УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ СБОРНИК

2

1934

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

МАТЕМАТИКА и ФИЗИКА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ СБОРНИК

№ 2

1934

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

СОДЕРЖАНИЕ

Научный и научно-популярный отдел

Проф. И. Чистяков — О новейших исследованиях в области древнейшей истории математики (продолжение)........................... 3

Проф. Л. Креер — Алгебраические уравнения................ б

Проф. М. Гребенча — Число е и его значение в естествознании и технике . . 15

П. Яковлев — Обобщение теоремы Пифагора.................. 29

Асс. И. Турбович — Элементарные частицы.................. 30

Научн. сотр. В. Пульвер — Космические лучи................. 42

Научн. сотр. Е. Островский — Ультразвуки и их применения........ 56

Г. Гурев — Конечно ли пространство вселенной?............... 61

Общая методика

Г. Стальков — Домашние задания по математике............... 70

П. Ларичев — Годовой производственный план работы по математике в средней школе...................... ............ 77

Проф. П. Попов — Работа по астрономии в школе в осенне-зимний семестр. . . 82

Частная методика

B. Петров — Деление на дробь........................ 87

Д. Воронов — Самостоятельное составление учащимися арифметических задач. 91

Проф. Е. Березанская — Алгебраические дроби с одночленными знаменателями. (VI класс)................................... 94

М. Берг — Учение о мнимых числах в средней школе............. 98

Г. Фалеев — Первые занятия по физике (V класс)............... 104

C. Иванов — Как давать классификацию и характеристику движений в VI классе 113

Г. Фалеев — Проработка законов Ньютона в VI классе............. 117

А. Лебедев — Молекулярная физика газов................... 127

A. Лебедев — Молекулярная физика жидкостей............. . 131

Научн. сотр. Е. Островский — Постоянные магниты, материал для них и способы их намагничивания...................... ...... 134

И. Пташинский — Ознакомление с природой электрического тока на занятиях по физике .................................. 140

B. Скворцов —Один из способов построения квадратных корней........ 143

Е. 3. .Способ быстрого возведения в квадрат некоторых чисел........ 143

Критика и библиография

A. Белецкий — Заметки о стабильном учебнике физики для V класса...... 145

И. Л. — Книги по астрономии........................ 148

B. М. — Книги по математике........................ 150

В. Поляков — Наглядные пособия по математике для средней школы и педтехникумов .................................... 151

Задачи

Редакционная коллегия: И. К. Андронов, A. Н. Барсуков, А. Н. Зильберман, B. Н. Молодший, Н. П. Суворов, И. И. Чистяков.

Отв. ред. А. Н. Барсуков, отв. секр. В. Н. Молодший Техн. редактор Г. Смирнов

Адрес редакции: Москва, Петровка, 5 Учпедгиз, редакция математики.

Слано в производства 2/VI 1934 г. Подписано к печаш 16/ViII 19J4 г.

Учгиз J* 5894. Объем 9,5 п. л. В 1 п. л. 7 О Ю зн. Зак. M 2609 Бумага 72X105 Троицкой ф-ки

Тираж 15200 экз. Уполномоченный Главлита Б-39253

1-я Образцовая типография Огиза РСФСР треста .Полиграфкнига“. Москва, Валовая, 28.

НАУЧНЫЙ И НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

О НОВЕЙШИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ В ОБЛАСТИ ДРЕВНЕЙШЕЙ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

Проф. И. ЧИСТЯКОВ (Москва)

(Продолжение)

Вновь расшифрованные памятники математических знаний древних обитателей Халдеи представляют собою, подобно известным памятникам древнеегипетской математической науки той же эпохи (1800—2000 лет до нашей эры) — папирусу Райнда и Московскому папирусу, сборники арифметических и геометрических задач с подробными решениями. При этом решения даются в чисто догматической форме, без всяких объяснений: за отсутствием буквенной символики все вычисления излагаются на словах; для производства действий употребляется исключительно шестидесятиричная система счисления, распространенная как на целые числа, так и на дроби. Содержание вновь открытых задач нередко отличается большой сложностью, а прилагаемые способы для их решения обнаруживают весьма высокую степень математических знаний для рассматриваемой, столь отдаленной от нашего времени, эпохи.

Приведем примеры некоторых задач.

1. „Разделить между 10 братьями 1— мины серебра (мина содержит 60 сиклей) так, чтобы доля каждого брата была на одно и то же число сиклей менее доли предшествующего, и чтобы доля восьмого брата была 6 сиклей“.

Задача, очевидно, представляет собою пример на нахождение членов арифметической прогрессии, что подтверждает высказанное ранее предположение о знании халдеями прогрессий.

Решение предлагается следующее:

„Делай так: составь число, обратное 10, т. е. числу людей, ты получишь 0,6 (т. е. j£ = gg) ; умножь 1 -| мины серебра (100 си-клей) на ~, будешь иметь 10. Удвой 10, получишь 20. Удвой долю 6 восьмого брата; найдешь 12. Отними 12 от 20, получишь 8; удержи 8 в уме. Сложи 1 и 1, поучишь 2. Удвой 2, будешь иметь 4. К 4 приложи 1, получишь 5. Вычти 5 из 10, числа людей, найдешь 5; составь пятую часть 1, найдешь 0,12 ^ =. Умножить ~ на 8, найдешь 1 — ^ = . Это и есть число, на которое доля каждого брата превышает долю следующего брата“.

Черт. 1.

Следовательно, вычисления здесь указаны следующие: 1:10 = 0,1; 100 0,1 = 10; 100:10=10; 10-2 = 20; 6-2=12; 20 — — 12 = 8; 1 + 1=2; 2-2 = 4; 1+4 = 5; 10 — 5 = 5; - 8 = 1

Для уяснения изложенного способа решения обратимся, как это делает проф. Нейгебауэр, к графическому представлению условия задачи (черт. 1).

Именно, отметим на оси общие номера братьев, начиная со старшего: 1, 2, 3... 10, а на соответствующих ординатах будем откладывать число получаемых каждым братом сиклей.

Всего на оси абсцисс будет девять промежутков; длина перпендикуляра, восстановленного из точки 8, равна 6.

В решении находится еще число сиклей, которые имел бы каждый брат, если бы все серебро было разделено между ними поровну; оно очевидно равно 10; соответствующий перпендикуляр пройдет посредине между точками 5 и 6.

Соединяя конец этого перпендикуляра с концом предыдущего, получим прямую, на которой лежат концы и всех прочих перпендикуляров. Разность между числами 10 и 6 соответствует, как видно из чертежа, 2 разностям нашей прогрессии; удваивая те же числа, найдем, что 20—12 = 8 представляет собою пятикратную разность прогрессии. Поэтому одна разность ее будет 8:5 = -=- = !—. Зная разность прогрессии и 8-й член, уже не трудно было бы вычислить все члены прогрессии, чего в подлиннике, однако, не сделано. Для сравнения решим ту же задачу современным способом; будем иметь:

а8=6; 5=100; /г = 10, следовательно : 6 = a -f - 7 d ;

т. е. имеем два уравнения:

решая их, найдем

т. е. решение халдейского математика верно. Члены прогрессии будут:

т. е. 8-й член действительно равен 6.

2. Сумма площадей двух квадратов равна 16,40 (т. е. 1000 кв. единиц). Сторона одного квадрата менее ^ (т- е- з“) стороны другого на 10 единиц. Найти стороны обоих квадратов“.

Решение этой задачи, по современным обозначениям, приводится к решению системы двух уравнений:

где X и у стороны искомых квадратов.

Решение системы способом подстановки приводится к решению квадратного уравнения с одним неизвестным. Таким образом, открытие настоящей задачи показывает, что халдеи владели способами решения уравнений второй степени, что до настоящего времени не было известно.

Для решения даются следующие указания (переводим числа с 60-ричной на 10-ричную систему): „Возведи 10 в квадрат, получишь 100. Отними 100 от 1000, останется 900. Возведи в квадрат 60, получишь 3600. Возведи 40 в квадрат, будешь иметь 1600.

Складывая 3600 и 1600 найдешь 5200. Умножив 5200 на 900, получишь 4 680 000. Умножь 40 на 10, найдешь 400, а возведя 400 в квадрат, будешь иметь 160 000. Складывая 160 000 и 4 680 000, получишь 4 840 000. Извлеки из этого числа квадратный корень, будешь иметь 2200. Прибавь к 2200 полученные ранее 400, найдешь 2600. Какую часть 2600 составляет от 5200?

Очевидно -g-. Умножь половину на 60, будешь иметь 30. Итак, сторона большего квадрата равна 30 единицам. Умножив половину на 40, найдешь 20, а отняв 10, найдешь 10, т. е. сторону меньшего квадрата“.

Итак, решение задачи приведено здесь к следующим выкладкам:

Для сравнения полученного результата с современным способом решения уравнения, представим данную систему:

т. е. положим =лгг Применяя способ подстановки, получим:

Отсюда :

и, следовательно:

Сравнивая полученное выражение (А) для лг-j с указаниями источника для решения задачи, видим, что они последовательно воспроизводят формулу (А), начиная с конца подкоренного выражения. Таким образом, формула халдеев совпадает с современной формулой решения квадратного уравнения вида

лг2 + 2Ьх+с = 0,

причем, однако, отрицательное значение корня отбрасывается.

3. „Сумма площадей двух квадратов равна 2225 кв. единиц. При этом сторона большего квадрата представляет некоторый отрезок, увеличенный на 10, а сторона меньшего квадрата равна — того же отрезка, увеличенным на 5. Определить стороны обоих квадратов“.

Обозначая сторону большего квадрата через X, а меньшего через у и упоминаемый отрезок через и, получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Таким образом, здесь задача еще более сложная, чем предыдущая. Тем не менее халдейский ученый решает ее, приводя к квадратному уравнению с одним неизвестным и применяя для его решения вышеупомянутую формулу. Не приводя подробно указаний халдейского математика, решим вышеприведенную систему современным способом. Выражая из второго уравнения и, имеем:

Отсюда :

или

Отсюда: .

Еще одна задача отличается от только что рассмотренной лишь числовыми данными, почему мы ее и не приводим.

4. „Седьмая часть длины прямоугольника, сложенная с его площадью, дает в сумме 27. Ширина прямоугольника равна -i. Найти длину и площадь“.

Поразительной особенностью этой задачи является сложение чисел, выражающих величины различного измерения: длину и площадь. Подобная степень абстракции впервые встречается в истории математики. Составляя соответствующие уравнения, получаем систему :

Решая эти уравнения способом подстановки, находим:

откуда следует, что длина прямоугольника 42, а площадь 21, как получено в халдейском оригинале.

5. „Седьмая часть длины, у ширины и у часть площади прямоугольника в сумме составляют 2, а сумма длины и ширины 5-^-. Найти длину и ширину“,

Здесь мы тоже имеем сложение чисел, выражающих величины разных измерений. Составляя уравнения из условий задачи, получим:

Отсюда:

т. е. X и у являются корнями уравнения:

Решая его, найдем

Таким образом, здесь снова имеем подтверждение вывода, сделанного из предыдущих задач, что халдеи могли решать квадратные уравнения и системы, содержащие уравнения второй и первой степени.

(Окончание следует)

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ1

(Тригонометрический способ)

Проф. Л. КРЕЕР (г. Орджоникидзе)

В этой статье излагается новый способ вычисления вещественных корней всякого алгебраического уравнения. Еще Гаусс применял тригонометрическую подстановку для трехчленного уравнения. Способ Гаусса изложен в курсе высшей алгебры H. Weber'a, но неполно (не для всех видов); полное изложение можно найти в „Praxis der Algebra“ Runge. Как указывает Weber, роль тригонометрических подстановок ограничивается у Гаусса выводом признака числа вещественных корней трехчленного уравнения, сами же корни вычисляются не тригонометрически, а посредством гауссовых логарифмов. Runge, излагая детально способ Гаусса, вовсе не применяет тригонометрических подстановок. Наш способ основан на рассмотрении функции 6(a), которой нет у Гаусса, на специальной таблице и на специальных ad hoc способах интерполирования угла а.

В 1928 г. мною была опубликована статья2 „Трехчленные уравнения“; в ней дано решение одного и того же примера обоими названными способами. У Runge приведен длинный список формул Гаусса для различных видов и подвидов трехчленного уравнения; он занимает печатную страницу. Предлагаемый способ лишь нуждается в запоминании одной-двух формул. В 1930 г.3 я обобщил способ на уравнения с любым числом членов. В настоящее время мною этот способ радикально переработан и упрощен, сравнительно с опубликованным в моих. статьях. В журнальной этой статье, мы, конечно, не можем входить в подробности.

Глава I ТРЕХЧЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 1. Виды трехчленных уравнений

Фиксируя знаки коэфициентов и полагая т^>п, получаем следующие четыре вида:

(Вид I) ( ■ И) ( ■ HI) ( п IV)

Виды I и II назовем фундаментальными, так как к отысканию положительных корней этих двух видов можно свести отыскание всех вещественных корней всех четырех видов.

§ 2. Тригонометрические подстановки

Исходим из тригонометрического тождества

Имеем для вида I

Отсюда достаточно очевидно, что

Поэтому, согласно тождеству, мы полагаем:

(I)

Логарифмируя и деля, получаем:

(1)

Аналогично, для вида (II)

Вводим подстановки:

(II)

и получаем:

(2)

Весьма важно для дальнейшего удаление из знаменателей (1) и (2) параметров; для этой цели полагаем в уравнениях (1), (2)

1 Сжатое изложение всей работы печатается сейчас в „Математическом сборнике“, Москва.

2 «Известия Горского пединститута“, т. V, Владикавказ, 1928 г.

3 ,Известия Горского пединститута“, т. V, Владикавказ, 1928 г.

и получаем для уравнения:

(3)

Теперь нам остается исследовать функцию

(4)

§ 3. Функция 5(а). Число вещественных корней трехчленного уравнения

Функция S(a) вещественна и непрерывна в интервале 0<a:g~ . Имеем:

Полагая h = \gp, находим производную:

В интервале 0 < а < 5 (а) — непрерывная функция от а. Раскрывая неопределенность, легко получить, что

Два случая возможны:

1) ArgO (prgl). В этом случае, как видно из выражения для последняя всегда >0, следовательно, 5(а) монотонно возрастает от — оо (при а = 0) до 1 (при а = у). S (а) обращается в нуль при Jgtga =—А = lg— или при a = arctg—. Этот угол будем обозначать через ß:

Интервал для положительных значений S (а) есть . Отсюда теорема:

Теорема 1. Всякое наперед заданное значение 0<&:gl S (а) принимает один и только один раз (см. черт. 1)1.

2) h>0 (р>1).

S (а) принимает значение нуля при

затем принимает значение, равное единице, при

a = ß = arc sin—>[Р и снова значение единицы при я=тг •

Черт. 1.

Следовательно, согласно теореме Ролля, S1 (со) == 0, где у < а> < -g- в Можно доказать, что существует только одно такое значение о) и что при а = со наша функция имеет экстремум-максимум (единственный) (см. черт. 2).

Следовательно, S (а) принимает наперед заданное значение 0 < k <Г 1 один и только один раз, причем в интервале ß<a<Y-

Наперед заданное значение /г>-|-1 S (а) принимает либо два раза, либо один, либо ни одного раза, в зависимости от того, будет ли £<,=,>Smax.

Можно также доказать следующую теорему:

Теорема 2. S (а) при Л>0 принимает наперед заданное значение 0<&<1 один и только один раз, значение же 1 либо два раза, либо один раз, либо ни разу, в зависимости от того будет ли

1 Это же остается верным и при всяком к < О, но отрицательные значения к нас не интересуют.

1 Это получается из ур. ^q ' — 1;

2 Л. И. Креер, Трехчленные уравнения. „Известия Горского педагогического института", т. V, Владикавказ, 1928 г.

Черт. 2.

Так как трехчленное уравнение вида I приводится в связь с

а трехчленное уравнение вида II приводится в связь с

то, согласно теоремам 1 и 2, имеем:

Теорема 3. Трехчленное уравнение I имеет всегда один и только один положительный корень.

Трехчленное уравнение II имеет либо два неравных корня, либо один кратный, либо ни одного положительного корня, в зависимости от выполнения признака (5). Это же имеет силу и для отрицательных корней тех видов, которые приводятся к видам I—II.

§ 4. Интерполирование угла

Теперь все сводится к нахождению способа интерполирования, достаточно быстро приводящего к цели. Сравнительная простота функции S (а), плавность ее графики и особенности тригонометрической таблицы позволяют это выполнить с большой легкостью и быстротой.

Интерполяционный процесс облегчается приложенной таблицей, позволяющей сразу отделить угол а в интервале, не превышающем 1°. Неравномерность интервалов в таблице объясняется желанием составителя ее дать такие интервалы, внутри которых differentiae для lgtga (d}) и lg sec a (d?) колебались бы не более чем на 1—2 стотысячных доли.

Для облегчения приискания по этой таблице полезно ориентироваться на следующие углы:

Затем простая линейная интерполяция над найденными из таблицы значениями а' < а<Ж даст нам некоторый угол а0. Так как последний заметно близок к истинному, то можно считать dv d2 почти постоянными, а вместе с тем обоснованной следующую интерполяцию.

Вычисляем S(a0), и пусть S(a0) = Q=£k заданному значению. Пусть необходимая поправка есть да (в минутах). При изменении угла на да lgtg изменится на ал-дд, lg sec на о?2-да, и мы получаем следующее интерполяционное равенство:

(дробно-линейная интерполяция)

Отсюда получается поправка Да с ее знаком:

(6)

Формула эта неприменима когда kd2—û^ —О или близко к нулю. Но тогда как раз показана простая линейная интерполяция (partes proportionales) : устойчивость отношения d1:d2 = k. Затем следует контрольное вычисление S (а0-+- \а). Если последнее обнаруживает недостаточное совпадение S(a0+&a\ с то необходимо повторить еще раз формулу (6), но это бывает весьма редко.

Угол близок к нулю. При малых углах d колеблется весьма значительно, но это обстоятельство компенсируется: 1) тем,

1 Это получается из ур.

что в силу быстрого роста функции 5 (при малых углах) углы ß, у, Ь весьма близки друг к другу, так что удается легко отделить а в промежутке нескольких минут; 2) тем, что в этом случае lg sec а можно считать в отдельном интервале почти постоянным.

Пусть в таком интервале lg sec а = с, тогда находим а прямо из Igtgа + h— kc (7). Полученное значение а можно уточнить, если это понадобится: оно и без того будет достаточно точно (до 1—2 секунд). Для углов, весьма близких к нулю (до 0°33') дана вспомогательная таблица 2 (до шестого десятичного знака). Для углов, например, от 0 44' - 50' можно положить lg sec а = = 0,00004. Для углов, не столь близких к нулю, можно отделить а даже в столь широком интервале, в котором только первые 4 цифры или даже 3 цифры lg sec остаются неизменными1; найденное этим способом первое приближение а затем уточняют обычными приемами; первое приближение будет достаточно близко к истинному, что позволит полагать и d.} „постоянными“.

Угол близок к 90°. Если 89°<а<90°, то пользуемся концом таблицы, где интервалы подобраны так, что внутри каждого из них lgtg a :1g sec а остается неизменным до пятого десятичного знака включительно. Если в отдельном интервале

то а находят прямо из уравнения

(8)

Для углов, не столь близких к 90°, можно ограничиться в первом приближении таким интервалом, внутри которого lgtg a :1g sec а остается постоянным вплоть до четвертого десятичного знака или даже третьего, а затем после применения (8) уточняем обычными приемами2.

§ 5. Описание и употребление таблиц 1 и 2

В таблице 1 в целесообразно подобранных интервалах даны значения следующих величин:

Следовательно, S = s-{-ht. Сначала, округлив h до 2—3 десятичных знаков, находят интервал, внутри которого находится а; поэтому t дано с небольшой точностью (4 цифры). Затем из той же таблицы можно найти lg' + lg|A|. т.е. lgj^-e=='; Д^ее S(2) = 5 + N lg /, где знак -{- берется при /г>0, знак — при h<^0. Однако практичнее находить S(a) непосредственно, т. е. прямо из

Значение нашей таблицы заключается преимущественно в быстром отделении а в достаточно узком интервале. Таблица начинается с 10°, так как для углов < 10° нужды в ней нет: углы сразу отделяются в достаточно узком интервале (см. § 4 и примеры в конце статьи).

О таблице 2 сказано в § 4 (углы от 0° до 33'). Заметим, что в ней lg sec дан в шестизначных логарифмах; для краткости вместо, например, 0,000002 там* поставлено 2.

§ 6. Вычисление корней. Замечание о точности

Согласно подстановкам § 1 (см. формулы I и II) имеем для вида I:

(9) (9°)

Для вида II:

.(10) .(10*)

где а=Л:С, Ь = В.С.

Сделаем важную оговорку: для упрощения оценки погрешности мы предполагаем, что пятые цифры в 2 lg sec, 2 lgtg проконтролированы посредством семизначных или шестизначных логарифмов так, что погрешность в каждом из этих логарифмов не превышает

При этом условии можно считать, что погрешность в \gx зависит только от погрешности, с которой найдено а из уравнения

При употреблении пятизначных логарифмов наша цель — показать, каким обра-

1 Например для угла в интервале (1°, 1°30') можно положить lg sec а = 0,0001.

2 Например (см. таблицу 1) для угла в интервале (S5°30, 87°) /lÜl^ 0,999.

зом возможно гарантировать наилучшую точность lgx, т. е. того, чтобы погрешность в ^**была<^ <^0,15, а следовательно, и того, чтобы все пять цифр корня были точные, если опять-таки проконтролировать пятую цифру икса при нахождении числа по логарифму.

Обозначим погрешность в угле а через Да, d2 — differentiae на 1'для lg tg и lg sec. Тогда, очевидно, погрешность в lg* выразится:

для у р. вида I (в стотысячных долях)

для ур. вида II (в стотысячных долях)

Так как т^>п и всегда dl'^>d2i то для уравнения вида I первая из этих погрешностей, т. е. -щ^ > меньшая, а потому для вычисления lg л: будем употреблять только формулу (9), а не (9а).

Для вида II мы будем пользоваться либо (10) либо (10а), в зависимости от того, будет ли — <С или > — , так как при — < п ^ m г п ^ <Zj^ первая погрешность меньше второй; при — , наоборот.

Перейдем теперь к погрешности в угле а. Пусть в результате описанного в § 4 интерполяционного процесса найдено такое значение а = а1У при котором равенство

выполняется достаточно хорошо, т. е. до пятой цифры.

Проверку этого равенства (контрольное вычисление) мы выполняем, как сказано выше: контролируем посредством шести или семизначных логарифмов пятые знаки в lgtga, A, 1g sec а.

Однако, несмотря на полное подтверждение контрольного равенства (/(), не может быть полной уверенности, что секунды в угле аг точны. Происходит это потому, что изменение на одну или даже несколько секунд, иногда даже на 10“, может дать в (К) такой же хороший результат (при употреблении пятизначных логарифмов).

Мы говорим, что левая часть (К) обладает „инертностью“1, если изменение a не превышает определенной величины угла инертности (в секундах). Хотя этот угол можно найги (можно дать для него формулу), однако проще обойтись без него.

Обозначим через а“ (секунд) ту погрешность в угле а, которая вызывает погрешность в lg л:, равную 0,15. Ее легко найти, заменив в предыдущих равенствах A lg* на 1, Да на a (счет в стотысячных долях).

(12) (12*)

Затем после нахождения a вычисляют £(а., -f- a“) либо 6(a1 — a“) и если полученный результат заметно отличается от Ку в то время как S(2,) хорошо совпадает с К, то эго говорит за то, что погрешность в a меньше a, а следовательно, погрешность в \gx <^0,\ь; пять цифр корня все точны, если по lg X будем искать число по шестизначным логарифмам. В противном случае2 пятизначные таблицы не могут дать требуемой точности, и надо уточнить угол посредством семизначных или шестизначных логарифмов. Таким образом, можно весьма просто гарантировать наилучшее использование пятизначной таблицы, что практически единственно важно.

Обращаем внимание на то, что все выкладки производятся пятизначными логарифмами: к шести- и семизначным логарифмам мы обращаемся только в следующих случаях: 1) проконтролировать пятую цифру в А, 2) то же для lgtga, lg sec a, в контрольном вычислении (К) и в уравнениях (9 и 10) (пятые знаки), 3) при нахождении х по lg* (пятый знак).

§ 7. Примеры

(См. предварительно примечание 2 в конце статьи.)

Пример 1. хъ — 4лг —2; вид I. Положительный корень

1 Под этим мы разумеем, что S{a, вопреки изменению a на несколько секунд, сохраняет неизменными 4—5 цифр.

2 Это бывает в исключительных случаях (при а, близком к 90°).

Поэтому ориентировочно

(с избытком, см. черт. 1). Из таблицы 1, округляя h до 0,181, получаем:

Линейная интерполяция по хорде, соединяющей точки (60°, 0, 192) (61°, 0, 240)1, дает первое приближение:

Дробно-линейное интерполирование:

Контрольное вычисление:

Новая поправка дает окончательно

Контроль:

Корень:

Погрешность. Находим:

а = 30./я:</2 = 30.5:22 = 7\

Наша погрешность меньше даже 3“[ср.

S(60°9'10“) и 6(60°9'7“)];

поэтому все пять цифр корня точны.

Отрицательные корни. Абсолютные величины их получаются (при х = —у) из

Уравнение имеет два корня, ибо

Поэтому ориентировочно: а = 7°11' + [5 — 1] - (7°14'30“ — 7°1 1') = 7°25' с недостатком, ибо мы здесь экстраполировали по продолжению хорды, соединяющей точки (у, 1), (Ô, 2), в восходящей части кривой 1

Применяем дробно-линейное интерполирование:

Контроль:

Окончательно:

Корень и погрешность. Так как

Наша погрешность наверно не превышает Г, подавно она меньше 15“, а потому все выписанные ниже цифры верны:

1 Линейная интерполяция по хорде, соединяющей (ß, 0) и (~1 1 ) ; см. черт. 1.

1 См. черт. 2 и примечание в конце статьи.

Второй отрицательный корень. Округляя h до 0,903, имеем из таблицы 1 :

Линейное интерполирование:

(с недостатком 1)

Применяем дробно-линейное интерполирование:

Контроль:

(с избытком).

Корень и погрешность. Так как

zr = -r > — = -r-, т0 берем o= —z— =

так как погрешность аз не превышает 6“, то получим все пять цифр корня верными:

Итак,

Те же корни с семью правильными цифрами:

Пример 2. л;11— (Краткое решение.)

Положительные корни.

Здесь Z)>0, а потому два корня. Первый корень.

Контроль:

= ——- = 25 . Ясно, что погрешность в наверно <25“; поэтому мы получим все пять цифр корня верные:

хл = 2,24257 (все шесть цифр верны).

Второй корень. Соответственное значение а2 a priori близко к 90°, ибо .S (а2) = = 1,22... 5(90°) = 1.

Применяем прием, указанный в § 5: в интервале 90° —80° > 0,99, но

Затем изложенными способами находим i

Контроль:

(все цифры верные).

Отрицательный корень.

Его обсолютную величину находим из уравнения: уи— 12j/9=10* (вид I) уп=:

104sec2a; y*=^*-tg*a; h = — 0,17595; 9

—<с1- ß = 56°18f. Ориентировочно

Дробно-линейное интерполирование (Л 121; öL = 120) дает Д a = -^ =

Контроль:

1 Интерполирование в нисходящей части кривой (см. черт. 2).

Таблица 1

Таблица 2

Пример 3.

lg tg « — 1,58345 Л л . ^ ОЛО\

-2-2----= 0,1 (весьма близок к 90°).

lgtgß = 1,58345; ß =88° 30' 20“; ориентировочно

В интервале 88° 40' —89° (см. табл. 1) можно считать 5=0,99995. Следовательно,

differentiae на 1 “ ô1 = ô2 = 12 стотысячных долей.

Контроль:

Пример 4.

(а весьма близок к 0°); Igtg ß = — 2,15137; ß = 24'15,9“;S(ß) = 0.

В таблице 2 в интервале 24' — 25' находим lg sec а = 11.10“6. Отсюда tg а = = 10. 11. 10“6 — 2,15137; а = 24'16“. При семизначных логарифмах нашли бы а — = 2445,99“.

Интересно обратить внимание на то обстоятельство, что, если при решении алгебраического уравнения встретится малый угол, то весьма легко получить даже при неточном значении а, отличающемся от истинного даже на 1', все пять цифр корня вполне верными. Это потому, что для таких углов lg sec а остается устойчивым в пределах пяти знаков на довольно большом промежутке; следовательно, погрешность в а не отразится на lg лг, который, конечно, следует вычислять по той подстановке, которая содержит sec a, a не tga. В предыдущем примере, например, можно было бы брать за a значение 0°14' для вычисления )gx.

Примечание 1. Важно обратить внимание на следующее обстоятельство: не имеет практического значения уточнение а более чем на а“, так как при погрешности в угле а у не превышающей о“, мы получим пять цифр корня точными, т. е. то, что является нашей целью.

Поэтому можно рекомендовать сейчас же, после того как получено значение S(a)> достаточно близкое к /?, вычислить а, чтобы не терять времени на уточнение а. Например, при a :§jl0“ незачем уточнять единицы секунд и т. д.

Примечание2(к чертежам). На чертежах проведены в некоторых местах хорды с целью показать, что линейная интерполяция дает значение а, при Л<0, с избытком, если а не слишком близок к 90° (см. черт. 1). При h^>0 первое значение а (в восходящей части кривой) всегда с избытком, второе значение a — всегда с недостатком (в нисходящей части кривой): при линейной экстраполяции (по продолжению хорды) — наоборот (см. черт. 2). Значение этого полезно, между прочим, в том отношении, что показывает нам, после отыскания ориентировочного угла, *в каком направлении таблицы 1 искать a (см. примеры).

ЧИСЛО Е И ЕГО ЗНАЧЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ И ТЕХНИКЕ

ПРОФ. М. ГРЕБЕНЧА (Москва)

1. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ

Пусть мы имеем А руб., которые положили в сберегательную кассу, начисляющую р°/0.

В таком случае, по истечении одного года, если мы закрываем в кассе счет, мы получим А 4~ A руб. Если мы оставим деньги еще на один год, то за второй год будут нарастать проценты лишь на внесенный капитал А, ибо наросшие за первый год проценты к основному капиталу не причисляются.

Следовательно, по истечении двух лет на счету будет сумма:

по истечении трех лет сумма на счету будет равна:

и т. д.

По истечении t лет мы, закрывая счет в кассе, получим:

Такое исчисление процентов, когда они начисляются в каждом году на внесенную сумму, не увеличивая основного капитала, называется исчислением простых процентов.

2. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ

Если мы хотим, чтобы начисляемые проценты причислялись к основному капиталу, с тем расчетом, чтобы проценты начислялись на всю сумму денег, находящихся на счету, мы можем поступить так: в конце каждого года мы будем закрывать счет, и полученные деньги будем вносить в кассу на новый счет.

Следовательно, в конце первого года мы из кассы получим:

Внеся эту сумму вновь в кассу, мы, по истечении одного года опять закрывая счет в кассе, получим сумму, состоящую из внесенного капитала A ^“by^öj РУб- и иа“ росших на этот капитал процентов, т. е. А (\ -j§ö) “ ЖГ ' следовательно, мы получим:

Взяв все эти деньги из кассы, мы внесем их вновь; по истечении года мы получим, закрывая счет:

и т. д.

Следовательно, по истечении первого года наш капитал будет равен:

По истечении двух лет:

По истечении трех лет:

По истечении t лет

Такое исчисление процентов, когда начисляемые в течение одного года проценты причисляются к основному капиталу так, что нарастание процентов в течение следующего года происходит и на наросшие в предыдущем году проценты, называется исчислением сложных процентов.

Очевидно, что начисление сложных процентов увеличивает капитал сильнее, нежели при начислении простых—при одной и той же продолжительности нарастания свыще одного года.

В самом деле: в случае сложных процентов наш капитал обращается в

в случае простых в

(по формуле бинома Ньютона).

Так как сумма слагаемых, находящихся в квадратных скобках правой части равенства, больше суммы двух слагаемых этой суммы, то

что и следовало ожидать по существу способов увеличения капитала при том и другом способе начисления процентов.

3. НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ ПО ИСТЕЧЕНИИ ЧАСТИ ГОДА

Предположим теперь, что мы желаем, чтобы причисление наросших процентов к основному капиталу происходило по истечении не целого года, а его части, например по истечении квартала или месяца, недели, суток. Мы можем мыслить это причисление по истечении — части года (для квартала п = 4, для п = -gg-, для сутс к п = ~ - и т. д.).

Следовательно, мы проделываем следующую операцию: проценты, начисленные на капитал по истечении — части года, мы причисляем к основному капиталу.

Следовательно, по истечении -i части года наш капитал обратится в

В течение следующей части года проценты будут нарастать на капитал А ( 1 t^JL ) ; следовательно, по истечении— частей года капитал будет равен:

По истечении— частей года капитал будет равен Л (1 + Ш<У3 и т. д.

Следовательно, по истечении t лет, т. е — частей года, капитал обратится в

Естественно ожидать, что чем — часть года будет менее продолжительной, т. е. чем п будет числом большим, тем мы более увеличим наш капитал, ибо нарастающие проценты будут скорее причисляться к основному капиталу и тем самым увеличивать капитал, на который происходит начисление процентов.

Хотя практически — не может быть меньше -^-tq, так как касса начисляет проценты ежесуточно, но мы можем мыслить такую сберкассу, которая начисляет проценты на любой истекший срок: час, минуту, секунду, секунды, щ секунды и т. д., т. е. можем мыслить начисление процентов по истечении — части года, где п — какое угодно большое число.

4. НЕПРЕРЫВНОЕ НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ

Мы видели, что капитал А по истечении лет обратится в ^(l-f- если проценты причисляются по истечении — части года. Очевидно, что чем п больше, чем скорее начисляются проценты к основному капиталу, тем лучше происходит использование процесса увеличения основного капитала.

Поставим перед собой задачу установления предельного случая, т. е. максимального использования процесса увеличения капитала. Очевидно, использование будет тем лучше, чем п больше или, что одно и то же, чем — меньше; однако — нулю равняться не может, ибо начисление происходит по истече-

нии промежутка времени, который может быть как угодно мал, но не равен нулю.

Из этого вытекает, что использование процесса увеличения капитала будет происходить тем лучше, чем — будет ближе к нулю, или, как говорят, когда — стремится к нулю, что записывается короче так : —->0.

Это утверждение равносильно тому, что п беспредельно увеличивается, ибо чем п больше, тем — меньше; следовательно, мы можем с одинаковым правом утверждать, что если то /2->оо (т. е. беспредельно увеличивается).

Так как наш основной капитал А по истечении t лет обращается в A (l -f- при условии причисления наросших за — часть года процентов к основному капиталу, то, следовательно, мы, стремясь к наилучшему использованию процесса увеличения капитала, должны полагать, что--у О или, что одно и то же, п—у оо.

Следовательно, чем п больше, тем обращенный капитала (l ~\- ° будет результатом лучшего использования нашего процесса увеличения капитала.

Итак, мы займемся изучением величины

л0 + г<шГ>когда

Обозначим г~- через — .

Следовательно,

Величины Л, р и t постоянные; переменной является лишь /г, так как нас интересует максимальное использование процесса увеличения капитала в связи лишь с уменьшением срока причисления процентов. Так как z =--л, сомножитель— есть число постоянное (не равное нулю), а множитель п беспредельно возрастает, то и произведение — /г, т. е. г, беспредельно возрастает.

Посмотрим, как ведет себя численная величина алгебраического выражения:

5. ЧИСЛО е

Для изучения поведения величины ( 1 + “~) » когда z—► оо, предварительно докажем следующее неравенство: (\+х)3^> y>\+zx, если 1 —j— дс ^> 0; лгт^О, где z любое целое положительное число, большее 1.

В самом деле: (1 -f-х)2 = 1 2дг —|— л2.

Следовательно (1 +х)2^> 1 +2х.

Помножив обе части неравенства на положительное число (\+x), получим:

Следовательно (1 -f- х)3 > 1 + За: -f - 2х2.

Поэтому (1 +*)3> 1 + Зх.

Помножая обе части неравенства на (1-f-jr), найдем, что (1 -+-*)4> 1 -f 4лг и т. д. Следовательно (\+x)z^> \ +zx.

Положим в этом неравенстве х = — -у .

Условие, что 1-|-лг^>0, в данном случае будет таково: 1—Jj“!>0» что всегда имеет место, пока z^> 1. Наше неравенство примет вид:

или или или или или

Полагая в этом неравенстве последовательно z = 3, 4... имеем :

Таким образом, мы видим, что переменная величина ( 1+ у ) с увеличением z увеличивается.

Положим в том же неравенстве

(1 -\~л)2^> 1 +гх\ X — ^ ,

на что имеем право, ибо:

Получим :

Так как при z> 1 z2—1<г2, следовательно, ——г > - = - .

Итак

или

или

или

или или

Подставляя в это неравенство вместо z = 2, 3, 4... видим, что

Следовательно, переменная величина у 1 -|--j с увеличением z уменьшается, оставаясь больше, во всяком случае, единицы.

Если переменная величина, уменьшаясь, остается больше некоторого постоянного числа, из этого мы заключаем, что она стремится к пределу:

Величина 1 4 — при z—► оо стремится к 1 ; из этого мы заключаем, что величины (l и (l + у) Zстремятся к одному и тому же пределу, причем первая из величин стремится к пределу, увеличиваясь, принимая значения (l + -^)2 = 2,25; (l -+- j)* = 2,37; а другая, уменьшаясь, принимая значения

Следовательно, предел переменной величины Ç1 + -Л , когда z —► ос, есть постоянное число, которое заключено между 2 и 3. Это постоянное число мы обозначим символом е.

Примечание. При наших рассуждениях мы полагали, что число z в процессе беспредельного увеличения принимало только целые значения. Легко показать, что если в процессе своего увеличения z получает любые значения, предел выражения ( 1 + )' будет тот же, как и когда z принимает только целые значения.

Следовательно lim (l ~|-— У=е.

Чему же равно это постоянное число? Написать это число при помощи цифр мы не можем, потому что это число иррациональное; мы можем вычислить его приближенно, ибо, согласно вышесказанному, можно утверждать, что чем г больше, тем численная величина ( 1 + -i ближе к е. Положив z=107, будем иметь, что ( 1 _|_ — ) = 2,718281828 есть приближенное значение е.

6. ВЫЧИСЛЕНИЕ КАПИТАЛА ПРИ НЕПРЕРЫВНОМ НАЧИСЛЕНИИ ПРОЦЕНТОВ

Мы ставили перед собой задачу установить наилучший способ увеличения капитала наращением процентов.

Мы видели, что это будет способ, при котором начисление процентов происходит по истечении — части года, а--► 0.

Капитал А по прошествии t лет обратится в

причем, если ——^0 (или z—*оо), это число 2L

будет стремиться в Ает или

Выше мы указывали, что в действительности этот процесс неосуществим, но наша задача была — установить ту предельную сумму, к которой мы можем приблизиться как

угодно близко, уменьшая Эта предельная сумма выражает такой абстрактный процесс увеличения капитала, когда начисляемые проценты прибавляются к основному капиталу не скачкообразно (по истечении года, месяца, часа, секунды), а непрерывно.

Поэтому мы говорим, что капитал А обращается в Ае при условии непрерывного процесса начисления процентов.

7. АМОРТИЗАЦИЯ

Далее мы покажем на ряд процессов, которые по своей природе близки к этому абстрактному процессу начисления процентов.

Всякое оборудование в производстве: машины, станки, строения — в процессе своего существования и участия в производстве изнашивается. Таким образом, ценность этого оборудовании с течением времени изменяется.

Обычно считают, что стоимость оборудования А по истечении года уменьшается на р%

Вычислим стоимость оборудования через t лет, если его первоначальная стоимость была равна А рублей.

По истечении одного года стоимость оборудования уменьшится на /?°/0, т. е. будет равна =

По истечении следующего года стоимость оборудования в начале этого года, т. е. A (l —-щ) уменьшится на /?°/0 и будет, следовательно, равна A (l — А{1 ~ш) 100, т. е. Л (* ~Шо) '

По истечении третьего года существования оборудования эта стоимость будет равна

По истечении t лет эта стоимость будет равна Л (1—4)'.

Обычно по этой формуле вычисляется стоимость оборудования предприятия в целом или его отдельных частей по истечении того или иного срока / его существования, если А — начальная стоимость оборудования.

Легко видеть, однако, что эта формула грубо отражает процесс изменения стоимости оборудования. В самом деле: из метода подсчетов вытекает, что стоимость оборудования в конце года уменьшается на р°/0 относительно стоимости его в начале года. Какова же стоимость этого оборудования среди года? Очевидно, промежуточная между этими стоимостями, ибо за истекшее от начала года время это оборудование износилось.

Можно ли считать, что за последний месяц года стоимость оборудования уменьшается на ух уменьшения стоимости за год? Нет, и вот почему: уменьшение стоимости оборудования за последний месяц зависит от того, какова была стоимость его в начале этого месяца, а эта последняя зависит от того, какова была стоимость в начале предыдущего месяца и т. д.

Мы поставим перед собой задачу наиболее точного вычисления стоимости оборудования в процессе его изнашивания (амортизации). Для этого мы будем вычислять стоимость оборудования не по истечении года, а по истечении — части.

По истечении — части года стоимость оборудования равна:

По истечении — частей года стоимость равна:

По истечении г лет, т. е. — частей года, стоимость оборудования будет равна:

Чем — меньше, тем точнее мы вычислим стоимость оборудования по истечении t лет. Рассмотрим, каково изменение величины

Обозначим

тогда

Следовательно,

Так как — —► (), то п—► со, а с беспредельным увеличением п увеличивается беспредельно и z, ибо z =--I.

При беспредельном увеличении z, мы видели, величина (l + -7)* стремится к е.

Величина I -f- *j ПРИ беспредельном увеличении z стремится к I, ибо второе слагаемое есть дробь, стремящаяся к нулю при беспредельном увеличении знаменателя.

Итак, величина A (l -}- щ^-) * при стремлении —к нулю или, что одно и то же, величина А + J (1 + 7) при беспредельном увеличении z стремится к Ае , ибо основание степени второго множителя стремится к е, а третьего — к 1. Следовательно, можно утверждать, что стоимость А оборудования по истечении t лет равна Ае

8. БАРОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА

Поставим перед собой следующую задачу. Как известно, давление атмосферного воздуха изменяется по мере удаления от земной поверхности, а именно — уменьшается с увеличением высоты подъема. По какому закону происходит изменение давления? Иначе говоря, каково давление воздуха на данной высоте? Хотя давление воздуха изменяется не только в связи с изменением высоты, но и зависит от ряда других факторов:

температуры, воздушных течений, влажности и т. д., мы будем искать решение этой задачи, как выражаются, „при прочих равных условиях“, т. е. полагая, что прочие факторы в рассматриваемом процессе неизменны, а потому изменение давления происходит лишь в связи с уменьшением высоты.

Вспомним, как измеряется давление воздуха: это есть давление, производимое атмосферным воздухом на площадку в 1 кв. см.

Почему существует это давление? Потому что на площадку давит столб атмосферного воздуха — призматическое тело, в основании которого лежит 1 кв. см, высотой же его является высота распространения воздуха вокруг земного шара.

Ясно, что если на уровне моря давление воздуха равно р0, то на высоте h над уровнем моря давление воздуха будет иное, меньшее, чем /?0, равное, например, р.

Уменьшение давления происходит потому, что на высоте h на площадку в 1 кв. см давит слой воздуха меньшего веса, нежели на уровне моря. Следовательно, уменьшение давления произошло на величину, равную весу воздушного столба с площадью основания, равной 1, и высоте h сантиметров.

Следовательно, чтобы вычислить давление воздуха на высоте h, нужно вычислить вес вертикального призматического столба воздуха с площадью основания в 1 кв. см, высотой h и вычесть полученную величину из р0.

Однако это не представляется возможным, потому что вес столба вычисляется произведением объема на плотность воздуха, а плотность воздуха есть величина, пропорциональная давлению, которое не есть величина постоянная в столбе атмосферного воздуха высотой h, а изменяется от р0 до р внутри этого столба.

Для решения этой задачи мы поступим так: разобьем мысленно наш столб воздуха высотой h на слои плоскостями, параллельными плоскости основания, на расстояниях, равных — , где п очень большое число.

При таком выборе п мы можем получить слои воздуха столь тонкие, что давление воздуха внутри этого слоя можем считать числом постоянным в любой точке этого слоя.

Перенумеруем слои (число их равно п), начиная с основания столба воздуха высоты h.

Давление воздуха на основание первого слоя равно р0.

Вычислим давление воздуха на основание второго слоя. Оно будет меньше на величину веса первого слоя.

Вес этого первого слоя равен ?0, где $0—плотность воздуха в первом слое.

Рассматривая первый слой как некоторый сосуд, в котором заключен газ, мы можем в силу закона Бойля-Мариотта утверждать, что S0 = ß/?0, где k — коэфициент пропорциональности.

Итак, вес первого слоя воздуха равен — р0, а потому давление р: воздуха на основание второго слоя равно р0 — — /?0, т. е.

Вычислим давление р2 воздуха на основание третьего слоя. Оно будет меньше, нежели pv на вес второго слоя. Этот вес равен ^-5^ где ô-j—плотность воздуха во втором слое, в котором давление равно /?г Так как ^ = kpv kh то этот вес равен — pv а следовательно, р2 =

Так как рг=р0(\--V то имеем:

Аналогичным образом давление воздуха р3 на основание четвертого слоя будет равно

/ - kh 4 Р0{\--) и т. д.

Следовательно, давление воздуха на основание я-го (последнего) слоя равно р0С\ — — у, а давление воздуха рп на основание (/г4-1)-го слоя, т. е. на площадку на высоте h, равно р0 [ 1--— J .

Итак,

Насколько точно вычисленное нами давление воздуха? Оно тем точнее, чем толщина слоя меньше. Действительно, мы принимали, что в каждом слое высоты — давление воздуха постоянно, что противоречит нашему основному утверждению, что разным высотам отвечают разные давления. Следовательно, наша формула будет тем точнее, чем—, меньше, т. е., чем п больше.

Очевидно, для вычисления истинной величины давления воздуха на площадку в 1 кв. см на высоте h мы должны полагать, что ——► 0, т. е., что--►О или п —> сю.

Итак, искомое давление р на высоте h

получим, вычисляя

так как р0 есть число постоянное, займемся вычислением

Положим

Следовательно,

следовательно

Когда п—► оо, то и z —► сю, ибо n = kh (г+1). Следовательно,

Но мы видели, что

а второй множитель есть степень с постоянным показателем—kh, основание которой стремится к 1, когда z—>оо, ибоу—*0.

Следовательно,

а потому

каковая формула, называемая барометрической, служит для вычисления давления воздуха на высоте h.

Обычно эта зависимость между высотой и давлением используется с другой целью: по давлению воздуха в данном месте определить высоту этого места (т. е. расстояние над

уровнем моря), ибо давление легко измеряется посредством барометра.

Выразим А через р, прологарифмировав обе части равенства. Тогда мы получим:

lgP = lgp0 — kh Ige,

откуда

На высоте А, пусть давление равно pv а на высоте А2 давление равно рг; следовательно,

Следовательно,

или

Эта формула удобна тем, что позволяет вычислить высоту одного места относительно другого, если известны давления рл и р2 на этих высотах.

На этих формулах основаны определения высот гор, высот подъемов аэропланов, воздушных шаров.

= 18 400, если давление измеряется в миллиметрах ртутного столба, а вычисляемое значение А желаем получать в метрах. Эта барометрическая формула уточняется поправкой, связанной с температурой воздуха, которая влияет на давление, непринятие во внимание которой уменьшает точность вычислений высоты места над уровнем моря.

9. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА

Пусть мы имеем шкив, через который перекинут ремень. Пусть на одном конце ремня привешен груз р0 (например килограмм); какой нужно приложить груз к другому концу ремня, чтобы уравновесить груз р0?

На этот вопрос сразу ответить мы не можем. Если через полированный шкив перекинута стальная гибкая полированная лента, то нужно для уравновешивания груза /;0 приложить одну силу (близкую к р0); если шкив—деревянный и непошрованный, а через него перекинута войлочная лента, то для уравновешивания груза р0 нужно приложить груз, значительно меньший, нежели р0. В установлении величины груза играет роль трение ремня о шкив, что, в свою очередь, связано с материалом, из которого изготовлены шкив и ремень.

Предположим, что мы измерили величину силы, уравновешивающую силу р0.

Изменится ли величина этой силы, если мы ремень обернем около шкива несколько раз? Само собой разумеется, что изменится. Обматывая вокруг столба канат, привязанный к катеру или барже, мы мускульной силой (в десятках килограммов веса) способны приостановить движение баржи, преодолев, следовательно уравновесив, силу в несколько тонн.

Очевидно, что чем больше угол обхвата шкива ремнем, тем величина груза для уравновешивания силы р0 будет меньше.

Сделаем еще следующее замечание.

Если тело с плоским основанием перемещается по гладкой поверхности, то если бы плоскости основания и плоскости, скажем, были идеальными, то для скольжения нужно приложить в направлении движения какую угодно малую силу. Однако в действительности мы идеальных плоскостей не имеем, и для перемещения тела по плоскости в каком-нибудь направлении нужно приложить силу, равную /Я, где Р есть вес этого тела, а / число, меньшее единицы, называемое коэфициентом трения. Коэфициент трения находится опытным путем и зависит от материала тела и плоскости скольжения. Очевидно, что, прилагая силу Pf для осуществления скольжения тела по поверхности, мы тем самым преодолеваем силу Р нормального давления тела на поверхность. Поэтому сила трения есть сила, направленная по касательной к поверхности скольжения и равная fP.

Пусть через обод шкива перекинут ремень и угол обхвата равен а. Один конец ремня натянут силой /?0. Каково должно быть натяжение ремня, чтобы он оставался в равновесии (т. е. чтобы скольжение ремня по шкиву не имело места)? Вес ремня мы во внимание не принимаем. Для простоты мы можем мыслить обод шкива не как цилиндрическую поверхность, а как окружность; ремень заменить линией (черт. 1).

Разделим дугу обхвата AB на п равных частей :

AAj, А^А2, ^2^3'.....

Если бы угол обхвата ремня был АОАг — — — , то для уравновешивания силы р0 нужно было бы приложить в направлении касатель-

Черт. 1.

ной i41Af1 силу pï% которая тем ближе к р0, чем — меньше.

Следовательно, часть ремня АА1 находится под действием сил р0 и р1У направленных по прямым, пересекающимся в точке С. Отложив на этих прямых от точки С отрезки C/V и ÇN1% равные р0 и р1У мы найдем, что равнодействующая этих сил по величине и направлению равна диагонали параллелограма, смежные стороны которого равны р0 и рг Пусть эта диагональ равна CD; так как а — мы можем мыслить каким угодно малым числом, разделив а на любое число частей, следовательно рл может отличаться от р0 на столь малую величину, что фигуру CNDNj можем считать ромбом. Следовательно,

CD = 2СЕ = 2C7Vsin CNE = 2C7Vsin ^ ,

так как £CND= £AOAy=-, ибоЛСМ/JV;

A-fi _]_ C7V, или A^O}_ND по свойству углов радиуса с касательными. Итак,

Так как мы можем мыслить угол ^-каким угодно малым, а величины синусов таких углов можно считать равными самим углам (в радианной мере), то CD = 2CNs'm^ = 2CNÏ- или CD = p0-. In ГК} п

Итак, равнодействующая сил р0 и рг равна по величине р0 ~- и направлена по радиусу окружности. Следовательно, сила, прижимающая ремень ААЛ к ободу шкива, равна р0 — . Следовательно, величина силы трения равна на участке ААЛ ремня /р0 — , где /— коэфициент трения.

Следовательно, сила р}, которая должна уравновесить силу /?0, должна удовлетворять следующему условию:

fPoj^ — Po—Pv

В самом деле: если бы мы силы р0 и рл уменьшили на одно и то же число, когда ремень находится в равновесии, то равновесие не нарушилось бы. Уменьшим величины этих сил на рг. Тогда в точке А ремня приложена сила р0 — pv а в точке Аг сила, равная нулю. Равновесие не нарушилось; это значит, что сила р0 — рг уравновешивается силой трения fpQ-jf , следовательно,р0— рг — Отсюда:

*-*(•-*)■

Раз точка Аг находится под действием натяжения силы pv направленной по Аг Мл, и находится на ободе шкива в покое, значит она уравновешивается силой такой же величины, но направленной в противоположную сторону.

Обратимся к части АЛА2 ремня. Эта часть находится в равновесии, причем конец Аг ремня находится под действием натяжения /?.,, направленного по АЛМЛ. Каково должно быть натяжение в точке А2 ремня, чтобы уравновесить силу рг7 Обозначим его через р2; проводя рассуждения, аналогичные предыдущим, получим, что

л-лО-ï)-

Продолжая наши рассуждения, мы придем к заключению, что третья часть ремня уравновешивается силами натяжения р2 и /?3, причем

*=>»('-ï)

и т. д. и, наконец, последняя часть ремня Ап_лВ уравновешивается силами рп и рп^У причем

Следовательно,

Итак, если в конце А ремня приложена по касательной сила /?0, то в другом конце В для равновесия ремня должна быть приложена сила р0 Ç\—a~Çf-

Наши вычисления тем точнее, чем — меньше, т. е. чем п больше, ибо только при этом условии параллелограм CNDN1 и другие мы можем считать ромбами, а синусы углов ^-равными углам. Следовательно, истинная сила /?, которую мы должны приложить в конце В ремня может быть вычислена как предел силы рп, когда п—*оо. Итак:

Так как множитель р0 постоянный, то мы займемся вычислением:

Заменяя получим:

Когда

следовательно,

Следовательно,

и мы получили известную формулу Эйлера, выражающую силу натяжения ремня в зависимости от угла обхвата ремня и коэфициента трения. Угол обхвата должен быть дзн в радианах, так как мы пользовались заменой синуса малого угла величиной угла, что справедливо, когда углы измеряются радианами. Величина коэфициента / находится из справочника. Эта формула имеет громадное практическое значение в связи с расчетом ременной передачи и тормозных устройств.

Пример: при/=0,33 и а= — р — 0,59р0;

10. РАБОТА СЖАТИЯ ВОЗДУХА

Пусть мы имеем цилиндр с поршнем. Под поршнем заключен объем воздуха V0 под давлением р0. Предположим, что мы сжимаем воздух поршнем до некоторого объема v0; какая работа при этом затрачивается?

Предположим, что величина работы, затраченной на сжатие воздуха (или иного газа), равна L. Обозначим площадь поверхности поршня через /. Так как, перемещая поршень, мы затрачиваем все новые и новые усилия, мы мысленно представим себе, что операция сжатия происходила постепенно при помощи п отдельных последовательных сжатий, причем каждый раз затрачивалось одно и то же количество работы, а именно ; пусть в результате первого сжатия объем воздуха в цилиндре стал равным \\, после второго сжатия V2 и т. д.

Само собой разумеется, что уменьшение объема происходит не равными порциями, ибо при каждом последующем сжатии мы имеем дело с меньшим объемом газа, а следовательно, с преодолением большего давления. Так как работа измеряется произведением силы на пройденный путь, то в данном случае мы имеем дело с силой, преодолевающей давление воздуха, сжимающей объем V0 до Vv Пусть высоты цилиндров, объемы которых V0 и Vv суть h0 и кг; в таком случае работа силы вычислится по формуле:

ибо /р0 есть давление воздуха на поршень площади /, которое мы преодолеваем.

Так как/(й0 — h1)=fh0— ßt = V0 — Vlf следовательно,

Так как мы при уменьшении объема от Vn до V2 совершаем работу — , то имеем:

где рл есть давление воздуха, заключенного в объеме Vv Так как по закону Бойля-Мариотта /?, V\ = р0 Vq, то

следовательно,

При сжатии объема V2 до VB получим, что

При сжатии объема Vn_2 до ï/0, будем иметь, что

В нашем рассуждении был тот порок, что мы, при сжатии воздуха от объема V0 до Vv от Ул до V2 считали при каждом таком сжатии давление постоянным: р0 при первом сжатии, рл при втором и т. д., что не точно, ибо малейшее движение поршня вызывает изменение объема, а следовательно, и давления. Поэтому наши вычисления будут тем точнее, чем меньше будет сжимаемый объем при каждом сжатии, т. е. чем — меньше.

Поэтому истинное значение объема воздуха, если на сжатие его потребовалась работа Z,, вычислится по формуле:

Заменяя

и производя преобразования, которые мь проделывали несколько раз, получим, что

или или

По этой формуле вычисляется работа, необходимая для того, чтобы объем воздуха V0 сжать до объема v0.

Например, работа, необходимая для сжатия воздуха до половины первоначального объема (v0=jV0) , равна а для сжатия до у— начального объема равна

11. СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ КАПИТАЛА

Рассмотрим теперь вопрос о скорости роста капитала, на который начисляются проценты. При начислении простых процентов на основной капитал А ежегодно начисляется щ рублей. Следовательно, из года в год капитал увеличивается на ^ рублей.

Скоростью роста капитала будем называть увеличение его за один год. Следовательно, при начислении простых процентов скорость увеличения капитала есть число постоянное, равное т.

При начислении сложных процентов мы видели, что капитал увеличивается ежегодно не на одну и ту же сумму.

В самом деле, за первый год наросшие на капитал А проценты составляют -щ^ ; в течение второго года проценты нарастают на капитал 4“ тщ}) в числе, равном ^ 0 шо) Ши ' В течение третьего года на капитал Л M -j- нарастает

Следовательно, в течение я-го года на капитал, который в начале этого года составлял а(^\+щУ рублей нарастет

Следовательно, мы можем сказать, что скорость увеличения капитала при начислении сложных процентов не есть величина постоянная: она зависит от времени, истекшего от начала накопления процентов. Для того чтобы упростить выражение скорости роста капитала, мы можем ввести следующее обозначение.

Пусть в начале п-го года капитал равнялся Ап, в таком случае в течение /2-го года на него нарастет Ап ^ процентов. Следовательно, мы можем сказать, что скорость роста капитала в любом году пропорциональна наличию капитала к началу года, где коэфициент пропорциональности равен ^ (число постоянное). Здесь совершенно ясно видно, что чем прошло больше лет от начала роста капитала, тем больше величина капитала, а следовательно, и больше скорость роста капитала. Перейдем теперь к случаю, когда проценты причисляются к основному капиталу не по истечении целого года, а по истечении

— части года. Мы видели, что по истечении — части года величина капитала равна

по истечении — частей года величина капитала равна А ( 1 -{- )*; по истечении — частей года величина капитала равна

Следовательно, в течение первой доли (доля — это — часть года) количество начисленных процентов равно А ; по истечении второй доли количество наросших процентов равно A (l+^-g- и т. д.; в течение (k-^-\)-Pi доли года это количество равно А ( 1 -f )к . Следовательно, увеличение капитала происходит через каждую долю года, а не по истечении года.

Что же мы будем понимать под скоростью роста капитала? Мы будем говорить о скорости роста капитала в течение отлой доли года и будем измерять ее тем накоплением, которое было бы, если бы оно продолжалось в течение всего года.

Следовательно, в течение (k+ 1)-й доли года увеличение капитала составляет

А (1 + Гоол ) *Шп ;

в течение целого года это увеличение составило бы

А (а I Р \k ±-\ 1 т 100/2 / 100 *

(В этом определении скорости нет ничего искусственного: на основании знания пути, проходимого в 1, 2, 3 минуты движущимся телом, мы можем говорить о скорости движения, отнесенной к 1 часу.)

Итак, скорость увеличения капитала в течение (k+ 1)-й доли года равна

Так как величина капитала к началу этого промежутка времени равна А ( 1 -f- iq^)^> то скорость увеличения в течение (ft-j-l)fl доли года равна, следовательно, Ап .

Итак, мы видим, что и в этом случае скорость увеличения капитала пропорциональна тому количеству, которое было в начале части года; разница с предыдущим случаем лишь та, что скорость роста в этом случае меняется по истечении — части года, тогда как в предыдущем случае это изменение скорости роста имело место по истечении всего года.

Предположим теперь, что — —► 0, т. е. что причисление процентов к основному капиталу стремится перейти в непрерывно происходящий процесс. В таком случае скорость увеличения капитала не будет постоянна ни в каком промежутке времени, так как ——► ():

иными словами, в каждый момент времени будет своя скорость роста.

Эта скорость будет в данный момент времени пропорциональна количеству капитала, имеющемуся в данный момент времени согласно предыдущему заключению.

Следовательно, непрерывное нарастание сложных процентов характеризуется таким ростом капитала, при котором скорость роста в любой момент времени пропорциональна наличному количеству капитала в этот момент времени. Обратное утверждение тоже имеет место: если величина изменяется так, что скорость ее увеличения в любой момент времени пропорциональна значению величины в этот момент времени, это значит, что эта величина изменяется по закону непрерывного нарастания процентов.

12. СКОРОСТЬ УМЕНЬШЕНИЯ СТОИМОСТИ ОБОРУДОВАНИЯ

Очевидно, что эти рассуждения могут быть перенесены к случаю амортизации капитала. В самом деле, в данном случае мы имеем дело с уменьшением капитала.

Начальная стоимость Л оборудования по истечении / лет обращается в At = А ( 1 — ^~ ) ', в течение /-го года стоимость уменьшится на -тщ|- ; следовательно, называя скоростью уменьшения капитала — величину, на которую капитал уменьшается в течение одного года, мы можем сказать, что в данном случае скорость уменьшения капитала равна At ^ ; эта скорость есть величина переменная, ибо At есть величина переменная, зависящая от t. Можно сказать, что скорость уменьшения капитала для /-го года пропорциональна величине капитала At в начале этого года; коэфициент пропорциональности равен щ.

Обратимся к случаю, когдт уменьшение капитала по закону сложных процентов учитывается по истечении — части года.

И в этом случае мы констатируем, что в течение (k -f- 1)-й доли года капитал уменьшится на А ( 1 - i^j)*^ или , где

т. е. величина капитала (стоимость оборудования) в начале этой доли года. Называя скоростью уменьшения стоимости оборудования в течение доли года то количество, на которое уменьшился бы капитал в течение всего года, мы можем утверждать, что скорость уменьшения стоимости оборудования равна в течение (&-|-1)-й доли года Л^щ, т. е. пропорциональна той стоимости, которую имело оборудование к началу этого промежутка времени.

Далее, полагая, что — стремится к нулю, мы приходим к тому заключению, что скорость в каждый момент времени пропорциональна стоимости оборудования в этот момент времени, где коэфициент пропорциональности равен щ.

Обратно, мы утверждаем, что если величина уменьшается во времени так, что скорость в момент времени t уменьшения пропорциональна значению At этой переменной в момент времени /, то

jAt — i4Q er ,

где k — коэфициент пропорциональности (loo) и ^° — начальное значение этой переменной величины (при £ = 0).

Такая формулировка непрерывного начисления сложных процентов позволяет выразить некоторые закономерности, с которыми мы встречаемся при изучении явлений природы.

13. ЗАКОН НЬЮТОНА

Пусть в среде, температура которой есть величина постоянная Т\ помещено тело более высокой температуры Т0; в таком случае температура этого тела, если ее не поддерживать, будет уменьшаться. Следовательно, температура этого тела, а следовательно, и разность температур тела и окружающей среды будут уменьшаться во времени. Опытами установлено, что скорость уменьшения разности температур есть тоже величина переменная: в любой момент времени она пропорциональна разности температур в этот момент времени.

Пусть в момент времени t разность температур есть At, а коэфициент пропорциональности равен а. Следовательно, скорость уменьшения равна Ata; значит мы имеем дело с процессом, аналогичным процессу уменьшения стоимости оборудования по закону непрерывных сложных процентов. Это значит, что

At = A0e-*t.

Так как А0 — начальное значение разности температур — равно Т0—Г', то

At = (T0-r)e-*<.

Так как величина V не изменяется, то, обозначая температуру тела в момент времени / через Тр мы имеем, что

Итак

или

(1)

Эта формула позволяет вычислить температуру охлаждающегося тела в любой момент времени ty если известны: Т{) — начальная температура тела, Т{ — температура среды, a — коэфициент пропорциональности скорости охлаждения, зависящий от природы охлаждающегося тела.

Если а неизвестна, то мы должны узнать опытным путем температуру тела Тп в какой-нибудь момент времени tv

Тогда Тп = Р+(Т0 — Т)е-«\ откуда можно вычислить а, ибо все прочие величины известны.

Лучше поступить так.

Из последнего равенства определяем

следовательно, е

Подставляя полученное выражение для е~а в формулу (1), получим:

Пример. Если в комнату с температурой в 20° внесено тело при температуре в 100° и по истечении 20 минут температура тела упала до 60°, то через сколько времени температура тела упадет до 30°?

В этом случае 7' = 20; Т0 = 100; t} = 20; 7^ = 60; следовательно, формула

Г, = 20 + 80 (y)2ö

выражает закон изменения температуры тела в зависимости от времени. При Г, = 30° имеем

= 60 минут.

14. РАСПАД РАДИЯ И ВОЗРАСТ ЗЕМЛИ

При распаде радия тоже имеем место с аналогичной закономерностью. Скорость распада радия, как установлено опытом, пропорциональна наличному его количеству. Следовательно, если количество радия в момент времени / есть Rt, то скорость распада (уменьшения количества радия в единицу времени) есть Rta. Следовательно,

где /?0 — количество радия, имевшегося в момент начала опыта (при t = 0), а — коэфициент пропорциональности (щ).

Эта формула позволяет предсказать, каково будет количество радия по истечении любого промежутка времени, и установить, каково оно было в моменты времени, предшествующие моменту начала опыта.

Эта формула сыграла большую роль в определении возраста земной коры.

В самом деле, пусть в начальный момент появления радия в земной коре (в результате вулканического извержения) его количество равно было /?0; после затвердевания породы продукты распада радия остаются внутри породы.

Пусть в данный момент времени мы извлекаем часть изверженной породы с заключенными в ней радием и продуктами распада.

Количество радия в данный момент времени (т. е. по истечении t лет после отвердевания породы) равно R0e

Определив количество В продукта распада, имеем, что

Rt + B = R0 или R0e~*' + Я = /?0. Отсюда

Так как числа а, В, /?0 нам известны, то можем определить t — время существования отвердевшей породы, а следовательно, возраст земной коры, — он, оказывается, превышает 1500 млн. лет.

Число а (коэфициент скорости распада) определяется опытным путем.

Примечание, t есть число положительное, ибо B<^R0 и, следовательно, 0 < 1 — <С 1 » а логарифм положительного числа, меньшего единицы, при основании, большем единицы, есть число отрицательное, а потому t есть число положительное.

15. РОСТ КЛЕТОК

При размножении клеток древесины, низших организмов (бактерий) мы имеем дело с увеличением их количества, причем скорость роста пропорциональна их наличному количеству.

Так как нарождающиеся бактерии, в свою очередь, начинают размножаться, то мы имеем дело с процессом, близким к процессу увеличения капитала сложными процентами. Чем нарождающиеся бактерии скорее созревают, чтобы производить новые, тем процесс их роста точнее может быть описан с помощью сложных процентов, начисляемых непрерывно.

Следовательно, количество бактерий At в момент времени t может быть вычислено по формуле:

At — A0e ,

где А0 — начальное их количество, а а — коэфициент скорости их размножения, зависящий от природы бактерий.

Количество древесины в дереве изменяется от времени вследствие разложения клеток.

Следовательно, это количество также может быть вычисляемо по формуле:

At=A0e ,

где а—коэфициент скорости роста, зависящий от породы дерева и почвенных и климатических условий.

Эта формула имеет большое применение при рациональном ведении лесного хозяйства, так как позволяет учитывать величину прироста древесины и эксплоатировать лесные массивы, учитывая ежегодный прирост древесины, не уменьшая начального его количества, т. е. сводя ежегодно количество деревьев с объемом древесины равным ежегодному приросту массива.

16. ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

Мы видим, что при изучении весьма разнообразных явлений природы мы имеем дело с числом е, причем число приведенных выше примеров можно было бы умножить.

Мы, рассматривая эти примеры, приходим к заключению, что число е появляется при изучении зависимостей между такими переменными величинами, изменение которых протекает аналогично изменению капитала при нарастании сложных процентов непрерывно.

Лучше сформулировать эту мысль так: число е появляется при изучении тех переменных величин, скорость изменения которых в любой момент времени пропорциональна значению этой величины в этот момент времени.

Не нужно, конечно, думать, что формулы, которые мы вывели, точно отражают процесс изменения изучаемых величин.

В каждом случае мы упрощали процесс, не учитывая ряда факторов, абстрагируясь от них. При выводе барометрической формулы мы не принимали во внимание температуры воздушных течений; при изучении охлаждения тела мы базировались на опытном законе, что скорость охлаждения пропорциональна разности температур, и не принимали во внимание того факта, что окружающая среда должна вследствие излучения охлаждающегося тела менять свою температуру: при выводе формулы изнашивания оборудования считали процент изнашивания постоянным, в то время как он зависит от условий, в которых происходит процесс изнашивания, от степени бережного отношения к инструментам и т. д.; при выводе формулы для вычисления работы при сжатии воздуха мы пренебрегали тем фактором, что при сжатии воздуха он должен нагреваться, что будет влиять на давление, считали, что изменение давления воздуха с изменением объема вычисляется по закону Бойля-Мариотта, который является далеко не точным и т. д.

Следовательно, мы изучали не тот самый процесс, который имеет место в природе, в технике, а другой, упрощенный, а потому наши формулы не являются абсолютно точными.

Но мы знаем, что никакая формула не может описать явление точно уже по одному тому, что во всяком процессе мы имеем бесчисленное множество величин, с влиянием которых мы не считаемся; отбрасывая эти факторы, обращая внимание на главные из них, которые в общем определяют ход процесса, получаем формулы, приближенно выражающие изучаемый закон природы. По мере необходимости происходит при изучении явлений природы и использовании сил природы для нашей культуры учитывание все новых и новых факторов, с которыми до сих пор не считались и, таким образом, подходят все глубже и полнее к познанию изучаемого явления природы.

Мы видели, как математика помогает в деле изучения зависимостей между переменными величинами при изучении явлений природы, применяя к разнообразным явлениям часто один и тот же метод, глубина которого и дальнейшее расширение выступают особенно ярко при изучении явлений природы средствами высшей математики.

Настоящая статья (с точки зрения высшей математики) трактует об элементарных методах решения диференциального уравнения вида

f(x) = kf{x).

ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА

П. ЯКОВЛЕВ (Самара)

Известно, что предложением более общим, чем теорема Пифагора, является теорема Паппа (Pappus, IV ст. нашей эры): параллелограм, построенный на одной стороне треугольника, внутрь его, и имеющий две вершины лежащими вне треугольника, равновелик сумме параллелограмов, построенных на двух других сторонах треугольника так, что стороны их, противолежащие сторонам треугольника, проходят через вершины первого параллелограма.

Эта последняя теорема сама представляет частный случай другой, более общей теоремы, что мы и покажем.

Для сокращений в дальнейших рассуждениях введем некоторые теоремы.

Будем называть всякий параллелограм, построенный на стороне выпуклого многоугольника, внешним, если он расположен вне многоугольника, как, например, параллелограмы AKLB и BMNC (черт. 1). Всякий же параллелограм, построенный на стороне многоугольника и расположенный полностью или частью внутри многоугольника, как, например, CPQD и ARSD, будем называть внутренним.

Обратимся теперь к нашей теореме. Она состоит в следующем: если на сторонах многоугольника построены параллелограмы так, что после замены их некоторыми, им равновеликими, параллелограмами, стороны последних, противолежащие сторонам многоугольника, образуют многоугольник, равный данному, то сумма площадей внешних параллелограмов будет равна сумме площадей внутренних.

Предполагается, что, производя замену данных параллелограмов им равновеликими, мы внешние заменяем внешними и внутренние — внутренними.

Доказательстве. Пусть дан многоугольник ABCD (черт. 1) и допустим, что на сторонах его построены такие параллелограмы AKLB, BMNC, CPQD, и ARSD, которые могут быть заменены равновеликими им параллелограмами AAfB*B, ВВ'С'С, CCf DfD и AA'D'D такого рода, что стороны последних, А'В', В'С, CD1 и D'A', противолежащие сторонам данного многоугольника ABCD, образуют многоугольник A'B'C*D\ равный данному.

Не трудно видеть, что это вполне возможно.

Докажем теперь, что сумма площадей внешних параллелограмов, т. е. AKLB 4-+BMNC, равна сумме площадей внутренних, т. е. CPQD ч- ARSD. Для этого, очевидно, нужно только доказать, что AAfB*B -f--t- BB'CC=CCtD'D + AA'D'D.

Чтобы получить последнее равенство, отнимем от фигуры AA'B'C'CD сначала многоугольник АВСО, а затем, от той же фигуры, равный ему многоугольник A'B'CD*. После первого вычитания получим площадь, равную сумме площадей внешних параллелограмов, и после второго — внутренних. Отсюда следует, что сумма площадей внешних параллелограмов равна сумме площадей внутренних, что и требовалось доказать.

Если бы условились считать площади внутренних параллелограмов, скажем, положительными, а внешних — отрицательными, то можно было бы тогда сказать, что сумма площадей всех построенных нами параллелограмов равна нулю.

Полагая число сторон могоугольника равным трем, мы приходим к теореме Паппа как частному случаю рассмотренной выше теоремы.

Рассуждениями, подобными предыдущим, не трудно убедиться в существовании аналогичного положения и для пространства. В этом случае роль многоугольника будет играть многогранник, а роль параллелограмов — призмы.

Черт. 1.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ

Асс. И. ТУРБОВИЧ (Москва)

Формирование взглядов на строение материи развивалось в борьбе двух точек зрения: непрерывной материи и дискретной (прерывной).

Первые мысли о прерывности материи возникли еще в V в. до нашей эры. Философы-материалисты того времени, как Демокрит, Левкипп, Лукреций, высказали мысль, что все тела состоят из мельчайших частиц вещества — атомов.

Они правильно представляли себе материю как состоящую из отдельных частиц — молекул, рассеянных в пустоте и находящихся в непрерывном движении.

В XVII в. учение древних философов вновь возродилось, но уже как учение о молекуле— сложной составной частице, состоящей из неделимых частиц — атомов.

Конец XIX в. показал, что „неделимый“ атом делится, разбивается на свои составные части, еще более мелкие частицы — электроны и протоны.

До XX в. свет считался обладающим непрерывной волновой структурой. 1900 г. принес квантовую теорию — учение о свете как потоке отдельных порций энергии — квант. Этим последним открытием, казалось, был положен конец спорам о прерывности и дискретности материи. Материя была признана дискретной.

Но дело обстояло не так просто, как это казалось вначале. Квантовая теория света, замечательно объясняющая одни стороны излучения, совершенно не давала ответа на такие вопросы, как интерференция и диффракция света. Приходилось при рассмотрении различных вопросов придавать свету то волновую, то корпускулярную структуру.

Таким образом, удавалось получить ответ на большинство вопросов, но на самый основной: что же представляет собою свет — поток отдельных частиц или волны,— получить ответа не удалось.

К этому времени открылось новое явление — диффракция электронов. Электрон — элементарная частица, обладающая массой и зарядом— оказался обладающим волновыми свойствами. Это внесло еще большие трудности в объяснение структуры материи. И вот осень 1925 г. ознаменовывается новой наукой, новой квантовой механикой — волновой механикой.

Новая квантовая механика дает синтез обеих точек зрения — прерывности и непрерывности. Она объясняет свойства материи как состоящей из отдельных частиц и вместе с тем дает ответ на такие вопросы, как диффракция электронов и вопросы, связанные с волновой структурой материи.

I. ЭЛЕКТРОН — ПРОТОН

Мысль о том, что электрический ток является потоком мельчайших частиц электричества, зародилась давно. Довольно естественно было считать, что если все тела состоят из мельчайших частиц — атомов, то почему бы и электричеству не состоять из мельчайших частиц электричества — электронов.

Экспериментальное подтверждение эта теория получила благодаря открытию катодных лучей. Катодные лучи были открыты при исследовании прохождения электрического тока через разреженные газы.

При уменьшенном давлении в разрядной трубке изменяется характер свечения газа, пока, наконец, при очень низком давлении газа в трубке явление свечения газа почти прекращается, а стекло на противоположном катоду конце трубки начинает флуоресцировать. Было сделано предположение, что эта флуоресценция вызывается лучами, выходящими из катода (благодаря чему эти лучи и получили название катодных).

Далее было замечено, что катодные лучи обладают свойством отклоняться под влиянием электрического и магнитного поля. По притяжению этих лучей к положительно заряженной пластине было установлено, что эти лучи несут отрицательный заряд.

Было сделано предположение, что лучи представляют собою ноток элементарных частиц отрицательного электричества — электронов.

Под влиянием электрического поля пучок электронов не рассеивался. Отсюда можно было вывести, что все электроны обладают одинаковым зарядом.

Далее было установлено, что эти частицы обладают свойством инерции. Это свойство могло проявиться только благодаря тому, что электрон обладает массой. Вывод из всех этих опытов следующий.

Существуют элементарные частицы — электроны, обладающие одинаковым электрическим зарядом и одинаковой массой.

Очень интересны опыты Эренгафта и Милликена, благодаря которым они установили дискретную структуру электричества и величину заряда электрона.

Всякое тело можно в той или иной мере наэлектризовать. Если бы электричество имело непрерывную структуру, то мы могли бы увеличивать заряд непрерывно, т. е. могли бы его увеличить на произвольно-малую величину. Если же электричество состоит из отдельных частиц — электронов, то изменить заряд тела меньше, чем на заряд электрона, невозможно. Для того чтобы это проверить, Эренгафт и Милликен поставили следующий опыт.

Между двумя пластинами конденсатора помещается очень маленькая капелька ртути

(радиусом в стотысячные доли сантиметра). Капелька заряжается пропускаемыми через отверстие лучами. Нижнюю пластинку конденсатора заряжали одноименно с зарядом капельки, а верхнюю — противоположно. Потенциал подбирается таким образом, чтобы сила электрического взаимодействия между пластинами конденсатора и заряженной капелькой как раз уравновешивалась весом капельки. Благодаря этому, капелька висела как раз посредине между пластинами конденсатора. При освещении капельки ультрафиолетовыми лучами ее заряд изменялся, и капелька выходила из состоянии равновесия. Для приведения капли в равновесие приходилось изменять потенциал пластин конденсатора.

Зная вес капельки и зная величину изменения потенциала пластин конденсатора, можно рассчитать изменение заряда капельки.

Результат получился следующий: заряд капли изменялся всегда на одну и ту же величину, которая, очевидно, представляла собой не что иное, как величину заряда электрона. Величина этого заряда оказалась равной £ = 4,774-10“10 электростатических единиц.

Таким образом была окончательно установлена дискретная структура электричества.

Определить массу и скорость электрона можно по отклонению пучка электронов под действием электрического и магнитного поля. Точнее, таким образом можно определить не массу, а отношение заряда к массе —, но, зная заряд (на основании опытов Милликена), можно определить и массу.

Определение происходит следующим образом.

Наблюдается отклонение пучка электронов под влиянием электрического поля. Траектория электрона будет параболой. Ускорение электрона под влиянием электрического поля прямо пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально его массе.

= —= — m m

е — заряд электрона, m — масса п

а — ускорение в направлении, перпендикулярном к его скорости,

Е— напряженность электрического поля.

Путь, пройденный электроном под влиянием действующей на него силы (отклонение от прямолинейного пути):

Время /, которое нужно электрону, чтобы пробежать конденсатор t = — , где / — длина конденсатора v — скорость электрона. Отсюда выводим:

Напряженность поля Е и длина конденсатора / нам известны. Отклонение S можно измерить.

Неизвестными остаются— и v.

Далее мы помещаем пучок электронов в магнитное поле и наблюдаем отклонение в магнитном поле.

Не приводя вычислений, дадим готовый результат:

где k — отклонение под действием магнитного поля, H — напряженность магнитного поля, d — расстояние, которое прошел электрон в магнитном поле. Таким образом, мы получаем два уравнения, из которых, исключив v, мы можем найти —, или, наоборот, зная —, можно определить скорость электрона.

В результате многих измерений получилась величина

— = 5,298-10“,

где /юэ обозначает массу электрона при скорости, значительно меньшей скорости света.

Отсюда, подставляя вычисленное Милликеном значение заряда, получаем для массы электрона величину /я0=9,01 • 10~28 г. Сравнивая массу электрона с массой водородного атома, находим, что масса электрона в 1848 раз меньше массы водородного атома.

Немного необычна оговорка: „Масса при скорости, значительно меньшей скорости света“. Ведь по классической физике масса от скорости не зависит. Но, как показал Эйнштейн, масса от скорости не зависит только в первом приближении — при скоростях, значительно меньших скорости света. В этом отношении права классическая физика, оперировавшая только со скоростями, очень незначительными по сравнению со скоростью света. При изучении же физики атома, где приходится сталкиваться со скоростями, вполне соизмеримыми со скоростью света, законы классической физики уже недостаточны.

По знаменитому закону Эйнштейна масса движущегося тела зависит от его скорости по формуле:

где т0 — масса в состоянии покоя, v —скорость тела, с — скорость света = 30 000 км в секунду.

Из этой формулы видно, что с увеличением скорости масса тела должна увеличиваться.

Для обычных тел это увеличение массы незаметно, так как их скорости по сравнению со скоростью света черезвычайно малы

Что же касается электронов, то они обладают скоростями, доходящими до 0,9 скорости света, так что для них „эффект Эйнштейна“ должен сильно сказываться. И действительно, опыт показал, что с увеличением скорости электрона отношение — значительно уменьшается, что при постоянстве заряда свидетельствует об увеличении массы электрона.

Экспериментальные опыты блестяще подтвердили предположенное Эйнштейном увеличение массы со скоростью.

В таблице 1 приводим результаты опытов, производившихся Гижа и Леванши.

Бухерер произвел проверку на более широком диапазоне скоростей. Результаты, полученные им, приведены в таблице 2.

Для установления размера электрона пользуются вытекающей из теории относительности Эйнштейна эквивалентностью энергии и массы.

По Эйнштейну, масса равна энергии, деленной на квадрат скорости света.

т = Г>'

С другой стороны, всякое заряженное тело обладает потенциальной энергией, величина которой для тела, имеющего форму шара, выражается формулой:

где е — электростатический заряд, г — радиус шара. Если мы предположим, что электрон имеет форму шара и что масса электрона в состоянии покоя определяется исключительно электростатической энергией его заряда, то, сравнивая две вышеприведенных формулы, мы получаем для радиуса электрона г=—^; подставляя известные нам величины еу m и с, получаем значение г= 3-10 “ 13 см.

Это значение величины электрона правдоподобно, поскольку радиус электрона оказывается в 105 раз меньше радиуса атома.

Применение закона эквивалентности энергии и массы в таком, казалось бы, далеком

Таблица 1

Отношение скорости электрона к скорости света —..................

0,2808

0,3551

0,4097

0,4591

0,4829

Отношение массы электрона к массе „покоя“ по наблюдениям Гижа и Леванши ....

1,042

1,070

1,101

1,122

1,139

Вычисленное ...............

1,042

1,069

1,096

1,126

1,142

Таблица 2

— отношение скорости электрона к скорости света . . .

0,01

0,10

0,3

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,95

0,98

Отношение массы электрона к массе „покоя* -^т-.....

1,000

1,005

1,048

1,115

1,250

1,400

1,667

2,94

3,203

5,025

от этого закона вопросе, как нахождение размеров электрона, не случайно.

Эквивалентность энергии и массы красной нитью проходит по современной атомной физике.

Например, увеличение массы электрона со скоростью вызвано именно тем, что с увеличением скорости растет его кинетическая энергия w = ^-, а тело, обладающее большей энергией, обладает большей массой. Ниже мы встретимся с вопросами устойчивости соединения двух частиц. Соединение двух частиц для того, чтобы оно было устойчиво, должно обладать меньшей потенциальной энергией, чем сумма потенциальных энергий отдельных частиц, а следовательно, устойчивое соединение должно обладать меньшей массой, чем сумма масс отдельных частиц.

Последние годы показали возможность превращения энергии в массу покоя. Как мы увидим ниже, наблюдались случаи, когда квант света, не обладающий массой покоя, превращался в позитрон и электрон, которые, как известно, имеют массу покоя. Можно было бы привести еще много таких примеров, но мы ограничимся вышеприведенными.

Особенно занимает физику проблема обратного превращения массы покоя в энергию. Следующий пример иллюстрирует колоссальные количества освобождающейся при этом энергии.

Для того чтобы представить себе количество энергии, заключающейся в 1 кг вещества, я поставил себе задачу: вычислить, какое время должна работать Волховская электростанция, чтобы выработать то же количество энергии, которая заключается в 1 кг вещества.

Е = tnc- ;

подставляя m = 1 кг = 103 г;

получаем

Е=тс2 = 9-\02* эрг.

Мощность Волховской ГЭС 50 000 тт. 1 л*/я/*. = 3,6-Ю1» эрг. Следовательно, время, которое должна работать электростанция:

--^-= 5-105 часов = 5,8 лет.

Для того чтобы выработать энергию, заключающуюся в 1 кг вещества, Волховская ГЭС должна работать 5,8 лет !

Теперь перейдем ко второму из двух, до самого последнего времени фигурироваших в атомной физике, виду частиц — протону. Протон был открыт не намного позже электрона, в каналовых лучах. Мы уже говорили, что при разряде в наполненной сильно разреженным газом трубке из газовых молекул освобождаются электроны, которые движутся по направлению к аноду в виде катодных лучей.

Получающиеся при этом положительно заряженные ионы движутся в обратном направлении. Если просверлить катод, то часть положительно заряженных частиц проходит через отверстие и образует позади катода так называемые каналовые лучи.

Изучение природы каналовых лучей производилось теми же методами, как и катодных лучей, но отклонение их под действием электрического и магнитного полей было во много раз меньше, чем у катодных лучей, т. е. их удельный заряд значительно меньше величины отношения заряда к массе —, чем для электронов.

Предполагая, что заряд этих частиц равен заряду электрона, можно заключить, что их масса значительно больше массы электрона. Получая каналовые лучи при пропускании электрического тока через различные газы, Дж. Дж. Томсон показал, что каждому газу соответствует особый сорт лучей, частицы которых обладают разными массами. Наименьшей массой обладали частицы каналовых лучей водорода. Эти частицы были названы протонами. Отношение заряда к массе у протона в 1840 раз меньше, чем у электрона. Следовательно, масса протона в 1840 раз больше массы электрона. Как мы ниже увидим, протон представляет собой не что иное, как ядро атома водорода.

Размер протона подсчитывается совершенно так же, как и размер электрона. Но ввиду того, что масса протона почти в 2000 раз больше массы электрона, размеры протона получаются почти в 2000 раз меньше размеров электрона. Этот результат более или менее совпадает с размерами, которые были вычислены для ядра атома водорода другими путями.

Ввиду того, что частицам каналовых лучей каждого элемента соответствует свое отношение заряда к массе, можно было применить способ определения ^ к химическому анализу газов. И действительно, если в разрядной трубке мы имеем смесь частиц с различной массой, то под действием электрического и магнитного поля они получат разные отклонения, тем большие, чем меньше масса частиц.

Астон сконструировал на основе этого принципа массовый спектрограф. При помощи массового спектрографа было показано, что большинство элементов состоит из атомов, обладающих различным атомным весом — изотопов. Так, например, неон (атомный вес 20,2) оказался состоящим из атомов с атомным весом 20 и 22. Литий имеет изотопы 7 и 6 и т. д. Совсем недавно был обнаружен изотоп водорода с атомным весом 2.

II. СТРОЕНИЕ АТОМА И КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ.

Строение атома из электронов и протонов и радиоактивность показали, что атом как неделимая частица представлен быть не может. Атомы различнейших веществ оказались состоящими из одних и тех же частиц — электронов и протонов. Были предложены различные теории строения атома, которые в большей или меньшей мере объясняли свойства материи. Мы приведем здесь только одну теорию строения атома, предложенную Резерфордом и дополненную Бором.

Но ввиду того, что Бор опирается на квантовую теорию, напомним вкратце основные моменты этой теории.

Введенные Планком в начале XX в. постулаты заключаются в следующем.

Свет представляет собой поток отдельных порций энергии — квант, или фотонов. Энергия этих частиц не может быть любой, а должна быть кратной постоянной /г.

Связь между энергией отдельного кванта и частотой колебания света следующая: энергия равна частоте световых колебаний, умноженной на квантовую постоянную h:

e = Äv.

Чем больше частота света, тем больше энергия отдельного кванта. Видимый свет, рентгеновы лучи, гамма-лучи имеют одинаковую структуру и отличаются друг от друга только энергией их отдельных квантов.

Перейдем теперь к теории строения атома в том виде, в каком она была предложена в 1913 г. Нильсом Бором.

Основным достоинством этой теории было то, что она впервые в стройном виде, математически показала связь материи с излучением.

Несмотря на то, что в настоящее время теория Бора подверглась существенным изменениям, желательно было бы в кратких чертах ознакомиться с этой теорией.

Бор для своей теории целиком принял резерфордовскую модель атома с дополнениями, сделанными Ван-дер-Бреком.

Атом представляет собой планетарную систему, в центре которой находится ядро, заряженное положительно. Вокруг ядра вращаются отрицательно заряженные электроны.

Связь между зарядом ядра и числом электронов с порядковым номером и атомным весом данного элемента устанавливается еле* дующая:

Число внешних электронов (вращающихся вокруг ядра) равняется порядковому номеру элемента Z.

Число протонов в ядре равно атомному весу элемента А.

Число электронов, находящихся внутри ядра, равно разности между атомным весом элемента А и его порядковым номером Z:

A — Z.

Отсюда мы видим, что число электронов равно числу протонов, и атом в обычном состоянии нейтрален.

Ввиду того, что вес электрона по сравнению с весом протона незначителен (веса относятся как 1:1840), атомный вес элемента целиком определяется количеством протонов в ядре атома.

Приводим таблицу, из которой ясно соотношение составных частей атомов некоторых элементов (см. стр. 36).

В основу теории Бора легли постулаты — предположения, которые он ввел, не доказывая их истины. Даже более того, эти постулаты на первый взгляд противоречили „здравому смыслу".

Постулат первый. При круговом движении электрона вокруг ядра возможны не все орбиты, а только те, которые удовлетворяют уравнению.

2wvm = kh где Ä=l, 2,3,4...

г — радиус орбиты,

V — скорость электрона,

m— масса,

h — квантовая постоянная Планка, k — целое положительное число. Это значит, что электрон может находиться только на тех орбитах, радиус которых будет равен целому числу, умноженному на величину

2гс rvm *

На промежуточной орбите электрон не может находиться.

Таблица 3

Название элемента

Обозначение

Порядковый номер

Атомный вес

Число внешних электронов

Число протонов в ядре

Число ядерных электронов

Водород .......

H

1

1

1

1

0

Гелий ........

Не

2

4

2

4

2

Литий........

Li

3

7

3

7

4

Железо.......

Fe

26

56

26

56

30

Золото ......

Au

79

197

79

197

118

Радий .......

Ra

83

226

88

226

138

Уран.......

и

92

238

92

238

146

Постулат второй.

Из классической физики известно, что движущийся с ускорением электрон должен излучать.

Круговое движение есть частный случай ускоренного движения. Отсюда с классической точки зрения электрон при движении вокруг ядра должен непрерывно излучать, т. е. терять энергию. При этом условии существование стабильного атома было бы невозможно. Чтобы избежать этого, Бор вводит второй постулат:

„При движении электрона по одной из круговых орбит, удовлетворяющих постулату первому, электрон не излучает“.

И, наконец, самый интересный — третий постулат.

При перескоке (падении) электрона с одной возможной орбиты на другую возможную орбиту освобождается энергия. Вся освобождающаяся энергия целиком переходит в один квант лучистой энергии.

Ek—Et=hv.

Ек — энергия электрона на /г-той орбите, Et— м » п «-той

h —постоянная Планка, v —частота испускаемого света. Частота света, испускаемая атомом, равна таким образом,

Ek—Ei v=-V<.

Отсюда можно сделать вывод: свет излучается при перескоке электрона с одной орбиты на другую. Частота излучаемого света пропорциональна разности энергий электрона на разных орбитах.

Можно показать, что у атомов различных элементов разность энергий при возможных перескоках электрона с одной орбиты на другую различна.

Следовательно, и частота излучаемого при этих перескоках света у — ^к? — различна.

Отсюда ясно, почему атомы различных элементов обладают способностью испускать свет различной частоты, т. е. спектры излучения различных элементов отличаются друг от друга.

Перескоки электронов с одной дозволенной орбиты на другую могут быть вызваны рядом причин, как, например, нагреванием тела, столкновением атомов между собой, столкновением с какой-либо летящей частицей, например электроном, протоном, альфа-частицей. Может быть это вызвано и облучением каким-либо светом. При этом случается, что электроны вообще вырываются из атомов (фотоэффект) и т. д.

На свойстве молекул некоторых солей под действием ударов летящих частиц излучать видимый свет основано устройство сконструированного Резерфордом прибора, позволяющего регистрировать и распознавать отдельные частицы.

Если мы флуоресцирующий экран будем бомбардировать альфа-частицами, то альфа-частицы, ударяясь в атомы солей, покрывающих экран, будут ударять по электронам, заставлять их перескакивать с одной орбиты на другую. Таким образом, экран начинает светиться. Если этот экран будем рассматривать нод микроскопом, то отдельные вылетающие кванты будут давать впечатление вспышек.

Другой способ, служащий для обнаружения отдельных частиц, предложенный в 1910 г. Вильсоном (С. Т. R. Wilson), заключается в следующем. Если водяные пары, не насыщающие пространства, внезапно расширить, то степень их насыщения увеличивается. Это происходит вследствие того, что при расши-

рении пар производит работу и вследствие этого охлаждается.

Но для образования тумана (водяных капелек) из пересыщенного водяного пара необходим центр для осаждения пара и образования водяных капелек. Роль таких центров играют заряженные частицы: электрон, протон, альфа-частицы, ионы и т. д.

Схема камеры Вильсона следующая: сосуд с поршнем освещается сильным источником света. Поршень быстро выдвигается, и при этом водяной пар переходит в пересыщенное состояние. Если при этом в камере будет двигаться заряженная частица, она на своем пути ионизирует молекулы воздуха. На образовавшихся ионах моментально осаждаются пары воды. На всем пути альфа-частиц или электрона образуется полоска из водяных капелек, которая благодаря освещению ярко выделяется. Эти полоски можно фотографировать. Чертеж 1 показывает фотографию следов электрона и альфа-частиц. Альфа-частица оставляет после себя жирный след. Электрон, обладающий меньшей массой, чем альфа-частица, ионизирует не все молекулы воздуха на своем пути. Поэтому его путь вырисовывается в виде отдельных точек „пунктира“.

III. ОТКРЫТИЯ ПОСЛЕДНИХ ЛЕТ

Начиная с конца 1925 г. на смену старой квантовой теории пришла волновая механика. Достоинством волновой механики является возможность математически показать синтез как волновых, так и корпускулярных свойств излучения и материи. Волновая механика позволяет рассчитать математически многие явления, которые с точки зрения старой квантовой механики не могли быть объяснены.

Недостатком волновой механики является ее малая наглядность, „математичность“ ; кроме того, волновая механика не объясняет внутриядерных явлений. Вглубь ядра пока с математическими расчетами забраться не удается. Это является слабым местом современной атомной физики.

Двойственная природа света (свет — синтез корпускул и волн) и двойственная природа электронов, обладающих кроме корпускулярных свойств также волновыми, привели к мысли об единстве материи и излучения.

Де-Бройль в 1926 г. выдвинул теорию, по которой всякая материя обладает волновыми свойствами. Де-Бройль в своей теории показал, что длина волны частицы обратно пропорциональна массе частицы m и скорости v: и

При пропускании электронов через кристаллические пленки оказалось, что они диффрангируют, т. е. ведут себя так, как вел бы себя свет с длиной волны.

mv

В настоящее время диффракция электронов настолько известная вещь, что в некоторых случаях при исследовании металлов делают не рентгенограммы, а электронограммы, т. е. вместо рентгеновых лучей пользуются потоком электронов.

Черт. 1

Естественно было бы ожидать, что и протон обладает волновой структурой.

Получить диффракцию протонов (масса М) долгое время не удавалось, так как длина волны его^=^> ввиду того, что M почти в 2000 раз больше ту значительно короче.

В настоящее время удалось получить картину диффракции протонов, таким образом волновая структура материи окончательно установлена.

За последние годы (1931 — 1932) были открыты две новые элементарные частицы — „нейтрон“ и „положительный электрон“, или „позитрон“. Экспериментальные предпосылки этого открытия были следующие: в 1930 г. Ботэ и Беккер (Bothe und

Becker) открыли, что при бомбардировке альфа-частицами атомы легких металлов начинают испускать жесткие гамма-лучи, или (что то же самое) свет, обладающий очень короткой длиной волны. Если бы это гамма-излучение наблюдалось только у таких металлов (как, например, бор, алюминий), которые при тех же условиях обладают способностью излучать электроны, то невольно напрашивалась бы аналогия с уже известным радиоактивным превращением элементов, которое также связано с гамма-излучением. Но дело было не так. Гамма-излучение проявилось также у таких элементов, как литий и бериллий, не обладающих способностью излучать электроны, причем у бериллия гамма-излучение проявилось значительно сильнее, чем у бора и алюминия.

Это внесло очень большие трудности в объяснение явления излучения гамма-лучей, тем более, что при этом, как показали Ботэ и Беккер, не соблюдался баланс энергий (сумма энергии до столкновений альфа-частиц с атомом не равнялась сумме энергии после столкновения).

В это же время Ирен Кюри (дочь знаменитых супругов Кюри, открывших радиоактивность) и Ф. Жолио (I. Curie, F. Joliot), сделав аналогичные опыты, показали, что, кроме гамма-излучения, атомы бериллия излучали еще какие-то, совершенно до сих пор неизвестные лучи, которые обычными, до сих пор применявшимися, методами не могли быть обнаружены. Природу этих лучей выявил Чадвик (Chadwick). Обычный метод, при помощи которого определялось движение заряженных частиц, как, например, электрон, протон, альфа-частица, результатов не дал, так как вновь открытые лучи не обладали способностью ионизации переохлажденного пара в камере Вильсона. Отсюда Чадвик заключил, что эти лучи не несут с собой электрического заряда. Проявляли себя эти лучи только при столкновении с ядром какого-либо атома. При этом ядро начинало двигаться с большой скоростью.

Отсюда Чадвик заключил, что эти лучи представляют собой поток частиц, не имеющих электрического заряда. Это были нейтроны, существование которых предполагал значительно раньше ряд физиков.

Дальше Чадвик приступил к определению массы нейтрона. На основании следа в водяном тумане, оставляемого движущимся ядром атома водорода или другого вещества, можно судить о его скорости. Масса атома хорошо известна, отсюда, если бы мы знали скорость нейтрона до и после столкновения с данным атомом, то на основании элементарных законов упругого удара легко было бы определить массу нейтрона.

Но дело в том, что скорость нейтрона неизвестна. Из этого затруднения Чадвик нашел выход, сравнивая между собой скорости, которые получают при столкновении с летящим нейтроном ядро атома азота и более легкое ядро атома водорода.

Результат, который получился, соответствовал ожиданиям: нейтрон имел атомный вес, равный единице, т. е. тот же атомный вес, что и протон, а заряд его оказался равным 0.

Очень интересна способность нейтрона проникать через материю. Не имея электрического заряда, нейтрон не подвергается силам электрического взаимодействия ни с положительно заряженными ядрами, ни с отрицательно заряженными электронами. Пучок нейтронов проходит через свинцовую пластинку толщиной в\0см, ослабевая только на 25 — 30°/о-

Чертеж 2 наглядно показывает прохождение нейтронов через атомы вещества.

Сравнительно недавно Андерсеном и Блаккетом (Кембридж) при изучении космического излучения были открыты новые частицы. Наблюдение за отклонением этих частиц в электрическом и магнитном поле показало, что эти частицы обладают одинаковым с электроном отношением заряда к массе, но отклонение в электрическом и магнитном поле происходит не в ту сторону, в которую отклоняются обычные электроны, а в обратную.

Из этих наблюдений можно было заключить, что эти частицы обладают массой, равной массе электрона, и зарядом, равным, но противоположным по знаку, заряду электрона.

Эти частицы были названы позитронами. Опыты по изучению позитронов производились следующим образом: космические лучи, которые обладают очень большой энер-

Черт, 2

гией, пропускались через газ в камере Вильсона. При этом то в том, то в другом месте в вильсоновской камере происходило одновременное образование позитрона и электрона. Для того чтобы объяснить это явление, было выдвинуто несколько теорий.

Гипотеза Жолио. Наблюдавшие это явление Кюри и Жолио сделали предположение, что тут происходит „материализация энергии“ —квант гамма-луча превращается в электрон и позитрон.

Это вполне вероятно, так как электрон и позитрон в сумме электрическим зарядом не обладают, а их суммарная масса 4- кинетическая энергия их движения как раз равняется энергии кванта, т. е. часть кванта идет на образование массы электрона и позитрона Çm=~-^j, а часть — на сообщение электрону и позитрону известной скорости.

Если это так, то мы можем говорить о „материализации энергии“.

Гипотеза Дирака. Еще более интересную гипотезу возникновения позитрона привел Дирак. По его мнению, все пространство равномерно заполнено электронами с „отрицательной энергией“.

Присутствие этих электронов незаметно, ввиду того, что электрическое поле, создаваемое электронами, всюду совершенно равномерно, так как электроны с отрицательной энергией присутствуют „везде“.

Теперь мы можем предположить, что квант излучения, обладающий большой положительной энергией, столкнувшись с электроном, обладающим отрицательной энергией, передает электрону всю свою энегию. При этом электрон будет обладать уже положительной энергией — получается самый обыкновенный электрон.

В пространстве же, заполненном электронами с отрицательными энергиями, образуется „дырка“ —нехватка одного электрона. Равномерность электрического поля нарушается, и создается впечатление положительного заряда. Так что, по мнению Дирака, позитрон есть не что иное, как отсутствие в данной точке одного электрона с отрицательной энергией. Несмотря на всю необычность и смелость этой теории, она имеет большое число приверженцев.

Делаются предположения, что, кроме уже известных нам частиц, существует еще один сорт частиц, „нейтрины“, обладающие массой, равной массе электрона, но не имеющие заряда. Но ввиду того, что эти частицы до сих пор никем не наблюдались, — существование их весьма проблематично.

Дело в том, что при помощи обычных способов, как, например, камеры Вильсона, выявить существование такой частицы, как нейтрины, более чем трудно. Нейтрин не обладает зарядом, так что следа в камере Вильсона он не оставляет. Нейтрон, так же, как и нейтрин, не обладающий зарядом, но обладающий большой массой, можно заметить по его разрушающему действию на атомы других веществ. Нейтрин же обладает слишком малой массой, так что вероятность того, что он ионизирует какой либо атом или разобьет его ядро, очень мала и поэтому обнаружить его очень трудно. Но надо надеяться, что все совершенствующиеся методы исследования скоро выяснят, существуют ли нейтрины в природе или они выдуманы для того, чтобы подкрепить одну из теорий.

Для того чтобы систематизировать сведения о частицах, с которыми имеют дело исследователи структуры атома, приведем следующую таблицу (см. таблицу на стр. 40).

Итак, мы установили, что существует довольно большое число частиц, из которых состоит атом. Естественно напрашивается мысль, что некоторые из этих частиц составные, что они составлены из других частиц. В настоящее время почти равноправно существуют две теории, объясняющие структуру нейтрона. Первую теорию выдвинул Чадвик.

Чадвик предполагает, что нейтрон составлен из протона и электрона (тг-f-s), их заряды взаимно уничтожаются, и благодаря этому нейтрон зарядом не обладает.

Для того чтобы подобная комбинация протона и электрона была устойчива (не распадалась), надо, чтобы соединение протона с электроном было таким, чтобы для их разъединения пришлось затратить энергию. Раз это так, то нейтрон должен обладать меньшей энергией, чем сумма энергии его составных частей — электрона и позитрона, а следовательно, и меньшей массой.

Чадвик промерил массы нейтрона и водородного атома. Водородный атом, как известно, состоит из протона и электрона, но связь между ними значительно меньше, чем в нейтроне. Измерения производились при помощи астоновского массового спектрографа.

Величина массы атома водорода, по Чадвику, равнялась 1,0078, а нейтрона — 1,0065, так что ожидаемый эффект уменьшения массы при слиянии протона с электроном оправдался.

Кюри и Жолио предполагают обратное тому, что предполагал Чадвик.

Таблица 4

Название частицы

Сокращенное обозначение

Атомный вес (атомный вес водорода)

Составные части

Электрический заряд

Примечания

Электрон

е

1

1840

Б

— 1

Протон

1

1)«

2)*v + +

+ 1

* О составных частях протона см. ниже

Нейтрон

v

1

1) «+7

2) v

0

Позитрон

+

s

1

1840

-4-е

+ 1

Квант (фотон)

Ï

е*

С2

0

* Масса кванта зависит от его энергии (жесткости)

Дейтон *

8

2

« v

+ 1

* О дейтоне см. ниже

Альфа-частица

а

4

1) 2 8

2) 2*+2v

+ 2

Нейтрин

1

1840

0

Не наблюдался

По их мнению, нейтрон не есть составная частица, но он сам в соединении с позитроном дает протон.

Как же обстоит дело с устойчивостью такого нейтрона?

Кюри и Жолио тем же способом измеряют массу нейтрона и получают результат —атомный вес равен 1,012, т. е. по их наблюдениям масса нейтрона больше массы протона. Вопрос, какая точка зрения верна, — еще не окончательно решен. Bothe в своей статье „Das Positron und das Neutron“ („Naturwissenschaften“, 24 ноября 1933 г.) склоняется к тому, что точка зрения Чадвика более обоснована. Так ли это — ответ дадут более точные опыты в недалеком будущем.

В свете новейших открытий нейтрона и протона совершенно по-новому встала проблема строения атомного ядра. До самого последнего времени считалось установленным, что ядра всех атомов (кроме ядра атома водорода) состоят из протонов и электронов. Между тем при подсчете размеров ядра и размеров электрона столкнулись с довольно странным результатом.

Размер электрона оказался больше размера ядра, состоящего из многих электронов и протонов.

До самого последнего времени этот парадокс не был разрешен.

Новейшая теория строения атомного ядра избавляется от этого неудобства и представляет строение атомного ядра в следующем виде.

Атомное ядро состоит только из протонов и нейтронов. Электронов в атомном ядре нет. Вводится новая сложная частица — дейтон.

Дейтон — это чрезвычайно прочное соединение протона с нейтроном. Необъясненной остается только природа сил, заставляющих сцепиться в такой крепкий комок заряженную частицу (протон) с нейтральной частицей (нейтрон).

Надо полагать, что дело тут не в электрическом взаимодействии частиц.

В старой атомной теории мы имеем следующее соотношение между составными частями атома: ядро атома данного элемента достояло из А протонов и А — Z электронов, где А — атомный вес элемента, a Z — его порядковый номер. Заряд ядра был А -(- Z единиц. По новейшей теории, количество протонов равняется только порядковому номеру элементов, а число нейтронов составляет разность между атомным весом и порядковым номером. Из таблицы видно, что у всех существующих в природе элементов (за исключением водорода) число нейтронов в ядре превышает число протонов или в крайнем случае равно ему.

Таблица 5

Строение атома по новейшей теории

Название элемента

Число внешних электронов

Ядро

число протонов

число нейтронов

Водород ....

1

1

0

, (изотоп)

1

1

1

Гелий .....

2

2

2

Литий.....

3

3

4

Железо ....

26

26

30

Золото . .

79

79

118

Радий .....

88

8*

138

Уран.....

92

92

146

Преимущества, которые дает новая теория строения атомного ядра перед старой, заключаются в том, что эта теория не вызывает противоречий между размерами ядра и размерами составных частиц; кроме того, эта теория очень хорошо объясняет такие атомные процессы, как радиоактивность.

Прежде чем перейти к современной теории радиоактивности, напомним в двух словах о самом явлении радиоактивности. Открытое супругами Кюри в 90-х годах прошлого столетия явление радиоактивности настолько полно изложено во всех учебниках физики, что мы остановимся на нем очень кратко.

Атомы наиболее тяжелых элементов Ra, £/, Tli являются неустойчивыми. Ядра их обладают свойствами самопроизвольно разрушаться. При этом распаде образуются лучи трех сортов: 1) альфа-лучи, представляющие собой поток частиц, состоящих из четырех протонов и двух электронов. Альфа-частица, как видно, имеет ту же структуру, что и ядро атома гелия. Скорость альфа-частиц порядка 20 000 км в секунду. При излучении альфа-частицы атомный вес элемента уменьшается на 4 единицы; 2) бэта-лучи представляют собой поток электронов, скорость их порядка 9/10 скорости света и 3) гамма-лучи представляют собой поток квант с энергией e = hv, которая освобождается при распаде ядра. Ввиду того, что энергия, освобождающаяся при распаде атома радиоактивного вещества, больше, чем при обычных перескоках электронов с одной орбиты на другую, это излучение значительно больше — длина волны короче, и лучи, как говорят, жестче. Так как природа гамма-лучей та же, что и природа света, то скорость их равна скорости света.

Вернемся к современной теории радиоактивности. Как мы говорили, протон и нейтрон образуют между собой прочное соединение— дейтон. Ядро элемента, содержащее одинаковое количество протонов и нейтронов, т. е. состоящее только из дейтонов, будет наиболее устойчивым, но у большинства химических элементов число нейтронов превалирует над числом протонов и остается большое количество свободных нейтронов, не связанных с протоном. Ядро благодаря этому делается неустойчивым. Чем выше атомный вес элемента (см. табл. 5), тем больше количество свободных нейтронов, и при некотором соотношении числа свободных нейтронов и дейтонов ядро начинает самопроизвольно разрушаться (радиоактивность).

Итак, мы видим, что такие ядра, как ядра атомов радия (88 протонов и 138 нейтронов) или урана (92 протона и 146 нейтронов), у которых число нейтронов значительно больше числа протонов, должны быть малоустойчивы, и они распадаются. Из структуры ядра освобождаются альфа-частицы, летящие в виде альфа-лучей. При этом происходит освобождение энергии (более устойчивое состояние всегда обладает меньшим запасом энергии, чем менее устойчивое). Часто энергия излучается в виде квант (гамма-лучи), а часто переходит на образование электронов и позитронов (см. выше образование позитронов). Позитроны немедленно захватываются свободным нейтроном и, сливаясь, они образуют протон. Электроны же, ничем не захваченные, вылетают в виде бэта-лучей.

Разрушение одних элементов, совершенно естественно, сопровождается образованием других элементов. До самого последнего времени единственной возможностью превращения элементов считалось радиоактивчое превращение элементов, воздействовать на

которое человек не мог. В настоящее время, обстреливая ядра атомов различными частицами, как, например, протонами, альфа-частицами, удалось добиться искусственного превращения элементов. Приведем несколько „реакций“ искусственного превращения элементов (значок внизу обозначает атомный вес элемента).

При обстреливании бериллия альфа-частицами в результате получается углерод и нейтрон:

Be9+He4=C]2 + v.

При столкновении нейтрона с атомом азота нейтрон или застревает в ядре или отскакивает, но в обоих случаях он выбивает из ядра атома азота альфа-частицу. Обе эти реакции можно записать так:

Nu+v = B„-|-He4,

Ми + у=В10 + Не, + у.

В одном случае из азота получается изотоп бора с атомным весом 11, в другом случае 10.

В начале этого года появилось новое открытие Жолио, которое дает новый аргумент в пользу современной теории структуры атомного ядра. Это открытие — искусственная (позитронная) радиоактивность.

Как мы уже говорили, при распаде ядра образуется одновременно электрон и позитрон, но позитрон остается в ядре (захватывается нейтроном), а электроны образуют бэта-лучи. Поэтому всегда наблюдаются при радиоактивности потоки электронов, но никогда до сих пор потоков позитронов при радиоактивном распаде не наблюдалось. Опубликованный 5 февраля 1934 г. опыт Жолио представляет собой получение позитронной радиоактивности.

Опыт производился следующим образом.

Изотоп бора (А= 10) обстреливался альфа-частицами; получающаяся при этом реакция может быть выражена формулой:

B10 + He4 = N18 + v,

т. е. в ядро бора загоняется альфа-частица, которая выбивает из ядра 1 нейтрон. При этом получается никогда до сих пор не виданный изотоп азота с атомным весом, равным 13.

Этот изотоп азота обладает тем свойством, что число протонов в его ядре превышает число нейтронов (7 протонов и 6 нейтронов). Элемент этот очень неустойчивый, существует около получаса и обладает свойством самопроизвольно распадаться. При этом, как и следовало ожидать, ввиду того, что число протонов превышает число нейтронов, излучаются только позитроны (электроны остаются в ядре).

Кроме радиоазота, Жолио аналогичным способом получил радиокремний.

Si,7 = 14тг 4-13v .

Проблема строения атома в настоящий момент проходит наиболее бурный период своего развития. Каждый месяц приносит новые сенсационные открытия. Это вызвано тем, что в настоящее время очень большие силы брошены на разрешение этой проблемы. Полное решение проблемы строения атомного ядра и превращения элементов, помимо ответа на вопрос, как устроена вся окружающая нас материя, может дать и практические результаты, во-первых, по линии искусственного создавания элементов, а во-вторых, по линии использования колоссальных запасов внутриатомной энергии.

Литература

„Naturwissenschafte i“№ 48,1933 г.,статья Воthе „Das Positron und das Neutron“.

„Naturwissenschaften“, № 15, 1934 r.

Рабинович и Гило, Периодическая система элементов, ГНТИ., 1933 г.

Хвольсон, Физика наших дней. Гиз, 1930 г Статья Гамова в „Социалистической реконструкции и науке“, № 3 за 1932 г.

Ряд статей в „Успехах физических наук“ за 1933— 1934 гг.

КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ

Научный сотрудник В. ПУЛЬВЕР (Москва)

Пространство, в котором движется наша планета, заполнено весьма разреженным веществом и пронизано различными излучениями.

Эта среда (астроном Шепли называет ее „космоплазмой“) состоит из атомов вещества, электронов и квантов радиации.

Мы объединяем общим названием излучений те элементы космоплазмы, которые появляются в межзвездном пространстве в результате испускания звезд и туманностей. Это могут быть, например, электроны, летящие с большими скоростями, или фотоны радиа-

ции. И те и другие являются носителями энергии и обслуживают „конвекцию“ энергии во вселенной. Естественно, что для нас наиболее заметным и важным является действие излучений, исходящих от ближайшей к нам звезды — Солнца. Если рассмотреть этот вопрос глубже, оказывается, что огромную роль играют также излучения, невидимые глазу,— ультрафиолетовые и инфракрасные лучи. Они так же, как и видимый свет, определяют тепловой режим Земли. Наша планета непрерывно бомбардируется частицами вещества — электронами и атомами и квантами радиации, прилетающими из мирового пространства. Если бы мы задались целью укрыться от этого „обстрела“, разрешить эту задачу было бы не так уж трудно. Среди веществ, имеющихся на Земле, найдется много таких, которые могут служить подходящим материалом для нашего экрана. Например, естественная оболочка Земли—атмосфера — полностью защищает нас от коротких ультрафиолетовых лучей Солнца и звезд. В результате поглощения этих лучей, в верхних слоях стратосферы образуется ионный слой, называемый слоем Хивисайда, отражающий радиоволны.

Среди излучений, падающих на Землю, одно, называемое космическим, или проникающим, излучением стоит особняком.

Наиболее характерной особенностью этих лучей является их огромная проникающая способность, делающая весьма трудным полное укрытие от их действия. Это свойство связано с колоссальной энергией, которой обладают эти лучи.

ОТКРЫТИЕ КОСМИЧЕСКИХ ЛУЧЕЙ

Изучая естественную ионизацию воздуха, немецкий физик Гесс в 1912 г. предпринял полет на воздушном шаре. Вблизи поверхности Земли ионизация атмосферы получается в значительной мере в результате действия радиоактивных веществ, содержащихся в земной коре. Гесс рассчитывал устранить эту причину ионизации поднятием своих приборов в воздух. Оказалось, что до высоты около полукилометра ионизация, как и следовало ожидать, постепенно ослабевала, но затем, к удивлению экспериментатора, количество ионов, содержащихся в воздухе, стало возрастать, и на предельной высоте в 5 тыс. м, достигнутой Гессом, ионизация оказалась в два раза более интенсивной, чем внизу. Последующие многочисленные наблюдения, произведенные на воздушных шарах, на вершинах гор, на аэропланах, полностью подтвердили факт возрастания ионизации с высотой. В 1914 г. Кольхэрстер производил измерение на воздушном шаре на высоте до 9,3 км. Начиная с 1926 г. неоднократно посылались в стратосферу саморегистрирующие приборы. Так, Милликен и Боуэн сконструировали приборы, поднимаемые шарами-зондами. Эти приборы достигли в 1926 г. один — высоты M км, а другой —16 км. В 1932 г. шар-зонд Регенера достиг рекордной высоты в 28 км.

Черт. 1

В 1931 и 1932 гг. Пикар предпринял первые полеты на стратостате и достиг во время своего второго полета высоты в \6 км. 30 сентября 1933 г. наши советские исследователи Годунов, Прокофьев и Бирнбаум поднялись на стратостате „СССР“ на рекордную высоту, превышающую 19 тыс. м. В январе 1934 г. второй советский стратостат „Осоавиахим“ после поднятия на непревзойденную высоту в 22 км вследствие тяжелых зимних условий потерпел аварию и отдал земле только трупы ученых Федосеенко, Усыскина и Васенко — первых жертв стратосферы.

Наблюдения над атмосферной ионизацией сопровождали каждый полет в стратосферу. Произведенные измерения привели к замечательному выводу: по мере поднятия над землей интенсивность ионизации увеличивается; это возрастание, вначале быстрое, начиная с высоты около 15 км, несколько замедляется (см. кривую на черт. 1).

Обнаруженное увеличение ионизации с высотой привело Гесса к заключению о существовании некоторого „космического“ излучения, падающего на Землю из мирового пространства и являющегося причиной ионизации на больших высотах.

ПОГЛОЩЕНИЕ ЛУЧЕЙ В ВЕЩЕСТВЕ

Исследование кривой на чертеже 1 позволяет сделать ряд выводов о физической сущности космических лучей. Увеличение ионизации воздуха с высотой указывает на поглощение лучей в атмосфере. Поднимаясь над Землей, мы уменьшаем толщину „экрана“, отделяющего нас от внешнего пространства, и поэтому ионизирующее действие излучения должно усиливаться. Кривая, изображенная на чертеже 1, неудобна для изучения, потому что необходимо принимать во внимание уменьшение плотности воздуха с высотой. Соответственно этому правая часть оси абсцисс должна быть сильно сжата по сравнению с левой, ибо всей толще воздуха соответствует всего около \0 км однородной атмосферы с плотностью самого нижнего слоя. Практически поглощение вычисляют или на единицу толщины атмосферы „нормальной“ плотности или, что еще удобнее, на единицу массы, так как поглощение пропорционально количеству вещества (см. ниже). На чертеже 2 представлена кривая, полученная из кривой чертежа 1, с учетом указанного обстоятельства.

Черт. 2

Когда какое-нибудь излучение проходит слой однородного вещества толщины /, убывание интенсивности выражается формулой:

/=/„*-*',

где /—интенсивность излучения прошедшего слой вещества толщины /, /0 — начальная интенсивность излучения, k — коэфициент поглощения, е — основание натуральных логарифмов.

В случае космических лучей явление несколько усложняется. Рассматривая излучение Солнца, можно считать, что его лучи падают на границу атмосферы параллельным пучком, и поэтому каждая длина волны поглощается по простому показательному закону, написанному выше. Иначе дело обстоит в случае космических лучей. В 1925 г. Мысовский и Тувим в Ленинграде изучали интенсивность ионизации от космических лучей на приборах, частично укрытых от излучения слоем воды в несколько метров толщиной. В качестве водяного экрана авторы остроумно воспользовались резервуаром водонапорной башни.

Меняя положение прибора, измеряющего ионизацию, эти авторы нашли, что космическое излучение, падающее на Землю из различных направлений небесного свода, имеет одинаковую интенсивность. Результаты исследований Мысовского и Тувима позднее были подтверждены более совершенными методами измерения, показавшими, что лучи действительно исходят почти равномерно со всего небесного свода. Найденные в последнее время небольшие отклонения от равномерности лежат далеко за пределами точности метода Мысовского и Тувима и в данном случае не имеют существенного значения.

Таким образом, оказалось, что космические лучи падают на границу атмосферы со всех сторон. Не вызывало сомнений, что их источником является не Солнце, так же, как и не Млечный путь. Если бы это было не так, интенсивность ионизации обладала бы, в противоречии с опытом, резко выраженным „суточным ходом“. Все попытки установить связь интенсивности лучей с положением какого-нибудь определенного небесного объекта оказались безуспешными. Космичские лучи, повидимому, исходят равномерно со всего небесного свода.

Этот факт несколько усложняет закон спадания интенсивности лучей в зависимости от толщины поглощающей среды. Наблюдаемая в точке А (черт. 3) ионизация определяется тогда различным поглощением косых лучей AB, AC, AD, AF и AG, проходящих большую толщу среды, чем луч AB, идущий из зенита.

Вместо показательного спадания интенсивности, выражаемого функцией

Черт. 3

мы имеем в этом случае так называемую функцию Голда:

Спадание интенсивности представляется монотонной кривой, крутизна которой в каждой точке зависит от коэфициента поглощения k.

Если падающее излучение имеет сложный спектральный характер, и его различные спектральные участки поглощаются различно (т. е. коэфициент k зависит от длины волны), спадание интенсивности уже не будет представляться функцией Голда. Это означает, что если мы будем находить коэфициент поглощения пользуясь различными участками кривой спадания, мы получим для k различные значения, потому что состав излучения, проникающего в среду, будет меняться с толщиной последней, вследствие обогащения лучей наименее поглощаемым излучением.

Таким образом, исследование зависимости поглощения от толщины среды позволяет сделать заключение о составе лучей. Для того чтобы дополнить данные высотных измерений, было предпринято большое количество измерений интенсивности ионизации на различных глубинах водных бассейнов. Наибольшей глубины (230 м) достигли в 1929 г. приборы Регенера.

Измерения Регенера показали, что даже на максимальной достигнутой им глубине в 230 м космические лучи имеют заметную интенсивность, вызывая, примерно, 0,2 °/0 ионизации на поверхности Земли.

Такая проникающая способность является необычайно большой. Это утверждение с первого взгляда не вяжется с огромным поглощением космических лучей в воздухе. Из падающего на верхнюю границу атмосферы космического излучения лишь 1°/0 достигает поверхности Земли, тогда как солнечные лучи ослабляются всего на 20 °/0. Достаточно рассмотреть природу поглощения, чтобы это кажущееся противоречие устранилось само собой.

Элементарный акт поглощения заключается во взаимодействии радиации или летящих частиц материи (например электронов) с атомами вещества. При этом мы встречаемся с фактом первостепенной важности. Наблюдая спектр Солнца, мы видим в нем ряд черных фраунгоферовых линий, отмечающих те длины волн, которые соответствуют линиям излучения элементов. Например, линия D совпадает с желтой линией натрия. Сплошное излучение солнечной поверхности, состоящее из квантов всевозможной энергии, свободно проникает сквозь атмосферу Солнца, кроме тех квантов, энергия которых достаточно велика для „возбуждения“ атомов натрия. Эти кванты не проходят сквозь солнечную атмосферу. Из-за того, что их энергия как раз достаточна для возбуждения атома натрия, они расходуют ее именно на этот процесс. Последующее испускание натриевых атомов, находящихся в солнечной атмосфере, не возмещает потери, потому что это излучение происходит по всем направлениям и в большинстве случаев не попадает к земному наблюдателю. Аналогичное явление происходит, если натровые пары пронизываются пучком электронов. Электроны, летящие с такой скоростью, что их энергия как раз равна энергии возбуждения атома натрия (для этого они должны быть разогнаны электрическим полем с разностью потенциалов приблизительно в 2 вольта), поглощаются особенно сильно, гораздо сильнее, чем более медленные или более быстрые электроны. При этом возникает свечение паров, являющееся результатом обратного перехода атомов из возбужденного состояния к нормальному.

Таким образом, поглощение имеет наибольшую величину, когда энергия лучей совпадает с энергией, необходимой для возбуждения. Это свойство не зависит от того, рассматриваем ли мы квантовые лучи (радиацию) или корпускулярные (электроны и пр.). Такое равенство энергий является не чем иным, как классическим резонансом между падающими волнами и системой атома — резонатором. Когда мы имеем дело с коротковолновым излучением, например с гамма-лучами радиоактивных элементов, энергия каждого кванта намного превышает энергию „возбуждения“ атомов вещества. Этим объясняется ионизация, всегда сопровождающая прохождение гамма-лучей через материю. В этом случае характерные особенности атомов становятся несущественными, атомы теряют свою индивидуальность, их „собственные частоты“ перестают играть какую-нибудь роль, и поглощение жестких гамма-лучей зависит поэтому только от общего количества электронов, содержащихся в единице объема поглощающего вещества.

Атом с порядковым номером z содержит z электронов. Число атомов в единице объема пропорционально удельному весу d и обратно пропорционально атомному весу А. Следовательно, поглощение пропорционально величине d - . Отношение -j- меняется на протя-

жении всей менделеевской таблицы очень мало (от 0,5 у легких элементов до 0,4 у свинца), и поэтому коэфициент поглощения оказывается, примерно, пропорциональным удельному весу вещества.

Описанные выше измерения показали, что вся атмосфера поглощает космические лучи так же сильно, как 10-метровый слой воды. Если вспомнить, что давление воздуха на уровне моря уравновешивается как раз 10-метровым столбом воды (760 мм ртутного столба), то становится очевидным, что в случае космических лучей мы имеем дело с таким типом излучения, поглощение которого пропорционально плотности материи, и величина поглощения зависит, следовательно, только от общего количества вещества, пронизанного лучами. Это соображение позволяет заключить, что космические лучи могут являться жесткими гамма-лучами. Однако,если мы вспомним замечание, сделанное выше о корпускулярных лучах, то наш вывод окажется неоднозначным. Закон поглощения говорит нам только об энергии лучей, природа же их остается неизвестной. Лучи могут состоять как из „жестких“ квантов, летящих со скоростью света, так и из частиц — электронов или протонов, летящих со скоростями, близкими к скорости света.

Теперь понятно, почему мы приписали космическим лучам огромную проникающую способность, из-за которой их иногда называют „проникающим излучением“. Регенер обнаружил наличие лучей на глубине в 230 м. Следовательно, если бы мы захотели укрыться от действия этих лучей свинцовой броней, толщина последней в 20 м оказалась бы недостаточной. Самые жесткие гамма-лучи радиоактивных элементов поглощаются практически полностью несколькими сантиметрами свинца. Таким образом, мы вправе говорить о совершенно необычайной проникающей способности космических лучей.

Измерения ионизации, вызванной космическими лучами в атмосфере и воде, дают Кривую спадения интенсивности, представленную на чертеже 2. Мы уже отмечали выше, что эта кривая должна совпадать с функцией Голда только в том случае, если все лучи, падающие на Землю, обладают одинаковым коэфициентом поглощения k. Кривая, полученная из опыта, не совпадает с функцией Голда, и это свидетельствует о „немонохроматичности“ космических лучей: компоненты сильно поглощаемые — менее жесткие, отфильтровываются уже после прохождения небольшой толщи вещества. На большую глубину должно проникать только самое жесткое излучение. Иллюстрацией этого свойства может служить поглощение солнечного света в море. Исследование спектрального поглощения морской воды показывает, что в видимом спектре, в области голубых лучей, имеется участок длин волн, для которого вода особенно прозрачна. Если, ныряя в море, открыть под водой глаза, все, что мы видим, приобретает из-за этого сине-зеленую окраску, хорошо заметную даже на малой глубине (1 м). Когда в море опустили спектрограф и сфотографировали спектр солнца с глубины в 100 л/, он оказался резко ограниченным как со стороны коротких волн, так и длинных, откуда можно заключить, что свет солнца, проникающий на большую глубину, содержит почти исключительно голубые лучи, непосредственно примыкающие к области наибольшего пропускания. В этом случае очень заметно сказывается обогащение излучения лучами, наиболее проникающими сквозь среду. Исследуя излучение, прошедшее сквозь поглощающую среду, можно, таким образом, делать выводы о составе лучей.

Исследование зависимости интенсивности лучей от толщины слоя поглощающей материи привело в 1928 г. Милликена и Камерона к заключению о „полосатом“ строении спектра лучей, состоящих из четырех, сравнительно узких, полос длин волн. Эти полосы, по данным Милликена и Камерона, обладают различными коэфициентами поглощения и неодинаковой интенсивностью. Отметим здесь, что такой „спектральный анализ“ лучей неоднозначен.

Милликен и Камерон учитывали это обстоятельство. Однако интерпретация кривой поглощения лучей, повидимому, давала при всех возможных вариантах три или четыре определенные спектральные полосы.

Когда в 1928 г. Милликен и Камерон обнаружили этот факт, он позволил- им создать одну из интереснейших теорий происхождения космических лучей.

КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ —РАДИАЦИЯ

Остановимся кратко на этой теории, потому что она является прекрасной иллюстрацией наших современных взглядов на строение материи. Отметим с самого начала, что в настоящее время теория Милликена и Камерона встречает трудности, которые будут нами изложены ниже.

В 1927 г. Астон обнаружил, что атомные веса большинства элементов в действительности представляются целыми числами, если массу атома кислорода принять равной 16, а массу водородного атома 1,008. Астон

пришел к этому выводу на основании исследования различных элементов при помощи своего „масс-спектрографа“. Оказалось, что вещества, обладающие дробными атомными весами, на самом деле состоят из так называемых изотопов — элементов, обладающих целочисленными атомными весами, смешанных в определенных пропорциях. Если принять во внимание уравнение Эйнштейна, согласно которому энергия Е обладает массой -| (где с — скорость света), то можно предположить, что при образовании ядер сложных атомов из водорода, избыток массы испускается в виде радиации. Жесткость этой радиации, или частота v, может быть вычислена с помощью соотношения, даваемого квантовой теорией: у ——(h — постоянная Планка).

Такое вычисление было сделано Милликеном и Камероном для всех ядерных процессов, могущих происходить с существующими на Земле элементами. С другой стороны, измерения поглощения позволяли найти длину волны. При этом авторы пользовались экстраполяцией опытных данных о поглощении в веществе жестких гамма-лучей. В результате, Милликен и Камерон пришли к выводу, что космические лучи являются радиацией с длинами волн порядка 10“12 см, испускаемой при образовании ядер гелия и кислорода из протонов и электронов, и кремния и железа из ядер гелия.

Такие процессы, по заключению Милликена и Камерона, должны происходить в далеких глубинах пространства при нулевой температуре и давлении. Авторы считали, что созидание сложных атомов происходит таким образом во всех областях вселенной, удаленных от звезд и туманностей, вследствие чего измерения и не позволяют обнаружить на небесном своде отдельных „источников“ космических лучей, существование которых вызвало бы изменения интенсивности ионизации в течение суток.

Последующие экспериментальные и теоретические исследования показали, однако, что изящная теория Милликена и Камерона содержит ряд слабых мест. В частности, если считать, что поглощение лучей измерено правильно, первоначальное определение частоты радиации было ошибочным. В более поздних своих работах Милликен и Камерон пользовались для определения жесткости радиации формулой Клейна-Нишины, выражающей в прекрасном согласии с опытом зависимость поглощения гамма-лучей от их длины волны. Эта формула справедлива только для такого излучения, которое поглощается материей в результате взаимодействия с внеядерными электронами, когда происходящее явление носит „фотоэлектический“ характер.

Это имеет место в случае гамма-лучей. В то же время энергия космических лучей оказалась настолько большой, что прохождение их в веществе должно сопровождаться разрушением даже ядер атомов. Таким образом, при установлении теоретической зависимости проникающей способности лучей от длины волны радиации необходимо учитывать потерю энергии на вырывание внутриядерных электронов. Например, для длины волны 5-10~10сл* добавочное поглощение, вы ванное этой причиной, составляет около 50°/0. Этот факт заставляет приписать коэфициенты поглощения отдельных компонент лучей, найденные из измерений поглощения в атмосфере и в воде, иным частотам, чем это было сделано первоначально. Введение указанной поправки увеличивает энергию лучей. Тогда сравнение этой энергии с вычисленной на основании данных Астона и уравнения Эйнштейна встречает ряд трудностей. Различные авторы пытаются теперь отождествить энергию жесткой радиации с различными атомосозидающими процессами, при которых количество выделяющейся энергии больше, чем в процессах, указанных первонач льно Милликеном и Камероном, или даже с процессом аннигиляции (уничтожения) атомов, многие из которых могут вызывать большие сомнения.

ИЗУЧЕНИЕ КОСМИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ

Измерения ионизации, произведенные на различных высотах над Землей и на различных глубинах под водой, позволяют определить поглощение лучей, вызывающих ионизацию. Вблизи поверхности Земли ионизирующее действие можно считать пропорциональным интенсивности лучей. Выше мы останавливались на теории Милликена и Камерона, рассматривающей космические лучи как поток квантов жесткой радиации. С этой точки зрения ионизация должна получаться главным образом под действием обильного потока вторичных частиц, сопровождающих падающее первичное излучение. Однако появление вторичных частиц должно иметь место не только в случае квантовой природы космических лучей. Такая же ионизация, может быть только несколько иной интенсивности, неизбежно должна наблюдаться и в том случае, если падающее излучение состоит, например, из потока быстрых электронов. Явление поглощения также будет иметь место

в обоих случаях. Следовательно, измерения поглощения, произведенные ионизационной камерой вблизи поверхности Земли, не дают возможности узнать природу первичных космических лучей — состоят они из квантов или из заряженных частиц материи. Истинное положение вещей до сих пор еще остается неясным, и все современные исследования космических лучей имеют своей целью выяснение этого вопроса.

В течение последних пяти лет наметился новый путь изучения. Измерение ионизации позволяет судить об общем количестве ионов, появляющихся в атмосфере за единицу времени. Представляло большой интерес изучить те частицы космических лучей, неизвестно — вторичные или первичные, которые являются непосредственной причиной ионизации.

В 1929 г. Боте и Кольхерстер применили для этой цели счетчик Гейгер-Мюллера. Этот прибор представляет собой цилиндрическую ионизационную камеру, по оси которой натянута тонкая нить. Частица, влетающая внутрь прибора, вызывает, вследствие ионизации газа, наполняющего цилиндр, мгновенный электрический разряд. Чувствительность такого счетчика столь велика, что он реагирует даже на отдельные электроны, попадающие внутрь камеры. Соединенный через усилитель с электрическим счетчиком или со звонком, счетчик Гейгер-Мюллера сигнализирует звуковым или свистовым сигналом поступление в него даже отдельных электронов.

Боте и Кольхерстер поместили два таких счетчика один над другим (Сг и С2 на черт. 4). При этом действие земных источников ионов также должно было сказаться на записях осциллографа, приключенного через усилители к обоим счетчикам. На чертеже 4 приведен пример такой записи. Верхняя половина фотографической ленты осциллографа содержит следы частиц, попадавших в верхний счетчик (С), нижняя — в нижний (С2). Отличить записи, вызванные пролетающими частицами космических лучей от местных,—-очень просто. Только первые частицы обладают энергией, достаточно большой для того, чтобы пройти сквозь оба счетчика. Поэтому только космическим частицам должны принадлежать совпадающие записи обеих половин ленты осциллографа.

Таким образом можно было подсчитать число космических частиц, пронизывающих оба счетчика в течение 6 часов по числу совпадающих отметок. Для измерения поглощения Боте и Кольхерстер вводили между счетчиками золотую пластинку, толщиной в 41 мм. По убыванию числа совпадающих записей за те же б часов они вычислили коэфициент поглощения лучей. Наблюдаемое уменьшение равнялось 25°/0. Вычисленный отсюда коэфициент поглощения лучей оказался в точности равным коэфициенту, измеренному в воздухе и воде обычной ионизационной камерой (разумеется, мы имеем в виду коэфициент поглощения, пересчитанный на 1 г материи).

Росси в 1932 г., пользуясь тремя счетчиками, расположенными друг над другом, подтвердил этот вывод с большой точностью. Энергия частиц, определенная Росси, оказалась такой, какую имеет электрон, разогнанный разностью потенциалов в 5 000 000 000 вольт (энергия = 5 млрд. электрон-вольт). Эти частицы не задерживались метровым слоем свинца.

Естественный вывод, к которому Боте и Кольхерстер пришли на основании своих опытов, заключался в том, что наблюдаемые ими частицы являются тем проникающим излучением, действие которого наблюдалось в течение почти 20 лет.

Это следует из того, что если первичные лучи являются радиацией (потоком фотонов), то в опытах Боте, Кольхерстера и Росси мы имеем действие только вторичных частиц, которые, вероятно, должны обладать меньшей энергией, чем первичные лучи. Вместе с тем результаты опытов с двойными счетчиками Гейгера говорили об обратном.

Было чрезвычайно важно сделать непосредственное определение энергии частиц. Естественно применить для этого магнитное поле, отклоняющее движущиеся электрические заряды. Попытки Мотт-Смита (1931 г.) с тремя счетчиками Гейгера не увенчались успехом из-за огромной энергии частиц и недостаточной напряженности магнитного поля. Скобельцыну в 1929 г. впервые удалось „увидеть“ след космической частицы на фотографии.

Черт. 4

После неудачных опытов Мотт-Смита экспериментаторы обратились к методу Скобельцына.

Если современному физику встретится скептик, который осмелится высказать сомнение в реальности существования электронов или альфа-частиц, положение ученого будет намного проще, чем это было бы 25 лет тому назад.

Теперь мы имеем возможность показать фотографии этих частиц. Не следует понимать этого слишком буквально.

Строго говоря, на снимках получаются фотографии не самих частиц, а только следов, оставленных ими. Это позволяет применять остроумный метод, изобретенный еще в 1911 г., Вильсоном. Принцип, на котором основано действие „камеры Вильсона“, очень прост: частица, двигающаяся в газе, производит ионизирующее действие, и поэтому ее траектория всегда усеяна положительными и отрицательными ионами. Через короткое время атомы с недостающими электронами делаются снова нейтральными, но в течение нескольких секунд или минут ионизация сохраняется. С другой стороны, расширяющийся газ охлаждается, и если он содержит при этом насыщенные пары, последние конденсируются в виде тумана. Последний осаждается преимущественно вблизи ионов.

Таким образом, следы частиц вырисовываются в виде облачных линий, которые можно при вспышке света сфотографировать. Трудно себе представить, как можно объяснить появление таких следов иначе, как результатом действия летящих частиц. Если мы воспользуемся магнитным полем для того, чтобы отклонить электрон, летящий с определенной скоростью, знание массы и заряда электрона позволяет вычислить скорость по кривизне траектории, изогнутой действием магнитного поля. Этот факт позволяет пользоваться магнитным полем для измерения скорости и, следовательно, энергии частиц.

Пользуясь камерой Вильсона с наложенным магнитным полем, Скобельцын обнаружил на многих фотографиях наличие весьма тонких прямолинейных следов, приписанных им космическим лучам. Прямолинейность траекторий говорила за то, что энергия космических частиц очень велика. Примененное магнитное поле в 1500 гаусс не отклоняло их сколько-нибудь заметно. Это значило, что энергия электронов (если, конечно, это были электроны) превышала 10 000 000 электрон-вольт.

Первое непосредственное измерение энергии космических частиц было сделано в 1932 г. Карлом Андерсоном. Он производил свои опыты в большой камере Вильсона с мощным магнитом, позволявшим получать напряженности поля внутри камеры до 20 тыс. гаусс. Андерсон обнаружил частицы как положительные, так и отрицательные, летящие с энергией от нескольких десятков миллионов электрон-вольт до нескольких сот миллионов. И он, так же, как и Скобельцын, несмотря на значительно большую мощность магнита, встретился с частицами, искривление следов которых не удалось заметить. Эти частицы должны были обладать энергией в миллиарды вольт.

На фотографиях Андерсона и Скобельцына иногда вызывал сомнение знак заряда движущейся частицы. Дело в том, что направление кривизны траектории в магнитном поле зависит в одинаковой мере как от знака заряда, так и от направления движения частицы. Когда мы видим на фотографии два следа, искривленные в противоположных направлениях, их можно интерпретировать или как следы двух электронов, летевших в противоположных направлениях, или как следы электрона и положительной частицы, двигавшихся в одном направлении. В ряде случаев можно найти указания на направление полета. Такие указания дает, например, радиант следов нескольких частиц, если они выходят из одной точки пространства. Парные, тройные и даже четверные следы не раз получались Скобельцыным и Андерсоном. В частности, они привели первого к заключению, что частицы иногда летят снизу вверх. Изучая такие сложные следы, Андерсон заключил, что среди космических частиц встречаются положительные, с массой, гораздо меньшей, чем масса протона. Этот вывод был сделан им с большой осторожностью, потому что возможность существования таких частиц вызывала сильные сомнения. Однако Андерсон не ошибался.

ЯДЕРНЫЕ ВЗРЫВЫ И ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ ЭЛЕКТРОН (ПОЗИТРОН)

Подтверждение неожиданного открытия Андерсона было получено в 1933 г. в Кэмбридже Блэккетом и Оккиалини. Эти ученые построили свои приборы с таким расчетом, чтобы фотографирование космических частиц производилось не случайно, как это имело место в опытах Скобельцына и Андерсона. Последним приходилось фотографировать время от времени, не зная, пролетела ли космическая частица внутри камеры Вильсона в течение короткого времени, необходимого для съемки. В результате этого из 3 тыс. фотографий Андерсона лишь на 60

получились следы быстрых частиц. Блэккет и Оккиалини заставили космические частицы снимать „самих себя“. Для этого они воспользовались двумя счетчиками Гейгера и камерой Вильсона (черт. 5). Расположенные один над другим, счетчики дают, так же, как и в опытах Боте и Кольхерстера, одновременные сигналы в случае, когда их пронизывает космическая частица. Помещая камеру Вильсона между счетчиками, Блэккет и Оккиалини были гарантированы, что частица, вызывающая одновременные сигналы, наверняка проходи и сквозь камеру. Примененный ими усилитель реагировал только на одновременные сигналы, что исключало воздействие радиоактивных и прочих „земных“ влияний. Реле, присоединенние к усилителю, выполняло две функции: во-первых, приводило в действие механизм, выдвигающий поршень спустя 0,01 секунды после импульса счетчиков и, во-вторых, еще через 0,01 секунды включало ртутную лампу, при свете которой фотографировались следы. Таким образом, все устройство приводилось в действие самими частицами, и притом только теми, которые пронизали оба счетчика Гейгера и, следовательно, наверное прошли камеру Вильсона. На 80°/о всех фотографий, полученных Блэккетом и Оккиалини, имеются следы быстрых космических частиц. Количество „промахов“ им удалось снизить с 98 до 20°/0.

Магнитное поле создавалось в этих опытах электромагнитом, обмотка которого показана в разрезе на чертеже 5. Для того чтобы можно было судить об истинной ферме следов, съемка производилась двумя фотокамерами, оптические оси которых располагались под углом в 20°. С полученных негативов печатались диапозитивы, которые вставлялись затем в камеры, служившие для съемки. Освещенные на просвет, эти диапозитивы воспроизводили в пространстве истинную форму снятых следов. Изучение последних производилось на проволочных моделях, изготовленных по данным такой „стереопроекции“.

На фотографиях Блэккета и Оккиалини было обнаружено характерное явление1. Во многих случаях получились так называемые „ливни“, состоящие из следов многих частиц. На чертеже 6 представлена одна из фотографий, на которой имеется шестнадцать следов. Замечательно, что „ливни“ обычно исходят из одного или нескольких радиантов, находящихся чаще всего вблизи или внутри камеры Вильсона. Иногда можно было определить положение этих радиантов. Оказалось, что они располагались преимущественно в медной обмотке электромагнита. „Ливни“ частиц обладали одной интересной особенностью. В них, как и на снимках Андерсона, обнаружились следы, искривленные магнитным полем в двух противоположных направлениях. Это заметно, например, на чертеже 6, где часть следов изогнута вправо, а часть — влево. Как мы уже отмечали, это указывает на наличие частиц, заряженных разноименно. На чертеже 6 частицы, следы которых изогнуты влево — электроны. Следовательно, частицы, отклоненные вправо, несут положительный заряд. Не являются ли они тог а протонами? Это было первое и самое естественное предположение. Однако детальное исследование следов заставило ответить на этот вопрос категорически отрицательно. Одно из соображений заключается в следующем. Масса протона известна с большой точностью и, следовательно, скорость может быть вычислена на основании измерений кривизны траектории. Скорость оказывается такой, при которой максимальный путь, проходимый частицей („пробег“), в условиях,

Черт. 5

1 Андерсон одновременно подтвердил этот факт.

Черт. 6

имевших место в камере Вильсона, не может превышать нескольких миллиметров. В то же время пути, зафиксированные на фотографии, тянутся на протяжении около 10 см без сколько-нибудь заметного изменения скорости (кривизны). Исследование самого следа также дает указания на массу частицы. Хотя количество ионов, вызванных быстрой частицей, зависит только от ее заряда и скорости, но не зависит от массы, однако при определенной напряженности магнитного поля и кривизне следа скорость, которую следует приписать частице, зависит от массы. Поэтому в данном магнитном поле две частицы, имеющие одинаково искривленные траектории, оставят следы различной плотности, если их массы различны: след частицы с большей массой будет „жирнее“.

На чертеже 7 мы приводим вильсонограмму Андерсона, на которой получилась частица, пролетевшая сквозь свинцовую пластинку толщиной в 6 м н. В этом случае направление полета можно было определить не по радианту (ибо здесь % ы имеем только одну частицу), а по кривизне следов под и над пластинкой. Хорошо заметно, что в первом случае кривизна меньше, чем во втором.

Следовательно, частица летела снизу вверх и в свинце потеряла часть своей энергии, вследствие чего ее скорость уменьшилась. Соображения, высказанные относительно массы, относятся и к этому случаю. Таких примеров теперь имеются уже десятки; соображения относительно массы положительных частиц не вызывают сейчас никаких сомнений.

Все данные говорили за то, что положительные частицы безусловно не являются протонами, а имеют значительно меньшую массу. Непризнание этого факта делало невозможной сколько-нибудь удовлетворительную интерпретацию многочисленных фотографий.

Первое определение массы положительной частицы дало величину, во всяком случае не превышающую 20-кратную массу электрона. Последующие, более точные измерения установили равенство масс обеих частиц. Таким образом, изучение космических частиц привело к открытию позитрона — положительной частицы, имеющей массу, равную массе электрона.

Отметим, что существование позитрона было в 1930 г. предсказано теоретическими соображениями Дирака.

Реальность существования позитронов получила в течение последнего года ряд подтверждений. В работах, посвященных преобразованию элементов, позитрон был открыт в чисто „земных“ опытах. В прошлом году Чадвик, Блэккет и Оккиалини обнаружили, что, когда свинцовая пластинка подвергается действию гамма-лучей и нейтронов, вылетающих из бериллия при бомбардировке его лучами полония, она испускает поток частиц, иссле-

Черт. 7

дование которых показало, что они являются позитронами. Замечательные опыты, сделанные Кюри и Жолио в текущем году, показали, что ядра бора под действием альфа-частиц распадаются на ядра азота и нейтроны. Получающийся азот оказался радиоактивным. Впервые таким образом была получена „искусственная“ радиоактивность, замечательное свойство которой заключается в том, что радиоактивный азот, превращающийся при распаде в углерод, испускает вместо бэта-лучей —позитроны.

„Ливни“, открытые Блэккетом, Оккиалини и Андерсоном, представляют исключительный интерес. Повидимому, это явление заключается в том, что летящие космические частицы (неизвестно — фотоны или электроны), обладающие огромной энергией (до миллиардов вольт), встречаясь с атомами вещества, вызывают взрывы атомных ядер. При этом вылетают те вторичные частицы, которые оставляют на вильсонограммах следы „ливней“. Естественно, что „ливни“ должны возникать чаще в более плотной материи. Понятно тогда, почему в опытах Блэккета и Оккиалини это явление наблюдалось наиболее часто в обмотке электромагнита: среди предметов, окружавших камеру Вильсона, — это наибольшая масса плотного вещества, и в ней должны чаще всего происходить взрывы ядер материи, бомбардируемой космическими лучами. Вместе с тем, повидимому, „ливни“ зарождаются во всех веществах. Их радианты были обнаружены и в стеклянных стенках камеры Вильсона и в ее алюминиевом поршне и в воздухе. Представляют интерес наблюдения над частотой появления „ливней“, произведенные Блэккетом и Оккиалини. Эти наблюдения привели авторов к выводу, что атомы меди, подверженной бомбардировке космическими лучами, имеют среднюю продолжительность существования 1018 лет. Несмотря на колоссальный эффект каждого ядерного взрыва, вещество, находящееся на Земле, может считаться практически постоянным.

В последней работе Андерсона, Милликена, Неддермайера и Пиккеринга („Physical Review“, 15 марта 1934 г.) авторы приводят многочисленные фотографии, полученные с автоматической установкой, аналогичной установке Блэккета и Оккиалини.

В этих опытах магнитное поле было значительно сильнее, чем у Блэккета и Оккиалини. Для исследования „ливней“ применялись экраны, установленные поперек камеры Вильсона. Авторы отмечают, что такая установка регистрирует преимущественно „ливни“, а не отдельные частицы.

Результаты наблюдений приводят авторов — Андерсона, Милликена и остальных — к следующим заключениям: 1) одновременное действие двух счетчиков довольно часто не сопровождается пролетанием одного электрона сквозь оба счетчика и, следовательно, сквозь камеру Вильсона; 2) повидимому, „ливни“ не содержат протонов и нейтронов; 3) вторичные частицы, вылетающие из ядра, вызывают иногда появление фотонов, природа которых сходна с рентгеновскими „лучами торможения“; 4) атомы легких элементов гораздо реже являются источниками „ливней“ и вторичных фотонов; 5) суммарная энергия „ливней“ не превышает энергии одиночных электронов и позитронов. Некоторые из этих выводов (особенно третий) нельзя считать окончательными.

ПРИРОДА КОСМИЧЕСКИХ ЛУЧЕЙ

Что же представляют собой первичные космические лучи: падают ли они на границу земной атмосферы в виде квантов радиации или в виде потока частиц, летящих со скоростями, близкими к скорости света?

Из изложенных выше фактов видно, что различные наблюдения позволяют сделать противоречивые заключения. Мы уже упоминали о точке зрения Милликена, которую он защищает до настоящего времени. Изучение поглощения лучей позволяет Милликену, Андерсону и другим интерпретировать проникающее излучение как поток жестких квантов, падающих на Землю из космического пространства.

С другой стороны, опыты Боте и Кольхэрстера и Росси с двойными счетчиками показали, что проникающая способность частиц (в этих экспериментах наблюдаемое действие, несомненно, следовало приписать заряженным частицам) равна проникающей способности лучей, вызывающих ионизацию. Естественный вывод из этого факта заключался в том, что частицы, зарегистрированные Боте, и Кольхэрстером, и являются причиной ионизации, измеряемой ионизационной камерой.

Фотографии, сделанные в камере Вильсона Андерсоном, Блэккетом и Оккиалини, Кунце и другими, наглядно показывают существование быстро летящих частиц с энергией, достигающей иногда нескольких миллиардов (109) электрон-вольт.

В цитированной выше работе 1934 г. Андерсон, Милликен и их сотрудники пытаются установить связь между выводами, следующими из опытов Боте и Кольхэрстера, и квантовой теорией лучей. А именно — эти авторы объясняют регистрации двойных счетчиков

действием не одних и тех же вторичных частиц, а различных, вызванных одним и тем же фотоном. Ранее та же возможность была указана Гейзенбергом для случая падающих электронов.

Результаты наблюдений вторичных космических частиц, таким образом, не позволяют еще сделать выбора между двумя возможными гипотезами о природе космических лучей — квантовой и электронной.

По каким же свойствам первичных частиц, составляющих космические лучи, можно выяснить их природу?

Поток жестких квантов должен отличаться от быстрых заряженных частиц в двух отношениях: кванты не должны отклоняться магнитным полем, частицы — должны. Теперь нам известны частицы, не несущие электрического заряда. Мы имеем в виду нейтроны, открытые в 1932 г., Ирен Кюри и Жолио. Эти исследователи обнаружили, что бериллий, бомбардируемый альфа-частицами, испускает особые лучи, природа которых была раскрыта Чадвиком. Однако можно предполагать, что космические лучи едва ли состоят из нейтронов. Для этого их поглощение слишком велико: нейтроны обладают огромной проникающей способностью, потому что электрические силы, вызывающие столкновения частиц при проникновении их в атомы материи, в этом случае отсутствуют.

Мы видели действие искусственно созданного магнитного поля на летящие заряженные частицы космических лучей на фотографиях Андерсона и Блэккета и Оккиалини. Пути частиц искривлялись, потому что каждая такая частица эквивалентна электрическому току. Однако фотографии Андерсона и других еще не дают ответа на наш вопрос. Ведь и космические фотоны по пути в атмосфере должны были бы вызывать появление вторичных заряженных частиц, которые будут себя вести так, как мы видим это на снимках Андерсона.

Нас интересует поведение в магнитном поле первичных космических лучей, а не вторичных частиц, долетающих до поверхности Земли. Существование и природа последних установлены совершенно достоверено. Неизвестна только причина, вызывающая их появление.

Когда такие проблемы возникают в лаборатории, их разрешение не представляет особых затруднений. На неизвестные лучи воздействуют магнитным полем. При этом вторичными лучами пользуются для того, чтобы обнаруживать присутствие первичных лучей в различных точках пространства. В случае, когда опыт приводит к независимости траектории лучей от магнитного поля, заключают, что они состоят из квантов (или нейтронов), в противном случае — из электронов или других заряженных частиц.

Очевидно, для того чтобы отличать действие магнитного ноля на первичные лучи от его действия на вторичные, опыт необходимо производить в пустом пространстве, где вторичные частицы отсутствуют. Иными словами, постановка соответствующего опыта с космическими лучами требует его производства за пределами земной атмосферы. Такое требование было бы неосуществимо, если бы сама природа не предоставила в наше распоряжение мощного магнита, действие которого простирается далеко за пределы земной атмосферы. Мы имеем в виду магнитное поле Земли.

Можно вычислить, как должны деформироваться под влиянием этого поля траектории электронов, летящих с той или иной скоростью по направлению к Земле. Из прямолинейных пути частиц становятся спиральными и, в конце концов, все сходятся на Земле. Подсчеты Штермера показали, что сравнительно медленные электроны, с энергией меньше 100 000 000 вольт, достигают земного шара только в непосредственной близости от магнитных полюсов. Этим объясняется, почему северные сияния, появляющиеся под влиянием потока электронов, испускаемых Солнцем, можно наблюдать только в полярных странах. Чем больше энергия частиц, тем ближе к экватору они могут попадать на поверхность Земли. При огромной энергии, превышающей 10 млрд. электрон-вольт (10]0), электроны могут достигать земной поверхности на всех широтах.

Если первичные космические лучи состоят из заряженных частиц, упомянутое свойство должно сказываться на интенсивности ионизации. В экваториальных зонах ионизация должна быть слабее, чем в умеренных и полярных (слабее, а не равна нулю, потому что первичные лучи могут состоят из частиц, летящих с различными скоростями, в частности превышающими 10 000 000 000 вольт).

В случае же квантовой природы лучей никакое различие в интенсивности ионизации на экваторе и на полюсах не должно иметь места, потому что фотоны не реагируют на действие магнитного поля.

Указанный эффект неоднократно подвергался тщательным исследованиям. Ионизация измерялась в тропических и полярных странах многими исследователями: Бегоунеком (1927 г.) на Шпицбергене, Мальмгреном на дирижабле „Италия“ при полете к северному

полюсу (1928 г.), Вериго на ледоколе „Малыгин“ (1932 г., 83° северной широты), Грантом во время путешествия в Антарктику (1931 г.) Милликеном и Камероном (1928 г.) во время путешествия из Северной Америки в Южную. Эти измерения не позволили обнаружить зависимости ионизации от магнитной широты. Другой ряд более новых и, повидимому, более точных измерений указывает на „наличие эффекта широты“. Мы остановимся на последних по времени, очень тщательных и обширных измерениях А. Комптона, опубликованных им в мае 1933 г. Эти измерения производились в 69 пунктах земного шара. Их положения нанесены точками на карту (черт. 8). Сеть наблюдательных станций охватывала площадь земного шара от 45° южной широты до 80° северной широты. Ионизационные камеры, служившие для измерений, были совершенно однотипными. Измерения позволяли получать величину ионизации с большой точностью, потому что градуировка всех многочисленных приборов производилась шестью препаратами радия, устанавливаемыми при эталонировании ионизационных камер на определенном расстоянии. Эти эталонные препараты перевозились из одной станции в другую. Последний прием позволял уверенно сравнивать результаты, полученные на различных станциях, ибо постоянство излучения эталонов можно было гарантировать. А. Комптону удалось обнаружить зависимость интенсивности ионизации от широты. Ионизация оказалась на экваторе на 14ü/0 слабее, чем в средних широтах. Эта цифра, повидимому достаточно надежная, не может еще дать исчерпывающего указания относи ельно природы первичных лучей, потому что результаты не могут быть истолкованы вполне однозначно. Сам Комптон считает, что результаты его измерений указывают на наличие в космических лучах как заряженных частиц с энергией, близкой к 1010 электрон-вольт, так и частиц, не отклоняемых магнитным полем (Комптон считает в равной мере возможным присутствие как фотонов, так и нейтронов). Это не противоречит результатам Росси, наблюдавшим частицы, проникающие сквозь метровый слой свинца и следовательно, имеющие энергию наверное превышающую 5 млрд. (5.109) вольт.

Черт. 8

Во всяком случае, обнаруженный „эффект широты“, требующий еще подтверждения, несколько приподнимает завесу, окутывающую тайну космических лучей. Повидимому, заряженные частицы в первичных лучях присутствуют.

Другое различие в поведении квантов и частиц должно сказаться на зависимости ионизации от высоты. Теория поглощения жестких квантов и быстрых частиц, развитая Гейзенбергом в 1933 г., позволяет установить характерные свойства того и другого излучения при прохождении его сквозь материю. Если первичные лучи состоят из фотонов, то на с мой границе атмосферы, согласно теории Гейзенберга, мы вообще не должны наблюдать ионизации.

„Свободный пробег“ жестких квантов весьма велик, и поэтому ионизация вначале

ничтожно мала. По мере проникания в глубь среды лучи должны постепенно обогащаться вторичными частицами, действие которых в ионизационной камере сказывается сильно. В результате, первое время по мере „погружения“ наблюдателя вглубь атмосферы ионизация должна расти. Однако так будет продолжаться до тех пор, пока не стонет заметным уменьшение энергии первичных лучей, идущей на ионизацию. Начиная с момента, когда это произойдет, ионизация начнет уменьшаться. Лучи в этом состоянии уже „насыщены“ вторичными частицами, и дальнейшее углубление в среду сопровождается оставлением ионизации. Графически этот процесс представлен на чертеже 9 сплошной кривой, имеющей максимум и начинающийся с ионизации, равной нулю.

Иначе должно происходить в случае корпускулярного состава лучей. Кривая (пунктир на черт. 9) начинается с некоторого конечного значения, а не нулевого, как в случае фотонов; в момент насыщения вторичными ча:тицами она достигает максимума, после чего спадает в результате уменьшения общей энергии первичных электронов. Разумеется, эта зависимость будет сложнее, если падающие первичные лучи не „монохроматичны“ и имеют некоторое распределение энергии, потому что по мере проникания лучей в среду, как мы уже отмечали, меняется их „спектральный“ состав или распределение энергии. В частности, например, положение максимума должно зависеть от энергии падающих лучей.

На чертеже 2 мы приводили зависимость ионизации от высоты. Не вызывает сомнения, что экспериментальная кривая поглощения постепенно делается более пологой. Это может указывать на приближение к максимуму.

Существующих данных еще недостаточно. Когда завоевание стратосферы продвинется до высот, значительно превышающих достигнутые до сих пор, измерения ионизации дадут в наше распоряжение еще один ключ к познанию природы космических лучей. Теория поглощения, как мы видели, позволяет отличать квантовые лучи от потока заряженных частиц. Милликен указывает области вселенной, где, по его мнению, могу происходить процессы синтеза элементов, сопровождающиеся испусканием фотонов космических лучей (мы уже отмечали, что в настоящее время под сомнение взяты установленные значения энергии лучей, и приходится подыскивать „подходящие“ ядерные процессы, связанные с испусканием таких фотонов. Неизвестно, где могут существовать электрические поля колоссальной напряженности, являющиеся источниками быстрых электронов, если рассматривать космические лучи как „электронные“. Попытки объяснить этот факт встречают большие трудности.

Интересный результат дал подсчет общей энергии космических лучей, сделанный Милликеном, Боуэном и Неером на основании измерений ионизации. Интеграл кривой на чертеже 2 выражает количество ионов, образующихся в 1 секунду на каждом квадратном сантиметре поверхности земли. Оно оказывается равным 6,25-107 ионов. Отсюда можно вычислить энергию, ежесекундно падающую на землю в виде космических лучей, независимо от их природы. Получающееся число 3,2• 103 эрг. см'2 се/с1 приблизительно в 2 раза меньше энергии, получаемой Землей от звезд. Однако, если учесть, что Земля находится вблизи центра Млечного пути и, следовательно, подвергается более интенсивному облучению звездной радиацией, чем области вселенной, удаленные от галактик, мы придем к выводу, что, вообще говоря, во вселенной плотность энергии космического излучения превышает в несколько десятков, если не сотен, раз плотность лучистой энергии звезд и туманностей.

Если приведенное вычисление справедливо, мы приходим к любопытному выводу, что космические лучи являются самым мощным агентом переноса энергии из одного места вселенной в другое.

Исследование природы космических лучей приводило ученых от экватора к обоим полюсам. Дело не ограничивалось перемещением по поверхности Земли.

Измерения производились под землей, под водой и высоко в воздухе.

Поражает масштаб этого явления: мы изучаем и открываем частицы, составляющие атомные ядра, при помощи опытов, в которых лабораторией служит, повидимому, не Земля, а вся вселенная.

Черт. 9

УЛЬТРАЗВУКИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

Научный сотрудник Е. ОСТРОВСКИЙ (Москва)

Под ультразвуковыми колебаниями, или ультразвуками, понимают упругие (механические) колебания высокой частоты, находящиеся за пределами слышимости человеческого уха. Так как нормальное ухо воспринимает упругие механические колебания в пределах от 20 до 20 тыс. колебаний, в секунду (для лиц, облагающих особо острым слухом, верхняя граница повышается до 25 тыс. колебаний в секунду), то, следовательно, нижним пределом ультразвуковой частоты следует считать частоту 20 тыс. колебаний в секунду. Что касается верхнего предела частоты ультразвуковых колебаний, то здесь удавалось получать ультразвуки до 8 млн. колебаний в секунду.

В последние готы ультразвуковые колебания получили очень широкое применение в различных областях техники. Достаточно упомянуть применение их для целей стабилизации частоты передающих радиостанций, для целей подводного телеграфирования, в морском деле, для определения глубин, рельефа дна и т. д.

Область применения ультразвуковых колебаний, со времени опубликования американскими физиками Вудом и Лумисом замечательных опытов над мощными ультразвуками, значительно расширилась и все еще расширяется. Вуд и Лумис обнаружили целый ряд замечательных свойств ультразвуков, которые открывают пути к их применению в биологии, коллоидной технике, химии и медицине.

В качестве источника (генератора) ультраакустических колебаний применяется кварцевый излучатель.

В природе существует целый ряд кристаллов (кварц, сегнетова соль, турмалин), обладающих пьезоэлектрическими свойствами, т. е. свойствами давать при сдавливании электрические заряды. В технике, однако, получил распространение главным образом кварц, по причине своей высокой электрической крепости, незначительного температурного коэфициента частоты и достаточно сильного пьезоэлектрического эффекта.

Кварц в природе кристаллизуется шестиугольными призмами, заканчивающимися такой же пирамидой. Молекула кварца состоит из одного атома кремния и двух атомов кислорода.

Кристалл кварца имеет одну оптическую ось zz и три электрических оси xv лг2, х3.

Оптическая ось кварца обладает тем свойством, что плоскость поляризации света, направленного вдоль нее, поворачивается на определенный угол, зависящий от толщины пластины и длины волны света.

Если из кристалла кварца вырезать пластинку е, большая плоскость которой перпендикулярна к одной из электрических осей кварца (на черт. 1 к оси ха) и параллельна оптической оси (такой срез называется срезом Кюри), то на подобной пластинке можно легко обнаружить наличие пьезоэлектрических свойств кварца.

Наложив на обе плоскости такой пластинки металлические обкладки и подвергая ее сжатию (накладывая на них определенный груз), легко обнаружить при помощи электрометра присутствие на металлических электродах электрического заряда.

Этот заряд Q оказывается равен:

Q^K-jPcgse,

где i— длина пластинки параллельно оптической оси;/—толщина пластинки; Р— действующая сила в килограммах; К—пьезоэлектрическая постоянная кварца— 0,0677.

Появление электрических зарядов на кристалле при механической его деформации было открыто еще в конце прошлого столетия

Черт. 1.

французским физиком Кюри. Эффект этот, которым обладает помимо кварца и целый ряд других кристаллов, называется прямым пьезоэлектрическим эффектом.

Естественно предположить, что наряду с прямым, существует и обратный пьезоэлектрический эффект. Последний, очевидно, будет заключаться в том, что при электризации обкладок кварца будет происходить изменение его размеров.

Если подобная электризация кварцевой пластины будет совершаться переменным током, то механические деформации, испытываемые кварцем, примут периодический характер, кристалл начнет совершать упругие колебания.

Наибольшая интенсивность упругих колебаний получается, когда но длине и толщине кристалла укладывается одна или вообще некоторое целое число полуволн упругих колебаний; в этом случае имеет место резонанс возбуждающих колебаний (электрических), с собственным периодом колебаний кристалла.

Приближенная формула, которая определяет длину возбуждающей пластинку электрической волны, при которой наступает резонанс колебаний по толщине пластинки, будет:

\м =^ 110 амм,

где \м — длина волны электрических колебаний, возбуждающих кварц, в метрах, d — толщина кварцевой пластины в миллиметрах.

Если, например, взять пластинку кварца толщиною в 5 мм, то длина электрической волны при резонансе будет:

Х=^= 110X5 = 550 м.

Так как частоты возбуждающих электромагнитных и получаемых механических колебаний будут при резонансе совпадать, то частота основного ультразвукового тона для нашего случая будет:

с 3. 108 - А ,ЛК “ = T = -55Ö-^5>4-105

колебаний в секунду,где с — скорость света в метрах в секунду. Из этого примера мы видим, что резонанс наступает в области очень высоких частот, т. е. в ультразвуковой области.

Получаемые от кварца колебания легко могут передаваться в жидкой и твердой среде. В воздухе ультразвуковые колебания передаются значительно хуже вследствие большой разницы в плотности и упругости и, следовательно, большему отражению на границе кварца с воздухом.

Помимо кристаллических вибраторов источниками ультразвуков (правда, на более низкие частоты) могут служить магнитные вибраторы в переменном магнитном поле. В последних используется явление магнитострикции, т. е. свойство некоторых магнитных материалов (никель, кобальт, инвар, нихром) менять свои размеры и формы в переменном магнитном поле. Однако этот тип вибраторов еще сравнительно мало разработан.

Резюмируя, мы можем сказать, что в кварце мы имеем пример непосредственного превращения электрической энергии в акустическую.

Для получения ультрозвуковых колебаний в лабораторной обстановке поступают следующим образом.

Кварцевая пластина вместе с двумя электродами помещается в какую-либо жидкую среду (например трансформаторное масло), отличающуюся высокими изолирующими свойствами и электрической крепостью.

Для подводки переменного напряжения к кварцу служат два электрода: нижний — массивный (обычно свинцовый), на который кладется кварцевая пластина, и верхний — из алюминиевой или медной фольги.

Электроды присоединяются либо непосредственно к колебательному контуру либо при помощи трансформатора Тесла.

В тот момент, когда частота колебательного контура (которую можно менять, изменяя либо емкость либо самоиндукцию контура) совпадает с собственным периодом колебания кварца, кварц приходит в интенсивные колебания.

Под действием последних на поверхности масла появляется рябь, переходящая по мере повышения подводимого напряжения в бурное движение слоя масла над кварцем. При повышенном напряжении, порядка 4—5 тыс. вольт, над кварцем начинает бить мощны л масляный фонтан, разбрызгивающий капли масла во все стороны. Из масла начинается интенсивное выделение находящихся в нем пузырьков воздуха.

Черт. 2.

При особо мощных колебаниях упругие напряжения кварца очень велики, и бывают случаи, когда кварцевая пластинка раскалывается на отдельные части.

Такие кварцевые пластины, разлетевшиеся на куски под действием собственных упругих колебаний, можно снова склеить. Подобные склеенные шеллаком пластины могут быть использованы и после аварии. Эффект, получаемый, однако, от них, значительно более слаб, кроме того, они неудобны потому, что поврежденные места являются источниками электрического пробоя.

Если в масляный фонтан внести стеклянный сосуд (например колбочку или пробирку) с какой-либо жидкостью, то последняя также приходит в сильное движение: внутри такой колбочки начинает также бить фонтан. Если держать такую колбу голыми руками, то при прикосновении к острым краям стекла получается сильный ожог. Это — пример акустического ожога, так как сама по себе колба, будучи вынесена из сферы действия ультразвука, недостаточно нагрета д я причинения ожога. Эти опыты показывают, что ультразвуковые колебания переходят из масла (жидкость) в стекло (твердое тело и далее частично идут по стенкам стекла, частично переходят в жидкость, помещенную внутри сосуда.

Целый ряд веществ дает под действием ультразвуковых колебаний очень стойкие эмульсии, причем при сильных колебаниях эти эмульсии получаются почти моментально.

Ртуть с водой лает эмульсию фиолетово-черного цвета; масла (трансформаторное, касторовое, вазелиновое, животное) с водой дают эмульсии белого цвета разнообразных оттенков, от молочнобелого до кремового.

Особенно легко получается эмульсия бензола с водой. Бензол, подвср:аясь действию ультразвука, распыляется, образуя густой белый туман.

Чрезвычайно резкое эмульсионное действие получается при смешении масла (например касторового) с ртутью. Ртуть здесь эмульгирует нацело и, повидимому, в самых разнообразных пропорциях, образуя черную эмульсию. Тела, подверженные действию ультразвуковых колебаний, нагреваются. Легкоплавкие материалы, как парафин и воск, также способны давать эмульсию с водой. Лед, подвергаясь воздействию ультразвука, быстро рыхлеет и разрушается.

Сильное эмульсионное действие ультразвука нужно объяснить тем обстоятельством, что на концах объекта, находящегося в ультразвуковом поле (например какой-либо частицы), создается весьма значительная разность ускорений, во много раз превышающая земное ускорение и влекущая за собой механические разрывы такой частицы.

Действительно, скорость £ в плоской волне выражается соотношением:

Ê;=aco$ ((ùt — кх)л (1)

и, следовательно, ускорение частиц

S =— а со sin ((ùt — аглг), (2)

амплитуда скорости а связана с амплитудой давления в звуковой волне Р0 соотношением:

(3)

где с — скорость звука; s — плотность жидкости; ï0 — амплитуда скорости движения частицы; sc — сопротивление излучения.

Так как максимальное значение, принимаемое cos есть 1, то, следовательно,

а----% и 5- - ?gsln{»t-Kx). (4)

Дифференцируя уравнение (4) по х, мы получим величину прироста ускорения на расстоянии Ах.

Д£ - -у к cos ((ùt — кх) 1х. (5)

Изменение амплитуды ускорения на длине Длг, которое обозначим через будет:

(6)

Хак как со = ~ , где Т период колебания, к = у , где ). — длина волны и Тс=\, то, подставляя sto выражение в уравнение (6) получим:

Подсчитаем теперь разницу в ускорениях, которая получается в воде (s ^=1) на длине дл: в один микрон —10~4 см. Так как на поверхности осциллатора наблюдается вскипание жидкости, т. е. давление достигает величины атмосферного (10s бар.), то Р0 можно принять равным 0,5Х 10е бар.

Принимая длину волны л = 0,25 с и, получим:

т. е. получается величина, превышающая 30-кратное земное ускорение. Ультразвуковая

волна, пронизывающая частицу, взвешенную в жидкости, создает, таким образом, значительную силу, могущую разорвать частицу. Исходя из указанных расчетов, можно уяснить сильное эмульсионное действие ультразвука.

Эмульсионное действие особенно интересно у таких веществ, эмульгирование которых невозможно обычным механическим путем.

Например, эмульсию ртуть—вода той степени дисперсности (раздробления), которая в 2-3 минуты получается воздействием ультразвука, невозможно получить обычным механическим встряхиванием, сколь бы длительно и интенсивно оно ни было. Между тем степень дисперсности играет в технике для целого ряда веществ огромную роль.

Достаточно указать на важность получения системы высокой степени дисперсности в текстильном деле при получении ряда нерастворимых красок (от степени дисперсности частиц которых зависит красота тона тканей), в фотографической промышленности при получении эмульсии для фотографических пленок (качество пленки), в технике изготовления лекарств, в получении эмульсии парафинового масла (важно для бумажной промышленности и т. д.).

Не менее интересно также интенсивное биологическое действие ультразвука. На живые ткани воздействие ультразвуковых колебаний чрезвычайно сильно. Быстро уничтожаются красные кровяные шарики, которые подвергаются разрыву.

Одноклеточные инфузории, мелкие животные, рыбы, головастики, лягушки и морские ракообразные животные погибают.

Повидимому, следует ожидать и наличия бактерицидного действия ультразвука. Опыты в этом направлении сейчас ставятся в Государственном институте рентгенологии. Ряд исследований, произведенных над молоком, показал, что прозвученное молоко скисало по сравнению с контрольным значительно позже (задержка была до 7 дней). Этот результат показывает, что ультразвуки убивают молочнокислые бактерии.

Биологический эффект ультразвука, интересный сам по себе, открывает также перспективы использования его в целом ряде технических областей, как, например, в технике консервирования продуктов и в медицине

Однако крупного технического применения этих свойств ультразвука, повидимому, следует ожидать только тогда, когда будут найдены более мощные и легко получаемые источники ультразвука. На этом пути уже сейчас намечается целый ряд новых возможностей в связи с использованием магнетострикционных колебаний.

Чрезвычайно интересен вопрос о прохождении ультразвуковых колебаний через твердые тела. Опыты Соколова показали, что ультразвуковые колебания одной и той же интенсивности, проходящие через различные материалы (одинаковых размеров), по выходе из обьекта получают различной интенсивности колебания. Это указывает на неодинаковую степень затухания ультразвука в различных твердых телах.

Так как, с другой стороны, прозвучивать удается довольно толстые металлические объекты (болванки до 40 см толщины), то это открывает возможности исследования внутренней однородности металла, отсутствие или наличие в нем скрытых дефектов, трещин и т. д. Следует отметить, что прозвучивать удавалось такие объекты, которые не удается просветить мощными рентгеновскими установками.

На чертеже 3 снята картина колебаний на поверхности стальной пластины. Съемка произведена при помощи слоя расплавленного парафина, налитого на поверхность пластины и искусственно подкрашенного. На чертеже 4 показан разрез медного цилиндра толщиной в 20 см, внутри которого имелся порок.

Этот дефект был обнаружен при прозвучивании, так как в нем происходило резкое затухание ультразвуковых колебаний. Производя прозвучивание в трех взаимно перпендикулярных направлениях, можно обнаружить не только наличие дефекта, но и местоположение его.

Черт. 3

Черт. 4.

Помимо вышеописанных свойств ультразвука, следует указать еще на следующие явления. Ультразвук обнаруживает целый ряд химических воздействий. Многие реакции под действием ультразвуковых колебаний протекают значительно быстрее, чем при тех же температурных условиях без них. Отмечено также действие ультразвука на взрывчатые вещества. Так, трииодистый азот под действием сильных ультразвуковых колебаний взрывается.

Наконец, ультразвук обнаруживает ускорение роста кристаллизации. Так, например, насыщенный раствор сахара и соли под действием ультразвука быстро кристаллизуется.

Работами французского физика Ланжевена совместно с инженерами Флорианом, Марти и Тули были разработаны подводные кварцевые излучатели, имеющие ряд преимуществ по сравнению с обычными электромагнитными вибраторами. Применяя ультразвуковые колебания большой частоты, удается добиться большей концентрации пучка лучей и, следовательно, большей направленности передачи. Направленность передачи получается вследствие того, что длина волны значительно меньше размера вибратора.

В такого рода излучателях кварцевая пластина приготовляется из ряда более мелких пластин, склеиваемых друг с другом (мозаика) и зажимаемых между двумя массивными стальными пластинами, которые она приводит в колебание.

Подобный излучатель может отдавать энергию в несколько сот ватт. Пользуясь им, можно осуществить ультразвуковую сигнализацию между судами, подводную телефонию и т. д. По методу эхо легко определяются глубины моря, снимается по ходу судна рельеф морского дна и обнаруживаются возможные препятствия (льдины, подводные скалы, подводные лодки и т. д.).

Самый аппарат состоит из искрового радиопередатчика, параллельно емкости колебательного контура которого и включается кварц. Один и тот же кварц служит и в качестве излучателя и в качестве приемника.

Послав в воду ряд сигналов, излучатель автоматически переключается на приемную схему. Под действием отраженных от препятствия (дно, камень и т. д.) колебаний на кварце возникают электрические заряды, возбуждается электрический контур передатчика, колебания усиливаются и автоматически регистрируются на движущейся ленте.

Если t — время в секундах между посылкой короткого сигнала и приходом обратного сигнала, отраженного со дна моря (эхо), то глубина моря будет: п = —^—м- ° настоящее время подобного рода подводные излучатели установлены на целом ряде морских судов.

Литература

Wood and Loomis, „Philosophical Magazine“ vol. 4, sept. 1927.

П. H. Беликов, „Успехи физических наук" № 2, 1928 г.

P. Lange vin, „La nature',№2572,21 Juil, 1923. . , №2667,16 Mai 1925.

S. I. Sokoloff, „ENT“, Heft 11, 1929.

T. P. Abellо, „Proc. Nat. Acad. Amer.,“ 13,699 (1927)

Freund1ich, „Kolloid. Berichte«, Band XXXVII 1933.

K. Röhrich, „L. f. Ph.“, 72 813 (1932).

КОНЕЧНО ЛИ ПРОСТРАНСТВО ВСЕЛЕННОЙ?1

Г. ГУРЕВ (Москва)

I

За последние несколько лет картина вселенной начала перед нами развертываться в таком грандиозном масштабе, который казался невероятным даже крупнейшим астрономам всего лишь лет десять тому назад. Под влиянием этих успехов науки о небе окончательно уничтожены последние следы геоцентризма, и диалектико-материалистическое представление о единстве и целостности вселенной получило блестящее подтверждение. И это несмотря на то, что многие буржуазные ученые пытались и пытаются истолковать новые данные о строении вселенной в идеалистическом духе.

Благодаря Копернику геоцентризм был заменен гелиоцентризмом, т. е. наша Земля из центра вселенной перешла на скромное место спутника Солнца — планеты. Как известно, этим Коперник произвел переворот не только в астрономии, но и в общем мировоззрении, опергнув догмат всех церковников об исключительности и единственности земного человечества. Однако вселенная Коперника и астрономов того времени была крайне ограничена- и фактически исчерпывалась только теми светилами, которые составляют солнечную систему. Правда, Бруно, учивший о бесконечности вселенной, говорил, что каждая звезда подобна нашему Солнцу, и, следовательно, является планетной системой. Но в течение довольно долгого времени не было никаких фактов, которые указывали бы на огромное значение звезд в картине вселенной. Только в конце XVIII в. после многочисленных работ великого астронома Вильяма Гершеля, наряду с быстро развившейся астрономией солнечной системы, начала создаваться новая отрасль науки— звездная астрономия, значительно „раздвинувшая границы“ вселенной.

Одним из важнейших успехов звездной астрономии является произведенное в 1838 г. Бесселем измерение расстояния одной из ближайших к нам звезд — 61 Лебедя. Дальнейшие исследования показали, что расстояния между отдельными звездами, в том числе и между нашим Солнцем и его ближайшими соседями, огромны, а именно, — порядка в несколько единиц или десятков или даже сотен световых лет.

В связи с этим стало ясно, что даже самые слабые, еле мерцающие звездочки являются огромными раскаленными телами, подобными нашему дневному светилу, т. е. наше Солнце — лишь одна, из звезд, рассеянных по небу. Таким образом, не только крошечная Земля, но и колоссальное Солнце, окруженное группой планет, перестало быть центральным пунктом вселенной.

Однако в течение долгого времени продолжали думать, что все звезды похожи на нашу солнечную систему, что все они построены по ее „образу и подобию“. Бурное развитие астрофизики (ее развитию способствовало появление таких инструментов, как спектроскоп, фотографическая пластинка и фотометр) привело к сокрушению этого взгляда. Оказалось, что среди мириад изученных звезд царит большое разнообразие, что есть очень много таких звезд, которые на нашу солнечную систему совершенно непохожи. Значит, наша солнечная система не может быть признана прообразом, прототипом для всех остальных звезд: она лишь один из примеров среди большого разнообразия в природе.

Но может быть та система звезд, в состав которой входит наше Солнце, является единственной или занимает особое, исключительное положение во вселенной? На этот весьма важный вопрос мы в самое последнее время получили довольно ясный, определенный ответ.

Когда Галилей более трехсот лет тому назад направил свой телескоп на светящуюся полосу Млечного пути, он сразу заметил, что Млечный путь является скоплением множества весьма отдаленных от нас звезд, как это учил еще Демокрит. Следующий крупный шаг в изучении Млечного пути был сделан В. Гершелем, показавшим, что все простые и двойные звезды, видимые нами как отдельные светящиеся точки, имеют тесную связь с Млечным путем. Они принадлежат Млечному пути, так как „избегают“ областей неба, наиболее удаленных от светящегося небесного пояса, и все более увеличиваются в числе, скучиваются с приближением к этому поясу. В связи с этим В. Гер-

1 Предлагая вниманию читателей интересную статью т. Г. Гурева редакция считает положения II главы статьи в некоторых частях спорными, требующими дальнейшей разработки.

шель заключил, что все звезды, даже одиночно разбросанные по небу, представляют отно гигантское целое, нечто вроде „мирового острова“, и собственно Млечный путь представляет лишь ту часть его, которая кажется нам наиболее сгущенной. С помощью подсчета звезд различной яркости астрономы Зеелигер, Макс Вольф и Каптейн полностью подтвердили этот вывод, ясно показав, что Млечный путь — это огромное звездное скопление, окруженное пустым, беззвездным пространством.

Астрономы чаще всего называют систему Млечного пути галактикой, или галактической системой (от греческого слова „гала“— молоко, ибо греки называли Млечный путь „Молочным кругом“). Форма этой системы, согласно исследованиям В. Гершеля, Зеелигера и других астрономов, приближается к форме „чечевицы“ или диска, имеющего форму карманных часов. Наибольший диаметр лежит в плоскости Млечного пути, причем этот „экваториальный“ диаметр впятеро больше наименьшего, полярного, поперечника. Что же касается размеров этой звездной системы, то Зеелигер как наиболее вероятную величину принимал для наибольшего его диаметра расстояние в 30 тыс. световых лет. По Каптейну, общее число звезд в таком расстоянии настолько велико, что должно быть оценено не меньше как в 47 млрд. Недавно Сире на основании своих более новых подсчетов тоже нашел, что это число равно 30—40 млрд.

Однако, как скоро увидим, недавно выяснилось, что эти числа дают нам представление не о всей звездной системе Млечного пути, а лишь об одном близком к нам участке так называемой „местной системы“.

Система Млечного пути состоит не только из отдельных звезд и из неправильных или „рассыпанных“ звездных скоплений, но также из светящихся и темных туманностей, т. е. из огромных (чаще всего бесформенных) скоплений газов или метеоритов. Однако существует еще две группы мировых образований: сравнительно небольшое число шаровидных звездных скоплений и огромное количество спиральных туманностей (а также других космических образований, родственных спиральным туманностям).

Где же они находятся: в системе Млечного пути или далеко за ее пределами? Другими словами, представляет ли собой скопление светил Млечного пути „единственный остров“ в беспредельном мировом пространстве или же на расстояниях, во много раз превышающих его размеры, находятся другие такие же „острова“?

В последнее время этот весьма важный вопрос удалось окончательно разрешить, и это привело к поразительному развитию наших знаний о размерах вселенной. Прежде всего следует упомянуть о замечательных работах Шапли над шаровидными звездными скоплениями. Некоторые из этих скоплений имеют в диаметре всего 400—500 световых лет, а число звезд достигает 150 000. При этом оказалось, что в пределах 20 000 световых лет в Млечном пути нет ни одного шарообразного звездного скопления, хотя обычных (неправильной формы) скоплений звезд встречается немало. Наиболее отдаленные шаровые звездные скопления находятся от нас на расстоянии 220 000 световых лет. И тем не менее распределение этих далеких объектов указывает на то, что они еще принадлежат к системе Млечного пути, обнаруживают связь с этим великим звездным скоплением. Следовательно, по Шапли, наибольший диаметр Млечного пути достигает не 30 000 световых лет как полагали Зеелигер и другие астрономы, а по крайней мере раз в 10 больше, т. е. он превышает 300 000 световых лет ...

Ниже мы увидим, что в самое последнее время Шапли пришел к заключению, что Млечный путь имеет еще более значительные размеры и крайне сложное строение. Пока что отметим, что, согласно исследованиям Сирса и Шапли, звезды, непосредственно окружающие наше Солнце, образуют так называемое „местное скопление“, или нашу местную систему, имеющую форму сплюснутого диска. Поперечник ее, по Сирсу, составляет около 20 000 световых лет, причем Солнце находится почти около центра ее. Судя по новейшим исследованиям Паннекука, это „местное сгущение“ распадается, в свою очередь, на отдельные сгущения, т. е. на ряд так называемых „звездных облаков“ меньших размеров. Вся эта местная система входит в состав гигантской системы Млечного пути, причем наше Солнце не находится в центре этой большой системы: оно отстоит от центра Млечного пути приблизительно на расстоянии 65 000 световых лет.

Еще более интересными образованиями, чем шаровые звездные скопления, являются спиральные туманности, самая большая из которых находится в созвездии Андромеды и видна простым глазом.

Хотя спиральные туманности были открыты Россом еще в середине прошлого столе-

тия, успешное изучение их стало возможным лишь в самое последнее время с помощью фотографической пластинки, приспособленной к величайшим современным рефлекторам. Снимки с этих светил ясно показывают, что они состоят из сравнительно яркого центрального сгущения, или „ядра“, из которого в двух противоположных точках выходят две струи светящегося вещества. Струи эти, отходя все дальше и дальше от ядра, закручиваются по одному и тому же направлению и друг с другом не встречаются. В самое последнее время при помощи спектроскопа удалось установить, что эти туманности вращаются около оси, перпендикулярно плоскости туманностей, и постепенно „раскручиваются“. Время полного оборота этих масс должно быть громадно (например, период обращения туманности Андромеды оценивается в 17 млн. лет), и это, конечно, указывает на их внушительные размеры. Вместе с тем оказалось, что замечательной особенностью спиральных туманностей является частое вспыхивание в них новых звезд (например, в одной лишь туманности Андромеды за 4 года вспыхнуло больше 20 очень слабых „новых“). А это, разумеется, наводит на мысль, что спиральные туманности по своей природе напоминают звездную систему Млечного пути. Наконец, спектр этих светил не дает оснований считать их газообразными массами.

Однако все попытки „разложить“ спиральные туманности на звезды долгое время не удавались. В связи с этим вопрос об их природе, размерах и расстояниях, а следователно, и вопрос об их отношении к Млечному пути возбудил горячие споры. Всего лишь несколько лет назад Шапли выдвинул положение о том, что в Млечный путь входят не только отдельные звезды и шаровые звездные скопления, но и все спиральные туманности. Выходило, таким образом, что Млечный путь является единственной системой во вселенной, что он обнимает собой все наблюдаемое нами на небе, — всю вселенную. А это, конечно, вело к докоперниковским выводам, т. е. к представлению, что вселенная имеет ограниченные (хотя и огромные) размеры, и что тот мир звезд и туманностей, к которым принадлежат Земля и Солнце, является миром миров, единственной частью вселенной. И в связи с этим защитники религии стали уверять, что геоцентризм, лежащий в основе библийского мировоззрения, не может считаться похороненным, что он принял только новую форму.

Теории Шапли противостояла теория „островных вселенных“, выдвинутая еще во второй половине XVIII в. Райтом, Кантом и Ламбертом, поддержанная В. Гершелем и считавшая вселенную совокупностью бесконечного числа „островов“, т. е. изолированных звездных систем. По мнению сторонников этого взгляда (Кертиса и др.), спиральные туманности имеют звездную природу и совершенно независимы от Млечного пути. Это очень далекие от нас звездные системы, самостоятельные „острова“ вселенной, имеющие в общем такие же размеры и такое же строение, что и система Млечного пути. Следовательно, наша галактическая звездная система является лишь од ой из спиральных туманностей, т. е. лишь одним из островов, несущихся в необъятном небесном пространстве.

В 1925 1926 гг. астроному Хебблу удалось решить спор о природе спиральных туманностей и решить его в пользу теории самостоятельных звездных систем „островных вселенных“.

При помощи современного величайшего телескопа (100-дюймового рефлектора Маунтвильсоновсксй обсерватории в Калифорнии) Хеббл „разложил на звезды“ две наиболее известные (и несомненно ближайшие) спиральные туманности: одну — в созвездии Андромеды, другую—в созвездии Треугольника. Оказалось, что они представляют собой гигантские скопления звезд, звездных куч и газообразных масс и совершенно независимы от Млечного пути, являясь самостоятельными космическими образованиями. Туманность Андромеды отстоит от нас на расстоянии 900 000 световых лет, а туманность Треугольника— на расстоянии 850 000 световых лет, так что мы видим их не такими, какие они есть в настоящее время, а лишь такими, какими они были почти миллион лет тому назад, т. е. тогда, когда на Земле еще не было людей. Что же касается их размеров, то диаметр туманности Андромеды равен приблизительно 45 000 световых лет, т. е. имеет размеры, сравнимые с размерами Млечного пути, по оценке Зеелигера (с размерами местной системы); туманность Треугольника имеет, примерно, втрое меньше размеры, т. е. 15 000 световых лет в поперечнике.

Под влиянием этих фактов Шапли и его сторонники признали, что Млечный путь — лишь один из „островов“ вселенной, и что мы, таким образом, приходим к идее „системы Млечных путей“, или галактики галактик.

Итак, астрономия переживает в настоящее время приблизительно такой же момент, ка-

кой она пережила около трехсот лет тому назад. Подобно тому, как вскоре после появления учения Коперника о солнечной системе благодаря развитию науки эта система оказалась лишь ничтожным уголком звездной системы Млечного пути, так и в наше время успехи изучения неба приводят к постановке новой и еще несравненно более обширной проблемы, над разрешением которой будет работать не одно поколение астрономов,— к вопросу о строении сверхсистемы Млечных путей. При этом первые шаги к решению этой великой проблемы уже сделаны.

Дело в том, что в самые последние годы выяснилось, что спиральные туманности, так же, как и звезды, образуют „облака“, т. е. отдельные скопления, группируясь в некоторых местах неба (в созвездиях Волосы Вероники, Дева, Большая Медведица, Центавр и пр.). Шапли, Эмс, Бааде, Хеббл, Лундмарк и другие приходят к заключению, что эти облака представляют обособленные системы, что они являются „сверхсистемами“ звезд. Сейчас нам известно около 40 таких „сгущений“, или „роев“, спиральных туманностей, но Хеббл считает, что величайшему современному рефлектору доступно около 1400 таких образований. При этом в ряде случаев удалось определить расстояния и размеры как этих „облаков“ (сверхсистем), так и их составляющих галактик, т. е. спиральных туманностей; именно: оказалось, что в каждой из таких групп входят от нескольких единиц (чаще всего от 10 — 12) до двух-трех тысяч спиралей, причем расстояния до этих скоплений невообразимо огромны. По Хебблу, расстояния самых слабых из этих объектов, доступных для фотографической пластинки величайшего телескопа, достигают миллиарда световых лет!

Что же касается до размеров этих систем галактик, то они оказались порядка нескольких сот тысяч или нескольких миллионов световых лет. Наконец, выяснилось, что линейные размеры отдельных спиральных туманностей, входящих в состав этих скоплений, колеблются в пределах от 5 до 25 000 световых лет, причем наибольшие из них имеют диаметр, равный диаметру туманности Андромеды, т. е. 45 000 световых лет. Конечно, все эти данные об обособленных сверхсистемах галактик имеют очень большое значение для разработки проблем строения вселенной и для всего нашего мировоззрения. Между прочим, они еще раз показывают, что вселенная едина и целостна и что поэтому в ней нет и не может быть каких-то привилегированных, исключительных мест.

Как видно, открытия сверхгалактик весьма сильно раздвинули „границы вселенной“. Мы вступили в „новую вселенную“ (как говорят астрономы—„в большую вселенную“), где за единицу расстояния приходится брать уже не световой год, а величину в миллион световых лет. В связи с этим Шапли удалось пролить довольно яркий свет на строение нашего Млечного пути и на его место во вселенной.

Мы уже знаем, что по исследованиям Шапли шаровые звездные скопления, многие из которых удалены от нас на расстояние более сотни тысяч световых лет, тесно связаны с системой нашего Млечного пути. Поэтому размеры этой системы велики по сравнению с размера мы отдельных измеренных галактик: она даже в 5—6 раз больше туманности Андромеды, которая принадлежит к числу самых больших из известных нам галатик. Выходит, таким образом, что наша галактика является какой-то особенной, необычной, что она не сравнима с другими звездными системами, „вселенскими островами“ — спиральными туманностями.

А между тем скопления, или „облака“, галактик имеют, как оказалось, в общем размеры того же порядка, что и наш Млечный путь. Вместе с тем составляющие их галактики „нормальных“ (средних) рамеров по своей величине вполне сравнимы с нашей так называемой „местной системой“, т. е. с самой близкой к нам частью галактики. Это обстоятельство, а также ряд особенностей в строении Млечного пути (главным образом то, что он состоит из отдельных „звездных облаков“) навели в 1930 г. Шапли на мысль, что наша галактика уже не представляет собой галактику в прежнем смысле. Именно — она является не спиральной туманностью, а скоплением многих, связанных между собой спиральных туманностей, т. е. она есть не что иное, как сверхгалактика, система, или „облако“, галактик, подобная „роям“ галактик в Деве, Центавре и пр.

Это допущение, вполне согласное со всеми известными нам данными о внегалактических системах, является весьма важным шагом вперед в вопросе о строении вселенной. Оно сокрушает последние остатки столь приятного поповщине геоцентризма, доказывая, что наш Млечный путь не представляет собой ничего особенного: он оказывается не спиральной туманностью исключительных размеров, а сверхгалактикой средней величины (подобно тому, как наше Солнце является средней величины звездой). Например, эта сверхсистема, несмотря на свои огромные раз-

меры, имеет в двадцать раз меньший диаметр, чем скопление галактик в созвездии Центавра.

Все вышеизложенное не может не привести нас к старому вопросу: конечна или бесконечна вселенная?

Поповщина, разумеется, охотно придерживается представления о конечности, ограниченности пространства. Но нет ни одного астрономического факта, который говорил бы в пользу этого представления. Наоборот, Шапли, касаясь в 1931 г. итогов произведенных им и другими астрономами исследований скоплений галактик, приходит к выводу, что „как число галактик, так и радиус вселенной могут быть бесконечными“. К тому же, вообще невозможно представить себе, где же, собственно, кончается пространство, т. е. наше воображение невольно переходит за всякий предел и не перестает видеть за ним. Другими словами, наша мысль отказывается от понятия ограниченности вселенной, ибо мы не можем не спрашивать: а что же дальше за гранью? И это не случайно, а связано с отсутствием границ неба, т. е. невозможность мыслить границу мирового пространства проистекает не из того, что наше мышление якобы ограничено, а из того, что никаких границ пространства не существует.

Так это и должно быть с точки зрения диалектического материализма, учащего, что конечное вовсе не исключает бесконечного: эти понятия тесно и неразрывно связаны, т. е. между ними существует „взаимное проникновение“, единство („единство противоположностей“)., Всякое конечное содержит в себе бесконечное, и обратно, так что мы непрестанно познаем через конечное —бесконечное, через частичное всеобщее, через малое — великое, через прерывное — непрерывное и т. д. Но пространство, подобно времени, не есть нечто самостоятельное: оно не существует вне материи, независимо от вещества. Пространство есть форма существования материи. Следовательно, бесконечности материи соответствует бесконечность пространства, т. е. вселенная бесконечна, безгранична.

В связи с этим большой интерес представляет теория астронома Шарлье, находящаяся в прекрасном согласии с данными наблюдений. Согласно этой теории, вселенная может состоять из бесконечного числа галактических систем, т. е. Млечных путей, расположенных известным образом в пространстве. Именно — на больших расстояниях друг от друга разбросаны галактические системы, каждая из которых, подобно нашему Млечному пути, представляет собой скопление определенного, конечного (хотя и очень большого) числа звезд, газовых и метеоритных скоплений и т. д. Но некоторое число этих галактик составляет более крупное объединение, так сказать, „галактику галактик“, или „галактическую систему второго порядка“ ; множество галактик второго порядка составляет грандиозную „галактическую систему третьего порядка“, а скопление конечного числа галактик третьего порядка—„галактическую систему четвертого порядка“ и т. д. Значит, системы первого порядка — Млечные пути, т. е. спиральные туманности; системы второго порядка— вся совокупность спиральных туманностей и т. д., причем вся вселенная бесконечна, пространственно неограничена.

Как уже сказано, эта картина бесконечной вселенной очень хорошо согласуется с наблюдением. Однако некоторых ученых она не удовлетворяет, главным образом на том основании, что мы вообще не можем ясно и наглядно представить себе бесконечность пространства. Поэтому они вслед за знаменитым геометром Риманом пытаются подойти к этому вопросу с другой стороны, а именно: они говорят, что хотя пространство неограничено, но неограниченность не есть бесконечность.

Как известно, согласно теории Эйнштейна, мировое пространство замкнуто в себе, потому что, подобно окружности и поверхности шара, оно имеет „внутреннюю кривизну“. В таком случае прямые линии только на небольшом участке в пределах наших непосредственных опытов и наблюдений кажутся нам такими, а на самом деле всякая прямая, будучи продлена в какую-либо сторону, „загибается“ и возвращается в ту же точку, т. е. возвращается к себе самой. Следовательно, такое пространство будет конечно, но безгранично, т. е. кривая линия будет в ней прямой; все, что двигается „по прямой линии“, должно вернуться к исходной точке. Некоторые астрономы (де-Ситтер, Хеббл и др.) даже вычислили, через сколько миллионов или миллиардов световых лет луч света, вышедший из какой-либо звезды, опять возвращается в исходную точку. Словом, с точки зрения Эйнштейна вселенная безгранична, но конечна; она замкнута, но „границ“ не имеет.

Но в том же 1917 г., когла Эйнштейн высказал эту точку зрения, де-Ситтер показал, что в свете теории относительности возможен также другой мир, который в сравнении с эйнштейновским миром является миром „пустым“. Это так называемый „мир де-Ситтера“, который содержит так мало вещества,

что взаимные притяжения между галактиками ничтожны, причем в нем видеть „кругом света“ нельзя, т. е. луч света в нем не возвращается в ту точку, откуда он вышел.

Однако реальная, действительная вселенная не похожа ни на „мир Эйнштейна“, ни на „мир де-Ситтера“. Сам Эйнштейн признает, что релятивистская космология не представляет собой чего-то законченного, определенного, и он неоднократно менял свои взгляды по вопросу о мире как целом. Представление же о „пустом мире“ вызвало усиленные нападки даже со стороны представителей буржуазной науки, и в 1930 г. сам де-Ситтер вынужден был отказаться от него. Он признал, что изучаемая нами вселенная не пуста, а „почти заполнена“, хотя и неоднородно плотна. Наконец, аббат Леметр выдвинул в 1927 г. взгляд, что вселенная „начала свое существование“ с состояния, которое характерно для „мира Эйнштейна“, но она идет по пути, который кончается „миром де-Ситтера“. Однако все эти „схемы мира“ („предельные“ Эйнштейна и де-Ситтера и „промежуточная“ между ними Леметра) неверны в самой основе, являясь плодом математической абстракции.

Следует отметить, что теория относительности, лежащая в основе всех этих „схем мира“, приводит к заключению, что искривление пространства обусловлено присутствием материи во вселенной. Это положение важно для нас в том отношении, что оно, как и диалектический материализм, считает, что пространство неразрывно связано с материей, т. е. оно отбрасывает представление об абсолютно пустом пространстве. Однако целиком стать на точку зрения эйнштейновского положения мы не можем, ибо эйнштейновское единство пространства времени и материи является не реальным, а формально-математическим, т. е. оно не того порядка, который устанавливает диалектический материализм. Ведь диалектический материализм исходит от объективного бытия, от материи, и поэтому он признает неразрывное единство материи пространства, времени и движения. У Эйнштейна же, бегающего от материализма, все поставлено на голову: понятие пространства, уверяет он, „остается единственным теоретическим представителем реальности“, так что физика становится геометрией, превращается в учение о пространстве. В связи с этим он недавно заявил, что „пространство поглотило в последние десятилетия эфир и время и готовится поглотить поле и тела“, т. е. материя совершенно исчезнет. Энгельс неоднократно указывал на то, что закон тяготения не объяснен Ньютоном, что последним „проблема не разрешена, а только поставлена“. И действительно, одним из крупнейших недостатков теории Ньютона является признание тяготения (притяжения) таким свойством материи, которое каким-то совершенно таинственным, непонятным образом действует на расстоянии. Теория относительности Эйнштейна выдвинула взгляд, который устраняет это странное действие на расстоянии, выступающее в формуле Ньютона. На место понятия „силы“ как причины тяготения, действующей на расстоянии, этот ученый поставил взаимодействие между телами. Он считает, что между частицами материи всюду имеется „поле тяготения“ (подобно тому, как заряженная электричеством частица имеет электрическое поле) и что каждая частица через это поле передает свое действие ближайшей частице. Отсюда следует, что причинсй тяготения является взаимодействие всех масс вселенной, т. е. всего мирового вещества. Однако Эйнштейн и подавляющее большинство его сторонников, находясь под сильным влиянием идеализма, усматривают причину тяготения не в веществе, а в геометрии, в „кривизне пространства“. Например, Джинс пишет, что, основываясь на теории относительности, „мы теперь полагаем, что пространство конечно, и это геометрия делает его таковым“. На самом же деле это не так: положение о кривизне пространства является лишь математической формулой, позволяющей геометризировать (пространственно представлять) один из способов активности движения материи — притягательные действия вещества. Словом, Эйнштейн, делая большую уступку идеализму, растворяет физику в геометрии и строит такую „космологию“ (учение о вселенной), которая не может быть не отвергнута диалектическим материализмом; мыслить материю подлинная наука может только бесконечной (и, разумеется, вечной), ибо признание конечности всегда имеет метафизический, антидиалектический характер: оно всегда ведет не к научным познаниям, а к поповским бредням. Неудивительно поэтому, что богословы и их светские помощники ухватились за идею Эйнштейна, за его космологию, обрабатывая ее на „душеспасительный“ лад.

Как мы уже видели, на основе теории относительности в самое последнее время де-Ситтер, Леметр и некоторые другие ученые развили взгляды о вселенной, которые имеют явно антиматериалистический характер. Подтверждение этих взглядов они видят в новейших данных о движении внегалактичес-

ких туманностей, полученных на основании смещения спектральных линий (по принципу Допплера-Физо этих небесных тел к красному концу.

Если считать, что это смещение вызвано исключительно лучевыми скоростями этих галактик (согласно принципу Допплера-Физо), то придется признать, что эти светила за некоторыми исключениями удаляются от нас. При этом де-Ситтер показал, что чем дальше они находятся, тем быстрее они разбегаются. Каждому миллиону световых лет расстояния соответствует прирост скоростей удаления на 144 км в секунду. Но если внегалактические туманности, т. е. весь мир, лежащий за пределами Млечного пути, — действительно „убегают“ от нас, и ничто не занимает их места, то лишь вопросом времени (и даже очень непродолжительного времени) является их общее окончательное исчезновение из нашего „поля зрения“.

Ведь, если, пролетая один миллион световых лет, туманность получает приращение скорости в 144 км в секунду, то, очевидно, пролетев расстояние около двух миллиардов световых лет она будет улетать от нас со скоростью, большей скорости света. А раз так, то свет от такой туманности не сможет к нам никогда долететь: у него для этого „нехватит скорости“. Следовательно, такую туманность мы никогда больше не сможем увидеть, она как бы закатится за своеобразный „горизонт видимости“.

Согласно этим теориям выходит, что наиболее удаленная часть внегалактических туманностей уже „закатилась“, уже навсегда ушла под такой „горизонт“.

Вычисления Эддингтона показывают, что через тысячу четыреста миллионов лет внегалактические объекты удваивают свои расстояния от нас, а через десять тысяч миллионов лет эти расстояния увеличиваются в семь раз. Для астрономов того времени небо утратит подавляющее большинство своих интересных явлений, которые мы видим в таком изобилии, так что современные астрономы „должны торопиться“ изучать эти исчезающие для нас мировые системы. Таким образом, для мира, существующего биллионы, т. е. миллионы миллионов лет (а такими мирами являются звезды) внегалактические туманности являются лишь временными небесными явлениями. И нельзя не согласиться с замечанием сторонника этого взгляда Эддингтона: „Странно, что мы появились как раз в надлежащий момент, чтобы любоваться спиральными туманностями“.

Развивая эту точку зрения на почве теории относительности, аббат Леметр пришел к заключению, что вселенная конечна, но радиус ее меняется на протяжении времени, так что вселенная безостановочно расширяется, раздвигается. Стало быть, по мнению этого математика, поддерживаемому де-Ситтером и Эддингтоном, вместе с удалением галактик увеличивается и расстояние их друг от друга, так что вся вселенная увеличивается в объеме, „раздувается“ и, стало быть, становится все разреженнее и пустыннее. Например, если вообразим себе галактики песчинками, прилипшими к поверхности раздувающегося шара, то мы легко себе представим, как при раздувании шара взаимное расстояние этих песчинок будет возрастать, соответственно увеличению радиуса шара. Значит, возвращаясь к прошедшим эпохам, мы, согласно этой теории, должны отмечать положение внегалактических систем все ближе и ближе к нам, т. е. должны считать, что они и входящие в состав их звезды были сбиты в одну кучу. Но такое состояние было неустойчиво, т. е. не могло долгое время сохранять мировой радиус постоянным: раньше или позже оно должно было сорваться в сторону расширения. И теперь уже вселенная со все возрастающей скоростью должна „раздуваться“, ее пространство должно неуклонно разбухать до „конца времени“, так что материя становится все более и более рассеянной. Словом, вселенная с этой точки зрения стремится к пустоте, все предметы в ней неудержимо рассеиваются, разбегаются, т. е. все в ней развертывается по все большему и большему „хаосу“.

Вычисление Эддингтона показывает, что радиус „исходной вселенной“, был равен приблизительно около миллиарда световых лет и что событие (или процесс), вызвавшее стремительное рассеяние галактик, грандиозное расширение вселенной, произошло всего лишь не более 10 тыс. миллионов световых лет тому назад, т. е. незадолго (в астрономическом смысле) перед образованием Земли как планеты, когда Солнце находилось уже „в расцвете лет“.

Что же является причиной расширения вселенной, что именно раздувает ее на манер резинового шара и почему происходит ее расширение, а не сжатие? На все эти вопросы де-Ситтер, Леметр, Эддингтон и другие сторонники теории расширения вселенной не могут дать никакого ответа. Они лишь заявляют, что вселенная расширилась бы даже и тогда, когда вещества не было бы вовсе, и что удаление внегалактических небесных тел это не настоящее их движение, а лишь

„разбухание“ пространства, т. е. это явление якобы обусловлено не материей, а пространством. Таким образом, они отрывают материю от пространства, не признают пространства формой существования материи, ибо фактически они отрицают объективность материи, впадая в болото идеализма. Ведь, согласно Лгметру, в конце концов, придет (если уже не пришло) время, когда скорость наиболее отдаленных наблюдаемых нами внегалактических объектов превысит скорость света, и тогда—это самое главное,—они, согласно теории относительности, утеряют всякую причинную связь с нами и друг с другом.

Но самое важное вот что: у сторонников раздвигающейся вселенной нет никакого доказательства того, что их теория правильна, что она не является плодом фантазии. Прежде всего ничто не дает нам права рассматривать смещение к красному концу спектральных линий галактик как доказательство одних лишь скоростей, отступательного движения этих звездных систем. Многие иные, очень разнообразные условия, отличные от быстрого удаления тела, могут вызвать смещение спектральных линий к красному концу, и все эти условия пока что еще не могут быть нами изучены. Как недавно показал Цвикки, возможно, что одним из важнейших условий является здесь притягательное действие всего вещества, „разлитого в мировом пространстве“ .

К тому же Оорт, исследуя скорости весьма далеких внегалактических туманностей, недавно нашел, что их скорости далеко не являются в точности пропорциональными их расстоянию, как это требуется в теории „расширения“ вселенной, „разбегания“ галактик. Наконец, указанный нами промежуток времени, который, согласно этой теории, прошел с тех пор, как началось „рассеяние“ галактик, совершенно недостаточен. Ведь выходит, что звезды должны были прожить значительную часть своей жизни, прежде чем это рассеяние началось, а такое допущение подрывает всю теорию. Если вселенная была устойчива (имела постоянный „радиус“) в течение миллионов лет, то почему она вдруг потеряла эту устойчивость, начала увеличивать свой радиус?

Мы видим, таким образом, что теория раздвигания вселенной приводит к выводу, что вселенная имела начало во времени и что она от устойчивого состояния, „полнейшего порядка“, идет к неустойчивому состоянию, к окончательному „хаосу“, становясь все более пустынной, разреженной, рассеянной и т. д.

Эта теория, в научном отношении совершенно необоснованная, весьма характерна для эпохи загнивающего, смертельно больного капиталистического строя. Чем более обостряется кризис капитализма, чем сильнее буржуазия чувствует „призрак коммунизма“, тем популярнее среди буржуазных ученых и философов (Шпенглера и др.) становится мнение, что наступили „сумерки культуры“ („закат Европы“), и что весь мир идет к окончательной гибели, что он „обречен“ на хаос, на распад, на нарушение закона причинности и т. п. Вместе с тем этот реакционным взгляд используется буржуазией для религиозного одурманивания народных масс, для „доказательства“ того, что весь мир имел начало, был устойчивым и, следовательно, был создан „высшей силой“, от которой, мол, „все зависит“.

Например, Леметр в результате созданной им теории приходит, в отличие от Эддингтона и Эйнштейна, к выводу, что в „начальный момент“, т. е. перед тем как вселенная начала „расширяться“, диаметр вселенной был равен нулю, т. е. что вся вселенная была собрана в один-единственный, ничтожно малый „комок“, один-единственный атом. Но этот „атом“, по мнению Леметра, был необыкновенным атомом, чудесным атомом, так как в нем одном были заложены все предпосылки для образования из него теперешней вселенной с ее бесконечным разнообразием. Даже „мыслящий“ дух был заложен с самого начала в этом атоме. „Разве это не чудо“, — восклицают последователи этих теорий. „Тот вообразимый“, созданный самими поповствующими теоретиками момент „начала расширения вселенной“ торжественно объявляется „началом существования мира“, который, таким образом, появился после того великого чуда, которое „великий часовщик вселенной“ (как некоторые из этих ученых торжественно называют бога) совершил над „первичным атомом“...

Таким образом, мы видим, что наука используется для обоснования самой откровенной, самой неприкрытой мистики. Некоторые ученые доходят даже до того, что ради этих мистических, совершенно необоснованных выводов, готовы пожертвовать всеми проверенными на практике, твердо установленными научными фактами.

Выше мы уже отметили, что согласно этим теориям „сотворение мира“ произошло всего около десятка миллиардов лет тому назад. Некоторые релятивисты сокращают эту дату даже до нескольких десятков миллионов лет, т. е. допускают, что „акт творения“ про-

изошел совсем „недавно“, если этот промежуток времени сравнить со сроками „жизни“ не только Солнца и звезд, но даже нашей Земли. Ведь 10—20 миллионов лет тому назад на Земле не только уже существовала твердая кора, но уже образовались самые верхние слои ее, которые нам легче всего наблюдать и которые, следовательно, лучше всего изучены.

И вот Эддингтон, а вместе с ним и другие ученые выступают с предложением „пересмотреть“, т. е. признать неверными, ошибочными, все наши взгляды о сроках жизни звезд, о продолжительности геологических эпох и т. д. только потому, что эти факты не согласуются с теми нелепыми выводами из теории относительности, которые загнали западноевропейскую науку буквально в тупик. „Разве же это не полный упадок буржуазной науки!“—восклицаем мы с вами.

Итак, теория „раздувания“ вселенной,„рассеяния“ галактик, является одним из новых, очень ярких примеров классового, партийного характера естественно-научных воззрений. Но она могла возникнуть лишь в условиях безисходного тупика капитализма, приведшего к кризису буржуазного естествознания, к росту реакционных, средневековых устремлений в мировой науке, к обращению ряда естественников к разным формам чертовщины, поповщины и т. д.

Правда, в самое последнее время начинает замечаться у некоторых ученых стремление внести изменение в эту теорию, исправить некоторые ее положения и т. д. Например, работы Гекмана и Толмена в 1932 г. указывают на возможность „пульсирующей вселенной“, у которой расширение и сжатие сменяют друг друга. В том же 1932 г. Эйнштейн и де-Ситтер в совместной работе пришли к заключению, что „в настоящее время возможно представить факты без допущения кривизны трехмерного пространства“. Но эти и другие ученые попрежнему метафизически противопоставляют бесконечное — конечному, не рассматривают вселенную как бесконечный в пространстве и времени развертывающийся процесс, оставаясь на идеалистических позициях. Это видно хотя бы из того, что известный астроном Милн, выдвинув в конце 1932 и начале 1933 г. ряд поправок к космологии Леметра (между прочим, отбросив представление о „кривизне пространства“), все-таки признает „исходное состояние вселенной“, допускает существование „центра начальной концентрации“ мировой материи. И в связи с этим он (вполне в духе Джинса, говорящего о „великом архитекторе вселенной“), подробно и серьезно, как подобает „математику“, обсуждает вопрос о дате акта творения. При этом вселенная рисуется Милном в виде расширяющейся сферы, за пределами которой „ничего нет“...

Все эти, чрезвычайно „модные“ на Западе, идеи, исходящие из допущения конечности вселенной, стоят в связи с другими теориями,— в последние годы идеалистическими теориями о „судьбах вселенной“. Согласно этим теориям, электроны и протоны совершенно уничтожаются, материя окончательно превращается в излучение, энергия неуклонно рассеивается в пустоте и т. д. Но все эти выводы не подтверждаются никакими опытами и наблюдениями и лишь показывают, что современная буржуазия бессильна в своих попытках овладеть тем материалом, который она сама получает. Поддержка их многими буржуазными учеными является несомненным признаком загнивания буржуазной культуры вообще и буржуазного естествознания в частности. Словом, Ленин был абсолютно прав, когда он сказал, что современные буржуазные физики, кроме жизнеспособного, дают и некоторые мертвые продукты, „кое-какие отбросы, подлежащие отправке в помещение для нечистот“.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА

ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ

(Организация и методика)

Г. СТАЛЬКОВ (Москва)

1. Цель домашних заданий. Домашние задания по математике (как и по другим предметам) прежде всего имеют большое воспитательное значение. В области математики учащийся в итоге должен получить знания и навыки в пределах программы, пройти определенную ступень математического развития, навыки логического мышления, умение применять полученные знания и навыки к разрешению практических вопросов. Но наличие всех этих данных не дает права думать, что задача учителя математики в школе выполнена. Нет, школа, кроме того, должна привить ученику навыки самостоятельной работы. Ученик учится самостоятельно работать по математике и на уроках под руководством и при некоторой помощи со стороны учителя, но главная часть самостоятельной работы ученика средней школы падает на его домашнюю работу по математике. Правильная постановка домашней работы ученика и будет выполнять воспитательную работу, прививая умение самостоятельно работать. Это — главная, но не единственная цель домашней работы. Объем программы по математике (особенно в VI и VIII классах) таков, что его выполнение вообще немыслимо без самостоятельной домашней работы. Таким образом, вторая цель домашних заданий — работа по выполнению части программы. Какая часть программы выполняется путем самостоятельной работы учащихся дома или, точнее, каково содержание этих домашних заданий, мы разберем иже.

2. Объем заданий. Коснемся теперь вопроса о том, как часто следует задавать домашнее задание по математике и в каком объеме.

Вопрос об общем объеме всех домашних заданий разрешен в соответствующем „Положении“ Наркомпроса. В отношении математики мы полагаем, что в V — VII классах домашние задания надо планировать из расчета 25 — 30J/o того времени, которое отводится учащемуся данного класса на математику, а в VIII—X классах — 50°/0 времени. Чтобы выдержать в среднем этот процент нагрузки, чтобы нормально справиться с программой, чтобы не создавать неравномерной, а поэтому порой и непосильной нагрузки, чтобы шаг за шагом приучить учащегося к самостоятельной работе, — необходимо, чтобы домашние задания были систематическими, т. е. решительно после каждого урока должно даваться самостоятельное задание на дом. На выходные дни, на вакационное время особых увеличенных заданий ни в коем случае давать не следует. Следует давать обычное задание, которое учащийся сможет выполнить в тот же день (перед выходным), не откладывая его на выходной день. Об особых заданиях на вакации для лиц отстающих мы здесь не говорим, так как о них — особый вопрос. Мы же здесь касаемся вопроса о домашних заданиях, которые даются в процессе учебной работы учащихся для достижения тех целей, о которых мы выше кратко говорили. Вот по этим соображениям и следует сделать вывод, что задания на дом должны даваться систематически, решительно после каждого урока математики.

При составлении годового плана работы учитель должен учесть, какое общее число часов домашней работы будет использовано для проработки программы по математике данного года обучения. При составлении рабочего плана учитель должен еще более конкретизировать, какое точно время и какой точно материал он предполагает проработать путем домашних заданий. Короче говоря, время, отводимое на домашние задания, должно быть взято учителем на учет, спланировано им при проработке каждой темы.

3. Методические требования к заданию. Прежде чем перейти к освещению основного вопроса о характере домашних заданий по математике и о порядке их проверки,

поставим вопрос, какие методические предпосылки обуславливают право учителя давать домашние задания. Домашнее задание должно представлять собою какую-то трудность, которую ученик должен преодолеть путем самостоятельной работы. Но это задание должно быть посильным для выполнения. Каким же образом должен учитель установить, насколько задание это будет посильным? Этот важный момент непременно должен быть установлен учителем; задание на дом может принести вред; ученик будет напрасно тратить время и силы, стараясь преодолеть непонятное и непосильное ему задание и, не добившись результата, потеряет интерес к работе и веру в свои силы. Учитель должен поступать так. В схеме проведения каждого урока, когда она заключает в себе не только повторение и закрепление проработанной теоремы или правила, но и сообщение нового, должен иметь место момент предварительного учета. По математике он проводится обычно так. Учитель провел тем или иным способом объяснение новой теоремы. Например, доказательство свойств диагоналей ромба. Если он после этого спросит учащихся: „Поняли ли вы доказательство?“ и, получив ответ части класса: „Да“, приступает к даче домашнего задания, — он совершает грубую методическую ошибку.

Учитель должен фактически проверить, действительно ли весь класс понял теорему о свойствах диагоналей ромба. Для этой цели он вызывает одного или двух учащихся, дает им несколько измененный чертеж ромба с обозначением его вершин другими буквами алфавита и предлагает, с помощью его, учителя, и класса, повторить доказательство. Затем решается не слишком сложная задача либо коллективно, а лучше самостоятельно каждым учеником в классе. Когда такой предварительный учет произведен, и учитель убедился, что ученики действительно усвоили теорему, учитель имеет право давать домашнее задание по данной (и, конечно, по предыдущей) теореме.

Или — учитель разобрал с учениками способ решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки. Решил коллективно несколько задач. Затем наступает момент предварительного учета. Здесь учет будет наиболее целесообразно провести так. Учитель дает 2 — 3 примера для самостоятельной индивидуальной работы в классе. Ученики выполняют эту работу. Работа тут же проверяется. И только убедившись, что ученики действительно усвоили прием решения системы уравнений способом подстановки, учитель имеет право давать по данной теме домашнее задание.

Таким образом, мы видим, что дача домашнего задания с методической стороны обуславливается результатами предварительного учета, причем не формальной постановкой вопроса классу: „Поняли?“, а действительным учетом усвоения учениками нового материала.

Кроме всего этого, при даче домашнего задания предлагается его объяснение. Иногда это объяснение сводится к точному указанию номера страницы и номеров задач, заданных на дом, к номеру страницы и номеру параграфа учебника. Иногда же к этим указаниям добавляется разъяснение существа задания. Объяснение задания не должно быть слишком длинным, — это говорит о том, что материал плохо понят учениками. Но оно должно быть исчерпывающим. Так, давая на дом выполнение задачи на построение, надо точно и исчерпывающе указать все требования к внешнему оформлению: в карандаше или тушью; в тетради или на отдельном листе; приблизительный размер чертежа; объем и характер записи, поясняющей решение задачи и т. п.

Если дается самостоятельная проработка теоремы, то необходимо указать, где эта теорема изложена в стабильном учебнике, указать также и дополнительную литературу, даже подходящую задачу по данной теореме — для ее лучшего познания и закрепления.

Если дается задание: повторить, допустим, вывод теоремы о сложении и вычитании аргументов тригонометрических функций, — то здесь, помимо указания соответствующего параграфа стабильного учебника по тригонометрии, очень полезно дать указание на возможность и целесообразность проработки этих теорем по тригонометрии Шмулевича или Крогиуса, причем предложить учащимся обратить внимание на тот факт, что теорема о разности аргументов доказывается у Шмулевича на иной принципиальной основе, чем у Рыбкина.

Такие пояснения к заданию сделают его выполнение учениками более сознательным.

4. Содержание домашних заданий. Перейдем теперь к главной части нашей статьи — к вопросу о содержании домашних заданий по математике.

В общих чертах все домашние задания по математике можно подразделить на две группы: задания по теории и задания тренировочного характера, задания для практической проработки и закрепления теории.

Рассмотрим возможные задания каждой из этих групп.

а) Самым распространенным заданием на дом по теории является повторение по книге того теоретического материала, который проработан учителем на уроке. Учитель проработал на уроке вывод формулы решения приведенного квадратного уравнения. Вывод был проведен в полном соответствии со стабильным учебником. На дом по теории учитель поручает ученикам проработать еще раз для повторения и закрепления этот же вывод. Такое задание имеет огромное значение и смысл. Повторение нужно большинству учащихся, не обладающих способностью схватывать быстро, с одного объяснения, и запоминать надолго. Далее, при повторении по книге ученики в добавление к слуховому и частично зрительному восприятию в виде неполной записи на доске получают полное зрительное восприятие всего текста объяснения теоремы, вывода правила со всеми выделениями и подчеркиваниями центральных мест текста. Далее, учащиеся приучаются воспринимать содержание материала не только с голоса учителя (что ученики предпочитают), но и по книге. Умение же работать самостоятельно по книге имеет колоссальнейшее значение для человека.

б) При выводе нетрудного правила, при доказательстве теоремы, если преподаватель не успел почему-либо докончить вывод и если он уверен, что учащиеся могут справиться с окончанием работы самостоятельно, он может отнести эту оставшуюся часть доказательства на домашнее задание. Однако не всегда такое окончание доказательства относится на домашнюю работу вынужденно, из-за неточной планировки времени на отдельные части урока. Иногда учитель делает это вполне сознательно, т. е. доказывает лишь часть теоремы, выводит часть правила в классе, предлагая учащимся закончить вывод дома. Например, идет доказательство теоремы о свойствах перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу, и о свойствах каждого катета этого прямоугольного треугольника. Теорема состоит из трех частей. Все три части доказываются из свойств подобных треугольников. Учитель вполне спокойно может доказать в классе только первые две части теоремы, дав учащимся самостоятельно доказать третью часть дома (и, конечно, повторить и первые две части).

Или — идет вывод формул нахождения суммы членов геометрической прогрессии.

Учитель может вывести формулу ^ — *^ ~|, предоставив ученикам самостоятельно вывести дома формулу суммы членов кратной прогрессии, когда известен первый член, число членов, знаменатель прогрессии, но неизвестен последний член.

в) Можно в качестве домашнего задания давать доказательство аналогичной, доказанной в классе, теоремы, аналогичной формулы, аналогичного правила, когда способ доказательства, способ вывода уяснен на уроке, и требуется его только несколько видоизменить.

Например, доказана алгебраически теорема Пифагора на основании свойств перпендикуляра, опущенного из вершины прямоугольного треугольника на гипотензу. На дом задается проработка аналогичного алгебраического доказательства теоремы Пифагора. Или — выведено правило умножения и деления выражений с дробными показателями, а дома предложено учащимся самостоятельно вывести правила возведения в степень и извлечения корня из выражений, имеющих дробные показатели.

Работы подобного рода, будут вполне посильны ученикам.

г) Могут быть и более мелкие по объему и по трудности выполнения задания вроде переписывания из книги в тетрадь ученика некоторых определений, правил и формул. Конечно, не следует переписывать из книги в тетрадь все правила, определения и формулы. Это было бы излишней тратой времени и вредным умалением значения книги. Часть наиболее важных правил и формул учитель диктует в классе для записи их в тетрадь. Такая запись имеет целью усилить у ученика восприятие этих правил и формул. Но диктовка всех, даже и наиболее важных, правил и формул в классе отнимает много времени и, кроме того, подрывает у учащихся стимул прибегнуть к помощи книги. Короче говоря, не учит его пользоваться книгой. По этим двум соображениям полезно переписку части правил и формул в тетрадь поручить производить дома, в порядке выполнения домашнего задания. Часть правил, и особенно определений, вообще можно не переписывать в тетрадь, ограничившись их запоминанием путем чтения в книге.

Подобного рода задания настолько несложны, что их можно давать уже с V класса (и раньше).

д) Все перечисленные выше виды домашних заданий являются подготовительной ступенью к выполнению более самостоятельной работы учеником дома. Во всех предыдущих работах ученик только доделывает кое-что

из недоработанного (сознательно) в классе. Он главным образом повторяет (и частично углубляет) теоретический материал, проработанный с учителем в классе.

Но уже в средней школе можно частично, не злоупотребляя этим, давать для самостоятельной проработки некоторые отдельные теоремы, выводы формул и правил.

Задание дается из той или иной математической темы, не сопровождается никакими предварительными пояснениями; указывается лишь точно, где в книге этот материал изложен и в каком виде это задание должно быть выполнено.

Например, дается для самостоятельной проработки эвклидово доказательство теоремы Пифагора, или доказательство теоремы о взаимно перпендикулярных углах, или вывод формул тригонометрических функций двойного угла, или вывод формулы С£ = С^_Л и т. п. Трудность такого задания должна рассчитываться соразмерно силам учащихся. Ни в коем случае это не должно вести к постепенному умалению роли учителя и к постепенному перекладыванию всей работы над программой на одни лишь“ плечи учеников. Это было бы извращением той цели, которую преследуют такие задания. Они должны быть нечастыми, они должны приучать самого ученика разбираться в книге, приучать его пробовать свои силы.

е) Разновидностью самостоятельного задания, указанного выше, может служить поручение прочесть какой-либо раздел, какую-либо теорему. Так, приступая к изучению темы о четырехугольниках и намереваясь изложить ее в несколько иной последовательности, чем это дано в стабильном учебнике, учитель задает ученикам на дом прочесть отдел о четырехугольниках по книге. Приступая затем к изложению темы о четырехугольниках, он сможет говорить ученикам о расположении этого материала в книге (и ученики будут эти его ссылки понимать), а затем перейдет к своему способу изложения этой темы. Понятно, что поручить для самостоятельного прочтения можно нетрудный по содержанию и небольшой по объему материал.

Перейдем теперь ко второй группе домашних заданий по математике, имеющих своею целью практическое закрепление теоретического материала. Этот вид домашних заданий всегда применялся педагогом. К сожалению, иногда педогог ограничивается только такого рода заданиями, игнорируя задания по теории (как и само изучение теории). Поэтому мы полагали сначала более подробно коснуться именно вопроса о заданиях по теории, считая, что практические задания учителем всегда применялись.

ж) Самым распространенным видом практических заданий по математике является задание на дом решения примеров и задач на проработанное правило. В математике этого рода задания имеют огромное значение, и понятно поэтому, что учителя никогда не отказывались от дачи таких заданий ученикам. Сущность математического материала такова, что в результате работы ученик должен приобрести массу навыков, а получение их возможно путем основательной тренировки, притом не только в классе под руководством учителя, где с помощью последнего все примеры и задачи быстро решаются. Необходимо, чтобы сам ученик тренировался в самостоятельном решении примеров и задач. Это поможет укрепить навык, это углубит понимание теории, это даст возможность ученику видеть практическое применение навыков к решению задач, это даст возможность ученику проверить свои силы и свои достижения.

з) Но не следует забывать и о других практических заданиях на дом, например выполнение чертежа к какой-либо теореме, выполнение задачи на построение, вычерчивание диаграммы, графика какой-либо функции, расчета, изготовление макета, изготовление какого-либо пособия по математике (объемного или в виде таблицы) и т. п. К подобного рода заданиям учитель, к сожалению, прибегает значительно реже. Между тем, такие задания нужны и сами по себе для привития ученику соответствующего практического умения, и, кроме того, подобного рода задания вносят разнообразие в дальнейшие задания, а следовательно, повышают интерес учащихся к работе. Перечисленные только что практические задания, в отличие от заданий в виде примеров и задач, могут быть не всегда фронтальными для всего класса, а предъявлены одному лишь какому-нибудь ученику или группе учеников.

5. Требования к заданию. Коснемся несколько вопроса о тех требованиях, которые должен предъявлять учитель к выполняемому дома учеником заданию. Прежде всего, задание должно быть выполнено самостоятельно, индивидуально каждым учеником. Конечно, учителю трудно, а порой и совершенно невозможно, проследить самостоятельность выполнения задания. Конечно, разумная помощь ученику со стороны сознательных родителей, со стороны взрослых братьев и сестер, наконец, со стороны со-

знательного товарища может быть иногда полезна, если ученик с каким-либо заданием не может справиться. Вообще говоря, если ученик не пропустил какого-либо материала и не нарушил этим системы математических знаний или если ученик внимательно слушал объяснения учителя, а учитель дал их правильно и, кроме того, произвел перед дачей домашнего задания предварительный учет, — то во всех этих случаях ученик должен сам справиться с домашним заданием без чьей-либо помощи. Помощь в таких случаях только демобилизует волю ученика и воспитывает в нем иждивенческие настроения. В таких случаях при затруднениях, возникших у ученика, его родители, братья, друзья должны просто порекомендовать ему поработать самому и преодолеть трудности. В случае, если ученик просто не понял объяснений учителя, их только домашним и следует восполнить, не решая за ученика примеры и. задачи. При пропусках учеником части уроков помощь домашних может быть более углубленной и итти по линии проработки с ним пропущенного материала методами классной работы. Но лучше, если такую работу по ликвидации прорывов организует школа.

В духе указанных установок учитель и должен воздействовать и на семью и на ученика. Воздействие на семью следует проводить организованно, через очередные родительские совещания, а иногда и путем беседы с отдельно вызываемыми родителями. Конечно, надо эти беседы вести не по линии запрещения родителям, родственикам и товарищам оказывать ученику помощь при затруднениях, а по линии разъяснения, как правильно надо оказывать эту помощь ученику — не во вред, а на пользу ему.

Работа учителя в этом направлении безусловно возможна и необходима.

Наихудшим способом товарищеской „помощи“ является простое списывание решения задач, примеров или другой работы из тетради товарища. С таким несамостоятельным выполнением домашнего задания учитель должен самым решительным образом бороться как путем бесед с учащимися, так и правильной постановкой проверки выполнения домашних работ, о чем будет ниже.

Что касается требований к внешности, к оформлению домашнего задания, то эти требования должны быть таковы. Прежде всего, домашние задания могут быть выполнены либо в той же тетради, где фиксируется вся классная работа (это предпочтительно), с пометкой в начале работы: „Домашняя работа“, или уже в специальной тетради домашних работ. Тогда и в этой тетради, как и в тетради дня классной работы, должны писаться заголовки математических тем и подтем и даты выполнения работы. Вся работа должна быть написана чернилами, чисто, без помарок, без математических и орфографических ошибок. Все чертежи должны быть вычерчены тушью и с помощью чертежных инструментов. Запись должна быть рационально расположена на листе тетради. Все вычисления, нужные по ходу решения примера или задачи, должны помещаться тут же на месте. Не следует учителю увлекаться замысловатым и трудным по выполнению оформлением практических работ, выполняемых учениками дома (бордюры, рамки, шрифты в надписях и т. п.), так как во всех этих домашних заданиях учителя должна интересовать прежде всего математическая сторона работы.

6. Проверка заданий. Перейдем теперь к вопросу о проверке домашних заданий. Если мы в самом начале статьи указывали на важность систематичности заданий на дом, то здесь необходимо так же категорически указать на необходимость систематической проверки выполнения домашних заданий. Не должно быть ни одного домашнего задания, которое не было бы проверено со стороны количественной и качественной его выполнения.

Когда надо производить проверку домашнего задания?

Если это задание по алгебре, то в самый первый урок, который будет по алгебре после того, на котором задание дано. Если это урок по тригонометрии, то также на первом очередном уроке тригонометрии. Исключение может быть для заданий графических, данных в индивидуальном порядке. Их выполнение требует большего времени, и сдачу такого задания можно отложить на одну или полторы недели, однако с таким расчетом, чтобы выполненное задание (чертеж, таблица, макет) можно было использовать еще в данной теме, хотя бы в момент ее повторения. В противном случае математическая ценность выполнения такого задания останется действенной только для самого исполнителя, и для остального класса будет утеряна.

Когда на уроке производить проверку домашнего задания? Если содержание домашнего задания связано с содержанием центральной части предстоящего урока, то задание должно быть проверено в начале урока. Например, на дом задано решение квадратных

уравнений путем дополнения их левой части до полного квадрата. На данном уроке учитель наметил проработать вывод формулы решения приведенного уравнения. Здесь проверку домашнего задания необходимо произвести непременно в начале урока; более того, проверку решения одного какого-либо уравнения провести путем полного его решения у доски. Этот пример (и все домашнее задание) и послужит исходным моментом для вывода формулы решения приведенного квадратного уравнения.

Если материал домашнего задания не имеет тесной увязки с материалом предстоящего урока, то нецелесообразно лучшую часть урока, его начало, когда ученики еще не утомлены и когда восприятие не так притуплено, отводить на проверку домашнего задания. В этом случае проверку домашней работы можно произвести в конце урока, перед дачей нового задания на дом или после задания на дом. Например, на дом заданы тренировочные упражнения на сложение и вычитание обыкновенных дробей. Содержанием данного урока намечено решение задач на сложение и вычитание дробей. В этом случае необязательна проверка домашней работы в начале урока, и можно ее отнести на конец урока, если только сам учитель не найдет нужным поставить эту проверку в начале урока в виду трудности содержания задания и наличия у учителя мнения, что для многих учащихся это задание будет трудным и возможны грубые ошибки. Или, — если сами ученики заявят, что выполнение домашнего задания вызвало много затруднений. В этом случае его проверку лучше произвести в начале урока. Вообще же говоря, надо варьировать время проверки домашнего задания, в зависимости от материала. Однако строгая логичность математического материала чаще будет требовать проверки домашнего задания в начале урока.

Переходя к описанию способов проверки домашнего задания, мы должны предостеречь учителя от применения чисто формального способа проверки. Учитель спрашивает: „Вышла ли задача?“; получив ответ: „Да“, он считает вопрос исчерпанным. Такая „проверка“ домашнего задания дает большой простор для разложения класса и для увеличения группы лодырей. Учитель может пользоваться самыми разнообразными способами проверки, но каждое домашнее задание должно быть проверено по существу, а не формально.

а) Так как качественная проверка выполнения домашнего задания чаще носит выборочный характер, то необходимо проверку начать с количественной проверки. Производится она так. Или бригадир каждого звена в начале урока рапортует учителю, кто из его звена не выполнил домашнего задания (желательно с указанием причины невыполнения: был болен, отсутствовал на предыдущем занятии и не смог справиться с заданием, не смог узнать его содержание и т. п.). Или учащиеся настолько организованы (особенно в старших классах), что сами в начале урока заявляют, кто не выполнил домашнего задания. Или, наконец, учитель просит поднять руки тех учащихся, кто выполнил домашнее задание (хуже, если предлагать поднять руки невыполнившим задание).

б) Что касается качественной проверки выполнения домашнего задания, то она целиком должна лежать на учителе. Не следует ее передоверять ни бригадирам, ни сильным учащимся. Не следует также прибегать к взаимопроверке учащимися работ друг у друга, если после этого не будет в том или ином виде проверки качества выполнения домашнего задания учителем.

Наиболее распространенным способом качественной проверки домашнего задания является такой. Учитель называет кого-либо из учеников (ни в коем случае не в порядке алфавита), и тот читает пример или задачу, а затем, либо рассказывает весь процесс решения, либо говорит один лишь ответ. Пусть, например, идет проверка примеров на умножение десятичных дробей, причем дан тренировочный материал не в первый после объяснения правила раз. Ученики усвоили правило умножения (постановка запятой в произведении). Здесь можно ограничиться чтением примеров и их ответов. Только изредка, когда у учителя возникает то или иное сомнение, он предложит ученику подробно изложить весь процесс выполнения примера, причем в ответе ученика должен заключаться не только рассказ, как он делал, но и почему он так поступил, что от этого произошло и т. п. Получив от ученика ответ, учитель спрашивает: „У кого иной ответ?“, или заранее договаривается и приучает учеников к тому, что они без вопроса учителя сами заявляют ему, если их ответ не сошелся. В этом случае надо предложить, чтобы ученик, получивший иной ответ, рассказал подробно (с места или у доски) весь процесс решения примера или задачи и таким образом с помощью класса и учителя вскрыл свою ошибку. Если, например, идет проверка домашнего задания на составление и решение уравнения по условию задачи, то здесь непременно надо, чтобы

ученик, вызванный учителем, подробно рассказал, что он обозначил через х, какие вел рассуждения и записи по условию задачи и как постепенно пришел к составлению уравнения. Сказав составленное уравнение, он может далее называть лишь ответы, указывая, какой ответ пригоден, если ответов два и больше. Если, например, идет проверка тригонометрических тождеств, то здесь ученик непременно должен рассказать последовательно весь ход решения, ибо здесь это весьма существенно.

Помимо вопросов учителя (в процессе ответа ученика , „как он сделал“, „почему он так поступил“, следует ставить вопросы и о том, кто сделал иным приемом при составлении уравнения, при доказательстве тождества, при решении геометрической задачи.

При таком способе проверки домашнего задания с места ученик направляется к доске лишь в том случае, если какая-либо задача вызвала большое затруднение или не решена большинством, или кто-либо из учеников предлагает новый интересный прием решения, или учитель хочет сам дать более рациональный прием решения.

в) При исполнении учениками дома диаграмм, графиков, кривых, чертежей и т. п. работ проверять их качество выполнения надо фронтально — у каждого отдельного ученика. Обход всего класса не займет много времени, графическая работа легко схватывается глазом, и всякая ошибка в ее выполнении сразу же видна. Кроме того при исполнении графической работы очень важно оформление, расположение чертежа. Это можно оценить, только посмотрев каждую работу.

г) Нередко применяется и такой способ проверки домашнего задания: вызов ученика к доске для выполнения части домашнего задания или всего задания. К такому способу проверки полезно прибегать при проверке трудных и сложных заданий, при проверке заданий по теории, когда необходимо изложение теоретического вопроса (вывод формулы, доказательство теоремы) проиллюстрировать чертежом, примерами и т. п. Далее, при проверке домашнего задания, заключающегося в решении геометрической задачи (особенно на построение), когда объяснение возможно только на чертеже, удобнее вызвать одного из учащихся (или нескольких) для ответа к доске.

Наконец, к такой проверке домашнего задания необходимо прибегать во всех тех случаях, когда у учителя возникает какое-либо сомнение в самостоятельности выполнения тем или иным учеником домашнего задания. При ответах по теории ученику не будут мешать недостаточно дисциплинированные товарищи. При проверке выполнения примеров и задач следует поступать так. Вызванный к доске для проверки домашнего задания ученик свою тетрадь с выполненной домашней работой подает учителю, а сам идет к доске, где и показывает, как он выполнил решение того или иного примера или задачи. Ясно, что без тетради в руках он выполнит работу только в том случае, если эта работа дома проделана им, и притом вполне самостоятельно. Ответа у доски с тетрадью в руках ни в коем случае нельзя допускать: такая проверка домашнего задания не имеет никакого смысла. Пока ученик отвечает у доски, учитель имеет возможность детально познакомиться с выполнением домашнего задания как со стороны содержания, так и со стороны внешности работы. Попутно учитель может использовать также моменты, когда тетрадь попала к нему в руки, для определения, насколько вообще правильно, систематически, аккуратно ведется тетрадь учеником. Вообще надо заметить, что и при ответе ученика с места во время проверки домашнего задания, а также и в процессе работы в классе над новым материалом, учитель должен чаще заглядывать в тетради учеников.

г) Если задания на дом даются систематически, если они посильны учащимся, то большинством учеников они будут выполняться без особых затруднений, и проверка таких домашних заданий, как правило, не должна занимать более 8—10 минут. Только в отдельных случаях проверка потребует большего времени — минут 15—20, но это случится, если задание недостаточно объяснено, если оно дано по материалу, еще недостаточно усвоенному учениками, и поэтому не всем оно является посильным; если это задание представляет собою длинную сложную теорему, требующую вычерчивания при ее доказательстве сложного чертежа, при проверке сложных задач на построение, при анализе различных способов решения одной и той же задачи и т. п.

д) Но помимо проверки домашнего задания в классе следует рекомендовать учителю систематически — раз-два в месяц — брать себе на дом все тетради учащихся (или по частям) с домашними работами для детального просмотра. При этом просмотре все ошибки как в вычислениях, так и в преобразованиях, в чертежах, орфографические ошибки в тексте, рациональное расположение материала, — все должно быть учителем исправлено. Не-

верные места должны быть подчеркнуты, вместо них написано верное. На полях должны быть даны краткие указания на характер ошибки, на причину этой ошибки; указания, рационализирующие ведение самой записи в тетради.

В конце просмотренной части тетради должен быть краткий вывод о главнейших недостатках и достоинствах записей в тетради как со стороны их содержания, так и со стороны их внешнего оформления. В заключение этого вывода должна быть лаконическая оценка по общепринятой четырехстепенной системе.

е) При проверке домашнего задания в классе следует также оценивать ответ ученика. Но при этой оценке необходимо соблюдать некоторые условия. Прежде всего, необходимо поставить эту оценку так, чтобы она не толкала ученика на списывание. Так, если на дом задано 7 примеров, а учащийся решил лишь 5, то ни в коем случае не следует реагировать на это „неудом“, так как это неизбежно толкает ученика на списывание в следующий раз нерешенных примеров у товарища. Между тем весь смысл домашних заданий заключается именно в выработке у учеников навыка самостоятельной работы. Далее, если ученик отвечал лишь по части домашнего задания с места, или само задание очень коротко, полезно на этом же уроке вызвать этого ученика к доске по текущей работе, где можно будет глубже вскрыть качество усвоения материала учеником, в том числе и качество проработки домашнего задания. После такого вызова к доске можно произвести оценку ответа ученика. Вообще говоря, проверка домашнего задания является одним из важных моментов осуществления систематического и углубленного текущего учета знаний учащихся.

Поэтому учитель должен вдумчиво относиться к выбору для каждого отдельного урока способа проверки домашнего задания, умело провести эту проверку и непременно оценить результат проверки выполнения задания тем учеником, который спрошен.

ГОДОВОЙ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЙ ПЛАН РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ1

П. ЛАРИЧЕВ (Москва)

Основная цель планирования работы по математике заключается в том, чтобы организовать высококачественное выполнение программы, обеспечить усвоение учащимися полного объема систематических знаний на основе тесной связи работы по математике с общими задачами советской школы в деле коммунистического воспитания.

Одним из важнейших звеньев в области планирования является годовой производственный план работы, составление которого представляет одну из труднейших задач для преподавателя. Сравнительно небольшой опыт работы школы по новым программам усложняет вопросы планирования, особенно для учителей с небольшим педагогическим стажем.

В настоящей статье мы ставим задачу помочь педагогам средней школы в составлении годового плана по математике на основании опыта работы школ Москвы в 1933/34 учебном году. Из всех вопросов, связанных с составлением производственного годового плана, мы остановимся здесь на распределении времени проработки программного материала.

Следует отметить, что даваемое здесь распределение времени является примерным, оно рассчитано на обычные, средние условия работы массовой школы и ни в какой мере не претендует на абсолютность, неизменность и бесспорность.

При составлении производственного плана для отдельной группы каждый учитель должен предварительно учесть все особенности

1 Не со всеми указанными часами, отведенными для соответствующих отделов математики редакция согласна.

Например, слишком мало отведено времени в IX классе на объемы призм и пирамид (8 час). Также имеются пропуски, например нет в годовом плане площади “круга и его частей. Редакция просит преподавателей присылать заметки относительно необходимого времени на соответствующие разделы математики.

работы в этой группе, как то: подготовку учащихся, недоработку программы в прошлом, наличие оборудования и т. д. и на основе этого учета внести соответствующие изменения в план.

При составлении данного годового плана бюджет времени классной учебной работы по математике взят для городской шкалы. Сельская школа имеет несколько большее годовое количество часов на математику, а потому преподаватель легко сможе внести поправки в план, добавляя соответствующее количество часов для той или иной темы.

Согласно постановлению коллегии Наркомпроса от 19 ноября 1932 г. мы имеем следующее распределение времени по математике по четвертям учебного года и по классам средней школы (см. ниже).

В пятом классе учащиеся должны проработать систематический курс арифметики и начальные сведения по геометрии. В методическом письме Наркомпроса, выпуск 8-й 1933 г. — „Математика в средней школе“, рекомендуется геометрию начинать с III четверти, имея в виду необходимость в первом полугодии проработать с учащимися курс дробей. Из общего годового количества часов (197) на арифметику следует выделить 152 часа и на геометрию 45 часов, начиная ее со второго полугодия. По четвертям и темам программы распределение времени в пятом классе следующее (см. ниже).

Выполнение годового производственного плана с высокими показателями качества работы зависит от многих условий. Уметь в процессе работы учесть эти условия, во-

Годовой план работы по математике для V класса (197 часов)

Четверти учебного года

Программный материал

Количество часов

I четверть 5 X 11 = 55 час.

1. Основные свойства действий......................

2. Делимость чисел.............................

3. Обыкновенные дроби. Сложение и вычитание дробей...........

4. Умножение дробей............................

Всего . .

20 10 15 10

55 час.

I четверть 5 X 8 = 40 час.

1. Деление дробей. Все действия с дробями.................

2. Десятичные дроби............................

Всего ...

20 20

40

Арифметика

Количество часов

Геометрия

III четверть 6X11=66 час.

1. Отношения и пропорции. Зависимость между величинами . . .

2. Две основные задачи на проценты ............

24 9

1. Тела. Линии........

2. Площади и объемы.....

3. Треугольник и треугольная призма ...........

9 15

9

Всего . .

33 час.

Всего . .

3 3 час

IV четверть 6 X 6 — 36 час.

1. Основные задачи на проценты .

2. Буквенные выражения.....

3. Повторение..........

Всего ...

10 8 6

24 час.

Цилиндр. Окружность и круг. Угол и его измерение . . .

12

Итого . .

152 чгс.

Итого ...

45 час.

Годовой план работы по математике для VI класса (161 час)

Четверти учебного года

Алгебра - 83 часа

Количество часов

Геометрия — 78 час.

Количество часов

I четверть 4 X 11 = 44 часа

1. Относительные числа.....

2. Одночлены и многочлены. Сложение и вычитание одночленов

16 6

1. Прямая линия. Углы ....

2. Треугольник до теоремы о внешнем угле треугольника

Всего ...

6 16

22 час.

II четверть 4X8=32 часа

и многочленов .........

16

1. Треугольник (окончание)

2. Параллельные линии (до вопроса об углах со взаимнопараллельными сторонами)

Всего ...

10

6

16 час.

III четверть 5 X 11 = 55 час.

1. Возведение в степень одночленов. Формулы сокращенного умножения .........

2. Тождества и уравнения ....

13

20

1. Параллельные линии (окончание темы)......

2. Четыреугольники (до трапеции) .............

Всего ...

8 14

22 час.

IV четверть 5 X 6 = 30 час.

1. Дроби с одночленными знаменателями ..........

2. Повторение..........

10

2

1. Трапеция. Многоугольник .

2 Площади фигур......

3. Повторение......

Всего ...

4

12

2

18 час.

Итого ...

83 час.

Итого ...

16 час

Годовой план работы по математике для VII класса (163 часа)

Четверти учебно о года

Алгебра

Количество часов

Геометрия

Количество часов

I четверть 5 X 11 = 55 час

1. Разложение многочленных выражений на множители ....

2. Дробные алгебраические выражения с многочленными знаменателями. Уравнения первой степени с одним неизвестным с буквенными коэфициентами

12 21

1. Окружность и круг. Геометрические места .......

Всего ...

22

22 час.

II четверть 5X8=40 час.

Система уравнений.......

24

Пропорциональные отрезки и подобие фигур (кончая признаками подобия треугольников)............

16

III четверть 4 X 11=44 час.

1. Извлечение квадратного корня .

2. Квадратные уравнения (кончая решением квадратных уравнений приведенного вида) .....

10 12

1. Подобие фигур (окончание) .

2. Метрические соотношения в треугольнике (кончая формулой Герона) ......

Всего ...

6

16

22

IV четверть 4 X 6 = 24 час.

1. Квадратные уравнения (окончачание)............

2. Повторение..........

10

2

1. Метрические соотношения в треугольнике и круге (окончание) .........

2. Повторение........

Всего ...

10

2

12 час.

Итого .

91 час

Итого ...

72 час.

Годовой план работы по математике для VIII класса (144 час.)

Алгебра

Количество часов

Геометрия

Количество часов

Тригонометрия

Количество часов

I четверть 4 X 11 = 44 часа

1. Тождественные преобразования со степенями и корнями . . .

2. Функции и их графики (понятие о функциональной зависимости и ее выражении) . . .

22 4

1. Вписанные и описанные многоугольники .

2. Длина окружности и ее частей

11

7

II четверть 4 X 8 = 32 часа

1. Функции и их графики (окончание) ......

2. Квадратные уравнения и график квадратной функции ....

6 10

Взаимное положение прямых и плоскостей в пространстве (до параллельных прямых) .....

8

Тригонометрические функции и их графики . . .

8

III четверть 4 X 11 = 44 часа

Биквадратные уравнения, иррациональные, двучленные и трехчленные уравнения .......

11

Взаимное положение прямых и плоскостей а пространстве (продолжение до многогранных углов) . .

22

Соотношения между тригонометрическими функциями. Таблицы значений тригонометрических функций . .

11

IV четверть 4 X 6 = 24 часf

Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными . .

6

Многогранные углы......

Повторение всего курса ....

2 4

Решения треугольников и решения задач на применение тригонометрии к геометрии ....

12

Итого. .

59 час

Итого. .

54 час.

Итого. .

31 час.

время мобилизовать все средства борьбы за выполнение плана в намеченные сроки без снижения качества работы—это одна из основных задач педагога. В практике школы еще нередки случаи, когда производственный план не стал действительным средством борьбы за качество работы; нередки случаи, когда выполнение плана не проверяется целую четверть; когда отступления от составленного плана делаются чрезвычайно легко, без использования всех возможностей ликвидировать отставание. Было бы излишним говорить здесь о том, что выполнение плана по математике предъявляет к учителю серьезные требования в деле тщательнейшей подготовки к каждому уроку, систематической проверки усвоения учащимися прорабатываемого материала и в значительной мере зависит от оборудования педпроцесса учебными пособиями и т. д. Здесь уместно отметить одну распространенную в практике школ ошибку, которая весьма сильно влияет на выполнение плана работы. В качестве неизжитого наследия бригадно-лабораторного метода работы в школе еще имеет место проведение сдвоенных уроков по математике (например в расписании занятий часто отводится в один день 2 часа по алгебре,

Годовой план работы по математике для IX класса (144 часа)

Четверти

Алгебра

Количество часов

Геометрия

Количество часов

Тригонометрия

Количество часов

I четверть 4 X 11 = 44 часа

1. Прогрессии .

2. Обобщение понятия о показателе степени. Показательная и логарифмическая функции (до десятичных логарифмов) ......

10 12

Многогранники. Поверхность призмы и пирамиды

11

Обобщение понятия об угле. Тригонометрические функции суммы и разности двух углов . . .

11

II четверть 4 X 8 = 32 часа

гарифмы чисел и тригонометрических функций . .

16

Объем призмы и пирамиды . .

8

Функции двойного и половинного аргумента. Преобразование суммы и разности двух тригонометрических функций в произведениях

8

III четверть 4 X 8 = 32 часа

1

Неравенства. Исследование уравнений. Неопределенные уравнения ......

22

Круглые тела (цилиндр, конус и шар)......

11

Решение треугольников . . .

11

IV четверть 4 X 6 = 24 часа

Теория соединений. Бином Ньютона .......

Повторение . . .

10

2

Повторение и решение задач на применение тригонометрии к геометрии .....

6

Обратные тригонометрические функции ....

6

Итого . .

72 час.

Итого . .

36 час

Итого . .

33

или 2 часа по геометрии в одном классе). Опыт работы лучших учителей говорит за то, что подобное распределение времени занятий приводит к непроизводительной затрате времени и должно быть решительно отвергнуто. Часовой урок как основная

форма организации учебного процесса является наиболее целесообразным распределением классного времени по математике. Поэтому в нашем плане каждый час надо рассматривать как отдельный урок на данный день шестидневки.

РАБОТА ПО АСТРОНОМИИ В ШКОЛЕ В ОСЕННЕ-ЗИМНИЙ СЕМЕСТР

Проф. П. ПОПОВ (Москва)

С основными явлениями природы, относящимися к области астрономии, приходится в школе знакомить учащихся, уже начиная с начальной школы, в особенности же на протяжении курса средней школы: при проработке астрономической темы в программе географии V класса (объяснение времен года, а в связи с этим знакомство с суточным и годичным изменением вида неба, ориентировка на Земле, географические координаты, первоначальные сведения о солнечной системе и пр.); при проработке целого ряда вопросов в физике, как излучение и солнечная энергия на Земле, освещенность (в различное время дня и в различные времена года), знакомство со спектральным анализом и его применениями (физическое состояние, химический состав Солнца и звезд). Таким образом, преподавателям географии, физики, несомненно, приходится оперировать с рядом астрономических понятий и явлений. Сюда же нужно отчасти присоединить и преподавателя естествознания. Все эти преподаватели заинтересованы в том, чтобы учащиеся имели необходимые, и притом правильные, понятия об указанных явлениях. В то же время они должны отдавать себе ясный отчет в том, что никто, кроме них, не даст учащимся этих понятий, так как теперь в школе, вплоть до класса, нет совсем не только астрономии как отдельного предмета, но и программа по физике совершенно освобождена от астрономических тем. Значит, если преподавателю физики при проработке вопросов своей дисциплины нужны те или другие сведения из астрономии, то он должен тут же дать о них учащимся исчерпывающие объяснения, ни на кого не рассчитывая. К чему приводит некоторое пренебрежение к вопросам астрономии со стороны преподавателей указанных дисциплин, показывают результаты обследования знаний самых элементарные явлений среди учащихся разных классов средней школы (см. предыдущий номер журнала). Долю вины в этом, несомненно, должны принять преподаватели не только географии, но также физики и естествознания. Но одних объяснений преподавателя для того, чтобы учащиеся составили ясное представление о явлениях, связанных с небом, недостаточно. Для этого нужно дать указания учащимся, что они сами должны пронаблюдать, как именно, в какое время, с какими другими явлениями сопоставить, в какие сроки наблюдения повторить и как поставить вопрос, чтобы сделать правильные выводы. Если преподаватель сам ориентирован в этих вопросах, то это вовсе не составляет труда и не занимает много времени. Конечно, через некоторое время необходимо проверить, что и как наблюдали учащиеся, сделать соответственные поправки в их наблюдения и выводы, дать указания для последующих наблюдений. Хорошо, если преподаватель найдет время хотя бы раз или два провести сам наблюдения над небом с учащимися. Последнее совершенно обязательно для преподавателя географии V класса. Ему необходимо поставить не только практическое определение направления меридиана, установку солнечных часов, но и провести наблюдения непосредственно над суточным вращением небесного свода, изменением звездного неба по временам года, изменением полуденной высоты Солнца и хотя бы самое элементарное наблюдение над Луной и планетами.

Все это важно не только само по себе, но и для того, чтобы школа выпускала людей грамотных в отношении понимания окружающих явлений, получивших достаточную закалку для борьбы со всякими идеалистическими, религиозными влияниями, людей, „овладевших основами наук“.

В то же время эта предварительная работа не только не исключается при введении систематического курса астрономии в X классе, но приобретает в этом случае особую важность. Объяснительная записка к программе Наркомпроса по астрономии отмечает необходимость проведения предварительных наблюдений для успешности проработки содержания программы.

Помимо такого попутного ознакомления учащихся с вопросами астрономии при прохождении географии, физики, естествознания, желательно, чтобы имела место в школе кружковая работа с постановкой астрономических наблюдений, изготовления солнечных часов, самодельных труб из очковых стекол и пр.

Для того чтобы проводить всю эту работу, преподаватель должен быть ориентирован наперед в тех явлениях, которые могут быть наблюдаемы в данный промежуток времени на небе, и дать соответствующие указания учащимся. И уже совершенно необходимой

является такая ориентировка для преподавателя, который должен проводить астрономию в X классе или в педтехникуме. А так как ряд небесных явлений меняется не только в течение года, но и из года в год (фазы Луны, положение и видимость планет и др.), то мы считаем необходимым дать в журнале обзор основных явлений, как они будут протекать в период с сентября по декабрь текущего года. Имея этот обзор, преподаватель может наметить более определенно план наблюдений, приведя его в соответствие с прорабатываемым на уроках материалом.

ЗВЕЗДНОЕ НЕБО

Первые же наблюдения, связанные с первоначальными приемами ориентировки на небе, требуют знакомства с расположением главнейших околополярных созвездий. Это расположение по месяцам и временам года, как известно, меняется. В начале данного периода (сентябрь) около 8 час. вечера Большая Медведица находится на западной стороне неба; на противоположной стороне по отношению к Полярной звезде — к востоку— мы увидим характерные пять звезд Кассиопеи, почти у самого зенита блещет яркая звезда первой величины Вега в созвездии Лиры и совсем у горизонта, близко к северу, мерцает Капелла, тоже звезда первой величины в созвездии Возничего. При дальнейших наблюдениях в те же часы вечера все эти созвездия заметно смещаются и в ноябре восьмой час вечера застает Большую Медведицу прямо на севере, расположившуюся почти параллельно горизонту. Соответственно Кассиопея занимает уже место близко к зениту, Возничий — на восточной половине и Лира — на западе. Но это же мы можем проследить и в течение одного вечера в сентябре, если посмотреть на эти созвездия сейчас же после наступления темноты и затем близко к полуночи. Все это даст возможность не только составить непосредственное представление о суточном перемещении звезд, но и о видимом неизменно-взаимном расположении на небе созвездий и звезд в созвездиях.

В сентябре следует обратить внимание на созвездие Лебедя, распластавшееся на южной стороне неба, в месте разветвления

Черт. 1

Млечного пути, и ближе к горизонту созвездие Орла с яркой звездой Альтаиром; к востоку от них — Пегас и Андромеда, приметные образованным ими на небе четырехугольником, к западу — Геркулес, состоящий из сравнительно неярких звезд, но занимающий большую область, и Северная корона в виде полукруга.

На всех этих звездах южной половины неба легче можно проследить суточное вращение небесного свода, так как они, находясь дальше от Полярной звезды, кажутся проходящими большие дуги в час.

С каждым вечером все ниже и ниже спускаются созвездия, видимые на западе. В ноябре, около 8 час. вечера, уже Лебедь и Орел бывают видны на западе у самого горизонта и вскоре заходят. Южную половину неба занимают в это время Андромеда, Пегас, Рыбы и затем их сменяют Овен и Телец с кучкой звезд — Плеяды — и звездой первой величины Альдебараном. С восточной стороны показываются Близнецы, красивейшее созвездие Орион и самая яркая звезда нашего неба Сириус в созвездии Большого Пса. В дальнейшем эта группа созвездий и господствует на южном зимнем небе.

Очень удобным пособием, помогающим ориентироваться на небе в любой день и час, является подвижная карта звездного неба, легко изготовляемая на месте из специально для нее напечатанных листов. Она дается в качестве приложения к постоянной части „Русского астрономического календаря“ Нижегородского (Горьковского) кружка, затем имеется в отдельном издании (горьковского) кружка, а также имеется в отдельном издании большого формата, составленным проф. Михайловым. Выпущена сконструированная преподавателем Л. В. Кандауровым подвижная карта, которую можно выписать от автора (г. Калинин, Педагогический институт).

Для сравнения, в особенности в случае отсутствия на месте подвижной звездной карты, приводим выше (черт. 1) положение звездного неба для конца рассматриваемого периода.

Как видно на карте, осеннее расположение неба является весьма благоприятным для наблюдения над Млечным путем, особенно в безлунные ночи, так как он все это время располагается почти посредине видимого неба. Этим надо воспользоваться, чтобы зафиксировать в представлениях учащихся его главнейшие очертания, неравномерность распределения в нем звезд, общую тенденцию увеличения числа звезд на небе по мере приближения к Млечному пути.

Следует также воспользоваться хорошей видимостью в данный период созвездия Андромеды, чтобы разыскать в безлунную ночь туманность в ней (она показана на карте крестиком), сначала простым глазом, а потом рассмотреть хотя бы в бинокль. Плеяды в Тельце дадут возможность обратить внимание на видимые на небе скопления звезд. В бинокль хорошо еще найти и рассмотреть двойное скопление в созвездии Персея, вблизи Кассиопеи.

Наблюдение изменений вида неба по мере изменения времен года целесообразно вести параллельно с наблюдениями над Солнцем, определяя высоту его в полдень, прослеживая изменение времени и место восхода и захода. Сопоставляя то и другое, можно, основываясь на собственных наблюдениях учащихся, подойти к объяснению видимого перемещения Солнца среди звезд и, как причины этого — годового движения Земли вокруг Солнца.

ЛУНА

Луна представляет наиболее удобный объект для наблюдений как по своей хорошей видимости, так и по тому, что в течение каждого месяца она проделывает полный цикл своих превращений и перемещений среди звезд. Тот факт, что при обследовании астрономических знаний среди школьников получились почти поголовно неправильные ответы на вопрос о причинах изменений фаз Луны, указывает на то, что преподаватели совершенно не используют этого благодарного объекта: если бы учащиеся своими глазами проследили в течение месяца изменение вида Луны, положения ее относительно Солнца от появления узкого серпа на закате близ самого Солнца, постепенного увеличения его при одновременном удалении от Солнца вплоть до обращения в полную Луну, когда она видна на противоположной стороне от Солнца (полная Луна восходит почти одновременно с заходом Солнца), — если бы все это учащиеся в действительности хоть раз пронаблюдали по указаниям преподавателя, то, надо думать, мы не имели бы от них таких ответов, как „фазы происходят от того, что тень Земли падает на Луну“.

Чтобы руководить наблюдениями над изменением фаз Луны и перемещением ее среди звезд и относительно Солнца, преподавателю должны быть наперед известны моменты наступления главнейших фаз. Приводим здесь таблицу фаз Луны для рассматриваемого периода (см. таблицу на стр. 85).

Сентябрь

Октябрь

Ноябрь

Декабрь

число

час.

мин.

число

час.

мин.

число

час.

мин.

число

час.

мин.

Новолуние . . .

9

3

20

8

18

5

7

7

43

6

20

25

Первая четверть .

16

15

25

15

22

29

14

5

39

13

13

52

Полнолуние . . .

23

7

19

22

18

1

21

7

26

20

23

53

Последняя четверть .....

30

15

29

30

11

22

29

8

39

29

5

8

Время здесь дано по Московскому (второму) поясу, притом переведенное на один час вперед, согласно московским часам.

При наблюдениях фаз Луны следует рекомендовать учащимся делать каждый раз зарисовки положения Луны по отношению к горизонту с пометкой ближайших созвездий. Самое наблюдение лучше всего производить с одного и того же места, отмечая на горизонте наиболее приметные предметы. Важно, чтобы учащиеся при этом сами из наблюдений выяснили, в какую сторону происходит перемещение Луны среди звезд, на сколько она перемещается ежедневно, сколько времени понадобится ей, чтобы от формы полукруга (первая четверть) дойти до формы полного круга полнолуния и отсюда определить время полного цикла.

При наблюдениях Луны следует обратить внимание также на то, до какой высоты поднимается полная Луна над горизонтом в разные месяцы, особенно в декабре, времени, близком к зимнему солнцестоянию, когда Солнце в полдень бывает всего ниже над горизонтом. При этом полезно предложить учащимся вспомнить, как они видят полную Луну летом, поднимается ли она так же высоко над горизонтом, и сопоставить с положением Солнца летом в полдень.

Наблюдение Луны в бинокль или трубу, хотя бы самодельную, всего лучше производить, когда она видна серпом, т. е. когда тени от гор на ее поверхности всего длиннее, при этом не следует ограничиваться одним наблюдением, а продолжать их и видеть, как постепенно открываются все новые и новые области поверхности Луны.

ПЛАНЕТЫ

Для наблюдения планет период времени сентябрь — декабрь настоящего года не является особенно благоприятным. Из всех больших планет можно более или менее удовлетворительно наблюдать только Сатурн. Что же касается Юпитера, то он как раз в сентябре уже теряется в лучах вечерней зари и затем заходит еще при свете Солнца; в осенние вечера он не бывает над горизонтом. Только в декабре Юпитер можно заметить рано утром перед восходом Солнца в юго-восточной части неба. В это время он находится в созвездии Весов.

Марс можно видеть в течение всего периода времени, но только тоже по утрам, после полуночи. Он идет прямым движением по созвездиям Льва и Девы. Ввиду того, что в ноябре и декабре, в особенности, Солнце всходит уже поздно, можно предложить учащимся пронаблюдать за Марсом по утрам перед восходом Солнца. Его легко найти по его красному цвету. В декабре, перед рассветом, Марс поднимается уже довольно высоко и виден на южной стороне неба. Пронаблюдать Марс важно истому, что он быстро перемещается среди звезд, а потому представляет наибольшие удобства для изучения движения планет.

Венера только до октября видна в виде утренней звезды перед восходом Солнца, а затем она пропадает в лучах Солнца и уже совсем не видна до конца года.

Таким образом, остается в осенние вечера доступным для наблюдений из планет только Сатурн. Он идет по созвездию Козерога сначала попятным движением, а потом 27 октября поворачивает и идет обратно уже прямым движением. Интересно было бы проследить образование петли при видимом движении планеты среди звезд на примере Сатурна. Но перемещение Сатурна среди звезд очень медленное. Можно было бы только попробовать отметить положение Сатурна в сентябре по отношению к близкой к нему звезде из созвездия Козерога, а затем в самом конце октября и в конце декабря. Эти три положения и могут обнаружить видимый поворот Сатурна (черт. 2) (см. стр. 86). Проведение такой работы даст хороший материал для уяснения истинного движения тел солнечной системы. Особый интерес представляет Сатурн, как известно, своим кольцом, но для

Черт. 2.

этого нужно иметь астрономическую трубу. Если устроить самодельную трубу с объективом из очкового стекла в 1 диоптрию и окуляром с фокусным расстоянием в 2—3 см, то можно рассмотреть в нее кольцо Сатурна.

В заключение можно еще обратить внимание на возможность наблюдений метеоров, или падающих звезд. Важно было бы провести наблюдение во время прохождения Земли через один из потоков метеоров и, прочерчивая на звездной карте приблизительные пути метеоров среди звезд, наметить их пересечение — радиант. Приводим даты видимости таких потоков.

Сентябрь: 1—2, 17, 29—30 (числа месяца) Октябрь: 1-2, 13—16, 18—20, 28 , Ноябрь: 3-10, 13-18, 22-26 Декабрь: 12-15, 22-23, 28-29

Просьба ко всем преподавателям, которые будут ставить те или другие наблюдения и при этом встретят какие-либо затруднения, обращаться с вопросами в редакцию. Равно было бы очень важно и интересно, чтобы преподаватели, проводившие наблюдения, поделились своим опытом на страницах журнала.

Пособиями при наблюдениях могут служить:

1. .Русский астрономический календарь на 1934 г,“ (можно выписать по адресу: г. Горький, почт, ящик № 24, Кружок любителей физики и астрономии), цена 5 руб.

2. „Русский астрономический календарь“ — постоянная часть.

3. К. Д. Покровский, Путеводитель по небу.

4. Н. Платонов, Практические занятия по начальной астрономии.

ЧАСТНАЯ МЕТОДИКА

ДЕЛЕНИЕ НА ДРОБЬ1

В. ПЕТРОВ (Ярославль)

Если представление дробной величины и понятие дроби установилось у ребят достаточно ясно и твердо, то возможность деления дроби на целое число и приемы самого деления могут быть усвоены учениками без особого затруднения и почти без помощи учителя: если ученик понимает, что такое, например, шесть седьмых, то ему понятно будет и то, что в результате деления этого числа на 3 части (6:3) получится две седьмых; при помощи наглядного опыта не менее понятно будет ему и то, что от разделения на 2 одной четверти получится одна восьмая и от разделения на 2 трех таких четвертей получится поэтому три восьмых; а если так, то, исходя отсюда, ученик сам сумеет сформулировать правило (а такая самостоятельность как в этом, так и в другом подобного рода случае имеет существенное педагогическое значение): чтобы разделить дробь на целое число, нужно или числитель данной дроби разделить или знаменатель умножить на делитель.

Так же легко может быть усвоено учащимися деление на целое число десятичной дроби, которое, по существу, является таким же разделением числителя дроби, только технически проводимое тем приемом, каким пользуются при делении целых многозначных чисел.

Далеко не так легко проходит усвоение деления на дробь, выполняемое при помощи обычно практикуемых приемов. Объяснение ученикам способа „отыскания отношения одной дроби к другой“, т. е. объяснение деления дроби на дробь признается „технически трудным“. „Отыскание такого отношения,— говорится в одном из методических руководств, — представляет один из самых трудных и тонких пунктов в курсе арифметики“1. То же подтверждается и учителями-практиками. Те объяснения, которыми различные учебники и руководства пытаются в данном случае притти на помощь ученику или учителю, обыкновенно очень сложны, а главное — слишком отвлеченны. Так, например, „Руководство арифметики“ Н. А. Шапошникова в интересах логической обоснованности правил деления дробей предлагает сначала довольно сложный анализ ряда примеров, приводящий к двум положениям: „1) Разделить одно число на другое — значит составить из делимого искомое частное так, как единица соста ляется из делителя; 2) разделить одно число на другое — значит определить кратное отношение делимого к делителю. Затем каждым из двух указанных определений раскрываются все правила деления дробей“2.

Большинство авторов ведет объяснение несколько иначе. Они исходят из общего положения, что деление есть действие, обратное умножению, причем деление на дробь рассматривается решающим две задачи: „1) Определить число, часть которого, выражаемая делителем, равна делимому, или, короче,— определить целее по части; 2) определить, сколько раз делитель содержится в делимом или какую часть делитель составляет от делимого“3.

Все эти объяснения, даже в наилучшем их изложении, как, например, у Ф. И. Егорова, слишком сложны и требуют длительной напряженности отвлеченной мысли.

1 Прием деления дробей через приведение их к одному знаменателю известен в арабской литературе XI в. и Леонард Фибоначчи переносит его в Европу.

Им можно пользоваться, но весьма осторожно, так как он вносит односторонность в понимание деления на дробь, затушевывает специфичность обобщенного деления, может приучив учащихся к усложненному навыку; если же этот способ рассматривать как переходное звено к обыкновенному, то из него искусственно выводится последний. Ред.

1 Шохор-Троцкий, Методика арифметики, изд. 1891 г., стр. 272

2 Н. А. Шапошников, Руководство арифметики, изд. 1911 г., стр. 156.

3 Ф. И. Егоров, Руководство арифметики, изд. 2-е, стр. 116—118.

Вероятно, отвлеченность и сложность этих объяснений заставляет авторов некоторых руководств отступить в данном случае от педагогического требования — итти к еще неизвестному учащимся от уже известного и вести их к усвоению каждого правила как к выводу, резюмируемому непосредственно самими учащимися, а вместо того — побуждает ограничиться догматическим сообщением правила как теоремы, оправдываемой затем поясняющими ее доказательствами1.

Имеются основания полагать, что в настоящем случае требуемое объяснение встречает затруднение также и в том обстоятельстве, что самое понятие „деления на дробь“ с трудом укладывается в мышлении ребенка, еще недостаточно окрепшем и не подготовленном для того логического анализа, при наличии которого становится приемлемым это условное обозначение. В самом деле, с понятием „деление“ у ученика чаще соединяется представление деления на части; представление это закреплено всем предыдущим арифметическим опытом деления на целые числа, причем результатом деления получались части делимого; деление же на дробь вовсе не является делением на части, да и в результате этого действия часто получаются числа не меньше делимого, что опять-таки не вяжется с установившимся понятием „деления“. Без сомнения, эти именно затруднения привели одного из популярных авторов В. Беллюстина к замечанию, что детям, только что начавшим ознакомление с дробями, „точный термин „разделить на дробь“ пока лучше не сообщать, — не откладывая, однако, ознакомление детей с теми взаимоотношениями дробных чисел, которые в дальнейшем курсе будут рассматриваться как случаи деления на дробь“2.

С такою осторожностью подходит к объяснению учащимся деления на дробь и К. П. Аржаников. Он также начинает решением примеров, и даже в дальнейшем, когда автор предлагает перейти к определению числа по данной его части, т. е. к тем случаям, которые решаются делением как действием, обратным умножению, им отмечается, что, для того чтобы это последнее вычисление можно было назвать делением, мы сводим его к известному уже детям делению на дробь в смысле содержания“3.

Действительно, мышлению ученика доступнее понятие содержания указанной дроби в данном числе; ученик, затрудняющийся разделить семь единиц на половину единицы, без труда разделит семь единиц на половины, т. е. определит содержание у в 7.

А так как понятие „содержания“ предполагает определенное соотношение величин исключительно только одноименных, как это уже прочно закреплено в мышлении ученика предыдущим опытом действий с целыми и именованными числами, то и здесь выяснение содержания одноименных, т. е. однознаменательных дробей обычно не представляет учащемуся никаких затруднений; что у содержится ву —два раза, что также два раза содержится 0,3 в 0,6 — очевидно каждому; также очевидно, что 2Ö:2{j= П°“ тому что 3 содержится в 15 пять раз; но то же самое отношение теряет свою наглядность, если оно будет выражено хотя бы и равными, приведенными, но разнознаменательными дробями, т. е. если вместо gj1^ будет дано, например,-^-: ^ ; и тот мальчик, который не затрудняется определить содержание^ в ~ , разделивши 36 на 12, легко разрешит первую задачу 1-^-: g-) деления дробей, но только приведенных к общему для них знаменателю.. А если это так, если деление дробей с одинаковыми знаменателями усваивается учениками без всякого затруднения, если в этих случаях деление на дробь проделывается с большей сознательностью и потому с большей легкостью, то очевидно, что в интересах учащихся при решении случаев деления дроби на дробь, а тем более при объяснении учениками такого рода деления, следует применять приведение этих дробей к одному знаменателю, т. е. сводить их на деление одноименных или однознаменательных числителей.

Заметим кстати, что приведение, данных дробей (в делимом и делителе) к одному знаменателю едва ли затруднит учеников, если оно будет проводиться не сложным приемом нахождения наименьшего кратного, а просто перемножением знаменателей сопоставляемых дробей. Таким образом, например, общий знаменатель дробей ^ и Д составит не 150 (наименьшее кратное 50 и 15), а 750 (15 X50), и деление первой дроби

1 См. например, Борель-Штекель, Элементарная математика, изд. 1923 г., стр. 96.

2 В. Беллюстин, Методика арифметики ч. 3-я, изд. 1911 г., стр. 29.

3 К. П. Аржаников, Методика арифметики изд. 1917 г., стр. 385.

на вторую может принять выражение f^'-f^'

Решением ряда аналогичных примеров учащиеся могут быть приведены к заключению, что при определении содержания одной дроби в другой следует привести их к общему для них знаменателю и разделить числители, как и при нахождении содержания целых чисел.

При этом мы особенно настаиваем на том, чтобы решением всех этих примеров в понятии и представлении учеников было ясно закреплен тот именно прием приведения данных дробей к общему знаменателю, о котором только что говорилось, так как с помощью этого приема может быть как нельзя более наглядно и логически-просто выработано и установлено то правило деления на дробь, согласно которому для получения искомого частного делимое множится на обращенную дробь делителя. В самом деле, возьмем последний из приведенных примеров:

приведя эти дроби к общему знаменателю примененным выше способом, т. е. перемножая числитель и знаменатель каждой дроби на знаменатель другой дроби, получим — для первой дроби и ^ ^—для второй. Таким образом, получены будут равновеликие данным две дроби с одинаковыми знаменателями (50 X 15); узнавая затем, согласно установленному правилу, сколько раз числитель второй дроби содержится в однознаменательном с ним числителе первой дроби и деля для этого (40 X 15) на (8X50), получим числовое выражение, составляющее , т. е. умножение числителя первой дроби (40) на знаменатель второй (8) и деление первого произведения на второе, или — умножение первой дроби (~) на обращенный делитель ( тг ) .

Возьмем еще один пример:

т. е.

Решение нескольких подобного рода примеров вполне достаточно, чтобы закрепить в понятии и памяти учеников правило, составляющее окончательный вывод, к которому приводит каждый из рассмотренных случаев.

При определении содержания дроби в целом числе — целое число, согласно изложенному, обращается в неправильную дробь с знаменателем, равным знаменателю делителя. Так, например, при определении содержания в 6, т. е. в случае деления 6 на , целое число делимого (6) раздробляется в восьмые доли f-g-1 причем 6:-g- будет равно -g-, т. е. 48, деленным на 3 или 16.

При помощи разъяснения, аналогичного только что изложенному, пример этот может служить для вывода, что при делении целого числа на дробь приходится целое число помножить на знаменатель дроби и полученное произведение разделить на ее числитель, т. е., говоря иначе, помножить делимое на обращенный делитель.

Объяснение сложных случаев деления смешанных чисел на дробь или на смешанное число после уяснения изложенного уже не встретит затруднений.

Сказанное относительно деления на простую дробь одинаково приложимо и к случаям деления на десятичную дробь. Обычно практикуемое при этом правило также признается „наиболее трудным“ для объяснения1. Оно говорит: „Чтобы разделить какое-нибудь число на десятичную дробь, отбрасывают в делителе запятую и увеличивают делимое во столько раз, во сколько увеличился делитель, затем делят по правилу деления на целое число“.

В некоторых руководствах только что формулированный прием редактируется несколько иначе: „При делении на десятичную дробь уравнивают число десятичных знаков в делимом и делителе, приписывая к одному из них справа потребное число нулей, и делят полученные числа как целые, не обращая внимания на запятые“2.

Но что же именно достигается „уравнением числа десятичных знаков в делимом и делителе“ и т. д., как не приведение делимого и делителя к общему для них знаменателю? Ведь если мы делим 0,5 на 0,125, то, приписывая к 0,5 справа потребное число нулей, мы обращаем 0,5 в 0,500, а деля полученные числа, как целые, не обращая внимания на запятые, т. е. деля 500 на 125, мы

1 А. В. Ланков, Математика в трудовой школе, стр. 164.

2 Ф. И. Егоров Руководство к арифметике, стр. 134.

делим числители приведенных к общему знаменателю дробей. А если так, то не более ли понятным, а потому и более приемлемым, будет правило, согласно которому при делении на десятичную дробь, так же, как и при делении на простую дробь, следует привести данные числа (и делимое, и делитель) — к общему знаменателю и затем разделить числители их: как простые числа. Например 0,36:0,024 = 0,360:0,024 =

Или другой пример: 0,125:0,5=0,125:0,500 = 125:500 = 0,25.

Но если так, если приведение к одному знаменателю может служить приемом, значительно облегчающим ускоение деления на дроби, то неужели в имеющейся педагогической литературе нет таких учебников и руководств, которыми прием этот был бы заслуженно оценен и рекомендован?

Есть. В литературе имеется указание, что еще в средине XVIII в. некоторые математики, исходя из аналогии с именованными числами, советовали сначала приводить дроби к общему знаменателю, а потом уже узнавать, сколько раз одно число каких-нибудь долей содержится в другом числе таких же долей1.

У нас в России, в изданной в 1757 г., а затем в 1794 г., „Универсальной арифметике“ автором ее Кургановым устанавливалось: „Когда из двух дробных чисел, одинаковые знаменатели имеющих, одно надлежит разделить на другое, тогда числитель делимого числа делится на числитель в делителе: про сходящий от такого деления квотус будет число дробное, которого числитель равен числителю делимого числа, а знаменатель — числителю делителя“. А отсюда автор предлагал: „Когда дробные числа в делении случатся разных знаменателей, тогда оные прежде надлежит приводить к одному знаменателю, потом в делении поступить по первому правилу“. Еще позднее вот что говорилось в методическом руководстве, переведенном и изданном 60 лет тому назад: „Понятие дроби простейшим образом выводится из основной дроби (-—) , знаменатель представляет только название дроби, и вся сила заключается в числителе, как скоро у дробей один и тот же знаменатель. Дети производят действия над дробями, у которых общий знаменатель, без всякого особого наставления. Следовательно, главное в учении о дробях — приведение их к одному знаменателю. При этом, так как дроби вообще основываются на воображаемом делении, то, пользуясь этою их воображаемостью, можно, без всякого сомнения, всякое целое, а следовательно и всякое смешанное число представить в виде дроби и в этом виде производить над ним действие. Через это почти все задачи можно подвести под одно общее правило: приведи дроби к одному знаменателю и потом поступай с числителями как бы с целыми числами1.

В большинстве учебников и руководств, как сказано, излагаемый прием или не упоминается вовсе или указывается вскользь, между прочим, не останавливая на себе внимания, почти всецело обращенного на объяснение деления на дробь как на действие, обратное умножению, как на случай нахождения числа по данной его части.

Встречается даже и отрицательное отношение к рекомендуемому нами приему. Так, например, К. М. Щербина признает прием этот „имеющим недостатки“2, хотя, к сожалению, не указывает, в чем именно эти недостатки заключаются. Другой автор, H. Н. Аменицкий, признает рассматриваемый прием „отклонением от истинного пути“, которым „деление дробей д же во времена древних египтян рассматривалось как действие, обратное умножению“3.

Из последнего замечания видно, что приведение к одному знаменателю дробей при их делении вызывает отрицательное к себе отношение в том случае, если этот прием признается достаточным для более общего логического обоснования действия деления дробных чисел. Но в настоящем случае такого значения предлагаемому приему не дается: здесь он предлагается с такою же целью, как и в некоторых упомянутых учебниках, только лишь с тою особенностью, что делению однознаменательных дробей уделяется большее внимание.

1 H. Н. Аменицкий, Арифметика в связи с методом преподавания, изд. 1915 г., стр. 234 Д. Д. Галанин, История методических идей по арифметике в России, т. I, стр. 143.

1 Шварц, Руководство к воспитанию и обучению, т. II, изд. 1867 г., стр. 292.

2 К. М. Щербина О преподавании систематического курса дробей, стр. 22.

3 Н. Н. Аменицкий. Арифметика в связи с методом преподавания, стр. 233.

САМОСТОЯТЕЛЬНОЕ СОСТАВЛЕНИЕ УЧАЩИМИСЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Д. ВОРОНОВ (Москва)

Массовое обследование школ, произведенное Наркомпросом в 1932—1933 гг., обнаружило, как общее явление, очень слабые успехи учащихся в решении арифметических задач и численных примеров, что указывало на плохое усвоение теории арифметики и на нерационально поставленную школьную работу над задачами. Такие результаты показывают, что школа плохо справляется со своей основной задачей трудового обучения— сообщить детям прочные знания по теории арифметики, укрепить вычислительные навыки для осуществления главной цели: развития привычки и умения применять приобретенные знания и навыки к решению различных вопросов, выдвигаемых жизнью.

Придавая особенно важное значение работе детей над задачами, потому что главным образом она обеспечивает надлежащее усвоение арифметики и применение ее на практике, Наркомпрос предлагает педагогам: увеличить количество решаемых учащимися задач, содержание и оформление которых было бы вполне доступно их пониманию, применять возможную наглядность при подаче задач, чтобы облегчить лучшее усвоение условий, практиковать составление задач самими учащимися.

Из предложенных мер отановимся на последней, которой до сих пор уделяется педагогами очень мало внимания.

Опыт строго научного и детального анализа работы школьников по составлению задач, произведенный в 1932 г. Семеновой-Болтуновой, свидетельствует, что составление задач интересует детей и не непосильно даже для первогодников, так что вполне может применяться как прекрасное средство для более глубокого и прочного усвоения арифметических положений и вообще для развития математического мышления.

Педагогическая ценность такой работы может значительно возрасти, если ее поставить так, чтобы сами школьники собирали материал для построения своих задач из окружающей их обстановки, из своих личных наблюдений. Это побудит их более внимательно присматриваться к жизненным явлениям, прилагать к ним математическую мерку, устанавливать количественные соотношения и зависимость между ними и тем расширять свой умственный кругозор, развивать способность к исследованию явлений и активно проявлять стремление к творнескому процессу. Кроме того собирание числового материала само по себе послужит хорошей практикой в вычислениях, а формулировка задач явится упражнением в краткой и точной речи.

Стабильные учебники по арифметике хотя и содержат некоторый материал по составлению задач учащимися, но, к сожалению, слишком скудный. Поэтому необходимо выработать для руководства преподавателя соответственный систематический план, наметка которого и является предметом настоящей статьи.

Но прежде всего преподавателю следует иметь в виду, что самостоятельное составлеление детьми задач на основе собираемого ими жизненного числового материала представляет довольно сложную и необычную для них работу, с которой они могут освоиться лишь постепенно, по мере практики в решении готовых задач из учебника и воспитания в себе привычки подходить к наблюдаемым явлениям с математической меркой.

Уже при изучении чисел первого десятка дети, еще не умеющие писать, могут изображать в тетрадках схематически кружками состав своей семьи, сосчитать, сколько в ней в отдельности мужчин и женщин, взрослых и детей, имеющих заработок и иждивенцев, определить общее число душ, возраст детей, которые моложе данного ученика. Учитель может взять записи нескольких учеников, изобразить их на доске, прикалывая соответственное количество кружков разного цвета и разных размеров для отличия возраста и пола членов семьи, и использовать их для общих упражнений в счете, сопоставлений, сравнения семей, — в какой больше душ, больше или меньше мужчин, работников, числа иждивенцев на одного работника и пр. Или—дети могут вести счет домашних животных, числа комнат, домашней обстановки— столов, стульев, кроватей, посуды и пр.

По мере ознакомления с числами за пределом первого десятка и приобретения навыков в письме можно постепенно расширить объем собираемых сведений — о ценах на различные предметы, прежде всего на те, которые приходится покупать самим детям для учебных надобностей или по поручению до-

машних для продовольствия семьи, составлять вместе с тем расчеты истраченных денег на эти покупки. Собранные цены можно помещать в стенные таблицы для руководства ими при составлении задач. Вообще пути нахождения детьми жизненного числового материала для расчетов и задач могут быть многоразличны: хозяйственные расходы семьи—покупка хлеба, молока, мяса, картофеля и др.; сроки использования этих продуктов в семье, нормы получения продуктов по продовольственным карточкам семьи; измерение различных предметов — комнаты, стола, окон, дверей, тетради, книги, роста членов семьи, своих товарищей, вместимости чайника, самовара, кувшина полулитровыми кружками или стаканами; вычисление площади пола комнаты, стен, печей, окон, дверей, огорода, объема комнаты, ящика, коробки, привезенных дров; определение веса различных предметов, своего веса, товарищей; определение температуры в комнате, на улице, своего тела в здоровом и болезненном состоянии; расчеты времени: распределение прожитых суток по времени, определение возраста членов семьи; составление различных счетов на расходы: хозяйственные расходы семьи за данный день, на организацию школьной экскурсии, школьного празднества, на школьные завтраки, на совместное посещение кино, театра, на изготовление предметов для выставки, для украшения школы, для игр и пр. ; определение общего заработка членов семьи за месяц, расходов по квартплате, по электрическому освещению, с разбивкою этих расходов по отдельным статьям и с сопоставлением их с установленными нормами и пр.

Учащиеся старших классов могли бы собирать числовые данные при посещениях фабрик, мастерских, сельскохозяйственных предприятий по вопросам производства, роста промышленности, коллективизации сельского хозяйства, выгодности ее; из газет черпать сведения об успехах индустриализации нашей страны, о культурном подъеме населения и делать сопоставления с капиталистическими государствами.

Такая работа учащихся, намеченная в грубых чертах, помимо важного значения для общего развития учащихся, обогатит их не только конкретным и вполне жизненным материалом для арифметических упражнений, но и ценными в житейской практике сведениями.

Но, повторяем, эту работу не следует форсировать, потому что излишняя требовательность преподавателя, превышающая силы учащихся, может ослабить их интерес, будет выполняться лишь формально, шаблонно и потеряет свою педагогическую ценность.

Представим теперь примерный план постепенного вовлечения детей в работу по самостоятельному составлению задач.

ЗАДАЧИ НА ОДНО ДЕЙСТВИЕ

Прежде всего дети должны быть ознакомлены с построением задач на ряде предложенных им для решения простейших задач. Они должны понять, что в задаче даются два числа и требуется установить между ними связь, которая выражается третьим числом.

Затем предлагаются упражнения в следующем порядке:

1. Даются готовые задачи на сложение с выключением из них некоторых элементов, которыми должны быть дополнены задачи самими детьми:

а) задачи без вопросов на предметы, стоящие перед глазами детей; например: на одной парте сидят 3 ученика, а на другой—4, и предлагается вопрос: „Что можно подсчитать?“ ;

б) то же на предметы, схематически изображаемые учителем на классной доске кружками (материал детей о составе семей);

в) задачи с пропуском чисел, например: „В семье Вани взрослых..., детей..., сколько всего душ?“;

г) дается начало задачи, требуется закончить ее и решить; на одном окне стоят 3 горшка с цветами, а на другом...;

2. Прелагается составить задачи на сложение по картинкам учебника для первого класса.

3. Предлагается составить задачи на покупку, руководствуясь таблицей цен.

4. Дать только тему, например: составить задачи о сборе грибов, ягод, о ловле рыбы.

5. Подобрать задачи к числовым примерам типа 3+5—?

6. Составить задачи совершенно самостоятельно на любые темы.

В такой же последовательности составлять задачи на вычитание, затем на умножение и деление.

7. После разъяснения детям на наглядных пособиях разностного и краткого сравнения чисел предложить составить соответственные задачи.

8. Облечь в форму задач с текстом числовые примеры с одним из двух условий неизвестным (например 3 —1~ ? == 10; ? — 6 = = 4 и т. п.).

9. Перестраивать задачи со сложения на вычитание, с умножения на деление, пользуясь одними и теми же числовыми величинами.

10. Для выяснения функциональной зависимости между условиями задач взять ряд тем и предложить составить задачи, в которых одна из трех величин была бы искомой.

Например, тема — покупная стоимость двух предметов

стоимость одного (а). Задачи по формуле а + б = ?

стоимость другого (б) ? -|- б = в

общая стоимость (в) а|? = в.

Тема — подсчет учеников в классе. Задачи.

число их на каждой парте (а) аХб = ?

число парт (б) ? X б = в

общее число учеников (в) аХ ^в.

Тема — вес товара: вес с упаковкой (брутто), вес упаковки (тара), чистый вес (нетто).

ЗАДАЧИ СЛОЖНЫЕ

12. Задачи на два и более действий с простыми условиями также могут быть составляемы детьми или по образцам или самостоятельно. Чтобы облегчить эту работу, первоначально можно давать лишь темы, например: составить задачу о сборе ягод и о продаже их, об урожае хлеба и о расходе его, о покупке материи и употреблении ее на рубашки и пр.

13. К этому же разряду более сложных задач относится составление всякого рода счетов, о которых было сказано выше, смет с сопоставлением с ними фактических расходов и пр.

14. Что касается задач типовых, для решения которых приходится применять особые приемы, то после проработки их в школе под руководством учителя можно предлагать детям составлять подобные же задачи, сначала по данному образцу, изменяя лишь числа, а потом — конструировать задачи самостоятельно.

Чтобы побудить детей к более внимательному отношению к работе по составлению задач, следует организовать между ними соревнование, завести школьный альбом задач, в который помещать наиболее удачные как по теме, так и по структуре и словесному оформлению.

Тема — измерение сторон прямоугльника: длина, ширина, периметр.

Тема — расценка товара: себестоимость, наценка (прибыль) или убыток, продажная стоимость.

Тема — определение урожая : количество засеянных гектаров, сбор с гектара, общий сбор.

Тема — движение: скорость, время движения, прйденный путь.

Тема — учет работы: число рабочих, производительность одного, общая выработка.

Темы на вычисление площадей, объемов и др.

11. Проследить изменения суммы, разности, произведения и частного на составленных задачах.

Пример на изменение суммы. Задача— Ко ля, Петя и Ваня ежедневно ходили за грибами. Они нашли белых грибов:

СОСТАВЛЕНИЕ УЧЕНИКАМИ ЧИСЛОВЫХ ПРИМЕРОВ

В целях возбуждения в детях большего интереса и большей активности в занятиях арифметикой можно практиковать самостоятельное составление ими не только задач, но и числовых примеров на различные арифметические правила.

Такая работа может оказаться неуместной лишь на самой первой стадии обучения — при изучении чисел первого десятка, когда требуется строгая систематичность в подборе материалов для практики в производстве вычислений; но уже с переходом к числам второго десятка составление самими учащимися числовых примеров вполне возможно.

Примеры. После проработки вычитания двузначного числа из двузначного может быть дано задание составить ряд числовых примеров на вычитание: 1) без раздробления десятка, 2) с раздроблением десятка, 3) чтобы разность получилась в виде однозначного числа.

На умножение трехзначных чисел на двузначные— следующие примеры, когда: 1) все цифры множителя и множимого значащие; 2) у множимого в середине 0; 3) множитель— круглые десятки, 4) оба члена с одним нулем на конце и др.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ С ОДНОЧЛЕННЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ (VI класс)

Проф. Е. БЕРЕЗАНСКАЯ (Москва)

I

С понятием об алгебраической дроби учащиеся впервые встречаются в теме „Целые одночленные и многочленные выражения“ в случае невозможности деления одночленных алгебраических выражений нацело. Приступая к проработке темы „Алгебраические дроби“, учитель отправляется именно от этого случая. Проработка начинается с разбора примеров на доске. Даются примеры на деление одночленов, в которых, во-первых, делитель содержит буквенный множитель, отсутствующий в делимом, как-то: 2ab разделить на 2ас и т. д., и, во-вторых, примеры, где степень какой-либо одной буквы делимого ниже степени той же буквы делителя, как-то: 8а2Ь разделить на 4a2b2; 6ab2c2 разделить на За2Ь2с4 и т. д., причем в начале работы в примерах обоих типов коэфициенты удобнее брать кратными друг другу. Записывая деление с помощью горизонтальной черты, учащиеся получают выражение, которое определяется как алгебраическая дробь. Добиваясь четкости в определении алгебраической дроби, учитель должен дать учащимся и третий тип примеров на деление одночленов, приводящий в результате к выражениям, не содержащим буквенных множителей в знаменателе, например предложить Ах2у разделить на 8ху, т. е. получить —- = —, и на сопоставлении всех рассмотренных примеров подчеркнуть, что выражение только тогда называется алгебраической дробью, когда последним действием в нем является деление на буквенное выражение, и что выражения у ab2, — и т. д. суть целые алгебраические выражения с дробными коэфициентами. Следует также отметить, что выражения „ 1 + ~ или „а+т — а~ 1 “ смешанные выражения, состоящие из целых и дробных выражений.

После выяснения этих вопросов полезно для закрепления проработанного материала предложить учащимся решить несколько примеров на деление одночленных выражений, записав частное в виде дроби, и ответить, которые из них представляют собою алгебраические дроби.

Крайне ценным упражнением является нахождение численной величины алгебраической дроби при различных значениях букв, входящих в числитель и знаменатель ее. Полезно также упражнять учащихся в вычислении численного значения отдельно числителя, отдельно знаменателя дроби, чтобы они усвоили, что численная величина алгебраической дроби (а также ее числителя и знаменателя) может выражаться и положительным числом, и отрицательным, и целым, и дробным.

Прорабатывая с учащимися основное свойство алгебраических дробей, а затем и действия над ними, учитель должен показать учащимся, что все правила преобразований и арифметических действий над числовыми дробями одинаково применимы и к буквенным дробям. Такое указание многим слабым и средним ученикам поможет осмыслить новое для них понятие алгебраической дроби. Это чрезвычайно важно, так как большинство характерных ошибок в преобразованиях дробных выражений обязано своим происхождением тому обстоятельству, что часто смысл выражений и преобразований представляются учениками недостаточно ясно. Поэтому некоторые ученики и говорят, что ——|—^ = но почти никогда не скажут, что а +* о

Проводя мысль, что действия над алгебраическими дробями представляют обобщение действий над дробями арифметическими, надо подстановкой числовых значений постоянно проверять правильность произведенных преобразований. Так как алгебраическая дробь рассматривалась как частное от деления двух алгебраических выражений, то основное свойство алгебраической дроби вытекает непосредственно из свойства этого частного. Учитель напоминает учащимся, что частное не меняется, если делимое и делитель одновременно умножить или разделить на одно и то же число. Следовательно: -г = т-.

В таком виде, в виде формулы, основное свойство дроби и должно быть записано учащимися. Следует объяснить, однако, что нельзя оба члена дроби умножать или делить на нуль, так как этим мы лишаем выраже-

ние обычного (арифметического) смысла. Словесная формулировка — обычная.

В учебнике „Алгебра“ Киселева, ч. 1-я, Гиз, 1933 г., вопросы о свойствах и действиях над алгебраическими дробями с одночленными знаменателями и многочленными не разделены; поэтому учащимся шестого класса трудно использовать текст учебника при изучении отдела „Алгебраические дроби“, согласно программе шестого класса (этот текст смогут проработать учащиеся, будучи в VII классе); из учебника же в шестом классе можно давать учащимся формулировки определений и правил, выделенные в учебнике особым шрифтом, для того чтобы избегнуть записей в классе под диктовку.

Для того чтобы помочь учащимся уяснить смысл основного свойства дроби, полезно сейчас же вслед за его установлением показать на доске некоторые его применения. Например, как записать целое выражение: 1) в виде дроби с любым одночленным знаменателем^) в виде дроби с данным знаменателем и др. Следует посвятить специальное время умножению числителя и знаменателя дроби на ( — 1).

Работа может быть организована, примерно, так:

Рассматриваются последовательно равенства:

Учитель спрашивает: „На что нужно умно жить числитель и знаменатель дроби в левой части равенства, чтобы получить правую часть (т. е. доказать, что левая часть равна правой)?“. Некоторые случаи равенств, установленных в процессе общеклассной беседы, следует проверить на числовых примерах (имеется в учебнике: VI, § 70). В результате изучения вопроса составятся таблички приведенных выше равенств. Эти таблички, выполненные в большом размере, хорошо вывесить на стене в классе.

Основное свойство алгебраической дроби сейчас же применяется к сокращению и другим упрощениям дробей. Для разбора сокращения алгебраических дробей на доске записывается пример числовой дроби ^ или и напоминается, что процесс приведения дроби к более простому виду возможен в том случае, когда у числителя и знаменателя дроби имеются общие множители. Затем берется алгебраическая дробь, например, , и выясняется, какие сомножители имеются в числителе дроби, какие — в знаменателе, какие сомножители общие в числителе и знаменателе, на каких сомножителей можно сократить эту дробь и т. п. Пример решается на доске. Можно подстановкой числовых значений проверить правильность преобразования. Полезно указать учащимся, что при сокращении алгебраической дроби, например общим делителем числителя и знаменателя будет За3, где 3 является общим наибольшим делителем коэфициентов, но а3 будет общим наибольшим делителем а'Л и а5 только при значениях а>1.

После разбора нескольких примеров на доске нужно дать учащимся сделать самостоятельно под наблюдением преподавателя несколько примеров на сокращение дробей, а затем следует перейти к упражнениям на упрощение вида дроби, т. е. к упражнениям, в которых нужно освободить числитель или знаменатель дроби от дробных коэфициентов и знака минус. В дальнейшем при решении комбинированных примеров от учащихся уже следует неуклонно требовать сокращения дробей и приведения их к простейшему виду. Полезно приучать учащихся к обратному преобразованию — выражению алгебраической дроби с одночленным знаменателем в виде алгебраической дроби с иным одночленным знаменателем, делящимся на данный, например: ^т—~ и т. п. Здесь же выполняют упражнения на приведение дробей к общему знаменателю. Упрочить этот навык можно при выполнении сложения и вычитания дробей, где и изложены все случаи.

После проработки указанных вопросов можно перейти к вопросу о сложении и вычитании, а затем к умножению и делению дробей.

Проработку сложения и вычитания дробей следует начать со случая сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Дается пример: .-т+ гг, или------и

т. п. Решая эти примеры, нужно вспомнить с учащимися правила сложения арифметических дробей. Не задерживаясь на решении таких элементарных примеров, можно после выполнения нескольких упражнений и формулировки правила сложения дробей с одинаковыми знаменателями перейти к сложению и вычитанию алгебраических дробей с различными знаменателями. Работа может быть построена, примерно, так. Дается пример на сложение двух, трех дробей, знаменатели кото-

рых не имеют общих множителей, например: —-f- -г— — . В решении подобных примеров главнейшую трудность представляет нахождение общего знаменателя данных дробей. Чтобы не разбивать внимания учащихся, отвлекая их от главной трудности, следует числители компонентов взять числовыми (как это сделано в нашем примере) или простейшими буквенными. Учитель должен обратить внимание учащихся, что нахождение общего знаменателя для алгебраических дробей производится теми же приемами, что и для дробей арифметических. Поэтому в данном примере общим знаменателем будет произведение знаменателей данных дробей (abc), а в примере 4аТ —3ö2p и т* Г1, общим знаменателем будет выражение, составленное из всех сомножителей, входящих в состав знаменателя первой дроби, и всех недостающих сомножителей из числа составляющих знаменатель второй дроби. Учитель в дальнейшем должен показать учащимся, что правильно найденный общий знаменатель данных дробей должен иметь коэфициентом именно наименьшее кратное коэфициентов данных дробей, и что для буквенных множителей должен быть взят наименьший из возможных показателей, так как в противном случае преобразования, связанные с выполнением действия над данными дробями, могут в значительной степени усложниться. Полезно дать учащимся пример в подтверждение сказанного.

Вслед за решением первой группы примеров дается вторая группа примеров, в которых знаменатель одной из данных дробей есть их общий знаменатель, например: 2ху2~^~Лх^у} '

Внимание учащихся обращается на то, из каких сомножителей состоит этот знаменатель, и учитель добивается, чтобы все учащиеся дали себе ясный отчет в том, почему именно данное выражение (т. е. 4х2у2) есть общий знаменатель (общее наименьшее кратное) данных дробей. Затем, если указанные примеры разобраны и поняты всеми учащимися, можно перейти к наиболее общему случаю нахождения общего знаменателя. Дается пример: ~f- — или r~n^-T-<rrz — л~ и т. п. Еще раз устанавливается, какие требования предъявляются к общему знаменателю в отношении состава множителей, и формулируется, что необходимо сделать для того, чтобы определить, из каких множителей следует составлять этот общий знаменатель. Вывод, подкрепляемый разбором примера, записывается.

При решении примеров на доске следует указать учащимся, что решение комбинированных примеров (сложение и вычитание) следует записывать, пользуясь одной чертой, а не разбивать решение на две-три самостоятельных операции.

Запись действия целесообразно производить так:

Следует особо рассмотреть случай сложения и вычитания „смешанных выражений“, т. е. случай приведения к общему знаменателю целого выражения, у которого знаменатель условно считается равным единице. Например: у -f 5; 2а + ЗЬ — и т. д.

Учащийся должен себе ясно представлять, что дополнительный множетель всякого целого алгебраического выражения равен общему знаменателю дроби, и не забывать об этом при решении комбинированных примеров. Проработка раздела заканчивается решением достаточного числа примеров в порядке самостоятельной классной и домашней работы и небольшой контрольной работы. Примеры должны обнимать все рассмотренные выше случаи. Целесообразно также дать ряд более сложных примеров на сложение и вычитание дробных выражений, как-то примеры, числителями которых были бы многочленные выражения. Материал к этому разделу имеется в достаточном количестве в задачнике Шапошниковаи Вальцева, ч. 1-я, на другие разделы дано материала несколько меньше; если время позволит, учитель может использовать и другие задачники. Полезно время от времени при решении примеров убеждаться в правильности результата путем подстановки числовых значений.

Раздел умножения и деления алгебраических дробей целесообразно начать со случая умножения дроби на дробь, а затем рассмотреть случаи умножения целого выражения на дробь, и обратно, рассматривая целое выражение как дробь со знаменателем 1. При проработке этого раздела темы, кроме уточнения формулировок правил и овладения техникой выполнения действий, учитель должен обратить особое внимание на упрощение операций умножения (и деления) своевременным сокращением. Нужно дать учащимся ряд примеров, в которых сокращение было бы выполнимо до производства действий, и показать, как усложняется окончательный подсчет, если такое сокращение своевременно не про-

изведено. Предварительно следует дать несколько ярких арифметических примеров. При перемножении (и делении) дробей нужно приучить учащихся записывать все действия, пользуясь одной чертой, а не разбивая решение на ряд самостоятельных операций.

Например:----: — ._ =--——=аа2л

Неуменье производить действия умножения и деления над дробями указанным способом в одинаковой мере относится и к арифметике. Тем важнее ликвидировать это неуменье сейчас, при новой встрече учащихся с дробями. Кроме того следует приучить учащихся сразу же определять знак результата, если некоторые из компонентов имеют различные знаки. Так, например, при вычислении выражений:

нужно требовать, чтобы учащиеся сразу же записывали решение следующим образом:

или:

Следует давать упражнения на умножение, где один из сомножителей нуль.

Нужно приучить учащихся сокращать дроби при умножении и делении тогда, когда действия уже записаны с помощью одной черты, так как этим уменьшается возможность неправильных сокращений. Однако при выполнении деления можно показать учащимся, как следует сокращать дроби, имеющие одинаковые числители или знаменатели, т. е. примеры типа:

Из остальных случаев умножения и деления следует особо выделить случай умножения и деления целого выражения на дробь, дающий большое число ошибок. Так же, как и в арифметике, приходится иметь дело с распространенной ошибкой: „перевертыванием“ дроби при умножении, и наоборот. При проработке этого вопроса учитель должен особенно четко построить работу, напоминая учащимся смысл умножения и деления на дробь на ряде числовых примеров.

В связи с вопросом об умножении дробей полезно рассмотреть: 1) возведение простейшей дроби в квадрат и куб и 2) возможность преобразования вида дроби:

что может понадобиться в дальнейшем курсе математики, а также при некоторых преобразованиях, например при выделении числовых (постоянных) сомножителей в алгебраических выражениях, технических формулах и т. д.

После проработки этого раздела темы следует дать часовую контрольную работу. Эта работа должна содержать примеры на умножение и деление дробей, приводящие к сократимым дробям, и один-два простейших комбинированных примера, в которых умножение и деление дробей сочеталось бы со сложением и вычитанием, например:

II

Овладение учащимися техникой преобразований дробных алгебраических выражений позволяет расширить область уравнений, с которыми учащиеся уже встречались, введением уравнений с дробными буквенными коэфициентами.

Работу следует начать с повторения приемов нахождения х в простейших уравнениях с буквенными коэфициентами вида ~ = b и

Затем нужно показать, как, пользуясь правилами, изученными раньше, решить, примерно, такие уравнения: ~ =— или — = —; — = и т. п., которые приведены или приводятся к уравнениям, данным в виде пропорций.

Учить учащихся составлять по условию задач уравнение с дробными буквенными коэфициентами следует на простых задачах. Примером желательных задач могут быть следующие: 1) „В классе п учеников отсутствует, что составляет р°/0 всего числа учащихся в классе. Сколько всех учащихся в классе?“

Решение: J?--x = n; jc = /z^^. Или более сложная задача: 2) „Два участка прямоуголь-

ной формы имеют одинаковую площадь. Длина одного из них а м\ длина другого в 2 раза больше. Определить площадь (х м2) каждого из участков, если ширина первого из них на 3 м больше, чем второго“ и т. п. Решение:--—- = 3; —-—-=3; х =оа .

В первое время задачам с буквенными данными нужно предпосылать решение аналогичных задач с числовыми данными и проверять решение на числовых данных. Числовые данные помогают обычно учащимся лучше схватить суть дела, после чего переход к задачам с выражениями, данными не явно, особых затруднений уже не представляет. Из числа возможных задач на составление уравнений с дробными буквенными коэфициентами особенный интерес представляют задачи на проценты. Одна такая задача уже указана выше. Решая ее, следует упражнять учащихся в подсчитывании частных значений х по формуле, придавая пир различные числовые значения. Приведем вторую задачу, примерно, такого содержания: „Вычислить количество килограммов муки, необходимой для выпечки b килограммов хлеба, учитывая припек в р%".

Решение: х+ щ)* — Ь и т. д.

Полезно также упражнять учащихся в выделении какого-либо коэфициента или буквенного сомножителя из алгебраического выражения, а также из физической или технической формулы. Например, учащиеся прорабатывают в шестом классе по физике формулу для подсчета количества тепла, требуемого для нагревания воды:

Q=m(t2 — t1).

Пользуясь этой формулой, можно решать с учащимися задачи по подсчету m — количества воды (в граммах) или t2 — окончательной температуры или L — начальной температуры. Также можно использовать формулу определения теплоемкости тела и др.

План проработки темы „Алгебраические дроби с одночленными знаменателями“

Содержание

Примерное время

Примерное задание на дом

Основные сведения об алгебраических дробях. Преобразование дробей

Сложение и вычитание дробей Умножение и деление дробей

Контрольная работа

Решение уравнений с дробными коэфициентами

2 часа 4 .

3 .

1 .

2

„Сборник алгебраических задач“ Шапошникова и Вальцева, ч. 1-а, Гиз, изд. 1933 г., глава IV, № 4, 5, 52, 53, 54, 55

№ 68, 69, 70, 72, 76, 79, 80

№ 128, 129, 125, 182, 186, 187. 178, 179, 180 1) и 2)

Глава VI, № 144, 139, 146, £24, 52', 534, 536

УЧЕНИЕ О МНИМЫХ ЧИСЛАХ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

М. БЕРГ (Москва)

В новых программах средней школы учение о мнимых числах отнесено к девятому классу, являясь последним звеном в процессе развития понятия числа в школе, и именно с этой точки зрения освещение методики этого раздела алгебры представляется желательным.

Мнимые числа впервые появляются в трудах Кардана в начале XVI столетия. Кардан вводит их с тем, чтобы каждое квадратное уравнение имело два корня, а кубическое — три корня; он называет такие числа софистическими. До Кардана считали, что квадратное уравнение в зависимости от его коэфициентов может иметь два корня, один корень или совсем не иметь решения. Математики XVII и XVIII столетий, развивая дальше теорию мнимых чисел в связи с развитием теории уравнений, не вкладывали, однако, никакого конкретного содержания в понятие мнимого числа, и лишь на рубеже XVIII и XIX столетий Гаусс дал геометрическое

истолкование мнимого числа. Можно поэтому сказать, что развитие учения о мнимых числах до начала XIX столетия не представляло собою собственно развития понятия числа как математического символа конкретных операций над конкретными объектами: мнимые числа были привнесены в алгебру во имя единообразия свойств алгебраических уравнений. Та же точка зрения проводится в нашей школьной практике: учащимся разъясняется, что извлечение квадратного корня из отрицательного числа невозможно, и тут же результат этой невозможной операции называют мнимым числом, после чего учащиеся обучаются действиям над мнимыми числами, с тем, чтобы во всех конкретных задачах геометрии и физики таковые числа отбрасывать как не имеющие смысла. Такой подход мы считаем резко противоречащим общему принципу развития какого-либо понятия числа. Новые французские учебники, например Лонггиана и известного парижского математика Бореля, поступают совершенно иначе: учение о мнимых числах откладывается до „специальных математических классов“, а в средней школе при решении квадратных уравнений находят возможным ограничиваться действительными корнями, с указанием, что не всякое квадратное уравнение имеет решение. Мы также рекомендуем отнюдь не спешить в преподавании алгебры с введением мнимых чисел, совершенно не упоминая о них при решении квадратных уравнений, с тем, чтобы в девятом классе развить вполне конкретную теорию комплексных чисел, опираясь на знакомство учащихся с методом координат и с тригонометрией. Полное исключение мнимых чисел из программы средней школы навряд ли возможно, ввиду значительного количества учащихся, поступающих в высшую техническую школу, программа которой предполагает со стороны учащихся первого курса знание комплексных чисел.

Переходя к самой методике предмета, мы выставляем требование, чтобы учение о мнимых— точнее, комплексных — числах базировалось на конкретном освещении смысла этого класса чисел и действий над ними. Принимая во внимание достаточную степень восприимчивости учащихся десятого класса, необходимо предпослать переходу к комплексным числам обзор предшествующих этапов развития смысла числа вообще как символа определенных конкретных операций, которые следует выполнить над единицей измерения, чтобы получить однородную с ней измеряемую величину, останавливаясь при этом подробнее на относительных числах.

Относительными числами выражаются такие величины, которые по своему существу могут быть противоположны. Примеры таких пар величин, противоположных по смыслу: ускорение и замедление в прямолинейном движении, сила притяжения и сила отталкивания, повышение и понижение уровня жидкости или температуры, прибыль и убыток и т. д. Для измерения двух противоположных по смыслу величин выбирают общую единицу измерения, которая одинакова по смыслу с одною из двух величин и противоположна по смыслу другой. Положительное число выражает тот факт, что измеряемая величина одинакова по смыслу с единицей измерения, а отрицательное число — что измеряемая величина противоположна по смыслу единице измерения, причем в обоих случаях размер измеряемой величины выражается абсолютной величиной (модулем) относительного числа. Так, если за единицу измерения принята отталкивательная сила в 1 лгг, то число -f- 4 выражает отталкивательную силу в 4 лгг, число — 3 притягательную силу в 3 кг. Необходимо при этом остановиться на графическом изображении абсолютных и относительных чисел при помощи отрезков, откладываемых на числовой оси полупрямой для абсолютных чисел и полной прямой — для относительных чисел. Тут же следует дать геометрическое истолкование сложения чисел— абсолютных (арифметических) и относительных: от конца отрезка, выражающего первое слагаемое, откладывается отрезок, выражающий второе слагаемое, и сумма выражается отрезком, который имеет своим началом начало первого отрезка и своим концом конец второго отрезка, т. е. учащиеся вводятся в понятие геометрического сложения величин (черт. 1).

Черт. 1

Коснувшись вычитания как действия, обратного сложению, переходим к умножению: при этом необходимо подчеркнуть, что произведение во всех случаях получается из множи-

мого теми же конкретными линейными операциями, которыми множитель получается из единицы. Так, если множитель положительное число, то произведение — одинакового смысла с множимым; если множитель отрицательное число, то произведение по смыслу противоположно множимому. Эта мысль может быть еще выражена так: произведение, будучи измерено множимым, выражается числом, равным множителю. Например, если множитель — — , то произведение по смыслу, а следовательно и по знаку, противоположно множимому, а абсолютная величина произведения равна — абсолютной величины множимого. Деление — действие, обратное умножению.

Такое подробное и вполне доступное для учащихся выяснение смысла числа и действий над числами вполне подготовит их к изучению комплексных и, в частности, мнимых чисел.

Комплексным числом называется математический символ величины, которая может принимать всевозможные направления в пределах плоскости, изменяясь вместе с тем по размеру.

Такие величины называются векторами на плоскости. Примеры: скорость и ускорение в криволинейном движении; сила в различных точках плоского поля ньютонианского, молекулярного или электромагнитного притяжения или отталкивания и т. д.

За единицу измерения принимается вектор определенного размера и определенного (начального) направления. Измеряемая величина должна быть охарактеризована с двух сторон : ее размер выражается арифметическим числом (г), которое называется абсолютной величиной (модулем) комплексного числа, а ее направление — углом (ф), на который следует повернуть единицу измерения, чтобы она приняла направление измеряемого вектора. Этот угол tf называется аргументом (амплитудой) комплексного числа.

Вектор выражается таким образом парою чисел при помощи символа (г, <f). Два комплексных числа равны, если равны в отдельности их абсолютные величины и их аргументы.

Сложение мнимых чисел выполняется геометрическим сложением отрезков, изображающих соответствующие векторы: к концу отрезка, изображающего первое слагаемое, прикладывается своим началом отрезок, выражающий второе слагаемое. Получается ломаная линия, замыкающий отрезок которой выражает сумму данных двух векторов (черт. 2).

Пунктиром на чертеже 2 указано, как вывести геометрически переместительный закон сложения комплексных чисел. Необходимо подчеркнуть тоджественность сложения комплексных чисел с построением равнодействующей скоростей ускорений или сил. Нетрудно перейти к сложению произвольного числа слагаемых и геометрически вывести сочетательный закон сложения в применении к комплексным числам. Вместе с тем из чертежа непосредственно усматривается, что абсолютная величина суммы комплексных чисел меньше суммы абсолютных величин слагаемых (/?<r-)-''i + r2~r- — гЬгп)> за исключением того частного случая, когда аргументы слагаемых между собою равны.

Не будем здесь останавливаться подробнее на вычитании. Из чертежа легко вывести, что вычитание равносильно сложению уменьшаемого с комплексным числом, равно противоположным вычитаемому, аргумент которого отличается от аргумента вычитаемого на тг:

(г, <р) - foi ft) = (Л <р) + (rv Ь ±*)-

Выяснив смысл сложения и вычитания, необходимо перейти к разложению комплексного числа на слагаемые заданных направлений — задаче, тождественной разложению скоростей, ускорений и сил, и особо остановиться на разложении комплексного числа на два слагаемых, из которых одно направлено по той прямой, по которой направлена единица измерения, другое — по прямой, к ней перпендикулярной (черт. 3).

ОЛ = (г, <р) =Ш+~ОС= a + Ы\

Компоненты OB и ОВл отложены по оси, по которой отложена единица измерения

Черт. 2

Черт. 3

ОЕ, причем компонента OB одинаково направлена с единицей измерения и выражается некоторым положительным числом а; ОВл выражается некоторым отрицательным числом Oj. Для выражения векторов ОС и ОСг вводится новая единица OF, по абсолютной величине равная основной единице ОЕ и получающаяся из нее вращением на угол по положительному направлению вращения, т. е. по направлению, обратному вращению часовой стрелки. Эта новая единица называется мнимой единицей и обозначается через /, причем 1= ^1, -| \ . Термин „мнимый“ укоренился в алгебре, но из сказанного ясно, что понятие, им выражаемое, соответствует вполне наглядной операции над основной единицей. Пусть размер и направление компонент ОС и ОСл выражаются числами b и bv Тогда ОС= Ы, ОСл=Ъли

Векторы OA и ОАл с абсолютными величинами гиг, и аргументами <р и ср1 выразятся геометрическими суммами:

(г,<р) = а + Ы\ (г1этд = аг + ft,*.

Такая форма выражения комплексного числа называется алгебраическою.

Необходимо проделать ряд упражнений на построение векторов, данных в символической форме (г,ср), и на выражение их в алгебраической форме, пользуясь тригонометрическими функциями угла ср, особо отметить те случаи, когда <р равно 0, >я>~ * Вместе с тем следует уделить внимание сопряженным комплексным числам (r,<f) и (г, — <р), т. е. а 4- Ы и а - Ы.

Из того же чертежа 3 непосредственно получается тригонометрическая форма комплексного числа:

и соответствующие формулы перехода; a=rcoscp; b = rs\ny\ r = j/a2 #г;

Применяя сочетательный закон, получаем правило сложения комплексных чисел в алгебраической форме, проверяемое на чертеже: (а 4- Ы) + (a, 4- ft,/) = (a -h ал) + (Ь + Ьл) L

Останавливаться на сложении и вычитании комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме, можно разве для того, чтобы показать, что в этом виде действия первой ступени значительно сложнее.

Переходя к умножению, надлежит сначала выяснить, что при умножении комплексного числа на абсолютное число изменяется только абсолютная величина множимого: аргумент остается без изменения:

(г, (ù)-m = (rm, <р).

То жг в алгебраической и тригонометрической форме:

[(rcos ср -f - i sin <f )] • m = rm(cos <p -|- t sin y) :

(a -f- Ы) • m = am -|- bmi.

Чтобы выяснить умножение комплексного числа на другое комплексное число, вспоминаем, что произведение получается из множимого при помощи тех же операций, при помощи которых множитель получается из единицы.

Пусть дано умножение комплексных чисел (г, у) • •(г^^); искомое произведение обозначим через (/?, Ф) (черт. 4)

ÔX=(r,<p); OÄl = (rv<?1).

Множитель (r5 cpj) получается из единицы, изображаемой отрезком 08, поворотом ее на угол <р, и умножением ее размера на абсолютное число rv Те же две операции выполняем над множимым: произведение, изображенное на чертеже 4 отрезком OB, имеет абсолютную величину R= ггг и аргумент Ф = ср 4- <Pj.

Представляя комплексные числа в тригонометрической форме, имеем:

Черт. 4

Отсюда ясно, что от перестановки комплексных сомножителей не меняется величина произведения — переместительный закон, так же непосредственно получается сочетательный закон.

Распределительный закон тоже выводится геометрически (черт. 5):

Из подобия параллелограмов ОАСАг и ОВСлВл легко доказать, что ОСг выражает комплексное число, выражаемое произведением ОС на OA, т. е. что ОСг = [(г, ср) +

Черт. 5

Тригонометрическая форма этого тождества:

Представляя мнимую единицу i в виде Л « \= \ '~2) получаем непосредственно i2 = /•/ = ( 1, тг) =—1. Так же получаются дальнейшие степени мнимой единицы:

Так же получаются степени —/, так как

Умножение комплексных чисел в алгебраической форме получается или на основании распределительного закона или преобразованием cos Cf4~cPi) и sin (? ~f- выражая их через а, Ь, а1% Ьг:

Особо останавливаемся на перемножении взаимно сопряженных чисел:

Из последнего равенства следует разложимость суммы квадратов двух чисел на два взаимно сопряженных сомножителя.

Весьма полезным упражнением считаем графическую поверку решений квадратного уравнения с комплексными корнями, например: X2—2х + 5 — 0, откуда л; =14:2/; х2 = = — 3±4i.

Выполняем поверку для х — 1 f 21 (черт. 6).

Черт. 6

Откладываем

Очевидно, суммы действительных и мнимых слагаемых в отдельности равны нулю.

Деление комплексных чисел, очевидно, приводится к делению абсолютных величин и вычитанию аргументов:

или

Если делимое и делитель даны в алгебраической форме, то частное определяется из уравнения:

или

приравниваем действительные и мнимые слагаемые двух частей уравнения.

Возведение комплексного числа в целую положительную степень есть повторное умножение. Получаем формулу Моавра:

Если комплексное число дано в алгебраической форме, то применяем ранее известные формулы возведения в степень.

Извлечение корня из комплексного числа как действие, обратное возведению в степень, приводится к извлечению арифметического корня из абсолютной величины комплексного числа и делению аргумента на показатель корня:

В такой форме казалось бы, что результат извлечения корня единственный; на самом деле корень должен иметь п значений. Чтобы их получить, заметим, что комплексное число не изменяется от поворота вектора на целое число окружностей:

г- (cos <р -f- isin = r (cos £ <p + /sin <p).

Давая k значения 0, 1, 2... n — 1, получаем результатом извлечения корня:

при дальнейшем увеличении k получаются те же значения корня.

Пример: определить три значения J~\ . 1 = (1,0) = (1,2 kJi) = 1. (cos 2 тг -f i sin 2 k тг).

Обозначая искомые кубические корни через zv z2, z3, получаем:

Желательно дать пояснительный чертеж и на нем сделать геометрическую проверку того, что z\ = z\ — z\ = \.

Извлечение корня, показатель которого выше 2, в алгебраической форме трудно выполнимо; извлечение квадратного корня в алгебраической форме выполняется решением уравнения (a+bi) = (x+yi)2% где х и у определяются двузначно приравниванием действительных и мнимых слагаемых двух частей уравнения, причем берутся только действительные значения х и у.

В заключение главы о комплексных числах рекомендуется дать учащимся краткий исторический очерк развития учения о комплексных числах.

Если со стороны учащихся будет возбужден вопрос о математическом выражении векторных величин, способных изменять свое направление в пространстве трех измерений, то придется ограничиться кратким указанием на то, что такие величины рассматриваются в особом отделе математики — „Векторной алгебре и векторном анализе“, находящем применение в физике и особенно в электротехнике.

ПЕРВЫЕ ЗАНЯТИЯ ПО ФИЗИКЕ (V класс)

Г. ФАЛЕЕВ (Москва)

Несмотря на несложное содержание курса, работа по физике в V классе представляет большое значение. В пятом классе мы закладываем фундамент физических знаний, и в зависимости от качества фундамента находится успешность дальнейшей работы. Неудачный подход к работе, две-три серьезных ошибки, своевременно не исправленных — и вместо глубочайшего интереса, с которым ребята вначале стремились на уроки физики, получится скука на уроках. Вернуть утраченный интерес к работе гораздо труднее, чем поддерживать его. Ученики V класса только что попали в среднюю школу. У них не было до сих пор такого большого количества различных предметов, отдельных преподавателей по каждому предмету. Ученику надо еще освоиться, приучиться понимать разных преподавателей. Лексикон, с которым приходит учащийся в V класс, еще очень небогат; это приходится внимательно учитывать и ни в. коем случае не допускать, чтобы то или другое даже слово на родном языке — оставалось непонятным. Для ученика V класса, например, слово „стержень“ вовсе не является вполне понятным словом, а таких слов в обиходе физика очень много. Приходится следить за собою, чтобы найти доступный для детей язык и осторожно расширять лексикон, постепенно вводя новые слова.

В распоряжении преподавателя физики имеются демонстрации опытов, проекция диапозитивов, лабораторные работы — все возможности, чтобы сделать уроки не только интересными, но и увлекательными. Но и здесь очень важно найти меру. Плохо, если единственным пособием преподавателя является мел, но так же плохо, когда демонстраций и опытов ставится чрезмерно много. Каждый опыт должен давать учащемуся что-то новое, а если этих новых понятий и явлений сразу дается очень много, перед учениками получается калейдоскоп, от которого, в конце концов, не остается прочного следа. Особенно плохо, если ставят сложные опыты, которые ученик воспринимает только глазами. От урока у ученика остается такое же впечатление, как от сеанса фокусника: „Очень интересно, но ничего не понятно“. Каждый опыт должен быть доступным учащемуся и произведен так, чтобы на первый план выступало исследуемое явление, а не прибор, на котором оно исследуется,

В кабинетах встречаются до сих пор старые приборы со всевозможными металлическими подставками, иногда даже украшениями. Эти приборы —археологические древности. Современные приборы по большей части очень просты; в них нет или, по крайней мере, не должно быть никаких лишних частей. Было бы очень хорошо так поставить демонстрации, чтобы любую из них учащиеся могли при желании повторить при тех или иных условиях самостоятельно. Преподаватель должен ясно понимать назначение каждой отдельной детали прибора и понимать, что интересующее его явление он сможет показать не только на данном приборе, но и на иных конструкциях. Между тем часто наблюдается стремление начинающего преподавателя купить именно такой прибор, который для него самого является неясным. Можно сказать с уверенностью, что на таком приборе преподаватель или не получит никаких результатов или получит очень плохие.

Многие опыты могут быть произведены без всяких приборов или на приборах, построенных самим преподавателем или учащимися. Такие приборы, мы не будем называть „самодельными“, чтобы не отличать их от хороших приборов, изготовленных специалистом-мастером. Всякий хорошо работающий прибор сделает свое в преподавании физики, и совершенно не важно, кто приготовил этот прибор: специалист ли мастер или учитель. Чем проще прибор, чем понятнее его конструкция, тем больше пользы он принесет. Отметим только один важный момент: прибор должен хорошо выполнять свое назначение, а для этого его надо строить прочно (чтобы он не ломался, когда его берут в руки), просто, но тщательно. Не требуется полировка, но недопустима и небрежность.

К каждому уроку преподаватель должен тщательно подготовиться и приготовить все нужное для урока.

До урока преподаватель знакомится с материалом учебника, отмечает наиболее важные моменты, которые, по его мнению, нужно выяснить с учениками, трудные выражения и отдельные слова, которые могли бы быть непонятны ученикам, подбирает дополни-

тельный материал к содержанию учебника, вопросы, задачи для классной проработки и для самостоятельной работы учеников дома, обязательно сам их решает и, если находит, что в ответах имеются ошибки или опечатки, исправляет их.

Очень важным моментом является связь курса физики с политехнизмом и социалистическим строительством. Эти вопросы необходимо освещать на уроках физики, иллюстрируя и расширяя на них курс. Материал для этих тем берется из журналов и газет.

Подготовка пособий к урокам требует большого времени, особенно в первый раз. Чтобы эта подготовка отнимала меньше времени, необходимо при организации работы выполнять следующие правила.

1) Каждый прибор, находящийся в кабинете, имеет свое определенное место.

2) В кабинете находятся только действующие приборы. Приборы, требующие ремонта, должны немедленно исправляться. Приборы, которые отремонтировать нельзя, после составления соответствующего акта исключать из кабинета.

3) Наблюдать за чистотой приборов. Наибольшая беда для прибора — грязь. Прежде, чем поставить прибор на место, вычистить его.

4) Не брать от прибора частей для приготовления нового прибора. Гораздо дешевле и лучше иметь для каждого прибора особый комплект частей.

5) Приборы расставить в шкафах свободно, чтобы можно было вынуть из шкафа любой прибор, не трогая других.

6) Приборы для лабораторных работ хранить вместе целыми комплектами.

Занятие 1. ПРЕДМЕТ ФИЗИКИ. СВЯЗЬ ФИЗИКИ С ТЕХНИКОЙ

После краткого ознакомления с классом и установления порядка работы в кабинете преподаватель приступает к первому занятию.

Занятие можно начать небольшим, понятным детям, рассказом о развитии физики.

Уже во времена глубочайшей древности явления природы привлекали к себе внимание человека. Явления, несущие с собой ряд. бедствий, угрожающие жизни, как, например, гроза, степные и лесные пожары, наводнения, разливы рек сначала наводили лишь ужас на первобытного человека. Но уже в те времена человек овладел огнем, построил челноки, научился применять различные орудия труда, которые в процессе исторического развития общества совершенствовались и превращались в инструменты и орудия, которыми пользуются теперь для различного рода работ.

Наблюдения над различными изменениями, происходящими в природе, давали людям ряд ценнейших сведений, которыми они пользовались в своей первобытной технике. Развитие этой техники требовало более глубокого изучения явлений природы. Так постепенно накапливались знания о природе. С течением времени эти сведения стали составлять науку о природе - физику.

Развиваясь дальше, наука о природе стала настолько обширной, что из ее отделов образовались специальные науки, изучающие ту или иную область явлений природы: астрономия — наука, изучающая небесные светила, геология — наука о строении земли, ботаника— наука о растениях; а также агрономия, география, медицина, химия, ряд военных и технических наук. Необходимо отметить, что двигает все эти науки не простое любопытство, а потребности человека. Не просто интерес к изучению движения небесных тел вызвал возникновение астрономии, но потребности мореплавания, необходимость измерения времени и определения географического положения. Только изучая движения небесных светил, можно было предугадывать смену времен года, что было весьма важно и для земледельца и для охотника. Изучение явлений, происходящих в жидкостях, вызвано потребностями судостроения, борьбой человека с заболочением обширных пространств плодородной земли. В этой борьбе человек не только изучает природу, но и изменяет ее. Уже в древности строили плотины и каналы, регулировали течение рек.

Мы являемся свидетелями того, как социалистическое строительство изменяет самое лицо земли. Только что построен Балтийско-беломорский канал, соединяющий два моря. От моря отвоевывается залитое им пространство и строятся нефтяные вышки, как, например, на Каспийском море нефтяные промыслы имени В. И. Ленина. Бурный Днепр, разбивавший когда-то запорожские челны, превращен в судоходную реку, на которой поставлена самая большая в мире электрическая станция. Примеров можно привести сколько угодно: радио, подводные работы, полеты в стратосферу, арктические путешествия, походы в Каракумской пустыне, опыты Мичурина, Павлова, искусственное дождевание, разведение культурных растений на Севере и т. д.

Все эти примеры должны доказать, что задача заключается не только в том, чтобы изучить природу, но и в том, чтобы для своих целей изменить ее. Это возможно лишь при высокоразвитой технике, пользующейся

открытиями, сделанными физикой, и в своем развитии ставящей новые задачи физике. Необходимо отметить, что техника не только ставит физике задачи, но и помогает ей развиваться, снабжая ее совершенными приборами, необходимыми для работ.

Таков приблизительно план первого занятия. Очень желательно, чтобы рассказ преподавателя иллюстрировался соответствующими диапозитивами. Материал для беседы надо, конечно, заблаговременно приготовить и не надеяться, что к этой беседе можно подойти без подготовки.

Материал по данной теме можно найти:

1) в журнале „Наши достижения“, „СССР на стройке“ и др;

2) в программе курса „Марксистская история техники“, в книге Ю. К. Милонова, Марксистская история техники как предмет преподавания, Соцэкгиз, 1931 г.;

3) Лакур и Аппель, Историческая физика, т. I;

4) Розенбергер, История физики.

Небольшое „.введение“ было помещено в книге Г. И. Фалеева и А. В. Перышкина, Физика для пятого года ФЗС, 1932 г.

К уроку приготовить: проекционный аппарат и диапозитивы.

Ученикам задать на дом прочитать соответствующее место по учебнику.

Занятие 2. МЕТОДЫ ФИЗИКИ. ПОНЯТИЕ О МЕРАХ

Второе занятие, как и все последующие, начинается с опроса учеников по содержанию предыдущего занятия. Только убедившись из опроса ребят, что материал предыдущего занятия ими усвоен, можно переходить к новому вопросу. Крайне важно требовать при ответе связного рассказа.

На втором занятии мы выясняем, каковы задачи физики и какими способами она эти задачи разрешает.

Как писал проф. Хвольсон, „физика имеет четыре задачи: открыть, исследовать, объяснить и применить явление“. Для разрешения этих задач пользуются постановкой опытов и наблюдениями.

Эти выводы и следует сделать на данном занятии.

Прежде всего мы отмечаем, что нас окружают разнообразные предметы, отличающиеся друг от друга своими свойствами: стол, стул, оконная рама, стекло, дом, дерево, машины, вода, керосин, воздух и другие газы. Мы устанавливаем, что со всеми предметами, или как их называют, физическими телами, происходят различные изменения: вода на морозе обращается в лед, мокрый пол после мытья высыхает—вода испаряется. Если налить на стол (опыт) несколько капель эфира, эфир очень быстро испаряется, и в комнате чувствуется запах эфира. Стекло при ударе можно разбить на отдельные куски, разрезать (опыт); при нагревании стеклянной трубки на огне она становится мягкой (опыт). Камень, выпущенный из рук (опыт), падает на землю, точно так же падают на землю листья, осыпающиеся с дерева. Такие изменения, происходящие с физическими телами, называются физическими явлениями и изучаются в физике.

Изучить явление можно тогда, когда оно часто повторяется. Из одного-единственного наблюдения сделать выводов нельзя. Если явление мы не можем воспроизвести, например дождь, то условия происхождения дождя мы можем выяснить, наблюдая дождь неоднократно. Если же мы сами можем произвести какое-либо явление, то можно его изучить, поставив ряд опытов. Чтобы изучить, например, падение камня, мы можем сколько угодно раз бросать камень и наблюдать его падение. Бросив два камешка с разной высоты (опыт), мы замечаем, что они достигнут земли неодновременно. Точно так же неодинаково падают шарики, если один из них бросить в воздухе, а другой, например, в высокой стеклянной трубке, наполненной водой или другой жидкостью (опыт). Неодинаково падают в воздухе камень и лист бумаги (опыт). Оказывается, что такое простое на первый взгляд явление, как падение тел, реем нам очень знакомое, вовсе не так просто. Его надо изучить, исследовать. Для исследования необходимо бросать камень с различной высоты, не ограничиться одним камнем, а взять тела легкие и тяжелые, имеющие разную форму, и поставить ряд опытов, измеряя на опытах высоту, с которой падает камень, время его движения, а если окажется, что легкие и тяжелые тела падают различно, то придется измерять и вес камня.

Значит, для исследования явления надо произвести ряд измерений. Конечно, пока мы не исследовали подробно происходящего явления, нельзя дать и верного объяснения этому явлению; тем не менее мы сможем высказать некоторые предположения о причинах явления и посмотреть, оправдывается ли наше предположение на опыте.

На вопрос, почему падает на землю камень, мы можем высказать предположение, что камень притягивается к земле. В самом деле, если привязать к камню нитку и потянуть его к себе (опыт), камень будет двигаться

к человеку, который тянет нить. Естественно предположить, что камень потому падает на землю, что земля притягивает его к себе. Наблюдение показывает, что не только камень, но и все другие тела, если они ничем не поддерживаются, падают на землю. Отсюда мы делаем общее предположение, что все тела притягиваются к земле.

Это явление использовано в технике. Уже с давних времен строят водяные мельницы, которые приводятся в движение водой, падающей с плотины в омут (диапозитив или картина). Чтобы построить мельницу, надо было произвести ряд измерений.

На этом примере мы проследили ряд задач, которые ставит физика при исследовании определенного явления, дошли до технического применения, которое, конечно, будет не единственным, и выяснили, что и для изучения физики и для применения ее законов в технике надо производить измерения, надо установить какие-то образцы длины, времени и веса, с которыми придется сравнивать различные длины, времена и веса. Все такие установленные образцы, с которыми сравнивают другие однородные величины, называются единицами мер.

Пособие для преподавателя : Хвольсон, Курс физики, т. I, изд. 1933 г., § 1, 2, 3, 4.

Работа на дом: соответствующие папараграфы учебника.

Для урока приготовить: набор твердых тел, жидкостей, склянку с эфиром, ртуть, трубы для изучения сопротивления среды, штатив, нитки, 4 шарика (лучше костяных) для бросания их в трубке, горелку, кусок стеклянной трубки, резак для стекла или напильник.

Занятие 3. СВЕДЕНИЯ ИЗ ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ МЕР. МЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА. МЕРЫ ДЛИНЫ

Чтобы не повторяться, мы не будем в дальнейшем изложении каждый раз предупреждать, что новый урок начинается с опроса учащихся для выяснения степени усвоения ими предыдущего курса. На эту часть работы требуется обязательно отвести определенное количество времени, в зависимости от сложности разбираемых вопросов.

В небольшом рассказе преподаватель сообщает учащимся краткие сведения о происхождении мер, о разнообразии мер, существовавших у различных народов, об их крайней неопределенности. Названия таких мер, как локоть, фут (ступня — показать фут и измерить его по своей ступне), показывают, что первоначально за меры принимались или величины хорошо знакомых каждому человеку предметов или размеры тех или других частей его тела. Характерно выражение „косая сажень“—расстояние от правой пятки до конца пальцев левой вытянутой вверх руки. Так как величины этих предметов были различны, то уже в средние века были установлены размеры мер: футом считали не всякую ступню, а определенное расстояние, отмеченное на стене торговой биржи двумя черточками. Точно так же и для других мер были установлены образцы. Развитие капитализма в XVIII и в начале XIX столетия, промышленный переворот и расцвет мировой торговли привели к необходимости создания единой международной системы мер. Такой системой мер явилась метрическая система. Дать очень кратко историю появления метрических мер. За основу метрической системы принят метр — длина между двумя черточками на образце метра — эталоне1 метра, с которым должны быть согласованы все метровые линейки, применяемые в торговле и в науке.

Демонстрируем масштабную линейку или рулетку и отмечаем на доске расстояние в 1 м.

Главное удобство метрической системы— в простоте подразделения основной меры. Необходимо обратить внимание учащихся на приставки — кило, гекто, дека, деци, санти и милли — и на сокращенные обозначения2.

Работа на дом: усвоить § 2—4 учебника и сделать упражнения к § 4.

К уроку приготовить масштабную лингйку.

Занятие 4. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИНЫ

Убедившись, что ученики усвоили предыдущий урок, предлагаем учащимся начертить в тетрадях отрезок в 10 см на-глаз. На доске несколько учеников отмечают черточками длину в 1 л.

Раздав на руки учащимся метровые масштабы, предлагаем проверить, насколько правильно были нанесены в тетрадях и на доске отрезки. Ученики должны против каждого отрезка записать его длину согласно масштабной линейке.

Затем, объяснив, как надо производить измерения длины и какие могут быть ошибки при неумелом подходе к измерениям, раздаем ученикам бруски или куски досок и предлагаем измерить их длину, толщину и ширину. Данные доски зарисовать схемати-

1 Обратить внимание на слово «эталон“—образец.

2 Тщательно следить, чтобы сокращенные обозначения дети писали согласно стандарту.

ческим чертежом в тетради и отметить размеры. Раздаваемые ученикам доски должны быть занумерованы, и каждый из учеников проделывает измерение нескольких досок.

По окончании измерений выписываем на доску результаты измерений одной и той же доски, получившиеся у отдельных учащихся, и находим среднюю величину. При этом находим среднее значение измеренной величины, которое и считаем за наиболее правильное.

Измеряем рулеткой длину стола, высоту двери, окна.

Сведение учащихся по математике дают возможность лабораторную работу № 1 — сравнение дюйма с сантиметром — провести следующим способом. Учащимся предлагается начертить в своих тетрадях четыре отрезка: в 2 дюйма, 3 дюйма, 5 дюймов и 10 дюймов. Эти отрезки измерить в миллиметрах и затем рассчитать, сколько миллиметров содержится в 1 дюйме. Ответ получится средний 25,4 мм, откуда находим, что 1 дюйм = 2,54 см. Если есть время, следует измерить толщину проволоки так, как это указано в лабораторной работе № 2. Эта работа указывает способ измерения небольших величин с помощью крупного масштаба. Таким способом можно измерить толщину иголки (уложив вплотную друг к другу несколько штук иголок).

По окончании этой работы можно предложить учащимся задачу: измерить толщину листа бумаги, на которой напечатана книга, или листа тетради.

Ответ — измерить всю толщину книги, плотно ее сжав, а если она мала, то несколько книг, и сосчитать число листов; отсюда делением общей толщины многих листов на число их находим толщину одного листа.

Работа на дом: задачи по задачнику № 1, 2, 3 и § 7, 8.

К занятию приготовить наборы для работы, рулетки и куски проволоки.

Занятие б. ИЗМЕРЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ КРОНЦИРКУЛЯ И НУТРОМЕРА

Показав на опыте, что бывают случаи, когда неудобно пользоваться непосредственно масштабной линейкой, например ее неудобно приложить плотно к измеряемой длине, объясняем пользование калибромером и нутромером. Затем раздаем учащимся калибромеры, нутромеры, стальные масштабы, несложные детали машин и их чертежи.

Учащиеся должны снять размеры с деталей и сверить их с чертежом.

Работа на дом: задачи № 4 и 5.

Занятие 6. ИЗМЕРЕНИЕ В МАССОВОМ ПРОИЗВОДСТВЕ

Беседа начинается сравнением современного способа производства с прежним. Указывается, что прежде машину целиком (или почти целиком) строили на одном заводе: отдельные части машины тщательно пригоняли друг к другу: это отнимало много времени.

Далее в беседе объясняется, что в связи с возросшими требованиями на машины способ производства резко изменился: различные части одной и той же машины часто делаются на нескольких заводах (специализация). Выпуск некоторых машин рассчитан на сотни тысяч в год (массовое производство).

В связи с этим старые способы производства оказались неподходящими; были найдены способы, значительно ускоряющие изготовление машины.

Указывается на наши достижения в этой области: производство тракторов на наших заводах — Сталинградском, Харьковском, „Красном путиловце“, производство автомобилей на заводе им. Сталина и ГАЗ.

Далее на примере производственного процесса на Сталинградском заводе дается понятие о конвейере. Указывается, что все детали машины должны точно подходить одна к другой, и что задержка на подгонку деталей невозможна. Все одноименные детали должны быть одинаковы. Это достигается тем, что при их изготовлении измерения производятся при помощи предельных калибров, скоб и пробок. Эти калибры дают очень большую точность, и измерение производится гораздо быстрее.

Демонстрируется скоба и способ измерения при помощи ее. Дается понятие и об измерении отверстий при помощи пробок.

Указывается, что абсолютно точно изготовить деталь невозможно, но что неточность в изготовлении можно сделать настолько малой, что детали будут вполне заменять одна другую, и что эта неточность практически на работе машины не отразится (допуск на производстве). Это поясняется соответствующими примерами.

Работа на дом: § 10.

К уроку приготовить калибры, скобу и пробку и несколько предметов для измерения этими калибрами.

Занятие 7. ИЗМЕРЕНИЕ ОБЪЕМА

В беседе вспоминаем меры объема и демонстрируем кубический сантиметр, кубический дециметр, литр в виде кружки и куби-

ческий метр. Кубический метр составляется из 12 деревянных планок, соединенных на концах при помощи деревянных кубиков. Если такого прибора пока еще в школе нет, то размер объема кубического метра можно показать следующим образом. В углу комнаты по смежным стенам отмечают меловыми черточками расстояния по 1 м в длину и в высоту; кроме того, отмечают на полу точку, отстоящую на 1 м от той и другой стены. Взяв теперь три метровые линейки, расположенные перпендикулярно друг к другу, при помощи их ограничиваем от стены 1 куб. м.

Сравнить переливанием воды объем 1 куб. дм с литровой кружкой. Мы считаем, что ученики уже в младших классах умеют вычислять объемы прямоугольных тел, и на данном занятии только вспоминаем знакомые ученику приемы вычислений. Главное внимание мы уделяем вопросу измерения объемов тел при помощи мензурки и отливного стакана.

После демонстрации литра и переливания воды из кубического дециметра в литровую кружку демонстрируем ученикам мензурку в 250 куб. см. При помощи мензурки наполняем кубический дециметр. Указываем на значение этих делений. Наливаем в мензурку 200 kv6. см воды и затем, переливая воду из другой мензурки, доводим уровень воды до 250 куб. см. Спрашиваем учеников, сколько воды долили в мензурку. Получив ответ, показываем, что уровень поднимается не только при наливании воды, но и при погружении в мензурку твердого тела. По увеличению объема, занятого в мензурке, мы можем определить объем тел, погруженных в мензурку. Таким образом приходим к определению объемов тел при помощи мензурки. Очень было бы полезно опустить в мензурку какой-либо прямоугольный брусок, предварительно вычислив его объем по величине ребер. Размер бруска надо подобрать в 100—150 куб. см, чтобы вода поднималась заметно и можно было бы легко отсчитать увеличение объема в мензурке. После этого помещаем в мензурку тело неправильной формы. Опять-таки размеры его надо подобрать заранее.

Работа на дом: § 14, 15, 16 и упражнения.

К уроку приготовить: набор метрических мер объема, мензурку, прямоугольный брусок объемом в 100—150 куб. см, нитки, тело неправильной формы.

По окончании работы все приборы протереть досуха.

Занятие 8. ИЗМЕРЕНИЕ ОБЪЕМА

Лабораторная работа №4.

В начале занятия по опросе учащихся выясняем, насколько они усвоили прием определения объема тела при помощи мензурки; демонстрируем способ определения объема сравнительно крупных тел при помощи отливного сосуда и мензурки. После этого приступаем к лабораторной работе № 4. Учащимся должны быть вполне ясны цель работы и способ ее выполнения.

Каждое звено получает мензурку, отливной сосуд и набор тел, нитки, колбочки.

На работе ученики должны:

1) определить объем нескольких тел; среди этих тел есть несколько металлических цилиндров объемом в 20 куб. см;

2) определить объем одного или двух тел отливным сосудом;

3) определить емкость колбы.

Все определяемые объемы записываются в тетрадь в виде таблицы.

Преподаватель внимательно наблюдает за правильностью отсчета. Ученики очень часто не понимают цены деления на мензурке, и на это необходимо обратить их внимание.

Емкость колбы определяется измерением объема воды, помещающейся в колбе. После работы ученики должны сдать приборы в сухом виде, исключая колбы, которые высушить не придется. По окончании работы колбы помещаются на стойку для сушки колб.

Работа на дом: задачи № 7, 9, 10. К занятию приготовить наборы для лабораторных работ.

Занятие 9. ПОНЯТИЕ О ВЕСЕ ТЕЛА. ВЕРТИКАЛЬНОЕ И ГОРИЗОНТАЛЬНОЕ НАПРАВЛЕНИЕ

В предыдущих занятиях мы видели, что хотя нет ничего похожего между водою и камнем или газом, тем не менее мы на ряде опытов убедились, что все эти тела — и твердые, и жидкие, и газообразные — имеют между собою общее свойство: все они занимают определенный объем, и этот объем можно измерить. Мы измеряли объем камня и других твердых тел; пользуясь колбой или мензуркой, мы можем отмерить определенный объем жидкости. Керосин, налитый в бутылку, занимает вполне определенный объем. Точно так же в „пустой“ колбе, закупоренной пробкой, находится газ, занимающий объем внутренней полости колбы. Опуская

колбу вниз горлышком в воду, мы заметим, что вода не входит в колбу (опыт), так как там находится воздух. Второе основное свойство всех тел — их весомость. Все тела притягиваются к земле. Если тело ничем не поддерживается, оно падает (опыт). Если телу мешают падать, оно производит на задерживающую подставку давление (опыт: тяжелое тело кладем на тонкую линейку, помещенную между двумя столами — линейка сильно прогибается. Кладем тела все меньших размеров— прогиб уменьшается. Из опыта желательно сделать вывод, что как бы мало тело ни было, оно вызывает прогиб, хотя бы и настолько малый, что мы его не можем заметить).

При помощи отвеса определяем направление, по которому действует сила тяжести (на рисунке на доске показываем, что сила тяжести направлена к центру земли). Выясняем понятия: вверх и вниз, отвесное направление и отвес. Показываем при помощи карандаша или книги неустойчивость наклонного положения и значение в строительной технике отвеса.

Даем определение горизонтального направления и демонстрируем ватерпас, уровень и способы их употребления.

Занятие заканчивается или лабораторной работой № 5 или поверкой горизонтального и вертикального направления подоконников, столов, дверей.

Можно работу между звеньями распределить так, что одни звенья делают работу № 5, а другие занимаются поверкой направлений.

К занятию приготовить: отвес, уровень, ватерпас, тонкую линейку, набор грузов, штативы (2 штуки), нитки и приборы для лабораторных работ.

Работа на дом: § 18, 19, 20.

Занятие 10. ВЗВЕШИВАНИЕ

Вспоминаем метрические меры веса. Демонстрируем, что вес литра чистой воды равен 1 кг (опыт).

Показываем различные типы весов: пружинные, рычажные — технические, весы Беранже и аптекарские и наборы разновесок.

Указываем приемы взвешивания и правила, которые обязательны при взвешивании. Объясняем важность выполнения каждого правила.

Работа на дом: § 22, 23, 24, 25, 26.

К занятию приготовить: образцы весов, разновески, литр, весы Беранже для взвешивания литра воды.

Занятие 11. ВЗВЕШИВАНИЕ

Лабораторная работа №6

Учащиеся получают весы и разновески, причем разновески рекомендуется всегда выдавать и получать открытыми, чтобы и учащиеся и преподаватель видели, что все разновески целы. Предупредить учащихся, чтоб они следили за разновесками и держали их или на весах или в ящике. Других мест не должно быть для разновесок. Разновески обязательно класть на одну чашку. Следить за этим.

Для взвешивания ученики получают металлические цилиндры, объем которых у всех одинаков и уже известен ученикам из работы № 4. Пока никакого внимания учеников на объем не обращаем, а только предлагаем тщательно взвесить несколько цилиндров. Ученики меняются цилиндрами и по окончании работы устанавливают средний вес каждого из цилиндров. Вторая часть работы: определить вес 50 и 100 куб. см различных жидкостей. В качестве жидкости берем воду, спирт и насыщенный раствор соли в воде. Третья часть работы — определить вес на неверных весах способом тарирования. Весы делают неверными, положив на чашку весов монету в 5 коп. или какую-либо другую металлическую пластинку.

Занятие оканчивается взвешиванием воздуха, которое производит преподаватель. Для этого опыта надо взять круглодонную склянку (ни в коем случае не брать плоскодонной колбы: ее продавит атмосферное давление), закупоренную каучуковой пробкой, сквозь которую пропущена стеклянная трубка. На стеклянную трубку одет кусок резиновой пробки с зажимами Мора. Взвешивают склянку на весах Беранже до 1 кг и выкачивают воздух или ручным насосом или водоструйным, после чего закрывают зажим и снова взвешивают склянку. Получают заметную разницу в весе, что доказывает основное положение—воздух имеет вес.

К работе приготовить: набор тел, весы, разновески, химические стаканы, мензурки, набор жидкостей.

Занятие 12. УДЕЛЬНЫЙ ВЕС

На предыдущем занятии ученики на опыте установили, что цилиндры одинакового объема имеют различный вес. С этого мы и начнем занятие. На доске учащиеся выписывают результаты своих измерений в виде таблицы.

Производим взвешивание нескольких кусков разного объема одного и того же сорта дерзва. Вполне понятно, что получается различный вес кусков, и ученики объясняют разницу веса различием в объемах. Необходимо указать, что хотя вес и объемы кусков различны, материал, из которого сделаны куски, один и тот же, и если бы мы взяли куски одного объема, то получили бы одинаковый вес. Подсчитываем, сколько весит 1 куб. см каждого из этих кусков, и находим, что вес получается один и тот же.

Подсчитываем вес 1 куб. см различных веществ и находим, что этот вес — различный. Вводим понятие удельного веса, как веса 1 куб. см данного вещества. Решаем задачи по определению удельного веса № 2, 3, 4 по учебнику и ряд других подобных задач. Желательно в конце занятий вывести правило для определения удельного веса и это правило записать в виде формулы d = Р_ — у *

Ни в коем случае ни теперь, ни после не требовать механического запоминания формулы. Формула для ученика V класса должна быть только сокращенной формой записи правила.

Напоминаем ученикам, что на предыдущем занятии мы определяли вес воздуха и указываем, что опытами найдено что литр воздуха весит 1,3 г.

Очень важно указать ученикам, что удельный вес таких веществ, которые легко меняют объем, можно учитывать только при вполне определенных условиях. Например, кусок ваты, имеющий определенный вес, мы можем спрессовать, и тем самым удельный вес куска ваты увеличится. Точно так же изменится удельный вес воздуха; если воздух сжимается или расширяется. К занятию приготовить: весы с разновесками, куски дерева различных объемов.

Работа на дом: § 29 по книге и задачу № 26 по задачнику.

Занятие 13. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОГО ВЕСА

Лабораторная работа

Установив, как можно произвести в условиях лаборатории определение удельного веса, раздают ученикам приборы для работы и производят работу.

Примеры записи результатов имеются в учебнике (стр. 23).

В результате работы знакомят учеников с таблицей удельных весов и предлагают по таблице определить те вещества, с которыми они имели дело при лабораторной работе.

К занятию приготовить: комплекты для лабораторной работы. Вещества для определения удельного веса брать в кусках неправильной формы. Объем определять мензуркой.

Работа на дом: задачи по задачнику № 15, 16, 17, 18.

Занятие 14. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕСА И ОБЪЕМ ТЕЛА

Если учащиеся достаточно усвоили понятие удельного веса, то не составит труда научиться определять вес того или другого тела, зная его объем и удельный вес вещества, из которого состоит тело. Можно для выяснения этой задачи предложить ученикам найти способ определить вес куска того или другого материала без помощи весов. Даем, например, ученику кусок алюминиевой отливки и указываем, что по таблицам удельный вес алюминия 2,6. Выясняем в беседе, что это число показывает, сколько граммов весит 1 куб. см алюминия. Отсюда очевидное следствие, что для определения веса куска надо знать его объем. Определяем объем при помощи отливного сосуда, вычисляем вес куска и проверяем результат непосредственным взвешиванием. Можно проделать еще два-три таких опыта, предлагая эту работу проделать самостоятельно тому или другому ученику, и затем перейти к решению задач. Задачи для решения имеются в учебнике и в задачнике — № 22, 25, 28.

Для определения веса тел правильной формы можно и объем их вычислить. Измеряем размеры деревянного бруска, вычисляем его объем и вес (необходимо для этой работы предварительно самому учителю произвести возможно лучше измерения, чтобы на уроке не получилось расхождения между весами, вычисленными и определенными на весах). Задача по задачнику № 29.

Работа на дом: задачи по учебнику № 1, 2, 5 и по задачнику № 27, 32, 36 и 33 (для сильных учеников).

Занятие 15. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА ПО ЕГО ВЕСУ И УДЕЛЬНОМУ ВЕСУ

Мы знаем, что 1 г воды занимает объем в 1 куб. см. Если вода, наполняющая колбу, весит 500 г, значит объем колбы 500 куб. см. Таким способом мы можем определить объем небольшой склянки. Опыт производим в таком порядке: 1) взвешиваем пустую склянку, 2) взвешиваем склянку с водой и 3) прове-

ряем результат, переливая воду в мензурку. Обязательно этот опыт сделать предварительно самому, так как мензурки бывают неверные. Допустим, что при опыте мы нашли объем склянкн в 125 куб. см. Наливаем в эту склянку спирта и находим, что вес спирта 100 г. Так как по таблице вес спирта 0,8 ?, то, разделив вес всего спирта на Бес спирта 1 куб. см, мы найдем объем спирта—100:0,8 = 125 куб. см. Таким же способом можно найти объем тел и из других материалов.

Определяем объем твердого тела и проверяем его мензуркой.

Решаем задачу по учебнику № 1—4 и по задачнику № 30, 31, 42.

К занятию приготовить: склянки, весы, разновески, мензурку, спирт.

Замечание к занятиям 13, 14, 15. При желании дать детям больше материала по решению задач, можно воспользоваться задачами № 34, 35, 39, 40, 41, 45, 46, 48. Но все эти задачи являются достаточно сложными, и предлагать их для домашнего решения надо весьма осмотрительно. Если группа достаточно сильна, и часть этих задач решена в классе, то можно дать некоторые из этих задач для домашней работы.

Занятие 16. ПОНЯТИЕ О СИЛЕ. ИЗМЕРЕНИЕ СИЛ

В краткой беседе выясняем, как следует понимать „силу“. Приводим ряд примеров взаимодействия двух тел (эти примеры имеются в книге), дополняем эти примеры опытами с магнитами, выстрелом пробкой или горошиной из детского ружья, полетом стрелы из лука, вращением маленького самодельного ветряного колеса и т. д.

Указываем, как измеряют силы, как устроен динамометр и его применение. Весь этот материал изложен в § 25 учебника. Можно закончить небольшой лабораторной работой № 8.

Если времени окажется мало, то эту лабораторную работу можно провести в виде демонстрации с записью результатов всеми учащимися.

Работа на дом: § 35 и задачи № 43, 47.

Занятие 17. ПИСЬМЕННАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Устраивая контрольную письменную работу, сам преподаватель должен дать себе отчет, для какой цели он ставит эту контрольную работу. Очень часто бывают случаи, что преподаватель, не успевая опросить всего класса, прибегает к контрольной работе, чтобы иметь возможность выставить всему классу отметки. Конечно, такое назначение контрольной работы не выдерживает никакой критики. Контрольная письменная работа не может дать общей картины успеваемости ученика, почему и отметка контрольной работы не может быть решающей для оценки работы учащихся. Для учета требуется учет всех деталей работы, а это дает преподавателю лишь тщательное наблюдение за классом, возможно частые беседы с каждым из учеников. В контрольной работе желательно выяснить: 1) насколько ученик овладел основным материалом, 2) как он излагает письменно свои мысли и 3) насколько может самостоятельно решать задачи.

В связи с поставленными целями даем контрольную работу приблизительно такого характера:

1) описать, как на опыте определить удельный вес (объем тел);

2) как определить — горизонтально или наклонно расположен в данном месте железнодорожный рельс;

3) вычислить, сколько весит брусок алюминия, объемом в 450 куб. см, если удельный вес алюминия 2,6 г\куб. см.

Много вопросов давать не следует, чтобы учащиеся могли спокойно закончить работу в течение урока.

Требовать, чтобы письменная работа была написана чернилами и чисто. Желательно дать в работе рисунки. Рисунки делаются карандашом.

Основными вопросами разобранного отдела программы, которые ученики должны твердо усвоить, являются следующие: 1) меры длины, площади, объема, 2) перевод одних мер измерения в другие, 3) удельный вес.

Из лабораторных навыков, которые должны приобрести ученики, отмечаем следующие: 1) умение пользоваться масштабной линейкой, 2) умение измерять мензуркой, 3) навыки во взвешивании.

КАК ДАВАТЬ КЛАССИФИКАЦИЮ И ХАРАКТЕРИСТИКУ ДВИЖЕНИЙ В VI КЛАССЕ

С. ИВАНОВ (Москва)

Известно, что учащиеся часто путают понятия „физическая величина“ и „число“.

Понятие о физической величине — основное понятие, которым совершенно необходимо вооружить учащихся.

Одним из основных елементов этого понятия является самостоятельность каждой физической величины, проявляющаяся, в частности, в том, что измерение какого-либо значения физической величины может быть произведено только путем сравнения данного значения ее с другим условно выбранным значением той же величины.

Четкое представление о самостоятельности физических величин крайне важно для успешного преодоления всех трудностей, связанных с вопросами измерений и единиц.

Особенно важно это для проработки вопроса о системах единиц.

Начало систематического курса физики дает удобный случай постепенно и незаметно заложить у детей фундамент правильных представлений о физических величинах, — случай, который большинство преподавателей обычно упускает.

Предлагаемое ниже построение урока по классификации и характеристике движений рассчитано так, чтобы на основе конкретного материала подготовить учащихся к освоению понятия о физической величине как количественном признаке предмета или явления.

Кроме этого оно учитывает тот общеизвестный, но недостаточно методически освоенный факт, что дети VI класса приступают к систематическому курсу физики, уже обладая определенным запасом то верных, то неточных, то грубо ошибочных представлений, знаний и понятий.

Если в отдельных случаях это сильно осложняет задачу учителя, например при проработке вопроса о мощности, представление о которой у детей по-обывательски спутано с понятием о силе, то в данном случае это качественно изменяет ее.

Вместо того чтобы давать детям представления, которые у них отсутствовали, надо лишь помочь им разобраться в груде уже накопленных ими представлений, привести их в порядок, расширить и дополнить.

Ценность такого подхода сводится не только к непосредственному результату (упорядочение представлений), но и к развитию у детей методологических навыков (умение классифицировать явления, выделять характеризующие их признаки).

Ряд обычных жалоб на несоответствие программы возрасту учащихся, на недостаток времени, на плохую подготовленность учащихся и т. д., без сомнения, прекратился бы, если бы преподаватель обратил больше внимания на применяемые детьми методы работы (прежде всего — приемы мышления) в области его дисциплины и постарался бы усовершенствовать их, стимулируя этим быстрый рост развития учащихся и огромное „ускорение“ в учебной работе.

В связи с этим предлагаемый вниманию читателя урок рассчитан не на обычное сообщение детям готовых словесных формулировок, которые часто заучиваются, но не выправляют имеющегося запаса представлений, а на стимулирование и корректирование их мышления, на ориентацию его к нужной нам цели.

Обычно этот урок проходит по следующему, примерно, типу.

Учитель: Сообщая об устройстве машин или разбирая любой вопрос теоретической механики, нам приходится описывать различные движения настолько ясно, чтобы лица, даже не видевшие их, могли воспроизвести эти движения с любой степенью точности, нужной для данного случая.

Для этого нам нужно все бесконечное многообразие движений разделить на небольшое число разных типов и выделить основные признаки движений, поддающиеся количественному учету.

Собственно говоря, движения вы видели и не раз сами совершали; признаки их знаете и не раз употребляли для описания движения; вы только не задумывались над поставленным сегодня нами вопросом и не пытались привести свои знания в систему.

Поэтому я укажу вам для начала несколько видов движений, а затем буду их лишь показывать и ставить вопрос, а выделять виды и указывать признаки будете вы.

Обычно мы имеем дело с движением физических тел; каждое тело может быть (мысленно) разделено нами на бесчисленное количество отдельных точек. Совершенно очевидно, что разобраться в движении тела можно, только изучив движения его точек.

Поэтому в механике различают движение тела и движение отдельной точки.

Линию (прямую или кривую), по которой движется точка, принято называть траекторией движения, или просто траекторией.

По роду траектории принято различать движения прямолинейные и криволинейные.

При движении тела могут быть два случая или их комбинации. Сейчас я покажу вам оба эти случая, а вы укажете, в чем различие между ними. Вместо того чтобы двигать какой-либо предмет, я буду двигаться сам. При этом руки и ноги будут совершать сложные движения; вы на них не обращайте внимания, а следите только за движением туловища.

Начинаю первое движение (идет по криволинейной замкнутой произвольной причудливой траектории, передвигая туловище поступательно, т. е. все время с лицом, обращенным в одну и ту же сторону; возвращается на прежнее место). Кончил. А вот второе движение (поворачивается на полный оборот в 360°). Скажите в чем разница?

Ученики делают предложения, по большей части, неудачные.

Учитель (выслушав всех и разобрав все замечания). Ну, я вам помогу. Я еще раз повторю оба движения, а вы сравните движения кончика указательного пальца правой руки и середины темени (повторяет, насколько может точно, оба движения, широко расставив руки).

Отдельные ученики свова делают неудачные предположения.

Один из учеников: В первом случае и кончик пальца и середина темени двигались одинаково, а во втором кончик пальца двигался быстрее.

Второй ученик (перебивает). Середина темени во втором случае совсем не двигалась.

Учитель: А как в обоих случаях двигался край плеча?

Ученики: В первом случае также, как кончик пальца, а во втором — значительно медленнее и по окружности меньшего радиуса.

Учитель: Совершенно верно. В первом случае все точки тела двигались совершенно одинаково, как одна; их траектории были геометрически равны, но лишь смещены одна относительно другой; при наложении они бы совпали. Во втором — одна прямая линия в теле оставалась неподвижной; все остальные точки двигались по окружностям, центры которых лежали на этой прямой; продолжительность одного оборота для всех точек была одинаковой, почему точки, более далекие от этой прямой, двигались быстрее.

Первое движение называют поступательным, а второе—вращательным. Неподвижную прямую во вращающемся теле называют осью вращения.

Запишите1 теперь это в свои тетради. Озаглавим этот раздел так: „Основные виды и признаки движения“.

Теперь запишем, к каким выводам мы пришли (диктует. Записи как образец кратких и точных формулировок будут даны ниже, сразу по всей беседе. Указания о месте записей в дальнейшем опущены).

Теперь проверим, достаточно ли вы это поняли и усвоили. Сейчас я буду двигать этот стул, а вы определите, поступальное или вращательное движение я ему дам и, если вращательное, то около какой оси (дает стулу поступательное движение по прямой; ученики легко отгадывают; повторяет сначала по незамкнутой, а затем по замкнутой кривой; ученики отгадывают. Вращает стул около одной из ножек; ученики отгадывают и род движения и ось вращения; делает вид, что нечаянно опрокинул стул назад и спрашивает группу). Какое движение совершил стул, падая?

Ученики: Вращательное.

Учитель: А около какой оси? (ученики задумываются; несколько неудачных и, наконец, удачный ответ). Иванов, поверните теперь стул около вертикальной оси, проходящей через середину сидения стула (тому это удается не сразу; учитель помогает наводящими вопросами, пока дело не улаживается). Петрова, поднимите немного этот стул и поверните около горизонтальной оси, параллельной плоскости доски (снова помогает и дает еще ряд примеров, пока ребята не научатся распознавать оба рода движения и положение оси вращения. Обращается снова ко всей группе). А как я двигаюсь теперь? (обходит экспериментальный стол, поворачиваясь все время лицом к столу, как луна вокруг земли).

Ученики (в разнобой): Поступательно. Вращательно (начинается спор).

Учитель: И поступательно и вращательно (показывает еще ряд примеров одновременно поступательного и вращательного движения. Обязательно указывает на винтовое

1 В данном случае запись нужна, так как в стабильном учебнике все изложено совершенно иначе.

движение и движение планет). Теперь разберем еще два типа движения. Смотрите. Первый тип. Начинаю (делает несколько шагов в одном направлении — по прямой — и останавливается). Кончил (возвращается на место). Второй тип. Начинаю (делает шаг вперед, шаг назад, снова шаг вперед и снова шаг назад, несколько раз, все время по одной прямой). Кончил. Теперь еще раз первый тип, но вы следите не за туловищем, а за правой рукой. Начинаю (вращает вытянутой правой рукой в одну сторону, делая несколько — полтора-два десятка—оборотов). Кончил.

Второй тип. Начинаю (делает два-три оборота в одну сторону и столько же в обратную; повторяет несколько раз). Кончил.

Еще раз второй тип. Начинаю (повторяет предыдущие движения, но давая всякий раз в одну сторону не более 1/4 оборота). Кончил (из разных ответов учащихся, обычно верных по существу, но неудачных по формулировке, помогает классу сделать вывод, что надо различать движения постоянные по направлению и колебательные). Теперь перейдем к признакам движения. Вам должно быть ясно, что признаки движения одной точки и поступательного движения тела должны быть одинаковы, так как в последнем все точки движутся, как одна. Скажите, какие вы можете указать признаки движения.

Ученики (называют некоторые признаки).

Учитель (доводит их до точной формулировки всех признаков; чтобы показать, как это сделать, будем вести дальнейшее изложение так, как если бы ученики не дали ни одного признака). Скажите, каким признаком различаются те два движения, которые я сейчас совершу? Первое движение. Начинаю (проходит два шага). Кончил. Второе движение. Начинаю (проходит 6 — 8 шагов). Кончил.

Ученики: Расстоянием. Путем. Временем. Пройденным путем и временем (и т. д.).

Учитель: Верно. Итак, заметим признаки поступательного движения; перемещение, или пройденный путь, и время. Теперь охарактеризуйте этими признаками первое и второе, выполненные мною, движения.

Ученики (с известными затруднениями и с помощью учителя делают оценку пути и времени для обоих случаев движения).

Учитель: Теперь выделим еще признаки из сравнения двух движений (один раз поворачивается на 90°, другой — на 180°; обычные указания „начинаю“, „кончил“ и т. д. здесь и в дальнейшем опущены).

Ученики: Поворот. Величина поворота. Угол поворота. Время.

Учитель. Верно. Угол поворота, или угловое перемещение, и время, или продолжительность движения. А теперь оцените эти признаки для обоих моих движений.

Ученики: 90°. 180°. Секунду. Полсекунды. Две секунды.

Учитель (выправляет оценку времени ; ребята обычно недооценивают продолжительность секунды, особенно, если на это в классе не было обращено должного внимания; не лишнее иногда пустить метроном и „показать“ ребятам секунду и полсекунды. Подтверждает оценку углового перемещения). Теперь опишите еще одно мое движение (поворачивается вокруг оси на два полных оборота).

Ученики (помолчав): 720°. Два оборота (и т. д.)

Учитель: Верно. 720°, или два оборота. А как удобнее мерить: в градусах или в оборотах?

Ученики: В оборотах. В градусах. В оборотах. В оборотах (спор).

Учитель: Может быть, вы не будете спорить, если поставить вопрос иначе: когда как удобнее считать?

Ученики (дружно) : При малом угловом перемещении — в градусах, при большом — в оборотах.

Учитель: А почему вы сразу так не ответили?

Ученики: А вы нас не так спросили.

Учитель: Верно. Я вас неправильно, „не так“, спросил. А разве вы не должны были выправить мой неправильный вопрос и сразу правильно ответить? Надо приучаться ко всякому вопросу относиться критически и избегать категорических ответов; гораздо чаще надо бывает давать обстоятельный ответ, указывая при каких условиях что и как будет, чем просто и категорично, но неверно отвечать: „так или так“.

Я и дальше буду иногда спрашивать вас не совсем правильно, но вы должны и в этом случае правильно отвечать, со всеми необходимыми оговорками, предусматривая все известные вам случаи.1

А теперь вернемся к моему последнему движению. Я вам его сейчас повторю, на случай если вы забыли, а вы укажите, как двигался край правого плеча, где начинается рука (повторяет движение).

1 Подобного рода отступления, вскрыв ющие ошибки в приемах работы и мышления детей (т. е. методологические ошибки), совершенно необходимы, если учитель хочет научить детей правильно мыслить и работать.

Ученики: (оценивают перемещение указанной точки, кто в оборотах или градусах, кто в сантиметрах или метрах).

Учитель: Вращательное движение может совершать только тело, состоящее из многих точек, часть которых остается неподвижной а остальные двигаются вокруг первых. Поэтому и об угловом перемещении можно говорить только по отношению к телу, а не к отдельной точке.

Движение точки надо характеризовать так же, как поступательное движение, т. е. перемещением. Поэтому правы те, кто оценил это перемещение в сантиметрах или метрах.

Чтобы не путать перемещение точки или тела при поступательном движении (т. е. перемещение всех его точек) с угловым перемещением, принято перемещение тела при поступательном движении или перемещение точки называть линейным перемещением.

Теперь перейдем к другим признакам движения. Укажите, каким признаком различаются эти два движения (проходит по классу оба раза одинаковый путь, но один раз очень тихо, а второй - скорым шагом, почти бегом).

Ученики: Скоростью. Временем. Скоростью (и т. д.).

Отдельный возглас: Перемещением (соседи возражают).

Учитель: Конечно, перемещения (линейные перемещения) оба раза одинаковы. Различие во времени (уже известный нам признак) и в скорости (точнее—в линейной скорости). Это — новый признак. А в каком случае скорость была больше?

Ученики (дружно) : Во втором.

Учитель: Теперь оцените ту и другую скорость (оценка дается детям не сразу; учителю приходится помогать, давать вспомогательные задачки на ходьбу и т. п.; в конце концов, ребята дают требуемую оценку, разделив путь на время). Карпова, запишите на доске ту и другую скорость.

Карпова (пишет): 1-я скорость — 2 километра в час; 2-я — 6 километров в час.

Учитель: Вы не знаете сокращенных обозначений или не цените своего времени?

Карпова (стирает „километра“ и пишет „км“; стирает „час“ и пишет „ч“).

Учитель: А разве вы не знаете международных обозначений?

Карпова (стирает пкм“ и пишет km; стирает „ч“ и пишет h).

Учитель: Все же не совсем хорошо. Какое действие вы делали, чтобы получить скорость?

Карпова: Делила.

Учитель: А если делятся именованные

числа, что делают с наименованиями?

Карпова (стирает и пишет): 1-я скорость — 2 —-, 2-я скорость - 6 — .

Учитель: Хорошо ! Теперь все в порядке.

Напишите все у себя в тетрадях: „Скорость— 2 — “ (ходит и проверяет; дает еще примеры, пока ребята не приучиваются более или менее правильно записывать. Долго задерживаться на этом не стоит; решая задачи, ребята „дойдут“). Ребята, теперь скажите, когда вы оценивали и сравнивали мои скорости, вы делили путь на время? Когда мимо вас проезжает автомобиль, вы тоже делите путь на время, чтобы решить, быстро или нет он проехал? (выясняет, что скорость не есть просто путь, деленный на время: что скорость — самостоятельный признак движения, который мы непосредственно воспринимаем, но что количественное сравнение скоростей мы производим, сравнивая пути за одинаковые промежутки времени).

Теперь еще выделим признаки, которыми различаются эти два движения (делает два поворота с равными угловыми перемещениями, но одно очень медленно, другое — быстро).

Ученики (не сразу и с трудом, но указывают, что движения различаются по продолжительности и угловой скорости).

Учитель (вызывая кого-либо к доске, выясняет, что единицей для угловой скорости будет оборот; сообщает учащимся, что международное обозначение угловой скорости для них будет пока непонятно).

Материал урока должен быть записан, примерно, следующим образом.

ОСНОВНЫЕ ВИДЫ И ПРИЗНАКИ ДВИЖЕНИЯ

Для того чтобы можно было точно описывать движения и, по описанию, точно их воспроизводить, выделяют определенные виды движений и устанавливают их признаки (точно измеряемые).

Различают: движение одной точки и движение тела. И то и другое может быть: или прямолинейным (если тело или точка двигается по прямой) или криволинейным.

Линию, по которой двигается точка, называют траекторией. Движения тела могут быть поступательными (все точки двигаются, как одна, по совершенно одинаковым, но лишь сдвинутым траекториям), или враща-

тельными (точки тела, лежащие на одной прямой — оси вращения - остаются неподвижными; все остальные обходят ось вращения по окружностям, центры которых лежат на оси вращения), или одновременно и поступательными и вращательными (завинчиваемый в стену винт; земля в суточном и годовом движении; колесо телеги).

Как точка, так и тело могут совершать движения либо постоянного направления, либо колебательные; тело может совершать то или другое движение и в случае поступательного и в случае вращательного движения.

Основными признаками движения являются:

1. Перемещение:

а) линейное (для движения точки или поступательного движения тела);

б) угловое (только для вращательного движения).

2. Продолжительность (время) движения.

3. Скорость движения:

а) линейная (для точки или поступательного движения тела);

б) угловая (для вращательного движения тела).

Кроме этих, есть и другие признаки движения, более сложные. На этом запись кончается. Выше уже было указано, что особенно важно добиться полного понятия самостоятельности и равноправия всех физических величин; в частности, самостоятельности понимания скорости и равноправности этой вел чины с другими (путь, время).

При принятом для данного урока подходе к вопросу эта равноправность становится очевидной, как равноправность различных признаков одного и того же явления. Определение скорости как одного из признаков движения легко позволит позже, или даже теперь, выяснить вопрос о взаимной зависимости между различными признаками движения (путь, скорость, время), зависимости, которая ни в каком случае не уничтожает их самостоятельности и равноправности.

Принятый здесь подход окажется особенно необходимым и плодотворным позже, при разборе вопроса о неравномерном движении и об ускорении.

Так же, как и для других случаев, можно демонстрировать детям неравномерное движение и побудить их выделить новый признак движения — быстроту изменения скорости, т. е. ускорение.

Когда дети сами приходят к необходимости понятия об ускорении, этот вопрос теряет для них значительную долю трудности, присущей ему при ином подходе.

Как читатель, вероятно, заметил, в уроке одновременно дается понятие о линейном и угловом перемещении, о линейной и угловой скорости. Эти понятия даже как бы несколько противопоставляются друг другу.

Сделано это потому, что только путем сопоставления и сравнения можно наиболее выпукло показать все существенные стороны каждого понятия.

В частности, если учесть, что дети приходят в школу с определенным запасом представлений, который школа должна использовать, надо будет отказаться от повторного изучения с детьми такого хорошо известного им вопроса, как равномерное движение, теми же методами, которые применяются к другим, более новым для детей и трудным вопросам.

Вопрос о равномерном поступательном движении не дает достаточной нагрузки.

Все эти соображения заставляют закрепить работу, проделанную на описанном уроке, решением ряда задач на равномерное движение, но таких, где вскрывалась бы связь между угловой скоростью вращающегося тела и линейной скоростью отдельных его точек.

Такие задачки дети могут решать без какой-либо специальной подготовки, и этим надо воспользоваться; я бы считал наиболее целесообразным закрепить работу, проделанную на уроке, по классификации движений решением ряда задач, где были бы сопоставлены выделенные нами признаки движений.

ПРОРАБОТКА ЗАКОНОВ НЬЮТОНА В VI КЛАССЕ

Г. ФАЛЕЕВ (Москва)

Данная глава является наиболее трудной и ответственной частью курса VI класса. В этой главе ученики знакомятся с такими основными понятиями, как инерция, масса, сила, ускорение, не усвоив которые, они не сумеют овладеть и понятиями о работе и энергии. Вот почему крайне важно к изучению данной главы подойти достаточно внимательно, и самому преподавателю иметь ясное (не формальное только) представление об изучаемых вопросах. В виду особой трудности, которую испытывают начинающие пре-

подаватели при проработке этой главы, мы позволим себе так же элементарно, как и в учебнике, но значительно подробнее разобрать эту главу. На всю проработку мы отводим 12 часов, почти целый месяц работы.

Занятие 1. ПЕРВЫЙ ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ

В предыдущей главе мы познакомились с различными видами движений. В настоящей главе нам предстоит ознакомиться с законами движения; выяснить, почему некоторые движения происходят с неизменной скоростью, а у других движений скорость изменяется. Мы узнаем, что изменяет скорость движения тела и как эта скорость изменяется в зависимости от различных условий.

Наблюдая предметы, находящиеся относительно нас в покое, мы знаем, что сами собой они не придут в движение. Положенная на стол книга остается спокойно лежать на столе и будет так лежать до тех пор, пока ее не перенесут в другое место. Мы были бы крайне удивлены, если бы книга сама собой начала двигаться по столу, и, конечно, стали бы искать, что заставляет ее двигаться.

Точно так же всякий предмет остается в состоянии покоя, если нет никаких причин, изменяющих его состояние покоя.

Далее, для того чтобы тело пришло в движение, необходимо на него действие другого тела. Ряд примеров, который легко может добавить преподаватель, приведен в учебнике.

Наконец, движение не прекращается немедленно, как только перестало действовать вызвавшее движение тело. Велосипедист продолжает катиться, хотя не работает педалями; камешек, брошенный из рогатки, продолжает двигаться, хотя резина его больше не толкает; продолжает двигаться брошенный рукою мяч, крокетный шар и т. д. Очень удобно поставить такой опыт: по двум наклонным жолобам пустить стальные шарики. Недалеко от одного жолоба положить толстый кусок сукна или войлока, который задержал бы шарик. Другой шарик, скатившись с жолоба, продолжает свободное движение по столу (наклон рассчитать так, чтобы шарик прокатился через весь стол и только в конце стола его удержать рукою). Задаем ученикам вопрос, почему остановился первый шарик и почему не остановился второй шарик, хотя они катились одинаково. Ответ очевиден. Шарик задержала суконка; если бы суконка его не задержала, то шарик двигался бы до конца стола.

Отсюда делается вывод; для остановки движущегося тела необходимо действие на него другого тела. По гладкому горизонтальному столу шарик катится прямо; если покатить шарик вкось по наклонной доске парты, то можно получить криволинейное движение шарика. Выясняем, что это криволинейное движение получается вследствие того, что притяжение к земле, заставляя скатываться шарик по наклону парты, изменяет его прямолинейное движение. Если ударить катящийся по прямой линии шарик в направлении, составляющем некоторый угол с направлением движения, то шарик изменяет направление движения. Отсюда следует, что для изменения направления движения должна существовать какая-то внешняя причина.

Все сказанное мы можем обобщить следующим выводом. Если нет внешних причин, изменяющих состояние покоя тела или его равномерное прямолинейное движение, то тело сохраняет это состояние. Тот же вывод английским физиком Ньютоном сформулирован так : всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешние силы не выведут его из этого состояния. Этот вывод называется первым законом движения.

Закончив, таким образом, ознакомление с первым законом Ньютона, необходимо очень тщательно проверить, насколько усвоили учащиеся содержание этого закона. Эту поверку надо провести, поставив ряд вопросов такого приблизительно содержания:

1. В чем состоит первый закон движения?

2. Приведите примеры, поясняющие этот закон (на примерах надо отметить, что под действием внешних причин может изменяться и скорость движения и его направление. Скорость может изменяться и увеличиваясь и уменьшаясь).

3. Всякое движущееся тело, в конце концов, останавливается. Не противоречит ли это первому закону Ньютона?

В самом деле, по первому закону Ньютона движущееся тело должно сохранять свое движение, а на деле выходит, что без всякого нашего вмешательства движущееся тело всегда останавливается. Очевидно, имеются какие-то внешние причины, останавливающие тело. Можно показать учащимся в грубой форме,

какие причины останавливают тело. Пускаем катиться шар по столу, на котором в разных местах расположены куски тряпки или по сукну с длинным ворсом. Шар скоро останавливается. Что останавливает шар? Встречающиеся неровности, препятствия. Как избежать остановки шара? Надо устранить эти неровности, эти препятствия. По гладкому стеклу шар катится лучше. Но, конечно, ученики скажут, что и в этом случае, в конце концов, шар остановится. Это происходит оттого, что ни стекло, ни шар не являются совершенно гладкими. Кроме того движению мешает воздух. Этих причин мы устранить не можем, вследстие чего движение прекращается. Значит, и остановка движущегося тела не только не противоречит закону Ньютона, но, наоборот, подтверждает его.

Работа на дом: § 10. Написать несколько примеров, поясняющих первый закон Ньютона.

Литература для преподавателя1

1) Фалеев и Перышкин, Курс физики, часть. 1-я, § 26, 27, 28.

2) Берлинер, Курс физики. Первый закон Ньютона. Инерция.

3) Гримзель, Курс физики, т. I, § 28, 29, 30.

4) Поль, Введение в механику и акустику.

5) Хвольсон, Курс физики, т. 1, 1933 г. Глава II, § 1 и 2.

К занятию приготовить: детское ружье с пружиной или рогатку, шарики стальные, два наклонных жолоба, сукно с длинным ворсом, стекло или очень гладкую доску, чертежную доску, которой можно придавать различный наклон.

Занятие 2. ИНЕРЦИЯ. МАССА

Данное занятие мы отводим углублению знаний, полученных на предыдущем занятии, и ознакомлению учащихся с понятием инерции.

Повторив с учащимися содержание первого закона движения, ставим ряд опытов, описанных в учебнике в § 11, на которых получаем подтверждение, что всякое тело стремится сохранить свое состояние покоя или движения. К этим опытам можно добавить опыты, на которых будет видно, что тело сохраняет прямолинейность движения. Этот опыт описан в учебнике на странице 35 (рис. 29).

Свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного движения по прямой линии называется инерцией.

Еще раз отмечаем содержание первого закона движения в такой форме: до тех пор пока нет внешних причин для изменения состояния покоя или равномерного прямолинейного движения, тело сохраняет свое состояние движения или покоя.

После этого выясняем значение инерции в технике: в учебнике разобрана роль инерции при остановке движения автомобилей, поездов, в книге Внукова „Физика и война“ вып. 1-й, стр. 47 имеется статья — „Инерция на службе артиллерии“.

Занятие можно закончить разбором вопросов, приведенных в учебнике в § 11 и задач № 221, 222, 223, 225.

Работа надом:§11 и задачи из числа приведенных выше.

К уроку приготовить приборы для намеченных опытов.

Занятие 3. МАССА

Из ряда наблюдений мы знаем, что одни тела легко привести в движение, другие гораздо труднее. Каждый из учащихся легко подбросит высоко вверх волейбольный мяч, но вряд ли сможет даже поднять камень такого же объема. Будем тянуть по столу при помощи очень легкой пружины тележку, построенную из деталей „конструктора“. Пружина почти не растягивается. Но если тележку нагрузить гирей в 1 лгг, то растяжение пружины будет заметно.

Чем больше груза положим на тележку, тем труднее тянуть ее горизонтально по столу.

При помощи деревянного молотка, подвешенного на стойке, ударим легкий целлулоидный шарик (диаметром в 3 см). Шарик после удара летит далеко. Если при таком же подъеме молотка ударить стальной шарик такого же размера, — шарик еле двигается.

Точно так же и остановить движущиеся тела не одинаково легко. Пустим по наклонному жолобу деревянный шарик; у конца жолоба ставим деревянный брусок, который еле сдвигается при ударе о него деревянного шара. Если спустить по той же наклонной плоскости стальной шар, то деревянный брусок при ударе отодвинется значительно дальше. Подвесим на нитках небольшой кусок фанеры и попытаемся в нее вбить гвоздь. Это нам не удается. Но стоит только за фанерой подвесить тяжелую деревянную или металлическую плитку, и гвоздь вбивается. В первом случае фанера от слабых ударов получала быстрое движение, и гвоздь не

1 Материал расположен по возрастанию трудности.

успевал войти в нее. В последнем случае инерция фанеры с подвешенной плитой больше, фанера не так быстро приходит в движение, и гвоздь вбивается.

Из этих опытов и наблюдений мы делаем вывод, что у различных тел инерция неодинакова. Инерция может быть больше и меньше, ее можно измерять. Как же сравнивать различные инерции? Мы видим, что инерция пустого вагона меньше, чем инерция груженого вагона. Инерция большой гири, на которую пошло много материала, значительно больше, нежели инерция малой гири, состоящей из небольшого количества материала.

Количество вещества, из которого состоит тело, называется массой1 тела.

Из опытов мы видим, что инерция тела зависит от его массы. Таким образом, масса тела может служить мерой инерции тела. За единицу массы принята масса 1 г.

Что же такое масса в 1 г?

При изготовлении эталонов метрических мер сделали и эталон массы — платиновый цилиндр, содержащий 1000 г. Значит, единица массы в 1 г равна тысячной доле эталона международного килограмма.

Нельзя смешивать массу с весом. Масса — это количество вещества в теле, или инертность2 тела. Вес — сила, с которой тело притягивается к земле.

Человек весом в 50 кг притягивается к земле с сил й в 50 кг. Мы легко такого человека везем бегом на салазках по снегу, преодолевая в начале движения инерцию, а затем трение. Конечно, мы не смогли бы с такой скоростью поднимать этого человека вверх, преодолевая вес в 50 кг.

Работа на дом: § 12 и задачи № 226, 227, 228.

Для преподавателя необходимо ознакомиться с § 4, стр. 90 — 92 „Курса физики“ т. I, Хвольсона.

К занятию приготовить: тележку, грузы, пружину, молоток на подставке, шары диаметром около 3 см: из целлулоида, деревянный, металлический сплошной; наклонный жолоб, бруски разной массы для остановки шаров, подставку для подвешивания листов фанеры, листы фанеры, металлическую плиту, молоток, гвозди обойные.

Занятие 4. ПОНЯТИЕ О СИЛЕ, УСКОРЕНИЕ. НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ

На предыдущих занятиях мы установили, что причиной изменения движения тела является взаимодействие одного тела с другим. Рабочий передвигает вагонетку, паровоз тянет поезд, удары играющих перебрасывают с места на место волейбольный мяч и т. д. Мускульные напряжения, которые мы испытываем при различной работе, мы называем в общежитии „силой“. В механике называют силой не только мускульные напряжения, но и всякие другие действия одного тела на другое, которые могут вызывать изменение движения этих тел. Мы называем действием силы всякую тягу или давление, которое одно тело производит на другое.

Наблюдая, как тела вследствие притяжения падают на землю, мы говорим о силе тяготения. Остановку движущегося тела вследствие неровностей пути мы приписываем силе трения. Мы говорим, что снаряд выбрасывается из орудия силой давления пороховых газов, хотя выбрасывает его не какая-то посторонняя сила, а большое количество газа, образующееся при взрыве пороха. Необходимо очень четко отметить, что в механике всякую причину, вызывающую или изменяющую движение, называют силой. Очень часто употребляют выражение: „Для подъема данного груза я затратил такую-то силу“. Слово „затратил“ в этой фразе не имеет смысла. В самом деле: я могу тратить что-то такое, что по мере траты становится все меньше и меньше. Я поднимаю, положим, 20 кг. Если для этого подъема я „затрачиваю“ 20л:г, то, понятно, логично рассуждая, моя способность к подъему грузов уменьшилась на 20 кг. После пяти подъемов эта способность уменьшится на 100 кг, хотя, понятно, я свободно подниму еще много раз 20 кг. С другой стороны, сам опыт показывает, что я не сумею поднять даже один раз 100 кг. В чем же дело? А дело в том, что к данной нелепости привело слово „затрачиваю“. Подъем груза в 20 кг вызывается сокращением мускулов. Груз в 20 кг можно поднять не только рукою, но и иными способами, например при помощи неподвижного блока, действуя на свободный конец веревки не рукою (не сокращением мускулов), а подвешенным грузом, немного большим, чем 20 кг. Никакой силы подвешенный груз не „затрачивал“, а гиря при известных условиях будет поднята.

Применяя выражение „затратить силу“, безусловно смешивают силу с работой и

1 Отмечаем, что в общежитии слова „масса“ имеет совершенно иное значение: масса — много. Например, масса воздуха, в зале собралась масса посетителе“.

2 См. Хвольсон, Курс физики, т. I, стр. 91 и 92.

энергией, и в дальнейшем получается большая путаница.

Из ряда наблюдений можно видеть, что под действием силы тела двигаются неравномерно. Катящийся шарик (опыт) останавливается силой трения. Движение шарика, сначала быстрое, становится все медленнее и медленнее, пока, наконец, шарик не остановится. Тот же шарик двигается по наклонному жолобу все быстрее и быстрее под влиянием силы тяжести — притяжения к земле1. При отходе поезда со станции скорость поезда постепенно увеличивается. Между остановками, когда поезд идет полным ходом, его скорость тоже не всегда остается одной и той же. Если встретится подъем, скорость уменьшается, при спуске скорость увеличивается. В одних случаях машинисту приходится тормозить поезд, в других увеличивать силу тяги паровоза. Все эти причины изменяют скорость движения поезда.

Сидя рядом с шофером на автомобиле, можно по прибору, отмечающему скорость автомобиля, заметить, что скорость автомобиля при движении все время меняется.

Движение, скорость которого все время меняется, называется неравномерным движением.

Движение поезда, автомобиля являются примером неравномерного движения.

Крокетный шар после удара должен был бы катиться по инерции равномерно. Встречающиеся на пути неровности замедляют движение шара, и его скорость уменьшается.

Ребенок катит обруч. После удара обруч катится по инерции. Если катящийся обруч снова ударить в направлении движения, то его скорость увеличится. С каждым новым ударом скорость обруча будет становиться все большей и большей.

Сани скатываются с горы ускоренно, так как они все время притягиваются к земле. Снаряд в дуле орудия движется ускоренно, так как, пока он находится в орудии, на него действует давление газов. Как только снаряд вылетит из орудия, ему приходится преодолевать сопротивление воздуха, который мешает ему двигаться, и скорость снаряда постепенно уменьшается.

Большинство наблюдаемых нами движений— движения неравномерные.

Работа на дом:§ 13 и 15 учебника, пока опустим § 14, изучению которого посвящено следующее занятие.

Для преподавателя: Хвольсон, т. 1, § 1, стр. 87.

Занятие 5. УСКОРЕНИЕ

Понятие об ускорении является одним из трудных не только для данного возраста. Мы намечаем ниже схему для проработки этого вопроса.

Наблюдая неравномерное движение, можно отметить, что скорость различных движений изменяется неодинаково. Например, скорость отправляющегося со станции поезда постепенно увеличивается; наоборот, скорость поезда, приближающегося к станции, постепенно уменьшается. В одних случаях изменения скорости происходят быстро, в других — медленно. Пуля вылетает из винтовки со скоростью 160 м\сек. Такую скорость пуля приобрела за очень короткое время, пока она двигалась в стволе винтовки. Это время исчисляется сотыми долями секунды. Поезд, отправляясь со станции, приобретает скорость в 36 км\час, или 10 м\сек за длительный промежуток времени в несколько секунд. Скорость трогающегося с места автомобиля нарастает быстрее, чем, например, поезда. Допустим, что за 10 секунд от начала движения автомобиль, равномерно развивая скорость, достиг скорости S м j сек:, а поезд за 30 секунд—15 м\сек. Чтобы сравнить, как нарастает скорость этих двух движений, определим нарастание скорости за одну секунду. За каждую секунду скорость автомобиля увеличивается на 8:10 = 0,8 м\сек, а скорость поезда увеличивается на 15:30 = = 0,5 м\сек.

Изменение скорости за одну секунду называется ускорением.

В данных примерах ускорение автомобиля Ъ$м\сек за секунду, а ускорение поезда— 0,5 м\сек за секунду.

Необходимо остановить внимание учащихся на том, что ускорение - не просто изменение скорости, но изменение скорости за секунду — быстрота изменения скорости, если можно так выразиться. Точно так же надо обратить внимание на наименование единиц ускорения „м)гек за секунду“ и показать, что так как скорость измеряется метро-секундами, то и изменение скорости — т. е. прирост скорости или ее уменьшение, измеряется тоже в метро-секундах. Ускорение же есть не всякое изменение скорости, а изменение скорости за секунду,

1 Для опыта нужен длинный жолоб, около 2 м, на боковой грани которого отмечены деления на дециметры. Время отсчитываем или по метроному или, за его отсутствием, на слух, отбивая такт линейкой по столу.

почему и приходится ускорение измерять изменением скорости за секунду, применяя как единицу для измерения 1 м\сек за секунду. В конце концов, когда учащиеся хорошо ознакомятся и поймут это наименование, не составит большого труда заменить слова „м\сек за секунду“ на м/сек2, но эта замена не является необходимой. Важно, чтобы ученики отчетливо усвоили понятие ускорения и почему оно измеряется в метросекундах.

Следует разобрать решение нескольких задач такого типа.

Сани, начав скатываться с горы, через 8 секунд приобрели скорость 12 м\сек. Найти ускорение движения саней.

Отв. 0,25 м\сек2. Как велико ускорение пули в стволе винтовки, если за 0,003 сек пуля приобретает скорость 600 м\сек!

Решение: -=200000м сек*.

Скорость может увеличиваться и уменьшаться.

Если скорость увеличивается, тело движется ускоренно. Если скорость уменьшается, тело движется замедленно; в этом случае ускорение является уменьшением скорости за одну секунду.

При торможении поезд за 20 сек, равномерно уменьшая скорость, изменил скорость от 15 м\сек до 5 м]сек. Найти замедление поезда. За 20 сек скорость изменилась на \Ъ м\сек — 5 м\сек=\0 м\сек. За одну секунду изменение скорости равно 10 м\сек :20 сек = 0,5 м\сек2. В данном случае замедление поезда равно 2 м\сек за секунду.

Если скорость изменяется в одинаковые промежутки времени на одну и ту же величину, то мы имеем равномерно-переменное движение, для которого, зная ускорение, можно найти, как изменится скорость за определенное время. Если ускорение вагонетки составляет 0,5 м\сек2, то через 10 сек после начала движения вагонетка приобретает скорость V = 0,5 м\сек X 10 сек = 5 м\сек.

Чтобы найти скорость через определенное время после начала движения, надо ускорение умножить на время, протекшее от начала движения.

Скорость = ускорениюХна время, что можно записать в виде формулы:

v — at,

где г; — скорость, приобретенная телом, а — ускорение и t — время движения в секундах. Зная ускорение тела, можно рассчитать, какова будет скорость этого тела через несколько секунд.

Сани скатываются с горы ускоренно, имея скорость в начале горы 2 м\сек. Какова будет скорость саней через 10 сек, если ускорение равно 0,25 м/сек2?

За 10 сек скорость саней увеличится на 0,25 X 10 = 2,5 м\сек. Так как в начале горы скорость была 2 м\сек, то через \0 сек скорость будет равна.

2м\сек +2,Ь м\сек — А,Ъ м\сек.

Приведенные в данной схеме формулы могут быть проработаны только в сильных классах. В классах средних и слабых, конечно, этих формул давать не следует.

Работа на дом: §14 и задачи № 234, 235, 236.

Литература для преподавателя: Фалеев и Перышкин, Курс физики часть 1-я, §11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

Хвольсон, Курс физики, т. I, § 1, 2, 4, 5, Отдел второй.

Занятия 6-7. ПАДЕНИЕ ТЕЛ

Падение тел является примером неравномерного движения под действием силы тяжести.

Можно показать на опыте, что падение — движение неравномерное. На длинной веревке подвешиваем на равных расстояниях металлические гайки или шарики. Конец веревки перекидывается через блок, вбитый в потолок класса, а конец веревки, на котором находится крайняя гайка, лежит на полу. Если дать возможность веревке падать, то по звуку падения отдельных гирь мы можем убедиться, что падение происходит неравномерно. Следующий факт, который можно установить из наблюдений, это то, что различные тела падают в воздухе не одинаково быстро. Лист падает с дерева медленнее, чем сорвавшееся яблоко. Скомканная бумажка падает быстрее, чем та же бумажка, развернутая. Металлический кружок и мягкая бумажка падают неодинаково. Но если положить бумажный кружок на медный кружок и дать им упасть, то увидим, что оба падают одинаково. Лист картона, брошенный плашмя, падает медленнее, чем тот же лист, падающий ребром.

Два шарика падают с одной и той же высоты в воздухе одинаково быстро; но если один из шариков падает в воздухе, а другой — в длинной широкой трубке, наполненной водою, то можно заметить, что вто-

рой шарик падает значительно медленнее. Главной причиной, замедляющей падение шарика в воде, является сопротивление воды. Воздух представляет для движения тел сопротивление, и это сопротивление зависит, между прочим, и от вида движения тела. Следует сделать опыт, описанный Дубровским. На деревянной ручке прикреплена круглая деревянная палочка, легко вращающаяся около оси. На концы палочки одевают на картонных трубках два одинаковых картонных диска. Если диски расположены одинаково по направлению движения всего прибора и встречают одинаковое сопротивление воздуха, то палочки не поворачиваются. Наоборот, если плоскость одного из дисков расположить перпендикулярно к движению, а другой диск будет пересекать воздух ребром, то палочка повернется; один из дисков, встречая большее сопротивление воздуха, отстает от другого диска.

Из этого опыта делаем вывод, что сопротивление воздуха влияет на движение падающего тела. При помощи длинной трубки, из которой выкачивается воздух, изучаем падение тел в безвоздушном пространстве. Для опыта достаточно иметь стеклянную трубку длиною около 1—1,5 л, диаметром в 3—4 см. Трубка с одного конца закрывается сплошной резиновой пробкой, с другого конца вставлена резиновая пробка с пропущенной через нее стеклянной трубкой для откачивания воздуха. На стеклянную трубку надет кусок резиновой трубки, закрывающийся зажимом Мора. Выкачивание воздуха можно производить при помощи водоструйного насоса (насос стоит около 5 руб. Необходимо для этого насоса иметь в кабинете водопровод с достаточным напором воды).

В трубке находятся несколько маленьких кусочков бумаги, пробка и стальной шарик. Когда в трубке есть воздух, все эти тела падают неодинаково. После того как в трубке получится достаточное разрежение, все эти тела падают одинаково.

Следует рассказать об использовании тормозящего действия воздуха в устройстве парашюта и показать опыт с полетом парашюта, воспользовавшись пролетом высокой лестницы. В крайнем случае можно спустить парашют и с высокой лестницы, находящейся в классе.

Желательно поставить опыты Галилея в пролете высокой лестницы. При производстве этих опытов крайне важно соблюдение строжайшей дисциплины, так как падающие с большой высоты шарики представляют серьезную опасность. Лучше всего, если на нижней площадке во время опытов будут находиться не ученики, а взрослый помощник, собирающий шарики. Опыты ставятся следующие.

1) Пущенные одновременно с одной и той же высоты, шарики разного веса достигают нижней площадки одновременно.

2) С увеличением высоты падения увеличивается время падения.

3) Роняем шарик с высоты 5 м. Он пролетает расстояние Ъм в 1 сек (время определяем по метроному).

4) Роняем шарик с высоты Юл/, времени требуется меньше 2 сек.

5) Роняем шарик с высоты 20 м. Шарик падает 2 сек.

Этими опытами можно ограничиться и, перейдя в класс, заняться разбором исследования законов падения, найденных Галилеем.

Прежде всего делаем выводы из наших опытов.

Мы бросали тяжелые шарики небольшого сравнительно размера и с небольшой высоты. При этих условиях сопротивление воздуха для шариков различного веса было почти одинаково, вследствие чего и падали они одинаково. Точно такие же результаты получил Галилей, который сбрасывал гири различного веса с высокой башни. Галилей нашел, что даже при большом различии в весе гири достигают земли одновременно. Второй вывод таков: при малом сопротивлении движению тела падают ускоренно. Если можно в некоторых случаях не принимать во внимание сопротивления, то говорят, что тело падает свободно.

Галилей нашел, что свободно падающее тело движется равноускоренно, т. е. скорость его за каждую секунду увеличивается на одну и ту же величину. Если в первую секунду тело прошло, как мы нашли на опыте, около 5 л/, то за вторую секунду оно пройдет больше, чем 5 м. Мы видели на опыте, что за две секунды тело прошло почти 20 л/, значит за вторую секунду оно прошло 15 л/, на 10 м больше, чем за первую. Если бы мы могли иметь большую высоту падения, мы нашли бы, что в третью секунду тело пройдет еще больше, чем во вторую, а именно 25 м, больше на 10 л/, чем за вторую, и т. д.

За каждую секунду скорость увеличивается почти на 10 м\сек. Иначе говоря, ускорение падающего тела равно почти 10 м\сек*. Галилей нашел, что ускорение составляет не 10 м\сек2, а 9,8 м\а к2. Для простоты рас-

четов мы можем пока принять ускорение равным 10 м\с“К2.

Зная, сколько проходит тело в каждую секунду, можно узнать, сколько пройдет падающее тело за несколько секунд.

Составим таблицу

В первую секунду тело проходит 5 м Во вторую „ „ „ .s + 10 = 15 м В трлыо „ „ я 15 + 10 = 25 л* В четвертую „ „ „ 25 *- 10 = 35 м В пятую ,, „ , 35 + 10 = 45 лс

Подсчитываем, сколько проходит тело за несколько последовательных секунд.

За одну секунлу 5 м

За две секунды 5 + 15 = 20 м =5.4

За три секунды 20 + 25= 45 к = 5.9

За четыре “секунды 45 +35 — 80 м—Ь.\6

За пять секунд 80 + 45= 125 м = 5.25

Рассматривая таблицу, приходим к выводу, что для определения пройденного пути надо 5 м умножить на число секунд в квадрате:

5=5/2.

Ускорение падающего тела обозначается буквой g. Оно равно 9,8 м\сек2, и формула для вычисления пройденного расстояния напишется так:

Работа по данному вопросу кончается решением задач, приведенных в учебнике и в задачнике —№ 232, 237, 238.

Работа на дом: § 16 и задачи, оставшиеся нерешенными в классе.

К занятиям приготовить приборы:

Веревку с гайками, укрепленными на равных расстояниях дру| от друга; такую же веревку, но гайки подвешены на расстояниях, пропорциональных числам 1:3:5:7:9:11 (первая гайка находится во время опыта на полу); металлический кружок и бумажный кружок того же размера; небольшой кусок картона 20 X 20 см\ два шарика равного диаметра: свинцовый и стальной; два маленьких шарика; высокую трубку с водой; стеклянную трубку для опыта с падением тел в безвоздушном пространстве; насос воздушный; прибор Дубровского; зажим Мора; метроном.

Занятия 8, 9, 10 ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА

План проработки второго закона Ньютона мы даем как максимальный, рассчитанный на достаточно подготовленный класс. Схема плана такова. На занятии 8, вспомнив, что сила тяжести сообщает падающему телу ускорение 9,8 м\сек2, мы устанавливаем, что для сообщения различных ускорений одному и тому же телу, требуются силы неодинаковой величины. Для забрасывания камня с большой скоростью требуется большая сила, но какова бы ни была у нас сила, мы не сумеем забросить камень с такой скоростью, как вылетает снаряд из орудия. Для сообщения такой большой скорости за очень короткое время нужна очень большая сила. Можно поставить опыт с импровизированной машиной Атвуда. На верху длинной вертикальной доски прикреплены два блока. Эти блоки и обоймы для них можно выбрать из деталей „конструктора“. Через блоки перекинута тонкая нить, к которой привязаны две гири граммов по 100—200. Показываем ученикам, что гири не двигаются, так как они уравновешены. Если на одну из гирь прикрепить перегрузок, то гири начнут двигаться с большим или меньшим ускорением, в зависимости от величины перегрузка. Перегрузок является причиной, заставляющей двигаться наши гири. Вес перегрузка есть сила, приводящая в движение гири. Из опыта выводим, что ускорение зависит от величины силы. Значит, различные силы можно сравнивать по сообщаемым ими одному и тому же телу ускорениям. Конечно, на нашей атвудовой машине мы не можем получить количественные соотношения.

Ограничиваясь качественной стороной опыта, необходимо отметить, что точными опытами установлено, что ускорения, получаемые каким-либо телом, пропорциональны силам. Очень интересно поставить опыт с подъемом гири, описанный в учебнике. На пружинных весах поднимаем гирю весом около 2-3 лгг. Если поднимать весы равномерно, то указатель показывает вес гири. Стоит только поднимать гирю ускоренно (быстро рвануть вверх), и указатель показывает силу значительно большую, нежели вес гири. Чем большее сообщаем ускорение, тем сильнее растягивается пружина. Тот же эффект наблюдаем в опыте с шариком, который тянем за нитку (см. рис. 13 учебника).

Все эти опыты подтверждают, что чем большее ускорение мы желаем получить, тем большая требуется сила.

Как мы знаем из повседневного опыта, одна и та же сила телам различной массы сообщает различные ускорения. В самом деле, в занятии 3 мы производили опыт, на котором убедились, что одна и та же сила удара молотка шарикам разной массы сообщала различные ускорения. Тот же ре-

зультат мы получим, поставив опыт с пружиной, описанный в § 17.

Малая масса получает под действием данной силы большее ускорение, нежели большая масса.

Чем больше масса тела, тем большая требуется сила для сообщения ему определенного ускорения.

Выяснив действие силы на тело, не трудно сделать заключение, что изменение движения тела зависит от величины приложенной силы и продолжительности ее действия. В самом деле, от величины силы зависит ускорение движения, от продолжительности действия силы зависит изменение скорости. Выяснив это на ряде примеров, часть из которых приведена в учебнике в § 18, мы переходим к формулировке второго закона Ньютона. Необходимо, чтобы дети усвоили, что изменение движения не только состоит в изменении величины скорости тела, но часто изменяется и направление движения, например полет пули из горизонтально поставленного ружья. Этот опыт можно иллюстрировать на детском пистолете с пружиной, стреляющем небольшой палочкой. Чем дальше поставлена цель, тем дальше до цели летит стрелка, и тем больше отклоняется она от прямолинейной траектории.

Познакомившись со вторым законом Ньютона, мы переходим к установлению единицы для измерения сил. В технике за единицу силы принимают вес 1 кг. Эту силу называют килограммсилой.

По второму закону Ньютона ускорение, какое получает какое-либо тело, пропорционально силе. Если тело под действием силы в 5 кг получает ускорение 2 м\сек2, то под действием силы вдвое большей — 10 кг — и ускорение будет вдвое больше, т. е. 4 м\сек2.

Мы принимаем за единицу силы вес в 1 кг, поэтому и всякую другую силу удобно сравнивать с весом. Если измеряемая сила сообщает телу такое же ускорение, какое тело получает при свободном падении, то данная сила равна весу тела. Если ускорение, сообщаемое те у данной силой, меньше, чем ускорение при свободном падении, положим, в пять раз, то и сила, сообщающая это ускорение, меньше веса тела в пять раз. Во сколько раз ускорение а, получаемое телом под действием какой-либо силы F, меньше ускорен я g при свободном падении, во столько раз сила F меньше веса тела Р.

Этот вывод можно записать такой формулой :

a:g=F:P.

Пользуясь этой формулой, мы можем определить полученное телом ускорение под действием определенной силы или величину силы, которая может сообщить телу нужное ускорение.

Примеры.

1. Какое ускорение получит тело весом в 5 кг под действием силы в 1 кг!

Решение. Ускорение будет меньше ускорения при свободном падении 9,8 м\сек2 во столько раз, во сколько сила в 2 кг меньше веса тела 5 кг.

По формуле

9,8 5

находим:

а= ^1 = 3,92 м/сек2.

2. Автомобиль весом в 1960 кг приобретает ускорение 1 л/сек2. Как велика сила, сообщающая автомобилю данное ускорение?

Решение. Искомая сила во столько раз меньше веса автомобиля, во сколько раз ускорение 1 м/сек меньше ускорения при свободном падении 9,8 м\сек*\

/=“:1960= 1:9,8; F= = 200 кг.

3. Вагонетка весом в 49 кг катилась со скоростью 2 м/сек2. Через 5 секунд после того, как ее перестали толкать, вагонетка остановилась. Определить, как велика сила трения, вследствие которой остановилась вагонетка.

Сначала определим замедление (отрицательное ускорение), которое сообщает вагонетке трение.

а = 2:5 = 0,4 м\сек2. Решая задачу по вышеприведенным образцам, находим: ^_04 р_ 0,4-49_9 49 — 9,8 ■ Г~ “ 9,8 — Л Кг“

Проработав в таком виде данную часть курса, следует решить несколько задач, примеры которых мы здесь приводим.

Задачи.

1. Какова должна быть сила, чтобы телу весом в 4,9 кг сообщить ускорение 2 м\се&1

2. Какое ускорение сообщит сила в 10 кг повозке весом в 400 кг!

3. Сани весом в 80 кг скатываются с горы, развив через 10 секунд после начала движения скорость в 4,9 м\сек. Какова величина силы, скатывающей сани с горы?

4. Паровоз тянет поезд весом в 196 /w, сообщая ему ускорение 0,5 м/сек2? Определить силу тяги паровоза.

5. Пороховые газы выбрасывают снаряд из пушки со скоростью 600 м/се/с. Определить силу давления пороховых газов, если вес снаряда 6,5 кг и действие газов на снаряд продолжается 0,006 сек.

6. Автомобиль весом в 980 лгг, двигавшийся со скоростью 36 км\час, остановлен тормозами в 10 секунд. Определить силу тормозов при остановке автомобиля.

Работа на дом: § 17, 18, 19 и задачи из числа приведенных в данном занятии.

Занятие 11. УЧЕТ ПРОРАБОТАННОГО

Данное занятие мы посвящаем учету проработанной в занятиях 8—10 части курса и выяснению того, как может получиться при действии сил равномерное движение.

Наблюдая движение поезда, мы замечаем, что даже на горизонтальных путях скорость поезда возрастает при тяге паровоза только до определенных пределов. Почему же прекращается увеличение скорости поезда, хотя паровоз продолжает тянуть вагоны?

Движущийся поезд, как и всякое движущееся тело в воздухе, встречает при своем движении сопротивление воздуха. Чем больше скорость, тем больше становится сопротивление воздуха. Сопротивление воздуха и трение являются силами, направленными против движения и замедляющими движение. Пока сила тяги паровоза больше, чем сила сопротивления, поезд двигается ускоренно. Как только сила тяги сравняется с силой сопротивлений, ускорение прекращается, и поезд двигается более или менее равномерно. Чтобы уменьшить сопротивление воздуха, двигающимся с большой скоростью телам придают особую форму, при которой сопротивление воздуха становится меньшим.

В конце урока мы знакомим учащихся с изображением сил.

Работа на дом: § 20.

Занятие 12. ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА

Формулировка третьего закона Ньютона обычно затруднении не встречает, особенно в том виде, как она дается в учебнике. Но очень важно добиться ясного понимания детьми, что действие силы никогда не бывает односторонним. Если тело А действует на тело В, то обязательно и тело В действует на тело А с такой же силой.

Этот закон следует возможно ярче иллюстрировать опытами. Для опытов чрезвычайно полезны тележки, которые могут выдержать тяжесть одного-двух учеников. Такие тележки можно сделать в школьной мастерской, обратив внимание на то, чтобы они легко двигались на низеньких колесах (диаметр колес достаточно брать около 15—12 см).

Опыт 1. Один из учеников А становится на тележку, другой ученик В, находясь на противоположной стороне комнаты, тянет ученика А при помощи длинной веревки. Ученик А приходит в движение, так как на него действует сила, с которой тянет ученик В. Не замечает ли ученик В, что и его при этом тянет к ученику Л?

Чтобы это взаимодействие сделать явным для всего класса, производим второй опыт. Ученик В тоже становится на тележку и тянет ученика А. При этом обе тележки двигаются навстречу друг другу. (Необходимо предупредить учеников, чтобы тянули медленно, так как при подвижных тележках очень легко упасть с них.) Так как и ученик В двигается к ученику Л, очевидно — и на него действует сила. Итак, мы устанавливаем, что сила действует на оба взаимодействующие тела. Попытаемся теперь установить величины сил.

Повторяем опыт 2 с тем различием, что между учениками А и В помещен динамометр С. Динамометр С показывает силу, с которой ученик В тянет ученика А.

Чтобы найти силу, с которой ученика В тянет к ученику Л, мы задерживаем его (В) привязанной к стене веревкой, между кусками которой помещен другой динамометр D. Динамометр D показывает силу, с которой тянет В к А. Чтобы опыт произошел нагляднее, следует на подвижную тележку поставить ученика посолиднее или, еще лучше — двух учеников, так как при этом меньше будет сказываться трение тележки В, уменьшающее показание динамометра D. Пока веревка с динамометром D не натянулась, ученик В двигался к тележке А. Как только веревка натянулась, движение прекратилось. Почему? Потому что одна сила двигает тележку в одну сторону, другая - в другую. Если тележка не двигается, то очевидно — силы равны. Тяга динамометра D показывает силу, с которой ученика В тянет к А. Сравнивая показания динамометров С и £), мы видим, что они одинаковы. Следовательно, доказана и вторая часть закона Ньютона о равенстве сил.

Очень предостерегаем преподавателей от формулировки третьего закона только в сокращенном виде:действие равно противодействию. Правда, эта формулировка очень коротка, но она очень маловразумительна и в дальнейшем может приводить к большим затруднениям. В учебнике приведен ряд

опытов, иллюстрирующих этот закон. Отдачу винтовки можно показать при помощи пробирки, помещенной на легкую тележку. В пробирку наливают немного воды и закупоривают пробкой. Под пробиркой на вате зажигают спирт. Когда вода закипит, пары воды выбрасывают пробку, и при этом тележка откатывается в противоположную сторону. Для успеха опыта надо сделать тележку возможно легче, а пробку взять резиновую, потяжелее. Ученики обратят внимание, на то, что пробка вылетает далеко, а тележка еле откатывается. Это явление объясняется тем, что величины силы, действующих и на пробку и на тележку, равны, но пробка имеет меньшую массу и получает большую скорость, а тележка с большей массой приобретает меньшую скорость. Обращаем внимание учеников на значение основного правила при стрельбе из винтовки: плотно прижимать винтовку к плечу. При этом винтовка с телом человека составляет большую массу и получает меньшую скорость отдачи, нежели при неплотном прилегании к плечу.

Ряд примеров, иллюстрирующих третий закон Ньютона, имеется в учебнике.

Работа на дом: §21 и задачи № 240, 241.

Для преподавателя: Внуков, Физика и война, вып. 1-й, „Секрет меткой стрельбы из ружей“ и „Пушка на самолете“.

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА ГАЗОВ1

А. ЛЕБЕДЕВ (Калинин)

1-й час. К началу занятий преподаватель приготовляет на демонстрационном столе следующие пособия и приборы: 1) воду, 2) раствор (концентрический) двухромистого калия, 3) раствор медного купороса, 4) спирт (можно денатурат), 5) бром, 6) эфир, 7) аммиак, 8) кинокартину „Броуновское движение“ или микроскопы (с увеличением в 600—700 раз), 9) эмульсию из канифоли.

Урок начинается беседой преподавателя, которую необходимо иллюстрировать наибольшим количеством демонстраций.

Прежде всего следует вкратце остановиться на том, как развивалось учение о молекулярном строении вещества. Необходимо отметить, что древние философы-материалисты (Демокрит, Левкиип) высказали мысль, что „вся природа состоит из атомов и пустоты, остальное же есть мнение“. К такому выводу древние ученые пришли, когда они должны были объяснить сжимаемость тел. Тела могут сжиматься потому, что они не являются сплошными, а заключают в себе промежутки, которые могут уменьшаться; твердые же материальные частицы сжиматься не могут, а могут только перемещаться. Этим, например, объяснялась возможность движения рыбы в воде. Рыба, двигаясь в воде, раздвигает эти частички перед собой, между которыми соответствующим образом уменьшаются свободные промежутки. Далее следует продемонстрировать ряд опытов, подтверждающих молекулярное строение вещества (смешение мелкой и крупной дроби, мелкой дроби и песку, воды и спирта), не смущаясь тем, что учащиеся, быть может, и видели эти опыты. Чтобы проверить это, следует предложить учащимся перед опытом предсказать, что произойдет в результате опыта, в особенности при смешении воды со спиртом, а затем и объяснить так называемый „упаковочный эффект“ — уменьшение объема в результате смешения. Для получения максимального упаковочного эффекта следует брать 50°/0 воды и 50°/0 спирта, тогда упаковочный эффект достигает 3%. Затем ставятся демонстрации, подтверждающие движение молекул — это явление диффузии. Диффузия жидкости может быть показана с раствором (концентрированным) двухромистого калия или с раствором медного купороса. Эти опыты во избежание перемешивания растворов с водой требуют осторожности. Сначала наливается вода (до половины стаканчика), затем раствор берется пипеткой. Пипетка опускается на дно стаканчика, и раствор из нее очень осторожно выпускается на дно, вытесняя воду наверх. В этом и другом случае обращается внимание на небольшой пограничный слой между раствором и водой. Спрашивается, что в нем происходит и что должно произойти с ним с течением времени? Стаканчики с растворами следует ярче осветить с помощью переносной элек-

1 Методическая разработка для IX класса.

трической лампы, а сзади следует поставить экран.

Диффузию газов можно показать, как это описано в учебнике Фалеева и Перышкина, с парами эфира и с аммиаком, парами брома и всяким пахучим газом. Диффузию газов следует связать с применением отравляющих газов на войне (газовые атаки). Относительно диффузии твердых тел сказать об опытах Бриджмена (диффузия между молекулами золота и свинца при сдавливании).

В заключение демонстрируется кинокартина (15—20 минут) „Броуновское движение“; если картины в школе нет, то броуновское движение можно показать в микроскопе. В спирте растворяется канифоль, от разбавления раствора водой получается молочного цвета эмульсия, которая берется на предметное стеклышко микроскопа. Демонстрация картины „Броуновское движение“ дает возможность сделать следующие выводы: 1) движение взвешенных частичек есть отраженное движение молекул, 2) интенсивность движения молекул связана с температурой тела: температура тела характеризует интенсивность движения молекул; чем быстрее движение малекул, тем выше температура тела.

Вопросы для закрепления (или для повторения).

1) Какие экспериментальные данные легли в основу молекулярно-кинетической теории?

2) Что такое диффузия?

3) Какими причинами обуславливается броуновское движение?

4) Почему воздух не улетает от земли?

5) Чем объяснить изменение плотности воздуха с высотой?

Задание на дом: прочитать статью по учебнику „Броуново движение“.

2-й час. Давление газов.

Перед началом урока на столе должны быть приготовлены: 1) воздушный насос (Камовского) 2) резиновый мешочек, 3) стеклянная банка (лучше с плоско-параллельными стенками) с мыльной пеной или подкрашенной водой и пробирки, 4) колба с резиновой пробкой. Опыты с колбой и резиновым мешочком описаны в учебнике, и демонстрация их не представляет труда. Опыт с пробиркой с подкрашенной водой проводится следующим образом. Под колокол воздушного насоса ставится банка с водой, в нее с пускают перевернутую пробирку с подкрашенной водой, на ~ верхняя часть пробирки наполнена воздухом. По мере выкачивания воздуха из-под колпака воздух в пробирке начинает своим давлением вытеснять из нее воду. При достаточном разрежении вся вода вытесняется из пробирки. Методически целесообразно проследить, что будет происходить при медленном впускании воздуха под стеклянный колпак. На основании опытов сделать вывод: давление газов на стенки того сосуда, в который он помещен, объясняется движением молекул. Затем можно дать вывод величины давления газа на стенку.

Мне кажется, что вывод сделать лучше не для 1 cMzy как в учебнике, а для некоторого объема газа v. Вывод в стабильном учебнике дан несколько сжато, а потому он труден для учащихся; кроме того, может остаться особенно непонятным, почему в правой части уравнения р = ~ —- получаются , когда размерность эрги (энергия). Лучше дать вывод более пространным, но более понятным, привлекая учащихся к активному участию при выяснении отдельных ступеней вывода.

Взят сосуд, имеющий форму куба, ребро которого /. Частицы газа движутся в нем по всем направлениям и ударяются о стенки сосуда. Так как давление газа на стенки сосуда одинаково, то движение каждой молекулы одинаково вероятно для любого из трех взаимно перпендикулярных направлений, а для большого числа молекул можно считать, что по каждому из трех перпендикулярных друг к другу направлений лежит треть всех молекул в сосуде.

Всего молекул в сосуде — N.

Черт. 1.

Чер . 2.

Число молекул, летающих вправо и влево =

Масса каждой молекулы т.

Скорость движения молекулы и.

Количество движения молекулы до удара о стенку ти.

Количество движения молекулы после удара о стенку — ти (меняется направление скорости).

Изменение движения в момент удара о стенку: ти — ( — ти) = 2ти.

Изменение количества движения импульсу силы: // = 2ти.

Что называется импульсом силы? Произведение силы на время ее действия. Могут ли быть равны импульсы, если силы неравны? Могут, когда произведения сил на время действия будут равны ft=f^ где /— время удара молекулы о стенку, — время пробега молекулы между ее ударами о ту же стенку.

Если взять в значении импульса // время то удары молекулы будут прерывными, давление же газов нужно рассматривать как непрерывные удары. Для этого вместо времени t нужно взять время tv — то время, которое потребуется молекуле, чтобы она, ударившись о стенку сосуда в точке Л, смогла дойти до противоположной стенки, отразиться от нее и снова удариться в ту же стенку в точке А.

Рассчитаем, чему будет равно tv Будем считать движение молекулы равномерным, тогда tr = — (путь, пройденный молекулой, деленный на ее скорость). В соответствии с увеличением времени (/, > t) при одном и том же импульсе (или двух равных) сила должна уменьшиться (/-,</). Так как ft = можно написать = 2ти; fx = , или f2 — 2/ = — , где /j — сила удара одной молекулы, если будем удары ее считать непрерывными. Найдем F — силу удара всех молекул о стенку, г =/2 --у = . Теперь найдем силу удара, приходящегося на единицу площади, или давление: р— ~ï2~ = -тг- = q— -—, где v — объем газа (сосуда). Это уравнение давления газа на стенку можно переписать: р = у —g- или pv = -£N ~2~ î последнее уравнение называется основным уравнением кинетической теории газов и связывает давление и объем газа — величины, доступные измерению— с массой и скоростью газовой молекулы.

В заключение один из учеников вызывается для повторения вывода уравнения давления газа на стенку; при этом внимание учащихся фиксируется на том, что давление газа пропорционально кинетической энергии газа.

На дом дается разобрать вывод давления газа по стабильному учебнику.

3-й и 4-й часы. Перед началом урока на столе должен быть приготовлен прибор для диффузии газов. А — банка с серной кислотой. Б — банка для получения водорода. В— битое стекло. С—кусочки цинка. D — стеклянная банка. Е—сосуд из пористой глины. F—двугорлая банка (для фонтанчика) или (если нельзя его собрать почему-либо) прибор, изображенный в стабильном учебнике.

Урок начинается с повторения пройденного.

1) Чем вызывается давление газа на стенки заключающего газ сосуда?

2) От каких величин зависит давление газа на стенки заключающего газ сосуда?

3) Какой формулой определяется зависимость между давлением газа и кинетической энергией его молекул?

Для ответа на последний вопрос ученик вызывается к доске для вывода формулы Р — ~$ —^~ . С этой формулой сравнива-

Черт. 3.

ется формула, данная в учебнике, причем выясняется, что там объем взят за единицу; при определении размерности р этот объем должен быть учтен. Та и другая формулы говорят о том, что давление газа пропорционально его кинетической энергии. Это относится ко всякому газу; чем больше у него кинетическая энергия, тем больше у него давление.

Теперь рассмотрим вопрос, будет ли одинаковым давление двух разных газов при одних и тех же условиях, т. е. установим зависимость давления газа от его плотности:

Что такое т? — Масса молекулы газа. Что такое .V? — Число молекул в данном объеме газа.

Что такое Nrrrt — Масса газа Nm = M.

Что такое — ? Плотность газа — = а.

Сделав подстановки, получим:

Отсюда делается вывод, что давление газа пропорционально его плотности и квадрату скорости, и—средняя скорость молекул; такой скоростью обладает подавляющее большинство газовых молекул. Эта средняя скорость газовой молекулы может быть определена из последней формулы. Вызывается ученик, и на доске ему предлагается найти, чему равно и: и2 = ~ , и = у ~ . Далее следует рассмотреть на доске (вызывается ученик к доске) пример в стабильном учебнике на определение скорости молекулы водорода при 0° и давлении в 760 мм:

После этого решить задачу № 5 (стр. 9) по определению скорости молекулы кислорода ^м = 460^^ . Сравнить полученные результаты и вывести соотношение между скоростями молекулы и плотностями газов. Это можно сделать, как в учебнике, или конечный вывод записать так: — = “|/“ф.

На основании формулы указать, что если плотность одного газа больше, чем у другого, в 4 раза, то скорость его молекул при тех же условиях в 2 раза меньше. Проверить это на соотношении плотностей и скоростей молекул водорода и кислорода. Урок заканчивается демонстрацией опыта. Ученикам рассказывается установка опыта и предлагается объяснить происхождение фонтанчика. В заключение для закрепления формулы решить задачу № 6. На дом задается задача № 7 и прочесть § 5 на странице 10.

5-й час. Урок начинается с рассказа опыта Штерна по упрощенной схеме. Ввиду того, что опыт Штерна был задан на дом, то для рассказа вызывается ученик; в случае необходимости преподаватель помогает ученику или рассказывает об опыте сам.

Следующий вопрос — это понятие о грамм-молекуле, последнюю лучше именовать „молем“, так как этот термин получил название во многих современных учебниках по физике. Грамм-молекула запоминается труднее и, кроме того, у учащихся создается психологическое раздвоение: грамм-молекула (одна), но равна 2 г, 32 г и т. д.

Прежде чем дать понятие о моле, следует с учащимися вспомнить из химии, что называется молекулярным весом и сделать один-два расчета молекулярного веса для простейших химических соединений; например Н20, Н2 = 2,0=16, H2-fO = 2-f 16=18. Вывод числа Авогадро можно дать по учебнику. Затем следует указать на применение числа Авогадро; для этого можно использовать пример, приведенный в стабильном учебнике — определение массы молекулы, а также расстояния между молекулами, т. е. наибольший предел расстояния между ними.

Урок заканчивается сообщением экспериментальных фактов по определению числа Авогадро.

Литература для преподавателей

Млодзеевский, Краткий учебник молекулярной физики. Иоффе, Лекции по молекулярной физике. Гримзель, Учебник физики, т. II. Хвольсон, Физика, т. III. Блох, Кинетическая теория газов. Бирон, Учение о жидкостях и газах.

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА ЖИДКОСТЕЙ1

А. ЛЕБЕДЕВ (Калинин)

1-й час. На демонстрационном столе к началу занятий преподаватель приготовляет следующие учебные пособия и приборы: 1) стеклянную пластинку, 2) динамометр из проволоки, проградуированный до 100° (через 5°), 3) 2 стеклянных пластинки, 4) модели строения молекул (химические).

На первом часе прорабатываются вопросы: а) молекулярное сцепление и в) молекулярное давление. Урок начинается с выяснения качественного различия между жидкостями и газами в отношении изменения формы и объема.

Учащиеся, исходя из молекулярно-кинетической теории, должны дать хотя бы предварительное решение вопроса, почему жидкости в отличие от газов сохраняют свой объем. Если даже и не будет сделано вывода о силах сцепления жидкостей, то силы сцепления легко будет обнаружить на опытах, а потом уже сделать соответствующий вывод.

Демонстрируются следующие опыты: 1) стеклянная пластинка опускается на воду (см. рис. 28 на стр. 25 стабильного учебника), но ее лучше отрывать не при помощи пружинки или резинки и следить за их растяжением, наблюдая лишь качественную сторону явления, а лучше отрывать при помощи динамометра, специально сделанного из стальной (или никелированной) проволоки, проградуированного до 100° через каждые 5°. После этого опыта не нужно будет ставить более громоздкого (а в отдельных школах и невозможного) опыта с весами; кроме того, экономится время, которое должно быть строго рассчитано; 2) следует показать и второй опыт: слипание двух стеклянных пластинок, если между ними поместить тонкий слой воды.

В том и другом опыте следует обращать внимание на то, что когда пластинки будут оторваны, они будут мокрыми; значит, при отрывании приходилось преодолевать силы сцепления между молекулами жидкости, так как очень часто у учащихся возникает неправильное понимание этого явления, когда они считают, что, отрывая пластинку, мы преодолеваем силы сцепления между стеклами и водой.

Дальше следует выяснить, что на расстояниях действуют силы сцепления между молекулами, т. е. дать определение сферы молекулярного действия. Здесь можно воспользоваться моделью строения молекулы (которой обычно пользуются химики) — шариком, в который втыкаются проволоки, а на последние могут быть насажены другие шарики (черт. 1). Центральный шарик будет изображать молекулу, у которой определяется сфера молекулярного действия, все другие шарики, насаженные на спицы (проволоки) - молекулы, находящиеся в сфере молекулярного действия данной молекулы; спицы укажут направление действия сил сцепления. M —молекула;

А—сфера ее молекулярного действия (внутри пунктира).

В случае отсутствия деревянных шариков, их можно заменить картофелинами.

Черт. 1.

После того как будет дано понятие о сфере молекулярного действия, можно перейти к последнему вопросу урока — молекулярному давлению.

Молекулярное давление достаточно хорошо изложено в стабильном учебнике: к имеющемуся чертежу следует добавить (вернее, предпослать) модель сферы молекулярного действия. На молекулу воды, находящуюся на поверхности воды, действуют только силы притяжения молекул, находящихся в нижней половине сферы ее молекулярного действия; но модели молекулы верхней половины убираются, и равнодействующая сил сцепления (притяжения) находится только для молекулы нижней полусферы; она будет направлена перпендикулярно к поверхности и внутрь жидкости.

2-й час. Тема: „Поверхностное натяжение".

1 Методическая разработка для IX класса.

К уроку преподаватель приготовляет ряд демонстраций по поверхностному натяжению. На столе должны находиться следующие приборы и принадлежности : бутылка с мыльным раствором, ванночка, металлическая (тонкая) пластинка, игла, пробирка, ликоподий, кисточка, кусочек сахара, кусочек мыла, соломинки, каркасы из проволоки, ареометр с сеткой.

Урок начинается с увязки с прошлым уроком. Вопросы ученикам:

1) Что называется сферой молекулярного действия?

2) Что такое молекулярное давление и чем оно объясняется?

3) Как объяснить, что жидкости почти несжигаемы?

Поверхностное натяжение у жидкостей выясняется на опытах. Сначала демонстрируются опыты, доказывающие наличие упругой пленки у жидкости.

Опыт 1. На поверхность воды в сосуде (низкая широкая банка) положить тонкую металлическую (например жестяную) пластинку; пластинка не тонет, но под ней заметно прогибание поверхностного слоя воды; для большего эффекта пластинка может быть нагружена гирькой.

Опыт 2. После пластинки на поверхность воды можно осторожно положить иглу. Иглу следует слегка смазать маслом, положить сначала на папиросную бумажку, плавающую на воде; бумажку осторожно утопить, а игла останется на поверхности воды. Пластинка и игла будут плавать до тех пор, пока не прорвут упругую пленку поверхностного слоя. Эта упругая пленка поверхностного слоя может быть показана при помощи ликоподия (плауново семя), насыпанного на поверхность воды. При погружении пробирки пленка не прорывается, а образует большой мешочек (опыт 3).

Кроме этих опытов, упругая пленка может быть показана, как рекомендуется в стабильном учебнике, с помощью ареометра с сеткой (см. рис. 31, стр. 27). На основании этих опытов учащиеся должны сделать вывод, что поверхностный слой жидкости подобен упругой пленке. Затем выясняется, что упругость поверхностной пленки объясняется поверхностным давлением. К поверхностному натяжению преподаватель может пергйти путем следующего рассуждения. Вследствие молекулярного давления каждая молекула жидкости, лежащая на поверхности, стремится занять наиболее низкое положение, а вследствие притяжения их между собой весь поверхностный слой стремится сократиться. Эти силы направлены вдоль поверхностного слоя и называются силами поверхностного натяжения.

Затем с помощью мыльных пленок и каркасов из проволоки можно показать действие сил поверхностного натяжения (например, см. чертеж 32 стабильного учебника), кроме него, опыт с круглым каркасом с ниткой поперек него и, наконец, опыты на рисунках 33 и 34 стабильного учебника.

Далее демонстрируются опыты, доказывающие, что различные жидкости (или растворы) имеют различное поверхностное натяжение.

Опыт 1. В широкой стеклянной банке плавают на поверхности воды легкие соломинки; поверхности воды касаются кусочком мыла, ближайшие соломинки разбегаются от него в разные стороны (поверхностное натяжение у воды больше, чем у мыльного раствора).

Опыт 2. Аналогичный опыт с другой банкой, только вместо кусочка мыла берется кусочек сахара, результат противоположный: соломинки притягиваются к кусочку сахара (поверхностное натяжение у воды меньше, чем у сахарного раствора). Указать, что поверхностное натяжение является причиной шарообразной формы капель (опыт Плато, учебник, рис. 36 и 37). В заключение указать, в каких единицах измеряется величина поверхностного натяжения, но к тому, что дано в учебнике , можно добавить, что иногда поверхностное натяжение вычисляют в — или даже в — .

3-й час. Тема урока: „Смачивание и капиллярность“.

Вопросы для повторения:

1) Объясните происхождение сил поверхностного натяжения.

2) Как направлены силы поверхностного натяжения и как они влияют на поверхность жидкости?

3) В каких единицах измеряется величина поверхностного натяжения?

Вследствие ограниченного времени смачивание можно объяснить так, как в учебнике, только это объяснение следует сопровождать опытами. Поэтому до урока преподаватель приготовляет следующие приборы и пособия: стеклянную и цинковую пластинки, воду и ртуть, капиллярные трубки, стеклянные банки и узкие пробирки. Вода — жидкость, по отношению к стеклу, смачивающая. Ртуть, по отношению к стеклу — несмачивающая, а по отношению к цинку — смачивающая жидкость. Наливая воду и ртуть,

получаем вогнутый и выпуклый мениск; последнее ученикам предложить объяснить с точки зрения смачивания (без построения параллелограма) (черт. 2). Выпуклый и вогнутый мениск можно получить, наливая воду и ртуть в узкие пробирки. Давление поверхностного слоя будет зависеть от формы мениска,— это можно показать на чертеже.

Черт. 2. / — поверхность плоская; // — поверхность вогнутая; ///—поверхность выпуклая.

В случае вогнутой поверхности молекулярное давление меньше, чем плоской, а в случае выпуклой поверхностное молекулярное давление больше, чем плоской.

Формулу Лапласа, приведенную в учебнике, можно считать необязательной; лучше объяснить поднятие столба жидкости в капиллярных трубках, где нужно будет главным образом выяснить роль поверхностного натяжения. Формулу Жюрена можно вывести иначе:

В заключение необходимо остановиться на значении капиллярности в технике и сельском хозяйстве.

Задание на дом: прочесть по книге § 22, 24, 25. Решить задачи № 5 и 6 на странице 31.

4-й час. Лабораторная работа. Определение поверхностного натяжения жидкостей (25 минут) способом поднятия жидкостей в капиллярных трубках. Этот способ предпочтительнее способа капель (см. учебник, стр. 29). Перед началом урока преподаватель приготовляет баночки с капиллярными трубками, линейки, жидкости, воду и спирт.

Дается краткое описание работы: 1) опустить капиллярную трубку в баночку с водой; 2) наблюдать поднятие воды в капилляре (если вода сама не поднимается, то ее следует слегка втянуть ртом и ждать, до какого уровня она опустится); 3) измерить разность уровней в чашечке и в капиллярной трубке (это будет /г); размер диаметра капиллярной трубки должен быть сообщен преподавателем; 4) произвести расчет величины поверхностного натяжения воды по формуле Жюрена; 5) то же повторить со спиртом.

Для определения радиуса (диаметра) капиллярной трубки преподаватель может использовать различные методы: а) с помощью катетометра (в тех школах, где он есть), б) с помощью формулы Жюрена, экспериментально найдя й, а взяв из таблиц, — тогда все данные будут известны, и г находится легко; для проверки проделать опыт с другой жидкостью, найдя hx и взяв из книги аг

Оставшиеся 20 минут использовать для контрольной работы о жидкостях. Контрольную работу провести по вопросам, указанным ранее в конце урока, плюс вопросы, относящиеся к последним двум урокам.

1) Как объяснить явление смачивания и несмачивания жидкостями твердых тел?

2) Как зависит молекулярное давление от формы мениска?

3) Объяснить поднятие жидкостей в капиллярных трубках.

4) Написать и объяснить формулу Жюрена.

5) Привести примеры применения явлений капиллярности в технике и сельском хозяйстве.

Литература для учителя. Та же, что и по газам.

ПОСТОЯННЫЕ МАГНИТЫ, МАТЕРИАЛ ДЛЯ НИХ И СПОСОБЫ ИХ НАМАГНИЧИВАНИЯ

Научный сотрудник Е. ОСТРОВСКИЙ (Москва)

В лабораторной учебной практике весьма распространенным объектом для разного рода опытов является постоянный магнит.

Нередки случаи, когда магнитные свойства магнитов ослабляются либо под влиянием времени либо под влиянием каких-нибудь внешних условий (например температуры, посторонних магнитных полей) и т. д.

В этих случаях магнит нужно намагнитить вновь, причем так намагнитить, чтобы он:

1) обладал достаточной интенсивностью намагничивания;

2) намагничивание его было бы в достаточной степени однородно, и чтобы

3) он был как можно устойчивее (по своим магнитным свойствам) в процессе работы.

Настоящая статья дает основные понятия о стали, применяемой для постоянных магнитов, и о тех свойствах, которыми она должна обладать; описывает различные способы намагничивания, применяемые для наиболее часто встречающихся в лабораторной практике форм магнитов (прямых и подковообразных) и, наконец, указывает на случаи старения магнитов и меры борьбы с ним.

СТАЛЬ ДЛЯ ПОСТОЯННЫХ МАГНИТОВ

Материал, предназначенный служить в качестве постоянного магнита, должен в магнитном отношении удовлетворять следующим условиям :

1) обладать достаточно высокой остаточной1 индукцией:

2) иметь достаточно высокую коэрцитивную2 (задерживательную) силу, чтобы быть максимально устойчивым в сохранения своих магнитных свойств.

По нормам стали постоянных магнитов в закаленном состоянии должны давать при испытании в замкнутой магнитной цепи остаточную индукцию не менее 8 тыс. гауссов и коэрцитивную силу не менее 60 эрстедов3.

Этим требованиям удовлетворяет сталь, содержащая 0,72 °/0 углерода, 5—6,5°/0 вольфрама, при количестве вредных примесей серы и фосфора не более 0,05°/0 и как можно в меньшем проценте примеси кремния и марганца. Кроме того хорошая сталь должна отличаться возможно большей степенью однородности.

Указанные стали, характеризующиеся присутствием вольфрама, носят название вольфрамовых сталей. Присутствие вольфрама является основной причиной, повышающей коэрцитивную силу. Такой магнит из вольфрамовой стали способен аккумулировать в себе почти вдвое большую (вместо 7250 до 14 тыс. эргов) магнитную энергию, чем подобный магнит из углеродистой стали. Примерно подобными же свойствами обладают стали с прибавкой хрома (например 2-процентная хромовая сталь).

КОБАЛЬТОВЫЕ СТАЛИ

Присутствие кобальта чрезвычайно сильно меняет магнитные свойства стали. Как показали опыты, коэрцитивная сила в присутствии кобальта достигает огромных величин в 200 и выше эрстедов.

Гумлих долгое время занимался исследованием составов, содержащих железо, углерод и марганец; железо, углерод, марганец, кобальт и хром; железо, углерод, марганец и кобальт. Во всех этих случаях присутствует марганец, также обладающий свойством увеличивать коэрцитивную силу. Лучшим из сплавов, исследованных Гумлихом, оказался сплав, содержащий: углерода—1,11°/0, марганца — 3,5°/0, кобальта — 36%, хрома — 4,8° 0. Этот сплав, нагретый до 875° и будучи закален в холодном масле, показал: в поле И— 500 эрстедов индукцию в 9130 гауссов и коэрцитивную силу в 203 эрстеда; при намагничении в поле //=1000 эрстедов — остаточную индукцию в 9670 гауссов и коэрцитивную силу в 212 эрстедов. Сплав этот был назван коэрцитом и получается в Германии в промышленном масштабе. Насколько велика его устойчивость, можно судить по следующему опыту.

Два магнита, один — подковообразный, другой — прямой, подносят друг к другу, как показано на чертеже 1, одноименными по-

1 Остаточной индукцией называется та индукция, которой обладает данный образец стали после выключения намагничивающего поля.

2 Коэрцитивной силой называется напряженность того обратного магнитного поля, которое нужно приложить к намагничиваемому образцу, чтобы нацело размагнитить его.

3 Эрстед —единица магнитного сопротивления в системе CGSM, 1 эрстед = 0,8-18

Черт. 1.

люсами. Если бы прямой магнит был обычный вольфрамовый магнит, то произошло бы перемагничивание полюсов у прямого магнита, и он притянулся бы к подковообразному. Здесь, однако, коэрцитивная сила настолько велика, что между магнитами все время действуют отталкивательные силы, причем на чертеже 1 показан случай, когда сила отталкивания магнита равна по величине и противоположна по знаку силе земного тяготения. В силу этого получается, что прямой магнит становится как бы невесомым и неподвижно висит в воздухе. На чертеже он находится в стеклянной коробке, чтобы избежать действия на него воздушных струй.

Кобальтовые стали, благодаря огромной величине своей коэрцитивной силы, позволяют значительно снизить габариты магнита. Широкому распространению кобальтовых сталей препятствует дороговизна этого металла, вследствие чего подобные магниты употребляются в особо серьезных опытах.

Приводим ряд характеристик сталей для постоянных магнитов.

Мы видим, что для 2-процентной хромистой стали коэрцитивная сила равняется 55 эрстедам и остаточная индукция— 10 тыс. гауссам. Для 5-процентной вольфрамовой стали коэрцитивная сила достигает огромной величины в 350 единиц и остаточная индукция доходит до 9—10 тыс. гауссов.

В заключение приводим сравнительную диаграмму (черт. 2а 2Ь, 2с), демонстрирующую подъемную силу различных сталей для постоянных магнитов. Первая — углеродистая сталь, вторая — хромистая, третья — вольфрамовая, остальные — различные сорта кобальтовых сталей.

Черт. 2а.

Черт. 2Ь.

Черт. 2с.

Черт. 3.

СПОСОБЫ НАМАГНИЧИВАНИЯ ПРЯМЫХ МАГНИТОВ

Как известно, ток, протекающий по проводу, создает вокруг себя магнитное поле. Если мы имеем прямой проводник, то он создает вокруг себя расположенное кольцеобразным образом магнитное поле.

Если, наоборот, мы имеем кольцеобразно намотанную катушку, по которой протекает ток, то создаваемое ею магнитное поле направлено вдоль оси катушки.

В обоих этих случаях электрический ток и создаваемое им магнитное поле направлены перпендикулярно друг другу. Если дано направление одного из них, то направление другого легко определить, пользуясь всем известным правилом буравчика. В случае, если катушка достаточно длинная, рассеивающее действие ее концов сильно ослабляется, и поле внутри нее может считаться в достаточной степени однородным. Если поместить внутрь такой катушки кусок стали и пропустить через катушку постоянный ток, то такой кусок стали намагнитится в продольном направлении, превратившись в постоянный магнит.

Катушка, имеющая длину в 100—150 см, может считаться (по крайней мере в своей центральной части) достаточно однородной в смысле распределения магнитного потока. В катушках подобной длины могут не только намагничиваться однородно полосовые магниты, но и производиться точные измерения по определению магнитных характеристик данного сорта железа или стали.

На снимке показана баллистическая установка для измерения магнитных свойств железа и стали. На переднем плане (на табурете) видна такая катушка, дающая однородное поле.

Магнитное поле внутри длинной прямой катушки рассчитывается по обычной формуле:

Я= 0,4тт. у/.

Здесь H—магнитное поле в эрстедах; п — общее число витков катушки, / — длина катушки в сантиметрах, /—сила проходящего через катушку тока в амперах. Для обычной магнитной стали, с которой чаще всего приходится иметь дело на практике, состояние насыщения практически можно получить при 500 эрстедах.

Покажем на частном случае, как рассчитать катушку, в которой можно было бы намагничивать прямые магниты. Пусть длина наших стальных брусков не превышает 20 см. В этом случае намагничивающую катушку достаточно будет сделать длиною / = 30 см. Если взять миллиметровый медный провод для намотки катушки, то он будет допускать кратковременное включение тока до 20 ампер. Максимальное поле, на которое мы рассчитываем катушку, H =500 эрстедов. Из формулы для прямой катушки имеем:

500 =0,4-3,14. — 20.

Отсюда для числа витков п получим: я= 600 витков.

Черт. 4.

Такой способ намагничивания прямых магнитов, весьма надежный, часто сложен для осуществления либо из-за отсутствия соответствующих размеров катушки либо из-за отсутствия источника постоянного тока.

В этих случаях можно намагнитить прямой брусок стали и при помощи переменного тока. Обычно это делают в проволочной медной бухте, которая включается накоротко в сеть 120-вольтового городского тока. Вся процедура подобного намагничивания производится следующим образом: намагничиваемый кусок стали вкладывается внутрь бухты, вдоль ее главной оси. Вслед за этим на момент включается и сразу же выключается рубильник, замыкающий бухту. Тогда, в момент размыкания рубильника, в бухте возни-

кает экстраток размыкания, создающий прямое магнитное поле. Этим магнитным полем и производится намагничивание. Сила тока, проходящего в бухте при таком включении, может достигать 40—50 ампер. Такой способ весьма легко осуществим, но, конечно, он не дает столь строгой однородности намагничивания, как первый (ввиду неоднородности магнитного поля в бухте).

СПОСОБЫ РАЗМАГНИЧИВАНИЯ МАГНИТОВ

Легко размагнитить прямой магнит (как, впрочем, и магнит любой формы), если воспользоваться тою же бухтою, в которой производилось намагничивание магнита. Если подвергнуть магнит действию постепенно убывающего переменного магнитного поля, то такой магнит размагнитится нацело. Следует только иметь в виду, что максимальная амплитуда переменного поля, с которого начинается размагничивание, должна по своей величине перекрывать (быть больше) напряженность того поля, до которого магнит был намагничен постоянным полем.

Технически подобные размагничивания производятся так: включив рубильник, вносят в бухту с протекающим током магнит, который желают размагнитить. После этого, не выпуская магнита из рук, постепенно выносят его из сферы действия переменного магнитного поля, отходя от бухты на расстояние 3—4 м. Эту процедуру можно для более основательного размагничивания повторить два раза.

Размагнитить магнит можно и пользуясь постоянным током. Для этого только нужно непрерывно коммутировать (переключать направление) ток в катушке и одновременно вводить реостат, т. е. ослаблять магнитное поле.

Таким способом размагничивания железа или стали пользуются в целом ряде магнитных измерительных приборов (например аппарат Кепселя, Илиовичи и др.).

Наконец, размагнитить ферромагнетик можно, нагрев его выше точки его магнитного превращения. Вообще говоря, любой ферромагнитный материал (как, например, железо, сталь, никель, кобальт) имеет температуру, будучи нагрет выше которой, он теряет свои магнитные свойства. Эта температурная точка носит название точки магнитного превращения, или точки Кюри; она лежит у стали (0,5°/0 углерода) при 730°, у железа — при 753°, у никеля — при 360° и у кобальта — при 1137°. Выше указанных температур эти металлы становятся немагнитными.

Если мы намагниченный кусок стали нагреем до точки Кюри и затем снова охладим, то такой магнит окажется размагниченным. Вновь намагнитить его можно, применяя обычные способы.

ПОДКОВООБРАЗНЫЕ МАГНИТЫ

Если равномерно намагнитить железный или стальной тороид (кольцо) при помощи обмотанной вокруг него катушки, через которую пропустили ток, то такое замкнутое намагниченное кольцо не является еще магнитом. Магнитный поток здесь как бы замкнут сам на себя, целиком оставаясь внутри материала и не выходя наружу. Если подобный намагниченный тороид разрезать пополам, то мы получим два дугообразных постоянных магнита, около которых можно наблюдать всем известные явления, как-то: притяжение магнитной стрелки, втягивание или отталкивание проводника с током, образование магнитного спектра и т. д.

Подковообразные магниты самой разнообразной длины, толщины и формы сечений являются чрезвычайно распространенными на практике. Их применяют для магнето, индукторов, счетчиков, магнито-электрических амперметров и т. д.

В лабораторной практике это один из наиболее часто встречающихся магнитов. Способов намагничивания подковообразных магнитов несколько.

Способ намагничивания в двух катушках, через которые проходит постоянный ток, аналогичен способу намагничивания полосовых магнитов в прямой катушке. Для этой цели на каждую ножку магнита одевается по одинаковой катушке, как показано на чертеже 5.

Черт. 5.

Для того чтобы создать во время намагничивания замкнутую магнитную цепь (и тем самым уменьшить вредное рассеяние, приводящее к неоднородности намагничивания), концы магнита замыкают магнитным якорем (например куском мягкого железа). Можно также (если намагниченных магнитов несколько) вместо пользования якорем производить всю операцию одновременно для двух магнитов (как показано на черт. 6).

Следует отметить, что подобное намагничивание, когда обмотка не целиком обхватывает магнит, не может быть, конечно, строго однородным. Если нужна большая точность, то следует надеть дополнительные катушки и на ту часть магнита, которая обладает наибольшей кривизной.

Расчет намагничивающего поля (насыщение и здесь для хромовой вольфрамовой стали может быть принято за 500 эрстедов) производится при замкнутой магнитной цепи по формуле:

//=0,4тг • у - /,

при этом под п понимается общее число витков всех катушек, / представляет собою среднюю длину всей магнитной цепи (включая и длину якоря). Там, где имеется электромагнит, можно применить другой способ намагничивания, замыкая магнитную цепь электромагнита на магнит (черт. 8).

В сущности говоря, второй способ аналогичен первому, только теперь намагничиваемый магнит играет роль якоря.

Очень интересным способом намагничивания подковообразных магнитов, служащим также для целей быстрого намагничивания целых партий, является метод намагничивания их на прямой шине. Этот способ можно применять, пользуясь как постоянным, так и переменным током.

Шина, на которой производится намагничивание, представляет собою вторичную обмотку (виток) силового трансформатора, сделанную лучше всего из красной меди. При прохождении по медной шине (хотя бы очень кратковременном) сильного тока, около нее образуется концентрическое магнитное поле, напряженность которого определяется законом Био-Савара и вычисляется по формуле:

Здесь H — напряженность магнитного поля в гауссах, /—сила проходящего по шине тока в амперах, г—расстояние рассматриваемой точки от оси шины в сантиметрах.

При замыкании и размыкании первичной обмотки трансформатора во вторичной обмотке (коротко замкнутом витке меди) возникают мощные импульсы тока разных направлений. Сила этого тока зависит от быстроты размыкания и скорости убывания магнитного потока. Таким путем можно осуществлять кратковременные токи одного направления в несколько сот и даже тысячи

Черт. 6.

Черт. 7.

Черт. 8.

ампер. Подобный мгновенный ток создает вокруг себя сильное магнитное поле, достаточное для намагничивания.

На схеме показано расположение вторичного витка трансформатора, намагничиваемого магнита и железного, замыкающего магнит, якоря. Вторичный виток желательно выгибать или вырубать из одного куска, не прибегая к пайке (так как лишний контакт увеличивает сопротивление вторичой обмотки трансформатора).

Весьма удобен в ряде случаев способ комбинированного намагничивания постоянным и переменным магнитным полем. Этот способ может быть применен для магнитов любой формы: в частности, и для подковообразных магнитов. Особенно выгодно его применять для такого подковообразного магнита, расстояние между ножками которого мало. Примером такого рода магнитов могут служить магниты, применяемые в счетчиках.

На ножки такого магнита невозможно бывает надеть многослойные катушки с достаточным числом витков и, таким образом, нельзя создать требуемое поле в 400 ампер-витков или 500 эрстедов (1 ампер-виток приблизительно равен 1,25 эрстеда). Если же намагничивать магнит постоянным током и одновременно подвергать его действию постепенно убывающего переменного тока, то намагничивание происходит значительно интенсивнее.

На чертеже 11 по оси абсцисс отложена напряженность поля в эрстедах, по оси ординат— остаточная индукция магнита в гауссах. Кривая А показывает ход намагничивания магнита с помощью одного постоянного поля; кривая Б показывает ход намагничивания с наложением на постоянное поле постепенно убывающего переменного поля. Мы видим, что кривая Б растет значительно более круто, чем кривая Л, и уже в поле 100 эрстедов достигает тех значений, которых кривая А достигает только в поле 400—500 эрстедов. При таком способе достаточно намагничивать магнит постоянным полем в 100 эрстедов. Следует только иметь в виду, что максимальная амплитуда налагаемого переменного поля должна быть не менее 400 эрстедов.

Практически подобное намагничивание производят, внося катушку, одетую на ножки магнита, в проволочную бухту. Через катушки, одетые на магнит, пропускается постоянный ток, через бухту — переменный. Постепенно вынося магнит (при замкнутых цепях) из бухты, мы как раз накладываем на постоянное поле убывающее переменное поле.

Черт. 9.

Черт. 10.

Черт. 11.

СТАРЕНИЕ МАГНИТОВ

Большое практическое значение имеют вопросы старения магнитов, т. е. изменения их магнитных свойств с течением времени.

Существует так называемое структурное старение магнитов и магнитное старение.

Структурное старение представляет собою необратимое падение магнитного потока, даваемого магнитом (а также и падение коэрцитивной силы), связанное с постепенным распадом неустойчивой в термодинамическом отношении структуры закаленной стали — мартенсита. Такое падение коэрцитивной силы особенно резко в первое время после закалки; в дальнейшем оно постепенно замедляется. Так, например, кобальтовая и вольфрамовая сталь уменьшает свою коэрцитивную силу так: первый год — на 5°/0, второй год — на 2°/0, третий год—на 1 °/0 и т. д. Отсюда следует, что подобный закаленный магнит не будет являться стабильным образованием, а будет самопроизвольно с течением времени менять свои магнитные свойства. Такой магнит, конечно, не будет достаточно надежен в работе.

Чтобы избавиться от естественного структурного старения, подвергают магнит искусственному остариванию, которое, правда, несколько снижает его магнитные свойства, но зато делает магнит значительно более стабильным. Такое остаривание заключается в том, что закаленный магнит подвергают 8-часовому отпуску при 100°. Подобный нагрев вызывает распад мартенсита, эквивалентный распаду при обычной комнатной температуре в течение ряда лет. В результате коэрцитивная сила от 60—65 эрстедов снижается до 55—60, но зато она уже не меняется необратимым образом с течением времени.

Следует отметить, что подобное падение коэрцитивной силы является необратимым процессом, ее нельзя восстановить путем нового намагничивания, и она может быть снова восстановлена лишь путем новой закалки.

Что касается магнитного старения, то оно представляет собою обратимое изменение магнитного потока под влиянием действия различных внешних факторов. Сюда надо отнести: действие посторонних магнитных полей, периодические изменения температуры, сотрясения и т. д. Такой ослабленный в своих магнитных свойствах магнит, конечно, может быть приведен к исходному состоянию при помощи нового намагничивания. Однако его стабильности действием указанных внешних условий таким путем достигнуть нельзя.

Стабилизации можно достигнуть, подвергая магнит циклическим изменениям температуры (например после 3—5 циклов изменения температуры между 100° и комнатной).

Кроме того хорошая стабилизация получается, если подвергнуть намагниченный магнит действию слабого, постепенно убывающего переменного магнитного поля.

ОЗНАКОМЛЕНИЕ С ПРИРОДОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА НА ЗАНЯТИЯХ ПО ФИЗИКЕ

И. ПТАШИНСКИЙ (Москва)

I. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

В этой заметке мы попытались наметить ряд опытов по выяснению природы электрического тока на занятиях с учащимися, впервые приступающими к изучению отдела „Электричество“.

а) Если погрузить металл в какой-нибудь растворитель или раствор его соли, то на основании осмотической теории можно вычислить скачок потенциала для пограничной поверхности металл-раствор, исходя из того положения, что процесс перехода металла в раствор есть процесс, обусловленный электрической упругостью растворения1, а явления диффузии в растворах аналогичны изотермическому расширению и сжатию газов.

Если обозначим через р0 осмотическое давление ионов раствора, при котором нет ни перехода металла в раствор, ни обратного процесса, то работа на перенос грамм-иона от осмотического давления рг до давления р0 будет:

С другой стороны, работа, производимая на образование одного грамм-иона (переход металла в раствор), имеет величину

A=--E-F.n.

На основании этих равенств находим скачок потенциала на границе металл-раствор:

riF р{

Применяя изложенное к двум разным металлам одинаковой валентности, опущенным в раствор, получим выражение для разности потенциалов гальванического элемента:

где Р>РГ

/?; Т; п\ F; Р; Рг In соответственно — газовая постоянная, абсолютная температура, валентность, число Фарадея, электролитические упругости растворения металлов, натуральный логарифм.

б) Если взять раствор, например медного купороса, соединенный с водой, тогда раствор медного купорса будет диффундировать в воду, потому что ионы (Си) и (S04) нач-

1 Электролитическая упругость растворения металла равна максимальному значению осмотического давления раствора.

нут двигаться с различными скоростями из места с большим осмотическим давлением к месту с меньшим осмотическим давлением.

Так как ионы (S 04) движутся быстрее, то передний диффузионный слой будет вскоре состоять из ионов (SOJ, и так как эти ионы заряжены отрицательно, то вода получит отрицательный заряд, а концентрированный раствор — положительный заряд.

Черт. 1.

Различная скорость движения ионов является, следовательно, причиной возникновения разности потенциалов в месте соприкосновения двух растворов различной концентрации. Эта разность потенциалов может быть представлена так:

где U — скорость движения катиона; V — скорость аниона;^, р2—осмотическое давление концентрированного и разбавленного растворов.

Разность потенциалов будет иметь место до тех пор, пока оба раствора в результате диффузии не выравняют своих концентраций.

II. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ

а) Возьмем цепь по схеме чертежа 1 из гальванометра g, ключа k и элемента, который состоит из стакана с раствором медного купороса, цинковой и медной пластинок, погруженных в этот раствор.

Замкнув полученную цепь, заметим отклонение стрелки гальванометра: электроны будут диффундировать по проводнику от цинка к меди вследствие большей концентрации электронного газа на цинковой пластинке, так как его электролитическая упругость растворения очень велика по сравнению с электролитической упругостью растворения меди (см. табл. 1).

Отсюда устанавливаем, что Zn будет (—), а Си (-f-) (техническое направление тока от Си к Zn).

Возьмем вторую цепь, состоящую из тех же частей, с заменой медной пластинки угольной.

Замкнув цепь, заметим отклонение стрелки гальванометра в этом же направлении, но на большую величину. В этом случае разность потенциалов будет больше вследствие того, что р-^>р- , где Ру Р1% Р2 — электролитические упругости растворения цинка, меди, угля.

Возьмем третью цепь, заменив во второй цепи цинк медью. При замыкании этой цепи обнаружим прежнее отклонение гальванометра, но на меньшую величину, так как

Р*^Р*

Из этого опыта замечаем, что электроны во внешней цепи диффундируют от меди к углю.

Эти наблюдения можем продолжить, вводя другие металлы. Расположим m металлов в ряд по убывающему значению их электролитической упругости растворения: ^З'-'-Ли-т (см. табл. 1). Тогда можем составить число пар для источников электрического тока, равное ^ 2—, у которых каждый металл ряда по отношению к предыдущим будет (-[-), а по отношению к последующим будет (—).

На основании проведенных наблюдений и их обобщений формулируем принцип дей-

Таблица 1

Относительных электролитических упругостей растворения некоторых металлов в растворах своих солей при 20° С по отношению к водородному электроду

ствия гальванических элементов и выясняем относительность понятий (+-), (—).

б) Составим цепь по схеме (черт. 2).

В этом случае источником тока является концентрационный элемент В, состоящий из концентрированного раствора медного купороса (нижний слой), воды (верхний слой) и электродов из медной проволоки.

Черт. 2.

При замыкании этой цепи обнаруживаем отклонение гальванометра и замечаем, что раствор медного купороса будет (-|-), а вода (—), так как ионы (SOJ обладают большей скоростью и имеют заряд (см. табл. 2).

Таблица относительных скоростей движения ионов при бесконечном разбавлении водного раствора, при 18э С. Скорости даны в см\сек в поле 1 вольт на сантиметр.

Таблица 2

Na+

Ag+

er

Н +

Zn++

Си+ +

Fe+ +

so—

435

54,3

65,5

315

46

46

46

68,3

В подобной цепи с концентрационным элементом техническое направление тока в элементе будет от разбавленного раствора к концентрированному.

Проводя наблюдение с концентрационным элементом, в котором медный купорос заменен раствором серной и соляной кислоты, обнаружим у воды ( t ) заряд. В этом случае большую скорость имеют ионы (Н) (см. табл. 2).

Проделав несколько подобных наблюдений с разными концентрационными элементами, приходим к выводу: более разбавленный слой элемента обладает электрическим зарядом иона, имеющего большую скорость. Из всех наблюдений заключаем, что электрический ток в металлах поток электронов, а в растворах — поток ионов.

Для опытов взят был самодельный гальванометр, состоящий из мотка в 100 витков медной проволоки с бумажной изоляцией, диаметром в 0,5 мм. Моток укреплен в вертикальной плоскости на дощечке. Внутри мотка на вертикальной оси помещена магнитная стрелка длиной в 90 мм; под стрелкой— картонный кружок, разделенный на 360 частей. Во время опытов гальванометр располагается так, чтобы катушка его находилась в плоскости магнитного меридиана (положение наибольшей чувствительности). Этот гальванометр, между прочим, с успехом применим для выяснения законов индукции тока.

Для приготовления концентрационного элемента берется ламповое стекло или стеклянная трубка длиной в 12—15 см, с внутренним диаметром 1,5 — 2 см. То или другое закрывается пробками (желательно проварить в парафине или в воске), через которые продеваю я электроды.

В стеклянную трубку или ламповое стекло наливается, примерно до половины, концентрированный раствор медного купороса и доливается дестиллированной водой. Для получения отчетливой поверхности раздела нужно воду направлять аккуратно по стенке прибора. Электроды в пробках располагаются так, чтобы они не доходили по нескольку миллиметров до поверхности раздела (для уменьшения внутреннего сопротивления).

Перед доливанием водой, сверху концентрированного раствора можно влить горячий раствор желатина или картофельной муки столько и такой концентрации, чтобы после остывания образовалась перепонка толщиной в 2—3 мм.

Устроенный таким образом элемент можно переносить и держать не обязательно в вертикальной поскости. Он может служить сравнительно долгое время. Для приготовления раствора можно использовать обыкновенную поваренную соль и простую воду, а в качестве электродов — проволоку из другого металла. Возможно применение раствора поваренной соли и для проведения первой серии наблюдений.

ОДИН ИЗ СПОСОБОВ ПОСТРОЕНИЯ КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ

В. СКВОРЦОВ (Москва)

О построении квадратных корней из чисел в учебниках элементарной математики упоминается лишь вскользь. Указывается, что квадратные корни из натурального р. да чисел могут быть построены последовательным применением теоремы Пифагора (на одном чертеже); они будут диагоналями одного и того же спиралеобразного равностороннего многоугольника, у которого стороны равны единице.

Построение квадратного корня из нечетного числа 2п -}-1 сводится к построению прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза равна п +1, а катет равен п. Точно так же построение квадратного корня из четного числа вида 4п сводится к построению прямоугольного треугольника по гипотенузе (равной п+\) и катету (равному я—1).

Способ, излагаемый ниже, дает возможность построить квадратный корень из любого числа, заданного отрезком прямой и единицей измерения.

Пусть будет дано любое действительное число Р0 отрезком AB (на чертеже Я0<1) и единица измерения; продолжая этот отрезок AB на расстоянии ВС = 1, строим на ВС, как на диаметре, окружность. Проводя касательную к этой окружности из точки А и обозначая точку прикосновения через D, будем иметь:

AD2 = AC-AB.

Принимая AD за гипотенузу, а длину AB за катет, построим прямоугольный треугольник ADE, тогда:

DE2 _ AD2 — At2 = AD2 — AB2,

или:

DE2 = AC. AB - A В2 = ( AC — А В). AB. Но АС=АВ -f- ВС, следовательно: DE2 —AB'ВС.

Откуда, приняв во внимание, что АВ = Р0 и ВС=\, обозначая DE через получим:

Аналогичным построением найдем Р2 = V Рг = /Л'о и т- д-

Совершая построения п раз, построим число:

Черт, 1.

СПОСОБ БЫСТРОГО ВОЗВЕДЕНИЯ В КВАДРАТ НЕКОТОРЫХ ЧИСЕЛ

Е. З.

В № 1 журнала „Математическое образование“ приведены два указанные проф. Б. К. Млодзеевским приема для быстрого возведения в квадрат чисел, близких к 50 и к 100. Приемы эти заключаются в следующем. Если число N близко к 50, так что N=50-|-a, где а небольшое число, которое возвести в квадрат легко, то N2 = (N— — 25)-100-j-û- Если число N близко к 100, т. е. Л^=100±о, то N2 может быть легко

вычислено по формуле:

N2 = (2N—\ 00) -100 + а2.

Приемы эти очень удобны, но они относятся только к двум частным случаям. Можно вывести общее, легко запоминаемое, правило для быстрого возведения в квадрат числа, близкого к числу, состоящему из m сотен, причем m может быть и меньше 1, в случае двузначного числа.

Пусть данное число выражается так:

где а может быть положительным или отрицательным. Находим:

N2=m2*\ 002 + 2ат -100 + а2,

или:

N2 = (т. 100 -f а -f а)т • 100 + а2.

Отсюда:

N2 = {N f a)m-\00 + a2.

Из следующих примеров видно, насколько удобно вычисление по этой формуле, в особенности в тех случаях, когда m представляет число, на которое умножать легко.

1) лГ=97(т = 1, а = — 3).

По способу, указанному Б. К. Млодзеевским, для получения числа сотен, заключающихся в TV2, нужно в этом случае данное число удвоить и из разности вычесть 100 (97.2—100 = 194 — 100 = 94). По изложенному выше способу для этого достаточно только из данного числа вычесть дополнение его до 100, т. е. вычесть число а.

Если имеются под руками таблицы квадратов чисел (которые обыкновенно составляются для чисел от 1 до 999), то при помощи указанного правила можно легко возводить в квадрат очень большие числа, как это показывают следующие примеры, в которых величина а2 взята из таблиц.

Из изложенного видно, что при применении описанного правила во многих случаях необходимо лишь очень небольшое напряжение внимания, а в этом же и заключается главное требование, которое практика предъявляет к упрощенным методам вычислений. Здесь важно не только сбережение времени, сколько сбережение именно сил, причем уменьшается и возможность ошибок.

1 По известному правилу возведения в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5, о котором упоминается и в рассматриваемой статье журнала.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

ЗАМЕТКИ О СТАБИЛЬНОМ УЧЕБНИКЕ ФИЗИКИ ДЛЯ V КЛАССА

А. ВЕЛЕЦКИЙ (Г. Николаев)

Стабильный учебник по физике для средней школы представляет собою большое достижение не только по своей идее (стабильность), но и по содержанию. В целом первые пять выпусков стабильного учебника представляют собою хороший концентрический учебник физики, далеко оставляющий за собою то, что мы имели в этом отношении до сих пор.

Однако мы не можем на этом остановиться. Дальнейшая наша работа должна итти по двум основным направлениям: по линии усовершенствования содержания и оформления стабильного учебника и по линии издания серии книг „В помощь учителю“ при его непосредственной работе в школе.

В этом направлении сделано и делается немало, но работу на этом участке надо всемерно усилить. С одной стороны, учителю необходимы книги, дающие практическую методику разработки материала стабильного учебника в классе, с другой стороны— он ищет глубокого теоретического, а в особенности исторического освещения затрагиваемых им в его практической работе вопросов, на базе материалистической диалектики Маркса — Энгельса — Ленина — Сталина. Наконец, учитель желает иметь концентрированный, удобный для пользования сборник высказываний классиков марксизма по вопросам, близко связанным с его специальностью.

В этом направлении большую роль должны сыграть пединституты, в особенности центральных городов, органически, „кровно“ связанные в своей работе со средней школой.

В разрезе этих задач я и помещаю настоящий небольшой очерк.

Я останавливаюсь на некоторых дефектах стабильного учебника физики для V класса, намечаю желательные исправления и одновременно даю краткие методические указания для проработки соответствующего материала в классной обстановке. В своем очерке я отнюдь не претендую на полноту разбора, а рассматриваю только те вопросы, которые, на мой взгляд, являются наиболее важными.

Рассмотрим некоторые из этих дефектов. На странице 32 указывается, как можно сравнивать расширение от нагревания жидкости и газа.

Для обнаружения расширения газа учебник рекомендует воспользоваться мензуркой, закрытой пробкой с пропущенной через нее стеклянной трубкой. В трубку рекомендуется опустить каплю жидкости, передвижение которой вверх будет указывать на расширение газа.

Такое устройство нерационально, так как при неосторожном нагревании капля выбрасывается из трубки. Наиболее рационально налить на дно пробирки жидкость, а трубку взять подлиннее и опустить до самого дна, как показывает чертеж (черт. 1).

На странице 34, рассматривая расширение полости в твердом теле при его нагревании, дается неудачный как для понимания, так и для объяснения разбираемого вопроса чертеж (черт. 48), который следовало бы заменить следующими тремя чертежами (черт. 2, 3, 4). Четыре, скрепленных между собой по углам, металлических стержня в виде квадрата (черт. 2); вид фигуры после нагревания только двух параллельных между собой стержней (черт. 3), и вид фигуры после равномерного нагревания всех четырех стержней (черт. 4). Необходимо, конечно, отметить, что удлинение при нагревании на рисунках для ясности сильно увеличено.

Черт. 1.

Черт. 2.

Черт. 3.

Черт. 4.

Преподавателю весьма желательно приготовить из деревянных раздвигающихся брусков соответствующую модель, что можно выполнить самыми простыми средствами. У концов брусков следует сделать прорезы, схваченные небольшими болтами, дающие возможность раздвигать бруски. Раздвижение брусков будет соответствовать удлинению при нагревании (черт. 5). В большинстве школ, если не во всех, имеется прибор — так называемое кольцо Гравезанда. С ним можно провести превосходную демонстрацию разбираемого явления. На лекциях практической методики я всегда требую от студентов проведения этих демонстраций.

Черт. 5.

Порядок демонстрации следующий.

1. Убеждаемся, что нагретый шарик свободно проходит через ненагретое кольцо.

2. Нагреваем шар на пламени спиртовки и убеждаемся, что он вследствие расширения не проходит через ненагретое кольцо.

3. Взяв кольцо железными щипцами, нагреваем его на пламени спиртовки, продолжая держать шар в пламени, чтобы он не охладился (для удобства лучше взять две спиртовки и нагревать кольцо и шар отдельно).

4. Хорошенько прогрев кольцо (температура его должна быть не ниже, а лучше — несколько выше температуры шара), вводят в него нагретый шар — последний свободно проходит; значит, при нагревании кольца отверстие расширяется.

5. Охлаждаем кольцо, погружая его в воду; убеждаемся, что нагретый шар теперь в него не проходит, — значит, отверстие при охлаждении сузилось.

6. Наконец, охлаждаем шар погружением в воду и снова убеждаемся, что он теперь свободно проходит через кольцо, как и раньше.

Серия этих опытов в указанной последовательности полностью освещает этот весьма важный вопрос, которому безусловно уделено недостаточно внимания в ста ильном учебнике. Я убедился, что этот вопрос часто неясен даже студентам вуза, что же говорить об учащихся средней школы, да еще V класса! Они всегда склонны считать, что полость в твердом теле при нагревании суживается.

Неплохо также, если преподаватель демонстрирует или просто рассказывает, как вынимаются застрявшие стеклянные пробки с помо:иью нагревания горлышка. При демонстрации расширения твердых тел, кроме опытов, указанных в стабильном учебнике, чрезвычайно эффектным является следующий опыт. Между двумя гвоздиками, прибитыми на одном горизонтальном уровне к краям доски, натягивается тонкая нейзильберовая проволока, которую легко достать в магазине радиоизделий. Включив проволоку в осветительную сеть через водяной реостат и постепенно увеличивая силу тока, наблюдаем весьма сильное, поражающее в первый раз, провисание проволоки быстро исчезающее при выключении т ка. Для того чтобы класс мог видеть провисание проволоки, к ее середине прикрепляется тонкая полоска белой жести. Можно легко довести проволоку до красного каления и длительно держать в таком состоянии без опасения перегорания.

На странице 45—„Лабораторная работа №10. Исследование материалов на разрыв“. Здесь дается неудачный способ прикрепления исследуемой полоски бумаги, указанный на рисунке 60.

Проще приклеить к концам исследуемой полоски бумаги небольшие прямоугольные кусочки картона. Через проделанные в них отверстия продевают куски тонкой бечевки, посредством которых один конец ленты прикрепляется к кольцу штатива, к другому же ее концу подвешивается чашечка для грузов.

На странице 59 неудачный рисунок манометров (рис. 79) следует заменить более простым и наглядным, например в духе рисунка 117 на странице 84, так как, пользуясь рисунком 79, детям трудно объяснить механизм передачи движения диафрагмы стрелки.

Прибор, показанный на странице 63 (рис. 89) и предназначенный для обнаружения давления жидкости снизу вверх, неудачен по следующим причинам.

1. Даже очень тонкая резиновая перепонка прогибается слабо, вследствие малой площади и сравнительно незначительного давления жидкости. Следовательно, и поднятие ртути в манометре будет мало заметным, что весьма снижает эффект и ценность опыта.

2. Прибор имеет специальный характер—таких приборов в продаже нет. Как показывает мой опыт работы со студентами-практикантами и преподавателями физики, наиболее рациональным следует признать самодельный прибор, встречающийся в различных вариантах в некоторых учебниках. Достаточно взять кусок резиновой трубки диаметром в 0,5 см, U-образную трубку в качестве манометра и два куска стеклянной

трубки длиной в 10 см и диаметром в 0,5 см\ одну из трубок загибают на конце под прямым углом, а другую загибают на конце вверх в виде буквы U.

МЕТОДИКА ПОСТАНОВКИ ОПЫТА

А. Качественная сторона

1. Демонстpация давления сверху вниз.

1) Наполняют манометр, приблизительно до половины, данной жидкостью и соединяют его резиновой трубкой с прямым концом приготовленной стеклянной трубки, другой конец которой изогнут в виде буквы U.

2) Погружая эту трубку вертикально в сосуд с данной жидкостью на различную глубину и следя за поднятием жидкости в открытом колене манометра, убеждаемся в наличии давления сверху вниз и его зависимости от глубины.

3) Передвигая конец трубки, побуженный в жидкость горизонтальной плоскости, замечаем, что жидкость в манометре не перемещается, т. е. давление во всех точках одной горизонтальной плоскости одинаковое.

2. Демонстрация давления снизу вверх.

Пользуются другой трубкой. Прямой ее конец опускают вертикально в жидкость, а изогнутый под прямым углом соединяют с манометром.

3. Давление сбоку.

Демонстрируется погружение в жидкость конца трубки, изогнутого под прямым углом.

Чрезвычайно важно, пользуясь коническим сосудом, например эрленмейеровой колбой, показать, что у самой стенки сосуда давление такое же, как и над открытой поверхностью, конечно при одинаковой глубине погружения.

Б. Количественная сторона

При желании можно каждый из указанных опытов рассмотреть и с количественной стороны. Например, для давления сверху вниз можно рассуждать так (черт. 6).

Давление жидкости снизу вверх на площадку AB поддерживает столб жидкости в трубке высоты h, и, кроме того, с помощью сжатого воздуха поднимает столб той же жидкости в открытом колене манометра на высоту /г2. Следовательно, полное давление снизу вверх поддерживает столб жидкости высотой h — hi+h2.

Далее убеждаемся непосредственным измерением, что h = глубине погружения площадки AB, что и дает количественную сторону явления.

(Примечание. Подымая или опуская манометр, можно всегда добиться расположения, указанного на черт. 6.)

Подобным образом можно рассуждать и в остальных случаях.

Весьма полезно с помощью этого же прибора показать зависимость давления внутри жидкости от ее удельного веса. Для этой цели сравниваем давления в различных жидкостях на одинаковой глубине, пользуясь водяным манометром.

Давление сверху вниз чрезвычайно эффектно можно показать на следующем опыте: наполняют мензурку до половины водой и опускают на дно открытый конец ливера, наполненного концентрированным раствором Си S04. Осторожно приоткрывая верхний, закрытый пальцем, конец ливера, получают внизу мензурки столб раствора Си SÖ4, резко разграниченный от воды. По мере увеличения высоты этого столба он вытесняет воду вверх. Здесь давление раствора медно о купороса снизу вверх на воду весьма ясно наблюдается.

Черт. 6.

ПЛАВАНИЕ ТЕЛ

Отдел плавания тел, исключительно важный в своих технических и практических приложениях, изложен в стабильном учебнике слишком кратко и неудачно (§ 72, рис. 66). Правда, этот вопрос еще раз рассматривается в ViII классе (ч. 1-я, § 91, 92, 93, 94), но это обстоятельство не меняет сути дела. Тот материал о плавании тел, который разбирается в V классе, вполне доступен, интересен и привлекателен для учащихся этого возраста, а поэтому может и должен быть разобран основательно.

Что ж дает стабильный учебник?

Основной материал занимает половину § 72 — всего полстраницы. Сначала указывается, какие силы действуют на тело, погруженное в жидкость, и затем даются без всяких объяснений и дополнений подряд следующие три формулировки, написанные жирным шрифтом.

,1. Если вес плавающего тела (подчеркнуто мною. — AB.) становится больше веса вытесненной жидкости, оно или погружается глубже, пока его вес не сравняется с весом вытесненной жидкости, или тонет.

2. Если тело весит меньше, чем вытесненная жидкость, оно всплывает.

3. Если тело плавает, то его вес равен весу вытесненной им жидкости“, и конец, кратко и неясно.

Дальше говорится о плавании судов и их водоизмещении. Ничего не сказано об условиях, при которых тело висит внутри жидкости, а ведь этого вопроса избежать не удается да и нельзя» Ясно, что такое изложение мало дает учащимся и затрудняет работу преподавателя. Следует также отметить дефекты изложения. Даже взрослого читателя несколько удивляет первая часть формулировки (1). Невольно задаешь вопрос, как это тело может плавать, если его вес больше веса вытесненной им жидкости. Дальше, конечно, этот вопрос разъясняется, но для ученика V класса такое построение фразы недопустимо. Непонятно также, почему и как вес тела становится больше.

Авторы имели в виду „благую цель“ дать динамику явления, но „благими намерениями вымощен ад“.

Я думаю, что преподавателю следует ограничиться формулировкой статической стороны явления, динамическую же его сторону — разобрать на опыте.

Текст учебника можно было бы изменить, например, в таком духе: если вес тела больше веса жидкости, взятой в объеме тела, то оно тонет в этой жидкости. Если вес тела меньше веса жидкости в объеме тела — оно всплывает.

Если вес тела равен весу жидкости в объеме тела, то оно висит внутри жидкости в равновесии.

Формулировка (3) в стабильном учебнике идеальна в смысле краткости, строгости и точности, но, несмотря на это, постоянно приводит к недоразумениям, так как в ней недостаточно резко подчеркнут основной принципиальный момент.

Я обычно советую пользоваться следующей формулировкой: „Вес плавающего тела точно равен весу жидкости, вытесненной погруженной частью тела“.

Эта формулировка менее элегантна, но .оставим элегантность портным и сапожникам“ (Больцман).

Преподавателю, при проработке закона плавания тел, следовало бы вести работы в такой последовательносги:

1. Опыт. Наблюдение плавания и погружения одного тела в различных жидкостях. Например, картофель или яйцо в воде и растворах соли различной крепости; железо в воде и ртути.

2. То же для различных тел в одной жидкости (пробка и дерево плавают, железо тонет в воде). Разбирают действующие силы, попутно вспоминают, чему равна выталкивающая сила, действующая на погруженное в жидкости тело, и окончательно устанавливают следующее. Если выталкивающая сила меньше веса тела — оно тонет, больше — всплывает, равна —висит в жидкости. Далее рассматриваем плавание тела в отливном стакане, плавание пробирки, нагруженной песком или дробью (общий вес 16—20 г), в мензурке с водой и выводим количественную сторону закона плавания.

Необходимо обратить внимание на погружение пробирки при увеличенной нагрузке: например, бросая в пробирку гирьку в 5 г, замечаем, что уровень воды в мензурке поднялся на Ъсмг- Отмечая далее различную глубину погружения пробирки в различных жидкостях, подготовляем переход к ареометрам.

Если желательно динамически осветить погружение тела в жидкость, то можно подвесить пробирку с песком или дробью на дне к пружине достаточно чувствительных весов или тонкой резиновой нити. Погружая предварительно взвешенную пробирку в мензурке с водою, наблюдают постепенное сокращение растянутой пружины или резиновой нити и, следовательно, увеличение выталкивательной силы. Деления мензурки дают нам во всякий момент объем и вес вытесненной воды, а значит, и выталкивательную силу. Отмечаем, что погружение пробирки прекращается, когда вес вытесненной воды, а следовательно, и выталкивательная сила, станет равным весу пробирки.

Не мешало бы также заменить другим неудачный рисунок схемы городского водопровода.

КНИГИ ПО АСТРОНОМИИ

За последнее время (1933 и 1934 гг.) литература по астрономии на русском языке пополнилась рядом новых книг — как оригинальных, так и переводных. В настоящем обзоре, очень кратком и отнюдь не претендующем на полноту, мы рассмотрим те из этих книг, которые могут представить преимущественный интерес для работников нашей школы, для студентов педвузов и для школьников.

Прежде всего отметим „Курс общей астрономии“ проф. П. И. Полака (ГТТИ, 1933 г., 331 стр.). Эта книга представляет второе, значительно дополненное издание .Астрономии для педвузов" того же автора (Гиз, 1930 г.), содержит хорошее изложение элементов сферической астрономии и простейших задач практической астрономии (например, определение географической широты без инструментов по способу Гарцера, определение поправки часов посредством солнечного кольца Глазенапа и т. д.); отдел астрофизики несколько расширен в сравнении с предыдущим изданием. Но исторический элемент представлен

попрежнему слабо: в ряде мест прямо напрашивается необходимость дать хоть некоторые указания на обусловленность всего развития астрономии сменой общественных форм и производственных отношений. Например, на странице 132 читаем: .Но никакие преследования не могли остановить распространение учения Коперника. Оно окончательно восторжествовало после открытий Кеплера“. Почему не могли остановить? Следовало бы пояснить. И таких мест в книге немало.

Кое-где в книге имеются неясности, неточные формулировки и прямые ошибки. Например, в формулировке закона инерции (стр. 143): „Если на тело не действуют силы, то оно сохраняет свое состояние“, не сказано сразу, о каком состоянии идет речь; указание на прямолинейность и равномерность появляется лишь в пояснении закона. На странице 171 объяснение прецессии простым сложением вращений — неверно. На страницах 181 и 183 не указано, что непрерывный спектр дает не только сильно сжатый газ, но и газ, сильно ионизированный; это указание появляется лишь на страницах 193 и 212. Движение перигелия Меркурия по Эйнштейну составляет не 40“ в сто лет (стр. 177), а 43“. На страницах 207 — 208 увеличение солнечного излучения в годы максимумов солнечной деятельности приписывается просто увеличению площади факелов, что, конечно, слишком упрощенно и неполно. На странице 214 говорится, что внутри Солнца процесс общего распада материи происходит благодаря страшному жару и громадному давлению; но по данным современной атомной физики звездные температуры и давления безнадежно недостаточны, чтобы вызвать рассматриваемый процесс. Недостаточно резко указано, что теория Ресселла (стр. 270) ныне имеет лишь исторический интерес. Соотношение „период — светимость“ у Цефеид не есть .математически точное“ (стр. 282), а лишь приблизительное. Не упомянуто, что теория Эддингтона о внутреннем строении звезд ныне должна считаться неверной. Нельзя сказать, что спиральные туманности „были открыты Россом“ (стр. 305 ; они наблюдались и ранее (туманность Андромеды — простым глазом); Росс лишь обнаружил их спиральный характер. Наконец, совершенно неясно замечание на странице 225, что Плутон соединяет „в себе характерные черты всех предшествовавших групп“. Но, в общем, книга И. Ф. Полака будет интересна и полезна как учебник для педвуза и пособие для школьного работника.

Из других книг общего характера следует назвать две книги Д ж. Джинса, „Вселенная вокруг нас“ (пер. с англ. Н. И. Идельсона, изд. 2-е, ГТТИ, 1933 г., 404 стр., цена в переплете 8 руб.) и „Движение миров“ (ГТТИ, 1934 г.) Первая представляет перепечатку первого русского издания (1932 г.) без изменений и, вероятно, достаточно известна; отметим лишь ее главные достоинства— мировое имя автора (специалиста по космогонии и вопросам внутреннего строения звезд), увлекательность, свежесть и своеобразие изложения. Недостатки книги — идеалистическая тенденция в исторической части и в отношении философских обобщений, некоторая устарелость (перевод сделан с английского издания 1930 г.) и то обстоятельство, что автор преимущественно излагает свои собственные теории, из которых некоторые (например теория жидких звезд) ныне опровергнуты. Вторая книга Джинса—„Движение миров“, написана популярнее первой и содержит более разнообразный материал (например о солнце и о природе планет). Книга издана роскошно; в ней имеется 48 великолепных иллюстраций на отдельных листах. В приложении дан „Путеводитель по небу“ — систематическое описание созвездий и две небольших звездных карты. „Движение миров* — вероятно, лучшая из популярных книг по астрономии, имеющихся сейчас на нашем книжном рынке, и может быть рекомендована школьникам старших классов.

Книжка Р. В. Куницкого, „История развития взглядов на строение солнечной системы“ (Гос. антирелигиозное издательство, М. 1933 г., 72 стр., цена в переплете 1 р. 10 к.) дает краткую историю астрономии и особенно ценна тем, что подробно разбирает связь истории астрономии с историей экономики и излагает историю борьбы научного мировоззрения с религией.

Переходя к книгам по отдельным вопросам, назовем прекрасную книжку проф. И. Ф. Полака, „Происхождение вселенной“ (изд. 2-е, ГТТИ, 1933 г., 141 стр. 16 иллюстр. на отдельных листах; цена в переплете 3 р. 25 к.). Очень хорошо и популярно изложены главнейшие космогонические гипотезы, начиная с Бюффона и Канта и кончая Джинсом. Но введение — о целях, методах и возможностях космогонии — вызывает возражения. Так, на странице 7 автор замечает, что „полное научное решение космогонических вопросов, это задача, далеко превосходящая средства современной науки*. Это, конечно, верно, но далее автор говорит, что „с полной достоверностью мы могли бы узнать начальное состояние вселенной* только, если бы могли, по знаменитому выражению Лапласа, знать и заключить в одной формуле все силы и все движения всех частиц и тел вселенной. Указав, что это положение Лапласа характерно для механического материализма, автор, однако, не вскрывает его ошибочности, не указывает, что с точки зрения диалектического ма^риализма полное и подлинное знание возможно и без лапласовой „формулы“, что эта, чисто механическая, формула сама по себе недостаточна, так как в выяснении общего хода развития вселенной следует итти не путем только науки о ме-

ханическом перемещении (механики), а путем диалектики, науки о движении и изменении материи вообще. Автор же просто замечает, что полное знание всех сил во вселенной не представляет интереса для науки“, поэтому у читателя создается впечатление, будто полная достоверность в космогонических вопросах принципиально недостижима (даже в будущем), что, разумеется, неверно. Равным образом неверно и утверждение автора, что „теории, которые в свое время считались вполне научными, потом признаются неверными... Так всегда и развивается наука“. В действительности, когда наука достигает известной ступени развития, старая теория не просто заменяется новой, а, вообще говоря, обобщается; например: механика теории относительности не просто отменила, а обобщила классическую механику Ньютона: последняя представляется частным случаем первой (предельным случаем при малых скоростях).

Дальнейшие главы книги, посвященные эволюции солнечной системы, очень хороши, но в отношении туманностей и звезд встречаются неточности и ошибки. Так, неверно, будто „приливная сила вытянула экватор туманности в эллипс“ (стр. 96 — 97); дело в том, что фигура с вытянутым экватором (квази-эллипсоид по Джинсу) есть просто одна из фигур равновесия, последовательно принимаемых вращающейся газовой туманностью. Случайная приливная сила определяет только выбор направления этой вытянутости, но не есть причина ее возникновения. На странице 100 текст можно понять только так, что в спиральной туманности распадение струй на отдельные сгущения вызывается притяжением центрального ядра; в действительности причиной служит „гравитационная неустойчивость“, т. е. взаимные притяжения частиц струи друг к другу, а не к ядру. На странице 114 напрасно указывается, что фотосфера звезды может состоять „из капелек расплавленных металлов“; это невозможно. На странице 125 и следующих излагается теория Эддингтона, но не указывается, что одно из ее основных положений за последние годы опровергнуто: звезда не может состоять вся из идеального газа. Недостаточно осторожно излагается вопрос о верхнем пределе звездных масс: он гораздо сложнее, чем думали раньше. Вопреки сказанному на странице 131, энергию, выделяющуюся при синтезе атомов в звездах, нельзя считать недостаточной для объяснения излучения звезд. Но перечисленные дефекты не мешают рекомендовать эту книгу, в целом написанную чрезвычайно интересно — как педагогам, так и школьникам старших классов.

Книжка Г. Шепли, „От атомов до млечных путей“ (пер. с английского М. Ф. Федорова, ГТТИ, 1934 г., 131 стр.) написана знаменитым исследователем звездных скоплений и галактик. Изложение занимательное, перевод безупречен, внешность издания прекрасная, но содержание книги, думается, не оправдывает ее выхода: книга дает предлагаемую автором классификацию различных материальных систем (начиная атомом и кончая скоплениями галактик) — и только. При общей бедности нашей популярной астрономической литературы следовало бы в первую очередь издать ряд гораздо более необходимых книг. Но при всей узости темы книжку можно прочесть не без удовольствия как обзор различных материальных образований во вселенной.

Маленькая, очень хорошо изданная книжка Верина, „Опыт Фуко“ (ГТТИ, 1934 г., 100 стр., цена 1 рубль) содержит краткий перечень механических доказательств суточного вращения земли, элементарную теорию маятника Фуко, биографию Фуко и историю опыта Фуко, от его первой постановки до огромного маятника, непрерывно действующего ныне в Ленинграде под куполом быв. Исаакиевского собора. Так как опыт Фуко дает наиболее наглядное доказательство врашения Земли, то его значение в деле популяризации астрономии и антирелигиозной пропаганды очень велико; поэтому книжку Верина следует всячески рекомендовать для школьных библиотек.

Н. Л.

КНИГИ ПО МАТЕМАТИКЕ

Учпедгиз в начале 1934 г. издал две интересных книги по математике:

1. И. Александров, Геометрические задачи на построение и методы их решения, посмертное издание под редакцией и с дополнениями С. Калецкого, цена в переплете 2 р. 25 к.

Впервые книга покойного И. Александрова вышла в 1832 г., выдержала более десяти изданий и была переведена на главнейшие иностранные языки. Такой успех книги обуславливался богатством содержания, строгостью и ясностью изложения.

Новое издание отличается увеличенным количеством чертежей и пояснений к задачам, что значительно облегчает пользование книгой.

Книга И. Александрова может быть использована преподавателями математики в трех направлениях:

1) как пособие для повышения квалификации;

2) как пособие при кружковой работе с учащимися;

3) как пособие (вспомогательное) при преподавании геометрии.

Особо обращаем внимание на большое значение книги И. Александрова при кружковой работе с учащимися.

2. В. Брадис, Аналитическая геометрия. Учебник для высших педагогических учебных заведений, цена в переплете 8 р. 45 к.

Книга В. Брадиса отвечает требованиям, которые ставят высшие педагогические учебные заведения к курсу аналитической геометрии. Систематически излагая предмет, В. Брадис поясняет излагаемое большим количеством чертежей и задач как теоретического, так и практического характера. Книгу В. Брадиса можно рекомендовать педагогам для повышения квалификации. В особенности она окажется полезной для преподавателей X класса.

Л. Торндайк, Вопросы преподавания алгебры, цена в переплете 2 р. 60 к.

Книга критикует традиционную постановку алгебры в условиях американской средней школы, дает по отдельным вопросам новую конструкцию преподавания.

Преподавателю книга будет полезна, как знакомящая с заатлантическим опытом.

К книге необходимо критическое отношение.

В. М.

НАГЛЯДНЫЕ ПОСОБИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ И ПЕДТЕХНИКУМОВ

1. ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Москва, Учгиз, 1933 г., цена 1 руб.

За основу таблицы взят материал наиболее распространенных в настоящее время в практике школы таблиц В. М. Брадиса. Чтобы стенной таблицей тригонометрических значений функций можно было пользоваться для вычислений с тремя значащими цифрами значения синусов и тангенсов малых углов, когда десятые доли равны нулю или единице, они даны с четырьмя десятичными знаками. Аналогично для тангенсов и больших углов и котангенсов малых углов, когда значения этих тригонометрических функций имеют целые десятки, они даны с двумя десятичными знаками.

Таблица имеет четыре вертикальных ряда для значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса и, кроме того, два вертикальных ряда в начале и в конце для значений величины углов,— таким образом, всего имеется шесть вертикальных рядов, расположенных в 40 горизонтальных строчек с двумя дополнительными строчками вверху и внизу для названий тригонометрических функций.

Употребление таблицы общеизвестно, поэтому никаких специальных наставлений для ее применения в школьной практике не требуется.

2. ТАБЛИЦА КВАДРАТОВ, КУБОВ, КОРНЕЙ КВАДРАТНЫХ, КУБИЧНЫХ, ОБРАТНЫХ ВЕЛИЧИН И ЛОГАРИФМЫ ЧИСЕЛ ОТ 1 до 100

Составил В. П. Кардашев., Москва, Учгиз., 1933 г., цена 2 руб.

Таблица предназначается для помещения в классе в качестве настенного справочного пособия.

Она смонтирована на двух листах так, что каждый лист представляет самостоятельную таблицу: на первом листе даны числа от 0 до 25 и от 26 до 50, на втором—от 51 до 75 и от 76 до 100. Каждая из таблиц имеет 7 граф: первая графа содержит числа, вторая — их квадраты, третья — кубы, четвертая— корни квадратные чисел, приведенных в первой графе, пятая — корни кубичные из этих чисел, шестая — обратные величины и седьмая — логарифмы чисел.

Величины, приведенные в графах четвертой, пятой и шестой, имеют три значащих цифры, точно так же и мантиссы логарифмов, приведенных в графе седьмой.

3. ТАБЛИЦЫ ПО ПЛАНИМЕТРИИ И СТЕРЕОМЕТРИИ

1. Изображение плоских фигур и геометрических тел.

2. Построение сечений в многогранниках.

3. Сечение призм и пирамид.

4. Поверхности и объемы призм и цилиндров.

5. Поверхность и объем пирамиды и конуса.

6. Тела вращения.

7. Шар.

Составил Р. В. Гангнус, Москва, Учгиз, 1933— 1934 гг.

Таблицы включены в список типового учебного оборудования и имеют при себе методические объяснения для преподавателей и ряд дополнительных задач, предлагаемых для решения с помощью данных на таблицах чертежей и разверток.

В. Поляков

ЗАДАЧИ

1. Показать, что число вида

32й + 2 _ 8л + 9

делится на 64.

2. Доказать, что дробь

при всяком целом л несократима.

3. Решить уравнение:

** + л* + 2* + 2 = 0.

4. Разложить на множители:

5. Решить уравнение:

6. В равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузою а вписан круг. Провести окружность, касающуюся катетов треугольника и вписанного круга и найти ее радиус.

7. Построить треугольник по двум сторонам так, чтобы из противолежащих им углов один был на d более другого.

8. Вычислить углы треугольника Л, В и С, в котором:

Л + С=2В;С— Л = -| .

9. По двум сторонам треугольника а и b и заключенному между ними углу С найти длину биссектрисы этого угла.

10. Решить систему уравнений:

где X и у — углы острые.

11. Около шара радиуса R описана правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны между собой; найти ее объем.

12. Доказать равенство:

13. Параллельные стороны прямоугольной трапеции находятся в отношении 1:3, а вместе с высотой образуют отношение 1:2:3. Построить внутри этой трапеции 6 квадратов так, чтобы один из этих квадратов был вписанным в трапецию, а для каждого из остальных — одна из вершин не располагалась бы на сторонах трапеции. Площади квадратов выражаются числами, образующими геометрическую прогрессию. В. Зяблицкий (Калинин)

14. Даны две концентрических окружности. Построить внутри этих окружностей 8 симметрично-расположенных окружностей, из которых первые четыре равны между собой и касаются большей из данных окружностей, а другие четыре, также равные между собой, касаются меньшей из концентрических окружностей. Площади различных кругов находятся в отношении 1:2:22:23.

В. Зяблицкий (Калинин)

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

Задача 1. Даны два полых шара из меди и алюминия, имеющие одинаковый вес и одинаковый объем. Это возможно, если шары имеют стенки разной толщины. По наружному виду их отличить нельзя (они выкрашены). Царапать их нельзя. Как же их различить?

Задача 2. Из отверстия, находящегося в нижней части колбы, сбоку бьет струя воды. Как сделать, чтобы струя била все время с одинаковым напором, несмотря на то, что уровень жидкости в колбе по мере вытекания воды будет все время понижаться?

Задача 3. Два человека, из которых каждый имеет силу в 80 кг, растягивают в разные стороны пружинный силомер. Сколько должен показать силомер?

Задача 4. Механика говорит, что если на тело не действует внешняя сила, то центр тяжести тела остается неизменным. Как же обстоит дело с ракетой. Ведь на ракету внешние силы не действуют, а центр тяжести ракеты, повидимому, передвигается. В чем тут дело?

Задача 5. Придадим маятнику идеально обтекаемую форму и поместим его в воду. Будем считать, что благодаря хорошо обтекаемой форме маятника его трение о воду равно 0. Изменится ли период колебания маятника от того, что мы его поместим в воду или нет?

Задача 6. На какой сковороде скорее испарится капля воды: на раскаленной или просто горячей?

Задача 7. Как заставить воду кипеть охлаждением?

Задача 8. Как заставить воду замерзнуть кипением?

Задача 9. Как заставить гирю в 1 кг весить больше 1 кг?

Задача 10. В некоторых учебниках можно встретить описание, как дикари добывают огонь трением одной палки о другую. Верно ли это?

Задача 11. Почему горящий керосин нельзя залить водою?

УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

МАТЕМАТИКА и ФИЗИКА

в средней школе

Отв. редактор А. БАРСУКОВ

ЗАДАЧИ СБОРНИКА —помощь преподавателю средней школы в педагогической работе и в повышении его теоретического и методического уровня.

В СБОРНИКЕ БУДУТ ПОМЕЩАТЬСЯ: научные и научно-популярные статьи по актуальным вопросам математики, физики, астрономии, а также статьи по истории этих наук. Вопросы общей и частных методик. Из школьной практики. Преподавание математики, физики и астрономии за границей. Критика и библиография. Педагогическая консультация. Задачи для педагогов и учащихся средней школы.

СБОРНИК РАССЧИТАН на преподавателей математики, физики и астрономии в средней школе, но является также пособием и для студентов педвузов.

4 сборника в год. Подписная цена на год —4 руб.

Подписка принимается всеми отделениями, магазинами, киосками, уполномоченными КОГИЗа и на почте.

Цена 1 p.

УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

Продолжается подписка на методические сборники на 1934 год

1. МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА в средней школе

4 сборника в год ■ Подписная цена на год—4 рубля

2. РУССКИЙ ЯЗЫК И ЛИТЕРАТУРА в средней школе

4-сборника в год ■ Подписная цена на год—4 рубля

3. ИНОСТРАННЫЙ ЯЗЫК в средней школе

3 сборника в год ■ Подписная цена на год-1 p. M к.

Продолжается подписка на журналы

1. ИСТОРИЯ в средней школе

4 номера в год ■ Подписная цена на год-4 рубля

2. ГЕОГРАФИЯ в школе. Журнап для учителей средней и начальной школы.

4 номера в год В Подписная цена на год—4 рубля

Подписка на все сборники и журналы принимается всеми отделениями, магазинами, киосками, уполномоченными КОГИЗа и повсюду на почте.