УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ СБОРНИК

3

1934

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

МАТЕМАТИКА и ФИЗИКА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ СБОРНИК

№ 3

1934

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

ОГЛАВЛЕНИЕ

Научный и научно-популярный отдел

Доц. В. Молодший — II Всесоюзный математический съезд........... 3

Проф. И. Чистяков — О новейших исследованиях в области древнейшей истории математики (окончание) ............................ 8

И. Кастровицкий — Общие признаки делимости................ 14

Проф. П. Белоновский — О рациональных треугольниках............ 20

Доц. С. Зеттель — Теорема Жергона и следствия из нее............ 28

Ч. Домбровский Приложение метода функциональных шкал к решению треугольника по трем биссектрисам внутренних углов................. 30

Проф. С. Поляков — Доказательство теоремы Паппа-Гульдена методом неделимых 31

Профи Б. Воронцов-Вельяминов — Космос и развитие физики.......... 35

В. Фурдуев — Запись звука в звуковом кино................. 42

Н. Львов — Измерение звездных расстояний.................. 49

Частная методика

Д. Волковский — Зависимость между членами арифметических действий ... 60

П. Сапунов — Решение задач методом составления уравнения с одним неизвестным .................................... 72

И. Островский, — Метод составления уравнений первой степени с одним неизвестным.................................... 76

П. Сапунов — Извлечение квадратного корня из многочленов как метод разложения многочленов на множители и решения уравнений.............. 84

B. Антропов — О кологарифме........................ 86

Г. Ключарев — К вопросу о выводе формул сложения и вычитания углов, основанном на рассмотрении площадей........................ 87

П. Ромадин и А. Диденко — Методические разработки темы „Законы Ньютона" для VIII класса средней школы........................ 88

C. Прокофьев — Определение скорости вращения при помощи камертона. ... 101

С. Прокофьев — Демонстрация геометрического сложения количеств движения при помощи струек жидкости......................... 102

А. Белогорский — Определение коэфициента поверхностного натяжения..... 103

А. Белогорский — Некоторые явления, наблюдаемые во время кипения под уменьшенным давлением.............................. 105

И. Сутчев — Стробоскопический способ определения частоты колебания струны. 106

Н. Плешков — Определение длины световой волны с помощью проволочной сетки 116

Б. Флоринский — Демонстрационный фотоэлемент............... 117

Мирошниченко — Вентильный выпрямитель Гретца............... 120

Из опыта школы

Ф. Циглер — Элементы истории математики в средней школе.......... 122

Критика и библиография

С. Чуканцев —О четырехзначных математических таблицах Брадиса....... 129

A. Белогорский — Бракоделы за работой.................... 132

Н. Л. Книги по астрономии.......................... 134

B. М, — Книги по математике......................... 135

Солев — Диапозитивные фильмы в помощь преподавателю физики....... 136

Задачи................................. 138

НАУЧНЫЙ И НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

II ВСЕСОЮЗНЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СЪЕЗД

Доц. В. МОЛОДШИЙ (Москва)

В июне текущего года, с 24-го по 30-е включительно, в Ленинграде работал II Всесоюзный математический съезд.

Прежде чем кратко осветить работу съезда, нелишне напомнить, с чем пришли наши математики к съезду — это поможет яснее представить его значение.

В дореволюционной России были крупные, даже гениальные математики. Работы Лобачевского, Чебышева, Ляпунова, Маркова, Золотарева, Стеклова и других хорошо известны математикам почти всего мира. Но если оставить в стороне изолированного в работе гениального творца гиперболической геометрии Лобачевского, то, несомненно, самым крупным представителем дореволюционной математической мысли в России был Чебышев. Созданная им математическая школа с успехом разрабатывала актуальные проблемы классического анализа и теории вероятностей. Чебышевское направление и после Октябрьской революции занимало и занимает одно из первых мест в работе математиков Советского союза; оно актуально благодаря глубоким связям его тематики с приложениями математики в самой широком смысле этого слова.

Как ни блестящи работы названных математиков, однако за исключением работ школы Чебышева они представляли продукцию порой гениальных, но все же одиночных взлетов мысли. Ничто не дает нам права сказать, что в дореволюционной России велась непрерывная и интенсивная работа почти во всех областях математики. Математика дореволюционной России никогда не занимала одного из первых мест в мировой математике.

Октябрьская революция создала необходимую базу для планомерного и интенсивного развития всех областей математики в нашей стране. Бурный рост социалистического строительства в Советском союзе, успешно выполняющем под руководством Всесоюзной коммунистической партии и ее вождя т. Сталина план построения бесклассового социалистического общества, нашел яркое отражение и в нынешнем состоянии научно-исследовательской работы в области математики.

За последние четыре года, протекшие после I Всесоюзного съезда1, математика в СССР достигла значительных успехов.

В настоящее время у нас основная научная работа по математике сосредоточена в 10 научных институтах и некоторых математических факультетах университетов. Каждый из научно-исследовательских математических институтов ведет исследовательскую работу согласно тщательно разработанному плану, в котором всемерно учитываются запросы социалистического строительства. Хотя планирование исследовательской работы по математике имеет еще целый ряд недостатков, однако оно дало уже много положительных результатов, показав, что советская математика плодотворно перерастает организационные формы и методологические принципы буржуазной математики. Охват математических дисциплин, в области которых работают математики научно-исследовательских институтов Союза, в целом неизмеримо шире, чем в дореволюционной России. По этой причине не совсем удобно говорить, скажем, о московской или ленинградской математических школах, без указания на имеющиеся в них подразделения работы. Москва и Ленинград являются центрами самых разнообразных математических школ. Например, Московский научно-исследовательский институт математики и механики по существу представляет ассоциацию математических школ, стремящихся работать по единому плану в области: теории функций действительного переменного, топологии, теории вероятностей, теории функций комплексного переменного, многомерной диференциальной геометрии и тензорного анализа, теории чисел и т. д. Достаточно разнообразны направления работы и в других математических центрах Союза. Следует отметить, что рост научных матема-

1 Первый Всесоюзный математический съезд состоялся в Харькове в 1930 г.

тических институтов в нашей стране обусловлен главным образом количественным и качественным ростом математических кадров; достаточно сказать, что в настоящее время мы имеем свыше 200 крупных ученых, активно работающих над развитием современной математики.

Каждый из 10 наших математических институтов, а также и некоторые передовые математические факультеты являются первоклассными кузницами, где выковываются кадры молодых ученых — математиков. Как в количественном, так и в качественном отношении подготовляемые кадры значительно выше, чем в дореволюционной России.

Отметим массовый выпуск ГТТИ и издательством Академии наук СССР качественно высокой научной и учебной математической литературы1), а также работы математических обществ (Московского, Харьковского и Киевского) как в направлении научно-исследовательском, так и в направлении привлечения новых работников.

За последние годы усилилась, хотя и недостаточно, связь между математическими центрами и нашей промышленностью. Крупным фактором развития математики в СССР нужно признать всесоюзные математические съезды, которых не знала дореволюционная Россия.

За последние годы наши математики решили ряд важнейших проблем, играющих ведущую роль в мировой математике. Достаточно назвать работы акал. Виноградова, проф. Шнирельмана и Гельфонда в области теории чисел; работы по алгебре проф. Чеботарева; работы проф. Александрова, Понтрягина, Шнирельмана, Люстерника и других в области топологии; работы по анализу и математической физике акад. Чаплыгина, акад. Крылова, акад. Лузина, проф. Смирнова, Соболева и др.; работы по теории вероятностей акад. Бернштейна, проф. Колмогорова и др. Довольно полное обозрение этих работ, кончая 1932 г., читатель может найти в сборнике „Математика в СССР за XV лет“. Остановимся только на двух исключительно ярких результатах, полученных проф. Шнирельманом и проф. Гельфондом в области учения о числе, задачи которого нередко за кажущейся ясностью и простотой скрывают труднейшие проблемы.

Современник великого Эйлера Гольдбах высказал предположение, что всякое четное число может быть представлено по крайней мере одним способом в виде суммы двух абсолютно-простых чисел2). Несомненно, что это предположение, теперь называемое теоремой Гольдбаха, справедливо. Однако в течение многих десятков лет никто не мог его доказать. Бесплодные усилия крупнейших математиков подтверждали только, что за кажущейся простотой теоремы Гольдбаха скрывается проблема, по сложности, пожалуй, не уступающая проблеме Ферма. Теорема Гольдбаха не доказана и по сей час. Но первый крупный шаг к ее доказательству сделал проф. Шнирельман. В 1930 г. он доказал, что всякое четное число может быть представлено в виде суммы абсолютно простых чисел, число которых не превышает 10 0001). Например, согласно теореме проф. Шнирельмана, мы можем утверждать, что число 1000<10J0 может быть представлено в виде суммы ал +а2 + а3+... + ач, где а,, а2, а3. . ап абсолютно простые числа, а п ^ 10 000.

Всякое вещественное число а называется трансцендентным, если оно не может быть корнем никакого алгебраического уравнения с рациональными коэфициентами. Примерами трансцендентных чисел могут служить числа е и тт2). Но будут ли числа t?*, 2У2 и т. п. числами трансцендентными? В 1900 г. на II Международном математическом съезде, состоявшемся в Париже, знаменитый немецкий математик Гильберт прочел доклад о проблемах будущей математики. Седьмой по счету — из общего числа 23 — Гильберт поставил следующую проблему: будут ли числа вида а?, где а — алгебраическое число и ß — алгебраическая иррациональность, например, 2 У2 , числами трансцендентными или, по меньшей мере, иррациональными? Многие из указанных Гильбертом проблем были решены вскоре после прочтения им доклада. Седьмая проблема не получала полного решения вплоть до последнего времени. Незадолго до II математического съезда ее целиком решил проф. Гельфонд, доказав трансцендентность чисел вида а?.

Рост научных кадров, научных институтов и школ, высокое качество научной продукции, стоящей на уровне современной математики, плановость и широкий размах исследовательской работы—все это говорит за то, что математика СССР выдвинулась на одно из первых мест в мире.

1) См. „Библиография математической литературы (с 1 января 1930 г. по 1 июня 1934 г.)“, ОНТИ.

2) См. Васильев, Целое число.

1) Л. Г. Шнирельман—„Об аддитивных свойствах чисел“. Новочеркасск, 1930 г.

2) Трансцендентность числа е доказал Эрмит в 1874 г.; трансцендентность числа я удалось установить Линдеману в 1882 г. См. Ф. Клейн —„Элементарная математика с точки зрения высшей“, прим. I.

Таково основное достижение, с которым наши математики пришли к своему II съезду.

24 июня в конференц-зале Академии наук состоялось торжественное открытие II Всесоюзного математического съезда.

В почетный президиум съезда были избраны: тт. Сталин, Молотов, Калинин, Ворошилов, Киров, Каганович, Орджоникидзе, Куйбышев, Тельман, Бубнов, Затонский и Шмидт. Съезд послал приветственные телеграммы тт. Сталину, Молотову, Калинину и Кирову.

Активные участники нашей великой стройки, воодушевленные крупнейшими достижениями советской математики, делегаты II съезда писали вождю мирового пролетариата т. Сталину:

„Дорогой т. Сталин!

Второй Всесоюзный математический съезд приветствует в вашем лице гениального руководителя и вождя мирового пролетариата.

Огромные успехи нашей социалистической родины, ощущение стремительно нарастающей ее мощи, чудеса отваги и героизма ее блистательных дел наполняют нас восторгом и гордостью.

Математика Советской страны играла и продолжает играть не последнюю роль в повышении ее культуры, в укреплении ее мощи.

Ваш призыв — догнать и перегнать передовые капиталистические страны — стал действенным лозунгом для математиков, и теперь мы уверенно заявляем вам, т. Сталин, что советская математика является одним из тех участков, где этот лозунг в значительной мере уже осуществлен.

В то время как в странах зоологических расовых теорий и фашистской вакханалии идет буквальный разгром некогда больших и знаменитых математических школ и направлений — у нас мы видим небывалый расцвет математической мысли, громадный рост ее кадров и появление работ, достойных по своему значению великой нашей эпохи.

Уровень математической культуры страны есть яркое свидетельство интеллектуальной и духовной мощи ее населяющего народа и для нас — советских математиков — дело чести, доблести и геройства возвеличить нашу социалистическую родину в достойных ее творениях.

Мощь и сила СССР, величие и непобедимость его — наш священный пароль, и пусть знают наши враги, что научные и технические основы обороны нашей родины столь же неприступны и несокрушимы, сколь верны и несомненны расчеты и формулы математики“.

Съезд приветствовали: от Академии наук СССР ее президент акад. Карпинский, от Коммунистической академии — проф. Кольман, от Высшего комитета по техническому образованию — акад. Крыжановский, от Московского государственного университета — проф. Колмогоров и т. д.

Работа съезда протекала по двум направлениям: в секциях и на внесекционных заседаниях.

Съезд заслушал 14 внесекционных докладов на следующие темы:

1. Акад. И. М. Виноградова—„Задача Waring'a“.

2. Проф. П. С. Александрова — „Топология и алгебра в их взаимоотношениях“.

3. Проф. В. И. Смирнова — „Некоторые ленинградские работы в области анализа и его приложений“.

4. Проф. А. О. Гельфонда — „Теория трансцендентных чисел“.

5. Проф. Н. Г. Чеботарева — „Некоторые проблемы современной теории Galois“.

6. Проф. В. В. Степанова — „Качественные методы теории диференциальных уравнений“.

7. Проф. Л. А. Люстерника и Л. Г. Шнирельмана — „Топологические методы в применении к экстремальным задачам“.

8. Проф. Л. С. Понтрягина — „Структура непрерывных групп“.

9. Проф. М. А. Лаврентьева — „Геометрические вопросы теории функций комплексного переменного“.

10. Проф. Н. М. Гюнтера — „Интеграл Stieltjes'a в математической физике и в теории интегральных уравнений“.

11. Проф. Г. М. Мюнца—„Функциональные методы в краевых задачах“.

12. Проф. В. Н. Колмогорова—„О некоторых новых течениях в теории вероятностей“.

13. Проф. И. А. Кибеля — „Механика сжимаемой жидкости“.

Четырнадцатый доклад прочел крупный американский ученый проф. Лепшиц на тему о современных проблемах алгебраической геометрии.

Основная работа съезда проходила в восьми секциях: I секция — теория чисел и алгебра — 29 докладов; II — геометрия—34 доклада; III — топология — 15 докладов ; IV — анализ—71 доклад; V—механика и математическая физика — 36 докладов; VI — теория вероятностей —7 докладов; VII — приближенные вычисления — 16 докладов; VIII — история и философия математики —18 докладов.

Нужно отметить работы секций механики и математической физики и приближенных вычислений, имеющие непосредственное актуальное значение для социалистического строительства. В секции механики и математической

физики были прочитаны, в числе прочих, следующие доклады: А. В. Диник—„Об устойчивости круговых арок“; А. М. Пенькова — „О вибрациях крыла аэроплана“; Н. Е. Когина - „О крутильных колебаниях коленчатых валов“; Б. Б. Девисон — „О плоском установившемся движении грунтовых вод со свободной поверхностью“. В секции приближенных вычислений большинство докладов было посвящено практически важным проблемам приближенного интегрирования диференциальных уравнений и приближенного решения интегральных уравнений.

Протекшие со времени I математического съезда четыре года дали значительные сдвиги в развитии научной работы по истории и философии математики. Кадры научных работников в этих областях выросли и в количественном и в качественном отношениях. В рядах специалистов-математиков появился активный интерес к историческим и философским вопросам и к их марксистской разработке. Все эти сдвиги нашли отражение в работе секции истории и философии математики. В этой секции, в числе других, были прочитаны по философии математики следующие доклады : проф. П. С. Александров—„Означении теории множеств в современной математике“, проф. В. И. Гливенко—„Современный кризис основ математики“ ; проф. С. А. Яновская — „О так называемых определениях через „абстракцию“ и о их роли в математике“; проф. А. М. Фишер — „Проблема доказательства непротиворечивости системы геометрических аксиом“; проф. А. А. Холщевников — „Проблема континуума“; проф. Жегалкин — „О проблеме разрешимости (Entscheidungsproblem) в Brouwer'овской логике предложений“; доц. В. Н. Молодший—„О происхождении и значении аксиом геометрии“. По истории математики прочли доклады: проф. М. Я. Выгодский — „Кеплер и его стереометрия бочек“ ; проф. В. В. Струве — „Триумф абстрагирующей мысли в отчетности Древнего Сумера“; аспир. И. Н. Самойленко— „Analyste“ Беркли в свете математических работ К. Маркса“ ; доц. А. П. Юшкевич — „Английская философия эмпиризма и теория флюксий“.

Задачи создания во второй пятилетке невиданной еще в мире техники не могут быть решены без мощного планового развития науки, в частности математики. И как ни блестящи достижения нашей математики, однако в свете задач второй пятилетки они не являются высшим пределом как со стороны содержания, так и со стороны организационных форм. Кроме того грандиозный рост науки в СССР заставляет постоянно вносить различные коррективы в организацию математической работы. Именно поэтому 28 июня утреннее заседание съезда было посвящено обсуждению работ математических институтов и перспектив развития математики в СССР. Насколько известно, попытка проведения такого заседания является первой во всей истории математических съездов; в деле организации планового развития математики во всей стране советские математики являются новаторами.

Заслушав сообщения представителей научно-исследовательских математических институтов (Московского, Ленинградского и некоторых других) о планах их исследовательских работ, съезд сосредоточил главное внимание на обсуждении следующих вопросов:

1. Планирование развития математики в СССР.

2. Задачи развития научно-исследовательских математических учреждений.

3. Обмен научными силами и специализированные конференции.

4. Кадры.

5. О развитии истории и философии математики.

6. Об издательствах и журналах.

7. О математических обществах.

8. О математических олимпиадах среди учащихся средних школ.

Ограничимся рассказом о главнейших постановлениях, которые вынес съезд по этим вопросам.

Второму съезду не удалось выработать единый план развития математики в СССР. Причин этому много, главная же из них заключается в том, что мы еще не создали всех необходимых организационных предпосылок к плановому развитию математики в СССР. Съезд постановил : „Просить президиум Математической ассоциации, учитывая результаты Математического съезда, а также планы работ математических институтов, подготовить к октябрю 1934 г. конференцию для обсуждения вопросов перспективы дальнейшей научной работы... Для установления живой связи с социалистическим строительством привлечь к участию в конференции представителей соответствующих наркоматов и работников крупных научно-технических институтов. Кроме того желательно устройство местных конференций с представителями местных производственных институтов“.

Большинство последующих постановлений съезда касается именно тех вопросов организации научно-исследовательской работы, решение которых создает необходимую базу для планового развития математики в СССР.

Одним из крупнейших недостатков развития математики в СССР было и остается неразномерное развитие научно-исследовательских математических институтов и отсутствие между ними надлежащей связи, необходимость которой едва ли кто станет оспаривать.

Чтобы устранить неравномерность развития математических институтов, съезд указал на необходимость: организовать институт математики в Казани, в которой в настоящее время имеется крупная математическая школа в направлении алгебры и специальных вопросов обыкновенных диференциальных уравнений.

Усилить Московский математический институт по разделу механики и математической статистики.

Усилить штатными единицами Ленинградский математический институт.

Съезд особо подчеркнул ненормальное положение математических институтов в Томске, Тифлисе, Харькове и Минске, а также и университетов в отношении числа квалифицированных научных работников. Для устранения этого недостатка съезд постановил установить тесную и постоянную связь между упомянутыми институтами и центральными институтами (Московским и Ленинградским). В качестве форм связи съезд рекомендовал следующее:

Научное шефство центрального института над определенным из названных институтов.

Усиление комплектования названных институтов за счет оканчивающих аспирантуру в центральных институтах.

Организацию консультации в исследовательских институтах для работников провинции.

Командировки работников провинции в основные научные центры.

Организацию систематических выездов работников основных научных центров для чтения лекций в провинции (на срок до 2 месяцев) и т. д.

Учитывая чрезвычайно благотворный опыт Международной конференции по диференциальной геометрии, состоявшейся в мае 1934 г. в Москве, съезд постановил организовать узкоспециализированные международные конференции. Ориентировочно постановлено в 1935 г. организовать конференцию по топологии (в Москве), в 1936 г.—конференцию по теории вероятностей (в Москве), в 1936—1937 гг.— конференцию по истории и философии математики (в Москве), в 1936 г. — конференцию по уравнениям математической физики (в Ленинграде), в 1936—1937 гг. — конференцию по теории чисел (в Ленинграде), в 1935— 1936 гг.— конференцию по алгебре (в Киеве).

Постановления съезда о кадрах касаются улучшения работы со студентами физматов и аспирантами научно-исследовательских математических институтов.

Отметив положительные сдвиги в области истории и философии математики, съезд постановил организовать в ведущих институтах подготовку кадров научных работников в этих областях. Съезд выразил пожелание, чтобы в журнальной литературе наряду с исследованиями конкретно-математического характера печатались исследования по истории и философии математики.

Съезд подчеркнул необходимость дальнейшего расширения издательской работы. Съезд особо подчеркнул необходимость ускорить работу по выпуску „Математической энциклопедии“, а также продолжать издание серии классиков математики и пополнить ее работами классиков XIX и XX вв. Съезд подчеркнул необходимость издания математических журналов в Москве, Ленинграде, Казани, Харькове, Киеве и Тифлисе.

Съезд отметил необходимость быстрейшего развития издания научной литературы на национальных языках.

Особый интерес для преподавателей математики представляют постановления Математического съезда о математических олимпиадах среди учащихся.

В первой половине текущего года Ленинградский государственный университет им. А. С. Бубнова, при участии гороно и других организаций, провел математическую олимпиаду среди учащихся старших классов средней школы. Основную задачу олимпиады организаторы ее ставили совершенно четко : олимпиада должна была помочь выявлению среди оканчивающих среднюю школу лучших математиков, способных в своей дальнейшей работе развивать, обогащать науку новыми достижениями, поднимать ее на более высокую ступень развития. Такая постановка основной задачи целиком оправдывает организацию и проведение олимпиады, ибо если несомненно, что СССР должен стать центром мирового научного творчества, то так же несомненна необходимость строгого отбора и систематического, со студенческой скамьи, образования новых научных кадров.

Олимпиада была разбита на три тура : I тур — организационно-подготовительный: II тур — соревнование для отбора группы лучших математиков г. Ленинграда: III тур — выделение из группы лучших математиков — десяти победителей олимпиады („лучших из лучших“) и подведение итогов олимпиады.

Содержание работ в каждом туре было, примерно, следующее:

I тур — была проведена широкая информа-

ция о предстоящей олимпиаде, а также распространен ряд задач для ориентации будущих участников в характере олимпиады. Учебные заведения Ленинграда выделили в обязательном для школ, рабфаков и т. д. порядке своих сильнейших по математике учащихся старших классов.

II тур — выделенные учащиеся писали письменную работу. Содержание работы — 3 задачи.

а) Задача по стереометрии с применением тригонометрии.

б) Нетрудная геометрическая задача на доказательство или построение.

в) Задача на решение уравнения или системы уравнений (иррациональных, логарифмических, показательных или тригонометрических).

На основании итогов этого соревнования были выделены хорошо подготовленные и сильные участники олимпиады (около 100 человек).

III тур — с группой выделенных „лучших математиков“ ЛГУ провел работу: было прочитано несколько лекций, проведено несколько занятий, розданы задачи для решений дома1). После этого „лучшими математиками“ была проведена письменная работа, в которой были предложены более трудные задачи, требующие некоторого остроумия и сообразительности. На основании III тура было выделено 10 „лучших из лучших“—победителей математической олимпиады, которые были премированы. Я не буду говорить об итогах проведения олимпиады — этому должно посвятить особую статью. Приведу только целиком постановление съезда о математических олимпиадах среди учащихся.

„Съезд считает необходимым создать среди широчайших слоев молодежи математическое движение с целью развития интереса к математике, поднятия математической культуры и выявления одаренной молодежи, что даст возможность создать для нее благоприятные условия работы и в дальнейшем надлежащим образом ее использовать. Формы этого движения выяснятся в процессе работы. В качестве первых мероприятий на ближайший год съезд считает необходимым:

1. Проведение в Ленинграде, Москве и ряде других крупных городов математических олимпиад среди школьников девятого и десятого годов обучения и кончающих рабфаковцев.

2. Создание сети математических кружков в школах и районных объединениях.

3. Предусмотреть в планах Технико-теоретического издательства снабжение этих кружков, учащих и учащихся литературой и журналами.

4. Создание маленького в 1—Р/2 листа, но массового многотиражного ежемесячного журнала, организующего и направляющего все движение.

Университеты могут использовать олимпиады для комплектования своих математических, механических и физических факультетов.

5. Просить Наркомпрос об отпуске средств, необходимых для осуществления этого движения“ .

30 июня съезд закрылся. Следующий съезд предполагается провести в 1937 г. в Тифлисе. На съезде присутствовало около 600 делегатов из 39 городов. Труды съезда будут напечатаны в двух томах.

О НОВЕЙШИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ В ОБЛАСТИ ДРЕВНЕЙШЕЙ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

Проф. И. ЧИСТЯКОВ (Москва)

(Окончание)

I

Из вновь открытых памятников халдейской математической науки геометрического содержания представляет особый интерес собрание геометрических задач на вычисление, которое оказалось среди ассиро-вавилонских текстов, недавно открытых и расшифрованных профессором Франком в Гейдельберге. Весьма тщательное исследование этих задач и комментарии к ним принадлежат профессору О. Нейгебауэру в Геттингене. Согласно указаниям Франка, это собрание принадлежит к числу древнейших памятников ассиро-вавилонской науки, и расшифрование его и комментирование представляло весьма большие трудности. Подобно другим памятникам, оно содержит условия задач и решения их, предлагаемые чисто догматически, без каких-либо объяснений. Некоторые задачи, подобные уже разобранным, потом приводятся без решений. Все чи-

1) Часть из них приведена в настоящем сборнике в отделе задач.

еловые данные даются и вычисления производятся по 60-ричной системе счисления; приведенные решения показывают на пользование числовыми таблицами. Условия задач отличаются неожиданной для той отдаленной эпохи сложностью; решение их требует составления и решения систем уравнений первой и второй степени. Данные для вычисления числа оказываются удобно и тщательно подобранными, даваемые ответы везде правильны.

Мы приведем примеры наиболее типичных задач, причем условия их даем в современных терминах, и с переводом числовых данных на 10-ричную систему счисления.

Задача 1. Высота прямоугольной трапеции разделена в отношении 1:3 и через точку деления, ближайшую к большему основанию, проведена прямая, параллельная основаниям трапеции и разделяющая ее площадь на две части, соответственно, в 783 и 1377 кв. ед. Зная, что разность между большим и меньшим основаниями трапеции равна 36, а разность между большим основанием трапеции и проведенной линией в три раза менее разности между этой линией и меньшим основанием трапеции, найти длину обоих оснований, проведенной линии и высоты трапеции.

Предполагая, что чертеж 1 изображает искомую трапецию ABEF, и обозначая ее основания АВ = х, EF—z, проведенную параллельно обоим основаниям прямую CD = —у и отрезки высоты АС — и и СЕ = Зи, мы можем составить уравнения:

Черт. 1.

Таким образом, решение данной задачи приводится к решению системы четырех уравнений первой и второй степени с четырьмя неизвестными. Для решений их можно было бы поступить так: из первого уравнения имеем:

складывая его почленно со вторым, найдем:

следовательно,

z=y-]-9 — 36, или z = y— 27.

Разделяя же почленно третье уравнение на четвертое, причем х и z мы заменяем их выражениями через у, после упрощений получим :

После этого, находим подстановкою:

г =у—27= 12; х =у + 9 = 48,

а подставляя найденные значения х и у в. третье уравнение, получим:

и (48 + 39) = 1566; « = 18.

Таким образом, длина искомых линий выразится следующими числами:

Л£ = 48; CD 39; EF=\2; АЕ = 72.

Таково решение данной задачи, если пользоваться современной буквенной алгебраической символикой. Но ее не было во времена древнехалдейской науки, и неизвестный автор задачи дает догматически иное, весьма замечательное ее решение, явно основанное на арифметических и геометрических соображениях, хотя они и не упоминаются в тексте. Для уяснения их сделаем дополнительное построение на данном чертеже, отсутствующее в тексте: именно, проведем через точки D и F прямые KD и MF, параллельные высоте трапеции АЕ и пересекающие ее основание AB в точках К и M (черт. 2). Автор прежде всего определяет разность KB — d между большим основанием трапеции AB и проведенной линией CD. Так как по условию эта разность втрое менее разности CD — tF, то последняя равна 3d, а следовательно разность AB — EF—4d. Но эта последняя, по условию, равна 36, значит 4ö? = 36 и ^ = 9. Далее определяется площадь трапеции ACDM, которая получается от соединения точки M

Черт. 2.

с точкой D; эта площадь, очевидно, втрое менее площади трапеции CDEF, т. е она равна Ц^=459. Таким образом, разность между площадями трапеций: пл. ABCD— — пл. AC DM = 783 — 459 = 324 кв. ед. Но эта разность есть площадь треугольника MDB, равная * MB-KD, значит:

следовательно высота трапеции АЕ = 4 • 18 = = 72. После этого нетрудно определить площадь прямоугольного треугольнике MBF; она равна:

\- MBMF=l2 .4.9.72 = 1296 кв. ед.

Так как площадь всей трапеции ABEF равна 1377 + 783 — 2160 кв. ед., то на площадь прямоугольника AMEF остается:

2160— 1296 = 864 кв. ед.

Эта же площадь равна АМ-АЕ\ итак:

АМ-АЕ = /Ш.72 = 864,

откуда Л/И =12. Следовательно:

ЛЯ = 12 + 36 = 48; EF=AM=\2; CD = 4S —9 = 39; АЕ =72.

Таким образом, все требуемые условием задачи элементы найдены. Заметим, что все вычисления производятся по 60-ричной системе счисления, по правилам, установленным для производства по ней действий; в частности, деление везде заменяется умножением на соответствующую обратную шестидесятиричную дробь, причем произведение берется из таблиц. Так, деление 36 на 4 объясняется так: „Число, обратное 4, есть 0;15, т. е, 15. Умножив на него 36, получишь 9й. Точно так же о делении на 72 говорится: „Число, обратное 1;12, т. е. 72, есть 500;00,50 (т. е. ^-^) ; умножая на него 14,24 (т е. 864) найдешь 12м и т. п. В общем, все приведенные вычисления показывают высокую технику производства арифметических действий с целыми и дробными числами; однако детали этой техники полностью пока не выяснены. После данной задачи приводится еще несколько задач с аналогичным содержанием, но уже без решений. Очевидно, они даны в качестве упражнений для изучающих геометрию.

Задача 2. В прямоугольном треугольнике вертикальный катет разделен на 6 равных частей и через 1-ю, 2-ю, 3-ю и 5-ю точки деления проведены прямые, параллельные другому катету. Зная, что первая из проведенных линий меньше основания на I3^f, а третья равна 40 и площадь последнего отсеченного треугольника = 100 кв. ед., найти длину катетов и площади получившихся трапеций.

Пусть чертеж 3 отвечает условиям задачи, т. е. ВС — DE = MC=\31-; HI = 40 и пл. ААХ = 100.

Черт. 3.

Так как на основании условия задачи можно заключить, что треугольники AKL и ЕМС равны, так как имеют по равному вертикальному катету и острому углу, то KL— МС= 13*-.

Имея в виду, что: ^- KL-АК=\00у или — 1З3- - ЛАГ= 100, находим: АК=\5. Отсюда длина отрезков вертикального катета следующая :

^АГ= 15; АГЯ=30; H F = FD = DB = 15.

Легко найти теперь и длины линий, проведенных параллельно горизонтальному катету: KL = 13*-; HI— 13-3- f 26^- = 40 (это данное, очевидно, является излишним); /70 = 53^-; DE = 66^- ; £С=80, поэтому площади отсеченных трапеций будут равны:

Решения этой задачи в подлиннике не приведено; далее она приводится еще в двух различных вариантах, причем прежние искомые, например площади трапеций, оказываются данными. Затем приводятся еще 11 задач, также сводящихся к разложению фигуры на треугольники и трапеции. Из них многие приводят к полному уравнению второй степени. Приведем примеры

Задача 3. В прямоугольном треугольнике параллельно горизонтальному катету проведена прямая, рассекающая вертикальный катет на два отрезка, из которых верхний на 10 больше нижнего. Зная, что горизонтальный катет равен 30 и что площадь отсеченного треугольника равна 270 кв. ед., найти длину проведенной линии и вертикального катета.

Пусть в прямоугольном треугольнике (черт. 4) проведена прямая DE \\ ВС; по условию AD — BD-tlO; ВС—30 и площадь ADE = 270 кв. ед. Обозначая DE = х, BD = =у, можем составить уравнения:

или:

*(j,-j- 10) = 540; (у-f 5).х = (у + 10)• 15;

определяя из первого уравнения х и подставляя во второе, найдем:

540 (.у-f 15) = (у -|-Ю)2.15; ^+10)2 = 360 + 5).

Решая это уравнение, имеем:

му2 — 16у — 80 = 0,

откуда j/ = 8 + 12: положительным оказывается только ^=20. Но тогда:

X = - IQ = 18, и искомые линии будут:

DE=\S; АВ = AD-]-DB = 50.

Задача 4. Сохраняются условия предыдущей задачи, но вместо площади треугольника A DE дается площадь трапеции BDCE — = 480 кв. ед. Найти длину AB и DE (см. черт. 4).

Оставляя прежние обозначения неизвестных, получим уравнения:

Черт. 4.

Находя из второго уравнения х и подставляя его в первое, получим:

откуда после упрощений, получим уравнение:

следовательно

Далее идут различные другие варианты той же задачи, которые тоже приводят к решению полных неприведенных или приведенных квадратных уравнений. Эти уравнения затем решаются, причем способ решения соответствует представлению квадратного уравнения в виде приведенного уравнения с четным коэфициентом при х> т. е. х2 -j- 2рг х + q = О, с решением его по формуле:

Таким образом, здесь мы находим новое подтверждение того, что халдеи за 2000 лет до нашей эры обладали знанием решения квадратных уравнений. Если принять во внимание, что в дошедших до нас древнеегипетских папирусах даже несколько более поздней эпохи встречаются лишь задачи, приводящиеся к неполным квадратным уравнениям вида X2 = требующим лишь извлечения квадратного корня, —мы должны признать пре-

восходство халдейской математики перед египетской. В общем же приведенные данные проливают новый свет на возникновение и развитие математической науки.

Приведем еще пример из области стереометрии.

Задача 5. Найти объем стены, если длина ее 60, а поперечное сечение представляет трапецию, в которой прямая, проведенная параллельно основаниям трапеции, равным 75 и 45, имеет длину 57 и делит высоту трапеции на отрезки, считая от большего основания, в 21 и 15.

Пусть на чертеже 5 представлено сечение стены, причем Aß = 45; CD = 75; MN= 57у;/Ж = 21 и АМ=\5.

В решении халдейского автора предлагается сначала найти среднюю линию верхней трапеции и умножить ее на высоту, а затем полученный результат умножить на длину стены.

Получим:

Далее совершенно аналогично получается объем нижней части стены:

следовательно, объем всей стены равен: 46 125+-83 475= 129 600 куб. ед.

II

Далеко опередив свою эпоху и, в частности, превосходя современную ей древнеегипетскую математику в области алгебры, халлейская математика, однако, стояла ниже древнеегипетской в некоторых отделах геометрии, в частности, в вопросе об отношении длины окружности к диаметру, т. е. о числе тт. Как и ранее открытые источники, так и недавно расшифрованные определенно указывают, что в халдейской математике число тс принималось равным 3, тогда как египтяне пользовались несравненно более точным значением тт = 3,161). Так, профессор В. Струве приводит следующую задачу из расшифрованного им памятника, хранящегося в Британском музее2).

Задача 6. Город окружен круглою стеною и рвом. Окружность «внутренняя) стены равна 60; ширина стены 5. Найти длину окружности рва (т. е. наружной окружности стены).

Решение, сопровождаемое чертежом с тремя концентрическими окружностями (черт. 6), дается следующее:

„По окружности 60 найди диаметр. Возьми третью часть от 60. Получишь 20. Диаметр есть 20. Удвой 5, будешь иметь 10. Приложи 10 к диаметру 20; получишь 30. Это диаметр.

Утрой 30, найдешь 90. Это и будет окружность рва“...

Эта и другие задачи показывают, что длина окружности всегда определялась халдеями по формуле C=Tctf, где d — диаметр круга» В связи с этим, площадь круга определялась по формуле:

Ч~ 4 ~ 4* — 12*

Так как в 60-ричной системе халдеев À изо-

Черт. 6.

1) „Математическое образование“, 1929, № 4, статья проф. И. И. Чистякова - „О новейших исследованиях в области древнеегипетской математики“.

2) „Quellen und Studien zur Geichichte der Mathematik“, В. I, 1929.

бражалось как 0;5, то для площади круга употреблялась формула:

площадь круга = (длина окружности)2. 0;5.

Так, в вышеприведенной задаче говорится: „Чтобы найти площадь с радиусом 90, возведи 90 в квадрат: будешь иметь 8100.

Умножь 8100 на ^ и ты получишь 675 — площадь круга“.

Кроме сведений о вычислении халдеями длины окружности и площади круга, вновь разобранные источники дают материал об измерении ими объема усеченного круглого конуса („корзины“).

Задача 7. „Верхняя окружность корзины равна 2, нижняя 4 и высота 6. Определи объем и площади верхнего и нижнего оснований“.

Решение. „Возведи в квадрат 4, получишь 16. Умножь 16 на ^2 у будешь иметь 1 ^-, т. е. площадь. Возведи в квадрат 2, найдешь 4. Умножь 4 на ^, найдешь площадь . Сложи 1-J и у, получишь ; умножь на у » будешь иметь -g-. Умножь -g- на высоту 6. Получишь объем 5. Таков ответ“.

Приведенное решение показывает, что для нахождения усеченного конуса халдеи находили площадь его среднего сечения и умножали ее на высоту, т. е. пользовались не точным, а приближенным выражением. Замечательно, что в ту же эпоху египтяне, как это видно из разобранного В. В. Струве „Московского папируса“, уже знали правильную формулу для вычисления объема усеченной пирамиды с квадратным основанием:

V=l-h-(a2 + ab+b*)9

где а и b — стороны верхнего и нижнего оснований пирамиды, a h — ее высота. Однако для объема усеченного конуса в египетских папирусах, даже в III в. после н. э., указывается приближенная формула, вполне соответствующая вышеприведенной халдейской, именно:

т. е. в ней тоже берется произведение площади среднего сечения конуса на высоту, причем тс принимается равным 3, хотя, как было упомянуто, египтяне знали и более точное выражение для этого числа.

Вышеприведенная задача 7, подобно другим задачам, тоже предлагается в различных вариантах. Так, при тех же данных требуется найти длину окружности среднего сечения данного усеченного конуса.

Некоторые задачи показывают на знание и применение халдеями в их исследованиях теорем Фалеса и Пифагора. Таковы задачи об определении длины хорд в окружности.

Задача 8. В круге, длина окружности которого равна 60, проведена хорда, отсекающая сегмент, высота которого равна 2. Найти длину этой хорды.

Решение. „Удвой 2, получишь 4. Вычти 4 из 20 — диаметра данного круга, будешь иметь 16. Возведи в квадрат диаметр, получишь 400. Возведи в квадрат 16, получишь 256. Вычти 256 из 400, найдешь 144.

Извлеки квадратный корень из 144, получишь 12. Это и есть ответ“.

Черт. 7.

Изложенное решение и приложенный чертеж показывают, что ход решения задачи был следующий (см. черт. 7).

На данной хорде AB строится вписанный в круг прямоугольник ABFG; через середину дуги С проводится диаметр CD, который пересекается со сторонами AB н FG в точках Е и Я; тогда, по-условию, СЕ = HD = 2, а потому НЕ = 20 — 2-2 = 16. Поэтому BF=HE—\Q\ проведя еще диаметр AF, получаем прямоугольный треугольник ABF, в котором AF=20\ BF=\6, и потому

AB = |/202 — 16'= 12.

Таким образом, задача решается на основании теорем Фалеса и Пифагора. Подобно прочим задачам; и эта задача предлагается с различными вариантами, например: „Длина окружности 60; в ней проведена хорда, равная 12. Найти высоту отсекаемого сегмента“.

ОБЩИЕ ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

И. КАСТРОВИЦКИЙ (г. Красногвардейск)

Признаки делимости на отдельные числа (на 2, на 3 и т. д.) можно назвать частными, в отличие от общих признаков делимости. Общим будем называть признак делимости на видовое число, т. е. на число, объединяющее в себе, при помощи соответствующего алгебраического выражения, все те отдельные числа, которые обладают некоторым признаком, общим для всех объединяемых чисел.

В этой статье будут рассмотрены общие признаки делимости, распространяющиеся в своей совокупности на любые числа, не кратные 51).

В основе способа, которым выводятся признаки делимости в этой статье, лежат следующие две истины, почти очевидные: 1) если два числа а и b делятся порознь на число г, то и сумма и разность их а-^Ь и а — b тоже делятся на с; 2) если произведение двух множителей ab делится на с и один из множителей (например а) есть число взаимно-простое с с, то другой множитель (Ь) делится на с.

Во всей статье под словом „число“ и под буквами, обозначающими числа, подразумеваются только целые числа.

I. Делимость одного числа (а) на другое число (Ь) без остатка будем для краткости и наглядности изображать так:

а\Ь

(вертикальная черта употреблена в качестве знака делимости без остатка левого числа на правое число).

Статья эта не преследует цели расширить материал школьных программ по вопросу о признаках делимости: в этом надобности нет; цель другая: путем самостоятельной работы учащихся в математических кружках (при содействии преподавателя) на доступном и занимательном материале способствовать развитию их математического мышления, подъему и оживлению их интереса к математике.

1. Признаки делимости на числа вида \0т + 1.

Теорема. Любое число 10а+Ь делится на \0m+\ в том случае, и только в том случае, когда а — mb делится на 1 От -f 1, где b — цифра единиц делимого, m — число десятков делителя.

Доказательство I. Пусть

10а + *|10/и+1. (1)

Очевидно, что

(10/it-f 1)*|10/»+1. (2)

Из (1) и (2) получаем (беря разность левых частей):

10 (a — mb) |10л1+ 1. (3)

Так как числа 10 и 10/я-[-1 взаимно-простые, то из (3) следует:

a — mb 110/П +1. (4)

II. Пусть дана формула (4) (символическое выражение делимости без остатка одного числа на другое будем называть формулой).

Из (4) выводим (3); из (3) и (2) следует справедливость формулы (1).

Таким образом, делимость а — mb на 10'/-{-I есть необходимый (п. I доказательства) и достаточный (п. II доказательства) признак делимости \0a+b на \0m+ 1.

2. Следствие. Если а—mb не делится на 1 От 4- 1, то и 10а + b не делится на

\0m+\.

3. Примеры: а) Делится ли 807 126 на 31?

Число десятков делителя т—3. Умножаем цифру единиц делимого на 3 и произведение вычитаем из числа десятков делимого; аналогично поступаем с полученной разностью, рассматривая ее как делимое; этот процесс продолжаем до тех пор, пока не получится число, делимость или неделимость которого на 31 сразу видна.

б) Делится ли 56 964 на 101?

Omer, делится, в) Делится ли 38 607 на 51?

1) Имеется по этому вопросу также статья (весьма обстоятельная) проф. И. И. Чистякова —«О некоторых признаках делимости“ с которой я познакомился уже после написания своей статьи — И. К.

4. Задача. Доказать, что число делится на 11 в том случае, и только в том случае, когда разность между суммой цифр его на четных местах и суммой цифр на нечетных местах делится на 11.

Для доказательства воспользоваться теоремой п. 1, причем иметь в виду, что в выражении \0a\-b на число b не наложено никакого ограничения (кроме того, что оно целое).

5. Теорема. Если

делится на 1 О/я + 1.

Доказать при помощи теоремы п. 1.

Замечание. По отношению к этой теореме признак делимости на 11, указанный в предыдущем пункте, представляет собою частный случай.

6. Следствие. Если /г-значное число, все цифры которого равны между собою и каждая равна а, делится на 10/w -f- 1, то и а[\—(—т)п] делится на \0m+\.

Пример. 15-значное число, изображенное одинаковыми цифрами (любой из 9-значных цифр; обозначим ее через я), делится на 31; следовательно, и а(1+315) делится на 31.

7. Задача. Доказать, что предложение, обратное теореме п. 5, тоже верно (следовательно, верно и предложение, обратное предложению п. 6).

8. Признак делимости на числа вида 10/it -f 3.

Теорема. Если

то и

и обратно: если

то и

где b — число единиц делимого, не обязательно однозначное.

Доказательство. I. Пусть

\0a+b I 10/я + З. (1)

Очевидно, что

(10/и + 3).Зо I 10/я + З. (2)

Из (1) и (2), складывая левые части, получаем :

10 [a+ (3/7*-f \)Ь] I 10/я + З. (3)

Так как числа 10 и \0т + 3 взаимно-простые, то из (3) следует:

а + (3./я + 1)£ I 10/я + З. (4)

II. Пусть дано (4). Из (4) следует (3). Очевидно, что формула (2) верна. Из (3) н (2) выводится (1).

Теорема доказана.

9. Следствие. Если а + (3/я4-1)£ не делится на lOw + 3, то и 10а + £ не делится на 10/я + З.

10. П римеры: а) Делится ли 11 271 на 13>

б) Делится ли 870 245 на 43?

Вычисления, показанные справа (в скобках), легко производить в уме; записи излишни, в) Делится ли 26 103 на 33?

Замечание. Делимость 26 103 на 33 можно определить и таким образом: сумма цифр числа делится на 3, и разность между суммой

цифр на четных местах и суммой цифр на нечетных местах делится на 11 ; следовательно, число делится на 3 и на 11, поэтому делится и на 33.

11. Теорема. Если л-значное число, цифры которого а1,а2...ап (значки обозначают порядок цифр в числе слева направо), делится на \0m+ 3, то и ал (Зт -f- 1) а2 -f--ИЗ/И+.1)* я3+ . . . + (3/fi+l)»-iûn делится на 10/rc-j-3.

Обратная теорема тоже верна. Доказать при помощи теоремы п. 8.

12. Следствие, /г-значное число, все цифры которого равны между собою, делится на Ют 4- 3 в том случае, и только в том случае, когда (Зт 4- 1) п —1 делится на \0т 4 3.

Замечание. При выводе этого предложения (как й предложения п. 6) надо находить сумму членов геометрической прогрессии.

Пример. 21-значное число, все цифры которого равны между собоюг делится на 43 (проверить при помощи признака делимости на 43); следовательно, и 1321 — 1 делится на 43.

13. Задача. Показать, что общеизвестный признак делимости на 3, излагающийся в учебниках арифметики, есть частный случай теоремы п. 11.

14. Признак делимости на числа вида Ют + 7.

Теорема. Число 1 Оа -f- b делится на Ют 7 в том случае, и только в том случае, когда а + (7т -f- 5) b делится на 1 От -f- 7.

Доказательство аналогично доказательствам теорем п. 1 и 8.

15. Следствие. Если а+ (7т+ 5) b не делится на Ю/тг + 7, то и 10а -f b не делится на \0т ~\- 7.

16. Примеры, а) Делится ли 52 857 на 7? Число десятков делителя т = 0.

6) Делится ли 6 203 541 на 57? /тг = 5 (число десятков делителя)

За чечачие. Вычисления, показанные справа (в скобках) нет надобности записывать: они легко производятся в уме.

17. Рекомендовать применение указанного признака делимости на числа вида 10 m + 7 можно только для случая, когда делитель 7; для больших делителей никакой выгоды, в смысле сокращения и облегчения вычислений, не получается (некоторые исключения, например деление на 57, в расчет не принимаются, ввиду редкости подобных случаев в практике).

18. Задача. Доказать, что число \0a+b делится на \0т-+-7 в том случае, и только в том случае, когда а — {Зт + 2) b делится на \0т 4 7.

19. Теорема. Если /г-значное число, изображенное цифрами алл а2, . . . ап (эта последовательность цифр обозначает порядок цифр в числе слева направо), делится на Ю/я-г-7, то и flj -f (7т + 5) а2 -f- (7т -f-+ 5)2 а3 -h . . . + (7т + 5)п ' 1 ап делится на 10^ + 7.

Обратная теорема тоже верна.

Доказать.

20. Задачи. 1) Доказать, что если п-значное число, все цифры которого равны между собою и не равны 7, делится на 7, то и сумма 1 -f- 5 -f- 52 -(- . . . + 5П “ 1 делится на 7.

2) Если 10Л—- 1 делится на 17, то и 12» — 1 делится на 17, и наоборот.

3) Если при четном п число (Зт -f- 2)п — 1 делится на 10/я2~|- 17/W + 7, то 10Л—1 делится на \0т -f- 7.

21. Признак делимости на числа вида \0m+9

Теорема. Число 10а -f- b делится на \0m+9 в том случае, и только в том случае, когда а + (т 1 ) b делится на 10/тг -J- 9.

Доказать.

22. Следствие. Если число a -f- (m + 1) b не делится на 10/гг —[— 9, то и \0a+b не делится на \0m+9.

23. Примеры: а) Делится ли 15 822 на 19?

б) Делится ли 28 714 на 49?

в) Делится ли 11 343 на 19Э?

24. Теорема. Число

10-^ + 10«-*^+ ...+ая

делится на \0т + 9 в том случае, и только в том случае, когда

делится на Ют-{-9. Доказательство. Пусть

(1) (1а)

Из (1а), на основании теоремы п. 21, следует:

(2)

делится на 10ю + 9. (2а)

Рассуждая аналогичным образом дальше, получим последовательно :

(3) (4)

И наконец:

(*)

Приняв затем данной формулу (л), выводим из нее (на основании теоремы п. 21) формулу (п—1), затем формулу (п — 2) и т. д., пока не получим формулу (1).

Теорема доказана.

25. Задачи. 1) Показать, что общеизвестный признак делимости на 9, рассматриваемый в учебниках арифметики, есть следствие предыдущей теоремы.

2) Доказать, что если сумма

l+a_j_a2+... -J. ап

делится на 10а — 1, то и 1 -|- 10 + + 102+... +10* делится на \0а—1, и наоборот. Например, 1042— 1, что равно

9 (1 +10 f Ю2+ ... + 10«)),

делится на 49 (на основании малой теоремы Фермата1); следовательно, и 542 — 1, что равно 4 (1+5-|- 52+...+ 541), делится на 49.

Делимость числа 542 — 1 на 49 непосредственно следует также из теоремы Фермата.

26. Теорема. Число 10ka + b делится на 10*/я+10*— 1 в том случае, и только в том случае, когда а+(т т 1) ^ делится на \0km+ 10*— 1.

Доказать.

Замечание. По отношению к этой теореме признак делимости на 10//Х + 9 (п. 21) представляет собою частный случай.

27. Объединение признаков делимости на любые нечетные числа, не кратные 5

Теорема. Число 10а + b делится на 1 От + п (п = 1, 3, 7, 9) в том случае, и только в том случае, когда a+(k+\)b делится на 10/я + л, где k — число десятков наименьшего кратного \0m+n, цифра единиц которого (наименьшего кратного) равна 9. Для доказательства теоремы надо числа Ю/и+1, \0т + 3 и \0m+ 7 умножить соответственно на 9, на 3 и на 7, чтобы получить наименьшие кратные этих чисел (lO/w-f- 1, 10^ + 3 и Ю/я + 7), оканчивающиеся цифрой 9, Затем следует воспользоваться теоремой о признаке делимости на числа вида lO/w + 9.

Замечание. Если в числе lOw + тг цифра единиц п— \ или 7, то вместо a -f-(k -f \)b лучше взять а—(10я + л—k—\)b, так как в этом случае коэфициент при b будет меньше.

Примеры, а) Наименьшее кратное числа 7, оканчивающееся цифрой равно 49;

1) Если а и m числа взаимно-простые и обозначает число всех чисел, взаимно-простых с и не превышающих m, то *.?('•) — 1 делится на m.

Это — малая теорема Фермата. — И. К.

следовательно, 10а + £ делится на 7 в том случае, и только в том случае, когда a + 5b делится на 7 или же когда а — 2Ь делится на 7.

б) Наименьшее кратное числа 13, оканчивающееся цифрой 9, равно 39; следовательно, число \0a+b делится на 13 в том случае, и только в том случае, когда а + 4ô делится на 13.

в) Наименьшее кратное числа 31, оканчивающееся цифрой 9, равно 279; следовательно, число \0a+b делится на 31 в том случае, и только в том случае, когда a -f- 28 b или же a — 3b(2Sb — 3\b= — 3b) делится на 31.

28. Признак делимости на любые первоначальные числа.

Теорема. Число 10а+b делится на первоначальное число 10/я + я в том случае, и только в том случае, когда an — bm делится на Г0/я + я.

Доказательство I. Пусть

10а + £ I 10/я + я. (1)

В таком случае и

(10а + £)/я I 10w-f/i. (2)

Очевидно, что

(10т + я)а J \0т+л. (3)

Из (2) и (3) следует взять разность левых частей :

an — bm I 10/я + л (4)

Таким образом, делимость (4) является необходимым признаком делимости (1).

II. Пусть дано:

an — bm I \0m+n. (4)

Из (4) и (3) получаем:

(10а + £) I 10/я + л. (2)

Так как число \0m+n первоначальное, то m и п числа взаимно-простые, следовательно, и m и 1 От +п числа взаимно-простые; поэтому из (2) следует:

10а + b I 10/я + л. (1)

Таким образом, делимость (4) является достаточным признаком делимости (1). Теорема доказана.

Замечание. Из способа доказательства видно, что теорема верна не только для первоначальных чисел, но и для всех тех составных чисел 10/я + л, в которых числа тип взаимно-простые.

Из п. 1 этого же доказательства следует, что делимость

является необходимым признаком делимости \0a+b I 10/я + я,

причем 10/я +п любое число.

29. Признак делимости на число вида 10/я + 2.

Теорема. Четное число \0a+b делится на 10/я f 2 в том случае, и только в том случае, когда 2а — mb делится на 10/я+ 2.

Доказательство I. Пусть

10a + £ I Ю/я + 2. (1)

Из (1) следует (п. 28, замечание):

2а —mb I 10/«+ 2. (2)

II. Пусть дано (2).

Если m нечетное число, то m и 2 числа взаимно-простые, и поэтому (п. 28):

10a + £ I Ю/л + 2. (1)

Положим, что m четное число. Очевидно, что:

a (10/ii-f2) I 10/я f 2. (3)

Из (3) и (2) получаем:

(10а + *) I 10/я + 2, (3)

или, сокращая (3) на 2:

т(Ьа + ЬЛ) I 5/л+ 1, (4)

где Ьг = Ь:2.

Так как m и 5т + 1 числа взаимно-простые, то из (4) заключаем:

5a + £3 I 5/Я+1. (5)

Умножив обе части (5) на 2, получим: 10а + Ь I 10/я+ 2.

Теорема доказана.

Замечание. Если в делителе 10/я+ 2 число m четное, то в этом случае лучше применять признак делимости на 10/я' + 1 (п. 1), где

т' — т:2.

Например, для определения делимости четного числа 10а + £ на 62 надо испытать делимость его на 31.

30. Признак делимости на числа вида 10/я + 4.

Теорема. Четное число 10а + £ делится на 10/я+ 4 в том случае, и только в Том случае, когда 2a -j- (2т + 1) b делится на 10/я+4.

Доказать.

Замечание. Если 10/я + 4= 2(10/я'+ 7), где m = 2т1 1 » то в этом случае следует применять признак делимости на 10/я'+ 7.

Например 78 036 делится на 74 в том случае, если оно делится на 37.

31. Задачи. 1) Доказать, что если

и наоборот.

2) Доказать, что если четное я-значное число, все цифры которого равны между собою, делится на 1 От -f 7, то (4т -f- 3)“ — 2п делится на \0m+7.

32. Признак делимости на числа вида 10/тг —f- 6.

Теорема. Число 10а -f- b делится на ÎO/?z-f-6 в том случае, и только в том случае, когда 2а — (2т 4 1) b делится на 10/7*46.

Доказать.

Замечание. Если в делителе 10/т*4 6 число m четное, то в этом случае следует пользовался признаком делимости на Ю/т*' -f 3, где

т! = т:2.

33. Признак делимости на числа вида 10/т* f 8.

Теорема. Четное число 10а 4 b делится на 10w-f-8 в том случае, и только в том случае, когда 2а 4 (m 41 ) b делится на 10/7*48.

Доказать.

Замечание. Если в делителе 10/и 4- 8 число m нечетное, то в этом случае удобнее применять признак делимости на 1 О/я'4 9, где

т} (т - 1):2.

34. Задача. Доказать, что если л-значное число, изображенное цифрами (слева направо) Oj, а2 ... ап, делится на 8, то и

и наоборот.

Например, 512 делится на 8, так как 4-5 4 4 2.14 2^=24 делится на 8.

35. Разные задачи.

1) Доказать, что если число делится на 33 или на 99, то и число, написанное теми же цифрами в обратном порядке, тоже делится соответственно на 33 или на 99.

2) Доказать, что если число, изображенное цифрами (слева направо) av а2...апУ делится на -g-(10*—1)» то и число, которое получается, если те же цифры написать в обратном порядке и между каждыми двумя соседними цифрами (из указанных п цифр) вставить по k — 2 нуля, тоже делится на i(10* —1). Например, 23 331 делится на 3333 |-i-(104—1)|; следовательно, и число 1 003 003 003 002 делится на 3333.

3) Доказать, что если число А делится на ÎO“—1, то делится на 10я—1 и число, полученное из А путем перестановки одной на место другой любых двух цифр, разность между номерами мест которых делится на п.

4) Доказать, что если

а 4-Ю£ I 37,

то и

100а 4^ I 37.

5) Доказать, что числа 1000а 4 ^ и \000b -+ а при делении на 37 дают одинаковые остатки.

6) Доказать, что если

10*— 1 I N

и A + B^D + F, то числа

при делении на N дают одинаковые остатки.

7) Доказать, что если

\00а + Ь I 100/7*4 99,

то и

a+(m+\)b I 100/72 4 99,

и наоборот.

8) При помощи признака делимости числа 100а +b на 100/7*499 найти, какую цифру надо приписать слева к числу 23 456 789, чтобы полученное число делилось на 199.

9) Указанным в предыдущей задаче способом найти, какую цифру следует поставить в отмеченном месте (вопросительный знак) в числе 12? 456 789, чтобы полученное число делилось на 199.

10) Доказать, что если

142-4 22+. ..+2«-i I 199,

то и

100*—1 I 199,

и наоборот.

11) Доказать, что если при /тг, не кратном 9 и 11, число 102л — 1 делится на 100т + 99, то и (т+\)п—1 делится на 100/7*4-99.

12) Доказать, что если

102« — 1 I 799,

то и

2зл_1 I 199.

13) Доказать, что если

22л—1 I 3199,

то и

25/1 _ 1 I 3199

14) Доказать, что если

10а-f* I 37,

то и

я-fil* I 37.

15) Доказать, что все числа видов И6“ — 1 и делятся на 37.

16) Доказать, что если два трехзначных числа а и b удовлетворяют равенству

a f £ = 999,

о числа, образованные из а и Ьу если их написать рядом одно за другим, делятся на 37.

Например 248-f 751 =999; следовательно, числа 248 751 и 751 248 делятся на 37.

Из обзора этой небольшой статьи видно, что вопрос о признаках делимости не так скуден своим содержанием, как это кажется в результате ознакомления с этим вопросом но учебникам. Здесь мы имеем материал, весьма благодарный для тренирования математического мышления учащихся — любителей математики — на внеурочных кружковых занятиях. Не обогащение ума учащегося дополнительным объемом математических знаний должно при этом преследоваться (этот процесс, конечно, будет иметь место, но в данном случае его надо рассматривать как побочный продукт), а воспитание активности математического мышления.

Ряд данных задач имеет характер развлечений. К математическим развлечениям вообще следует прибегать в занятиях по математике: это хорошее методическое средство для оживления работы; конечно, пользоваться этим средством надо в небольшой дозе.

О РАЦИОНАЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКАХ

Проф. П. БЕЛОНОВСКИЙ (Вятка)

1. В истории математики известен ряд задач, поставленных в очень давние времена, потребовавших для решения коллективного усилия очень многих математических умов и ставших классическими в силу особых трудностей и своеобразия методов их решения. Известно, в какой мере развитие математики обязано упорной и долгой работе над вопросом о недоказуемости постулата о параллельных, над решением трех знаменитых задач древности: квадратуры круга, трисекции угла, удвоения куба и т. д. Ознакомление изучающих математику с историей и методами решения таких задач в мере, доступной, конечно, уровню математического образования учащихся, имеет большое общеобразовательное и педагогическое значение; оно показывает, как путем настойчивой, целеустремленной работы математической мысли над задачей одерживается, в конце концов, победа над трудностями ее решения; как возникает разнообразие методов ре пения; как вскрываются и устанавливаются при этом связи между, казалось бы, далеко стоящими друг от друга математическими объектами или даже отделами математики. Особенно ценно при этом ознакомление учащегося с тем диалектическим характером этих связей, о котором говорит Энгельс в „Диалектике природы“, по поводу синтетического и тригонометрического способа изучения свойств треугольников: „После того как синтетическая геометрия рассмотрела свойства треугольника в себе и до конца исчерпала их, открывается более широкий горизонт, т. е. очень простой, вполне диалектический способ. Треугольник рассматривается уже не в себе и для себя, а в связи с некоторой другой фигурой, кругом.. . Благодаря этому стороны и углы приобретают совершенно иные определенные взаимоотношения, которые нельзя было бы открыть и использовать без этого отношения треугольника к кругу, и развивается совершенно новая, далеко превосходящая старую, теория треугольника, которая применима повсюду, ибо всякий треугольник можно разбить на два прямоугольных треугольника. Это развитие тригонометрии из синтетической геометрии является хорошим образчиком того, как диалектика рассматривает вещи в их связи, а не изолированно“1).

Нижеследующее изложение ставит своей целью дать отличное от обычных способов

1) Энгельс — „Диалектика природы“, изд. 5-е, 1931 г., стр. 152-153.

решение одной из самых старых геометрических задач, а именно: задачи отыскания всех рациональных треугольников, т. е. треугольников, длины сторон и площадь которых выражаются рациональными числами. Приводимый способ решения дает возможность не только чрезвычайно просто формулировать алгоритм для построения всех рациональных треугольников, но и вывести простые, симметричные выражения для сторон через свойственные задаче параметры, а также установить очень тесную связь чисто геометрической ее стороны с некоторыми вопросами теории чисел в действительной и комплексной области.

Задача о рациональных треугольниках имеет свою историю. Наиболее подробное изложение относящихся к ней исторических фактов древнего времени и средних веков можно найти в первом томе капитального четырехтомного труда немецкого историка математики М. Кантора—„Лекции по истории математики“1). Дальнейшая библиография вопроса, вместе с решением задачи, имеется во втором томе книги P. Bachmann'a — „Niedere Zahlentheorie“ 19102) а также в статье проф. И. Чистякова — „О рациональных треугольниках“3), давшего более простое, чем у Бахманна, решение задачи и справедливо подчеркнувшего ее значительный научно-педагогический интерес. Автор настоящей заметки в статье „О некоторых геометрических приложениях теории целых комплексных чисел“4) дал еще иное решение, указав на тесную связь задачи с теорией тройничных квадратичных форм в области целых комплексных чисел.

2. Пусть в треугольнике ЛВС (черт. 1) точка О есть центр вписанной окружности, a Q, Я, /? — точки касания этой окружности со сторонами я, Ь, с. Обозначая отрезки, на которые делятся стороны треугольника точками Я, Q, /?, через а, ß, у, получим в соответствии с чертежом:

a = ß + y; * = ï+«5 c=a-hß.

Для всякого треугольника имеем:

где, как обычно, 5—площадь, р — полупериметр треугольника и г—радиус вписанной окружности. Обозначая котангенсы половин углов Л, В и С соответственно через 0j, е2 и £3, будем иметь:

Отсюда легко получаем следующее соотношение:

Это соотношение, имеющее место для всякого треугольника, позволяет нам очень просто решить задачу о нахождении всех рациональных треугольников. В самом деле, из приведенных выше формул видно, что у всякого рационального треугольника должны быть рациональными величины г, ev е2, £3, а, следовательно, и отрезки а, ß, у. С другой стороны, в силу равенств

заключаем, что всякие три положительных рациональных числа е1У е2, е3, удовлетворяющие соотношению (1), дают решение задачи. В самом деле, подобрав три положительных рациональных дроби ev е2, е3 так, чтобы выполнялось условие (1), приведя эти дроби к одному знаменателю (целому или дробному — безразлично) и приняв этот знаменатель за /*, а числители обозначив через а, ß, у» получим рациональный треугольник со сторонами

a = ß + y; ft = Y + a; £ = a+ß. (2)

Что полученные отрезки я, Ь% с всегда будут образовывать треугольник, видно из того, что формулы (2) обеспечивают известные неравенства между каждой из сторон и суммой или разностью двух остальных:

а<£-{-с, а> b— с и т. д.

Так как разделить стороны всякого треугольника точками Я, Q, R на отрезки а, ß, у, удовлетворяющие соотношениям (2), можно

Черт. 1.

1) М. Сantоr, „Vorlesungen über Gesch chte der Mathematik-. Vierte Aufl. 1922, Bd. I, см. в особенности стр. 185, 186, 224, 270, .645, 652, 653 и др.

2) Перевод соответствующего места помещен под заглавием: „О великой теореме Фермата“ в журнале „Математическое образование“ за 1916 г. № 1—2, 3, 5 и 6.

3) „Известия Тверского пединститута“, вып. 1-й, 1926 г., стр. 52-58.

4) „Труды Вятского пединститута“, т. II, вып. 2-й, 1927 г., стр. 39-48.

только единственным способом, а именно: приняв их за точки касания вписанной окружности, то отсюда приходим к заключению, что построенный указанным способом треугольник действительно будет рациональным.

Итак, задача нахождения всех рациональных треугольников свелась к решению в положительных рациональных числах неопределенного уравнения

Так как нас интересуют только положительные решения этого уравнения и так как:

то заключаем, что двум из искомых чисел, например ег и е3, можно давать произвольные положительные рациональные значения, связанные лишь одним условием, чтобы

Задав значения е2 и е3, найдем:

потом, уже указанным способом, вычислим отрезки а, р и у, а затем стороны и площадь рационального треугольника. Таков очень простой алгоритм вычисления сторон и площади рациональных треугольников. Рассмотрим теперь несколько примеров.

1) Пусть е2 = y у - у ; тогда найдем, что ег = 21; приведя эти дроби к одному знаменателю, который выбираем равным ~-, получим : полагая а = 49, ß = 2, у = 3, найдем треугольник со сторонами 5, 52, 51 и площадью 6“= 126. Взяв г= 7, т. е. ел = -у- ; е2 = у ; е3=-у-, получим рациональный треугольник со сторонами 15, 156, 153, подобный найденному.

2) Пусть е2 =3; е3 = -j ; тогда ег = — ; отсюда а = 7, ß = 18, у = 10; г=6; следовательно, а = 28; Ь= 17, с = 25; 5 = 216.

3) Существует единственное решение уравнения (1) в целых числах, а именно: ел = \\ е2 = 2; е3=3; следовательно, имеем: а=1, ß = 2, у = 3, г=1; а = 5, b = 4t с = 3, т. е. египетский треугольник с прямым углом, лежащим против стороны а (^ег =ctg-j = 1 ^ .

3. Присмотримся теперь ближе к получающимся решениям. Мы сразу при этом заметим, что перед нами встанет ряд вопросов чисто арифметической природы.

Увеличивая или уменьшая в одно и то же рациональное число раз одновременно все числители и общий знаменатель дробей ел, е2, е3% будем получать, очевидно, подобные рациональные треугольники; всегда поэтому можно достичь того, чтобы числители а, ß, у были целыми числами без общего наибольшего делителя, т е. чтобы

(а, ß, у) = 1;

радиус будет при этом, вообще говоря, некоторой рациональной несократимой дробью г = ^; все стороны рационального треугольника, а, значит, и его площадь, будут в этом случае целыми числами. Покажем прежде всего, что а, р и у не могут быть одновременно нечетными числами и что, таким образом, остаются две возможности: только одно из этих чисел четное или же только одно — нечетное. Случай, когда а, ß и у — четные, исключен тем, что (а, [5, у) = 1. Допустим обратное; пусть, например,

а = 2а, + 1; ß = 2ß1 + l; y = 2Yl + l.

Условие (1) должно тогда иметь вид:

2ft+ 3« ^(2а, + 1)42?, + 1)-(2у, + 1).

где положено : аг -f- ?т + Yi — Р\» или:

т*(2р1 + Ъ) = п*(4и + 2р1+\), где 4« =

= 8*1 PïYi + 4 + PiYi + ГЛ)- (3)

Отсюда видим, что числа m и п не могут быть разной четности, так как в противном случае одна сторона равенства (3) была бы числом четным, а другая — нечетным, что невозможно. Оба числа тип должны быть, в силу предположенной несократимости дроби ~, нечетными. Так как квадрат всякого нечетного числа имеет вид 4k -f- 1, то полагая т2 = 4тг-{-\ ; п2 = 4пг -f 1, получим из (3):

или:

отнимая от обеих частей последнего равенства по 2pv придем к невозможному равенству: 4Л1 -f- 3 =4N-{- 1, где M и N числа целые, положительные, что и доказывает наше утверждение.

Так как числа а, ß, у не имеют общего делителя, отличного от 1, и не являются, по только что доказанному, одновременно нечетными, то и стороны рационального треугольника, составленные из отрезков а, ß, у по формулам (2), также не будут иметь общий делитель. В самом деле, этим общим делителем не может быть число 2, так как в силу формул (2) только одна из сторон может выражаться четным числом, две же остальные всегда будут нечетными, независимо от того, будет ли среди чисел а, ß, у только одно число четным (см. пример 1) или же их будет два (пример 2). В силу формул:

а=р — а; $=р — Ь, ^=р — с,

a 4- b -Ь с loi где р=---= a-H+Y>

заключаем, что у чисел a, b и с не может быть никакого общего делителя, отличного также и от 2, так как иначе он был бы общим делителем чисел а, ß, у, что исключено.

Таким образом, если ограничиться рассмотрением только таких рациональных треугольников, стороны которых выражаются целыми числами без общего делителя (каждый из таких треугольников может быть принят в качестве представителя класса всех ему подобных треугольников), то приведенный выше алгоритм для построения всех рациональных треугольников может быть изложен так: решаем в положительных рациональных числах основное уравнение задачи

Приводим найденные дроби к одному знаменателю так, чтобы числителями их были целые числа без общего множителя (в противном случае этот общий множитель переносим в знаменатель); получаем отрезки а, ß, у, по которым и вычисляем стороны треугольника. Полученный результат можно коротко формулировать так: „Нахождение всех рациональных треугольников сводится к отысканию всех таких трех положительных рациональных чисел, сумма которых равна их произведению“.

Геометрическое значение дробей ел% е2) е3 позволяет высказать следующее утверждение:

Полагая одно из этих чисел, например е3, равным 1 и решая в положительных рациональных числах уравнение

будем получать рациональные прямоугольные треугольники.

Задавая одно из чисел е, например ел, меньшим 1, будем получать тупоугольные треугольники.

Остроугольные треугольники будут получаться, очевидно, при таком выборе чисел е, когда все они будут больше 1.

4. Мы получили очень простой способ для нахождения рациональных треугольников.

Рассмотрим теперь задачу получения формул, дающих выражения для сторон рациональных треугольников в законченном виде через возможно меньшее число вполне произвольных положительных параметров. В цитированной выше статье проф. И. Чистякова приведены следующие выражения1), дающие стороны треугольника в целых числах:

a = (y + z)(yz — r*)\ b=y(r* + z*);

c = z(r*+?)\ (4)

здесь у, z и г произвольные целые числа, связанные одним условием:

уг>г\ (5)

Эти формулы легко получаются указанным выше процессом, если положить:

три положительных параметра у, z и г, входящие в (4), не вполне произвольны: они связаны условием (5).

Чтобы освободиться от этого условия, поступим следующим образом. Для случая прямоугольного треугольника одно из чисел е, например ev равно 1; так как еле2^>\, то полагаем е2 = 1 -f- и, где и произвольное положительное рациональное число; Тогда получаем :

в соответствии с этим получаем следующие выражения для сторон прямоугольного треугольника через рациональный параметр и:

а = и?+2и-{-2\ Ь = 2(и+\)\С = и(и+2).

Положив и равным дроби ^ , найдем выражения для сторон прямоугольного треугольника в целых числах через два целых поло-

1) Стр. 55.

жительных параметра т1 и л3:

(6)

Эти формулы, как указывает в цитированной работе П. Бахманн, имеются в работе Г. Рата1); они дают возможность расположить систематически все пифагоровы треугольники в таблицу, построенную по двум направлениям, в соответствии с двумя произвольными положительными параметрами тл и п1У входящими в (6).

Положив в (6) т1+пг = т; п1 = п; т1 = m — пх = т—а/, получим известные индусские формулы:

b = 2тп; с = т2 — л2, а = т2 + п2.

В случае косоугольного рационального треугольника поступим так: считаем ел равным произвольному положительному рациональному числу и; так как ^^2>1, то полагаем е2 = -i--|-z>, где v — второй производный положительный рациональный параметр; тогда будем иметь:

(7)

Для случая тупоугольного треугольника необходимо взять и<^\; легко проверить, что для случая остроугольных треугольников параметры и и v должны удовлетворять следующим неравенствам:

При различных частных предположениях относительно чисел и и v будем получать рациональные треугольники, обладающие тем или иным частным свойством. Так, например, при и = \ и целом v найдем все пифагоровы треугольники, площадь которых есть произведение трех последовательных чисел: г/, v+ 1 и v -+ 2 .

5. Преобразовав в (7) дроби и и v так, чтобы числитель первой стал равен знаменателю второй:

получим выражения для ел% с2, е3, а, следовательно, и для сторон треугольника через три произвольных целочисленных параметра. Мы не будем, однако, выводить этих выражений, так как не будем ими пользоваться в дальнейшем, и перейдем к выводу других, более симметричных формул для сторон и площадей рациональных треугольников. Пусть :

(8)

Дроби (8) будем считать несократимыми; они должны удовлетворять соотношению (1). поэтому должно быть:

(9)

Положим далее:

lxl2 = lk; mlm2 = mk\ n}n2 = nk, (10)

где через k обозначен общий наибольший делитель произведений 1Л12, тлт2 и плп2\ общий наибольший делитель чисел /, m и п будет поэтому равен 1 :

(/, т, п) = \. Из соотношения (1):

(11)

получаем, в согласии с прежними обозначениями:

и далее:

(12)

Так как в силу (11):

(13)

то выражения (12) могут быть написаны так:

(14)

Не трудно видеть, что числа я, b и г, определяемые по формулам (12) или (14), будут иметь число k общим делителем.

В самом деле, так как, по условию, дроби 7, -1, — несократимы, то на основа-нии (13) можем положить:

(14')

1) Н. Rath — „Archiv für Mathematik u. Physike“ 56, S. 188.

здесь целые числа f, g и h являются общими наибольшими делителями числителей и знаменателей в соответственных правых частях равенств (13). Отсюда, пользуясь формулами (12) или (14), получим:

а = lj2f= Ikf; b = mxm2g = mkg\ с = n^n2h = nkh,

что и доказывает высказанное утверждение.

Уменьшив стороны а, Ь, с полученного треугольника в k раз и обозначив стороны нового, подобного прежнему, треугольника снова через д, о, с, получим такие выражения для сторон рационального треугольника:

(14“)

Площадь треугольника будет:

(15)

так как уменьшение длины всех сторон в k раз влечет за собой уменьшение площади в k2 раз.

Пусть, например,

тогда найдем, что ^ = — ; следовательно, по (10):

/= 1, т = 3, п= 14, k^=-2\ по (14) и (15) найдем:

Покажем теперь, что длины д, Ь, с сторон рационального треугольника, определяемые по формулам (14), не будут уже иметь никакого общего делителя, отличного от 1, и что определяемый по (14) треугольник будет, следовательно, наименьшим по периметру и площади из всех подобных ему треугольников с целочисленными сторонами. Для доказательства достаточно будет показать на основании сказанного раньше, что отрезки а, р и у, полученные нашим алгоритмом из условия (1), будут без общего делителя, т. е., что (а, у) =*

Для треугольника, определяемого формулами (12), эти отрезки будут соответственно равны 1лт2п2, mj2n2 и пл12т2\ так как длины сторон треугольника (12) делятся нацело на число то отрезки а, ß, у треугольника (14), оставаясь числами целыми, будут меньше только что написанных также в к раз, т. е.

(16)

Допустим, что (а, ß, y) = rf>l и пусть Ь будет какое-либо простое число, отличное от 1, входящее множителем в d; тогда а, ß и у обязаны делится на о. Так как Ь число простое, то, обращаясь к первому из выражений (16), находим, что на Ь должно делиться одно из чисел /1Э т2 или п ; допустим, что это обстоятельство имеет месго для тогда из выражения для ß находим, что на Ь должно делиться одно из двух чисел: тл или я2, так как /2, ввиду принятой несократимости дроби т*-, на Ь делится уже не может. Допускаем, что на 8 делится число тл\ тогда из выражения для у приходим к выводу, что и число пл делится на ä в силу того, что /2 и т2 уже не могут делится нацело на о. Так-как делимость на 6 должна иметь место после того, как числа 1лп 2я2, тл12п2 и п112т2 разделены на то при наших предположениях число 8, входя в состав множителей чисел тл и я,, должно быть общим делителем произведений /,/2, тлт2, плп2, найденным нами дополнительно к числу £, что невозможно, так как h по условию есть общий наибольший делитель этих произведений. Легко видеть, что, допуская другие возможные комбинации предположений о делимости на Ь множителей, входящих в числители выражений (16), придем к аналогичному результату, откуда и следует справедливость нашего утверждения. Итак, числа, выражающие длины сторон треугольника (14), уже не имеют общего делителя, отличного от 1. Только о таких треугольниках будет итти речь в дальнейшем изложении.

Так как a + ß + y = /?, то периметр рационального треугольника есть всегда число четное.

Это обстоятельство вытекает также из того, уже упоминавшегося, факта, что только одна из сторон рационального треугольника измеряется четным числом.

Выведем одно свойство площадей рациональных треугольников.

Проф. Бахманн в уже цитированном месте1) доказывает следующее предложение:

„В каждом рациональном треугольнике одно, и только одно, из чисел, измеряющих стороны, а

1) См. „Математическое образование“, 1916 г., № 1—2, стр. 16 или Р. Васhmann—„Niedere Zahlentheorie“, Zw. Th., 1910, S. 439.

также число, измеряющее площадь, являются четными".

Докажем следующую, более общую теорему о площади рационального треугольника.

Число S, измеряющее площадь рационального треугольника, делится на 6.

Что S есть всегда число четное, видно из того обстоятельства, что выражение

S*=p(p-a).(p-b)-(p-c)

всегда делится на 4. В самом деле, пусть b будет четным, а числа awe нечетными; если р четное, то разность р — b также число четное и, следовательно, б2 делится на 4; если р число нечетное, то разности р — а и р — с обе будут четными, и мы приходим к тому же результату. Несколько сложнее показать, что 5 всегда делится на 31). Рассмотрим для этого три несократимые дроби

удовлетворяющие условию (1). Две из них, например у- и —, определяют третью — .

Может случиться одно из двух: либо хоть одно из чисел 1Л% /2, т1У т2 будет кратно 3, либо все они будут взаимно-простыми с 3. Так как S — lmnk, то в первом случае S будет кратно 3, и доказываемое будет иметь место. Рассмотрим поэтому случай, когда 3 взаимно-простое с каждым из чисел /1Э /2, тл, т2 и покажем, что в этом случае одно из чисел я,, п2 будет всегда кратно 3, а другое — взаимно-простым с 3. Этим теорема будет, очевидно, доказана.

Положим:

целые числа lv /2, у2 могут принимать, согласно предположению, значения, равные только 1 или 2. Находим:

_Зу, + Р

здесь у., v2, Р и Q — целые числа и, кроме того:

P = ij2 + tjt ; Q = ijx - ij.à.

Будем считать, что числа 1Л% /2, у2 все неравны одному и тому же числу из них же, так как в этом случае имели бы: Q = 0, р=2 или 8, и доказываемое уже имело бы место.

Числа Я и Q одновременно не могут быть кратными 3. В самом деле, допустив обратное, придем к заключению, что Я-j-Q должно делиться на 3, что невозможно, так как при /\ = у2 число

P+Q=h (Л+/•) + *■ (Л—Л)

будет равно 21 Jv а это последнее выражение на 3 не делится; если же j\=£/2, те У7 -f-y2 = 3, в то время как 12 (;\ — у2) на 3 делиться в этом случае не может.

Покажем теперь, что одно из чисел Р или Q всегда будет кратно 3. Пусть Q не делится на 3; тогда в остатке от деления Q на 3 может получиться только одно из чисел: /1э /2, /,, у2. Допустим, что этот остаток = /jî тогда, очевидно, можно положить

Так как /2/2 на 3 делиться не может, то очевидно, что }лф\, следовательно /2 = 2; получаем:

откуда заключаем, что t может равняться только — 1, т. е.

/] —hJ\ = — 3,

что возможно лишь при 1Л = 1, /2 —у2 = 2; но тогда Р = 6 и, следовательно, делится на 3.

Случай, когда Q при делении на 3 дает остаток, равный у,, дает, очевидно, тот же результат. Положим теперь, что этот остаток равен /2; тогда должно быть:

hJi-h (/t + l)=».

Так как, очевидно, что у2 при этом не может равняться 2, то, следовательно, получаем :

Единственно возможное решение в этом случае получаем при /]=у1 = 1, /2 = 2; но тогда Р = 3. Случай, когда остаток от деления Q на 3 будет равен у2, дает, конечно, тот же результат.

Таким образом, одно, и только одно, из чисел, служащих числителем и знаменателем дроби п^ , будет всегда кратно 3. Площадь рационального треугольника будет поэтому всегда делиться на 3, а в силу доказанного выше — и на 6. Теорема доказана.

1) Ниже воспроизводится почти в неизмененном виде доказательство, приведенное в цитированной уже статье автора „О некоторых геометрических приложениях теории целых комплексных чисел“.

Обратное заключение не имеет места; так, например, не существует рационального треугольника, площадь которого равна 18.

Египетский треугольник есть наименьший по площади рациональный треугольник.

Нахождение всех прямоугольных рациональных треугольников равносильно решению в целых числах неопределенного уравнения

x2+y2 = z2.

Как изменяется алгебраическая сторона задачи в том случае, когда ставится проблема нахождения всех рациональных треугольников, независимо от того, обладают или не обладают они прямым углом?

Ответ на этот вопрос можно получить, установив связь поставленной задачи с теорией так называемых целых комплексных чисел, т. е. чисел вида

где X и у любые целые рациональные числа. Мы не будем ни излагать основ теории этих новых чисел, ни приводить доказательства только что высказанного утверждения и ограничимся лишь сообщением получающегося результата. Оказывается, что всякому рациональному треугольнику со сторонами (14):

а = lf; b = mg; c = nh

можно всегда сопоставить такие целые комплексные числа:

X=x1 + iy1; Y=x2 + iy2; Z = *â-f-/y3,

которые удовлетворяют неопределенному уравнению вида:

eX2 + mY2^=nZ2y (17)

и для которых имеют место равенства: xjf+j»»-/; x\+y>2=g; x\+?z = h.

Наоборот, всякому решению в целых комплексных числах уравнения (17) можно сопоставить рациональный треугольник со сторонами

а = Цх1+у2); b = m(xl+y>);

Приведем три примера Легко, например, проверить, что числа

ЛГ=1+2/; К=2-|-/: Z-=2-f-3/

удовлетворяют уравнению

7Х2+ 2K2 = 3Z2;

отсюда получаем рациональный треугольник со сторонами

я = 7(124-22) = 35; £ = 2(22 + 1*) = 10; с = 3(22 -(-32)=39.

С другой стороны, задав, например,

найдем:

/ = 17, /я = 7, л=12,

и затем:

оставляя по полученным результатам числа:

убеждаемся, что они удовлетворяют уравнению:

17*2-f7K2 = 12Z2.

Уравнение

X2 + 2Y2 = 3Z2 имеет решения:

ЛГ=2 —/; К=1 -f/; Z = l; они дают египетский треугольник а=5, Ь = Ь; с±=3.

Таким образом, нахождение всех рациональных треугольников оказывается равносильным решению в целых комплексных числах неопределенного уравнения, более общего, чем уравнение вида х2 -{-у2 -=z2. Вместе с тем возникает ряд вопросов о числе решений уравнения (17) и об их фактическом получении, о нахождении всех рациональных треугольников наперед заданной площади, о построении рационального треугольника с одной наперед заданной стороной и т. д. Целый комплекс вопросов, и элементарных и более трудных, в то же время достаточно интересных, оказывается связанным с задачей о рациональных треугольниках. Исследование и решение этих вопросов, дальнейшее обобщение задачи на случай рационального четырехугольника или вообще рационального многоугольника, стороны и площадь или стороны, площадь и диагонали которого выражаются целыми числами, имеют серьезное научно-педагогическое значение и представляют очень благодарную почву для самостоятельных занятий учащихся.

ТЕОРЕМА ЖЕРГОНА И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕЕ

Доц. ЗЕТТЕЛЬ (Москва)

Французским математиком Жергоном (Gergonne) в 1818 г. в „Nouvelles annales mathématiques“ была доказана следующая теорема:

Черт. 1.

Если прямые AOD, ВОЕ, COF, выходящие из вершин треугольника ABC, пересекаются в точке О внутри треугольника (черт. 1), то:

(1)

(2)

Доказательство теоремы чрезвычайно просто.

Так как площади треугольников АОС и ABC относятся, как их высоты, а последние относятся, как ОЕ и BE (опустив из В и О высоты, получим подобные треугольники), то:

Аналогично:

Сложив найденные равенства, получим:

Итак, первая часть теоремы доказана. Легко доказывается и вторая часть. Так как

Примечание. Теорема Жергона остается справедливой, если точка лежит не только внутри треугольника, но и на стороне треугольника (черт. 2).

Действительно, рассматривая АС один раз как прямую, проведенную из вершины А, а другой раз как прямую, исходящую из вершины С, получим:

(1)

Третье слагаемое в равенстве (1) обратилось в нуль.

(2')

Черт. 2.

В настоящей заметке я хочу обратить внимание на теоремы, легко получающиеся из теоремы Жергона. Ни в подробных курсах элементарной геометрии, ни в журнальной литературе, посвященной геометрии треугольника, мне не приходилось встречать этих теорем.

Теорема первая. Прямые, проведенные параллельно противоположным сторонам треугольника через середины отрезков, соединяющих произвольную точку, взятую внутри треугольника или на его стороне с вершинами, отсекают треугольники, подобные данному, так, что сумма трех линейных сходственных элементов этих треугольников равна сходственному элементу данного треугольника.

Доказательство. Первый случай. Точка О взята внутри треугольника (черт. 3) и соединена с вершинами.

Отрезки АО, ВО, СО продолжены до пересечения с противоположными сторонами соответственно в точках D, Е и F. Через точки D', Е1 и F1 — середины отрезков OA,

OB и ОС — проведены прямые, параллельные сторонам ВС, АС, AB.

Знаменатель отношения двух сходственных элементов треугольников LAK и ВАС обозначим через КА, треугольников MBN и ABC через Кв и треугольников PCQ и ABC через Кс. Имеем

(3)

Черт. 3

Умножив обе части равенства (3) на произвольную величину d, где d любой линейный элемент треугольника ABC, получим:

KAd + KBd + Kcd = d .... (4) dA + dB + dc = d.....(5)

где dA, dB, dc — элементы, сходственные элементу d, соответственно в треугольниках LAK, MBN и PCQ.

Полагая d равным, например, радиусу г вписанного круга, получим: сумма радиусов кругов, вписанных в отсеченные треугольники, равна радиусу данного круга. Давая d различные значения, например R— радиус описанного круга, получим аналогичную теорему относительно радиусов кругов, описанных около отсеченных треугольников и т. д.

Второй случай. Пусть точка О взята на стороне АС треугольника ABC (черт. 2).

Проведем через середины отрезков АО, ОС и OB прямые, параллельные соответственно сторонам ВС, AB и АС. Треугольники ALK, MBN и PCQ — искомые треугольники.

Из доказанной теоремы получаем следствие, касающееся сторон шестиугольника MNQPKL.

Противоположные (параллельные) стороны шестиугольникаMNQPKL равны между собой.

Действительно, из чертежей (черт. 2 и 3) имеем:

АК+КР+РС = АС . . . (6)

Из подобия треугольников

ALK и АВС:АК=КА-АС MBN и ABC: MN=KB-ВС QCP и АВС:РС = КС-АС

Следовательно,

АК+MN+РС= АС. (7)

Сравнивая равенства (6) и (7), получаем

MN=KP.

Теорема вторая. Если на прямых, исходящих из вершин треугольника и пересекающихся в одной точке внутри треугольника, отложить от вершин отрезки, соответственно равные отрезкам от общей точки до пересечения с противоположной стороной, и через полученные точки провести прямые, параллельные противоположным сторонам, то сумма трех сходственных линейных элементов полученных треугольников равна сходственному элементу данного треугольника.

Воспользуемся для доказательства чертежом 3, полагая, что AD* = OD, BEf = OE и С F9 = OF.

Отсюда имеем:

В дальнейшем доказательство аналогично тому, что было дано для первой теоремы. Противоположные стороны полученного шестиугольника MNQPKL равны между собой.

ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ШКАЛ К РЕШЕНИЮ ТРЕУГОЛЬНИКА ПО ТРЕМ БИССЕКТРИСАМ ВНУТРЕННИХ УГЛОВ

Ч. ДОМБРОВСКИЙ (Минск, БССР)

С виду элементарная, задача решения плоского треугольника по данным трем длинам заключающихся внутри треугольника частей биссектрис его внутренних углов (в одном старом учебнике тригонометрии в XIX столетии — Nilwglowski, Warszawa — помещенная в числе элементарных задач) приводит к системе уравнений четвертой степени, не „биквадратных“ и не возвратных (симметричных).

Но с помощью построения функциональной шкалы одной функции и с помощью логарифмической шкалы соответствующего масштаба задача легко практически решается.

Пусть будут wa, wb, wc упомянутые биссектрисы, причем wa делит пополам угол Л и т. д. Тогда, как известно, обозначая стороны треугольника через û, b, с, причем сторона а лежит против вершины угла А и т. д., а через р — полупериметр треугольника, т. е.

(1)

имеем :

(2)

откуда:

откуда еще:

(3)

Поскольку jjjjj симметрично относительно всех трех сторон треугольника, то, обозначая ^ через Ху ^ через у и ^ через z, получим:

(4)

иначе говоря, разности между значениями функции

(5)

соответствующими трем сторонам треугольника, т. е. значениями

Ч*)\ /су). /(*).

будут равны разностям между значениями функции

21g и, (6)

относящимися к соответствующим биссектрисам, т. е. значениями

21g wa% 2\gwb, 2\gwc.

Функция 21g w, как известно, монотонная. Но и /(/) тоже монотонная. Ибо, если мы обозначим —JJ— через £, - через /я, а а + Ъ - через я, то имеем:

так что /(л) есть монотонная функция k (ибо с увеличением k уменьшается —следовательно, увеличивается!—~^ , увеличивается также и (1 +£), а в свою очередь, есть монотонная функция х, ибо с увеличением х уменьшается k +1, а значит и Следовательно, f(x) есть монотонная (убывающая) функция X, что позволяет построить ее функциональную шкалу.

Вот вычисленная мною для этой цели табличка значений функций /“(/):

Нанесем эти значения функции на шкалу с масштабом, вдвое меньшим масштаба логарифмической линейки. Параллельно перечертим шкалу логарифмической линейки, повторенную два или полтора раза. Тогда решение треугольника по трем биссектрисам б;дет состоять в:

1) использовании того факта, что очевидно

x+y + z=\; (7)

2) помечении на чистой полоске бумаги по логарифмической шкале трех пометок, соответствующих значениям wa, wbJ wc\

3) прикладывании так помеченной полоски бумаги к шкале функции /(/) до тех пор, пока не окажется, что сумма трех пометок этой шкалы, пришедшихся против трех пометок, сделанных на полоске, равна 1 ;

4) нахождении углов треугольника со сторонами X% у, z, подобного искомому, причем *1 У> z будут иметь значения найденных пометок шкалы функции /(/);

5) имея углы и биссектрисы, легко найти стороны искомого треугольника, ибо очевидно, например:

(8)

и т. д.

Точность решения — до трех знаков пр» чтении на-глаз третьего знака по функциональной шкале.

Надежность решения неплохая, как показывают практические примеры. Например, если wa — l, wb= 8,1, wc = 9,7, то получаем после 1 минуты попыток:

лг = 0,278, ^ = 0,340, z = 0,382.

Отсюда уже обычными путями по формуле (8) находим а и по аналогичным формулам h и с после вычисления углов по известным формулам:

(9)

и двум аналогичным.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПАППА-ГУЛЬДЕНА МЕТОДОМ НЕДЕЛИМЫХ

Проф. С. ПОЛЯКОВ (Тула)

Известная теорема Гульдена об объеме и поверхности тел вращения впервые была установлена еще в конце III в. Паппом в его „Математических коллекциях“. В VII книге Папп говорит: „Отношения между собой фигур, происшедших от вращения линии или поверхности, находятся между собой, как произведения образующих фигур и окружностей, описанных из центра тяжести“1). Возможно, независимо от Паппа, в 1635 г. ученый иезуит Гульден формулировал свою теорему так: „Величина объема или поверхности вращения равна производящей площади или линии, умноженной на путь, пройденный ее центром тяжести“. Сам Гульден не смог дать доказательства теоремы, но его современник Кавальери, защищая метод неделимых от нападок Гульдена, дал, по словам М. Выгодского, „изящное инфинитезимальное доказательство“ этой теоремы. Современная наука обычно дает доказательство теоремы Гульдена в курсах интегрального исчисления, но большое значение этой теоремы и в технике вызвало попытки и элементарных доказательств. В своей „Стереометрии“ проф. Глазер применил к доказательству метод неделимых. Метод неделимых еще в XVII столетии оценил Паскаль, говоря: „Все, что доказано верно понятным методом неделимых, может быть доказано строго и способом древних; один от другого они отличаются лишь внешними выражениями

1) Уже Архимед в „Эфодике“ указал на барицентрическую установку исследования при помощи механики некоторых геометрических вопросов, а также и для доказательства соответствующих выводов.

идей“. Проф. Глазер в своем доказательстве опирается и на найденную Паскалем математическую индукцию, использовав аналогию между метрическими свойствами прямой косоусеченной призмы и тела вращения. Он оправдал здесь верное замечание Пуанкаре: „Построение при помощи математической индукции приобретает интерес только тогда, когда можно определить его место в ряду аналогичных построений и образовать таким образом виды одного и того же родового понятия“

Учитывая указанную историческую перспективу барицентрической установки метода неделимых и математической индукции и в интересах освежения методов доказательства элементарной геометрии, я своей заметкой обращаю внимание на доказательство теоремы Гульдена проф. Глазером. Четкое, яркое, глубоко интересное выявление в этом доказательстве названных методов делает особенно ценным изучение теоремы Паппа-Гульдена в курсах элементарной геометрии. В несколько измененном виде я здесь привожу доказательство Глазера.

В основу метода неделимых, мне кажется, следует положить принцип, что предел суммы и предел отношения бесконечно-малых количеств не изменяются при замене слагаемых и членов отношения эквивалентными им элементами.

1. ОБЪЕМ ПРЯМОЙ ТРЕХГРАННОЙ КОСОУСЕЧЕННОЙ ПРИЗМЫ

Объем прямой трехгранной косоусеченной призмы равен произведению площади ее основания на расстояние между центрами тяжести основания и сечения.

Пусть косоусеченная призма АВСС1В1А1 (черт. 1) имеет площадь основания ABC, равную Q; центрами тяжести ее основания и сечения АлВгСл будут точки О и 03> расстояние между которыми будет равно о; обозначим боковые ребра призмы ААУ через а, ВВ1 через b и ССЛ через с. Центр тяжести основания О будет находиться на медиане AD в точке, делящей ее в отношении AO:OD — = 2:1. Центр тяжести Ол будет находиться «а медиане A^D} в точке, делящей ее в отношении АгОл : ОгО} = 2:1; так определяются центры тяжести треугольников формулами механики. По свойствам трапеций в трапеции ВВгС2С средняя линия DDl равна 2 , а в трапеции AA^D^D прямая ООл параллельна сторонам АА} и DD., так как AO:OD = — А^Ог : OxD^ ; разности ААл — 00, — а — S и 00, — DD1 = S--у— пропорциональны отрезкам А ^ О, и О, Dv иначе(а—.S) : (S— —^— ) = 2:1. Из этой пропорции а+ b+c = 3S.

Если призму АВССЛВЛАЛ разложить диагональными плоскостями АЛВС и АгВ}С на три пирамиды АЛАВС, АЛВ^ВС и А^В^С^С, то каждая из выделенных пирамид будет равновелика пирамидам с основанием ABC и с высотами AAV ВВг и СС3, а именно:

А1АВС = (~\АЛВ ВС равновелика сАВ2ВС, так как у них общее основание В^ВС и вершины А, и А на прямой, параллельной основанию, или АВгВС = Щс- ; АгВгСгС равновелика АВС^С, так как у них равновеликие основания ВгСлС и ВС^С и вершины А} и А на прямой, параллельной основанию, или О А\В\СЛС =-^-. Следовательно, объем призера , Q-b « Q.c О, , , , v мы равен -f -f^*—= - (a+^-f-c) = QS.

2. ОБЪЕМ ПРЯМОГО КОСОУСЕЧЕННОГО ПРИЗМАТИЧЕСКОГО ТЕЛА

Если прямое косоусеченное призматическое тело (призма или цилиндр) составлено из двух косоусеченных призматических тел, объемы которых определяются произведением площади основания на расстояние между центрами тяжести основания и сечения, то

Черт. 1.

и объем разлагающегося тела определяется аналогичной формулой.

Предположим, что тело ACBDdbca (черт. 2) разлагается на два тела АВСсЬа и ADBbda, объемы которых соответственно равны (пл. ABC). OjOj и (пл ADB). 02о2. Объем ACBD àbca равен (пл. ABC). Оло^+(nn.ADB). 02о2= — Q]6,1 -f- Q2S2. Центр тяжести общего основания О определяется формулой механики ОгО:002 = Q2:Q-[- Центр тяжести общего сечения определяется аналогично формулой o1o:oo2=q2:q7 = (Q2 : cos a) :(Q1 :cos а) = = Q2 : Qj ; здесь а — угол наклона сечения к основанию, Q2 и — проекции q2 и q^. По свойству трапеции найдем из трапеции 01Oso2o]9 что Оо II 0^ол II 02о2 и (О^—06): : (Оо — 02о2) = OjO : 002. Следовательно, (S, — 5) : (S - S2) = Q2:QV или (S, - S) ■ Q3= =(5 — 5a) - Q2, или S,— 5Q, = SQ2—S2Q2, -•ли ^ + 6“202 = 5- (Qt -f- Ç2), или объем ACBDdbca = S-(Q, -f- Q2) = Q-S.

Очевидно, эта формула справедлива для всякого прямого косоусеченного призматического тела. Плоскогранное тело разлагается на ограниченное число трехгранных призм; если оно разлагается на /г-|-1 призм, то оно состоит из двух тел — из /г-гранной призмы и трехгранной призмы; отсюда следует, если формула справедлива для /г-гранной призмы, то по доказанному предложению она остается справедливой и при п -f-1 гранях. Призматическое тело с цилиндрической поверхностью разлагается на бесконечно-малые секторы трехгранной призматической формы; рассматривая вписанные и описанные около секторов трехгранные призмы, мы найдем, что эти призмы и секторы эквивалентны (отношение бесконечно-малых площадей треугольников оснований будет равно отношению квадратов их сторон, стремящемуся к единице). Таким образом, и в этом случае призматическое тело, разлагаясь на трехгранные призмы, повторяет ту же формулу для выражения и вычисления объема.

3. БОКОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ПРЯМОГО КОСОУСЕЧЕННОГО ПРИЗМАТИЧЕСКОГО ТЕЛА

Боковая поверхность прямого косоусеченного призматического тела равна произведению периметра основания на расстояние между центрами тяжести периметров основания и сечения.

Боковая поверхность прямого косоусеченного призматического тела (черт. 3) состоит из трапеций, параллельные стороны которых (ребра призмы) обозначим через аг, а2, ав...ая; стороны трапеций, составляющие периметр основания призмы, обозначим через b1% Ь2% bz...bn\ расстояния между центрами тяжести последовательно образуемых периметров основания и сечения обозначим через }clt cv с3...сп; площади граней обозначим через Q2, Q3...Qn. Вычислим в последовательном порядке площади первой грани, вместе — первой и второй, вместе — первой, второй и третьей граней и т. д. Так как центрами тяжести непараллельных сторон трапеции будут средины сторон, а средняя линия соединяет эти

Черт. 2.

Черт. 3.

центры, то Qj = а{^а*. bj = Ьг • с}. Центры тяжести первых двух сторон периметра основания и периметра сечения будут лежать на прямых, соединяющих средины сторон основания и средины сторон сечения, причем будет иметь место пропорция на основании формул механики и свойства трапеций ; (с1 — с2) : (с2 — Да + g3) _ ^. ^ Решая эту пропорцию, получим Ьхсг— Ь^с2 = Ь2с2 — a<2^a*-b2, или Vi + h = (Vb h) • cv или Q1 + Q2= (b2 -f- b2)-c2. На тех же основаниях дальнейшее вычисление дает:

или

или

или

Эта зависимость остается верной и для всех остальных площадей. Если она верна для Qi + *?2 + Qs-\~--Qn> т0 мы будем иметь

или

Отсюда вытекает справедливость формулы для боковой поверхности всякого прямого косоусеченного призматического тела.

4. ТЕОРЕМА ГУЛЬДЕНА

1. Объем тела вращения равен образующей его площади, умноженной на длину пути, пройденного при вращении ее центром тяжести.

2. Поверхность вращения равна длине образующей ее линии, умноженной на длину пути, пройденного при вращении ее центром тяжести.

Для доказательства разлагаем тело вращения (черт. 4) на бесконечно-малые пластики плоскостями, проходящими через ось вращения; таков, например, пластик Ол Ал А2 А3 03 В3 В2 Вг с центрами тяжести площадей сечения Сл и С2; этот пластик можно считать в предельном вычислении эквивалентным пластику 0хАгА2А303О3О2йл, у которого части поверхности вращения заменены плоскостями, проходящими через касательные AlDv A2D2>

A3D3 и через бесконечный ряд касательных между A2D2 и i43D3, проведенных через бесконечно малые промежутки поверхности двойной кривизны. Каждая касательная плоскость образует бесконечно-малый пластик с фигурой прямой косоусеченной четырехгранной призмы; основанием ее будет плоскость сечения тела вращения, например О^А^А^О^ боковыми ребрами будут АгОг и A2D2 и точки 02 и Ov сечением призмы будет плоскость 0^илО202. Объем каждого пластика будет давать произведение площади основания (например ОлАгА2А303) на расстояние между центрами тяжести (С,С2). В пределе сумма объемов пластиков равна объему тела вращения, сумма боковых поверхностей пластиков равна поверхности вращения, путь центра тяжести площади 01А1А2А303 образуется из бесконечно-малых дуг С1С2 и путь центра тяжести периметра А1А2А3 образуется из бесконечно-малых дуг сдс2. Следовательно, объем тела равен Q»2tïR, а поверхность — Я.2я.г

Черт. 4.

КОСМОС И РАЗВИТИЕ ФИЗИКИ

Проф. Б. ВОРОНЦОВ-ВЕЛЬЯМИНОВ (Москва)

ВВЕДЕНИЕ

Изучение строения материи и ее развития, выяснение общих законов, управляющих взаимодействием и движением отдельных ее частей, осуществляется путями опытного познания материи и теоретического анализа получаемых при этом результатов.

Опытное познание материи и ее свойств достигается, в основном, по двум руслам: одним из них является наблюдение явлений, как они естественно протекают в природе, вторым является эксперимент, т. е., по существу, то же наблюдение, но наблюдение явлений, вызываемых искусственно, в удобный для нас момент, в удобном для нас месте и в специально интересующих нас условиях. Хотя в последнее время благодаря бурному развитию техники роль эксперимента начинает все больше преобладать над непосредственным наблюдением, последнее еще далеко не утратило своей роли.

Непосредственное наблюдение явлений, протекающих в природе без нашего вмешательства, обладает следующими основными недостатками: 1) эти явления протекают часто слишком быстро или слишком медленно для возможности их тщательного изучения; 2) место и время, где они разыгрываются, могут быть слишком для нас неудобными, например: явление происходит неожиданно, или слишком редко, или в далекой, малодоступной местности и т. д.; 3) такие явления протекают обычно недостаточно „чисто“, будучи осложнены наложением других явлений и других влияний, учесть которые количественно бывает трудно или даже невозможно.

Все эти недостатки в эксперименте полностью или частично устранены; но есть еще много явлений, которые экспериментально, в лаборатории, воспроизводятся с большим трудом, или же требуют непосильных затрат, либо же вообще неосуществимы при современном состоянии техники.

Есть, однако, у эксперимента в пределах его практической и даже принципиальной возможности еще два недостатка.

Естествоиспытателя интересуют не только строение материи, принимаемые ею формы и законы ее движения. Его в равной мере интересует и то, какие формы, принимаемые веществом, вообще наиболее распространены в природе, во вселенной; при каких условиях какие законы и условия движения являются преобладающими и как само по себе протекает в разных случаях развитие материи без нашего вмешательства. На эту группу вопросов эксперимент, вообще говоря, ответа дать не может. Ответ на это дается непосредственным наблюдением.

Кроме того при изучении подробностей в ряде явлений нам уже необходимо знать некоторые наиболее общие законы природы, необходимо исходить из некоторых наиболее общих физических принципов. Последние несут с собой идеи, руководящие постановкой наших экспериментов и развитием нашей теории. История развития физических наук показывает, что эти принципы претерпевают по временам значительные изменения, и в таких случаях для проверки их опять-таки необходимо прибегать к наблюдению природы-.

Но что такое представляет собой природа для естествоиспытателя? Конечно, это не лужок с бабочками и коровками, не пруд под развесистыми ивами и даже не Земля с ее суровыми арктическими областями и знойными тропиками. Природа вообще — это вселенная, или космос, с бесчисленным множеством заполняющих ее небесных тел — отдельных электронов, молекул, планет, звезд и звездных вселенных. Мы часто забываем, что природа на поверхности Земли есть одно из частных и, может быть, весьма редких проявлений космоса. Таким образом, ответ на первую и вторую группу вопросов может быть дан только при условии наблюдения явлений, протекающих в космосе.

В связи с обеими группами вопросов, отмеченных выше, многие физические явления бывает необходимо наблюдать в их макроскопическом проявлении. Следует вспомнить, что некоторые явления в макроскопическом масштабе проявляют себя с новой качественной стороны, совершенно не обнаруживающей себя в малых масштабах. Например, свойства тяготения или свойства упругого твердого тела едва ли можно было бы вывести, наблюдая взаимодействия небольшого числа молекул. Точно так же, например, установление конечной скорости распространения света задержалось бы на неопределенный срок, если бы в 1673 г. Реймеру не пришлось наблюдать прохождение луча света в макроскопическом масштабе — от спутников планеты Юпитер до телескопа земного наблюдателя.

Проверка многих физических теорий на опытном материале путем сравнения предска-

заний теории с наблюдательными данными зачастую может быть осуществлена лишь при тех масштабах времени, пространства и массы, какие мы встречаем только в космосе. В качестве примера можно указать на проверку математического выражения закона тяготения или взаимодействия массы и энергии.

Наконец, подчеркиваем еще раз очевидное положение, что познать все свойства вещества можно лишь тогда, когда мы изучим его поведение в разнообразнейших условиях. Мало успеха имел бы тот физик, который стал бы изучать воду только в жидкой фазе ее состояния,— не больше, чем повар, „изучающий“ рыбу по котлетам из соленого судака.

И вот, в связи с этим, необходимо отметить существование границ в технике экспериментов настоящего. Огромное разнообразие плотностей, давлений, температур и т. п., не осуществимое сейчас в лабораториях физиков, мы встречаем в космосе, где туманности и звезды сами являются как бы гигантскими лабораториями, в грандиозном масштабе осуществляющими эти физические условия. Счастливая задача физика состоит в том, чтобы наблюдать эти происходящие в космосе явления и сопоставлять их с данными его (физика) теории и его эксперимента. Несчастье физика состоит тут лишь в том, что ни ускорить, ни замедлить, ни разделить течения этих процессов он не может. Фактически исследование физиком космоса составляет задачу астрофизика, и цель автора настоящей статьи заключается в том, чтобы показать взаимную связь астрофизики с физикой в обычном, „земном“ смысле этого слова. Связь и взаимное влияние этих двух областей науки давно осознаны и теоретиками, и физиками-экспериментаторами, и астрофизиками-наблюдателями, но странно, что здесь мы, может быть впервые, делаем попытку представить это в достаточно конкретной и последовательной форме.

История развития науки дает не мало материала для этой темы, но мы по необходимости ограничимся современным нам этапом, который, однако, наиболее интересен в этом отношении. Интересующие нас вопросы мы сейчас последовательно и рассмотрим.

АРЕГАТНОЕ СОСТОЯНИЕ ВЕЩЕСТВА ВО ВСЕЛЕННОЙ

В каком состоянии: твердом, жидком или газообразном по преимуществу находится вода? Вероятно, большинство, не задумываясь, ответило бы, что в жидком. Однако ответ воображаемого жителя Антарктики был бы, вероятно, иной — он мог бы скорее всего ответить, что наиболее распространенной фазой состояния воды является твердое состояние — лед. Оба они были бы правы, если бы добавили, какую часть вселенной они имеют в виду.

Если же поставить подобный же вопрос об агрегатном состоянии вещества вообще, то, вероятно, большинство назвало бы твердое состояние. При требовании же уточнить это определение естественно ожидать ответа, что по крайней мере это справедливо для Земли. Все же и это было бы недостаточно точно. Это верно для земной коры. Для Земли в целом ответ дать весьма трудно, так как состояние внутренних областей Земли нам известно весьма плохо. Вероятнее всего оно является надкритическим — обладая, ввиду высокой температуры и давления в недрах земли (около 2500° и 3 • 106 атмосфер), такими как будто противоречивыми свойствами, как огромная упругость, твердость, пластичность и текучесть при плотности, равной 11 г/см*.

Рассматривая вселенную более широко, мы замечаем, что уже в нашей солнечной системе на планеты приходится только незначительная доля общей массы (около 0,001), которая, главным образом, сосредоточена в Солнце. За пределами солнечной системы масса, как показывают наблюдения, распределена таким же образом, т. е. подавляющее ее количество заключено в звездах — самосветящихся небесных светилах, вполне аналогичных Солнцу. На относительно твердые, не светящиеся самостоятельно тела—планеты и кометы (существующие, вероятно, далеко не около каждой звезды), приходится сравнительно ничтожная доля общей массы вселенной. Еще меньше ее приходится, повидимому, на отдельные атомы и космическую пыль, образующие разреженную среду, заполняющую межзвездное пространство. Во всяком случае, пока нет никаких указаний на существование темных, погасших звезд в пределах известной нам части вселенной.

Таким образом, типичным для вселенной состоянием вещества является то, которое мы встречаем в звездах. Поскольку звезды являются раскаленными шарами с атмосферами, состоящими из высоконагретых светящихся паров и газов, можно сказать, что это состояние и является характерным для вселенной.

Однако при более глубоком подходе к вопросу дело оказывается не вполне ясным. Действительно, мы можем утверждать с полной определенностью, что в основной массе всякой звезды, под ее поверхностью, господствуют огромные давления и температуры не ниже 3000°, доходящие в центре до десятков миллионов градусов или выше. Теоретическая

астрофизика в настоящее время еще не в состоянии вполне определенно сказать, каково состояние материи в недрах звезд при этих исключительных физических условиях. Затруднение заключается не столько в том, что экспериментальная физика не имеет по этому вопросу никаких данных, сколько в том, что неизвестны источники внутризвездной энергии, а без знания их решение вопроса крайне затруднено и, может быть, даже невозможно. Тем не менее на настоящем этапе наших знаний мы можем сказать, что каково бы ни было физическое состояние внутри звезд, оно должно быть тем или иным видом состояния одноатомного, диссоциированного и высокоиониированного газа. Плотность материи. Значительно труднее сделать заключение относительно наиболее часто встречающейся во вселенной плотности вещества. Поскольку наибольшее количество массы заключено, как мы говорили, в звездах, следовало бы знать распределение плотностей в их недрах. Этого мы, к сожалению, еще не знаем. Характерным, однако, является то, что сравнительно плотные звезды разделены громадными промежутками чрезвычайно разреженного межзвездного пространства. Так, расстояния между звездами в миллионы раз превосходят их диаметры. Средняя плотность известной нам звездной вселенной (если по ней равномерно распылить всю массу звезд) оказывается равной 10~30г/сл*8, т. е. чудовищно мала в сравнении с теми средними плотностями, с которыми обычно приходится оперировать земному физику.

Если не говорить о межзвездном пространстве и о плотностях в недрах звезд, то все же в небесных телах мы встречаем вещества с плотностью, изменяющейся в пределах, совершенно недоступных для лаборатории. Так, например, в газовых туманностях, светящихся под действием ультрафиолетового света звезд, благодаря процессам, напоминающим флуоресценцию, мы встречаем плотности порядка 10~20г/см*. Это уже не средняя платность, а довольно прочно определенная, реальная плотность составляющего эти туманности газа. В сравнении с этой интенсивно светящейся туманностью наши лучшие вакуумы, создающие плотность порядка \0~13 г]см3, представляют такие же плотные тела, как свинец в сравнении с водородом с давлением в 0,01 мм. При столь малой плотности туманностей длина свободного пробега молекул газа оказывается равной \07 км и промежуток времени между столкновениями — порядка 106 сек. В этих, не осуществимых пока в лаборатории, условиях процессы свечения газов приобретают особый характер, проливающий свет на строение атомов водорода, гелия, кислорода и других элементов, к чему мы еще вернемся ниже.

В том же небесном пространстве мы встречаем плотности совсем другого порядка, которые в лаборатории не только не осуществимы, но на первый взгляд представляются просто невероятными. Говоря так, мы имеем в виду так наз. „белых карликов“, т. е. горячие звезды, имеющие при нормальных массах (примерно, равных массе Солнца) очень небольшой объем1). Благодаря слабой светимости из этих звезд могут наблюдаться только те, которые находятся в непосредственной близости от Солнца. Сейчас открыто уже несколько таких белых карликов, но, к сожалению, определение их средних плотностей требует знания их массы, последняя же может быть определена лишь в том случае, когда белый карлик входит в систему двойной звезды. Если эта пара звезд физическая, т. е. белый карлик и другая звезда обращаются по эллипсам относительно их общего центра тяжести с известным из наблюдений периодом, и если расстояние до этих звезд известно, к ним можно применить третий закон Кеплера:

Здесь тл и т2—массы двух звезд, M и m— массы Солнца и Земли, а а—полуось орбиты звезды-спутника относительно главной звезды, выраженная в единицах расстояния Земли от Солнца. Чтобы по отдельности определить массы обеих звезд, надо знать не только относительную орбиту меньшей звезды относительно большей, но и их орбиты относительно общего центра тяжести.

Необходимо иметь много данных для определения массы звезды, а следовательно, и ее плотности; этим и объясняется, почему точное значение средней плотности нам известно только для одного белого карлика — спутника Сириуса. Для изолированных, отдельных (не двойных) звезд, в том числе белых карликов, у нас еще нет способа определить их массу по плотности. Плотности одиночных белых карликов можно оценить лишь грубо, зная из наблюдений, что массы подавляющего большинства звезд заключены в пределах 0,1—10 масс Солнца.

Для спутника Сириуса все необходимые данные для определения массы известны весьма

1) Белым карликом называется, собственно говоря, звезда, имеющая малую абсолютную (истинную) яркость при высокой поверхностной температуре. Эти два признака и позволяют причислить ту или другую звезду к классу белых карликов.

точно. Его объем определяется знанием его полной светимости и его поверхностной яркости, вычисляемой по его температуре на основании закона Стефана Больцмана. Таким образом, средняя плотность спутника Сириуса оказывается равной 7700 г\смъ, или в 360 раз больше плотности платины. В недрах этой звезды плотность вещества должна быть еще значительно больше, а у поверхности ее, излучающей наблюдаемый нами спектр, эта плотность близка к нормальной плотности звездных атмосфер.

Подобная чудовищная плотность может быть объяснена только тем, что при крайне высоких температурах в недрах звезд атомы высокоионизированы, т. е. от них оторваны не только все внешние, валентные электроны, но, может быть, и часть внутренних. Поэтому размеры высокоионизированных атомов, определяемые радиусом самой внешней орбиты принадлежащих к ним электронов, оказываются гораздо меньше нормальных. Такие, уменьшенные в размерах, атомы могут быть сжаты, сближены друг с другом гораздо сильнее, чем неионизированные атомы. При этом их химический состав может быть самым обычным, например это могут быть атомы железа, гелия или водорода. Поскольку эти чудовищные плотности могут быть объяснены только современной теорией строения вещества, их существование само по себе является подтверждением правильности этой атомной теории.

Вопрос о том, как упомянутые звезды дошли „до жизни такой“ и почему ионизированные газы не во всех звездах сжаты так сильно — вопрос совсем другого порядка, и его разрешить должны будут астрономы совместно с физиками.

ТЕМПЕРАТУРА И ТЕМПЕРАТУРНАЯ ИОНИЗАЦИЯ

В области низких температур лабораторные исследования, хотя и не без труда и значительных затрат, подошли почти вплотную к нулю абсолютной температуры. Межзвездное пространство также имеет температуру, близкую к абсолютному нулю, но изучение непосредственно в нем протекающих явлений практически пока невозможно. Действительно, основным средством изучения процессов, происходящих вне Земли, является анализ испускания и поглощения света, между тем чрезвычайно холодное и невероятно разреженное межзвездное пространство не испускает света и поглощает его в чрезвычайно малой степени.

Иначе обстоит дело в области высоких температур. Здесь наши технические возможности ограничены температурами порядка 2000°, создаваемыми в электрической печи, и до 4000°, имеющими место в вольтовой дуге. Более высокие температуры могут быть получены искусственно лишь на чрезвычайно короткий срок и в малом масштабе, так что круг явлений, протекающих при этих температурах и доступных изучению, весьма ограничен. Любопытно, однако, что и эти кратковременные высокие температуры были осуществлены в астрофизической лаборатории Монт-вильсоновской обсерватории в связи с изучением звездных спектров. Для этой цели Андерсон в 1920 г. испарял чрезвычайно тонкие проволоки пропусканием через них мощного тока при разности потенциалов в 25 000 вольт. Продолжительность вспышки проволоки не превышала 10“5сек., а ее поверхностная яркость соответствовала приблизительно 20 000°. При этих вспышках стеклянные сосуды, содержавшие проволочку, силой взрыва превращались в мелкую пыль, в которой нельзя было узнать стекла.

Изучение звездных атмосфер доставляет сведения о процессах, происходящих при температурах в тысячи градусов, причем эти температуры поддерживаются в природе в течение биллионов лет. В первую очередь здесь много дает изучение атмосферы Солнца, обладающего в различных своих частях температурой от 4500 до 8000°. Беря всю последовательность нормальных звездных атмосфер, мы встречаем в ней полную градацию температур от 3000 до 35 000°. Некоторые звезды в центре так наз. планетарных туманностей, исследованные автором, имеют поверхностные температуры, достигающие 100 000 и 140 000°.

К настоящему времени изучены еще немногие явления, связанные с высокими температурами. В первую очередь здесь можно назвать явления температурной ионизации, диссоциации молекул на атомы и действие селективного давления света. Спектроскопическое изучение атмосфер звезд позволило, например, установить условия, при которых наступает диссоциация сложных молекул, как-то: окиси углерода, титана, циркония, циана и т. д. на отдельные атомы.

Ионизация атомов может быть вызвана, как это теперь выяснилось, различными путями, но одним из них, весьма интересным, является температурная ионизация. Выяснение этого факта, пионерские работы и их дальнейшее развитие полностью принадлежат астрофизикам.

Еще на заре астроспектроскопии было подмечено, что не все линии данного элемента одновременно усиливаются или ослабевают

в спектрах при переходе от одних звезд к другим. Линии, усиливающиеся при переходе к более белым и, следовательно, горячим звездам, были названы усиленными. Необходимость изучения лабораторных спектров, изучения элементов для отождествления темных линий поглощения в звездных спектрах, дала мощный стимул лабораторной спектроскопии. Особенно много в этом направлении было сделано лабораториями с астрофизическим уклоном и, в частности, А. С. Кингом. Последний установил изменение спектров элементов при их свечении в пламени бунзеновской горелки, электрической печи, в вольтовой дуге и в разрядной искре. Таким путем он произвел огромную по объему температурную классификацию линий, так как эти опыты показали зависимость получения тех или других линий от температуры, при которой они светятся. С развитием атомной теории оказалось, что эти усиленные линии астрофизиков являются линиями ионизированных атомов, о чем еще задолго до теории Бора догадывались астрофизики.

Вторым важнейшим этапом было создание теории термической ионизации, выполненное астрофизиком Мег над Саха и развитой Ресселем, Фоулером и Милном. Эта теория, исходя из принципов термодинамики, а позднее и квантовой механики, связала процент ионизированных атомов с абсолютной температурой и давлением газа. Вместе с тем эти же астрофизические наблюдения и теории сильно продвинули вперед выяснение механизмов возбуждения и излучения атомов. Наряду с названным эффектом эти моменты позволили уточнить и исходные данные — определение звездных температур по поведению линий в их спектрах.

Попутно можно заметить, что спектры поглощения, если не ограничиваться весьма низкими температурами, в лаборатории наблюдаются только в редких случаях. Такими случаями является самообращение некоторых линий в спектрах дуги или искры. Спектры поглощения удачно получаются лишь при опытах Андерсона и, безусловно, бесконечно богато представлены в атмосферах нормальных звезд и Солнца. Однако мировое пространство содержит неистощимые источники, вызывающие ионизацию и возбуждение атомов путем фотоэлектрических эффектов, столкновений и резонанса. Такие явления в грандиозном масштабе мы встречаем главным образом в газовых туманностях, физическая природа которых стала раскрываться лишь за последние шесть лет. Было выяснено, что ионизация газов (кстати сказать, крайне высокая) в этих туманностях — не температурная. Она вызвана фотоэлектрическим эффектом, когда кванты мощных потоков ультрафиолетового света звезд, нагретых до 30 000— 40 000° и выше, падают на атомы водорода, гелия и т. д. и вырывают из них электроны. Наряду с этим освободившиеся электроны, сталкиваясь с атомами ионизированного кислорода, возбуждают их и, что особенно интересно, возбуждают их до особых, так наз. метастабильных, состояний. Самопроизвольный возврат электронов из этих метастабильных состояний в обычные состояния сопровождается излучением так наз. запрещенных линий, в подавляющем большинстве случаев совершенно не воспроизводимых в лаборатории. Условиями в туманностях, необходимыми для переходов атомов из метастабильных состояний в обычные, является малая вероятность того, чтобы атом в течение достаточно долгого времени был ионизирован столкновением или квантом света. Это условие создается крайне малыми плотностями газа и энергии внутри туманности. Таким образом, в туманностях изучены редкие метастабильные состояния нейтральных и ионизированных атомов: углерода, азота, кислорода, фтора, неона, натрия, кремния, фосфора, серы и железа. Наибольшая продолжительность жизни атома в метастабильном состоянии (отличающемся от обычных состояний именно продолжительностью), наблюдаемая в лаборатории, равна 1 сек. и соответствует излучению линии ртути X 2269,80. Между тем, в туманностях продолжительность жизни атомов в метастабильных состояниях достигает порядка 104 сек. Отождествление подобных линий в спектрах светил производится главным образом посредством теоретических расчетов и оказывает, конечно, огромное влияние на все развитие теории строения атома.

Следующий момент, заслуживающий быть отмеченным, касается исследований равновесия кальциевой хромосферы и объяснения так наз. спектров Вольф-Райе.

Внешняя оболочка солнечной атмосферы, так наз. хромосфера, состоит в значительной мере из ионизированного кальция и простирается над солнечной поверхностью несравненно выше, чем это следовало бы теоретически при данной температуре и массе Солнца. Разработанная Милном теория показывает, что силой, поддерживающей кальций на больших высотах, как бы вопреки силе тяготения, является избирательное давление света. Это имеет место и для других атомов, если их так наз. спектральные линии находятся в интенсивной части солнечного спектра. Такие

атомы поглощают кванты света в области частот, соответствующих их линиям, возникающим в низших уровнях, и это оказывает на них отталкивающее действие, направленное по нормали к солнечной поверхности в сторону, обратную направлению тяготения.

Такое же отталкивание, вернее уже — выбрасывание атомов с огромными скоростями с поверхности горячих звезд приходится допустить для объяснения так наз. спектров Вольф-Райе. Спектры звезд типа Вольф-Райе состоят из ярких, очень широких полос, налагающихся на непрерывный или абсорбционный спектр звезды. Уточнение теории происходящих при этом физических процессов представляет задачу ближайшего будущего и раскроет еще одну сторону взаимодействия атомов с квантами энергии и с условиями, в которых они находятся в звездах.

РАЗВИТИЕ СПЕКТРОСКОПИИ И ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЭЛЕМЕНТОВ

Пожалуй, наиболее энергичным является участие астрофизики в развитии спектроскопии, несмотря на все осложнения, возникающие при изучении небесных светил. В этом разделе мы имеем в виду развитие главным образом наблюдательных и экспериментальных данных, однако они настолько связаны с развитием теории атома и теории излучения, затронутых в предыдущих разделах, что отделить их друг от друга, в сущности, невозможно. Вместе с тем, поскольку единственным средством изучить химический состав небесных светил являются спектральные наблюдения, последние оказываются в связи и с развитием наших представлений о периодической системе элементов.

В течение последних 30 — 40 лет астрофизические обсерватории и лаборатории усиленнейшим образом изучали звездные и лабораторные спектры, причем последние исследовались по возможности в разнообразных условиях. Накопление астроспектроскопических данных открывает нам все новые и новые особенности спектров, для объяснения которых у физика часто нет к моменту открытия достаточных данных. Таким образом, астрофизика дает ряд конкретных импульсов к развитию лабораторной спектроскопии и атомной теории. Иногда бывает и наоборот, что предсказываемое физической теорией явление может быть обнаружено только из астрофизических наблюдений.

Мы уже упоминали об огромном количестве лабораторных исследований, произведенных в Монт-вильсоновской и других обсерваториях, по изучению вида спектров разных элементов при различных условиях возбуждения свечения в смысле температуры, плотности, давления, влияния электрических и магнитных полей и т. п. Особенно интересными являются вопросы, связанные со спектрами высокоионизированных элементов. Так, например, в спектрах горячих звезд уже давно были известны линии Не II, Si IV, N IV, iVV, С IV, О IV, О V, О VI и др., которые лишь недавно частично воспроизведены в лаборатории Фоулером, Эдленом и другими. Частично они до сих пор искусственно не воспроизводимы и вычисляются по ожидаемым для них спектральным термам. Вместе с тем нельзя не вспомнить четырех частных фактов. Элемент гелий (т. е. в переводе с греческого „солнечный“) был обнаружен спектроскопически на Солнце в 1868 г. и лишь в 1895 г., после долгих поисков его удалось добыть в лаборатории. Курьезно, что этот „не земной, а солнечный“ газ приобретает все большее и большее техническое значение, не говоря уже об его исключительном значении в теории и в природе.

Второй случай касается того же гелия. Серия линий ионизированного гелия была открыта в спектрах наиболее горячих звезд и вызвала оживленную дискуссию среди астрофизиков еще в 1896 г., т. е. за шестнадцать лет до того, как ее впервые воспроизвели в лаборатории. Третий случай касается молекулярных спектров, наблюдаемых в кометах. Характерные дублеты ионизированных молекул окиси углерода, получающиеся при очень низких давлениях, были получены Фоулером в результате попыток выяснить происхождение давно уже известного спектра кометных хвостов. Таким же образом французский астрофизик Бальде изучил недавно тонкую структуру спектральных полос окиси углерода и обнаружил в них ряд важных закономерностей. Равным образом классификация термов высокоионизированных атомов кислорода, азота и других была выполнена астрофизиками Гротрианом, Паленом, Эдленом и другими. О четвертом случае, связанном с метастабильными состояниями кислорода, мы скажем несколько ниже.

Заметим еще, что сыгравшая огромную роль в создании современной атомной теории водородная спектральная серия Бальмера представлена в солнечном спектре двадцатью семью. линиями, в то время как в лабораторных спектрах это число не превосходить двадцати.

Астрономические наблюдательные данные дают вместе с тем указание на факт большого методологического и научного значения: на единство законов движения материи и ее

структуры как на Земле, так и в мировом пространстве. В частности, спектральный анализ не обнаружил пока в звездах и Солнце никаких химических элементов, не представленных на Земле и не укладывающихся в периодическую систему элементов. Одними из последних разрешенных загадок явились открытие гелия и объяснение природы так наз. небулия. Ряд ярких линий в спектрах газовых туманностей приписывался очень долго гипотетическому элементу— небулию. Боуэном в 1928 г., однако, было доказано теоретически, что эти линии излучаются при переходе дважды ионизированных атомов кислорода из метастабильных состояний в другие, более обычные. В 1933 г. японским физикам Нагаока и Футагами, создавшим для этой цели специальную аппаратуру и методику, удалось как будто воспроизвести (правда, далеко не в чистом виде) главнейшие линии этого „небулия“ в лаборатории.

Астрофизические данные позволяют вывести заключения о, так сказать, мировом распространении различных элементов Не имея возможности вдаваться в этот вопрос, укажем лишь, что в атмосферах звезд наиболее распространены количественно водород, кислород, магний и железо. Неон и фтор также встречаются чаще, чем мы привыкли думать на Земле. Химический анализ метеоритов, этих осколков каких-то небесных тел, падающих на Землю, также не обнаруживает неизвестных на Земле элементов.

В заключение этого раздела упомянем, что важное следствие теории колебаний — принцип Доплера-Физо для случая света был впервые экспериментально проверен недавно скончавшимся почетным директором Пулковской обсерватории, академиком А. А. Белопольским. Другое следствие физической теории света, вытекающее из электромагнитной теории Максвелла —• существование общего светового давления—лучше всего в грандиозном масштабе иллюстрируется отталкивательным действием Солнца на протуберанцы и хвосты комет.

ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И АСТРОФИЗИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ

В таком большом и принципиальном вопросе, как замена классической физики релятивистской, исходящей из основ теории относительности Эйнштейна, астрономическим данным предоставляется, как известно, веское, чуть ли не решающее слово Три следствия, вытекающие из принципа относительности: вековое ускорение в движении перигелия Меркурия, отклонение луча вблизи диска Солнца и смещение линий к красному концу в спектре светил с большим напряжением силы тяжести на поверхности — явились основными аргументами, которые после их астрономической проверки подняли теорию относительности на высшую ступень. У нас нет, конечно, возможности снова повторять историю этих открытий, да и едва ли в этом есть необходимость, настолько они общеизвестны. Ограничиваясь напоминанием о них, мы укажем лишь на некоторые новейшие и менее известные данные.

Более точные измерения приводят к худшему числовому согласию в величине „красного смещения“ линий в спектре белого карлика — спутника Сириуса. Новые данные, с точки зрения теории относительности, требовали бы величины-f-10 км\сек (старое значение было-{-17 кн\сек), тогда как наблюдения дают величину этого смещения равной -f- 19 км\сек.

Для проверки этого эйнштейновского смещения необходимо знать точно массу звезды и ее радиальную скорость, т. е. этот белый карлик должен быть одним из членов хорошо изученной двойной звездной системы. Пока такому условию удовлетворяет только спутник Сириуса. Есть, однако, случай, где в ближайшем будущем красное смещение также сможет быть обнаружено. Согласно исследованиям автора настоящей статьи, ядра многих планетарных туманностей являются белыми карликами. У некоторых из них можно ожидать „красное смещение“ в спектре гораздо большее, чем у спутника Сириуса. Оно может быть обнаружено путем сравнения положения линий в спектре ядра с положением линий, испускаемых самой туманностью, так как для последних эффект Эйнштейна должен быть ничтожно мал. К сожалению, такие наблюдения крайне трудны, но у одной из туманностей (Ngc 6826) в ядре, повидимому, обнаруживается смещение -j- 54,3 км\сек. К сожалению, масса этого ядра неизвестна, и потому сравнивать количественным образом полученные данные с выводами теории относительности невозможно.

Другой наблюдаемый факт ставит нас перед лицом либо совершенно нового физического явления, либо перед возможностью выяснить наиболее общие свойства пространства и времени, быть может, более сложные, чем принятые в классической физике. Не исключена еще совсем и возможность того, что причина факта кроется в известном уже физическом явлении, усиленном благодаря грандиозности масштабов, которые здесь замешаны. Под упомянутым фактом мы имеем в

виду огромные смещения спектральных линий к красному концу в спектрах далеких звездных систем, так наз. спиральных туманностей. Такие огромные смещения, достигающие 19 000 км\сек (7ô/0 скорости света), нельзя приписать упомянутому выше эффекту Эйнштейна, тем более, что эти смещения правильно возрастают с увеличением расстояния от нас до туманностей. Для объяснения этой загадки, пока еще с сомнительным успехом, было выдвинуто немало теорий. Большинство из них основывается на принципе относительности, добавляя к нему некоторые произвольные постулаты. Так или иначе, но мимо этой проблемы не может пройти спокойно ни один современный физик. Очень возможно, что эта проблема затрагивает самые основные положения физической науки.

ЗВЕЗДНАЯ ЭНЕРГИЯ И ФИЗИКА БУДУЩЕГО

Изучение вероятного строения звездных недр тесно связано с вопросом об источниках звездной энергии и дает богатую пищу для развития теоретической физики. В настоящее время твердо установлено, что эволюция звезд протекает настолько медленно, что никакие элементарные процессы, вроде сжатия, не в состоянии генерировать то огромное количество энергии, которое излучается звездами в течение их жизни. Источники звездной энергии являются самыми мощными в мире, и поиски их ставят перед физиками множество вопросов. Могут ли существовать в недрах звезд исключительно радиоактивные, тяжелые элементы, не находимые в земной коре, и каковы их свойства? Не происходит ли в недрах звезд процесс синтеза атомов, не наблюдавшийся в лабораториях? Не происходит ли в толщах звезд превращение их массы в лучистую энергию? Ответ на это даст физика будущего.

Вместе с тем данные астрофизики предъявляют теории строения вопрос, каково должно быть состояние газа в центре звезды при огромных плотностях, температурах и давлениях, которые там должны быть. Применимы ли там законы идеального газа, каковы там между молекулярные силы, не безнадежно ли решение этих вопросов до создания релятивистской квантовой механики и т. д.?

В область мирового пространства направляют физиков поиски источников известного, „проникающего“ или „космического“ излучения. Где — в недрах звезд, темных ли туманностей или еще где-либо возникает это таинственное излучение, достигающее Земли, и каковы породившие его на свет физические процессы?

С тем же мировым пространством сталкивают нас поиски решения проблем термодинамики и доказательств ограниченности ее второго принципа. Наконец, только изучение мирового пространства позволит уяснить нам взаимодействие вещества и излучаемой им энергии, так как некоторые ученые допускали возможность полного превращения массы звезд в лучистую энергию. Происходит ли вообще такой процесс и если происходит, то нет ли где-нибудь во вселенной областей, где происходит синтез, превращение лучистой энергии в атомы и электроны?

В этой статье невозмсжно более подробно рассмотреть все затронутые вопросы.

Все же можно надеяться, что взаимодействие физических и астрофизических данных, роль космоса в развитии физики освещены здесь достаточно конкретно. Полное сознание этой связи, этого взаимопроникновения совершенно необходимо для успешного отражения в нашем сознании объективной реальности во всем ее многообразии.

ЗАПИСЬ ЗВУКА В ЗВУКОВОМ КИНО

В. ФУРДУЕВ (Москва)

Среди разнообразнейших технических новинок, вошедших за последние годы в обиход повседневной жизни, звуковое кино, бесспорно, занимает первое место: оно привлекает к себе наиболее острый интерес, наиболее пристальное внимание. Это объясняется, с одной стороны, тем, что еще немой кинематограф—предшественник звукового кино—прочно овладел многомиллионной аудиторией, сделавшись не только излюбленным развлечением широкого круга зрителей, но и орудием их научного и культурного воспитания. С другой стороны, повышенный интерес к звуковому кино в известной степени связан с многообразием его технических средств и возможностей: техника звукового кино родилась и развилась из сложнейшего узла проблем, относящихся к целому ряду прикладных отраслей физической науки, в частности, к радиотехнике, насчитывающей в своих рядах наиболее многочисленных адептов.

Начав свое существование с робких попыток

сочленения проекционного аппарата с фонографом или граммофоном, звуковое кино вскоре обогатилось самостоятельным методом осуществления основной идеи — синхронного сочетания изображения и звука. Этот метод, являющийся и по сие время основным содержанием техники звукового кино, заключается в фотографировании звука, т. е. в фиксации акустического процесса, развертывающегося в течение определенного промежутка времени в форме своеобразного узора, запечатлеваемого на светочувствительном слое кинопленки и занимающего на ней некоторую определенную длину. Таким образом, как обычная „немая“ киносъемка, так и запись звука, производимая для звуковой фильмы, являются некоторым образом сходными процессами: и здесь и там временная последовательность „мгновенных“ событий преобразуется в пространственную рядоположность их на кинопленке; и здесь и там основным деятелем этого преобразования является свет, разлагающий зерна бромистого серебра, вкрапленные в фотографическую эмульсию.

Фотографирование звука является основным производственным процессом современной звуковой киносъемки; все прочие процессы являются или подготовительными (таковы: прием звука и усиление токов звуковой частоты) либо операциями последующей обработки достигнутого в процессе записи результата (таковы: проявление, фиксирование и копировка фотографической фонограммы). Соответственно с этим мы уделим основное внимание именно фотографированию звука, затронув смежные с ним процессы лишь попутно, в той мере, в какой это окажется необходимым для понимания основного круга вопросов.

ЗВУКОВАЯ ФОТОГРАФИЯ

Для того чтобы сфотографировать звук, необходимо предварительно „преобразовать“ его в свет, ибо только этот последний в состоянии вызвать почернение светочувствительного слоя, нанесенного на перфорированную ленту из целлулоида. Это преобразование удобнее всего совершать через посредство промежуточного звена — электричества; электрические колебания замечательнейшим образом устанавливают более или менее точное соответствие между колебаниями воздушной среды возле приемного микрофона и своеобразными пульсациями светового потока, падающего на кинопленку.

Отметим прежде всего наличие двух принципиально различных типов пульсаций светового потока; эти два типа дают на пленке звуковые записи совершенно не похожего друг на друга видов. Первый из этих типов — исторически старейший — характеризуется тем, что световой поток, падая на движущуюся с постоянной скоростью пленку, засвечивает ее то в большей, то в меньшей степени; освещение, получаемое определенным участком пленки, может меняться либо при изменении яркости падающего света либо при изменении времени экспозиции. В обоих случаях после проявления засвеченной пленки мы получаем полоску с меняющейся от точки к точке фотографической плотностью. При втором типе пульсации край освещенного участка пленки периодически движется в направлении, перпендикулярном к движению пленки, в результате чего после проявления мы видим на пленке зубчикообразную кривую, представляющую собой график движений края освещенной зоны. Запись по первому типу известна под названием записи по способу переменной плотности (название имеет в виду фотографическую плотность, определяемую через почернение светочувствительного слоя пленки). Зубчикообразная запись называется записью но способу переменной ширины; это название связано с тем, что при данном способе освещаемая зона имеет вид штриха с периодически меняющейся шириной.

Теперь мы можем ясно представить себе всю последовательность процессов, посредством которых звуковые колебания воплощаются в сложный узор, запечатлеваемый световым лучом на кинопленке; последовательность эта такова:

1. Преобразование звуковых колебаний в электрические. Через посредство микрофона, располагаемого в некоторой выбранной точке звукового поля, звуковые волны, доходящие до подвижной части (мембраны) микрофона, генерируют переменное напряжение, частота изменения которого совпадает в каждый момент времени с частотой первичного акустического процесса; величина напряжения, развиваемого микрофоном, пропорциональна величине силы, действующей на мембрану благодаря звуковому давлению. Таким образом, акустический процесс преобразуется в электрический; электрические колебания в контуре микрофона являются более или менее точным (в зависимости от качества микрофона) изображением колебаний звуковых.

2. Усиление электрических колебаний. Генерируемые микрофоном напряжения имеют весьма незначительную величину: например, принимая речь средней громкости, современный высококачественный конденсаторный микрофон развивает напряжение с ампли-

тудой в 1-2 тысячных доли вольта. Величина этого напряжения не достаточна для управления световым потоком, действующим на пленку. Для повышения столь малых напряжений в технике звукового кино применяются ламповые усилители с очень большим коэфициентом усиления (100 000 и более). По устройству своему эти усилители ничем не отличаются от усилителей, применяемых в радиотехнике,

3. Модуляция света. Располагая электрическими колебаниями звуковой частоты с амплитудой, увеличенной посредством усилителей во много тысяч раз сравнительно с контуром микрофона, мы оказываемся в состоянии управлять световым потоком, который должен записать звук на фотографической эмульсии. Для этого мы должны за счет получаемых от усилителя токов или напряжений создать соответствующие им по частоте и амплитуде пульсации светового потока, происходящие по одному из описанных выше типов. Этот процесс носит название модуляции света; приборы, с помощью которых модуляция осуществляется, называются световыми модуляторами. Современная техника звукового кино располагает целым рядом таких модуляторов, отличающихся друг от друга по принципу и по устройству; к более подробному описанию некоторых из них мы перейдем ниже.

Благодаря модуляции действующего на пленку света мы получаем звуковую запись, зафиксированную в форме скрытого фотографического изображения.

4. Фотографическая обработка звуковой записи. Чтобы сделать фонограмму видимой и устойчивой, ее необходимо проявить и фиксировать. Таким путем получается звуковой негатив, с которого на нормальных копировальных аппаратах снимается нужное число позитивных копий, в свою очередь проявляемых и фиксируемых.

Таковы основные четыре этапа фотографической звукозаписи. Если эта запись делается синхронно со съемкой кинофильмы, то для обеспечения синхронизма фотографирование изображения и звука обычно производится на двух пленках, протягиваемых синхронно идущими аппаратами — съемочным и звукозаписывающим. Таким образом, в результате синхронной съемки получаются два негатива — кадровый и звуковой, — которые совместно копируются на общий позитив. Более подробные сведения об организации звуковой съемки мы дадим несколько позже

ПОЛУЧЕНИЕ ЗВУКА С ПЛЕНКИ

Фотографирование звука не имело бы большого практического значения и, конечно, не было бы положено в основу техники звукового кино, если бы нельзя было произвольное число раз воспроизводить фотографическую фонограмму, т. е. вновь извлекать из мертвого серебряного узора живые звуки. Нетрудно понять, что при воспроизведении фонограммы последовательность этапов, описанных в предыдущем разделе, развертывается в обратном порядке.

Прежде всего фотографический узор, тянущийся узкой полоской вдоль кадров, должен быть преобразован в модулированный свет. Для этой цели движущаяся пленка просвечивается узким пучком света (в форме штриха, ложащегося поперек фонограммы); проникающий сквозь фонограмму световой поток меняется либо в результате переменного поглощения участками с различной фотографической плотностью либо в результате затенения некоторой части потока выступающими зубчиками фонограммы. В обоих случаях проходящий через движущуюся пленку световой поток меняется с частотой и амплитудой, соответствующими частоте и амплитуде записанного на пленке акустического процесса.

Дальнейшая задача заключается в преобразовании модулированного света в электрические колебания; органом преобразования является фотоэлемент — небольшая газонаполненная колбочка, внутренняя поверхность которой покрыта тонким слоем щелочного металла (калий, цезий), теряющего электроны под действием освещения (фотоэлектрический эффект). Благодаря наличию внутри колбы положительного относительно слоя электрода (анода), вырванные светом электроны уводятся на анод, создавая в контуре фотоэлемента ток, сила которого пропорциональна освещению слоя. Если слой освещается модулированным светом, то в контуре фотоэлемента возникают токи звуковой частоты, т. е. электрические колебания, отображающие записанный на пленке звук.

Эти токи крайне слабы; в обычных условиях фотоэлемент звукового кинопроектора отдает ток с амплитудой в несколько микроампер. Этот ток используется для создания переменного напряжения на зажимах нагрузочного сопротивления, откуда это напряжение подается на ламповый усилитель с мощностью, соответствующей объему зала звукового кинотеатра.

После достаточно большого усиления электрические колебания подводятся к установ-

ленным позади экрана или по бокам его громкоговорителям, преобразующим электрические колебания в звуковые.

Таким образом происходит воспроизведение сфотографированного звука. В нормальном звуковом кинопроекторе пленка просвечивается сначала в проекционном окошке, где происходит проекция кадров на экран, а затем несколько ниже (на величину 19 кадриков) в звуковоспроизводящем устройстве (в так называемом „блоке“, или „приставке“), где свет от небольшой, но яркой лампочки падает на фонограмму.

Понятно, что просвечивание фонограммы в том же месте, где просвечивается и кадр, невозможно вследствие различного характера движения кадров и фонограммы. Для проекции кадров фильма должна двигаться толчками, останавливаясь на момент совпадения кадра с краями проекционного окошка и продергиваясь рывком на высоту одного кадра для замены его следующим. Фонограмма же должна двигаться с постоянной скоростью, иначе записанный звук станет неузнаваем. При совместном копировании кадрового и звукового негативов на общий позитив фонограмма заранее смещается относительно кадра на указанную выше величину (19 кадриков, т. е. 36 см), чтобы из-за несовпадения мест просвечивания не нарушился синхронизм изображения и звука.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Предшествующее изложение, кратко и схематично осветившее многообразные процессы преобразования колебаний, позволяет составить представление о весьма сложном техническом комплексе, на который опирается современная техника звукового кино; в ее пределах пересекаются задачи и проблемы акустики и электроакустики, радиотехники, оптики, точной механики, фотографической химии, вакуум-техники и т. п. Совершенно естественно поэтому, что звуковое кино не могло возникнуть сразу как результат некоего вдохновенного изобретения, что для его технического и промышленного роста потребовалась достаточно квалифицированная помощь со стороны различных отраслей техники. Вот почему часто предлагаемый вопрос: „Кто изобрел звуковое кино?“—не имеет ни малейшего смысла, если вопрошающий рассчитывает услышать в ответ одно или несколько имен. Звуковое кино не было изобретено или, еще лучше, оно изобреталось сотни раз; эти сотни изобретений не заставили „Великого немого“ заговорить. Когда же он заговорил — и притом заговорил сразу на многих языках — вопрос об имени чудодея остался без ответа. Подобное положение повторялось в истории техники неоднократно.

Мы не предполагаем дать здесь сколько-нибудь подробный очерк технического развития звукового кино; достаточно лишь указать несколько дат и имен, связанных с завоеванием известного рода решающих рубежей.

Первая мысль о звучащем движущемся изображении возникла задолго до того, как возник кинематограф в современном смысле этого слова. Не кинематограф заставил подумать об озвучении изображения; напротив, первые модели эдисоновских фонографов заронили мысль об дополнении звука подвижным изображением.

Эту мысль Томас Альва Эдисон в 1887 г. поручил разработать своему ассистенту Диксону: Диксон построил систему из двух барабанов, на одном из которых был записан звук, а на другом размещена по винтовой спирали серия последовательных фотоснимков, рассматриваемых через специальный окуляр. Аппарат Диксона был первым образцом звукового кино.

Идея была достаточно проста для того, чтобы оказаться жизнеспособной, для того чтобы вновь и вновь воплощаться в патентоспособные формы. Можно было бы назвать сотни имен, фигурировавших в патентных грамотах разных стран и времен; можно было бы назвать десятки аппаратов, основанных на комбинировании кинопроектора с граммофоном. Достаточно заметить, что подобные аппараты дожили до первых шагов современного звукового кино, оказавшись в финансово-экономическом отношении его серьезными конкурентами.

Заслуга решения задачи фотографической записи звука принадлежит немецкому физику Эрнсту Румеру, который в 1900 г. записал звук на кинопленке, модулируя токами звуковой частоты свет вольтовой дуги. Полученную фонограмму Румер воспроизводил с помощью селенового элемента (селен меняет электропроводность под действием переменного освещения это так называемый внутренний фотоэлектрический эффект). В распоряжении Румера не было электронной лампы, тогда еще не существовавшей; поэтому его опыты не могли быть доведены до практически серьезного результата.

Следует заметить, что Румер не предполагал озвучить кинематограф; проблема фотографической записи интересовала его как самостоятельная задача. Первые же опыты по комбини-

рованию фотографирования звука с киносъемкой были сделаны несколько лет спустя Эженом Лостом, запатентовавшим в 1906 г. метод звуковой киносъемки, принципиально не отличающийся от современного. Л осту нехватало лишь усилителя, но потребность в нем он сознавал совершенно отчетливо: недаром для усиления воспроизведенного звука он применял воздушный компрессор, излучающий звук благодаря прерыванию вытекающей под давлением воздушной струи.

Электронная лампа была изобретена в 1907 г. Ли де-Форестом в Америке и Флемингом в Германии; ее внедрение в технику связи создало не только современную радиотехнику, но и целый ряд смежных отраслей — телевидение, звуковое кино, телемеханику... Процесс освоения электронной лампы и ее многообразного использования совершился не сразу; не будет ошибкой сказать, что вызванный ею переворот разрешился лишь в послевоенное время. И здесь сразу же мы наталкиваемся на использование нового технического средства для звукового кино: Денес фон-Михали в Австрии, группа „Tri-Ergon“ (инженеры Фогт, Энгль и Массоле) в Германии, Ли де-Форест и Кейз в Америке с 1917—1918 гг. усиленно и небезуспешно занимаются разработкой различных типов звуковой киноаппаратуры.

Работа пионеров звукового кино была очень разнообразной: они на каждом шагу наталкивались на проблемы, о существовании которых трудно было подозревать заранее. Достаточно отметить, что группа „Tri-Ergon“ в период времени с 1919 по 1923 г. выбрала в одной только Германии 18 главных патентов, охранявших ее достижения в области конструирования микрофонов, громкоговорителей и усилителей, газосветных ламп, фильмопротяжных механизмов, рецептов проявления кинопленки и способов измерения звукопоглощения.

В 20-х годах текущего столетия технический успех был уже налицо: экран отчетливо и громко заговорил или, точнее, попробовал заговорить. Однако экономическая конъюнктура не благоприятствовала промышленному успеху; трестированный кинокапитал обрастал солидными дивидендами совершенно „беззвучно“, и норма прибыли была достаточно велика. Только в недавние годы, в 1927 — 1928 гг., начавшийся кризис сбыта заставил предпринимателей принять решительные меры, связанные с переустройством технической базы, с закрепощением известной части свободных денежных ресурсов. Одною из этих решительных мер было озвучение экрана, проделанное без учета научных достижений, по старому рецепту сочетания кино с граммофоном. Но тем самым был дан толчок дальнейшему развитию: кинофицированные звуки полились рекой в озвученных наскоро кинематографах.

У нас в СССР первые работы по звуковому кино были начаты в 1926 г. в Москве инж. П. Г. Тагером и его сотрудниками А. А. Шишовым и И. С Джигитом; в Ленинграде работала группа инженеров в Центральной лаборатории проводной связи (ЦЛПС), руководимой талантливым организатором А, Ф, Шориным. Обе группы достигли хороших результатов, и к моменту, когда советская кинопромышленность потребовала освоения звукотехники, она смогла получить разработанную в Советском союзе аппаратуру и методы работы.

МОДУЛЯЦИЯ СВЕТА

Вернемся теперь к технике фотографирования звука и постараемся более подробно осветить физические принципы, положенные в основу модуляции света. Ознакомимся прежде всего с теми методами модуляции света, которые были разработаны в СССР и до сего времени применяются на наших кинофабриках.

Группа Тагера исходила из мысли о том, что для модуляции света целесообразнее всего воспользоваться явлением, открытым физиком Дж. Керром еще в 1875 г. и известным под названием электрооптического эффекта Керра. Сущность этого явления сводится к возникновению оптической анизотропии под действием электрических сил; оказывается, что некоторые жидкие диэлектрики (например нитробензол, сероуглерод), будучи помещены в электрическое поле между пластинами конденсатора, становятся оптически анизотропными и ведут себя как двупреломляющие кристаллы. При этом величина эффекта, т. е. разность ходов обыкновенного и необыкновенного лучей, выраженная в длинах волн, определенным образом зависит от величины напряжения, приложенного к обкладкам конденсатора.

Как известно, обыкновенный и необыкновенный лучи поляризованы в двух взаимноперпендикулярных плоскостях и, следовательно, не могут интерферировать между собой. Однако, если с помощью поляризующей призмы, определенным образом ориентированной, привести оба луча к одной плоскости, то они будут интерферировать, в результате чего получится луч с интенсивностью, зави-

Черт. 1.

сящей от разности ходов интерферировавших лучей.

Теперь нетрудно понять и сущность модуляции света посредством так называемой ячейки Керра; принципиальная схема модуляции показана на чертеже 1. Свет от яркой лампочки накаливания L, собранный конденсором С, падает на поляризатор Р — призму Николя, — откуда плоско-поляризованный свет направляется между обкладками заполненного нитробензолом конденсатора Керра К, к которому подводится переменное напряжение от микрофонного усилителя. Анализатор А — также призма Николя, скрещенная с поляризатором — сводит к одной плоскости распространяющиеся в нитробензоле с различной скоростью обыкновенный и необыкновенный лучи; благодаря возникающей вследствие этого разности фаз, которая в конечном счете определяется мгновенными значениями приложенного напряжения, яркость света, пропускаемого ячейкой, меняется вслед за колебаниями напряжения. Таким образом, ячейка Керра модулирует интенсивность света, падающего на пленку в форме уменьшенного изображения щели, образуемой обкладками конденсатора, рисуемой в плоскости светочувствительного слоя объективом О. Действие ячейки Керра лучше всего поясняется графиком, показанным на чертеже 2: график иллюстрирует зависимость между напряжением на обкладках конденсатора Керра и яркостью пропускаемого ячейкой света. Если ячейка работает в пределах прямолинейной части кривой т. е. если напряжение не выходит за пределы, указанные на графике пунктиром, то интенсивность светового потока практически без искажений следует за изменением приложенного к обкладкам конденсатора напряжения.

Как ясно из сказанного, ячейка Керра представляет собой электрооптическое реле, управляющее световым потоком за счет приложенного переменного напряжения. Запись звука, получаемая при этом на кинопленке, принадлежит, очевидно, к типу записи переменной плотности.

Совершенно другой способ модуляции света был избран в ЦЛПС. Затруднения, связанные с потерями света в призмах Николя, заставили обратиться к другим способам, из числа которых был выбран способ затенения светового пучка колеблющейся ленточкой струнного гальванометра, питаемого током звуковой частоты. Схема метода поясняется на чертеже 3.

Свет от яркой лампы накаливания L, собираемый конденсором С, направляется на модулятор, состоящий из сильного электромагнита, в магнитном поле которого туго натянута узкая ленточка В, по которой пропускается ток звуковой частоты от микрофонного усилителя. Взаимодействие тока с магнитным полем заставляет ленточку колебаться в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка. При этом тень от ленточки, закрывающая часть падающего на щель А света, движется поперек щели, изображение которой отбрасывается на пленку в форме яркого штриха ; ширина этого штриха меняется в ритме колебаний ленточки. Объективы О, и 02, вделанные в просверленные полюсные наконечники N и S, служат для освещения ленточки и для изображения ее тени в плоскости щели А. Устройство налаживается таким образом, чтобы при отсутствии тока через ленточку ее тень закрывала ровно половину щели; при колебаниях ленты ширина освещаемой зоны то увеличивается то умень-

Черт. 2.

Черт. 3.

шается, в зависимости от направления смещения ленточки из среднего положения.

Фонограмма, получаемая по описанному здесь способу, относится, понятно, к типу фонограмм переменной ширины.

К числу недостатков модуляции света с помощью струнного гальванометра относятся: инерция ленточки, необходимость демфирования ее собственных колебаний, а также невозможность придания ей необходимой прочности на разрыв

В настоящее время еще нельзя решить вопрос о том, какому типу светового модулятора следует отдать предпочтение; оба типа в продолжение нескольких последних лет работают на наших кинофабриках, и их достоинства в достаточной мере искупают присущие каждому из них недостатки.

Быть может, небезынтересно отметить, что большинство звуковых киносъемок в Германии производится по типу переменной плотности, с ячейкой Керра в качестве модуляторного устройства; система с модулятором в форме струнного гальванометра широко применяется в Австрии. В Америке существуют и широко применяются иные типы световых модуляторов — газосветная лампа, световой клапан, зеркальный осциллограф и т. д., на описании которых мы останавливаться не будем.

ИСТОЧНИКИ ИСКАЖЕНИЙ ЗВУКА

Вопрос, который по праву больше всего интересует посетителя звуковых кинотеатров, относится к причинам искажений звука, столь часто неприятно режущих ухо. Действительно, зачастую — особенно в провинции — воспроизводимый с пленки звук кажется хриплым и дребезжащим, голоса звучат гулко, словно из бочки, женщины говорят басом и т. д. и т. п. Возникает вопрос: неужели же техника звукового кино и по сей день не в состоянии справиться с этими искажениями и обеспечить чистую передачу звука?

Прежде чем дать ответ на этот вопрос, необходимо отдать себе ясный отчет о физической и физиологической природе искажений; тогда сейчас же выяснится и вопрос о возможностях современной техники звукового кино.

Что нужно понимать под „чистой“ или „ неискаженной“ передачей звука?

Как известно, человеческое ухо воспринимает в качестве звука колебания с частотами от 20 до 15 000 колебаний в секунду; в области средних частот, т. е. между 1000 и 2000 колебаний в секунду, ухо способно принимать звуки, сила которых разнится в 1012 раз! Неискажающая аппаратура должна была бы передавать столь широкую область частот и амплитуд с точным соблюдением пропорциональности последних. В действительности же это оказывается невозможным: всякая аппаратура — в частности и аппаратура звукового кино — передает лишь некоторую часть слышимого диапазона частот и лишь весьма незначительный интервал громкости.

Более всего страдают в процессе передачи звука из киносъемочного ателье до зала кинотеатра высокие частоты, т. е. вся верхняя часть слышимого диапазона (выше 6000 колебаний в секунду). Эти колебания совершаются настолько быстро, что механическим частям аппаратуры — мембранам, ленточкам осциллографа, излучающему органу громковорителя — трудно следовать за ними; при этом амплитуда колебаний с увеличением частоты становится все меньше и меньше. Далее, по мере возрастания частоты, начинает сказываться конечная толщина записывающего светового штриха; причина здесь та же, в силу которой нельзя толстым карандашом провести тонкую систему линий или штри-

хов. При записи высоких частот разрешающая способность фотографического слоя может оказаться недостаточной, и тончайший узор затеряется в зернистой структуре эмульсии. С другой стороны, несколько подчеркнута передача низких тонов, что связано зачастую с резонансными колебаниями некоторых деталей аппаратуры, делает звук избыточно гулким, создавая „бочковатый“ оттенок голоса и музыки.

Недостаточно правильное регулирование аппаратуры, а также и перегрузка ее колебаниями чрезмерно большой амплитуды, может повлечь за собой появление паразитных комбинационных колебаний, делающих передачу хриплой. Кроме того для слушателя могут явиться помехой разнообразные шумы и фон, возникающий за счет индукции или прямого воздействия переменного тока в сети.

Целый ряд искажений может быть, далее, обусловлен дефектами лентопротяжного механизма звукозаписывающего и звуковоспроизводящего аппаратов, вследствие чего пленка движется не с постоянной, а с пульсирующей скоростью. Отсюда возникает, во-первых, своеобразное тремолирование звука, а во-вторых, характерная шероховатость тембра.

Не без влияния на качество звука остается и фотографический процесс — проявление и печатание фонограммы. Условием отсутствия искажений является тщательный сенситометрический контроль.

Мы видим здесь, что хотя значительная часть слышимых в кинотеатре искажений связана с недостаточной тщательностью в эксплоатации звуковой аппаратуры, однако многие из них и по сие время остаются трудностями принципиального характера, трудностями, с которыми современная техническая и научная мысль ведет решительную борьбу.

В настоящее время эта борьба идет, с одной стороны, по линии расширения передаваемой полосы частот, что, как оказывается, дает изумительные результаты в смысле качества звучания, с другой стороны — по линии снижения уровня паразитного фона, обусловленного зернистой структурой самой пленки. Об этих работах, составляющих перспективу завтрашнего дня звукового кино, мы здесь говорить не будем, так как это составляет совершенно самостоятельную проблему.

ИЗМЕРЕНИЕ ЗВЕЗДНЫХ РАССТОЯНИЙ

Н. ЛЬВОВ (Москва)

Едва ли не самой характерной чертой для астрономии последних двух десятилетий является стремительное развитие наших знаний о строении вселенной. Невероятно возрастает техническое совершенство и оптическая мощность астрономических труб; необыкновенно быстрыми темпами накапливается богатейший материал, и его статистическое исследование вскрывает глубочайшие и интереснейшие закономеренности в строении и развитии звездной вселенной.

Результаты этих работ представляют огромную важность и интерес. Думается, однако, что не менее интересно будет составить себе понятие о тех методах современных астрономических исследований, при помощи которых добываются эти результаты. В настоящем очерке мы рассмотрим одну из самых основных проблем звездной астрономии — проблему измерения звездных расстояний.

Недосягаемость небесных тел и их ужасающая отдаленность от нас, — вот причины, почему читатель-неспециалист зачастую не может отделаться от чувства недоверия к „астрономическим“ масштабам звездных расстояний. Показать необоснованность этого недоверия и продемонстрировать уверенность, с которой современная астрономия преодолевает биллион километров мирового пространства — вот цель последующих страниц.

1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПАРАЛЛАКСЫ

Для измерения звездных расстояний мы ныне располагаем целым рядом различных способов. Основной — можно сказать, классический — способ называется тригонометрическим способом и состоит в следующем.

Совершенно очевидно, что движение наблюдателя вместе с Землей вокруг Солнца должно как бы отражаться на звездном небе. Каждая звезда в силу этого должна кажущимся образом описывать на небесном своде небольшой эллипс, размеры которого тем меньше, чем дальше эта звезда от нас Из этих видимых перемещений звезды по небу

и выводится ее расстояние. Такие смещения вследствие огромности звездных расстояний настолько малы, что обнаружить и измерить их можно только применением самых тончайших приемов современной астрономии — и то лишь для наболее близких к нам звезд. Подавляющее большинство звезд находится от нас на столь огромном расстояний, что не обнаруживает никаких следов параллактического смещения. В таких случаях применяются косвенные методы, о которых речь будет ниже.

Чертеж 1 схематически поясняет, как измеряются смещения данной звезды на фоне звезд, более удаленных. Когда земля находится в положении А — звезда S видна на небе неподалеку от звезды S2. Через полгода земля перейдет в положение В, и та же звезда S будет видна на небе неподалеку от звезды S4, — т. е. сместится. Измерив такие смещения, можно определить угол /?, под которым со звезды S виден радиус земной орбиты. Этот угол называется годичным параллаксом звезды.

Далее, расстояние от земли до солнца (ВС - а) точно известно : оно называется астрономической единицей и равно 1491/2 млн. км. Если мы нашли параллакс Звезды (/?), то из прямоугольного треугольника BCS легко находим расстояние от солнца до звезды (CS = D):

Ship

Угол р очень мал (меньше Г'); заменяя синус дугой, выраженной в радианах, и вспоминая, что 1 радиан = 206 265“, получим;

~ 206 265“ /1%

D^—y-a, (1)

т. е. расстояние звезды обратно-пропорционально ее параллаксу. Стало быть, задача об определении звездных расстояний сводится к задаче об измерении звездных параллаксов.

Попытки обнаружить параллактические смещения звезд делались уже со времен Коперника, ибо наличие таких смещений явилось бы прямым доказательством движения Земли вокруг Солнца. Но эти попытки долго оставались безуспешными, так как тогдашние астрономические инструменты были недостаточно точны. Только около 100 лет назад три астронома почти одновременно и независимо друг от друга обнаружили несомненные параллактические смещения у трех звезд. Именно, Бессель в Германии (в 1838 г.) нашел для звезды 5-й величины, называемой „61-я Лебедя“, параллакс 0“. 314. Гендерсон на мысе Доброй Надежды (в 1839 г.) вывел для яркой звезды южного неба а Центавра параллакс 0“98 и В. Струве в России (в 1840 г.) получил для Веги параллакс 0“.261).

Эти первые измерения звездных параллаксов составили эпоху в истории астрономии, — не столько как подтверждение учения Коперника (оно в XIX в. уже не нуждалось в доказательствах), сколько как первое надежное определение масштабов звездной вселенной.

Исключительная трудность таких измерений обусловливается чрезвычайной малостью параллактических смещений. Например, для а Центавра параллактический эллипс имеет, примерно, такую же величину, как серебряный гривенник, рассматриваемый с расстояния более 2 км\ И такой ничтожный угол можно измерить с ошибкой не более 1°/0!

В наше время измерения звездных параллаксов производятся исключительно посредством фотографии: как почти во всех областях астрономии, фотографическая пластинка и здесь является неоценимым помощником астронома. Систематические определения параллаксов сотен и тысяч звезд ведутся на целом ряде обсерваторий в США (обсерватории Мак-Кормик, Аллегени, Маунт-Вильсон, Иеркс и др.), в Англии (Гринич) и в Южной Африке (Иоганнесбург), причем применяются огромные длиннофокусные трубы (7— 20 м). В нашей Пулковской обсерватории ценные

Черт. 1. Годичный параллакс,

Звезды: С—солнце, А и В — положения земли, 5 — близкая з езда, 54 —S5 — очень далекие звезды.

1) По новейшим, н сравнению более точным определениям, параллаксы этих трех звезд равны соответственно 0“.300 rt 0“ 003, 0“.756 ± О“.О06 и 0“.124 ± 0“.004 (Чеккини, 1931 г.), числа с двойным знаком дают величину вероятной ошибки".

исследования производились С. К. Косинским. Обычно на протяжении V/2 — 2 лет получают от 10 до 20 пластинок, на которых под микроскопом измеряются и изображения исследуемой звезды (л на черт. 1) и изображения, примерно, полудюжины „звезд сравнения“ (Sy - Sb на черт. 1). Вероятная ошибка одного определения параллакса из той серии наблюдений составляет в среднем около 0“.009: это—угол, под которым видна толщина волоса, рассматриваемого с расстояния в 2lj2 км\

Такими приемами - к настоящему времени определены тысячи тригонометрических параллаксов (для многих звезд по нескольку раз). Обширный сводный каталог параллаксов, опубликованный Шлезингером в 1924 г., содержит параллаксы 1870 звезд, а новейший каталог Чеккини (1931 г.) — уже 3975 звезд.

Из всех исследованных доныне звезд наибольшие параллаксы (т. е. наименьшее расстояние от нас) имеют две звезды — яркая греческая альфа (а) Центавра и находящаяся неподалеку от нее слабая телескопическая звездочка, на которую впервые обратил внимание в 1917 г. астроном Иннес1).

Параллаксы этих звезд почти одинаковы и равны 0“.76. Отсюда по формуле (1) находим, что расстояние от нас до этих звезд составляет 271 000 астрономических единиц, т. е. около 40 000 000 000 000 км (40 биллионов или, короче, 40 XI О12 км). Скорый поезд, мчащийся со скоростью 100 км в час, прошел бы это расстояние только через 46 миллионов лет. И это еще ближайшие к нам звезды! А большинство звезд в десятки, сотни и тысячи раз отстоят от нас дальше.

Ясно, что выражать столь огромные расстояния в километрах не имеет никакого смысла. Поэтому для звездных расстояний введены две особые единицы - парсек и световой год. Парсек (от слов пар-аллакс и сек-унда) есть расстояние, которому соответствует параллакс в 1 угловую секунду; по формуле (1) легко найти, что 1 парсек= = 206 265 астр, единиц = 30,8 XI О12 км.

Световым годом называется расстояние, проходимое светом в 1 год; так как скорость света = 2 9 800 км\сек, то 1 световой год = 299 800 X 365 24 X 60 X 60 = 9.46 X Ю12 кн. Расстояние до а Центавра составляет 1.3 парсека или 4.3 световых года.

Существенным недостатком рассмотренного нами тригонометрического метода является то, что чем больше расстояние звезды, тем хуже оно определяется. В самом деле, вероятная ошибка в параллаксе составляет, как мы видели, около 0“. 009. Если сам параллакс равен, например 0“.2, то процентная ошибка в параллаксе — а значит, и в расстоянии — составляет ^„ 2 •= 4,5 °/0. Если же параллакс равен 0“ 02, т. е. вдесятеро меньше (а расстояние — вдесятеро больше), то процентная ошибка в параллаксе и в расстоянии будет ^ = 45 °/0, т. е. измеряющее расстояние число получается совершенно ненадежным. Вообще, расстояния больше 200 -300 световых лет, в сущности, совсем не поддаются тригонометрическому методу измерения. В этом случае прибегают к другим, более мощным способам. Но прежде чем перейти к их изложению, приведем две таблицы параллаксов и расстояний, могущие пригодиться читателю (особенно педагогу) для справок. Кроме параллаксов (по каталогу Чеккини, 1931 г.), в таблицы включены и некоторые другие интересные данные.

Таблица первая содержит все известные к началу 1934 г. звезды, находящиеся к нам ближе 11 световых лет ^ параллаксы больше 0“-3)

Как видим, большинство близких звезд — слабые телескопические (они обозначаются номерами в соответствующих звездных каталогах); их нелегко отыскать среди множества других, более далеких, и наша таблица, несомненно, еще не полна.

Вторая таблица содержит самые яркие звезды неба (первой величины и ярче).

Мы видим, что среди них имеются и очень близкие и очень далекие, так что по большой видимой яркости звезды не всегда можно заключать о ее близости к нам. Для трех звезд (Канопус, Ригель и Денеб) параллаксы не надежны, ибо крайне малы.

2. ГРУППОВЫЕ ПАРАЛЛАКСЫ

Как мы видели, тригонометрический способ в сущности бессилен определять расстояния больше 200—300 световых лет. В таких случаях на помощь нередко приходит изучение звездных движении.

Со времен Галлея (XVIII в.) известно, что звезды медленно меняют свои положения на небесном своде, двигаясь в различных направлениях и с различными скоростями. Видимое угловое перемещение звезды за год называется годичным собственным движением. Наиболь-

1) Повидимому, звезда Иннеса несколько ближе к нам, чем а Центавра. Поэтому ее нередко называют „Проксима“, т. е. „Ближайшая“.

Таблица I

Ближайшие звезды

Звезда

Видимая величина

Спектр

Параллакс

Расст

В биллионах километров

ояние

В световых годах

Абсолютная величина

Сила света (Солнце = 1)

„Ближайшая“*1) Центавра . . .

10,5

M

0“,780

40

4,2

15,0

0,0001

а Центавра *........

0,3

GO

0,756

41

4,3

4,7

1,1

Звезда Барнарда.......

9,7

М5

0,543

57

6,0

13,4

0,0004

Вольф 359 . .......

13,5

мъ

0,398

78

8,2

16,5

0,00002

Лаланд 21 185........

7,6

М2

0,3^3

79

8,3

10,6

0,005

Сириус * .........

-1,6

АО

0,379

81

8,6

1,3

26

Я. D — 12° 4 523 .......

9,5

М5

0,341

91

9,6

12,2

0,001

Без названия ........

12

_

0,340

91

9,6

14,7

0,0001

Звезда Каптейна.......

9,2

МО

0,321

96

10,1

11,7

0,002

т Кита...........

3,6

ко

0,315

98

10,3

6,1

0,3

Процион * ......... .

0,5

F5

0,310

100

10,5

2,9

6

е Эридана..........

3,8

ко

0,304

101

10,7

6,2

0,3

61-я Лебедя *........

5,6

К7

0,300

103

10,9

8,0

0,05

Таблица 2

Самые яркие звезды

Звезда

Видимая величина

Спектр

Параллакс

Расстояние в световых годах

Абсолютная величина

Сила света (Солнце = 1)

Сириус *2).....

-1,6

АО

0“,379

8,6

+ 1,3

26

Канопус ......

— 0,9

F0

0,009?

360?

— 6,1?

24 С00?

а Центавра * . . . .

0,1

G0

0,756

4,3

+ 4,7

1

50

Вега........

0,1

АО

0,124

26

+ 0,6

Капелла * .....

0,2

G0

0,063

52

— 0,3

ПО

Арктур.......

0,2

ко

0,080

41

— о,>

110

Ригель * ......

0,3

BS

0,007?

470?

— V?

13 000?

Процион *.....

0,5

F5

0,310

10,5

+ 2,9

6

Ахернар ......

0,6

ВЪ

0,053

62

-0,8

180

ß Центавра . ...

0,9

В\

0,011+

300

— 3,9

3 300

Альта1ф......

0,9

АЪ

ОД04

16,0

+ 2,4

9

Бетельгейзе . . .

0,9

М2

0,012

270

-3,7

2 600

а Южного Креста . .

1,0

В\

0,014+

230

-2,7

1000

Альдебаран * . . . .

1,1

кь

0,0п5

59

-0,2

ПО

Поллукс.....

1,2

ко

0,101

32

+ 1,2

28

Спика *......

1,2

В2

0.014+

230

-2,3

730

Антагес *.....

1,2

МО

0,009-f

340

-3,9

3100

Фомальгаут.....

1,3

АЪ

0,141

23

-2,0

13

Денеб.......

1,3

А2

0,005?

650?

-5,2?

юсоо?

Регул .......

1,3

В8

0,053

62

+ 0,0

91

ß Южного Креста . .

1,5

В\

0,016+

20Э

— 2,5

850

Кастор * ......

1,6

АО

0,075

43

+ 1,3

27

1) Звездочкой (*) отмечены двойные звезды; для них спектр, величина и сила света относятся только к главной звезде.

2) Звездочкой (*) отмечены двойные звезды; для них видимая величина относится к общему свету системы, а прочие данные — к главной звезде. Крестиками (+) отмечены групповые параллаксы (см. ниже).

шее известное собственное движение составляет 10“«27 в год; у большинства звезд собственные движения изменяются лишь десятыми и сотыми долями угловой секунды в год. Но видимое перемещение звезды по небесному своду еще не дает нам полного представления о действительном движении звезды в пространстве. В самом деле, пусть на чертеже 2 вектор v представляет скорость звезды в пространстве. Проведем от звезды к наблюдателю так называемый луч зрения и разложим скорость v на две составляющих — одну перпендикулярно к лучу зрения (поперечная скорость 7), другую вдоль луча зрения (лучевая скорость V). Собственное движение звезды, очевидно, соответствует поперечной скорости; наблюдения дают собственное движение в угловой мере, и чтобы перевести его в км\сек, очевидно, необходимо знать расстояние (или параллакс звезды). Для этого служит формула:

где р. — собственное движение и р—параллакс; коэфициент 4,74 равен числу километров в астрономической единице, деленному на число секунд в году. Лучевая же скорость может быть определена исследованием спектра звезды из смещения спектральных линий (по принпипу Допплера-Физо), и получается прямо в км\сек.

Чтобы понять, каким образом по движению звезды можно определить ее параллакс, рассмотрим чертеж 2; из прямоугольного треугольника имеем:

r==l/tgO.

Приравниваем правые части этой формулы и предыдущей и определяем параллакс:

(2)

Черт. 2. Поперечная,лучевая и полная скорость звезды.

Стало быть, для определения параллакса надо знать собственное движение д, лучевую скорость V и угол 0 (угол между направлением полной скорости звезды в пространстве и лучом зрения . Собственное движение и лучевая скорость определяются из наблюдений без особых трудностей для большинства звезд. Но угол 6 для отдельных звезд, вообще, неизвестен. Его можно определить лишь в случае так называемого группового движения звезд.

На небе давно известны группы звезд, охваченных общим движением; такова, например, группа гиад в созвездии Тельца. Знаменитый исследователь звездных движений Л. Босс в 1908 г. обнаружил, что видимые собственные движения звезд в гиадах, изображенные на чертеже 3 стрелками, при продвижении вперед по небесному своду пересекаются в некоторой точке схождения /?. Это, несомненно, эффект перспективы : пути звезд в пространстве параллельны между собой и лишь вследствие перспективы кажутся пересекающимися в одной точке, бесконечно удаленной от наблюдателя. Совершенно так же рельсы нескольких параллельных железнодорожных путей кажутся вдали как бы сходящимися в одной точке. Из чертежа 4 видно, что угловое расстоя-

Черт. 3. Собственные движения звезд в гиадах (по Боссу).

Черт. 4. Групповое движение звезд.

Пути всех звезд параллельны и кажутся сходящимися в бесконечно-удаленной точке.

ние какой-либо звезды от точки схождения (известное из прямых наблюдений) как раз равно углу 6 между пространственной скоростью звезды и лучом зрения. Лучевые скорости для ряда звезд в гиадах известны, и, следовательно, можно определить параллакс каждой звезды по формуле (2). Средний параллакс всей группы получается равным 0“,025, с возможной ошибкой не более 0“,0002; такая точность недостижима для тригонометрического метода.

Некоторые другие группы звезд с равными и параллельными движениями перечислены в следующей таблице:

Таблица 3

Групповые параллаксы

Группа

Средний параллакс

Расстояние

Группа Б Медведицы (5-е звено „ковша“) .

0“,045

75 свет, лет

Группа Тельца (гиады)

0,025

130 . „

Группа Скорпиона — Центавра (звезды в Скорпионе) . . .

0,009

360 «

Группа Скорпиона — Центавра (звезды в Южном Кресте) . .

0,015

220 . .

Группа Ориона (звезды в Орионе).....

(,006

550 . .

Параллаксы пяти звезд Б. Медведицы (и некоторых других) достаточно велики, чтобы быть измеренными также прямым тригонометрическим методом: совпадение получается полное, что подтверждает надежность метода групповых параллаксов, сильно расширяющего наше знание звездных расстояний.

3. СПЕКТРОСКОПИЧЕСКИЕ ПАРАЛЛАКСЫ

Два рассмотренных метода определения параллаксов могут быть названы геометрическими, ибо они основываются на чисто геометрических соотношениях. Другой ряд способов составляет способы, которые можно назвать физическими. Их общая идея заключается в следующем.

Прямые наблюдения дают нам для каждой звезды неба ее видимую яркость. Если мы каким-либо способом нашли истинную силу света звезды, то, зная, что видимая яркость убывает обратно-пропорционально квадрату расстояния, мы можем это расстояние вычислить. Совершенно так же, если мы издалека измерили видимую яркость электрического уличного фонаря и если мы заранее знаем истинную силу света фонаря (число свечей), то, очевидно, нетрудно вычислить расстояние от нас до фонаря Современная астрофизика позволяет нам вычислять истинную силу света звезды тремя способами: во-первых, по характеру спектра; во-вторых, по массе звезды, и, в-третьих, по периоду изменения блеска (для переменных звезд определенного типа,.

Напомним, что яркость звезд выражается в так называемых звездных величинах1), причем разность звездных величин на единицу соответствует отношению яркостей в 2.512 раз2). Увеличение номера звездной величины соответствует уменьшению яркости; самые слабые звезды, видимые простым глазом, относятся к шестой величине, наиб лее яркие — к первой и нулевой величине; звездная величина исключительно ярких звезд выражается отрицательными числами.

Видимые величины звезд зависят от их расстояний; чтобы охарактеризовать истинную силу света звезды, применяется так называемая абсолютная величина, т. е. звездная величина, которую имела бы звезда, будучи отнесена на некоторое стандартное, раз навсегда выбранное расстояние, — именно 32,6 световых года (этому расстоянию соответствует параллакс ровно в 0“,1). Так как при этом все звезды как бы мысленно переносятся на одно и то же расстояние, то ясно, что сравнение абсолютных величин звезд дает нам понятие об их истинной силе света. Если m — видимая величина и р — ее параллакс, то абсолютная величина M вычисляется по формуле:

M = 5 -f /я + 5 log/?. (3)

Чтобы нагляднее представить себе абсолютные величины, заметим, что различным абсолютным величинам соответствует следующая истинная сила света звезды, принимая силу света солнца за единицу:

Абс. велич.: —5 0 +5 +10 +15.

Сила света опоп QO — — * (Солнце = 1):

Абсолютная величина солнца равна+ 4.8.

Зная тригонометрические параллаксы и видимые величины для ряда звезд, можно вычислить их абсолютные величины. При этом оказывается, как впервые заметил Рессел в

1) Термин „величина“ не имеет никакого отношения к размерам звезды и характеризует исключительно ее яркость.

2) Логарифм этого числа э точности равен 0,4000

1913 г., что все звезды по силе света распадаются на две обособленных группы: на более ярких гигантов и более слабо светящихся карликов. Наше солнце — типичная звезда-карлик.

Посмотрим теперь, каким образом абсолютная величина звезды может быть определена по ее спектру. В 1914 г. Адаме и Кольшюттер на обсерватории Маунт-Вильсон тщательно исследовали вид темных линий в спектрах многих звезд с известными (и притом различными) абсолютными величинами. Они обнаружили, что большинство линий имеют одинаковый вид в спектрах гигантов и карликов, но некоторые линии различны. Например, линия ионизированного стронция (с длиной волны X 4215 онгстремов) в спектре гигантов гораздо интенсивнее, чем в спектре карликов; наоборот, линия кальция (X 4454) у карликов интенсивнее, чем у гигантов (черт. 5).

Более того, оказалось, что при постепенном переходе от звезд с большой силой света к звездам более слабым интенсивности таких линий правильно изменяются. Таким образом, можно было построить график, связывающий интенсивность рассматриваемых линий, с одной стороны, и абсолютную величину — с другой. После того как это было сделано по звездам с известной абсолютной величиной, стало возможно и для звезд с неизвестной абсолютной величиной определять их абсолютные величины по интенсивностям спектральных линий. Найдя таким путем абсолютную величину (М) и зная из прямых измерений видимую величину звезды (т), по формуле (3) легко вычислить параллакс (/?). Параллаксы, определенные по этому методу, называются спектроскопическими параллаксами.

Этот метод имеет ценное преимущество перед тригонометрическим, именно: точность спектроскопических параллаксов не зависит от расстояния, тогда как тригонометрические параллаксы тем ненадежнее, чем они меньше (т. е. чем больше расстояние). Параллаксы, меньшие, скажем, 0“,015, в сущности не поддаются тригонометрическому определению; спектроскопический же параллакс может быть получен для любой звезды, достаточно яркой, чтобы ее спектр можно было сфотографировать.

Многолетние исследования на Маунт-Вильсоне показали, что спектроскопические параллаксы определяются в среднем с ошибкой около 20°/0 их величины. Такова же, очевидно, и процентная ошибка в расстоянии, каково бы ни было само расстояние. Например, параллакс, равный 0“,005, определяется спектроскопически с вероятной ошибкой в 0“,001, в то время как тригонометрически тот же параллакс получится с вероятной ошибкой около 0“,009 (см. выше), т. е. ошибка больше, чем сама измеряемая величина! Для параллаксов больше 0“,04 тригонометриче^ ские — точнее спектроскопических, но таких звезд меньшинство.

Другим преимуществом спектроскопического метода является то, что для определения спектроскопического параллакса достаточно одной хорошей фотографии спектра звезды, тогда как для тригонометрического параллакса необходима целая серия пластинок на протяжении l1^—2 лет. Простота спектроскопического метода и быстрота работы с ним делают его исключительно ценным и плодотворным. Недостаток этого метода в том, что он пока приложим с полной уверенностью лишь к звездам спектральных классов от F до M (от звезд желтовато-белых до красноватых); для самых горячих звезд, классов В и Л (голубые и белые звезды) метод менее надежен, ибо в их спектрах почти нет подходящих линий.

В 1917 г. Адаме и Джой на Маунт-Вильсоне опубликовали первый каталог спектроскопических параллаксов для 500 звезд, в 1921 г. последовал второй каталог, содержащий 1646 параллаксов, в 1925 и 1926 гг.— каталоги с 544 и 441 звездами. Спектроскопические параллаксы определяли также Юнг и Гарпер в Виктории (Канада), Абетти в Арчетри (Италия) и др. К настоящему времени опубликовано более 10 000 параллаксов, относящихся по крайней мере к 6000 звезд (для многих звезд мы имеем по нескольку определений). Эти спектроскопические параллаксы доставляют звездной астрономии ценнейший материал для статистических исследований, связанных с распределением звезд в пространстве и со строением звездной вселенной.

Но все-таки попрежнему нужным остается определение тригонометрических параллаксов, ибо они необходимы для установления точной

Черт. 5. Спектры гиганта и карлика.

Линии, отмеченные стрелками, различаются по интенсивности: одни заметнее у гиганта, другие - у карлика.

Таблица 4

Сравнение параллаксов

зависимости между абсолютной величиной и интенсивностью спектральных линий.

Помещенная выше таблица дает сравнение тригонометрических (по Шлезингеру, 1924 г.) и спектроскопических (по Адамсу и др.) параллаксов для нескольких звезд. Разницы между теми и другими невелики, показывая полную надежность обоих методов. Значение чисел последнего столбца будет объяснено далее.

4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ПАРАЛЛАКСЫ

Особый метод определения абсолютных величин и расстояний был найден для двойных звезд в связи с вычислением их масс. Напомним, что в каждой двойной системе, под действием взаимного притяжения между звездами по закону Ньютона, спутник движется относительно главной звезды, описывая в пространстве эллиптическую орбиту с главной звездой в фокусе. Из многолетних наблюдений можно определить элементы орбиты, в том числе большую полуось или средний радиус орбиты а (в угловых секундах) и период обращения спутника вокруг главной звезды Т (в годах).

Если параллакс двойной звезды известен, то сумма масс обеих звезд дается простой формулой, выводимой из обобщенного третьего закона Кеплера:

Щ + т2 = -ßn ■ W

Здесь m1 и m2— массы обеих звезд, принимая массу Солнца на единицу.

Если же параллакс неизвестен, то остается неизвестной и масса. Но давно уже делались попытки, идя обратным путем, вычислять по формуле (4) неизвестный параллакс, предполагая массы звезд равными солнечной, т. е. полагая пгЛ = т2.

Очевидно, однако, что такие определения очень неточны, ибо в действительности массы звезд могут в десятки раз различаться между собой.

В 1924 г. выдающийся английский астрофизик Эддингтон обнаружил замечательное и довольно точное соотношение между массой и силой света (абсолютной величиной) звезды: оказалось, что сила света (или абсолютная величина) звезды зависит только1) от ее массы: чем больше масса, тем ярче звезда, и наоборот. Это иллюстрирует следующая табличка, данная Эддингтоном:

Пользуясь этим соотношением Эддингтона, стало возможно определять параллаксы двойных звезд без всяких предположений о массах. Это делается путем последовательных проб. В самом деле, приняв какое-нибудь значение параллакса, мы можем вычислить массу дважды: во-первых, находим ее прямо по формуле (4); во-вторых, зная параллакс и видимые величины главной звезды и спутника, мы можем вычислить их абсолютные величины по формуле (3) выше; а, зная абсолютные величины, по таблице Эддингтона определяем массы. Последовательными пробами подбирают такое значение параллакса, чтобы масса, определенная обоими способами, получалась одинаковой; очевидно, это значение параллакса и есть истинное. Такие параллаксы называются динамическими и обладают очень высокой точностью: их ошибка, в среднем, не превышает 5°/с. Брилль и Рэдман в 1927 г. первые определили динамические параллаксы для 123 двойных систем. Сравнение динамических параллаксов Рэдмана с тригонометрическими было дано выше, в таблице 4, и свидетельствует о высокой точности тех и других. Герцшпрунг и Ресселл

1) Строго гогоря, возможна зависимость и от других обстоятельств, но в незначительной степени.

расширили метод динамических параллаксов на такие системы двойных звезд, где орбиты неизвестны за недостатком наблюдений, ввиду медленности движения спутника вокруг главной звезды. В этом случае параллаксы менее точны (средняя статистическая ошибка их около 20 °/0), но зато их можно получить для очень большого числа звезд: так, Ресселл и Мисс Мур в 1929 г. определили динамические параллаксы для 1686 двойных систем.

б. ПАРАЛЛАКСЫ ЦЕФЕИД

Все разобранные выше способы по необходимости ограничены определенным расстоянием. Тригонометрический метод непригоден для расстояний больше 300 световых лет, остальные — более мощны, но также ограничены. Именно: динамический метод ограничен тем, что в очень далеких двойных системах обе звезды сливаются в одну, методы групповых и спектроскопических параллаксов требуют фотографии звездных спектров, для чего звезды должны быть достаточно яркими, а значит, вообще говоря, достаточно близкими к нам. Для этих методов наибольшее измеримое расстояние можно оценить, примерно, в десять тысяч световых лет.

И вот, когда все эти методы оказываются бессильными, когда речь идет о расстояниях шарообразных звездных скоплений или непомерно далеких спиральных туманностей, — астроном прибегает к последнему, наиболее могучему способу измерения звездных расстояний. Этот способ прилагается к так наз. цефеидам, образующим особый класс переменных звезд.

Яркость этих звезд изменяется периодически с изумительной правильностью: период изменений блеска остается постоянным до долей секунды. Изменение блеска происходит непрерывно (возрастание обычно быстрее, чем убывание): вместе с яркостью периодически изменяется спектр звезды и ее лучевая скорость. На чертеже 6 (вверху) изображена кривая блеска (т. е. график, показывающий изменение яркости со временем) ô Цефея,— типичной переменной звезды этого класса, по имени которой и весь класс назван цефеидами. Причины изменения блеска достоверно неизвестны; вероятно, здесь происходят пульсации, т. е. огромная газовая масса звезды попеременно то раздувается, то сжимается. В пределах нашей звездной системы Млечного Пути (галактики) известно несколько сотен цефеид; они называются галактическими.

Несколько десятилетий тому назад переменные звезды этого типа обнаружены в некоторых шарообразных звездных скоплениях и в Магеллановых облаках. Магеллановы облака (Большое и Малое) — это два туманных светлых пятна на южном небе, состоящие из множества слабых звезд. В 1912 г. мисс Ливитт на Гарвардской обсерватории (США), изучив множество цефеид в Малом Магеллановом облаке, обнаружила для этих звезд замечательную зависимость между видимой яркостью1) и периодом изменений блеска. Именно, оказалось, что чем длинее период, тем больше видимая яркость звезды, как показывает чертеж 7 (шкала звездных величин слева). Но раз все эти цефеиды входят в Магелланово сблако, значит, все они находятся от нас приблизительно на одинаковом расстоянии. Стало быть, различия в видимой яркости вызываются исключительно различиями в истинной силе света (т. е. в абсолютной величине). Отсюда следует, наконец, что сила света цефеид зависит только от их периода. Обширные исследования американца Шэпли (в 1918—1930 гг.) показали косвенными путями, что такая же зависимость существует и среди галактических цефеид. Кроме того теоретические соображения делают несомненным, что зависимость между периодом и силой

Черт. 6. Кривая блеска 8 Цефея (вверху) и переменной звезды № б в звёздном облаке NGC 6822 (по Хэбблу, внизу).

Абсциссы — время в днях, ординаты — яркость в звездных величинах; увеличение номера звездной величины соответствует уменьшению яркости.

1) Здесь и в дальнейшем под яркостью подразумевается средняя яркость данной звезды между максимумом и минимумом блеска.

света цефеид должна существовать. Где бы во вселенной ни находилась цефеида,— одному и тому же периоду должна соответствовать одна и та же сила света (или абсолютная величина).

Теперь, если бы мы только знали абсолютную величину хоть одной цефеиды с известным периодом, то все видимые величины на графике чертежа 7 мы могли бы перевести в абсолютные величины (определив попутно и расстояние до Магелланова облака, к которому относится этот график). Для этой цели Шэпли в 1918 г. использовал не одну цефеиду, а 11 галактических цефеид, для которых определил нечто вроде групповых параллаксов, а значит, и абсолютные величины. Таким путем можно было нанести на график чертежа 7 уже не видимые, а абсолютные величины (правая шкала). После этого графи:< „период - сила света“ стал мощным орудием для определения расстояний.

В самом деле, представим себе, что где-нибудь во вселенной, в нашем Млечном Пути, в звездном скоплении или в спиральной туманности, мы наблюдаем переменную звезду, и по характеру изменения блеска заключаем, что эта звезда представляет собой цефеиду (см. черт. 6, внизу). Мы определяем период изменений блеска, а зная его, сразу находим по графику Шэпли (правая шкала) абсолютную величину нашей звезды (М). Видимая величина m известна нам из прямых наблюдений. Зная М и т, мы по формуле (3) выше определяем параллакс этой звезды и ее расстояние.

Исключительная ценность этого метода заключается в том, что он приложим к любой цефеиде, для которой можно определить видимую яркость и период изменения блеска. А фотография позволяет сделать это для каждой звезды, как бы слаба она ни была,— лишь бы эта звезда дала свой отпечаток на пластинке.

Таким путем Шэпли в своих классических работах определял расстояния для ряда шаровых звездных скоплений, из которых самое близкое к нам (а) Центавра) находится на расстоянии около 20 000 световых лет, а самое далекое — вдесятеро дальше. Для Малого Магелланова облака он дает расстояние в 84 000 световых лет. Хэббл приложил тот же метод к нескольким спиральным туманностям, представляющим собою грандиозные звездные скопления, состоящие из миллиардов звезд. При помощи величайшего в мире телескопа—100-дюймового рефлектора hï Маунт-Вильсоне — Хэббл обнаружил цефеиды в этих туманностях и вывел для туманности в Треугольнике расстояние в 770 000 световых лет, для Большой туманности в

Черт. 7. Зависимость между периодом и звездной величиной цефеид (по Шэпли, 1930 г.). 106 цефеид в Малом Магеллановом облаке были разделены на 6 групп, для каждой группы взят средний период и средняя звездная величина; полученные точки нанесены на график и по ним проведена плавная кривая.

Андромеде —805 000 световых лет, для туманности № 101 по каталогу Мессье — 1 300 000 световых лет и т. д. Большинство туманностей так далеко от нас, что их нельзя разложить на отдельные звезды, и метод цефеид к ним не приложим. Здесь были изобретены (главным образом Хэбблом) особые статистические методы, основанные на общей яркости туманности, смещении линий в их спектрах и т д. Так Хэббл определил расстояния до сотен миллонов световых лет. Но в этом очерке имелись в виду, главным образом, расстояния отдельных звезд, и потому мы ограничимся только указанием на эти последние методы1).

Подводя итоги, мы видим, что проблема определения звездных расстояний, к которой едва приступили 100 лет назад, ныне — работами почти исключительно последних десятилетний — решена успешно. Перед нами выступили в полном смысле слова необозримые дали звездной вселенной. Самое замечательное здесь то, что мы имеем целый ряд принципиально различных способов, и все они, будучи приложены к одним и тем же звездам, приводят к одинаковым результатам. Это дает нам доказательство совершенства теории и уверенность в безупречности окончательных результатов.

1) Некоторые сведения о статистических методах исследования пространственного распределения звезд читатель найдет в нашем очерке в одном из номеров журнала „Физика, химия, техника и математика в школе“ за 1932 г.

ЧАСТНАЯ МЕТОДИКА

ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ЧЛЕНАМИ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ

Д. ВОЛКОВСКИЙ (Москва)

А. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ЧЛЕНАМИ И ПОВЕРКА ДЕЙСТВИЙ

I. Зависимость между членами сложения и вычитания.

Слагаемые и сумма в сложении; уменьшаемое, вычитаемое и остаток в вычитании; множимое, множитель и произведение в умножении; делимое, делитель и частное в делении называются членами действий.

а) Между членами сложения существует такая зависимость:

1) Если даны два слагаемых и их сумма, то каждое слагаемое равно сумме без другого слагаемого. Например:

5 + 3 = 8; 5 = 8 — 3; 3 = 8 — 5.

2) Если дано более двух слагаемых, то каждое слагаемое равно общей сумме без суммы остальных слагаемых.

Например;

2 + 3 + 4 = 9; 2= 9-(3 + 4) = 9-7;

3 = 9 — (2 + 4) = 9— 6; 4 = 9—(2 + 3) = 9 — 5.

Проработать это с детьми можно так:

„Возьмем пример: 5 + 3 = 8.

Какое действие дано в этом примере? (Сложение.) Как вы назовете в этом действии числа 5 и 3? (Слагаемые.) 8? (Сумма.)

Как вы составите слагаемое 5 из суммы 8 и слагаемого 3?“ (От 8 отнять 5, получится 3.)

Если бы такой вопрос затруднил детей (а он нередко затрудняет их), то можно предложить детям такие вопросы: „К какому числу надо прибавить 3, чтобы получить 8? Как вы получили 5? (От 8 отняли 3, получилось 5.) Это можно сказать по-другому: „От суммы 8 мы отняли слагаемое 3, получилось другое слагаемое 5й.

Значит, в этом примере чему равно слагаемое 5? (Слагаемое 5 равно сумме 8 без другого слагаемого 3.) Как вы составите слагаемое 3 из суммы 8 и слагаемого 5?“ (От 8 отнять 5, получится 3.)

В случае затруднения — прорабатывается по примеру предыдущего.

После рассмотрения нескольких подобных примеров дети под руководством учителя делают вывод: если даны два слагаемых и их сумма, то каждое слагаемое равно сумме без другого слагаемого.

„Возьмем пример: х + 3 + 4 = 9. Как вы найдете неизвестное? (Сперва сложим 3 и 4, затем полученное (7) вычтем из 9, получится 2.) Подставьте вместо х найденное число 2 (2 + 3 -f-4 = 9). В этой записи какое действие дано? Как назовете числа 2, 3 и 4? Как назовете 9? Как вы нашли слагаемое 2 по слагаемым 3 и 4 и сумме этих слагаемых 9?“ (Из суммы 9 вычли сумму двух слагаемых 3 и 4, т. е. 7 — получилось слагаемое 2.)

По образцу этого прорабатываются такие примеры:

1) 2 + лг+4 = 9; 2) 2 + 3+х = 9.

После рассмотрения нескольких подобных примеров дети под руководством учителя делают вывод: если дано более двух слагаемых, то каждое слагаемое равно общей сумме без суммы остальных слагаемых.

Примечание. Такая формулировка не обязательна для детей. Достаточно, если они сумеют найти неизвестное слагаемое.

б) Между членами вычитания существует такая зависимость:

1) Уменьшаемое равно вычитаемому плюс разность.

Например:

5-2=3; 5 = 2 + 3

2) Вычитаемое равно уменьшаемому без разности.

Возьмем прежний пример:

5 — 2 = 3; 2 = 5 — 3.

С детьми это прорабатывается так:

Возьмем пример: 5 — 2 = 3.

„Как вы составите уменьшаемое 5 из вычитаемого 2 и разности 3?“ (Сложим вычитаемое 2 и разность 3— получится уменьшаемое 5.)

„Как вы составите вычитаемое 2 из уменьшаемого 5 и разности 3?“ (Из уменьшаемого 5 вычтем разность 3 — получится вычитаемое 2.)

После рассмотрения нескольких подобных примеров дети делают вывод: уменьшаемое равно вычитаемому плюс разность.

Вычитаемое равно уменьшаемому без разности.

При нахождении зависимости между членами действий важно не то, чтобы дети знали формулировки, а то, чтобы, понимая зависимость между членами действий, дети умели рассказать и показать на отдельном примере эту зависимость а также сумели применять эту зависимость к нахождению неизвестного члена действий и к проверке действий.

Это надо помнить и относительно дальнейших формулировок, касающихся умножения и деления.

II. Нахождение неизвестного члена сложения и вычитания.

Нахождение неизвестного члена можно проработать так :

1. Сначала решаются такого вида задачи: „Я задумал число; когда прибавил к нему 10, то получил 15. Какое число я задумал? Решите“ (15—10 = 5.)

По образцу этого решаются и такие задачи, когда неизвестно уменьшаемое или вычитаемое.

Например: „Я задумал число; когда отнял от него 4, получил 5. Какое число я задумал?“

„Я задумал число; когда отнял его от 7, то получил 3. Какое число я задумал?“

2. „С помощью буквы х запишите и решите примеры:

а) К какому числу надо прибавить 40, чтобы получить 100?

(х + 40 =г. 100; л: = 100 — 40 = 60.)

б) Какое число надо прибавить к 30, чтобы получить 50?

(30-f jc = 50; Jt = 50 —30^=20.)

в) От какого числа надо отнять 20, чтобы получить 60?

(лг—20 = 60; л: = 20 + 60 = 80.)

г) Какое число надо отнять от 70, чтобы получить 30?

(70 —лг=20; лг = 70 — 30 = 40.)

3. „Прочтите и решите следующие примеры :

а) X — 7 = 8 (от X отнять 7, получится 8; лг = 7 + 8; или лг=8 + 7).

б) 12 — лг = 4; в л:+6=14; г) 7+*= 15“.

4. Если одно слагаемое неизвестно, а дано несколько слагаемых и сумма, то надо поступать так:

а) Сначала следует решать такого рода задачи:

„На фабрике работают мужчины, женщины и подростки : мужчин — 600, женщин — 400, а всего рабочих 1050 человек. Сколько подростков?“

б) Затем решаются такие численные примеры:

Решение подобных примеров записывается в две строчки.

Возьмем второй пример: 300 + х + 500 = = 1000.

300 + 500 = 800; 1000 —800 = 200.

При сильном классе решение подобных примеров можно записывать так (берем опять второй пример):

х= 1000 — (300 + 500); х= 1000 — 800 = 200.

III. Проверка сложения и вычитания обратными действиями.

В начальной школе дети уже познакомились с проверкой арифметических действий, но там они познакомились только как с фактом, без всякого теоретического обоснования. На четвертом году обучения проверка действий углубляется: дети не только должны сделать проверку действий, но и объяснить, как можно проверить действия, пользуясь знанием зависимости между членами действий. Поясним это на примере.

Пусть дано: 15 — 7 = 8.

„Как проверить этот пример сложением?“ (Сложим вычитаемое 7 и разность 8.)

„Почему вы сложите их?“ (Потому что мы знаем, что уменьшаемое равно вычитаемому плюс разность.)

IV. Зависимость между членами умножения и деления.

а) Между членами умножения существует такая зависимость:

1) Множимое равно произведению, разделенному на множитель.

Например: 4-5 = 20; 4 = 20:5.

2) Множитель равен произведению, разделенному на множимое.

Например: 4-5 - 20; 5 = 20:4.

С детьми проработать это можно так

Возьмем пример: 4-5 = 20.

„Какое действие дано в этом примере? Как назовете 4? 5? 20?“

„Как вы составите множимое 4 из множителя 5 и произведения 20?“ (Произведение 20 разделим на множитель 5, получится множимое 4.)

Если дети не ответят на этот вопрос, то надо спросить: „Какое число надо взять 5 раз, чтобы получить 20?“

„Как вы составите множитель 5 из множимого 4 и произведения 20?“ (Произведение 20 разделим на множимое 4, получится множитель 5.)

После рассмотрения нескольких подобных примеров дети под руководством учителя делают вывод: множимое равно произведению, разделенному на множитель; множитель равен произведению, разделенному на множимое.

б) Между членами деления существует такая зависимость: делимое равно частному, умноженному на делитель, или делимое равно делителю, умноженному на частное.

Например: 12:3=4; 12 = 3X4 или 12 = 4X3.

Делитель равен делимому, разделенному на частное.

Например: 12:3 = 4; 3 = 12:4.

Детям это объясняется по примеру зависимости между членами умножения (см. выше).

После проработки нескольких примеров дети делают вывод: чему равно делимое и чему равен делитель.

в) В случае деления с остатком делимое равно делителю, умноженному на частное плюс остаток.

Например : 13:5 =2 (ост. 3) ; 13=5 X 2 + 3.

Делитель равен делимому без остатка, разделенному на частное.

Например: 13:5=2 (ост. 3); 5=(13—3):2.

V. Нахождение неизвестного члена умножения и деления.

Нахождение неизвестного члена умножения прорабатывается с детьми так:

1. а) „Я задумал число; когда умножил его на 4, получил 8. Какое число я задумал? Решите“ (8:4 = 2.)

б) Так же решаются и такие задачи, когда неизвестен множитель.

Например: „Я задумал число; когда умножил на него 4, то получил 12. Какое число я задумал?“

в) По образцу этого решаются и такие задачи, когда неизвестно делимое или делитель.

Например: „Я задумал число; когда разделил его на 3, то получил 2. Какое число я задумал?“

„Я задумал число; когда на него разделил 6, то получил 2. Какое число я задумал?“

2. „С помощью буквы л: запишите и решите примеры:

а) Какое число надо взять 3 раза, чтобы получить 15?

(лг-3 = 15; л;=15:3 = 5.)

б) На какое число надо умножить 5, чтобы получить 15?

(5-лг=И5; лг=15:5 = 3.)

в) Какое число надо разделить на 2, чтобы получить 9?

üt:2 = 9; л: = 2-9 = 18.)

г) На какое число надо разделить 18, чтобы получить 9?

(18:дг = 9; л: = 18:9 = 2.)

3. Прочтите и решите следующие примеры:

а) х-16 = 1760;

б) 18-лг=1980;

в) 1920:лг = 16;

г) д::7 = 99“.

4. а) Зная, чему равно делимое в случае деления с остатком, дети могут решать такие примеры с неизвестным:

jc:4 = 6 (ост. 3.).

Прорабатывается это так: „Какое число надо разделить на 4, чтобы в частном получить б и в остатке 4? Как вы найдете х?

Как вы запишете решение этого примера?“ jc = 4.6-f 3 = 27.

б) Зная, чему равен делитель в случае деления с остатком, можно решать такие примеры с неизвестным:

27:л: = 4 (ост. 3).

Прорабатывается это по образцу предыдущего примера.

в) Точно так же, зная, чему равно делимое в случае деления с остатком, можно решать такого рода примеры с неизвестным.

6.л: + 3 = 27.

Предварительно надо проработать это в такой последовательности:

27:6 = 4 (ост. 3); 27 = 6-4 + 3; 6.лг + 3 = 27.

Решение этого примера записывается так: лг = (27 —3):6; л: = 24:6 = 4.

VI. Проверка умножения и деления.

а) Умножение проверяется делением. Пусть дан пример: 3 X 6 = i&.

С детьми это прорабатывается так: „Как вы проверите этот пример делением?“ (Произведение 18 разделим на множимое 3, получится множитель 6, или же произведение 18 разделим на множитель 6, получится множимое 3.)

„Почему вы разделите 18 на 3 или на 6?“ (Потому что каждый сомножитель равен произведению, разделенному на другой сомножитель.)

б) Деление проверяется умножением. Пусть дано 24 3 = 8.

„Как проверите этот пример умножением?“ (Делитель 3 умножим на частное 8 или же частное 8 умножим на делитель 3; получится делимое 24.)

„Почему вы так проверяете деление?“ (Потому что мы знаем: делимое равно делителю, умноженному на частное, или иначе: делимое равно частному, умноженному на делитель.)

в) Деление проверяется делением.

„Как еще можно проверить деление?“ (Делимое 24 разделить на частное 8, получится делитель 3.)

„Почему вы так проверяете деление?“ (Потому что мы знаем: делите ь равен делимому, разделенному на частное.)

г) Если надо проверить деление с остатком, то это можно выполнить двояко: 1) умножением, 2) делением.

1) Проверка деления умножением. Надо умножить делитель на частное и прибавить остаток.

Пусть дано: 17:3 = 5 (ост. 2.) Надо: 3x5=15; 15 + 2 = 17.

2) Проверка деления делением. Надо сперва от делимого отнять остаток, затем полученную разность разделить на делитель, и получится частное, или же, отняв от делимого остаток, полученную разность разделить на частное, получится делитель.

Возьмем прежний пример: 17:3 = 5 (ост. 2).

Надо: 1) 17 — 2=15; 2) 15:3 = 5; или же: 1) 17 — 2=15; 2) 15:5 = 3.

Полезно приучать детей депать проверку прямых действий обратными, т. е. сложение проверять вычитанием, вычитание — сложением, умножение — делением и деление — умножением. Это приучает детей к самопроверке (к самоконтролю), что имеет большое практическое значение.

Б. ИЗМЕНЕНИЯ СУММЫ, РАЗНОСТИ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО

На изменении результатов арифметических действий основаны сокращенные приемы вычислений: округление чисел, умножение и деление на 5, на 25, на 125 и др., а законами изменения частного пользуются при делении десятичных дробей. Вот почему необходимо познакомить детей с этими изменениями.

Законы изменения результатов действий надо излагать детям не в отвлеченной форме, как, например: „Если множимое увеличить во сколько-нибудь раз, а множитель уменьшить во столько же раз, то произведение не изменится“, а в простой форме, на задачах и примерах.

Формулировка законов изменения суммы, разности, произведения и частного для начальной школы имеет не главное значение; главное заключается в том, чтобы дети поняли законы изменения результатов действий в зависимости от изменения данных и умели применять эти законы к упрощению действий.

I. Изменение суммы.

Знакомство с изменением суммы, равно как с изменением разности, произведения и частного, надо начинать с задач, затем переходить к отвлеченным числам, и, наконец, делать вывод (давать правило).

а) Задачи.

1) „В первом и во втором классах в начале года было по 10 ударников, а в конце

года в I классе стало на 5 ударников, а во II классе на 8 ударников больше, чем было. В каком классе стало больше ударников и на сколько?

Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо ли делать два сложения: 10-}- 5 = 15; 10 + 8 = 18?“

2) „Дано сложить в первый раз два числа: одно 4, а другое 2; во второй раз дано сложить тоже два числа: одно тоже 4, а другое 5. Когда получилась большая сумма — в первый раз или во второй раз? На сколько больше? Почему больше?“

3) „Если даны два слагаемых и к одному из них прибавить 3 единицы, то что сделается с суммой?“ (Сумма будет на 3 единицы больше.)

4) „Если даны два слагаемых и одно слагаемое увеличить на 2 единицы, что сделается с суммой?“ (Сумма увеличится на 2 единицы.)

После ряда подобных упражнений, дети делают такой вывод: если одно слагаемое увеличить на какое-л ибо число, то и сумма увеличится на то же число.

б) Этим свойством суммы можно пользоваться для упрощения вычислений в том случае, если одно из слагаемых так называемое закруглимое число, как, например: 99, 98, 97; 999, 998, 997; 2996, 3995 и т. п., т. е. такие числа, которые близки к единицам какого-нибудь разряда.

Так, чтобы сложить 5998 и 450, можно вместо 5998 взять круглое число 6000, прибавить к нему 450 — будет 6450, от этого числа отнять 2 лишних единицы — получится 6448.

в) Подобно предыдущему выясняется такой закон изменения суммы:

если данное слагаемое уменьшить на какое-либо число, то и сумма уменьшится на то же число.

Пусть дано 60 + 25 = 85. Уменьшим слагаемое 25 на 5, получится 20, и сумма уменьшится на 5; получится 80 (60 + 20).

rj Усвоив эти два закона изменения суммы, дети без особого труда поймут и следующий закон суммы:

если одно слагаемое увеличить на какое-либо число, а другое слагаемое уменьшить на то же число, то сумма не изменится.

Проработать это с детьми можно так:

1) На задачах. „В одном классе 30 ребят, а в другом 40. В течение года в первый класс поступило еще 5 ребят, а из второго класса выбыло 5 ребят. Больше ли стало ребят в двух классах вместе, чем было раньше?“

2) На численных примерах.

10 + 15 = 25 (первая сумма); 12 + 15 --=2/7 (вторая сумма); 12-|- 13 = 25 (третья сумма).

Написав на доске эти три примера, дети сравнивают их. На сколько вторая сумма (27) больше первой (25)? (На 2.) Почему? (Потому что мы увеличили первое слагаемое на 2.)

На сколько третья сумма (25) меньше второй суммы (27)? (На 2.) Почему? (Потому что мы уменьшили второе слагаемое на 2.)

„Значит, мы первую сумму увеличили на 2, а вторую уменьшили на столько же, и у нас получилась прежняя сумма, т. е. сумма не изменилась“.

3) Формулировка вывода (см. выше под буквой г).

4) Пользуясь этими свойствами суммы, мы можем упрощать сложение.

Пусть дано: 40 + 2005 -к 60 + 995.

Мы можем от второго слагаемого (2005) отнять 5 единиц и прибавить их к последнему слагаемому (995), получится 3000, а затем к 3000 прибавить 100 (сумму двух слагаемых 40 и 60), получится 3100.

II. Изменение разности.

Разность изменяется в зависимости от изменения уменьшаемого и вычитаемого.

А. В зависимости от изменения уменьшаемого бывает такое изменение разности:

если уменьшаемое увеличить на какое-либо число, то и разность увеличится на то же число;

если уменьшаемое уменьшить на какое-либо число, то и разность уменьшится на то же число.

а) Проработка на задачах.

1) „В III классе 20 девочек, из них перешло в IV класс 18 девочек. В IV классе на 5 девочек больше, а перешло в V класс столько же, сколько из III класса—в IV класс. В каком классе стало больше девочек — в четвертом или в пятом?“

2) „В I классе 25 мальчиков, из них перешло во II класс 18 мальчиков. Во II классе на 5 мальчиков меньше, а перешло в III класс столько же, сколько из I класса во второй. В каком классе стало меньше мальчиков?“

б) Проработка на численных примерах. Пусть дано: 12 -2=10.

Вместо 12 возьмем 15.

15 — 2=13.

„Что сделалось с уменьшаемым?“ (Уменьшаемое увеличилось на 3 единицы.)

„Что сделалось с разностью?* (Разность увеличилась на 3: была 10, стала 13.)

в) Так же прорабатывается и то положение, если уменьшаемое уменьшить на несколько единиц.

г) Формулировка вывода (см. выше под буквой А.)

Б. В зависимости от изменения вычитаемого бывает такое изменение разности:

если вычитаемое увеличить на какое-либо число, то разность, наоборот, уменьшится на то же число;

если вычитаемое уменьшить на какое-либо число, то разность, наоборот, увеличится на то же число.

Это изменение разности прорабатывается по образцу изменения разности, в зависимости от изменения уменьшаемого.

III. Неизменяемость разности.

Если уменьшаемое и вычитаемое увеличить или уменьшить на одно и то же число, то разность не изменится.

Это дается детям несколько труднее, чем изменение разности от изменения одного какого-либо члена—уменьшаемого или вычитаемого.

а) Проработка на задачах.

1) „В одном цехе завода 80 рабочих, из них 30 ударников; в другом цехе 90 рабочих, из них 40 ударников. В каком цехе больше рабочих-неударников?“

„На сколько больше рабочих во втором цехе?“ (На 10.) „На сколько больше ударников во втором цехе?“ (На 10.) „В каком цехе больше рабочих-неударников?“ (В обоих поровну.)

2) „В одном цехе завода 100 рабочих, из них 40 партийцев; в другом цехе 90 рабочих, из них 30 партийцев. В каком цехе меньше беспартийных рабочих?“

„На сколько меньше рабочих во втором цехе?“ (На 10.) „На сколько меньше партийцев во втором цехе?“ (На 10.)

„В каком цехе меньше беспартийных рабочих?“ (В обоих поровну.)

б) На численных примерах. 1) Пусть дано: 15 — 5 = 10.

Вместо уменьшаемого 15 возьмем 18, вместо вычитаемого 5 возьмем 8, получим:

18 — 8=10.

„Что сделали с уменьшаемым?“ (Увеличили его на 3.) „Что сделали с вычитаемым?“ (Тоже увеличили его на 3.) „Что сделалось с разностью?“ (Разность не изменилась: была 10 и стала 10.)

2) Пусть дано: 70 — 50 = 20.

Вместо уменьшаемого 70 возьмем 60, вместо вычитаемого 50 возьмем 40, получим:

60 — 40 = 20.

„Что сделалось с уменьшаемым?“ (Уменьшаемое уменьшилось на 10.) „Что сделалось с вычитаемым?“ (Вычитаемое уменьшилось на 10.) „Что сделалось с разностью?“ (Разность не изменилась: была 20 и стала 20.)

в) Формулировка вывода (см. выше под буквой в.)

г) Применение изменения разности к упрощению вычитания.

Пусть дано: 825 — 95. Вместо 95 возьмем круглое число 100. От 825 отнять 100, получится 725. Мы отняли 5 лишних единиц, поэтому надо прибавить их к 725, получится 730.

Это упрощение можно сделать иначе.

Возьмем прежний пример: 825 — 95 = 730. Прибавим к уменьшаемому и вычитаемому по 5, получим 830 — 100 = 730.

Или же отнимем от уменьшаемого и вычитаемого по 25, получим:

800 — 70 = 730.

IV. Изменение произведения.

Можно изменять произведение путем изменения одного из сомножителей через сложение, вычитание, умножение и деление.

Изменение произведения путем прибавления к одному из сомножителей скольких-нибудь единиц.

1. Изменение произведения путем изменения множителя.

а) Объяснение этого изменения лучше всего начинать с задач, примерно, такого вида: „Карандаш стоит 5 коп. Сколько стоят 6 карандашей? А если бы было куплено не 6 карандашей, а 7, т. е. на 1 карандаш больше, то они стоили бы не 30 коп., а на 5 коп. больше, т. е. 35 коп.“

Запишем решение этой задачи в две строки:

5 коп.Х 6 = 30 коп. 5 коп X 7 = 35 коп.

„Какое множимое в 1-й строке и во 2-й строке? Какой множитель в 1-й строке и какой — во 2-й строке? На сколько больше множитель во 2-й строке? Какое произведение в 1-й строке и какое—во 2-й строке? На сколько больше произведение во 2-й строке, чем в 1-й?

Значит, когда мы увеличили множитель на одну единицу, то произведение увеличилось на 5 единиц, т. е. на одно множимое“.

б) Пусть дано 4-5 = 20.

Вместо множителя 5 возьмем 6, т. е. множитель увеличим на одну единицу,— произведение увеличится на одно множимое, т. е. на 4 единицы:

4-6 = 24.

Пусть дано: 4*2 = 8.

Вместо множителя 2 возьмем множитель 5, т. е. множитель увеличим на 3 единицы,— произведение увеличится на 3 множимых, т. е. на 12 единиц.

4-5 = (4-2) + (4-3) =8-f- 12 = 20.

Закон изменения произведения путем изменения множителя сложением можно формулировать так:

если множитель увеличить на несколько единиц, то произведение увеличится на число этих единиц, умноженных на множимое.

Эта формулировка, вследствие своей трудности, необязательна для детей.

2. Изменение произведения путем изменения множимого прорабатывается по образцу изменения произведения путем изменения множителя.

Вот образцы для проработки упражнений:

а) „Ручка стоит 6 коп. Сколько стоят 4 ручки? А если бы ручка стоила 7 коп., т. е. на 1 коп. дороже, то 4 ручки стоили бы не 24 коп., а 28 коп., т. е. на 4 коп. дороже“.

б) Пусть дано: 2-5 = 10.

Вместо множимого 2 возьмем 3, т. е. множимое увеличим на 1 единицу, произведение увеличится на 1 множитель.

3-5 = (2-5)+ (1-5) = 10-f5=15.

в) Пусть дано 3-2 = 6.

Вместо множимого 3 возьмем 7, т. е. множимое увеличим на 4 единицы, произведение увеличится на 4 множителя, т. е. на 8

7-2 = (3.2)-f (4-2) = 6 + 8 = 14

Этот закон изменения произведения можно формулировать так:

если множимое увеличить на несколько единиц, то произведение увеличится на число этих единиц, умноженных на множитель.

Эта формулировка, вследствие своей трудности, необязательна для детей.

V. Применение изменения произведения к упрощению умножения.

Это упрощение можно делать тогда, когда один из сомножителей закруглимое число.

Вот образцы примеров для упрощения умножения:

1) 180-9 = 180-10— 180 = 1800 — 180 = =- 1620 (множитель 9 — закруглимое число).

2) 490 - 4 = (500 - 4) — (10 - 4) = 2000 —

— 40 = 1960 (множимое 490 — закруглимое число).

3) 59-60 = (60-60) —60 = 3600 —60 = = 3540 (множимое 59 закруглимое число).

4) 23-90 =(23 100) - (23 • 10) =2300 —

— 230 - 2070 (вместо множителя 90 взяли 100).

VI. Изменения произведения путем вычитания одного из сомножителей.

Это изменение произведения можно формулировать так:

а) Если множимое уменьшить на несколько единиц, то произведение уменьшится на то же число единиц, умноженное на множитель.

Например:

8-2=16; (8 — 3).2 = 5-2=10.

б) Если множитель уменьшить на несколько единиц, то произведение уменьшится на то же число единиц, умноженное на множимое.

2-8= 16; 2.(8 — 3) =2-5=10.

Обе эти формулировки по своей трудности необязательны для детей.

Это изменение произведения прорабатывается по примеру изменения произведения путем изменения одного из сомножителей через сложение (см. выше стр. 65).

VII. Изменение произведения путем умножения одного из сомножителей.

Это изменение произведения можно формулировать так:

если один из со множителей увеличить во сколько-нибудь раз, то и произведение увеличится во столько же раз.

Например:

1) 2X4 = 8; 6 X 4 = 24.

Множимое увеличено в 3 раза (вместо 2 взято 6) и произведение увеличилось в 3 раза (вместо 8 стало 24).

Например:

2) 2X3 =6; 2 X 12 = 24.

Множитель увеличен в 4 раза (вместо 3 взято 12) и произведение увеличилось в 4 раза (вместо 6 стало 24).

а) Проработка на чертеже. Это изменение произведения лучше всего объяснить детям графически, с помощью прямоугольников, примерно так (см. черт.-1):

„Скольким сантиметрам равна длина прямоугольника слева? (3 см.) Скольким сантиметрам равна ширина этого прямоугольника? (2 см.) Найдите площадь этого прямоугольника. (3 см X 2 см = 6 см2.) 3 см — множимое, 2 см — множитель, 6 см2 — произведение“.

„Какова длина прямоугольника справа? (6 см.) Какова ширина? (2 см2.) Какова площадь? (12 см2). Во сколько раз длина прямоугольника справа больше длины прямоугольника слева? (В 2 раза.) Во сколько раз площадь правого прямоугольника больше площади левого прямоугольника? (В 2 раза.) В записи под прямоугольником справа 6 см есть множимое, 2 — множитель, 12 см — произведение. Смотря на оба прямоугольника, скажите, что сделается с произведением, если множимое увеличить в 2 раза?“

б) Проработка на задаче. „Товарный поезд проходит 25 км в час, а скорый — 75 км. Какое расстояние пройдет в 4 часа товарный поезд? скорый поезд? Во сколько раз большее расстояние пройдет скорый поезд, чем товарный? Почему в 3 раза?

Черт. 1.

Запишем решение этой задачи в три строки так:

1) 25 кмХ 4=100 км;

2) 75 кмХ 4 = 300 /см;

3) 300 км : 100 км=Ъ.

Сравните первую строку со второй.

Какое множимое, какой множитель, какое произведение в первой и во второй строках? Во сколько раз больше множимое во второй строке, чем в первой? Во сколько раз больше произведение во второй строке, чем в первой? Значит, когда мы увеличим множимое в 3 раза, то и произведение увеличится в 3 раза“.

в) Проработка на численном примере. Пусть дано: 2x3 —6.

Вместо множимого 2 возьмем 8, т. е. множимое увеличим в 4 раза, а множитель оставим тот же, произведение получится 24, т. е. произведение увеличится в 4 раза; было 6, стало 24.

г) Это мы увеличивали множимое в несколько раз. Теперь возьмем тот случай, когда надо множитель увеличить в несколько раз.

Это проделывается сначала графически на прямоугольниках по примеру предыдущего (см. п. а), но только во втором прямоугольнике увеличивается в 2 раза не длина (множимое), а ширина (множитель), т. е. оба прямоугольника примут такой вид:

Черт. 2.

Задача. „Колхоз в первый раз доставил на станцию хлеб на 2 грузовиках, по 30 ц на каждом; в другой раз — на 6 грузовиках, по стольку же центнеров на каждом. Сколько хлеба доставил колхоз в первый раз? Сколько во второй раз? Во сколько больше во второй раз? Почему больше во второй раз?“

Запись решения задачи в три строки и сравнение строчек по примеру предыдущего. По примеру предыдущего прорабатывается и упражнение на численных примерах.

VIII. Применение изменения произведения к упрощению умножения.

Пользуясь этим законом изменения произведения, можно упростить умножение на 5, на 25 и на 125.

а) Пусть дано: 48-5; можно (48-10):2, т. е. множитель 5 увеличить в 2 раза, произведение тоже увеличится в 2 раза, получится 480; чтобы получить верное произведение, надо 480 уменьшить в 2 раза, получится 240.

Итак, 48-5 = (48-10):2 = 240.

б) Пусть дано: 24-25. Вместо множителя 25 возьмем 100, т. е. множитель увеличим в 4 раза; умножим 24 на 100, получится 2400; но это произведение в 4 раза больше настоящего; чтобы получить верное произведение, надо 2400 уменьшить в 4 раза, получится 600.

Итак, 24-25 = (24-100) :4 = 60.

в) Пусть дано: 16-125. Вместо множителя 125 возьмем 1000, т. е. множитель 125 увеличим в 8 раз; умножим 16 на 100Q, получится 16 000; но это произведение в 8 раз больше настоящего; чтобы получить верное произведение, надо 16 000 уменьшить в 8 раз, получится 2000.

Итак: 16-125 = (16-1000):8 = 2000.

IX. Изменение произведения путем деления одного из сомножителей.

Это изменение произведения можно формулировать так:

если один из сомножителей уменьшить во сколько-нибудь раз, то и произведение уменьшится во столько же раз.

Пусть дано: 8-10 = 80. Разделим множимое 8 на 4, будет 2; умножим 2 на 10, получится 20. Произведение уменьшилось в 4 раза: было 80, стало 20.

Возьмем тот же пример: 8-10 = 80. Уменьшим множитель 10 в 5 раз, будет 2; умножим множимое 8 на множитель 2, получится 16; произведение уменьшилось в 5 раз: было 80, стало 16.

Изменение произведения путем деления одного из сомножителей прорабатывается по примеру изменения произведения путем умножения одного из сомножителей. Сперва графически (на прямоугольниках), затем на задаче и, наконец, на отвлеченных числах.

X. Изменение произведения от одновременного изменения множимого и множителя.

Этот случай изменения дается детям труднее, чем предыдущие случаи изменения произведения.

А Рассмотрим сначала изменение произведения от одновременного изменения множимого и множителя путем умножения. Этот случай прорабатывается с детьми графически, на задачах и на примерах, так:

а) „Чему равна длина, ширина, площадь верхнего прямоугольника? нижнего прямоугольника? Во сколько раз длина нижнего прямоугольника больше длины верхнего прямоугольника? Во сколько раз ширина нижнего прямоугольника больше ширины верхнего прямоугольника? Во сколько раз площадь нижнего прямоугольника больше площади верхнего прямоугольника?“

В записи под верхним прямоугольником 3 см — множимое, 2 см множитель, 6 см2 — произведение. В записи под нижним прямоугольником 9 см — множимое, 4 см множитель, 36 см2 — произведение.

„Во сколько раз множимо 9 см больше множимого 3 си? Во сколько рзз множитель 4 больше множителя 2? Во сколько раз произведение 36 см2 больше произведения 6 см2?

Итак, если множимое увеличить в 3 раза, а множитель в 2 раза, то произведение увеличивается во сколько раз?“ (В 6 раз, т. е. 3X2.)

Черт. 3.

б) Задача. „В прошлом году колхоз засеял 5 га овса, и урожай был по 6 /* с гектара. В этом году колхоз засеял в 3 раза больше овса, и урожай был в 2 раза больше с гектара. Сколько получил овса колхоз в прошлом году? в этом году? Во сколько раз больше получил овса колхоз в этом году, чем в прошлом?“

Запишем решение этой задачи так:

6 цХ 5 = 30 ц; \2цХ 15 = 180/*; 180 ц:30 /( = 6.

„Сравните первую строку со второй. Какое множимое в первой строке?“ (6 ц.) „Во второй строке?“ (12 ц.) „Во сколько раз множимое 12 ц больше множимого 6 /*?“ (в 2 раза.) „Какой множитель в первой строке?“ (5.) „Во второй строке?“ (15.) „Во сколько раз 15 больше 5?“ (В 3 раза.) „Какое произведение в первой строке?“ (30 ц.) „Во второй строке?“ (180/*.) „Во сколько раз 180/* больше 30 /4?“ (В 6 раз.)

„Итак, если множимое увеличить в 2 раза, а множитель в 3 раза, то произведение увеличится во сколько раз?“ (В 6 раз, т. е. 2X3.)

в) Численный пример. Пусть дано

32 = 6.

„Умножим множимое 3 на 4, а множитель 2 на 3, получим

12-6 =72.

Сравните первую строку со второй.

Какое множимое в первой строке?“ (3.) „Во второй строке?“ (12.) „Во сколько раз 12 больше 3:“ (В 4 раза.) „Какой множитель в первой строке?“ (2). „Во второй строке?“ (6.) „Во сколько раз 6 больше 2?“ (В 3 раза). „Какое произведение в первой строке?“ (6.) „Во второй строке?“ (72.) „Во сколько раз 72 больше 6?“ (В 12 раз.)

„Итак, если множимое увеличить в 4 раза, а множитель в 3 раза, то произведение увеличится во сколько раз?“ (В 12 раз, т. е. 4X3.)

Полезны такого рода упражнения:

1) „Зная, сколько будет 12-25, скажите как можно скорее, сколько будет 24 «75?“

2) 15-12; 30-60;

150-120; 750-240,

„Не находя произведения каждой пары чисел в этом столбце, скажите, во сколько раз произведение 2-го примера («MJ-GUJ больше произведения 1-го примера?“ (15-12). Во сколько раз произведение 3-го примера больше произведения 2-го примера? Во сколько раз произведение 4-го примера больше произведения 3-го примера? Во сколько раз произведение 3-го примера больше произведения 1-го примера? Во сколько раз произведение 4-го примера больше произведения 2-го примера? Во сколько раз произведение 4-го примера больше произведения 1-го примера?“

3) Что можно сделать с сомножителями 3-5, чтобы произведение их 15 увеличилось в 8 раз? Можно:

1) 3-8 = 24; 24-5 = 120,

т. е. множимое увеличить в 8 раз;

2) 5-8 = 40; 3-40 = 120,

т. е. множитель увеличить в 8 раз;

3) 3-2 = 6; 5-4 = 20; 6-20= 120,

т. е. множимое увеличить в 2 раза, а множитель в 4 раза;

4)3-4 = 12; 5-2-10, 12-10=120, т. е. множимое увеличить в 4 раза, а множитель в 2 раза.

Б. Изменение произведения от одновременного изменения множимого и множителя путем деления прорабатывается по образцу предыдущего изменения произведения путем умножения.

Пусть дано 12-8 = 96.

Разделим множимое 12 на 3, а множитель 8 на 4, получим 4-2 = 8.

Произведение уменьшилось в 12 раз (3-4).

Полезны такого рода упражнения:

„Зная, сколько будет 50-60, скажите как можно скорее, сколько будет 25-12?“

XI. Неизменяемость произведения.

а) Закон неизменяемости произведения можно формулировать так:

если один сомножитель увеличить во сколько-нибудь раз, а другой уменьшить во столько же раз, то произведение не изменится.

Пусть дано: 4-6 = 24.

Множимое 4 увеличим в 2 раза, получится 8; множитель 6 уменьшим в 2 раза, получится 3; 8 умножить на 3, получится 24, т. е. произведение не изменилось.

После надлежащей проработки изменения произведения от одновременного изменения множимого и множителя неизменяемость произведения не представляет затруднений для детей.

Если бы неизменяемость произведения затруднила детей, тогда надо проработать это

Черт. 4.

графически с помощью прямоугольников, по примеру предыдущего (см. стр. 67), причем длину (основание) прямоугольника увеличить в известное число раз, а ширину (высоту) уменьшить в то же число раз. Вот образец такого чертежа:

Черт. 5.

б) Законом неизменяемости произведения можно пользоваться для упрощения умножения.

Пусть дано 24-8-25.

Зная, что произведение не изменится, если первый сомножитель (24) уменьшить в 4 раза, а третий сомножитель (25) увеличить в 4 раза, мы будем иметь:

6-8-100 = 4800.

XII. Изменение частного.

Частное изменяется в зависимости от изменения делимого и делителя.

А. Изменение частного в зависимости от изменения делимого.

Эту зависимость можно формулировать так:

1) Если делимое увеличить во сколько-нибудь раз, то и частное увеличится во столько же раз.

Например: 8:2 -4. Делимое 8 увеличим в 3 раза, получится 24; 24 разделим на делитель 2, получится 12. Частное увеличилось в 3 раза: было 4, стало 12.

2) Если делимое уменьшить во сколько-нибудь раз, то и частное уменьшится во столько же раз.

Например: 16:2 = 8.

Делимое 16 уменьшим в 4 раза, получится 4; делимое 4 разделим на 2, получится 2. Частное уменьшилось в 4 раза: было 8, стало 2,

Этот закон изменения частного лучше всего проработать с детьми так.

Дается детям ряд примеров на деление, вроде следующих:

Когда дети выполнят деление в первых двух столбцах, учитель предлагает детям сравнить каждый последующий пример каждого столбца с каждым из предыдущих примеров.

Так, сравнивая примеры в первом столбце, дети увидят, что во втором примере (8:2) делимое сравнительно с первым примером (4:2) увеличилось в 2 раза и частное увеличилось тоже в 2 раза; то же самое изменение произошло в третьем примере сравнительно со вторым, в четвертом примере сравнительно с третьим и т. д.

Сравнивая третий пример (16:2) с первым (4:2), дети увидят, что делимое в третьем примере увеличилось в 4 раза, и частное увеличилось тоже в 4 раза; то же самое изменение произошло в четвертом примере сравнительно со вторым, в пятом примере сравнительно с третьим и т. д.

Сравнивая четвертый пример с первым, дети увидят, что делимое увеличилось в 8 раз и частное увеличилось тоже в 8 раз; то же самое изменение произошло в пятом и во втором примерах.

Во втором столбце (20:4 и т. д.) дети сравнивают второй и третий пример с первым, четвертый пример с первым и вторым, пятый пример с первым.

Из рассмотрения этих примеров дети,, под руководством учителя, делают вывод: если делимое увеличить во сколько-нибудь раз;, то и частное увеличится во столько же раз.

По образцу примеров в первых двух столбцах дети рассматривают примеры в третьем и четвертом столбцах и, под руководством учителя, делают вывод: если делимое уменьшить во сколько-нибудь раз, то и частное уменьшится во столько же раз.

При изучении частного, в зависимости от изменения делимого, полезно решать примеры такого вида:

1) Зная, что 111:37 = 3:, найдите как можно скорее, сколько будет: а) 222:,37; б) 333:37; в) 555:37?

2) Зная, что 888:37 = 24, найдите как можно скорее, сколько будет: а) 444:37; б) 222:37; в) 111:37?

Б. Изменение частного в зависимости от изменения делителя.

Эту зависимость можно формулировать так:

1)Если делитель увеличить во сколько-нибудь раз, то частное, наоборот, уменьшится во столько же раз.

Например, 16:2 = 8. Делитель 2 увеличим в 2 раза, получится 4; делимое 16 разделим на 4, получится 4, т. с. частное, наоборот, уменьшилось в 2 раза: было 8, стало 4.

2) Если делитель уменьшить во сколько-нибудь раз, то частное, наоборот, увеличится во столько же раз.

Например: 24*12 = 2. Делитель 12 уменьшим в 3 раза, получится 4; делимое 24 разделим на 4, получится 6, т. е. частное, наоборот, увеличилось в 3 раза: было 2, стало 6.

При прохождении этого закона изменения частного полезно решать такого вида примеры:

1) Зная, что 1080:15 = 72, найдите как можно скорее частное двух чисел: а) 1080 и 30; б) 1080 и 45; в) 1080 и 90.

2) Зная, сколько будет 1536:96, найдите как можно скорее частное двух чисел : а) 1536 и 48; б) 1536 и 24; в) 1536 и 12.

Этот закон изменения частного прорабатывается по образцу изменения частного в зависимости от изменения делимого.

В. Неизменяемость частного. Это свойство частного можно формулировать так:

1) Если делимое и делитель увеличить в одинаковое число раз, то частное не изменится.

Например, 6:2 = 3.

Делимое 6 умножим на 3, получится 18; делитель 2 умножим тоже на 3, получится 6. 18 разделим на 6, получится 3, т. е. частное не изменилось: было 3 и стало 3.

2) Если делимое и делитель уменьшить в одинаковое число раз, то частное не изменится.

Например, 18:9 = 2.

Разделим делимое 18 на 3, получится 6; разделим делитель 9 на 3, получится 3; разделим новое делимое 6 на новый делитель 3, получится 2, т. е. частное не изменилось: было 2 и стало 2.

Неизменяемость частного можно вывести из рассмотрения такого вида примеров: 1) 6:2 = 3; 2) 800:200 = 4; 12:4 = 3; 400:100 = 4;

24:8 = 3; 200:50 = 4;

48:16=3. 100:25 = 4.

Прорабатывается это по примеру изменения частного в зависимости от изменения делимого и делителя (см. выше стр. 70)

Г. Применение неизменяемости частного к упрощению деления. Зная указанное свойство неизменяемости частного, можно производить упрощение в вычислениях при делении на некоторые числа, например на 5, на 25 и на 125.

а) Пусть дано 120:5 = 24. Вместо делителя 5 возьмем 10, т. е. делитель 5 увеличим в 2 раза; разделим 120 на 10, получится 12; это частное меньше истинного в 2 раза; чтобы получить верное частное, надо 12 умножить на 2, получится 24.

Итак,

120:5 = (120:10).2 = 24.

б) Пусть дано 2000:25 = 80.

Вместо делителя 25 возьмем 100, т. е. делитель увеличим в 4 раза; разделим делимое 2000 на 100, получится 20; это частное меньше истинного в 4 раза; чтобы получить верное частное, надо 20 умножить на 4, получится 80.

Итак, 2000:25 = (2000:100).4 = 80.

в) Пусть дано 3000:125 = 24.

Вместо делителя 125 возьмем 1000, т. е. делитель увеличим в 8 раз; разделим 3000 на 100, получится 3; это частное меньше истинного в 8 раз; чтобы получить верное частное, надо 3 умножить на 8.

Итак,

3000:125 = (3000:100) • 8 = 24.

г) При прохождении неизменяемости частного полезно решать примеры такого вида:

1) Зная, что 75:3 = 25, скажите как можно скорее, сколько получится: а) 300:12; б) 600:24; в) 750:30; г) 1500:60?

2) Зная, сколько будет 24 000:1200, скажите как можно скорее, сколько получится: а) 2400:120; б) 240:12; в) 1200:600?

3) Дано 1400 разделить на 50. Когда получится больше частное: когда сначала 1400 разделить на 100, затем полученное умножить на 2, или же когда сначала 1400 умножить на 2, затем полученное разделить на 100?

Д. Закон неизменяемости частного применяется при делении чисел, оканчивающихся нулями.

Пусть дано 8000:400 = 20.

Делимое 8000 и делитель 400 разделим на 100, получится:

Этот прием деления можно записать двояко: 8000:400 = 80:4 = 20, или же 8000:400 = 20.

Точно так же поступают, когда у делимого и делителя на конце по одному, по три, по четыре и т. д. нулей.

Из ряда подобных примеров дети, под руководством учителя, делают вывод:

если делимое и делитель оканчиваются нулями, то у них можно зачеркнуть поровну нулей.

Все указанные выше выводы об изменении частного имеют полную силу только в том случае, если деление бывает без остатка; если же есть остаток, то выводы иногда недействительны.

Например, деля 7 на 2, получим в частном 3 и в остатке 1 ; умножая же делимое 7 на 10, мы при делении 70 на 2 получим в частном не 30, а 35 (без остатка).

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕТОДОМ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

П. САПУНОВ (г. Владимир)

Составление уравнения из условия задачи является чуть ли не самым больным местом для учащихся. Мы не ошибемся, если будем утверждать, что большинство учащихся не умеют решать задач на составление уравнений, а если и научаются решать простейшие из них, то не могут сопроводить свое решение толковым объяснением составления уравнения. Причинами этого крупного пробела в математическом образовании учащихся являются, по нашему мнению, следующие:

1) отсутствие вполне доступных для понимания учащихся общих указаний относительно составления уравнения из условия задачи;

2) отсутствие систематичности в подборе задач, даваемых учащимся для разрешения, несоблюдение правила постепенного перехода от простейших к более трудным задачам;

3) отсутствие предварительных навыков у учащихся в составлении алгебраических выражений;

4) отсутствие надлежащего оформления всего процесса решения задачи с необходимыми пояснениями составления промежуточных алгебраических выражений, с объяснением составляющегося уравнения и проверкой правильности решения задачи.

Настоящая методическая заметка ставит своей целью поделиться опытом в этом отношении и дать, таким образом, некоторые руководящие данные для начинающих преподавателей.

Начинать тему „Составление уравнений“ рациональнее всего с решения арифметических задач арифметическим методом, хорошо знакомым учащимся.

Задача. Два лица имеют вместе 38 руб., причем у первого шестью рублями больше, чем у другого. Сколько денег у каждого?

Решение.

1) Сколько было бы у двух лиц вместе, если бы у первою было столько же, сколько и у второго?

38 руб. — 6 руб. = 32 руб.

2) Сколько было денег у второго?

32 руб.:2 = 16руб.

3) Сколько было денег у первого?

16 руб. -f 6 руб.--- 22 руб.

Ответ: у первого было 22руб., у второго — 16 руб.

Проверка:

22 руб. -f 16 руб. = 38 руб. 22 руб. - 16 руб. = 6 руб.,

что соответствует условию задачи.

Эта задача, хотя и имеет только три данных (2 лица, 38 руб. и 6 руб.), но не является для учащихся особенно легкой как по решению, так и по объяснению решения, но это в данном месте только к лучшему, так как в таком случае учащиеся больше оценят последующий способ решения той же задачи — способ алгебраический.

Алгебраический способ решения той же задачи. В задаче спрашивается, сколько было денег у каждого.

В процессе решения задачи арифметическим способом мы видели, что для ответа на поставленный вопрос нужно было сначала узнать, сколько денег у второго лица; зная это, можно затем узнать, сколько было денег и у первого, прибавив к деньгам второго

6 руб., так как у первого на 6 руб. больше, чем у второго.

Поэтому прежде всего ответим на поставленный в задаче вопрос относительно второго лица неопределенным ответом — неопределенным числом, а именно так:

пусть у второго ли :а было х руб.

Ответив неопределенным числом о количестве денег у второго лица, можно ответить также неопределенным способом о количестве денег у первого лица: ведь у первого было денег на 6 руб. больше, чем у второго. Следовательно, тогда у первого лица будет (X + 6) руб.

Но в задаче говорится, что оба лица вместе имели 38 руб., следовательно, оба неопределенных числа л: руб. и (*-]-6)руб. вместе, т. е. в сумме, должны дать 38 руб., т. е.

х+(х+ 6) = 38.

Получили уравнение, которое и решаем:

х= 16.

Следовательно, у второго лица было 16 руб., а у первого 16 руб. -|- 6 руб. = 22 руб.

Такой способ решения арифметической задачи, сопровождающийся в своем процессе неопределенными ответами и приводящий к решению уравнения, называется алгебраическим способом, или способом составления уравнения.

На основании решенной задачи попробуем несколько подробнее охарактеризовать алгебраический метод.

1) Мы начинаем решать задачу как бы с конца, т. е. с неопределенного ответа на поставленный в задаче вопрос, вводя, таким образом, в состав решения неизвестное число, выражающееся какой-либо буквой, например х.

2) Если в задаче имеются два или большее число вопросов (в решенной задаче было по существу два вопроса, а не один), то отвечаем и на них, давая ответы при помощи введенного в состав решения неизвестного и данных чисел из условия задачи (в нашей задаче х -]- 6).

3) Над полученными ответами (алгебраическими выражениями) производим действия, напоминающие собой проверку решения задачи, в результате чего получается уравнение с одним неизвестным.

4) Решаем получившееся уравнение, т. е. находим ответ на один из поставленных в задаче (если их несколько) вопросов.

5) Даем ответы на остальные вопросы задачи, если таковые- имеются.

6) Проверяем правильность решения задачи.

Для закрепления ознакомления учащихся с новым методом можно порекомендовать решить этим методом аналогичную задачу, но с большим количеством вопросов, например, такую.

В трех корзинах находится 80 яблок, причем в первой больше, чем в третьей на 5 яблок, а во второй больше, чем в третьей, на 15 яблок. Сколько яблок в каждой корзине?

Здесь прежде всего необходимо обратить внимание учащихся на то, что обозначить через неизвестное выгоднее количество яблок в той из корзин, с которой сравниваются остальные, т. е. количество яблок в третьей корзине.

Оформление процесса решения:

I. Пусть в третьей корзине было х яблок.

II. Тогда: 1) в первой корзине будет (л:+ 5) яблок; 2) во второй корзине будет (дг + 15) яблок.

III. Так как во всех трех корзинах было всего 80 яблок, то, складывая количества яблок всех корзин, получим 80, т. е.

х+ (лг + 5) +(лг+15) = 80.

IV. Решение уравнения:

X - 20.

V. Ответы задачи:

в третьей корзине 20 яблок, в первой корзине 25 яблок, во второй корзине 35 яблок.

VI. Проверка:

20 f 25 + 35 = 80, 25 - 20 = 5, 35 — 20 =15, что соответствует условию задачи.

Для более полного оформления процесса решения было бы желательно, хотя бы на первых порах, сопровождать объяснением составление каждого выражения п. II, примерно, в таком виде:

II. Тогда: 1) в первой корзине будет (л: —|— 5) яблок, так как в ней на 5 яблок больше, чем в третьей.

В задачах первой трудности, к каковым относятся приведенные выше две, в п. I и II приходится составлять столько алгебраических выражений, сколько вопросов содержит задача.

В этих задачах одно из данных служит для составления уравнения, а остальные данные расходуются на составление выражений, представляющих собой ответы на поставленные в задаче вопросы.

Перейдем к задачам второй трудности. К таким задачам отнесем те, которые требу-

ют составления нескольких вспомогательных алгебраических выражений, не представляющих собой выражений-ответов на поставленные в задаче вопросы.

Пример.

Разделить число 46 на две части так, чтобы разность частных от деления первой части на 3 и второй на 7 равнялась 2.

I. Пусть первая часть числа х единиц.

II. Тогда: 1) вторая часть числа = (46 — х) единиц.

Вспомог. 2) частное от деления первой части на 3; у единиц;

3) частное от деления второйчасти на 7; —^— единиц.

III. Так как разность этих частных 2, то, вычитая из первого частного второе, получим 2, т. е.

После решения задачи второй трудности было бы полезно сообщить учащимся следующее, что могло бы быть использовано ими в их дальнейшей работе по части самостоятельного разрешения задач:

1) Для составления уравнения из условия задачи необходимо одно из данных выбирать для самого составления уравнения.

2) Все остальные данные использовать для составления „основных“ и „вспомогательных“ алгебраических выражений, помня, что, вообще говоря, каждому данному будет соответствовать одно выражение.

Поэтому количество выражений в п. II должно быть на единицу меньше количества данных в условии задачи.

(В предыдущей задаче было 4 данных, а составлено алгебраических выражений 3.)

3) Вернувшись к рассмотрению первой задачи арифметическим и алгебраическим способами, обратим внимание учащихся на то обстоятельство, что некоторые данные, как, например, два лица, в арифметическом способе участвуют как члены действия (32 руб.:2 = = 16 руб.), а в алгебраическом способе в прямой форме не участвуют. Их участие сказывается здесь в скрытой форме: именно „два“ слагаемых дали в сумме 38.

Такие данные, которые не участвуют в процессе решения задачи алгебраическим спосособом, необходимо исключать из общего количества данных. В последней задаче слова „две части“ мы не должны включать в состав одного из данных

4) Дать следующую схему решения задачи алгебраическим методом :

I. Введение в состав решения задачи неизвестного.

Пусть...............

II. Составление алгебраических выражений при помощи введенного неизвестного и всех данных задачи, за исключением одного, которое необходимо в момент составления уравнения.

III. Составление уравнения на основании не принятого во внимание в п. II данного и составленных в п. II выражений (всех или нескольких) с объяснением по трафарету:

так как............. ,

то, складывая (или вообще производя такое-то действие).......... . . . ,

получим..............т. е.

запись уравнения на математическом языке.

IV. Решение составленного уравнения

V. Ответ(ы) задачи.

VI. Проверка ответов по условию задачи. Задачи третьей трудности.

К этим задачам можно отнести такие, в которых одно из данных выражено не числом, а словами, или и тем и другим, как-то „равны“, „пополам“, „такая-то часть такого-то результата над такими-то числами“ и т. п.

Пример. Разделить число 75 на две части так, чтобы большая часть превышала втрое разность между обеими частями.

Можно считать, что в этой задаче три данных: 75, „втрое“ и „разность между обеими частями“.

I. Пусть меньшая часть числа х единиц.

II Тогда: 1) большая часть числа (75 — х) единиц,

2) разность между обеими частями будет (75 — X — х) единиц. III. Так как большая часть превышает эту разность втрое, то, умножая эту разность на 3, получим большую часть числа, т. е.

(75 _ X _ д.). 3>= 75 — X.

Задачи четвертой трудности.

К этим задачам мы относим такие, в которых нет надобности оставлять одно из данных для составления уравнения. Уравне-

ние образуется путем сравнения составленных выражений.

Пример. Кооператив получил некоторое количество сахара для распределения между своими пайщиками. Если каждому пайщику выдать по 2,5 лгг, то останется 95 кг; если же кажд^у выдать по 3 лгг, то нехватит 286 кг.

Сколько было пайщиков и сколько сахара получил кооператив?

I. Пусть количество пайщиков было х человек.

II. Тогда: 1) количество сахара, полученное всеми пайщиками

(2,5л:) кг;

2) количество сахара, полученное кооперативом

(2,5 je -f- 95) кг;

3) количество сахара, которое получили бы все пайщики по норме в 3 кг

(Sx) кг;

4) количество сахара, полученное кооперативом

(За: —286) кг.

III Так как количества сахара, вычисленные в обоих случаях, должны быть одинаковы, то приравнивая друг другу эти количества, получим уравнение:

2,5* -f 95 = 3лг —286.

Задачи пятой трудности.

К этим задачам мы относим такие, которые требуют знания законов, формул или теорем физики и геометрии. В этих задачах одно из данных является скрытым в соответствующем законе, формуле или теореме. Сюда же относим задачи, требующие знания вопросов арифметики: свойство делимого, делителя, частного и остатка, проценты, пропорции и т. п.

К задачам шестой трудности относим задачи на переливание, на бассейны, на перестановку цифр в числе и т. п.

Такая классификация задач на шесть категорий в порядке возрастающей трудности может оказаться совершенно неправильной по отношению к каким-нибудь данным шести задачам, но, вообще говоря, подобная классификация, как показывает практика, вполне соответствует действительности. Задачи первых четырех категорий, предлагающиеся для решения учащимся, должны быть такими, по отношению к которым применимы все указания, изложенные в настоящей заметке после решения задачи второй трудности, за исключением и. II, который по отношению к четвертой категории несколько видоизменяется.

При переходе к решению задач последних двух категорий необходимо указать учащимся, что количество составляющихся алгебраических выражений в схеме под рубрикой II не всегда подчиняется высказанному положению, отклоняясь от него в ту или другую сторону, в зависимости от данных.

Существуют такие данные, которые необходимо использовать при составлении алгебраических выражений дважды, а то и большее количество раз, от чего общее количество алгебраических выражений увеличивается.

С другой стороны, встречаются так называемые парные данные, т. е. такие два данных, которым соответствует только одно алгебраическое выражение (частное и остаток). Такие парные данные общее количество алгебраических выражений уменьшают.

Стоит обратить внимание учащихся и на такого рода задачи, для разрешения которых нет надобности составлять какие бы то ни было алгебраические выражения, а сразу, после введения в состав решения неизвестного, приступать к составлению уравнения; так, например, можно указать такую задачу: если задуманное число умножить на 3, справа приписать 2, полученное число разделить на 19 и к частному прибавить 7, то получится число, втрое более задуманного. Какое это число?

В заключение считаем необходимым отметить, что настоящая заметка является только попыткой к разрешению методики затронутого вопроса, вопроса большого, вопроса чрезвычайной важности, и было бы крайне желательно, чтобы эта заметка явилась почином для дальнейшего освещения вопроса на страницах настоящего журнала.

МЕТОД СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Н. ОСТРОВСКИЙ (Москва)

1. ОСНОВНЫЕ ТРУДНОСТИ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И РОЛЬ ПРИ ЭТОМ БУКВЕННОЙ СИМВОЛИКИ

В методической литературе до сего времени не освещен важнейший вопрос, как систематически рационализировать решение задач методом уравнений.

Исходя из распространенного взгляда относительно невозможности составления уравнений по каким-нибудь общим правилам, Лексин, Юнг, Симон рекомендуют решать задачи, начиная с простейших, постепенно переходя к более трудным, не указывая при этом, что они подразумевают под более трудными задачами. Впрочем, по этому вопросу Симон говорит следующее: „Для начала подходящий материал дают задачи на смешение, на разделы, на проценты, а также более легкие задачи на движение; затем идут задачи на удельный вес, на тепловое растяжение и т. д.“ („Дидактика и методика математики в школе II ступени“). Нелепость подразделения задач по трудности по такому признаку — очевидна: можно составить много легких задач на удельный вес и много трудных задач на проценты, и наоборот.

Для того чтобы составить уравнение по какой-нибудь задаче, мы должны, очевидно, преодолеть какие-то трудности, которые необходимо выявить прежде, чем говорить о способах их преодоления. Нам часто приходится говорить, что вот такая-то задача представляет значительные трудности для составления уравнения, однако мы не говорим конкретно, в чем заключаются эти трудности, или говорим слишком расплывчато, так как они даже для нас не вполне ясны, а тем более для учащихся.

Попробуем вскрыть эти основные трудности на несложной, но типичной задаче, арифметическое решение которой значительно проще алгебраического.

Из города выехала двуколка вслед за пешим отрядом, который уже отошел от города на 9 км. Через сколько времени двуколка догонит отряд, если она проезжает в час 7 км, а отряд движется со скоростью 4 км в час.

Обозначая неизвестное задачи через х, мы потом определяем то расстояние от города, на котором окажутся через х часов, с одной стороны, двуколка, с другой стороны — отряд.

Эти выражения таковы: у^ = 7х километров и у2 = 4х + 9 км. Этими формулами определяются левая и правая части уравнения: 7* = 4лгт-9.

Но их мы можем получить из следующих двух сходных между собой и значительно простых по формулировке задач на составление формул:

1. Из города выехала двуколка вслед за пешим отрядом со скоростью 7 км в 1 час. На каком расстоянии от города она окажется через X часов?

2. Когда двуколка выехала из города, отряд был от него уже на расстоянии 9 км, а затем шел еще х часов со скоростью 4 км в час.

На каком расстоянии от города он окажется через X часов?

Присоединенное затем к этим двум задачам требование определить то значение х, при котором расстояния уг и у2 оказываются равными, т. е. при котором двуколка догоняет отряд, равносильно требованию составить и решить уравнение 7лг = 4лг~{-9, т. е. решить вышеприведенную задачу. Если учащиеся, еще не знакомые с составлением и решением уравнений, умеют, однако, решать простейшие арифметические задачи в 2—3 действия на составление буквенных формул, то они без всякого труда составят две указанные выше формулы по задаче, данной во второй формулировке. Будем называть эту формулировку „производной“, в отличие от первой—„обыкновенной“. Дальше мы покажем, как, имея эти формулы, учащиеся смогут написать уравнение. Само собой разумеется, что те же учащиеся не смогут составить эти формулы по задаче, данной в первой, обыкновенной формулировке. Это потому, что первая формулировка содержит в себе такие трудности, которых не имеется в производной формулировке.

Установим теперь те три особенности, которые их отличают.

1) Обыкновенная формулировка обобщает две сходные между собой арифметические задачи на составление формул, вторая же расчленяет их.

2) В условие каждой из сходных между собой задач производной формулировки введена в виде данной величины буква х (искомое первой задачи), отсутствующая в обыкновенной формулировке.

3) В условии производной формулировки поставлен „решающий“ вопрос, отсутствующий в обобщенной формулировке. Так, в условии обыкновенной формулировки отсутствует вопрос: „На каком расстоянии окажутся двуколка и отряд через х часов?“; а ведь этот вопрос — решающий, в том смысле, что им выясняются те два выражения, которые определяют правую и левую части будущего уравнения.

Исключить из условия задачи указанные три особенности формулировки и свести ее к производной, — вот что представляет собой те три основных трудности, которые неизбежно приходится преодолевать каждому, начинающему решать задачи с помощью уравнений.

Наши учащиеся не умеют составлять уравнений прежде всего потому, что они не знают, в чем заключаются трудности составления уравнений, и тем более не знают, как их преодолевать. Одно из „указаний“, которым руководствуются учащиеся при составлении уравнений, такое: „Чтобы составить уравнение, надо записать условие задачи в виде равенства, в которое должно войти неизвестное, обозначенное через х“. Но это не указание, а определение того, что значит составить уравнение. А как записать условие задачи в виде равенства, — на этот вопрос обыкновенно следует со стороны преподавателя две-три иллюстрации-записи в виде уравнений каких-нибудь однотипных задач. После этих иллюстраций учащиеся, в лучшем случае, смогут составить уравнение для задачи такого же типа и оказываются беспомощными перед задачами другого типа. Причина — они не знают, в чем заключаются трудности составления уравнений: об этом им ничего не сообщалось. И только те из учащихся начинают составлять уравнения, которые „чутьем“ поймут эти трудности, не отдавая себе отчета, в чем они заключаются.

Не надо смешивать этих трудностей составления уравнений с трудностью составлять их по производной формулировке. Но это уже не трудность составления уравнений, а трудность решения арифметических буквенных задач на составление формул. Таким образом, составлению уравнений должно предшествовать решение таких задач на составление буквенных формул для того, чтобы учащиеся освоились с буквенной символикой, причем настолько, чтобы уметь оперировать с буквами, в частности с буквой х, и выражениями, зависящими от них, как с данными арифметическими числами, и чтобы их не смущала кажущаяся неоконченность действий с буквами и не вызывала в них стремления заменить, например, сумму 3 -f- X неравнозначным ей одночленным выражением Зх. Итак, вопрос о составлении формул есть непременная часть вопроса о составлении уравнений; в свою очередь, вопрос о составлении формул упирается в буквенную символику; можно даже сказать, что изучение буквенной символики и решение задач на составление буквенных формул — это два равнозначных момента: изучение буквенной символики необходимо построить на решении буквенных задач на составление формул, с другой стороны — от степени понимания и знания буквенной символики зависит умение решать эти задачи.

II. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ЧИСЛОВОЙ ТАБЛИЦЕ И ПОЛУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЯ

Возвращаясь к составленным двум формулам по производной формулировке приведенной выше задачи:

У г = Т*

и

Л —4* + 9,

покажем, как с наибольшей пользой для учащихся закончить решение этой задачи и подойти к возможности написать для нее уравнение. Выяснив еще раз с учащимися, что такое X, ул и v2, предлагаем им определить по составленным формулам, на каком расстоянии от города будут находиться отряд и двуколка через 1, 2, 3, 4, 5 часов, и записать найденные значения расстояний в таблицу, примерно, в таком виде:

X

1

2

3

4

5

У1

7

14

21

28

35

У2

13

17

21

25

29

Составляя числовую таблицу по этим формулам, т. е. изменяя время х в некоторых пределах и получая соответствующие значения расстояний для отряда и двуколки, учащиеся убедятся в определенной зависимости покрытых ими расстояний от времени х, а рассмотрение числовой таблицы дает им право написать такое возможное равенство, т. е. уравнение, 7х = 4х + 9, справедливое только при определенном значении х, именно, при х=3; только при лг=3 расстояния уг и у2 будут равны между собой (по 21 км).

Рассмотренное уравнение имеет вид.длг-f“ -J- Ь = сх +- d. Соответствующие задачи будем впредь называть задачами второго типа. Задачу, приводящуюся к уравнению вида ак + b = dy например такому Зх + 1 =16, будем называть задачей первого типа. Относительно решения такой задачи по числовой таблице можно было бы сказать почти то же самое; именно, изменяя теперь столько в одной функции: у — Зк -f- 1, в некоторых пределах и получая соответствующие численные значения для функции у, учащиеся найдут по таблице такое его значение, которое дает им возможность написать уравнение: Зх 4-—16. Таким образом, возможность написать уравнение для задачи получается как следствие решения ее этим методом с помощью числовой таблицы. При первоначальном изучении уравнений указанному методу решения их сближением значений функций ул и у, или приближением значений одной функции у к данному числу, методу, основанному на функциональной зависимости, безусловно следует отдать предпочтение перед остальными, так как, во-первых, благодаря своей простоте он не требует других знаний, как только порядка действий при вычислении численного значения простейших буквенных выражений, во-вторых, благодаря своей наглядности он легко выясняет возможность условного равенства и позволяет легко осмыслить его и убедиться в его справедливости при определенном значении неизвестного; в-третьих, давая такое осмысленное и исчерпывающее (на данном этапе развития учащихся) понимание уравнения, он создает достаточную основу для того, чтобы учащиеся были уверены в возможности написать (составить) подобное уравнение для другой задачи, не решая ее методом попыток.

Кроме того впоследствии, когда учащиеся будут знакомиться с решением системы двух уравнений с двумя неизвестными, для них уже не будет новостью система такого вида: у = ак:+Ь и у = а1х+Ь1, которую они без труда решат способом сравнения и без труда же объяснят, что значит — решить систему уравнений.

Решив по числовой таблице несколько несложных уравнений, полученных из задач, а также взятых отвлеченно, можно считать, что указанный метод сослужил свою службу и выявил в уравнении то, что безусловно необходимо знать для осмысленного его понимания и чего нельзя так ясно выявить иным способом.

III. РЕШЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ БУКВЕННЫХ ЗАДАЧ (составление формул)

К указанному выше методу решения и составления уравнений учащиеся достаточно будут подготовлены, если изучение буквенной символики поставить на основе функциональной зависимости и на задачах, приведенных в определенную стройную систему. Понимание буквенной символики, умение осознавать буквенные выражения (т. е. видеть в них качественно и количественно выраженные величины, притом изменяющиеся, и те связи между реальными вещами, которые отображают эти буквенные выражения) может быть приобретено учащимися только тогда, когда эти буквенные выражения получаются ими в виде формул из реальных задач; когда они претворяются тут же в конкретную форму, в форму закономерно изменяющихся арифметических чисел (вначале, по возможности, целых и небольших), которые записываются учащимися в виде числовой таблицы. Рассматривая получаемые таблицы, учащиеся будут видеть, как изменяется функция в зависимости от изменения аргумента (или аргументов), медленно или быстро, прямо или обратно-пропорционально аргументу или квадрату аргумента, и почему она так изменяется; сравнивая получаемые формулы между собой и соответствующие числовые таблицы, учащиеся смогут обобщать формулы, находя общие законы изменения функций, и по одному виду формул определять эти законы. Только при таком изучении буквенной символики учащиеся будут видеть в буквенных выражениях величины, способные изменяться закономерно

Задачи на составление буквенных формул должны быть систематизированы по четырем направлениям: во-первых, относительно количества действий; во-вторых, как относительно нового алгебраического материала, так и относительно пройденного ранее арифметического материала в целях обобщения и повторения наиболее важных его разделов; в-третьих, относительно самого содержания задач; в-четвертых, эти задачи должны быть систематизированы в целях предварительного ознакомления учащихся с теми трудностями, с которыми им придется иметь дело при составлении уравнений, а также, в связи с этим, в целях ознакомления учащихся с аналитическим и синтетическим методами их решения. Моя цель — выяснить постановку задач в последнем разрезе. С этой целью я подразделяю задачи на шесть групп. Значительную часть их следует решать устно, записывая лишь ответ в виде формулы.

I группа. Задачи с явно выраженными данными.

Одной из первых задач может быть поставлена следующая:

Человек проходит в час 5 км. Сколько километров он пройдет за t часов?

*»0, 1, 2......

По найденной формуле у = Ы учащиеся составляют числовую таблицу для указанных числовых значений аргумента t.

Предлагая в дальнейшем задачи с тремя, четырьмя данными, следует располагать эти данные в порядке их использования при решении; об этом должны знать учащиеся. На таких задачах можно дать первое знакомство с аналитическим и синтетическим методами их решения. Задачи, в которых данные расположены не в порядке их использования, следует предлагать тогда, когда учащиеся уже в основном будут знакомы с этими методами их решения.

В число задач этой группы следует включить еще такие, в которых требуется составить равенство между величинами, связанными каким-нибудь кратным или разностным отношением. Владея этим навыком, учащиеся впоследствии легко будут составлять (записывать) уравнения вида: ах +- b = k (ex +- ci) и ax+b = (ex +d) -f m, в которых выражения ах -(- b и ex -f- rf, будучи однородными, но неравными величинами, оказываются по условию связанными кратным или разностным отношением (см. дальше).

Записать в виде формулы, что длина окружности С в 3,14 раза больше своего диаметра d.

Записать в виде формулы, что пройденный свободно падающим телом в первую секунду путь в два раза меньше ускорения g.

Записать в виде формулы, что комнатная температура в 14° больше наружной температуры воздуха ° на а°.

II группа. Задачи без формулированного вопроса.

Что можно определить и как, используя все данные: на обивку каждого из х ящиков идет 20 гвоздей?

Что можно определить и как, используя все данные: сумма двух чисел равна S, одно из слагаемых а?

Что можно определить и как, используя все данные: одна молотилка обмолотила на 50 копен больше, чем 20 работников ручной молотьбой, причем каждый обмолотил X копен?

Этот тип задач, во-первых, приучит учащихся в дальнейшем ставить решающий вопрос при решении задач на составление уравнений, а, во-вторых, невольно заставляет решать задачу синтетическим методом.

III группа. Задачи, требующие введения в их условие известного, но не обозначенного аргумента.

Определить среднюю убыль воды на реке за 1 час, если известна убыль ее за t часов.

Определить сумму и разность объемов двух кубов, ребра которых известны.

На таких задачах учащиеся знакомятся с той трудностью, которую им придется преодолевать при составлении уравнений, обозначая неизвестное через х и вводя его в условие задачи в виде данной величины, вновь формулируя ее так, чтобы х был поставлен на соответствующем месте.

IV груша. Задачи с неявно выраженным данным.

Сколько единиц содержит число, состоящее из а десятков и b единиц?

Один из смежных углов равен а°. Сколько градусов в другом смежном угле?

Составить формулу перевода сперва способом деления, а затем умножения (разделить на какое-нибудь число, это все равно, что умножить на обратное число): 1) метров в километры; 2) минут в часы.

В этих задачах может быть не вскрыт смысл какого-нибудь данного или не указано свойство величины, входящей в задачу. Это — одна из второстепенных трудностей составления уравнений. Решение таких задач предполагает знание сущности и свойств входящих в задачу величин и соотношений между ними, которые не всем учащимся могут быть известны; вследствие этого иногда необходимо устраивать предварительную беседу с ними на соответствующую тему.

V группа. Задачи с недостающими данными.

Сколько оборотов сделает колесо автомобиля на расстоянии 120 м?

На производство поршневых колец было израсходовано 120лгг металла. Сколько процентов составляют отходы?

Полезно также ставить задачи, в которых отсутствует не один аргумент, а несколько, или в которых совсем не указано аргументов. Такие задачи способствуют развитию аналитического мышления и проявлению изобретательности и творческой мысли и, следовательно, имеют большое образовательное значение.

Составить формулу равномерного движения. Определить путь, проходимый велосипедом от одного оборота педали.

VI группа. 3адачи с лишними данными.

Гребец проплыл в лодке 20 км со скоростью v километров в час. Какова скорость гребца в стоячей воде (или против течения), если скорость течения 2 км в час?

В школе, имеющей 20 классных комнат, ежедневно отсутствует в среднем 5°/0 учащихся в каждом классе, а налицо во всей школе бывает а учащихся. Сколько всего учащихся значится в школе по списку?

Задачи с недостающими и лишними данными имеют в виду облегчить в будущем решение алгебраических задач, требующих расчленения их на две сходных арифметических задачи, так как расчленить задачу на две сходных, это значит — суметь отделить данные ее, необходимые и достаточные для составления одной формулы, от данных, необходимых и достаточных для составления другой формулы, которые, таким образом, для составления одной формулы являются в этом смысле лишними, а для другой — недостающими.

Как будет указано ниже, некоторые задачи на составление уравнения требуют введения вспомогательного аргумента; это - одна из второстепенных трудностей, преодоление которой облегчается решением задач с недостающими данными. На этих же задачах учащиеся тренируются также в преодолении трудности введения в условие задачи неизвестного х. Эти задачи являются хорошим материалом для применения аналитического метода их решения. Задачи с лишними данными приучают к одновременному применению анализа и синтеза и к более критическому отношению к данным задачи, заставляя всячески их комбинировать. Поэтому эти задачи полезно решать, прежде чем приступить к решению геометрических задач, которые в большей степени можно назвать задачами с лишними данными, только выраженными неявно, т. е. скрытыми в различных свойствах фигур.

Впоследствии в общем отделе следует ставить задачи комбинированные, например одновременно с недостающими и лишними данными или с лишними данными и без формулированного вопроса ит. п., так как задачи на составление уравнений, взятые в отдельных своих частях, именно и представляют собой такие комбинированные задачи.

IV. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ 1-го ТИПА (приводящихся к уравнению вида: ах + b = d)

Задачи этого типа несколько проще задач 2-го типа (приводящихся < уравнению вида ах +- b — cx-{-d), так как в них приходится составлять только одну часть уравнения; поэтому с этого типа задач следует приступать к изучению уравнений, решая по 3—4 задачи из каждой группы. В этих задачах отсутствует трудность расчленения задачи на две сходных; однако эта трудность здесь заменяется другой, аналогичной — трудностью выделения из всех данных числа d, лишнего для составления левой части.

Пример. 350 кроликов и гусей могут дать в год 100 кг пуха. Сколько из них кроликов, если один кролик дает в год в среднем 0,35 кг, а один гусь — 0,2 кг пуха?

Обозначая неизвестное задачи через х, мы затем составляем выражение у = 0,35 t -f -f 0,2 (350 — л) килограммов, определяющее количество пуха, которое дают кролики и гуси вместе за год. Это выражение вместе с однородным и равным ему данным 100 дают уравнение: 0,35* + 0,2 (350 — х) = 100.

Эта же задача в производной формулировке будет читаться так: из 350 животных х кроликов, а остальные — гуси. Каждый кролик дает в год в среднем 0,35 кг пуха, а каждый гусь - 0,2 кг. Сколько всего килограммов пуха дают все эти животные за 1 год?

При каком значении х всего пуха окажется 100 лгг?

Учащиеся, приступающие к решению задач с помощью уравнений, должны преодолевать трудности перефразировки задачи постепенно, иначе они не смогут выделять каждую трудность и получать производную формулировку, а потом будут недоумевать, почему они не в состоянии составлять уравнения. Цель настоящего параграфа — показать, как и в какой последовательности следует усложнять, вводя новые трудности, формулировку задач 1-го типа, начиная с производной формулировки.

1 группа. Задачи в производной формулировке.

Число X умножено на 3, к произведению прибавлено 7 и сумма умножена на 2. Какое в результате получилось произведение (у)?

Найти числовые значения произведения у для х=\у 2, 3 .... 10. Нельзя ли подобрать по числовой таблице х так, чтобы произведение у равнялось 7?

На одной фабрике работает х рабочих, а на другой только одних взрослых в 3 раза больше да еще 120 подростков. Сколько рабочих {у) на той и на другой фабриках вместе? jc = 100, 200, 300..... 600. Определить по числовой таблице, сколько рабочих на первой фабрике, если на обеих фабриках вместе 180П человек. дг=.400, 410, 420...

При решении этих задач учащиеся должны научиться различать решающий вопрос от вопроса задачи: первый требует определить

(в смысле составить) некоторое выражение (формулу), второй требует определить численное значение неизвестного задачи.

Получив из решения этих задач, как следствие, уравнения, можно в дальнейших задачах составляемые уравнения решать обыкновенным способом.

II группа. Задачи без решающего вопроса.

Формулировку задач этой группы получим, исключив из формулировки задач первой группы решающий вопрос, но оставив результативное число d выделенным от первой части задачи в конце ее, рядом с вопросом задачи. Учащиеся сначала составляют производную формулировку, т. е. зачитывают первую часть задачи, оставляя в стороне величину d и вопрос задачи, а за основу решающего вопроса берут то, что выражает собой величина d. Составив формулу, они приравнивают ее выражение величине d и решают полученное уравнение.

Неделимый фонд колхоза составлял х рублей. В уплату за приобретенные колхозом машины было израсходовано неделимого фонда и 900 руб., полученных колхозом в кредит. Определить величину неделимого фонда (х), если за машины было уплачено 1650 руб.

Последнюю из задач этой группы следует дать в формулировке, приближающей ее к задачам следующей группы.

Для мастерской было куплено несколько (х) малых наковален по 13 руб. и 2 больших по 21 руб. за штуку и за все заплачено 81 руб. Сколько куплено наковален малого размера?

III группа. Задачи с двумя трудностями формулировки.

Если в последней задаче опустить обозначение неизвестной величины, взятой в скобках, то получим типичную задачу этой группы. Для решения такой задачи надо сначала неизвестное задачи (определяемое из вопроса задачи) обозначить через х, а затем составить производную формулировку, введя его в условие задачи в качестве данной величины. В остальном указания остаются прежние. Одной из первых задач этой группы можно дать известную задачу со стадом гусей.

Сколько гектаров земли надо засеять свеклой при ожидаемом урожае в 14 m с 1 га и сахаристости свеклы в 14,3°/0, чтобы произвести 100 m сахару.

Решив еще аналогичных 3—4 задачи с выделенным в конце задачи числом d уравнения ах -f-b — d, можно переходить к решению задач 2-го типа. Что же касается тех задач 1-го типа, в которых d уравнения ах +b = d не выделено из условия и которые поэтому представляют новую трудность, равносильную расчленению задачи 2-го типа на две сходных (см. выше задачу с кроликами), то решение их необходимо приурочить к тому времени, когда будут преодолены основные трудности задач 2-го типа.

V. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ 2-го ТИПА

Как было указано выше, задачи этого типа могут содержать, кроме двух трудностей задач 1-го типа, еще трудность расчленения их на две сходные задачи. Задачи, содержащие только одну эту трудность, выделены во вторую группу. Решив 4—5 задач одной группы, можно переходить к решению задач следующей группы.

Хотя учащиеся уже умеют решать уравнения обыкновенным способом, все же для осмысленного понимания ими решения уравнений 2-го типа необходимо первые из этих уравнений решить по числовой таблице, как было указано в § II.

Решение уравнений для задач, начиная с задач III группы, будет требовать знания правил умножения суммы и разности на какое-нибудь число, а начиная с задач VI группы — умения решать несложные дробные уравнения; поэтому необходимо, чтобы учащиеся изучили к этому времени соответствующие преобразования.

I группа. Задачи в производной формулировке.

Одной из первых задач в этой формулировке может быть поставлена задача с пешим отрядом и двуколкой, приведенная в § I и III. В последней из задач этой группы решающий вопрос можно поставить общий для обеих частей уравнения.

Один сборщик, в течение х дней собирая ежедневно по 19лгг хлопка, недовыполнил плановое задание на 25 кг. Другой же, собирая ежедневно 24 кг, за тот же срок перевыполнил плановое задание на 25 кг. Определить величину планового задания для того и другого сборщика.

Определить, во сколько дней сборщики должны были выполнить плановое задание, если известно, что величина его для того и другого сборщика одинакова.

II группа. Задачи с нерасчлененной формулировкой.

8 одном из двух баков имеется 25 л бензина, а в другом — 7 л. Какова вместимость каждого из них, если для наполнения первого бака надо прилить х литров, а для наполнения второго — в 4 раза больше?

Составить производную формулировку задачи, расчленив ее на две сходных между собой задачи. Затем, записав кратко условия их в разных строках и составив две формулы, определить (по числовой таблице), при каком численном значении х вместимость обоих баков может оказаться одинаковой и какова должна быть в таком случае их вместимость.

Первую из задач этой группы следует дать в соответствующей формулировке из решенных ранее, изменив только численно данные.

III группа. Задачи без решающего вопроса.

Формулировку задач этой группы получим, если исключить из формулировки задач I группы решающий вопрос, оставив задачу расчлененной. Так, если в задаче со сборщиком хлопка исключить вопрос: „Определить величину планового задания для того и другого сборщика“, получим типичную задачу этой группы. Эту задачу можно теперь дать в новой формулировке первой задачи, изменив только численно данные; при этом необходимо сделать указание, что для определения решающего вопроса надо за основу его взять ту величину, которая принимает два равных значения, или те две однородных величины, которые оказываются равными в обоих случаях.

Колхозник ехал из колхоза в город х часов со скоростью Ък.н в час; на обратный путь он затратил времени на 1 час меньше, так как проезжал 7 км в час.

Составить производную формулировку, введя X во вторую часть задачи и, поставив решающий вопрос, составить две формулы (у1 и у2), а затем уравнение. Определить, при каком значении х ул =у2, т. е. сколько времени колхозник ехал из колхоза в город.

IV группа. Задачи с нерасчлененной формулировкой и без решающего вопроса.

Окружность переднего колеса телеги х дециметров, а заднего — на 3 дм больше. На некотором расстоянии переднее колесо обернулось 320 раз, а заднее—280 раз. Определить, при каком значении х это могло произойти, т. е. какова окружность переднего колеса.

Периметр прямоугольника, высота которого составляет 13 см, равен сумме периметров квадрата и равнобедренного треугольника. Боковая сторона треугольника равна стороне квадрата и составляет 6 см, а основание треугольника равно основанию прямоугольника и составляет х сантиметров. Определить, при каком значении х возможно указанное соотношение между периметрами этих фигур.

Решение каждой задачи учащиеся начинают с составления производной формулировки.

V группа. Задачи с необозначенным неизвестным и без решающего вопроса.

Для решения каждой такой задачи необходимо сначала обозначить неизвестное через X, а затем при составлении производной формулировки ввести его в условие каждой из расчлененных задач, заменив вопрос задачи решающим вопросом.

В задачах этой группы, для облегчения определения решающего вопроса, необходимо, чтобы имелось прямое указание на ту величину (или две однородных величины), которая принимает равные значения.

Если к некоторому числу прибавить 12 и полученную сумму умножить на 2, то получим утроенное неизвестное число. Найти это число.

Велосипедист за 5 часов может проехать такое же расстояние, какое проедет в 2 часа поезд, движущийся на 18 км в час быстрее велосипедиста. Определить скорость велосипедиста и поезда.

Последняя задача имеет одну второстепенную трудность — выбор из двух однородных неизвестных одной величины, подлежащей обозначению через х. Тут необходимо сделать указание учащимся, что через х обозначают одну из них, причем удобнее — ту, в зависимости от которой другое неизвестное выражено явно.

VI. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ 3-го ТИПА

Имеется немало задач, в которых однородные величины ах -f- b и ex -f- d, составляемые для обеих частей уравнения, оказываются не равными, а связанными каким-нибудь кратным или разностным отношением. В этом случае задача приводится к одному из следующих уравнений:

ах -J- b = k (ex -f- d) или ax -|- b = = (cx+ d) -f- m.

В задачах 1-го типа за основу определения решающего вопроса принимают то, что выражает собой данная величина d, выделяемая в конце задачи как величина, объединяющая предыдущие данные или являющаяся их следствием. В задачах 2-го типа за основу определения решающего вопроса принимают ту величину, которая принимает два равных значения, или те две однородных величины, которые по условию задачи оказываются равными. В задачах 3-го типа за основу определения решающего вопроса необходимо принять те две однородных величины, кото-

рые связаны кратным или разностным отношением. Необходимо, чтобы учащиеся четко выяснили себе три этих разновидности задач, имеющие значение при определении решающего вопроса.

Указание на величины, имеющие то или иное соотношение в задачах 3-го типа, облегчая до некоторой степени определение решающего вопроса, затрудняет, однако, самую запись этого соотношения в виде уравнения. Перед тем как составить уравнение, следует хотя бы один раз выяснить на числовой таблице возможность составления такого уравнения, а также заострить внимание на том, которая из полученных двух однородных величин и как должна быть увеличена (или уменьшена), чтобы получилось равенство.

Так как задачи этого типа незначительно отличаются от задач 2-го типа, трудности которых перед этим были последовательно преодолены учащимися, то теперь эти задачи можно прямо ставить с двумя трудностями: с необозначенным неизвестным и без решающего вопроса, но с расчлененной формулировкой.

Если некоторое число разделить на 2, к полученному частному прибавить 2 и полученную сумму умножить на 2, то полученное произведение будет на 2 меньше удвоенного неизвестного числа. Найти это число.

По плану второй пятилетки в 1937 г. будет выпущено магистральных паровозов на 1872 больше, чем в 1933 г., а в 1934 г.— в 2 раза меньше, чем в 1937 г. Сколько этих паровозов было выпущено в 1933 г. и сколько их будет выпущено в 1934 г., если в 1934 г. их выпуск будет превышать выпуск 1933 г. в 1,5 раза?

VII. ЗАДАЧИ ВСЕХ ТРЕХ ТИПОВ С ТРЕМЯ ТРУДНОСТЯМИ ФОРМУЛИРОВКИ

Учащиеся еще не решали задач 1-го типа с трудностью выделения из всех данных числа d уравнения ах -f- b = d, а также задач 3-го типа с нерасчлененной формулировкой. Все три трудности задач 2-го типа им известны, но еще ни в одной из предыдущих задач все эти трудности не встречались совместно. Поэтому и теперь эти задачи не должны отличаться своей сложностью, т. е. чтобы для составления выражений ах + b или сх + d не приходилось производить более трех действий и чтобы до некоторой степени облегчено было определение решающего вопроса. Тут уместно будет еще раз вспомнить, как определяется в задачах каждого из трех типов решающий вопрос; причем придется обратить особое внимание на задачи 1-го типа, в которых невыделенное в конце задачи d опознается как число результирующее, объединяющее остальные данные. Задача 1-го типа.

Рабочий, подписавшись на заем на сумму, равную основному месячному заработку, уплачивал ее равными взносами в течение 10 мес. Получив однажды за месяц, за вычетом их, 283 руб., он рассчитал, что за сверхурочную работу он получил 40 руб. Определить его месячный заработок.

Задача 2-го типа.

Кузнецу понадобилось два железных бруска одинаковой длины; у него же оказался один брусок длиннее другого на 21 см. Чтобы сравнять их длину, он принужден был длинный брусок осадить на 3 см, а короткий— вытянуть в 3 раза. Определить первоначальную длину каждого бруска.

Задача 3-го типа.

Резец токарного станка обточил стальной стержень на расстоянии 10 см, необточенная же часть составляла 26 см. Сколько он должен еще обточить, чтобы обточенная часть стержня превышала необточенную в 3 — раза?

Слесарь расходует на нарезку вручную гайки одного номера на 1,2 мин. больше, чем на нарезку гайки другого, меньшего номера. На нарезку же 3 гаек меньшего номера он затрачивает времени на 1,2 мин. больше, чем на нарезку 2 гаек большего номера. Во сколько минут он нарезает ту и другую гайку в отдельности?

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изложенный метод составления уравнений, в основу которого положена идея функциональной зависимости, есть метод преимущественно аналитический, благодаря тому, что процесс получения уравнения для всякой задачи начинается с выяснения конечной цели — смыслового значения обеих частей уравнения; но коль скоро найден решающий вопрос, составление формул для обеих частей уравнения (или для одной его части) обыкновенно проводится соединенным методом анализа и синтеза.

Кроме указанных основных трех трудностей составления уравнения, имеются еще особые трудности, разрешаемые совместно применением синтеза и анализа. Эти трудности связаны с выбором величины, подлежащей обозначению через х, или с недостаточным числом данных (введение вспомогательного аргумента), или это—трудности самого синте-

тического метода составления уравнения, к которому приходится прибегать в связи с трудно определяемым вначале решающим вопросом.

Из-за ограниченности размеров журнальной статьи я не мог здесь подробно развернуть эту тему и иллюстрировать ее большим числом задач. Я предполагаю восполнить эти пробелы в отдельной брошюре, как только закончу составление задачника с систематическим подбором задач, без которого невозможно прорабатывать эти разделы с учащимися указанным методом.

Не останавливаясь подробно на выяснении того громадного значения, какое имеет систематическое изучение таких фундаментальных разделов, как изучение буквенной символики на задачах на составление функциональных формул, а также составление и решение уравнений,—укажу только лишь, что в результате такой их проработки учащиеся действительно научатся правильно подходить к решению задач способом уравнений, развив в себе способность причинно-обоснованного мышления, и в будущем получат значительный выигрыш во времени при решении задач, приводящихся к квадратному уравнению или к системе уравнений, а также, впоследствии, к диференциальным уравнениям.

ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ ИЗ МНОГОЧЛЕНОВ КАК МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ И РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

П. САПУНОВ (г. Владимир)

В средней школе извлечению квадратного корня из многочлена уделяется чрезвычайно мало внимания по той причине, что этот вопрос якобы не находит себе применения ни в каком разделе математики, за исключением решения более сложных буквенных квадратных уравнений, когда приходится извлекать квадратный корень из многочлена, имеющего более 3 членов. А так как такими примерами в средней школе не занимаются, то отсюда вывод: извлечение квадратного корня из многочлена есть вопрос для школы праздный.

Между тем, действие извлечения квадратного корня из многочлена есть действие, претендующее на довольно широкое применение в вопросах разложения многочленов на множители и решения уравнений.

Настоящая заметка имеет целью выявить применения этого действия, как чрезвычайно простого метода в вопросах как разложения многочленов на множители, так и решения уравнений.

Основное положение.

Многочлен равен квадрату результата извлечения из него квадратного корня плюс остаток.

§ 1. Разложение трехчленов 2-й степени.

1. Разложить на множители

следовательно :

2. Разложить л:- — Зг — 10.

Чтобы не иметь дело с дробными числами, можно предварительно данный трехчлен одновременно умножить и разделить на 4, т. е.

х2— ох—10 =-з- .

Следовательно :

3. Разложить 3*2 + 8*--11.

Делаем 1-й член точным квадратом, для чего данный трехчлен одновременно умножаем и делим на 3.

4. Разложить За:2 — 5х+2.

Так как коэфициент при х нечетный, а коэфициент при х2 не представляет точного квадрата, то данный трехчлен одновременно умножаем и делим на 3-4 = 12.

5. Разложить

§ 2. Решение квадратных уравнений не по формулам.

1. Решить уравнение л:2-|-8л;— 9 = 0. Разлагаем левую часть на множители:

Произведение двух сомножителей, содержащих неизвестное, может равняться нулю тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, т. е. или JC —j— 9 = 0 или X—1=0, откуда

X-j ——- “ 9 , -А^2 1 •

2. Решить уравнение Зх2 — 5л: — 2 = 0.

Умножаем все члены уравнения на 3-4 = 12, извлекаем из левой части квадратный корень и разлагаем ее на множителей:

36*2 — 60л: — 24 = 0; (6л- — 5)2 — 49 = 0; (6лг + 2)(6л:—12) = 0;

следовательно :

6л:-f-2 = 0; блг — 12 = 0,

откуда

-vi = 2; х2 — у .

Методом извлечения квадратного корня можно вывести и любую формулу решения буквенного квадратного уравнения.

Пример :

ах2 + Ьх + с — 0. На основании п. 5 § 1 имеем:

Следовательно :

откуда

§ 3. Решение биквадратных уравнений.

Решить уравнение:

Следовательно :

откуда

§ 4. Решение уравнений 4-й степени.

x4+ax3+bx2+cx-{-d=0, в котором коэфициенты a, b и с связаны соотношением a3 — 4a£-j-8c = 0.

Решить уравнение:

Следовательно:

Данное уравнение распадается на два квадратных:

X2 — Ьх -j- 6 = 0 ; л:2_5лг + 4 = 0,

которые дают корни:

Xj — 2 ; X 2 — 3 ; х3 = 1 ; л*^ —— 4.

§ 5. Решение уравнения 4-й степени.

где

Решить уравнение:

Следовательно, данное уравнение примет вид:

полагаем х — 2 =у2 ;

тогда X2 + 2 = ±У • • • (х)

Складывая почленно два последних уравнения, получим:

X2 +х=у2±уу

или:

X2 —у2 = ±У — X

(X +у) (X —у) =±х—у.

Сокращая уравнение на х—у или х+у, получим:

X—у = 0; X +y~0; х+у=~ 1 ; X—у = — 1 ;

т е.

уг = х; Уз = х->

у2 = — х—\\уА = х+\.

Подставляя значения у в уравнение (х), получим :

X2 -f 2=±х; X2 + 2 = ±(х + 1), т. е. четыре квадратных уравнения:

Из этих уравнений выбираем только такие два, почленное произведение которых дает данное уравнение, т. е. второе и третье. Второе уравнение дает корни :

Третье уравнение дает корни:

§ 6. Решение кубического уравнения.

Решить уравнение:

Умножаем все члены уравнения на х и разлагаем левую часть уравнения на множители:

откуда

х4 = 0 есть корень посторонний, введенный для решения кубического уравнения путем умножения членов уравнения на х.

О КОЛОГАРИФМЕ

В. АНТРОПОВ (г. Ковров)

При проработке темы о логарифмах, когда приходится находить по таблицам логарифм сложного дробного выражения, учащиеся средних школ (в том числе и рабфаковцы) теряют напрасно много времени на то, чтобы проделать раздельно три операции: 1) подсчитать сумму всех складываемых логарифмов (со знаком -f-), 2) подсчитать сумму всех вычитаемых логарифмов (со знаком — ) и 3) вычесть из первой суммы вторую.

Чтобы миновать это неудобство, в стабильном учебнике алгебры (А. П. Киселев, „Алгебра“, ч. 2-я, изд. 10-е, под ред. А.Н.Барсукова) в§ 108 указывается на способ замены вычитаемых логарифмов слагаемыми. В учебнике приводятся, как примеры, два случая: 1) когда характеристика вычитаемого логарифма отрицательна и 2) когда характеристика— положительна, но при этом общего правила для быстрого нахождения числа, противоположного вычитаемому логарифму, не указывается. Напомним примеры, которые приведены в стабильном учебнике:

Учащимся приходится запомнить два различных пути для вычисления соответствующего числа, заменяющего вычитаемый логарифм, что, вместе с неудобством вести полную и точную запись всего процесса отыскания логарифма сложного выражения (отсутствие особого обозначения для заменяющего числа), создает в вычислениях учащихся много ошибок и в большинстве случаев отпугивает от пользования указанными способами замены вычитаемых логарифмов слагаемыми. Всего этого можно с успехом избежать, если предварительно ввести понятие о кологарифме числа (обозначение ColgTV), указание о котором, правда, с некоторыми неточностями, было дано в ныне устаревшей „Рабочей книге по математике для рабфаков“ (ч. 3-я, под ред. Гангнуса.)

Преподавателю необходимо указать учащимся, что кологарифмом числа называется число, противоположное логарифму того же числа, заметив при этом, что сумма логарифма и кологарифма одного и того же числа (как и сумма двух любых противоположных чисел) всегда равна нулю. Теперь учащимся легко будет понять, что вычитание логарифма числа можно заменить сложением кологарифма того же числа и, наоборот, прибавление логарифма можно заменить вычитанием кологарифма. Все это должно быть уже знакомо учащимся из теории относительных чисел. Кроме этого преподавателю необходимо на достаточном количестве примеров вывести и дать учащимся правило.

Чтобы найти кологарифм какого-либо числа нужно: 1) к характеристике логарифма прибавить 1 и у суммы изменить знак на противоположный; 2) цифры мантиссы логарифма заменить дополнением их до 9, кроме последней значащей цифры, которую заменить дополнением до 10.

Логарифм числа находится по таблице.

Приведем один пример:

Время, потраченное на усвоение понятия о кологарифме и правила для нахождения его по данному логарифму, очень незначительно и сторицей окупится при вычислениях по таблицам.

К ВОПРОСУ О ВЫВОДЕ ФОРМУЛ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ УГЛОВ, ОСНОВАННОМ НА РАССМОТРЕНИИ ПЛОЩАДЕЙ

Г. КЛЮЧАРЕВ (Пенза)

В 1929 г. в № 1 журнала „Математическое образование“1) и в № 3 журнала „Физика, химия, математика, техника в трудовой школе“2) было напечатано весьма простое доказательство формул для sin(a4rß), основанное на рассмотрении площадей треугольников. В изданном в том же году „Практическом руководстве по математике“, ч. 3-я, вып. 2-й, под ред. В. Гуревича и В. Минорского можно найти такое же доказательство не только для sin (а iß)» но и для cos(a±ß). В своем изложении этого вывода формул сложения и вычитания углов авторы статей и учебника пользуются тригонометрическим выражением площади треугольника через две его стороны и синусом угла, заключенного между ними. В настоящей заметке приводится другой вариант того же вывода, — в нем тригонометрическая формула площади треугольника не применяется1).

1. Пусть в треугольнике А ОС (см. черт 1 и 2) /тАОВ=а,2.вос=$> OB±ACnCD±AO

1) Д. Перепелкин — „Об одном доказательстве формул для sin (az£ß)\

2) Б. Костриц—„Из записной книжки преподавателя“.

1) Для sin(artp) см. „Вестник опытной физики и элементарной математики“, 1901 г.. № 297. Для sin (a it ß' доложено К. E. Гомеровымв 1924 г. в Физико-математической секции Пензенского общества любителей естествознания.

Из чертежа видно, что ил. Д АОС = пл. Д АО В ± пл. Д ВОС откуда

AO'CD^ABBO ±ВОВС,

Черт. 1.

Черт. 2.

и, по разделении обеих частей полученного равенства на АО*СО:

Но так как:

2. Восстановим в вершине О треугольника АОС перпендикуляр к АО. Пусть он пересечет продолжение стороны АС в точке Ал. Проведем СОг _]_ ЛгО, тогда = а и

Замечая, что ил. Д Д,ОС = пл. Д АлОВ + пл. Д вОС, аналогично предыдущему получим

откуда cos (а + р) = cos а cos р sm а sin р.

3. Выше предполагалось, что ai:ß<90o. Распространение на a4hß]>90o легко сделать, но тогда пришлось бы пользоваться формулами приведения.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ ТЕМЫ „ЗАКОНЫ НЬЮТОНА“ ДЛЯ VIII КЛАССА СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

П. РОМАДИН (г. Саранск) и А. ДИДЕНКО (Москва)

ВВЕДЕНИЕ

Законы Ньютона лежат в основе всей классической механики, и поэтому правильное изложение их в средней школе имеет громадное значение. Важность законов Ньютона в курсе физики была подчеркнута в решениях ЦК ВКП(б) о средней школе и здесь же дан соответствующий отпор тем, кто пытался совершенно исключить их из программы по физики для средней школы.

При изложении законов Ньютона нельзя забывать другого важного обстоятельства : Ньютон был идеалистом и при толковании важнейших физических категорий (сила, тяготение, пространство, время и т. д.). внес много идеалистических моментов.

Учащиеся восьмого года обучения не изучают диалектического материализма, и поэтому невозможно полностью вскрыть идеалистическую подоплеку некоторых взглядов Ньютона, но подготовить учащихся к восприятию этого в дальнейшем необходимо. Другими словами, необходимо обеспечить правильное методологическое освещение этих законов. И, наконец, эта тема имеет большое историческое значение.

СОДЕРЖАНИЕ ТЕМЫ

Достаточно обширный и систематический круг знаний по этой теме устанавливается программами средней школы 1933 г.:

1) Исторический ход развития механики в связи с развитием производительных сил.

2) Первый закон Ньютона (закон инерции). Относительность покоя. Масса. Единица массы— грамм. Понятие о силе.

3) Второй закон Ньютона (закон измерения сил). Единица силы — дина. Система единиц: CGS, техническая и MTS. Вес и масса тел. Единица массы в технической системе единиц. Импульс силы и количество движения.

4) Третий закон Ньютона (закон равен-

1) Верхний знак везде для чертежа 1, нижний — для чертежа 2.

ства действия и противодействия). Явление отдачи в орудиях, движение ракеты.

Почти в том же порядке эти вопросы освещаются в стабильном учебнике по физике для восьмого года обучения Г. И. Фалеева и А. В. Перышкина. Рассмотрим последовательно все вопросы данной темы.

1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ХОД РАЗВИТИЯ МЕХАНИКИ

Мы считаем целесообразным изложить материал по этому вопросу лекционно по следующему плану:

а) социально-экономические факторы, обусловливающие развитие механики;

б) развитие и состояние механики до Ньютона;

в) значение трудов Ньютона;

г) развитие механики после Ньютона.

Все эти вопросы, в основном, освещаются в стабильном учебнике, но вследствие большой сжатости полностью весь материал не охватывается. Поэтому мы считаем необходимым сделать некоторое дополнения по вопросам а, в и г.

Социально-экономические факторы, обусловливающие развитие механики. Механика, как и всякая другая наука, возникла на известной ступени развития человеческого общества, вследствие потребностей производства, и в дальнейшем ее развитие было обусловлено также развивающимися производительными силами и экономикой. Энгельс в „Диалектике природы“ писал следующее: „Необходимо изучить последовательное развитие отдельных отраслей естествознания. Сперва астрономия — уже из-за времен года — абсолютно необходима для пастушеских и земледельческих народов. Астрономия может развиваться только при помощи математики. Следовательно, пришлось заняться и последней. Далее, на известной ступени развития земледелия и в известных странах (поднимание воды для орошения в Египте), а в особенности вместе с возникновением городов, крупных построек и развитием ремесла развивалась и механика.

Вскоре она становится необходимой также для судоходства и военного дела. И она нуждается в помощи математики и поэтому способствует ее развитию. Таким образом, уже с самого начала возникновение и развитие наук обусловлено производством“ („Диалектика природы“, изд. 6-е, стр. 39 — 40). Итак, развитие механики обусловлено развитием земледелия, а затем потребностями строительного дела, развивающегося ремесла и, наконец, судоходства и военного дела. Несомненно, что отдельные теоретические открытия способствовали развитию отдельных отраслей производства, но все же, в конце концов, развитие механики было обусловлено производством.

Все указанные выше отрасли производства возникли и развивались еще задолго до нашей эры, и поэтому так же задолго возникла механика как наука (см. стабильный учебник, стр. 24).

В период средневековья производительные силы слабо стимулировали развитие механики. Феодальный, общественно-хозяйственный уклад с господствующей средневековой церковью мало способствовали, а в дальнейшем даже затрудняли развитие науки вообще и механики в частности.

Бурное развитие механики, как и других наук, наступило в конце средневековья, когда господствующая роль от феодалов перешла к более прогрессивному для того времени классу— буржуазии. Энгельс писал об этом так: „Если после темной ночи средневековья заново вдруг возрождаются с неожиданной силой науки, начинающие развиваться с чудесной быстротой, то этим чудом мы опять-таки обязаны производству“ („Диалектика природы“, изд. 6-е, стр. 40). Географические открытия, произведенные в погоне за барышом, связь между разрозненными до того времени государствами и, наконец, изобретение печатного станка — все эти факторы способствовали развитию механики. В этот период, который носит название эпохи Возрождения, выдвинулся ряд ученых, сделавших много ценных открытий в области механики (см. стабильный учебник, стр. 25 — 25).

Значение трудов Ньютона. Исаак Ньютон (1643— 1727 гг.), величайший математик и физик, с полным правом может быть назван основателем механики. Ньютон впервые дал систематическое изложение динамики. В своем наиболее важном труде—„Математические начала натуральной философии“ —он окончательно сформулировал три основных закон я механики, которые были еще не совсем ясными в изложении его предшественников (Декарта, Галилея и др.) Кроме этого Ньютон открыл важнейший закон механики, закон всемирного тяготения, при помощи которого можно теоретически обосновать законы движения планет, сформулированные Кеплером.

Мы не касаемся разнообразных работ Ньютона в других областях физики. Ньютон был философом. В своих философских обобщениях и выводах Ньютон явился выразителем идеологии господствовавшего тогда класса — буржуазии. Несмотря на то, что в этот период церковь уже не играла той роли, как в средне-

вековье, тем не менее она способствовала господству буржуазии, и поэтому религиозные верования были необходимы для буржуазии. Во взглядах Ньютона богу отводится почетное место. Особенно это заметно в его теории „первоначального толчка“, введенной им для объяснения движения планет.

Развитие механики после Ньютона. Ньютоновская механика представляет собой определенный этап в развитии механики. В период расцвета механики в начале эпохи капитализма (XVI—XVII вв.) изучается механическое движение вне связи его с более сложными формами движения материи (тепловой, электрической и др.). В механике Ньютона рассматриваются небольшие скорости движения по сравнению со скоростью света (300 000 км\сек). С дальнейшим развитием производительных сил и экономики XVIII — XIX вв. начинается изучение более сложных форм движения материи: тепловой (в конце XVIII в. и в XIX в.), электрической, химической и, наконец, электромагнитной.

В 1905 г. была выдвинута теория относительности Эйнштейна, являющаяся более общей, чем ньютоновская механика, вполне применимая для материи, движущейся со скоростью, близкой к скорости света, что было впервые опытно проверено Кауфманом над движением электронов. Механика Ньютона является лишь частной механикой, применимой для тел, имеющих небольшие скорости движения, с которыми и имеет дело механика. Здесь она дает достаточно хорошие результаты и поэтому она не потеряла и не потеряет своего значения в определенной области физических явлений.

2. ПЕРВЫЙ ЗАКОН НЬЮТОНА

Изложение этого вопроса в стабильном учебнике достаточно полно. Важность этого закона заключается, как известно, в том, что здесь впервые вводятся два важнейших понятия— сила и масса. Поэтому к тому, что имеется в стабильном учебнике, мы имеем добавить следующее. В учебнике совершенно правильно обращается внимание на то, что „движение каждого тела может изменяться только в том случае, если на движующееся тело действует какое-либо тело“ и „всякое действие постороннего тела, вызывающее изменение скорости какого-либо тела, Ньютон назвал силой“ (стр. 25 — 26).

Это определение требует более подробного рассмотрения его с учащимися, в целях опровержения идеалистических взглядов Ньютона на силу как на причину, порождающую движение. С нашей точки зрения, очень важно в этом отношении высказывание Максвелла: „Экспериментальное подтверждение истинности этого закона заключается в том, что каждый раз, как мы наблюдаем изменение в состоянии движения какого-нибудь тела, мы всегда обнаруживаем взаимодействие между этим телом и другими телами, т. е. внешнюю силу, действию которой мы можем приписать изменения, происходящие в движении“ (Берлинер, Курс физики, т. I, стр. 13).

Таким образом, во всех этих рассуждениях сила рассматривается как результат взаимодействия тел в природе, что обусловлено их движением. Сила является производным понятием в механике, так как в природе основными факторами являются материя и движение. Мы считаем, что подобное, более или менее подробное, разъяснение учащимся термина „сила“ вполне оправдывается важнейшим методологическим его значением.

Следующим понятием, подлежащим детальному разъяснению, является понятие инерции. Перед тем как приступить к его раскрытию перед учащимися, следует еще раз подчеркнуть, что представление о силе связано с представлением об изменении характера движения, которое может выражаться, во-первых, в изменении скорости, а, во-вторых, в изменении направления.

Давая определение понятию „инерция“, следует учесть тот факт, что учащимся придется столкнуться в дальнейшем с понятием „силы инерции“, а потому сразу нужно заострить их внимание на тонкости этого понятия.

Это тем более необходимо сделать, с нашей точки зрения, еще и потому, что общепринятое определение инерции, данное в стабильном учебнике, может вызвать у учащихся неправильное толкование в том смысле, что инерция есть какое-то активное начало (свойство тел), проявляющееся в неподатливости тела ко всяким изменениям его движения. Отсюда— неизбежное представление об инерции как о силе, а следовательно, и смешение понятия инерции с понятием „сила инерции“. Как в самом определении инерции, так и во всех тщательно подобранных примерах на инерцию тел следует сделать ударение именно на то пассивное начало тел, которое мы связываем с раскрываемым нами понятием „инерции“. С этой точки зрения мы считаем определение инерции как „самонедеятельности“ тел, их неспособности без взаимодействия с другими телами изменять свое состояние относительно покоя или движения, т. е. величину и направление скорости, — более удачным и лучше приближающим учащихся к правильному пониманию этой физической категории.

Мы уже отмечали, что при знакомстве с понятием „инерции“ необходимо подготовить учащихся к восприятию другого понятия — „силы инерции“—и предупредить возможную путаницу этих двух понятий. Ясно, что подробное изучение сил инерции неизбежно связано с изложением принципа Даламбера, который и ввел это понятие в механику, но рассмотрение этого принципа не входит в задачу преподавателя физики восьмого года обучения. Мы считаем возможным и полезным познакомить учащихся с силами инерции на следующих примерах.

1) Подвесим гирю на нити и будем держать нить в руке. В случае равновесия сила руки, удерживающая гирю, действует вверх и равна весу гири.

Рванем теперь нить вверх. Если рывок достаточно сильный, то нить оборвется

Очевидно, это произойдет потому, что вследствие инерции, при быстром поднятии гири вверх, возникает еще дополнительная сила, действующая в одну сторону с весом тела и способствующая обрыву нити. Эта добавочная сила называется силой инерции, так как она возникает вследствие инерции тел.

2) Теперь, держа нить в руках, будем быстро опускать гирю вниз. В этом случае натяжение нити будет меньше веса тела. Опять-таки, вследствии инерции, при быстром опускании гири возникает дополнительная сила, действующая теперь уже против веса гири, вследствие чего натяжение нити будет меньше веса гири. Эта дополнительная сила и есть сила инерции.

Вот на этих двух примерах, в элементарной форме, можно дать представление о силе инерции, одновременно указав на то, что более подробно этот вопрос излагается в теоретической механике.

Неспособность тела самостоятельно, без взаимодействия с другими телами, т. е. без содействия внешних сил или сопротивлений, изменять направление движения обнаруживается преимущественно на вращательных движениях. Говоря о неспособности тела выходить из состояния покоя без воздействия на него какой-либо силы (в механическом смысле), важно подчеркнуть относительность самого понятия „покоя“. Можно говорить лишь об относительном покое, рассматривая его как частный случай движения. Необходимо в элементарной форме и здесь вскрыть неправильность точки зрения самого Ньютона, ибо на основании тех представлений о пространстве, которые у него были, можно говорить и об абсолютном покое. Далее следует разъяснить учащимся, что закон инерции, как и другие законы Ньютона, подтверждается нашей повседневной практикой.

Хотя повседневные наблюдения учащихся дают немало примеров подтверждения справедливости закона инерции, тем не менее, для оживления преподавания, мы считаем возможным рекомендовать демонстрации следующих простых опытов.

Опыт 1.

Легкоподвижная тележка (черт. 1), на которой помещен, в свою очередь, свободный и легкоподвижный скат колес, устанавливается на рельсы. Упоры а и b на концах тележки не позволяют скату с нее упасть. Скат устанавливается каждый раз так, чтобы он касался того или иного упора. Резким толчком одной руки приводим тележку в движение, а другой рукой останавливаем ее на некотором расстоя-

нии от начального положения В зависимости от того, с какой стороны производится толчок тележки относительно ската, наблюдают либо неизмененное положение ската относительна стола либо перемещение ската относительно прекратившей движение тележки. Перед тем

Черт. 1.

Черт. 2.

Черт. 3.

как приступить к опыту, рельсы нужно установить горизонтально. Желая продемонстрировать неподвижность ската в случае получения движения тележкой (черт. 2, 3, 4), следует иметь в виду, что опыт удается тем лучше, чем отрывистее и резче будет сообщен толчок тележке и чем своевременнее она будет задержана. Лучше всего ее остановить в тот момент, когда скат приблизится к упору (черт. 4).

При демонстрации движения ската относительно прекратившей мгновенно движение тележки, последней следует сообщить предварительно возможно большую скорость и затем резко остановить (черт. 5, 6, 7).

Черт. 4.

Черт. 5.

Черт. 6.

Черт. 7.

Чтобы этот опыт прошел гладко, предварительно следует потренироваться.

Кроме опыта с тележкой, для демонстрации инерции можно использовать прибор, изображенный на чертеже 8. На стойку А кладется металлическая пластинка £, а на нее сверху — металлический шарик С. При помощи рычага Z), могущего вращаться вокруг оси О, стальная упругая пластинка Е, закрепленная одним своим концом, может отводиться в сторону от вертикального своего положения. Если нажать на рычаг, то пружинка освобождается и силой своего удара вышибает из-под шарика пластинку. Шарик остается на стойке. Для опыта следует брать шарик потяжелее и слегка подпиленный в одном месте — для более быстрой его установки на пластинке Впрочем, этот же самый опыт можно произвести и более простыми средствами.

Опыт 2.

Тяжелый шарик устанавливается на край стола на один из концов плотной бумажной полоски. Сначала следует медленно потянуть бумагу вдоль края стола и показать учащимся, что шарик также перемещается вместе с бумагой. Затем, держа в одной руке свободный конец этой полоски, а другой быстро ударяя но ней, тем самым выдергиваем бумагу из-под шарика, в то время как самый шарик остается в покое (черт. 9).

Мы говорим, что на изменение скорости тела требуется время. Вместо шарика в этом опыте можно взять стопку цилиндрических тел, которые обычно употребляются для определения удельных весов. Вообще говоря, этот опыт можно варьировать самым разнообразным образом.

Черт. 8.

Черт. 9.

Опыт 3.

Тяжелый металлический шар подвешиваем на нити к верхней перекладине большого штатива (черт. 10). К самому шару снизу на такой же нити подвешивается ручка. Если тянуть за эту ручку отвесно вниз, медленно, то обрывается только верхняя нить, так как происходит медленное изменение скорости шара, вызываемое усилием мускулов руки, а следовательно, верхняя нить испытывает натяжение не только под тяжестью шара, но и от воздействия мускулов руки экспериментатора. Она обрывается раньше нижней, так как на эту последнюю воздействует только усилие руки, но не воздействует вес шара. При быстром же натяжении обрывается нижняя нить, даже в том случае, если она толще верхней. Быстрый рывок нижней нити успевает изменить в ней натяжение до пределов, превышающих предел ее прочности, тогда как шар в такое короткое время не успевает заметно изменить своей скорости, а следовательно, увеличить натяжение верхней нити. При выполнении этого опыта нужно учесть следующее обстоятельство. Если шар подвесить на нить и оставить в таком положении на некоторое время, то нить от тяжести шара раскручивается и может даже оборваться.

Чтобы этого не случилось, шар нужно подвешивать перед самым опытом или подставить под него штатив.

Опыт 4.

Большой эффект производит перебивание палки, концы которой поддерживаются на бумажных кольцах. Ввиду крайней простоты этого опыта мы его горячо рекомендуем для демонстрации. Для опыта берется сухая сосновая палка длиною около метра и диаметром 15—20 мм. Концы палки помещают на бумажные кольца, подвешиваемые к штативам или удерживаемые руками кого-либо из учащихся (черт. 11). В последнем случае руки вытягиваются вперед и находятся на такой высоте, чтобы экспериментатору было удобно нанести удар. Этот удар производится очень быстро другою, более тяжелой и прочной палкой. Рассчитать его нужно так, чтобы он пришелся посредине перебиваемой палки. Перед опытом учащимся надо дать палку в руки, чтобы они могли убедиться в ее прочности.

Черт. 10.

Черт. 11.

Кроме того первый раз надо показать, что при слабом и медленном ударе кольца рвутся, а палка остается невредимой. В этом случае концы палки успевают изменить свою скорость вслед за серединой, бывшей под ударом. Затем палка вторично подвешивается на кольца и быстрым ударом перебивается пополам. Бумажные кольца остаются невредимыми. Иногда удается на этих же самых кольцах перебить пополам оставшуюся половину перебитой палки.

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Чем обусловлено развитие механики?

2. Какие социально-экономические факторы стимулировади развитие механики?

3. Назовите имена крупнейших ученых физиков: а) в древности, б) в период средневековья и эпоху Возрождения и укажите их важнейшие работы

4. В чем заключается заслуга Ньютона?

5. Какое значение имеет ньютоновская механика в настоящее время?

6. В чем состоит первый закон Ньютона?

7. Приведите примеры, иллюстрирующие первый закон Ньютона.

8. Вес подъемной кабинки с пассажиром 500 кг. При поднятии вверх возникает сила инерции в 100 кг. На какую нагрузку должен быть рассчитан канат, если для „ запаса прочности“ расчет должен быть произведен на семикратную нагрузку, т. е. выдерживать нагрузку, в 7 раз большую?

Время проработки.

Лекция-беседа на тему „Исторический ход развития механики“—1 час. Классно-урочная беседа с демонстрацией опытов—2 часа. Упражнения — 1 час.

3. ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА

Изложение этого, весьма важного закона, принятое в стабильном учебнике, в достаточной мере удобно как в методическом, так и в методологическом смысле. При рассмотрении этого вопроса мы считаем нужным обратить внимание на два обстоятельства, имеющие, с нашей точки зрения, важное методологическое значение. В стабильном учебнике, говоря об измерении движения, указывается: „В механике мерой движения принимают произведение массы движущего тела на скорость его движения: m-v. Это произведение называется количеством движения“ (стр. 27). Это утверждение будет совершенно правильным, если отметить, что m-v есть одна из мер механического движения.

Энгельс по поводу мер движения писал следующее: „Таким образом, мы находим, что механическое движение обладает действительно двоякой мерой, но убеждаемся также, что каждая из этих мер годится для определенного, ограниченного круга явлений. Если имеющееся уже налицо механическое движение переносится таким образом, что сохраняется в качестве механического движения, то оно передается согласно формуле о произведении массы на скорость. Если же оно передается таким образом, что исчезает в качестве механического движения, возникая наново в виде потенциальной энергии, теплоты, электричества и т. д., если, одним словом, оно превращается в другую форму движения, то количество этой новой формы движения пропорционально произведению первоначально двигавшейся массы на квадрат скорости“ („Диалектика природы“, изд. 6-е, стр. 151). Таким образом, оговорка о том, что m-v является лишь одной из мер движения, предупреждает преподавателя от возможной ошибки, но может вызвать возражение, а именно: рассматривая с учащимися m-v как одну из мер движения, мы можем вызвать у учащихся вопрос, а что же является другой мерой движения, на который в данном месте преподаватель дать ответа не сможет. Мы считаем возможным лучше отослать учащихся к главе курса „Работа и мощность“, где должно рассматриваться это понятие, чем вводить их в некоторое заблуждение.

Второе обстоятельство, которое мы желаем подчеркнуть при изложении второго закона, заключается в следующем. Имея в виду, что на восьмом году обучения мы не можем дать определение силы по Энгельсу (см. „Диалектику природы“, изд. 6-е, стр. 10 и 11) в виду трудности для учащихся этого определения, тем не менее основную мысль этого определения о том, что понятие силы в механике неразрывно связано с изменением движения и что измеримость движения и „придает категории силы ее ценность“ („Диалектика природы“, там же), преподаватель должен провести красной нитью. Это можно сделать, пользуясь формулой /= k -д-р ; при k=\ сила численно равна изменению количества движения в единицу времени. И, наконец, последнее замечание методического характера. В стабильном учебнике принята формула второго закона в следующем виде: k -f=mV{ mVtk. Введение коэфициента k не вносит никакого удобства в изложение материала, и не будет большим преступлением, если заранее принять его равным единице, тем более, что знакомство с различными

системами единиц происходит несколько позднее.

Второй закон Ньютона обычно иллюстрируется целым рядом опытов. Ниже мы приводим некоторые из них, в том порядке, в каком мы считаем целесообразным их демонстрировать учащимся. Первая серия этих опытов имеет в виду доказать, что способность тел получать большее или меньшее ускорение при воздействии на них одной и той же силы зависит от инерции или массы этих тел.

Опыт 1.

На крючке К штатива подвешиваются две совершенно одинаковые планки А и В, соединенные посредством шарнира. Между планками помещается пружина (черт. 12). Внизу планки обвязываются ниткой, которая затем пережигается при помощи спички. Так как массы обеих планок равны, то и ускорения, получаемые ими от одной и той же силы, оказываются одинаковыми. Планки отскакивают на одинаковые расстояния от положения равновесия. Если повторить этот опыт с планками разных масс (для этого прикрепляют к одной из них полоску свинца или другого металла), то после того как нить перегорает, более легкая планка А отлетает на более далекое, а В— на более близкое расстояние.

Черт 12.

Черт. 13

Таким образом, меньшая масса планки А получает большее ускорение, и наоборот.

Этот же самый опыт можно осуществить несколько иначе, если воспользоваться штативом и прикрепленной к нему пружиной ММ с перекладиной CD (черт. 13). В качестве пружины можно использовать гибкую линейку. Подвешивая на шнурах А и В сначала гири с одинаковыми массами, а затем с разными, наблюдают расстояние, на которое отскакивают гири под действием силы удара пружины.

Опыт 2.

Предыдущий опыт можно повторить пользуясь упругими шариками и жолобом. Для этого берется деревянный брусок прямоугольного сечения, метра в два с половиной длиной (черт. 14). В бруске делается полукруглая выемка для помещения в нее шариков (жолоб) Такие жолобы в готовом виде можно найти в магазинах наглядных пособий, где они продаются под названием жолобов Галилея.

Жолоб устанавливается на демонстрационном столе в горизонтальном положении. Лучше всего эту установку сделать по уровню. Над серединой жолоба сгибается пружина, концы которой связываются ниткой, а сама пружина укрепляется на штативе.

Шарики помещаются в жолоб и приводятся. в соприкосновение с концами пружины. Если

Черт. 14.

пережечь нить, то шарики отбрасываются пружиной в разные стороны и ударяются о специальные стойки на концах жолоба. Удары слышны одновременно или неодновременно, в зависимости от того, одинаковые или неодинаковые массы шариков подводились к концам пружины. Опыт хорошо удается, если шарики и задерживающие плиты — стальные. Тогда шарики, будучи отброшены пружиной, звонко ударяются об упоры и, отскочив от них, сходятся либо точно посредине жолоба (если массы равны) либо ближе к тому из его концов, от которого отскакивает шарик большей массы. В качестве пружины можно использовать одну или две стальные полоски из обручей, предназначенных для опытов с центробежной машиной. Пружина должна быть зажата в штативе посредине, причем так, чтобы она не могла сбиваться в сторону.

Опыт 3.

Проверку второго закона с количественной стороны удобнее всего демонстрировать на машине Атвуда, описание опытов с которой можно найти в любом учебнике. Однако количественную формулировку закона ускорений можно проверить с достаточной степенью точности при помощи приспособления, схематическое изображение которого дано на рисунке (черт. 15). Получающее ускорение тело — деревянный или металлический брусок, а еще лучше тележка на гладкой горизонтальной поверхности. К бруску привязывается шнурок, и этот последний перекидывается через блок. Сверху на брусок помещают три или четыре одинаковых гири. В чашку А сыплем дробь или кладем какую-либо другую тару до тех пор, пока не получим равномерного движения плитки при самом незначительном толчке с нашей стороны. Так как всякое прямолинейное и равномерное движение можно рассматривать как движение по инерции, то, снимая далее с бруска поочередно гири и помещая их в чашку, мы будем наблюдать каждый раз равноускоренное движение с соответствующим ускорением. Силами, изменяющими состояние движения всей разсматриваемой нами системы, т. е. бруска, гирь и тары, будут как раз веса гирь, помещаемых нами в чашку. Измеряя секундомером (в крайнем случае — секундной стрелкой простых часов) время равноускоренного движения всех указанных тел на определенном участке пути s от точки А до Ву определяем далее по данным каждого опыта ускорения:

Черт. 15.

Черт. 16.

Выписываем потом отношения числовых значений действовавших но очереди сил:

Ziî/iS U ---/«(где/, = />;/2=2р; /3=3/?;

р — вес гири) к соответствующим числовым значениям ускорений av о2, az...an.

Эти отношения будут равны между собой:

Ввиду неточностей измерения вполне строгого равенства может не получиться, но незначительную неувязку можно отнести к несовершенству выполнения самих опытов. Для уменьшения погрешностей следует брусок брать потяжелее, а гири — полегче. Это весьма существенно для сохранения постоянства силы трения бруска о поверхность, по которой он скользит.

Дело в том, что когда мы снимаем гири /?, уменьшается нормальное давление на опорную плоскость доски, а следовательно, изменяется груз, уравновешивающий трение. При сравнительно большем бруске и малом весе гири р разница в силах трения будет так незначительна, что ею можно пренебречь.

Ускоряющую силу более точно можно измерить во время опыта силомером s (черт. 16).

Силомер предварительно градуируется в покоящемся состоянии бруска. Отсчет при опыте происходит на ходу бруска.

Силомер дает на шкале MN постоянное показание. Сила, ускоряющая движение бруска, меньше веса подвешенной гири, но остается постоянной.

Вопросы и упражнения, см. стабильный учебник Фалеева, и Перышкина, страница 28.

Время проработки.

Беседа с демонстрацией опытов — 3 часа. Упражнения— 2 часа.

Вес тел

При изложении понятия „вес“ преподаватель встречается с очень большими затруднениями. Методологически важно, рассматривая вес как силу, с которой тела притягиваются к Земле, показать, что это притяжение обусловлено предварительным отталкиванием, так как для того чтобы тело падало, необходимо его поднять (поднятие есть отталкивание). Энгельс, рассматривая этот вопрос, писал следующее: „Таким образом, в земной чистой механике отталкивающее, поднимающее движение должно быть создано искусственным образом, при помощи человеческой силы, животной силы, силы воды, силы пара и т. д. Это обстоятельство, эта необходимость искусственно бороться с естественным притяжением вызывает у механиков убеждение, что притяжение, тяжесть, или, как они выражаются, сила тяжести, является самой существенной, основной формой движения в природе“ („Диалектика природы“, стр. 134, изд. 6-е).

Довольно большое затруднение возникает при нахождении зависимости между весом и массой и особенно при сравнении их между собой. Первое легко устраняется при удовлетворительном усвоении второго закона Ньютона, при помощи которого эта зависимость и находится.

Второе затруднение возникает главным образом при выводе того, что тело с массой в 1 г имеет вес в 1 г, который равен 981 дине: подобная же трудность возникает и при освоении разницы между килограммом (массой) и килограммом (весом). При разграничении этих понятий необходимо снова вспомнить определение массы и сопоставить его с определением веса, а также полезно указать, что масса от переноса тела из одной точки земной поверхности в другую не изменяется, в то время как вес зависит от широты места. Для уяснения этой разницы полезно решить несколько задач на определение веса тел для различных широт при известной массе тела. После этого уместно будет установить разницу между плотностью и удельным весом.

Вопросы и упражнения, см. стабильный учебник, страница 29.

Дополнительно: 1) Сколько весит на полюсе тело с массой в 20 г? 2) Сколько весит на экваторе тело с массой в 20 г?

Время проработки. Беседа — 1 час. Упражнения — 1 час,

Системы единиц

Изучение систем единиц является довольно трудным местом при прохождении курса механики. От того, насколько хорошо усвоят учащиеся системы единиц, будет зависеть их дальнейшее продвижение как в области механики, так и в области других разделов физики. В стабильном учебнике хотя достаточно последовательно, но крайне сжато излагается этот вопрос, а потому мы считаем уместным снабдить учителя некоторым материалом, который может оказаться полезным ему для вступительной беседы по данному вопросу.

Наши представления о внешнем мире, о телах и явлениях природы создаются при посредстве наших органов чувств, благодаря наличию сознания и способности мышления.

По образному выражению Вильяма Томсона „органы чувств составляют те двери, через которые природа входит в наше сознание“. Человеку свойственна способность сравнивать между собой получаемые ощущения, судить об их одинаковости или неодинаковости, отличать неодинаковости качественно и количественно. Измерить величину, значит — определить, сколько раз в ней заключается избранная величина того же рода и принятая за единицу. Наука стремится к тому, чтобы для каждого рода величин была установлена и общепринята одна определенная единица с ее кратными подразделениями, взятыми по десятичной системе.

Итак, для количественного описания явлений необходимо измерять каждую вводимую в рассмотрение величину, сравнивая ее с некоторой величиной, принятой за единицу. Выбор единиц можно сделать произвольно, но выгоднее подобрать единицы так, чтобы соотношения между различными величинами получили возможно простой вид. В научном исследовании оказалась чрезвычайно полезной рационально построенная система различных единиц, называемая абсолютной системой.

Это система пользуется следующим общим приемом. Каждое новое понятие вводится при

помощи связи его с другими, более элементарными. При помощи связи, выражаемой определенной формулой, например понятие силы вводится на основе формулы /=т-а, понятие работы — из формулы А = f-s*cosa и т. д. Каждая такая формула заключает произвольный коэфициент, зависящий от того, в каких единицах измерены отдельные величины, входящие в формулу. В абсолютной системе мы выбираем единицы так, чтобы коэфициент сделался равным единице, чтобы определяемая величина была не только пропорциональна величинам, стоящим в правой части равенства, но, выраженная в абсолютных единицах, численно равна правой части. Условившись поступать таким образом со всякой новой величиной, вводимой нами в описание природы, мы каждую формулу, служащую для определения величины, используем для установления единицы, ее измеряющей. Мало того, если мы будем, устанавливая новые единицы для измерения различных физических величин, стремиться свести все эти новые единицы к уже установленным ранее, то это даст нам возможность уменьшить число новых единиц, устанавливаемых совершенно произвольно. Так и делали в своих работах над электричеством и магнетизмом Гаусс и Вебер: они устанавливали новые единицы, которые требовалось ввести, через единицы длины, массы и времени. Установленные таким образом производные единицы они назвали абсолютными, а всю полученную таким образом систему единиц — абсолютной системой единиц. За три основные единицы выбраны сантиметр, грамм и секунда. Всю абсолютную систему, установленную таким образом, называют системой сантиметр-грамм-секунда, или CGS.

Необходимо условиться только предварительно относительно того, что мы будем понимать под избранными единицами длины, массы и времени, т. е. сантиметром, граммом и секундой. За единицу длины в системе С GS принят 1 £Л* = 0,01 части длины платинового образцового метра Парижской палаты мер и весов; за единицу массы 1 грамм-массы =0,001 части массы платинового эталона, находящегося также в Париже, и за единицу времени 1 секунда = 1 /86 400 средних солнечных суток.

Для обозначения производных единиц употребляют особые символы, которые указывают алгебраические действия, необходимые для того, чтобы от основных единиц перейти к данной производной единице. Например, чтобы получить числовое значение площади, надо перемножить числовые значения двух отрезков. Это выражают символически тем, что вместо слов „квадратный сантиметр“ пишут см2, вместо „кубический сантиметр“ пишут см3. Далее, скорость выражается частным из числа пройденных сантиметров на число протекших секунд; отсюда вытекает символическая формула единицы скорости — , или смХ сек~}, или еще иначе [С1 Т~л М°].

Употребление формул размерности приносит физике большую пользу: между прочим, ими пользуются для проверки правильности физических выкладок. Основной принцип этой проверки заключается в следующем : можно приравнивать друг другу и складывать друг с другом только величины, имеющие одинаковую размерность. Формулы размерности служат контролем при выводе разных физических формул, уравнений и т. д. Поясним это на примере. Продолжительность качания маятника Г, который имеет длину L, зависит от ускорения силы тяжести g в том месте, где он находится.

Теоретически мы находим формулу: Т= 2я|Х—. В левой части формулы стоит время (продолжительность качания). Ясно, что эта формула будет верна только в том случае, если правая ее часть будет также выражаться в единицах времени. Но что представляет собой правая часть? Она представляет собой время, умноженное на тт, т. е. определенное число единиц времени. В самом деле: размерность длины — см. „размерность ускорения“--^jr, следовательно, размерность у — будет у ——— = у сек2 = сек.

Таким образом получилось наименование времени, что и следовало ожидать, так как период — это есть время одного полного колебания маятника. Отсюда делаем вывод о правильности данной формулы. При изменении этого раздела необходимо обратить внимание на следующие важнейшие моменты:

1. Необходимо показать социально-экономические причины, обусловливающие возникновение различных систем единиц и, в частности, возникновение стандартной системы единиц AITS. Этими факторами, без сомнения, является рост производительных сил, экономики и развитие техники, в первую очередь электротехники.

2. При рассмотрении технической системы единиц важно дать правильное представление о технической единице массы и разграничить такие два понятия, как вес, выраженный

в килограммах, и масса, выраженная в килограммах (массы). Необходимо напрактиковать учащихся на определении массы из формулы m = — и полезно дать ее наименование

3. Очень важно при выводе единицы силы в системах COS и MTS (дины и стена) научить учащихся довольно шаблонному приему получения производных единиц в различных системах единиц и определения их наименования из формулы /= т<а; если положить m = 1 дине. Отсюда дается определение единицы силы — дины — и ее наименование. То же самое в системе единиц MTS\ если положить m — 1 тонне, а а = 1 —-=, то

Отсюда дается определение единицы силы — стена — и ее наименование. Усвоение этого приема облегчит вывод единиц работы, мощности и т. д.

4. Полезно установить зависимость между единицами силы в различных системах единиц и на этом примере показать неудобство технической системы единиц, которое вытекает из неудачного выбора основных мер, вследствие чего затрудняется переход от этой системы единиц к другим, и обратно.

5. Необходимо обратить внимание и напрактиковать учащихся на том, что при решении задач необходимо пользоваться одной и той же системой единиц. Это будет иметь большое значение при изучении следующих тем из отдела механики, а также других отделов физики.

Вопросы и упражнения, см. стабильный учебник Фалеева и Перышкина, страница 31.

Время проработки. Беседа — 2 часа. Упражнения — 2 часа.

Импульс и количество движения.

Этот вопрос достаточно полно изложен в стабильном учебнике Фалеева и Перышкина (стр. 31 — 32).

Время проработки. Беседа — 1 час. Упражнения — 2 часа.

4. ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА

При изложении третьего закона Ньютона следует обратить внимание учащихся на тот факт, что в природе не существует односторонних действий. Силы всегда проявляются в виде взаимодействия между двумя телами Для правильного применения этого закона нужно иметь в виду также следующее. Во-первых силы, являющиеся при всяком действии тел друг на друга, бывают приложены не к одному телу, а к разным: одна сила является приложенной к одному телу, а другая — к другому. Во-вторых, явления равенства действия и противодействия обнаруживаются не всегда одинаково ясно. В случае взаимодействия двух тел оно ясно; когда же участвуют во взаимодействии другие тела, то явление запутывается: например, когда лошадь тянет телегу, то противодействие со стороны телеги должно было бы, казалось, уравновешивать усилия лошади, и она не должна была бы двигаться вперед; между тем, она движется. Действительно, если бы лошадь и телега оказались свободными, т. е. не связанными ни с какими другими телами, то натянутые между телегою и лошадью постромки только притянули бы лошадь к телеге, и, несмотря ни на какие усилия, лошадь не смогла бы двинуться вперед: нечто подобное и наблюдается в действительности на скользкой мостовой, когда взаимодействие между лошадью и землей очень мало. Разбирая с учащимися этот случай движения, следует обратить их внимание на то, что в данном примере мы как раз имеем случай взаимодействия не двух, а большего числа тел, а именно: взаимодействие лошади и телеги, взаимодействие лошади и земли и, наконец, взаимодействие телеги и земли. Лошадь упирается копытами в землю и испытывает со стороны земли силу противодействия, которая направлена вперед. Эта сила противодействия земли и есть та сила, с которой лошадь тянет телегу. В то время как лошадь движется в одну сторону, земной шар испытывает силу со стороны лошади, направленную в другую сторону. Однако вследствие неизмеримо большой массы земного шара, скорость, приобретаемая им, неизмеримо меньше скорости движения лошади. Для того чтобы лошадь могла везти телегу, нужно, чтобы между лошадью и землей существовало большее трение, чем между телегой и землей.

Опыт 1.

Третий закон движения, кроме подтверждений, которые он находит в бесчисленных случаях его применений, может быть так же, как и второй, проверен опытным путем. Ньютон показал справедливость этого закона

в случае притяжения двух тел, заставив плавать на поверхности воды железо и магнит. В качестве первого опыта мы также рекомендуем опыт с притяжением железа и магнита, только в несколько иной вариации. Берут два стержня, один из которых представляет собою магнит, а другой — обыкновенное железо (черт. 17). Стержни NSuAB поочередно укладываются на вилки дуги, подвешенной на нити и могущей вращаться. На эту дугу кладут сначала железо. Поднося магнит то к одному то к другому концу железного стержня, заставляют его вращаться, следя все время за перемещением магнита. Затем меняют местами железо и магнит, т. е. магнит кладут на вилы дуги, а железо подносят то к одному то к другому концу магнита. Таким образом убеждаются в том, что не только магнит действует на железо, но что и железо, в свою очередь, действует на магнит.

Опыт 2.

В качестве следующего опыта демонстрируется удар двух упругих шаров, подвешенных на нити.

Для опыта берут два стальных шара и подвешивают их на штативе (черт. 18). В состоянии равновесия шарики касаются друг друга. Один из шариков отклоняют на некоторый угол и затем отпускают. Падая, он ударяет второй шар, а сам остается неподвижным. Второй шар, получив удар от первого, поднимается на некоторую высоту, а затем возвращается обратно, ударяет первый шар, а сам остается в покое. После того как выпущенный из руки шар снова вернется в первоначальное положение, после ответного удара при падении второго шарика его следует задержать. Таким образом, при ударе всегда действуют две равные и противоположные силы, приложенные каждая к отдельному шару, которые и вызывают соответственные изменения в их скоростях.

Черт. 18.

Опыт 3.

К штативу на нитях подвешивается наклонно пробирка, немного наполненная водой. Отверстие пробирки закрывается пробкой (черт. 19). Если при помощи спиртовой лампы довести воду до кипения, то образующиеся пары воды вытолкнут пробку, причем пробка полетит в одну сторону, а сама пробирка отскочит в противоположном направлении.

Черт. 19.

Этот опыт, с одной стороны, прост и демонстративен, с другой стороны — важен в том отношении, что от него можно перейти к подобному явлению в военном деле, а именно: к явлению „отдачи“ при выстреле из орудия, винтовки, пулемета и при полете ракеты. В несколько другом виде этот опыт описан в стабильном учебнике Фалеева и Перышкина на странице 33.

Очень интересны, но довольно затруднительны для демонстрации в средней школе опыты, приведенные в том же учебнике, на страницах 32 и 34.

Вопросы и упражнения, см. стабильный учебник, страница 34.

Время проработки.

Беседа с демонстрацией опытов — 2 часа. Упражнения — 2 часа.

Всего времени для проработки темы: Классно-урочная беседа с демонстрацией опытов—12 час. Упражнения — 10 час. Итого 22 часа.

Литература для преподавателей

Гримзель, Курс физики, вып. 1-й, § 21—29.

Берлинер, Курс физики, ч. 1-я, стр. 13—34.

Фалеев и Перышкин, Курс физики, ч. 1-я, § 26 — 34.

Энгельс, Диалектика природы, изд. 6-е, стр. 39—40, стр. 10—11, стр. 134, стр. 151 — 154.

Проф. Медянцев, Вопросы методологии и методики физики, стр. 11 — 15.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ КАМЕРТОНА

С. ПРОКОФЬЕВ (г. Чебоксары, ЧАССР)

Камертон с острием или иным пишущим приспособлением часто применяется при изучении законов падения тел. Здесь я хочу указать, что с таким же успехом камертон можно применять к нахождению окружной или же угловой скорости вращающего шкива. Постановка такой работы на практикуме по физике весьма полезна, так как, помимо того, что эта работа может рассматриваться как подготовительная к более сложной — исследованию падения тел методом камертона, она имеет и самостоятельную ценность: позволяет определить число оборотов в минуту шкива без специального прибора — тахометра.

Работа эта выполняется следующим образом. Шкив обертывается полосой плотной гладкой бумаги, концы которой склеиваются, и притом так, чтобы пишущее острие камертона при вращении шкива не цеплялось за место склейки. Для того чтобы острие камертона оставляло на бумаге более заметный след, последнюю можно натереть воском. Затем, когда шкив вращается с нормальной для данного случая скоростью, острие колеблющегося камертона приводят на мгновение в соприкосновение с упомянутой бумажной полосой. Таких прикосновений делают несколько. После этого, остановив шкив, снимают бумажную полосу, находят на ней нацарапанные синусоиды, тщательно измеряют длины волн начертания синусоид и среднюю длину их X принимают за длину волн синусоид.

Окружную скорость v находят по формуле

где 7 — период колебания, a v — частота колебания камертона.

Если желательно узнать угловую скорость или число оборотов шкива в 1 минуту, то применяют известные формулы:

Здесь со — угловая скорость, г — радиус шкива, п — число оборотов шкива в 1 минуту, причем последняя формула написана в предположении, что окружная скорость показывает путь, проходимый точкой обода шкива в 1 секунду.

Конечно, можно поставить и обратную задачу: по известному числу оборотов шкива найти частоту колебания камертона.

В заключение замечу, что для этой работы желателен шкив не слишком большого диаметра; в противном случае ввиду большой окружной скорости синусоиды получаются значительно растянутыми, что может повести к затруднениям в их исследовании.

ДЕМОНСТРАЦИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО СЛОЖЕНИЯ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ СТРУЕК ЖИДКОСТИ

С. ПРОКОФЬЕВ (г. Чебоксары, ЧАССР)

Струя жидкости обычно используется для демонстрации вида траектории движения брошенного тела.

Сущность описываемой демонстрации состоит в том, что две достаточно тонкие струйки жидкости, встречающиеся под каким-либо (не слишком большим) углом, сливаются ввиду наличия молекулярных сил в одну результирующую струйку. Направление этой результирующей струйки определяется законом сохранения количеств движения, имеющим в применении к данному случаю вид: количество движения элемента результирующей струйки равно геометрической сумме количеств движения элементов составляющих струек.

Чертеж 1 поясняет сказанное. Здесь а и b указывают направления составляющих струек, с—результирующей струйки; пунктирные продолжения линий а и b показывают, как шли бы составляющие струйки в случае отсутствия их встречи.

Считаю необходимым отметить, что здесь мы имеем дело именно с геометрическим сложением количеств движения, а не с геометрическим сложением скоростей. Это видно из того, что если через т1 и т2 обозначить массы сливающихся струек и через т — тлА-+ т2 массу элемента результирующей струйки, через vv v2 и v скорости движения элементов составляющих и результирующей струек, то должно иметь место равенство:

тлУ1 -f- m2v2 = mv,

которое вообще не сводится к равенству:

В частности, если мы заставим слиться две струйки, элементы которых движутся с одной и той же скоростью и в одном и том же направлении, то получим струйку с массой, равной сумме масс сливающихся струек, и элементами, движущимися с той же скоростью, что и элементы составляющих струек.

Перехожу к описанию демонстрации.

Струйки воды получаются при помощи трубочек с сужением на конце. Диаметр отверстия в сужении 0,8—1,5 ли*. Вода подается в трубочку под небольшим напором. Необходимо иметь 2—4 трубочки с разными отверстиями на конце. Трубочки располагаем горизонтально (черт. 2).

Под массой элемента вытекающей жидкости m мы разумеем массу вытекающей жидкости за некоторый весьма малый промежуток времени М. Если через M обозначить массу жидкости, вытекающую за время t (например 10 сек.), то

Черт. 1.

Скорость истечения v — — , где т — промежуток времени, в течение которого элемент жидкости в горизонтальном направлении проходит расстояние /, а в вертикальном направлении спускается вниз на h (черт. 2). Известно, что

Черт. 2.

Количество движения элемента струйки

mv = — At — t т

Если взять две трубочки в одной и той же горизонтальной плоскости, то количества движения элементов струек, получаемых при помощи этих трубочек, выразятся соответственно:

Следовательно, количества движения элементов струек в этом случае пропорциональны расстояниям, на которые отбрасываются струйки, и количествам жидкости, вытекающим за некоторое время /.

Производим измерения Aîv /1? М2, /2, причем М} и М2 можно измерить при помощи мензурки. Приготовляем из картона или, лучше — металлического листа какой-либо параллелограм со сторонами, пропорциональными произведениям Мл^ и М212. Направляем трубочки (в горизонтальной плоскости на прежней высоте) вдоль соответствующих сторон параллелограма и притом так, чтобы струйки встречались вблизи отверстий трубочек у вершины параллелограма (черт. 3). Опыт показывает, что результирующая струйка направляется по диагонали параллелограма.

Для того чтобы показать, что количество движения элемента результирующей струйки выражается диагональю параллелограма, остается измерить, на какое расстояние / отбрасываются элементы жидкости результирующей струйки. Если составить затем произведение для результирующей струйки Ml, где M = — Мл+М2, то окажется, что оно находится в том же отношении к диагонали, в каком находятся Мл1г и М212 к соответствующим сторонам параллелограма.

Можно рекомендовать повторить опыт при ином угле между струйками, при других скоростях истечения (изменить напор), с иными трубочками.

В частности, если 1^=12, т. е. скорости истечения одинаковы (одинаков напор) и если Мгф-М2, то стороны параллелограма, будучи пропорциональны Мл и М2, не будут равными. В этом случае опыт особенно наглядно показывает, что здесь мы имеем сложение количеств движения, а не скоростей.

Очевидно, можно располагать трубочки и не в горизонтальной плоскости. Однако нахождение величин., пропорциональных количествам движения составляющих и результирующей струек, будет более хлопотливым.

Черт. 3.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФИЦИЕНТА ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ

А. БЕЛОГОРСКИЙ (Свердловск)

Иной раз в лекционной обстановке для демонстрирования явления поверхностного натяжения требуется поставить такой опыт, наблюдая который слушатель убедился бы не только в существовании самого явления, но при этом мог бы довольно точно определить и величину коэфициента этого натяжения.

Для этой цели могли бы служить следующие опыты, постановка которых займет совсем немного времени.

Берут ареометр для жидкостей легче воды 1) и надевают на его трубку небольшое проволочное кольцо, у которого необходимо сделать особое приспособление для того, чтобы оно могло довольно прочно держаться на трубке ареометра и только в случае надобности могло передвигаться с достаточным трением с одного места трубки на другое.

Это приспособление очень похоже на держатель абажура у керосиновых ламп.

При опускании ареометра в градуированный цилиндр с испытуемой жидкостью необходимо, чтобы кольцо находилось над поверхностью, и при этом плоскость его была бы ей параллельна (черт. 1). Затем определяют положение уровня жидкости в цилиндре, применительно к тем делениям, какие на нем н несены. Если величина кольца подобрана надлежащим образом, то погруженный в жидкость ареометр не всплывает. Нетрудно все же отыскать на трубке такое место, что после установления в этом положении кольца опущенный снова в жидкость ареометр прорвет поверхностную пленку и всплывет.

Такой опыт должен быть повторен 2—3 раза для того, чтобы наблюдатель мог убедиться, что выталкивающая сила как раз равна тому усилию пленки, которое стремится удержать наш ареометр от всплывания.

Определяя затем величину подъема уровня

1) Такой ареометр необходимо взять потому, что при его опускании в воду значительная часть его трубки находится над водой.

жидкости в цилиндре при погруженном ареометре в момент прорыва поверхностной пленки, можно по весу вытесненной жидкости узнать выталкивающую силу, которая, по закону Архимеда, как раз равна весу жидкости в объеме между двумя положениями уровня.

Чтобы найти коэфициент поверхностного натяжения, надо определить силу, приходящуюся на единицу длины линии разрыва, причем необходимо отметить, что разрыв пленки происходит по наружному и внутреннему периметру кольца и кроме того — по кругу самой трубки ареометра, где последний выступает из жидкости. Коэфициент поверхностного натяжения а выразится формулой:

где Р— выталкивающая сила, К и г—внутренний и внешний радиус кольца, а гл — радиус трубки ареометра. Второй член знаменателя является простой поправкой. Вывод этой формулы несложен, и его можно найти во многих курсах и руководствах для проведения практических занятий по физике.

Черт. 1. Черт. 2.

Если этот опыт поставить с проекционным фонарем, то он будет очень наглядным. При этом и для слушателя и для самого преподавателя облегчается возможность отсчета при определении положения уровней жидкости.

Описанный опыт в качестве простой демонстрации ставится обычно не с кольцом, а с проволочной сеткой и при этом после того как сетка, упершись в поверхностную пленку, не в состоянии прорвать ее, помещают на поверхность воды каплю эфира, и ареометр сейчас же выталкивается из жидкости. Нередко случается, что и после помещения капли эфира на водную поверхность, ареометр все же не выталкивается; последнее обстоятельство, порой крайне досадное, происходит от того, что выталкивающая сила оказывается недостаточной для того, чтобы прорвать поверхностную пленку эфира. Вот случай для демонстрирования поверхностного натяжения у эфира. Стоит только несколько передвинуть повыше сетку на ареометре, и последний будет в состоянии прорвать эфирную пленку.

Другой опыт для той же цели состоит в следующем: берут две открытые с обоих концов стеклянные трубки достаточной длины и соединяют их между собой резиновой трубкой, а после этого наполняют их испытуемой жидкостью с тем расчетом, чтобы уровни жидкости стояли возможно близко к их отверстиям. Трубки нужно брать с нанесенными делениями, с точностью до десятых долей сантиметра, причем внутреннее сечение их должно быть возможно большего диаметра. Важно, конечно, чтобы заранее был точно определен внутренний диаметр трубки.

Если теперь несколько поднять одну из ветвей этого прибора, который, по существу, является простыми сообщающимися сосудами, то можно добиться того, что мениск в другой ветви из вогнутого для смазывающих жидкостей делается выпуклым в тот момент, когда жидкость выступит над краями трубки (черт. 2). Продолжая медленно поднимать ту же ветвь сообщающихся сосудов, мы можем заметить при некоторой разности уровней в обоих коленах разрыв поверхности пленки. После определяют разность уровней жидкостей в обоих сосудах, причем за начало счета нужно взять край той трубки, где образовался выпуклый мениск, а в другой нужно взять в качестве верхней точки нижний край мениска.

Если теперь через р обозначить давление на 1 см1, то общая сила давления на площадь круга нашего мениска равна тгг2/?, тогда как сила, с которой стягивается круг, лежащий в основании нашего мениска, равна 2пга, где а — коэфициент поверхностного натяжения, г—внутренний радиус трубки, причем обе трубки в данном случае берутся одинакового радиуса. Соединяя знаком равенства полученные два выражения, получим:

откуда

Этот опыт будет очень нагляден, если его так же, как и первый, поставить с проекционным фонарем.

Само собой разумеется, что этот импровизированный прибор должен иметь соответствующую установку, которая позволила бы без всяких помех производить как самое наблюдение явления, так и отсчет. Полезно ввести в одну из ветвей прибора кран Гейслера, который понадобится при определении разности уровней в обеих ветвях. Описание третьего опыта, который, по существу, является разновидностью предыдущего, можно найти в книге Г. Тисандье „Научные развлечения“, которая теперь является библиографической редкостью.

Для постановки этого опыта берут стеклянный стакан и наполняют его до краев водою.

Сбоку сосуда ставится столбик серебряных монет. Если опускать монеты осторожно и привычною рукой, то легко заметить, что поверхность воды мало-помалу принимает выпуклый вид и, наконец, вслед за одной из опущенных монет пленка прорвется и часть воды выльется. Зная общий объем монет, опущенных в стакан, можно, в конце концов, определить выталкивающую силу, которая оказалась необходимой для прорыва пленки.

В остальном поступают так же, как и в предыдущем опыте, т. е определяют г — внутренний радиус стакана, и берут то же выражение 2ша и почти ту же формулу, как и в первом опыте, т. е.

где р — выталкивающая сила, а а - коэфициент поверхностного натяжения.

Этот опыт не столь точен, как первые два, но безусловно нагляден и даже эффектен-

НЕКОТОРЫЕ ЯВЛЕНИЯ, НАБЛЮДАЕМЫЕ ВО ВРЕМЯ КИПЕНИЯ ПОД УМЕНЬШЕННЫМ ДАВЛЕНИЕМ

А. БЕЛОГОРСКИЙ (Свердловск)

Не касаясь описания тех опытов и приборов, при помощи которых демонстрируют явление кипения под уменьшенным давлением (они общеизвестны), проследим только за самым явлением кипения.

Если поставить опыт с перевернутой вверх дном колбой, из которой продолжительным кипячением была выгнана большая часть воздуха, то после того как мы начнем постепенно лить на ее поверхность холодную воду, происходит очень энергичное кипение, причем интенсивность последнего сразу бросается в глаза любому экспериментатору. Во время подготовки к этому опыту, когда вода в колбе продолжительное время кипела на примусе или спиртовке, лопанье пузырьков идет очень медленно, и самые пузырьки бывают сравнительно невелики. Это и понятно, так как из воды выгнана большая часть воздуха, причем недостаток последнего в воде вызывает ее перегрев.

Если вода в колбе уже значительно охладилась, но мы все же продолжаем лить на нее холодную воду, то величина каждого отдельного пузырька делается все больше и больше, а число их при этом уменьшается, и, в конце концов, над водной поверхностью поднимается и лопается всего-навсего один пузырь, края которого совпадают с границей сечения колбы. После этого наступает и такой момент, когда водная поверхность поднимается наподобие волны вверх, но образование, а также и лопанье пузыря при этом уже не наблюдается.

Заметим, что паровые пузырьки образуются у пробки, которой заткнута колба, что, впрочем, понятно почему, так как к пробке прилипло некоторое количество воздуха, отдельные пузырьки которого и служат местом, где происходит испарение жидкости.

Это замечание будет очень существенным? во время демонстрации, так как оно позволит обратить внимание аудитории на ту роль, какую играет растворенный в жидкости воздух.

При проведении этого опыта невольно возникает вопрос, почему при кипении под уменьшенным давлением образуются столь большие паровые пузыри, которые при дальнейшем охлаждении жидкости получаются еще больше.

При кипении под уменьшенным давлением разрыву пузыря препятствует главным образом поверхностное натяжение. Мало того, как только вода в достаточной степени остыла, поверхностное натяжение ее увеличивается настолько, что для разрыва пузыря требуется сравнительно большее усилие, так как его

стенки в этом случае достаточно упруги и могут значительно растягиваться, не разрываясь.

Конечно, в этом случае должно быть отмечено и следующее обстоятельство, что с понижением температуры испарение идет медленнее, а это, конечно, влияет в сильной степени на процесс кипения.

Если осуществить явление кипения воды под уменьшенным давлением под колоколом воздушного насоса, причем воду для этого лучше взять прямо из-под водопроводного крана, и, не прибегая к ее нагреванию, поставить сосуд под колокол, то при достаточном вакууме вода бурно закипит и при этом образующиеся пузырьки бывают сравнительно велики. Замечено, что чем ниже температура воды, тем пузырьки при кипении делаются больше.

Образование пузырьков в последнем опыте делается настолько обильным, что они все, вместе взятые, образуют как бы мыльную пену, какую можно получить при взбивании мыльной воды.

Последний опыт еще нагляднее убеждает экспериментатора в том, что с понижением температуры у воды ее поверхностное натяжение увеличивается1). В этом, правда, можно убедиться на ряде специальных опытов, но зато преимуществом последнего является его наглядность, и на него полезно сослаться при изложении вопроса о поверхностном натяжении.

Здесь уместно будет отметить, что опыт с так называемым франклиновым кипятильником в том виде, как он обычно ставится, нельзя считать ни наглядным, ни подходящим для демонстрирования явления кипения под уменьшенным давлением.

Говорить здесь о наличии кипения можно с большой натяжкой, так как здесь сквозь жидкость прорываются отдельные пузырьки расширяющегося пара, который, нагревшись от руки экспериментатора, переходит из одного шарика в другой и производит в жидкости простое бурление. Ясно, что это бурление нельзя рассматривать как кипение под уменьшенным давлением. Если же перегнать предварительно жидкость из одного шарика в другой и, держа кипятильник не за шарик, а за трубку, которую предварительно лучше обернуть ватой, обливать холодной водой один из шариков, то в этом случае будет наблюдаться явление кипения под уменьшенным давлением.

СТРОБОСКОПИЧЕСКИЙ СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ

И. СУТЧЕВ (Москва)

Необходимые приборы; 1) монохорд, 2) лагунная и стальная струны, 3) груз, 4) стробоскоп, 5) электромотор, 6) счетчик оборотов, 7) вольтова дуга, работающая на постоянном токе, 8) ящик со щелью, 9) вогнутое зеркало, 10) двояковыпуклые линзы, 11) толстомер.

1. ВВЕДЕНИЕ

Всякое раздражение сетчатой оболочки глаза, как бы оно ни было кратковременно, не исчезает мгновенно вместе с раздражающей причиной, а продолжается далее в течение от 5/10 до 1/?0 доли секунды. Продолжительность впечатления для лучей различной длины волны неодинакова. Она — наименьшая для желтых лучей и растет как в сторону красных, так и в сторону фиолетовых. На основании того, что световое ощущение в глазу сохраняется в течение 1/20 секунды, основан кинематограф. Если в темноте быстро вращать тлеющую лучину или накаленный лредмет, то мы будем видеть непрерывный огненный круг. Кажущийся огненный круг получается потому, что каждую точку круга тлеющая лучина проходит не реже, чем через 1/20 доли секунды.

Для определения частоты колебания струны или плоской пружины мы должны иметь пульсирующий источник света, который освещал бы колеблющуюся струну или пружину всегда в одном и том же положении, т. е. чтобы частота пульсации была равна частоте колебания. Создать пульсирующий источник света можно при помощи неоновой лампы, включенной в контур электрической цепи, в которой ток прерывается равномерно. Прерыватель должен быть таким, частоту прерывания которого мы могли бы менять по желанию. Таким прерывателем может быть вращающийся диск, с равномерно расположенными по его окружности контактами.

1) Поверхностное натяжение у холодной воды оказывается достаточным для того, чтобы из нее натянуть пленку внутри проволочного каркаса площадью в 15 см*.

Еще пульсирующий источник света можно создать при помощи вращающегося диска, с равномерно расположенными по его окружности щелями, которые в известный момент будут включаться в пучок света, идущего от вольтовой дуги, заключенной в непрозрачном ящике с прорезанной в нем щелью.

Такие диски с контактами и со щелями называются стробоскопами.

Вообще же стробоскопом можно назвать всякий прибор, при помощи которого можно наблюдать быстро повторяющиеся движения в каждом данном положении, например колеблющуюся струну или пружину. Принцип стробоскопа заключается в том, что быстро движущийся предмет освещается или рассматривается в течение весьма короткого промежутка времени. Большей частью это вращающийся диск с расположенными на нем одинаковыми отверстиями, причем отверстия расположены по окружности, центр которой лежит на оси диска. Через эти отверстия и освещается или рассматривается предмет. В последнее время для стробоскопа применяют неоновые лампы, периодически зажигающиеся электрическим током.

II. ТЕОРИЯ

Стробоскопический метод дает возможность определить частоту колебаний с весьма большой точностью.

Рассматривая колебание струны как частный случай образования стоячих волн, находим простую связь между длиною L струны и длиною \k волн колебательного движения, распространяющегося вдоль струны и отражающегося от ее концов. На концах струны находятся узлы; кроме того на самой струне могут образоваться 0, 1, 2, 3, 4 и т. д. узлов. Так как расстояние между соседними узлами равно половине длины волны, то ясно, что:

L = Y^ = TX2=irX3=...=?TXÄ. (1)

Обозначим через v скорость распространения колебательных движений, через Л^Л/“.,, iV3 .. .Nk частоты колебаний тонов, которые могут получиться; тогда будем иметь:

v1=N^=N2\2 = ... = N)llk. (2)

Отсюда :

вообще получаем

“,= g...A,4-£. (3)

Для скорости распространения колебательных движений по струне, как известно из курса физики, имеется следующее выражение:

где Р—натяжение струны, р — вес одного метра струны. Вводя значение v в уравнение (3) получим:

В этой формуле Р — сила натяжения струны и р — вес единицы длины струны должны быть выражены в одних и тех же единицах:

L — в метрах и ^=9,81 4,

В абсолютной системе единиц формула (4) будет иметь следующий вид:

где N—число колебаний в одну секунду, L — длина струны в сантиметрах, Р — натяжение струны в динах, р — линейная плотность, т. е. масса единицы длины, выраженная в г\см.

Формула (4) и есть формула Тэйлора, дающая число колебаний основного тона. Уравнения (3) дают возможность вычислить число колебаний добавочных тонов. Они равны:

iV2 = 2.%; ^ = Щ ...Nk = kNv (5;

Таким образом, законы колебания струны выведены не только для основного тона, но и для добавочных тонов. Формула (4) верна в том случае, если изменение формы струны не вызывает упругих сил но это на деле не так.

Зеебек дал более строгую формулу, выражающую частоту колебаний струны:

W0=:A/(l-bÇj/^), (6)

где Л' — число колебаний, определяемое уравнением (4), Р — сила натяжения струны, /? — радиус сечения струны, Е — модуль Юнга, L — длина струны, я = 3,14.

Второй член, стоящий в скобках формулы (6), умноженный на /V, есть величина, показывающая, какое получилось бы число колебаний струны при полном отсутствии ее натяжения и было бы вызвано только влиянием упругих сил струны.

Для опытного определения частоты колебания струны обычно пользуются сонометром или монохордом (черт. 1).

Под струною в теории понимают твердое нитевидное тело, площадь поперечного сечения которого мала в сравнении с его длиною,

и которое вовсе не сопротивляется гнутию, так что изменение его формы, не меняющей его длины, не вызывает в нем никаких упругих (молекулярных) сил. Для таких струн формула (4) верна. Струна должна быть мягкой. Здесь наиболее подходит струна из латунной или серебряной проволоки. Упругие силы струны, как было указано, несколько увеличивают частоту ее колебания.

Черт. 1.

Поэтому, пользуясь формулой (4), мы будем всегда иметь некоторое отклонение действительного числа колебаний от вычисленного по формуле (4). Большее приближение к истинному числу колебаний дает нам формула (6). В данной лабораторной работе нам надлежит вычислить по формулам (4) и (6) частоту колебаний струн—латунной и стальной, натянутых на монохорд, и определить их частоту колебаний стробоскопическим способом и найти относительную ошибку. За истинную величину частоты колебания принимаем ту, которую мы получим стробоскопическим способом. Модуль Юнга взять из таблицы.

III. ПРОИЗВОДСТВО ОПЫТА

Пусть свет от вольтовой дуги (черт. 2\ работающей на постоянном токе, падает на сферическое вогнутое зеркало b и, отражаясь, идет пучком параллельных лучей (дуга должна быть помещена в фокусе сферического зеркала). На пути этого параллельного пучка ставим двояковыпуклую линзу с фокусным расстоянием fv Почти в фокусе линзы помещаем натянутую на монохорд колеблющуюся струну Sy рядом со струной в фокусе линзы L, ставим стробоскоп Л, щель которого должна находится в фокусе линзы Lt; за стробоскопом ставим линзу L2 с фокусным расстоянием /?. Линза L2 собирает выходящие из щели стробоскопа лучи и направляет их на экран В. На экране В мы будем видеть изображение струны S. На пути лучей от линзы L, к стробоскопу А мы ставим раздвижную щель Sv в которой вырезаем узкий пучок света и направляем его на струну S> колеблющуюся перед щелями вращающегося стробоскопа А ; этот пучок света, пройдя через щель стробоскопа А, освещает экран В. Если частота пульсации света равна частоте колебания струны 6“, натянутой на монохорд, то мы будем видеть проекцию этой струны на экране В только на том участке ее пути, на котором свет, освещающий колеблющуюся струну, проходит через щель стробоскопа и, конечно, падает на экран В. Колеблющуюся струну 5 будет видно на экране в том случае, если мы ее будем освещать параллельным пучком света достаточной интенсивности. Больше того, если поместим струну S по правую сторону стробоскопа А (черт. 3) и оставим источник света с левой стороны стробоскопа, то струна будет видна как в том слу-

Черт. 2.

чае, когда мы на нее будем смотреть со стороны источника света через щель вращающегося стробоскопа, так и в том случае, когда мы на нее будем смотреть, спроектировав ее с правой стороны на щель вращающегося стробоскопа, т. е., когда мы расположим стробоскоп Л, струну Sy глаз Т и источник света / так, как указано на чертеже 3.

Черт. 3.

Струна 5 будет видна в одном положении при совпадении частоты прерываний света с частотой колебаний струны, при кратном отношении числа прерываний света к числу колебаний струны и при кратном отношении числа колебаний струны к числу прерываний источника света. Если обозначим ширину щели через /j, а расстояние между щелями стробоскопа через /, то, очевидно, отношение времени ^ освещения струны к тому времени г, в течение которого струна будет находиться в темноте, будет равно отношению ширины щели /2 к расстоянию между щелями /:

(7)

Для того чтобы были видны тонкие предметы (струна, нить), отношение у должно быть не меньше, чем 1/20.

При освещении колеблющегося предмета прерывистым светом достаточной частоты прерывания — ощущения, даваемые глазом, не отличаются от того, которое создалось бы несколько ослабленным непрерывным освещением. Наименьшая частота прерываний, при которой глаз ощущает непрерывное освещение, называется критической частотой. Для каждой яркости видимости в прерывистом освещении поверхности существует своя критическая частота прерывов. Когда частота прерываний выше критической, и яркость поверхности достаточно велика, чтобы несомненно работал аппарат колбочек глаза, то ослабление ощущения подчиняется вполне строго закону Табольта, состоящего в следующем: „Видимая яркость некоторой поверхности в прерывистом освещении так относится к яркости при непрерывном ее освещении в тех же условиях, как сумма промежутков существования освещения ко всему времени наблюдения“. Наименьшая яркость поверхности, способная вызвать раздражение сетчатки глаза, называется порогом ощущений. Порог ощущений сильно зависит от величины светящейся поверхности и от расстояния глаза от этой поверхности.

Для площади в 1 кв. мм при расстоянии площади от глаза в 35 см — порог равен 0,0000979 миллифот1). Имея определенную яркость источника света, зная коэфициент отражения колеблющегося тела и зная порог ощущений для данной величины площади, мы можем заранее рассчитать то наименьшее отношение 1Л к /, при котором колеблющийся предмет будет виден отчетливо.

Опыт требует, чтобы колеблющаяся струна освещалась всегда в одном и том же положении; следовательно, струна за время tt+t должна сделать одно полное колебание. Время, в течение которого струна делает одно полное колебание, называется периодом колебаний. Обозначим величину периода через Г, тогда

T=tx + t. (8)

Если период колебаний струны будет не больше, чем *j20 секунды, и если частота пульсаций (прерываний) света, падающего на нее, будет равна частоте ее колебания, то мы будем видеть колеблющуюся струну непрерывно в одном и том же месте, т. е. зрительное впечатление за 3/20 секунды еще не исчезнет.

Начиная с большого числа оборотов стробоскопа, мы должны постепенно уменьшать число до тех пор, пока струна не будет нам казаться остановившейся в одном определенном участке своего пути. Увеличивая число оборотов стробоскопа, мы можем добиться видимости струны в двух и более участках своего пути. При „остановке“ струны только в одном положении своего пути число колебаний струны должно равняться числу прерываний пучка света. Если число оборотов стробоскопа в 1 секунду обозначим через л, а число щелей в нем—через а, го частота прерываний, а следовательно, и частота колебаний струны, будет равна

1) Mиллифот = 0,001 фота. Фотом называется поверхностная плотность светового потока в один люмен, равномерно расположенного на площади ъ \ кв. см.

Число оборотов стробоскопа определяем по счетчику; время, в течение которого производится это вращение, замечаем по часам или секундомеру. Пусть максимальное число оборотов стробоскопа в 1 секунду равно л = 20, а число щелей в нем равно а =100. Тогда частота колебаний, которую мы можем определить с помощью нашего прибора, равна N= ла = 20 X 100 = 2000 колебаний в секунду.

Освещение струны следует делать в тот момент, когда она имеет наименьшую скорость, т. е. в крайних положениях.

При частоте колебаний, равной 2000, период колебаний Г будет равняться: =

= 2Ш = 0-0005сек-

Время освещения струны будет равно t1 = T-t; но j- = -i- = 2-; Ч-я*, откуда *3 = 0,0000228 сек.

Стробоскопическим методом можно определить частоту колебаний любого тела. Колеблющееся тело, как было указано, не находится в строго определенном положении; оно проходит некоторое расстояние за время его освещения, и, следовательно, мы будем видеть колеблющееся тело на определенном участке его пути. Это обстоятельство совершенно не отразится на точности измерения частоты колебания тела.

Из формулы (7) видно, что чем меньше отношение у , тем меньше будет то пространство, на котором мы будем видеть нашу струну. Струна будет приближаться к стоячему положению, и ее видимость будет более отчетливой, менее размытой.

Колеблющийся предмет, видимый только в небольшом участке своего пути, мы будем называть остановившимся.

IV. КАРТИНА КОЛЕБЛЮЩЕЙСЯ СТРУНЫ

Пусть мы имеем колеблющуюся струну, закрепленную в точках А и В, и пусть щель а стробоскопа перемещается в направлении струны AB от Л к В. Возьмем на струне AB ряд точек, находящихся на одинаковом расстоянии друг от друга, где / равно расстоянию между соседними щелями стробоскопа. Пусть щель ал проходит путь / за время одного полного периода Т колебаний струны. Если щель ал застанет точку О струны на линии равновесия струны, идущую вверх, то точку 1 струны щель аг застанет отклоненной от линии равновесия вверх на расстоянии ;> , где А — величина амплитуды точек струны AB.

Точка 1 струны в момент, когда щель ал будет над ней, будет продолжать двигаться вверх. Точку 2 струны щель ал застанет на расстоянии > у от линии AB; точку 3 застанет на расстоянии > ^ и идущую вниз; точку 4— на линии AB и идущую вниз; точку 5 — на расстоянии > тг и идущую вниз; точку 6 — на расстоянии А2 от линии AB; точку 7 — на расстоянии >у от линии AB, идущую вверх; точку 8 щель ал застанет на линии AB, идущую вверх и т. д. Щель ол покажет отрезок / струны AB как бы в изогнутом положении, показанном на чертеже 4 жирной линией.

Следующая за щелью ал щель а2 застанет все точки этого же отрезка / струны AB в тех же положениях, в каких их застала щель д3, и мы будем видеть непрерывно колеблющуюся струну как бы в изогнутом стоячем положении. Если при той же частоте колебания струны скорость щели ал стробоскопа будет в два раза меньше первоначальной своей скорости, то на время перехода щели

Черт. 4.

Черт. 5.

из первого положения во второе положение (рис. 5) струна сделает два полных колебания.

Проводя анализ колебаний струны предыдущим методом, мы приходим к заключению, что будем видеть колеблющуюся струну в изогнутом стоячем положении, показанном на чертеже 5.

Черт. 6.

Если при том же числе колебаний струны скорость щели уменьшится в три раза, то струну мы будем видеть такой, какой ->на показана на чертеже 6.

Черт. 7.

Черт. 8.

Если скорость щели уменьшить в четыре раза, то струна будет видна такой, как показано на чертеже 7.

Если скорость щели аг уменьшить в восемь раз, то мы будем видеть струну такой, как она показана на чертеже 8 и т. д.

Если за время прохождения щелью аг пути / струна сделает -j полных колебаний, то мы ее будем видеть такой, как она показана на чертеже 9.

Если щель ал покажет отрезок / струны А В в положении (О, о,, а2, ая, 8), то щель аг покажет тот же участок струны в положении (Оц ßii ß2> ß3, 8), т. е. мы будем видеть одну петлю, уложившуюся на длине / струны AB (черт. 9).

Если за время пробега щелью а пути / струна сделает полных колебаний щель а, стробоскоп покажет отрезок / струны AB в положении (О, Л/, Мл, Л42, 8), а щель а2 покажет отрезок / струны AB в положении (О, М\ М\, Л?*, 8). На длине / укладываются 3 петли (черт. 9а).

Если за время пробега щелью а стробоскопа пути / струна AB сделает полных колебаний, то на длине / будет укладываться 5 петель (черт. 96). Щель а, покажет струну AB в положении (О, Af, Мл% М2, Ж3, М4, 8), щель а2 покажет струну AB в положении (О, М\, М\, М\, М\, 8, черт. 96).

Если за время пробега щелью стробоскопа пути /, струна сделает ~ полных колебаний, где пл — целое число, то на длине / будет видно пг петель или пг кажущихся полуволк.

Черт. 9.

При а — числе щелей в стробоскопе и при п — числе его оборотов за / секунд при наличии изображений на рисунках 9, 9а и 96

частота колебаний струны будет выражаться соответственно следующими формулами:

В самом деле, при картине, показанной на чертеже 9, за время ~ полных колебаний струны, щель а стробоскопа пробегает отрезок / струны; происходит одно освещение струны за —-полных ее колебаний, т. е. над отрезком / струны за это время пробегает одна щель стробоскопа. За одно полное колебание струны AB происходит два ее освещения, т. е. над отрезком / струны AB пробегают две щели стробскопа. За один полный оборот диска стробоскопа над отрезком / струны AB пробежит а щелей; число колебаний струны AB за время одного полного оборота диска стробоскопа будет в а раз больше, чем за время пробега одной только щелью стробоскопа отрезка / струны, т. е. число колебаний будет ~- а. Если за t секунд диск стробоскопа сделает п оборотов, то число колебаний струны за / секунд будет у an, а частота колебаний струны будет

При картине, показанной на рисунке 9а, за время, в течение которого произойдет у полных колебаний струны, над отрезком / струны AB пробегает одна щель (одно освещение отрезка /), а за полный оборот диска стробоскопа над отрезком / струны AB пробежит а щелей (а — количество освещений), a число колебаний струны за время одного оборота диска стробоскопа будет в а раз больше, чем за время пробега одной щелью отрезка t струны; т. е. будет — а колебаний, а за п оборотов диска число колебаний будет — а «я.

Если диск совершит в t секунд п оборотов, то частота колебаний струны AB будет N =

Рассуждая совершенно таким же образом, мы приходим к заключению, что при у полных колебаний струны AB за время пробега щелью стробоскопа пути / частота колебаний струны определяется формулой:

Если струна AB делает -у колебаний за время пробега щелью а пути /, где п — произвольное целое число, то частота колебаний струны AB определяется уравнением N = у • у, где а — попрежнему число щелей стробоскопа, а п — число оборотов его за время t секунд.

Если за время прохождения щелью аг пути / струна сделает 4- полных колебаний, то мы ее будем видеть в положении, указанном на чертеже 10. Щель а1 покажет струну в положении (а1У 12, а2), щель а2 покажет ее в положении (4, ($, 16), щель а3 в положении (4, у, 16), щель а4 покажет струну в том же положении, как и щель av

Если за время прохождения щелью аг пути / струна сделает -i- полных колебаний, или, иначе говоря, если щель аг пройдет путь / за -J часть периода колебания, то мы будем видеть струну стоячей, в таком виде, как это показано на чертеже 11.

Если щель ах покажет струну в положении (о, а, 16), то щель а2 покажет ее в положении (В, 8, В2), следующая за щелью а2

Черт. 9а.

Черт. 96.

щель tf3 покажет струну в положении (о, у. Yj), следующая за щелью а3 щель а4 покажет струну в положении (d, 8, ал)\ следующая за щелью аА щель аъ покажет струну в таком же положении, как и щель а*.

Если за время прохождения щелью а пути / струна AB сделает —- полных колебаний, где п— целое число, то мы будем видеть п неподвижных струн. Если п не целое число, то мы будем видеть весьма сложное изображение струны, анализом которого мы не будем заниматься.

Выводы.

Если мы видим картину, показанную на чертеже 4, то это значит, что число колебаний струны равно числу освещений каждой точки струны прерывистым светом. На пути / укладывается одна кажущаяся волна. Если мы видим картину (черт. 5), то число колебаний струны больше числа освещений каждой точки струны в два раза.

На пути / укладывается 2 кажущиеся волны. Если мы видим картину (черт. 6), то число колебаний струны больше числа освещений в три раза. На пути / укладывается 3 кажущиеся волны. Если мы видим картину (черт. 7), то число колебаний струны в четыре раза больше числа освещений. На длине / укладывается 4 кажущиеся волны.

Если мы видим картину (черт. 8), то число колебаний струны в восемь раз больше числа прерываний света. На пути / укладывается 8 кажущихся волн. Если мы будем видеть Ht длине / п волн, то это значит, что число прерываний света в п раз меньше числа колебаний струны. Разберем случаи, когда число прерываний света больше, чем число колебаний струны. Если число прерываний света в два раза больше, чем число колебаний струны, то мы видим картину (черт. 9). На длине / укладывается у кажущейся волны. Если частота прерываний света в три раза больше, чем частота колебаний струны, то мы видим картину (черт. 10). На длине / укладывается ^ кажущейся волны. Если частота прерываний в четыре раза больше частоты колебаний струны, то мы видим картину (черт. 11).

На длине / укладывается ~ кажущейся волны. Если частота прерываний источника света

Черт. 10.

Черт. 11.

будет в п раз больше частоты колебаний струны, где п — целое число, то мы будем видеть п стоячих струн, причем на длине / будет укладываться— кажущихся волн.

Если частота колебаний не совпадает с частотой освещения, то мы будем видеть струну в самых разнообразных ее положениях.

Отметим еще два для на: интересных случая.

Первый случай, когда частота колебаний струны немного меньше частоты прерываний света, тогда мы будем видеть картину, показанную на чертеже 12.

Черт. 12.

Пусть струна сделает одно полное колебание за то время, в течение которого щель ах пройдет путь /-f-0,001 /; тогда щель аг покажет струн/ в положении (о, cv du 1г); щель а2 застанет точку о струны уже в положении (Ь2), идущей снизу вверх и еще не дошедшую до положения равновесия струны AB, которого она может достигнуть за 0,001 Т, где Т—период колебаний струны. Значит, щель а2 покажет струну в положении (Ь2, с.,,dv g.

Следующая за щелью а2 щель а3 застанет точку о струны в положении b также идущей снизу вверх и еще не достигшей положения равновесия, которого она может достигнуть через 0,002 Т периода; тогда щель а3 покажет струну в положении (Ь3, с3, d3, /3).

Щель а4 покажет струну еще более подвинутой от точки А к точке В, т. е. каждая щель стробоскопа, прошедшая отрез к / струны AB, покажет кажущуюся волну, образованную отрезком струны AB, как бы передвинутую в направлении от А к В на расстояние 0,001 /.

Щель стробоскопа, как указано, за время одного периода Т колебания струны пробегает путь, равный / f-0,001 /. Значит, за тот же промежуток времени кажущаяся волна перемещается на длину 0,001 /.

Если /—10 см и Г=0,002сек., то скорость перемещения v кажущейся волны от А к В будет равна:

Эта скорость достаточна для того, чтобы заметить перемещение волны.

Частота колебания струны /v = — = q-^q2 = 500 кол\сек.

Если за Т промежуток времени щель стробоскопа проходит путь /-(-0,001/, то за 1000 Г щель стробоскопа пройдет путь, равный 1001 /; так как щели стробоскопа находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, равном /, то над отрезком / струны AB за 1000 Т пройдет 1001 щель. Следовательно, отрезок / струны AB за 1000 Г освещается 1001 раз, а струна за 1000 Г делает всего 1000 колебаний.

Значит, частота колебаний струны N = Ш7Т' или при г=0'002 сек-> N = 500 кол/сек частота освещений струны:

принимая N=Nly мы делаем ошибку, равную • 100 °/0 = ^ =

Итак, допуская ошибку в 0,1 °/0 в измерении частоты колебания струны, мы можем считать, что частота колебания струны равна частоте ее освещения даже в том случае, когда кажущаяся волна струны бежит от точки А к В со скоростью 5 cujce.c.

Второй случай —когда частота колебаний струны немного больше частоты прерывания света. Рассуждая таким же образом, мы приходим к заключению, что струна должна нам казаться бегущей от В к А.

Если мы достигаем того положения, что кажущаяся волна, образованная струной, бежит немного от А к В или от В к А, то мы можем считать, что число колебаний равно числу прерывания освещений, конечно, пренебрегая ошибкой, составляющей десятые доли процента. Проделать задачу по измерению числа оборотов стробоскопа при помощи счетчика оборотов четыре раза (допуская два раза бежать от А к В и два раза от S к 4). Взяв из найденных измерений среднюю величину, мы ошибку по определению истинного числа оборотов стробоскопа значительно уменьшим. Скорость вращения стробоскопа регулируется при помощи реостатов, включенных последовательно с электромотором в электрическую цепь. Незначительное торможение вра-

щающегося диска можно производить легким прикосновением к нему руки. Опыты показывают, что с увеличением амплитуды колебания струны ее частота колебания увеличивается.

V. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Взвесить струну с точностью до 0,01 долей грамма.

2. Натянуть струну на монохорд и осветить ее через щель стробоскопа специальным осветителем (лампой) или дневным светом от окна.

3. Измерить длину струны между двумя ее зажимами. Взять две длины: в 1 м и в 0,5 м% или иные длины по установлению руководителя.

4. Вычислить линейную плотность струны.

5. Взвесить груз, предназначенный для натяжения струны.

6. Измерить радиус сечения струны (для упругих струн).

7. Вычислить число колебаний струны по формуле :

или для упругой струны по формуле:

8. При помощи электромотора привести диск во вращательное движение. Скорость вращения электромотора, а значит и стробоскопа, регулируется при помощи реостатов, сначала многоомным (грубая регулировка), затем малоомным реостатом (более плавная регулировка) ; одновременно косточкой ударяют струну в ее середине и этим самым приводят ее в колебательное движение. Подбирают число оборотов в диске такое, чтобы струна была видна над освещенными щелями или спроектированной на экране такой, как это показано чертежах на 4 или 9а, 96 или на других, по усмотрению руководителя.

9. При помощи счетчика оборотов измеряют четыре раза скорость вращения диска. Измерение числа оборотов производится в течение 40 секунд. Зная при данной видимости струны соотношение между числом колебаний струны и числом прерывания света, мы можем вычислить частоту колебаний струны.

Примерная запись

Схема электрической цепи

— реостат многоомный, R2 — средний реостат, /?3 — реостат малоомный, А —амперметр, V —вольтметр, M —электромотор с диском, К —ключ.

Сила тока, проходящая через электромотор, и падение напряжения в нем не должны превышать пределов допустимости, указанных на моторе.

Черт. 13.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ С ПОМОЩЬЮ ПРОВОЛОЧНОЙ СЕТКИ

Н. ПЛЕШКОВ (Свердловск)

Вопросам волновой теории и волновой оптики в программах средней школы отводится значительное место; это и понятно, так как развитие волновой теории в дальнейшем обучении имеет огромное научное и методологическое значение. Чтобы учащиеся поняли, каким образом измеряются величины порядка 0,00005 см с помощью оптических явлений, осознали, что явления волновой оптики (интерференция, диффракция, поляризация) имеют огромнейшее техническое применение, — я считаю необходимой постановку в школе лабораторной работы по определению длины световой волны. Эту задачу в школьной обстановке, со слабо оборудованным физическим кабинетом, можно выполнить двумя способами.

1. Помощью колец Ньютона, что очень легко осуществить, купив в оптическом магазине очковое стекло в 0,25 диоптрии. Этот метод общеизвестен, и на нем я останавливаться не буду.

2. Помощью диффракционной решетки. Так как в рядовой школе, и даже техникумах, диффракционных решеток нет, то я хочу остановиться на диффракционном методе определения длины световой волны помощью проволочной решетки, что легко осуществить в любом физическом кабинете.

В основном этот метод описан в книге Эдсера „Оптика“.

I. ТЕОРИЯ ВОПРОСА

Пусть точки M и N представляют след двух щелей, перпендикулярных плоскости чертежа (черт. 1), Р — проволочная сетка, О — объектив зрительной трубы.

Изображения щелей M и W, как видно из построения, будут в точках Мг и Nr

Лучи, диффрагированные у элементов сетки, идущие параллельно оси трубы, пересекаются в главном фокусе объектива О. После прохождения решетки эти лучи не имеют разности фаз. Пусть из щели N падают лучи Na, Ne, Ne на соответственные точки вертикальных проволок решетки (плоскость чертежа горизонтальна).

Засекаем дуги ab, cd, принимая N за центр; их можно считать за прямые, перпендикулярные Ne и Ne. Вследствие малости элементов но сравнению с расстоянием L щели N до решетки Р, можно считать, что

(1)

Если разность хода лучей:

(2)

длине волны, то лучи, диффрагированные элементами решетки, будут в точке F усиливаться. Из чертежа видно, что /\abcn /\NKC — подобны, следовательно можно записать:

(3)

Вследствие малости угла а можем sin а заменить tga.

(4)

Так как:

ас = з величине элемента решетки, NK — -я“ ,

где / расстояние между щелями КС = L, то окончательно получаем:

(5)

II. ПРОИЗВОДСТВО ОПЫТА

На покрытой станиолем стеклянной пластинке вырезают ножом узкую щель в форме удлиненной буквы А (черт. 2). Поместив пластинку перед источником света так, чтобы поперечная черта А была горизонтальна, укрепляют на

Черт. 1.

Черт. 2.

Черт. 3.

Черт. 4.

некотором расстоянии от нее проволочную сетку, натянутую на рамку, так, чтобы одни проволочки были параллельны средней черте А, а другие — перпендикулярны ей (черт. 3).

Сфокусировав зрительную трубу „на бесконечность“ (какой-либо удаленный предмет), закрепляют ее на подставке В на расстоянии порядка 180 см от щели А.

Рассматривая щель А в трубу, увидим изображение А несколько вне фокуса и ряд диффракционных изображений этой щели, находящихся в фокальной плоскости.

Передвигая сетку Р, можно добиться положения, когда первые диффракционные изображения щели пересекутся на средней черте изображения А (черт. 4). Когда это положение достигнуто, отсчитывают L и вычисляют длину волны по формуле (5).

III. ПРАКТИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Весь прибор монтируется на оптической скамье длиной в 2 м, как показано на чертеже 3. К пластинке со щелью А укрепляются боковые лопасти для того, чтобы не мешал боковой свет, и она укрепляется на конце оптической скамьи неподвижно.

В качестве источника света можно взять горелку Бартеля или просто примус, с асбестом, пропитанным раствором поваренной соли (при определении длины волны желтой линии пламени а). Рамка с сеткой Р и труба укрепляются на ползушках. Зрительную трубу можно взять любую, например от двухтрубного спектроскопа артели „Глобус“.

Ширина элемента сетки о определяется подсчетом числа проволочек на 1—2 см.

Ширина поперечной черты щели Л (в формуле величина /) измеряется штангенциркулем.

Сетку можно, как это сделано у нас, взять из наиболее частого, имеющегося в продаже, медного сита.

Величина L измеряется миллиметровой канцелярской линейкой или по шкале, наклеенной сбоку оптической скамьи.

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ФОТОЭЛЕМЕНТ

Б. ФЛОРИНСКИЙ (г. Калинин)

Фотоэлектрические явления, сыгравшие крупную роль в развитии квантовой теории, уже давно вышли из научных лабораторий на широкую дорогу весьма разнообразного использования их в технических установках, например в известном уже широким массам звуковом кино. За последние годы интерес к ним особенно возрос со стороны физиков и техников в связи с открытием фотоэлектрического эффекта в полупроводящих слоях, ввиду тех заманчивых перспектив, которые, повидимому, обещает это открытие.

Вполне естественно поэтому, что электрические действия света нашли свое отражение и в новых программах средней школы. Этот вопрос встречается в них дважды: в I концентре курса физики VII класса в разделе „Свет“ — „Превращение лучистой энергии в другие формы энергии“ и во II концентре X класса в разделе „Электрическая проводимость в жидкостях и газах“—„Термо- и фотоионы“.

Однако школа встречала большие затруднения при попытках обставить изложение электрических действий света соответствующими демонстрациями. Эти затруднения были обусловлены: 1) отсутствием на рынке дешевых и простых фотоэлементов, 2) отсутствием в школе достаточно чувствительных гальванометров для регистрации фототоков, 3) незнакомством преподавателей с техникой управления фотоэлементами. Нам думается, что в настоящее время все эти затруднения могут быть преодолены.

В самом деле, главное затруднение устра-

нено — дешевый и чувствительный зеркальный гальванометр уже имеется на советском рынке, а предлагаемая нами конструкция фотоэлемента столь проста по выполнению и требует столь элементарной демонстрационной техники, что может быть выполнена и использована любым преподавателем физики. В тех школах, где приобретение или установка зеркального гальванометра была бы затруднительна, возможно, как мы покажем ниже, воспользоваться более грубым инструментом.

ИЗГОТОВЛЕНИЕ ФОТОЭЛЕМЕНТА

Исходными материалами являются: 1) несколько граммов сернокислой меди (CuS04); можно взять технический медный купорос, отобрав более чистые кристаллы; 2) два отрезка проволоки длиною до 20 см из чистой электролитической меди; пригодна медная проволока, употребляемая в электротехнике для обмотки машин, годится и „звонковый“ провод; 3) стеклянная пробирка; 4) пластинка длиною в 20 см из эбонита, дерева или какого-либо другого непрозрачного материала; ширину пластинки следует выбрать такую, чтобы пластинка свободно входила в пробирку и между нею и стенками оставался зазор для циркуляции жидкости.

Проволочные отрезки, тщательно очищенные тонкой стеклянной шкуркой, располагаются вдоль пластинки по различным сторонам ее и укрепляются пояском из ниток вблизи одного из концов пластинки. После этого пластинка вкладывается в пробирку концом с перевязью наружу. Пробирку наполняют водным раствором сернокислой меди, концентрацией около 5°/0 (5 г кристаллов на 95 г воды) и помещают в какой-либо штатив; воду лучше брать дестиллированную. Этим сборка элемента закончена. Дальнейшее, весьма важное— формовку активных поверхностей — следует предоставить времени: постепенно, в течение одних, двух, трех суток медные проволоки на концах, погруженных в раствор, приобретут буроватый оттенок, покрываясь пленкой красной закиси меди (Cu20) и тем самым приобретая светочувствительность. В дальнейшем, поверх закиси меди может образоваться голубоватый налет гидрата окиси меди, присутствие которого не отразится существенно на действии системы.

ДЕЙСТВИЕ ЭЛЕМЕНТА

Если осветить отформованную проволоку, то электроны закисной пленки, покрывающей медь, под действием падающих на них фотонов будут переходить через границу закись — медь и, накапливаясь в меди, сообщать ей отрицательный потенциал по отношению к окружающему раствору (так называемый тыловой фотоэффект). Поэтому, если присоединить элемент, как указано на чертеже 1, к гальванометру и подать на пробирку боковое освещение так, чтобы одна из проволок была на свету, а другая оставалась в тени, то в цепи возникнет ток по направлению от темной проволоки к освещенной, и гальванометр покажет отклонение.

Нужно отметить, что процессы, протекающие в элементе, не ограничиваются только фотоэлектрическим эффектом, но осложняются текущими химическими реакциями, термоэлектрическими явлениями и электролитическими процессами. Эта сложность обусловливает неустойчивость элемента и непостоянство его характеристик; поэтому он малопригоден для каких-либо измерительных целей и рекомендуется нами только как демонстрационный, когда это непостоянство уже несущественно.

С электротехнической точки зрения элемент представляет собою генератор тока, э.д.с. (электродвижущая сила) которого прямо-пропорциональна освещенности электрода и, приблизительно, обратно-пропорциональна корню, квадратному из концентрации электролита1). Кроме того э.д.с. является функцией возраста

Черт. 1.

1) Точнее эта зависимость выражается логарифмической функцией.

элемента: при утолщении с течением времени активного слоя она растет и в дальнейшем, по достижении максимального значения, идет на снижение. Максимума э.д.с. при комнатной температуре можно ожидать на третьи сутки формовки. Что же касается внутреннего сопротивления элемента, то оно не зависит от освещенности и возрастает при разведении раствора подобно тому, как и э.д.с.

На основании этих закономерностей можно предложить следующие практические правила употребления фотоэлемента: для получения наибольшей э.д.с. следует принять большие освещенности и сильно разведенный электролит, но так как для внешнего действия является существенной не э.д.с, а используемая мощность, имеющая, как известно, максимум при условии равенства сопротивления источника сопротивлению приемников, то итти далеко по пути разведения раствора не следует, особенно если приемники низкоомны. В обычных условиях пределом выгодного разведения является концентрация в 0,1°/0, так как сопротивление фотоэлемента в пробирке оценивается уже при концентрации 1°/0 в несколько тысяч омов.

Как уже указывалось, для регистрации тока рекомендуется применять зеркальный гальванометр; мы имеем в виду тип гальванометров, выпускаемых мастерскими Физического института ЛГУ; если сопротивление подвижней катушки некоторых моделей гальванометров ЛГУ (100 омов) несколько низко для данной цели, то это частично компенсируется их достаточно высокой чувствительностью.

Собственно говоря, для действия элемента достаточно иметь лишь одну активированную проволоку, другая может иметь чистую поверхность; но двойная конструкция имеет ряд преимуществ, например: 1) возможность выбора для опытов той проволоки, активность которой выше; 2) возможность получения двойной амплитуды колебания гальванометра при переменном освещении одной и другой сторон пробирки. Двусторонне-переменное освещение выгодно еще в том отношении, что оно позволяет в значительной мере ослабить действие упомянутых выше сопутствующих фотоэффекту явлений; в частности, таким путем ослабляется влияние термоэлектродвижущей силы, возникающей между металлом и электролитом при нагревании проволоки световым лучом. Термоэлектродвижущая сила, имеющая знак, обратный фотоэлектрической э.д.с, при неблагоприятных условиях рассеяния тепла может получить значения, близкие к фотоэлектрической э.д.с. и, тем самым, весьма ослабить силу тока.

ФОТОЭЛЕМЕНТ ДЛЯ СТРЕЛОЧНОГО ГАЛЬВАНОМЕТРА

При освещенности пробирки в 10 000 люксов (такая освещенность имеется на расстоянии 10 см от нити электрической лампы в 100 ватт) от элемента можно получать ток порядка 0,01 миллиампера при напряжении около 1 милливольта. Такой ток уже достаточен для вполне заметного действия на гальванометр со стрелкой, например типа микроамперметров завода „Электроприбор“. Однако получить всегда верные результаты со стрелочным гальванометром, пользуясь элементом в пробирке, нельзя. Значительно надежнее в этом случае применить иную конструкцию элемента, которая отличается от первой большими размерами сосуда и активной поверхности меди. Увеличение активной площади пластин точно так же, как в обычных гальванических элементах, не сопровождается увеличением э.д.с, но приводит к понижению внутреннего сопротивления элемента и, тем самым, позволяет нагружать его более сильным током.

Для сборки большой модели берут стакан или, что удобнее, сосуд прямоугольного сечения, наполненный 5-процентным раствором медного купороса, в который погружают две пластинки из чистой красной меди (или латуни, покрытой гальванически ровным и однородным слоем меди). Ориентировочный размер пластин 5ХЮсл*2; пластинки должны быть снабжены клеммами или припаянными проводниками для присоединения их к гальванометру; перед погружением в раствор необходима тщательная очистка поверхностей меди шкуркой. Можно использовать и готовый медный вольтаметр, часто встречающийся в физических кабинетах. В ширме здесь необходимости нет, так как сами пластинки при своей большой ширине выполняют функции ширмы. После формовки, проводимой так же, как описывалось выше, элемент готов и может поступить в эксплоатацию. Внутреннее сопротивление его — порядка 100 омов.

При освещении подобного элемента вольтовой дуги (ток приблизительно в 20 ампер) через конденсатор проекционного фонаря удавалось получить заметное отклонение на демонстрационном гальванометре треста „Политехоборудование“ ; однако нужно заметить, что для точных результатов значительно более подходящими являются гальванометры с большим сопротивлением подвижной катушки. В частности, прекрасные результаты получаются с демонстрационным стрелочным гальванометром с постоянным магнитом и подвижной катушкой в 100 омов. К сожалению, советские фирмы таких гальванометров еще не

выполняют, но они встречаются в физических кабинетах школ в выполнении фирмы »Гартманн и Браун“ (чаще под маркой перепродавца „Макс Коль“). С таким гальванометром мы получали отбросы на половину шкалы (1 миллиампер при 0,1 вольта) при освещении вечерним зимним солнцем и концентрации раствора в фотоэлементе 1°/0 (оптимум для цепи с внешним сопротивлением 100 омов).

ВОСПРОИЗВЕДЕНИЕ ЗВУКОВ

Кроме описанного гальванометрического метода, возможно (и это очень ценно при объяснении звукового кино) демонстрировать фототоки на слух через телефонную трубку. Для этого фотоэлемент присоединяется вместо гальванометра к радиотелефонным наушникам и освещается быстро мелькающим светом. Мелькающий свет получают, пропуская луч от проекционного фонаря (или солнца) через картонный диск с радиальными прорезами (8—16 отверстий), насаженный на ось малого мотора. В телефон будет слышен тон, соответствующий числу мельканий света в секунду (200—800 колебаний).

Наконец, можно слушать самое вольтову дугу переменного тока, не вводя на пути луча никакого прерывателя света; телефон в цепи фотоэлемента будет передавать в звуках как основные колебания света, обусловленные периодичностью питающего дугу тока, так и все случайные изменения светового потока, возникающие при не вполне спокойном горении дуги.

Следует иметь в виду, что слушание нужно производить в другой комнате, так как вблизи аппаратов чрезвычайно трудно отделить звучание телефона от шумов дуги и мотора. Для выделения звука телефона очень помогает кратковременное размыкание его цепи — контраст воспринимается ухом весьма четко. Для демонстрации звучания через репродуктор необходимо применение промежуточного усиления на катодных лампах (2 каскада низкой частоты радиоприемника).

Для обеспечения успеха нужно производить испытания вначале, пока еще не приобретен некоторый навык, при оптимальных условиях : 1) сильный источник света, 2) наиболее чувствительный гальванометр.

ВЕНТИЛЬНЫЙ ВЫПРЯМИТЕЛЬ ГРЕТЦА

МИРОШНИЧЕНКО (Ст. Изюм, Дон. дор.)

В школах, в распоряжении которых имеется переменный ток от осветительной сети, вопрос о выпрямлении тока прекрасно разрешается наличием умформера или ртутного выпрямителя, но эти приборы для нужд массовой школы еще не изготовляются, а главное — не по средствам многим школам.

Вентильный выпрямитель Гретца является удобным, недорогим и вполне безопасным. Кстати, он не боится коротких замыканий, неизбежных в лабораторной практике.

При тщательно выполненной конструкции он работает безотказно по целому году. Требуется изредка чистка контактов да замена электролита.

Благодаря довольно значительной отдаваемой мощности (minimum 200 ватт) и напряжению около 100 вольт (при 120 вольт в линии), легко поддающемуся регулировке, он допускает постановку достаточно широкой системы демонстраций и лабораторных работ.

Выпрямитель состоит из четырех элементов е электродами железо — алюминий, соединенных, как показано на чертеже 1.

К клеммам со подводится переменный ток от осветительной сети (не выше 300 вольт), от клемм -|--берется выпрямленный ток.

Обычно выпрямитель состоит из четырех стеклянных банок с электролитом и двумя электродами в каждой—алюминиевым и свинцовым (вместо свинцового можно брать угольный или железный).

Во время работы часто электролит закипает, и банки лопаются.

Черт. 1

В нашем оформлении стеклянные банки заменены железными. Эти же банки одновременно служат и железными электродами. В них наливается электролит и опускаются алюминиевые электроды. Для банок электродов можно взять большие консервные банки.

Весь выпрямитель монтируется в деревянном шкафике и подвешивается на стене около лабораторного стола.

Большое удобство для монтажа создается небольшим щитком, вмонтированным в заднюю стенку шкафа. Задняя сторона щитка представлена на чертеже 2.

К клеммам /, 2 подводится переменный ток, от клемм 3 и 4 (— и +) берется выпрямленный ток. К клеммам AI, Fe присоединяются концы электродов.

К железным электродам — консервным банкам, для присоединения к щитку необходимо припаять железные или медные полоски — проводники.

В качестве алюминиевых электродов можно взять голый алюминиевый провод, свитый втрое, вчетверо, в зависимости от сечения.

Фролов устанавливает, что для нормальной работы выпрямителя необходимо определенное соотношение между электродами, а именно: для получения тока в 1 ампер необходимо алюминиевый электрод ставить в 5 см2, а железный—в 200 см2 смоченной поверхности.

Черт. 2.

В качестве электролита можно взять раствор соды, квасцов или кислой аммонийной соли фосфорной кислоты — 40 г на литр дестиллированной воды. Хорош электролит для элементов Грене.

ИЗ ОПЫТА ШКОЛЫ

ЭЛЕМЕНТЫ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Ф. ЦИГЛЕР (Ленинград)

„Понятие фигуры, как и понятие числа, заимствовано исключительно из внешнего мира, а не возникло вовсе в голове из чистою мышления. Как и прочие науки, математика возникла из потребностей человека: из измерений земли и вместимости сосудов, из исчисления времени и механики“. Ф. Энгельс.

История математики имеет огромное значение в преподавании математики в средней школе, прежде всего, по своей образовательной ценности. История математики выясняет роль и место математики в практической деятельности людей, и наши воспитанники приучаются правильно подходить к объектам нашего математического знания. Но история математики имеет еще большее воспитательное значение. Исторический материал возбуждает любовь и интерес к предмету, стремление к научному творчеству, критическое отношение к фактам и вдумчивость. Наконец, история вопроса является ключом для понимания его логической сущности. То, что иногда кажется ни к чему, лишней подробностью, сразу приобретает логический смысл, как только выясняется его историческое развитие. Математические понятия, которые кажутся неподвижными и застывшими в настоящем, оживают в прошлом и в своей исторической динамичности становятся ближе к учащимся.

Но возникает вопрос: как построить курс истории математики? Как самостоятельный предмет, или как эпизодические сообщения исторических сведений, или так, чтобы исторические моменты проникали в систематическое изложение курса, образуя с ним как бы одно целое? Я думаю, что в преподавании математики в средней школе могут иметь место последние две из указанных трех возможностей. В настоящей статье я хотел бы показать третью возможность на конкретной теме „Площади многоугольников“. Опыт в этом плане я проводил с хорошими результатами в двух образцовых ленинградских школах.

За последние 50 лет в учебниках для средней школы, почти во всех европейских странах, принято при изложении площади многоугольников исходить из понятия площади как определенного положительного числа, соответствующего данному многоугольнику, если квадрату (или любому многоугольнику) соответствует число 1. На базе понятия площади развивают понятие о „равновеликих многоугольниках“ как производное понятие, понимая под этим многоугольники, которым соответствует одно и то же число, как площадь.

Раньше развивали понятие площади иначе, понимая под „площадью“ замкнутую часть плоскости, рассматриваемую как величину (евклидовское понимание площади). Сначала давали (выведенное из понятия равенства) понятие о равносоставленных и равновеликих многоугольниках и, уже исходя из них, выводили положительное число как показатель для равновеликих площадей при определенной единице измерения, называя, однако, этот числовой показатель также площадью.

Перехожу к конспективному изложению содержания урока, соответствующего второму (историческому) пути обоснования понятия площади.

ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

I.

До сих пор мы рассматривали многоугольники как фигуры и исследовали их геометрические свойства; теперь мы будем рассматривать многоугольники как величины и исследовать соответствие между этими величинами и числами. Мы поставим себе такой вопрос: „Соответствует ли всякому многоугольнику определенное число при выборе какого-нибудь многоугольника за единицу?“ Но прежде чем ответить на этот вопрос, посмотрим, по-

чему же человеку пришлось его вообще поставить и как он научился на него отвечать.

Человек развивает и развивал различные формы производственного труда для создания материальных благ: охота, скотоводство, земледелие, производство, кустарное или при помощи машин,— вот главные из них. Когда земледелие сделалось главным занятием, возникла потребность в измерении земельных участков.

Для сравнения земельных участков человек сначала исходил из вложенного в обработку участка труда. Нам, например, известно, что древние египтяне за 4000 лет до н. э. принимали за единицу измерения земельных участков такой участок земли, на котором требовалось высевать единицу веса зерна; древние германцы принимали за единицу измерения такой участок земли, который можно перепахать одной парой быков, начиная с восхода солнца до первой кормежки; у одних племен этот участок получил название Morgen (морген), что означает утро; у других племен — loch (иох), что означает ярмо.

Так человек связывал с каждым земельным участком такое число, которое он получал из трудового опыта; так зарождалась идея измерения.

По мере развития товарного земледелия земельные участки стали одним из основных источников богатства и поэтому за овладение новой землей велись многочисленные войны. Завоеватели награждали своих полководцев и отличившихся воинов земельными участками.

Черт. 1.

Но так как при этом в большинстве случаев раздавались девственные земли, о размерах которых из-за отсутствия трудового опыта ничего не было известно, то властители давали одному столько, сколько он мог объехать за день на коне; другому—сколько он мог обойти пешком за день и т. д. Так возник второй способ измерения земельных участков — при помощи периметра.

Еврейские летописцы, жившие в начале нашей эры, рассказывают, что один сельский староста решил обмануть римского чиновника. У этого старосты были два квадратных участка земли, сторона каждого из них равнялась ста шагам. Староста обратился к чиновнику с просьбой: „Разреши мне засеять вместо моих двух участков — один квадратный участок со стороной в 200 шагов“. Чиновник, воображая, что два квадрата, по 100 шагов в стороне, вместе составляют такую же часть плоскости, как один квадрат со стороной в 200 шагов, разрешил и был таким образом обманут (черт. 1).

Долго господствовало заблуждение, что многоугольники с равными периметрами занимают равные части плоскости. Римский землемер М. Фабиус (около 35 года н. э.) в своих книгах осуждает людей, которые думают, что земельные участки равновелики, если их периметры равны, и приводит пример : „Если сторона квадрата равна 10 футам, то периметр будет равен 40 футам, а площадь равна 100“, „Прямоугольник же, у которого длина равна 15 футам и ширина равна о футам, также имеет периметр, равный 40 футам, однако прямоугольник составляет — части квадрата“ (черт. 2).

Со временем, в процессе своей земледельческой практики, люди обнаружили ложность существующего приема измерения земельных участков. К тому же все более выяснялась потребность в точном способе измерения.

Черт. 2.

Эта потребность вызывалась у одних народов тем, что сельское хозяйство стало работать на рынок и из множества мелких раздробленных княжеств образовалось помещичье бюргерское государство, как, например, в Вавилонии, около 2500 лет до н. э. У других народов более сильные княжества завоевали более мелкие и слабые, пока не образовалась монархия с сильной центральной властью, у которой основная масса крестьян была крепостными, как, например, в Египте, около 3000 лет до н. э. И, наконец, были еще случаи, что крестьянство совместно с городским гражданским населением восставало против земельной аристократии и свергало ее власть, как, например, в Греции, около 500 лет до н. э.

Но как бы различны ни были эти социальные процессы, что касается земледелия — они приводили к сходственным хозяйственным задачам: перераспределение земельных участков, например в Греции; ирригационные сооружения и регулирование землепользования, например в Вавилонии и Египте. Вот что пишет по этому поводу греческий историк Геродот:

„Фараон Сезострис роздал египтянам по одинаковому четыреугольному участку земли, но река Нил оторвала от участка земли куски, и появилось нужда в измерении участков неправильной формы для справедливого обложения налогом“.

Как же люди решили на этот раз задачу измерения земельных участков?

Нам известно, что в Вавилонии, около 2500 лет до н э., учреждался особый штат государственных землемеров, которые снимали план местности; для того чтобы измерить величины земельных участков, они превращали многоугольники в прямоугольники, занимающие такие же части плоскости. Этот прием напрашивается как естественный, если принять во внимание, что прямоугольник - основная фигура, получаемая на поле в результате вспашки.

В самом деле, посмотрим на план (черт. 3).

По обе стороны дороги ABC проходят на расстоянии 200 м межевые дорожки El и GH. Обычно при пахоте получаются прямоугольники, как, например, П MNPQ. Прямоугольники легко сравнивать между собой; например, если прямоугольник I имеет основание AM, в два раза большее основания NB прямоугольника II, то, значит, AMQG занимает такую часть плоскости, которая в два раза больше части плоскости, занимаемой прямоугольником NBHP. Но в силу естественных границ, как, например, река, лес и т. д., могут образоваться различные многоугольники, как, например, параллелограм III, трапеция IV, треугольник V и т. д.

Вообразим себя в положении вавилонских землемеров и поставим себе задачу: найти прямоугольник, который занимает такую же часть плоскости, как параллелограм СТВА, заключенный между дорогой AB (черт. 3) и межевой дорожкой ET.

Откроем тетради, начертим две параллельные прямые AB и СТ.

Начертим в тетради параллелограм С ТВ А (черт. 4). Сравним его с прямоугольником C1PQ с тем же основанием и той же высотой. Треугольники CQA и ТРВ равны (по катету и гипотенузе). Трапеция САРТ составляет общую часть и параллелограма и прямоугольника. Если к этой трапеции приг соединим треугольник ТРВ, то получим наш параллелограм СТВА. Если к той же трапеции присоединим треугольник CQA, равный треугольнику ТРВ, то получим прямоугольник CTPQ с тем же основанием и с той же высотой.

Два многоугольника, составленные из равных фигур, мы называем равновеликими.

Итак, мы доказали теорему: параллелограм и прямоугольник, у которых основания равны и высоты равны — равновелики.

Черт. 3.

Замечание. Понятно, нужно указать учащимся, что наши предыдущие рассуждения применимы ко всякому параллелограму, почему и теорема имеет общий характер. Может случиться, что при построении прямоугольника обе его верхние вершины Р и Q будут вне параллелограма. Тогда и доказательство и определение равновеликости несколько видоизменяются. Чтобы не вводить лишние трудности, на первое время лучше избегать этого случая, для чего брать за основание большую сторону параллелограма.

II.

Мы узнали, почему человек искал методы измерения многоугольников, и остановились на приеме древних вавилонских землемеров, находивших прямоугольник, равновеликий данному многоугольнику. Мы начали сами искать решение этой задачи и нашли для параллелограма равновеликий прямоугольник.

Конечно, вавилонские землемеры не выражали свои знания, как мы, при помощи теоремы и доказательства; это сделал впервые греческий математик Евклид, живший в III в. до н. э. Он написал большой труд под названием „Начала“, где изложил все математические знания древних народов, приведя их в научную систему. О равновеликости параллелограмов он дал такую теорему:

„Предложение 35. Два параллелограмма ABCD и C.BCF, построенные на одном основании ВС и лежащие между параллельными прямыми AF и ВС, равновелики между собою.

Доказательство. Так как ВС равна AD и ЕF (черт. 5), то AD равна EF. Прибавим к обеим частям этого равенства по DE, получим, что АЕ равна DF. Но AB равна DC и ^/ DAB равзн ^/ FDC, следовательно, треугольник ABE равен треугольнику DCF;

отнимая от обоих треугольников по треугольнику DBG найдем, что трапеция ABOD равновелика трапеции EGCF. Прибавляя по треугольнику GCB, найдем, что параллелограмы ABCDwEBCF равновелики“.

Теперь будем продолжать искать для многоугольников равновеликие прямоугольники.

Участок IV на нашем плане представляет собою трапецию. Возьмем нашу тетрадь, начертим две параллельные прямые на произвольном расстоянии одну от другой и между ними построим произвольную трапецию (черт. 6). Построим в трапеции среднюю линию и обозначим концы ее буквами M и N; через точку N проведем прямую, параллельно стороне А/\ Получится параллелограм AEFT. Сравним параллелограм AEFT и трапецию ABC Т. Они равновелики, потому что, если от параллелограма AEFT отнять треугольник BEN, то получится пятиугольник А В NET; если же от трапеции АВСТ отнять треугольник NFC, равный треугольнику BEN, то получится тот же самый пятиугольник ABNFT. Для параллелограма AEFT мы уже можем построить равновеликий с ним прямоугольник; следовательно, относительно трапеции получаем теорему:

Черт. 4.

Черт. 5.

Черт. 6.

Теорема 1. Трапеция равновелика прямоугольнику, высота которого равна высоте трапеции, а основание равно средней линии трапеции

Участок V на нашем плане — треугольник. Построим произвольный треугольник ABC. Когда искали прямоугольник, равновеликий трапеции, мы исходили из средней линии трапеции и построили сначала параллелограм.

Но треугольник можно рассматривать как мастный случай трапеции, когда одно из оснований равно нулю. Попробуем и здесь исходить из средней линии. Если провести через середину стороны ВС, именно через точку N (черт. 7), параллельную прямую к стороне АС, то получим параллелограм АТЕС; если провести через точку В параллельную прямую к стороне АС и продолжить среднюю линию MN, то получится параллелограм AB FM. Каждый из полученных параллелограмов равновелик треугольнику. Докажем это для параллелограма АТЕС. Если от треугольника ABC отнять треугольник TBN, то останется трапеция ATNC; если же от параллелограма АТЕС отнять треугольник NEC, равный треугольнику TBN, то остается та же трапеции ATNC. Следовательно, параллелограм АТЕС и треугольник ABC равновелики. Так же доказывается равновеликость параллелограма A8FM с треугольником ABC. Отсюда заключаем :

Теорема 2. Треугольник равновелик параллелограму, у которого основание равно основанию треугольника и высота равна половине высоты треугольника, или же основание равно половине основания треугольника и высота равна высоте треугольника.

Решим теперь несколько задач:

1. Постройте параллелограм, если основание равно 5 см, боковая сторона равна 3 см и угол между ними равен 60^. Превратите параллелограм двумя различными способами в равновеликий прямоугольник, одна из сторон которого равна одной стороне параллелограма.

2. Постройте трапецию, если известно, что основание равно 6 см, боковая сторона 4 см, угол между ними 70° и второе основание равно 5 см. Превратите трапецию в равновеликий прямоугольник.

3. Стороны треугольника равны: 6см; 5 см; 4 см. Постройте треугольник и превратите его тремя способами в равновеликий прямоугольник, у которого основание равно одной из сторон треугольника.

Черт. 7.

III.

Черт. 8.

ря по тому, какая из сторон параллелограма служит основанием прямоугольника. Постройте параллелограм, если смежные стороны равны 6 см и 4 см и угол между ними равен 60° (черт. 8). Превратим параллелограм в равновеликий прямоугольник один раз с основанием 6 см, а другой раз —с основанием 4 см. Получим два прямоугольника: ABEF и AHGD; они равновелики. Чтобы лучше выяс.;ить свойства равновеликих прямоугольников и тем самым узнать условия, когда два прямоугольника равновелики, мы их поместим у общей вершины так, чтобы стороны одного прямоугольника составляли продолжение сторон другого. Для этого проведем две взаимно-перпендикулярные прямые (черт. 9) XX* и YY. Пусть точка пересечения этих прямых служит вершиной В для прямоугольника ABEF и вершиной D для прямоугольника AHGD. Построим оба прямоугольника у этой общей вершины. Удлиняя другие непересекающиеся стороны прямоугольников, получим точки пересечения К и I.

Черт. 9.

Мы теперь научились превращать в равновеликий прямоугольник следующие многоугольники: параллелограм, треугольник и трапецию. Но для параллелограма можно построить два различных равновеликих прямоугольника, смот-

Обратите внимание на то, как лежат точки К, В и /. Положите линейку. Эти три точки лежат на прямой. Докажем теперь теорему 3.

Теорема 3. Если из произвольной точки на диагонали прямоугольника провести параллельные к его сторонам, то два прямоугольника, которые этими параллельными прямыми отрезаются у вершин, лежащих против диагонали, — равновелики.

Доказательство. Пусть В — точка на диагонали KI прямоугольника KHIF (черт. 9). Проведем ЕЛ1 |] KF и AG || КН. Прямоугольник ABEF, который отрезается прямыми у вершины F, и прямоугольник A'HGD, который отрезается прямыми у вершины H—равновелики, потому что они пополняются равными треугольниками: /\АКВ — /\КА'0 и /\DIE-/\DICj до равных треугольников &KIF=l\KHD.

Из этой теоремы следует:

Следствие 1. Для всякого прямоугольника существует равновеликий прямоугольник с любой заданной высотой.

Чтобы превратить прямоугольник ABEF в другой прямоугольник с заданной высотой h, достаточно удлинить сторону BE на h; через полученную точку А1 провести прямую КН параллельно F-E до пересечения с продолжением FA в точке К. Прямая KB пересекает продолжение FE в точке / и прямоугольник A'HGB — искомый прямоугольник.

Следствие 2. Всякий многоугольник можно превратить в равновеликий с ним прямоугольник с любой заданной высотой h.

В самом деле, многоугольник можно диагоналями разбить на треугольники; каждый треугольник можно превратить в равновеликий прямоугольник (теорема 2); каждый прямоугольник можно превратить в другой равновеликий с произвольно заданной высотой h. Пусть основания этих прямоугольников будут av а2, а3, ах. . . . ап, если многоугольник разбит на п треугольников. Сумма всех этих прямоугольников есть прямоугольник с высотою Лис основанием а. а2 -(- д3-)-а4. . . . +ап = а.

IV.

Мы выяснили очень важную теорему и два следствия, которые позволяют любой многоугольник превращать в равновеликий прямоугольник с любой заданной высотой. Теперь мы можем сравнить любые два многоугольника между собою, превращая их предварительно в равновеликие прямоугольники с равными высотами.

Постройте четыреугольник, если три смежные стороны равны: 60 мм, 70 мм, 80 мм, и углы между ними равны 125° и 90°. Постройте также треугольник па сторонам: 75 мм, 60 мм и 90 мч (черт. 10).

Превратите каждый из этих многоугольников в равновеликий прямоугольник. Чтобы четыреугольник АВСТ превратить в равновеликий прямоугольник, достаточно провести диагональ и каждый из двух полученных треугольников превратить в прямоугольник с основанием, равным диагонали (черт. 11). Проведя построение, мы получим прямоугольник .4, равновеликий четыреугольнику М, и прямоугольник В, равновеликий треугольнику N. Теперь возьмем произвольный отрезок PQ за единицу и превратим каждый прямоугольник А и В б равновеликий прямоугольник с высотой 1. Получим два новых прямоугольника L и H (черт. 12). Основание прямоугольника L равно S; основание прямоугольника H равно Sf. Прямоугольник H будет во столько раз меньше (или больше) прямоугольника L, во сколько раз S1 меньше (или больше) 5. Прямоугольник L будет во столько раз меньше (или больше) прямоугольника A BCD с основанием 1, во сколько раз отрезок DE“ меньше (или больше) DC = 1. Если длина отрезка DC равна 1, то DE в 5 раз меньше (или больше) DE. Вот это число S определяет величину прямоугольника L и указывает, во сколько раз прямоугольник L больше квадрата ABCD, сторона которого равна 1. Число S называется площадью прямоугольника L. Чтобы это число найти, рассмотрим треугольники: Д KRS и /\KAD. Отрезок RS во столько раз больше отрезка AD, во сколько раз отрезок KR больше отрезка К А. Запишем вместо отрезка RS его длину (b -f- 1); вместо отрезка AD — его

Черт. 10.

Черт. 11.

длину 1; вместо отрезка RK его длину (a-|-.S) и вместо отрезка КА его длину д, и составим пропорции:

(b+\):\=(a + S):a.

Применяя основное свойство пропорции, получим :

S—ab.

Мы получили правило для вычисления площади прямоугольника:

Правило 1. Площадь прямоугольника со сторонами а и b равна произведению длины <его двух смежных сторон.

Черт. 12.

Если а = Ь, то получится квадрат со стороной а, и его площадь равна:

S=a*.

Из предыдущих теорем о равновеликости следует:

Правило 2. Площадь параллелограма с основанием а и высотою h равна произведению основания на высоту: S = ah.

Правило 3. Площадь трапеции равна произведению полусуммы основания трапеции на его высоту : 5 = а ~^ Ь h — mh<

Правило 4. Площадь треугольника с основанием а и высотой h равна половине произведения основания на высоту:- S=-^ah.

Если соединить вершины правильного п-угольника с центром вписанного или описанного круга, то многоугольник разобьется на п равных равнобедренных треугольников, например треугольник АВМ (черт. 13). Площадь одного такого треугольника равна ~ аг. Площадь правильного я-угольника равна о = паг=рг.

Правило 5. Площадь правильного многоугольника равна половине произведения периметра на апофему.

Черт. 13.

V.

Теперь мы нашли способ сравнивать любые два многоугольника между собой по величине той части плоскости, которую они занимают. Но больше того, мы можем теперь ответить на вопрос, который был поставлен вначале: „Всякому многоугольнику соответствует определенное положительное число (его площадь) при выборе квадрата за 1“.

Черт. 14.

Как видно, выбор квадрата за единицу измерения многоугольников объясняется тем приемом, к которому прибегали вавилонские землемеры, а эти приемы тесно связаны с практической целью, которую преследовали научные искания.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О „ЧЕТЫРЕХЗНАЧНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТАБЛИЦАХ“ БРАДИСА

С. ЧУКАНЦЕВ (Брянск)

Появление четырехзначных математических таблиц Брадиса в числе стандартных пособий для средней школы можно только приветствовать. Мастерски составленные почти во всех отношениях таблицы Брадиса осваиваются учащимися гораздо быстрее, чем пятизначные таблицы Пржевальского, и дают возможность решить за урок гораздо больше задач, чем раньше, благодаря экономии времени при вычислениях. Даже такая мелочь, как запятая на страницах 6 и 7 в графе мантисс (вместо точки — в предыдущих изданиях), не осталась неоцененной со стороны учащихся: „Она лучше, чем надпись вверху „антилогарифмы“, предостерегает нас от ошибки перепутать страницы с таблицами „мантисс логарифмов“ и лишний раз напоминает, что при отыскании антилогарифма в таблице следует обращать внимание только на цифры, стоящие после запятой, т. е. на мантиссу“, — говорит ученица IX класса, уже знакомая и с таблицами Пржевальского.

Если таблицы Пржевальского употреблялись только в VIII и IX классах при прохождении логарифмов и тригонометрии, то таблицы Брадиса вполне возможно и следует вводить в употребление еще с V класса. Но к изданию этих таблиц Учпедгиз отнесся несерьезно.

Таблицы Брадиса, имея большие преимущества по сравнению с таблицами Пржевальского, имеют в то же время и существенный недостаток.

В то время, как на одной странице таблицы „логарифмы чисел“ у Пржевальского мы имеем 31 строчку по 9 мантисс в каждой, а всего 9 X 31 =279 чисел (если не считать столбцов Р. А, а их можно не считать, так как они резко отличаются от остальной части таблиц), в таблицах Брадиса мы имеем 50 строчек по 9 мантисс и 9 поправок, всего (9 + 9) X 50 = 900 чисел, т. е. в три раза больше.

Такое изобилие чисел на одной странице само по себе затрудняет пользование таблицами, а их однообразие и густота расположения (почти без промежутков между строчками) еще больше усугубляет это затруднение.

Это можно было бы компенсировать качеством издания таблиц, но Учпедгиз сделал как раз наоборот.

Подписанные к печати почти в одно время (таблицы Брадиса — 4 апреля, а таблицы Пржевальского — 25 апреля 1933 г.) таблицы Пржевальского издаются на хорошей плотной белой бумаге и имеют яркочерную печать, а таблицы Брадиса издаются на бумаге худшего качества, чем ширпотребные „тетради для заметок“ с надписью „писать под карандаш“, и имеют бледную печать.

После 45-минутной работы с таблицами Брадиса, да еще при электрическом освещении (а третий концентр, как правило, занимается во вторую смену), учащиеся сильно утомляются. Они по очереди начинают, на втором уроке, отыскивать мантиссы и стараются не проверять второй раз найденную мантиссу — настолько устают глаза от серых цифр и почти желтой бумаги.

1. Учпедгизу следует знать, что таблицы необходимо печатать только на хорошей, гладкой, плотной белой бумаге отчетливым ярким шрифтом.

Посмотрите, как ученик логарифмирует у доски. Пальцы обеих рук шарят у него по печатному полю страницы, чтобы из имеющихся на ней девятисот однообразных чисел выбрать одно, нужное для его целей. Одной рукой с этим делом не справиться, ведь таблица имеет три входа. Когда нужное число найдено и сделана поправка на четвертую цифру, записать на доске результат еще нельзя, нет свободной руки для мела: нужно таблицы положить на стол или закрыть, чтобы взять их в одну руку. Нужное число, таким образом, не может быть списано непосредственно с таблицы, оно заносится на доску (да и в тетрадь тоже) по памяти.

Наконец, возьмите в школьной библиотеке

десяток таблиц, бывших в употреблении, и вы увидите массу отметок, сделанных карандашом учащимся во время работы, для того, чтобы нужное ему число выделить из девятисот таких же чисел. Пометок на странице за год работы поставлено больше, чем в таблицах Пржевальского за несколько лет работы. И это несмотря на то, что каждый ученик понимает, что книга — социалистическая собственность и никаких помарок в ней делать нельзя. Эти подчеркивания — немые свидетели того, насколько трудно ученику отличить выделенную им цифру из числа остальных подобных. Все это вместе взятое говорит о том, что для облегчения работы по таблицам недостаточно одного улучшения качества бумаги,

2. Следует расширить печатное поле страницы на \112 — 2 см в длину и ширину, доведя наружный формат книги до размера 2-го издания тех же таблиц, изданных Гизом, чтобы иметь большие промежутки между остальными строчками и столбцами.

3. Снять горизонтальные указательные линии, так как они очень однообразят и затемняют и без того сплошь темное поле страницы; вместо этого сделать пустые строчки через каждые пять строк, как это мы имеем в таблицах Пржевальского и Перельмана.

4. С этой же целью не следует помещать некоторые дополнительные таблицы ниже основных, а лучше их вынести на отдельную страницу (например логарифмы для вычисления сложных процентов), а освободившееся место использовать для увеличения промежутков между строками и для обеспечения шестых строк через каждые пять заполненных.

5. К основным таблицам отпечатать закладки, облегчающие отыскивание нужных значений искомой величины и их выделение от прочих значений. Закладка должна представлять из себя полоску плотного тонкого белого картона в 2—3 см шириною и длиной, равной ширине страницы. На ней должна быть отпечатана первая, „заглавная“ строчка той таблицы, для которой эта закладка предназначена.

Таких закладок должно быть три. Первая закладка для таблиц I и II.

Черт. 1.

Вторая закладка дтя таблиц VIII, IX, XII и XV.

Черт. 2.

Эти две таблицы необходимы для обслуживания шести наиболее употребительных таблиц.

Третья закладка для таблицы III „Квадраты и квадратные корни“.

Черт. 3.

Эта закладка важна потому, что она будет обслуживать таблицу, которая раньше других вводится в употребление и с которой ученик встретится раньше, чем с другими.

Закладки для других таблиц преподавателю следует рекомендовать делать самим учащимся по мере введения для более или менее частого употребления той или иной таблицы.

Большую ясность и удобство для глаза и удержания нужных значений от смешения с другими, аналогичными числами в таблицах Пржевальского по сравнению с таблицами Брадиса, следует еще отнести к более удобному для таблиц шрифту, которым напечатаны таблицы Пржевальского. Этот шрифт несколько круглее и имеет большую разницу между отдельными цифрами (например между цифрами 3, 8 и 9). Цифры же таблиц Брадиса все имеют одинаковый размер и создают какое-то однообразие всех табличных чисел.

6. Целесообразно было бы таблицы Брадиса печатать таким же шрифтом, каким печатаются таблицы Пржевальского.

Над некоторыми улучшениями таблиц следовало бы поработать и их автору.

Таблицы VIII, IX, XII и XV (синусов и тангенсов и их логарифмов) имеют по три столбца поправок, т. е. поправки на 1, 2 и 3 минуты. Таблицы „логарифмы синусов“ и

„логарифмы тангенсов“ Перельмана (Я. И. Перельман, „Таблицы и правила для вычислений“. Учпедгиз, 1931 г., стр. 71, ц. 40 коп.), выгодно отличаются от таблиц Брадиса тем, что имеют пять столбцов поправок, т. е. поправки на 1, 2, 3, 4 и 5 минут Это дает возможность учащимся всегда прибавлять поправки для функций синуса и тангенса и их логарифмов, а для функций косинуса и котангенса всегда отнимать.

7. Автору следовало бы добавить еще два столбца поправок для таблиц VIII, IX, XII и XV, чтобы сделать их еще более удобными, особенно для применения таблиц в VIII классе.

Мы хотим поставить здесь на обсуждение широкого круга преподавателей математики и автора таблиц следующий, весьма важный вопрос: это вопрос о таблицах 111, IV, V, VI и XVI. Эти таблицы предназначены для вычисления степеней, корней, длины окружности и площади круга по диаметру и значения дроби вида —.

В IX классе все эти вычисления отдельно не встречаются. А имеющие место в совокупности с другими вычислениями (например при определении численного значения формулы объема какого-либо тела вращения из отдела применения тригонометрии к стереометрии) удобнее и быстрее выполняются с помощью логарифмических таблиц. ВVIII классе частично применяются только таблицы длины окружностей и площадей круга.

На кого же, в таком случае, рассчитаны эти таблицы?

Более широкое применение эти таблицы могут иметь в V, VI и VII классах. Но тут мы позволим себе поставить следующий вопрос: как часто они употребляются в V, VI и VII классах? По нашим наблюдениям, они не употребляются ни в V, ни в VI классах и очень редко применяются в VII классе.

Чем объяснить, что таблицы не имеют своего применения в V и VI классах?

Не объясняется ли это тем, что преподаватель считает непосильным дать ученику V класса таблицу, имеющую три входа (например для определения длины окружности).

Да и в самом деле, для каждого ли ученика и для всякого ли V класса эта задача достаточно проста?

Гораздо удобнее было бы дать в руки ученику V класса таблицы Перельмана—„Степени, корни, обратные величины, окружности и площади кругов“ (см. Я. И. Перельман, „Таблицы и правила для вычислений“. Учпедгиз, 1931 г., ц. 40 коп., стр. 38—57).

В них разыскивание соответствующих значений для ученика V класса не представляет никакого затруднения.

Точные пяти-, шести- и даже девятизначные числа (точные кубы трехзначных чисел) таблиц Перельмана представляют благодарный материал для попутных упражнений в округлении чисел, когда в V классе приходится иметь дело с неточными данными.

Такая таблица точных квадратов двузначных и трехзначных чисел нужна также и в VII и в VIII классах при решении квадратных уравнений и уравнений высших ступеней.

Из всего сказанного сам собою напрашивается вывод:

8. Иметь таблицы степеней, корней, обратных величин, окружностей и площадей кругов, составленные по образцу таблиц Перельмана, в стабильном пособии для средней школы было бы очень желательно.

Против замены таблиц III, IV, V, VI и XVI Брадиса одной общей таблицей „Степеней, корней, обратных величин, окружностей и площадей кругов“ Перельмана могут быть выставлены только следующие два возражения.

Первое: таблицы Перельмана, имея значения степеней, корней, обратных величин, окружностей и площадей кругов для всех чисел, включая только трехзначные, занимают 20 страниц, в то время как те же таблицы у Брадиса занимают всего 13 страниц и дают соответствующие значения для чисел, включая и все четырехзначные числа.

Но для ответа на первую часть этого возражения предоставим слово самому т. Брадису: „Точность в четыре значащих цифры в большинстве случаев является даже слишком большой и результаты округляются до трех значащих цифр“, —говорит он в статье „Математические таблицы в школе“ в журнале № 3 „Физика, химия, математика, техника в трудовой школе“ за 1929 г. на странице 55.

А следовательно, и четырехзначные данные можно округлять до трех значащих цифр, — добавим мы. Что же касается таблицы квадратов и квадратных корней, которые могут иметь широкое применение при решении квадратных уравнений и уравнений высших степеней в VII и VIII классах, то здесь именно нужны точные квадраты двузначных и редко — трехзначных чисел, так как коэфициенты уравнений мы имеем двузначные и редко — трехзначные. Четырехзначных же коэфициентов мы не имеем в задачнике.

Что касается увеличения таблиц на 7 страниц, и, следовательно, повышения цены книги на 10—15 коп. то нам кажется, что для более широкой применяемо-

сти таблицы на это пойти вполне возможно.

Второе возражение: „.. . в школьном сборнике особенно важно возможно большее единообразие в расположении таблиц, чем устраняется путаница при переходе от одной таблицы к другой“ (Брадис, „Математические таблицы в школе“ в том же журнале, стр. 56).

Заменяя вышеуказанные таблицы Брадиса соответствующей таблицей типа Перельмана, мы действительно нарушаем это требование.

Но против „единообразия“ таблиц от V класса до X класса возражают некоторые педагогические принципы, например: „От более простого к более сложному“, или „Не более одной трудности за раз“.

Сначала ученика (в V и VI классах) нужно научить пользоваться таблицами и приучить к таблицам, т. е. выработать у него потребность в пользовании таблицей при производстве определенных вычислений. Для выполнения этой первой и очень важной задачи таблицы степеней, корней и т. д. Перельмана и являются как раз наиболее подходящими.

Только после удовлетворительного разрешения первой задачи следует переходить ко второй задаче, именно: к пользованию таблицами, имеющими более широкое применение, но зато и более трудными для пользования— к таблицам типа Брадиса, имеющим три входа.

Может быть, при разрешении этого вопроса следует стать на компромиссную точку зрения: ввести в стабильное пособие для средней школы таблицу „Степеней, корней, обратных величин, окружностей и площадей кругов“ Перельмана, оставив в то же время таблицы „Квадраты и квадратные корни“, „Кубы и кубические корни“, „Длина окружности диаметра d“, „Площадь круга диаметра d“ и „Значение дробей вида — от я = 1,00 до п = 9,99“ Брадиса. Увеличение цены таблицы, в связи с этим, с 70 коп. (в переплете) до 90 коп. или до рубля вряд ли может считаться серьезным возражением. Но это уже дело не только автора. Над этим следует подумать и Учебно-педагогическому издательству, издающему стабильные пособия, и Наркомпросу РСФСР, утверждающему эти пособия.

И последний вопрос. В таблицах Пржевальского на странице 60 имеются „некоторые постоянные числа с их логарифмами“. В нашей практике приходилось наблюдать, когда учащиеся на странице 4 таблиц Брадиса делали надписи: „тг = 3,1416; lgтг = 0,4972“.

9. Таблицу некоторых постоянных величин и их логарифмов следует иметь и в таблицах Брадиса, являющихся лучшими таблицами для средней школы.

БРАКОДЕЛЫ ЗА РАБОТОЙ1)

А. БЕЛОГОРСКИЙ (Свердловск)

Уже не раз отмечалось в печати, что качество наших физических приборов оставляет желать лучшего.

Причин этого печального факта много, и мы сейчас отметим некоторые из них, которые никак нельзя считать уважительными. Возьмем хотя бы конусоидальный кондуктор, опыты с которым никак не удаются из-за того, что излишняя торопливость при его производстве помешала закруглить начало его вогнутой части, и потому электрические заряды при опыте стекают, главным образом, не с острия, а вдоль всего сечения вогнутой поверхности. Еще в 1932 г. эти приборы выполнялись, можно сказать, хорошо, а теперь они никуда не годятся и их можно демонстрировать только как модель.

Совсем недавно на базу Свердловского отделения Госкультснаба поступили барометры-анероиды, изготовленные Ростовским-на-Дону учебно-производственным комбинатом, причем приемная комиссия нашла их никуда негодными ввиду того, что они, во-первых, сделаны грубо, а во-вторых, у них проржавели почти все части. Можно только подивиться той смелости, какую проявило это предприятие при посылке барометров в таком виде. Ведь можно сказать с уверенностью, что они упаковывались проржавленными, так

1) Придавая огромное значение повышению качества приборов, редакция надеется, что Наркомпрос расследует указанные в статье т. Белогорского конкретные факты и примет меры к установлению строгого постоянного контроля за качеством продукции физических приборов. Редакция просит преподавателей физики присылать сообщения о качестве и недостатках получаемых новых приборов.

как за короткий промежуток в пути следования они так сильно проржаветь не могли.

В июне с. г. на нашу базу поступили с Днепропетровского завода им. Скрыпника в небольшом, правда, количестве Магдебургские тарелки, опыты с которыми ни в какой степени не удаются, так как они весьма плохо притерты, а краны выполнены совсем грубо Что помешало совершить работу шлифовки в таком именно виде, как это делалось совсем недавно?

Порой просто разводишь руками во время приемки приборов. Так, за последнее время начался, можно сказать, массовый передел измерителей тока (электромагнитные амперметры и вольтметры и миллиамперметры 60— — 0—60 системы Депре-Д'Арсонваля), у которых при вырезывании значительной части шкалы исчезает № прибора, фабричная марка, все значки, которые служат для распознавания системы прибора, и пломба, а главное — при этой переделке устраняется возможность непосредственного пользования корректором измерителя. Для установки стрелки на нуль нужно вооружиться отверткой и после долгой возни вскрыть крышку измерителя и только после этого заняться корректированием.

Результат такого ненормального положения дела — большая потеря времени, напрасное утомление внимания учащихся, риск растерять маленькие винты и быстрое изнашивание последних.

Зачем допущен такой передел хороших приборов?

Если это делается только для демонстрирования его действия, то, по-нашему, этого можно достигнуть при наличии делюкстрационных электроизмерителей системы Зета и Депред'Арсонваля, которые все равно необходимо иметь в физическом кабинете.

Такой передел, скажем больше —такую порчу приборов нужно воспретить.

Недавно в Свердловское отделение Госкультснаба поступили полусекундные маятники (Станкостроительный завод № 1 в Днепропетровске), оказавшиеся совершенно никуда негодными. Несмотря на ряд усилий опыты с маятниками не удались, так как все части их, начиная с храпового колеса, не были пригнаны.

В данном случае можно с уверенностью констатировать сознательную посылку никуда негодного товара.

За последнее время поступают вольтметры Гофмана с удивительно маленькими платиновыми электродами, которые, конечно, не рассчитаны на емкость данного прибора.

Мало того, в прошлом вольтметры изготовлялись таким образом, что электроды после недолгого действия прибора отваливались из-за того, что припой электродов был оловянный.

Этот дефект не устранен и сейчас.

Некоторые приборы, как, например, школьный трехдекадный реостат на 1110 си, нужно снять с производства по трем причинам: он дорог (250 руб. по каталогу); его можно с успехом для дела заменить магазином сопротивления (стоимость 48 руб.) и, кроме того, он имеет существенный недостаток, который заключается в частом отсутствии контакта между отдельными сопротивлениями и ручкой реостата.

Некоторые приборы, после того как они были выпущены в большом количестве, из-за некомплектности с производства сейчас снимаются.

К числу их относится, между прочим, школьный зеркальный гальванометр.

У нас под руками по этому поводу имеется интересный документ, подписанный товароведом сектора учебных пособий Госкультснаба, который прислан Свердловскому отделению в ответ на его предложение прекратить высылку названных гальванометров, так как они имеются в изобилии, а зеркальные гальванометры, изготовляемые Физическим институтом Ленинградского государственного университета, высылать только с осветительным прибором.

Товаровед пишет, что они принимают все меры к отгрузке зеркальных гальванометров только с осветительными приборами, но, к сожалению, отгрузка таковых производится Физическим институтом весьма слабо.

Невольно вспоминаются слова т. Сталина, сказанные им на XVII партсъезде: „Они мобилизовались, поставили вопрос ребром, у них и перелом и сдвиги, а дело не двигается с места“.

Отметим здесь, что за последнее время начала сильно хромать упаковка товара, и масса приборов, особенно стеклянных, приходят не только испорченными или расколотыми, а порой просто разбитыми вдребезги. Видимо, упаковщики наших предприятий просто разучились паковать товар.

Всем этим безобразиям нужно положить конец, так как они наносят делу снабжения наших школ наглядными пособиями непоправимый вред.

КНИГИ ПО АСТРОНОМИИ

Центральный совет Союза воинствующих безбожников СССР. Г. А. Гурев, „Наука о вселенной и религии“. Космологические очерки. Гос. антирелигиозное издательство, М., 1934 г., стр. 330, цена в пер. 4 руб.

Отошли в прошлое мрачные времена, когда католическая церковь запрещала распространение учения Коперника, принудила Галилея к отречению, сожгла на костре Бруно и т. д. Но борьба церкви с материалистическим естествознанием не только не прекратилась, а наоборот, в самые последние годы усилилась в связи со всеобщим кризисом в странах капитала. Изменились только формы этой борьбы: о ш стали гораздо утонченнее. Основная установка буржуазной науки Запада — „доказать“, что наука и религия будто бы не противоречат друг другу, что современная физика и астрономия якобы приводят нас к отказу от материалистического понимания природы, будто бы устанавливают господство „духа“ над материей, рисуя нам вселенную, „скорее как гигантскую мысль, а не как огромную машину“ (говоря словами Джинса, одного из виднейших ученых-идеалистов Запада). Интереснейшие открытия современной науки — теория относительности, единство вещества и энергии, теория внутриатомных процессов, волновая механика, устанавливающая диалектическое единство таких противоположностей, как движение частицы и распространение волны, строение звездных недр, движения спиральных туманностей и т. д, — все это используется буржуазной мыслью для „опровержения“ материализма, для поддержания идеалистической философии, а значит, в конечном счете, для поддержания религии, этого мощного орудия эксплоатации трудящихся масс. Так возникает теория „конечного расширяющегося пространства (аббат Леметр), принцип „беспричинности“ элементарных явлений (Гейзенберг и др.), „опровержение“ закона сохранения энергии (Бор), пресловутое „уничтожение“ материи в звездных недрах (Эддингтон), воскресает и усердно защищается теория неизбежной будто бы „тепловой смерти“ вселенной и пр. и т. п.

Вскрыть методологическую ошибочность всех этих якобы „научных“ концепций, показать классовые корни таких „теорий“ и обнаружить, что объективное рассмотрение тех же фактов на базе диалектического материализма приводит нас не к „опровержению“ материализма, а именно к подтверждению его, — такова, несомненно, одна из важнейших наших задач на идеологическом фронте. Этой насущно важной, глубоко интересной теме и посвящается рецензируемая книга нашего видного антирелигиозника, т. Г. А. Гурева.

Книга представляет собой ряд очерков, связанных внутренним единством, но удобных и для чтения вразбивку. Первые очерки выясняют классовую роль религии, классовый характер естествознания, роль гипотез в науке и дают характеристики главнейших философских воззрений на природу. В дальнейших главах разобрана связь геоцентрического мировоззрения с христианством, борьба церкви с учением Коперника и поповщина в астрономии (главным образом в космогонии). Затем следуют очерки: „Конечно ли пространство вселенной?“, „Поиски начала всех начал“, „Творится ли материя или энергия?“, „Был ли первый толчок?“, „Возможен ли конец вселенной?“ Все эти вопросы в большинстве популярных или полупопулярных книг по астрономии и физики обычно почти не затрагиваются, а между тем правильная постановка именно этих вопросов особенно важна для выработки научного, диалектико-материалистического мировозрения. Следующие два очерка—„Поход против материи“, „Существуют ли неизменные вещи“ затрагивают преимущественно темы физические (атом, электрон, волновая механика), а последний очерк разбирает причины кризиса современного естествознания и указывает важность непрестанной борьбы за чистоту марксистско-ленинской теории и необходимость переработки естествознания на основе марксистско-ленинской методологии, следуя директивам ЦК ВКП(б).

Уже простои перечень глав книги т. Гурева показывает, что она должна представить высокий интерес для педагога, студента и лектора-массовика. Всякий, кому доводилось излагать современные взгляды на строение и развитие вселенной или атома перед аудиторией школьников, студентов, рабочих или колхозников, — знает, что вопросы о „начале и конце“ мира, о „первом толчке“, о „творении“ и т.д. — особенно часто задаются преподавателю и лектору. Поэтому знакомство с правильной постановкой этих вопросов совершенно необходимо для каждого, излагающего вопросы естествознания.

Изложение автора очень живое, подчас увлекательное, но в то же время везде достаточно серьезное и убедительное, без впадения в „вульгаризацию“ и шарж. Масса исторических эпизодов и цитат очень оживляет книгу, будучи всегда к месту. В общем, автор вполне достиг поставленной им цели — дать материал „для разоблачения классовой роли религиозных идей и для пропаганды диалектико-материалистических идей воинствующего атеизма“.

Кое-где в книге есть неточности и прямые ошибки. Например, никоим образом нельзя утверждать категорически, что „история всякой звезда такова: красный гигант... белая звезда... красный карлик, темное тело“ (стр. 93). Исследования самых последних лет показали, что вопрос много сложнее, чем думали еще недавно, и эволюционный путь звезды — в сущности, совершенно неясен. Совершенно неверно, что, в конце концов, звезда, „подобно Земле, превратится в темное тело, покрытое твердой холодной корой“ (стр. 98). Скорее можно думать, что конечным состоянием звезды будет так называемый „белый карлик“, в котором свойства вещества в корне отличаются от привычных нам свойств. Неверно, будто возгорание новых звезд объясняется увеличением объема звезды (стр. 99); наоборот, здесь почти несомненно имеет место „спадание“, сжатие звезды (так называемый коллапс). Нельзя считать внегалактические туманности (овальные, веретенообразные и др.) газовыми (стр. 100): все они имеют звездный спектр, что противоречит теории Джинса. На странице 101 Г. А. Гурев повторяет сшибку Канта, полагая, что вращение газовой туманности может возникнуть под влиянием внутренних „течений“. Механика не допускает этого туманность должна была вращаться уже при своем возникновении. Далее, туманность становится неустойчивой не из-за „притяжения окружающих ее мировых тел“ (стр. 101), а из-за центробежной силы. На странице 197 говорится о расстояниях, которые „удвоятся в 7 раз“; следует: „увеличатся в 27 раз“. Не вполне удовлетворительно изложены автором возражения

против „тепловой смерти“ вселенной (стр. 265); подлинные соображения Больцмана о вселенной в целом не представляются убедительными, ибо концепция Больцмана сама по себе совершенно невероятна (это хорошо разъяснено в статье Бронштейна в „Успехах астрономических наук“, сборник II, 1933 г.). Третье начало термодинамики (принцип недостижимости абсолютного нуля Нернста) вовсе не является „поправкой ко второму закону“ (стр. 261), а представляет самостоятельный принцип.

Но перечисленные дефекты отнюдь не лишают ценности книгу Г. А. Гурева, которую можно, таким образом, настоятельно рекомендовать вниманию педагогов, студентов и всех, интересующихся общими проблемами современного естествознания и теми путями, на которых диалектический материализм опровергает идеалистические течения, связанные с кризисом буржуазной науки.

„Курс астрофизики и звездной астрономии“. Часть первая. Под ред. Б. П. Герасимовича, директора Пулковской обсерватории. ГТТИ 1934 г., стр. 342, рис. 78, цена в пер. 5 р. 20 к.

Астрофизика и звездная астрономия — вот наиболее бурно развивающиеся и, вероятно, наиболее привлекательные области астрономии. Но книг по этим отделам, дающих достаточно серьезное, неэлементарное изложение основных принципов и главнейших результатов, — на русском языке нет. Исключение составляют лишь „Астрофотометрия“ Г. А. Тихова и „Астроспектроскопия“ покойного А. А. Белопольского, входившие в серию „Курс астрофизики“, оставшуюся, к сожалению, незаконченной. Поэтому нельзя не приветствовать выход в свет „Курса“, составленного группой видных пулковских астрономов.

Рассматриваемая первая часть курса посвящена исключительно методам астрофизики и астрофотографии. В первой части мы имеем введение, дающее некоторые сведения из современной теоретической физики (законы излучения, механика атома, теория спектров и пр.) и главнейшие данные о рефракторах и рефлекторах. Дальнейшие главы посвящены основам фотографической астрономии (т. е. определению положений небесных тел по измерениям фотографии), астрономической спектроскопии (включая классификацию звездных спектров), астрофотометрии (изменение яркости светил визуально, по фотографиям и с электрическими фотометрами), спектрофотометрии (измерение распределения энергии в спектрах), и, наконец, методам исследования Солнца.

Курс написан очень сжато и содержит все существенное. Имена составителей — видных пулковских специалистов — гарантируют высокую авторитетность и новизну данных. Правда, кое-где встречаются некоторые погрешности; например; на странице 209 утверждается, что люкс есть освещенность на расстоянии 1 м от свечи Гефнера, в действительности же — от международной стандартной свечи. Неправильна русская транскрипция некоторых иностранных имен, например, напечатано Радау вместо Радо (Radau) и т. д.

Для педагога курс в целом будет несомненно слишком специален и труден. Но по отдельным вопросам — например об устройстве рефракторов и рефлекторов, об устройстве спектрографа, о классификации звездных спектров, об измерении солнечного излучения, об исследовании солнечного спектра — соответствующие параграфы книги можно рекомендовать вниманию преподавателя не только астрономии, но и физики.

Вторая часть курса будет содержать результаты астрофизических исследований — физику Солнца, планет и звезд, а также звездную астрономию. Она, несомненно, явится очень полезным пособием для преподавателя, доставив ему обширный, критически проверенный и самый свежий фактический материал. Н. Л.

КНИГИ ПО МАТЕМАТИКЕ

А. Философия математики

1. „Марксизм и естествознание“. Сборник статей, Партиздат 1933 г., цена в пер. 2 р. 50 к.

Главное место в сборнике занимают математические рукописи К. Маркса, ранее опубликованные в журнале „Под знаменем марксизма“ № 1 за 1933 г. Затем следует ряд статей о значении марксизма для отдельных областей естествознания: биологии, химии, физики. К математике и физике относятся статьи: С. Яновской — „Математика и марксизм“, В. Молодшего — „Энгельс о происхождении и факторах развития математики“, С. Семковского -„Физика и химия как науки в свете марксизма“.

2. Лазарь Карно, „Размышления о метафизике исчисления бесконечно-малых“. ГТТИ 1933 г., цена б р. 50 к. Ред. и вступительная статья А. П.Юшкевича. Очерк жизни Л. Карно М. Э. Подгорного

Книга Л. Карно, крупного математика и деятеля эпохи Великой французской революции, может быть интересна преподавателю математики с двух точек зрения. Во-первых, она интересна сама по себе как образец обоснования диференциального и интегрального исчислений, который был принят многими математиками в конце XVIII и начале XIX столетия. Во-вторых,,преподаватель найдет в этой книге изложение методов обоснования анализа бесконечно-малых у Ньютона, Лейбница и др., которые К. Маркс подверг в своих математических рукописях критике.

3. Журнал „Фронт науки и техники“ № 5—6 за 1934 г., цена 3 руб.

В этом номере помещен ряд статей, посвященных выяснению содержания руководящих идей современной математики. Все статьи написаны нашими крупными математиками, и притом написаны популярно. Отметим следующие статьи: проф. А. Колмогоров а—„Современная математика“, проф. П. Александров а —„О новых течениях математической мысли, возникших в связи с теорией множеств“, проф. А. Куроша—„Современные алгебраические воззрения“, проф. Голубева —„Математика и техника“, проф. С. Яновской—„Идеализм и математика“, проф. В. Гливенко—„Кризис основ математики на современном этапе его развития“.

Б История математики

1.-Г. Цейтен, „История математики в древности и средние века“. ГТТИ 1932 г., цена 8 р. 25 к., перевод с франц. А. Юшкевича, с предисловием М. Выгодского.

2. Г. Цейтен, «История математики в XVI и XVII вв.“, ГТТИ 1933 г., цена 7 р. 50 к., перевод с нем. П. Новикова. Обработка, примечания и предисловие М. Выгодского.

Обе книги Г. Цейтена представляют пока лучшее из всего того, что было напечатано по истории математики на русском языке. Обладая исключительной эрудицией, Цейтен в обеих книгах приводит огромный фактический материал. Но в противоположность многим авторам (Кэджори например), приводимый Цейтеном фактический материал не служит самоцелью; он должен служить иллюстрацией картины развития математики. Эта картина развития математики, которую мастерски рисует Цейтен, отличается, как справедливо отмечает т. М. Выгодский, весьма материалистическими тонами. Следует отметить, что с этой стороны обработка М. Выгодского улучшила вторую книгу Цейтена.

3. Г. Вилейтнер „Как рождалась современная математика“, перевод с нем. А. А. Мочульского, под ред. А. Я. Хинчина, изд. 2-е, ГТТИ 1933 г.

Небольшая популярная книжечка, которая может служить введением в изучение истории математики.

В. Математика

Ниже приводятся названия книг, по преимуществу вышедших в свет в 1934 г.

1. Артин. .Введение в теорию гамма-функций“, перевод с нем., ГТТИ 1934 г., 25 стр.

2. Бор, .Почти-периодические функции“, перевод с нем., ГТТИ 1934 г.

3. Виттекер Э. Г. и Ватсон Г. Н., „Курс современного анализа“, перевод с англ. ГТТИ 1933 г.

4. 1-я. „Основные операции анализа". Ч. 2-я. „Трансцендентные функции“.

4. Гончаров, „Теория интерполирования приближенных непрерывных функций“. ГТТИ 1934 г.

5. Гюнтер, „Интегрирование диференциальных уравнений первого порядка в частных производных“. ГТТИ 1934 г.

6. Гурса Э., „Курс математического анализа“, перевод с франц. ГТТИ, т. I, ч. 1-я.

„Производные и диференциалы. Определенные интегралы“. 1933 г.

T. I, ч. 2-я.—„Разложение в ряды. Геометрические приложения“. 1933 г.

T. II, ч. 1-я.—„Теория аналитических функций“, 1933 г.

T. II, ч. 2-я.—„Диференциальные уравнения“, 1933 г.

7. Клейн Ф., „Элементарная математика с точки зрения высшей“, перевод с нем., под ред. В. Ф. Кагана, изд. 2-е, доп. по 3-му нем. изд., т. I. „Арифметика. Алгебра. Анализ“. ГТТИ 1934 г.

В этой книге читатель найдет изложение лекций, читанных Ф. Клейном в 1907—1908 гг. для будущих учителей средних учебных заведений Германии. В этой книге Ф. Клейн делится с читателем опытом своей многолетней научно-педагогической работы: он приводит в связь целый ряд вопросов, знакомых каждому со школьной скамьи, с вопросами, составляющими предмет тонких специальных исследований.

8. Лебег, „Лекции по интегрированию“, пер. с франц. Н. К. Бари. ГТТИ, 1934 г.

9. Глаголев Н. „Курс, номографии“ ГТТИ 1934 г.

10. Чеботарев Н. Г., „Основы теории» Галуа“, ч. 1-я. ГТТИ 1934 г.

11. Ван-дер-Варден, „Современная алгебра“, пер. с нем. Л. Окунева. ГТТИ 1934 г.

12. Бернштейн С. Н., „Теория вероятностей“, изд. 2-е, перераб. ГТТИ 1934 г.

Г. Методика математики

В ближайшее время Учпедгиз выпускает следующие пособия по методике математики:

1. В. Снигирев и Я. Чекмарев, .Методика арифметики для начальной школ ы“.

2. Д. Волковский, „Методика арифметики для начальной школы“.

3. Е. Березанская, „Методика арифметики для V и VI классов“.

4. Бронштейн, .Методика алгебры“.

5. И. Чистяков, „Методика алгебры“.

6. Ю. Гурвиц и Р. Гангнус, „Геометрия“. Методическое пособие.

В. М.

ДИАПОЗИТИВНЫЕ ФИЛЬМЫ В ПОМОЩЬ ПРЕПОДАВАТЕЛЮ ФИЗИКИ

СОЛЕВ (Москва)

Вопрос об иллюстировании стабильных учебников получает свое удачное разрешение путем проведения интересного начинания, предпринимаемого в довольно значительном масштабе со стороны фабрики диапозитивных фильм „Союзтехфильма“.

Эта фабрика выпускает, вообще говоря, серии диапозитивов на кинопленке (диапозитивные фильмы) по всем вопросам текущего социалистического строительства и учебы, выполняя заказы Госкультснаба (выпуск диафильм применительно к старым школьным программам за прошлые годы), а также РККА, Осоавиахима, НКПС, Наркомтяжпрома и ряда общественных организаций: Автодора, Общества воинствующих безбожников, ВОКС и др. В течение года выпускается в среднем 300 названий, не считая большого количества пер изданий тех диафильм, которые были изданы раньше.

Каждая диафильма дает в среднем около ста кадриков-иллюстраций, что в переводе на школьный язык означает количество, достаточное для проведения нескольких диауроков.

Показываться диафильмы могут на любом кинематографическом или диапозитивном проекторе лампового типа (без вольтовой дуги), т. е. на всех кинопередвижках, имеющихся на местах в количестве до 20 тыс.; на всех пленочных диапроекторах разных типов, которых насчитывается на местах, по данным Госкультснаба, до

7 тыс. штук — и, наконец, при помощи небольшой самодельной приставки для держания пленочного диапозитивчика в фокусе перед объективом— также на любом „стеклянном“ „волшебном фонаре“, которые также находятся на местах в количестве нескольких тысяч. Ко всему этому, по данным Госкультснаба, в 1935 г. прибавится 25 тыс. проекционных фонарей универсального типа, которые намечены к выпуску Наркомпросом с тем, чтобы на них можно было показывать как стеклянные диапозитивы любого размера, так и пленочные (а равно допускать ведение микропроекции).

Таким образом, налицо все данные, чтобы диапозитивные фильмы могли оказать свою помощь средней школе почти в любом пункте Советского союза. Большому количеству диаточек соответствуют и сравнительно большие тиражи диафильм (до 2 тыс. экземпляров, как это было например с „безбожной“ серией).

Сейчас фабрика диапозитивных фильм приступила к выпуску диафильм специально по курсу средней школы, применительно к программам стабильных учебников, как бы в виде иллюстраций к ним — иллюстраций, которые было бы слишком дорого давать на страницах каждого учебника, но которые вполне доступны для показa одновременно целым классам и аудиториям.

Стоимость одного кадрика равняется в среднем 10 копейкам, стоимость же целой диафильмы (соответственно) 10 руб. при длине в сто кадриков плюс 10°/о торговых накидок Госкультснаба. При дальнейшем увеличении тиражей (лимитируемых наличием пленки) и доведением их до книжных — цены могут стать даже ниже.

Диафильмы по физике занимают в плане учебных диафильм видное место. Всего предположено выпустить 10 названий диафильм по физике: Плавание тел. Гидравлический пресс. Водяные двигатели. Центробежные силы в природе и технике. Тепловые двигатели. Паровое и водяное отопление. Электрический звонок, телеграф, телефон. Электромотор. Динамомашина. 8 из них уже находятся в работе. Все эти диафильмы будут выпущены в продажу еще в течение текущего учебного года.

Фильмы по физике — сравнительно небольшого размера, не больше 50 кадри ков, с соответственным понижением цены. Выписывать их можно через культпочту Госкультснаба — Москва 9, улица Горького 26, откуда можно получить и подробный каталог всех других диафильм.

Отзывы и пожелания по вопросам выпуска диапродукции просьба адресовать; Москва 59, Потылиха 54, фабрика диапозитивных фильм Союзтехфильма, методисту Солеву, т. 1—86—64.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 1 СБОРНИКА „МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ“

1. Найти двузначное число, зная, что сумма от сложения его с числом, написанным теми же цифрами, но в обратном порядке, есть точный квадрат.

Решить такой же вопрос относительно трехзначного числа.

a) Пусть искомое число содержит х десятков и у единиц; тогда, по условию задачи имеем

(\0х+у) + (\0у + x)=N*

или

\\(х+у) = №.

Так как 11—простое число, то (х +у) должно быть кратным 11 и иметь вид:

х+у = Ilm*,

а так как хну числа однозначные, то х+у^\8 и 11ш2^18,

откуда m = 1 и л* + j; = 11. Полагая х = 2, 3 ... 9 и находя соответствующие значения для у, найдем, что искомые двузначные числа будут

29, 33, 47, 56, 65, 74, 83 и 92.

b) Пусть искомое трехзначное число содержит X сотен, у десятков и z единиц, т. е. имеет вид

100* + \0у + г\

тогда, по условию задачи имеем:

(100* + lOy + 2) + (100* -f lOy + X) = m

или

101 (л: + z) +- 2Qy =s /V».

Здесь число № должно быть более 200 и менее 20и0; x+z^\8 и y<S£9. Имея в виду, что квадрат всякого чиста может оканчиваться только на цифры 1, 4, 5, 6 и 0, мы рассмотрим следующие отдельные случаи:

I. х + z = I. Тогда имеем: 101 4- 20_у = 7V2; здесь квадраты получаются при_у = Г, 12; 22; беря у=\ч имеем N*=121. Отсюда при jc = 1, z =0 имеем число 110.

II. Пусть *-f-2 = 4. Тогда получим

404 + 20у = N'i]

здесь квадраты получаются при у = 4;19;беря у = 4, получим №= 484 или W* = 22*. Отсюда при je = 1, z = 3 имеем число 143; jc==2, 2 = 2 . . 242; лг=3, 2=1 . . 341; лг = 4, 2 = 0 . , 440.

III. При д:4-2 = 5 найдем 505-4-2Qy = №; в этом случае задаче удовлетворяет у = 6; именно: получим N2 = 625. Отсюда имеем при:

При лг-т-2 = 6 целых значений для у не получается.

IV. При х + г = 9 имеем: 909 + 20_у = Л/-\ Подобно предыдущему, находим, что точней квадрат получится при J/ —9; именно:

№ = 1089 = 33». Отсюда получим при:

х=\у 2=8 число 198 х=6, 2 = 3 число 693

*=2, 2=7 . 2Э7 х=7, 2Г =2 . 792

лг=3, 2=6 , 396 х = 8, 2=1 „ 891

лг=4, 2=5 „ 495 jç=9, 2=0 „ 990 *=5, 2=4 . £94

Предположения лг + 2^10 не дают для у ни одного подходящего значения. Поэтому данной задаче удовлетворяют следующие 19 чисел: 110, 143, 164, J9S, 242, 263, 295, 341, 362, 396, 440, 461, 495, 560, 594, 693, 792, Ь91, 900.

А. Агамалов, Д Цельмер, X. Каганов (Москва) Я. Сапунов (Владимир), И. Сафонов (Ярославль), П. Кобылин (Галич), Капров (Умань), Ю. Галацкий (Кременчуг), Г. Г. 3. (Ялта), Я. А. Шор (Тула), N. Милковский (Новозыбков), Воротынский (Минск), И. Чернис (Умань), В. Куханович (Саратов), В. Антропов (Ковров), С. Тарарин ^Тамбов).

2. Доказать, что число вида -(- 3 может быть представлено в виде суммы трех квадратов.

Для доказательства представим выражение a*-f-3 в таком виде:

а* + 3 = (а* — 1 )* + (а +1)« + (а — 1 )2.

А. Агамалов, Д. Цельмер (Москва\ П. Сапунов (Владимир), Капров (Умань), П. Кобылин (Галич), N. Сафонов (Ярославль), В. Антропов (Ковров), В. Куханович (Саратов), N. Милковский (Новозыбков), Я- Шор (Тула), Г. Г. 3. (Ялта), Ю. Галацкий (Кременчуг), А. Левшук (Черемхово), В. Скрылев (Харьков).

3. Решить уравнение:

л-2 — V- л-

1-й способ. Положим а — х -у2; тогда .v2 — _у = а (1). Исключая из двух последних уравнений а, получим

А“- — у = у- -f- ДГ,

или т. е.

следовательно, у = х — 1 и у — х. Подставляя эти значения в уравнение (1), получим два уравнения:

X* — х+ 1 — а^О и х* + х — а = 0. решая которые, соответственно получим:

Проверка показывает, что данному уравнению удовлетворяют только два корня:

другие два корня являются посторонними.

2-й способ. Освободив данное уравнение от радикала, получим:

(\-* — а)2 = а —X,

или

л* — 2ах* -{-x + aî — a — 0.

Полагая д:* — 2ах* + х + а* — а = (*2 + /ur-f-<7) + f fll)

для определения коэфициентов р, /?», будем иметь 4 уравнения:

/, + pi = 0; /7/;! 4- q -f ?i = — 2a] pq* + piq~ 1 и qqi — rt2 _ д,

Из первых трех найдем:

после чего четвертое уравнение дает:

или, после упрощений:

рь — 4ар* + Aap* — 1 = 0.

Последнее уравнение удовлетворяется при /7=1. Приняв р=\, получим

— 1; q = — a\ qi^-Л—а,

к отсюда имеем разложение:

л- —2ах±х + а* — а = (х* +х—а) (х* — х +1 — а).

Таким образом, задача приводится к решению двух квадратных уравнений:

Х* + х-аг=0; х* — х+\—а~0,

которые дают те же решения, которые мы получили первым способом.

А. Агамалов, Д. Цельмер (Москва), П. Сапунов (Владимир), В. Антропов (Ковров), П. Кобылин (Галич), В. Кунахович (Саратов), Воротын-

ский (Минск4, Капров (Умань), С. Эпштейн (Днепропетровск), Н. Агарков (Новочеркасск).

4. Показать, что уравнение:

ал* + (ab 4- 1)*з + adx* + bx + d = 0,

может быть решено в радикалах второй и третьей степени.

Левую часть данного уравнения можно разложить на множители следующим образом:

ах* + (ab + 1) X* + adx* + bx + d = (д*« -f- je3) + (abx* + bx) + adx* + d = л* (ax* + 1) + + bx (ax* + l) + d (ax* + (ax* +1 ) (x* + bx + d).

Таким образом, решение данного уравнения приводится к решению двух уравнений:

ах* f 1 = 0; лгз + Ьх +• d = 0,

из которых первое решается в квадратных, а второе — в кубических радикалах, что и требовалось показать.

А. Агамалов» Д. Цельмер (Москва), П. Сапунов (Владимир), И. Сафонов (Ярославль),, Я. Гришин (Осташков), Капров (Умань), /7. Милов (Люблино4, А. Левшук (Черемхово), Г. Г. 3. (Ялта), В. Кунахович (Саратова, П. Кобылин (Галич), В. Антропов (Ковров), В. Скрылев (Харьков).

5. Показать, что уравнение:

х\ +у\ = \0z + 9,

не имеет решений в целых числах.

Правая часть данного уравнения при всяком 2^0 представляет собою нечетное число, оканчивающееся цифрой 9, таковой должна быть и левая часть. Но при и при у ^ 2 левая часть будет представлять собою четное число; следовательно, никакими числами, большими или равными 2, уравнение удовлетворено быть не может. Остается рассмотреть случай, когда х=1 или у=\.

Пусть *=1, тогда левая часть уравнения при v, равном соответственно 1,2, 3, 4, выразится числами: 2, 3, 7, 25, а при у^.Ь представит целое число, оканчивающееся единицею, следовательно, действительно, никакие два факториала не дают в сумме числа, оканчивающегося цифрой 9, и, значит^ данное уравнение в целых числах решено быть не может.

А. Агамалов, Д. Цельмер (Москва), П. Сапунов (Владимир), И. Кастровицкий (Красногвардейск), Капров (Умань), Н. Сафонов (Ярославль). Г. Г. 3. (Ялта), В. Кунахович (Саратов), Я. Кобылин (Галич), В. Антропов (Ковров).

6. Доказать, что прямая, соединяющая вершину прямого угла в прямоугольном треугольнике с центром квадрата, внешне построенного на гипотенузе, делит прямой угол пополам.

Если на гипотенузе ВС прямоугольного треугольника ABC построим квадрат и центр его О соединим с В и С, то получим четыреугольник ABDC, в котором противоположные углы А и D прямые.

Поэтому точки А, В, С и D лежат на одном круге и вписанные углы BAD и CAD, опирающиеся на равные хорды BD и CD, равны между собою.

А. Агамалов, Д. Цельмер (Москва), С. Тарарин (Тамбов), И. Миловский (Новозыбков), Б. Добронравов (Ульяновск), Я- Шор (Тула), П. Сапунов (Владимир), В. Кунахович (Саратов), В. Антропов (Ковров), П. Кобылин (Галич), Г. Г. 3. (Ялта), Я. Гришин (Осташков), П. Милов ^Люблино), И. Кастровицкий (Красногвардейск), Воротынский (Минск), И. Агарков (Новочеркасск), В. Скрылев (Харьков).

7. Вычислить длину прямой AD, проведенной из вершины А треугольника ABC до точки D на основании так, что круги, вписанные в треугольники ABD и ACD, равны (черт. 1).

Черт. 1.

Обозначим площадь треугольника BAD через Su треугольника CAD через S* а периметры их же, соответственно, через 2р{ и 2ръ тогда будем, по условиям, иметь отношения:

но, с другой стороны, так как данные треугольники имеют общую высоту, то

Отсюда

определяя из этого равенства AD, получим

Если длину линии AD требуется вычислить по трем сторонам я, Ь, с данного треугольника, то это можно сделать так. Положим

AD = x\ CD=y\ DB = z\ тогда у + z = а.

Если обозначим через г и г* радиусы кругов, вписанных в треугольники ACD и ABD, то будем иметь:

Откуда, так как г = г* и треугольники имеют общую высоту, получаем пропорцию:

Составив производную пропорцию, находим:

и отсюда

Выражая теперь квадраты сторон из тех же двух треугольников, получаем два уравнения:

и, исключив cos £ ADC, приходим к уравнению

или, так как у -f- z = a, ах* + ayz— №z— t*y= 0. Подставляя сюда вместо у и z их выражения через х% получим уравнение четвертой степени:

или, после упрощения:

Очевидно, два корня этого уравнения таковы: х{ =— Ь\ х2 = — с (непригодные для решения задач как отрицательные). Поэтому, разделив левую часть уравнения на (х + Ь) (х + с), придем к квадратному уравнению:

4л* + я* — Ь* - 2Ьс— с*~ 0,

из которого получим:

Таким образом, задача имеет единственное решение:

или:

Я. Сапунов (Владимир), В. Кунахович (Саратов), П. Кобылин (Галич), Г. Г. 3. (Ялта), С. Тарарин (Тамбов), В. Антропов (Ковров), //. Агарков (Новочеркасск).

8. Зная, что в треугольнике ABC угол В = ЗА, найти выражение стороны с через а и Ь.

Если из средины стороны AB восстановим к ней перпендикуляр до пересечения в точке D со стороною АСУ то будем иметь: / CDB — 2A, а так как 2 ABC == ЗА той / CBD = 2А. Значит, CD и СВ = а я AD = b — а. Из равнобедренного треугольника ADB находим:--= 2 cos А а из данного Д ABC имеем:

и для определения с получаем уравнение:

откуда

и, после упрощений:

А. Агамалов (Москва), С. Тарарин (Тамбов), Б. Добронравов (Ульяновск), В. Антропов (Ковров), П. Кобылин (Галич), П. Сащ нов (Владимир), Л Г. 3. (Ялта), В Кунакович (Саратов), А. Левшук (Черемхово), Капров (Умань), Н. Сафонов (Ярославль), Воротынский (Минск), N. Агарков (Новочеркасск), В. Скрылев (Харьков).

9. Доказать, что если в прямоугольном треугольнике один угол равен 75°, то квадрат гипотенузы равен учетверенному произведению катетов.

Пусть имеем прямоугольный треугольник ABC с острым углом 5=15°; на продолжении катета АС откладываем CD = АС и точку D соединим с В. Тогда ABDC = /\ABC и £ABD = 30°. Проведя в полученном треугольнике из вершины А высоту АКу видим, что АК = ~2~~~2 ' площадь треугольника ABD = ~- BD»AK= т. Но площадь того же треугольника ABD = AD-BC, или площадь ABD = = ab у откуда:

2-е решение. Из данного треугольника имеем: а = с sin 15°, b = с. cos 15°; перемножая, имеем:

ö& = £*sin 15° cos 15°;

следовательно:

2ab = с* sin 30°; 2ab == ~

и

А. Агамалов (Москва), П. Сапунов (Владимир), Г. Г. 3. (Ялта), В. Кунахович (Саратов), П. Кобылин (Галич), В. Антропов (Ковров), Б. Добронравов (Ульяновск), Сш Тарарин (Тамбов), N. Мильковский (Новозыбков), И. Гришин (Осташков), A. Левшук (Черемхово), N. Сафонов (Ярославль), Воротынский (Минск), N. Агарков (Новочеркасск), B. Скрылев (Харьков).

10. Дан треугольник ABC. Сторона ВС продолжена и в образовавшиеся внешние углы треугольника вписаны окружности, радиусы которых равны радиусу окружности, вписанной в треугольнике ABC. К этим окружностям из вершины А проведены две касательные, образующие с прямою ВС треугольник АВ{С{. По сторонам треугольника ABC вычислить площадь треугольника АВ{С{.

Пусть г будет радиус окружности, вписанной в треугольник АБСу и пусть касательная из А к окружности радиуса г, вписанной в угол 180° С, пересекает продолжение ВС в точке В\ пусть далее M н I будут центр окружности, вписанной в угол 180°—С, и точка касания этой окружности со стороною АС. Обозначим стороны СВ{ и АВ{ треугольника АВ{С соответственно через х и у. Из прямоугольного треугольника СШ имеем:

откуда

(1)

Далее из треугольника А В\С имеем:

у* = х*+ b* + 2bx cos Су

или:

у2 — х% = № -f- 2bx cos С. (2)

Деля почленно равенство (2) на (1), найдем:

(3)

Из условий (1) и (3) для X после некоторых преобразований найдем:

Заменяя в этой формуле г, tg у и sin -j их известными выражениями через стороны а, Ь, с треугольника ABC, получим:

(4)

Равным образом, если касательная из Л к окружности радиуса г, вписанной в угол 180° — В% пересекает продолжение стороны ВС треугольника в точке С{у то, обозначая ВС{ через xit будем иметь:

(5)

Из уравнений (4), (5) выводим:

Площади треугольников Sl = ABiCl и S = ABC. относятся как основания В{С\ HBC = at а потому

Последнее равенство может быть написано в виде:

В. Кунахович (Саратов), И. Милковский (Новозыбков), Я. Кобылин (Галич), Копров (Умань), Л. Сапунов (Владимир), Г. Г. 3. (Ялта).

11. Из центра двух данных концентрических окружностей проводят неподвижную и подвижную полупрямые; точки пересечения их с окружностями соединяют прямыми. Найти геометрическое место точек пересечения этих прямых.

Черт. 2.

Пусть из общего центра О двух концентрических окружностей (черт. 2), описанных радиусами R и г, проведены две полупрямые: одна — неподвижная, пересекающая внутреннюю окружность в точке А, а внешнюю — в точке В, и подвижная, пересекающая внутреннюю окружность в точке M, а внешнюю—в Jv, причем прямые AN и В Ni пересекаются в точке Р. Проведем через Р прямые: РР} || ОМ, пересекающую OA в точке Pi и РР2 II OA, пересекающую ОМ в точке Р2. Очевидно, что треугольники ОМВ и О AN, имеющие общий угол при центре О и по две равных стороны (R и г) равны, откуда легко вывести, что РР = РР. Но из подобия треугольников ОМВ и РРВ следует, что

отсюда:

при всяком положении подвижной прямой. Следовательно, искомое геометрическое место точек есть окружность с центром в точке и радиусом Rr

Л. Сапунов (Владимир), Г. Г. 3. (Ялта), Капров (Умань), В. Кунахович (Саратов).

12. Данный отрезок разделить на две части так, чтобы сумма объемов: шара, построенного на первом отрезке как на диаметре, и конуса, диаметр основания которого и высота равны половине другого отрезка, была бы наименьшею.

Пусть длина данного отрезка а, а длина первой части X, тогда длина второй части а — х. Объем шара, построенного на первой части, равен -g- , а конуса, построенного на второй,—^— ^а - - j .

Обозначая сумму объемов обоих тел через у, имеем:

Беря производную функции у, получим:

приравнивая ее нулю и решая полученное уравнение, найдем:

Первое из этих значений и соответствует наименьшей сумме объемов взятых тел, в чем убеждаемся, подставляя х—-^ во вторую производную данной функции; действительно:

что при .

Итак, данную прямую надо разделить на три части и построить на первой трети, как на диаметре, шар, а на остальной части — конус с высотою, равной ~. Наименьшая сумма их объемов будет:

А. Агамалов (Москва) Я. Сапунов (Владимир), Н. Сафонов (Ярославль), Б. Кобылин (Галич), В. Кунахович (Саратов), Г. Г. 3. (Ялта), А. Левшук (Черемхово), И. Кастровицкий (Красногвардейск), В. Антропов (Ковров), Б. Добронравов (Ульяновск),

13. Из внешней точки А проведены к окружности две касательные AB и АС и середины их D и Е соединены прямою DE; доказать, что эта прямая не может пересечься с окружностью.

Если проведем через точку А диаметр АО, пересекающий прямую DE в точке F, хорду ВС в точке G и окружность в точках M и N (причем M лежит между А и G), то, как известно, точки А, M, G, N образуют гармоническую группу точек. Поэтому -щ? = > и так как AN > ON, то AM > MG и отсюда следует, что точка F, являющаяся срединой отрезка АО, лежит вне круга, и расстояние прямой DE от центра больше радиуса МО.

Теорема может быть доказана и способом доказательства от противного.

А. Агамалов (Москва), В. Антропов (Ковров), Б. Добронравов (Ульяновск), И. Кастровицкий (Красногвардейск), П. Сапунов (Владимир), Г. Г. 3. (Ялта), Я. Кобылин (Галич), А. Левшук (Черемхово), В. Кунахович (Саратов). И. Гришин (Осташков), Капров (Умань).

14. Решить уравнение

Представим левую часть уравнения в виде суммы синусов:

после чего уравнение принимает вид:

или:

или, наконец,

Отсюда получаются следующие решения:

Д. Цельмер, А. Агамалов (Москва), Я. Кобылин (Галич), Н. Сафонов (Ярославль), В. Кунахович (Саратов), А. Левшук (Черемхово), Г. Г. 3. (Ялта), Я. Сапунов (Владимир), В. Добронравов (Ульяновск), В. Антропов (“Ковров), Я. Сапунов (Владимир).

15. Показать, что

Из данного равенства имеем:

или : иначе: т. е.

т. е. доказываемое тождество справедливо. А. Агамалов, Д. Цельмер (Москва), /7. Сапунов (Владимир), Капров (Умань), В. Антропов (Ковров), С. Тарарин (Тамбов), В. Добронравов (Ульяновск), П. Кобылин (Галич), М. Милковский (Новозыбков), Г. Г. 3. (Ялта), Н. Сафонов (Ярославль), А. Кунахович (Минск).

ЗАДАЧИ

1. Найти два рациональных числа, сумма квадратов которых равнялась бы сумме их кубов.

2. Показать, что числа вида 32я+2 1-8л — 9 и 32Д+3 -j-40/г — 27 делятся на 64.

3. Решить в целых числах уравнение

Qx±2=y(y+l).

Я, Сапунов (Владимир),

4. Решить уравнение:

X* + 108*2 _ 972 — 2080 = 0#

5. Из вершины острого угла В прямоугольного треугольника ABC проведены две прямые, пересекающие катет АС в точках M и N так, что

Z А= ~ ВМС = у Z BNC.

Вычислить стороны данного треугольника, если АМ = р и MN = q.

Я. Милов (Люблино).

6. По данной касательной внешней части секущей, имеющей с касательной общую точку, и расстоянию внутренней части секущей от центра построить окружность.

Я. Сапунов (Владимир).

7. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, а плоский угол при вершине равен углу между ребром и плоскостью основания пирамиды. Найти радиус вписанного в пирамиду шара.

8. Правильный дедекаэдр пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился правильный шестиугольник.

Г. Боев (Иваново-Вознесенск).

9. Вычислить стороны треугольника, зная, что они составляют арифметическую прогрессию, разность которой равна г, где г есть радиус вписанного в треугольник круга.

10. Через основание И высоты АН треугольника ABC провести две прямые до пересечения с боковыми сторонами треугольника в точках D и Е так, чтобы площадь треугольника HDE была наибольшая.

11. Решить треугольник по основанию, произведению двух боковых сторон и разности углов при основании.

12. Решить уравнение

13. Стороны треугольника выражаются числами:

2Х +1, Л2 - 1 И д2 4-;с+1;

найти угол, лежащий против последней стороны.

14. Решить уравнение:

cos3 X + cos (А — л:) cos (В — х) cos (С — х) = О,

где А Д С углы треугольника. Частный случай:

А = 30°, Л = 60°, С = 90.

15. Доказать, что число, написанное теми же цифрами, как и данное, но в обратном порядке, не может равняться половине данного числа.

16. Найти трехзначное число, равное сумме факториалов его цифр.

А. В. (Москва).

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

(Были предложены для подготовки к III туру математической олимпиады ЛГУ).

1. Доказать, что если

2. Показать, что если

3. Упростить

4. Каковы должны быть р и q для того, чтобы корни уравнения а2 + рх + q = 0 были также Р и q.

5. Решить систему уравнений

6. Решить систему:

7. Показать, что

8. Доказать равенство:

9. Доказать, что при х > 0, у > 0, z > 0

10. Можно ли разрезать разносторонний треугольник на два равных треугольника?

11. По сторонам д, Ъ, с, d трапеции определить ее площадь.

12. Найти точку, сумма расстояний которой от вершин данного четырехугольника — наименьшая.

13. Построить круг, касательный к двум данным концентрическим кругам и к данной прямой.

14. Построить прямую, равноудаленную от трех данных точек.

15. Вписать квадрат в данный сектор так, чтобы одна сторона стягивала часть дуги.

16. Вписать в данный круг треугольник, подобный данному.

17. В пространстве дана плоскость Р и две точки А и В, не лежащие в плоскости Р. Найти, где надо взять на плоскости Р точку С, чтобы ломаная АСВ была кратчайшей.

18. Показать, что плоскости, проходящие через ребра трехгранного угла и через биссектрисы его противоположных граней, все три пересекаются по одной прямой.

19. Показать, что правильный тетраэдр можно пересечь плоскостью так, чтобы получился квадрат.

20. Найти объем правильного октаэдра с ребром я.

21. Решить уравнение:

2 sin X — 9 cos X = 7.

22. Решить систему уравнений;

х+у = * sin X + *iny = a.

23. Решить систему уравнений:

х+у = а tgX'tgysssa.

24. Решить уравнение:

sin X + sin 2а + sin За = 1 + cos х + cos 2а.

25. Решить уравнение:

arctg (i + а) + arctg (1 — л) = ~ .

26. Решить уравнение:

Редакционная коллегия: И. К. Андронов, А. Н. Барсуков, Е. С. Березанская, А. Н. Зильберман, А. Г. Калашников, В. Н. Молодший, П. И. Попов, Н. П. Суворов, И. И. Чистяков.

Отв. ред. А. Н. Барсуков, отв. секр. В. Н. Молодший

Тех. редактор Г. Смирнов

Адрес редакции: Москва, Петровка, 5 Учпедгиз, редакция Математики

Сдано в производство 11/1Х 1934 г. Подписано к печати 25/X1 1934 г.

Учгиз № 6345. Объем 9 п. л.

в 1 п. л. 72.00Э зн. Бумага 72X105.

Зак. 4102

Тираж 15 300

Уполномоченный Главлита té Б-40 811

1-я Образцовая типография Огиза РСФСР треста .Полиграфкнига“. Москва, Валовая, 28.