УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ СБОРНИК

1

1935

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

МАТЕМАТИКА и ФИЗИКА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ СБОРНИК

№ 1

ЯНВАРЬ 1935 ФЕВРАЛЬ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

ОГЛАВЛЕНИЕ

Научный и научно-популярный отдел

Проф. М. Гребенча „Решение неопределенных уравнений первой степени“..... 3

Доц. А. Демме „О многолепестковых розах как геометрическом месте точек“ .... 8

Научн. сотр. И. Касаткина „Тяжелая вода"........ ........... 14

Научн. сотр. Г. Сидоренков „Получение рентгеновых лучей и их природа“ .... 23

Доц. П. Паренаго „Новейшие успехи астрономии“ ........ ......

Проф. П. Попов „Обзор явлений на небе в период январь —март 1935 г.“..... 38

Частная методика

П. Сапунов „Тригонометрия острого угла“.................... 42

Шевченко „Преподавание второго концентра тригонометрии“ . . -......... 49

Т. Туманьян „К методике проведения логарифмических вычислений по пятизначным таблицам“.................................. 60

Антропов „Об одном математическом софизме“.................. 63

П.Ромадин „Методические разработки по теме „Механическая энергия“ для VIII класса средней школы. . . ........................ 64

С. Жарков „Метеорология в школе“....................... 70

A. Бориславский .Самодельная „центробежная дорога“............ 74

B. Бакушинский „Гигрометр“......................... 76

Доц. А. Белогорский „О подборе поплавка и рейтеров к весам Вестфаля“ .... 77

Б. Спасский „Новая тарелка к воздушным насосам“............... 78

Доц. А. Белогорский „Как определить, к какой системе относится измеритель электрического тока“ ............................. 79

Вопросы преподавания за границей

A. Калашников „Экспериментальные работы по методике физики в Америке“ ... 81

Асп. В. Юськович „Методика физики в Германии“................ 86

Из школьной практики

B. Селиванов „Как преподает физику учитель Кошелев“.............. 95

Критика и библиография. Хроника

И. Лобко, F. Ляхов, А. Пятаков „Итоги приемных испытаний по физике в МЭТИИСС“.................................. 100

А. Лебедев „Книги по оборудованию физического кабинета“............ 102

Задачи....................................... 107

Ответ на письмо т. А. Новикова............................ 112

Редакционная коллегия: И. К. Андронов, А. Н. Барсуков, Е. С. Березанская, А. Н. Зильберман, А. Г. Калашников, В. Н. Молодший, П. И. Попов, Н. П. Суворов,

Отв. ред. А. Н. Барсуков, отв. секр. В. Н. Молодший. Тех. редактор Г. Симановский.

Адрес редакции: Москва, Орликов, 3, Учпедгиз, периодсектор.

Сдано в производство 11/1. Подписано к печати 9 IV.

Учгиз № 6765. Объем 7 п. л.

В 1 п. л. 78 000 зн. Бумага 72X105.

Заказ 195.

Тираж 25 000

Уполномочен. Главлита Jfi Б-4919

1-я Образцовая типография Огиза РСФСР треста „Полиграфкнига“, Москва, Валовая, 28.

НАУЧНЫЙ И НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

РЕШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ

Проф. М. ГРЕБЕНЧА (Москва)

§ 1. Как известно, обычный способ решения в целых числах уравнения

ах-\-by = с,

где числа a, b и с целые, причем а и b не имеют общего делителя, заключается в том, что мы переписываем уравнение в виде

с — ах

и подбираем такое целое значение для х, чтобы с — ах делилось на b без остатка; пусть хг есть такое значение; тогда

—Ь-1=У»

и мы получаем одну пару xvуг решений данного уравнения в целых числах.

Зная одну пару решений, мы можем получить бесчисленное множество пар решений по формуле

х = Ху — bty

где t любое целое число; нужно заметить, что не существует решений, которые не могут быть получены из этих формул. Таким образом, вся трудность вопроса лежит в отыскании одной пары решений: xl9yv Существует прием отыскания этой пары решений, основанный на разложении в непрерывную дробь отношения

Уместно напомнить об одном простом методе отыскания пары решений, который, хотя по своей природе и связан с операцией обращения числа в непрерывную дробь, но формального знания этого процесса не требует.

Выяснение этого приема приведем на примерах.

§ 2. Решим в целых числах уравнение

5*+13у=7.

Переписываем уравнение так: 5лг+ 5у + 8у=7

или

Ц*+У) + *У = 7.

Обозначаем х-{-у через tv тогда

5*,+8у = 7;

переписываем уравнение так: 5*1 + 5у + Зу = 7

или

б('|+.У) + Зу = 7. Обозначаем

t^-\-y через t2,

тогда

Ы2 + Зу = 7;

переписываем уравнение так: 2*2 + 3/2 + Зу = 7

или

2t2+3(t2+y) = 7.

Обозначаем t2-\-y через ts. Итак,

2/3 + 3*, = 7;

переписываем уравнение так: 2^2 + 2^з + ^ = 7

или

Обозначаем

t2+ta=tt,

или

Операция заканчивается, когда коэфициент при одном из неизвестных равен ± 1.

Выражаем это неизвестное, коэфициент при котором равен ± 1, через другое:

ts = 7 -2t4\

но

следовательно, или

t2 = tt-(7-2t4).

Следовательно,

^2 = 3^4-7,

но

t2+y=t3,

следовательно, Так как

ta = 7-2tt

и

f2 = 3^4 — 7,

то

_у = (7-2г4)-(3^-7),

или

y=U-5t4.

Так как

5л:+13у = 7, то '

5х+13(14 — 5t,) = 7

5x = 65t4— 175,

следовательно,

х= 13^ — 35.

Итак,

л; = Ш4 —35, j/=14-5^4.

Если £4 есть число целое, то х и _у суть числа целые.

Следовательно, при всяком целом значении t4 мы получим целые числа, которые суть корни данного уравнения.

В частности при t4~0 мы получим корни х = — 35 и у—\4.

Ответим на вопрос, при каких значениях t4 корни этого уравнения будут числа положительные.

Для этого необходимо, чтобы

Ш4 — 35>0 14-5^4>0,

т. е., чтобы

Одновременно, таким образом, необходимо, чтобы

Очевидно, что такого целого значения t4 существовать не может. Следовательно, данное уравнение не имеет целых и положительных решений.

§ 3. Решить в целых числах уравнение:

Зх — 7у = 2. Переписываем уравнение так: Зх — Зу — 4у = 2

или

3(* —У) — 4у = 2.

Обозначаем х—у через tv Следовательно,

3^— 4j/ = 2.

Переписываем уравнение так:

Щ — Зу—у = 2,

или

Обозначаем ty —у через t2. Следовательно,

3t2—y=2.

Операция закончена.

Теперь нужно выразить х и у через t2:

y = 3t2 — 2.

Так как:

t2—y = t2i

то

*1=У + *2,

или

Следовательно,

^ = 4^-2.

Так как

X —у = t1%

то

Следовательно,

x = 3t2— 2-1-4^-2.

Итак,

X = 7t2 — 4, j/ = 3^-2.

Если £2 число целое, то х и у суть числа целые. Следовательно, мы имеем

формулу, дающую бесчисленное множество решений.

Мы получим положительные решения, когда

7t2 — 4>0 и 3t2 — 2>0,

т. е. когда

t2>j и*2>!

одновременно.

Следовательно, при всяком значении t2 ^ 1 мы будем иметь целые положительные решения данного уравнения.

§ 4. Не имея возможности в общем виде проследить наш процесс, мы отметим следующее, самое существенное.

Рассматривая абсолютные величины коэфициентов, мы разлагаем тот коэфициент, который больше, на сумму двух слагаемых, из которых одно равно абсолютной величине меньшего коэфициента. Следовательно, если, например, а>0 и 6> 0, причем а > Ь9 то уравнение

ах — Ьу=^с

переписывается так :

[Ь-\-(а — b)\x — by = c

или

Ь(х —у) 4 (а — b) X = с.

Заменяя х—у через tv имеем Мг -\-(а — Ь)х = с.

Далее смотрим, какой из коэфициентов b и а— b больше и разлагаем больший (в данном случае они оба положительны, ибо а>Ь).

§ 5. В дальнейшем мы будем называть тот коэфициент, которого абсолютная величина больше, — первым, а другой— вторым, а абсолютные величины этих коэфициентов будем соответственно называть: модуль первого коэфициента и модуль второго коэфициента. Мы в нашем процессе модуль первого коэфициента разбиваем на сумму двух слагаемых, из которых одно есть модуль второго коэфициента. В последующем уравнении эти слагаемые являются модулями коэфицентов уравнения; так как каждое из положительных слагаемых меньше суммы, то в каждом последующем уравнении модуль первого коэфициента уменьшается.

Пусть в первом уравнении модули первого и второго коэфициентов суть /л1* и р^2 , во втором уравнении они суть р{1\ в третьем р{?, pf и т. д. Следовательно,

Покажем, что невозможно, чтобы в каком-нибудь уравнении коэфиценты р{к\ и р{Р делились без остатка на число q, не равное единице.

Модули коэфициентов предыдущего уравнения суть

pi~l) и/Г“.

По закону образования коэфициентов

^1 —Р2 -TP

Числа р2~1) и р*~х) суть модули коэфицентов последующего уравнения, т. е. одно из этих чисел равно р[н\ а другое р(2}.Так какр{? и делятся на q без остатка, то, следовательно, р 2Н“1) и р(н“1) делятся на q без остатка. Следовательно, и сумма этих чисел, т. е. число делится на q без остатка.

Итак, если р{? и p{f делятся на q, то и p(ï~l) и р{2Н~1) делятся на q без остатка, а, следовательно, и коэфициенты

делятся на q без остатка, что противоречит условию, что модули коэфициентов данного уравнения взаимно-простые.

§ 6. Покажем, что в нашем процессе получится такое уравнение, что модуль второго коэфициента р{^ обратится в 1, после чего будем считать процесс законченным.

В самом деле:

1) Во всяком уравнении р$ </?(î) согласно определению, модуль второго коэфициента есть модуль коэфициента с наименьшей абсолютной величиной, причем р($фр{\\

Действительно, если

то это значит, что в предыдущем уравнении один из коэфициентов имел модуль, равный 1, и, следовательно, процесс был закончен уже ранее. Если же

то эти числа делятся на одно и то же число q, не равное 1, что по доказанному выше невозможно.

2) Так как в нашем процессе

Р 1 —Р 2 “Г Р »

то мыслимо одно из двух предположений: либо />(2}> P{k)t тогда в последующем уравнении р{\^1) = р{2 , а потому/?(2+1) = либо р{$ < р(н),тогда в последующем уравнении р(^[) = р[к) и /?(2+1) =

Следовательно,

Итак

3) Так как числа р[1\ /?(2), pf) уменьшаются на целое число, а числа р{\\ p{f$ pity .. ., соответственно меньше чисел ра > Р(12)> Р{?- • • -, то мыслимы для модуля второго коэфициента какого-либо уравнения следующие предположения:

либо Р(2К)>1>

либо

либо

Если р2к)>1, то так как >/?(2*>, то процесс образования последующих уравнений будет продолжаться далее.

Если /?2*> = 0, то в предыдущем уравнении

р[«-])=р*-Ъ -f p(*-U;

так как числа р^“-1* и р^-1) являются модулями коэфициентов последующего уравнения, следовательно, одно из этих чисел равно 0; но если число р(*-1)=09 то это значит, что р2к~1)- Если эти числа равны 1, то это значит, что в уравнении с коэфициентами р[к~1) и /?(2*_2) процесс был закончен, если же р^-\)=р{к-\)ф i9 то это по доказанному выше невозможно. Если же р{£-и=09то это приводит нас к утверждению, что р(к—2)=р(к—2)9 чт0 опять-таки невозможно, если /?(*-?> =5^1, и говорит о законченном процессе, если р(хк-2)=1.

Если же /?2М=1, то процесс закончен.

Итак, во всяком уравнении либо /?^)> 1, либо рф= 1.

Если > 1, то процесс продолжается.

Так как числа >p(,2)>Ai3). . . > 0, причем уменьшение происходит на целое число, то процесс бесконечным быть не может. Следовательно, неизбежно после конечного числа операций получение такого уравнения, у которого

§ 7. Может, однако, оказаться, что процесс будет очень продолжителен. Пример:

Процесс закончен.

Итак,

Примечание: положительные решения уравнения получаются, если

т. е. при t5=l7 или 18; тогда

х = 2 м л:=13 у = 3 и у = 1.

§ 8. В этих случаях можно прибегать к следующей операции: разбивать больший по абсолютной величине коэфициент на сумму двух положительных слагаемых, из которых одно делится на модуль второго коэфициента без остатка. Например:

2х+11_у = 37

или

2х + 2 5у+у = 37;

тогда

2(x+5y)-hy=37, x+5y=tl9 2^-Ку = 37

и процесс закончен:

j/ = 37-2£ x = t1 — 5y = t1—5{37—2t1) = Ut1 — l85.

Итак,

^=11^ — 185, y = 37 — 2tr

Легко видеть, что модуль первого коэфициента можно всегда разбить на два слагаемых так, чтобы первое делилось на модуль второго коэфициента, а второе слагаемое было меньше второго коэфициента; мы имеем в таком случае дело с операцией, аналогичной отысканию общего наибольшего делителя двух чисел. Отыскание решений уравнений в целых числах этим способом тождествено с методом непрерывных дробей, поэтому мы на нем подробно останавливаться не будем. Может оказаться, что полученные решения очень громоздки, например корни уравнения

2х +Пу = 37, х=Шг —185, j/ = 37 — 2tr

§ 9. Легко видеть, что важно получить лишь какую-нибудь пару решений х19уг; тогда остальные решения получатся по формуле:

х = хл-\-\иу

у=ул—2t (при t = 0).

Из найденных нами формул следует, что такой парой является

Xj = —185 и уг = 37.

Можно эту пару заменить другой. В самом деле, у будет небольшим числом, если 37 — 2t малое число, а это будет иметь место, например, при £=18; тогда уг = 1, а хл = 13,

Следовательно, общие формулы решений уравнения

2x + llj/ = 37 можно записать так:

х=13 + Ш, y=\—2t

или, при £==17, хг = 2 и ^ = 3.

Следовательно, общие формулы корней таковы:

х=2+ Ш, у = 3 — 2t.

§ 10. Приведенный выше метод можно распространить на случай уравнения первой степени с большим числом неизвестных. Например, будем решать в целых числах уравнение:

\2x — 7y + bz=\3.

Переписываем уравнение так:

5 ( X — у + z ) 4- 7 X — 2у = 13.

Обозначаем

x—y+z=tv

тогда

«, + 7* — 2у=13;

переписываем:

2 + y) + 3tx + 5л; = 13.

Обозначаем

tj + x— y=t29

тогда

2^ + 3^ + 5^=13,

или

2(£2 + £1 + х) + £1 + Зх=13.

Обозначаем

t2 + ti + X = £3,

тогда

2*8 + *i +3х = 13.

Как только модуль одного из коэфициентов станет равным 1, процесс заканчиваем:

^ = 13 — 2*з — Зх.

Так как

t2 + ti + X = £3,

то

t2 = t3 —t1 — x = ta — 13 + 2tz+3x— x; t2 = 3ts + 2x — \3.

Так как

to

у = tx + x —t2 = 26 — 5t2 — 4x.

Так как

x—y + z = tv

то

z — ^+j/ —* = 39 —7*3 —8лг.

Итак,

у = 26 — 5^з — 4х, z = 39 — 7t3 - 8х.

Давая X и tB любые целые значения, мы получим целые корни данного уравнения.

Решения можно переписать так:

О МНОГОЛЕПЕСТКОВЫХ РОЗАХ КАК ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ МЕСТЕ ТОЧЕК

Доц. А. ДЕММЕ (Москва)

Разбирая вопрос о геометрических местах в аналитической геометрии, мы часто встречаемся с так называемой четырехлепестковой розой, уравнение которой в полярных координатах получается, как дальше увидим, следующим:

p = asin2a.

В большинстве учебников эта кривая определяется как геометрическое место точек оснований перпендикуляров, опущенных из вершины прямого угла на перемещающийся по сторонам этого угла отрезок постоянной длины 2 а. В таком случае вывод самого уравнения не представляет затруднений; в самом деле, образование геометрического места представляется, согласно определению, схематическим чертежом 1, из которого усматриваем, что точки /И, Мг, М2, МВ9 М4... удовлетворяют нашему условию: они являются основаниями перпендикуляров, опущенных из начала координат на перемещающийся по осям координат отрезок AB, постоянной длины, равный 2а.

Если этот отрезок, продолжая перемещаться, перейдет во 2-ю четверть, то и в ней это геометрическое место дает свой „лепесток“, равный „лепестку“ ОМъМ4ММлМ2М3 и симметрично расположенный относительно биссектрисы 2-го координатного угла. Такой же „лепесток“ получим в 3-й и 4-й четвертях, перемещая попрежнему, уже под осью ОХ, взятый отрезок по осям координат. В результате и получим четырехлепестковую розу, симметрично расположенную относительно осей координат и биссектрис координатных углов. Перейдем к выводу самого уравнения

Черт. 1.

Черт. 2.

четырехлепестковой розы, которое получим следующим образом.

Пусть точка M (черт. 2) удовлетворяет условию. Введем обозначения:

АВ = 2а; координаты точки M будут [р, а], кроме того, пусть МА = с.

Из подобных треугольников О AM и ОВМ запишем, что

или

отсюда р2 = (2а — с)с; но с = pctga; подставляя его значение, будем иметь, что f={2a— pctga). pctga; сокращая на р и делая соответствующие преобразования, получаем

или окончательно: p = asin2a.

Имея уравнение четырехлепестковой розы, мы легко можем ее строить уже по точкам, не прибегая к громоздкому чертежу 1. Анализируя это уравнение, усматриваем, что р будет наибольшим по абсолютной величине, когда

« Зя в 5я . 7к

и наименьшим р = 0, когда

а = 0; 2“ ; л; 2“*»

что вполне соответствует нашим предварительным представлениям об этом геометрическом месте.

Отступая несколько от намеченной темы, интересно отметить, что некоторой разновидностью четырехлепестковой розы является кривая, известная в математической литературе под названием „жук“ (Keifercurven).

Эту кривую определяют как геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных на ту же (что и в случае четырехлепестковой розы) перемещающуюся прямую, но не из начала координат, а из некоторой точки, находящейся на биссектрисе первого координатного угла.

Очевидно, что это новое геометрическое место будет симметрично относительно биссектрисы первого координатного угла, как то мы имеем и в случае четырехлепестковой розы.

Общий контур и способ получения отдельных точек этой кривой видны из чертежа 3. Заметим, что точка О (будущий полюс) берется так, что расстояние Об<СШ.

Сначала нашу движущуюся прямую помещаем в положение AB, перпендикулярное к биссектрисе координатного угла XOY; получаем точку М, принадлежащую нашему геометрическому месту. По мере перемещения прямой А В так, что точка В будет перемещаться в направлении ВХ, мы будем получать точки геометрического места, соответствующие дуге ММ2М,С. Будет четыре положения прямой AB, когда она сама (или ее продолжение) пройдет через С (два раза в первом и по одному во втором и четвертом квадрантах); эти четыре точки, сливающиеся в точке С, принадлежат геометрическому месту (длина перпендикуляра на основную прямую в этих случаях равна нулю).

Когда прямая AB сольется с осью ОХг то D будет принадлежать геометрическому месту; эта же точка будет еще раз на другой ветви кривой, когда прямая AB займет направление ОВ4.

Черт. 3.

Можно также говорить о точке Е (на оси OK), находящейся на геометрическом месте, через которую кривая проходит дважды.

Заметим, что кривая таким образом описывается непрерывно, проходя последовательно следующие положения: прямая AB опускается из начального положения так, что точка В движется в направлении ВХ; тогда мы получаем участок дуги кривой (нашего геометрического места) ММЛС и далее CD; прямая AB уходит под ось ОХ, и мы получаем последовательно участок кривой DKMbC (в последней точке, когда продолжение основной прямой пройдет через С); затем кривая последовательно описывает участок CEM^MJD, вновь попадает в точку D с тем, чтобы, пройдя опять через СМ6, вновь пройти точку Е и через С завершить путь в точке т.

Вывод уравнения „жука“ несложен. В самом деле, возьмем чертеж 4, на котором ОМ— биссектриса координатного угла, перпендикулярная к AB, нашему отрезку заданной длины 2а; очевидно, ОМ = а. Обозначим длину ОС через с и точку С примем за полюс, а направление СМ—за полярную ось.

Возьмем некоторое положение перемещающегося, как указывалось, отрезка AB в положении АЛВЛ; перпендикуляр из выбранного нами полюса С на это направление AjB1 даст нам точку Mv принадлежащую геометрическому месту; обозначим текущие координаты точки Мг через [р,а]. Опустим из точки О, вершины прямого угла, перпендикуляр OD на А1В1 и проведем СЕ параллельно АуВ^; тогда очевидно, что

p = CM1 = OD—OE.

Если соединить Ос серединой N отрезка АгВп9 то ON=a; теперь из треугольника ODN имеем:

OD = ONcos Z. DOM.

Легко рассчитать, что если

£DOC = a,

то

£ DON=2а,

или

OD = a cos 2а;

из треугольника ОЕС имеем, что

ОЕ = ОС cos Z. EOCt

т. е. ОЕ= с cos а. Итак, окончательно:

р = a cos 2а — с cos а.

Это и будет уравнение „жука“. Имея уравнение этого геометрического места, мы можем его построить по точкам.

Для кривой „жука“ р имеет наибольшее значение при а =180°, так как в этом случае: a cos 2а = а

и — с cos а = г,

а само р становится равным а-\-с, чему соответствует на нашем чертеже точка М, для которой радиус-вектор будет СМ = с-\-а. Радиус-вектор в процессе своего изменения четыре раза обратится в нуль (в то время, когда основная прямая в своем перемещении будет сама или своим продолжением проходить через полюс С). Процесс образования кривой при построении ее точек по уравнению будет тем же, что и при перемещении основания перпендикуляра на основную прямую. Если с будет равно нулю, то мы получаем уравнение p = acos22, несколько измененное, но тоже представляющее уравнение четырехлепестковой розы, оси симметрии которой будут совпадать теперь с осями координат: полярная ось совпадает с осью ОХ.

Таково уравнение четырехлепестковой розы и ее видоизменения уравнения „жука“.

В имеющейся на русском языке литературе не приходилось о кривых-розах найти более общий закон их образования, а тем не менее он есть, он должен быть хотя бы уже потому, что известны, например, трехлепестковые розы (см. их

Черт. 4,

уравнение в учебнике по диференциальному исчислению Гренвиля, Лузина в конце книги, в разделе „Кривые для справок“),уравнения которых могут быть записаны так:

р = a cos За

(ось симметрии первого лепестка направлена по оси ОХ) или

p = asin3a

(ось симметрии первого лепестка направлена под углом в 30° к полярной оси, совпадающей с осью ОХ).

Поиски в этой области приводят к капитальному труду итальянского математика Лориа*, которому принадлежит замечательный труд в двух томах: об алгебраических и трансцендентных кривых; последнее издание, которым приходилось пользоваться для настоящей работы, относится к 1930 г.

В этом труде имеется глава под заголовком „Розы Гранди“, названные его именем потому, что, оказывается, еще в 1713 г. наиболее красивые свойства этих кривых были сообщены итальянским монахом из Флоренции Гвидо Гранди Лейбницу (1646—1716 гг.) в двух письмах, датированных декабрем 1713 г.

В особой небольшой заметке полная теория многолепестковых роз была изложена тем же Гранди позднее, в 1728 г.

В ближайшее к нам время, независимо от Гранди, розы были изучены в общем виде Хаитом (1875г.) под именем лепестковых кривых, а после него — Химстедтом (1888 г.).

Обращаясь к тексту указанного труда, находим определение образования этого геометрического места.

Пусть имеем два равных между собой сочлененных в точке А0 отрезка ОА0 и А0М0, занимающих в начале движения положение на одной прямой (черт. 5) ОА0М0: эти два отрезка вращаются каждый самостоятельно: ОА0 вокруг точки О и А0М0 вокруг точки А0; при этом скорость вращения отрезка А0М0 в m раз больше скорости вращения отрезка ОА0; вращение отрезка ^о^о происходит в направлении, обратном направлению вращения отрезка ОА0.

На чертеже 5 вращение отрезка А0М0 взято в три раза большим, чем вращение отрезка ОА0; отрезок ОА0 вращается по часовой стрелке, отрезок А0М0 вращается против часовой стрелки; таким образом, мы получаем точки Мл, М29 Мв, М4... М10... М12, принадлежащие некоторому геометрическому месту, составленному по данному выше закону-гт

Для данного случая очевидно, что пока отрезок ОА0 повернется на угол в 60°, отрезок А0М0 повернется на 180°, геометрическому месту принадлежит точка О — начало координат; за время, когда отрезок ОА0 повернется на угол в 120°, отрезок А0М0, продолжая вращение со скоростью в три раза большей, повернется на угол в 360° и займет положение А12М12 — продолжение ОА12; при дальнейшем вращении мы будем получать точки Ж13, Ми...М6, т. е. кривая опять пройдет через начало координат, что будет соответствовать повороту отрезка ОА0 на угол в 180° против стрелки часов.

Продолжая построение новых точек геометрического места таким образом,

Черт. 5.

* Loria, Ginо. Curve piane special, algebriche e tran cendenti. Teoria e storia. Vol. 1—2.1-ed. italiana. Milano. Haepli. 1930.

мы и получим очевидно трехлепестковую розу.

Нетрудно сообразить, что если вращение отрезка А0М0 будет в четыре раза больше, то за время полного оборота отрезка ОА0 отрезок А0М0 повернется на полный оборот (около точки А0) четыре раза, т. е. получим четырехлепестковую розу.

Если вращение второго отрезка А0М около точки А0 будет происходить быстрее вращения ОА0 около точки О в пять, шесть, восемь, двенадцать..., в m раз быстрее, то очевидно, что точка M при этих вращениях опишет нам соответственно пяти-, шести-, восьми-, двенадцати-, яг-лепестковые розы.

Теперь посмотрим, как на основании этих соображений механического образования многолепестковых роз составить общее уравнение такого геометрического места; оно оказывается очень простым. В самом деле, пусть на чертеже 6 точка М, с координатами [р, <р] представляет нам одну из точек геометрического места, образованного указанным выше способом. Для этого общего случая полагаем отрезок OA равным отрезку АМ = а\ в то время как отрезок OA повернулся около точки О на угол а, отрезок AM пусть повернется около точки А на угол в m раз больший, т. е. //_ВАМ = та\ угол же, образованный радиусом-вектором с осью ОХ, обозначим через <р. Теперь, рассматривая прямоугольный треугольник ANM и учитывая, что его угол

напишем:

или

и отсюда

где 2а — радиус окружности, внутри которой заключается наше геометрическое место — /тг-лепестковая роза.

Наше уравнение требует преобразований: р должно зависеть от <р; это мы получим, если заметим на чертеже 6, что

откуда

подставляя значение X в полученное уравнение, будем иметь окончательно:

(1)

В наше, полученное таким образом, уравнение под знаком аргумента входит постоянный коэфициент -^; обозначим его величину через k, т. е. пусть о = & (очевидно, для четырехлепестковой розы & = 2, для трехлепестковой k = 3, для всех прочих случаев k — неправильная дробь). Положим теперь в нашем уравнении

тогда, подставляя в уравнение (1) вместо <р это новое его значение, получим:

или т. е.

(2)

Если положим в уравнении (1) <р = 0, то <pj легко вычисляется из соотношения

или

для четырехлепестковой розы это будет

для трехлепестковой

для шестилепестковой

для двенадцатилепестковой

и т. д.

Таким образом, если роза задана уравнением

то ось ОХ является осью симметрии первого ее лепестка; если же роза задана уравнением

то ось симметрии ее первого лепестка будет прямая, проходящая через полюс и составляющая с полярной осью угол, равный

т—2 я ~ггГ'~2'

или можно сказать, что роза, представляемая уравнением (2), может быть получена положительным поворотом розы, представляемой уравнением (1), на угол, равный

т—2 я_ m '2 9

где m коэфициент, показывающий, во сколько раз второй отрезок вращается быстрее первого (см. условие и чертеж).

Из уравнений (1 и 2) вытекает, что радиус-вектор изменяется в пределах от 0 до 2а, т. е. соответствующая кривая вся лежит внутри круга, имеющего центр в точке О и радиус = 2а; этот круг называется основным кругом розы.

Среди многих любопытных свойств этого уравнения отметим следующие:

1) Если обозначить величину -^~2 = k через — (фактически k всегда, кроме двух случаев, дробное), то оказывается, что если дробь - такая, что b и с целые, первые между собой числа, то роза, представленная нашим уравнением, состоит из b листов, если b и с нечетные, и состоит из 2Ь листов, если одно из них четное, другое — нечетное.

2) Если с больше единицы, то при образовании розы лепестки накладываются один на другой и имеют как бы с слоев: при с=\ (это очевидно только у трех-и четырехлепестковой розы) лепестки друг на друга не накладываются, кривая имеет один слой. Если же А иррационально, то кривая имеет бесчисленное множество слоев, и в этом случае она будет не алгебраической.

3) Квадратура розы дала место замечательному предложению, открытому Гранди, которое заключается в следующем.

Назовем через А площадь одного лепестка розы, представленной уравнением (2); радиус основного круга обозначим через/?, тогда р = /?sin&р. Тогда согласно известной формуле интегрального исчисления

между тем, площадь квадранта основного круга

и, следовательно,

Это уравнение и выражает теорему Гранди.

В частности, если опять положить

если b я с оба нечетны и роза состоит из b лепестков, то ее площадь

Если же одно из этих двух чисел будет нечетно, то та же площадь будет равна 2cQ.

Если с = \, то площадь равна четвертой части или половине основного круга, соответственно тому, будет ли b нечетным или четным (площадь трехлепестковой p03bi = Q, т. е. составляет площадь, равную четверти площади основного круга, и площадь четырехлепестковой розы—2Q, т. е. составляет половину площади основного круга).

4) Вычисление величины радиуса кривизны для точки О показывает, что все лепестки в точке О имеют один и тот же радиус кривизны =^R (для че-

тырехлепестковой розы 2R, для трехлепестковой 3R).

В заключение отметим еще интересные особенности уравнения многолепестковой розы; предположим, что т—\у что по условию соответствует одинаковой скорости вращения обоих сочленений, тогда коэфициент тт_2 ~—* и уравнение (1) перепишется так:

р = 2а cos (— <р) = 2а cos ср.

Легко видеть, что это будет уравнение окружности в полярных координатах с центром в точке А0 и радиусом, равным а.

5) И, наконец, последнее; если положить m = 2, тогда под знаком тригонометрической функции аргумент j^zT^^f становится бесконечно большим, ибо т^_2 при /7г== 2 бесконечно велико. Однако оказывается, что именно в этом случае уравнение

р = 2а cos -^~2

представляет собой прямую — полярную ось. В самом деле, перепишем наше уравнение так:

а это значит, что при выбранном различии скоростей вращения (т = 2) в нашем уравнении полярный угол геометрического места остается постоянным <р = 0, что и соответствует самой полярной оси.

ТЯЖЕЛАЯ ВОДА

Научн. сотр. И. КАСАТКИНА (Москва)

Введение

Вода, как одно из наиболее распространенных веществ на земном шаре давно привлекала к себе внимание естествоиспытателей и философов. Однако только в XIX в. начинается ее научное изучение в современном смысле слова. Появляется множество работ, проводимых искуснейшими и серьезнейшими экспериментаторами, печатаются книги, в которых можно найти детальное описание физико-химических свойств воды.

И вот тогда, когда казалось, что вода уже вся изучена „вдоль и поперек“, эта вода, это несложное основное вещество, без которого немыслима биологическая жизнь и невозможно огромное большинство неорганических реакций, вода, на 80% составляющая наше тело и на 4/5 покрывающая поверхность нашей земли, эта незыблемая, извечная, всемерно изученная, бесцветная, прозрачная, безвкусная и „чистая“ вода получает свой двойник, свой химический изотоп.

Теоретически предсказанная с высокого уровня современной атомно-ядерной физики блестящим полетом научной интуиции и доказанная со всей возможной тонкостью и изощренностью современного научного эксперимента осенью 1933 г. перед изумленным и восхищенным миром на сцену выходит сенсационная тяжелая вода.

Что такое тяжелая вода? Из чего она состоит? Кто и как получил ее? Чем отличается она от простой обычной воды? Встречается ли она в природе? Можно ли ее пить? Может ли она как-нибудь повлиять на физиологический ритм нашей жизни? И, наконец, какова ее роль в нашем будущем?

Строго говоря, ни одно научное открытие не может произойти совсем неожиданно и внезапно: оно неизбежно должно опираться на весь комплекс предшествовавших знаний. Оно является блестящим синтезом целого ряда разрозненных сведений, фактов и гипотез, становясь их логическим завершением. Таким образом, открытие тяжелой воды должно иметь свои исторические предпосылки.

Вспомним же их вкратце за период от открытия Менделеевым бессмертной таблицы до исторических опытов 1933 г., когда Льюис и Макдональд получили первые 12 мм3 практически чистой тяжелой воды.

Исторические предпосылки открытия тяжелой воды

В 1869 г. гениальный химик Д. И. Менделеев публикует свою „Периодическую таблицу элементов“. „Свойства простых тел,— пишет он, — также форма и свойства соединений элементов находятся в периодической зависимости от величины атомных весов элементов“. Мы имеем таблицу, разграфленную на 92 клетки; каждой клетке соответствует один химический элемент, обладающий своим единственным и неповторимым атомным весом. Масса вещества, — его атомный вес определяет его свойства. До 1896 г. разложить атом было невозможно. Он был последней неделимой составной частью каждого вещества.

В 1896 г. Анри Беккерель открывает явление самопроизвольного распадения атома урана. До сих пор неделимое химическое вещество радиирует — излучает из недр своего атома какие-то еще меньшие частички. Это явление получает название радиоактивности (активной излучаемости).

Через два года, в 1898 г., Мария Кюри обнаруживает какие-то неизвестные вещества, интенсивность распада которых в миллион раз превышает распад урана. Она открывает два новых химических элемента и называет их „полоний“ и „радий“.

Резерфорд и Содди обнаруживают распад тория. Число известных радиоактивных элементов быстро растет.

Подобно тому как электролитическая диссоциация, открытая Аррениусом, показывает распад молекулы в растворе на электрически заряженные частицы — ионы, так изучение свойств радиоактивных веществ доказывает, что: 1) атом делим, 2) что он не нейтрален и 3) что он состоит из частиц, заряженных положительным и отрицательным электричеством.

Наступает XX век.

В 1900 г. Макс Планк кладет основу теории квант.

В 1902 г. Резерфорд и Содди дают свою теорию атомного распада.

Начиная с 1903 г. начинаются точнейшие работы Томсона, Вильсона, а затем Милликена, определяющие заряды электрона.

В 1905 г. появляются первые работы Штарка и Эйнштейна по теории световых квантов и в 1908 г. Штарк дает квантовую теорию ионизации атома ударом.

В 1911 г. Резерфорд дает планетарную теорию строения атома, и измеряет размер атомного ядра.

В 1913 г. Штарк открывает расщепление спектральных линий под действием электрического поля.

В 1913—1914 гг. Франк и Гертц изучают возбуждение атома ударом.

В 1913 г. Нильс Бор развивает свою теорию строения атома.

В 1913 г. Ван-дер Брек доказывает, что число электронов, образующих оболочку атома, равно порядковому номеру элемента.

В 1911 —1913 гг. производится фотографирование путей электронов в вильсоновской камере.

В 1913 г. изучение радиоактивных элементов повело к установлению Содди закона смещения при радиоактивных превращениях. Это позволило доказать, что 42 элемента, участвующие в радиоактивных процессах, располагаются на 10 местах периодической таблицы элементов. Таким образом, одному месту системы отвечает не один вид атомов, как то казалось Менделееву и другим исследователям того времени, а может соответствовать и несколько видов атомов. Вещества, попадающие на одно место периодической системы и тем самым имеющие одинаковый атомный номер, обладают тождественными химическими свойствами. Но атомные веса этих элементов могут быть заметно различными. Такие элементарные вещества, атомные веса которых различны, но внешний вид, непосредственно наблюдаемые физические свойства и все химические свойства совершенно тождественны, такие элементы Содди предлагает называть изотопами.

В 1916 г. Зоммерфельд кладет основание теории тонкой структуры спектров.

В 1919 г. Резерфорд, изучая прохождение а-частиц через газы, обнаруживает искусственный распад атома азота, сопровождающийся выбросом протона из ядра азота, т. е. выделением водорода из азота.

В 1919 г. Астон, усовершенствовав метод, предложенный Томсоном, обнаруживает наличие изотопов у нерадиоактивных элементов.

В 1921—1922 гг. Резерфорд, совместно

с Чадвиком выделяет ударами а-частиц протоны из бора, фтора, натрия, алюминия и фосфора.

В 1922—1924 гг. появляются работы Бройля, пытающегося перебросить мост между квантовой и волновой теориями света.

В 1926 г. — уравнение Шредингера и развитие квантовой механики.

В 1928 г. появляется работа Дира к а, имеющая большое значение для дальнейших работ по теории строения атома.

Подытоживая этот, несколько затянувшийся список, отметим, однако, что 1910—1925 гг. принесли нам подробное и тщательное обследование внешней оболочки атома, оставив далеко нерешенной, ввиду некоторой противоречивости имеющихся сведений, проблему строения атомного ядра. После небольшого затишья на 3—4 года в середине 1929 г. мы имеем новый подъем экспериментальных работ атомной физики, начавшихся с исследования магнитных свойств атомного ядра.

Минуя целый ряд интереснейших работ, чрезвычайно увлекательных смелостью своих научных гипотез и блестящих по быстроте и четкости их экспериментального, практического подтверждения (достаточно полно изложенных в одном из предыдущих номеров нашего журнала), дадим новейшие установки.

Современная теория строения атомного ядра

Атом состоит из положительно заряженного ядра, вокруг которого вращаются электроны, суммарный заряд которых равен заряду ядра и противоположен ему по знаку. По своему объему ядро в триллион раз меньше объема атома в целом, но зато в нем сосредоточено 99,9995% всей атомной массы.

Ядро состоит из комбинации протонов и нейтронов, которые под мощным действием магнитных и электрических сил дают так называемый „упаковочный эффект“, могут группироваться внутри ядра попарно в дейтоны, а эти последние — в а-частицу. Помимо находящихся в ядре дейтонов и а-частиц, в нем могут встречаться также и отдельные протоны и нейтроны.

Как показали новейшие исследования, электроны в состав ядра не входят. Существование всех упомянутых частей атома доказано экспериментально.

Летом 1932 г. один из крупнейших современных физиков, Фредерик Жолио, бомбардируя а-частицами ядро алюминия, обнаруживает раскол протона и распад его на нейтрон и позитрон. Позитрон является как бы положительным электроном, несущим на себе один положительный заряд и по массе составляет 1:1840, т. е. Ш 0,0005 часть протона, масса которого, в свою очередь, очень близка к единице. За единицу ядерной массы мы принимаем 1/4 часть массы ядра гелия.

Рассмотрим все эти данные на следующей таблице:

Название атомных частей

Масса

Заряд

Примечание

Протон.....

1

+ 1

Нейтрон .....

1

0

составные части ядра атома

Дейтон (протон+нейтрон) . . .

2

+ 1

а частицы (—2 дейтонам) . . .

4

+ 2

ядра атома

Позитрон . • • .

1/1.840

-M

Электрон ....

1/1.840

— 1

оболочка атома

Сумма масс дейтонов и протонов дает нам массу ядра и, следовательно, на 99,9995% массу всего атома, что и выражается атомным весом данного химического элемента.

Заряд атома нейтрален, но заряд его ядра (равный сумме зарядов протонов, или, что то же, входящих в него позитронов) определяет порядковый номер в таблице Менделеева.

Разберем это на примере хотя бы азота и олова (см. таблицу на стр. 17).

Открытие тяжелого водорода

В самом начале 1932 г. Кокрофт и Уолтон, бомбардируя протоном ядро лития, раскалывают его на две а-частицы.

Мы видим, что а-частица свободно существует в природе, дает нам целое ядро атома гелия (атомный вес = 4, заряд = 2); точно так же, как протон — ядро химического элемента водорода (атомный вес = 1, заряд = 1); так как дейтон (=1 протон -f-1 нейтрон) является также достаточно устойчивым образованием, естественно было предположить, что и он является ядром какого-то еще неведомого атома, обладающего массой, равной 2 и зарядом, равным i.

Название элемента

Название частей ядра

Масса

Заряд

Азот (атомный вес = 14, порядковый номер = 7)

3 а-частицы (= 6 протонов +6 нейтронов) 1 протон 1 нейтрон

6 6 1 1

6 0 1 0

Всего

14

7

Олово (атомный вес = 124, порядковый номер = 50)

25а-частиц (=50 нейтронов -f 50 протонов) 24 нейтрона

50 50 24

0 50 0

Всего

124

50

В какую же клетку менделеевской таблицы его следовало бы поставить? Совершенно очевидно, что при его заряде, равном 1, место для него только одно — в клетке № 1. А там — водород.

Таким образом, воображаемое вещество с ядром, заполненным дейтоном, с массой, равной 2, и зарядом, равным 1, явилось бы изотопом водорода.

Ни о каком реально существующем газе, химически подобном водороду, до 1932 г. во всем мире не знал никто.

Но метод уже был.

В замену существовавшей ранее томсоновской трубки как метод тончайшего обнаруживания изотопов в 20-х годах Астон предлагает масс-спектрограф.

Применение масс-спектрографа дало возможность найти изотопы у огромного большинства химических элементов. И вот три физика—Урэй, Бриквэд и Мерфи—предпринимают подробнейшее обследование водорода и в его раскаленном спектре обнаруживают признаки до сих пор неизвестного элемента, атомный вес которого равен 2. Изотоп водорода найден, его атомный вес в два раза больше водорода, и он получает название— тяжелый водород.

Открытие тяжелой воды

Значение открытия тяжелого водорода трудно даже оценить во всем его масштабе. Водород в соединении с углеродом образует огромный класс органических соединений, аммиак, водородные соединения с другими элементами, щелочи и кислоты. Заменяя в них обычный водород новым, тяжелым, можно получить новый мир химических веществ. Существование изотопа водорода уже доказано, но он еще не получен, не выделен в чистом виде* и за это принимаются два американца—Бликни и Байнбридж, которые, обработав около 10 кубометров промышленного водорода, выделяют из него газообразное вещество с атомной массой, равной 2,0136.

Это вещество получает название дейтерия**, химический значок/) или Я2, в отличие от протона (значок Н) — легкого водорода с атомной массой, равной 1,00778. Обычный водород является, таким образом, неравной смесью протона, в котором ^б000—Veooo части составляют дейтерий—его изотоп.

Такое ничтожное содержание дейтерия в обычном водороде заставляет искать его в другом месте.

Пользуясь наблюдением Урэя и Уошборна, заметивших, что электролитический водород преимущественно легкий— английские физики Льюис и Макдональд начинают искать тяжелый водород в остатках воды из электролизерной батареи. В продолжение четырех лет вода в батарее ни разу не менялась, пополняясь лишь по мере расхода новыми порциями дестиллированной воды.

* В 1920 г. Резерфорд предсказывал возможность существования изотопа водорода. Поиски изотопа делались и в 1918 г., но результатов никаких не дали.

** Честь открытия и выделения дейтерия принадлежит американцам, но англичане, и главные образом Резерфорд, не хотят признавать урэевского названия .дейтерий“, переименовывая его в „диплоген“.

Извлекши ее, наконец, на свет и тщательно отогнав, Льюис и Макдональд получают воду с увеличенным удельным весом. Усложняя и усовершенствуя методику разделения, Льюис и Макдональд получают, наконец, 12 мм3 воды, водород которой на 99,98% заменен тяжелым водородом — дейтерием—и химическая формула которой уже D20. Так была открыта тяжелая вода*.

Способы получения тяжелой воды

В настоящее время мы имеем более 100 исследований, посвященных изотопу водорода. И на сегодняшний день мы имеем уже 5 химических соединений дейтерия, полученных в чистом состоянии. Таковы: ND3 (аммиак), DC1 (хлористый водород), DCN (синильная кислота), CHgCOOD (уксусная кислота), и D20 — тяжелая вода.

Наличие в соединениях различных водородов открывает неведомые до сих пор возможности обнаружить объемные реакции между водородом искомого вещества и водородом воды, его растворяющим.

Наиболее доступным материалом для получения тяжелого водорода является тяжелая вода, для получения которой мы располагаем уже несколькими десятками способов. В основном их можно свести к пяти:

1) Фракционный электролиз.

2) Фракционное разложение воды химическими веществами.

3) Диффузия.

4) Адсорбция.

5) Перегонка.

1) Фракционный электролиз является наиболее эффективным и простым способом получения дейтерия, а следовательно и тяжелой воды.

Макдональд и Льюис проводят его с двумя электродами из никеля, погружая их в щелочной электролит.

Тэйлор, Эйринг и Фрост дают уже более усовершенствованную установку, и, ведя (41/2 месяца) электролиз с 9 мая, они к 27 сентября 1933 г. дают на 2700 л электролизных остатков 80 см3 99-процентной тяжелой воды.

В 1934 г. Эрленмейер и Гартгоф проводят электролиз Vioa/o нормальной серной кислоты свинцовыми электродами и из 8 л кислоты извлекают 13 см3 тяжелой воды.

Теория фракционного электролиза еще полностью не выяснена; несомненное значение в этом процессе играет большая разница в массах изотопов (равных 1-му и 2-му), а отсюда разница в подвижностях ионов и скоростях диффузии через катодную пленку.

2) Фракционное разложение. Эйринг дает свои теоретические соображения о возможности разделения изотопов, основанной на разности в скоростях и реакции водородов H и D.

Бликни и Гульд, а вслед за ними Полани и Гарпут наблюдают D при разложении водяных паров железом.

В январе 1934 г. Дэви с и Джонстон получают первые количественные данные при фракционном разложении воды металлическим натрием.

Любопытную и достаточно сложную работу проводит Гезит. Разлагая воду током в 1 ампер и фракционно пропуская полученный водород над раскаленной окисью меди (СиО), сначала при 200°, а затем при 600°, он получает две различные фракции воды, из которых последняя явно тяжелее.

3) Третий метод получения тяжелой воды — метод диффузии. Он представляет собой более общий интерес ввиду возможностей применить его для разделения других газообразных изотопов. И здесь имеется ряд достижений.

Ленджер предложил разделить изотопы, пользуясь бумагой.

Физики Урэй и Лэк наблюдали удачное фракционирование изотопа водорода через различные металлы, главным образом никель и палладий. Естественно, что в этих случаях дейтерий диффундирует медленнее, чем протий.

Работу по диффузии через металл проводит затем Гаррис, избирая палладий и получая в один прием 10-кратное обогащение.

Гертц дает довольно сложный диффузионный аппарат из 48 звеньев, состоящих из пароструйных ртутных насосов, создающих вакуум, и узких глиняных трубочек, впаянных в стеклянные трубочки, через которые диффундирует более легкий протий.

В дальнейшем этот аппарат усовершенствуется Гармсеном.

* В 1927 г. были открыты два изотопа кислорода с атомными весами 17 и 18. В настоящей статье мы умышленно не касаемся возможных комбинаций дейтерия с тяжелыми кислородами, посколько эти соединения еще мало изучены.

4) Адсорбция. Уоиборн и Смит проводят фракционную адсорбцию воды животным углем. Отделяя затем уголь и десорбируя при 500° в вакууме на 123 мм, они отгоняют воду и вновь подвергают ее адсорбции. В результате обнаруживается, что вода, подвергнутая многократной адсорбции, оказывается несколько обогащенной тяжелой водой. Удельный вес ее увеличивается на 0,0000124.

5) Способ фракционированной перегонки. До последнего полугодия метод фракционированной перегонки, испробованный Уошборном и проводимый в большом масштабе в течение двух месяцев Льюисом и Корнишем, не дал ожидаемого эффекта. Опыт производился с обыкновенной водой при нормальных условиях (760 мм давления).

Последние работы Галля и Джонса, проводимые при атмосферном давлении с водой, уже обогащенной тяжелой водой на 3%, давали в каждой новой фракции увеличение удельного веса на 1 единицу в четвертом знаке после запятой. Еще более резкий эффект давала 2-процентная вода, отогнанная в вакууме.

Итак, как мы видим, на современном уровне экспериментальной техники получение тяжелой воды не составляет большого труда. Тем или иным способом она может быть получена принципиально в любом количестве. Мало того, она уже продается, правда по 80 долларов за 1 г.

Затем наступает горячий период ее всестороннего обследования.

Физико-химический состав тяжелой воды

Приводим ниже таблицу свойств тяжелой воды, полученную Сельвудом и Фрестом. Для своих работ они пользовались образцами с различным процентным содержанием окиси дейтерия (D20), и с 92-процентного экстраполировали на 100 процентов.

100-процентная тяжелая вода кипит при -[-101,42оСи замерзает при +3,8°. Максимальной плотности тяжелая вода достигает при температуре, близкой к -h 11,6° (в то время как для обыкновенной воды при -|-4° С).

Тэйлор и Сельвуд доказали, что D20 чрезвычайно гигроскопична: в течение 10—12 часов, поглощая влагу из атмосферного воздуха, она теряет плотность с 1,1038 до 1,1016.

Особенно резко выступает разница свойств изотопов в скоростях химических реакций.

Вязкость D20 при -+- 20° больше обычной Н20 на 25%, а при +50° она возрастает на 31%.

Растворимость солей в тяжелой воде меньше, чем в обыкновенной.

D20 чувствительна к загрязнениям. С повышением температуры различие в свойствах D20 и Н20 постепенно уменьшается.

Входит ли D20 в кристаллизационную воду?

Не раз ученые, изучающие тяжелую воду, задавали себе вопрос: не совершается ли в природе ее естественного концентрирования и не накопляется ли она в частности в кристаллизационной воде геологических минералов? Вопрос оставался открытым. Но вот последний октябрьский номер „Berichte“* знакомит нас с работой Ризенфельдов, избрав-

Состав воды

Обычная вода

31%

63,5%

92%

Ю0о/0

Свойства тяжелой воды 4

Плотность d ..........

D

Коэфициент преломления п -гк . . .

0,9982 1,32293

1,0314 1,33138

1,0664 1,32992

1,0970 1,32849

1,1056 (Льюис) 1,3281

С

Коэфициент преломления 20 • . . .

Момерная рефракция (линия D) . . Вязкость п 20 (мильнипаузи) ....

пл. дан

Поверхностное натяжение 20 •

Магнитная восприимчивость 106 (Гаусс) Момерная восприимчивость 106 (Гаусс)

1,33094

3,711 10,87

72,75

— 0,72

— 13

1,32959

11,4 71,5

1,32824

12,7 69,8

1,32682

13,7

68,1

0,65 — 13

1,3265 3,677

<И>2

67,8

* „Berichte der Deutsch, chemisch. Gesellschaft“, X, 1934.

ших объектом своих обследований минерал полигалит (Polihalit). В разрезе геологических периодов полигалит является предшественником гипса. Извлекая воду из кристаллов, очищая ее, а затем определяя удельный вес при -f-29°C (с точностью до 0,01°), они не находят разницы в удельных весах. Выводя средний удельный вес из б—7 определений, они получают, что удельный вес обыкновенной воды (Gewöhnliches Wasser) равен 1,00000, в то время как у кристаллизационной воды (Kristallwasser) он равен 0,999993, т. е. меньше на 7 единиц в 6-м знаке после запятой.

Для большей ясности приведем маленькую табличку, рассчитанную нами по данным Сельвуда и Фроста. Она показывает соотношение между процентным содержанием D20 и разницей (Äd) в показаниях удельного веса D20, взятого по отношению к обыкновенной воде.

% содержания D20 в Н20

(Id

100о/0

= 0,1074

08

92%

= 0,0908

82

бЗо/о

= 0 6042

31%

= 0,0332

10%

= 0,01

10%

0,001

0,1%

o,ocoi

0,0166%

0,00001

(= 1/6000)

Из нее мы ясно видим, что наиболее часто встречающаяся в природе вода, процентное содержание которой D20 ( — 1/6000) выражается приблизительно в 0,02 % (0,0166) и в то же время имеет изменение в показании удельного веса в шестом знаке после запятой. А отсюда следует, что цифра, полученная Ризенфельдами, дает колебания, не превышающие сотых долей процента содержания в ту или иную сторону.

Почти одновременно с работой Ризенфельдов в журнале Парижской Академии наук появляется статья крупнейшего советского геохимика—академика В.И. Вернадского о том, „где следует искать тяжелую воду в природе с точки зрения геохимии“. Изменение состава воды в природе В. И. Вернадский объясняет тремя основными причинами:

1) различием продолжительности геологических периодов;

2) неодинаковым влиянием на тела силы земного притяжения;

3) явлением метаморфизма земной коры.

Исходя из различия упругостей паров воды — Н20 и тяжелой — D20, а следовательно и различия степени их испаряемости (тяжелая вода испаряется труднее) и на основе трех упомянутых геологических факторов, В. И. Вернадский указывает на вероятность нахождения, а следовательно и целесообразность поисков, тяжелой воды в древних льдах, соленых озерах, не соединенных с морем (не проточных), а в случае их высыхания в гидратах солей, оставшихся на дне, в парах вулканических извержений, и, наконец, в твердых минералах, залегающих на большой глубине в условиях огромных давлений и повышенных температур. К таковым можно отнести черную слюду, а также и ряд содержащих хлор соединений. Работы в этом направлении ведутся в настоящее время в биогеохимической лаборатории Академии наук СССР.

С этой же целью — отыскания источников тяжелой воды в природе — Академией наук были организованы две экспедиции на Байкал. Предварительные обследования проб обнаружили в воде уплотнения в шестом десятичном знаке, что обозначает увеличение содержания в сотых долях процента.

Аналогичные опыты, поставленные в 1934 г. Маккэйем и Робертсоном над водой из Мертвого моря, не дали положительных результатов. Клэрк и Уорен повторившие эти опыты над водой Мертвого моря, также не нашли в ней хоть сколько-нибудь значительных следов уплотнения.

Автором этой статьи проводилось обследование состава воды из Кара-бугазского залива Каспийского моря, где тяжелая вода также не обнаружена.

В середине 1934 г. сотрудник Познанского университета Тухольский делает интересное наблюдение. 25 литров дестиллированной воды, простояв три года в бутыли, упарились до 600 см3. Удельный вес оставшейся воды был равен (при 4°С) 1,0016, что соответствует содержанию D20 в 1,65 %. Контрольные опыты поставленные над искусственным испарением дестиллированной воды кипячением до уменьшения объема в 60 раз, дали остаток с удельным весом -- 1,301. На этом основании Тухольский высказывает соображения, что накопление тяжелой воды возможно лишь при медлен-

ном испарении, и предлагает искать тяжелую воду в замкнутых водоемах типа пещер.

На этом мы заканчиваем рассмотрение тяжелой воды с точки зрения физико-математических наук и переходим к выяснению ее роли в биологии.

Тяжелая вода в биологическом мире

Каково же физиологическое действие этой тяжелой воды на организм и в частности на человека?

Первые опыты, проделанные Купером в Посаденском университете в Соединенных штатах на прорастание рисовых зерен, а также аналогичные опыты Джильберта Льюиса в Калифорнийском университете на прорастание семян табака, отмечают угнетающее, почти токсическое действие тяжелой воды на жизненные процессы. И этого становится достаточно, чтобы в обывательских кругах с необычайной настойчивостью воскресли сказочные предания о „живой и мертвой воде“ и „жизненном элексире“. Тяжелой воды начинают бояться как самого сильного яда.

Целая серия серьезно поставленных опытов достоверно показывает, что страхи эти далеко не основательны или, во всяком случае, что масштаб вредного действия D20 на наш организм излишне преувеличен.

Упомянутые выше семена табака, продержанные Льюисом в течение трех недель в 90-процентной D20, перенесенные затем в простую воду начинают обнаруживать, правда, слабые, но все же признаки жизни.

Помещенные в 95-процентную воду дрожжи прекращают свое размножение, а плоские черви через 3 часа заметно теряют свои жизненные силы. Тело их ссыхается и сморщивается, а из снова перенесенных в обычную воду лишь 50% возвращаются к жизни и принимают свой прежний облик.

Рыбы в работах Льюиса проявляют избирательное отношение к D20. В сериях опытов с золотыми рыбками получалось токсическое действие 30-процентной D20, в то время как другие виды рыб выдерживали без заметного изменения концентрации, доходящие до 80 и даже 90%.

Аналогичные опыты с головастиками, червями и рыбами проводил Тэйлор в лаборатории Принстонского университета, в то время располагавшего уже значительным количеством тяжелой воды.

Барнес проводит опыт с одной из простейших водорослей — спирогирой.

Льюис приступает к новой серии опытов, на этот раз уже с теплокровными животными. В качестве экспериментального животного он берет белую мышь. Оставив контрольных мышей, Льюис напаивает свою мышь таким количеством 71-процентной и 87-процентной тяжелой воды, которое при пересчете на человеческий объем равнялось бы примерно 4—5 л.

К его большому удивлению, мышь осталась жива. При наличии определенных признаков отравления она проявляла также большую жажду, которую, увы, нельзя было удовлетворить из-за недостаточного количества D20. На следующий день она уже не отличалась от своих контрольных товарищей.

Влияние тяжелой воды на организм приходится искать в коллоидальном состоянии белкового вещества. Тяжелая вода, имея тенденцию застревать в клетке, тем самым вытесняет из нее запас обычной воды. При этом мы наблюдаем явления ссыхания и сморщивания.

Интересен в этом отношении опыт Вестлина и Хэка, определивший, что клеточный сок в теле 70-летнего человека имеет более высокий процент содержания D20, чем таковой у детей.

В то же время анализы Эрленмеера и Тернера показали, что процентное содержание D20 в коровьем молоке тождественно с содержанием ее в обычной воде, и что, следовательно, организм не производит отфильтрования ее как яда.

Во всяком случае мы видим теперь, что тяжелая вода не является таким сильным ядом, как это казалось вначале, и накопление ее в человеческом теле, конечно, не может явиться единственной причиной физиологической старости.

Вопрос о влиянии D20 на жизнь человека еще далек от окончательного разрешения, однако при дискуссии о возможностях „профилактики жизни“ тяжелую воду не следует вычеркивать из общего баланса.

Заключение

Вернемся назад. Изложив исторические предпосылки открытия тяжелой воды, мы задали себе ряд вопросов:

Напомним их теперь:

1) Что такое тяжелая вода?

2) Из чего она состоит?

3) Как получается?

4) Чем отличается она от обыкновенной воды?

5) Встречается ли она в природе?

6) Можно ли ее пить?

7) Может ли она как-нибудь повлиять на физиологический ритм нашей жизни?

8) Какова ее роль в нашем будущем?

Ответить на них теперь чрезвычайно просто. Итак:

1) Тяжелая вода — есть вода, водород которой заменен его изотопом — дейтерием (с атомным весом, равным 2,0136).

2) Тяжелая вода состоит из двух атомов дейтерия и одного атома кислорода. Молекулярный вес D20 равен 20,0272.

3) Получить тяжелую воду можно из обыкновенной воды, где она занимает около 1/5000—1/6000 всего состава. Основных способов для ее получения в настоящее время мы имеем пять.

4) Тяжелая вода отличается от обыкновенной воды составом своих молекул, отсюда — молекулярным и удельным весом.

Тяжелая вода кипит при +101,42° и замерзает при + 3,8°.Тяжелая вода отличается от обычной целым рядом физико-химических свойств, пристально изучаемых сейчас современными учеными всех передовых стран мира.

5) В природе, как мы уже не раз говорили, она составляет 1/5000—1/6000 часть всей обычной воды. Она найдена в клеточном соке человека, коровьем молоке, водяных парах, получающихся при горении керосина, иода и ивы.

6) Пить тяжелую воду, повидимому, все-таки можно. Небольшие ее количества мы поглощаем ежедневно, употребляя обычную воду, где она разведена 1 на 6000. 0 больших количествах вряд ли целесообразно говорить ввиду наличия ее в чистом виде в крайне ограниченном количестве и большой дороговизны*.

7) Влияние тяжелой воды на организм различно, в зависимости от испытуемого объекта. Во всяком случае большие концентрации в огромном большинстве действуют угнетающе, заметно понижая общий ритм жизни.

Вместе с тем, в литературе мы имеем указания о том, что слабые концентрации D20 в некоторых случаях играют роль стимулирующую.

И, наконец, последнее:

8) Какова роль тяжелой воды в будущем?

Помимо огромного значения наличия тяжелой воды как в мире химических реакций, так и в физиологической жизни, тяжелая вода является прежде вс.его основным сырьем для получения изотопа водорода — дейтерия. Имея его в достаточном количестве, химия получит исключительное орудие для коренных перестроек известной нам до сих пор материи, по своему желанию искусственно создавая все новые и новые химические соединения, подобно тому как американский ученый Бербанк, а затем наш Мичурин создают новые, не существовавшие до сих пор биологические формы в своих оранжереях.

Помимо огромного практического значения тяжелого водорода, следует отметить неменьшее его значение в развитии научных воззрений на свойства изотопов и строение материи.

Открытие дейтона сильно дополнило наши сведения относительно схемы построения элементов и изотопов. В неорганической химии уже появилось новое направление—„химия изотопных соединений“.

В настоящее время в Ленинграде Курчатов и Синельников ведут сложнейшую и ответственнейшую работу, которая в случае удачи положит начало новой энергетической эпохе. Разогнав атом дейтерия, они пытаются так обстрелять им другой такой же атом дейтерия, чтобы получить их соединения в а-частицу. В случае если эта задача будет разрешена, в момент образования а-частицы будет иметь место мощное выделение внутриядерной энергии. Работа, ведущаяся в таком направлении, дает перспективу разрешения проблемы использования внутриядерной энергии, что открывает необозримые научные возможности, а также грандиозные сдвиги в энергетике всего мирового хозяйства.

* После того как настоящая работа была сдана в печать, два сотрудника Фрейбургского физико-химического института Ревеше и Хофер произвели смелый эксперимент, выпив по 2 л 10-процентной и 2 л 50-процентной тяжелой воды каждый. Оба они остались живы. Исследование состава всех выделений показало, что лишь через декаду организму удается избавиться от последних следов тяжелой воды.

ПОЛУЧЕНИЕ РЕНТГЕНОВЫХ ЛУЧЕЙ И ИХ ПРИРОДА

Научн. сотр. Г. СИДОРЕНКОВ (Москва)

I. Получение рентгеновых лучей

Рентгеновы лучи получаются обыкновенно в так называемых рентгеновых трубках, в которых поток катодных лучей (последние представляют собой отрицательно заряженные частицы электричества — электроны) ударяется о поверхность металлическото антикатода и вызывает появление рентгеновского излучения. Скорость катодных лучей должна быть очень большой. Вылетающие из катода электроны имеют небольшую скорость, затем они попадают в поле, приложенное к электродам трубки, где и получают увеличение скорости.

Скорость катодных лучей, зависящая от приложенной разности потенциалов к электродам трубки, изменяется по следующему закону:

(1)

где г;—скорость электронов, е — заряд электрона, m — его масса и V—приложенная разность потенциалов.

Получить поток катодных лучей можно двумя различными способами: во-первых, ионизацией разреженного газа и, во-вторых, электронным испусканием накаленной проволоки в вакууме.

При изготовлении рентгеновых трубок используют в настоящее время оба указанных принципа. При этом трубки соответственно называются ионными или электронными.

Ионная трубка схематически изображена на чертеже 1.

В стеклянном сосуде, из которого выкачан воздух до разрежения 0,001 мм ртутного столба, находятся два электрода: электрод в форме вогнутого зеркала, соединенный с отрицательным полюсом источника высокого напряжения, называется катодом; другой, имеющий форму пластинки, соединенный с положительным полюсом источника электрического тока, называется анодом. Под влиянием высокого напряжения, приложенного к электродам трубки, происходит ионизация газовых молекул, т. е. часть газовых молекул становится положительно и отрицательно заряженными ионами. Появившиеся вследствие ионизации молекул газа ионы движутся под действием электрического поля: положительно заряженные движутся к катоду, а отрицательно заряженные— к аноду, образуя таким образом электрический ток. Получив большую скорость под действием поля, положительные ионы ударяются о катод и вырывают (выбивают) из атомов металла катода электроны. Эти выбитые из катода электроны движутся под действием электрического поля к аноду и внезапно затормаживаются этим анодом. Большая часть кинетической энергии электронов превращается в теплоту, меньшая же — в энергию лучей Рентгена, которые распространяются по всем направлениям от места удара.

В последнее время для научных целей применяются металлические разборные ионные трубки с постоянным откачиванием воздуха. В таких трубках как катод, так и антикатод могут сменяться. Такие трубки в настоящее время получили широкое распространение благодаря целому ряду преимуществ, например прочность, сменяемость антикатода и т. д., по сравнению со стеклянными.

В электронных трубках достигается такой вакуум (приблизительно 10~7 мм ртутного столба), что незначительные остатки воздуха ни в коем случае не оказывают влияния на процесс разряда. При приложении высокого напряжения на электродах трубки (порядка 200 000 вольт) высокий вакуум действует как такой совершенный изолятор, что не происходит никакого разряда внутри трубки. Чтобы создать необходимое для возбуждения тока число электронов, Лилиенфельд в 1912 г. и Кулидж в 1913 г. применили открытый Ричардсоном эффект, согласно которому из раскаленного тела в пустоту вылетают электроны. Катод в такой трубке состоит из вольфрамовой проволочки в виде спирали, которая накаляется электрическим

Черт. 1.

током. Вылетающие с поверхности проволоки электроны ускоряются полем высокого напряжения и при падении на соединенный с положительным полюсом антикатод возбуждают рентгеново излучение.

В настоящее время применяются мощные металлические разборные трубки, например трубка Отта.

Схематическое изображение электронной трубки дано на чертеже 2.

Черт. 2.

Для получения резкого изображения при фотографировании необходимо иметь рентгеновский пучок, исходящий из одной точки поверхности антикатода.

Получение точечного фокуса в ионных трубках достигается устройством катода в виде вогнутого зеркала, направляющего поток электронов, исходящих перпендикулярно к его поверхности, в одну точку антикатода. В электронных трубках катод устраивается в виде проволоки и спирали, поэтому для достижения указанной цели — фокусировки— служит направляющий цилиндр, который, находясь под одним напряжением с катодом (рис. 2), поглощает электроны, направляющиеся в сторону от направления катод — антикатод; направляющие конструкции в электронных трубках настолько усовершенствованы, что дают возможность получить с электронными трубками такой же резкий фокус, как и с ионными.

Электронные трубки имеют целый ряд преимуществ перед ионными. Известно, что получающиеся рентгеновы лучи тем более жестки, чем больше скорость V ударяющих в антикатод электронов; скорость электронов зависит, как мы видели, от приложенного к трубке напряжения 1/, т. е. ^ — v2 = V

(2), е — заряд, m — масса электрона.

Интересно привести таблицу скорости электронов при различных напряжениях:

V вольт: 1 25 100 10000

V км\сек.: 600 3000 6000 60 000

Из таблицы видно, какие большие скорости приобретают электроны при сравнительно небольших напряжениях; так как скорости электронов вполне определяются напряжением I/, то принято выражать скорость электронов в вольтах.

Общая интенсивность излучения рентгеновской трубки пропорциональна числу ударяющихся в одну секунду в антикатод электронов.

В электронных трубках качество и интенсивность излучения поддаются независимой регулировке при помощи напряжения и силы тока. Изменение силы тока трубки производится изменением силы тока накала катода: чем выше температура раскаленной проволоки, тем больше электронов излучается проволокой. Регулировка напряжения достигается изменением первичного напряжения трансформатора — последовательно включенным реостатом или автотрансформатором.

В ионных трубках соотношения гораздо более сложные, При определенном напряжении сила тока в трубке будет зависеть от величины разрежения. Для регулировки ионной трубки необходимо иметь возможность менять степень вакуума или путем связанной с трубкой насосной установки или же путем регенераторов, позволяющих впускать в трубку воздух в небольших порциях.

Материалом для антикатода служат обыкновенно вещества с большим атомным весом, как-то: платина, вольфрам, молибден и др., отчасти вследствие возрастающего с атомным весом рентгенового излучения и затем вследствие высокой точки плавления, так как антикатод чрезвычайно сильно нагревается. Поэтому для охлаждения антикатода устраиваются специальные охладители.

Вторую основную часть рентгеновой установки составляет источник высокого напряжения, каковым являются трансформаторы высокого напряжения.

В рентгеновых установках применяются три типа тока: пульсирующий ток постоянного направления, постоянный ток, переменный ток.

Применение пульсирующего тока постоянного направления, т. е. такого тока, который состоит из отдельных разделенных паузами толчков, является в настоящее время наиболее распространенным методом для получения рентгеновых лучей. Хорошим выпрямляющим действием обладают кенотроны, которые построены по принципу электрон-

ных трубок. Вследствие высокого вакуума, которым обладают кенотроны, ток в них может проходить только в том направлении, для которого электрод, состоящий из накаленной проволоки, является отрицательным полюсом. Это выпрямляющее действие прекращается, как только анод при большой нагрузке, вследствие бомбардировки электронов, накаляется до красного каления, после чего анод сам начинает испускать электроны.

Поэтому во время работы трубки необходимо следить, чтобы анод кенотрона не доходил до красного каления.

На чертеже 3 дана схема трансформаторного аппарата с одним кенотроном.

Черт. 3.

РТ—рентгеновская трубка (электронная), К—кенотрон,

Т—трансформатор высокого напряжения,

ТНЛ — трансформатор накала кенотрона,

ТН2 - трансформатор накала трубки.

Принцип метода получения постоянного тока, при котором, следовательно, через трубку безостановочно проходит ток всегда постоянной силы и направления, заключается в параллельном включении большой емкости. Особенно целесообразной является так называемая схема аппарата стабиливольта (черт. 4), при котором во время одного полупериода (переменного тока) заряжается до напряжения трансформатора первый конденсатор С,, а во время другого полупериода—второй конденсатор С2. Включенные между ними кенотроны препятствуют разрядке конденсаторов через вторичную обмотку трансформатора. При получении тока для рентгеновой трубки оба конденсатора соединяются последовательно, так что напряжение на трубке оказывается равным удвоенному напряжению конденсатора, т. е. удвоенному напряжению трансформатора. Этим достигается то преимущество, что можно применять трансформатор, построенный до половины напряжения трубки. Конденсаторы дают непрерывный ток в трубке: каждый раз, когда переменное напряжение трансформатора превышает мгновенное значение напряжения конденсатора, ток течет из трансформатора в конденсатор. На чертеже 4 дана схема аппарата типа стабиливольт.

Кг и К2 — кенотроны,

Сл и С2 — конденсаторы,

Т—трансформатор высокого напряжения,

Нл и Н2 — трансформаторы накала кенотронов Кг и К2,

HT — трансформатор накала трубки,

РТ — рентгеновская трубка.

Работа с переменным током возможна в рентгеновых трубках типа Кулиджа и при том условии, если антикатод остается холодным.

II. Природа рентгеновых лучей

Долгое время после открытия рентгеновых лучей не могли ответить на вопрос, что же такое представляют собой лучи Рентгена, какова физическая природа этого явления. Вначале казалось вполне естественным считать лучи Рентгена аналогичными катодным лучам, но исследование свойств рентгеновских лучей привело к заключению, что это излучение во всяком случае другого характера, чем катодные лучи. Рентгеновы лучи, в противоположность лучам катодным, не отклоняются в магнитном и электрическом полях, следовательно, они не несут электрического заряда. Было замечено, что целый ряд свойств, присущих рентгеновым лучам, подобен световым лучам, как, например, частичная поляризация и т. п. Можно

Черт. 4.

было допустить, что лучи Рентгена представляют одну из разновидностей электромагнитных волн. Стоксом и Томсоном были предложены теории для объяснения электромагнитной природы рентгеновых лучей, которые заключаются в следующем.

Представим себе электрон, движущийся со скоростью V и находящийся в точке О. Движущийся электрон мы можем рассматривать как течение тока, а мы знаем, что вокруг всякого тока распространяется со скоростью света электромагнитная волна. Следовательно, в пространстве, окружающем наш электрон, в сфере, имеющей центром Л, будет заключаться электромагнитная энергия. Радиус сферы будет зависеть от времени, в течение которого успеет распространиться волна. Предположим, что электрон, ударившись о препятствие (антикатод), остановится в точке Л1У находящейся на расстоянии b от точки А. Покоящийся заряд в это время не будет уже источником электромагнитной волны, а будет лишь источником электростатического поля. Обозначим время, в течение которого происходит торможение электрона, через Г, а через t—время, в течение которого распространится волна, когда движущийся электрон находился в точке А; за это время электромагнитная волна, имея центр в точке Л, распространится до поверхности сферы радиуса ct. В точке Ал электрон находится позднее на промежуток времени Т. За время торможения электрона характер электромагнитного поля изменится, и когда электрон остановится, то такое электромагнитное поле, какое было во время движения, будет иметься лишь за сферой радиуса ct. Время, в течение которого электрон находится в покое, равное—Т. Последнюю электромагнитную волну электрон испустил на т секунд позже, чем волна, идущая из точки А. Радиус сферы той последней волны, будет равен гл = = c(t— Т). За этой сферой больше электромагнитных волн не последует, и все пространство внутри этой сферы будет электростатическим полем уже покоящегося электрона. Пространство же между сферами r = ct и г1=г(^—Т) (черт. 5) представляет собой область электромагнитного возмущения, вызванного процессом торможения электрона. Это возмущение распространяется со скоростью света. Ширина этого возмущения зависит от времени Г и по направлению движения электрона будет равна:

et — c{t— Т) = сТ.

Из оптики известно, что длина световой волны X определяется уравнением 1 = сТу где Г—период колебания. Аналогично для данного случая получим длину волны рентгеновых лучей или ширину электромагнитного возмущения по направлению движения электрона.

Черт. 5.

Если электрон, летящий со скоростью vy за время Т теряет ее, то на пути S его средняя скорость приближенно может быть представлена как —у- =-я-. Тогда путь о может быть представлен как —•7'= 5, откуда Г=— и окончательно получаем выражение для длины волны рентгеновых лучей

(3)

Отсюда можно сделать вывод: чем больше скорость электрона и чем резче она обрывается, тем длина волны рентгеновых лучей меньше, тем жестче, как говорят, рентгеново излучение.

Мы уже видели, что скорость электронов зависит от приложенного к трубке напряжения, меняя которое можно получать большие скорости. Большие скорости электронов дают жесткие рентгеновы лучи, которые легче проникают через материю; электромагнитная теория объясняет многие наблюденные свойства рентгеновых лучей, но есть явления, которые она объяснить не может, например: известно, что рентгеновы лучи, падая на какое-либо тело, выбрасывают из него электроны (фотоэффект). По электромагнитной теории, следовало бы ожидать, что чем интенсивнее рентгенов свет, тем большей скоростью будут обладать выбрасываемые фотоэлектроны. Однако этого не наблюдается: на скорость фотоэлектронов влияет не интенсивность, а длина волны падающих на данное тело рентгеновых лучей. Электромагнитная теория не могла объяснить этого явления потому, что она положила в основу гипотезу, что энергия излучается непрерывным потоком, что по квантовой теории является неверным. Согласно квантовой теории, излучение происходит порциями, квантами, величина которого выражается: £* = Av, где А —постоянная Планка, равная 6,5510~27 эрг/сек; v— частота колебаний.

Для объяснения фотоэффекта Эйнштейн в 1905 г. высказал предположение, что если на тело падает один квант световой энергии ZT = Av, то эта энергия тратится на вырывание электрона из данного тела (например из металла) и сообщение ему некоторой скорости v. Работа вырывания электрона W разная для различных тел. Следовательно, по теории Эйнштейна, можем написать уравнение:

b=W+^f, (4)

где m — масса электрона, v— его скорость.

Экспериментально проверено, что для данного тела (металла) скорость фотоэлектронов пропорциональна частоте падающего света v. Если работа отрывания электрона мала, то можно ею пренебречь; тогда имеем: Av = ^-.

При возникновении рентгеновых лучей имеем обратное явление. Электрон, обладающий кинетической энергией , при столкновении с антикатодом теряет ее, и энергия эта переходит в излучение; тогда уравнение может быть записано:

(5)

X = сТ = —, где V — напряжение на электродах трубки. Из данного равенства видно, что чем больше скорость электрона, тем меньше длина волны рентгеновых лучей.

Выше было указано, что природа рентгеновых лучей та же, что и обыкновенных световых лучей, т. е. они представляют собой одну из разновидностей электромагнитных колебаний.

Для подтверждения этого нужно было показать, что они способны так же интерферировать и диффрагировать, как и световые лучи. Для того чтобы создать условия для получения интерференции и диффракции рентгеновых лучей и получить удовлетворительные результаты, потребовалось около 20 лет со дня открытия этих лучей. Только в 1911 г. Лауэ впервые удалось обнаружить это явление. Лауэ исходит из предположения, что рентгеновы лучи представляют собой, подобно световым, электромагнитные колебания, но отличаются от них своей длиной волны. Именно, допустив, что лучи Рентгена имеют длину волны во много раз меньшую, чем лучи фиолетовые, Лауэ сначала теоретически доказал, что явление диффракции лучей Рентгена должно наблюдаться при прохождении их через диффракционную решетку, щели которой значительно уже, чем для световых лучей. Такие решетки для получения диффракции рентгено-

вых лучей искусственно приготовить невозможно, но оказалось, что такие решетки изготовила сама природа.

По современным взглядам, атомы в кристаллах расположены на вполне определенных для каждого кристалла расстояниях и заполняют кристалл правильными рядами. Лауэ пришел к выводу, что если пропустить пучок рентгеновых лучей сквозь кристалл, то лучи, рассеиваясь атомами кристалла, должны при выходе из кристалла между собой интерферировать.

Внешняя картина этого явления, как показали вычисления Лауэ, должна быть значительно сложнее той, которая наблюдается в случае световых лучей.

Из оптики мы знаем, что условием для получения диффракции является уравнение:

rik = d sin у, (6)

где X — длина волны падающего на решетку света,

d—ширина щели и промежутка,

ср — угол отклонения луча решеткой,

п — порядок спектров.

Явление диффракции может быть наблюдаемо тогда, когда постоянная решетки приблизительно одного порядка с длиной волны падающего на решетку света. Если мы применим вместо диффракционной решетки естественный кристалл, то здесь дело усложняется тем, что решетка-кристалл имеет три измерения. По Лауэ, должны быть удовлетворены одновременно три условия:

/t1l = asin<p1

/z2X = ôsin<p2 (7)

n3\ = cs'm ср3,

где a, J и с — постоянные решетки,

Ъ> tV — углы между диффрагированными рентгеновыми лучами и нормалями к решеткам,

п19 п2, п3 — целые числа, дающие порядок спектра.

Эта формула имеет смысл, если пучок падает перпендикулярно к плоскости решетки (черт. 6).

Если брать не угол ср между лучом и нормалью к плоскости решетки, а дополнительный до прямого угла, т. е. угол между лучом и плоскостью решетки 90 — <р = ф, то вместо sin à нужно взять cos ф и тогда уравнения напишутся в следующем виде:

(8)

Если взять общий случай, когда пучок лучей падает не перпендикулярно к плоскости решетки, а под любыми углами 4i> Чг» г/з> соответственно к осям а, Ьу с кристалла, тогда условия диффракции, по Лауэ, запишутся в следующем виде:

(9)

Если обозначить через а, ß и у соответственно направляющие косинусы cos Юр cosû)2, cosq>3 диффрагированного луча и через а0, ß0 и у0 направляющие косинусы cosrh, cos7)2, COS7J3 падающего пучка, то уравнение может быть записано:

(10)

На фотографической пластинке РР получаются действия света там, где удовлетворены одновременно три уравнения. В пучке падающих на кристалл лучей мы должны иметь различные длины волн, т. е. должны пользоваться так называемым белым светом. Можно притти к тем же результатам, рассматривая явления диффракции рентгеновых лучей несколько иначе, как это сделали Брэгг и Вульф, независимо друг от

Черт. 6.

друга. Они пришли к тем же результатам, что и Лауэ, оперируя не с рассеивающими центрами — атомами, а с отражающими рентгенов свет плоскостями кристалла. Их рассуждения значительно проще, чем рассуждения Лауэ, и легли в основу как структурного анализа, так и всей рентгеноскопии. Формула Брэгга — Вульфа получается чрезвычайно просто, если к рентгеновым лучам применить обычный закон отражения оптики. Отраженные рентгеновы лучи будут интерферировать друг с другом, и отпечатки этих отраженных от кристалла лучей получатся на фотографической пластинке лишь в тех местах, где будет удовлетворяться правило фаз (разность ходов). Предположим, что наш кристалл состоит из ряда параллельных плоскостей, расстояние между которыми равно d (черт. 7). Пусть на кристалл падает пучок параллельных лучей с длиной волны X под углом Ь (угол ö называют углом скольжения, так называемым брэгговским углом — угол между падающим лучом и плоскостью кристалла). Так как рентгеновы лучи способны проникать в глубь кристалла, то часть их отразится от плоскости I, часть — от плоскости II, от плоскости III и т. д.

Выясним условие взаимодействия двух соседних отраженных лучей sT и s8. Достигнув фотографической пластинки, они там дадут отпечаток, когда пойдут в одинаковой фазе, или иначе, когда разность ходов их / равна целому числу волн или четному числу полуволн, т. е. 1=пк, где /1 = 1, 2, 3,...

Выразим разность хода / наших лучей 5т и s2 при помощи величин, играющих здесь роль и доступных измерениям. Известно, что две точки на двух параллельных лучах находятся в одной фазе, когда они лежат на плоскости, перпендикулярной к обоим лучам. Проведем плоскость из точки Л, перпендикулярную к лучам s, и 52. Точка А на луче s2 и точка В на луче sx будут находиться в одной фазе. Чтобы А и В были в одной фазе, необходимо, чтобы пути OB и OA раздвоившегося в точке О луча s отличались на целое число волн, т. е. /= — OA — OB = rik из треугольника ООгА ;

OA— — ил — sin» '

Из треугольника О AB: OB = OA cos2b или, подставляя вместо OA его значение, получаем:

(11)

Открытие Лауэ, что кристалл для рентгеновых лучей играет ту же роль, что и обыкновенная диффракционная решетка для видимого света, повело, с одной стороны, к изучению кристаллов при помощи рентгеновых лучей, с другой стороны — к исследованию характера рентгенова света, его спектров, пользуясь естественной диффракционной решеткой.

Изучая строение какого-либо кристалла, нам важно получать отражение от различных видов плоскостей кристалла, и по диффракционной картине мы узнаем об ориентировке этих плоскостей и — тем самым — о строении кристалла. При изучении спектра рентгеновых лучей нам надо иметь кристалл, структура которого известна, и достаточно получить отражение от одного из видов плоскостей, чтобы можно было судить о характере спектра.

Из оптики известно, что если мы имеем раскаленное твердое тело и пропустим его свет через диффракционную решетку, то получим на экране сплошной спектр—белый свет разлагается на свои составные части.

Имея раскаленные пары какого-либо вещества и пропустив их свет через диффракционную решетку, получим ряд линий определенного для каждого веще-

Черт. 7.

ства цвета и на определенных местах. Это так называемый линейчатый спектр. Нечто аналогичное мы имеем и для рентгеновых спектров. Мы не наблюдаем цветных полос, но наблюдаем почернение фотографической пластинки, по характеру которого можем судить о характере спектра. Под сплошным рентгеновым спектром мы понимаем такой спектр, который представляет собой почерненную полосу. Последняя образована непрерывным рядом тесно примыкающих друг к другу черных линий, разделить которые простым глазом мы не можем. В случае линейчатого спектра мы получим на пластинке ряд тонких черных линий различной интенсивности. Как в оптике отдельные линии характеризуют нам вещество, испускающее свет, так и здесь линейчатый спектр является характерным для источника рентгенова света, т. е. антикатода. Как в оптике различные раскаленные газы дают различные по силе и цвету линии, так и здесь различные антикатоды дают различные по интенсивности и местоположению линии. Анализируя рентгенов спектр, мы можем судить о веществе, его испускающем. Сплошной спектр получается от всякого антикатода. Линейчатый спектр происходит от излучения, характерного для материала данного антикатода, отчего линейчатые спектры называются еще характеристическими.

Выше было указано, что рентгеновы лучи возникают, если удовлетворяется уравнение Эйнштейна ^Щ- = ftv, которое говорит, что кинетическая энергия электрона исчезает при остановке последнего, превращается в лучистую энергию, именно, равную одному кванту энергии. Если выразить энергию электрона при перемещении его в электрическом поле через еУи выразить частоту v через длину волны 1, то уравнение Эйнштейна может быть записано: eV= ^.

При некоторой разности потенциалов на электродах трубки мы будем иметь определенную скорость электронов, которой будет соответствовать определенная длина волны рентгенова излучения. В пучке катодных лучей, падающих на антикатод, имеются различные скорости электронов, благодаря чему мы получаем в спектре различные длины волн, т. е. мы получаем сплошной спектр. Пусть мы имеем скорость для всех электронов v одинаковую, то и в этом случае мы получаем сплошной спектр. Объяснить это можно следующим образом. Все падающие на антикатод электроны тормозятся по-разному: некоторые электроны сразу затормозятся, другие — пройдя сквозь атомы более длинный путь; пути эти могут быть различными. Всякая потеря электроном его скорости ведет к уменьшению его кинетической энергии. Частью эта энергия переходит в теплоту, частью — в излучение. Поэтому мы получаем самые разнообразные кванты энергии рентгеновых лучей, т. е. ряд длин волн. Невозможно только получить длину волн, которая соответствовала бы скорости электронов, большей, чем v. Это значит, что максимальная скорость обеспечит максимальную возможную частоту Хтах или минимальную длину волны Xmin.

Эта минимальная длина волн Xmin будет резкой границей сплошного спектра со стороны коротких волн. Пользуясь последним равенством, можно подсчитать минимальную длину волны:

Kin=ïT^~e (12)-

Kmax — максимальное напряжение на электродах трубки. Подставив значения, имеем:

если V выражать в киловольтах, I в онгстремах.

Кроме сплошных спектров известны еще и другие, так называемые характеристические спектры.

При изучении этих рентгеновых спектров было замечено, что они состоят из групп линий. В настоящее время таких групп линий известно четыре, которые обозначаются буквами К, L, Ж, N.

Каждая группа состоит из определенного числа линий, относительное расположение и яркость которых вполне определенны. Из них группа К расположена наиболее вправо от видимой части спектра: в состав ее входят лучи, имеющие наиболее короткую длину волны. Группа L состоит из лучей более длинных волн, за ней идут группы M и N.

Исследуя спектры рентгеновых лучей, Mosely в 1913 г. сделал великое

открытие: он нашел, что линии группы К и L правильно перемещаются в сторону уменьшающихся длин волн, если в периодической системе элементов переходить от одного элемента к другому в порядке увеличивающихся порядковых чисел. Следовательно, зависимость спектра от вещества выражается положением, но не структурой спектра. Порядковое число элемента L меняется почти параллельно его атомному весу А; мы можем сказать, что рентгеновы лучи тем более жестки, чем тяжелее атомы, испускающие эти лучи.

Чтобы объяснить это явление, выясним сначала механизм возникновения рентгеновых лучей.

Рассматривая характеристические спектры, мы говорили, что возникновение их тесно связано с материалом антикатода, что они являются для каждого элемента характерными, следовательно, они должны быть тесно связаны со строением атомов различных элементов. По теории Бора мы можем себе представить атом состоящим из положительно заряженного ядра, вокруг которого по орбитам, как планеты вокруг солнца, вращаются электроны. Число вращающихся электронов вокруг ядра различно для различных элементов— оно равно числу положительно заряженных частиц ядра. Мы имеем в нормальном состоянии электрически нейтральный атом. В таком нормальном атоме ядро и электроны находятся в равновесном состоянии. Кулоновская сила взаимодействия между ядром и каждым электроном уравновешивается центробежной силой, возникающей при вращении электронов вокруг ядра. Кроме того, такая система обладает определенной энергией (кинетической-f-потенциальной), которая зависит от взаимного расположения притягивающихся центров, от скорости вращения электронов и их массы. Потенциальная энергия двух притягивающихся зарядов будет изменяться в зависимости от изменения расстояния между ними, т. е. чем расстояние больше, тем больше потенциальная энергия. Таким образом, если мы имеем ядро и электрон на орбитах с радиусами гл и г2, причем г2 больше г1$ то потенциальная энергия будет меньше, когда электрон находится на орбите с радиусом гл. Чтобы увеличить потенциальную энергию, мы должны затратить работу на передвижение электрона от ядра, действуя против сил притяжения. Можно показать, что полная энергия такой системы также больше при большем расстоянии электрона от ядра.

На основании этого можно сказать, если каким-либо образом подведем к атому энергию извне и эту энергию атом поглотит, т. е. увеличит свою собственную энергию, то это может быть получено переносом какого-либо электрона с какой-либо орбиты на более далекую орбиту. Электрон, выбитый таким образом со своей орбиты, выбрасывается до периферии атома, так как все вышележащие орбиты заполнены и в них нет места для остановки выбитого электрона. Выбивание электрона может быть произведено различными путями: или ударом альфа-частиц или ударом налетающего извне электрона, как, например, в рентгеновых трубках при ударе катодных лучей о поверхность антикатода. Каждый из электронов, окружающих ядро атома, принадлежит одному из уровней энергии (обладает окружной энергией). Работа, которая необходима, чтобы выбросить электрон из данной орбиты на периферию, определяется разностью энергии между периферией и данной орбитой. Электрон, находящийся на периферии, обладает наибольшей энергией. Так как сила притяжения между ядром и электронами все время действует, то место вылетевшего электрона не остается пустым: его занимает электрон, переходящий от одного из уровней энергии к какой-либо из вышележащих орбит. При переходе электрона из вышележащей орбиты или из большего уровня энергии на меньший энергия атома (системы) уменьшается. Атом должен часть своей энергии отдать. Следовательно, мы можем сказать, что поглощение атомом энергии связано с удалением электрона на более далекую от ядра орбиту, выделение же атомом энергии вовне связано с перескоком электронов с далеких орбит на более близкие к ядру. Воспользовавшись энергетическими соотношениями атома, можно объяснить механизм получения характеристических спектров.

Обозначим энергию атома, когда электрон находился на орбите радиуса rv через j\y а на орбите г2—через /2. Выше было сказано, что у2> rj\. При перескоке электрона с орбиты г2 на орбиту гл выделяется атомом энергия j2—jv Согласно теории Бора, эта освобождающаяся энер-

гия переходит в лучистую энергию и излучается в виде одного кванта энергии, т. е. Av=y2—y'i(13); отсюда можем определить частоту или длину волны излученного света v])2=^-jp*(14), т. е. получаем излучение определенной частоты, т. е. монохроматическое.

Если мы имеем перескоки электронов с нескольких разных, более удаленных орбит на другие, более близкие к ядру, тогда появляются несколько линий с различными частотами. Получим серию линий, или характеристический спектр данного элемента. Каждый элемент имеет свой характеристический спектр, так как атомы различных элементов имеют различное число электронов и различное расположение их по группам орбит.

Таким образом, можно сделать заключение, что спектр каждого элемента может состоять из серии линий, которые появляются в результате перескоков электронов с одной орбиты на другую. Та или иная серия возникает тогда, когда поглощение атомов энергии ведет к отрыву электрона с определенных орбит и замещению затем освободившихся мест. При заполнении свободных мест энергия атома уменьшается, и этот излишек энергии переходит в излучение, при котором частота v зависит от того, «с каких орбит перелетали электроны на свободное место. Обыкновенно орбиты атома делят на определенное число групп. Таких групп, как было указано, мы знаем четыре: К, L, M и ЛЛ Более точные измерения и подсчеты энергии показали, что группы орбит могут быть еще разделены на подгруппы, и одинаковая энергия должна быть приписана не группе, а подгруппе.

Если схематически изобразить группы орбит атома в виде концентрических кругов, то распределение групп будет, как указано на чертеже 8.

Чтобы получить линию серии КУ необходимо подвести достаточное количество энергии, чтобы вырвать электрон с оболочки К на периферии атома. На освободившееся место может перескочить электрон с любой орбиты: скорее он перескочит с ближайшей орбиты L, так как силы притяжения между ядром и электроном большие. При таком перескоке мы получим линию, которая обозначается /Са. В другом атоме может произойти перескок с оболочки М. Разность энергии уровней К я M больше, чем К и L, — тогда линия К$ будет обладать большей частотой v, т. е. меньшей длиной волны. При перескоках электронов на оболочку К с оболочек Z,, М... на последних будут освобождаться места, которые будут заниматься электронами вышележащих слоев. Таким образом, при возбуждении серии К мы получим линии всех серий. Если же электрон выбивается из оболочки L, то мы получим линии, начиная с серии L, M, N и т. д. Мы можем сказать, что все лучи одной группы возникают при падении электронов к одному и тому же из электронных слоев (оболочек) от различных вышележащих уровней.

В настоящее время характеристические спектры настолько хорошо изучены, что на все известные линии имеются подробные таблицы, в которых даны длины волн и происхождение линий, т. е. указано, между какими группами и подгруппами происходят соответствующие перескоки электронов, и даже для некоторых линий известно не-

Черт. 8.

обходимое напряжение для их возбуждения.

Смещение рентгеновых спектров в сторону уменьшающихся длин волн, когда растет порядковый номер элемента Z в периодической системе Менделеева, объясняется тем, что внутренние уровни энергии увеличиваются, когда растет заряд ядра атома (черт. 9).

Изучение спектров рентгеновых лучей расширило наше знание о структуре атома. Большое применение рентгеновых лучей мы имеем в технике. Если воспользуемся уравнением Брэгга — Вульфа п\ = 2 dsinö, в котором длина волны X излучаемого света нам известна, мы можем по полученному спектру определить d, т. е. межплоскостные расстояния кристалла. Таким образом, возникла целая наука, так называемый структурный анализ, который изучает структуру кристалла, т. е. изучает форму и величину ячейки кристалла, число атомов в элементарной ячейке и т. п.

Для изучения структуры кристалла пользуются различными методами. В некоторых случаях пользуются так называемым белым излучением — метод Лауэ, в других—характеристическим или монохроматическим излучением — метод Дебая и др.

Для полного изучения структуры кристалла необходимо пользоваться обоими вышеуказанными методами.

Черт. 9.

НОВЕЙШИЕ УСПЕХИ АСТРОНОМИИ

Доц. П. ПАРЕНАГО (Москва)

Настоящая статья представляет собой обзор наиболее важных успехов астрономии, знание которых по тем или иным причинам важно преподавателю астрономии в средней школе. Тех же преподавателей, которые в большей степени интересуются астрономией, отсылаем к отделу „Новостей астрономии“ в журнале „Мироведение“. Этот отдел с 1934 г. значительно расширен.

Строение звездной вселенной

Последние годы характеризуются все большим и большим уточнением данных о размерах и строении звездной вселенной. На основании исследований, опубликованных в 1934 г. Пирсом и Пласкеттом на обсерватории Виктория в Канаде (Сев. Америка) и посвященных окончательному уточнению данных о вращении Млечного пути, мы располагаем теперь уже достаточно точными данными как о размерах самого Млечного пути, так и о положении Солнца внутри него. Кратко совокупность основных наших сведений может быть изложена следующим образом,

Наше Солнце входит в великую звездную систему Млечного пути, который, вероятно, является огромной спиральной туманностью. Попытки обнаружить спиральное строение Млечного пути производились уже несколько раз (Истон, Аррениус), но все они наталкивались на различные затруднения, главным образом связанные с тем, что еще 10 — 30 лет назад считалось, что Солнце находится недалеко от центра системы Млечного пути. Этот последний пережиток антропоцентризма* был, однако,

* Учение, по которому человек занимает центральное положение в природе.

не целиком надуманной схемой; к этому приводили результаты подсчета звезд различных звездных величин. Ниже мы еще вернемся к этому вопросу. Кроме указанной причины, здесь, несомненно, также играло весьма большое значение то обстоятельство, что мы, помещаясь внутри системы Млечного пути, находимся несравненно в более невыгодных условиях, чем при наблюдениях других спиральных туманностей, рассматриваемых нами издалека. В 1934 г. Р. В. Куницкий (Москва) доказал, что ближайшие к Солнцу части Млечного пути, образующие своего рода сгущение около Солнца (так называемая местная система), показывают следы ветви, как и должно получиться при спиральном строении Млечного пути.

Наш Млечный путь представляет собой сильно сплюснутую систему, которую обыкновенно сравнивают с чечевицей или линзой. Изучение вращения Млечного пути позволило Пласкетту и Пирсу определить расстояние до его центра, которое оказалось равным 10000 парсек (парсек соответствует годичному параллаксу, равному одной дуговой секунде, или 3,26 световых лет). Обращение каждой звезды около центра Млечного пути происходит под совокупным влиянием двух сил—ньютоновой силы притяжения самого центрального сгущения, которая обратно-пропорциональна квадрату расстояния, и силы притяжения всех звезд, разбросанных по всему Млечному пути. Эта последняя сила просто пропорциональна расстоянию („гуковская“ сила, вызывающая гармоническое движение или колебание вдоль прямой линии). Если бы все звезды были сосредоточены в центре Млечного пути, то притяжение, например, Солнца, было бы только ньютонианским, и оно обращалось бы вокруг центра по кеплеровским законам. Наоборот, если бы все звезды были равномерно распределены в Млечном пути, движущей силой была бы сила, пропорциональная расстоянию (закон Гука). При этом обращение звезд совершалось бы всюду с одинаковой угловой скоростью, как в случае вращения твердого тела. На деле мы имеем промежуточный случай — ряд звезд образует, повидимому, более или менее протяженное и мощное скопление в центре, тогда как другие звезды распределены по самым разнообразным участкам Млечного пути.

Изучение вращения системы Млечного пути на основании наблюденных движений звезд (собственные движения и лучевые скорости) дает возможность примерно оценить степень участия той и другой силы. Именно: оказывается, что 3/4 силы, вызывающей вращение на расстоянии Солнца от центра, вызвано притяжением центрального сгущения и лишь V* обусловлена притяжением по закону Гука. Приведем также величину полного периода обращения, который для расстояния Солнца получился равным 224 млн. лет.

Исследование распределения в пространстве рассеяных звездных скоплений, которые все принадлежат к Млечному пути, а также и некоторые другие соображения приводят к выводу, что Солнце находится от центра приблизительно на расстоянии 2/з «экваториального“ радиуса Млечного пути. Отсюда получается, что диаметр Млечного пути составляет около 30 000 парсек.

Приведенные числа Пласкетта и Пирса представляют в настоящее время самые надежные оценки диаметра и вращения Млечного пути и положения Солнца в нем. Привлекая еще то обстоятельство, что Солнце находится весьма близко к галактической плоскости (т. е. к плоскости „экватора“ Млечного пути)*, о чем свидетельствует симметричный вид Млечного пути, в виде почти точного большого круга, опоясывающего небо,—мы получаем возможность построить схематический чертеж, изображающий сечение Млечного пути той его меридиональной плоскостью, которая проходит через Солнце (черт. 1). Направление на центр Млечного пути,— нам это видно с Земли, — соответствует, как это следует из формул теории вращения Млечного пути, созвездию Стрельца (a=17A30w, a = 30°; галактическая долгота / = 326°; галактическая широта й=0°). Масса центрального сгущения оказалась равной 263-1042 г,

* Результат нескольких исследований, произведенных за последние годы, приводит к такому значению расположения Солнца относительно галактической плоскости, именно: Солнце находится на расстоянии около 30 парсек от этой плоскости к югу, т. е. по направлению к созвездию Скульптора.

тогда как масса Млечного пути оказалась равной 333. 10« г, или 16,5 . 1010 масс Солнца.

Однако в связи с сказанным выше возникает ряд вопросов, почему мы не видим центрального сгущения Млечного пути, которое столь хорошо заметно на фотографиях ряда спиральных туманностей. Почему раньше считали (как, например, еще Каптейн в 1922 г.), что Солнце находится вблизи от центра звездной системы Млечного пути? Почему предыдущие работы, как, например, Шапли, приводили к диаметру Млечного пути порядка 1 000000 парсек?

Во второй половине прошлого и в начале настоящего столетий на основании замедленного роста числа звезд при переходе к все более и более слабым величинам, в каком бы направлении, т. е. участке неба, подсчеты ни производились, приходили к заключению, что звездная система Млечного пути конечна и что Солнце находится близ ее центра. Действительно, если бы звезды равномерно и бесконечно протяженно распределялись в пространстве, отношения числа звезд до какой-либо звездной величины к числу звезд до предыдущей звездной величины должно было бы равняться числу 3,98, логарифм которого равен 0,6. В действительности это отношение меньше и довольно правильно убывает для всех направлений в пространстве при переходе к все более и более слабым величинам, как это показывает следующая табличка, в которой числа верхней строчки обозначают звездные величины, а числа второй строчки — соответственные значения указанных отношений:

4 8 12 16 20

2.88 2.67 2.47 2.12 1.76

Отсюда и выводили, что Солнце находится в центре звездной вселенной, с уменьшающимся по всем направлениям числом звезд на единицу объема.

Однако в 1931 г. Трэмплер на обсерватории Лика (США) показал, что межзвездное пространство не является вполне прозрачным, а что свет претерпевает в пространстве поглощение, тем большее, чем ближе к галактической плоскости лежит луч света. Выводы Трэмплера были вскоре проверены целым рядом других астрономов и привели к такому среднему значению поглощения света в межзвездном пространстве: от 0,5 до 1,5 звездных величин на 1000 парсек для случая луча света, идущего вдоль галактической плоскости.

Поглощение света в пространстве вызывается наличием облаков, пыли, метеоритов, свободных атомов и электронов. В некоторых случаях эти облака можно видеть либо как бесформенные неправильные светлые туманности, светящиеся под влиянием освещения их светом близлежащих звезд (как, например, туманность Ориона, туманность в Плеядах), либо как черные места в Млечном пути, состоящие из облаков, поглощающих и экранирующих свет звезд, которые лежат за ними. В последнем случае туманность не светится, так как по соседству от нее нет достаточно яркой звезды.

Влияние поглощения света уменьшает число звезд тем более, чем к более слабым, а, следовательно, в среднем более далеким звездам мы переходим. Вследствие незнания поглощения света в пространстве замедленный прирост числа слабых звезд раньше и объяснялся центральным расположением Солнца в Млечном пути. Ясно также, что все размеры Млечного пути, определенные без учета влияния поглощения света в пространстве (Шапли), должны были получаться преувеличенными. Между прочим, диаметр Млечного пути, равный

Черт. 1.

30 000 парсек, получился также и у Стеббинса (1933 г.) при изучении распределения в пространстве шаровых звездных скоплений, после учета влияния поглощения света.

Между прочим, шаровые звездные скопления распределяются в пространстве несколько своеобразно. Они со всех сторон окружают Млечный путь, как это схематически изображено на чертеже 1 крестиками. Центр тяжести системы шаровых скоплений лежит, как оказывается, также по указанному направлению в созвездии Стрельца (галактическая долгота 327° по Шапли), повидимому, совпадая с центральным сгущением Млечного пути.

Повидимому, звездные скопления окружают каждую галактику, а не только наш Млечный путь. В 1932 г. Хэббл нашел 140 шаровых скоплений, окружающих туманность Андромеды, примерно также, как и наш Млечный путь*.

Изучение распределения этих скоплений, а также и новейшие измерения фона неба около туманности Андромеды при помощи точнейшего фотоэлектрического фотометра Стеббинсом в 1934 г. доказали, что размеры туманности Андромеды вдвое больше, чем это принималось до того времени, и составляют около 30000 парсек в диаметре.

Таким образом, 1934 г. принес нам два удара против остатков антропоцентризма, сохранившихся в звездной астрономии. Во-первых, подтверждено, что Солнце находится не в центре системы Млечного пути, а ближе к краю, и, во-вторых, доказано, что наш Млечный путь не является наибольшей звездной системой; есть, по крайней мере, еще одна, имеющая такие же примерно размеры (спиральная туманность в Андромеде).

Правда, большинство соседних с нами вселенных — галактик все же меньше нашего Млечного пути. Для уяснения строения ближайших окрестностей Млечного пути нами построен чертеж 2, который дает проекцию Млечного пути и

Черт 2.

* Им был найдены звездные скопления и около других звездных систем, или галактик (Млечных путей), как их называют.

его ближайших соседей на меридиональную плоскость Млечного пути, проходящую через Солнце. Для правильного уяснения картины необходимо иметь в виду следующее: 1) цифры, подписанные около каждой ближайшей вселенной, показывают, на сколько килопарсек шире и выше плоскости чертежа она располагается, 2) расположение созвездий указано на границах чертежа; сверху находится направление созвездия Кассиопеи, а снизу — созвездия Киля*, 3) масштаб дан в „килопарсеках“, т. е. в тысячах парсек, 4) звездные скопления ни в одной из галактик не отмечены. Обозначения галактик даны по каталогу Мессье (М) или по новому общему каталогу ( \GJ).

Нам думается, что приводимый чертеж поможет преподавателю астрономии лучше разобраться в строении соседнего с нами уголка большой вселенной, как иногда называют мир галактик.

Наконец, приведем результат исследования Рейнольдса (1934 г.), следуя которому, в сфере с радиусом 1000 килопарсек помещается 22 галактики плюс еще наш Млечный путь, про который самым курьезным образом забыл Рейнольде. Из этих 22 галактик 13 лежат в южном галактическом полушарии (нижняя часть чертежа 2) и только 9 — в северном. Таким образом, 1 галактика в среднем приходится на 5-Ю18 куб. парсек.

В новейшей же работе Хэббла (1934 г.) имеются две оценки: 1 галактика на 2,5 101в и 6,6-1016 куб. парсек. В этой же работе Хэббл, внимательным образом изучив 44000 галактик, сфотографированных на 1283 пластинках, снятых с 60- и 100-дюймовыми рефлекторами обсерватории Маунт-Вильсон, приходит к выводу о равномерном распределении галактик в пространстве. В самом деле, отношение числа галактик до д иной суммарной звездной величины к числу галактик предыдущей звездной величины оказалось постоянным и равным в точности числу 3,98 (см. выше).

Белые карлики

Известно, что имеются звезды исключительно большой плотности, принадлежащие тем не менее к белым или желтоватым, а отнюдь не к красным звездам— так называемые белые карлики. Есть основания предполагать, что белые карлики находятся в столь спрессованном состоянии вследствие того, что все звездные атомы полностью лишены электронов (ионизированы, или „ощипаны“ по образному выражению Эддингтона). Ряд астрономов, в том числе Милн и московский астроном Б. А.Воронцов-В ельяминов, склонны думать, что белые карлики отнюдь не являются редким исключением. В самом деле, низкая светимость карликов не позволяет видеть их издалека, так что мы вынуждены были до последнего времени ограничиваться лишь ближайшими к Солнцу участками вселенной (расстояние не свыше, примерно, 100 парсек). Кроме того, чтобы доказать принадлежность какой-либо звезды к крайне плотным белым карликам, нужно еще знание массы звезды, а это возможно лишь в том случае, если данная звезда является компонентом какой-либо двойной звезды. Так, было доказано, что знаменитый спутник Сириуса и один из компонентов тройной звезды 02 Эридана являются белыми карликами.

Однако в дальнейшем выяснилось, что заключить о принадлежности звезды к белым карликам можно и без знания масс. Достаточно лишь доказать, что данная белая звезда имеет много меньшую светимость, чем обычные белые звезды. Иными словами, белые карлики ложатся на много ниже обычных белых звезд на диаграмму Герцшпрунга — Рэсселла*.

С течением времени стала выясняться возможность того, что так называемые Новые звезды до и после вспышки являются белыми карликами. А так как в нашей галактике вспыхивает ежегодно около 1—2 десятков Новых звезд, то отсюда следует, что белые карлики встречаются чаще, чем это думали раньше.

В 1931 и 1934 гг. работами обсерваторий Маунт-Вильсона и Лика (США) доказано, что ядра планетарных туманностей также являются белыми карликами. Их абсолютная величина составляет около -f 10, тогда как их спектр принадлежит к спектральному классу 0**.

* Необходимо, однако, подчеркнуть слово направление, так как сами звезды, образующие данное созвездие, находятся, разумеется, в системе нашего Млечного пути.

* См. о ней «Астрономию» Попова П. И., Баева К Л. и Львова Н. Н., ч. 2-я, стр. 106., 1934 г.

** Об этих терминах см. тот же курс, стр. 75 и 69.

Это открытие, которое подозревал Б. П. Герасимович* в 1927 г., еще более роднит Новые звезды с планетарными туманностями. Милн и Воронцов-Вельяминов склонны считать планетарные туманности горячими звездами, выбросившими из своих недр вокруг себя в пространство часть (небольшую) своей материи. С другой стороны, те же астрономы рассматривают появление Новых звезд как результат отделения и выбрасывания внезапно раздувшейся звездой внешней газовой оболочки, причем вся звезда при этом сильно сжимается, переходя опять в состояние белого карлика.

В 1933 г. Б. В. Кукаркиным и П. П. Паренаго было доказано, что Новоподобной переменные звезды, так называемые типа U Близнецов, также относятся к категории белых карликов, с абсолютной величиной около 4- 10. Звезды типа U Близнецов являются переменными звездами, повторяющими через определенные промежутки времени, порядка 1—3 месяцев, картину вспышки Новых звезд, но в миниатюре. Ими было также доказано, что между логарифмом средней продолжительности одного такого цикла и амплитудой вспышки существует прямолинейная зависимость, сводящая качественно к одному и тому же процессу все многообразие амплитуд от 1 до 8 звездных величин и средних циклов от 2 дней до 35 лет. Последний цикл соответствует Новоподобной переменной RS Змееносца, вспыхнувшей в августе 1933 г. во второй раз и показавшей все отличительные спектральные характеристики обычной Новой звезды. Поэтому Кукаркин и Паренаго выдвинули предположение, что и обычные Новые звезды, обладающие амплитудами от 10 до 13 звездных величин, должны через весьма длинные промежутки времени снова вспыхивать. К сожалению, проверка этого предложения на опыте затруднена, так как средний промежуток времени между двумя вспышками у типичных Новых звезд получается около 3000 лет. Однако ими был выдвинут следующий аргумент. Принимая известную среднюю статистическую частоту вспышек Новых звезд и общее число звезд в Млечном пути, можно показать, что если не предполагать повторяющихся вспыхиваний Новых звезд, то звезд нашего Млечного пути нехватит, и придется все равно допускать, что все звезды рано или поздно вспыхивают, причем все же по нескольку раз. Однако такое допущение не вяжется с существующими теориями Новых звезд как вспыхивающих белых карликов и поэтому должно быть откинуто.

Поэтому приобретают большой интерес две статьи, появившиеся в самое последнее время (ноябрь 1934 г.). Водной из них Кипер находит среди сравнительно близких к нам звезд с измеренными параллаксами двух новых, белых карликов, а в другой швед Туоминен — еще целых пять. Таким образом, всего в соседстве с Солнцем становится известным уже 10 таких интереснейших звезд, которые по всему сказанному выше далеко не являются, надо думать, редчайшими объектами во вселенной.

ОБЗОР ЯВЛЕНИЙ НА НЕБЕ В ПЕРИОД ЯНВАРЬ — МАРТ 1935 г.

Проф. П. ПОПОВ (Москва)

Смотря на небо более или менее продолжительное время и повторяя многократно наблюдения в различные дни, мы скоро убеждаемся, что меняется общий вид звездного неба в течение одного и того же вечера и в один и тот же час вечера в разные дни и месяцы. Причинами таких изменений общего вида неба являются суточное вращение земли и годичное движение ее вокруг солнца, соответственно чему происходит изменение видимого положения Солнца на небе по отношению к звездам. Самые причины эти обусловливают ежегодную сезонную повторяемость видимости тех или иных созвездий на вечернем небе, полуденной высоты Солнца, времени восхода и захода его. Если мы

* Ныне директор Пулковской обсерватории

наблюдали, например, звездное небо в январе прошлого года, то мы можем быть уверены, что и в этом году в те же часы того же числа мы увидим в общем такое же расположение звезд над нашим горизонтом. Здесь мы предполагаем, что наблюдение производится с одного и того же места на Земле. Естественно, что с перемещением наблюдателя по географической широте, вид неба от одного этого будет меняться, так что полюс и близкая к нему Полярная звезда будут находиться на высоте, численно равной географической широте места наблюдения. Но наряду с изменениями, происходящими вследствие нашего перемещения, мы наблюдаем различные явления, связанные с движением самих небесных тел в мировом пространстве и изменениями, происходящими на них. Эти явления уже не распределяются правильно по сезонам, из года в год меняются и хотя тоже имеют свою периодичность, которая дает нам возможность их заранее предвидеть, но эта периодичность расходится с нашими годовыми сезонами, и притом для разных светил различно. Сюда относятся изменения фаз Луны, видимость планет и др.

Все это ставит перед всяким наблюдателем необходимость иметь календарь небесных явлений на данный период, ставит необходимость и перед преподавателем астрономии ориентироваться во всех предстоящих небесных явлениях, чтобы соответственно спланировать свою работу и не упустить тех явлений, которые могут быть наблюдаемы только в определенное время. Для того чтобы помочь преподавателю в этом, мы и будем помещать в номерах нашего журнала обзоры небесных явлений по кварталам. В настоящем номере дается обзор явлений первого квартала: январь — март включительно.

Звездное небо

Для ориентировки в отношении видимых на вечернем небе созвездий в данный период мы даем карту северной и южной половины неба для наблюдателя, живущего на географических широтах около 55°. От января к марту вид неба в один и тот же час вечера будет соответственно меняться, так, что созвездия восточной части неба с каждым вечером будут видны все ниже над горизонтом(Пегас, Андромеда,Рыбы, Овен), а в западной части будут подниматься выше и появятся новые созвездия из-за горизонта, которых раньше не было видно (Близнецы, Лев, Дева). На северной половине неба Б. Медведица из положения почти горизонтального в начале январских вечеров переходит постепенно к началу мартовских вечеров почти в вертикальное положение, вправо от Полярной звезды. Соответственно Кассиопея из положения почти зенитного спускается к западу, располагаясь налево от Полярной звезды, и Возничий с яркой звездой Капеллой поднимается в зенит, тогда как звезда первой величины Вега в созвездии Лиры виднеется уже у самого горизонта на севере.

Но наиболее интересный вид имеет в данный период южная сторона неба,

Черт. 1.

где располагаются красивейшие созвездия нашего северного неба. Среди них центральное место занимает Орион, состоящий из многих ярких звезд, у которых особенно выделяются посредине три рядом стоящие звезды, так называемый пояс Ориона, а несколько выше — красноватая Бетельгейзе и ниже — желтоватая Ригель. Следует отметить, что пояс Ориона лежит у самого небесного экватора. Левее и ниже Ориона — созвездие Б. Пса с самой яркой звездой нашего неба — Сириусом. Еще левее М. Пес с звездой первой величины Проционом. Над Орионом возвышаются зодиакальные созвездия Тельца и Близнецов. Как раз 1 февраля Процион проходил через меридиан (кульминировал) около 10 час. вечера. Вблизи этого же времени кульминирует и одна из ярких звезд Близнецов — Кастор.

Помимо большого количества интересных созвездий и отдельных ярких звезд, доступным для наблюдений являются ряд звездных скоплений и туманностей. Обращаем внимание на видимое простым глазом скопление Плеяды в созвездии Тельца, несколько правее и выше яркой звезды этого созвездия — Альдебарана. Интересно хорошо видное в бинокль двойное скопление в созвездии Персея, которое нужно искать ближе к границе с созвездием Кассиопеи. Знаменитую туманность в созвездии Андромеды можно в безлунную ночь усмотреть простым глазом и рассмотреть в бинокль. В небольшую трубу можно наблюдать туманность в созвездии Ориона, расположенную под его поясом. Там же можно усмотреть и кратную звезду, так называемую трапецию. Двойными являются также звезды: с Большой Медведицы, у Андромеды, Кастор, у Овна и др.

Падающие звезды наиболее заметны в следующие даты: январь 21—25; март—20—23, 27—31.

Солнце

Солнце проходит последовательно по созвездиям Козерога, Водолея и Рыб, приближаясь к точке весеннего равноденствия, а в полночь соответственно кульминируют диаметрально противоположные зодиакальные созвездия: Близнецы, Рак, Лев, Дева. Центр Солнца пересекает экватор в точке весеннего равноденствия в 15 час. 21 марта (по времени второго пояса).

Приведем некоторые данные о Солнце, пользуясь которыми можно найти полуденную высоту Солнца, перейти от наблюдения момента истинного полдня к моменту среднего полдня по местному времени (прибавляя уравнение времени).

Напоминаем, что вычисление полуденной высоты Солнца можно произвести по формуле: h = i-\- (90D—<р), где д — склонение Солнца, взятое с его знаком, ср—географическая широта места наблюдения. Например, для Москвы (ср = 55°45') 1 февраля, когда ô = — 17°17г, получаем h = — 17017'-f-34°15' = 16°58'.

Луна

Луна представляется весьма удобным объектом для наблюдения перемещения ее среди зодиакальных созвездий. В рассматриваемый период Луна трижды пов-

Черт. 2.

торила это прохождение, одновременно меняя свои фазы. Приведем таблицу наступления фаз луны (время второго пояса, переведенное на час вперед): Новолуние январь 5 8 час. 20 мин.

Первая четверть 11 23 » 55 .

Полнолуние 19 18 , 44 ,

Последняя четверть 27 22 , 59 ,

февраль 3 19 час. 27 мин. март 5 6 час. 40 мин. 10 12 . 25 , 12 3 ,30 ,

18 14 , 17 . 20 8 я 31 ,

26 13 , 14 , 27 28 , 51 .

19 января 1935 г. было полное затмение Луны:

Вступление Луны в полутень 15 час. 39 мин.

Вступление в тень 16 » 53 ,

Начало полного затмения 18 , 4 .

Средина затмения 18 , 47 ,

Конец полного затмения 19 , 31 .

Схождение тени /0 . 41 „

Схождение полутени 21 , 55 ,

Планеты

Меркурий. Ближайшая к Солнцу планета Меркурий может быть с трудом найдена тотчас же после захода Солнца еще в лучах его зари, в моменты наибольшего его удаления от Солнца к востоку. Такое положение Меркурия было 1 февраля 1935 г. — в это время он был удален от Солнца на 18°. Через несколько дней, а именно 4 февраля (на второй день после новолуния), произошло соединение Меркурия с Луной, причем Меркурий был около 2° к югу от Луны.

Еще дальше от Солнца отходил Меркурий 15 марта, но это было западное удаление и, значит, в это время можно было найти Меркурий только в лучах утренней зари, перед восходом Солнца.

Венера особенно выделяется своей яркостью, когда она появляется на западе после захода Солнца или когда предшествует Солнцу на востоке. В начале рассматриваемого периода Венера вовсе не была видна, теряясь в лучах Солнца. Но в конце февраля Венеру можно было заметить в виде вечерней звезды, показывающейся на западной стороне неба тотчас же после захода Солнца, и дальше к весне она все выше поднимается над горизонтом после захода Солнца. Наблюдая Венеру в зрительную трубу с промежутками в полмесяца или месяц, можно заметить, как она, видимая сначала маленьким кружком, представляется затем все в более урезанном виде, обнаруживая фазы, подобно Луне.

Наибольшего удаления от Солнца на 45° Венера достигнет только в июне. В соединении с Луной Венера была 5 февраля и 7 марта. И в том и в другом случае это было вскоре после новолуния, когда Луна появилась в виде узкого серпа.

Марс шел прямым движением с запада на восток по созвездию Девы, несколько севернее звезды первой величины в этом созвездии, известней под названием Спика. Вместе с ней Марс восходил в январе только после полуночи. Но чем дальше, тем раньше он появлялся над горизонтом, и в конце марта его можно было видеть с вечера. Марс легко отличить от остальных звезд по его красному цвету. Таким образом, к весне видимость Марса улучшается. Одновременно он все ближе подходит к Земле, приближается к моменту противостояния, которое происходит в апреле.

Следует использовать весеннее время для наблюдения над изменением положения Марса среди звезд, с зарисовкой этого положения на карте. Для этого надо скопировать с звездной карты область созвездия Девы. Надо заметить, что в январе и феврале Марс идет прямым движением, находясь сначала близ Девы, а затем продвигаясь до Девы. 27 февраля Марс останавливается, после этого идет обратно попятным движением и возвращается по направлению к у Девы. Это попятное движение продолжается до 17 мая.

Юпитер находится в еще менее благоприятных условиях наблюдения, чем Марс. Он идет по созвездию Весов и может быть виден только далеко за полночь, к утру. К марту его видимость несколько улучшается, он начинает восходить уже до полуночи. Лучше всего наблюдения над Юпитером производить в последующие весенние месяцы.

Сатурн, идя по созвездию Водолея, в течение всего периода не виден на небе, находясь под горизонтом. Наилучшим временем для его наблюдения в этом году являются осенние месяцы.

Заканчивая обзор главнейших явлений на небе на первый квартал наступившего 1935 г. и предполагая в дальнейших номерах журнала продолжить эти обзоры на следующие периоды времени, я обращаюсь к товарищам преподавателям с просьбой высказать свои пожелания, что дают им для их работы эти обзоры и чего в них нехватает.

ЧАСТНАЯ МЕТОДИКА

ТРИГОНОМЕТРИЯ ОСТРОГО УГЛА

П. САПУНОВ (г. Владимир)

При концентрическом прохождении тригонометрии в состав I концентра входит тригонометрия острого угла, где тригонометрические функции определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Содержание I концентра обычно определяется следующими вопросами:

1) понятие о тригонометрических функциях;

2) решение прямоугольных треугольников;

3) вывод соотношений между тригонометрическими функциями одного и того же угла.

Являясь сторонником концентрического прохождения тригонометрии и придавая огромное значение I концентру для дальнейшего изучения этого отдела математики, а также для всевозможных приложений его, я хотел бы высказать несколько соображений по вопросу о том, как добиться лучших результатов в деле приобретения учащимися навыков работы с тригонометрическими функциями.

I. Прежде всего нужно добиться того, чтобы у каждого учащегося было самое отчетливое усвоение понятий о каждой из тригонометрических функций. Добиваться этого необходимо не путем голого заучивания определений тригонометрических функций, которого хватает очень и очень не надолго, а при помощи решения целого ряда разнообразных примеров, связанных с применением этих определений. Только в этом случае можно рассчитывать, что они запомнятся учащимися прочно и надолго. К таким примерам мы относим следующие:

1) приближенное вычисление тригонометрических функций углов треугольника по данным или измеренным сторонам его;

2) построение угла по численному значению его тригонометрических функций;

3) вычисление любой тригонометрической функции, когда известна одна из них;

4) выражение тригонометрической функции через любую из остальных;

5) вычисление тригонометрических функций углов в 30°, 45° и 60°.

Обычно решение третьего, четвертого и пятого вопросов откладывают до прохождения основных соотношений между тригонометрическими функциями одного и того же угла и в то же время чрезвычайно мало решают примеров первого и второго типов. Поэтому учащиеся, имея дело с определениями основных понятий тригонометрии в течение 2-3 уроков, этих определений не усваивают в достаточно отчетливой форме. С другой стороны, не запомнив всех необходимых основных соотношений между тригонометрическими функциями одного и того же угла, учащиеся обычно бывают в большом затруднении разрешить любой из вопросов под № 3, 4 и 5.

При посещении одного из уроков тригонометрии вполне опытного преподавателя нам пришлось наблюдать такую курьезную картину.

Одному из средних учащихся был дан пример: tg а = 2, найти cos а. Учащийся — в тупике, не может приступить к решению примера. Преподаватель просит нас изменить формулировку вопроса, заменив „найти cos а“ словами „найти остальные тригонометрические функции а“. После изменения формулировки вопроса решение примера было доведено до удовлетворительного конца, так как учащийся все необходимые формулы помнил. После урока выяснилось, что

преподаватель не решал с учащимися примеров с такой формулировкой.

Мы склонны думать, что целесообразнее было бы решать примеры всех указанных выше типов при помощи только одних определений тригонометрических функций. В результате такого способа решения у учащихся, с одной стороны, укрепятся в памяти определения тригонометрических функций, а с другой стороны— сэкономится большое количество времени и бумаги.

Продемонстрируем образцы решения примеров указанных типов.

а) Найти cosa, если tga^=~. Строим прямоугольный треугольник с углом a (черт. 1).Так как tga = -^, то катетами треугольника являются отрезки в 2 и 3 каких-нибудь единицы длины (при построении треугольника нет надобности соблюдать строгое соотношение сторон).

По теореме Пифагора находим гипотенузу (при небольших числовых значениях сторон треугольника можно не фиксировать записью процесс нахождения неизвестной стороны, а, вычислив ее в уме, поставить числовое значение ее на чертеже).

Из чертежа 1 по определению функции косинуса пишем прямо ответ:

Чертеж дает также возможность сразу написать числовые значения всех остальных функций по их определениям.

б) Выразить cosec а через tg а (черт. 2).

Обозначим значение той функции, через которую требуется выразить другую (или другие), т. е. tga через т:

tg <2 = /гг.

Строим прямоугольный треугольник с углом a и катетами m и 1 (черт. 2). Тогда гипотенуза будет равна [/т2-\-\;

в) Найти sin 45° (черт. 3).

Строим прямоугольный треугольник с углом в 45°. Так как в прямоугольном треугольнике с углом в 45° катеты равны, то полагая каждый из них равным 1 ед. длины, получим значение для гипотенузы 1/2.

Следовательно:

Для вывода тригонометрических функций углов в 30° и 60° необходимо предварительно напомнить учащимся или вывести вновь, что катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, т. е. отношение катета, лежащего против угла в 30° к гипотенузе, равно « •

Черт. 1.

Черт. 2. Черт. 3.

II. Придавая большое значение вопросу решения прямоугольных треугольников, считаем необходимым, чтобы в результате проработки этой темы учащиеся четко знали все формулы решения прямоугольных треугольников и могли безошибочно применять любую из них.

Нам неоднократно приходилось быть свидетелем примерно следующего оформления нахождения элемента прямоугольного треугольника (черт. 4):

Мы называем такой способ решения .хищническим способом“, расхищающим драгоценное время и преступно уничтожающим бумажные резервы.

III. Перейдем к вызоду соотношений между тригонометрическими функциями одного и того же угла.

Ценность вывода какого-либо положения определяется тремя качествами: краткостью, ясностью и наглядностью.

Этими качествами и обладает вывод основных соотношений, данный В. А.

Крогиусом в его тригонометрии для рабфаков, техникумов и школ взрослых повышенного типа (Учпедгиз, 1931 г.)

Строим прямоугольный треугольник с углом а и гипотенузой, равной 1 ед. длины. Тогда катеты будут содержать: sin а ед. дл. и cos а ед. длины (черт. 5).

Назовем этот треугольник основным тригонометрическим треугольником. По теореме Пифагора имеем:

sin2a + cos2a = l. (1)

На основании определений тригонометрических функций получим остальные четыре формулы:

(2)

(3) (4) (5)

Для получения следствий из основных формул строим прямоугольные треугольники с катетом, прилежащим к углу а и равным 1 ед. длины, а также с катетом, противолежащим углу а и также равным 1 ед. длины.

На основании формул решений прямоугольных треугольников получим:

Применяя к треугольникам теорему Пифагора, получим:

l + tg2a = sec2a (6)

1-f ctg2a = cosec2a. (7)

Применяя формулы решения прямоугольных треугольников, получим:

(8) (9) (10)

Так как значения гипотенуз в последних двух треугольниках получились на основании формул (4) и (5), то формулы (6), (7), (8), (9) и (10) являются след-

Черт. 4.

Черт. 5.

Черт. 6.

ствиями первых пяти формул, что можно еще раз обнаружить алгебраическим методом.

Таким образом, имея в своем воображении основной тригонометрический треугольник и два вспомогательных, нетрудно написать любую из формул.

Знание выведенных формул необходимо приложить к решению следующих вопросов:

а) упрощение тригонометрических выражений;

б) доказательство справедливости тригонометрических тождеств;

в) решение тригонометрических уравнений.

При решении вопроса упрощения тригонометрических выражений считаем необходимым заострить внимание учащихся на значении выражения „упростить“, так как только в таком случае учащийся будет иметь целевую установку.

„Упростить тригонометрическое выражение“— это значит: преобразовать данное тригонометрическое выражение так, чтобы оно содержало наименьшее количество тригонометрических функций и наименьшее количество действий.

При доказательстве справедливости тригонометрических тождеств необходимо обратить внимание учащихся на следующие три способа: 1) преобразование левой части тождества до тех пор, пока не получится правая часть, которая таким образом является ориентировочным ответом (путеводною звездой); 2) преобразование правой части до получения левой; 3) одновременное преобразование обеих частей до тех пор, пока не получится очевидное тождество.

Что касается вопроса решения тригонометрических уравнений, то здесь необходимо ограничиться преимущественно решением только таких простейших уравнений, корнями которых являются углы в 30, 45 и 60° (частные решения)!

Во многих частных случаях упрощение тригонометрических выражений и доказательство справедливости тригонометрических тождеств может быть значительно облегчено, если применять следующие вспомогательные формулы:

а также следствия из них, дающие возможность любую из тригонометрических функций выразить через произведение двух других функций:

3) tg а = sin a-sec а;

4) ctga = cosa-coseca;

5) sina = tga-cosa;

6) cos а = ctg a-sin а;

7) seca = tga-coseca;

8) coseca = ctga-seca.

Громадную службу может сослужить знание следующих алгебраических тождеств:

т. е. сумма (разность) двух величин равна сумме (обратной разности) величин обратных, умноженной на произведение двух первых величин. Одной из этих первых величин или обеими могут быть любые тригонометрические функции и в любых степенях. Примеры:

1)

2) Доказать справедливость тождеств:

3)

4)

5)

50% тождеств из § 3 стабильного задачника по тригонометрии Н.Рыбкина легко доказываются при помощи вышеприведенных алгебраических тождеств.

IV. К вопросам I концентра считаем вполне целесообразным отнести и вопрос об обратных круговых функциях по следующим соображениям:

1) Обычно этот вопрос проходится в средней школе одним из самых последних, накануне выпуска учащихся из школы, а потому на него уделяется минимум внимания, а то и вовсе никакого внимания за недостатком времени. Поэтому учащиеся, оканчивая среднюю школу, в лучшем случае имеют самые смутные представления об обратных круговых функциях. А, между тем, этот вопрос имеет немаловажное значение для изучения высшей математики. Учащиеся, попадающие в вузы и втузы, остро ощущают этот пробел в программе средней школы и в своих письмах к бывшим преподавателям математики указывают на этот недостаток.

2) Заблаговременное знакомство учащихся с обратными круговыми функциями дает возможность для них вполне свыкнуться с символами их, приобрести технику простейших операций над ними, научиться применять их там, где это вызывается необходимостью, и широко пользоваться ими, вполне осознав их назначение, не выказывая недоумения, как это обычно имеет место, по поводу включения этого вопроса в программу средней школы.

3) Прохождение обратных круговых функций в самом конце курса тригонометрии обычно носит схоластический характер; оно не связано с наглядными представлениями, оторвано от каких бы то ни было приложений, а потому вполне естественно, что этот вопрос усваивается учащимися очень плохо, вызывая лишь одно недоумение.

Прохождение вопроса об обратных тригонометрических функциях мыслится нами в I концентре в следующем виде:

1. Понятие об обратных тригонометрических функциях.

Пусть имеется прямоугольный треугольник со сторонами в 3, 4 и 5 ед. длины (черт. 7).

Часто бывает надобность выражать острые углы треугольника не при помощи букв, а при помощи отношений сторон его. Если в треугольнике известны все стороны, то каждый из острых углов может быть выражен шестью способами.

Так, угол, лежащий против катета в 4 ед. длины, можно определить следующими словами:

1) угол, синус которого g-,

2) угол, косинус которого у,

3) угол, тангенс которого — ,

4) угол, котангенс которого

5) угол, секанс которого

6) угол, косеканс которого .

Условились такие формы определения угла сокращенно записывать следующими символами:

Во всех этих символах первые три буквы — arc - заменяют собой слово угол.

После установления обозначения угла новым символом следует поупражнять учащихся в составлении таких символов на примерах такого вида:

Написать внутри углов прямоугольного треугольника с катетом в 2 ед. длины и гипотенузой в 3 ед. длины их символические обозначения. В результате каждый угол будет обозначен двояким способом.

После закрепления обозначения углов новыми символами можно перейти к

Черт, 7,

построению углов, заданных этими символами (построить : arc sin , arc cos “2 , arc tg 3, arc ctg 2, arc sec — , arccosec4).

Для установления функциональной зависимости между углом и отношением сторон можно проделать такой пример: Построить arctg 1, arctg 2, arctg 3. arctg4,....., arctgx.

Этот пример покажет, что с изменением отношения катетов изменяется и угол, т. е. угол является функцией отношения катетов.

При установлении понятий о тригонометрических функциях было выяснено, что отношения сторон прямоугольного треугольника есть тригонометрическая функция угла, который являлся, таким образом, аргументом.

В разбираемом же примере аргументом является отношение сторон, а функцией — угол. Поэтому-то углы прямоугольного треугольника и называют обратными тригонометрическими функциями. Изменяемость обратных тригонометрических функций можно проследить на следующих трех треугольниках (см. черт. 8).

При неизменности стороны треугольника, равной 1 ед. длины, и изменяемости стороны, обозначенной буквой х, происходит деформация треугольника, влекущая за собой изменяемость обратных тригонометрических функций. Те же треугольники дадут возможность судить об изменяемости аргументов обратных тригонометрических функций, а также вывести свойства обратных тригонометрических функций.

arc sin X -f- arc cos x = 90° arc tg x + arc ctg x = 90° arc sec x + arc cosec x = 90°.

2. Связь между прямыми и обратными тригонометрическими функциями.

Берем следующие три прямоугольных треугольника (см. черт. 9).

На основании определений прямых и обратных тригонометрических функций получим:

Из первого треугольника:

x = smy; x = cosz;

у = arc sin x; z = arc cos x.

Из второго треугольника:

x = secy; x = cosec z; y = arc sec x; z = arc cosec x.

Из третьего треугольника: x = tgj/; x = ct%z; y = arctg x; z = arccotgAr.

Таким образом, если поменять местами буквы, выражающие собой аргумент и функцию, то в записи прямой функции добавится приставка arc, а в записи обратной функции эта приставка исчезнет.

Практические применения перехода от одной формы записи к другой осуществляются на решении тригонометрических уравнений с буквенными и численными коэфициентами, когда решение невозможно довести до конца или когда это

Черт. 8,

решение не хотят довести до конца, а также на вычислении обратных тригонометрических функций. Соответствующие примеры:

Решить уравнение: а = Ь$т х;

Решить уравнение: 2\%х—1—0;

3. Нахождение прямой функции, аргументом которой является обратная.

Здесь, прежде всего, нужно обратить внимание учащихся на то, что нахождение прямой функции от обратной, сходной по наименованию, а также и обратно: нахождение обратной функции от прямой, сходной по наименованию, есть операции, взаимно уничтожающие друг друга, т. е. взаимно-обратные.

Это непосредственно вытекает из рассмотрения трех, аналогичных вышеприведенным, пар треугольников.

Найти Пусть тогда

После 2—3 примеров задачи третьего типа должны решаться сразу без перехода к прямой функции.

Треугольники дают:

х - arc >.п(чп*). X = sin (arc sin х).

Вытекает это также и из простого логического заключения. Решение примеров на определение прямой функции, аргументом которой является обратная, не сходная с прямой по наименованию, рекомендуем производить следующим образом:

Найти tg ^arc sin -i ^ (черт. 11),

1) Строим arc sin .

2) Находим неизвестный катет ai

Черт. 9

Черт. 10.

Черт. 11.

Черт. 12.

3) Находим ответ:

Найти sin (arctg*) (черт. 12).

1) Строим arctgAT.

2) Находим неизвестную гипотенузу с

3) Находим ответ:

ПРЕПОДАВАНИЕ ВТОРОГО КОНЦЕНТРА ТРИГОНОМЕТРИИ

Функции вообще и в частности тригонометрические функции

ШЕВЧЕНКО (Москва)

Этот отдел имеет целью включить в семью известных уже учащимся функций некоторый новый вид функций. Для этой цели необходимо вспомнить и подытожить то, что вообще известно ученикам о функции. Если запас знаний о функции и функциональной зависимости у учащихся небольшой, то здесь будет уместно его расширить.

Учащиеся уже знакомы из алгебры с понятием о функции. Им известны многочисленные примеры функциональной зависимости. Они знакомы также с графическим изображением функциональной зависимости. Здесь же следует им напомнить о различных классах функций и указать некоторые свойства функций, полезные для изучения тригонометрии.

Полезно остановиться на следующих вопросах: непрерывность и разрывность функций, связь изменения знака функции с прохождением ее через нуль, бесконечность, возрастание и убывание функций, функции прямые и обратные, функции однозначные и многозначные, функции явные и неявные.

Само собой разумеется, что здесь не должно быть и намека на строгое изложение теории функций. Каждый вывод разъясняется исключительно с помощью примеров. Для примеров нужно брать функции алгебраические. С помощью этих функций можно, например, показать разрывы непрерывности. Можно указать, что для функции типа f(x) — kx теорема сложения принимает наиболее простой вид f(a -f b) = f(a) + f(b), но для других функций этого уже не будет, например для функции f(x) = x2> то же самое и для тригонометрических функций.

Тригонометрические функции любого угла

Углы любой величины мы не советовали бы вводить сразу. Естественный порядок ознакомления с этими углами будет такой. После острых и тупых углов, вполне понятных нашему ученику, мы показываем ему сверхтупые углы, т. е. углы больше 180°. Мы указываем ему на то, что в обычном курсе планиметрии встречаются только острые и тупые углы. Происходит это потому, что планиметрия рассматривает лишь простейшие, т. е. выпуклые, многоугольники. Но совершенно очевидно, что вокруг себя мы можем на каждом шагу встречать многоугольники со сверхтупыми углами, т. е. вогнутые многоугольники. Нужно сказать ученикам, что такие многоугольники не являются большой редкостью, мы просто не обращаем на них внимания. Нередко мы созна-

Черт. 1. Черт. 2.

тельно игнорируем такие многоугольники, потому что, дескать, они не встречаются в геометрии. Но совершенно очевидно, что не реальную действительность нужно подгонять под геометрию, а геометрия должна отражать реальную действительность. Нужно изобразить несколько многоугольников со сверхтупыми углами и преодолеть то психологическое равнодушие или даже противодействие, с которым ученик встречает такие многоугольники. Для этой цели не мешает перенести на вогнутые многоугольники некоторые теоремы, рассмотренные в свое время для выпуклых многоугольников, например вопрос о диагоналях, вопрос о сумме внутренних углов, вопрос о площади и т. п.

Многие методисты говорят, что нужно пораньше довести до сознания учащихся идею возникновения углов от вращения. С этим спорить не приходится. В наше время, когда элементы движения, динамики и переменной величины настойчиво просятся в геометрию, невозможно возражать против такого положения.

Но мы полагаем и считаем нужным обратить на это внимание преподавателя, что нельзя сразу, как только ученики вошли в класс, заговорить с ними об углах, получающихся в процессе вращения. При такой постановке вопроса мы совершенно игнорируем жизненный опыт ученика (что почти преступно) и не только не вносим ясности в постановку вопроса своим новым подходом к углу, а, наоборот, комкаем этот вопрос.

В самом деле, как бы далеко ни ушла в своих успехах педагогика, она не в силах заставить ученика в детский период его жизни воспринимать угол в динамическом состоянии.

В течение нескольких лет своей жизни, когда ребенок накопляет зрительные впечатления для своей последующей жизни, он воспринимает угол исключительно в статическом состоянии. Его первые впечатления связаны со статическим представлением угла. Угол для него — это неопределенная часть плоскости, заключенная между двумя полупрямыми.

Когда он рассматривает свои картинки или строит домики из кубиков, когда он оперирует столбиками, палочками, карандашами, когда он из окна своего дома смотрит на крыши окружающих домов или на разноцветные полосы отдаленных полей, когда он рассматривает причудливый узор решеток, оград, палисадников, когда он, стоя у перекрестка, смотрит на убегающую вдаль дорогу — всюду угол неизменно представляется ему в статическом состоянии. Игнорировать эти факты невозможно. Мы не говорим, что ребенок никогда не видит вращения — сколько угодно, но мы утверждаем, что он не воспринимает угла в этом вращении.

Поэтому мы советуем преподавателю изложить ученикам новую точку зрения на угол. Не нужно ничего комкать, затушевывать и сглаживать, а нужно, наоборот, подчеркнуть, что преподносится нечто новое. Симон как бы нечаянно в своей дидактике обронил фразу: „Угол служить вместе с тем мерой величины вращения“. Вот на это „вместе с тем“ мы и обращаем внимание преподавателя. Здесь-то и нужно, нисколько не покушаясь на старые впечатления ученика, „вместе с тем“ привести ему множество примеров вращения и показать, что мерой вращения является угол; после этого он представит себе угол в новом аспекте: это уже будет величина поворота полупрямой, вращающейся около неподвижной точки.

Не следует принимать радиус окружности за единицу. Если преподаватель станет это делать, то он сам создает себе две трудности: во-первых, ученикам будет казаться, что теория все время излагается применительно к какому-то частному случаю и, во-вторых, ученики привыкнут смотреть на тригонометрические функции как на отрезки. Наконец, предлагая считать радиус за единицу, мы вводим все-таки некоторое дополнительное условие; это условие может показаться произвольным и, кроме того, ученик всегда должен будет помнить об этом условии. Поэтому гораздо

Черт. 3.

Черт. 4.

целесообразнее брать окружность произвольного радиуса.

Тригонометрические линии, т. е. перпендикуляры, касательные, секущие, не нужно давать сразу в готовом виде, иначе опять преподавателю трудно будет ответить на ряд вопросов. Тригонометрические линии должны возникать по мере надобности. Можно итти, примерно, по такому пути. Преподаватель уже установил, что на дальнейшем этапе изучения тригонометрии мы будем иметь дело с углами любой величины. В силу этого треугольник теперь уже будет неподходящей иллюстрацией. Мы берем другую иллюстрацию, именно: окружность, радиус которой при своем вращении может образовать какой угодно угол со своим первоначальным положением.

Это первый факт, который необходимо подчеркнуть. Второй факт, подлежащий рассмотрению, состоит в следующем. Было бы очень удобно, если бы все тригонометрические функции выражались числами, приведенными к общему знаменателю. Когда мы пользовались треугольником, это было невыполнимо, мы теперь поступим иначе. Мы будем выражать тригонометрические величины отношениями известных отрезков к радиусу.

Приняв все это во внимание, мы берем окружность произвольного радиуса, строим два взаимно-перпендикулярных диаметра и, приведя радиус во вращение, начинаем искать отрезки, отношения которых к радиусу дадут нам тригонометрические величины. Синус и косинус появятся очень быстро, потому что ученики не задумаются опустить перпендикуляр из конца подвижного радиуса и увидят знакомый им прямоугольный треугольник, на этот раз расположенный внутри окружности.

Когда же ученики станут искать подходящую линию для тангенса, то они увидят, что полученный треугольник для указанной цели не подходит. Придется взять какой-нибудь другой треугольник, но с тем же самым углом, т. е. треугольник, подобный первому. То обстоятельство, что искомая линия тангенса должна быть перпендикулярна к радиусу, заставит нас искать ее вне окружности. Нетрудно сообразить, что она будет касательной к окружности. Но в какой точке, в конце ли неподвижного или в конце подвижного радиуса? Если ученики никогда не видели традиционного рисунка, встречающегося в большинстве учебников, и если в построении этой линии они будут предоставлены самим себе, то чертежи у них получатся разные. У одних получится единственная касательная, имеющая вертикальное направление, у других получится касательная, меняющая свое направление вместе с вращающимся радиусом.

Преподаватель должен объявить ученикам, что оба чертежа правильны, что можно пользоваться и одним и другим. Конечно, в дальнейшем из двух чертежей придется выбрать один, и возникнет вопрос: какой же именно? Почему именно один чертеж следует избрать в качестве постоянного — объяснить не трудно. Ведь этим постоянным чертежом ученики в дальнейшем при изучении тригонометрии будут пользоваться, и второй чертеж будет сбивать с толку, особенно лиц, обладающих зрительной памятью.

На каком чертеже остановиться? Мы полагаем, что лучше построить вертикальную касательную в конце неподвижного радиуса и при этом нужно объяснить ученикам, почему мы предпочитаем именно этот чертеж. Такой чертеж легче выполнить, вертикальную линию проще провести, чем наклонную, кроме того, пользуясь этим чертежом, мы проводим раз навсегда одну касательную; в противном случае нам пришлось бы для каждого угла проводить новую касательную. Наконец, нам легче судить о длине вертикальной линии, чем о длине наклонной. Итак, мы остановимся на традиционном чертеже. Но о втором чертеже тоже нужно помнить: в процессе преподавания этот второй чертеж может принести большую пользу.

Перейдя к углам второй четверти, учащиеся без труда построят линии синуса и косинуса. Им придет здесь на помощь знакомый еще из первого концентра образ тупоугольного треугольника. Но построить линию тангенса будет безусловно трудно, и очень сомнительно, что ученикам придет в голову мысль продолжить вниз вертикальную касательную, построенную в правом конце горизонтального диаметра. Скорее всего они построят вторую верти-

кальную касательную в левом конце горизонтального диаметра. Преподаватель, конечно, не может запретить строить касательную с левой стороны и не должен называть это построение неправильным. Нужно поставить дело так, что речь идет об удобной иллюстрации уже установленного факта. Учащиеся знают еще из первого концентра, что тангенс есть отношение синуса к косинусу и что для тупых углов тангенс будет отрицательным. Теперь нужно только для этого тангенса найти удобную иллюстрацию или геометрический образ, который давал бы представление и о его величине и о его знаке.

Конечно, можно касательную построить и с левой стороны, но тогда у нас и положительный и отрицательный тангенсы геометрически будут изображены отрезками, направленными вверх. Ученики поймут, что как наглядный образ такая касательная неудобна, ибо она противоречит обычному представлению об отрицательно-направленных отрезках. При такой постановке вопроса у учащихся уже не возникнет недоумения по поводу того, что для линии тангенса мы строим только одну касательную и используем для положительных тангенсов верхний конец ее, а для отрицательных — нижний.

При изучении тангенса трудно будет выяснить факт перемены знака у тангенса при прохождении его через 90°. Здесь полезно будет напомнить то, что было сказано в предыдущем отделе о связи, существующей между изменением знака и прохождением функции через бесконечность. В порядке отдаленной аналогии можно сослаться на путешественника, который, отправившись в кругосветное путешествие в западном направлении, возвращается обратно в свой родной город с востока.

Нет никакого сомнения, что когда дело идет о положительной и отрицательной „бесконечностях“, мы должны отказаться от надежды вполне отчетливо представить их соотношения с точки зрения наших конечных впечатлений. Однако некоторые аналогии будут здесь не бесполезны.

Построим график тангенса на большом листе бумаги и затем свернем этот лист так, чтобы все -f- оо, расположенные в верхнем конце нашего чертежа, соединились с — оо, расположенными в нижнем конце нашего чертежа. При таком изгибании чертежа ось х-ов будет итти по поверхности цилиндра параллельно оси цилиндра. Наблюдатель, конечно, находится в области, расположенной вблизи оси х-ов, так как точки, идущие вверх по оси _у, уходят в бесконечность и, стало быть, для наблюдателя они недоступны. Так как наблюдатель не может удаляться от оси х-0Ву то все расстояния по оспу должны представляться ему чрезмерно большими, а обратная сторона цилиндра является вовсе недоступной, уходящей в бесконечность.

Формулы .приведения“

Классифицировать формулы „приведения“ можно и по аргументам и по функциям. В большинстве учебников принята первая классификация, т. е. выводятся формулы „приведения“ всех шести функций для одного какого-нибудь аргумента, например для (90° + а). Эти шесть равенств составляют первую группу формул; потом выводятся формулы приведения для угла(180° — а); эти новые шесть равенств составляют вторую группу формул и т. д. Можно, конечно, придерживаться второй классификации, т. е. вывести сначала формулы „приведения“ для синуса всех возможных углов (90° — а; 90°-[-а; 180° — а и т. д.), потом для косинуса и т. д.

Первая классификация облегчает самый процесс вывода. Мы изображаем окружность с необходимыми линиями, выводим шесть равенств, допустим для случая (90°-|-а), потом стираем этот рисунок, делаем новый чертеж, например для случая (180° — а), снова выводим шесть равенств и т. д. Выводить все формулы применительно ко второй классификации было бы, пожалуй, утомительнее.

Однако после вывода всех этих формул полезно расположить их еще

Черт. 5 Черт. 6.

Черт. 7.

в другом порядке, т. е. объединить их не по аргументам, а по функциям. Получится следующая таблица, состоящая из шести групп формул:

Такая таблица полезна в том отношении, что она дает цельное представление о каждой функции в отдельности. Во многих случаях (например при построении графиков) важно иметь перед глазами таблицу, дающую представление именно о данной функции при различных значениях аргумента.

Результаты этих двух таблиц, одной — объединяющей функции по аргументам, и другой — объединяющей функции по названиям функции, можно выписать в виде одной таблицы, устроенной по типу пифагоровой таблицы умножения. Такие таблицы имеются в учебниках, например у Шмулевича и у др. Мы считаем, что самое составление такой таблицы, в которой искомый результат находится на пересечении „строки“ и „столбца“, будет полезно для учащихся, так как нередко они не умеют пользоваться такими таблицами.

42 формулы „приведения“ воспроизводятся учащимися, конечно, с помощью известного мнемонического правила. Но для выработки уверенности и быстроты в применении этого правила необходима некоторая специальная тренировка. Преподаватель найдет в любом задачнике большое количество упражнений на формулы „приведения“. Усвоению формул будет способствовать и самостоятельное составление указанной таблицы. Заполнять таблицу полезно не подряд, а вразбивку. Этой же цели служит и составление числовых таблиц такого типа:

I

Помимо мнемонического правила, на первых порах полезно пользоваться стенным мнемоническим кругом. Круг этот окрашивается в два цвета; один цвет будет соответствовать области изменения названий тригонометрических функций, а другой - области неизменяющихся названий. Так как мы обычно „приводим“ функции к наименьшему аргументу, то на мнемоническом круге мы и берем все время „альфу“ не больше 45°.

Формулы сложения

Эту тему можно начать с рассмотрения какой-нибудь физической задачи, решение которой приводится к равенству, содержащему тригонометрические функции сложного аргумента: a±ß. Если класс имеет плохую подготовку, и задача из физики будет ему не по силам, то можно предложить какое-нибудь тригонометрическое уравнение типа

sin (а ± х) — п sin х.

И задачу и уравнение следует рассматривать только как стимул для того, чтобы приступить к изучению новой серии формул.

Первый вопрос, подлежащий выяснению при разработке этой темы, заключается в установлении того факта, что синус суммы углов не равен сумме синусов этих углов. Если преподаватель начнет с того, что напишет на доске равенство sin(T-f-ß) = sina-f-sinß и спросит, истинное оно или ложное при произвольных а и ß, то всегда найдется в классе несколько учеников, которые признают это равенство истинным. Каждый ученик, признающий это равенство истинным, мыслит, конечно, оригинально. Один подойдет к вопросу совершенно примитивно, т. е. „раскроет“ скобки в левой части, другой будет утверждать, что чертеж натолкнул его на эту мысль, третий будет ссылаться на какой-нибудь частный случай, четвертый, может быть, проверял это равенство, подставляя малые углы вместо а и ß, и мог заметить, что при этом условии левая часть мало отличается от правой.

Все эти возможности преподаватель должен учесть и дать исчерпывающие разъяснения по всем вопросам. Преподаватель использует в этот момент и чертежи и натуральные тригонометрические таблицы.

Что касается метода доказательства или вывода формул сложения, то не только здесь, но и во всех случаях наилучшим методом будет тот, который прибегает к наименьшему числу дополнительных построений. Идеальным доказательством, с дидактической точки зрения, было бы то доказательство, которое свободно от всяких вспомогатель-

Черт, 8.

ных построений. Но так как это кажется невозможным, и дополнительные построения, вероятно, неизбежны, то следует прибавлять новые линии по мере надобности, дабы ученик видел, для какой цели эти линии изображаются. Кажется, самым простым доказательством первой формулы является то, которое исходит из площади произвольного треугольника, разделенного высотой на два прямоугольных треугольника. Доказательство это впервые появилось, кажется, в немецкой литературе (см., например, Paul Crantz—„Lehrbuch der Mathematik“. Dritter Teil, стр. 181, изд. 1910 г.), а затем стало появляться и в русских учебниках.

Это доказательство вызывает иногда у учащихся такой вопрос: каким образом мы, начав свои рассуждения с площади треугольника, в известный момент об этом забываем? Если преподаватель намерен избежать этого вопроса, хотя ответить на него нетрудно, то ему придется воспользоваться другим доказательством.

Формулу cos (a -f- ß) можно вывести из чертежа, но можно воспользоваться „основной* формулой:

Правда, при таком способе получения этой формулы придется говорить о знаке перед радикалом и, кроме того, нужно будет выяснить, что cos a cos ß> sin a sin ß (при а 4 ß<90°).

Особый вывод этой формулы, основанный на теореме косинусов, дает Горнштейн в журнале „Физика, химия, математика, техника в советской школе“ (1931 г., № 1, стр. 104—105).

Формулы sin (а — ß) и cos (а — ß) могут быть получены из соответствующих формул sin (а-|-ß) и cos(a-|- ß) заменой ß на -ß.

Преподаватель, который считает аналитические выводы менее наглядными и по состоянию данного класса — менее целесообразными, может все четыре формулы вывести геометрическим путем: при этом мы не советовали бы пользоваться тем доказательством, которое дано в издании тригонометрии Рыбкина (1928 г.). Недостаток этого доказательства состоит в том, что мы вынуждены отношение отрезков умножить и разделить на одно и то же число. Этот шаг представляется ученику немотивированным. Лучше воспользоваться другим вариантом того же доказательства, который приводится в тригонометрии Рашевского. Но еще лучше провести это доказательство так, как оно проводится в тригонометрии Шмулевича. По существу, во всех трех учебниках предлагается одно и то же доказательство, но Рыбкин воспользовался самым неудачным вариантом.

Преобразование тригонометрических выражений в произведения

К моменту изучения этой темы наши учащиеся получат настолько солидную подготовку в области тригонометрии, что этот отдел не покажется для них трудным. Преподаватель может сразу рассказать учащимся о сущности того преобразования, к изучению которого мы приступаем, и о его целях. Преобразование, о котором идет речь, состоит в замене тригонометрических многочленов одночленами. Учащиеся могут представлять себе это преобразование как своеобразное разложение на множители или как уменье заменять тригонометрические суммы и разности произведениями и дробными выражениями. Само собой разумеется, что эти преобразования будут приводить нас к выражениям, удобным для логарифмирования. Очевидно, что возможность логарифмирования не есть единственная цель этого преобразования. Последнее полезно и в других отношениях.

Подобно тому, как разложение на множители дает возможность упростить данное алгебраическое выражение, например сократить в случае его дробности, так и наше преобразование может служить целям упрощения. Возможность такого упрощения обнаруживается из рассмотрения какого-нибудь знакомого учащимся примера. Например:

Ученики, встречавшиеся с неопределенными выражениями еще в алгебре, оценят значение этих формул для раскрытия смысла неопределенных выражений. Преподаватель всегда найдет несколько выражений, принимающих неопределенный вид при подстановке в них известных чисел. В качестве образца можно взять выражение, которое мы недавно

рассмотрели, и раскрыть его истинный смысл при а = 0.

Кроме этого, можно указать, что формулы данной серии используются в анализе при выводе производных от тригонометрических функций. Формулы эти, если их читать справа налево, будут полезны и при интегрировании тригонометрических выражений.

Для сознательного и прочного усвоения формул данной серии очень важно преподнести эти формулы так, чтобы они объединились в несколько маленьких групп, проникнутых какой-нибудь одной идеей. Можно расчленить эти формулы следующим образом.

К первой группе мы отнесем четыре формулы: sin а + sin р и cos а ± cos ß. Эти четыре формулы совершенно одинаковым способом получаются из первых четырех формул сложения.

Ко второй группе мы отнесем тоже четыре формулы : tg а ± tgß и ctg а ± ctg ß. Эти формулы мы получаем, применяя сначала „основные“ формулы, а потом используя опять формулы сложения.

К третьей группе мы отнесем опять четыре формулы: sin а 4- cos a ntg + ctga. Для вывода формул этой группы используются формулы дополнительных углов и предыдущие формулы изучаемой серии.

К четвертой группе мы относим выражения, представляющие собой алгебраическую сумму какого-нибудь числа и тригонометрической функции, т. е. выражения типа : а ± sin а, а ± tg а и т. п. Здесь применяется замена числа а тригонометрической функцией подходящего угла.

К пятой группе мы отнесем приведение двучленов и многочленов к логарифмическому виду путем введения вспомогательного угла.

Радиальное выражение дуг

Опытному преподавателю известны трудности, связанные с изучением этого отдела. Несмотря на эти трудности, многие авторы уделяют этому вопросу очень мало места. Например в учебнике Рыбкина этот параграф занимает меньше двух страниц. Может быть, манера многих авторов упоминать вскользь об этом деле привела к тому, что учащиеся проходят мимо этого параграфа, считая его маловажным. На вопрос, чему равен агрумент, если sin.x;=l, обычно отвечают: х = 90°, и очень редкий ученик скажет x = ?f, не потому, что он не знает этого, а потому, что он не привык к этому способу выражения аргумента и не видит в нем надобности.

Нужно разъяснить ученику разницу между градусами угла и градусами дуги. Геометрическое утверждение, состоящее в том, что „центральный угол измеряется соответствующей ему дугой“, способно вызвать ложные представления. Можно встретить учеников, понимающих эту фразу буквально, т. е. считающих, что угол как-то можно измерить дугой. Необходимо разъяснить ученикам, что здесь дело не идет дальше числового соответствия. Нужно указать ученикам полную формулировку упомянутого выше предложения: „Число, измеряющее центральный угол в угловых градусах, равно числу, выражающему соответствующую ему дугу в дуговых градусах“.

Значит, сходство между этими объектами заключается только в числе, которое мы приписываем тому и другому объекту. Но здесь же необходимо подчеркнуть разницу между этими объектами. Эта разница состоит в том, что угол есть угол, а дуга есть некоторая часть кривой линии; далее, угол измеряется углом и не может быть измерен дугой; наконец,единицей измерения углов является градус, т. е. угол определенной величины. Этими градусами угол и измеряется. Что же касается дуговых градусов, то ими угол не измеряется, а, как принято говорить, „выражается“, подобно тому, как процентами величина не измеряется, но мы можем известную часть величины выразить в процентах. К процентам мы прибегаем тогда, когда принимаем известную величину за единицу, а всякую часть ее выражаем сотыми долями. Приписать дуге известное число градусов совсем не значит измерить ее, а значит только то, что окружность принимается за единицу, а каждая ее часть выражается 360-ми долями. Необходимо разъяснить ученикам, что угловой градус устанавливается совершенно независимо от окружности. Угол есть величина поворота полупрямой, вращающейся около неподвижной точки. В процессе вращения получаются углы, имеющие постоянную величину: прямой, развернутый, полный. Деля пол-

ный угол на 360 частей, мы получаем угловой градус.

Изложение вопроса о радиальном выражении дуг можно начать с указания на то, что существует много способов выражать дуги. Эти способы можно перечислить, дабы ученик знал, что радиальный способ есть один из многих. Можно указать следующие способы выражения дуг: 1) в градусах (окружность делится на 360 частей); 2) в процентах (окружность делится на 100 частей); 3) в градах (окружность делится на 400 частей); 4) в часах (окружность делится на 24 части) и т. д.

В изложении этого вопроса нужно добиться полной отчетливости, иначе ученики неизбежно запутаются. К сожалению, в учебниках мы встречаем недостаточно вразумительное изложение. Например, в учебнике Рыбкина после характеристики первого, т. е. градусного, способа говорится: „Второй способ состоит в том, что дугу выражают отвлеченным числом, показывающим ее отношение к радиусу. Такое выражение дуги мы будем называть отвлеченным“. Слово „отвлеченный“ может стать здесь источником недоразумений. Если автор пользуется термином „отвлеченный“ как произвольным знаком, служащим для того, чтобы отличить один способ выражения от другого, то он имеет на это полное право. Но ведь всякое слово обязывает. Термин „отвлеченный“ обычно противополагается или именованному или конкретнему, и у читателя может возникнуть мысль, что число, выражающее дугу в градусах, будет именованным, а число, выражающее дугу в радианах, будет отвлеченным. Тем не менее, всякому ясно, что если, например, число тг, употребленное для выражения дуги, почему-либо признано отвлеченным, то число 180, употребленное для той же цели, нужно тоже признать отвлеченным, и наоборот.

При изложении этого вопроса мы не советуем преподавателю пользоваться учебником Шмулевича. Этот, вообще говоря, очень хороший учебник излагает вопрос о радиальном измерении неудачно. Может быть и другие авторы допускают аналогичные промахи, но эти промахи у них незаметны, потому что они излагают вопрос очень кратко. Когда же читаешь очень подробное изложение этого вопроса у Шмулевича, то сразу видишь, что автор стоит на ложном пути. Если при чтении тригонометрии Рыбкина можно подумать, что автор пользуется словом „отвлеченный“ как условным термином, то Шмулевич заявляет уже совершенно определенно, что от именованных чисел мы должны перейти к отвлеченным. Но все, что говорится вслед за этим, вызывает у читателя удивление. Для нового способа измерения углов автор находит единицу измерения, дает этой единице определенное название (радиан), указывает, что, как и во всех других случаях, угол, конечно, измеряется углом, и, наконец, на странице 208 твердо заявляет: „Угол в 180° содержит в себе тг радианов“. Спрашивается, как объяснит преподаватель ученикам, что 180° есть число именованное, а тг радианов есть число отвлеченное. Объяснить это нельзя. Нужно этот вопрос изложить по-иному... Дальнейшие рассуждения, приводимые у Шмулевича тоже вызывают сомнения. Он прав, конечно, что возможность делить сажень на аршины и футы не дает нам права написать, что 3 = 7, но почему бы не написать, что 3 аршина = 7 футам?

Далее, в существующих учебниках нет единообразия в определении радиана. В учебнике Крогиуса и во многих других учебниках имеется такое определение радиана: „Радианом называется угол, длина дуги которого равна радиусу“ (Крогиус В. А., „Тригонометрия“, стр. 63, Учпедгиз, 1931 г.). Между тем, в геометрии Киселева говорится иначе: „Дуга, равная радиусу, называется радианом“ (Киселев А. И., „Элементарная геометрия“, стр. 180, Госиздат, 1928 г.). В геометрии Бореля, как и у Киселева, сказано: „Радианом называется дуга, длина которой равна радиусу“ (Борель, „Геометрия“, издание „Матезис“, 1912 г.).

Ученику будет, конечно, неприятно столкнуться с таким разнообразием определений. Преподаватель должен с самого начала взять курс на одно какое-нибудь определение. Какое определение считать более удобным — то ли, в котором радианом считается угол, или то, где радиан принимается за дугу? Нужно выбрать то определение, которое проще и конкретнее.

Укажем путь, по которому можно итти при изложении этого вопроса. Пусть в самом деле перед нами стоит вопрос,

как производится сравнение значений тригонометрических функций со значениями аргумента. Почему это легко для алгебраических функций и почему не легко для тригонометрических?

Если итти от конкретного к абстрактному, то нужно постепенно менять взгляд ученика на аргумент тригонометрической функции. На первых порах аргументом является угол, на следующей ступени полезно угол заменить дугой, выраженной в градусах, на третьей ступени дуга выражается в частях тг и, наконец, на высшей ступени, тригонометрическая величина рассматривается как функция переменного числа, независимо от его геометрической интерпретации. Последний взгляд на аргумент тригонометрической функции, повидимому, превышает силы учащихся техникумов и потому не подлежит рассмотрению.

Таким образом, дело представляется так. Наши ученики привыкли уже смотреть на синус, косинус и т. д. как на функции дуги. Спросим их: что больше — синус 30° или 30°?

Возникнет естественное замешательство. Почему? Потому что не выяснен вопрос о масштабе. Что значит 30°? Это значит, что окружность разделена на 360 частей и взято 30 таких частей, т. е. мы взяли ^ часть окружности. Значит, нужно ответить на вопрос: что больше — sin 1 или 1?

Интересно отметить, что несмотря на то, что теперь и аргумент и функция выражены отвлеченными числами, мы все же не подвинулись вперед в процессе их сравнения. Почему? Потому что нет единого масштаба. Единицей для синуса служит радиус, а единицей для дуги служит окружность. Вторая единица в 2тг раз больше первой. В силу этого мы не можем сравнить наши два числа. Что же нужно сделать? То, что всегда в таких случаях делается. Я измерил длину здания в футах и получил 70 футов, а измерив ее в саженях, получил 10 саж. Вторая единица в 7 раз больше первой. Значит при пользовании ею получается число, в 7 раз меньшее первого, и чтобы по измерении здания в саженях получить его измерение в футах, нужно число саженей умножить на 7. То же самое и в нашем случае.

Что больше: ^, выражающая синус, или-jij, выражающую дугу? Синус отнесен к радиусу, а дуга отнесена к окружности; вторая единица в 2тг раз больше первой. Стало быть, для сравнения нужно — умножить на 2тт. Получим т. е. радиальное выражение дуги. Отсюда ясно, что при таком способе изложения радиус является масштабом и для синуса и для дуги. А так как в полной окружности радиус укладывается 2тг раз, то дуга, равная окружности, выражается числом 2тт. Поэтому мы будем называть радианом дугу, длина которой равна радиусу. Определить ее градусное выражение нетрудно. Конечно, это название потом можно перенести и на центральный угол, но первоначально оно возникает из рассмотрения дуги. Стало быть, желая угодить разным авторам, мы можем говорить—угловой радиан и дуговой радиан.

Если подойти к вопросу с точки зрения конкретности преподавания, то плюсы нашей точки зрения сразу бросаются в глаза. Если мы будем, следуя манере многих авторов, сравнивать угол с тригонометрическим числом, то каким бы способом мы ни измеряли угол, как бы мы ни старались убедить ученика, что мы не угол сравниваем с отвлеченным числом, а его числовое выражение, все равно мы не рассеем недоверия ученика к этой операции.

При нашей же постановке вопроса мы сравниваем два отвлеченных числа; первое получается от деления некоторого отрезка на радиус, а второе — от деления некоторой дуги на тот же самый радиус.

Обратные тригонометрические функции

(Круговые или циклометрические)

В первом разделе второго концентра учащиеся уже познакомились с обратными функциями вообще. Здесь полезно напомнить им в нескольких словах то, что было усвоено на эту тему раньше. Это напоминание принесет двойную пользу: во-первых, вопрос об обратных функциях благодаря этому будет поставлен шире и в сознании учащихся займет положение не случайного, а необходимого элемента; во-вторых, это поможет лучше выяснить разницу между функциями,

обратными по величине и обратными по смыслу. На выяснении этой разницы преподаватель должен подробно остановиться. Для большей ясности этот вопрос полезно уточнить терминологически. Авторы некоторых учебников это и делают. Например, Шмулевич, когда говорит о тангенсе и котангенсе, с точки зрения их обратности, старается не называть их функциями, а называет их обратными величинами. Такое терминологическое различение, конечно,полезно. Мы все-таки обращаем внимание преподавателя на то, что одного различения терминологии недостаточно. Если преподаватель специально на эту тему не побеседует с учащимися, то вопрос останется для них туманным. В целях различения можно пользоваться той терминологией, какая указывается у нас: т. е. отличать функции, обратные по величине, от функций, обратных по смыслу.

Изложение полезно начинать с функций алгебраических. Следует рассмотреть несколько алгебраических функций, прямых и обратных. Можно предложить ученикам разрешить несколько функций переменного х относительно х. Попутно можно напомнить учащимся о многозначности функций. Для более плавного перехода от алгебраических функций к трансцендентным можно рассмотреть функцию у=ах и предложить разрешить это равенство относительно х.

Дальше будут итти обычные рассуждения о том, что если синус является функцией дуги, то и, обратно, дугу можно рассматривать как функцию синуса. Чтобы это утверждение не было голословным, необходимо здесь же сделать несколько упражнений на нахождение угла по его синусу. Это можно выполнить и построением и с помощью таблиц.

Затем мы переходим к формальному моменту, т. е. к получению из равенства y = s\nx равенства x=arcsin_v. Здесь требуется абсолютная четкость изложения, дабы учащимся не показалось, что второе равенство возникает из первого с помощью каких-нибудь алгебраических действий. Нужно прямо заявить, что никаких действий при переходе от одного равенства к другому не выполняется. Как первое равенство не выражало алгебраической связи между у ил:, так и второе такой связи не выражает. Первое равенство в символической форме выражает мысль, что у зависит от ху а второе, что х зависит от у.

Полученное второе равенство на первых порах следует писать только на числах, т. е. у нас будут употребляться такие равенства:

Полезно написать таких равенств как можно больше и даже составить стенную таблицу из таких равенств, дабы учащиеся чаще могли ее видеть.

Дальше, и это, повидимому, самое главное, нужно научиться читать такие равенства.

Для первоначального чтения полезно писать их так, чтобы дуга была в левой части равенства, т. е. так:

тогда это равенство читается особенно просто: „30° равняются дуге, синус которой есть -^-в.

Обращаем внимание читателя на филологическую ошибку Шмулевича. Латинское слово arcus обозначает дугу, а не угол. Конечно, эта ошибка — не математического порядка, но повторять ее не следует.

Когда пишется равенство j/ = aresin х, то ученики часто забывают, что разумеется здесь под X и что разумеется под у. По отношению к функции у = = s'mx такое забвение обычно не имеет места. Большинство учеников твердо знает, что х есть угол или дуга, а у есть отвлеченное число. Совершенно иначе обстоит дело с функцией_у=агс$т;с. Чтобы ученики освоились с этим делом, полезно задавать им такие равенства:

J/=arcsin 2;у = arc sec -j и т. д.

Рекомендуя такой прием, мы отнюдь не толкаем преподавателя на путь сознательного запутывания ученика; мы не склонны рекомендовать преподавателю недоброкачественные приемы. Наоборот, мы считаем недопустимыми всякие попытки сбить ученика с толку, запутать

его нелепой постановкой вопроса и т. п.

Что же касается указанного выше приема, то мы имеем в виду следующее. В данном случае наш ученик встречается с новым для него фактом. Факт состоит в том, что аргумент функции arc sinus имеет ограниченную область изменения. При изучении алгебраических функций наш ученик с этим фактом не встречался. Когда он строил график функции у = х2, то он не думал о том, какие значения следует придать хиу; он ничем не был связан в выборе значений аргумента. Здесь же он встречает такую функцию, аргумент которой заключен между —1 и —|— 1, и вне этой области наша функция не имеет смысла.

Спрашивается, что нужно сделать для того, чтобы ученик освоился с этим новым для него фактом. Недостаточно указать ему на то, что аргумент функции arc sinus имеет ограниченную область изменения; недостаточно задать ему вопрос, какова область изменения аргумента этой функции, — необходимо еще поставить его перед лицом каких-то трудностей. Эти трудности мы и создаем, пользуясь вышеуказанным приемом.

После аргументов, выраженных цифрами, можно перейти к буквенным аргументам, которые постепенно можно усложнять. Сначала мы берем равенство sin а = Ь и из него получаем а = arc sin b. Затем мы берем, например, такое равенство sin (a-\-b) = c и получаем из него a -\-b = arc sin с или sin а ~Ь + су откуда а = arcsin (b -f- с). Наконец, можно взять более сложные равенства, например arc cos (sin л;) = x, откуда получаем sin х = cos x. Ученик в целях тренировки должен сделать ряд примеров и на переход от прямых функций к обратным и на переход от обратных к прямым.

К МЕТОДИКЕ ПРОВЕДЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ ПО ПЯТИЗНАЧНЫМ ТАБЛИЦАМ

Т. ТУМАНЬЯН (г. Краснодар)

В курсе элементарной математики для средней школы значительное место занимает отдел логарифмов. При прохождении этого отдела много времени уделяется логарифмическим вычислениям в целях выработки у учащихся твердых навыков для безошибочного проведения их. Обычно не придается должного значения методике надлежащей техники логарифмических вычислений, что затрудняет быстрое усвоение учащимися материала, приводит к небрежным записям вычислений, и потому учащиеся легко сбиваются с правильного пути и допускают ошибки.

В существующих учебниках и методической литературе нет твердой стандартной установки в отношении методики логарифмических вычислений, вследствие чего даже в одной и той же школе, но в разных классах и у разных преподавателей, зачастую имеется разнобой при прохождении этого важного отдела программы математики. Установление единообразия в проведении техники логарифмических вычислений является желательным и необходимым.

В качестве примерного образца ниже приводятся схемы логарифмических вычислений для некоторых типичных случаев с соответствующими методическими указаниями (использована пятизначная таблица логарифмов Пржевальского).

Пример I.

Примечание 1. На первых порах при логарифмировании следует под чертой записывать 5376,8-73052, что должно подчеркивать при следующей записи lg 537,68 = 2,73052 независимость мантиссы от перемены в числе места запятой. В дальнейшем,

после усвоения учащимися этой независимости, отпадает необходимость указанной подробности в записи.

Примечание 2. Показав, как нужно пользоваться таблицами РР (partes proportionales), преподавателю нужно предоставлять самим учащимся выбор нахождения поправки для 5-го знака из таблицы или же непосредственным умножением в уме (0,8 X 8 = 6,4), объяснив, конечно, на первых 2—3 примерах происхождение этого умножения; поэтому значение rf = 0,8 написано с левой стороны 5-го знака вблизи его (0,8).

Пример II.

Найти число, логарифм которого равен 1,52380.

Примечание 1.По соображениям, приведенным в примечании 1 к первому примеру, следовало бы после черты написать 52380-3340,4 а затем: х = 33,404.

Примечание 2. При потенцировании, как и при логарифмировании, нужно предоставлять самим учащимся выбор или пользоваться РР или же найти поправку путем простого деления 5:13 = 0,4, что во многих случаях можно быстро и легко производить в уме.

Пример III.

Вычислить

Ответ: 178,86. Вспомогательное вычисление.

При логарифмических вычислениях необходимо требовать ясности, четкости и должного порядка в вычислениях и преобразованиях. Следует страницу разделить на две половины: на левой надо только суммировать логарифмы и тут же для удобства находить искомое число, а на правой половине надо производить все вспомогательные вычисления.

Самые вычисления надо производить последовательно, как указано выше, и располагать их в порядке, так, чтобы видно было сразу, откуда что вытекает. При суммировании логарифмов надо вычитаемый логарифм заменять слагаемым, то есть пользоваться арифметическим дополнением. Суммирование отдельно слагаемых логарифмов, затем вычитаемых и, наконец, вычитание из одного результата другого (как это имеется в „Рабочей книге по математике“, ч. 2-я, Беркута и др.) приводит учащихся к путанице и является в достаточной мере нецелесообразным.

Пример IV.

Пример V. Найти логарифм cos 29°37'45*.

Пример VI. Найти х, если lgtg;c=T,94546*

Пример VII. Найти X, если lg ctg х =1,72245.

При логарифмировании и потенцировании cos и ctg с левой стороны складываются, а с правой вычитаются; знаки-}- и — отчетливо оттеняют зависимость между изменением угла и изменением функции и ее логарифма.

Для интерполирования надо пользоваться исключительно PP.

Пример VIII.

Вычислить X

Ответ: 8142,6. Вспомогательные вычисления.

ОБ ОДНОМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ СОФИЗМЕ*

АНТРОПОВ (Ковров)

Введение

Преподавателям математики в средней школе хорошо известна широко распространенная среди учащихся привычка при решении уравнений делить все части равенства на общий множитель, являющийся неизвестным числом („сокращать на хи).

Точно так же учащиеся ошибочно применяют обычный прием отбрасывания знаменателя (при приведении всех частей уравнения к общему знаменателю) и в том случае, когда уравнение содержит в знаменателе неизвестное.

Эти ошибочные навыки, приводящие в первом случае (при делении на х, когда нельзя установить, что х = 0) к потере корней и, нередко, к нелепости, а во втором случае — к получению посторонних корней, объясняются тем, что учащиеся часто находятся в полном неведении относительно того, что делить и умножать обе части равенства на нуль, а следовательно и на неизвестное число, которое может быть равно нулю, нельзя.

Существует много различных математических софизмов, ложные доказательства которых основаны на том, что обе части равенства делят на один и тот же множитель, равный нулю.

Наглядной и поучительной для учащихся иллюстрацией, показывающей, к чему приводит деление на нуль, может служить один малоизвестный геометрический софизм: „Любые два отрезка параллельных прямых, заключенные между сторонами любого угла, равны“.

Приводим здесь этот софизм.

Пусть BD [J СЕ (черт. 1). Обозначим длину отрезков BD и СЕ соответственно через тип.

На основании известной теоремы о пропорциональных отрезках имеем:

(А)

Умножая обе части равенства (А) на> m — п, получим:

AB DE(m — n) = BC-AD(m— л),

или:

ABDE-m — AB.DEn = = ВС-AD m - BCAD-n;

перенеся члены, содержащие //г, в одну часть, а члены с п—в другую часть равенства, будем иметь:

Сокращая на общий множитель AB-DE — ВС-AD, получим т = п\\

Нетрудно видеть, что выражение AB-DE — BC-AD = 0 (из равенства А).

Черт. 1.

* Материал к кружковым занятиям в школе.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ ПО ТЕМЕ „МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ“ ДЛЯ VIII КЛАССА СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

П. РОМАДИН (г. Саранск)

Понятия „работа“ и „энергия“ имеют большое значение как в экспериментальной, так и теоретической физике:закон сохранения и превращения энергии является основным законом природы.

В истории развития физики понятия работа и энергия не раз выдвигались как сложные и спорные: достаточно вспомнить продолжительный спор между крупнейшими учеными XVIII в. по поводу „меры сил“, в котором принимали участие такие ученые, как Лейбниц, Кларк, Бернулли, Кант и др., и который по существу сводился к решению вопроса о том, что является мерой движения— m-v или ^; достаточно вспомнить работы Энгельса по этому вопросу („Диалектика природы“), чтобы сказать, что тема „Работа и энергия“ является важнейшей темой для VIII класса средней школы.

Поэтому всестороннее изложение преподавателем и такое же усвоение учащимися этих вопросов возможно не при формальном изучении их, а при основательной, как в смысле физическом, так и методологическом, проработке этих важнейших понятий.

Содержание темы

Программа по физике, издания 1933 г., намечает следующие вопросы этой темы: Работа. Единица работы. Мощность. Единица мощности. Энергия кинетическая и потенциальная. Вывод формулы кинетической энергии. Закон сохранения и превращения энергии.

Рассмотрим эти вопросы в том же порядке, ориентируясь на стабильный учебник по физике Фалеева и Перышкина для VIII класса средней школы.

1. Работа и единица работы

В стабильном учебнике при освещении этого вопроса (стр. 72— 75) имеются недостатки, которые, с одной стороны, объясняются сжатостью изложения, а с другой стороны — недостаточно правильным распределением непосредственно физического и методического материала, а именно:

а) отсутствует определение работы;

б) определение работы, данное Энгельсом, вынесено в конец данной темы и, таким образом, оторвано от данного вопроса;

в) общая формула работы выведена на недостаточно простом примере.

С нашей точки зрения, при определении работы необходимо дать четкое определение работы как преодоления сопротивления, и это несколько формальное определение сейчас же необходимо углубить определением работы, данным Энгельсом.

Определение работы, данное Энгельсом: работа — это есть изменение формы движения материи, рассматриваемое с количественной стороны, — можно обосновать на ряде простых примеров. Эта задача облегчается тем, что учащиеся VIII класса уже знакомы с различными формами движения материи. Следующий пример будет понятен учащимся. Пуля летит с определенной скоростью, долетая до стены, пробивает стену и, пройдя некоторый путь в ней, останавливается. Преодолевая сопротивление, пуля совершает работу, механическое движение пули прекращается, в то же время выделяется некоторое количество теплоты. Учащимся известно, что теплота есть особая форма движения материи — молекулярное движение. Отсюда легко заключить, что при работе происходит изменение формы движения материи и что количественно это изменение формы движения материи равно произведенной при этом работе.

Это определение важно в том отношении, что оно вскрывает те физические процессы, которые происходят при работе, а именно: изменение формы движения материи.

Вывод формулы работы для частного случая, когда направление силы и пути совпадает, хотя и очень прост, но все же требует некоторых рассуждений. Для этой цели на демонстрационный стол помещается груз, за который задевается динамометр и параллельно поверхности

стола равномерно перемещается на некотором расстоянии (черт. 1).

Затем на этот груз кладется догрузок и также перемещается на том же расстоянии.

Таким образом устанавливается зависимость работы от силы.

Затем работа производится на двух различных расстояниях и устанавливается зависимость работы от расстояния.

Таким образом выясняется, что работа для данного случая, когда направление силы совпадает с направлением пути, прямо-пропорциональна величине силы и пути и измеряется их произведением.

Несмотря на всю простоту, этот вывод полезен, тем более, что он займет очень мало времени.

Общая формула работы, когда направления силы и пути не совпадают, в стабильном учебнике выведена на интересном, но довольно трудном примере (стр. 73).

Значительно проще и не менее убедительно общую формулу работы можно вывести на примере, который приведен в том же учебнике при разложении сил (см. рис. 68 на стр. 61).

Мальчик везет салазки, натягивая веревку под углом а к горизонту (черт. 2).

При разложении сил было установлено, что сила натяжения веревки F разлагается на две силы: F1 и F2. Одна из этих сил F2 направлена горизонтально и приводит в движение салазки, а другая сила F, направлена вверх и поднимает салазки вверх.

Если салазки переместились на расстояние 5,то работа будет равна : A=F2 • S; но сила F2 = F- cos а; поэтому: А=-= F* 5-cos а; итак, работа в общем случае равна произведению силы на путь и на косинус угла между их направлениями.

После вывода формулы на этом простом и близком для учащихся примере, полезно рассмотреть тот пример, который приводится в стабильном учебнике на странице 73 с разложением силы в кривошипном шатунном механизме паровой машины.

Анализ общей формулы работы дан в стабильном учебнике достаточно полно и ему необходимо уделить большое внимание.

Особенно большое внимание необходимо уделить выводу единиц работы и установлению их зависимости. Опыт показывает, что единицы работы часто путают с единицами силы и особенно часто — с единицами мощности. Изложение этого вопроса в стабильном учебнике достаточно полно, тем более, что этот материал углубляется в вопросах и упражнениях в конце соответствующего параграфа. Недостаток заключается в том, что единицы работы (эрг, килограммометр, килоджоуль) не имеют четкого определения. Необходимо каждой еди-

Черт. 1.

Черт. 2.

нице давать определение, связывая его с непосредственным выводом данной единицы из формулы работы, например: в системе единиц CGS для получения единицы работы в формуле A = F-S нужно положить F=\ дине, S=l см, тогда произведение силы на путь будет равно единице, которая имеет название эрг: А — 1 дина -1 см=\ эргу. Отсюда — эрг это работа, совершенная силой в 1 дину на расстоянии 1 см, если сила действует по направлению пути.

Полезно дать наименование у единиц работы:

И, наконец, необходимо о каждой единице силы создать конкретное представление, в частности об эрге, что и сделано в стабильном учебнике на примере с жуком.

То же самое необходимо произвести и с другими единицами работы.

Вопросы и упражнения

См. стабильный учебник, страницу 74.

Дополнительно: задачи № 6 и 7 из учебника Неймана и Соколика — „Физика на технической основе“, изд. 1931 г., стр. 15.

Время проработки

Классно-урочная беседа с демонстрацией опытов—Р/2 часа. Упражнения—1 час.

2. Мощность и единица мощности

В самом начале необходимо установить на ряде вопросов и ответов, что работа не зависит от времени, например: человек дважды подымает груз 15 кг на высоту 5 м. Определить работу в том и другом случае, если известно,что первый раз он затратил для работы 3 мин., а второй раз — 5 мин. На этой простейшей задаче учащиеся поймут, что работа не зависит от времени, но эффективность работы в том и другом случае различна. Отсюда легко перейти к понятию мощности. Дальнейшее изложение этого вопроса в стабильном учебнике (§ 71) достаточно исчерпывает понятие мощности и единицы мощности. Большой интерес представляет формула мощности M=F-V, где мощность выражена через силу и скорость. Эта формула должна найти применение на ряде практических задач, например при вычислении мощности моторов в токарных станках по силе резания и линейной скорости обрабатываемой детали. Подобные задачи имеются в книге „Физика на технической основе“ Неймана и Соколика, и решение их вызывает большой интерес к физике со стороны учащихся.

Необходимо большое внимание уделить выводу единиц мощности и их зависимости между собой, при этом особенно подчеркнуть два обстоятельства: 1) в технической системе единиц единица мощности — лошадиная сила — по своему названию и величине является крайне неудачной; 2) киловаттчас и гектоваттчас являются единицами работы,, но не мощности, как это часто думают учащиеся вследствие недопонимания..

Вопросы и упражнения

Стабильный учебник, страницы 76 и 77.

Дополнительно: 1) определить окружное усилие на шкиве мотора и шкиве трансмиссии (черт. 3), если известно, что мощность мотора — 1 HP, диаметр шкива—10 см, число оборотов в минуту — 1600.

2) То же, если диаметр шкива —30 см. Время проработки

Классно-урочная беседа — 1 час Упражнения — 1 час.

Черт 3.

3. Кинетическая энергия и вывод формулы кинетической энергии

Этот вопрос с формально-физической точки зрения изложен в стабильном учебнике достаточно последовательно, за исключением описания прибора проф. Аркадьева; прибор этот, с нашей точки зрения, не представляет большого интереса.

После изложения теоремы „живых“ сил необходимо осветить вопрос о двух мерах движения. Как известно, термин „живая“ сила был введен Лейбницем в 1695 г. в одной из его работ, где он различает живые и мертвые силы, причем это разделение было вызвано попыткой разрешить спорный вопрос, выдвинутый им же в 1686 г. о двух мерах силы, а именно: m-v и m-v2.

„Мертвыми“ силами Лейбниц считал те, которые не производят движения, но обладают только стремлением к последнему: мерою для этих сил Лейбниц считал произведение массы на скорость, которую стремятся произвести силы или произвели бы в первый момент.

„Живыми“ силами он считал такие силы, которые производят действительные движения, где скорости вследствие повторных импульсов все время складываются: для этих сих Лейбниц считал мерой движения —^- .

Последователи Декарта, основателя закона сохранения количества движения, настаивали на том, что мерой сил является лишь количество движения. Этот спор продолжался в течение нескольких десятилетий.

Энгельс, рассматривая этот вопрос в „Диалектике природы“, считает, что m-v и — это две меры движения, и каждая из них имеет свое применение в различных случаях для определенного круга явлений. Он по этому поводу писал следующее: „m-v— это механическое движение, измеряемое механическим же движением; --это механическое движение, измеряемое его способностью превращаться в определенное количество другой формы движения. И мы видели, что обе эти меры не противоречат друг другу, так как они—различного характера“ („Диалектика природы“, изд. 6-е, стр. 151).

С этой точки зрения закон „живых“ сил, выраженный формулой

говорит о том, какая часть механического движения превратилась в другую форму движения.

Вопроси и упражнения

Стабильный учебник, стр. 79.

Время проработки

Лекция-беседа — 1 час Упражнения—I1/, часа.

4. Потенциальная энергия

Изложение понятия энергии всегда встречает целый ряд затруднений. Определение энергии как способности тела производить работу может вызвать неправильное представление об энергии, как о чем-то внешнем по отношению к материи, а не вытекающем из основного качества материи—движения.

Тем не менее, с точки зрения формально-физической, изложение этого вопроса, принятое в стабильном учебнике (§ 74), является удовлетворительным, но требует дальнейших разъяснений. Необходимо после изложения имеющегося материала в учебнике подчеркнуть, что понятие энергии неразрывно связано с различными формами движения материи. В частности, потенциальная энергия поднятого тела увеличивается за счет работы при поднимании его на некоторую высоту, причем обратное падение получается благодаря этому предварительному подниманию. При падении тела часть механического движения превращается в звуковые колебания воздуха, и когда тело упадет, то остальное механическое движение не исчезает, а превращается в теплоту. Теплота же, в свою очередь, есть молекулярное движение, причем увеличение ее в теле вызывает возрастание скорости поступательного движения молекул, что вызывает уменьшение силы связи между молекулами, т. е. создает отталкивание. Таким образом, притяжение, вызванное предварительным поднятием

тела, превратилось в молекулярное движение отталкивательного характера.

Энгельс писал в „Диалектике природы“ по этому поводу так:

„Но когда процесс земной механики достиг своего конца, когда поднятая первая тяжелая масса упала обратно, опустившись на ту же самую высоту, то что становится с движением, составляющим этот процесс? Для чистой механики оно исчезло. Однако теперь мы знаем, что оно вовсе не уничтожилось. В меньшей своей части оно превратилось в звуковые волнообразные колебания воздуха, в значительно большей части — в теплоту, которая сообщилась отчасти оказывающей сопротивление атмосфере, отчасти самому падающему телу, отчасти, наконец, участку почвы, на которой установлен часовой механизм. Груз также постепенно передал свое движение в виде теплоты от трения отдельным колесикам часового механизма“.

Таким образом, данное дополнение будет иметь большое значение в том отношении, что понятие энергии будет вытекать из основного атрибута материи — движения.

Вопросы и упражнения

Стабильный учебник, страница 81.

Дополнительно: каким образом изменяется потенциальная энергия при поднимании и падении тела и какие превращения движений в этом случае происходят?

Время проработки

Классно-урочная беседа—3/4 часа. Упражнения — г/4 часа.

5. Закон сохранения и превращения энергии

Изложение этого важнейшего закона в стабильном учебнике вследствие сжатости не исчерпывает всего вопроса. Совершенно правильно здесь сначала рассматривается закон сохранения энергии для механических процессов, а затем делается переход к закону сохранения и превращения энергии в полном его смысле.

Здесь необходимо остановиться значительно подробнее.

Основание для подробного ознакомления учащихся с этим законом есть, так как в элементарном освещении он им известен из неполной средней школы.

Прежде всего необходимо отметить, что закон сохранения и превращения энергии вытекает из неуничтожаемости движения. Количественная формулировка этого закона — неуничтожаемость движения, по существу, была известна еще Декарту (XVII в.), что было выражено им в законе сохранения количества движения. Энгельс, говоря о несотворимости и неразрушимости движения, писал следующее: „Этот вывод стал неизбежен, лишь только начали рассматривать вселенную как систему, как связь и совокупность тел. А так как философия пришла к этому задолго до того, как эта идея укрепилась в естествознании, то понятно, почему философия сделала за целых двести лет до естествознания вывод о несотворимости и неразрушимости движения.

Даже та форма, в которой она его сделала, все еще выше современной естественно-научной формулировки его. Теорема Декарта о том, что сумма имеющегося во вселенной движения остается всегда неизменной, страдает лишь формальным недостатком, поскольку в ней выражение, имеющее смысл в применении к конечному, прилагается к бесконечной величине“ („Диалектика природы“, изд. 6-е, стр. 121).

Здесь необходимо дать точную формулировку закона сохранения количества движения и показать его на каком-либо простом примере: в качестве такого примера чаще всего приводится баллистический маятник, служащий для определения скорости движения пули или снаряда. Обозначим эту скорость буквой *ол. Маятник состоит из большой мягкой массы Му подвешенной на стержне, могущем вращаться (черт. 4).

В маятник стреляют по горизонтальному направлению пулей или снарядом с массой т> вследствие чего масса маятника вместе с массой пули или снаряда (М-\-т) поднимается на некоторую высоту А, которую измеряют. Зная высоту поднятия маятника с пулей или снарядом, можно определить его начальную скорость по формуле: v2 = y2gh.

По второму закону Ньютона, сила, действующая на массу маятника (вправо) вследствие удара пули, будет равна:/! = ^т^> где M• v2 — изменение количества

движения массы маятника, а сила реакции на пулю или снаряд (влево) будет равна/2 = ——-, где/тг^—v2) — изменение количества движения пули или снаряда.

По третьему закону Ньютона, действие пули или снаряда (^) равно противодействию маятника (/2). Отсюда: M • v2 .mm m (v,—v2), или иначе: M-v2-\-•\-mv2 = mvv или: (M -f- m)v2 = m• vx.

В последнем уравнении левая часть представляет количество движения всей системы (маятника и пули) после удара, а правая часть — количество движения системы до удара, так как пуля имела скорость vtt а маятник имел скорость, равную нулю.

Отсюда видно, что количество движения системы остается постоянным, если принять во внимание все взаимодействующие тела данной системы, т. е. если в ней имеют место только внутренние процессы, но она не подвержена действию посторонних тел. Таким образом, в изолированной системе тел количество движения остается неизменным, какие бы процессы в ней ни происходили.

Это и есть закон сохранения количества движения.

Итак, этот закон по существу выражает количественную сторону более общего закона сохранения и превращения энергии.

Он был открыт в XVII в.

Дальнейший рост производительных сил обусловил быстрое развитие тех отделов физики, в которых изучаются не механическая, а более сложные формы движения материи. В конце XVIII и XIX вв. перед наукой была поставлена проблема построения мощного и универсального двигателя, что вызвало изучение тепловой энергии, которой соответствует более сложная форма движения.

Ряд наблюдений и опытов над переходом работы в теплоту привел ученых к выводу закона сохранения и превращения энергии. Румфорд в 1798 г. заметил, что при сверлении пушечных жерл выделяется большое количество тепла, что привело его к выводу о том, что теплота—это определенная форма движения материи. Первоначально этот закон был сформулирован Ю. Р. Майером в 1842 г. Врач по специальности, Майер впервые обратил внимание на равноценность двух видов энергии, тепловой и механической.

Майер установил и численную зависимость между теплотой и механической энергией.

Джоуль в 1843 г. на опыте определил зависимость между механической работой и теплотой.

Немецкий ученый Гельмгольц, независимо от Майера, в 1847 г. сформулировал и доказал этот закон, но дал ему название закона сохранения силы, исходя из своих неправильных представлений о силе.

Таким образом, заслуга правильного выражения этого закона принадлежит Майеру, заслуга же Гельмгольца заключается в том, что он математически разработал тот же закон, несмотря на свои неправильные взгляды на силу. Заслуга этих ученых заключается в том, что они по существу раскрыли вторую часть закона сохранения и превращения энергии, а именно: превращение одной формы движения материи в другую. На самом деле каждому виду энергии соответствует форма движения материи. Механической энергии соответствует механическое движение, тепловой — молекулярное движение, электрической — движение и взаимодействие электрических зарядов и т. д. Переход механической энергии в тепловую (при работе), например в опыте Джоуля, это есть превращение механического движения в молекулярное движение, причем, согласно неуничтожаемости движения, этот переход совершается в равных количест-

Черт. 4.

вах; превращение электрической энергии в тепловую, например: при нагревании проводника током — превращение движения электронов в молекулярное движение и т. д.

Энгельс писал: „Механическое молярное движение переходит в теплоту, в электричество, в магнетизм; теплота и электричество переходят в химическое разложение; с своей стороны, химическое соединение порождает опять-таки теплоту и электричество, а через посредство последнего — магнетизм; и, наконец, теплота и электричество, в свою очередь, производят механическое молярное движение. И происходит это таким образом, что определенному количеству движения одной формы всегда соответствует точно определенное количество движения другой формы, причем опять-таки безразлично, из какой формы движения заимствована единица меры, которой измеряется это количество движения, т. е. служит ли она для измерения молярного движения, так называемой электродвижущей силы, или же превращающегося при химических процессах движения“ („Диалектика природы“, изд. 6-е, стр. 136 —137).

Таким образом, закон сохранения и превращения энергии можно выразить так: в изолированной системе тел общий запас энергии остается неизменным, энергия может переходить лишь из одной формы в другую.

После этого необходимо дать другую формулировку и расшифровку этого закона, а именно — невозможность построения вечного двигателя первого рода. Очень полезно рассмотреть конкретные примеры невозможности построения вечного двигателя. Для этой цели можно ограничиться двумя проектами „вечного двигателя“, приведенными в стабильном учебнике на странице 83.

Кроме этого, многие учащиеся VIII класса знают другие проекты „вечных двигателей“, о которых они или слышали от других лиц, особенно от недостаточно физически-грамотных мастеров, или читали в различных пособиях. Разбор двух-трех таких проектов будет очень полезен для учащихся.

Вопросы и упражнения Стабильный учебник, страницы 83 и 84.

Время проработки

Лекция-беседа — llj2 часа. Упражнения — 1j% часа.

Время проработки на всю тему.

Классно-урочная беседа с демонстрацией опытов.........За/4 час.

Лекция-беседа.......2Л\2 п

Упражнения........4!/4 „

Всего 10 час.

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ

1. Гримзель — «Курс физики“, вып. 1-й, § 31 и 32.

2. Гримзель—„Курс физики“, вып. 2-й, § 8 разд. 2.

3. Энгельс — „Диалектика природы“, изд. б-е, стр. 151, 135, 131, 136—137.

4. Нейман и Соколик — .Физика на технической основе“, изд. 1931 г., стр. 242 и 243, стр. 12 — 22.

5. Розенберг —„История физики“, ч. 2-я, стр. 244 — 247.

6. Фалеев и Перышкин—„Курс физики для средней школы“, ч. 1-я, изд. 1933 г., стр. 72 — 84.

МЕТЕОРОЛОГИЯ В ШКОЛЕ

(К работе школьного кружка по метеорологии)

С. ЖАРКОВ (Москва)

В первые годы революции, когда шли перестройка школьной работы и создание новых путей в деле народного образования, была сделана попытка внедрить метеорологию, или учение о погоде, в школьную практику. Попытка эта в целом успеха не имела, и к концу двадцатых годов, как правило, метеорология целиком исчезла из программ и учебников общеобразовательной школы. Только в школах со специально сельскохозяйственным уклоном сохранились сле-

ды метеорологии. В виду перегруженности школьных программ в целях сокращения материала изгнанию в первую очередь подверглась метеорология, так как такое действие могло пройти наиболее безболезненно.

Несмотря на такой плачевный конец, метеорология в период своего расцвета привлекала к себе внимание и симпатии преподавателей и учащихся. Этот интерес объяснялся, с одной стороны, объектом самих наблюдений, перенесенных из комнаты на волю, с другой — значением погоды в практике сельского хозяйства, занимавшего заметное место в школьных программах. По своему внутреннему содержанию изучение погоды в наиболее интересной своей части дает материал для внеурочных занятий и особенно для кружковой работы, в которой принимают участие по добровольному выбору лишь интересующиеся метеорологией. Среди таких любителей всегда находятся отдельные энтузиасты, ведущие длительные, тщательные и серьезные наблюдения над погодой. Нередко подобные наблюдения по своему значению и объему выходят далеко за пределы школьной работы. К сожалению, такие отдельные явления, не получая поддержки и поощрения со стороны, становились все более редкими, и вряд ли будет ошибочным признать, что с приближением к тридцатым годам прекратились совсем.

Однако за последние два-три года интерес к метеорологии стал проявляться вновь, но уже по иному руслу. Полярные экспедиции последних лет, пролагавшие Северный морской путь, привлекли к Арктике всеобщее внимание. Излишне напоминать, какой неослабный и захватывающий интерес всей страны сопутствовал походу „Челюскина“ и героическому спасению челюскинцев. Благодаря подробнейшим сведениям об этой эпопее все поняли, какое громадное и решающее значение может иметь погода в деятельности людей. Если в наших широтах встречаются отдельные часы и, редко, целые дни, когда полет на самолетах оказывается невозможным, то, наоборот, в условиях полярных стран насчитываются лишь отдельные часы и, редко, дни, когда полет становится возможным, хотя и остается неуверенным и опасным.

Отсюда делается понятным тот интерес к погоде и к ее изучению, который проявился в настоящее время среди обширных кругов населения и особенно среди молодежи. Мечта стать полярником волнует очень многих. Пароходы полярных экспедиций, радиостанции, метеорологические станции, фактории полярных стран ждут многочисленных сотрудников, и от всех них требуется знание метеорологии в том или ином размере.

Вторым, не менее сильным стимулом к усилению изучения атмосферных явлений служат периодически повторяющиеся полеты в стратосферу как у нас, так и в других странах мира. Исследование стратосферы имеет, между прочим, практическую цель — добиться возможности полетов в пределах стратосферы, что должно привести к способам сверхбыстрого сообщения.

Интерес к метеорологии, возникший стихийно в среде учащейся молодежи, должен быть поддержан школой. Для выполнения этой задачи любая школа имеет все возможности; нужно лишь доброе желание со стороны преподавателей. Наметим вкратце те пути, по которым можно итти к достижению намеченной цели.

Прежде всего преподавателю необходимо знать существующую в данное время литературу по метеорологии, чтобы не только самому подновить свои знания, но и быть в состоянии рекомендовать учащимся подходящую книгу. К более или менее элементарным книгам следует отнести*:

1. А. Кулаков — „Восходящие потоки“. Пособие для планеристов. Госмашметиздат, 1934 г., стр. 51, ц. 50 коп.

2. П. А. Молчанов — „Краткий курс аэрологии“. Госмашметиздат, 1933 г., стр. 246, ц. 3 р. 50 к.

3. Проф. В. Н. Оболенский — „Краткий курс метеорологии“. ГНТИ, 1932 г., Л., стр. 122, ц. 1 рубль.

4. А. В. Шипчинский —„Основы метеорологии и климатологии“. Сельколхозгиз, 1933 г., стр. 151, ц. 2 р. 70 к.

Особняком стоит весьма интересная книга, незаменимая для самостоятельного чтения учащихся:

5. Д. О. Святский и Т. Н. Кладо — „Занимательная метеорология“, 2-е изд., „Время“, Л. 1934 г., стр. 314 (ц. около 5 руб.).

* Считаем нелишним дать более или менее подробный список книг, чтобы несколько сгладить впечатление о крайней скудости метеорологической литературы, которое создается при чтении библиографического отдела в недавно вышедшем № 1 журнала „Наука и жизнь“.

К солидным курсам принадлежат:

6. Проф. В. Н. Оболенский, — „Основы метеорологии“, Сельколхозгиз, 1933 г., стр. 452, ц. 6 р. 50 к. (на книге не указано, что она является вторым изданием).

7. П. Н. Тверской, —„Курс геофизики“. ГТТИ, изд. 2-е, ч. 1-я, 1932 г., стр. 360, ц. 7 руб.; ч. 2-я, 1934 г., стр. 216, ц. 4 руб.

В связи с неудержимым ростом авиации вопрос о предсказании погоды приобретает первостепенное значение; этому вопросу в литературе отведено солидное место в виде весьма серьезных книг:

8. Б. П. Мультановский —„Основные положения синоптического метода долгосрочных прогнозов погоды“, ч. 1-я (текст). ЕГМС, М. 1933 г., стр. 139, ц. 4 руб.

9. С. П. Хромов,—„Введение в синоптический анализ“. Учебное пособие. ЕГМС, М. 1934 г., стр. 444, ц. 12 руб.

За последние годы сильно возросло число переводных книг по метеорологии, например:

10. Бенндорф - „Атмосферное электричество“, пер. с нем., ГТТИ, 1934 г., стр. 128, ц. 3 р. 50 к.

11. Г. Виллепт—„Очерк динамической метеорологии“, пер. с англ. ГТТИ, 1933 г., стр. 100, ц. 2 руб.

12. Тур-Бержерон— „Трехмерносвязный синоптический анализ“, пер. с нем. ЕГМС, М. 1934 г., три части, стр. 104, 192, 190, ц. 16 руб.

13. А. Шмаус и А. Виганд — „Атмосфера как коллоид“, пер. с нем., ЕГМС, 1933 г., стр. 43, ц. 1 р. 25 к.

Наконец, необходимо упомянуть о существовании двух популярных журналов по метеорологии:

14. «Климат и погода“, изд. Главной геофизической обсерватории. Издается с 1925 г., Цена за 6 номеров в год 7 руб. Адрес: Ленинград, 26, В. О., 23-линия, д. 2. При журнале издаются популярные очерки по метеорологии.

15. „Вестник ЕГМС“. Орган Центрального управления единой гидрометеорологической службы СССР. Сельколхозгиз. Выходит с июля 1934 г., цена номера 60 коп. Адрес: Москва, 10. Орликов пер., д. 1/11, здание Наркомзема, 8-й этаж, комната 809.

Метеорологические наблюдения меняются в зависимости от сезона. В зимнее время основным объектом для наблюдений является снег. Наблюдения над снегом, как вообще все школьные наблюдения над явлениями погоды, разбиваются на две группы. К одной относятся непосредственные наблюдения над явлениями природы без вмешатель-

ства человека; ко второй принадлежат исследования до некоторой степени лабораторного характера, причем в большинстве случаев исследования ведутся на открытом воздухе и только иногда могут выполняться в школьной лаборатории.

К первой группе надо отнести наблюдения над снежным покровом. При помощи постоянной и переносной снеговых реек*, разделенных на сантиметры (черт. 1), измеряется ежедневно в различных местах толщина снежного покрова, при помощи дождемера определяется количество выпавшего снега. Снежный покров имеет важное значение, во-первых, как защита почвы от промерзания и, во-вторых, как весенний запас влаги. С этих двух точек зрения и надо вести наблюдения. Поэтому необходимо исследовать распределение снежного покрова в зависимости от рельефа местности и от распределения растительности. Погружением в снег цилиндрической железной трубы (черт. 2) отмеряют определенный объем снега и находят или вес снега (на месте) или вес полученной воды (в комнате); это дает возможность судить о запасе воды в снежном покрове. Записи наблюдений над снежным покровом должны отметить:

Черт. 1.

* См. Н. В. Колобков „Метеорологические приборы, их устройство и применение“, Госавиаавтоизд. М. 1932 г., стр. 188, ц. 3 р. 60 к.

продолжительность снежного покрова,

начало и конец санного пути,

качество санного пути на всем протяжении

зимы,

весеннее таяние снега,

появление первых проталин в различных

условиях местности,

характер таяния,

был ли снежный покров ровный или его сдувало,

оголялась ли земля при оттепелях и т. п.

При изучении снежного покрова одно из первых мест занимает вопрос о задержании снега*. Задача состоит в искусственном задержании снега на полях, лугах и в недопускании снега на полотно железных дорог, автобусных шоссе и т. д. Так как в данном случае имеет место вмешательство человека, то подобные наблюдения надо отнести уже ко второй группе — к лабораторным исследованиям. Ценность этих исследований заключается в том, что мы имеем здесь дело с чисто физическим явлением, интересным и важным по своему значению в современной практике, но трудно наблюдаемым в обстановке школьной лаборатории; это явление состоит в искривлении, в „завихренности“ воздушных потоков, огибающих встречаемые на пути препятствия. На снежном покрове очень удобно наблюдать влияние таких препятствий. Для этого надо на ровной площадке установить вертикально разнообразные препятствия: доску, круглый столб, палки разной толщины и высоты, тело удобообтекаемого сечения из фанеры, решетки с различными просветами, кустики различной структуры, стенки из снежных кубиков, валики из снега и т. д. Снег будет в большем количестве задерживаться и отлагаться в тех местах, куда направлены потоки воздуха, искривленные препятствием.

Вещество, образующее снежный покров— снег, может, в свою очередь, служить объектом целого ряда исследований. На открытом воздухе можно заняться наблюдением снежинок, имеющих очень разнообразную форму. Для рассматривания снежинок нужен простенький микроскоп с увеличением в несколько десятков раз; можно обойтись и хорошей лупой. Главное затруднение представляет защита снежинок от нагревания теплотой прибора и особенно самого наблюдателя. Наблюдаемые формы снежинок зарисовываются и затем устанавливаются преобладающие формы в зависимости от условий погоды, главным образом от температуры. При наличии фотоаппарата с двойным растяжением мехов можно попытаться фотографировать снежинки. Их помещают на черное сукно или на тонкую сетку из ниток. Дело это мудреное, и за него надо браться всерьез.

Лабораторные работы со снегом могут быть следующие:

1) Определение удельного веса и объемного веса снега при разных условиях (свежевыпавшего и лежалого, до и после метели, внизу и вверху снежного покрова, до и после оттепели, в лесу и в поле и т. д.). Это измерение ценно тем, что дает хороший пример для отличия друг от друга двух понятий — удельный и объемный вес. О таком различии учащиеся часто забывают, что при расчетах приводит к грубым ошибкам.

2) Изготовление линзы из льда и зажигание бумаги при помощи этой линзы.

3) Исследование трения разных тел (дерево, железо, мех и т. д.) по снегу и льду. Можно попробовать найти зависимость коэфициента трения от температуры, от давления, от смазки водой и т. д. Эти наблюдения надо связать с вопросом о влиянии давления на точку плавления льда. Ложное представление о таянии снега под полозьями саней, под лыжами, о таянии льда под

Черт. 2.

* См. П. Н. Чирвинский — „Снег и снегозадержание“, изд. „Северный Кавказ“, Ростов-на-Дону, 1931 г., стр. 240, ц. 7 руб.

лезвиями коньков коренится очень крепко. Было бы крайне интересно присоединить сюда определение разрушающей нагрузки для снега и льда, чтобы учесть ее при расчете давления.

Мы не старались дать исчерпывающий перечень возможных наблюдений. Преподаватель сможет сам придумать подобные работы в большом количестве. При постановке и производстве серьезных наблюдений необходимо пользоваться инструкциями и стандартами измерительных приборов, издаваемыми Главной геофизической обсерваторией (например: „Дополнение к руководству для метстанций — снеговой покров“, ц. 10 коп., „Походный весовой снегомер“, ц. 10 коп., „Стандарт — снегомерная рейка постоянная“, ц. 50 коп., то же—переносная, ц. 50 коп.*

Второе русло, по которому можно направить школьные занятия по изучению погоды, — это прием радиосводок погоды и составление на основании этих сводок синоптических карт погоды. Предвидение погоды по этим картам составляет следующий, неизмеримо более сложный и трудный шаг, вряд ли доступный школе. Однако уже одно сравнительное рассмотрение карт для нескольких последовательных дней приносит очень большую пользу и заменяет собой длительное штудирование учебника по метеорологии.

Радиосводки передаются в шифрованной форме в виде нескольких пятизначных чисел. Инструкцию для расшифровки надо запросить в том Бюро погоды, сводку которого принимает школа. За прошедшие годы были изданы следующие пособия для указанной цели:

1. Руководство для пользования мет. радиотелефонограммой Московского областного бюро погоды. М. 1924, стр. 15, ц. 25 коп.

2. Мархилевич и Кулаков — „Как предсказывать погоду по радио“, Гвиз, М. 1925, стр. 30, ц. 15 коп.

3. Тетрадь для составления синоптических карт по радиосводке, Гиз, 1927 г., 25 контурных карт, ц. 50 коп.

4. Аскинази — „Составление синоптических карт и предсказание погоды“. Руководство к использованию радиосводок, Гиз 1928 г., стр. 80, ц. 75 коп.

5. Турыгин — „Слушайте бюллетень погоды“. Пояснения к радиопередачам Сев.-западного бюро погоды. ГГО, Л. 1931 г., стр. 48, ц. 25 коп.

Что из перечисленных руководств можно достать сейчас, сказать трудно. За последнее время из них ни одно не переиздавалось, повидимому из-за отсутствия спроса. Дело школы, учащихся и преподавателей создать этот спрос.

САМОДЕЛЬНАЯ „ЦЕНТРОБЕЖНАЯ ДОРОГА“

А. БОРИСЛАВСКИЙ (Москва)

1. Центробежная дорога из картона

Если нет картона, который идет на переплет книг, можно обойтись самым тонким картоном.

Вырежем из него длинную полосу шириной около 4,5 см, из которой легко согнуть показанную на чертеже 1 петлю. Чтобы стальной шарик с нее не соскакивал, надо загнуть на этой полоске края, которые образуют бордюр высотой в 1 см. Бордюр этот загибается легко и аккуратно, если предварительно с обратной стороны полоски по линиям MN и MjNj (черт. 2) острым ножом сделать надрез, глубиной не более половины толщины картона. Таким образом мы получим прямолинейный участок дороги AB. На круговом участке дороги также загнем бордюр, но пред-

Черт. 1.

* Адрес: Ленинград, 26, В. О., 23-я линия, д. 2, издательство ГГО.

варительно его надо разрезать (черт. 2) по линиям аал, ЬЬг и т. д., что позволит согнуть полосу картона в правильный круг и в то же время загнуть зубцы бордюра. Чем меньше радиус петли, тем ближе друг к другу должны быть разрезы. Для закрепления в желательном положении зубцов обоих бордюров необходимо приклеить к ним круговую полоску (кольцо) из картона (черт. 3), разрезав ее в точке Н. Чтобы шарик не встречал сопротивления, наталкиваясь на зубцы бордюра, это картонное кольцо лучше вклеить по внутренней стороне бордюра. Естественно, что такая петля будет недостаточно жесткой. Это можно устранить, взяв вместо кольца круг такого же диаметра, как и кольцо, вставить его внутрь петли, и, разрезав его по рисунку OK, приклеить к бордюру, чтобы дать проход шарику. Если одной полосы нехватит при больших размерах петель, можно склеить друг с другом несколько полос.

До начала работы необходимо установить, какой величины шарик будет бегать по желобу (что определит ширину желоба) и каков будет диаметр круговой части центробежной дороги. Теория показывает, что превышение начала желоба А над верхней точкой петли Е должно быть равно половине радиуса петли, если пренебречь трением; учитывая же трение сделаем отрезок AD не менее длины одного радиуса петли.

Тогда вся высота будет АС = 3 г. Если угол АБС сделать меньше 45°, то можно положить, например: СВ = 4 г. Тогда длина прямого участка AB получится по теореме Пифагора:

Положив BS =2 г, получим общую длину дороги: I — 5 г + 2тгг + 2 г = 13,3 г, не считая запаса длины на склеивание полос.

Если взять диаметр петли равным 20 см, то при г=10см получаем: / = = 13,3-20 = 266 см, откуда легко определить, сколько понадобится заготовить картонных полос. При этом внешний диаметр кольца (черт. 3) будет 20 см, а внутренний—19£л*(при высоте бордюра 1 см). Если, изготовив петлю и поддерживая ее в положении, согласно чертежу 1, пустить по ней шарик, увидим, что при прохождении верхней части петли шарик сообщит петле сильный рывок (наличность центробежной силы), что воспрепятствует шарику сделать полный оборот по петле. Это вынуждает сделать петлю более жесткой, что будет достигнуто, если прикрепить всю конструкцию к стойке. Когда все готово, и центробежная дорога удовлетворяет своему назначению, полезно окрасить картон эмалевой краской, что даст петле нарядный вид, увеличит жесткость картона и долговечность самого прибора.

Если вместо прямолинейного выходного участка BS желоба сделать и с этой стороны участок, поднимающийся вверх и равный по высоте AB, то мы получим своеобразный маятник, который будет действовать до тех пор, пока шарик не потеряет скорости, достаточной для полного оборота по петле.

2. Центробежная дорога из жести

Чем тоньше жесть, тем легче ее обрабатывать, но тем меньшие размеры должны мы будем придать петле. Пусть налицо есть жесть толщиной не более 1 мм, ножницы для ее резки и плоскогубцы для загибания зубцов бордюра.

Возьмем диаметр петли в 20 см и воспользуемся для плана работы чертежами 1 и 2 и вычисленными выше для этого случая размерами. Вырежем из жести длинную полоску такой ширины, чтобы

Черт. 2. Черт. 3.

на ней мог спускаться шарик или, если угодно, тележка, колеса которой должны в этом случае иметь небольшое трение в осях.

Отогнем бордюры желательной высоты и выравняем их молотком, положив полоску на край железной плиты, а в крайнем случае — на край рабочего стола, если он имеет вид прямого угла. Чтобы согнуть полосу ввиде петли, необходимо сделать ножницами разрезы ааг (черт. 2) на расстоянии не больше 1 см друг от друга и перекрывающие друг друга концы зубцов расположить так, чтобы шарик скользил вдоль них, идя „по шерсти“, а не бил бы о ребра зубцов. Мы не говорим здесь о том, что можно было бы зубцы срезать косо, чтобы их края прилегали друг к другу, что хорошо бы для жесткости петли спаять края зубцов и т. п. Всякий волен делать конструктивные детали сообразно своим техническим навыкам. Но если ограничиться лишь тем, что нами выше указано, то прибор будет выполнять свое назначение даже в таком примитивном виде, если только высота прибора АС достаточна для разгона шарика, учитывая трение. На всякий случай высоту AD лучше сделать сначала до 2—3 г, а затем излишек можно срезать.

3. Центробежная дорога с перерывом в верхней части

Успешно построив петлю из жести, можно ее же видоизменить, вырезав из нее участок LT и надежно прикрепив петлю к стойкам (черт. 4), вделанным в доску. Шарик, дойдя до точки Ту может вылететь вверх, но если подобрать его скорость, пуская по желобу с разной высоты, то он (при центробежной силе, равной весу шарика) пойдет по траектории TL и без удара вступит на желоб в точке L.

Черт. 4.

ГИГРОМЕТР

В. БАКУШИНСКИЙ (Москва)

Гигроскопичность внутренней, шероховатой стороны соломы дает возможность построить простой, довольно чуткий гигрометр. Указательной стрелкой в таком гигрометре служит полоска, вырезанная из стебля соломы. Это избавляет нас от постройки дополнительных механизмов и, следовательно, весьма упрощает устройство прибора.

На чертеже 1 изображен общий вид гигрометра спереди, а на чертеже 2 — сбоку.

Построить гигрометр можно следующим образом.

1) Берем круглый деревянный колышек, как он изображен на чертеже 2 в положениях Klf /С2, АГ3. Пропиливаем в нем до половины его длины щель (АГ2) для вставки соломенной полоски. (Лучше пропилить пилкой лобзика, чем проделывать это перочинным ножом.) Можно, но необязательно, проделать в столбике шилом или дрелью сквозное отверстие (К3) для будущего регулирования шкалы, т. е. поворота самого столбика.

2) Вырезаем из соломенного стебля полоску шириною \у5мм и длиной 8 см, кладем ее на гладкую поверхность стола и гладим по ней ручками ножниц, чтобы уничтожить ее цилиндричность и сделать ее плоской. Это удается весьма быстро. Эту соломку вставляем в сделанную нами щель столбика (К2)9 гладкой наружной стороной вправо (черт. 1).

3) Вырезаем фанерку или дощечку величиною с общий четыреугольник чертежа 1. Наклеиваем на нее белую бумагу для будущей шкалы и в левом углу

ее, как это изображено на чертеже 1, делаем отверстие шилом, куда и вставляем колышек с соломкой. Несомненно, что при вставке колышка в отверстие, соломка будет прочно зажата в колышке.

4) Чтобы застеклить прибор, вырезаем дощечку Дг и Д2 (черт. 1 и 2). Проделываем на каждой из них по желобку для удержания стекла. Приклеиваем или прибиваем дощечку Ог и D2 к основной доске прибора, вставляем стекло, и гигрометр почти готов.

5) Остается градуировать шкалу. Это можно проделать хотя бы при помощи метода „точки росы“. Потрем установленным точкам вполне можно экстраполировать шкалу. Шкала получается приблизительно равномерная.

Мысль о гигроскопичности соломы мне подал А. В. Павша в частном разговоре с ним в 1930 г.; тогда же я и применил ее к устройству гигрометра, который у меня висит в комнате и до сих пор. Год тому назад я пробовал проверить его шкалу: она осталась приблизительно той же самой. Но легкость устройства самого прибора, замена соломки или шкалы новыми, делает совершенно ненужным вопрос о долговечности прибора.

Черт. 1, Черт. 2.

О ПОДБОРЕ ПОПЛАВКА И РЕЙТЕРОВ К ВЕСАМ ВЕСТФАЛЯ

Доц. А. БЕЛОГОРСКИЙ (Свердловск)

Нередко можно встретить в физической лаборатории весы Вестфаля с разбитым или обколотым поплавком и потерянными рейтерами. Несмотря на это, можно все же довольно точно самому изготовить к ним как рейтеры, так и самый поплавок.

Поплавок можно устроить из небольшого обрезка толстой стеклянной палочки, у одного из концов которой необходимо либо отогнуть крючок либо припаять стеклянное ушко.

Если теперь подвесить поплавок к крючку весов и на него же подвесить рейтер, означающий 1, то при опускании поплавка в дестиллированную воду, если он не слишком тяжел, может оказаться, что для равновесия весов необходимо на крючок подвесить некоторый груз, подбор которого отнимет у экспериментатора совсем немного времени. Этот подбор добавочного груза может быть выполнен сначала, конечно, грубо; точная же установка весов производится при помощи регулировочного винта, который имеется у основания колонки весов. Заметим, что регулировочный винт нужно устанавливать под длинным плечом весов. Что касается подбора рейтеров, то для этого поступают при утере рейтера 0,1 следующим образом: поплавок опускают в дестиллированную воду при 15° С, а затем на 1-й и 9-й зубчики весов подвешивают два рейтера, каждый равный единице, что будет соответствовать удельному весу=1. Если теперь снять рейтер с первого зубчика, то весы выйдут из равновесия, и для их установки необходимо подвесить рейтер 0,1, который можно подобрать из обрезка никелированной, небольшого сечения, проволоки, подвешивая ее на крючок весов. Точно так же поступают для подбора рейтера 0,01, т. е. опускают поплавок

опять-таки в дестиллированную воду и на 9-й зубчик подвешивают один за другим рейтеры 0,1 и 1, что соответствует удельному весу = 0,99; если теперь подобрать при подвешивании к крючку весов соответствующего веса проволоку так, что весы придут в равновесие, то подобранная проволока заменит собою утраченный рейтер 0,01.

Для подбора рейтера, равного 1, необходимо опустить поплавок в дестиллированную воду и из достаточно толстой проволоки изготовить рейтер такого веса, чтобы при подвешивании его к крючку весов привести их в равновесие.

Рейтер 0,001 обычно оказывается совсем лишним при постановке работы с весами Вестфаля, так как определение удельного веса жидкости с точностью до 0,001 выходит за пределы чувствительности весов, значительно понижающейся со временем (тупится острие стальной опорной призмы).

Для установления нуль-пункта весов обычно поступают следующим образом: после предварительной установки весов на том месте, где собираются проводить работу, наливают в стаканчик дестиллированной воды и опускают в него поплавок, а на крючок вешают рейтер 1. Если указатель весов не устанавливается против нуль-пункта, тогда при помощи установочного винта заставляют указатель весов встать на нуль-пункт.

НОВАЯ ТАРЕЛКА К ВОЗДУШНЫМ НАСОСАМ

Б. СПАССКИЙ (Вятка)

Комиссией по просмотру учебных пособий Управления начальной и средней школы Наркомпроса РСФСР утверждена новая тарелка к воздушным насосам конструкции Вятского комбината „Политехоборудование“.

Тарелка состоит из массивного чугунного диска ДД\ снабженного боковым отростком Б и стоящего на трех низких ножках. В диск вмазана шлифованная стеклянная пластинка С — „ собственно тарелка“, на которую ставится колокол Т и другие эвакуируемые приборы. В центре тарелки ввинчивается ниппель Н9 служащий для присоединения к тарелке приборов при помощи резиновой трубки (без участия колокола). К поверхности тарелки выведены также два зажима 33, изолированные от диска и соединенные с наружными клеммами КК, находящимися на боковой поверхности диска. Эти зажимы 33 служат для присоединения

Черт. 1.

электрического звонка или другого электрического прибора, действие которого изучается в вакууме.

На отростке Б помещается ртутный манометр M с обычным пределом измерений—120 мм, винтиль В для впуска воздуха и кран К, отделяющий всю тарелку от насоса. Кран имеет осевой канал и работает под слоем масла, которое наливается в чашку. Тарелка присоединяется к насосу через ниппель Ну которым оканчивается боковой отросток.

Конструкция тарелки очень удобна для работы и имеет следующие положительные качества :

1) большую устойчивость,

2) надежность запора при помощи крана с осевым каналом, работающего под маслом,

3) удобный винтиль для медленного впуска воздуха,

4) возможность присоединения приборов к тарелке резиновой трубкой, не нарушая соединения тарелки с насосом и используя таким образом манометр,

5) возможность помещения под колоколом электрического звонка.

Нашей промышленностью не изготовляется прибор, служащий для демонстрации исчезновения звука в разреженном воздухе. Тарелка дает возможность легко поставить этот опыт.

Расстановка зажимов 33 удачна: зажимы не мешают постановке на тарелку большого и малого колокола или других приборов.

С внешней стороны прибор оформлен удовлетворительно.

Нужно думать, что новая тарелка будет иметь распространение не только в школах-десятилетках, но и в вузах, тем более, что вакуум-насос системы Комовского, выпускаемый как школьный прибор, не имеет тарелки.

КАК ОПРЕДЕЛИТЬ, К КАКОЙ СИСТЕМЕ ОТНОСИТСЯ ИЗМЕРИТЕЛЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА

Доц. А. БЕЛОГОРСКИЙ (Свердловск)

Наиболее употребительными и распространенными измерителями тока являются измерители следующих систем: 1) Депре — Д'Арсонваля; 2) электромагнитные и 3) тепловые; причем последние две системы, по принципу своего устройства, годятся как для постоянного, так и для переменного тока. Что же касается первого, то он годится, как известно, только для постоянного тока.

Узнать, к какой системе относится данный измеритель, можно либо по внешним признакам либо по шкале и тем значкам, какие бывают нарисованы на шкале.

Черт. 1.

На шкале измерителей системы Депре — Д'Арсонваля ставится следующий знак (см. черт. 1) представляющий из себя магнит, внутри которого находится катушка.

Этот значок служит для опознания измерителей системы Депре — Д'Арсонваля.

У демонстрационных приборов лицевые стороны делаются открытыми, и систему этих измерителей можно узнать по большому неподвижному магниту (который бывает выкрашен в красный цвет) и подвижной рамке.

Электромагнитный измеритель тока можно определить по значку на шкале, который присвоен этими приборами. Он представляет из себя соленоид с сердечником. Шкала электромагнитного измерителя неравномерная, причем отдельные деления сначала увеличиваются, а потом уменьшаются. Ясное дело, что если этот измеритель годится как для переменного, так и для постоянного тока, то он должен иметь две шкалы, в этом случае на его шкале ставится особый значок Ш, который показывает, что прибором можно измерять оба тока. Синусоида относится к переменному, а две прямые линии — к постоянному.

Существенной частью теплового измерительного прибора является натянутая между двумя клеммами тонкая металлическая проволочка. Проходящим по проволочке током она нагревается и от нагревания удлиняется. Обычно лицевая

сторона тепловых измерителей делается открытой, и проволочка бывает видна. Другим признаком, определяющим тепловой измеритель, является ползущий характер движения стрелки, причем последняя во время действия прибора ползет толчками. Если взглянуть на шкалу теплового измерителя, то и здесь наблюдается неравенство отдельных делений, причем отдельные деления делаются все больше и больше.

Само собой разумеется, что если какой-либо тепловой измеритель рассчитан на постоянный и переменный ток, то он должен быть двухшкальным.

В физических кабинетах встречаются еще электроизмерители с подвижным магнитом, но последние бывают только в виде гальванометров. Эти приборы бывают главным образом демонстративные, шкала у них равномерная и опознать их можно по подвижному магниту, который находится внутри катушки.

Заметим, что приборы всех названных систем для установки стрелки на нулевое деление имеют корректоры либо в виде уравнительных винтов (измерители первых трех систем) либо в виде подвижного магнита, причем последний устанавливается или под катушкой или сбоку от нее*.

Поворачивая при помощи отверстий корректор, который устроен на лицевой стороне прибора, вправо или влево, можно легко и быстро добиться установки стрелки измерителя на нулевом делении. При работе с корректором нужно соблюдать особую предосторожность. У гальванометров с подвижным магнитом такая установка стрелки делается просто рукой, так как магнит для этой цели делается большой, и при этом он свободно поворачивается во все стороны. Такие гальванометры изготовлялись Вятской фабрикой наглядных пособий и монтировались на колонке. У этих приборов устраивался арретир, рычажок от которого устанавливается под катушкой. Для арретировки подвижной части гальванометра следует просто рычажок поднять кверху.

У демонстрационных гальванометров Депре — Д'Арсонваля корректор устроен на задней стенке в виде рычажка, сдвигая который влево или вправо можно достигнуть установки стрелки на нулевое положение.

Кроме того, у всех демонстрационных измерителей тока на стрелках устроены противовесы, перемещая которые можно также добиться установки стрелки на нуль.

* Сейчас гальванометры этой системы выпущены без корректора, и корректирование производится при помощи магнита, который можно просто положить перед гальванометром, так, чтобы стрелка стала на нуль.

ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ ЗА ГРАНИЦЕЙ

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО МЕТОДИКЕ ФИЗИКИ В АМЕРИКЕ*

А. КАЛАШНИКОВ (Институт политехнического образования, Москва)

Как известно, в Америке широко развиты экспериментальные работы по педагогике, в которых путем тщательного подбора условий педагогического эксперимента достаточно объективно разрешаются различные методические проблемы. С помощью таких экспериментов выясняются преимущества или недостатки одних способов изложения программы перед другими, так же как и одних методов преподавания по сравнению с другими.

Такую работу проводят в целом ряде педагогических институтов, но особенно широкую деятельность развивает в этом направлении Институт экспериментальных педагогических исследований при Педагогическом колледже Колумбийского университета. В этом институте концентрируются данные по педагогическим исследованиям, проводящимся в различных учреждениях Соединенных штатов. В частности, библиография экспериментальных педагогических исследований по методике физики, опубликованная этим институтом, включает в себя 44 названия работ, проведенных за последнее десятилетие. Эти работы посвящены, главным образом, сравнительному изучению различных элементов школьных работ по физике (методы преподавания, темы программы, измерение успешности с помощью тестов, связь общего умственного развития и успешности в физике, связь физики с математикой и химией, учебники, лабораторные работы и т. д.). При таких исследованиях применяются обычно не только методы описательного наблюдения, но, главным образом, и приемы строгого количественного анализа на основе применения педагогического измерения с помощью измерителей, или тестов.

Каждое из упомянутых выше 44 исследований, заключенных в указанной библиографии, заслуживает нашего внимания, но в данном обзоре мы хотели бы остановиться на исследованиях, произведенных в последние годы (примерно с 1931 г.), относящихся к изучению индивидуализированных методов преподавания.

Преподавание физики в большинстве штатов Америки отнесено на старшие классы средней школы; в огромном большинстве школ применяется так называемое традиционное преподавание по „методу изложения“, при котором преподаватель излагает последовательно все темы программы, сопровождая свое изложение демонстрациями и лабораторными работами, работая при этом со всем классом одновременно. Наряду с этим типом преподавания имеют место попытки так называемого прогрессивного преподавания, построенного на индивидуальной работе учащихся, получающих определенные задания (как в дальтон-плане) или проекты.

Исследования последних лет стремятся прежде всего определить: нельзя ли поставить преподавание физики таким образом, чтобы для всей массы учащихся был обязательным основной минимум знаний, а кроме него, на основании индивидуализированной работы каждого учащегося, дополнительно давались бы сведения применительно к возможностям и интересам этого учащегося. Как видно, новое движение стремится сочетать то ценное, что имеется в традиционном урочном преподавании, с некоторыми элементами прогрессивного индивидуализированного преподавания, которые оправдывают себя на практике.

* 1. A. W. Hurd — „Expsrimental Efforts to improve the Teaching of Physics“.

2. I. Gerberich and W. H. Roberds — „Individualized Instruction for Superior Students in introducto.v College Physics“.

3. Charles А. Browning — „The Worksheet por High - School Physics“.

Опыты для разрешения указанной проблемы ставятся обычно следующим образом. Выбираются два класса, из которых один считается контрольным, другой— экспериментальным; в том и другом классе учащиеся подбираются, примерно, с одинаковыми способностями, или окончательные выводы делаются по отношению к учащимся только с одинаковыми способностями, хотя классы с самого начала могут включать в себя разнородных учащихся. Обычно преподаватель в обоих классах один и тот же. Далее, выбирается какая-либо тема программы, которая в контрольном классе проходится обычными методами традиционного преподавания. В экспериментальном классе та же тема проходится на основе метода, подлежащего проверке. После окончания темы результаты изучения одной и той же темы в различных классах различными методами сравниваются на основании конечного теста, измеряющего знания учащихся, полученные в том или ином случае.

Мы остановимся здесь на двух примерах изучения индивидуализированной работы учащихся, которые опубликованы за последнее время. Первый эксперимент был проведен Герберихом и Робердсом на вводном курсе Физического колледжа при университете в Арканзасе. Проблема была поставлена в отношении индивидуальной работы только способных учащихся. На вводном курсе по физике данного колледжа было 72 учащихся, разделенных на три группы. Обычно классы занимались по физике следующим образом: при пяти недельных часах три часа посвящались лекциям, демонстрациям и беседам, а два часа давались на лабораторные работы, выполняемые маленькими группами на основании общих инструкций. В течение первых четырех недель первого семестра преподаватель тщательно изучал данную группу учащихся. Для этого изучения были применены наблюдения в целях выявления знаний и интереса к предмету у отдельных учащихся, а также был дан начальный тест, который вскрыл общий уровень развития и формальных знаний по физике у каждого учащегося. На основании этого из 72 учащихся были отобраны шесть, выделявшихся по своим способностям, с которыми затем занятия проводились по особому плану. Для этой группы лекция ограничивалась двумя часами в неделю; в ней излагался весь материал, проходимый за неделю в обычном классе. Демонстрации на приборах, которые в обычном классе проводились преподавателем, здесь ставились при участии самих учащихся, причем в эти демонстрации включалась лабораторная работа, выполняемая в обычном классе в часы лабораторных работ. Остальные три часа посвящались индивидуальной работе учащихся при специальном инструктировании их преподавателем — каждого в отдельности. При этом материал, изучаемый экспериментальной группой, был несколько более повышенным, чем тот, который изучался обычным классом. Он содержал больше учебного материала и включал более трудные моменты. В конце каждого семестра учащимся экспериментальной группы давались некоторые задания, связанные с проявлением их инициативы и написанием доклада по изучаемому материалу. Ввиду наличия ряда факторов, затрудняющих точное сравнение обычного класса и экспериментальной группы, были применены два метода установления показателей, с помощью которых можно делать те или иные выводы относительно двух примененных методов работы: метод индивидуального наблюдения и метод измерения.

Общий уровень знаний и умственного развития устанавливался как по отношению к обычному классу, так и для экспериментальной группы с помощью двух типов тестов — тест умственного развития и тест знаний по физике. Тот и другой тест давался в начале первого семестра, а в конце первого и второго семестра давался тест, измеряющий знания учащихся в обычной и экспериментальной группах. Тесты были предварительно хорошо выверены, как этого требует обычная тестовая методика.

Для сравнения показателей каждый из шести учащихся экспериментальной группы сочетался с одним или несколькими учащимися обычного класса, показания которых по начальным тестам первого и второго семестров совпадали. Таким образом, имелись две сравнимые между собой группы учащихся: с одной стороны, экспериментальная группа, а с другой — группа учащихся из общего класса, причем в первом семестре в нее входило 7 человек, а во втором —13 че-

ловек. Кроме этого в качестве показателя сравнения были использованы также отметки преподавателя, даваемые на основании работы каждого учащегося в течение семестра.

Сводка результатов эксперимента дается в нижеследующей таблице:

Рассмотрение этой таблицы приводит к неожиданным выводам. Оказывается, в отношении формальных знаний в первом семестре разница между экспериментальной и контрольной группой была в общем небольшая, но в пользу первой, а во втором семестре такая же небольшая разница, но в пользу контрольной. Таким образом, данный эксперимент приводит к выводам, что в отношении формальных знаний ощутительной разницы нет между двумя этими группами, работавшими по двум различным методам. Авторы этого исследования, придя к такому выводу, пытаются его объяснить следующими причинами. Во-первых, тем, что качественные результаты работы экспериментальной группы, несомненно, иные, чем контрольного класса, поскольку, вероятно, учащиеся в экспериментальной группе получили больше навыка в обращении с приборами и инструментами, более глубоко познакомились с общими методами физики и развили специальный интерес к исследованию физических проблем. Во-вторых, можно искать объяснения в различных типах учащихся в экспериментальной группе: как показали длительные наблюдения за этими шестью учащимися, они представляли собой индивидуальности, различно относящиеся к учебной работе по предложенному им плану. Для некоторых из них такой план давал возможности максимально использовать свои силы и интересы; для других, наоборот, — отсутствие общего плана занятий и наличие большего свободного времени для индивидуальной работы не стимулировали к усвоению установленного минимума знаний по вводному курсу. Отсюда следует, что в отношении некоторого минимума формальных знаний, требуемых по тому или иному курсу физики, индивидуализированный метод обучения не приносит особых преимуществ.

В упрек авторам этого любопытного исследования следует поставить некоторую неточность их методики, вернее — узость сравниваемых показателей, сводящихся к только формальным знаниям по физике. Можно было заранее ожидать, что данные методы обучения надо сравнивать не только по наличию знаний, образовавшихся в результате их применения, но также по ряду других показателей, о которых вскользь упоминают авторы исследования.

Выводы этой работы любопытно сравнивать с результатами исследования, несколько сходного по своим целям и приемам.

Такую работу провел Чарльз Броунинг в Кноксвельской средней школе (штат Теннеси) в 1932 г. Задача, которую поставил себе автор, заключалась в том, чтобы сравнить два метода обучения по физике: один метод — традиционного изложения и второй метод— с применением инструкционных карто-

Таблица 1

Измерение

Первый семестр

Второй семестр

Экспериментальная группа

Контрольный класс

Экспериментальная группа

Контрольный класс

Число учеников

Среднее

Число учеников

Среднее

Число учеников

Среднее

Число учеников

Среднее

Общий показатель по начальным тестам...........

6

145,67

7

143,17

6

63,67

13

62,93

Конечный тест знаний по физике .

6

85,33

7

82,67

6

82,17

13

83,87

Семестровые отметки......

6

4,17

7

з,оэ

6

3,83

13

4,29

чек (Work-sheet), позволяющий до известной степени индивидуализировать обучение. Броунинг выбрал два класса по 30 человек учащихся, причем оба класса были уравнены в отношении возраста, пола, математических знаний, способности к чтению и показателям умственного развития /Q. Это значило, что каждому учащемуся одного класса приблизительно соответствовал учащийся с равными способностями и возможностями учащихся другого класса, а средние по всем показателям для каждого класса в точности совпадали. Один класс — контрольный — изучал физику обычным урочным методом с повторением материала, с классными беседами, сопровождавшимися демонстрациями и общими лабораторными работами. Другой класс — экспериментальный — занимался по рабочим листам типа инструкционных карточек.

Занятия в контрольном классе ставились таким образом: часовой урок делился на две части —40 минут для объяснений, повторений и обобщений материала и 20 минут — на самостоятельную работу учащихся по учебникам и руководствам, которые имеются в классе. В течение первых 40 минут учитель применяет все те приемы, которые обычно включаются в так называемое традиционное преподавание — вопросно-ответная беседа, вызов учащихся к доске, решение задач и примеров всем классом и т. д., добиваясь равномерного изучения вопроса всем классом.

В экспериментальном классе работа шла следующим образом: в начале каждой небольшой темы давалось пояснение, затем учащиеся самостоятельно работали, пользуясь инструкционными карточками, помещенными в рабочей книге. В этих карточках были помещены пояснения к теме, вопросы и задачи, указания на проведение небольших экспериментов и, наконец, тесты для самопроверки. Во время работы учащихся преподаватель ходит по классу, отвечает на вопросы учеников и дает индивидуальные указания. Каждый учащийся работает независимо от других. Разговоры между учащимися отсутствуют, а преподаватель ведет свой инструктаж вполголоса; таким образом, относительная тишина и рабочая атмосфера царят в классе.

В обоих классах имелись почти равные условия в отношении учащихся, преподавателя, оборудования, программы и времени прохождения каждой темы. Разница была только в одном — методе преподавания. Перед началом каждой темы программы (а их всего было шесть)* давались начальные тесты, одинаковые для обоих классов. Точно так же в конце изученной темы давался одинаковый тест. Результаты решения конечного теста по всем шести темам в отношении контрольного и экспериментального класса изложены в нижеследующей таблице:

Таблица 2

Темы

Экспериментальный класс

Контрольный класс

Медиана

Среднее

Медиана

Среднее

I

26,0

28,0

23,5

23,8

II

34,0

33,6

39,5

39,8

III

25,6

26,7

27,37

26,4

IV

30,1

0,6

31,8

30,9

V

52,5

51,0

50,6

50,8

VI

28,6

28,9

32,0

30,1

к т.**

56,7

55,3

58,0

58,4

Сравнение данных по экспериментальному и по контрольному классам, изображенных в вышеприведенной таблице, показывает, что учащиеся экспериментального класса дали показания на испытаниях лишь немного выше, чем учащиеся контрольного класса. Из таблицы следует, что в то время как экспериментальный класс дал лучшие показатели по теме первой и второй, по темам третьей, четвертой и пятой показатели

* Программа первого семестра включала в себя следующие темы:

1) гигрометр как измерительный прибор;

2) применение законов давления жидкостей и газов в водной и газовой системах снабжения;

3) применение законов давления жидкостей и газов в мореплавании и воздухоплавании;

4) применение тепловой энергии;

5) машины и их применение;

6) некоторые простые применения силы тяжести.

** К. Т. — конечный тест.

обоих классов почти одинаковы, а по теме шестой контрольный класс дал лучшие показатели, чем экспериментальный.

Далее авторы попытались сравнить результаты тестирования по отношению к учащимся, имеющим одинаковые показатели по умственному развитию, по математическим навыкам или способности к чтению. При этом были выделены специальные учащиеся, которые имели умственное развитие ниже нормы. Оказалось, что большой разницы между знаниями учащихся экспериментального и контрольного класса нет. Очень небольшая разница в пользу экспериментального класса имеет место лишь в отношении учащихся, развитие которых выше нормы; для учащихся с умственным развитием ниже нормы выяснилось, что их показатели в контрольном классе, как правило, выше показателей парных к ним учеников в экспериментальном классе.

Общий вывод по этому, очень строго поставленному экспериментальному исследованию заключается в следующем. Для средней массы учащихся и средних классов школы метод изучения физики с помощью индивидуального инструктажа на основе напечатанных рабочих карточек лишь немного превосходит метод урочного преподавания, при котором преподаватель работает со всем классом сразу. Более способные учащиеся дают по методу индивидуального инструктажа лучшие показатели, чем менее способные; для последних больше подходит метод урочных занятий.

Автор не без основания заключает, что, вероятно, наиболее целесообразным методом изучения физики будет такой, при котором учащиеся различных умственных способностей получают подходящее для них преподавание. Другими словами, речь идет о комбинированном методе, при котором сохраняется классно-урочная система и в то же время вводятся элементы индивидуализированных заданий для отдельных групп учащихся.

В последнее время под руководством известного эксперименталиста А. В. Герда были проделаны обширные опыты для сравнения преподавания физики по методу изложения и по методу рабочих карточек. Эти эксперименты охватили уже свыше 3 тыс. учащихся и на основании их делаются выводы о большой пользе, приносимой рабочими карточками, вводимыми в систему преподавания. Однако результат введения этих карточек в практику преподавания физики тем выше, чем меньше учащихся в классе. Наивысший результат получается тогда, когда число учащихся в классе меньше 20. И самый низкий итог имеет место, когда число учащихся в классе больше 30.

Все эти работы американских исследователей чрезвычайно интересны и для нас в двух отношениях. Во-первых, с точки зрения методики исследовательской работы в области сравнения различных методов и приемов преподавания, которые слишком медленно прививаются у нас, в наших научно-исследовательских и педагогических институтах. Во-вторых, эти работы подтверждают необходимость комбинированных методов преподавания, при которых на основе общеурочной системы работы преподавателя со всем классом вводятся элементы индивидуализированного преподавания.

Такие указания к организации работы заключены и в постановлении ЦК ВКП(б) от 25 августа 1932 г.: „Основной формой организации учебной работы в начальной и средней школах должен являться урок с данной группой учащихся. Эта форма должна включить в себя, под руководством учителя, общегрупповую бригадную и индивидуальную работу каждого учащегося с применением разнообразных методов обучения... Надо систематически приучать детей к самостоятельной работе, широко практикуя различные задания, в меру овладения определенным курсом знаний (решение задач и упражнений, изготовление моделей, работа в лабораториях и т. п.)“.

Эта установка, данная ЦК два с лишним года тому назад, требует от нас выработки на основе эксперимента наиболее целесообразных методов самостоятельной работы учащихся в рамках общеурочной системы занятий.

МЕТОДИКА ФИЗИКИ В ГЕРМАНИИ

Асп. В. ЮСЬКОВИЧ (Москва)

На рубеже XX в. методическая мысль по физике в Германии била ключом. Создавались общества для пропаганды естественных наук (Клейн и др.), организовывались периодические издания („Zeitschrift für physikalischen und chemischen Unterricht“, 1887 г. и др.), впервые вводились лабораторные работы в курс физики средней школы (Швальбе, 1890 г.; Ноак, Бонерт, 1897 г.; Гримзель, 1900 г.), издавались курсы методики физики (Ноак — „Руководящие указания к ведению ученических упражнений по физике“, 1892 г.); в 1891 г. появился нормальный указатель аппаратов и приборов по физике, которые должна иметь каждая школа (Гримзель—„Методика и дидактика физики“, 1911 г.; Поске—„Дидактика физического обучения“, 1915 г.), разрабатывались принципы преподавания физики (Меранская программа — 1905 г.).

Империалистическая война 1914 — 1918 гг., разгром Германии войсками Антанты, Версальский договор, Веймарская республика и Третья империя — это последовательные ступени падения Германии в экономическом, военном, политическом и идеологическом отношениях. Все это вместе взятое не могло не отразиться и на преподавании физики в германских школах. Уход от материализма к идеализму, рост националистических и реваншистских настроений в области идеологии большей части интеллигенции, уменьшение числа учебных часов по физике в школах, недостаток средств на оборудование, сокращение контингентов учащихся и учителей, — таковы печальные итоги в области практики.

На таком общем фоне появилась книга Карла Гана — „Методика физического обучения“ (Лейпциг, 1927 г., 598 стр.). В свое время эта книга не нашла себе того места на страницах нашей методической печати, которого она заслуживает. Проф. Г. Г. Де-Метц в своем курсе „Общая методика преподавания физики“ коснулся книги К. Гана лишь по вопросу расположения учебного материала по физике на низшей и высшей ступенях, совершенно не затронув философских, политических и методолого-методических взглядов К. Гана. А, между тем, именно эти вопросы получили весьма полное развитие в курсе методики К. Гана. И именно трактовка этих вопросов автором, несомненно, является наиболее приемлемой духовной пищей для фашистски-настроенных немецких физиков.

Курс методики К. Гана подразделяется на три части: общую методику, специальную методику для низшей ступени и специальную методику для высшей ступени. В данной статье затронуты главным образом вопросы из раздела общей методики.

Учитель и духовный отец К. Гана Э. Гримзель весьма нерешительно словами Пицкера ратовал за проникновение в физику „философских веяний“*. К. Ган начинает с философского обоснования цели образования, утверждая, что методически поставленная образовательная работа зависит от этих целей (стр. 43).

Э. Гримзель требовал, чтобы преподаватель физики энергично боролся с верой в авторитет, которая стоит на пути духовного раззития учеников. К. Ган посильно расчищает пути к признанию такого авторитета, утверждая, что „не только во внутренней жизни существует иррациональное, но также и во внешнем мире имеется нечто, что вечно останется для нас непостижимым“ (стр. 86).

На протяжении всего курса своей методики К. Ган неоднократно пытается решать „проклятые вопросы“ философии. Местами он высказывает мысли, которые, будучи взяты самостоятельно, звучат материалистически. Но это только проявление непоследовательности К. Гана. Реальный мир во всем своем многообразии стихийно врывается в искусственные логические построения автора и беспощадно уничтожает его схемы.

* Из речи Пицкера в 1883 г. в Дюссельдорфе — „Философия и естествознание в преподавании средних школ“.

Но столбовая дорога философских взглядов К. Гана ведет от идеализма Канта и Маха. „Придает ли теория познания внешнему миру реальное значение или нет, обстоит ли дело так, как говорит Кант: „Разум создает свои законы не из природы, но предписывает их ей“, или, как полагает Мах, для которого мир явлений ощущений является истинно-действительным,— все это принадлежит к границам физики и философии и это нерешение вопроса не может причинить вреда физикам, научности и ценности физики“ (стр. 9). Дальше К. Ган говорит, что физик сам для себя создает царство, границы которого он может обозревать. К. Ган не сомневается, что понятиям молекулы, атома, иона, электрона в природе что-то соответствует, что в совокупности составляет признаки этих понятий. Но наряду с этим это нечто обладает индивидуальными чертами, которых мы не воспринимаем (стр. 194). Здесь может показаться, особенно в первой части этой мысли, что К. Ган не покидает материалистической точки зрения. Однако страницей ниже всякие сомнения на этот счет совершенно рассеиваются. Автор вторично и резко ставит вопрос — является ли мир тел, молекул, ионов и электронов действительным или только иллюзорным. Недвусмысленный ответ К. Гана гласит: „Мы знаем о них что-либо через наши чувственные восприятия. Для нашего духа прежде всего являются действительными и данными эти ощущения“ („Für unseren Geist sind zunächst diese Wahrnemungen das wirkliche und gegebene“, стр. 195).

Этот махистский вывод К. Ган венчает мыслью о гипотетичности окружающего мира. „Внешний мир, — говорит он,— есть гипотеза, которая в связи с чувственными данными обладает определенной закономерностью“ (стр. 196). С этими заключениями полностью согласуются и последующие высказывания К. Гана, по которому пространство и время, в связи с законом причинности, образуют формально-логическую схему. К этим основным положениям философских взглядов К. Гана тесно примыкает точка зрения его на характер человеческого познания, на сущность науки и наших знаний. К. Ган рассуждает по этому вопросу следующим образом: „Если внешний мир является реальным, то действительными являются и законы, найденные нами. Но так как мы не уверены, что это так, то мы должны поставить другой вопрос: что означает тогда наше познание, если только мир мыслей является реальным?“

Для большей, видимо, убедительности вывода К. Ган обращается к „иллюзорной“ действительности, разбирает опыт с сургучной палочкой, натираемой мехом, и приходит к заключению: „Закономерности в наших мыслях вынуждают нас требовать закономерности в ходе самих событий (курсив К. Гана). Наблюдение говорит только, что это есть, дух требует, что так должно быть. Закон причинности находится, следовательно, не в природе (вытекает не из опыта), но является требованием, которое мы из логической необходимости ставим природе“ (стр. 193, курсив мой. — В. Ю.) Из всего сказанного естественно вытекает понимание познания как функции человеческого духа. Знание и наука, следовательно, покоятся целиком в области духа.

Разрыв между природой и сознанием, между объектом и субъектом, признание принципиальной непознаваемости внешнего мира, даже отрицание внешнего мира — все это есть разорванные звенья путаной идеалистической философии К. Гана. Диалектический материализм целиком отвергает такую концепцию и противопоставляет ей единое, стройное материалистическое, революционное мировоззрение.

Свои философские взгляды К. Ган намерен доводить до сознания учащихся не путем чтения особых лекций на эти темы. Он хочет дать эту философскую пропедевтику ученикам соответствующей трактовкой основных понятий физики, ее законов и т. п. Крайне интересно привести здесь мнение самого К. Гана: „Чтобы отвлечь мысли молодого человека от радикальных и поспешных формулировок, не обязательно читать лекции по философии. Ученик, который в физике получил понятие о физической действительности, не будет чувствовать себя призванным мановением руки решать мировые загадки“ (стр. 88). За этой мыслью скрывается желание автора сделать преподавание физики школой муштровки ума юношей в целях удер-

жания мыслей и поступков молодого поколения в рамках капиталистической законности.

Не нужно думать, что мысли д-ра К. Гана витают исключительно в высоких сферах философии. В своем обстоятельном труде он уделяет достаточно внимания и места злободневным политическим вопросам. Вопросы национального воспитания, воспитания в духе единства немецкого народа, воспитания как средства к восстановлению политической мощи Германии — все эти вопросы красной нитью проходят через всю методику физики К. Гана. Конечно, все это не имеет непосредственного отношения к методике физики. Но в том-то и дело, что в период обостренной классовой борьбы внутри страны, на рубеже новых революций и войн, нет места разговорам о внеклассовой науке ради науки, нет чистых жрецов ее. И К. Ган всю силу своих аргументов, весь свой авторитет бросает на чашку весов формирующейся фашистской идеологии. Не может подлежать сомнению, что в Третьей империи К. Ган является признанным вождем фронта методики физики.

Приведем несколько мыслей К. Гана по этим вопросам. К. Ган пишет, что послевоенные договоры имели своей целью сделать немецкий народ бессильным политически, угнетенным—экономически, отсталым — культурно. За пределами-де Германии на немца поставили печать преступника за его „стремление к космополитизму и вечному миру“ (?!). „Разве не должен немецкий народ пробудиться от своего сна и признать, что мир еще не созрел для идеала, который немецкий народ носит в своей груди“, — восклицает К. Ган. Много, мол, горя и разочарований избежал бы немецкий народ, если бы он обладал чувством действительности. Этот аргумент, неоднократно повторяемый, рассчитан, видимо, на те круги, которые стремятся к снижению числа часов по физике в школе. Так, в другом месте автор пишет, что школа должна заострить вопрос на воспитании чувства действительности и всеми силами поддерживать естественные науки, так как они питают хозяйство и технику, которые „позволят немцам снова выполнять культурные задачи“ (стр. 28).

Идеалы воспитания К. Ган видит в довоенной немецкой казарме. Благодаря именно этой „замечательной системе воспитания“ была возможна та верность и самоотверженность, с которыми каждый немец во время войны занимал предназначенное ему место. Только такая система воспитания, по мнению К. Гана, дала возможность развернуть могучие силы, так как „каждый немецкий мужчина, способный носить оружие, мучился, если он не мог отдать свою жизнь за общее дело“ (стр. 29). „Каждый солдат и каждый немец был полон сознания, что он борется и должен бороться за свое отечество и свой народ. Чувство общности судьбы жило в каждом немецком сердце“ (там же). Такие мысли К. Ган высказывает в разделе „Цели физического обучения“. Эти идеалы, заимствованные из недавнего прошлого, руководят автором и при выборе путей в будущее. Школа должна так поставить свою воспитательно-образовательную работу, чтобы пробудить в учениках „понимание современного положения, смысл будущих задач немецкого народа и волю к энергичному содействию по восстановлению Германии“ (стр. 28). Эти моменты должны служить исходными точками для школьной работы. В этих словах К. Ган предельно ярко и ясно раскрыл стремление немецкой буржуазии возложить на школу обязанности по формированию послушного пушечного мяса во славу империалистической Германии. Можно подумать, что перед нами не методика физики, а руководство по воспитанию военного командного состава. Впрочем, в одном месте автор так и пишет, что задачей высшей школы должно являться „создание руководящего слоя людей, которые нас снова поведут вперед“ (стр. 28.).

Однако автор признает, что достигнуть намеченных целей не легко, что в этих „тонких“ вопросах нельзя ограничиться поучительными лекциями. Поставленных целей можно достигнуть, если „в преподавании малые и малейшие душевные побуждения ученика гармонируют и друг друга усиливают, если попутные, но глубоко идущие познания расширяют его взгляд и если ищутся связи далеко за пределами предмета“ (стр. 83—84).

Приведу два примера, иллюстрирующие, как на практике осуществляет К. Ган свою теорию. Излагаются законы Кеплера. Упоминается имя великого

ученого. Нельзя не сказать при этом, что Кеплер был немец, „земля которого была ареной чужеземных войск“, что он „страдал в течение всей своей печальной жизни, подобно всему немецкому народу“.

В нашем сознании крепко вкоренилась мысль, что наука является интернациональной. Другого мнения держится К. Ган. Он говорит, что при случае нужно указывать ученикам, будто сама физика „не вполне интернациональна“. И вот „исчерпывающие“ аргументы в пользу такого заключения. Духовная сила англичан — Ньютона, Фараде я, Максвелла, Резерфорда, Томсона — лежала в области индукции. Французы Декарт и другие склонны к дедуктивному образу мышления и потому-де нет французов в кругу исследователей, которые создали современную физику. Другое дело немцы. Тут мы находим имена Кеплера, Гельмгольца, Гертца, Планка и других немецких исследователей, у которых в равной и гениальной степени сочетается индукция и дедукция.

Такими и подобными приемами профанируется наука, подтасовываются факты, события, искажаются великие личности с целью отыскания ключа к „немецкому сердцу“, к „национальному самосознанию“. Да, это поистине „тонкая“ работа!

Философское и политическое обоснование целей обучения физики, данное К. Ганом, является для советской методики физики совершенно чуждым, враждебным, неприемлемым. Философские и политические концепции К. Гана не могли не отразиться на его методологии и методике. Цели, по образному выражению самого К. Гана, должны, как центральный огонь, распространять свет во все стороны и освещать к ним пути. Здесь автором продолжено, развито и конкретизировано его идеалистическое и националистическое мировоззрение. Но именно к вопросам методики следует подойти осторожно и внимательно, так как многие из методических указаний К. Гана являются чрезвычайно ценными и вполне приемлемыми для советского преподавателя физики.

Какие цели должно ставить перед собой преподавание физики? На это К. Ган отвечает: 1) пробудить волю к знанию глазом, ухом и другими органами чувств, 2) воспитать любовь к правде для избежания заблуждений и ошибок и 3) привить уважение ко всякому честному труду, научить изготовлять приборы, научить наблюдать, измерять, связывать, разрабатывать, представлять (стр. 32—33). В другом месте те же цели несколько уточняются. Перед математическими и естественными науками стоят задачи привить молодому уму ясность, последовательность, деловитость и строгое правдивое мышление. Ознакомить его с методами мышления, которые применяются в специальных областях, научить переводить взгляд от частного к общему, научить наглядно представлять общие проблемы, пробудить понимание серьезности и величия умственного труда и почитание творческой личности. „Ученики должны осознать глубочайшее единство человеческого духа, обратить сугубое внимание на особые достижения немецкой науки и углубить понимание условий технического трудового процесса“ (стр. 30).

Мы могли бы здесь спросить Гана: о воспитании любви к какой правде идет у него речь? Ведь „правда“ фашистская не тождественна пролетарской правде; за последнюю в Германии рубят головы и сажают в концентрационные лагеря. О каких заблуждениях и ошибках, о каком „честном труде“, о каком „единстве человеческого духа“ говорит К. Ган? Ведь все эти понятия настолько полярны во всяком классовом обществе, и тем более в современной Германии, что является простым самообманом и обманом приписывать им однозначность.

Но вместе с тем здесь следует отметить как положительный момент умение автора привлечь для должного воспитания все физические и духовные данные ученика. Учитель является не холодным беспристрастным судьей, но чутким, любящим свое дело, свой предмет руководителем, мобилизующим все ресурсы для достижения поставленных целей.

„Что получают ученики от изучения физики? Знание важнейших физических явлений и их закономерностей, понимание путей, по которым происходит добывание физических знаний, понимание теорий, лежащих в основе физических знаний и дающих картину мира. Знакомство с применением физики в повседневной жизни, в технике, в сред-

ствах связи, значение последних для народного и мирового хозяйства, дисциплинированность ума, пробуждение способности наблюдения („наблюдения без понятия слепы, понятия без наблюдения— пусты“, Кант), выработку чувства действительности, воспитание любви к правде, воли к труду и единству немецкого народа. Понимание исторического развития физики и тех влияний, которые оно оказывало на духовное развитие человечества“.

С многим из изложенного здесь можно вполне согласиться. Конечно, и тут требуют расшифровки такие задачи, как „здоровое чувство реальности“, та же „любовь к правде“, „воля к труду“, „единство немецкого народа“, „духовное развитие человечества“. По этим вопросам наши представления разойдутся с пониманием их К. Ганом. Вероятно, по-разному понимаем мы и значение основных теорий, и дисциплинированность ума, и др. К. Ган считает важнейшей задачей преподавания физики сообщение учащимся положительных знаний. Но эти знания связаны с умениями. „Знание без умения мертво“ (стр. 36). Это положение влечет за собой большое количество лабораторных работ, выполняемых учениками как на Unterstufe, так и на Oberstufe. Советским преподавателям физики в средней школе этот тезис хотя и известен, но не везде он находит надлежащее практическое осуществление.

Наряду с пониманием учениками физических явлений в природе область технических применений образует „главную часть внутренней учебной цели физического образования“ (стр. 36). По этому вопросу К. Ган идет значительно дальше Гримзеля; последний, как известно, отводил технике весьма скромное место в курсе школьной физики. К. Ган пишет: „Бросить взгляд в это царство техники, которое охватывает больше половины немецкого народа, бросить взгляд на энергохозяйственные вопросы, на их народнохозяйственное значение. В этом нужно видеть цель образования; надо, чтобы молодежь узнала, что отсюда, и только отсюда, может вырасти мощь и защита немецкого народа“ (стр. 33). Таким образом, и этот важнейший и принципиальный вопрос воспитания и образования К. Ган рассматривает со своей излюбленной idée fixe.

Для методиста Поске конечная цель в изучении физики заключалась в выработке картины мира с точки зрения космической механики. Для К. Гана понимание современной картины мира достигается изучением процессов излучения. Именно этот процесс является мостом между макро- и микрокосмосом, поэтому оно и должно лечь в основу физического мировоззрения. Впрочем, этот вывод, как и ряд других, не является достаточно обоснованным, здесь много субъективизма и личного вкуса автора. Для выработки физического мышления важнейшей предпосылкой является требование, чтобы учащиеся располагали правильными физическими понятиями. Например, скорость не частное от деления пути на время, не предел их отношений, но физическое состояние движения.

За руководящее положение при выборе учебного материала на низшей ступени (Unterstufe) К. Ган избирает энергетический принцип как цель (область явлений тепловых и механики покоя, область электрических и магнитных явлений, геометрическая оптика). На этой ступени обучение строится таким образом, чтобы выработать связи между явлениями, имеющими значение в природе и технике. На высшей ступени (Ooerstufe) энергетический принцип уже не цель, а основной рабочий принцип. Здесь образование построено на выработке логических связей между изучаемыми явлениями. В вопросе расположения учебного материала по физике буржуазная методика физики лишена того руководящего принципа, который принят советской методикой — расположение материала в порядке усложняющихся форм изучаемых движений материи: механическое движение, молекулярное движение, электронное движение и явления излучения.

Поске предлагает начинать изучение физики со статики, Гримзель и Гефлер— с механики движения, К. Ган — с механических и термических свойств тела. К. Ган приводит свою, довольно интересную схему расположения учебного материала на высшей ступени (см. схему). Правда, К. Ган не дает обоснования именно такого расположения курса. Эта схема игнорирует качест-

венные особенности движений материи— тепловая энергия включена в механическую. Вместе с тем, К. Ган придает большое значение установлению связей между отделами физики — „знание без связи мертво“ (стр. 163).

Из схемы видно, что на Oberstufe объединяющими моментами в физике служат теория атома и теория относительности. Само изложение этих вопросов в немецкой средней школе заслуживает внимания советских методистов физики.

К. Ган придерживается двух принципов при преподавании физики:

1) Параллелизм в построении отделов физики, например при изложении упругих, тепловых свойств твердых, жидких и газообразных тел; при изучении передачи движения в механике и в электричестве и т. п. При изучении новых понятий следует пользоваться аналогиями, не забывая при этом подмечать общее и выявлять особенное с обоснованным его измерением. Например: температура — количество тепла—теплоемкость; давление — количество газа — объем; сила —масса—ускорение; напряжение — сила тока — сопротивление; работа — сила — путь.

Схема расположения учебного материала по физике на Oberstufe.

2) Восхождение от легкого к трудному, от наглядного к абстрактному. Эти мысли К. Гана являются чрезвычайно ценными. Осуществление первого принципа позволит создать у учащихся более устойчивые представления как о явлениях и законах, так и о методах их изучения и установления. Тем самым возрастает прочность и надежность получаемых знаний по физике.

Второй принцип хотя и является общепризнанным, но далеко еще не нашел практического осуществления как в учебниках, так и на уроках физики в советской школе. Исходя из второго положения и из принципа трудовой, а не словесной школы, К. Ган требует, чтобы гипотеза, теория или основной закон вводились по возможности после исчерпывающего выявления и использования старого опыта и имеющихся представлений и знаний учащихся. Это указание также весьма ценно. При этом К. Ган высказывает очень важное принципиальное суждение: „Всякая теория должна быть связана с группой явлений как заключительный момент в их разборе“ (стр. 169). Так, он против того, чтобы начинать электростатику электронной теорией, изучать ионную теорию до законов Фарадея, так как у учеников может создаться представление о физике как о спекулятивной науке. Первое слово — опыту, второе — теории. Без этого физика перестает быть экспериментальной наукой. Однако для волновой теории света К. Ган делает исключение, так как это позволит, по его мнению, лучше изучить световые явления.

К. Ган полемизирует с Поске и Гефлером, которые рекомендовали придерживаться при изучении физики исторического хода развития науки (так, Поске предлагал начинать изучение механики на высшей ступени с вопроса Галилея: „Какую кривую опишет тело, брошенное в горизонтальном направлении?“); Гримзель тоже считал, что цель преподавания физики лучше всего достигается, если оно в главных чертах идет по пути исторического развития науки. К. Ган полагает, что нельзя перед учащимися излагать исторический ход вопроса, если они не знают современного взгляда на него. В такой категорической и всеобщей формулировке вряд ли можно принять точку зрения Гана, но эта мысль не лишена интереса, и во многих случаях она является справедливой. Впрочем К. Ган допускает и исторический подход к изучению какого-либо вопроса, если этот путь является наиболее кратким среди других методов.

Чрезвычайно много разнообразных и ценных мыслей найдет читатель в методике физики К. Гана. Нет возможности дать хотя бы краткое обозрение их в данной статье. Остановим свое внимание еще лишь на некоторых, наиболее ярких высказываниях автора.

Методика физики, по мысли К. Гана, должна быть так построена, чтобы привести в соответствие достижения науки и техники со школьным преподаванием. Он вводит в курс физики высшей ступени новейшие достижения в науке — молекулярную, ионную теорию, волновую теорию, электромагнитную теорию света, теорию Бора, теорию относительности, радио, электронные лампы. К. Ган рассматривает моменты связи физики с важнейшими школьными предметами— математикой, химией, астрономией, географией, ботаникой, историей, немецким языком и художественным воспитанием. Математический метод должен быть введен в физику не столько для решения задач и выводов формул, сколько для точного и простого изображения количественных соотношений в физике. Письменные работы по физике оцениваются не только по существу физики, но и по выразительности языка, течению представлений, отделению существенного от побочного, по логическому развитию мысли и т. п. Опыт, демонстрируемый на экспериментальном столе, должен быть так смонтирован, чтоб он непроизвольно привлекал внимание своей красотой и гармоничностью—этим будет воспитываться художественный вкус учеников.

Эти отдельные мысли К. Гана очень ценны, интересны и достойны пристального внимания советского преподавателя физики. На эту сторону преподавания своего предмета далеко не всегда обращает внимание преподаватель физики наших школ. В заключение кратко рассмотрим отдельные мысли К. Гана о проведении лабораторных работ К. Ган с горечью пишет, что и сейчас больше, чем когда бы то ни было, нужно ратовать за введение лаборатор-

ных работ, так как во многих школах Германии лабораторные работы совершенно не введены. Причиной этого является обеднение государства и общин, отсутствие помещения и подходящих людей. „Многие попытки потерпели крушение еще тогда, когда Германия была богатой страной“ (стр. 91). К. Ган оценивает теперешнее положение с лабораторными работами как крайне тяжелое и запутанное. „Часто отсутствует убеждение, что возможно вообще преодолеть внешние препятствия и, вместе с тем, отсутствует стремление к развитию этого дела в общем и целом“ (стр. 98).

Лабораторные работы должны служить к развитию правильного употребления рук, глаз, ушей и других органов чувств через критическое обсуждение добытых результатов, через распознавание существенного среди побочного; лабораторные работы должны способствовать усилению наблюдения, развивать физическое мышление, знакомить с объектами, природы через непосредственную деятельность. К. Ган требует, чтобы ученики сами составляли приборы, а не пользовались готовыми, уже составленными учителем. При этом он называет „опасным, роковым выходом“ проведение одной лабораторной работы четырьмя учениками. Трудные лабораторные работы могут подействовать отрицательно в моральном отношении на учеников, но и легкие лабораторные работы не должны иметь места: для учащихся старших классов они не представляют интереса. А как часто грешат против этого положения многие советские преподаватели физики. Даже в хороших школах наблюдаются случаи, когда ученики VI и IX, VII и X классов выполняют почти одинаковые по трудности лабораторные работы.

К. Ган неоднократно указывает, что число отсчетов наблюдений, особенно для задач количественного порядка, должно быть 6—10: „Только так можно приучить учеников считать“. В наших школах кое-где на эту сторону проведения лабораторных работ обращается недостаточное внимание. Даже в опытных школах, как показывает практика, учащиеся делают максимум два-три отсчета. Если же выпал „счастливый случай“, и результат первого измерения совпал с константой, данной в учебнике, то на этом и успокаивается звено учеников. По этому поводу еще Гримзель писал в „Дидактике методики физики“: „Такого рода ведение преподавания является прямо преступным“ (стр. 74).

После выполнения лабораторных работ К. Ган рекомендует находить среднее значение искомой величины по всему классу, разбирать хорошие и плохие работы, выяснять причины тех и других, чертить графические зависимости. Дома ученики оформляют работы, и учитель оценивает их, исходя из точности изложения, оформления и т. п. Многими ли советскими преподавателями физики выполняются эти, как будто мелкие стороны проведения лабораторных работ? Вероятно немногими, а, между тем, все это имеет черезвычайно большое воспитательное значение для учащихся. Перед лабораторной работой учитель разъясняет цель ее и назначение каждого применяемого аппарата. Все это должно даваться сжато и в форме, пробуждающей интерес учеников и возбуждающей желание самим найти решение. К. Ган не рекомендует давать предписания, как и что делать. Он также возражает против предварительного сообщения ученикам искомого результата. „Господствует полное согласие в том, что учитель должен строго избегать что-нибудь говорить наперед о результате; он должен все свое искусство использовать на то, чтобы результат выявить в таком свете, который возбуждает интерес к его открытию“ (стр. 109).

Количество лабораторных работ, которые сам К. Ган в течение 15 лет выполняет в своих классах, равно на низшей ступени 74 (по измерению —14, механике и теплоте — 30, магнетизму и электричеству—20, оптике — 10) и на высшей ступени — 94 (механика твердых тел —18, механика жидких тел и газов—10, акустика — 5, теплота — 14, оптика — 16, магнетизм — 6, электростатика — 5, электродинамика — 20). Следует заметить, что только по электростатике и магнетизму К. Ган дает лабораторные работы качественного порядка. В других отделах физики он предпочитает давать подобного рода работы в качестве классных демонстраций. Так, например, из пяти способов определения длины световой волны,

КАК ПРЕПОДАВАЕТ ФИЗИКУ УЧИТЕЛЬ КОШЕЛЕВ

В. СЕЛИВАНОВ

преподавателем (электроизмерительные приборы, моторы, репродукторы и т. д.). Больше 100 различных приборов изготовлено учащимися под руководством т. Кошелева, причем около 20 из них — собственной его конструкции. Приборы, изготовленные в физическом кабинете, не уступают, а по некоторым показателям (простота конструкции и др.) даже превосходят покупные.

Не из-за экономии лишь средств преподаватель занимается изготовлением самодельного оборудования: другие, а именно — педагогические— соображения положены в основу этого дела.

В постановлении ЦК ВКП (б) от 25 августа 1932 г. сказано: „Надо систематически приучать детей к самостоятельной работе, широко практикуя различные задания, в меру овладения определенным курсом знаний (решение задач и упражнений, изготовление моделей, работа в лабораториях, собирание гербариев, использование пришкольных участков в учебных целях и т. п.)а. Именно это указание ЦК и положил т. Кошелев в основу своей работы.

Учащиеся, самостоятельно изготовляя приборы и модели по физике, не только прочно закрепляют полученные знания, но и приобретают целый ряд чрезвычайно ценных умений и навыков по конструкторству. Учащиеся у т. Кошелева не только копируют приборы, но, что особенно важно, их совершенствуют и даже конструируют вновь. Безусловно это делается на доступном для учащихся учебном материале и под непосредственным руководством самого педагога.

Вся эта работа, проводимая по преимуществу через конструкторско-изобретательский кружок, организуется в самой теснейшей связи с прохождением программного материала.

Изготовляемые приборы используются для демонстраций и, в особенности, для проведения лабораторных занятий. Это делается весьма оригинально: например при проработке темы „Превращение электрической энергии в механическую“ VII класс на лабораторных занятиях пользовался электроизмерительными приборами, изготовленными учащимися VII класса (сейчас VIII класс) в прошлом учебном году. Учащиеся VII класса в текущем учебном году после лабораторных работ в конструкторско-изобретательском кружке изготовили 5 гальванометров, закрепив на этом пройденный материал по теме и в то же время пополнив оборудование к этой теме для VII класса будущего учебного года. Изготовление учащимися моделей и приборов является одним из существенных условий довольно высокой успеваемости по физике в нашей школе: учащиеся, являющиеся членами конструкторско-изобретательского кружка, как правило, дают значительно высшие показатели успеваемости, чем те учащиеся, которые не являются членами этого кружка.

Тов. Кошелев методически правильно строит всю свою учебную работу. Он умело использует на уроках все свое оборудование: приборы, модели, проекционный фонарь и др., демонстрируя на них законы физики, умело и довольно часто организует лабораторные работы. Но несмотря на огромную роль оборудования в преподавании физики, все же не это характеризует самую суть педагогического мастерства т. Кошелева.

Суть педагогического мастерства этого педагога заключается в уменье заставить каждого учащегося класса размышлять над изучаемым явлением.

Приходилось бывать на уроках у многих опытных преподавателей. Эти уроки были методически не плохо проведены, прекрасно оборудованы и достигали своей цели, но на этих уроках не было того, чтобы преподаватель так непринужденно заставлял каждого учащегося напряженно, с захватывающим интересом работать в течение всего урока, буквально переживать урок, что можно было наблюдать на уроках у т. Кошелева.

В школах уроки, к сожалению, часто еще таковы, что учитель не всегда умеет на них заинтересовать учащихся. Беседа на практике часто превращается в миниатюрную лекцию, где учитель говорит, а ребята слушают, несмотря на то, что при этом, может быть, учителе широко использует дидактический материал. В этих случаях получается впечатление, что учебный материал излагается в классе, что учитель не ведет класс от известного, усвоенного материала к новому, а бросает учащимся „с расстояния“ готовые знания, пусть

Рис. 1.

для лучшего их уяснения применяя, может быть, прекрасные демонстрации, иллюстрации, примеры и т. д. Короче говоря, учитель не всегда находит на уроке необходимый контакт с классом. А. И. Кошелеву этот контакт удивительно хорошо удается. Всякий урок у него— это система искусно поставленных перед учащимися и тут же вместе с ними разрешаемых задач. Задачи учащимся ставятся в исключительно интересной, занимательной форме.

Постановка и разрешение всякой такой задачи проходит, примерно, следующие этапы:

1) Постановка учителем вопроса (задачи).

2) Предположения учащихся.

3) Обоснование учащимися своих предположений.

4) Оценка учащимися этих предположений.

5) Утверждение правильных и опровержение неправильных предположений (выводом и демонстрацией учителя).

6) Вывод.

По поводу этого можно возразить, что ведь и всякая правильно проводимая беседа предполагает постановку задачи (вопроса), предположений учащихся и утверждения учителя. На это необходимо лишь указать, что, во-первых, в существующей школьной практике при проведении беседы педагоги, к сожалению, слишком мало заботятся о том, что думает учащийся но тому или иному вопросу, а главное — почему думает так, а не иначе (обоснование). Нередко учитель, производя опрос учащихся, останавливается на правильном ответе, утверждая этот ответ, но не выясняя причин неправильных ответов и т. д.

Во-вторых, если бы эти задачи т. Кошелевым давались только в словесном выражении, можно было бы с полной уверенностью утверждать, что необходимого педагогического эффекта не было бы. Это было бы сравнительно абстрактным, а потому малоинтересным для детей и малорезультативным проведением беседы.

В том-то и весь секрет таких задачек, что они даются преподавателем в форме, вызывающей у детей к активной деятельности десятки различных эмоций, представлений, весь запас ранее полученных знаний и навыков по предмету; этим добивается преподаватель прочного контакта в работе с кружком.

Например на уроке изучается поведение рамки с током в магнитном поле (тема „Превращение электрической энергии в механическую“). На демонстрационном столе между аккумуляторами на весу укреплена рамка.

Преподаватель: Ребята. Мы с вами на предыдущем уроке проследили, что катушка, в которую был продет один из полюсов магнита, то выталки-

валась, то втягивалась. Это зависело от изменения направления тока или перемены полюсов. Теперь скажите, что произойдет с катушкой, если мы поместим ее между магнитами?

Возглас: Она будет вертеться.

Савин: Не будет вертеться.

Преподаватель: Ты, Воскобоева, как думаешь?

Воскобоева: Она повернется один раз.

Преподаватель: Ты как думаешь, Савельева?

Савельева: Она будет вертеться.

Преподаватель: Колобродов.

Колобродов: Рамка будет вертеться.

Преподаватель: Большинство стоит на том, что катушка будет вертеться... Ну-ка, Колобродов, обоснуй свое предположение — почему рамка будет вертеться. Иди к прибору и рассуждай при помощи правила левой руки.

Колобродов идет к демонстрационному столу, после некоторых рассуждений (вслух), наконец, убеждается, что катушка повернется только на 90°, Класс внимательно наблюдает.

Преподаватель: Давайте проверим (включает ток, и получается, что катушка отклоняется только на 90°. В классе оживление). Значит Колобродов рассуждал правильно. Ребята, на этом принципе построен гальванометр... и т. д.

А можно было бы иначе подойти к гальванометру: рассказать учащимся, как будет вести себя рамка между магнитами. Продемонстрировать это на приборе и сделать вывод об устройстве гальванометра, как часто и проводится в школах: это было бы принципиально иным подходом, безусловно педагогически менее эффективным, чем изложенный выше.

Богатое освещение урока приборами, демонстрациями опытов, иллюстрациями чертежом или схемой на доске — является непременным условием хорошо проведенного урока.

У т. Кошелева эти демонстрации всегда подбираются умело и в меру, но обращается к ним преподаватель только тогда, когда в них имеется необходимость. Помня, что излишнее нагромождение демонстраций затемняет понимание учащимися изучаемого явления, т. Кошелев считает недостаточным то количество лабораторных работ, которое намечено по программе в связи с изучением курса физики во II концентре. Он находит, что по качеству эти лабораторные работы однообразны — носят иллюстративный, закрепительный характер. Почти нет лабораторных работ исследовательского характера, и т. Кошелев в своей практической работе организует такие работы в большом количестве.

Эти исследовательские лабораторные работы им ставятся перед учащимися в виде конкретных, занимательных задач.

Взять, например, проведение лабораторной работы в связи с изучением электромотора. По программе предложено: собрать небольшой мотор и пустить его. Эту лабораторную работу т. Кошелев видоизменяет и усложняет ее: придает ей характер исследовательской. Он заранее делает повреждения в моторах, предназначаемых для лабораторной работы (в магните, в катушке, в коллекторе или щетках), и на лабораторных занятиях предлагает учащимся отыскать причину, почему мотор не работает, и исправить его.

Такая целевая установка лабораторной работы четка, понятна и интересна для учащихся, заставляет учащегося для успешного решения задачи мобилизовать все ранее полученные знания и навыки. Лабораторные работы имеют также исключительную учебную и воспитательную ценность, ибо, выполняя ее, учащийся не только лучше изучает устройство мотора, чем при простой его сборке из частей, но изучает „капризы“ мотора и научается устранять их. Таким образом, в процессе учебной работы воспитываются те великолепные качества — техническая мысль, смекалка, необходимые будущим квалифицированным рабочим, инженерам, техникам.

Это делается так: учащиеся сидят бригадами по три человека. Им розданы испорченные моторы. Предлагается найти повреждение и устранить его. Дети с восторгом берутся за работу: мотор разбирают, внимательно осматривают катушку, нет ли перерыва провода в витках, проверяют компасом магниты—„не спутаны ли полюса“*, смотрят, в порядке ли коллектор, плотно ли схватывают его щетки и т. д. В брига-

* Преподавателем специально для этих лабораторных работ был заготовлен ряд перемагниченных магнитов.

Рис. 2.

де оживление. Оказывается, нашли повреждение: порвана проводка. Повреждение устранили... собрали мотор... пустили ток, мотор работает — веселое оживление. Бригадир торопится заявить преподавателю: „Мы исправили“, и получает другой испорченный мотор для „ремонта“. Незаметно проходит урок, за 30 минут лабораторной работы бригады успевают „отремонтировать“ по 3—4 мотора и зарегистрировать свою работу в тетрадях.

Часто в школах урок повторения пройденного материала выливается в довольно скучную процедуру вопросов учителя и ответов учащихся. На этих уроках, к сожалению, еще очень редко привлекается дидактический материал.

Урок повторения у А. И. — один из интереснейших уроков, и ребята эти уроки очень любят.

Урок повторения — это, с одной стороны, обобщение материала всей темы и зарядка для новой; с другой стороны— одна из форм учета знаний учащихся. К уроку-повторению обычно т. Кошелев располагает на демонстрационном столе весь дидактический материал, использованный при проработке темы. Отвечая на вопрос, учащийся часто вызывается преподавателем к демонстрационному столу и доске, где на приборах и чертежах показывает свои познания.

Есть масса других интересных моментов в работе т. Кошелева, хотя бы назвать его методику подведения учащихся к новой теме, методику дачи домашних заданий и др., но все это невозможно описать в настоящей небольшой статье.

На 1934/35 учебный год т. Кошелев ставит себе задачу — дать образцовую проработку всего раздела „Электричество“ в VII классе и обосновать количество и характер проводимых самостоятельных лабораторных работ учащихся в связи с проработкой этого раздела.

Намеченная им работа весьма актуальна для средней школы.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ. ХРОНИКА

ИТОГИ ПРИЕМНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ФИЗИКЕ В МЭТИИСС

И. ЛОБКО, Е. ЛЯХОВ и А. ПЯТАКОВ (Москва)

Московский электротехнический институт инженеров связи и сигнализации НКПС

I. У многих студентов наблюдаются поверхностные знания формального характера: создается впечатление, что студент к испытаниям „натаскивался“ по справочнику: читает (формулирует) закон, а применить его к объяснению явлений природы или технического процесса не может; или пишет формулу, а физического смысла величин, входящих в данную формулу, не знает. Студентами отождествляются совершенно различные физические понятия, например, давление и сила давления, критическая температура и абсолютная, диффузия и осмос и т. п.

II. Почти у всех поступающих обнаружилось неумение ориентироваться в системах единиц; студент не обращает внимания на то, чтобы назвать физические величины в каждой стадии работы и тем определить единицы, в которых выражаются результаты, и не отдает себе отчета, имеет ли физический смысл полученный результат. Студенты совершенно не знают, как перейти от одной системы единиц к другой; о единицах измерения давления как будто не слышали. Были случаи, когда студенты отказывались отвечать, что означают буквы CGS. Вообще вопросы наименования физических величин — одно из слабых мест в подготовке студента, отсюда неумение решать даже самые простые задачи.

III. Отделы акустики и оптики проработаны совершенно неудовлетворительно. Большинство из поступающих на вопросы из оптики или акустики заявляли,что „не успели пройти“, „плохо прорабатывали“, „не обращали большого внимания“ и т. п. В частности, из физической оптики почти не проходятся: окраска тел, спектры испускания и поглощения.

Из других отделов наиболее слабо проработан отдел механики и молекулярной физики, в более лучшем положении теплота и электричество (за исключением электростатики). Но и по этим отделам имеются недостатки в знаниях. Например, студент знает закон Ома и формулы для вычисления сопротивления при параллельном соединении, а на вопрос, как изменится сила тока в цепи, если из п горящих, параллельно включенных ламп одну выключить, отвечает: „Сила тока в цепи увеличится“. Нет понимания устройства и действия генератора.

В большинстве для поступающих является загадкой, отчего температура кипения жидкости остается постоянной. Изменение удельной теплоты парообразования с изменением температуры кипения совершенно упускается из виду. А на несколько раз предлагавшийся вопрос: какова удельная теплота парообразования при критической температуре,— не было ни одного правильного ответа. На вопрос: какую температуру называют критической—давали самые разнообразные ответы и очень редко — правильные. Часто приходилось слышать, что критической температурой называется такая температура, при которой газ не переходит в жидкое состояние, или что пар при критической температуре переходит в жидкость. Нет ясного понимания устройства и действия барометра.

IV. Общее математическое развитие у поступающих слабое. Очень часто не отдают отчета о пропорциональности величин; навыки тоже недостаточны: испытывают затруднения в действиях с дробями; не умеют выразить, сколько в 1 кв. м квадратных сантиметров; затрудняются в составлении и решении уравнений. Однако следует сказать, что по сравнению с прошлыми годами в области навыков замечается значительное улучшение.

V. Надо отметить, что на вопросы: „Расскажите о таком-то явлении“, „Объясните такой-то процесс“, никогда не следовало рассказа; спрашиваемые стараются дать в ответе определение явления или же ждут наводящих вопросов, чтобы ограничиться лаконическим ответом. Рассказывать совершенно не умеют.

В качестве примеров могут служить следующие ответы на приемных испытаниях.

Студент М. Размерность энергии К~~^~\ на предложение написать закон Кулона пишет: f= ——— и дает словесную формулировку, вклю-

чающую электрические токи, а на вопрос: „В каких же мерах измеряются входящие в да.шую формулу величины“, отвечает: „т — в граммах, а г—в сантиметрах“. Написал формулу вогнутого зеркала —= —, но что обозначает величина F, отчета не отдает.

Студент С. Размерность ускорения имеет л*. С£к2, размерность работы — ; в формуле линзы -- + 7- = т, не знает смысла величины г и а наугад говорит: F=2R,

Студент Д. На вопрос, что измеряют динами, отвечает: .Скорость“. Затем, поправившись, говорит: „Мощность“. Формулу зеркала пишет: \- =г \- и не отдает себе отчета в бессмысленности такой записи; на вопрос: если величина нормального атмосферного давления выражается в 1 кг на 1 см2, то какова будет величина давления в 1 кг на Хм1 — отвечает: 100 кг\ на вопрос, почему именно 100, упрямо повторяет: 100.

Студент Ш. Давление на поршень выражается в калориях, а давление 1 атмосферы—1000— величину кинетической энергии пишет: Т=та, а закон Кулона: F=—

Студент К. ускорение выражает через , а в другой раз через м\сек> а в третий раз через сек. В формуле линзы ^+^- = ^ не знает, что обозначает каждая величина в этой формуле.

Студент Г. дает формулу кинетической энергии, как г= -у и рядом с этим —формулу центробежной силы F= ,и когда сравниваются обе его формулы и указывается, что выходит: и сила и энергия не различаются в обозначениях и размерности, говорит: „Нет различия“ и заявляет, что энергия измеряется динами; затем написал выражение для теплоемкости: С{ —-f- и при этом в знаменателе t зачеркивает, якобы сокращая.

Студент С. пишет: 1 джоуль =10? дин. 1 /сглс — 1000.100= Юз ДИн, затем поправляется и пишет г\см.

Студент Л. выражает работу в г\см> а затем в г\мм\ закон Бойля-Мариотта пишет pr=coist; период Т в формуле центробежной силы выражается, по его словам, как и скорость, — , или (поправившись) Т есть отвлеченное число, а центробежная сила измеряется в кгм.

Студент С. имеет отлично по математике: решает задачу:„На тело весом в 5 кг действует сила —5 кг\ определить ускорение“. Решает:

После указания, что от деления килограмма на килограммы должно, казалось бы, получиться отвлеченное число, он заявляет: „Нет, должно получиться -^-т Вторую задачу: «Определить силу притяжения двух тел с массой 200 кг и 300 кг находящихся на расстоянии 1 м* — решает:

затем дает второй вариант:

и третий вариант:

Студент Б. дает формулу закона Джоуля — Ленца, но отказывается объяснить физический смысл коэфициента 0,24.

Студент К., зная давление атмосферы дает давление в килограммах на 1 м2 только лишь после помощи определяет, сколько в 1 м2 имеется квадратных сантиметров. На вопрос что называется удельной теплоемкостью, отвечает: „Это—количество тепла, необходимое для перехода из твердого состояния в жидкое“; а затем на замечание, что это не так, заявляет: „Это — количество тепла при сгорании“. В формуле Джоуля — Ленца не знает физического смысла коэфициента 0,24, и в формуле линзы не знает, что обозначают буквы, входящие в нее.

Студент Ц. не знает, что измеряется динами; пишет формулу закона Кулона F— -^i- и говорит, что е и е{ это потенциалы...

Студент К., зная давление атмосферы = 1,033 , подсчитывает давление в килограммах на 1 ^ и получает сначала 0,33 — , потом 1033-^, потом 10 330 000^, причем умножение десятичной дроби на единицу с нулями делает столбиками.

Студент Л. не знает, что значит два проводника соединить последовательно и что значит— параллельно.

Студент H. На вопрос выразить закон Гей-Люссака в виде формулы, пишет: ^—27^0» а затем пишет закон Бойля—Мариотта — = — , не отдавая отчета, что такое прямая и что такое обратная пропорциональная зависимость. На вопрос, что такое фокус, отвечает: „Это — центр линзы“.

Студент М. отвечает, что кинетическая энергия измеряется — ; при решении задачи запрашивает теплотворную способность льда. При решении задачи на равномерно-ускоренное движение выписывает две формулы

и по первой находит t, а по второй V.

Студент Г. пишет: 1 дм = 1000 смг, формулу кинетической энергии F=—^-t а закон Кулона F—™^ и заявляет, что если вес тела = 100 KZy то его масса всегда в 10 раз меньше, т. е. 10 кг.

Следует отметить, что наименьшую подготовленность давали студенты с подготовительных курсов и с рабфаков провинции.

КНИГИ ПО ОБОРУДОВАНИЮ ФИЗИЧЕСКОГО КАБИНЕТА

А. ЛЕБЕДЕВ (г. Калинин)

В истекшем 1933/34 учебном году из печати вышли 4 книги, посвященные оборудованию физического кабинета в средней школе: 1) „Учебные пособия и политехническое оборудование“. Выпуск 1-й—„Физика и техника“, 2) Покровский — „Оборудование физического кабинета“ 3) Галанин, Горячкин, Павша и Сахаров —„Физический эксперимент в школе“, 4) „Оборудование лаборатории по физике в средней школе“ нод редакцией Нечаева.

Появление на книжном рынке в течение года четырех книг на одну общую тему не является случайным. Оно свидетельствует о том, насколько остро в этом чувствуется необходимость. Минувший учебный год прошел под знаком борьбы за повышение качества учебной работы. Изменения в программах, издание стабильных учебников, усиление методической работы с учителями и, наконец, улучшение материальной базы школ и учительства, — все эти мероприятия были направлены на выполнение директивы партии и правительства о повышении качества в усвоении „основ наук“ в средней школе.

Издание рассматриваемой литературы преследует ту же цель — борьбу за улучшение качества преподавания физики в средней школе. Физика — наука экспериментальная, теснейшим образом связанная с техникой и сельским хозяйством.

Явления, которые изучает физика, можно наблюдать на любом производстве, в любом технологическом процессе, в сельском хозяйстве, быту и т. д. Эти явления для изучения могут быть перенесены в физический кабинет, лабораторию, где они могут быть показаны с помощью физических приборов.

Физику нельзя изучить только по книге, где с опытами учащиеся знакомятся только на рисунках. „Книжные опыты“ не всегда понятны учащимся и не вызывают к изучению физики того интереса, которого она заслуживает. Последствия бригадно-лабораторного метода, когда физика изучалась исключительно по книге, сказываются сейчас на приемных испытаниях в вузы. Один из поступающих в педвуз (окончил педтехникум) на вопрос о работе ответил: „Я представляю, что такое работа, но вычислить ее не могу, кажется, она вычисляется в килограммах, а в системе CGS — в граммах“. „Какие вы помните опыты по физике?“ Ответ: „Опытов нам мало показывали, представляю ход лучей в трехгранной призме“. Нарисовать ход лучей в трехгранной призме он не смог правильно, объяснение дал путаное, неправильное. Это—один из типичных примеров, где следствием книжно-лабораторного изучения физики являются обрывки знаний, общие представления о физических явлениях, законах, величинах. Чувствуется разрыв теории и практики: демонстрация не подтверждает теоретического вывода и не может быть достаточно объяснена на основании теории. Можно привести и другие примеры. Весенние испытания по физике в V и VI классах в образцовой школе № 8 г. Калинина. Стол уставлен физическими приборами. Ученики V класса умеют измерять температуру, атмосферное давление, рассказывая о жидкостях и газах, проделывают демонстрации, показанные им в классе. Ученики V класса пишут, например, формулу по механике Pih~P%h и демонстрируют на приборе условие равновесия рычага и т.д. Знания у учеников четкие, демонстрации выполняются сознательно,

чувствуется большой интерес к физике. Удачный опыт весны прошлого года средняя школа № 8 г. Калинина предполагает использовать при повторении (обзоре) пройденного за первое полугодие: обзор будет сопровождаться демонстрацией физических опытов не только самим преподавателем, но и учащимися.

Много можно привести примеров, где хорошо поставлен эксперимент по физике, но в массе школ нужно признать, что физический эксперимент поставлен слабо. Основными причинами являются слабое оборудование физического кабинета и недостаточная методическая подготовленность преподавателей физики.

Материальная база школы продолжает улучшаться, целый ряд школ приступает к оборудованию своих физических кабинетов.

При составлении сметы на оборудование кабинета преподаватель должен знать, какие именно приборы имеются в продаже и их стоимость. При покупке приборов необходимо проверять их исправность. Это возможно только в том случае, если продавец и покупатель (часто молодой учитель) будут знать прибор. Эту цель и преследует Культснабторг Когиза, выпуская книгу „Учебные пособия и политехническое оборудование“. Вып. 1-й—.Физика и техника.“

Автор этой книги (В. Двинянинов) собрал довольно подробные сведения об изготовляемых приборах (или намеченных к выпуску в 1934 г.). Описание приборов дано по отделам физики, причем каждому прибору посвящена отдельная статья. Часто в начале статьи формулируется физический закон, который может быть продемонстрирован с помощью данного прибора, затем дано подробное описание прибора и характеристика его методической ценности. Рисунки и чертежи выполнены тщательно. В разделе механики, кроме широко известных приборов, представляют интерес: 1) коллекция простых машин и передач на общей подставке, 2) модели автомобильной коробки скоростей и диференциала. Имеются в книге и ряд промахов. На страницах 19, 40 и др. граммы вместо стандартного обозначения г обозначены гр., все опыты по центробежной силе автор относит к I концентру (V—VII классы), тогда как центробежную силу проходят в VIII классе и вузе. Некоторые демонстрации могут быть достаточно подробно рассмотрены именно в VIII классе, например демонстрация сжатия обручей, центробежная дорога. Для вычисления центробежной силы в VIII классе даны две формулы:

Это иногда приводит учащихся в недоумение, так как в одном случае центробежная сила обратно-, а в другом прямо-пропорциональна радиусу. Опыты с шарами и обручами подтверждают справедливость второй формулы, и это подлежит выяснению. Угловая скорость в каждый момент времени для того и другого шарика, той или другой части обруча будет одинаковой, отсюда центробежная сила будет пропорциональна радиусу. При демонстрации центробежной дороги в VIII классе представляет интерес вопрос о высоте (минимальной), с которой должен скатиться шарик, чтобы миновать критическую точку петли. Расчет ведется приближенный, без учета момента инерции вращающегося шарика, трения и сопротивления воздуха; в вузе момент инерции может быть учтен. На странице 14 в сноске, повидимому, сделана опечатка: момент инерции диска обозначен у2 /яг, вместо у2 тгК

В главе II (механика жидкостей) описаны 4 гидравлических пресса, из которых 2 последних имеют приспособления для работы на изгиб и разрыв, последний из прессов снабжен четырьмя чертежами. Общее давление на поршень в первой статье вычисляется путем умножения показания манометра на 50, очевидно см*, хотя нигде не сказано о площади поршня, во второй статье привезены расчеты: если манометр показывает 90 кг\см* (стр. 41), то давление, производимое на тело, равно 90 X 50 кг == 4500 кг, или 40 X 50 кг = 2000 кг. Очевидно, кг поставлено вместо см2.

Стеклянные модели для демонстрации закона Паскаля, гидропресса, а также пожарной машины заслуживают большей критики, чем дает им автор. Нужно прямо сказать, что делать модели из стекла, где приходится демонстрировать большое давление, нецелесообразно: при первой же демонстрации модели могут разбиться, а в худшем случае произвести ранения.

Заслуживает распространения прибор для демонстрации закона Архимеда конструкции Института политехнического образования, благодаря своей простоте, наглядности и, как можно предполагать, недорогой цене. В руководстве правильно сказано, что динамометр (заменяющий весы с укороченной чашкой) этого прибора может быть использован для целого ряда других работ, но плохо, что не указано, из какой проволоки изготовлена пружина динамометра и на какую нагрузку она рассчитана. Из воздушных насосов описаны: насос Шинца и масляные насосы Комовского и Герике.

Из новых приборов по теплоте заслуживают внимания:

1) калориметр для определения теплотворной способности спирта (Галанина и Сахарова), благодаря высокой точности результатов, какой не дают все другие калориметры; единственный его „недостаток“—дорогая цена;

2) модель парового котла, действующая. Автор книги правильно указывает на ее недостатки, к тому же она очень дорога (стоит 170 руб.), рекомендовать ее покупать — не следует, тем более

что методическим советом разрабатывается новая модель. Для демонстрации точки наибольшей плотности воды предлагается внешний сосуд прибора для охлаждения воды наполнять льдом. Лучше этот сосуд наполнять не льдом, а охлаждающей смесью, так как при достаточно высокой температуре воды (выше 7°С) и не особенно низкой температуре льда требуемого охлаждения может не получиться. Для определения механического эквивалента теплоты рекомендуется прибор Гримзеля, причем не указывается, с какой точностью можно получить на нем результат. Сам автор приводит целый ряд обстоятельств, которые могут исказить результат, к ним можно прибавить еще несколько. Наибольшее значение из них имеет движение гири. Если гиря будет двигаться равноускоренно, как это видно из описания, то действующая сила будет меньше веса гири, так как часть силы тяжести будет расходоваться на сообщение гире ускорения. Поэтому нельзя гирю заставлять падать, а необходимо ее движение сделать равномерным.

На приборе предлагаемой конструкции можно ожидать такого результата, что прибор будет служить не для демонстрации (как это бывает с подобными приборами) определения механического эквивалента теплоты, а тех причин, которые мешают его определению.

По разделу „Электричество и магнетизм“ описано наибольшее количество приборов, из них наиболее заслуживают внимания новые приборы: 1) наборы по электромагнетизму, разработанные Институтом политехнического образования: а) приборы для лабораторных занятий и б) демонстрационный набор по электромагнетизму и индукции; 2) осциллограф; 3) электросварочный аппарат; 4) прибор для получения электрического резонанса; 5) комбинированный генератор постоянного и переменного тока; 6) электроизмерительные приборы технического типа и ряд других.

В оптике дана удобная конструкция проекционного фонаря с оптической скамьей, разработанная Институтом политехнического образования. В конце книги приведены справочные таблицы физических величин и справочные цены. Справочные таблицы не отличаются полнотой, а в отдельных случаях — и точностью данных; например на странице 198 может вызвать недоумение определение единицы мощности ватта, который определяется как эрг (?!) в секунду. Справочные цены даны применительно к ценам 1933 г., но они могут быть полезны при составлении сметы на оборудование кабинета. Кроме отмеченных недостатков, есть ряд других (большое количество грамматических и других ошибок, кроме замеченных редакцией), например миллииметры, тормаз, в формуле Кулона_(в исправлениях) m{ = v у/F, вместо mi = r\/F и т. д. Таким образом к этой работе, особенно в части методических указаний, надо относиться с осторожностью, но она является пока единственным пособием каталожного типа, осведомляющим преподавателя о состоянии рынка учебных пособий.

А. Покровский — „Оборудование физического кабинета“. Книга содержит следующие главы: 1) помещение лаборатории-кабинета и основная мебель, 2) вода, источник тепла, электрический ток, 3) основные демонстрационные приборы, 4) лабораторные и демонстрационные приборы и инструменты мастерской, 5) мелкие лабораторные принадлежности, посуда и различные материалы.

Описывая в первой главе лабораторию и кабинет, автор приводит вариант ИПО, где для оборудования кабинета - лаборатории предлагаются передвижные столики. Для классных занятий столики ставятся посредине класса, для лабораторных занятий они придвигаются к стене, так как по стенам идет проводка тока. Такие передвижные столики можно рекомендовать и для демонстраций, как это делает проф. Поль. Удобство пользования такими столами заключается в том, что каждый демонстрационный прибор может быть поставлен в наиболее выгодном месте аудитории.

Для целого ряда демонстраций можно рекомендовать переносный экран.

Во II главе кратко рассмотрен вопрос о снабжении кабинета водой и газом, но ничего не сказано о газогенераторе, и мало — об электрооборудовании кабинета. Автор доказывает преимущества трехфазной проводки и независимость ее от осветительной сети. Схема распределительного щита предложена только одна, она довольно проста и удобна. Подробно и хорошо написано о выпрямителях и об оборудовании током рабочих мест.

Третья глава посвящена основным демонстрационным приборам, из которых наиболее подробно рассмотрены насосы и проекционные фонари. Подробно описана индукционная катушка закрытого типа. Эта катушка обладает целым рядом преимуществ (может работать от постоянного и переменного тока). Закрытый тип катушки затрудняет ее быстрое освоение, и автор поступил правильно, сделав ее подробное описание. Уместна схема универсального гальванометра, так как (как показывают наблюдения) не всякий преподаватель ясно представляет себе его устройство. В главе IV приведен список приборов — демонстрационных и лабораторных, а также необходимых инструментов в мастерской. Книга Покровского написана хорошим языком и содержит тот необходимый минимум по оборудованию физического кабинета, который должен знать каждый преподаватель физики средней школы.

Галанин, Горячкин, Павша и Сахаров—.Физический эксперимент в школе“, т. I.

В начале статьи было указано на большое

значение в преподавании физики эксперимента. Также было указано, что одной из основных причин плохого преподавания физики является методическая неподготовленность начинающих преподавателей именно в области физического эксперимента. Начинающие преподаватели физики одинаково плохо себя чувствуют и в плохо оборудованном кабинете, не зная как его оборудовать, и в хорошо оборудованном, не зная как его использовать. Методическая помощь необходима таким преподавателям, так как без нее не всякий преподаватель скоро станет давать высокое качество своих уроков по физике. Демонстрации физических опытов преподаватель может учиться по книгам Абрагам а, Дрентельна и др. Эти книги в методике демонстраций опытов сыграли свою большую роль. Всякая наука шагает вперед,— это относится и к методикам. Методика должна отражать в преподавании физики запросы сегодняшнего дня. Поэтому нельзя не приветствовать той большой задачи, которую поставили себе авторы книги „Физический эксперимент в школе“. В предисловии указано, что вышедший из печати т. I этой книги является вводным к основной работе, посвященной методике и технике физического эксперимента в школе. В введении фундаментально изложена та база, на которой должен строиться физический эксперимент. К этой базе относятся: 1) общее оборудование физического кабинета, 2) электрооборудование, 3) проекционные апараты, 4) мастерская.

В 1-й части этой книги (написана А. В. Павша) большое внимание уделено организации помещения для физического кабинета, в состав которого должно входить 7 комнат: 1) аудитория, 2) лаборатория, 3) комната для хранения приборов, 4) мастерская, 5) комната для налаживания опытов, 6) фотографическая комната и 7) вышка для астрономических и метеорологических наблюдений. Относительно размеров и оборудования этих помещений автор приводит данные из русской и иностранной методической литературы. Кроме того на основании точного подсчета он дает свои размеры, считая их предельно минимальными. Предлагается пять вариантов расположений отдельных помещений, входящих в состав физического кабинета; каждый из них имеет свои достоинства и может быть принят за основу при организации физического кабинета. Однако, научно обосновав назначение каждого помещения физического кабинета, автор поступил бы не менее правильно, дав указания к организации физического кабинета не в пяти или шести комнатах, а (принимая во внимание действительное положение для подавляющего большинства школ) в 2—3 комнатах. Этим автор оказал бы конкретную помощь для организаторов кабинетов на ближайшее будущее. Описание освещения кабинета дано с учетом требований молодой науки — светотехники. Этот вопрос в виду его новизны (в старых методиках ему уделялось мало внимания) нуждается в более подробном освещении, чем это сделано в книге. Автор не остановился на нормах освещенности и на принципах, при помощи которых достигается равномерность освещения (в дополнение к рисунку 22). Ссылка на специальные пособия желательна, но преподавателю средней школы необходимо ознакомиться с методами элементарных расчетов по размещению ламп в помещении именно в методике физики.

Из насосов описаны только водоструйные; почему отсутствуют другие насосы, автор не объясняет. Об устройстве и принципе работы газово-бензинового двигателя предлагается судить по схеме на рисунке 31, страница 32. Подробно описаны источники тепла: горелки, газовая плита и паяльные лампы; для работы с ними даны ценные методические указания. Из вспомогательных приборов много внимания уделено штативам, большим и малым; для штативов Верховского и Павша даны точные размеры. Из лабораторных материалов* описаны резиновые пробки и трубки, стеклянные трубки, колбы и стаканчики; даны ценные указания, как с ними обращаться. Первая часть книги заканчивается весьма существенной главой о содержании приборов в исправности.

Вторая часть книги — „Электрооборудование физического кабинета“, написана Е. Н. Горячкиным. Автор рассматривает условия распределения тока: в школу не введен ток, и все работы с током производятся с гальваническими элементами и аккумуляторами. Этим источникам постоянного тока посвящена XII глава книги. В этой главе преподаватель физики найдет для себя полезные сведения об элементах Лекланше, сухих, Грене, Труве, свинцовых и железно-никелевых аккумуляторах. Автор особенно горячо рекомендует щелочные (железно-никелевые) аккумуляторы, указывая на целый ряд преимуществ их перед наиболее распространенными свинцовыми. Даны подробные указания к зарядке аккумуляторов. Из источников тока, не указанных автором, следует указать (особенно в деревенских школах) на динамо кинопередвижки. Проводка тока и распределение его в здании описаны согласно всем требованиям электротехники; описание богато иллюстрировано таблицами, схемами и чертежами. Приведены четыре схемы распределительного щита — от простейшего до щита трехфазного тока с автотрансформатором и выпрямителем. Особенно полно и интересно написано об электрических выпрямителях, начиная с простейшего, из алюминиевой столовой ложки, и кончая мощным выпрямителем трехфазного тока; при этом даны указания, как производить формовку выпрямителя. Не менее удачно дано описание мотора-генера-

тора, в котором особенно ценным является рассмотрение случаев неисправностей в динамо и моторе и указание способов их устранения. Раздел заканчивается указаниями по организации школьной электростанции, причем в качестве одного из двигателей для нее рекомендуется в порядке исследовательской работы ветряной двигатель — виндротор Савониуса.

Третья часть книги — „Проекционные аппараты“ (написана А. В. Павша).

В ней описаны источники света: вольтова дуга, лампа Нернста, лампочки накаливания и точечная лампа. Очень содержательно написана глава о приемах проектирования. В ней — ряд проекционных фонарей, эпидиоскопы с характеристикой их положительных и отрицательных сторон и, что особенно ценно для преподавателей, описаны приемы проектирования непрозрачных картин, диапозитивов, микропроекции.

Часть 4-я — „Мастерская“ (написана Д. Д. Галаниным), Автор указывает на значение мастерской для физического кабинета, где преподаватель занимается не только ремонтированием приборов, но может развернуть творческую работу с учащимися по конструированию новых приборов для лабораторных занятий. При работе в мастерской целый ряд инструментов может быть использован в качестве физических приборов, на которых можно изучать физические явления, т. е. осуществить увязку занятий по физике в классе с практикой в мастерской. С большим числом иллюстраций дано описание работ с картоном и бумагой, столярных, слесарных, токарных и стеклодувных. Раздел заканчивается отдельными советами и рецептами, например: очистка ртути, приготовление различного рода замазок и т. д. Авторский коллектив, написав эту книгу, вложил в нее свою большую эрудицию и богатый опыт работы в школе, поэтому она может быть горячо рекомендована каждому преподавателю физики средней школы. В заключение остается вынести пожелание о продолжении авторами своей работы.

„Оборудование лаборатории по физике в средней школе“, изд. Института политехнического образования. Сост. Д. Д. Галанин, Г. В. Грошевой, СИ. Иванов, Н. Покровский, А. Самгин под ред. А. Г. Калашникова.

Институт политехнического образования имеет достижения в области конструирования и изготовления хороших физических приборов, что отмечалось выше в настоящей статье. Выпуская эту книгу, ИПО более подробно знакомит читателей с теми задачами, которые стоят перед ним и как они разрешаются. В отличие от рассмотренных книг в этой книге описываются физическая лаборатория и лабораторные приборы.

Внедрение лабораторных работ в преподавание физики является наиболее актуальным в данное время вопросом. Правильно указание на преобладание в школах демонстрационных приборов, из которых часть являются музейными; лабораторные занятия занимают удельный вес значительно меньший, чем им полагается по программе. Кроме прекрасного описания физической лаборатории, авторы показывают, как нужно оборудовать все лабораторные работы по курсу физики в неполной средней школе. Для проведения лабораторных работ институт разрабатывает описания в виде инструкционных карточек, снабженных фотографиями установок, чертежами схем и методическими пояснениями.

Лабораторные работы рассматриваются, главным образом, как средство количественного изучения (стр. 9) физических явлений, между тем как в каждой лабораторной работе количественная и качественная стороны тесно связаны между собой, причем в целом ряде работ качественная сторона преобладает. Если в лабораторных работах обращать внимание главным образом на количественную сторону, т. е. на вычисления и измерения, то физическая сущность явления может остаться в стороне. Качественные работы имеют не меньшее значение, например изучение электрического и магнитного поля, изучение работы динамомашины, мотора, насосов и т. д. В книге высказана правильная мысль, что в средней школе должны быть настоящие приборы, а не суррогат, но изготовление самодельных приборов на занятиях технических кружков имеет большое значение в смысле приобретения навыков и развития конструкторских способностей учащихся.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, помещенных в № 2 сборника „Математика и физика в средней школе“

1. Показать, что число вида 3 « + 2 — 8л— 9 делится на 64*.

Представим данное число в виде: 9^ + i — 8л — 9 или (8 + 1)я + 1— 8л — 9; разлагая первый член по биному Ньютона, получим то же число в виде:

что и доказывает делимость данного числа на 64.

Данная задача может быть обобщена: число вида: /i«(e+i) — (пт — 1)л— пт делится на (пт — 1)2. Доказательство подобно вышеприведенному.

А. В., А. Сафонов (Москва), Б. Кобылин (Галич), А. Агамалов (Москва).

2. Показать, что при целом л дробь

не сократима.

При целом л числа 2л и 2л + 1, как два последовательные числа, суть взаимно-простые. Точно так же и числа л и (л 4-1) — взаимно-простые, а потому и сумма их 2л + 1 и число л + 1 не имеют никаких общих делителей: следовательно, данная дробь не сократима.

А. В. (Москва), Б. Кобылин (Галич), А. Соловьев (Калинин), А. Агамалов (Москва).

3. Решить уравнение:

л5 + х2 -(- 2х + 2 = 0.

Разлагая левую часть уравнения на множителей, имеем:

*2 (л;3 -j- 1 ) 4- 2 (л: -f- 1 ) = 0

или

(х+\)[хЦх*-х + 1) -h 2] = 0,

иначе

Итак, уравнение принимает вид:

(х + 1) (д:2 — 2лг + 2) (л2 + л;+ 1) = 0.

Откуда найдем корни:

А. В., О, Сорокин (Москва), Б. Кобылин (Галич), А. Агамалов (Москва).

4. Разложить на множителей

£4_4д— 1.

Представим данное выражение в виде:

д4 _ 4а 1 ~ д4 -f. 2û2 +1 _ 2д2 _ 4а — 2

или

и* — 4а — 1 = (д2 + 1)2 _ 2 (и* -j- 2а + 1);

разлагая на множителей вторую часть равенства будем иметь:

ut — 4а + 1 = (д2 + 1 )2 __ [У2 (а + 1 )]2 = [а2 + 1 + уг2(а + 1)] [(а2 + 1) - у2(а + 1)].

А. В. (Москва), Б. Кобылин (Галич), А. Соловьев (Калинин), А. Агамалов (Москва).

5. Решить уравнение:

Производя в левой части уравнения деление, имеем

Положим *2_9 — z% тогда будем иметь

или

т. е. (z — 2)* = 0; отсюда находим четырехкратный корень z = 2\ следовательно, 22 = 4, а потому х2 — 9 = 4их = ±У\3. Подстановкой убеждаемся, что найденные значения х удовлетворяют уравнению. Полученные корни — четырехкратные.

А. В., О. Сорокин (Москва), Б. Кобылин (Галич), А. Соловьев (Калинин) А. Агамалов (Москва).

* В условии задачи вследствие опечатки было напечатано -|- 9.

6. В равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой а вписан круг. Провести окружность, касающуюся катетов треугольника и вписанного круга, и найти ее радиус.

Центры Oi и О искомой и вписанной в прямоугольный треугольник ВАС окружностей как точки, одинаково удаленные от катетов, лежат на биссектрисе AD прямого угла А, которая служит в то же время медианою и высотою треугольника. Длина радиуса г, вписанного в данный треугольник ВАС, может быть определена по его периметру и площади:

Проведя через точку Е пересечения биссектрисы AD с вписанной окружностью прямую FG, параллельную гипотенузе треугольника, мы получим прямоугольный треугольник FAG, подобный данному; радиус г{ вписанного в него круга, который будет искомым, можно определить из пропорциональности радиусов вписанных окружностей и высот обоих треугольников, но высота АЕ треугольника FAG равна разности между высотой треугольника AD и диаметром вписанного круга DE, отсюда

или

поэтому

приблизительно г = 0,035а.

Б. Кобылин (Галич), А. В., А. Агамалов (Москва), А. Соловьев (Калинин), И. Гришин (Осташков),

7. Построить треугольник по двум сторонам так, чтобы из противолежащих им углов один был на d более другого.

Построим прямоугольный треугольник ADB, катеты которого AB и DB соответственно равны двум данным сторонам искомого треугольника. Через середину Е гипотенузы AD проводим перпендикулярную к ней линию EF до пересечения с большим катетом DB в точке F, которую соединяем с вершиной А. На продолжении отрезка AF за точку F откладываем отрезок FC = FB и точку С соединяем с точкой В; треугольник ABC—искомый. Действительно, £АВС~ /_ С -f-+ d\ AC = AF+FC = DF + FB = DB, т. е. большей из двух данных сторон, и AB — меньшей.

2-е решение. Пусть данные стороны будут а и Ь\ положим д > Ь. Противолежащие им углы будут 90° + x и x. По теореме синусов имеем:

Поэтому для решения задачи строим прямоугольный треугольник с катетами а и b и острым углом х\ из вершины прямого угла С радиусом, равным Ь, описываем дугу, которая пересечет гипотенузу AB в точке D\ треугольник BCD — искомый. Действительно, стороны его равны а и Ьу а угол В DC = 90° + х, т. е. он на d более угла В, равного x.

А. В., А. Агамалов (Москва), Б. Кобылин (Галич), А. Соловьев (Калинин).

8. Вычислить углы А, В и С треугольника, в котором:

Так как А, В и С — углы треугольника, то А + В -f- С = я; вычитая из этого уравнения почленно первое из данных уравнений, найдем 3£ =

Решая затем систему уравнений:

найдем

А. В., А. Агамалов (Москва), Б. Кобылин (Галич), А. Соловьев (Калинин).

9. По двум сторонам треугольника а и b и заключенному между ними углу С найти длину биссектрисы этого угла.

Пусть в треугольнике ABC проведена биссектриса этого угла CD = x; выражая площадь треугольника АСВ как сумму площадей двух треугольников, на которые он разделился биссектрисой, получим уравнение:

или

иначе

следовательно,

А. В., А. Агамалов (Москва), Б. Кобылин (Галич), А. Соловьев (Калинин).

10. Решить систему уравнений

где x и у — углы острые.

Возводя данные уравнения почленно в квадрат и складывая, получим:

или

отсюда

что можно представить в виде:

Последнее уравнение имеет двухкратные корни из которых, согласно условию,

берем только sin х~ jfë- и соответствующий

Подставляя это значение в первое из данных уравнений, найдем:

2-е решение. Представляя данные уравнения в виде:

и почленно складывая, найдем, после упрощения,

откуда, тек как углы х и у острые:

Далее мы имеем: siiA«: =-i-j in х или sin х , (2sin2 X — 1 ) = 0; отсюда sin х — 0 и sin х = = Y2l . Отбрасывая нулевое и отрицательное решение, как не удовлетворяющие условию задачи, получим:

А. В., А. Агамалов (Москва), Б. Кобылин (Галич), О. Сорокин (Москва), А. Соловьев (Калинин).

11. Около шара радиуса R описана правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны о; найти ее объем.

Проведем секущую плоскость через высоту и одну из апофем пирамиды; она пересечет пирамиду по равнобедренному треугольнику, основание которого равно ребру пирамиды, а боковая сторона — ее апофеме, а вписанный в пирамиду шар — по кругу, вписанному в этот треугольник.

Выразим площадь этого треугольника двояким образом: через основание и высоту и через периметр и радиус вписанного круга. Обозначая ребро пирамиды через дг, найдем, что апофема ее равна

и потому имеем уравнение:

Поэтому высота пирамиды =

а объем пирамиды

т. е. окончательно: V=—/?3 (о-f 3 У 3 ) куб. ед.

или V<£ 13,б/?з куб. ед.

А. В., А. Агамалов (Москва), Б. Кобылин (Галич), О. Сорокин (Москва), А. Соловьев (Калинин).

12. Доказать равенство:

По формуле бинома Ньютона мы имеем:

Сумма членов в левой части доказываемого разложения представляет собой совокупность членов последнего разложения, стоящих на нечетных местах. Так как суммы биномиальных коэфициентов, стоящих на нечетных местах и четных местах, равны, то каждая из них будет равна -g-2* +11 т. е. 2*, что и доказывает данное равенство.

А. В., А. Агамалов (Москва), Б. Кобылин I Галич), О. Сорокин (Москва), А. Соловьев (Калинин).

13. Параллельные стороны прямоугольной трапеции (черт. 1) находятся в отношении 1:3, а вместе с высотой образуют отношение 1:2:3. Построить внутри этой трапеции 6 квадратов так, чтобы один из этих квадратов был вписанным в трапецию, а для каждого из остальных — одна из вершин не лежала бы на сторонах трапеции. Площа-

Черт. 1.

ди квадратов выражаются числами, образующими геометрическую прогрессию. Искомые квадраты:

1. BEDF; 2. FÛHG; 3. HG ZK; 4. ABCD 5. ВС HM 6. CDMN. Квадраты 1, 2 и 3 равны, также, как и 4 и 6.

Сторона BE —

Площадь квадрата BEDF=-^

ABCD = а* т ВСНМ = 2а*

Числа у, д*, 2а2 образуют геометрическую прогрессию со знаменателем = 2.

А. В. (Москва), А. Соловьев (Калинин).

14. Даны две концентрических окружности. Построить внутри этих окружностей 8 симметрично расположенных окружностей, из которых первые четыре равны между собой и касаются большей из данных окружностей, а другие четыре, также равные между собой, касаются меньшей из концентрических окружностей. Площади различных кругов находятся в отношении 1:2:22:23.

Так как площади кругов относятся, как квадраты из радиусов, то, обозначая площади кругов через Sif S2y S3, S4, а радиусы их, начиная с большего круга, через Rit R2, /?3, /?4, будем иметь: 5i:52:S3:54 = /?12:/?22:/?32:/?42== 8:4:2:1.

Отсюда Ri:R2:Rz:Ri =

Поэтому искомые окружности могут быть проведены радиусами:

Проведя в окружности, описанной радиусом два взаимно-перпендикулярных диаметра и соединив концы их прямыми, описываем концентрическую окружность с данным радиусом — т. е. равным половине стороны вписанного в первый круг квадрата. Затем, проведя два диаметра, делящие пополам углы между диагоналями того же квадрата, строим четыре окружности, диаметрами которых будут служить вновь проведенные радиусы; эти новые окружности будут иметь радиусы, равные — : они будут касаться внешней концентрической окружности, проходить через ее центр и будут симметрично расположены относительно этого центра. Наконец, на отрезках первоначально проведенных диаметров,отсекаемых от центра внутреннего концентрической окружностью, строим, как на диаметрах, еще четыре окружности, проходящие через центр основного круга. Их радиусы будут равны —-—, они будут касаться внутренней концентрической окружности и тоже будут симметрично расположены относительно общего центра данных концентрических окружностей.

А. В. (Москва\ И. Гришин (Осташков), А. Соловьев (Калинин).

Решения задач, помещенных в № 1 „Сборника“, доставили, кроме лиц, перечисленных в № 3, еще следующие:

А. Соловьев (Калинин), И. Гришин (Осташков), В. Гук (Москва), А. Поддубский (Калинин), А. Зимин (Вишняково), В. Скрылев (Харьков), А. В. (Москва), А. Моргулис (Кривой Рог), И. Крупский (Мироновка), Е. А. (Беднодемьяновск), А. Егоров (Демьянск), В. Павлов (Абхазия, Тваркчелстрой), Д. Федотов (Богородск).

ЗАДАЧИ

1. Решить уравнение:

x* — 12*з + 51л2 — 92* + 60 = 0.

2. Сумма четырех последовательных членов геометрической прогрессии равна а, а сумма их квадратов ъ. Показать, что сумма средних членов удовлетворяет квадратному уравнению:

3. Решить уравнение:

I я* I

4. Решить уравнение: = х, где

к = 3,14159 ... и [п] — целая часть числа п.

5. По одну сторону прямой линии CD даны точки А и В\ найти на прямой CD такую точку Я, чтобы

£ CPA = 2/ DPß.

6. Доказать, что если в треугольнике ^С = = 60°, то

a + с ù+ с д -f- £ -f- с '

7. Данный отрезок разделить на две части так, чтобы площадь квадрата, построенного на одной части, была втрое более площади квадрата, построенного на другой.

8. Полагая, что M,N,P,Q суть соответственно середины сторон AB,BC,CD,DA квадрата ABCD, показать, что в пересечении линий AN, BP,CQ,DM образуется квадрат, площадь которого равна— площади данного квадрата,

9. Построить треугольник ABC: 1) по разности сторон Ъ — с = ту углу при вершине А и радиусу вписанного круга г; 2) по сумме сторон b + c — sr углу при вершине А и радиусу вписанного круга г.

10. Показать, что

11. Решить уравнение:

X*. sin 2а + 2 х (sinot + cos*) + 2 = 0.

12. Показать, что в треугольнике имеет место соотношение:

13. Показать, что при я>1

14. Показать, что если а есть нечетное число, не делящееся на 5 и на 3, то число

делится на 23 040.

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

(Задачи, предложенные осенью 1934 г. на вступительных испытаниях в Московском автомеханическом институте им. В. Ломоносова)

1. Упростить:

2. Решить систему уравнений

ху = 225; (х- Щ(у + 1) = 320.

3. Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии, сумма членов четного порядка которой равна 150, а сумма членов нечетного порядка равна 50, если число членов прогрессии равно корню уравнения

2-v+з — 2х = 112.

4. Вычислить с точностью до 0,1 величину выражения:

5. Определить объем правильной четырехгранной призмы, если площадь диагонального сечения ее равна S' и угол, образованный диагональю с плоскостью основания, равен а.

6. Определить поверхность конуса, вписанного в шар, радиуса R, если угол при вершине конуса равен а.

7. Привести к виду, удобному для логарифмирования:

8. Определить объем правильной четырехгранной пирамиды, диагональ основания которой равна а и двугранный угол, образованный боковой гранью с основанием, равен ß.

9. Определить объем конуса, если его боковая поверхность равна S' и угол между образующей и основанием равен а.

10. Доказать тождество:

tg(a + 450)+tg(i-45°) = 2tg 2а.

11. Упростить выражение и вычислить его числовое значение при а= (/121550625.

12. Упростить выражение и найти его значение при с — —

13. Найти коэфициент такого члена разложения бинома

сит от я, и найти величину 4-го члена разложения этого бинома при о, равном меньшему корню уравнения:

Извлечение корней вести с точностью до 0,1.

14. Решить уравнение

15. Найти числовое значение выражения

16. Прологарифмировать выражение

17. Найти четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию, в которой сумма крайних членов равна 126 и сумма средних равна 30.

18. Вычислить объем правильной четырехугольной пирамиды, зная угол а ее бокового ребра основанием и площадь S' сечения, проходящего через высоту и диагональ основания.

19. Вычислить величину выражения

20. Решить уравнение sin х — sin (840° — *) = С

ОТВЕТЫ НА ПИСЬМА ЧИТАТЕЛЕЙ

Вопрос:

В некоторых статьях об Архимеде мне приходилось читать, что он при помощи зажигательных стекол сжег римские корабли. Прошу напечатать в „М. и Ф.“ разъяснение, указав, откуда взято это сведение и можно ли вообще это было сделать, при состоянии современной Архимеду техники.

Шк. раб. А. Новиков

Ответ:

Ответ на интересующий вас вопрос вы можете найти в книге: Н. А. Любимов — „История физики“, часть 1-я, СПБ 1892, стр. 190—191. Проф. И. А. Любимов считает это повествование о сожжении Архимедом римского флота зеркалами легендой. Самым ранним автором этой легенды является Антемий, один из строителей знаменитого константинопольского храма („Св.Софии“), живший много сотен лет спустя после смерти Архимеде ни Полибий, ни Тит Ливий, ни Плутарх, которые писали об Архимеде, не упоминают об этом „сожжении зеркалами“.

Если разобрать этот вопрос по существу и принять во внимание почти тропический климат Сиракуз, когда при жарком солнце все было раскалено, то вполне возможно, что кто-нибудь другой из древних математиков при помощи большого количества рабов, снабженных плоскими зеркалами и расположенных по определенной поверхности, решил эту задачу, направляя по команде отраженные зеркалами лучи в одну точку корабля, наиболее уязвимую в пожарном отношении.

Цена 1 руб.

УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

МАТЕМАТИКА и ФИЗИКА

в средней школе

Отв. редактор А. БАРСУКОВ

ЗАДАЧИ СБОРНИКА —помощь преподавателю средней школы в педагогической работе и в повышении его теоретического и методического уровня.

В СБОРНИКЕ БУДУТ ПОМЕЩАТЬСЯ: научные и научно-популярные статьи по актуальным вопросам математики, физики, астрономии, а также статьи по истории этих наук. Вопросы общей и частных методик. Из школьной практики. Преподавание математики, физики и астрономии за границей. Критика и библиография. Педагогическая консультация. Задачи для педагогов и учащихся средней школы.

СБОРНИК РАССЧИТАН на преподавателей математики, физики и астрономии в средней школе, но является также пособием и для студентов педвузов.

6 сборников в год. Подписная цена на год — 6 руб.

Подписка принимается всеми отделениями, магазинами, киосками, уполномоченными КОГИЗа и на почте