УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ СБОРНИК

3

1935

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

МАТЕМАТИКА и ФИЗИКА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ СБОРНИК

№ 3

МАЙ 1935 ИЮНЬ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

СОДЕРЖАНИЕ

Научный и научно-популярный отдел

Проф. Л. Креер — Неопределенные уравнения................... 3

Доц. С. Зетель—О шестиугольниках, вписанных в треугольник.......... 13

Доц. В. Грановский — Движение атомов и предел точности физического эксперимента ..................................... 18

Н. Хлебников — Фотоэлементы и их характеристики ............... 27

Методика

Г. Стальков — Ведение тетради по математике................. 40

И. Гришин — К вопросу о приложении теории пределов в средней школе...... 46

Р. Бончковский - Простейший способ вычисления логарифмов.......... 50

Доц. И. Альтшулер - Прямые в пространстве................... 52

М. Осмоловский - К проработке темы о логарифмах............... 57

А. Максимова - Размерность физических величин................ 59

М. Пиотровский — Элементы учения сопротивления материалов в политехнической средней школе................................. 65

Н. Руткевич —О графическом способе изучения равномернопеременного движения 70

Н. Платонов — Прибор для изучения закона центробежной силы.......... 72

Б. Яковлев — Малый демонстрационный столик.................. 75

И. Соколов — [А. В. Цингер)• Очерк жизни и деятельности........... 77

Критика и библиография

Г. Фалеев—„Оборудование лаборатории по физике в средней школе“....... 83

Ответ на рецензию Г. Фалеева............................ 87

В. Богатков — Недостатки физприборов, подмеченные при пользовании ими .... 88

Задачи

Решения задач, помещенных в № 3 сборника „Математика и физика в средней школе“ за 1934 г.................................... 90

Упражнения для учащихся............................. 95

Задачи....................................... 95

Редакционная коллегия: И. К. Андронов, А. Н. Барсуков, Е. С. Березанская, А. Н. Зильберман, А. Г. Калашников, В. Н. Молодший, П. И. Попов, Н. П. Суворов.

Отв. ред. А. Н. Барсуков, отв. секр. К. И. Коровин. Тех, редактор Г. Симановский.

Адрес редакции: Москва, Орликов, 3, Учпедгиз, периодсектор.

Сдано в производство WiV 1 35 i Подписано к печати 5/VI 935 г.

Учгиз № 7047. Объем 6 п. л.

В 1 п. л. 7d 000 зн. Бумага 72ХЮ5.

Зак. 1297.

Тираж 2 Г. 000.

Уполномоченный Главлита № Б-6531.

1-я Образцовая типография Огиза РСФСР треста „Полиграфкнига“, Москва, Валовая, 28.

НАУЧНЫЙ И НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ

Проф. Л. КРЕЕР (г. Орджоникидзе)

В отношении подбора числовых данных в геометрических задачниках можно последние разделить на два типа: в одних (например задачник Рыбкина) числа хорошо сокращаются, корни извлекаются, результат получается обычно „круглый", т. е. рациональное или даже целое число; в других, наоборот, числа нагромождаются, корни не извлекаются (например задачник Минина). Отнюдь не отвергая таких задач, при решении которых ученик должен проявить умение обращаться с числами и давать результат с определенной точностью, мы полагаем однако, что подобные задачи не должны и не могут преобладать в школьной практике; это привело бы к понижению уровня геометрических знаний учащихся. В предлагаемой статье излагается небольшой круг сведений по неопределенному анализу, имеющих непосредственное отношение к учительской практике; наряду и, конечно, в связи с этим читатель найдет здесь указания, как следует подбирать числовые данные, как с большой быстротой можно проверить ученические работы в тех случаях, когда в борьбе со списыванием преподаватель дает ученикам задачи с неодинаковыми числовыми данными (например при решении треугольника по трем сторонам).

Пример 1.

§ 1. Неопределенные уравнения первой степени

Предполагая знакомство читателя с решением неопределенного уравнения первой степени с двумя неизвестными способом последовательного деления, мы ограничиваем нашу задачу указанием на удобное оформление посредством вынесения за скобки и табличной записи. Опыт показывает, что при подобном оформлении материал легче усваивается и не имеет места хаос в записи решения.

В первом столбце заносятся результаты последовательных понижений (каждый раз выносится за скобки меньший коэфициент); во втором столбце — подстановки для каждой скобки; в третьем, снизу вверх, — вычисление и, z . . . до х, у. Нетрудно усмотреть значительное преимущество предлагаемого здесь способа изложения и записи сравнительно с общепринятым. Легко обобщить этот способ на уравнения с любым числом неизвестных, однако мы на этом не будем останавливаться.

Окончательна полагая

(где 91 — частное от деления 1285 на 14)

§ 2. Неопределенные уравнения второй степени в школьной практике

I. Под решением неопределенного уравнения второй степени понимают отыскание всех тех целых, или хотя бы только рациональных, значений неизвестных, которые удовлетворяют данному уравнению. Для этого необходима выразить неизвестные посредством одного или нескольких произвольных рациональных или целых чисел, которые будем называть рациональными или целыми параметрами; число их зависит от числа неизве-

стных. Подставляя в эти формулы различные значения параметров, мы и получим всевозможные рациональные или целые значения неизвестных. Отметим один особенно простой случай: если уравнение с любым числом неизвестных и любой степени содержит одно из неизвестных только в первой степени, то получим все рациональные решения такого уравнения, придавая остальным неизвестным рациональные значения; этим, конечно, не будут обеспечены целые значения для всех неизвестных.

Пример, б*2+ 3у2 — ху + z2 — uz* = 20. Так как и входит только в первой степени, то полагая дг = ^, y = t2,z = t3, где все t — рациональные числа, получим следующие формулы для неизвестных:

Подставляя сюда любые рациональные значения для f,, t2, t3, получим рациональные значения для лг, у, z> и.

II. Задачи.

Переходим теперь к тем частным видам неопределенных уравнений, знакомство с которыми необходимо педагогу.

Задача I. Найти все те углы, тригонометрические функции которых выражаются рациональными числами.

Очевидно, что если синус и косинус рациональны, то и остальные тригонометрические функции также рациональны. Обозначим поэтому sin а и cosa через S и 7), получаем уравнение:

Р + Ч»«ч1. (1)

Первый способ. Как известно из тригонометрии, синус и косинус выражаются рационально через tg половины угла по формулам:

Поэтому, придавая t рациональные значения, получаем формулы решения нашего уравнения:

(2)

где t — любое рациональное число.

Заменяя t через ^-, где а) b — произвольные целые числа, получим решения в другом виде:

(2а)

Эти дроби будут несократимы, если а и b взаимно-простые числа и разной четности (при а четном b — нечетно, и наоборот).

Второй способ (см. Ф. Клейн — „Вопросы элементарной математики“, т. I, стр. 67). Этот способ необходимо изложить потому, что в дальнейшем мы его обобщим на более сложные уравнения. Уравнение (1) выражает в прямоугольных координатах окружность радиуса 1. Поэтому решить уравнение (1) в рациональных числах означает: выделить из точек окружности такие, координаты которых £ и 7j — рациональны (т. е. рациональные точки). К числу последних принадлежат, очевидно, точки А (1;0); В (0; 1);

С (—1; 0); D (0; —1). Как известно из аналитической геометрии, уравнение пучка прямых, исходящих из вершины (xv ул) есть у—y1 = t(x — Xj), где t — переменный параметр (черт. 1).

Черт. 1

Будем называть пучок рациональным, если его вершина (xv у^) — рациональная точка и t принимает только рациональные значения. Напишем уравнение такого пучка с вершиной в одной из четырех указанных точек, например из точки В (0; 1):

Ч=«-И. (3)

Покажем, что все лучи этого пучка пересекают окружность в рациональных точках. В самом деле, ргшая совместно уравнение (1) и уравнение (3), находим:

(/2-fl)S2 + 2Ä = 0. (4)

Из этого квадратного уравнения находим абсциссу точки пересечения луча с окружностью. Корень £ = 0; следовательно, rj = 1 соответствует вершине пучка, а потому ин-

тереса не представляет; второй корень 5 = — 2t:(\-\-t2) дает абсциссу точки пересечения луча с окружностью. Так как S и 7) входят в уравнение только во второй степени, то знак минус можно отбросить, и мы получаем:

(2)

Нетрудно убедиться в том, что других рациональных точек на окружности, кроме (2), т. е. точек пересечения окружности с пучком (3), нет. В самом деле, всякая прямая, соединяющая рациональную точку M на окружности с точкой В, необходимо принадлежит пучку (3), ибо уравнение такой прямой, как проходящей через две рациональные точки В и Му должно иметь рациональные коэфициенты. Таким образом, формулы (2) или (2а) дают все рациональные решения нашего уравнения.

Важно обратить внимание на то, что „секрет“ успеха этого способа кроется в том, что квадратное уравнение (4) не имеет свободного члена. Из теоремы в конце этого параграфа мы убедимся, что это не случайно.

Задача 2• Найти все те прямоугольные треугольники, стороны которых — числа целые (пифагоровы треугольники).

Обозначая катеты через л*, J, гипотенузу через Ху получаем

х*+у* = г*. (5)

Это уравнение требуется решить в целых числах. Заметим, что если три целых числа X = а, y = b, z = с удовлетворяют уравнению (5), то и числа, кратные им, также суть решения нашего уравнения. Поэтому интерес представляет нахождение таких решений, которые не имеют общего делителя.

Разделив уравнение (5) на г2 и обозначив x:z=$; y:z = r^ мы приходим к уравнению (1).^ Поэтому:

Так как а и b числа взаимно-простые и разной четности (см. первую задачу), то х и у тогда, и только тогда, будут числа целые, если z есть кратное (а2~\-Ь2)\ так как интерес представляют решения для ху у, z взаимно-простые (см. выше), то положим z = (a2-\-b2). Тогда:

x=2ab; y = a2 — b2; z = a2 + b2. (6) Эти формулы называют формулами индусов.

Проверка. а = 4, £= 1, .£=8,^=15, 2=17, 82-4- 152 = 289= 172.

Задача 3. Найти все прямоугольные треугольники с целыми сторонами, зная их катет а; а — число целое.

Вопрос сводится к решению в целых числах уравнения

X2 —у2 = а2.

Разлагая а2 на всевозможные пары множителей одинаковой четности и приравнивая (х—у) меньшему множителю, (х-\-у) — большему, мы получим целые значения для X и у. Задача всегда имеет решения, число коих равно числу всевозможных разложений указанного вида.

Числовой пример: а =15; 225= 1-225 = = 3.75 = 5.45 = 9-25; лг= 113; 39; 25; 17; у=\\2; 36; 20; 8.

Задача 4. Найти все прямоугольные треугольники с целыми сторонами, зная их гипотенузу m (целое число).

Вопрос сводится к решению в целых числах уравнения

X2Jry2===m2. (7)

Это уравнение не всегда решается в целых числах. Если уравнение допускает целые решения, то мы их найдем, испытывая значения икса от 1 до m—1. Числовой пример

m =17; у = J/^289 — х2, при *= 8 находим у= 17, х= 17, у = 8.

Примечание. Рациональные решения уравнения (7) всегда имеют; формулы этих решений, согласно задаче второй, следующие:

Приступаем теперь к применению „метода пучка“, к более сложным неопределенным уравнениям.

Задача 5. Решить в целых числах уравнение:

X1— y2 + 2xy = z2. (8)

Разделив уравнение на z2 и обозначив

— = S, ^- = 7],

получим:

— ri2-f-2Srj = l. (8а)

Уравнение (8а) выражает в прямоугольных координатах гиперболу; на ней, очевидно, находится рациональная точка ($=1; 7) = 0); уравнение рационального пучка из этой точки:

Заменяя для симметрии k через Ь\а, получим:

(9)

(a, b — произв. целые числа).

Обозначая каждое отношение в (9) через ty получим

Z = at+ 1; т\=Ы . (9а)

Для отыскания точек пересечения кривой с лучами пучка решаем совместно уравнение (8а) и уравнение (9а), и получаем

(a2_b* + 2ab) t* + 2(a+b)t=0.

Отбрасывая нулевой корень (см. задачу первую), получаем:

Как и в первой задаче легко убедиться, что других рациональных решений уравнение (8а) иметь не может.

Целые решения первоначального уравнения (8) получим, положив z = b2 — аг — 2ab. Окончательно:

x=a2 + b2; y = 2b(a + b); • z = b* — a2 — 2ab. lw>

Числовая проверка: а = 1; £ = 4; х= 17; .у--=40; z = 7. 172 _ 402 + 2-17.40 = 49 = 72.

Задана 6. Найти веете прямоугольные параллелепипеды, которых ребра и диагонали числа целые.

Вопрос сводится к решению в целых числах уравнения

x2+y2-\-z2 = u2, (11)

где X, у, z — ребра параллелепипеда, и—его диагональ. Разделив на и2 и обозначая х:и = £; у:и=г^; г:и = х, получим

S2 + ij2 + т*=1, (11а)

т. е. уравнение сферы в прямоугольных координатах. Берем в качестве вершины пучка одну из рациональных точек сферы, например точку (0; 0; 1). Уравнение пучка:

(12)

где а, Ъ, с — произвольные целые числа. Для определения координат точек пересечения лучей пучка и сферы решаем совместно уравнение (11а) с (12); для этого, обозначив каждое из отношений (12) через t, получим

£ = at; ri = bt; x = ct-]-\.

Подставляя в (Па), получим квадратное уравнение для t:

(а2 + Ь* + с2) t2 + 2ct = 0.

Отсюда

(знак минус отбрасываем, так как £, tj, т входят в уравнение только во второй степени).

Подобно тому как в задаче первой, легко убедиться, что других рациональных точек, кроме тех, которые получены в последних формулах для S, tj, t, на сфере нет. Решения в целых числах предложенного уравнения (11) суть: х = 2ас; y=2bc\z = a2-\-+ Ь2 — с2\ и = а2 + Ь2+с2. (13)

Числовая проверка. Пусть а=7; Ь=3; с = 5. Тогда лг=70; у = 30; z=33;a=83; 702 + 302 _|_ 332 _ б889 _ 832.

Задана 7. Найти все те параллелограмы, коих стороны и диагонали суть числа целые.

Обозначая стороны через ху у, диагонали через г, иу получим уравнение

2*2 + 2у2 — z2 = u2. (14)

Полагая х:и = £; y:u = r^f z:u = z, получаем :

£2 —(— 7]2 — y =~2 (гиперболоид). (14а)

Очевидное рациональное решение этого уравнения есть

Уравнение рационального пучка из вершины (1, 1,0) :

Поступаем, как в предыдущих примерах:

и получаем квадратное уравнение:

(2а2 + 2£2 — с2) t2-\- 2 (a + b)t = 0.

Отсюда:

Следовательно, формулы целых решений предложенного уравнения суть:

Числовая проверка. Пусть а=\; 0 = 2; с = Ъ. Тогда л; = 27; .у = 39; г=60; и = 30. Сокращаем на 3, т. е. берем подобный параллелограм:

лг = 9; у=\Ъ; z = 20; и = \0; 2-9» + + 2-132 — 202 = 100 = 102.

§ 3. Обобщающая теорема

Читатель, вероятно, обратил внимание на то любопытное обстоятельство, что при решении трех последних неопределенных уравнений (см. задачи 5, 6, 7) неизменно получалось квадратное уравнение для t без свободного члена; вследствие этого t выражался рационально через произвольные целые параметры а, Ь, с..., тем самым также и с, 7], т, а отсюда — формулы для целых значений первоначальных неизвестных х9 у, Z, и.

Естественно возникает вопрос: случайно ли появление квадратного уравнения для t без свободного члена или это необходимо должно произойти?

Затем обратим внимание на то, что все предложенные уравнения суть однородные второй степени: неизвестные входят во второй степени и в виде парных произведений первых степеней, т. е. все члены уравнения — одного и того же измерения*. Нижеследующая теорема выяснит нам до конца вопрос, и притом в отношении однородных уравнений второй степени с любым числом неизвестных. Приступая к этому, заметим, что при числе неизвестных, превышающем 4, приходится либо отказаться от геометрической интерпретации (рациональные точки, рациональный пучок, кривая, поверхность), либо говорить о пространствах более трех измерений. Мы предпочитаем первое, так как есть возможность обосновать и изложить предлагаемый способ чисто алгебраическими средствами. Если тем не менее мы выше употребляли геометрические термины, то это нами делалось ради ясности и конкретности.

Теорема. Дано однородное неопределенное уравнение с (п-{-\) неизвестными второй степени

Разделив уравнение на хп2+1 и обозначив xi:xn+1 = £i (/=1, 2,3 ... л), получим уравнение с п неизвестными:

л 6, s,.....g=o. osa)

Если известна хоть одна система рациональных решений уравнений (15а): £2=К2, £3 = — К3.. Лп = Кп (допускаются и нули), то все целые решения уравнений (15) могут быть выражены посредством п произвольных целых параметров о,, а2.. .ап.

В самом деле, берем систему

£| — Kj_%2 — ^2 _ £/| — ^2 _ £

или лучше

Z1 = a1t + K1; Z2 = a2t + K2;...Zn=

= ant + Kn. (16)

Решая совместно уравнение (15а) с системой (16), получим квадратное уравнение:

(член c/t2) -\- (член с//) -f-

+/,(*„ /g(17)

Но так как Ки К2...Кп, согласно условию, суть решения уравнения (15а), то /{Кл% К2,.. .Кп) —-0. Поэтому уравнение (17) не имеет свободного члена; t выразится рационально через

av а2... ая, Kv К2 ... АГЯ,

тем самым также £3, $2 ... 5Я. Приравняв лг„+1 знаменателю в выражении для t, получим формулы целых решений для

x\i х2 • • • Хп“> Хп + 1'

Поясним все это на примере с пятью неизвестными

2х2 — ху + Зу -f 4z2 H- 6xz + bu2 = 20t;2.

1-й шаг. Пишем уравнение:

2$2 — fr) + 3ija + 4т3 + б£т + 5w2 = 20 ; (I)

где S = — и т. д.

2-й шаг. Очевидное рациональное решение:

£ =7} =т = 0; w = 2. 3-й шаг. Пишем систему: Z=a1t; t[=a%t.

x = o3t; w = a4t-{- 2. (II)

* В силу однородности геометрических формул такие уравнения часто встречаются.

4-й шаг. Решаем совместно (I) и (II):

(2а? — + 3û2+ 4-03 + 60^3 4“ 4- Ъа\) t2 -f 20а/ + 20 = 20 ;

5-й шаг. Находим формулы целых решений: х = 20ага4; у = 20 а2а4; z=20a3a4;

и = a4t -\- 2 = 10а* -f- 2aja2 — 4af —

— ßal — Sal — \2алаг.

V = a^a2 — 2a\ — 3û2 — 4а3 — 6a^a3 — Ъа\.

Числовая проверка. Пусть а=1; а2 = 2; а3 = 3; а4 = 4. Находим:

Х=80; ^=160; 2г=240; н = 28; х; = _146

(можно брать v = -\- 146, так как v входит только во второй степени).

Проверка дает 426 320 = 426 320.

§ 4. Рациональные треугольники

Будем называть рациональными такие треугольники, стороны и площадь которых выражаются целыми числами. Если обозначить через лг, у, z — стороны, через и — площадь, то вопрос сводится к решению в целых числах неопределенного уравнения четвертой степени:

(х+У + г) (— x-\-y + z) (х-у + + г) - (х+у — Z)=\6u*.

Однако мы здесь изложим гораздо более простой, тригонометрический способ. Обозначая углы треугольника через А, В, С, имеем:

x:y:z = s'mA: sinJ3: sin (А-{-В);

Отсюда видно, что если sini4, cos<4, sin£, cos В—числа рациональные, то так же л:, yi z, и — рациональны (при этих условиях также sin С = sin A cos В cos A sin В рационален).

Поэтому, согласно задаче 1, положим:

Здесь а, о, с — произвольные целые числа, выбор которых ограничен лишь требованием,

чтобы дроби ^ и — не были одновременно > 1, так как в треугольнике не может быть более одного тупого угла*. Находим:

Следовательно xiy.z

Или, отбрасывая коэфициент пропорциональности:

(18)

где а, Ь, с — произвольные целые числа с указанным. выше ограничением (а, Ь, с — взаимно-простые числа). Формулы (18) дают все рациональные треугольники, так как если sin A, cos Л, sin Л, cos В рациональны, то рациональны стороны и площадь, но и наоборот: если стороны и площадь — рациональны, то рациональны sin^, cos^l, sin/?, cos В.

Числовая п рове р ка. Пусть а=5, Ь=3; с = 2. Тогда x = S7; y = 6S; 2 = 95; площадь u=Y 125.3ö.57.30 = l/5M9'.62 = = 2850; или и = 5-3-2 (3 + 2) (25 — 6) = = 2850.

Примечание. Очевидно, радиус описанного и радиус вписанного круга рациональных треугольников суть числа рациональные.

* Можно было бы применить более сильное ограничение:

Отсюда û2 > be.

Но в этом нет необходимости. Если д2 < te, то z<0, но треугольник со сторонами х, y,z будет все же рациональный; надо, следовательно, брать абсолютное значение z. Следует, однако, иметь в виду, что, если а2< к, то углы А, В определяются не из

но из

Пусть я = 3; Ь=2\ с = 5. Тогда лг=68; у =65; z = — 7. Берем треугольник: дг=б8; _у=65; 2—7; его площадь —210; tg у = у ; tg-j==y, а не

§ 5. Приложения в школьной практике

В журнальной статье не представляется возможным войти в подробности этого вопроса, но в этом и нет необходимости: читатель, по усвоении предыдущего небольшого теоретического материала, на основе предложенных ниже указаний и примеров без труда овладеет и практически техникой целесообразного подбора числовых данных.

Мы разделяем этот параграф на ряд пунктов.

I. Задачи первой степени

Заметим предварительно, что составлять задачу следует в буквах, а не в числах, не отличая данных от искомых; это позволяет педагогу, во-первых, произвести целесообразный подбор чисел; во-вторых, составить не одну, а много задач с различными числовыми данными (для контрольных работ); в-третьих, переставлять данные и искомые величины; в-четвертых, чрезвычайно облегчает проверку сходных задач; в-пятых, позволяет усмотреть те случаи, когда для решения задачи нет необходимости в нахождении некоторых величин в отдельности, а достаточно определить некоторую их комбинацию. Все это замечание, конечно, относится и к другим пунктам.

Вернемся теперь к нашему пункту. Пусть решение задачи привело к следующей зависимости между величинами, фигурирующими в задаче:

е=3а(5с — 2b): 2d; a,b,c,d,e —

целые положительные числа.

Подбираем числа такие, чтобы все множители 2d входили в За и (5с — 2Ь). Примерно: пусть а = 28; d =- 18. Тогда

е = 7.(5с — 2Ь):3.

Следовательно, 5с — 2Ь должно делиться на 3. Имеем:

Так как е > 0, то так же 3/3 — 6t > 0. Следовательно, произвольные целые числа t и t2 должны быть ограничены условием, что

/,>2/.

Проверка. Пусть t = 5; £, = 12. Имеем теперь

а = 28; rf=18; £ = 3-5-f 12 = 27;

//. Применения задач № 1 до 7 (см. § 2).

1) Правильные четырехугольные пирамиды, которых сторона основания, апофема, высота, объем, поверхность— числа целые (см. черт. 2).

Очевидно, для этого Д SOE должен быть пифагоровым. Поэтому (см\ задачу 2 §2):

AB = 4ab; SO=a2 — b2; SE = a2-\-b2;

V = -3— (а2 — »)\ S=8ab (а2 + Ь2) ;

v всегда выразится целым числом, ибо если ни а, ни b не кратные трех, то непременно а* — Ь2 делится на 3 (докажите это!); если же хоть одно из чисел а или b есть кратное трех, то v, очевидно, есть число целое.

Числовая проверка. Пусть а = 2, b = 1 ; тогда

Л# = 4-1-2 = 8; SO = 22— 1=3,

остальные величины находим непосредственно:

апофема = jA2 + З2 — 5;

боковая поверхность = 16-5 = 80;

« 64-3 СА

объем = -у- = 64.

2) Правильные четырехугольные пирамиды, которых сторона основания, боковые ребра, высота и объем — числа целые.

Черт. 2

Пусть AB = x;SE=y; CS = z. (черт. 2). Тогда имеем:

Решая это уравнение в целых числах известным способом, находим:

x=4ab; y=a2—2b2\ z = a2-\-2b2\

Чтобы v было целым, необходимо, чтобы одно из чисел а или b было кратным трех.

Числовая проверка. Пусть а = 3; Ь = 2. Тогда сторона основания = 24; боковое ребро — 9 -f- 8 = 17. Остальные величины находим непосредственно:

3) Правильные шестиугольные пирамиды, которых сторона основания (х), высота (у), апофема боковой грани (г) и боковая поверхность— числа целые.

Аналогично находим:

x = 8ab; y=3a2 — 4b2; г = За2 + 4£2; S=24(3a2 + 4b2)ab.

Числовая проверка. Пусть а = 3; Ь=\. Тогда сторона основания = 24; высота =23. Остальные величины находим непосредственно:

боковая поверхность = 4-24-31 = 2976.

4) Правильные шестиугольные пирамиды, которых сторона основания^), высота (у), боковое ребро^) — числа целые.

Имеем пифагоров треугольник:

x = 2ab; y = a2 — b2; z = a2-\-b2.

Числовая проверка. Пусть а = 3; д = 2. Тогда сторона основания = 12; боковое ребро =13. Находим высоту

Черт. 3

5) Усеченные конусы, коих радиусы оснований (х, у), высота (г),

образующая (и) суть числа целые, а объем (v) и полная поверхность (S) выражаются целым числом тт.

Вопрос сводится к рассмотрению прямоугольной трапеции (см. черт. 3). Треугольник ААгВ должен быть пифагоровым. Поэтому положим:

x —у = 2йЬ\ z = a2—b2\ u = a2-\-b2.

Или, полагая у = с = произвольному целому числу, имеем:

(полная поверхность), v всегда выразится целым числом, так как, если хоть одно из чисел д, b есть кратное трех, то

(3c2 + 6abc-\-4a2b2)

делится на 3; если же ни одно из чисел а, b не делится на 3, то (а2 — Ь2) делится на 3 (см. выше).

Числовая проверка. Пусть а = 4. Ь=3; с = 2. Тогда радиус нижнего основания =26; радиус верхнего = 2, высота = 7. Находим непосредственно:

6) Правильные шестиугольные усеченные пирамиды, которых стороны оснований (л:, у), высота г, апофема боковой грани и и боковая поверхность .9— числа целые.

Легко получить, что

пусть

x—y = v.

Следовательно, надо решить в целых числах уравнение:

4г*+3я2 = 4«2.

Решая это уравнение, находим z = ±a2 — 3b2; v = 8ab; ы=4а2+3£2.

Числовая проверка. Пусть я = 2; Ь=\ \ высота г =13; х—y = v= 16; апофема = и— 19. Пусть у = 2; тогда л: =18. Шестиугольная усеченная пирамида со сто-

ронами оснований л; =18, у =2 и высотой z—13 удовлетворяет нашим требованиям, что легко проверить.

III. Применения задачи о рациональных треугольниках

1) Всякому преподавателю математики в средней школе знаком „неприятный“ труд при проверке контрольных работ на решение треугольников по трем данным сторонам. Это усугубляется тем обстоятельством, что, во избежание списывания, нельзя давать всем учащимся только один или даже 2—3 разных по числовым данным примера. Мы советуем поступать так: учитель пишет на доске формулы сторон рациональных треугольников (см. §4 формулы 18) и предлагает каждому учащемуся подставлять в них небольшие целые значения для а, Ь> с. Без всяких вычислений мы знаем, что

т. е. ответ любой из этих задач известен преподавателю до решения. Так, например, в примере конца § 4 (а = 5; д = 3; с = 2),

С одного взгляда на работу учитель видит, правильно или неправильно решение, и, по степени близости результатов, полученных учеником, к —, — учитель может оценить, насколько ученик владеет интерполированием. Надо помнить, что, хотя а и b произвольны, но — и — не должны быть одновременно больше 1.

2) Можно дать еще более быстрый способ проверки работ этого рода — в полном смысле мгновенный; ведь, при предыдущем способе учитель все же должен вычислить — , у и tg у = — и tg у = — . Этот способ связан с одной неопределенной задачей, которую, однако, нельзя причислить к числу „рациональных“: здесь не идет речь о рациональных решениях.

Задана. Найти косоугольные треугольники, удовлетворяющие следующим условиям: 1) углы составляют арифметическую прогрессию; 2) синус и косинус меньшего угла рациональны.

Обозначив разность прогрессии через г, меньший угол — через Л, имеем

А + (A -f г) + (А + 2г) = ЗА 4- Зг = 180°; Л + г=60°,

т. е. средний у го л = 60° = В.

Пусть

(ибо А — меньший

угол); тогда

Обозначив стороны треугольника через x<^y<^z, имеем

Отсюда:

Учитель пишет на доске эти формулы, предлагая учащимся подставлять вместо а и b небольшие целые числа и вычислять углы треугольника. С одного взгляда на работу учитель может ее оценить: углы должны составлять арифметическую прогрессию с возможным отклонением на несколько секунд, причем один из углов должен быть = 60°.

Числовая проверка. а = 2; 6=1; х = $; у = 5 |/3; 2 = 4 + 2|/3.

Вычисляем углы по сторонам 8; 8,6603; 9,1962. Находим:

А = 53°7'45“ ; Я = 60°; С = 66°52f 1Г ; В — А = 6°52' 15“ ; С — В = 6°52' 12“.

Если вычислить А по формуле

то Л = 53°7'48“.

3) Трапеции, которых стороны и площадь выражаются рациональными или целыми числами.

Для этого берем рациональный /\XYZ\ одну из его сторон, например XY, делим в рациональном отношении YD:DX= т:п; через точку деления D проводим DE параллельно XZ\ трапеция XZED—искомая, так как площадь Д YDE рациональна, она

Следовательно, имеем боковые стороны трапеции:

Основания трапеции:

(Ь-^-с)'(а2 — te) (большее основание), (меньшее основание).

Площадь трапеции =

Если желательны целые решения, то увеличиваем линейные размеры в (m -f- п) раз, а, следовательно, площадь в (т-\-п)2 и получаем: боковые стороны

пЬ(а*-\-с*)\ пс(а2-\-Ь2);

основания:

(т + п) (Ь + с) (a2 — be); m{b + с) (а2 — be); площадь

п (2т + /г) abc (Ь + с) (а2 — fo),

где а, с произвольные целые взаимно-простые числа, также m, п и притом напомним, что Ь:а, с:а не должны быть одновременно больше 1.

Числовая проверка. а=3; Ь=2; с= 1 ; /ю = 1 ; п=2.

Боковые стороны трапеции 40; 26; основания: 63; 21.

Находим высоту h = 24; площадь 42- 24 = = 1008; точно так же имеем площадь = = 2 • (2 + 2) -1 - 2.3 - 3 (9—2)=42 • 24 = 1008.

4) Трапеции, которых диагонали, основания и площадь выражаются целыми числами.

Черт. 4

Проводим СЕ параллельно BD; CE = BD.

Также DE = ВС. Трапеция ABCD равновелика ДЛС£. (черт. 4).

Отсюда получаем, что ДЛС£ должен быть рациональным.

Следовательно, надо положить:

АС=Ь (a' -j- с2); BD =с (а2 + *«) ;

Л£, т. е. сумма оснований, = (£ -|- с) (а2 — be) ; при этом эту сумму можно разбить как угодно на два слагаемых.

Числовая проверка. а = 3; Ь = 2; с~\; диагонали 20; 13; сумма оснований =21. Возьмем, примерно, одно основание 6, другое 15. Трапеция эта будет иметь площадь, выражаемую целым числом:

|/ 27-7.1415 = j/ 81.72.2* =126.

5) Неправильные пирамиды, которых стороны основания суть числа целые, равные боковые ребра и объем, также выражаются целыми числами.

Высота такой пирамиды, очевидно, проходит через центр круга, описанного вокруг основания (равные наклонные имеют равные проекции). Так как в рациональных треугольниках также и радиус описанного круга R выражается рациональным, если не целым числом, то за основание принимаем какой-нибудь рациональный треугольник и находим R (из планиметрии известно, что /? = произведению сторон, разделенному на учетверенную площадь). Если R окажется дробным числом, то увеличиваем стороны треугольника во столько раз, чему равен знаменатель той дроби, которой выражается /?. Обозначив через H и Z высоту и боковое ребро пирамиды, решаем затем в целых числах неопределенное уравнение Z2 — H* = R2(R найдено выше) (см. задачу 3 §2). Если /?>2, то уравнение это всегда имеет одно или несколько целых решений.

Покажем все это на примере.

Берем рациональный треугольник со сторонами 13; 20; 21. Площадь £=126;

#=13.20.21:4.126 = ?.

Увеличиваем стороны в 6 раз: 78; 120; 126; /? = 65; £=126-б2. Решаем уравнение:

* См. формулы сторон и площади рациональных треугольников.

Следовательно, при основании (78; 120; 126) существуют 4 пирамиды, соответствующие условию задачи, например хотя бы пирамиды с основанием (78, 120, 126) и Z — 97.

6) Неправильные пирамиды, которых боковые грани одинаково наклонены к основанию и которых стороны основания, апофема боковой грани, поверхность и объем — числа целые.

Решение такое же. В рациональном треугольнике также и радиус вписанного круга выражается рационально. Высота пирамиды проходит через центр вписанного круга.

Пример. Берем рациональный треугольник (13; 20; 21), г = ~^=у ; увеличиваем стороны в три раза, т. е. берем основание (39; 60; 63); r=14; S= 126-9 = 1134. Пусть высота = //, апофема = М;

М2 — И2= 142; (/И-+- Н){М — /*) = 298

(других разложений 142 на пары неравных множителей одинаковой четности нет). Отсюда M == 50; Я=48.

Следовательно, пирамида с основанием (39; 60; 63) и высотой 48 имеет объем, апофему и поверхность, выражаемые целыми числами.

О ШЕСТИУГОЛЬНИКАХ, ВПИСАННЫХ В ТРЕУГОЛЬНИК

Доц. С. ЗЕТЕЛЬ (Москва)

Настоящая статья представляет развитие моей заметки „Теорема Жергона и следствия из нее“, помещенной в сборнике „Математика и физика в средней школе“ № 3 за 1934 г. Частично мне придется воспроизвести эту заметку, начав с теоремы Жергона: „Если прямые AD, BE, CF, выходящие из вершин треугольника, пересекаются в точке О внутри треугольника (черт. 1), то

(2)

Черт. 1

Доказательство теоремы очень просто. Так как площади треугольников АОС и ABC относятся как их высоты, а последние относятся, как ОЕ и BE (опустив из В и О высоты, получим подобные треугольники), то

Аналогично:

Сложив полученные равенства, найдем

Итак, первая часть теоремы доказана. Легко доказывается и вторая часть. Так как

то

Из теоремы Жергона мною получены две теоремы, позволяющие вписать во всякий треугольник шестиугольники определенного вида.

Теорема первая. Прямые, проведенные параллельно противоположным сторонам треугольника через середины отрезков, соединяющих произвольную точку, взятую внутри треугольника с вершинами, отсекают треугольники, подобные данному, так, что сумма трех линейных сходственных элементов этих треугольников равна сходственному элементу данного треугольника.

Доказательство. Точка О, взятая внутри треугольника (черт. 2), соединена

Черт. 2

с вершинами. Отрезки АО, ВО, СО продолжены до пересечения с противоположными сторонами соответственно в точках D, Е и F. Через точки d', Е1 и F'— середины отрезков OA, OB, ОС — проведены прямые, параллельные сторонам ВС, АС, AB. Знаменатель отношения двух сходственных элементов треугольников LAK и ВАС обозначим через КА, треугольников M BN и ABC через Кв и треугольников PCQ и ABC—через Кг. Тогда имеем

(3)

Умножив обе части равенства (3) на произвольную величину d, где d — любой линейный элемент треугольника ABC, получим: KAd + KBd + Kcd=d. (4)

dA + dB±dc=d, (5)

где dA, dB, dc — элементы, сходственные элементу d, соответственно в треугольниках LAK, M BN, PCQ.

Из доказанной теоремы получаем следствие, касающееся сторон шестиугольника MNQPKL.

Противоположные (параллельные) стороны шестиугольника равны между собой. Действительно, из чертежа 2 имеем

АК+КР + РС=АС. (6)

Из подобия треугольников

ALK и АВС:АК=КААС; MBN и ABC : MN = КВАС; OOP и ВСА:РС = КСАС. Следовательно,

АК + MN-\- РС = АС. (7)

Из сравнения равенств (6) и (7) получаем: MN~ KP.

Назовем шестиугольник mnqpkl „шестиугольником первого вида“, связанным с точкой О.

Примечание. Теорема Жергона, как и полученная мною теорема, остаются справедливыми и тогда, когда точка О лежит на стороне треугольника. В дальнейшем нас будет интересовать только тот случай, когда точка О находится внутри треугольника.

Теорема вторая. Если на прямых, исходящих из вершин треугольника и пересекающихся в одной точке внутри треугольника, отложить от вершин отрезки, соответственно равные отрезкам от общей точки, до точки пересечения с противоположной стороной, и через полученные точки провести прямые, параллельные противоположным сторонам, то сумма трех сходственных линейных элементов полученных треугольников рэвна сходственному элементу данного треугольника.

Черт. 3

Пусть (черт. 3)

AD'=OD ; BE1 = ОЕ, CE* = OF.

Отсюда получаем

В дальнейшем доказательство аналогично тому, что было дано для первой теоремы. Противоположные стороны полученного шестиугольника Af]A/1P1Q1Ar1L3 равны между собой. Назовем шестиугольник M1N^P1Q1K1L} „шестиугольником второго вида“, связанным с точкой О.

Итак, для каждой точки внутри треугольника возможно построить два шестиугольника, связанных с этой точкой. Построение этих шестиугольников очевидно.

Следствие. Если точка О отстоит от одной из сторон треугольника на расстоянии, равном соответствующей высоты, то две

стороны шестиугольников „первого и второго видов“ совпадают. Отсюда следует, что „шестиугольники первого и второго видов“, связанные с точкой пересечения медиан, совпадают.

Поставим следующую задачу: отыскать внутри треугольника такую точку О, чтобы шестиугольник второго вида, связанный с этой точкой, был равносторонним. Пусть точка О найдена (черт. 3) и шестиугольник ^“l^AQi^A — искомый.

Тогда имеем

К^ = КАа; Q1P1 = Kcc.

Так как по условию К^Ьг = M1N1 = СгР1У

то

КАа = К„Ь = КгС.

Следовательно,

(8)

получим

(9)

Сторона искомого шестиугольника равна

Итак, величина, равная обратной величине стороны шестиугольника, равна сумме обратных величин сторон треугольника.

Определим расстояние от искомой точки до стороны а; обозначим это расстояние через х:

Пусть у и z соответственно равны расстояниям от искомой точки до сторон b и с. По аналогии имеем:

Итак, расстояния от искомой точки до сторон треугольника обратно- пропорциональны квадратам соответствующих сторон.

Следовательно, поставленная нами задача приведена к следующей: в треугольнике найти точку, расстояния которой от сторон обратно-пропорциональны квадратам этих сторон. Покажем, как отыскать такую точку. Пусть О— искомая точка. Тогда

Соединим точку В с О; продолжим отрезок ВО до пересечения со стороной АС в точке D. Из точки D опустим перпендикуляры ОМл и DN^ на стороны ВС и АВ> (черт. 4, на стр. 17):

Найдем отношение площадей треугольничков ADB и DBC.

С одной стороны, С другой стороны,

Следовательно,

Итак, прямая BD делит сторону АС обратно-пропорционально прилежащим сторонам. Изучением свойств прямых, делящих стороны треугольника обратно-пропорционально прилежащим сторонам, впервые занимался французский геометр Окань (D'Ocagne), назвавший эти прямые антибиссектрисами.

Построение антибиссектрис очень просто. Пусть BE — биссектриса (черт. 1); тогда, отложив отрезок СЕг = АЕ, найдем точку Ех — основание антибиссектрисы. Три антибиссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, названной Оканем центром антибиссектрис. Итак, нами доказана следующая теорема: если на антибиссектрисах треугольника отложить от вершин отрезки, соответственно равные отрезкам от центра антибиссектрис до их основания, и через полученные точки провести прямые, параллельные противоположным сторонам, то полученный шестиугольник будет равносторонним.

Сторона искомого шестиугольника, как мы видим, равна

Проведем из точки Мг прямую Мл1, параллельную стороне ВС (черт. 3) и Q^I, параллельную стороне АС. Соединим точку /

с Кл. Легко видеть, что прямая 1КУ параллельна и равна стороне шестиугольника L}M^. Итак, нами найдена точка /, отличающаяся тем свойством, что отрезки прямых, прсведенных из этой точки параллельно сторонам треугольника (AB, ВС, АС) до пересечения с другими сторонами (CA, AB, ВС), равны между собой. Во всяком треугольнике, очевидно, имеются две такие точки. Вторая точка 1Л получится, если прямые, параллельные сторонам треугольника (AB, ВС, CA), проведены до пересечения со сторонами (ВС, CA, AB). Точки / и /2 известны в геометрии треугольника под названием точек Енжабека, по фамилии математика из Чехо-Словакии. Енжабек, впервые отыскавший эти точки, дал построение, отличное от данного нами, совершенно не связанное с построенным нами шестиугольником. (О построении точек Енжабека см. Ефремов—„Новая геометрия треугольника“, стр. 138.) Данное нами построение позволяет найти некоторые интересные свойства точек Енжабека.

1) Каждая из точек Енжабека есть общая вершина трех ромбов, стороны которых равны между собой. Длина стороны каждого ромба равна

2) Интересное соотношение получим, определив расстояние от точек Енжабека до сторон треугольника. Эти расстояния равны высотам ромба. Расстояние ia от точки / до стороны а определим из ромба /1 Кг Мг

аналогично:

1Ь = t sin А ; ic — tsinB.

Следовательно,

(10)

Расстояния от второй точки Енжабека до сторон треугольника соответственно равны

Сумма обратных величин этих расстояний

где/? — радиус круга, описанного около данного треугольника.

3) Площадь найденного нами равностороннего шестиугольника легко определится:

Доказанная нами теорема о построении равностороннего шестиугольника есть частный случай более общей теоремы, касающейся построения шестиугольников второго вида, связанных с точкой пересечения „прямых я“.

„Прямыми п“ мы называем прямые, выходящие из вершин треугольника и делящие противоположные стороны пропорционально п степеням прилежащих сторон. О построении и свойствах этих прямых мною была написана статья, помещенная в „Математическом просвещении“, сборник первый за 1934 г.

Частными случаями „прямых пи являются при п = —1, л = 0, /1=1, п — 2 — соответственно антибиссектрисы, медианы, биссектрисы, симедианы. Термин симедиана введен Оканем для прямой, выходящей из вершины треугольника и делящей стороны треугольника пропорционально квадратам прилежащих сторон (это прямая и медиана образуют с биссектрисой, исходящей из той же вершины, равные углы). Из свойств „прямых пи для изучения шестиугольников понадобятся только два следующих:

1) „Прямая п“—является геометрическим местом точек, расстояния от которых до прилежащих сторон треугольника пропорциональны п—1 степени соответствующих сторон.

Пусть BD—„прямая п“ (черт. 4):

Возьмем на прямой BD произвольную точку Oy тогда g^=^Zî- Итак, „прямая пи является геометрическим местом точек, расстояния от которых до прилежащих сторон пропорциональны п—1 степеням этих сторон. Отсюда следует, что „прямые л“,

выходящие из вершин треугольника, пересекаются в одной точке.

2) Определим расстояния от точки пересечения „прямых п“ до сторон треугольника.

Пусть расстояния от точки пересечения до сторон а, Ь, с соответственно равны х, у, г. Тогда

где £—площадь треугольника.

(11)

Теперь легко вычислить длины сторон шестиугольника. Обозначим сторону шестиугольника, лежащую на стороне а или параллельную этой стороне, через av тогда

аналогично

(12)

Итак, мы доказали, что стороны шестиугольника второго вида, связанного с точкой пересечения „прямых п“, пропорциональны п -h 1 степеням соответствующих сторон.

Рассмотрим частные случаи:

1) При л = 0, получаем:

стороны шестиугольника, связанного с центром тяжести, пропорциональны соответствующим сторонам и равны:

(13)

2) При п = 1, получаем : стороны шестиугольника второго вида, связанного с центром вписанного круга, пропорциональны квадратам соответствующих сторон и равны:

(14)

В случае прямоугольного треугольника (при п= 1) с гипотенузой = сг получаем интересное соотношение сг = ал-\- bv

3) При п = 2 получаем (О— точка пересечения симедиан)

(15)

4) При п = — 1 (О — точка пересечения антибиссектрис) получаем

(16)

Интересно отметить свойства шестиугольников второго вида, связанных с точками пересечения „прямых я“, для треугольника, у которого стороны составляют геометрическую прогрессию (о построении и свойствах таких треугольников см. мою статью: „Об одном случае неравенства треугольников“, „Математика и физика в средней школе“, сборник № 1 за 1934 г.). Если а,Ь,с составляют геометрическую прогрессию, где b=\fac, то, как видим из равенств (12), при всяком п между сторонами шестиугольника существует зависимость Ьг = 1^агсГ

Построенные нами шестиугольники дают возможность обобщить задачу Енжабека, о которой мы говорили выше. Поставим следующую задачу: „Найти такую точку, чтобы отрезки прямых, проведенных из этой точки параллельно сторонам треугольника (AB, ВС, CA) до пересечения с другими сторонами (CA, AB, ВС), были пропорциональны п степеням параллельных им сторон треугольника“. Решение задачи получить легко.

Действительно, построив „шестиугольник второго вида“, связанный сточкой пересечения „прямых п—1“, получим шестиуголь-

ник со сторонами, пропорциональными п степеням противолежащих сторон. Проведем из точки Alj (черт. 3) прямую Мг1 параллельно стороне ВС из точки Qv прямую QI параллельно стороне АС. Соединив I с Kv получим прямую IK, параллельную AB.

М/=^Ог; Q1I=P1K1; KJ=LXMX.

Следовательно, Мг1: Сг1 : Кг1= ап: Ьп:сп.

Интересен частный случай для прямоугольного треугольника при

п = 2; MJiQJiKiI^cPi&ic*.

Если с гипотенуза треугольника, то

Назовем точку / „обобщенной точкой Енжабека Легко видеть, что для всякого п можно получить „две обобщенные точки Енжабека“. При п=\ две эти точки совпадают. Действительно, шестиугольник, связанный с точкой пересечения медиан (медианы—„прямые п“ при /г = 0), отличается тем свойством, что шесть его диагоналей параллельны сторонам и пересекаются в одной точке, совпадающей с точкой пересечения медиан.

ДВИЖЕНИЕ АТОМОВ И ПРЕДЕЛ ТОЧНОСТИ ФИЗИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Доц. В. ГРАНОВСКИЙ (Москва)

1. Прогресс экспериментальной техники

Исключительно быстрый и все ускоряющийся рост физических знаний, который характеризует подъем физики в XIX и особенно в XX в., имеет одним из своих источников— и одним из своих следствий — необычайное развитие техники физического эксперимента. Каждая новая страница, вписанная в эту науку, дает экспериментатору в руки новые методы исследования; каждый новый метод наблюдения и измерения открывает физике новые результаты. Так, изучение явлений флуоресценции привело к новому способу обнаружения и наблюдения лучистой энергии— по действию ее на флуоренсирующие экраны. Этим путем В. Рентген в 1895 г. открыл лучи, носящие его имя и сыгравшие совершенно исключительную роль в развитии физики XX в. В частности, посредством рентгеновых лучей была изучена кристаллическая структура твердых тел. Последняя, будучи хорошо изученной и измеренной, в свою очередь стала орудием исследования. Пользуясь кристаллическими решетками металлов, Дэвиссон и Джермер в Америке и Г. Томсон в Англии в 1927 г. установили на опыте существование волновых свойств у электронов и тем поставили на опытную почву замечательнейшее достижение теоретической физики последнего десятилетия — волновую механику микрокосмоса. Наконец, электронные волны сами становятся средством эксперимента („электронография“) и уже применяются к изучению химических процессов на поверхности твердых тел (пассивность, коррозия).

Такую же связь между развитием физических знаний и развитием техники физического эксперимента можно проследить и в любых других разделах физики.

Наряду с огромным увеличением разнообразия методов исследования идет и рост могущества каждого из них. Совершенствование опытной аппаратуры приводит к тому, что становятся доступными изучению такие явления, которые раньше приборами данного типа изучать было невозможно. Особенно замечательно здесь увеличение чувствительности наших приборов. Современный физик-экспериментатор может наблюдать и измерять столь малые величины, что у человека, не стоящего в курсе дела, это вызывает изумление, граничащее с недоверием. Чтобы не быть голословными, приведем несколько примеров. Длину можно измерить с точностью до хо 0QQ0QQ от измеряемой величины и даже большей. Например, длина волны красной линии в спектре кадмия была измерена Бенуа, Фабри и Перо в Международном бюро мер и весов (Париж) в 1907 г. по методу Майкельсона (интерференционным путем); было установлено, что указанная длина волны равна

Х= 0,00000064384696 ^=643,84696 м\1.

При этом ошибка измерения не превышала единицы в предпоследнем знаке! Другой знаменитый опыт Майкельсона, касающийся и влияния движения Земли на скорость света, был повторен американцем Кеннеди в 1926 г. Наблюдения производились с прибором-

(интерферометром) длиной в 122 см. при этом оказалось, что можно заметить изменение длины на 1 • 10““8 см\ Эта чудовищная точность достигается оптическими средствами; в основе опять лежит использование интерференции света. Время можно также измерить необычайно точно. Механические приборы дают возможность отсчитывать промежутки времени, доходящие до 0,5-10~4 сек.; электрические методы позволяют итти до 10“6 сек. и даже дальше. Взвешивание можно производить с точностью до седьмого знака; можно с помощью специальных микровесов обнаружить массу в0,001 миллиграмма. Для измерения плотности американским физико-химиком Льюисом разработано видоизменение метода ареометра, позволяющее замечать изменение плотности на одну миллионную; этим методом Льюис и его сотрудники определяли содержание тяжелой воды в различных пробах воды.

С помощью ионизационного манометра физик может измерять давления в стомиллионную долю мм.; это давление соответствует такому разрежению в сосуде, при котором из семидесяти миллиардов молекул остается одна. Разность температур в одну десятитысячную долю градуса можно измерить дифференциальным термоэлементом, соединенным с чувствительным гальванометром. Такой термоэлемент, помещенный в фокус зеркального телескопа, дает возможность определить, например, температуры различных планет — и даже отдельных участков их поверхностей — по той лучистой энергии, которая доходит от них на Землю. Особенно велика чувствительность электроизмерительных приборов. Так, сила тока в 10~10—10“11 ампера может быть измерена панцырным гальванометром; наблюдая разряд чувствительного электрометра, можно отсчитать еще гораздо меньшие токи—до 10~17 ампера. Последняя цифра означает, что за секунду проходит всего сотня электронов; если бы таким током попытаться выделить из электролита всего / куб см. кислорода, то на это потребовалось бы тридцать миллиардов лет. Разность потенциалов, которую можно измерить хорошим гальванометром, также ничтожна: стомиллионная доля вольта — величина вполне доступная измерению (хотя, как мы увидим ниже, не при всех обстоятельствах).

Могущество электрической аппаратуры необычайно возросло после открытия де-Форестом и Флемингом катодной лампы с тремя электродами. С помощью этого „чудодейственного“ прибора оказалось возможным усиливать слабые токи и напряжения, в особенности переменные. Применяя подряд несколько катодных ламп таким образом, чтобы напряжение, усиленное первой лампой, подводилось ко второй, усиливалось ею, затем так же третьей лампой и т. д., можно достигнуть усиления напряжения в миллионы раз. Как известно, современная радиотехника, звуковое кино, дальняя проволочная связь и целый ряд других отраслей техники опираются на это свойство катодной лампы. Если бы последней не существовало, все эти блестящие достижения XX века находились бы в жалком состоянии. Именно катодная лампа дает возможность с уверенностью производить прием радиосигналов на таких расстояниях, где без нее они были бы совершенно недостаточны для слышимости в телефон. Но и в области измерительной техники она произвела переворот. Нечего и говорить о том, что измерения малых электрических величин — слабые напряжения, силы тока и т. д. — стали производиться с применением катодных ламп, позволяющих эти величины усиливать и пользоваться более грубыми приборами для отсчетов. Измерения неэлектрических величин стали также усиленно приводить к электрическим, чтобы использовать свойства катодной лампы. Последний прием вообще не нов. Уже давно заменяют, например, измерение температуры по тепловому расширению (термометры) электрическими измерениями: силы тока (термоэлемент) или сопротивления (термометр сопротивления, болометр); при этом руководствуются стремлением использовать чувствительность и скорость действия электрических приборов. После открытия катодной лампы эта тенденция еще возросла; при этом ее используют и как усилительный прибор и как генератор электрических колебаний. Например, оказалось удобным сводить измерение расстояний между двумя телами к измерению емкости между ними; выяснилось, что таким образом можно замечать малейшие изменения расстояния. Так как очень многие измерения основаны на перемещении какой-либо подвижной части прибора в пространстве, то этот метод получил разнообразные применения, причем всюду давал возможность добиваться крайней чувствительности. Казалось, что благодаря катодной лампе перед измерительной техникой открылись безграничные перспективы, что любую, как-угодно малую физическую величину можно обнаружить, усилить и измерить. По удачному выражению В. Шоттки, старинная мечта — услышать, как растет трава — казалась близкой к осуществлению.

К сожалению, это не так. Возможность измерять очень малые величины ограничена самой природой вещей. Мы увидим сейчас, что

препятствия создаются прежде всего атомной структурой вещества. Но чтобы в этом убедиться, необходимо вспомнить некоторые сведения из кинетической теории материи и из теории вероятностей.

2. Распределение энергии по степеням свободы

Все вещества построены из молекул, или непосредственно из отдельных атомов, или, наконец, из ионов. В каждом теле образующие его элементарные частицы находятся всегда в состоянии движения. Если это газ, то его молекулы беспорядочно движутся в пространстве, вращаясь вокруг своих осей, сталкиваются и отражаются друг от друга и от стенок сосуда. В твердом теле его частицы удерживаются сложной системой сил взаимодействия около положений равновесия; однако каждая частица колеблется около своего положения равновесия. В жидкости движение частиц также является сильно стесненным: каждая частица барахтается в объеме, ограниченном ее соседями; однако таких определенных положений равновесия, как в твердом теле, здесь нет. Это движение элементарных частиц во всех веществах происходит совершенно беспорядочно, хаотично; оно, как известно, и представляет собой сущность теплоты. Между температурой вещества и скоростью движения частиц существует прямое соотношение; именно средняя кинетическая энергия движения пропорциональна абсолютной температуре. Закон этот относится именно к средней кинетической энергии. Вследствие полной хаотичности движения и разнообразия условий, при которых происходят столкновения молекул, скорости движения разных молекул будут самыми различными. Среди них будут попадаться молекулы с очень малыми скоростями, и, наоборот, движущиеся очень быстро. Знаменитому английскому физику Максвеллу удалось установить закон распределения молекул по скоростям, т. е. выражение, указывающее, какая часть всех молекул обладает какой-либо заданной скоростью или, точнее говоря, скоростью, лежащей в данном небольшом интервале dv. Если величину скорости обозначить через v; число молекул, обладающих скоростями в интервале от v до v-\-dv—через dn и общее число всех молекул— через N, то отношение ~- является функцией скорости v. Эта функция <~ =.f(v)dv называется функцией распределения по скоростям. Максвелл установил для нее следующее выражение:

(1)

где т—абсолютная температура, m — молекулярный вес, r— постоянная закона Клапейрона.

Если графически представить эту формулу, построив зависимость -^-от i; при заданных M, Т и dv, то получим кривую такого вида (черт. 1).

Для определенной величины скорости, обозначенной через vm, функция распределения имеет максимум. Это значит, что молекулы с такой скоростью встречаются чаще других; эта скорость называется „наивероятнейшей“. Как видно из графика, встречаются молекулы и с большими и с меньшими скоростями; однако, чем скорость дальше от наивероятнейшей, тем меньшее число молекул ею обладает. Целый ряд различных экспериментальных исследований подтвердил правильность максвеллова закона распределения.

Черт. 1. Закон распределения Максвелла

Что касается средней скорости молекулы, то она определяется известным уравнением кинетической теории газов:

(2)

в котором m обозначает массу одной молекулы, а N—их общее число; это уравнение легко выводится из закона Максвелла. Горизонтальной чертой над v2 обозначено среднее значение этой величины (этим символом среднего значения мы будем пользоваться на протяжении всей статьи). Если взять одну граммолекулу газа, то для нее /?=

N=6,062-1023. Формулу (2) можно преобразовать так:

Отношение ^ обозначают обычно через k и называют постоянной Больцмана; ее значение k= 1,36-10“16-2£L- .

градус

Следовательно,

(3)

Так выражается средняя энергия поступательного движения одной молекулы. Из фор-

мулы вытекает следующее важное следствие: средняя кинетическая энергия любой молекулы любого газа при данной температуре одинакова; вообще же она пропорциональна температуре. Из нее мы выведем еще другое заключение. Молекула, двигаясь произвольно в пространстве, имеет три степени свободы, так как обладает возможностью перемещаться параллельно трем осям: х, у и z. Если слагающие скорости в направлении этих осей обозначить соответственно через vx, vy9 v2> то

Движение молекул совершенно хаотично, и ни одно направление не имеет преимущества перед другим. Поэтом/ средний квадрат скорости вдоль любой оси должен быть одинаков, и мы можем написать:

и

Тогда из уравнения (3) следует:

(4)

Это значит, что кинетическая энергия, приходящаяся в среднем на каждую степень свободы молекулы, одинакова и равна -i- kT.

Мы уже упоминали выше о том, что молекулы могут обладать, кроме поступательного движения, еще и вращательным. Кинетическая теория газов устанавливает, что (по крайней мере при достаточно высоких температурах) каждой степени свободы вращательного движения молекулы соответствует также энергия -i- kT*. Наконец, в многоатомных молекулах, содержащих два и более атомов, происходят еще и внутренние движения: атомы колеблются друг относительно друга. По кинетической теории, на каждую степень свободы колебаний внутри молекулы приходится в среднем такая же кинетическая энергия ijkT. Но при колебательном движении, кроме кинетической энергии, имеет место еще и потенциальная энергия : отдельные атомы, взаимно приближаясь и удаляясь, то увеличивают, то уменьшают последнюю. Из теории гармонического колебательного движения известно, что при этом движении средние значения кинетической и потенциальной энергии равны; следовательно, на последнюю также должно приходиться в среднем -j kT. Всего на каждую степень свободы колебательного движения получается полная энергия, равная

Е = Екин -\~ Епот = ~2 ä7*+ -у- kT— kT.

Положение, что на каждую степень свободы элементарной частицы приходится в среднем одно и то же количество кинетической и потенциальной (если последняя вообще есть) энергии, равное ~- kT, известно под названием теоремы о равномерном распределении энергии по степеням свободы („equipartition law“ у английских авторов).

3. Флюктуации

Молекулярное учение истолковывает каждую величину, характеризующую состояние вещества как отображение движения многочисленных молекул. Так, температура определяется средней кинетической энергией их, плотность вещества — числом молекул в единице объема, умноженным на массу одной молекулы, давление газа — количеством движения, которое молекулы отдают каждому квадратному сантиметру стенки сосуда за 1 сек. и т. д. В каждой из этих величин отражено положение или состояние движения огромного количества молекул. Движения молекул хаотичны, и перемещение каждой из них по отношению к другим— дело совершенно случайное (хотя для самой молекулы оно причинно обусловлено). Проследить за движением отдельных молекул мы не можем, но в этом и нет надобности. Мы рассматриваем всю совокупность молекул методами статистики. В результате оказывается, что температура, плотность, давление и т. д. суть статистические величины.

Этот род величин отличается многочисленными особенностями. Одной из наиболее характерных для них черт является непостоянство как в пространстве, так и во времени. Об этом можно себе легко составить представление на любом примере. Рассмотрим, например, плотность газа в каком-нибудь месте внутри сосуда. Выделим малый объем А

* В действительности, для вращательных и колебательных движений справедлив другой закон, вытекающий из представлений теории квант. Однако для не очень низких температур выражение ~ kT дает достаточное приближение к действительности во всех вопросах, затрагиваемых в настоящей статье; поэтому нет надобности входить здесь в рассмотрение квантовых законов.

Черт. 2

(черт. 2, схематически изображающий часть газа в большом увеличении) и определим плотность газа в нем. Если число молекул в нем будет я, масса одной молекулы — т, и объем участка обозначим Vд, то плотность

(5)

Молекулы газа все время беспорядочно движутся; через короткий промежуток времени молекулы, находящиеся сейчас в участке Л, вылетят из него, а другие окажутся на их месте. Влет и вылет молекулы — дело случая; количество их в объеме А иногда больше, иногда меньше.

Пусть среднее число молекул, которое приходится на этот объем, равно щ; его можно выразить так:

(5')

где N полное число молекул всего газа, V— объем, занимаемый газом, — число молекул, приходящихся на единицу объема. Мы вправе утверждать, что в действительности не всегда в объеме А содержится ровно п0 молекул: иногда может быть я<я0, а иногда я>я0. Так как величиной п определяется плотность газа в участке Л, то мы должны сказать, что плотность газа в малом объеме испытывает самопроизвольные колебания, с течением времени отклоняясь то в ту, то в другую сторону от средней величины.

(М — общая масса газа).

Эти самопроизвольные колебания статистической величины около среднего значения носят название флюктуации.

Разобьем теперь весь газ на объемы, равные Ул. Если мы в какой-нибудь момент времени зафиксируем расположение молекул в нем, то должны будем констатировать, что вследствие беспорядочного движения в некоторых участках оказалось молекул больше нормы. Очевидно, что в некоторых других участках их должно нехватать до нормы, так как общее число молекул неизменно (N). Следовательно, плотность газа в разных участках будет не вполне одинакова; она испытывает флюктуации не только в данном месте с течением времени, но и в данный момент времени при переходе от точки к точке.

Количественные сведения о флюктуациях, как и вообще обо всех свойствах статистических величин, дает нам теория вероятностей. Она учит, что наиболее вероятным значением величины п является я0, т. е., что чаще всего встречается в объеме VА нормальное количество молекул. Но есть известная вероятность и для других значений п. Величину этой вероятности можно вычислить следующим путем. Вероятность того, что одна определенная молекула залетит в объем VA, равна

(5'“)

(V—объем всего газа). Вероятность того, что она не попадет в этот объем, будет

так как других возможностей у молекулы нет. Далее можно определить вероятность w того, что п заданных молекул попадут в объем VА, а остальные окажутся вне его. Попадание или непопадание каждой молекулы в данный объем есть совершенно независимое событие*. Вероятность одновременного наступления таких событий, как известно, равна произведению вероятностей каждого из них. Следовательно,

(6)

В действительности, нас интересует не нахождение в рассматриваемом объеме п определенных молекул, а нахождение в нем п каких-нибудь молекул. Из общего числа /V молекул выбрать п молекул можно С*, различными способами; число С* называется „числом сочетаний из N по п“ и равно, как показывается в комбинаторике,

Вероятность каждого сочетания w была написана выше (формула 5'); вероятность наступления какого-либо из сочетаний

* Новые системы физической статистики отвергают это положение, которое лежало в основе классической статистики. Однако в разбираемом вопросе результаты классической статистики хорошо подтверждаются опытом, почему мы и следуем ей в нашем изложении.

булет в CnN раз больше. Итак, мы находим искомую вероятность нахождения в данном объеме п каких-либо молекул:

(б-)

Пусть рассматриваемый нами объем VA очень мал по сравнению со всем объемом газа 1/, однако еще достаточно велик для того, чтобы в нем было много молекул. Например, если V= 1 литру, то мы можем положить VА — 1 куб. микрону = 1*10~15 литра; в нем будет содержаться в среднем при нормальных условиях

Тогда р будет очень мало (/*<^1), 1, n<^N. В формуле (6f) можно сделать ряд существенных упрощений.

Во-первых, п сомножителей

и так как n<^N> то все эти числа очень близки к TV и мы сможем с большой степенью приближения написать:

N(M— 1) (N— 2)... (N—n+ 1) Ш N\

Далее

qN-n _ (J _р) N-n ш (J _р) Nt

Натуральный логарифм этого выражения \g[(\-p)N) = N\g(l-p).

В курсах математического анализа показывается, что если

/><^1, то

или, пренебрегая высшими членами, lg(\ ±р)Ш±р. Следовательно,

lg[(l— Р)“]Ш— Np и можно написать

(1 —р)Мш e ~NP = e-n°, так как из формул (5) и (5') следует, что

n0 = pN. (7)

Теперь формулу (6Г) можно переписать:

(8)

Эта формула носит название формулы Пуассона. Пользуясь ею, можно легко показать, что наибольшей вероятности соответствует число молекул, равное п0. В самом деле, определим W(n0).

(8')

Найдем отношение W (п) к W(n0):

Если возьмем я>я0, то можно написать:

Каждый член знаменателя больше соответствующего члена числителя; следовательно,

Точно так же можно показать, что при п<^п0

Следовательно, всегда

W(n)<W(n0).

Формулу Пуассона можно еще более упростить.

Напишем:

По уже упомянутой теореме анализа можно написать

* См., например, Р. Курант — .Курс дифференциального и интегральною исчисления“ — ч. I, гл. VI., стр. 268.

Следовательно,

Разность А = п — п0 представляет собой отклонение числа молекул от среднего значения, а отношение -—— = 8 есть относило

тельная величина этого отклонения. Если мы рассматриваем такие объемы, где п0 измеряется миллионами, то отклонения Д имеет смысл рассматривать только тогда, когда они достигают, по крайней мере, сотен и тысяч, иначе их просто нельзя заметить; при этом 8 все еще будет очень мало. Тогда (п — п0) ^> 1 ; мы можем пренебречь единицей сравнительно с п — я0 и написать

откуда

(9)

Из этого выражения видно, что вероятность нахождения в объеме VA п молекул максимальна для п = п0 (когда i = 0) и быстро убывает по обе стороны этого значения. Чем больше отклонение 8, тем менее оно вероятно. Графическое изображение формулы (8) см. на чертеже 3.

Черт. 3. Вероятность различных отклонений от средней плотности

Величину W(n0) можно вычислить до конца по формуле (8'), если воспользоваться известной формулой Стирлинга*, дающей приближенное значение факториала большого числа. По этой формуле

Выразив по этой формуле п0\, вставим его значение в (8'); найдем, после сокращения

Теперь из (9) следует:

На практике нерационально ставить вопрос о вероятности попадания в заданный объем точно п молекул, а не n +- 1 или п— 1, так как при среднем числе их в несколько миллионов различие на 1 или 2 нельзя уловить. Поэтому приходится спрашивать иначе: какова вероятность того, что число молекул лежит в пределах от п до п -(- dn, где dn сравнительно малое число? Эта вероятность пропорциональна величине интервала dn и пишется так:

Вместо вероятности нахождения данного числа молекул можно определить вероятность тою, что относительное отклонение 8 лежит в пределах от 8 до 8 -f- db. Так как

dn = d(n — п0) = n0di,

то

(9')

Формулы (9) и (9') показывают, что отклонения от среднего в обе стороны равно вероятны; следовательно, средняя алгебраическая величина отклонения

Д =0 и 8 = 0.

Чтобы получить численную меру для происходящих в действительности отклонений, берут среднюю квадратичную величину отклонения, т. е. корень квадратный из среднего квадратного отклонения. Чтобы узнать последнюю величину (82), мы умножаем каждое значение 82 на его вероятность, т. е. на W(b)db, и все этл выражения складываем, т. е. интегрируем от —оо до -J- оо.

* Вывод этой формулы см., например, в книге Р. О. Кузьмина — „Бесселевы функции“, § 10 (Г.Т.Т.И, 1933 г.).

Значение последнего интеграла равно

следовательно:

(10)

Средний квадрат абсолютного отклонения Д2 найдем отсюда:

(10')

Среднее отклонение мы условились определять корнем из найденных ве 1ичин; поэтому

(11')

Выразим эти формулы словами: чем больше среднее число молекул в рассматриваемом участке, тем сильнее колеблется число наличных молекул по абсолютной величине и тем меньше оно колеблется относительно. Так, если в объеме VА в среднем находится один миллион молекул, то среднее отклонение дСр составит 1000 молекул (в ту и другую сторону), т. е. 0,1%; если же взять в 100 раз больший объем, то кср будет равно j/“l00 • 106 = 10 000 молекул, т. е. увеличится в 10 раз, но относительное отклонение будет Ьср = 10“4 = 0,01%, т. е. оно уменьшится во столько же раз.

Можно видоизменить формулу (9.'), введя в ней вместо п0 выражение его через Ь2ср,

Получим

(9“)

В таком виде написанная формула выражает вероятность данного отклонения через одну единственную постоянную, именно через средний квадрат отклонения.

Итак, мы видели, что молекулярная теория, рассматривающая газ как совокупность большого числа движущихся молекул, приводит к вывозу о необходимости существования флюктуации плотности. Поэтому обнаружение на опыте таких флюктуации явилось бы чрезвычайно сильным аргументом в пользу молекулярного строения вещества. Более того, измерение величины флюктуации позволило бы определить я0, a по нему и N—число молекул в граммолекуле, эту основную константу молекулярной физики.

Оказалось действительно возможным проверить как самое существование флюктуации плотности, так и их ветчину, теоретически установленную в замечательной работе М. Смолуховского (1904 г.). Благодаря флюктуациям газ становится оптически неоднородной средой, а именно: в местах повышенной плотности его показатель преломления увеличивается, в местах разрежения — наоборот, уменьшается. Сгущения и разрежения с оптической стороны являются как бы вкраплениями в основную среду посторонних веществ с другими показателями преломления. Среда становится таким образом мутной; пучок лучей света, проходящий через такую сред/, должен испытывать рассеяние в стороны. Это явление было обнаружено и измерено в лабораторных условиях французским физиком Кабанном, который, пропуская поток света через чистый аргон, измерил количество рассеянного света и отсюда определил число Авогадро N. Но еще интереснее то обстоятельство, что, как установил Кеезом, это же явление лежит в основе рассеяния солнечного света атмосферой и является объяснением происхождения голубого цвета неба! Наблюдения над рассеянным светом атмосферы, произведенные в чистом воздухе (Тенерифский пик, 1916 г.) дали довольно точное значение для величины N.

Однако не только плотность вещества подвержена флюктуациям. Все другие параметры, определяющие состояние газа, также испытывают местные отклонения от средних значений. В самом деле, скорости молекул распределены между ними по закону случая; всегда может оказаться, что в данный маленький объем VА случайно залетит больше быстрых молекул и меньше медленных, чем это требуется формулой Максвелла; в другом участке может оказаться обратная картина. Мы скажем тогда, что в первом участке температура газа выше средней, а во втором — ниже средней. Кроме того, количество движения молекул в первом участке должно быть также выше, чем во втором; это значит, что и давление должно обнаруживать флюктуации. Относительно давления можно сказать еще больше. Известно из гидростатики, что в газе и жидкости, находящихся в равновесии, давление в каждой точке не зависит от направления. С точки зрения кинетической теории, это правильно только в среднем. В отдельные моменты времени в малом объеме всегда может случиться, что большее количество движения молекул будет направлено в одну сторону, чем в противоположную. Следовательно, о точной независимости давления от направ-

ления в малых элементах газа говорить нельзя; здесь также имеют место статистические отклонения от среднего значения.

4, Броуновское движение

В 1828 г. английский ботаник Роберт Броун опубликовал свои наблюдения над цветочной пыльцой различных растений под микроскопом. Он установил, что в капле воды отдельные пылинки распадаются на более мелкие части, которые непрерывно движутся в воде самым беспорядочным образом. Оказалось далее, что такое же движение обнаруживают частицы самого разнообразного происхождения: пыльца и споры различных растений, живых и мертвых, частички угля и сажи, минеральная пыль разнообразных веществ — от стекла до гранита из египетского сфинкса (!) и т. д. Броун, а затем и последующие исследователи установили, что если устранить „все“ возможные причины для такого движения, а именно, сотрясения, конвекционные и иные струи в жидкости, испарение, разность температур, образование пузырьков, освещение лучами света, взаимодействие между частицами и т. д., то движение все-таки остается. Было показано также, что не играют роли гигроскопические или капиллярные действия частиц, их возможное растворение, химическое или электрическое взаимодействие с жидкостью. Движение это сохранялось больше года неизменным; следовательно, не могло быть речи о том, что в каком-то отношении состояние равновесия в жидкости еще не установилось. В течение целого полувека причина этого таинственного и много раз исследованного явления оставалась загадкой. Только в 1877 и 1880 гг. французские физики Дельсо и Карбонель высказали правильное предположение о причине броуновского движения. Каждая частица подвергается бомбардировке молекул жидкости со всех сторон; если частица очень мала, то легко может оказаться, что толчки молекул в течение одного короткого промежутка времени будут перевешивать с какой-нибудь одной стороны, в течение следующего промежутка с какой-то другой стороны и т. д. В результате на частицу будет действовать некоторая равнодействующая всех толчков, отличная от нуля, но все время меняющая свою величину и свое направление; равнодействующая и заставит частицу двигаться то в одну сторону, то в другую. Таким образом, Дельсо и Карбонель объяснили броуновское движение флюктуациями давления в жидкости. Этот взгляд был подтвержден опытами Гуи, который доказал, что причина движения частиц лежит не в самих частицах, а только во внутреннем движении в жидкости, окружающей частицы.

Полное решение вопроса о броуновском движении было дано в 1906 г. в классических теориях Эйнштейна и Смолуховского, проверенных и подтвержденных не менее классическими опытами Перрена. В настоящей статье не место излагать подробно эти теории и опыты Перрена, тем более что есть хорошее описание их на русском языке (перевод книги самого Перрена —„Атомы“, гл. III—IV). Нам важно уяснить только основное положение теории Эйнштейна, которое состоит в следующем: броуновская частица обладает в среднем той же энергией на одну степень свободы, как и молекула газа или жидкости при той же температуре. Именно, на каждую степень свободы броуновской частицы приходится средняя кинетическая энергия

£=уЛГ(см. формулу 4).

Чтобы освоиться с такой, на первый взгляд неожиданной гипотезой, рассмотрим сначала пример смеси двух газов, например водорода и азота. Если смешать водород, имеющий температуру в О°С, и азот, нагретый до 100°С, то в смеси температуры обоих газов уравняются. Кинетическая энергия молекул азота, которая до смешения была более высокой, при смешении понизится вследствие столкновений с молекулами водорода; последние, наоборот, благодаря этим столкновениям, начнут двигаться быстрее. В результате средние кинетические энергии тех и других молекул будут одинаковы, несмотря на то, что одни из них в 14 раз тяжелее других; это видно из формулы (4); Е^н зависит только от температуры. То же рассуждение можно перенести и на броуновские частицы, если рассматривать их как гигантские „молекулы“ некоего очень грубого газа. Если в какую-нибудь жидкость или газ впустить несколько таких пылинок, то каждая из них будет обмениваться энергией с налетающими на нее молекулами. Пусть вначале частицы обладали сравнительно большими скоростями; тогда налетающие молекулы быстро затормозят их, т. е. частицы отдадут молекулам свою энергию. Однако они не придут в полную неподвижность, так как те же самые удары молекул будут сообщать им беспорядочные импульсы и тем поддерживать их в состоянии хаотического движения. Средняя скорость этого движения будет зависеть от темпера-

туры среды и массы частицы. Пусть, для примера, броуновские частицы представляют собой шарики радиуса r= 1 р. и плотности 8=1; масса каждой

Если температуру среды положить равной 27° С = 300° абсолютной шкалы, то из отношения

находим:

С такой скоростью в среднем должны двигаться броуновские частицы выбранного нами сорта, причем и направление и истинная величина скорости все время меняются. Но можно сказать еще больше: если мы уж применяем к этим частицам теорему о равномерном распределении энергии по степеням свободы, то мы можем пытаться приложить ее не только к поступательному, но и к вращательному движению броуновских частиц, и считать, что удары молекул заставляют их не только хаотически перемещаться, но и вращаться со средней кинетической энергией ~ kT. Еще более интересное приложение указанной теоремы представляет распределение броуновских частиц в сосуде по высоте. Эти частицы подвержены силе тяжести; при поднятии частицы вверх под действием молекулярных толчков растет ее потенциальная энергия. Можно ожидать, что и средняя потенциальная энергия молекул также будет определяться теоремой о равномерном распределении энергии. Все эти выводы были блестяще подтверждены опытами Перрена. Как поступательное, так и вращательное движение броуновских частиц оказалось в согласии с расчетами Эйнштейна, опирающимися на теорему равномерного распределения энергии; то же самое было установлено и при исследовании распределения частиц по высоте. Таким образом, теорема о распределении энергии по степеням свободы оказывается применимой к частицам, по своей величине в биллионы раз превышающим молекулы. Движение этих частиц по характеру и по своей энергии соответствует движениям молекул.

Наблюдая броуновское движение, можно составить себе представление о движении молекул (конечно, учитывая все следствия, проистекающие из различия размеров тех и других) и определить постоянную Больцмана /г, а по ней — число Авогадро n Это и было сделано Перреном. Позднейшие исследователи повторили его опыты с улучшенной методикой и вывели из них число n в прекрасном согласии с результатами других, наиболее точных определений n электрическими методами. Поэтому броуновское движение является одним из важнейших опытных подтверждений молекулярной теории.

Очень интересна и характерна та двойственная роль, которую играет движение молекул по отношению к броуновским частицам и о которой мы уже говорили выше. Удары молекул, с одной стороны, тормозят всякое уже происходящее движение; с другой стороны — они сообщают частице новое количество движения. Если уменьшить число столкновений в одну секунду между частицей и молекулами, то уменьшается сумма импульсов, получаемых частицей за секунду, но одновременно уменьшается и трение, испытываемое ею; в результате увеличиваются отрезки пути, проходимые ею в одном направлении, но средняя энергия ее движения остается без изменения. Эти соображения объясняют, почему средняя энергия зависит только от температуры и не зависит, например, от плотности среды.

(Продолжение следует)

ФОТОЭЛЕМЕНТЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Н. ХЛЕБНИКОВ

1. Введение

При некоторых условиях поглощение лучистой энергии может сопровождаться изменением электрического состояния поглощающего тела. Явления этого рода носят название фотоэлектрических явлений.

Фотоэлектрические явления, называемые также ради краткости одним словом „фотоэффект“, помимо большого теоретического значения, представляют громадный интерес и с точки зрения техники. Достаточно напомнить, что именно на основе фотоэффекта,

используемого в приборах, носящих название „фотоэлементов“, возникли звуковое кино и телевидение.

Настоящая статья имеет своей целью дать представление о физической сущности фотоэлектрических явлений, а также об основных свойствах фотоэлементов. Совершенно очевидно, что, прежде чем обратиться к этой задаче, необходимо вкратце остановиться на той связи, которая согласно современным научным теориям существует между веществом и лучистой энергией.

Накопившийся к концу XIX в. экспериментальный материал, относившийся к электрическим явлениям, а также к определенной группе явлений оптических (связанных с испусканием и поглощением лучистой энергии), привел к радикальному пересмотру существовавших до того времени взглядов на строение вещества и лучистую энергию. Этот пересмотр явился началом того бурного революционного этапа развития физики, который эта наука пережила в первой четверти нашего столетия. Первоначальным развитием новых представлений, образующим ту картину явлений, которой мы будем пользоваться, мы обязаны главным образом исследованиям Резерфорда, Планка, Эйнштейна и Бора. Не останавливаясь на отдельных этапах развития новых взглядов, перейдем прямо к изложению того, что окажется необходимым при рассмотрении фотоэлектрических явлений.

2. Планетарный атом

Мы можем считать совершенно твердо установленным, что атом всякого вещества представляет собой подобие солнечной системы. В ней роль центрального тела играет тяжелое „ядро“ атома, образованное из элементарных положительно и отрицательно заряженных частиц, причем число первых превышает число последних, благодаря чему ядро в целом ведет себя как заряд положительный. Вокруг этого ядра по эллиптическим орбитам обращаются отрицательные элементарные заряды — электроны. Число этих электронов равно числу элементарных положительных зарядов ядра, не скомпенсированных отрицательными зарядами, заключенными в нем самом. Благодаря этому атом в целом электрически нейтрален.

3. Излучение

Предоставленный самому себе атом является вполне устойчивой системой: электроны его обращаются по своим орбитам сколь угодно долго, причем никаких изменений ни в самом атоме ни вне его не происходит. В этом, так называемом „невозбужденном“, состоянии атома каждый из его электронов находится на одной из „устойчивых“ орбит. Кроме этих, существуют еще и „неустойчивые“ орбиты. Когда один из электронов под влиянием того или иного внешнего фактора окажется переброшенным с устойчивой орбиты на неустойчивую, он очень скоро сам по себе возвращается обратно. Атом, один из электронов которого находится на неустойчивой орбите, является „возбужденным“ атомом. Так как для возбуждения атома необходимо внешнее вмешательство, понятно, что энергия возбужденного атома больше энергии невозбужденного. Очевидно, что при возвращении в невозбужденное состояние энергия атома возвращается к прежней величине. По закону сохранения энергии следует, что указанный избыток энергии не может исчезнуть; он должен обратиться в эквивалентное количество энергии другого вида. Этим другим видом энергии является лучистая энергия. При переходе из возбужденного состояния в невозбужденное атом излучает.

Для того чтобы не притти в противоречие с опытом, необходимо предположить, что при каждом отдельном переходе происходит испускание энергии одной вполне определенной частоты, причем частота пропорциональна разности энергий атома в обоих состояниях, а коэфициент пропорциональности всегда один и тот же. Он носит название постоянной Планка и обозначается буквой /г. Если через Wj и W2 обозначить энергию атома в невозбужденном и возбужденном состояниях, а через v — частоту испускаемого излучения, мы можем написать для элементарного процесса испускания выражение закона сохранения энергии в следующем виде:

W2—W1=hv.

Мы видим, таким образом, что, когда атом излучает, то это излучение носит характер отдельных порций, или „квантов“, энергии. Величина каждого кванта определяется только начальным и конечным состоянием атома. Кроме того, из написанного равенства ясно, что, чем больше энергия кванта, тем больше его частота и тем меньше, следовательно, длина волны соответствующего света.

4. Возбуждение

Возбуждение атома может возникать вследствие различных внешних воздействий. Когда светится накаленное тело, возбуждение происходит благодаря столкновениям между со-

бой отдельных атомов, находящихся в сильном тепловом движении. Свечение газа в гейсслеровых трубках происходит вследствие возбуждения атомов ударами свободных (не входящих в состав атомов) электронов, движущихся под действием электрического поля. Кванты лучистой энергии также могут возбуждать атом. Этот процесс, очевидно, является обращением процесса излучения. Примером возбуждения этого вида может служить флуоресценция, когда вещество, подвергнутое действию света, само начинает светиться.

6. Ионизация

Под влиянием внешних воздействий помимо возбуждения может также происходить и ионизация атома, т. е. обращение его из нейтральной частицы в заряженную. Произойдет это, очевидно, в том случае, когда сообщенное атому количество энергии окажется настолько большим, что тот или иной электрон будет выброшен из атома. Ионизация может происходить под действием тех же факторов, что и возбуждение. В случае, когда вырывание электронов происходит под действием квантов лучистой энергии, явление носит название фотоионизации и фотоэффекта. При фотоионизации энергия кванта расходуется на отрывание электрона от атома. При этом атому сообщается определенное количество энергии. Если это количество меньше энергии кванта, то остаток энергии может обратиться лишь в кинетическую энергию покинувшего атом электрона. Обозначив энергию атома в нормальном и ионизированном состоянии через \7Л и W2> частоту кванта через v, постоянную Планка — h, массу и скорость движущегося электрона через m и v, мы получим равенство, выражающее закон сохранения энергии для процесса фотоионизации:

6, Виды фотоэффекта

В зависимости от дальнейшей судьбы электрона, вырванного из атома светом, различают три вида фотоэффекта. Если электрон остается внутри тела, говорят о „внутреннем“ фотоэффекте. В случае, когда электрон вылетает с поверхности тела в вакуум или разреженный газ, явление называют „внешним“ фотоэффектом. Наконец, существует третий вид фотоэффекта, носящий название „фотоэффекта запирающего слоя“. В этом последнем случае освобождение электронов происходит на поверхности раздела двух сред, причем электроны переходят сквозь поверхность раздела из одной среды в другую. Иногда в особую группу выделяют так называемый беккерелевский фотоэффект, но по сути дела это явление представляет собой фотоэффект запирающего слоя и все отличие его заключается лишь в том, что явление происходит на границе раздела не двух твердых веществ, но твердого тела и жидкости.

На рисунках 1, 2, 3 и 4 изображены схемы простейших опытов, при помощи которых можно наблюдать все четыре указанные явления. Обратимся к рисунку 1. На нем буквой Е обозначен электроскоп, буквой С — помещенный между двумя металлическими пластинками (А и В) кусок вещества, обладающего внутренним фотоэффектом, буквой L — лампа. Если зарядить электроскоп и не освещать С, то листочки электроскопа спадают очень медленно. По включении освещения спадание листочков значительно ускоряется. Это указывает на уменьшение сопротивления С, т. е. на увеличение внутри вещества носителей электрических зарядов,— в данном случае электронов. Как раз этого мы и должны ожидать при внутреннем фотоэффекте, когда вырванные из атомов электроны остаются внутри тела.

На рисунке 2 обозначения те же, что и на рисунке 1, за исключением буквы Я, которой отмечена металлическая пластинка, с поверхности которой вырываются электроны. Внешний фотоэффект наблюдается почти у всех веществ, но исследовать его удобнее всего, пользуясь металлами. В случае установки рисунка 2 явление протекает следующим образом. При сообщении электроскопу отрицательного заряда и при отсутствии освещения спадание листочков происходит очень медленно. Включение освещения приводит к

Рис. 1 Рис. 2

ускорению спадания листочков. Происходит это, очевидно, вследствие того, что вырванные светом электроны, покидая пластинку, уменьшают заряд электроскопа. Если бы заряд на электроскопе имел положительный знак, освещение не влияло бы на скорость спадания, так как положительный заряд пластинки препятствовал бы вылету отрицательно заряженных электронов, притягивал бы их.

Описанную установку можно использовать и несколько иначе: если освещать пластинку при отсутствии заряда на электроскопе, то листочки расходятся; испытав затем знак получившегося заряда, мы увидим, что он положительный.

Рисунки 3 и 4 иллюстрируют фотоэффект запирающего слоя, причем второй из этих рисунков относится к явлению, названному нами беккерельэффектом. Действие света в обоих этих случаях выражается в том, что при включении освещения в цепи, замыкающей два электрода, начинает протекать ток, обнаруживаемый гальванометром О. В случае схемы рисунка 3 запирающий слой образован на поверхности раздела двух твердых веществ (например меди и закиси меди, селена и железа); на рисунке 4 запирающий слой расположен на границе между пластинкой (также например из закиси меди) и жидкостью, в которую она погружена. Механика явления заключается в вырывании электронов из поверхности одного вещества и переходе их через запирающий слой в другое. Некоторые дальнейшие данные о фотоэффекте запирающего слоя будут изложены ниже.

Рис. 3

Рис. 4

7. Исторические сведения

Первым из всех видов фотоэффекта (в 1839 г.) был открыт беккерельэффект. Около сорока лет спустя (1873 г.) последовало открытие внутреннего фотоэффекта. Им мы обязаны двум американским телеграфистам — Смиту и Мэю, которые, занимаясь изготовлением высокоомных сопротивлений из селена, обнаружили, что сопротивление этого вещества оказывается при освещении меньшим, чем оно бывает в темноте. Наконец, Генрих Герц в 1887 г., во время своих знаменитых опытов с электромагнитными волнами обнаружил, что проскакивание искры между полюсами индуктора облегчалось, если искровой промежуток освещался ультрафиолетовым светом. Опыты, посвященные этому явлению, произведенные в том же году Галльваксом, показали, что причиной более легкого возникновения искры является вырывание ультрафиолетовым светом из металла отрицательных зарядов.

В 1891 г. Эльстер и Гейтель обнаружили, что внешний фотоэффект может вызываться также и действием видимого света, в том случае, если вместо тяжелых металлов (медь, цинк и т. п.) пользоваться щелочными (калий, натрий и др). Это открытие имеет большое значение потому, что именно преобразование видимого света в электрический ток и представляет собой наибольший интерес. Уже сами Эльстер и Гейтель указали одно из важных применений фотоэффекта, заменив в фотометре глаз наблюдателя фотоэлементом.

Однако технические применения фотоэффекта начали быстро развиваться лишь много позже— начиная с 20-х годов нашего столетия, тогда, когда к фотоэлементам было привлечено внимание вследствие того, что на очередь встали проблемы звукового кино и телевидения. Это способствовало также и усовершенствованию самих фотоэлементов. За истекшие 10—15 лет достигнуты крупнейшие успехи. Чувствительность современных фотоэлементов выше чувствительности фотоэлементов Эльстера и Гейтеля в несколько сот раз, а техника изготовления усовершенствована настолько, что производство фотоэлементов может вестись в таком же масштабе, как и производство катодных ламп. В нашем Союзе фотоэлементы в заводском масштабе производятся на заводе „Светлана“ в Ленинграде и на Электровакуумном заводе в Москве.

8. Конструкция фотоэлементов

По своему конструктивному выполнению фотоэлементы, использующие различные виды

фотоэффекта, сильно разнятся между собой. Наиболее простой является конструкция фотоэлементов с запирающим слоем, которые, как мы видели на рисунках 3 и 4, представляют собой просто два электрода (из подходящих материалов, конечно), к которым присоединены проводники, образующие внешнюю цепь. Так как для того, чтобы попасть на поверхность раздела обоих электродов (в случае твердых электродов, рис. 3) свет должен пройти сквозь один из них, этот электрод должен быть прозрачным или во всяком случае полупрозрачным. Этому условию удовлетворяют некоторые вещества, могущие образовывать запирающие слои, например закись меди (с которой, между прочим, и был впервые обнаружен фотоэффект запирающего слоя), тонкие слои селена и очень тонкие пленки металлов — серебра, золота, платины, меди. О некоторых деталях изготовления фотоэлементов этого рода мы скажем ниже.

В случае фотоэлементов с внутренним фотоэффектом рациональная конструкция должна также удовлетворять некоторым вполне определенным требованиям, а именно — необходимо, чтобы электроды, между которыми помещается светочувствительное вещество,имели возможно большую поверхность. Необходимо это потому, что именно при этих условиях изменение сопротивления под действием света будет наибольшим. Но так как свет проникает в светочувствительное вещество неглубоко, предыдущее требование сводится к требованию иметь возможно более длинные электроды. В соответствии с этим электроды фотоэлементов с внутренним фотоэффектом часто устраиваются в виде двух параллельных проволок, намотанных на ту или иную изолирующую подкладку. На рисунке 5а изображена одна из таких конструкций; сплошной линией показана одна из проволок, намотанных на фарфоровую пластинку, пунктиром — вторая; обе проволоки параллельны друг другу и нигде не соприкасаются; светочувствительное вещество наносится поверх проволок, как видно на рисунке ЬЬ. Другой конструкцией является изображенная на рисунке 6, представляющая собой многослойный конденсатор, пластины которого, соединяемые в две группы — четную и нечетную — образуют электроды. Светочувствительное вещество наносится на торцовую поверхность конденсатора.

Наиболее сложной является конструкция фотоэлемента с внешним фотоэффектом. Дело в том, что все щелочные металлы настолько химически активны, что не могут сохраниться на воздухе, так как весьма быстро окисляются, теряя при этом свои фотоэлектрические свойства. Из этого вытекает необходимость помещать их в высокий вакуум (пространство, из которого возможно тщательнее выкачан воздух) либо в разреженный инертный газ (гелий, неон, аргон и др.). Понижение давления газа необходимо еще и для того, чтобы вырванные из поверхности светочувствительного металла электроны легко могли достигать другого электрода.

Таким образом, фотоэлемент с внешним фотоэффектом всегда представляет собой прозрачный (стеклянный или, в том случае, когда имеют в виду работу с ультрафиолетовым светом, сильно поглощаемым стеклом, — кварцевый) баллон, в котором заключены два электрода — отрицательный (катод), поверхность которого испускает под действием света электроны, и положительный (анод), на который эти электроны попадают. Для того чтобы всякий вылетевший из катода электрон попал на анод, в цепь фотоэлемента включается батарея, причем ее отрицательный полюс соединяется с катодом, как это показано на рисунке 7, где через G обозначен гальванометр, показывающий текущий в цепи фототок. Катод обычно делают возможно большей поверхности. Поэтому светочувствительный слой либо наносится на металлическую пластинку, укрепленную на одном из электродов ножки (рис. 8), либо на стенку самого баллона, предварительно покрытую слоем какого-либо металла (серебро, магний). Последняя конструкция (рис. 9) более распространена. В этом случае вывод от катода представляет собой платиновую проволочку, впаянную в стенку баллона. В про-

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

тивоположность катоду, анод имеет малую поверхность и обычно осуществляется в виде примой или согнутой в кольцо проволоки (рис. 8 и 9 соответственно).

9. Способы изготовления фотоэлементов

Изготовление фотоэлементов отличается некоторыми интересными особенностями, и поэтому мы кратко опишем наиболее существенные моменты процессов изготовления фотоэлементов с внешним фотоэффектом и с запирающим слоем.

Так как щелочные металлы, образующие катод фотоэлемента с внешним фотоэффектом, не должны подвергаться действию воздуха, весь процесс изготовления приходится вести в вакууме. Баллон фотоэлемента, в который запаяна ножка, при помощи особой припаянной к нему трубочки соединяется с вакуумной установкой (также припаивается). Установка в основном представляет собой комбинацию насосов, позволяющих получить в баллоне очень низкое давление (10~6-10“7 мм ртутного столба), манометра, при помощи которого давление измеряется, и других частей, необходимых при изготовлении фотоэлементов (например баллонов с газом). Схема установки изображена на рисунке 10, где буквами F и L обозначены насосы, буквой M — манометр, буквой Р — фотоэлемент и буквой В — баллон с газом.

Как и при изготовлении всех вообще вакуумных приборов первым процессом в изготовлении фотоэлемента является прогревание баллона до высокой температуры (450°), имеющее целью удаление с внутренней поверхности баллона адсорбированных газов. Это прогревание производится обычно при помощи электрических печей, и в течение все о времени прогревания насосы должны непрерывно работать для того, чтобы удалять выделяющиеся газы. Прогревание должно быть достаточно длительным для того, чтобы весь адсорбированный газ был удален. Если этого не сделано, он будет выделяться впоследствии в уже готовом фотоэлементе и действовать на катод, изменяя его чувствительность. Фотоэлемент будет непостоянен и недолговечен.

После обезгаживания стекла приступают к изготовлению катода. Образующий его щелочный металл при различных методах изготовления катода располагается различным образом. В том случае, когда катод состоит из толстого слоя металла, этот последний за-

Рис. 10

готовляется предварительно в узких стеклянных трубочках. Баллон фотоэлемента снабжается особым отростком, в который закладывается кусочек трубочки со щелочным металлом. Такая конструкция изображена на рисунке 11. Если же для образования катода достаточно небольшого количества металла („тонкопленочные катоды“—см. ниже), он добывается обычно в самом баллоне фотоэлемента из того или другого соединения путем замещения щелочного металла магнием, кальцием или алюминием. В этом случае смесь соединения (например Cs Cl, Cs2 Сг207) с восстановителем (Ca, Al) помещается в особой металлической капсуле внутри баллона (А на рис. 12). При накаливании капсулы происходит реакция (например Cs С12 -f--f- 2Са—Ca С12 + 2Cs) и щелочный металл выделяется в свободном виде. После этого металл должен быть нанесен на поверхность, образующую подкладку катода. В случае тонкопленочных катодов это осуществляется „термической обработкой“, заключающейся в том, что весь фотоэлемент, не снимая с установки, прогревают в течение некоторого (устанавливаемого опытным путем) промежутка времени в электрической печи при сравнительно низкой температуре (около 150—200°). При этой температуре пары щелочного металла реагируют тем или иным веществом (сера, кислород), которым предварительно был обработан образующий „подкладку“ катода металл. Таким образом, в результате термической обработки на подкладке образуется слой соединения щелочного металла, покрытого сверху очень тонкой пленкой чистого металла. Как показали многочисленные исследования, именно такие тонкие пленки, сидящие на соединениях, обладают наибольшей чувствительностью.

Несмотря однако на то, что тонкопленочные катоды являются наивыгоднейшими, еще и в настоящее время довольно широко распространены катоды из толстых слоев щелочных металлов. Объясняется это сравнительной простотой изготовления катодов этого типа. В случае толстослойного катода щелочный металл наносится на подкладку путем дестилляции. Для этой цели обычно используют ту же печь, в которой производилось обезгаживание баллона, но только она надевается на фотоэлемент так, чтобы поверхность, на которую металл должен быть нанесен, находилась вне печи, а отросток — внутри (рис. 13). При таком расположении щелочный металл перегоняется из горячих частей фотоэлемента в холодные и конденсируется на нужных местах. Так как он покрывает всю колбу, с части ее приходится его удалять при помощи осторожного прогревания пламенем газовой горелки. Это прогретое место образует в дальнейшем „окно“ фотоэлемента, через которое на катод попадает свет.

Еще Эльстером и Гейтелем было обнаружено, что очень малую чувствительность катода из чистого щелочного металла можно повысить, обработав его разрядом в водороде. В результате такой обработки катод изменяет цвет, делаясь из серебряного голубым или зеленым. При этом чувствительность его увеличивается в 5—10 раз. Долгое время разряд в водороде был единственным способом обработки катодов. Но Ольпин установил, что помимо применения разряда в водороде увеличение чувствительности может быть достигнуто при помощи целого ряда веществ — кислорода, серы, селена, сложных органических соединений (красок), водяного пара, сернистого ангидрида и т. д. Можно даже вообще сказать, что всякое вещество, реагирующее со щелочным металлом, если его применять в малых количествах, дает увеличение чувствительности. Применение же слишком больших количеств всегда ведет к „переработке“, выражающейся в понижении или даже полном исчезновении чувствительности к свету.

Обработка или сенсибилизация толстослойных катодов осуществляется путем введения в фотоэлемент с уже готовым слоем щелочного металла очень небольших количеств

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

обрабатывающих веществ — сенсибилизаторов. Если сенсибилизатор газообразный, соответствующий газ впускают в фотоэлемент небольшими порциями, все время следя за изменениями чувствительности по измерительному прибору. У нас в СССР наибольшим распространением пользуется обработка серой. Эта последняя помещается вне фотоэлемента, обычно в той же трубке, которая соединяет фотоэлемент с установкой, и, когда наступает момент обработки, расплавляется и осторожно перегоняется в баллон. Цвет катода становится из блестящего металлического желтоватым, иногда с розовым оттенком. Чувствительность катода повышается при обработке серой в 10 — 25, а иногда и в 40 раз.

После обработки катода фотоэлемент может быть снят с установки. Для этого достаточно заплавить пламенем газовой горелки трубку, соединяющую его с установкой, и оттянуть ее. Изготовленный этим путем фотоэлемент будет вакуумным, т. е. пустотным. Если же до отпайки фотоэлемента ввести в него некоторое количество неактивного газа (гелий, неон, аргон), фотоэлемент будет „газонаполненным“. Чувствительность газонаполненного фотоэлемента при надлежащем подборе давления газа может быть сделана в несколько десятков раз больше чувствительности вакуумного с тем же катодом.

Мы не будем останавливаться на деталях изготовления фотоэлементов с внутренним фотоэффектом, но скажем несколько слов об изготовлении фотоэлементов с запирающим слоем. Эти фотоэлементы интересны в том отношении, что изготовление одной из разновидностей их возможно почти без всякого специального оборудования. Речь идет о так называемых меднозакисных или купоросных фотоэлементах.

Если медную (красной меди) пластинку, толщиной в1—2 мм или, что проще — медную проволоку (D = 3—5 мм) нагреть до температуры около 1050° С и затем быстро охладить, опустив немедленно по вынимании из печи в воду, поверхность меди оказывается покрытой слоем закиси меди (Си20), имеющей очень красивый рубиново-красный цвет. Поверхность раздела между закисью меди и медью, на которой она образована, обнаруживает фотоэффект запирающего слоя. Для того чтобы сделать из такой палочки фотоэлемент, следует очистить с одного конца ее слой закиси и присоединить к меди проводник. Медь будет служить одним электродом фотоэлемента, другим является слой закиси меди; контакт с ним лучше всего осуществить при помощи мягкой (свинцовой) проволоки, навернутой спиралью по всей длине палочки. Такое расположение (рис. 14) позволяет использовать всю поверхность раздела между медью и закисью меди. Если ограничиться контактом с закисью меди в одной только точке, фотоэлемент будет давать лишь очень слабый ток вследствие того, что закись меди обладает высоким сопротивлением.

Не следует думать, что изготовление этих фотоэлементов так уж просто. Главная трудность заключается в том, чтобы нагревать медь ни слишком сильно, ни слишком слабо. При более низкой температуре вместо закиси меди образуется черная окись меди (Си О), никакого интереса с фотоэлектрической точки зрения не представляющая; при слишком же высокой температуре медь плавится. Наиболее удобным приспособлением для накаливания меди является электрическая печь, температуру которой можно регулировать реостатом. Для небольших палочек такую печь можно осуществить просто в виде проволочной спирали (из толстой проволоки— железной или никелиновой), закрытой снаружи слоем асбеста.

С таким палочным фотоэлементом очень легко наблюдать, например, изменение силы дневного света, пользуясь достаточно чувствительным прибором, например гальванометром, которые в настоящее время выпускаются Ленинградским университетом.

Рис. 14

10. Свойства и характеристика фотоэлементов

Мы видели, что различные виды фотоэффекта существенно отличаются друг от друга. Естественно, что и основанные на этих явлениях фотоэлементы различаются по своим свойствам. Поэтому возникает вопрос о том, какими величинами характеризовать фотоэлемент.

Распределение чувствительности по спектру. Если освещать фотоэлемент светом различных длин волн, легко обнаружить, что не всякий свет действует одинаково. Так, например, очень редкие фотоэлементы вообще реагируют на красный свет и очень многие сильно чувствуют фиолетовый и синий. Если, воспользовавшись монохрометром (спектроскоп, окуляр которого заменен второй щелью (рис. 15), что позво-

ляет выделять из спектра отдельные узкие области) измерить силу фотоэлектрического тока, соответствующую каждой длине волны спектра, затем привести наблюденные значения силы тока к единице падающей световой энергии и, наконец, изобразить полученные данные графически, откладывая по оси абсцисс величины длин волн, а по оси ординат — отнесенные к единице падающей энергии значения силы фототока, мы получим так называемую кривую распределения чувствительности по спектру. Эта кривая является одной из основных характеристик фотоэлемента. Пользуясь ею, легко определить, в какой области спектра данный фотоэлемент может работать. На рисунке 16 приведены кривые распределения чувствительности по спектру для чистых поверхностей щелочных металлов: лития—Li, натрия — Na, калия — К, рубидия — Rb и цезия — Cs. Мы видим, что все эти металлы пригодны для коротковолновой части видимого спектра, так как ни одна кривая не простирается дальше 680 тц, (длины волн, соответствующие видимому спектру, лежат между \ - 740 щ красный конец и X = 420 мх — фиолетовый конец). Точка совпадения кривой с осьч) абсцисс носит название „красной границы фотоэффекта“ или „порога выхода“. Для тяжелых металлов порог выхода лежит в ультрафиолетовой области и поэтому в видимом свете они фотоэффекта не обнаруживают.

Если вспомнить о том, как распределена энергия в спектре испускания обычных источников света (лам ты накаливания и т. п.), легко понять, что к свету этих источников фотоэлементы с чистыми щелочными металлами очень мало чувствительны. В самом деле, взглянув на кривые (рис 17), где показано (в логарифмическом масштабе) распределение энергии в спектре испускания (черного тела) при различных температурах, мы видим, что в видимой области спектра и особенно в ее коротковолновом конце, т. е. в той части, где чувствительность щелочных металлов сравнительно велика, интенсивность энергии весьма незначительна. И обратно, для того чтобы получить фотоэлемент с большой чувствительностью к излучению обычных источников света, необходимо сдвинуть порог выхода как можно дальше в сторону длинных волн.

О том, какие успехи сделаны в этом направлении, позволяет судить рисунок 18, где приведены кривые распределения чувствительности по спектру для современных фотоэлементов с внешним фотоэффектом. Кривая 1 относится к толстослойному катоду из калия,

Рис. 15

Рис. 16

Рис. 17

Рис. 18

сенсибилизированного серой, кривая 2 — к цезиевому тонкопленочному катоду. Ясно, что особенно большой чувствительностью обладает именно последний катод, так как помимо длинноволнового видимого излучения он чувствителен и к близкой инфракрасной области спектра, где энергия излучения (рис. 17) весьма значительна.

На рисунке 19 приведены спектральные кривые для фотоэлементов с внутренним фотоэффектом — селенового и талофидного. Из сравнения этого рисунка с рисунком 18 можно видеть, что талофидные фотоэлементы еще более чувствительны к инфракрасным лучам, чем цезиевые; этим обусловлено их широкое распространение там, где невидимые инфракрасные лучи представляют особую ценность, как, например, в военной светотелефонии.

Распределеление чувствительности по спектру для меднозакисных фотоэлементов с запирающим слоем показано на рисунке 20. Кривая 1 относится к тем фотоэлементам, о которых мы говорили, т. е. у которых запирающий слой образован на поверхности раздела между основной медью и закисью меди. Эти фотоэлементы чувствительны только в длинноволновой части спектра, потому что слой закиси меди (через который свет должен пройти для того, чтобы достигнуть запирающего слоя, где происходит фотоэффект) пропускает лишь красные лучи. В этом легко убедиться, рассматривая закись меди на просвет— она имеет красный цвет. На кривой 2 представлено распределение чувствительности для фотоэлемента, в котором запирающий слой расположен на границе между закисью меди и верхним электродом. Этот электрод, одновременно заменяющий контактную спираль (рис. 14), представляет собой тонкую прозрачную пленку металла (серебро, золото, медь, платина), нанесенную электролизом, испарением или с помощью катодного распыления на поверхность закиси меди. В этом случае распределение чувствительности определяется, очевидно, спектральным составом света, достигающего запирающего слоя. Металлические пленки пропускают свет более коротких длин волн и задерживают длинноволновое излучение (зеленый цвет таких пленок золота и меди, синий — серебра). Благодаря этому, несмотря на то, что в этом типе фотоэлементов имеются два запирающих слоя — на обеих границах закиси меди — работает только один из них (пленка металла срезает красные лучи, которые могли бы пройти через слой закиси). Так как переход электронов через запирающий слой всегда совершается в направлении от закиси меди к металлу, в указанных двух типах меднозакисных фотоэлементов (носящих название „переднестеночного“ и „заднестеночного“, или „лицевого“ и „тылового“) ток имеет различное направление. На рисунке 21 показано направление движения электронов (обратное направлению тока в обычном смысле) для заднестеночного (Ь) и переднестеночного (а) фотоэлемента.

Общая или интегральная чувствительность. Выше мы неоднократно употребляли термин „чувствительность фотоэлемента“, не дав ему точного определения. По самому характеру явления совершенно очевидно, конечно, что более „чувствительным“ является тот фотоэлемент, который на одно и то же количество падающей световой энергии дает больший ток. Для того чтобы сделать понятие чувствительности фотоэлемента вполне точным и тем дать возможность количественного сравнения фотоэлементов между собой, нам необходимо, очевидно, условиться в выборе единицы чувствительно-

Рис. 19

Рис. 20

Рис. 21

сти. Так как чувствительность выражается отношением силы фототока к количеству световой энергии, то для этого достаточно выбрать подходящие единицы для измерения этих двух величин. Обычно величины фототоков весьма малы. Поэтому в нашем случае единицей силы тока удобно принять 1.10~6А—1 микроампер (|хА). Принятая единица количества световой энергии носит название люмена (Lm). Люменом называют количество световой энергии, падающей на 1 м2 поверхности сферы радиусом в 1 м, при условии, что источник света имеет силу в 1 свечу и расположен в центре сферы.

На основании этого определения легко установить связь между люменом и метросвечой. Легко проверить, что это соотношение можно сформулировать следующим образом: при освещенности поверхности в 1 метросвечу, на 1 см2 этой поверхности падает 1.10~4 люмена. Таким образом, имея источник света силой в А свечей, расположенный на расстоянии г от фотоэлемента, площадь окна которого равна s см2, мы можем определить падающий на него световой поток j по следующей формуле:

у=£.10-*1лп,

а измерив силу фототока /, можем определить и чувствительность фотоэлемента б1:

S=l = £.10* jiA/Lm

В следующей таблице приведены данные о чувствительности некоторых фотоэлементов в микроамперах на люмен, причем температура источника равнялась 2400°. Указание температуры существенно потому, что при изменении температуры меняется распределение энергии в спектре испускания.

Таблица 1

Тип фотоэлемента

Чувствительность

Внешн. фотоэф. катод из чистого калия (вакуумный) ....

Внешн. фотоэф. катод из калия, обработ. серой (вакуумный) . .

Внешн. фотоэф. катод из калия, обработ. серой (газонаполненный).......... .

Внешн. фотоэф. тонкопленочный цезиевый катод (вакуумный) .

Внешн. фотоэф. тонкопленочный цезиевый (газонаполненный) .

Фотоэф. запир. слоя; меднозакисный заднестеиочный фотоэлемент ..........

Фотоэф. запир. слоя; меднозакисный переднестеночный фотоэлемент ...........

0,1 jiA/Lm 2—5 jiA Lm

15—150 jiA/Lm

10-50 jiA/Lm

100-1000 |iA/Lm

до 50 jiA.'Lm до 500 jiA/Lm

Из приведенной таблицы мы можем усмотреть один факт, который требует некоторого пояснения, а именно, что газонаполненные фотоэлементы чувствительнее таковых же вакуумных. Происходит это вследствие того, что в вакуумном фотоэлементе ток образуется только теми электронами, которые вылетели из катода под действием света. Поэтому, если мы будем увеличивать напряжение между электродами вакуумного фотоэлемента, сила фототока, сначала увеличивающаяся, в конце концов достигнет некоторой постоянной величины („ток насыщения“) и больше не будет возрастать (кривая 1, рис. 22). Совершенно иной вид имеет аналогичная кривая (вольт-амперная характеристика) в случае газонаполненного фотоэлемента (кривая 2, рис. 22). При напряжении, соответствующем точке А этой кривой, скорость электронов становится настолько большой, что они оказываются в состоянии при ударах о молекулы газа ионизировать их. В результате ионизации появляются новые электроны, которые вместе с первичными (испущенными катодом) на своем пути к аноду продолжают ионизацию. Таким образом, количество электронов, попадающих на анод, т. е. сила фототока, оказывается в этом случае зависящей от напряжения между электродами (так как ионизация до известных пределов усиливается с повышением напряжения), и вольт-амперная характеристика газонаполненного фотоэлемента с увеличением напряжения поднимается. Однако такое усиление первичного фототока за счет ионизации не может продолжаться до бесконечности. При некотором определенном напряжении (на нашей кривой — соответствующем точке В) в фотоэлементе возникает так называемый самостоятельный газовый разряд) в отличие от несамостоятельного, — когда для ионизации и возникновения тока через фотоэлемент необходимы первичные, вырванные

Рис. 22

светом, электроны. При этом ток через фотоэлемент течет уже независимо от того, падает на фотоэлемент свет или нет, и фотоэлемент перестает быть таковым. Нужно отметить, что возникновение самостоятельного разряда губительно отзывается на фотоэлементе, так как при нем катод подвергается усиленной бомбардировке положительными ионами, что сильно понижает его чувствительность.

Световая характеристика. Мы рассмотрели две кривые, которыми принято характеризовать фотоэлемент — его спектральную характеристику, показывающую чувствительность фотоэлемента к свету различных длин волн, и вольтамперную, которая указывает, как зависит интегральная чувствительность от напряжения между электродами. Весьма важной также является зависимость силы фототока от силы освещения (точнее— от светового потока, падающего на фотоэлемент). Если эту зависимость представить графически, она изобразится прямой линией (рис. 23). Это обстоятельство делает фотоэлемент удобным прибором для фотометрирования— для сравнения силы различных источников. Нужно отметить, что наилучшими в этом отношении являются фотоэлементы с внешним фотоэффектом.

Рис. 23

11. Уравнение Эйнштейна

В этой статье, конечно, не место углубляться в теорию фотоэлектрических явлений. Тем не менее имеет смысл остановиться на одном из вопросов теории внешнего фотоэффекта, на примере которого ярко обнаруживается плодотворность той картины атомных явлений, которую мы обрисовали в самом начале статьи.

Если отказаться от представления о квантах света, совершенно невозможно объяснить существование красной границы фотоэффекта. В самом деле, как понять то обстоятельство, что в том случае, когда длина волны света превышает известную величину какого бы то ни было количества энергии, падающей на поверхность катода фотоэлемента, из нее не вылетает ни один электрон? Пользуясь квантовой гипотезой, мы нисколько не затруднимся ответом на этот вопрос, так как отсутствие вырывания электронов при слишком длинных волнах (т. е. слишком малых частотах) мы можем приписать тому, что энергия соответствующего кванта, пропорциональная частоте, недостаточна для того, чтобы сообщить электрону то количество энергии, которое необходимо ему для вылета из металла.

Указанное объяснение принадлежит Эйнштейну, выдвинувшему его в 1905 г. Оно доступно экспериментальной проверке. В самом деле, напишем уравнение закона сохранения энергии для акта вырывания электрона из поверхности металла таким t образом (уравнение Эйнштейна):

где Р обозначает ту энергию, которая необходима для преодоления сил, удерживающих электрон в металле. Эта энергия может быть определена независимым путем и называется работой выхода. Зная Я, h и v, для того чтобы судить о справедливости написанного равенства, достаточно измерить скорость вылетевшего электрона v. Опыты, которые мы здесь не имеем возможности описать, вполне подтвердили правильность написанного уравнения и тем самым явились одним из подтверждений квантовой гипотезы.

12. Простейшие демонстрации по фотоэффекту

Для демонстрации наиболее доступным является внешний фотоэффект. Чрезвычайно легко осуществить опыт, изображенный на рисунке 2, если в качестве Р воспользоваться свежеамальгамированной цинковой пластинкой, а в качестве источника света воспользоваться вольтовой дугой (важно присутствие достаточно интенсивного ультрафиолетового излучения, так как порог выхода для цинка лежит за границей видимой области).

Если имеются готовые фотоэлементы, то с любым из них можно поставить опыт, иллюстрирующий закон обратных квадратов. Для этого достаточно иметь оптическую скамью, лампу (интенсивность которой должна быть неизменной) и прибор с чувствительностью не ниже чем 1.10-6 (гальванометр производства Ленинградского университета).

Наконец, с помощью набора светофильтров можно показать общий ход кривой распреде-

ления чувствительности по спектру. В этом случае особенно интересно сравнить два фотоэлемента, один из которых чувствителен только в видимой области спектра, другой же — ив инфракрасной. Таковыми являются, например, фотоэлементы с катодом из калия, обработанного серой, и с тонкопленочным цезиевым катодом (рис. 24), которые, кстати, являются наиболее легко приобретаемыми, так как изготовляются у нас в заводском масштабе. В качестве фильтра, пропускающего только инфракрасное излучение, очень удобны тонкие эбонитовые пластинки (0,5— 1,0мм), совершенно непрозрачные для видимого света и легко пропускающие излучение близкой к инфракрасной области спектра,

В заключение скажем несколько слов о схемах включения фотоэлементов. Включение фотоэлементов с запирающим слоем исчерпывается схемой рисунка 3. Фотоэлементами с внутренним фотоэффектом вряд ли кому придется пользоваться и о них мы говорить не будем. На рисунке 24 изображена схема, позволяющая производить снятие вольтамперных характеристик и все другие измерения с фотоэлементами, основанными на внешнем фотоэффекте. На этой схеме Ph — фотоэлемент, Р—потенциометр (желательно в несколько тысяч ом сопротивления), позволяющий менять напряжение на фотоэлементе от 0 до максимального, даваемого батареей В (200-300 У), которую лучше всего собрать из аккумуляторных анодных батарей. Назначение вольтметра V и гальванометра Q понятно без объяснений. Высокоомное сопротивление R (zr> 100000 Q) существенно только при работе с газонаполненными фотоэлементами, когда оно ограничивает силу тока при возникновении самостоятельного разряда и позволяет выключить ключ К, прежде чем гальванометр и фотоэлемент б\дут повреждены.

Практические применения фотоэлементов в настоящее время достигли большого разнообразия. Однако для того, чтобы говорить об этом, потребовалось бы слишком много места, и потому это должно быть отнесено в специальную статью.

Рис. 24.

МЕТОДИКА

ВЕДЕНИЕ ТЕТРАДИ ПО МАТЕМАТИКЕ

Г. СТАЛЬКОВ (Москва)

Посещение ряда школ и знакомство там с ведением общих ученических тетрадей по математике говорит о том, что по данному вопросу нет договоренности и нет никаких, даже самых общих, установок.

Видно, что учитель стал уделять больше внимания ведению тетради: вместо обычных записей на лоскутках мы уже видим запись в отдельной тетради. Учитель следит за внешностью этой тетради, проверяет содержание этих записей и т. п., словом, старается руководить учеником и в этой его работе. Но наряду с этим мы еще наблюдаем записи карандашом, вырывание листов, наличие отделных „чистовых“ и „черновых“ тетрадей в целом ряде школ Кроме того, и само содержание записей в разных школах — разное. Есть школы, где запись в тетради сводится к дословному переписыванию теорем и правил из учебника, чем умаляется значение последнего. Это одна крайность. Но есть совершенно противоположная крайность: в тетради дан заголовок темы, например, „Треугольники“, затем идут чертежи треугольников, расклассифицированных по углам и сторонам, чертеж треугольника с соответствующими линиями в нем, затем чертежи всех проработанных по данной теме теорем... и только. Словом, заглавие темы и чертежи — это другая крайность. В интервале между этими двумя крайностями можно расположить все остальные способы ведения записи ученических тетрадей.

Такое положение с вопросом о ведении учеником тетради по математике, мы полагаем, совершенно нетерпимо. Задача данной статьи— высказать некоторые положения, касающиеся как оформления самой тетради, так и содержания записей. Задача этой статьи — не регламентация этого вопроса настолько, что это стеснило бы инициативу педагога. Нет, цель статьи —поделиться опытом работы в этой области, опытом, который, может быть, будет полезным ряду педагогов.

Изложим наши соображения по пунктам,, мотивируя их кратко и сопровождая поясняющими примерами.

1. Общая тетрадь должна заключать в себе всю классную и всю домашнюю работу ученика.

Мы полагаем, что ведение отдельной тетради для записи домашних работ нецелесообразно, так как ни сам ученик, ни учитель, ни завуч, ни инспектор не будут иметь полной картины всей работы ученика по математике. Наличие всего материала в одной тетради дает возможность иметь эту общую картину работы ученика, дает возможность видеть дозировку материала вообще, дозировку материала, проработанного в классе и заданного на дом для самостоятельной проработки при повторениях. Наконец, при подготовке к переходным испытаниям ученику удобней иметь весь материал в одной тетради.

2. По арифметике, алгебре, геометрии и тригонометрии надо иметь отдельную тетрадь.

При систематической проработке каждой отдельной математической дисциплины это совершенно необходимо.

3. Тетрадь является единственной беловой тетрадью, в которую весь материал записывается чернилами сразу набело.

Против данного требования обычно возражают все недисциплинированные ученики. К сожалению, часть педагогов тоже не осознает важности этого требования. Письмо чернилами, а не карандашом дисциплинирует ученика, приучает его к аккуратности, к обдумыванию своей записи, так как ее не сотрешь резинкой. Всякая небрежность в записи чернилами, всякая помарка ярко видна на листке тетради, и учителю легче бороться с ней.

Привычка вести сначала запись „начерно“ в классе, кое-как, на листках (или в тетради),

карандашом, с тем что потом эта запись будет переписываться дома „набело“,— вредная, деморализующая ученика привычка. Прежде всего это приучает его к небрежной, безграмотной записи, приучает его к мысли, что сначала можно работу выполнить кое-как, не подумав, а потом уже ее подправить. Можно себе представить, какие пагубные последствия будет иметь такая система работы на том производстве, куда впоследствии явится ученик, окончив школу. Сколько лишнего времени и материала будет загублено при такой системе работы. Вместо того чтобы тратить время на переписывание дома „набело“ материала, лучше употребить его на решение дополнительно задач и примеров, на чтение книги.

Иногда приходится слышать такую мотивировку полезности переписывания материала дома „набело“: при переписывании ученик еще раз его повторяет, исправляет, дорабатывает по книге.

Повторить дома ученик должен и сделать это он может по беловой, четкой записи, сделанной чернилами в классе, еще лучше, чем по черновой своей записи. Дорабатывать материал (повторяем) ученик должен, пользуясь учебником. Если эта проработка теории по книге (к такой систематической работе с учебником надо всемерно приучать ученика) вызовет необходимость некоторых дополнительных записей в тетради, то их ученик и сделает сразу или после окончания записи, сделанной в классе до решения примеров и задач, заданных для самостоятельной проработки на дом. Если ученик ведет вдумчиво, аккуратно записи в тетради, то никаких особых исправлений дома ему делать не придется. Дополнительные же записи он сможет, как указано выше, сделать после проработки теории по учебнику.

4. С внешней стороны тетрадь должна быть опрятной: иметь какой-либо переплет или должна быть обернута в бумагу, не должна быть запачкана, помята; страницы должны быть перенумерованы на первом же занятии, с тем чтобы ученики не вырывали листов из тетради.

5. Каждая запись должна иметь дату. После даты идет запись всей работы, выполненной учеником в классе. Перед выполнением работы дома ставится заголовок: „Домашняя работа“.

6. Отделы, темы, подтемы должны иметь заголовки. Разделы темы и подтемы нумеруются.

Так, начиная проработку раздела о „Прогрессиях“, ученики по указанию учителя записывают название темы:

Прогрессии

Затем записываются по мере проработки подзаголовки под ним: а) понятие о прогрессии, б) разностная, или арифметическая, прогрессия, в) кратная, или геометрическая, прогрессия, г) бесконечно-убывающая прогрессия.

7. Перейдем теперь к основному вопросу — к содержанию записи.

Содержание каждой записи должно быть таковым, чтобы любой человек понял ее при чтении. Запись не должна быть списыванием из учебника или иной книги, однако она не должна быть настолько краткой, чтобы невозможно было сразу же восстановить весь ход работы и ее содержание.

Поясним сказанное разбором ряда примеров такой записи.

а) Запись решения примеров и задач, сделанных в классе или дома.

Запись решения примеров должна вестись непременно в столбик, а не в строку. Письмо в строку утомительно для чтения, ведет к целому ряду ошибок. Ученик сначала ставит в конце каждой записи знаки препинания, затем начинает забывать о них, и постепенно запись принимает путаный вид и наконец превращается в ошибочную запись: у уравнений появляются три, четыре части; выполнение одного действия в сложном примере приравнивается к всему примеру и т. п. Чтобы запись в столбик не была неэкономной можно столбик записей отделять чертой или интервалом и располагать их, используя весь лист тетради.

При записях решения примеров обычно никаких пояснительных записей в виде текста не делается.

:и после сокращения на (2 sin а—1)

Вторая строка записи поясняет способ преобразования знаменателя выражения. Это пояснение сделано в виде лаконической записи не текстом, а математическим равенством. К такому лаконическому пояснению характера преобразований надо ученика всячески приучать.

При решении задач по алгебре и геометрии могут быть и должны быть пояснения и в виде текста. Положим, решается алгебраическая задача:

„Долг в 820 руб. уплачен в два годичных срока, причем в конце каждого года платили по 441 руб. По скольку процентов был сделан заем?“

Текст задачи, конечно, не надо переписывать. Достаточно поставить номер задачи.

Здесь наиболее существенным является процесс составления уравнения из условия задачи. Этот момент и надо отобразить в записи.

Прибыль за 2-й год I Прибыль за 2 года

Согласно условию задачи эта прибыль равна 441-2—820 = 62; отсюда 0,082л:2 + 8,2* -f + 3,79* = 62.

Решение уравнения идет обычным способом, без записей пояснений.

Запись решения арифметической задачи в средней школе полезно производить следующим образом:

„Кусок полотна в 36,5 м был продан за 91,25 руб. с убытком, составляющим ^ его себестоимости. Найти себестоимость 1 м полотна".

Если текст задачи взять из учебника, который имеется на руках у учащегося, то текст не следует переписывать в тетради, а поставить лишь перед решением задачи ее номер:

Решение задачи № 73

2) 1 —28 — 28 чистой себестоимости составляет продажную стоимость 1 м. 25 2&*28

3) 2,5:^ = ^^-^ = 2,8 РУб- себестоимость 1 м полотна.

Ответ. Себестоимость 1 м полотна = = 2,8 руб.

Мы полагаем, что в средней школе (и во второй половине четвертого года обучения) надо приучить ученика именно к такой записи, когда пояснительный текст к произведенному действию пишется не в виде вопроса, а именно в виде пояснения после действия. К такой форме записи, в конце концов, приходит каждый человек, ведущий те или иные расчеты: он пишет к части результатов некоторые пояснения, характеризующие смысл полученных чисел. Часть чисел остается совершенно без пояснений. Рекомендуемая нами форма записи есть переходная ступень к такой рациональной записи.

Решение геометрической задачи на вычисление записывается значительно подробнее.

Задача №88. „Внутри правильной шестиугольной призмы, у которой боковые грани— квадраты, проведена плоскость через сторону нижнего основания и противоположную ей сторону верхнего основания. Определить площадь полученного сечения, если стороны основания =а" (черт. 1).

АВ = а.

1) Из /\BNK находим:

2) MN = KF=2a9 так как FK есть 2R круга, описанного вокруг правильного шестиугольника.

3) Высота трапеции AMNB есть BL и она равна:

Черт. 1

4) Площадь трапеции

5) Площадь AMCDNB = ^-2 = 3a2.

Запись решения задачи на построение.

Задана № ... „Построим треугольник, зная стороны b и с и разность углов В — С“.

I. Анализ. Пусть Д ABC и есть искомый (черт. 2). Найдем разность /JB — /С% для чего повернем ДЛ#С вокруг оси, проведенной перпендикулярно к ВС через ее середину.

Тогда ^В ляжет на ^/ С и разность их будет /_АВ\\ Мы получили /\кАВА\ в котором известны две стороны: AB = с, ВА* = Ь и / АВА\ равный данному. Следовательно, такой треугольник мы построить можем. Построив его, мы найдем вершины А и В искомого треугольника. Остается найти вэршину С. Замечаем, что эта вершина отстоит от точки А на расстояние b и от точки А1 на расстояние с. Следовательно, эту вершину мы найти можем.

Черт. 2

Черт. 3

II. Построение. 1) По данным величинам строим /\ВАА'.

2) Из Л и А' радиусами, равными b и с, замыкаем дуги и находим вершину С.

III. Доказательство. Треугольник ЛВС— искомый. АВ = с по отложению; ЛС=£ по построению; что угол В — С равен данному, следует из построения (наложен один угол на другой).

IV. Исследование. Построение всегда возможно, так как по двум данным сторонам и углу между ними треугольник (Д АА'В) всегда построить можно.

Мы видим, что здесь наиболее подробно записана первая часть — анализ задачи. Это и понятно, так как это — главная часть работы; кроме того, эту часть наиболее трудно записать, пользуясь математической символикой. Вообще говоря, выполнение задачи на построение надо записывать значительно подробнее, чем решение любой другой задачи, так как сам по себе этот вопрос для учащегося является значительно более сложным, требующим больших пояснений. Постоянная запись выполнения задачи на построение приучит учащихся к обязательной схеме решения задач на построение.

Приведем еще один пример записи решения сложной геометрической задачи, решаемой с помощью тригонометрии и с применением таблиц логарифмов.

Задана M ... „Трапеция с основаниями а (большее) и b вращается вокруг Ь. Углы при b суть а и (5.

Найти объем тела вращения, если а = = 7,25 см, £ = 4,50 ел, а =125°, ß = 97°“.

1. Vi. B.= V4-Vk-Vkt*.

Уц = ur2a,

но

поэтому;

Черт. 4

* Записываем сокращенно: тело вращения—т. в., цилиндр —ц. и конус — к.

Следовательно;

но

имеем:

(1)

Остается найти г (черт. 5).

Черт. 5

сложим равенства

(2)

так как

Упростим и приведем к логарифмическому виду tg7° + tg35°,

Подставим в равенство (2) и найдем г

Подставим г в равенство (1)

Логарифмируем и т. д.

Мы видим, что запись решения даже такой сложной задачи можно сделать с помощью математической символики, употребляя очень небольшое количество текста. Уместным будет отметить, что в основном запись решения большинства задач производится по преимуществу путем математической символики. Пояснительный текст будет наиболее обширным при записи решения задач на построение.

Однако всякая запись решения задачи, произведенная с помощью математических символов, должна дать полную (необходимую и достаточную) картину всего хода решения задачи.

б) Перейдем теперь к показу образцов записи доказательства теоремы, вывода правила, т. е. записи прорабатываемого в классе (или дома) теоретического материала.

Прежде всего решим такой вопрос: когда должен записывать ученик доказываемую учителем теорему (или вывод правила): параллельно объяснению учителя или после окончания всего объяснения? Идеалом будет умение ученика слушать внимательно объяснение учителя, участвовать в ответах на вопросы учителя и параллельно все записать.

Но это является идеалом, к которому учитель должен постепенно приучить ученика. В неполной средней школе следует поступать так: учитель объявил тему, записал ее заглавие, ученики его записали. Учитель сказал теорему и записал ее либо полным текстом, либо с помощью символов: что дано и что надо доказать. Ученики записали в свои тетради. Учитель приготовляет чертеж, ученики смотрят и слушают объяснения учителя. Ученики чертят чертеж. Затем учитель ведет объяснение теоремы, записывая на доске. Ученики слушают, участвуют в беседе, но не записывают. Кончено объяснение — ученики его записывают. Если теорема длинная и состоит из нескольких частей, то ее запись производится по частям.

В VIII—X классах надо постепенно приучать учеников вести запись в тетради параллельно с записью учителя на доске.

Теорема. „Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме“.

Дано (черт. 6):

ABCD — трапеция. MN—средняя ее линия.

Доказать:

Построение. Через точку N проведем EF II AD и продолжим DC до пересечения.

Доказательство: 1) ДСЯЛ/=Д/7Л^О (по стороне и двум прилежащим углам). Отсюда:

Черт. 6

но

EF\\ AD,

поэтому

EN#MD

и

AIN d DE

(так как MDEN— параллелограм), но AB || DE, значит AB II MN.

2) Из равенства Д С EN и Д /WZ? следует:

Имеем:

Мы видим, что и тут в основном запись ведется с помощью математических символов и очень небольшого количества пояснительных текстовых записей.

Рассмотрим, наконец, запись вывода алгебраической формулы.

Выводится формула суммы членов кратной прогрессии.

Берем:

Решим уравнение относительно s.

Такой записи, нам кажется, будет вполне достаточно.

Или надо вывести правило логарифмирования произведения двух чисел Л/j и N2

отсюда

(1)

Перемножим Nx и Nt

или: отсюда:

Подставим сюда значение х и у из (1)

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей

Может возникнуть сомнение, не слишком ли подробна эта запись и не заменяет ли она учебник, который ученики не станут вообще читать, довольствуясь записью в тетради.

Нам кажется, что нет. Во-первых, далеко не всегда изложение учителем того или иного вопроса теории соответствует изложению в стабильном учебнике. Во-вторых, чрезвычайно важный навык умения работать по книге не приобретается способом отказа от толковой записи в тетради. Подобного рода мотивы в пользу очень краткой записи есть попытка упрощенного разрешения вопроса о привитии ученику навыка работать по книге. В-третьих, более краткая запись, нам кажется, сделает эту запись настолько малопонятной не только постороннему, но и ученику, что ведение такой записи станет бесполезной тратой времени: лучше тогда совершенно отказаться от всякой записи.

На этом мы кончим разбор вопроса о содержании записи в тетради ученика.

Коснемся в заключение еще нескольких вопросов оформления записей в тетради.

8. Запись должна быть рационально и экономно, но не тесно расположена на листе бумаги.

9. Чертежи выполняются (желательно) тушью с помощью чертежных инструментов с сохранением (на-глаз) данного в условии задачи соотношения частей. Запись возле чертежа должна быть выполнена чернилами. Запись к чертежу не должна располагаться на другой странице. Эскиз к чертежу должен быть расположен возле основного чертежа и иметь те же буквы, что и на основном чертеже.

10. Все дополнительные вычисления выполняются либо устно, либо письменно на том же листе бумаги, где и основные вычисления.

11. Формулы, определения, правила пишутся крупно и выделяются в рамку (или подчеркиваются). Очень полезно часть формул (или рамок) выполнять цветными карандашами. Часть линий в чертеже также полезно выполнять цветными карандашами.

12. Помарки, кляксы, подскабливания не допускаются. Неверное место либо слегка перечеркивается и под ним (или рядом) надписывается верное, либо неверное место аккуратно заклеивается чистым кусочком бумаги, на котором и пишется исправление.

13. После проверки домашнего задания учителем (тем или иным способом) ученик обязан внести исправление всех обнаруженных ошибок.

14. Учитель должен вести систематический контроль за ведением тетради учеником (наблюдение в классе и просмотр дома) и вести борьбу за правильную запись со стороны содержания и за высокое качество оформления записи (в том числе и со стороны орфографической). При оценке знаний и навыков ученика надо учитывать состояние его тетради.

К ВОПРОСУ О ПРИЛОЖЕНИИ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

И. ГРИШИН (г. Осташков)

Сведения из теории пределов, даваемые в средней школе, с успехом находят себе приложение в различных областях элементарной математики. Излишне говорить о плодотворности приложения этой теории в области геометрии к выводу формул поверхностей и объемов: пирамиды, цилиндра, конуса и шара.

Этот отдел имеет важное значение не только в общеобразовательном смысле, но и как новый для учащихся метод математического анализа, подводящий к методам, с которыми им придется иметь дело в высшей школе.

Кроме общеизвестных объектов приложения учения о пределах в элементарной математике, можно с успехом приложить его и к вопросам исследования геометрических фигур, с точки зрения учета их наивыгоднейших размеров.

Приведу несколько задач, которые, по моему мнению, вполне можно поставить как в школе-десятилетке, так и, тем более, на рабфаке.

Задана 1. Найти соотношение между сторонами в прямоугольнике, имеющем наибольшую площадь при данном периметре.

Черт. 1

Пусть стороны прямоугольника будут х и у (черт. 1).

Если увеличивать или уменьшать одну из сторон прямоугольника, то соответственнобудет уменьшаться или увеличиваться и другая сторона, так как сумма смежных сторон прямоугольника, при данном периметре, есть величина постоянная.

Предположим, что стороны х и у имеют как раз такие значения, которые обеспечивают наибольшее значение для площади.

Если увеличить х на некоторую, очень малую величину d, то у на эту же величину уменьшится, и наоборот, т. е.: при

y1=y — d

и при

x2 = x — d, y2=y + d.

Так как площадь прямоугольника при значениях сторон X и у выражается формулой

S=xy, (1)

то при значениях сторон хг и уг

51 = {x + d)(y-d), (2)

а при значениях х2 и у2

52 = (x-d)(y + d). (3)

Так к1к значение величины d можно взять сколь угодно малым, то 5, и S2 будут отличаться от Л', а тачже и различаться между собой, на очень малую величину.

Представив равенства (2) и (3) в виде

xy — xd+yd—d* = S, (2)

xy + xd—yd — (P = S2 (3)

и вычитая одно из другого, найдем: 2*d — 2xd = Sl — S2. Или, принимая S,— S2 = 0y по малости величины öf, получим

2yd — 2xd=0,

откуда

у = х.

Наибольшей площадью прямоугольник будет обладать тогда, когда его стороны равны т. е. он должен быть квадратом.

Задача 2. Найти соотношение между боковыми сторонами треугольника, имеющего наибольшую площадь, при данном периметре и данном основании (черт. 2).

Черт. 2

Пусть основание треугольника будет а, a одна из боковых сторон х. Имеем:

2р = а + лг-Ку» у = 2р — а — ху

где 2р — периметр прямоугольника.

Подставляя значения сторон в формулу Герона, имеем:

Первые два множителя под корнем есть величины постоянные. Очевидно, величина 5 будет зависеть только от 3-го и 4-го множителей.

Пусть произведение 3-го и 4-го множителей (р — х) (a + x — p)=Z,

или

Р(а— р) +(2р — а)х — x* = Z.

Возьмем вместо ху хл=х-\-а и х2 = = х—dy где d есть некоторая очень малая величина, полагая, что площадь треугольника при значении боковой стороны х есть наибольшая, а при всяком другом значении хг или лг2 она будет меньше.

Имеем :

Р(а — р) + (2р — a)(x + d) — (X + d)*= Zv р(а — р) + (2р — а) (x — d) — (x — d)2=Z2.

Вычитая из первого равенства второе и полагая Z1—Z2 = 0, находим:

2(2/? — a)d — 4xd = 0.

Решая уравнение относительно л:, получим:

Так как у=2р — а — л:, то, подставляя сюда вместо х найденное для него значение, получим:

т. е.

х=у.

Треугольник —равнобедренный

Следовательно, наибольшей площадью, при данном основании и данном периметре, будет обладать равнобедренный треугольник.

Пользуясь тем же самым методом, можно показать, что из равнобедренных треугольников, при данном периметре, наибольшую площадь будет иметь равносторонний треугольник.

Задача 3. Из данного треугольника вырезать прямоугольнике наибольшей площадью.

Черт. 3

Пусть дан треугольник ABC (черт. 3) и пусть вписанный в него прямоугольник NDEM имеет площадь, наибольшую из всех возможных вписанных прямоугольников. Опустим из вершины В высоту h и обозначим выходящую из прямоугольника часть ее через х:

SNDEM=NM*ME.

Или, полагая NM=y и имея в виду, что ME = h—ху получим:

SNDEM=y(h — Xh

Из подобия треугольников ABC и DBE находим:

AC:DE = h:x.

Или, полагая АС = а и имея в виду, что DE — NM=yy получим:

a:y = h:x,

откуда

Подставляя значение х в формулу площади, находим :

Воспользуемся методами решения предыдущих задач:

Вычитая второе равенство из первого и полагая S2— S2 = 0, получим:

откуда

Основание прямоугольника должно быть равным половине основания треугольника. А если DE=y равна половине основания треугольника ABC и параллельна ему (как противоположная сторона прямоугольника) то она есть средняя линия треугольника.

Нетрудно видеть, что h линией DE, в точке их пересечения, разделится пополам.

Следовательно, из вписанных в треугольник прямоугольников наибольшую площадь будет иметь прямоугольник, у которого основанием будет средняя линия треугольника.

Высота такого треугольника равна половине соответственной высоты треугольника.

Черт. 4

Площадь полученного прямоугольника будет в точности равна половине площади треугольника. Так как (черт. 4)

•S ADN = SàDFB и SbMEc=SbEBK>

SdFKE=Sm>BE T SbDFB -f“ ЗаЕВКу

то, произведя замену слагаемых правой части равенства, имеем:

А так как

Sdfke = Sndem*

то и

SNDEM = S*DBE -\- SBADN + $ШЕС •

Но ДЛ5С, как нетрудно видеть, равновелик прямоугольнику NFKM, следовательно

SNDEM= -JSbABC -

Конечно, решение будет справедливо только в том случае, если сторона треугольника, принятая за основание, не есть сторона тупого

угла, так как в противном случае часть площади прямоугольника окажется вне треугольника, как это видно из чертежа 5.

Черт. 5

Задана 4. Имеется лист жести размерами 30 X 40 см2, из которого требуется изготовить открытую коробку прямоугольной формы.

Какова должна быть высота коробки при наибольшей ее вместимости?

Так как коробка должна иметь форму прямоугольного параллелепипеда, то формула ее объема будет:

v = abc.

Если высоту коробки обозначим через х, то а = 40 — 2х и £ = 30 —2* (черт. 6).

Черт. 6

Подставляя в формулу значения величин а, b и с, имеем

<у = (40 — 2х) (30 — 2х) X,

или

v = ( *3 — 35jc2 -f 300jc) 4.

Давая приращение ху находим: (x + </)з _ 35 (* _|_ df -f 300 (x + d) = уг ; (x — d)3 — 35 (x — d)2 + 300(x — d) = v2.

Произведя вычитание равенств и полагая “vj—v2 = 0, получим:

3х2 _ 70х + d2 -f 300 =0,

или, переходя к пределу

lim (Зл;2 — 70л: + d2 + 300) = lim 0

3jc2—70лг + 300 = 0.

Решая это уравнение, находим: лга = 17,7; х2 = 5,7.

Так как первое значение корня не удовлетворяет условиям задачи, берем второе.

Наивыгоднейшее значение высоты коробки есть je = 5,7 см.

Для подтверждения правильности вывода вычислим объем коробки при наивыгоднейшем значении л:, т. е. при х = 5,7 и при значениях немного большем и немного меньшем 5,7, допустим при лг1 = 5,6 и при л:2 = 5,8:

X

40—2*

30-2г

V

5,5

28,8

18,8

3032,1

5,7

28,6

18,6

3032,2

5,8

28,4

18,4

3030,8

Данные проверки вполне подтверждают теоретический вывод.

Задача 5. Найти соотношение между радиусом основания и высотой цилиндрического бака, имеющего наименьшую поверхность при данном объеме.

Пусть v = w2h есть объем бака, где г и h значения высоты и радиуса, при которых поверхность для данного объема наименьшая.

Возьмем формулу поверхности цилиндра

£=2ттгА + 2тгг2

и подставим сюда значение /г, найдя его из формулы объема. Так

или

Давая приращения г, находим:

Вычитая второе равенство из первого и полагая Ь\ — 62 = 0, получим

2яг(г2 — d2) — v = 0

и, переходя к пределу

lim [2яг (г2 — d2) — v] = lim 0,

2тгт3 — v = 0, или 2тгг3 — тгг2А = 0, откуда

2r = h.

Но 2г есть диаметр основания.

Следовательно, наименьшую поверхность при постоя ином объеме будет иметь такой цилиндрический бак, у которого высота равна диаметру основания.

Подобным же образом можно показать, что для цилиндрического бака без крышки наименьшая поверхность при данном объеме будет при г=А.

Задача 6*. Для установки конусообразной палатки имеются жерди, длиною в / метров. Какой высоты должна быть палатка, чтобы она заключала наибольший объем?

Формула объема конуса v = }^tzr2h.

Черт. 7

Из прямоугольного треугольника АОВ (черт. 7) находим:

г2 = /2 —Ä2.

* Задача взята из журнала „Математическое образование“ за 1930 г., № 1.

Подставляя значение г2 в формулу объема, получим:

или

Давая приращения А, имеем:

Вычитая второе равенство из первого и полагая vx — v2 = О, находим :

/2_3Ä2_j_rf2 = 0,

а переходя к пределу

откуда

ПРОСТЕЙШИЙ СПОСОБ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЛОГАРИФМОВ

Р. БОНЧКОВСКИЙ (Москва)

При проработке отдела логарифмов в школе обычно не разбирается вопрос о вычислении логарифмов. Нередко преподаватели, уклоняясь от рассмотрения этого вопроса, говорят учащимся, что вычисление логарифмов может быть выполнено лишь средствами высшей математики. Между тем уже около 50 лет назад проф. Саррюс (Sarrus) из Страсбурга предложил совершенно элементарный способ вычисления логарифмов, доступный пониманию среднего школьника. В этой заметке мы излагаем способ Саррюса. Без сомнения, он может быть использован как в педагогической практике, так и как тема для работы школьного математического кружка. Так как этот способ основан на двоичной системе счисления, то изложению его мы предпошлем несколько слов об этой последней.

В общепринятой десятичной системе счисления каждое число рассматривается как сумма различных степеней числа 10 (основание десятичной системы). Например:

310,25 = 3-102-f 1. loi-f 0-100-f + 2- Ю“1 + 5-10-».

При записи числа выписываются лишь коэфициенты при различных степенях 10; так как ни один из коэфициентов не превышает 10, то для записи каждого из них достаточно одной из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Место, которое эта цифра занимает в числе, показывает, коэфициентом при какой степени числа 10 она является. Именно первая цифра слева от запятой соответствует нулевой степени числа 10 (единицы); вторая цифра перед запятой — первой степени числа 10 (десятки) и т. д.; первая цифра после запятой соответствует минус первой степени числа 10, т. е. 10“1 =у^ (десятые) и т. д. Основы десятичной системы счисления общеизвестны, поэтому я далее на них не останавливаюсь.

Переходим к двоичной системе счисления. Основанием этой системы служит число 2. Всякое число рассматривается как сумма различных степеней числа 2. Так, число 310,25 в виде суммы степеней числа 2 может быть записано так:

310,25- 1.28-f-0.27-f-0.26-f 1.25-г-24-f ^-0-234- 1 -22+ 1.2l + 0.2°-f 0.2-1 + + 1-2-2.

Запись числа в двоичной системе получим, если запишем в последовательном порядке коэфициенты при различных степенях числа 2, поставив запятую после того коэфициента, который соответствует нулевой степени 2. Так, рассмотренное выше число 310,25 в двоичной системе счисления запишется следующим образом: 100110110,01. Для записи числа в двоичной системе счисления нужны лишь две цифры, так как коэфициенты при различных степенях числа 2 могут иметь лишь два значения: 0 и 1.

Следует отметить, что умножение на 2 числа, написанного в двоичной системе, выполняется очень легко: достаточно передвинуть запятую на одну цифру вправо. Именно на этом обстоятельстве и основан способ Саррюса.

Пусть теперь

10* = ЛГ.

Тогда

где lg обозначает обыкновенный десятичный логарифм числа N. Наша задача состоит в отыскании числа х при заданном N. Целая часть числа х, так называемая характеристика логарифма, находится без труда по известному правилу; пусть она равна /; тогда, разделив обе части равенства на 10', получим

10*-' = МК)',

или, обозначив х — i через уу N: 10' через Nv будем иметь:

W* = NV

причем характеристика числа у равна нулю. Остается найти его мантиссу.

Предположим теперь, что числом записано в двоичной системе счисления:

y = 0yz1z2ZzZ4... ,

причем г-р г2, z3, z4 — последовательные цифры одного числа, т. е. нули и единицы:

1о0!**»** • • • = TV,.

Возводим в квадрат обе части этого равенства; при возведении в квадрат левой его части следует удвоить показатель степени, т. е. перенести запятую в показателе на одну цифру вправо. Получаем:

10*1,***»****' =Л/2.

Z^ есть характеристика логарифма числа hi\, следовательно, равна 1, если Л^^Ю, и 0, если Л/2< 10.

После того как найдена цифра ZЛУ делим обе части последнего равенства на 10*1 , получим:

lO^Wi... = :10«1 =N2.

Тем же приемом, каким была найдена цифра zv находим следующую цифру логарифма z2. Продолжая таким образом, можно найти произвольное число цифр логарифма, написанного в двоичной системе счисления.

Поясним сказанное примером:

Пусть 10* = 943.

Тогда i=2. Деля на 102, имеем: 10°»*iWi... = 9,43.

Возводя в квадрат, получаем:

10*i.W4-.. ==88,92*.

Следовательно, z1 = \. Деля на 10, имеем:

Возводя в квадрат, получим: 10*2**... s 79,07.

Продолжая этот процесс, составим таблицу:

Таким образом 09ггх2г3. . .= 0,1111100101. Остается перейти от двоичной системы счисления к десятичной. Для этого нужно будет подсчитать сумму:

Следующая таблица значительно облегчает эти вычисления:

Двойная дробь

Показатель степени

Равная ей десятичная

од

1

0,5

0,01

2

0,25

0,001

3

0,125

0,0001

4

0,0625

0,00001

5

0,03125

0,000001

6

0,015625

0,0000001

7

0,0078125

0,00000001

8

0,00390625

0,000000001

9

0,001953125

0,0000000001

10

0,0009765625

* Все вычисления выполнены с помощью таблиц квадратов чисел (Пржевальский — „Пятизначные таблицы“).

Следовательно, имеем сумму:

0,5

0,25

0,125

0,0625

0,03125

0,00390625

0,0009765625.

0,9736328125.

К найденной мантиссе приписываем характеристику; ограничившись тремя знаками после запятой, получим

lg 943 = 2,974.

В таблицах логарифмов стоит

lg 943 = 2,97451.

Как видим, погрешность весьма невелика (следует иметь в виду, что все возведения в квадрат сделаны приближенно).

ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

(Методические заметки)

Доц. И. АЛЬТШУЛЕР (Смоленск)

„Я считаю центром тяжести стереометрии собственно пространственные суждения, т. е. взаимоотношения основных элементов: точки, прямой, плоскости. Вычисление поверхностей и объемов относится, по моему мнению, к алгебре; для развития пространственного чутья оно малопригодно“.

Проф. М. Симон — .Дидактика и методика математики в средней школе“.

В связи с общей перестройкой школьной работы, на основе исторических постановлений партии и правительства, значительно улучшилось за последнее время и преподавание геометрии. Однако существующая практика преподавания стереометрии свидетельствует о том, что в этой области еще не изжита рутина. Необходимо признать, что в нашей литературе методика стереометрии разработана значительно слабее, чем методика планиметрии; недаром от преподавателей средней школы можно часто услышать чистосердечное признание, что стереометрия у них как-то „не вытанцовывается“. Еще много работы предстоит учительству в деле усовершенствования методов преподавания стереометрии и превращения ее для школьников из сухой „схоластической“ науки в живую систему геометрических изысканий.

В настоящей заметке я попытаюсь изложить основные принципы исследования взаимного положения прямых в пространстве. Так как изучение прямых немыслимо вне связи их с плоскостями, то я рассмотрю не только комбинацию прямой с прямой, но и комбинацию прямой с плоскостью и плоскости с плоскостью.

* * *

Основной задачей преподавания стереометрии является конструирование новых геометрических понятий (плоскость, перпендикуляр, угол и т. п.) и выяснение взаимной связи между основными стереометрическими образами, возникающей в процессе их комбинирования. Тонкий анализ взаимоотношений пространственных точек, прямых и плоскостей важен как сам по себе, в силу его познавательной ценности, так и для последующего успешного изучения аналитической геометрии пространства.

Разберем по порядку три основные стереометрические комбинации: 1) прямая и прямая; 2) прямая и плоскость; 3) плоскость и плоскость.

1. Комбинация прямой с прямой

Природа прямой полнее всего вскрывается при ее изучении в трехмерной области. Взаимоотношения прямых в пространстве существенно отличаются от их взаимоотношений на плоскости. Прямые на плоскости либо пересекаются, либо параллельны (пересекаются в бесконечно удаленной точке). Прямые в пространстве подразделяются на три категории: пересекающиеся, параллельные (объединяются одним термином „компланарные“, т. е. лежащие в одной плоскости) и скрещивающиеся (некомпланарные). Связать, так сказать, „судьбу“ прямой с плоскостью уже с первых шагов изучения стереометрии методически весьма целесообразно.

Положение плоскости в пространстве определяется через посредство прямых (пересекающихся или параллельных), и обратно: взаимное положение прямых познается посредством проведения плоскостей через эти прямые.

Понятие угла между двумя прямыми, совершенно ясное в планиметрии, здесь нуждается в пополнении и уточнении по отношению к скрещивающимся прямым, угол между которыми строится с помощью параллельного перенесения этих прямых к фиксированной точке пространства. Введем понятие о равноугольном пучке прямых (аналогичный термин мы имеем в математическом анализе при исследовании логарифмической спирали, называемой равноугольной в том смысле, что она во всех своих точках образует постоянный угол с радиусом-вектором).

„Равноугольным“ будем называть пучок, все лучи которого образуют (на подобие зонтика) одинаковые углы с основной прямой, проходящей через центр пучка (осью). (Кстати заметим, что из четырех попарно-равных углов, образуемых при пересечении двух прямых, условимся принимать в расчет лишь острый угол пересечения.) Вращение прямой пучка вокруг оси образует коническую поверхность — геометрическое место прямых, наклоненных к оси под одним и тем же углом. Если вращаемая прямая перпендикулярна к оси, то образуется плоскость как частный случай конической поверхности. Если угол между образующей и осью равен нулю, то поверхность вращения — цилиндрическая.

Таким образом, уже с самого начала изучения стереометрии движение является одним из важнейших методов исследования наряду с другим методом — методом геометрических мест. В стабильном учебнике геометрии для средней школы оба эти метода нашли свое применение.

Исследуя вращение прямой, перпендикулярной к оси, мы, в сущности, уже приближаемся к понятию о перпендикуляре к плоскости; однако мы еще пока апеллируем к геометрической интуиции, отодвигая более глубокое рассмотрение этого вопроса на дальнейшую стадию. Сопоставляя геометрию на плоскости и геометрию пространства, мы указываем различие в решении задачи проведения через данную точку перпендикуляра к прямой в двухмерном и трехмерном пространстве: на плоскости эта задача допускает одно решение, в пространстве — бесчисленное множество решений (геометрическое место точек — плоскость). Говоря об угле между двумя скрещивающимися прямыми, необходимо отметить тот частный случай, когда эти прямые образуют прямой угол. Как назвать эти прямые в таком случае? В аналитической геометрии прямые, образующие прямой угол, обычно называются перпендикулярными как в том случае, когда эти прямые пересекаются, так и в том случае, когда они скрещиваются. Мне представляется целесообразным терминологически их различать: в первом случае будем называть эти прямые перпендикулярными, во втором—ортогональными. Таким образом, синонимные термины „перпендикуляр“ и „ортогональ“ будут обозначать два понятия, относящиеся между собой, как понятие видовое к понятию родовому. Я разделяю мнение Б. А. Марковича об этом вопросе. „Линии, образующие между собой прямые углы, называются ортогональными, или, короче,— ортогоналями. Перпендикулярность прямых есть частный случай их ортогональности; две взаимно-перпендикулярные прямые это — две пересекающиеся ортогонали (Б. А. Маркович — „Геометрия пространства“, 1910 г., стр. 119).

2. Комбинация прямой с плоскостью

Ведущую роль при изучении взаимного положения прямой и плоскости играют две теоремы: теорема о двух перпендикулярах и теорема о трех перпендикулярах. Эти теоремы должны быть тщательно проработаны путем строгого логического разбора и демонстрации на модели. Здесь я позволю себе указать на один распространенный недостаток в преподавании этих теорем: данная проблема обыкновенно развертывается не в порядке исследовательской работы по изучению взаимосвязей прямых и плоскостей, а в порядке доказательства очередных теорем. Вместо того чтобы трактовать эти теоремы как задачи, как геометрические изыскания, преподаватель стереометрии часто преподносит их, я бы сказал, в схоластической форме, предлагая учащимся готовый текст, готовый чертеж и общеизвестную цепь силлогизмов, приводящих доказательство к благополучному финишу.

Остановимся на этом вопросе несколько подробнее. Анализируя всевозможные положения прямой относительно плоскости, мы естественно приходим к следующему выводу: прямая и плоскость либо пересекаются, либо параллельны (пересекаются в бесконечно удаленной точке), либо одновременно и пересекаются и параллельны, т. е. совпадают.

Разберем первый случай. Если прямая АО пересекает плоскость Я, то у них есть лишь

одна общая точка О, называемая основанием, или следом прямой на плоскости. Через точку О проведем на плоскости пучок прямых (черт. 1).

Черт. 1

Поставим себе целью выяснить следующий вопрос: как „относится“ прямая АО („секанта“ плоскости) к различным прямым пучка, т. е. как наклонена эта прямая к прямым на плоскости, проведенным через ее основание. С помощью наглядных пособий, вращая прямую пучка в плоскости Р вокруг точки О, можно показать, что АО образует с каждой прямой пучка особый угол (собственно говоря, два смежных угла, но мы условимся принимать в расчет лишь один из них, именно острый). Существуют ли среди прямых пучка такие, к которым данная прямая (секанта АО) перпендикулярна? Оказывается, что существует, и притом только одна. Это обстоятельство устанавливается пока опытно-интуитивным путем, применяя метод движения. Возникает вопрос: возможно ли направить секанту так, чтобы она была перпендикулярна более, чем одной прямой пучка? Поворачивая прямую АО вокруг ее следа, мы убеждаемся в том, что такое направление существует, но что при этом АО, повидимому, перпендикулярна ко всем прямым пучка. В таком случае АО называется перпендикуляром к плоскости. После этого переходим к развитию теоремы о двух перпендикулярах. Следуя порядку изложения, принятому в курсе Гурвица и Гангнуса, сначала выясняем природу плоскости как геометрического места точек, равноудаленных от двух данных точек, и как геометрического места перпендикуляров, восставленных к прямой из данной ее точки, возвращаемся к понятию равноугольного пучка, затем доказываем собственно теорему. Будет, однако, совершенно недостаточно ограничиться доказательством теоремы, не вдаваясь в более детальное исследование ее смысла. Так как суть теоремы заключается в том, что она конструирует понятие перпендикуляра к плоскости, устанавливая „отношение“ (наклон) этого перпендикуляра ко всем прямым, проведенным на плоскости через его основание, то необходимо итти дальше и выяснить „отношение“ этого перпендикуляра к прямым на плоскости, не проходящим через его основание. Опыт и интуиция подсказывают следующий вывод: перпендикуляр к плоскости ортогонален ко всем прямым этой плоскости, не проходящим через его основание. Строгое доказательство этого положения возможно дать несколько позже на основе следующей теоремы: „Плоскость, перпендикулярная к одной из параллельных прямых, перпендикулярна и к другой“. Затем решаем задачи на проведение через данную точку пространства плоскости, перпендикулярной к данной прямой, и прямой, перпендикулярной к данной плоскости, причем подчеркивается единственность решения, — в противовес задаче о построении перпендикуляра к прямой.

Изучивши перпендикуляр к плоскости, переходим к понятию о наклонной к плоскости. Наклонная проектируется на плоскость. Проекция наклонной, очевидно, принадлежит пучку прямых, проведенных на плоскости через основание наклонной. Прямоугольный треугольник, образуемый перпендикуляром, наклонной и ее проекцией, назовем „проективным треугольником“. Теоремы о сравнительной величине перпендикуляра и наклонных, легко доказываемые с помощью вращения проективного треугольника, устанавливают новое понятие — расстояние точки от плоскости.

Исследуя „отношение“ прямой (секанты) к различным прямым, проведенным на плоскости через основание секанты, мы уже раньше пришли к мысли о том, что она образует различные углы с различными прямыми пучка (черт. 1). Спрашивается: каким образом мы можем среди указанных углов найти наибольший и наименьший? Так как мы условились тупых углов в расчет не принимать, то наибольшим углом следует считать прямой угол. Как же найти ту прямую из прямых пучка, к которой наклонная перпендикулярна? Ответ на этот вопрос дает теорема о трех перпендикулярах. Решая эту проблему опытным путем, на модели, посредством вращения прямой вокруг точки О, учащиеся часто догадкой приходят к правильному выводу: перпендикуляром к наклонной служит та прямая на плоскости, которая перпендикулярна к проекции наклонной. Этот вывод формулируем как теорему, которую и доказываем обычным способом. Фигура теоремы о трех перпендикулярах настолько поучительна, что желательно,

чтобы учащиеся изготовили ее модель и на модели доказывали теорему (кроме чертежного доказательства). К трем перпендикулярностям, фигурирующим в этой теореме, следует добавить четвертую: прямая, перпендикулярная к проекции наклонной, перпендикулярна и к плоскости проективного треугольника.

Замечу, кстати, что существуют учебники по геометрии, игнорирующие теорему о трех перпендикулярах. Так, в „Элементах геометрии“ Филиппса и Фишера (см. русский перевод под ред. Мрочека) эта теорема совершенно не упоминается, и доказательство вышеупомянутой теоремы о плоскости, перпендикулярной к параллельным прямым,строится без помощи теоремы о трех перпендикулярах. То же мы встречаем в „Элементарной геометрии“ Горста, где теорема эта фигурирует мелким шрифтом в виде самостоятельного упражнения для учащихся. Что эта теорема, рядом с теоремой о двух перпендикулярах, играет доминирующую роль при изучении взаимного положения прямой и плоскости и существенно необходима для решения целого ряда стереометрических задач,—мне представляется совершенно бесспорным.

Наименьший угол между наклонной и прямой на плоскости дает нам мероопределение нового типа угла — угла между прямой и плоскостью. Доказывается теорема: наименьший острый угол между наклонной и прямой, проведенной на плоскости через основание наклонной, есть угол между наклонной и ее проекцией. Доказательство теоремы очень простое, если строить его на основе сравнения двух треугольников, имеющих по две равных стороны, заключающих неравные углы (см. Киселева). В курсе Гурвица и Гангнуса, в первой части, такие треугольники не рассматриваются, вследствие чего во второй части теорема о наименьшем угле между прямой и плоскостью доказывается способом, который нельзя признать удачным. Вслед за наименьшим углом между прямой и плоскостью рассматриваем „отношение“ наклонной к другим прямым на плоскости, не проходящим через основание наклонной. Легко обнаружить, что наклонная к плоскости ортогональна ко всем прямым, перпендикулярным ее проекции, со всеми же другими прямыми на плоскости она скрещивается наклонно.

Покончивши со случаем пересечения прямой и плоскости, переходим к рассмотрению случая их параллельности. Доказываем две теоремы (два признака), устанавливающие новый тип параллельности (прямой и плоскости). Затем исследуем взаимоотношения прямых, лежащих вне плоскости, и прямых, проведенных на плоскости. Если прямая AB параллельна плоскости Р и через AB проведем пучок плоскостей, то плоскости пучка пересекут данную плоскость Р по прямым, параллельным данной прямой AB, все же прямые иного направления, проведенные на плоскости Я, скрещиваются с прямой AB (черт. 2).

Черт. 2

Затем решается задача: „Через точку, данную вне плоскости, провести прямую, параллельную этой плоскости“, и обратная задача: „Через данную точку провести плоскость, параллельную данной прямой“. Обе задачи — неопределенные.

3. Комбинация плоскости с плоскостью

Здесь возможны два случая: 1) плоскости пересекаются, 2) плоскости параллельны (пересекаются по бесконечно удаленной прямой)*. В наших учебниках обычно начинают со случая параллельности плоскостей (новый тип параллельности). Изучая взаимное положение двух плоскостей, не следует упускать из виду вопрос о взаимном положении прямых, расположенных на тех плоскостях, взаимоотношение которых мы рассматриваем (в курсе Гурвица и Гангнуса этот вопрос затронут). Если две плоскости параллельны, то прямая, взятая на одной из них, и прямая, взятая на другой, либо параллельны, либо скрещиваются. Если же плоскости пересекаются, то к этим двум возможностям прибавляется третья — пересечение. Если две прямые на одной плоскости параллельны между собой и параллельны двум прямым на другой плоскости, то плоскости могут и не быть параллельны (см. Гурвиц и Гангнус, ч. 2-я, III, 3). В тесной связи с параллельностью плоскостей находится вопрос о более детальном изучении скрещивающихся прямых. В учебнике Гурвица и Гангнуса излагается основная теорема, устанавливающая возможность заключения двух скрещивающихся

* Случай совпадения плоскостей не рассматривается.

прямых в две параллельные плоскости, и приводятся два основных построения: построение кратчайшего расстояния между скрещивающимися прямыми и построение прямой, пересекающей две скрещивающиеся прямые это— тот минимум, который необходим для выяснения природы скрещивающихся прямых. Построение прямой, пересекающей две скрещивающиеся прямые, затрагивает новый круг вопросов, касающийся взаимного положения трех прямых в пространстве; этот материал может быть проработан лишь в порядке кружков.

Пересечение плоскостей образует новый тип угла, двугранный угол, который нуждается в новом мероопределении через посредство линейного угла, получаемого в результате пересечения двугранного угла плоскостью, перпендикулярной к его вершине (ребру). Отсюда приходим к новому типу перпендикулярности — перпендикулярности двух плоскостей. Решая задачу: „Построить плоскость, перпендикулярную к данной плоскости“, мы приходим к теореме: „Плоскость, проведенная через перпендикуляр к другой плоскости, перпендикулярна к этой плоскости“. Исследование взаимного положения прямых на двух перпендикулярных плоскостях обнаруживает, что все прямые, проведенные на одной из двух взаимно-перпендикулярных плоскостей перпендикулярно линии их пересечения, перпендикулярны, или ортогональны, к прямым, проведенным на другой плоскости (черт. 3).

Изучив сочетание прямой с прямой, прямой с плоскостью и плоскости с плоскостью, следует подвести итоги, фиксируя существование трех типов параллельности, трех типов перпендикулярности и трех типов углов. Каждый тип угла имеет свой способ измерения: угол между прямыми вообще измеряется помощью параллельного перенесения, угол между прямой и плоскостью измеряется помощью проектирования, для измерения двугранного угла прибегают к перпендикулярному сечению. Впоследствии к этим трех основным типам углов прибавятся новые: телесный, угол между кривыми линиями и др.

В заключение выскажу следующие дидактические положения, которые, на мой взгляд, следует считать основными в преподавании стереометрии:

1) Доказательства теорем должны базироваться на внимательном исследовании взаимоотношений между основными стереометрическими элементами.

2) В качестве важнейших методов исследования следует считать метод геометрических мест, метод движения, эволюцию геометрических форм.

3) Ряд стереометрических теорем можно и должно трактовать как задачи, и наоборот: важнейшие задачи необходимо фиксировать в виде теорем (как, например, проведение плоскости, перпендикулярной к данной прямой); и те и другие — по возможности моделировать.

4) Следует считать полезным сопоставление свойств стереометрических и планиметрических фигур с целью обнаружения черт сходства и различия. Сравним, например, взаимное положение прямых на плоскости с положением прямых в пространстве, квадрат диагонали параллелепипеда с квадратом диагонали прямоугольника, свойства двугранных углов со свойствами планиметрических углов, сумму плоских углов многогранного угла с суммой углов, расположенных на плоскости вокруг точки, и мн. др.

Черт. 3

К ПРОРАБОТКЕ ТЕМЫ О ЛОГАРИФМАХ

М. ОСМОЛОВСКИЙ

Учащийся средней школы обычно получает впечатление, что прогрессии и логарифмы являются самодовлеющими отделами алгебры, и часто не подозревает, что между ними существует самая тесная связь.

Действительно, возьмем такие ряды прогрессий:

Это не что иное, как простейшие таблицы логарифмов. Я считаю очень важным внедрить это в сознание учащихся. В ряде а даны логарифмы, а в остальных рядах— соответствующие им числа при основаниях 2 (ряд б), 3(ряд в), 5 (ряд г) и 10 (ряд д):

При помощи подобных рядов можно легко проиллюстрировать определение логарифма и проверить все его свойства, как-то: при всяком основании log 1=0, a log основания равен 1; при основании, большем единицы, числа, большие единицы имеют положительные логарифмы, а меньшие — отрицательные; при положительном основании отрицательные числа не имеют логарифмов. Тут же следует напомнить смысл отрицательных и нулевых показателей, так называемые правила показателей при умножении, делении, возведении в степень и извлечении корня. На примере этих же рядов легко осознаются способы вычислений при помощи логарифмов, а отсюда— способы логарифмирования и потенцирования алгебраических выражений:

Эти записи показывают, что вместо действия над числами (верхняя строка) можно проделать более простые действия над их логарифмами (нижняя строка) и над результатом последнего действия найти в наших таблицах результат первого действия.

Далее необходимо показать, что всякий логарифм в ряде а есть среднее арифметическое двух равноотстоящих от него логарифмов, а всякое число есть среднее геометрическое двух равноотстоящих от него чисел в рядах б, в, г, д:

Когда это усвоено учащимися, то им уже самим становится ясно, как заполнить промежутки между вертикальными рядами, т. е. между двумя соседними числами и соответствующими им логарифмами: надо вставить средние арифметические логарифмов и средние геометрические чисел. Вставим, например, по одному числу в каждый промежуток :

Нарушены ли прогрессии? Нет, только теперь в арифметической прогрессии разностью

служит y » а в геометрических знаменателем— корень квадратный из соответствующего основания. Легко убедиться, что эти ряды также представляют собою таблицы логарифмов, но только не простейшую их форму, а, так сказать, первую ступень их детализации.

Таким же путем детализуем наши таблицы еще на одну ступень:

Теперь разность арифметической прогрессии -J , а знаменатель геометрической — корень четвертой степени из основания. Приобретают смысл дробные показатели.

Последний ряд весьма полезно конкретизировать путем непосредственного извлечения корней и умножения полученных результатов на соответствующий коэфициент. Тогда ряды а2 и д2 можно переписать в таком виде:

Такое изображение более осязательно для учащихся. Они убеждаются, что подобным путем между целыми числами возможно вставить сколько угодно промежуточных, выражаемых целым с дробью. Тут же учащиеся легко осознают характеристику и мантиссу:

Обычно учащиеся скоро забывают, почему именно характеристика логарифма на 1 меньше числа знаков в целой части числа, а мантисса зависит от порядка цифр в числе; забывают также, что это справедливо только для десятичных логарифмов. Здесь же (ряды б2 и д2 и ниже б4 и д4) они непосредственно убедятся в том, что всякое число можно рассматривать как произведение двух степеней основания, из которых одна имеет целый показатель (характеристика), а другая — дробный (мантисса). С этого момента учащихся можно уже знакомить с устройством таблиц десятичных логарифмов.

Далее следует показать, что в промежутках между целыми числами можно вставить любое наперед заданное число членов, так как эти ряды, каждый в отдельности, все же остаются прогрессиями:

Здесь в каждом ряде две самостоятельных прогрессии: числа, ограниченные вертикальными линиями, служат последними членами для первых прогрессий и первыми членами — для вторых. Пользуясь известными формулами для последних членов прогрессий и зная число членов наших прогрессий, находим сначала разность арифметической и знаменатели геометрических прогрессий, а затем выписываем и самые прогрессии:

В этих рядах с особой яркостью иллюстрируется приведенное выше понятие о характеристиках и мантиссах. Кроме того, сопоставляя последние ряды с aj б, д2, мы видим, что логарифму 1 в обоих случаях соответствуют одни и те же числа, хотя и вставленные различными (с внешней стороны, конечно) способами. Это еще лишний раз подчеркивает, что при данном основании каждому логарифму отвечает только одно число и, наоборот, каждому числу — только один логарифм.

Наконец, очень полезно предложить учащимся самостоятельно составить таблицы до-

гарифмов для ряда натуральных чисел при заданном основании. Нет надобности, конечно, итти при этом путем М. Штифеля и Бригга. Это имеет только историческое значение. Гораздо скорее и с большей пользой такую работу можно выполнить при помощи таблиц десятичных логарифмов. Эти упражнения дадут учащимся первый опыт в технике вычислений с помощью таблиц:

Если 2«з = 3, то пъ log2 = Iog3; я3 = Щ .

Точно также п. = .—лА = —^- и т.д., 0 log 2 ' 6 log 2 '

т. е. логарифм всякого числа при данном основании равен отношению логарифмов этого числа и данного основания, взятых при любом, но одинаковом основании. При пользовании таблицами десятичных логарифмов нам придется проделать ряд делений на 0,30103. Чтобы несколько автоматизировать работу, составим заранее таблицу умножения: 0,30103-2 = 0,60206; 0,30103 - 3 = 0,90309 ит. д. до 0,30103-9 = 2,70927. Тогда все наши вычисления при пугающих на первый взгляд делениях сведутся только к вычитаниям заранее готовых произведений. Если не гнаться за большой точностью, то можно пользоваться не пятизначными, а трехзначными таблицами или даже логарифмической линейкой, обращению с которой я считаю необходимым ознакомить учащихся. Таким образом получится следующая таблица логарифмов при основании 2:

При составлении этой таблицы поучительно то, что непосредственные вычисления логарифмов приходится делать только в 9 случаях из 30, а именно для простых чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и 29, так как: 1) у чисел, одним из множителей которых является полная степень основания (2), логарифмы имеют мантиссы, присущие второму множителю: 3, 6, 12 и 24; 5, 10 и 20; 7, 14 и 28; 9 и 18; 11 и 22; 13 и 26; 15 и 30; 2) логарифмы составных чисел равны сумме логарифмов сомножителей: 3,9 и 27; 3,5 и 15; 3,7 и 21; 5 и 25 и др.

Я полагаю, что такой элемент связи между прогрессиями и логарифмами, введенный в метод изложения темы о логарифмах, наряду с классными упражнениями в составлении простейших логарифмических таблиц поможет при незначительной затрате времени достичь больших результатов. Прежде всего учащиеся перестанут смотреть на таблицы логарифмов как на некое откровение, неведомо каким путем полученное. Самое же главное — это поможет им увязать между собою ряд отдельных вопросов, которые обычно разрозненно прорабатываются на протяжении всего курса алгебры с первого же года изучения ее, и тем самым—восполнить пробелы предыдущей подготовки и закрепить подчас непрочно усвоенные сведения. Наконец, приобретаемые при помощи подобных упражнений навыки в значительной степени облегчают решение показательных и логарифмических уравнений.

РАЗМЕРНОСТЬ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

А. МАКСИМОВА (Челябинск)

Казалось бы теперь, когда Всесоюзный комитет по стандартизации утвердил (14 сентября 1933 г.) стандарт ОСТ—169, признав введение его как обязательного с 1 января 1934 г., говорить о системах CGS и технической не приходится. Между тем, тот же момент заставляет преподавателя средней, да и высшей, школы особенно хорошо знать

указанные системы. Владея ими и способом перехода от одной системы к другой (что легко осуществляется при помощи размерности), педагог действительно сможет практически помочь проведению в жизнь стандарта ОСТ—169. Стандарт ОСТ—169 названия „научная“, „техническая“, „практическая“ отбрасывает. Также устраняется наименование „абсолютная“, но так как в литературе, напечатанной до сих пор, эти наименования будут встречаться, то для ясности прежние наименования мною сохранены.

Кроме того, автор статьи ставит своей задачей не только изложить данный вопрос, но и дать преподавателям средней школы методы проведения его в старших классах десятилетки. Указанные в статье примеры даны как материал, на котором преподаватель будет проходить данную тему.

Громадное большинство зависимостей, существующих между физическими величинами, сводится к пропорциональности прямой или обратной. Например:

1. s = kvt (путь равномерно движущегося тела прямо-пропорционален произведению скорости тела — v и времени — t, в которое проходит тело данный путь).

2. f=kma (II закон Ньютона).

3. U=kfS (формула работы).

4. W=k^ (формула мощности).

5. /= k— (закон Ома).

6. Q=0,24:2r£ (закон Джоуля-Ленца).

7. H=ky (закон Био-Савара).

Общая формула, связывающая физические величины, такова:

(1)

Здесь k есть коэфициент пропорциональности. Если зависимость U от x, у, z, t однозначная, т. е. определенным значениям x, у, z, t в данных пределах соответствует определенное значение U, то коэфициент пропорциональности k в этих пределах должен иметь одно, вполне определенное численное значение.

Поясним это примерами.

Пример 1. Мы знаем, что сопротивление цилиндрических проводников электрическому току в зависимости от геометрических размеров, температуры и вещества проводника выражается так: /?=р—, где: R— сопротивление проводника, / — длина проводника, 5 — поперечное сечение проводника, р — удельное сопротивление, зависящее от вещества проводника, его температуры и от единиц, измеряющих lus.

Если / выражено в см, а 5 выражено в см2, то для меди р = 1,7.Ю-» t-ffic

Если же / выражено в м, а 5 выражено в мм2, то для меди р = 0,017

В самом деле, пусть медный цилиндрический провод имеет

(2)

Измерив длину того же проводника в метрах и поперечное сечение в мм2, получим: / = 0,4 м; s = 400 мм\

Подставив эти значения в формулу получим:

R=p—; мы, очевидно, числитель дроби уменьшили в 100 раз, а знаменатель ее увеличили тоже в 100 раз. Вся дробь уменьшилась в 104 раз. Так как сопротивление проводника не может измениться от того, что мы измерим / и s его другими единицами, то, очевидно, чтоб дробь осталась без изменения, надо р увеличить в 104 раз, т. е.

р1 = 1,7-10-6. Ю4= 1,7.10-2 = 0,017.

/? = 0,017^=1,7.10-5/ом, см. формулу(2)

Примечание. Так как в данном примере провод в первом и втором случаях берется из одного и того же вещества, при одной и той же температуре, то р зависит только от единиц измеряющих его длину / и площадь поперечного сечения s; р — можно считать коэфициентом пропорциональности (см. Хвольсон, т. I, изд. 7-е, стр. 39).

Пример 2. По закону Ома / = k— , где /—сила тока в цепи, Е— электродвижущая сила источника, R— сопротивление всей замкнутой цепи. Если мы будем измерять Е в практических единицах—вольтах, R— тоже в практических единицах—омах, то /—сила тока, получится в амперах (практическая единица силы тока). При этих условиях — коэфициент пропорциональности равен единице К= 1 ; формула имеет вид /= — .

Пример 3. £ = 0,004 вольта, /? = 2ома> /= —— = 0,002 амп.

Если же измерять £ не в вольтах, а в милливольтах— тысячных долях вольта, то для измерения того же тока в амперах необходимо коэфициент пропорциональности— k— положить равным 0,001.

На практике, если Е и R заданы не в вольтах и омах, то переводят их в эти единицы и вычисляют силу тока по формуле 1=-^ , где k = 1. Это очень упрощает расчет, иначе пришлось бы для каждых единиц задавать определенное k. Последнее обстоятельство имеет место в физике. Возьмем, например, закон Био-Савара.

H—hï- (напряжение магнитного поля — H вокруг прямого длинного тока прямо-пропорционально силе тока — i и обратно-пропорционально расстоянию г от оси проводника). Здесь коэфициент пропорциональности k зависит только от единиц, которыми измеряют i и г. Если выражать г в сантиметрах, i — в амперах, то будем иметь k =0,2.

Если же силу тока измерять в веберах (электромагнитная единица силы тока, равная 10 амперам)/= 10/, где /—веберы, i—амперы, то для того, чтобы численное значение H осталось неизменным, мы должны увеличить коэфициент пропорциональности k в 10 раз, т. е. положить его равным 2. При этих условиях закон математически выразится так:

Я=2-. г

Таким образом, ясно, что коэфициент пропорциональности зависит от выбора единиц, которыми измеряются входящие в уравнение (1) физические величины. Отсюда, если бы удалось подобрать эти единицы так, чтобы £=1, то все расчеты при такой системе единиц чрезвычайно упростились бы. Посмотрим, как это сделать. Пусть число величин будет М, а число зависимостей между ними N. Могут быть три случая:

M = N; M<N; M>N.

Рассмотрим последний случай. Дано уравнение х-\-у = 2. Это уравнение неопределенное. Полагая х=\у 2, 3..., мы получим соответственно решение для у:уг = 2; у2 = 0; у3 =—1... и т. д.

Если возьмем уравнение х -\-у -\-z = b, то для его решения необходимо задаться уже двумя произвольными значениями, например:

Очевидно, z зависит от выбора л:, у. Отсюда ясно, что если заданных величин M более, чем зависимостей между ними N (последнее как раз имеет место в физике), то можно некоторые из входящих в уравнение (1) физических величин выбрать произвольно с таким расчетом, чтоб k=\\ остальные величины уже получатся в зависимости от этих выбранных.

Произвольно выбранные величины не должны зависеть одна от другой. Система, построенная на этом принципе, называется абсолютной: единицы, взятые произвольно — основными; величины, зависящие от основных и определяемые через них, по уравнению (1), называются производным и.

При настоящем состоянии науки, основных величин насчитывают три:

1. Длина, масса, время.

2. Длина, сила, время.

В зависимости от выбранных единиц и абсолютные системы получают свое название.

1. Абсолютная CGS:

длина —1 сантиметр—1 см, масса — 1 грамм— 1 г, время — 1 секунда — 1 сек.

2. Практическая:

длина — 1 метр— 1 м, масса — 1 тонна — 1 т, время — 1 секунда — 1 сек.

3. Техническая:

длина— 1 метр— 1 м,

сила — 1 килограмм — 1 кг,

время — 1 секунда — 1 сек.

Найдем производные единицы систем; v, ß> /» £Л ИР. Взяв определяющее уравнение для средней скорости f=-j и подставив вместо s—1 см или 1 м, вместо t—1 сек., получим единицу скорости в системах: практ. (v=lMj CQS I j CMiceK. технич. J I

Подставляя v= \ м\сек или 1 см\сек и t = = 1 сек в определяющее уравнение для среднего ускорения, идя этим путем, получим все остальные производные единицы систем:

/= 1 дина; U= 1 эрг; W— 1 эрг\сек. Практ. :

/= 1 стен; U— \ кож; W—Хквт.

Технич.:

/= 1 кг (осн.); U= 1 кгм\ W= 1 кгм\сек.

Способ обозначения производных единиц— дина, эрг. стен, называется сокращенным. Встречается и другой — мнемонический, когда просто указывают, какой системе принадлежит данная производная единица, например:

f = 2CGS, U = AMTS

и т. д.

Но оба эти способа обозначения производных единиц не указывают, какие основные единицы входят в построение наименования данной производной. Между тем последнее обстоятельство чрезвычайно важно при переводе единиц из одной системы в другую.

Переводя, например, 1 кдж в эрги, мы разлагаем более сложные единицы на менее сложные; эти последние выражаем через основные.

1 кдж=\ сн. 1 м; 1 9= 1 дн. 1 см; 1 сн= = 1 т. 1 м\сек2;

1 дн= 1 г; 1 см/сек2; 1 т = 106 г; 1 м=\02см; 1 кдж=\0*°э.

Теперь уже ясно, что достаточно тонну выразить в граммах, метр в сантиметрах и зависимость между килоджоулем и эргом найдена.

Поэтому в науке часто употребляют еще третий способ — символический, в котором производная единица выражается через формулу, показывающую характер зависимости этой единицы от основной (иногда — более сложной от менее сложной).

Формула, показывающая, как производная единица системы составлена из ее основных, называется размерностью физической величины.

Но под размерностью нельзя мыслить самую величину — это символическое обозначение ее и только. Макс Планк в книге „Введение в теоретическую физику“ (1-я ч., стр. 36, изд. 1932 г.) говорит: „Размерность какой-либо физической величины не есть свойство, связанное с существом ее, но представляет просто некоторую условность, определяемую выбором системы измерений*.

Возьмем величины: v, а, /, и, w.

Система CGS v = 1 см/сек.

Техническая 1 _- ,

Практическая / v~ 1 м1сек*

Система CGS а=\ см)сек2.

Техническая \ i/o \ a se 1 м сек2. Практическая J '

Система CGSU=\ г. см2\сек2. Техническая U= 1 тем м2\сек2. Практическая U= 1 т. м2\сек2.

Система CGS W=\ г. см2\сек*. Техническая W= 1 тем. м2\сек*. Практическая W=\ т. м2\секъ.

Названия:

см J сек; см) се/с2; г. см2 jсек2; г см2/сек3; м\сек\ м\сек2; тем. м2)сек2; тем. м2\сек*; т. м2\сек; т. м2\секъ,—в сущности и есть формулы, указывающие, как производные единицы той или иной системы составлены из основных единиц, т. е. это и есть размерности.

Для того чтобы не вводить для одной и той же физической величины нескольких видов размерности, в зависимости от соответствующей системы, удобнее взять одну общую формулу, например, | v | = ^-=ZT-1, где

символ означает размерность скорости, l—длины, т—времени.

M — символ массы.

В самом деле, если мы в формулу хотя бы размерности скорости подставим вместо L — см, вместо Т—сек., то получим скорость для системы CGS: v= \ см\сек; если подставим вместо ~—м\сек, iov= 1 м\сек — системы техническая и практическая. Очевидно, общий вид формулы размерности будет таков:

Система CQS\ ï \A\ = M*Lm,

Практическая > \

Техническая J ) | А | = /^Гу,

где |Л| означает размерность той или иной физической величины, а, ß, у показывают, какого измерения производная единица системы относительно основных ее.

С величинами, входящими в размерность, будем оперировать, как с обыкновенными алгебраическими величинами, т. е. понимать, что у означает частное от деления L на Т;

MLT~2 — произведение M на L и на Г“2 и т д.

Кроме того, примем во внимание следующее:

1. Размерность площади Z, X L = L2, размерность объема IX £ X L = LB.

2. Размерность отвлеченного числа = 1, так как оно независимо от основных едини i системы, т. е. нулевого измерения относительно их

1251 =M0Z.°7°=1; |25| =F°L°T°=\; |5| = |10| = |тг|=1.

3. Размерность произведения равна произведению размерностей:

\а, Ь\ = \а\.\Ь\.

4. Размерность дроби равна дроби от размерностей :

5. Размерность степени равна степени от размерности:

|а«| = Мл-

6. Размерность корня равна корню от размерности:

Ifïl-ffïl.

7. Размерность суммы или разности равна сумме или разности размерности каждого из слагаемых:

|а + *—*| —|а| + |*| —М.

Это основано на том соображении, что вычитать и складывать мы можем величины только одного наименования, т. е. однородные. Если в левой части стоит длина, то и в правой части все слагаемые могут быть только длинами, т. е. размерность левой части должна быть такова же, как размерность каждого слагаемого.

Перевод производных единиц из одной системы в другую с помощью размерности очень прост; он требует знания зависимостей только между основными единицами систем, а так как в употребляемых нами системах время везде считается в секундах, то необходимо знать зависимость только между массами и длинами. При переводе же из практической системы в техническую, и наоборот, надо знать зависимость только между массами. Покажем на примерах метод перевода единиц из одной системы в другую.

1. 1 кож перевести в эрги

\U\=ML*T-2; перев. мн.=10б(102)2= 1010, 1 кдж= 101° э.

2. 1 квт перевести в кгм\сек

Итак, общее правило нахождения переводного множителя:

I. Написать размерность переводимой величины.

II. Найти соотношение входящих в нее величин взятых систем.

III. Произнести с найденными величинами действия, указанные формулой размерности.

IV. Полученным результатом и будет переводный множитель данной величины при переходе из одной системы в другую.

Указанный метод возможно применять при переводе самих единиц данной системы, но не их укрупненных величин или долей.

Например: нельзя сразу переводить 1 квт в Н. Р. — сначала надо перевести 1 квт — в кгм\сек\ также нельзя эрги переводить в джоули сначала надо эрги перевести в килоджоули, а потом в джоули.

Значение размерности этим не ограничивается. Мы знаем, что все теоретические уравнения физики однородны. Признаком однородности и является одинаковая размерность их правой и левой части.

Примеры.

(b)

т. е. равенство (Ь) верно.

Таким образом, знание размерности лае г нам возможность контролировать правильность полученных теоретических выводов.

Если известно, что между определенными физическими величинами существует какая-то зависимость (функция неявная), то знание размерности каждой из физических величин, входящих в эту неявную функцию, дает возможность написать зависимость между ними в явной форме, не указывая лишь коэфициента пропорциональности.

Например: известно, что центробежная сила есть функция m — массы, вращается по кругу тела, г — расстояние от центра вращения до центра тяжести (инерции) вращающегося тела, v — скорости вращения тела, т. е. /=<р(/гс, г, v); допустим, что эта функция имеет вид: f=km%rhfl% где k — постоянный коэфициент, а а, ß, у — искомые показатели. Возьмем размерности о г обеих частей \f\ = \km«rbi\;\f\=MLT-2;

I кт*гЫ I = M*Iß(LT-*)* = M*LV+iT~t.

Сравнивая показатели при одинаковых основаниях, получим

ЗАДАЧИ

1) Перевести 5 стен в килограммы. Ответ. 5.102,2*2.

2) Силу в 6 кг перевести в дины. Ответ. 6,9,8-\№ дн.

3) Единицу силы из системы практической перевести в систему С GS.

Ответ. 108 дн.

4) 1 кдж выразить в кгм. Ответ. 102 кгм.

5) 7 джоулей перевести в эрги. Ответ. 7-107з.

6) Перевести 25 кгм в эрги. Ответ. 25.9,8-Ю7 э.

7) 1 HP перевести в ватты. Ответ, со736 ватт.

8) 1 ватт выразить в эрг\сек. Ответ. 107 э\сек.

9) 1 квт перевести в лош. силы. Ответ. col,36HP.

10) Доказать одинаковую размерность правой и левой части уравнения:

11) Вывести формулу для математического маятника, если известно, что, при малых углах отклонения время колебания есть функция от / — длины маятника, m — массы его и 0 — веса маятника.

Ответ. t = kVL

12) Найти выражение для кинетической энергии, если известно, что она есть функция от m—массы движущегося тела и v — его скорости, т. е. эн=/(т, v).

Ответ, k—^-.

13) По закону всемирного тяготения (/7=£~^р) две массы по 1 грамму, находящиеся на расстоянии 1 сантиметра, притягиваются с силой 6,66-10“8 дин, т. е. гравитационная постоянная

£ = 9,66-10-* д«. см2\г2.

Найти: 1) силу притяжения двух масс по 1 тонне, находящихся на расстоянии 1 метра. Ответ. F=6,66.10“8c/i.

2) Силу притяжения двух тех. масс (вес тех. массы 9,8 кг), находящихся на расстоянии 1 м.

Ответ. 6,5.10-10л:г.

14) Электродинамическая сила взаимодействия двух проводников с током выражается так: F=kl-~l; если силу тока i выражать в амперах, /иг выражать в сантиметрах, то F выразится в динах, коэфиц. пропорц.

£ = 0,02; F=0,02l^ldH.

Найти коэф. проп. для технической и практической систем. Ответ.

ЭЛЕМЕНТЫ УЧЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ В ПОЛИТЕХНИЧЕСКОЙ СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

(Продолжение*)

М. ПИОТРОВСКИЙ (Ленинград)

II

Проработка тех же вопросов во II концентре отличается, как обычно, усилением количественного элемента, большей систематизацией и некоторым теоретическим обоснованием изучаемых явлений. Сообразно с этим центр тяжести исследования переносится с разрушающих деформаций на упругие. Всесторонне прорабатывается закон Гука.

Не представит также особого затруднения ввести понятие о коэфициенте и модуле растяжения и решить ряд задач на применение выведенных формул. Экспериментальная проработка закона Гука проводится удобнее всего на толстом резиновом шнуре (круглый приводной ремень толщиною в 10—12 мм, длиною от 1 до 2 м). Если такой шнур нельзя достать, то можно использовать резиновые шнуры или тесьмы других размеров, а также резиновую трубку (лишь бы только не пересохшую и без заметного брака), хотя с трубкой опыт выходит не так чисто, как со сплошным шнуром. К концам шнура приделываются надежные петли, как показано на чертеже 5, а если применяется трубка, то полезно в каждый конец вставить круглые деревянные пробки с небольшим сужением посередине; обвязка,наложеннзя на такую же пробку, держит очень надежно. Подвесив шнур на крепкий крючок, прежде всего подбирают нагрузку, достаточную для того, чтобы шнур вполне выпрямить (для шнура в 10 мм диаметром требуется около 5 кг)\ эта нагрузка остается на шнуре во все время производства дальнейших измерений.

После этого на выпрямленном шнуре наносятся— удобнее всего краской или лаком — хорошо видимые метки на равных расстояниях друг от друга, например через каждые 20 см. Против последнего (нижнего) деления помещаем указатель и, постепенно увеличивая нагрузку на 1, 2, 3 и т. д. килограммов, замечаем, что удлинение шнура пропорционально этой добавочной нагрузке. При работе надо соблюдать осторожность, чтобы не разорвать шнурка, что могло бы повести к опасным ушибам; вообще чрезмерно увеличивать нагрузку не следует, так как закон Гука верен лишь для „малых“ деформаций. Но, конечно, надо брать грузы, достаточные для того, чтобы получить хорошо заметные деформации; при каких именно нагрузках опыт выходит лучше всего, необходимо выяснить предварительными опытами.

Затем, отметив на какой-нибудь линейке или лучинке длину одного участка шнура до растяжения и прикладывая эту мерку к каждому из участков во время действия деформирующей силы, устанавливаем второе, весьма важное соотношение: все части растянутого шнура деформируются одинаково, откуда следует, что при прочих равных условиях удлинение пропорционально первоначальной длине.

Последнее условие, влияющее на сопротивление растяжению, а именно — влияние поперечного сечения, проще всего иллюстрируется так. Шнур перегибается пополам, подвешивается за середину, а нагрузка подвешивается на палочку, пропущенную через петли на обоих концах**; шнур опять выпрямляется (на этот раз выпрямляющую нагрузку придется взять вдвое больше, чем при прямом шнуре). Прежними приемами легко показать, что при прежней добавочной (деформирующей) нагрузке удлинение получается в два раза меньше, чем в первом случае.

Черт. 5

* Начало см. в № 2 „Математики и физики“ за 1935 г.

** Перевешивать шнур лучше через толстую палку; если перевесить его через тонкий крючок или гвоздь, шнур легко может переломиться.

Таким образом, получаем формулу:

где X — удлинение, / — первоначальная длина, р — нагрузка, S — площадь поперечного сечения, а — коэфициент пропорциональности. Останавливаемся на выяснении физического смысла величины а. Очевидно, что х становится равным а, когда I = 1, р = 1 и »S= 1 ; следовательно, а есть удлинение стержня или шнура, длина которого I см и сечение 1 кв. мм при нагрузке в 1 кг. Подставив в полученное уравнение величины /, р, S и л:, полученные из опыта, находим величину а для резины. Условимся называть величину а коэфициентом растяжения, а величину — модулем растяжения данного вещества. Таким образом, наш опыт дает нам возможность вычислить коэфициент и модуль растяжения для резины.

Определение тех же величин для других материалов значительно труднее, так как деформации получаются очень малые, для измерения которых необходимы измерительные приборы высокой чувствительности: метод зеркального отсчета (в приборе В. В. Лермантова) или, по меньшей мере,— микрометрический винт.

Если бы оказалось желательным ставить измерительные работы по определению модуля растяжения (модуля Юнга), то необходимо иметь в виду, что главными источниками ошибок при производстве этих измерений являются: 1) недостаточно жесткое закрепление проволоки в месте подвеса и в месте соединения с крюком, несущим нагрузку и 2) недостаточное выпрямление проволоки.

Для устранения первой ошибки надо проволоку припаивать в местах соединения, не ограничиваясь обвязыванием, закручиванием или зажиманием „под винт“; вторая устраняется с большим трудом, путем подбора достаточно большого выпрямляющего груза. Недостаток выпрямления тотчас же сказывается в том, что получаемые результаты заметно меньше табличных; с другой стороны, слишком большой выпрямляющий груз также опасен, так как проволока, не в меру нагруженная, легко переходит „предел упругости“ и начинает давать заметные остаточные деформации. Сравнительно простая установка для определения модуля Юнга описана у П. А. Знаменского („Лабораторные занятия“, вып. 3-й, стр. 55, изд. 1927 г.).

Таким образом, вполне возможно поставить лабораторное определение модуля Юнга даже при весьма скромных средствах. Однако едва ли есть расчет затрачивать много труда на организацию этих работ, так как самый модуль Юнга находит, в сущности, мало применения в практике простейших измерений и расчетов; большинство задач, предлагаемых различными авторами, на применение вышеприведенных формул имеет обычно искусственный, придуманный характер. Не мешает также обратить внимание учащихся на то, что деформация растяжения наблюдается на деле редко (т. е. вернее — лишь в редких случаях достигает сколько-нибудь заметных размеров); что единственным заметно растяжимым из технических материалов является каучук (модуль меньше единицы, между тем как для других материалов он выражается сотнями, тысячами или десятками тысяч); что в этом — одна из причин технической незаменимости каучука (здесь же, кстати, можно упомянуть об удачном разрешении проблемы искусственного получения каучука); наконец, что обычно обозначаемые словом „растяжение“ заметные деформации винтообразно изогнутых пружин, трикотажных изделий, веревок и т. п. представляют, в сущности, вовсе не растяжение, а гнутие, нередко осложняющееся кручением.

По всем этим соображениям, не стоит тратить много времени на изучение растяжения; лучше сохранить его для более подробной проработки других деформаций, имеющих большое производственное значение.

Изучение сжатия вновь заставляет обратить внимание на „продольный прогиб“, о котором уже была речь в VI классе; здесь можно дать элементарную теорию этого явления. Легко показать путем простого сложения и разложения сил, почему „продольный прогиб“ так легко возникает при сжатии и никогда не возникает при растяжении (см. черт. 6); это—одна из жизненных задач, поясняющих значение правила сложения сил. При изучении сдвига и среза интересно использовать незадолго перед тем проработанный отдел „простых машин“, например: подсчитать прочные размеры болта, на котором вращается рычаг, несущий такой-то груз, или простого

Черт. 6

заклепочного соединения; прочные размеры зуба на зубчатом колесе или винтового нареза; при изучении кручения — прочные размеры вала и т. п. Богатый материал по сопротивлению материалов, применительно к старшему возрасту, можно найти в книгах Фадеева („Элементарная механика“) и Левинсона („Техническая механика“).

При изучении кручения желательно, во всяком случае, установить опытным путем не только качественную, как в I концентре, но и количественную зависимость прочности от радиуса. Угол закручивания прямо-пропорционален закручивающему моменту, пропорционален длине проволоки и обратно-пропорционален четвертой степени радиуса.

Опытная установка для лабораторного исследования этой зависимости дана В. В. Лермантовым (описание см. Хвольсон, т. I); не трудно по тому же принципу построить и упрощенный прибор, применяя вместо проволок деревянные цилиндрические стержни. На испытуемый стержень наглухо набивается (с клеем) кружок из доски, диаметром в 20 см; испытуемый стержень кладется горизонтально на три подставки так, чтобы одна из подставок была расположена посередине стержня, а две другие — у концов его, по схеме чертежа 7. При помощи деревянного ярма, прижимаемого к подставке шурупами, можно неподвижно зажать либо свободный конец стержня, либо его середину; по окружности колеса А прокладываем тесьму, свободный конец которой нагружаем гирями, создавая таким образом закручивающие моменты; таких приборов надо иметь не менее двух, со стержнями из одинакового материала, но различного диаметра; угол закручивания отсчитывается по указателю с. При изучении гнутия во II концентре необходимо установить опытным путем кубические зависимости от длины и высоты. Способ лабораторного исследования описан в „Лабораторных занятиях“ П. А. Знаменского (вып. 3-й, изд. 1927 г., стр. 57); та же установка, если ее проводить с линейками или брусками достаточно крупных размеров, вполне пригодна и для классной демонстрации; необходимо только взять шкалу с достаточно крупными делениями и принять меры к весьма интенсивному освещению установки. Легко заметить, что стрела прогиба тонкой линейки при нагрузке около 1/2 кг получается около 8 см; для той же линейки при той же нагрузке и вдвое меньшем расстоянии между опорами — около 1 см; для линейки двойной толщины при полной длине —также около 1 см; для линейки двойной толщины и половинной ширины — около 2 см; как легко видеть, эти данные укладываются в зависимости вида Д = с ^ , где Д—стрела прогиба, / — длина балки между опорами, р — нагрузка, h — высота балки, b — ширина, с — коэфициент пропорциональности; отсюда имеем для деформирующего усилия р или для равной ему реакции балки R — выражение : /?0 = у Д. Полагая Д — 1, получаем характеристику сопротивления прогибу для данной балки в виде: /?=— * cl*

Опыт выходит отчетливо; надо только: 1) иметь хорошие линейки — вполне равномерной толщины и без всяких пороков в древесине; 2) избегать слишком больших нагрузок; 3) не держать линейку в деформированном состоянии в течение продолжительного времени; 4) хранить линейки в сухом месте, не допускать использования их не по назначению. При хранении линейки должны лежать на ровном месте.

Одинаковый и взаимно-обратный характер зависимости сопротивления прогибу от длины и от высоты позволяет объяснить, почему при устройстве перекрытий или оболочек приходится увеличивать толщину пропорционально размерам перекрываемого пролета; почему стенки пушек приходится делать более толстыми, чем стенки ружей? каким образом водомерное стекло выдерживает без разрыва огромное давление пара в котле; вопрос, обычно возникающий при демонстрации известного опыта над критическим состоянием эфира, почему не лопается тонкостенная ампулка, если там, действительно, такое сильное давление, и многое тому подобное.

Элементарная теоретическая мотивировка этих необычных зависимостей удачно дана Гримзелем в I т. томе его курса (вып. 1-й, стр. 198—199 по изд. 1931 г.). Напомним вкратце приводимые зависимости: а) тройная зависимость от длины: 1) удлиняется плечо деформирующего усилия; 2) увеличивается длина деформирующих участков и 3) свободный конец балки действует подобно

Черт. 7

длинному указателю — его перемещение пропорционально его длине; б) тройная зависимость от высоты: 1) увеличение плеча упругих сил; 2) увеличение удлинения, соответствующего тому же искривлению балки; 3) увеличение числа деформированных слоев.

Трудный вопрос о распределении растяжений и сжатий в деформированной балке и о положении „нейтрального сечения“ очень легко иллюстрируется таким образом: длинную полосу плотной бумаги складывают мелкими складками, подобно меху гармошки (черт. 8 а и б); если затем эту гофрированную полосу прогнуть, то по расположению складок легко различить места, растянутые, сжатые и не испытавшие деформации.

Исходя из того факта, что при гнутии деформируются, главным образом, наружные части балки, а внутренние заметной деформации не испытывают, легко заключить, что когда надо усиливать балку, выгоднее усиливать края, чем срединные части; отсюда — выгодность двутавровых, коробочных и трубчатых балок, которую легко подтвердить рядом демонстраций на деревянных моделях.

Здесь полезно повторить опыты, указанные выше, увязывая их с только что проработанными элементами теории и приводя возможно большее число разнообразных примеров из области строительного искусства, машиноведения, бытовой практики и из окружающей природы. Попутно следует отметить, что деформации прогиба, вообще говоря, обнаруживаются легче, чем деформации растяжения и сжатия (можно попытаться даже обосновать это положение, исходя из геометрических соображений и основных законов статики); отсюда—тенденция заменять работу на прогиб работой на сжатие или на тягу, заметная во многих технических конструкциях: значение различных подпорок, раскосов, оттяжек и т. п.; тот же момент можно отметить и в конструкции свода, прочность которого определяется прочностью на сжатие его клинообразных элементов. Вопрос о прочности частей конструкции логически приводит к вопросу о прочности соединений, откуда опять развивается ряд практически ценных задач на определение нагрузок отдельных связей, на вычисление деформирующих и сопротивляющихся моментов и т. п. На этом материале превосходно конкретизируются различные положения статики, интереснейшим образом переплетаясь с задачами геометрии и тригонометрии, с одной стороны, и непрерывно опираясь на данные из учения о сопротивлении материалов — с другой. В частности, здесь неизбежно возникает вопрос о „жестких“ и „нежестких“ соединениях, которому также следует уделить известное внимание. Богатый материал по всем этим вопросам дан у Я. И. Перельмана („Занимательная механика“, „Знаете ли вы физику?“, „Новый задачник по геометрии“ и др.).

При более подробном изучении деформаций нельзя не обратить внимание на недостаточную определенность терминологии, встречающейся в этом отделе, и на большое различие в обозначениях, применяемых для описания одного и того же свойства в научно-технической и обыкновенной, „разговорной“ речи. Так, в обыденной жизни мы называем „очень упругими“ такие тела и вещества, которые в науке характеризуются малым значением модуля Юнга (т. е. характеризуются малой упругостью). Иными словами, под словом „упругость“ в быту разумеют „способность заметно поддаваться деформирующим усилиям, не перехсдя предела упругости“, тогда как в науке и технике, наоборот — „способность сопротивляться деформирующим усилиям“. Заметим, что объективной мерой „упругости“ в бытовом смысле этого слова может служить для случаев растяжения отношение у, где Д/ наибольшее значение приращения длины /, при котором еще не достигается предел упругости, а для гнутия — отношение^, где d— толщина стержня, а R— средний радиус искривления, при котором изгиб еще не переходит в остаточный*;

Черт. 8

* Легко показать из геометрических соображений, что для одного и того же материала эти отношения равны между собою; таким образом, каждое из них является достаточной характеристикой пригодности данного материала для изделий, от которых требуется растяжимость или гибкость (производство изделий из листовых металлов, проволоки; гнутая мебель, корзины, текстильные изделия, обувь, приводные ремни и многое другое).

значение этих характеристик, во многих случаях вполне четко определяющих производственную ценность материала, не отмечается в учебниках и никто на нее внимания не обращает; едва ли такое отношение можно признать правильным.

Кстати о твердости. Имея в своем распоряжении описанный выше рычажный пресс, можно очень легко поставить простую работу, дающую возможность получить более или менее объективную характеристику твердости древесных пород, понимая под словом „твердость“ сопротивление смятию, имеющее большое значение для оценки технических достоинств испытуемого материала. Опыт ведется так: на образец данного сорта древесины кладем стальной шарик (от подшипника), диаметром 10—12 мм, и надавливаем рычагом с определенной силой (например 50 или 100 кг). По прекращении нажима на дереве остается вдавленный след, размер которого тем больше, чем мягче данная порода дерева. Располагая испытанные образцы в ряд по размерам полученных отпечатков, получаем характеристику их относительной способности противостоять снашиванию, а тем самым — и объективную оценку их технической пригодности.

Очень наглядно обнаруживается таким способом различие в твердости одного и того же сорта дерева при давлении вдоль волокон и перпендикулярно к волокнам, а также различие в твердости различных частей древесины хвойных пород (сердцевина и заболонь сосны, прямослойные участки древесины и участки, ближайшие к сучкам и т. п.).

При современной перегрузке программы VIII класса на проработку учения о сопротивлении материалов едва ли возможно отвести больше чем 4 часа, в крайнем случае — 6 часов; таким образом, знакомство с этими важнейшими по своим практическим приложениям вопросами окажется, по необходимости, очень беглым и поверхностным. Тем более необходимо использовать все возможности для пополнения этих сведений другими путями, широко используя для этой цели работу учащихся в школьных мастерских, производственную практику, экскурсии, внеклассные занятия, самостоятельное чтение и т. п.

Особенно хочется отметить один путь пропаганды технической грамотности, до сих пор остающийся в глубоком пренебрежении в нашей школе, а именно: надо принять все меры к тому, чтобы вся обстановка, окружающая ученика в школе, давала ему пример грамотного, возможно более совершенного решения всех встречающихся в его практике технических вопросов. К сожалению, мы до сих пор, как правило, не наблюдаем в этом направлении сколько-нибудь планомерной работы. Скрипучая мебель, деформирующаяся при всяком движении; прогибающиеся доски амфитеатров (где таковые имеются) — до сих пор довольно обычное явление в нашей школе: что же касается учебных пособий, которые должны были бы быть образцом совершенства в указанном смысле, то здесь зачастую царит такая небрежность в подборе частей, в способах креплений и т. п., которую никак нельзя назвать иначе, как пропагандой технической безграмотности. Вспомнить хотя бы такую картину, достаточно знакомую всякому, кто наблюдал за школьными кабинетами: школьный электромагнит куплен, ради экономии, без подвесной рамы; когда пришла пора показывать его классу — никаких подходящих приспособлений для подвешивания не отказывается. И вот — мобилизуется „универсальный“ многострадальный штатив Бунзена, и к одному из пальцев лапки или к кольцу обрывком веревочки или гибкого провода подвязывается тяжелый электромагнит, к нему прикладывается якорь, на него вешаются гири, все скрипит, все перекошено, но все-таки, к удивлению, не разваливается... Интересно было бы хоть примерно „прикинуть“, каковы деформирующие моменты, действующие при этом на крепления муфты, на нижний винт и т. п.

Еще большие „перлы“ в этом смысле случается наблюдать среди самодельных пособий, нередко даже тех из них, которые изготовлены самим преподавателем. Какая-нибудь рама, у которой углы крепятся одним гвоздем, заколоченным сквозь перекладину в торец стойки — далеко не исключительное явление среди этих приборов, часто интересно и талантливо задуманных... Все это указывает на то, что мысль преподавателя не отзывается на вопросы прочности, что он их считает „мелочами“, не заслуживающими внимания. Вот с этим явлением пора начать борьбу в нашей политехнической школе; это — пережитки старого, отрыв теории от практики, противоречие между „политехнизмом“ на словах и первобытной кустарщиной на деле.

О ГРАФИЧЕСКОМ СПОСОБЕ ИЗУЧЕНИЯ РАВНОМЕРНОПЕРЕМЕННОГО ДВИЖЕНИЯ

Н. РУТКЕВИЧ (ст. Моспино)

Изучение II концентра физики в последних классах полной средней школы или в техникумах начинают с механики, с кинематики.

Это совершенно естественно.

Во-первых, механическое движение является простейшим видом движения и входит составной частью в иные формы движения. Поэтому более обстоятельный разбор требует количественного анализа и установления четкой системы единиц измерений, основы которой устанавливаются в механике.

Но по единодушному признанию преподавателей изучение механики в VIII классе средней школы или на I курсе техникума упирается в недостаточный уровень математических знаний учащихся.

Вследствие этого уже на первых шагах изложения механики при рассмотрении равномерно-переменного движения преподаватель встречает ряд затруднений, особенно во время решения задач.

Решение задач на равномерно-переменное движение требует, во-первых, четких навыков в пользовании математическими формулами и, во-вторых, умения решать квадратные уравнения и системы уравнений второй степени. Ни первым, ни вторым учащиеся в достаточной степени еще не овладели. Вызывает сомнения у учащихся и вывод самой формулы пути при равномерно-переменном движении.

(1)

Общепринятым на сегодня приемом является вычисление пути при посредстве средней скорости. Но утверждение: „Так как при равномерно-переменном движении скорость возрастает равномерно, то средняя скорость данного движения 1/срд за время t будет равняться среднему арифметическому начальной и конечной скорости

(2)

не является для учащихся достаточно убедительным.

Гораздо выдержаннее и удобнее является вывод этой же формулы путем графическим, при помощи графика скорости, как это делается хотя бы в учебниках Михельсона или Соколова („Физика для педтехникумов“). Но в этих учебниках графический прием появляется только при выводе формулы и не применяется в дальнейшем при решении задач и упражнений.

А между тем применение графического метода чрезвычайно упрощает самые способы решения задач и делает возможным решение всех типов задач на равномерно-переменное движение уже в самом начале VIII класса средней школы или I курса техникума.

Не касаясь деталей самого вывода формулы

графическим путем, о котором можно прочесть хотя бы в учебнике Соколова, напомним, что графический метод приводит вычисление пути при движении равномерном к построению графика скорости по формуле

V — const (4)

и к нахождению площади прямоугольника, образованного прямою скоростей, ординатами начала и конца пути и осью времени.

Точно так же путь при движении равномерно-переменном вычисляется при помощи графика скорости, построенного по уравнению

v=v0+at, (5)

и численно равен площади трапеции, образованной тою же прямою скорости, ординатами начала и конца пути и осью времени.

Из сказанного ясно, что при решении задач на равномерно-переменное движение графическим способом учащиеся должны хорошо усвоить построение графиков скорости, в частности твердо запомнить, что при равномернопеременном движении этим графиком служит прямая, наклонная к оси времени.

Теперь же покажем, как применяются указанные нами выше правила к решению задач. Возьмем образцы решения задач, приведенные в учебнике Соколова, и сравним приведенное там аналитическое решение с предлагаемым нами решением графическим.

Задача 1. Поезд, идя по горизонтальному направлению равномерно со скоростью 36 км\час, переходит (под гору) на равномерно-ускоренное движение и проходит путь в 600 m, имея конечную скорость в 45 км\час. Найти ускорение и время спуска.

Аналитическое решение (взято из учебника Соколова). Дано:

Найти: a, t.

Данные величины подставляются в формулы

Решаем эту же задачу графически. Строим график скоростей, причем точное его построение необязательно, достаточно провести прямую, наклонную к оси времени (черт. 1).

Черт. 1

По правилу вычисления пути равномернопеременного движения площадь трапеции OKMN равна 600 единиц. Основания той же трапеции равны одно 10 и второе 12,5 единиц, неизвестную высоту обозначаем через x и получаем уравнение:

Вместо системы уравнений второй степени дело свелось к нахождению площади трапеции и к решению одного уравнения первой степени.

Задача 2. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 18 м\сек% поднимается на подъем равномерно-замедленным движением и через 1 минуту имеет скорость 10 м\сек. Найдите ускорение и путь подъема.

Решение аналитическое (взято из учебника Соколова).

Дано:

v0 = 18м/сек; vt=\0 м\сек; t = 60 сек; Найти а, 5.

Решение графическое. Строим график скоростей (проводим прямую, наклонную к оси времени). По правилу, указанному в предыдущей задаче, площадь трапеции OKMN (черт. 2) численно равна искомому пути:

Черт. 2

Поэтому

Задача 3. Начальная скорость z>0 = 0, ускорение а = 980 см)сек2. Найти скорость в конце пути £*=10л*.

Решение аналитическое (взято из учебника Соколова) :

Решение графическое. Строим график скоростей, помня, что v0 = 0. На расстоянии OD = 1 от начала координат (черт. 3) проводим в треугольнике О AB прямую CD \\ AB. Треугольник О DC подобен треугольнику О AB

и площадь его равна -^- = 490 единиц, так как один из его катетов OD =1 и другой CD = a = 980. Площади подобных треугольников относятся, как квадраты сходственных сторон, следовательно:

Черт. 3

Из разобранных примеров становится очевидным, что применение графического метода весьма упрощает технику вычислений в задачах на равномерно-переменное движение.

Кроме того, применение графического метода при изучении равномерного и равномерно-переменного движения чрезвычайно облегчает пользование этим же методом в дальнейших разделах курса. Недаром авторы „Методики преподавания физики в средней школе“ усиленно рекомендуют при проработке первой главы механики в VIII классе „максимально использовать графические представления“*.

В моей двухлетней практике изучение равномерно-переменного движения при помощи графического метода дало во многих параллельных классах весьма положительные результаты.

При этом я совершенно не думаю снижать значение аналитического исследования равномерно-переменного движения. Это аналитическое исследование перестает быть единственным видом изучения равномерно-переменного движения и усиливается исследованием графическим.

ПРИБОР ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ЗАКОНА ЦЕНТРОБЕЖНОЙ СИЛЫ

Н. ПЛАТОНОВ (Ленинград)

Прибор представляет собой (черт. 1) довольно массивное (со значительным моментом инерции, горизонтально поставленное колесо на шариковом ходу.

В отверстие оси колеса вертикально вставляется длинная плеская железная полоса, которая в месте вставки зажимается винтом.

В верхнем конце полосы, перпендикулярно к ней, вставлен стерженек, выставляющийся концами в противоположные стороны.

На эти концы стерженьков подвешиваются с противоположных сторон два треугольника из фанеры, на которых краской начерчены два равнобедренных треугольника, имеющих каждый основание 10 см -|- 10 см и высоту 10 см, как показано на чертеже 2. В вершинах начерченных треугольников сделаны отверстия.

В отверстие, ближайшее к вершине прямого угла, вставляется втулочка, поджимаемая винтом и просверленная по оси. Такое устройство позволяет надеть треугольник втулочкой на стерженек. К одному из нижних отверстий

Черт. 1

* Знаменский, Кельзи, Челюсткин — «Методика преподавания физики в средней школе», изд. 1934 г., стр. 152.

начерченного треугольника (правому) к концу его основания поднимается цилиндрический груз (поджимная гаечка сзади и не видна на рисунке).

Совершенно такой же треугольник подвешивается в симметричном положении с другой стороны железной полосы к противоположному концу стерженька.

Передние стороны треугольников выкрашены белой краской (линии на ней черные), а задние — черной краской.

ОПЫТ 1

Легкими касательными ударами заставляют колесо прибора прийти в движение. Как только прибор стал вращаться, треугольники начинают поворачиваться, так как подвешенные грузы развивают центробежную силу.

Экспериментатор стремится достигнуть такой скорости вращения, при которой треугольники стали бы в симметричное положение и покрыли бы друг друга. Это очень легко удается при навыке благодаря большей инерции колеса.

Как уловить момент покрытия треугольниками друг друга?

Легко заметить что если скорость прибора мала, то с правой стороны виден узкий черный край противоположного треугольника (его задняя сторона); если скорость велика, то такой же черный край появляется с левой стороны. Поэтому надо давать легкие толчки колесу с таким расчетом, чтобы черных краев не было ни с правой, ни с левой стороны.

Положим теперь, что надлежащая скорость достигнута. Тогда в этот момент сами поддерживающие груз треугольники перестают играть какую-либо роль в условиях равновесия в силу симметричности расположения их точек относительно вертикальной оси.

В самом деле, если какая-либо точка треугольника отбрасывается от оси с некоторой силой, то симметричная ей точка на том же треугольнике отбрасывается с такой же силой в противоположную сторону и действие этих сил взаимно уничтожается. Остается только влияние самого груза.

Сравнение подобных треугольников (черт. 2) О PR и ОС M убеждает нас в том, что центробежная сила F и сила веса Р равны. Если Р= 200 г, то и F =200 г.

Достигается это в описанном приборе при 94 оборотах в минуту.

Наблюдение производится так: экспериментатор поддерживает толчками надлежащую скорость прибора. Один из присутствующих отсчитывает время по часам, громко подавая три сигнала: первый сигнал—„приготовьте“ (за 5 секунд до начала счета оборотов); второй сигнал—„считайте“ (начало минуты); третий сигнал—„сколько?“ (конец минуты). Остальные присутствующие считают про себя обороты, следя за движением небольшого флажка на верху железной полосы (одна сторона флажка белая, другая черная), причем каждые 10 оборотов отмечают загибанием одного пальца, чтобы не сбиться со счета (для первого опыта, где число оборотов 94 в минуту; в остальных опытах, где число оборотов менее, например, 47 или 67, оно отсчитывается непосредственно без затруднений).

ОПЫТ 2

Снимают два описанных выше треугольника и заменяют их треугольниками другого размера (черт. 3). Здесь основание равнобедренных треугольников 10 см -f-10 см, а высота 40 см.

Повторяют опыт в том же порядке.

Надлежащее положение треугольники принимают при 47 оборотах в минуту.

Сравним результаты первого и второго опыта. Радиусы вращения грузов в первом и втором опыте были одинаковы, именно 10 см, но числа оборотов — разные. В первом опыте было 94 оборота, во втором — 47. Следовательно, линейная скорость во втором случае была вдвое менее (при том же радиусе). Но во втором опыте центробежная сила была равна j веса, т. е. F=^P^ что видно из сравнения подобных треугольников OPR и

Черт. 2

Черт. 3

ОСМ на чертеже 3, а в первом опыте она была равна весу гирьки, т. е. F=P.

Отсюда ясно, что центробежная сила прямо-пропорциональна квадрату линейной скорости.

ОПЫТ 3

Надевают два новых треугольника, на которых начерчены треугольники такого размера: основание 20 см + 20 см, а высота 40 см.

Повторяют опыт. Надлежащее положение треугольники принимают при 47 оборотах в минуту (черт. -4).

Черт. 4

Сравним результаты первого и третьего опыта.

В первом опыте радиус описываемый окружности был 10 см и оборотов было 94 в минуту; в третьем опыте радиус окружности был 20 см и оборотов было 47 в минуту. Отсюда следует, что пути, пройденные гирьками за минуту, и следовательно, линейные скорости вращающихся грузов были одинаковы, но радиус в третьем опыте вдвое более, а центробежная сила вдвое менее: F= у Р, чго видно из подобия треугольников OPR и ОСМ на чертеже 4.

Отсюда видно, что центробежная сила обратно-пропорциональна радиусу.

ОПЫТ 4

Надевают два треугольника, которые служили для первого опыта, и заменяют грузы другими, например вдвое меньшими. Повторяют опыт (черт. 5). Число оборотов получается попрежнему 94.

Это убеждает нас в том. что центробежная сила пропорциональна массе. Как показывает чертеж 5, при новых массах появляются силы не Р и F, а ^ Р и у/^, соотношение же сил прежнее, поэтому и число оборотов прзжнее.

Черт. 5

Во всех перечисленных опытах сила веса Р и центробежная сила F дают равнодействующую /?, проходящую через точку опоры, которая и уравновешивается сопротивлением точки опоры.

Все вместе взятое вполне оправдывает известную формулу для центробежной силы:

Сделаем в ней некоторые преобразования. Ясно, что г/ = — , где Т период обращения, но Т=— , где п—число оборотов.

Отсюда

Воспользуемся этой формулой для вычисления оборотов для треугольников другого размера.

ОПЫТ 5

Берем треугольники размера: основание 10 см-{-10 см, высота 20 см.

Этот случай будет аналогичен опыту третьему, F=-^P и в том и в другом случае.

Поэтому имеем:

4/mi2.20.472 = 4/итг2.10. х2,

отсюда, после сокращения, х=67.

Проверяем это на опыте. Действительно, число оборотов получается 67.

ОПЫТ 6

Берем треугольники размера: основание 20 + 20 см, высота 20 см.

Этот случай будет аналогичен опыту первому, F=P и в том и в другом случае.

Поэтому имеем:

4ютт2 -10 - 942 == 4/ятт2.20 • л:2,

отсюда, после сокращения, имеем лг = 67. Проверяем это на опыте. Действительно, число оборотов получается 67.

ОПЫТ 7

Берем треугольник размера: основание 40 см -f- 40 см, высота 20 см.

Этот случай будет аналогичен опыту первому, F=P и в том и в другом случае.

Поэтому имеем:

4/ятг2 -10.942 = 4/ятт2 • 40 • х2,

отсюда л: = 47, что и подтверждается опытом.

Достоинства прибора следующие:

1) Все измерения сводятся к счету числа оборотов в минуту, так как линейные размеры треугольников, а следовательно и соотношение сил Р и F, заранее даны.

2) Влияние каждого фактора — скорости, радиуса и массы — учитывается отдельно.

3) При выводг закона приходится ссылаться не только на положение статики (параллелограм сил), ввиду этого самый прибор можно было бы назвать „динамическими весами“.

4) Центробежная сила выражается при этом в единицах веса, что удобно для понимания учащихся с небольшой подготовкой.

5) Первый опыт дает практически условия, при которых центробежная сила равна весу те а (при 94 оборотах в минуту). Отправляясь от условий этого опыта и установивши влияние каждого фактора в отдельности, легко перейти к расчетам для какого угодно случая.

6) Симметричный подвес треугольников обеспечивает при всех скоростях отсутствие вибрации оси и, следовательно, спокойный ход прибора.

7) Счет оборотов всеми присутствующими делает опыт коллективным и равно заинтересовывает всех в нем участвующих.

8) Число оборотов в минуту для первого опыта (94) можно и предвидеть. Для него мы имеем mg=AizimRn2, где п— число оборотов в секунду.

Отсюда :

а в минуту:

Считая ^=980, /? = 10 (для этого опыта), найдем, что N = 94,53, т. е. около 94.

МАЛЫЙ ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ СТОЛИК

(Основное пособие по классной демонстрации)

Б. ЯКОВЛЕВ (Ленинград)

Этот столик служит для постановки очень многих демонстраций по физике и с большим успехом может быть использован на уроках других предметов, как, например, географии и изобразительных искусств. Поэтому он должен быть по праву отнесен к основным учебным пособиям всякого кабинета.

В методической литературе по физике идея малого демонстрационного стола не нова; ее пропагандировал Н. С. Дрентельн, указывая на многообразие применений и целесообразность такого пособия. У Н. С. Дрентельна малый демонстрационный столик служил продолжением большого демонстрационного стола и своей массивностью напоминал главный демонстрационный стол, хотя и мог передвигаться на четырех колесиках.

Предлагаемый мною столик есть столик легкий и небольшой — скорее четырехногий подвижной штатив для установок, которые необходимо приближать и удалять, поворачивать, наклонять и пр. в процессе его использования.

Столик этот снабжен четырьмя прочными ножками с колесиками на резиновом ходу с поворотным приспособлением. Нижняя крышка столика размером 60X40 см, неподвижная с большим круглым вырезом, диаметром около 24 см, для установки опытов, где требуется нижнее освещение. Верхняя крышка подвижная, несколько большего размера (65X45X2,5 см), с небольшой круглой дырой в середине, шарнирно соединена с нижней и должна откидываться на 270°, когда для опытов нужна нижняя доска с большим круглым вырезом.

Верхняя доска при помощи винта может устанавливаться под некоторым углом к гори-

зонту (около 10—15°), смотря по надобности. Высота столика должна быть около 100— 105 см. Верхняя доска, откинутая на 180°, может в этом положении закрепляться путем подведения под нее двух опорных брусков, и тогда площадь стола увеличивается в два раза.

Перехожу к применению вышеописанного столика.

1. Установка проекционного фонаря. На верхнюю доску столика накладывается поворотный круг, диаметром около 30 см и толщиной 1—2 см, с отверстием в центре, равным утолщенной части ступенчатого болтика (см. чертеж); на поворотный круг накладывается длинная доска (около 220 см) с закраиной и двумя круглыми дырами, равными утонченной части болтика, так, чтобы в одну из дыр прошел болтик. На длинную доску устанавливается проекционный фонарь и оптическая скамья. Установленная таким образом проекционная система обладает решительно всеми необходимыми ей движениями: она может быть придвинута к экрану, повернута, наклонена под углом до 10—12°, что совершенно достаточно (черт. 2).

2. Установка для демонстриро вания волн. Кювету с стеклянным дном ставят на круглое отверстие в нижней крышке стола, а под ней на полочке, имеющейся у столика, или прямо на полу — точечный источник света; на ножки столика натягивают черную материю. Изображение волн можно отбросить на экран, установив верхнюю крышку столика под углом около 45°, предварительно укрепив на нем отражающее зеркало.

Черт. 1

3. Установка вращательной машины с трубчатой осью для пропускания через ось нити, к которой подвешивается груз. Иногда бывает нужно иметь в центре вращения неподвижный указатель, укрепляемый на разных высотах. Здесь опять описываемый столик оказывает неоценимую услугу благодаря отверстию в середине крышки.

Черт. 2

Я описал три установки, где необходимость пользования малым демонстрационным столиком оспариваема быть не может. Можно указать массу иных установок как по физике, 1ак и по географии, изо и даже по математике, где он, если и не необходим, то очень желателен.

Вывод напрашивается сам собой: малый передвижной демонстрационной столик должен быть включен в число основных учебных пособий всякой школы и в производственную программу промышленных предприятий, обслуживающих школу.

А. В. ЦИНГЕР

Очерк жизни и деятельности

И. СОКОЛОВ (Москва)

24 декабря 1934 г. в Берлине скончался после мучительной болезни, начавшейся еще в 1917 г., Александр Васильевич Цингер профессор физики, выдающийся педагог и автор многих книг, из которых две получили широкую известность далеко за пределами нашей страны. Таковы знаменитая „Начальная физика“ и единственный в литературе по своему характеру сборник „Задачи и вопросы по физике“. Не будучи ни монопольной, ни даже рекомендованной дня бывших средних школ, „Начальная физика“ еще в царские времена, когда был тонок образованный слой населения, разошлась в сотнях тысячах экземпляров; к 1928 г. ее выпуск перешел за миллион, а к настоящему времени, считая переводы с русского на другие языки, число выпущенных экземпляров — к двум миллионам.

Произошло это потому, что „Начальная физика“ не только учебник. Она научно-художественное произведение. Заслуга А. В. Цингера состоит в том, что он этими двумя своими книгами учил десятки миллионов читателей любить физику и понимать физические явления.

А. В. принадлежал к семье, которая в нескольких поколениях и во многих представителях отличалась талантливостью, чрезвычайной, многогранной и бурно проявлявшейся.

Ярким представителем талантливости семьи был отец А. В.—Василий Яковлевич Цингер. Выдающийся профессор математики Московского университета, он, по словам его биографа проф. Андреева, первым ввел в преподавание в Московском университете новый тогда курс проективной геометрии и был, по словам того же биографа, основателем московской геометрической школы. В то же время он много лет занимался систематикой растений, в результате чего появился том в 500 страниц под заглавием: „Сборник сведений о флоре Средней России“, заключавший около 350 совершенно новых коллекций и высоко ценимый специалистами.

Дядя А. В. — Николай Яковлевич Цингер — выдающийся специалист по теоретической астрономии. Одну из склонностей отца Цингера — ботаническую — наследовал брат А. В. — Николай Васильевич, профессор ботаники в Киевском университете.

Александр Васильевич сделался физиком.

Хотя физика сама по себе представляет чрезвычайно обширную область, интересы А. В. не замыкались в ее необъятных границах. Его привлекала и живая природа.

Ботанические интересы, которым А. В. отдавался всю жизнь, привели его к созданию в последние годы его жизни „Занимательной ботаники“.

Интерес к ботанике он сохранил до последних дней. В письме из Берлина от 17 июня 1931 г, он, с трудом уже передвигавшийся от болезни, пишет: „Собрался

А. В. Цингер (1910 г.)

съездить на другой конец Берлина, в Естественно-исторический музей, чтобы поискать нужных объектов из области ископаемой ботаники“.

Занятия его зоологией дали ряд статей в журналах, например: „В мастерской природы“ за 1926; мы знаем еще и другие работы, написанные А. В. под влиянием этих интересов.

Если взять сборник „Задач и вопросов по физике“, то мы должны будем признать, что в нем заключена целая энциклопедия знаний, причем эти знания собраны не какими-то крохоборческими способами, а наоборот, взяты широко и преподнесены с большим вкусом.

А. В. чувствовал всю природу в целом. Но он подходил к природе не только с мерками ученого; он был, кроме того, художественной натурой, он умел понимать красоту природы и умел ее воспроизводить в ее художественной форме.

А. В. Цингер родился в Москве 16 марта 1870 г.

Учился он в 1-й гимназии. Одно побочное обстоятельство показывает, что Александр Васильевич не был усердным учеником — он окончил гимназию 20 лет. Это объясняется и тем, что он учился в эпоху толстовско-деляновской школы.

Но когда Александра Васильевича коснулась живая преподавательская мысль, он, подобно своему отцу, встрепенулся. Когда А. В. встретился с известным преподавателем математики и физики Д. Д. Галаниным (старшим), то этот интересный преподаватель привлек А. В. к своему предмету, и мы знаем, что А. В. начал посещать на дому преподавателя Галанина.

Интересы А. В. были направлены также и в область искусства. Еще гимназистом 19 лет он выступал в спектакле в доме Л. Н. Толстого. Как в это время, так и до конца жизни художественная струя у А. В. била очень сильно. Этот интерес к театру и литературе сделал А. В. близким другом Московского Художественного театра и причастным к кругам русской литературы.

По окончании гимназии А. В. поступает в Московский университет. Если гимназия времен А. В. была скучным местом, то физико-математический факультет Московского университета того времени переживал свои славные дни. В нем работала целая плеяда замечательных профессоров: математики — Бугаев, В. Я. Цингер, Млодзиевский, Некрасов; механик Е. Н. Жуковский, физики: Столетов, Умов и астроном Церасский. В таких условиях начал А. В. свою работу, и здесь уже проявились его талантливость и способности.

В 1894 г. в январе происходит IX съезд естествоиспытателей и врачей. Студентом IV курса А. В. принимает в этом съезде самое горячее участие: он является одним из распорядителей-студентов на этом съезде. Но кроме физики, его тянет и в сторону литературы. Он идет к Л. Н. Толстому и уговаривает его приехать на одно из заседаний съезда, на то самое заседание, на котором В. Я. Цингер выступил со своей известной речью.

Чтобы дальше не возвращаться к этой постоянной живой связи А. В. с деятелями литературы, я теперь же отмечу, что А. В. постоянно заинтересовывал Л. Н. Толстого различными вопросами физики. Известно, что, когда впервые в Москве был получен жидкий воздух, А. В. с сосудом жидкого воздуха отправляется на квартиру Л. Н. Толстого, читает ему и его семье лекцию и проводит демонстрации. Л. Н. Толстой любил эти лекции. Это показывает, как умел А. В. тем огнем, который горел в нем самом, зажигать и других.

В 1894 г. А. В. окончил университет и был оставлен при нем для подготовки к профессорскому званию.

С этого времени начинается его академическая деятельность в Московском университете, сперва на медицинском факультете, где он вел семинар и читал лекции. Его университетская работа продолжалась довольно долго, и только в тот год, когда в виде протеста против царской политики, против политики министра Кассо ряд профессоров Московского университета вышел из него, вместе с ними оставил университет и А. В. Цингер. Но, кроме этого, он вел академическую работу и в других учебных заведениях.

На курсах Московского общества воспитательниц и учительниц он читал лекции по механике и теоретической физике; руководил лабораторными занятиями по физике и читал курсы термодинамики в Московском училище путей сообщения, впоследствии преобразованном в институт путей сообщения.

С начала учреждения в Москве Высших женских курсов читал на них лекции по теоретической физике до 1919 г.

Когда в Москве в начале XX в. развернуло чрезвычайно широкую деятельность Московское общество распространения коммерческого образования, А. В. был приглашен читать физику на этих курсах.

Когда же это общество приступило к созданию Коммерческого института, носившего,

в отличие от казенных учреждений, либеральный характер, А. В. был выбран заведующим кафедрой физики этого института, и в этой должности создал для Коммерческого института физический институт с замечательно изящной физической аудиторией и богатым физическим кабинетом. В этой аудитории до начала болезни А. В. проходили его лекции по экспериментальной физике, которые он умел обставлять и проводить с необычайным блеском и которые пользовались громадным успехом.

Чтобы покончить с академическою деятельностью А. В. надо упомянуть, что, когда его болезнь заставила его выехать на Южный берег Крыма, он читал лекции по механике в Севастопольском политехникуме, пока в 1922 г. не возвратился обратно в Москву.

Наравне с академической деятельностью с самого окончания университета началась и педагогическая деятельность А. В. в средней школе, сперва в Александровском, затем Алексеевском коммерческих училищах и в Александро-мариинском институте.

Эти училища послужили для него большой школой, которая выковывала его методические идеи, позднее осуществленные в его знаменитой книге. Когда А. В. вступил на поприще преподавателя физики, он выступил бунтарем против того строя преподавания физики и вообще против того строя, который в то время существовал в школе. Несмотря на то, что уже и тогда появились отдельные представители-новаторы преподавания физики, в этой области все еще очень сильно царила „меловая“ физика; среди учащихся было распространено мнение, что физика заключается в шкафах физического кабинета. А. В., со своим чутьем физики во всей окружающей природе, с таким положением физики мириться не мог, и в своих выступлениях, речах, нападках, в насмешках он начал везде в этом отношении вести борьбу со старым порядком. Но, конечно, эта борьба шла не только на словах,— велась серьезная большая работа. В коммерческих училищах А. В. проверял свои взгляды, установки, демонстрации в ряде параллельных классов и на протяжении многих лет.

В 1899 г. был созван в Москве I съезд преподавателей физико-химических наук Московского учебного округа. А. В. был в числе членов оргкомитета, который подготовил этот съезд. Так как этот съезд впервые объединял преподавателей 11 губерний, которые были до этого совершенно разрознены, и так как к этому времени накопилось очень много новых методических тенденций, — то этот съезд прошел с необычайным подъемом. А. В. со свойственной ему горячностью выступал во многих прениях и, в частности, он сделал доклад об издании практического руководства к выполнению школьных демонстраций.

Следующий период — период создания им книги „Начальная физика“. В 1910 г. появилось первое издание этой книги. Я не могу подробно останавливаться на ее разборе, да и вряд ли это необходимо, так как все мы с ней знакомы. Я позволю себе в некоторых общих чертах дать ее характеристику. До этого времени существовали, конечно, неплохие книги других авторов, но совершенно другого характера: книги Краевича, Малинина и некоторых других. При всех достоинствах они все-таки носили на себе некоторые отрицательные черты — отличались крайней систематизацией материала, математизацией его и детализацией в очень многих описаниях приборов. За этими особенностями: систематизацией, математизацией и детализацией очень часто учащиеся не видели настоящей физики. И вот появляется книга,

А. В. Цингер (1926 г.)

которая порывает со всеми этими традициями, прокладывает новые пути, является результатом личного творчества А. В. и осуществлением тех передовых идей, которые были высказаны на съезде в 1899 г. Прежде всего — ступенчатое расположение материала. Вместо выстраивания материала в одну сплошную линию, здесь идет разбивка его на две ступени. Мы знаем, что эта ступенчатость теперь вошла и в традицию и в самую постановку нашей школы. Вторым крупным шагом является роль демонстраций: вместо дедуктивного вывода законов выдвигается на первый план демонстрация. На этой первой ступени физика ставится на экспериментальную основу: демонстрация находит в книге свое полное выражение, подводит к целому ряду вопросов, описывается в упрощенном виде; выбирается самая сущность физического явления, а затем всеми силами учащийся привлекается к тому, чтобы самому проделывать качественные демонстрации. В конце параграфов указывается ряд вопросов, ряд демонстраций, которые учащийся может проделать, придя домой. Этот сдвиг является и личным направлением А. В. и осуществлением тенденций вышеупомянутого съезда, потому что там прошел тот же лозунг — показать ученику, что физика вокруг нас, а не в шкафах физического кабинета.

Дальше намечается тенденция, которая теперь получила широкое развитие, — это связь физики с производством. 25 лет назад эта связь не могла найти такой развернутой формы, как теперь, но зародыши этого в книге А. В. уже были включены; здесь мы имеем ряд картин, заимствованных из упрощенного производства; затем находим в книге ответ на очень сильную тягу лучших методистов того времени к сближению преподавания физики с ее историей. Этот исторический элемент включен в первом издании. Теперь историзм понимается как выяснение тех влияний, которые оказывает производственная деятельность эпохи на развитие основных идей физики; в его книге мы имеем дело еще с отдельными биографиями, портретами физиков. Все последующие учебные книги приняли эту тенденцию учебника А. В. В этой книге мы имеем еще и другое, очень интересное проявление исторического элемента: снимки с исторических картин, связанных с деятельностью физиков, или снимки с исторических установок, например, установки Паскаля на улице Руано и т. п. Это совершенно новая оживляющая тенденция. Таким образом, исторический элемент, поиски которого уже начались в методической мысли того времени, здесь находит свое значительное место.

Далее я должен отметить качество рисунка. Я не хочу умалять значения рисунков прежних учебников, но роль их в прежнее время была второстепенная — это не был художественный рисунок. В книге А. В. Цингера дело поставлено совершенно иначе: рисунки не заказывались малосведущему чертежнику — они создавались художником, который для этой цели пользовался специальными установками в школе, с них снимал рисунок или делал целый ряд этюдов, пока из них не удавалось выбрать что-либо подходящее. До А. В. никто не работал так над рисунком, нигде рисунок не находился в такой органической связи с текстом, — в этом громаднейшая заслуга книги А. В. Я уже не говорю о художественном изложении. Но нельзя не остановиться на последних 16 страницах этой книги — послесловии. Оно еще до сего времени не превзойдено не только в русской, но и в мировой учебной литературе по своей художественности. На этих 16 страницах А. В. провел ученика через живую природу, показал, как с утра до вечера в условиях домашней обстановки и в природных условиях можно всюду видеть и чувствовать физику. В настоящее время по этому поводу написаны целые книги. Мы знаем, например, книги Пиотровского, но и они не заменят этих 16 страниц.

К сожалению вторая ступень учебника не появилась целиком, а вышла только одна „Механика“. Она написана замечательно хорошо и надо пожелать переиздания ее.

После выхода книги начинается ряд больших успехов А. В. на различных съездах. В 1911 г. происходит съезд преподавателей физики — это был II Менделеевский съезд, на котором была образована дидактическая секция, она очень много в то время поработала над вопросом преподавания физики. А. В., конечно, в ней участвовал, выступал в прениях, и преподаватели, собравшиеся со всех концов страны, устраивали ему шумные овации. На этом съезде он выступал также с историческим обзором учебников физики.

Дальше надо остановиться на деятельности А. В. в московском объединении преподавателей физики, которое сыграло затем значительную роль в жизни А. В. В 1907 г. генерал-губернатором Гершельманом было разгромлено за участие в революции 1905 г. Московское педагогическое общество, в котором А. В. и ряд других преподавателей физики принимали активное участие с первых лет его существования. После этого разгрома

московские физики на несколько лет оказались разъединенными. Затем началось искание способов к объединению и А. В. вместе с пишущим эти строки приступил к организации нового общества физиков. 18 декабря 1912 г. общество открыло свои действия. Во главе его стал всеми уважаемый учитель — профессор Н. А. Умов, а товарищем председателя был избран А. В. Цингер. В качестве товарища председателя А. В. принимал очень большое участие в этом обществе: здесь в особенности он объединил вокруг себя работников этого общества, будил всех к деятельности, постоянно побуждал к работе. Работа развивалась по очень разнообразным направлениям: устраивались популярные лекции для московской учащейся молодежи и издавался журнал. Под редакцией А. В. вышло несколько номеров этого журнала, пока война не заставила прекратить его выпуск. Общество работало и по другим направлениям: по созданию физической библиотеки, по ведению лабораторных занятий. Для этой цели были созданы отдельные комиссии, в которых А. В. принимал горячее участие. В этом обществе А. В. выступал с публичными речами. Такова, например, его речь на собрании, устроенном в память 300-летия с начала телескопического исследования солнца. В последующее время А. В. прочел замечательную речь: „Завоевания науки на службе современной войны“. После смерти Н. А. Умова А. В. выступил с речью „Умов как учитель“.

В 1917 г. произошла революция. Как отнесся А. В. к новому советскому строю? С первых дней работы Наркомпроса в Москве, мы видим А. В., уже больного, в стенах здания Наркомпроса за энергичной работой. Он был привлечен в отдел реформы школы, где быт связан с работой по учебникам. При создании Наркомпросом Педагогической академии он приглашается в состав ее членов первого призыва.

В это же время, только благодаря советской власти, А. В. получает возможность содействовать осуществлению одной своей педагогической мечты, которую он давно лелеял —это организация Центрального физико-педагогического музея. 2 октября 1918 г. А. В. представил интересный доклад об организации физико-педагогического музея, а к 10 декабря положение обо всех отделах музея было уже утверждено коллегией Наркомпроса. Как уже сказано, в 1919 г. болезнь заставила А. В. выехать из Москвы на юг, а в 1922 г. ухудшение его здоровья и характер болезни потребовали заграничного лечения, и А. В. поехал в Берлин. Но и там болезнь прогрессировала, постепенно лишала его возможности двигаться и, наконец, окончательно воспрепятствовала его возвращению на родину. Оторванный от своей страны, он страстно интересовался успехами социалистического строительства и движением педагогической мысли. То он просит сообщить ему сведения по новым электростанциям и по их мощности, то запрашивает о размерах самого высокого советского здания в Москве, для того чтобы ярче отразить в своих книгах героизм социалистического строительства, чтобы установить живую связь книги с тем, что происходит в стране, превратив работу нашей действительности в число задачника, в факты учебника.

К сожалению, в это время его учебник стал отходить на задний план. Позже Госиздат обратился к А. В. с просьбой написать рабочие книги по физике, одну для V и другую для VI класса. Это—тоже замечательные книги: чрезвычайно глубоко понят принцип связи физики с производством, замечательно интересно преподнесена эта связь. А. В. в первой книге искусно вскрывает происхождение суеверий, например, связанных с деятельностью кузнецов, которая заставляла признавать их за своего рода колдунов. Но, к сожалению, обе эти книги попали в такой период, когда программы менялись почти ежегодно — поэтому они не встретили такого распространения, которого заслуживали.

Тяга к связи с нашей страной, с живыми деятелями этой страны заставляла А. В. постоянно жаловаться на то, что так мало ему отсюда отвечали. В одном письме он пишет: „Вообще за последнее время я чувствую себя более далеким и более заброшенным и забытым, чем еще в недавнем прошлом“.

В другом письме он жалуется: „Я последнее время порядочно раскисся от обострения моих недугов в связи с наступлением холодной и сырой погоды, был не в духе и особенно тягостно ощущал, что все меня забыли и никому я больше не нужен“.

Последнее письмо, полученное в сентябре этого года, уже носит гораздо более пессимистический оттенок. Он жалуется, что „болезнь, победившая физические силы, ведет наступление и на умственные“.

Коснусь коротко манеры общения А. В. Цингера с окружающими его. Помимо притягательной силы от его новых исканий, от его умения воплотить новые оригинальные идеи в такие замечательные книги, он действовал на всех окружающих необычайной

личной привлекательностью. Он входил в мелкие интересы своих сотрудников и был чрезвычайно любезен и внимателен. Корреспондент он был совершенно исключительный, с совершенно необычайной аккуратностью отвечал на письма и упрекал своих корреспондентов за неаккуратность в этом отношении.

При всех таких чарах его личности, у него была еще одна черта — сильная ирония. Он был очень насмешливым человеком, но это никогда от него никого не отталкивало, потому что первым объектом самых резких насмешек был он сам. Такой прием мирил с ним тех, кого он задевал в своих насмешках.

Немногие люди, уходя из жизни, оставляют в ней яркий след и дарят своим современникам и потомству свои труды. К таким избранникам принадлежит и А. В.

А. В. Цингер ушел от нас навсегда, но память о нем будет еще долго жить в его замечательных книгах, он будет служить примером того, как надо изучать природу, как надо распространять знания о ней и, в особенности, как надо писать книги.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

„ОБОРУДОВАНИЕ ЛАБОРАТОРИИ ПО ФИЗИКЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ“*

Г. ФАЛЕЕВ (Москва)

За последние годы вопрос об оборудовании физических кабинетов и лабораторий почти совершенно не затрагивался в педагогической литературе, не считая отрывочных статей в специальных журналах и в сборниках методразработок, выпускаемых время от времени методическими институтами. Разрешение вопроса о кабинете и лаборатории по физике было предоставлено самим преподавателям, часто начинающие и малоопытным. Вполне понятно, что при отсутствии руководства преподаватели покупали в магазинах то, что им предлагалось, а магазины с своей стороны продавали часто никуда негодные приборы, заведомый брак, так как .потребители их покупали".

В 1934 г. вышел ряд книг, касающихся оборудования физической лаборатории семилетки. Одна из них выпущена Институтом политехнического образования как пособие для учителей: „Оборудование лаборатории по физике в средней школе", пособие для учителей под общей редакцией Н. В. Нечаева.

Мотивы и цели выпуска этой работы изложены автором в предисловии. „Выпуская настоящую работу. Институт политехнического образования стремится обеспечить школу обоснованными** указаниями по оборудованию лаборатории физики средней школы“—так сообщают в предисловии авторы данной работы.

Чтобы установить планы и „нормы“ оборудования лабораторий-кабинетов, институт провел значительную исследовательскую работу и,наконец, „настоящей работой Институт политехнического образования делает лишь первые серьезные шаги к рационализации оборудования“.

После такого предисловия читатель вправе ожидать от книги: 1) анализа существующих в продаже приборов; 2) серьезных указаний как оборудовать кабинет основными установками; 3) описания и рисунков приборов по новым отделам физики, вошедшим в программу семилетки: по молекулярной теории, электронной теории и электромагнитным колебаниям и, наконец, 4) списка необходимого оборудования, разделенного по очередности приобретения.

К сожалению, ничего этого нет в работе института. Нет даже элементарной согласованности одних частей книги с другими. Очевидно, одни сотрудники работали по одному плану, другие — по другому. В некоторых работах в списках имеются только приборы, в других работах в списки приборов входят и указания по самодельному изготовлению приборов. В одной части книги прибор Гравезанда бракуется как „прибор для преподавания физики начала XIX в.“ (сгр. 6), в другом месте (стр. 27) этот прибор попадает в список рекомендуемых приборов. Таких несогласованностей в книге достаточно. На странице 7 авторы с возмущением говорят о „консервных банках“, дерзко занявших место физических приборов. Несколько дальше консервные банки не только не изгоняются из физического кабинета, но занимают в нем почетное место как основные приборы по калориметрии.

Для изучения оптических явлений рекомендуется и „шайба Гартля" и американская оптическая скамья, известная в русских каталогах как прибор Розенберга. Оба прибора иллюстрируют одинаково одни и те же явления, но, очевидно, одному сотруднику нравится один прибор, а другому— другой.

Работа института разбита на четыре отдела.

В первом отделе авторы анализируют состояние физических кабинетов школы и устанавливают печальную картину состояния кабинетов, заполненных приборами музейного характера, кабинетов, лишенных оборудования для лабораторных работ, пользующихся для своих целей жестянками из-под консервов, бутылками с отбитыми горлышками и доньями. Наряду с этими „приборами“ в физические кабинеты „натаскивалось“ (кавычки авторов) различное случайное оборудование в виде старых машин, их деталей, недоделанных установок, бессистемных коллекций материалов и т. д. „Доказывалось — пишет автор, — что любой производственный объект или механизм не только пригоден, но даже лучше, чем специальные учебные пособия по физике для изучения физических законов“. .Техническое выполнение (покупных приборов.—Г. Ф.) кустарно, конструктивно, безграмотно, качество приборов низко. Такому положению дела должен быть положен конец“,—говорят авторы, и мы, конечно, должны с ними согласиться, но с оговоркой. Не все приборы в школе плохи. Имеются в школе очень хорошо действующие приборы, хотя и кустарно изготовленные самими преподава-

* Редакция поместила уже отзыв на выпущенную ИПО книгу „Оборудование лаборатории по физике“ (см. статью т. Лебедева в № 1 „Математика и физика в средней школе“ за 1935 г.).

Наряду с этим редакцией была получена рецензия т. Фалеева. Считая, что общая оценка указанной книги со стороны т. Фалеева является спорной, редакция одновременно печатает в настоящем номере и ответ группы физики ИПО.

Редакция.

** Подчеркнуто мною—Г. Ф.

телями. Приборы, в которых удивительно тесно увязаны простота, наглядность и четкость действия. Имеется ряд фабричных приборов, носящих имена больших педагогов—Кольбе, Гримзеля, Розенберга, Дубровского, Тиндаля. Изящные, простые приборы. Имеются, конечно, наряду с этими приборами и неграмотные приборы, выполненные не кустарно, а заводами. Эти приборы должны быть известны институту, и очень жаль, что институт, „проделав большую исследовательскую работу“ в данной области, оставил этот вопрос совершенно не освещенным в своем труде.

Осуждая старое оборудование, которое было „исключительно абстрактным“ авторы настаивают на введении в кабинет приборов, связанных с техникой, с производством, с энергетическими установками. Примером таких установок могут быть, как пишут авторы:

а) агрегат из двигателя внутреннего сгорания и динамо для освещения и питания киноустановки;

б) агрегат из ветряного двигателя и динамо для тех же целей;

в) токарный станок с двигателем и трансмиссией;

г) телефонная станция или сигнализация;

д) автомобиль, трактор и т. д.

В дальнейшем (на стр. 23) мы узнаем, что под „и т. д.“ значится агрегат из паровой машины и паровой турбины с необходимыми принадлежностями.

Все это не модели, а действующие установки. Для них отводится специальная комната. Где же взять все эти предметы? Кто разработал их конструкцию? На эти вопросы ответов в книге мы не найдем. Имеются ли эти приборы в списке приборов института? На этот вопрос приходится ответить отрицательно. Авторы, заговорив в начале книги об этих установках, в дальнейшем забыли о них, как об одной плохо выполнимой фантазии. В чем же выразилась исследовательская работа авторов с данными типами пособий? Как показывали они в школьном кабинете автомобиль или трактор? На это мы не находим ответа в книге института. Можно думать, что и сами сотрудники института в реальной обстановке преподавания физики с рекомендуемыми ими пособиями такого типа дела не имели.

Во втором отделе авторы дают указание по основному оборудованию лаборатории, которое часто гораздо более важно, нежели отдельные приборы по тому или другому отделу физики. Что же полезного для себя найдет преподаватель на 11 страницах, которые авторы посвятили данному вопросу и из которых 4 страницы заняты огромными планами лабораторий, чертежами столов и рисунками оборудования вузов, вопросу выпрямителей отведено 22 строки и ни одного рисунка. О танталовом выпрямителе сказано буквально следующее: „Хорошо работает выпрямитель из тантала (электролит — серная кислота), но, к сожалению, тантала достать почти невозможно“. Источникам тепла отводится 5 строк, ит них 2 строки „генераторному аппарату на 10—15 горелок. К аппарату необходим электромотор“. Это все о сложном аппарате. Правда, другим, менее серьезным вещам, но более реальным, отводится больше строк. Данный отдел наиболее ярко выявляет характер всей работы — стремление к огромным, нереальным масштабам и отсутствие указаний по целому ряду очень важных, существенных подробностей.

Семь строк авторы отводят сложной переделке динамомашин постоянного тока на динамо переменною и трехфазного тока, 5 строк—проекционному устройству и т. д. Масштабы лаборатории авторы берут очень солидные—до четырех комнат; это — лаборатория, которой может позавидовать вуз. Мало пользы получит преподаватель из таких указаний. Небольшие результаты дала авторам „большая исследовательская их работа“.

Центральное место и особое внимание авторы отводят списку приборов и пособий, составляющему третий отдел книги. Данному отделу авторы отвели половину всей книги — два листа мелкого шрифта. Но пусть не пугается преподаватель кажущегося обилия приборов. Одни и те же приборы повторяются авторами чуть ли не на каждой странице. Общего списка приборов нет, хотя авторы, как они пишут на странице 23, „подвергли тщательному анализу каждый раздел новых программ по физике с точки зрения оборудования и на основе этого установили, какой набор различного рода учебных пособий и средств должен иметься в школе“.

Материалы своей работы авторы приводят, но вывода из этих материалов — нормального списка приборов — в книге мы не нашли. Часто приводится ряд разных приборов для одной и той же цели (шайба Гартля для опытов по свету и оптическая скамья, калориметры и банки от консервов для опытов по калориметрии, опять банки от консервов и бутылки без дна как охладители и т. д.). Точно так же мы не находим в списке „принципиально новых“ приборов.

Внимательно анализируя список пособий, мы приходим к очень странному выводу: авторы составляют список пособий, совершенно не считаясь с принципами, изложенными ими в первой руководящей статье. В списке преобладают цветные картины, диапозитивы, кинофильмы и другие подобного рода пособия,которые, как искренно пишут авторы, «производственно еще не оформлены“, иначе говоря, которых при всем желании преподаватель не найдет в продаже и сам сделать не сможет. Эти пособия пока имеются в большом выборе только в списке института и, конечно, никакой реальной помощи школе не оказывают. Но хотя на странице 7 руководящая статья осудила эти самые пособия как „наиболее приспособленные к догматическому словесному преподаванию“ и находит в этих таблицах „отражение старых методов преподавания физики“, мы не склонны разделять мнение авторов этой статьи и находим помещение наглядных пособий в списке очень важным и подбор их достаточно продуманным. Преподаватели, занимающиеся фотографией, хорошо сделают если постараются подобрать себе диапозитивы собственного изготовления по темам, помещенным в списке. К сожалению, нельзя сделать таких же выводов относительно многих приборов, помещенных в списке и особенно некоторых конструкций института. Часть этих „новых* приборов является старыми знакомыми, хорошо испытанными в работе, и становится непонятным, почему институт считает их приборами „принципиально новыми“, оригинальными конструкциями. К таким приборам мы относим, во-первых, „универсальный штатив“ института, очень хороший и полезный прибор для ряда опытов и набор принадлежностей к нему по отделу механики. Хороший штатив с набором заменяемых стандартных частей —идея не новая. Эту идею можно найти в методике Гримзеля и в каталогах фирм, торговавших физическими приборами. Смотри, например, каталог Трындина за 1914 г.,где данный штатив называется штативом Эдельмана. В каталоге Мак-Коль имеется универсальный штатив Фолькма-

на. Американцы продают даже отдельные части штатива. Наборы принадлежностей для опытов по механике точно так же не представляют ничего нового. Все эти блоки, полиспасты, рычаги и другие мелкие приборы давно применяются в школе в качестве набора к так называемой „раме по механике“. Точно так же мы считаем старым знакомым набор деталей по электромагнетизму конструкции института, изготовляемый ОНТИ (Техучпособие). Данный прибор в более солидном и грамотном выполнении можно найти в каталоге Leybold'a (прибор № 8 522). В приборе института досадное впечатление производит обилие лишних клемм, отвлекающее внимание от главных частей прибора (рис. 1). Не новость и большой набор по электромагнетизму. Наиболее интересную часть этого набора— разборный трансформатор, составленный из отдельных секций, мы находим еще в каталоге Трындина 1914 г. Использование этого набора для составления электромотора дает удивительно неуклюжую конструкцию, что можно видеть на рисунке 50, страница 48 (рис. 2).

Набор по оптике (рис. 53, стр. 50), состоящий из проекционного фонаря и оптической скамьи с принадлежностями, можно найти в любом, достаточно оборудованном кабинете школы. Единственная новость в этом наборе—упрощенный проекционный фонарь с автомобильной лампочкой, но и ту мы находим в каталогах под разными названиями. Например, в каталоге Schropp'a под № 9105/17 его называют Нога, а рядом под № 9117 другой такой же фонарь называется Halbwatt Verak Па. Такой же фонарь мы находим у Leybold'a под № 3256. Более простая модель продавалась в детских наборах по оптике. Все перечисленные выше приборы и наборы давно известны преподавателям, и непонятно, зачем институту понадобилось изобретать давно известные вещи.

„Оригинальные“ приборы института, как, например, приборы, изображенные на рисунках 8, 9, 26, 11, ни в коем случае не свидетельствуют о тщательном анализе приборов. В самом деле, как можно предлагать для демонстрации приборы 9 (рис. 3) и 26 (рис. 4), на термометрах которых ученики не могут с своих мест разобщать никаких делений? Как можно предлагать в качестве образцового прибора надуманный прибор, изображаемый на рисунке 26? Этот прибор прежде всего свидетельствует о неправильном использовании термометров и во всяком случае будет уничтожен при первой попытке им пользоваться. Вспомните, как лопаются при этом опыте пробирки, и вам будет ясно, что

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

подвергать опасности порчи и дорогой прибор и термометры не имеет никакого смысла. Гораздо проще, изящнее и дешевле проводится этот опыт с простое пробиркой.

Обратите внимание на чашку для градуирования динамометра (рис. 5) и догадайтесь, для чего к ней приделан второй этаж. Оказывается, „для счета делений“. А почему же нельзя считать деления по верхней чашке? Нескладные чашки!

Верх технической и педагогической неграмотности представляет „ведерко Архимеда большого размера с небольшим удельным весом“ (рис. 6). Плохо, если на заводе нет конструктора физических приборов, и завод выпускает плохие приборы. Гораздо хуже, если научный институт рекомендует подобного типа „приборы“. Изготовленный институтом прибор является ярким примером, как не надо конструировать приборы. В самом деле, для очень легкой проволочной спирали взяли тяжелую железную обойму, поместили на этой обойме подвижную шкалу, а на этой шкале еще подвижной указатель. Неужели не проще установку для данного опыта собрать на обычном штативе Бунзена? При этом потребуется только спираль и ведерко с цилиндром. Вместо шкалы достаточно на штативе укрепить только указатель положения ведерка. Плохо анализировали в институте данный прибор, иначе не поместили бы его в список рекомендуемых.

Много внимания авторы списка отводят „американским приборам“, но почему-то не решаются рекомендовать русские приборы, изготовляемые Физическим институтом в Ленинграде. Изготовленный Физическим институтом зеркальный гальванометр имеется в продаже, доступен по цене всякой школе и, думается, что его качество не хуже „американского“.

За недостатком места мы привели очень немного примеров „оригинальных приборов института“. Просматривая список их, преподаватели найдут и другие подобного типа „оригинальные“ приборы: калориметры с легким наружным латунным сосудом, термостолбики для курса VI класса, легкие бумажные вертушки на игле, стаканы „для перемешивания газа“ (?!), амперметры для лабораторных работ с вырезанной шкалой и крашеными деталями (покраска производится в школе) и т. д.

Вывод из просмотра списка — никакого нового оборудования физического кабинета институт не дает. Все, что рекомендует список, давно применяется в школе. Институт не дает также ни одною прибора по новым отделам курса, ограничиваясь копированием известных уже, имеющихся в старых каталогах приборов.

Особенно тяжелое впечатление остается от просмотра последней части книги: „Организация физического кабинета и лабораторий“. Очевидно, автор этой статьи когда-то очень страдал от воров. Боязнь воров является у автора чем-то вроде недуга. Он предла1ает „крепление всех мест возможного взлома (прежде всего окон и дверей), применение нескольких надежных запоров“. Жаль, не сказано, сколько ставить запоров. Семи замков на каждую дверь достаточно? Автор пишет, что после доклада, который „является чрезвычайно сильным и испытанным средством“ „ребята начинают тащить всякую всячину не из кабинета, а в „свой“ кабинет“. Несмотря на такой странный состав учащихся, автор на странице 56 находит, что „из детского коллектива всегда можно выбрать заслуживающее доверие и оправдывающее его лицо“. Этот, удивительно странный для сотрудника института, взгляд на детский коллектив не будет нас удивлять, если мы познакомимся с другими афоризмами автора и способом их изложения.

Приводим некоторые из этих афоризмов.

1) Никакая осторожность не спасет от совершенно неведомой опасности (стр. 59).

2) Бесспорно, что при лабораторных работах преподаватель не сможет одновременно следить за правильностью обращения с аппаратурой и ее сохранностью и за ходом мысли (?), если не каждого учащегося, то хотя бы каждого звена.

3) При численности группы даже в 4 человека каждый из них будет занят только 3/4 всего урока.

4) Надо обратить усиленное внимание на обеспечение надежности действия всех капитальных установок, а для демонстрационного стола установить временные переносные маломощные предохранители. Кроме того, экспериментальный стол с его мощным оборудованием может быть использован для приключения временных переносных резервных установок, снабженных своими предохранителями.

Здесь же приводятся правила пользования кабинетом, вызванные „тяжелым обстоятельством“ использования кабинета для работ (начальной школы — Г. Ф.) I ступени. Среди этих правил находим следующие изречения.

1. Заведующий школой обязан допускать использование помещения физического кабинета для регулярных занятий не по физике только в случае крайней необходимости с особого (на каждое полугодие) разрешения ОНО.

3. Использование капитальной установки и оборудования физического кабинета для работы I ступени на ближайшие годы не только допускается, но и желательно.

4. Однако каждая школа должна немедленно приступить к созданию соответствующего оборудования в рабочей комнате I ступени, в первую очередь надо стремиться к установке капитального оборудования (ток, вода).

6, Никаких отступлений от изложенных правил не допускается.

Восемь страниц заполнены такими безапелляционными правилами, указаниями, изречениями. В конце концов, очевидно, автор одумался и очень здраво кончает следующей характеристикой рабо-

Рис. 5

Рис. 6

ты института: „Вышеизложенное проверено на опыте ограниченного круга учреждений... и это повышает потребность в широком обмене мнений по затронутым здесь вопросам“. Таким образом бодрый, решительный тон руководящей статьи — „принципы оборудования лабораторий“ кончается минорным аккордом последней статьи — „пособие для преподавателей нужно очень обсудить, прежде чем применять его на деле“. Не будем спорить с авторами этой научной работы — заключение их совершенно справедливо.

Настоящая работа Секции физики Института политехнического образования, кажется, является первой работой. Немудрено, что она вышла „комом“. Пожелаем, чтобы дальнейшие работы были более согласованы и тщательно подготовлены, так как от института ждут помощи и имеют право ее получить работники массовой школы.

ОТВЕТ НА РЕЦЕНЗИЮ Г. ФАЛЕЕВА

Критика и самокритика есть то оружие, которое необходимо, чтобы выкорчевывать недостатки, присущие всякой работе, ибо не ошибается только тот, кто ничего не делает. Однако вряд ли можно приветствовать критику, не вскрывающую одновременно с недостатками и положительные качества работы. Критика должна помогать, а не только „критиковать“, так как иначе она может легко выродиться в желание критиковать во что бы то ни стало. Прочтя статью Г. Фалеева и не видя самой рецензируемой книги, читатель вправе прийти в весьма негодующее состояние, почему ему необходимы разъяснения, данные в нижеследующих строках.

Желание во что бы то ни было критиковать заставило Г. Фалеева сделать ряд фактических искажений, на которых прежде всего надо остановиться. Отрицаемый на странице б шарик Гравезанда не рекомендуется на странице 27, как пишет Фалеев, а рекомендуется простейший пирометр (нарочно указано: простейший), или кольцо Гравезанда. Колец Гравезанда очень много в физических кабинетах школ и не указать на него, хотя и считая этот прибор устарелым и мало нужным мы не могли. Никакого противоречия здесь нет. Совершенно так же, защищая необходимость введения в школу фабричных, хорошо изготовленных приборов, мы никогда не говорили (см. стр. 7), что самодельные приборы абсолютно плохи; мы не говорили, что не надо упрощать эксперимент, производя опыт так, чтобы „прибор“ не заслонял явление, поэтому ничего удивительного не представляет рекомендация „консервной банки“ в качестве калориметра. Известный немецкий методист Г. Ган пользуется даже просто химическим стаканом. Только желание критиковать во что бы то ни стало заставило т. Г. Фалеева не понять ясной точки зрения на взаимоотношения фабричных приборов и „самодельных“, высказанной на странице 7. То же самое надо сказать при шайбу Гартля и „американскую“ оптическую скамью.

Тов. Г. Фалеев упрекает работников института в малограмотности, но разве ему самому не известно, что на приборе, изображенном на странице 52 (рис. 59), показать ход лучей в линзах гораздо удобнее, чем на шайбе Гартля и стремление ограничиться одной шайбой явно неправильно. Однако шайба Гартля весьма распространенный прибор, и не указать на ее значение было невозможно, хотя есть и другие, не менее удобные приборы.

Тов. Фалеев сам пишет, что магазины продавали заведомый брак, так почему же его возмущает наше указание, что качество приборов низко. Работники института не страдают особым дальтонизмом и ясно различают цвета и черное от белого, поэтому они никогда и не думали и не писали, что все в школе плохо, никогда не писали что „кустарные“ приборы не могут работать и они очень уважают перечисляемых Фалеевым физиков: Кольбе, Гримзеля, Дубровского и др.; настолько уважают, что хотят итти по их стопам и хотят вводить новые и усовершенствовать старые приборы. Наличие этой работы не может отрицать даже Г. Фалеев. Нам непонятны нападки рецензента на рекомендацию „действующих установок“. Разве наша школа не политехническая школа? Разве приложение законов физики к производственным объектам, которые к тому же должны „обслуживать“ нужды школы, не является нужным? Разве желание видеть эти объекты в школе—„плохо выполнимая фантазия“? Разве можно закрывать глаза на то, что сейчас наша школа бедна, но то, что есть сейчас, не будет всегда, а через два-три года возможно, каждая школа будет иметь автомобиль или трактор, в качестве учебных пособий и для обслуживания школьных нужд, роскошно оборудованные кабинеты для преподавания физики.

Рецензируемая книга имеет небольшие размеры и, может быть, кое о чем сказано слишком мало, рецензент это мог указать, и это была бы деловая критика, но он предпочитает иронизировать, явно вводя читателя в заблуждение. Рецензенту не нравится, что названия приборов в приведенном списке повторяются, ему хочется видеть полный список по алфавиту, а в книге взята другая установка. Оборудование расположено по темам программ. Не будем сейчас утверждать, что списка по алфавиту не надо, но у Фалеева мы не находим доказательств, что списка по темам не надо, поэтому мы вправе думать, что список нужен, и ирония рецензента по поводу повторений в списке непонятна.

Раз список дан по темам программы, то повторения необходимы, и необходимо указать, как по-разному можно показать одни и те же явления на разных приборах. Деловой критики по этому поводу в рецензии также нет. Разве плохо, что в списке даны темы диапозитивов и картин? Разве плохо привлекать иллюстрированный материал не взамен опытов, а в дополнение к ним?

Даже рецензент согласен, что темы выбраны достаточно продуманно.

Теперь перейдем к одному очень важному указанию рецензента: о том, что значит „новый“ и „принципиально новый“ прибор по физике. С каких пор погоня за принципиальной новизной во что бы то ни стало сделалась необходимой? У работников института по этому вопросу совершенно обратная точка зрения: „новое“ есть переработанный продукт „старого“; только изучив „старое“, освоив его, дополнив и переработав, мы приходим к „новому“. Эта точка зрения соответствует основным принципам диалектического материализма. Поэтому

неправ в огульной критике работ Института политехнического образования Г. Фалеев, хотя, конечно, в этой работе есть и ошибки и неверные решения. Конечно, „универсальные штативы“ не открытие института. К списку Фалеева можно еще добавить пару фирм. Но у нас не изготовляются эти штативы, поэтому естественно, изучив все имеющиеся конструкции, попытаться создать „новые“. Это „новое“, конечно, есть „старое“, так же как „стары“ штативы Бунзена, а Бунзен тоже от кого-нибудь заимствовал идею своего штатива... Итак, мы легко доходим до времен доисторических, ибо расщепленная палка, в которую вставлялась горящая лучина, есть тоже штатив. Однако в штативе, предлагаемом институтом, есть и элементы .новые“. Например, таких соединительных муфт, какие дает институт, сколько нам известно, не было нигде. Подбор деталей также оригинальный.

Может быть эти новые конструкции плохи? Тов. Фалеев об этом не пишет. То же надо сказать и о наборе по электромагнетизму.

Конечно, электромагнит, якорь мотора нельзя заново изобретать; что-либо принципиально новое в этом отношении дать трудно. Но в этом ли заключается конструкционная работа? Но опять, кроме указания на лишние клеммы (почему они лишние, когда они нужны?), т.Фалеев не может найти в наборе недостатков. В одном из немецких новых журналов мы действительно нашли наш набор (через 2—3 месяца после окончания нашей работы), но нас это не огорчило, а только порадовало, так как доказывало, что наш путь совпадает с путями мировой педагогической мысли. Необходимости новаторских стремлений изменить оборудование по физике мы не отрицаем, но узкособствениические инстинкты не свойственны коллективу работников Института политехнического образования, они охотно изучают „старое“ и охотно делятся своими достижениями со всеми.

Наконец, почему „верх технической и педагогической неграмотности“ представляет ведерко Архимеда большого размера с небольшим удельным весом? Почему? Оказывается, прибора не надо, так как это проще сделать из штатива Бунзена. К нашему прибору также нужен штатив Бунзена, но рамка с проволочной спиралью очень удобно служит динамометром, дешева и экономит преподавателю 20-30 мин. при налаживании опыта. Защищая идею „наборов“, мы ценим время преподавателя. Суть прибора все же в ведерке, а по этому поводу, почему оно взято большое и легкое в рецензии ничего не сказано; наверно это сделано хорошо? Тогда в чем же заключается неграмотность?

Институт находится в живейших сношениях с Физическим институтом Ленинградского университета, весьма рекомендует его изделия, но когда книга была сдана в печать, гальванометров Ленинградского университета еще не было в продаже; но так защищаемый Фалеевым ленинградский гальванометр очень похож по типу на рекомендуемый в списке, поэтому нам кажется, что критика в этом случае несправедлива.

Подведем итоги.

1) Мы не считаем свою первую работу совершенством и, конечно, видим в ней огромное количество недостатков: невыдержанность размера отдельных частей, много мелких промахов вроде правильно приводимого Фалеевым прибора для градуировки пружин и теплопроводности воды и много других мелких промахов.

2) Нас радует то, что принципиальных ошибок, которые меняли бы основные установки нашей работы над оборудованием, рецензентом в нашей книге не указано.

3) Нас печалит, что почти все замечания рецензента представляют собой ни на чем не основанные придирки (пример: ведерко Архимеда). Опровержение их сводилось главным образом к установлению „подлинного текста“ против передержек рецензента.

4) Наше пожелание сводится к тому, чтобы читатель, прочтя рецензию, прочел и самую рецензируемую книгу. Мы надеемся, что его впечатления от книги и от рецензии будут весьма различны.

Группа физики ЦНИИПО

НЕДОСТАТКИ ФИЗПРИБОРОВ, ПОДМЕЧЕННЫЕ ПРИ ПОЛЬЗОВАНИИ ИМИ

Приборы получены от Госкультснаба

В. БОГАТКОВ (г. Ковров)

I. Механика

1) Машина Атвуда; стойка недостаточно устойчива (при работе качается). Чечевицу можно делать менее массивной, так как маятник раскачивает всю машину.

2) Параллелограм сил по Фрику груб по отделке; деревянные блоки необходимо заменить металлическими с малым трением.

3) К наклонной плоскости вместо катящегося цилиндра прилагать тележку с малым трением колесиков, сделав их наподобие железнодорожных.

4) У модели, поясняющей принцип винта, разрезная деревянная гайка, имеющая обычно форму прямоугольника, почему-то имеет вид трапеции.

5) К трибометру почему-то прилагаются деревянные цилиндры одного и того же диаметра.

Механика- жидких тел

1) Прибор для демонстрации закона Паскаля хрупок; необходимо стекло делать более толстым.

2) Прибор для демонстрации распредел. величины давления жидкости на боковую стенку грубоват и недостаточно прочен.

3) Прибор для демонстрации парадокса Паскаля (с мембраной); мембрана недостаточно эластична и прочна.

4) К ареометрам необходимо прилагать стеклянные цилиндры подходящего размера.

5) Сегнерово колесо грубо по отделке и вращается со значительным трением.

6) Прибор для опыта Плато протекает и требует большого расхода спирта. Следовало бы подумать о конструкции, при которой бачок закрывался бы пришлифованным стеклом; тогда можно было бы смесь спирта с водой оставлять в нем.

Механика газообразных тел

1) К тарелке воздушного насоса, ввиду недостаточно точной пришлифовки ее и колокола, необходимо прилагать легкую резиновую пластинку.

2) К прибору Кандаурова необходимо прилагать толстостенную резиновую трубку с зажимами Мора.

3) К всасывающим и нагнетательным насосам необходимы подставки; тоже и к модели пожарной машины.

Теплота

1) Зазор у шара Гравезанда делать меньше. (Приходится долго нагревать.)

2) У прибора Тиндаля для демонстраций различной теплоемкости металлов цилиндры из металлов устроить объемными от стержней для доказательства равенства их масс.

3) Подставка (деревянная) к калориметру излишня.

4) Вставку для ртути у котла Папина во избежание скорого ржавления и окончательной порчи (был случай выхода пара через трубку) снаружи (внутри котла) нужно никелировать.

5) Кипятильники Франклина, криофоры и водяные молотки приготовлять из толстого стекла, так как они непрочны и служба их кратковременна. В водяных молотках удар воды слаб.

6) Гигрометр Соссюра мало чувствителен.

7) У термометра со шкалой до 360° деления, нанесенные краской, стираются.

Магнетизм

1) Магнитная сила подковообразных магнитов слаба.

Электричество

1) Желательно вставку для стержня в электрометрах и электроскопах делать янтарную.

2) У гальванометра Депре Д'Арсонваля вставки с шунтами устраивать со стеклом; на последнем делении делать задержку для стрелки. Улучшить затухание стрелки.

3) Амперметры и вольтметры системы Груздева часто показывают неправильно.

4) У магазина сопротивлений рычагом контакты совершенно непригодны.

5) У электрометра Брауна вырезку футляра делать больше, превратив его в демонстрационный.

6) Гибкая металлическая сетка малоустойчива.

7) Изолирующий слой электрофора хрупок.

8) У разборных лейденских банок контакт со стеклом обкладок мал (плохо заряжаются).

9) У прибора Гофмана и у других стеклянные краны смазывать вазелином, высылать прибор с подставкой.

10) Модель телеграфа Морзе с часовым механизмом груба, передача несовершенна.

11) Телефонные трубки (одну из двух) делать разборными и с деревянными футлярами.

12) Усовершенствовать схему микрофона, сделать более чувствительной.

13) Клеммы у приборов закреплять так, чтобы они не провертывались. Отвертывание клемм часто причиняет неприятные осложнения при демонстрации приборов.

14) В приборе для пояснения направления индуктированных токов подвижные части сделать легкоподвижными.

15) В динамомашине Курочкина и Неймана щеткодержатели и щетки сделать более устойчивыми.

16) К трансформатору Неймана прилагать обмотку в три витка толстой проволоки.

17) Разборная катушка Румкорфа груба по отделке (дно иногда из картона), не имеет задерживающих скоб.

18) Трубки Гейслера и катодные трубки хрупки.

19) В зеркалах Герца, очевидно, закрепления вибратора и когерера недостаточно изолированы и сделаны неправильно.

20) У регулятора вольтовой дуги стержень, на котором укреплен регулятор, мал диаметром, неустойчив.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, помещенных в № 3 сборника „Математика и физика в средней школе“ за 1934 г.

1. Найти два рациональных числа, сумма квадратов которых равнялась бы сумме их кубов.

Обозначая искомые числа через хну, получим уравнение:

АГ2 +yî=XS+y*.

Очевидными целыми решениями его будут: 0,0; 0,1; 1,0; 1,1.

Для получения всевозможных рациональных решений положим y = xt\ тогда уравнение примет вид:

xi(\+ti)=:x*(\ + t*)f отсюда, так как х не равно нулю, найдем:

а, следовательно,

Давая в полученных выражениях для х и у числу t любое рациональное значение, мы получим пару рациональных чисел, удовлетворяющих условию задачи. Так, при t = 2 имеем:

и, действительно,

А. В. (Москва), Б. Кобылин (Галич), С. Тарарин (Тамбов), К. Агринский (Москва), К. Краевский (Урусово), А. Соловьев (Калинин), А. Литвиненко (Сталино), И. Гришин (Осташков).

2. Показать, что числа вида: 32я + 2— 8л — 9 и 32я+з + 40л — 27 делятся на 64.

Представим первое из данных чисел в виде;

^ = 32л+2 — 9 — 8л = 9 (9л— 1) — 8л — = 9(9л— 1)-(9—1)л

или

ЛГ£ = (9—1) [9^-* + 9“-2+ ... +9 + 1) —л]

иначе

Ni = 8 [(9л + 9n-i + ... + 9я + 9) — л].

Так как каждая степень числа 9 при делении на 8 дает в остатке 1, то предыдущее выражение можно еще представить в виде:

8 [8.* + л — n] = 64k,

т. е. число данного вида делится на 64.

Переходя ко второму из данных выражений придадим ему вид:

/у2 = 32л+з — 33 + 40л =27(9«- 1) + (9- 1)5л = = (9- 1)[27 (9л-* + 9*-2+ ... +9 + 1) + 5л].

Так как выражение 9*-i + 9«“2+ ... 4- 9 + 1 при делении на 8 дает в остатке (л—-1) + 1, т. е. л, то предыдущему выражению можно придать вид:

N2 = (9 — 1) [(27л + Sk) + 5л],

или

N2 = 8 (Sk + 32/z) = 64 (k + 4л),

т. е. N2 делится на 64.

А. В., К. Агринский, А. Сафонов (Москва), К. Краевский (Урусово), А. Егоров (Демянск), Б. Кобылин (Галич), В. Зяблицкий (Калинин), С. Тарарин (Тамбов), И. Гришин (Осташков), Я. Шор (Тула), А. Левшук (Черемхово), И. Кастровицкий (Пязелево), А. Соловьев (Калинин), Н. Сафонов (Ярославль).

3. Решить в целых числах уравнение:

9х+2 = у(у + \).

Придав данному уравнению вид

У* + У-$х + 2) = 0,

и решая его, получим:

Так как (4дг+ 1) должно быть числом нечетным и точным квадратом, то полагаем:

или

отсюда

т. е.

y^Zt + l и ^ = — (3^ + 2).

А. В., К. Агринский (Москва), К. Краевский (Урусово), И. Кастровицкий (Пязелево), Б. Кобылин (Галич), А. Егоров (Демянск), И. Гришин (Осташков), В. Зяблицкий (Калинин), Я. Шор (Тула), А. Соловьев (Калинин), А. Левшук (Черемхово), Н. Сафонов (Ярославль), М. Гусев (Кимры). 4. Решить уравнение:

Легко видеть, что один из делителей числа 2080, именно 10, является корнем данного уравнения, а потому оно может быть представлено в виде:

(X — 10) (jc2 + 118* + 208) = 0,

отсюда

лг4 = Ю; лг23 = — 59±У3273, *2=^— 1,8 'и лг3=^— 116,2.

А. В., К. Агринский (Москва), Б. Кобылин (Галич), А. П. О. (Сталинград), А. Левшук (Черемхово), Н. Сафонов (Ярославль), А. Соловьев (Калинин), А. Шор (Тула), М. Гусев (Кимпы), А. Литвиненко (Сталино), А. Ильин (Саратов), Е. Куницын (Пушкинские горы).

5. Из вершины острого угла В прямоугольного треугольника ABC проведены две прямые, пересекающие катет АС в точках M ml N так, что

L А = \ L вмс —\l bnc.

Вычислить стороны данного треугольника, если АМ = р, MN = q.

Построив данный треугольник, согласно условию, имеем, что £ ВМС = 2 £А\ так как этот угол является внешним по отношению к треугольнику ВАМ, то ^ MB А = £ А\ значит ВМ = = AM = р. С другой стороны, ^ BN С = 3 £ ВАС является внешним по отношению к треугольнику BMN, откуда следует, что ^/ NBM = £ А, т. е. линия ВМ есть биссектриса угла В в треугольнике ABN. Обозначим катеты треугольника

ВС = х, АС = у

и гипотенузу AB = z, тогда имеем СМ=у — р\ CN=y— (p + q) и, применяя теорему Пифагора к треугольникам АСВ и МСВ, получим уравнения:

х* + у* = 2*; x*+(y-p)* = \y-(p + q)]*;

применяя же теорему о биссектрисе внутреннего угла В в треугольнике ABN имеем пропорцию:

Решая три полученных уравнения, из первых двух находим:

z* = 2py;

следовательно:

или, заменяя х2+у* через 2ру и упрощая, найдем:

-2pqy + p(p + q)*=2q*y,

откуда

следовательно т. е.

и, наконец:

М. Гусев (Кимры), В. Командровский (Оренбург), К. Краевский (Урусово), А. В., С. Агрипинский (Москва), Я. Шор (Тула), А. Левшук (Черемхово), С. Тарарин (Тамбов), Б. Кобылин (Галич), Н. Милковский (Новозыбков), Н. Сафонов (Ярославль), И. Кастровицкий (Пязелево), А. Егоров (Демянск), А. П. О. (Сталинград), И. Гришин (Осташков), А. Соловьев (Калинин), Е. Куницын (Пушкинские горы).

6. По данной касательной, внешней части секущей, имеющей с касательной общую точку, и расстоянию секущей от центра построить окружность.

Назовем длину данной касательной а, внешней части секущей b и расстояние секущей от центра круга d. Тогда длина всей секущей х будет определяться пропорцией: х:а = а:Ь, откуда х = ^;

отрезок X легко построить. Вычтя из длины всей секущей длину внешней ее части, найдем построением длину ее внутренней части у = -у — b.

Восставив в середине полученного отрезка у перпендикуляр длиною dt мы найдем центр искомой окружности, а соединив его с каким-либо из концов того же отрезка — ее радиус, которым и надо описать окружность.

А. В., К. Агринский (Москва), Н. Сафонов (Ярославль), Н. Милковский (Новозыбков), И. Кастровицкий (Пязелево), Б. Кобылин (Галич), С. Тарарин (Тамбов), К. Краевский (Урусово), А. Егоров (Демянск), И. Гришин (Осташков), Д. Шор (Тула), Д. Савельев (Горький).

7. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна a, a плоский угол при вершине равен углу между ребром и плоскостью основания пирамиды. Найти радиус вписанного в пирамиду шара.

Радиус вписанного в пирамиду шара проще всего определить при помощи теоремы; .Объем всякого описанного около шара многогранника равен полной поверхности многогранника, умноженной на — радиуса вписанного в него шара“.

Пусть в пирамиде SABCD высота есть 50; опуская из вершины основания В перпендикуляр BE на ребро ЗА, убеждаемся, что треугольник SBE равен треугольнику SOA по равенству гипотенуз и острых углов и, следовательно, SO = BE. Поэтому, обозначая ребро пирамиды / и высоту ее Л, из треугольников SOA и ABE имеем систему уравнений:

откуда

поэтому площадь боковой грани пирамиды будет равна

а полная поверхность пирамиды равна

Отсюда, называя радиус вписанного в пирамиду шара через г и выражая двояким образом ее объем, получим:

следовательно,

или, освобождаясь от иррациональности в знаменателе:

А. В., К. Агринский (Москва), H. Милковский (Новозыбков), И. Кастровицкий (Пязелево), И. Гришин (Осташков), А. Соловьев (Калинин), Я. Шор (Тула), Б. Кобылин (Галич), А. Левшук (Черемхово), Н. Сафонов (Ярославль), С. Тарарин (Тамбов), К. Краевский (Урусово), В. Командровский (Оренбург).

8. Правильный додекаэдр пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился правильный шестиугольник.

Черт. 1

Требуемую плоскость следует провести через середины двух несмежных ребер какой-либо грани и через середины диаметрально противоположных ребер додекаэдра. Эта плоскость пройдет через середины ребер трех граней с одной стороны и трех диаметрально противоположных граней с противоположной стороны додекаэдра, так что в сечении получится шестиугольник с равными сторонами и углами. Полагая, что сторона правильного пятиугольника, являющегося одной из граней додекаэдра есть а, не трудно определить сторону получившегося правильного шестиугольника. Действительно, она будет средней линией трапеции, у которой одной из параллельных сторон является сторона правильного пятиугольника, т. е. я, а другой— большая диагональ пятиугольника, равная

Поэтому сторона шестиугольника будет равна

(см. черт. 1 и 2).

Черт. 2

А.Соловьев (Калинин), С. Тарарин (Тамбов).

9. Вычислить стороны треугольника, зная, что они составляют арифметическую прогрессию, разность которой равна где г есть радиус вписанного в треугольник круга.

Назовем среднюю по величине сторону треугольника через X, тогда стороны его выразятся числами:

периметр его будет равен Здг, а площадь, выраженная по трем сторонам,

Выражая ту же площадь через полупериметр и радиус вписанного круга, составим уравнение

или

Отсюда найдем, беря положительное значение корня, —г- Итак, стороны треугольника будут:

А. В., К. Агринский (Москва), А. Соловьев (Калинин), И.Гришин (Осташков), Я. Шор (Тула), А. Левшук (Черемхово), А. П. О. (Сталинград), Н. Сафонов (Ярославль), С. Тарарин (Тамбов), К. Краевский (Урусово), М. Гусев (Кимры), А. Литвиненко (Сталино), Б. Кобылин (Галич), В. Командровский (Оренбург), Е. Куницын (Пушкинские горы), Д. Савельев (Горький).

11. Решить треугольник по основанию, произведению двух боковых сторон и разности углов при основании.

Пусть в треугольнике ABC известно основание Ь, произведение боковых сторон ас = № и разность углов при основании А—С = о. По теореме синусоа мы имеем:

Так как

и

то или

Неизвестным здесь является угол В. Заменяя sin* В через 1 — cos2 В, получим для определения его уравнение:

Из этого уравнения найдем угол В, после чего для определения углов А и С будем иметь два уравнения:

А + С=т° — В; А —С — а.

Найдя углы Л и С, по теореме синусов, найдем и стороны треугольника а и с. Задача, в зависимости от данных количеств, может иметь одно, два или ни одного решения.

А. В. (Москва), С. Тарарин. (Тамбов), А. Соловьев (Калинин), А. Левшук (Черемхово), К. Краевский (Урусово), А. Литвиненко (Сталино).

12. Решить уравнение:

Из данного уравнения имеем:

или, по сокращении на sin 45° — cos 45°,

Заменяя затем sin 3 и cos 3 функциями угла tj-, получим:

иначе:

Отсюда имеем:

или же

т. е. откуда

Последнее равенство дает решение при k^3.

А. В., К. Агринский (Москва), Н. Сафонов (Ярославль), А. П. О. (Сталинград), А. Соловьев (Калинин), И. Гришин (Осташков), Б. Кобылин (Галич), А. Егоров (Демянск), К. Краевский (Урусово), С. Тарарин (Тамбов), А. Левшук (Черемхово), Н. Милковский (Новозыбков), Я. Шор (Тула), М. Гусев (Кимоы), В. Командровский (Оренбург).

13. Стороны треугольника выражаются числами:

2х + 1, л:2—1, х* + х+ 1.

Найти угол, лежащий против последней стороны.

Обозначая стороны данного треугольника соответственно а, И с, а углы А, В, С, имеем:

или т. е.

иначе

cos С и угол

А. В., К. Агринский (Москва), Н. Сафонов (Ярославль), Б. Кобылин (Галич), К. Краевский (Урусово), А. Соловьев (Калинин), A. П. О. (Сталинград), Н. Милковский (Новозыбков). А. Левшук (Черемхово), Я. Шор (Тула), С. Тарарин (Тамбов), А. Литвиненко (Сталино), И. Гришин (Осташков), M Гусев (Кимры), И. Кастровицкий (Пязелево), B. Командровский (Оренбург), А. Ильин (Саратов).

14. Решить уравнение:

cos3 л: + cos(i4 — *)cos {В — х) cos (С—х) = 0, где Д В, С —углы треугольника. Частный случай: А = 30°, В = 60°, С = 90°.

Представим произведение, входящее в данное уравнение, в виде суммы тригонометрических функций. Для этого воспользуемся формулой cos (р + q) + cos(p—q) = 2cosp-cosq,

умножая обе части того же равенства на cos г и снова применяя ту же формулу, получим:

cos (р + q + t) + cos (р + q — r) + + cos(p — q + r) + cos {p — q — r)z= = 4 cos p cos <7 cos г.

Поэтому

4 cos (Л — х) cos (В — x) cos (С — *) = = cos (А + В + С — Zx) + cos (А + В — С — х) + + cos (А + С — В — лг) + cos (А — Я — С + х),

или, так как А + В + С= 180°, то

4 cos (Л — дг) cos ( В — x) cos (С — x) = = — cos 3* — cos (2c + •*) — cos (2ZJ + x) — — cos(2/l + x).

Отсюда, так как

cos Зл: = 4 cos3 x — 3 cos x

найдем:

4 cos3л: = 4 cos3 x — 3 cos x + cos (2Л +х) + + cos (2Я + x) + cos (2С + л:)

или

3 cos x = (cos 2Л + cos 2B + cos 2C) cos x — — (sin 2Л + sin 2В + sin 2С) sin *

иначе:

sin x (sin 2,4 + sin 2B + sin 2C) = = cos jc (cos 2Л -f- sin 2Я + cos 2C — 3).

Отсюда

что окончательно можно представить в виде:

откуда и найдем угол х. В частном случае, когда Л = 30о, В = 60° и С = 90°,

получим:

Б. Кобылин (Галич), А.Литвиненко (Сталино), А. Соловьев (Калинин), И. Гришин (Осташков), В. Командровский (Оренбург).

15. Доказать, что число, написанное теми же цифрами, как и данное, но в обратном порядке, не может равняться половине данного числа.

Пусть а первая цифра (слева) данного числа 7V, a k — его последняя цифра, тогда оно изобразится цифрами: (а ... k), а обращенное число Ni — цифрами: (k ... а). Допуская, что Л^=у, или N = 2N{i имеем отсюда: а > kt именно, = k9 если а — четная цифра, и —— = £, если а — нечетная цифра. Так как число 27V4 должно оканчиваться цифрою А?4, то 2а должно оканчиваться цифрою ky а это показывает, что 2а = 10 + £. Итак, имеем систему равенств:

В первом случае получим: За = 20, что невозможно, так как я — целое число. Во втором случае получим Зд-= 19, что также невозможно. Следовательно, сделанное допущение неверно и предложение доказано.

К. Агринский (Москва), К. Краевский (Урусово), И. Кастровицкий (Пязелево), Б. Кобылин (Галич), А. Соловьев (Калинин).

16. Найти трехзначное число, равное сумме факториалов его цифр.

Обозначим цифру сотен искомого числа ху десятков у и единиц z\ тогда для определения искомого числа получим уравнение:

100* + I0y+z=x\ +y\ + z\

Легко видеть, что ни одна из цифр искомого числа не может быть более 5, так как 7! = 5040, т. е. числу четырехзначному, а 6! = 720, и число, изображенное одними шестерками, будет менее 720. С другой стороны, искомое число не может быть изображено только при помощи цифр 1, 2, 3, 4, так как, если все цифры будут даже четверки, то и в этом случае сумма факториалов будет 72, т. е. число двузначное. Итак, хотя одной из цифр числа должна быть 5, но все цифры не могут быть пятерками, ибо 5! + 5! + 5! = 360, а число будет 555. Точно так же цифра 5 не может быть ни цифрой сотен, ни цифрой десятков искомого числа, так как в первом случае 5! = 120, т. е. число менее 500; из равенства 5! + 5! + 5! = 360 ясно, что *5=3. Но 3! + 5! + 5! = 246, следовательно, х^2, .у5^4, z = 5. Испытывая число 2!+ 4!+ 5! получим в сумме 146, откуда заключаем, что иско мое число 145; действительно

1! +4!+ 51 = 1 +24+ 120 = 145.

К. Агринский (Москва), И. Кастровицкий (Пязелево), А. Соловьев (Калинин), М. Гусев (Кимры), Б. Кобылин (Галич), И. Гришин (Осташков), А. Егоров (Демянск).

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

1) Разложить на множители:

am — a*b* + 2а*Ъ*х* + ±а*Ь*х* + лг* — 4*в.

2) Решить систему уравнений:

х+у = ху; x -\- z = 2xz\ 3

y + z = —yz.

3) Найти х из выражения:

4) Доказать тождество:

5) Найти X из уравнения:

6) Решить систему уравнений:

7) Чему равны выражения:

8) Упростить выражение:

9) Определить предел суммы бесконечно-убывающей геометрической прогрессии:

10) Найти X и у из уравнений:

хх*У = №\ лгу =1000.

11) Найти X и у из выражений:

где А — размещения, С — сочетания.

12) Дано: а+Ь=т и а* + Ь* = п*. Найти

13) Определить я, чтобы уравнение

(а — 1)д:2 —2(а+1)д: + (о —2) = 0

имело равные корни.

14) Решить систему уравнений:

15) Найти значения а, при котором количества

можно рассматривать как три последовательных числа арифметической прогрессии.

16) Разделить по формуле деления двучленов: [(Х2 abc)* + 8аЗ£2Сз] На (jfl + abc).

В. Филиппенко (Бежица).

ЗАДАЧИ

1) Доказать, что если сторона квадрата и стороны равновеликого ему прямоугольника выражаются целыми числами, то отношение периметров этих фигур не равно целому числу.

И. Кастровицкий (Слуцк).

2) Доказать, что всякое четное число можно представить как разность произведений двух пар последовательных целых чисел.

/7. Сапунов (Владимир).

3) Найти два числа, зная их общее наименьшее кратное 1620 и частное 0,75.

4) Найти дробь со знаменателем 241, зная, что ее квадратный корень, извлеченный с точностью до 0,01 (с недостатком), равен 0,87.

5) Сколько раз в сутки стрелки часов перпендикулярны друг к другу.

И. Чернис (Умань).

6) Найти lim Y ах* -f- bx -f с — x Y~â при a > 0 и x, стремящемся к оо.

7) Извлечь квадратный корень из выражения:

8) Решить уравнение:

Xi — 4*3 -h 5*2 + 8* — 14 = 0.

9) Найти сумму членов ряда:

П. Сапунов (Владимир).

10) В круг радиуса /? вписать фигуру, состоящую из квадрата, на сторонах которого построены равносторонние треугольники, и найти длину стороны этой фигуры.

11) В данный угол вписать окружность так, чтобы перпендикуляр, опущенный из точки прикосновения одной касательной на другую, имел данную длину.

12) Доказать, что если диагонали четырехугольника взаимно-перпендикулярны, то сумма радиусов кругов, вписанных в получившиеся от пересечения диагоналей четыре треугольника, равна разности между суммой диагоналей и полупериметром четырехугольника.

13) На прямой линии даны четыре точки: А, В, С и D. Найти на той же плоскости точку, из которой отрезки AB, ВС и CD были бы видны под равными углами.

14) Построить треугольник, зная сторону а, радиус вписанного круга г и вневписанного га.

15) Показать, что в треугольнике

16) Решить уравнение:

* (-J+*)=tg2* + 7.

17) Упростить выражение:

2(1— sin2 a cos* а)2 — (sin« а + cos8 а).

18) Решить систему уравнений:

sin2 X + sin2 у = а\

19) Исследовать изменения функции:

y = sin2Ar-f- sinx—- 2 и построить соответствующую кривую (при изм нении X от 0 до 2я).

20) Решить уравнение:

5 (1 — sin 2х) — 16 (sin х — cos х) + 3 «= 0.

Цена 1 руб.

ПОДПИСКА продолжается на методические сборники:

Математика и физика цена в руб. Русский язык „ в „

География „ 6 „

Политехи, обучение 4 „

Подписка принимается всеми отделениями, магазинами, киосками Когиза и повсюду на почте