МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ СБОРНИК

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

4

1934

К СВЕДЕНИЮ АВТОРОВ

Представляемые в редакцию рукописи должны быть или отпечатаны на одной стороне листа (через два интервала) или четко написаны от руки. Особо четкими должны быть формулы, таблицы и чертежи.

Непринятые рукописи не возвращаются.

Ред.

Адрес редакции: Москва, Орликов пер, 3 Учпедгиз, Периодсектор, комн. 424.

УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

МАТЕМАТИКА и ФИЗИКА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ СБОРНИК

№ 4

1935

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

ОГЛАВЛЕНИЕ

Д. Л. ВОЛКОВСКИЙ

Научный и научно-популярный отдел

В. Крыжановский — Построение ряда самостоятельных геометрий........ 4

Проф. П. Белоновский — Фигурные числа................... 9

Р. Бончковский — Заметка о числе различных форм многоугольников....... 12

Доц. Зеттель — Об определении длин биссектрис внутренних и внешних углов треугольника ................................. 15

Проф. И. Чистяков —О квадратных уравнениях.............. . 18

Проф. К В. Чибисов — Физические основы фотографии. . ......... 23

Научн. сотр. Е. Островский — Магнитная дефектоскопия металлов....... 29

Проф. П. Попов — Энергия Солнца и звезд и ее источники........... 35

Общая методика

В. Бедловский — Идея функциональной зависимости величин в математике средней школы.................................... 42

Проф. И. Челюсткин — Исторический обзор важнейших направлений в методах и организации преподавания физики в буржуазной и советский школе...... 50

А. Калашников — Педагогические требования к письменным работам по физике . 56

Частная методика

A. Грошев — Геометрические задачи, заимствованные из механики........ 61

М. Берг — Обратные круговые функции в средней школе.......... . 66

B. Ефремов — Первые уроки при прохождении тригонометрических уравнений . . 72

Д. Волковский — К вопросу о признаке делимости на 8...... 76

Проф. Д. Галанин — Набор приборов для лабораторных работ по геометрической оптике ............................. 78

А. Романский — Анилин в демонстрациях молекулярных свойств жидкостей ... 81

Е. Горячкин — К вопросу о методике преподавания трехфазного тока ...... 82

Э. Галлер — Небесный глобус, заменяющий подвижную карту неба....... 83

М. Набоков — Самодельные модели и приборы к курсу астрономии....... 89

Доц. А. Белогорский — Некоторые пояснения к опыту с разборной лейденской банкой ........................... ........ 92

И. Иващенко — Демонстрация экстратоков................... 94

А. Калашников и асп. В. Юськович — Опыт проведения хронометража лабораторных работ по физике................................ 95

A. Калашников — Опыт систематического применения измерителей по физике. . 97

Проф. Д. Галанин — Как показать .парадокс Паскаля“............. 101

B. Сирочинский — Несколько приборов по физике............... 105

Вопросы преподавания за границей

И. Кавун — Американская методика математики в ее библиографии. . .... 116

Асп. В. Юськович — Математика на службе Третьей империи.......... 123

Определение длины световой волны при помощи почтовой открытки....... 125

Из практики школы

Д. Павлов — Больше внимания арифметике.................. 126

И. Малышев — Модель действия генератора постоянного тока.......... 130

В. Кюнцель — Определение показателя переломления жидкости........ 133

Критика и библиография. Хроника

Проф. И. Чистяков — Итоги ленинградской математической олимпиады..... 134

Задачи, предложенные на третьем туре ленинградской олнмпиады........ 136

М. Берг — О приемных испытаниях в Московский электроинститут связи в августе 1934 г..................................... 136

Д. Гончаров — Вопросы преподавания математики в периодической литературе . . 139

В. Морев — Методико-математическая библиография по темам.......... 140

Г. Килачицкий — П. Филипп и Ф. Доши — «Курс арифметики"....... 147

П. Филипп и Ф. Доши — .Элементы алгебры" ...» . . 148

П. Филипп и Ф.Дош и—.Задачи и упражнения по арифметике с их решениями“....................... 149

Д.Сахаров — Я. И. Перельман — „Знаете ли вы физику"........ 149

И. Павша — Проф. А. И. Бачинский и К. А. Путилов— .Справочные таблицы по физике....................... 151

Задачи.................. 152

Д. Л. ВОЛКОВСКИЙ

Скончавшийся 12 августа 1934 г. методист арифметики Дмитрий Лукич Волковский был одним из значительных деятелей в области начального математического образования в СССР. Дмитрий Лукич Волковский родился в 186Э г.; с самого юного возраста он почувствовал интерес к педагогическому делу, которым и занимался затем всю жизнь, избрав своей специальностью начальное преподавание математики. Прослушав в дни молодости на педагогических курсах выдающихся методистов того времени — Гольденберга, Шохор-Троцкого, Арженикова и др., Дмитрий Лукич Волковский всецело отдался изучению методики арифметики, причем скоро приобрел в этой области большой опыт и большую эрудицию.

Результатом его практической и теоретической работы было издание им ряда учебников по арифметике дня учащихся начальной школы с методическими руководствами для учителей, каковы: «Детский мир в числах» в трех частях,«Руководство к«Детскому миру»2-я ч.,«Математика для детей», «Беседы А. И. Гольденберга по счислению» и др. Составленные глубоко продуманно, просто и практично, книги Дмитрия Лукича Волковского получили широкое распространение в русских начальных школах и принесли значительную пользу делу народного образования. Сверх того Дмитрий Лукич Волковский поместил в педагогических и математических журналах множество статей и заметок по отдельным вопросам методики арифметики.

Важной заслугой Дмитрия Лукича Волковского является также издание под его редакцией переводов известных иностранных учебников арифметики: Бореля, Таннери, Ф. Мартеля и в особенности руководств и трудов по методике арифметики: Лая, Штеклина, Уэнтворта и Рида, Торндайка и др., что значительно подняло среди русских педагогов интерес к вопросам начального обучения математике и способствовало улучшению его постановки. С особою любовью Дмитрий Лукич Волковский всегда вел работу с учителями начальных школ на многочисленных педагогических курсах и конференциях, съездах и пр. Смерть постигла его среди разносторонней и напряженной учебно-литературной работы. Многочисленные бывшие слушатели и ученики его и преподаватели начальных школ в СССР навсегда сохранят о нем благодарную и светлую память.

Редакция.

НАУЧНЫЙ И НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

ПОСТРОЕНИЕ РЯДА САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ ГЕОМЕТРИЙ

В. КРЫЖАНОВСКИЙ (Одесса)

§ 1. Возможность существования множественности параллельных геометрий усыновлена сравнительно недавно. Лишь в начале текущего столетия найден метод их построения.

В этой статье имеется в виду говорить о тех достижениях новой геометрии, где доказана возможность этой множественности и установлен ряд геометрических систем, точнее — ряд самостоятельных геометрий, повторяющих одна другую; все такие геометрии построены по одному и тому же методу, во всех одновременно можно указать последовательный ряд одинаковых по смыслу теорем, которые формулируются лишь в разных терминах; происходит при переходе от одной геометрии к другой только замена одних элементов другими (элементов, составляющих основание системы). Каковы же научные обоснования такой именно множественности геометрий?

§ 2. Здесь уместно будет вспомнить прежде всего о принципе дуализма, или принципе двойственности. Принцип этот, развитый более ста лет тому назад Poncelet и особенно Gergonne, хорошо иллюстрировал тот факт, что теоремы позиционного характера (так называемой геометрии положения), устанавливающие связь между точками, остаются справедливыми и для коррелятивных связей (полярных) плоскостей, происходит лишь замена элементов точка <—> плоскость; равным образом, согласно принципу двойственности, в геометрии плоскости можно теорему, указывающую соотношение между точка ли, заменить параллельною же теоремою, дающею соотношение между прямыми линиями.

Но принцип дуализма совершенно не решает вопроса о возможности существования множественности самих геометрий, равно не указывает метода их построения. Он устанавливает лишь параллельность теорем двух геометрических систем, а их может быть еще несколько. Принцип дуализма дает лишь параллельность построения в двух системах различных образов — точек и плоскостей.

Элементарная геометрия и так называемая высшая геометрия представляют одну геометрическую систему — систему точек, так как за элементы всех построений всегда принимаются точки. Новая геометрия вводит элементы и другого рода: она содержит несколько новых отдельных систем, и система точек есть лишь одна из возможных геометрических систем в настоящее время.

§ 3. По какому же пути шло развитие и решение вопроса о множественности геометрий? Работа Poncelet — „Theorie générale des polares réciproques“, вышедшая в 1829 г.; работа Steiner'a - „Die Theorie der Kegelschnitte gestützt auf projectivische Eigenschafien“, 1876 г.; наконец, работа Th. Reye—»Synthetische Géomètre der Kugeln uni Linearen Kugelsysteme“, 1879 г., — вот этапы, приближающие к решению вопроса о множественности геометрий.

Последний, т. е. Th. Reye, изучает уже так называемые линейные (определяемые наименьшим числом элементов) и квадратичные (сферические) совокупности шаров; он создает уже новые геометрии (геометрию кругов и геометрию шаров), оперируя кругами и шарами как элементами новых систем. Словом, в конце прошлого века существовало уже несколько параллельных геометрических систем.

§ 4. Но все это еще не давало решения вопроса об общем методе построения ряда самостоятельных геометрий, равно как не решало вопроса о том, можно ли данный геометрический образ принять за элемент (новой) системы.

Блестяще разрешил вышеуказанные вопросы и создал ряд новых геометрических систем, построенных по одному и тому же методу, русский геометр и кристаллограф Е. С. Федоров, бывший директор и профессор Горного института в начале текущего столетия в Петербурге.

Затронутые выше вопросы освещены проф. Федоровым в 1907 и 1908 гг. Его труд — „Новая геометрия как основа черчения“, изданный в 1907 г., с поразительной просто-

той указывает условие, при котором данный геометрический образ можно принять за элемент новой геометрии. Эта книга и особенно последующие труды проф. Е. С. Федорова, установившие несколько новых геометрических систем, отчетливо выдвинули самый метод построения ряда самостоятельных геометрий, метод, который следует озаглавить согласно терминологии покойного Федорова, так:

Прима, секунда, терция, кварта.

В переводе на обычный язык геометрии вышеуказанные термины дадут соответственно : прямую, плоскость, пространство трех измерений (координат), четырехмерное пространство.

Созданая Th. Reye геометрия шаров относится, кстати сказать, к геометрии четырех измерений; в цитируемой выше книге 1879 г. Reye дает небольшое введение в аналитическую геометрию шаровых систем; шар имеет у Reye четыре координаты: три прямоугольные координаты его центра, за четвертую координату взято „Potenz“ — сопряжение — „степень“ шара в начале координат (степень равна квадрату касательной к шару из начала). Все шары пространства образуют линейное многообразие четырех измерений, геометрию четвертой ступени, линейную кварту. О делении геометрии на ступени будет сказано ниже.

§ 5. Возвращаясь к терминологии „прима“, „секунда“, „терция“, „кварта“, надо сразу оговориться, что эти „прямые“, „плоскости“ и т. д. установлены проф. Федоровым в более широком понимании, чем обычные прямые, плоскости и пространства, созданные геометрическими точками; проф Федоров оперирует примами кругов, примами шаров, примами параллельных векторов, примами гармонических векторов и отрезков; равным образом им введены секунды и терции кругов, шаров, параллельных векторов, гармонических отрезков и векторов.

§ 6. Федоров проводит четко различие между кругами обыкновенными и кругами векториальными. Этим он значительно расширяет и углубляет идеи Th. Reye; равным образом Федоров отличает шары обыкновенные от векториальных, что совсем не было отмечено Reye. Тут проф. Федоров следует элементам геометрии направления (идеи Laguerre 1879—1880 гг., см. т. II, издан в 1905 г., статья „Sur la Géométrie de direction“); на каждой прямой имеем два противоположных направления, на каждой окружности имеется два цикла (точка своим движением создает прямую, цикл);

к данному циклу, т. е. векториальному кругу, можно провести лишь одну касательную данного направления. Векториальные круги и шары можно отмечать векторами, именно: радиусом, на конце которого поставлены стрелки прямого или прямо-противоположного направления, что дает положительные и отрицательные круги и шары: это создаст связь между геометрией параллельных векторов и геометриями векториальных кругов и векториальных шаров, что имеет громадное практическое значение.

§ 7. Федоровым установлены примы, секунды, терции шаров и векториальных кругов; даны построения и свойства прим, секунд, терций векториальных кругов и шаров, то же—для обыкновенных. Th. Reye разработал лишь линейные совокупности (системы) кругов и шаров обыкновенных; квадратичные же его шаровые системы* относятся к шарам векториальным; вся книга Reye написана без единого чертежа, что делает ее трудной для изучения. Федоров, восполняя пробелы проф. Reye, создал квадратичные совокупности шаров обыкновенных и линейных для шаров векториальных в труде 1908 г.— „Этюды по геометрии шаров“. Кроме того Федоров, следуя своему методу, создал несколько новых параллельных геометрических систем.

§ 8. Укажем еще на разницу в терминологии Th. Reye и проф. Е. С. Федорова.

Прима Федорова была названа Reye: термином „пучок“, например: Kugelgebüschel;

Секунда , , „ „связка“, например: Kugelbündel;

Терция „ „ „ „ворох, куст", например: Kugelgebüsch.

Reye рассматривает, конечно, в своей книге и круговой пучок, круговую связку, круговой куст, относя их к частным случаям соответствующих шаровых систем; Reye дал свойства всех трех этих круговых систем.

§ 9. Переходим к вопросу, возможна ли геометрия данного элемента, конечно как одна из параллельных геометрий.

Уже в книге „Новая геометрия как основа черчения“ показана Федоровым основная мысль, что геометрия какого-нибудь элемента возможна, если можно определить прямую из этих элементов. Как же выбирать в ос-

* Комплексы, конгруенции, Kugelschaar.

нову каждой геометрии определенный геометрический образ как элемент системы? Как определить приму из этих элементов?

§ 10. Чтобы решить вопрос,может ли данный геометрический образ быть принят за элемент системы, говорит проф. Федоров, нужно определить, можно ли из бесконечного множества положений в пространстве и видоизменений этого образа взять два произвольные и по ним однозначно определить линейную приму, т. е. совокупность, всегда получающуюся тождественно, какие бы два ее элемента мы ни избрали для определения.

Такая совокупность для геометрии точек называется прямой линией; она однозначно определена двумя произвольными своими точками.

§ 11. Этот принцип и его развитие, т. е. построение секунд и терций из данных элементов, проверены Федоровым в упомянутой выше книге „Новая геометрия“ для создания ряда геометрий (геометрия точек, геометрия кругов, геометрия шаров, геометрия параллельных векторов и пр.); там же показано, что последовательный ряд теорем позиционного характера (выведенных при помощи построений геометрии положения) построений применим в одинаковой мере для всего этого ряда геометрий.

§ 72. Линейная прима однозначно определена двумя произвольными кругами одной плоскости, двумя произвольными шарами, двумя произвольными параллельными векторами и т. д. Но надо отличать, как было замечено выше, приму кругов (шаров) обыкновенных от примы кругов (шаров) векториальных. Два обыкновенных круга (шара) имеют два центра подобия; два векториальных круга (шара) данного направления имеют только один центр подобия, строго однозначно определяемый. Линейная прима векториальных шаров или кругов характеризуется постоянным отношением между радиусом данного круга или шара примы и расстоянием их центра от центра подобия; все шары и круги примы центрами своими расположены на прямой.

Может ли прямая (точечная) быть элементом самостоятельной геометрии? Существует геометрия, где элементом взята прямая линия, создающая своим перемещением линейчатые поверхности, комплексы, конгруенций, комплексы первого и второго порядка. Это — геометрия Плюкера. Но дают ли две произвольные прямые (непараллельные) возможность однозначно определить приму? Приму дадут, например, два параллельных вектора плоскости либо пространства*. Двумя произвольными прямыми нельзя однозначно определить линейную приму. Посему геометрия Плюкера не войдет в рассматриваемый нами ряд параллельных геометрий; она занимает свое особое ме:то. В заключение приведем правило построения линейной примы для данных параллельных векторов: векторы эти имеют начальные и конечные точки, проводят прямую через обе начальные точки и другую прямую через обе конечные точки двух данных векторов. Пересечение обеих прямых дает центр подобия примы, он же центр примы и точечный ее вектор; по одну сторону от центра имеются параллельные векторы различной длины одного направления, по другую сторону от центра расположатся в приме параллельные векторы противоположного направления и различных размеров.

Как построить линейную приму по двум данным векториальным кругам либо шарам? Если заменить оба данных круга (либо шара) их параллельными радиусами одинакового направления, если круги даны одного и того же направления, и параллельными радиусами прямо-противоположного направления, когда круги имеют прямо-противоположное направление, — то построение сведется к вышеуказанному. Можно поступить иначе: для двух векториальных кругов одинакового направления провести две касательных (внешних), для кругов прямо-противоположного направления провести касательные внутренние; точка пересечения обеих касательных есть центр примы и в то же время это точечный круг примы, разделяющий всю приму на две части: по одну сторону расположены круги одного направления и различных размеров, по другую сторону центра примы будут круги противоположного направления всевозможных размеров. Аналогично идет построение линейной примы по двум данным векториальным шарам.

Перечислим еще случаи линейных прим обыкновенных кругов и шаров, определяемых по двум данным. Если даны два пересекающихся круга, то все остальные круги примы проходят через общие точки пересечения данных кругов. Если даны два обыкновенных шара, пересекающиеся по общему кругу, то все шары линейной примы проходят через этот общий круг.

Если для определения линейной примы взяты

* Оба вектора могут быть одинакового направления, либо их направления прямо-противоположны.

два обыкновенных круга, имеющие одну общую точку, то последняя будет единственной общей точкой всех кругов примы, и, значит, прима состоит из кругов, касательных в этой точке. То же и для шаров, имеющих одну общую точку касания.

Гораздо труднее построить линейную приму по двум данным обыкновенным не пересекающимся кругам, либо по двум данным обыкновенным не пересекающимся шарам. Ни один из кругов примы не имеет ни с каким другим ни одной общей точки, потому что иначе эта точка была бы общею для всех кругов примы. Чертеж такой примы дается на странице 42 книги „Новая геометрия как основа черчения“. Этим мы ограничим вопрос о построении линейных прим и перейдем к построению линейных секунд.

§ 13. Линейная секунда (точек; кругов обыкновенных и кругов векториальных; шаров как обыкновенных, так шаров векториальных; параллельных векторов и т. д.) однозначно определена тремя данными ее элементами, не принадлежащими одновременно одной и той же приме; иначе — одна линейная прима и еще один, не принадлежащий этой приме, элемент того же рода определяют однозначно линейную секунду. Этот элемент с каждым элементом примы однозначно определяет линейную приму; совокупность же таких линейных прим и составит линейную секунду из данных элементов.

Что характеризует, например, линейную секунду векториальных шаров, кругов? Характеристикою служит: 1) плоскость центров всех шаров и кругов; 2) наличие оси подобия на этой плоскости; 3) постоянное отношение радиусов шаров и кругов к расстоянию их центров от оси подобия. Сама ось подобия есть геометрическое место точечных шаров и кругов линейной секунды; ось эта разделяет положительные шары и круги секунды от отрицательных, иначе: шары и круги одною направления отделены осью от шаров и кругов противоположного направления.

Если построить линейную секунду для трех данных, параллельных в пространстве, векторов, соблюдая правило построения линейных прим для каждых двух любого направления данных векторов, то получим три центра подобия, которые лежат на оси подобия секунд л. Три начальные точки векторов дадут плоскость, в которой расположена ось подобия секунды.

§ 14. Линейная терция однозначно определяется четырьмя элементами (точками, кругами, шарами, параллельными векторами и пр.). Имея линейную секунду и придав к ней еще один такого же характера элемент, не принадлежащий этой секунде, получим линейную терцию. Она содержит бесчисленное множество секунд, как пространство — бесчисленное множество плоскостей.

Не принадлежащий секунде элемент с каждой примой (а их в секунде сколько угодно) секунды составляют линейную секунду; вот совокупность таких секунд и составляет линейную терцию. Для терции векториальных шаров характеристикою служит: 1) плоскость подобия и 2) постоянное отношение радиусов шаров и кругов к расстоянию их центров от этой плоскости. Плоскостью подобия положительные шары отделяются от отрицательных; шары одного направления отделяются от шаров противоположного направления; сама же плоскость подобия терции есть геометрическое место точечных шаров терции.

Примам, секундам и терциям шаров присуще постоянное отношение радиусов к некоторому расстоянию (см. выше); различают поэтому два главных разряда прим, секунд, терций, шаров, смотря по тому, будет ли это характеристичное отношение большим или меньшим единицы; переходный случай — когда это отношение равно единице.

§ 15. Из вышесказанного уже видно, что существует множество геометрических параллельных систем. И теоремы одной из них переносятся в другую, сохраняя ту же реакцию, но в новой терминологии. Что же обуславливает такую возможность переноса, что делает ограничение в переносимости теорем из одной геометрии в другую? Тут надо установить понятие о ступени другой совокупности: разным элементам соответствует разная ступень их полной совокупности.

Совокупности, составленные из данных однородных элементов, различаются по ступеням. Наиболее выделяются те совокупности, которые определяются наименьшим числом своих элементов. Прямая линия, например, выделяется по простоте своей из всех возможных линий и определена (прямая) только двумя своими произвольными элементами; окружность же определена тремя, эллипс — пятью элементами. Прямая, дающая простую бесконечность элементов, и есть совокупность первой ступени.

Плоскость есть совокупность второй ступени, она составлена бесконечным множеством совокупностей первой ступени.

Геометрия точек на плоскости — совокупность второй, геометрия точек в пространстве—третьей ступени.

Пространство есть терция точек; в пространстве имеется бесконечная совокупность плоскостей, например параллельных. Геометрия кругов на плоскости — совокупность третьей ступени (полная совокупность кругов); геометрия шаров — четвертой ступени.

Система параллельных векторов— большой ценности геометрия, созданная и развитая Е. С. Федоровым — тоже имеет свою ступень; полная совокупность параллельных векторов на плоскости есть система третьей ступени, то же в пространстве—четвертой ступени.

И вот, одинаковая ступень двух геометрий, например точек пространства и кругов на плоскости; точек пространства и параллельных векторов плоскости и т. п. — и дает параллельность теорем в обеих системах одновременно. Конечно, нельзя установить параллельности теорем в двух геометрических системах разных ступеней. Это потому, что одна и та же ступень двух геометрий позволяет легко установить однозначное соответствие между элементами той и другой системы, чего не будет, когда системы — разных ступеней. Вышеуказанное соответствие приводит к параллельности построения, к параллельности теорем.

Открытые проф. Федоровым новые геометрические системы в 1908 г. — геометрии гармонических отрезков и векторов — относятся к третьей ступени.

§ 16. Какова практическая ценность новых геометрических систем? Что побуждало, например, горного инженера Е. С. Федорова заниматься геометрией кругов плоскости или геометрией параллельных векторов? Что содействовало созданию новых геометрий? Только практические соображения и удобства построений заставили проф. Федорова расширить геометрию обыкновенных кругов плоскости, написанную Reye еще в 1879 г., и создать геометрию векториальных кругов.

Федоров искал способа точного изображения точек пространства на плоскости, нового способа, отличного от обычного в таком случае способа начертательной геометрии. Последний метод дает здесь два отдельных чертежа (план и профиль, например), и должно быть чем-нибудь обусловлено отношение изображений одной и той же точки на обоих; это не удовлетворяло горного инженера при изображении системы подземных горных выработок, когда наиболее удобно пользоваться векториальными проекциями, дающими план на одном чертеже. Система параллельных векторов, как показал Федоров в статье „Точное изображение точек пространства на плоскости“ в 1907 г., незаменима для этого случая. Система параллельных векторов плоскости, как было отмечено выше (полная система), и система точек пространства—обе третьей ступени. А это дает легкую возможность установить между ними однозначное соответствие и выработать способ изображать точки пространства и предметы, ими образованные, при помощи параллельных векторов плоскости; точки заменяются, для характеристики которых достаточно двух точек — начальной и конечной. Точки пространства можно изображать на плоскости при помощи обыкновенных кругов, так как обе системы — третьей ступени, что показано Федоровым обстоятельно в той же статье в первой ее части, но удобнее система векториальных кругов; наиболее же удобна система параллельных векторов. Здесь проф. Федоров пошел значительно дальше профессора Фидлера, автора книги, изданной в 1882 г. под названием „Циклография“. Фидлер в книге „Циклография“ занимается, как и Reye, вопросами систем шаров и кругов.

В § 13, 14, 15 Фидлер говорит о возможности изображать точки пространства кругами на плоскости. Федоров развил, углубил и закончил идеи Фидлера и показал их практически удобную сторону при трудных построениях. Федоров доказал, что выражением коррелятивности между точками пространства и кругами на плоскости служит определенный параболоид (вращения) коррелятивности, и указал его замечательные свойства.

В той же статье „Точное изображение...“ после указаний преимуществ системы параллельных векторов перед, системами кругов, обыкновенных и векториальных, приложен план рудничных выработок трудного федоровского штока в Кебадеке, что представляет блестящее научное достижение и удачное разрешение поставленной цели.

Е. С. Федоров был выдающимся кристаллографом, труды его в этой области пользовались большой известностью в Западной Европе. Он первым стал применять в своей специальности начала новой геометрии.

В 1917 г. была напечатана его статья „Применение начал новой геометрии к кристаллооптике“ (напечатана в „Известиях Российской Академии наук“). Статья большого научного значения, лишний раз подтверждающая, что в лице Е. С. Федорова мы имели выдающегося геометра.

ФИГУРНЫЕ ЧИСЛА

Проф. П. БЕЛОНОВСКИЙ (Кировск)

1. Целое число — основное понятие арифметики. Изучение его свойств, в особенности таких, которые относятся к установлению законов делимости, законов распределения простых чисел и следования их друг за другом, привлекало к себе внимание очень многих математиков уже в очень отдаленные от нас времена.

Известно, какое значение придавали изучению свойств целых чисел Пифагор и его ученики, выставившие тезис о том, что „числа правят миром“.

Пифагорейцы, а также и греческие математики более поздних веков (Евклид, Эратосфен) очень интересовались так называемыми „совершенными“ числами, т. е. такими, сумма всех настоящих* делителей которых равна рассматриваемому числу (например 28 = 1 + 2 -f 4 + 7 14), или числами „дружественными“, т. е. такими парами чисел, у которых сумма настоящих делителей каждого из них равна другому. Совершенными и дружественными числами интересовались Фермат, Эйлер.

Благодаря Фермату же получили известность и „многоугольные“, или „фигурные“, числа. Рассмотрим некоторые свойства этих последних. Их характер и происхождение термина можно выяснить следующим образом. Представим себе, что на продолжении стороны правильного /г-угольника, равной единице длины, строятся один за другим подобные многоугольники, с центром подобия в общей для всех вершине и двумя общими сторонами, выходящими из взятой вершины (см. чертеж для случая п = 4); длины сторон должны возрастать при этом на 1 при переходе одного многоугольника к следующему. Будем нумеровать по порядку, начиная с общей вершины, все точки сторон многоугольников, отстоящие друг от друга на 1, так, чтобы, обходя периметры 1-го, 2-го, 3-го и т. д. многоугольников, в направлении вращения часовой стрелки, занумеровать каждую такую точку только один раз. Тогда на той, общей всем многоугольникам, стороне, на которой окажется точка с номером я, расположатся последовательно л-угольные числа различных порядков, начиная с 1-го: 1л, Зп—3, 6/г — 8. . . и т. д.

Не трудно видеть, что всякое /г-угольное число /и-го порядка есть, таким образом, сумма m первых членов арифметической прогрессии, первый член которой всегда =1, а разность равна п — 2. Таким образом, треугольные, квадратные, пятиугольные и т. д. числа /я-го порядка суть суммы m первых чисел прогрессий.

1, 2, 3, 4,. . ., m 1, 3, 5, 7, ...2т— 1 1, 4, 7, 10 . ..Зт — 2

Поэтому общее выражение для я-угольного числа /гс-го порядка будет:

/w« + (i,_3)2d-pa. (1)

Приняв выражение (1) как определение я-угольного числа т-то порядка, будем считать, что числа п и m в (1) могут принимать следующие значения:

п = 3, 4, 5 ... и т. д. Л1=0, 1, 2, 3, 4... и т. д.

В течение почти двух веков (XVII — XIX) многоугольные числа привлекали к себе внимание математиков, пытавшихся доказать следующую теорему, высказанную, но не доказанную Ферматом:

„Всякое целое положительное число может быть представлено в виде суммы трех треугольных, четырех четырехугольных, пяти пятиугольных и т. д. чисел“.

Впервые эту теорему доказал Коши*,

* То-есть всех делителей, за исключением делителя, равного самому числу.

* Mem. de l'Jnstitut de Paris—14, 1813 - 1815, p. 177; см. также Oeuvres (2), 6, p. 320.

Современное изложение этого доказательства см. у Р. Bachmann'a „Arithmetik der quadratischen Formen-, I, 1925, S. 155 —162.

видоизменив ее условие следующим образом:

„ Всякое целое положительное число может быть представлено в виде суммы п п-угольных чисел, из которых по крайней мере п — 4 числа суть 0 или

Мы не будем приводить здесь доказательство этой теоремы, отсылая читателя к источникам, указанным в примечании. Настоящая заметка рассматривает другую, более простую задачу, относящуюся к многоугольным числам, а именно: она имеет целью указать алгоритм для нахождения всех представлений заданного натурального числа числами многоугольными и дать несколько элементарных зависимостей между многоугольными числами различных угольностей и порядков.

2. Пусть задано целое положительное число N. Обозначая через х — порядок, а через у — угольность фигурного числа, найдем все целые положительные решения неопределенного уравнения третьей степени:

(2)

Так как всегда

и так как чисел, угольность которых меньше трех, не рассматривают, то, решая уравнение (2), будем считать, что:

(3)

Уравнение (2) всегда имеет очевидное решение:

х = 2у y = N,

которое дает

Это представление числа N будем называть тривиальным. Из (2) получаем:

На основании второго из неравенств (3) заключаем, что:

2(N—л)^х(х — 1),

откуда

*(jc+1)^2/V, я, следовательно:

Итак:

2^а:^[1/2Л/], (5)

где знак [А] обозначает наибольшее целое число, заключающееся в А.

Уравнение (4) равносильно такому:

(6)

или такому:

(7)

Отсюда заключаем, что оба числа

одновременно должны быть числами целыми, а так как кроме того х и х—1 будут всегда взаимно-простыми между собою, то, принимая во внимание (4), (5), (6) и (7), приходим к следующему выводу:

Для того чтобы число х было порядком фигурного числа Р(у\ представляющего заданное число iV, необходимо и достаточно, чтобы:

a. Удовлетворялось неравенство:

2%х^[1гЩ.

b. Чтобы X было делителем числа 2 V, а X — 1 делителем числа 2.(/V— 1).

Достаточность условия вытекает непосредственно из уравнения (4):

В силу вышесказанного алгоритм для нахождения всех представлений числа N будет таков: раскладываем 2N и 2«(/V—1) на первоначальные множители и строим все возможные делители этих чисел, удовлетворяющие неравенству (5); отобрав те из них, которые удовлетворяют условию (а), находим порядки, а по (2) и угольности искомых представлений.

Пример N = 2я, где п натуральное число.

Имеем: 2N=2n^\2-(N - 1) = 2 (2я — 1);

Так как делителями числа 2 могут быть только степени двух, то можно, очевидно, положить:

Итак, мы должны теперь искать делителей числа 2(N—1) среди чисел вида

Так как 2т— 1 всегда нечетно, то достаточно подобрать m так, чтобы число 2т — 1 было делителем N — \ =2п — 1, для чего, как известно, необходимо и достаточно, чтобы m было делителем числа п. Решение вопроса сводится, следовательно, к отбору из ряда чисел

делителей числа п.

Пусть эти делители будут:

мы получим тогда s различных представлений заданного числа N— 2п. Порядки х для этих представлений будут равны:

хг = 2\ х2 = 2г\ х3 -2* . . . xs = 2\ а соответствующие угольности у будут:

Рассмотрим два случая:

n = 2k и л = 2&-|-1. Пусть п = 2k\ тогда

Если k — число простое, большее двух, то возможно только три представления:

х^“=2\ х>2 ~= 2?; лГд = 2*;

Если, например, ЛА= 2й =16 384, то получим:

16 384 = Р2(16 384) = PJ2732) = р(4)8

Для случая k = 2 возможно только два представления :

Я(1б)=рО) = 1б. Пусть теперь п= 2fc-f- 1; тогда

Решений столько, сколько существует делителей числа 2/5-hl, не превосходящих k-\-\. Если 2« -f- 1 есть число простое, то существует только одно тривиальное представление:

Представляет интерес исследование случая, когда N^> оп, где р нечетное простое число, а также других возможных предположений о составе делителей числа N.

Выведем в заключение несколько простых соотношений между фигурными числами. Из общего выражения (1) легко находим:

Сложив почленно ряд равенств:

и замечая, что треугольные числа /и-го порядка имеют вид:

найдем следующее выражение для суммы многоугольных чисел одного и того же порядка, но различных угольностей:

(*)

Сумма tn первых треугольных чисел может быть приведена к виду:

Замечая, что сумма первых k слагаемых, стоящих в скобках, равна k(k-\-1)(£-{-2), находим :

(8)

Складывая почленно ряд равенств:

и принимая во внимание формулу (8), получим выражение для суммы первых m чисел одной и той же угольности, равной я, и порядков от 1 до m включительно:

Комбинируя формулы (*) и (**) и суммируя в каком-либо порядке, например, сначала по индексу у, а затем по /, получим:

Последняя формула дает сумму следующих фигурных чисел:

ЗАМЕТКА О ЧИСЛЕ РАЗЛИЧНЫХ ФОРМ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

Р. БОНЧКОВСКИЙ (Москва)

У. Многоугольником мы будем называть, как это принято в элементарной геометрии, замкнутую ломаную линию, расположенную на плоскости без самопересечений. Известно, что многоугольник делит плоскость на две части, из которых одна лежит целиком в конечной части плоскости, а другая содержит сколько угодно далекие точки плоскости. О первой части говорят, что она лежит внутри многоугольника; о второй,— что она лежит вне многоугольника. Над многоугольником мы будем производить операцию, которую назовем деформацией многоугольника. Эта операция состоит в том, что все вершины многоугольника заставляют непрерывно скользить по некоторым кривым в плоскости многоугольника, причем все его стороны соответствующим образом укорачиваются или удлиняются. Так, например, четырехугольник ABCD путем деформации можно превратить в четырехугольник ABCD9 (черт. 1); для этого достаточно заставить вершину D пробежать отрезок DD*. Сторона AD при этом укорачивается и превращается в отрезок AD'; сторона CD удлиняется и превращается в отрезок ClJ. Точно так же четырехугольник ABCD можно путем деформации превратить в четырехугольник ABCÜ“ (черт. 2); для этого достаточно заставить вершину D пробежать отрезок DD“.

Единственное ограничение, которое мы введем, состоит в том, что в процессе деформации не должно происходить самопересечений многоугольника. Очевидно, даже при наличии этого ограничения любой многоугольник может быть преобразован путем деформации во всякий другой многоугольник с тем же числом вершин.

2. При преобразовании одного многоугольника в другой с помощью деформации могут представиться два различных случая: либо преобразование одного многоугольника в другой можно выполнить таким образом, что во время деформации число сторон многоугольника не изменяется, либо при преобразовании одного многоугольника в другой число сто-

Черт. 1.

Черт. 2.

рон многоугольника хотя бы один раз уменьшается, независимо от того, какой именно деформацией выполняется преобразование. Мы будем говорить, что многоугольники имеют одну и ту же форму, если налицо первый случай; во втором случае мы будем говорить, что многоугольники имеют различную форму. Так, в предыдущих примерах четырехугольники ABCÜ и ABCD1 имеют одну и ту же форму, в то время как четырехугольники ABCD и ABCD“ имеют различную форму. Действительно, при деформации четырехугольника ABCD в четырехугольник ABCD“у в тот момент, когда вершина D попадает в точку £, четырехугольник ABCD превращается в треугольник ABC. При этом невозможно провести это преобразование так, чтобы в процессе деформации четырехугольник ABCD не превращался в треугольник.

Наша задача будет состоять в определении числа различных форм я-угольников для любого значения я. Это число будем обозначать символом Фп.

Для малых значений п числа Фп легко определяются путем непосредственного вычерчивания многоугольников. С возрастанием п число Фя очень быстро возрастает, и определение его делается весьма затруднительным. Приводим значения Фп для небольших значений п:

Ф3 = 1; Ф4=2;ФБ = 4; Ф6 = 8;Ф7 = 15.

На чертежах 3 и 4 изображены различные формы четырех- и пятиугольников.

3. Две стороны многоугольника, имеющие общую вершину, образуют на плоскости два угла, из которых один больше 180°, а другой— меньше 180°. Один из этих углов принадлежит той части плоскости, которая лежит внутри многоугольника; этот угол будем называть внутренним углом многоугольника. Если внутренний угол многоугольника больше 180°, мы булем называть его входящим углом. Так, на чертеже 2 четырехугольник ABCD“ имеет входящий угол AD“C. Внимательный читатель сейчас же заметит, что два одноименных многоугольника имеют одну и ту же форму, если они имеют одно и то же число входящих углов, которые на контурах многоугольников одинаковым образом чередуются с остальными их углами.

4. Если же два одноименных многоугольника имеют разное число входящих углов или же равное число входящих углов чередуется с другими углами на контурах этих двух многоугольников различным образом, то эти многоугольники имеют разную форму.

Действительно, в этом случае при деформации по крайней мере один угол, который до того не был входящим, делается входяшим, или наоборот. Но при деформации многоугольника его углы изменяются непрерывно, поэтому, изменяясь от значения, меньшего 180°, до значения, большего 180°, или при обратном изменении, этот угол должен по крайней мере один раз принимать значение, равное 180°. Но в тот момент, когда этот угол равен 180°, число сторон многоугольника уменьшается. Из изложенного видно, что это уменьшение числа сторон происходит независимо от того, как производилась деформация, а лишь от того, что входящие углы на контурах этих двух многоугольников расположены различным образом. Отсюда следует, что рассматриваемые многоугольники имеют различную форму.

Заметим, что какова бы ни была форма многоугольника, по крайней мере три его угла не являются входящими.

5. Пусть теперь число сторон многоугольника п — р, где р — некоторое простое число. Перенумеруем вершины многоугольника в порядке их расположения на контуре числами 1, 2, 3 ... р.

Черт. 3.

Черт. 4.

Существует только одна форма /?-угольника, не имеющего входящих углов. Это — выпуклый многоугольник. Символически это мы запишем так:

фо = 1.

Точно так же существует только одна форма /7-угольника с одним входящим углом. Действительно, любой из углов многоугольника может быть входящим; это дает р многоугольников. Но достаточно сделать циклическую перестановку номеров вершин, чтобы убедиться, что все эти многоугольники тождественны. (Последовательность 1, 2, З...р при циклической перестановке переходит в последовательность 2, 3... /?, 1.) Этому соответствует такая деформация многоугольника 1, 2, 3.. .р в многоугольник 2, 3,../?, 1, при которой первая вершина переходит во вторую, вторая — в третью и т. д. Если первый многоугольник имел входящий угол с вершиной 1, а второй многоугольник имел входящий угол с вершиной 2, то эта перестановка показывает, что многоугольники принадлежат к одной форме, так как она показывает, что входящие и невходящие углы расположены одним и тем же способом на контурах обоих многоугольников. Таким образом:

Ф* = 1. р

Для /7-угольника с двумя входящими углами получаем :

Р~ 2 •

Действительно, имеется лишь одна форма многоугольника с одним входящим углом; если один из остальных его углов путем деформации также сделать входящим, многоугольник превратится в многоугольник с двумя входящими углами. Поскольку имеется (р—1) углов, над которыми может быть проделана эта операция, число многоугольников с двумя входящими углами окажется равным (р—1). Но эти многоугольники по два тождественны. Действительно, пусть I и k— номера вершин входящих углов. Выполним циклическую перестановку, переводящую номер i в k. Тогда вершина, ранее имевшая номер 6, теперь будет иметь номер /, а вершина i приобретает теперь какой-то новый номер ftj, причем или k — / = / — ßn или k — i = n-\-i—kj. Так как при изменении нумерации сам многоугольник не изменился, то многоугольник с входящими углами i и k тождествен многоугольнику с входящими углами i и kv При п=р простому числу k не может быть равно klt так как тогда п было бы четным числом, как это следует из равенства k - i = n -j~ i — k2 и, следовательно, полученные ранее (р— 1) многоугольники действительно попарно тождественны. Благодаря этому, истинное число /7-угольников с двумя входящими углами равно 2 .

Можно /7-угольник с двумя входящими углами превратить в /7-угольник с тремя входящими углами, если один из его остальных углов превратить во входящий. Это превращение можно проделать (р — 2) способами. Следовательно, получится

(,-2)ф2 = <'-'У'-2>

многоугольников с тремя входящими углами. Но можно, подобно предыдущему, показать, что эти многоугольники по три тождественны, если число п = р простое число. Поэтому действительное число /^-угольников с тремя входящими углами есть

фа_(/»-0(/»-2) Р~ 23

Воспользовавшись методом математической индукции, можно показать, что вообще:

ф* = 0^1)(р-2)..-(р-* + 1) (Ä=2g f р_3) р 2-3«»'£

Для k=p — 2, р — 1, р мы получаем

Ф»=о,

так как не существует /7-угольника, числа входящих углов которого превышает п—3.

6. Теперь легко определить общее число различных форм /7-угольника:

или окончательно:

Для первых значений р получаем:

Фз^1; ф5=4; ф7 = 15; *n —«i;

Ф13 = 624.

7. Я не ставлю своей целью дать полное решение задачи; мне хотелось только обратить на нее внимание читателей. Я надеюсь, что кто-нибудь из читателей займется ею и найдет решения для того случая, когда число п вершин многоугольника есть число составное.

8. Следует обратить внимание на естественное обобщение задачи, которое получается, если рассматривать многоугольники в смысле Пуансо (L. Poinsot) и Мёбиуса (А. F. Möbius). Пуансо определял л-угольник как фигуру которая получится, если п произвольных точек Ал% А2>... Ап плоскости соединить прямолинейными отрезками так, чтобы каждая точка была соединена со следующей по порядку точкой и чтобы последняя точка была соединена с первой. Очевидно, при таком определении многоугольника не исключается возможность его самопересечений. Мёбиус определял я-угольник как систему конечного числа отрезков, из которых каждый каждым своим концом смыкается с одним из остальных отрезков системы. Если при этом ввести ограничение, что отрезки системы должны образовывать одну цепь, то определение Мёбиуса и Пуансо в сущности дают одно и то же геометрическое образование.

Будем называть многоугольник Пуансо особым, если хотя бы одна из его вершин лежит на одной прямой с двумя соседними вершинами, или лежит на одной из сторон многоугольника, или совпадает с другой его вершиной. Два я-угольника (не являющихся особыми) будем считать имеющими одну и ту же форму, если один из них может быть превращен в другой с помощью деформации так, что во время деформации многоугольник ни разу не превращается в особый многоугольник; если же такое превращение невозможно, многоугольники должны считаться имеющими разную форму. Обобщение рассмотренной нами задачи состоит в определении числа различных форм я-угольника Пуансо.

Наконец, можно рассматривать ориентированные многоугольники Пуансо, т. е. такие, у которых различают положительное и отрицательное направление обхода контура.

Из изложенного читатель может видеть, что рассмотренная нами задача в ее общей постановке черезвычайно сложна и интересна.

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ДЛИН БИССЕКТРИС ВНУТРЕННИХ И ВНЕШНИХ УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА

Доц. ЗЕТТЕЛЬ (Москва)

1. В настоящей заметке я хочу предложить один способ вычисления длин биссектрис и показать, что ряд формул для решения косоугольных треугольников легко получается, если для их вывода использовать формулы для вычисления длин биссектрис. Докажем предварительно одну вспомогательную теорему, на которой можно основать вычисление биссектрис внутренних углов треугольника.

2. Биссектриса внутреннего угла треугольника делится в центре вписанного круга так, что отношение отрезка от вершины угла до центра к отрезку от центра до основания равно отношению суммы двух сторон треугольника к третьей, противолежащей вершине, из которой биссектриса выходит.

Пусть из вершины В треугольника ABC проведена биссектриса BD. Если О — центр вписанного круга, то:

Черт. 1.

Из треугольника ABD имеем

(1)

Из треугольника ABC получаем

Подставив в равенство (1) значение AD, получим

(2)

Итак, теорема доказана. Составив из пропорции (2) производную, найдем, что

(3)

Обозначив биссектрису из угла В через ßB, перепишем равенство (3) следующим образом

(4)

3. Из прямоугольного треугольника ОМВ, где ОМ = г; ВМ=р — Ь, легко вычислить ВО:

где 5 — площадь треугольника ABC.

Подставив в равенство (4) значение ВО, получим

По аналогии

4. Равенство (4) дает возможность легко выразить sin у, cos у и tgy через стороны треугольника. Действительно,

Основываясь на равенстве

легко получить первую формулу Мольвейде

(5)

Из треугольника BAD имеем

а так как -—, то формула Мольвейде получена.

5. Интересное соотношение получим, перемножив длины отрезков ВО, АО, ОС, т. е. длины отрезков биссектрис от вершин до точки их пересечения.

(6)

Равенство (6) позволяет вывести две интересные формулы. Из треугольника ОМВ имеем

Аналогично

Перемножив полученные равенства и приняв во внимание равенство (6), получим

Отсюда.

(7)

Так как

то легко получим следующую формулу:

(8)

Формула (8) дает возможность легко получить известное соотношение:

Действительно,

Подставив в равенство (8) значение р, получим

(9)

6. Для вычисления длины биссектрисы ВОг внешнего угла треугольника рассмотрим треугольник BADV Пусть АОг — биссектриса угла BADji Oj — центр вневписанного круга, касающегося стороны AB. Из треугольника BAD^ где AD) — биссектриса, имеем:

(10)

Из треугольника ABC найдем, что BDy — биссектриса внешнего угла треугольники — делит АС так, что

(11)

Подставив в равенство (10) значение DXA из равенства (11), получим

(12)

Обозначив биссектрису ВПЛ через ß^, получим :

(13)

Опустим из Ол перпендикуляр ОлМл на сторону AB. ОгМл— радиус вневписанного круга г = с> BMj —отрезок от вершины до точки касания вневписанного круга, равный, как известно, р — а. Из треугольника ВМлО получим:

(14)

Подставив в равенство (13) значение ВОг из равенства (14), получим

7. Равенство (10) позволяет легко вывести вторую формулу Мольвейде:

Из треугольника ВйлА имеем

Из треугольника D^BC найдем

Итак,

Заменив 7^-77- его значением из равенства (13), получим вторую формулу Мольвейде :

(15)

Разделив равенство (5) и равенство (15), т. е. первую формулу Мольвейде на вторую, получим формулу тангенсов:

О КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ

Проф. И. ЧИСТЯКОВ (Москва)

1. Основным способом решения всякого квадратного уравнения является приведение его, с помощью различных преобразований, к виду двучленного уравнения: х2 — пу решения которого хг = \fn и х2 = — У п. Таким образом, решение квадратного уравнения сводится к действию извлечения квадратного корня. В зависимости от вида подкоренного количества п корни при этом могут оказаться действительными или мнимыми; действительные корни могут быть рациональными или иррациональными. В учебниках алгебры излагаются классические методы для приведения к двучленному виду и вывода формул решения приведенного квадратного уравнения: X2 -(- рх -f- g = 0 и неприведенного : ах2 + -f- bx -j- с = 0. В настоящей заметке мы имеем в виду изложить различные другие способы для вывода формул решения квадратных уравнений, а также коснуться ряда вопросов, связанных с решением этих уравнений и мало освещенных в учебной литературе.

Важнейшим способом преобразования алгебраических выражений является способ подстановки вместо входящих количеств — других, связанных с ними определенным образом, причем целью подстановки является получение более простого выражения. Имея это в виду, применим к решению неприведенного квадратного уравнения:

x*+px + q = 0,

подстановку х=у — ; тогда получим:

или, после упрощения:

т. е. мы пришли к двучленному квадратному уравнению. Отсюда

а следовательно,

или, окончательно:

В зависимости от знака подкоренного выражения полученные корни могут быть оба действительными или оба мнимыми; наконец, они будут равными при ^=#.

2. Переходя, в частности, к решению числовых уравнений 2-й степени по вышеприведенной формуле, заметим, что оно становится особенно простым, когда коэфициент р число четное: р = 2р\ Действительно, тогда

х = -р±У7Г=17. (1)

Заслуживает особого внимания тот случай, когда р целое число, оканчивающееся нулем. Тогда число = — оканчивается цифрой 5, но такие числа, как легко видеть, особенно легко возводить в квадрат. Действительно, пусть N=\0m-\-b\ тогда N2 = = 100 m2 + 100 m -f 25, или ЛГ2 = 100/rc(tfz-f-l)-f 25, т. е. N2 содержит m (w-f-l) сотен и 25 единиц. Следовательно, чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрою 5, надо число десятков, заключающихся в нем, умножить на число, единицею большее, и к полученному произведению приписать 25. Например, чтобы возвысить в квад-

рат число 35, надо число десятков в нем, т. е. 3, умножить на число единицею большее, т. е. на 4, получим 12; приписывая 25, найдем: 352= 1225; подобно этому, найдем: 852 = 7225 ; 6952 = 483 025 и т. п. Обратно, может случиться, что требуется извлечь квадратный корень из числа, оканчивающегося на 25 и обладающего тем свойством, что число сотен в нем представляет произведение двух целых последовательных чисел. Тогда, на основании сказанного, для извлечения квадратного корня из данного числа, достаточно взять меньший из полученных сомножителей и приписать к нему 5. Например “^5625 = 75; |/819025 =905 и т. п. Ясно, что изложенные приемы возведния соответствующих чисел в степень и извлечения из них квадратного корня могут быть прилагаемы и к десятичным дробям, а также к целым числам с десятичною дробью, оканчивающейся на 5, например: 0,452 =ж 0,2025; 8,52 = 72,25 и т. п.; точно так же: )/30,25 = 5,5; j/“(V4225 = = 0,65 и пр.

На основании сказанного легко решать по формуле (1) квадратное уравнение приведенного вида и в том случае, когда коэфициент р оканчивается нечетной цифрою, так как половина его р1 будет представляться целым числом с десятичной дробью, оканчивающейся на 5, и, следовательно, легко может быть возведена в квадрат; например, решая уравнение:

JC2_i7JC^[_66 = 0,

получим:

X — 8,5 ± Y 72,25 — 66,

или

лг= 8,5±1/6,25, т. е. л: = 8,5±2,5;

следовательно,

хг = \\\ дг2 = 6.

Итак, приведенное уравнение:

*2+/7* + ? = 0,

следует во всех случаях решать по формуле

(1), т. е. _

х = —р1±:Ур'2 — Я,

причем р' половина коэфициента р.

3. Формула для решения приведенного квадратного уравнения может быть выведена еще следущим способом, не встречающимся в учебниках алгебры: так как х в общем случае будет числом иррациональным, то положим, что уравнению

удовлетворяет число x = a-\-Y'P> гд*е ß не есть полный квадрат.

Подставляя значение х в уравнение, найдем:

a* + 2aY$ + ? + pa+ pYJ+q = 0,

или

(а2 + ß + р а + q) -f (2 а + р) YJ = 0.

Такое уравнение, если ß не есть точный квадрат, может быть удовлетворено только тогда, когда в отдельности

a2 + ß+/?a + ? = °> и 2а+/7 = 0.

Но из последнего уравнения находим а=± =— Y* a подставляя 9Т0 значение в первое уравнение, получим:

Итак,

Но ясно, что при тех же значениях а и ß корнем уравнения будет а — j/ß, т. е. для х можно взять и значение

Наконец, если даже ß есть полный квадрат, очевидно, что значения а и ß, обращающие в нуль выражения:

(a» + ß+pa + f) и (2а + />)

непременно обратят в нуль и выражение

(0? + î+POL + 4)±V* + P)VÏ,

т. е. удовлетворят данному уравнению; значит, формула решения

является действительно общей, справедливой и для действительных и для мнимых корней.

4. Формула для решения неприведенного уравнения

ax2~\-bx-\-c = 0,

в учебниках алгебры обычно выводится при помощи разделения обеих частей его на а3 что ведет к уравнению приведенного вида

решая которое, получаем:

Однако и эту формулу можно получить иначе, пользуясь способом подстановки. Именно, умножая обе части неприведенного уравнения на д, получим: a2x2-\-abx-\-ac = 0\ затем, положив ах=у, будем иметь приведенное уравнение:

y2 + by-\-ac = 0\

решение его будет

а так как лг = —, то

Полагая, что b четное число, b — 2b\ можно последней формуле, после сокращений, придать вид:

Но той же формулой, на основании вышесказанного о возведении в квадрат чисел, оканчивающихся цифрою 5, можно пользоваться и в тех случаях, когда коэфициент оканчивается нечетной цифрой. Так, решая уравнение:

5*2-f 6х— 11=0,

имеем:

решая же уравнение

видим, что здесь £' = ^- = 2,5, а потому:

или

Итак, во всех случаях неприведенное уравнение

ах2 -\-Ьх±с = 0,

следует решать по формуле:

где

5. После вывода формул для решения полного и неполного квадратных уравнений в курсах алгебры обычно выводятся выражения для суммы и произведения корней приведенного квадратного уравнения, т. е. формулы Виета : л:-, лг2 = — р; хлх2 =q. Эти формулы далее используются для дальнейшешего исследования корней уравнения, именно: для определения их знаков в том случае, когда они действительны и различны. Однако такой способ исследования является несколько искусственным. Вместо него можно пользоваться непосредственным исследованием корней уравнения, т. е.

Имея в виду, что здесь р'2 > q, рассмотрим отдельно два случая:

1) Я > 0. Тогда J//?'2 — q будет по абсолютной величине менее р9; поэтому, если при этом />'>0, то хл и х2 будут оба отрицательны; если же р'<^0, то оба — положительны.

2) Ç<C.O; в этом случае |/р'2—<7>/>\ а потому, как при р1 положительном, так и р' отрицательном, хг будет положительным, х2 — отрицательным. Результаты этого исследования могут быть представлены следующей таблицей (знак р одинаков со знаком р).

Подобно этому, можно провести исследование знаков корней неприведенного уравнения

ах2 -\-Ьх -\-с = 0,

в том случае, когда они действительны и различны. Действительно, имея в виду, что

а можно сделать всегда больше нуля, и что корни выражаются формулами

— У + У»1 — асш „ _ — Ь'— \/Ь'Ч— асл Хг =--а- Х*--Та-

рассмотрим, подобно предыдущему, два случая:

1) £>0. Тогда ]/£'2— ас будет менее br по абсолютной величине, а потому при Ь* > О оба корня хл и х2 будут отрицательны, а при Ь1 <0— положительны.

2) с<0. В этом случае j/V2—ас будет по абсолютной величине более b\ а потому, какой бы ни был знак Ь\ корень хл будет положительным, а х2 — отрицательным. Результаты этого исследования можно представить такой таблицей:

6. Вышеупомянутые формулы Виета, выражающие сумму и произведение корней приведенного квадратного уравнения, т. е.

Xl+X2 = ~ Р> Х1Х2 = Я>

в руководствах алгебры обычно выводятся непосредственной их проверкой, т. е. сложением и умножением корней. Можно, однако, предложить и иной их вывод, остановившись сначала на случае равных корней. В этом случае:

следовательно:

Переходя к случаю неравных корней, мы можем, подставляя их в уравнение, составить два равенства:

Определим из этих равенств р и д; для этого вычтем их почленно и получим:

Х\—Х2+Р (хг — хъ) = О,

а сокращая на (хг — х2), что возможно, так как хлфх2, будем иметь хг-\-х2 = — р, или

Р- — (*i+*2)-

Подставляя вместо р это значение в первое из предыдущих равенств, получим:

*i2— (*i + *2) *1+? = 0,

откуда следует, что x^x2 = q.

Сумма и произведение корней квадратного уравнения представляют собою пример простейших симметрических функций корней, т. е. таких выражений, в которых хл и х2 можно переставить на место друг друга без изменения величины этих выражений. Можно показать, что и любая симметрическая функция тех же корней уравнения может быть выражена без его решения через р и q. Так, кроме суммы корней (л^ + х2) и произведения их х^х2У симметрическими функциями корней являются: сумма их квадратов, кубов, сумма обратных величин корней и пр., т. е.

Для этих выражений получаем:

7. Те же формулы Виета могут быть использованы для решения различных задач числового характера, в которых требуется найти два числа, если вопрос может быть приведен к выражению связи между их суммою и произведением. Приведем два простых примера:

а) Данное число р разделить на две части так, чтобы их произведение равнялось их сумме, т. е. р.

На основании условия искомые числа хл и х2 должны быть корнями квадратного уравнения х2 — рх-\-р = 0; решая его, будем иметь:

Исследуя это решение, мы видим, что если р положительное и р<4, то корни уравнения будут мнимыми, и задача оказывается невозможной. При р = 4 корни будут

равными, именно: хг = х2 = 2% и, действительно, 2 2 = 2 • 2 = 4. Наконец, при р>4 корни данного уравнения будут действительными, неравными и притом положительными, так как число, стоящее под радикалом, менее р1. Однако в общем случае решения будут иррациональными. Поэтому представляет интерес вопрос о том, какой состав должно иметь число /?, чтобы его можно было разложить на два рациональных числа, сумма которых равнялось бы их произведению. Для решения этого вопроса положим:

Vp=Tp=p — 2t%

где t— некоторое рациональное число. Отсюда:

и, следовательно, р = -— . Тогда xx = t;

Итак, если р имеет вышеприведенный вид, причем t > 1, то оно может быть разложено на два рациональных положительных слагаемых, произведение которых равно самому числу р. Так, полагая t = 2, найдем полученное уже значение р = 4; делая tf = 3, найдем Р = \ и хх = 3; х2 = |- и, действительно, о -|- —= d. -=2~ и т. п.

б) Данное число р разделить на две части так, чтобы сумма их квадратов равнялось их сумме, т. е. числу р. Обозначая искомые части числа р через хг и х2 имеем хг + х2 — =x12-\-xi2; но так как х^+х22^(х1 + х2)2— 2хгх2, то получаем уравнение р=р2 — 2q, где д = хг х2. Отсюда: д = Р ~Р .

Поэтому искомые числа будут корнями квадратного уравнения

Решая его, найдем:

поэтому имеем два корня:

При положительном р эти корни будут действительными только при условии 2 > р. Если р = 2, имеем равные решения хл = 1 и х2 = 1. При р < 2 будем иметь различные решения, в общем иррациональные. Чтобы вывести рациональные значения для р, положим VP(2—p) — pt\ отсюда 2 — p—pt2 и P = TTv-

Подставляя это значение в выражения для хг и лс2, будем иметь:

Так, полагая t = -^ , получим

далее имеем

И, действительно,

8. Приведенные в предыдущих примерах способы для определения условий, когда корни квадратного уравнения будут рациональными, могут быть применены к исследованию общего вопроса о том, когда решения квадратного уравнения будут рациональными. Такого исследования не делается в курсах алгебры; между тем, оно представляет несомненный интерес и легко может быть выполнено следующим образом.

Представляя решение приведенного квадратного уравнения

в виде

где

положим

тогда р'2—д=р'2 — 2/7ï-J-/2, откуда q= = t(2p' — /), или q = t(p — t). Давая здесь числу t произвольные рациональные значения, мы получим сколько угодно значений для q, при которых корни приведенного квадратного уравнения х2 -{-px-\-q = 0 выражаются рациональными числами. Так, при t= \ имеем q=p—1, откуда следует, что уравнение х2 -f -рх 4- р — 1=0, в котором свободный член на 1 менее коэфициента при X в 1-й степени всегда имеет рациональные корни: Xj = —I; х2 = — р + \. Например, уравнения л;2-|-5л:+ 4=0; х2 — 5х—6=0 и т. п. имеют рациональные решения. Полагая же р = 10, a t — — 3, получим q = — 39 и уравнение х2-\-\0х— 39 = 0, причем корни ^=3; х2=—13 рациональны.

Подобным же образом можно вывести условия рациональности корней неприведенного квадратного уравнения ах2-\- Ьх-\- с = 0.

Для этого положим в формуле решения его

где /— некоторое рациональное число. Определяя отсюда число си имеем: Ь'2—ас = = о'2 — 2аЬЧ -\- аЧ2у следовательно: с = = t(2bf— at).

При таком значении с х будет иметь вид:

Придавая в выведенной формуле для с числу t какие-либо рациональные значения, будем получать квадратные уравнения, имеющие рациональные корни. Так, полагая t=\ и t = —1, найдем для с соответствующие значения с=Ь — а и с = — (а-\-Ь), откуда следует, что уравнения

всегда имеют рациональные решения;

Полагая же, например, а = 3, Ь=2 и t = 5, найдем: с= 10 — 75 =— 65, и уравнение примет вид

ЗлгН 2* — 65 = 0.

Решая его, получим действительно рациональные корни:

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОТОГРАФИИ

Проф. К. В. ЧИБИСОВ (Москва)

Приближается 100-летний юбилей существования фотографии : официальной датой обнародования метода получения светописного изображения является 1839 г. С этой датой связаны три события: 1) сообщение Араго в Парижской Академии наук (7 января) о результатах, достигнутых Дагерром; 2) сообщение Тальбота в Лондонском королевском обществе (31 января) о своем изобретении — „фотогеническом рисовании“, и 3) первое упоминание Джоном Гершелем в сообщении Лондонскому королевскому обществу (14 марта) слова „фотография“ в современном понимании. Несмотря однако на сравнительно большой промежуток времени существования фотографии, теоретические успехи ее физического обоснования относятся к последним примерно 25 годам. Такое запоздалое развитие теоретической базы современной фотографии, отразившейся, несомненно, и на ее техническом состоянии, находится в связи с многократными изменениями фотографического метода, предлагавшимися в результате элементарных и чисто случайных эмпирических наблюдений. Различные видоизменения фотографического метода были связаны с поисками более совершенного, в смысле практического применения, процесса. Особенное внимание, естественно, уделялось вопросу о степени светочувствительности тех слоев, на которых получалось фотографическое изображение. Характерно, что фотография начинает свое существование одновременно с двух методов, разработанных независимо друг от друга, причем современная фотография создалась, повидимому, в результате развития изобретения Тальбота, тогда как дагерротипия постепенно теряла свое практическое значение. Характерно также, что толчком к мысли о получении изображения химическим путем было, как в истории открытия Даггера, так и в истории открытия Тальбота, наблюдение оптического изображения.

Таким образом, первый период существования фотографии характеризуется поисками метода, который как наиболее совершенный лег бы в основу практической фотографии. Началом новой эпохи фотографии следует считать введение в практику сначала коллоидной, а затем более совершенной желатиновой фотографической эмульсии. Открытия, наметившие новую эпоху в развитии фотографии, относятся к концу семидесятых и восьмидесятых годов прошлого столетия, причем количественный метод, определяющий возможность точных теоретических исследований, был создан уже на рубеже XX столетия. Отсюда становится понятным заметное

отставание в накоплениях теоретического материала по сравнению с обильными данными фотографической практики, относя сюда не только статическую фотографию, но и динамическую— кинематографию. Основной причиной, послужившей к развитию и углублению фотографической науки за последнее двадцатипятилетие, было применение обобщений и аналогий на базе достижений последних лет в других областях физико-химических знаний. Задачей настоящего сообщения и является общий очерк современного состояния взглядов на физические основы фотографии.

Получение фотографического изображения слагается из ряда связанных между собой процессов, последовательность которых наглядно иллюстрируется прилагаемой схемой, предложенной Джонсом. Полный цикл процессов, в результате которого получается фотографическое изображение, можно разбить на две части, повторяющие друг друга, а именно: на негативный процесс и на позитивный процесс. Сначала фотографируемый предмет проектируется при помощи оптической системы — объектива фотографической камеры — на светочувствительный слой пластинки или пленки, причем время проектирования в зависимости от освещения предмета, светосилы объектива и степени светочувствительности слоя может иногда выражаться долями секунды. Такого короткого промежутка времени оказывается недостаточно для получения сразу видимого изображения. Но его вполне достаточно для образования скрытых, невидимых глазом изменений, которые носят название скрытого (латентного) изображения. После этого светочувствительный слой с содержащимся в нем скрытым изображением подвергается сложной химической обработке — проявлению, фиксированию, промыванию и сушке, в результате которой получается уже видимое изображение, но в первой части цикла фотографических процессов, оно—обращенное, негативное. Повторив эти операции, легко получаем позитивное изображение, которое может быть или на бумаге для рассматривания в отраженном свете или на стекле (на прозрачной пленке) для рассматривания в проходящем свете. Таким образом, получение фотографического изображения сводится к приготовлению светочувствительного слоя, к получению затем на нем скрытого изображения и, наконец, к проявлению, т. е. к превращению скрытого изображения в видимое. Следовательно, для понимания физической сущности фотографии в основном необходимо знать физико-химическую природу светочувствительного слоя и механизм тех превращений, которые дают сначала скрытое, а затем видимое изображение.

Приготовление светочувствительных материалов составляет задачу фотохимической промышленности; эти материалы поступают в продажу в виде фотопластинок, фотопленки (кинопленки) и фотобумаги. Последняя обычно применяется для получения уже позитивного изображения. Перечисленные материалы не имеют принципиального отличия между собой— все они несут на соответствующей подложке собственно светочувствительный слой. Последний получается путем нанесения на подложку фотографической эмульсии, состоящей из желатины и галоидные солей серебра.

Основной частью фотографической эмульсии и являются галоидные соли серебра, т. е. соединения серебра с хлором, бромом или иодом. Негативные фотографические эмульсии, о которых, главным образом, будет итти речь в настоящей статье, состоят из бромистого серебра с примесью иодистого в количестве до 10%. Светочувствительный слой отнюдь не является однородным, сплошной массы слоем, в чем легко убедиться, прибегнув к микроскопу. Он имеет зернистое строение, представляет взвесь чрезвычайно мелких, но отличающихся друг от друга по величине частичек бромистого серебра в желатине; последняя является, с одной стороны, средою, твердо удерживающей эти частички на поверхности подложки, называемые эмульсионными зернами, с другой же — средою, имеющей чрезвычайно важное физико-химическое значение в процессе приготовления эмульсии и проявления слоя. Часто эмульсионные зерна имеют явно выраженное кристаллическое строение, что можно отчетливо наблюдать в микроскоп при очень больших увеличениях, а именно: при линейном увеличении от 1500 до 2500 раз. Наиболее часто встречаются зерна в виде плоских, довольно разнообразной формы табличек, толщина которых в 10 раз меньше диаметра. Такие зерна в виде табличек располагаются при высыхании эмульсионного слоя вследствие особых явлений поверхностного натяжения большей своей поверхностью параллельно поверхности слоя, что имеет, как очевидно, очень важное значение при освещении слоя.

Чтобы составить себе представление о величине эмульсионных зерен, достаточно привести следующие данные: светочувствительный слой в сухом виде имеет в среднем толщину около 0,02 мм; в объеме, отвечающем каждому квадратному сантиметру по-

верхности такого слоя, находятся от 50 до 500 млн. эмульсионных зерен, которые вследствие очень малой толщины располагаются в виде большого числа отдельных наслоений, а именно: в разрезе эмульсионный слой может иметь до 100 элементарных слоев зерен; диаметр зерен колеблется от десятых долей ]х (1 fi = 0,001 мм), до 5 и даже 10 ji; в среднем диаметр зерен высокочувствительных эмульсий равен приблизительно 2 \i. Однако не все эмульсии состоят из зерен с явно выраженным кристаллическим строением; встречаются и такие эмульсии, в которых зерна имеют приблизительно сферическую форму. Но если такие зерна исследовать при помощи рентгеновских лучей, являющихся могучим орудием для распознавания внутреннего строения вещества в смысле относительного расположения составляющих его атомов, то оказывается, что и такие эмульсионные зерна имеют внутреннюю структуру, отвечающую зернам с явно кристаллическим очертанием.

Какая же характерная особенность имеет место во внутреннем строении кристаллического зерна, а также вообще кристалла? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо коротко коснуться схемы строения атомов и тех причин, которые заставляют различные атомы соединяться друг с другом, образуя сложные вещества. По современным взглядам атом любого вещества имеет строение, в миниатюре повторяющее строение солнечной системы; как в последней в центре находится солнце, вокруг которого по различным орбитам (замкнутым путям) вращаются планеты, так и в атоме в центре находится ядро, вокруг которого на различных орбитах вращаются так называемые электроны; центральное ядро несет в себе всю массу атома и имеет положительный электрический заряд; электроны же имеют отрицательный заряд — они являются атомами отрицательного электричества; оказывается при этом, что величина положительного заряда центрального ядра в точности отвечает сумме отрицательных зарядов всех электронов; атомы различных простых веществ имеют различную массу ядра и различное число электронов, которыми определяются различные физические и химические свойства атомов.

Под влиянием тех или иных причин атомы некоторых веществ могут терять электроны, т. е., иначе говоря, один или несколько электронов, в зависимости от природы атома, могут выйти из сферы влияния центрального ядра. Тогда такой измененный атом теряет первоначальные свойства атома простого вещества и превращается в положительно заряженную частицу, которой присвоено название иона; наоборот, атомы других веществ могут воспринимать лишние электроны; в этом случае из первоначального атома возникает отрицательный ион. Такие противоположно заряженные ионы и дают начало образования молекулы (частицы) сложного вещества; в молекуле положительный ион удерживает около себя отрицательный; так, например, в случае бромистого серебра положительный ион серебра соединен с отрицательным ионом брома. Вполне очевидно, что для разложения бромистого серебра на составляющие его атомы необходимо тем или иным способом заставить избыточный электрон из иона брома перескочить к иону серебра, тогда и выделяются нейтральные, а следовательно, свободные атомы серебра и брэма; этот процесс называется восстановлением бромистого серебра до металлического и может быть совершен как непосредственно под действием света, так и под действием проявляющего раствора.

Кристаллические вещества также состоят из ионов, чередующихся между собою и образующих более сложную систему, называемую пространственной кристаллической решеткой; так, в случае бромистого серебра ионы серебра и брома образуют простую кубическую решетку. С внешней стороны кристаллы чистого бромистого серебра, а также эмульсионные зерна, в очень редких случаях имеют форму куба; главным образом, они образуют, как было указано выше, различные, правильных начертаний таблички, что объясняется своеобразными условиями их роста.

Если, к раствору азотнокислого серебра (ляписа) прибавить раствор бромистого калия, то образуется творожистый осадок бромистого серебра, осаждающийся, вследствие нерастворимости в воде, на дно сосуда, в котором производилось смешивание. Если же получение бромистого серебра производить в присутствии желатины, как это делается во время приготовления фотографической эмульсии, то последняя не дает образующемуся бромистому серебру слипаться в компактную массу и оседать на дно; по причине такой защитной роли желатины образуется взвесь мелких зернышек — микрокристаллов бромистого серебра; в этом заключается чрезвычайно важное значение желатины. Приготовленные из такой свежеполученной эмульсии пластинки обладают, однако, незначительной светочувствительностью. Для повышения светочувствительности свежеприготовленную эмульсию выдерживают известное время при определенной температуре; эта стадия приготовления эмульсии называется

созреванием. Процесс созревания фотографической эмульсии как с принципиальной, так и технической стороны распадается на две части. В первой части совершается, главным образом, кристаллизационный процесс, заключающийся в росте микрокристаллов бромистого серебра. Оствальдом и другими исследователями было показано, что рост микрокристаллов происходит вследствие неодинаковой растворимости частиц различной величины: мелкие частицы обладают большей растворимостью, поэтому их вещество, переходя в раствор, служит для роста более крупных частиц. Во второй части процесса созревания происходит повышение светочувствительности, причем это повышение связано с ростом индивидуальной светочувствительности отдельных эмульсионных зерен. Таким образом, получается фотографическая эмульсия, состоящая из микрокристаллов галоидного серебра, окруженных желатиной и обладающих различной светочувствительностью. Следовательно, название .фотографическая эмульсия“ следует считать техническим термином, так как в действительности это не эмульсия, а полидисперсная кристаллизационная суспензия, т. е. взвесь микрокристаллов различной величины в растворе желатины; в воздушно-сухом состоянии это также суспензия, так как желатиновый слой содержит до 10°/п влаги, поэтому его можно рассматривать как очень концентрированный раствор желатины.

Описанное строение светочувствительного слоя имеет чрезвычайно глубокий физический смысл, так как оно является основной причиной возможности получать изображение, т. е. передавать полутоны и контрасты. Эмульсионный слой, в смысле способности запечатлевать отбрасываемое на него оптическое изображение, можно рассматривать как светочувствительный растр, т. е. можно провести аналогию с тем принципом, который используется в автотипии. Этот способ, опубликованный впервые в 1882 г. Мензенбахом и Шмейделем, заключается в том, что изображение разлагается на отдельные точки. На светлых местах эти точки малы и очень редки, в полутонах точки укрупняются и сгущаются и, наконец, совершенно темные места представляют сплошные тени без каких-либо точек. Для осуществления этого способа передачи полутонов необходим так называемый растр, т. е. специально изготавливаемая на стекле очень мелкая сетка из прозрачных и непрозрачных линий или точек; сетка помещается перед плоскостью изображения; тогда небольшой участок последнего, если его увеличить, будет иметь вид, показанный на чертеже 1. В отличие от применяемого в автотипии регулярного растра светочувствительный слой представляет растр иррегулярный, т. е. разложение изображения на отдельные точки осуществляется при помощи незакономерно расположенных эмульсионных зерен, представляющих независимые друг от друга светочувствительные элементы слоя. Однако зернистость фотографического слоя значительно более тонка, чем у автотипного растра, поэтому при изготовлении клише для печати фотографирование через растр производится на обыкновенный светочувствительный слой. Таким образом, получение фотографического изображения основано на том, что в участках более сильного действия света большее число зерен получает способность к проявлению, а следовательно, на негативе этот участок будет более темным.

Специальные исследования показали, что при действии света на фотографический слой

Черт. 1. Схема получения фотографического изображения (по Джонсу). /— субъективное представление объекта в мозгу наблюдателя; //— оптическое изображение освещенного объекта в глазу наблюдателя; ///—объектив отбрасывает изображение объекта на негативный материал; IV— после некоторого определенного времени освещения возникает скрьтое изображение; V—после проявления получается негатив; VI—объектив отбрасывает негативное изображение на позитивный материал; VII—пссле некоторого определенного времени освещения \у возникает скрытое изображение; VIII—г осле проявления получается позитив; IX— освещенный лампой накаливания позитив создает оптическое изображение в глазу наблюдателя; X — субъективнее представление позитива в мозгу наблюдателя.

эмульсионные зерна оказываются независимыми друг от друга; эта независимость имеет место также и в процессе проявления. Следовательно, для раскрытия физической сущности фотографического процесса достаточно рассмотреть механизм поведения индивидуального эмульсионного зерна. Несмотря на очевидную важность вопроса о поведении индивидуальных эмульсионных зерен, он стал предметом исследования лишь в последние годы; честь крупных достижений в этом направлении принадлежит главным образом английским и американским исследователям.

Микрофотографическим путем легко показать, что процесс проявления отдельных зерен, подвергнутых короткому освещению, начинается не равномерно по всему зерну, а с отдельных точек, так называемых центров проявления. Картина начальной стадии этого процесса аналогична тому, что наблюдается при видимом фотохимическом разложении зерна под действием сильного света, т. е. отложение металлического серебра под действием света, так же как в процессе проявления, начинается в некоторых, разбросанных в зерне по закону случая, точках. Центры проявления отнюдь не образуются под влиянием только проявляющего раствора, они присутствуют в зерне до его действия. Применением оригинального статистического приема шведский исследователь Сведберг доказал, что центры проявления расположены на поверхности эмульсионных зерен.

Указанные особенности вместе с некоторыми явлениями химического воздействия на эмульсионные зерна выдвинули предположение, что последние обладают неоднородностью в своем внутренном строении и что эта неоднородность и есть одна из основных причин их большой светочувствительности. Неоднородность эмульсионного зерна по современным взглядам объясняется тем, что в его пространственную кристаллическую решетку, составленную, как было указано выше, из ионов серебра и ионов брома, включено в ничтожных количествах инородное вещество — металлическое или сернистое серебро. Эти включения играют роль сенсибилизирующих (увеличивающих фотографическую чувствительность) ядер, около которых сосредоточивается как действие света, так и действие различных химических веществ. Включение инородного вещества в пространственную кристаллическую решетку зерна осуществляется во время созревания эмульсии, когда оформляются фотографические свойства путем совместной кристаллизации бромистого серебра с веществом, составляющим сенсибилизирующие ядра.

Прежде чем однако рассматривать физико-химическую роль сенсибилизирующих ядер при образовании скрытого изображения, т. е. прежде чем рассматривать механизм фотографической чувствительности, мы рассмотрим сначала, из чего состоит скрытое изображение. Очевидно, этот вопрос сводится к рассмотрению различия между измененным и неизмененным эмульсионным зерном, так как скрытое изображение состоит из измененных светом зерен, обладающих вследствие этого способностью к проявлению.

Если на фотографический слой действовал световой поток достаточно продолжительное время, то образуется сразу видимое глазом потемнение, которое вызвано отложением металлического серебра. Следовательно, под действием света бромистое серебро способно разлагаться на составляющие его элементы. Так как видимое потемнение, получаемое при продолжительном освещении слоя, вызывается металлическим серебром, то нет никаких оснований отвергать возможность фотохимического выделения серебра при образовании скрытого изображения и считать что механизм образования скрытого изображения должен быть существенно отличным от механизма выделения серебра при длительном действии света. Разница того и другого случая, повидимому, только количественная; при коротком действии света изображение остается скрытым только потому, что выделенное металлическое серебро образует ничтожную концентрацию. Можно подсчитать, что на площади в 1 кв. см обычного светочувствительного слоя находится в среднем 5.1018 молекул бромистого серебра, а так как при нормальной выдержке 1 кв. см сюя поглощается примерно ЗЛО11 квантов света и, следовательно, по закону фотохимической эквивалентности выделяется такое же количество атомов серебра, то отсюда ясно, что один атом серебра будет приходиться на 2.107 молекул бромистого серебра.

Гипотеза о выделении свободного металлического серебра при образовании скрытого фотографического изображения была впервые высказана Гутри в 1850г., но только в 1930г., в результате блестящих исследований Поля— физика из Геттингена—и его сотрудников, эта гипотеза получила прямое экспериментальное доказательство. Поль производил исследование фотохимического разложения в кристаллах на примере галоидных солей щелочных металлов, кубические кристаллы которых, обладая более простым строением,

были им использованы в качестве модели. Свое исследование Поль вел двумя путями— оптическим и электрическим. Первоначально он исследовал светопоглощение в кристаллах галоидных солей щелочных металлов и показал, что картина спектрального поглощения не зависит от природы металла. Это обстоятельство указывает, что кванты света поглощаются ионами галоида. Область по! лощения бесцветных, прозрачных кристаллов этих солей лежит в крайней коротковолновой ультрафиолетовой части спектра; например, в случае бромистых солей порог поглощения находится в области с длиною волны около 200 jjijx. Если осветить кристалл бромистой соли указанными лучами более или менее продолжительное время, то такой кристалл делается окрашенным; следовательно, происшедшие под действием света изменения являются причиной появления новой полосы поглощения уже в длинноволновой, видимой части спектра. По характеру этого поглощения можно установить, что оно вызвано выделившимися под действием света атомами металла. Количество фотохимически образовавшихся свободных атомов металла настолько однако мало, что оно не поддается определению при помощи химического анализа и обнаруживается только оптическим путем. Если теперь подействовать на такой окрашенный кристалл светом с длиной волны, соответствующей его новой полосе поглощения, то окраска исчезает, и кристалл принимает первоначальное состояние. При очень коротком действии ультрафиолетового света можно получить невидимое изменение кристалла, т. е. нечто, подобное скрытому изображению, причем обнаружить его можно электрическим путем. Поль описал следующий опыт, который настолько показателен, что может применяться как лекционный опыт: с двух противоположных сторон кристаллической пластинки, например из бромистого калия, наносится путем возгонки тонкий слой золота, который используется в качестве электродов, и кристалл вводится в цепь электрометра. Если с одной стороны действовать ультрафиолетовым светом, то электрометр не обнаруживает никакого изменения; если при этом время освещения было очень коротко, то не наблюдается также никакого видимого изменения кристалла. Если теперь заставить с другой стороны падать на кристалл интенсивный красный свет, который, как было указано, разрушает первоначальное фотохимическое изменение, то электрометр обнаружит электрический ток, хотя первоначальное изменение и было чрезвычайно мало.

Механизм описанного явления, согласно современным представлениям, сводится к следующему: при действии ультрафиолетового света поглощение каждого кванта ионом брома сопровождается освобождением с него лишнего электрона, который перескакивает на ион калия, и, таким образом, выделяются свободные атомы калия и брома. Так как электрометр не обнаруживает при этом электрического тока, то, следовательно, приходится предполагать, что перескакивание электрона при первичном фотохимическом процессе происходит на соседний ион калия. При действии красного света поглощение осуществляется атомами калия, причем поглощение каждого кванта сопровождается обратным освобождением электрона, который пробегает однако некоторый путь, прежде чем он осядет на атоме брома,—на это указывает возникающий электрический ток. Неясным в описанном процессе остается вопрос о причине длительного сосуществования свободных атомов калия и брома, которые обладают большим химическим сродством друг к другу. Выделяющийся под действием света металл может оставаться в кристалле не только в атомарном состоянии: несколько атомов могут соединяться между собой, образуя ультрамикроскопические частицы,— на это будет указывать цвет окрашенного кристалла.

Аналогичная картина имеет место при действии света в каждом микрокристалле фотографической эмульсии — следовательно, первичный фотохимический процесс заключается в перескоке электрона с иона брома на ион серебра; эта работа совершается за счет лучистой энергии, причем производят ее лишь те кванты, которые способны поглощаться ионами брома. Однако, если бы образование скрытого изображения ограничивалось только этим процессом, то едва ли была бы возможность получать эмульсии с тем огромным различием в фотографической чувствительности, которая может быть достигнута в производстве. Для физического объяснения указанной особенности галоидо-серебряных эмульсий характерным является тот факт, что при резком различии в фотографической чувствительности, определяемой после проявления, практически не наблюдается разницы в распределении чувствительности по спектру. Это обстоятельство указывает, что механизм первичного фотохимического процесса остается неизмененным, следовательно, изменение фотографической чувствительности совершается в результате вторичного процесса. Как указывает ряд экспериментальных данных, причиной этого

процесса являются сенсибилизирующие ядра, на которых оседают (коагулируют) атомы или частицы металлического серебра, образуя, таким образом, центры, вызывающие начало процесса проявления. Так как центры проявления образуются на месте сенсибилизирующих ядер, то, следовательно, фотографическое значение имеют лишь те ядра, которые расположены на поверхности эмульсионных зерен. Причина активности только поверхностных сенсибилизирующих ядер и центров проявления вполне понятна: сенсибилизирующие ядра дают начало образованию центров проявления, последние же сообщают зерну способность к проявлению, а так как процесс проявления есть восстановление бромистого серебра эмульсионного зерна в металлическое, то совершенно очевидно, что этот процесс должен начинаться с поверхности соприкосновения твердого вещества с проявляющим раствором. Современные данные о механизме процесса проявления, разрабатываемые А. И. Рабиновичем, подтверждают

описанное представление; эти данные указывают, что процесс проявления начинается с удерживания (абсорбции) на металлическом серебре, составляющем центры проявления, молекул восстановителя; в результате этого во много раз повышается концентрация восстанавливающего вещества, что дает возможность начаться восстановительному процессу, который и превращает скрытое изображение в видимое. В заключение необходимо указать, что инороднее включение в эмульсионном зерне будет только в том случае играть роль сенсибилизирующего ядра, если оно перейдет некоторую критическую величину: то же самое относится и к центру проявления — сенсибилизирующее ядро превращается в центр проявления при условии достижения им определенной критической величины, т. е. только в том случае, если на нем отложится достаточное число атомов серебра. Вопрос о размерах как сенсибилизирующего ядра, так и центра проявления остается в настоящее время пока открытым.

МАГНИТНАЯ ДЕФЕКТОСКОПИЯ МЕТАЛЛОВ

Научн. сотр. Е. ОСТРОВСКИЙ (Москва)

Предлагаемый вниманию читателя ряд практических схем магнитной дефектоскопии, т. е. способов нахождения дефектов и браковки металлов, способов основанных на изменении той или иной его магнитной характеристики, в своем наиболее простом виде с успехом может быть продемонстрирован в физическом кабинете даже при относительно скромном оборудовании.

Чрезвычайно простыми опытами может быть дано понятие о возможных практических применениях группы остроумных методов дефектоскопии — методов, вращающихся в кругу известных физических явлений.

При демонстрациях с рентгеновской трубкой принято останавливаться на возможностях метода просвечивания, переходя от его применения в целях медицины к его роли в технике испытания качества материалов.

Точно так же в главе о спектрах подчеркивается роль и значение спектрального анализа в распознавании присутствия того или иного элемента.

Между тем, при изучении глав электромагнитной индукции и электромагнетизма совершенно отсутствует идея практического применения „аномалий магнитного потока“, вызванных внесенным в магнитное поле ферромагнитным материалом, который служит уже не просто сердечником, а испытуемым объектом.

Принципы магнитного анализа находят в последние годы большое количество применений при качественном и количественном анализе металлов. Определение всевозможных дефектов внутри ферромагнитного металла: трещин, раковин, газовых пор, мест с неодинаковой твердостью и т. д.,—эта сторона применений роднит его с рентгеновским методом просвечиваний.

Применение магнитного анализа при испытании материала на углерод и некоторые другие примеси, имеет известную аналогию со спектральным анализом или, еще ближе, из области химии — с химическим анализом.

На практике наиболее часто для испытания качества материала применяются химический и микроскопический способы. Эти классические методы имеют, при всей своей точности, один существенный недостаток, от которого в значительной степени свободен магнитный метод.

Недостаток заключается в том, что эти способы предполагают при испытании разру-

шение данного образца. Очень часто, однако, требуется испытать материал или готовое изделие так, чтобы оставить его в абсолютно неизмененном виде. В этом случае приходится обращаться к двум сравнительно молодым способам — рентгеновскому методу просвечиваний металлов и магнитному.

Понятно, что приемы магнитного анализа могут быть применены в таких материалах, которые способны к проявлению магнитных свойств, т. е. в первую очередь к ферромагнитным металлам.

Конечно, это несколько суживает область применения магнитного анализа, который в силу этого не столь универсален, как рентгеновский метод. Однако, если учесть экономичность и экспериментальную простоту ряда методов магнитной дефектоскопии и в то же время вспомнить значение в народном хозяйстве черных металлов, к которым в данном случае следует отнести: железо, различные сорта сталей, чугун, никель, кобальт и др., то значение магнитного анализа никак нельзя недооценивать.

В Америке приемами магнитного анализа пользуются уже около 20 лет для испытаний и браковки материалов и изделий. В последнее время ряд новых подобных способов дала Германия.

У нас в Советском союзе разработано несколько приемов магнитного анализа для ряда конкретных случаев. Так, например, в Институте Транспортной Электротехники сконструирован прибор для определения скрытых трещин в осях железнодорожных вагонов. В Государственном Физико-Техническом Институте произведена работа, в результате которой разработан метод, позволяющий находить поверхностные трещины в изделиях формы бруса постоянного сечения.

Черт. 1.

Ряд методов дан также Всесоюзным электротехническим институтом.

МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА НАБЛЮДЕНИИ АНОМАЛИЙ В МАГНИТНОМ ПОТОКЕ ИСПЫТУЕМОГО МАТЕРИАЛА ИЛИ ГОТОВОГО ИЗДЕЛИЯ

При передвижении в магнитном поле замкнутого контура в последнем возбуждается электродвижущая сила всякий раз, как происходит либо изменение магнитного потока, либо проводник меняет скорость своего движения и, таким образом, в равные промежутки времени перерезывается различное число магнитных силовых линий.

Поместим в намагничивающую катушку с протекающим током сердечник из испытуемого материала: образец намагнитится. Наденем теперь непосредственно на тело образца маленькую катушку, соединенную с прибором, регистрирующим ток — гальванометром. Передвигая равномерно нашу катушку вдоль сердечника, мы будем каждую секунду перерезать одно и то же количество силовых магнитных линий, при условии, если наш сердечник однороден на всем протяжении (черт. 1).

В этом случае изменения магнитного потока происходить не будет, и гальванометр будет стоять на нуле.

В тех случаях, когда токовую (намагничивающую) катушку надеть непосредственно на сердечник невозможно, употребляют схему, изображенную на чертеже 2.

Как видно из чертежа, к испытуемому сердечнику дополнительно присоединяется железное ярмо с навитой на него токовой обмоткой. Контур, соединенный с гальванометром (искательная катушка), скользит вдоль испытуемого объекта. При этой схеме так же, как и в первом случае, до тех пор пока нет изменения магнитного потока, гальванометр при движении катушки стоит на нуле. Тока в контуре нет. Но если внутри испытуемого образца имеется какой-либо дефект (например трещина, пустота и т. д.), то катушка, проходя через это место, попадает в область с другой плотностью магнитного потока

Таким образом, в месте дефекта (хотя бы в виду существования воздушных промежутков) движущийся контур пройдет через область с меняющимся магнитным потоком. Поэтому в нем должна возникнуть в этот момент электродвижущая сила. Таким образом, стрелка гальванометра в момент прохождения катушки через место дефекта даст отброс,

указав на присутствие кратковременного импульса тока.

Графически показания гальванометра на всем протяжении образца изобразятся кривой, помещенной внизу чертежа 2. Конечно, подобная кривая является идеальной для случая абсолютно равномерного намагничивания образца на всем протяжении.

Когда намагничивание производят переменным током, то ярмо приготовляют из листового железа (чтобы уничтожить действие могущих возникнуть в ярме из сплошного материала токов Фуко). При намагничивании постояннным током ярмо может быть сделано из сплошного же!еза.

Совершенно очевидно, что поперечная и продольная трещины в материале должны дать при подобной схеме совершенно различный ход в кривых отклонения гальванометра.

В то время как поперечный дефект, направленный перпендикулярно к магнитному потоку, вызывает резкое изменение магнитного потока и, следовательно, столь же резкий отброс гальванометра (см. левые кривые черт. 3), продольная трещина вызовет слабое изменение магнитного потока и, следовательно, практически слабое отклонение гальванометра.

Таким образом, уже из сказанного видно, что определение продольных трещин оказывается делом гораздо более сложным, чем поперечных.

Для испытания продольных трещин придется (если пользоваться подобным методом) использовать поперечное намагничивание. Для этого нужно приспособить ярмо так, чтобы даваемое им магнитное поле было перпендикулярно к продольной оси образца.

ИСПЫТАНИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫХ РЕЛЬСОВ

В рельсах, бывших в употреблении, с течением времени могут появляться различные внутренние трещины и разрывы. Эти трещины не видны снаружи и потому оказываются подчас чрезвычайно опасными. Так, например, при одном крушении поезда в Северной Америке был обнаружен разрушенный на много кусков рельс; при этом в каждом куске оказались скрытые до этого внутренние трещины. Благодаря дефектам этого рельса и произошло крушение поезда. Образование трещин на линии происходит постепенно ввиду непрерывных ударов о рельсы массивных колес проходящих поездов.

При этом могут образовываться самые разнообразные виды трещин.

На снимках показаны различные возможные виды трещин — поперечные, продольные и лучевые (черт. 4).

Черт. 2.

Черт. 3.

Если требуется испытать свободный рельс (не непосредственно на железнодорожной линии), то это можно сделать следующим образом.

Черт. 4.

Как видно из чертежа 5, испытуемый рельс кладется на две железных колоды, в свою очередь лежащие на втором дополнительном рельсе. Таким путем осуществляется замкнутая магнитная цепь.

Черт. 5.

Затем непосредственно на рельс надевается искательная подвижная катушка, а поверх нее—намагничивающая катушка, через которую пропускается постоянный намагничивающий ток.

Если рельс здоровый, то при равномерном передвижении искательной катушки (соединенной с гальванометром) вдоль рельса, мы не получим отклонения гальванометра. Если же в нем имеются скрытые трещины или раковины, то по величине и характеру отброса стрелки гальванометра можно судить о размерах, виде и местонахождении трещины.

Поперечные трещины будут давать сильное и быстрое отклонение стрелки; продольные — более слабое и длительное.

Черт. 6.

Отклонение можно регистрировать и фотографическим путем, и, таким образом, в несколько минут испытать 15-метровый рельс на все дефекты и неоднородности.

При испытании рельсов непосредственно на железнодорожной линии вложить рельс в намагничивающую обмотку невозможно и поэтому приходится применять вышеописанную схему с дополнительным ярмом (см. черт. 2).

Для подобного передвижного контроля на расстоянии может быть применен особой конструкции дефектоскоп.

Черт. 7.

Как видно из рисунка (черт. 6) замыкающим ярмом исследуемого участка рельса служит электромагнит, на котором и расположена намагничивающая обмотка.

Искательная катушка облегает верхнюю часть рельса и при передвижении всей установки скользит вдоль него. Наблюдатель, сидящий на стуле, следит за отклонением гальванометра по световому зайчику на матовом стекле и наносит эти отклонения на движущуюся бумажную ленту.

Конечно, такую отметку можно произвести и путем фотографирования.

Если наблюдатель заметил существенный дефект, то автомотрисса может быть остановлена, и данный участок рельса может быть исследован более детальным образом.

Типичные кривые, полученные этим методом, изображены на чертеже 7.

ПОНДЕРОМОТОРНЫЙ ИСКАТЕЛЬ ДЕФЕКТОВ

Конструкция этого прибора, усовершенствованного в измерительном отделе ВЭИ, весьма проста. На конце стрелки укреплен якорь, составленный из пакетика листовой трансформаторной стали. Стрелка посажена на оси с агатовыми подпятниками. Другой конец стрелки, при ее повороте, дает контакт с сигнальной цепью. В нормальном положении стрелка удерживается посредине при помощи двух пружинок.

При испытании прибор ставят таким образом, чтобы направление магнитного потока было перпендикулярно стрелке. В таком положении прибор передвигается вдоль испытуемого образца (еще лучше, дабы избежать механических сотрясений, если прибор не подвижен, а передвигается образец).

Когда прибор проходит мимо дефектного места, на пучок трансформаторной стали действуют силы притяжения, вызванные наличием здесь потоков рассеяния, что вызывает двойное отклонение стрелки (сначала в направлении движения, затем в обратном). Одновременно с этим противоположный конец стрелки последовательно замыкает контакты, и при помощи промежуточного реле зажигается сигнальная лампа или делается отметка регистрирующего прибора.

Недостатки этого метода: поверхность испытуемого предмета должна быть ровной, иначе на прибор будут действовать потоки рассеяния, вызванные несущественными поверхностными неоднородностями; большая чувствительность прибора к механическим сотрясениям.

СПОСОБ, ОСНОВАННЫЙ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ ЯВЛЕНИЯ „СКИН-ЭФФЕКТА“

Те способы намагничивания, которые осуществлялись до сих пор путем намагничивания образца навитыми на него витками с пропускавшимся через них током,—такой способ создавал продольное намагничивание образца (вдоль его длины).

Можно, однако, осуществить и поперечное намагничивание данного образца. Для этого достаточно, чтобы наш стержень был использован в качестве проводника. Пропустив через него ток вдоль его длины, мы создадим магнитное поле вокруг него (и внутри него), направленное в перпендикулярном направлении к его длине.

Если по ферромагнитному проводнику протекает постоянный электрический ток, то никаких дополнительных явлений (по сравнению с неферромагнитными металлами, например, медью), помимо самого факта поперечного намагничивания образца, не происходит.

Если же вдоль железного или стального проводника течет переменный электрический ток, то в нем возникает в резко выраженной форме явление так называемого поверхностного эффекта или, иначе, скин-эффекта. Явление это особенно сильно сказывается у ферромагнитных материалов; у неферромагнетиков (например меди) оно значительно слабее и практически начинает сказываться только при более высоких частотах. При обычной же частоте в 50 периодов для неферромагнетиков этим эффектом можно пренебречь.

Скин-эффект заключается в том, что токонесущим оказывается не все сечение проводника, а только часть его. Провод становится как бы „тоньше“, и благодаря этому его электрическое сопротивление повышается. При использовании железа в качестве материала для железных проводов это явление оказывается чрезвычайно вредным и его всеми возможными способами стремятся уменьшить.

В магнитной же дефектоскопии это явление может быть использовано с большой выгодой для обнаружения скрытых трещин в испытуемом материале. Если вдоль исследуемого объекта пропускать электрический ток, и если его материал однороден на всем протяжении, то на равных участках будет получаться одинаковое падение напряжения. Если же имеются на каком-либо участке дефект или местная неоднородность материала, то падение напряжения окажется другим по сравнению с здоровым участком оси.

Однако с постоянным током здесь не удалось бы получить удовлетворительных результатов ввиду того, что он течет по всему сечению, и полученная разница оказалась бы ничтожной.

Другое дело получается, если использовать переменный ток относительно высокой частоты (порядка 1000 периодов). В этом случае в результате скин-эффекта ток течет в слое порядка 1,5 мм, или, грубо говоря, по поверхности.

Если на пути течения тока встречается трещина, то току приходится ее огибать. Путь, пройденный током между двумя точками больного участка, значительно удлиняется, и

Черт. 8.

разность потенциалов между ними становится значительно больше. Таким образом, здесь явление скин-эффекта приходит нам на помощь в вопросе испытания на дефекты. Нижеописанный способ для испытания вагонных осей, основанный на использовании явления скин-эффекта, был разработан в ГФТИ в Ленинграде.

Наиболее простая схема для испытания вагонной оси по такому способу показана на чертеже 8.

Вдоль исследуемой оси пропускается 1000-периодный переменный ток порядка 100—200 ампер. Требуемая сила тока получается, трансформируя (через понижающий трансформатор) ток, даваемый 1000-периодной машиной.

При такой установке разность потенциалов на концах оси получалась порядка 6—9 вольт. Если присоединять к двум участкам оси четыре острия, соединенных, как показано на чертеже 8, к гальванометру с термопарой (или к телефону), то, очевидно, что токи, поступающие в гальванометр (или телефон) от каждого из этих участков, будут всюду создавать на клеммах индикатора тока электродвижущие силы, противоположно направленные.

Если оба участка здоровые, то при равной их длине ток через гальванометр не пойдет; если в одном имеется трещина, то при глубине ее порядка 5 мм и длине участков в 15 мм разница между электродвижущими силами на клеммах индикатора может достигать 30%.

Принимая во внимание, что колебания в цепи городского тока, в среднем, равны 3—5%, мы получаем величину, которую можно учесть.

Описанная схема имеет то неудобство, что сопротивления контактов между осью и остриями нельзя сделать в точности одинаковыми (вследствие неровности оси). Ввиду этого и при отсутствии дефекта в контрольной цепи гальванометра может протекать некоторый ток.

В более точных схемах, основанных также на использовании скин-эффекта, измеряемое падение напряжения от участка на оси через усилитель подается на сетку катодной лампы.

ИСПЫТАНИЕ ПО МЕТОДУ МАГНИТНЫХ ОПИЛОК

Этот способ основан на том обстоятельстве, что в местах дефектов (в трещинах) испытуемого материала образуются при намагничивании магнитные полюса. Магнитный поток в месте дефекта как бы „выпирает“ наружу.

Черт. 9.

Поэтому, если кусок стали, который хотят испытать на отсутствие дефектов, сначала намагнитить и затем внести в масляную баню, содержащую тонко измельченные опилки, то последние будут ложиться там, где имеются полюса, т. е. на трещинах.

Этим способом можно обнаружить трещины, не видимые простым глазом.

На чертеже 9 показано практическое осуществление этого метода при испытании большого куска стали, который при охлаждении получил трещины. Так удавалось найти трещины, лежащие на 3 мм и более внутри поверхности.

Если материал — закаленный (сталь), то достаточно остаточного намагничивания, так как после намагничивания кусок стали становится постоянным магнитом.

Этот способ был использован американцами при браковке зубчатых колес.

Делались также попытки применять этот метод для изучения качества сварных швов. Спектры железных опилок доброкачественного нормального шва и плохого оказываются неодинаковыми.

Исследования эти, однако, еще не вышли из рамок лабораторных исследований и, таким образом, в вопросах сварки рентгеновский метод пока еще более действителен.

По способу, предложенному Ру, испытуемый шов помещается между полюсами электромагнита. Шов покрывается белой бумагой и посыпается из пульверизатора опилками. В пустых местах, вследствие образования магнитных полюсов, опилки собираются и, таким образом, дают очертания полых мест в месте сварки.

Весьма удачно применяется метод опилок также для исследования деталей сложной формы (например коленчатые валы).

Часто достаточно бывает провести по намагниченной испытуемой детали тонкой наждачной бумагой, как получившиеся опилки начнут собираться вокруг микротрещин.

ЭНЕРГИЯ СОЛНЦА И ЗВЕЗД И ЕЕ ИСТОЧНИКИ

Проф. П. ПОПОВ (Москва)

Изучение Солнца, его энергии и источников ее имеет большое значение по одному тому, что вся жизнь, все явления на Земле почти исключительно зависят от той энергии, которую получает Земля от Солнца. Смена времен года, различие климатов, все движения в земной атмосфере и океанов — результаты превращения солнечной энергии. Солнечные лучи производят круговорот воды на земном шаре. Возникновение, развитие и поддержание органической жизни на Земле было бы невозможно без солнечной теплоты и света. В настоящее время практическая значимость изучения процессов, происходящих на Солнце, не ограничивается только указанными общеизвестными явлениями. Установление связи периодических колебаний солнечной деятельности с погодой ставит вопрос о возможности предсказания погоды таким путем на долгие сроки. Влияние солнечных лучей на земную атмосферу сказывается на изменении состава воздуха, на его прозрачности, слышимости радиосигналов и т. д. Сравнение солнечного излучения в различных местностях позволяет судить о возможности разведения различных сельскохозяйственных культур. Наконец, исчерпаемость тех энергетических ресурсов, которые в настоящее время, главным образом, используются в технике (уголь, нефть), и малая доля первоначальной солнечной энергии, доходящей через них до нас, выдвигают проблему непосредственного использования солнечной энергии. Все эти вопросы имеют особое значение для социалистического строительства в нашей стране. Поэтому у нас создана специальная комиссия по проблеме „Земля — Солнце“ для объединения и координирования работы астрономических и географических учреждений по изучению круга вопросов о связи между явлениями на Земле и Солнце и об использовании добытых наукой данных на службе социалистического хозяйства.

Но наряду с этим, непосредственно практическим значением, изучение деятельности Солнца важно и с научной стороны. Солнце представляет собою одну из звезд, вблизи которой мы находимся и можем наблюдать различные процессы, недоступные изучению на звездах, вследствие их отдаленности. Это важно не только в том отношении, что дает нам много для более полного представления о звездной вселенной, но и с общей точки зрения — изучения материи и ее движения. Для пояснения этого приведем слова известного космогониста Джинса из его статьи „Современное развитие космической физики“: „Для астронома-физика каждая отдельная звезда — целая физическая система. Это тигель, в котором материя подвергается действию температур и давлений, совершенно недоступных земному физику. Исследуя излучение звезд, астрофизик пытается ра-

зобраться в физическом строении, открыть источник их энергии и понять механизм, посредством которого энергия переносится к поверхности звезд, разрежаясь затем в пространство в виде излучения. Таким путем есть надежда узнать о таких свойствах материи, которые недоступны земному физику, в силу ограниченности пределов физических условий, находящихся в его распоряжении. Конечная цель астрофизики — слить космическую физику с земной так, чтобы получилась всеобъемлющая наука“. Вот в разрешении этой задачи первостепенную роль и играет изучение энергии Солнца как одной из звезд. Нам важно поэтому, прежде всего, составить себе представление об общем количестве лучистой энергии Солнца, его изменении, запасах энергии и их пополнении.

ИЗМЕРЕНИЕ СОЛНЕЧНОЙ ЭНЕРГИИ

Мы можем судить об общем количестве излучаемой Солнцем энергии по той ее доле, которую мы получаем на Земле. Рассмотрим сначала ту часть лучистой энергии Солнца, которую мы воспринимаем как свет. Ее значение весьма важно для сельского хозяйства, так как именно энергия солнечного света, преобразуясь в хлорофиле растений, идет на процессы их дыхания и питания. Было измерено освещение, производимое Солнцем в зените в тропическах странах, и найдено, что оно равно 103 000 люксов, т. е. Солнце в зените освещает горизонтальную поверхность (перпендикулярную к солнечным лучам) так же, как 103 000 международных свечей с расстояния 1 м.

Если же учесть поглощение лучей в земной атмосфере, то это число доходит до 135 000 люксов. Так как Солнце находится от Земли на расстоянии не 1 м, а 149 500 000 000 л и освещенность изменяется обратно-пропорционально квадрату расстояния, то сила света Солнца должна быть равна 135 000. 149 500 000 0002 =9,02 1027 международных свечей.

Разделив это число на площадь поверхности солнечного диска (радиус Солнца = = 695 550 км= 109,05 экваториальных радиусов Земли), найдем, что каждый квадратный сантиметр поверхности Солнца светит, как 200 000 международных свечей. Эти числа уже дают представление об огромной мощности солнечного излучения. Но к более интересным результатам приводит изучение тепловых действий лучистой энергии Солнца. Дело в том, что общим для всех лучей свойством является их способность без остатка и наиболее легким способом трансформировать свою энергию в энергию тепловую, что происходит при падении лучей на поверхность абсолютно черного тела.

За меру лучистой энергии, приходящей к нам от Солнца, принимают так называемую солнечную постоянную, т. е. количество теплоты, получаемое в одну минуту у предела земной атмосферы одним квадратным сантиметром поверхности, перпендикулярной к солнечным лучам. Опытное определение солнечной постоянной было бы очень просто, если бы Земля не была окружена атмосферой и по своим свойствам представляла абсолютно черное тело. В действительности задача измерения солнечной постоянной распадается на две части: во-первых, надо измерить при помощи специального прибора, имеющего черную поверхность, количество теплоты, получаемое на поверхности Земли; во-вторых, учесть влияние земной атмосферы, которая поглощает часть проходящей через нее лучистой энергии.

Приборами, служащими для измерения солнечной теплоты, являются актинометры, или пиргелиометры (от греческих слов пир— жар, гелиос — солнце). Простейший из них представляет наполненную водой тонкостенную металлическую коробку, серебряное дно которой вычерчено и в которую вставлен точный термометр. Измерение ведется калориметрическим способом и состоит в том, что прибор то выставляют на Солнце зачерненным дном перпендикулярно к лучам, то закрывают его от солнечных лучей, все время отсчитывая температуру воды по термометру. Таким образом, зная массу воды в коробке и учтя потерю теплоты прибором в окружающий воздух, можно вычислить число калорий, полученных дном коробки от Солнца. В других приборах, как пиргелиометр Онгстрема, используется электрический ток для измерения количества теплоты. К нижним сторонам двух одинаковых зачерненных металлических пластинок прикреплены спаи термоэлектрического элемента, в цепь которого включен гальванометр. Одна из этих пластинок подвергается действию солнечных лучей, другая, будучи затенена, включается в цепь батареи аккумуляторов с реостатом и амперметром. Реостатом регулируется ток так, чтобы обе пластинки были нагреты одинаково (одна— солнечными лучами, другая — током), что обнаружится отсутствием тока в термоэлементе. Количество теплоты определяется на основании закона Джоуля—Ленца. Значительным распространением пользуется так называемый биметаллический актинометр Михельсона. Здесь солнечные лучи падают на тонкую

пластинку, представляющую полоску из двух различных металлов (платина — медь). Вследствие различия в коэфициентах расширения металлов пластинка изгибается, величина изгиба наблюдается в микроскоп по перемещению тонкой кварцевой нити, прикрепленной к свободному концу пластинки, и дает меру количества теплоты, полученной от солнечных лучей.

Определение влияния земной атмосферы представляет большие трудности. Поглощение лучей в атмосфере зависит от высоты Солнца над горизонтом и, кроме того, лучи различной длины волны поглощаются земной атмосферой различно. Следовательно, одновременно с пиргелиометрическим измерением общего количества солнечной энергии необходимо определять сравнительную интенсивность лучей различной длины волны. Для этого солнечный свет разлагают спектроскопом и интенсивность излучения в различных частях спектра измеряют болометром, впервые осуществленным Ланглеем.

Для учета этого влияния служит формула Бугэ: У— yj)secz', где У— измеренная интенсивность солнечного излучения, У0 — интенсивность солнечного излучения за пределами земной атмосферы, z —зенитное расстояние солнца, р — коэфициент прозрачности земной атмосферы. Величина У измеряется пиргелиометром. Для определения У0 и р надо иметь два уравнения, т. е. определить Упри двух различных зенитных расстояниях.

Главными частями болометра являются спектрометр, все оптические части которого изготовлены из прозрачных для всех лучей материалов, и две очень тонкие вычерненные платиновые полоски, составляющие две ветви мостика Уитстона. При одинаковых температурных условиях для полосок гальванометр мостика остается на нуле. Но если одну из полосок поместить поперек солнечного спектра, полученного в спектрометре, а другую оставить в тени, то первая полоска нагревается, ее сопротивление увеличивается, и по величине отклонения гальванометра можно измерить падающую в месте полоски солнечную энергию. Передвигая полоску болометра вдоль всего спектра и регистрируя отклонения гальванометра, определяем распределение энергии вдоль солнечного спектра. Применяются также, преимущественно для ультрафиолетовых лучей, актинометры, основанные на фотоэлектрическом эффекте, который состоит в том, что поверхность некоторых металлов (натрий, кадмий, цинк и др.) под действием лучей, преимущественно с короткой длиной волны, испускает электроны.

Измеряя получающийся таким образом ток, можно судить об интенсивности лучей в данном участке спектра. На этом основано устройство распространенных у нас фотоэлектрических актинометров конструкции проф. H. Н. Калитина.

Сложность учета ослабления лучистой энергии в атмосфере обусловливается тем, что оно происходит в результате влияния ряда факторов — поглощения и рассеяния (отражения) молекулами постоянных газов атмосферы, водяными парами, содержание которых меняется, тем или иным присутствием пыли и мглы. Приходится подсчитывать потери, вызываемые действием каждого из указанных факторов. Начатые Ланглеем работы продолжаются в настоящее время в США под руководством Аббота, а у нас в СССР над определением солнечной постоянной проводились работы проф. H. Н. Калитиным в Павловске (близ Ленинграда).

Из 3500 наблюдений, произведенных в течение 1902—1924 гг., мы имеем среднюю величину солнечной постоянной 1,938 —— . J 1 см* мин

Это значит, что каждый квадратный сантиметр поверхности, перпендикулярный к солнечным лучам на Земле, получал бы от Солнца в каждую минуту почти 2 малых калории. Пользуясь механическим эквивалентом теплоты, мы можем энергию, приходящую к нам от Солнца, выразить в механических единицах: 1 см2 получает от Солнца 1,35-106 эргов в секунду. Выражая в технической системе единиц, мы получим, что мощность солнечного излучения, падающего на 1 м2, составляет 1,81 лош. сил. На весь земной шар изливается от Солнца поток лучистой энергии в 2,31 -1014 лош. сил, т. е. 231 биллион лош. сил. Этой мощности вполне хватает на все процессы на Земле.

Зная количество энергии, получаемое Землей на расстоянии 149,5 млн. км от Солнца, можно подсчитать, какова мощность на самой поверхности Солнца. Так как каждый квадратный сантиметр перпендикулярной к лучам поверхности на этом расстоянии получает 1,94 кал., то вся получаемая Солнцем энергия будет уловлена полной сферической поверхностью с радиусом в 149,5 млн. и для энергии, испускаемой всей солнечной поверхностью вокруг себя, мы получим: 4гс 149 500 0002.1,94 кал. в минуту.

Принимая во внимание, что радиус солнца =695 500 км, можно вычислить энергию, излучаемую каждым квадратным сантиметром солнечной поверхности. Это вычисление дает 89 500 кал. в минуту на 1 см2. Полная

же мощность излучения всего Солнца равна 5,08. 1023 лош. сил. Сравнив это число с мощностью солнечной энергии, попадающей на Землю, мы увидим, что из всей своей мощности Солнце уделяет Земле меньше одной двухмиллиардной доли. На основании законов излучения можно определить и температуру поверхности Солнца. Прилагая к Солнцу законы излучения, мы определяем так называемую эффективную температуру Солнца, т. е. температуру абсолютно черного тела, которое имеет такие же размеры, как Солнце, и излучает так же, как Солнце. Более детальные исследования показали, что Солнце в целом излучает почти так же, как абсолютно черное тело. Закон Стефани — Больцмана дает зависимость между энергией абсолютно черного тела и его температурой в форме £ = 82 Г4, где Е — энергия в см*лшни ^—абсолютная температура в тысячах градусов. Так как каждый квадратный сантиметр солнечной поверхности излучает 89 500 кал) мин, то 89 500 = 82 Г4, откуда Г=5,75 тыс. градусов, или 5750° абсолютной температуры. По закону Вина произведение длины волны \т, у которой имеется наибольшая интенсивность энергии, на абсолютную температуру Т есть величина постоянная. Выражая длину волны в микронах, имеем: ХтГ=2885. Так как болометрические измерения распределения энергии в солнечном спектре дают максимум энергии для волны Xm=0,48 ji, то для эффективной температуры Солнца получаем:

Этот результат близок к предыдущему.

Наблюдения обнаруживают, что излучение центра видимого солнечного диска значительно интенсивнее, чем излучение краев диска, а именно: излучение центра диска соответствует температуре в 6300°, а излучение краев — 5000°. Это объясняется тем, что в центре диска к нам идет излучение от более глубоких и более горячих слоев Солнца, а у краев лучи идут наклонно, поглощающее действие наружных слоев атмосферы Солнца сильнее.

Итак, говоря по отношению к Солнцу о температуре в 6000°, которую мы определяем из наблюдения, мы имеем в виду температуру вблизи поверхности, которую мы видим. Если же брать внутренние слои, то на основании своих исследований американский астрофизик Эддингтон* пришел к заключению, что „по мере погружения внутрь Солнца температура быстро поднимается выше миллиона градусов и возрастает в центре приблизительно до 40 000 0000“.

Самое название „солнечная постоянная“ показывает, что поток солнечной энергии отличается в общем удивительным постоянством. За всю историю человечества, а вероятно и за всю геологическую историю Земли, общая температура земной поверхности не изменилась, в конце концов, даже и на несколько градусов. Временные же охлаждения земной поверхности (ледниковые периоды), объясняются чисто земными причинами — поднятием и опусканием материков, процессами горообразования и т. п. — или же прохождением нашей планетной системы сквозь газовую туманность, поглощающую солнечное излучение. Однако современные, более точные исследования обнаруживают некоторые небольшие изменения солнечной постоянной. Определяя солнечную постоянную на поверхности Земли и наблюдая ее изменения, нельзя решить, заключаются ли причины этих изменений в самом Солнце или же изменилась прозрачность нашей атмосферы. Для решения этого американскими исследователями Абботом и Фаулем произведены измерения на ряде станций в разных местах земного шара в одно и то же время. При этом наблюдались одновременные повышения и понижения солнечного тепла. Эти совпадения уже не могли быть случайными, зависящими от погоды, и надо признать, что причина в самом Солнце. Наблюдавшиеся изменения имеют характер небольших колебаний, протекающих в течение нескольких дней, но кроме того большую роль играют солнечные пятна: чем больше солнечных пятен, тем больше тепла дает солнце. В годы максимумов пятен солнечная постоянная составляет около 1,96 см* мин ' 3 годы минимумов—1>92 (разница в 2%)' Очень важным является установление связи короткопериодических колебаний солнечной деятельности с погодой. На основании зависимости между солнечной постоянной и температурой в данном месте Клейтон в США смог по измерениям солнечной постоянной предсказывать погоду в этом месте. Подобные наблюдения поставлены и у нас в СССР под общим руководством Гидрометеорологического управления. Эти методы предсказания погоды для нас особенно ценны тем, что избавляют нас от зависимости от заграничных метеорологических обсерваторий.

Методами, подобными тем, которые применяются при исследовании Солнца, можно

* Эддингтон — „Звезды и атомы“.

также определить энергию излучения звезд, выраженную в калориях. Если для этих звезд известны их радиусы из измерения с помощью особого точного прибора — интерферометра (основанного на интерференции света), то измерениями с термопарой можно определить так же, как и для Солнца, температуру звезд по закону Стефани — Больцмана. Результаты показывают, что и для звезд излучение их в общем близко к излучению абсолютно черного тела. Температуры же звезд различны: от 2000° в среднем у наименее горячих звезд (так называемый класс М) до 35 000° у наиболее горячих звезд (класс О). Есть и другие способы определения температуры звезд: 1) по показателю цвета звезды, пользуясь формулой 66 ^ где Т—абсолютная температура, С—показатель цвета, определяемый из наблюдений и представляющий разность между фотографической и визуальной звездными величинами; 2) по распределению энергии вдоль спектра звезды и сравнению полученной кривой энергии с формулой Планка; 3) по инфракрасному излучению для холодных звезд, по теории ионизации для самых горячих звезд и др.

Интересно отметить близкое согласование в общем результатов всех этих различных способов определения температуры звезд, как это видно из следующей таблицы, дающей эффективные температуры звезд различных спектральных классов, обозначаемых условно большими буквами латинского алфавита:

Спектральный класс

Эффективная температура

По инфракрасному излучению (Никольсон)

По кривой энергии (Сэмсон)

По показателю цвета (Бриль)

В

23000°

24000°

А

11600

12 400

F

7 900

8 500

7 300°

G

6 000

5 900

5 400

К

4 600

4 000

4 300

M

3 4С0

3 200

3 200

Солнце с эффективной температурой около 6000° относится к классу G и принадлежит далеко не к самым энергичным звездам — оно прошло уже свою стадию наибольшего расцвета.

ИСТОЧНИКИ ЭНЕРГИИ СОЛНЦА И ЗВЕЗД

Как мы видим, Солнце излучает энергию с громадной мощностью, а есть звезды, мощность излучения которых еще значительно больше. В отношении Солнца мы уже говорили, что мощность его излучения почти не ослабевает на протяжении многих миллионов лет. То же самое относится и к звездам, которые совершенно подобны Солнцу. Представляется поэтому чрезвычайно интересным и важным установить, сколько же времени существует Солнце, излучая эту энергию, и из каких источников оно черпает эту энергию.

Мы сможем составить представление о минимальной продолжительности существования Солнца, если будем знагь возраст Земли, которая является, так сказать, дочерью Солнца. Наиболее точным и достоверным в настоящее время способом определения возраста Земли является исследование радиоактивных явлений, так как на течение радиоактивных явлений не влияют никакие внешние обстоятельства. Сущность этого метода такова. После того как в земной коре выкристаллизовались такие радиоактивные вещества, как уран и торий, до настоящего времени происходил непрерывный процесс их радиоактивного распада: из урана возникал постоянный элемент — урановый свинец, из тория — ториевый свинец. Так как скорость этого распада не зависит ни от каких внешних влияний и хорошо определена лабораторными исследованиями, то ясно, что, измерив теперешнее соотношение между количеством урана и продуктов его распада в каком-нибудь минерале, можно вычислить возраст этого минерала. Такие вычисления были сделаны по различным минералам и обнаружили удивительное согласие. Они дали для возраста минералов древнейшей геологической формации — докембрийской — 1,3 .109 лет, т. е. более миллиарда лет. Это нижний предел (наименьший) возраста земной коры. Верхний же предел может быть найден, если считать, что весь свинец в земной коре урановый. В этом случае вычисления дают для возраста Земли 8 .109 лет. Таким образом, со времени отвердения Земли прошло от 1 до 8 миллиардов лет. Солнце, несомненно, много старше Земли, и его возраст можно принять никак не менее 1010 лет.

Первое предположение об источниках энергии Солнца, излучаемой в окружающее пространство, было то, что просто происходит

* Формула эта выводится из формулы Планка для энергии излучения, полученной глазом (наибольшая чувствительность к длине волны Х = = 0,55 у) и фотографической пластинкой (максимум чувствительности при X = 0,43 ji).

сгорание вещества, из которого состоит Солнце. Нетрудно рассчитать, что если бы Солнце целиком состояло из каменного угля, то оно при полном сгорании дало бы энергию, которой хватило бы только на 5000 лет. Ясно, что это предположение не может быть принято.

Так же несостоятельной оказалась и теория Роберта Майера, открывшего, как известно, закон сохранения и превращения энергии и полагавшего, что энергия Солнца поддерживается метеорами, падающими на Солнце. Неточные расчеты показывают, что для поддержания солнечного тепла метеориты должны были бы падать на Солнце в недопустимо огромном количестве. Вообще же, как показал Эддингтон и др., солнечная энергия не может пополняться извне — ее источники должны находиться в глубоких недрах Солнца.

В середине XIX в. знаменитый немецкий физик Гельмгольц, а затем Томсон (Кельвин) на основании закона сохранения и превращения энергии показали, что при сжатии масса газообразной туманности должна сильно разогреваться: сгущение туманности можно рассматривать как падение ее частиц к центру, причем механическая работа этого падения должна превращаться в теплоту. Согласно Гельмгольцу и Кельвину, такое медленное сжатие Солнца продолжается в настоящее время и является источником энергии, излучаемой Солнцем. По исчислениям Томсона, для поддержания солнечной энергии материя поверхностных слоев Солнца должна опускаться и радиус Солнца сокращаться на 35 м в год, что для наблюдений неуловимо. Если подсчитать таким образом полную энергию, которая должна была бы освободиться при сжатии Солнца даже от бесконечно больших размеров до теперешних, т. е. при изменении его радиуса от оо до 695 500 км (применяя диференцирование и интегрирование), то получим величину энергии, равную 2,27.1048 эргов. Разделив ее на ежегодный расход энергии (1,2. 1041), получаем максимальную продолжительность существования Солнца примерно в 20 млн. лет, и, следовательно, теория сжатия не может объяснить гораздо большей длительности солнечного излучения.

В начале XX в. неоднократно делались попытки приписать громадную мощность солнечного излучения присутствию на Солнце радиоактивных веществ. Однако радий распадается сравнительно очень быстро, и вычисления показывают, что если бы Солнце даже целиком состояло из радия, то оно излучало бы много больше энергии, чем в действительности, но иссякло бы слишком скоро — через несколько десятков тысяч лет. Другой радиоактивный элемент — уран — распадается очень медленно, зато мощность этого излучения слишком мала.

Таким образом, все известные нам из опыта источники энергии оказываются совершенно недостаточными. Это относится и к звездам так же, как и к Солнцу. Поэтому предположили, что источниками звездной энергии являются внутриатомные процессы, пока еще не наблюдавшиеся в условиях нашего земного опыта. Такими процессами могут быть — образование атомов сложных элементов из более простых или даже полное превращение вещества в лучистую энергию. Оба объяснения исходят из закона эквивалентности массы и энергии, выражаемого формулой Е = тС2, где Е — полная энергия, m — масса и С — скорость света. Из этой формулы следует, что масса в 1 г эквивалентна энергии в 9. 1020 эргов. Это соотно шение было теоретически выведено для частных случаев еще в 1881 г. Дж. Томсоном, а для общего случая любой массы и любой энергии— Эйнштейном в 1905 г. Оно подтверждено лабораторными опытами с быстродвижущимися электронами катодных лучей радия. Возможность такого объяснения можно видеть на примере образования гелия из водорода. Масса протона, т. е. ядра атома водорода, равна 1,0073. При соединении четырех протонов, образующих ядро атома гелия, мы должны иметь 4.1,0073 = 4,029, тогда как масса ядра атома гелия равна 4,000. Следовательно, приходится считать, что разность 0,029 превратилась в энергию и выделилась при процессе соединения. Этот расчет дает, что при превращении только одного грамма водорода в гелий должна освобождаться энергия в 67 млрд. килограммометров. Новейшие работы Рессела и Стремгрена показали, что Солнце приблизительно на 1/3 состоит из водорода. Если из всего этого водорода образуется гелий, то освободится энергия, равная 4,4.1051 эргов. Разделив это на ежегодный расход солнечной энергии (1,2 .1041 эргов), находим, что этот источник обеспечил бы излучение Солнца на 30 млрд. лет. Такое объяснение было выдвинуто Перреном в 1931 г. и затем детально развито Аткинсоном в 1931 г. Однако Стенсгольд показал (1933 г.), что звезда, построенная по модели Аткинсона, была бы неустойчива и, значит, не могла бы длительно существовать.

Попытки оценить возраст звезд приводят к заключению, что он во многих случаях

значительно выше того предела, который мы приняли для Солнца. Следовательно, надо искать еще более мощных источников энергии. Джине, Эддингтон и другие считают источником звездной энергии превращение вещества в лучистую энергию. Это сводится к предположению, что при неизвестных условиях, господствующих в звездных недрах, электрон может слиться с протоном: оба, как противоположные заряды, уничтожаются, а масса их превращается в лучистую энергию и разбегается в виде электромагнитных волн, образуя как бы мощный всплеск в эфире. В этом случае вся масса превращается в энергию, и количество энергии получается в 137 раз больше, чем при образовании гелия из водорода. Процесс этот обычно называется анигиляцией, т. е. уничтожением материи. Этот термин ошибочен, так как здесь, конечно, материя не уничтожается, а только переходит из одной формы в другую. Нужно сказать, что это только предположение, и современная квантовая механика пока еще не находит места процессам анигиляции. Один из основоположников теории квантов, известный датский физик Нильс Бор, даже высказал мнение, что в недрах звезд происходит нарушение закона сохранения энергии. Эта идея, разумеется, недопустима, ибо возможность получать энергию из ничего, что по Бору имеет место будто бы внутри звезд, резко противоречит опыту и очевидным образом открывает двери идеализму и религии. Ее надо рассматривать как очередное проявление кризиса буржуазной науки, углубляющегося по мере углубления всеобщего кризиса капитализма. В своем докладе на I Всесоюзном астрономогеодезическом съезде в январе 1934 г. наш молодой и талантливый астроном В. А. Амбарцумиан, развивая гипотезу ленинградского физика Ландау о том, что близ центра звезды имеется „патологическая“ область с плотностью, близкой к плотности атомных ядер, высказал, что нет необходимости говорить о нарушении закона сохранения энергии или об анигиляции материи. Именно: оказывается, что при медленном сжатии и уплотнении звезды механическая энергия этого сжатия благодаря чрезвычайной плотности звездного ядра будет в миллионы раз больше, чем в старых подсчетах Томсона, основанных на приблизительной однородности звезд. Таким образом, предполагая, что в звездах имеются ядра огромной плотности и что звезды в ходе своей эволюции сжимаются, мы видим, что это сжатие может служить источником звездной энергии в течение биллионов лет. Так возрождается в новой форме теория сжатия на основе закона сохранения и превращения энергии. Хотя эти идеи еще слишком новы, чтобы можно было их считать уже установленными, но в общем, повидимому, мы близки к решению проблемы источников звездной энергии.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА

ИДЕЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ ВЕЛИЧИН В МАТЕМАТИКЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ*

В. БЕДЛОВСКИЙ (Ростов н/Д)

I.

Начало XX столетия, как известно преподающим математику, ознаменовалось развитием широкого международного движения, которое настаивало на коренной реформе преподавания математики в средних учебных заведениях. Это движение стояло в тесной связи с борьбой за реальное образование и за признание за математикой и естествознанием должного места в школе. Направление и содержание этой мысли, положившей начало реформе французских программ, замечательно охарактеризовано профессором Таннери в высказанной им формулировке: „Никто не имеет ни малейшего представления о том, что такое математика, не подозревает ее необычайного объема, природы задач, нами решаемых, до тех пор, пока не узнает, что такое функция, как данная функция изучается, как идут ее изменения, как она представляется при помощи кривой, как алгебра и геометрия оказывают друг другу поддержку; как число и пространство друг друга поясняют, как определяются касательные, площади, объемы, как мы приходим к созданию новых функций, новых кривых и к их изучению. Это как раз те указания и приемы, которые нужны для каждого, кто хочет понимать быстроту современного движения и факты многообразных научных приложений, которые с каждым днем проявляют все более и более свое стремление видоизменить и углубить наш способ мышления и нашу жизнь“.

Математика как основа и ключ количественного сравнения глубоко проникает во все методы научного исследования и мышления мерой и числом — в процессы восприятия (при наблюдении и опыте), а формулировкой функциональной зависимости — в процесс научного творчества (при установлении закона).

Еще в 1834г. писал Лобачевский: „Нельзя сомневаться ни в истине того, что все в мире может быть представлено числом, ни в справедливости того, что всякая в нем перемена и отношение выражается аналитической функцией“. Все подобного рода высказывания, таким образом, все более и более ярко подчеркивали мысль о том, что математика, предметом изучения которой являются количественные соотношения и пространственные формы материальной действительности, становится естественным и в высшей степени важным, хотя и не единственным, средством в познавании реального мира. Естественно поэтому во всю ширь должен был подняться вопрос о коренной реформе преподавания математики. Вопрос этой реформы упирался прежде всего в необходимость борьбы со старой схоластической школой, с застывшей на пороге XVII столетия математикой древних и средних веков. Поэтому авторитетные педагоги и математики Кершенштейнер, Перри, Клейн в свое время так горячо настаивали на развитии у учащихся „функционального мышления“ как центральной задачи нового преподавания математики в средних учебных заведениях и как начала, объединяющего весь материал учебной математики. Изучение истории этого вопроса, безусловно, представляет большой интерес и лучше всего вскрывает методологическую сущность идей, известных теперь под именем „идей о функциональной зависимости и переменных величинах“.

История раскрывает перед нами два основных периода в развитии математики : первый период до XVII в., период спокойного созерцания застывших образов, когда математика была изумительна по высотам геометрического знания, но лишена идеи движения. Второй период датируется от открытия Декартом аналитической геометрии

* В статье попутно затрагиваются вопросы философского характера. Автор мимоходом касается диалектического мышления и, отождествляя последний с „функциональным мышлением“ реформистов, тем самым делает значительную ошибку.— Ред.

в 1637 г. Затем, в XVII в., вырастает мощное орудие познания реального мира — анализ бесконечно малых (диференциальное и интегральное исчисление). Со времени завершения Ньютоном и Лейбницем диференциального и интегрального исчисления человечество получило возможность глубже проникнуть в тайны природы и изображать математически процессы и постоянно непрекращающееся движение, а не только состояние, покой. У Ньютона основной идеей являлось представление о течении: обе переменные лг, у рассматривались как функции ср (t) и ф (t) времени t, — между тем, как течет время, „текут“ непрерывно и эти функции. То же находим и в изложении Лейбница, в его работах 1684 г. Сам Лейбниц назвал свое открытие принципом непрерывности во всяком процессе природы, т. е. положение: „Natura non facit saltum“.

Таким образом, со времени расцвета так называемой высшей математики, математики переменнных величин, в нее „против ее воли и без ее ведома“, по выражению Энгельса, вошла диалектика. Войдя стихийно в математику, она как высший метод мышления по-новому осветила и ряд вопросов элементарной математики.

Как же обстоял вопрос с продвижением этого нового мощного орудия математики в дело познания законов природы? До каких пределов возможно было знакомство с математикой, обязательной для всякого образованного человека, и что должно составлять область астронома, инженера, физика и специалиста-математика? Еще недавно (XIX в.) вопрос этот решался традиционным делением математики на элементарную и высшую. Первая — математика постоянного — была резко ограничена, оторвана от второй и под именем „элементарной математики“ преподносилась учащимся низшей и средней школы. Этот отдел математики занимался исключительно постоянными вычислениями (числами), и все содержание его было далеко от идеи движения, идеи переменных величин. Высшая же математика была предоставлена высшей школе, где классовый отбор учащихся обеспечивал, что изучение движения и изменения чисел не поведет к „вредным обобщениям“.

Такое разделение математики на две резко выраженные части удовлетворяло капиталистическое общество и сохранилось неприкосновенным почти до половины XIX в., тщательно охраняемое буржуазной школой. Само же преподавание математики в средней и высшей школе проводилось на основе идеалистической философии, под лозунгом чистой науки и не затрагивало открыто вопросов методологии. Усвоив указанную точку зрения и иногрируя развитие науки в течение XVIII и XIX вв., школьная математика (особенно элементарная) в значительной мере приобрела признаки схоластичности. Курс элементарной математики вылился в определенные рамки и как бы замер в раз навсегда остановившихся пределах. Традиционный курс алгебры совершенно игнорировал понятие о функции и о переменном числе, несмотря на то, что эти понятия явились источником дальнейшего развития математики и ее блестящих приложений. Отгородившись от анализа, школьная алгебра также была оторвана и от арифметики. Между первой и второй обычно шло разделяющее их понятие об относительных числах и буквенных выражениях. Вопрос об уравнениях в этом традиционном курсе прорабатывался одновременно. Если алгебра и давала ценные понятия о методе уравнений как аналитическом методе решения разных задач, то, будучи лишена понятий о переменной величине и функции, она не пошла дальше алгебры XVII в. В области геометрии спокойно царил еще Евклид, изучаемый зачастую прямо по подлиннику. В свое время проф. Клейн так выразил мысль о школьной математике XIX в.: „Можно подумать, что математика— мертвая наука, что в ней ничего не меняется, что в этой области знания нет новых идей“. Между тем быстро развивающийся капитализм, бурный рост промышленности и торговли во второй половине XIX в. требовали более совершенного математического орудия. Средний командный состав, необходимый в технике, торговле, морском и военном деле, оказался далеко не подготовленным. Вся совокупность капиталистической экономики требовала именно того математического образования, которое могло быть быстро приложено к технике и коммерческому делу. Потребность в математике переменных величин, в математике, устанавливающей функциональную связь величин, характеризующих жизненные процессы, стала неоспоримой. Это обстоятельство вызвало в конце XIX в. движение за уничтожение пропасти между элементарной и высшей математикой, за введение элементов последней в среднюю школу. В истории математики это движение известно под именем „движения Джона Перри и Феликса Клейна“.

Английская школа в то время отличалась особенным консерватизмом, и выступления по вопросам обоснования новых методов в математике были сопряжены с большими

трудностями. Бывший техник Д. Перри поэтому и подошел к вопросу о реформе английских школьных программ несколько необычным путем. Сперва он поставил этот вопрос среди инженеров, мастеров и техников. Он практически показал им, как можно быстро ознакомиться и ввести в практику ряд положений, составляющих привилегию высшей математики. Затем, уже с большей последовательностью и осторожностью, Перри приводит аргументы за реформу, исходя из технических потребностей. Перри предлагает свой перечень вопросов, подлежащих изучению в элементарной математике, уже без разделения на математику переменных и постоянных. В этот же период гораздо шире вопрос о реформе был поставлен немецким профессором Геттингенского университета Феликсом Клейном. В литературе, которую создало это движение за реформу (Reformbewegung) в Германии, важным документом является Меранская программа, имеющая большое значение и до сих пор. Эта программа стала знаменем, объединившим сторонников реформы. Меранская программа содействовала развитию и русской педагогической мысли. История этого документа такова: в 1900 г. в Берлине была созвана конференция по вопросам среднего образования, на которой особенно остро стал вопрос о естествознании, так как с 1879 г., после мюллеровского процесса, таковое было вовсе устранено в старших классах средней школы Германии. На конференции инициатор движения, выдающийся германский педагог Клейн, выступил с требованием положительного знания и кратко изложил свои требования в области реформы математического образования. Но в Германии, где царили прочно традиции и где классицизм пустил глубоко свои корни, борьба за новое течение потребовала большой настойчивости и сил. Не получив какого бы то ни было разрешения вопроса, энергичный Клейн снова и снова поднимает его. На съезде естествоиспытателей и врачей в Гамбурге (1901 г.), а затем в 1903 г. в Касселе Клейну удалось отстоять свои тезисы. Собрание полностью выразило сочувствие и, по предложению Клейна, этот вопрос был передан президиуму с тем, чтобы подвергнуть его глубокому обсуждению на ближайшем съезде в Бреславле. На Бреславльском съезде (1904 г.) вопросу о реформе было уделено большое внимание. Заседание было открыто речью К. Фрике „О современном состоянии преподавания естествознания и математики в средней, школе“, затем был заслушан доклад Клейна — „О преподавании математики и физики“. По поручению съезда специально созданная комиссия приступила к составлению программ для средних школ, которые были приняты съездом естествоиспытателей в 1905 г. в г. Меране. С целью придать движению международный характер Клейн добивается постановки вопроса о реформе на VI Международном математическом конгрессе в Риме в 1908 г. С этого момента движение получило широкое распространение во всех странах.

В чем же заключалась сущность требований, предъявляемых сторонниками реформы к преподаванию математики в средней школе? Коротко эти требования можно формулировать так: установившееся в современной математике основное понятие о функции должно стать исходным и доминирующим в преподавании математики в средних учебных заведениях. Задача развития у учащихся способности функционального мышления (functionates Denken) должна составлять первое и основное требование. Для изучения понятия функции в курс средней школы должны быть введены элементы анализа бесконечно-малых. Возражая противникам реформы, считавшим, что понятие о функции может быть дано учащимся и без всякой реформы программ, Клейн резко подчеркнул: если противники полагают, что предложения сводятся к тому, чтобы сообщить, что такое функции, то это существеннейшая ошибка. Задачи реформы — в том, чтобы идею функциональной зависимости провести через все преподавание, через весь курс алгебры и геометрии. Курс математики средней школы должен быть не просто дополнен основными понятиями высшей математики, в виде добавочного раздела в программах для реальных училищ, а именно проникнут ими от начала и до конца. Понятие о функции и переменной величине не должно вводиться в каком-нибудь из классов как нечто совершенно новое. С самого начала курса алгебры и геометрии учащиеся должны получать постепенную подготовку к этим понятиям, с тем, чтобы в конце курса приобретенные знания составили законченное целое. Примером методического и дидактического развертывания математических понятий в указанном духе может служить Меранская программа, отдельные и важные разделы которой считаю полезным привести.

III класс. Подготовление к обучению арифметике путем повторного решения важнейших задач в буквенных обозначениях. Учение о прямых, об углах и о треугольниках.

Движение фигур. Зависимость одних элементов треугольника от других.

IV класс. Дальнейшие упражнения в нахождении численных значений буквенных выражений при положительных и отрицательных значениях переменных. Выяснение функционального характера буквенных выражений.

V класс. Уравнение 1-й степени с одним и несколькими неизвестными. Зависимость буквенного выражения от входящих в него переменных. Графическое изображение линейных функций и применение этого изображения к решению уравнений.

VI класс. Исследование квадратного выражения, зависящего от одной переменной, графическим методом. Решение задач 2-й степени посредством пересечения прямых и парабол. Графическое изображение как средство наглядного выражения эмпирических результатов.

VII класс. Развитие понятия о степени. Выяснение перехода от этого понятия к показательной функции. Графическое изображение взаимной зависимости логарифма и антилогарифма. Решение квадратного уравнения с двумя неизвестными путем вычисления и графическим методом. Счетная линейка. Характеристика взаимной зависимости изменения углов и их функций как на основе формул гониометрии, так и путем графического их изображения. Ознакомление с гармоническим соответствием.

VIII класс. Связный обзор изученных до сих пор функций. Изучение их возрастания и убывания (по возможности, введение понятий о диференциале и интеграле). Многочисленные примеры из геометрии, физики и механики.

IX класс. Учение о конических сечениях. Элементарные приложения к астрономии. Обзор важнейших частей курса с исторической и философской точки зрения.

Программа обращает внимание на характерные особенности связи элементарной математики начальной школы с математикой средней школы и на внесение в последнюю элементов высшей математики. При наличии большого ряда упражнений с буквенными обозначениями и формулами учащиеся постепенно переходят к алгебре, не чувствуя тех затруднений, которые имеют место при обычной точке зрения, что буквенные обозначения знаменуют переход к алгебре. Объяснительные записки к приведенной выше программе особенно подчеркивают то обстоятельство, что теория должна сводиться к объяснениям на конкретных примерах, и лишь постепенно можно знакомить учащихся с простыми отвлеченными понятиями, выявляя необходимость точных определений и строго логических доказательств. Таким образом, реформа и ее документ — Меранская программа — внесли коренное изменение как в содержание элементарного курса математики, так и в методы ее изложения. Но удалось ли целиком осуществить эти идеи? Безусловно нет. Многие государства (Англия, Германия, Франция, затем Австрия), считаясь с запросами техники, ввели только элементы анализа в последних классах, но совершенно не коснулись традиционного курса алгебры и геометрии. Вообще нужно сказать, что реформаторские требования осуществились (да и то не полностью) только в части содержания программ, оставив методологическую и методическую сторону этого вопроса до более удобного случая. Затем война 1914 г. совсем остановила эту реформу (особенно в Германии). Важно и характерно отметить русскую школу. Здесь вплоть до революции 1917 г. программы оставались почти неизменными и только произошла (по тем же соображениям) надстройка их в дополнительных классах реальных и коммерческих училищ. Только после 1917 г., уже в советской школе, идеи Меранской программы осуществились полностью в программах единой трудовой школы. Характерно, что война и дальнейшие события, последовавшие в 1915—1917 гг., оказали свое огромное действие на реформу преподования и в буржуазных школах. В результате в 1921 г. появляется в свет „Меранская программа в новой обработке“, в которой сделан упор на связь математики с действительностью и на практические приложения ее. В настоящее же время основные понятия математики и, прежде всего, понятия о функции получили всеобщее распространение и проникли в среднюю школу.

II.

Целесообразность введения новых идей в элементарную математику с методологической и методической точки зрения ясна. Выработка у учащегося научного миропонимания, диалектического метода познания, есть основная задача нашей школы. Отсюда и задача усвоения систематического курса математики должна осуществляться так, чтобы обучение математике способствовало развитию у учащихся марксистско-ленинского мировоззрения. При таком понимании задач математического образования введение новых идей в элементарную математику становится уже не только потребностью практики (на

что указывали буржуазные ученые Перри и Клейн), но и необходимостью для правильного диалектического понимания явлений природы. В самом деле, основное свойство всего существующего — непрестанная изменяемость, постоянно не прекращающееся движение. Диалектика убеждает нас в том, что эти изменения совершаются не хаотично, а по определенным законам, выражающим зависимость изменения одних вещей от изменения других. В таком случае для количественного выражения каждого закона природы вполне конкретна и приемлема схема: изменения объектов л:, у, z... влекут за собой изменения объектов х\ У, г'... Справедливость этой схемы подтверждается на любом законе из физики, механики, химии, биологии и т. д. Например: закон Кулона в магнитном и электрическом поле, закон Бойля-Мариотта, закон всемирного тяготения, закон Гей Люссака, закон кратных отношений, периодический закон и т. п.

В каждом изучаемом явлении мы наблюдаем две стороны: количественную и качественную. Полноценное знание мы получаем только при изучении обеих сторон явления. Возьмем закон всемирного тяготения. Одной формулировки: „Все тела притягивают друг друга“, конечно, недостаточно, чтобы использовать закон для познания вопроса всемирного тяготения. Количественное же выражение закона г =—вскрывает характер изменения силы притяжения от изменения масс и расстояния между ними и дает возможность изучать движение небесных светил. Такое рассмотрение вопроса имеет ценность с двух сторон : с практической—потому, что оно дает правильное математическое выражение закона, применяемого при многочисленных подобного рода исследованиях; с методической — вскрывает процесс движения, ибо при изменении масс каждый раз мы наблюдаем изменение силы притяжения. Изучение перечисленных, в качестве примеров, законов во всей их полноте действительно возможно только при наличии понятия о переменном числе и о существующей связи между переменными величинами. С подобного рода функциональными зависимостями, как отмечено ранее, исследователю природы и техники приходится иметь дело постоянно. Так, пройденый путь есть функция скорости и времени. Сила электрического тока находится в функциональной зависимости от напряжения тока и сопротивления проводника. Площадь комнаты находится в функциональной зависимости от ее длины и ширины. Объем газа при постоянной температуре находится в функциональной зависимости от давления, испытываемого газом. На целом ряде таких примеров можно усмотреть то огромное значение переменных величин и функциональной зависимости, которая связывает изучение математики с изучением физики, химии, механики и других областей знания.

Но что означает такая постановка вопроса преподавания математики, а следовательно, и введение в нее элементов анализа? Не что иное, как выработку у учащихся диалектического способа мышления и формирование научного миропонимания.

Кроме отмеченного огромного значения понятия о функциональной зависимости для выработки диалектического мышления у учащегося, оно весьма ценно и с точки зрения методики преподавания математики Все основные вопросы элементарного курса, как-то: развитие понятия о числе, умение вычерчивать графики и диаграммы, а также пользоваться ими, зависимость между элементами геометрических фигур, вопрос об уравнениях, логарифмы, вопросы тригонометрии (особенно обратные тригонометрические функции) с введением основного понятия математики — понятия о функциональной зависимости,— получили более конкретное, ясное освещение для учащихся, а также и более широкое применение их на практике. Новые идеи, безусловно, сыграли также большую роль в деле смягчения укрепившегося формального характера преподавания математики в школе.

III.

Всякий предмет преподавания в школе черпает свой материал из соответствующей научной дисциплины, подвергает его отбору и переработке, согласно дидактическим требованиям и задачам, которые поставлены перед школой. Затронутый нами вопрос о функциональной зависимости есть также, по существу, большой и сложный вопрос целой науки математического анализа. Вся глубина и строгость изложения идеи о функции, ее многостороннее приложение на практике, конечно, вскрываются только в высшей школе. Тем не менее, тонкость этих идей, завоевавших себе видное место в средней школе, методические требования в смысле доведения этих идей до полного сознания учащегося, требуют от самого преподавателя ясного понимания их и знакомства с историей их развития.

Слово „функция“ впервые появилось у Лейбница в его письмах к Гюйгенсу (1694 г.), и введено в математику в связи с потребностями техники и естествознания.

В основании понятия функции лежат три логически разнородных определения, которые можно назвать: аналитическим (оперативным), табличным и графическим.

Первое — это старое определение, данное Эйлером: „Functio quantitatis variabilis est expressio analitica quomodo cunque composita ex ilia quantitate variabili et numeris seu quantitatibus constantibus“.

По этому определению функция дана, если имеется математическое выражение, указывающее определенный конечный ряд операций, которые нужно произвести над каждым значением аргумента, чтобы получить соответствующее значение функции. Такое определение можно считать формальным заданием функции, т. е. заданием при помощи формулы, как-то: / = /0(1(5/), где „эль“ есть функция от „тэ“. Примером такого задания функции может служить целый ряд формул, известных учащимся средней школы, например: С = 2пг где длина окружности есть функция ее радиуса; А = FScos(F>S)y где работа, совершаемая силой „эф* на путь „эс“, есть функция трех независимых переменных: силы, пути и угла, образованного направлением векторов пути и силы; v = vQ-\-gt, где скорость падающего тела под влиянием земного притяжения есть функция двух переменных: начальной скорости и истекшего промежутка времени. При этом во всех приведенных примерах каждому определенному значению аргумента соответствует одно значение функции; поэтому такие функции носят название однозначных, или униформных функций. Если же функция задана формулой х2 -f- у1 = /?2 или j/ = arctgAr, то при определенном значении аргумента функция получает два или несколько значений. Такие функции будут многозначными, или мультиформными, функциями. Указанное оперативное определение функции может быть дано учащемуся в самом начале изучения алгебры и, в сущности, только оно вполне осмысливает и уясняет значение введения букв на место чисел в арифметике.

Второе определение понятия функции, данное впервые германским математиком Дирихле (1837 г.), можно формулировать так: „игрек“ называется функцией от „икса“, если для каждого данного значения „икса“ „игрек“ принимает определенное значение. И третье определение, — это определение, отождествляющее функцию с произвольно начерченной линией (прямой или кривой). Все три определения функции, безусловно, должны быть известны изучающему, ибо они во многом дополняют друг друга, способствуя тем самым лучшему и всестороннему изучению данного вопроса. На практике в различных случаях мы и пользуемся то одним, то другим способом задания функции. Два последних, т. е. табличный и графический методы, имеют применение во всех прикладных науках, но, кроме того, не менее ценными они являются как методы, дающие возможность их практических приложений. Однако аналитический способ задания функций имеет двоякое преимущество: во-первых, по аналитическому заданию функции мы всегда можем дать ее графическое изображение и развернуть значения аргумента и функции в таблицы. Во-вторых, функция в аналитической форме наиболее поддается общему математическому исследованию. Сравнительная же ценность, значение и взаимная связь всех способов задания функции проявляются именно в том, что они в совокупности дают тот могущественный метод математического исследования явлений, которым пользуются техника и естествознание.

Для пояснения сказанного рассмотрим ближе, как естествоиспытатель изучает явления природы. Как, например, изучаются особенности расширения воды при изменении температуры. Измерения, которые производит физик, приводят его к следующей таблице:

t

V

1.000123

069

030

007

1.000000

008

10°

1.000267

15°

0866

20°

1763

25°

2940

30°

4347

С точки зрения математики, он имеет функцию, определенную с помощью таблицы, где для каждого значения t дано значение v. Следовательно, нетрудно получить закон в его общей формулировке: объем есть функция температуры воды, т. е. v=f(t). Исследуя упругость насыщенных паров воды, Баттелли дает следующую таблицу, полученную им из опыта (см. таблицу на стр. 48).

Подметив закон изменения упругости пара, Баттелли пытается выразить его формулой

Температура t

Упругость пара в мм

100

790

150

3574

200

11629

250

29 951

300

67 620

320

88343

350

126 924

360

141 865

Галилей, исследуя падение тел, также получил таблицу значений, из которой выводится эмпирическая формула зависимости пройденного пути от времени. Так, если s — путь, пройденный падающим телом в метрах, t— время, то формула имеет вид s = at2.

Несомненно, что Джоуль и Ленц, Ом, Фарадей пришли к обобщению известных в физике законов: 1) Q=0,24/2/&;2) R=Kj , 3) m =C—lt, путем длительных экспериментов и записей результатов в виде таблиц. Таким же путем получили эмпирическую формулу для колебания маятника: Г=2тг|/^ .

Так поступают физики, техники, натуралисты и т. п. Всякое явление природы считается ими изученным с количественной стороны, если установлена количественная зависимость между факторами этого явления. Что означает найденная таким опытным путем таблица с математической стороны? Это и есть табличное задание функциональной зависимости между переменными величинами, позволяющее из отдельных фактов вскрыть общий закон (эмпирическую формулу). При дальнейшем изучении явления количественная зависимость факторов выражается уже уравнением, составленным на основе этих опытных данных. Такое математическое выражение (в формуле уравнения) законов не только придает им отчетливую форму, но и позволяет, уже чисто математическим путем, вывести из них ряд следствий, которые иногда трудно заметить, изучая явления экспериментальным методом. Если проследить историю развития техники, естественных и математических наук, то легко заметить, как на известном этапе проблемы первых (опыт) давали толчки математической мысли, и, наоборот, готовая, развитая математическая теория часто давала возможность быстро и правильно осветить и разрешить ту или иную проблему опытной науки.

Современному инженеру и физику известны десятки уже готовых формул, выражающих зависимость между отдельными фактами того или иного явления, а следовательно, ему дана возможность применить их как к отдельным случаям практики, так и к новому, углубленному изучению явления. В самом деле, нужна ли таблица значений отдельных фактов для инженера-электрика в вопросе наивыгоднейшего соединения элементов в батареи, когда ему известны функции (заданные уравнениями) /=-;— для последовательного соединения элементов и /=- для параллельного?

Для практических целей ему вполне достаточно именно математического выражения функциональной зависимости силы тока от сопротивления внутренней и внешней цепи. Эти уравнения дают ему возможность простыми подсчетами выбрать наивыгоднейшее соединение элементов.

Разберем еще пример, характерный для наших рассуждений. Возьмем всем известный из физики закон Био и Савара, устанавливающий количественное соотношение между силой тока и магнитным полем, им образуемым. Био и Савар пришли к заключению, что электромагнитная сила пропорциональна силе тока, количеству магнетизма, синусу угла между направлением тока и радиусом-вектором и обратно-пропорциональна квадрату расстояния от элемента тока до д полюса, что выражается функцией г=-^—, откуда напряжение магнитного аполя тока выразится формулой Мг= fi^LÛ. . Характерно то, что закон этот нельзя проверить непосредственно опытом, так как ни элемент тока, ни магнитный полюс нельзя реализовать в действительности. Тем не менее, мы применяем этот закон именно в форме данного уравнения к многочисленным практическим случаям замкнутых токов и к двухполюсным магнитам. Во всех случаях наши применения оправдываются на опытах с действительными токами и магнитами. Тем же физиком Саваром напряжение магнитного поля прямого тока как частный случай указанного закона получено в форме М= — уже непосредственно из опыта.

Итак, научное и техническое значение аналитического выражения функциональной зависимости огромно. Ценность такого метода задания функции именно в том, что математическое уравнение, с одной стороны, позво-

ляет обобщить частное, кратко формулировать закон в общем его виде и, с другой— исследуя функцию при всевозможных частных значениях, можно получить ряд новых соотношений, которые выражают новые физические законы как следствия первых. Так, например, исследования Фурье закона колебаний привели к созданию целой теории тригонометрических рядов и к пересмотру основного математического понятия — понятия о функции. Установление причинной зависимости между законами Кеплера н Ньютона привело к глубокому пониманию законов движения небесных тел. Исследуя математически заданные функции, естествоиспытатель, физик, техник, именно благодаря функциональному выражению зависимости, легко находят оптимальные значения (максимум и минимум) в исследуемых ими явлениях. Достаточно указать на целый ряд практических задач по определению наибольших объемов, площадей, кратчайшего железнодорожного пути, наилучшего освещения и целый ряд задач по электротехнике.

Характерным примером может служить история возникновения понятия абсолютного нуля. Применения аналитического выражения функции в форме Р;=Р0 (1-J-jfr) привели физиков к понятию оптимального давления газа, а отсюда—к понятию об абсолютной температуре и к понятию абсолютного нуля (—273°). Тут мы силой математических операций над заданным уравнением Pt = Po(\ -\-$t), выражающим только количественную связь фактов, пришли к весьма интересному выводу, который вскрывает уже качественную сторону явления. Функциональная зависимость, представленная в форме таблицы отдельных значений функций и аргумента, ценна тем, что дает конкретную характеристику частных моментов из „жизни“ функции и весьма часто позволяет решать ряд практических задач (таковыми являются таблицы тригонометрических функций, логарифмов, квадратных и кубичных корней и т. д.), а аналитическое выражение функции, кроме этого, дает еще полную возможность исследовать и исчерпать все общее и частное, выраженное функцией. Отсюда понятно, почему функции в аналитическом виде представляют большой интерес как для современного естествоиспытателя и математика, так и для учащегося средней и высшей школы.

Не менее ценным в научном, практическом и методическом отношениях является также и графический метод изображения функциональной зависимости. Графический метод в общем понимании,—это метод условного обозначения вещей и их отношений. Этот метод — чрезвычайно простой; он воспроизводит перед наблюдателем только линии, пучки линий и изредка поверхности. Но для тех, кто умеет читать его язык, он оказывается богаче и говорит больше, чем всякий другой метод. С большой точностью вычерченный график выражает собой невероятно много, его можно читать снизу и сверху, аналитически и синтетически, и при каждом способе чтения видеть явление, им изображенное в новой форме и связи. Неудивительно поэтому, что метод графического изображения зависимости нашел огромное применение в самых разнообразных областях знания. Им пользуются и астрономия, и география, и физика, и техника, и страхование, и общественные науки, и метеорология, и даже психология и логика. Более того, сама природа дает нам графические изображения. Этот метод дает, с одной стороны, наглядность при изучении и усвоении уже открытого явления, способствуя полному пониманию как отдельных фактов его, так и законов в целом. С другой стороны, он служит самим научным исследованиям и в целом ряде случаев является единственно возможным для выражения функциональной зависимости величин (автоматическое изображение при помощи термографов, барографов, индикаторов, осциллографов, фотохронографических записей и т. д.). Вычерченные тем или иным способом кривые показывают более ясно, чем таблицы чисел, как изменяются представляемые ими величины, где они возрастают, где убывают и насколько быстро. Когда же мы составляем две-три кривые на одном и том же чертеже, то имеем полную возможность сравнить между собою изменения различных величин. Пользуясь этим методом в обучении, мы можем преподать учащимся в наглядном виде идею изменения величин, приближения их к пределу и даже идею интегрирования. Ведь нельзя же сомневаться в том, что наглядное изображение имеет гораздо большую область влияния, чем отвлеченная мысль, да и, кроме того, полученные путем измерения таблицы чисел безусловно страдают неизбежными ошибками, которые на вычерченной кривой выступают отчетливо. Перевод табличных значений функции на графический язык часто дает возможность легко подобрать вид функции. Вычисление промежуточных значений (интерполяция), а также замена данной функции более простой могут быть проведены графически гораздо легче, чем аналитически. В области преподавания математики этот метод ценен именно тем, что позволяет соединить воедино три основные математические идеи — число, образ и формулу — в

одном основном понятии о функциональности. В технических же расчетах, когда функция задана непосредственно графически, часто излишне находить ее аналитическое выражение, и решение задачи производится прямо по графику. Укажем пример: в паровых машинах и газовых двигателях вычерчивается механически „индикаторная“ диаграмма, дающая измененения давления пара по обе стороны поршня. Для нахождения моментов действия силы на поршень простым наложением этих двух диаграмм находят точки пересечения их. Точно так же в настоящее время расчеты движения поездов делаются исключительно графическим методом. В настоящее время применение принципа замены функции ее графиком, употребление номограмм, т. е. чертежей, заменяющих таблицы и формулы, привело к целой науке номографии.

Подводя итог сказанному о ценности и значении существующих способов задания функциональной зависимости, нетрудно сделать вывод, что каждый из них имеет свои удобства и область специальных приложений. Поэтому средняя и высшая школа, воспитывающая функциональное мышление у учащихся, ведет изучение функций с трех сторон: составляется таблица значений функции, дающая основу знакомства с последней; вычерчивается график, позволяющий сразу одним взглядом охватить ход ее изменения в рассматриваемом интервале; составляется и изучается, с целью обоснования подмеченного закона, аналитическое выражение функции.

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР ВАЖНЕЙШИХ НАПРАВЛЕНИЙ В МЕТОДАХ И ОРГАНИЗАЦИИ ПРЕПОДАВАНИЯ ФИЗИКИ В БУРЖУАЗНОЙ И СОВЕТСКОЙ ШКОЛЕ

Проф. И. ЧЕЛЮСТКИН (Ленинград)

1. Начало научного изучения основ физики и использование экспериментально-исследовательского метода было положено и проведено, как известно, Галилеем (1564—1642 гг.).

Эксперментально-исследовательский метод в изучении природы вообще и, в частности, физики, обогащавший науку новыми открытиями в течение трехсот лет, достиг особенного развития и успеха за последние пятьдесят лет.

Необходимые для экспериментально-исследовательского изучения природы приборы делались либо самими исследователями, либо производились кустарным способом; и только в XVIII в. в Париже и Лондоне начинается индустриальное массовое производство мореходных, астрономических, угломерных приборов, хронометров и т. п.

По особому заказу отдельных исследователей начинается в то же время приготовление приборов для отдельных специальных наблюдений и исследований. Но только в конце первой половины XIX в., сначала в Париже, а затем и в других местах, начинается специальное приготовление демонстрационных приборов для экспериментального преподавания физики, сначала в высших, а затем — в конце второй половины XIX в. — и в средне-учебных заведениях.

2. До 80-х годов прошлого столетия в старой буржуазной школе преобладали книжно-словесные способы изучения физики при классно-урочной форме организации занятий. Изложение изучаемого материала велось в догматической форме.

Впоследствии к изучению по книге и к словесному преподаванию начали прибавлять записи на классной доске формул и их выводов, затем — схематические чертежи и рисунки. Все приборы и все опыты заменялись некоторыми чертежными набросками мелом на доске. Отсюда начинается хорошо известный „меловой период“ преподавания физики.

Такая „меловая физика“ особенно долго удержалась в русской дореволюционной школе. Этот „меловой период“ в русской школе длился почти до конца 90-х годов прошлого столетия, когда, наконец, стали раздаваться протестующие голоса против подобного изложения физики как основного предмета естествознания в средней школе. В первую очередь об этом заговорили в печати профессора физики Ф. Н. Шведов, О. Д. Хвольсон и Н. А. Умов, а также ряд преподавателей в Петербурге.

Таким образом, в конце 90-х годов прошлого столетия начинает получать в средней школе некоторое распространение демонстрация опытов и приборов, сопутствующая объяс-

нению преподавателя. Но „меловое преподавание“ физики еще долго продолжалось и было общим явлением даже в тех школах, где существовали физические кабинеты. В эти кабинеты изредка приводили учащихся, чтобы сразу показать несколько опытов. Но в большинстве случаев ограничивались демонстрацией только приборов.

Тем не менее, с конца XIX в. в методической литературе, на съездах и конференциях преподавателей физики ведется настойчивая пропаганда за экспериментальное преподавание физики. Мотивировка экспериментального преподавания физики была очевидна преподавателям физики и того времени. Опыты не только воспроизводят изучаемые явления, но и дают возможность установить связь между ними, т. е. выяснить законы, регулирующие процессы природы.

Здесь следует отметить основоположников экспериментального преподавания физики на самодельных приборах в упрощенной постановке — петербургских преподавателей физики Ковальского, Дубровского, Дрентельна и др., выступавших, начиная с 80-х годов, с соответствующими докладами на собраниях физиков и написавших книги по постановке экспериментального преподавания. Это направление возникло на почве борьбы за экспериментальный метод в неудовлетворительной обстановке преподавания физики в большинстве школ.

Следовательно, с конца XIX в. совершенно окрепла методическая мысль, что экспериментальная постановка преподавания, демонстрация опытов являются необходимым условием сознательного усвоения курса физики в средней школе. Поэтому совершенно понятно, почему профессора физики университетов вели пропаганду за экспериментальную постановку преподавания физики, так как они в своих университетах имели дело не только с плохо подготовленными студентами, но и с совершенно равнодушными к столь важной и интересной части естествознания, как физика.

В 1898 г. комиссия, работавшая под председательством проф. Н. А. Умова, по вопросам о мерах лучшей постановки преподавания физики в гимназиях выставила требование, чтобы в каждой гимназии и в каждом реальном училище были созданы физические кабинеты и оборудованы для постановки экспериментального преподавания. С этой целью комиссия составила список приборов и принадлежностей для нормального физического кабинета; она выработала также положения о подготовке преподавателей физики и о поддержании их знаний на уровне успехов преподавания физики в обстановке образцовых физических кабинетов, создаваемых в каждом учебном округе. Эти требования и соответствующие постановления о нормальных условиях преподавания физики настойчиво повторялись на собраниях физиков с 1900 до 1913 г. Некоторые столичные школы (преимущественно привилегированные) создали у себя очень хорошие физические кабинеты с необходимым числом физических приборов и с соответствующим техническим оборудованием.

Хорошее оборудование создавалась и в некоторых частных школах, готовивших классовую интеллигенцию, и особенно в коммерческих училищах — в связи с интересами торговли и развития капитализма.

Такие школы выписывали приборы и оборудование из-за границы (главным образом из Германии). В 1904 г. появилась книга Лукьянова „Физический кабинет средних учебных заведений“ (2 тома) в качестве „руководства к экспериментированию для преподавателей физики“. В этой книге имеются описания приборов и установок, изготовлявшихся главным образом германской фирмой Макса Коля. Затем появилась, в переводе с французского, книга Абрагам а—„Сборник элементарных опытов по физике“ составленный при участии многих физиков (1905 г.). Наряду с этими трудами переиздаются упомянутые выше и появляются новые книги по постановке упрощенных опытов по физике на самодельных приборах.

3. Под экспериментальным преподаванием физики в конце XIX столетия подразумевались не только демонстрации опытов и приборов, но и практические занятия учащихся в лаборатории.

В методической литературе за указанный период особенное внимание уделялось вопросу об экспериментально-лабораторных практических занятиях учащихся.

В 80-х годах прошлого столетия вопрос о практических занятиях учащихся в лаборатории впервые был поставлен в Америке и в Англии. Известный в свое время пропагандист эвристического метода английский проф. Армстронг (в 1884 г.) поставил вопрос о введении эвристического метода в преподавание естественных наук, доказывая, что этот метод „ставит учащегося в положение исследователя и позволяет открывать научные факты, вместо того, чтобы только слышать о них“*. Учащиеся должны быть привлечены к участию в собирании материала.

* Г. Армстронг — „Эвристический метод обучения“ (извлечение и перевод проф. Павлова, М. 1900 г.).

Поэтому учащиеся должны производить сами опыты и наблюдения. Следовательно, значительное место в преподавании физики и других отделов естествознания должно отводиться экспериментально-лабораторным занятиям.

Эта пропаганда в Англии под влиянием развивающегося капитализма нашла благоприятную почву и оказалась настолько успешной, что начали создаваться естественнонаучные средние учебные заведения, которые заняли прочное место в системе английского образования. В этих школах на первой ступени изучения физики занятия учащихся в лаборатории предшествовали теоретическому разбору изучаемой темы, а в старших классах— наоборот: лабораторные занятия следовали за теоретическим изучением отделов физики или отдельных тем. Отражение этой пропаганды под влиянием тех же социально-экономических условий имело место и в других странах: так, например, во Франции учебные планы 1902 и 1905 гг. содержат указания на введение в курс физики лабораторных практических занятий. А с 1905 г. во Франции также проводится большая пропаганда за введение при изучении физики лабораторных занятий. В Париже устраивается выставка приборов для таких занятий.

На Всемирной выставке в 1906 г. в Брюсселе демонстрируются приборы, приспособления, оборудования для лабораторных занятий, а также и тетради учащихся с соответствующими зарисовками и записями проведенных занятий.

Примерно в то же время в Германии, также под влиянием развивающегося капитализма и под впечатлением английского движения, развивается большой интерес к новым методам изучения естественных наук и, в частности, физики обновляются программы и методы преподавания; создаются высшие реальные школы, где устраиваются хорошие физические кабинеты для демонстрационного преподавания физики и проводятся практические лабораторные занятия учащихся в специально оборудованных аудиториях и лабораториях*.

Конечно, это не имело общего распространения; так ставилось преподавание физики в наиболее привилегированных школах. Но и в других школах была определенная тенденция поставить так же углубленно и основательно преподавание физики. Анкета, проведенная в 1907 г., уже констатировала, что демонстрационная постановка преподавания физики, увязанная с обязательными практическими лабораторными занятиями, охватывала Ю°/э учебных заведений.

Вплоть до империалистической войны в Германии постановка преподавания в указанном направлении быстро развивалась и достигла значительных успехов.

После революции в Германии, примерно с 1922 г., начинается переход от прежней системы отдельных самостоятельных предметов на новую систему „слитного“, или „интегрального“, преподавания, похожего на бывшую у нас комплексную систему преподавания. Эта реформа, проводимая на протяжении 1922 —1925 гг., перевела физику, как и другие предметы, из самостоятельного учебного предмета в предмет вспомогательный, связанный с группой других предметов, выбранных для проведения „слитного“ обучения в данной школе.

В результате такой организации занятий физика оказалась значительно урезанной по сравнению с недавним прошлым. Но зато практические лабораторные занятия по физике сделались обязательными для всех школ, и значительно увеличилось самое число лабораторных занятий*.

Однако экономические условия многих германских школ за последние годы таковы, что о дальнейшем развитии лабораторных занятий не может быть и речи; физические кабинеты некоторых школ настолько слабо оборудованы, что преподаватели вынуждены были перейти на прежнее, преимущественно лекционно-демонстрационное преподавание.

Из имеющейся литературы мы видим, что в буржуазных государствах наибольшее развитие постановки лабораторных практических занятий учащихся имеет место в американской школе, где примерно 50% времени отводится на лабораторные занятия и 50% — на преподавание с классными демонстрациями.

Начало распространения практических лабораторных занятий в Америке относится к

* В некоторых средне-учебных заведениях подзанятия физикой отводится от 5 до 8 комнат. Например, в одном гамбургском реальном училище, где в свое время вел занятия по физике известный методист-физик Гримзель, было отведено для преподавания физики 8 комнат с общей площадью в ЗОЭ к?. м; в другом гамбургском реальном училище — 7 комнат в 250 кв. м\ в Фридрихской реальной гимназии в Берлине, где вел занятия также известный методист-физик Ган, было отведено 5 комнат с площадью в 235 кв. м.

* На каждой ступени изучения физики проводятся 74 лабораторных работы, а на старшей—94. Список этих работ приведен в методике преподавания физики Карла Гана, вышедшей из печати в 1927 г. Подробное описание постановки этих работ имеется в методическом руководстве того же Гана и Коха, напечатанном в 1926 г. Большинство описанных опытов имеют большой стаж и выдержали двадцатилетнюю проверку.

1887 г., ко времени опубликования списка практических работ Гарвардским колледжем; а уже к 1889 г. „Комиссия десяти“, образованная „Национальной ассоциацией воспитания“ в своем постановлении указывает, что лабораторным занятиям должна быть уделена половина всех часов, отводимых на занятия физикой.

В каком соотношении должны находиться лабораторные занятия к классным занятиям? На этот вопрос в книге американского методиста-физика Мэнна: „Как учить физике в целях общего образования“, вышедшей в переводе на русский язык в 1925 г., мы находим такой ответ: „Многократно обсуждался вопрос, должны ли лабораторные занятия служить для проверки и иллюстрации фактов и законов, ранее изложенных в классе, или же факты и законы должны сначала демонстрироваться в лаборатории и затем обсуждаться в классе. Вывод из этих дебатов, повидимому, можно формулировать вопросом: что больше — шесть или полдюжины? В самом деле, если факты и законы сначала обсуждаются в классе, то ученики выполняют более сознательно лабораторные занятия, а если предшествуют лабораторные занятия, то ученики лучше усваивают преподаваемое в классе. Но при всем расхождении мнений по этому вопросу все согласны с тем, что классные лабораторные занятия должны быть связаны в хорошо координированный, простой и единый курс“*.

Что касается введения лабораторных занятий в русской дореволюционной школе, то впервые этот вопрос ставится на съезде преподавателей физико-химических наук в Москве в 1899 г., где было сделано несколько докладов о введении практических лабораторных занятий в курс средней школы. В 1900 году в Петербурге комиссия, работавшая по реформе средней школы, по докладу проф. О. Д. Хвольсона признала желательным введение практических занятий по физике. С тех пор этот вопрос постоянно дебатируется в методических журналах (особенно в журнале „Физическое обозрение“ с 1908 до 1915 г.), на съездах и в обществах преподавателей физики. Целый ряд преподавателей физики, не дожидаясь общего разрешения этого вопроса, на свой риск организует и ведет практические занятия со своими учащимися в некоторых школах.

В связи с этим появляются и методические руководства по постановке лабораторных занятий: Волоткевича (в Киеве, 1910 г.), Григорьева, Знаменского, Кавуна, Глинки (СПБ, 1910г.), Индриксона (СПБ, 1911 г.), Дрентельна (СПБ, 1913г.) и др.

Большое место этот вопрос о практических лабораторных занятиях занимает в работе съезда преподавателей физики, бывшего в Ленинграде в 1913 г. Здесь отчетливо формулируется положение, проверенное уже имевшейся практикой, что практические занятия являются не дополнением к курсу, а тесно с ним сплетаются и составляют органическую часть преподавания физики.

Вскоре после этого времени начинают выходить учебники по физике, в которых описание лабораторных занятий сливается с изложением систематического курса физики (например, учебник Бачинского, Кашина и др.).

Давая здесь исторический обзор главнейших направлений в методах и организации преподавания физики в буржуазной школе, мы остановились более подробно на введении практических лабораторных занятий наряду с демонстрационным преподаванием физики, потому что это направление в постановке преподавания физики на протяжении почти полустолетия имело решающее значение в изучении основ физики, в приобретении учащимися положительных знаний и прочных навыков.

В буржуазной школе стремление к введению экспериментальных лабораторных занятий имело целью привести учащихся от овладения формальными знаниями и навыками к более основательному и более углубленному усвоению физики и к приложению знаний по физике к технике и к практической жизни. В последнее десятилетие, например, в Германии — с введением системы „слитного“ преподавания — увеличение практических занятий в физической лаборатории имело в виду привести учащихся от изучения жизненных фактов к более умелому овладению и более широкому использованию приобретаемых в лаборатории экспериментальных навыков в решении практических и разнообразных технических, жизненных задач и вопросов.

4. Что касается экскурсий по физике, то история их совсем незначительна. Только в 1913 г. на I Всероссийском съезде преподавателей физики ставится серьезно вопрос об экскурсиях и прорабатывается довольно подробный план их. В резолюциях этого съезда мы читаем: „Усвоению курса физики, помимо практических занятий, весьма способствует

* К. Р. Мэнн—„Как учить физике в целях общего образования“ (Л., 1925 г.).

ознакомление учащихся на практике с различными техническими применениями физических принципов. Экскурсии для осмотра различных технических установок полезны, кроме того, и для общего развития учащихся“*.

В 1915 г. и в официальных кругах (см. материалы по реформе средней школы, изд. министерства народного просвещения в 1915 г.) ставится вопрос о желательности проведения экскурсий по физике на завод, электрическую станцию, в какую-либо мастерскую или в лабораторию — в качестве дополнения к классному экспериментальному изучению физики. И это почти все, что мы знаем о проведении экскурсий по физике в дореволюционной русской школе.

5. В заключение краткого исторического обзора о методах работы скажем несколько слов о пользовании учебником. При книжно-словесном преподавании физики учебник был почти исключительным способом изучения физики. Учебник считался как бы универсальным орудием для образования ума.

В „меловой период“ учебник также являлся главным пособием в домашней работе учащихся. Приготовление учащимися уроков сводилось к заучиванию страниц учебника и еще записок, диктовавшихся учащимся для объяснения непонятных терминов или сложных рисунков.

С развитием экспериментального преподавания физики появляются учебники с методически-выдержанным содержанием (например учебник Цингера), которые использовались не только для закрепления в памяти изучаемого в классе материала, но и для самостоятельной экспериментальной и другой проработки учащимися отдельных вопросов (например для решения задач).

С введением лабораторных занятий появляются учебники, в которых, как уже было сказано выше, наряду с систематическим изложением материала описывается и постановка лабораторных занятий.

Демонстрационное преподавание и экспериментальные практические занятия учащихся в лаборатории, сопровождаемые чертежами, рисунками и записями, давали хорошие результаты сравнительно с предыдущими методами преподавания. Здесь создалось новое, крайнее течение — игнорирование учебника.

При опытном преподавании, говорит один из противников занятий по учебнику*— «учебник как классное пособие во время урока, конечно, не имеет смысла, и, если бы преподаватель предложил прочесть после объяснения урока соответствующую статью учебника в классе, то это лишь в редких случаях помогло бы закреплению в памяти наблюденных фактов“**.

В другом месте тот же автор пишет: „К чему же сводится, в конце концов, роль учебника физики? В классе, во время урока, при опытном преподавании — он не нужен. Как пособие учащимся для домашнего приготовления уроков он не только бесполезен, но даже и вреден. Для самостоятельного же чтения нужен не учебник, а книги, специально составленные для этой цели“***.

Такие крайние суждения объясняются тем, что в то время не было методически-выдержанных учебников. С появлением, например, такого учебника, как учебник Цингера — „Начальная физика“ (1910 г.), указанные рассуждения о вредном значении учебника при приготовлении уроков отпадают.

6. Что касается форм организации учебных занятий в дореволюционный период, то преобладала почти исключительно классно-урочная форма. Эта организационная форма занятий создавалась, конечно, не для развития коллективизма в классных группах и в школе, не для внесения в ее работу, в ее организацию социальных начал, а исключительно по практическим соображениям—для экономии труда, времени, обстановки: дешевле одному учителю обучать сразу несколько человек, чем каждого в отдельности. Дети приходили в школу для индивидуальных занятий; занимались в одном месте, в классном помещении, при одном учителе или сменяющих друг друга учителях. Учитель, давая учащимся одни и те же знания, общую работу сразу всему классу, был заинтересован — с точки зрения своих педагогических принципов — в том, чтобы воздействовать непосредственно на каждого учащегося в отдельности.

На этом мы заканчиваем краткий исторический обзор важнейших направлений в методах и организации преподавания физики в буржуазной школе и переходим к такому же краткому обзору—в советской школе.

7. Что касается экспериментального преподавания, то с самого начала строительства советской трудовой школы во всех програм-

* К I Всероссийскому съезду преподавателей физики была составлена книга под заглавием „Экскурсии“, являвшаяся путеводителем для экскурсий, проводимых во время съезда.

* См. брошюру А. П. Аксюка — .Нужен ли учебник физики в школе“ (1904 г., стр. 23).

** Там же.

*** Там же.

мах Наркомпроса постоянно делались указания на экспериментальную постановку преподавания физики и необходимость оборудования физических кабинетов. В программах Наркомпроса от 1932 г. имеется наметка нормального оборудования физической лаборатории ФЗС и делается попытка политехнизировать оборудование кабинетов и приборов.

Если мы в настоящее время имеем не мало школ, в которых нет достаточного оборудования физических кабинетов (и как исключение— отсутствие кабинетов), то это объясняется, главным образом, чрезвычайно быстрым ростом школьной сети, сильным отставанием производства приборов от увеличения числа школ и другими временными затруднениями.

Значительную помощь при недостаточном оборудовании физических лабораторий преподавателям оказывали такие руководства по постановке опытов и оборудованию физических кабинетов, как книги: Красикова — „Упрощенные приборы по физике и опыты сними“ и Галанина—„Физический кабинет в начальной школе“. Обе книги появились в период строительства советской школы.

8. Если в дореволюционный период в русской школе обязательные лабораторные занятия по физике в учебные часы имеют место только в некоторых средне-учебных заведениях и проводятся за счет настойчивости и исключительной энергии отдельных преподавателей, то после революции лабораторные занятия сделались обязательными и составляют неотъемлемую часть курса физики. Во всех программах выпущенных Наркомпросом, начиная с 1919 г., отводится большое и видное место самостоятельным занятиям учащихся в физической лаборатории. Если же в некоторых школах — до последнего времени — эти занятия не получили должного распространения и осуществления, то причиной этого являются неблагоприятные материальные условия в отдельных школах или неподготовленность преподавателей к таким занятиям.

В 1926 г. появилась книга П. А. Знаменского „Лабораторные занятия по физике“ (в 1927 г. вышло 2-е издание); в этой книге почти весь курс физики в средней школе планомерно излагается на основе самостоятельных работ учащихся в физической лаборатории. Эта книга является хорошим справочником для преподавателя в его работе по постановке лабораторных занятий и дает ему возможность и в настоящее время, в случае надобности, увеличить число лабораторных работ сравнительно с числом работ, указанных в стабильных программах.

В учебниках, вышедших в последнее время (Горячкин а, Неймана и Соколика, Фалеева и др.), лабораторные практические занятия сливаются с общим изложением курса физики. То же самое имеется и в стабильных учебниках физики Фалеева и Перышкина, в которых (следует отметить) приведено все же недостаточное число лабораторных занятий для более углубленного изучения физики в средней школе.

Лабораторные практические занятия в советской школе, органически связанные с изучением систематического курса физики, дают преподавателям возможность прежде всего провести с учащимися более углубленно систематическое изучение курса физики, подвести их к более полному и более точному знанию основ физики и, таким образом, более отчетливо вскрыть перед учащимися диалектический характер физических явлений; затем — вооружить учащихся экспериментальными техническими навыками, необходимыми им для плодотворного участия в социалистическом строительстве.

9. В отношении применения экскурсий при преподавании физики можно сказать, что только после Октябрьской революции совершенно определенно и настойчиво ставится вопрос о необходимости проведения экскурсий по физике в производство и природу.

Во всех программах Наркомпроса, начиная с 1919 г., имеются не только мотивированные указания на необходимость проведения экскурсий по физике, но и даются некоторые методические указания и списки экскурсий.

В 1923 г. в Ленинграде была созвана экскурсионная конференция, которая рассматривала вопросы, связанные с экскурсиями учащихся на фабрики и заводы. После этой конференции в печати появляется целый ряд руководств по проведению производственных экскурсий.

10. Что касается учебников по физике, то в послереволюционный период первое время используются старые учебники (Цингера, Бачинского, Кашина и др.).

Затем с введением занятий по заданиям появляются „Рабочие книги“, назначение которых — заменить учителя. Материал в них распределяется по заданиям и темам. В них нет выдержанного систематического изложения курса физики, например: 1) „Рабочая книга по физике для седьмого года обучения“ Мериакри и др., изд. 1928 г.; 2) „Рабочая книга по физике для шестого года обучения“ Абкина и Преображенского, изд. 1928 г. ; 3) „Рабочая книга по физике для пятого года обучения“, тех же авторов, изд. 1928 г.

На смену „Рабочей книге“ с физическим материалом начали выходить “Рабочие книги“ с преобладанием технического материала, похожие на физико-технические хрестоматии (например, „Рабочая книга по физике для шестого года обучения“ Дорофеева и др., Гиз 1932 г., или „Рабочая книга для седьмого года. Физические основы электрификации СССР“ Неймана и Соколика, Гиз 1931 г. и 1932 г.).

В историческом постановлении ЦК о средней и начальной школе указывается, что наряду с применением разнообразных методов обучения преподаватель обязан всемерно приучать детей к работе над учебниками и другими книгами.

Что касается выбора учебников для занятий, то в настоящее время, как известно, имеется стабильный учебник, и тем самым для учителя отпадает довольно трудная, стоявшая раньше, задача о выборе наиболее подходящего учебника.

11. В период строительства советской трудовой школы, от классно-урочной формы организации занятий через так называемую „лабораторную систему („Дальтон-план“), механически перенесенную в советскую школу буржуазную форму организации занятий, сменившуюся затем „лабораторным планом“ с „бригадно-лабораторными“ методами работы, которые привели к так называемому „методу проектов“, стремившемуся к ликвидации учебных предметов, как таковых, мы пришли по названию к той же классно-урочной форме организации, но имеющей совершенно иные установки и цели, чем имела классно-урочная форма в дореволюционной школе.

В советской школе вся работа учащихся строится таким образом, чтобы она во всех конкретных моментах практического выявления строилась на коллективных началах. Организация учебно-образовательного процесса, методы его проведения в течение всего времени строительства советской школы сопровождались и сливались с работой по организации среды учащихся.

Даже в период увлечения организацией занятий по так называемому „Дальтон-плану“, являющемуся ярким выявлением индивидуалистической культуры, в советской школе шла настойчивая работа по развитию у учащихся коллективистических навыков; и в литературе и на педагогических собраниях указывалось на несовместимость „Дальтон-плана“ в чистом виде с принципами коллективного воспитания*.

В настоящее время — с восстановлением классно-урочной формы организации занятий в советской школе — укрепились групповые классные коллективы, являющиеся ячейками общешкольного коллектива.

Каждый классный коллектив не является случайным собранием детей: он строится на объединении общей классной работы, на объединении общих интересов и стремлений учащихся, на подчинении личных интересов отдельных учащихся интересам всей классной группы, на широком разделении труда и сложном сотрудничестве в классной, общешкольной и общественной работе школы.

На таких принципах и условиях в советской школе развивается в настоящее время классно-урочная форма организации занятий.

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ТРЕБОВАНИЯ К ПИСЬМЕННЫМ РАБОТАМ ПО ФИЗИКЕ

А. КАЛАШНИКОВ (Институт политехнического образования. Опытная школа им. Радищева)

При учебной работе по физике учащемуся приходится применять различные формы работы для усвоения материала. При этом письменные работы разных типов занимают значительное место.

Несомненно, основными формами работы, с помощью которых учащийся усваивает материал физики, являются: слушание объяснений преподавателя, наблюдение демонстраций, участие в беседе класса, проработка лабораторных работ, чтение учебника, решение задач на классной доске. Однако письменные работы в связи с этими формами усвоения учащимися учебного материала занимают также немаловажное место. Иногда к письменным работам учащихся по физике относятся как к неиз-

* Книга И. А. Челюсткина — ,Класс как трудовой коллектив“ (Гиз, 1927 г., см. главу I — „Организация классной работы по принципам трудового коллектива“).

бежному злу, которое скорее вредит учебной работе, чем помогает ей. Основанием для этого взгляда служит, во-первых, большое количество времени, которое тратят учащиеся при записывании материала по физике и, во-вторых, возможность закрепления орфографической неграмотности, поскольку ученические тетрадки не проверяются и не оцениваются преподавателем с этой точки зрения.

Такой взгляд на письменные работы учащихся по физике не является правильным, потому что усвоение учебного материала происходит значительно прочнее, если его записывать или конспектировать. Эффективность запоминания учебного материала становится значительно больше, если учащийся не только услышит и поймет, не только прочитает и разберется, но и запишет и проконспектирует изучаемый материал. Особенно большое значение запись учебного материала или конспектирование учебника имеет для учащихся, обладающих зрительной памятью. Независимо от индивидуальных особенностей, как показывают материалы Крауфорда, записи значительно помогают усваивать учебный материал. Крауфорд проводил эксперимент, в котором участвовал 131 учащийся. Учащимся было предложено заниматься теми методами, какие они находят нужными. Всем учащимся была дана по проработанной части курса контрольная работа. Оказалось, что те учащиеся, которые применяли в своей работе подробные записи и конспектирование, получили и высшую оценку контрольной работы.

„77 слушателей, делавших письменные заметки, имели среднюю оценку успеваемости, равную 5,37;

33 слушателя, делавших заметки в книгах, имели среднюю оценку успеваемости 5,03;

21 слушатель, не делавшие никаких заметок, имели среднюю оценку 4,91;

Средняя оценка всех 131 слушателя была равна 5,20“ (Крауфорд—„Методика умственной работы“).

Таким образом, письменные работы учащихся являются существенным моментом усвоения материала; особенно это относится к запоминанию формул и чертежей: переписывание формул и перерисовка чертежей значительно усиливают запоминание изучаемого материала. Поэтому мы должны культивировать в соответствующем объеме письменные работы учащихся, рационально организовав их проведение.

Все виды письменных работ, которые употребляются учащимися при изучении физики, мы можем разбить на три основные группы:

A) работы при изучении нового материала (записи бесед, лекций, конспектирование учебника и других книг);

Б) работы при повторении и закреплении материала (решение задач, вторичное конспектирование);

B) работы при учете изученного материала (письменные контрольные работы).

Разберем требования, которым должны удовлетворять вышеуказанные группы письменных работ.

Разберем прежде всего группу А, куда входит, главным образом, ведение классных и домашних тетрадей. Что и как записывать в этих тетрадях — вот основной вопрос, который требует определенного разрешения.

Исходя из того, что рационально проведенная запись помогает усвоению классной беседы, мы должны требовать, чтобы каждый учащийся вел такую запись в своей классной тетради. Для того чтобы такая запись организовывала мышление и память учащегося, необходимо обеспечить как со стороны преподавателя, так и учащегося наиболее рациональные формы. К таким формам записи мы должны относить четкое деление разбираемой темы на отдельные мелкие отделы, каждый из которых должен иметь заголовок. В младших классах средней школы (VI, VII) необходимо, чтобы эти заголовки формулировал сам преподаватель. Такие заголовки должны выделяться путем подчеркивания в тетради.

Далее, если преподаватель дает в своей беседе такой материал, который ученик не может найти в учебнике, он обязан предупредить класс о необходимости его записать и проконтролировать в конце урока запись на выборку в одной-двух тетрадях, чтобы удостовериться, что записано правильно. Если же материал беседы имеется полностью в учебнике, которым ученик может воспользоваться, то запись его должна ограничиться кратким конспектом. При этом, однако, необходимо требовать, чтобы в тетрадь были полностью занесены:

а) вывод формул и законов;

б) решение типовых задач;

в) чертежи, рисуемые учителем на доске, и схемы демонстрируемых приборов.

Для контроля этой работы целесообразно перед каждым следующим уроком требовать на выборку от 2—3 учащихся тетради на просмотр, давать указания относительно записей и ставить отметку за их правильное и аккуратное ведение.

Запись беседы в классе учащимися не должна превращаться в диктовку со стороны

преподавателя, за исключением младших классов средней школы, и то только в том случае, когда преподаватель сообщает материал, не имеющийся в учебниках и который надо знать в точных формулировках.

Можно рекомендовать всем учащимся (а от некоторых — слабо успевающих — требовать) краткое конспектирование того учебного материала, который задается на дом по учебнику. Если учесть, что по физике должна быть у учащихся только одна тетрадь для классной и домашней работы, то необходимо требовать, чтобы в ней были четко отграничены поперечной чертой записи, относящиеся к беседе преподавателя, и конспект домашней работы, чтобы можно было сразу видеть, как ведутся эти две формы записей, и можно было соответствующим образом их оценить.

Рассмотрим теперь письменные работы типа Б, т. е. работы при повторении и закреплении материала. В практике некоторых школ нет выделения в особую тетрадь решения задач и практических упражнений. Так называемая общая тетрадь по физике позволяет сразу обозреть всю работу учащегося по физике, как проделанную для записей бесед, так и для решения задач. Но решение задач по физике представляет собой особый вид учебной работы, и поэтому крайне желательно его выделить в особую тетрадь. Кроме того решение задач является обычным видом домашнего задания, который приходится преподавателю чаще всего проверять. Тетрадь для задач и практических упражнений по физике обязательно должна быть из клетчатой бумаги, что давало бы возможность легко строить различные графики.

При ведении этой тетради нужно придерживаться следующих правил:

а) задачи делятся по отделам физики, которые прорабатываются в данном классе; перед каждым таким отделом должен быть соответствующий заголовок;

б) внутри отдела рекомендуется делать подзаголовки, соответствующие определенным темам или параграфам учебника;

в) с левой стороны тетради пишется порядковый номер задачи (соответствующий порядковому номеру решаемой данным учащимся задачи); далее пишется шифр (если задача взята из учебника); в квадрате ставится номер параграфа, а рядом—номер задачи;

г) условия задачи записываются кратко;

д) все числовые данные из этого условия выписываются под условием вместе с их условными обозначениями, принятыми в данном курсе физики; решение задачи разбивается на вопросы;

е) каждый вопрос должен иметь письменную формулировку;

ж) в старших классах средней школы, как правило, решение вопросов должно быть в общей форме (алгебраическим), а затем, после приведения задачи к формуле, подстановка чисел и перечисление; в младших классах средней школы допустим и арифметический путь решения задач;

з) ответ каждой задачи должен быть помещен на правой стороне страницы в \г\2—2 см от края и подчеркнут;

и) там, где схема позволяет уяснить учащемуся физический смысл задач, необходимо требовать, чтобы такая схема при решении задач была начерчена;

Такие приемы решения и записи задачи рационализируют работу учащегося, облегчают контроль за выполнением решения и сосредоточивают внимание учащегося прежде всего на уяснении физического смысла каждой задачи.

Рассмотрим, наконец, третий тип письменных работ по физике — тип В, т. е. письменные контрольные работы.

Практика массовых и опытных школ выработала три вида письменных контрольных работ:

1) описательная контрольная работа на какую-либо одну тему, например закон Архимеда и его применение; тепловые машины, принципы их устройства и применение и т. д. ;

2) ряд вопросов по пройденному курсу (от 4 до 8) со включением одной-двух вычислительных задач;

3) измерители типа тестов успеваемости, включающие в себя от 20 до 30 заданий, составленных с применением обычной тестовой методики.

Каждый из этих видов имеет свои достоинства и недостатки, и определение рациональных форм этих видов должно стать предметом дальнейшей экспериментальной работы опытных школ. На основании учета имеющегося опыта можно дать следующие характеристики и требования по отношению к указанным выше типам контрольных работ.

Тематические контрольные работы дают возможность лучше, чем другие типы контрольных работ, охарактеризовать индивидуальные отличия в знании предмета, выясняют объем специальных слов и понятий, сосредоточенных около данной темы (характеризуют словарь ребенка), но с помощью их трудно сравнивать знания одного учащегося со знаниями других, поскольку они выражаются обычно в индивидуальных формах: их поэтому очень трудно обрабатывать.

Такие контрольные работы иногда следует давать в младших классах средней школы с целью выяснения индивидуального мышления по данному предмету. Для этой цели надо выбирать красочные, интересующие ребят темы.

В зависимости от характера проводимого учета эти контрольные работы можно давать в двух формах: в форме свободного сочинения (типа Шаррельмана) и в форме сочинения по плану, даваемому педагогом. В последнем случае обработка и сравнение знаний значительно облегчаются, но теряется возможность вскрытия индивидуальных различий.

Как правило, в старших классах средней школы этого типа контрольные работы не должны применяться, так как очень трудно найти объективный критерий оценки таких работ.

Контрольные работы типа вопросников наиболее распространены в современной массовой школе; но, как показывает разбор этих вопросников, они составляются без достаточно глубокого анализа того материала, который подлежит учету. Преподаватели, составляя вопросники, не устанавливают предварительно узловых моментов, которые надлежит вскрыть с помощью этих вопросов. Вопросы обычно даются в очень общей форме, на которые, следовательно, возможны и общие ответы; поэтому ученик, более распространенно ответивший на вопрос, по существу отвечает настолько же неправильно, насколько и ученик, давший краткий общий ответ. При оценке вопросов плюс-минус (а иная оценка чрезвычайно затруднила бы обработку) не получается выявления различий между слабыми и сильными учениками. Это особенно хорошо показывает опыт некоторых школ, где применялись подобные вопросники, причем оказалось, что так называемая диференцирующая сила их чрезвычайно мала. Отсюда и корреляция (связь) их с общей оценкой учителя незначительна (г =0,42).

Для того чтобы контрольные работы типа вопросников могли служить хорошим мерилом знаний данного класса и показывать различия в объеме этих знаний между отдельными учащимися данного класса, они должны составляться на основе следующих требований:

а) вопросники должны составляться на основе установления главных элементов, из которых складывается знание данной темы;

б) число вопросов должно быть не меньше 5 и не больше 8; меньшее число затрудняет диференциацию класса, а большее требует слишком много времени на написание;

в) из этого числа должны быть два легких, два средних и один трудный вопрос или три легких, три средних и два трудных;

г) оценка вопроса, если вопрос имеет одну трудность, при совершенно правильном ответе должна быть единицей; при наличии неполного ответа, но обнаруживающего наличие знания, допустима оценка — половина;

д) в число вопросов по каждой теме, по которой решались задачи, следует включать одну или две вычислительных задачи, причем они должны даваться в такой форме, при которой центр тяжести решения лежит в правильном применении физических закономерностей к практическому материалу, а не в математических операциях;

е) вопросы должны диктоваться или списываться с доски; лучше, однако, предварительно написать их на доске и затем диктовать классу;

ж) для того чтобы избегать списывания во время решения контрольной работы, возможно применять два варианта вопросника, причем диктовать два различных варианта двум соседним учащимся (т. е. одному продольному ряду учащихся — один вариант, а соседнему с ним ряду — другой вариант). Диктовка идет в перекрестном порядке (сначала первый вопрос одному ряду — учащиеся могут его обдумывать и решать, затем первый вопрос второго варианта — второму ряду, после этого второй вопрос — первому ряду и т. д.). Если два варианта составить затруднительно, тогда надо применить такое рассаживание учащихся, при котором сильные учащиеся сидели бы вместе, так же, как и слабые.

Чрезвычайно существенным моментом является методика построения вопросов, но она теснейшим образом связана с анализом знания по каждой конкретной теме программы. Поэтому детальное рассмотрение этих вопросов мы относим в другое место.

Измерители типа тестов успеваемости, будучи напечатаны, требуют от учащихся наименьшего количества времени на письмо; хотя формально их следует отнести к особому виду письменных работ по физике, однако центр тяжести применения их лежит не столько в особой организации письменных работ учащихся, сколько в предварительной разработке их на основе особой методики. Как показывает практика применения их в школе им. Радищева, учащиеся старших классов средних способностей решают измеритель, заключающий в себе 30

вопросов, в 1 час—1 час 20 минут, т. е. в среднем одно задание решается в 2lj2 минуты. При этом среднее количество слов, которое пишет учащийся, падающее на каждое задание, колеблется от трех до четырех. Следовательно, общая нагрузка чисто письменной работы здесь невелика; большая часть времени уходит на обдумывание и на припоминание. Поскольку печатные измерители знаний по физике пока недоступны массовой школе, постольку здесь нецелесообразно разбирать их построение и применение как особого вида письменной работы учащихся по физике.

Записи в тетрадях о беседах преподавателя обычно не вскрывают подлинной картины урока, как он проходил на самом деле. Если же попробовать применить силы учащихся для протоколирования урока во всех частях его проведения (что в старших классах вполне возможно), то для этой цели можно предложить ведение круговых тетрадей: одну — для записи классных уроков, другую — для записи домашних работ. Проведение их, как показывает опыт школы им. Радищева (далеко еще не совершенный), позволяет выяснять как общую структуру урока, так и средний объем домашних заданий, которые учащимся приходится выполнять. Круговые тетради являются, с нашей точки зрения, очень важной документацией, позволяющей преподавателю с той или иной степенью объективности судить о фактически проделанной им работе.

Очень важно установленные правила ведения письменных работ учащихся того или иного типа довести до сведения учащихся. Для этого было бы целесообразно применять вывешивание в классе (в физическом кабинете) доски под заглавием „Как надо вести письменные работы“. На этой доске должны быть даны: краткие правила ведения тетрадей, правила должны быть иллюстрированы соответствующими образцами. В качестве образцов на этой доске должны быть вывешены тетради для записей бесед с тремя градациями качества: хорошая тетрадь, средняя тетрадь, плохая тетрадь. Точно так же и в отношении тетрадей для решения задач. Такая доска служила бы справочным местом относительно того, как надо вести письменные работы, а, с другой стороны, она показывала бы те образцы оценок, которые преподаватель применяет при отметках за содержание тетрадей.

Вопросы о письменных работах по физике, разрешаемые в данной статье, нуждаются в детальной опытной проверке. Часть предложений является бесспорно установленной на основе опыта массовой школы, другая же часть является предложениями для дальнейшей проверки. Материалом для организации ее и служит в основном настоящая статья.

ЧАСТНАЯ МЕТОДИКА

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, ЗАИМСТВОВАННЫЕ ИЗ МЕХАНИКИ

А. ГРОШЕВ (Москва).

Элементарная геометрия обычно имеет дело с фигурами, не изменяющимися в процессе задачи. Между тем, если рассматривать деформацию или движение фигур, то можно получить ряд задач, интересных как с чисто математической стороны, так и с прикладной. Задача настоящей статьи — наметить ряд простейших вопросов из механики и теории механизмов, доступных для использования в средней школе в целях обогащения курса элементарной математики рядом полезных упражнений. При этом ни в какой мере не имеется в виду давать систематические сведения из механики; предлагаются только геометрические задачи на доказательство, вычисление и построение, связанные с деформирующимися или движущимися фигурами, для решения которых потребуются некоторые представления о движении и механизмах. Можно, кроме того, отметить, что все вопросы деформации фигур, затронутые в данной статье, сводятся к задачам на построение, отличающимся от обычных задач только неопределенностью (множественностью решений) и предположением непрерывной деформации фигуры.

Некоторые из предлагаемых здесь задач и вопросов можно вынести на занятия в классе, остальные мыслятся автором как упражнения для более сильных и интересующихся математикой учеников, как материал для ученической самодеятельности. Некоторые задачи, может быть, представят интерес и для преподавателей.

Рассмотрение простейших свойств движения, хотя бы только плоского, вполне уместно в курсе геометрии и может помочь самой геометрии. Я имею в виду прежде всего описание двух основных типов движения: поступательного и вращательного. Этими движениями геометрия пользуется (построение параллельных с помощью линейки и треугольника, построение окружности с помощью циркуля), и поэтому нелишним было бы их назвать ученикам и научить выделять в тех движениях, где они имеют место. Плоское вращательное движение не представляет трудностей для понимания, да и вращение в пространстве не требует много слов для объяснения. Поступательное движение как будто труднее для понимания учащихся и о нем, может быть, можно говорить только в старших классах средней школы и не в таких общих формулировках, как это сделано, например, для частного случая поступательного движения — параллельного перенесения в геометрии Бореля-Штеккеля. Начинать тут, конечно, нужно именно с этого частного случая, когда траекторией каждой точки является прямая. Хорошие примеры такого рода приведены в только что упомянутой геометрии. Шарнирный параллелограм с укрепленной одной стороной и движущимися другими дает хороший пример поступательного движения отрезка, концы которого явно движутся по окружностям.

Вот несколько примеров, относящихся к поставленным вопросам.

Задача 1. ABCD—шарнирный параллелограм. Вершины А и В неподвижны, стороны AÛ и ВС вращаются около точек А и В.

Черт. 1.

Доказать, что любая точка M стороны DC движется по кругу, и найти центр и радиус этого круга (черт. 1).

Задача 2. Треугольник ABC вращается в своей плоскости около вершины А. Доказать, что при любом повороте угол между начальным и конечным положением ВС равен углу между начальным и конечным положением AB или АС.

Задача 3. В плоскости даны два равных отрезка AB и А1В1 (черт. 2). Найти такую точку О, чтобы ДЛ£0 был равен /\АлВлО, т. е. чтобы вращением треугольника ОАВ около точки О можно было перенести отрезок AB в положение АгВг (теорема Шаля).

Задачу можно решать или обычным анализом, предположив, что она решена, или же на основании того сображения, что через точки А и А1% В и Bj пройдут дуги концентрических окружностей.

Задача 4. На равных окружностях О, 01% 02 нанесены точки Л, А1% А2 таким образом, что отрезки, соединяющие эти точки, параллельны соответствующим линиям центров (черт. 3). Доказать, что это построение возможно и что полученный треугольник ААЛА2 можно передвигать в плоскости таким образом, что все его вершины будут двигаться по окружности — вершина А по окружности О и т. д.

Движение с успехом может быть использовано в ряде задач по тригонометрии. Недостаточная подготовка наших учащихся по тригонометрии общеизвестна. В частности, крайне схематичны представления о функциях углов, превышающих 180°. Учащийся средней школы обычно имеет слабое представление о том, где и зачем употребляются эти углы и их функции, и потому относящиеся к ним сведения им усваиваются формально.

Предлагаемые ниже несколько задач могут быть использованы в целях борьбы с указанными недочетами.

Задача 5. Стержень OA вращается в плоскости чертежа вокруг точки О против часовой стрелки. Подвижный конец стержня соединен шарниром с ползуном А, движущимся по другому стержню ВС (черт. 4). Вращение OA вызывает вращение ВС вокруг точки В. Выразить длину ВА в зависимости от угла ср и доказать, что полученная формула верна при любом значении <р (имеется в виду tp> 180°). Положив ОВ = а и ОА = Ь, найти из полученной формулы наибольшую и наименьшую величину AB и сравнить полученный результат с чертежом. Определить длину той части стержня ВС, по которой скользит ползун А.

Задача 6, Кривошип* OA вращается вокруг оси О. Шатун AB скреплен шарнирами с кривошипом и с ползуном, движущимся по стержню MN (черт. 5). Положив ОА = а, АВ=Ь, расстояние ОС от О до MN равным d и считая b^>a-{-d% выразить расстояние ВС в зависимости от угла <р и убедиться, что полученная формула верна при любом положении кривошипа OA.

Задача 7. ABCD — шарнирный параллелограм (черт. 6), Е — ползун, скользящий по стороне AB. Сторона AB неподвижна. ВС колеблется около точки В. Определить угол наибольшего отклонения коромысла ВС

Черт. 2.

Черт. 3.

Черт. 4.

Черт. 5.

* Кривошипом в плоском механизме называется звено, вращающееся вокруг оси, проходящей через его конец. Если звено не может делать полного оборота, а только качается, описывая некоторый угол, то оно называется коромыслом.

от горизонтального положения (приняв за известные размеры ВС, AB, СЕ). Определить, при каких соотношениях между длинами AB, СВ, СЕ вычисленный угол окажется острым, прямым, тупым.

Задача 8. Клин В, опирающийся щекой на клин А, может двигаться в вертикальном направлении (черт. 7). На сколько подымется клин В кверху, если клин А подвинуть на b влево?

Задача 9. Равнобочный клин А соприкасается щеками с телами В и С, из которых первое неподвижно, а второе может двигаться в горизонтальном направлении (черт. 8). На сколько сдвижется вправо тело С, если клин А опустится на h вниз?

Две последние задачи полезно решить и геометрически, без применения тригонометрии, заменив в каждом случае данный угол а двумя данными линейными размерами.

Черт. 6.

Черт. 7.

Черт. 8.

Несомненный интерес с точки зрения математики представляет знакомство с так называемым шарнирным четырехзвенником (черт. 9), частным случаем которого, шарнирным параллелограмом, мы уже пользовались. Неподвижное звено этого механизма носит название стойки, или станины. Каждое смежное с ним звено может оказаться или кривошипом или коромыслом, в зависимости от размеров звеньев. О том, как влияют относительные размеры звеньев на характер их движения, говорит теорема Грасгофа (цитирую по .Теории механизмов“ проф. Столярова): шарнирный четырехзвенник может иметь два кривошипа или один кривошип, если сумма наибольшего и наименьшего из его звеньев не больше суммы остальных звеньев; при этом механизм получает два кривошипа, если стойкой сделать наименьшее звено, и один кривошип, если в стойку обратить звено, соседнее с наименьшим. При невыполнении указанных условий четырехзвенник имеет два коромысла.

Доказательство этой теоремы несложно и не выходит, по методу, из пределов элементарной математики. Разумеется, знакомить учащихся с этой теоремой нет надобности, но некоторые частные вопросы разобрать можно.

Задача 10. В четырехзвеннику ABCD (черт. 9) звено AB — стойка, AD — кривошип, ВС—коромысло, причем AD — наименьшее звено и АВ^>ВС. Доказать, что при этих условиях имеют место неравенства AD-h DC<AB-\-BC и DC — AD> AB — — ВС.

Доказательство основано на следующих соображениях. Коромысло ВС не может совершать полного вращения. Наибольшего отклонения от звена AB оно достигнет тогда, когда расстояние АС окажется наибольшим, и наименьшего отклонения от AB достигнет при наименьшем значении АС. Осуществив оба указанные положения на чертеже, легко получим требуемые неравенства. Следует отметить, что при некоторых частных усло-

Черт. 9.

виях эти неравенства могут обращаться в равенства.

Задача 11. В предыдущей задаче выразить расстояние АС через AD, DC и угол D. Выяснить по полученной формуле, при каких значениях угла D расстояние АС достигнет наибольшей и наименьшей величины. Сверить результат с чертежом.

Задача 12. При условиях задачи 10 доказать неравенство AD-\-AB<^DC-\-BCt придав четырехзвеннику надлежащее положение (в частном случае неравенство может обратиться в равенство).

Задача 13. Дано три колеса одного и того же радиуса, соединенные шарнирными параллелограмами, как показано на чертеже 10,

Черт. 10.

При вращении колеса А колеса В и С также вращаются. Доказать, что расстояние точки F от шатуна ED сохраняет постоянную величину.

На чертеже 11 изображен четырехзвенник, называемый антипараллелограмом. Звенья его попарно равны, а именно: AD==BC и АВ = = CD. Легко сообразить, что такую форму может принять вращающийся шарнирный параллелограм. Действительно, когда звенья параллелограма проходят через такое положение, когда они все располагаются по одной прямой, то может случиться, что один кривошип будет продолжать вращение в преж-

нем направлении, а другой — переменит направление вращения на обратное. Тогда получится то, что изображено на чертеже 12 (точно так же вращающийся шарнирный антипараллелограм может принять форму параллелограма). Изменение формы происходит при переходе механизма через так называемые мертвые положения, при которых кривошип и шатун располагаются по одной прямой. В технике существуют приспособления, мешающие переходу одной формы в другую.

Можно думать, что эта кинематическая связь параллелограма и антипараллелограма может заинтересовать любознательных учеников. Осуществить этот переход они могут как на чертеже с помощью циркуля и линейки, так и на модели, сделанной из полосок картона или бумаги.

Задача 14. В шарнирном антипараллелограме ABCD (черт. 11) одна из меньших сторон, например AB, неподвижна. Придать кривошипу ВС несколько различных положений и построить в каждом случае остальные стороны. Среди положений ВС, конечно, следует взять и такие, когда вершина С окажется ниже стороны AB. Сделать то же самое для антипараллелограма с закрепленной большей стороной. Предполагается, что антипараллелограм не переходит в параллелограм.

Задача 15. Обозначить на чертеже 11 точку пересечения сторон AD и ВС буквой О и доказать равенство треугольников ОАВ и OCD. Доказать, что сумма отрезков А О -f--f- OB при вращении антипараллелограма остается постоянной (т. е., что точка О описывает эллипс).

Задача 16. Какую форму имеет фигура ACDB, получающаяся на чертеже И отсоединения А с С и В с D? Через какие частные формы пройдет эта фигура при вращении механизма ABCD? Ответы доказать.

Задача 17. На чертеже 13 изображен четырехзвенник, называемый механизмом Галловея. Геометрически это дельтоит, т. е. AB = AD и BC = DC. Очевидно, если звено AB неподвижно, а звено AD вращается около точки А, то ВС тоже вращается около точки В. Доказать, что при переходе механизма через положение, когда все его звенья расположатся по одной прямой, не может произойти искажения формы фигуры, аналогич-

Черт. 11.

Черт. 12.

ного искажению параллелограма, о котором говорилось выше, т. е. доказать, что если точка D окажется ниже прямой AB, то и точка С будет ниже этой прямой.

Задача 18. Построить ряд положений механизма Галловея (черт. 13) и убедиться, что при повороте кривошипа AD на 360° (начиная от положения AB), кривошип ВС повернется на угол в 180°.

Задача 19. В механизме Галловея (черт. 14) AB = AD = a, BC=CD = b, углы а и ß отсчитываются в обычном направлении. Доказать соотношение

а • sin \ = b • sin(ß--^ )

и убедиться в том, что оно верно для всех положений механизма.

В заключение привожу три задачи, не связанные какой-либо общей темой.

Черт. 13.

Черт. 14.

Черт. 15.

Задача 20. Коромысло АС качается около оси А (черт. 15). Шатун BD в точке С скреплен с коромыслом, а в конце В — с ползуном, движущимся по оси AM. Оба скрепления шарнирные. Длина BD вдвое больше АС и BC=CD*. Доказать, что при качании коромысла точка D движется по прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной к AM.

Задача 21. По неподвижному кругу катится без скольжения другой, равный ему, круг. Доказать, что катящийся круг, сделав полный оборот около неподвижного, сделает два полных оборота около своего центра.

Эта задача достаточно известна и очень эффектна. В правильности утверждаемого ею факта легко убедиться на опыте, прокатив, например, две равные монеты одну по другой.

Для формального доказательства достаточно убедиться в том, что подвижный круг поворачивается вокруг своего центра на угол, вдвое больший, чем поворачивается линия центров относительно неподвижного круга.

Черт. 16.

На чертеже 16 дан неподвижный круг О и два положения подвижного 01 и 02. Легко убедиться в том, что радиус 02С отклонился от своего первоначального положения ОгА на угол C02N, вдвое больший угла поворота линии центров 02ООг

Задача 22. Имеем два круга с отношением диаметров, равным 2. Меньший круг катится по большему, соприкасаясь с ним внутренним образом. Доказать, что любая точка окружности меньшего круга движется по одному из диаметров большего круга.

Эта задача известна в механике под названием кардановых кругов. Ее решения, приводимые в курсах механики или высшей математики, достаточно просты, но элементарное решение еще проще, что бывает далеко не часто.

Привожу доказательство. На чертеже 17 даны два положения катящегося круга. Из условий задачи следует, что длина дуги AB равна длине дуги ВС, где С есть точка катящегося круга, совпадавшая при первом поло-

* На чертеже BC>CD.

жении с точкой А. Докажем, что точка С должна лежать на диаметре AAV

Так как отношение радиусов данных кругов равно 2, то из равенства дуг вытекает, что отношение их центральных углов равно половине, т. е. угол АОВ должен быть вдвое меньше угла СОгВу что как раз и будет иметь место, если точка С лежит на диаметре ААГ Если точку С предположить не на диаметре ААЛ, а в каком либо другом положении, то указанного необходимого равенства не будет. Следовательно, точка малой окружности, совпадавшая с Л, при качении круга, будет двигаться по диаметру ААг.

Кардановы окружности используются в технике для преобразования движения. Из качения одного зубчатого колеса по другому получается возвратное прямолинейное движение точки, лежащей на периферии катящегося круга (конкретный пример см. в „Математике для инженеров“ Фихтенгольца, ч. 1-я, стр. 307).

Приведенные задачи, конечно не исчерпывают взятой темы. Автор надеется, что ему удастся опубликовать еще некоторые, собранные им, материалы, относящиеся, главным образом, к вопросу о преобразовании фигур.

При составлении настоящей статьи было использовано большое количество учебников и задачников по теоретической и прикладной механике, но основными источниками служили : „Теория механизмов“ проф. Столярова и „Кинематика механизмов“ проф. Левенсона.

Черт. 17.

ОБРАТНЫЕ КРУГОВЫЕ ФУНКЦИИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

М. БЕРГ (Москва)

Ввиду того значения, которое обратные круговые функции имеют в анализе, особенно в интегральном исчислении, необходимо, чтобы абитуриенты средней школы, переходя в высшую школу, приносили с собою правильное представление об этих функциях и их основных свойствах. Успешное усвоение этого материала возможно только учащимися старшего класса, имеющими достаточное математическое развитие, и притом при непременном выполнении следующих двух предпосылок: 1) учащиеся должны уже ранее быть знакомы с понятием функциональной зависимости вообще и обладать навыком в исследовании простейших функций, как-то: линейной, квадратичной и т. п., с построением и чтением их графиков, иметь хотя бы интуитивное представление о непрерывности и случаях ее нарушения; 2) учащиеся должны иметь надежные познания по обычному курсу элементарной тригонометрии. Если первоначальные сведения о тригонометрических функциях в упрощенном виде почерпнуты из метрических соотношений в прямоугольном треугольнике, то они должны быть затем обобщены, и систематический курс элементарной тригонометрии должен базироваться на тригонометрическом курсе. Вместе с тем мы полагаем совершенно излишним вводить в этот элементарный курс понятие о радианном измерении углов: ведь конечной целью этого курса является выработка умения применять свойства тригонометрических функций и тождественные тригонометрические преобразования к решению треугольников, а также к таким задачам физики, где учащимся приходится пользоваться градусным измерением углов. Исходя из тех же соображений, считаем, что желательно не включать в элементарный курс тригонометрические уравнения, естественное место которых именно в отделе обратных круговых функций.

Главными моментами, на которых необходимо сосредоточить внимание при прохождении рассматриваемого нами раздела, являются нижеследующие: 1) выяснение самого понятия обратных круговых функций, их многозначности и области возможного изменения их аргумента; 2) выделение главных значений обратных круговых функций; 3) определение

зависимостей между главными значениями обратных круговых функций одного и того же аргумента; 4) определение общих выражений обратных круговых функций через их главные значения; 5) применение учения об обратных круговых функциях к решению тригонометрических уравнений.

Но прежде чем приступить к проработке указанного материала, необходимо остановить внимание учащихся на некоторых вопросах, относящихся к математическим (аналитическим) функциям вообще. Вычислительная математика имеет дело только с отвлеченными числами. Запись вида у=/(х) фиксирует функциональную зависимость между двумя отвлеченными числами х и у, из которых второе изменяется в зависимости от изменения первого. Эта мысль легко выясняется на примерах. Если у = х2, то эта запись имеет самодовлеющий отвлеченный смысл. В нее может быть вложено то или другое конкретное содержание, например у может выражать площадь квадрата со стороною хл но может выражать и путь, пройденный во время X при постоянном ускорении, равном двум единицам. Или У = — может выражать высоту параллелограма, равновеликого квадрату со стороною а и имеющего основание л:, но может выражать также силу электрического тока при электродвижущей силе а2 и сопротивлении х. Итак, каков бы ни был конкретный смысл исследуемых геометрических или физических величин, зависимость между ними выражается уравнением, содержащим только отвлеченные числа. Те же соображения должны быть применены и к тригонометрическим функциям: если мы черпаем представление о них из геометрии, то из этого представления должна быть сделана абстракция; чтобы тригонометрические функции полностью обладали характером других математических функций, мы должны мыслить их как отвлеченные числа, уже не связанные с теми геометрическими образами, из которых они получились, и аргументом их уже не должен быть угол, а должно быть некоторое отвлеченное число, способное изменяться. Это число может быть истолковано как отношение длины дуги центрального угла к радиусу, но как аргумент функции должно мыслиться независимо от этого толкования. Самые знаки sin, cos... получают при этом смысл знаков определенных вычислительных операций. Так, если у = sin jc, то мы имеем дело с двумя переменными числами х и у, из которых второе получается как результат операции, указываемой знаком sin и выполненной над первым. Какие именно вычисления следует выполнить над числом ху чтобы получить у = sin ху это — вопрос довольно сложный, с котором учащиеся познакомятся при изучении высшей математики, но он не сложнее вопроса об операциях, указываемых хотя бы знаком логарифмирования, например в уравнении у= lg2 х.

Выставленное требование, вытекающее из нашего общего представления о математических функциях вообще, и заставляет сделать переход от градусного измерения углов к радианному: размер угла определяется отвлеченным числом, выражающим отношение дуги к радиусу. Необходимо проделать ряд упражнений для полного закрепления этого нового для учащихся способа выражения аргумента тригонометрических функций, причем рекомендуется большую часть упражнений подбирать так, чтобы не было надобности в использовании таблиц тригонометрических функций. В результате такой проработки учащиеся должны безошибочно определять числовые значения тригонометрических функций при таких числовых значениях аргумента, как О, ± тг, ЧЬ у я, но совершенно избегать использования таблиц также не следует: полезно будет подсчитать, например, sinl, tgl, siny, tg у и т. д. Проделав ряд подобных примеров, необходимо еще раз остановить внимание на новом их истолковании: если sin -g- = у, то это значит, что совокупность вычислений, обозначаемая символом sin, будучи выполнена над числом-^ Ш 0,5236, приводит к результату -j; если tg-|-= 1, то операция, обозначаемая знаком tg, выполненная над числом -j = 0,7854.., дает в результате число 1, и т. д. На этом месте прохождения курса учащиеся должны быть ознакомлены с графиками тригонометрических функций, которые они могут строить или измерением циркулем соответствующих отрезков на тригонометрическом круге или при помощи числовых данных, взятых из таблиц тригонометрических функций.

На изложенном однако еще не заканчивается подготовительная работа к прохождению

главы об обратных круговых функциях: необходимо на примерах более простых функций выяснить общее понятие о взаимно-обратных функциях. Естественно начать с конкретных задач: если площадь квадрата определяется длиною его стороны, то, обратно, величиною площади определяется длина сторэны квадрата; если высота падения тела есть функция времени, то, обратно, по данной высоте падения можно определить время падения. Из подобных примеров выводим определение понятия взаимно-обратных функций, а именно: функция, обратная данной функции, определяет числовые значения аргумента данной функции по данным числовым значениям самой данной функции. От конкретных примеров переходим к аналитическим.

Если у = 2х -J- 1, то X = у~ 1 ; если у = лг2 -f- 3, то X = ± [/у — а. Второй из приведенных примерjb вместе с тем дает возможность указать на то, что однозначная функция может иметь обратную ей многозначную функцию — в данном примере двузначную; кроме того — еще и на то, что область изменения независимого переменного может оказаться ограниченною—в данном примере у^ 3, так как данная функция лг = + \/у — 3 перестает быть действительною при у<^3, принимая мнимые значения.

Выяснив на таких примерах понятие взаимно-обратных функций (иногда смешиваемое учащимися с понятием о взаимно-обратных числах и величинах), желательно доказать, что графики взаимно-обратных функций симметричны относительно биссектрисы координатного угла.

Изложенным материалом исчерпывается подготовка к изложению учения об обратных круговых функциях. К нему мы и переходим.

1. ОБРАТНЫЕ КРУГОВЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ МНОГОЗНАЧНОСТЬ

Изложение должно исходить из построения углов, соответствующих данному числовому значению одной из тригонометрических функций: такие построения известны учащимся из элементарного курса тригонометрии. Строятся, например, углы, синус которых равен , или, например, тангенс которых равен 1. Каждому данному числовому значению одной из тригонометрических функций соответствует бесконечная серия вполне определенных углов; например, если sin а = -у, то для а получаются значения 30°, 150°, 390°, 510° —210э...Каждому из этих углов соответствует определенная величина отношения длины дуги к радиусу, как-то: —, , -g- ... Итак: если дано числовое значение одной из тригонометрических функций, то им определяются числовые значения отношений бесконечной серии дуг к радиусу; можно сказать, что отношение длины дуги к радиусу есть функция тригонометрической функции этого отношения; но эта функция имеет не одно определенное числовое значение, а бесконечное множество определенных значений: она многозначна. Таким образом, приходим к определению: обратными круговыми функциями называются функции, определяющие отношение длины дуги к радиусу по данной величине одной из тригонометрических функций угла, соответствующего искомому отношению дуги к радиусу. Вводятся обозначения обратных круговых функций, понимаемых в этом общем смысле: Aresin ArccosAT, Arctg Ху Arccotg^r. Учащиеся должны понимать, что аргументом х этих функций является числовое значение соответствующей тригонометрической функции,что sinn Aresin, tg и Arctg являются символами взаимно-обратных операций в том же смысле, как, например, знаки возведения в степень и извлечения корня. Уместно будет теперь же дать графики обратных круговых функций, отмечая при этом, что в случаях Aresin л: и Arccosx аргумент, как выражающий величину синуса или косинуса, может изменяться только в пределах от—1 до так что графики этих двух функций заключены между двумя прямыми, параллельными оси ординат и отстоящими от нее на 1. В случаях Arctg х и Arccotg X аргумент х может изменяться от— со до 4-°°i так как соответствующие тригонометрические функции могут принимать произвольные числовые значения.

Полезно будет проделать такие примеры, как tg Aresin ~ = 4- ^- cos Arctg 1 =4- ; cotg Arctg2~=2, с указанием на многозначимость аргумента определяемых в них тригонометрических функций.

2. ГЛАВНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ОБРАТНЫХ КРУГОВЫХ ФУНКЦИЙ

Для выделения главных значений обратных круговых функций желательно параллельное использование чертежа тригонометрического круга и графиков тригонометрических функций и обратных круговых функций.

Рассматривая изменение дуги от — ~ло -f- _|_ L_> мы замечаем, что в этом интервале изменения дуги х ее тригонометрические функции sin X и tgx принимают последовательно все возможные для них числовые значения: sin X изменяется от—1 до-f- 1, tgx от — оо до -j- оо, и притом непрерывному изменению дуги X соответствуют непрерывные же изменения sin х и tg х. Обратно: каждому данному числовому значению синуса или тангенса соответствует единственная дуга в указанном интервале от—^~до-]—j, т. е. каждому данному значению х соответствует единственное значение многозначных функций Arcsin X или Arctg х, заключенное в интервале от—Такие значения и называются главными значениями рассматриваемых двух функций и обозначаются через arcsin X и arctg лг.

Итак, — “yj — arcsin х = ~Ь \ >

Если бы мы выделили для дуги интервал от 0 до тг, то для синуса получили бы только положительные значения; для тангенса получили бы все возможные значения от О до -f- оо , но при дуге -я- получился бы разрыв непрерывности.

Итак, условия, которым удовлетворяют выделенные нами функции arcsin.х и arctg.v, являющиеся главными значениями многозначных функций Arcsin л: и Arctgх, следующие:

1) они однозначны и непрерывны для всей возможной области изменения аргумента х, причем в случае arcsin х имеем:— в случае arctg х область изменения аргумента неограничена ;

2) они заключены в интервале от--^ до +|.

Необходимо проделать ряд примеров на определение числовых значений arcsin х и arctg X при разных положительных и отрицательных значениях дг, подбирая последние так, чтобы большинство примеров решалось непосредственно без помощи таблиц тригонометрических функций. Самые примеры желательно записать в виде двух таблиц, из которых явствовало бы, что положительным значениям х соответствуют положительные же значения arcsin х и arctgх — и обратно, и что возрастанию х соответствуют возрастания рассматриваемых функций.

Переходим к выделению главных значений многозначных функций arccos л: и arccotg х. Пользуясь опять чертежом тригонометрического круга и графиками данных функций, легко показать, что интервал Ç— у, -}- является неприменимым в данном случае, так как при изменении дуги в этом интервале cos X приобретает только положительные значения, a cotgA: при х = 0 претерпевает нарушение непрерывности.

Подходящим является интервал от 0 до тг: в этом интервале содержится единственная дуга, соответствующая данной величине косинуса или котангенса, причем непрерывному изменению этих тригонометрических функций соответствует непрерывное изменение дуги.

Таким образом: О S arccosх^тг; О^агс-cotgA^tt. Эти две функции, в противоположность возрастающим функциям arcsin х и arctg X, убывают с возрастанием аргумента. При положительных значениях аргумента они меньше при отрицательных — больше ~. Ряд проделанных примеров должен закрепить эти представления.

3. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ГЛАВНЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ ОБРАТНЫХ КРУГОВЫХ ФУНКЦИЙ ОДНОГО И ТОГО ЖЕ АРГУМЕНТА

Этот вопрос проще всего выясняется на тригонометрическом круге, но желательно повторить выяснение его на соответствующих графиках функций.

На чертеже вычерчивают дуги АМЛ и ANl% соответствующие положительному значению (дгд) аргумента функций arcsin л: и arccos х; на том же чертеже строят отрицательную дугу АМ2 и положительную дугу AN2, изображающие arcsin X и arccos х при отрицательном значении аргумента (л'2). В обоих случаях доказывается на основании равенства соответствующих треугольников, а также теоремы о равенстве дуг при равенстве центральных углов, что алгебраическая сумма построенных двух дуг AM и AN равна

Итак :

Случаи положительного и отрицательного значения аргумента х лучше дать на отдельных чертежах.

С помощью чертежа изображается вывод аналогичного уравнения для arctg л; и arccotg*:

arctg X -f- arccotg x = .

Полезно проверить выведенные уравнения на некоторых частных значениях; например, первое уравнение при х, равном

второе — при x, равном

Необходимо подчеркнуть, что эти уравнения имеют силу только для главных значений обратных круговых функций,

В некоторых учебниках приводятся еще соотношения:

Но к этим соотношениям следует подходить с большой осторожностью: они безусловно правильны только при х^ 0; при лг<0 первое выражение равно третьему и второе — четвертому, что непосредственно вытекает из сравнения интервалов, указанных выше для главных значений обратных круговых функций.

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЩИХ„ ВЫРАЖЕНИЙ ОБРАТНЫХ КРУГОВЫХ ФУНКЦИИ ЧЕРЕЗ ИХ ГЛАВНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

Связь между общими выражениями и главными значениями обратных круговых функций также выясняется из построений на тригонометрическом круге или на графиках этих функций и выражается различно для различных функций.

Начнем с arcsinjc. Обозначим главное значение этой функции через^, так что.у0 = arc sin*. Из тригонометрии известно, что две дуги, дающие в сумме полуокружность, имеют равные между собою синусы: sin (it—У0) = = sn.y0. Таким образом, получаем, кроме у0, еще дугу тг — у0, соответствующую данной величине синуса. От прибавления к дугам у0 и я — у0 дуг, содержащих целое число окружностей, получаем неограниченное число дуг, соответствующих той же величине синуса. Обозначая эти дуги через у2, имеем

где к— произвольное целое число, положительное или отрицательное.

Второе из этих выражений может быть преобразовано:

у2 = (2к-\-\) тг— у0;

уг = 2кп+у0.

Эти два выражения отличаются друг от друга тем, что в выражении ул число тг множится на произвольное четное число и к этому произведению прибавляется у0, между тем как в выражении у2 число тг множится на произвольное нечетное число и из этого произведения у0 вычитается.

Два выражения могут быть объединены введением множителя при у0, обращающегося в -h 1 при четном множителе числа тг и в—1 при нечетном кратном я. Таким множителем является (— I)“, если множитель при тг обозначим через п.

Итак, вообще у = ъ-п -\-у0 (—1)л, или

arcsin x = я • п -|- (— 1)л • aresin х.

Переходим к arecos*. Если опять введем обозначение з>0 = агссоз дг, то заметим, что при перемене знака дуги ее косинус не изменяется; поэтому данной величине косинуса соответствует еще дуга—у0. К каждой из дуг у0 и—у0 можно прибавить 2гг-я, не изменяя величины косинуса. Получаем общее выражение искомых дуг 3/ = 2я«л + у0, или Arccos х = 2тх-п + arecos х.

Еще проще обстоит вопрос для arctg л: и arccotg лг. Определив главные значения этих функций, достаточно прибавить к ним произведение я на произвольное целое число, положительное или отрицательное, чтобы получить общие выражения этих функций:

arctg x = я • п -J- arctg х ; arccotg к — = я • п -f - arctgjc.

Необходимо проделать ряд упражнений в определении общих выражений обратных круговых функций и в выделении тех значений их, которые заключены между данными пределами, например между 0 и Зя, между — — 2 я и -|- 4 я.

5. ПРИМЕНЕНИЕ УЧЕНИЯ ОБ ОБРАТНЫХ КРУГОВЫХ ФУНКЦИЯХ К РЕШЕНИЮ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Тригонометрическими уравнениями называются уравнения, в которые входят тригонометрические функции подлежащего определению угла или нескольких углов. Решить тригонометрическое уравнение значит — найти общее выражение тех углов, тригономет-

рические функции которых удовлетворяют данному уравнению. Соответственно установленному нами отвлеченному пониманию тригонометрических функций, мы можем неизвестное тригонометрического уравнения понимать как отвлеченное число, тригонометрические функции которого, входящие в уравнение, его определяют.

Простейшим видом тригонометрических уравнений являются уравнения, содержащие только одну из тригонометрических функций искомого угла. Более сложными являются уравнения, содержащие несколько тригонометрических функций одного или нескольких углов.

Решение уравнений первого вида состоит из двух частей: 1) чисто алгебраической — определения числового значения той тригонометрической функции, которая входит в данное уравнение, и 2) определения общего выражения угла, соответствующего найденному числовому значению этой тригонометрической функции.

Для пояснения решим пример: 2cos3<p— —3 cos2cp —2 cosep = 0.

Или: cosep (2cos2cp—3 cosep— 2) = 0.

Получаем: 1) coscp = 0;

Итак, для cosep мы получили три значения: 0; 2; —

Второе из них отбрасываем, как не имеющее смысла.

Остается : или cos ср = 0 или cos ср = — ^-.

Обозначая соответствующие величины искомого угла через ср2 и <р2, получаем:

где п — произвольное целое число.

Поверка решения получается подстановкой числового значения cosep в данное уравнение.

Если задача, решаемая при помощи тригонометрического уравнения, по своему характеру накладывает некоторые ограничения на величину искомого угла, то из общего решения должны быть выделены те значения для угла, которые удовлетворяют этим ограничениям. Если, например, искомый угол ер решенного сейчас уравнения должен быть углом треугольника, т. е. быть больше нуля и меньше тт, то из найденных нами углов только один является решением задачи, а именно ср = £-тг, т. е. искомый угол содержит 120°.

Если уравнение — более сложного состава, т. е. или содержит различные тригонометрические функции искомого аргумента или тригонометрические функции нескольких аргументов, связанных с искомым простым соотношением, то решение его должно быть направлено на то, чтобы левая часть уравнения, приравненная нулю, распадалась на сомножители, из которых каждый содержал бы только одну функцию и притом только одного переменного. Поясним сказанное на примере: sin Зх = sin X.

Даем два способа решения.

Способ 1. Выражая sin За; через sin х, преобразовываем уравнение к виду

или

Получаем

Вторая группа решений несомненно удовлетворяет уравнению.

Первое решение сомнительно; хотя при x = Ti-n обе части данного уравнения и обращаются в нуль, но при изменении х и стремлении его к пределу тт-/г отношение sin3* к sin а: не стремится к единице, а имеет своим пределом число 3

В зависимости от смысла задачи, приводящей к данному уравнению, решение или может быть допущено или должно быть отброшено.

Способ 2. sin За: — sin х преобразовываем в произведение и получаем после сокращения на 2

sin X -cos 2а: = 0.

Уравнение распадается на два уравнения:

Выражения для х те же, что при первом способе решения.

Преобразовывая тригонометрическое уравнение, следует по возможности избегать таких операций, которые могут приводить к исчезновению решений или появлению лишних решений, не удовлетворяющих данному уравнению, например — возведения уравнения в степень, умножения и деления на выражение, содержащее неизвестное. Но если ход решения потребовал таких операций, то необходимо исследовать вопрос о равносильности или неравносильности данного и преобразованного уравнений.

Вообще, решение тригонометрических уравнений— вопрос, требующий большой осмотрительности, которая может быть выработана лишь на фоне понимания теории алгебраических уравнений.

Что касается времени, потребного на прохождение статьи об обратных круговых функциях в связи с тригонометрическими уравнениями, то оно, конечно, зависит от степени подготовленности учащихся, но и при высоком уровне развития класса требуется, по нашему мнению, не меньше 24 часов классной проработки и столько же для домашних упражнений.

ПЕРВЫЕ УРОКИ ПРИ ПРОХОЖДЕНИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

В. ЕФРЕМОВ (Москва)

Предлагаемая статья не содержит никаких открытий. Цель — ее поделиться с молодыми начинающими преподавателями своим опытом по вопросу о методике решения тригонометрических уравнений. Необходимость настоящей статьи диктуется тем, что: 1) до сих пор мы не имеем методики тригонометрии, откуда можно было бы почерпнуть нужные сведения; 2) в самих учебниках тригонометрии по этому вопросу дается слишком мало указаний.

В учебнике Рыбкина, как в старом (§ 71—73), так и в новом, стабильном издании (§ 70 — 72), о тригонометрических уравнениях впервые говорится после прохождения всей гониометрии. И в то же время сами уравнения в задачнике того же Рыбкина помещены в самом начале, до вывода формул соотношения между функциями одного угла. Таким образом, получается какая-то неувязка: решай тригонометрические уравнения, не отдавая себе отчета ни в том, что такое тригонометрическое уравнение, ни что значит — решить его.

В других, наиболее известных учебниках тригонометрии : Шмулевича (как в старом дореволюционном, так и в издании 1928 г.), Крогиуса, Пенионжкевича, Гебеля, Билибин а, Бореля, Ребьера, Виноградова, Кильдюшевского, Пиопуговского, мы не встречаем такой непоследовательности. В них просто и задачи и само знакомство с тригонометрическими уравнениями отнесены к концу гониометрии, с чем мы не можем согласиться. Решение уравнений в тригонометрии, по нашему мнению, должно проводиться (как и в алгебре) на протяжении всего курса, так как оно дает благодарный материал для упражнений в выводимых формулах. Такой взгляд проводится в старых учебниках Пржевальского и Слетова и в наших лучших „Рабочих книгах“ :Гангнуса, Брусиловского, Гуревича и Минорского.

Автор статьи является сторонником того взгляда на преподавание тригонометрии, при котором сначала проходится (как особая глава планиметрии) ознакомление с тригонометрическими функциями острого угла и решаются прямоугольные треугольники, а уже затем начинается прохождение гониометрии.

В решении тригонометрических уравнений мы различаем два момента: 1) нахождение значения какой-нибудь тригонометрической функции (собственно говоря, решение алгебраического уравнения) и 2) нахождение значения аргумента. В то время как первый момент, как мы уже упоминали, должен последовательно проводиться на протяжении всего курса гониометрии, начинаясь тотчас же после ознакомления с тригонометрическими функциями любого угла, второй момент должен быть проработан целиком в самом начале гониометрии.

Этой проработке и посвящается настоящая статья. Наиболее удобным путем нам представляется следующий.

Дав обобщение понятия угла, мы во всем дальнейшем уже не должны отступать от него и, указывая на чертеже угол в d градусов, мы должны требовать от учащихся ответа в общем виде: d-4-360°/г. Здесь удобно дать такую задачу: вписать в окружность правильный мноугольник и, приняв одну из его вершин за начало дуг, указать общий вид дуг, имеющих конец в каждой из остальных вершин. Для домашней самостоятельной проработки полезно дать задачу № 6 в § 1 нового стабильного издания задачника Рыбкина, на который мы в дальнейшем и будем ссылаться.

После этого необходимо решить задачу №21 из § 2, в которой требуется по общему виду углов написать несколько их частных значений. Запись частных значений мы делаем в виде таблички такого вида:

ЧАСТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ УГЛА а=15°-Ы2Ээ«

п

0

1

2

3

—1

—2

а

15°

135°

255°

375°

-105°

—225 .....

Тут же мы отмечаем, что иногда из частных значений нужно указать лишь те, которые находятся в определенных границах, например от 0° до 360°. Тогда таблица укорачивается и будет иметь вид:

п

0

1

2

а

15°

135°

255°

Второй момент в подготовительной к решению тригонометрических уравнений работе мы имеем при решении задач на построение угла по данному значанию его тригонометрической функции (§2, №17—20). При решении этих задач мы ограничиваемся лишь геометрической стороной вопроса, построением. Но при этом мы подчеркиваем наличие в пределах одной окружности двух углов, имеющих одно и то же значение тригонометрической функции. Здесь нелишне обратить внимание учащихся на своеобразное сходство решения этой геометрической задачи на построение, при котором мы получаем два угла, с решением квадратного уравнения, при котором получаются также два корня. Сходство это еще усиливается, когда мы от общего случая переходим к частному. При значении дискриминанта, равном нулю, оба корня квадратного уравнения х^ = —tj-— и Хо=—г,-сливаются в один: л:=—— .

Также и при некоторых частных значениях тригонометрических функций, например sin л:= 1, мы получаем не два, а лишь один угол. Полезно при этом показать расположение точек, служащих концами искомых дуг, последовательно для случаев: sinх — =0,8; 0,9; 0,95, и отметить их стремление слиться в одну, при приближении значения синуса к 1.

После этих предварительных упражнений мы имеем достаточную подготовку для того, чтобы приступить к решению простейших тригонометрических уравнений. Конечно, мы предварительно даем определение тригонометрического уравнения, указывая разницу между уравнениями: atg2x-\-bïgx-|-с= О и x2tga -f- xtgQL-\-c = 0> где а есть известная величина. Оба уравнения являются квадратными, но второе является квадратным относительно X, в то время как первое будет также квадратным, но относительно tgje, относительно же X оно является уравнением тригонометрическим. Полезно напомнить аналогичный случай в алгебре с уравнениями, содержащими радикалы, например: b\f х= 1 и XY 3 —1=0. В то время как первое оказывается иррациональным, второе является уравнением 1-й степени. Указываем, что решить тригонометрическое уравнение значит— найти угол. Всякое тригонометрическое уравнение может быть приведено к одному из трех простейших уравнений:

sin X = т; cosx=m; tgx = m.

В первых двух уравнениях m может иметь значения лишь от — 1 до -f- 1 ; в третьем под m подразумевается любое действительное число.

Решение этих простейших тригонометрических уравнений удобнее всего начинать с третьего, как дающего наиболее простой ответ. Берем уравнение: tgjt = 2,6. Ответ мы находим построением угла и его измерением, в случае надобности, транспортиром. Но здесь уже мы не ограничиваемся лишь построением, а предлагаем учащимся дать ответ в общем виде для обоих построенных углов:

лг3 =69° + 360°. п и лг2 = 249°4-360°-л.

Затем обращаем внимание учащихся на то, что оба эти ответа легко могут быть объединены в один:

и напоминаем, что период тангенса равен 180°.

После этого вызываем к доске кого-либо из учащихся и предлагаем решить уравнение: tgx =— 6. На этом уравнении показывается, что „главным“ углом при записи общего вида решения обыкновенно берется наименьший по абсолютной величине, т. е. в данном случае отрицательный. Устанавливаем здесь же границы: — 90° и + 90° для главных значений углов в уравнении tgx = m. На уроке выгодно решать не те примеры, которые помещены в № 22, а аналогичные им. Примеры же, помещенные в задачнике, оставить для домашней проработки.

После этого переходим к решению второго уравнения: cosx = -^ . Здесь работа проводится почти таким же образом, как и при решении предыдущих уравнений, но теперь уже вся работа выполняется учащимися. При решении этого уравнения мы получаем два ответа: лг3 = 60° + 360°.п и =300°-f -f-360°-/z. Иногда учащиеся сами предлагают второй ответ в виде: —60°-[-360°-/г. Если этого нет, то преподаватель сам должен их натолкнуть на мысль об удобстве взять отрицательный угол: х2 = — 60° —(- 360° • я, и тогда объединение обоих ответов в один: = аг + 60°-)-350:)-л, происходит без затруднений. Здесь очень полезно подчеркнуть тот факт, что при положительном значении косинуса мы имеем на чертеже два острых угла: положительный и отрицательный.

Затем вызывается к доске другой учащийся для решения такого уравнения, в котором косинус имеет отрицательное значение. Мы заостряем внимание учащихся на том факте, что при отрицательном значении косинуса главным углом будет тупой, положительный угол; в объединенной формуле перед этим углом ставим двойной знак. Таким образом, границами для главного угла при решении уравнения cos.*: = m служат О и тг, а не —yh4“T' как это было при решении уравнения tgx = m. Это чрезвычайно важное обстоятельство усваивается учащимися не сразу и требует довольно большого числа упражнений.

Наконец, мы переходим к решению уравнения sinA:=r-y-. Весь путь решения этого уравнения проводится аналогично вышеизложенному, и мы получаем два ответа: хл = = 60°-f360o.л и х2 =120° + 360°.п. Возникает вопрос, нельзя ли и в этом случае объединить оба ответа. После обычных преобразований получаем : хг = 60° -|- 180° • 2п и х2= — 60°+ 180°.(2л + 1). Сравнивая оба ответа, мы замечаем теперь различие между ними в следующем: 1) знак первого члена; 2) множитель при 180°. Чтобы объединить обе формулы, учащиеся иногда предлагают поставить перед 60° двойной знак: -Ь60°. Указываем на недопустимость этого: наличие того или иного знака находится в зависимости от числа п. Предлагаем ввести перед главным углом множитель (—\)п. Давая п значения ряда последовательных целых чисел, убеждаемся, что (—1)* может иметь лишь два значения: (-J-1) при четном значении п и (—1) при п нечетном. Таким образом, множитель (— 1)Л оказывается своеобразным обозначением двойного знака ЧЬ: при четном п имеем плюс, при нечетном — минус. А это нам как раз и требуется в наших формулах, которые мы теперь объединяем в такую:

х=(— 1)Л.60°+ 180°. п.

Таким же образом решаем уравнение

sin x = — -2~ .

Мы придерживаемся того взгляда, что это объединение ответов следует проводить. Затраченный на это труд вполне окупается той экономией, которая получается в дальнейшем при выписывании ответов.

Но, выводя объединенную формулу, мы не настаиваем на обязательном ее применении, допуская в самостоятельных работах учащихся запись ответов и в виде двух формул. В обоих случаях однако мы требуем от учащихся умения написать ряд частных значений. Это умение оказывается очень полезным в дальнейшем при решении более сложных уравнений, когда учащийся становится втупик перед тем фактом, что полученный им ответ по форме отличается от того, который помещен в задачнике. В такое положение попадает учащийся, например, при решении задачи № 49 из § 9, получая ответ в виде: л:=+-^-|~“§“тг 'я, между тем как в задачнике дан ответ: д: = —-f-y/г.

Находя частные значения в границах от 0 до 360°, получаем в первом случае:

а во втором:

Совпадение частных значений служит гарантией правильности обоих ответов. Между тем тождество обоих ответов не делается ясным даже после вынесения в обоих выражениях множителя за скобки. В первом случае получаем jc = -g- (+ 1 -f- 4/z); во втором: jt = -~(l -\-2п). Не всегда ведь на уроках алгебры указывается, что два выражения: 4л —|-1 и 4/г — 1 (или 4л+1 и 4/z-f-3), рассматриваемые вместе, дают все нечетные числа, как и 2п-\- 1.

Мы видим, что решение задачи № 22 из § 2 должно быть на уроке проделано полностью. Это может занять 2—3 часа. Но времени на это жалеть не надо, так как здесь лежит центр тяжести решения тригонометрических уравнений.

Проработка № 23—31 из § 2, наоборот, не может представить никаких затруднений и может быть почти целиком отнесена на самостоятельную работу учащихся. Единственно, на чем здесь приходится остановиться, это на получении невозможных ответов вроде: sin1,2; secx = -g и т. д.

Получая при решении алгебраического, относительно какой-нибудь тригонометрической функции, уравнения, вроде 2sin2x-t--4- sin X — 1=0, несколько ответов, мы рекомендуем номера ответов ставить не у аргумента, а у функции, т. е. писать sin, * = у и sin2A: = —1, а не sinjf1=y и sin.*;2 =

Этим самым мы подчеркиваем тот факт, что решаем алгебраическое уравнение. Действительно, при решении этого уравнения можно было бы поступить так. Обозначим sin л: =3^. Тогда получим уравнение: 2у2 -^у— 1=0, из которого найдем : v, = -j и у2 = — 1.

Переходя снова к синусам, имеем: (sin.*) =тг и (sinx) = — 1 По аналогии с записью: (sinх)2 = sin2*, пишем: sin, .v =~-иsin2A:= = —1. Находя дальше значения аргумента, мы и номера будем писать у аргумента, т. е. напишем: ху = (— 1)н-30°+ 180°/* и х2 = = ( - 1)Л- 90° + Ш°п = 90° (2 п + 1).

После проработки № 23—31 из § 2 мы считаем правильным перейти к решению простейших тригонометрических уравнений в общем виде. Мы ни в коем случае не можем согласиться с тем, что предлагается некоторыми авторами, в том числе и Рыбкиным, даже в стабильном новом издании. В § 70 у Рыбкина сказано: „Если для функции искомого угла получается выражение буквенное (например sinx = ab), то оно и считается окончательным ответом“.

Не говоря уже о том, что здесь Рыбкин впадает в противоречие с самим собой, так как на предшествующей странице он же говорил, что „решить тригонометрическое уравнение значит — определить те углы, которые удовлетворяют ему.,.“, он теряет в высшей степени удобный случай для введения понятия об обратных круговых функциях.

Переходя к решению уравнения tgx = m в общем виде, мы напоминаем учащимся аналогичные случаи из алгебры. Решая уравнения : х3 = 27 ; х2 = 16, учащиеся прямо пишут: в первом случае (отбрасывая мнимые корни) лс = 3, а во втором х\^ =±4. Но если приходится такие же уравнения решать в общем виде:л;3 = а; х2 = Ь, то для написания ответов приходится прибегнуть к новому символу — знаку корня. Мы пишем ответы в виде: X = ; x = zbV~b~> н0 не оставляем уравнения нерешенными. Таким же образом для решения уравнения ïgx=m мы должны ввести новый символ. Таким символом является arctg тп, который мы научаем читать, как „дуга (или угол), тангенс которого равен m“. Под этим символом в некоторых, может быть, наиболее популярных учебниках (Рыбкина, Шмулевича) и „Рабочих книгах“ (Гангнуса, Брусиловского) подразумевается главное значение угла. Для общего же вида всех углов применяется символ Arcus (с прописной буквы). Между тем в учебниках по высшей математике такого различия между arcus'ами и Arcus'ами нет и под arcus'ами (с малой буквы) подразумевается совокупность всех дуг. Такого же взгляда надлежит придерживаться и нам.

Познакомив учащихся также с символами arcsin m и arccos m и проработав с ними № 33—36 из § 2 задачника Рыбкина, мы говорим, что в дальнейшем будем применять эти символы во всех тех случаях, когда мы не хотим или не можем выразить главное значение аргумента числом. Более же подроб-

ное изучение этих обратных круговых функций мы откладываем на самый конец курса.

Затем мы останавливаемся на частных случаях простейших тригонометрических уравнений, когда т — 0, и выводим формулы: aresin0-— 180°«/г; arecos0 = 90°+ 180°./г и arctgO =180°'Я, запоминание которых учащимися считаем очень для них полезным.

На этом мы считаем поконченным со вторым моментом в решении тригонометрических уравнений и считаем возможным в дальнейшем при решении тригонометрических уравнений требовать от учащихся ответов в общем виде.

К ВОПРОСУ О ПРИЗНАКЕ ДЕЛИМОСТИ НА 8*

I Д. ВОЛКОВСКИЙ I (Москва)

Обыкновенно указывается такой признак делимости на 8: на 8 делится только такое число, которое оканчивается тремя нулями или у которого три последние цифры выражают число, кратное 8. Этот признак по своей простоте и краткости стоит вне всякого сомнения. Вывод его точно так же прост**. Но при всем том этот признак слишком общ и потому требует если не дополнительного определения, то, во всяком случае, дополнительного разъяснения. Говоря об общности и дополнительном разъяснении указанного признака делимости, мы имеем в виду вторую половину его, а именно: на 8 делится такое число, у которого три последние цифры выражают число, кратное 8; ибо в пределе 1000 существует весьма много чисел (всего 124 числа), делящихся на 8; притом весьма значительное большинство из них такие, про которые сразу, при доселе существующем признаке делимости, нельзя сказать, кратны они 8 или нет. Между тем знание такого признака, по которому можно было бы сразу сказать, кратно любое трехзначное число 8 или нет, не бесполезно как в теоретическом, так и в практическом отношениях. Вот побуждение, которое заставило нас взяться за перо и поделиться наблюдениями и выводами, подсказанными нам опытом и размышлением, с товарищами по профессии и любителями арифметики.

I

1. Рассматривая в пределе сотни числа, кратные 8, мы видим, что таких чисел всего 12: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, и притом они легко запоминаются, ибо первые девять из них есть результат таблицы умножения; числа же 80 и 88 принадлежат к разряду, так сказать, очевидных чисел, про которые сразу можно сказать, что они кратны 8. Остается одно число 96, но и оно легко запоминается, как легко поддающееся разложению на 80 и 16 и как последнее число в пределе сотни, кратное 8. Итак, все числа в пределе первой сотни, кратные 8, весьма легко запоминаются: во всяком случае, если не легче, то и не труднее, чем семь трехзначных чисел, кратных 125,-125,250, 375, 500, 625, 750 и 875 (см. признак делимости на 125).

2. Рассматривая трехзначные числа, кратные 8, мы замечаем следующее соотношение между двузначными и трехзначными числами, кратными 8: 200 делится на 8, а следовательно, и 400, и 600 и 800 делятся на 8, т. е. все так называемые круглые трехзначные числа, у которых разряд сотен обозначен четной цифрой.

Если же 200, 400, 600 и 800 делятся на 8, то и 208, 408, 608, 808 и 216, 416, 616, 816 и 224, 424, 624,824 и т. д. кратны 8, т. е. те трехзначные числа с четной цифрой сотен, у которых десятки и единицы представляют одно из тех 12 чисел в пределе первой сотни, которые кратны 8.

Отсюда ясно, что весьма легко знать все те трехзначные числа, кратные 8, у которых разряд сотен выражен четной цифрой.

3. Рассматривая далее трехзначные числа, мы наблюдаем следующее: в 100 делимости на 8 мешают 4 единицы, а следовательно, те же 4 единицы препятствуют делимости на 8 и числам 300, 500, 700 и 900, т. е. трехзначным числам с нечетной цифрой сотен, ибо 300= 200-f-100, 500 = 400-'г 100, 700 = 600 + 100, 900 = 800+100.

4. Если мы теперь к этим 4 единицам,

* Материал к кружковым занятиям в школе.— Ред.

** Ввиду этого мы и не делаем вывода, отсылая читателей к любому руководству по арифметике, где говорится о признаке делимости на 8.

препятствующим разделиться числу на 8, прибавим 4 единицы, то у нас получится всего 8 единиц, и тогда число разделится на 8; так, например, если мы к 100, 300, 500, 700, 900 прибавим по 4, т. е. возьмем числа 104, 304, 504, 704, 904, то эти числа разделятся на 8. А если 104, 304, 504, 704, 904 разделятся на 8, то и 112, 312, 512, 712, 912; 120, 320, 520, 720, 920; 128, 328, 528, 728, 928 и т. д. разделятся на 8.

5. Сравнивая теперь все трехзначные числа с нечетной цифрой сотен, кратные 8, с трехзначными числами с четной цифрой сотен, кратными 8, мы видим, что во всех трехзначных числах с нечетной цифрой сотен в разряде единиц и десятков, взятых вместе, всегда на 4 единицы меньше разряда единиц и десятков, взятых вместе, так сказать, соответствующих* им трехзначных чисел с четной цифрой сотен, кратных 8; так, например, в числах 104, 304, 504, 704, 904 сумма единиц первого разряда на 4 единицы меньше суммы единиц первого разряда чисел 208, 408, 608, 808; в числах 112,312,512, 712, 912 сумма единиц первого и второго разряда (12) на четыре единицы меньше суммы единиц первого и второго разряда (16) чисел 216, 416, 616, 816; то же самое замечается в числах 120, 320, 520, 720, 920 и 224, 424, 624, 824 и т. д.

6. Если же так, то легко отыскать все трехзначные числа с нечетной цифрой сотен, кратные 8.

Для этого стоит только помнить все числа в пределе первой сотни, кратные 8. Если, например, мы хорошо знаем, что 32 делится на 8, то мы живо сообразим, что из трехзначных чисел с нечетной цифрой сотен на 8 разделятся 128, 328, 528, 728, 928, т. е. такие трехзначные числа с нечетной цифрой сотен, у которых сумма единиц и десятков на 4 единицы меньше 32, а равно и такие числа, у которых десятки и единицы на 4 больше 32, т. е. 136, 336, 536, 736, 936. Если мы хорошо помним, что 56 делится на 8. то скоро сосчитаем, что и 152, 352, 552, 752,952, а также 160, 360, 560, 760, 960 разделятся на 8, и т. д. Или, чтобы скоро сообразить, кратно ли 8, например, 570 или нет, мы должны хорошо знать, что из двузначных чисел, близких к 70, кратно 8 число 72, а потому мы должны взять в разряде десятков и единиц на четыре единицы меньше 72, чтобы получить число, делящееся на 8, ибо у нас разряд сотен обозначен нечетной цифрой. Таким числом будет 568. Следовательно, 570 не делится на 8.

7. Итак, наблюдение над всеми числами в пределе 1000, кратными 8, приводит нас к следующим выводам: во-первых, в пределе первой сотни есть всего 12 чисел, кратных 8, которые легко запоминаются; во-вторых, из трехзначных чисел те, у которых сотни выражены четной цифрой, а разряд десятков и единиц представляет одно из чисел, кратных 8, делятся на 8; в-третьих, из трехзначных чисел с нечетной цифрой сотен те кратны 8, у которых разряд десятков с единицами на 4 единицы меньше чисел в пределе первой сотни, кратных 8.

Вдумываясь во второе и третье положения, мы видим, что они основываются на первом, так что, для того чтобы сразу сказать, кратно какое-либо трехзначное число 8, необходимо отлично помнить все числа в пределе первой сотни, которые делятся на 8.

II.

Таковы теоретические обоснования второй половины признака делимости на 8. Собственно говоря, на этой теоретической стороне вопроса можно было бы и закончить наши рассуждения об упомянутом признаке делимости. Но чтобы эти рассуждения имели большую силу, свидетельствуя о практической применимости своей, мы укажем на методическую сторону вопроса, как, по нашему мнению, следует вести дело обучения детей второй половине признака делимости на 8, чтобы это обучение, способствуя своим вниканием в различные соотношения чисел умственному развитию детей, в то же время давало возможность легким и скорым способом узнавать этот признак делимости.

Мы, обыкновенно, разделяем дело обучения этому признаку на следующие ступени.

Во-первых, мы утверждаем детей в том самом легком положении данного признака, что на 8 не делятся те числа, которые оканчиваются нечетной цифрой. Во-вторых, переходим к рассмотрению всех чисел в пределе первой сотни, кратных 8. В-третьих, рассматриваем круглые трехзначные числа с четной цифрой сотен; в четвертых,—круглые трехзначные числа с нечетной цифрой сотен по отношению их делимости на 8; в-пятых,— любые трехзначные числа с четной цифрой сотен (кроме тех, о которых говорится в первом и третьем пунктах), притом с точки зрения указанного выше основного принципа теории признаков делимости, т. е. разлагаем

* Соответствующими числами мы условимся считать 104, 304, 504, 704, 904 и 208, 408, 608, 808; 112, 312, 712, 912; 216, 416, 616, 816; 120, 320, 520, 720 и 224, 424, 624, 824 и т. д.

любое такое число на два слагаемых, из которых одно должно состоять из круглых сотен, а другое — из разряда десятков и единиц; например, берем число 458, разлагаем его на два слагаемых: 400-(-58; 400 делится на 8, а 58 не делится; следовательно, число 458 не кратно 8. Берем другой пример: число 464 раскладываем на два слагаемых: 400 +• 64; каждое из них делится на 8, следовательно, и все число разделится на 8. Из рассмотрения многих таких примеров приводим учащихся к тому заключению, что из трехзначных чисел с четной цифрой сотен те делятся на 8, у которых разряд десятков с единицами есть одно из чисел, кратных 8.

В-шестых, переходим к рассмотрению любых трехзначных чисел с нечетной цифрой сотен (кроме тех, о которых говорится в первом и четвертом пунктах), при этом с той же точки зрения и точно так же, как и в пункте 5; причем обращаем внимание детей на ту особенность, что трехзначные числа с четной цифрой сотен можно разложить или на два таких слагаемых, из которых одно кратно 8, а другое не кратно, или же на такие два слагаемые, из которых оба кратны 8; а трехзначное число с нечетной цифрой сотен (пункт 6) можно разложить или на такие два слагаемых, из которых одно не кратно 8, а другое кратно, или же на такие два слагаемых, из которых оба не кратны 8. При этом останавливаем внимание учащихся и на том, что если оба слагаемые не разделятся на 8, то это еще не значит, что и все число не разделится на 8; ибо может случиться, что сумма единиц обоих слагаемых, мешающих числу разделиться на 8, будет 8, и тогда все число разделится на 8. И уже отсюда переходим к установлению того положения, что из всех трехзначных чисел с нечетной цифрой сотен те кратны 8, у которых десятки и единицы представляют собою числа на 4 единицы меньше чисел в пределе первой сотни, кратных 8.

В-седьмых, чтобы из всех этих шести пунктов выделить существенное, мы сводим их к трем основным, упомянутым выше положениям. И, наконец, в-восьмых, делаем такую разъяснительную прибавку к установленной формулировке признака делимости на 8: на 8 делится только такое число, которое оканчивается тремя нулями или же у которого три последние цифры выражают число, кратное 8, т. е. когда число сотен выражено четной цифрой, а единицами и десятками служит одно из чисел в пределе сотни, кратных 8; а если число сотен выражено нечетной цифрой, то единицами и десятками служит одно из чисел, на четыре единицы меньших или больших чисел в пределе сотни, кратных 8.

НАБОР ПРИБОРОВ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ПО ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКЕ*

Проф. Д. ГАЛАНИН (Москва)

I. ВВЕДЕНИЕ.

При начале изучения геометрической оптики чрезвычайно важно дать учащимся конкретные знания основных законов отражения и преломления света. Необходимо в сознании учащихся твердо закрепить ряд ассоциаций между действительно происходящими явлениями отражения и преломления света, схематическими чертежами лучей и словесными формулировками законов.

Дальнейшее изучение геометрической оптики может итти, не соприкасаясь во всех деталях с наглядными экспериментами, если в самом начале основные законы будут твердо усвоены и указанные выше ассоциации будут установлены.

При прохождении геометрической оптики нельзя обойтись без чертежей; только на чертежах может быть выяснено значение теории, но чтобы эти чертежи были понятными, необходимо на самостоятельном опыте учащихся заставить их убедиться в полном согласии чертежей и законов с явлениями, действительно происходящими при отражении и преломлении света.

С другой стороны, необходимо довести знания до „плодоносящей“ степени и дать возможность убедиться, что отмеченные законы теории дают возможность построить оптические приборы, увеличивающие остроту нашего зрения.

* Из работ физической лаборатории Института политехнического образования.

Таким образом, для лабораторной работы особенно необходимо иметь аппаратуру для начала темы и для ее конца. Задача дать такую аппаратуру была поставлена перед физической лабораторией ЦНИИПО и разрешена ею следующим образом.

Для установления при помощи опыта законов отражения и преломления был сконструирован столик-спектрометр, изображенный на чертеже 1.

Он представляет собой круг с градусными делениями, помещенный на конце палки, зажимаемой в треножнике (например от универсального штатива, сконструированного ЦНИИПО в прошлом году и переданного для изготовления промышленности). На палке, являющейся осью круга, движутся два держателя (для первых опытов будет нужен только один). На одном держателе укреплен осветитель. Осветитель состоит из маловольтной лампочки, находящейся в трубке, которая кончается двумя щелями; благодаря двум щелям на круге при зажигании лампочки прорисовывается весьма узкий луч света, идущий через центр круга. При вращении осветителя луч на время проходит через центр круга, и его направление легко отсчитывается по градусным делениям.

Кроме этого столика, для опытов необходимы отдельные детали от набора к шайбе Гартля: плоское зеркало, вогнутое зеркало, полуцилиндр и линза, призма (трапеция).

II. ОТРАЖЕНИЕ СВЕТА

Опыт 1. Ставят зеркало так, чтобы отражающая поверхность проходила через центр круга столика перпендикулярно к линии 0—180°.

Зажигают лампочку осветителя, регулируют его положение и положение зеркала так, чтобы луч света, прорисовывающий на круге свое направление, проходил через 0° и отражался по тому же направлению. Передвигают осветитель на какое-нибудь число градусов. Отмечают направление отраженного луча, также прорисовывающего путь. Опыт лучше вести при небольшом затемнении. Полного затемнения не нужно, достаточно загородить прямой свет окна или поместить прибор в более темном месте комнаты. Ставят осветитель на 0°, 10°, 20°, 30° и т. д. и отсчитывают угол падения и отражения. Угол отсчитывается от перпендикуляра к зеркалу, которым является линия 0—180° прорисованная на круге столика.

Убеждаются в справедливости закона: угол отражения равен углу падения.

Опыт 2. Снимают плоское зеркало и ставят вогнутое зеркало на самом краю столика так, чтобы линия, соединяющая края зеркала, была перпендикулярна к линии 0—180°.

Передвигают осветитель и следят за отраженным лучом, отодвигают или приближают зеркало и добиваются, чтобы при вращении луча отраженный луч все время совпадал с падающим. Так как осветитель вращается вокруг оси столика; луч все время проходит через центр круга столика. Если зеркало поставлено правильно, и направление отражаемого луча при всяких положениях осветителя совпадает с падающим лучом, то центр круга совпадает с центром зеркала. Измеряют миллиметровой линейкой расстояние от центра круга до зеркала и находят величину радиуса кривизны зеркала.

Опыт 3. Делят найденный радиус кривизны зеркала пополам и ставят зеркало на расстояние, равное половине радиуса кривизны от центра круга так, чтобы линия, соединяющая края зеркала, была перпендикулярна к линии 0— 180°.

Зажигают лампочку и ставят осветитель на 0°. Проверяют правильность установки зеркала с совпадением падающего и отраженного луча. Поворачивая осветитель в ту или другую сторону, замечают, что отраженный луч все время остается параллельным линии 0 — 180°. Центр круга является главным фокусом зеркала.

Устанавливают из опытов 2 и 3 два основных свойства вогнутого зеркала:

1. Луч, проходящий через центр зеркала, отражается обратно по тому же направлению.

2. Луч, проходящий через главный фокус, отражается от зеркала параллельно оптической оси зеркала.

Эти три опыта касаются отражения света. После того как они будут проделаны, можно

Черт. 1.

рисовать чертежи построения изображения в вогнутых зеркалах без опасения, что они будут малопонятны. Работа может быть проведена как исследовательская, почти без предварительной беседы об отражении света.

III. ЗАКОНЫ ПРЕЛОМЛЕНИЯ СВЕТА

Опыт 4. Ставят стеклянный полуцилиндр так, чтобы плоская грань совпадала с центром круга и была перпендикулярна к линии О —180° круга. Ставят осветитель на 0° и убеждаются, что при перпендикулярном падении луча на грань, разделяющую две среды, направление луча не меняется. Вращают осветитель на 10°, 20°, 30° и отсчитывают углы падения и углы преломления.

При переходе из стекла в воздух луч не преломляется, так как падает на раздел сред перпендикулярно к грани. Для этого и применяется форма полуцилиндра. Записывают углы падения и углы преломления в таблицу. В VII классе достаточно выяснить, что луч, преломленный в стекле, приближается к перпендикуляру, восставленному к границе сред, и выясняют отсутствие пропорциональности между числом градусов угла падения и угла преломления. В этом случае таблица будет иметь вид:

Наблюдение

Угол падения

Угол преломления

Отношения угла падения к углу преломления

1

2 3 4

В X классе надо от углов взять по тригонометрическим таблицам синусы и дать в таблице их отношение. Таблица принимает такой вид:

Наблюдение

Угол падения

Угол преломления

Синус угла падения

Синус угла преломления

Отношение синусов

1

2 3 4

IV. ПОКАЗАТЕЛИ ПРЕЛОМЛЕНИЯ

Далее переходим к опытам преломления луча (среднее) в пластинке, призме и оптическом стекле.

Опыт 5. Пользуясь выведенным правилом преломления луча при переходе из одной среды в другую, прослеживают два случая преломления: пластинки с параллельными гранями и пластинки с гранями под углом. Для этого на столик ставят трапецию из набора для шайбы Гартля так, чтобы параллельные грани шли перпендикулярно к линии 0 —180°, и, вращая осветитель, убеждаются, что луч всегда выходит параллельно падающему. Затем трапецию ставят так, чтобы луч падал на грани, идущие под углом, и убеждаются, что в этом случае луч отклоняется к более широкой части угла.

Эти опыты являются подготовительными к опытам с цилиндрическим стеклом (линзой).

Опыт 6. Ставят на столик цилиндрическое стекло, осветитель ставят на 0. Стекло располагают в центре круга так, чтобы его края были перпендикулярны к линии 0 — 180° и передвигают его в этом направлении. Когда луч встречает клин стекла, он отклоняется в одну сторону; когда встречает середину, не отклоняется; когда снова встречает клин — отклоняется в другую сторону. Схема опыта изображена на чертеже 2.

Далее ставят стекло посередине (черт. 2Ь), вращают осветитель. Луч, проходя через сте-

Черт. 2.

Черт. 3.

кло, почти не меняет своего направления. Отодвигают стекло от центра все дальше и дальше и каждый раз вращают осветитель в обе стороны от линии 0 — 180°, следя за преломленным лучом (черт. 3). Добиваются такого положения стекла, чтобы при вращении осветителя выходящий из стекла луч все время оставался параллельным оптической оси линзы (линии 0—180°). Тогда, очевидно, центр круга будет главным фокусом цилиндрического стекла. Выводят заключения:

1. Луч, идущий через середину стекла, проходит стекло, не преломляясь.

2. Луч, идущий через главный фокус, выходит параллельно оптической оси.

После этой работы в беседе объясняют способы построения изображений в оптических стеклах.

Затем после этих лабораторных работ, свойства оптических стекол изучают на оптическом столике, как это делается обычно и много раз описано, почему мы здесь не будем останавливаться на этих работах.

АНИЛИН В ДЕМОНСТРАЦИЯХ МОЛЕКУЛЯРНЫХ СВОЙСТВ ЖИДКОСТЕЙ

А. РОМАНСКИЙ (Москва)

В курсе „Общей физики“ Эдзера и „Курсе физики“ Н. В. Кашина приводятся описания так называемой „демонстрации Darling'a“, хорошо известной физико-химикам и, к сожалению, мало распространенной у физиков.

1. Удобно несколько видоизменить порядок постановки этой демонстрации следующим образом.

В обыкновенный химический стакан или, лучше, сосуд с плоско-параллельными стенками наливается почти до краев вода. Над стаканом помещается на штативе бюретка с краном, и кончик бюретки располагается очень близко, 1—2 мм, от поверхности воды. В бюретке находится анилин.

Обычно продажный анилин недостаточно чист, окислен и обладает янтарно-желтым цветом различных оттенков. Для постановки нашей демонстрации такой анилин особенно удобен и эффектен. Плотность анилина при 15°С 1,02—1,03 г\смъ (в зависимости от чистоты) и, так как растворимость его в воде при таких температурах незначительна, он должен опускаться на дно сосуда с водой и образовывать хорошо отграниченный слой. Откроем слегка кран бюретки. Капли анилина, при достаточной осторожности, не падают на дно, но начинают скопляться на поверхности воды тонким слоем. Дальнейшее наполнение расширяющегося „мешочка“ влечет образование и отрыв большой янтарной капли. Скорость процесса можно изменять по желанию, регулируя ее краном бюретки.

2. После отрыва капли на поверхности воды всегда остается некоторое количество анилина, наглядно иллюстрируя один из источников погрешности в методе определения коэфициента поверхностного натяжения при помощи сталагмометров. Введя на поверхность воды каплю эфира, можно вызвать падение на дно этого остатка. Этим же путем — при помощи эфира — можно уменьшать размеры падающих капель анилина, ускорив их отрыв, вследствие известного свойства эфира понижать поверхностное натяжение на границе с водой, по сравнению с величиною

поверхностного натяжения воды на границе с ее насыщенными парами.

3. Если на дно химического стакана с водой налить при помощи пипетки Мора около 25—30 см3 анилина, а стакан поставить над огнем горелки, получится явление „обратной капли“. Анилин обладает большим коэфициентом объемного расширения (~ 8,5• 10~4 грд“1) нежели вода и около 60°С его плотность становится меньше плотности воды: теперь анилиновая капля „падает на поверхность воды, причем повторяются все характерные явления капли“*. Поднявшаяся капля попадает в соприкосновение со слоями воды и воздуха, находящимися при более низкой температуре, и падает снова на дно. Это явление можно повторить несколько раз, соответственным образом регулируя нагревание.

4. Применение анилина в качестве жидкости для демонстрации опыта Плато позволяет показать весь процесс образования сферы на занятиях перед слушателями, что представляет значительное удобство в методическом отношении. Для этого в стакан или сосуд с плоско-параллельными стенками с водой насыпается заранее подобранное количество каменной соли с таким расчетом, чтобы полученный раствор обладал плотностью, несколько большею, чем плотность анилина. Осторожно пипеткой Мора наливаем поверх воды 10—12 cmz анилина. Его слой, плавающий на поверхности бесцветного раствора соли, в воде отделяется хорошо. По стенке сосуда приливаем при помощи другой пипетки Мора чистую воду, понижая концентрацию и плотность раствора до тех пор, пока слой анилина не соберется в большую, плохо сформированную каплю под самой поверхностью воды. Добавление еще нескольких капель воды вызывает отрыв сферы Плато.

Размер ее можно увеличить, введя внутрь образованного шара кончик пипетки Мора и очень медленно давая вытекать из нее анилину.

Вся демонстрация занимает примерно 3—5 минут.

К ВОПРОСУ О МЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ ТРЕХФАЗНОГО ТОКА

Е. ГОРЯЧКИН (Москва)

В программе X класса поставлен вопрос о трехфазном токе. Содержание и объем пункта программы — „Понятие о трехфазном токе“ — не расшифрованы стабильным учебником, поскольку последний в текущем году не вышел из печати. Очевидно, что бюджет времени X класса позволит коснуться этого вопроса только слегка: выяснить принцип получения трехфазного тока и дать понятие о простейшей цепи трехфазного тока и способах включения. Однако просмотр программы по электротехнике для X класса показывает, что сведения о трехфазном токе, которые должны быть у учащихся, не так уже малы — изучается устройство асинхронного мотора. Для изучения же мотора необходимо знание принципа вращающегося магнитного поля, а следовательно, более полное и четкое представление о трехфазном токе и, в частности, о диаграмме токов, угле сдвига фаз, скольжении и т. п. Ясно, что углубленную проработку придется давать на теоретических занятиях электротехникой, базируясь на общих сведениях, сообщенных в курсе физики.

Вопрос о трехфазном токе, кроме десятого года, может возникнуть также в VII классе. Действительно, при занятиях электротехникой, именно при изучении электрических цепей освещения, волею или неволею придется рассматривать способы включения в цепь трехфазного тока. Уже на одной из первых бесед при осмотре ввода в здание учащиеся увидят три, а в провинции и четыре, провода. При этом для класса в его массе, преподаватель может ограничиться несколькими общими словами о токе и показать рецептурно способы включения, не прибегая, может быть, даже к обычной терминологии вроде „звезда и треугольник“. Однако целый ряд наиболее любознательных учащихся предъявит требование дать объяснение загадочным трем проводникам, ломающим представления об обычной цепи из двух проводников — прямого и обратного. Если в классе нет времени для ответа на такие вопросы, то в кружковой работе преподаватель должен в значительной мере удовлетворить требование учащихся.

Если, таким образом, необходимость изучения трехфазного тока выдвигается в VII классе самими учащимися, сколько-нибудь внимательно осмотревшими сеть освещения в помещении и т. п., то возникает вопрос

* Именно эта часть демонстрации описана в выше цитируемых курсах Эдзера и Н. В. Кашина.

о том, позволят ли уровень развития и знания учащихся выяснить хотя бы принцип получения и канализации трехфазного тока. К сожалению, вопрос о методике трехфазного тока разработан в литературе довольно слабо ; вернее, имеющиеся методические разработки построены, главным образом, в равнении на курс электротехники и не учитывают ни уровня знаний учащихся средней школы, ни особенностей требований, предъявляемых физикой.

Практика показывает, что даже в VII классе возможно дать понимание трехфазного тока, если преподаватель „будет настороже“, не позволит себе скользнуть в дебри всякого рода обычных вычислений и будет в широкой мере опираться на принцип построения цепи постоянного тока.

В настоящей методической разработке, сделанной в 16-й образцовой школе БОНО (Москва), не представляется возможным дать подробное рассмотрение вопроса о трехфазном токе. Здесь будут указаны лишь главнейшие принципиальные положения и намечен в общих чертах путь, по которому должен итти преподаватель как в VII, так и в X классах.

Первой необходимейшей предпосылкой для успеха работы является понимание учащимися схемы цепи постоянного тока в ее целом и умение производить включения приемников параллельно и последовательно. Поэтому начинать вопрос о трехфазном токе как в седьмом, так и в десятом годах до проработки всего курса электричества не представляется возможным. К сожалению, нередко преподаватель обращает недостаточное внимание на вопрос об основной схеме самой цепи, состоящей из трех основных элементов: генератора, проводников и приемников. При этом учащиеся не представляют себе того непрерывного замкнутого пути (круга), по которому движутся электроны. Знания их по большей части ограничиваются назначением клемм + и — источника энергии, и изучается лишь внешняя цепь, без всякой попытки уяснить, что генератор представляет собой, так же, как и любая часть электрической цепи, „проходной коридор“, с той только разницей, что в источнике энергии у электронов создается известный „напор“. Самая сущность электрической цепи, ее принцип остаются обычно невыясненными; отсюда, между прочим, неудачи ввести сколько-нибудь соответствующие действительности представления о напряжении, единстве силы тока во всех точках неразветвленной цепи и т. п.

Второй необходимейшей предпосылкой служит четкое знание принципа генерирования однофазного переменного тока. Достигается это путем обычного рассмотрения вращения контура рамки в однородном поле, причем обращается большое внимание на сравнительную величину индуктированной электродвижущей силы для различных положений контура. С учащимися в курсе физики важно выяснить, в какие моменты электродвижущая сила равна нулю, наибольшей и наименьшей величинам, и построить кривую напряжения тока.

Изучение трехфазного тока следует начинать с рассмотрения принципа соответствующего генератора. Наиболее важным положением, усвоение которого определяет успех всей дальнейшей работы, является следующее: генератор трехфазного тока состоит из трех отдельных генераторов, из которых каждый дает совершенно самостоятельный „обыкновенный“ (однофазный)* переменный ток. Преподаватель сделает крупную ошибку в методическом отношении, если не начнет с подобного определения и не добьется того, чтобы учащиеся усвоили это положение. Обычно при этом задаются вопросы о целях такой комбинации токов и т. п. ; их приходится просто отводить, заверив, что объяснение будет дано и может стать ясным только впоследствии. Далее надо дать схему, изображенную на чертеже 1 и необходимую как переходный момент от одной рамки, генерирующей однофазный ток, к схеме простейшего генератора трехфазного тока. При изучении схемы чертежа 1 и обращают внимание прежде всего на то, что установка содержит три отдельных генератора: 1, 2 и 3 однофазного тока. При этом подчеркивают, что так как рамки должны иметь одинаковое число оборотов, то их можно, например, насадить на один общий вал. Благодаря этому они генерируют переменные токи одинаковой частоты. Наконец, рамки закреплены на валу так, что их плоскости AB образуют между собой углы в 120° и 240°, вследствие чего кривые электродвижущих сил будут сдвинуты между собой на у и периода.

Затем преподаватель строит график сначала в виде трех отдельных чертежей и затем придает ему обычный вид, показанный на чертеже 2.

* Самое слово „однофазный“ не следует произносить перед учащимися впредь до конца всей проработки, так как этот термин получает смысл и право гражданства только после введения понятия о трехфазном токе. Автор пользуется этим термином по вполне понятным причинам.

Рассмотрев, таким образом, принцип простейшего генератора, можно дать более точное определение трехфазного тока, именно: комбинация из трех самостоятельных переменных токов, имеющих одинаковую частоту и сдвинутых по фазе на 4“ периода, носит название трехфазного переменного тока.

Черт 1.

Черт. 2.

Естественно, что для получения этих токов нужно иметь шесть колец и для их канализации к приемникам пользоваться шестью проводниками.

Далее преподаватель выясняет, что магнитное поле для всех трех рамок может быть взято общим и рамки укреплены на одном якоре, так, как это, например, изображено на чертеже 3. При этом еще раз подчеркивается самостоятельность всех трех обмоток и, следовательно, самостоятельность каждого из трех токов. Здесь же еще раз указывается, что для канализации этих токов нужны шесть проводников при шести кольцах и щетках.

Подобная настойчивость в подчеркивании необходимости шести проводников держит учащихся в сфере обычных для них представлений об электрической цепи и отвлекает до поры до времени от канализации по трем проводникам, которые им пришлось видеть при осмотре ввода и стояков.

В X классе возможно и вполне уместно дать схему генератора, приближающуюся к типу, употребляемому в технике. Для этого разбирается схема, изображенная на чертеже 4. Прежде всего указывается, что в машинах переменного тока для упрощения конструкции вращают не проводники, а магнитное поле, для чего обмотку якоря помещают на статоре и обмотку индуктора — на роторе. Ротор машины в простейшем случае состоит из постоянного магнита или электромагнита. Проводники 1, I, 2, II, 3, III, образующие обмотку, уложены внутри железного кольца и соединены между собой попарно: 1 с I, 2 с II и 3 с III, так, как это показано на чертеже 4, Сечения этих проводников изображены для отметок направления индуктируемых токов в виде кружков. Проводники в указанных сочетаниях расположены так, что плоскости рамок 1, I, 2, II и 3, III образуют между собой углы в 120° и 240э. Тогда при вращении магнита по часовой стрелке в проводниках 1, 2 и 3, изображающих начало обмотки каждой секции, возникают токи указанных направлений и притом сдви-

Черт. 3.

нутых по фазе на ~ периода. В проводниках I, II, III индуктируются токи, находящиеся в таких же по величине фазах, что в 1, 2, 3, но прямо-противоположных по направлению. Генератор дает шесть проводников, причем следует считать, что каждый ток канализируется по двум проводникам. Давать здесь способы соединения звездой и треугольником не только несвоевременно, но и вредно. Очень подходящей моделью, на которой можно показать расположение обмоток и индуктора, является модель, употребляемая обычно для демонстрации вращающегося магнитного поля и изображенная на чертеже 5.

Черт. 4.

Черт. 5.

На модели ясно видны три секции (рамки), их расположение под углами в 120° и 240°, шесть выводов и „индуктор“ в виде магнитной стрелки. Такая модель может служить только для уяснения расположения обмоток, но благодаря слабому магнитному полю стрелки и невозможности привести ее во вращение демонстрировать на ней получение трехфазного тока очень трудно. Для демонстрации трехфазного тока следует взять железное кольцо возможно большего диаметра (d — \5—20 см) и сечения (s — 5—10 см2) и нанести на него три обмотки в виде трех узких катушек a, b и с и медленно вращать внутри кольца сильный магнит или электромагнит (черт. 6), Если каждую из катушек соединить с демонстрационными гальванометрами, то при сравнительно медленном вращении, стрелки гальванометров придут в колебательное движение, смещенное по фазе на периода.

Следует предостеречь преподавателя от чрезвычайно распространенной схемы (черт. 7), на которой, как приходилось не раз наблюдать автору, объяснялся принцип получения трехфазного тока. Пользуясь только одним правилом правой руки, этот вопрос становится неразрешимым, тогда как для схемы 6 он разрешается сравнительно легко.

Действительно, при обмотках, сделанных по схеме чертежа 6, в рассматриваемый момент в катушке 1, I электродвижущая сила соответствует своему максимуму и имеет направление от зрителя, как это показано на сечении проводника. В правой и левой

Черт. 6.

Черт. 7.

катушках для рассматриваемого момента электродвижущая сила одинакова по величине и по направлению, т. е. направлена в том и другом случае к зрителю. Одним словом, величины индуктированных сил соответствуют моменту, отмеченному буквой t на чертеже 2. Ясно, что в проводниках, лежащих снаружи кольца, не будет происходить индуктирования, так как силовая линия поля не выходит за пределы внешней поверхности AB кольца. Следует обратить внимание на то, что получение трехфазного тока возможно лишь при условии, что катушки достаточно тонки; в противном случае возможны случаи что в одной и той же катушке происходит индуктирование противоположных по направлению электродвижущих сил. В схеме чертежа 7 для показанного момента в проводниках, лежащих справа и слева от оси ООг катушки 1, I, индуктируются одинаковые по величине и направлению электродвижущие силы, которые, складываясь, дают результирующую, равную нулю.

При дальнейшем вращении индуктора результирущая может стать неравной нулю только при условии, что плотность потока, пересекающего проводники А и В, становится неодинаковой. Вообще говоря, вопрос о получении тока и составлении его графика по схеме чертежа 7 труден и потому не может быть рассмотрен в средней школе.

В частности, чем меньше сечение в катушке, тем сложнее становится вопрос, и его благоприятное разрешение наступает в случае, когда ширина катушки (черт. 4 и 5) соответствует половине окружности.

Таким образом, в X классе преподаватель должен рассматривать принцип генератора по схемам чертежей 3 и 4, что при знании правила правой руки проходит довольно легко.

Черт. 8.

Черт. 9.

На этом заканчивается первый этап работы, и в дальнейшем следует поставить и рассмотреть вопрос о способах соединения обмоток и о включении приемников. Первым делом преподаватель строит схему, в которой от каждой из обмоток Av А2, А3, обозначенных знаком генератора, идут два проводника (черт. 8), благодаря чему получаются три не зависящие друг от друга цепи, питающие приемники Bv Bv В3. Таким образом, первая рассматриваемая схема повторяет уже сообщенное учащимся о необходимости канализации токов по шести проводникам. Далее, нетрудно, отправляясь от схемы трех цепей постоянного тока (черт. 9) с тремя генераторами Av А2 и А3 (элементами), дать комбинированную цепь этого тока (черт. 10), а затем и трехфазного с четырьмя проводниками вместо шести (черт. 11).

Черт. 10.

Черт. 11.

Действительно, действие приемников Bv В2, В3 не нарушается и в том случае, если вместо отдельных проводников I, II и III (черт. 8 и 9) взять общий проводник О. Такое уменьшение числа проводников нужно не только разобрать на схемах, но для постоянного тока продемонстрировать, взяв три батареи Av А2 и А3 и какие-нибудь приемники В., ß2 и Вв, например лампочки или звонки (рис. 10 и 11).

Рассмотренная система канализации трехфазного тока является наиболее простой и носит название четырехпроводной. Видоизменив взаимное расположение генераторов и приемников, можно получить схему, изображенную на чертежах 12 и 13, где четвертый общий провод показан более тонкой линией. Этот чертеж позволит выяснить, почему рассматриваемое соединение генераторов и приемников носит название „звезды“ или „звездочки“. Действительно, генераторы Av А% и А9 и приемники Bv В2 и В3 ис-

кусственно расположены так, что образуют собой трехлучевые звездочки. Возвращаясь к схемам чертежей 9, 10, 11 и 12, преподаватель указывает, что в четвертом общем проводнике течет сила тока /=/, -f-/2-|-/8, где iv /2» *з —силы тока в проводниках 1, 2 и 3.

На основании графика трехфазного тока (черт. 2) можно сделать заключение, что сумма сил для любого момента трех однофазных токов (одинаковой частоты и сдвинутых по фазе на -g- периода) равна нулю, т. е. У=/2 -j- /а /8 = 0.

Для X класса этот вопрос выясняется также при помощи элементарных преобразований выражения

и приведения его к нулю.

Еще проще, пользуясь чертежем 14, дать геометрическое доказательство. Пусть радиусы 01,02 и 03, изображающие величины 1, образуют по отношению к оси ОХ углы #+120°, / + 240°.

Построим на одном из подвижных радиусов, например 02, равносторонний треугольник 0,2,4. Тогда сторона 2,4 будет параллельна 0,1, и 0,4, будет составлять продолжение 0,3. Проектируя стороны 0,2 2,4 на продолжение линии 6,2, найдем, что сумма проекций 2,6 и 2,5 равна проекции 6,5, т. е. Isinr-flsin^-f 120°) = Isin(/-f 240°), что и требовалось доказать. Соотношение (1) однако справедливо при том условии, когда нагрузка на каждую фазу является одинаковой, т. е. сопротивления приемников, включенных в каждую ветвь, везде равны между собой. Отсюда следует, что надобность в четвертом общем или, как его называют электротехники, нулевом проводнике может отпасть, так как сила текущего в нем тока при одинаковой нагрузке для каждого момента времени равна нулю (черт. 13).

Аналогично для цепи постоянного тока можно подобрать условия, при которых канализация от трех генераторов может происходить по трем проводникам вместо четырех (черт. 15). Таких комбинаций может существовать бесчисленное множество, соответствующих каждому моменту трехфазного тока, например отмеченному на чертеже 2 буквой /. Для рассматриваемого момента генератор Ал должен быть составлен из двух элементов, генераторы А2 и А3 — каждый из одного элемента. Легко видеть, что при указанном расположении полюсов в проводнике I будет течь суммарный ток t\ = i2 /3, который будет разделяться на два тока 12 и 13 и далее, по проводникам 2 и 3, течь к генераторам. Подобная картина характерна для трехфазного тока; именно: ток, притекающий к группе приемников по одному проводнику, утекает, разделяясь на две равные или неравные части по двум остальным проводникам. В частности, имеет место слу-

Черт. 12.

Черт. 13.

Черт. 14,

Черт. 15.

чай, что i, = /2, причем /3=0. Кроме того к группе приемников ток может притекать по двум проводникам и утекать, суммируясь по одному, причем опять-таки осуществляется тождество: 1Л -f- /2 /3 = 0.

Не следует смущаться тем обстоятельством, что при подобных схемах постоянного тока приемные лампы поочередно будут гореть с различным накалом. Это в действительности имеет место в цепи трехфазного тока, но незаметно для глаза, благодаря тому, что накал нити ламп при больших частотах тока не успевает следовать за изменениями силы тока; по крайней мере это явление незаметно для простого глаза.

(Продолжение следует)

НЕБЕСНЫЙ ГЛОБУС, ЗАМЕНЯЮЩИЙ ПОДВИЖНУЮ КАРТУ НЕБА

Э. ГАЛЛЕР (Уральск)

В виду возрождения в средней школе астрономии как самостоятельного предмета я хочу обратить внимание преподавателей астрономии на один забытый прибор, который может принести немалую пользу.

Приступающему к изучению неба необходимо прежде всего научиться ориентироваться на небе. Для этой цели служит, между прочим, так называемая подвижная карта неба, которая дает возможность для всякого момента отделить видимую часть неба от невидимой. Но эта карта имеет один существенный недостаток. Так как на ней приходится изображать почти все небо, то масштаб для звездных растояний в различных местах карты различен. Это обстоятельство очень затрудняет начинающим использование карты.

Для устранения этого недостатка я решил заменить карту глобусом и построил прибор, который под именем „Небесный глобус с передвижной муфтой системы Галлера" изготовлялся фирмой Макс Коль в Германии (Хемниц) (черт. 1)

Прибор состоит из неподвижного небесного глобуса, вокруг которого вращается полушаровая муфта, закрывающая невидимую в данный момент часть неба. Установка муфты делается при помощи двух вертикальных цилиндрических колец, из которых одно, с делениями на месяцы и дни, укреплено на неподвижном основании глобуса, а другое, с делениями на часы, расположено как раз

Черт. 1.

Черт. 2.

над первым и прикреплено к муфте, с которой вместе и вращается. Чтобы установить муфту в нужное положение, надо, как на карте, повернуть ее так, чтобы черта, показывающая часы наблюдения на подвижном кольце, приходилась как раз против черты неподвижного кольца, показывающей месяц и день наблюдения.

Ввиду того, что в настоящее время достать этот прибор нельзя, конструкцию его можно упростить настолько, что для изготовления его можно воспользоваться любым небесным глобусом (черт. 2).

К оси глобуса (нужно, чтобы она вращалась вместе с глобусом) прикрепляется перпендикулярно к ней кружок с делениями на месяцы и дни, причем так, чтобы круг склонения, проходящий через точку весеннего равноденствия, приходился против 22 марта. На подставке глобуса укрепляется концентричное с этим кружком горизонтальное кольцо с делениями на часы. Вокруг глобуса на одном или нескольких вертикальных стерженьках укреплено наклонное кольцо, которое показывает положение плоскости горизонта и отделяет на глобусе видимую (верхнюю) часть неба от невидимой (нижней). Это кольцо должно быть укреплено в таком положении, чтобы плоскость его проходила через центр глобуса и составляла с осью его угол, равный широте места наблюдения. Расположение надписей показано на чертеже внизу отдельно.

При помощи такого глобуса могут решаться также некоторые астрономические задачи.

Например:

1) Определить общий вид звездного неба для данного часа, числа и месяца.

2) Определить время восхода, захода и кульминации звезды, а также место восхода и захода. Для этого надо только навести на звезду тот или другой край муфты или дугу и посмотреть, какой час приходится над чертой, обозначающей месяц и число наблюдения.

3) Определить время, когда удобнее всего наблюдать звезду. Поставив муфту так, чтобы звезда приходилась в видимой части неба, не близко к горизонту, смотрят, какие месяцы и дни приходятся против вечерних часов.

САМОДЕЛЬНЫЕ МОДЕЛИ И ПРИБОРЫ К КУРСУ АСТРОНОМИИ

М. НАБОКОВ (Москва)

При бедности пособиями по астрономии приходится нередко искать возможности создать их собственными силами, не затрачивая притом много времени на самое изготовление.

Одним из необходимейших пособий для наблюдения является зрительная труба. Так как промышленность еще не выпускает астрономических труб, то можно пользоваться имеющимися в продаже биноклями или монокулярами. При умелом пользовании биноклем даже при шестикратном увеличении можно видеть подробности лунной поверхности, спутников Юпитера, некоторые объекты звездного мира.

Вместо бинокля, стоящего довольно дорого, возможно самому устроить зрительную трубу и притом с большим увеличением, чем у бинокля. Для этой цели может служить набор оптики бинокля, продающийся в Ленинграде в магазине ВООМП (угол проспекта 25 Октября и Мойки, д. № 19). Этот набор состоит из двух линз для объектива, трех линз для окуляра и двух призм.

Для составления трубы призмы не нужны и могут быть употреблены для какой-нибудь другой цели. При наборе имеется чертеж, поясняющий, как надо расставлять линзы. В бинокле объектив и окуляр состоят из линз, склееных канадским бальзамом. Линзы продаются несклеенными, поэтому придется проделать эту работу самому. При склеивании линз следует поступать так: разогревши предварительно и линзы и бальзам, положить на горизонтальную поверхность плосковогнутую линзу вогнутостью вверх. Захватив при помощи стеклянной палочки каплю бальзама, переносим ее на середину линзы и тотчас же накладываем приклеиваемую вторую, стараясь это сделать так, чтобы вторая линза, коснувшись капли своим весом, расплющила каплю в тонкий слой без пузырков воздуха.

Если этого не происходит, можно помочь легким нажатием пальца. При неудаче и необходимости повторить склеивание канадский бальзам можно отмыть ксилолом или бензолом. Следует при этом линзы брать уже заранее тщательно протертыми от грязи и остере-

гаться, чтобы между стеклами не попали соринки.

Если нет возможности получить канадский бальзам, можно соединить линзы путем наклеивания по краям уже сложенных линз бумажного или коленкорового ободочка*.

Самую трубку можно сделать из картона и для вставки в нее линз выточить из дерева кольца или изготовить слегка пружинящие кольца из проволоки. Такая труба будет давать шестикратное увеличение (как и бинокль). Опыты показывают, что в этих линзах хроматическая аберрация исправлена настолько, что можно применять и несколько большее увеличение — в 10 или 15 раз.

Для получения большего увеличения можно применить два приема: или взять в качестве окуляра линзу с меньшим фокусным расстоянием или применить в качестве „линзы Барлоу“ двояковогнутую линзу (очковое стекло), которую можно приобрести в оптических магазинах.

В качестве окуляра с большим увеличением можно взять лупу (лучше ахроматическую) с фокусным расстоянием в 1—\г\2 см.

„Линза Барлоу“ представляет собою двояковогнутую линзу с уничтоженной хроматической аберрацией. Поставленная на пути сходящегося от объектива пучка лучей, она раздвигает эти лучи и тем увеличивает фокусное расстояние объектива.

Пусть мы имеем объектив с фокусным расстоянием F,, двояковогнутую линзу с фокусным расстоянием F2 и фокусное расстояние всей системы FQ. Теория дает такое соотношение:

Здесь s есть расстояние между главными точками обеих линз. Легко видеть, что фокусное расстояние системы F0 зависит от s.

При s = 0 его можно найти из формулы:

При 5 = /^ уравнение обращается в

Так как в нашем случае линза вогнутая, то F2 — отрицательно, и поэтому первое уравнение обращается в

Следовательно, если мы приставим двояковогнутую линзу непосредственно к объективу, то получим более длинный фокус; передвигая эту линзу по направлению главного фокуса объектива, мы будем получать все меньшие фокусные расстояния его. Отсюда же видно, что возможен подбор линзы, могущей дать заданное изменение фокусного расстояния.

Если устроить передвижение этой линзы вперед и назад внутри трубы, то можно получить плавное изменение увеличения.

Опыты, проделанные в физико-технической лаборатории Центрального научно-исследовательского института политехнического образования показывают, что обыкновенная двояковогнутая линза из зеркального стекла может повысить увеличение указанного выше набора до 10 раз без заметной хроматической аберрации. Поступаясь этим условием, можно довести увеличение до 15 раз и все-таки изображения оказываются не хуже, чем в трубе из очкового стекла.

Следует иметь в виду, что при применении линзы фокусное расстояние соответственно удлиняется, и это должно быть учтено при изготовлении трубки.

При наблюдениях с биноклем и тем более в трубу, необходима установка, устраняющая дрожание.

Опыты показывают, что разница между наблюдениями с установленным и неустановленным биноклем довольно ощутительна. Так, при наблюдении с биноклем в руках невозможно разглядеть спутников Юпитера. При установленном бинокле спутники Юпитера видны вполне ясно (опыт такого наблюдения был сделан педагогами специальных курсов для преподавателей астрономии в Москве).

Кроме того при наблюдениях с установленным биноклем видны звезды на половину звездной величины более слабые, чем видимые с биноклем в руках. Можно, конечно, придумать много различных способов установки бинокля. Один из наиболее простых — сделать из трубок азимутальную установку, привинчивающуюся к фотографической треноге. Такой штатив изображен на чертеже 1. Он дает возможность навести бинокль и в зенит. Противовесом служит коробка с сухой батарейкой, шнуры от которой могут быть проведены к ручной лампочке.

При отсутствии металлических трубок можно подобную же установку сделать из дерева*.

* При этом светосила несколько уменьшится.

* М. Е. Набоков—„Астрономические наблюдения с биноклем“, Гиз 1927 г. A.A. Чикин— „Астрономическая труба из очковых стекол“, ГТТИ 1932 г.

При изложении астрономии на уроках часто бывает нужно пользоваться моделями. Особенно необходимы модели при разборе элементов сферической астрономии, так как у учащихся нет достаточно прочных пространственных представлений. Простейшей моделью небесной сферы может служить шарообразная колба (так называемой круглодонная) с налитой в нее наполовину водой. Крепко закупорив горлышко колбы, перевертываем ее и оставляем в наклонном положении, зажав горлышко в деревянный штатив. Получаем модель небесного свода и с горизонтом, на которой можно показать суточное вращение небесной сферы. На поверхности колбы следует заранее наметить место Солнца и нескольких созвездий. Вполне понятно, что, давая разные наклоны горлышку колбы, мы можем воспроизводить явления суточного вращения небесной сферы для места любой широты.

В качестве звездной карты (при наблюдениях ночью), оказывается полезным обыкновенный зонт, на котором вышиты или нарисованы околополярные созвездия (черт. 2)*.

Черт. 1.

Для монтирования некоторых пособий очень полезно использовать набор „Конструктор“ и таблицу „Измерительные приборы“ П. И. Попова и Карасева (Огиз).

Таблица эта состоит из разделенных шкал и разделенных кругов, что особенно нужно для моделей по астрономии. Из отдельных деталей „Конструктора“ можно собрать „армиллярные сферы“, отметив на них линию горизонта и системы координат шнурами разных цветов, протянутыми через дырочки полосок „Конструктора“. Это пособие (черт. 3)

Черт. 2.

Черт. 3.

* М. Е. Набоков—.Астрономический зонт“, „Русский астрономический календарь“ на 1926 г.; М.Е. Набоков —„Первоначальное знакомство с созвездиями“, Учпедгиз 1931 г.

оказывается очень полезным на уроках по элементам сферической астрономии. Диаметр сферы достаточно взять в 30—40 см.

Из того же „Конструктора“ возможно построить модели теодолита и экваториальной установки (черт. 4 и 5). Для изготовления этих моделей следует использовать таблицу „Измерительные приборы“, наклеив лимбы на выпиленные из фанеры круги. Трубу можно сделать совсем без оптики — только с крестом нитей вместо объектива и диоптром вместо окуляра. При желании к такой модели присоединяется труба с соответствующей оптикой.

Для того чтобы сделать три уравнительных винта, на которых стоит теодолит, нужно припаять гайки и сквозь них пропустить винты, прилагаемые к набору „Конструктор“. Модель экваториальной установки делается с переменной широтой, так как панель, на которой крепится ось, вращается, будучи закрепленной на двух болтиках. Пользуясь шестернями и червячным ходом, имеющимися в наборе, оказалось возможным сделать и микрометрическое движение.

Черт. 4.

Черт. 5.

При конструировании этих моделей в Центральном научно-иследовательском институте политехнического образования ближайшее участие в выполнении этой работы принимал А. М. Иванов, сотрудник физико-технической лаборатории института.

НЕКОТОРЫЕ ПОЯСНЕНИЯ К ОПЫТУ С РАЗБОРНОЙ ЛЕЙДЕНСКОЙ БАНКОЙ

Доц. А. БЕЛОГОРСКИЙ (Свердловск)

Известно, что опыт с разборной лейденской банкой ставится прежде всего с целью показать, что заряды банки находятся на поверхности стекла, а не на металлических обкладках. Между тем в ряде учебников и курсов физики имеются некоторые неточности как в описании самой демонстрации, так и в тех выводах, какие делают их авторы после постановки опыта. Надо заметить, что эти выводы оказываются противоречивыми, а последнее обстоятельство является порой большой помехой в работе не только студентов, но и педагогов. Настоящая статья заключает в себе попытку разъяснения этих

неточностей. Так, в известном курсе физики проф. Михельсона (Москва, 1930 г.) на странице 475 имеется следующее замечание по поводу этого опыта: „Поставим стеклянный стакан на стол. Взяв внешнюю обкладку непосредственно руками, а внутреннюю — за изолирующую ручку, сблизим их до соприкосновения. Никакого сотрясения и никакой искры между обкладками не замечается“ (курсив наш.— А. Б.).

Между тем в учебнике проф. Бачинского „Электричество и магнетизм“ (Москва, 1922 г.) на страницах 55—56 по этому вопросу читаем следующее: „Зарядив разборную лейденскую банку и выждав несколько минут, изолируют ее и разнимают части, из которых она состоит. Две обкладки дадут только весьма слабую искру“ (курсив наш. — А. Б.)

Как видим, оба вывода по одному и тому же вопросу несколько противоречивы. К сожалению, проф. Бачинский не дает более полного описания порядка и расположения самого опыта, и потому несколько неясно, при каких обстоятельствах он получает эту весьма слабую искру при соприкосновении обкладок.

Мне приходилось ставить этот опыт неоднократно, и всегда при соприкосновении обкладок получалась искра, которая порой проскакивала между обкладками, когда последние находились одна от другой на расстоянии 1—2 см. Эту искру по силе можно сравнить с искрой, какая получается в опыте с электрофором. Замечу при этом, что, по условиям работы, я всегда начинал разборку банки почти тотчас же после ее зарядки и поступал при этом следующим образом.

После зарядки банки я ставил ее на какой-нибудь изолятор (хотя бы на стол), а затем с известной предосторожностью производил ее разборку и, не касаясь руками внешней обкладки, подносил к ней внутреннюю обкладку, держа последнюю за изолирующую ручку.

Несколько иного порядка придерживался при постановке этого опыта проф. Д. А. Гольдгаммер, и по этому поводу он в курсе своих лекций (Казань, 1913 г.) на странице 879 говорит следующее: „Беря руками металлические обкладки, мы их разэлектризовываем, а затем снова собираем банку. Соединяя, наконец, разрядником обкладки, получаем искру: явление объясняется тем, что изоляторы отчасти оказываются и проводниками, и заряды с обкладок проникают внутрь стекла“ (курсив наш — A.B.).

В этом замечании проф. Гольдгаммера имеется уже определенное указание на то, что обкладки банки после ее разборки оказываются в действительности несколько наэлектризованными. Замечание подобного же рода делает Индриксон, автор известного учебника физики (Ленинград, 1918 г.).

Это явление требует некоторого пояснения, без которого никак нельзя обойтись при изложении вопроса о местонахождении самих электрических зарядов у заряженной лейденской банки. Кроме того не менее важным является вопрос о причине наличия электрических зарядов на обкладках конденсатора, если, как указано выше, принято считать, что заряды банки находятся на по верхности стекла, а не на обкладках. У профессора Михельсона в этом отношении по тем опытным данным, какие у него получаются, вопрос ясен. Индриксон об этом явлении не говорит ни слова.

Для объяснения этого явления профессор Гольдгаммер приходит к следующему выводу: „Электричество находится не только на металлических обкладках конденсатора, но проникает внутрь изолятора. Изоляторы отчасти оказываются проводниками, и заряды с обкладок проникают внутрь стекла“ (курсив наш, — А. Б.).

Такое объяснение, данное проф. Гольдгаммером, ясное дело, не удовлетворит учащихся. Оно не разъяснит этого, надо сказать, очень интересного явления, а вызовет возражения, среди которых на первом месте будет стоять следующее: как увязать такое объяснение с теми явлениями, какие обычно, наблюдаются в диэлектриках; мало того, как увязать эту мысль с явлением поляризации диэлектриков, при которой положительные и отрицательные элементарные заряды могут, как известно, испытывать лишь очень небольшие относительные смещения.

Кажется, что в данном случае явление „относительного смещения“ электрических зарядов в диэлектриках может быть положено в основу объяснения факта появления зарядов на обкладках лейденской банки.

В самом деле, при отделении обкладок лейденской банки от диэлектрика, который после зарядки банки оказался диэлектрически поляризованным, происходит частичное отделение зарядов от последнего в силу относительного электрического смещения и перехода некоторого количества зарядов с диэлектрика на самые обкладки, при соединении которых и наблюдается проскакивание искры. Заметим, что эта искра может становиться относительно и меньше и больше, в зависимости от того,

как протекал самый опыт и как происходило электрическое максвелловское смещение. Такое объяснение не противоречит ни существующим положениям о статическом электричестве, ни взглядам Максвелла и Фарадея, причем последний, с целью показать, что носителем электрических зарядов действительно является диэлектрик, и сконструировал разборную лейденскую банку, опыт с которой считается классическим. Быть может, проф. Д. А. Гольдгаммер, говоря о том, что изоляторы оказываются проводниками, имел в виду электрическое максвелловское смещение, но об этом он не говорит ни слова. Для объяснения явления перехода зарядов с диэлектрика на обкладку во время разборки конденсатора можно воспользоваться некоторой аналогией этого опыта с опытом Кавендиша, при помощи которого обнаруживается полное перенесение электрических зарядов с шара на два специально пригнанных к нему по размерам полушария, тогда как здесь в опыте с разборной лейденской банкой такой перенос зарядов наблюдается лишь в слабой степени. Это и понятно, так как в проводниках всегда имеется очень большое число „свободных“ или, по крайней мере, легкоподвижных электронов, между тем, в изоляторах все электроны неразрывно связаны с соседними положительными ядрами, входящими в состав тех же атомов и молекул.

ДЕМОНСТРАЦИЯ ЭКСТРАТОКОВ

Н. ИВАЩЕНКО

Для демонстрации экстратоков замыкания и размыкания обычно пользуются двумя традиционными опытами Фарадея, описанными, например, у Гримзеля.

При этом для демонстрации экстратока замыкания и размыкания часто пользуются двумя различными схемами соединения приборов (для экстратока размыкания снимается стекло с гальванометра и ставится задерживатель стрелки). Для того чтобы опыты хорошо удались, требуется катушка с довольно большой самоиндукцией. Эти и подобного рода схемы соединения дают возможность наблюдать не экстратоки в отдельности, а лишь их суммарное действие с основным током (например по запаздыванию отклонения стрелки гальванометра при замыкании и т. п.).

Между тем, существуют схемы соединения приборов, позволяющие обойтись одной установкой для демонстрации обоих экстратоков, не требующие развинчивания гальванометра и дающие возможность наблюдать экстратоки отдельно от основного тока.

Например, можно соединить по схеме, указанной на чертеже 1, следующие приборы: катушку самоиндукции—Z,, гальванометр — Г, источник тока Z>, ключ А“, ключ А\, сопротивление /? и амперметр А. Сопротивление подбирается равным омическому сопротивлению катушки L так, чтобы при замкнутой цепи тока в гальванометре Г не было. Ключ К служит для того, чтобы во время подбирания сопротивления R можно было выключать гальванометр Г и после того замкнуть ток ключом А“,, чтобы избавиться от мешающего действия экстратоков на гальванометр во время подготовки опыта. Во время же выполнения опыта сперва замыкают ключ А“, а затем ключ Кг

Черт. 1.

При замыкании ключа А“, благодаря возникновению экстратока замыкания, в гальванометре пройдет ток одного направления, а при размыкании ключа А*, — противоположного. При достаточно чувствительном гальванометре (например зеркальном) опыт этот удается даже при катушке со сравнительно небольшой самоиндукцией (например, взяв обмотку электромагнита или трансформатора и т. п.). Можно увеличить чувствительность опыта, собрав приборы по схеме мостика Уитстона. Однако в этом случае схема услож-

няется и ее целесообразно применять только в том случае, если учащиеся уже предварительно хорошо знакомы с мостиком Уитстона вообще.

Проверив установку при помощи гальванометра, можно заменить гальванометр лампочкой накаливания (от карманного фонаря). Если взять при этом достаточно мощный источник тока и катушку с достаточно большой самоиндукцией, то можно добиться того, что лампочка будет вспыхивать только в момент замыкания и размыкания тока и погасать при установившемся течении тока, что особенно наглядно доказывает существование экстратоков. Однако в этом опыте нельзя показать направление токов, проходящих через лампу, а потому такой опыт полезно ставить лишь после демонстрации опытов с гальванометром.

Амперметр А служит для того, чтобы регистрировать наличие тока в цепи при отсутствии тока в гальванометре.

ОПЫТ ПРОВЕДЕНИЯ ХРОНОМЕТРАЖА ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ПО ФИЗИКЕ

А. КАЛАШНИКОВ и асп. В. ЮСЬКОВИЧ (Институт политехнического образования, опытная школа им. Радищева).

Настоящая работа является предварительным исследованием, ставящим себе целью изучение практики лабораторных работ по физике с помощью хронометража. Как известно, в методической литературе по физике мы почти не имеем исследований, которые точно фиксировали бы отдельные этапы проведения лабораторных работ, указывали бы средние нормы времени и выясняли бы типичное поведение учащихся во время их проведения. Между тем, построение программы по физике, а затем и построение рабочих планов должно все больше и больше опираться на более или менее точные данные, выводимые из опыта относительно норм времени, отводимого на ту или иную работу.

Вследствие этого мной было предложено аспиранту В. Юськовичу собрать предварительный материал по разработке этой темы. Задача была поставлена следующая: взяв небольшое количество одноименных лабораторных работ, прохронометрировать их и выяснить как бюджет времени, так и фактическое поведение учащихся при звеньевой организации лабораторных работ. В качестве объекта исследования была выбрана работа „Определение теплоты плавления льда“, которая в школе ставилась в четырех различных классах: в двух шестых и в двух девятых. Во всех классах условия и план работ были разные: звенья имели состав от двух человек до четырех, инструктаж при проведении работы был также неодинаков, руководили работами три различных преподавателя. Общим во всех работах являлось оборудование и схема наблюдений и измерений.

Методика наблюдения состояла, как уже сказано, в хронометрировании отдельных действий и поведения учащихся и преподавателей.

Для этого употреблялась хронометражная сетка, в которой выделялись графы, соответствующие типичным действиям учащихся и преподавателей во время работы. Наблюдающий отмечал вертикальной линией пропорционально времени поведение учащегося в соответствующей графе (см. прилагаемый образец хронометражного бланка).

Результат хронометража по шестым классам получился следующий (в процентах):

Класс

Подготовка к работе

Консультация с преподавателем, учащимися и с другими звеньями

Измерения и вычисления

Вычисление и оформление

Непроизводительное время

VI „а“ . .

12,1

14,0

25,0

23,6

25,3

VI „б“ . .

38,6

39,1

8,3

13,9

Среднее в процентах . . .

25,3

7,0

32,1

15,9

19,6

Краткий анализ приведенных цифр.

1. В классе VI „б“ преподаватель посвятил объяснению выполнения лабораторной работы в три с лишком раза больше времени, чем в классе VI „а“. Это отразилось на отсутствии взаимной консультации учащихся, это дало более уверенный ход выполнения работы, большее производительное время и снизило почти в два раза непроизводительное время.

2. Следует отметить, что четверть всего времени (25%) затрачена была совершенно

непроизводительно. Это является ненормальным явлением и проистекало от недостаточной организации работы.

3. В классе VI „а“ звено состояло из четырех человек, в классе VI „б“ — из трех человек. В первом случае непроизводительное время в два раза выше.

4. Звенья не проводят полного оформления лабораторной работы — вычисления средней процентной ошибки, дачи чертежей, таблиц. Это можно было сделать за счет непроизводительного времени.

Результат хронометража по IX классам получился следующий (в процентах):

Класс

Подготовка к работе

Вывод формулы

Консультация

Наблюдения и измерения

Вычисления и оформления

Непроизводит. время

IX „а- . .

6.2

_

7,9

45,0

15,1

25,8

IX .6- .

9,3

19,8

1,1

32,4

27,7

7,5

Среднее в процентах

-7,8

9,9

4,5

38,7

21,4

16,6

Черт. 1.

Краткий анализ приведенных цифр и дополнительные наблюдения.

1. В звене класса 1Х,,а“ бросается в глаза очень большое время, потраченное непроизводительно, более чем в три раза по сравнению со звеном класса IX „б“; у одного учащегося класса IX „а“ свыше 50% непроизводительно потраченного времени.

2. Оформление работы не доводится до конца, нет вычисления среднего по классу, средней процентной ошибки, не все учащиеся оформляют лабораторную работу.

3. В обоих классах имела место тенденция подогнать результаты измерений и вычислений к значению искомых постоянных — теплоты плавления.

Выводы. Из этого количества наблюдений нельзя делать никаких решающих общих выводов, относящихся к нормировке работы и к ее организации. Однако некоторые предварительные замечания на основании этого материала позволительно сделать, хотя бы в порядке рабочей гипотезы для дальнейшей проверки.

При звеньевой организации лабораторных работ значительное количество времени — от 15 до 50% — тратится непроизводительно.

Хороший инструктаж и детально проработанный план работы понижают непроизводительную трату времени.

В звене, составленном из учащихся различной подготовки, фактически работу ведет наиболее сильный, слабый же сравнительно мало участвует в работе (см. хронометражные бланки и время, относящееся к каждому ученику).

Необходимо систематически и широко изучать постановку лабораторных работ методом хронометража, так как последний дает возможность детально изучить организацию и условия проведения лабораторных работ по физике.

ОПЫТ СИСТЕМАТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ ИЗМЕРИТЕЛЕЙ ПО ФИЗИКЕ

А. КАЛАШНИКОВ (Москва)

Для того чтобы можно было вывести ряд заключений о методических особенностях того или иного курса содержании программы, о расположении материала в ней, о методах преподавания и т. д. — необходимо, прежде всего, изучить знания учащихся, как они складываются при данных условиях. Это является основной задачей всякого педагогического исследования, поскольку последнее стремится установить всякие причинные зависимости между условиями преподавания и знаниями учащихся.

В задачу настоящей работы входило проверить на опыте применение измерителей для изучения знаний учащихся на материале курса физики IX класса. Измерителем мы называем ряд специально подобранных заданий, решение которых учащимися дает представление как об объеме, так и о качестве знаний. Для построения их материал каждой четверти подвергался тщательному методическому анализу для выявления основных элементов знания, из которых складываются знания материала программы данной четверти. После того как такая работа была проделана, для каждого элемента подбиралось соответствующее задание, решение которого, в большинстве случаев, имело однозначный характер, т. е. учащийся мог решить его только одним способом, всякий иной был бы неправильным.

Опытный класс, знания которого изучались с помощью измерителей, имел довольно пестрый состав, что для цели настоящей работы не было нежелательным. Методы преподавания применялись обычные для старших классов средней школы: беседы сопровождались демонстрациями, последние сменялись решением задач; в течение года были проведены все лабораторные работы, которые требовались по программе, при этом на каждую установку лабораторной работы приходилось от 2 до 3 учащихся; все учащиеся были снабжены стабильными учебниками. Преподаватель в своем изложении старался возможно ближе держаться содержания наркомпросовских программ и стабильного учебника, чтобы таким образом иметь возможность изучить и содержание программы так, как оно отражается в знаниях учащихся.

Таким образом, методика исследования вкратце заключалась в следующем: материал программы IX класса подвергался анализу на элементы, к этим элементам подбирались соответствующие задачи и вопросы. Вопросы эти обыкновенно проводились через обсуждение в группе физики ИПО; далее из этих вопросов составлялся четвертной измеритель, который в печатном виде раздавался учащимся для решения его в течение 2 часов. Среднее время решаемости — 1 час 20 минут.

Систематическое проведение измерителей из четверти в четверть, проводимое через одних и тех же учащихся, давало возможность более или менее объективного сравнения как знаний самих учащихся, так и трудности отдельных вопросов программы девятого года обучения.

Задачи, входящие в измерители, имели самую разнообразную форму: прямой вопрос,

дополнение, вычислительные задачи, дополнение рисунка или черчение графика, составление формул, вывод формул, указание соответствия. Каждая из этих форм выбиралась в зависимости от того, какое качество или структуру знаний желательно было установить. Надо сказать, что вопрос об адэкватности измерителя качеству знания еще далеко не выяснен в современной литературе педагогических измерений, поэтому здесь мы имеем, возможно, ряд произвольных моментов. В большинстве случаев каждая задача измерителя имела одну трудность, и решение ее в этом случае обозначалось единицей. Если решение было неполным, но часть знаний несомненно обнаруживалась при этом решении, то такая решаемость обозначалась половиной. Наряду с этим были такие задачи, которое очень трудно было различить по отдельным трудностям, как, например, вывод формул, решение вычислительных задач и т. д.; такие задачи оценивались баллом выше единицы — от 2 до 5, причем эта оценка определялась чисто эмпирически, исходя из рассмотрения устных ответов и состояния знаний учащихся, которые они обнаруживали в течение четверти. Таким образом, сумма баллов полной решаемости измерителя обычно была выше числа задач; например, измеритель за I четверть при 33 задачах имел максимальную оценку42; за II четверть измеритель включал 35 задач при максимальной оценке 44 и т. д. Не все измерители были безукоризненны по своей объективности (т. е. не все допускали совершенно одинаковое понимание вопросов со стороны учащихся), но таких задач было очень небольшое количество.

Таблица решаемости четвертных измерителей, приводимая нами ниже, составлена следующим образом: в столбцах помещены цифры, показывающие процент решаемости т. е. процент правильных решений всего измерителя в целом; внизу даны цифры, показывающие, сколько задач было включено в измеритель и какова их максимальная оценка. Из этой таблицы видно, что минимальная решаемость измерителей была 36%, а максимальная — 93%.

Из этой же таблицы видно, что медиана решаемости была во всех четвертях совершенно устойчива и равнялась около 66%. С другой стороны, края класса обнаружили значительное колебание по четвертям, причем эти колебания имеют тенденцию повышения от первой четверти к последней; для этого можно сравнить квартили группы по четвертям (см. черт. 1).

Общий характер распределения решаемости среди учащихся класса и изменение решаемости по четвертям показаны на графике чертежа 1, который построен так, что и число учащихся и решаемость переведены в про-

Черт. 1.

центы. По ординате мы имеем процент решаемости, а по абсциссе -- процент учащихся. Анализ этих кривых наглядно дает величину медиан и отдельных квартилей по четвертям года.

РЕШАЕМОСТЬ ЧЕТВЕРТНЫХ ИЗМЕРИТЕЛЕЙ УЧАЩИХСЯ (в процентах)

учащихся

I четверть

II четверть

III четверть

IV четверть

Средняя годовая

/.,....

33

56

61

36

46,5

2......

29

56

48,5

60

48,8

3.....

48

50

46

52

49

4......

40

46,5

66

50,6

5......

50

62,5

42

62

54,1

6......

45

70

46

60

55,2

7......

51

55

56,5

60

55,6

8 . ..

43

59

59,5

64

56,4

9.....

48

73

53

58

10......

52

64

68

60

61

//......

63

70

56,5

58

61,9

12......

63

53,5

69,5

62

13......

67

61

58

62

14......

55

62,5

68

66

62,8

15......

62.5

62

70

64,8

16.....

61

69

63

64

64,2

17......

69

67

60

65,3

18......

71

85

56,5

62

68,6

19......

69

70

74

74

71,7

20......

78,5

68

73,2

21......

71

69

85,5

72

74,4

22......

78,5

74

72

74,8

23......

68

83

68

82

75,2

24.....

66

80

83

70

75,5

25......

63

68

95

86

78

26......

72,5

77

79

96

81,1

27......

68

75,5

92

88

87,8

28......

87

93

85,5

90

88,8

29......

80

95

93,5

£8

89,1

30......

80

99

98

92,3

Число задач .

33

35

30

20

118

Максимальная оценка . .

42

44

38

25

Равенство медиан показывает, что мы имели каждые четверти измерители приблизительно одной и той же трудности, а колебания квартилей показывают, что здесь менялась успеваемость самого класса. График показывает, что это изменение сводилось к росту однородности класса, хотя в целом надо признать этот класс далеко не однородным (см., например, колебания решаемости в пределах первых 10% класса). В качестве меры однородности класса можно использовать квартальные отклонения (полуразности квартилей). В первой четверти это отклонение равнялось 10,5, а в четвертой — 9.

Далее, чрезвычайно важно было сравнить, соответствует ли распределение средней годовой успеваемости в классе тем результатам, которые получены на весенних испытаниях. Эти испытания были организованы, с одной стороны, путем дачи измерителя, совершенно аналогичного тем, которые давались в конце каждой четверти, а с другой стороны — путем устных и письменных испытаний, проводившихся следующим образом: перед учащимися были выставлены как демонстрационные приборы, так и установки для лабораторных работ, употреблявшихся в течение учебного года. Учащимся предлагалось написать, как называется и для чего служит каждый демонстрационный прибор, или описать весь ход лабораторной работы; затем каждому учащемуся предлагалось от 2 до 5 вопросов, на которые он отвечал устно. Оценка этой части работы имела максимальный балл 40 со ступенями в 5 единиц. Таким образом, общий балл, получаемый учащимся на весенних испытаниях, складывался из оценки его работы по измерителям и из оценки его ответов на письменно-устных испытаниях с приборами.

Сравнение этой суммарной оценки со средней годовой каждого учащегося представлено на следующем графике (черт. 2). Из него видно, что общий характер распределения успеваемости в классе на весенних испытаниях не сильно изменился. Однако в то время как медианы успеваемости по средней годовой и по весеннему испытанию почти полностью совпадают (64 и 63,5), квартили дают значительное различие, особенно в верхней половине класса; квартиль первый равен 59 и 54, квартиль третий — 81 и 74. Края класса на весенних испытаниях сильно подтянулись.

Перехожу теперь к анализу решаемости измерителей по содержанию. Для того чтобы сделать выводы, какие вопросы являлись наиболее трудными и, следовательно, давали наименьшую решаемость, проделана следующая работа: все задачи (118), дававшиеся на четвертных испытаниях в течение года, были разбиты на четыре группы: А, В, С, D. В группу А входили те вопросы и задачи, которые были решаемы от 0 до 25% всех учащихся класса. В группу В входили вопросы и задачи, решавшиеся от 26 до 50% всех учащихся, и в группу С — те вопросы,

которые решались от 51 до 75% всего класса. В группу D —все остальные вопросы.

Отсутствие решаемости или неполная решаемость того или иного вопроса зависят не только от трудности материала, даваемого в программе и в стабильном учебнике, но могут определяться также и методикой преподавания и подготовкой самих учащихся. Для того чтобы исключить влияние этих условий, необходимо было бы придать такому эксперименту массовый характер, где имели бы место и различные методы и уровни преподавания и различная подготовка учащихся. Поскольку в данном случае мы имеем лишь один класс, мы не можем с полной уверенностью говорить о том, что отсутствие решаемости или, наоборот, стопроцентная решаемость тех или иных задач именно этим классом уже являются показателем трудности или легкости тех или иных вопросов программы. Но если нет полной уверенности в этом отношении, то существует известная вероятность, которая не может быть малой для резких случаев. В принятой нами классификации эти резкие случаи (по трудности) сгруппированы нами в группы А и В (с процентом решаемости от нуля до 50). Рассмотрение вопросов, входящих в эти группы, показывает, что наиболее трудными вопросами являются, во-первых, объяснение явлений с точки зрения молекулярно-кинетической теории и, во-вторых, задачи не стандартного типа, имеющиеся в учебнике, а требующие сообразительности и применения изученных закономерностей. Из частных вопросов следует отметить как особо трудные — понимание вывода формулы давления газа (через число и кинетическую энергию молекул) ; объяснение молекулярной теорией явлений поверхностного натяжения и капиллярности (особенно понимание формулы Лапласа); понимание различий в удельной теплоемкости газа при постоянном объеме и при постоянном давлении; уяснение физического смысла газовой постоянной; понимание круговых процессов работы газа.

Слабая решаемость вычислительных задач знаменует собой не только неумение прилагать физические закономерности к практике, но и недостаточную математическую подготовку учащихся. Рассмотрение задач, даваемых в измерителях, показывает, что учащиеся не обладают достаточными навыками математически-логического мышления и не справляются иногда с простейшими вычислительными операциями (например вычисление процентов).

Наиболее легко учащимися решаются вопросы информационного характера: знание определений, формул и величин, в них входящих, знание конкретных фактов и т. д.

Все это в целом показывает, что содержание программы и учебника девятого года обучения не является достаточно обоснованным. Если программа весьма перегружена материалом, требующим от учащегося большого охвата фактов и умения теоретически их осмыслить с точки зрения молекулярно-кинетической теории, то учебник страдает исключительной сжатостью изложения как раз тех вопросов, которые наиболее трудно понимаются учащимися, и наиболее много-

Черт. 2.

словен в тех местах, которые представляют собой описание и изложение моментов, уже достаточно известных преподавателю, вошедших в практику преподавания. Такие вопросы, как кинетическая теория газов, впервые вводимые в общеобразовательную школу, уравнение состояния газа, вопрос о круговых процессах — стабильный учебник излагает без всякой попытки подойти к изложению этих вопросов, не учитывая специфики общеобразовательной школы, и просто копирует вузовские учебники, вплоть до перепечатки ряда непонятных и не объясняемых в учебнике чертежей (как, например, чертеж опыта Штерна, чертеж машины Линде и др.).

Наличие преимущественной решаемости вопросов информационного характера перед вопросами, требующими умения оперативно распоряжаться знаниями физики, показывает в первую очередь то, что благодаря перегрузке программы усвоение материала происходит не достаточно глубоко, и знание закономерностей не превращается в умение и привычку ими пользоваться.

Выводы.

1. Проведенная работа показывает большую целесообразность систематического применения измерителей для определения относительной успеваемости учащихся в течение всего года.

Преимущества применения измерителей : равенство условий, в которые ставятся все учащиеся класса; максимальное использование времени, идущего на повторение и для проверки (поскольку в процессе решения измерителей весь класс, одновременно работая, в то же время и повторяет материал); возможность точного сравнения продвижения каждого учащегося в овладении материалом в течение всего года; возможность точного изучения распределения успеваемости в классе.

2. Испытания, не повышая уровня знаний для середины класса, благоприятно отзываются на его краях, повышая успеваемость как отстающих, так и выдающихся учащихся.

3. Решения измерителей, применяемых в массовом масштабе, могут служить косвенной проверкой содержания программы; в данном случае применение измерителей позволило сделать выводы относительно доступности программы IX класса лишь в наиболее резких случаях. Эти выводы сводятся к следующему: программа, несомненно, перегружена; вследствие перегрузки у учащихся нехватает времени глубоко и сознательно усвоить материал. Ряд вопросов (указанных выше) безусловно сомнителен в отношении необходимости внесения их в программу девятого года; стабильный учебник далеко не всегда помогает учащимся овладевать материалом*.

КАК ПОКАЗАТЬ „ПАРАДОКС ПАСКАЛЯ“

Д. ГАЛАНИН (Москва)

Независимость давления на дно от формы сосуда обычно показывают при помощи прибора Паскаля, причем этот опыт „редко удается“. Наши производящие организации почему-то очень любят этот прибор и производят его в весьма большом количестве. Однако его педагогическая ценность довольно сомнительна, особенно в том варианте, который вместо свободно отпадающего дна снабжен дном из резиновой перепонки. В этом случае давление жидкости распространяется неизвестно на что, так как перепонка имеет разную площадь, в зависимости от производимого на нее давления. В существующей конструкции, к тому же, перепонки не видно; не видно и механизма из пружинки, создающего силу противодавления, уравновешивающую давление воды. В этом, как и во многих других случаях, оригинальный прибор, созданный Паскалем, проверявшим свой парадокс на опыте, подвергся „промышленной эволюции“ и потерял все те черты, которые его делали столь ценным в руках его изобретателя. Напомним, что описанием этого опыта начинается знаменитый „Трактат о равновесии жидкости“ Паскаля, изданный в 1663 г.** „Если прикрепить к стене несколько сосудов, один такой, как на фигуре первой, другой—наклонный, как на второй, затем более широкий, как на третьей, потом узкий, как на четвертой, затем такой, который представляет собою не что иное, как узкую трубку,

* Выводы автора в отношении программы, подкрепленные изучением опыта массовой школы, легли в основу исправления программы IX класса, Наркомпросом в 1934 г. — Ред.

** „Классики естествознания“. Начала гидростатики. Архимед, Стэвин, Галилей, Паскаль, пер. Н. Долгова, Технико-теоретич. изд., М. 1933г., стр. 365.

примыкающую внизу к широкому, но не имеющему почти высоты сосуду, как на фигуре пятой, — наполнить их все водой до одинаковой высоты, сделать у всех внизу одинаковые отверстия, каковые закрыть пробками, чтобы удержать воду, то опыт покажет, что нужна одинаковая сила для того, чтобы воспрепятствовать этим пробкам выпасть, хотя вода в этих различных сосудах находится в весьма различных количествах. Происходит это потому, что вода имеет одинаковую высоту во всех сосудах, и мерой указанной силы является вес воды, содержащейся в первом сосуде, однородном по своей форме. И если это количество воды весит сто фунтов, то нужна сила в сто фунтов, чтобы удержать каждую из пробок, даже и у пятого сосуда, хотя вода, заключенная в нем, не весит и одной унции (черт. 1).

Черт. 1.

Чтобы проверить это точно, надо закрыть отверстие пятого сосуда круглым куском дерева, обернутым прядью, как поршень насоса, каковой кусок должен входить в отверстие и проходить через него с такой точностью, чтобы не застревать и в то же время препятствовать выходу воды; затем прикрепить к середине этого поршня нитку, которая проходила бы через эту тонкую трубку, привязать ее к одному плечу коромысла весов, а на другое плечо повесить груз в сто фунтов; тогда мы увидим полное равновесие этого груза в сто фунтов с водой в тонкой трубке, каковая вода весит одну унцию; если же хоть немного уменьшить груз в сто фунтов, то вес воды опустит поршень, а следовательно, и то плечо коромысла весов, к которому он прикреплен, и поднимет то, на котором висит груз немного менее ста фунтов. Если эта вода замерзнет, а лед не пристынет к сосуду, то, чтобы удержать его в равновесии, достаточно будет иметь на другом плече коромысла весов всего лишь одну унцию; если же приблизить к сосуду огонь и растопить лед, то понадобятся уже сто фунтов, чтобы уравновесить тяжесть этого льда, расплавленного в воду, хотя мы располагаем всего только одной унцией ее“.

Упоминание о ста фунтах, очевидно, не случайно, а на самом деле сосуды у Паскаля были очень большие, так что трение поршня в цилиндрической части дна было незаметно, так как оно ведь не возрастает с размером сосуда, а остается более или менее постоянным. Мы умышленно привели эту длинную выписку, чтобы показать, насколько точно в описании указаны все условия опыта.

В одном очень старом физическом кабинете мне пришлось однажды видеть очень древний прибор для опыта Паскаля, необычайной величины, так что в сосуд входило едва ли не ведро воды. Давление получалось в несколько килограммов, и трением, конечно, можно было вполне пренебречь. Ряд постепенных переделок исказил оригинальный прибор и, конечно, значительно уменьшил его демонстративность и убедительность оригинального опыта.

Конечно, вряд ли можно особенно настаивать на возвращении к прежним большим размерам в этом приборе, однако надо указать, что вода — продукт недорогой, а при большом размере можно сделать сосуды из жести и наливать их полными.

Наиболее наивное искажение прибор Паскаля претерпел в том варианте, когда твердое дно сосуда заменяется жидким дном из ртути (черт. 2— Трындин, 2107). В этом случае прибор показывает уже совсем другое явление, так как у Паскаля идет речь о давлении жидкости на твердое тело, а не на другую жидкость.

Наиболее правильно и ближе всего к оригинальному прибору Паскаля сконструированы приборы Паскаля Гортлем (черт. 3,

Черт. 2.

Черт. 3.

Трындин, 2103) и Гримзелем (черт. 4, Гримзель, т. I, стр. 371, рис. 314). Здесь мы имеем твердое дно, двигающееся в цилиндрической части сосуда, укрепленное на весах.

Черт 4.

Особенно интересна конструкция Гримзеля, в которой давление измеряется и абсолютно в граммах.

Чтобы создать движение дна без трения, сделано следующее, очень остроумное приспособление. Дно представляет собой эбонитовый цилиндрик, свободно, с зазором около 0,5— 1 Л1м, входящий в цилиндр, соединенный с подставкой. Края цилиндра выточены, как показано на чертеже 5, в виде канавки. В эту канавку наливается ртуть, которая, благодаря своему большому поверхностному натяжению, не проходит в щель и препятствует проникновению воды. В то же время трение при движении дна почти исключено. Высота столба отсчитывается по линейке, прикрепленной к дну и проходящей внутри сосудов. В таком виде размеры прибора могут быть уменьшены до обычных.

Прибор Гримзеля требует тщательного изготовления и вряд ли скоро появится в школе. Наоборот, приборы неудачных конструкций в школе далеко не редки, а иногда имеются даже в нескольких экземплярах, поэтому хотелось бы найти пути к более рациональному использованию этой аппаратуры.

Сосуды разной формы очень легко использовать для опыта, если и не в точности воспроизводящего опыт Паскаля, то достаточно ясно показывающего то же явление.

Последовательность ряда опытов, касающихся давления тяжелой жидкости, в этом случае будет следующая.

Сначала показывают разными способами увеличение давления с глубиной. Это можно сделать на высоком сосуде с отверстиями или при помощи воронки, закрытой перепонкой и соединенной с манометром из изогнутой стеклянной трубки.

После этого показывают известный опыт — „Давление жидкости снизу вверх“ — на цилиндрической трубке с отпадающим дном, погруженной в сосуд с водой.

Очень важно при этом показать, что дно очень сильно прижимается к трубке, и необходима значительная сила, чтобы это дно отодвинуть. Для этого пробуют отодвинуть дно палочкой, опущенной внутрь трубки. Наверху палочку снабжают тарелочкой для гирь (черт. 6). После того как дно оторвано гирями, проделывают опыт снова, наливая внутрь трубки подкрашенной воды. Если пластинка сделана из целлулоида или фибра, с удельным весом около единицы, то опыт выходит очень чисто, и пластинка отваливается только тогда, когда уровень жидкости в наружном сосуде и в трубке сравняется.

Черт. 5.

Черт. 6.

Этим известным и весьма ценным опытом с необычайной простотой и убедительностью подтверждается положение, что давление жидкости равно площади, помноженной на высоту и удельный вес жидкости.

Когда это усвоено, показывают тот же опыт с сосудом, расширяющимся вверх, а затем с сосудом суживающимся. Проделываем опыт и с палочкой и с водой (черт. 7 и 8).

Черт. 7.

Черт. 8.

Давление снаружи остается, очевидно, постоянным, так как площадь дна одна и та же во всех сосудах. Давление же изнутри, казалось, должно быть различно в расширяющемся и в суживающемся сосудах (в этом и есть “парадокс Паскаля“); однако опыт показывает противоположное.

Таким приемом можно использовать сосуды от прибора для закона Паскаля для опыта, не менее убедительного, чем оригинальный опыт Паскаля.

Очень интересно показать расширяющийся сосуд, закрытый пластинкой сверху. Для этого надо иметь большую пластинку из куска матового стекла и большой сосуд, в который входила бы верхняя часть расширяющегося кверху сосуда.

Кроме того укажем с коническим сосудом еще один опыт.

Сосуд ставится нижним дном на матовую стеклянную пластинку и в него наливается вода.

Сосуд крепко стоит (черт. 9)

Черт. 9.

Черт. 10.

Сосуд переворачивается и ставится на пластинку широким отверстием. Пластинку прижимают крепко руками к сосуду, сосуд наполняют водой и опускают руки: сосуд подпрыгивает, и вода наливается (рис. 10).

Из этих опытов становится ясным составляющая веса воды, прижимающая сосуд к пластинке (в первом случае) и отталкивающая его вверх (во втором случае).

НЕСКОЛЬКО ПРИБОРОВ ПО ФИЗИКЕ.

В. СИРОЧИНСКИЙ (Минск)

Научно-исследовательский институт коммунистического воспитания в Белоруссии в прошлом году открыл у себя физический кабинет, который должен был заняться вопросом о методической ценности существующих у нас в продаже физических приборов, их реконструкции и, при возможности, построения новых оригинальных приборов, выработанных опытом советской школы, средней и высшей.

Ниже помещается описание оригинальных и полуоригинальных физических приборов, сконструированных и сделанных в институте.

Черт. 1.

1. Прибор для разложения и сложения движений, скоростей и вообще разного рода векторных величин не только по правилу параллелограма, но и по правилу параллелепипеда.

Сложение и разложение производятся весьма просто и в высшей степени наглядно.

В этом приборе использована идея фабричного мостового крана, состоящего, как известно, из „моста“, катящегося по рельсам, тележки, катящейся вдоль моста, и лебедки, подымающей груз вверх. При помощи мостового крана, как известно, можно перемещать груз из одного пункта завода в какой угодно другой (в пределах, разумеется, путей крана), так как мостовой кран может совершать движения по трем координатным осям: два движения в горизонтальной плоскости и одно — в вертикальной.

Наш прибор (черт. 1) состоит из деревянного каркаса, верхние перекладины которого AB и CD служат рельсами (деревянными) для передвижения большой тележки („собственно моста“) на металлических колесиках.

По этой большой тележке передвигается меньшая тележка, тоже на металлических колесиках. При помощи крепкой нитки (или шпагата) меньшая тележка прикрепляется к пункту Е каркаса. Эта нитка проходит через кольцо g. Вторая нитка связывает меньшую тележку с грузом Р. Таким образом, нетрудно сообразить, что когда передвигается большая тележка, то будет одновременно передвигаться и меньшая тележка, подымая груз Р. При обратном движении большей тележки будет также обратно двигаться и меньшая тележка под действием груза Р. Вставивши в меньшую тележку воронку с песком, мы на площадке (на рисунке не обозначена) запишем диагональ параллелограма, построенного на двух одновременных передвижениях. Наблюдая сбоку движение подымающегося и опускающегося груза Я, мы видим, что и он движется по диагонали параллелограма, построенного на двух перемещениях в вертикальной плоскости.

Совсем просто можно получить сложение движений по трем координатным осям (диагональ параллелепипеда). Для этого небольшой груз m подвешивается к нитке, пропущенной через отверстие в меньшей тележке (то самое, в которое вставлялась воронка) и закрепленной на гвоздике Ь. Когда движутся большая и меньшая тележки, то подымается и грузик /я, участвуя, таким образом, в трех движениях одновременно. При обратном движении тележек груз опускается, также участвуя одновременно в трех движениях. В результате ясно видно, что грузик движется по диагонали каркаса нашего прибора.

Подвесив к большей тележке маятник на двух нитках, мы можем получить синусоиду в результате двух движений: поступательного— тележки и колебательного — маятника. Фиксируется эта синусоида при помощи воронки с песком, вставленной в подвес маятника.

Освободив тележки от ниток и придавая какую угодно скорость каждой тележке в отдельности, мы можем наблюдать самые разнообразные случаи сложения и разложения векторов. Например, желательно показать, как получается индикаторная диаграмма в

результате сложения двух движений карандаша индикатора паровой машины.

Для этого в меньшую тележку вставляем воронку с песком. Чтобы песок не сыпался без надобности, мы в воронку вставляем стерженек, закрывающий узкое отверстие воронки. Его легко вынуть. Затем, двигая большую тележку, подобно поршню паровой машины (сначала постепенно ускоряющимся движением, в конце — постепенно замедляющимся), а малую тележку — подобно изменению объема парового цилиндра, мы из песка получаем фигуру, похожую на индикаторную диаграмму. Опыт можно производить вдвоем.

Черт. 2.

Нам кажется, что вопрос сложения и разложения векторных величин, направленных по двум и трем осям, нами разрешен более удовлетворительно, чем в существующих в настоящее время для этого школьных приборах.

2. Прибор для демонстрации законов равномерно-ус коренного и равнозамедленного движения тел, автоматически записывающий величину путей, пройденных в одинаковые промежутки времени.

На универсальной подставке (описана будет ниже) подвешивается диск Максвелла на нитках, длиною около 1,5 л (черт. 2) Если на ось диска Максвелла навертеть аккуратно нитки, на которых он подвешен, а потом диск выпустить из рук, то он, раскручиваясь, начинает „падать“ вниз, постепенно ускоряя свое движение. Дойдя до конца ниток и продолжая вращаться по инерции, диск подымается вверх, постепенно замедляя свое движение. В этом виде прибор всем известен. Мы к нему сделали следующее добавление: сбоку подвесили маятник, длиною тоже около 1,5 м (чечевица маятника может подыматься и опускаться). На ось диска надеваем кисточку, смоченную каким-либо цветным раствором. Подвешенный сбоку маятник приспособлен так, что кисточка касается его стержня и может оставлять на нем следы. Подымаем диск Максвелла до самого верха, накрутив всю нитку на его ось. Маятник, подвешенный сбоку, отведем в сторону. Выпустив из рук диск Максвелла и пустивши в ход маятник, мы увидим, что кисточка оставляет следы на стержне маятника через промежутки времени, равные полупериоду полного колебания маятника. Маятник нетрудно, разумеется, отрегулировать так, чтобы этот промежуток времени равнялся, если угодно, одной секунде.

Если желательно продемонстрировать замедленное движение, то, приведя в движение диск Максвелла и дождавшись, когда он дойдет до самого низу, — пустим в ход боковой маятник. Кисточка будет наносить следы на стержень маятника при поднятии диска вверх. Величины путей, пройденные в одинаковые промежутки времени, теперь будут постепенно уменьшаться. Чтобы повторить опыт несколько раз, кисточку следует смачивать растворами разной окраски, например раствором марганцевокислого кали, двухромокислого кали, медного купороса, флюоресцина и др.

Сравнивая пути, пройденные в одинаковые промежутки времени при движении диска вниз, мы увидим, что это движение не представляет собою в точности равномерно-ускоренного движения. Однако, если придать диску удобообтекаемую форму, сглаживая острые края диска, то движение его в значительно большей мере приблизится к равномерно-ускоренному движению. Еще большего приближения к законам равноускоренного движения мы достигнем, взявши небольшой металлический диск с хорошо центрированной осью и закругленными краями. Поднятие диска вверх очень близко подходит к равномерно-замедленному движению.

Имея в своем распоряжении несколько дисков—деревянных и металлических—с острыми и закругленными краями с лопатками, мы без труда демонстрируем влияние трения воздуха на ускорение движущихся в нем тел.

Этот прибор дает возможность продемонстрировать еще следующие явления:

a) Закон затухания колебаний. Диск Максвелла с каждым разом подымается на все меньшую и меньшую высоту. Будем отмечать высоты поднятия диска. Взяв отношение двух последовательных высот, мы увидим, что это отношение сохраняется и для всех других пар высот, непосредственно следующих одна за другою.

b) Уменьшение давления на площадку падающим грузом. На верхнюю площадку универсальной подставки (рис. 3) ставим весы Беранже. На одну чашку этих весов кладем перекладину, к которой подвешен диск Максвелла, и уравновешиваем весы, кладя на другую чашку соответствующий груз или разновес. Накручивая нитку, подымем диск Максвелла до чашки весов, а потом выпускаем его из рук. Диск станет падать вниз. Весы совершенно ясно показывают „уменьшение веса“ падающего тела, т. е., правильнее говоря, давления на чашку весов. Это уменьшение сохраняется даже и тогда, когда диск начинает подыматься вверх! Опыт производит сильное впечатление на вдумчивого ученика или студента. Описание этого опыта имеется у Поля, но в очень сложной установке (Р. Поль, „Введение в механику и акустику“) Нетрудно рассчитать и объяснить уменьшение давления падающего груза на связанную с ним площадку.

Возьмем числовые данные, относящиеся к нашему прибору. Вес диска в нашем приборе равен 575 г. Длина ниток 140 см. Время падения — около 5 сек.

Высчитаем ускорение по формуле.

Черт. 3.

Скорость в конце 5-й секунды v = 55 cMJce/c.

Значит, уменьшение веса будет равняться 575.11 ^ 6300 дин ^ 6,3 г.

с) Определить величину удара или импульса в момент, когда диск меняет свое направление. Как известно, в этот момент чашка весов, к которой подвешен диск, должна получить толчок, равный 2 mv. Время „удара“ можно определить—в нашем приборе оно равняется 0,2 сек*. Значит, импульс будет равняться 2 mv=/t, и на чашку весов надо положить дополнительно /=-у—* чтобы восстановить равновесие весов во время толчка. Опыт прекрасно подверждает правильность наших расчетов {/ ——^2— ^ дин ^ ^=33 г). Когда в кинетической теории газов приходится определять величину удара, полученного стенкой от одной молекулы, и писать, что mv — (—mv) = 2mvy то всякий раз чувствуется необходимость как-нибудь конкретно подвердить этот расчет. Наш прибор позволяет осуществить количественную и наглядную поверку теоретических расчетов упругого удара молекулы о стенку.

3. Наклонная плоскость с автоматической записью путей, пройденных в равные промежутки времени катящимся телом.

К универсальной подставке прикрепляется наклонная плоскость (черт. 4) при помощи скобы и болтов, как показано на чертеже, под желательным углом, К этой же наклонной плоскости приспособлен маятник с линейкой на шарнире, устанавливаемой параллельно наклонной плоскости. На наклонную плоскость кладется цилиндр, на ось которого насаживается кисточка, смоченная в каком-нибудь красящем растворе(см.

* Время удара (импульса) мы определили так: к маятнику внизу, на уровне оси диска в самом низком его положении, мы наклеили кусок бумаги, длиною равный (приблизительно) амплитуде качания маятника. Кисточка на оси диска в момент удара оставляет на бумаге прямую линию. Сравнивая ее с длиною амплитуды, можно высчитать время удара.

выше). Цилиндр удерживается на особой подвижной площадке. Она на рисунке не видна. Пускаем в ход маятник, нажимаем площадку. Освобожденный цилиндр приходит в равноускоренное движение и кисточкой на линейке L отмечает отрезки пути, пройденные им в равные промежутки времени.

Как видим, один и другой приборы весьма наглядно и удобно дают возможность в лекционной обстановке продемонстрировать законы равноускоренного движения, не затрачивая на это много времени.

4. Рычаги и рама для опытов по механике (черт. 5).

Несмотря на свою исключительную простоту и доступность, опыты с рычагами проходят в школах крайне неудовлетворительно, насколько можно судить по испытаниям при поступлении в вузы. Не изучается и десятая доля того, что можно и следует изучать на этом простом и весьма важном приборе. Виною отчасти служит то обстоятельство, что в продаже и вообще в школьной практике отсутствуют образцы приборов, на которых можно было бы показать всю сумму явлений, так или иначе связанных с рычагом.

Для опытов с рычагами нами построена обыкновенная рама, хорошо известная физикам. Для закрепления подставок и блоков мы использовали так называемые „лисицы“. „Лисицами“ плотники зовут закрепления при помощи скобы и клиньев. „Лисицы“ дают возможность закреплять разного рода приспособления в какой угодно точке рамы. На других особенностях рамы мы здесь не останавливаемся. Рычагов следует сделать несколько, разных форм (прямые, кривые, ломаные и т. д.) с точками приложения сил на одной прямой с осью вращения рычага, а также выше и ниже этой оси. Ось вращения одних рычагов может быть (приблизительно) в центре тяжести, а других — несколько выше или ниже его. Разумеется, демонстрировать все рычаги сразу нецелесообразно да и ненужно. Но в школе они должны быть для решения разных вопросов и задач, совершенно неизбежных при хорошо оборудованном изучении физики. Ведь свойство весов — этого важнейшего прибора физики — всецело связано со свойствами и законами рычага.

Один из рычагов следует построить так, чтобы его легко можно было превратить в коромысло хороших и достаточно чувствительных школьных весов.

Главную роль во всех наших опытах играет рычаг без гвоздей. Это — обыкновенный прямоугольный стержень, деревянный, с ножом, острие которого проходит несколько выше центра тяжести. Против острия, с нижней стороны рычага, прикреплена длинная стрелка с насадкой, перемещающейся на стрелке с некоторым трением. Насадок должно быть несколько, разного веса. Подшипником для оси служат две стальные пластинки, прикрепленные к особого вида держалке (черт. 5). Держалка при помощи „лисиц“ закрепляется на любой высоте рамы. К раме же, при помощи тех же „лисиц“, прикрепляется и шкала, с условными делениями против стрелки рычага.

Вместо гвоздей мы пользуемся подвесками (черт. 5—а,Ь), свободно перемещающимися по рычагу. Для управления центром тяжести у нас имеется длинная стрелка с перемещающейся по ней насадкой.

На таком рычаге очень удобно проверяются все законы рычага при помощи небольших грузиков, например монет, положенных прямо на плечи рычага. Если имеются грузы с крючками, то их легко прицепить к подвескам, о которых сказано выше. Для компенсации моментов вращения самих подвесков берутся еще два подвеска и без грузов размещаются соответственно на плечах рычага.

Для превращения такого рычага в коромысло весов и исследования его в этой роли достаточно к подвескам прицепить чашки весов (черт. 6). Очень хорошо для этой цели иметь готовые роговые чашки. Тогда не только по существу, но и по внешнему виду рычаг с подвешенными к нему роговыми чашками производит впечатление „настоящих весов*.

Черт. 4.

Такие весы, аккуратно сделанные, годятся для всех школьных опытов по физике, включая сюда и взвешивание газов. Колба в 500 см3 при повышении температуры на 100° (приблизительно) показывает уменьшение веса весьма заметно. Бумажный цилиндр, подвешенный вверх дном к коромыслу наших весов, отчетливо показывает подъемную силу нагретого воздуха, если снизу поднести зажженную спичку. Правда, в начале этого опыта играет роль и конвекционный ток, но по прошествии нескольких секунд, когда устанавливается стационарный режим, ясно наблюдается уменьшение веса вследствие ушедшего при нагревании воздуха.

Рычаг без гвоздей весьма удобен и как рычаг и как коромысло весов. Однако могут указать на один существенный недостаток такого рычага, особенно когда он служит коромыслом весов: ось вращения рычага или коромысла находится не на одной прямой с точками опоры подвесков. Точки опоры подвесков лежат выше оси вращения рычага Формула чувствительности весов для этого случая может быть записана в таком виде:

где U—перегрузок, OF—плечо общей нагрузки, ОЯ— плечо перегрузка, ОЕ — плечо коромысла, в 2 К—общая нагрузка и G—вес коромысла.

Из этого уравнения видно, что в нашем рычаге с увеличением общей нагрузки чувствительность весов увеличивается. Знак минус при 2K-OF как раз относится к тому случаю, когда „точки“ опоры подвесков лежат выше оси вращения рычага или коромысла весов.

Предел общей нагрузки находится посредством сравнения момента общей нагрузки с моментом общего веса коромысла, стрелки и насадки. Очевидно, общая нагрузка не может быть очень велика, но во всяком случае она достаточна для большинства опытов с весами в школе. Конечно, коромысло легко передвигать так, чтобы точки опоры подвесков лежали на одной линии с осью вращения его. Весы, устроенные посредством рычага, повышают интерес к законам рычага, показывают многообразие его особенностей, несмотря на простоту устройства; показывают, как используются законы физики в технике, в данном случае — технике весов.

5. Тепловой гальванометр (черт. 7).

Тот же рычаг с длинной стрелкой можно использовать для демонстрации удлинения проволоки при нагревании ее электрическим током. Ясно, что в данном случае рычаг будет играть роль „увеличителя“ перемещений.

На раме для опытов по механике (а еще лучше на отдельной раме, построенной специально для теплового гальванометра) натягивается тонкая проволока от неподвижного крючка А через два блока (черт. 7) к неподвижному крючку В. К средней точке последнего звена натянутой проволоки прикрепляет-

Черт. 6.

Черт. 5.

ся нитка, другой конец которой наматывается на колышек в нижней перекладинке рамы. Колышек этот может вращаться и, таким образом, натягивать в большей или меньшей степени нить. К средней точке этой нити прикрепляется вторая нить; она перебрасывается через блок и привязывается к короткому плечу нашего рычага с длинной стрелкой и шкалой под ней. Длинный конец рычага, а также длинная стрелка будут отмечать во много раз увеличенное удлинение проволоки от нагревания ее током. Большое увеличение дают еще и прогибы ниток, если они вначале были близки к 180°.

Построенный таким образом тепловой гальванометр удобен для демонстрации устройства тепловых гальванометров вообще. Кроме того он может служить превосходным прибором для практических работ по градуировке тепловых амперметров и вольтметров. Перегоревшая проволока легко восстанавливается.

6. Методом стрелки и натянутых нитей мы воспользовались также для демонстрации деформации растяжения и прогиба, как видно из чертежей 8 и 9.

7. Прибор для демонстрации сложения и разложения колебательных движений (черт. 10).

Сложение колебательных движений демонстрируется целым рядом простых и сложных приборов. Самым простым прибором, по нашему мнению, явлется прибор, описанный в физике Поля („Введение в электричество“). Однако в том виде, как этот прибор описан у Поля, он (т. е. прибор) дает очень мало, потому что приводится в движение неопределенными толчками руки.

В нашей конструкции этот прибор вместе с чрезвычайной простотой отличается, мы сказали бы, полной демонстративной убедительностью.

К подставке из куска толстой доски прикрепляется сбоку планка А. К доске и планке прикрепляются две ножовки, на концах которых находятся квадратные фанерные дощечки с прорезами. Одна дощечка колеблется в вертикальном, а другая — в горизонтальном направлении. Первая имеет горизон-

Черт. 7.

Черт. 8.

Черт. 9.

Черт. 10.

тальный прорез, а вторая — вертикальный. В состоянии равновесия прорезы пересекаются в средних точках.

При помощи проволок колеблющиеся дощечки соединяются с коленчатым валом, сделанным из толстой проволоки. На валу имеются три колена, расположенные под углом в 90° и 180° друг к другу.

Если дощечки, соединенные с коленами под углом в 90°, привести в движение при помощи вращения коленчатого вала, то световой пучок, проходя через перемешающийся пункт пересечения двух щелей (прорезов), даст на экране правильную окружность при равенстве колен. Вращение светлого пятна на экране может быть правое или левое, в зависимости от последовательности горизонтального и вертикального колебаний.

Если обе проволоки фанерных дощечек будут присоединены к одному и тому же колену, то результирующее колебание будет прямолинейное, направленное по диагонали параллелограма двух основных колебаний. Точно так же получим диагональ параллелограма, соединив дощечки с коленами под углом 180°; только теперь диаганаль будет соединять две другие точки параллелограма.

Коленчатый вал дает наглядное представление о сдвиге фаз на 90°, или четверть периода, о противоположных фазах, об одноименных фагах и о влиянии сдвига фаз на форму результирующей двух исследуемых колебаний. Теперь перейдем к описанию некоторых наших приборов по оптике.

8. Обыкновенный проекционный фонарь, приспособленный только для проекции диапозитивов, нетрудно перестроить так, чтобы он годился и для горизонтальной и вертикальной проекции разных опытов (кристаллизации, поверхностного натяжения, капиллярных явлений, магнитного и электростатического поля и т. д.).

Для этого мы снимаем объектив с держателем, а вместо этого делаем рамку длиною около 0,5 м, по которой может двигаться на салазках „объективная“ доска, т. е. доска с вырезом для вставления объектива. Рамка для диапозитивов снимается. Таким образом, между конденсатором и объективом можно ставить плоскопараллельную ванну, электроскоп и другие приборы для вертикальной проекции (черт. 11).

Для проекции горизонтальных предметов нами построен черный деревянный ящик, внутри которого вставляется зеркало под углом в 45°. К этому же ящику прикреплен металлический стержень, по которому может скользить „объективная“ доска (т. е. доска с прорезом для объектива, черт. 12). Для поворота изображений в вертикальную плоскость на „объективной“ доске имеется поворачивающееся зеркало. Поставив это зеркало под углом в 45°, мы повернем изображение в вертикальную плоскость. Слегка меняя угол, мы можем повысить или понизить изображение. Для проекции горизонтальных предметов конденсатор разбирается; одна половина его оставляется на месте (плоской стороной к источнику света), а другая половина вставляется в вырез ящика плоской стороной вверх. Проецируемые приборы ставятся или прямо на

Черт. 11.

Черт. 12.

конденсор или лучше на стеклянную пластинку, положенную на конденсор.

Несмотря на то, что построенные нами приспособления для горизонтальной и вертикальной проекции давно известны и представляют собою весьма ценное добавление к проекционному фонарю и легко могут быть сделаны в любой школе, однако же ни в продаже, ни в школах их не имеется.

9. Для проекционного фонаря и других подвижных установок нами сконструирована универсальная подставка. Она состоит из довольно тяжелой подставки, к которой прикрепляется рама около 2 м высотою. На этой раме движется вверх и вниз площадка с наугольниками снизу для большей устойчивости. При помощи особого рода скобок (черт. 13) площадка может быть закреплена очень прочно на любой высоте рамы.

10. Доска для демонстрации отражения, преломления и разложения света.

Имеется целый ряд простых приборов для демонстрации преломления, отражения и разложения света, например шайба Гартля, прибор Розенберга, оптические скамьи разных систем и т. д. Наше приспособление для этих явлений, пожалуй, будет и проще и нагляднее. А главное, при помощи его опыты демонстрируются в таком масштабе, что видны со всех сторон в большом классе. В качестве источника света может с успехом служить керосиновая лампа с плоским фитилем.

Наш прибор представляет собою фанерную доску (черт. 14), размером околе 1 кв. м. На доску наклеен лист ваттманской белой бумаги, ниже которого в доске делается прямоугольный вырез (10X5). Против выреза привинчивается зачерненная подставка, во-первых, для зеркала, поставленного под углом в 45° и закрытого с боков, и, во-вторых, для черной пластинки с пятью щелями для пропускания света, лежащей горизонтально на подставке. Другая небольшая жестяная пластинка служит для закрывания и открывания отверстий. С противоположной стороны, против выреза, ставится керосиновая лампа ребром фитиля против щелей.

Чтобы лист бумаги на фанерной доске представлял ровную плоскую поверхность, его наклеивают так: кладут бумагу на стол, смачивают водой за исключением краев шириною в 2—3 см, смазываемых столярным клеем. Бумага смоченной стороной прикладывается к доске и закрепляется по краям кнопками. Когда бумага высохнет, она туго натянется на доске и даст достаточно плоскую поверхность. После этого кнопки можно вынуть.

Для демонстрации отражения света весьма полезно иметь тонкую стальную никелированную линейку. Ей легко придавать любую кривизну. Пропустив один тонкий пучок света так, чтобы он заметно скользил по наклеенной бумаге, и приставив линейку перпендикулярно к ней, мы увидим отражение этого пучка света. Прикладывая транспортир, легко проверяем законы отражения света. Весьма важно показать, что при отражении нескольких пучков света от плоского зеркала сохраняется их относительное поло-

Черт. 13.

Черт. 14.

жение, т. е., если лучи до отражения были, например, параллельны друг к другу, то и после отражения они сохранят то же самое взаимное положение.

Приняв несколько лучей на вогнутую линейку, мы увидим их сходимость и пересечение в некоторой точке. При помощи стальной и гибкой линейки легко показать зависимость фокусного расстояния от кривизны зеркала.

Для преломления и разложения света необходим набор такого же стекла, как и для шайбы Гартля.

11. Приборы для интерференции и поляризации света. Имея „реформированный“ проекционный фонарь, нетрудно поставить ряд опытов по интерференции и поляризации света при помощи приборов, которые ничего не стоит построить самому учащемуся. Для демонстрации интерференции света достаточно взять предметное стекло и покровное стеклышко, вымыть их аккуратно мылом и спиртом, а потом хорошенько протереть и высушить. Приложив теперь покровное стеклышко к предметному и слегка нажимая его, например спичкой, мы увидим весьма отчетливо целый ряд радужных интерференционных кривых. При изменении нажима кривизна интерференционных полос также меняется.

Чтобы показать это явление всей аудитории, мы можем воспользоваться нашим приспособлением для горизонтальной проекции: зеркало в черном ящике прикрываем черной бумагой или фанерой и кладем на нее наш прибор для интерференции. Он окажется под углом в 45° к пучку света, выходящему из фонаря. При надлежащем фокусировании мы на потолке увидим красивую картину интерференции света. Тут же следует показать и изменение кривизны линий при нажиме на покровное стеклышко каким-нибудь стержнем.

Разумеется, при этой установке весьма легко использовать светофильтры и показать явление интерференции в монохроматическом свете.

Как известно, явление поляризации можно наблюдать при отражении и преломлении света. Мы не будем здесь описывать всем известный поляризатор, сделанный из предметных стекол. Укажем разве только на очень удобный способ их закрепления в картонной четырехгранной коробке. Стопка чистых стеклянных пластинок, числом около 20, располагается в коробке, как показано на чертеже 15, и закрепляется двумя небольшими кусками картона, которые приклеиваются и прикрепляются проволокой к пунктам А и В. По закону Брюстера, тангенс угла поляризации равняется показателю преломления. Значит, для стекла угол поляризации будет равен около 56°, и потому пластинки стекла должны располагаться под углом около 34° к граням коробки (черт. 15). Имея два таких поляризатора, можно показать при помощи проекционного фонаря, все главнейшие школьные опыты по поляризации света.

12. Прибор для демонстрации звуковых колебаний.

Для демонстрации звуковых колебаний существует не много приборов, которые были бы доступны по цене и простоте своего устройства для средней школы. Знаменитым физиком Лебедевым был предложен прибор, довольно простой и наглядный, для демонстрации звуковых колебаний, но почему-то он не получил широкого распространения.

Мы построили прибор для демонстрации звуковых колебаний по образцу прибора Лебедева, но, значительно его упростив, сделали более доступным нашей школе.

Прибор состоит из двух металлических колец с внутренним диаметром не меньше 5 см. Между этими кольцами зажимается тонкий вощеный лист бумаги в качестве мембраны. Лебедев рекомендует в качестве мембраны брать пробковый листок. Но достать или приготовить такой тонкий пробковый листок не так-то легко.

Тонкая вощеная бумага в нашем приборе давала вполне хорошие результаты. Бумага берется вощеная, потому что обыкновенная папиросная бумага при пении и разговоре быстро пропитывается влагой и становится негодной в качестве мембраны.

Чтобы тонкая вощеная мембрана прочно держалась в кольцах, необходимо еще положить между кольцами картонные прокладки.

Само собою понятно, что когда мы будем говорить или петь перед мембраной, она будет колебаться соответственно данному звуку.

Чтобы эти колебания сделать видимыми и продемонстрировать их в большой аудитории, мы к мембране прикрепляем маленькое легкое зеркальце, сделанное из покровного стеклышка. Зеркальце закрепляется при помощи проволочной вилки и трех маленьких пробочек. На чертеже хорошо видна вилка и три пробочки, в прорезах которых держится зеркальце. На чертеже зеркальце

Черт. 15.

изображено круглым. Две пробочки a, b надеваются на острия вилки, а третья пробочка с („центральная“) приклеивается к мембране. Амплитуды колебания зеркальца так малы, что разрезы пробок не мешают этим колебаниям.

С противоположной стороны к мембране, а вернее к кольцам, прикрепляется небольшой рупор.

Чтобы этот прибор можно было легко и удобно устанавливать необходимым образом, следует для него построить специальный штатив, показанный на чертеже 16.

Черт. 16.

Для демонстрации звуковых кривых необходимы вращающееся зеркало и проекционный фонарь. Вся установка весьма облегчается, если из фонаря брать тонкий пучок света при помощи диафрагмы с отверстием не больше 1,5 мм. Хорошо при этом пользоваться длиннофокусной линзой.

Если перед мембраной (через рупор) петь какую-нибудь гласную и вращать при этом зеркало, то на экране получается светлая кривая, для каждого звука особая.

13.Демонстрационный гальванометр. Весовой вольтметр и амперметр.

Для демонстрации связи между током и магнитом пользуются обычно гальваноскопом с весьма маленькой стрелкой, так что опыт выходит малоубедительным и плохо видимым с далеких парт класса или аудитории.

Мы построили гальванометр с магнитной стрелкой, длиною в 25 см, сделанной из обыкновенной ножовки. Намагниченная посредством натирания ножовка припаяна к оси (можно взять иголку), вращающейся в стеклянных гнездах, вставленных в стенки рамки. Сама рамка, в пазах которой намотано около 150 витков изолированного провода (диаметром 0,4 мм), может быть в подставке расположена и вертикально и горизонтально, что

Черт. 17а.

Черт. 176.

весьма удобно при разнообразных опытах с этим прибором. Чтобы регулировать чувствительность гальванометра, мы насаживаем на верхний конец магнитной стрелки обычную проволочную канцелярскую скрепку. Ее можно передвигать вверх и вниз, изменяя, таким образом, центр тяжести стрелки и чувствительность гальванометра (рис. 17а и б).

При аккуратном выполнении прибор весьма чувствителен и может служить с успехом инклинатором и деклинатором, особенно благодаря скрепке, дающей возможность в довольно широких пределах регулировать центр тяжести магнитной стрелки.

Несколько меньшие магнитные стрелки мы употребили для приготовления весовых вольтметра и амперметра. Стрелки эти можно приготовить или из малых ножовок или, еще лучше, из стальной часовой пружины.

Наш весовой вольтметр (черт. 18) построен из рамки (приблизительно 25X6), в пазах которой намотано около 100 витков изолированной проволоки, диаметром около 0,3 мм. Магнитная стрелка из выпрямленной стальной часовой пружины имеет в середине швейную иглу в качестве оси, вставленную в стеклянные гнезда (стеклянные трубочки, запаянные с одной стороны и вставленные в деревянную раму). Кроме того к магнитной стрелке припаян на уровне оси, перпендикулярно к стрелке, небольшой стерженек, например кусок пилки от лобзика. Рамка прикрепляется к подставке с клеммами для ввода тока.

При пропускании тока стрелка отклонится на некоторый угол. Чтобы стрелка опять стала вертикально, необходимо на стерженек повесить некоторый небольшой грузик в виде проволочки (проволочная петелька). Перемещаем его на стерженьке до тех пор, пока магнитная стрелка не станет вертикально. Опыт показывает (а также и теория), что груз, необходимый для приведения стрелки в первоначальное („нулевое“) положение, пропорционален силе тока. Присоединяя этот гальванометр параллельно цепи, мы будем иметь достаточно точный вольтметр. Для амперметра следует, конечно, взять гораздо меньше витков и включать его последовательно в цепь.

Весовые вольтметр и амперметр при своей чрезвычайной простоте очень удобны при первоначальном ознакомлении с измерениями силы и напряжения тока, так как подходят к измерениям тока с самой доступной для учащихся стороны. Кроме того прибор не боится манипуляций в руках учащегося.

Для студента такой прибор представляет собою недурную задачу: определить чувствительность прибора и точность измерений при помощи его.

Для градуировки прибора может служить уравнение:

q=Cf,

где q — нагрузка, /— сила тока, а С— коэфициент пропорциональности или постоянная прибора.

Черт. 18.

ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ ЗА ГРАНИЦЕЙ

АМЕРИКАНСКАЯ МЕТОДИКА МАТЕМАТИКИ В ЕЕ БИБЛИОГРАФИИ

И. КАВУН (Гос. пединститут им. Герцена)

В настоящей заметке мы пытаемся дать обзор литературы по методике математики в США и наметить, насколько это возможно для автора, не выезжавшего в эту страну, основные тенденции этой литературы.

Настоящее математики в Америке связано с тремя великими ее организациями: Американским математическим обществом*, преследующим чисто научные цели ; Математической ассоциацией Америки**, имеющей в виду главным образом преподавание математики в высшей школе, и Национальным советом преподавателей математики*** — федерацией клубов и ассоциаций преподавателей средних и элементарных школ, насчитывающей около 10 тыс. членов. Национальный совет, объединяющий преподавателей математики средних и элементарных школ имеет свой орган — журнал „The Mathematics Teacher“****, который выходит 8 раз в год, каждый номер объемом в 64 страницы. Подписная цена за границу 2,50 доллара в год. Каждый член Национального совета уплачивает ежегодный взнос в 2 доллара и получает этот журнал бесплатно. Во главе журнала стоит авторитетный в преподавательских кругах профессор математики университета и учительского колледжа (высшая педагогическая школа) В. Д. Рив (W. D. Reeve).

Национальный совет, кроме своего журнала, выпускает ежегодно учебники*****. За время существования Национального совета, т. е. с 1921 г., вышло 9 сборников, цена которых такова: первый распродан, второй стоит 1,25 доллара, а прочие — по 1,75 доллара. Содержание ежегодников следующее: Во втором ежегоднике 3 статьи — о преподавании арифметики; 3 статьи — о преподавании математики в младших классах школы II ступени; 3 статьи — о преподавании математики в старших классах школы II ступени.

Третий ежегодник содержит статьи по разным вопросам преподавания математики и, главным образом, — о преподавании анализа в школе II ступени.

Четвертый — посвящен обзору преподавания математики в разных государствах.

Пятый — весь посвящен вопросам преподавания геометрии.

Шестой — рассматривает школьную математику в ее приложениях.

Седьмой — весь посвящен вопросам преподавания алгебры.

Восьмой — содержит статьи о преподавании математики в школе II ступени.

Девятый — заключает статьи, предметом которых служит функциональное мышление, переменная и функция; психология этого понятия, его история; понятие функции в средней школе, в практике; курс математики, основанный на понятии функции.

В 1916 г. в США был организован под руководством Математической ассоциации Америки Национальный комитет по математическим нуждам*, составленный из 6 преподавателей высшей школы и 7 преподавателей средней школы. Этот комитет составил большой доклад о реорганизации преподавания математики в средней школе**, который был опубликован в 1923 г. и оказал огромное влияние на реформу преподавания математики, став отправным пунктом в развитии методики математики.

Чрезвычайно благоприятным условием для успехов американской методики математики является дружное сотрудничество профессоров высшей школы, преподавателей средней школы и профессоров психологии и педагогики. Так, реформа преподавания математики проводилась под руководством Математической ассоциации Америки; в Национальном комитете

* „The American Mathematical Society“.

** „The Mathematical Association of America“.

*** „The National Council of Teachers of Mathematics“.

**** „The Mathematics Teacher“, 525 West 120 th st. New York Citv.

***** „National Council of Teachers of Mathematics Yearbooks“, Bureau of Publications, 525 West 120 th st. New York City.

* „National Committee on Mathematical Requirements“.

** „The Reorganization of Mathematics in Secondary Education“, a Report by the „National Committee on Mathematical Requirements“ 1923. Revised by J. W. Young. Houghton Mifflin Co., 1927.

участвовали почти на паритетных началах профессора и преподаватели математики. В Национальном совете преподавателей математики средней школы принимают деятельное участие профессора математики университетов и колледжей*, как, например, J. О. Hassler, нынешний президент совета, W.D. Reeve — редактор журнала» Mathem. Teacher“, J. P. Everett, D. E. Smith и др. Над вопросами преподавания математики работают многие специалисты по психологии и педагогике, как, например, E. L. Thorndike, С. Н. Judd, J. Dewey, F. В. Knight, О. S. Lutes и др. Профессора математики университетов и высших педагогических учебных заведений (колледжей) принимают участие в журнале „Mathem. Teacher“, составляют учебники, создают методические руководства (D.E. Smith, J. P. Everett и др.). Такое сотрудничество профессоров, преподавателей математики и психологов весьма благоприятно для развития методов и для обогащения учебной литературы: ни в одной стране не уделяется так много внимания вопросам преподавания математики, как в США.

Исследовательская работа в области методики математики в Америке в большой степени основывается на дидактическом эксперименте. Методическая теория создается сперва дедуктивным путем, исходя из некоторых общих дидактических и математических принципов. Затем эта теория проверяется и исправляется как в целом, так и в частях с помощью дидактического эксперимента, который заключается, с одной стороны, в записи уроков и в их анализе, а с другой — в проверке результатов с помощью тестов.

Американская методика математики обязана психологам применением этих объективных методов исследования к дидактическим проблемам**. В настоящее время этими методами пользуются и математики.

Приведем примеры. Во втором ежегоднике три первых статьи посвящены вопросам преподавания арифметики. Авторы этих статей свои выводы делают большей частью на основании эксперимента. Исследуется, например, вопрос о роли „распределенных“ и „нераспределенных“ упражнений в выработке вычислительных навыков. Распределенными называются примеры, планомерно охватывающие всевозможные случаи арифметического действия с определенными повторениями каждого случая. В нераспределенных упражнениях, взятых из задачника, комбинации чисел случайны. Для определения значения распределенных упражнений наблюдению подвергнуты были 600 детей, из которых одна часть обучалась по задачнику, а другая решала примеры, составленные и распределенные по определенному плану. При испытании вычислительных навыков у этих детей распределенные примеры дали избыток правильных ответов в 18 % в сложении, 19% — в вычитании, в 35 % — в умножении и в 24% — в делении.

В „Mathem. Teacher“ (1929, 1) помещена статья L. E. Mensenkamp'a о классификации учащихся IX класса по их способностям к изучению алгебры. Автор пользуется в своем исследовании методом корреляции. В этом же роде статья H. Weissman'a, трактующая о классификации учащихся по их способностям к изучению геометрии.

Очень интересная статья J. В. Orleans дана в „Mathem. Teacher“ (1924, 4 и 5) о методах исследования одаренности учащихся в алгебре и геометрии и вероятной успеваемости их по этим предметам. Исследование производилось с помощью тестов; ответы учащихся обрабатывались при помощи вариационной статистики.

Следует отметить значительное распространение в американской методике объективных методов исследования дидактических проблем.

Психология входит в качестве необходимого элемента в американскую методику математики. Редкая статья или книга, трактующая общие или частные вопросы преподавания математики, не исходит из данных психологии или философии (точнее — логики). Национальный комитет, создавая свой знаменитый доклад о реорганизации преподавания математики, разослал вопросник 24 специалистам психологии и материал, полученный от них, использовал для своих заключений*.

* Колледжи в Америке — высшие специальные учебные заведения. Teachers College - учительский колледж, соответствующий нашему педвузу.

** Назовем здесь ряд исследований в области преподавания арифметики, сделанных специалистами психологии:

Knight Luse and Ruсh — Problems in the Teaching of Arithmetic, Jowa Supply Co., Jowa City. Jowa.

Lutes O. S. — An Evaluation of The Techniques for Improving to solve Arithmetic Problems. University of Jowa, Monographs in Education, N 6.

Вuswell G. T.-—Diagnostic Studies in Arithmetic. University of Chicago Press, 1926.

Buswell G.T and Judd С. H.— Summary of Educational Relating to Arithmetic. University of Chicago Press, 1925.

Judd С. H. — Psychological Analyse of the Fundamentals of Arithmetic.

* Назовем здесь сочинения психологического содержания, на которые часто ссылаются авторы статей и монографий по вопросам преподавания математики:

Dewey J. — How We Think. Heathang Co. 1910.

Возвратимся к важнейшему документу американской методики математики — к докладу Национального комитета. В этом документе названы следующие основные цели изучения математики в средней школе:

1) Развитие тех способностей понимания и анализирования количественных и пространственных отношений, которые нужны для понимания действительности и контроля над нею, для оценки процесса цивилизации в его различных видах.

2) Развитие тех навыков мышления и действия, которые могут сделать эти способности эффективными в жизни индивидуума.

Таким образом, подчеркивается значение математического образования для развития „навыков мышления“. В методических руководствах и статьях обращается большое внимание на развитие математического мышления. W. Betz, член редакционной коллегии журнала „Mathem. Teacher“, автор ряда обстоятельных и интересных статей, в статье „The Transfer of Training“ (Yearbook) говорит: „Постуляционное мышление имеет капитальное значение во всех областях человеческого знания. Доказательство представляет простейшее и наиболее удобное введение в постуляционное мышление.“ Поэтому преподавание геометрии в средней школе имеет глубокое основание. Эта мысль, по слэвам W. Betz'a, получила классическое выражение в сочинениях профессора С. J. Keyser'a*.

Выставляя требование развития мышления, Национальный комитет наряду с этим подчеркивает важность воспитания способностей интуиции и оценки. Он предостерегает против изобилия в курсе математики изолированных и несогласованных мелочей и рекомендует подчинять преподавание математики „некоторым общим идеям“. Комитет предостерегает и против крайностей „механизации“. Чрезмерное увлечение — говорится в докладе — преобразованиями (Manipulation) есть одно из основных препятствий к умственному прогрессу, Навыки в преобразовательной технике есть только средство, а не цель.

Итак, в Америке имеются весьма благоприятные факторы для развития методики математики: принципы преподавания математики, отчетливо выраженные весьма авторитетным в глазах учительства органом — Национальным комитетом; мощная организация преподавателей математики; помощь со стороны профессуры; глубокие психологические традиции. Несмотря на это в американской методической учебной литературе существуют недостатки, которые мы считаем нужным отметить.

Доклад Национального комитета заключает прекрасный принцип — развитие математического мышления. В учебниках же — особенно в учебниках алгебры — теория развита слабо, поверхностно. В журнале „Mathem. Teacher“, в ежегодниках Национального совета и в руководствах по методике помещено множество статей, в которых рассыпаны тонкие психологические мысли и наблюдения, но почти отсутствуют такие статьи, в которых вопросы элементарной математики обсуждались бы с целью углубления и обоснования самих математических понятий.

Если сопоставить два журнала — немецкий „Zeitschrift für Mathematischen und Naturwissenschaftlichen Unterricht“ и американский „Mathem. Teacher“, то можно усмотреть и в содержании статей и в характере их противоположные тенденции: в первом журнале помещаются по преимуществу статьи математического содержания, нередко даже выходящие за пределы курса средней школы, и редко встречаются статьи дидактического и психологического характера; во втором, наоборот—статьи, углубляющие, обосновывающие понятия элементарной математики почти отсутствуют, зато дается много места дидактической психологии.

Чрезмерная погоня за психологическими основами преподавания математики порождает невнимание к математическим основам и системе понятий, к некоторой поверхностности, противоречащей требованию развития мышления. Так, в первой статье второго ежегодника автор, проф. Knight, говоря о вычитании, обращает свое внимание не на основы этого действия, а на „костыль“, считая таковым знак минус. Мы все знаем книги Торндайка, пере-

Keyser С. J. — Tie Human Worth of Rigorons Thinking. Columbia University Press, 1916,

Keyser C. J.—Thinking about Thinking. Dutton and Co. 1926.

Keyser С. J.— Mathematical Philosophy. Dutton and Co. 1922.

Shaw J. В. —The Philosophy of Mathematics.

Judd С. H.—Psychology of Secondary Education. Ginn and Co. 1927.

Jnglis A. — Principles of Secondary Education. Houghton Mifflin Co. 1918.

Thorndike E. L.—The Measurement of Intelligence, Columbia University, 1926,

Douglas A. A. — Secondary Education. Houghton Miflin Co. 1927.

* См. ссылку № 10. 11. и 12.

Carson G. St. L.— Essays on Mathematical Education, Ginn and Co, 1913.

Herrick С. J.— The Thinking Machine, The University of Chicago Press, 1929.

Соlvin S. S.— The Learning Process. Macmillan Co, 1917.

Pуle W. H. — The Psychology of Learning. Warwick and York, 1921.

Judd С, H, —Psychology of High School Subjects. Ginn, Boston, 1915.

веденные на русский язык; они довольно односторонне освещают вопросы преподавания арифметики и алгебры.

Надо отметить еще один немаловажный факт: в методических сочинениях и в журнале „Mathem. Teacher“ редко встречаются статьи, относящиеся к вопросам преподавания математики в старших классах средней школы.

Объяснение состояния преподавания математики в американских школах дают авторитетнейшие в американских учительских кругах профессора — Смит и Рив. Они говорят: „Большинство европейцев, осматривавших наши школы, говорят, что наша учебная работа поверхностна. Это утверждение верно: работа, проделываемая во французском лицее или в немецкой гимназии, много совершеннее. Мы жертвуем совершенством намеренно. Эта же участь ожидает и Европу в будущем. Бисмарк отвергал „обученный пролетариат“. Америка построена на иных принципах. Хорошо или плохо — мы думаем, что хорошо, — мы потребовали равенства в привилегиях на образование, требовали равного суда и права голоса. Мы знаем, что каждый юноша имеет одно и тоже право пройти через университет, не только за свой счет, но и за счет государства“.

В Америке элементарное и среднее образование продолжается 12 лет, которые группируются двояко : 8 лет элементарной школы и 4 года — средней, или 6 лет элементарной школы и 6 — средней. Во втором случае шесть классов средней школы (по американской терминологии High School, т. е. высшая школа) делятся на три младшие класса средней школы (Junior High School) и три старшие класса средней школы (Senior High School).

Перейдем к обзору методической литературы по арифметике. Изучение арифметики в обычном понимании содержания этого предмета продолжается 8 лет. В исследовании методов преподавания арифметики особенно деятельное участие принимали американские психологи. Во втором ежегоднике Национального совета мы имеем обстоятельные статьи, относящиеся к преподаванию арифметики, авторов F. В. Knight, G. Т. Buswell и J. P. Haynes, из которых первые два — профессора психологии. Эти статьи очень интересны именно с психологической стороны, но авторы их мало вникают в самое существо математических понятий. Перечислим некоторые вопросы, которые рассматриваются в этих статьях.

Производить ли вычитание многозначных чисел с помощью отнимания или дополнения?

Как добиться того, чтобы учащиеся при делении десятичных дробей правильно перемещали запятую?

Как складывать числа, записанные в столбик,— начиная снизу или сверху?

О выборе действий при решении задачи; вспомогательные средства и трудности.

Ошибки в арифметических действиях и др.

От журнальных статей по методике арифметики перейдем к той главе книги* известных американских авторов, профессоров D. Е. Smith и W. D. Reeve, которая посвящена преподаванию арифметики. В ней мы встречаем подробный перечень всего того, что „несущественно“ в курсах арифметики, затем — перечень всех тех объектов, которые являются достойными изучения, с короткими указаниями к каждому, и только. В этой главе мы не находим раскрытия существа математических понятий; не находим указаний, как эти понятия сделать ясными и довести их до полного усвоения. К главе приложена библиография книг, очевидно, по мнению авторов, достойных рекомендации**.

Перейдем к литературе, относящейся к преподаванию алгебры. И в этой части преподавания математики мы встречаемся в американской литературе, главным образом, со статьями психологического или дидактического характера, дающими общие установки преподавания алгебры. Приведем для иллюстрации нашего впечатления некоторые темы, с которыми мы встречаемся „в Mathem. Teacher“:

„Классификация учащихся IX класса по их склонностям к алгебре“ (1929, I).

„Классные методы преподавания алгебры“ (1926,6).

„Бригадная работа по алгебре“ (1923,4).

„Алгебраический язык“ (1923,4).

„Пользование задачами при обучении алгебре“ (1927,2).

„Система в решении алгебраических задач“ (1923,6).

„Устная работа в курсе алгебры“ (1927,4).

„Психология ошибок в алгебре“ (1922,2; 1925,2; 1927,4).

Большая часть статей и книг по методике алгебры посвящена первым ступеням в преподавании алгебры.

* D. Е. Smith and W. D. Reeve, The Teaching of Junior High School Mathematics. Ginn and Co, 1927.

** Назовем некоторые из этих книг: Lennes N. Y. — The Teaching of Arithmetic. The Macmillan Co., 1924.

OsburnW. J. — Corrective Arithmetic. Houghton Mifflin Co, 1924.

Overmann J. R, — Principles and Methods of Teaching Arithmetic. Lyons and Curnanen, 1920.

О. R. Pease, автор из Стокгольма, в „Mathem. Teacher“ (1929,5) дает чрезвычайно интересный анализ дидактической сложности курса алгебры на первом году ее обучения. Он излагает теорию „учебных единиц“, которые он определяет так. В сумме ( -}-4) -|- ( —4) = 0 цифра 4 есть учебная единица. Комбинация знака -f- и цифры 4 в символе -}- 4 представляет собой более сложную учебную единицу. Наконец выражение ( -|- 4) -f--f-(— 4) есть еще более сложная учебная единица. Образуя систему таких учебных единиц, автор создает, таким образом, методику начал алгебры; результаты проработки этой методики он исследует при помощи тестов. Алгебраический навык, по мнению автора, представляет собой суммирование умений, доведенных до автоматизма и отнесенных к разным точкам алгебраического поля.

Е. R. Breslich, проф. математики Чикагского университета, в статье, помещенной в „Mathem. Teaheru (1932,2), выставляет три основные задачи курса алгебры: 1) довести до полной ясности понятия, па основе которых совершаются преобразовательные процессы; 2) тренировать ученика в анализировании соотношений, выраженных алгебраическими символами; 3) побуждать ученика к самостоятельному раскрытию закономерностей алгебры. Эти же принципы мы находим в дидактических статьях и в книгах разных авторов. В статье, озаглавленной „Куда ведет алгебра“ („Mathem. Teacher“ 1930,2), автор W. Betz говорит о слабых успехах учащихся по алгебре и видит причину этого в отсутствии цели преобразований, в слепом символизме и в подражательном механизме обучения. Он утверждает, что алгебра есть „тип мышления“, на развитие которого должно быть обращено большое внимание. При этом он приводит интересную мысль J. Dewey*:„Алгебра,правильно преподаваемая, поднимает наши понятия на высокую ступень их развития, освобождая нас от конкретных визуальных и обязательных привычек, которые привязывают ум наш к матери-Земле“.

В американской методике алгебры прочно привилась внушенная, очевидно, психологами мысль, что навыки должны укрепляться в связи с усвоением понятий и логических процессов. Эту мысль мы находим в докладе Национального комитета и во многих статьях. J. P. Everett, проф. математики, в весьма поучительной книге** восстает против бессмысленно проделываемых преобразований и видит главное средство к усвоению преобразований в ассоциативных умениях (associative skills). В статье—„Aigebra and Mental Perspective“ — в седьмом ежегоднике он говорит о том же.

Та же мысль составляет основу содержательной статьи A. S. Wanenmacher'a в „Mathem. Teacher“ (1934,3), в которой автор утверждает, что символы бессмысленны, если понятия, которые приводят к ним, не стали вполне привычными. Поэтому он настаивает на неторопливом и сознательном усвоении предмета, говоря, что постепенное и неторопливое образование понятий и навыков сохранит больше времени, чем скоро добытый „мешок чудес“.

Медленная постепенность в выработке понятий алгебры и в нарастании сложности, простота преобразовательных упражнений, психологическое обоснование дидактических приемов составляют характерную особенность американской методики. Эту особенность можно усмотреть отчетливо в книге двух ветеранов американской методики математики— Смита и Рива*, которые отрицают „бесконечную работу над бессмысленными формами“.

Национальный комитет и Математическая ассоциация Америки пропагандировали идею преподавания анализа в средней школе. Место ему было указано на двенадцатом году обучения. Мы не имеем сведений, какая часть школ в настоящее время перешла к преподаванию анализа, но мы знаем, что существуют несколько учебников анализа для средних школ и ряд статей, посвященных этому вопросу**. Курс анализа ставится в Америке то как самостоятельный предмет, то как глава в алгебре. При определении места анализа в американской школе следует иметь в виду время прохождения других отделов математики; систематические курсы математики в американских школах начинаются довольно поздно. В первых восьми классах преподается арифметика и интуитивная гео-

* „How We Think“ (см. ссылки № 9).

** „The Fundamental Skill of Algebra“, Bureau of Publications Teachers College, 525 West 120th st. New York.

* См. выше сноску.

** Nordgaard M. A. — Introduction Calculus as a High School Subject. The Thirb Jearbook.

Swenson J. A. Selected Topics in Calculus for the High School?. The Third Yearbook.

Farmer S. В.—Place and Teaching of Calculus in Secondary Schools. „Mathem. Teach.“, 1927,4.

Rosenberger N. В. — The Place of the Elementary Calculus in the Senior High-School Mathematics. Columbia University. New York City, 1921. The Ninth Yearbook.

Baker W. M. - Calculus for Beginners, Bell and sons.

метрия. Другие отделы математики располагаются по годам чаще всего так:

Первый план:

Второй план:

IX класс.Элементарная (начальная) алгебра.

X , Планиметрия.

XI „ Промежуточная алгебра.

XII „ Стереометрия и тригонометрия.

Элементарная алгебра.

Промежуточная алгебра.

Планиметрия. Стереометрия и тригонометрия.

Из этой таблицы видно, что в американской школе отделы математики преподаются не параллельно, как у нас, а последовательно. Правда, не все школы даржатся такого плана. Против разобщенности отделов возражают отдельные голоса („Mathem. Teacher“, 1934,1).

Заканчивая обзор методической литературы по алгебре, обратим внимание на книгу англичанина P. P. Nunn, которая пользуется в Америке большим вниманием и считается в преподавании математики как бы настольной. Действительно, это обширная книга (изд. 1931 г., 616 стр,), заключающая не только алгебру, но и анализ и тригонометрию*. Книга очень содержательна; однако та система элементарного курса алгебры, которой придерживается автор, и методическая трактовка отдельных вопросов не соответствуют нашим традициям.

В американских школах преподавание геометрии организуется в виде двух ступеней: экспериментальная, или интуитивная, или неоформленная (informal) геометрия и доказательная геометрия. Единообразия в построении курса геометрии в Америке не существует. Е. Н. Taylor („Mathem. Teacher“, 1930,4) дает описание вариантов неоформленного курса геометрии. Чаще всего этот курс начинается на шестом году и изучается три года — в VI, VII и VIII классах. На девятом году в некоторых школах вводится доказательный курс геометрии, который включает в себя несколько глав, обычно: равенство треугольников, равенство накрестлежащих углов, сумму углов треугольника, теоремы о подобии, теорему Пифагора, измерение углов. На десятом или одиннадцатом году планиметрию проходят систематически. Стереометрия обычно попадает в XII класс.

В американской школе интуитивному (intuitive, informal) курсу геометрии уделяют много внимания. Необходимость его зафиксирована в таком важном и авторитетном документе, как доклад Национального комитета. Историческое и психологическое обоснование, метод и содержание этого курса разработаны весьма тщательно: вопрос о преподавании интуитивной геометрии имеет в Америке свою историю и богатую литературу. Еще в 1854 г. Т, Hill написал „Первые уроки геометрии“. Начиная с этого времени стали появляться одна за другой книги, содержащие материал для интуитивной геометрии. Некоторые из них были переведены на русский язык, именно: книги Юнга, Кемпбелла, Роу.

В книге Smith and Reeve* в главе V излагается содержание интуитивной геометрии. Мы не можем сказать, чтобы распределение материала было принципиально обосновано; в „Mathem. Teacher“ (1930,4) помещена статья M. Gugle, в которой вопрос о преподавании интуитивной геометрии излагается более планомерно, дается программа этого курса. В конце статьи проводится заимствованный из книги W. Z. Schaaf** образец плана уроков, посвященных треугольнику. План очень богат содержанием, и мы не можем его привести целиком. Укажем основные его подразделения: А) То, что учитель должен знать: направление преподавания геометрии — от интуитивной к доказательной геометрии, историю и психологию, раннюю историю геометрии, конгруэнцию и подобие и т. д. В) Объекты геометрии: формы, меры и положения; навыки, умения, понятия и др. С) Симметрия, приложения. D) Образовательное значение. Е) Психологические соображения. F) Учебный процесс.

Признавая необходимость содержательного интуитивного курса геометрии, американские педагоги высоко ставят образовательное значение дедуктивного курса. Проф. математики С. В. Upton поместил в пятом ежегоднике весьма содержательную, интересную статью о непрямом методе доказательства, в которой, между прочим, говорит, что цель преподавания геометрии заключается не только в том, чтобы познакомить ученика с методами доказательства, но также в том, чтобы воспитать в нем

* Приведем еще здесь книги других авторов, пользующихся в Америке известностью:

Durell.— The Teaching cf Elementary Algebra. Open Court Publishing Co. Chicago.

Hassler and Smith —The Teaching of Secondary Mathematics. Macmillan Co.

Breslich. The Teaching of Mathematics in Secondary Schools. University Press, Chicago.

Creslich, - Problems in Teaching Secondary Schools Mathematics. University Press, Chicago.

* См. выше сноску.

** „A Course for Teachers of Junion High School Mathematics“. Bureau of Publications, Columbia University.

строгость мышления, которую проф. Keyser назвал: „Если — то“.

Дедуктивный курс геометрии американские математики строят аксиоматически. Но они допускают зависимость аксиом, т. е. такие аксиомы, которые в более формальном курсе могли бы быть доказаны, и принятие некоторых теорем без доказательства.

В 1923 г. Национальный комитет дал перечень 16 допущений. В 1912 г. „Комитет пятнадцати“ назвал 12 теорем, которые могли бы быть приняты без доказательства. Carson* — английский педагог — рекомендует принимать сперва некоторые теоремы в качестве постулатов, впоследствии же, когда вопрос о независимости постулатов станет для учащихся доступным, доказать их.

Изучая геометрию, ученики, по словам проф. W. D. Reeve, должны приучиться понимать смысл доказательства и математической точности, вместе с тем познать „разность открытия абсолютной истины“. Наряду с этим он предостерегает против некоторых крайностей, каковы: переоценка строгости, излишества в определениях, перегрузка материала, нераздельность существенного и несущественного.

Говоря о сокращениях и дополнениях, Reeve решает резко вопрос: надо сократить число теорем и увеличить количество „оригинальной“ работы, т. е. задач на доказательство, вычисление и построение. Dr. Osgood из Harvard однажды сказал: „Уменье доказать теорему еще не дает уверенности в том, что ученик ее знает. Испытанием знания теоремы служит уменье ею пользоваться“. G. W. Evans („Mathem. Teacher“, 1930,2) предлагает весь курс геометрии свести к 104 теоремам, обязательным для ученика. Приемная комиссия в колледжах доводит их до числа 181.

Из методов преподавания геометрии в центре внимания американских преподавателей стоят аналитический и синтетический методы, которые в американской литературе встречаются неоднократно. Аналитический метод служит средством для открытия доказательства, синтетический — для его оформления. Этими обоими методами пользовался Евклид и греческие геометры. Мысли об этих методах мы находим в статьях A. A. Grant („Mathem. Teacher“, 1934,1, стр. 8), W. D. Reeve (Пятый ежегодник, стр. 25).

Рив ставит вопросы: должны ли мы полностью давать доказательства? Может быть, лучше делать пропуски, которые ученики должны заполнять, и затем оформлять все доказательство в целом? Должны ли мы поощрять учеников в открытии доказательства, делая им в соответствующих местах намеки?

Разработав теорему, американские преподаватели предлагают ученикам упражнения, расположенные в определенном порядке (graded exercises). Рив и Смит различают упражнения с доказательством в два шага, в три шага (two — step proof, three — ster proof)*.

Начало дедуктивного курса геометрии для учащихся особенно трудно. Поэтому в американской методической литературе существуют проекты различных подходов к дедуктивной геометрии**.

Считаясь с индивидуальностью учащихся, некоторые авторы предлагают класс делить на три группы—А, В и С, и каждой группе предлагать различную нагрузку, в зависимости от ее успехов***.

Американская методика математики большое место в обучении отводит книге — учебнику и задачнику. Книги изучаются и сравниваются между собой со стороны их содержания и методических достоинств. В американской литературе существует ряд работ, посвященных изучению учебников. Приведем здесь из статьи L. E. Mensenkamp'a**** ряд требований, которые он предъявляет к учебнику геометрии:

1) Была ли книга испробована перед выпуском в свет в классе?

2) Каков преподавательский опыт автора?

3) Каков образовательный ценз автора, каковы его работы?

4) Соответствует ли книга требованиям Национального комитета и приемной комиссии в колледжи?

5) Безупречна ли книга со стороны научной?

6) Каков стиль, язык?

7) Может ли книга поддерживать интерес у ученика?

8) Как изложена вводная часть книги: способна ли она заинтересовать ученика? Кратки ли определения, ясно ли формулированы, даны ли к ним вопросы и упражнения? Предлагаются ли построения и измерения? Соблюдена ли постепенность перехода от интуитивной геометрии к логической? Ясна ли необходимость логического доказательства?

9) Дает ли автор список минимума числа теорем, необхотимых для того, чтобы овладеть предметом?

* См. сноску выше.

* Smith and Reeve—Teaching of Junior High School Mathematics, стр. 240.

** Fifth Yearbook, стр. 39, 44, 54.

*** .Mathem. Teacher-, стр. 17, 1933,4.

**** Fifth Yearbook, стр. 119.

10) Оказывает ли автор ученикам помощь в изучении теорем путем указания общих подходов, предложением задач и вопросов перед изучением теоремы?

11) Предлагает ли автор теоремы для самостоятельного доказательства?

12) Заставляет ли автор самостоятельно размышлять ученика путем некоторых пропусков в доказательствах или указанием метода доказательства?

13) Обращает ли автор внимание на доказательства наиболее трудных теорем?*

Заканчивая нашу статью, отметим особенности американской литературы, относящейся к методам преподавания математики. Огромное влияние на развитие этой литературы оказал Национальный комитет с его докладом. Редкая статья или книга, посвященная вопросам преподавания математики, обходится без ссылки на этот важный документ. Marie Gugle в своей статье о геометрии в младших классах средней школы восклицает: „Доклад Национального комитета — это наша библия!“ („Mathem. Teacher“, 1930, 4). В настоящее время ведущую роль в развитии этой литературы играют Национальный совет преподавателей математики с его журналом и ежегодниками и ряд выдающихся деятелей этого Совета — профессора Reeve, Everett, Schlauch, Bassler, Harber, Betz, Breslich, Smith, Upton и др.

Американские психологи принимают деятельное участие в работе над дидактическими проблемами, и поэтому американская методика математики в значительной части ее проникнута психологическими идеями.

Наконец, положительную сторону американской методики составляют сотрудничество авторов и преемственность их работ, вследствие чего начинают создаваться научные традиции как в выборе тем, так и в методах исследования. Авторы признают и ценят работы своих товарищей, весьма часто ссылаются на них, цитируют их. Библиографические отзывы и аннотации объективны, всегда доброжелательны: наряду с недостатками книги непременно отмечаются и ее достоинства.

Мы дали здесь суммарный очерк американской методики математики. В будущем мы надеемся познакомить читателей с частными ее вопросами. Несмотря на некоторые ее недостатки, бросающиеся в глаза нам, воспитавшимся в иных традициях, она заслуживает внимания.

МАТЕМАТИКА НА СЛУЖБЕ ТРЕТЬЕЙ ИМПЕРИИ

Асп. ИПО В. ЮСЬКОВИЧ (Москва)

Под таким названием помещена статья в журнале „Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht aller Schulgattungen“ № 1, 1934. Автор статьи, некто Георг Гамель, пытается дать математике философское обоснование. Советскому преподавателю математики и физики небезынтересно знать те аргументы, при помощи которых математика облачается в одежды служанки фашизма.

Чуть не эпиграфом статьи приводит автор слова Адольфа Вагнера, баварского министра внутренних дел, что „вместо господства материи национал-социалистическое мировоззрение поставит господство духа“.

Автор признает, что математические ценности имеют значение для всех государств. Тем не менее, математика имеет особую ценность .для прочности духа Третьей империи“ и для воспитания молодежи в фашистском благомыслии.

Гамеля не удовлетворяет та роль математики, которую она играет в естественных науках и технике, при самолето - и дирижаблестроении, в биологии, в сельском хозяйстве. Он сочувственно относится к мысли одного итальянца, который говорит даже о „математической теории борьбы за существование“. Роль математики, мол, в защите страны признана с незапамятных времен. Архимед защищал Сиракузы при помощи своей

* Назовем здесь некоторые, достойные внимания, книги и статьи о преподавании геометрии, кроме тех, которые были упомянуты ранее:

Breslich E. R. — Articulation of Junior and senior High School Mathematics. The Eighth Yearbook. Bureau of Publications, Lolumlia Universiy.

Reeve W. D. — The Teaching of Geometry. The Fifth Yearbook.

Reeve W. D. — Demonstrative Geometry for the Ninth Grade. „Math. Teach-., 1933,3.

Shlauch W. S.— The Analitic Method in the Teaching of Geometry. The Fifth Yearbook.

Shibliti—Recent Developments in the Teaching of Geometry. State College, Pennsylvania, 1932 „The Teaching of Geometry in Schools“. A Report prepared for the Mathematical Association. London. Bell and Sons, Third Edition, 1928.

Nunn T. P. — The Sequence of Theorems in School Geometry. „Mathem. Teacher“, vol. XVIII, стр. 321.

науки. Леонардо да Винчи, превосходный математик, строил крепости и работал над проблемой воздухоплавания. До войны не было артиллерийского офицера, который не знал бы математики на „хор“. К тому же, у романских и англосаксонских народов математика стоит на весьма высоком уровне.

Отсюда вывод: математику нужно поднять выше, чем она стоит у романских и англосаксонских народов. Гамель видит чуть не знамение божие в том факте, что высшая математика открыта людьми, принадлежащими к германству—англичанином Ньютоном и немцем Лейбницем. А ведь французы и итальянцы обладают большой одаренностью к математике. И, наконец, немец Лейбниц понимал математику больше с философской точки зрения и глубже, чем Ньютон, который смотрел на нее с практической стороны.

Таков ход мыслей фашистского мыслителя. „Глубокомыслие“ автора привело его к излюбленному тезису о превосходстве германской расы и в области математики. Вся эта фашистская стряпня не нуждается в каком-либо опровержении. Дальше следуют не менее „оригинальные“ и „глубокие“ мысли.

Число мы познаем не из практики, но и не из чистой логики. Оно скорее — нечто самобытное, оно — первоявление, предшествующее нашему духу. Математика — прообраз духовной творческой деятельности. В математике мысль и дело — едины. „Эта философия математики лежит на линии Платона, Лейбница, Канта и Фихте, следовательно, на линии немецкого идеализма. К ней мы снова присоединяемся. Это — философия крови и расы, она не всякому доступна (стр. 15).

Так связывает Гамель в один узел кровного родства идеалистическую философию и реакционную теорию чистоты расы.

Кто является математиком?—вопрошает автор статьи. И, будучи последователен себе, отвечает: математик не только тот, кто открывает ее законы в. узком смысле слова. „Всякий, кто видит великий порядок в мире (sic!) и кто наново преобразует мир упорядоченным действием; следовательно, математик — великий государственный деятель“ (стр. 13). Несколькими строчками ниже следует продолжение.

„Математик — великий полководец. Он — геометр, когда имеет перед глазами план битвы на плацдарме. Он комбинирует как математик: если он хочет победить — он стягивает свои боевые силы в надлежащий момент в должном месте“ (там же). Не потому ли, интересуется автор, великие полководцы в большинстве любили математику? Валленштейн, оказывается, изучал в юности своей математику. Наполеон, Шарн Горст, Мольтке высказывали о математике очень теплые и ценные слова. Наполеон же, как известно, основал Политехническую школу (E'cole polytechnique), еще и ныне являющуюся школой для офицеров, инженеров и математиков.

Мольтке, как оказывается, сказал 28 августа 1876 г. учителям и ученикам Цвинау „Занимайтесь, главным образом, историей, географией и математикой“. Эти факты, по мысли Гамеля, обладают неотразимой убедительностью для каждого немца-фашиста. В этом, видно, и заключается особая ценность математики для Третьей империи.

Для молодежи гораздо важнее практической стороны математики ее воспитательная ценность, которая вытекает из неразрывной „связности духа математики с Третьей империей“. Главное здесь — в геройстве. Математика ведь не легкая игра, не безответственные умные речи. „Она требует жертв, самопожертвования, напряженной работы головы, которая (работа), по словам нашего вождя, должна быть равноценна и почитаема так же, как и работа рук“. И та и другая работа требует служения. Математика требует служения истине, искренности и точности. „Математика сама по себе идеальна и, следовательно, ее истины — истины в нашем духе“. „Математика нам врождена. Обе эти истины— антиматериалистические“... „Обе они требуют порядка, дисциплины, обе борются с хаосом, с произволом“ (sic!). Итак, математика в руках фашиста является перед нами в роли попечительницы порядка; разумеется, порядка социального. Математика — в роли орудия против растущего возмущения масс фашистским произволом. Математика — в роли орудия классовой борьбы, в защиту буржуазного порядка!

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ ПРИ ПОМОЩИ ПОЧТОВОЙ ОТКРЫТКИ

1. Из почтовой открытки (или из плотной бумаги) нужно вырезать два куска I и II, размерами примерно 5X5 см. В каждом куске от края вырезаем щель шириной d — = 24 мм. По обе стороны от щели на куске II протыкаем иголкой два маленьких отверстия X и х\ которые от середины щели имеют определенное расстояние а = ^мм. Этим и заканчивается изготовление аппаратуры.

2. Выполнение. Кусок со щелью I нужно держать близко у глаза, а щель II помещают на вытянутой руке довольно близко к пламени свечи. В результате щель II будет ярко освещена и по обе стороны от нее расположится ряд светлых и темных линий. Вместо пламени свечи можно использовать любой, ярко освещенный белым или монохроматическим светом предмет. В первом случае щель II окаймляется спектральными линиями. В зависимости от силы освещения щели II видны наряду с первым спектром также и спектры высших порядков.

3. Объяснение. Щель I, находящаяся у глаза, дает на сетчатке глаза дифракционные линии первого и высших порядков, которые мы непроизвольно проектируем на щель II, поэтому последняя окружается дифракционными полосами.

4. Измерение. Если приближать щель II к глазу, то и светлые линии, окаймляющие щель, тоже сдвигаются (это вытекает из проекционного характера явления). Приближая или удаляя щель II, можно добиться того, что первые светлые линии по обе стороны щели II совпадают с отверстиями х и х\ которые видны светлыми точками на темном фоне. Затем определяем расстояние между щелями I и II. Пусть оно равно, например, /0 = 45 см.

Если X—длина световой длины, то для первой линии будет иметь место отношение

В нашем случае Отсюда

^=0,25 мм и определяется при помощи лупы и масштабной линейки. /0 = 450 мм, значит

5. Замечания, а) Ширина щели II не играет в расчетах какой-либо особой роли; она может быть несколько шире 0,25 мм.

Ъ) Чем ближе щель I находится к глазу, тем дальше располагаются дифракционные линии друг от друга и тем меньше будет между щелями /0.

Перевел с нем. В. Юськович.

„Praktische Schulphysik“ № 6, 1934.

ИЗ ПРАКТИКИ ШКОЛЫ

БОЛЬШЕ ВНИМАНИЯ АРИФМЕТИКЕ

Д. ПАВЛОВ (Алушта, Крым)

В настоящей заметке я ставлю вопрос о преподавании арифметики в пятых классах, вопрос, с которым на сегодняшний день в школе неблагополучно. Мало сказать, что годами не усваивается программа; надо сказать, что подчас наблюдается полная безграмотность, которая, как хроническая, но тяжелая болезнь, требует немедленного оперативного вмешательства.

Школа, в которой я работаю, неполная средняя школа, хотя ома без первых четырех классов.

Третий год я преподаю математику в V и VI классах этой школы. Могу констатировать следующее:

1. Как правило, учащиеся задач решать не умеют. Примерно: „Длина двух отрезков прямой равна 60 см, причем один из них на 10 см больше другого. Какой длины каждый отрезок?“

Подымается лес рук! Ответ: 30 и 40. Когда учащимся поможешь воочию убедиться, что сумма расходится с условием задачи, тогда начинается подбор чисел. Вывод: составление уравнений 1-й степени с одним неизвестным по алгебре в VI классах затруднительно для самых лучших учеников, несмотря на то, что техника решения уравнений всем классом в среднем усваивается на „хорошо“.

2. Громадное большинство поступающих в V класс не знает техники устного счета даже в пределах 100. Деление устно, примерно, 84 на 3, 95 на 5 производится так, как если бы они производили это деление письменно — углом.

3. Навык последовательного логического мышления неразвит, что особенно отражается при доказательствах даже несложных теорем, или еще лучше — в решении арифметических пропорций.

4. Навык самостоятельной работы над книгой отсутствует.

5. Печатного текста, в особенности в точных науках, не понимают, и потому, несмотря на наличие учебников, приходится вести записки, применяясь к их пониманию, допуская подчас упрощенчество, что, безусловно, вредно. Отсюда, как вывод, можно сказать, что общее развитие оставляет желать лучшего. Математическое же развитие отсутствует.

6. Разностное и кратное отношения чисел знают не твердо: „на“ и „в“ при увеличении или уменьшении путают.

7. Зависимости между данными и результатами действий не знают.

8. Терминология страдает: произведение (примерно) может быть названо произведением в последнюю очередь, после того как будут названы сумма, разность, частное; уменьшаемое и вычитаемое, делимое и делитель без ошибок сразу не указываются.

9. Действия над целыми числами нередко производятся неверно, в особенности деление.

10. В области обыкновенных и десятичных дробей много совершенно неосознанных моментов.

11. Настойчивости найти ошибку, довести работу до конца и добиться ответа нет.

Если ко всему этому прибавить ошибки-описки по невниманию, рассеянности, небрежности, когда (примерно) вместо 8, пишут 3; вместо 23 переносят на другую строчку 32; число 1275 читают и переписывают 1257; когда начинают делением, а кончают действие вычитанием; когда деление дробей обращается в умножение (только не на обратную вторую дробь), и наоборот, ит. д. — всего не перечтешь, то станет вполне ясно с каким материалом приходится повторять, отшлифовывать пройденное в начальной школе по арифметике.

Приходится не закреплять, а сызнова прорабатывать, исправлять, искоренять закрепленные ошибки прошлого как с внутренней, смысловой стороны, так и с внешней, технической.

Значимость такой работы небольшая. Во-первых, потому, что одного года — пятого года обучения — совершенно недостаточно, чтобы теоретически и практически прорабо-

тать весь курс арифметики от начала до конца (десятичная система счисления — задачи на проценты) плюс буквенные выражения. Во-вторых, ни для кого не секрет, что учить, методически правильно и своевременно учить, гораздо легче, чем переучивать, чем отучать от укоренившихся ошибок.

По рабочему плану по математике в V классе на 1933/34 учебный год, данному нашей школе Крымнаркомпросом, проработка основных свойств четырех арифметических действий должна быть закончена к 6 октября. Я израсходовал значительно больше времени, но желаемых результатов все же не достиг. Так, в течение всего года я шел не в ногу с рабочим планом и, вместо того чтобы с 4 мая приступить к повторению, я лишь 9 мая закончил первый тип задач на проценты, повторяя отдел дробей при проработке отношений и пропорций. Таким образом, недоработка программы небольшая: второй, третий типы задач на проценты можно будет проработать теперь до конца учебного года, после того как V класс освободится от испытаний, а буквенные выражения — отложить до осени; тогда эта тема в VI классе будет своевременно служить непосредственным переходом к алгебре.

Но я уклонился. Дело не в доработке программы, а в очень низких показателях успеваемости.

Если в I четверти года успеваемость выражалась в 53,7% в среднем по обоим пятым классам, то в течение года она не поднялась выше 78,5%.

А результат испытания... Это подчас рекорд безграмотности!

Алушта. 15 мая. Письменное испытание по арифметике в V классе „а“. Учащихся— 31. Предлагаются три вполне доступных по своему содержанию вопроса.

1. Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями — пять действий. В числителе — сложение, умножение; в знаменателе — деление, вычитание.

2. Решить пропорцию: 1-й член — целое число с одним десятичным знаком, 2-й член — неизвестное с целым коэфициентом, 3-й и 4-й члены — целые числа.

3. Задача - пример в два действия. Найти 35% от 9800 руб.; узнать остальную сумму, на которую куплен материал.

Второго действия 18 человек вовсе не делали.

Обстановка работы вполне нормальная, настроение учеников строго деловое, волнения не наблюдалось. К концу второго часа переписанные набело работы подаются всеми.

Результаты: „оч. хорошо“ — 3, „хорошо" — 8, „удовл.“—12, „неудовл.“—8.

16 мая. Письменное испытание по арифметике в V классе „б“. Учащихся — 27. Вопросы, их содержание как в отношении объема, так и трудности — такие же, как и в V „а“, лишь числа другие да задача - пример на проценты в одном действии. Обстановка работы, условия—те же. Результаты: „хорошо“ — 3, „удовл.“—5, „неудовл.“—19.

Только один ученик дал полностью верные ответы.

В чем же дело? В том, что учащиеся самостоятельно работать еще не научились; ответственности за выполняемую работу они в себе не выработали.

Так было и в течение года.

Я не ждал хороших результатов, но я не ждал и такой безграмотности. Ошибки—разных калибров, ошибки всяких типов, причем среди этих ошибок есть такие, которых я никогда за свою 29-летнюю работу в школе не встречал.

Вот серия ошибок. Переписываю их в том виде, как они написаны у учащихся в письменных работах:

Запись в черновике

(у двух девочек, рядом сидящих).

7. По условию примера надо из 1 -g- отнять

Ученик решает:

8. 1 ~:3 = -^— = 15; он же обращает в неправильную дробь: 1^-=»11.

9. 1 -g- = 9; 1 -g-= П (у одной девочки;она сидела далеко от допустившего такую же ошибку в предыдущем примере).

(у двух мальчиков, рядом сидящих)

12. Он же продолжает:

Можно еще привести примеры безграмотности, но и этого, пожалуй, вполне достаточно, чтобы показать, как неблагополучно обстоит дело с арифметикой.

Кто же-эти ученики, допустившие приведенные ошибки?

Ошибку под № 5 допустил мальчик; в V классе он учится первый год; IV класс окончил в школе при Петровском руднике (Донбасс).

Под № 6 — две девочки; они окончили греко-русскую начальную школу в Кучук-Ламбате, Алуштинского района.

Под № 8—мальчик; поступил в нашу школу месяца полтора назад со справкой Таллинской ШКМ Белгородского района (ЦЧО). Школа запросила характеристику этого ученика,— ответа до сих пор не последовало; между тем, этот ученик на испытаниях по всем дисциплинам получил „неудовлетворительно“.

Под № 9 — девочка; три года сидит в V классе; первые два года ничего не делала, на третьем году стала учиться на „хорошо“ и „очень хорошо“.

Под № 10 — мальчик, второгодник; поступил из местной греческой школы; первый год проучился до мая; две четверти этого года учился в 14-й неполной средней школе в Симферополе и с началом III четверти снова возвратился в нашу школу. Все остальные — из местной русской начальной школы.

Было бы, конечно, неверно говорить, что все, поступающие в V класс — слабые ученики. Совсем нет. Среди них есть и очень хорошие, успевающие и по арифметике и по другим дисциплинам, но это те ученики, за которыми наблюдают, помогают и контролируют дома их работу; это те ученики, у которых есть свои природные способности, свое природное стремление не останавливаться на полдороге, доводить работу до конца, упорно отыскивая свои ошибки и критически относясь ко всей своей работе в целом. Беспомощных, менее стойких, менее способных, казалось бы, должна была бы направить и развить школа, но, к сожалению, эта работа проводится не всеми, не всегда и не везде.

Чем же объяснить эти грубые ошибки, это недопонимание арифметики как одного из важнейших разделов для дальнейшего изучения математики?

Безусловно, это объясняется теми недостатками и недомоганиями, перечисленными раньше, которыми страдает большинство поступающих в V класс, — отсутствием того математического развития, которое, как воздух, необходимо каждому школьнику. Какие условия порождали эти темные пятна? Что и сейчас еще дает им право гражданства в наших школах?

Целый ряд причин приводил и еще приводит к печальным результатам успеваемости школьников.

1. Никуда негодные показатели учебы, как отрыжка прошлого, тянутся еще с тех пор, когда в школах слишком рьяно, „без меры в длину, без конца в ширину“, без хотя бы внутренней критики, проводили комплексы и проекты на манер американских, вроде „Поможем тете Мариетте вырастить картофель“ и т. п.

2. Не может быть достаточно хороших показателей учебы там, где работа каждого педагога и школы в целом со всем ее руководством проходит в „замурованном состоянии“, протекает в своей собственной скорлупе, несмотря на полную возможность обмена опытом, вообще связи с другой школой, родственной первой.

3. А отсутствие контроля работы учителя, с точки зрения методической пра-

вильности в постановке педпроцесса, не является ли темной стороной большинства наших школ? Безусловно является.

4. А разве на этой почве не порождается безответственность в работе? Вне всякого сомнения она стимулируется отсутствием контроля, что раньше всего отражается на методике уроков; правильно поставленная методическая работа либо отсутствует либо принимает уродливую форму, когда подменяется зачитыванием рабочих планов, сплошь и рядом заполненных заголовками из программ и учебников, а самый педпроцесс пускается на волю волн, так как для многих он—terra incognita (незнакомая область).

5. К следующему существенному недостатку надо отнести — для многих школ — отсутствие живой творческой работы, которая, безусловно, служит стимулом хороших показателей учебы, так как вызывает желание, работоспособное настроение, не утомляет, а, наоборот, сокращает каждый академический час работы. Кому не знакома картина Вельского „Устный счет“? Сколько в ней переживаний на лице каждого школьника. А это дается не сонной проработкой материала, к тому же подчас случайного, а, может быть, и недоступного детскому пониманию.

6. Нельзя также пройти мимо вопроса смены учителей. Иногда это является необходимостью, и возражать тут или не одобрять — не приходится. Иногда же игнорируются интересы школьников и интересы дела вообще и „без вины виноватый“ педагог, только потому, что не оказался в фаворе у заведующего школой или ОНО, намечается к перемещению — „для пользы дела“ или „на укрепление района“. И хорошо, если об этом только поговорят, ограничатся лишь трепкой нервов педагога, не дадут ему спокойно использовать свой летний отдых; но бывает и хуже, когда необоснованные перемещения приводятся в исполнение, и страдает от этого и педагог и, в первую очередь, то дело, которое, быть может, он с трудом наладил. Такие случаи смены учителей ничем не оправдываются и достойны осуждения.

7. Наконец, немаловажным фактором в деле достижения хороших результатов учебы является участие родителей в жизни школы. Зачастую оно совершенно ничтожно. Некоторых родителей ни за что не дозовешься в школу. Казалось бы, довольно им стоять в стороне и все надежды по обучению и воспитанию своих детей исключительно возлагать на школу. Довольно им быть безучастными и безответственными за качество будущей смены, будущих строителей новой жизни.

8. Переходя к последнему моменту, вопросу программы, надо отметить, что в 1933/34 учебном году неоднократными постановлениями и директивами партии и правительства много ненормальностей изжито и изживается, и год будет закончен, несомненно, с лучшими показателями. Но для дальнейших завоеваний на фронте нашего просвещенческого производства необходимо будет пересмотреть программы.

Программу по математике в начальной школе надо считать безусловно перегруженной. К изучению дробей приступают с III класса, т. е. тогда, когда дети еще недостаточно овладели целыми числами, и потому многое из раздела о дробях не доходит до их сознания; к тому же надо принять во внимание и их возрастные особенности.

Поэтому в начальной школе прочно заложить фундамент всей математики это — теоретически и практически проработать раздел о целых числах со всей терминологией, с развитием техники устного счета до 1000, с обязательным умением решать задачи с составлением к ним планов и объяснений, устно и письменно.

Это, безусловно, дает математическое развитие и будет способствовать развитию вообще.

Раздробление, превращение и все четыре действия над метрическими мерами надо также включить в программу начальной школы. Сюда же — порядок действий и скобки.

Дальше. Делимость чисел, дроби обыкновенные и десятичные и теорию отношений и пропорций перенести в программу V класса. Выгоды этого :

1) на хорошем фундаменте целых чисел легче будет прорабатывать раздел о дробях, да и возраст детей будет старше;

2) материал будет для детей новым, захватывающим, а не наскучившим; ему, несомненно, будет уделяться детьми должное внимание. Таким образом, разгружая программу по арифметике в начальной школе, мы разгружаем и программу V класса: не будет надобности начинать с обозначения и чтения числа, а с делимости чисел, что дает экономию во времени месяца полтора, если не боль-

ше. На случай опасений, что все же нехватит времени на проработку дробей, поскольку дроби будут прорабатываться детьми впервые, можно будет учебную сетку по математике несколько увеличить, имея в виду пройти в V классе элементарные сведения из геометрии в прежнем объеме.

Буквенные выражения перенести на шестой год обучения: программа по алгебре в VI классе не перегружена, и весь программный материал свободно укладывается до 10 мая.

Возможно, что предлагаемый мной проект, как вопрос принципиальный, нуждается в изменении. Но что какое-то перераспределение материала по арифметике между классами должно быть, так как диктуется необходимостью, то это — вне всякого сомнения, потому что без прочного здорового фундамента крепких знаний не построить*.

МОДЕЛЬ ДЕЙСТВИЯ ГЕНЕРАТОРА ПОСТОЯННОГО ТОКА

И. МАЛЫШЕВ (Ленинград)

В курсе электричества, который изучается в средних школах, одно из затруднительных для объяснения явлений — это процесс измерения э.д.с. в витке при повороте его в магнитном поле на 360°.

Не менее трудным является и объяснение действия коллектора в генераторе постоянного тока как своего рода выпрямителя переменного тока. Испытывая на собственной практике отсутствие достаточно наглядного пособия подобного рода, я попытался самостоятельно построить модель, на которой с одновременной демонстрацией изменения э. д. с. во вращающемся витке при пересечении им магнитных силовых линий, демонстрируется действие коллектора, а также легко объясняется синусоидальное изменение э. д. с. в витке.

1. ПРИНЦИП УСТРОЙСТВА

По окружности между изображениями магнитных полюсов вращается пластинка с карманными лампочками по концам, в цепи которых находится специальный реостат. Половина окружности по вертикальному направлению заклеивается, скажем, прозрачной красной бумагой и половина — синей. Если вращать лампочки по другую сторону бумаги между полюсами магнита, при этом переключая реостат так, чтобы в противоположных точках вертикального диаметра лампочки гасли, а в противоположных точках горизонтального диаметра горели наиболее ярко, в промежутках же в 90° яркость постепенно падала снова до полного угасания, то получится впечатление усиливающегося значения э. д. с. При пересечении витком магнитных силовых линий под углом 90° постепенное ослабевание и полное исчезновение в момент движения витка вдоль силовых линий.

1. Угловая панель.

Модель делается в виде угловой панели, вертикальная доска которой выпиливается из хорошей фанеры толщиною в 5 мм. Для основания выстругивается доска размером в 270 мм X 95 мм X 25 мм из березы или ели.

Доска распиливается вдоль на две части по ширине 30 мм и 65 мм, затем свинчивается двухдюймовыми шурупами вместе с вертикальной панелью (черт. 1).

На фанере делается разметка острым циркулем или карандашом по чертежу 1 и по окружности просверливаются отверстия в количестве 16 диаметром d=\0 мм центровой паркой. После изготовления вся панель отшкуривается мелким номером стеклянной бумагой и протирается тряпочкой с каким-нибудь маслом.

2. Реостат.

Для реостата вырезается из фанеры круг (способом, изображенным на черт. 2) диаметром d — 90 мм, и от центра к краям

Черт. 1.

* В настоящее время программа по арифметике в начальной школе Наркомпросом изменена и, в общем, в том направлении, какое предлагает автор статьи. Редакция.

проводятся карандашом 16 радиусов на равном расстоянии друг от друга. Затем из центра круга описываются две окружности радиусами в 25 мм и 35 мм, которые пересекут радиус круга (один из 16) в двух точках, где и просверливаются отверстия </=1,5 мм, всего 32. Эти отверстия будут служить для крепления контактов, изготовляемых из медной проволоки d = 1,5 мм. Проволочные контакты (при помощи плоскогубцев) сгибаются в форме буквы П, продеваются в отверстия в диске, а с другой стороны один конец от края диска сгибается ударами молотка. Второй конец слегка подгибается навстречу первому (черт. Зс). После смонтирования всех 16 контактов их нужно сверху немного спилить напильником на плоскость (черт. За, Ь, с).

Черт. 2.

Черт. 3.

Черт. 4.

Для сопротивления берутся две катушки балалаечных струн и наматываются на изоляцию гуперовского провода d = 5—8 мм и длиною в 260 мм. Мотать нужно очень плотно (но не виток к витку), иначе вся проволока не вместится на гупер. Намотанное сопротивление с отводами видно на чертеже 4а. Первая секция имеет сопротивление в 2 раза больше, чем две последующие в отдельности.

Сопротивление укрепляется с задней стороны диска между краем его и окружностью контактов (черт. 4 Ь.). Соединения производятся хорошо изолированным проводом ПБД — 0,5 по схеме чертежа 5 с применением пайки. Диск с реостатом укрепляется с задней стороны панели при помощи телефонного гнезда, пропущенного через центры реостата и панели. С передней стороны последней холостые контакты реостата при этом должны встать против отверстий по вертикальному диаметру, а контакты с проводом для клеммы — против отверстий по горизонтальному диаметру. С задней стороны на горизонтальной панели укрепляются 2 клеммы, к которым подводятся провода от горизонтальных контактов и телефонного гнезда (схема черт. 5). При монтаже реостата нужно проследить, чтобы не соединялись пересекающиеся провода.

3. Разрез витка с коллектором.

Устройство витка с коллектором ясно видно из чертежа 6. Остается сказать, что планка с отверстиями делается из жести. Барабан коллектора—из березы или другого хорошего дерева. К середине планки в центре ее припаивается гайка, свинченная с клеммы, которая будет служить осью для всей вращающейся системы. Планка крепится к барабану при помощи маленьких шурупов.

Черт. 5.

Черт. 6.

Можно изготовить такой же виток, только барабан должен будет изобразить полюсные кольца, для наглядности имеющие различный диаметр. Устройство такого витка видно из чертежа 7.

4. Вращающиеся лампочки.

Для крепления всей вращающейся системы берется клемма с карболитовой головкой.

Черт. 7.

На ней монтируется ползунок с пластинками для контакта с лампами и пластина с самими лампами, причем последняя должна соединяться с телом клеммы, а первая изолируется от нее. Все части делаются из кровельной жести но чертежу 8 а, Ь, с. Изолятором берется кусочек киноленты или тонкий картон. Собранная деталь проверяется на элемент, нет ли соприкосновения тела клеммы и ползунка. Подробности сборки видны из чертежа 8с. Щетки показаны на чертеже 9.

5. Сборка и окраска модели.

Все изготовленные части модели собираются на вертикальной панели; с передней стороны ее навинчивается на пропущенный с задней стороны винт клеммы виток с коллектором. Укрепление щеток видно на чертеже 10.

Собранная модель проверяется. К клеммам присоединяют батарею элементов в 4—4,5 вольт и начинают вращать лампочки, при этом отверстия витка с коллектором должны приходиться против лампочек.

Черт. 8.

Черт. 9.

Последние должны ярко гореть в горизонтальном положении, и постепенно свет ослабевает до полного угасания при вертикальном положении лампочек.

После исправления тех или иных дефектов, обнаруженных при проверке, модель окрашивается масляной краской. Общий тон — белая краска. Магниты — красные. Виток катушки — зеленый. На полюсах магнитов делаются надписи S и N— синей или черной краской. С задней стороны отверстия заклеивают красной и синей бумагой (прозрачной), и модель готова к употреблению.

Черт. 10.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ

В. КЮНЦЕЛЬ (Пермь)

Для определения абсолютного показателя преломления жидкости можно силами любой школы изготовить весьма простой прибор, дающий вполне удовлетворительные результаты эксперимента.

Предлагаемый прибор (черт. 1) представляет ванну, на дне которой находится линейка AB (например, молочного цвета шкала от сломанного термометра).

При помощи другой линейки OD с двумя диоптрами можно легко уловить деления шкалы AB.

Положим, наблюдатель видит, когда в сосуде еще жидкости нет, я-е деление шкалы.

Налив в сосуд испытуемую жидкость, он замечает уже не я-е, а /и-е деление.

Черт. 1.

Отсюда нетрудно вычислить искомый показатель преломления:

Откуда:

Зная а и р, находим искомый показатель x по формуле: _ ^

Величины OB и OF находятся при помощи скрепленной с ванной боковой линейки OB.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ. ХРОНИКА

ИТОГИ ЛЕНИНГРАДСКОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОЛИМПИАДЫ

Проф. И. ЧИСТЯКОВ (Москва)

1. Весною текущего 1934 г. Ленинградский государственный университет им. А. С. Бубнова устроил среди оканчивавших в этом году в Ленинграде среднюю школу, т. е. рабфаки и девятилетку, математическую олимпиаду. Главной целью олимпиады был смотр и выявление молодых дарований в области математических наук; попутно имелось в виду вызвать повышенный интерес к содержанию преподавания математики среди учащих и учащихся, а также сделать ряд наблюдений над постановкой обучения математики в средней школе. Олимпиада была проведена весьма продуманно и серьезно. Для осуществления ее был организован особый комитет в составе председателя—профессора ЛГУ Б. Н. Делоне, ряда других профессоров и преподавателей университета и других учебных заведений, а также представителей гороно, партийных и общественных организаций; большое содействие олимпиаде оказала ленинградская печать. Олимпиада была разбита на три тура. Первый тур был организационно-подготовительным. Он заключался в популяризации устраиваемого соревнования, информации о его задачах и целях среди учащихся и преподавателей Ленинграда и в установлении связи с учебными заведениями. С этой целью были распространены: особое воззвание ко всем учащимся старших классов средней школы с объяснением целей олимпиады и способов ее проведения, а также листок с задачами, которые могли бы служить ориентировочным материалом для будущих участников олимпиады. Задачи эти были средней трудности — из области алгебры, геометрии и тригонометрии, но требовали некоторого повышенного математического развития и сообразительности. В то же время комитет обратился к учебным заведениям с предложением выделить для участия в олимпиаде сильнейших по математике из оканчивающих курс в текущем году в количестве 3 человек на каждый класс девятилетки, 5 человек — из каждой группы рабфаков и 10% из общего числа обучающихся на курсах по подготовке в вузы. Инициатива комитета была встречена, в общем, весьма сочувственно, и учащиеся, командированные школами, приняли участие во втором туре олимпиады, носившем характер отборочного испытания для окончательного участия в соревновании. На этом испытании, состоявшемся 18 апреля 1934 г. в здании Ленинградского университета, командированным учащимся, которых явилось 307 человек (в том числе 178 школьников и 129 рабфаковцев), были предложены для решения каждому три несложных задачи: по алгебре — на решение уравнений, по планиметрии — на доказательство и по стереометрии с тригонометрией — на вычисление. Задачи были настолько нетрудные, что умение решать их еще не обеспечивало бы возможности нормально работать на I курсе втуза, не говоря уже о физмате университета; в них не входили и вопросы из более трудных отделов элементарной математики, каковы: теория соединений, бином Ньютона, тригониометрические уравнения, задачи на построение, решение треугольников и пр. Однако эти задачи сильно затруднили явившихся учащихся; все три задачи без всяких недочетов решили только 14 участников; с некоторыми недочетами их сделали еще 28 человек, а с более серьезными дефектами — еще 20 человек. Эти 62 человека и были допущены к участию в третьем, окончательном туре олимпиады, причем с ними предварительно были проведены при ЛГУ специальные дополнительные занятия, состоявшие в решении специально составленных задач, чтении лекций, разъяснении некоторых вопросов и пр. Из допущенных к окончательному соревнованию, которое было третьим туром олимпиады, явилось 48 человек. На этом испытании каждому учащемуся было предложено по две задачи из различных областей математики, требующих, кроме хорошего знания теории, некоторой находчивости и сообразительности, а также исследования. Из участников этого тура 11 человек были признаны победителями; кроме того были премированы еще 10 человек за хорошее решение задач.

Ввиду интереса, представляемого содержанием задач третьего тура, мы приводим здесь текст некоторых из них.

2. Основная задача олимпиады — выявить наилучших математиков из числа оканчивающих в 1934 г. в Ленинграде среднюю школу — была, таким образом, умело и целесообразно выполнена. Но наряду с этим комитет по устройству олимпиады собрал, при изучении ее результатов, весьма обширный материал, позволяющий судить о постановке преподавания математики в средних школах Ленинграда, который дает возможность

в известной мере судить и о ведении преподавания математики в СССР вообще. Этот материал был тщательно разработан в специально образованной комиссии, составленной из руководителей олимпиады и ряда приглашенных лиц под председательством профессора ЛГУ Г. М. Фихтенгольца. Кроме материалов, полученных непосредственно от второго и третьего туров олимпиады, комиссия имела еще беседы с учащимися и с наиболее компетентными преподавателями, ведущими занятия в средней школе и на рабфаках, использовала работу существующего при ЛГУ института по повышению квалификации педагогов, а также устроила обширное совещание из профессоров и преподавателей ленинградских вузов, представителей гороно, инструкторов районов и пр. В результате комиссия составила обширную докладную записку, в которой, на основании материалов, доставленных олимпиадой и дополненных другими путями, высказывает свое мнение о существующих в настоящее время у нас недочетах в постановке математического образования и о желательных мероприятиях для его усовершенствования.

Отметив, что олимпиада подтвердила надежды университета, что среди учащейся молодежи имеется много талантливых и одаренных математическими способностями лиц, комиссия в то же время указывает, что среди участвовавших в соревновании значительное большинство обнаружило слабые знания по математике и, в особенности, слабое математическое развитие. Несколько лучше учащиеся производят вычисления, хотя в решении задач по тригонометрии слаба и эта сторона, но очень слабо вообще теоретическое развитие, и в особенности — геометрическое воображение. Так, в алгебраических задачах слабее всего учащиеся оказываются там, где надо было применять исследование, например в вопросах о равносильности уравнений и посторонних корнях; в задачах на доказательство выявилось полное отсутствие логичности у многих писавших, неумение рассуждать и правильно излагать свои мысли. Хуже всего, однако, обстоит дело с развитием пространственных представлений, которое у большинства учащихся чрезвычайно слабо развито. Эти выводы, полученные при проведении олимпиады, нашли подтверждение в работе комиссии и на основании прочих, собранных ею, материалов. Оказалось, что математический багаж абитуриентов нашей средней школы является пока еще весьма скудным. Не сообщая учащимся достаточного математического развития, школы часто не дают даже и фактического знания материала, установленного программой, ибо последняя нередко полностью не выполняется.

3. Не имея возможности коснуться всех выводов и предложений, сделанных комиссией, отметим, что одной из причин отрицательных явлений в области математического образования комиссия считает недостаточную квалификацию преподавателей математики, — с этим нельзя не согласиться. Так, даже в Ленинграде имеется 73% преподавателей начальных школ и 55%— средних школ без высшего образования. Во многих же других городах Союза математику преподают лица, прошедшие только семилетку или краткосрочные педагогические курсы. Педагогические техникумы и педвузы пока тоже еще выпускают преподавателей невысокой квалификации, что объясняется слабой подготовкой поступающих в них студентов. Так как при быстром росте в СССР числа школ количество подготовленных преподавателей математики физматами и педфаками еще долго будет отставать от необходимой нормы, то желательно принять меры для повышения квалификации уже имеющихся преподавателей. Следует уничтожить существующую уравниловку и давать преимущества служебного и материального характера наиболее талантливым, знающим и усердным педагогам. Крайне необходимо прийти на помощь учительству в его работе изданием соответствующей учебной и научной литературы. В настоящее время источником сведений по математике как для преподавателя, так и для ученика является почти исключительно стабильный учебник. Желательно издание математических хрестоматий, расширенных курсов по элементарной математике, сборников и журналов, из которых учителя могли бы черпать пополнение и расширение своих математических сведений.

Подобно этому, желательно издание соответствующей математической литературы и, в частности, математических журналов для учащихся. В каждой школе всегда имеется немало лиц, обладающих математическим дарованием и интересующихся ею, но полное отсутствие математических книг и пособий не дает выхода этому интересу. Поэтому полезно было бы устройство школьных и районных математических кружков —наподобие существующих уже шахматных, драматических, физкультурных и иных. Большую пользу могло бы принести устройство местных и районных соревнований, подобных организованной ЛГУ математической олимпиаде. Такие соревнования способствовали бы поднятию интереса к математике в широких кругах учащих и учащихся. Отметим, что соревнования подобного рода, под именем конкурсов, издавна проводятся во Франции, где они играют существенную роль в отношении своевременного выявления наиболее одаренной молодежи и общего повышения уровня математического образования в этой стране.

В заключение своей докладной записки, которая содержит, кроме уже приведенных общих пожеланий, много и иных разумных и полезных предложений для улучшения постановки у нас преподавания математики, комиссия правильно указывает,

что ошибки и дефекты в преподавании математики медленнее и труднее поддаются исправлению, чем промахи в обучении другим предметам, и имеют большое значение для народного хозяйства. Необходимо помнить, что работа школы в области обучения математике есть часть работы над будущим советской культуры, науки, техники и народного хозяйства. Особенно важное значение работа школы имеет для нормального комплектования и нормальной деятельности советских техникумов, вузов и, в особенности, университетов.

В общем, хотя устройство ленинградской олимпиады и могло бы быть в некоторых отношениях подвергнуто критике, а выводы комиссии кое в чем не свободны от сгущения красок, все же нельзя не признать работу комитета по устройству олимпиады и комиссии — весьма ценными, а заключения их по вопросу о состоянии у нас преподавания математики и о мерах для поднятия его на более высокую ступень — заслуживающими самого пристального и серьезного внимания.

ЗАДАЧИ, ПРЕДЛОЖЕННЫЕ НА ТРЕТЬЕМ ТУРЕ ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОЛИМПИАДЫ

1. а) Если а, Ь, с —стороны треугольника, то корни уравнения:

будут мнимые.

Ь) Треугольник скользит по своей плоскости так, что две его стороны все время проходят через две неподвижные точки. Показать, что третья сторона сохраняет постоянное расстояние от третьей неподвижной точки.

2. а) Пусть а и р корни уравнения х*-\-рх-{--f-1 = 0; y и ^ — корни уравнения х* + qx + 1 = 0. Показать, что:

(а -Т) (? - Т) (« + *)(? + *) = Р2 + Я*.

Ъ) Пересечь заданную треугольную пирамиду так, чтобы в сечении получился ромб.

3. а) Исключить х и у из уравнений asir&x +■ + Ь cos2 х = п и b sin* у + a cos2 у = т.

b) Две окружность пересекаются в точках А и В\\ через точку А проведена секущая окружностей в точках Р и Q. Какую линию описывает середина M отрезка Я и 0, когда секущая вращается около точки А?

4. а) Найти предел дроби:

при дг, стремящемся к нулю.

Ь) Две касательные к кругу неподвижны, а третья катится по кругу. Доказать, что отрезок третьей касательной, заключенный между первыми двумя, виден из центра под постоянным углом.

5. Ь) Три грани трехгранного угла с взаимно-перпендикулярными ребрами пересекают шар по трем кругам. Доказать, что сумма площадей этих кругов не изменится, если повернуть этот трехгранный угол около его вершины так, чтобы его грани не перестали пересекать шар.

6. а) Решить систему уравнений:

x* = a + (y-z)* y* = b + (z-x)* гъ = с + (х—у)ч

b) Показать, что касательные к двум пересекающимся кругам, проведенные из произвольной точки на продолжении их общей хорды, равны между собой.

7. а) Доказать, что:

Ь) Расстояние произвольной точки окружности от хорды есть среднее пропорциональное между расстояниями от той же точки до касательных, проведенных в концах этой хорды.

8. а) Если sec a sec ß+tg а tg ß=tg y* to cos ^2^0.

b) Доказать теорему: прямые, соединяющие вершины треугольной пирамиды с центрами тяжести противоположных граней, пересекаются в одной точке, делящей каждую из этих прямых в отношении 3:1.

О ПРИЕМНЫХ ИСПЫТАНИЯХ В МОСКОВСКИЙ ЭЛЕКТРОИНСТИТУТ СВЯЗИ В АВГУСТЕ 1934 г.

М. Берг (Москва)

Приемные испытания в Московский электроинститут связи проводились соответственно с указаниями „Справочника“ ЦИК СССР.

На все время летних каникул была организована консультация для лиц, намеревавшихся подвергнуться испытаниям, которая проводилась одним из преподавателей института в начале лета по одному разу, в конце —по два раза в шестидневку и в достаточной мере была использована кандидатами на прием в институт. Эта консультация была по преимуществу очная: письменных обращений было счень немного.

Самое испытание было письменное и устное. Согласно разъяснению „Справочника“, письменное испытание имело в виду определение уровня навыков в выполнении арифметических действий, алгебраических и тригонометрических преобразований, в алгебраическом решении конкретных задач и умении разбираться в геометрических пространственных соотношениях. Было заранее состарено и в достаточном количестве отпечатано восемнадцать вариантов тем, приблизительно одинаковой степени трудности: каждый из экзаменовавшихся получал на руки при начале письменного испытания свой вариант темы. Каждый из вариантов содержал 4 алгебраических задачи и 3 задачи по геометрии и трегонометрии. Задачи не требовали для своего решения никаких сложных вычислений: работа, на выполнение которой давалось 4 часа, была окончена наиболее сильными из кандидатов в 1 час, и даже немного меньше.

По алгебре предложены были такие задачи: 1) решение уравнения 1-й степени, требующее несложных преобразований: сложения и вычитания дробей, разложения на сомножители с применением простейших формул разложения, вынесения за скобки общего множителя и группировки членов четырехчлена. Результат получался в виде несложного дробного выражения, числовое значение которого требовалось определить при данных числовых значениях входящих букв, выраженных десятичными или простыми дробями—положительными или отрицательными; 2) упрощение несложного выражения, в которое входили дробные и отрицательные степени. Результат получался в формах л/а или у аь или у у; требовалось вычислить этот корень с приближением дj 0,01 при данных числовых значениях букв, причем подкоренное количество получалось в виде правильной десятичной дроби с тремя десятичными знаками; 3) несложная задача на составление уравнений, не труднее задач, имеющихся в сборнике Шапошникова и Вальцева; 4) решение иррационального или показательного или логарифмического уравнения, не требующего применения таблиц логарифмов.

По геометрии: 1) упрощение тригонометрического выражения, приводящееся к применению общеизвестных основных формул тригонометрии (приведения тригонометрических функций к простейшему виду аргумента,теоремы сложения и следствий из нее, преобразований сумм и разностей к логарифмируемому виду); 2) и 3) вычислительные задачи по планиметрии и стереометрии, в одной из которых находила применение тригонометрия.

Задачи требовали лишь безусловно обязательных для окончивших среднюю школу умений и не предъявляли требований к находчивости и особой сообразительности экзаменовавшихся. Тем не менее они с самого начала показались непосильными значительному проценту из лиц, допущенных к испытанию: из общего числа 800 с лишним записавшихся более 203 уклонились от испытания, узнав от ранее экзаменовавшихся о характере предъявлявшихся к ним требований. Но и среди лиц, пожелавших экзаменоваться, около половины (59э/о) выполнило письменную работу хорошо или вполне удовлетворительно, 18, бо/0 решило удовлетворительно задачи по алгебре и неудовлетворительно по геометрии; 4,4о/0— удовлетворительно по геометрии и неудовлетворительно по алгебре, наконец, 28%—неудовлетворительно по обоим разделам.

Первая задача затруднила лишь наиболее слабых, не справившихся даже с обычными рациональными преобразованиями или же допустивших в арифметических вычислениях грубые промахи, но эта группа ошибок в большинстве работ не встречается.

Действия над дробными и отрицательными степенями оказались недостаточно усвоенными у несколько большего процента абитуриентов: некоторые, вместо того чтобы применить общие правила действий над степенями, вводили дробности и иррациональности, усложняя этим задачу, и запутывались в выполнении действий. Некоторые не знают извлечения корня, полагая, например, |/0,81 и |/0,144 равными 0,09 и 0,12, и не понимают, что корень из правильной дроби больше подкоренного числа.

Задачи на составление уравнений давались очень простые, например: „Миноносец может догнать находящийся от него на расстоянии 60 км крейсер в 10 часов. Причем миноносец проходит в -^-часа на 3 км меньше того расстояния, которое крейсер проходит в полчаса. Определить скорости и того и другого“. Или: ,1 кг чтя и 1 кг кофе стоят 108 руб. Если бы цена чая повысилась на 10%, а цена кофе понизилась на 25%, то за то же количество чая и кофе пришлссь бы заплатить 102 руб. Определить цену 1кг чая и 1 кг кофе в отдельности“. И все-таки более ЗС% не решили таких задач.

Меньше всего ошибок в последней задаче по алгебре, хотя в некоторых случаях правильного хода решения не отброшены корни, приводящие к логорифмам отрицательных чисел или к отрицательному значанию корня, понимаемою как арифметический, т. е. положительный, корень.

Задачи по геометрии и тригонометрии, как видно из вышеприведенных цифровых данных, затруднили экзаменующихся значительно больше алгебраических.

Чисто тригонометрические преобразования (задача № 1) выполнены большинством экзаменовавшихся (кроме слабейших) удовлетворительно. Из планиметрических задач оказались трудными

такие: „Основания равнобедренной трапеции даны и содержат а и b единиц. Диагонали трапеции взаимноперпендикулярны. Определить площадь трапеции“. Или: „Периметр правильного вписанного в круг девятиуголььика равен Р. Определить периметр правильного девятиугольника, описанного около того же круга“. Очевидно, абитуриенты средней школы во многих случаях не имеют навыка в определении весьма простых зависимостей между элементами геометрических фигур. Но хуже всего обстоит дело с пространственными представлениями учащихся. Задача: „Определить поверхность куба, вписанного в шар радиуса R* — решена неверно большинством из решавших ее. Набросав очень небрежный чертеж, многие из экзаменовавшихся вообразили, что ребро куба равно R |^2ГРешая задачу: „Около шара радиуса R описан конус, высота которого равна И. Определить объем конуса“, некоторые вообразили, руководствуясь набросанным ими чертежом, что конус — равносторонний и что его образующая делится пополам в точке касания с шаровой поверхностью. Особенно затруднила задача: „Определить объем прямого параллелепипеда, описанного около шара радиуса R и имеющего в основании ромб с острым углом а“. Выражение: „Образующая конуса видна из центра описанного шара под данным углом а“, встречающееся в тексте одной из предложенных задач, оказалось непонятным для значительной части решавших эту задачу; пришлось растолковать этот термин, который, конечно, должен быть вполне понятным для всякого абитуриента школы.

Наилучше подготовленными оказались все-таки окончившие московские рабфаки и некоторые из московких школ, притом последних выпусков. Провинциальные учебные заведения дали наибольшее число уклонившихся от испытаний или совершенно не справившихся с задачами.

На устном испытании предлагались в первую очередь вопросы в связи с ошибками, допущенными в письменной работе, имевшие целью выяснить, зависят ли они от непонимания сути дела или же являются более или менее случайными. После этого предлагалось экзаменующимся подготовить ответы по теоретическим вопросам из алгебры, геометрии и тригонометрии. Притом совершенно не ставились вопросы чисто принципиального характера, например по алгебре о сущности отрицательного или иррационального числа, о степени с иррациональным показателем и т. д.; по геометрии— о построении теории параллельных, о применении метода пределов; по тригонометрии — о распространении выводов основных формул преобразований на углы произвольной величины. Выводы из отдела комбинаторики предлагались только сильнейшим из экзаменовавшихся и то не всегда с полным успехом. Проверялось понимание тех разделов курса, которые имеют непосредственное применение к практике математических вычислений. Благодаря такому ограничению устные испытания дали значительно более благоприятные результаты, и приблизительно половине неудачников удалось поправиться на устном испытании. Все же 28,5о/0 общего числа экзаменовавшихся признаны неподготовленными. По алгебре некоторые из кандидатов не умели обращаться с радикалами, ошибались в формальном логарифмировании, не отдавали себе отчета в свойствах десятичных логарифмов, обнаружили неумение исследовать корни квадратного или биквадратного уравнения, не могли вывести формулы суммы членов прогрессии. По геометрии давались доказательства планиметрических теорем в малопоследовательной форме. Большинство экзаменовавшихся затрудняется в решении основных задач на геометрические построения. Доказательство простейших стереометрических теорем приходилось предлагать с большой осторожностью, и даже фактическое знание основных стереометрических соотношений оказалось крайне бедным. Ответы по тригонометрии в указанных выше скромных рамках были гораздо лучше.

Сравнивая истекшие испытания с прошлогодними, все-таки можно отметить некоторый успех: уменьшился процент совершенно неподготовленных, и в этом смысле уровень познаний абитуриентов средней школы показывает небольшое повышение. Остается надеяться, что это повышение пойдет более быстрым темпом и что возможно будет — параллельно— повысить требования, предъявляемые к поступающим в высшую школу, с тем, чтобы обеспечить ее контингентом студентов, вполне подготовленных к усвоению серьезного и достаточно обширного курса высшей математики.

ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЕ

Д. ГОНЧАРОВ (Одесса)

Во многих педагогических журналах рассеяны отдельные статьи и заметки по вопросам преподавания математики в начальной и средней школе. Однако в подавляющем большинстве случаев этот материал остается неиспользованным. А между тем многое могло бы пригодиться педагогу-практику, преподавателю методики математики в педтехникумах и пединститутах, инструкторам-методистам, студентам педагогических учебных заведений и т. д. Конечно, не все статьи равноценны: есть хорошие, удачные, есть вызывающие дискуссию, есть, разумеется, и такие, которые требовали бы и отрицательной характеристики. Имея в виду все это, нам кажется неплохим на первых порах хотя бы кратко информировать о том, что есть на страницах педагогических журналов по вопросам преподавания математики. С этой целью для начала избираем журнал „Начальная школа“ за 1934 г.

„НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА“

Орган управления начальной и средней школы Наркомпроса РСФСР. 1934 г. январь, N° 1.

1. А. Пчелко —„Элементы наглядности при обучении арифметике“, стр. 12—15.

В статье высказаны общие соображения о значении принципа наглядности и о том, что этот принцип занимает и должен занимать одно из главных мест в преподавании математики. Автор заканчивает свою статью правильным указанием на то, что, учитывая значение наглядности и проводя ее в своей практической работе, учитель облегчит учащимся усвоение программного материала и создаст предпосылки для развития отвлеченного мышления у ребенка.

Февраль, № 2.

2. Л. Володина—О проработке нумерации в пределе 1000“, стр. 25—27.

Статья написана по материалам Центральной педагогический лаборатории Наркомпроса. В статье дается достаточно полная схема уроков на тему „Нумерация в пределе 1000“ из практики опытной школы Наркомпроса им. Горького в Москве. Кроме того в статье приводится дидактический материал в виде цепей из шариков, надетых на нитку, палочек и связок палочек. Описание такого урока может помочь рядовому учителю в его повседневной работе и подвести итоги своему собственному опыту. По ходу урока можно сделать ряд замечаний.

3. Печерникова И. —„Проверочные испытания по математике“, стр. 28-32.

Автор статьи рассматривает вопросы, связанные с целью испытаний по математике и методикой проведения самих испытаний. В основу построения этой методики автор кладет следующие три педологические предпосылки: 1) создание у учащихся сознательного отношения к испытаниям по математике; 2) создание у учащихся интереса и 3) посильность знаний для учащихся. Автор статьи вдумчиво и внимательно подходит к ряду методических и психологических вопросов.

4. Д. В. — „Обзор методических, педагогических пособий по математике“, стр. 46—48.

В этом обзоре даются краткие аннотации на известные книги: 1) А.М. Воронец—.Очерки по методике математики для I ступени“, изд. 1926 г.; 2) Д. Л. Волковский — „Методика целых чисел-, изд. 1933 г.; 3) И. Н. Кавун— ,Как обучать геометрии в школе I ступени“, изд. 1927 г.; 4) А. И. Гольденберг—.Беседы по счислению“, Гиз, 1923 г.; 5) Лебедев — „Как научиться самому измерять землю“; 6) Г. Б. Поляк—„Основные вопросы методики арифметики“, изд. 1921 г. 7) Две книги Торндайка — „Новые методы преподавания арифметики“, и „Психология арифметики“, и ряд других, всего 14 названий. Все эти книги предлагаются вниманию учителей, причем делаются те или иные предупреждения.

5. М. Скарюкин—„Как оживить уроки устного счета“, стр. 43.

Маленькая заметка на страничке „Рационализаторских предложений“. Предлагается такой прием: кто решит, поднимает руку и идет за доску написать, какой у него получился ответ. При правильном ответе фамилия этого ученика записывается на доске.

Едва ли такому приему можно сочувствовать.

6. Из блокнота методиста. „Как облегчить усвоение арифметической терминологии“ стр. 43.

Предлагается довольно искусственный и надуманный прием: для закрепления терминологии на уроках устного счета спрашивать не готовый ответ, а примерно так: „Скажи сумму всех цифр ответа“, „Скажи разность цифр в ответе“.

Предложение автора заставляет сомневаться в целесообразности такого приема.

Март, № 3.

7. Л. Володина —„Развитие умения решать задачи“, стр. 28—33.

Тема статьи в достаточной мере соответствует ее содержанию, представляющему изложение опыта работы во II классе опытной школы им. Горького в Москве. Статья представляет определенный интерес в смысле исканий и пробы систематизации основных приемов проработки простых и сложных задач. В этом ценность статьи. Однако сама систематизация и сами ее основания довольно примитивны.

Тем не менее, автор статьи производит впечатление живого, ищущего, вдумчивого педагога.

8. С. Качкаев — „Как решать сложную задачу в VI классе“, стр. 33—35.

Статья представляет собой конспект урока на тему: «Решение задачи с постановкой вопросов“. Разработана задача из „Сборника упражнений“ ч. 2-я, Поповой. Разработку конспекта можно считать в общем удовлетворительной, хотя по поводу отдельных мест конспекта можно сделать ряд замечаний.

9.Н. Конобеевский — „Наглядные пособия по математике (объемные)“, стр. 54—56.

В статье дается описание объемных наглядных пособий, изготовляемых заводами Главучтехпрома Наркомпроса РСФСР. Описываются такие пособия: 1) классные счеты, 2) ученические счеты, 3) арифметический ящик, 4) весы Беранже, 5) метр нескладной, 6) мерные кружки, 7) часовой циферблат, 8) набор геометрических тел, 9) классные чертежные принадлежности, 10) ученические чертежные принадлежности.

10. И. Киликов —„Упрощенный способ проверки умножения и деления многозначных чисел“, стр. 53.

Предлагается общеизвестный способ проверки девяткой без всякого обоснования этого способа и вскрытия его сущности.

11. М. К. Студицкий—„О записях по арифметике“, стр. 53—54.

Предлагается при записи деления отказаться от кавычек (*) и черточек (=) и пр. Предложение правильное по существу, но обоснование этого предложения у автора слишком мудреное.

Апрель, № 4,

12. О, А. Пчелко— „Как провести испытание по математике в III и IV классах“, стр. 13—14.

Исходя из указаний инструкции Наркомпроса о проведении проверочных испытаний, автор статьи указывает, что в практике проведения проверочных работ наблюдались и случаи снижения программных требований и случаи перегрузки учащихся материалом в письменных работах. Учитывая накопившийся опыт, автор предостерегает от возможных ошибок в проведении испытаний, считая, что проверка должна отразить все разделы программы, соответственно этому,— умения, навыки и развитие учащихся. Для отделов народного образования результаты испытаний должны дать материал для сравнительной характеристики школ и учителей.

13, М. Осипцев — „Как использовать на уроках математики цифровой материал доклада т. Сталина“, стр. 15—18,

Из практики опытной школы им. Радищева в Москве автор описывает три основных урока в IV классе, на которых был использован наиболее яркий цифровой материал доклада т. Сталина на XVII партсъезде. Описание уроков в достаточной мере подробное; план и ход уроков продуманный и проведенный в общем удачно. Опыт автора может быть полезен работникам начальной школы в смысле умения естественного и удачного подхода к ряду вопросов социалистического строительства на уроках математики, не впадая при этом в „комплексность“.

14. С. Качкаев — „Измерительные работы на местности и съемка планов в III и IV классах“, стр. 19—25.

В статье описаны измерительные работы, предусмотренные программами по математике для начальной школы. Автор правильно отмечает, что без измерительных работ на открытой местности „ученик познает пространство только на чертеже книги или тетради, не получая конкретных представлений об аре, гектаре, километре, не умеет читать местность, не может ориентироваться по плану, по компасу“. В статье описаны три работы для III класса и пять работ для IV класса. Несмотря на кажущуюся простоту, некоторые работы не легки для учащихся III и IV классов. Мало уделено внимания предварительной подготовке к работам на местности, а от этого зависит успех самих работ.

(Продолжение следует).

МЕТОДИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИБЛИОГРАФИЯ ПО ТЕМАМ

В. МОРЕВ Ленинград)

Относительные числа

1. Гурьев, П., Предварительные упражнения в алгебре, входящие собственно в состав алгебраического языка. „Пед. журнал“, ч. VI, Спб. 1884, III, стр. 169—181.

2. Четыре алгебраические действия. „Учитель“. Спб. 1862, VI, стр. 254 — 255, VII, стр. 299: XII — XIV, стр. 600-603.

3. Евтушевский В. А. Несколько уроков для выяснения материала и метода преподования пропедевтики алгебры. „Пед. сборник“, Спб. 1855, IV, стр. 313 —322.

4. Томас И., Об отрицательных числах „Пед. сборник“, Спб. 1867, V, стр. 478 — 492.

5. Евтушевский В. А., Методика элементарного курса арифметики, алгебры и геометрии в низших классах общеобразовательного заведения. „Пед. сборник“, Спб. 1867. XI, стр. 960 — 981; XII, стр. 1071 — 1094.

6. Страннолюбский А., Курс алгебры, основанный на постепенном обобщении арифме-

тических задач (дидактические указания для преподавателя начальной школы). „Учитель“, Спб. 1867— 1868. Приложение, стр. 184.

7. Евтушевский В. А., Пропедевтика алгебры. „Пед. сборник“, Спб. 1868, VII, стр. 764— 808; VII, стр. 858 — 875.

8. Чеканский Ф., Об отрицательных количествах. „Семья и школа“, Спб. 1871, VI (кн. 2-я), стр. 51 — 63.

9. Чеканский Ф., Учение об отрицательных количествах перед судом логики. Спб. 1872.

10. Дмитриев М., уроки об отрицательных числах. „Пед. сборник“, Спб. 1875, VI, стр. 614 — 633.

11. Евтушевский В. А. и Глазырин А. К., Методика приготовительного курса алгебры, Спб, 1876, стр. 125.

12. Г. Н., Развитие понятия о противоположных величинах. „Семья и школа“, Спб. 1876, II (кн. 2-я), стр. 156—160.

13. Щепанский И., Опыт критического разбора учения об отрицательных количествах. „Семья и школа“, Спб. 1876, VIII (кн. 2-я), стр. 88—111.

14. Ефимов А., Заметка об элементарном изложении теории действий над отрицательными количествами. „Семья и школа“ (уч.-восп. отдел), Спб. 1882, т. II, стр. 353—361.

15. Гирман С., Вывод правила умножения положительных и отрицательных количеств, не зависящий от того, целые или дробные числа абсолютные величины множимого и множителя. „Вестн. оп. физ. и эл. мат.“, Киев 1889, № 66, стр. 122—123.

16. Дмитриев М., Первые страницы алгебры. По программе IV класса кадетских корпусов. Спб. 1890, ц. 75 коп.

17. Ермаков В. П., О начальном преподавании алгебры. „Вестн. оп. физ. и эл. мат.“ 1890, № 102, стр. 101—109.

18. Он же, О преподавании алгебры. „Пед. сборник', Спб. 1892, V, стр. 442—472 и в „Сборнике в пользу голодающих“, изд. Лучицкого, Киев 1891.

19. Горизонтов В. К., Учение о положительных и отрицательных числах в алгебраическом анализе. Симбирск 1881, стр. 33, ц. 40 коп.

20. Матковский П., Выделение некоторых законов алгебры и образование понятия о новом числе. „Вестн. оп. физ. и эл. мат.“, Одесса, № 101, стр. 81—87; № 102, стр. 109—112, „Пед. сборник“, 1892, IV, стр. 385—396.

21. Он же, Геометрическое представление чисел, рассматриваемых в алгебре. „Пед. сборник“, Спб. 1892, XII, стр. 555—569.

22. И. Д. [олбня], Заметка о некоторых основных вопросах элементарной алгебры. „Пед. сборник-, Спб. 1892, VIII, стр. 139—144.

23. Нечаев Н., О начальном преподавании алгебры. „Пед. сборник“, Спб. 1892, I, стр. 37-65.

24. Шапошников Н. А., Разбор статьи В. Ермакова „О преподавании алгебры“. „Пед. сборник“, 1893, II, стр. 533 — 565.

25. Шидловский Вл., К вопросу о преподавании основ алгебры. „Пед. сборник“, Спб. 1893, XI, стр. 435 -440.

26. Н. С, Переместительность и сочетательность произведения алгебраических количеств. „Вести, оп. физ. и эл. мат.“, Одесса 1897, № 248, стр. 211—212.

27. Андрианов В., Один из способов изложения теории отрицательных чисел. „Пед. сборник“, Спб. 1900, I, стр. 52-55.

28. Шапошников А. Н., Система первых уроков по алгебре, М. 1903, 8°, стр. 31 + 1 к.— 1600.

29. Орешников М., Несколько слов о так называемом „правиле знаков“ в элементарной алгебре. „Вестн. оп. физ. и эл. мат.“, Одесса 1905, № 394, стр. 230-234.

30. Киселев А. П., Положительные и отрицательные числа. Числа несоизмеримые (оттиск из 23-го изд. „Элементарной алгебры“), изд. В. В. Думнова. М. 1911, стр. 91, ц. 35 коп.

31. Сорокин В. С, Математические действия и количества, Томск 1911, стр. 26 4-1, ц. 35 коп. — 600.

32. Агура А. Д., К вопросу о начальном преподавании алгебры. Одесса 1912, стр. 55—100.

33. Штепенко М. 3., С чего и как лучше начинать преподавание алгебры. Доклад в совещании преподавателей г. Екатеринодара и обсуждение его. Сборн. „Матер, по улучшению преп. матем. в Кавказском учебном округе“, Тифлис 1913, стр. 8-12.

34. Соловьева А.В., Примерный урок на тему: действия над алгебраическими количествами. Разбор урока. Сборн. „Матер, по улучшению преп. матем. в Кавказском учебном округе“, Тифлис 1913, стр. 186—142.

35. Мoсквин А., Числа положительные, от» рицательные и нуль. „Матем. образование“. М. 1915, VI—VII, стр. 293-313.

36. Фридман В. Г., Методика преподавания отрицательных и положительных чисел (относительных чисел) в средней школе. Доклад на II Всероссийском съезде преп. математики. М. 1915, стр. 248—255.

37. Гибш И., Один из „проклятых“ вопросов в области педагогики начальной алгебры (о сумме и произведении относительных чисел). „Вестн. оп. физ. и эл. мат.“, Одесса 1916, № 658, стр. 231— 236.

38. Арсеньев Н., Классная проработка темы: „Сложение относительных чисел“, основанная на примерах, взятых из окружающей жизни. „Наш труд“, Ярославль 1928. II, стр. 22-23.

39. Воронин С. В., К вопросу о преподавании отрицательных чисел. „Научи, известия Смоленского университета“, I, 1929, стр. 115-125.

40. Компанийц П. А., Целые относительные числа как пары натуральных чисел. (Из лекций для студентов института им. Герцена.) Л. 1929, стр. 36. стеклограф.

41. Слетов Н. П., Выяснение реального смысла относительных чисел. „Матем. образование“, М. 1929, VI, стр. 219-229.

42. Попов И. Г., К методике графической иллюстрации сложения и вычитания алгебраических чисел. „Физ., хим., мат., техн. в труд, школе“. М. 1930, VI, стр. 85—86.

43. Астряб А., Сложение и вычитание относительных чисел на приборе „плюс-минус“ И. Котрохова, „Физ., хим., мат, техн. в сов. школе“ М. 1931, II, стр. 54-57.

Пропедевтика геометрии

1. Литтров, Общенародная геометрия.

Соч. Литтрова. С 8 листами чертежей. Перевод с нем. Федорова. Спб. 1850. 12°, стр. 197, ц. 50 коп. (одобр. Комиг. грамотности). Рец.: В. Воленс, „Учитель“, 1862, т. XVI, стр. 834.

2. Ефремов П., Наглядное изложение предварительных понятий о геометрии, с 2 таблицами.

Казань 1859, ц. 50 коп. Рец.: „Современник“, 1860, кн. IV.

3. Н. В., Приготовительные уроки к геометрии. „Учитель“, Спб. 1861, т. VIГ, стр. 280-282; т. VIII, стр 310—312; т. IX, стр. 344—347; т. X, стр. 378-381, Рец.: А. Филонов, „Русские педагогические журналы“, „Ж. M. Н. Пр.- 1861, 112, отд. 3, стр. 79 - 80.

4. Дистервег А., Начатки детского школьного учения. Перевод с нем., приложение к „Ж. M. Н. Пр.“ 1861, ч. III, стр. 1—115 + 3 листа, табл.+ IV (огл.). Из них пропедевтика геометрии— стр. 23—45 —отд. от т. Спб. 1861, 8°, стр. 115 + 3 листа табл., ц. 30 коп.

5. Первоначальная геометрия для уездных училищ и вообще для начинающих (по Дистервегу), „Учитель“, Спб. 1861, т. XI—XII, стр. 442 — 450, с черт.

6. Элементарная геометрия по Дистервегу, „Учитель“, Спб. 1861, т. XIII, стр. 491— 497; т. XIV, стр. 543—545; т. XV, стр. 576-580; т. XVI, стр. 621—626; т. XVII, стр. 658-661; т. XVIII, стр. 706-709; т. XIX, стр. 738-842; т. XX, стр. 793-797; т. XXI, стр. 844-846; т. XXII, стр. 893—895; т. XXIII, стр. 940—943. Рец.: А. Филонов, ст. „Русские педагогические журналы“, „Ж. М. Н. Пр.“, 112, 1861, отд. 3, стр. 79-80.

7. Дистервег, Элементарная геометрия Дистервега. Учебное пособие для уездных училищ и вообще для начинающих. Перевел с нем. и дополнил В. Воленс, Спб. 1862, 16э, стр. XI+134. ц. 30 коп. (перепечатка статей из журнала „Учитель“). Изд. 2-е, доп. и измененное, Спб. 1866 г., ц. 50 коп. Рец.: Маджугинский.,— „Циркуляр по уравнению Одесск. уч. округа“ 1866 г., III; „Обзор нар.-учебной литературы Комитета грамотности“, Спб. 1878, стр. 313.

8. Ярошинский Н., О преподавании первоначальной геометрии в уездных училищах. „Воспитание“, 1863, т. VIII—IX, стр. 34-37.

9. Евтушевский В А., Приготовительный курс геометрии. ,Пед. сборник“, 1866, т. III, отд. офиц., стр. 64—65.

10. Евтушевский В. А., Из пропедевтики геометрии. „Пед. сборник“, 1866, т. VII, стр. 482—490.

11. Косинский М. О., Приготовительный курс геометрии. Вып. 1-й. Наглядная геометрия, Спб. 1866, 8°, стр. 80, ц. 35 коп. Рец.: „Книжный вестник“ 1866, т. II, стр. 36. Изд. 3-е, „Наглядная геометрия для детей от 9 до 12 лет“, Спб. 1875. 3°, стр. 80, ц. 35 коп. Рец.: Ф. Егоров, „Учебно-воспитательная библиотека“, т. I, М. 1875.

12. Шишкевич А., Материалы для приготовительного курса геометрии. „Пед. сборник“ 1866, т. X, стр. 739-755.

13. Фан-дер-Флит П. П., Элементарный курс геометрии. Руководство для преподавателей. „Учитель“, Спб. 1868 г. Прилож. 10 листов. Отд. изд. Спб. 1868 г. (26X16), стр. 162 Рец.: Е. С. Волков, „Пед. сборник“, 1370, VI, стр. 644-670.

14. Гельман А., Приготовительный курс геометрии в вопросах. М. 1868, ц. 50 коп.

15. Леве А., Преподавание геометрии в народных школах. „Нар. школа“. Спб. 1869, т. I, XI, стр. 5-8.

16. Дистервег А., Элементарная геометрия для начинающих и для школ. Перевод с нем. Спб. 1870, н. 40 коп. Изд. 2-е, 1873, ц. 30 коп.

17. Комментарий к элементарной геометрии Ад. Дистервега. Перевод с нем. Спб. 1870, ц. 25 коп. Рец.: „Обзор нар.-учебной литературы Комитета грамотности“, Спб. 1878, стр. 312.

18. Селезнев И., О первоначальном обучении детей геометрии. Разбор руководств Косинского, Фан-дер-Флита, Гельмана, Дистервега и Главинского. „Детский сад“, 1870, т. IV, стр. 178-185.

19. Вулих 3. Б., О приготовительном курсе геометрии в средних учебных заведениях. „Семья и школа«, 187, кн. 2, т. VIII, стр. 55—70; т. IX, 1872, кн. 2; т. II, стр. 218-233; т. III, 534-573.

20. Наманский Г., Геометрические дополнения к арифметике. Вычисление поверхностей и объемов тел. Спб. 1872, ц. 15 коп.

21. Вулих З. Б., Приготовительный курс геометрии. Пособие для учителей, Спб. 1873, 8°, ц. 60 коп. Изд. 2-е, Спб. 1874, 8°, стр. 137 + + 3 табл. чертежей, ц. 50 коп. Рец.: „Спб. ведомости“, 1873, № 70; И. Селезнев, „Детский сад“, 1874, т. I, стр. 50—53; „Систематический обзор русской нар.-учебн. литературы Комитета грамотности“, Спб. 1878, стр. 311.

22. Кондратенко Т. (напечатано — П), Уроки геометрии. Знакомство с телами. ,Нар. школа“, Спб. 1873, т. XII, стр. 6—13.

23. Давидов А. Ю., Геометрия для уездных училищ. Составлена по Дистервегу. Изд. Салаевых, М. 1873, 8°, стр. 63, ц. 35 коп. Изд. 2-е, М. 1876, 7200, изд. 14-е, Думнова М., 1900, 12 000. Изд. 32-е, т-ва Думнова, М. 1917, стр. 61, ц. 55 коп. — 6000.

24. Рецензии:

Романов И., Учебно-воспитательная библиотека“, т. I, 1875, ч. 2-я, стр. 159—160; „Пед. сборник“ 1877, т. VII, стр. 784—790. В. Латышев, „Пед. сборник“, 1880, т. I, стр. 64-65 „Ж. M. Н. Пр.“, К 84, 236; т. XI, отд. 3, стр. 32—36, „Пед. хроника“, 1885 Ж. M. Н. Пр., 1902, т. VII, стр. 9—10.

24. Малинин А. Ф., Геометрия и собрание геометрических задач для уездных (и городских) училищ. М. 1873, 8°, стр. 200, ц. 65 коп. Изд. 12-е, М. 19Л, 16 800. Изд. 23-е, т-ва И. Д. Сытина, М. 1917, стр. 206., ц. 75 коп. —10 000. Рец.: „Нар. школа“, 1903, т. VIII, стр. 42; И. Рохманов, — „Учебно-воспитательная библиотека“, т. I, 1875, ч. 2-я, стр. 154—159, „Систематический обзор нар.-учебной литературы“ 1878, стр. 309—310; „Пед. хроника“, 1885, стр. 91; „Ж. М. Н. Пр.,“ 1887, т. IV, стр. 54-60; 1892, т. II.

25. Волков Е., Образовательный курс наглядной геометрии. Руководство для преподавателей начальных и городских школ и низших классов средних образовательных заведений. Спб. 1873, стр. 218, ц. 1 р. Рец.: И. Р. „Нар. школа“ 1874, т. I, стр. 38—39; „Пед. листок“ 1874, т. I, стр. 66-70.

26. Кондратенко Т. С, Вопросы из начальной геометрии. (240 №—.Нар. школа“, Спб. 1874 г., т. V, стр. 10-18.

27. Лашкевич К., Пропедевтика геометрии, „Пед. сборник“ 1875, т. VII, стр. 733—764.

28. Савин И.,Приготовительный курс геометрии для военных гимназий и народных школ, изд. 1-е, М. 1878, 8°, стр. 59 +IV, ц. 50 коп.; изд. 2-е, испр, М. 1870, 8°, стр. 74 +IV, ц. 50 коп. 2400. Рец.: „Пед. хроника“, 1878, т. V, стр. 108—109; 1879, т. XXX, стр. 652. Соболев, „Пед. музей“ 1878, т. XI, стр. 806.

29. Спенсер В. Г., Геометрия путем изобретения.

Сборник определений, вопросов и задач для ознакомления детей с геометрическими представлениями и подготовки к изучению ее. Перевод с англ. Ф. Резенер. Спб. 1878, 8°, стр. 59, ц. 35 коп., 2000; реп.: Л. Кублицкий, „Пед. музей“ 1879, т. XII, стр. 886; „Пед. хроника“, 1879, т. IX, стр. 202-204.

30. Пл. И., О начальном преподавании геометрии в городских училищах. „Записки учителя“ 1884, т. IV, стр. 265—272.

31. Флоринский Г. Н., Превращение прямоугольника в квадрат разрезыванием и переложением разрезанных частей. „Журнал элемент, математики“, т. I, Киев 1884, т. VIII, стр. 145—146; Дополнение — т. X, стр. 20.

32. Флоринский Г. Н., Превращение квадрата в равносторонний треугольник переложением разрезанных частей. „Журнал элемент, математики“, I, Киев 1885, т. XII, стр. 312.

33. Флоринский Г. Н., Превращение прямоугольного треугольника в квадрат переложением частей. „Журнал элемент, математики“, I, Киев 1885, т. XVIII, стр. 353-357.

34. Сенигов Н. П., Геометрические тела, наглядно рассмотренные. „Школа и матем.“, Спб. 1885, т. I, стр. 9—16; т. II, стр. 9-12 (73—76); т. III, стр. 13-20 (145-152).

35. Добровольский В., Приготовительный курс геометрии.

Подробный конспект пропедевтики геометрии для учащих.

Изд. ред. журнала „Записки учителя“, М. 1886, 8°, стр. 52, ц. 35 коп. —1500.

36. Кириллов, Краткий курс геометрии для городских и уездных училищ, вып. 1-й, М. 1887, 8°, стр. 40 + 2 н., 2400. Вып. 2-й, М. 1888, 12°, стр. 43-98-1200.

37. Хмелев Н., Приготовительный курс геометрии (курс 3-го отд. городских училищ). Оренбург 1889, 8°, стр. 18—1200.

38. Миронов П. М., Приготовительный курс геометрии, Самара 1900, 8°, стр. 46, ц. 45 коп., 500. Изд. 8-е, Уфа 1914 (22X14), стр. 122 + + 17 листов чертежей, ц. 45 коп.—3000.

39. Демура Г., Концентрическая геометрия (I и II концентры). Составл. применительно к программе городских училищ. Киев 1891, 8°, стр. 128 с таблицами чертежей, ц. 85 коп.

40. Житков С, Как следует начинать преподавание геометрии. „Вестник оп. физ. и элемент, математики“, 1892 г., Сем. XII, № 133, стр. 6—12; № 134, стр. 27-34; № 141, стр. 193—203.

41. Ермаков В. П., О преподавании геометрии „Пед. сборник“, 1895, т. X, стр. 327— 336.

42. Агапьев В., О пропедевтике геометрии (по поводу ст. В. Ермакова). ,Пед. сборник“, 1896, т. I, стр. 351—367.

43. Миронов П. М., Учебник геометрии, с приложением: 1) вопросов для повторения, 2) геометрических упражнений и 3) разверток тел. В 4 частях, изд. 2-е. Уфа 1896, 8°, 1000, ч. 1-я, стр. III+ 110—14 чертежей, ц. 40 коп.; ч. 4-я, 1897, стр. 118, ц. 45 коп. (курс 3—6 отделений городских училищ). Рец.: В. З. (авьялов ), „Городской и сельский учитель“. Казань 1897, т. If, стр. 81-88.

44. Малыхин М., Курс наглядной геометрии. Для трех низших классов женских гимназий. С 116 чертежами, М. 1897, Рец.: М. С, „Пед. сборник“, 1898 г., т. IV, стр. 415; „Ж. M. Н. Пр.“ 1898, т. VII, отд. 3, стр. 7—9.

45. Шафров И., Пропедевтика геометрии. Курс третьего года городских училищ. Под ред. Н. И. Лаврова, М. 1898, 8°, стр. 42, ц. 25 коп., изд. 3-е, 1902, сто. 42, ц. 25 коп., 2400; изд. 7-е 1912, стр. 69, ц. 20 коп. —4000.

46. Начатки геометрии. Составлено по Кэру, М. 1903, 8°, стр 140 + 14+1 н.,ц. 75 коп.— 1200.

47. Юревич Г. Я., Приготовительный курс геометрии, 8°, Рига 1912, 357 (20 X И)» стр.32, черт., ц. 15 коп. — 12 ООП.

48. Клунный П., Курс начальной наглядной геометрии. Первые уроки учеников по геометрии (с задачами, чертежами и планами). Спб. 1906, 8°, стр. 64, ц. 25 коп. —3003.

49. Кемпбелль В., Наглядная геометрия Пособие для обучения и самообучения. С пред. А. Филиппса. Переводе англ. Е. Попова. Изд. Горбунова-Посадова, М. 1908 (21 X14), стр. 215, с рис., ц. 1 р. 10 к. - 4200; изд. 2-е, 1910, 5200; изд. 3-е, 1913, стр. 207, ц. 1 р. — 3200; изд. бр. Синкевич. Владивосток (192П). Рец.: В. Соллертинский, „Ж. M. Н. Пр.,“ 1908, т. X, Ф. Павло в,“пр.357, „Русская мысль“, 1911, т. XII, H. Томилин, „Русская школа“, 1912, т. I; стр. 7; Г. П. „Вестник воспитания“, 1с08, т. III, стр. 81-82; Н. К. „Для нар. учит.“, 1908, т. V, стр. 27; „Русский начальный учитель“, 1911, т. X, стр. 451.

50. Гурвич Л., Как я учил своего мальчика геометрии. Первые уроки геометрии для детей. Изд. Горбунова-Посадова. М. 1908 (22 X 15), стр. 77, с 203 рис., ц. 40 коп. - 2400; изд. 2-е 1912, ц. 35 коп. - 4200.

Рец.: Д. (Волковский) „Для народного учителя“, 1908, т. VII, стр. 28—29; В. Соллертинский, „Ж. M. H Пр.“, H 03, т. XII; Ф. Павлов, „Русская школа“, 1909 т. IX, стр. 20—21; Д. Волковский, „Вестник воспитания“, 1909, отд. 2-й, стр. 75—78.

51. Астряб А. М., Наглядная геометрия. Начальный курс для трех младших классов средних учебных заведений. Киев 1909, 8°, стр. X + 171, ц. 90 коп. —3000; изд. 3-е, 1913, стр. XII+ 155 + + 8 н. + 6 листов таблиц, ц. 80 коп. — 50С0; изд. 4-е, перераб. Наглядная геометрия (лабораторный метод изложения). Первая ступень. Начальный курс, Киев 1917, стр 4 н. +124 с рис. + 7 таблиц, ц. 90 коп. 5000; изд. 6-е. Гиз, М.-П. 1923 (23X16), стр. 159, ц. 1 р. —25 000. Рец.: Н. Тиминский, „Народное образование в Виленск. уч. округе“, 1909, т. V, стр. 246—248; В. Соллертинский, „Ж. M. Н. Пр.“, 1909, т. VII; Ф. Павлов, „Русская школа“, 1909, т. IX, стр. 23; „Русский начальный учитель,“ 1910, т. III, стр. 146, В. Масленко, „Техн. и коммерч. образ.“, 1912, т. VIII: Н. Извольский, „Пед. вестник Московского уч. округа“, 1913, т. IV — V; В. Сафронов, „Математика в школе“, сб. I, Л. 1924, стр. 86—90; „Известия ВЦИК“, 1923, № 240.

52. Бэр, Поль, Начатки опытной геометрии в приложении к измерению линий, поверхностей и тел. Перевод с франц., под ред. и с прелисл. A. Гатлиха., М. 1910 (20X13). стр. 112, ц. 30 коп. —3000; изд. 3-е, 1915—3000; Рец.:

B. Соллертинский ,Ж. М. Н. Пр.', 1910, т. VIII; А. Павлов, „Пед. листок“, 1910, т. VII, стр. 548; Ф. Павлов, „Русская школа“, 1911, т. III, стр. 32—33.

53. Долгов Ал., Начатки геометрии. Составлено по Кэру, Юнгу и Гариссону. М. 1910, 8°,

стр. 207, с черт., ц. 75 коп. — 3000. Реп,: Ф. Павлов, „Русская школа“, 1910, т. III, стр. 12—13.

54. Кутузов Н. Е., Наглядная геометрия. Дня двухклассных школ и других начальных училищ с повыш. курсом. М. 1910 (23X15), стр. 144, с 200 чертежами, ц. 70 коп. — 2000; изд. 2-е, М. 1915, стр. 130, с рис., ц. 70 коп. —3000. Рец.: В. Соллертинский, „Ж. М. Н. Пр.“, 1910, т. V; Н. Томилин, „Русская школа“, 1912, т. I, стр. 7; В. Фридман. „Школа и жизнь“, 1915, т. X; „Русский начальный учитель“, 1910, т. VI—VII, стр. 198.

55. Плетнев И., Учебник геометрии для городских училищ. Курс 3-го и 4-го годов обучения, Спб. 1911 (26X18), стр. 93, ц. 40 коп. —1245.

56. Юнг Г. и Юнг У., Первая книжка по геометрии. Перевод с англ. А. Бачинского. М. 1911 (21X14), стр. Х1 + 19Э, с 127 рисунками и 3 таблицами, ц. 50 коп. Рец.: В. Соллертинский, „Ж. М. Н. Пр.-, 1911, т. VIII; „Русский начальный учитель“, 1911, т. X, стр. 451; Н. Томилин, „Русская школа“, 1912, т. I, стр. 7.

57. Беллюстин В. К., Основные положения по обучению начальной геометрии. „Пед. вестник Московского уч. округа“, 1912, т. I, стр. 59—74.

58. Рашевский К. Н., Краткий курс геометрии в связи с пропедевтическим курсом. Руководство для городских училищ, женских гимназий и других учебных заведений, М. 1910 (23X16), стр. 128, ц. 50 коп. —3000; изд. 2-е, 1913—3000; изд. 3-е, 1916, стр. 154, с чертежами, ц. 1 р. Рец.: В. Соллертинский, „Ж. М. Н. Пр.“, 1910, т. X; А. Павлов, „Педаг. листок“, 1910, т. VII, стр. 548; Ф. Павлов, „Русская школа“, 1911, т. III, стр. 33 и 1913, т. X, стр. 109; Н. Извольский, „Вестник опытной физики“ 1910, № 528; „Русский начальный учитель“, 1911, т. I, стр. 34.

59. Филиппович Ф., Начальная геометрия в развертках. Спб. 1912 (24X18), стр. 23, ц. 45 коп., т. 5000. Рец.: Н. Томилин, „Русская школа“, 1912, т. lt стр. 8; В. M — в „Пед. вестник Московского уч. округа“ 1912, т. VII—VIII, стр. 98; Ф. П., „Техн. и коммерч. образование“, 1912, т. III, стр. 56.

60. Горский И. Ф., О пропедевтическом курсе геометрии. Доклад — „Труды Туркест. съезда препод. средних уч. заведений“, Ташкент 1913, стр. 155—161.

61. Извольский Н. А., Первые шаги курса геометрии, „Математическое образование“ 1913, т. I, стр. 24—29.

62. Лексин Н. Г., Опыт практического руководства по методике геометрии. Пропедевтический курс геометрии. Методические указания в форме бесед с учителями и примерные наглядно-лабораторные уроки с учащимися. Казань 1913 (25Х Х17), стр. 432 +IV 4-1 лист чертежей, ц. 2 р., —1200; изд. 2-е. Лабораторный метод изучения геометрии, Казань 1917 (22X15), стр. 396 +III + 5, ц. 3 р., —1510. Рец.: В. Соллертинский, „Ж. М. Н. Пр.“, 1913, т. XII, 1914, т. X; В. Мрочек, „Техн. и коммерч. образование“, 1914, т. I, стр. 62—63; Н. Рыжков, „Вестник Оренбургского уч. округа“, 1915, т. II: С Бернштейн, „Пед. сборник“ 1916, т. II, стр. 257: Р. Кюн, „Нар. образование в Виленском уч. округе“, 1914, т. Ill, стр. 145. Вл. Шидловский, „Пед. мысль“, 1918, т. 1 —II, стр. 132—1“3.

63. Маркус Э. А., Наглядная геометрия.Курс геометрии для младших и старших классов средних уч. заведений и для начальных и городских училищ. Спб. 1913 (23X16), стр. XIII+ 236, с рис., ц. 1 р. — 5000. Рец.: В. Соллертинский, „Ж. М. Н. Пр.“, 1913, VIII; Вл. Шидловский, „Пед. сборник“, 1914, VIII, стр. 128—129.

64. Петровский П., Начальный курс геометрии в методической разработке. Киев 1913 (26X17), стр. 68—200.

65. Раевский А. А., Начальная книжка по геометрии. Введение в теоретическую и практическую геометрию для низших училищ. Спб. 1913 (26X17), стр. 60—4 листа чертежей, ц. 50 коп. Рец.: Н. Извольский, — „Математическое образование“, 1913, т. I, стр. 43—45.

66. Гертель Ф., Преподавание геометрии на основе самодеятельности учащихся. Учебный план для изучения геометрических форм с помощью наблюдения, лепки, черчения, вычисления и словесного описания. Пгр. 1914 (35X16)» стр. 58 —1000; „Пед. сборник“, 1914, № VI, стр. ö81— 609; No VII, стр. 1—30.

67. Извольский Н. А., Начальный курс геометрии. М. 1914, стр. IX+ 104, с рис., ц. 80 коп. — 2100. Рец.: В. Соллертинский. „Ж. М. Н. Пр.“, 1914, т. V; Возражение Н. Извольского и ответ В. Соллертинского, „Ж. М. Н. Пр.“, 1914, т. XII; Ф. Павлов, „Русская школа“, 1914, т. IV, стр. 28.

68. Кулишер А. Р., Учебник геометрии, ч. 1-я. Курс подготовительный. Для младших классов средних уч. заведений и пр. Спб. 1914 (21X15), стр. XII+130, с 130 рисунками и 5 таблицами, ц. 90 коп. —5200. Рец.: Д- рин, „Пед. образование“, 1914, т. V, стр. 79. „Речь“, 1914, № 134, А. Генкель, „Техн. и коммерч. образование“. 1914, т. IV, стр. 53—54; С. Бернштейн, „Пед. сборник“, 1916, т. IV; В. Соллертинский; „Ж. М. Н. Пр.“, 1915, т. V, стр. 114-121.

69. Никитин А. И., Первая ступень из геометрии. М. 1914 (21Х14\ стр. 64, с рис., ц. 20 коп.—3000; изд. 2-е, 1915, стр. 80, ц. 30 коп. -5000; изд. 3-е, Гиз, М. 1922, стр. 80, с илл.— 10 000; изд. 11-е, 1928—15 000 (всего 440тыс).

70. Никитин А. И., Вторая ступень из геометрии. М. 1916 (21ХИ), стр. 143, с черт., ц. 50 коп. —3000; изд. 3-е, Гл. упр. Гиз, М. 1922, стр. 144, с илл.- 10 000; изд. 7-е, М.-Л. 1923 (21X15), стр. 127, с илл., ц. 40 коп. —60000 (всего 240 тыс.). Рец. (на обе): И. Дуб, „Вестник опытной физики“, 1916, № 652; Р., „Народное образование в Виленском уч. округе“, 1913, т. XII, стр. 702, А. Кулишер, „Русская школа“, 1915, т. IX—X, стр. 21—23; В. Фридман, „Школа и жизнь“, 1916 г., № 48, стр. 6; Гус, Сб. „Просвещение“, Пгр. 1923, т. III, стр. 301 ; А. Воронец, „Вестник просвещения“. М. 1923 г., т. V—VI, стр. 301-303; С. Анцыферов, „Просвещение на транспорте“, М. 1923 г., т. XI —XII, стр. 50; „Просвещение Донбасса“, 1923, т. X —XI, стр. 188: „Книгоноша“, 1924, № 37, стр. 13 и № 40, стр. 23.

71. Гебель В. Я., Наглядная геометрия в задачах и вопросах (составл. по А. Горнбрук). М. 1915 (24X16), вып. 1-й, стр. 119 + 4 н., с черт., ц. 50 коп. — 3 100; вып. 2-й, стр. 80, ц. 35 коп. — 2400.

Рец.: Н. Извольский, „Математический вестник“ 1915, т. V (сент.), стр. 154-159; В. Фридман, „Школа и жизнь“, 1915, № 37 и № 50, Б. Коялович, „Ж. М. Н. Пр.“, 1916, т. 1, стр. 109—111; А. Кулишер, „Русская школа“. 1917, т. IX—XII, стр. 7—11; „Техн. и коммерч. образование“, 1915, т. VII (ноябрь), стр. 47 (перепеч. рец. А. К. из газ. „Речь“).

72. Лизарев С. С, Начальный курс геометрии в двухклассных училищах. Курс 4-го отделения. „Кубанская школа“, 1916 г., т. III, стр. 155— 160; т. V, стр. 250 -256.

73. Карасев П. А., Геометрия на подвижных моделях. Изготовление и применение подвижных моделей геометрических форм. М. 1916 (22X16)» стр. 100, с рис., ц. 75 коп —2000; Гиз, М.-П. 1923, стр. 104, с илл. — и. 60 коп. — 5000; изд. 2-е, М.-Л. 1925, стр. 112, с илл. — ц. 50 коп. — 10 000. Рец.: В. Фридман, „Школа и жизнь“, 1916, № 32, стр. 12, В. Шидловский, „Пед. сборник“, 1917, т. III—IV, стр. 295—296; С. Козюлькин. „Знамя рабфака“, 1923, т. III —V, стр. 148— 149; „Просвещение Донбасса“, 1923, т. IV, стр. 105—106; Г. П., „Сборник статей по вопросам физ.-мат. наук и их преподавание“, т. I, 1924, стр. 163; „Книгоноша“, 1924, № 41, стр. 22. В. Репьев, „Физ., хим., мат. и техн. в трудовой школе“, 1929, т. I, стр. 68.

74. Трейтлейн П., Наглядная геометрия (приложение к методике). Пгр. 1916, (19X14), стр. 73, 3150.

75. Кулишер А. Р., Методика и дидактика подготовительного курса геометрии. Пособие для преподавателей. Пгр. 1917 (23X17), стр. XIX -+-256, ц. 3 р. 90 к. —1510; изд. 2-е, Пгр. 1919, стр. XXVIII+ 4 h. + 256 (ц. 18 р.); изд. 3-е, Пгр. 1923, стр. 208 + III, с илл. Б. ц.— 5000.

Ред.: С. И. Шохор-Троцкий, „Пед. мысль“, 1919 г., т. X —XII, стр. 121—126. „Книга и революция“, 1920, т. III — IV; „Сборник рецензий на методич. литературу“, М. 1929, стр. 147; Д. В. „Начальная школа“, М. 1934, II, стр. 47.

76. Орлов С. В., Первые работы по измерению земли. Руководство для трудовой школы. Гиз, М. 1921, (23X15), стр. 70—50 000, изд. М.-Л. 1926 — 35 000 (всего 140 тыс.). Рец.: Я. П., „Книга и революция“, 1922, т. XX; О. Дрожжин, „Книгоноша“, 1924, № 40, стр. 23.

77. Ягодовский К., Курс пропедевтической геометрии в общей системе школьного образования. „Естествознание в школе“, 192?, т. III — V.

78. Вольф Фр. Х., Практическая геометрия для школы I ступени. Гиз, М.-П. 1923—7000, вып. 1-й. Пособие для преподавателей, стр. 77, с черт., ц. 25 коп.. Пособие для учеников, стр. 45 + 1 н„ с черт., ц. 25 коп.; изд. 2-е, 1925-7С00. Рец.: А. И. Голубовская, „Математика в школе“, сб. 1-й, Л. 1924, стр. 83—84.

79. Кавун И. Н., Начальный курс геометрии для школ I ступени, Гиз (23X16). ч. 1-я. Курс первых четырех лет. М.-П. 1923, стр. 118 + 11» с черт., ц. 70 коп.— 25 000; изд. 2-е, Л. 1924, стр. 101 -f- II с черт., ц. 45 коп. — 50 000; ч. 2-я курс пятого года. М.-П. 1923-118, с черт., ц. 70 коп. стр. 25 000; изд. 2-е, Л. 1924, стр. 87+1 н., с 90 черт., ц. 35 коп. — 50 000.

Рец.: В. Фридман, „Книгоноша“, 1923, № 16, стр. 10; „Просвещение Донбасса“, 1923, т. X—XI, стр. 187; В. Сафронов, „Математика в школе“, сб. 1-й, Л. 1924, стр. 90—93; сб. „Вопросы преподавания математики“, Л. 1925, Д. Волковский, „Вестник просвещения“, 1925, т. II —III, стр. 259.

80. Мартин П. и Шмидт О., Геометрия дома, поля и мастерских. Перев. с нем. и предисл. В. А. Крогиуса. Гиз,М.-П. 1923,(24X16), стр. 120, ц. 45 коп. —20 000; изд. 3-е, Л. 1924, стр. 124-30 000. Рец.: Е. Отто, „Математика в школе“, сб. 1-й, Л. 1924, стр. 95—98; сб. „Вопросы преподавания математики“, 1925.

81. Шалыт Е. Г., Наглядная геометрия. Элементарный практический курс. С 233 рис. в тексте, Гиз, М.-П. 1923 (23X16), стр. 216-30 000; изд. 4-е, М.-Л. 1925 (24X16), стр. 204 + 2 н., ц. 1 р., 20 000 (всего 85 тыс.).

Рец.: А. Воронец, „Вестник просвещения“, М. 1924 г., т. I, стр. 124; „Книга о книгах“, М. 1924, т. I —II, стр. 72; В. Фридман, „Книгоноша“, 19 4, № IX, стр. 11; Н. Юхоцкая, „Отчет матем. конференции Дальневосточного университета“, 1926, март, стр. 21—23.

82. Грацианский И. И., Основные положения методики и дидактики геометрии в школе I ступени, „Математика в школе“, сб. 1-й, Л. 1924, стр. 68—76.

83. Кавун И. Н., Курс геометрии в I классе II ступени. „Математика в школе“, сб. 3-й, Л. 1925, стр. 80-106.

84. Саванов С, Когда начинать систематический курс геометрии. „Вопросы просвещения“, Иваново-Вознесенск 1924, т. II (март-апрель), стр. 63—66.

85. Тиц А., Пропедевтический курс элементарной геометрии. Гиз Украины, Одесса 1925 (24X16), стр. 81 + 3 н. + XXV таблиц чертежей, ц. 1 р. 30 к.— 5000.

86. Трейтлейн П., Наглядное обучение геометрии. Перевод, с нем. В. А. Крогиуса, с 82 чертежами в тексте и атласом чертежей. Руководство для преподавателей. Гиз, М.-Л. 1925 (24X16), стр. 89 + 1 н. + XXVIII стр. чертежей, ц. 80 коп. —7000. Рец.: „Книгоноша“, 1925, № 24, стр. 19; В и к. Сафронов, „Математика в школе, 1926 г., вып. 1-й (сб. 5-й), стр. 108—109; „Сборник рецензий на методическую литературу“, М. 1929, стр. 148; Д. В. „Начальная школа“, 1934, № И, стр. 48.

87. Карасев П. А., Элементы геометрии, изучаемые на перегибании листка бумаги. Гиз, М. П. 1923 (18X13), стр. 106, н. 50 коп. — 50ОО; изд. 2-е, 1924, п. 40 коп. - 50С0. Рец.: В.Фридман, „Книгоноша“, 1923 г., № 16, стр. 10; А. И. Голубовская, „Математика в школе“, сб. 1-й,- Л. 1924, стр. 84—86; В. Репьев, „Физ., хим., мат. и техн. в трудовой школе“, М. 1929 г., т. I, стр. 68.

88. Карасев П. А. и Попов П. И., „Сам измеряй и вычисляй“. Рабочая тетрадь по геометрии. Гиз, М.-Л, (23X18), ч. 1-я. Линейные измерения. 1926 г., стр. 60, с илл, -4- 2 листа сетки, ц. 45 коп.— 15 000; изд. 2-е, 1930—10 000, ч. 2-я. Измерение площадей, 1926, стр. 47, с илл., + 2 л. сетки, ц. 35 коп.—15 000; изд. 3-е, 1929, ц. 20 коп.— 10 000; ч. 3-я. Измерение объемов и весов, 1928, стр. 48, с илл., п. 35 коп. —10 000; изд. 2-е, 1930—10000. Реп.: В. Фридман, „Книгоноша“, 1926, т. VI, стр. 33, сб. „Аннотации “, М.-Л. 1928, стр. 35.

89. Головин Н., Геометрия в школе I ступени и практические работы по землемерию. „Метод, путеводитель“, М. 1927, т. IV, стр. 22—25.

90. Кавун И. Н., Начальная геометрия. Материалы для школьной работы учителя. Гиз, М.-Л. 1928 (20X13), стр. 131, с илл., ц. 1 р. 4000.

91. Афанасьева-Эренфест Т. ,Как начинать обучение геометрии. „Физ., хим., мат. и техн. в трудовой школе“, i929 г., т. VIII, стр. 66—72; 1931 г., т. I, стр. 68-77.

92. Свеницкий В. и Михеев С, Геометрия в поле. Гиз, М.-Л. 1929 г. (23X15), стр. 39, с черт., ц. 40 коп,—30С0 (печаталось в журнале „Военное дело“). „Вопросы просвещения на Сев. Кавказе“, 1929 г., т. III, стр. 48.

93. Белянин, Как начать проработку измерения площадей в III группе I ступени, ,3а ком. просвещение“, М. 1932 г.,

94. Петров М. — Прямолинейные фигуры (пятый год обучения). ,За ком. воспитание“. М. 1932, т. X - XI, стр. 49-50.

95. Лебедев П., Окружность и круг. „Сборник метод, статей по математике“, ЛООНО 1933 г., стр. 40-48.

95. Головин Н., Урок по математике (нахождение площади неправильных прямолинейных фигур) в IV группе, „Народный учитель“, 1933, т. IV, стр. 71—74.

97. Васильев Н., Методическая разработка двух уроков по геометрии на третьем году обучения по теме „Прямоугольник“, „Культфронт ЦЧО“, Воронеж 1933 г., № 17-18 (сентябрь), стр. 23-26.

98. Я шанин И., Геометрия в школе I ступени (методы преподавания). „Горьковский просвещенец“, 1933 г., IX-X, стр. 23 27.

99. Лебедев П., Урок „Виды треугольников“ (IV класс), „В помощь учителю“.

100. Гурвиц Ю. и Гангнус Р., Начальные сведения по геометрии. Учебник для средней школы, пятый год обучения. Утвержден коллегией Наркомпроса РСФСР. Учпедгиз, М. 1933 (20X14), стр. 64, с илл., ц. 55 коп., 500 000; изд. 2-е, М. 1934, ц. 30 коп., 175 000. Рец.: Е. Березанская и М. Дейнеко, „Критико-библиографич, бюллетень“ Уч. пед. лит., М. 1933 г., т. VIII, стр. 10—11.

101. Загоскина Е., Площади прямолинейных фигур, „Математика и физика в средней школе“, М. 1934 г., т. I, стр. 66-69.

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

1. Гольденберг А. И. — Соотношение между сторонами правильных пяти-, шести- и десятиугольников, вписанных в окружность. „Мат. листок“, I, М. 1879, II, стр. 41—42.

2. Жбиковский А. К. — Некоторые теоремы о правильных многоугольниках. „Сборы, протоколов Общества естеств. при Казанском университете-, т II, 1881, стр. 40—43.

3. Грузинцев А. П. —Распространение способов Абул-Джуда для определения сторон правильных вписанных многоугольников, „Сообщения и протоколы Харьковского мат. общества“, 1884, I, стр. 37—40.

4. Гольденберг А. И. — Вычисление стороны правильного многоугольника в зависимости от стороны многоугольника, имеющего вдвое меньшее число сторон“, ,Пед. сборн.“, Спб 1886, VII, стр. 129—131. Рец.: „Вестник оп. физики и элем, математ.“ 1836, сем. I, № 7, стр. 156—157.

5. Коваржик Ф. — Построение правильных многоугольников по данной стороне, Вестник оп. физики и элем, математ.“ 1888, сем. V, № 52, стр. 83—86.

6. Коваржик Ф. — О делении окружности на равные части, „Вестник оп. физики и элем, математ.“ 1888, сем. IV, № 40, стр. 77—85.

7. Полтавцев В. — О делении окружности на 15 и на 17 равных частей, Вестник оп. физики и элем, математ.“ 1889, сем. VI, №72, стр. 246—257.

8. Шенрок И. — Простой прием вычисления площадей правильных 2л-угольников, вписанных в круг, „Гимназия“, Ревель 18S0, XII, стр. 715.

9. К. — Определение стороны правильного вписанного пятиугольника, „Вестник оп. физики и элем, математ.“ 1891, сем. XI, стр. 40.

10. Пфейфер Э.— О соотношении сторон правильных вписанных в круг многоугольников, „Вестник оп. физики и элем, математ.“ 18:23, сем. XIV, № 162, стр. 124-127.

11. С. Л — Построение правильного семиугольника по данной стороне, „Вестник оп.физики и элем, математ.“ 1895, сем. XVIII, № 206, стр. 43—44.

12. В. Г. — О правильном пятнадцатиугольнике (по статье Vincenc'a Iarolimek'à), „Вестник оп. физики и элем, математ.“ 1898, сем. XXII, № 264, стр. 314—315.

13. Построение правильного пятиугольника по данной стороне, „Вестник оп. физики и элем, математ.“ 1901, № 300, стр. 282.

14. М. В. — Доказательство известной теоремы из теории пределов (разность площадей описанных и вписанных одноименных правильных многоугольников), „Вестник оп. физики и элем, математ.“ 1903, № 344, стр. 187—188.

15. Флоров П. — Зависимость между периметрами правильных многоугольников и вычисление я. „Тема для учащихся“, „Вестник оп. физики и элем, математ.“ 1903, № 344, стр. 182—183.

16. Дмитровский А. А. — Об изменении периметров правильных вписанных и описанных многоугольников при увеличении числа сторон на единицу, „Вестник оп. физики и элем, математ.“ 1905, № 385, стр. 13—15.

17. Каценельсон Б. — Способ приближенного построения стороны правильного вписанного 15-угольника, „Вестник оп. физики и элем, математ.“ 1906, № 385, стр. 20.

18. Вебер Г. — Деление окружности на равные части. Перев. с нем. „Вестник оп. физики и элем, математ.“ 1905, № 416, стр. 180—188 и № 417.

19. Калбугин К., Способ вычисления диагонали пятиугольника „Записки мат. кружка при Оренбургском реальном училище“, 19С6, январь.

20. Построение правильного 17-угольникэ, „Вестник оп. физики и элем, математ.“ 1906, № 430, стр. 225—231; № 431—432, стр. 250—262.

21. Отчет о работах на тему для учащихся: „Зависимость между периметрами правильных многоугольников и вычисление тс“, „Вестник оп. физики и элем, математ.“ 1907, № 433, стр. 12—18; № 434, стр. 40—44.

22. Беляевский А.— Ячейка пчелиного сота с точки зрения математики, „Пчеловод, жизнь“, т. IV, Вятка 1909, стр. 804—809.

23. Григорьев Е. — К делению окружности на 6 равных частей, „Вестник оп. физики и элем, математ“. 1909, № 472, стр. 368—369.

24. Пламеневский И. И. — Деление окружности на равные части и определение сторон правильных вписанных многоугольников, „Физ.-мат. сборник“, изд. Управления Кавказского учебного округа, III, Тифлис 1910, стр. 68—79.

25. Гагге К, — Построение правильного 17-угольника, „Вестник оп. физики и элем, математ.“ 1911, № 536, стр. 193—199.

26. Томашевич Е. С. — О периметрах и площадях правильных мноугольников, вписанных в круг и описанных около него, „Мат. образ.“ М. 1913, V.

27. Дмитровский А. А. — Заметка по поводу ст. Е. С. Томашевича (см. № 25), „Мат. образ.“ М. 1913, VII (ноябрь), стр. 336.

Ж Свешников Г. — Формула Эйлера для правильных многоугольников, „Мат. образ.“, 1913, II, стр. 63—64.

29. Соллертинский В. — Заметка по поводу ст. Свешникова, „Мат. образ.“, 1913, IV, стр. 160—162.

30. Н. А. и Любжинский — Соотношение между сторонами описанных около круга многоугольников о л и 2 л сторонах, „Мат. листок“, 1915, IX (декабрь), стр. 126-128.

31. Зететль С. И. — О построении некоторых правильных многоугольников, „Известия Уральского университета“, т. II, Свердловск 1922—1923, стр. 105—203 + 2 табл.

32 Чистяков И. И., К отделу о правильных многоугольниках, „Мат. образ.“, М. 1928, I, стр. 33-36.

33. Гельбак Г. — Элементарнейшее вычисление стороны девятиугольника. Доступно всякому, знакомому с первыми главами начальной геометрии. Изд. П. Сойкина, Л. 1925 (22X 15), стр. 15, с черт., ц. 30 коп. —1000.

34. Трубин Ф. Г. — Общий вывод сторон правильных многоугольников векториальным способом, Пермь 1928 (23X 13), стр. 16 с черт., литограф.

35. Чистяков И. И. — К отделу о правильных многоугольниках, „Мат. образ.“ М. 1928, I, стр. 33—36.

36. Дмитровский А. А. — Приближенные построения правильного девятиугольника и радиана, „Мат. образ.“, М. 1928, III, стр. 128—132.

37. Костриц Б. — Нахождение стороны правильного девятиугольника. „Физика, химия, математ. и техника в трудовой школе“, М. 1928, V, стр. 113-119.

38. Сагалович Г.— Правильные многоугольники, „Физика, химия, математ. и техника в трудовой школе', М. 1929, III, стр. 62—64.

39. Доброгай Н. И. — О площади правильного 12-угольника, „Мат. образ.“, М. 1930, VII— VIII, стр. 228—230.

40. Адамович С. — Две теоремы о правильных многоугольниках, „Мат. образ.“, М. 1930, I, стр. 29-30.

41. Стратилатов П. — К вопросу построения правильных многоугольников, „Физика, химия, математ. и техника в сов. школе“, М. 1932, I, стр. 53-56; III, стр. 69—70.

КУРС АРИФМЕТИКИ П. Филипп и Доши. Для пользования: а) в профессиональных школах и б) в практических, коммерческих и промышленных школах. Третье улучшенное издание, 1929 г. „Библиотека технического обучения“, Париж, улица Бонапарта 92.

Как видно из заглавия, учебник предназначается не для общеобразовательных школ, а для технических средне-учебных заведений. Этот же учебник рекомендован во Франции и для так называемых „высших“ классов во „вторичной“ системе образования. Эти „высшие“ классы „вторичной“ системы соответствуют приблизительно бывшим ранее в России реальным гимназиям и торгово-промышленным школам. Школы этого типа во Франции разделены, начиная со второго года обучения, на ряд специальных отделений: общеобразовательное, коммерческое, промышленное и т. д. Эти же школы „вторичной“ системы поставляют: основные кадры учащихся в высшие учебные заведения во Франции. Специализация в старших классах не мешает этим школам сохранять в основном характер классических средне-учебных заведений, с сохранением преподавания латинского и греческого языков.

Учебник обнимает на 432 страницах полный и подробный курс арифметики, начиная от первичного определения числа и кончая главой о применении арифметики в правилах вычисления процентов, учета, исчисления налогов, в страховом деле, в сплавах и смесях. В курс входят простые числа, дроби (простые и десятичные), отношения пропорции и пропорциональные величины. Специальная глава посвящена единицам мер, времени, весов, электричества, температуры и т. д. При изложении единиц пространства даны основные геометрические правила по вычислению площадей и объемов.

Учебник, удовлетворяя полностью требованиям к теоретическому усвоению арифметики, в то же время является прекрасным опытом постановки практического, применительно к окружающей жизни, преподавания математики. Составители пользуются буквально каждым случаем, чтобы указать практическое применение каждой новой теоремы или правила.

Так, например, непосредственно перед дачей новых определений в каждом разделе дается сначала практический пример, иллюстрирующий следующие за ним определения. После каждого раздела дается особая глава, указывающая порядок и практические правила быстрого применения пройденных теорем на практике.

Расположение материала сделано со свойственной французской науке логичностью и последовательностью. Возведение в степень соединено с умножением и даже не выделено в самостоятельную главу, а преподается как часть умножения. Извлечение корня следует непосредственно за главой о наибольшем и наименьшем общем делителе и т. д.

Наиболее ярко практический уклон учебника проявляется в задачах, занимающих более 130 страниц Есего учебника. Задачи заканчивают собой каждый раздел и составлены с применением правил всех предшествующих разделов. Девять десятых этих задач приспособлено к тем требованиям , которые практическая работа в любой профессии может предъявить учащимся. При этом условия и данные задачи взяты не „с потолка“, а соответствуют действительно существующим в жизни соотношениям и нормам. Даже в самом начале, после главы о сложении простых чисел, даны задачи об определении мировой продукции нефти по данным о ее добыче в разных странах, об определении веса общей загрузки мартеновской печи, по данным о весе отдельных материалов, входящих в эту нагрузку и т. д. Особенно часты задачи на всякого рода вычисления в равных отраслях промышленности и техники.

Все это, вместе с ясностью и простотой изложения, делает учебник весьма интересным для наших педагогов.

Г. И. Килачицкий

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ. П. Филипп и Ф. Доши. Для пользования: а) в профессиональных школах, б) в практических, коммерческих и промышленных школах и в) в высших классах „первичной“ системы образования. Третье просмотренное и улучшенное издание 1933 г. „Библиотека технического обучения“, Париж, улица Бонапарта 92,

Настоящий учебник алгебры отражает типичные черты того практического уклона, который существует в профессиональных и технических школах и в школах „первичной- ступени. В „Официальной программе по изучению алгебры в практических, коммерческих и промышленных школах“, опубликованной министерством просвещения 28 августа 1909 г., указано:

„Целью изучения алгебры является — позволить учащимся понять и применять формулы, с которыми они встретятся при прохождении курса механики, технологии, электричества и т. д., и позже,— в практической работе. Как результат этого изучение теории должно быть сведено к минимуму, необходимому для понимания текущих операций, В выборе примеров и упражнений, предлагаемых учащимся, преподаватель должен руководствоваться необходимостью практического применения приобретенных знаний“.

В соответствии с изложенным настоящий курс алгебры весьма сжат. Поэтому-то он рекомендуется также и для пользования в школах „первичной“ системы, преследующих, по существу своему, ту же практическую цель: дать грамотных работников и техников для мастерских и цехов.

Логическим выводом из изложенного явилось сокращение целого ряда отделов, обычно довольно развитых в наших учебниках алгебры. Так, например, весьма поверхностно и кратко изложена теория извлечения корней, иррациональных выражений, теория функций и отношений. Зато дано полное и ясное описание счетной линейки. Главный упор учебник делает на усвоение основных операций с алгебраическими выражениями и на решение уравнений 1-й и 2-й степени.

Некоторый интерес представляет последовательность изложения во второй части. Сейчас же после уравнений 2-й степени с одним неизвестным идет изложение прогрессий, затем логарифмов и далее следуют: заметки об изменениях линейного двучлена степени, заметки об алгебраических функциях и теория сложных процентов.

В общем — хороший образец сокращенного, сжатого и практического курса по алгебре.

Г. И. Килачицкий

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО АРИФМЕТИКЕ С ИХ РЕШЕНИЯМИ. П. Филипп и Ф. Доши. Для пользования: а) в профессиональных школах и б) в практических, коммерческих и промышленных и колах.

Издание 1924 г. „Библиотека технического обучения“, Париж, улица Бонапарта 92.

Задачник является приложением к полному курсу арифметики тех же авторов (см. рецензию на этот учебник) и служит тем же целям. Стремление дать учащемуся возможность научиться применять в житейской и профессиональной практике правила арифметики нашло в этом задачнике свое полное осуществление. Примеры взяты прямо из производственного процесса многочисленных отраслей техники: по электричеству, ткацкому делу, машинному делу, добыче угля, нефти и целого ряда отдельных ремесл.

Авторы отказались от метода дачи готовых решений, в виде добавочной таблицы в конце задачника: после каждой задачи тут же дается не только ее решение, но и изложение самого метода ее решения.

Задачник разбит на те же разделы, что и основной учебник.

При существующем у нас уклоне к политехнизации учебных заведений ознакомление с этим задачником могло бы быть весьма полезным и для наших педагогов и для наших составителей задачников. Г. И. Килачицкий

ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ ФИЗИКУ. Я. М. Перельман. ГТТИ 1934 г., ц. 2 р. 80 к.

Заслуги Перельмана в области популяризации знаний по физике общеизвестны. Его новая книга продолжает то же дело. Как указано в предисловии, она „предназначается для читателя, который прошел физику в средней школе и полагает поэтому, что начала этой науки ему известны и переизвестны“. Цель автора — разубедить читателя в таком самомнении и вместе с тем показать, что „область элементарной физики гораздо богаче содержанием, чем многие думают“. С этой целью читателю предлагается ряд вопросов, нечто вроде „физической викторины4“. Вопросы снабжены более или менее детальными ответами.

Книга написана с обычным для Перельмана мастерством и содержит много нового материала.

Недостатком книги является некоторая случайность в подборе материала. Почти отсутствуют вопросы из области электричества, которое могло бы дать весьма много интересного материала. С другой стороны, некоторые вопросы явно выходят из рамок элементарной физики (например вопросы, касающиеся теории относительности). Вряд ли стоит включать их сюда.

Ввиду того, что книга, несомненно, заслуживает распространения и получит его, полезно будет разобрать мелкие недостатки, которые в ней имеются.

Вопрос 8. Автор спрашивает: „Может ли насекомое производить давление в 100 000 ат“. и в ответе указывает, что оса при укусе оказывает более сильное давление.

Вопрос этот подобен вопросу: можно ли натянуть нитку с силой в 1000 т? Очевидно, нельзя, так как нить оборвется при меньшей силе. По той же причине ни насекомое, ни кто другой не могут оказать одностороннее давление, большее разрушающего давления. Все известные вещества разрушатся ранее, чем будет достигнуто давление в 100 000 ат.

Вопросы 12 и 13. Напрасно автор протестует против общепринятого убеждения в невозможности изменить движение тела одними только внутренними силами. Пример с ракетой совершенно неубедителен: газы, выбрасываемые ракетой, являются для нее, конечно, внешним телом, а не частью ракеты.

Вопрос 14. В ответе сказано: „Безусловно правильно, что трение не может быть непосредственной причиной движения“. Это вовсе не безусловно. А фрикционные передачи?

Вопрос 17. „Всякая сила имеет два конца“. Совершенно недопустимое выражение.

Вопрос 20. При втором из указанных способов двигать лодку (посредством воздушной струи, действующей на лопатки колеса, вращающего гребной винт) лодка тоже придет в движение, так как к. п. д. колеса и винта не может быть равен 100о/0.

Вопрос 23. Утверждение автора, что при замедленном движении маятника Максвелла вверх чашка весов, к которой он подвешен, опускается,— неверно. В этом случае она тоже поднимается: ускорение имеет то же направление, как и при опускании маятник?, т. е. вниз.

Вопрос 25. Рассуждения автора относительно причины отклонения пламени, движущегося за экраном, в сторону экрана, т. е. вперед, неубедительны. Дело ведь осложняется вихревыми движениями воздуха, возникающими при движении экрана.

Вопрос 29. Необходимо указать, что человек должен стоять на расстоянии длины платформы от ее левого края.

Вопрос 34. Смысл наливания в фальшивые кости свинца все же есть. Он заключается в том,

что кость с налитым свинцом имеет больше шансов упасть на ближнюю к центру тяжести грань, так как, ударившись о ребро, она, несомненно, повалится на эту грань.

Вопрос 48. Задача о показании безмена, к которому привешен блок с нитью, соединенной с грузами в 2 кг и 1 кг, решена неверно. Сила натяжения нити, равная 2mim2 ^ равна в данном случае 1 i- кг, а показание безмена 2 — кг.

Вопрос 52. „Качель есть физический маятник, длиной которого следует считать расстояние от точки привеса до центра тяжести качающегося груза“. Необходимо оговорить неточность в этом определении.

Вопрос 64. Нельзя утверждать, что „свободно падающая капля невесома“. Ведь она падает равномерно.

Вопрос 108. Одна стомиллиардная атмосферы не самый низкий вакуум, а такой, который еще может быть надежно измерен. Современные насосы могут дать еще большие разрежения.

Вопрос 109. В дополнение к приведенным автором цифрам состава разреженного воздуха интересно было бы указать, почему процентные отношения составных частей воздуха при низких давлениях отличны от отношений при атмосферном давлении.

Вопрос 110. Объяснение верхнего предела атмосферы может вызвать недоумение. Ведь не летят же молекулы снизу вверх без всяких столкновений до высоты 600 км1

Вопрос 122. Расчет силы, не дающей железному стержню расшириться при нагревании, неточен. Не принято во внимание изменение поперечных размеров.

Вопрос 125. Из ответа можно вывести не соответствующее действительности заключение, что слой снега в 1 см толщиной лучше держит тепло, чем деревянная доска такой же толщины. А конвекция?

Вопрос 126. Теплопроводность меди в 7,5 раз больше теплопроводности чугуна, а не наоборот.

Вопрос 127. Маляры не замазывают второй рамы не затем, чтобы увеличить тепловую изоляцию, а для того, чтобы наружное стекло не покрывалось инеем. Это, повидимому, ведет к цели.

Вопрос 131. Автор, полемизируя с учебником технической физики Лоренца в отношении охлаждения поднимающегося атмосферного воздуха, дает свое объяснение, являющееся только перефразировкой объяснения Лоренца. Расчет дает для температурного градиента в тропосфере, как известно, выражение —î—, где J — механический эквивалент тепла, т. е. именно то, что указывает Лоренц. Физический смысл этого таков: скорость молекул воздуха при поднятии в поле тяжести убывает, и легко видеть, что квадрат средней квадратичной скорости, определяющий температуру воздуха изменяется, пропорционально высоте поднятия.

Вопрос 134. Температура гвоздя, даже целиком умещающегося в пламени, не будет равна температуре пламени. Она всегда будет ниже температуры пламени вследствие разницы в коэфициентах поглощения.

Вопрос 136. Удельная теплоемкость водяного пара заметно меняется с температурой, и это надо было бы подчеркнуть.

Вопрос 148. Завод сухого льда находится в Москве.

Вопрос 155. Автор указывает, что термометр показывает температуру воздуха независимо от наличия ветра. Следовало бы добавить, что, теоретически говоря, температура воздуха перед термометром несколько выше, а сзади его — несколько ниже указываемой им температуры.

Вопрос 165. Надо пояснить, о каком именно давлении звуковых волн идет речь (волновом или максимальном).

Вопрос 183. На рисунке 113 исправить: „От Солнца“, а не „К Солнцу“.

Вопрос 189. Автор указывает, что одной из причин выбора красного цвета для сигналов является большая чувствительность глаза к красному цвету, чем к синему или зеленому. Это неверно: глаз больше чувствителен к зеленому, чем красному цвету.

Вопрос 194. Объясняя, почему на экваторе теплее, чем на полюсе, автор не упоминает о различной длине пути лучей Солнца в земной атмосфере вблизи экватора, что играет большую роль.

Вопрос 193. Кроме перминвара (названного ошибочно пермиваром)существует еще целый | яд сплавов, обладающих гораздо большей магнитной проницаемостью, чем перминвар (например пермаллой).

Вопрос 209. „Сила тока в осветительной сети достигает 0,5 ампера,— но только до тех пор, пока в цепь не включилось человеческое тело. Включение последнего значительно понижает силу тока“. Чрезвычайно небрежно отредактированный текст. Что это значит? Где сила тока достигает 0,5 ампера? В сети или в лампочке? Если даже в последней, то почему так мало. И что такое значит „включение человеческого тела в цепь“. Какую? Вообще, если бы это писал не Перельман, то можно было бы заподозрить автора в безграмотности в отношении основных понятий об электричестве.

Вопрос 211. Вряд ли можно утверждать, что „чистая вода, падая на камень, не оставляет на его поверхности ни малейшего следа, сколько бы

Лет или тысячелетий ни длился такой процесс“. Ведь никто тысячелетних опытов не производил.

Вопрос 212. Объяснение назначения „Дубинушки“ при подъеме „бабы“ как своеобразного приема охраны труда вызывает большие сомнения.

Вопрос 229. Автор спрашивает, где молекулы движутся скорее: в водяном паре, в жидкой воде или во льду, если температура их всех 0° С? Ответ гласит, что скорости молекул всюду одинаковы, замечая в скобках, что точнее можно говорить лишь о равенстве кинетических энергий, так как молекулы воды, водяного пара и льда не тождественны. Это последнее правильное замечание лишает смысла самый вопрос.

Вопрос 231. Относительно самых низких достигнутых температур. Де-Гааз в Лейдене достиг в 1933 г. температуры 0,035 К (см. „Успехи физических наук“, т. XIV, вып. 1-й).

Вопрос 232. В ответе указано, что длина свободного пробега молекул уменьшается при повышении температуры. Это неверно. Длина свободного пробега от температуры зависит мало, и, согласно Сезерланду; при повышении температуры увеличивается. Д. Сахаров

„СПРАВОЧНЫЕ ТАБЛИЦЫ ПО ФИЗИКЕ“ Проф. А.И. Бачинский и К. А. Путилов. Изд. 2-е, переработанное, Учпедгиз, М. 1934 г., 106 стр., цена 1 р. 10 к., в переплете 1 р. 70 к.

Книга содержит 165 таблиц.

Из них:

Математические.........16

Данные астрономии и геофизики . 16

Меры..............38

Универсальные постоянные .... 13

Плотность и тепловое расширение 11

Сжимаемость жидкостей, поверхностное натяжение, поглощение газов водою..............4

Упругость, прочность, трение ... 10

Теплота ............. 28

Акустика............7

Оптика.............6

Электричество..........12

Молекулы и атомы...... 1

Из химии............2

Из истории науки........1

Как видно из таблиц, в них главное внимание уделено мерам —38 таблиц.

Все хорошо знают, что в школьной физике меры являются самым больным вопросом, поэтому отведение им столь значительного места надо признать весьма уместным.

Таблицы эти составлены весьма рационально. В них даны полностью все три системы мер систематически, и кроме того, для каждой физической величины даны все меры со взаимным переводом. Есть сравнительные таблицы метрических мер со старыми русскими и иностранными мерами.

Несмотря на сравнительно малое число таблиц, отведенных остальным вопросам, все существенно нужное имеется.

Приучение ребят со школьной скамьи к использованию справочников является весьма важной задачей. Рассматриваемый справочник — единственнный подходящий, могущий полностью обслужить среднюю школу и в значительной мере— высшую.

Несомненно, все таблицы по своему содержанию вполне доступны учащимся.

В виду того, что эта книжка, весьма тщательно проверенная и проредактированная, несомненно нужна школе, ее придется скоро переиздавать.

В предвидении этого укажем на вкравшуюся неточность выражения, принятую в технических книгах, но нежелательную в книге, предназначенной для школы.

В таблице 28 читаем: „Мировые запасы водяных сил • . . составляют . • . лошадиных сил“ и: „Запасы гидравлической энергии . . . составляют . . . лошадиных сил“.

И в первой и во второй фразах речь идет о мощности, что и следует подчеркнуть.

Кроме того для последующего издания следует выразить такие пожелания:

1. В таблице 46 дать еще раз определение, чго такое герц.

2. Таблицы 118 и 129 продолжить до критической температуры дав, хотя бы приблизительные* данные.

3. Дать дополнительно таблицы:

а) мощность живых двигателей;

б) скорость различных движений.

А. Павша

* Насколько нам известно, точных данных для этого интервала температур нет.

ЗАДАЧИ

1. Показать, что всякое нечетное число и половина следующего за ним числа суть числа взаимно-простые.

2. Найти число, кратное 2, 3 и 7, и имеющее 42 делителя.

3. Показать, что число 740 — 1 делится на 3300.

4. Определить, какое из чисел

(л-з+1) и (х* + х)

будет более при действительных значениях х.

5. Доказать неравенство:

6. Найти значение коэфициентов р и q в трехчлене а:4 + рх* + q, зная, что он делится на трехчлен а2 + 2х -f- 5 и выразить частное.

7. Решить уравнение:

8. Показать, что если а, Ь, с — стороны треугольника, то трехчлен второй степени

всегда имеет положительное значение.

9. Определить, при каком значении m корни биквадратного уравнения:

^i__(3/n + 5)^2 + (/n-f- 1)2 = 0,

составляют арифметическую прогрессию.

10. Решить уравнение:

лз — ЗаЬх + дз + Ь* = 0.

11. Из медиан данного треугольника строят треугольник, из медиан полученного треугольника — новый треугольник и т. д. до бесконечности. Зная, что площадь первого треугольника «S, найти предел суммы площадей всех полученных треугольников.

12. В данный круг вписать четырехугольник по двум данным противоположным сторонам и сумме двух остальных сторон.

13. Две стороны треугольника равны 9 и 10 -и, а радиус вписанного в него круга 2 м. Найти третью сторону.

14. В данный треугольник со сторонами а, Ь, с, вписать равносторонний треугольник так, чтобы вершина его лежала на основании Ь, и вычислить его площадь.

15. Решить уравнение:

tg22* + tg*.*=10.

16. Найти угол между диагоналями правильной четырехугольной призмы, боковая поверхность которой составляет половину полной.

17. Найти отношение сторон треугольника, если они составляют арифметическую прогрессию, причем наибольший угол превосходит наименьшим на 60°.

18. Доказать равенство:

Редакционная коллегия: И. К. Андронов, А. Н. Барсуков, Е. С. Березанская, А. Н. Зильберман, А. Г. Калашников, В. Н. Молодший, П. И. Попов, Н. П. Суворов, И. И. Чистяков.

Отв. ред. А. Н. Барсуков, отв. секр. В. Н. Молодший. Тех. редактор Г. Симановский.

Адрес редакции: Москва, Орликов, 3, Учпедгиз, периодсектор.

Сдано в производство 29/X 1934 г. Подписано к печати 8/11 1935 г.

Учгиз № 6527. Объем 9'/* п. л., Bln. л. 78 0U0 зн. бумага 72X1°^. Зач. 4732

Тираж 16 300.

Уполномоченный Главлита № Б-1 51

1-я Образцовая типография Огиза РСФСР треста „Полиграфкнига“. Москва, Валовая, 23.

Цена 1 p.

УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ И ЗДАТЕЛЬСТВО

МАТЕМАТИКА и ФИЗИКА

в средней школе

Отв. редактор А. БАРСУКОВ

ЗАДАЧИ СБОРНИКА —помощь преподавателю средней школы в педагогической работе и в повышении его теоретического и методического уровня.

В СБОРНИКЕ БУДУТ ПОМЕЩАТЬСЯ: научные и научно-популярные статьи по актуальным вопросам математики, физики, астрономии, а также статьи по истории этих наук. Вопросы общей и частных методик. Из школьной практики. Преподавание математики, физики и астрономии за границей. Критика и библиография. Педагогическая консультация. Задачи для педагогов и учащихся средней школы.

СБОРНИК РАССЧИТАН на преподавателей математики, физики и астрономии в средней школе, но является также пособием и для студентов педвузов.

6 сборников в год. Подписная цена на год —6 р

Подписка на все сборники принимается всеми отделениями магазинами, киосками и уполномоченными КОГИЗа, на почте и в главной конторе подписных и периодических изданий КОГИЗа, Москва, Маросейка, 7.