цепи постоянного тока, возможно только на основе выражения закона Ома в более общей форме, чем (6) и (11), вместе взятые. Такой формой является закон Ома для участка цепи, содержащего электродвижущую силу. На основе данных определений напряжения (§ 4), падения напряжения (§ 5) и электродвижущей силы (§ 6) легко составить энергетический баланс для участка цепи, содержащего электродвижущую силу. В таком участке джоулево тепло выделяется за счет убыли потенциальной энергии плюс за счет энергии, отдаваемой источником. Следовательно :

V+E = IR. (12)

Это и есть искомое обобщение закона Ома. Из формулы (12) можно получить ряд важных следствий.

1. Применяя ее для участка цепи, не содержащего электродвижущих сил, достаточно положить:

Е = 0,

чтобы получить формулу (6).

2. Можно получить как частный случай формулы (12) закон Ома для замкнутой цепи. Для этого достаточно представить себе замнутую цепь как „участок“, у которого начало совпадает с концом. Для такого „участка“, очевидно:

v=o,

а, следовательно, получается выражение (11).

3. Применяя формулу (12) к разомкнутому источнику или вообще к источнику, в котором сила тока почему-либо равна нулю, получим:

V= — E. (13)

Чрезвычайно важное равенство! Оно показывает, что на зажимах разомкнутого источника имеет место разность потенциалов, равная и противоположная электродвижущей силе. Разность потенциалов на зажимах проводника (все источники — проводники, источников-изоляторов нет) имеет место при 1 — 0, т. е. при равновесии электричества, Это возможно только потому, что, кроме этой разности потенциалов, существует электродвижущая сила, препятствующая выравниванию потенциалов, препятствующая движению электричества.

Здесь очевидной становится ложность „определений“ электродвижущей силы, приведенных в § 1.

4. Вычислив на основании равенства (12) количество тепла, выделяющегося внутри данного участка, получим:

PRt=I(V+E)t; (14)

отсюда видно, что действительно формула (1) справедлива только для участков, не содержащих электродвижущих сил. Другими словами, формула (1) неправильна в применении к любому источнику электрической энергии, к заряжающемуся аккумулятору, к электролитической ванне, к мотору, вообще неправильна для переменного тока, неправильна в столь большом числе случаев, что лучше ее не писать вовсе. Во всяком случае не следует этой формуле давать название закона Джоуля-Ленца, весьма общего закона электричества.

5. Если участок цепи содержит электромотор, заряжающийся аккумулятор и т. п., то в этом участке, кроме превращения электрической энергии в тепло, имеет место превращение электрической энергии и в другие виды (механическую, химическую и т. д.). По определению, данному в § 6, такой участок содержит отрицательную электродвижущую силу. Если абсолютную величину этой электродвижущей силы обозначить Е, то из формулы (12) вытекает выражение:

обычно применяемое в таких случаях.

§ 8. Иллюстрации

Обобщенный закон Ома почти невозможно найти в русской литературе, поэтому уместно будет иллюстрировать его самыми простыми примерами. Попутно рассмотрим чрезвычайно полезные графики, изображающие распределение потенциалов в электрической цепи.

Пример 1. Элемент с электродвижущей силой в 1,5 V и с внутренним сопротивлением в 0,5 й включен в цепь так, что внутри элемента течет ток силой в 5 А от минуса к плюсу (т. е. так, как обычно течет ток внутри работающего элемента). Падение напряжения внутри элемента будет:

/# = 5.0,5 = 2,51/.

Разность потенциалов на зажимах:

V = //? — £ = 2,5 — 1,5 = 1 V.

Это значит, что при прохождении каждого кулона электричества в элементе выделяется 2,5 джоуля тепла. Это тепло получается за счет электрической энергии, доставляемой, во-первых, источником (1,5 джоуля) и, во-вторых, чем-то внешним по отношению к рассматриваемому участку цепи (1 джоуль). Очевидно, что кроме данного элемента в цепи имеется и еще какой-то источник.

Распределение потенциалов для этого случая представлено на чертеже 2. Представленное там сопротивление изображает внутреннее сопротивление элемента. Обычный знак элемента символизирует электродвижущую силу. Распределение потенциалов вдоль участка изображено в верхней части чертежа упрощенно, так, как если бы электродвижущая сила имела место в одном единственном сечении. (В действительности, в случае гальванического элемента электродвижущая сила представляет собою сумму электродвижущих сил, действующих в местах соприкосновений различных веществ, из которых составлен элемент.)

Отмеченный скобкой отрезок изображает разность потенциалов на зажимах элемента, электродвижущая сила изображена скачком потенциала, наконец падение напряжения представляется суммой спусков наклонных частей графика.

Пример 2. Тот же элемент выключен из цепи предыдущего примера и замкнут на внешнее сопротивление в 4,5 Ö.

Тогда сила тока в цепи (и в элементе):

Падение напряжения внутри элемента:

7/? = 03.0,5 = 1,151/.

Разность потенциалов на его концах:

V = IR — £=0,15 — 0,5 = —1,351/.

Знак минус указывает, что в элементе ток течет от „минуса“ к „плюсу“, от низшего потенциала к высшему. Иными словами, проходя сквозь элемент, каждый кулон электричества приобретает запас потенциальной энергии в 1,35 джоуля. Эта энергия получается в результате того, что элемент отдает каждому кулону проходящего электричества 1,5 джоуля, из которых 0,15 джоуля превращаются в тепло внутри элемента.

Черт. 2.

Черт. 3.

Черт. 4.

Такое решение могло бы помочь учащимся избежать обычного и вполне законного недоумения: почему для вычисления напряжения на зажимах источника нужно силу тока множить на сопротивление внешней цепи?

Распределение потенциалов можно видеть на чертеже 3.

Пример 3. На чертеже 4 можно видеть распределение потенциалов на участке цепи, содержащем отрицательную электродвижущую силу. В этом случае потенциальная энергия (Уа—V2), доставляемая извне, отчасти преввращается в какую-то постороннюю энергию (Е), а остальная — в тепло (//?).

В заключение позволим себе высказать убеждение, что столь важный вопрос физики, как закон Ома, не должен оставаться в преподавании без подобающего физического истолкования.

НАБОР ПО МЕХАНИКЕ ГЛАЗЫРИНА

А. ГЛАЗЫРИН (Уфимский физический институт)

Физика должна была бы быть одной из наиболее любимых наук среди школьников, она привлекает к себе любознательность учащихся порой не только захватывающим материалом, его жизненностью, его непосредственной связью с техникой, но и демонстрациями изучаемых явлений. Однако сейчас это часто бывает далеко не так. Только богато и умело иллюстрированный опытом материал становится наглядным, легко и с большим интересом усваивается учащимися. Громадную притягивающую силу имеют и лабораторные работы, если они умело поставлены и достаточно обеспечены приборами и оборудованием.

Наиболее плохо в этом отношении обстоит дело с механикой. Нередко учащиеся скучают при изучении этого важного отдела физики, и одной из главных причин этой скуки является слабое оформление демонстративной стороны преподавания. Небольшое количество и невысокое качество приборов, имеющихся в настоящее время на рынке, позволяет производить лишь небольшое число опытов, часто методически не удовлетворительных, оставляя в стороне многие отделы механики и предоставляя их слову в соединении с мелом и доской.

Физико-техническая лаборатория Уфимского физического института (Башкирия) задалась целью заполнить этот пробел и пополнить отдел механики опытами, сконструировав соответствующие приборы.

Готовый прибор, предназначенный для одного или нескольких родственных опытов ставит преподавателя в узкие рамки как в смысле количества возможных опытов, так и в смысле их методики. Застывшие формы конструкции готового прибора преподавателю невозможно изменять, а конструкция прибора тесно связана с методикой демонстрации того или иного явления.

Работая над поставленной перед лабораторией задачей, я пришел к мысли, что следует конструировать не отдельные приборы с готовыми формами, а штатив, на котором можно было бы учителю собирать прибор из отдельных частей. Таким образом, предстояла задача сконструировать набор по механике, который позволял бы преподавателю демонстрировать любой вопрос из области механики с той полнотой, которая ему желательна, в той модификации, которая кажется ему наиболее целесообразной, не ограничивая его мертвыми конструкциями готового прибора. Этот набор должен позволять опытно решить ту или иную задачу из области механики, дать преподавателю широкий простор в деле исканий новых демонстраций, новых методов эксперимента, а учащимся дать неисчерпаемый материал для лабораторных работ с моментами исследования, конструирования, изобретательства.

При конструировании прибора я решил учесть еще следующее:

а) Дать частям набора возможно простые формы, легко зарисовываемые учащимися.

б) Штатив сделать настолько простым, чтобы его как подсобное приспособление уча?циеся не рисовали, чтобы он был мало заметен и не отвлекал внимания учащихся, а был бы фоном, на котором собранные части резко выделялись.

в) Придать установкам схематичность, выпукло подчеркивающую основное изучаемое явление, избегая побочных, ненужных для данного опыта частей, усложняющих установку и отвлекающих учащихся от основной идеи установки.

г) Конструкция частей и штатива должны быть таковы, чтобы быстро, на глазах у уча-

щихся, собирать ту или иную установку, позволяя ее широко варьировать, выявляя значение частей и смысл их расположения.

д) Установки должны отличаться четкостью и точностью, собранный прибор должен быть чувствительным, давать хорошие результаты и позволять широко варьировать количественные данные вопроса, что дало бы возможность использовать этот набор для решения задач.

е) Наконец, конструкции частей и штатива должны быть просты, легко выполнимы из всегда имеющегося материала.

В марте—апреле 1935 г. набор этот демонстрировался мною в Москве в Физико-технической лаборатории Центрального научно-исследовательского института политехнического образования на научно-методическом совещании при институте, на совещании массового учительства г. Москвы, при том же институте, и получил полное одобрение и пожелание, как можно скорее ввести его в кабинетах семилеток, десятилеток, техникумов и педвузов.

На совещании же было вынесено пожелание о том, чтобы автор составил подробное методическое руководство по работе с сконструированным им набором.

Комиссия Наркомпроса также утвердила этот набор и разрешила Уфимскому физическому институту начать массовый выпуск набора*.

Перейду теперь к краткому описанию набора.

Универсальным штативом служит деревянный щит черного цвета. Он является как бы сценой, на которой разыгрывается то или иное изучаемое явление. Щит состоит из отдельных узких досок, прикрепляемых к общим планкам клиньями. Между досками могут быть оставляемы щели, в которые крепятся части набора такими же клиньями. Щит прочно стоит на столе на ножках и его можно ставить как с вертикально (рис. 5 — 9), так и горизонтально расположенными щелями.

Иногда щит приходится класть горизонтально на стол и тогда он опирается, кроме ножек, на соответствующие подставки (рис. 10). Можно для некоторых опытов щит укреплять и наклонно к столу. Щит этот простой и не отвлекает внимания учащихся от частей, укрепленных на нем. При зарисовке опыта учащиеся могут вовсе не рисовать щита.

Почти все части набора выполнены из сухого березового дерева; металл применен только там, где без него нельзя было обойтись.

На рисунке 1 показаны части из набора № 2 для полной средней школы. По этому снимку можно составить представление об этом наборе.

Чтобы дать более реальное представление о наборе и возможностях при работе с ним, опишу несколько опытов и иллюстрирую их фотоснимками с установок или чертежами.

Возьму самые элементарные опыты: сложение и разложение сил. Правда, для демонстрации сложения и разложения сил, как под углом, так и параллельных, имеется не мало готовых приборов, укажу на параллелограм по Фрику и прибор Гравезанда для параллельных сил. Но во всех этих приборах демонстрируется учащимся не замена данных сил равнодействующей, а уравновешивание данных сил одной, равнодействующую же учащимся приходится только воображать. На своем наборе я демонстрирую этот опыт иначе. Я непосредственно ищу равнодействующую, непосредственно действие слагаемых сил заменяю действием равнодействующей.

Рис. 1.

* В настоящее время Уфимский физический институт спешно готовится к освоению производства набора и предполагает первую партию выпустить к началу следующего учебного года (сентябрь 1935 г.).

Наборы предположено выпускать следующими комплектами:

1. Демонстрационный набор для неполной средней школы.

2. Демонстрационный набор для полной средней школы и техникумов.

3. Для лабораторных работ в полных средних школах и техникумах.

4. Дополнительный комплект № 4 к комплекту № 2 для педвузов.

5. Дополнительный комплект № 5 к комплекту № 3 — для обслуживания школьных кружков по физике.

В первую очередь Уфимский физический институт предполагает выпускать два комплекта: № 1 и № 2.

Возьмем правило параллелограма сил. На некоторую точку О тела (неправильной формы— небольшой кусок легкого картона) под углом действуют две силы: Р и Q (рис. 2). Силы эти представлены нитями, которые крючочками продеты в одно отверстие в картоне (приложены к одной точке), перекинуты через блоки и отягчены некоторыми грузами. Кусочек картона удерживается в некотором положении резиной, укрепленной одним концом к крючку К, а другим — к картону в точке О. Малейшее изменение величины или направления действующих сил меняет положение картонного тела относительно щита, что легко обнаружить, укрепив на щите лист бумаги и очертив мягким карандашом контур картона. Чтобы доказать, что действие двух сил, приложенных к одной точке, мы можем заменить действием одной силы, равной по величине и направлению диагонали параллелограма, построенного на этих силах, мы на том же листе бумаги наносим направление действующих сил (направление нитей), откладываем на этих направлениях от точки их пересечения отрезки, пропорциональные силам, и строим параллелограм.

Измеряем в том же масштабе длину диагонали и по ее направлению тянем третью нить R (лучше отличную от первых по цвету, например красную), перекидывая ее через соответственно укрепленный блок. В ведерко насыпаем тару так, чтобы вес ведерка соответствовал длине диагонали параллелограма и, убрав грузы с слагаемых сил (но не убирая нити, которые показывают направление слагаемых сил), подвешиваем к третьей нити ведерко. „Тело“ под действием этой одной силы примет точно такое же положение, какое занимало под действием двух слагаемых сил. Мы заменим действие двух сил действием одной — равнодействующей. Малейшее изменение величины груза ведерка или положение блока выведут картонное тело из замеченного нами положения. Только сила, равная, как по величине, так и по направлению диагонали параллелограма, построенного на этих силах, является равнодействующей, и никакая другая не сможет заменить действия этих сил.

Не менеее эффектен опыт сложения параллельных сил. Рычажную планку, отягченную грузами, подвешиваем на два динамометра за точки а и b (рис 3).

Динамометры в свою очередь подвешены на крючки /С и /С, с помощью нити, соединяющей их так, чтобы они были параллельны друг другу.

Динамометры, имеющиеся в наборе, устроены оригинально: из черной трубки выдвигается трубка, разделенная на части, ярко раскрашенные в белый и красный цвета. Каждое деление динамометра соответствует 50 г действующей на динамометр силы. Такой динамометр очень демонстративен: показания динамометра видны издалека.

Планка, вытягивая динамометры, удерживается двумя параллельными силами, величины которых соответствуют показаниям динамометров (на рис. 3 в 3 и 4 единицы). Третий динамометр укрепляем за любую точку планки между приложенными силами и пытаемся, натягивая этот динамометр хотя бы посредством нити, перекинутой через крючок (как на чертеже), заменить действие двух динамометров одним. Это удастся только тогда, когда отношение расстояний точки приложения силы 3-го динамометра с до точек приложения двух первых, обратно пропорциональны силам, указываемым первыми двумя динамометрами. В этом случае, по мере натяжения 3-го динамометра, исчезают две слагаемые параллельные силы и заменяются одной равнодействующей, равной их сумме (рис. 4). Этот опыт очень эффектен, нагляден и методически стоит выше опыта Гравезанда.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Конечно, вышеописанные опыты, да и многие другие, можно поставить и не имея описанного набора, пользуясь имеющейся в физкабинете аппаратурой, но каждый опыт требует специального, порой довольно сложного приспособления, которые надо выдумывать и которые не всегда приходят в голову. На моем щите с набором все приспособлено, и массу установок можно произвести без всяких побочных приспособлений.

В этой статье я не могу останавливаться на подробном изложении возможностей набора, так как они почти неисчерпаемы. За время исследования в лаборатории полный набор позволил поставить около 500 опытов из всех отделов механики, но и этими опытами возможности набора не исчерпаны, однако для более ясного представления об этом наборе приведу несколько фотоснимков с кратким описанием установок.

Наклонная плоскость, условия равновесия сил при тяге, параллельной наклонной плоскости (рис. 5 и 6).

Рис. 5.

Рис. 5.

Прибор позволяет давать плоскости любой наклон вплоть до 90°. Определяется не только сила (параллельная плоскости), удерживающая груженую тележку на этой плоскости, но и сила, уравновешивающая нормальное давление тележки на плоскость. По достижении равновесия плоскость можно убрать, и тележка останется висеть в воздухе (рис. 6).

Рис. 7.

Можно определять и горизонтальную силу, удерживающую скатывающееся тело с какой-либо плоскости.

Законы трения изучаются на этом наборе очень подробно. Рисунок 7 дает понятие об установке, изучающей зависимость трения второго рода от величины нагрузки. Заменяя катки другими, меньшего диаметра, легко находим зависимость трения от диаметров катков. Подкладывая под катки различные пластинки, выявляем зависимость трения от состояния поверхности и твердости поверхности качения.

Наличие зубчатых колес, зубчатой рейки, шкивов, винта, гайки и других частей, позволяет собирать массу опытов по прикладной механике.

Рис. 8.

Рис. 9.

Рис. 10.

Рисунок 8 дает картину установки червячной тали с диференциальным блоком, собранной из комплекта № 2, а рисунок 9 показывает, что оси друг к другу можно крепить под любым углом. На снимке изображено сцепление зубчатых колес под произвольным углом.

Набор позволяет быстро собрать хорошую центробежную машину, к которой подойдут приборы от обычных центробежных машин, но которая обладает тем преимуществом, что может иметь две оси, вращающиеся с выбираемым по желанию преподавателя отношением угловых скоростей, что позволяет хорошо и глубоко изучать законы центробежной силы инерции. Установка, показывающая один из способов изучения центробежной силы инерции с поверкой формулы, а именно, способом обрыва нити, изображена на рисунке 10.

В двух насадках закреплены горизонтальные стержни с свободно насаженными на них грузами. Грузы нитями удерживаются на определенных расстояниях от осей вращения, которые рассчитываем так, чтобы при данном соотношении угловых скоростей центробежные силы инерции у обоих грузов были все время одинаковы. Постепенно увеличивая число оборотов „центробежки“, убеждамеся, что обрыв нитей на обоих стержнях произойдет одновременно, что учащимся будет слышно по одновременным ударам грузов в наконечники стержней.

В наборе имеются приспособления для подробного изучения теории рычажных и десятичных весов, очень хорошо и подробно изучаются основные законы механики Ньютона, хорошо выявляются понятия о скоростях, средней и истинной в данное мгновение, об ускорении.

Работа, мощность, энергия, удар упругих и неупругих тел с опытной поверкой всех встречающихся в курсах формул, — все это отчетливо демонстрируется на данном наборе.

Заканчивая краткое описание набора, считаю своим долгом указать, что немалую помощь в деле обработки соответствующей литературы и исследования опытов на наборе, продуманных мною, оказал научный сотрудник физико-технической лаборатории — мой помощник Сергей Павлович Архангельский, внезапно скончавшийся 16 апреля 1935 г.

ПРОСТОЙ ВЫСОТОМЕР*

В. ВАСИЛЬЕВ (Москва)

Знакомя учащихся на любом концентре курса физики с отделом аэростатики, всегда приходится разбирать вопрос об уменьшении атмосферного давления по мере удаления от поверхности земли; в настоящее время необходимо даже подробнее говорить об этом, учитывая запросы горного спорта, авиации, планеризма, изучения стратосферы и т. п.

Зависимость атмосферного давления от высоты необходимо, конечно, подтвердить наглядным классным опытом, для чего обыкновенный анероид мало пригоден: чтобы показание его уменьшилось на 1 мм, надо подняться с ним на 10 с лишним метров, т. е. на высоту =^ 3 этажей. Между тем, крайне, по-моему, важно наглядно показать изменение давления при любой незначительной разности высот, лучше всего в пределах классной комнаты.

Лет 15 тому назад мне впервые попал в руки очень чувствительный заграничный альтиметр, по форме и размерам немного побольше карманных часов; он отчетливо показывал разность давлений на столе и на полу, т. е. на расстоянии ^ \ м. Тогда же у меня мелькнула мысль соорудить своими силами приборчик такой же примерно чувствительности, приспособив для этого манометр с какой-нибудь легкой жидкостью. Однако осуществить это намерение удалось лишь года 3 тому назад, — и с тех пор микробарометр мой успешно демонстрирует учащимся изменение атмосферного давления при разности уровней в 2 м, т. е. в пределах класса.

Первый вариант прибора устроен так (рис. 1): сквозь резиновую пробку Л, плотно замыкающую двухлитровую колбу, пропущены две трубки: В — коротенькая, открытая на обоих концах трубка с куском резины на конце, замыкаемом стеклянной палочкой, и трубка С—манометр, 20 см длиной, также замыкаемая на своем открытом конце стеклянной палочкой. Манометрическая жидкость— подкрашенный керосин. Колба целиком помещается в объемистом картонном цилиндре с крышкой, сквозь которую выходят наружу лишь трубки В и С; колба обернута войлоком, а зазоры между нею и стенками картонки — минимум 2—3 см — заполнены древесными опилками; дно картонки лучше сделать для прочности из дерева.

В этой первой модели скоро обнаружился значительный недостаток: оказался слишком короток, манометр (20 см); ведь керосин, примерно, в 17 раз легче ртути; следовательно, разность давлений наружного воздуха и воздуха в колбе, равная лишь 1,5 см ртути может выбросить жидкость манометра либо наружу, либо в колбу, если перед опытом открыть манометрическую трубку С; чтобы жидкость в этом приборе не выбросило, необходимо открыть трубку В, благодаря чему давление в колбе станет равным наружному давлению; наконец, открыв конец трубки С, выравниваем уровни жидкости в манометре. Самый опыт производится, конечно, при закрытом В и открытом С; хранить прибор следует, прочно заперев обе трубки.

Во втором моем приборе колба заменена полулитровой широкогорлой бутылкой „Союзмолока“, а манометр удлинен до 45 сл*; опасность выбрасывания жидкости стала, конечно, меньше; значит, отпала необходимость держать при хранении прибора оба отверстия закрытыми; оставляя же трубку С открытой, можно пользоваться прибором как чувствительным барометром, конечно, при условии постоянной температуры в комнате. Несмотря

Рис. 1. Рис. 2.

* Доложено на 11-м собрании научно-методического совещания при Институте политехнического образования 28 января 1935 г.

на сильное уменьшение емкости газового резервуара, прибор работает так же, как и первый, позволяя обнаруживать разницу давлений в пределах обычной комнаты. Эта вторая модель проигрывает в прочности: длинную манометрическую трубку, помещенную над картоном, легко сломать.

Всего рациональнее взять для построения прибора четвертную бутыль: манометр же поместить сбоку картона с бутылью, как это показано на рисунке 2; подобный прибор описан в книге Красикова—„Упрощенные приборы по физике“, изд. 1-е, 1923 г., стр. 84—85. Так как разница давлений на двух смежных этажах изменяет разность уровней керосинового манометра—и в любом из описанных приборов — более, чем на 0,5£л/, у меня возникла мысль поставить с этим прибором лабораторную работу, пользуясь им как высотомером для измерения им, например, высоты здания.

В самом деле, пусть нам известна плотность воздуха Ъь при данных в лаборатории условиях температуры и давлении Н\ ее учащиеся могут вычислить по известной формуле:

или же, еще проще, найти по таблице. Величину плотности подкрашенного керосина Ьк точно определяют при построении прибора; тогда вопрос о разности высот двух пунктов, например I и IV этажа, решают простой пропорцией, пользуясь правилом равновесия разнородных жидкостей в сообщающихся сосудах; если искомую разность высот обозначим через х, а наблюдаемое изменение разности высот манометра через Л, тогда очевидно

откуда нетрудно вычислить х.

Однако крайне простая теория этого метода дала на практике очень неважные результаты. Я проделал по нескольку раз измерения с каждым из описанных приборов, и ошибки получались не меньше 10—20%, всегда в сторону уменьшения измеряемой величины. Вот для примера одно из измерений, которое было произведено на четырех этажах Московского энерготехникума, причем показания манометра снимались на каждом из четырех этажей по два раза: при подъеме и при спуске; показания эти на всех этажах совпадали. Условия опыта: показание барометра //=75,4 см ртути; температура /=16° С. Этим условиям соответствует плотность воздуха — по таблице —

Результаты таковы:

cd

H

CD

Показания манометра

Изменение разности уровней с этажа на этаж (см)

Найденное расстояние X см

Действительное расстояние (см)

X в процентах

Правое открытое колено (см)

Левое закрытое колено (см)

Разность уровней (см)

I

II III

IV

18,20 18,45 18,75 18,95

19,20 18,90 18,70 18,35

— 1,00

— 0,45 + 0,05 + 0,60

0,55 0,50 0,55

686

377 343 377

409 439 427

7,8 22 11,7

ПРИБОР АТВУДА, ПОЛНОСТЬЮ ЭЛЕКТРИФИЦИРОВАННЫЙ

(Пособие к преподаванию механики во II концентре)

Б. ЯКОВЛЕВ (Ленинград)

Прибор Атвуда — один из наиболее распространенных приборов как в старой дореволюционной, так и в новой школе.

Но как раньше он чаще всего только украшал физический кабинет, так и теперь редкий преподаватель отваживается связываться с ним, предпочитая отыграться на наклонном желобе.

Причина этого — конструктивные недостатки прибора.

Мной сделана попытка устранить эти недостатки в корне и этим оживить этот полезнейший школьный прибор. Достигнуто это полной электрификацией прибора от осветительной сети с применением трансформатора „гном № 1“. С машины Атвуда, изготовляемой Вятскими мастерскими, снят массивный маятник со счетным приспособлением, к самому низу рейки приделан простой электромагнит (см. чертеж), назначение которого держать нижнюю гирю прибора. Электромагнит возбуждается переменным током от „гнома № 1“, a ключом, замыкающим цепь электромагнита, является простая медная пластинка, накладывающаяся на разрыв цепи у нижнего положения легкого секундного маятника, подвешенного к специальной доске, прибитой к стене аудитории или в соседней лаборантской комнате. Маятник сбивает накладку, размыкает цепь электромагнита, и движение системы гирь начинается. Как это отчетливо видно на схеме установки, одновременно маятник замыкает вторую, параллельную первой, цепь счетчика секунд (см. верхний конец маятника) и одновременно с началом движения гирь мы слышим первый удар счетчика, потом второй, третий и т. д. Ошибка на неправильный момент спуска устранена полностью и проще, чем это достигается механическим путем при механическом счетчике. Рейка и счетчик, конечно, могут быть помещены в любое место аудитории, даже в соседней комнате, хотя, конечно, желательно не разъединять отдельные части установки из педагогических соображений.

Еще небольшая деталь: звуковой счетчик может быть легко заменен или работать одновременно со световым — мигающей маловольтной лампочкой. Вся установка настолько проста, что может быть выполнена силами самого преподавателя.

Еще лучше было бы, если бы Вятские мастерские отказались от традиционного полупудового маятника и взялись за изготовление предлагаемых мной деталей к своей вполне себя оправдывающей рейке на трех уравнительных винтах.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

ПОЧЕМУ ВВЕРХУ АТМОСФЕРА ХОЛОДНЕЕ, ЧЕМ ВНИЗУ

Я. ПЕРЕЛЬМАН (Ленинград)

В рецензии Д. И. Сахарова на мою книгу „Знаете ли вы физику?“ (см. „Мат. и физ. в школе“ № 4, 1934) наряду с указанием бесспорных недосмотров книги имеется возражение, с которым никак нельзя согласиться. Оно относится к причинам понижения температуры тропосферы с высотою и свидетельствует о том, что вопрос этот недостаточно обсуждался в кругу преподавателей физики. Привожу соответствующее место рецензии:

„Автор полемизируя с учебником технической физики Лоренца в отношении охлаждения поднимающегося атмосферного воздуха, дает свое объяснение, являющееся только перефразировкой объяснения Лоренца. Расчет дает для температурного градиента в тропосфере, как известно, выражение -jçT-» где / — механический эквивалент тепла, т. е.

именно то, что указывает Лоренц. Физический смысл этого таков: скорость молекул воздуха при поднятии в поле тяжести убывает, и легко видеть, что квадрат средней квадратической скорости, определяющий температуру воздуха, изменяется пропорционально высоте поднятия“.

Рецензент включает общую поступательную скорость массы газа в тепловое движение его молекул. Если так вычислять температуру газа и принять в расчет, что молекулы земной атмосферы движутся вместе с нашей планетой вокруг Солнца со скоростью 30 км в сек., то для температуры воздуха получим чудовищное значение: Земля должна была бы сиять, как Солнце...

Кроме того: почему рецензент полагает, что скорость молекул в восходящем потоке воздуха убывает с высотой? Ведь в этом случае масса воздуха не брошена свободно вверх, а всплывает в более тяжелой среде, как пробка со дна сосуда.

Ясно, что теория, опирающаяся на такие доводы, не может быть верна. Объяснение, изложенное в моей книге, никак не является „перефразировкой объяснения Лоренца“, а исходит из совершенно иных соображений. Привожу далее соответствующий параграф из моей книги.

„Нет, быть может, другого вопроса, по поводу которого высказывалось бы столько недоуменья, как по вопросу о причине понижения температуры с высотой“,— писал лет сорок назад председатель Лондонского метеорологического общества Арчибальд. Слова его можно повторить и сейчас, потому что в наши дни тоже не часто приходится слышать правильное объяснение этого явления.

Обычно при объяснении довольствуются указанием, что атмосфера весьма слабо нагревается лучами Солнца, а получает свою теплоту от нагретой земной поверхности путем теплопроводности.

„Земля нагревается главным образом солнечными лучами. Через воздух эти лучи проходят свободно и не нагревают его. Но, падая на поверхность Земли, лучи отдают свою теплоту Земле. Уже от Земли нагревается и воздух, прилегающий к Земле. Поэтому понятно, что верхние слои воздуха холоднее, чем нижние“.

Такой ответ дал несколько лет тому назад один из наших популярно-научных журналов на вопрос своего читателя: „Почему вверху большой мороз?“

Однако в точно таких же условиях находится и вода в кастрюле, подогреваемой на примусе: вода получает теплоту через теплопроводность от нагретого дна посуды,— а тем не менее верхние слои имеют ту же температуру, как и нижние. Причина, конечно, в перемешивании нагреваемое снизу жидкости, в так называемой „конвекции“. Если бы атмосфера была жидка, то при подогревании снизу она имела бы одинаковую температуру внизу и вверху. В атмосфере газообразной также имеют место течения, обусловленные нагреванием: холодные верхние слои опускаются вниз, вытесняя оттуда теплые, — но все же температура не выравнивается. Почему?

На этот вопрос в некоторых солидных руководствах (например, в учебнике технической физики Лоренца*) находим следующий ответ, представляющийся весьма правдоподобным. Воздух, поднимаясь вверх, затрачивает для совершения этой работы энергию, которую заимствует из своего теплового запаса; каждый килограмм воздуха, поднимаясь в восходящем токе на 427 м, должен поэтому терять эквивалентное количество тепла,— в данном случае 1 б. калорию. Считая удельную теплоемкость воздуха равной около */4 калории, узнаем, что поднятие на 100 м должно сопровождаться понижением температуры нт 1° С. Примерно такое понижение и наблюдается в действительности.

Несмотря на удовлетворительное количественное согласие, изложенное сейчас объяснение совершенно ошибочно. Оно основано на грубо неправильном представлении, будто воздух в восходящем потоке совершает какую-то работу. Воздух этот столь же мало совершает работы, сколько и всплывающая в воде пробка. Пробка не охлаждается, поднимаясь со дна озера на его поверхность; не она совершает работу, а над ней совершается работа Точно так же поднимающийся воздух выносится вверх спускающимся холодным течением, которое и совершает работу его поднятия; работа

* Не следует смешивать этого автора с его однофамильцем, знаменитым физиком, основателем электронной теории.

эта выполняется за счет энергии падения холодной массы воздуха. Да и, кроме тсго, разве охлаждается выстреленная пуля, действительно совершающая работа своего поднятия? Нисколько: уменьшение ее кинетической энергии сопровождается увеличением потенциальной; баланс энергии соблюдается без превращения механической энергии в тепловую.

Теперь будет понятна ошибочность еще и другого объяснения холода в высоких слоях атмосферы: молекулы восходящего воздушного течения замедляют свое движение по мере поднятия, а уменьшение скорости молекул и есть ведь не что иное, как понижение температуры. Это тоже ошибка, на которой спотыкались даже иные из подлинных исследователей, хотя от нее предостерегал еще Максвелл в своей „Теории теплоты“. „Тяжесть,— писал он,— не оказывает никакого влияния на распределение температуры в столбце воздуха“. Не следует упускать из виду, что тяжесть сообщает всем молекулам газа строго одинаковое перемещение, не внося в их взаимное расположение никакого изменения: здесь происходит параллельное перенесение всех частиц. Значит, движение молекул одной по отношению к другой не меняется под действием тяжести, как не меняется оно при перенесении сосуда с газом на другое место. Тепловое движение молекул остается ненарушенным, а следовательно, не может измениться и температура газа.

Истинная причина охлаждения восходящих токов воздуха заключается в так наз. адиабатическом его расширении. Поднимаясь в верхние, более разреженные слои атмосферы, попадая в область пониженного давления, воздух расширяется, совершая работу этого расширения за счет своего теплового запаса. Такое изменение состояния газа, когда он меняет свое давление без заимствования энергии извне (и без отдачи ее во вне), называется адиабатическим.

Количественная сторона явления такова. Если абсолютная температура воздуха близ земной поверхности Г0, а на высоте h она равна Th, соответствующие же барометрические давления Р0 и ЯА, то понижение температуры на высоте h равно:

Здесь k— отношение теплоемкости газа при постоянном давлении к теплоемкости его при постоянном объеме; для воздуха k= 1,4, и следовательно, 1 —^-=0,29.

Вычислим в качестве примера понижение температуры воздуха на той высоте 55 км, где барометрическое давление вдвое ниже, чем у земной поверхности. Ради простоты будем рассматривать случай восхождения воздуха сухого, не содержащего Благи.

Имеем: Т0 - Th = Т0 (20'29 - 1) = 0,22 Г0, откуда

Г* = 0,78 Т0.

Если близ земной поверхности температура 17°С или 2ь0° абс, то

Th=z 0,78-290 = 226°.

Это составляет по Цельсию — 49°, т. е. около 1°С на каждые 100 м поднятия.

Присутствие водяных паров, от которых воздух почти никогда не бывает свободен*, изменяет приведенный расчет: понижение температуры при подъеме на каждые 100 м, равное для сухого воздуха 1°, уменьшается почти до */2° для воздуха, насыщенного парами.

Итак, перемешивание воздушных масс при нагревании атмосферы снизу не может уравнять их температуры: воздух, поднимающийся вверх, вследствие адиабатического расширения охлаждается; воздух, опускающийся вниз, вследствие адиабатического сжатия нагревается. В итоге — верхние слои имеют более низкую температуру, нежели лежащие близ земной поверхности.

Остается прибавить лишь, что я не являюсь автором изложенного в книге объяснения. Оно — общепринято в современной физике. Интересующиеся могут найти его, например, в „Курсе“ Гримзеля, т. II, изд. 19о1 г., стр. 109 (перев. под ред. А. И. Бачинского).

В. А. ЗИБЕР, Ф. Н. КРАСИКОВ, И. А. ЧЕЛЮСТКИН

„МЕТОДИКА И ТЕХНИКА ДЕМОНСТРАЦИОННЫХ ОПЫТОВ ПО ФИЗИКЕ“

Под. редакцией И. А. ЧЕЛЮСТКИНА. Допущено коллегией НКП РСФСР. Учпедгиз, 1934 г.

И. СОКОЛОВ (Москва)

На оборотной стороне титульного листа напечатано, повидимому, от имени издательства:

„Книга дает полное описание методики и техники постановки демонстрационных опытов по физике, необходимых для нормального прохождения курса физики в средней школе“.

„Книга является необходимым руководством для преподавателей физики средних школ и рабфаков“.

В предисловии авторы после нескольких строк, посвященных обзору и оценке методов, применяемых при преподавании физики в школе, отмечают, что предлагаемое руководство является результатом научно-исследовательской и массовой работы авторов с учительством. Все описываемые постановки опытов были проверены одним из сотрудников кабинета физики Ленинградского отделения Центрального научно-исследовательского института педагогики на практике в одной из школ Ленинграда.

Книга разбита на две части. Первая, в 180 страниц, составлена Красиковым и Че-

* Изредка случаи полного отсутствия влаги в воздухе все же наблюдаются. Я наблюдал такое явление в Средней Азии в июне 1931 г.: в Аулие-Ата мой карманный гигрометр дважды показывал нуль влажности.

люсткиным и содержит в систематическом порядке описание того минимума демонстрационных опытов по физике, без которого, по мнению автора, невозможно поставить нормальное преподавание в средней школе. Авторы старались дать в этой части описание преимущественно упрощенных постановок опытов и очень часто на самодельных приборах.

Вторая часть, в 26 страниц, составлена Зибером и посвящена методике эксперимента при изучении электромагнитных колебаний и представляет плод «продолжительной научно-исследовательской работы В. А. Зибера над электромагнитными колебаниями“.

Настоящий год является счастливым годом для методики физики. Помимо рецензируемой книги вышли в текущем году еще три книги, посвященные оборудованию педагогического процесса по физике, и два курса методики преподавания физики. Такое одновременное появление нескольких, однородных книг методического характера свидетельствует о той громадной важности, которую приобрела после исторических постановлений ЦК ВКП(б) во мнениях руководящих органов методическая вооруженность преподавателя физики. С другой стороны, оно указывает на чрезвычайно возросшую потребность в методическом руководстве со стороны самого преподавателя.

Оба эти обстоятельства чрезвычайно повышают ответственность всех составителей подобных руководств.

Имена составителей рецензируемой книги широко известны преподавателям физики нашей страны. Их печатные работы пользуются заслуженной известностью; они оказывали и продолжают оказывать методическую помощь учительству. Многие из опытов, описанных в рецензируемой книге, были опубликованы, как отмечает редактор в предисловии, в других трудах тех же авторов. Поэтому, казалось бы, книга не нуждается в положительной характеристике и рекомендации ее. Тем не менее следует отметить хотя бы некоторые достоинства ее.

Прежде всего хочется остановиться на второй части книги — на методике эксперимента при изучении электромагнитных колебаний.

Этот отдел в учебниках физики, даже в очень объемистых учебниках издания 1934 г., или все еще излагается чрезвычайно кратко или, при более подробном изложении, содержит описание классических опытов и схемы радиоустановок. Разработка В. А. Зибера позволяет преподавателям, при помощи ряда тесно связанных между собою и постепенно осложняющихся опытов, подвести учащихся к пониманию процессов, происходящих в электромагнитном поле, и обосновать проблемы радиотехники.

Познакомившись с описанными демонстрациями в выполнении их самим В. А. Зибером на одном из докладов его, я охотно присоединяюсь к тому мнению, которое выражено в предисловии к книге, именно: „Предлагаемые демонстрации в постановках, описанных В. А. Зибeром, открывают перед преподавателями возможность систематически последовательно проходить одну из наиболее интересных глав отдела электричества, сопровождая ее предлагаемыми демонстрациями“. Далее очень тщательно разработана глава о вращательном движении и центробежной силе. Здесь даны три серии опытов: с центробежной машиной, с самодельными приспособлениями на нитях и с особой вращательной машиной, устройство которой дается автором. Последняя позволяет поставить измерительные опыты, продемонстрировать ряд явлений, обычно не показываемых, например закон от относительного движения Галилея, принцип Кориолиса и ряд других, хорошо придуманных демонстраций.

Также останавливает на себе внимание разработка демонстраций по электростатике. Они многочисленны (26 тем), последовательно расположены, раскрывают некоторое такие качественные и количественные стороны явлений, о которых обыкновенно преподаватели рассказывают, но которые ь:е показывают, и интересны они тем, что затрагивает и такие стороны явлений, которые обыкновенно показываются при помощи постоянного тока от химических генераторов или динамо, например зависимость разности потенциалов от длины, сечения и вещества проводника.

Но в книге имеется и недостатки, которые следует отметить и вместе с тем высказать пожелание об их устранении в последующем издании.

Прежде всего по поводу полноты книги, рекламируемой на первой странице ее. Вряд ли вообще можно говорить о полноте книги, посвященной демонстрациям в средней школе. Опыты по элементарной физике очень разнообразны: существуют равноценные варианты многих демонстраций, методические журналы ежемесячно приносят новые установки, поэтому не могут претендовать на полноту даже такие объемистые книги, как работы Вейнгольда, а тем более значительно меньшая по объему рецензируемая книга.

Действительно, в разбираемой книге мы не находим указаний на проведение опытов на приборах, конструируемых Институтом политехнического образования. Книга была сдана в печать в марте 1934 г., а набор по электромагнетизму (книга содержит описание и некоторых лабораторных работ) появился по крайней мере за год до это о срока. Об этом особенно приходится пожалеть, потому что в этом наборе нашел свое отражение новый принцип конструирования физических приборов, именно: сборка приборов из стандартных частей. Это новое течение не получило места в рецензируемой книге.

Если оставаться в пределах тем и демонстраций, рассматриваемых в книге, то в этом случае мы можем отметить неполноту. Так, под заголовком „Давление жидкости на дно“, мы читаем (стр. 25): „Закон устанавливается с помощью опыта на приборе, сконструированном по Вейнгольду, или на другом подобного типа, описанном в люббом учебнике физики“. И только! На стр. 142: „Кроме того, все опыты по взаимодействию магнитов на токи (? !—И. С.) и токов на (? !) токи можно произвести с электродинамическим маятником Кольбе“ — дальше ни методики, ни техники. Такие ссылки на учебник совершенно недостаточны. Ведь большинство опытов описано в учебниках, и тем не менее они должны быть помещены в „полном“ руководстве по методике и технике демонстраций; иначе это было Сы не руководство, а статья о новых установках.

Под заголовком „Приборы, основанные на взаимодействии токов и магнитов“ описана демонстрация электрического телеграфа и опущены описания демонстраций гальванометра и электрического звонка. Нет демонстрации токов Фуко, хотя в других демонстрациях имеются ссылки на них. Не описан имеющий важное теоретическое значение опыт с отклонением магнитом потока электронов в круксовой трубке. Даже по отношению к такому основному закону, как закон Архимеда, дан только

опыт по действию жидкости на тело и оставлено без внимания действие тела на жидкость, имеющее большое значение как один из ранних для школы количественных примеров третьего закона Ньютона.

Таким образом, ни о полноте, ни о необходимом минимуме говорить не приходится.

Кстати заметим, что в опытах по закону Архимеда и других авторы в числе приборов ставят весы Роберваля. Между тем, еще в январе 1929 г. Палата мер и весов РСФСР направила в Научно-техническую секцию ГУСа для сведения авторов учебников такое сообщение (№ 999 от 9/1929 г.):

„Палата мер и весов РСФСР сообщает вам для принятия к сведению в последующих изданиях, что столовые весы системы „Роберваля“ самые неупотребительные у нас, так как вытеснены более совершенными весами системы „Беранже“.

Не дана демонстрация колебательного движения тока как проекции на экран равномерного вращения по окружности.

Теперь обратимся к методике демонстраций. Методика демонстраций должна показать преподавателю, как он должен поставить вопрос, подлежащий изучению, и как он может дать ученикам при помощи демонстраций ответ на поставленный вопрос. Между тем, авторы рецензируемой книги не раз сбиваются с методики демонстрации на описание результатов опыта, даваемых в любом учебнике.

На стр. 46 читаем в опыте движения горизонтально брошенного тела: „Следует нанести на аист изображение всей струи и произвести затем все требуемые (курсив мой.— И. С.) измерения“. Методика должна ответить, какие измерения и как сделать из них вывод. Стр. 37: ,При раскручивании нити шары движутся с различными скоростями, причем скорости обратно пропорциональны весам (массам)“. Последнее из приведенного опыта выведено быть не может; тогда оно сообщается догматически, независимо от опыта, что должно быть оговорено. Если бы это положение могло быть выведено из опыта, книга обязана была бы показать, как это сделать.

На стр. 80 рекомендуется привести уровень ртути в горлышке колбы к первоначальному положению, без предварительного указания, как должно быть отмечено это первоначальное положение. На стр. 81 говорится: .Производят наблюдения над температурой нагреваемого нафталина и замечают, что плавление начинается при температуре в 79°“. преподаватель, знающий постановку этого опыта, не нуждается в подобном руководстве; преподаватель, не знающий его, не будет знать постановку и прочтя руководство.

На стр. 86: „Поднимая и опуская трубку В, подвергают испытанию упругость паров...“ Как подвергать испытанию?

Так же недостаточно разработан вопрос о соединении элементов в батарею, об электромагнитной индукции и самоиндукции, о деформации твердого тела.

Подобные же недостатки встречаются и в технике эксперимента. Держа в одной руке нити двух шариков, как представлено на рисунке 71, трудно другой рукой развести их в разные стороны.

На стр. 115: „Сильно зарядив каждый из указанных кондукторов, касаются различных точек их поверхности пробным шариком, переносят заряд на электроскоп и замечают yгол расхождения листочков, после чего электроскоп заряжают“. Если выполнить буквально то, что сказано в написанных выше словах, никакого вывода из опыта сделать нельзя. Стр. 13: .Убеждаются, что нити их (двух отвесов.— И. С.) натянуты параллельно“. Как это сделать?

Помимо этих основных недостатков в книге встречается ряд других, зависящих от недостаточно внимательного просмотра текста. Эти промахи не оговорены в приложенном списке опечаток, хотя последний заключает и такие мелочи, как замена одной буквы другой, совершенно не меняющей смысла фразы.

Так, на странице 31 под заглавием: .2. Определение величины атмосферного давления“ помещена одна строка в скобках: „(Член В основной формулы P^{B±dh)^y.

Затем идет новый подзаголовок: .Демонстрация атмосферного давления“, под которым описывается опыт сжатия жестянки, из которой выкачан воздух. Далее идет новое заглавие: ,3. Измерение величины атмосферного давления“, под которым продолжается вывод выражения члена В из выписанного выше уравнения, и помимо математического выражения нет ни строчки текста.

На стр. 122 при описании опыта с исследованием поля в пространстве, лежащем за пределами металической оболочки, окружающей заряженное тело и отведенной к земле, содержание фразы в последних трех строчках противоположно тому что в действительности дает опыт.

Странная классификация опытов: под буквою Б поставлено „Распространение тепла“, под буквою В: „Теплопроводность и конвекция“ (стр. 75— 76); но и в первом разделе говорится тоже только о теплопроводности.

Опыт с одновременным возникновением разнородных зарядов при трении далеко отодвинут от первоначальною опыта электризации трением. Опыты с действием остриев поставлены раньше электрической индукции. Телефон включен в число приборов, действующих благодаря индукции, тогда как современные телефонные аппараты основаны на изменении поля электромагнитов.

На рисунке 30 диаметр шара больше диаметра кольца,поэтому такой шар не упадет через кольцо, как показано на рисунке.

Указанные недостатки несколько умаляют достоинство книги, которая, несмотря на них, все-таки будет иметь большое значение в деле помощи преподавателю в ею экспериментальной работе.

ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЕ

(Окончание)

Д. ГОНЧАРОВ (Одесса)

«Начальная школа“

В методическом сборнике „Математика и физика в средней школе за 1934 г. № 4 мы поместили обзор статей в журнале „Начальная школа“ по вопросам преподавания математики, причем охватили всего первые четыре номера этого журнала за 1934 г. (с января по апрель включительно). Сейчас предлагаем вниманию читателей окончание нашего обзора, в котором рассмотрен весь остальной материал за 1934 г. (с мая по декабрь включительно).

1934 г. Май № 5.

Фаворский П. Записи в тетрадях по арифметике. Стр. 27—29.

Есть вопросы, которые можно было бы назвать вечно старыми и вечно новыми. Одним из таких вопросов есть вопрос о записях в тетрадях по арифметике и вообще по математике. Об этом нужно говорить, писать и следить ежедневно, иначе ничего не получится. Поэтому очень отрадно видеть поход за чистую, аккуратную, правильную запись по математике в ученических тетрадях. Автор статьи приводит из практики Опытной станции Наркомпроса ряд требований и указаний о ведении математических записей в тетрадях учащихся. „Никаких черновиков не допускается. Хорошая запись не замедляет, а ускоряет вычисление. Целесообразное расположение решения примеров и особенно задач“ — вот характерные мотивы статьи. Между прочим, жаль, что автор не упоминает об оставлении полей в тетрадях.

Июнь № 6.

Орлова А. Самостоятельная работа учащихся по математике. Стр. 17—19.

Из опыта Угодско-заводской школы Первой опытной станции Наркомпроса описывается постановка самостоятельной работы по полуписьменному счету. На каждом уроке на эту работу отводится 10 минут. Работа ведется по заданиям. Каждая серия заданий составляется из 12 однотипных заданий, каждое из которых пишется в 3 экземплярах под копирку. Таким образом, каждый ученик получает отдельное задание и прорабатывает последовательно все 12 заданий. Задания составляются на пройденный материал, причем включаются также и такие разделы из пройденного, которые способствовали бы усвоению нового. Выполнение работ определенным образом учитывается в особой тетради учителем и на особом листке самим учащимся.

Новоселов Ф. Решение задач в III и IV классах. Стр. 20—21.

В статье приводится отрывок подробной записи урока в одной городской школе, содержание урока — решение задачи. Судя по записи, урок надо считать совершенно неудовлетворительным, а преподавателя, ведущего урок, — неопытным и беспомощным. Анализируя этот урок, автор статьи указывает на отрицательные моменты и в заключение приводит примерную схему урока по решению задачи синтетическим методом.

В общем, замечания и предложения автора статьи вполне правильны. Чтение статьи несомненно может помочь работнику начальной школы улучшить свою работу в области решения задач.

Куликов И. Наглядные пособия по изучению таблицы умножения. Стр. 36—37.

На страничке рационализаторских предложений предлагается воспользоваться при изучении таблииы умножения наглядными пособиями. Указывается на известную „Таблицу умножения на пальцах“ и „Круг для усвоения таблицы умножения и табличного деления“.

Июль № 7.

Никитин Н. Наглядные пособия по математике в начальной школе. Стр. 21—27.

Автор статьи отмечает, что „в школьной работе огромное значение имеет рациональное применение наглядных пособий“; далее автор отмечает, что частые жалобы на то, что школа бедна и не имеет возможности купить необходимого оборудования не могут служить оправданием практикующегося словесного обучения. Многие пособия учащие и учащиеся могут сделать сами. Далее автор приводит списки наглядных пособий и дидактического материала по математике, распределяя их по годам обучения. Для первого класса указываются 23 объекта, для 2-го — 23 объекта, для 3-го — 22, для 4-го—21. Списки пособий снабжены иллюстрациями. Это дает возможность и стимул учащему без особенных затруднений приступить к изготовлению указанных пособий, было бы только желание.

Статью можно рекомендовать вниманию учителей начальной школы.

Л. В. О дореволюционных методиках математики. Стр. 46—48.

В библиографическом отделе приводится список методической литературы по вопросам преподавания математики. В предисловии к этому списку указывается, что „методическая литература по математике дореволюционного периода в целом устарела, и ни одно из дореволюционных изданий не может служить сейчас руководством для учителя. Но в отдельных своих частях и главах лучшие дореволюционные методики не утратили еще некоторой ценности: из них учитель может почерпнуть для себя кое-какие полезные методические указания“. Далее в целях информации приводится список методической литературы, 29 названий дореволюционного издания и 10 названий послереволюционного издания с краткими аннотациями.

Август № 8.

Пчелко А. О программе по математике на 1934/35 г. Стр. 24—28.

Автор статьи информирует читателя о тех поправках и изменениях, которые внесены в программы по математике для начальной школы, в связи с перегруженностью программы по математике учебным материалом.

Волковский Д. Занятия учителя с несколькими классами по арифметике. Стр. 28—30.

В статье рассматриваются вопросы организации занятий одного учителя с двумя и тремя классами. В частности рассматривается материал для

самостоятельной работы по арифметике и вопросы проведения одновременно устного счета с двумя и тремя классами.

Потемкин Н. Электрифицированная таблица умножения. Стр. 45—46.

В разделе рационализаторских предложений описан опыт применения электрофицированной таблицы умножения в течение учебного года; автор заметки отмечает, что это пособие принесло немало пользы: даже самые отстающие ребята при небольшой работе с таблицей умножения усваивали всю таблицу. В заметке приведена схема и указания, как изготовить такую электрифициованную таблицу умножения.

Сентябрь № 9.

Д. Л. Волковский. Стр. 30.

Редакция журнала в некрологе отмечает работу покойного Д. Л. Волковского (умер 13 августа 1934 г.). Д. Л. Волковский отмечается как талантливый автор методических книг, составитель задачников, опытный преподаватель, глубоко образованный человек, прекрасный знаток не только нашей, но и иностранной методической литературы (американской, немецкой, французской), популяризатор и переводчик иностранной математической литературы.

Волковский Д. Борьба за культуру арифметического языка. Стр. 31—33.

В статье разбираются двоякого рода вопросы: 1) уточнение содержания некоторых арифметических понятий, как, например: счет, счисление, численные примеры и задачи, арифметические действия и преобразования и некоторые другие; 2) неправильная фразеология и терминология, как, например, неправильное склонение числительных, неправильное чтение арифметических выр!жений, пользование терминами „смешанная дробь“ „га“, „кило“ и некоторые другие.

Несомненно, надо приветствовать борьбу за культуру математического языка. Но я думаю, что эта борьба должна вестись двумя путями: во-первых, разбором явно неправильных выражений и терминов из практики наших школ и, во-вторых, созданием терминологического и фразеологического математического словаря для начальной и средней школы. К этой последней работе надо привлечь наиболее выдающихся специалистов нашего Союза.

Методические пособия для учителя начальной школы (изд. 1933/34 г.), стр. 39—49.

В библиографическом отделе предлагаются вниманию учителей методические пособия по арифметике с краткими аннотациями. Всего указано 9 книг таких авторов: Эменов В., Игнатьев В. А., Волковский (3 книги), Пчелко А. С, Менчинская Н. А., Кавун И. Н. и Попова Н. С, Снигирев В. и Чекмарев Я.

Октябрь № 10.

В этом номере статей по вопросам преподавания математики нет. Ноябрь № 11.

Скаткин Л. Планирование учебной работы. Стр. 23—26.

В статье разбираются последовательные этапы планирования учебной работы по математике на примере одного раздела из программы 1 класса, а именно: „Нумерация в пределах 20“. Автор предусматривает такие этапы: 1) анализ данного раздела программы; 2) анализ учебника; 3) ориентировка на уровень знаний учащихся; 4) планирование учебного материала по основным ступеням обучения; 5) определение времени на проработку каждой ступени; 6) разбивка ступеней обучения на составные элементы; 7) подбор дидактического материала; 8) составление поурочно-недельного плана.

Статья написана продуманно и может быть полезна учителю начальной школы при проработке не только раздела, который разбирается в статье, но и вообще при планировании очередной работы, по математике.

Володина Л. К вопросу об анализе задач в начальной школе. Стр. 26—29.

Останавливаясь на вопросах анализа задач в начальной школе, автор статьи указывает, что проработка задач путем анализа очень затрудняет многих учителей, и в результате получается формальное отношение к анализу задачи со стороны учителя и механическое решение задач, вместо планового и сознательного, со стороны ученика. Отдавая должное аналитико-синтетическому методу, автор статьи приводит интересные примеры того, как можно постепенно и последовательно, начиная с I класса, воспитать, так сказать, аналитическое отношение ученика к арифметической задаче.

Пчелко А. О трех методиках по арифметике. Стр. 46-49.

Рецензент рассматривает три книги по методике арифметики, выпущенные в свет в 1934 г. Первая книжка Кавуна И. Н. и Поповой Н. С. „Методика преподавания арифметики в начальной школе“ отмечается как большое и ценное достижение в области советской методической литературы по математике. „Все изложение методики построено на высоком научном уровне... Каждое методическое положение обосновывается“.

Вторая книга — „Методика арифметики“ Волковского, квалифицируется как противоположность предыдущей книге, как книга исключительно практического характера.

Третья книга — „Методика арифметики“ Снигирева и Чекмарева, отмечается как книга, занимающая „как бы промежуточное положение между двумя вышеуказанными методиками“. Изложение книги считается простым, элементарным, доступным для учителя рядовой школы.

В каждой из перечисленных книг указываются также и недостатки, правда, незначительные.

В общем рецензент расценивает выпуск трех методик как „первый опыт создания советской методики арифметики“.

Декабрь № 12.

Поляк Г. Аналитический способ решения задач. Стр. 18—23.

Указывая, что анализу задач, к сожалению, уделяется очень мало внимания, автор дает сокращенную стенограмму показательною урока, проведенного им в IV классе опорной школы Пединститута им. Бубнова в Москве.

Разбора урока нет.

Арсентьев И. Критический обзор стабильного задачника по арифметике Поповой, стр. 43.

Рецензент, к сожалению, не указывает, о каком задачнике, для какого года обучения, какого года издания идет разговор. А ведь каждая книжка имеет свой, так сказать, паспорт — титульный лист. В рецензии отмечены положительные и отрицательные стороны задачника.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, помещенных в № 4 сборника „Математика и физика в средн. школе“ за 1934 г.

1. Показать, что всякое нечетное число и половина следующего за ним числа суть числа взаимнопростые.

Обозначим нечетное число через 2/г—1. Тогда половина следующего за ним числа будет равна л. Пусть п имеет делителем какое-либо число d>l; этот же делитель должно иметь и число 2/г. Но тогда это же число d не может быть делителем числа 2/2 — 1, так как в противном случае оно, будучи большим единицы, должно быть в то же время делителем единицы.

Б. Кобылин (Галич), И. Гришин (Осташков).

2. Найти число, кратное 2, 3 и 7 и имеющее 42 делителя.

Искомое число можно представить в виде

N = 2x Ъу iz а* Ь?.. .

где х^ 1, у ^ 1, z ^ 1, а ^ 0, ? ^ 0. ..

Число всех делителей равно:

(X -f-1) О + 1) (z + 1) (а + 1) (Р + 1)... = 42.

Так как каждый из множителей в левой части число целое, а число 42=:2-3-7, то в левой части должны быть три множителя, равные, соответственно, 2, 3,7,—все же остальные должны равняться единице. Каждый из множителей левой части не меньше двух. Следовательно а = ß — .. =. 0.

Отсюда имеем шесть чисел, удовлетворяющих условиям задачи

Б. Кобылин (Галич).

3. Показать, что число 740 —- 1 делится на 3300. Число 74о — 1 можно представить в виде: (7^)ю — 1. Следовательно, это число делится на 7*— I = (72 + 1) (72— 1) —50-48, т. е. делится на 300. С другой стороны, так как 7* не делится на 11, то по теореме Фермата (74)*о — 1 должно делиться на 11. Итак число 7*°—I делится на два взаимнопростых числа 300 н 11, следовательно, делится и на их произведение 11 -300 = 3300. Б. Кобылин (Галич), Я. Шор (Тула).

4. Определить, какое из чисел

С*з + 1) и (х*+х) будет более при действительных значениях х.

Возьмем разность этих чисел:

(лгз + 1 ) - (х* + X ) = ( X + 1 ) ( X - X -f- 1 ) -— (х+1 )х=(X + I ) (л? - 2х + 1 ) = (X -h 1 ) (* -1 )*.

Мы видим, что разность (х -t 1) (х—I)2 обращается в нуль в двух случаях при x = =ïz 1. Следовательно, при этих знамениях х оба выражения дают одинаковую численную величину (0 и 2). Далее, при всех значениях х > — 1 (кроме 1) разность (X-\-i) (х—1)2 положительна, следовательно л:3 + 1 > л:2 4- X. При X < — 1 разность отрицательна и л:3 + I < & + Задача становится особенно ясной при помощи графика.

5. Доказать неравенство

Так как

то, перемножая эти неравенства, получаем:

и, следовательно

Так как

то, перемножая, найдем:

Отсюда

Задача допускает и другие способы решений.

Б. Кобылин (Галич), И. Гришин (Осташков), Я. Шор (Тула).

б. Найти значение коэфициентов р и q в трехчлене xi + рх? -f- q, зная, что он делится на трехчлен х? -f- 2х + 5, и выразить частное.

Пусть в частном от деления x* + px2 + q на лг2-f-2лг + 5 получается трехчлен х2 -f- ах + Ь.

Тогда:

Так как эти многочлены тождественно равны, то должны быть равны соответствующие коэфициенты.

Получаем:

а+ 2 = 0 (1); Ъ + 2а + 5 = р (2); 5а+ 26 = О (3); ЬЬ=д (4).

Из уравнения (1) определяем а = — 2; из (3) 6 = 5; из (2) р = 6 и из (4) я = 25. Итак, данный трехчлен имеет вид:

х* + 6*2 + 25.

Частное от деления его на лг2 + 2лг-|-5 будет д2 — 2х-\- 5.

Б. Кобылин (Галич), И.Гришин (Осташков), М. Носов (Свердловск).

7. Решить уравнение

Возвышая обе части уравнения в квадрат, получим

После упрощений:

И. Гришин (Осташков), Я. Шор (Тула), M. Носов (Свердловск).

8. Показать, что если я, Ъ, с — стороны треугольника, то трехчлен второй степени

Ъ*х* + (62 + с2 — а*)х + с*

всегда имеет положительное значение. Представим данный трехчлен в виде

Первый член этого выражения и знаменатель второго члена положительны. Числитель же второго члена разложим на множители

Так как в треугольнике любая сторона меньше суммы двух других, то все множители выражения (2) положительны, а следовательно, положительно и выражение (1).

Б. Кобылин (Галич), И. Гришин (Осташков), М. Носов (Свердловск).

9. Определить, при каком значении m корни биквадратного уравнения

Xi — (3/и 4- 5)*2 -j. (m + 1)2 — 0

составляют арифметическую прогрессию.

Прежде всего заметим, что m не мсжет равняться — 1, так как в этом случае m + 1 = 0 и уравнение примет вид х^ — (3m + Ь)х* = 0, т. е. имело бы два равные корня л: —0, чю противоречит условию.

Обозначив меньший корень через у, будем иметь

х{=у; х2 — у-та; xz = y-\-2d\ х^у\Ъа.

Так как сумма корней должна равняться коэфициенту при X*, то имеем:

4y + 6rf = 0.

Откуда:

Тогда корни уравнения примут вид:

Так как произведение корней должно равняться свободному члену, то имеем:

или

откуда

Подставляем найденные значения у в данное уравнение:

Получаем:

Соответственно, корни уравнения будут:

Б. Кобылин (Галич), И. Гришин (Осташков).

10. Решить уравнение:

л* — Sabx + а* + Ь* = 0. Преобразуем левую часть уравнения:

Отсюда

х+а+Ь=0 и х{= — (а + Ь).

(Этот корень мы могли найти и непосредственно подстановкой.)

л? — (а + Ъ)х + (û* — ab + b2) = 0. Решая это уравнение, найдем:

Б. Кобылин (Галич), И. Гришин (Осташков), Я. Шор (Тула), М. Носов (Свердловск).

11. Из медиан данного треугольника строят треугольник, из медиан полученного треугольника — новый треугольник и т. д. до бесконечности. Зная, что площадь первого треугольника S, найти предел суммы площадей всех полученных треугольников.

Обозначая стороны данного треугольника через a, b и с, получим

Обозначим стороны треугольника, построенного из медиан данного, через та, тъ и тс.

Найдем высоту этого треугольника, опущенную на сторону ть.

По известной формуле:

или

Так как

то, подставляя эти значения в полученное выражение для h и произведя упрощения, найдем:

Числитель этого выражения можно преобразовать так:

Итак, или

Найдем теперь площадь составленного из медиан треугольника, обозначив ее через S{

Итак, площадь полученного треугольника равна

площади данного.

Очевидно, что такое же соотношение будет между площадью этого треугольника и площадью треугольника, составленного из его медиан и т. д.

Другими словами:

Предел суммы всех этих площадей Mz будет равен:

И. Гришин (Осташков).

ЗАДАЧИ

1. Задача на метро. На одной из станций Московского метро человек пробежал по ступеням поднимающегося эскалатора до высоты 10 M и обратно, употребив на пробег в два конца 73 секунды. В другой раз он проделал то же самое на спускающемся эскалаторе и употребил на пробег туда и обратно 4 мин. 22 сек.

Найти собственную скорость подъема и опускания эскалатора, если известно, что вниз по его ступеням человек сбегал на 35“0 быстрее, нежели взбегал вверх.

Я. И. Перельман (Ленинград).

2. Доказать, что

при всяком целом и положительном /г.

К. Г. Бутомо (Ленинград).

3. Найти двузначное число, куб суммы цифр которого равен его квадрату.

4. Доказать тождестьо

5. Решить в целых числах уравнение (1 +2 + 3 +...+Х) (I2 +24-3* + . +

6. При каких значениях * многочлен

** — 4*з + 10*2 — 10* + 3

будет точным квадратом?

7. Найти двузначное число, равное удвоенному произведению его цифр.

8. Сколько находится одинаковых членов в двух арифметических прогрессиях

1, 4, 7, 10, 13... 1, 5, 9, 13, 17...,

если в каждой из них 121 член?

9. Найти вид двух дробей, сумма которых равна их произведению.

10. Решить уравнение

+ 5* — б = 0.

11. Решить уравнение

(sin* — 5) cos** — 4v3sin * — 5) cos2*+ 16(sin* — -1)^0.

12. Решить уравнение

sin* X + cos4 X — 2sin 2* f — sin2 2* = 0.

13. Решить уравнение

14. Доказать справедливость неравенства

Äa + Ä* + Ä^9r,

где hay hb% hci г суть высоты и радиус вписанного круга некоторого треугольника.

15. В каждый из двух треугольников, на которые рассекается прямоугольный треугольник высотою, опущенной на гипотенузу, вписана окружность. Показать, что имеет место зависимость

где г—радиус вписанного круга, г, и га—радиусы упомянутых окружностей, h — длина высоты, опущенной из вершины прямого угла.

16. Доказать, что во всяком треугольнике диаметр круга вписанного не превышает радиуса круга описанного.

17. Разложить на множители выражение:

(п + 2)х + л + 1.

18. Написать арифметическую прогрессию, если сумма ее членов выражается через число членов следующим образом

S = рф + qn

для всякого п (р и q произвольные числа)

К. Г. Бутомо (Ленинград)

19. Показать, что уравнение

хп + хп-i + хп-ъ +... + X + п = 0

не имеет рациональных корней, если целое чпи п — простое.

23. Дана окружность и два радиуса OA и ОМ Провести секущую MNPQ так, чтобы

MN:NP:PQ=l:2:Zt

где M и О точки пересечения секущей с окружностью, а Л' и Р—с данными радиусами.

Цена 1 руб.

ПРОДОЛЖАЕТСЯ ПОДПИСКА НА БЮЛЛЕТЕНЬ НАРКОМПРОСА

ПОДПИСКА ПРИНИМАЕТСЯ С ТЕКУЩЕГО МЕСЯЦА

Цена отдельного номера 30 коп.

ПРОСВЕЩЕНИЕ НАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ

Цена отдельного номера 1 руб.

ПОДПИСКА ПРИНИМАЕТСЯ ВСЕМИ ОТДЕЛЕНИЯМИ, МАГАЗИНАМИ И КИОСКАМИ, УПОЛНОМОЧЕННЫМИ КОГИЗА И ПОВСЮДУ НА ПОЧТЕ