УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ СБОРНИК

2

1935

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

МАТЕМАТИКА и ФИЗИКА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ СБОРНИК

№ 2

1935 МАРТ — АПРЕЛЬ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

ОГЛАВЛЕНИЕ

НАУЧНЫЙ И НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

Стр.

Проф. Н. Извольский — Геометрическое учение о площадях ........... 3

Р. Бончковский — Покрытие плоскости конгруэнтными четырехугольниками...... 12

Доц. С. Зеттель—О вычислении сторон и апофем правильных 12-угольника и 24-угольника 14

А. Романский — Поверхностная энергия твердого тела............... 16

Проф. Б. Воронцов-Вельяминов— Новая звезда в созвездии Геркулеса........ 23

Проф. И Попов —- Астрономические явления в апреле—июле 1935 г.......... 32

ОТДЕЛ ЧАСТНОЙ МЕТОДИКИ

Проф. М. Черняев — Принцип двойственности при школьном преподавании геометрии 36

Доц. И. Альтшулер — Методика иррациональных уравнений............. 47

Л. Кременштейн — К методике преподавания уравнений............... 49

Л. Калецкий — О решении некоторых уравнений высших степеней через замену неизвестного............ ................... 50

М. Таль — Замечания и дополнения к статье П. Ларичева «Система уравнений первой степени“............................. . . . 51

М. Пиотровский — Элементы учения о сопротивлении материалов в политехнической средней школе........................ ....... 55

Ф. Красиков — Демонстрирование волнообразного движения на шнурковом приборе . . 61

А. Калашников — Понятие механического и электрического потенциала........ 65

Е. Горячкин — К вопросу о методике преподавания трехфазного тока ........ 69

Б. Спасский — Прибор Гримзеля, для определения механического эквивалента теплоты 75

Л. Москалевич — Геометрия в приложении к исследованию силы тока батареи..... 81

С. Иванов и В. Смирнова — Техника безопасности на уроках физики и химии . . . 84

ИЗ ОПЫТА ШКОЛ

A. Павша — Как помогают школе........................ 90

ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ ЗА ГРАНИЦЕЙ

Ф. Циглер—Преподавание математики в средней школе в Германии по журнальным статьям.............. . ..... ........... 92

B. Юськович — Из опыта германской школы..................... 105

Хроника............................... 109

Задачи............................... 111

Редакционная коллегия: И. К. Андронов, А. Н. Барсуков, Е. С. Березанская, А. Н. Зильберман, А. Г. Калашников, В. Н. Молодший, П. И. Попов, Н. П. Суворов.

Отв. ред. А. Н. Барсуков, отв. секр. К. И. Коровин Тех, редактор Г. Симановский

Адрес редакции: Москва, Орликов, 3 Учпедгиз, редакция математики

Сдано в производство 10/11 1935 г. Подписано к печати 20/IV 1935 г.

Учгиз № 7015. Объем 7 п. л.

в 1 п. л. 72000 зн. Бумага 72X105.

За к. 565.

Тираж 25000.

Уполномоченный Главлита № Б-4940

1-я Образцовая типография Огиза РСФСР треста „Полиграфкнига Москва, Валовая. 28.

НАУЧНЫЙ И НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ УЧЕНИЕ О ПЛОЩАДЯХ

Проф. Н. ИЗВОЛЬСКИЙ (Москва)

§ 1. Мы будем здесь рассматривать части плоскости, ограниченные со всех сторон прямыми. Каждую такую часть мы называем площадью. Мы знаем, что для отрезков и для углов с самого начала устанавливается возможность чисто геометрическими средствами сравнения двух, например, углов и возможность их сложения. Другими словами: устанавливается возможность применения к отрезкам и к углам понятий „равно“, „больше“, „меньше“ и „сумма двух, например, отрезков“.

Естественно, когда вводятся в дело площади, установить и для них таковые же возможности, причем это надо выполнить чисто геометрическими средствами, не прибегая к измерению, так как измерение выполняется лишь на основе этих возможностей.

Основной вопрос здесь таков: имеем две площади, ограниченные прямыми; как установить, равны ли они, или одна из них больше (или меньше) другой?

Первым ответом на этот вопрос намечается сам собою следующий: две площади равны, если они при наложении совпадают.

Далее само собою устанавливается понятие о сумме двух площадей (черт. 1).

Площадь ABCDEF есть сумма площадей I и II, где построены четырехугольник ABCF у равный (совпадающий, конгруэнтный) четырехугольнику I, и треугольник ECD, равный II.

Однако мы можем выполнить сложение площадей I и II разнообразными способами. Так, если A,E1F1 G1 = I и ВЛСгОЛ = =11, то площадь A^B^D^FjGj есть сумма площадей I и II. Очевидно, полученные две суммы при наложении не совпадают, но должны быть признаны равными. Поэтому возникает второй ответ на вопрос о равенстве площадей:

две площади надо считать равными, если каждая из них есть сумма частей, попарно совпадающих при наложении (конечно, каждая из них может быть суммою не только двух, но и нескольких слагаемых).

Совершенно так же, выполняя вычитание из первой площади второй различными способами, мы переходим к третьему ответу на наш вопрос:

две площади надо считать равными, если каждая из них есть разность частей, совпадающих при наложении.

Таким образом, получаем три ответа на наш вопрос .-площади могут быть равны— 1) по совпадению, 2) по сложению и 3) по вычитанию. В первом случае эти площади называются конгруэнтными, во втором— равносоставленными и в третьем— равновеликими.

Здесь возникает сомнение: нет ли между этими тремя признаками равенства площадей противоречия? To-есть, не может ли оказаться, что две площади, равные по сложению, не будут таковыми по вычитанию и т. п.?

Черт. 1.

В частности, не может ли оказаться, например, такой случай: пусть некоторая площадь разбита на куски (черт. 2); пусть затем эти куски перекладываются в ином порядке, и вдруг окажется, что удастся составить площадь, совпадающую с данной, причем один кусок (например а) останется неиспользованным. Тогда бы вышло, что две конгруэнтные площади, данная и вновь полученная, не равносоставлены.

Это обстоятельство давно обратило на себя внимание, и в учение о площадях был введен принцип Де-Цольта, аксиоматически устанавливающий, что такого случая быть не может.

Приняв принцип Де-Цольта, можно доказать, что две равновеликие площади должны быть и равносоставленными. Пусть площади ABCD и A^F^DJE^ (черт. 3) равновелики, т. е. каждая из них есть разность двух площадей, совпадающих при наложении (см. чертеж); пусть затем эти площади не равносоставлены, т. е. площадь ABCD можно разбить на такие слагаемые а -\- b -{-с -J- d... что из всех этих частей, кроме части а, можно составить площадь A1B1F1ClD1EA так, что

пл. ABCD = a + b-\-c-\-пл. A1B1FlC1D1E1 = b +

Прибавив к каждой из этих сумм площадь m (см. чертеж), получим:

пл. ABFCD = m + a + b-\-c +d пл. A1E1D1C1F1 = m-\- ô-{-с-f-d,

но эти две площади конгруэнтны, следовательно получается противоречие с принципом Де-Цольта.

§ 2. В дальнейшем развитии учения о площадях по Евклиду мы будем принимать, что никаких противоречий в трех вышеустановленных признаках равенства площадей быть не может.

В основу положим замечательное построение Евклида, дающее возможность получить два параллелограма, равных по площади и имеющих равные углы, но различные основания и высоты.

Построим параллелограм ABCD (черт. 4) и его диагональ BD. Через любую точку M этой диагонали построим прямые, параллельные сторонам параллелограма ABCD. Тогда получим параллелограмы AGME и МЕСИ, площади которых надо считать равными, ибо Д ABD конгруэнтен с Д CDB и для получения площадей AG ME и MFC H надо из площадей этих конгруэнтных треугольников вычесть площади также конгруэнтных треугольников: 1) MBG и BMF и 2) EMD и HDM. Отсюда еще следует, что параллелограм GBCH равновелик параллелограму ABFE.

Прежде всего можно применить это построение для превращения данного прямоугольника в равновеликий* ему,

Черт. 2.

Черт. 3.

Черт. 4

* Мы будем здесь, при изложении учения о площадях по Евклиду, употреблять термин „равновеликий“, независимо от того, по какому из трех признаков устанавливается равенство рассматриваемых площадей.

имеющий другое, желаемое основание. Пусть прямоугольник ABCD (черт. 5) надо превратить в равновеликий ему прямоугольнику основанием, равным отрезку MN. Отложим BL = AK=MN, построим прямую ВК, — пусть она пересекает CD в точке Е, и построим EOF параллельно ВС; тогда прямоугольник FBLG и есть искомый, что видно из сопоставления чертежей 5-го и 4-го.

Другие применения этого построения, принадлежащие автору настоящей работы, будут даны в конце этой статьи.

§ 3. Рассмотрим теперь два параллелограма с одинаковыми основаниями и с одинаковыми высотами. Можно установить, что их площади равны и по сложению и по вычитанию. Для простоты допустим, что основания этих параллелограмов совмещены.

Пусть ABCD и ABEF (черт. 6)—эти параллелограмы; тогда CD и EF располагаются на одной прямой, параллельной основанию AB.

Так как Д ADF конгруэнтен треугольнику СВЕ, то, вычитая их площади из площади ADEB, убедимся в равенстве площадей ADCB и AFEB по вычитанию.

Если теперь через точку К, где пересекаются СВ и AF, построить прямую, параллельную AB, затем через точки пересечения ее со сторонами параллелограмов построим прямые, параллельные сторонам BE и AD и т. д., как на чертеже, то легко убедимся, что получим в каждом параллелограме ряд треугольников и одну трапецию, которые конгруэнтны с соответствующими треугольниками и трапецией другого параллелограма. Таким образом убедимся, что площади ADCB и AFEB равны и по сложению.

Далее переходим к треугольникам с одинаковыми основаниями и высотами.

Так как во всех курсах элементарной геометрии относящиеся сюда вопросы достаточно освещаются, то здесь дается краткое их изложение.

Из сопоставления треугольника с параллелограмом, имеющим такие же основание и высоту, на основании предыдущего вытекает:

1) Два треугольника, имеющие одинаковые основания и высоты, равновелики.

2) Геометрическим местом вершин треугольников, равновеликих данному и имеющих с ним общее основание, служит прямая, проходящая через вершину этого треугольника и параллельная его основанию.

3) Каждый четырехугольник можно превратить в равновеликий ему треугольник.

Рассмотрим подробнее один пример, относящийся к последнему пункту. Пусть дан четырехугольник ABCD (черт. 7).

Для превращения его в равновеликий треугольник можно итти обычным путем: построить диагональ BD, параллельную ей через точку Л и т. д.; но можно вести построение и несколько иначе. Построим диагональ АС, через точку В построим BE [I АС и соединим точку Е

Черт. 5.

Черт. 6.

Черт. 7.

(где BE и AD пересекаются) с точкой С. Тогда:

пл. АВСО = пл. ДЛСЯ —пл. ДЛ5С, пл. /\ECD = пл. Д ЛС£>— пл. &АЕС;

но площади Д Л5С и Д АЕС равны; следовательно, и пл. Д ECD = пл. ABCD;

4) Каждый многоугольник можно превратить в равновеликий ему треугольник.

Можно вести построение обычным путем: сначала превратить данный многоугольник в равновеликий ему, имеющий одною стороною меньше, затем еще уменьшить число сторон на единицу и т. д., но иногда скорее и изящнее вести построение иным путем. Пусть, например, имеем пятиугольник ABCDE (черт.8). Построим из точки А диагонали АС и AD, через точки В и Е построим BF || АС и EF II AD и соединим точку F (пересечения BF и EF) с точками С и D; тогда Д CDF и есть искомый, что легко увидеть из чертежа, где одинаково затушеваны равновеликие треугольники.

5) Каждый треугольник можно превратить в равновеликий ему прямоугольник.

Пусть имеем Д ABC (черт. 9). Построим его среднюю линию, параллельную большей его стороне, и опустим на нее из точек В и С перпендикуляр СМ и BN. Тогда прямоугольник CMNB и есть искомый. Чтобы убедиться в этом, построим высоту AD (если ВС — большая сторона треугольника, то высота AD идет внутри этого треугольника). Тогда легко убедиться в конгруэнтности тех треугольников, которые на чертеже одинаково затушеваны.

§ 4. Теперь можно установить возможность решения основного вопроса, указанного в § 1. А именно: если мы имеем две площади, ограниченные прямыми линиями, то мы можем установить чисто геометрически, равны ли они или одна из них больше другой. Ход построений таков:

1) Превращаем, согласно п. 4 предыдущего параграфа, каждую площадь в площадь треугольника.

2) Согласно п. 5 предыдущего параграфа, превращаем полученные треугольники в равновеликие им прямоугольники.

3) Согласно концу § 2, у одного из полученных прямоугольников меняем основание так, чтобы оно сделалось равным основанию другого.

4) Накладываем один прямоугольник на другой; так как у них теперь основания одинаковы, то та площадь больше, у которой больше высота.

§ 5. Наличие тех сомнений, какие выше указаны, привело в новейшее время к созданию других теорий площадей. Среди них считается наиболее разработанной теория Гильберта. Мы здесь даем краткое изложение теории Веронезе, которая, по существу, мало отличается от

Черт. 8.

Черт. 9.

теории Гильберта, но более удобна для изложения.

В основу своей теории Веронезе кладет равносоставленность и, прежде всего, устанавливает положение: если две площади равносоставлены каждая с третьей, то они равносоставлены и между собою.

В самом деле, пусть площадь А равносоставлена с площадью С и площадь В — также с площадью С (черт. 10). Нанесем сплошными линиями те разрезы, какие надо сделать на площади С, чтобы из полученных частей составить площадь А, а также нанесем пунктирными линиями те разрезы, при помощи которых можно составить площадь В. Если теперь площадь С разрезать на куски, определяемые обеими системами линий, то из этих мелких кусков можно составить и площадь А и площадь В, т. е. А и В суть равносоставленные площади.

§ 6. Далее теория Веронезе развивается в следующем направлении: установим такое построение, чтобы при помощи него для каждой площади можно было получить соответствующий отрезок, причем надо озаботиться, чтобы все возможные видоизменения построения приводили к одному и тому же отрезку. Прежде всего это надо сделать для треугольника.

Пусть имеем треугольник ЛВС (чер. 11). Примем за его основание сторону AB. Затем выберем произвольный отрезок, назовем его h, — который будем считать постоянным при всех тех операциях, какие нам придется выполнять для данных площадей. Отыскание отрезка, соответствующего треугольнику ABC, делается по отношению к этому постоянному отрезку, и будем считать, что для всех площадей мы будем получать соответствующие отрезки лишь по отношению к отрезку А. Построим прямую MN, параллельную Лона расстоянии h от AB. Продолжим сторону АС до пересечения с MN в точке Д соединим D с В и построим CE И DB. Тогда отрезок АЕ и будем считать соответствующим треугольнику ABC.

Возникает вопрос: если несколько видоизменить построение, а именно: продолжить не сторону АС, а сторону ВС, получится ли отрезок, равный АЕ? Пусть ВС пересекает MN в точке и пусть EjC]] ЬЛА\ тогда получим отрезок ВЕЛ. Равен ли он отрезку АЕ?

Мы имеем на основе учения о пропорциональности отрезков:

Но AD и BD1 пересечены параллельными AB и М; следовательно:

Поэтому

и, следовательно, АЕ = Е1В.

Итак, первое видоизменение построения ведет к такому же отрезку. Возможно еще видоизменение, а именно: можно принять за основание треугольника не сторону AB, а, например, сторону АС.

Получим ли тогда опять такой же отрезок? На чертеже 12 дано: 1) основное построение, приводящее к уже рассмотренному отрезку АЕ, и 2) построена прямая NF II АС на расстоянии h от АС, точка С соединена с F и построена прямая BG (I CF.

Черт. 10.

Черт. 11.

Тогда получим отрезок AG, к которому и привело это видоизменение построения Равны ли AG и Л£? Мы имеем:

Прежде всего заметим, что AF = AD, так как ADNF есть ромб (в силу равенства высот из точки D на AF и из точки F на AD, каждая из которых = h), а затем перепишем вторую пропорцию так:

Сравнение ее с первой пропорцией приводит к заключению, что AG = AE.

Иных видоизменений этого построения быть не может, а потому заключаем, что как мы бы ни видоизменяли наше построение, в результате его получим один и тот же отрезок.

Итак, для каждого треугольника можно построить по отношению к постоянному отрезку соответствующей этому треугольнику отрезок.

§ 7. Считаем необходимым добавить сюда еще следующие соображения.

1) Два треугольника с равными основаниями и равными высотами равносоставлены.

Пусть имеем Д АБС (черт. 13) и MN— его средняя линия. Построим BD || АС; точка О есть точка пересечения BD и MN. Тогда Д5ЛЮ = ДСЛШ и, следовательно, ДЛ/?С равносоставлен с параллелограмом AMüB. Пусть затем АЕ\_ MNhBF±MN. Тогда ДBFD = Д Л£7И и, следовательно, прямоугольник AEFB равносоставлен с параллелограмом ЛЛ10/?, а потому (на основе § 5) прямоугольник AEFB равносоставлен с треугольником АСВ.

Если имеем другой треугольник с такими же основанием и высотою, то также убедимся, что он равносоставлен с прямоугольником, конгруэнтным прямоугольнику AEFB, а, следовательно, этот другой треугольник (§ 5) равносоставлен с первым, с Д АСВ. Если /\АСВ и {\ADB (черт. 14) имеют общее основание AB, но разные высоты, то они не равносоставлены. В самом деле, пусть CCj у AB. Тогда ДЛС/? равносоставлен с Д ACjB, а следовательно не равносоставлен с l\ABD, ибо кусок Bt\D лишний.

2) Два треугольника с одинаковыми основаниями и с одинаковыми высотами дают в результате построения Веронезе равные отрезки.

Пусть у ДЛС5 и ДЛС,В одинаковые высоты, т. е. у AB (черт. 15). Выполнив построение Веронезе для каждого из них, получим соответствующие им АЕ и АЕг, причем

Но CCj У DDj, следовательно AC:AD= = ЛС1:Л01, а потому АЕЛ=АЕ.

3) Всегда можно какой-либо треугольник заменить другим, равносоставленным с ним и имеющим новое основание.

Черт. 12.

Черт. 13.

Черт. 14.

На чертеже 16 abc— данный треугольник, ad — желаемое новое основание, ce\\bd, точка е — пересечение ab и се; тогда /\bde равносоставлен с /\dbc, ибо у них общее основание bd и одинаковые высоты (се \\ db) и, следовательно, /\aed равносоставлен с /\авс.

4) Из всех этих положений вытекает общее заключение: всем равносоставленным треугольникам соответствует (по отношению к определенному отрезку) один и тот же отрезок.

Отсюда же явствует и обратное заключение: данному отрезку (по отношению к определенному отрезку h) соответствуют равносоставленные треугольники.

5) Выясним теперь еще, что сложению площадей треугольников соответствует сложение соответствующих им отрезков.

Сначала разобьем площадь треугольника abc (черт. 17) на две площади прямою, идущею из его вершины С, так, что

пл. Д авс= пл. дамс + пл. дмсв.

Построим, согласно основному построению отрезки ае и af, соответствующие площадям треугольников асв и асм.

Получим для них:

(прямая dd^ H ab и отстоит от нее на расстоянии = К). Отсюда вытекает:

Следовательно:

И далее имеем:

Но треугольнику мвс должен соответствовать такой отрезок mx, что если продолжить mc до пересечения с линией, параллельной основанию в точке /)-, (затем соединить с в и провести сх^Ь^в), то должно быть

Сопоставляя эту пропорцию с предыдущей, убеждаемся, что mx = fe.

Итак, треугольнику abc соответствует отрезок ае, равный сумме отрезков af и fe, которые соответствуют треугольникам amc и мвс.

Ясно, что если треугольник разбит на слагаемые несколькими прямыми, выходящими из одной вершины, то сумма отрезков, соответствующих слагаемым треугольникам, равна отрезку, соответствующему данному треугольнику.

Черт. 15.

Черт. 16.

Черт. 17.

Если теперь треугольник Д разбит как-либо на треугольники, совокупность которых назовем Д3> то поступаем так:

Через вершину треугольника Д, например Л, строим ряд прямых, идущих ко всем вершинам треугольников Д^ тогда получим разбиение треугольника Д на треугольники и четырехугольники {см. чер. 18 вверху); последние разобьем диагоналями на треугольники (на чертеже диагонали даны пунктиром). Назовем совокупность тех треугольников, на которые разбит треугольник Д, прямыми, идущими из Л, через Д2, и совокупность всех тех треугольников, на которые разбивается Д, треугольниками Д1Э треугольниками Д2 и вышеуказанными диагоналями, через Д3. Рассмотрим один из треугольников Д2, например AMN mm АгтлЫл (см. внизу чертежа, причем эти треугольники даны здесь не вполне соответствующими верхнему чертежу, а даны для иллюстрации возможных здесь случаев). Тогда треугольники АРК, QPK и QPN можно считать разбиением треугольника APN па слагаемые прямыми PK и PQ, идущими из вершины Р; также APN, PNR и NRM суть слагаемые треугольника AMN, получаемые при помощи прямых из вершины N. Поэтому сумма отрезков, соответствующих треугольникам, на которые теперь разбит треугольник AMN, равна отрезку, соответствующему самому треугольнику AMN. Также АлРлКч и K^Qi получаются разбиением i41PlQ1 из Рл\ АгР^г и ЛQ^ — разбиением i41Q1/?1 из Qjj A^Rj и Q^RjN^ — разбиением Л1/?1Л^1 из /?,; AjRjN^ и R.lNlM1—разбиением АлМгкл из TV,. Отсюда заключаем, что сумма всех отрезков, соответствующих треугольникам Д3, равна сумме отрезков, соответствующих треугольникам Д2 и, следовательно равна отрезку, соответствующему треугольнику Д. С другой стороны, каждый из треугольников Д1 после построения прямых из Л и вышеуказанных диагоналей разобьется на несколько треугольников, принадлежащих к Д3 (например треугольник EFQ), и к нему применимо все вышеизложенное. Следовательно, отрезок, соответствующий одному треугольнику Д^равен сумме отрезков, соответствующих нескольким треугольникам из Дя, а сумма отрезков, соответствующих всем треугольникам Д,, равна сумме отрезков, соответствующих всем треугольникам Д3, т. е. равна сумме отрезков, соответствующих треугольникам Д2, и равна отрезку, соответствующему самому треугольнику Д.

Пусть мы имеем теперь какой-либо многоугольник с определенной площадью. Пусть эта площадь разбита двумя различными способами: 1) на треугольники Д1 и 2) на треугольники Д2. Оба разбиения, взятые вместе, разбивают этот многоугольник на треугольники и четырехугольники; построив в последних диагонали, получим разбиение всей площади на треугольники Д3. Сумма отрезков, соответствующих треугольникам Д3, должна быть, с одной стороны, согласно предыдущему, равна сумме отрезков, соответствующих треугольникам Д,, а с другой—треугольникам Д2. Итак, эта сумма отрезков постоянна (не зависит от способа разбиения всей площади на треугольники), и отрезок, равный этой постоянной сумме, примем за отрезок, соответствующий рассматриваемой площади.

Из всего предыдущего вытекают положения:

1) Равносоставленным площадям соответствуют равные отрезки.

2) Не существует площади, которой соответствует отрезок, равный нулю.

Отсюда уже ясно доказательство принципа Де-Цольта: если одна и та же площадь могла бы быть составлена: 1) из нескольких кусков и 2) из тех же кусков, кроме одного, то этому последнему должен был бы соответствовать отрезок, равный нулю, что невозможно.

Так же точно ясно доказательство положения, что равновеликие площади и равносоставлены, и обратно.

6) Приводим в заключение построения, принадлежащие автору этой статьи и дающие интересные приложения построения Евклида (§ 2).

Предварительно докажем положение: если из какой-либо точки круга, описанного около треугольника, построить перпендикуляры на его стороны, то основания этих перпендикуляров лежат на одной прямой (прямая Симсона), и обратно: если эти основания лежат на одной прямой, то точка, из которой опущены перпендикуляры, расположена на круге, описанном около этого треугольника.

Пусть из точки M (черт. 19) круга, описанного около /\АВС, построены перпендикуляры MD, ME и MF на его

стороны. Ясно, что четырехугольник MDCE—вписываемый в круг, ибо углы при d и при Е — прямые; диаметром этого круга служит прямая MC. Поэтому /_DMC = /_DEC. Также точки Е и F лежат на круге, диаметр которого есть MA, ибо j/MEA и /_MFA — прямые. Поэтому /_ AMF=/_ AEF. Так как четырехугольник МАВС вписан в круг, то:

Так как MDB и £ MFB — прямые, то из четырехугольника CMFB получаем:

Отсюда вытекает:

а потому и ^_DEC = /_AEF, а так как АЕС есть прямая, то и DEF должна быть прямою линиею.

Обратное положение выясняется так: £DEC = ^AEF (ибо эти углы вертикальны); тогда ^/mDMC = ^/mAMF9 ибо они порознь равны углам DEC и AEF. Так как ^/ MDB и /^MFB — прямые, то /_DMF-\- /_ В = тг; отняв от ^/DMF /_DMC и прибавив /_AMF, по предыдущему равные, получим, что ^/АМС +^_В — ъ, т. е. что точка M лежит на круге, описанном около треугольника ABC.

Обратимся теперь к приложениям.

1) Превратить прямоугольник в равновеликий квадрат.

Пусть квадрат AEIK (черт. 20) равновелик прямоугольнику ABCD. Тогда точка F пересечения El и DC и точка О пересечения ВС и KI лежат на одной прямой с точкой А. Но IF есть перпендикуляр к DC (или к MC), IG — перпендикуляр к ВС (или к NC) и IA (диагональ квадрата) — перпендикуляр к MN, причем MN есть прямая, проходящая через точку А и перпендикулярная к диагонали AI. Поэтому точка / должна лежать на круге, описанном около треугольника MCN. Этот треугольник — прямоугольный и равнобедренный, ибо /_М = /^NAB = 45°. Поэтому центр этого круга лежит в середине гипотенузы MN и легко определяется. С другой стороны, точка / лежит на биссек-

Черт. 18.

Черт. 19.

Черт. 20.

торе угла А данного прямоугольника. Поэтому точку / легко построить, после чего определится и квадрат АЕ1К.

2) Разделить данный отрезок в среднем и крайнем отношениях. Пусть (черт. 21) квадрат LMKB равновелик прямоугольнику ALPD, причем AD = AB (другими словами: пусть данный отрезок AB разделен на такие две части точкою L, что LB есть среднепропорциональный отрезок между AB и другою его частью AL — это и есть задача деления в крайнем и среднем отношениях). Продолжая стороны квадрата и прямоугольника, получим прямоугольник DIKC и квадрат DABC, причем точки /, L и С должны лежать на одной прямой—на диагонали прямоугольника DIKC. Построив диагональ АС квадрата DABC, увидим, что точки /, L и С можно рассматривать как основания перпендикуляров из точки А на стороны ДУИ/Ч/, где FQ есть прямая, перпендикулярная к АС. Точка А, согласно обратной теореме о прямой Симсона, должна лежать на круге, описанном около /\MFG, а центр О этого круга должен лежать в середине отрезка СЕ, так как £DCG= = 45°; следовательно, и /_BCF = Ab° и £ ВЕС = 45° (точка Е есть точка пересечения прямой FG с прямою AB). Поэтому построение таково: на данном отрезке AB строим квадрат ABCD, через вершину С строим прямую, перпендикулярную к его диагонали АС: она определит точку Е на прямой AB; находим середину отрезка СЕ, точку О и, принимая точку О за центр, строим круг радиусом, равным OA, ибо А должна лежать на этом круге. Точка пересечения этого круга с перпендикуляром из О к CF и есть точка M (этот перпендикуляр должен пройти через В, ибо ВС -= BE, и через М, ибо LMKB есть квадрат). Раз точка M получена, то строим ML JL AB; тогда точка L и есть искомая.

Черт. 21.

ПОКРЫТИЕ ПЛОСКОСТИ КОНГРУЭНТНЫМИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКАМИ

Р. БОНЧКОВСКИЙ (Москва)

Пусть ABCD — плоский четырехугольник, углы которого равны а, ß, у» 8 (черт. 1)*. Повернем четырехугольник ABCD в плоскости так, чтобы вершины А и В поменялись местами; тогда четырехугольник ляжет по другую сторону прямой AB. Его новое положение указано буквами BAEF.

Повернем теперь четырехугольник BAEF в плоскости так, чтобы вершины А и Е поменялись местами. Четырехугольник займет положение HEAG.

Наконец, повернем четырехугольник HEAG так, чтобы вершины А и G поменялись местами. Четырехугольник займет положение D^JGA.

Я утверждаю, что точка D1 совпадет при этом с точкой D. В самом деле:

и, кроме того, по известной теореме о сумме углов многоугольника

а + р + у + 5 = 360э;

значит, углы а, ß, у и о заполняют плоскость вокруг точки А, и сторона AD}

* Здесь мы будем предполагать, что среди углов может и не быть равных.

идет по стороне ad. Но ad1 = GH=FB = adt поэтому точка совпадает с точкой d.

Итак, вокруг точки А плоскость заполнена конгруэнтными четырехугольниками без просветов и двойных покрытий.

Тем же способом можно получить сплошные покрытия вокруг вершин /, G, Н, Еу F, В, С и D.

Неограниченно продолжая этот процесс, получим покрытие всей плоскости с помощью конгруэнтных четырехугольников. Мы не будем останавливаться далее на этом способе получения покрытия, так как мы намерены дать ниже другой, более удобный способ.

Пусть Ь — угол между диагоналями АС и BD четырехугольника ABCD. Рассмотрим параллелограм A1B1C1D1, диагонали которого равны диагоналям четырехугольника ABCD и угол между диагоналями которого равен также 0. Пусть Нл и А2 — расстояния между его параллельными сторонами (черт. 2).

Рассмотрим в плоскости систему параллельных прямых, такую, что расстояние между двумя соседними прямыми этой системы равно hv и другую систему параллельных прямых, такую, что расстояние между двумя соседними прямыми этой системы равно А2, причем угол между прямыми первой и второй системы пусть также равен 6. Легко видеть, что эти две системы прямых образуют на плоскости сеть, разбивающую плоскость на параллелограмы, конгруэнтные параллелограму АХВЛСЛЪГ

Перенумеруем рассматриваемые прямые следующим образом: какой-либо произвольно выбранной прямой первой системы дадим номер нуль (черт. 3). Остальные прямые той же системы, начиная от этой прямой, лежащие по одну сторону от нее, перенумеруем в последовательном порядке положительными числами 1, 2, 3..., а прямые, лежащие по другую сторону от этой прямой, начиная от нее же, перенумеруем в последовательном порядке отрицательными числами —1, —2 , —3...

Подобным же образом перенумеруем все прямые второй системы.

Каждую точку пересечения двух прямых с четными номерами назовем Ал\ каждую точку пересечения прямых с нечетными номерами назовем Сг; точки, в которых пересекаются прямая первой системы с нечетным номером и прямая второй системы с четным номером, назовем В^; точки, в которых пересекаются прямая первой системы с четным номе-

Черт. 1.

Черт. 2.

Черт. 3.

ром и прямая второй системы с нечетным номером, назовем D3; так мы получаем бесконечно много точек АЛ9 В19С19 Z)3, причем каждый параллелограм рассматриваемой сети имеет вершины Ал, Вл, Сл, Dt ; у некоторых из этих параллелограмов А1С1 = АС9 ВЛСЛ = ВСУ а у других A1CJ = BD, Bfi^^BC, причем у всех угол между диагоналями равен 6.

Из этих параллелограмов выберем такой, у которого А 1С1 = АСу ByDy = BDy и наложим на него четырехугольник A BCD так, чтобы вершина А упала на вершину Ал и вершина С на вершину Сг и чтобы диагональ BD оказалась параллельна диагонали BJ). Соединим вершины Вл и D^ этого параллелограма соответственно с вершинами В и D четырехугольника и из всех вершин сети Вг и Dj проведем отрезки, равные и параллельные только что проведенным отрезкам ВгВ и D3D; вторые концы всех этих отрезков назовем соответственно В и D.

Пусть теперь все точки Вл равномерно скользят по отрезкам ВгВ к точкам В и все точки Dj равномерно скользят по отрезкам D^D к точкам D и пусть все они одновременно достигают цели. При этом движении вершин параллелограмы постепенно меняют свою форму и к тому моменту, когда точки Вг и Д достигают точек В и D, параллелограмы A]B^ClD1 превращаются в четырехугольники AjBC}Dy конгруэнтные четырехугольнику, данному первоначально.

Таким образом, мы получим покрытие плоскости четырехугольниками, конгруэнтными данному четырехугольнику.

О ВЫЧИСЛЕНИИ СТОРОН И АПОФЕМ ПРАВИЛЬНЫХ ДВЕНАДЦАТИУГОЛЬНИКА И ДВАДЦАТИЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА

Доц. С. ЗЕТТЕЛЬ (Москва)

При отыскании стороны правильного двенадцатиугольника при помощи формулы удвоения выражение для а12 получается в виде сложного радикала

Учащиеся в большинстве случаев преобразования сложного радикала не знают, а потому получить не могут. Некоторые авторы (см. Гурвиц и Гангнус—„Геометрия“. Методическое руководство, стр. 272) предлагают в таком случае дать упрощенное выражение для аЛ2 без вывода и предложить учащимся проверить справедливость равенства

возведением в квадрат его обеих частей.

Я поставил следующую задачу: нельзя ли непосредственно, без каких-либо дополнительных преобразований, получить

Задача, как увидим, разрешается очень просто.

1) Даны две равные взаимно-перпендикулярные хорды AB и CD, стягивающие каждая дугу в 120°.

Докажем, что ВС (чер. 1)—сторона правильного двенадцатиугольника,

Черт. 1.

Так как AFD=90°, то—BC+^AMD = = 180е.

120° + д; + х=180о. х=30°.

Итак, ВС=аЛ2.

Отсюда получаем следующее построение стороны правильного двенадцатиугольника.

Проведем два взаимно-перпендикулярных радиуса, из середины каждого из них восстановим перпендикуляры AB и DC, тогда ВС, по доказанному, будет стороной правильного двенадцатиугольника. Легко вычислить длину ВС. Действительно, так как BF=FC, то ВС — гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника BFC, катет которого

Отсюда:

2) Теперь вычислим апофему правильного двенадцатиугольника k12. Докажем, что хорда AD есть удвоенная апофема. Так как сумма дуг, стягиваемых хордами ВС и AD равна 180°, то:

Из равнобедренного прямоугольного треугольника AFD легко найти AD;

Итак,

3) Покажем еще один способ вычисления стороны правильного двенадцатиугольника и его апофемы. Для этого рассмотрим четыреугольник ACBD. Это — равнобочная трапеция.

Боковая сторона трапеции равна /?1/2. Диагональ R V 3, а потому по теореме Птоломея имеем:

Возведем это равенство в квадрат:

А так как

то квадрат удвоенной апофемы и квадрат стороны правильного двенадцатиугольника будут корнями квадратного уравнения:

Извлекая квадратный корень из меньшего корня квадратного уравнения, получим

Извлекая квадратный корень из большего корня квадратного уравнения, получим

4) Покажем, как легко можно построить правильный двенадцатиугольник по данной стороне: сторона СВ = ап. Требуется построить двенадцатиугольник. Из чертежа 1 усматриваем, что /_CBF=4b°, ^АСВ= 120°. Следовательно, треугольник АСВ легко может быть построен. Круг, описанный около треугольника АСВ, будет кругом, описанным около искомого двенадцатиугольника.

5) Теперь перейдем к построению и вычислению стороны правильного двадцатичетырехугольника.

Рассуждения аналогичны приведенным нами для двенадцатиугольника. Прове-

Черт. 2.

дем два взаимно-перпендикулярных радиуса. Из середины (черт. 2) одного восставим перпендикуляр CD. На другом радиусе отложим от центра отрезок О/С, равный —тр- = апофеме правильного четырехугольника. (Для построения отрезка О/С делим LN=a4 пополам.) Из точки /С восстановим к радиусу перпендикуляр AB. Докажем, что ВС — сторона правильного двадцатичетырехугольника :

Легко вычислить сторону правильного двадцатичетырехугольника

Следовательно, я24=у 1/^8—2 V 2—21/6.

Легко вычислить и k.u. Хорда AD = 2k2i. Из треугольника AFL) найдем

ПОВЕРХНОСТНАЯ ЭНЕРГИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

А. РОМАНСКИЙ (Москва)

1. Для характеристики свойств границы раздела двух сред в молекулярной физике и физико-химии обращаются к изучению „поверхностного натяжения“ или „свободной поверхностной энергии“ данного вещества на границе с другим. Ввиду большого значения этой величины при понимании многих интересных процессов установим точнее, что именно понимается под приведенными терминами.

Классическая теория капиллярности, восходящая к Лапласу, констатирует существование в поверхности жидкости сил, направленных внутрь жидкости и зависящих от сцепления между ее частицами. Сцепление имеет место и у молекул, находящихся глубоко под поверхностью жидкости, но там их взаимное воздействие компенсируется, ввиду статической симметрии, предполагаемой в любой сфере молекулярного действия. Поэтому перемещения молекулы внутри жидкости не потребуют затраты работы против сил сцепления. В поверхностном слое симметрия нарушается, так как над поверхностью молекулы жидкости обладают лишь незначительной плотностью (пары) и не компенсируют притяжений, направленных внутрь. Таким образом, при перемещении частицы изнутри жидкости на поверхность необходимо преодолеть результирующую силу этих притяжений, выполнить какую-то работу.

Поэтому, все частицы, лежащие у поверхности жидкости, обладают некоторым избытком свободной энергии по сравнению с „глубинными“ частицами. Этот избыток свободной энергии молекул, лежащих у поверхности жидкости над свободной энергией молекул, находящихся в глубине жидкости, носит название „свободной поверхностной энергии“ (U). Значение свободной поверхностной энергии, отнесенной к единице поверхности:

(1)

получает, естественно, название „удельной“ свободной поверхностной энергии.

Из изложенного выше нетрудно сообразить, что эта величина вполне определяется работой изотермического образования единицы новой поверхности

жидкости, например, путем извлечения на поверхность некоторых молекул, лежащих в глубине, в случае, например, растягиваемой мыльной пленки. Следовательно,

(2)

и измеряется в

Величина а удельной свободной поверхностной энергии иначе называется „ коэфициентом поверхностного натяжения“, иногда просто „поверхностным натяжением“. Смысл этого термина заключается в следующем.

Согласно известному термодинамическому принципу, свободная энергия изолированной системы, испытывающей изотермические превращения, стремится к минимуму.

Если теперь тем или иным путем нарушить равновесие поверхности жидкости и предоставить ее самопроизвольному изотермическому изменению, окажется, что величина

U=oS-+min (3)

(стремится к минимуму) и при данном значении а (= coast), к минимуму будет стремиться величина S поверхности жидкости. Многочисленные опыты, из которых наиболее глубокий по своему значению, вероятно, опыт Плато, с несомненностью обнаруживают правильность приведенных соображений. При этом, разумеется, существенным условием обнаружения эффекта (3) является изоляция системы от воздействия иных сил, кроме сил сцепления самой жидкости. Капля ртути на смачивающейся поверхности (цинк) теряет свою сферическую форму, растекаясь по поверхности вследствие взаимодействия сил сцепления с молекулами твердого тела.

Обнаруженная экспериментом тенденция поверхности жидкости к сокращению, являющаяся следствием проявления молекулярных сил сцепления, относится часто за счет существования в поверхностном слое тангенциальных „сил поверхностного натяжения“, проявляющихся всегда в случае нарушения целости или формы поверхности. Так, нагружая подвижную перекладину AD (черт. 1) проволочного каркаса ABCD, затянутого мыльной пленкой, грузом Р, мы растягиваем пленку, увеличивая ее поверхность на 2/Л (пленка имеет две поверхности). Согласно с высказанными ранее представлениями, работа образования этой новой поверхности будет:

4 = aAS=a2./.A. (4)

С другой стороны, эта работа может быть вычислена из значения силы Р9 приложенной к проволочке AD:

А = РН; (5)

приравнивая (4) и (5), получим Ph = a2!h.

Откуда

(6)

определяется силой, преодолеваемой на каждую единицу длины раздела двух сред при изотермическом увеличении поверхности жидкости. Нетрудно убедиться, что эта „сила поверхностного натяжения“ измеряется в — и выражается численно теми же цифрами, как и удельная свободная поверхностная энергия в —t.

До сих пор мы совершенно не касались того, какую роль во всех процессах, связанных с величиной поверхностного натяжения жидкости, играют индивидуальные свойства молекул — их строение. В классической теории капиллярности, естественным образом, не могло еще быть и речи о строении молекул. Они рассматривались как в высшей степени симметричные образования— шары исчезающе малых размеров— образ, который сыграл столь плодотворную роль в кинетической теории газов.

Черт. 1.

И однако этот привычный образ в наше время далеко не полно характеризует свойства вещества. Из области молекулярной физики перебрасывается мост в область физической химии. Молекула приобретает лицо — индивидуальные свойства, определяемые ее химизмом и пространственным расположением атомов.

Давно известен экспериментально доказанный факт, что жидкие углеводороды парафинового ряда, независимо от молекулярного веса, т. е. от содержания H—С—H групп, обладают, примерно, одинаковой величиной удельной поверхностной энергии. Для них о равно 46 — 48 ~.

Обстоятельство это удается объяснить в том случае, если признать, что величина а определяется не столько свойствами всей молекулы в целом, как той ее частью, которая обращена наружу от внутренних слоев жидкости. Таким образом, признав существование в поверхностном слое жидкости ориентации молекул, уже не трудно предположить, что все молекулы углеводородов типа

лежат в поверхности жидкости не плашмя, но торчат вертикальными столбиками, оканчивающимися группами СН3.

Далее, ряд работ Лангмюра и Гаркинса показал, что внутрь жидкости всегда обращены наиболее активные и потому легче всего „втягиваемые концы“ молекул. У органических жидкостей такими являются, например, группы

СООН, NHCH3, СНО, ОН, NH2

и др. Вследствие этого всегда на поверхность жидкости, в соприкасающуюся фазу, выходят наименее активные в химическом смысле группы, обладающие минимальной остаточной валентностью и, тем самым, удовлетворяющие наилучшим образом принципу минимума потенциальной энергии.

Подводя итог своим экспериментам, Лангмюр высказывает мнение, согласно которому „поверхностная энергия не является свойством молекул жидкости самих по себе, но зависит от наименее активной части молекул и от способа расположения их в поверхностном слое“. Поверхностная же энергия, по Лангмюру, представляет собой меру потенциальной энергии электромагнитного поля, простирающегося от поверхностных атомов жидкости.

Особый ориентированный характер поверхностных молекул жидкости доказан в настоящее время рентгено- и, в особенности, электронографическим анализом (см. работы Трилла, Вирля и Талмуда). Мы приходим к представлению о затвердевшей кристаллической поверхности жидкости, представлению, нашедшему себе уже много прекрасных подтверждений, как, например, в опытах проф. Дерягина над упругостью сдвига мономолекулярного слоя воды.

Интересно, как высказанные здесь взгляды объясняют, например, растекание одной жидкости по поверхности другой. Естественно, что чем больше величина сил притяжения между частицами обеих жидкостей, тем энергичнее происходит растворение. Если же молекулы наливаемой жидкости обладают в различной степени „растворимыми“, т. е. активными по отношению к растворителю, частями, они ориентируются к нему именно наиболее активным концом. Обстоятельство, также подтвержденное экспериментально.

2. Рассмотрев вопрос о природе поверхностного натяжения жидкости, попробуем применить приведенные рассуждения к твердому состоянию вещества. Можно утверждать, что взаимоотношение молекул на поверхности твердого тела так же отлично от взаимоотношений внутри, как и в случае жидкости. Разумеется, количественная сторона явления будет весьма различна, обнаружение поверхностных сил затруднено на первый взгляд в несравненно большей степени, нежели в жидком состоянии, а анизотропия кристаллического твердого тела заставит нас различать условия взаимодействий не только в глубине и на поверхности вообще, но и на различных гранях-поверхностях. Тем не менее, условия компенсированных воздействий внутри тела — в кристаллической решетке или в хаосе

аморфного состояния, будут резко отличны от некомпенсированного поля поверхностных атомов (или молекул). Таким образом, с энергетической точки зрения, и здесь, в случае твердого тела, приходится считаться с наличием в поверхностном слое остаточных, некомпенсированных валентностей, определяющих свободную поверхностную энергию твердой поверхности. В каких же явлениях можно обнаружить особенности поверхностного слоя твердого тела, можно ли учесть величину свободной поверхностной энергии его или ее удельное значение — вот вопросы, острый интерес которых несомненен сейчас, в годы развития физики твердого состояния вещества.

Одной из любопытнейших загадок природы долгое время в истории естествознания считалась правильная геометрическая форма многих естественных кристаллов.

Первая попытка примитивного физического объяснения формы кристалла принадлежит А ю и (французский кристаллограф XVIII в.). С его точки зрения, кристалл есть сросток мельчайших полиэдров, к которым очевидно предъявляется требование заполнения пространства без промежутков. Разумеется, в этой теории совершенно неоправдано существование элементарных полиэдров, отождествляемых иногда с молекулами. В последнем случае задается новая загадка — непонятно, какими именно условиями регламентируется та или иная форма молекулы. С другой стороны, далеко не все действительно существующие кристаллические многогранники могут быть столь просто „сложены“ из ограниченного числа полиэдров, заполняющих пространство в плотной упаковке.

Теория Аюи, явившаяся, вероятно, зародышем теории пространственной решетки, правильности внешней огранки кристалла объяснить не могла.

В 1885 г. Кюри, а затем в 1892 г. Гиббс и в 1895 г. Вульф развили другой взгляд. К кристаллу применили тот же принцип минимума свободной поверхностной энергии, который для изолированной жидкости приводит к сферической форме, известной из эксперимента Плато. Но совершенно естественно предполагать, что величина удельной поверхностной энергии в кристаллическом многограннике различна в различных направлениях. Тогда принцип минимума поверхностной энергии не может уже быть выражен так, как для жидкостей (3). Если 5,, S2, S3, ... Sn — поверхности граней кристалла, а ар о2, а3,... ап — соответствующие им удельные поверхностные энергии, то принцип минимума поверхностной энергии U будет:

(7)

Математическое доказательство этого принципа в применении к некоторым кристаллическим формам было дано Вульфом.

Таким образом, кристалл в процессе своего роста должен принять такую огранку, при которой исчезнут, вовсе не будут образовываться грани с наибольшими значениями удельной поверхностной энергии и особенно будут развиваться грани, для которых величина о мала.

Когда впоследствии (Борн, 1909 г.) удалось теоретически вычислить величину а для некоторых кристаллов, высказанное положение подтвердилось. Например, в случае кристалла каменной соли (НаС1) величина а для грани куба оказалась равной 150 эрг/см2. Если бы соль, как это бывает в редких случаях, кристаллизовалась с развитием граней ромбического додекаэдра, мы должны были бы им приписать значение а = 2,5-150 эрг\см2, a для граней октаэдра даже 5,8-150 эрг\см2. Вот почему соль в громадном большинстве случаев развивает только кубические грани. Можно теперь поставить вопрос: имеются ли в нашем распоряжении методы изменения форм кристаллов.

Для этого необходимо уметь изменять удельную поверхностную энергию на гранях кристалла. Такое изменение мыслимо, например, при адсорбции на поверхности кристалла посторонних молекул. Действительно, представим себе кристалл, растущий из насыщенного раствора, к которому в весьма малом количестве прибавлены какие-нибудь посторонние молекулы, обладающие резкой полярностью, т. е. снабженные особо активными группами. К числу таких молекул принадлежат многие, в особенности органические, вещества, среди которых в первую очередь

следует указать на различного рода красящие вещества, жирные кислоты, некоторые из их солей и др. Активные группы таких молекул, притягиваясь силами остаточных валентностей поверхностных атомов, будут избирательно адсорбироваться на поверхности твердого тела. При этом, очевидно, свободная энергия на данной грани убывает, так как за ее счет совершена работа присоединения адсорбированных молекул. Уменьшится и величина удельной поверхностной энергии, но на разных гранях это уменьшение, ввиду анизотропии свойств, будет различно. Поэтому условия минимума поверхностной энергии изменятся и приведут к изменению огранки кристалла.

Экспериментальная проверка описанных явлений производилась Марком и Венком на кристаллах сернокислого калия при адсорбции краски „бисмарк-браун“, „понсирот“ и др.

Эффект оказался положительным. Удалось добиться значительных изменений в отношении развития тех или иных граней. В настоящее время аналогичные опыты с успехом проводятся и над другими веществами.

3. Исключительный интерес как с теоретической, так и с прикладной точки зрения приобретает поверхностная энергия твердого тела, когда она ставится в связь с его твердостью. Как это ни странно, но это основное свойство тел, играющее решающую роль во всех технологических процессах, остается до сих пор недостаточно обоснованным с теоретической стороны и страдает множеством условностей — с прикладной. Твердость определяют очень различно: или как противодействие, оказываемое данным веществом при проникновении в него другого, „более прочного“, или как „сопротивление остаточной деформации“, как это делают Джефрис и Аргер (1924 г.), откровенно сводя речь к упругим и пластическим свойствам тел. Отсюда возникают такие, например, утверждения: „Чем мягче материал, тем больше остаточная деформация“ (Хантер Смит, цитирую по переводу в журнале „Точная индустрия“, 1934 г., № 8).

Если же обратиться к методам численного определения твердости, к эксперименту, то картина становится еще более неопределенной. Действительно, существует свыше двух десятков методов измерения твердости, причем для каждого из них имеются свои, условно выработанные, „шкалы твердости“ с единицами твердости, зачастую несравнимыми между со5ой. Можно разделить все ныне существующие методы определения твердости на следующие группы. В первой из них измерение твердости сводится к измерению упругих свойств поверхностных слоев тела. Отметим, что, хотя мы и говорим об измерении „свойств поверхностных слоев“, здесь речь идет не об измерении величины, связанной с поверхностной энергией тела. Упругость — свойство объемное, возникающее в результате пространственного, трехмерного, так сказать, взаимодействия молекул, а не одного только слоя поверхностных атомов. Так что наше выражение „поверхностные слои“ надо понимать несколько иначе. Так как во многих случаях упругие свойства не вполне одинаковы у поверхности и в глубине тела, указанный способ измерения дает возможность охарактеризовать только первое из них. Примером метода такого рода может служить склерометр Шора. Стандартный стальной шарик падает со стандартной высоты на исследуемую поверхность. Определяется высота, на которую отскакивает упавший шарик. Она характеризует „твердость по Шору“.

В другой группе методов измеряются величины, характеризующие столько же „твердость“, как и пластические свойства материала. Сюда надо отнести пользующиеся наибольшим распространением и популярностью способы измерения твердости, основанные на вдавливании в поверхность образца стандартных шариков или острий. При этом употребляется стандартное надавливание и измеряется диаметр или площадь отпечатка, произведенного на образце. Так, в методе Бринелля твердость определяется силой

измеряющей давление на каждый квадратный миллиметр отпечатка.

Наконец, третья группа методов возглавляется старейшей шкалой твердости Моса. Царапая поверхность одного образца другим, стандартным, считают тот из них более твердым, который производит царапину на другом, а сам

этим другим не царапается. Мое установил десятибалльную, весьма произвольную шкалу, имеющую до сих пор применение преимущественно в минералогических исследованиях. В другом методе — Мартенса — алмазное острие чертит под стандартной нагрузкой черту на исследуемом образце. При этом твердость материала принимается обратно-пропорциональной ширине черты, измеренной под микроскопом. Оба эти метода ставят твердость в зависимость от пластичных свойств образца. Однако в процессе проведения черты на поверхности твердого тела имеются еще и другие факторы, требующие детального рассмотрения. В процессе царапания игла (алмаз) не только пластически деформирует—„выдавливает“ борозду. Она образует новую поверхность, разрезая, вспарывая или вспахивая ее. При этом происходит хотя бы частичное, а для хрупких тел — весьма значительное диспергирование, измельчение, с образованием крохотных осколков, вырванных из борозды и обладающих также в значительной части новой поверхностью.

Еще Б. П. Вейнберг(1908 г.) в своем общем курсе физики и в популярных статьях считал, что если бы можно было измерить работу, затрачиваемую на проведение царапины в методе Моса, мы могли бы измерить поверхностное натяжение твердого тела. Ведь, как уже было выше сказано, величина поверхностного натяжения определяет работу, необходимую для образования единицы новой поверхности. В крайнем случае, если невозможно измерить величину работы, можно найти, сравнивая царапины, произведенные на различных образцах одинаковым острием, отношение их поверхностных энергий. К сожалению, в обоих методах, как Моса, так и Мартенса, работа образования царапины затрачивается не только на диспергирование с образованием новой поверхности. Часть работы, кроме того, затрачивается на образование пластических деформаций, а часть — наиболее „неучитываемая“ по свойству необратимости процесса, на нагревание при трении. Процесс не изотермичен. К нему нельзя уже прилагать того определения поверхностной энергии, какое давалось нами в случае растягивания (изотермического) жидкой пленки. В этой особенности процесса образования новой по верхности твердого тела, в невозможности освободиться от работы, затрачиваемой на преодоление трения и, во вторую очередь, в наличии всегда пластических, а иногда и упругих деформаций — кроются затруднения, до сих пор непреодоленные, для экспериментального определения удельной поверхности энергии твердого тела. Впрочем, пластические и упругие деформации могут быть значительно уменьшены, сведены к минимуму, если сама царапина приобретает возможно меньшие размеры. Экспериментально это достигается изменением способа нанесения царапины: она уже не наносится острием, но воспроизводится громадное число раз чрезвычайно мелкими острыми частицами „абразивным материалом“ при сошлифовывании образца на шлифовальном станке. Однако и в случае сошлифовывания необратимость процесса не устраняется. Поэтому было бы опрометчиво утверждать, что определение твердости тем или другим из способов диспергирования поверхности образца дает возможность измерения величины его удельной поверхностной энергии.

Отсюда вытекает ряд интересных следствий. Если нельзя измерить поверхностную энергию твердого тела, то все же, какую именно величину мы меряем, когда определяем твердость? Ряд авторов, начиная с упоминавшихся взглядов Вейнберга, а в последнее время в особенности В. Д. Кузнецов („Физика твердого тела“, 1932 г.), склонны были полностью отождествлять твердость и поверхностное натяжение твердых тел. При такой трактовке вопроса особые затруднения возникают при переходе от хрупких тел, для которых пластические деформации очень малы, к металлам, где ими уже нельзя пренебрегать, и где, разумеется, работа, затрачиваемая на тот или иной вид диспергирования, шла далеко не исключительно на образование новой поверхности.

Кроме того представляется спорным, удобно и целесообразно ли введение понятия „твердости жидкости“. Ведь, раз признается, что твердость измеряется поверхностным натяжением, то, очевидно, для любой жидкости, указывая величину свободной поверхностной энергии, мы, тем самым, указываем и

величину твердости. Было бы естественнее предположить, что „твердость“—понятие, возникшее из противоположения свойств жидкого и твердого состояния вещества, есть совершенно своеобразная константа тела, хотя, может быть, сложного характера.

Работы, которые ведутся в настоящее время в ряде лабораторий, приводят к изменению взглядов, приведенных выше.

Попробуем исходить из того основного положения, что обратимость процесса образования новой поверхности является прерогативой жидкого состояния вещества. Отсюда вытекает, что для твердого тела величина работы, потраченной на образование единицы новой поверхности, идет не только на увеличение свободной поверхности энергии, но затрачивается еще на выполнение необратимой части процесса:

где q и есть работа, затрачиваемая на трение, пластические деформации и т. п. Эту-то величину (а + q) мы и будем считать мерой истинной твердости H материала:

И в этом уравнении фигурирует работа образования единицы новой поверхности, но здесь она затрачивается в условиях необратимого процесса, чем и отличается существенным образом от случая поверхностного натяжения. Вполне понятно, что выведенная нами величина является вполне специфической для твердого состояния.

С точки зрения такого нового представления о твердости наиболее рациональными методами измерения ее являются те, в которых меряется величина, непропорциональная работе диспергирования образца. Сюда относится, главным образом, сошлифовывание на шлифовальном станке, царапание и применение так называемого маятника Кузнецова — Ребиндера. Последний представляет собой два алмазных острия, прижимаемых к поверхности образца, определенной нагрузкой. Если вывести маятник из положения равновесия, он будет совершать затухающие колебания в силу диспергирования остриями поверхности образца. Логарифмический декремент затухания колебаний маятника и явится мерой твердости в этом методе.

Выше мы уже видели, как адсорбция молекул некоторых органических веществ на поверхности кристалла может понизить его свободную поверхностную энергию. Из дальнейших же рассуждений вытекает, что величина о тесно связана с работой диспергирования:

Было бы поэтому чрезвычайно интересно поставить опыты разрушения поверхности при шлифовании, например, в таких условиях, при которых понижалась бы величина поверхностного натяжения а и, тем самым, облегчалась работа шлифования. Уже очень давно в практике шлифования, сверления, резания в токарном деле и т. д. употребляются жидкости, покрывающие поверхность диспергируемого образца одним из этих способов. Часто эти жидкости называют „смазывающими“, иногда „охлаждающими“. Против физического смысла последнего термина легко возразить. Наиболее действительными охлаждающими свойствами в силу своей высокой теплоемкости обладает, конечно, вода. Между тем, чистую воду употребляют весьма редко. Обыкновенно в ней растворяют те или иные вещества, например мыло, в небольшом количестве; значит речь идет не об охлаждении, а о каком-то более сложном процессе.

В ряде экспериментальных работ, поставленных над диспергированием металлов и минералов, удалось в настоящее время убедиться в истинной природе этих „смазочных“ жидкостей. Основная роль их сводится к понижению величины j— т. е. к облегчению процесса диспергирования. Понятно при этом, что жидкость должна представлять собой раствор с весьма незначительным количеством полярных молекул в возможно менее полярной жидкости. Такими жидкостями являются в особенности бензол, керосин (специальным образом очищенный), вазелиновое масло, толуол. Все производимые эксперименты показали, что работа диспергирования уменьшается уже при прибавлении к жидкости незначительной доли процента полярных молекул, что „эффект понижения работы диспергирования“ сначала возрастает с увеличе-

нием количества растворенного вещества и, наконец, стабилизируясь, перестает меняться, когда вся обнажающаяся поверхность тела сразу покрывается насыщающим ее полностью адсорбционным слоем. Типичный вид кривой повышения диспергируемости представляет собой чертеж 2. В ряде случаев для цветных металлов диспергируемость возрастает от действия адсорбционных слоев в 6 раз, в черных металлах эффект этот значительно меньше. Нам удавалось повышать диспергируемость котельного железа при шлифовании в 2,5 раза, стали с содержанием 1,2%С („ЭУ12“) с/э1,9 — 2 раза. Перед нами открывается задача — рационализировать все виды „смазочных“ веществ, употребляемых в различных способах диспергирования твердых тел на производстве, и, тем самым, подвести научную физико-химическую базу под процесс обработки поверхности твердых тел. В ряде производств уже удалось получить в этом направлении существенные результаты.

Наш обзор был бы слишком неполон, если бы мы не коснулись в нем вопроса о числовом значении величины а удельной поверхности энергии для твердых тел.

Как уже отмечалось выше, до настоящего времени не существует методов экспериментального определения этой величины. Теоретические расчеты были впервые произведены Борном (1909 г.) на основании теории пространственной решетки для некоторых гетерополярных кристаллов. Таблица содержит полученные им и некоторыми другими авторами значения:

Целый ряд соображений различного рода дает возможность утверждать, что приводимые значения весьма близки к испытанным. Другие методы приближенного расчета приводят к аналогичным результатам.

На очереди все же стоит еще неразрешенный вопрос об экспериментальном определении величины удельной поверхностной энергии твердого тела.

Черт. 2.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Наумов — „Коллоидальная химия“. Статья проф. П. А. Ребиндера — „Поверхностные явления“.

2. Талмуд и Бреслер — „Поверхностные явления“ 1934.

3. П. А. Ребиндер — „Физико-химия технических эмульсий“. М. 1933.

4. П. А. Ребиндер — „Физико-химия флотационного процесса“. М. 1934.

НОВАЯ ЗВЕЗДА В СОЗВЕЗДИИ ГЕРКУЛЕСА

Проф. Б. ВОРОНЦОВ-ВЕЛЬЯМИНОВ (Москва)

13 декабря в созвездии Геркулеса появилась новая звезда, замеченная английским любителем астрономии Прэнтисом. Наблюдая падающие звезды, он совершенно случайно обнаружил присутствие на границе созвездий Геркулеса и Лиры довольно яркую звезду около 4-й величины, которой раньше тут не было и которая не значится ни на одной звездной карте этой области. О своем открытии Прэнтис немедленно сообщил в Гринвичскую обсерваторию, так как случаи появления новых звезд, тем более таких ярких, представляют очень редкое и крайне интересное явление. В Гринвичской обсерватории в ту

же ночь успели сфотографировать спектр этой звезды, оказавшийся состоящим из непрерывного фона перерезанного яркими полосами излучения, и сообщить об этом в Копенгагенскую обсерваторию. Последняя является международным центром по рассылке телеграмм, извещающих об экстренных астрономических открытиях. В данном случае это представлялось особенно важным, так как новые звезды обычно быстро ослабевают в яркости и их физическая природа вблизи момента их появления изучена еще очень мало.

Действительно, характерной чертой кривых изменений яркости типичных новых звезд (черт. 1) является исключительно сильное и быстрое увеличение яркости. После этого блеск новых звезд быстро уменьшается, хотя и значительно медленнее, чем он поднимался. Поэтому, как правило, наблюдения новых звезд начинаются тогда, когда звезда уже достигла наибольшего блеска или, чаще — когда он уже стал падать. Попутно с этими изменениями блеска в огромных пределах изменяется и вид спектра этих удивительных звезд. Скудные данные относительно спектра новых звезд до момента максимума их яркости показывают, что за время роста их блеска спектр остается неизменным. Он имеет вид почти нормального спектра обычных звезд, состоящего из непрерывного фона, перерезанного темными узкими линиями. Исследования автора показывают, что все типичные новые звезды принадлежат в эту эпоху своего развития к звездам типа А, т. е. к белым звездам с температурой порядка 8000—12 000, имеющим в спектре наиболее интенсивными линии поглощения водорода и слабые линии поглощения ионизированных металлов. Новые звезды, имеющие до вспышки спектры более позднего типа, соответствующие более низкой температуре, обнаруживают, повидимому, в своем развитии различные, часто весьма сильные, отклонения от „нормального“ развития типичных новых звезд. Необходимо однако отметить, что у немногих достаточно исследованных новых звезд наблюдается много деталей, отличающих их друг от друга, и нельзя найти две новые звезды, по своим изменениям в точности похожие друг на друга.

Это и неудивительно, поскольку появление новых звезд несомненно является результатом огромных по своим размерам катастроф.

Тем не менее до сих пор обнаружение у новой звезды спектра, перерезанного яркими полосами, являлось безошибочным признаком того, что максимум яркости уже миновал.

На Московской обсерватории только 20 декабря в прорыв между облаками удалось впервые увидеть новую звезду. К нашему удивлению, вопреки ожидавшемуся падению блеска и усилению ярких полос в спектре яркость звезды оказалась 2,2 зв. величины, а спектр — непрерывным, с темными линиями, без всяких следов излучения. Продолжая повышаться, 22 декабря утром яркость звезды достигла максимума 1,3 зв. величины, причем ее спектр за это время и несколько дней впоследствии в основном оставался без перемен.

Кривая изменения яркости новой звезды представлена на чертеже 2. Таким образом, приходится заключить, что: либо главный максимум яркости звезды произошел незадолго до 13 декабря и никем не был замечен (что маловероятно) либо же, что изменения спектра у этой звезды происходили необычным способом. В первом случае могло бы быть простое усиление непрерывного спектра, обычно сопровождающее вторичные вспышки яркости новых звезд.

Второй задачей, немедленно выполненной нами, было определение точных координат новой звезды на небе, произведенное фотографическим способом. Это позволило тотчас же пересмотреть фотографические снимки этой области неба, снятые на Московской обсерватории в прошлые годы. Такие фотографии, тщательно хранимые, составляют так называемую стеклянную библиотеку и являются документами, фиксирующими историю неба. В результате изу-

Черт. 1

чения старых снимков оказалось, что новая звезда и до своей вспышки существовала в пространстве, но только прежде ее яркость была очень слаба и колебалась в пределах 14,2—15,0 зв. величины.

Такие примеры в ряде случаев были отмечены и раньше,—новые звезды до своей вспышки являлись очень слабыми и иногда слегка переменными звездами. Очевидно новые звезды вообще не возникают вновь, а только внезапно увеличиваются в яркости и тогда сразу обращают на себя внимание. В среднем, в течение немногих суток или даже часов яркость новых звезд усиливается в 10—20 тысяч раз.

Яркость Новой Геркулеса в общем повысилась в 250 тысяч раз, но происходило это значительно медленнее, чем обычно.

В этом отношении она напомнила удивительную новую звезду, появившуюся в 1925 г. в созвездии Живописца (в южном полушарии неба). Последняя еще 13 апреля была третьей величины, но была замечена только 25 мая и наибольшего блеска (1,15 зв. величины) достигла 9 июня.

История знает немного ярких новых звезд, подобных Новой Геркулеса. До изобретения телескопа достоверно наблюдалось две новых звезды, — одна в Кассиопее в 1572 г., другая — Офиухе в 1604 г. Первая в своем наибольшем блеске превзошла Венеру и была видна даже днем. Вторая была ярче Юпитера, и обе, ослабев, исчезли для невооруженного глаза через 16—17 месяцев после своего появления. Они обе вызвали много толков среди ученых и философов того времени и сильно подорвали господствовавшее тогда убеждение о „чистоте“ и неизменяемости неба. Знаменитые астрономы той эпохи — Тихо де Браге и Кеплер — считали их продуктом сгорания „испарений, выделяемых землей и планетами“, благодаря чему небо „сохраняет свою чистоту“.

Другие старались и в этом видеть волю божию, и, например, иезуит Риччиолли считал новые звезды шарами, одна половина которых—темная, другая— светлая. По его мнению, бог, желая показать людям свою волю, поворачивает к ним светлую половину этих звезд, а когда захочет — отворачивает ее, отчего блеск звезды нам кажется меняющимся. Учитель Кеплера Местлин просто заявил, что рассуждать о сущности новых звезд грешно, и что они „сотворены чудесным, непостижимым для людей образом“.

Вплоть до середины XIX в. ярких новых звезд не видели, и только в 1856 г. появилась новая звезда в созвездии Короны, достигнувшая 2-й величины.

XX столетие несравненно богаче яркими новыми звездами, и, несомненно, это отчасти объясняется увеличением числа наблюдателей неба. В следующей табличке приведен список наиболее ярких новых звезд, причем отметим курьезное совпадение. Новая Лебедя 1920 г. была открыта также руководителем английских наблюдателей метеоров, предшественником Прэнтиса — Деннингом.

Таким образом, через несколько лет новые звезды возвращаются приблизительно к своей прежней яркости, но,

Черт. 2.

как мы увидим ниже, их физическое состояние при этом значительно отличается от первоначального. Некоторые новые звезды до своей вспышки и после нее оказываются слегка переменными, причем колебания их яркости происходят совершенно неправильно, без всякой периодичности.

Звезда

Зв. величина до вспышки

Зв. величина в максимуме

Зв. величина в настоящее время

Новая

в созв. Короны 18 6 г. . .

9,9

2,0

9,0

Лебедя 1876 г.

3

меняется от 14.3 до 15,0

Возничего 1891 г. . .

13,2

5

15

Персея 1901 г.

11—14

0,0

меняется от 12,5 до 13,9

Близнецов 1912 г. . . .

12,ч

3,7

14,6

Орла 1918 г.

10—11

0,2

11,0

Лебедя 1923 г.

15

1,5

15,0

Живописца 1925 г. . . .

12,7

1,2

9 и продолжает ослабевать

Спектральные изменения, сопровождающие изменения блеска новых звезд, весьма характерны и поразительны по своей значительности. К сожалению, достаточно хорошо исследованы только последние четыре звезды из приведенных в списке. До этой эпохи и техника наблюдений спектров и методы их изучения были еще слишком примитивны.

Как мы уже отмечали, темные линии спектра тотчас же после максимума превращаются в широкие яркие полосы, центры которых мало смещены относительно своего нормального положения (черт. 3). На краю многих ярких, особенно водородных, полос появляются резкие темные линии, принадлежащие тем же химическим элементам, но смещенные очень сильно в сторону фиолетового конца спектра. Последние вызываются, очевидно, поглощением света звезды в облаках газа, летящего от звезды в сторону наблюдателя со скоростью, доходившей у разных новых звезд до 2,5 и даже 3 тысяч км в секунду. Понятно, что скорость самой звезды относительно Земли в течение катастрофы не меняется, и что эту скорость обнаруживают газы, выбрасываемые с поверхности звезды во все стороны. Однако только те газы вызывают поглощение света звезды и дают темную линию в спектре, которые для наблюдателя проектируются на диск звезды. Эти газы двигаются к наблюдателю со скоростью v. Газы, выброшенные звездой по другим направлениям, проектируются вне диска звезды и потому излучают яркие линии спектра. Выброс газов под всевозможными углами дает различные значения для проекции их скорости на луч зрения, от нуля до величины v. Таким образом, в спектре получается множество ярких линий излучения, смещенных в обе стороны от нормального положения на всевозможные величины: от нуля — до смещений, соответствующих скорости ±v. Совокупность таких линий дает яркую полосу в спектре шириной в 2Х — онгстремов. Это объяснение ярких полос в спектрах новых звезд, предложенное впервые в 1918 г., хорошо подтверждается и рядом других данных. Повидимому, в момент максимума блеска новая звезда выбрасывает газовую оболочку,

Черт. 3.

с огромной скоростью расширяющуюся во все стороны.

От лабораторных водородные линии в спектрах новых звезд отличаются не только своей шириной, но и сложностью структуры. Внутри этих полос обнаруживаются вторичные максимумы яркости и темные линии, которые возникают не одновременно, иногда исчезают или перемещаются. Это показывает, что звездой последовательно выбрасывается несколько газовых оболочек, расширяющихся с различной скоростью, меняющейся к тому же по величине с течением времени. Кроме того линии различных элементов и даже разные линии одних и тех же элементов обнаруживают одновременно различные смещения в спектре, что затрудняет не только объяснение разыгрывающихся в новой звезде явлений, но иногда и самое отождествление линий звезды с линиями химических элементов.

С течением времени линии мало ионизированных атомов исчезают и на смену им появляются линии все более и более ионизированных или труднее поддающихся ионизации атомов (черт. 4). Это указывает на возрастание температуры звезды, сопутствующее падению ее яркости. Вместе с этим непрерывный спектр звезды становится все слабее, а яркие полосы по сравнению с ним — все интенсивнее и интенсивнее. На известной стадии развития в спектре новых звезд появляются линии, наблюдающиеся только у газовых туманностей и никогда не наблюдаемые в звездах. Среди этих линий наиболее замечательны зеленые линии, обозначаемые ^ и N2 и приписывавшиеся ранее гипотетическому элементу— „небулию“.

В 1928 г. Боуэном было выяснено, что в действительности они принадлежат атомам дважды ионизированного кислорода, но являются так наз. запрещенными, могущими излучаться только в условиях крайне разреженной газовой среды. Эти линии соответствуют переходам электронов в атомах из так наз. метастабильных состояний в другие, более обычные. В обычных возбужденных состояниях атом существует стотысячные доли секунды и затем возвращается в нормальное состояние, излучая какую-нибудь линию спектра. В метастабильных же состояниях атом, если его не тревожить, существует очень долго, иногда несколько секунд, прежде чем он самопроизвольно вернется в нормальное состояние, излучив при этом „запрещенную“ линию. Последняя называется так потому, что в обычных условиях атом, пришедший в метастабильное состояние, выводится из него насильственно, сталкиваясь с другими атомами или квантами света, благодаря чему эти линии и не излучаются — они „запрещены“.

В расширяющейся и разрежающейся оболочке, выброшенной новой звездой, так же как и в газовой туманности, плотность ничтожно мала. Поэтому там атомы сталкиваются чрезвычайно редко и излучение запрещенных линий возможно. Разоблачение „небулия“ было сделано Боуэном теоретически при помощи вычислений, так как в лабораториях вакуумы недостаточно разрежены, чтобы допускать появление „запрещенных“ линий кислорода.

Недавно двум японским физикам в условиях, весьма отличающихся от тех, которые встречаются в туманностях, удалось как будто получить следы этих линий небулия на своих спектрограммах.

Определяя моменты появлений линий небулия в спектре новых звезд, можно было оценить предельную максимальную плотность газа, при которой делается

Черт. 4.

возможным излучение „запрещенных линий“. Предельная плотность оказалась равной 10-]7 (^~з). Удалось также подсчитать и „продолжительность жизни“ ионов кислорода в метастабильном состоянии и длину их свободного пробега и время между столкновениями.

Температура новой звезды в Орле в эпоху развития в ней линий небулия оказалась равной 65000° вместо 8000°, которые она имела до максимума яркости. Вероятно, такое повышение температуры происходило постепенно.

До своего наибольшего блеска звезда сохраняет неизменными, как мы отмечали, черты своего спектра, и, повидимому, неизменной остается ее температура. В таком случае увеличение яркости звезды при вспышке может быть объяснено только увеличением ее поверхности — вздутием звезды. Но в таком случае, при вздутии, обращенное к Земле полушарие звезды должно к ней приближаться, и, действительно, в эту эпоху темные линии спектра показывают приближение к нам с умеренной скоростью порядка нескольких десятков километров в секунду. Кроме того, перед максимумом яркости спектр новой звезды обнаруживает черты, характерные для так наз. звезд-гигантов, т. е. имеющих вследствие огромности своих размеров большую истинную суммарную яркость.

Сопоставляя при этих предположениях линейную скорость вздутия (характеризуемую линиями спектра) с относительной скоростью расширения (характеризуемой быстротой возрастания блеска), можно вычислить расстояние до новой звезды, ее размеры в разное время и т. п. Таким образом для Новой Геркулеса автором статьи предварительно найдено расстояние в 4200 световых лет, диаметр до вспышки почти равный, а в наибольшем блеске в 670 раз превосходящий диаметр Солнца. Истинная яркость звезды до вспышки была равна яркости Солнца, а в максимуме в 250 тысяч раз превосходила яркость последней.

Возможно, что выбрасывание верхних слоев звезды в пространство в виде оболочек происходит под действием давления света благодаря колоссальному увеличению яркости и начавшемуся повышению температуры звезды. Масса выброшенных оболочек, повидимому, невелика и имеет порядок всего лишь одной стотысячной массы Солнца, так что практически масса звезды при катастрофе остается неизменной.

По мере приближения яркости новой звезды к своей окончательной величине спектр упрощается и в нем остаются

Черт. 5.

только немногие яркие широкие полосы, а полосы, характерные для туманностей, ослабевают. Как выяснили исследования автора статьи, все типичные новые звезды, в конце концов, превращаются в так наз. звезды типа Вольф-Райе (с широкими яркими полосами в спектре), притом в тот вид их, который характеризуется наибольшей яркостью полосы ионизированного гелия с длиной волны 4685 онгстремов. В этих стадиях новые звезды не отличимы от обычных звезд Вольф-Райе или от некоторых звезд, находящихся в центре так наз. планетарных туманностей.

Быть может, все наблюдаемые нами звезды типа Вольф-Райе — это бывшие новые звезды, вспышки коих произошли ранее эпохи начала систематического изучения звездного неба.

Звезд типа Вольф-Райе, каково бы ни было их происхождение, известно ничтожно мало — их приходится одна на 4000 обыкновенных звезд. Зто объясняется, повидимому, лишь тем, что длительность стадии звезд Вольф-Райе, по вычислениям автора, очень мала, всего лишь около 104 — 105 лет. После этого звезды вместо спектров типа Вольф-Райе приобретают, повидимому, обычный звездный спектр и не отличимы от „нормальных“ звезд, „жизнь“ которых от рождения до угасания длится около 1013 лет. Наличие ярких полос в спектрах звезд Вольф-Райе теперь объяснено аналогично случаю новых звезд.

При этом, однако, под действием давления света выбрасываются не отдельные газовые оболочки, а непрерывный поток атомов, своего рода атомный дождь, направленный наружу. По мнению автора, такое значительное выбрасывание в пространство газов новыми звездами и звездами Вольф-Райе вместе с наблюдающимся постепенным расширением газовых планетарных туманностей и ведет к образованию огромных газовых диффузных туманностей. Подсчеты показали, что масса газов, выталкиваемых таким образом в межзвездное пространство, должна быть огромна и вполне соответствует наличию огромного числа неправильных, клочковатых (диффузных) туманностей вроде туманности Ориона.

Выбрасывание новыми звездами в момент своей наибольшей яркости туманных оболочек подтвердилось непосредственными наблюдениями в телескоп и фотографически. У ряда наиболее ярких новых звезд через несколько месяцев или лет после их вспышки были обнаружены окружающие их маленькие круглые или кольцеобразные туманности, равномерно увеличивавшиеся в диаметре с течением времени. Приняв эту скорость расширения и вычисляя время, протекаемое от начала расширения этой туманности до момента наблюдения, неизбежно приходили к дате максимума блеска новой звезды. Таким образом, наблюдавшиеся туманные оболочки, обнаружившие чисто газовый спектр, действительно были выброшены взрывом в эпоху наибольшей яркости звезды, как это предполагалось раньше для объяснения спектра новых звезд. Сопоставление угловой скорости расширения этих туманностей (в секундах дуги) с линейной скоростью расширения (по смещению линий в спектре новой звезды) позволило в нескольких случаях определить расстояние до этих удивительных объектов. К сожалению, обычные способы определения расстояния к этим звездам неприменимы ввиду огромной дальности их расстояния от нас.

Совсем особого рода туманность наблюдалась вокруг новой звезды, вспыхнувшей в созвездии Персея в 1901 г. Она была сфотографирована впервые через полгода после вспышки звезды и уже тогда имела угловой диаметр в 15 диаметра лунного диска. Эта туманность, ослабевая в яркости, расширялась с „безумной“ скоростью—11 минут дуги в год. Так как наименьшее возможное расстояние до Новой Персея было известно, то допустить, что на наших глазах происходило реальное движение газов —было немыслимо, слишком уж велика была их скорость в пространстве. Было поэтому предположено, что в действительности мы наблюдаем волну света, распространяющуюся от звезды в туманности, которая уже и раньше окружала звезду. Это предположение подтвердилось исследованием спектра туманности, который оказался тождественным со спектром новой звезды в момент ее наибольшей яркости. Таким образом, мощная волна света, излученная звездой в момент ее максимума, побежала в туманности со скоростью 300 тысяч км/сек, последовательно освещая невидимые до того темные части уже существовавшей туманности. Из этого

наблюдения также можно было определить расстояние до Новой Персея. В настоящее время упомянутая туманность так „расширилась“ и ослабела в яркости, что уже не видна.

Все упомянутые выше так наз. гипотетические методы определения расстояний до новых звезд, вместе с некоторыми косвенными статистическими методами, единогласно показывают, что в общем в своем наибольшем блеске новые звезды являются гигантами, в несколько сот раз превосходящими Солнце по диаметру и в 25 тысяч раз превосходящими его по яркости. До своей внезапной вспышки они являются нормальными или скорее карликовыми звездами.

Во что превращаются новые звезды после вспышки, можно видеть из следующего соображения. Если видимая яркость звезды становится почти такой же, какой она была до катастрофы, а температура становится раз в 10 больше, то, очевидно, величина светящейся поверхности звезды должна стать значительно меньше, а плотность ее должна сильно возрасти.

Ввиду этого неизбежен вывод: после катастрофы звезда превращается в очень горячего, так наз. белого карлика, вроде спутника Сириуса, в котором вещество упаковано до плотности, в тысячи раз превосходящей плотность воды.

Таким образом, в результате чудовищной, еще мало понятной нам катастрофы звезда приобретает совершенно новое физическое строение, и притом строение удивительное, строение, еще недавно считавшееся редким исключением.

Хотя новая звезда, как мы видели, и не возникает вновь из небытия или из темного остывшего тела, ее физическая природа при вспышке меняется действительно настолько, что мы с полным правом можем ее назвать новой — так она не похожа на старую звезду, на самое себя до вспышки.

Тут на наших глазах происходит скачкообразная эволюция космической материи, когда в результате накопления каких-то явно противоречивых факторов небесное светило скачком приобретает новые качества. Этот грандиозный и нередкий по своей повторяемости пример диалектического процесса развития космической материи является одним из лучших „пробных камней диалектики“, о которых говорил Энгельс. Что катастрофическое развитие звезды по временам наступает подобно революционному вихрю в результате нарастания внутренних, заложенных в самой звезде, противоречивых тенденций будет еще яснее видно из следующего.

Большинство ученых пыталось объяснить вспышку новых звезд результатом воздействия внешних факторов, как, например, столкновением двух звезд, падением планеты на звезду, вхождением звезды с большой скоростью в туманность и т. п. Однако анализ данных показывает, что эти гипотезы — и даже последняя — не выдерживают критики, противореча наблюдательным данным или не объясняя их. Несомненно, особенно после исследований, произведенных автором статьи, что причину взрыва звезд нельзя искать во внешнем пространстве и в случайных факторах. Эта причина должна лежать внутри самой звезды и быть обусловленной всем ходом ее предшествующего развития, ее предыдущим физическим состоянием.

Почти несомненно, что предыдущее, быть может неустойчивое, равновесие звездных недр, равновесие скорости генерации энергии, сил тяжести, газового и светового давления и т. п. в некоторый момент нарушается. Нарушенное равновесие выливается в грандиозную катастрофу расширения, частичного распыления и последующего сжатия звезды. Последнее, происходящее само собой, вынуждается изменившимся соотношением сил и движений и ведет к новому, более устойчивому их распределению внутри звезды. Излишек энергии, соответствующий разности энергии звезды до и после катастрофы, излучается при этом затухающими всплесками в пространство.

В таком же виде рисует себе картину явления новых звезд знаменитый английский теоретик-астрофизик Милн.

Он пришел к этому же заключению теоретически, изучая модели равновесия газовых сфер, подобных звездам. Исследование развитых им уравнений привело его к заключению, что „нормальные“ звезды, состоя из идеального нагретого газа, имеют в центре небольшое, крайне плотное ядро, состоящее из так наз. вырожденного газа, подчиняющегося иным законам.

При известном изменении переменных, входящих в эти уравнения (истинной

яркости звезды и т. п.) в течение эволюции звезды, при достижении ими некоторых предельных значений условия равновесия нарушаются, и звезда, построенная по модели Милна, должна сжаться. При этом она превращается в тело, почти целиком состоящее из вырожденного газа, отдавая избыток энергии в форме катастрофического излучения.

При сжатии, согласно законам механики, скорость вращения тела увеличивается, и образовавшийся белый карлик может потерять механическую устойчивость. Он разорвется на две части, образовав двойную звезду. Последние могут в зависимости от новых условий после их дробления (обе или одна из них) снова вздуться и стать нормальными звездами.

В последнее время заманчивые выводы теории Милна подверглись некоторой критике. Автору кажется, что ввиду некоторой неопределенности в данных, входящих во все теории внутреннего строения звезд, выводы Милна не опорочены и после некоторой переработки смогут, может быть, еще лучше удовлетворить наблюдаемым фактам.

Загадочное явление, обнаруженное у Новой Живописца 1925 г., не поддается хорошему объяснению ни одной теорией. Через несколько лет после вспышки было найдено, что эта звезда оказывается тройной или даже четверной. Все члены этой звездной компании ослабевают в яркости, но неодинаково, и крайне быстро удаляются друг от друга. Была ли Новая Живописца и раньше четверной звездой или стала ею после катастрофы и раздробилась ли сразу или постепенно—неизвестно. Гипотезы столкновения и дробления (по Милну) встречают серьезные возражения, и это явление до сих пор даже не пытались объяснить.

Чрезвычайно поразительными оказываются подсчеты частоты появления новых звезд. Давно уже известно, что в гигантских звездных системах типа спиральных туманностей, так же, как и внутри нашей звездной системы Млечного Пути или в галактике, вспыхивают новые звезды. В одной лишь звездной системе „туманности“ Андромеды зарегистрировано уже более ста новых звезд, тогда как в нашем Млечном Пути их наблюдалось около 80. Легко убедиться, что если бы туманность Андромеды фотографировалась ежедневно, то полное число появляющихся в ней ежегодно новых звезд составило бы не менее 30. Все их физические характеристики тождественны описанным выше, а наибольшие видимые яркости их почти равны друг другу. Так как практически все звезды туманности Андромеды одинаково далеки от нас, то равенство их видимых яркостей означает равенство их истинных яркостей. Следовательно, и наши „галактические“ новые звезды должны иметь истинную яркость, такую же, как сходные с ними новые звезды туманности Андромеды. Это позволяет, оценив истинную яркость новых звезд в нашей галактике и сравнив ее с видимой яркостью таких же звезд в туманности Андромеды, определить расстояние до последней. Обратно, зная расстояние до туманности Андромеды на основании других данных, можно вычислить истинную яркость ее новых звезд и ее же приписать нашим галактическим новым звездам. Сравнением этой истинной яркости с видимой яркостью отдельных галактических новых звезд можно грубо оценивать расстояние до них. Последнее другими способами определяется не всегда уверенно и иногда совсем неопределимо.

Наблюдения показывают, что в наибольшем блеске новые звезды, где бы они ни вспыхивали, в несколько раз ярче самых ярких нормальных звезд. Они являются в то же время очень частым явлением, свойственным каждой значительной звездной системе. Определение показывает, что и в нашем Млечном Пути ежегодно вспыхивает около 30 новых звезд в максимуме ярче 9-й величины, но лишь малая доля их не ускользает от наших наблюдений.

Дальнейший подсчет, в предположении постоянства этой частоты появления новых звезд (что наиболее естественно), приводит к поразительному заключению, что за время существования звездных вселенных типа галактики (как таковых) новых звезд должно было вспыхнуть гораздо больше, чем мы сейчас вообще наблюдаем звезд в их системах. Следовательно, либо каждая звезда испытывала, и притом неоднократно, катастрофические вспышки, либо же только часть звезд подвергается этой участи, но зато гораздо чаще. Неужели

же и нашему Солнцу грозит такая участь, а с ним вместе и жизни на Земле, которая сгорела бы в лучах его внезапной вспышки?

К счастью, этого можно не опасаться в течение многих миллионов лет. Небесная механика гарантирует нам, что ни одна из планет за это время не сможет упасть на Солнце. Столкновение с другой звездой еще менее вероятно и могло бы наступить очень нескоро. Взрыв Солнца внутренними воздействиями также маловероятен. Палеонтологические данные обнаруживают непрерывное развитие жизни на Земле в течение миллиардов лет. Между тем, принятие первого из высказанных выше предположений заставило бы ожидать, что за это время Солнце вспыхивало бы неоднократно и неоднократно на длительные сроки должна была бы прекращаться жизнь на Земле. Есть и другие данные, говорящие в пользу предположения, что скачкообразная эволюция, хотя и более часто повторяющаяся, происходит только с частью звезд или со всеми, но только на определенных этапах их полного развития. Этот этап миновало, может быть, и Солнце, но в давно прошедшие времена, еще до возникновения жизни на Земле.

Отметим еще, что новые звезды в некоторых спиральных туманностях имели чудовищно высокую истинную яркость, в тысячу раз превосходящую яркость обычных новых звезд. Им дано название сверхновых звезд, и к ним же, может быть, принадлежала Новая Тихо де Браге 1572 г. в Кассиопее.

Недавно Бааде и Цвикки пришли к заключению, что такие, крайне редко вспыхивающие сверхновые звезды могут в течение катастрофы являться источником космических лучей, так наз. проникающего излучения, природа которого представляет одну из наиболее интересных загадок, стоящих перед физикой наших дней.

Еще несколько лет тому назад новые звезды рассматривались как редкое, катастрофическое явление случайного характера, не имеющее непосредственной связи с вопросами строения и происхождения обыкновенных звезд. Теперь мы видим, что новые звезды являются не редким, а очень частым явлением во вселенной. Обстоятельства, ведущие к их появлению, отнюдь не случайны, а связаны со структурой и развитием звезд. Очевидно, что изучение физических явлений в новых звездах позволяет нам проникнуть в тайны строения звездных недр глубже, чем при изучении чрезвычайно медленно меняющихся звезд. Изучение их освещает также многие вопросы физики газовых туманностей. Око позволяет определять расстояние до далеких звездных систем, в которых новые звезды появляются.

Возможно, что новые звезды повинны в образовании газовых планетарных и диффузных туманностей, в образовании звезд типа Вольф-Райе. Явления, наблюдаемые в новых звездах, проясняют происхождение многих загадочных переменных звезд. Они же, может быть, являются источником загадочной космической радиации. Наконец, они вскрывают перед нами диалектичность развития космической материи и дают богатую пищу для конкретизации марксистско-ленинского понимания вселенной.

Несомненно, тщательное изучение Новой Геркулеса, яркой, в некоторых отношениях аномальной и медленно меняющейся звезды, даст много новых данных. Полученные материалы еще долгие годы будут служить для уточнения картины окружающей нас реальности.

АСТРОНОМИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В АПРЕЛЕ — ИЮЛЕ 1935 г.

Проф. П. ПОПОВ (Москва)

В связи с видимым годичным перемещением Солнца по отношению к звездам навстречу видимому суточному вращению мы увидим весною с вечера, тотчас же после захода Солнца, такое расположение созвездий, какое зимой бывает видно поздно ночью. В январе после захода Солнца мы видели Б. Медведицу, расположившейся почти параллельно горизонту на севере, а Кассиопею— над головой, и только к полуночи оба эти созвездия,—одно, поднимаясь,

другое опускаясь.— видны были почти на одной высоте над горизонтом: Б. Медведица к востоку, а Кассиопея к западу от Полярной звезды. К началу апреля такое положение этих созвездий застает уже заход Солнца, в июне же мы после захода Солнца увидим Б. Медведицу почти над головой, а Кассиопею у горизонта на севере. Соответственно меняется положение и других созвездий, причем одни из созвездий оказываются уже зашедшими за горизонт и невидимы на ночном небе, зато появляются в восточной части новые созвездия, как Лев, Дева, Весы, Волопас, Змееносец, Скорпион. Давая одну карту звезд северной и южной половины неба для данного периода, мы обращаем внимание, что эта карта изображает вид неба весной, но для разных часов вечера в разные месяцы. Неблагоприятным обстоятельством для наблюдения звездного неба весной является то, что в наших северных широтах поздно заходит Солнце, ночи короткие и звезды неярко выступают на сравнительно светлом фоне неба. Но в апреле и даже мае еще очень хорошо можно наблюдать. Возможно, что в апреле и мае еще можно будет видеть простым глазом и во всяком случае в бинокль ту Новую звезду, которая замечена 13 декабря 1934 г. в созвездии Геркулеса, у границы с Лирой, и которой посвящена особая статья проф. Воронцова-Вельяминова в этом же номере журнала, где и можно найти все подробности о видимости ее.

Планеты. Нынешнее весеннее небо весьма богато планетами—хорошо можно наблюдать Венеру, Марс и Юпитер, а при желании со средины мая — Сатурн, а также можно попытаться отыскать Меркурий в момент его наибольшего удаления от Солнца. Наблюдения над планетами могут быть двух родов: можно следить за их видимыми перемещениями среди звезд простым глазом, зарисовывая в разные месяцы их положение, и наблюдать их внешний вид в трубу. В последнем случае особенно интересно пронаблюдать изменение фаз Венеры, движение спутников около Юпитера и кольца Сатурна. Правда, Сатурн виден весной еще плохо и только, как сказано, под утро, и поэтому это наблюдение лучше отложить до осени.

Венера в течение весны и лета будет видна, как вечерняя звезда, и своим ярким видом не может не привлечь всеобщего внимания. В конце марта она уже показывается яркой звездой на западе при заходе Солнца, но вскоре же и сама заходит вслед за Солнцем. С каждым вечером она дальше отходит от Солнца, выше видна над горизонтом по заходе Солнца и дольше задерживается вечером на небе. Наибольшего удаления от Солнца достигает Венера в конце июня (45° к востоку от Солнца), так что в течение всего рассматриваемого периода Венера ярко сияет на западной стороне неба. Ее яркость значительно превышает яркость звезд первой величины, и ее можно заметить еще при самом заходе Солнца за горизонт. В трубу лучше всего наблюдать Венеру еще в сумерки, когда не совсем стемнело, и она не слишком ярка. Быстро перемещаясь среди звезд, Венера пройдет в течение апреля-июня по созвездиям Овна, Тельца, Близнецов, Рака и Льва. Напоминаем, что Солнце проходит в эти месяцы по созвездиям Овна, Тельца и Близнецов.

Интересно наблюдать, когда Венера и Луна располагаются по одну сторону от Земли и мы видим их близко друг к другу на небе (соединение). Это произойдет 6 апреля, 5 мая, 5 июня и 5 июля.

Меркурий, вообще говоря, трудно

Черт. 1. Вид северной стороны неба.

Черт. 2. Вид южной стороны неба.

усмотреть на небе, так как он еще ближе к Солнцу, чем Венера, и не может далеко отходить на небе от Солнца. Поэтому Меркурий по большей части заходит тогда, когда закат еще не успел достаточно погаснуть. Но в момент его наибольшего удаления при отсутствии облаков на западной стороне неба можно найти Меркурий простым глазом и рассмотреть в бинокль. Это будет 27 мая. В это время Меркурий будет отстоять от Солнца на 22°44f к востоку. Он представляется в это время довольно яркой желтоватой звездой и при рассматривании в трубу можно заметить его фазы.

Марс в апреле, тотчас же после захода Солнца, поднимается на востоке и его можно наблюдать в течение всей ночи; в июне вечер застает его уже на юго-западе и около полуночи он заходит за горизонт. Находясь в созвездии Девы, Марс идет попятным движением до 17 мая, когда он останавливается между звездами у и 7], почти у самого экватора, имея склонение 8=—1°,5 и прямое восхождение а =12 ч. 24 м., т. е. вблизи точки осеннего равноденствия. После 17 мая Марс поворачивает и идет прямым движением по созвездию Девы, направляясь к созвездию Весов. Марс представляет наилучший объект для изучения видимых петлеообразных движений планет среди звезд, так как из верхних планет он ближе всех к нам и имеет наибольшее собственное движение. Общеизвестно, что Марс отличается своим красноватым цветом и по этому признаку его легко находить на небе. Желающих наблюдать Марс в трубу и ожидающих увидеть на нем много интересных подробностей благодаря распространенным рассказам о Марсе нужно предупредить, что в малые любительские трубы да при наших атмосферных условиях почти никаких подробностей на поверхности Марса обычно не видно. Он представляется небольшим красноватым кружком с несколько неясными очертаниями.

Точно также, как при наблюдении Венеры, интересно наблюдать Марс при его приближении на небе к Луне (соединение с Луной); это произойдет 17 апреля, 14 мая, 11 июня. Кроме того, 6 апреля Марс будет находиться в противостоянии с Солнцем. В этот момент Марс всего ближе в 1935 г. будет находиться от Земли.

Юпитер восходит несколько позднее Марса, находясь в соседнем созвездии Весов, и виден на небе в течение всех весенних и летних месяцев к востоку от Марса. Юпитер идет попятным движением по созвездию Весов, приближаясь в конце периода к поворотному пункту. Юпитер будет приходить в соединение с Луной через несколько дней после соединения Марса с Луной, т. е. 20 апреля, 17 мая и 14 июня. В противостоянии с Солнцем Юпитер будет 10 мая. Координаты Юпитера следующие:

1 апреля 13ч Ц м ц с 4° 33' 9“

1 мая 12 31 49 1 36 24

1 июня 12 27 19 2 29 21

Желающих наблюдать спутников Юпитера, отмечая моменты их затмений и пр., а также расположение тех или других спутников по отношению к диску планеты, мы принуждены отослать к Астрономическому календарю на 1935 г., издания Горьковского отделения Всесоюзного астрономо-геодезического общества (быв. Нижегородского кружка).

Луна. При наблюдении Луны прежде всего нужно знать моменты наступления главнейших фаз, таблицу которых мы здесь приводим по времени второго пояса с прибавкой часа (московское декретное):

Фазы

Апрель

Май

Июнь

Июль

Новолуние ......

Первая четверть ....

Полнолуние......

Последняя четверть . .

Новолуние......

3 в 15 ч. 11 м. 10 в 20 , 42 „ 18в 0, 10 . 26 в 7 „ 21 ,

3 в 0 ч. 36 м. 10 в 14 в 54 . 18 в 12 , 57 „ 25 в 12 „ 44 ,

1 в 10 ч. 52 м.

9 в 8 , 49 , 16 в 23 . 20 . 23 в 17 . 21 . 30 в 22 . 45 „

9 в 1 ч. 28 м. 16 в 8 „ 0 . 22 в 22 , 42 я 30 в 12 . 32 ,

Моменты соединения Луны с главнейшими планетами в рассматриваемый период указаны выше при описании видимости каждой планеты. Ставя наблюдения видимого перемещения Луны среди звезд в связи с изменением фаз, следует обратить внимание на то, что Луна весной и летом, когда она полная, не поднимается так высоко над горизонтом, как мы это наблюдали зимой, и поставить это в связь с положением Солнца в это же время днем, сравнительно с зимним положением.

В отношении Солнца следует провести наблюдение и измерение полуденной высоты Солнца в начале апреля и в июне, чтобы сравнить изменяемость этой высоты около весеннего равноденствия и около летнего солнцестояния в связи с изменением склонения Солнца при видимом перемещении его по эклиптике. Для ориентировки приводим значения склонений солнца:

Апрель

Июнь

1

+ 4° 1

15

+ 23° 16'

5

5° 44'

20

23° 26'

10

7° 37'

25

23° 25'

15

9° 26'

30

23° 14'

ОТДЕЛ ЧАСТНОЙ МЕТОДИКИ

ПРИНЦИП ДВОЙСТВЕННОСТИ ПРИ ШКОЛЬНОМ ПРЕПОДАВАНИИ ГЕОМЕТРИИ

Проф. М. ЧЕРНЯЕВ (Ростов н/д.)

Открытие основного закона проективной геометрии — закона взаимности или двойственности — принадлежит французскому ученому Понсле. Понсле получил техническое образование; как военный инженер он принял участие в походе Наполеона в Россию, где и попал в плен. Главные положения своего основного научного труда „Исследование проективных свойств фигур“ Понсле написал, живя пленником в г. Саратове, и опубликовал в 1822 г.

Теснее всего принцип двойственности примыкает к теории полюсов и поляр.

Пропорция

(1)

где х,у и z — три величины, расположенные в убывающем порядке, называются гармоническою, величина же j/ — среднегармоническою величин х и z. Из пропорции (1) находим

т. е. величина, обратная среднегармонической, равна среднеарифметической обратных величин двух остальных.

Черт. 1.

Если на прямой лежат четыре точки А, В, С и D, для которых имеет место соотношение

(2)

то точки С и D называются гармонически-сопряженными относительно точек А и В.

Из равенства (2) следует, что

т. е., что точки А и В гармонически сопряжены относительно точек С и D. Действительно, равенство (2) можно переписать следующим образом:

откуда видно, что DA, DC и DB суть члены гармонической пропорции. Если принять во внимание направление, в котором откладываем отрезки на прямой, то получим

так как точка С лежит между точками А и В, а точка D — вне этих точек.

Черт. 2.

Обозначим через О середину отрезка AB, тогда из пропорции

заключаем, что когда точка С будет двигаться от точки О к точке Ву то отношение ^ будет изменяться от 1 до 0

и то же самое, очевидно, будет и для отношения 2)^, так что точки С и D одновременно стремятся к точке В. Из пропорции

мы получаем

и

следовательно, имеем

или АО2 = ОС OD,

т. е. квадрат половины длины отрезка AB равен произведению расстояний середины О до гармонически-сопряженных точек С и D. Обратно, если

AO*=OCOD,

то

или

т. е., круг, описанный на AB, как на диаметре, пересекается под прямым углом всеми кругами, проходящими через точки А и В, гармонически-сопряженные точкам А и В.

Верна и обратная теорема:

Если два круга пересекаются под прямым углом, то они гармонически разделяют каждую прямую, проходящую через центр одного из кругов.

Черт. 3.

Четыре прямые, выходящие из общей точки, или параллельные, образующие на секущей гармоническое деление, составляют гармонический пучок, т. е. система четырех прямых ОА,ОВ,ОС и OD составляет гармонический пучок, если имеет место равенство

Легко доказать, что если это условие выполнено, то и всякая другая секущая будет гармонически делиться пучком.

Известны следующие теоремы, которые мы приведем без доказательства:

1) Прямые ОА,ОС,ОВ и OD образуют гармонический пучок, если прямая, параллельная одному из лучей, делится тремя остальными на две равные части.

2) Обратно, если в гармоническом пучке проведем секущую, параллельную одному из лучей, то остальные три луча разделяют эту прямую на равные части.

3) Если один из лучей пучка делит угол между двумя другими пополам, то сопряженный с ним луч будет к нему перпендикулярен.

Полюсы и поляры относительно круга

В плоскости круга дается точка Р, через которую проводим ряд (пучок) секущих; требуется определить геометрическое место точек, гармонически-сопряженных точке Р относительно точек пересечения каждой секущей с кругом.

Рассмотрим две точки С и D, принадлежащие искомому геометрическому месту; первую — на секущей PF, вторую — на диаметре AB, проходящем через точку Р. Так как точка С гармонически сопряжена точке Р относительно точек Е и F, то имеет место соотношение

или

Если ОМ - перпендикуляр, опущенный из центра круга О на прямую EFf то

РЕ=РМ — МЕ и PF=PM + ME;

Черт. 4.

следовательно,

PE-\-PF=2PM,

и мы имеем:

Аналогично получим:

Разде^я два последние равенства почленно, имеем

а так как

PA.PB=PE.PF,

то

следовательно, треугольники PDC и РМО, как имеющие общий угол, заключенный между пропорциональными сторонами, подобны; но в треугольнике РОМ /_М прямой, прямым будет соответственный ему £D в треугольнике PCD. Итак, искомое геометрическое место будет прямая, перпендикулярная в точке D к диаметру AB, проходящему через точку Р. Эта прямая называется полярой точки Р относительно круга, а точка Я—ее полюсом.

На диаметре AB, проходящем через полюс Р, точки Р, А, ü и В образуют группу четырех гармонических точек; следовательно, имеем:

OD-OP = R2,

где R—радиус круга, т. е. радиус круга есть среднегеометрическое из расстояний центра круга до поляры и до полюса. Полюс и поляра расположены по одну сторону относительно центра О, поляра будет вне круга, если полюс внутри круга, и она пересекает круг, если полюс вне круга; в последнем случае поляра совпадает с хордой, соединяющей точки касания касательных, проведенных к кругу из точки Р. Поляра центра находится на бесконечно-удаленном расстоянии, и поляра бесконечно-удаленной точки некоторой прямой будет диаметром, перпендикулярным к этой прямой. Наконец, поляра точки, лежащей на круге, есть касательная к кругу в этой точке, и обратно, полюс касательной есть ее точка прикосновения.

Поляры всех точек, лежащих на одной прямой, проходят через полюс этой поляры.

Пусть d — поляра точки Л,; эта прямая перпендикулярна к OA в точке Аг; имеем

OA ОЛ3=/<2.

Пусть В — произвольная точка на d; опустим перпендикуляр А1В1 на OB. Четыре точки Л, Av В и Вг лежат на одной окружности, так как /_АЛАВ = 90° и / АЛВХВ = 90°, тогда имеем ОВ-ОВг = = ОА-ОА,.

Следовательно: OBOB}=R2, что показывает, что АгВг есть поляра точки В. Итак, эта поляра проходит через точку Ах, что и требовалось доказать.

Две точки называются сопряженными относительно круга, когда поляра одной из них проходит через другую.

Черт. 5.

Черт. 6.

Полюсы всех прямых, проходящих через данную точку, лежащую в плоскости круга, расположены на прямой — поляре точки относительно круга.

Пусть А — полюс прямой d; прямая, соединяющая точку А с центром круга, перпендикулярна к d в точке Лг Имеем:

OA-OA^R2.

Пусть D — произвольная прямая, проходящая через полюс прямой d — точку А; из центра круга опустим перпендикуляр ОВу на прямую D и обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с d через В. Имеем:

OBOB^OA-OA^R*,

что показывает, что В есть полюс прямой Dy что и требовалось доказать.

Две прямые называются сопряженными относительно круга, если каждая из них проходит через полюс другой.

Следствия.

1) Если две точки сопряжены, то и их поляры сопряжены, и, обратно, если две прямые сопряжены, то и их полюсы будут сопряженные точки.

2) Поляра каждой точки прямой проходит через полюс этой прямой.

3) Полюс каждой прямой, проходящей через данную точку, лежит на поляре этой точки.

4) Поляра точки пересечения двух прямых есть прямая, соединяющая полюсы этих прямых.

5) Полюс прямой, проходящей через две точки, есть точка пересечения поляр этих двух точек.

Если в плоскости даны круг и какая-нибудь фигура, то для каждой точки этой фигуры можно построить поляру и для каждой прямой — полюс относительно круга. Точкам прямой будут соответствовать прямые, проходящие через полюс данной прямой. Точке пересечения двух прямых соответствует прямая, соединяющая полюсы обеих прямых. Из первой фигуры мы можем вывести такую вторую, которая будет соответствовать первой по закону двойственности, т. е. так, что точкам и прямым первой фигуры будут соответствовать прямые и точки второй и т. д. Про такие фигуры говорят, что они взаимны друг другу. Из свойств полюсов и поляр следуют свойства взаимно-полярных фигур:

а) точкам прямой одной фигуры соответствуют сходящиеся в одной точке прямые другой, и обратно;

в) если четыре точки на одной прямой линии образуют гармоническую группу, то четыре соответствующие прямые второй фигуры составляют гармонический пучок, и обратно.

Теория взаимных поляр позволяет нам все содержание геометрии положения (зрительной геометрии) выразить, как говорит проф. Богомолов, на двух различных языках. Словарем для перевода послужит следующее:

точка — прямая прямая — точка

лежит на одной прямой — проходит через одну точку и т. д.

Глубокое основание закона взаимности надо искать в двойственности аксиом проективной геометрии (по Гильберту: аксиомы сопряжения, проективного расположения и непрерывности).

Как пример приведу следующую аксиому и взаимную ей:

а) две точки определяют прямую;

в) две прямые определяют точку.

До введения в геометрию бесконечно-удаленных элементов принцип двойственности (закон взаимности) не имеет места. Так, например, в геометрии без бесконечно-удаленных элементов первая из приведенных аксиом (а) имеет место, а вторая (в) нет, так как существуют прямые непересекающиеся (параллельные).

Приведем несколько взаимных теорем.

Теорема Менелая: Если пересечь стороны треугольника ABC секущею aßy, то между шестью полученными отрезками имеет место следующее соотношение

Проведем произвольную прямую, пересекающую трансверсаль aßy в точке М\ затем через все вершины треугольника ABC проводим прямые, параллельные секущей; точки пересечения этих прямых с произвольно проведенной прямой обо-

Черт. 7.

значим соответственно через Аг, В1 и С,. Имеем:

Перемножая эти три равенства почленно, получаем:

что и требовалось доказать. Верно и обратное положение: Если на трех сторонах треугольника ABC или на их продолжениях взять такие три тонки a,ß,y, что имеет место соотношение

то эти три точки лежат на одной и той же прямой.

Теорема Чевы, взаимная теорема Менелая.

Черт. 8.

Прямые, соединяющие произвольную точку О с тремя вершинами треугольника ABC, пересекают противоположные стороны или их продолжение в трех точках а,[5,у, которые удовлетворяют соотношению

Рассмотрим треугольник АВ$, пересеченный трансверсалью СОу; теорема Менелая дает

(а)

Применяя же теорему Менелая к треугольнику $ВС, пересеченному трансверсалью АОа, получим:

(b)

Перемножая почленно равенства (а) и (Ь), находим:

(с)

а так как СА = — АС; Cß = — ßC и Лр = = —$А, то равенство (с) можно переписать так:

что и требовалось доказать.

Обратное предложение также справедливо:

Если через вершины треугольника ABC провести такие три прямые Аа, В$ и Су. что имеет место равенство Чевы

то эти три прямые сходятся в одной точке.

Примечание. Теорему Чевы можно получить подвергая взаимно-полярному преобразованию теорему Менелая относительно некоторого круга.

Используя теоремы Менелая и Чевы и им обратные, легко доказать следующие теоремы:

1) Три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

2) Три высоты - треугольника пересекаются в одной точке — ортоцентре треугольника.

3) Три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке.

4) Основания перпендикуляров, опущенных из какой-нибудь точки окружности на стороны вписанного треугольника, находятся на одной прямой (теорема Симсона).

5) Биссектриса двух внешних углов треугольника и третьего внутреннего сходятся в одной и той же точке.

6) Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками прикосновения противоположных сторон, и вписанного в треугольник круга, сходятся в одной точке.

7) Точки пересечения биссектрис внешних углов треугольника с соответствующими сторонами лежат на одной и той же прямой.

8) Точки пересечения биссектрис двух углов треугольника и биссектрисы угла, дополнительного третьему углу, с противоположными сторонами лежат на одной прямой.

9) Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками прикосновения вневписанного круга со сторонами треугольника, сходятся в одной точке.

Гомологичные треугольники (теорема Дезарга).

Два треугольника ABC и АУВХСЛ лежат в одной плоскости; обозначим соответственно точки пересечения сторон ВС и В1С1 через а; CA и СЛАг через ß и AB и AjA^ через у, тогда:

Черт. 9.

1. Если прямые ААЛ, ВВг и ССг сходятся в одной точке, то три точки а, ß и у лежат на одной прямой.

2. Взаимно, если точки а, ß и у лежат на одной прямой, то три прямые ААг, ВВу и СС2 сходятся в одной точке.

1) Пусть О — точка пересечения прямых ААЛ, ВВЛ и СС1; применяя теорему Менелая к треугольникам

a) Л ОВС9 пересеченному трансверсалью ВгС„

b) Д ОСА, пересеченному трансверсалью CjA. и

c) Д ОАВ, пересеченному трансверсалью АкВ19 получаем:

Эти три равенства перемножим почленно, получаем:

На основании теоремы, обратной теореме Менелая, заключаем, что три точки а, ß и у лежат на одной прямой.

2) Пусть О — точка пересечения прямых ВВг и ССг; нам необходимо показать, что прямая ААг также пройдет через точку О.

Рассмотрим два треугольника уВВА и ßCCj,* прямые, попарно соединяющие их вершины yß, ВС и ВгС19 проходят через одну и ту же точку а. Следовательно, на основании выше доказанной теоремы (1) стороны ({В; ßC); (у^; ßC3) и (ВВ{, ССЛ) пересекаются в трех точках» расположенных на одной прямой. Точка пересечения yß и ßC есть точка A; y£j и ßC3—Ал, наконец, точка пересечения ВВЛ и ССЛ есть О; итак, три точки А, А1 и О лежат на одной прямой; иначе: прямая ААЛ проходит через точку О, что и требовалось доказать.

Два треугольника, обладающие вышеуказанными свойствами, называются гомологичными треугольниками, точка О —центром гомологии и прямая aß у — осью гомологии.

Примечание. Теорема (2) может быть получена как взаимно-полярное преобразование (1) относительно некоторого круга.

Теорема Паскаля. Во всяком вписанном в круг шестиугольнике противоположные стороны попарно пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой линии.

Пусть ABCDEF—шестиугольник, вписанный в круг; перенумеруем стороны AB, ВС, CD, DE, Er и FA соответственно 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Противоположными будут стороны (1,4); (2,5); (3,6).

Применим теорему Менелая к треугольнику MNP (треугольнику, составленному из сторон с нечетными номерами, соответственно пересеченными, трансверсалями 2, 4 и 6).

Имеем:

Черт. 10.

Перемножаем последние три равенства почленно, найдем:

Выражения в трех скобках равны 1, так как числитель и знаменатель каждой дроби равны между собою (произведение всей секущей на ее внешнюю часть есть постоянная величина — степень точки относительно круга), следовательно:

а на основании теоремы, обратной теореме Менелая, заключаем, что три точки а, р и у, взятые на сторонах треугольника MNP, лежат на одной и той же прямой — прямой Паскаля.

Теорема Брианшона, взаимная теорема Паскаля.

Чер . 11.

Во всяком описанном около круга шестиугольнике прямые, соединяющие противоположные вершины (диагонали), пересекаются в одной и той же точке — точке Брианшона.

Пусть стороны AB, ВС, CD, DE, EF и FA шестиугольника касаются круга (О). Перенумеруем вершины А(\),В(2), С(3), D(4), Е(5) и ^(б). Противоположные вершины суть (1,4), (2,5) и (3,6). Требуется доказать, что прямые (1,4), (2,5) и (3,6) пересекаются в одной точке.

Посмотрим взаимно-полярную фигуру, взяв круг (О) за направляющий круг, Вершинам Ал, В2, С3, D4, Е. и F6 соответствуют их поляры Г, 2', 3', 4', 5' и 6f; последние прямые являются сторонами вписанного в круг шестиугольника. На основании теоремы Паскаля противоположные стороны этого вписанного шестиугольника (l',4f); (2',5') и (З',6') пересекаются в трех точках а, ß и у» лежащих на одной прямой. Но точка а — точка пересечения прямых 1' и 4' — есть полюс прямой A^DA\ ß— полюс В2Е^ и у — полюс CgFß. Так как точки а, ß и у лежат на одной прямой, то их поляры Аг D4, В2 Еь и С3 проходят через одну точку J, которая будет полюсом прямой a ß y> что и требовалось доказать.

Конечно, чрезвычайно плодотворные идеи новой синтетической геометрии не могли не оказать влияния на школьное преподавание геометрии. Та экономия и та ясность изложения, которые появляются при одновременном рассмотрении взаимных понятий, должны были быть перенесены и в школьную геометрию. Попытки построить курс элементарной геометрии, исходя из принципа двойственности, были. Особенно следует отметить учебник Henrici Freutlein'a „Lehrbuch der Elementargeometrie“, где очень удачно в курс средней школы введены эти основные обобщающие идеи современной геометрии.

Ниже я приведу ряд примеров параллельного рассмотрения взаимных теорем элементарной геометрии.

Вот некоторые двойственные определения:

а) три точки, соединенные тремя прямыми, составляют треугольник;

Ь) три прямые, пересекающиеся в трех точках, составляют трехсторонник.

Для сравнения двух фигур мы приводим их в такое положение, что они совпадают, т. е. каждой прямой соответствует прямая; отрезку и углу одной фигуры — отрезок и угол другой; такие фигуры мы называем конгруэнтными. Но возможно мыслить и другое соответствие, когда точкам одной фигуры отвечают как соответственные элементы — прямые другой, и наоборот; такие фигуры называются взаимными, и одна фигура может быть получена из другой взаимнополярным преобразованием относительно некоторого круга.

Для таких фигур, например, имеют место следующие двойственные положения:

1 а. Соответственные точки лежат на соответственных прямых.

1 Ь. Соответственные прямые проходят через соответственные точки.

2 а. Отрезок прямой, заключенный между двумя точками, отвечает отрезку прямой, заключенному между двумя точками, соответственными двум первым точкам.

2 Ь. Точке пересечения двух прямых (или углу между двумя прямыми) отвечает как соответственный элемент точка пересечения (или угол) соответственных прямых.

Эти общие положения позволяют одновременно рассматривать конгруэнтные и симметричные относительно оси фигуры.

В фигурах с осью симметрии соответственные прямые пересекаются на оси симметрии и образуют с последней равные углы (равно наклонены) или же параллельны оси симметрии и отстоят от нее на одном и том же расстоянии.

Треугольник и трехсторонник с осью симметрии

1а. Если на сторонах угла </(а,&) с осью симметрии (биссектрисой) m взяты точки А и В так, что АС = ВС, то точки А,В и С образуют равнобедренный треугольник.

1Ь. Если точки А и В симметрично расположены относительно оси т, то два равных отрезка а и b образуют равные углы А и В. Прямые a, b и с образуют трехсторонник с двумя равными углами.

2а. Равнобедренный треугольник имеет своею осью симметрии биссектрису угла при вершине.

2Ь. Трехсторонник с двумя равными углами имеет своею осью симметрии перпендикуляр, восстановленный к основанию в его середине.

За. В равнобедренном треугольнике равные стороны лежат против равных углов.

ЗЬ. В трехстороннике с двумя равными углами равные углы лежат против равных сторон.

4 а. Через три не лежащие на одной прямой точки проходит одна окружность.

4 Ь. К трем прямым, не пересекающимся в одной точке, можно провести четыре касательных окружности (одна вписанная и три невписанных).

Черт. 12. Черт. 13.

Четырехугольник и четырехсторонник с осью симметрии

1 а. Две пары точек, равноотстоящих от оси симметрии, определяют четырехугольник, в котором две стороны параллельны и две другие с каждой из параллельных сторон образуют равные углы; этот четырехугольник называется равнобочной трапецией (антипараллелограмом).

Черт. 14.

1Ь. Две пары прямых, равнонаклоненных относительно оси симметрии, определяют четырехсторонник, который называется равнонаклоненным четырехсторонником (дельтоид).

Черт. 15.

2а. В равнобочной трапеции непараллельные стороны и диагонали попарно равны. Линии, соединяющие середины противоположных сторон, взаимно-перпендикулярны. На оси симметрии нахо-

дятся точки пересечения диагоналей и непараллельных сторон.

2Ь. В дельтоиде несимметричные стороны образуют равные углы. Диагонали делят углы пополам. Линия, перпендикулярная к одной из диагоналей, перпендикулярна и к другой, а также и к линии, соединяющей точки пересечения противоположных сторон.

3 а. Перпендикуляры, восстановленные в серединах непараллельных сторон равнобочной трапеции, пересекаются на оси симметрии. Точка пересечения будет центром круга, описанного около равнобочной трапеции.

ЗЬ. Биссектрисы углов симметрично расположенных вершин пересекаются в одной точке — центре вписанного в дельтоид круга.

Четырехугольник и четырехсторонник с центром и осью симметрии

1 а. Если в параллелограме соответственные углы равны, то он называется прямоугольником.

Черт. 16.

1Ь. Если в параллелограме рядом лежащие стороны равны, то он называется ромбом.

Черт. 17.

Из равенств противоположных углов и сторон следует:

2 а. В прямоугольнике все углы равны и каждый из них прямой.

2Ь. В ромбе все стороны равны.

За. Четырехугольник с четырьмя равными углами — прямоугольник, так как в нем две пары противоположных углов равны, следовательно, он параллелограм, а так как также и два рядом лежащие угла равны, то четырехугольник — прямоугольник.

ЗЬ. Четырехсторонник с четырьмя равными сторонами есть ромб, так как в нем, во-первых, две пары противоположных сторон равны и, во-вторых, две рядом лежащие стороны равны, следовательно, он ромб.

4 а. В прямоугольнике прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей параллельно сторонам, делят стороны пополам и к ним перпендикулярны.

4Ь. В ромбе обе линии, соединяющие противоположные вершины, суть оси симметрии и делят углы ромба пополам.

5 а. Диагонали прямоугольника равны. 5Ь. Диагонали ромба взаимно-перпендикулярны.

6а. Точка пересечения диагоналей прямоугольника есть центр круга описанного.

6Ь. Точка пересечения диагоналей ромба есть центр круга вписанного.

Вписанный в круг четырехугольник и описанный около круги четырехсторонник

1 а. Во вписанном в круг четырехугольнике сумма противоположных углов равна двум прямым.

1 Ь. В описанном около круга четырехстороннике суммы противоположных сторон равны.

Фигуры графической статики — многоугольник сил и многоугольник Вариньона—являются взаимными.

С элементами графостатики учащиеся средних школ должны быть ознакомлены на уроках геометрии.

Вследствие геометрического характера статики твердого тела многие вопросы ее очень просто решаются графическими построениями. Знаменитый английский физик Клерк Максвелл создал учение о взаимных фигурах, чем установил общую научную связь между различными построениями графической статики.

Если три силы р, q и г сходятся в одной точке, то для получения равнодействующей этих сил необходимо их геометрически сложить, т. е. отложить сначала силу р, затем через ее конец провести линию, равную и параллельную

q, и, наконец, через ее конец — линию, равную и параллельную г. Линия, замыкающая многоугольник, построенный на составляющих силах, даст по величине и направлению равнодействующую. Если многоугольник, построенный на составляющих силах, замыкается, то данные силы взаимно уравновешиваются, т. е. их равнодействующая равна нулю. Дополнительная сила, которая должна быть присоединена к данным силам, чтобы их уравновесить, должна быть равна и противоположна равнодействующей данных сил.

Основные построения графической статики

Даны три силы р, q и г. Величину и направление равнодействующей мы получим, складывая эти силы геометрически. AB, ВС и CD представляют силы р, q и г. Замыкающая сторона AD многоугольника ABCD представит равнодействующую 5 по величине и направлению. Для определения точки приложения равнодействующей поступают так: берут произвольную точку О и соединяют ее с началом и концом каждой силы, т. е. с точками Л, В, С и D.

Черт. 18а.

Черт. 186.

Силу р можно разложить на две составляющие АО и OB; силу q — BO и ОС и силу г —СО и OD.

Построим эти составляющие на чертеже 186, где действуют силы р, q и г. Для этого на силе р возьмем произвольную точку i и проведем через нее прямые, параллельные лучам АО и ВО, и на них отложим силы АО и OB, эквивалентные силе р; линию b продолжим до пересечения с силой q в точке К\ через точку К проводим линию, параллельную лучу с (ОС) до пересечения с силой г в точке т. В точке К по линиям b и с приложим силы, равные ВО и ОС, т. е. силу, эквивалентную силе q. Наконец, через точку m проводим линию, параллельную лучу d (OD), и в точке m отложим по линиям с и d силы, равные СО и OD, т. е. эквивалентные силе г. Каждая из сил р, q и г заменится двумя слагающими, направленными по линиям а, Ь, с 1л d; так как силы

то система сил р, q и г заменится только двумя силами, идущими по а и (i. Приведя систему сил р, q и г к двум силам and, мы получим точку приложения их равнодействующей как точку пересечения прямых and.

Чертеж 18 состоит из двух частей: 18а и 186; число линий на обоих чертежах одинаковое, и для каждой линии чертежа 18а на чертеже 186 есть линия, ей соответственная и параллельная. Но фигуры на чертежах 18а и 186, несмотря на наличие параллельных линий, не подобны. В точке I фигуры 186 сходятся три прямые линии — a, b и р9 параллельные же им прямые на чертеже 18а образуют замкнутый треугольник АВО. Точкам на чертеже 18а соответствуют на чертеже 186 прямые. Между фигурами чертежей 18а и 186 имеет место взаимное соответствие.

В настоящее время в различных прикладных науках широкое распространение получили номографические методы. Преподаватель математики средней школы на кружковых занятиях обязан ознакомить своих учеников с элементами номографии. Многие номограммы являются взаимным преобразованием графической записи некоторой закономерности. Вскрыть взаимное соответствие, например между графиками линейных функций :

ах + Ьу = с и номограммой из выравненных точек,

лежит на обязанности преподавателя математики.

Пусть мы имеем ряд линейных уравнений, отличающихся друг от друга свободным членом:

В прямоугольных координатах каждое из этих уравнений представляет прямую линию, причем все эти линии будут параллельны между собою.

Черт. 19.

Построим две прямые линии Ах и By, перпендикулярные к одной и той же прямой AB в точках А и В. На прямой Ах в определенном масштабе будем откладывать значения х, а на прямой By в том же масштабе соответствующие значения у; соединяя полученные точки, мы получаем прямые, соответствующие различным парам решений х и у уравнения ах + Ьу = с; легко заметить, что все прямые будут пересекаться в одной точке О. Точку О пересечения всех таких прямых можно назвать точкою уравнения ах -ь by = с. Определив эту точку, мы можем по любому значению х найти соответствующее значение у. Для других уравнений

ах -f- by = сг ах\- Ьу = с2

можно построить точки уравнений, для чего достаточно для каждого уравнения найти две пары решений, — тогда две пары значений х и у дадут искомую точку.

Все точки, соответствующие данным уравнениям, отличающимся только свободными членами, будут находиться на одной прямой CD, называемой опорой для всех данных уравнений.

Если в уравнении ах~\-Ьу~с коэфициенты а и b постоянны, а изменяется лишь только с, то такие уравнения в параллельных координатах изобразятся точками одной прямой линии (опоры), параллельной прямым Ах и By. Нетрудно показать, что опора находится от прямых Ах и By на расстояниях, обратно пропорциональных значениям коэфициентов при X и у. Точка же О лежит на опоре на рассстоянии, равном от AB.

Если оживить курс элементарной геометрии учением о гармонических точках и пучках, хотя бы исходя из взаимных теорем Чевы и Менелая, и сообщить учащимся элементарные понятия из графической статики и номографии, то мы будем иметь обильный материал для всестороннего уяснения закона двойственности и вместе с тем подготовим учащихся для занятий современной синтетической геометрией.

Закон взаимности позволяет и курс аналитической геометрии построить по принципу двойственности.

Если, к тому же, и для метрических соотношений установить взаимно-метрические определения, то двойственное исследование геометрических объектов может быть распространено и на изучение метрических свойств (Проф. Д. Мордухай-Болтовской — „О взаимных метрических теоремах“ и М. Пистрак „Этюды по геометрии“, „Математическое образованием 1916 г., №8). Так, если некоторая исследованная в декартовых координатах величина выражается в функции координат некоторых точек {xvy2) (х2,у2) . . . (хп,уп), то взаимной величиной будет та, которая совершенно аналогичным образом выражается через плюккеровы координаты такого же числа прямых (8,1],)... ({„, *]„).

Например, таким образом устанавливается понятие о среднеарифметической оси относительно некоторых точек, понятие, взаимное понятию о среднеарифметическом центре точек.

МЕТОДИКА ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Доц. И. АЛЬТШУЛЕР (Смоленск)

Иррациональные уравнения, т. е. уравнения, содержащие неизвестные под знаком радикала, приводятся, обыкновенно, после надлежащих преобразований, к квадратным (иногда линейным) уравнениям, реже — к уравнениям высших степеней; поэтому учение об иррациональных уравнениях непосредственно примыкает к теории квадратных уравнений. „Диагностика затруднений“ в преподавании иррациональных уравнений заключается в следующих двух основных моментах: 1) овладение техникой решения иррациональных уравнений (момент практический) и 2) испытание корней с целью устранения „паразитарных“ корней (момент теоретический). Оба эти момента требуют соответствующей предварительной подготовки с той целью, чтобы трудности, свойственные данному типу уравнений, изолировать от трудностей, связанных с недостаточно прочной техникой обращения с радикалами и квадратными уравнениями.

Начнем с определения. Термином „иррациональное уравнение“ пользуются не все авторы учебной литературы, что характеризует отношение того или иного автора к вопросу о необходимости специальной проработки этого вида уравнений. В некоторых старых руководствах по алгебре об иррациональных уравнениях упоминалось лишь вскользь. Так, в „Алгебре“ Давыдова мы читаем: „Когда уравнение содержит радикалы, то прежде всего должны стараться сделать его рациональным. При этом можно получить некоторые решения, не принадлежащие данному уравнению“. Затем следует один пример. Как теория, так и практика этого вопроса здесь почти отсутствуют. Даже само определение иррационального уравнения („когда уравнение содержит радикалы“) совершенно недостаточно. Любопытно отметить, что практику решения рациональных уравнений с иррациональными коэфициентами упустили из виду чуть ли не все составители курсов алгебры и сборников задач, а между тем навыки в решении таких уравнений важны как сами по себе, так и для обобщения понятия о коэфициентах уравнений. Мы полагаем, что, прежде чем приступить к решению иррациональных уравнений, учащиеся должны попрактиковаться в решении рациональных уравнений 1-й и 2-й степени с иррациональными коэфициентами, вроде следующего:

(единственный пример, имеющийся в „Сборнике алгебраических задач“ Шапошникова и Вальцова). Уравнения этого рода послужат закреплению навыков в преобразованиях иррациональных выражений и вместе с тем, в силу ассоциации контраста, — уразумению сущности операций над иррациональными уравнениями, сводящихся к освобождению уравнений от радикалов.

Переходя к решению иррациональных уравнений, полезно посвятить некоторое время повторению возведения в степень иррациональных выражений как одночленных, так и двучленных (главным образом в квадрат). Необходимо искоренить у учащихся ошибки следующего типа:

Должно быть проработано достаточное количество примеров следующих типов:

Для методической проработки навыков по рационализации уравнений можно распределить их по основным типам в следующей последовательности:

1) Уравнения, требующие однократного возвышения в квадрат:

2) Уравнения, содержащие подобные радикалы:

3) Уравнения, требующие двукратного возвышения в квадрат:

4) Уравнения, содержащие три радикала:

Необходимость изоляции радикала должна быть объяснена не догматически, а лишь после констатирования трудности и даже безвыходности положения в случае, если радикал не изолирован. Что же касается уравнений, содержащих два неподобных радикала, то здесь полезно показать на опыте, что разъединение радикалов в известной мере упрощает выкладки. Возьмем, например, уравнение |/ 2л: — 1 + V х — 1 = 1.

Возвысив части уравнения в квадрат, получим:

Если же, до возвышения в квадрат, разъединить радикалы, будем иметь:

При таком решении, очевидно, операции до некоторой степени упрощаются.

Если уравнение содержит три различных радикала, как, например:

то хотя в этом случае перенесение радикала не достигает облегчения действий, все же, в целях тренировки, полезно такого рода уравнения решать дважды: один раз без перенесения радикала, а другой раз — с перенесением.

Сложным вопросом при решении иррациональных уравнений является вопрос о так называемых „посторонних“ корнях. В качестве первых примеров надо предлагать учащимся такие уравнения, которые не имеют посторонних решений, и лишь по накоплении некоторого запаса навыков в решении иррациональных уравнений (с последующей проверкой результатов) необходимо перейти к ознакомлению с фактом существования посторонних корней. Это „открытие“ опять-таки не следует преподносить в догматической форме; оно должно быть сделано самими учащимися, в процессе проверки решений уравнений. В связи с этим должна быть проведена следующая работа. Необходимо на численных примерах показать, что как умножение обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестные, так и возвышение обеих частей уравнения в степень повышают степень уравнения и поэтому влекут за собой появление посторонних корней; отсюда проистекают особенности иррациональных уравнений, которые заключаются в том, что одни из них допускают два (или больше) решения, из которых не все удовлетворяют данному уравнению, другие допускают лишь одно решение, а третьи — ни одного (как, например, х — jAx2—16=8). Можно с целью устранения посторонних корней сопровождать решение специльной оговоркой, как это видно из следующих примеров:

Ответ X = 25, причем надо считать

причем надо считать

Оговаривая решения, мы оставляем только годные решения, негодные же устраняем, не называя их.

В X классе возможно осветить этот вопрос несколько полнее. Возьмем, на-

пример, уравнение: ^х — а- Его решение х = аъ заключает в себе пять различных возможностей:

из которых только первая составляет решение уравнения, а остальные нет*.

В заключение следует отметить, что иррациональные уравнения представляют благодарный материал для тренировки в решении уравнений вообще и в преобразованиях иррациональных выражений, вследствие чего этому вопросу надо уделить достаточно внимания. Из 12 часов, отводимых по учебному плану в VIII классе биквадратным и иррациональным уравнениям (см. „Указания к программам для неполной средней и средней школы на 1934/35 учебный год“, вып. 2) необходимо примерно около 8 часов уделять иррациональным уравнениям.

К МЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ УРАВНЕНИЙ

Л. КРЕМЕНШТЕЙН (Киев)

В методике преподавания уравнений есть существенные недостатки. Среди них следует отметить следующие:

1) Учащимся обычно указывается несколько способов решения системы линейных уравнений: способ подстановки, сравнения и т. д. Все эти способы легко и быстро приводят к основной цели: исключению неизвестных и преобразованию системы к одному уравнению с одним неизвестным. Однако ни один из указанных способов не обладает общностью и не всегда может быть использован при дальнейшем прохождении алгебры, например при исключении неизвестных из системы уравнений высших степеней.

2) Быстрота и легкость исключения неизвестных приводят к тому, что учащиеся в большинстве случаев производят эту операцию механически, совершенно не учитывая ее содержания. При этом ход их мыслей обычно таков, как будто вместо уравнений они имеют дело с тождествами. Например, при исключении у из системы уравнений

7х — Зу=10, Ъх -f- Зу = 22,

ход рассуждений учащегося в большинстве случаев таков: „Складываем соответственно левые и правые части уравнений. Полученные суммы должны быть равны, так как слагаемые этих сумм тоже соответственно равны между собой“. Конечно, такой способ рассуждения ясно показывает, что суть вопроса учащимися не уяснена. Вот почему сплошь и рядом приходится слышать от прошедшего трудшколу или рабфак, даже от студента, такой ответ: „Решить систему уравнений — значит, найти неизвестные“.

Указанные мною недостатки, мне кажется, могут быть устранены, если параллельно с общепринятыми методами решения познакомить учащихся еще с одним методом исключения неизвестного из системы уравнений.

Поясним этот метод на примерах.

Пусть требуется решить систему уравнений:

Зх — \у — 9 = 0, (I)

2x-f-j/—17 = 0. (II)

Делим левую часть уравнения (I) на левую же часть уравнения (II):

частное

остаток:

Отсюда можно написать:

(III)

* Подробности этого вопроса можно найти в полных курсах алгебры, см., например, „Учебник алгебры“ Е. Бархова, 1915 г.

(делимое тождественно равно делителю, умноженному на частное плюс остаток).

Корни нашей системы уравнений должны при подстановке их в (I) и (II) обратить левые части в нуль. Следовательно, в тождестве (III) эти же корни обращают в нуль левую часть и первое слагаемое правой части; значит, корни системы должны обратить в нуль и второе слагаемое, т. е.

Таким образом, неизвестное х исключено из системы.

Ограничимся еще одним примером. Решим систему уравнений:

Зх2 + 2ху — 5у2 — 19 = О, (А)

2х2-\- ху+ у2 — 28 = 0. (В)

Эта система в школьной практике обычно решается искусственным путем. Во избежание дробей при делении помножим предварительно обе части уравнений (А) на 2 и будем поступать по предыдущему:

Рассуждая по предыдущему, приходим к выводу, что корни системы обращают в нуль остаток от деления, т. е.

ху— 13у2 +46 = 0 (С).

Следовательно, система (А) и (В) равносильна системе (В) и (С). Решим последнюю систему:

Очевидно, что и последний остаток обращается в нуль при подстановке корней системы, т. е.

Таким образом, мы пришли к уравнению, в котором одно из неизвестных уже исключено. Остаток от деления, не содержащий уже одного из неизвестных, будем называть результантом системы.

Следует обратить внимание учащегося и на следующие два случая:

1) Результант тождественно равен нулю. В этом случае левая часть одного из уравнений является, очевидно, множителем левой части второго уравнения, и система уравнений есть система неопределенная.

2) Результант равен некоторому известному числу, т. е. остаток от деления совсем не содержит неизвестных.

Так как полученное в остатке число, очевидно, не может быть приравнено к нулю, заданная система уравнений является системой противоречивой.

Мы здесь ограничились только системой двух уравнений с двумя неизвестными.

Не представляет, конечно, труда распространить этот способ исключения неизвестных на случай какого угодно числа уравнений.

О РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ ЧЕРЕЗ ЗАМЕНУ НЕИЗВЕСТНОГО

Л. КАЛЕЦКИЙ (Витебск)

При решении уравнений высших степеней с буквенными коэфициентами часто встречаются затруднения при разложении на множители левой части уравнения, приравненной нулю.

Обычно данный многочлен стремятся в таких случаях разложить на множители путем введения пары членов с взаимно-противоположными знаками и путем замены отдельных членов многочлена соответствующей суммой или разностью. Этим часто, в конце концов, достигается возможность разложения многочлена на множители.

Но такие искусственные приемы обычно требуют много времени и находчивости.

В некоторых случаях, как это видно из приведенного ниже примера, ре-

шение задачи может быть значительно облегчено.

Пусть дано уравнение:

л:4 — 2 ах2 + х + а2 — а = 0.

К такому виду приводится предложенное Г. Шлуглейтом иррациональное уравнение: х2 — }Уа — х = а (см. методический сборник „Математика и физика в средней школе“ № 1).

Путем указанных выше приемов левая часть уравнения могла бы быть преобразована так:

Но тот же результат может быть получен гораздо проще, если обратить внимание на то, что данное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно а.

Заметив это, можно легко выразить а через X и, таким образом, разложить многочлен. Уравнение тогда примет вид:

а2 _ (2д;2 _|_ 1 ) а _1_ (Х4 + X) = О,

откуда

После упрощения: аг = X2 -f- X и а2 = х2 — х + 1 •

Полученные таким образом значения а уже без прежних затруднений дают возможность сразу представить данное уравнение в виде:

(х2 + х — а)(х2 — х+1 — а) = 0. Четыре корня этого уравнения будут:

Предложенное иррациональное уравнение удовлетворяется только первым и четвертым значениями х.

ЗАМЕЧАНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ К СТАТЬЕ П. ЛАРИЧЕВА „СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ“

И. ТАЛЬ (Москва)

Соглашаясь в основном с методическими установками статьи П. Ларичева „Система уравнений первой степени“, предлагаю вниманию читателя нижеследующие замечания и дополнения.

1) Для лучшего, более глубокого уяснения идеи решения уравнений целесообразно, помимо упражнений в решении заданных примеров, предлагать учащимся самим самостоятельно составлять примеры и задачи. В классических задачниках мы встречаем только в разделе квадратных уравнений примеры на составление уравнений по заданным корням на основе связи корней с коэфициентами уравнения (задача вполне определенная). Однако составлять уравнения по заданным корням полезно и для других видов уравнений, хотя бы задача носила и неопределенный характер. С этой целью можно предложить учащимся по заданным корням (например:х — — 2;_у=— ) составить одно уравнение или систему двух уравнений 1-й степени. Полезно задавать отрицательные, дробные и нулевые корни, предлагая и в случае дробных корней давать уравнение в нормальном виде.

Составленную каким-либо учащимся систему следует подвергнуть проверке либо решением системы, либо простой подстановкой. Всякое побуждение учащихся к творчеству, хотя бы и в таких небольших дозах, вносит оживление в занятия и повышает интерес к работе.

2) На странице 64, пункт 5 читаем: „5. Выполнить проверку правильности решения“.

Здесь необходимо подчеркнуть, что проверка правильности решения системы должна непременно выполняться по

заданной системе, а не на уравнениях системы, приведенных к нормальному виду, к чему у учащихся в виду большей простоты такой проверки имеется склонность.

Хорошо на примере системы с допущенной ошибкой в процессе приведения к нормальному виду вскрыть ценность той и другой проверки.

3) К странице 65. IV. Решение системы уравнений 1-й степени с тремя неизвестными. При решении системы уравнений с тремя неизвестными, а также системы с большим количеством неизвестных, недостаточно, чтобы учащиеся усвоили, что „решение системы уравнений с несколькими неизвестными сводится в конечном счете к решению одного уравнения с одним неизвестным путем последовательного исключения остальных неизвестных“. Эта справедливая мысль не вскрывает сущности процесса решения систем уравнений с несколькими неизвестными, т. е. того пути, которым доходят до уравнения с одним неизвестным. А процесс этот есть процесс постепенного „спуска“; система п уравнений с п неизвестными заменяется путем исключения одного неизвестного системой (п—1) уравнения с (п—^неизвестными и т. д., и этот спуск продолжается до получения одного уравнения с одним неизвестным. Этот процесс спуска должен быть отражен и в оформлении решения систем уравнений с несколькими неизвестными, чему предложенный (стр. 65) образец записи решения недостаточно удовлетворяет, так как повторность нумерации уравнений разных систем с одними и теми же цифрами I и II не способствует ясности усвоения процесса спуска. Ясное выделение заданной системы и в каждой следующей системе, полученной в процессе исключения неизвестных, а также особая нумерация всех этих уравнений должны способствовать уяснению всего процесса решения, что может быть, примерно, достигнуто в следующем оформлении:

I система

(1)

(2) (3)

(1) (2) (1) (2)

49лг+ 19j/ = 87 (4)

— 1 2х — 5у + 9г = 19 (2)

3 5* + 2у + Зг=18 (3)

— 2x + 5y — 9z = —19 (2)

+ 15* + 6у + 92, = 54 (3)

13x-J-lly = 35 (б)

II система 49% + 19.у = 87 (4)

п система i3x+Uy = 35 (5)

и т. д.

Необходимо, кроме того, подчеркнуть, что в системах с неполными уравнениями, при общем сохранении метода решения, процесс упрощается, так как для получения вторичной системы нужно уже меньшее количество исключений; в системе трех полных уравнений с тремя неизвестными вторичная система состоит из двух новых уравнений (4) и (5), полученных путем исключения одного и того же неизвестного из двух пар уравнений первичной системы, а в системе трех уравнений, хотя бы с одним неполным уравнением, вторичная система должна состоять из одного нового уравнения (4) и одного уравнения из первичной системы. При этом для получения нового (4) уравнения следует исключать неизвестное, не принадлежащее всем уравнениям заданной системы.

Для ускорения правильности выбора можно предложить следующий способ расположения:

f3x + 5y- 2z=l (1)

I система {Ъх -f- у =3 (2)

( x — z =5 (3)

Исключению подлежат либо у, либо z.

Если все три уравнения — неполные, такая запись тоже не лишена целесообразности, хотя выбор неизвестного, предназначенного к исключению, уже не играет роли.

(Зх— у = 9 (1)

I система <3л: + 10 (2)

1у + 4* = 17 (3)

и т. д.

Еще надлежит отметить, что в системах с „полными“ уравнениями вторичная система обязательно подвергается решению до конца, т. е. из нее должны быть определены оба неизвестных, что в системах с неполными уравнениями не должно быть обязательным.

Вышеизложенный подход к решению систем, выделяющий идею спуска, должен обеспечить уменье решать системы и с большим количеством неизвестных.

4) К странице 66, V. Решение задач с помощью составления системы уравнений с 2 и 3 неизвестными. Пункт 5.

„Определить равенства или отношения выражений, содержащих неизвестные (оба или одно), друг с другом или с числами, данными в задаче, и таким способом составить два уравнения“.

В этом пункте автор пытается изложить центральный момент метода решения задач при помощи составления уравнений; эта попытка мне не представляется убедительной и ясной.

Решение задач с помощью составления уравнений, несомненно—один из труднейших участков работы.

Задачи, весьма разнообразные по своему содержанию, апеллируют к здравому смыслу учащегося, требуют творческого подхода и не допускают механических приемов решения. Определенная последовательность в проведении решения и выявление основного идейного момента метода должны облегчить учащимся эти трудности, и указанная П. Ларичевым последовательность выполнения решения в основном является общепринятой, но она с недостаточной ясностью вскрывает идею метода в пункте 5.

Прежде чем еще раз высказаться о последовательности подхода при решении задач составлением уравнений, я считаю необходимым обратить внимание на то, что большинство задач прикладного характера, помимо использования количественных соотношений, высказанных в условиях задачи, требуют, обычно, применения некоторых общеизвестных законов и теорем, о которых в задаче непосредственно не упоминается, как-то: 5= V-1 (путь = скорости X время;; (j = d- К(вес=уд. весу X объем) и т. п.

Эти законы должны быть в процессе решения выделены и могут быть с успехом использованы для четкого оформления задачи, как это будет ниже показано.

Итак, при решении задачи можно руководствоваться следующими общими указаниями:

1) Прочитать текст задачи и выделить:

а) данные и Ь) искомые.

2) Обозначить искомую величину буквой X (если задача будет решаться составлением двух уравнений, то обозначаются две неизвестные величины).

Примечание. В трудных задачах бывает иногда выгоднее в целях облегчения решения обозначить не искомую величину, а какую- либо другую неизвестную.

3) Выделить закон (или теорему), относящийся к величинам, данным в задаче, и выразить остальные известные и неизвестные величины задачи с помощью:

a) обозначенной неизвестной;

b) выявленного закона;

c) условий задачи.

Примечание. Следить за тем, чтобы все однородные величины были выражены в одинаковых единицах.

4) Среди величин, входящих в задачу, найти одну такую величину, для которой условия задачи и привлеченный закон дают возможность составить два разных выражения.

Примечание. Если возможно, подчеркнуть в тексте задачи предложение, содержащее указание равенства этих двух выражений, или выписать закон, на основании которого утверждается равенство этих двух выражений. Следить за тем, чтобы к этому моменту в решении были уже использованы все данные задачи и все условия.

5) Составить уравнение, приравняв два разных выражения одной и той же величины.

6) Решить уравнение и проверить его.

7) Исследовать пригодность полученных корней с точки зрения смысла задачи.

8) Пригодному отвлеченному корню приписать наименование величины, принятой за неизвестную, и, вернувшись к тексту с этой величиной, вновь осмыслить задачу и проверить по тексту.

Задачи прикладного характера, опирающиеся на определенный закон, допускают систематизированную запись в табличках, составляемых на основе закона, облегчающих общий охват задачи, составление самого уравнения и проверку задачи; такому оформлению поддаются задачи: на движение, сплав, смеси, удельный вес, тепловой баланс, проценты и пр. Прилагаю несколько

примеров систематизированного оформления:

I. 1) Определить, сколько километров в час проходит паровоз, если на путь в 630 км он мог бы употребить одним часом меньше, если б его скорость увеличилась на 3 км?

2) Обозначение. Паровоз проходит X км\час.

3) Участвует закон: S=V-t.

4) Второй способ выразить время.

сч п 630 630 .

5) Составить уравнение :—-£-=—--1.

6) Решение уравнения: л:2=42; х2 = = — 45 и проверка.

7) х2 =— 45 по смыслу задачи не годен.

8) Проверка по тексту или по табличке.

Примечание. В рубриках, где входит неизвестное, можно оставлять место для вписывания, после решения, ответов.

II. Латунь состоит из меди и цинка. Сколько содержится меди и сколько цинка в сплаве в 124 кг, если 89 кг меди теряют в воде 10 кг; 7 кг цинка теряют 1 кг, а 124 кг латуни — 15 кг.

Обозначение. В сплаве содержится X кг меди.

Участвует закон:g = d- V и определение удельного веса у.

Объем латуни равен сумме объемов меди и цинка и т. д.

III. Куплено несколько метров материи и уплачено за нее 8 руб. На ту же сумму можно купить материи на 4 ж больше, если бы она стоила на 10 коп. дешевле. Сколько куплено материи?

Обозначение. Куплено х м материи.

Участвует формула : стоимость = цене X количество.

Составление уравнения:

IV. Из двух сортов серной кислоты, удельный вес которых 1,8 и 1,2, нужно составить 540 см3 серной кислоты с удельным весом в 1,4. Сколько куб. сантиметров надо взять от каждого сорта?

Обозначение. I сорта надо взять X см3. Формула: g = d- V.

Вес смеси равен сумме весовых частей, ее составляющих.

Уравнение : 1,8 х+1,2(540 — х)=1,4 • 540 и т. д.

V. Чтобы получить 24 кг воды в 30°С, смешали воду, нагретую до 100°С, с водой, нагретой до 20°С. Сколько воды того и другого сорта надо взять?

Обозначение. 100° воды взято х килограммов.

Закон: в —т. t (количество тепла = массе X температуру).

Количество тепла смеси = сумме количества тепла составляемых частей 100х + 20(24 — *) = 30-24 и т. д.

Подобным образом могут быть оформлены и многие задачи с двумя неизвестными, например задача VI.

VI. Из двух металлов составляют сплав. Если первого металла взять 36 г, а второго— 35,2 г, то удельный вес смеси будет 7,91; если же первого металла взять 86,4 г, а второго — 220 г, то удельный вес смеси будет 8,28. Каковы удельные веса первого и второго металла?

Обозначение:

уд. вес I мет.—х (г!см3) уд. вес II мет. —у (г/см3)

Объем смеси = сумме объемов составл. веществ

(1) (2)

и т. д.

Разумеется, задачи чисто алгебраического содержания, условия которых дают простые абстрактные количественные соотношения данных и искомых, не требуют такого оформления, и решение таких задач должно предшествовать задачам прикладного характера.

Мой педагогический опыт убедил меня в целесообразности вышеизложенных приемов при работе со взрослой аудиторией. Интересно узнать мнение опытных коллег о целесообразности его переноса в школьную практику.

ЭЛЕМЕНТЫ УЧЕНИЯ О СОПРОТИВЛЕНИИ МАТЕРИАЛОВ В ПОЛИТЕХНИЧЕСКОЙ СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

М. ПИОТРОВСКИЙ (Ленинград, секция физики ГИНП)

Различные отделы физики имеют в нашей средней школе весьма не одинаковую судьбу и пользуются далеко не одинаковой популярностью среди преподавателей, составителей программ и авторов учебных руководств. При этом надо заметить, что решающим мотивом, определяющим отношение к данному отделу, далеко не всегда является его действительная — в частности политехническая— ценность; нередко в вопросе „быть или не быть“ данному отделу в курсе элементарной физики решающим критерием является до сих пор традиция.

Нередко курс перегружается материалом маловажным и устарелым. Наряду с этим целые отделы, представляющие несомненную как общенаучную, так и специально-политехническую ценность,

совершенно отсутствуют в курсе школы и даже попытки их ввести встречают отпор как в преподавательской среде, так и — что особенно удивительно—в тех организациях, которые специально занимаются критикой, переработкой и составлением программы применительно к потребностям новой школы.

К таким особо неудачливым отделам относится учение о свойствах твердых тел, или, если пользоваться общепринятой и технической терминологией — элементы учения о сопротивлении материалов.

Если же обратиться к той задаче физики, которая определяет ее значение в качестве базы для овладения техникой, для осознания важнейших производственных процессов, для развития способности к грамотному планированию, рационализации, изобретательству, то тут уже вопросы сопротивления материалов являются не только полноправными, а скорее особо ценными, ведущими. В самом деле, что возможно сделать в технике, даже самой элементарной, без умения разбираться в условиях прочности деталей машин и сооружений, надежности их соединений, условий возникновения тех или иных деформаций?

Наконец, и понимание окружающей бытовой обстановки, разумное обращение с нею, наиболее целесообразное ее использование, рационализирование и совершенствование - что тоже не является лишним в деле подготовки подрастающего поколения — также невозможно без элементарных знаний в рассматриваемой области. Ведь если мы на практике часто сталкиваемся с гидротехническими или пневматическими сооружениями, то с конструкциями твердыми мы встречаемся еще неизмеримо чаще. Каждый день мы садимся на стул, кладем вещи на стол, поднимаемся по лестницам, пользуемся ножом, пером, бумагой, ниткой, вешаем одежду на гвоздь, ложимся на кровать и т. д. — и совершенно не отдаем себе отчета в том, почему эти вещи делаются именно так-то, а не как-либо иначе. Вековой производственный опыт человечества в этой области совершенно оставлен без внимания школой, как будто строительная техника не такая же техника, как устройство водопроводов или электрических звонков.

Но, может быть, исчезновение этого отдела из школьной физики мотивируется его особенными, неодолимыми для школьника трудностями? Правда, многие вопросы сопротивления материалов трудны и требуют применения высшей математики. Но ведь, кроме этих трудных вопросов, есть множество других, вполне доступных для любого возраста, как и в любой другой области физики наряду с вопросами доступными есть очень трудные. Вспомним хотя бы ряд электротехнических проблем. Наконец, нет такой трудной в теоретическом смысле задачи, к которой нельзя было бы подойти хотя бы со стороны эмпирического исследования как первого приближения к знанию, далеко не маловажного в науке вообще, а в прикладных областях науки— в особенности (вспомним хотя бы техническую гидравлику—„царство эмпирических коэфициентов“).

Учитывая все вышесказанное, мы приходим к заключению, что элементы учения о сопротивлении материалов следует ввести в курс средней политехнической школы хотя бы за счет сокращения (в деталях) некоторых других отделов программы.

В курсах элементарной механики, как и в курсе механики высшей технической школы, элементы учения о сопротивлении материалов наиболее естественно связываются с изучением статики; непосредственно подводит к их изучению знакомство с условиями равновесия сил на так называемых „простых машинах“. Практический подход к изучению какой-либо машины неизбежно наталкивает на весьма существенный вопрос об условиях безопасности пользования ею: вопрос этот очень актуален, находится постоянно в поле зрения организаций, ведающих крупной промышленностью, представляет высокий социально-экономический интерес, а потому его физическая сторона бесспорно заслуживает некоторого внимания со стороны преподавателя физики. Но безопасность пользования машиной определяется, с одной стороны, условиями ее устойчивости — отсюда естественный переход к учению о равновесии, с другой—условиями прочности. Для решения последнего вопроса необходимо уметь хоть приблизительно оценивать нагрузку отдельных частей (задача статики) и уметь подобрать прочные размеры (с требуемым

запасом) применительно к соответственной нагрузке. Строго говоря, без учета этих условий самое изучение механизмов не представляется возможным. Говоря о рычаге, как о твердом теле вращения на неподвижной оси, необходимо обратить внимание на то, что равнодействующая всех сил, приложенных к рычагу, ложится на эту ось и что рычаг может работать лишь в том случае, если ось выдержит то давление, какое на нее приходится. Так, поднимая груз „вагой“, в качестве „точки опоры“ подкладывают полено или камень, иначе рычаг глубоко зарывается в землю, и энергия тратится не на подъем груза, а на ненужную деформацию почвы; пользование полиспастом предполагает достаточную прочность веревок; пользование наклонной плоскостью сильно затруднено, если настил заметно гнется и становится невозможным, если он ломается, и т. д.

Еще до начала главы о механизмах, как только мы касаемся вопроса о равновесии системы сил, приложенных к различным точкам одного и того же тела, следовало бы обратить внимание на то, что всякое такое равновесие обязательно связано с некоторой деформацией и что самое равновесие возможно лишь в том случае, если эта деформация не вызывает разрушения того тела, к которому силы приложены. Попутно с рассмотрением различных случаев равновесия простейших систем легко—и вполне логично — познакомить учащихся с наиболее типичными примерами различных видов деформаций: растяжение (разрыв) и сжатие (раздавливание) — при сложении противоположно-направленных сил; гнутие (излом) — при сложении сил параллельных; сдвиг (срез) — при сложении антипараллельных сил; кручение—при изучении вращательных движений, если не ограничиваться одной кинематикой вращательного движения, а уделить некоторое внимание и его динамике.

Такой подход представляет ценность уже в том отношении, что с самого начала развивает привычку учитывать имеющиеся связи, а это как раз самое важное для понимания действия механизмов.

Во избежание повторений при изучении различных частных случаев представляется удобным при первом же знакомстве с деформациями выяснить их классификацию на упругие, остаточные и разрушающие; примеры очень легко показать для случая гнутия (на тонкой лучинке или прутике); несколько труднее—для растяжения; в этом случае можно использовать длинную нитку, растягивая ее рычагом; в качестве установки можно использовать обычную „раму для опытов по механике“; длинный свободный конец рычага служит указателем для обнаружения малых деформаций. Само собой разумеется, классификация деформаций и ознакомление с соответствующей терминологией необходимо обильно иллюстрировать демонстрационными опытами; при желании некоторые из них могут быть использованы и в качестве лабораторных работ. Главную трудность при этих демонстрациях вызывает то обстоятельство, что сопротивление большинства материалов, применяемых в строительном деле и машиностроении, весьма велико, а потому получение хорошо заметных деформаций требует применения особо мощных силовых установок, мало доступных для массовой школы. Единственным источником больших усилий, легко доступных для любой, даже самой бедно оборудованной школы является достаточно длинный и крепкий рычаг (черт. 1), который нетрудно приспособить к любой раме, а в крайнем случае — даже к ножке стола и табурета. Таким образом легко получить усилия до 100 кг и даже несколько больше, притом как на тягу, так и на сжатие. Изготовить такой рычаг очень легко средствами самой школы: потребуется только длинный (1 — Р/2 м) и толстый (5—6 см) брусок из твердого дерева (береза, ясень); в качестве оси вращения надо взять „круглое железо“ толщиною в 12—15 мм; удобнее всего использовать большой болт с гайкой, но можно взять и любой обрезок круглого железа или стали из „утиля“. Во избежание раскалывания рычага полезно его конец, сквозь который проходит ось, охватить железным кольцом или, по крайней мере, крепко обвязать проволокой. Для укрепления оси удобнее всего уложить вдоль рычага два куска полосового железа толщиною около 5 мм с просверленными в них круглыми отверстиями для болтов (см. деталь б на

черт. 1). В крайнем случае можно вместо железных полос взять деревянные и заменить болты шурупами или даже большими гвоздями.

При демонстрации опытов на различные случаи деформаций весьма удобно пользоваться крупными моделями, приготовленными из материалов, обладающих очень малыми упругими постоянными. В качестве такового очень удобен „пластелин“, применяемый для лепки: вполне возможно также использовать обыкновенную глину, увлажненную до консистенции весьма густого теста; этот материал удобен, между прочим, тем, что ему можно придать, путем соответствующего увлажнения, весьма различные степени вязкости или хрупкости.

Из такого пластичного материала нетрудно вылепить („скатать“) цилиндрический стержень желаемых размеров, на котором наглядно заметны типичные явления, сопровождающие разрыв: постепенное уменьшение толщины, вначале приблизительно равномерное, потом заметно усиливающееся в наиболее слабом месте; хорошо видна и типичная форма поверхности, подвергшейся разрыву. Разрыв легко произвести от руки или небольшой нагрузкой.

На таком же мягком материале удобно показать и разрушение при сжатии, опять со всеми его характерными внешними признаками. Легко показать возникновение „продольного прогиба“, когда толщина стержня мала по сравнению с его длиной; боковое расширение при продольном сжатии, образование трещин в хрупком веществе и т. п. В качестве хрупкого материала, специально для выяснения различия между „раздавливанием“ и „смятием“ очень удобен песок, цементированный небольшою примесью глины; раздавливание удобно производить упомянутым выше рычагом, используя его в качестве рычажного пресса (черт. 1 б).

Числовое значение сопротивления разрыву может быть определено для ниток, тонких шнурков или тонких проволок при помощи того же рычага, используя его по схеме чертежа 1 а.

При производстве этих опытов вполне естественно можно подвести учащихся к осознанию основного требования, предъявляемого к строителю — достигнуть максимума прочности при минимальном расходе материала. Попутно выясняется столь же важный вопрос о „запасе прочности“; наконец, легко осознаются основные правила, которые надо соблюдать при изготовлении частей, работающих на сжатие или разрыв: а) принцип расчета нагрузки, как силы приходящейся на 1 см2; более элементарно— значение площади опоры (при сжатии) или площади сечения (при тяге)*;

б) меры для устранения продольных прогибов (определенное соотношение высоты и длины) при сжатии;

в) преимущества цилиндрической формы (веревка, проволока) или призматической (ремень, тесьма) — для тяг, работающих на разрыв.

На тех же пластичных материалах легко показать и другие, более сложные деформации: срез, кручение и, отчасти, гнутие. В I концентре изучение этих деформаций мыслимо только чисто эмпирическое и притом без погони за какими-либо точными математическими соотношениями: тем не менее, представляется ценным довести до со-

Черт. 1.

* Нетрудно установить также и отсутствие зависимости между прочностью тяги на разрыв и формой сечения: ход мысли может быть, примерно, такой: .Чтобы разорвать нитку, нужно, допустим, 5 «г; следовательно, чтобы разорвать пучок из 2) таких нитей, понадобится тяга в 100 кг,— безразлично, будут ли эти нити размещены в кружок, или в виде квадрата, или все рядом, в виде ленты. Далее: сколько понадобилось бы таких нитей, чтобы удержать груз в 1000 л г?“ Ответ: ,Не менее 200“. „А чтобы иметь двукратный запас прочности?' — „Не менее 400“ и т. д.

знания учащихся следующие положения:

а) умение различать деформации среза и разрыва; знание типичных случаев, когда материал работает на срез;

б) знание условий, определяющих прочность на срез (как и для разрыва — площадь поперечного сечения);

в) как максимум — умение найти сопротивления срезу в справочнике и подсчитать прочные размеры;

г) знание условий, определяющих прочность на кручение: резко выраженная зависимость сопротивления от толщины стержня; отсюда — необходимость достаточных поперечных размеров у всякого рода машинных и трансмиссионных валов;

д) то же, в наиболее элементарной форме, по отношению к прогибу: прочность на прогиб быстро убывает с возрастанием длины и быстро возрастает с увеличением толщины; влияние ширины — незначительно. Отсюда: выгодность коротких и толстых форм в тех случаях, когда нужна жесткость; длинных и тонких — когда требуется гибкость (нити, ленты, многие пружины и т. п.).

По части демонстраций следовало бы показать модель наиболее важного случая среза, а именно: срез заклепок. И здесь удобно использовать ту же глину (или пластелин). Сложив вместе две (или три) дощечки, как показано на рисунке 2 а, просверливаем в них 2, 3 или 4 сквозных канала коловоротом; диаметр каналов не должен быть очень большим (примерно от 10 до 15мм). Сквозь образовавшееся таким образом отверстие продеваем стержни, аккуратно скатанные из слабо размоченной глины: желательно, чтобы они входили на свои места с возможно малым зазором. Затем выступающие с обеих сторон концы стержней можно умять в форму полушарообразных головок; таким образом получается точная модель наклепочного соединения, отличающаяся лишь малой прочностью материала. Полученное таким образом соединение нетрудно разрушить рукою или нагрузкой, заставляя одну из частей скользить вдоль другой или вращаться по поверхности другой. Осмотр срезанных поверхностей в местах разрушения глиняных заклепок наглядно показывает различие смешений при разрыве и при срезе*.

Кручение нетрудно показать на любом длинном стержне из дерева, зажав один конец в тиски и закручивая другой разводным гаечным ключом: сдвиг отдельных слоев вала легко показать, прочертив вдоль стержня хорошо заметную полосу краской или же вколотив в стержень ряд булавок или гвоздиков вдоль одной из образующих: образование винтовой линии при закручивании делается таким образом весьма заметным.

Наибольший интерес с точки зрения практических приложений представляет изучение сопротивления изгибу и излому. Изучение законов сопротивления проводить удобнее всего на простых деревянных линейках. Необходимо иметь не менее трех линеек, сделанных из одного же сорта дерева, но различающихся по своим поперечным размерам. Длина всех линеек должна быть одинакова (удобнее всего около 1 м); две линейки имеют одинаковую ширину, но толщина одной вдвое больше толщины другой, третья по толщине равна первой, а по ширине — вдвое меньше

Черт. 2.

* По поводу полученных результатов полезно обратить внимание учащихся на случай, когда приходится особенно считаться с сопротивлением срезу; указать на возможность среза зубцов у зубчатых колес при неосторожной работе на машине, содержащей зубчатые колеса; на срез или смятие мелких винтовых нарезов при неумеренном закручивании сильным ключом и т. п. Отсюда— ряд поучительных выводов. Почему на одной машине применяются колеса с крупными, толстыми зубцами, а на другой — с мелкими, тонкими? Чем отличаются нарезы винта у больших тисков и измерительного винтового калибромера? Как надо пользоваться калибромером чтобы его не испортить?

ее. Удобны размеры такие: 1) 100 X X 5X0,6 см; 2) 100 X 5 X 0,3 см; 3) 100 X X 2,5 X 0,6 см. Различия в длине получаем, располагая подставки на различных расстояниях друг от друга. Подставками могут служить любые бруски или ящички прямоугольной формы произвольного размера: при желании, чтобы избежать неясности — какие именно точки принимать за „точки опоры“, можно прямоугольные ящики заменить трехгранными призмами достаточно больших размеров (8 — 10 см) (см. черт. 3); подставки (или, по крайне мере, их части, подвергающиеся давлению) лучше делать из твердых пород (дуб, бук, граб, рябина, в крайности—береза); в качестве материала для линеек вполне хороша сосна или ель.

Дерево должно быть лучшего качества, без сучков и каких-либо изъянов. Необходимо, чтобы линейки были выстроганы очень аккуратно: маленькие неравенства в толщине сильно сказываются на результатах. Поэтому линейки должен делать умелый столяр. Можно использовать обыкновенные чертежные линейки; образец более толстой можно получить, склеив две тонкие линейки, наложенные друг на друга.

При проработке вопроса в I концентре можно не останавливаться на установлении кубических зависимостей от длины и от толщины балки. Достаточно установить, хотя бы в качественной форме, следующие вопросы и положения: 1) прогиб, при прочих равных условиях, быстро возрастает с возрастанием длины; 2) прогиб быстро убывает с возрастанием толщины (высоты); 3) изменение ширины влияет незначительно.

Далее легко показать, что если длина и толщина увеличиваются в одинаковое число раз, то прогиб остается без изменения. Этим объясняется ряд общеизвестных фактов: почему через канаву можно перейти по жердочке, а через реку надо класть бревно? Почему потолочные балки в больших помещениях приходится делать из самого толстого леса? и т. п.

Весьма существенно обратить внимание на то, что толщина балки влияет на ее прочность гораздо больше, чем ее ширина; это легко доказывается тем, что линейка, поставленная ребром, выдерживает без заметного изгиба гораздо больший груз, чем та же линейка, лежащая плашмя. Примеры: „подстолье“ стола, продольные брусья кровати и т. п. и, обратно, большая гибкость ленточной пружины, полотна пилы и т. п.*

Наконец, возможно — на первых порах чисто эмпирически — удостовериться в особой прочности двутавровой балки (рельс, строительная балка). Модель двутавровой балки легко изготовить из трех линеек, соединенных мелкими шурупами

Черт. 3.

* Большое количество примеров на различные случаи применения законов сопротивления материалов и, в частности, законов гнутия можно найти в моих книжках: „Что происходит вокруг нас" (в наиболее элементарном изложении, для 1 ступени); .Физика в природе и в сельском хозяйстве“; в изложении более серьезном: „Физика в летних экскурсиях“, „Физика на открытом воздухе“ и „По промышленным мастерским“, вып.“ 1 и 2

или очень тщательно склеенных столярным клеем; жесткость такой балки по сравнению с плоской дощечкой такого же веса производит большое впечатление на учащихся. Прочность трубчатой балки показывается еще проще: путем сравнения жесткости трубки, свернутой из бумажного листа, с жесткостью того же листа в развернутом виде*.

Весьма эффектно можно также показать значение способа закрепления концов балки. Кладем длинную тонкую линейку на две опоры; нагружаем ее середину и замечаем получаемый прогиб (можно его довести до нескольких сантиметров). Затем выгибаем линейку дугообразно вверх и упираем оба конца в неподвижные устои (таковыми могут служить две зарубки в доске, см. черт. 4).

На образовавшуюся сводообразную „арку“ кладем тот же груз; прогиб получается едва заметный. Это опять поясняет прочность многих архитектурных форм, применение арок в мостах, большую прочность круглых сосудов на давление снаружи (электрические лампочки, круглодонные колбы и т. п.).

Черт. 4.

(Окончание следует)

ДЕМОНСТРИРОВАНИЕ ВОЛНООБРАЗНОГО ДВИЖЕНИЯ НА ШНУРКОВОМ ПРИБОРЕ

Ф. КРАСИКОВ

Демонстрирование поперечных колебательных движений начинается обычно так: конец длинной веревки или резиновой трубки прикрепляют к неподвижной опоре, а другой конец берут в руку и, вытянув трубку, встряхивают конец. Тогда вдоль трубки распространяется поперечная волна, состоящая из горба и впадины. Дойдя до точки прикрепления, волна отражается обратно, причем происходит потеря в полволны. Если произвести не одно, а много встряхиваний подряд, то отраженные волны интерферируют с идущими вперед: здесь и там возникают возвышения и углубления, и все явление протекает так быстро, что за ним трудно уследить.

Можно, однако, ритмически встряхивать конец трубки так, чтобы вдоль трубки улеглось четное число четвертей волн. Тогда идущие вперед и отраженные волны взаимодействуют так, что образуют стоячие волны с неподвижными узлами и пучностями. Это явление легко наблюдать, легко измерить длину полуволны, а отсюда вычислить длину волны и узнать скорость распространения колебательного движения вдоль трубки, если только известно число (п) колебаний в секунду:

v = nl.

Если конец трубки встряхивать не прямыми, а кругообразными взмахами, то можно получить круглые стоячие волны, имеющие вид веретена.

Демонстрировать стоячие волны можно

* Опыт легко поставить таким образом. Полулист бумаги — примерно 30 X 20 см—кладем на две подставки, удаленные на 25—28 см друг от друга; лист прогибается от собственного веса и проваливается в промежуток между опорами. Затем свертываем тот же лист в трубку диаметром 1,5—2 см, закрепляем края клеем или нитяными колечками, чтобы не дать листу развернуться, и вновь кладем на те же подставки; теперь та же самая бумага не только выдерживает свой вес без заметного прогиба, но может нести еще и добавочную нагрузку граммов 50—100 (смотря по качеству бумаги). Таким образом выясняется возможность во много раз увеличить прочность путем подбора целесообразной формы поперечного сечения балки.

При изложении этого вопроса надо остерегаться ошибки, довольно распространенной среди начинающих. Запомнив выдающуюся жесткость трубчатой балки, ученик нередко воображает, будто трубчатая балка прочнее сплошной балки такого же диаметра, что, конечно, совершенно неверно. Сравнивать можно только балки равного веса, что как раз и делается в приводимых выше опытах.

также на обыкновенном тонком шнурке, укрепив один конец его неподвижно на штативе, а другой прикрепив к молоточку электрического звонка или к ножке колеблющегося камертона: при некотором натяжении шнура возникают стоячие волны, длина которых изменяется в зависимости от натяжения. Если, например, натянуть шнурок с силой в четыре раза большей, то длина волны делается в два раза большей; если натянуть с силой в девять раз большей, то длина волны становится в три раза большей. Другими словами — скорость распространения колебаний пряно-пропорциональна корню квадратному из силы натяжения шнурка. Натягивать шнурок можно или пружинным динамометром или перекидывая конец шнура через блок и подвешивая к концу нити грузы.

Я предлагаю более удобную установку, чем вышеописанные, испытанную мною на практике*. Конец шнурка (бумазейного, резинового, пенькового) приводится во вращательное движение маленьким электрическим мотором; другой же конец прикрепляется к штативу (или к концу динамометра, если приходится измерять натяжение). Мотор берется переменного тока или постоянного (работает от батареи из трех аккумуляторов). В цепь мотора включается реостат. Является возможность менять период колебаний в широких пределах, поддерживать их сколько угодно времени в стационарном состоянии и, не торопясь, произвести нужные измерения, проделать целый ряд опытов, далее описанных.

Шнурок следует прикрепить так, чтобы при вращении мотора он не закручивался. Для этого с оси мотора M (черт. 1) снимается шкив, а вместо него надевается эксцентрик или, за отсутствием эксцентрика, — деревянный кружок или четырехугольный кусочек дерева размерами 4 см Х4 смХ 1,5 см. На пересечении диагоналей этого квадратного куска просверливается отверстие такого диаметра, чтобы кусок можно было плотно насадить на ось мотора. В кусок ввинчивается винт на расстоянии 1,5— 2 см от центра. Винт, описывая окружность, увлекает за собой конец длинного деревянного стерженька AB (35 см X 1,5 см X X 1 см). У конца А стержня просверлено отверстие, куда свободно пропускается винт, после чего винт привинчивается к деревянной насадке. Шнурок (длиной в 5—6 м) привязывается одним концом к стержню, вблизи от винта. Другой конец шнурка привязывается к штативу или перекидывается через блок с грузами. Пуская в ход мотор и передвигая штатив, можно добиться того, чтобы на шнурке возникли стоячие волны различной длины, в зависимости от периода вращения и от натяжения шнура. Конец В стержня опирается на волнообразно вырезанный верх стойки С. Чтобы при быстром вращении мотора конец В не прыгал, он придерживается натянутой резинкой Е. С этой установкой производим следующие опыты.

1) Длина волны при прочих равных условиях зависит от периода колебания. Включаем в цепь мотора реостат и выключатель. Пускаем в ход мотор. Получаем стоячие волны. Сообщаем мотору вдвое большую скорость, волны становятся вдвое короче. Если скорость вращения возрастает втрое, то и волна становится втрое короче. Отсюда видно, что скорость распространения волн вдоль шнурка одинакова для волн всякой длины.

2) Измерение скорости распространения волн. Образуем на шнурке стоячие волны. Пусть вдоль шнурка расположилось 10 пучностей,

Черт. 1.

* Постановка опытов на описываемом приборе была продемонстрирована в секции физики ГИНП (Ленинград).

а длина шнурка равна 3,9ж. Следовательно, каждая пучность имеет протяжение 39 см, длина волны равна 78 см. Число оборотов (п) мотора измеряется счетчиком оборотов. Пусть п = 33 об\сек. Отсюда скорость распространения волн вдоль шнурка

3) Влияние натяжения шнурка на скорость распространения волн. Установка такая же, как и в предыдущих двух опытах, но правый конец шнурка привязываем не к штативу, а к крючку пружинного динамометра или перекидываем через блок и подвешиваем на конце чашечку (собственный вес ее надо принять при расчете). Приведем данные опыта. Так, при натяжении шнурка грузом в 15,5 г расстояние между соседними узлами было около 40 см, т. е. длина волны X =5г 80 см. При натяжении 62 г длина волны =^ 160 см п 139,5 г . и ^240 см Следовательно, при прочих равных условиях (одинаковый период и одинаковая плотность) скорость распространения волны прямо-пропорциональна корню квадратному из силы натяжения (натяжения в опытах относятся как 1:4:9, а длины волн, т. е. скорости, как 1:2:3).

4) Влияние плотности среды. Берем тонкий шнурок AB (черт. 2) длиной в 2—3 м, к нему привязываем конец ВС (длиной 1,5—2 и) из того же мотка, как и часть AB, но в ВС шнурок сложен вчетверо, следовательно, каждый погонный метр ВС весит вчетверо больше по сравнению с погонным метром AB (мы выражаем это словами, что плотность ВС в четыре раза больше плотности AB). Натяжение же частей AB и ВС, конечно, одинаковое. Пуская мотор, добиваемся получения стоячих волн в AB и ВС. Мы можем получить длину волны на ВС вдвое меньше, нем на AB (следовательно, и скорость распространения вдвое меньше). Если составить часть ВС из шнурка, сложенного в девять раз, то длина волны на ВС будет втрое меньше, чем на AB. Итак, при прочих равных условиях (одинаковом числе колебаний и одинаковой упругости) скорость распространения колебаний обратно-пропорциональна корню квадратному из плотности.

В этом опыте мы имеем модель перехода световых волн из среды менее плотной (AB) в среду более плотную (ВС).

Измерять расстояние между узлами здесь удобно при помощи стеклянных трубок, вертикально установленных на подставках. Трубки придвигаются вплотную к узлам и после остановки шнурка расстояние между трубками тщательно измеряется.

5) Поляризация волн. Вышеописанная установка дает круговые колебания. Но эти круговые колебания можно превратить в плоские, причем длина волны не меняется. Для этого надо продеть шнурок сквозь узкую щель (составленную, например, из двух стеклянных трубок, расположенных параллельно на расстоянии 0,5 см — 1 см). Но лучше приготовить „модель поляризатора“ из дощечки длиной, примерно, в 30 см, шириной в 15 см, укрепив ее на двух вертикальных стойках, причем доска может вращаться вокруг горизонтальной оси и принимать устойчивое положение под любым углом к горизонту (черт. 3, AB). На переднем и заднем концах доски укреплены параллельно доске (на деревянных выступах) две стеклянные трубки; между каждой трубкой и доской образуется щель шириной в 0,5 см. Перед опытом шнурок пропускается вдоль доски через обе щели и затем конец (правый) привязывают к штативу; доску AB надо повернуть так, чтобы натянутый шнурок лишь

Черт. 2.

слегка касался поверхности доски. Приводя теперь мотор во вращение и получив стоячие волны, увидим, что волны между мотором и поляризатором продолжают оставаться веретенообразными и имеют круговые движения. На доске AB волны становятся плоскими и вплоть до штатива сохраняют плоскость своего колебания. Включим теперь вместе с „поляризатором“ AB и „анализатор“ CD, устроенный совершенно так же, как и AB. Если держать обе доски в одной плоскости, то волны проходят после поляризатора через анализатор без всякого уменьшения амплитуды. Но если теперь начнем понемногу наклонять доску анализатора Со, то амплитуда волны на нем начнет уменьшаться, причем это уменьшение будет пропорционально косинусу угла между плоскостями обеих досок, что можно показать непосредственным измерением. Для опыта мы берем белый резиновый шнурок (диаметром 3—4 мм); на поверхности доски, выкрашенной в черный цвет, пучность резко выделяется и амплитуду легко измерить. Если поставить обе доски так, чтобы плоскости их были перпендикулярны друг к другу, то все колебания, прошедшие через поляризатор, задерживаются анализатором, и шнурок между анализатором и штативом остается в полном покое. Опыт удается очень чисто. 6) Интерференция. Изменяем несколько конструкцию прибора (черт. 4) Придвигаем к мотору штатив £*, в лапке которого закрепляем кусочек дерева. К этому куску при помощи винта прикрепляем качающуюся планку AB. Отверстие для винта находится как раз посредине планки, и она легко покачивается вокруг точки опоры О. Качателем служит стерженек, соединенный нижним концом с винтом на дощечке, укрепленной на оси мотора, а верхним концом — с винтом, привинченным к планке AB. От концов А и В протянуты два одинаковых (и одинаковой длины) шнурка ВС и АС и к ним прикреплен шнурок CD (желательно, чтобы он был равен длине

Черт. 3.

Черт. 4.

волны, возникающей на шнурке ВС и АС, или превышал ее в два-три раза). Шнурок CD привязан к штативу. Пуская в ход мотор AB, вызываем быстрые колебания планки AB, причем, понятно, когда конец А опускается, В поднимается, и наоборот, так что у А и В возникают колебания противоположных знаков, которые, сходясь в точке С, взаимно интерферируют, так что шнурок CD остается неподвижным. Но если во время опыта задержать рукой колебания шнурка АС, то колебания с ВС распространяются на CD. Для чистоты опыта лучше взять волны подлиннее, например, чтобы на шнурке ВС (и АС) расположилась целая волна. Достичь этого легко, меняя при посредстве реостата быстроту оборотов мотора, а также слегка приближая и удаляя штатив Н.

Подобным образом можно устроить интерференцию двух колебательных движений, достигающих до точки соединения шнурков с одинаковым знаком. Для этого следует на конце планки AB укрепить перпендикулярно к ней планку PQ, изображенную на чертеже 4 пунктиром; шнурки прикрепить к точкам Р и Q и вытянуть вдоль планки AB. Тогда при качаниях планки AB в точках Р и Q будут зарождаться одинаковые импульсы. Эти импульсы, сходясь вместе в точке С, будут взаимно усиливать друг друга.

Описанную установку легко выполнить ; она одинаково может пригодиться как для демонстрации оптических явлений (интерференция, поляризация и т. д.), так и для акустических (явления колебания струн).

ПОНЯТИЯ МЕХАНИЧЕСКОГО И ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА

А. КАЛАШНИКОВ (Москва, Институт политехнического образования)

В последние годы как у нас, так и на Западе усилилось движение за пересмотр программ и учебников по физике в так называемом „энергетическом“ направлении. Как известно, это направление стремится рассматривать все процессы с точки зрения закона сохранения и превращения энергии, эквивалентности ее форм; следовательно, оно приводит к необходимости вводить во все отделы физики элементарные расчеты, связанные с переходом одной формы энергии в другую.

Само по себе это направление надо решительным образом приветствовать, так как оно знаменует собой в известном смысле перестройку курса физики на основах диалектического материализма.

Однако в этом движении при стремлении свести все физические процессы к взаимным переходам форм энергии возможны механистические ошибки, заключающиеся в устранении из рассмотрения специфических свойств энергии того или иного вида.

Когда выяснилось, что теплота есть род движения молекул и что количество теплоты эквивалентно определенному количеству механической энергии, Энгельс писал по этому поводу: „Но если я не имею ничего сказать о тепле, кроме того, что оно представляет собой известное перемещение молекул, то лучше мне замолчать“.

Поэтому мы должны вместе с энергетическим истолкованием определенных понятий и процессов тщательно выяснять их специфические особенности и качества в ряде других подобных понятий и процессов. К такого рода понятиям относятся понятия потенциала в поле тяготения и в электрическом поле. Целый ряд учебников и программных указаний эти два, несомненно, подобных понятия излагают так, что получается представление о полном их тождестве.

Это связано главным образом с тем, что многие авторы стремятся заменить выяснение специфических свойств тех или иных величин и понятий их определением путем измерения. Для них определить величину — это значит найти способ и единицу ее измерения. Такой формально логический подход к определению величин, несомненно, во многих

случаях стирает своеобразие физической величины, что часто избавляет автора от иногда довольно сложной разработки методики изложения этого вопроса в школьных условиях.

Обратимся к понятию потенциала. Для того чтобы выяснить этот вопрос (как и целый ряд других спорных вопросов методики физики), следует обратиться к анализу понятия потенциала (тяготения и электричества) так, как он определяется в теоретической физике. Выяснив соотношение между этими понятиями, следует установить те возможные упрощения, которые надо внести в изложение этих понятий в средней школе.

В современных учебниках электрический потенциал определяется через потенциальную энергию заряда. В учебнике И. И. Соколова („Курс физики для педагогических техникумов“, часть 2-я) на странице 110 читаем: .Потенциальная энергия заряда + 1, рассчитанная для перенесения этого заряда из бесконечности в данную точку поля, может служить характеристикой поля в этой точке и получает особое название потенциала“. Отсюда и определение потенциала: „Потенциал в каждой точке поля измеряется работой, совершенной при перемещении +1 электричества из бесконечности в данную точку. Совершенная для преодоления действия поля работа превращается в потенциальную энергию заряда, почему величине работы при перемещении -f 1 и присваивается название потенциала“.

Точно так же разность потенциалов или напряжение определяется как работа по перемещению 1 электричества между двумя точками, имеющими соответственно потенциалы Vj и V9. Если перемещается количество электричества Q между этими точками, то существует равенство

A = Q(V2-V2).

Отсюда напряжение равно

у 2 vi— v — q •

Если мы теперь сравним определение потенциала так, как оно дается в механике, с определением потенциала электрического поля, то мы не найдем существенной разницы.

В курсе физики О. Д. Хвольсона (т. I, изд. 7-е) читаем на странице 201: „Потенциал данной точки равен работе силы притяжения, совершенной при переходе единицы массы из бесконечности по произвольному пути в эту точку“. В недавно вышедшем курсе физики К. А. Путилова определения потенциала обобщаются в таких выражениях: „Под потенциалом поля в данной точке подразумевается работа, которую надо затратить, чтобы переместить из бесконечной удаленности, где поля нет, в данную точку поля единицу „массы“: в поле тяготения — единицу тяготеющей массы, в электрическом поле — единицу количества положительного электричества, в магнитном поле — единицу количества положительного магнетизма“ (стр. 350).

С формальной точки зрения все эти определения совершенно правильны, но существенные различия между этими потенциалами в данных определениях смазываются. Оказывается, потенциал, независимо от его физической сущности, всегда определяется как работа. Отсюда как будто бы должно следовать, что и размерность потенциала везде также одинакова. Однако это, как известно, неверно. То, что электрический потенциал может быть измерен с помощью работы, это еще ничего не говорит о его физической сущности или, вернее, о сущности поля, которое он характеризует. Между механическим и электрическим потенциалом имеется известное подобие, которое ни в каком случае не может трактоваться как тождество*. Данный вопрос с этих же точек зрения разбирает д-р Георг Гейсель** в журнале „Praktische Schulphysik“.

Сопоставление размерности потенциала тяготения и электрического потенциала показывает, что здесь мы имеем две различных физических величины, причем одна из них имеет размерность энергии, отнесенной к единице массы, другая — характеризуется совершенно иной размерностью; кроме того, в величину электрического потенциала входит диэлектрическая постоянная, что обозначает зависимость потенциала от среды.

В механике потенциал определяется как функция, характеризующая поле тя-

* При измерении электрического потенциала с помощью работы единицы заряда упускается из виду явление индукции, смещающей заряды на проводниках (чего нет в по ie тяготения .

** „Praktische Schulphysik“, Heft 6, 1934.

желой массы в зависимости от расстояния. Основным свойством ее является то, что частные производные ее по осям координат дают выражение компоненты силы тяготения с обратным знаком. Следовательно, мы можем получить потенциал как интеграл действующей силы по расстоянию от данной точки до бесконечности.

Если масса тела, потенциал тяготения которого хотим найти, равна //г, то сила, с которой эта масса должна действовать на единицу массы, будет F=^ , при этом мы берем формулу силы тяготения в ее астрономической форме, где гравитационная постоянная равна единице. Эту силу мы можем назвать также напряженностью поля.

По определению потенциала мы можем написать:

Если мы возьмем две массы m и т]9 то потенциал масс друг на друга будет также выражаться: W=-.

При этом мы можем изобразить потенциал двух точек друг на друга в следующем виде:

W=mV1 = m1V, где V1 = ^\aV=r^; m

„Потенциал двух точек друг на друга равен работе их притяжения, совершенной при переходе из „бесконечно разрозненного“ положения в данное“ (О. Д. Хвольсон — „Курс физики“, т. I, изд. 7-е, стр. 202).

Рассмотрим потенциал двух точек, находящихся в разных полях: одной, находящейся в поле тяготения Земли на небольшом расстоянии от ее поверхности, другой — находящейся в поле плоского конденсатора, где напряженность поля равна Е.

Пусть точка, находящаяся в поле тяготения Земли на расстоянии от поверхности у, имеет массу — т. Сила, с которой эта точка будет притягиваться к Земле, равна F=—mg. Если мы будем эту силу рассматривать как производную потенциальной функции, то мы будем иметь:

Компоненты по другим осям, естественно, будут равны нулю. Интегрируя и меняя знак, получаем величину потенциала. Выбирая соответствующим образом постоянную С, получаем:

W=mg.y = A; [W\ = [ML2 Т~2].

Мы видим, что потенциал двух масс друг на друга и по размерности и по величине соответствует работе (здесь размерность устанавливается в системе CGS).

Обратимся теперь к точке, имеющей заряд Q, находящейся в однородном поле плоского конденсатора, напряженностью Е. Размерность заряда и напряженности поля будет соответственно

Сила, действующая на заряд, выражается: F=QE.

Величина работы, которую совершает эта сила на протяжении пути у, будет:

Естественно, что размерность этой величины будет та же, что и размерность механической работы. К размерности потенциала мы придем, если разделим обе части последнего равенства на Q:

Однако это есть чисто математическая операция, через которую лишь формально можно определять величину электрического потенциала как работу на единицу количества электричества. С таким же успехом мы могли определять и величину силы как величину работы на единицу пути, если мы разделим обе части равенства на у:

С другой стороны, нечто подобное электрическому потенциалу мы можем иметь и в поле тяготения, если разделим обе части формулы работы на массу:

* В формулу размерности мы вводим также Е — диэлектрическую постоянную, чтобы отразить зависимость электрических величин от среды.

Подобие при этом будет формальное; размерность же этих выражений указывает на то, что мы имеем дело с совершенно различными, специфическими полями сил взаимодействия.

О. Д. Хвольсон говорит (стр. 250): „Если две величины а и Ь, различные по первоначальному определению, на основании каких-либо выводов оказываются численно равными, если ту и другую измерять в абсолютных единицах так, что а = Ь, то размеры этих величин должны быть равны, т. е. зависимость их единиц А и В от основных единиц L, M и Т должна быть одинаковая. Равенство а = Ъ должно оставаться верным, какими бы абсолютными единицами А и В мы их ни измеряли, т. е. каковы бы ни были основные единицы L, M и Т („Курс физики“, т. I, изд. 7-е).

Очевидно, и обратное справедливо, т. е., если размерности двух величин в какой-либо системе неодинаковы, то они не будут одинаковыми ни в какой другой системе и должны быть измеряемы различными единицами.

В то время как потенциал тяготения мы можем измерять в эргах или в каких-либо других единицах работы, электрический потенциал мы измеряем вольтами. Измерение электрического потенциала в эргах (причем опускается обычно то, что эта величина берется на единицу заряда) является совершенно неправильным. Между тем в ряде курсов напряжение электрического поля и потенциал часто измеряются в динах или в эргах.

Само собой разумеется, что размерность какой-нибудь физической величины не может быть рассматриваема как характеристика ее физических свойств. Поэтому, если у нас налицо различие размерностей каких-либо двух величин (в данном случае потенциалов тяготения и электрического), то мы можем говорить только о различии физических качеств тех полей, к которым эти потенциалы относятся*. Выяснение же этих качеств может быть сделано на основе не математического, а лишь экспериментально-физического исследования, поэтому как в отношении потенциалов (тяготения и электрического), так и в отношении других характеристик этих полей может существовать лишь формальное подобие, но ни в каком случае не будет тождества физических свойств. Таким образом, определение электрического потенциала как работы, которая должна быть затрачена для того, чтобы перенести единицу электричества из бесконечности в данную точку, физических свойств электрического потенциала не определяет и дает чисто спекулятивное математическое его выражение через работу. С этой точки зрения, как указывает в вышеупомянутой статье Гейслер, мы можем через работу определить любую физическую величину, например:

„Масса тела есть удвоенная работа, которая должна быть затрачена, чтобы покоющемуся телу сообщить скорость, равную единице.

Скорость есть квадратный корень из удвоенной работы, которая должна быть затрачена, чтобы тело массой в единицу привести в движение“.

Вышеприведенный разбор вопроса имеет целью обратить внимание на качественное своеобразие понятий потенциалов, тяготения и электрического, как с точки зрения формальной — по размерности, так и по существу, с точки зрения особых свойств полей, которые характеризуются данными потенциалами. Поэтому при преподавании в школе необходимо не только устанавливать сходство между потенциалами, но также и указывать различия. Особенно это имеет значение тогда, когда мы характеризуем разность потенциалов или напряжение. В этом случае напряжение на концах проводников цепи или на разных участках ее должно быть охарактеризовано как величина, имеющая особые физические свойства, которые не могут быть сведены только к измерению ее работы на единицу заряда.

Обзор различных методических подходов к изложению вопроса об электрическом потенциале и напряжении, а также возможные решения вопроса мы дадим в следующей статье.

* Даже в случае равенства размерностей некоторых величин может итти речь не о тождестве этих величин, а лишь об эквивалентности, например механическая работа и количество теплоты.

К ВОПРОСУ О МЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ ТРЕХФАЗНОГО ТОКА

(Окончание*)

Е. ГОРЯЧКИН (Москва)

Включение треугольником

Несколько труднее излагать вопрос о соединении обмоток генератора треугольником, чем о включении их звездой. Аналогии с цепями постоянного тока принимают здесь более сложный характер.

Основным свойством трехфазного генератора является то, что алгебраическая сумма электродвижущих сил, генерируемых в его обмотках, всегда равна нулю. В частности для момента t2 электродвижущие силы /2 и /3 равны между собой и сумма их в свою очередь равна 11$ но имеет противоположный знак (черт. 1).

Черт. 1.

Черт. 2.

Для этого момента цепь при соединении треугольником (черт. 2, III), составленная из четырех элементов, приобретает вид, показанный на чертеже 2, I. Изменив несколько расположение проводников, легко дать понять учащимся, что включение треугольником представляет собой смешанное соединение трех источников тока, из которых 2 и 3 соединены последовательно и 1 включен параллельно им (черт. 2, II).

Следует обратить внимание на то, что аналогия с цепями постоянного тока, питаемыми четырьмя элементами, может быть допущена только для шести моментов времени в течение периода, отмеченных t (см. черт. 1). Соответствующие комбинации из элементов могут быть составлены посредством изменения числа элементов в обмотке от одного до двух и перемены направления действия электродвижущей силы, т. е. изменения полюсов у элементов.

Принцип действия асинхронного мотора

В курсе средней школы для объяснения принципов работы двигателей и генераторов мы пользуемся обычно контурами или витками, вращающимися в магнитном поле. В методическом отношении крайне выгодно сохранить тот же подход в изложении о трехфазном токе, привести учащихся к пониманию принципа асинхронного двигателя, отправляясь от хорошо разрабатываемых в обычном курсе физики вопросов вращения витка в неподвижном поле. Сделать это вполне возможно.

Изложение вопроса об асинхронном двигателе начинают с рассмотрения витка или катушки, помещенной между полюсами постоянного магнита Nu S (черт. 3). Повороты этой катушки в магнитном поле при пропускании через нее тока изучены учащимися в VII и вновь в X классах.

Учащиеся знают, что под влиянием тока катушка сделает поворот и займет положение, соответствующее нейтральной линии. Для получения дальнейшего поворота на 180° следует изменить направление тока. Непрерывное вращение катушки возникнет, если менять направление тока на обратное в моменты, когда катушка находится на нейтральной линии, для чего в моторе постоянного тока служит коллектор.

Таковы знания учащихся, которые надо освежить и затем показать, что непрерыв-

* Начало см. в № 4 журнала за 1934 г.

ное вращение катушки, по которой течет ток неизменяемого направления, может быть получено, если вращать постоянный магнит указанным на чертеже 4 образом. Действительно, при смещениях магнита из положения 1 в положение 4 станет перемещаться нейтральная линия, и катушка, под влиянием тока стремясь притти в нейтральное положение, придет во вращение. Этот принцип не содержит никаких трудностей и легко усваивается учащимися. Преподаватель при этом не только объясняет принцип, но и демонстрирует его на опыте, подвесив рамку с током на штативе (черт. 4) и поворачивая магнит согласно схеме чертежа 4. Таким образом, на основании опытного материала и элементарных теоретических соображений могут быть сделаны следующие выводы:

1) Для получения непрерывного вращения рамки с током надо поворачивать магнит, создающий поле.

2) Рамка после своей установки в нейтральной линии вне зависимости от направления тока будет вращаться в том же направлении, что и поле. При поворотах магнита по часовой стрелке и против нее (рис. 4) рамка будет всегда догонять нейтральную линию.

Это очень важный вывод для последующего. Нужно обратить внимание на то, что направление тока в рамке влияет лишь на направление ее первоначального оборота до установки на нейтральной линии, но не на указанный выше процесс.

3) Поле, полученное в простейшем случае при помощи вращения магнита, называется вращающимся магнитным полем. Преподаватель при этом должен продемонстрировать спектр [/-образного магнита, поворачивающегося вокруг оси под листом картона, посыпанного опилками.

Затем, оставив в стороне вопрос о вращении рамки во вращающемся поле, переходят к рассмотрению явления индукции в рамке, находящейся в поле вращающегося магнита.

Для этого берут ту же рамку, что и на чертежах 3 и 4, и рассматривают следующие случаи, считая, что магнит поворачивается около оси катушки и тем самым создает вращающееся поле:

1) При неподвижной рамке в ее обмотке будет возникать ток, направление которого легко определить по правилу правой руки. При этом надо не спутать и ставить большой палец против движения магнита, что соответствует фиктивному направлению движения проводника. Легко выяснить, что при движении поля по стрелке часов или против нее, изображенных на чертежах 5 и 6 стрелками

Черт. 3.

Черт, 4.

Черт. 5.

л, соответствующие фиктивные направления движения проводника должны быть приняты совершающими по направлению стрелок Ь. Применение правила правой руки покажет, что в проводнике А вне зависимости от направления вращения поля будет индуктироваться ток по направлению к наблюдателю (•), в проводнике В — от наблюдателя (-]-)• Такое направление индуктированных токов сохранится в течение полуоборота поля, т. е. до тех пор, пока полюса N и 5 не придут в положение, показанное на чертеже 7, т. е. поменяются местами.

При дальнейшем вращении в течение следующего оборота будет происходить индуктирование токов противоположного направления.

Таким образом, получают важный вывод: в неподвижной рамке, находящейся в вращающемся магнитном поле, будет происходить индуктирование переменного тока с частотой, равной удвоенному числу оборотов поля (магнита). Этот вывод принципиально не нов для учащихся и только лишний раз подчеркивает, что для индукции надо иметь относительное движение поля и проводника, и не важно, двигается ли в данном случае поле или проводник. Рассмотренная схема представляет собой не что иное, как обычную схему индукции путем вращения рамки в однородном поле, с той разницей, что вращается не проводник, а поле.

2) Если рамка вращается с такой же скоростью, что и поле, и в том же направлении, то сохраняется все время без изменения относительное положение поля и проводников А и В\ например, положение, изображенное на чертеже 6. В этом случае проводники Л и В не пересекают силовых линий поля и, следовательно, явления индукции не происходит. Отсюда второй важный вывод, что в рамке, вращающейся со скоростью поля и в том же направлении, ток не индуктируется.

3) Если рамка вращается в поле в том же направлении и со скоростью меньшей, то, рассматривая относительное движение, можно легко притти к выводу, что в проводниках А и В происходит индуктирование тока. Этот ток будет переменным, именно: изменение направления тока на обратное происходит в моменты, когда рамка, отставая от поля, переходит через нейтральное положение. Частота этого тока будет равна удвоенной разности между числом оборотов поля и рамки.

Такое движение рамки, отстающей от поля, принято в электротехнике называть скольжением и выражать в процентах. 100% скольжения соответствуют неподвижной рамке, 0% — рамке, движущейся со скоростью поля*.

Из рассмотренного делается суммарный вывод:

В рамке, находящейся во вращающемся поле, происходит индуктирование переменного тока, эффективная электродвижущая сила которого и частота зависят от степени скольжения рамки по отношению к полю.

После этого следует связать вместе сделанные выводы и тем самым познакомить с принципом действия асинхронного мотора.

Сделать это можно, например, при помощи следующих рассуждений.

В рамке, находящейся во вращающемся магнитном поле, происходит индуктирование переменного тока, который будет течь, если концы обмотки рамки замкнуть проще всего накоротко.

Черт. б.

Черт. 7.

* Скольжение может быть более 100%, если рамка вращается против поля, но такие случаи не важны при рассмотрении асинхронного мотора трехфазного тока.

Этот ток, как было указано выше, взаимодействуя с вращающимся полем, вызовет вращение рамки в направлении последнего, в чем легко убедиться, применяя на чертежах 5—7 правило левой руки.

Таким образом, для получения непрерывного вращения рамки нет надобности питать ее током от постороннего источника; необходимый ток индуктируется полем и увлекается им в том же направлении. Этот вывод основного принципа асинхронного мотора, если преподаватель пойдет указанным путем, сделан на опыте и с помощью простых рассуждений, без вмешательства математики, что в сущности и требуется при элементарном изложении вопроса.

Вращение коротко замкнутой рамки из нескольких или одного витка можно показать на следующем оригинальном опыте (черт. 8). Виток В, сделанный из полоски красной меди, хорошо спаянной в месте соединения С, укрепляют на пробке А и помещают в стакан с водой. Пробку подбирают такого размера, чтобы виток не опускался на дно; в пробку для лучшей видимости вращения втыкают бумажные флажки D. Стакан с водой и витком помещают между полюсами сильного ^/-образного магнита (например от автомобильного магнето), вращаемого на центробежной машине, и обнаруживают, что виток приходит во вращение.

Демонстрация диска Араго на данном этапе изучения нецелесообразна. От учащихся она потребует много больше знаний и воображения и, кроме того, поставит совершенно несвоевременно вопрос о „трении“ между током и веществом проводника. Действительно, вопрос о вращении сплошного ротора, так же, как, например, диска Барлоу, потребует экскурса в область строения вещества.

Выяснив принцип действия асинхронного мотора, следует перейти к рассмотрению вопроса о получении вращающегося поля при помощи трехфазного тока. Здесь попутно следует подчеркнуть, что трехфазный ток обязан своим введением в технику главным образом в силу возможности получать при помощи определенной комбинации неподвижных катушек вращающееся поле. Такое поле может быть получено при помощи трех перекрещивающихся катушек (черт. 5 в № 4 журнала за 1934 г.), или трех катушек, оси которых расположены под углом 120°, или, наконец, на приборе, описание которого дано ниже.

Выяснить, почему поле является вращающимся, рассматривая для нескольких последующих моментов смену полюсов и изменения интенсивности поля на концах катушек, не представляет затруднений. Этот вопрос хорошо методически разработан в большинстве элементарных курсов электричества и поэтому здесь не описывается.

Для доказательства, что поле является вращающимся, в него помещают магнитную стрелку (черт. 5 в № 4) и наблюдают ее вращение. Получение магнитного спектра вращающегося поля нежелательно, так как повело бы к усложнению вопроса, ввиду того что опилки движутся против поля.

Модель асинхронного мотора по Грецу

Для получения вращающегося магнитного поля и постановки ряда интереснейших опытов очень хорош прибор, изображенный на чертеже 9, известный по книге Греца „Электричество и его применение“. Так как в продаже такого прибора нет, то его надо изготовить своими силами; наибольшую трудность представляет изготовление различного типа роторов, но на первых порах можно обойтись и без них.

Для изготовления сердечника берут железную, очень хорошо отожженную проволоку (d=l—2 мм). Проще и дешевле приобрести проволоку, известную в продаже под названием печной. Из проволоки на какой-нибудь круглый шаблон наматывают кольцо, которое временно связывают в нескольких местах

Черт. 8.

проволокой. Для получения равного кольца лучше всего вырезать кружок (d=18— 20 см) из доски толщиной в 4 — 4,5 см. На кружок (черт. 10) набивают в нескольких местах планки Л, В, С и D из дерева или толстого железа для того, чтобы намотка вышла плотной и ровной.

Черт. 9.

Перед намоткой для облегчения съемки готового кольца торцу следует придать слегка конусообразную форму и полезно обмотать несколькими слоями бумаги. В нескольких местах до намотки в сделанные небольшие вырезы закладываются поперек концы железного провода для связывания кольца. Проволоку наматывают возможно плотнее и ровнее слой за слоем, до получения ширины кольца в 5—4,5 см. После намотки кольцо связывается поперечными проволоками, планки А, В, С и D удаляются, и кольцо снимается с шаблона. Лучше всего связывание проволокой произвести в тех шести местах, которые соответствуют зазорам между катушками.

На сердечник наматывают из провода в бумажной обмотке (а = 0,5 — 0,8 мм) шесть катушек I—VI, по 3—4 слоя в каждой и, примерно, по 60—100 витков в слое. Выводы от катушек следует сделать из толстого гибкого проводника и присоединить к шести клеммам, установленным на подставке прибора.

В качестве роторов с успехом можно взять подходящие по размерам чугунную или железную и алюминиевую сковородки. При этом надо сначала приобрести сковороды, а затем применительно к их размерам сделать сердечник (черт. 11, V).

Для демонстрации вращения сковородок, в целях упрощения, их можно подвесить на нитках указанным на рисунке 11, V образом. Во избежание закручивания и обрыва нитки ее следует прикрепить к стержню, способному поворачиваться с небольшим трением внутри трубки, заделанной в основание подвеса.

На чертежах 12 и 13 показаны различные варианты включения шести катушек в цепь трехфазного тока. В обоих случаях катушки включены звездочкой. При первой схеме вращающееся поле будет иметь 3000 оборотов и при второй— 1500 оборотов в минуту.

С прибором можно показать, кроме описанных Грецом, следующие опыты:

1) Вращение магнитной стрелки.

Прибор закрывают сверху листом картона или фанеры, в центре которого укреплена вертикально швейная игла. На иглу надевают большую демонстрационную стрелку с окрашенными полюсами и наблюдают ее вращение после включения тока.

При перемене местами двух любых проводников, подводящих ток, обнаруживают, что вращение будет происходить в обратную сторону.

Вместо магнитной стрелки можно получить вращение подвешенных на нитке (/-образного и прямого магнитов.

2) Вращение различных металлических предметов.

К автомобильному стальному или медному шарику припаивают ушко для подвешивания на нитке. Желательно, припаивая ушко, оставить концы проволоки длиной в несколько сантиметров

Черт. 10.

Черт. 11.

для укрепления небольших флажков из цветной бумаги (черт. 11, I). Держа нить в руках, опускают шарик в середину кольца и обнаруживают, что он приходит в быстрое вращение, что особенно хорошо заметно при наличии флажков. Эффектно также вращение ключей, надетых на железное кольцо, повешенное на нитке. Ключи стремятся, между прочим, под вляниями центробежной силы и поля занять радиальное направление (черт. 11, II).

В фарфоровую выпаривательную чашечку кладут один или несколько стальных автомобильных шариков (рис. 11, III). Шарики приходят во вращение и после легкого бокового толчка стремятся к движению по экватору. Эффектнее шарики поместить в круглодонную стеклянную колбу.

К прибору подносят повешенные на нитке чугунную и алюминиевую сковородки и наблюдают их вращение (черт. 11, V). Интересно, что в случае большей мощности модели, укрепив сковородку неподвижно, на ней можно зажарить яичницу.

3) Вращение витка.

Виток, плавающий в стакане с водой (черт. 8), при помещении его внутрь кольца (черт. 9), создающего поле, приходит во вращение. Необходимо также сделать виток по размерам кольца из одного или нескольких оборотов алюминиевой или медной проволоки возможно большей толщины (черт. 11, IV). Концы витка отгибаются и снабжаются двумя массивными медными клеммами. Виток в разомкнутом состоянии подвешивают на нитке и помещают его внутрь кольца. Вращение отсутствует. После соединения клемм толстым проводником виток при тех же условиях приходит во вращение. При соединении клемм тонким проводником, подобрав его сечение, из опыта можно наблюдать, что этот проводничок при

Черт. 12.

неподвижности витка раскалится, обнаруживая тем самым существование индуктированного тока. Если освободить виток и дать ему вращаться, то накал проводника быстро исчезнет. Вместо проводника клеммы можно присоединить к маловольтной лампочке от карманного фонарика и наблюдать изменение ее накала по мере увеличения числа оборотов, т. е. уменьшения скольжения. Однако опыт с лампочкой, замкнутой на один виток, удается с моделью большей мощности, чем описанная, поэтому вместо одного витка следует взять моток такой же формы с 30—50 витками провода 0,3—0,5 мм толщиной.

Черт. 13.

ПРИБОР ГРИМЗЕЛЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОГО ЭКВИВАЛЕНТА ТЕПЛОТЫ

Б. СПАССКИЙ (Вятка)

Длина = 38 см; диаметр вала = 9 см; общий вес около 3 кг, вес гири = 5 кг.

Описание прибора

Прибор состоит (черт. 1) из латунного, полого усеченного конуса /С, с полированной боковой поверхностью. Этот конус входит в коническую полость деревянного цилиндра Д, способного вращаться на оси в то время, как латунный конус остается неподвижным. Стенки полости покрыты кожей для получения неизменяемой тормозящей силы. Вращение цилиндра вызывается падением гири Г, которая подвешена на шнурке, навертывающемся на деревянный вал В, скрепленный неподвижно с цилиндром Д на одной оси с ним.

Для затормаживания движения и полной остановки служит винт И, нажимающий на конус К. Нажим производится через металлическую пластинку П, укрепленную на деревянной платформочке Л, которая упирается в широкое основание конуса. Гайка Г винта H укреплена на особых стержнях-держателях, показанных на чертеже.

Внутренняя полость конуса К, который геометрически закупорен, сообщается с наружным воздухом посредством отводной трубки Т. Этот отвод при помощи каучуковой трубки соединяется с водяным манометром М, измеряющим давление воздуха внутри конуса.

Манометр имеет приспособление для выравнивания уровней жидких столбов.

Деревянный цилиндр приводится во вращение при подъеме гири рукояткой Р. Весь прибор укрепляется на краю столба при помощи струбцинки С (приборы старого типа укрепляются двумя струбцинками).

Действие прибора

Если поднять гирю Г вращением вала В, привести конус К в соприкосновение с полостью цилиндра Д, а затем дать гире опускаться, то работа падения гири пойдет на: 1) трение в оси прибора, 2) трение между поверхностями конуса и цилиндра, 3) сообщение валу энергии вращения. Сопротивление движению воздуха и гибкость шнура не учитываются. Трение в оси уменьшает действие гири Г. Оно определяется предварительным измерением.

Вторая работа, превращаясь в теплоту, идет на повышение температуры вещества конуса и воздуха в нем.

Механический эквивалент вычисляется по величине этой работы по эквивалентному ей количеству тепла, полученному во время опыта. Тепло вычисляется по теплоемкости конуса и повышению температуры его. Для этой цели служит манометр М, который градуируется предварительным опытом на градусы.

Черт. 1

Нагревание внутренней полости деревянного цилиндра и излучение не учитываются.

Энергия вращения вала целиком превращается в теплоту при остановке его. Учитывать ее особо не нужно.

Формула для вычисления механического эквивалента теплоты

Пусть сила трения в оси прибора компенсируется весом Р килограммов, приложенным к окружности вала, вес гири G килограммов, высота падения гири H метров. Тогда работа трения конуса, превращающаяся в тепло, есть:

W=H(G — P) кгм.

Пусть далее повышение давления манометра, вызванное нагреванием конуса на 1° (полученное из особого опыта), есть ДА, наблюдаемое повышение давления после падения гири А, теплоемкость конуса С грамм-калорий. Пренебрегая малым изменением объема воздуха вследствие расширения латунного конуса и изменения уровней воды в манометре, считаем изменение давления воздуха пропорциональным нагреванию. Тогда количество тепла, полученное конусом, есть:

Если пренебречь количеством тепла, отданным деревянному вращающемуся цилиндру, и другими потерями, то механический эквивалент теплоты будет равен :

Точность прибора

Механический эквивалент получается с погрешностью в среднем в 5—10%.

В отдельных случаях погрешность бывает и больше и меньше. Чаще она имеет положительное значение. Она зависит от тепловых потерь, повышающих значение механического эквивалента, и от точности измерения постоянных прибора и данных опыта, влияющих как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения результатов.

Тепловые потери заключаются в нагревании внутренней полости деревянного цилиндра, соприкасающейся с латунным конусом, в излучении теплоты той частью конуса, которая не закрыта цилиндром, в нагревании соединительной резиновой трубки и других незначительных потерях.

Все они дают положительную ошибку. Избежать тепловых потерь невозможно. Чтобы свести их к минимуму, нужно опыт производить возможно быстрее.

Найдем погрешность в определении механического эквивалента теплоты, зависящую от точности измерения величин, входящих в формулу:

Тепловые потери будем считать ничтожными.

1) Погрешность Ь19 зависящая от ошибок измерения высоты падения И.

Высота И определяется как разность двух отсчетов. Примем точность каждого отсчета в 1 мм (отсчет грубый), тогда И будет измеряться с точностью до 2 мм — 0,2 см.

Погрешность ЛО г

Высота падения колеблется в пределах, примерно, 10—70 см. Средняя высота падения около 40 см (см. дальше пример). Следовательно, имеем:

а) Наиболее неблагополучный случай, малая И:

б) Наиболее благоприятный случай, большая Н:

в) Для среднего значения H имеем:

2) Погрешность 82, зависящая от ошибок измерения силы (G— Р), вращающей вал.

Вес гири G может быть найден с большой процентной точностью (0,01 %). Наоборот, ошибки в измерении трения в оси могут достигать сравнительно большой величины. Следовательно, ошибка измерения веса G целиком покрывается ошибками измерения силы, компенсирующей трение. Примем для них значение 20—40 г.

Для силы Я, компенсирующей трение в расчетах погрешности, можно принять величину 100 г. Тогда для вращающей силы (G — Р) имеем значение 4,9 кг с ошибкой в 20—40 г. Следовательно, погрешность будет равна:

а) Наиболее неблагоприятный случай:

б) Наиболее благоприятный случай:

3) Погрешность 83, зависящая от ошибок в градуировке манометра, т. е. от измерения ДА.

Градуировка манометра производится в статических условиях и может продолжаться сколь угодно долго. Поэтому для отсчета высоты водяного столба (с помощью лупы) примем сравнительно большую точность 0,5 мм. Показания термометра будем считать точными. Абсолютную величину ДА будем считать в пределах \2—18мм. Тогда погрешность 53 будет равна:

а) Для ДА—12 мм (неблагоприятные условия):

б) Для ДА —18 мм (благоприятные условия):

в) Для ДА— 15мм (средние условия):

4) Погрешность î4, зависящая от ошибок в измерении теплоемкости С.

Теплоемкость С состоит из суммы теплоемкости Сг латунного конуса К и теплоемкости С2 — воздуха в нем. Оба слагаемых должны быть получены с одной абсолютной точностью.

Удельную теплоемкость латунного конуса принимаем числом абсолютным, равным 0,093. Тогда ошибка в измерении теплоемкости латунного конуса будет зависеть только от ошибки определения массы конуса. Пусть взвешивание производится грубо, с точностью до 0,1 г. Такое взвешивание дает ошибку в теплоемкости на 0,093-0,1=0,0093 кал, или приблизительно 0,01 кал. Теплоемкость С2 воздуха внутри конуса имеет величину

С2 = Cpdq,

где Ср — удельная теплоемкость воздуха при постоянном давлении*, равная 0,24, d —- плотность воздуха при комнатной температуре, равная 0,0012, # —внутренний объем конуса, равный 30 см3. Следовательно,

С2= 0,24-0,0012-30 = 0,00864 г-кал, т. е. приблизительно тоже 0,01 кал.

Таким образом при взвешивании с точностью до 0,1 г мы не должны пренебрегать нагреванием воздуха в конусе.

Так как объем конуса постоянный, то величина С2 будет одинаковой для всех приборов.

Масса конуса колеблется в разных приборах в пределах 35—50г, следовательно, ошибка взвешивания в 0,1 г дает такую ошибку в определении механического эквивалента теплоты:

а) Для конуса с массой в 35 г (неблагоприятные условия):

б) Для конуса с массой в 50 г (благоприятные условия):

5) Погрешность 85, зависящая от ошибки в измерении А.

Измерение высоты А водяного столбика в манометре должно быть произведено всегда быстро, так как столбик через 2 — 3 сек. после остановки гири начинает падать (см. далее опыт).

Поэтому точность отсчета высоты А будет меньше, чем высоты ДА.

Практика показывает, что при этих условиях можно гарантировать отсчет с точностью, не превосходящей 0,5 мм. Высота столбика тогда определится с точностью в 1 мм. Относительная ошибка 85 механического эквивалента будет зависеть от абсолютного значения высоты А. Она будет равна:

а) Для h = 10 мм, т. е. для высоты падения гири, приблизительно равной 25 см:

б) Для h = 30 мм, т. е. для высоты падения гири 70 см:

в) Для h = 20 мм, т. е. для высоты падения 40—50 см:

Складывая все ошибки, зависящие от отдельных измерений, получаем общую теоретическую погрешность 8 механического эквивалента теплоты:

8 = 81 + 82 + 83 + 84 + 85.

Численно она равна:

а) Для самых неблагоприятных условий

8 = 2<>/0+0,82% + 4,2% + o,29<Y0+10%= = 17,31о/0.

б) Для благоприятных условий 8 =

= 0,29% + 0,41 % + 2,8% + 0,2о/0 + + 3,3 = 7%.

в) Для средних условий 8 = 0,5% + + 0,82% + 3,3% + 0,29*/0+ 57о=9,91%.

Как видим, теоретическая ошибка при неблагоприятных условиях очень боль-

* Если принять во внимание увеличение объема воздуха в конусе при передвижении водяного столбика, то относительное увеличение объема будет больше относительного увеличения давления. Поэтому и взято Ср.

шая. Однако при производстве опыта (см. дальше результат опытов) некоторые частные ошибки исключают друг друга и поэтому фактическая погрешность снижается, особенно если механический эквивалент теплоты вычислять как среднее из нескольких опытов.

Во всяком случае не следует понижать точность измерений отдельных величин, входящих в формулу для механического эквивалента, ниже той, которая указана при исследовании ошибок, т. е. измерить:

Высоту падения гири с точностью .........до 2 мм

Силу, компенсирующую трение до 30 г

ДА • . . до 0,5 мм Теплоемкость конуса ... до 0,01 кал.

h . . . до 1 мм.

Определение постоянных величин прибора

Постоянными величинами прибора являются: теплоемкость С конуса К (вместе с воздухом) и сила Р, компенсирующая трение в оси прибора. Обе эти величины для данного прибора определяются раз навсегда. Для определения теплоемкости латунного конуса его вынимают из прибора и взвешивают с точностью до 0,1 г. Если масса конуса есть т, то теплоемкость С=0,093 -т.

В разных приборах теплоемкость конуса колеблется в пределах 3—5 малых калорий в зависимости от массы конуса, в старых приборах может быть и больше.

Теплоемкость С2 воздуха внутри конуса вычисляется по вышеприведенной формуле:

C2 = Cpd-q.

Внутренний объем q конуса при стандартных размерах прибора равен 30 см3. Следовательно, теплоемкость воздуха С=0,24-0,0012.30 = 0,0086 г-кал. Таким образом, теплоемкость С конуса равна

С=0,093/гс+0,0086.

Она должна вычисляться с точностью до 0,01 г-кал.

Для определения силы Р, компенсирующей трение, через вал В перекидывают бечевку, по концам которой привязывают по 2,5 кг для получения давления на вал 5 кг, затем к шнуру прибора вместо груза Г привязывают небольшую чашку, на которую кладут гирьки. Сила Р равна весу гирек (вместе с чашкой), вызывающих небольшой поворот незаторможенного вала. Рукоятка вала при этом измерении должна находиться в самом низком положении.

Перед измерением ось прибора хорошо смазывается через масленки ББ (черт. 1).

Сила Р имеет величину порядка 100 г.

Примечание. При вычислении силы, вращающей вал, необходимо гирю взвесить особо, не доверяя цифре 5 кг, так как гиря прилагается неклейменная.

Постоянные прибора записываются на карточке, которая прикрепляется к раме прибора.

Градуировка манометра

Латунный конус вынимается из прибора, соединяется каучуковой трубкой (10— 12 см длиной) с манометром, предварительно наполненным водой точно до нулевого давления. Конус опускается в воду приблизительно такой температуры, при какой будет происходить опыт. В тот же сосуд опускается термометр для отсчетов температур и мешалка для перемешивания воды (черт. 2). Термометр надо брать с десятыми долями градуса, так как температура должна измеряться возможно точнее.

Когда температура конуса сравняется с температурой воды, уравнивают уровни в обоих коленах манометра, делая пальцами складку на резиновой трубке, закрывающей конец манометра (черт. 3). Затем осторожно приливают отдельными малыми порциями горячей воды, все время помешивая воду и наблюдая повышение температуры. Когда повышение температуры окажется равным 1°, измеряют повышение давления по манометру.

Не вынимая конуса из воды, вновь

Черт. 2.

выравнивают уровни в манометре и, наливая новые порции горячей воды, находят новое повышение давления, соответствующее повышению температуры еще на 1°. Среднее значение таких двух или трех наблюдений есть величина ДА.

В разных приборах она колеблется в пределах 12—18 мм.

Установка прибора

Прибор крепко привинчивается струбцинкой к краю стола. При подъеме гири прибор не должен поворачиваться вокруг вертикальной оси. Поднимают гирю Г в верхнее положение, предварительно освободив латунный конус от соприкосновения с деревянным цилиндром. Затем слегка затормаживают обратное вращение вала нажатием винта //, чтобы получить медленное падение гири. Если вращение вала идет толчками (конус „заедает“), нужно вынуть конус из деревянного цилиндра и кожаную прокладку в полости цилиндра слегка посыпать порошком мела (или натереть куском мела).

После вторичной проверки плавности вращения вала присоединяют к конусу манометр и приступают к самому опыту.

опыт

Поднимают гирю до самого верхнего положения (пунктир на черт. 1) и затормаживают обратное движение вала до полной остановки. Не нужно производить излишнего нажима конуса винтом Я, так как при этом конус может получить слишком большую деформацию.

После остановки вала выравнивают жидкость в манометре и отмечают при помощи миллиметровой линейки высоту гири над полом. Для этого отсчета на боковую поверхность гири наклеивают полоску бумаги. Затем ослабляют винт H и дают гире Г быстро опуститься. После этого вновь быстро нажимают винтом H до полной остановки гири Г и опять отмечают ее положение по линейке. Разность отсчетов дает высоту падения гири.

Высота падения гири может находиться в пределах 10—70 см. Падение должно совершаться обязательно без промежуточных остановок, в один прием.

Гиря не должка ударяться о пол, так как тогда часть энергии ее пойдет на удар и не превратится в теплоту трения. Тотчас после остановки гири определяют повышение давления воздуха в конусе по манометру.

Повторение опыта делают через 2—4 минуты.

Опыты дают удовлетворительные результаты при соблюдении следующих правил:

1) Перед опытом хорошо смазать вал в подшипниках и убедиться в плавности вращения вала.

2) Соединительную каучуковую трубку делать возможно короче (10—12 см).

3) Манометр содержать чистым и особенно оберегать его от попадания каких-либо жиров или солей, так как при этом тотчас же меняется поверхностное натяжение, и в обоих открытых коленах вода будет стоять не на одном уровне.

4) Градуировку манометра производить для каждой серии опытов отдельно и при температуре опыта, чтобы избежать случайных ошибок, зависящих от изменений объема конуса (при деформациях его) и соединительной трубки. Градуировку достаточно произвести в пределах 2—3J.

5) Скорость падения гири по возможности делать большой, не допускать промежуточных остановок гири во время падения.

6) Механический эквивалент теплоты вычислять из однократного падения гири.

7) Остановку гири делать нажимом приблизительно той же силы, какая была затрачена для остановки ее в начальном положении (одинаковое положение головки винта в обоих случаях).

8) Не допускать удара гири о пол.

9) Отсчет по манометру делать тотчас после остановки гири, так как через две-три секунды после остановки уровни воды в манометре начинают выравниваться. Удобнее этот отсчет производить по левому открытому колену.

Черт. 3.

10) Опыт производить несколько раз и вычислить среднее значение механического эквивалента.

Постоянные величины прибора

Масса латунного конуса —36,55 г.

Внутренний объем его —30 см3. Теплоемкость конуса без воздуха С — 0,093 - 36 • 55 == 3,399 г-кал. Теплоемкость воздуха в конусе С2 = = 0,24 - 0,0012.30 = 0,0086 г-кал.

Общая теплоемкость С=С+С2 = = 3,399+0,0086 = 3,4076 = 3,41 г-кал. Сила, компенсирующая трение, равна 140г. Сила, вращающая вал, равна 5—0,140 = 4,86 кг.

Градуировка .манометра (определение Д/г) Температура комнаты 15°.

Нагревание конуса Повышение давления манометра

От до

14,8° 15,8я 14,0 мм

15,8° 16,8° 13,2 ,

16,8° 17,8 13,5 .

Среднее = 13,56 мм.

Среднее значение механического эквивалента теплоты из 13 опытов:/=431 кгч .

кг-кал

Погрешность для среднего значения J= + 0,9%.

Для быстрых вычислений механического эквивалента при большом числе опытов удобно отдельно вычислить постоянную величину

и отношение

Для нашего примера

ОПЫТЫ

Номер опыта

Высота падения гири Н

Повышение давления манометра

Отношение

Механический эквивалент 3 (округлен до единицы)

Погрешность

1

2\6мм

9 мм

24

464 кгм кал

+ 8,7

2

346 »

15 ъ

23

445 »

+ 4,2

3

510 »

22 »

23

445 »

4,2

4

321 в

15 »

21,4

414 »

— 3,0

5

348 »

18 »

19,3

372 >

— 12,9

6

461 »

21 »

21,9

423 ъ

— 0,9

7

531 »

24 »

22,1

427 »

0,0

8

587 »

25 »

23,5

454 •

+ 6,3

9

498 >

23 »

21,4

414 ъ

— 3,0

10

301 »

13 »

23,1

447 ».

+ 4,7

11

574 »

27 »

21,6

418 »

- 2,1

12

320 »

14 ъ

22,8

441 »

+ 3,3

13

367 »

16 »

22,9

443 »

-h 3,7

Отношение — приведено в четвертом столбце таблицы.

Методическая оценка прибора

Все опыты по определению механического эквивалента теплоты требуют тщательной постановки и точных измерений. Поэтому предосторожности в работе с прибором Гримзеля являются совершенно естественными. Средняя точность результатов 5—10% может быть признана достаточной для демонстрационного прибора ввиду сложности постановки подобных опытов.

Устройство прибора очень простое, прибор прочен и нагляден. Отделка удовлетворительная. Техника экспериментирования с приборами требует некоторого навыка, не выходящего, однако, за общие пределы навыков, необходимых преподавателю физики.

ГЕОМЕТРИЯ В ПРИЛОЖЕНИИ К ИССЛЕДОВАНИЮ СИЛЫ ТОКА БАТАРЕИ

Л. МОСКАЛЕВИЧ (Москва)

Нередко можно слышать даже от математиков, что многие теоремы элементарной геометрии не имели практического применения. Как на пример указывают на известную теорему о хордах, пересекающихся в общей точке внутри окружности.

Я хочу поделиться своим опытом использования этой именно теоремы при изложении моим слушателям одного вопроса элементарной физики.

Пусть требуется найти наивыгоднейшее соединение элементов— источников то к а—в батарею. Сила тока батареи, составленной из одинаковых элементов, вычисляется, как из-

вестно, по формуле

(1)

где У— сила тока батареи в амперах, Е— электродвижущая сила одного элемента в вольтах, г —внешнее сопротивление цепи, w — внутреннее сопротивление одного элемента в омах, п — число элементов, соединяемых в группы параллельно, fît — число групп, соединенных последовательно, причем

тп=р. (2)

Это — формула так называемого соединения элементов. Но нетрудно видеть, что при т—1, п=р, и из формулы (1) мы получим формулу для параллельного соединения, а при л=1, т=р мы будем иметь формулу для последовательного соединения. Таким образом, формула (1) обладает полной общностью и пригодна для вычисления силы тока батареи при любом соединении элементов.

Понятно, что с изменением тип будет изменяться У. Возникает поэтому вопрос: при каком выборе чисел m и п сила тока батареи будет наибольшей, а, следовательно, соединение элементов наивыгоднейшим. Очевидно, вопрос сводится к задаче о нахождении maximum'a У, как функции двух переменных m и п, связанных соотношением формулы (2). Задача эта просто решается в высшей математике. Однако она может быть легко решена и средствами элементарной математики, с помощью простых, чисто геометрических соображений.

В самом деле У, согласно формуле (1), равно дроби

Здесь числитель Е—величина постоянная, не зависящая от m и п. Следовательно, У будет наибольшим тогда, когда знаменатель этой дроби станет наименьшим. Но знаменатель есть сумма двух слагаемых — и —, произведение которых ~~ равно, согласно формуле (2), —. Это произведение также не зависит от выбора чисел т и п, т. е. опять-таки есть величина в данном вопросе постоянная. Итак, задача сводится к тому, чтобы найти minimum суммы двух слагаемых, произведение которых есть величина постоянная.

Переведем этот вопрос на язык геометрии. Пусть сопротивления ^ и ^- выражаются соответственно отрезкам и Aß и СО (черт. 1). Откладываем на произвольной прямой отрезок EF=AB и отрезок FG — CU так, чтобы EG = AB + Cu. Строим, далее, на отрезке EG, как диаметре, окружность с центром в точке О (черт. 2) и проводим в ней через точку F несколько хорд: K^LV K2L2 и т- Д* По известной теореме геометрии, произведение отрезков любой из этих хорд есть величина постоянная, равная произведению отрезков диаметра. Поэтому

/C1/7-A1/7 = /C2P-I2F=.. .EFGF. (3)

Таким образом, сопротивления ~ и ~ могут выражаться соответственными отрезками любой из хорд, проходящих через точку F. Проведем теперь через эту точку хорду PQ, перпендикулярную диаметру EG. Хорда PQ будет наименьшей из хорд, проходящих через точку F, так как ее расстояние от центра окружности будет больше расстояния от центра любой другой хорды, проходящей через ту же точку. Но эта хорда PQ делится диаметром EG, перпендику-

Черт. 1.

Черт. 2.

лярным к ней в точке F, пополам. Поэтому

PF=QF. (4)

Итак, наименьшей из хорд, проходящих через точку F, будет та, которая делится в этой точке пополам. Отсюда: сумма двух слагаемых, произведение которых есть величина постоянная, будет наименьшей тогда, когда эти слагаемые равны между собой.

Применим этот вывод к постоянной задаче о силе тока батареи. Сила тока батареи У будет наибольшей тогда, когда сумма — и — будет наименьшей, а эта сумма будет наименьшей тогда, когда:

(5)

т. е., когда внешнее сопротивление цепи станет равно внутреннему ее сопротивлению.

Это и есть ответ на вопрос о том, при каком выборе чисел тип соединение из р = тп элементов в батареи будет наивыгоднейшим.

Изложенный метод исследования вопроса, поставленный в общем виде, приводим как к графическому, так и к аналитическому способу решения его в каждом конкретном случае.

Например: даны 24 гальванических элемента с электродвижущей силой £=1,8 вольт и внутренним сопротивлением ^ = 0,6 ома каждый; внешнее сопротивление цепи г = 3,6 омов. Найти наивыгоднейшее соединение этих элементов в батареи.

Остановимся на одном из возможных частных случаев: составим батарею, соединив по 4 элемента параллельно и 6 полученных групп последовательно.

Тогда, согласно формуле (1),

(6)

Пусть графически отрезок в 1 мм представляет собой сопротивление в 0,01 ома, так что

1 мм = 0901 Охма. (7)

Тогда сопротивления в 0,6 ома и 0,15 ома представятся соответственно отрезками ËF=60 мм и GF= 15 Откладываем (черт. 3) на миллиметровой бумаге t(J=JtzF+uF и на этом отрезке, как на диаметре, строим окружность. В этой окружности через точку F проводим хорду PQ, перпендикулярную диаметру Ей. Отрезки этой хорды, равные 30 мм каждый, и дадут в выбранном масштабе те сопротивления, внешнее и внутреннее, по 0,3 ома каждое, при которых соединение элементов в батарею будет наивыгоднейшим. Тогда, согласно формуле (5),

(8)

и, согласно формуле (7),

(9)

откуда /гг=12, я = 2. При найденных значениях т и п

(10)

Для аналитического решения задачи имеем систему двух уравнений:

согласно формуле (5),

и /ял = 24, согласно формуле (2). Корни этой системы: m =12, п = 2, уже вполне совпадают с предыдущим.

Черт. 3.

ТЕХНИКА БЕЗОПАСНОСТИ НА УРОКАХ ФИЗИКИ И ХИМИИ

С. ИВАНОВ и В. СМИРНОВА (Москва)

Существует особая наука — „Техника безопасности“, посвященная вопросам охраны труда рабочих.

Казалось бы, что задача охраны труда детей в школах не менее важна и что в советской педагогике вообще, а в методике физики в особенности, техника безопасности должна занять не менее крупное место.

Между тем до настоящего времени ни Наркомпрос, ни Наркомздрав, ни научно-исследовательские институты (педагогические и гигиенические) не удосужились ни поставить этот вопрос, ни обеспечить ему срочное и успешное разрешение.

Чтобы яснее показать актуальность вопроса и наметить основные вехи его постановки для физики и астрономии, я хотел бы описать несколько несчастных случаев, свидетелем, а порой и виновником которых мне пришлось быть.

Начну с наиболее тяжелого.

Когда-то при физическом кабинете 3-й школы БОНО был сколочен довольно крепкий актив ребят на работе по изготовлению самодельных приборов, по содержанию в порядке и охране кабинета, по подготовке демонстраций и лабораторных работ. Конечно, к сколько-нибудь опасным работам дети не допускались, в частности не давал им крепких кислот, но позволял пользоваться разведенными, предупредив о необходимости ряда предосторожностей и перечислив их.

Все же однажды, когда я после урока беседовал с окружавшими меня детьми, а мои „лаборанты“ (ученики VII класса) убирали аппаратуру, одна из девочек-лаборантов“ взяла склянку для 10-процентного раствора серной кислоты, вставила в горлышко воронку и начала переливать туда кислоту из широкого сосуда от прерывателя Симона.

Я стоял от нее в двух-трех шагах, но, занятый беседой, не заметил, что воронка легла на мокрое (в кислоте) горлышко склянки и заперла выход воздуху так, что он с силой выбивался из-под воронки, увлекая с собой мельчайшие брызги кислоты.

Возможности подобного случая не предвиделось, и дети о нем предупреждены не были.

Второй „лаборант“ заметил опасность, предостерегающе вскрикнул; я бросился поднять воронку, девочка двинулась, чтобы отойти, но в этот момент капелька кислоты попала ей в глаз.

От сильной боли глаз был судорожно сжат, и не удавалось сколько-нибудь надежно промыть его ни водой, ни раствором соды.

Против школы была районная детская амбулатория, куда была немедленно и направлена пострадавшая в сопровождении подруг. Там ее заставили ждать приема полтора часа, затем тщательно промыли глаз и начали систематическое лечение.

Все же оказалось, что пострадавший глаз нуждался в периодическом повторном лечении.

В моей практике был еще один, не столь трагичный, но достаточно поучительный случай.

В том же физическом кабинете 3-й школы БОНО шла лабораторная работа по свободному расписанию. Работали одновременно различные звенья пятых, шестых и седьмых классов, каждое над своим очередным заданием; необходимую аппаратуру выдавали двое дежурных учеников; все учащиеся были предупреждены о необходимости брать все нужное только у дежурного и ни в коем случае не у других звеньев; обычно это требование достаточно хорошо соблюдалось, так как я длительно и настойчиво следил за его выполнением.

Большинство присутствовавших в лаборатории учащихся было из пятых классов, и все они прорабатывали лабораторную работу по передаче тепла, на основе которой к определенному сроку должны были дать свои выводы. Аппаратуры хватало, но в обрез. В результате неявки кого-то из преподавателей лаборатория была переполнена и, помогая наиболее нуждавшимся в этом звеньям, нельзя было уследить за всеми.

В числе опытов, которые следовало проделать, было несколько опытов по лучеиспусканию, выполнявшихся с нагретой гирей.

И вот одна девочка, спешившая со своей работой, не стала ждать, когда дежурный выдаст ей первую освободившуюся гирю, а схватила лежавшую на столе у другого звена, которую собирались сдавать дежурному, но еще не успели охладить водой. Крик, ожог всей ладони, сильная боль, слезы и... отсутствие в кабинете аптечки.

Конечно, нашли дежурного члена санитарной комиссии, открыли школьную аптечку, но... не сразу, а, кроме того, никто не знал, чем унять боль.

Так для меня стала ясна необходимость иметь в каждой лаборатории специальную аптечку с продуманным набором лекарств и печатными указаниями о первой помощи при несчастных случаях, наиболее вероятных в данной лаборатории.

Немедленно переговорили со школьным врачом и просили его подобрать аптечку; тот отнесся к этой просьбе очень сочувственно, обещал и... забыл; ему снова напомнили, он снова обещал и... снова забыл. Теперь физическим кабинетом 3-й школы заведует уже другой физик, молодой, энергичный, исполнительный, но... аптечки в кабинете нет.

Вопросы техники безопасности в школе не пользуются признанием ни в отношении детей, ни, тем более, в отношении учителя.

Как и рабочий на производстве, учитель часто сам по небрежности не выполняет основных требований безопасности.

Разве среди физиков не считается дозволенным пробовать пальцами, под напряжением ли находятся данные клеммы, хотя бы это напряжение и достигало 120 вольт? А ведь известны смертные случаи в результате такого прикосновения.

Вот случай, имевший место с очень опытным учителем (с А. А. Покровским, автором работы „Оборудование физического кабинета“).

Он пробовал вновь приобретенный прерыватель Венельта к большой спирали Румкорфа. Считая эту работу совершенно безопасной, А. А. не надел халата. Вдруг крышка прерывателя выскочила, кислоту подбросило почти до потолка, а А. А. с головы до ног был облит кислотой.

Оказалось, что крышка закрыла сосуд настолько плотно, что мешала свободному выходу выделявшихся газов; в конце концов, скопившийся под крышкой газ выбил ее и разбрызгал кислоту.

К счастью, на этот раз в глаза кислота не попала; благодаря приготовленной на всякий случай соде, не пострадал даже и новый костюм А. А.

Однако могло быть и хуже.

Сам я, однажды, едва не получил ожогов от расплавленного горящего металлического натрия,расплескавшегося из ложечки, которую нечаянно толкнул, демонстрируя спектр поглощения и его обращение по способу, описанному Покровским в № 4 журнала „Физика, математика, химия и техника в средней школе“ за 1932 г. Выплеснувшийся натрий разбился на несколько чрезвычайно подвижных горящих капелек, более подвижных, чем ртуть; они мгновенно разбежались по столу во все стороны и выжгли на его крышке довольно глубокий след. Я едва успел отскочить.

Стоит ли добавлять, что этот „совершенно безопасный“ опыт я показывал без халата.

При такой беспечности совершенно необходимо властное и достаточно авторитетное предупреждение в виде свода обязательных правил по технике безопасности.

Может показаться, что правила безопасности нужны только для работы в лаборатории.

Но это неверно.

Вот случай из моей работы по астрономии.

После долгого осеннего ненастья наступили первые ясные зимние вечера. Довольно значительная группа детей V класса, получившая от меня длительное задание для наблюдений, после уроков пришла ко мне, чтобы вместе провести первое наблюдение.

Вышли во двор и начали наблюдать. Как всегда, при первом наблюдении возникла масса вопросов и недоумений.

Численность оставшихся для наблюдений детей была несколько больше, чем хотелось бы для успешной работы, но разбить их на две группы и отложить наблюдения с одной из них я не решался, так как или части детей пришлось бы вернуться домой слишком поздно или же, если бы отложить наблюдения до следующего урока, могла измениться погода. Повышенная численность группы вызвала известное замедление в работе.

В результате мы задержались несколько больше, чем я предполагал. Новая работа увлекла детей, их увлечение передалось мне, и... я забыл, что зимние ясные ночи — всегда холодные ночи и что не все дети одеты достаточно тепло, что было бы нелишним напомнить им о холоде и послать озябших погреться в школу.

Но дети увлеклись, забыли о холоде; им не напомнили и... в ту же ночь один из них заболел.

Есть вещи, связанные с охраной здоровья детей, о которых педагог не смеет забывать. Чтобы ему было легче о них помнить, их надо свести в систему, в науку, которая должна тщательно изучаться в каждом педвузе, основные положения которой должны быть в каждом справочнике, в каждой карманной записной книжке преподавателя.

В школьной технике безопасности, как и в промышленной, необходимо итти несколькими путями: с одной стороны, предупреждать об опасности и о необходимых мероприятиях по ее устранению, порой довольно обстоятельно разъясняя необходимость подобных мероприятий; с другой — устранять возможность несчастного случая путем устройства специальных защитных приспособлений или соответствующих изменений в конструкции применяемой аппаратуры; с третьей — обеспечить возможно быструю помощь при несчастных случаях.

Следует предостеречь от недооценки значения простого предупреждения. Большой опыт промышленной техники безопасности вполне определенно говорит о высокой эффективности этого простого средства. Учтем это и попробуем наметить детальные правила для различных случаев.

Прежде всего для классных опытов следует выдвинуть следующие требования:

1) На первом занятии по физике преподаватель должен проинструктировать детей о правилах поведения в лаборатории и особо оговорить необходимость педантичнейшего выполнения правил, относящихся к технике безопасности.

2) Все дети, помогающие учителю в подготовке опытов и ведении лабораторного хозяйства (актив физического кабинета) и все приступающие к лабораторным работам по теплоте должны быть проинструктированы преподавателем о правилах обращения с горючими веществами (особенно — с летучими); о приемах тушения их; о приемах тушения загоревшейся на человеке одежды.

3) При работе с горючими веществами должны находиться под рукой:

а) кран водопровода или бак с водой, емкостью не менее 12 л;

б) ведро с песком;

в) огнетушитель (предпочтительнее — с жидкой углекислотой);

г) плотное шерстяное одеяло.

4) Во время лабораторных работ все нагреватели должны помещаться исключительно на столах; зажженные нагреватели не должны переноситься.

5) В школах, имеющих газовую проводку, преподаватель каждого класса, имеющего доступ в кабинет-лабораторию (в том числе и классов начальной школы), должен особо предостеречь учащихся об опасности неосторожного обращения со светильным газом (возможность взрыва, пожара и отравления).

6) Газовая проводка в кабинет-лабораторию должна иметь общий кран в недоступном для учащихся помещении (лучше всего в препараторской). Это помещение должно быть всегда доступно для преподавателей физики.

7) Во избежение взрыва смеси газа с воздухом в сети каждый газовый кран должен быть защищен медной сеткой.

8) Правила обращения с газом распространяются на все местные газогенераторные и карбюрационные установки.

9) При демонстрации опытов с сильно охлажденными веществами (твердая углекислота, жидкий воздух) и особенно при свободном доступе к ним учащихся (часто практикуется раздача детям кусков твердой углекислоты) преподаватель должен всякий раз предупреждать об опасности.

10) Легковоспламеняющиеся, ядовитые и едкие вещества должны храниться таким образом, чтобы доступ учащихся к ним был совершенно исключен, даже при сознательном нарушении ими школьных правил. Во всяком случае, они должны храниться в помещениях, куда закрыт массовый доступ учащимся.

За безопасность принятого в школе способа хранения ядовитых и едких веществ должен отвечать, прежде всего, директор школы, так как только он решает вопрос о распределении помещений.

11) Совершенно недопустимо давать учащимся средней школы концентрированные кислоты или щелочи и сильнодействующие ядовитые вещества.

12) В тех случаях, когда учащимся даются разведенные кислоты или щелочи, они должны быть предупреждены об опасности ожогов глаз и других особо нежных частей тела (слизистая оболочка, ранки) или возможности испортить одежду и обувь.

13) При инструктаже, предусмотренном в п. 9 настоящих правил, необходимо оговорить обязательность внимательного отношения к этикеткам (опасность перепутать растворы и принять едкий раствор за безопасный).

14) При инструктаже, предусмотренном п. 9 настоящих правил, преподаватель должен предупредить учащихся об особой опасности разлитых, не стертых и не нейтрализованных лужиц едких жидкостей; требовать, чтобы разлитая едкая жидкость немедленно нейтрализовалась, смывалась и вытиралась особой тряпкой; чтобы после этого тщательно мылись руки.

15) Особо предупреждены должны быть учащиеся об опасности уронить или опрокинуть сосуд с едкой жидкостью.

16) При работе с кислотами всегда должны находиться наготове мел и раствор двууглекислой соды; при работе со щелочами — слабый раствор лимонной, уксусной или соляной кислоты. Учащиеся должны быть проинструктированы о необходимости немедленно нейтрализовать смоченный едкой жидкостью участок тела или платья.

17) Преподаватель должен особо предупредить учащихся об опасности переноса едких жидкостей загрязненными или смоченными в них руками и об опасности разбрызгивания жидкостей при переливании (включая и переливание через воронку).

18) При всех работах даже со слабыми растворами едких жидкостей как учащиеся, так и преподаватель должны надевать предохранительные очки.

19) При демонстрации опытов, хотя бы отдаленно связанных с опасностью разбрызгивания едких жидкостей или разлета твердых осколков, преподаватель должен загораживать учащихся листом стекла (лучше — зеркального).

20) Преподаватель должен предупредить учащихся об опасности порезов стеклом или острыми инструментами и показать правильные приемы работы.

21) При демонстрациях, связанных с ударами или вращением, преподаватель должен проверить прочность насадки ударных инструментов и надежность креплений вращающихся тел.

22) Во всех случаях, когда та или иная деталь прибора при каких бы то ни было обстоятельствах была смочена слюной, необходимо тотчас ее дезинфицировать путем прокаливания на огне, протирания спиртом или иным путем, по указанию школьного врача.

Для лучшего выполнения настоящего правила очень часто полезно поставить около прибора сосуд со спиртом (можно— денатурированным), куда прибор или его часть (чаще всего — мундштук) просто обмакивается.

23) При работе с яркими источниками света и, особенно, с источниками, богатыми ультрафиолетовыми лучами, преподаватель должен предостерегать учащихся об опасности ожога сетчатой оболочки и показывать им эти источники через цветное стекло.

24) При работе с рентгеновыми лучами следует применять обычные меры предосторожности, демонстрируя лучи при помощи экрана, покрытого свинцовым стеклом.

25) Все учащиеся, работающие в кабинете-лаборатории, где имеются доступные для них токоведущие части, должны быть предупреждены о том, что абсолютно безопасным для жизни считается напряжение в 12 вольт; что напряжение в 120 вольт определенно опасно для жизни (зарегистрированы смертные случаи даже при прикосновении только к одному проводу); что опасность увеличивается весьма сильно при влажной или потной коже, при ранениях на коже, при одновременном прикосновении к металлическим, мокрым и заземленным предметам или сразу к двум проводам; что при прикосновении к проводам любыми двумя участками кожи, как бы близки они ни были, ток проходит по сосудам и, следовательно, через сердце.

26) Если школа пользуется для опытов током от электрической станции, то в препараторской комнате должны быть установлены рубильники, позволяющие выключать всю проводку в помещении лаборатории.

Эта проводка должна включаться под

напряжение только перед уроком и выключаться тотчас после урока.

При этом должно быть обеспечено отдельное включение под напряжение экспериментального стола преподавателя и рабочих мест учащихся.

27) Все дети, работающие в помещении кабинета-лаборатории, должны быть информированы об опасности ожога рук и глаз при возникновении вольтовой дуги от короткого замыкания.

Следует подчеркнуть опасность ожога глаз ультрафиолетовыми лучами.

28) При первом ознакомлении учащихся с электрической цепью им должны быть сообщены основные правила по технике безопасности электрических установок.

Эти правила преподаватель может найти в выпуске 15-м монографий по безопасности труда: Пресс — „Электрические установки“, Гострудиздат, 1930 г., или в сборнике Главэнерго „Электротехнические правила и нормы“, ОНТИ, 1933 г.

29) Для актива учащихся при кабинете-лаборатории школа должна приобрести 1 комплект спецодежды (халат, резиновые перчатки, предохранительные очки с прозрачными и темными стеклами), для того чтобы в соответствующих случаях предохранить глаза, руки и одежду.

30) В каждом кабинете-лаборатории на видном месте должна находиться небольшая аптечка со средствами первой помощи при термических или химических ожогах, обмораживании, отравлении, ранении и т. д. с краткой инструкцией по их употреблению.

Ключ от аптечки должен всегда находиться у преподавателя, работающего в данный момент в лаборатории.

31) На каждой склянке или коробочке аптечки должно быть разборчиво написано русское (а не латинское) название медикамента.

Перечень медикаментов и краткую инструкцию по подаче первой помощи при возможных в данной лаборатории несчастных случаях следует вывесить на видном месте около аптечки.

32) В аптечке должны иметься следующие медикаменты:

а) иодная настойка — 20 г, в склянке с притертой пробкой;

б) борный вазелин — 50 г;

в) скипидар очищенный — 50 г;

г) известковая эмульсия — 500 г,

д) раствор борной кислоты 1-процентный — 250 г;

е) раствор соляной кислоты 1-процентный —500 г;

ж) жженая магнезия — 50 г;

з) раствор лимонной кислоты 1-процентный— 250 г;

и) раствор двууглекислой соды 5-процентный — 500 г;

к) раствор марганцевокислого калия 1/1000—500 г;

л) нашатырный спирт — 20 г;

м) валерьяновые капли — 20 г;

н) спирт винный (денатурированный) — 100 г;

о) вата гигроскопическая—100 г;

п) марля гигроскопическая (салфетками по полметра) —-10 шт.;

р) бинты — 10 шт. ;

с) индивидуальные пакеты—10 шт.;

т) пинцет;

у) ножницы;

ф) английские булавки — 10 шт.

Может показаться, что намеченные здесь правила слишком громоздки, педантичны и, может быть, „непосильны“ для школы. Следует вспомнить практику работы по технике безопасности в промышленных установках, чтобы убедиться, что это не так. Учителя и методисты за последнее время слишком привыкли бояться трудностей и злоупотреблять словом „непосильно“.

Школа обязана обеспечить максимальную безопасность в работе детей, хотя бы на этом пути и встретились трудности. Заметим лишь, что предложенные выше мероприятия почти не требуют затрат. Они требуют лишь отказа от привычной „обломовщины“.

Требования техники безопасности при экскурсиях много проще. Они сводятся, в основном, к своевременному и подробному инструктажу о возможных на данном производстве опасностях и о необходимости „запаса осторожности“ во время экскурсии. Эти требования уже были довольно подробно изложены в журнале („Физика, химия, математика, техника в трудовой школе“, 1928 г. №4, Иванов — „Вводная экскурсия по механике“). Поэтому не будем к ним возвращаться. Отметим лишь необходимость самой решительной настойчивости учителя в поддержании дисциплины во время экскурсии как основного фактора безопасности.

Что касается техники безопасности в работе по астрономии, то едва ли можно сколько-нибудь единообразно сформулировать правила для различных мест СССР и для различных школ.

Повидимому, каждой школе нужно обсудить условия работы по астрономии и тщательно отметить пределы допустимого. Сюда войдут правила, указывающие минимальную температуру, при которой можно еще вести занятия на площадке; предельные сроки непрерывной работы на открытом воздухе в зимнее время; возможные часы и места наблюдений, порядок прихода на ночные занятия и возвращения с них.

Необходимо еще особо оговорить обязательность тщательнейшего ограждения площадок, если они устроены высоко над землей (на башне, крыше и т. д.). Как это ни покажется странным, но встречаются школы, где ограждение площадок недостаточно. Так, в той же 3-й школе БОНО, о которой уже шла речь, площадка не имеет ограждения со стороны лестницы, идущей по стене башни. Если бы кто-либо из увлеченных работой учащихся оступился и упал с площадки на лестницу, он мог бы пролететь от нескольких сантиметров до полутора метров и мог бы даже угодить за перила, сначала на крышу четырехэтажного дома, а затем — на мостовую. Во время работы на этой площадке приходилось выставлять живую цепочку или ставить „часовых“ из учащихся.

В заключение приведем краткий текст правил подачи первой помощи, которые следовало бы вывесить у аптечки.

Основные правила подачи первой помощи

1) Ушибы — холодный компресс, забинтовать ушибленное место.

2) Порезы — промыть рану дезинфицирующим раствором, смазать иодом, забинтовать.

При порезах стеклом — осмотреть рану и убедиться, не осталось ли в ней осколков стекла. Отправить пострадавшего к врачу для удаления стекла и тщательной перевязки.

В случае сильного кровотечения перевязать выше ранения, положить давящую повязку, отправить к врачу.

3) Ожог термический — немедленно смочить обожженное место спиртом или раствором соды. Положить компресс, смоченный раствором марганцевокислого калия или известковой эмульсии. Забинтовать.

4) Ожог едкими щелочами — смочить обожженное место нейтрализующим раствором лимонной или соляной кислоты. Смазать борным вазелином. Покрыть марлевым компрессом, слоем ваты, забинтовать.

5) Ожог кислотами — смочить раствором соды. Положить компресс, смоченной известковой эмульсией. Сверх компресса покрыть ватой, забинтовать.

6) Поражение электрическим током — положить пострадавшего горизонтально на пол или на скамью. Облить голову и лицо холодной водой. Расстегнуть одежду. Растирать грудь и конечности спиртом. В тяжелых случаях обернуть все тело мокрой простыней (сняв одежду). Применить искусственное дыхание. Немедленно вызвать врача.

7) Отравление светильным газом — симптомы: шум в ушах, головокружение, в тяжелых случаях — потеря сознания. Расстройство дыхания, холодный пот. Немедленно вынести больного на чистый воздух. В тяжелых случаях применяется искусственное дыхание. По восстановлении дыхания дать внутрь 20—25 валерьяновых капель. Внести в теплую комнату, согреть тело одеялом и грелками.

8) Отравление окисью углерода (угарный газ)—лечение то же.

9) Отравление фосфором — симптомы: рвота, понос, возбуждение, потом угнетение нервной системы. Лечение: при отравлении фосфором следует строго избегать давать пострадавшему молоко, так как жиры растворяют фосфор и усиливают его всасывание. Можно дать внутрь 2—3 капли скипидара в каком нибудь слизистом отваре. Немедленно отправить пострадавшего в больницу.

10) Ожоги глаз — при разбрызгивании едких кислот и щелочей — промыть глаз слабым (вдвое слабее тех, что указаны для аптечки) нейтрализующим раствором. Забинтовать. Немедленно отправить к врачу.

ИЗ ОПЫТА ШКОЛ

КАК ПОМОГАЮТ ШКОЛЕ

А. ПАВША (Москва)

В одной из московских школ с целью обследования и контроля преподавания ученикам VIII класса была предложена работа, состоявшая из шести вопросов.

Приводим эти вопросы в той редакции, в какой они были даны.

1) Доска равномерно движется вдоль своей оси со скоростью 2 м\сек\ по доске в направлении, обратном ее движению, катится шар со скоростью 2 м\сек. Где здесь относительное движение и где относительный покой?

2) Уравнение равномерного движения vt — S\ остается ли движение равномерным, если v увеличить в несколько раз, a t уменьшить в несколько раз. Почему так думаете?

3) Автомобиль пошел без действия внешней силы. Не противоречит ли это первому закону Ньютона?

4) Почему мы утверждаем, что вес есть некоторая сила?

5) Камень попал в стекло, стекло разбилось, а камень остался цел. Не противоречит ли это третьему закону Ньютона. Почему?

6) Круг закреплен не в центре и вращается эксцентрично. Можно ли утверждать, что движение вращательное. Почему так думаете?

Попытаюсь дать оценку каждому из приведенных вопросов в отдельности.

Первый вопрос вызывает у меня два недоумения: а) что такое ось доски? Если я предположу, что осью доски является прямая линия, лежащая где-то в середине доски и параллельная ее длинной стороне, то появляется второй вопрос: б) вдоль чего движется доска? Допуская на минуту, что я слишком придирчив, пытаюсь дать ответ.

Движение шара по доске является относительным движением, шар же покоится по отношению к тому, относительно чего движется доска.

Более коротко и менее громоздко на этот вопрос нельзя ответить. Если этот вопрос предложен с целью посмотреть, как ученик умеет построить фразу, и именно с этой целью в вопросе было опущено указание, что доска движется, скажем, по столу, то я должен признать автора виртуозом. Внести больше трудностей в построение фразы, пожалуй, невозможно. Если же этот вопрос оценивать как вопрос по физике, то его надо признать неудачным. Он является прекрасным образцом совершенно негодных вопросов.

Второй вопрос. Учащиеся очень склонны все вопросы физики сводить к одним уравнениям и за ними не видеть физической сущности явления. В этом отношении редакция вопроса, вероятно, удовлетворяет учащихся. В самом деле, как просто: что случится, если v увеличить в несколько раз, a t уменьшить?

Обе величины v и t чисто формально в данной формуле (S = vt) вполне равноправны; стоит ли задумываться о том, что с физической стороны v является параметром, характеризующим движение, a t — является аргументом, от которого зависит величина пути S. Увеличим одно, уменьшим другое.

Может быть, я опять слишком придирчив; попробую дать ответ.

Величина v — скорость движения — может зависеть от нас, а потому, если мы один раз телу сообщим скорость vit а другой раз скорость i/2, в несколько раз большую vi% то, если никакие другие силы не будут действовать на тело, оба движения будут равномерны. Что касается t — времени, то оно от нас не зависит, его менять поэтому мы не можем, оно не является характеристикой движения и приведено в вопросе, вероятно, лишь для того, чтобы сбить ученика с толку.

Неужели автор желал получить ответ вроде только что приведенного? А ведь только такой ответ и будет правильным на вопрос в данной редакции.

Такой вопрос вносит только сумбур в умы учащихся. Ни с физической, ни с методической стороны такие вопросы не допустимы.

Третий вопрос содержит явно неверное утверждение: автомобиль пошел без действия внешней силы. Автомобиль, находившийся в покое, не может двинуться без воздействия внешней силы, а потому после приведенного в вопросе утверждения мог только следовать вопрос: возможно ли это? Вопрос по существу простой, ответ на

него прост, но редакция вопроса опять совершенно недопустимая.

Четвертый вопрос. Почему мы утверждаем, что вес есть „некоторая“ сила? Что значит „некоторая“?

Этот вопрос я мог бы перефразировать так почему мы утверждаем, что то прозрачное вещество которое вставляется в оконные рамы, есть „некоторое“ стекло? Ответы на мой вопрос и на вопрос предложенный ученикам, совершенно одинаковы. Ответ этот никакой физической сущности не вскрывает. Требуется лишь жонглирование словами.

Такие вопросы ничего выяснить не могут, а потому совершенно не нужны. Тут уже даже никакая редакция помочь не может, просто никчемный вопрос по существу.

Пятый вопрос. Пытаюсь дать ответ. Третий закон Ньютона ничего не говорит ни о сохранении в целости, ни о разрушении тел при их взаимодействии, значит указанный в вопросе случай ему не противоречит.

Неужели такого ответа желал вопрошающий? Если же мы вообразим этот вопрос проредактированным иначе, в более подходящей форме, хотя бы такой: я нажимаю все сильнее и сильнее на стекло, в конце концов оно разрушается. Как это могло произойти, если действие все время равно противодействию?

Такой вопрос я считал бы для письменного изложения слишком трудным, а потому непригодным. При устном ответе он возможен.

Шестой вопрос. Что значит „вращается эксцентрично“? Каждый ученик VIII класса должен сказать, что „эксцентричного вращения" он не изучал.

Слово „эксцентрично“ поставлено с целью навести туман. Позволительны ли такие приемы?

Позволяю себе сделать выводы.

Ни один из вопросов автором их не продуман, ни на один вопрос сам автор не ответил (а было бы очень интересно почитать эти ответы), ни один вопрос не удовлетворяет самым скромным методическим требованиям.

Произойти это могло по двум причинам: или автор преступно небрежно относится к взятому на себя делу или он малограмотен и нуждается в самом элементарном повышении своей квалификации.

Не зная лично автора, не могу судить, какое из моих предположений ближе к истине. Полагаю, что дело Наркомпроса и МООНО расследовать это дело и в дальнейшем избавить школу от таких помощников-обследователей, в какой бы роли они ни являлись в школу.

Считаю нужным к этому еще прибавить, что от преподавателя требовалась проверка этой работы и оценка ее по семибалльной системе. Воображаю, сколько нервов и крови было испорчено теми преподавателями, которым пришлось проводить эту работу, так как по этой оценке должно было выноситься суждение о преподавателе.

ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ ЗА ГРАНИЦЕЙ

ПРЕПОДАВАНИЕ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ В ГЕРМАНИИ ПО ЖУРНАЛЬНЫМ СТАТЬЯМ

Ф. ЦИГЛЕР (Ленинград)

С 1869 г. немецкий журнал „Преподавание математики и естествознания в школах всех типов“* служит делу преподавания математики, главным образом, в средней школе и в школах повышенного типа. Материал, который дает журнал, по своему содержанию можно разбить натри раздела: в первый раздел входят статьи по вопросам теории, методологии и методики; небольшие сообщения по тем же вопросам и отдел новых задач; во второй раздел входят сообщения о научных новостях, работы математических объединений, постановления собраний и т. д.; вопросы организации преподавания, небольшие заметки по вопросам дидактики, учебных пособий и т. д.; наконец, в третий раздел входят, главным образом, вопросы о программах, учебных планах и библиографии.

За все время своей работы журнал завоевал огромный авторитет не только в Германии, но и далеко за ее пределами. По статьям этого журнала мы и попытаемся выявить общие тенденции преподавания математики в средней школе, насколько вообще это можно сделать по журнальным статьям.

Наиболее характерным для этой цели годом нам казался 1928 г., потому что это последний год послевоенной стабилизации капитализма. Для сопоставления мы взяли еще 1934 г. — второй год фашистской диктатуры и пятый год всеобщего хозяйственного кризиса. Но это не значит, что остальные годы оставлены без внимания; наоборот, некоторые выдержки взяты нами из 1930 и 1931 гг.; при выборе отдельных выдержек мы старались остановиться на наиболее характерных, которые бы лучше иллюстрировали состояние разбираемого вопроса, и в то же время наиболее интересных для русского читателя.

Просмотренный нами материал позволяет сделать заключение, что преподавание математики в средней школе в Германии находилось под влиянием двух тенденций: одна тенденция опиралась на идеи Ф. Клейна,—включить в программу по математике все, что доступно пониманию учащихся, рано начинать развитие идеи функциональной зависимости, ликвидировать отрыв чистой математики от прикладной и реализовать идеи фузионизма; вторая тенденция была направлена к реализации принципов трудового метода преподавания в математике.

Первая тенденция связана с требованием обогатить преподаваемый материал такими сведениями, которые в прежние курсы не входили. Вторая тенденция переложила центр тяжести от количества знания на развитие самостоятельного математического мышления и связала преподавание с требованием о сокращении преподаваемого материала и сохранении лишь того, что может стимулировать развитие самостоятельного умственного труда учащегося.

Журнал не занимал определенной позиции по отношению к двум тенденциям и служил трибуной как для первой, так и для второй тенденций.

Некоторые немецкие математики назвали первое течение „материальным уклоном“ (materielle Einstellung) и второе — „формальным уклоном“ (formale Einstellung). Название „материальный уклон“ было дано потому, что это течение концентрировало свое внимание на материале преподавания и на связи этого материала

* „Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaf liehen Unterricht aller Schulguitungen“. Begründet von I. С V. Hoffman Herausgegeben von H. Schotten, W. Latzmann und W. Hülers.

с техникой. Противники этого направления часто указывали на то, что подобного рода тенденции содействуют развитию материалистического мировоззрения. Против этого „упрека“ сторонникам этого течения приходилось иногда защищаться, и нередко мы встречаем „горячие доказательства“ того, что связь математики с техникой вовсе не обязательно содействует развитию материалистического мировоззрения, а, наоборот, — идеалистического. Второе течение получило свое название потому, что оно подчеркивало важность развития формального мышления, хотя бы и в ущерб количеству преподаваемого материала с отказом от связи с практикой. Сторонники его часто с гордостью указывали, что их метод преподавания способствует развитию идеалистического мировоззрения.

Что касается аргументации с мировоззрением, то она не имеет под собой серьезной почвы. В научных спорах часто бывало и бывает, что спорящие стороны прикрываются мировоззрением господствующего эксплоататорского класса, чтобы придать своей точке зрения больше убедительной силы.

Если оценить оба течения по существу, то надо прежде всего заметить, что требование первого течения — все, что доступно пониманию учащихся, должно быть включено в программный материал — безусловно не оправдано. Человечество накопило такое огромное количество знаний по математике, что перед наукой стала задача: установить, что из накопленного математического знания является основным, так сказать, азбучным материалом, овладевание которым позволяло бы самостоятельно дальше двигаться в любом направлении математических наук. Эту задачу нужно решить, чтобы богатство знаний унаследовать, ибо математика как учебная дисциплина,—это способ передачи математического знания будущему поколению. Включение в программу „всего, что доступно и т. д.“ не является решением задачи; в этом отношении второе направление находится ближе к решению, потому что оно ищет родства между математическими методами с целью расширить область применяемости того или другого метода. Оно правильно указывает, что овладеванием минимумом методов лучше обеспечиваются прочные знания, нежели знанием множества разобщенных фактов. Но это направление неправо, когда оно отрывает математику от практики во имя формальных схем. А что касается влияния этих точек зрений в данном частном вопросе на мировоззрение в целом, то нужно сказать, что овладевание формальными методами математики является неотъемлемой частью материалистического мировоззрения. Всякое отрывание одного от другого, всякая односторонность льет воду на мельницу идеализма. „Прямолинейность и односторонность, деревянность, субъективизм и субъективная слепота — voilà гносеологические корни идеализма“ (XII „Ленинский сборник“, стр. 326).

Нельзя обойти молчанием большой положительный результат, который достигли оба направления, несмотря на то, что они исходят от различных точек зрения. Оба направления дали много ценных методических монографий, которые не только облегчают труд педагога, но и будут служить элементами для создания науки методики математики.

I

1) Из статей, отражающих первое течение, для нас представляет некоторый интерес статья Г. Вейнрейха „Математика, естествознание и мир техники“*.

Автор полемизирует против тех,

„которые с высоты смотрят на то, что именуется материей, и поэтому ставят чистые науки выше всего и видят в технике лишь более или менее способную служанку для чистых наук“.

Он совершенно справедливо указывает на тот факт, что техника и чистые науки всегда развивались тем лучше, чем сильнее они переплетались, и только в своем тесном переплетении они помогали человечеству покорять стихийные силы природы. Не без иронии он указывает, что

„живущие в мире платоновских идей могут себе позволить свой идеализм лишь после того, как техника подвела под их бытие прочный материальный фундамент, от которого отказаться ни один идеалист не захочет“.

Задача техники — создать благо для человечества, но для этого она вынуждена пользоваться „презираемой идеалистами материей“; поэтому отказ от мате -

* Н. Weinreich, .Die mathematisch-naturwissenschaftlichen Fächer und die Welt der Technik“. No. 6, Jahrg. 1928.

рии — лишь ширма, за которой прячется эгоистическое нежелание осознать свой долг перед человечеством.

„Технику нельзя винить за социальные невзгоды, она по ту сторону зла и добра. История развития техники богата примерами героизма, преданности своему труду, самоотверженной борьбы за свободу и за благо человечества на передовых позициях; поэтому она способна возбуждать у юношей стремление к идеалам и содействует развитию идеалистического мировоззрения. Если школа пользуется всеми этими с точки зрения воспитания ценными качествами только очень робко, то это происходит потому, что принято считать, что включение вопросов техники в школьные программы способствует развитию материалистического мировоззрения“.

Автор считает программы для школы повышенного типа в Пруссии, в общем и в целом, „философско-исторически“ направленными, но обращает внимание на ряд указаний, дающих возможность отвести некоторое время на изучение вопросов техники, как, например, на место вводной записки, где говорится:

„Преподавание естествознания не может обойти молчанием завоеваний техники“; или „необходимо ознакомление с техническим применением физических законов“ и т. д.

Автор заканчивает свою статью ссылкой на Ф. Клейна — одного из великанов науки — который, однако, всю жизнь защищал прикладные знания.

2) Статья Г. Вейнрейха очень хорошо характеризует принципиальное основание первой тенденции; из статей, реализующих ее требование на конкретных примерах, небезынтересно небольшое сообщение В. Кенига „О круговом движении и дифференцировании синуса и косинуса“*.

Автор исходит из определения скорости г,[д“-*0 5г1 и ускорения 6 [/™o5FJ и выводит производную синуса и косинуса таким образом:

Из подобия треугольников Л1АР, DPB, РВС (черт. 1) следует:

(1)

Поэтому ускорения Ъх и ЬуУ направленные параллельно к осям ОХ и OK, равны:

или, так как

то получаем:

(2)

Подставляя в уравнение (2) выражения из уравнения (1), получим дальше:

(3)

Если рассматривать vx, vyy b , by как функции угла. <р, то уравнения (1) примут вид:

vx= — V sin <р; vy—v cos <р, откуда следует:

где —угол, на который радиус-вектор MP совершает поворот в единицу времени. Так как Р в это же время проходит дугу длиной V, то ^ можно заменить через Мы получим:

(4)

С другой стороны, из уравнения (3) следует:

(5)

Из уравнения (4) и (5) получим:

Черт. 1.

* W. König, „Die Kreisbewegung und die Differentiation von Sinus und Kosinus“. No. 7, Jahrg. 1928.

3) Другим интересным примером является статья Г. Штролера — „Технические приложения кубической параболы“*. Автор поставил вопрос о форме кривых пути городского трамвая. Если прямолинейный путь переходит непосредственно в путь по окружности, то пассажиры, едущие в трамвае, ощущают в момент перехода толчок. Причина толчка — возникновение бокового ускорения а=~, где v — скорость трамвая и г — радиус окружности. Чтобы избавить пассажиров от такого толчка, надо включить между прямым путем и путем по окружности дугу OA с переменной кривизной, с тем, чтобы радиус кривизны изменился бы от оо до г.

Черт. 2.

Пусть трамвай движется от Р до О (черт. 2) с постоянной скоростью v и пусть в точке О время £=0, и пусть по переходной дуге OA остаются в силе уравнения:

x=vt. (1)

До точки О боковая скорость ^ = 0 и ускорение -^ = 0. Чтобы избавиться от толчка, надо, чтобы боковое ускорение увеличивалось равномерно; следовательно, чтобы было справедливо уравнение:

(2)

где k — постоянная, определяемая экспериментально.

Так как при t = 0 иу — 0, то из уравнения (2) следует:

(3)

подставляя в уравнение (3) значение t из уравнения (1) t=^, получим:

или заменяя постоянной ^ через т: у — тхг.

Это значит — переходная дуга OA должна быть дугой кубической параболы. Для городского трамвая с максимальной скоростью 40 км в час m принимает значение 0,0000322.

4) Следующий пример иллюстрирует попытки включить в программы вопросы номографии. Т. Шпитта показывает в своей статье — „Номограмма для нахождения вещественных и комплексных корней квадратного уравнения“* —как построить такую номограмму.

Дано уравнение:

X2 -j- рх -f q = 0. Корни его:

Пусть ^ — q^0, тогда корни xV2— вещественные, их можно представить в виде:

xl = a-\-b и х2 = а— Ь,

где

(1)

л2

Если же ~—q < 0, то корни x1f2— комплексные и их можно представить в виде:

х1=а-\-Ы и х2 — а — Ы, где опять

(2)

второе выражение в уравнениях (1) и (2) отличается только знаком при Ь2 и поэтому возможно построить одну номограмму. Для этого возьмем три равноотдаленные друг от друга параллельные прямые (черт. 3):

шкала Ь... х — 0 и y=f(b)9 шкала q...x=c и y — g(q)9 шкала р... X — 2с и y = h(p).

* Prof. Dr. H. Strohler, .Eine technische Anwendung der kubischen Parabel“, № 10, Jairg. 1928.

* Dr. Th. Spitta, „Ein Nomogramm, welches auch immaginäre Wurzeln der quadratischen Gleichungen zu bestimmen gestattet“, No. 6, Jahrg. 1930.

Черт. 3.

Функции /(&), g{q) и h(p) определяются условием, что соответствующие значения должны лежать на прямой, значит:

или

(3)

Сопоставляя уравнения (1)и(2) с уравнением (3), получим:

/(ô) = -j-ô2 (при комплексных корнях), f(b) — — b2 (при вещественных корнях).

Из номограммы находим решение уравнения x2 — 4х — 5 — 0 по прямой AB; ^..> = 2=ЬЗ.

Решение уравнения х2 + 5л; + Ю = 0 по прямой СО; х12 = — 2,5+1,9/.

Приведенные примеры достаточно хорошо иллюстрируют первое течение. Как известно, программы по математике в Германии всегда были перегружены материалами. „Меранская школа“* никогда не ставила требования о разгрузке, а, наоборот, скорее о расширении. Но по мере усиления второго течения, которое поставило вопрос о разгрузке программы, „Меранская школа“ вынуждена была бороться за закрепление старых завоеваний. Результатом этой борьбы и являются многочисленные монографии, вроде приведенных нами; их главная задача — методически обработать вопросы, входящие обычно в курсы высшей математики.

II

1) В то время как меранское направление требовало включения максимума практически полезных знаний и навыков в общий кругозор о культурной ценности математических наук, их истории и применения, второе течение — бу-

* Течение в области преподавания математики, которое развивается под влиянием Ф. Клейна.

дем называть его в дальнейшем „формальным“ — стремилось развить, главным образом, способности к математическому суждению и, прежде всего, научить учащихся самостоятельно работать. Принципиальные установки формального направления изложены в статье Дилленбургера* „Математика и трудовая школа“ и в специальном сборнике № 16, который был издан как приложение к журналу.

Исходя из вышеизложенной целевой установки, Дилленбургер дает подробный анализ рабочего процесса на уроках математики. Всякая умственная работа должна начинаться собиранием материалов наблюдения, так как обычно вовсе недостаточно поставить учащихся перед готовой задачей. Необходимо возбуждать волю к труду путем выяснения практической необходимости и целесообразности предстоящей работы. Средством труда на уроках математики служат понятия и ранее усвоенные правила и законы; хорошо обращаться с понятиями может лишь тот, кто уяснил себе содержание этих понятий и область их применения. Поэтому важно, чтобы понятия „вырабатывались“ („Die Begriffe müssen „erarbeitet“ werden“) собственными умственными усилиями учеников. Чтобы учащиеся приобрели технику в работе, надо чтобы они владели методами; поэтому целесообразно вначале сократить число математических методов до минимума и расширить по возможности область их применения и соединить родственные методы. При выяснении цели урока нельзя слишком много возлагать надежд на самостоятельное нахождение проблем; важнее, чем самостоятельное нахождение проблемы, является уменье самостоятельно сформулировать проблемы. Что касается выбора материала для математики как школьного предмета, то формальное течение отвергает требование „Меранской школы“, которое приведет только к разбуханию учебника и фантастическим учебным программам. Формальное направление ценит математические разделы с точки зрения того, что в них учащийся может самостоятельно находить и что он может самостоятельно преодолеть. С этой точки зрения алгебраическое решение кубического уравнения и интегральное исчисление являются дидактически бесценными, а комбинаторика или задачи на построение — высокоценными. Кроме того, формальное направление предпочитает разделы с широким применением одного какого-нибудь метода (пусть они и более громоздки, нежели другие, элегантные выводы, которые не всякий ученик в состоянии находить). Формальное течение не отвергает учебника, но считает идеальным такое положение, когда ученики сами в процессе работы ведут такие записи, которые можно рассматривать как самодельный учебник. Во всяком случае печатный учебник не должен содержать ничего такого, что учащийся сам может находить. Дилленбургер кончает свою статью указанием на то, что целью формального математического образования является развитие разума, силы воли, самокритики, объективности, честности к самому себе. Формальное направление в математике, заключает автор, разрушит мнение многих несведущих, которые утверждают, что математика—сухая наука разума и далека от воспитания индивидуализма и идеализма.

2) Как по отношению к первому направлению, так и по отношению к формальному направлению можно указать на ряд статей, которые пытаются на конкретных примерах претворять в жизнь основные идеи этого направления.

Хорошим примером, иллюстрирующим тенденции расширить область применения одного и того же метода рассуждения, является следующее изящное доказательство теоремы о вписанном угле*.

Пусть е = ^/АРВ — вписанный угол (черт. 4). Вращаем^/ АРВ вокруг Af, чтобы РА проходила в новом положении через В; тогда угол АРВ принимает положение А%РВ\ где А1 и В — идентичные точки. Пусть величина угла вращения равна i (</АМВ), тогда АР и АР также образуют угол Ô. Если 5 — точка пересечения РА и РА\ то /_ASA' = b. Фигура Л асимметрична фигуре PSP относительно SM. Следовательно, ^/ SBP= = е и ô = 2e, как внешний угол треугольника SPB. Это доказательство совершен-

* Th. Dillenburger, .Mathematik und Arbeitsschule«, No. 1, Jahrg. 1928.

* Weber, .Der Satz vom Umfangswinkel“, No. 3, Jahrg. 1928.

но не зависит от положения M по отношению к вписанному углу и легко может быть обобщено на случай, когда вершина угла e лежит внутри круга или вне круга.

3) Применение трудового метода преподавания хорошо иллюстрирует следующий пример: „Опыт одной гимназии“ — статья В. Гурского*. Автор передает в этой статье опыт проработки теоремы о сумме внутренних углов треугольника.

„Начертите треугольник и узнайте сумму его внутренних углов. Ученики пробуют решать задачу сами, каждый для себя. При этом они начинают без всякого затруднения измерение углов и складывают найденные числа градусов. По окончании большинство учеников результаты запишет на доску; учитель занимается пока с теми учениками, у которых результат резко отличается от 180°. Затем все ученики обращают свое внимание на числа, которые написаны на доске. Возникают предположения, что сумма равна 180° и что некоторые небольшие отклонения — ошибки измерения. Вычисляется среднее значение. После этого задача усложняется и запрещается пользоваться транспортиром. Ученики должны вспомнить, что сумму углов можно находить геометрическим построением. Если у некоторых учеников воспоминания о построении суммы углов опаздывают, то надо им помочь наводящим вопросом. По окончании один ученик сделает это построение на доске; в это время все ученики закрывают свои тетради. Наблюдающий класс критикует точность построения. После этого снова усложняется задача и запрещается пользоваться транспортиром и циркулем. Большинство учеников не будет знать, как приступить, пока не последует совет вырезать треугольник из бумаги и оторвать углы. Наконец, запрещается разорвать треугольник и если ученики сами не догадаются, то им советуют вырезать несколько равных треугольников, наметить углы и приложить к начерченному треугольнику. Хорошо, если один и тот же угол раскрасить одним цветом (черт. 5).

Теперь переходят к доказательству эвристическим путем; выясняется существенное полученной фигуры (прямая BD || АС) и подчеркивают несущественное (точки Е, прямая 67), прямая DE). Только теперь уместны дедуктивные рассуждения, после того как измерения, созерцание, построение и эксперимент дали необходимые апперцепционные средства“.

4) Другой пример дает Ф. Штрейхер — „Опыт в одном реальном училище“*.

„Трудовым методом выработалось понятие функции. Ученики построили уже раньше графики. Рассматривается несколько графиков в учебнике, и учитель заявляет, что впредь будет говорить: „Температура есть функция от времени“. После этого учитель спраширает: „Когда мы говорим о функции? Что такое функция? Что мы понимаем под функцией?* Ученики записывают в своих тетрадях:

1) Функция — это соотношение двух вещей.

2) Функция имеется тогда, когда одно изменение зависит от другого изменения.

3) Функция — это то, что можно изображать графически.

4) Функция — это понятие, где одна вещь зависит от другой.

5) Функция — это отношение двух сил.

6) Функция — это объединение двух зависимых друг от друга изменений.

7) Функция — это сравнение двух зависимых одно от другого свойств.

8) Под функцией понимают разные вещи, которые зависят одна от другой.

9) Функция — это отношение двух величин, которые зависят одна от другой.

10) Нечто есть функция от другого нечто.

11) Одна причина есть функция от нечто другого.

12) Функция — это переменная величина, которая зависит от другой.

13) Функция — это следствие другой вещи.

14) Функция —это изменение, которое делается по другому.

15) Функция — это объединение нескольких сил.

16) Функция —это связь двух вещей.

17) Если одна величина зависит от другой, тогда мы имеем функцию.

Черт. 4.

Черт. 5.

* Dr. V. Gursky, „Erfahrungen an einem Gymnasium“, Beihefte zur Zeitschrift No 16.

* Там же, F. Streicher, „Erfahrungen an einem Landerziehungsheime und an einer Oberrealschule“.

18) Функция — это действие некоторого вещества.

19) Функция имеется тогда, когда две вещи зависят одна от другой.

20) Функция это изменение, сделанное от другого.

21) Функция — это сравнение двух вещей.

Пять учеников еще ничего не написали, когда я (Штрейхер — прим. Ф. Ц.) записал эти определения. Я перешел к обсуждению и прочитал № 2. Является ли слово изменение необходимым словом, необходимым понятием? Несколько учеников подтверждают. Нужно ли слово зависимость? Да. Я записал слова изменение и зависимость на доске. Затем я прочитал № 4. Почти весь класс заявил: „Нет слова изменение!“ Из № 9 мы получили слово величина. „Напишите предложение со словом величина“. Я проходил между партами и читал, как один ученик писал: „Я преклоняюсь перед величиной — полководец“. Это послужило мне поводом для того, чтобы разграничить математический смысл слова величина от обиходного смысла. На доске записали слово величина. Таким образом, все 21 определения критиковались всем классом. После этого я предложил ученикам определить функции и пришел к результату: функция — это зависимость одной переменной величины от другой“.

5) С трудовым методом преподавания тесно связан вопрос о математическом языке. Здесь важно, чтобы математический язык был краток, четок, ясен и чтобы специальные математические термины не противоречили применению тех же слов в обиходной речи. Всем этим требованиям часто язык учебника не отвечает. Вопросам о математическом языке посвящена статья К. Бэгель* и статья В. Нибель**. Автор Бэгель подверг анализу большое количество наиболее распространенных учебников и указал на множество нецелесообразных и логически неправильных выражений. В большинстве указания относятся к специфике немецкого языка, но среди них имеются и такие, которые характерны и для наших русских учебников. Приведем некоторые примеры. Термин „геометрическое место точек“ есть результат плохого перевода с греческого языка. Греческое слово tottoî; означает—„область“. Слово „место“ в обиходной речи означает нечто другое, нежели слово „место“ в математической терминологии— геометрическое место точек. К. Бэгель предлагает этот термин заменить новым термином множество точек; тогда обычная формулировка звучит таким образом: „Множество точек, которое находится от одной данной точки на таком же расстоянии, как от другой данной точки, есть...“ и т. д.

Так была сформулирована эта теорема во время занятий по трудовому методу.

Термины внутреннее и внешнее деление отрезка в данном отношении также не согласуются с тем, что обычно понимают под словом деление; поэтому лучше их заменить словами — собственное и несобственное деление отрезка в данном отношении.

Автор с удовлетворением отмечает, что слово параллелепипед исчезло из немецкого языка и предлагает также изжить слова: гипотенуза и катеты и их просто назвать большая сторона прямоугольного треугольника и меньшая сторона.

До сих пор принято в произведении 3-7 число 3 назвать множимым и 7 множителем, что противоречит логике языка, потому что мы читаем — трижды семь; автор предлагает поэтому три назвать множителем и семь — множимым*.

Автор оканчивает свою статью призывом бороться за чистоту родного языка не только в художественной литературе, но и в каждой учебной дисциплине.

IV

1) Помимо статей, написанных в плане одного какого-нибудь течения, имеется ряд ценных статей, теоретических и методических, которые стоят „как бы в стороне“ от борьбы двух направлений. Одна из этих статей разбирает вопрос о методах суммирования медленно сходящихся рядов, члены которых имеют переменные знаки. Как известно, по поводу ряда Лейбница

Ньютон заметил, что он для практического вычисления не годится потому, что нужно миллион членов суммировать, чтобы получить несколько достоверных цифр. Не проверив это утверждение, многие математики его повто-

* К. Bogel, „Der sprachliche Ausdruck in der Mathematik und im mathematischen Unterricht“, No 3. Jahrg. 1928.

** W. Niebel, „Der sprachliche Ausdruck im geometrischen Unterricht No. 7, Jahrg. 1928.

* Некоторые авторы так поступают: например Перрок, Вигнер и др.

рили и повторяют до сих пор*. На самом деле это не так. Пусть

отсюда находим:

следовательно:

(1)

Этот прием можно несколько раз повторить, и тогда получается:

с ошибкой

(2)

с ошибкой

(3)

При т— 10 получим из ряда Лейбница по формуле (3) тг с точностью до

т. е. с 5 достоверными десятичными знаками в самом деле:

С избытком: С недостатком:

2) Другой пример, представляющий некоторый интерес, это своеобразный подход к вопросу о площади круга, опубликованный в декабрьском номере 1931 г. Идея этого подхода такова: пусть О AB — сектор круга и /_ 0 = 45°. Имеем АС=ОА=1. Делим АС на х равных частей и соединяем точки деления с центром О.

В точках пересечения радиусов с окружностью проводим прямые перпендикулярно к OA. Между точками В и D образуется ломаная прямая, лежащая целиком внутри круга, а между точками Е и А образуется ломаная, лежащая целиком вне круга. Площадь многоугольника [ОВТО... D] зависит от числа деления х и возрастает с возрастанием х; площадь многоугольника [OEGE ...А] зависит также от числа х, но с возрастанием X убывает. Пусть площадь „внутреннего“ многоугольника [ОВТО... D] равна 5,-и площадь „внешнего“ многоугольника [OEGE... А] равна Sa; пусть дальше f19 /2, /3.. . f4 означают площади треугольников OAZ, OKL, ОМЕ... и gi> go> ёз ••• £4 —площади треугольников ÖDK, ORM, OSG----тогда:

(1)

потому что

fn=ën-\ (черт. 6).

Черт. 6.

* Например Schmehl, „Lehrbuch der algebraischen Analisis-, в несколько более мягкой форме наш Гренвиль, Лузин, изд. 1934 г.

Из подобия

£OSG = AOVU

имеем:

пл. Д OSG : пл. Д OVU=OG*:OU\ или

(2)

Для я — X получим из уравнения (1)

(3)

Из формулы (3) видно, что Sa — 5/ с увеличением х уменьшается и прил:—сю становится и остается меньше любого вперед заданного числа, как бы мало оно ни было; следовательно, с увеличением X площади Sa и Si стремятся к общему пределу. Этот предел мы принимаем за площадь сектора. Если его обозначить через (так как сектор — восьмая часть круга), то мы имеем:

или

(4)

значение S, легко вычислить на основе формул (1) и (2).

(5)

Принимая X = 20, легко вычисляется по формуле (5), что может быть сделано всем классом коллективно.

V

Из журнальных статей, помещенных в № 1 до № 5, изд. 1934 г., видно, что идеологи фашизма пытались повлиять на идейное направление журнала и подчинить математику как учебную дисциплину фашистскому мировоззрению.

В № 1 помещены две статьи: Г. Розе— „Основание органического математического плана образования“* и Г. Хамел— „Математика на службе Третьей империи“**.

1) Г. Розе ставит во главу угла:

органическую полноту — этот основной признак фашизма, которая должна стать фундаментальным принципом математического образовательного плана“.

Из этого принципа, по мнению автора, следует, что нужно исходить из центрального элемента образовательного плана, чтобы отсюда развить и увеличить педагогическое поле деятельности (das pädagogische Arbeitsfeld) концентрическими кругами.

Центральным элементом, и в то же время первым из концентрических кругов образовательного плана, является „абстрактная математическая техника“. Автор понимает под этим то, что мы обычно называем „арифметическим действием“ и „построением геометрических фигур“.

Вокруг центрального элемента автор располагает второй концентрический круг, в котором, наряду с „абстрактной математической техникой“, развивается „абстрактное продуктивное научное математическое мышление“.

„Недостаточно, — говорит автор, — подготовить математических техников, которые способны управлять математической машиной (построить треугольники, логарифмировать, диференцировать). Мы должны подготовить математических инженеров, которые обслуживаемые ими машины понимают осмысленно. Для них недостаточно, чтобы они умели обращаться с таблицами логарифмов, а необходимо, чтобы они поняли роль и место логарифмов в системе математики".

Абстрактная математика, как репродуктивная математическая техника, так и продуктивное научное мышление,— если ее односторонне развивать, оказывается несовершенной, несмотря на свою высокую ценность. Такое одностороннее преподавание, оторванное от жизни, приведет (по выражению Гитлера, на которого ссылается здесь автор) к тому, что внутренность учеников затвердеет (verkalkt). Поэтому следует здесь построить третий круг, который включает прикладные задачи.

Но и это еще недостаточно для „орга-

* S. Rоsе, „Der Grundniss eines organischen mathematischen Bildungsplans“.

** G. Hamel, „Die Mathematik im Dienste des dritten Reiches“, N. I, Jahrg. 1934.

нической полноты“. Учитель не должен быть только работодателем, ученик не только — работопринимающим. Ученик — должен стать способным „математически осмыслить свою среду“, должен уметь сам составить ряд математических задач. Это четвертый концентрический круг.

Указанные четыре круга построены, главным образом, на наблюдении и „управляют наблюдением учеников с математической точки зрения“. Это очень нужно и ценно, но все же еще недостаточно. Надо еще расширить педагогическое поле деятельности и развить „понимание учеником математической действительности“ (den mathematischen Wirklichkeitsinne) для того, чтобы „ученик свое действие производил с математической точки зрения“. Это — пятый концентрический круг образовательного плана.

Эти пять кругов определяют частные цели преподавания математики. Здесь педагогическое поле деятельности не должно быть ограничено, и за пятым кругом должен быть построен шестой, который диктуется „всеобщими индивидуалистическими образовательными целями преподавания математики“ (allgemeine individualistische Bildungsfiele). Математическое воспитание должно влиять на дух, чувство и волю ученика.

Если ограничиться первыми пятью кругами, то воспитывается эгоистический дух лавочника; если ограничиться только одним шестым кругом, то воспитывается безграничный индивидуализм.

„Преподаватель математики должен все образовательные силы, исходящие из математического центра, подчинить фашистскому мышлению и действиям, которые несут жизнь всех“.

Это — седьмой круг образовательного плана; чтобы разъяснить подробнее смысл и содержание этого круга, Г. Розе дает несколько примерных тем:

„Борьба германского правительства против безработицы“. „Рост германского народа за последние 500 лет“, „Развитие городского хозяйства и населения (Verstädterung) — это смерть народа“, „За пределами Германии живет 1/3 всех немцев“, „Версальский мир отнял у нас немецкие земли и немецких сограждан“.

Исходя из семи критериев, автор приходит к необходимости сокращения программного материала и к формулировке цели преподавания математики:

„Через преподавание математики развить понимание такой математической действительности, которая базировалось бы на фашистском сознании ответственности“.

Г. Розе — не новое имя на страницах журнала. Еще в 1928 г. его работа „Тренировка ума через преподавание математики“* была издана приложением № 11 к журналу. Там он иначе формулировал задачи преподавания математики:

„Материальное и формальное образование, т. е. передача знаний и развитие психических сил — вот две цели преподавания математики“**.

Там Розе предупреждает, что всякий предмет по-своему влияет на развитие психических функций и нельзя требовать от предмета развития всех психических функций в равной мере. В той работе он подробно исследовал влияние математики на развитие памяти, фантазии, мышления, чувства и воли; простыми словами он формулировал результаты, как, например, при указании на этические результаты преподавания математики:

„Преподавание математики способствует воспитанию чувства долга, добросовестности. Оно — ценное средство, чтобы привить аккуратность и точность. Оно воспитывает объективность, возбуждает ответственность и приведет к безусловной честности и к честной самокритике“***.

Там нет таких пышных терминов, как „органическая полнота“ (organische Totalität), „репродуктивная абстрактная математическая техника“ (reproduktive abstrakte mathematische Technik), „продуктивное абстрактное научное математическое мышление“ (produktive, abstrakte, wissenschaftliche mathematische Denken), „понимание математической действительности“ (der mathematische Wirklichkeitssinn), „органический математический образовательный план“ (organische mathematische Bildunesplan) и т. д.

Но если освободить эту работу от пышных слов и фраз, то что же останется? Останется такая простая схема: сначала надо детей научить производить арифметические действия, построения геометрических фигур, затем надо переходить к методам математического доказательства, дальше надо приучить прилагать математические знания к конкретным задачам из жизни и научить учеников самих составлять математиче-

* G Rose, „Die Schulung des Geistes durch den Matnematikunterricht“, Beiheft No. 11.

** „Die Schulung“ u. s. w., S. 1.

*** Ebenda, S. 23.

ские задачи. Надо использовать математику для влияния на развитие психических функций и всю работу по математике построить на фашистской тематике — вот несложные мысли автора, изложенные в сложной форме с пышными фразами на девяти печатных страницах. Как видно, новое у Г. Розе 1934 г. по сравнению с Г. Розе 1928 г. только фашистская тематика и пышные фразы. Г. Розе записался в подпевалы фашизма, усвоил от последнего его крикливость и старается скорее в этой крикливости растворить свои прежние, не такие уж сложные мысли.

2) Вторая статья, статья Г. Гамела — „Математика на службе Третьей империи“ является, по словам автора, дальнейшим трактатом к философскому обоснованию математики. Автор начинает с цитаты Гитлера и А. Вагнера:

„Вместо господства материи фашистское мировоззрение поставило господство духа“ и выдвинуло вопросы: 1) Имеет ли математика особое значение для оформления духа Третьей империи? 2) Какое значение имеет математика для воспитания молодежи Третьей империи?“

На первый вопрос автор ответил весьма своеобразно. Что Ньютон и Лейбниц, оба представителя германской расы, открыли высшую математику,—

„это не простая случайность, а результат родства математики с духом германской расы. Математика — это внутренняя потребность, созданная нашим духом. Поэтому она является прообразом духовной творческой деятельности вообще. Вот эта философия математики проходит по философской линии Платона, Лейбница, Канта, Фихте, т. е. по линии немецкого идеализма. Из него надо исходить, он есть философия крови и расы, не всякому доступный. Поэтому некоторое время истинный характер математики многим остался непонятным. Не математика должна, а математики должны переучиться“.

После этих „глубокомысленных“ философских открытий автор приводит целый ряд цитат из Лютера, Гёте, Лерша и др., которые показывают, как обожествлялось понятие математики великими поэтами, и спрашивает: „Кто же математик?“ Оказывается, и поэты, и музыканты, и полководцы — все они великие математики. Среди них оказался Вильгельм Буш, Наполеон, Мольтке, Шарнхорст, архитектора, строящие церкви, и многие другие, потому что

„математик—не только тот, кто находит математические истины, а всякий, кто видит великий порядок вселенной и обновляет мир приводящим в порядок действием. Следовательно, государственный деятель — архитектор, строящий капеллу в Вюртсбурге“.

Что касается второго вопроса, то автор ответил так же просто:

„Во-первых, практически. Не только будущий инженер и другие представители прикладного естествознания, как, например, врач, нуждаются в математике. Некто другой, как Ф. Мюллер сказал, что нам не нужно ни юристов, ни богословов без достаточного знания математики и высшей математики“.

Возможно, что такое категорическое требование вытекает из особого понимания автором внешних политических проблем:

„Наш престиж за границей, особенно по сравнению с высокоматематически способными романцами и англо-саксами, будет сильно зависеть от того, как мы относимся к математике и к ее применению“.

Но практический мотив — не главный и не единственный. Важнее и здесь воспитательный мотив, который вытекает:

„из духовного родства математики с Третьей империей. Основа обеих — это героизм. Математика — не легкая игра, не безответственное разглагольствование. Она требует жертв, преданной тяжелой работы головой, которая по словам нашего вождя равноценна работе рукой. Обе (т. е. математика и Третья империя — прим. Ф. Ц.) требуют службы. Обе антиматериалистичны. Фашистское направление духа в собственном смысле слова, а математика — в переносном. Обе хотят порядка, дисциплины, обе борются против хаоса и произвола“,

Сама постановка вопросов и способ их решений, иллюстрированные мной цитатами, делают излишним комментарии.

3) Следующей статьей является статья В. Гербста — „О математической и литературной одаренности“*. Желая выявить особую ценность математики как учебной дисциплины, автор выбирает в качестве объекта для сравнения преподавание языков с тем, чтобы посредством такого сравнения выяснить содержание понятия „математической одаренности“. Автор опирается в своих начальных размышлениях на те течения в области психологии, которые сводят психическую деятельность человека к ощущениям, чувствам и волевым актам, и приходит к такой постановке вопроса: какие тре-

* W. Herbst, „Über mathematische und sprachliche Begabung und Erziehung-, No. 2, Jahrg. 1934,

бования предъявляют математикам языки к памяти, способности мышления и к характеру?

В. Гербст категорически отвергает утверждение, будто бы языки предъявляют больше требований к памяти, нежели математика, подчеркивает исключительную роль ритма для запоминания и приходит к утверждению, что математика зависит полностью от механического запоминания. По мнению автора, математика предъявляет наивысшие требования к верности памяти, и поскольку верность памяти зависит от верности работы и последняя — от характера, то математика является функцией характера. Точно к такому же выводу приходит автор при рассмотрении вопроса о требовании, которое предъявляет математика к способности мышления. Автор различает два вида мышления: логический и фантастический; он становится на точку зрения эмпиризма и считает единственным критерием истинности логического рассуждения — опыт. Логическое мышление не является, по мнению автора, функцией интеллекта, а функцией прилежности, выдержанности и добросовестности. Поэтому, мыслит ли человек преимущественно логично или нет, это зависит не от особенности его интеллекта, а от особых черт его характера. Как видно, автор поставил во главу угла характер человека и попытался все свести к нему. Сам он понимает под характером „совокупность волевых направлений, свойственных данному индивидууму“, и различает два типа характера: 1) целеустремленный, эстетичный, логичный, социальный, религиозный, 2) сильный, упорный, уверенный.

Математик — обычно человек первого типа характера, потому что математика — это логическое мышление в чистом виде. Острота умозаключения, суждения, сила концентрации, умственная выдержка, разум и т. д. — суть свойства характера, выраженные в воле познать ложное и со всей энергией приняться за дело, быть напористым и т. д.

„Но судьбами народов руководит не логично-научно-мыслящий человек, а сильный характер, который из совокупности всего жизненного опыта черпает мужество к интуитивным действиям“.

Математика, по мнению автора, воспитывает некоторые черты характера, родной язык — все. Поэтому ведущими дисциплинами должны стать — родной язык, история, география, биология. Но это не значит, что математика будет играть второстепенную роль. Нет!

„Действия сильного вождя только тогда имеют успех, если он сумеет их выражать в логической форме и убедительно“.

Отличительная особенность математики — воспитывать логическое мышление, дает возможность в вузах требовать математического минимума, как, например, минимума по латыни.

Приведенные отрывки из трех статей очень хорошо характеризуют судорожные попытки фашизма создать нечто вроде фашистской методологии математики. Первый автор думал, что для этого достаточно старые наивные мысли облечь в бантики фашистской фразеологии; второй думал, что достаточно немного побредить, а третий считает, что достаточно все свести к характеру.

4) В первых пяти номерах нет больше трех указанных статей в этом же плане, и к чести журнала надо сказать, что основные научные работники в области преподавания математики остались верны доброй традиции и продолжают давать ценные методические монографии. В качестве примера можно указать на статьи: Шольца — „Десять задач о железной дороге“, В. Дрееца — „Понятие групп и их отображение в курсе школьной математики Аумана — „Простые нахождения пяти правильных тел на основе теории чисел“, Ф. Сейферта — „К преподаванию инфинитезимального анализа“. Автор последней статьи обращается к предстоящему съезду делегатов технических учебных заведений, который собирается исключить из программ математики для школ повышенного типа все вопросы высшей математики. В своей работе он пытается показать простые приемы, как разъяснить учащимся содержание основных понятий высшей математики, главным образом, понятий предела, производной и интеграла. Он делает это для того, чтобы убедить в ненужности исключения этих вопросов из курса средней математики.

Из интересных сообщений в журнале за 1934 г. мы приведем один пример.

5) „Вычисление поверхности шара“*.

* К. Bogel, „Über die Berechnung der Kügeloberfläche“, No. 4, Jahrg. 1934

Предполагается известной формула для вычисления объема шара. На шар с радиусом г наложим слой толщиной d. Объем слоя больше F-d, где F означает поверхность шара. Значит,

или

(1)

Если снять с шара радиусом г слой толщиной d, то объем слоя меньше Fd, следовательно,

откуда

(2)

Выражение (1) и (2) действительны для всех значений d между О и г, следовательно, F по (1) не может быть больше — тт-Зг2 и по (2) не сможет быть меньше ^-тт-Зг2; значит,

Можно было бы указать на ряд интересных сообщений, как, например, на изящное построение угла в 30°, которое сообщает Романович. Если в точке А на прямой AD требуется построить угол в 30°, то из произвольной точки M как центра описываем дугу ABC и из В отложить радиус MA, тогда ^/ DAC= = 30° (черт. 7).

Черт. 7.

Интересно еще сообщение о наглядном изображении формулы Эйлера или сообщение о фигуре с отрицательной площадью и др. Нам думается, что названные работы достаточно красноречиво свидетельствуют о том, что журнал в основном продолжает свое положительное дело.

В заключение следует отметить еще одну ценную особенность немецкой школьной математики — это стремление не отставать от успехов математики как науки. Это сказывалось в период Ф. Клейна, когда осуществилось требование включить в курс элементарной математики понятие функции и функциональной зависимости, которое сделалось одним из основных понятий математической мысли. В последние два года поставлен вопрос о включении понятия групп, которое также становится фундаментальным понятием современной математической мысли. Помимо статьи Дрееца, на которую указано выше, вышла на немецком языке специальная книга, посвященная этим вопросам.

ИЗ ОПЫТА ГЕРМАНСКОЙ ШКОЛЫ

В. ЮСЬКОВИЧ (Москва)

В журнале „Praktische Schulphysik“ №2 за 1934 г. напечатана интересная статья Франца Шютца (Глогау) под названием: „К вопросу о преподавании физики в старших классах гимназии“. В этой статье автор дает короткий обзор учебного материала, который он прорабатывал в старшем классе гимназии 01 (Ober-Prima) в прошлом учебном году.

Фр. Шютц исходил из учебных планов, которые предписывают для класса 01 (последний класс гимназии) изложение дополнений к общему курсу физики. При этом Фр. Шютц избрал за основу для проработки указанного курса энергетический принцип — понятие энергии и закон сохранения энергии. Получилось, как сообщает автор, естественное повторение общего курса физики и значительное расширение технического кругозора учащихся. Последняя тема за недостатком времени не была проработана. Такое же

построение курса защищает Курт Шолих в статье „Естественные науки во второй ступени“ в месячных выпусках для высшей школы, 1933 г., № 5.

Ниже мы приводим содержание учебного материала, проработанного Фр. Шютцом в классе 01.

Для лучшего понимания существа вопроса следует указать, что в Германии существует несколько типов средних учебных заведений: гимназия, реальная гимназия и высшее реальное училище. Курс обучения в них девятилетний. Кроме того, имеются прогимназии и реальные училища с шестилетним курсом обучения. Физика преподается в некоторых гимназиях четыре года, в классах Unter-Secunda (U II), Ober-Secunda (0 II), Unter-Prima (U 1)и Ober-Prima (01) (счет классов ведется снизу). В некоторых гимназиях физика преподается пять лет. Число учебных часов, отводимых на физику, в различных учебных заведениях также не является одинаковым, (см. Э. Гримзель — „Дидактика и методика физики“, проф. Де-Метц—„Общая методика преподавания физики“, стр. 91).

Введение

1) Понятие энергии и различные формы энергии.

2) Измерение силы, работы, мощности в технической и абсолютной системах (повторение).

3) Измерение работы в случае переменной силы

Опыт. Определение работы, которая производится в случае полностью сжатой пружины пистолета (пружинный пистолет Гримзеля).

Механическая энергия

1) Энергия свободно падающего тела.

2) Е= mgh= ~ mv2.

Опыт с маятником Максвелла.

Опыт. Количественное исследование превращения потенциальной энергии в кинетическую на пружинном пистолете Гримзеля.

3) Закон сохранения механической энергии и взгляд на всеобщий энергетический принцип.

Тепловая энергия

1) Космические источники тепла. Теплота Солнца и Земли.

2) Теплота сгорания или теплопроизводительность.

Опыт. Количественное определение теплоты сгорания парафина с помощью калориметра Бардта.

3) Получение тепла от бесполезно затраченной работы.

Опыт с помощью двойного термоскопа Sooser'a.

4) Температурные изменения при сжатии и расширении газов.

Опыт. Пневматическое добывание огня. Зажигание в моторе Дизеля.

Опыт с двойным термоскопом Sooser'a. Выяснение разницы между Ср и Cv.

5) Определение / (механический эквивалент тепла) по Роберту Майеру.

Опыт. Количественное определение I“ при помощи трубы Whiting'a.

Исследование современных паровых машин

1) Устройство машин низкого и высокого давления (повторение).

2) Машины однократного и многократного расширения,

3) Расчет индикаторной мощности паровой машины.

Индикаторная диаграмма. Индикаторная эффективная мощность.

4) Коэфициент полезного действия паровой машины, вычисленный из индикаторной мощности и затраченного тепла.

Основные черты механической теории тепла

1) Природа тепла. Первый принцип термодинамики.

2) Области применения термодинамики.

Опыт. Демонстрация броуновского молекулярного движения при помощи китайской туши, разведенной в воде.

3) Кинетическая теория газов (только основные черты, без расчетов).

4) Второй принцип термодинамики и энтропия (без требования точного изложения). Объяснение малого к. п. д. паровых машин.

Энергия электрического тока

1) Опыт. Экспериментальный вывод закона Джоуля.

Опыт. Количественное определение

константы в законе Джоуля при помощи нагревания спирали в калориметре.

2) Превращение электрической энергии в механическую и наоборот.

3) Опыт. Определение потребительской мощности одного из электрических употребительных аппаратов (лампы накаливания различных конструкций, электронагревателя, электрических плит, тепловых подушек), расчет стоимости.

Опыт. Исследование экономичности электрических ламп накаливания. Проблема холодного света.

4) Подсчет электрической энергии.

Электромотор и динамомашина

1) Конструкция современных электромоторов (повторение).

2) Опыт. Количественное исследование расхода энергии в электромоторе при различных нагрузках. Какие следствия получаются из этого для практического использования электромотора. Определение к. п. д. Измерение мощности получается проще всего при помощи тормозного шнура и пружинных весов.

3) Преимущества электромотора как машины, преобразующей силу.

4) Конструкция современных динамомашин (повторение).

Опыт. Превращение энергии в динамомашине. Провести количественное исследование школьными средствами не представляется возможным.

5) Электростанция. Максимальное использование электрической мощности. Меры к рациональному использованию машин.

Передача электрической энергии

1) Потеря напряжения и мощности в проводниках.

Потеря в мощности: V=~L(W—сопротивление проводника, /—напряжение для потребления, L — общая мощность, переданная в проводник).

Опыт. Измерение падения напряжения на приборе (Ми — „Учебник по электричеству и магнетизму“, изд. 1900 г.).

2) Практика прокладки кабелей. Двух-и трехпроводниковая система. Устройство распределительной доски.

3) Центральные станции для передачи тока на далекое расстояние. Исторический очерк.

Опыт. Передача мощности переменного тока высокого напряжения.

Опыт. Испытание превращения энергии в трансформаторе.

Передача энергии механическим путем

1) Простые машины как передатчики энергии.

2) Жидкости и газы как передатчики энергии.

3) Передача энергии через связь. Опыты с резонансным маятником и с аппаратом для удара (при очень тесной связи).

Передача энергии через волновое движение

1) Понятие волны и ее возникновение. Распространяющиеся волны. Продольные и поперечные волны.

2) Опыты с волновой машиной Маха. Основной закон волнового движения.

3) Опыты. Отражение, преломление, диффракция, интерференция волн на воде (Поль — „Введение в механику“).

Опыт с волновой спиралью.

4) Звуковые волны как передатчики энергии.

Опыт. Доказательство распространения волн звуковой энергии при помощи интерференции и диффракции.

Свет как излучение энергии

1) Сила света и освещенность. Опыт. Фотометрическое измерение силы света.

2) Скорость распространения света.

3) Луч света как волна, сопровождаемая диффракционными явлениями.

Опыт. Диффракция у острого края.

Опыт. Определение длины световой волны через диффракцию у медной проволоки.

4) Длина волны и цвета.

Опыт с диффракционной решеткой. Количественное истолкование опыта для различных цветов.

Опыт. Спектральное разложение белого света. Инфракрасные и ультрафиолетовые лучи.

Опыт. Доказательство закона отражения для тепловых лучей с помощью вогнутых зеркал.

5) Луч света как поперечная волна. Опыты с поляризацией света.

6) Природа белого светового луча.

Излучение накаленных тел

1) Температурное излучение.

Опыт. Платиновая проволока медленно накаливается электрическим током перед щелью спектроскопа.

2) Абсолютно черное тело.

3) Закон излучения Кирхгофа. Опыт с кубиком Лесля и двойным термоскопом по Sooser'y.

Опыт с платиновой полоской, покрытой китайской тушью при обычной температуре белого каления.

4) Следствия из закона излучения Кирхгофа.

Опыт. Обращение линии Na.

5) Излучение абсолютно черного тела. Работы Люммера — Прингсгейма. Закон смещения Вина. Закон Стефана — Больцмана.

6) Излучение отполированной платины. Определение температуры Солнца.

Электромагнитные колебания

1) Опыты. Значение самоиндукции и емкости при переменном токе.

2) Принципы получения электромагнитных колебаний. Колебательный контур Томсона.

Опыты. Понятие резонанса. Резонанс напряжения и тока.

3) Опыты. Связь колебательных контуров.

Опыт. Электрические колебания при помощи вольтовой дуги.

Опыт. Электрические колебания, полученные при помощи катодных ламп.

Опыты с трансформатором Тесла. Колебания очень высокой частоты.

Электромагнитные волны в пространстве

1) Опыты. Распространение электромагнитного переменного поля. Устройство передаточной станции.

Опыты. Прием электрических волн.

2) Световые волны как электромагнитные волны.

3) Общий спектр. Исторический очерк.

Излучение электрической энергии

1) Опыт. Катодные, каналовые и рентгеновы лучи.

Опыты. Радиоактивные вещества.

2) Электронная теория. Модель атома Бора, закон спектров, квантовая теория.

ХРОНИКА

• При Центральном научно-исследовательском институте политехнического образования (ЦНИИПО) с 28 января 1934 г. начались научно-методические совещания преподавателей физики. За семь месяцев состоялось 7 совещаний, на которых было заслушано 13 докладов. Среди сделанных докладов можно отметить доклад Э. В. Шпольского „О вновь открытых элементарных частицах", И. А. Лобко „Столетие смерти Гаусса и история системы единиц“, А. И. Крушевского „Об элементарном изложении опыта Майкельсона и об относительности единиц измерения длины и времени“, И. И. Соколова и М. Е.Набокова „Об изменении программ по физике и астрономии“, Д. Д. Галанина „Демонстрация новых конструкций Института политехнического образования“ и др.

• 28 октября 1934 г. состоялся доклад И. И. Соколова „О преподавании законов Ньютона в VI и VIII классах“. Основные положения доклада сводились к следующим пяти утверждениям: 1) расположение физического материала в 1 и II концентрах должно итти в порядке усложняющихся форм движения материи (механика, теплота, электричество, свет); 2) в программу шестого года по механике необходимо включить законы Ньютона (прежде всего первый и третий ; 3) законы Ньютона на I и II концентрах должны излагаться компактно как одно целое; 4) при современном состоянии вопроса нельзя отойти от традиционного изложения законов Ньютона, т. е. нужно начинать с первого закона и т. д.; 5) масса должна определяться как мера инерции, а не как количество вещества.

Прения развернулись почти исключительно вокруг пятого тезиса. Большинство выступавших подчеркивали трудность изложения понятий ускорения, массы и др. в VI классе, непосильность понимания массы как меры инерции, для учеников этого возраста (Павша, Фалеев и др.).

Проф. Млодзиевский говорит, что нельзя определить массу как количество вещества, вместе с тем он считает необязательным начинать физику с законов Ньютона. Тов. Крушевский полагает, что только на десятом году учащиеся могут „переварить“ массу как меру инерции. А. В. Павша предложил ввести понятия грамм и грав (вместо грамм-силы). Эта мера, по его словам, „на 99% облегчит этот вопрос“.

• Научно-методическое совещание физиков заслушало 10 ноября 1934 г. доклад Н. Е. Брюхатова о силах инерции. Докладчик и выступавшие в прениях выявили наличие противоречивых взглядов на этот вопрос. Одни физики отрицают силы инерции, другие придают им реальное существование, третьи находят даже четыре вида сил инерции. Во всяком случае, вряд ли необходимо в курсе физики средней школы говорить о силах инерции.

Доклад И. И. Соколова о точности определений по физике вызвал весьма оживленные прения. Основные мысли докладчика по этому вопросу таковы: определить понятие, значит — довести его до состояния различения от других понятий. Упрощать понятия с упущением каких-либо существенных признаков нельзя. Каждое определение нужно доводить до точного значения. Методы подхода здесь могут быть различные. Скорость, ускорение и др. могут быть определены через измерение. Ряд понятий вообще не может быть определен по существу, т. е. не может быть сведен к более общим понятиям (масса, мощность и др.). Нет единства мнений по этому вопросу среди преподавателей физики. Понятия должны совершенствоваться постепенно, и точное определение должно быть дано в конце изучения данного понятия (С. И. Иванов).

Нужны определения и неточные, но такие, которые не поведут к заблуждениям в будущем (А. В. Павша). Упрощение не должно быть извращением, всякая формула должна содержать элементы научности. Проф. А. Г. Калашников подчеркнул необходимость логического и психологического в преподавании физики. Методика физики должна исходить из этого единства. Методика физики — психология физики, основанная на знании законов детского мышления. Без этого получается сплошная эмпирика. Нужно изучать, как ребята познают массу и т. п. Надо изучать процесс становления познания. Надо добиваться тех объективных критериев, которые позволили бы выяснить, до какой степени точности можно определить физические понятия.

• 4 декабря 1934 г. научно-методическое совещание заслушало интересный и содержательный доклад проф. А. Б. Млодзиевского на тему „Применение топологии к теории фаз“.

• 28 декабря 1934 г. А. А. Гельфенбейн сделал доклад „О законах Ома". Докладчик показал, как можно изложить законы Ома, исходя из принципа сохранения энергии. Этот весьма интересный доклад будет напечатан в № 4 „Мат. и физ.“

• Группа физики Института политехнического образования в настоящее время работает над следующими основными проблемами — обоснование программ по физике (И. И. Соколов), переработка программ по физике (И. И. Соколов), измерители как форма учета знаний (М. Е. Набоков), экспериментальные темы — законы Ньютона в VI и VIII классах, передача движения, переход энергии тепловой в механическую, переход электрической энергии в механическую.

• По сообщению проф. А. И. Челюсткина в секции физики Ленинградского института научной педагогики разрабатываются две основные методические темы:

1) Электромагнитные явления:

а) „Электронные явления“ — В. А. Зибер,

б) „Электромагнитное поле“ — Е. Н. Кельзи,

в) „Лучистая энергия“ — П. А. Знаменский и М. Ю. Пиотровский.

2) Роль и значение физики в политехническом образовании учащихся:

а) „Связь трудового политехнического обучения с физикой и математикой“—К. Д. Никонов,

б) „Связь физики с бытовой и общественной техникой“ — Д. А. Александров,

в) Связь физики с производственной техникой“ — И. А. Челюсткин.

Крайне желательно, чтобы кафедры методики физики при педвузах осветили на страницах сборника „Математика и физика в средней школе" свою тематику научно-исследовательской работы, результаты ее. Все это поможет планированию научно-исследовательской работы по методике физики.

В. Юськович (Москва)

ЗАДАЧИ

1) Полагая а + b + с = 0, вычислить величину выражения:

2) Показать, что

3) Найти

С. Мельников (Каракол)

4) Решить уравнение:

А. Агамалов (Москва)

5) Решить систему уравнений:

6) Определить коэфициенты А и В трехчлена

Ах* + ВхЗ + \

так, чтобы он делился на (х— I)2.

7) Найти треугольник, стороны которого выражаются целыми числами, а площадь и сумма трех высот выражаются одним и тем же числом.

8) Построить треугольник ABC по стороне b и высоте ha при условии, что сторона вписанного в этот треугольник квадрата, две вершины которого лежат на ВС, равна диаметру вписанной в треугольник окружности.

М. Зимин (Новочеркасск)

9 ) Найти треугольник, у которого стороны и одна из высот образуют ряд последовательных целых чисел.

А. Чистяков (Омск)

V) Доказать, что если в треугольнике со сторонами д, Ь, с имеет место соотношение № — с2 = = 2а#, то В — С= 90°.

11) Дан круг и вне его точка А. Найти геометрическое место таких точек М, чтобы расстояние MA было равно длине касательной МТ> проведенной к окружности из точки М.

12) Через середины трех ребер куба, выходящих из одной и той же вершины трехгранного угла, проводят плоскость, отсекающую от куба пирамиду; найти полную поверхность и объем тела, слагающегося после отсечения таких пирамид и всех вершин куба.

13) Доказать формулы:

14) Показать, что если а + ß + y + 8 = 0, то-

15) Обозначая чрез ruR радиусы вписанного и описанного кругов около треугольника ABC, доказать, что площадь его равна

16) Решить систему уравнений:

a sin x + b sinj/ = а\ a cos x + b zosy= b.

17) Определить вид треугольника, в котором

18) Доказать, что число вида 7-2л _ 48 п — 1 делится на 2304.

19) Найти:

20) Показать, что при целом и положительном п

Упражнения для учащихся

1) Преобразовать выражение:

2) Найти значение выражения:

3) Вычислить величину выражения:

4) Решить систему уравнений

X — ау -\- ä*z = аз х-Ьу + ЬЪ = Ь* X — су -\- &z = с*

5) Решить уравнение:

6) Доказать, что при положительных числах а, b, X, у, и д2 &2 < 1 имеет место неравенство

7) Катеты прямоугольного треугольника выражаются числами:

Л4 + пъ+ 1 и 2п (л2+1).

Найти гипотенузу.

8) Построить треугольник ABC, зная биссектрису AD = l угла Л, медиану AM —m и острый угол Af, который медиана образует со стороной ВС.

9) Доказать, что если в четырехугольнике ABCD имеем: AB = CD = а\ АС = BD = то он представляет равнобочную трапецию.

10) Две стороны треугольника, вписанного в круг радиуса г, равны а и Ъ, найти третью сторону.

11) Даны две равные окружности радиуса г; расстояние между их центрами d. Вычислить площадь ромба, образуемого касательными, проведенными из центров каждой окружности к другой.

12) Определить площадь круга, зная, что разность между площадью правильного вписанного в него восьмиугольника и площадью правильного вписанного шестиугольника равна 1 кв. м.

13) Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 26 м, а диагонали граней его 8 jAO м и б |/Î7 м.

Определить объем параллелепипеда.

14) Объем четырехугольной правильной усеченной пирамиды 1300 куб. см, сторона нижнего основания а = 15 см, высота h = 12 см. Вычислить боковую поверхность данной пирамиды и объем дополнительной пирамиды.

15) Шар радиуса R пересечь плоскостью так, чтобы площадь сечения равнялась разн )сти поверхностей отсеченных частей шара.

16) Решить уравнение:

4 sin2* + sin22A: = 3.

17) Решить уравнение:

tg 2х -f- ctg X = 8 cos2*.

18) Доказать, что

tg20°.tg 30°.tg 43° = tgl0°.

19) Показать, что если А-\-В + С=90°, то сумма tgM + tg2B + tg2C не менее 1.

20) Решить треугольник, в котором угол А = = 120°, а высота i4D=10 см и делит основание на два отрезка, из которых один вдвое больше другого.

21) Найти площадь сегмента, дуга которого содержит а°, a хорда равна а.

22) Найти объем прямого круглого конуса, если образующая его равна /, а хорда развертки боковой поверхности равна стороне правильного вписанного треугольника.

Редакция доводит до сведения читателей, что в № 1 журнала вкралась досадная опечатка: на стр. 84, таблица 2, напечатано:

II

34,0

33,6

39,5

39,8

Надо:

II

39,5

39,8

34,0

33,6

Цена I p.

ОБЪЕДИНЕННОЕ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

УПРАВЛЕНИЕ УНИВЕРСИТЕТОВ И НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ УЧРЕЖДЕНИЙ НКП

Открыта подписка на 1935 год

на журнал

МИРОВЕДЕНИЕ

(24-й год издания)

С ПРИЛОЖЕНИЕМ БЮЛЛЕТЕНЯ КОЛЛЕКТИВА НАБЛЮДАТЕЛЕЙ ВСЕСОЮЗНОГО АСТРОНОМО-ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА

Ответственный редактор В. Т. ТЕР-ОГАНЕЗОВ. Члены редколлегии: В. П. Егоршин, А. А. Михайлов, Н. А. Морозов, К. Ф. Огородников, П. П. Паренаго, А. А. Яковкин. Редактор бюллетеня Б. А. Воронцов-Вельяминов. Ученый секретарь С. А. Шорыгин.

В год: 6 книг журнала и 6 номеров бюллетеня

Задачи журнала: в серьезном изложении освещать проблемы астрономии, космической физики и геофизики, под углом зрения диалектического материализма на уровне последних достижений науки; освещать антирелигиозные проблемы в разрезе мироведения; разрабатывать вопросы из области мироведения, имеющие значение в деле социалистического строительства и обороны СССР.

Журнал рассчитан на студентов, преподавателей и любителей астрономии.

Задачи бюллетеня: опубликование результатов работ советских любителей астрономии, представляющих научную ценность.

Подписная цена: на год 12 руб., на 6 мес. 6 руб.

Подписка принимается Главной конторой подписных изданий ОНТИ „Техпериодика“ (Москва, Гоголевский бульвару 27), отделениями и магазинами ОНТИ, магазинами Когиза и всеми почтовыми отделениями.

Приняты меры к своевременному выпуску в свет номеров журнала.

Ввиду того, что тираж журнала будет установлен в зависимости от количества подписчиков на 1/1 1935 г., рекомендуется произвести подписку до этого срока, так как лицам, подписавшимся позднее, высылка полных комплектов журнала не гарантируется.

Адрес редакции: Москва, 19 Садовая Яудринская, а.

Планетарий.