УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ СБОРНИК

1

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

1934

УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

МАТЕМАТИКА и ФИЗИКА

В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ СБОРНИК

№ 1

1934

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

Редакционная коллегия: И. К. Андронов, A. Н. Барсуков, А. Н. Зильберман, B. Н. Молодший, Н. П. Суворов, И. И. Чистяков.

Отв. ред. А. И. Барсуков, отв. секр. В. Н. Молодший Техн. редактор Г. Смирнов

Адрес редакции: Москва, Петровка 5, Учпедгиз, редакция математики

Сдано в производство 31/III 1934 г. Подписано к печати 10/V 1934 г.

Учгиз № 5793 Зак. № 1574

Тираж 15 000

Уполномоченный Главлита № Б-37427

1-я Образцовая типография Огиза РСФСР треста „Полиграфкнига“, Москва, Валовая, 28

ОТ РЕДАКЦИИ

Недостаточная осведомленность педагога относительно новейших изысканий в области математики и физики и слабая его методическая вооруженность, с одной стороны, почти полное отсутствие на книжном рынке соответствующей литературы, с другой вот основные мотивы возобновления журнала (пока в виде сборников) .Математика и физика в средней школе“.

Эти мотивы определяют и двойную задачу, которую ставят перед собою настоящие сборники: 1) оказать помощь педагогу в деле повышения его научной квалификации; 2) оказать методическую помощь в его педагогической практике.

Соответственно этим задачам определяется и содержание сборника. Основными разделами его являются:

1. Научные и научно-популярные статьи по вопросам математики, физики и астрономии. Этот раздел ставит своей целью ввести читателя в круг тех вопросов, разработкой которых занята сейчас научная мысль в СССР и за границей. Исходя из крайне неравномерного уровня научной подготовки наших педагогов, раздел будет содержать статьи двоякого рода — как для более квалифицированных читателей, так и для имеющих сравнительно слабую научную подготовку.

2. Статьи по вопросам педагогики и общей методики. Содержание этого раздела составят статьи по вопросам общего характера, как-то: анализ состояния преподавания данной дисциплины в школе, вопросы учета знаний, роль учебника, оборудование кабинетов и пр.

3. Вопросы частных методик. Сюда входит детальная методическая проработка отдельных тем по соответствующим дисциплинам. Нужно отметить, что, поскольку здесь речь идеть о конкретной помощи педагогу в его работе, мы здесь ориентируемся почти исключительно на слабо подготовленного преподавателя, ибо он в первую очередь нуждается в такой помощи.

4. Из педагогической практики. Учет опыта мест, фиксация наиболее удачных опытов проработки той или иной темы, постановки опытов, конструирования пособий и приборов и пр. —таково содержание этого раздела.

б. Вопросы преподавания за границей. Цель этого раздела— ввести читателя в круг тех вопросов, над которыми работает педагогическая мысль Европы и Америки. Обзор программ в средних школах капиталистических стран, обзор содержания методических журналов, новые книги по методическим вопросам и пр. составят содержание этого раздела.

6. Критика и библиография. Сюда входят краткие аннотации на выходящую научную и методическую литературу, детальный критический анализ учебников и учебных пособий и пр.

7. Педагогическая консультация. Цель этого раздела ясна: дать ответ на те вопросы, которые возникли у педагога в процессе его преподавательской работы.

8. Задачи. Мы считаем целесообразным введение раздела задач, так как они, во-первых, дают хорошую тренировку преподавателю и, главное, побуждают к самостоятельным изысканиям в области математики. Кроме задач для педагога, мы вводим упражнения для учащихся; эти упражнения педагог может использовать как в классе для более подготовленных учащихся, так, в особенности, в порядке кружковой работы.

Таково, в основном, содержание сборников. Вполне возможно, что опыт, а в особенности отзывы и запросы педагогов внесут коррективы как в самое содержание сборника, так и в соотношение между отдельными его частями. Всякое указание в этом отношении будет нами учтено.

Само собою разумеется, что сборник наилучшим образом выполнит поставленною перед ним задачу лишь при наличии живой, непосредственной связи между ним и его читателями. Только при наличии такой связи могут быть должным образом учтены наиболее животрепещущие запросы педагога. Эту связь можно осуществить по следующим направлениям:

1. Отзывы и критические замечания по сборнику в целом и по отдельным его статьям.

2. Присылка списков тем и вопросов как научного, так и методического характера, освещение которых на страницах сборника является желательным.

3. Представление собственных оригинальных статей.

4. Фиксация собственного педагогического опыта и присылка этого материала для помещения в сборнике.

5. Обращение в редакцию по всем недоуменным вопросам, возникшим в процессе педагогической работы.

6. Присылка материалов для задач и решений помещенных в сборнике задач.

К такому тесному сотрудничеству в нашем сборнике мы призываем кафедры педвузов, методические объединения и всех педагогов.

Несколько слов по поводу содержания первого сборника. В разделе общей методики помещены статьи, дающие анализ состояния знаний учащихся. Этот материал должен послужить отправным моментом для дальнейшей разработки вопросов методики преподавания. Что касается раздела частных методик, то здесь помещены методоазработки последних тем по математике пятого, шестого и седьмого годов обучения. Такой выбор объясняется тем, что сборник должен выйти в конце апреля или в начале мая, когда эти темы и составят предмет классной работы.

НАУЧНЫЙ И НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

О НОВЕЙШИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ В ОБЛАСТИ ДРЕВНЕЙШЕЙ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

Проф. И. ЧИСТЯКОВ (Москва)

I

Как известно, крупнейшим событием в области истории математики за последние годы было расшифрование в 1927 г. ленинградским профессором В. В. Струве так называемого московского древнеегипетского математического папируса, хранящегося в Московском музее изящных искусств. Издание перевода и комментария проф. Струве к этому замечательному памятнику древнеегипетской математической науки1 не только подтвердило правильность ранее делавшихся предположений, на основании папируса Райнда и некоторых других источников, о высоком уровне этой науки, но и осветило целый ряд новых вопросов, относящихся к задачам математической науки и методам их решения, которые имели место в древнем Египете за 1500—2000 лет до нашей эры. Однако на открытии проф. В. В. Струве не остановились блестящие успехи современной истории математики. В самое последнее время наука обогатилась изданием ряда ассиро-вавилонских текстов, содержащих математические задачи и их решения, из эпохи, не уступающей по древности времени составления московского папируса. Эти открытия из области халдейской математики в настоящее время подверглись изучению проф. О. Нейгебауэра в Геттингене и В. В. Струве в Ленинграде, которые опубликовали результаты своих исследований в издании „Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik“, В. I, 1929; В. II, 1930. С этими результатами, проливающими совершенно новый свет на достижения халдейской математики, в особенности в области геометрии, мы хотим познакомить читателя, поставив их в связь с ранее имевшимися в науке сведениями о математике древних халдеев.

Под именем Халдеи разумеется страна, лежащая у Персидского залива, между реками Тигром и Евфратом и по берегам этих рек, где находились знаменитые в древности государства Ассирия и Вавилон. В настоящее время эта страна представляет собою совершенную пустыню, но, по Геродоту, эта долина Междуречья, или Месопотамия, в древности отличалась необыкновенным плодородием. Плодородие Месопотамии поддерживалось прекрасно устроенной системой орошения с помощью многочисленных и теперь еще заметных каналов. На такой же высоте, как земледелие, стояли в Халдее промышленность и торговля, развившиеся благодаря выгодному географическому положению вблизи моря и двух громадных рек между Индией и государствами, лежащими у Средиземного моря. Но ассирийцы и вавилоняне не были древнейшими жителями Халдеи. Более древними обитателями ее, как теперь установлено наукой, были сумеры, или сумерийцы, — народ туранского племени, пришедший в Месопотамию за несколько тысячелетий до нашей эры и населивший преимущественно ее южную часть. Сумеры занимались земледелием, достигли высокой степени культуры и основали много городов. Но впоследствии в ту же страну стали проникать с северо-запада другие народы, семитского племени, которые стали вести с сумерами упорные войны и постепенно их покорили. Эти народы слились в одну нацию при царе Гаммураби (около 2200 г. до нашей эры), который издал для своих подданных свод законов, дошедший до нас и являющийся древнейшим законодательным памятником. Столицею образовавшегося государства был город Ур, а затем Вавилон, по имени которого стало называться и все государство и другие города. Но завоеватели-семиты, слившись с сумерийцами, всецело подчинились их культурному влиянию,

1 Московский математический папирус издан за границей в 1930 г. под заглавием: Mathematischer Papyrus des Statlichen Museums der schönen Künste in Moskau. Herausgegeben und kommentiert von W. W. Struve. Mit 15 Textfig ren und 10 Tafeln, RM. 48,80. Краткие сведения о его содержании см. „Математическое образование“, 1928 г., № 4, „О новейших исследованиях в области древнеегипетской математики“ проф. И. Чистякова.

а сумерийский язык навсегда остался в Халдее языком науки и литературы, подобно латинскому языку в Европе в средние века. Впоследствии вавилоняне, в свою очередь, были покорены ассирийцами — чрезвычайно воинственным народом, тоже поселившимся в Месопотамии, но и эти завоеватели подчинились вавилонскому и сумерийскому культурному влиянию. Впрочем, связь народов, населявших Месопотамию, не оставалась прочной, а постоянно подвергалась изменениям; между ними часто происходили войны и восстания, династии властителей сменяли одна другую, менялись столицы и главные города. Кроме того ассиро-вавилоняне вели непрерывные войны с соседними народами: финикиянами, евреями, египтянами и др. и, наконец, с персами, которые в 538 г. до нашей эры окончательно покорили Халдею и положили конец ее политическому существованию. С этих пор исчезла древняя культура Халдеи, и в течение ряда столетий только засыпанные мусором развалины ассирийских и вавилонских городов напоминали о существовавших когда-то в Месопотамии могущественных государствах.

Однако память о высокой культуре исчезнувших стран сохранилась у европейских народов; предания называли Халдею колыбелью наук и искусств, в особенности родиной арифметики и астрономии. Поэтому, когда в начале и, в особенности, в средине XIX в. были предприняты раскопки Ниневии и других ассиро-вавилонских городов, они привлекли большое внимание европейских и американских ученых. Эти раскопки дали поразительные результаты: было открыто множество дворцов, храмов, мостов, каналов и других архитектурных и инженерных сооружений, а также картин, статуй, предметов домашней утвари и пр. Но в особенности ценным оказалось открытие множества письменных памятников, в виде надписей особыми клинообразными письменами на домах, храмах, статуях и пр., а также огромного количества небольших овальных глиняных плиток, покрытых подобными же клинообразными знаками. В разных местах были найдены колоссальные собрания таких плиток, оказавшиеся государственными архивами и библиотеками древней Халдеи. Открытые грандиозные сооружения халдеев, а также многочисленные рисунки, чертежи и надписи заставляли предполагать у них существование письменной нумерации и чертежного искусства; поэтому было понятно стремление ученых ознакомиться с состоянием ассиро-вавилонской науки по первоисточникам. Однако этому долго препятствовало неумение европейце! читать клинообразные тексты. Только в 1802 г. учителю гимназии в Геттингене, Гротефенду, удалось частично расшифровать написанную клиновидными письменами на трех языках, в том числе на ассиро-вавилонском сумерийскими письменами, надпись из развалин Персеполя; однако это поразительное открытие не было оценено по достоинству и было забыто. Но в средине XIX в. благодаря трудам других ученых, в особенности англичанина Раулинсона, а также Гинкса, Опперта, Бенфея, Тальбота и др., ассиро-вавилонская клинопись стала доступна пониманию европейских ученых и создалась наука — ассириология, сделавшая с тех пор колоссальные успехи. Разбором полученных при раскопках огромного количества памятников ассиро-вавилонской письменности ученым удалось составить правильное понятие о высокой культуре древних народов, населявших Месопотамию, и об их познаниях в области различных наук, в том числе и математических, в особенности в арифметике, геометрии и в астрономии.

II

Уже Гротефенду и первым исследователям-ассириологам удалось установить, что сумерийцы, а под их влиянием и позднейшие обитатели Месопотамии, пользовались подобно современным народам десятичной системой нумерации. Ученым удалось даже прочесть точные названия на древнеассирийском языке числительных имен десятичных разрядов— единиц, десятков, сотен и пр. Что касается письменной нумерации, то в ней употреблялись три основные знака: вертикальный клин для обозначения простых единиц, комбинация из двух клиньев, напоминающая современный знак неравенства „менее“, т. е. <, для обозначения десятка и соединение первого из этих знаков и горизонтального клина для обозначения сотни:

Черт. 1

Несколько единиц или десятков при этом изображались по методу сложения (аддитивному), причем десятки писались как и у нас — влево от единиц. Если надо было написать несколько одинаковых значков, то для экономии места и в интересах изящества их писали в нескольких параллельных строках, например:

Черт. 2

Но при изображении нескольких сотен, тысяч и еще больших чисел применялся принцип умножения (мультипликативный); число, показывающее, сколько именно сотен или тысяч и пр., писалось как бы в виде коэфициента множителя слева от множимого, например (в последнем случае при тысячах соблюдался мультипликативный принцип):

Черт.

Для чисел еще больших применялись оба принципа — аддитивный и мультипликативный.

Из дробей были особые клиновидные знаки для 1/2, 1/3, 2/3, 1/6, 5/б. Наибольшие целые числа, первоначально обнаруженные и написанные вышеописанным способом, не превышали миллиона. Однако новые открытия, последовавшие во второй половине XIX в., обнаружили, что изложенная система письменной нумерации применялась вавилонянами и сумерийцами для практических целей в обыденной жизни. Для своих же научных исследований в области арифметики и астрономии они пользовались совершенно иной, именно шестидесятиричной системой, позволявшей им удобно писать колоссальные числа и производить над ними вычисления. В этой системе за основание принимается число 60, которое играет в нем такую же роль, как в нашей десятичной десяток, и, подобно тому как мы записываем числа по десятичным разрядам, т. е. степеням 10, сумерийцы разлагали и записывали числа по степеням шестидесяти: 60, 602, 603 и т. д.

Употребление халдеями шестидесятиричной системы счисления впервые было открыто английским ассириологом Гинксом в 1847 г. Один из расшифрованных им памятников был посвящен вопросу об определении освещенной части лунного диска для каждого из 15 дней, проходящих между новолунием и полнолунием. Результаты решения этого вопроса выражены следующими числами:

5

10

20

40

1.20 = 80

1.36 = 96

1 52 = 112

2.28=148

2.24=144

2.40=160

2.56=176

3.12 = 192

3.28 = 208

3.44 = 224

4 = 240

Гинкс объяснил эти загадочные числа с помощью предположения, что лунный диск у халдеев разделялся на 240 равных частей и что в рассматриваемой таблице цифры, стоящие влево от точки, означали числа шести десятков, а вправо — числа единиц. При этом замечательно еще, что первая строка приведенной таблицы представляет геометрическую прогрессию со знаменателем 2, а остальные две — арифметическую с разностью 16.

Впоследствии знание халдеями прогрессий вполне подтвердилось. Блестяще подтвердилось и предположение Гинкса о шестидесятиричной системе письменной нумерации у халдеев: в 1854 г. английским геологом Лофтусом при раскопках в развалинах древнего города Ларса, вблизи теперешней деревни Сенкере, были найдены две глиняных плитки с таблицами математического содержания. Первая из них содержит таблицу квадратов

натуральных чисел от 1 до 60, а вторая — таблицу кубов первых 32 натуральных чисел и, кроме того, таблицу для сравнения систем мер длины и времени у вавилонян и ассирийцев. Таблицы квадратов и кубов чисел составлены явно по шестидесятиричной системе счисления; так, в первой мы имеем:

Ясно, что 1.4 означает 82 — 64 = 604-4; 1.21 =92=81 =60 + 21; 2.1 =2.604- 1 = II2 и т. д. Подобным же образом составлена и таблица кубов чисел, например:

Следует обратить внимание на то, что здесь прежний знак простой единицы, т. е. вертикальный клин, а также и приведенные ранее знаки десятка и сотни употребляются уже для обозначения единиц различных порядков— степеней числа 60, поэтому халдеи должны были воспользоваться, как это и видно из приведенных таблиц, при писании чисел, принципом положения, или поместного значения цифр, как это имеет место в современной системе письменной нумерации, где например цифра 2 может обозначать и 2 единицы и 2 десятка и 2 миллиона и пр.— в зависимости от места, ею занимаемого. Для указания отсутствия единиц какого-нибудь разряда халдеи пользовались, как это выяснилось из позднее открытых таблиц, знаком, похожим на наш нуль, или же другими знаками, которые ставили между значащими цифрами.

Упомянутая таблица для сравнения системы мер вавилонской и ассирийской, помещенная на другой стороне той же плитки, на которой имеется таблица кубов натуральных чисел, обнаруживает, что и свои меры и именованные числа халдеи тоже строили на основании шестидесятиричной системы счисления: единичные отношения мер высшего наименования к мерам низшего наименования выражаются или числом 60 или одним из его делителей. Шестидесятиричное деление при этом проведено не только по отношению к мерам длины, поверхности, объема и веса, но и к измерению времени: халдеи разделяли сутки на двенадцать двойных часов, час — на 60 минут, минуту—на 60 секунд. Это разделение было у них заимствовано всеми народами и удержалось до настоящего времени. Вся же система мер отличается необыкновенной связностью и стройностью; дошедшие до нас образцы мер длины и веса изготовлены с крайней тщательностью; в общем, халдейская система мер напоминает по принципам, положенным в ее основание, и по общему совершенству современную метрическую систему мер и весов.

III

После открытия упомянутых табличек из Сенкере долгое время не было открыто халдейских памятников математического содержания, но с 1906 г. благодаря раскопкам пенсильванского профессора Гильпрехта в Ниппуре было найдено множество пластинок с математическим текстом, относящихся ко второму и третьему тысячелетию до нашей эры. Эти пластинки содержат различные таблицы умножения и деления, квадратов чисел и квадратных корней, а также разложения чисел на слагаемые в виде квадратов, кубов и пр. Все вычисления ведутся по шестидесятиричной системе, которая распространяется не только на целые числа, но и на дроби. Эти шестидесятиричные дроби у халдеев составлялись по тому же принципу, как у нас десятичные дроби, т. е. ими выражались дроби 60Ï ' 6Ö2“' 603 и т. д. Записывались шестидесятиричные дроби согласно принципу положения вправо от целых чисел, как мы пишем теперь десятичные дроби. От вавилонян эти дроби впоследствии перешли к грекам и другим европейским народам, у которых широко употреблялись вплоть до изобретения десятичных дробей в XV в. У нас в России шестидесятиричные дроби встречаются еще даже в известной „Арифметике“ Л. Ф. Магницкого, изданной в 1703 г.

Из вышеупомянутых найденных таблиц, предназначенных для вычислений, особенный интерес представляют таблицы для умножения. Во всех из них даются произведения какого-нибудь числа п сперва на все числа от 1 до 20, а затем на 30, 40, 50 и, наконец, на 60. Результаты записываются по шестидесятиричной системе счисления. Но множимым п при этом всегда берется число, содержащее только простые множители 2, 3 и 5 в различных степенях, т. е. те же, которые входят в состав 60 = 22.3.5. Объясне-

ние такого выбора множимых чисел дал в последнее время Нейгебауэр1. По его мнению, эти таблицы служат для облегчения обращения простых дробей в шестидесятиричные. Действительно, подобно тому как для обращения простой дроби — в десятичную мы должны делить числитель на знаменатель, причем деление может окончиться лишь тогда, когда знаменатель п содержит те же простые множители, как и 10, т. е. 2 и 5 в различных степенях, точно так же в конечную шестидесятиричную дробь может обратиться лишь такая простая, в состав знаменателя которой вводят только простые множители числа 60, т. е. 2, 3 и 5. При этом делении знаменатель п умножается на разные числа; соответствующие произведения и даны в таблицах. Но имеются и таблицы для непосредственного обращения простых дробей в шестидесятиричные; обычно они составляются так, что в левом столбце пишутся знаменатели п простых дробей, а в правом — соответствующие числители шестидесятиричных дробей, например:

И в этих таблицах нет таких простых дробей, которые не могут обратиться в конечные шестидесятиричные, как — , —, — и т. д. Периодических же шестидесятиричных дробей и приближенных их значений в дошедших до нас таблицах совсем не встречается.

Другие найденные в Ниппуре глиняные пластинки арифметического содержания посвящены действию деления, квадратным корням из чисел, а также всевозможным разложениям чисел на множители, сумму квадратов и пр. При этом чаще всего делению и разложениям подвергаются степени числа 60, например 602,604 и т.д. Особенно много таблиц посвящено этому последнему числу 604 = = 12 960 000. Так, таблица деления для него начинается, по нашим обозначениям, так:

604:11/2 = 8 640 000 ; 60* : 2 = 6 480 000 ; 60* : 3 = 4 320 000 и т. д. до делителя 18.

Такое пристрастие к числу 604 и его степеням объясняется тем, что у халдеев наука чисел была тесно связана с их религиозными и мистическими воззрениями. Религия халдеев, первоначально основанная на поклонении небесным светилам, впоследствии превратилась в очень сложную систему верований, в которой весьма важную роль играла числовая мистика. Так, некоторые числа: 3, 6, 7, 12 и 60 считались в ней священными; каждый из главных богов имел свое особое число в ряде чисел от 1 до 60. Например, из таблицы, найденной в Ниневийской библиотеке, узнаем, что богу Белу было присвоено число 20, Мардуку — 11, богу луны — Сину — число 30 и пр. Низшим божествам — духам — были присвоены дроби, например Утук имел , или 2> Гигим-, или ^- , Маским — и т. д.1 Эти фантастические представления и привели к крайнему развитию у халдеев числовой мистики и символики. Занимаясь комбинированием священных чисел и их элементов, халдеи стремились постигнуть сокровенные тайны природы и божества. Для той же цели они пользовались своими весьма глубокими для той эпохи астрономическими познаниями, создав из них ложную науку — астрологию, якобы позволяющую предсказывать судьбу царств и отдельных людей по звездам. Поэтому многие из найденных числовых таблиц явно служили для астрономических, а также мистических целей, являясь руководством для жрецов и их учеников. Особенно это относится к разложениям колоссальных чисел, которые не могли иметь никакого реального применения; к ним принадлежит, например, число 608 _4_ 10.607 = 195 955 200 000 000. Однако занятия числовой мистикой имели для халдеев и полезный результат, так как приводили их к знанию свойств чисел и действий над ними, подобно тому как астрология способствовала развитию астрономии или алхимия — химии.

Из вышеизложенного видно, какую важную роль играла в халдейской науке шести-

1 Sexagesimal System und Babylonische Bruchrechnung, .Quellen und Studien zur Geschichte der atMhematik«, 1930, В. I, H. 2.

1 См. И. Чистяков, Числовые суеверия, M. Гиз, 1927.

десятиричная система счисления. Поэтому ученых очень интересовал вопрос о причинах ее возникновения у халдеев. Однако этот вопрос до настоящего времени не может считаться решенным. Попытка связать возникновение шестидесятиричной системы у халдеев с их астрономическими воззрениями (у Морица Кантора в его лекциях по истории математики) в настоящее время считается неудачной. Более правильной считается возникновение этой системы в связи с халдейской системой мер. Во всяком случае причиной к ее избранию должно было служить весьма большое число делителей у основного числа 60, именно 12, тогда как основание нашей системы 10 имеет лишь 4, причем, вероятно, предшествовали системы — пятиричная, двадцатиричная и двенадцатиричная, которые были обнаружены у многих народов на первых стадиях их математического развития.

Что касается знаний халдеев из области других математических наук — алгебры и геометрии, то наши сведения о них до открытий самых последних лет были очень скудны. Как мы видели, вавилоняне имели понятие о возведении чисел в квадрат и куб и об извлечении из чисел квадратных и кубических корней, имели сведения об арифметической и геометрической прогрессиях. По свидетельству греческих ученых, они обладали знанием пропорций, в том числе так называемой музыкальной пропорции, члены которой удовлетворяют равенству:

В области геометрии, по имеющимся данным, халдеи были знакомы с треугольниками и четырехугольниками, взаимно перпендикулярными и параллельными линиями, а также кругом, и умели вычислять площади: прямоугольника, квадрата, прямоугольного треугольника и прямоугольной трапеции. Им принадлежит дошедшее до нашего времени деление окружности на 360 равных частей — градусов—и применение этого деления к измерению углов, причем градус разделялся на 60 минут, а минута на 60 секунд. Халдеи знали, что сторона правильного вписанного в окружность шестиугольника равна радиусу окружности. Отношение длины окружности к диаметру, т. е. число тт, они принимали равным 3. Это число от них заимствовали евреи, которые внесли его в свои священные книги. Халдеи были знакомы, повидимому, и с частным случаем Пифагоровой теоремы для треугольника со сторонами 3, 4, 5 и с применением построения его для получения прямого угла.

Источники, из которых извлечены эти данные о геометрических познаниях халдеев, указывают на какое-то использование и этих сведений для магических и мистических целей. В общем, эти сведения до последнего времени страдали отрывочностью и неполнотой. Открытия новейшего времени, о которых упомянуто в начале статьи, вносят в наши сведения об алгебраических и геометрических знаниях халдеев существенные дополнения и изменения.

(Окончание следует)

ОБ ОДНОМ ЗАМЕЧАТЕЛЬНОМ СЛУЧАЕ НЕРАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Доц. С. ЗЕТЕЛЬ (Москва)

При изучении равенства треугольников часто учащимся не совсем ясна необходимость указания на соответствие в расположении равных элементов рассматриваемых треугольников.

У учащегося подчас сохраняется впечатление, что для равенства двух треугольников важно только равенство трех основных элементов (из которых один —линейный) одного треугольника трем элементам другого. Мне кажется полезным обратить внимание учащихся на существование неравных треугольников, у которых углы и две стороны одного треугольника равны углам и двум сторонам другого треугольника.

Француский математик М. Gelin в статье „Cas remarquable d' inégalité de deux triangles“, помещенной в журнале ^Nouvelle correspondance mathématique“ за 1876 г., стр. 338, указывает, что итальянский «математик Pourgotti в книге „Elementi di Geometria“ первый обратил внимание на возможность существования таких треугольников. М. Gelin в указанной статье ограничивается доказательством существования таких треугольников, оставляя в стороне рассмотрение интересных свойств этих треугольников.

Цель настоящей заметки — дать построение указанных треугольников и изучить их свойства.

В дальнейшем будем называть такие треугольники „треугольниками с несоответственно равными элементами“.

1. Можно ли для всякого треугольника построить другой с несоответственно равными элементами?

На этот вопрос следует ответить отрицательно. Действительно, пусть а, я, с — стороны данного треугольника и а<^в<^с; стороны искомого треугольника могут быть:

1) d; а; Ьл где d<^a<CJb или 2) Ь\ с; rf, где b<Cc<ji.

В первом случае из подобия треугольников имеем:

а_Ь_с

Во втором случае:

а_ Ь_с

Итак, в обоих случаях одна сторона данного треугольника должна быть средней пропорциональной между двумя другими. Числа, выражающие длины сторон треугольника, должны составлять геометрическую прогрессию.

Обозначая меньшую сторону через а, знаменатель прогрессии через q, имеем:

b = aq; c = aq2.

Так как в первом случае

-т=— = а, то d . d а * q

Во втором случае

7 = 1' 1=1' d = cq = aq*.

2. Докажем, что знаменатель прогрессии .не может быть выбран произвольно; действительно:

Так как по условию q^>\ (а — меньшая сторона), то

Приближенно 1,6 >£>1. Взяв любые четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию со знаменателем ^<Ч,6, получим стороны обоих треугольников.

Например, при ^=1,5 и a = S имеем 8, 12, 18, 27.

Треугольники со сторонами 8, 12, 18 и 12, 18, 27 являются треугольниками с несоответственно равными элементами.

Таких пар треугольников можно подобрать, конечно, бесчисленное множество, например:

64, 80, 100 и 80, 100, 125 (знаменатель прогрессии q = — /.

27, 45, 75 и 45, 75, \2b(q = j);

27, 36, 48 и 36, 48, 64(? = J-);

36, 48, 64 и 48, 64, 85 L(f = ±).

Получением этих результатов заканчивает М. Gelin свою заметку в ^Nouvelle correspondance mathématique“.

3. Подобрав указанным образом длины сторон, мы сможем построить треугольник по трем сторонам.

Возможно построение и без предварительных вычислений сторон. Выбрав два произвольных отрезка см а, так, чтобы с^>а^>-^ , построим отрезок b = \fac. Треугольник со сторонами a, b и с будет искомым (такой треугольник построить возможно, так как b^>ä^>-^; следовательно, b+a^c). Пусть ABC (черт. 1 ) треугольник, у которого Ь=Уас и

Черт. 1

Отложив на AB от вершины А отрезок AD — a и соединив D с С, получим [\ADC. Треугольники ADC и ABC подобны, так как угол А у них общий и

Таким образом, у подобных треугольников ABC и A DC две стороны одного равны двум сторонам другого, а потому эти треугольники

являются треугольниками с несоответственно равными элементами. Прямая, параллельная ВС и проведенная из точки D, определит треугольник ADF, подобный треугольнику ADC. Эти два треугольника будут треугольниками с несоответственно равными элементами. Из подобия треугольников ABC и ADF находим:

Проводя поочередно из вершины большего угла вновь получаемого треугольника прямые, параллельные то ВС, то CD, получим ряд треугольников с общим углом А. Два последовательных члена этого ряда будут треугольниками с несоответственно равными элементами.

4. Рассмотрим свойства треугольников, у которых стороны составляют геометрическую прогрессию.

Углы такого треугольника связаны следующим соотношением:

sin2 В — sin A sin С.

Так как

Ь2 = а2-{-с2 — 2ас cos В и Ь2= ас,

то

а2 + с2=ас (2cosß-f-l);

так как

а* + с2>2ас,

то

При В = 60° а = в = с; треугольник— равносторонний. Итак, два угла треугольника, у которого стороны составляют геометрическую прогрессию, должны быть каждый менее 60°, а следовательно, третий угол более 60°. Рассмотрим еще другие свойства и особенности такого треугольника. Пусть Ь2 = ос,

т. е. сторона, являющаяся средней пропорциональной между двумя другими сторонами, есть также средняя пропорциональная между высотой, опущенной на эту сторону, и диаметром описанного круга.

Высоты рассматриваемого треугольника составляют геометрическую прогрессию. Действительно:

откуда

Проведем из вершины угла В (черт. 2) биссектрису внутреннего угла ВМ.

Черт. 2

В точке M сторона разделится в отношении прилежащих сторон, т. е.

Проведем из M прямую MN, параллельную AB. В точке N сторона ВС разделится в отношении

т. е. сторона ВС разделена в точке N пропорционально квадратам прилежащих сторон; следовательно, AN есть симедиана (симедианами треугольника называются прямые, выходящие из вершин треугольника и делящие противоположную сторону в отношении квадратов прилежащих сторон).

Разделим среднюю (по величине) сторону треугольника на три отрезка так, чтобы их длины образовали геометрическую прогрессию (знаменатель прогрессии произволен).

Пусть деление отрезка CA в точках D и F (черт. 3) будет одним из возможных делений, т. е. DF2^=CD'FA. Пусть CD отрезок, прилежащий к меньшей стороне, будет равен /, следующий отрезок 1т и, наконец, третий отрезок, прилежащий к большей стороне, будет равен 1т2 (т — знаменатель прогрессии).

Черт. 3

Проведем из точек D и /^прямые, параллельные сторонам треугольника и пересекающиеся внутри треугольника. Через точку Р их пересечения проведем прямую LN параллельно стороне АС. Проведенными прямыми данный треугольник разобьется на три параллелограм

ма и три треугольника: /\DPF; Д/W/W и /\KPL. Из подобия полученных треугольников и треугольника ABC легко определяем их стороны:

1) /\MPN со сторонами

2) /\DPF со сторонами

3) ДАГР1 со сторонами КР=—\ PL = lm2; KL = lm2g.

Назовем треугольник MNP, одна сторона которого лежит на меньшей стороне данного треугольника, первым треугольником. Треугольник DPF со стороной на средней стороне— вторым треугольником и, наконец, треугольник KPL — третьим.

Составим следующую таблицу, вписывая в вертикальные столбцы длины сторон треугольников:

Стороны 1-го треугольника

Стороны 2-го треугольника

Стороны 3-го треугольника

Меньшая сторона данного треугольника

/ Я

V

1т* Я

Средняя сторона данного треугольника

1

Im*

Большая сторона данного треугольника

IQ

Imq

lm*q

На каждой стороне треугольника имеются два крайних отрезка, прилежащих к двум другим сторонам, третий — средний по положению отрезок, который мы назовем прилежащим к стороне, на которой он расположен.

В первом столбце таблицы расположены отрезки, прилежащие к меньшей стороне, во второй, прилежащие к средней стороне и в третьем — к большей стороне.

Отрезки по главной диагонали^-, Im, lm2q^

представляют средние по положению отрезки каждой стороны.

Из таблицы находим следующие свойства нашего треугольника:

1. На каждой стороне треугольника отрезок, прилежащий к средней стороне, есть средняя пропорциональная между крайними отрезками.

2. Средний отрезок (1т) средней по величине стороны есть средняя пропорциональная между средними (по положению) отрезками двух других сторон , lm2q^ .

3. Средний отрезок (1т) средней по величине стороны есть средняя пропорциональная между крайними отрезками двух других сторон, пересекающимися в вершине угла, противолежащего средней стороне (FD2 = = МВ.КВ).

4. Если из шести отрезков, лежащих на сторонах любого угла треугольника, исключить два, равные двум сторонам одного из образовавшихся треугольников ( Д DPF; Д MPN; Д/СЯА), то из четырех оставшихся можно составить пропорцию.

Например: возьмем стороны СВ и AB и исключим отрезки NM и KB (КВ = РМ)У тогда имеем:

откуда

Последнее свойство можно легко вывести, рассматривая таблицу как детерминант, у которого все миноры обращаются в нули.

5. Теперь поставим следующую задачу: возможно ли построить прямоугольный треугольник, у которого больший катет есть средняя пропорциональная между гипотенузой и меньшим катетом?

Обозначая катеты через awaq (где q больше единицы), гипотенузу через ад2, имеем:

Отсюда заключаем, что прямоугольные треугольники со сторонами, составляющими геометрическую прогрессию, имеют определенный знаменатель прогрессии:

Так как знаменатель прогрессии равен тангенсу большего острого угла, то:

tg£= 1,272; 5=5=51°5<Г, a A 38°10'.

Выразим катеты нашего треугольника через гипотенузу и знаменатель прогрессии:

Итак, меньший катет прямоугольного треугольника, у которого стороны составляют геометрическую прогрессию, равен большей части гипотенузы, разделенной в среднем и крайнем отношении („золотым делением“). Отсюда получается простой способ построения указанных треугольников: разделив произвольный отрезок в среднем отношении, построим прямоугольный треугольник, у которого гипотенузой будет выбранный произвольный отрезок, а одним из катетов будет отрезок, равный большей части гипотенузы, разделенной „золотым делением“.

Теперь рассмотрим некоторые свойства построенного треугольника.

Пусть АСВ построен указанным образом.

Покажем, что высота, опущенная из вершины прямого угла треугольника, у которого длины сторон составляют геометрическую прогрессию, делит гипотенузу, а тем самым и площадь треугольника, в среднем и крайнем отношении.

Действительно, Ь2 = ас; но b2 = dc, где d— проекция b на гипотенузу. Отсюда d = а, и теорема доказана. Легко еще показать, что биссектриса угла В делит противоположную сторону, а тем самым и площадь треугольника, в среднем и крайнем отношении.

Обратим еще внимание на интересное свойство треугольника АСЕ (черт. 4).

Опустим на гипотенузу из вершины прямого угола перпендикуляр CD и проведем из точки А (вершины, лежащей против меньшего катета) прямую, параллельную СВУ до пересечения в точке Е с продолжением высоты CD.

Черт. 4

Легко заметить, что треугольник ADE равен Д АСВ и что треугольники ADE и ADC— треугольники с несоответственно равными элементами.

Между сторонами я, Ь, с треугольника и высотой h существует любопытная зависимость,

C2 = û2 + Ô2.

ac2 = a3+ab2 и так как ac = b2, bh = a2y то имеем:

b2c—abh + ab2; bc = ah+ ab.

Между тригонометрическими функциями угла Л (Л=5=38°1(У) существуют интересные соотношения. Так как а = b tgA и для данного треугольника a — bcosAy то

О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ТОЖДЕСТВАХ ВИДА F(SINX)=F(COSX)

Проф. М. ЗИМИН (Новочеркасск)

В № 5 журнала „Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht“ за 1930 г. в отделе Lustige Ecke находим интересное тригонометрическое тождество:

8 sin**— 8sin2jc-f-1 = = 8 cos4*— 8cos2JC+ 1, (1)

каждая часть которого выражает cos 4л:1). Является вопрос, каким общим приемом можно получить тождество (1) и другие, ему аналогичные, т. е. тождества вида:

/(sin*)=/(cosAr).

Рассмотрим уравнение между двумя переменными

tf(u,v) = 0, (2)

левая часть которого есть симметрическая функция от и и V.

Из уравнения (2) находим:

(3)

1) Автор заметки на равенстве (1) строит софизм: для каждого угла его синус и косинус равны.

а так как уравнение (2) симметрично относительно переменных, то будем также иметь:

v = ty(u). (4)

Берем симметрическую функцию двух переменных F (и, v) и по ней составляем функцию f(u) следующим образом:

f(u) = F[u, ф(«)].

Для переменных миг», удовлетворяющих уравнению (2), будем иметь тождество:

f(u)=f(v).

Действительно, по свойству функции F(u, v) и на основании равенств (3, 4) можем написать:

Пусть и ж= sin X и v = cos х. Соответственно уравнению (2) будем иметь:

откуда

и функция /(и) по симметричной функции F (и, ъ) составится для данного случая так:

На основании вышесказанного функция /(и) дает тригонометрическое тождество

Для примера положим, что

Функция Ди) в этом случае выразится так:

Приходим, таким образом, к тождеству:

При /я = 6 получим тождество (1).

Обратно, если дано тождество /(sin*)-=/(cosjc), то существует симметрическая функция F(u,v), из которой это тождество может быть получено вышеуказанным путем, именно: ,, ч , - ч

Отсюда следует, что изложенный прием получения тождеств /(>mx)=f(zosx) имеет вполне общий характер.

Применим тот же метод к составлению тригонометрических тождеств вида f(tgx) = =/(ctgjc). В данном случае

Берем симметрическую функцию F (и, v\. Тогда для функции

будем иметь тождество:

НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЙ О ПРОГРЕССИЯХ

Проф. И. ЧИСТЯКОВ (Москва)

1. Возьмем ряд равных отношений:

(1)

тогда, как известно, будет иметь место и такое соотношение:

(2)

Учащиеся знакомы с этим свойством ряда равных отношений по применению его в алгебре при решении некоторых задач и в геометрии при доказательстве многих важных теорем. В настоящей заметке я намерен показать, как то же самое свойство может быть применено к выводу некоторых основных свойств прогрессии. При этом самую теорию прогрессий я изложу с несколько отличной точки зрения, чем обычно ее излагают, и начну с прогрессии геометрической. Именно, положим, что в ряде равных отношений (1) последующий член каждого отношения равен предыдущему следующего отношения, т. е.

b1 = a2, b2 = az, bz = aA...,

тогда нашему ряду равных отношений можно придать такой вид:

(3)

Ряд, составленный из чисел ал% а2 ... атУ взятых в возрастающем порядке их индексов

и удовлетворяющих соотношениям (3), и будет геометрической прогрессией. Легко видеть, что каждые три члена геометрической прогрессии составляют непрерывную геометрическую пропорцию. Число, равное обратной величине какого-либо из отношений ряда (3), есть знаменатель геометрической прогрессии и обозначается обыкновенно через д; следовательно:

И наоборот:

Перемножая эти равенства почленно, после сокращений найдем:

отсюда

т. е. мы получили первую основную формулу из теории геометрической прогрессии, позволяющую по первому ее члену и знаменателю написать какой угодно ее член. Так, полагая m = 2, 3, 4..., получим

Таким образом, всякую прогрессию можно продолжать до бесконечности.

2. Возводя все отношения ряда (3) в одну и ту же степень /?, будем иметь:

Применяя к этому ряду основное свойство ряда равных отношений (2), мы получим

(4)

Обозначим сумму р - х степеней первых m членов нашей прогрессии через т. е.

Тогда равенству (4) можно придать такой вид:

Отсюда легко определить сумму Sj?\ именно:

Эта формула дает сумму любых одинаковых /?-х степеней членов геометрической прогрессии; при /;=1 из нее получим

(5)

вторую основную формулу геометрической прогрессии, выражающую сумму m первых ее членов.

3. Полученное выражение (5) для суммы m членов прогрессии может быть видоизменено; именно, замечая, что

можно написать

(6)

Умножая числитель и знаменатель во второй части полученного выражения на q, будем иметь:

или:

Поступая подобным же образом и далее, всего р раз, получим:

Применяя здесь опять свойство ряда равных отношений, найдем:

или

откуда :

(7)

Формула (7) позволяет, зная сумму m и сумму р членов прогрессии, вычислить сумму т+р ее членов. Так, замечая, что в прогрессии:

1, 2, 4, 8, ... S3 — 7 и S4 = 15, найдем по этой формуле:

Полагая в той же формуле т=р, будем иметь формулу удвоения суммы членов прогрессии:

S2m=Sm{q>»+X).

Так, в предыдущей числовой прогрессии по S4 найдем:

S8 = S4fa4+l) = 15(16+1) = 255.

4. Из основного определения геометрической прогрессии как ряда чисел, удовлетворяющих равенствам (3), можно получить еще одно важное следствие. Именно, группируя первое отношение с последним, второе с предпоследним и т. д., получим

откуда следует, что

а1ат=а2ат-\:=аъагп-2==: «

т. е. что произведения членов прогрессии, равно отстоящих от крайних, равны произведению крайних. Основываясь на этом, обозначим через ттт произведение m первых членов прогрессии, т. е.

^т = а1а2 ат-Лат

и напишем то же произведение при обратном порядке множителей:

*m = amam-\ а2аг

Перемножая эти равенства почленно, имеем:

*т = (а1ат)'(a2am-l) -“(am'ai)

или, на основании предыдущего: V2 =(а,а )т:

откуда

знак этого произведения, в зависимости от знаков членов прогрессии, может быть и положительным и отрицательным.

5. Приемы, подобные изложенным, могут быть применены и к выводу основных формул для арифметической прогрессии.

Возьмем ряд равных арифметических отношений

а1— Ь1= а2 — Ь2 = - - = ат-\ — Ьт-Л

И положим, что

вообще, что каждый последующий член какого-либо отношения равен предыдущему члену следующего отношения. Тогда написанный ряд арифметических отношений может быть представлен в виде:

аз_ а2 = а2 — az=...=am_x — ат. (8)

Числа о,, а2, д3 ... ат, удовлетворяющие этим равенствам и расположенные в порядке индексов, и составляют арифметическую прогрессию. Легко видеть, что каждые три члена арифметической прогрессии составляют непрерывную арифметическую пропорцию. Число, обратное по знаку какой-либо из разностей ряда (8), называется разностью арифметической прогрессии; мы будем означать ее d:

al — a2 = a2 — aZ = -- = am-*L—am= — d-

Представляя эти равенства в виде ряда равных отношений:

и снова применяя свойство (2), найдем:

или

am—^ + rf(m—1), т. е.

первую основную формулу, позволяющую по первому члену прогрессии и ее разности вычислить любой ее член и, следовательно, продолжать прогрессию до бесконечности.

Группируя в том же основном ряде (8) первую разность с последней, вторую с предпоследней и т. д., найдем:

aiJram=za2Jr ат-\ = а3 + ат-2

т. е. в арифметической прогрессии сумма членов, равно отстоящих от крайних, равна сумме крайних членов. Основываясь на этом, легко найти сумму Sm всех m членов арифметической прогрессии; действительно, мы имеем :

Sm = al + a2+ +ат

и

5т = ат + а/я-1+-.-- + а1>

откуда, складывая, находим:

или

вторую основную формулу арифметической прогрессии.

Не останавливаясь на других выводах, которые можно было бы сделать из принятых здесь определений, применяя основное свойство ряда равных отношении, заметим, что то же свойство с успехом может быть применено и к выводу свойств некоторых рядов более сложного характера и состава.

ИЗ ИСТОРИИ УСТАНОВЛЕНИЯ МЕТРИЧЕСКИХ МЕР

Проф. И. А. ЛОБКО (Москва)

.Десятичная система, согласная с применяемой во всем мире системой счисления, наиболее удобна для выражения кратных величин и подразделений в мерах, весе и монетах. . . . Так как всякая экономия труда, физического и умственного, представляет собой реальное увеличение богатства, то принятие метрической системы, принадлежащей к той же категории вещей, как машины и орудия, железные дороги, телеграфы и таблицы логарифмов, следует особенно рекомендовать с точки зрения экономи“ ческой“ (из доклада русского академика Якоби Международному комитету мер, весов и монет в 1867 г. в Париже).

I. УСТАНОВЛЕНИЕ МЕТРИЧЕСКИХ МЕР

Русские научные деятели (Купфер, Якоби, Струве, Вильд, Менделеев, Хвольсон и др.), начиная с 50-х годов прошлого столетия, на ряде съездов, совещаний и т. д., как международных, так и в нашей стране, а также в печати, настойчиво высказывались за введение метрических мер вместо отечественных, но только советское правительство сделало обязательными к употреблению метрические меры во всех соответствующих областях и ввело обязательные стандартные сокращенные обозначения этих мер. Опыт показывает, что история установления метрических единиц и их эталонов иногда неправильно освещается, определения даются неправильные, а сокращенные стандартные обозначения их не всегда соблюдаются не только рядовыми гражданами нашей страны, но в некоторых случаях и преподавателями всех типов школ.

Целью настоящей статьи является напомнить читателям историю установления метрических мер и эталонов.

Человек с давних пор применял в качестве единиц измерения длины части своего тела — локоть, фут (foot — ступня), дюйм (у немцев— Daumen — большой палец) и т. д. Ясно, что у разных людей даже одного племени одинаковые части тела имели разную величину. Эти меры в дальнейшем были заменены мерами, изготовленными из металла, дерева, камня и других материалов, в которых та или другая длина выражалась расстоянием между концами образца (концевые меры) или между зарубками (штрихами), нанесенными на определенных расстояниях друг от друга (штриховые меры). Величина этих единиц измерения устанавливалась сравнительно с соответствующими частями человеческого тела — локоть, ступня и т. д. Так как ступни и другие части человеческого тела у разных людей разные, то к концу XVIII в. на земном шаре были в употреблении 282 различных единицы длины, которые все носили одно название „фут“. В одной Германии было до 40 различных „футов“ (Баварский фут равен 291,850 мм, Бременский — 289,35 мм, Франкфуртский — 284,61 мм, Нюренбергский — 303,86 мм, Прусский — 813,893 мм и т. д.). Под словом „фунт“ было в употреблении 391 различных единиц веса. Часто в одной и той же провинции для разных предметов применялись меры одного и того же названия, но разной величины, например сукно и шелк мерили одним локтем, а полотно — другим локтем и т. д. Во Франции феодалы имели право в своих владениях устанавливать собственные меры и проверять их. Такое разнообразие мер и запутанность при переводе одних в другие вызывало ряд злоупотреблений (применение для покупки или приема натуральных податей одних мер, а для продажи — других и т. д.), а существование разного рода таможен и взимание местных пошлин являлось большим тормозом для развития торговых сношений не только международных, но и в пределах одного государства.

Правительства разных государств и раньше делали попытки заменить местные меры общегосударственными. Так, туаз как эталон государственной меры во Франции был изготовлен в виде бруска с двумя выступами под прямым углом по концам. Расстояние между концами выступов принималось равным туазу. Этот брусок был укреплен в наружной стене одного из старинных замков Парижа, у подножья лестницы. Этот эталон был грубо сделан, изменял свою длину с изменением температуры и постепенно портился под влиянием погоды и времени. В Англии закон о введении общих мер длины и веса был издан еще в 1215 г. но эти меры не получили распространения; в 1324 г. был издан новый закон о мерах длины: „Три ячменных зерна, круглые и сухие,составляют дюйм“, 12 дюймов составляют фут, а 3 фута — ярд. В 1496 г. был изготовлен нормальный образец ярда ( в вид: бронзового бруска, концевая мера). Копии с этого ярда и служили мерами длины до

1824 г. С 1816 г. в Англии начал работать Комитет мер и весов. По поручению Комитета были изготовлены новые образцы длины и веса, которые были положены на хранение в здании парламента. Во время пожара в здании парламента в 1834 г. эти образцы погибли. Восстановление образцовых мер длины и веса было начато в 1843 г. и было закончено в 1854 г. Меры длины были штриховые, их было изготовлено шесть. Ярд за № 1 был принят прототипом и передан на хранение парламенту, а копии его распределены между несколькими учреждениями. Таким образом, правительства Англии и Франции, как мы сейчас видели, а также и правительства других государств пытались ввести единообразные меры путем установления единообразия длины уже употребляемой единицы измерения (фут, ярд и т. д.), лишь заменив провинциальные меры столичными.

В 1788 и 1789 гг. ряд французских городов обратился к королевскому правительству с с просьбой установить единую систему мер для Франции, чтобы устранить путаницу и вред, проистекающие от разнообразия и запутанности мер. В Парижской академии наук при обсуждении вопроса о мерах 14 апреля 1790 г. натуралист Бриссон предложил за единицу длины принять настоящую величину из природы, а за единицы веса — определенный объем золота, серебра или дестиллированной воды.

Французское национальное собрание по предложению Талейрана 8 мая 1790 г. приняло декрет об установлении новой системы мер, основанной на „естественной“ единице длины. Национальное собрание постановило к этому делу привлечь Англию и другие государства. Для выработки основ новой системы должны были вместе собраться представители Парижской академии наук, представители Лондонского королевского общества и научные представители других государств.

Во Франции в это время назревали революционные события, и между французским и английским правительствами начались столкновения. Лондонское королевское общество не сочувствовало начинаниям Франции и не прислало своих представителей. Не прибыли ученые и из других стран. При Парижской академии наук для разработки вопроса о мерах была образована комиссия, в которую входили: Борда, Даламбр, Кондорсе, Лавуазье, Лагранж, Лаплас, Монж, Тилле.

Основатели метрической системы, воодушевленные великими открытиями и идеями XVII и XVIII в., ставили своей целью произвести революцию в области системы мер. К концу XVIII в. к новым мерам предъявлялись три условия: 1) приспособляемость меры к природе человека, 2) ее вечность или восстанавливаемость и 3) всеобщность.

На основании законов колебания маятника, выведенных Галилеем и Гюйгенсом, последний пришел к выводу о постоянстве длины секундного маятника. Эту длину еще в XVII в. Гюйгенс предлагал принять за основную единицу длины. Подобное предложение делали после него Пикар, Дюфе, Ла-Кондамин и др.

Уже во время Гюйгенса было известно, что длина секундного маятника зависит от силы тяжести; последняя же зависит от широты и высоты места и от расположения пород в земле. Сторонники этой „естественной“ меры предлагали за единицу длины взять длину секундного маятника на 45° северной широты и на уровне моря.

Другие за основную единицу длины предлагали взять длину пути, проходимого телом при его свободном падении за первую секунду. Третьи для этой „естественной“ единицы длины предлагали определенную часть дуги меридиана.

Комиссия Парижской академии наук после длительных обсуждений постановила за основную „естественную“ единицу длины принять десятимиллионную долю четверти меридиана, считаемого от полюса до экватора. Создатели метрической системы считали, что длина меридиана сохраняется вечно неизменной, а, следовательно, и основная единица длины, выведенная из него, должна быть вечной, неизменной и восстанавливаемой, даже если, как утверждал Араго, „землетрясения и страшные катастрофы посетят нашу планету и уничтожат прототипы мер, хранящиеся в архивах“.

Комиссия же установила единообразную десятичную систему подразделения мер вместо сложных, пестрых и запутанных соотношений старых мер. Кроме того в старых мерах почти всех народов меры одного рода не имели простой связи с мерами другого рода: меры поверхности, объема, жидких и сыпучих тел не были связаны с мерами длины, не говоря уже о единицах веса. Комиссия между всеми этими мерами установила связь. В первой половине 1791 г. академическая комиссия представила Национальному собранию доклад, через который ярко проходит идея об естественной системе мер, которая пригодна „для всех времен и для всех народов“. В заключительной части авторы доклада с гордостью говорят:

„Приняв эти принципы, мы не вводим в мерах ничего произвольного, кроме арифметической (т. е. десятичной) шкалы, по которой необходимо должны быть составлены их подразделения; точно так же и в единице веса не будет ничего произвольного, кроме выбора вещества, однородного и легко воспроизводимого, с одинаковой степенью чистоты и плотности, к которому должна быть сведена тяжесть всех других тел, как, например, если взять за основу перегнанную воду, взвешенную в пустоте или приведенную к весу, какой она там имела бы, при той температуре, при которой она переходит из твердого состояние в жидкое. Мы не думаем, чтобы было необходимо ожидать сотрудничества других наций как для решения относительно выбора единицы мер, так и для приступа к операциям. В самом деле, мы исключили в этом выборе всякое произвольное определение: мы приняли лишь те элементы, которые принадлежат одинаково всем народам. Выбор параллели в 45° вовсе не определяется положением Франции; она не рассматривается здесь как определенная точка меридиана, но лишь как такая, которой соответствует средняя длина маятника и средняя величина какой-либо доли этого круга. Наконец, мы избрали единственный меридиан, на котором можно найти дугу с концами, лежащими на уровне моря, дугу, пересекаемую средней параллелью и не представляющую вместе с тем слишком большого протяжения, которое слишком затруднило бы фактическое измерение ее. Итак, нет ничего, что могло бы вызвать хотя бы самое легкое основание для упрека в желании оказать какое-либо предпочтение... Одним словом, если бы память об этих работах утратилась и сохранились лишь одни результаты, то в них не нашлось бы никак)го признака, по которому можно было узнать, какая нация задумала план этих работ и осуществила их“.

Но 8 августа 1793 г. по декрету Конвента все академии, в том числе и Академия наук, были упразднены, Комиссия по мерам и весам Академии перестала существовать. С 11 сентября 1793 г. была образована Временная комиссия мер и весов. В докладе этой комиссии о новых мерах находим:

„Итак, торговля вскоре будет пользоваться первыми плодами труда, за который ни один народ еще не пытался взяться и даже не мог помыслить о возможности показать пример в этом направлении. Французской республике будет принадлежать слава выполнения того, что до сих пор не смогли сделать просвещенные народы, и свобода причтет этот труд к числу благодеяний, изливаемых ею на людей. Единообразие мер, весов и расчетов во всей республике устранит все затруднения, препятствовавшие сделкам и так часто содействовавшие недобросовестности. Определение этих мер и весов, взятое из природы и тем самым освобожденное от всякого произвола, будет нь.не устойчивым, непоколебимыми неизменным, как сама природа. Арифметика, упрощенная посредством десятичного счисления, сделает все торговые и счетоводные операции гораздо более легкими и достоверными. Сведенная к наипростейшей форме, она станет доступной всем, все дети будут знать ее, и таким образом отпадет еще одна причина неравенства между людьми. Франция, уже в такой мере вознесенная успехами ее обитателей в науках и искусствах, к тому же самой природой поставлена в благоприятное положение для преуспеяния в этом великом деле. Она одна из всех народов представляет выгодное положение для измерения дуги меридиана... Оба конца этой дуги, упираясь в берег моря, дают неизменный уровень. Измерение этой дуги, требующее столь много труда и времени, даст, без сомнения, лишь немногим большую степень точности, чем прежние измерения; но эти операции достойны французскою народа, который должен служить образцом для всех народов и по точности вычислений и по точности применяемых приборов. Результаты, которые они дадут, поставят все народы в невозможность сделать когда-либо лучше“.

По докладу академической комиссии Национальное собрание в 1791 г. поручило Академии произвести измерение дуги меридиана между Дюнкерком и Барселоной. Академия образовала ряд подкомиссий, которым были поручены отдельные части работы по установлению новой системы мер.

Работу по измерению длины дуги меридиана поручили Мешену и Даламбру, причем Даламбр должен был измерить дугу меридиана от Дюнкерка до Родеза, а Мешен — от Родеза до Барселоны. Для выполнения намеченной работы требовались приборы большой точности (угломерные приборы, линейки, зеркала и т. д.), часть которых специально теперь была спроектирована, и изготовление этих приборов было поручено знаменитым механикам того времени Ленуару и Фортеню.

Более года потребовалось на подготовительные работы и изготовление инструментов для производства измерений дуги. В июне 1792 г. по департаментам была разослана бумага королевского правительства местным

властям о необходимости содействия работе Даламбра и Мешена, охране их инструментов и сигналов. В это время королевская власть не пользовалась большим влиянием, и оба руководителя экспедиции встречали трудности, которые вызывались не самой работой, а главным образом политическими соображениями, условиями революционного времени и войной.

Ученых неоднократно арестовывали, геофизические знаки уничтожали, приостанавливали работы, портили инструменты и т. д. Население, измученное феодальными порядками, везде подозревало источники контрреволюции.

Людям, далеким от научной работы, установление новой системы мер казалось делом простым, легким и не требующим длительного времени. В периодической печати того времени и в собраниях неоднократно высказывалось мнение, что академики умышленно затягивают установление новой системы мер с контрреволюционными целями. В популярной газете того времени „Друг народа“ была помещена заметка „Академические шарлатаны“, где указывалось, что под предлогом измерения меридиана, который хорошо был измерен раньше, академики выманили у правительства большую сумму денег, чтобы разделить этот „пирожок“ по-братски между собою.

Некоторые представители правительства предлагали принять временные новые меры, установленные на основании прежних измерений длины дуги меридиана, что законодательная власть и поручила выполнить академической комиссии. 1 августа 1793 г. Конвентом была утверждена новая система мер, основанная на прежних измерениях, где метр должен был равняться 3 парижским футам 11,44 линиям. Эти меры декретом предлагалось „ввести во всей республике и предложить всем народам“. Этим же постановлением предусматривалось изготовление прототипов новых мер под руководством комиссаров, избранных Академией наук и Комитетом народного просвещения. Академия наук 7 августа для этой цели избрала четырех академиков, в числе которых были Борда и Лавуазье. Но, как уже указывалось, 8 августа 1793 г. все академии были упразднены, а постановлением 11 сентября 1793 г. работы по введению новых мер поручались Временной комиссии мер и весов, куда входили все члены Академии, за исключением Кондорсе.

Но Временная комиссия недолго работала. В 1793 г. якобинцы захватили власть.

Они считали, что академики умышленно затягивают работу, а поэтому был издан декрет о новом составе комиссии. Декрет этот гласил:

„Комитет общественного спасения, принимая во внимание, как важно для правильного направления умов, чтобы лица, на которых возложены правительственные обязанности, передавали свои полномочия или давали поручения лишь людям, достойным доверия по своим республиканским доблестям и по своей ненависти к королям» после совещения с членами Комитета народного просвещения, занятыми специально делом мер и весов, постановляет, что Борда, Лавуазье» Лаплас, Кулон, Бриссон и Даламбр, начиная с сего числа, перестанут быть членами Комиссии мер и весов и должны сдать немедленно по описи остающимся членам приборы, заметки, записки и вообще все, что имеется у них на руках относящегося к делу мер и весов. Постановляет сверх того, чтобы остающиеся члены Комиссии мер и весов сообщили в самом непродолжительном времени Комитету общественного спасения, каковы те люди, которые им совершенно необходимы для продолжения их работ, и дали бы вместе с тем свои заключения о способах дать возможность в самом скором времени всем гражданам применять новые меры, пользуясь революционным правом.

Министр внутренних дел примет меры к исполнению настоящего постановления“.

Этим декретом руководители комиссии, производившей градусные измерения, исключались и должны были прекратить работы. В это же самое время Даламбр и Мешен стремились как можно быстрее и тщательнее производить измерения; но они и теперь работали в тяжелых условиях.

Приер, первый подписавший декрет об удалении активных членов Комиссии мер и весов, внес в Конвент 1 марта 1795 г. доклад о новой организации Временного агентства мер и весов.

7 апреля (18 жерминаля) 1795 г. (по докладу Приера) был принят закон о новых мерах и весах. Приведем в выдержках основные положения его:

„Закон 18 жерминаля III года о новых мерах и весах.

Национальный конвент, желая обеспечить французскому народу благо пользования единообразными и неизменными мерами и весами, которые были установлены прежними декретами, и применить наиболее действительные средства для облегчения введения их во всей республике, заслушав доклад своего Комитета народного просвещения, постановляет нижеследующее -

Ст. 2. Для всей республики будет лишь один эталон мер и весов: это Судет платиновая линейка, на которой будет начертан метр, принятый за основную единицу всей системы мер. Этот эталон будет выполнен с величайшей точностью на основании опытов и наблюдений членов комиссии, на которую возложено его установление; он будет храниться в помещении Законодательного корпуса вместе с протоколом операций, служивших для его установления, чтобы можно было их проверить в любое время...

Ст. 5. Новые меры впредь будут именоваться республиканскими; их номенклатура окончательно устанавливается в следующем виде: метр — мера длины, равная десятимиллионной части дуги земного меридиана, заключающейся между северным полюсом и экватором.

Ар — мера поверхности для измерения земли, равная квадрату, стороны которого составляют 10 метров.

Стер — мера, предназначенная специально для дров и равная кубическому метру.

Литр — мера емкости как для жидкостей' так и для сыпучих тел, вместимость которой равна кубу десятой части метра.

Грамм — абсолютный вес объема чистой воды, равного кубу сотой части метра, при температуре тающего льда.

Ст. 6. Десятая часть метра будет называться дециметр и его сотая часть — сантиметр.

Декаметром будет называться мера, равная 10 метрам, что составляет весьма удобную меру для межевания.

Гектометр будет обозначать длину в 1С0 метров.

Наконец, километр и мириаметр будут длины в тысячу и десять тысяч метров и будут обозначать главным образом путевые меры.

Ст. 7. Наименования мер других родов будут установлены на тех же основаниях, как и в предшествующей статье.

Так, децилитр будет мерой емкости в 10 раз меньше литра, сантиграмм будет сотая часть веса грамма.

Точно так же будут говорить декалитр, чтобы обозначить меру, содержащую 10 литров, гектолитр для меры, равной 100 литрам. Килограмм будет вес в 1000 граммов.

Подобным же образом будут составлены названия всех прочих мер.

Ст. 10. Операции, относящиеся к определению единицы мер длины и веса, выведенной из величины земли, начатые Академией наук и продолженные Временной комиссией мер во исполнение декретов от 8 мая 1790 г. и 1 августа 1791 г., будут продолжаться до полного их завершения специальными комиссиями, избранными главным образом среди ученых, которые в них участвовали до сих пори список которых будет составлен Комитетом народного просвещения“.

Работа опять начала подвигаться вперед. Борда и Бриссон приступили к изготовлению временного эталона метра из латуни, который был готов через месяц после вступления их вновь в комиссию. „Метр, равный десятимиллионной части расстояния от полюса до экватора, проверенный по туазу Академии“ — гласила надпись на нем.

Даламбр и Мешен с большой настойчивостью продолжали работу.

Осенью 1798 г. градусные измерения были закончены. Автор доклада 1790 г. о новых мерах Талейран в это время был министром иностраных дел Директории и стремился привлечь иностранных ученых к рассмотрению и утверждению новой системы мер, чтобы сделать ее более приемлемой и для других государств. С этой целью были сделаны предложения правительствам союзных с Францией и нейтральных государств прислать своих представителей. Это был первый международный научный конгресс. Правда, в нем не участвовали многие государства, так как Франция воевала в это время с рядом государств. Осенью 1798 г. французские ученые и представители других государств познакомились с приборами и методами работы, а затем, разбившись на подкомиссии, приступили к детальной проверке отдельных операций и вычислений. Вся эта работа была закончена весной 1799 г., а также были изготовлены прототипы метра и килограмма. Представители подкомиссий сделали доклады о своих работах в Национальном институте наук и искусств, который заменил собой Академию наук.

22 июня 1799 г. делегация Национального института вместе с представителями других государств явилась в заседание Законодательного корпуса с прототипами метра и килограмма. Здесь во время торжественного заседания по случаю окончания работ от имени Национального института Лаплас произнес речь, в которой кратко изложил труды Комиссии по установлению новых мер.

После ответных речей представителей Законодательного корпуса делегация направилась в архив республики, чтобы сдать на хранение эталоны метра и килограмма.

Эти эталоны метра и килограмма получили название „архивных“. Архивный метр представляет собой платиновый плоский

стержень (концевая мера) шириной около 25 мм и толщиной около 4 мм, который был изготовлен Ленуаром под руководством Борда. На нем не имеется никаких надписей и знаков.

Само название основной единицы длины — метр — было предложено Борда, что должно обозначать—„мера“.Килограмм представляет собой платиновый цилиндр со слегка закругленными краями. На цилиндре нет никаких знаков и надписей. Работы по установлению килограмма производились сначала Лавуазье, но вследствие его ареста, а потом казни (1794 г.) он не довел этой работы до конца, а значительная доля его трудов по этому вопросу была утеряна. После его смерти эта работа была поручена Борда, Гаюи и Прони, а фактически ее производил Лефевр-Жино. Эталон килограмма был изготовлен Фортенем.

10 декабря 1739 г. в законодательном акте было сделано дополнение к закону 1795 г., в котором сказано:

„Ст. 1. Временное определение длины метра в 3 фута 11 линий и 44 сотых, установленное законами 1 августа 1793 г. и 18 жерминаля III г. (7 апреля 1795 г.), отменяется и признается недействительным. Означенная величина, составляющая десятимиллионную часть дуги земного меридиана, заключенной между северным полюсом и экватором, окончательно определяется в отношении к прежним мерам в 3 фута 11 линий и 296 тысячных.

Ст. 2. Платиновые метр и килограмм, помещенные 4 мессидора на хранение в Законодательный корпус Национальным институтом наук и искусств, представляют собой окончательные образцы мер длины и веса для всей республики; точные их копии будут переданы консульской комиссии для руководства при изготовлении новых мер и гирь.

Ст. 3. Прочие постановления закона 18 жерминаля III года во всем, что относится к системе мер, а также к их номенклатуре и к изготовлению новых мер, остаются в силе.

Ст. 4. Будет изготовлена медаль, чтобы передать памяти потомства время, когда система мер была доведена до совершенства, и операцию, которая послужила ей основой.

Надпись на лицевой стороне медали будет: „На все времена, для всех народов“, а внизу „Французская республика, VIII год“.

Этим актом было закончено установление новой системы мер, которая получила название „метрической системы“. Создатели этой системы считали ее совершенной и наиболее пригодной для применения „для всех времен, для всех народов“, о чем говорит, например, статья 4 закона от 10 декабря 1799 г. Свинден в своем докладе на торжественном заседании Национального института 3 июля 1799 г. подчеркнул участие представителей ученых других стран в выработке новой системы мер и настаивал на необходимости скорее сделать обязательными новые меры для народов всех стран. Однако метрическая система вошла в обиход не сразу не только в других странах, как этого желали создатели метрической системы, но даже в самой Франции.

Народы тяготились разнообразием мер, но когда была выработана метрическая система, даже в процессе ее выработки, на нее уже посыпались нападки. Некоторым деятелям французской революции казалось достаточным для устранения разнообразия мер ввести парижские меры.

В мемуарах одного из сподвижников Наполеона Бонапарта ярко выражено мнение противников метрической системы как в то время, так и позже.

„Потребность в единообразии мер и весов ощущалась во все века.

Закон об этом деле был настолько прост, что его можно было составить в 24 часа, принять и ввести в употребление во всей Франции менее, чем в год.

Надо было сделать общею для всех систему мер и весов города Парижа...

По вопросу, который относился исключительно к кругу ведения администрации, обратились к геометрам... Они решили, что единица мер и весов должна быть выведена из природы, чтобы ее могли принять все нации ...

Абстракциям и пустым надеждам было принесено в жертву благо теперешнего поколения, ибо, чтобы заставить старую нацию принять новые единицы мер и весов, надо переделать все административные правила, все расчеты промышленности; такая работа устрашает разум.

Ученые применили десятичное счисление, приняв за единицу метр; они упразднили все составные именованные числа. Нет ничего более противоречащего складу ума, памяти и соображению.

Они пользовались греческими корнями, что еще увеличивает затруднения. Эти названия, которые могли быть полезными для ученых, не годились для народа...

Торговцы и граждане встретили стеснение

в обстоятельствах, которые сами по себе являются безразличными,— это еще более способствовало непопулярности административного мероприятия, которое стояло вне круга потребностей и понятий народа, насильственно ломало его привычки, его обычаи, как это мог бы сделать греческий или татарский завоеватель, который с поднятым хлыстом желает повиновения всем своим прихотям, которые вызываются его собственными склонностями и интересами, не думая об интересах побежденного. Новая система мер и весов будет предметом затруднений и осложнений для многих поколений; нельзя мучить людей подобными прихотям и...“

В этих выдержках ясно слышится голос представителя тех классов, которым неразбериха в мерах приносила определенные выгоды.

В ряде случаев к изложенным соображениям присоединялись и мотивы политического характера; новые меры по закону 1795 г. назывались „республиканскими“. В 1799 г. берлинский астроном Боде писал, что он ничего не может напечатать в защиту новой системы мер и весов, ссылаясь на то, что он „имеет честь и счастье писать в стране с монархическим правительством“.

II. ВВЕДЕНИЕ МЕТРИЧЕСКИХ МЕР

Последний закон (10 декабря 1799 г.) о метрической системе мер во Франции был принят, когда Наполеон был первым консулом; но уже менее чем через год после этого (1800 г.) было разрешено пользоваться для обозначения новых мер названиями старых французских мер. Эта реформа внесла большую путаницу в измерения, а фактически была равносильна отмене метрической системы. В 1812 г. была проведена новая реформа, которая внесла еще большую путаницу в измерения. Только по закону 4 июля 1837 г. метрическая система вводилась как обязательная во Франции с 1 января 1840 г. Раньше этого (1820 г.) метрическая система получила распространение в Бельгии и Голландии, потом с 1852 г. — в Испании, с 1862 г. — в Португалии, с 1868 г. — в Германии, с 1845—1870 гг. — в государствах, входящих ныне в Италию, с 1871 — 1876 гг. — в Австрии, а также около средины XIX в. — в ряде государств Средней и Южной Америки: Бразилии, Венецуэле, Колумбии и др. Несомненно, что основным стимулом к распространению метрических мер было широкое развертывание международных экономических сношений.

Распространению метрической системы способствовала первая Всемирная выставка в Лондоне в 1851 г. После выставки членами жюри были сделаны заявления о необходимости введения единообразной системы мер путем взаимного соглашения. На Всемирной выставке 1855 г. в Париже опять был поднят вопрос о единообразии мер; в этом году была учреждена Международная ассоциация для содействия установлению единой системы мер, весов и монет, которая собралась 24 сентября 1855 г. во Дворце промышленности, причем было признано, что только метрическая система может рассчитывать на то, чтобы быть признанной международной. Члены этой ассоциации обязались вести через национальные комитеты, назначенные для этой цели, деятельную пропаганду идей ассоциации.

В 1859 г. Российская академия наук получила от английского и французского национальных отделов Международной ассоциации адреса, подписанные крупными учеными и государственными деятелями, в которых Академия наук приглашалась содействовать целям ассоциации, причем выражалась надежда открытия отдела ассоциации в России. В этом же году был получен адрес аналогичного содержания от Бельгийской академии наук. Британский отдел приглашал нашу Академию наук принять участие в работах съезда национального отдела, который должен был открыться 10 октября 1859 г. в Брэдфорде. На этот съезд был командирован академик Купфер.

Собрание было открыто речью председателя Шевалье, в которой он говорил:

„В настоящее время, когда международная торговля сделалась столь активною и распространенною, излишне указывать, до какой степени удобно будет принятие общей системы мер и весов. Это будет гарантией против потерь и ошибок и даже обманов, которые повторяются беспрестанно. Необходимо также заметить, что внутри каждого отдельного государства общность системы мер и весов должна быть благодеянием для всех классов общества без исключения; для рабочего, который должен считать или который должен давать себе ясный отчет о вещах, служащих предметом его занятий; для промышленника, для инженера, для частных лиц, даже наиболее скромных, которые все и всегда умеют вести разного рода расчеты. Это будет экономией времени, которая даст себя чувствовать непрерывно. Для всех это доставило бы великое удобство в один миг обозреть

отношения, ускользающие в настоящее время вследствие той сложности, которой они окружены как густым туманом“.

На этом съезде Купфер изложил основания монетной и линейной систем измерения, употребляемых в России. В записке, поданной правительству от общества, указывается, что английские инженеры, знакомые с метрической системой, находят ее столь удобной, что весьма часто переводят данные, над которыми они должны сделать вычисления, сперва в соответственные величины метрической системы, производят потом вычисления, а затем окончательные результаты вычислений переводят опять в английские меры.

„Нельзя сомневаться, — сказано в этой записке,— что введение метрической системы принесет громадный выигрыш как денег, так и времени и работы во всех родах предприятий, в которых приходится иметь дело с мерами или весами. Сделать точное определение этой выгоды невозможно, но нельзя сомневаться, что она должна быть весьма значительна во всех больших предприятиях“.

Под давлением этих мотивов было разрешено применять метрические меры в Англии с 1864 г., в САСШ — с 1866 г., а Германия ввела обязательное применение метрической системы законом 1868 г.

В 1867 г. во время Всемирной выставки в Париже был образован Международный комитет мер и весов, который разбился на три подкомиссии. Председателем подкомиссии о единообразии мер и весов был избран русский академик Якоби, составивший Международному комитету от имени подкомиссии доклад, выдержки из которого приведены в начале нашей статьи. По предложению Комитета в особом павильоне была организована выставка с образцами мер 20 государств, в том числе и России. Выставка давала яркую картину преимуществ метрической системы мер перед национальными.

На съезде русских естествоиспытателей в Петербурге в конце 1867 г. и в начале 1868 г. была принята резолюция о необходимости употребления метрической системы как при сношениях ученых, так и во всех научных сочинениях. Аналогичное заявление было вынесено съездом русских естествоиспытателей и врачей в Москве.

Практические шаги по принятию метрической системы в качестве международной были сделаны Российской академией наук в 1869 г. По предложению академика Якоби Российская академия наук избрала комиссию в составе: Вильда — директора главной физической обсерватории, Струве — директора Пулковской обсерватории и Якоби для рассмотрения вопроса о прототипах длины и веса. 20 мая 1869 г. комиссия представила доклад, составленный академиком Якоби. В этом докладе сказано:

„Ввиду успешного распространения метрической системы за последние годы и в предвидении того, что принятие этой системы учеными всех стран не преминет осуществиться в ближайшем будущем, необходимо теперь же рассмотреть те основы, на которых должна быть установлена окончательно единая международная единица мер и весов. Действительно, надежное установление этой единицы тем более важно, что дело идет не только о согласии всех народов в настоящее время, нэ и о гарантии, чтобы даже в отдаленном будущем не пришлось отказаться от наследства, которое мы хотим им оставить. Подобного рода мысль вдохновляла незабвенные работы, предпринятые во Франции с целью дать миру универсальную и неизменную меру которую можно было бы воспроизвести, как сказал Араго, „даже если бы землетрясениями страшные перевороты потрясли нашу планету и уничтожили прототипы, хранимые в архивах“.

В настоящее время наши опасения на этот счет не настолько сильны, чтобы сделать нас сторонниками так называемых абсолютных и естественных мер. Неудовлетворительность и сравнительная неточность этих мер общепризнаны и с очевидностью доказаны сильными и неоспоримыми доводами знаменитого Бесселя, так что теперь немыслимо, чтобы впредь ученый мир вернулся к поискам такого рода мер. Итак, доказано, что эталон метра, хранящийся в архивах Франции, не составляет десятимиллионной части четверти меридиана; что его длина представляет лишь некоторую долю меридиана, отношение которой к меридиану определенно и действительно л ишь для известного момента времени, и в него надо вносить поправки при каждом новом успехе, достигнутом в наших познаниях о фигуре земли. Следовательно, эталон, о котором идет речь, должен был утратить характер естественной меры, который ему приписывался при его изготовлении, и в настоящее время он является просто произвольной и условной мерой...

...Итак, по научным основаниям и соображениям удобства, слишком часто указывавшийся, чтобы нужно было здесь к ним возвращаться, все цивилизованные нации молчаливо согласились признать за французской

метрической системой преимущества международной системы мер и весов для будущего, а эталоны, хранимые в архивах Франции, — считать прототипами этих мер“.

„...Комиссия единогласно признала, что вопрос об единообразии эталонов чрезвычайно важен; что это единообразие представляет единственную надежную основу для установления возможно более устойчивой международной системы мер и весов; что этот результат не может быть достигнут работой в одиночку, как бы ценна она ни была,—его можно достичь лишь коллективной работой, надлежащим образом организованной; наконец, что необходимо обратить на это дело все внимание правительств, которые непременно должны оказать ему свое содействие созданием международной комиссии из делегатов всех стран, которой было бы поручено изготовление первичных эталонов мер длины, емкости и веса“.

По докладу комиссии Российская академия наук обратилась в министерство народного просвещения с просьбой просить все государства прислать представителей в особую Международную комиссию для рассмотрения вопроса о прототипах метрической системы мер и весов.

Мысли, высказанные Российской академией наук в докладе, встретили горячую поддержку со стороны ученых и правительств других стран. Парижская академия наук изучила вопросы, поднятые Петербургской академией, в августе приняла предложение о созыве Международной комиссии во Франции, а в ноябре I860 г. французское правительство разослало приглашения правительствам других государств прислать своих представителей в Международную комиссию. В то же время была назначена французская секция комиссии, которая занялась подготовительной работой. Французские научные круги стремились удержать инициативу введения метрической системы в своих руках и сохранить в качестве прототипов длины и веса архивные метр и килограмм. Этим отчасти объясняется быстрое принятие Парижской академией и французским правительством решений о созыве Международной комиссии.

24 государства назначили своих представителей в Международную комиссию, которая должна была открыться 8 августа 1870 г.

Заседания комиссии были открыты в назначенный день, но представители ряда государств не могли прибыть в Париж, так как перед этим началась франко-прусская война 1870 г. Собравшиеся хорошо понимали, что при создавшихся условиях они не могут принимать в этом весьма важном вопросе международного характера окончательных решений. Это было подчеркнуто самим председателем комиссии, французским академиком Матье, и по этому поводу была принята резолюция, внесенная представителем России Отто Струве:

„Ввиду современного положения Международная метрическая комиссия, в интересах возложенного на нее дела, считает необходимым отложить все окончательные решения до белее благоприятного времени...“

На следующем собрании в сентябре 1872 г. в работах комиссии принимало участие 43 представителя 30 государств. Россия была представлена Вильдом, Струве и Якоби. Здесь были установлены все основные положения, которыми необходимо руководствоваться при изготовлении прототипов метра и килограмма. Комиссия 1870 г. постановила, что за основу для изготовления международного метра должен быть принят архивный метр в том состоянии, в каком он находился в то время. Это было подтверждено в 1872 г. Для изготовления прототипов метра и килограмма был принят сплав платины с иридием (10°/0 иридия), так как этот сплав, как выяснилось специальными исследованиями, обладает высокой твердостью и упругостью, а также исключительной сопротивляемостью окислению.

Архивный метр представляет собой сравнительно тонкий стержень, который заметно может изгибаться даже под действием собственного веса. По предложению члена комиссии французской секции инженера Треска для новых прототипов была принята форма бруска с иксообразным сечением, чтобы при небольшой массе (около 3,3 кг) он обладал максимумом сопротивления изгибу. Сначала был изготовлен временный прототип метра, который в 1882 г. был сравнен с архивным метром. Затем с него сняли 31 копию, сравнили их с временным метром и друг с другом. Из этих сравнений выяснилось, что эталон за № 6 оказался при 0° в точности равным длине архивного метра и был признан международным прототипом метра, а из остальных 30 национальных метров в 1889 г. 28 эталонов были по жребию распределены между государствами,

заказавшими эталоны, и два эталона были помещены в Международном бюро мер и весов в качестве контрольных.

России по жребию достались метры за № 28 и № 11. Чтобы дать представление о национальных прототипах и тех операциях, которые над ними производились, приведем выдержки из свидетельства для прототипа метра за № 28, который является национальным прототипом СССР.

МЕЖДУНАРОДНЫЙ КОМИТЕТ МЕР И ВЕСОВ

СВИДЕТЕЛЬСТВО МЕЖДУНАРОДНОГО БЮРО МЕР И ВЕСОВ ДЛЯ ПРОТОТИПА МЕТРА № 28, ПРИНАДЛЕЖАЩЕГО РОССИЙСКОЙ ИМПЕРИИ, МИНИСТЕРСТВУ ФИНАНСОВ

Этот прототип из платино-иридиевого сплава, содержащего 10°/0 иридия, в виде стержня в 120 см длины, имеющего поперечное сечение так называемой формы X, был изготовлен гг. Джонсон, Маттеи и К0 в Лондоне. Стержень был выровнен и отделан от руки, затем полирован и обрезан до длины в 102 см (гг. братьями Бруннер в Париже).

Штрихи были нанесены г. Г. Треска, инженером при французской секции Метрической комиссии, на участках эллиптической формы, плоская поверхность которых отполирована до зеркального блеска (вся эта работа была выполнена в Консерватории искусств и ремесл в Париже поя руководством г. Корню, члена института, делегата французской секции, и г. Броха, директора Международного бюро, делегата Международного комитета).

Окончательная отделка штрихов произведена в Международном бюро г. Буано, ассистентом этого учреждения.

К прототипу прилагаются два образца, отрезанные от обоих концов его и приготовленные г. Лораном в Париже для изучения расширения по методу Физо.

Прототип заключен в специальный футляр, состоящий из сплошного деревянного цилиндра, в котором сделан продольный паз для помещения стержня, и который окружен прочной цилиндрической оболочкой из латуни, имеющей навинчивающуюся крышку.

ОПИСАНИЕ

Поперечное сечение стержня имеет так называемую форму X, вписанного в квадрат, сторона которого равна 20 мм. Верхняя поверхность средней поперечины, на которой нанесены штрихи, совпадает с плоскостью нейтральных волокон. Она приведена путем легкого утонения нижних опор к уровню средней высоты сечения.

На обоих концах, на отполированных местах, нанесено по три штриха толщиною от 6 до 8 микронов, отделенных друг от друга промежутками по 0,5 мм. Расстояние между средними штрихами обеих этих групп по три штриха представляет длину меры. Положение оси определено группами по две продольных, более толстых черты, нанесенных на обоих полированных местах на расстоянии 0,2 мм друг от друга.

На верхней плоскости ножек бруса выгравированы:

слева — надпись А. 28, справа — надпись Б. 28.

На обоих образцах, приложенных к прототипу в отдельном ящике, выгравированы те же номера и буквы, как и на концах, от которых они отрезаны.

ХИМИЧЕСКИЙ СОСТАВ

Приготовление платины и иридия, служивших для получения сплава слитка, из которого приготовлены стержни, производилось под наблюдением г. Стаса, члена Брюссельской академии наук, делегата Международного комитета, Анри Сен-Клер Девилля, а после его смерти — Дебрю, членов Французского института, делегатов французской секции.

Анализ сплава произведен на нескольких образцах, взятых непосредственно из готовых стержней. Согласно результатам этих анализов, сплав не содержит никаких следов иридия в свободном состоянии, не заключает в себе рутения и содержит только чрезвычайно малое количество, от одной до двух десятитысячных, родия и одну десятитысячную железа. Количественное определение иридия дало в результате от 10,08 до 10,09 %.

ИЗМЕРЕНИЯ

Коэфициент расширения. Измерение расширения было вверено г. Р. Бенуа, первому адъюнкту Международного бюро, в сотрудничестве с г. Ш. Гильомом, причисленным к бюро.

Это определение произведено путем сравнения прототипа № 28 с международным прототипом Al в ванне компаратора для измерений расширения при 8 различных температурах, заключающихся между 0°,2 и 37°,9. Расширение международного прототипа M было измерено ранее по абсолютному методу при помощи компаратора для измерений расширения, а также по методу Физо.

Эти наблюдения привели к следующему результату.

Коэфициент расширения прототипа № 28 от 0° до t°

а = 10-9 (8650 -|-1,00.0,

где t означает температуру по нормальной шкале, принятой для международной службы мер и весов (шкале водородного термометра).

Национальные прототипы в числе 30 были сравнены между собою систематически в 11 группах, а именно: 5 групп по 6 мер и 6 групп по 5 мер; сверх того, каждый из них был сравнен, с одной стороны, с временным прототипом 12 Международного бюро, который был сравнен в#1882 г. с метром, хранящимся в архивах Франции, с другой стороны, с новым международным прототипом М. Наконец, эти последние прототипы 12 и M были также сравнены между собою. В каждой группе сравнения были произведены во всех возможных сочетаниях.

Сочетание результатов этих 196 полных сравнений или 784 отдельных сравнений дает для метра № 28:

при температуре 0°:

прототип № 28 = 1л*-|-0%5)л-Ь0Л ц.

Следовательно, уравнение прототипа будет: прототип № 28= l^+0,5pi f-8,650^. Г-j- 4-0,00100)хГ2=Ь0,2)1,

где Т означает температуру, выраженную в градусах нормальной шкалы, принятой для международной службы мер и весов.

Расстояние между вспомогательными штрихами. Эти расстояния были определены в воде, при помощи микрометров компаратора Бруннера, при наблюдении каждого конца в отдельности и их суммы. Наблюдения повторялись два раза под каждым из двух микроскопов.

Он хранится во Всесоюзном научно-исследовательском институте метрологии и стандартизации (ВИМС) в Ленинграде. Прототип № 11 = 1^ — 0,5^1+-8,650дГ+0,00100|х72 + 0,2ц. Таким образом, средняя длина двух наших прототипов при 0° как раз равна 1 м.

При обсуждении вопроса о прототипе килограмма были оживленные прения, в результате которых была принята резолюция:

.... Комиссия постановляет, что международный килограмм должен быть выведен из архивного килограмма в его теперешнем состоянии“.

Сначала был изготовлен из платино-иридиевого сплава один прототип килограмма, который после соответствующей обработки по Массе в пределах ошибок наблюдения оказался тождественен с архивным килограммом и который признали международным прототипом килограмма. Затем было изготовлено еще 42 прототипа, которые в 6 группах по 7 кг каждая и в. 7 группах по 6 кг каждая были сравнены между собой и, наконец, каждый килограмм сравнен с международным прототипом килограмма. При этом пришлось произвести 1092 отдельных взвешивания, которые дали возможность определить массу каждого прототипа килограмма.

При распределении прототипов килограмма по жребию Россия получила два прототипа (за № 12 и № 26). Прототип № 12-= 1 кг+-(-0,068 мг-\~ 0,002 мг и признан национальным прототипом килограмма для СССР и хранится в ВИМС в Ленинграде. Прототип № 26 = 1 кг—0,032 л/г+0,002 мг. В свидетельстве, выданном Международным бюро мер и весов, для прототипа килограмма № 12 сказано:

МЕЖДУНАРОДНЫЙ КОМИТЕТ МЕР И ВЕСОВ

СВИДЕТЕЛЬСТВО МЕЖДУНАРОДНОГО БЮРО МЕР И ВЕСОВ ДЛЯ ПРОТОТИПА КИЛОГРАММА № 12, ПРИНАДЛЕЖАЩЕГО РОССИЙСКОЙ ИМПЕРИИ, МИНИСТЕРСТВУ ФИНАНСОВ

Этот прототип был изготовлен гг. Джонсон, Маттеи и К0 в Лондоне из платино-иридиевого сплава, содержащего 10°/0 иридия, в форме цилиндра, высота которого равна диаметру.

Затем он был обточен и отполирован мелким наждаком, а окончательная подгонка его была произведена в Международном бюро после определения его объема. Все эти операции были выполнены конструктором г. Колло в Париже.

ОПИСАНИЕ

Килограмм имеет форму прямого цилиндра с закрепленными ребрами, имеющего 39 мм высоты и 39 мм в диаметре.

На цилиндрической поверхности, на высоты, нанесен при помощи полировальника № 12.

Он помещен под двумя стеклянными колпаками, на подставке, покрытой пластинкой горного хрусталя. Во время пересылки он прикрепляется к подставке посредством винтов, покрытых замшей, специально промытой для этой цели. Все это защищено медной крышкой...

Объем килограмма № 12 = 46,407 ml...

Изготовление эталонов было выполнено французской секцией Метрической комиссии

под руководством 12 представителей ряда государств. По предложению Метрической комиссии 1 марта 1875 г. в Париже состоялась дипломатическая конференция 20 государств „для обеспечения международного единства и совершенствования метрической системы“.

На этой конференции 20 мая 1875 г. было решено заключить договор международного характера, некоторые статьи которого приведены ниже:

„Ст. 1. Высокие договаривающиеся стороны обязуются основать и содержать на общие средства Международное бюро мер и весов— постоянное научное учреждение, находящееся в Париже.

Ст. 2. Международное бюро мер и весов будет действовать под исключительным наблюдением и руководством Международного комитета мер и весов, который в свою очередь подчиняется Генеральной конференции мер и весов, состоящей из представителей всех договаривающихся правительств.

Ст. 6. Международному бюро мер и весов поручаются:

1) все сличения и проверки новых прототипов метра и килограмма;

2) хранение международных прототипов;

3) периодические сличения национальных эталонов с международными прототипами или с их контрольными копиями, а также сличение образцовых термометров;

4) сличение новых прототипов с основными эталонами неметрических мер и весов, применяемых в разных странах и в науке;

5) выверка и сличение геодезических мер;

6) сличение эталонов и точных шкал, поверки которых будут просить либо правительства, либо ученые общества, либо мастера и ученые.

. . . Международные прототипы метра и килограмма, а также их контрольные копии хранятся в бюро; доступ к хранилищу принадлежит исключительно Международному комитету“.

Этот документ подписан представителями 17 государств, в том числе и Россией. В 1889 г. в Париже состоялась 1-я генеральная конференция мер и весов, которая своим постановлением утвердила первые международные прототипы.

После этого акта международного характера метрическая система получила все более широкое распространение. К 1 января 1925 г. метрическая система введена как обязательная в следующих странах:

Австрия Аргентина Болгария

Алжир Бельгия Боливия

Бразилия Конго Бельгийск. Сальвадор

Венгрия Коста-Рика Сешельские о-ва

Вененуэла Куба Сиам

Гаити Люксембург СССР

Гватемала О-в Маврикия Тунис

Германия Мальта Уругвай

Голландия Мексика Филиппины

Гондурас Никарагуа Финляндия

Греция Норвегия Франция

Гуам Панама Чехо-Словакия

Дания Перу Чили

Исландия Польша Швейцария

Испания Порто-Рико Швеция

Италия с коло- Португалия с Эквадор

ниями колониями Югославия

Колумбия Румыния Япония

и допущена в следующих странах:

Абиссиния Индия Брит Китай Турция

Великобритания Ирландия Парагвай Египет Канада САСШ

На предыдущих страницах мы видели, что русские научные деятели принимали весьма активное участие в пропаганде метрических мер, а в ряде случаев являлись инициаторами в проведении ряда мероприятий. Съезды русских фабрикантов, заводчиков и представителей торгового класса неоднократно высказывались, начиная с 1870 г., за введение метрических мер в России. Но только с 1900 г. русское правительство факультативно допустило метрические меры к употреблению в стране; в „Положении о мерах и весах“ 1899 г. ст. 2 гласит:

„Международные метр и килограмм, их подразделения, а равно и иные метрические меры дозволяется применять наравне с основными российскими мерами в торговых и иных сделках, контрактах, сметах, подрядах и т. п. по взаимному соглашению договаривающихся сторон*.

Начало обязательного введения метрической системы в нашей стране было положено декретом Совета народных комиссаров от 14 сентября 1918г.

Со времени начала работ по установлению международной системы мер прошло около 150 лет. За этот промежуток времени многое изменилось во взглядах на сущность этих мер.

Инициаторы новых мер являлись сторонниками „естественных“ мер, взятых из природы, причем ставилась задача — произвести измерения меридиана с такой точностью, чтобы невозможно было превзойти их в даль-

нейшем. В то же время Даламбр, один из главных участников этих измерений, в своей работе „Sur la base du Systéme métrique décimal“ считает, что величины, выражающиеся в сотых долях миллиметра, недоступны для измерения даже в научных работах наивысшей точности. Мы уже видели, что типы метра измерены с точностью до -f-0,02 ji.

В 1924 г. в ВИМС (Ленинград) доставлен компаратор для измерения жезлов длиною до 4 м\ конструкция его доведена до такого совершенства, что при постоянстве температуры четырехметровые жезлы измеряются с точностью до ^0,1 ji, т. е. относительная точность доведена до 0,000025°/0; точность измерений и в дальнейшем, конечно, будет повышаться.

В законе 1795 г. в п. 5 сказано: „Метр— мера длины, равная десятимиллионной части дуги земного меридиана, заключающейся между северным полюсом и экватором“. Дальнейшими исследованиями было выяснено, что длина земного квадранта больше 10 000 000 м. Так, по исследованиям знаменитого немецкого астронома Беселля он равен 10 000 856 м. Новые измерения могли дать новое число метров в этой дуге. Исследования же текущего столетия показали, что сам земной полюс перемещается, а следовательно, вообще нельзя даже говорить о постоянстве этой дуги. Следовательно, то, что создателям метрических мер казалось вечным и неизменным, в действительности не оказывается таковым. Кроме того фактически длина метра определяется его отношением к туаз у, с помощью которого измеряли длину дуги. Если сохранить формальное определение метра, которое дано в законе 1795 г., то сам эталон, а следовательно и меры длины, пришлось бы весьма часто менять. В законе 1799 г. находим другое определение метра (ст. 2): „Платиновые метр и килограмм, помещенные..., представляют окончательные образцы мер длины и веса для всей республики...“, т. е. в качестве эталона принимается архивный метр. Фактически эти два метра (согласно первому и второму определениям) имеют разные длины. Эта двойственность была ликвидирована по международному соглашению Генеральной конференцией мер и весов, постановлением которой „расстояние между средними штрихами“ представляет длину меры. Среди широких слоев населения и даже в учебниках и таблицах сплошь и рядом дается определение метра как 10000 QOu земного квадранта. Многие считают и считали, что первое определение метра является действительным определением длины, а второе служит только материальным выражением его. Мы видели выше, что они противоречат друг другу, и даже во Франции, которая проявила много энергии при установлении и распространении метрических мер, до 1913 г. была путаница; потребовалось издание особого закона 11 июля 1913 г., одна из статей которого гласит:

„Эталоном, или прототипом, метрической системы служит международный метр, признанный Генеральной конференцией мер и весов“.

Таким образом, прототип метра является совершенно произвольной условной единицей длины, которая принята за таковую по международному соглашению.

В качестве „естественного“ эталона длины еще в 70-х годах прошлого столетия Максвелл предложил длину волны света. Недавно скончавшийся американский физик Майкельсон в прошлом столетии разработал способ определения отношения метра к длине волны света. В 90-х годах прошлого столетия он эту работу выполнил в Международном бюро мер и весов и нашел, что длина красной линии кадмия в 1 м укладывается 1553163,5 раз, или длина волны красной линии кадмия равняется 0,64384722 ji.

По поручению Международного бюро мер и весов Бенуа, Фабри и Перро произвели новое определение отношения метра к длине волны красной линии кадмия; они нашли, что метр — 1553164, 13 X, а отсюда Х = = 0,64384696 ja. Это определение было произведено при 15° стоградусной шкалы и при нормальном давлении. Так как длина световой волны неизменна, то по современным воззрениям при определенных условиях последними работами устанавливается связь метра с неизменной величиной, а это дает возможность восстановить метр „даже если бы землетрясения и страшные перевороты потрясли нашу планету и уничтожили прототипы, хранимые в архивах“, по выражению Араго.

Относительно килограмма существовала и существует еще большая путаница, чем относительно метра. Закон 1795 г. говорит (ст. 5): „Грамм — абсолютный вес объема чистой воды, равного кубу сотой части метра при температуре тающего льда“. В законе 1799 г. говорится: „Платиновые метр и килограмм представляют собою окончательные образцы мер длины

и веса“. В данном случае грамм и килограмм узаконены как единицы веса, хотя создатели метрической системы хорошо знали, что вес тела изменяется с широтой и высотой места и зависит от расположения земных масс. В обиходе масса и вес тела часто смешиваются; это смешение усиливается тем, что определение массы чаще всего производят посредством весов, хотя при такой операции для покупателя, продавца, хозяйственника и т. д. почти всегда играет роль не притяжение тела к земле, а его масса. Название Международное бюро мер и весов нужно признать также неудачным. Даже в германском законе 1893 г. сказано: „Килограмм, представляемый массою определенного эталона, устанавливается как единица веса“. Смешение массы и веса продолжалось долго. 3-я генеральная конференция по мерам и весам (в 1901 г.) вынесла особое постановление о том, что прототип килограмма есть единица массы.

Килограмм-вес есть вес международного прототипа килограмма в пустоте при нормальном ускорении свободного падения, разном 9,80665 —т. Итак, прототип килограма есть единица массы, а не веса, как бчыло сказано в прежних законах. В определении единицы массы, как и единицы длины, была допущена двойственность : по закону 1795 г. это — масса воды при определенных условиях, а по закону 1799 г. она определяется чере.з архивный килограмм. Определение массы одного кубического дециметра воды показывает, что эта масса отличается от массы архивного килограмма. При. обсуждении этого вопроса в Метрической комиссии в 70-х годах прошлого столетия ставился вопрос: „Должен ли международный килограмм быть выведен непосредственно из архивного килограмма в том состоянии, в каком он находится, или его следует построить заново, из теоретического определения?“ Большинство высказывалось за установление связи между архивным килограммом и международным килограммом, что видно из постановления комиссии.

Создатели метрической системы стремились установить связь между единицами длины, объема и массы. По закону 1795 г. непосредственно устанавливается связь между мерами длины и мерами объема (метр и литр), с одной стороны, и между мерами длины и массой, с другой стороны (метр и грамм), а отсюда уже выводится зависимость между мерами массы и объемом, выраженным один раз в кубических дециметрах, а другой раз в литрах. Экспериментальные исследования показали, что объем одного и того же тела, выраженный в кубических дециметрах и литрах, численно нэ совпадает. Вследствие этого пришлось заменить прежнее теоретическое определение литра новым :„Литр есть объем одного килограмма воды при наибольшей ее плотности при нормальном атмосферном давлении. Литр принимается равным 1 000 028 кубического дециметра“

Таким образом, для объемов существует две меры — литр и его производные и кратные и кубический метр и его производные и кратные, но объем тела, выраженный соответственно в той и другой мере, численно не совпадает.

Название меры должно было состоять из названия основной меры и названия приставки, показывающей, во сколько раз данная мера больше основной или меньше основной. По закону 1795 г., название приставки для кратных мер должно было браться с греческого языка (дека-, гекто-, кило-,мирна-),а для дробных подразделений с латинского языка (деци-, санти-, милли-).

По отношению к мерам длины приведенный принцип словообразования был выдержан, но в практике названия декаметр и гектометр не употребительны и в стандарте мер длины они исключены. Позже добавлены: микрон = 10~6 м; миллимикрон = 10“9 м и ангстрем = 10~10 м; как видим, в этих мерах принцип словообразования создателей метрической системы не выдержан. Что касается кратных и дробных подразделений единиц массы, то здесь наблюдается еще большая путаница. Теоретической единицей массы является грамм, а прототипом служит масса в 1 яг, которая фактически является основной единицей массы. Вследствие этого грамм = во 10~3 основной единицы (килограмма), сантиграмм = 10“5 основной единицы (килограмма) и т. д. Для мер, кратных основной единице массы, добавлены: тонна—1000 л: г (метрическая тонна), близкая по величине к единице массы того же названия, применяющейся в Англии и Америке, и центнер — 100 Агг, который в некоторых государствах называют квинтал.

Наименования, сокращенные обозначения, определения и отношения к основным единицам мер были даны в Общесоюзном стандарте „Метрические меры“ (Ост 516). Этот

стандарт был разработан Главной палатой мер и весов, рассмотрен и утвержден Всесоюзным комитетом по стандартизации (ВКС) при СоЕете труда и обороны 7 мая 1929 г. как обязательный с 1 августа 1929 г.

По предложению ВИМС (б. Главная палата мер и весов) в него внесены некоторые изменения и дополнения. 8 июля 1933 г. проект стандарта „Метрические меры“ в новой редакции обсуждался в ВКС и утвержден как обязательный с 1 октября 1 933 г.

Уже прошло почти 150 лет, как представители науки, техники и общественности высказываются за скорейший переход от отечественных мер к метрическим. Правительства почти всех культурных стран сделали метрические меры обязательными, а некоторые государства, в том числе Англия и Соединенные штаты, допускают их факультативно.

В нашей стране с 1 октября 1933 г. все измерения должны производиться только в метрических мерах, причем в печати, в школах всех типов, на изделиях промышленности, в торговле и т. д. допускаются только стандартные сокращенные обозначения наименований метрических мер. Преподаватели и другие работники обязаны выяснять преимущества метрических мер и сокращенных стандартных обозначений.

ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

Доц. Ю. КУШНИР (Москва)

Всякий процесс, при котором электрон, поглощая падающий квант света, приобретает достаточную энергию, чтобы освободиться от первоначально наложенных на него связей, может быть назван фотоэлектрическим эффектом.

Различают следующие разновидности фотоэффекта:

1. Внешний фотоэффект.

В этом случае электроны вырываются светом (видимой или невидимой области спектра) из поверхности вещества, в большинстве случаев из поверхности металла.

2. Фотоэффект рентгеновых лучей.

3. Фотоионизацию, или вырывание электронов из молекул газа и пара.

4. Фотопроводимость, или вырывание электронов светом в изоляторе, благодаря чему последний становится проводником. Этот фотоэффект называется еще внутренним фотоэффектом.

5. Вентильный фотоэффект.

Этот фотоэффект происходит на границе соприкосновения двух тел в том случае, если между ними имеется прослойка плохого проводника.

Содержанием настоящей статьи является только круг явлений, объединяемых внешним фотоэффектом, получившим наибольшее практическое применение.

В 1888 г. Гальвакс нашел, что при освещении ультрафиолетовыми лучами цинковой пластинки, изолированной от земли и соединенной с электроскопом, пластинка эта приобретает положительный заряд. Этот опыт наряду с некоторыми другими привел к заключению, что под действием ультрафиолетовых лучей цинковая пластинка теряет отрицательное электричество. Вскоре после этого Эльстер и Гейтель нашли такие металлы, которые теряли отрицательное электричество уже под действием видимого света. Этими металлами оказались калий, натрий, цинк и алюминий, амальгамированные ртутью. Этим же авторам принадлежит идея помещения фотоэлектрических поверхностей в вакуум, благодаря чему значительно двинулось вперед и изучение фотоэлектрических явлений вообще и появилась в частности первая возможность практического использования фотоэффекта.

В 1899 г. Ленард в Германии и Томсон в Англии, исследуя природу отрицательного электричества, выбрасываемого поверхностями металлов под действием света, нашли, что это электричество есть не что иное, как поток электронов. Таким образом, как уже было сказано вначале, сущность внешнего фотоэффекта заключается в том, что под действием света электроны металла, получив дополнительную энергию, имеют возможность преодолеть силу, удерживающую их в металле. Казалось бы естественным, что чем сильнее свет, падающий на поверхность металла, тем с большей скоростью должны вылетать электроны. Однако, как показал Ленард, а еще раньше и Эльстер и Гейтель, силе света пропорционально только количество уходящего от металла отрицательного электричества, т. е. силе света пропорционально число выры-

ваемых из металла электронов. Скорость же электронов или, точнее, энергия электронов, как неопровержимо доказал Ленард, для данного металла зависит только от длины волны падающего света, а именно: чем короче длина волны падающего света, тем больше кинетическая энергия вырываемых из металла электронов. Помня, что равенство \ — с-Т (где с—скорость распространения света, Т— период колебания, аХ — длина волны), можно еще написать в виде к = с-— , где> — число колебаний в секунду, или частота, мы можем то же самое сказать еще так: энергия вырываемых из металла электронов тем больше, чем больше частота колебаний падающего света. Если светом одной и той же частоты v освещать разные металлы, то наибольшая кинетическая энергия вылетевших электронов будет разная.

Полученный Ленардом результат совершенно не вязался с классическими представлениями о свете как о волновом процессе. В самом деле, согласно теории Максвелла свет есть электромагнитный колебательный процесс, энергия которого, как у всякого гармонического колебательного процесса, пропорциональна квадрату амплитуды. Поэтому, чем больше, скажем, амплитуда электрического колебания световой волны, тем больше должна быть скорость электрона, получившего свою энергию от этих колебаний.

Чтобы объяснить факт независимости скорости электронов от интенсивности света, Эйнштейн предложил в 1905 г. использовать выдвинутую еще в 1900 г. гипотезу Планка и рассматривать свет состоящим из отдельных порций энергии—квантов света; величина такой элементарной порции энергии, по Эйнштейну, равна /zv, где h так называемая постоянная Планка, a v — частота света. Вылетая из источника, квант света летит со скоростью с и, дойдя до вещества, скажем, металла, отдает свою энергию Av столкнувшемуся с ним электрону. За счет этой энергии электрон преодолевает те силы, которые удерживали его внутри металла, \\ с некоторой скоростью покидает его поверхность. Энергетический баланс будет таков:

^p-f~P=Äv. . . (уравнение Эйнштейна);

здесь äv —энергия (выраженная в эргах) кванта света; Р—работа, потраченная электроном на преодоление связей в металле, —--кинетическая энергия вылетевшего электрона. Так как Р меняется от металла к металлу, то понятно, что и свет одной и той же частоты v в разных металлах будет сообщать электронам различную максимальную скорость, определяемую из уравнения Эйнштейна. Мы говорим здесь—максимальная скорость, потому что отнюдь не все электроны, вырываемые из металла светом частоты v, будут иметь одну и ту же скорость, определяемую уравнением Эйнштейна. Может случиться, что вследствие столкновений внутри металла электрон, прежде чем выйти к поверхности, сильно изменит и величину и направление скорости. Поэтому фактически у электронов, покинувших металл, имеются все скорости, начиная от нуля и кончая максимальной, определяемой уравнением Эйнштейна.

Черт. 1

Экспериментальная проверка уравнений Эйнштейна показала применимость его для всего интервала длин волн, начиная с инфракрасных лучей и кончая у_лУчами- Для того чтобы понять, каким образом может быть проведена экспериментальная проверка закона Эйнштейна, обратимся к рассмотрению простейшего, так называемого вакуумного фотоэлемента (черт. 1).

Здесь С— стеклянный эвакуированный баллон, MS—слой щелочного металла (калий, натрий); К—платиновая проволока, соединяющая слой MS с отрицательным полюсом батареи В; R — анод; Е — так называемое защитное кольцо, служащее для отвода в землю тех токов, которые могли бы возникнуть между анодом и катодом просто по стеклу (так как прибор G может быть чувствительным электрометром, то даже эти ничтожные токи будут им регистрироваться).

Чем сильнее свет, падающий на фотоэлемент (на чертеже указан стрелками), тем большее количество электронов вырывает он из поверхности MS, тем больший ток идет через измерительный прибор О. В качестве такого прибора употребляется обычно или зеркальный гальванометр (токи до 10“10А) или электрометр. Батарея В служит для того,

чтобы увести к аноду все электроны, вырываемые из катода (не будь батареи, на анод попадала бы только часть электронов, и ток был бы много меньше).

Как видно из схемы, фотоэлемент нельзя назвать в полном смысле слова прибором, преобразующим световую энергию в электрическую: так было бы, не будь у нас ускоряющей батареи В; но так как без нее фототоки, по указанной выше причине, чересчур малы, то здесь источником энергии является батарея В. И только в так называемых купроксных фотоэлементах, работающих по принципу вентильного фотоэлемента, мы получаем значительный фототок в цепи без применения ускоряющего напряжения.

Для определения максимальной скорости электронов, вырываемых из поверхности металла светом частоты v (чтобы выделить из спектра желательную длину волны, употребляют или светофильтры, пропускающие интересующие нас волны, или пользуются особым прибором, монохроматором, по принципу своему работающему, как обычный спектрограф: вращая призму, мы пропускаем сквозь выходную щель требующийся участок спектра) поступим следующим образом.

Присоединим к анодному кольцу R фотоэлемента отрицательный полюс батареи, а к проволоке К—положительный. Тогда вместо прежнего притяжения электроны, вырываемые из металлического слоя MS, будут испытывать со стороны К отталкивание, и только те из из них достигнут кольца /?, кинетическая энергия которых достаточна для совершения работы против сил электрического поля на протяжении от A1S до /?.

Меняя разность потенциалов между MSu R, можно, наконец, добиться того, что даже кинетической энергии самых быстрых электронов, определяемой уравнением Эйнштейна

уже не будет достаточно для преодоления сопротивления сил электрического поля. В это время, очевидно, тока в приборе G не будет. Из теории электричества известно, что при перемещении электрического заряда в электрическом по ie совершается работа

W = eV,

где W—работа, е — заряд, V—разность потенциалов на пройденном зарядом е участке.

Если W выражено в эргах, е в эл. стат. единицах, а V в вольтах, то

Для того чтобы через прибор О не шел электрический ток, между металлом MS и кольцом /? должна быть такая разность потенциалов, чтобы

Так как величина е заряда электрона нам известна, 1/тоже известно (равно сумме приложенной извне разности потенциалов ]/г и контактной разности потенциалов, возникающей при соединении двух металлов V2), то мы можем определить и — .

Как следует из уравнения Эйнштейна, зависимость между ^* и V линейная, т. е., если мы будем откладывать по оси j/-ob — —eV, а по оси jc-ob частоту v, то мы должны получить прямую, тангенс угла наклона которой с осью лг-ов равен h. Таким образом, если закон Эйнштейна справедлив, то мы должны получить, во-первых, линейную зависимость между — и v и, во-вторых, из наклона этой прямой к оси *-ов определить величину h. Опыты Милликэна, Ричардсона и Комптона блестяще подтвердили справедливость уравнения Эйнштейна. Величина /*, определенная Милликэном из наклона прямой, равна h =6,57.10“27 эрг. сек. (величина, найденная Планком из измерений излучения черного тела, составляет h — = 6,55- 1(Г-7).

Описанный метод проверки закона Эйнштейна носит название метода задерживающего потенциала.

Определяя скорость спадения тока в приборе О, по мере увеличения задерживающего потенциала, можно (применяя фотоэлемент особой конструкции) определить распределение фотоэлектронов по скоростям. Так, оказалось, что наибольшее число вылетающих из поверхности фотоэлектронов падает на электроны, имеющие кинетическую энергию, равную приблизительно половине максимальной, определяемой уравнением Эйнштейна. На чертеже 2 воспроизведены распределения электронов по скоростям, полученные Лукирским и Прилежаевым на алюминии при освещении его ультрафиолетовым светом.

Из уравнения Эйнштейна следует, что

если h> = P, то — О, т. е. если мы будем освещать данную поверхность даже сколь угодно сильным светом, частота которого удовлетворяет неравенству hy<^p, никакого

выхода электронов мы не обнаружим. Физически это значит, что энергии, поглощенной электроном кванта света Av0, уже недостаточно, чтобы преодолетъ силу, удерживающую электрон внутри металла. Длина волны света, начиная с которой прекращается выход фотоэлектронов, называется граничной длиной волны. Очевидно, что при всех Х>Х0 фотоэффекта не наступает. Для различных веществ величина граничной длины волны >0 разная. Кроме того она существенным образом зависит от обработки поверхности, степени загрязнения и т. д.

В таблице приведены ># для различных чистых металлов:

Таблица

Металл

в ангстремах (1Л°=10 » см)

Серебро ........

2510 А°

Золото .........

2670 А0

Калий .........

5500 А°

Литий .........

5400 А°

Натрий.........

5000 А°

Платина........

19Ö2 А°

Цинк..........

3720 А°

Черт. 2

Как видно из таблицы, только для щелочных металлов,—лития, натрия и калия граничная длина волны лежит в области видимого света, т. е. фотоэффект на таких поверхностях будет происходить для всех длин волн видимого света Х<О0- Для остальных металлов таблицы фотоэффект начинается только в области близкого или далекого ультрафиолета. (Как известно, область видимого спектра простирается от 3800 А° —фиолетовая часть, до 7600 А° — красная часть.)

Чрезвычайно интересна зависимость фототока от длины волны света, падающего на поверхность металла.

На чертеже 3 по оси ординат отложены силы токов, по оси абсцисс — соответствующие длины волн падающего света. (Кривая снята для Pt Зурманом.) При этом количество энергии падающего света бралось всякий раз одно и то же. Как видно из чертежа, с уменьшением длины волны сила тока непрерывно возрастает. Такой ход зависимости тока от длины волны называется нормальным в отличие от так называемого селективного фотоэффекта, где при определенной длине волны сила фототока проходит через максимум. Селективную зависимость обнаруживают все щелочные металлы. На чертеже 4 показаны кривые фототоков в зависимости от длины волны для группы щелочных металлов. (Кривые, приведенные на чертежах 3 и 4, если они отнесены к поглощенной металлом энергии, называются кривыми спектральной чувствительности.)

Как оказывается, селективный фотоэффект помимо X зависит еще от направления колебаний электрического вектора световой волны. А именно: селективный фотоэффект в подавляющем большинстве появляется, только когда электрический вектор световой волны расположен в плоскости падения. Если электрический вектор расположен в плоскости, перпендикулярной к плоскости падения, кривая спектральной чувствительности обнаруживает нормальный ход. Чертеж 5

Черт. 3

показывает ход обеих кривых для смеси натрия и калия1.

Легко сообразить, что место пересечения кривой спектральной чувствительности с осью абсцисс дает длину граничной волны Iq.

Черт. 4 Черт. 5

Мы уже выше отмечали, что длина граничной волны Х0 даже для одного и того же вещ:ства сильно зависит от его частоты и т. д. Оказывается однако, что можно влиять искусственно не только на положение граничной длины волны Х0, но и на характер всей кривой спектральной чувствительности в целом. Пропуская, например, сквозь калиевый фотоэлемент, наполненный водородом (при небольшом давлении), тлеющий разряд, мы получим образование гидрида щелочного металла. Благодаря такой обработке (гидрирование) сильно облегчается работа выхода электронов из калия (Р в законе Эйнштейна), сильно возрастает общая чувствительность фотоэлемента, и как максимум селективной кривой, так и граничная длина волны перемещаются в сторону длинных волн. При работе с обычными источниками света (электрические лампы накаливания) это обстоятельство играет решающую роль.

Поверхности с чрезвычайно высоким выходом электронов и огромной чувствительностью в области красной и инфракрасной части спектра былл получены нанесением тонкой пленки щелочного металла цезия на специальным образом обработанную подкладку. В результате различных манипуляций оказывается возможным сдвинуть граничную длину волны до 10 000 Л°, т. е. в область инфракрасного света. (За недостатком места мы опускаем здесь даже более или менее краткий перечень возможных приемов и способов получения таких поверхностей.)

Отметим также, что общее увеличение фототоков еще со времен Эльстера и Гейтеля осуществляется простым наполнением пустотного фотоэлемента каким-нибудь благородным газом: неоном, аргоном, гелием.

Благородный газ берется для того, чтобы избежать химических реакций.

Здесь большой ток объясняется ионизацией молекул благородного газа ударами, возрастающей с напряжением, приложенным к катоду и аноду. Благодаря появляющимся в газе ионам фототок возрастает в десятки раз.

Приведенные выше кривые спектральной чувствительности не могут найти простого квантового объяснения. В самом деле, чем выше частота света, тем больше энергия соответствующего кванта света. Поэтому, если тело поглотило одну и ту же световую энергию, но один раз при освещении светом частоты у1? а другой v2, причем V2^>v3, то количество поглощенных квантов света большее для света v1? чем v2. Поэтому, так как при фотоэлектрическом эффекте один электрон поглощает только один квант света, было бы естественным ожидать больший ток при освещении светом больших длин волн (малые v), чем при коротких (большие). (При этом не надо забывать, что речь все время идет о токе, отнесенном к одному и тому же количеству поглощенной энергии.)

Объяснение этого факта может быть найдено в более детальном рассмотрении про-

1 Для изучения такой зависимости необходимо брать зеркальную поверхность и направлять свет под углом.

цессов поглощения металлом квантов света, вдаваться в которые мы не будем. Вообще, для теоретического объяснения всей суммы явлений внешнего фотоэффекта (зависимость от длины волны, от поляризации, от характера поверхности и т. д.) недостаточно уже аппарата классической физики, и требуется применение волновой механики.

Интересно, например, что уравнение Эйнштейна может быть получено в этой теории, рассматривающей свет как волновой процесс, если при этом и электроны рассматривать как волны.

Одной из общепринятых современных теорий внешнего фотоэффекта, базирующегося на представлениях волновой механики, является теория И. Е. Тамма и С. П. Шубина. Согласно этой теории, внешний фотоэффект слагается из двух эффектов: объемного (вырывание электронов из поля кристаллической решетки металла) и поверхностного— вырывание электронов из поверхности, удерживаемых здесь так называемым потенциальным барьером. Каждый из этих фотоэффектов (объемный и поверхностный) имеет свою граничную длину волны: поверхностный более длинную, чем объемный; кривая зависимости силы фототока от X для поверхностного фотоэффекта, например в случае калия, проходит через максимум (селективный максимум), соответствующая кривая объемного фотоэффекта постепенно возрастает в сторону более коротких длин волн.

Поверхностный фотоэффект вызывается только той компонентой электрического поля световой волны, которая перпендикулярна к поверхности металла (см. выше связь селективного фотоэффекта с направлением электрического вектора); объемный фотоэффект вызывается и || и J_ компонентой.

Кривые фотоэффекта калия, полученные Таммом и Шубиным теоретическим путем, чрезвычайно хорошо согласуются с опытными данными. В основе современных теорий фотоэффекта лежит новая теория металлов, разработанная Зоммерфельдом на основании статистики Ферма.

Широкое применение нашли фотоэлементы в практике. Еще Эльстер и Гейтель воспользовались линейной зависимостью между силой света, падающего на фотоэлемент, и силой возникающего электронного тока, и предложили использовать фотоэлементы для фотометрических целей. За последние годы фотоэлектрические методы получили всеобщее признание в практике фотометрии. При помощи фотоэлемента и чувствительного гальванометра возможно измерить освещенности порядка сотых долей люкса. При измерении фотоэлементом еще меньших освещенностей необходимо применение электрометров, или усилителей. На чертеже 6 приведена простейшая схема фотоэлектрического фотометра с усилителем.

Значительное применение нашли фотоэлементы в практике звездной фотометрии. Так, с применением фотоэлемента с усилителем удалось получить от света Юпитера ток от Ю~4 А° до 10“5 А°\

Чрезвычайно большую роль играют фотоэлементы в передаче изображений на расстоянии и в звуковом кино. При передаче изображения на расстоянии в механическом телевидении световой пучок по точкам обегает предмет (развертка по точкам осуществляется в большинстве случаев так называемым диском Нипкова); отраженный свет падает на фотоэлемент, в котором в зависимости от интенсивности отраженного света будут возникать соответствующие импульсы тока. После усиления колебания тока поступают на модулятор передатчика, модулируют ток высокой частоты, создающий в антенне электромагнитные колебания, распространяющиеся в эфире. На использовании фотоэффекта основано и новое, так называемое катодное телевидение.

В звуковом кино для воспроизведения записанного на ленте звука пропускают свет сквозь тот край движущейся пленки, где произведена запись звука, и проходящий свет улавливается фотоэлементом. После усиления токи фотоэлемента поступают в репродуктор, где воспроизводится звук, записанный на пленке. В Америке фотоэлементы применяются для автоматической сортировки сигар по цвету, для светового управления поездами, при котором исключается возможность прохождения поезда мимо заградителя, и для целого ряда других целей.

Черт. 6

ОСНОВНЫЕ ИДЕИ ТЕЛЕВИДЕНИЯ

Инж. З. Б. ГИНЗБУРГ (Москва)

Видеть на расстоянии — давнишняя мечта человечества. Она привлекала к себе мысли изобретателей с давних времен. Однако состояние техники и необходимость решения целого ряда предварительных проблем надолго задержали практическое решение этой задачи.

И лишь теперь мы, как будто, начинаем находить пути к осуществлению мечты видеть на расстоянии.

Первыми шагами, приблизившими разрешение вопроса передачи изображения на расстоянии, были открытия светочувствительности селена и фотоэлектрического эффекта.

В 1873 г. Мэй нашел, что под влиянием света, падающего на селен, последний меняет свою электропроводность; с прекращением действия света электропроводность селена возвращается к прежнему состоянию.

Сущность же фотоэлектрического эффекта, открытого в 1888 г., заключается в том, что поверхность ряда тел, помещенных в вакуум вместе с заряженным положительно проводником — анодом, под влиянием лучей света начинает выбрасывать электроны, которые устремляются к этому аноду и создают внутри сосуда проводимость для электрического тока; величина этой проводимости изменяется прямо пропорционально силе падающего света.

Одна из первых установок, предназначавшихся для передачи изображения на расстоянии, относится к 1906 г. Ринье и Фурнье построили прибор для передачи простых изображений, который состоял из 64 квадратов, в которые были вставлены селеновые элементы. Каждый квадрат соединялся двумя проводами с соответствующим световым затвором на месте приема, причем эти световые затворы были расположены в том же порядке, как и селеновые элементы. Передаваемое изображение проектировалось на селеновые элементы, возбуждало в них электротоки, которые действовали на заслонки и открывали их в том случае, если соответствующий селеновый элемент был освещен. Сзади заслонок на приемной доске помещались источники света, и таким образом на месте приема получалось передаваемое изображение.

Эта идея разложения передаваемого изображения на отдельные составные части — квадраты или точки — сохранилась до сих нор.

Четкость и ясность изображения зависят от числа точек. При небольшом числе точек изображение получается весьма схематичным. Наоборот, при разбивке изображения на большое число квадратов изображение получается весьма ясным и четким, хотя вся система значительно усложняется вследствие того, что каждый элемент потребует особой пары проводов для приведения в действие своей заслонки.

В 1884 г. Нипков предложил не передавать одновременно все элементы изображения, а разбивать его на отдельные элементы и затем передавать одну точку за другой в известной последовательности, воспроизводя их в той же последовательности на месте приема. Благодаря этому появилась возможность передавать изображение по одной паре проводов. Практически осуществить такую систему все же тогда не удалось вследствие недостаточно высокого уровня техники того времени.

Большинство затруднений разрешилось лишь после изобретения катодных (усилительных) ламп, после чего телевидение за короткий срок сделало крупные шаги вперед.

Любой рисунок мы можем представить себе в виде сочетания в известном порядке темных и светлых точек. Большое скопление темных точек создает впечатление черного цвета, в то время как небольшое число их создает впечатление серого, а отсутствие их — белого цвета. Разбивая какое-либо изображение на ряд горизонтальных (или вертикальных) полос, а последние в свою очередь — на квадраты (черт. 1), мы можем где-либо в другом месте воспроизвести эту картину,

Черт. 1

если будем в том же порядке соединять черные и белые квадраты.

Однако передать одну картину еще недостаточно. Для того чтобы передать движущееся изображение, приходится воспользоваться принципом, применяемым в кино. Там для создания непрерывности движения заснятых объектов делают до 16 отдельных снимков в секунду. Вследствие малого времени засъемки — всего около 0,04 секунды — снимаемый объект за время экспозиции не успевает сколько-нибудь значительно сдвинуться. Отдельные же снимки будут учитывать то передвижение объекта, которое произошло за промежуток времени между двумя съемками, т. е. за секунды, так что изображение объекта на каждом снимке будет несколько смешено по сравнению с предыдущим. При проектировании этих снимков на экран с той же скоростью и с той же экспозицией, которая имела место при съемке, у нас получится впечатление движущегося изображения, так как не успеет еще исчезнуть зрительное впечатление от одного снимка, как его уже сменяет другой с несколько измененным положением объекта. Снимки как бы накладываются друг на друга и создают впечатление слитного и непрерывного движения.

Таким образом, мы видим, что помимо необходимости разбить изображение на отдельные полосы и точки необходимо еще передать не одно, а несколько картин (кадров) за одну секунду, чтобы добиться впечатления движения объекта. В современных телевизионных установках производится передача от 12,5 до 25 таких картин в секунду.

Разложение изображения на точки, или развертка изображения, в телевизионных установках производится двумя различными путями. В зависимости от способа развертки различают два способа телевидения — механическое телевидение и катодное телевидение. В механическом телевидении развертка изображения и воспроизведение производятся механическим путем, различными механическими приспособлениями, тогда как в катодном— при помощи специальных электровакуумных приборов.

Ознакомимся вкратце со способами механического телевидения.

В наиболее распространенной системе механического телевидения развертка производится так называемым диском Нипкова, представляющим собой металлический круг (черт. 2), в котором по спирали проделан ряд отверстий с таким расчетом, чтобы каждое следующее отверстие было смещено по радиусу на ширину его (черт. 2). На чертеже показан диск с 12 отверстиями. Стандартным же диском является диск с 30 отверстиями.

Черт. 2

Если за диском поместить изображение, которое мы хотим передать (на чертеже оно изображено заштрихованной площадью и помещено за диском), то при вращении диска первое его отверстие опишет дугу, которая придется немного ниже верхнего края картины, и проведет по ней, таким образом, узкую полосу. Если мы встанем перед диском и будем наблюдать за изображением через проходящие перед ним отверстия диска, то мы увидим (при медленном вращении диска) смену светлых, затененных и темных точек. Как только первое отверстие пройдет всю полосу и выйдет из пределов картины, то следующее отверстие подойдет к краю картины и проведет по изображению новую полосу, верхним своим краем прилегающую к верхней полосе. Так как третье отверстие смещено относительно второго также на ширину его, то и оно в свою очередь проведет такую же полосу на картине и т. д. После одного оборота диска на всей картине не останется ни одной точки, которая не была бы перекрыта тем или иным отверстием. Таким образом, все изображение окажется разложенным на ряд горизонтальных полос, соприкасающихся одна с другой, а последнее в свою очередь—на ряд точек.

Общая схема, передающая установку, показана на чертеже 3. Объект, изображение которого хотят передать, помещается перед источником света. Его изображение с помощью объектива откидывается на вращающийся диск Нипкова и ограничивающую рамку, подобно тому, как объектив фотоаппарата отбрасывает изображение на матовое стекло. Сзади диска Нипкова помещается фотоэлемент. На него будет падать свет последовательно от каждой из точек горизонтальных полос передаваемого изображения.

В зависимости от силы света, т. е. от освещенности той или иной передаваемой точки, меняется ток, проходящий через фотоэлемент. Затем эти колебания тока усиливаются и накладываются на колебания, излучаемые передатчиком, точно так же, как звуковые колебания накладываются на частоту передатчика при радиотелефонии.

На приемной радиостанции процесс происходит обратным путем. Принятые колебания высокой частоты при помощи приемника превращаются в колебания низкой частоты, соответствующие импульсам, даваемым фотоэлементом. Дальнейшая задача; заключается в том, чтобы преобразовать полученные электрические колебания в световую энергию и воспроизвести переданное изображение. Помимо диска Нипкова на приемной станции применяется еще неоновая лампа. Она состоит из стеклянного баллона, наполненного газом неоном при небольшом давлении. Внутри баллона помещаются два электрода, один в форме пластинки, а другой—в форме рамки. Если неоновую лампу приключить к источнику постоянного тока таким образом, чтобы пластинка соединялась с отрицательным полюсом, а рамка — с положительным, то при достаточно высоком напряжении лампа вспыхнет, и поверхность пластинки будет светиться розовым светом. При увеличении напряжения лампа загорится более ярким светом, а при уменьшении его — потухнет. Главное достоинство неоновой лампы, делающее ее пригодной для телевидения, заключается в том, что изменение силы ее света в точности следует за изменением проходящего через нее тока, и это изменение практически происходит мгновенно. Если напряжение источника тока будет постоянным, то лампа будет давать ровный, немигающий свет. Если же ее приключить к приемнику и подвести от него сигналы, приходящие с передающей станции, то свет лампы будет меняться в соответствии с силой приходящих сигналов.

Допустим, что диск приемника (черт. 4) вращается точно с такой же скоростью, как и диск передатчика, и, кроме того, движение обоих дисков происходит синхронно. В этом случае отверстия диска приемника и передатчика проходят через картину одновременно и точно в том же порядке, с одной и той же скоростью. Тогда и элементы изображения в приемнике будут располагаться строго в той же последовательности, в какой они идут в передатчике. За один оборот диска отверстия в нем охватят всю передаваемую картину, и в приемнике, в вырезе рамки перед неоновой лампой, пройдут все отверстия диска — мы увидим целое изображение, составленное из темных и более или менее светлых вспышек неоновой лампы, видимых через отдельные отверстия диска. Так как диск делает от 12,5 до 25 оборотов в секунду, то отдельные картины накладываются друг на друга, и у наблюдателя получится впечатление цельности и непрерывности движения.

Совершенно ясно, что на месте приема мы получим правильное изображение лишь тогда, когда оба вращающихся диска будут не только одинаковы по скорости, но и по фазе. Иными словами, необходимым условием для получения изображения является синхронность вращения передающего и приемного дисков. Если же синхронности не будет, то даже при небольшом расхождении в скоростях изображение будет постепенно смещаться или в одну сторону или в другую. При увеличении же расхождения скоростей вращения скорость перемещения изображения будет все увеличиваться и, наконец, четкое изображение пропадает совершенно, и вместо него будут видны только светлые и темные передвигающиеся пятна.

Для проведения синхронизации существует несколько способов. Один из них — это применение так называемых синхронных моторов. Особенностью синхронных моторов является то, что число оборотов их зависит только от частоты электрического тока, а отнюдь не от его напряжения. Таким образом, если частота, питающая приемник и передатчик, будет одной и той же, то вращение обоих дисков будет синхронным. Но в том случае, когда передатчик и приемник находятся в районах разных электростанций, то применение синхронных моторов может оказаться недействительной мерой, потому что частота переменного тока двух электростан-

Черт. 3

ций может быть неодинаковой. Другой способ заключается в применении на месте приема специального генератора переменного тока, дающего такую же частоту, как и та частота, которая питает мотор передатчика.

Наиболее же эффективным способом является так называемая принудительная синхронизация. Она называется принудительной потому, что передатчиком после прохождения каждой полосы посылается специальный синхронизирующий импульс, который заставляет диск приемной установки поддерживать скорость вращения постоянной и равной скорости вращения диска передатчика. При слишком большой скорости импульсы тормозят диск, а при слишком медленной—наоборот, подталкивают его.

Недостатком системы телевидения с диском Нипкова является то, что изображения весьма трудно разложить на большое число точек, а потому изображения получаются слишком схематичными и грубыми. Диск Нипкова дает возможность получить не свыше 30—40 полос, что соответствует 30—40 отверстиям. При 60 полосах диск получается уже очень громоздким, а на 120—200 полос его вообще оказывается невозможным построить. Кроме того малейшая неточность в размещении отверстий или в их форме неизбежно приводит к большим искажениям.

Кроме системы с диском Нипкова существует еще ряд других систем механического телевидения, например с зеркальным винтом, зеркальным колесом Вейлера и т. п., но они пользуются сравнительно малым применением, а некоторые из них находятся еще в стадии лабораторной разработки и поэтому мы на них останавливаться не будем.

Катодное телевидение представляет собой более совершенный способ передачи и приема изображений на расстояние, свободный от различного рода дисков, синхронизатороз и других механических и вращающихся частей, усложняющих установку. Кроме того с помощью приборов, входящих в установку, оказывается возможным разложить изображение до нескольких сотен тысяч точек, т. е. до такого числа, о котором при механическом телевидении не приходится и мечтать.

В основе этого метода телевидения лежит применение катодной трубки Брауна. В своем основном виде она находит себе применение в так называемом катодном осциллографе и может быть использована для приемных установок телевидения.

Черт. 4

Схематическое устройство приемной трубки показано на чертеже 5.

Как видно из чертежа, трубка представляет собой стеклянный сосуд воронкообразной формы; широкое „дно“ служит экраном и покрывается изнутри флуоресцирующим слоем. Левая часть трубки цоколя напоминает собой трехэлектродную лампу. Около цоколя находится катод — нить, накаливаемая от какого-либо источника тока. Вокруг катода имеется колпачок с весьма небольшим отверстием в нем. Колпачок играет роль сетки. Правее сетки помещена пластинка с отверстием посредине, играющая роль анода, причем на него подается высокое напряжение. При нагревании катода до определенной температуры из него в отверстие колпачка вырывается поток электронов, который летит к аноду с большой скоростью. Величина потока электронов зависит от того, какое напряжение приложено к колпачку : увеличение положительного заряда на колпачке увеличивает поток электронов, и наоборот. Так как электроны имеют большую скорость, то часть их проносится мимо анода через центральное отверстие и образует в правой части трубки узкий электронный поток, который, ударяясь об экран на широком дне трубки, вызывает сведение его в точке попадания.

Если на пути электронного пучка расположить две пластины С, так, чтобы элек-

Черт. 5

троны пролетали между ними, и сообщать этим пластинам некоторый электрический заряд, то электронный поток отклонится в сторону пластины, имеющей положительный заряд, причем величина этого отклонения будет пропорциональна величине заряда. Изменяя плавно величину напряжения и знаки его на пластинах С, мы получим на экране последовательно загорающиеся точки, которые в результате дадут прямую полоску b на чертеже 5.

Точно таким же образом будут действовать пластины С0, отклоняя электронный поток вправо и влево, так что при соответствующем изменении напряжения на пластинах мы получим светящуюся полоску а. Если необходимые напряжения будут подаваться на обе пары пластин, и изменение напряжения на С« будет проходить значительно медленнее, чем на Ср то электронный пучок проведет последовательно линии с, d и т. д. до тех пор, пока эти светящиеся полоски не покроют всего экрана. Таким образом, катодный луч будет производить развертку точно так же, как это имело место при применении диска Нипкова. Однако число полос, а следовательно и число элементов, не будет уже зависеть от геометрических размеров всей системы (от числа отверстий — у диска Нипкова), а исключительно лишь от скорости изменения напряжений на пластинах Сл и С2 и от площади сечения электронного пучка.

Когда скорость перемещения электронного луча будет такова, что он прочертит весь экран в - —секунды, и интенсивность его будет оставаться неизменной, то наблюдателю весь экран покажется одинаково освещенным. Если же на колпачок лампы попадает различное напряжение, соответствующее проходящим с передающей станции сигналам, то интенсивность электронного потока уже не будет все время одинаковой, и на экране получатся темные и светлые точки, и из сочетания их составится изображение.

В качестве материала, применяемого для флуоресцирующего экрана, служит цинко-орто-силикат, имеющий большое сходство с натуральным виллемитом. Этот материал выбран из-за его высокого коэфициента полезного действия. Это обстоятельство объясняется тем, что виллемит флуоресцирует зеленым цветом, спектр которого имеет максимум, почти совпадающий с наибольшей чувствительностью глаза. Вместо электростатического поля, создаваемого между пластинами С, и С2, с успехом можно прим нить электромагнитное голе, для чего вокруг узкой части трубки придется поместить две пары электромагнитов, перпендикулярно расположив их друг относительно лруга. Одна пара электромагнитов будет перемещать пучок со стороны на сторону, а другая — сверху вниз.

Диаметр широкой части трубки равен 23 см, что позволяет получать картину 14 X 17 см*

Разобранный выше принцип работы трубки Брауна положен также в основу передающей катодной трубки.

Главное отличие передающей трубки от приемной состоит в том, что вместо экрана здесь имеется особая светочувствительная мозаика. Каждый отдельный элемент этой мозаики представляет собой миниатюрный фотоэлемент. Чтобы лучше представить себе работу передающей трубки, выделим из мозаики один такой фотоэлемент и разберем его действие. Схема его дана на чертеже 6. Здесь Р—фотоэлемент, С—емкость по отношению к пластинке, общей для всех фотоэлементов. Эта пластинка носит название „сигнальной пластинки“

Черт, 6

Луч света I, падающий от передаваемого изображения, заставляет каждый из фотоэлементов, а также и разбираемый фотоэлемент, излучать электроны от Рс к /а. В результате цепь замыкается, и источник тока В зарядит конденсатор С. Величина этого заряда будет пропорциональна интенсивности освещения фотоэлемента. Когда двигающийся электронный пучок ВЕ попадает на положительно заряженный таким образом элемент Рс — С, то отрицательные электроны пучка разрядят его, и элемент вернется в свое первоначальное состояние. Полученный таким образом ток разряда элемента будет пропорционален интенсивости падающего на элемент света. В электрической цепи Р—С — R — В — Р получается импульс тока, создающего на концах сопротивления некоторую разность потенциалов, падающую затем на сетку — нить усилителя.

Изображение проектируется объективом на светочувствительную мозаику и развертывается катодным (электронным) пучком, дви-

гающимся непрерывно и равномерно по поверхности мозаики, так что каждый элемент покрывается пучком через определеннее время.

Полная схема передающей трубки приведена на чертеже 7. Мы видим, что здесь фотоэлемент разделен на две части. Катодами являются элементы фоточувствительной мозаики, расположенные на поверхности сигнальной пластинки и изолированные от нее. Общим анодом служит посеребренная внутренняя поверхность. Часть поверхности стекла освобождена от серебра, так что образуется окно для прохода лучей, идущих от изображения. Разряд каждого положительно заряженного элемента производится элементарным пучком, идущим под углом в 30° по отношению к перпендикуляру, восстановленному из центра мозаики. Наклонное положение экрана к оси трубки введено для того, чтобы проекция картины свободно получалась на поверхности мозаики.

Четкость передаваемого изображения определяется размером и числом фотоэлементов, а также и размером электронного пучка. Практически число элементов мозаики весьма велико, так что величина отдельной передаваемой точки зависит исключительно от размеров луча, производящего развертку. Условия, предъявляемые к мозаике, сводятся главным образом к тому, что все элементы ее должны быть одинаковых размеров, иметь одинаковую светочувствительность и емкость по отношению к сигнальной пластинке.

Эти требования разрешаются сравнительно легко благодаря тому, что в качестве изоляции для мозаики берут тонкий слой слюды, которая, как известно, может быть получена в виде тонкого листа одинаковой толщины. Одну сторону слюды покрывают металлом и получают таким образом сигнальную пластинку. Сама мозаика может быть получена многочисленными способами, например наложением фотоэлектрического материала и испарением в пустоте. Полученный тонкий слой представляет собою массу мелких частиц, равномерно распределенных и разобщенных друг от друга. В последнее время стали употреблять мозаику, состоящую из большого числа крошечных серебряных шариков, фоточувствительность которых достигнута покрытием цезием. Электронный пучок, применяемый в передающих трубках, получается тем же путем, что и в разобранной выше приемной трубке. Анодное напряжение, необходимое для получения пучка, около 1000 вольт.

Черт. 7

Отклонение пучка производится магнитными полями, создаваемыми четырехполюсными электромагнитами, надеваемыми на узкую часть трубки. Ток, необходимый для создания магнитных полей, вырабатывается особыми ламповыми генераторами. На чертеже 8 показан общий вид передающей трубки и электромагнитов. Длина всей трубки около 45 см, диаметр сферы — 20 см. Чувствительность существующих образцов передающих трубок в настоящее время примерно равна чувствительности кинопленки, находящейся в камере с линзой той же светосилы, что и светосила объектива передающей установки. Трубка заключает в себе все элементы, необходимые для построения изображения, поэтому вся передающая установка вместе с необходимыми усилителями (конечно, помимо передатчика) получается очень компактной. Общие схемы передатчика и приемника приведены на чертеже 9. Верхняя часть рисунка дает схему передатчика, / и///—ламповые генераторы, создающие ток для отклонения электронного пучка, //—усилитель. В него поступают фототоки трубки, а также и синхронизирующие импульсы из генераторов / и ///. Все эти три рода колебаний усиливаются и передаются затем в модулятор, точно так же, как на модулятор передаются микрофонные токи радиотелефонирования.

Черт. 8

Приходящие на приемную станцию сигналы после детектирования и усиления при помощи фильтров разделяются. Колебания,

Черт. 9

соответствующие элементам картины, попадают через II на трубку. Синхронизирующие колебания поступают в ламповые генераторы / и ///, вырабатывающие переменный ток для отклонения электронного пучка, и синхронизируют их с таковыми на месте передачи. Генератор / ведает вертикальным отклонением, а генератор //—горизонтальным.

Синхронизирующие импульсы нисколько не мешают сигналам картины, так как они передаются в момент, когда картина фактически не передается: горизонтальные передаются после передачи одного горизонтального ряда, — а вертикальные — после каждой картины.

Говорить о том, что проблема телевидения разрешена — еще рано. Слишком громоздка, сложна и дорога еще аппаратура. Но то, что разрешение этой проблемы уже не так далеко и что в разрешении этого вопроса катодное телевидение займет, пожалуй, главное место, — становится уже достаточно ясным.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА

СОСТОЯНИЕ ПРЕПОДАВАНИЯ ФИЗИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ В 1932/33 УЧЕБНОМ ГОДУ

Асп. ЦНИИПО Т. ЩЕРБАКОВА (Москва)

Выборочное обследование средних школ, произведенное Наркомпросом в апреле 1933 г., собрало материалы о состоянии преподавания физики по 53 школам.

По 41 школе представлены сравнительно полные материалы (общие отчеты школ или обследователей, тетради, контрольные работы, записи уроков). Отчеты охватывают период с начала учебного года до апреля месяца, когда происходило обследование. Они, следовательно, совершенно не показывают работу школы по физике в период весенних годовых испытаний. По многим весьма важным вопросам, интересным для освещения состояния преподавания физики, ряд школ не дает никаких указаний (например о состоянии физического кабинета, о постановке лабораторных работ и др.).

СОСТОЯНИЕ ПРОРАБОТКИ ПРОГРАММНОГО МАТЕРИАЛА

На программы 1933 г. школы перешли с начала третьей четверти и лишь за очень немногими исключениями с конца января или начала февраля; таким образом, по времени перехода на новые программы все школы находились в равных условиях.

Состояние проработки программного материала по годам обучения таково.

По пятому году обучения в основном дело обстоит более или менее благополучно. Незначительная недоработка имела место главным образом в последней теме — „Газы". Замечание о непрохождении этого раздела имеется по 9 школам, причем 6 школ указывают лишь на сокращение часов.

Указаний на уменьшение количества часов по всему году немного (всего 8); сокращение колеблется по отдельным темам от 7 до 3 часов. Только одна школа указывает, что последние темы сокращены на 10 часов.

По шестому году обучения замечаний уже значительно больше. Конкретных указаний на изменение часов, отводимых программой, имеется 21.

Три замечания касаются увеличения часов на проработку отдела „Механика“; два замечания — сокращения часов — на проработку этого отдела (—18, —9).

По отделу „Теплота“ сокращение часов на отдел по 9 школам колеблется от 38 до 8 часов. Три замечания указывают сокращение на 30 часов.

При рассмотрении вопроса об увеличении школами часов на механику и сокращении часов на теплоту необходимо учесть:

1) замечания о сложности отдела механики,

2) указания на слабую математическую подготовку учащихся, приводящую к большим затруднениям,

3) недостаточную четкость в планировании работы и недостаточное следование плану при его осуществлении.

Непроработка программ касается следующих вопросов и тем.

По отделу „Механика“ имеется три указания о непроработке понятия о массе как мере инерции, I, II законов Ньютона, всей темы о передаче движения.

По отделу „Теплота“ дело значительно хуже. Семь школ совершенно не проработали последнюю тему: „Переход механической энергии в теплоту, и обратно“. Кроме того 5 школ указывают на непроработку или сокращение часов на проработку раздела тепловых двигателей. Две школы указывают на непроработку темы „Изменение агрегатного состояния вещества“ и 2 школы — на сокращение часов по этой теме.

Следовательно, ряд школ в той или иной мере должен был уделить в настоящем 1933/34 учебном году из часов седьмого года время на ликвидацию недоработки шестого года, что нарушило нормальную работу в VII группах.

Седьмой год обучения школы в значительной мере не проработал последнюю тему по разделу „Электричество“.

Конкретных указаний на изменение в часах в отделе „Электричество“ имеется 4. Одно из них отмечает увеличение часов, три — сокращение от 30 до 25 часов.

По проработке отдела „Свет“ дело обстоит хуже — 2 школы совсем его не прорабатывали.

Одна школа отмечает непроработку темы „Преломление света“, 3 школы не проработали последнюю тему по свету и 12 школ не проработали целый ряд важнейших вопросов последней темы. Следовательно, в 18 школах (4470) совсем не пройдены некоторые темы этого отдела.

Сокращение часов указано 10 школами, причем 4 школы указывают на сокращение в 10 часов, 4 школы — от 15 до 20 часов. Таким образом, большинство школ в лучшем случае „Свет“ прорабатывают в 20 часов против намеченных программой 30 часов.

Восьмой год обучения. Данные о наличии VIII групп имеются по 25 школам. Имеются 15 замечаний о недоработке и непроработке отделов „Аэромеханика“ и „Гидромеханика“, причем 4 замечания указывают на полную непроработку темы аэромеханики и 3 — гидромеханики. Таким образом, в 79э/0 школ с проработкой последних тем восьмого года обстояло дело неблагополучно.

Сокращение часов на эти темы указано в 4, 5, 20 часов. Одна школа указывает сокращение с 122 до 62 часов, так как 60 часов было отведено на проработку электричества (задолженность по седьмому году).

Таким образом, последние темы по шестому, седьмому, восьмому годам в силу тех или иных причин подверглись большому сокращению, что, конечно, отразилось на качестве их проработки, или же они оказались совершенно непройденными. Начало учебного 1933/34 года нельзя считать нормальным, так как ликвидация „хвостов“, оставшихся от прошлого года, имела место в большинстве школ.

ОБСЛУЖИВАНИЕ ШКОЛ ПОСОБИЯМИ ФИЗИЧЕСКОГО КАБИНЕТА

Отчеты школ и обследователей не дают возможности судить о широте использования демонстраций на уроках, о количестве проведения лабораторных работ по годам обучения и по темам и о том, что представляют физические кабинеты школ.

Можно констатировать лишь наличие или отсутствие физического кабинета.

Наличие кабинетов и постановки лабораторных работ дано в следующей таблице:

Количество школ

%

Имеются кабинеты ....

27 1)

51

Отсутствуют кабинеты или нет сведений......

26

49

Проводились лабораторные работы ... .....

17

32

Отсутствовали кабинетные работы или нет сведений

36 2)

68

1) Из них заведомо плохие кабинеты в 9 школах и вызывай щие большое сомнение в их удовлетворительности — в 4 школах; таким образом, в общей сложности плохие кабинеты можно считать в 13 школах из 27, имеющих кабинеты.

2) Не дано сведений по 23 школам.

Таблица показывает, что далеко не во всех школах имеются какие бы то ни было, плохие или хорошие, физические кабинеты, и, следовательно, „меловая физика“ остается в значительном количестве наших школ.

Во многих школах отсутствует постановка лабораторных работ. Имеющиеся кабинеты по своему оборудованию не обеспечивают возможности проведения лабораторных работ.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭКСКУРСИОННОГО МЕТОДА

В отчетах по 16 школам имеются в той или другой форме указания на проведение экскурсий; одна школа прямо указывает, что экскурсий не проводилось. Материалы четырех школ вызывают большое сомнение в части использования экскурсионного метода. Только в 11 школах (т. е. в 27°/(J) проводились экскурсии в том или другом количестве.

По годам обучения сведения об экскурсиях распределяются следующим образом:

Год

Упоминается о проведении экскурсий (количество школ)

Не было экскурсий (количество школ)

Пятый

4

2

Шестой

4

1

Седьмой

4

3

Восьмой

1

1

Примечание. Кроме того 2 школы указывают на то, что экскурсии проводились, но не конкретизируют но годам обучения.

Такое малое число указаний на проведение экскурсий сигнализирует об очень опасном явлении — забвении экскурсионного метода рядом наших школ.

ВКЛЮЧЕНИЕ МАТЕРИАЛА, ОТРАЖАЮЩЕГО ВОПРОСЫ СОЦИАЛИСТИЧЕСКОГО СТРОИТЕЛЬСТВА

Материалы, представленные школами, дают значительный объем тематики, отражающей вопросы соцстроительства, освещаемые при проработке курса физики. Однако судить о формах проработки этих вопросов и действительном их содержании, активности учащихся при этом по имеющимся материалам почти не представляется возможным. Лишь кое-где имеются указания на использование экскурсионного метода и бесед.

Бежецкая школа Московской области отмечает, что ознакомление учащихся с вопросами соцстроительства происходило путем экскурсий и выполнения „поручений“ (к сожалению, не указано, в чем заключались эти поручения).

Из наиболее интересных тем связи преподавания физики с вопросами социалистического строительства можно отметить следующие.

По пятому году обучения

1) Механизация измерений в современном производстве

—Архангельская образа. № 6, Северный край

2) Расширение материалов в строительной технике и стройка гигантов в СССР и на Урале

3) Стандартизация жилых домов

— Шадринская ФЗС, Урал

— Курганская ФЗС

4) Вопросы использования водяных турбин, их значение для электрификации страны

— 7 школ

5) Водоснабжение („краеведческий материал“)

— Северный Кавказ

6) Современная обработка металлов и развитие металлопромышленности

— Мальчинская ШКМ

По шестому году обучения

1) Мощность Днепровской и Волховской гидростанций

— Ленинград, Петергофская им. Введенского

2) Строительство завода .Шарикоподшипник“

— 4 школы

3) Наши машиностроительные заводы и их достижения

— Архангельская № б

4) Энергетические ресурсы СССР и их использование

— Тотемская ШКМ

5) Значение каменного угля по плану первой и второй пятилетки. Барнаульский, УКК и Донбасс

— Каргинская, Урал

6) Проблема турбо- и дизелестроения в СССР

— Ростов на Дону

7) Значение двигателей внутреннего сгорания в сельском хозяйстве

— Андреевский районг ФЗС № 8

8) Установка тепловых двигателей в местных условиях

— Архангельская № 6

По седьмому году обучения

1) Знакомство с местными предприятиями — значение электричества на за волах

— 4 школы

2) Алюминиевый комбинат на месте разработки тихвинских бокситов

— Тотемская ШКМ

3) Электрификация СССР, итоги первой пятилетки и перспективы второй пятилетки

— 2 школы

4) Проектирование Свердловского электрокомбината

— г. Орджоникидзе, школа № 2

5) Темы, рисующие гиганты электрификации

— 3 школы

6) Перспективы электрификации местного края

—Муромская ФЗД № 1,

7) Опытнее силовые гелиоустановки

— Горьковский край

По восьмому году обучения

1) Использование примеров из оборудования завода № 7 для освещения вопросов соцстроительства (тема формулирована очень неопределенно)

— Ленинградская № 154

2) Днепрострой и Волховстрой и их значение для реконструкции хозяйства в СССР

— г. Орджоникидзе, школа № 2

Кроме того интересны замечания об использовании Сормовского завода (Горьковский край — Сормово) и центральной штольни большого Кузбасса (Прокопьевская ФЗД) для изучения применений законов физики в технике производства в СССР.

Распределение тем, связывающих преподавание физики с вопросами социалистического строительства, по разделам следующее (см. табл. на стр. 48).

Всего 30 школ, т. е. 73э/0 из 41 школы, давших полный мат?риал, в преподавании физики отражают вопросы социалистического строительства.

Таким образом, можно сделать выводы:

1. Преподавание физики школы стремятся поставить в связь с применением законов физики в технике промышленности, сельского хозяйства, с практикой социалистического строительства. Но глубину и методы осве-

Год обучения

Тема программы по физике

Количество выдвинутых тем по связи с вопросами соцстроительства

Количество школ, участвующих в их прорабитке

Пятый год

Измерение .....

Действие теплоты на тела.......

Твердые тела ....

Жидкости.....

Газы

Всего...

3

1

4 5 6

19

3

1

7 10 8

29

Шестой год

Механика......

Теплота ......

Всего. . .

7 13

20

10 13

23

Седьмой год

Электричество . . . Свет

Всего . . .

22 1

23

27 1

28

Восьмой год

Механика......

Гидромеханика . . .

Всего . . .

2 1

3

2 1

3

щения этих вопросов в связи с проработкой программного материала данные обследования почти не вскрывают.

2. Необходимо отметить резкое падение внимания к этому моменту в работе по физике в VIII группах, что является явно ненормальным, так как у учащихся VIII групп теоретическая база вполне достаточна для более глубокого освещения применений законов физики в технике и практике соцстроительства. Возникает опасение, что курс физики в VIII группах проходится чрезмерно теоретически, в отрыве теории от практики.

ОТРАЖЕНИЕ ВОПРОСОВ ВОЕНИЗАЦИИ И АНТИРЕЛИГИОЗНЫХ ТЕМ В ПРЕПОДАВАНИИ ФИЗИКИ

Состояние этой стороны работы дано в следующей таблице (см. табл. на стр. 49).

Выяснение вопроса, сколько школ обращало внимание на антирелигиозные темы и военное воспитание учащихся в процессе преподавания физики, показало, что вопросам военизации уделило внимание всего 8 школ, т. е. 19°/0, вопросам антирелигиозной работы всего 3 школы, т. е. 4°/0 (процент взят от числа 41 школы, давших полный материал). Это указывает на почти полное отсутствие этих важных элементов воспитания в процессе преподавания физики.

СВЯЗЬ ПРЕПОДАВАНИЯ ФИЗИКИ С ТРУДОВЫМ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИМ ОБУЧЕНИЕМ

На связь преподавания физики с трудовым политехническим обучением совсем не обращается внимания.

Только 8 школ говорят об этом вопросе, причем 2 из них отмечают отсутствие связи. Таким образом, только в 15°/0 школ упоминают о какой-либо связи преподавания физики с трудовым обучением.

Северокавказская Мальчинская ШКМ дает такую формулировку: увязка с трудом была „через изготовление приборов в мастерской для проработки тем пятого-шестого годов обучения“. Значит, эта школа совершенно не поняла сущности вопроса связи преподавания физики с трудовым политехническим обучением, сведя связь только к этой одной форме. Остальные указания неопределенны, и невозможно судить по ним, как этот вопрос понимается, и как „связь“ осуществляется.

Лишний раз подтверждается то, что вопрос связи физики с трудовым политехническим обучением по существу до школ не дошс и за практическое осуществление этого важного момента в преподавании физики борьбы не ведется.

ФОРМЫ УЧЕТА РАБОТЫ УЧАЩИХСЯ

23 школы дали более или менее конкретный материал, позволяющий судить о формах учета работы учащихся. Эти данные выражаются в следующей таблице:

Формы учета

Количество школ, по которым имеются данные о формах учета

То же в процентах к числу 23 школ

Индивидуальный опрос . .

22

96

Проверка тетрадей.....

18

78

Письменные контрольные вопросы ..........

18

78

Устные контрольные работы

7

32

Другие формы.......

2

9

Год обучения

Темы программы по физике

Вопросы военизации

Антирелигиозные вопросы

количество тем

количество школ, участвовавших в их проработке

количество тем

ксличество школ, участвовавших в их проработке

Пятый

Измерение ..........

Твердые тела .........

Жидкости..........

Работа сжатого воздуха ....

Газы............

2 2

2 2 3

2 4

3

2 3

1 1

1 1

Всего .....

11

14

2

2

Шестой

Механика..........

Теплота...........

1

2

1

2

1

1

Всего.....

3

3

1

1

Седьмой

Электричество ........

Свет.............

1

2

1

3

1

1

Всего.....

3

4

1

1

Восьмой

Механика...........

Аэро- и гидромеханика ....

2

2

Всего .....

2

2

Другие формы учета заключаются в широких конференциях и академических боях.

Основными формами учета являются: индивидуальный опрос учащихся, проверка тетрадей и письменные контрольные работы. Мы имеем ряд указаний, что тетради проверяются неаккуратно.

Школы — Курганская ФЗС № 7 и Тальминская ШКМ дают сведения, что на каждого учащегося имеются персональные учетные карточки. Курганская ФЗС № 7 дает даже сведения, что имеются персональные лабораторные учетные карточки.

Отсутствие указаний на учет выполнения лабораторных работ учащимися является подтверждением того, что этой стороне педагогического процесса не уделяется должного внимания.

ИЗ ЧЕГО СКЛАДЫВАЮТСЯ ТРЕБОВАНИЯ К ЗНАНИЯМ И УМЕНИЯМ УЧАЩИХСЯ

17 школ дают указания по этому вопросу. Их можно сопоставить следующим образом:

Умение формулировать законы

Умение решать задачи

Объяснение явлений

Умение применять законы физики для объяснения вопросов техники

Ведение рабочих тетрадей

Количество школ, ло которым имеются данные о требованиях . .

15

13

3

3

14

То же в процентах по отношению к 17 школам ......

88

76

18

18

81

Из этих данных можно сделать вывод: если обращено более или менее достаточное внимание на усвоение законов физики и умение

решать задачи, то на умение объяснять окружающие физические явления и применять знание законов физики для понимания вопросов техники и решения практических задач— школой очень мало уделено внимания.

Следствием этого могут быть: слабое усвоение физики учащимися и отсутствие действенности их знаний, а это резко противоречит одному из основных требований комвоспитания.

Среди всех замечаний имеется (и то лишь в качестве примечания) только одно указание, что учащиеся не умеют работать с книгой, в лаборатории. Это доказывает, что на эти стороны работы опять-таки мало обращено внимание преподавателем. Работа над учебником школой также мало освоена.

ФОРМЫ РАБОТЫ С ОТСТАЮЩИМИ УЧАЩИМИСЯ

Более или менее конкретно освещают этот вопрос 23 школы.

Результаты сопоставлены в следующей таблице:

Количество школ, по которым имеются данные

То же в процентах к числу 23 школ, давших сведения

Работа с препод, дополн. занятия

а) Обязат. для всех учащихся ..........

6

25

б) Обязат. для отстающих

12

52

Прикрепление сильных учащихся к слабым ....

15

65

Выдача книг на дом . .

8

35

Соцсоревнование ....

2

9

Другие формы работы .

3

13

Другие формы работы заключаются в следующем :

1) работа в кружках (Таганрогская школа-десятилетка);

2) проведение отдельных конференций с отстающими (Тальминская ШКМ);

3) открытие лабораторий для работы учащихся ежедневно на 3 часа (Шадринская ФЗС Уральской области).

Эти данные показывают, что: 1) недостаточно применяются все формы работы с отстающими;

2) основная тяжесть работы переносится преподавателем на сильных учащихся. Сам преподаватель ведет в меньшей степени работу с отстающими;

3) указания на имеющиеся обязательные для всех учащихся дополнительные занятия по существу говорят об искусственном увеличении часов на предмет, но не на специальную работу со слабыми учащимися;

4) соцсоревнование, этот чрезвычайно важный момент комвоспитания, не развито в практике работы учащихся по физике;

5) значительное число выдач отстающим книг на дом говорит о том, что дело со снабжением учащихся книгами далеко от благополучия и является одной из причин отставания учащихся. К этому следует присоединить еще имеющиеся дополнительные замечания преподавателей о недостаточном количестве учебников. О недостаточном снабжении учащихся учебниками говорит 46°/0 школ.

Имеется указание на затруднения в работе с отстающими в Тотемской ШКМ, выражающиеся в отсутствии освещения. Только от трех ШКМ имеются сведения о работе с отстающими.

Ряд школ отмечает, что отстающими учащимися неаккуратно посещаются дополнительные занятия, и наоборот, эти занятия часто посещаются более сильными и заинтересованными в работе учащимися. Это подчеркивает недостаточно проведенную работу по стимулированию отстающих к поднятию своей успеваемости. Соцсоревнование в этом могло бы сыграть большую роль, но, как указано, оно почти не имеет места в работе школы по физике.

ЗАМЕЧАНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ О ПРОГРАММАХ И О ЗАТРУДНЕНИЯХ, ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ В РАБОТЕ ПО ОСУЩЕСТВЛЕНИЮ ПРОГРАММ

В отчетах преподавателей встречается немало замечаний о тех затруднениях, которые препятствуют нормальной проработке програмного материала.

Сводка основных затруднений выражается следующей табличкой (см. табл. на стр. 51).

Суммируя все замечания, можно сделать такие выводы:

1. Наиболее перегруженными учительство считает шестой и восьмой годы (механика на обеих годах обучения).

2. Основное затруднение, встречающееся при проработке программ, выражается в недостаточной подготовке учащихся по математике или, может быть,

Год

Сложность и громоздкость программ в процентах

Математ ичсская неподготовленность учащихся в процентах

Недостаточность оборудования кабинетов в процентах

Пятый Шестой Седьмой Восьмой

12 59 12

5 + 221

62 47 28 50

4

2 8 5

в чрезмерных требованиях преподавателей физики, предъявляемых к учащимся и к глубине и характеру проработки вопросов по физике.

3. Преподаватели физики недостаточно выражают тревогу за слабое оборудование педпроцесса демонстрациями и лабораторными работами.

4. Есть опасность, что имеет место излишняя математизация школьного курса физики, выполнение на занятиях физики и дома чрезмерно большого количества вычислительных задач в ущерб уяснению физических представлений об явлениях природы и техники.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

1. Програмный материал проработан школой в 1932/33 г. не полностью. Несколько лучше обстоит дело по пятому году и далеко не благополучно по другим годам обучения. В большом количестве школ не доработаны, а местами и совсем не проработаны последние темы программы. Нормальное число часов на темы не выдерживалось. Особенному сокращению подверглись: по шестому году раздел „Теплота“ (до 30 часов вместо 60 часов); по седьмому году „Свет“ (в лучшем случае 20 часов вместо 30 часов); в восьмых группах местами выпадали совершенно из проработки „Гидромеханика“ и „Аэромеханика“. Немаловажную роль сыграла та ломка работы по физике в VIII группах, которая произошла вследствие перехода в январе на новые программы. До января школы начали работать по прошлым программам, включавшим механику, теплоту и молекулярную физику. В программах 1933 г. два последних раздела отсутствуют, и школы, сократившие время на проработку механики и перешедшие уже к проработке следующих разделов, должны были после января их оставить и вновь переходить к механике. На недоработке программ сказалось также и то, что планы составлялись в январе без учета периода испытаний. Также немаловажную роль играет и недостаточно четкое планирование и выдерживание плана в процессе работы.

В начале настоящего учебного года часть времени приходилось уделять на ликвидацию задолженности по прошлому году обучения.

2. Крайне серьезно обстоит дело с оборудованием педпроцесса демонстрациями опытов и лабораторными работами учащихся. Необходимо самое серьезное внимание со стороны районных отделов народного образования и заведующих школами к вопросу оборудования физических кабинетов приборами и материалами, позволяющими проводить демонстрации опытов и ставить лабораторные работы. Судя по материалам данного обследования, и сами преподаватели недостаточно уделяют внимания этому вопросу. Все материалы говорят о некоторой беззаботности ряда преподавателей к постановке преподавания физики как опытной науки, к выработке у учащихся навыка к лабораторным работам, навыка обращения с основными измерительными приборами.

3. Приходится констатировать значительное наличие словесного метода преподавания. Материалы говорят о довольно значительной тематике, выдвинутой школами по связи преподавания физики с вопросами соцстроительства, но они же указывают на отсутствие связи с трудовым политехническим обучением и на совершенно недостаточное использование экскурсионного метода.

Преподавателями недостаточно обращено внимание на воспитание у учащихся навыков применять свои знания для объяснения окружающих явлений и производственных процессов, на развитие у учащихся ассоциативных связей. Наряду с требованиями к учащимся в части твердого систематического знания ими физических законов и понятий, соответствующих программным требованиям по каждому году обучения, нужно особенно внимательно следить за прикладной стороной теоретических знаний. В противном случае учащийся выйдет из школы, имея определенную сумму отвлеченных знаний по физике, но оставаясь беспомощным в практической обстановке. Кроме того физика в представлении учащихся легко может превратиться в дисциплину чисто абстрактную, заключающую в себе только ряд законов и поло-

1 Непонимание требуемой глубины проработки.

жений, развивающуюся совершенно самостоятельно, независимо от взаимодействия с развитием промышленности, техники, других наук, а это положение будет в корне противоречить задачам выработки у учащихся диалектико-материалистического мировоззрения.

4. Крайняя недостаточность включения вопросов военных и антерилигиозной пропаганды является фактом, заставляющим обратить самое серьезное внимание преподавателей на это недопустимое явление.

5. Преподаватели все еще недостаточно уделяют внимания работе с отстающими, перекладывая ее в значительной мере на плечи более сильных учащихся.

Самым основным недостатком в этой работе является полное отсутствие вовлечения слабых учащихся в движение ударничества и соцсоревнования.

Не следует оставлять без внимания серьезные затруднения преподавателей физики из-за недостаточной математической подготовки учащихся. В этом отношении надо провести большую работу по деятельному изучению того, в чем конкретно заключаются эти затруднения: в части ли недостаточной согласованности программ, слабой качественной подготовки учащихся по математике, в части ли чрезмерных требований, предъявляемых к учащимся со стороны преподавателей, не понимающих степени глубины проработки вопросов программы и нередко, как это имеет место в практике, превращающих курс, например, шестого года в курс, идентичный курсу восьмого года, седьмого года — курсу десятого года.

Раскрытие глубины проработки вопросов программ по каждому году обучения должно явиться одним из условий, обеспечивающих одинаковость требованиий к учащимся со стороны всех школ. Эту задачу должны осуществить исследовательские институты, занимающиеся вопросами содержания и методики преподавания физики в средней школе.

Отметим и положительные стороны в преподавании физики в средней школе. В основном они заключаются в следующем.

Программы уже обеспечивают в значительной мере систематическое изучение физики.

Сравнительно с прошлыми годами повышаются требования к знаниям учащихся в части усвоения законов, основных определений и умения решать задачи.

Но всего этого, конечно, еще недостаточно, особенно учитывая все сделанные ранее выводы о недостатках преподавания физики.

Перед преподавателями физики стоит еще очень большая работа над собой по повышению своей методологической, научной, технической и методической подготовки, чтобы обеспечить постановку преподавания физики в средней школе соответственно требованиям, которые предъявляются к советской школе.

СОСТОЯНИЕ АСТРОНОМИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ В ШКОЛЕ В СВЯЗИ С ПОДГОТОВКОЙ К ПРЕПОДАВАНИЮ АСТРОНОМИИ НА ДЕСЯТОМ ГОДУ ОБУЧЕНИЯ

Проф. П. ПОПОВ (Москва)

Перестройка всей работы школы на основах, указанных известными постановлениями партии и правительства, повлекла за собой и новую постановку вопроса о преподавании астрономии. Можно буквально сказать, что эта дисциплина, которой никак нельзя отказать в принадлежности к основам наук и которая имеет немалое значение в формировании марксистско-ленинского мировоззрения, находилась до тех пор в загоне. Хотя временами вопросы астрономии попадали в программу семилетки, но это носило в сущности лишь формальный характер, так как никакого времени на этот предмет в сетке часов не отводилось, и он оказывался беспризорным. Преподаватель физики, которому обычно „подкидывалась“ астрономия, едва управлялся в отведенное ему число часов с перегруженной программой физики, и если только он сам имел некоторое пристрастие к астрономическим знаниям, то кое-какие беседы по этим вопросам проводил с учащимися, да и то весьма отрывочно и несистематически.

Теперь, когда вся работа школы переведена на рельсы прочного усвоения учащимися основ наук во всей их системе, астрономия заняла свое определенное место. На десятом году обучения ей отведены самостоятельные

часы, разработана Наркомпросом стабильная программа, составлен стабильный учебник, который к началу учебного года, когда начинает функционировать десятый год, должен быть уже разослан по школам.

Кроме того на пятом году обучения, где проходится физическая география, введена тема, дающая первоначальные астрономические сведения, связанные главным образом с суточным вращением и годичным движением Земли.

Ставя вопрос о подготовке к преподаванию астрономии на десятом году, где должен быть проработан хотя и элементарный, но систематический курс, необходимо выяснить, на какой базе придется строить эту работу, какие предварительные знания будут иметь учащиеся, которые приступят к изучению этого систематического курса. В этом отношении мы располагаем некоторым материалом, обрисовывающим нам в достаточной степени картину состояния знаний учащихся по самым основным и элементарным вопросам из области астрономии.

Эти материалы относятся к двум нашим наиболее культурным центрам — Москве и Ленинграду, и тем более они являются показательными, как мы увидим далее, для конкретного построения работы на десятом году обучения.

В Москве этим вопросом занялось Московское отделение Всесоюзного астрономо-геодезического общества, проведя весной 1933 г. в небольшом масштабе обследование состояния знаний учащихся и подготовленности школы к введению систематического преподавания астрономии. Разработан ряд вопросов и даны были через преподавателей школ письменные контрольные работы с этими вопросами. Таких письменных ответов собрано около 300 из различных школ по трем разным районам Москвы. Вопросники проводились в V, VII и VIII группах. Эти группы были взяты потому, что V группа — это первая, работавшая уже по новой программе с курсом физической географии; VII и VIII группы — проходившие большую часть семилетки, когда в ее программе значилась астрономия, и кроме того это как раз тот контингент учащихся, с которым в первую голову придется иметь дело преподавателю астрономии с начала же введения астрономии на десятом году.

Для пятого года ставились вопросы:

1. Отчего происходит смена дня и ночи?

2. Отчего происходит смена времен года?

3. Как можно по звездам определить направление на север и юг?

4. Что представляет собой Солнце?

5. Что представляют собой звезды?

Для седьмого и восьмого годов обучения добавлялись еще вопросы:

6. Отчего происходят затмения?

7. Что представляют собой падающие звезды?

8. Отчего меняются фазы Луны?

9. Как произошла Земля?

Меньше всего затруднений встретили 1, 3 7-й вопросы, причем в отношении 3-го вопроса большинство указывает на Полярную звезду, меньшинство отвечает: „Не знаю“. Но уже во 2-м вопросе (о временах года) у громадного большинства — неясность и неправильные представления. Очень многие указывают просто на вращение Земли вокруг Солнца как на причину смены времен года. Но это вовсе не свидетельствует о ясности понимания вопроса. По крайней мере у тех, которые пытаются несколько подробнее пояснить, мы находим: „Когда неосвещенная поверхность Земли обращена от Солнца, то там холодно, и наоборот“ или: „Земля, вращаясь около Солнца, то приближается, то удаляется от Солнца и на Земле то теплее, то холоднее“. Правильные объяснения, с указанием на направление оси вращения Земли по отношению к плоскости ее орбиты и изменение наклона солнечных лучей к поверхности Земли в разных ее местах в разное время, встречаются только как исключения. Характерно, что эти правильные объяснения или ответы, не заключающие в себе ошибки, а ограничивающиеся только указанием на вращение Земли вокруг Солнца, мы находим в V группе; в VII и VIII группах почти поголовно говорят об изменении расстояния. Их ответы указывают на продвинувшиеся знания по другим предметам, но на полную отсталость в данном астрономическом вопросе. Например, в VIII группе мы встречаем такой ответ:

„Земля совершает свое движение по эллипсу, следовательно, в различные моменты времени она рззлично удалена от Солнца, и влияние солнечных лучей на Землю различно. Чем больше расстояние между Землей и Солнцем, тем слабее действие лучей, тем меньше тепловой энергии получает Земля*.

Такого рода ответ далеко не является единственным.

Еще более поражает совершенно превратное представление о причинах изменения фаз Луны. Здесь мы не встретили ни одного правильного объяснения. Приведем несколько характерных ответов:

„Фазы Луны меняются в зависимости от того, какое положение занижает Луна между Солнцем и Землей и какую тень бросает Земля на Солнце“.

„Фазы Луны меняются потому, что Земля в различные сутки (ночью) становится на пути движения лучей Солнца к Луне и тень Земли падает на Луну, образуя темное место на поверхности Луны“.

„Ззмля вертится и закрывает Луну от солнечного света то больше, то меньше“.

„Фазы Луны изменяются от вращения Земли вокруг Луны (!), причем Земля бросает на Луну различные тени, то совсем загораживая ее от Солнца, то меньше".

И все в таком же роде.

Если так дело обстоит с основными, повседневно наблюдаемыми явлениями, то неудивительно, что мы имеем большую путаницу и по другим вопросам, как падающие звезды, происхождение Земли. Здесь прямо сказывается клочками, случайно слышанное что-то об этом, но или не приведенное в ясность, или давшее совершенно неправильные представления.

„Падающие звезды, или метеориты, — это раскаленные части звезд, падающие на Землю“.

„Иногда от Земли отрывается ее незначительная часть, называемая метеоритом“.

„Падающие звезды — это осколки (метеориты) от горящей массы звезды“.

„Когда от звезды отрывается ее незначительная часть, называемая метеоритом, то она, падая, застывает. При падении на Землю этот метеорит превращается в камень, который достигает огромной величины“.

Совершенно как исключение мы встречаем такого единственного знатока данного вопроса, который прямо радует, несмотря на его „осколки небесных тел или планет“.

„Падающие звезды — не что иное, как осколки небесных тел или планет. Попадая в атмосферу Земли, они вспыхивают ярким пламенем от трения окружающей среды и сгорают, в большинстве случаев не долетая до земли, но в одиночных случаях долетают до Земли".

В просмотренных нами анкетах такой ответ не менее редкое явление, чем падение метеорита на Землю.

По вопросу о происхождении Земли, видимо, учащиеся больше всего имели возможность слышать в школе и по линии географии и по линии естествознания, причем только в некоторых ответах заметны отголоски канто-лапласовской гипотезы, а в отдельных случаях и гипотезы Джинса, большинство же просто говорит о превращении Земли из раскаленной массы в охладившуюся и покрытую корой. Но все эти представления очень примитивны и в своих толкованиях иногда довольно курьезны.

„Земля —это часть Солнца, т. е. осколок, оторвавшийся от Солнца и попавшийся в атмосферу воздуха начал постепенно охлаждаться и благодаря вращению воздуха осколок получил круглую форму“.

„Земля произошла при сгущении паров, которые постепенно из огненно-раскаленного тела остывали и превратились в твердое шарообразное тело“.

„В далекие времена наша Земля представляла собой огненную массу, летевшую в мировом пространстве. Огненную массу окружал холодный воздух. Пары воды, поднимавшиеся с Земли, охлаждались в воздухе и падали на Землю в виде дождя. Так продолжалось до тех пор, пока Земля не превратилась в шаровидную массу, покрытую корой“.

„В начале происхождения своего Земля представляла собой огненную, расплавленную массу, которая с течением времени постепенно охлаждалась. Появилась кора, окружающая эту массу и придавшая ей форму сплюснутого шара“.

И в данном вопросе мы встречаем ответ, который обнаруживает знатока, ориентированного в целом ряде теорий, но что это за ориентировка — надо судить по самому ответу:

„О происхождении Земли существует много теорий. Одна из них: Земля образовалась из самостоятельной туманности, которая благодаря своему вращательному движению постепенно уплотнялась; другая: Земля откололась от Солнца; третья: Земля произошла от столкновения двух старых миров".

Странное впечатление производят очень многие ответы учащихся как в V, так и в VIII группах по вопросу о звездах:

„Звезды представляют собой потухшие и непотухшие планеты“.

„Звезды — это осколки, отколовшиеся от Солнца, некоторые очень мало остыли, а некоторые уже остывшие, как наша Земля“.

„Звезды представляют из себя как бы зеркала, отражающие солнечный свет“.

Конечно, наряду с этим мы имеем и такие ответы :

„Звезды представляют из себя такие же солнца как и наше. Они находятся на разном расстоянии от Земли и поэтому некоторые из них кажутся маленькими и тусклыми, а некоторые большими и яркими“.

Но вся беда заключается в том, что такие ответы представляют единицы и буквально

тонут в массе той путаницы, которая существует в головах учащихся по всем этим вопросам. Здесь опять приходится подчеркнуть, что такой ответ, как последний, приходится на V группу.

Полагаю, что приведенных примеров достаточно, чтобы составить себе общую картину о последствиях ненормальности, клочковатости, большой случайности тех отрывочных знаний по вопросам, составляющим элементы грамотности в явлениях окружающей природы, которыми питались до сих пор наши учащиеся.

Можно подумать, что самый материал, собранный Обществом, является случайным и нехарактерным. Обратимся к тем данным, которые собраны Ленинградской астрономической обсерваторией и обзор которых опубликован в журнале „Мироведение“ № 3 за 1933 г. в статье В. И. Прянишникова. Здесь приведены сведения о состоянии астрономических знаний среди учащихся на основе 2000 ответов. Некоторые вопросы были аналогичными. Например, о причинах изменения фаз Луны.

Что же дал просмотр ответов?

Учащиеся в массе не могли правильно объяснить явление изменения фаз Луны. Типичная и самая распространенная ошибка при объяснения фаз Луны — это тень от Земли. Интересным здесь является замечание, которым сопровождает этот итог т. Прянишников: „Очевидно, наш вопрос застал отвечавших врасплох, иначе они бы вспомнили всем знакомую картину вечернего неба, когда около первой четверти Луны можно наблюдать Солнце и Луну в одной стороне неба. Ясно, что при таком положении земная тень не может закрыть какой-либо части Луны“. Это показывает полное пренебрежение к наблюдательной стороне в вопросах астрономии и притом вполне доступной каждой школе и каждому учителю.

Характерны также аналогичные ответы и по вопросу о звездах: подавляющее большинство уверено, что слово планета, как собирательное, относится ко всем небесным телам („Солнце—неостывшая планета“; „Звезды — это остывшие планеты, но не совсем“; „Земля — совсем остывшая планета“ и т. д.).

В Ленинграде не ограничились выяснением знаний учащихся по астрономии, но провели также анкету и среди преподавателей по тем же вопросам. Результат получился также малоутешительный. На вопрос о фазах Луны сами педагоги дали только 42°/0 правильных ответов, а по другим вопросам этот процент спускался даже до 20 (доказательства шарообразности Земли и вращения Земли вокруг оси).

В свете этой картины, когда школа должна приступить к постановке астрономии в X группе, перед ней стоит большая задача — учесть все это при подготовке к началу учебного года. Приходится исходить из того, что учащиеся не имеют представления о самых элементарных явлениях, а в отдельных случаях успели составить себе совершенно неправильные представления, и их приходится переучивать.

Подготовка должна итти по двум направлениям: 1) овладение преподавателем самым содержанием предмета для проведения программы астрономии, 2) подготовка школы для оборудования всем необходимым, чтобы преподавание было достаточно наглядным и основывалось на наблюдениях.

Серьезнейшими опасностями в данном деле являются: отсутствие подготовленных кадров для преподавания и отвлеченный характер самого преподавания.

В отношении подготовки кадров в Москве отдел народного образования уже в средине настоящего учебного года организовал специальные курсы по астрономии на 40 человек, подобрав состав их из преподавателей десятилетки (преимущественно физиков) по рекомендации районов. На этих курсах, работающих один вечер в неделю, прорабатывается систематический курс астрономии и методика астрономии с наблюдениями. В этом мероприятии принимает участие Московское отделение Всесоюзного астрономо-геодезического общества, разработавшее программы для курсов и выделившее лекторов, а в дальнейшем поставившее задачу организовать консультацию и общегородское методическое объединение. В Московском областном программно-методическом институте происходят ежемесячные семинары для активистов-физиков области, на которых также систематически прорабатываются вопросы астрономии с анализом программы. Аналогичная работа ведется в Ленинграде. Необходимо, чтобы подобные мероприятия были организованы теперь же и в других областных центрах. Нужно также использовать летние курсы для преподавателей физики, чтобы поставить на этих курсах вопросы астрономии и методики ее преподавания.

Отделы народного образования должны также позаботиться обеспечением школ в достаточном количестве (а школы и преподаватели — продвинуть это дело) выпускаемыми Учпедгизом учебниками по астрономии для десятого года, составленными Б. А. Воронцовым,

Вельяминовым и M. Е. Набоковым, а также учебником по астрономии для педтехникумов, составленным И. Ф. Полаком. Последний учебник может быть использован также и в десятилетке.

Помимо стабильных учебников необходимо приобрести для каждой школы, где будет преподаваться астрономия, „Русский астрономический календарь“ Горьковского (бывшего Нижегородского) кружка любителей астрономии— постоянную часть и, в особенности— переменную часть на 1934 г. Только имея такой календарь, преподаватель может ориентироваться в тех небесных явлениях, которые могут быть наблюдаемы в данный сезон.

Заранее следует позаботиться уже самой школе о некотором, самом необходимом, оборудовании, чтобы преподавание астрономии не приобрело с самого начала отвлеченного характера. Из пособий, которые следует заранее выписать, мы отметим:

1. Подвижная карта звездного неба, составленная проф. Михайловым (издается Учпедгизом).

2. Измерительные приборы, составленные Карасевым и Поповым, — на двух листах с измерительными кругами, циферблатом для солнечных часов и пр.

3. Глобус черный.

4. Теллурий Кандаурова (Культснабторг).

5. Солнечное кольцо Глазенапа.

6. Астрономический атлас Гурева и Баева. Кроме того следует посавить изготовление у себя на месте ряда пособий, описанных в книге Баранова „Астрономический городок“, Рабочей книге по астронимии Набокова, „Юном астрономе“ П. И. Попова:

1. Модель небесной сферы из круглодонной колбы,

2. Солнечные часы.

3. Разработать площадку для наблюдений.

Для индивидуальной подготовки преподавателя можно указать следующую литературу, помимо уже отмеченной:

1. Попов П. И., Баев К. Л., Львов H. Н., Астрономия для педвузов и учителей, Учпедгиз. 1934 г.

2. Полак И. Ф., Астрономия, ГТТИ, 1934 г.

3. Куницкий Р. В., История развития взглядов на строение солнечной системы, изд. Государственного антирелигиозного издательства, 1933 г.

4. Баев К. Л., Ларионов Д. Ф., Попов П. И., История взглядов на строение и происхождение вселенной, Учпедгиз, 1931 г.

5. Гурьев Г. А., Коперниковская ересь.

6. Журнал .Мироведение“, где печатаются статьи доступного для преподавателя характера, вводящие в круг современных астрономических знаний

Просьба ко всем преподавателям, которым предстоит преподавать астрономию на десятом году, а также при самом преподавании обращаться в редакцию для разрешения тех или других возникающих у них вопросов, а также сообщать об опыте своей работы.

ЧАСТНАЯ МЕТОДИКА

БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ

В. СНИГИРЕВ (Москва)

Последним отделом в курсе арифметики пятого года обучения (первого года средней школы) является отдел „Буквенные обозначения“; прохождение его отнесено на конец учебного года; этот раздел курса арифметики является „мостиком“, соединяющим курс арифметики пятого года с курсом алгебры шестого.

Целевой установкой изучения данного раздела является подготовка учащихся к пониманию буквенной символики и ознакомление с простейшими операциями над буквенными выражениями.

Выделение буквенных выражений в конце учебного года обычно понимается преподавателями в том смысле, что весь этот материал концентрируется и прорабатывается именно только в это время. При таком понимании, естественно, возникает вопрос о недостатке тех отводимых на него 6 часов, которые указаны в инструктивно-методическом материале Наркомпроса „Математика в средней школе“, вып. VIII.

Правильное разрешение этого вопроса заключается в том, что буквенные выражения должны фигурировать при изучении арифметики в течение всего учебного года; выделение же в конец года темы „Буквенные выражения“ следует рассматривать как момент подытоживания приобретенных знаний в этой области, их расширения и углубления. При таком подходе к вопросу отводимое на прохождение этого материала время можно признать достаточным.

В настоящем учебном году трудно ожидать, чтобы преподаватели массовой школы провели на практике указанный выше порядок прохождения раздела „Буквенные выражения“; в большинстве случаев этот материал для учащихся будет новым, а потому при дальнейшем изложении методические указания будут даваться с учетом фактического положения дела в настоящем году, причем количество часов на проработку должно быть увеличено хотя бы до 9 за счет времени, остающегося на повторение всего курса.

При разрешении вопроса о проработке разбираемого отдела следует иметь в виду, что учащиеся, пройдя к этому времени систематический курс арифметики, уже имеют достаточную подготовку к усвоению этого материала. С числовыми формулами они должны быть ознакомлены еще на четвертом году обучения в начальной школе при решении задач; в течение пятого года буквенные обозначения вводятся при изучении законов действий, дробей, в пропорциях; но все же сам по себе материал этого раздела представляет для учащихся значительные трудности: навыки абстрактного мышления у них недостаточны, число в их представлении тесно связано с цифрой. Отсюда вытекает необходимость для преподавателя особенно тщательно продумать вопрос о порядке проработки материала и о методической структуре уроков.

Прежде всего следует решить вопрос об объеме и последовательности расположения материала, указанного в „Программе Наркомпроса для средней школы“, изд. 1933 г., принимая во внимание, что на проработку его отводится 9 учебных часов. (К ним следует прибавить, примерно, 4 часа домашней работы.)

Из указанного в программе материала, по нашему мнению, следует опустить вопросы о коэфициенте и степени. С понятием степень учащиеся познакомились в разделе „Делимость чисел“, применяли его при изучении десятичных дробей; что же касается понятия „коэфициент“, то в курсе пятого года он не имеет практического приложения, нет соответствующего материала для его закрепления. Этот вопрос — один из первых в курсе шестого года обучения; такой перенос его ни в какой мере не отразится ни на прохождении данного раздела, ни на системе построения работы в VI группе. Остальной материал программы следует расположить в такой последовательности:

1. Составление буквенных формул для решения задач в 3—4 действия.

2. Нахождение числового значения буквенных выражений.

3. Буквенная запись математических зависимостей.

4. Чтение и запись буквенных выражений; значение скобок, порядок действий.

5. Обобщающий вывод значения буквенных обозначений.

При таком расположении материала учащийся начинает проработку с известного, а именно: с составления формул для решения задачи. Ведь уже в конце четвертого года обучения в начальной школе рекомендуется и проводится на практике применение приема записи решения задачи в виде одной формулы. Этот прием, конечно, должен применяться и на протяжении всего пятого года. Таким образом, с сущностью формулы, ее смыслом учащиеся к этому времени должны быть хорошо ознакомлены. Равным образом, как уже указано выше, дети имели дело в течение пятого года с буквенными обозначениями. Далее совершенно естественен переход к нахождению числового значения буквенных выражений. В процессе этой работы учащиеся лучше осознают значение буквенной символики, ее преимущество перед цифровой, применят известные им приемы арифметических вычислений.

Дальнейшее расширение и углубление знаний учащихся в этом направлении происходит на более трудном, но все же достаточно конкретном материале— „Буквенная запись математических зависимостей“; в этом пункте учащиеся исходят опять-таки от известных им арифметических понятий (обозначение суммы, разности, произведения, частного). В процессе этой работы они неизбежно встретятся и со скобками, т. е., другими словами, им придется решать вопрос не только о том, какие действия надо произвести над данными числами, но и определить, в каком порядке эти действия выполнять. Умея записать формулу, выражающую зависимости между ее членами, учащийся должен уметь прочесть и объяснить готовую формулу. В результате проработки материала в указанной последовательности учащиеся с достаточной сознательностью усвоят сущность буквенной символики и простейшие операции с буквенными выражениями.

Перейдем теперь к детальной проработке намеченного материала.

Тема I. СОСТАВЛЕНИЕ БУКВЕННЫХ ФОРМУЛ ДЛЯ РЕШЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ —2 ЧАСА

Эта тема прорабатывается в течение двух уроков. На первом устанавливается связь с пройденным о буквенных выражениях (запись буквами законов арифметических действий); далее решается одна задача для получения формулы и выводится определение понятия „формула“; на этом же уроке можно будет решить 1—2 задачи, которые дадут на следующем уроке материал для основной темы.

1-й урок

План, а) Повторение буквенной записи законов арифметических действий; б) решение задачи по формуле; в) вывод определения понятия „формула“; г) решение задач по формулам (подготовка к следующему уроку).

Ход урока.—Припомним, какие мы знаем законы сложения. (Переместительный.) — В чем он состоит? (От перестановки слагаемых величина суммы не меняется.) — Припомним, как мы записывали это с помощью букв. Пусть имеем два слагаемых: а и Ь. Обозначьте формулой переместительный закон для этого случая (a -f- b = b -f- a). Так же повторяются и остальные законы сложения и умножения.

До сих пор мы применяли буквы для обозначения законов действий, а теперь посмотрим, когда и как еще можно применить в математике буквы. Но сначала вспомним, как мы решали задачи по формулам. Решим такую задачу:

„От Москвы до Коломны 120 км. Навстречу друг другу одновременно вышли два поезда: пассажирский и скорый. Пассажирский проходит в среднем 30 км в час, а скорый — 50 км в час. Через сколько времени они встретятся?“ (Задача повторяется.) Как будете решать эту задачу? (Сначала узнаем, сколько километров проходят в час оба поезда.)—А затем? (Через сколько времени они встретятся.) — Как решить первый вопрос? (Надо сложить 30 и 50.) Как решить второй? (120 разделить на полученную сумму.) — Запишите это формулой:

Вы не раз уже употребляли слово „формула“, но пока не знаете, что же называется в математике формулой. Вот сейчас и займемся этим. Разберем написанное выражение. Что в нем имеется? (Цифры, обозначающие данные в задаче числа.)—А еще? (Знаки действий.)—Значит, в этом выражении имеются числа и знаки действий, а можно сказать, в каком порядке нужно производить эти действия? (Можно.) — Скажите. (Сначала надо сложить 30 и 50, а уже затем на эту сумму разделить 120.)—Значит, записанное выра-

жение что показывает? (Какие действия и в каком порядке надо произвести над данными числами.) — Вот такое выражение и называется формулой. Так скажите, какое же выражение называется формулой? (Дети дают определение.) Прочтем определение формулы по стабильному учебнику Попова (стр. 137). В этой формуле числа обозначены как? (С помощью цифр.) — Будем называть такую формулу цифровой.

Теперь возвратимся к решению задач по формулам. Возьмем задачу (№ 4 по задачнику Березанской, гл. VIII): „Двумя насосами накачивали воду в резервуар. Первый насос в час накачивал 52 ведра, а другой — 80 ведер в час. Сколько воды накачивают оба насоса, действуя одновременно, за 5 часов?“ (Задача записывается и повторяется.)—Что требуется найти в этой задаче? (Сколько воды накачают оба насоса за 5 часов одновременной работы.) — Расскажите, как будете решать эту задачу? (Сначала узнаем, сколько воды накачивают оба насоса в 1 час; а затем узнаем, сколько накачают они за 5 часов.)

— Какие действия примените для решения этой задачи? (Сначала сложим 50 и 80, а затем полученную сумму помножим на 5.) — Запишите это одной формулой. [х = (50 -|— 80) • 5.] Решим еще задачу: „Два насоса подают воду в бак. Первый подает в час 70 ведер, а второй 90 ведер. Работали они 3 часа. Сколько воды накачали оба насоса?“

— Похожа эта задача на решенную? (Похожа.) —Чем? (В ней указано, сколько ведер воды в час дает каждый из двух насосов; спрашивается, сколько ведер дадут эти насосы за известное число часов.) —А чем они разнятся? (Даны другие числа.)—Как будете решать эту задачу? (Дети рассказывают.) — Значит, эта задача решается так же, как первая, или по-другому? (Как первая.)—А нельзя ли формулу первой затачи взять со всеми ее числами для данной задачи? (Нет.)

— Почему? (Потому что во второй за паче другие числа.) — Составьте формулу для решения этой задачи. (Дети составляют: [л: = (70 + 90).3.]

Можно решить еще одну подобную задачу и дать на дом решить по формулам 2 — 3 подобных задачи.

2-й урок

План, а) Повторение по записям в тетрадях задач, решенных на предыдущем уроке; б) вывод, что для каждой такой задачи приходится составить особую цифровую формулу; в) замена цифр в формуле словами и вывод пригодности полученной формулы для всех сходных задач; г) замена слов буквами и вывод преимущества буквенной формулы перед цифровой и словесной; д) упражнения в составлении буквенных формул для решения задач (без предварительной цифровой).

Ход урока. — Сегодня, будем продолжать работу, начатую на предыдущем уроке. Что мы там делали? (Составляли формулы для решения задач.) — Расскажите, какие формулы получились у вас при решении задач, данных на дом? (Формулы решенных задач выписываются на доску.) — Повторим решение этих задач. Что давалось в каждой из этих задач? (Сколько ведер воды в час поступало в резервуар через каждую из двух труб.) —Что отыскивалось в задаче? (Сколько воды поступало в резервуар через обе трубы за известное число часов.) — Что мы делали для решения каждой задачи? (Составляли формулу.) —Можно ли было формулу одной задачи применить к каждой из остальных? (Нет.) — Почему? (Потому что в каждой задаче были разные числа.) — Теперь запишем формулу для решения этих задач словами. Что обозначало первое число в скобке? (Количество воды, которое давал в час первый насос.) — А второе число? (Количество воды, поступившее в час через вторую трубу.) — Что обозначало число за скобкой? (Количество часов работы обоих насосов.) — Чтобы запись была короче, мы вместо выражения „Количество воды, которое давал первый насос“ запишем: „Производительность первого насоса“. А что тогда можно написать вместо выражения: „Количество воды, поступившей в час через второй насос“? (Производительность второго насоса.) — Запишем всю формулу: х — (производительность первого насоса -f- производительность второго насоса) X количество часов их работы. Значит, чтобы решить подобные задачи, что надо сделать? (Сложить производительность двух насосов в час и полученную сумму помножить на количество часов их работы.) — Последнюю формулу можно применить к каждой из решенных или похожих на них задач? (Можно.) — Почему? (Потому что вместо слов мы можем из каждой задачи взять данные в ней числа.)—А не догадаетесь ли, как можно короче написать последнюю формулу?1 (Вместо слов поставить буквы.)— Как? (Обозначим производи-

1 Можно рассчитывать, что учащиеся, имея уже некоторый навык в буквенных обозначениях сумеют ответить на данный ьопрос. Если же преподаватель не надеется на класс, то сам заменяет слова буквами, после чего переходит к выводам.

тельность первого насоса буквой о, производительность второго — буквой Ь, количество часов их работы — буквой с.) —Запишите формулы. [х—(а +Ь)-с]—Можно эту буквенную формулу применить для решения каждой из данных задач? (Можно.) — Как? (Вместо букв в формуле поставить данные числа и произвести указанные действия.) — Значит, для решения сходных задач какая формула всегда пригодна: та ли, в которой числа обозначаются буквами, или та, где они обозначены цифрами? (Та, в которой числа обозначены буквами.)—Да, или иначе говорят „буквенная формула“. Так, значит, буквенную формулу можно применять для решения каких задач? (Для решения сходных между собою задач.)

Для закрепления проработанного материала на дом даются задачи № 5, 7 и 8 того же отдела задачника Березанской.

Тема II. НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛОВОГО ЗНАЧЕНИЯ БУКВЕННЫХ ВЫРАЖЕНИЙ - 2 часа1

План, а) Составление буквенной формулы для решения задачи; б) замена букв цифрами и вычисление полученной формулы; в) подстановка других значений букв в данную формулу и вычисление полученных формул; г) вывод, что от замены букв цифрами изменяется полученное от вычисления число — ответ; д) упражнения в подстановке на готовых формулах.

Ход урока. — Припомните, чем мы занимались на прошлом уроке. (Составляли буквенные формулы для решения задач.) — Составьте буквенную формулу для такой задачи: „В течение дня кооператив продал а килограммов сахару по п рублей за килограмм и b килограммов крупы по m рублей за килограмм. Сколько было выручено за сахар и крупу?“ (Учащиеся самостоятельно составляют формулу: (х = па +rnb.) Что в этой формуле обозначают я, û, m, Ь? (Учащиеся говорят.) — Запишем : пусть п — 2,5 руб. ; а = 240 Kz ; m = 0,28 руб. ; b = 150 кг. Замените в записанной формуле буквы их значением. Запишите, какая получится формула? (х = 2,5 240 + 0,28 • 150.) — Сделайте вычисления, запишите, какое получится число, (л: = 642 руб.) — Расскажите, что мы делали с данной формулой? (Заменили буквы их значением, затем произвели указанные действия.)—Слушайте : это называется нахождением числового значения буквенного выражения. Значит, как найти числовое значение буквенного выражения? (Надо в это выражение вместо букв поставить их значение, затем произвести указанные в формуле действия.)

— Найдите числовое значение этой же формулы, если допустим, что п = 2,8 руб.; а= 160 кг\ m = 0,25 руб. и Ь= 80 кг. (Учащиеся делают вычисления.) Какое число получилось? (468 руб.) - А в первом случае? (642 руб.)—Значит, числовое значение буквенной формулы всегда одинаково или неодинаково? (Неодинаково.)— Отчего это зависит? (От значения букв, находящихся в формуле.)

В целях закрепления даются для самостоятельного решения из того же задачника Березанской задачи № 9, 12, гл. VIII

Тема III. БУКВЕННАЯ ЗАПИСЬ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАВИСИМОСТЕЙ —2 часа

План: а) Повторение названия компонентов арифметических действий и их взаимозависимости; б) обозначение суммы двух и нескольких чисел с помощью цифр; в) обозначение той же суммы с помощью букв; г) буквенное обозначение остальных арифметических действий; д) буквенное обозначение совокупности нескольких действий и вывод, с какого действия следует начинать обозначения.

Ход урока. — На этом уроке мы будем продолжать работу с формулами. Я буду давать вам задачи, а вы обозначьте их решение формулами. Но сначала повторим, как называются числа при сложении, вычитании, умножении и делении. (Учащиеся повторяют названия компонентов четырех арифметических действий.) — Слушайте: надо обозначить сумму двух чисел—15 и 24. Запишите. (Ученики выполняют.) — Запишите разность чисел 45 и 12; произведение чисел 16 и 18; частное от деления 65 и 18. (Дети записывают.) — Теперь обозначьте сумму чисел а и Ь; разность с и d; произведение а и Ь; частное b и с. (Дети записывают и читают.)

— Теперь решим пример, потруднее. Даны числа a, b и с. Надо обозначить формулой сумму числа а с произведением чисел b и с. Разберемся. Какие действия надо обозначить? (Сложение и умножение.) — С какого действия начнем обозначение? (С умножения.) — Почему? (Потому что, прежде чем складывать, надо знать, что нужно сложить.) — Обозначьте произведение

1 В этой теме и остальных вторые уроки начинаются с повторения материала первого урока, а затем учащиеся решают самостоятельно задачи закрепления сообщенного (под наблюдением преподавателя).

Ь и cl (b-c.) —Что теперь можно обозначить? (Сумму.) — Как? (a -j- be.) Разбирается ряд примеров, где даются комбинации различных действий, причем при решении каждого случая обращается внимание на то, с какого действия начинается запись.

После такой подготовки можно приступить к обобщающему выводу.

— Мы обозначали формулами разные действия, причем в каждой формуле давалось несколько разных действий. Припомните записанные формулы и скажите, начиная с каких действий следует записывать формулы? (С умножения или деления.) —А какие действия ставить в конце? (Сложение и вычитание.)

Для закрепления решаются примеры из задачника Березанской № 22, 25, 27, 33, 41, и 42, гл. VIII.

Тема IV. ЧТЕНИЕ И ЗАПИСЬ БУКВЕННЫХ ВЫРАЖЕНИЙ СО СКОБКАМИ-2 часа

План, а) Чтение учащимися записанной учителем сложной цифровой, а затем буквенной формулы без скобок; б) включение в эту формулу скобок и чтение полученной формулы; в) сравнение этих двух формул и объяснение причины разночтения; г) подстановка в полученные формулы, сравнение результата и объяснение причины этого; д) упражнения в чтении и объяснении буквенных формул со скобками; г) вывод значения скобок в формуле.

Ход урока.—До сих пор мы с вами изучали формулы, учились записывать их. А теперь поучимся читать готовые формулы. Прочтите такую формулу: (a+b-d). (Сумма числа а с произведением чисел b и d.) — Теперь прочтите такую формулу: {a+b)-d. (Произведение суммы чисел а и b на число d.)—Теперь сравним эти две формулы; какие даны числа: одинаковые или разные? (Одинаковые.) —Какие действия указаны в этих формулах: одинаковые или разные? (Одинаковые.)—А читаются они одинаково или по-разному? (По-разному.) — Почему? (Потому что во второй формуле есть скобки.)—Запишем порядок действий, указанный в первой формуле, пронумеровав эти действия: 1) умножение; 2) сложение. Сделаем то же со второй формулой: 1) сложение; 2) умножение. Значит, эти формулы отличаются одна от другой чем? (Порядком действий.) — Во второй формуле что изменило порядок действий? (Скобки.)

После решения нескольких примеров делается вывод, что скобки ставятся для обозначения порядка действий.

Для самостоятельного решения даются по задачнику Березанской задачи № 51, 58 и 59, гл. VIII.

Тема V. ОБОБЩАЮЩИЙ ВЫВОД ЗНАЧЕНИЯ БУКВЕННОГО ОБОЗНАЧЕНИЯ-1 час

План, а) Решение 2—3 задач с параллельной записью цифровой и буквенной формул; вывод преимущества буквенных формул; б) рассматриваются уже имеющиеся примеры, и на этом основании делается тот же вывод.

Данный урок можно построить двояко: 1) как указано в плане, т. е. решить одну и ту же задачу с применением цифровой и буквенной формул; затем сопоставить полученные формулы и после решения 2—3 несложных задач сделать окончательный вывод, что буквенная формула приложима ко всем одинаковым по содержанию задачам; 2) использовать уже проработанный выше материал и на основании разбора записанных примеров делается тот же вывод, что указан в п. 1 данной темы.

СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ

П. ЛАРИЧЕВ (Москва)

I. ОДНО УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

Изучение уравнений первой степени с двумя неизвестными удобно начать с решения задачи, приводящей к одному уравнению с двумя неизвестными. Учащимся предлагается, например, определить стороны прямоугольника, периметр которого равен 24 см. Обозначив длину прямоугольника через х, а ширину через у, учащиеся получают уравнение: 2х+2у = 2\, или х+у=\2.

Решения одного уравнения с двумя неизвестными учащиеся находят, давая одному из неизвестных произвольные значения и вычисляя по данному уравнению соответствующие значения другого неизвестного. Дается запись получаемых решений в форме таблицы:

X

5

4

У

7

8

В результате работы учащиеся устанавливают, что одно уравнение с двумя неизвестными имеет множество решений.

На примерах решения нескольких задач следует установить, что иногда не все полученные решения одного уравнения с двумя неизвестными дают ответ на вопрос задачу Например, в задаче: „Определить стороны прямоугольника, периметр которого равен 24 сми, ответ на вопрос задачи дают только положительные значения х и у. В задаче: „Кассиру надо выдать 60 руб.; у него имеются трех- и пятирублевые дензнаки. Сколько он должен дать трех- и пятирублевых бумажек?“, для ответа на вопрос задачи не годны ни дробные, ни отрицательные значения неизвестных.

Вывод о неопределенности решения одного уравнения с двумя неизвестными можно иллюстрировать графически, но только при наличии для этого достаточного времени. При этом учителю следует иметь в виду, что в данном случае было бы нецелесообразно усложнять вопрос о построении графика введением лишних здесь терминов и понятий о координатах точки, о системе координат и т. д.

Для уравнения х+у = 5> выписать таблицу нескольких решений данного уравнения, например:

X

1

2

3

0

У

4

3

2

5

Можно предложить учащимся отметить полученные решения уравнения следующим образом. Построить горизонтально числовую прямую, отметить на ней какое-либо значение X, например 2 (чертеж надо выполнять на клетчатой бумаге). Из полученной точки восставить перпендикуляр и на нем лучше всего в том же масштабе отметить соответствующее значение у, причем условиться положительные значения v откладывать вверх от горизонтальной линии, а отрицательные—вниз. Отметив таким путем несколько решений данного уравнения, учащиеся получают ряд вертикальных линий, величина которых выражает величину у при соответствующем X (в принятом масштабе).

Приложив ребро линейки к концам перпендикуляров, учащиеся видят, что все эти концы лежат на одной прямой линии. Начертив эту прямую и продолжив ее в обе стороны, учащиеся выполняют следующие упражнения: отмечают на числовой оси произвольное значение х, в полученной точке проводят перпендикуляр к горизонтальной оси и продолжают его до пересечения с вычерченной прямой, а потом измеряют длину этого перпендикуляра по данному масштабу. Полученное число принимают за у. Путем подстановки в уравнение, проверяют, что данный X и полученный у являются решением уравнения.

Для более быстрого отсчета значений у предлагается построить перпендикуляр к горизонтальной прямой, через точку начала отсчета, и на этом перпендикуляре нанести числовые отметки в принятом масштабе. Дается название осей: ось X и ось У. Повторяем, эта работа не является обязательной.

II. ПОНЯТИЕ О СИСТЕМЕ ДВУХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

Решая задачи, приводящие к одному уравнению с двумя неизвестными, учащиеся уже убедились, что определенного ответа на вопрос задачи при этом дать нельзя. Напомнив задачу: „Определить стороны прямоугольника, периметр которого 24 см“, и установив, что эта задача имеет множество решений, преподаватель выясняет, что для получения определенного ответа на вопрос задачи надо ввести дополнительное условие, например, что длина прямоугольника на 2 см больше его ширины.

Это условие учащиеся выражают уравнением: х=у+ 2. Таким образом для решения задачи имеются две зависимости, два уравнения:

2аг+ 2з/=24 х=у+2

Внимание учащихся обращается на то, что в обоих уравнениях неизвестные обозначают числовые значения одних и тех же величин, что в данном случае имеется система двух уравнений с двумя неизвестными. Далее учащиеся составляют таблицу решений для 1-го и 2-го уравнений и из них берут ту пару значений неизвестных, которая одинакова в обеих таблицах. Для данной системы это будут х = 7; у = 5. Путем подстановки учащиеся убеждаются в правильности найденного решения.

После решения нескольких примеров в выводах фиксируется (в учебнике Киселева этот вывод не отмечен), что:

1) система двух уравнений с двумя неизвестными дает вполне определенные значения для каждого неизвестного;

2) решить систему двух уравнений с двумя неизвестными значит, найти те значения не-

известных, при которых удовлетворяется каждое из уравнений системы.

Во избежание неправильных представлений следовало бы на конкретном примере здесь (или позже, на седьмом году обучения) обратить внимание учащихся на то, что не всякая пара уравнений имеет определенное решение. Рассматривая, например, систему:

2jt-f-3y=16 4х+6у=20

учащиеся убеждаются (умножением первого уравнения на 2), что данные уравнения противоречивы;

4*-|-6у=32, 4x4 6у=20

чего одновременно быть не может ни при каких значениях хиу. Точно так же можно показать учащимся, что система двух уравнений, имеющая определеннее решение, должна содержать два различных уравнения, не вытекающих одно из другого как следствие; так, уравнения 6х-^-4у = & и Зх+-4- 2у=4 легко приводятся к одному уравнению, а потому не дают определенного решения.

Очень тщательно должен быть проработан с учащимися вопрос о том, что прежде чем оперировать с уравнением, содержащим два неизвестных, его надо привести к „нормальному“ виду. Надо проделать несколько упражнений „приведения уравнений к нормальному виду“, следя, как и при преобразовании одного уравнения с одним неизвестным, за последовательностью операций: выполнения указанных действий, раскрытия скобок, освобождения от знаменателей, переноса неизвестных в одну часть уравнения, известных—в другую, приведения подобных членов, сокращения всех членов. Полезно подвести учащихся к записи в „нормальном“ виде уравнения с двумя неизвестными на буквах ах -f- by— с.

Соответствующие параграфы 92 и 93 о неопределенности одного уравнения с двумя неизвестными и о нормальном виде уравнения первой степени с двумя неизвестными даются учащимся для прочтения по учебнику Киселева.

III. СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ

I. Изучение приемов решения системы двух уравнений можно начать с любого способа.

Мы предлагаем первым способом давать способ подстановки, так как он ярко выясняет сущность процесса решения системы уравнений и имеет громадное значение во всем дальнейшем курсе математики.

Дается для решения система, например

jc + 3y = 21 5jc -f 4у = 72

Учащиеся прежде всего устанавливают, что в данных уравнениях неизвестные х и у обозначают те числа, которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно (предполагая, что такая пара чисел существует). Отсюда, например, значение х, удовлетворяющее первому уравнению, должно удовлетворять и второму уравнению. Ставится вопрос, нельзя ли из первого уравнения выразить значение X. Выполнив перенесение члена (-|-Зу) в правую часть, учащиеся получают: х=2\ — - Зу.

Следует подчеркнуть, что полученное значение X, выражено через у, т. е. числовая величина х должна быть одинакова с числовой величиной выражения 21 — Зу.

Найденное значение х должно удовлетворять и второму уравнению. Подставив значение X во второе уравнение, учащиеся получают 5 (21 — Зу) -|- 4у= 72. Полученное уравнение есть уравнение первой степени с одним неизвестным и дает для у значение, равное 3. Значение х вычисляется из выражения: л: =21—Зу.

На нескольких примерах учащиеся самостоятельно выполняют подробное решение системы уравнений, объясняя смысл и значение каждого преобразования. В результате устанавливается правило решения системы способом подстановки, причем это правило удобнее сформулировать в виде инструкции; например, чтобы решить систему двух уравнений с двумя неизвестными способом подстановки, надо: 1) найти выражение одного неизвестного через другое из любого из данных уравнений: 2) полученное значение неизвестного подставить в другое уравнение и т. д.

Надо добиться твердого навыка в решении системы уравнений, подбирая упражнения последовательно возрастающей трудности, т. е. давать сперва уравнения с целыми коэфициентами, потом с дробными; потом уравнения, содержащие скобки, и т. д.

Примерно, последовательность может быть такая:

При решении примеров следует обращать особенное внимание учащихся на уменье заменять уравнения, содержащие дроби, скобки и т. п., равносильными им уравнениями нормального вида и на аккуратность и последовательность записи всего хода решения системы двух уравнений. Надо требовать от учащихся, примерно, следующего расположения записей:

1. Данные, уравнения системы выписывать одно под другим.

2. Далее последовательно выполнять преобразования и приведение к нормальному виду сперва первого уравнения системы, затем второго.

3. Полученные уравнения нормального вида выписать одно под другим и выполнить требуемое решение.

4. Корни системы, т. е. ответ, четко выписать.

5. Выполнить проверку правильности решения.

Пример записи:

Проверка

II. Прорабатывая решение системы двух уравнений способом подстановки, полезно, хотя и не обязательно, познакомить учащихся и с другим приемом исключения одного из неизвестных, именно — со способом сравнения неизвестных, выяснив сущность его на ряде примеров.

Пусть, например, дана система:

6 X — 4_у = 5 8лг— Ъу = 2

Определив как из первого, так и из второго уравнения х, в виде выражения, содержащего у: х=—и х = —> Учащиеся, зная, что в системе уравнений значение X должно быть одним и тем же в обоих уравнениях, сравнивают полученные выражения, записывая уравнение:

Это уравнение с одним неизвестным. Решая его, находим у; 4 (5 4>) = 3 (2 -(- Зу);

Подставляя найденное значение у в одно из выражений, определяющее х, например

получаем значение для х:

Для самоконтроля полезно подставлять найденное значение у в оба выражения для определения х.

III. Повторив путем беседы вопрос о решении системы двух уравнений с двумя неизвестными способом подстановки и способом сравнения неизвестных, учитель еще раз подчеркивает, что решение системы уравнений приводится к решению одного уравнения с одним неизвестным, равносильного данным.

Учащимся предлагается для решения, например, следующая система:

Преподаватель, обратив внимание учащихся на то обстоятельство, что в обоих уравне-

ниях системы коэфициенты при у равнопротивоположны, приводит их к мысли, что в данном случае можно получить одно уравнение с одним неизвестным почленным сложением левых и правых частей обоих уравнений.

Выполнив сложение, учащиеся получают этим приемом одно уравнение с одним неизвестным 8 X = 40, откуда л=5. Значение у вычисляется путем подстановки найденного значения х в любое из данных уравнений.

Устанавливается, что решение данной системы двух уравнений с двумя неизвестными мы опять привели к решению одного уравнения с одним неизвестным, но выполнили это другим способом, называемым способом сложения.

Затем можно дать учащимся решение систем уравнений способом алгебраического сложения в случаях, требующих уравнивания коэфициентов, например:

1) x-f 5j/=35 2) Зл:— 5j/= 13 Ъх+2у=27 2х+7у=Ъ\

Сделав несколько аналогичных примеров на решение системы уравнений способом сложения, учащиеся переходят к примерам, где для исключения неизвестного надо выполнить почленное вычитание частей уравнений; при этом выясняется, что оба приема по существу сводятся к алгебраическому сложению.

Решение системы уравнений этим способом достаточно полно изложено в учебнике Киселева, ч. I, § 96.

В результате проработки учащиеся должны знать процесс решения системы двух уравнений с двумя неизвестными (сведение к решению одного уравнения с одним неизвестным, равносильного данным), должны уметь решать и проверять решение системы двух уравнений с двумя неизвестными с числовыми коэфициентами двумя способами.

Для контрольной работы (1 час) можно предложить учащимся решить одну систему уравнений, данную в нормальном виде, способом подстановки, другую — способом алгебраического сложения. Затем следует дать третий пример, в котором уравнения системы даны не в нормальном виде, и предоставить учащимся решить ее любым способом.

IV. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

Способы решения системы двух уравнений с двумя неизвестными распространяются и на систему уравнений с тремя неизвестными. Учащиеся должны усвоить, что решение системы уравнений с несколькими неизвестными сводится в конечном счете к решению одного уравнения с одним неизвестным путем последовательного исключения остальных неизвестных.

На конкретных примерах следует установить, что для определения значений трех неизвестных необходимо иметь систему трех уравнений. При подборе материала для упражнений следует ограничиться несложными уравнениями с числовыми коэфициентами. Следует остановиться на особых случаях вида:

5х—у= 9

3x+Z=\0

у+ 4г= 17

Учителю нужно постоянно обращать внимание учащихся на последовательность, четкость и аккуратность записи решения данных системы, добиваясь, чтобы учащиеся всегда доводили решение системы до конца, получая значения всех входящих в систему неизвестных.

Точно так же следует требовать проверки правильности решения системы путем подстановки полученных корней в данные уравнения.

Приведем пример записи решения системы уравнений с тремя неизвестными.

Решение способом сложения.

Проверка: 8 + 6 —15 = —1 — 1 = — 1

V. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СОСТАВЛЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ И ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

Следует обратить внимание учащихся на то, что способ решения задач методом уравнений им знаком, что при решении задач путем введения двух неизвестных и составления системы уравнений нужно выбрать и обозначить два неизвестных по условию задачи.

Решая задачи методом составления системы уравнений, учащиеся снова практикуются в умении анализировать условие задачи, правильно записывать данные, располагая запись в виде наглядной схемы, находить зависимости между данными и искомыми и записывать эти зависимости уравнениями.

В начале работы полезно выполнить в классе решение одной и той же несложной задачи путем составления одного уравнения с одним неизвестным и путем составления системы уравнений и с двумя неизвестными. Сопоставляя оба приема решения задачи, учащиеся убеждаются, что нередко легче составить два уравнения с двумя неизвестными, чем одно уравнение с одним неизвестным.

Примером таких задач может быть следующая: „Заплачено за 75/^2 сахара на 9 руб. более, чем за 5 кг чая, а 50 кг сахара стоит на 18 руб. дешевле, чем 6 кг чая. Что стоит 1 кг чая и 1 кг сахара?“

Как и при решении задачи составлением одного уравнения, надо проводить определенную последовательность и при решении задачи составлением двух уравнений (а затем и с большим числом неизвестных), а именно — учащийся должен:

1) внимательно прочитать (или выслушать) условие задачи;

2) выделить данные и искомые;

3) обозначить неизвестные искомые величины буквами х и у;

4) выразить с помощью х и у данные задачи (и записать);

5) определить равенства или отношения выражений, содержащих неизвестные (оба или одно), друг с другом или с числами, данными в задаче, и таким способом составить два уравнения;

6) решить полученную систему уравнений;

7) проверить решение;

8) проверить, соответствуют ли корни уравнений условию задачи;

9) ответить на дополнительные вопросы задачи, если они имеются.

Особое внимание при проработке вопроса о решении задач путем составления системы уравнений обращается на истолкование смысла полученных корней уравнений. Следует всегда требовать, чтобы учащиеся проверили, соответствует ли полученный корень условию задачи, особенно в случаях получения отрицательного и дробного значения корня, и не ограничивались проверкой составленного уравнения.

ПЛОЩАДИ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ФИГУР

Е. ЗАГОСКИНА (Москва)

В начале работы по данной теме следует путем повторения и упражнений внести четкость в имеющиеся у учащихся знания по вопросу о квадратных мерах, установить единичное отношение квадратных мер и добиться создания отчетливого представления об аре и гектаре; учащиеся должны понимать разницу между непосредственным и косвенным измерением; следует требовать четкости в постановке наименований в линейных и квадратных единицах и правильного употребления с ;-, м1 и т. д.

Учащиеся на пятом году обучения уже пользовались формулами для вычисления площадей; на шестом году основным моментом является вывод формул, их доказательство. Учитель должен обратить на это внимание учащихся и требовать от них полного понимания доказательств и умения самостоятельно проводить их.

Формула для вычисления площади прямоугольника в стабильном учебнике дается первой; выводится формула для двух случаев: 1) когда высота и основание — целые чи:ла и 2) когда они выражены дробными числами. Затем в учебнике рассматривается площадь квадрата как прямоугольника с равными сторонами; выводится формула для площади

параллелограма путем замены его равновеликим прямоугольником и, наконец, формула для площади треугольника как половины площади параллелограма. На последний вывод следует обратить особое внимание, чтобы учащиеся четко осознали, почему в формуле для площади треугольника появляется множитель y ; это поможет в дальнейшем избежать обычной ошибки при вычислении площади треугольника — опускания множителя

Возможно проработать материал и иным порядком, а именно: путем дополнения до прямоугольника вывести формулы для вычисления площади сначала прямоугольного, а затем косоугольного треугольника; формулу площади параллелограма вывести путем разбивки его на треугольники. В целях предупреждения часто встречающейся ошибки — вычисление площади параллелограма путем умножения стороны на сторону — надое помощью чертежа пояснить учащимся, что параллелограм не равновелик прямоугольнику, имеющему те же стороны. Формула площади трапеции выводится путем разбивки ее диагональю на два треугольника. Многоугольник разбивается на треугольники, прямоугольники и трапеции. Ромб разбивается диагональю на два равнобедренных треугольника или двумя диагоналями на четыре прямоугольных треугольника; возможно также проведением через вершины ромба прямых, параллельных его диагоналям, дополнить его до прямоугольника, площадь которого вдвое больше ромба, и таким образом вывести формулу для вычисления его площади (черт. 1). Выражение для площади квадрата следует дать и через его диагональ. Необходимо, конечно, указать учащимся, что площадь и ромба и квадрата они могут вычислять по формуле площади параллелограма.

Попутно с выводом формул площадей ставится вопрос об отношение площадей прямоугольников, параллелограмов и треугольников. Необходимо каждый раз не только теоретически разбирать вопрос, но и иллюстрировать его на чертежах примерами с числовыми данными.

Новое для учащихся свойство равновеликости фигур должно быть сопоставлено с равенством фигур. Следует поставить вопрос: всегда ли две равные фигуры равновелики, и обратно? Для учащихся ясно, что Фигуры, совпадающие при наложении, имеют равные площади; надо познакомить их с фигурами равновеликими, но не равными. Это можно показать хотя бы на следующем примере: если квадрат разбить диагональю на два прямоугольных треугольника и сложить эти треугольники катетами так, чтобы получился равнобедренный треугольник, то площадь этого треугольника и площадь квадрата будут получены от сложения равных площадей; следовательно, эти фигуры будут равновелики, но не равны.

Черт. 1 Черт. 2

Равенство площадей, получающихся при вычитании равных площадей, можно показать так. Взять на двух параллельных прямых (черт. 2) отрезки AB — АгВл = CD = C1D1 и построить параллелограмы ABCD и A^,f^C1D1; тогда трапеции AA1DDÎ и ЬВЛССЛ будут иметь равные площади; но площадь ААлоОл = площади ВА'&С+H- площадь ABCD, а площадь ВВгССл = площади BA'D'C+ площадь А 'В* OD'; таким образом, площади параллелограмов ABCD и A1B1C1D1 равны, так как получаются как разности равных площадей.

При проработке данной темы может быть успешно использован „Универсальный набор по планиметрии“ П. А. Карасева, дающий возможность с помощью набора несложных фигур иллюстрировать выводы формул площадей и равновеликость фигур. В брошюре П. А. Карасева „Учебно-наглядные пособия по математике и методика работы с ними в средней школе“, изданной Наркомпросом РСФСР в 1933 г., описаны необходимые детали площадей. Набор состоит из элементов, показанных на чертеже 3, окрашенных в различные цвета, и может быть изготовлен из картона или фанеры в школьной мастерской.

Черт, 3

Модели равносоставленных фигур могут быть изготовлены учащимися в порядке кружковой или домашней работы. Учащихся легко заинтересовать изготовлением старин-

ной игры, так называемой „китайской головоломки“, которая явится для них хорошим пособием при усвоении понятия о равносоставленных фигурах. В „Новом задачнике по геометрии“ Перельмана учитель может найти образец „китайской головоломки“. Она состоит из квадратной дощечки, разрезанной на семь отдельных частей (черт. 4), из которых, употребляя каждый раз все семь частей, учащиеся могут составить прямоугольник, параллелограм или прямоугольный треугольник.

При изучении вопроса о равновеликости треугольников следует использовать движение: оставляя основание неподвижным, заставить вершину скользить по прямой, параллельно основанию. Здесь можно показать самодельно изготовленную модель, указанную на чертеже 5. В доску вбиваются гвозди по двум параллельным направлениям, и на них натягивается резинка, иллюстрирующая, при натягивании ее на различные гвозди, равновеликие треугольники.

Черт. 4 Черт. 5

Все задачи на превращение фигур в равновеликие им фигуры, разобранные в стабильном учебнике по планиметрии Гурвица и Гангнуса, надо проработать с учащимися. После объяснения учителя и проработки материала по книге каждый учащийся должен выполнить построения на своем чертеже, — желательно на чертеже, отличном от приведенного в книге и с другими обозначениями.

При изучении вопроса о площадях, необходимо указать учащимся функциональную зависимость величины площади параллелограма от величины основания и высоты. Выведенные зависимости надо проверять на числовых примерах и приучать учащихся следить за изменением результата в связи с изменением данных. Важно ставить задачи о нахождении неизвестных элементов фигуры по данной ее площади и другим данным элементам. Для квадрата можно поставить задачу о нахождении его стороны по данной площади или подбором чисел или с помощью таблицы квадратов чисел; здесь могут быть использованы имеющиеся в продаже стенные таблицы квадратов чисел. Для определения того или иного элемента фигуры по данной площади не следует давать готовых формул; учащиеся должны, зная зависимость между данными и искомыми величинами, составлять уравнение и находить неизвестное решением его.

Следует поставить вопрос об изменении площади фигуры при постоянном ее периметре и переменной величине сторон и углов. Здесь можно дать, например, такую задачу: какой из изопериметрических (имеющих равные периметры) параллелограмов имеет наибольшую площадь? Путем рассмотрения шарнирного параллелограма, у которого меняется угол, или из соответствующего чертежа выясняется, что наибольшую площадь имеет прямоугольник, так как при общем основании он имеет наибольшую высоту. На отдельных примерах с числовыми данными выясняется пробами, какая из фигур, имеющих одинаковый периметр (например квадрат, прямоугольник), имеет наибольшую площадь, и обратно: какая из равновеликих фигур имеет наибольший периметр. Можно дать задачу с конкретным содержанием, например: при данном периметре пола, какая комната будет иметь большую площадь — прямоугольная или квадратная? Если, например, периметр 20 м, то площадь соответствующего квадрата 25 л:*, м, а площади всех возможных прямоугольников меньше; они могут равняться 9, 16, 21, 24 кв. м.

Из всех тем шестого года обучения в данной теме наиболее легко связать теорию с доступным для данного возраста жизненным и производственным материалом. Здесь учитель может особенно ясно показать учащимся, что „чистая математика имеет своим предметом пространственные формы и количественные соотношения действительного мира“, что „как и прочие науки, математика возникла из потребностей человека: из измерения земли...“ (Энгельс, Анти-Дюринг, стр. 33).

Полезно сообщить учащимся некоторые исторические сведения о том, как потребность в измерении площадей возникла в Египте из необходимости ежегодно производить размежевание земельных участков, границы которых уничтожались вследствие разлива Нила (об этом в III в. до нашей эры пишет Геродот, греческий историк); с другой стороны — вычисление площадей было необходимо египтянам для измерения вместимости житниц (об этой задаче говорится в папирусе Ринда — древнейшем математическом памятнике, находящемся в Британском музее). В древнем Риме (в I в. до нашей эры) поэт Овидий писал: „Землю мерщик длин-

ным шестом измерял, осторожный“. Римлянам, совершавшим большие военные походы по новым землям, приходилось производить землемерные работы, обмеряя завоеванные земли, устанавливая границы и т. п. Исторические данные учитель может найти в любой книге по истории математики.

Для задач может быть использован, примерно, следующий материал: вычисление площади земельного участка и посевной площади; расчет урожайности на единицу площади; определение площади по плану и карте (Рыбкин, № 74); расчеты площадей сечения деталей (там же, № 12, 13); площадь сечения выемки окопа (№ 72); сечение реки (№ 73); ремонтно-строительные сметы; санитарные нормы световой площади и пр. Кроме стабильного задачника учитель может в своей работе использовать и другие: Брекенриджа: „Прикладная математика в заводской практике“, Перельмана: „Новый задачник но геометрии“.

В связи с проработкой данной темы учащиеся могут во внеурочное время провести общественно-полезную работу по вычислению площадей и кубатуры в школьных помещениях, световой площади классов и т. п. В геодезических работах также будут применены сведения, полученные при прохождении данной темы.

При изучении вопросов геометрии теоретический материал большей частью прорабатывается на уроках путем бесед, но по теме „Площади прямолинейных фигур“ возможно часть материала дать учащимся для самостоятельной проработки; например, когда выведена формула для площади параллелограма, можно предложить учащимся вывести самостоятельно формулы для площади треугольника и трапеции. Метод работы в значительной степени будет зависеть от степени подготовленности группы, от умения доказывать теоремы.

Упражнения для закрепления полученных знаний и большинство задач прорабатываются учащимися самостоятельно в классе и дома. Но прежде чем давать учащимся для самостоятельного решения задачи, учитель должен примерные задачи решить со своей группой, с тем, чтобы ученики видели образец и усвоили последовательность рассуждений и записи. При решении задач следует обязательно доводить до конца все вычисления, пользуясь правилами округления результатов действий. Вычисления, встречающиеся в задачах, будут служить хорошим повторительным упражнением в действиях над обыкновенными и десятичными дробями.

В качестве домашней работы следует также давать и проработку по книге теоретического материала.

В результате проработки темы учащиеся должны:

1) уметь вывести формулы для вычисления площадей прямолинейных фигур, твердо знать эти формулы, точно формулировать их словами и правильно читать их;

2) уметь разбить многоугольник на элементарные фигуры для вычисления его площади;

3) уметь применять формулы к решению задач, взятых из книги и возникающих в производственной и жизненной практике;

4) уметь установить зависимость между отдельными величинами, входящими в формулу, и определить из формулы любую величину, принятую за неизвестное;

5) понять значение термина „равновеликий“, четко знать разницу между равными и равновеликими фигурами и уметь преобразовать фигуру в равновеликую ей.

В конце темы проводится письменная контрольная работа, на которую отводится 1 час. Работа должна состоять из 3 — 4 вопросов и содержать, примерно, такие задачи:

1. Расстояние между противоположными сторонами параллелограма равно 10 см и 8 см. Площадь его равна 48 кв. см. Определить стороны параллелограма.

2. Четырехскатная парусиновая палатка имеет скаты: две трапеции с основаниями 9 м и 7,5 м и высотою 2,5 м и два треугольника с основаниями 4 м и тою же высотою. Сколько метров парусины, шириной в 0,75 му требуется на такую палатку? На швы положить 3°/0.

3. а) Как изменится площадь прямоугольника, если одна из его сторон будет увеличена в 4 раза?

6) Как изменится площадь квадрата, если его сторона увеличится в 4 раза?

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

П. ЛАРИЧЕВ (Москва)

Полная теория квадратных уравнений прорабатывается учащимися на восьмом году обучении. В курсе седьмого года учащиеся должны приобрести навык в решении квадратных уравнений с числовыми коэфициентами и уметь решать задачи методом составления квадратного уравнения. Изучение данной темы даст, кроме того, возможность повторить и углубить весь пройденный до сих пор материал по курсу алгебры (алгебраические дроби, тождественные преобразования, извлечение корня и т. д). Кроме того эта тема дает превосходный случай увязки алгебры с вопросами геометрии по теме „Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике и в круге“.

В методическом отношении проработка темы связана с некоторыми трудностями, вытекающими из существа изучаемого материала. К числу таких трудных вопросов следует отнести, например, вопрос о двух корнях квадратного уравнения, вывод формул решения квадратного уравнения и т. д.

Проработку темы можно начать с изучения неполного квадратного уравнения вида ах2 -f- с = 0. Такой порядок расположения материала дает возможность на легких в смысле техники решения примерах квадратных уравнений, сводящихся к знакомому учащимся вопросу извлечения квадратного корня из чисел, выяснить понятие об уравнениях второй степени, фиксировать внимание учащихся на основной особенности при решении данных уравнений — наличии двух корней.

Можно начать работу с решения задачи, приводящей к полному квадратному уравнению, выяснить понятие об уравнениях второй степени и, поставив перед учащимися вопрос о приемах решения этих уравнений, перейти к рассмотрению неполных квадратных уравнений и их решению.

Весьма важно, чтобы первая задача, предложенная учащимся для составления квадратного уравнения, имела в ответе оба корня, удовлетворяющие условию задачи.

Это особенно подчеркивает необходимость при решении квадратного уравнения всегда находить оба корня. В практике школы известно, что учащиеся склонны находить только один корень (положительное число).

Примером соответствующей задачи может служить следующая: „AB— полотно железной дороги. Расстояние CK от совхоза до станции К железной дороги разно 6 кмч при этом CKJ_AB. Найти на железной дороге пункт Z), отстоящий от совхоза на 10 кмл и указать, на каком расстоянии от станции К этот пункт D находится“ (черт. 1).

Черт. 1

Выполнив чертеж, учащиеся составляют уравнение: х2+ б2 — 102.

Путем вопросов преподаватель обращает внимание учащихся на различие данного уравнения от тех уравнений, которые они решали до сих пор. Устанавливается понятие об уравнениях второй степени, или квадратных уравнениях.

Приступая к решению полученного уравнения, преподаватель указывает, что и в данном случае уравнение можно упростить путем перенесения известного члена из левой части в правую часть равенства. Получив уравнение X2 = 64, учащиеся устанавливают, что для определения значениях надо извлечь квадратный корень из 64, т. е. х= \/ 64. Обычно учащиеся быстро получают ответ: л: = 8. Следует путем вопросов добиться получения второго корня: л* = — 8. Путем проверки подстановкой найденных корней в уравнении: л:2-ь 62= 102 учащиеся убеждаются в правильности решения данного уравнения и устанавливают, что данное квадратное уравнение имеет два корня: л;-- -{- 8 и х — —8. Обращаясь к задаче, учащиеся на чертеже выясняют, что оба корня уравнения дают ответ на вопрос задачи.

В дальнейшем учащимся предлагается задача, приводящая к составлению тоже неполного квадратного уравнения данного вида, но для ответа на вопрос этой задачи пригоден лишь один корень уравнения, например:

„Площадь прямоугольника, одна сторона которого в 2 раза длиннее другой, равна 18 см2. Найти стороны прямоугольника“.

Проработав аналогичным путем еще несколько задач, учащиеся должны усвоить

вывод, что квадратное уравнение имеет два решения, и что для ответа на вспрос задачи следует испытать пригодность каждого корня.

При решении данных квадратных уравнений могут встретиться случаи, приводящие к мнимым корням, например: х2 —— 4. Достаточно в таком случае указать учащимся, что они не знают такого числа, ни целого ни дробного, ни положительного, ни отрицательного, квадрат которого был бы равен (—4), и что рассматриваемое уравнение они решить не умеют.

Вообще же следует избегать давать учащимся подобные уравнения.

Весьма уместно проработать с учащимися вопрос о решении квадратного уравнения вида ах2 -f- с = 0 и другим приемом, а именно: разложением левой части на произведение линейных множителей, потому что изучение этого приема дает учащимся подготовку для решения квадратных уравнений другого вида: ах2 +bx-0.

Несмотря на кажущуюся простоту этого приема, преподавателю следует иметь в виду, что учащиеся здесь в первый раз встречаются с двумя новыми для них трудностями: 1) перенесение всех членов уравнения в левую часть; 2) прием решения квадратного уравнения разложением на множители и приравнивание к нулю каждого множителя. Поэтому следует путем тщательной проработки этих вопросов на ряде примеров добиться полного понимания сущности приема, не ограничиваясь механическим выполнением преобразований.

Следует обратить внимание учащихся, что разложение левой части уравнения вида ах2 4- с = 0 на произведение двух линейных множителей они могут выполнить при условии, что свободный член уравнения с число отрицательное, например х2 — 49=0.

После достаточного количества упражнений на решение квадратных уравнений вида ах2-* с — 0 способом разложения левой части на произведение линейных множителей этот прием применяется и к решению уравнения вида ах1 + Ьх — 0.

Изучение нового вита квадратных уравнений можно начать с решения соответствующей задачи. Например: „Площадь трапеции 21 см2. Большее основание ее равно 6 см, а сумма высоты и меньшего основания равна 7 см. Найти меньшее основание трапеции".

Обозначив искомое основание через х, учащиеся составляют уравнение:

Применяя прием разложения левой части уравнения на произведение двух множителей, учащиеся последовательно получают:

X (х —-1) = 0; хл — 0, X— 1=0; х2 — 1.

Подставляя найденные значения х в данное уравнение, учащиеся убеждаются, что уравнение имеет два решения: х, = 0 и л2 = 1. Для ответа на вопрос задачи пригоден лишь един корень х=\ см. Рассматривая уравнение х2 — лг=0, преподаватель отмечает, что это уравнение тоже квадратное, так как в нем имеется неизвестное во второй степени.

При решении неполных квадратных уравнений вида ax2+bx = 0 следует предостеречь учащихся от попыток сокращать члены уравнения на х.

Необходимо на примерах выяснить, что сокращение членов уравнения вида ах2+Jrhx=0 на X дает уравнение, не равносильное данному, так как полученное уравнение имеет только один корень, нет корня х = 0.

РЕШЕНИЕ ПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

При изучении неполных квадратных уравнений учащиеся должны были преодолеть основную трудность, резко отличающую данные уравнения от уравнений первой степени— это наличие двух решений, двух корней квадратного уравнения. Проработка материала данной подтемы ставит перед учащимися новые трудности: вывод самой формулы и решение квадратных уравнений по формуле.

Преподавателю надо особо тщательно подходить к проработке данного вопроса, стараться, чтобы учащиеся сознательно выполняли каждый отдельный этап работы и закрепляли усвоение материала соответствующими упражнениями.

В методической и учебной литературе имеются различные способы проработки вопроса о выводе формулы решения полного квадратного уравнения. Следует отметить, что большинство авторов учебных пособий по математике выводит сперва формулу решения уравнений вида а2 + рх + q = 0 (Давыдов, Киселев, Лебединцев, Беркут, Гуревич, Гангнус, Берг, Березанская), и только немногие авторы выводят сначала общую формулу решения уравнений вида:

ax2 + bx+c = 0

(например Безикович, Борель-Штеккель).

Несомненно, что для учащихся VII групп вывод формулы следует начинать с уравнений вида л2 +рх -f- q = 0, что в методическом отношении даст ряд преимуществ в смысле последовательности нарастания трудностей и совпадает с приемом, изложенным в стабильном учебнике Киселева. Приемы вывода формулы решения уравнений данного вида, имеющие наибольшее распространение в практике преподавания и в учебной литературе, сводятся к двум основным способам.

Первый способ, встречающийся чаще, состоит в том, что левая часть уравнения дополняется до квадрата двучлена, и решение уравнения приводится к извлечению квадратного корня из обеих частей уравнения. Второй прием основан на разложении левой части уравнения х2 -f- рх + q = 0 на два линейных множителя путем применения формулы разности квадратов двух количеств.

В методическом отношении следует отметить, что нет необходимости ограничиваться в практике обучения одним из этих способов: полезно ознакомить учащихся с применением обоих приемов, указав на конкретных примерах преимущества каждого и выбирая в отдельных случаях тот прием, который быстрее приводит к цели.

Проработку вопроса о решении уравнений вида X2 +рх + q = 0 можно начать с задачи, приводящей к составлению полного квадратного уравнения данного вида, например: „Длина перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу, равна 6 см. Определить отрезки гипотенузы, если известно, что один из них на 5 см больше другого“.

Составив уравнение, учащиеся получают: х(к+Ъ) = 62 или, после преобразований, х2+5х — 36 = 0. Выяснив, что полученное уравнение содержит х во второй степени, преподаватель обращает внимание на количество членов уравнения и, сравнивая его с известными учащимся до сих пор другими квадратными уравнениями, устанавливает определение нормального вида полного квадратного уравнения, как уравнения, которое после всех упрощений и переноса всех членов в левую часть содержит член, имеющий неизвестное в квадрате, член с неизвестным в первой степени и свободный член.

Преподаватель сообщает учащимся запись общего вида полного квадратного уравнения ах2 Ьх + с = 0, названия членов уравнения и коэфициентов при неизвестном. Необходимо при этом, чтобы учащиеся безошибочно умели назвать значения a, b и в любом квадратном уравнении с их знаками.

Далее, взяв для сравнения, например, уравнения:

2л:2 — 7*-|-6 = 0 и аг«—Юс 4-21=0,

преподаватель обращает внимание учащихся на коэфициенты при неизвестных во второй степени в этих уразнемиях. Установив, что во втором уравнении коэфициент а = 1, преподаватель ставит перед учащимися вопрос, что надо сделать, чтобы в уравнении 2л:2 — 7л: -|— 6 =0 коэфициент при х2 стал равным единице.

Выполнив деление всех членов уравнения на 2, учащиеся получают уравнение:

*2 — -1лг4-3 — 0,

в котором а = 1. Преподаватель указывает, что вначале учащиеся будут учиться решать квадратные уравнения при коэфициенте а = = 1. В выводе фиксируется, что всякое полное квадратное уравнение можно преобразовать так, что коэфициент при неизвестном в квадрате будет равен единице, что такое полное квадратное уравнение называется приведенным, что его запись:

где р и q могут быть и целыми, и дробными числами, и положительными, и отрицательными.

Решение полных квадратных уравнений вида X2 рх+q = 0 можно начать с решения, например, уравнения (х 4-3)2 = 49. Применяя прием решения неполного квадратного уравнения путем извлечения квадратного корня из обеих частей уравнения, учащиеся получают: х+Ъ=—7, или ^^-3 = 7 и X-(-3 = — 7, откуда: хг = 4; лг2 = —10. Правильность решения проверяется подстановкой полученных корней в данное уравнение. Раскрыв скобки в уравнении (х++ 3)2 = 49 и приведя его к нормальному виду, учащиеся получают уравнение л:2 +-|- 6* — 40 = 0. Сравнивая уравнения (х + 4-3)2 = 49 и х2+6х — 40 =0, учащиеся устанавливают, что здесь они имеют две формы одного и того же уравнения и что, таким образом, корни первого уравнения л:1=4 и х2=— 10 должны быть корнями и второго уравнения.

Проверка подстановкой найденных корней в уравнение х2 +6х — 40 = 0 подтверждает правильность вывода. Внимание учащихся обращается на то, что из имеющихся форм полного квадратного уравнения форма (x-f-3)2 = 49 дает возможность найти ре-

шение уравнения известным уже приемом извлечения квадратного корня из обеих частей его, тогда как то же уравнение в форме X2 -j- 6л: — 40 = 0 они решить пока не умеют.

В выводах фиксируется, что, если левая часть квадратного уравнения является полным квадратом двучлена, то решение его легко выполняется путем извлечения квадратного корня из обеих частей уравнения. Для самостоятельной работы преподаватель предлагает учащимся решить несколько уравнений, в которых левая часть представляет собой или квадрат суммы или квадрат разности двух количеств, например: (л: + 5)2 = = 64; (л: — I)2 = 25 и т. д. В дальнейших упражнениях учащиеся рассматривают, например, следующие уравнения, в которых левая часть легко приводится к виду, указанному выше:

1) Уравнение лг2-г-6лг-|-9 = 36, которое учащиеся приводят к виду: (х-f- З)2 = 36.

2) Уравнения, где левая часть не представляет полного квадрата двучлена, например: л:2-f-Юл: = 24. Путем дополнения левой части до полного квадрата суммы учащиеся получают уравнение л:2 -j- \0к -j- 25 = 24 -f--4-25 или (л: 4- 5)2 = 49, т. е. данное уравнение путем преобразований приведено к знакомому виду.

3) Левая часть содержит квадрат неизвестного и средний член с четным коэфициентом со знаком минус, например xù — 8л: = 20.

4) Примеры, где для преобразования левой части уравнения в полный квадрат двучлена предварительно надо перенести известный член в правую часть, например уравнения вида л:2Юх — 24 = 20; л;2 —блг-f-4-8 = 0; л:2 — 3* — 40 = 0; х2+х — 2 = = 0 и т. д.

Упражнения последнего вида требуют особого внимания учащихся вследствие некоторой трудности преобразования левой части в полный квадрат двучлена. Основная трудность здесь в выражении среднего члена в виде удвоенного произведения членов искомого двучлена. На ряде упражнений преподаватель выясняет тождественность, например, следующих выражений: 5jc = 2«л:—; Ък — 2-х~\ х = 2-х~ и т. д.

Приводим примерную запись решения уравнения:

На классной доске должна сохраниться запись решения нескольких уравнений для использования в дальнейшем этой записи при выводе общей формулы.

В результате работы учащиеся должны усвоить, что решение квадратных уравнений вида л:2 4- рх + q = 0 можно выполнить приведением левой части уравнения к полному квадрату двучлена путем перенесения свободного члена в первую часть и прибавления к обеим частям уравнения одного и того же количества, равного квадрату половины коэфициента при неизвестном в первой степени. Как правило, этого вывода заучивать не следует.

ВЫВОД ФОРМУЛЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ ВИДА х2 + рх + q = 0

Тот способ, которым учащиеся в предыдущих уравнениях решали квадратные уравнения вида л:2 + рх -f- q = 0, должен дать им хорошую подготовку для понимания вывода общей формулы решения квадратного уравнения данного вида. Кроме того учащиеся могут теперь сознательно усвоить, что, решая уравнения по формуле, они опускают все промежуточные преобразования, выполняемые ими до сих пор при решении квадратных уравнений без формулы, и что, таким образом, формула дает возможность найти решения быстрее и с меньшей затратой труда и времени. После решения числовых уравнений преподаватель предлагает учащимся записать полное квадратное уравнение приведенного вида на буквах х2+рх +q =0 и, руководя работой учащегося у доски, получает вывод формулы:

Преподаватель сам дает словесное выражение формулы, лучше всего придавая ему форму инструкции, например: чтобы решить квадратное уравнение вида х2 -J- рх+ q = О, надо и т. д.

Применимость выведенной формулы проверяется прежде всего на примерах уравнений, которые учащиеся ранее решили без формулы и запись решений которых еще сохранилась на доске.

При выполнении упражнений на решение квадратных уравнений данного вида по формуле можно рекомендовать учащимся в начале работы записывать обозначения „ри и пди под соответствующими коэфициентами уравнения, строго наблюдая за правильностью чтения знаков коэфициентов. Нет необходимости требовать немедленного знания формулы наизусть, так как при механическом выучивании учащиеся часто искажают смысл формулы, что в дальнейшем влечет за собою целый рз;д грубейших ошибок при решении уравнений. Лучше, чтобы каждый учащийся имел под рукой для справок четко записанную на отдельном листочке формулу решения квадратного уравнения. Точно так же необходимо в классе иметь запись формулы в виде стенной таблицы.

Сознательное и прочное усвоение формулы должно явиться результатом выполнения достаточного количества упражнений. При подборе этих упражнений преподаватель постепенно усложняет материал, достигая этим углубления навыков учащихся в выполнении преобразований (освобождение уравнений от знаменателей, раскрытие скобок, применение формул сокращенного умножения и т. д.). Надо еще раз напомнить учащимся, что всякое полное квадратное уравнение можно привести к виду х2 +рх -f д = О, а, следовательно, и решить по данной формуле. Преподавателю следует предостеречь учащихся от небрежной записи решения, требуя с самого начала работы последовательной записи хота всех вычислений и выясняя на примерах неправильности, встречающиеся в практике учащихся; так, учащиеся часто пишут:

пропуская член — ~. Часто учащиеся ошибаются в знаке свободного члена под корнем. Следует указать, что удобнее сразу менять знак при g на обратный; например в записи решения уравнения: х2 — 6х—27= 0, не следует писать X — 3 Ч-1/ З2 — ( — 27) ; удобнее писать дг = 3 4- \ '62+ 27.

Вследствие небрежности записи часто искажается смысл формулы, приведя к нелепостям вида:

или

При извлечении корня учащиеся допускают ошибку вида:

и т. д. Преподаватель должен требовать, чтобы в целях самоконтроля учащиеся всегда проверяли правильность решения уравнения путем подстановки найденных корней в данное уравнение.

В качестве контрольной работы по данному разделу темы можно предложить учащимся выполнить решение уравнений, примерно, следующей трудности: решить уравнение путем преобразования левой части в квадрат двучлена:

Решить уравнения по формуле:

РЕШЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ ВИДА ах2 + bх-+с=0.

В предыдущем упражнении учащиеся решали уравнения ви;а ax2Arbx+c — 0, приводя их к виду X1 -f- рх+ д= 0. Взяв соответствующие примеры, преподаватель указывает, что часто деление всех членов уравнения на коэфициент при х2 дает дробные числа для коэфициентов при и пда, чем

усложняется вычисление корней уравнения по известной учач;имся формуле.

Ставится вопрос, нельзя ли квадратное уравнение вида ах2-{-ох \-с = 0 решить, каждый раз не приводя его к виту х2 -+--I- рх -h q == 0. Для разрешения этого вопроса преподаватель предлагает учащимся выполнить параллельно речтенне двух уравнений данного вида, из них одно — числовыми коэфициентами, а другое—уравнение в общем виде. На классной доске записываются, например, следующие уравнения:

2л:2 + 5*— 7 = 0 и ax2+bx +-с = 0.

Последовательно ведется запись с подробным объяснением каждого преобразования:

Далее, применяя известную формулу, учащиеся получают:

Сравнивая шаг за шагом решения обоих уравнений, преподаватель устанавливает с учащимися, что вычисление корней квадратного уравнения вида ах2 Ьх + с = 0 после всех преобразований приводится к вычислению выражения

которое и называется формулой решения общего вида полного квадратного уравнения. Следует подробно остановиться на выяснении значения каждого члена этой формулы.

В группах с сильным составом учащихся преподаватель может проработать вывод формулы решения уравнений вида ах2 +-bx -]-и другим путем, не прибегая к формуле приведенного уравнения, а непосредственно приводя левую часть к полному квадрату двучлена вида (2ах -f- Ь)2 = Ь2 — Апс умножением всех членов уравнения на 4а:

Замечания, сделанные нами при проработке вопроса о формуле решения квадратного уравнения вида х2 -{- рх+ q = 0 следует иметь преподавателю в виду и при проработке данной формулы. Особо обратить внимание следует на знак при учетверенном произведении (4ас), требуя определения правильного знака по знаку свободного члена и не допуская под радикалом записи вида

Целесообразно здесь дать словесное выражение формулы не в той сжатой и трудной для учащихся формулировке, как это принято в учебниках, а в более полном изложении, которое служило бы для учащихся руководством к действию, являлось бы своего рода краткой инструкцией для выполнения требуемого решения, например:

чтобы решить квадратное уравнение вида ах2 + Ьх + с = 0, надо :

1) взять с обратным знаком коэфициент при неизвестном в первой степени;

2) прибавить или отнять квадратный корень из квадрата этого коэфициента без учетверенного произведения коэфициента при высшем члене на свободный член;

3) полученный результат разделить на удвоенный коэфициент при высшем члене.

Следует приучить учащихся для правильности записи решения по формуле сразу же после обозначения х проводить черту дроби, после этого писать знаменатель дроби (2а) и потом уже выражение числителя.

Следует указать, что если коэфициент при неизвестном в первой степени число нечетное, то более удобно вычислять корни уравнения по формуле общего вида, даже в случае, когда коэфициент при х1 равен 1.

В конце работы по данному разделу курса преподавателю следует повторить с учащимися и систематизировать изученный материал, обратив внимание учащихся на обзор всех видов рассмотренных выше квадратных уравнений — неполные квадратные уравнения вида : ах2+с = 0 и ах2 -|- ох = 0; полные — вида X2 + рх -f- q = 0 и вида ах2 + Ьх -f- с = 0.

На нескольких примерах следует показать, что, пользуясь выведенными формулами решения полных квадратных уравнений, можно решать и неполные квадратные уравнения, принимая во внимание нулевые значения коэфициентов. В уравнении ах2 + Ьх = 0 свободный член с — 0; в уравнении ахг++с = 0 коэфициент /> = 0. В заключение следует на ряде примеров познакомить учащихся и со свойствами корней приведенного квадратного уравнения.

Учащимся предлагается составить, например, следующую таблицу (причем им даются только уравнения):

Рассматривая эту таблицу, учащиеся отмечают, что во всех данных уравнениях произведение корней равно свободному члену, а сумма корней равна коэфициенту при неизвестном в первой степени, взятому с обратным знаком. Знание этого свойства корней даст учащимся возможность выполнить проверку правильности решения приведенного квадратного уравнения более быстрым приемом, чем это делалось раньше при проверке подстановкой.

Преподавателю нет необходимости стремиться чрезмерно углублять и расширять изучение данного вопроса, имея в виду, что вывод свойства корней квадратного уравнения в общем виде учащиеся изучают в курсе восьмого года обучения, где прорабатывается полностью теория квадратных уравнений.

Можно, конечно, удовлетворить любознательность учащихся и указать им, что сумма корней уравнения вида ах2 -j- bx -f с = 0 будет выражаться формулой:

а произведение корней: х1х2= — .

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПУТЕМ СОСТАВЛЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Вопрос о решении задач методом составления уравнений был проработан учащимися в теме „Уравнения первой степени“. Преподавателю следует на примерах решения ряда задач показать учащимся, что составление квадратного уравнения по условиям задачи не требует применения каких-либо особых приемов, кроме тех, с которыми они ознакомились при составлении уравнений первой степени.

Важным моментом в решении задач с помощью квадратного уравнения является требование исследования пригодности обоих полученных корней уравнения для ответа на вопрос задачи. Необходимо тщательно рассмотреть и выяснить на конкретных задачах следующие случаи:

1) Только один корень квадратного уравнения пригоден для ответа на вопрос задачи. Пример: „За выгрузку товара рабочим предполагали заплатить 40 руб.; так как рабочих пришло на 3 человека больше наме-

ченного числа, то каждый из них получил на 3 руб. меньше. Сколько было рабочих?“

Обозначив число рабочих через х и решив уравнение--f- о =-ъ , учащиеся получают: Xj = S и х2 = — 5.

Для ответа на вопрос задачи пригоден лишь корень X = 8, так как число рабочих должно быть положительным.

2) Для ответа на вопрос задачи пригодны оба корня квадратного уравнения. Пример: „Контора совхоза С находится на расстоянии 4 км от железнодорожного пути, причем ближайшая к совхозу точка А железной дороги находится на расстоянии 10 км от железнодорожной станции К. На каком расстоянии от станции К нужно построить на железной дороге платформу В, чтобы расстояние до нее от совхоза было равно 5 км?"

Составив и решив уравнение (10 — х)2 = — 52 — 42, учащиеся получат ответ — искомое расстояние х равно или 7 км или 13 км. Оба корня уравнения удовлетворяют условию задачи.

Учителю надо иметь в виду, что учащиеся часто склонны считать, что отрицательный корень уравнения всегда непригоден для ответа на вопрос задачи. Путем исследования решения соответственно подобранных задач преподавателю необходимо выяснить неправильность такого понимания. Пример такой задачи был уже рассмотрен нами выше.

Вторым существенным вопросом проработки данного раздела курса является вопрос о подборе задач, предлагаемых учащимся для решения.

Преподавателю следует обеспечить подбор задач в первую очередь со стороны последовательно нарастающей трудности их решения по задачнику Шапошникова и Вальцева, ч. 1. Желательно подобрать несколько текстовых задач в связи с производительным трудом учащихся и другими дисциплинами.

Наиболее распространенным видом задач являются задачи с содержанием, взятым из области социально-бытовой и экономической. Следует отметить, что в большинстве случаев эти задачи не удовлетворяют требованиям, предъявляемым к жизненно-реальным задачам, вследствие искусственности построения условий и вопроса задачи. Как пример более удачной задачи можно привести задачу следующего содержания: „Из квадратного куска жести требуется сделать открытую коробку высотой один сантиметр и объемом в 25 (М, вырезав в каждом углу жести по одинаковому квадрату и склепав края. Каких размеров должен быть кусок жести?“ (Гангнус, Рабочая книга для рабфаков, ч. 2, стр. 220). Решение задач данного вида должно иметь место в работе учащихся; при удачном их подборе они могут быть интересны и несомненно служат хорошим средством развития сообразительности.

Богатый материал на составление квадратных уравнений дают задачи с содержанием из области геометрии. Сюда же относятся прежде всего задачи, связанные с вычислением элементов фигур на основании метрических соотношений в треугольнике и круге (средняя пропорциональная, теорема Пифагора, длина касательной и т. д.), а также задачи на применение формул площади и круга, поверхности и объема тел и т. д.

Решение задач рассматриваемого вида, являясь превосходным средством увязки алгебры и геометрии, должно служить предметом особого внимания преподавателя. Вполне понятно, что соответствующие задачи преподаватель может брать не только из задачника по алгебре, но и из сборника задач по геометрии Рыбкина, ч. 1.

КАК ПРОВОДИТЬ ПОВЕРОЧНЫЕ ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ

Н. ЗЕРЧЕНИНОВ (Москва)

Есть две точки зрения на поверочные испытания. Можно считать главной целью испытаний — дать учащимся повторение и обобщение всего материалу проработанного учащимися за год. Можно, наоборот, считать главной целью испытаний индивидуальный отчет каждого учащегося перед школой и общественностью в том, какие знания и навыки он приобрел в течение года. Та или иная точка зрения во многом определяет и содержание и форму организации испытаний, в особенности устных.

Если главная цель испытаний — повторение и обобщение, то на устном испытании перед каждым учащимся должна пройти вся программа данного года и притом в систематическом порядке. Это значит, что на испытании все учащиеся должны присутствовать с начала до конца;что вопросы, предлагаемые учащимся, должны охватить весь курс данного года; что каждому учащемуся дается только один вопрос, охватывающий или часть курса (в зависимости от числа учащихся в группе); что в случае незнания одного ученика на тот же вопрос непременно должны сейчас же ответить его товарищи, иначе нарушится систематичность курса; что преподаватель вызывает учащихся для ответа не в алфавитном порядке, а в порядке тех вопросов курса, которые им намечены для каждого из учащихся. С этой точки зрения нет особой надобности составлять особое расписание на время испытаний, и самое испытание можно даже вести в форме урока-беседы,—тогда каждый учащийся будет отвечать несколько раз, и отметка за испытание будет подытоживать результаты всех его выступлений.

I. ПОДГОТОВКА К ИСПЫТАНИЯМ

На испытаниях каждый учащийся должен обнаружить знание всего материала, проработанного его группой в течение учебного года. Однако такая общая формулировка слишком мало говорит ученику пятого, шестого и седьмого годов; вот почему § 25 инструкции требует, чтобы программа испытаний была предварительно доведена до каждого учащегося. Этой программой не может быть программа по математике ФЗД; ее четкие, но скупые формулировки должны быть расшифрованы для ученика, ему следует дать расширенную программу, где будут перечислены основные знания и навыки, которые он должен иметь по данной теме, а также указаны параграфы учебника. Даем, несколько примеров такой расширенной программы; напомним, что вопросники инструкция запрещает давать учащимся, поэтому расширенная программа не должна содержать вопросы, которые преподаватель будет давать на испытаниях.

Пятый год. Обыкновенные дроби.

1. Уметь на примерз показать числитель и знаменатель дроби и объяснить значение каждого из них (VII, § 1).

2. Уметь отличать правильную дробь от неправильной и объяснить различие между ними (VII, § 3).

3. Уметь обращать целое и смешанное число в неправильную дробь (VII, § 4) и выделять целую часть из неправильной дроби (VII, § 5), а также делать вывод из этих правил.

4. Уметь сравнивать дроби с одинаковыми числителями или одинаковыми знаменателями (VII, § 6).

5. Знать объяснение, почему и как изменяется дробь при изменении ее числителя или знаменателя (VII, § 7).

6. Знать главное свойство дроби и уметь его объяснить (VII, § 8).

7. Понимать смысл сокращения дроби и знать правило (VII, § 9).

8. Знать общее правило приведения дробей к общему знаменателю, а также правила для частных случаев: а) когда один знаменатель делится на все остальные; б) когда все знаменатели — числа взаимно простые (VII, § 10).

9. Знать правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми и разными знаменателями и уметь объяснить эти правил! на примерах (VIII, § 1, 2, 3).

10. Понимать смысл умножения на дробь и знать правила умножения дробей и смешанных чисел (X, § 2, 3).

11. Понимать смысл деления на дробь и знать правила деления дробей и смешанных чисел (XI, § 2, 3, 4).

12. Находить часть по целому и целое по части одним действием (X, § 2; XI, § 4).

Шестой год. Параллельные прямые.

1. Знать определение параллельных прямых и знак параллельности.

2. Уметь доказывать теорему о двух прямых, перпендикулярных третьей (VII, § 1).

3. Уметь построить прямую, параллельную данной (VII, § 1, 4, 5).

4. Знать аксиому о параллельных прямых (VII, § 2).

5. Уметь доказывать теорему о двух прямых, параллельных третьей (VII, § 2).

6. Знать определение соответственных и внутренних накрестлежащих углов (VII, § 3).

7. Уметь доказывать теоремы о свойствах соответственных и внутренних накрестлежащих углов при параллельных (VII, § 3, 4).

8. Уметь перечислить все признаки параллельности двух прямых (VII, § 1, 2, 4).

9. Уметь доказывать теоремы о параллельности двух прямых, параллельных третьей, при равенстве соответственных или внутренних накрестлежащих углов (VII, § 4).

10. Уметь доказывать теоремы о свойствах углов с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами (VII, § 6, 8).

11. Уметь доказывать теоремы о сумме внутренних или внешних углов треугольника (VII, § 7).

12. Уметь доказывать теорему о свойстве внешнего угла треугольника (VII, § 7).

13. Уметь перечислять свойства углов треугольника вообще и прямоугольного в частности (VII, §7).

14. Уметь доказывать теорему о свойствах отрезков параллельных, пересеченных параллельными (VII, § 9).

15. Уметь делить отрезок на равные части и доказать правильность сделанного построения (VII, § 9 и 10).

Ясно, что на испытаниях нет смысла требовать от учащихся доказательства каждой теоремы, проработанной ими в течение года. На испытаниях проверяется уменье учащихся логически рассуждать при доказательстве теоремы, поэтому нецелесообразно давать учащимся на испытаниях такие теоремы, как, например: „Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна du. Однако нецелесообразно давать на испытаниях и такие теоремы, где учащиеся могут показать свое уменье рассуждать, но где доказательство отнимает слишком много времени, например: вывод правила извлечения квадратного корня или доказательство теоремы Герона. В программе испытаний надо указать, что учащиеся должны только знать текст таких теорем и уметь применять их к решению задач.

Доведя до учащихся программу испытания, преподаватель должен одновременно обеспечить планомерное повторение основных вопросов, проработанных в первые три четверти учебного года. В некоторых случаях такое повторение может быть органически увязано с проработкой нового материала.

Пятый год. Арифметика

Старые материал

Новый материал

1. Законы действий.

2. Порядок действий. Скобки.

3. Деления над обыкновенными дробями.

4. Умножение десятичных дробей.

5. Деление десятичных дробей.

6. Отношение.

7. Пропорциональность. Решение задач способом пропорций и способов приведении к единице.

1. Буквенные выражения.

2. Буквенные выражения.

3. Нахождение численного значения буквенных выражений.

4. Нахождение процентов числа.

5 Нахождение числа по его процентам.

6. Процентное отношение.

7. Решение задач на проценты.

Кроме того умножение и деление десятичных дробей необходимо повторить при вычислении длины окружности, площади круга и объема цилиндра. С другой стороны, площадь прямоугольника и квадрата, поверхность и объем куба и прямоугольного параллелепипеда легко могут быть повторены при решении задач на проценты. В VI группе относительные числа, приведение подобных членов и все действия с многочленами повторяются при решении уравнений; действия с одночленами повторяются при проработке дробей с одночленными знаменателями. В VII группе действия над дробями с многочленными знаменателями могут быть повторены при решении квадратных уравнений.

Геометрический материал VI и VII групп, а также весь материал VIII и IX групп придется повторять независимо от проработки нового материала, давая учащимся соответствующее задание на дом и отводя несколько минут в начале каждого урока на опрос.

Кроме доведения программы испытаний до каждого учащегося и организации повторения пройденного, преподаватель должен выявить индивидуальные недочеты каждого из неуспевающих и организовать ему соответствующую помощь. Полезно также организовать консультацию для всех жела ощих учащихся по вопросу подготовки к поверочным испытаниям.

2. ПИСЬМЕННЫЕ ИСПЫТАНИЯ

В V группе письменная работа по математике проводится в течение двух часов с обычньм перерывом между ними. На первом часе учащиеся должны решить 3 примера: один— на все действия с обыкновенными дробями, другой — на все действия с десятичными дробями, третий— на решение пропорции. Листки с работой отбираются, и на втором часе учащиеся на новых листках решают задачу на проценты.

В VI группе работа также проводится в течение двух часов (конечно, тоже с перерывом). На первом часе учащиеся должны решить, примерно, три примера из следующих : первый—на отыскание численного значения буквенного выражения, если буквы заменить отрицательными числами; второй— на умножение или деление многочленов; третий—на формулу сокращенного умножения; четвертый — на решение уравнения первой степени с одним неизвестным. На втором часе дается задача, которую нужно решить при помощи составления уравнения.

В VII группе учащиеся также решают две письменных работы, по часу каждая. Первая работа должна состоять из решения, примерно, двух из трех следующих примеров: первый — на алгебраические дроби с многочленными знаменателями, второй — на решение буквенного уравнения, третий — на решение системы двух уравнений с двумя неизвестными. Вторая работа должна состоять в решении геометрической задачи, приводящейся к квадратному уравнению.

В VIII группе проводятся три письменных риботы, по часу каждая, причем между второй и третьей работой должен быть сделан большой перерыв, чтобы учащиеся могли основательно отдохнуть; желательно, чтобы во время этого перерыва были организованы горячий завтрак и слушание музыки. Первая работа — решение двух из трех примеров по алгебре: первый—на преобразование иррациональных выражений, второй — на решение иррационального уравнения, третий—на решение системы квадратных уравнений. Вторая работа— решение задачи по геометрии. Третья работа — решение двух примеров по тригонометрии: первый—на нахождение всех функций угла по данной одной функции или на упрощение выражения или на доказательство тождества, другой—на решение треугольника.

В IX группе проводятся две письменных работы. Первая состоит в решении одного примера на тригонометрические преобразования или решении тригонометрического уравнения и в решении задачи на определение поверхности или объема тела с применением тригонометрии и с вычислением ответа при помощи таблиц логарифмов. Решение задачи на поверхность или объем учащимся трудно выполнить в течение одного часа, поэтому целесообразно на решение примера и задачи дать два часа без перерыва. После большого перерыва с горячим завтраком и слушанием музыки учащиеся выполняют вторую работу, на которую дается один час. Вторая работа состоит в решении двух из трех примеров по алгебре: первый—на решение прогрессии, второй — на решение показательного уравнения с использованием отрицательных и дробных показателей.

Само собой разумеется, что каждая работа дается учащимся не менее чем в двух вариантах. Оценка работ должна производиться без всякого либерализма. Если в работе есть хотя бы одна грубая ошибка, работу нельзя оценить отметкой выше „удовлетворительно“, если же в работе окажется две грубых ошибки, работа должна быть оценена отметкой „неудовлетворительно“.

3. УСТНЫЕ ИСПЫТАНИЯ

Так как алгебра, геометрия и тригонометрия представляют три различных предмета, то испытания по этим предметам следует проводить в различные дни; таким образом, в VI и VII группах устные испытания по математике проводятся в течение двух дней, а в VIII и IX — в течение трех дней. Только в V группе нецелесообразно выделять геометрию, и все устное испытание по математике можно провести в один день.

При большой численности групп, доходящей до 44—45 учащихся в одной группе, и при необходимости, согласно инструкции, закончить все испытания в один день, нельзя основательно опросить всю группу в течение 3 часов. Поэтому по математике вполне целесообразно, согласно примечанию к пункту 28 инструкции, делить группу на две части: тогда каждый ученик будет присутствовать на испытании только 3 часа, но будет иметь для ответа достаточное время, в среднем 6 минут (45-3:22 ^6).

Для испытания необходимо иметь класс с большой доской, разделенной пополам, или с двумя досками среднего размера; тогда можно вызвать сразу трех учеников, из которых один отвечает у доски, другой подготовляет на доске свой ответ, а третий обдумывает свой ответ, уже получив задание. Конечно, еще лучше было бы иметь три доски, чтобы сразу могли готовиться два уче-

пика. Нецелесообразно разрешать учащимся готовить свой ответ на листочках, потому что в этом случае остальные ученики не могут следить за ответом своего товарища и не могут ответить на вопрос, на который он не ответил, как того требует инструкция.

Чтобы свести до минимума элементы неожиданности на испытании, следует вызывать учащихся в строго алфавитном порядке. Исключение из этого правила указано в инструкции: если в начале алфавита идут учащиеся слабые или нервные, которые своими неудачными ответами могут дурно повлиять на остальных, надо сначала спрашивать наиболее знающих и уверенных в себе, причем учащиеся должны заранее знать, в каком порядке их будут спрашивать.

При испытании недопустима обезличка. Преподаватель должен заранее обдумать, какие вопросы предложит он данному ученику, учитывая и его работу в течение учебного года и его письменную работу, поэтому на устном испытании у преподавателя должен быть список учащихся со всеми вопросами, которые следует им предложить. Нецелесообразно вызывать ученика и предлагать ему сразу ответить на первый вопрос: с одной стороны, ученик должен несколько обдумать“ свой ответ, с другой стороны—опрос отнимает меньше времени, если ученик заранее, во время ответа другого ученика, подготовил на доске свой ответ, например написал решение тех примеров по арифметике и алгебре, из которых он выведет правило; или написал, что дано в теореме, что требуется доказать, написал уже схематически доказательство теоремы. Поэтому следует вызывать не одного ученика, а сразу трех и раздать им листочки с указанием тех вопросов, на которые им придется отвечать. Однако опыт ряда московских школ показал, что нельзя писать на листочке все 3—5 вопросов, на которые должен ученик ответить: ученик начинает думать об ответах сразу на все вопросы, и его внимание рассеивается. Поэтому на листочке следует писать только один, основной вопрос, а дополнительные вопросы задавать потом устно. На испытаниях следует проверить следующие результаты годовой работы ученика: 1) знание математических фактов, определений, правил, теорем; 2) уменье математически правильно выражать свою мысль; 3) уменье обосновывать правила, доказывать теоремы; 4) уменье решать примеры; 5) уменье решать задачи. Последние два уменья проверяются главным образом на письменной работе; знание фактов и уменье правильно их формулировать не требуют предварительной подготовки, поэтому на листочке основным вопросом пишется такой, отвечая на который ученик покажет свое уменье рассуждать. Таким образом, листочки могут быть, примерно, с такими вопросами:

1. Сделай вычитание: 8 -73--5 — . Объясни на этом примере, как делается вычитание обыкновенных дробей.

2. В чем заключается признак делимости на 25? Придумай два четырехзначных числа, которые делятся на 25, и два четырехзначных числа, которые не делятся на 25; объясни, почему мы знаем, что первые делятся на 25, а вторые не делятся на 25.

3. Как сложить два относительных числа? Приведи примеры.

4. Сделай умножение: û3«a2; b4*b; с3*с2; 4abbcB-3ab2c. Объясни на этих примерах правило умножения одночленов.

5. Выведи формулу для решения приведенного квадратного уравнения.

6. Докажи теорему о квадрате стороны треугольника, лежащей против острого угла.

7. Докажи теорему косинусов.

Когда ученик ответил на основной вопрос, ему даются дополнительные вопросы. Целесообразно попросить ученика дать формулировку одного-двух определений, правил или теорем, чтобы узнать, достаточен ли у ученика запас математических фактов, и владеет ли он в достаточной степени математическим языком. Необходимо также на устном испытании выяснить, чем вызваны ошибки ученика в письменной работе: случайностью или незнанием.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ ПЕРЕМЕН ПЕРЕМЕННОГО ТОКА МЕТОДОМ ЗВУКОВОГО РЕЗОНАНСА

Н. ПЛЕШКОВ (Свердловск)

Понятие о переменном токе дается учащимся гораздо труднее постоянного тока. Это происходит отчасти потому, что в курсе физики мало ставится работ по переменному току. В электротехнических кабинетах частоту переменного тока определяют частотомерами, в физических же кабинетах даже втузов частотомеров обычно нет, хотя определение частоты переменного тока весьма желательно, так как она играет громадную роль во всех проявлениях переменного тока. Описанный здесь метод определения частоты перемен переменного тока может быть выполнен в любом кабинете физики. Для этого нужен электромагнит, монохорд и резонирующая трубка. Электромагнит можно сделать самому, намотав на сердечник из отожженной железной проволоки четыре-пять рядов звонкового провода (D = 0,6 мм) по тридцать витков в каждом.

Черт. 1

Па чертеже 1 дано перспективное изображение расположения приборов. Городской ток от штепселя подводится через ключ К и ламповый реостат В к электромагниту А. Электромагнит укрепляется на штативе перед струной монохорда, примерно на расстоянии трех-четырех миллиметров от нее. При включенном городском токе электромагнит будет притягивать струну за каждый период два раза — в момент максимальных значений тока прямого и обратного направления. Если теперь регулировать подвижной кобылкой длину струны монохорда, то при определенном натяжении можно добиться резонанса— и струна зазвучит. Как известно из формулы Б. Тейлора, период колебания струны

(1)

где / — длина струны,

d— линейная плотность, р — натяжение струны. Для периода тока t получаем:

(2)

Далее известно, что число колебаний струны N при указанных условиях выражается формулой:

(3)

Перемножая формулы (2) и (3), получаем;

(4) (5)

то:

или

(6)

Число колебаний струны TV можно было бы определить и из натяжения струны и ее геометрических размеров, но проще сделать это с помощью резонирующей трубки. Непосредственно перед монохордом ставится резонирующая трубка С диаметром в 3—4 см, которая может опускаться в цилиндр с водой, изменяя тем самым длину резонирующего столба воздуха. Когда добились резонанса струны перемещением кобылки монохорда, изменением длины трубки С добиваются резонанса столба воздуха в С. Как известно, столб воздуха будет резонировать тогда, когда длина трубки С будет равна —, —, —... длины звуковой волны. Обозначим ~ длины звуковой волны в воздухе через /; тогда, как

известно:

(7)

Скорость звука в воздухе при температуре опыта определяется, как всегда, по формуле:

l/=V0/l+0,004*, (8)

где V0 — скорость звука при 0°—равна 331,8 м j се/с. Подставляя значение V из формулы (8) в (7) и значение N из формулы (7) в (6), окончательно получим:

Длину резонирующей трубки /, как показывает теория, надо увеличить на 0,3 внутреннего диаметра трубки С.

Пример результатов наблюдений:

При частоте п городского тока, равной 50, получаются результаты, как видим, довольно хорошие.

ДЕМОНСТРАЦИЯ СТОЯЧИХ ВОЛН

Г. ФАЛЕЕВ (Москва)

Профессор Поль в „Введении в механику и акустику“ описывает прибор для получения стоячих волн на резиновой трубке при помощи мотора, к которому приделаны специальные салазки (см. рис. 321 в книге Поля), Как я убедился на опыте, можно добиться тех же результатов, не прибегая к устройству специальных салазок для мотора.

Черт. 1

На ось мотора (черт. 1), мощностью около ^- л. с, был помещен толстый деревянный шкив заподлицо с концом оси. В этот шкив на расстоянии около 3 см от центра оси ввернут толстый винт (диаметром около 6 мм), образующий палец кривошипа длиною около 4 см. На этот винт надевается петля, завязанная на одном конце резиновой трубки1, другой конец которой берут в руку и натягивают, располагая трубку горизонтально перед черной классной доской.

Пуская мотор в ход и слегка регулируя натяжение трубки или скорость мотора, получают очень четкую иллюстрацию стоячих волн. Регулируя натяжение трубки, можно показать изменение длины стоячих волн в зависимости от натяжения. Точно так же, оставляя неизменным натяжение, но меняя при помощи реостата скорость мотора, получаем изменение длины стоячих волн в зависимости от частоты колебаний. При опытах я пользуюсь мотором постоянного тока, скорость которого при помощи реостата изменяется в очень широких пределах.

Необходимое условие для успеха опытов: мотор должен быть достаточно тяжелым или закрепленным, чтобы при натяжении трубки его не сдвинуть с места.

1 Я пользуюсь толстостенной резиновой трубкой с наружным диаметром в 6 мм. Длина трубки около 5 м.

НЕКОТОРЫЕ УКАЗАНИЯ ПРИ РАБОТЕ С УНИВЕРСАЛЬНЫМ МОСТИКОМ КОЛЬРАУША

А. БЕЛОГОРСКИЙ (Свердловск)

Излишне описывать здесь устройство самого мостика, так как это можно найти в другом месте (схема соединений указана на черт. 1). Поэтому я укажу сейчас только на то, каким образом можно обойти некоторые технические затруднения, которые могут встретиться при работе с ним и, кроме того, приведу решение задачи по определению концентрации раствора электролита при помощи того же мостика.

Черт. 1

Первое затруднение состоит в том, что экспериментатор порой долго и бесплодно возится над тем, чтобы добиться работы катушки Румкорфа, прерыватель которой не действует. Для этого необходимо отрегулировать у нее контакт, причем самую регулировку необходимо вести при включенном телефоне, держа последний все время у уха. Если молоточек m находится в надлежащем расстоянии от сердечника катушки, то, действуя постепенно регулировочным винтом с, мы можем добиться того, что при соприкосновении самого винта с молоточком послышится короткий звук, после которого стоит только очень немного (определяется практически) выдвинуть винт назад, и в телефоне послышится звук от работающего прерывателя. В случае, если при соприкосновении контакта с молоточком не получится звука, то это говорит за то, что самый молоточек отстоит либо слишком далеко, либо близко от сердечника катушки. Последнее обстоятельство, мешающее работе, устраняется очень легко путем приближения или удалеления самого молоточка от сердечника катушки. Для этого необходимо слегка повернуть тот стержень, на котором укреплен молоточек, либо от нее, и после этого снова отрегулировать контактный винт по тому способу, о котором сказано выше.

Второе затруднение заключается в том, что звук от прерывателя, слышимый в телефоне, не исчезает и даже нисколько не изменяется при перемещении подвижного контакта на самом мостике. В мостике, как говорят, получилось „короткое замыкание“, происшедшее от того, что от частого и сильного завинчивания и отвинчивания тех клемм, к которым присоединяется телефон (А и В), или же тех, где присоединяется неизвестное сопротивление, ослабели те винты, которые служат для соединения с тем проводом на мостике, по которому ходит подвижной контакт. Названный провод вследствие этого выключился из цепи, и получилось „короткое замыкание“. Стоит только, вскрыв крышку на обратной стороне мостика, проверить контакт этих винтов и клемм с остальной схемой, и помеха в работе будет устранена.

Что касается задачи по определению концентрации раствора электролита, то для ее решения совсем не нужно знать ни поперечного сечения того сосуда, в который налит электролит, ни расстояния между электродами, так как эти две величины при преобразовании полученных уравнений исключаются.

В самом деле, пусть мы имеем 5-процентный раствор медного купороса, удельная электропроводность которого нам известна. Тогда цри помощи мостика мы определяем его сопротивление и имеем при этом формулу:

(1)

где /?, — сопротивление, Кл — удельная электропроводность, / — длина проводника us — его поперечное сечение.

Берем другой раствор медного купороса неизвестной нам концентрации и, не меняя расстояния между электродами вольтметра, наливаем в него этот электролит и снова определяем при помощи мостика его сопротивление /?2, при этом имеем опять-таки формулу

(2)

Преобразовываем формулы (1) и (2) следующим образом:

откуда получаем:

Зная /?,, /?2 и Ки можно определить величину А^, а затем при помощи таблиц и метода интерполирования находим концентрацию раствора.

При этом для сохранения одного и того же расстояния между электродами вольтметра полезно сделать на стекле самого сосуда метки для того, чтобы после промывки и наполнения новым электролитом стеклянного сосуда можно было установить электроды на том же расстоянии, на каком они находились при определении сопротивления первого электролита.

Ясно, конечно, что при решении этой задачи должны быть приняты в соображение те указания, какие даются в любом руководстве по физическому практикуму относительно внесения всевозможных поправок и вычисления различных ошибок.

ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ ЗА ГРАНИЦЕЙ

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ ФРАНЦИИ

Проф. А. БАРСУКОВ (Москва)

I

Средняя общеобразовательная школа во Франции представлена так называемыми лицеями и колледжами, т. е. учебными заведениями, предназначенными для детей состоятельных и привилегированных классов. Доступ в них из начальной народной школы в значительной мере затруднен как по материальным мотивам, так и по несогласованности программ. Лишь за последние годы делаются попытки сблизить программы начальной и средней школы. Надстройкой над народной начальной школой является „высшая народная школа“ с трехгодичным курсом, причем первый год является общеобразовательным, но уже следующие два имеют определенные уклоны — промышленный, коммерческий и земледельческий. Дальнейшей надстройкой являются средние технические, торговые и сельскохозяйственные школы, а также специальные курсы всякого рода. Капиталистическая тенденция в этой системе „народного“ образования отражается чрезвычайно ярко.

Что касается средней школы, то структура ее такова (лицеи и колледжи строятся по одному принципу, и программа их в общем одинакова; разница в том, что колледжи основываются местными муниципальными властями и в известной мере содержатся за счет местных средств).

Первый концентр заменяет начальную школу и готовит к среднему концентру. Обучение в нем может заменяться обучением в частной школе или в семье.

Курс обучения в этом цикле 4 года, а именно:

1) подготовительная группа (6—7 лет);

2) элементарный курс (7—9 лет);

3) средний курс (9—11 лет);

4) высший курс (11—13 лет).

За начальным курсом идет собственно средняя, шестилетняя, школа. (Заметим, что во Франции счет классов ведется в обратном порядке, т. е. низший класс называется шестым, следующий пятым и т. д.) Над шестилеткой имеется еще надстройка в 1 год, разбивающаяся на два уклона — класс математики и класс философии. Окончивший эти дополнительные классы переходит далее уже в высшее учебное заведение.

II

Приступая к анализу программы по математике в французской средней школе, отметим прежде всего, что курс арифметики в начальном цикле почти совпадает с курсом советской школы (только в разделе процентов „не забыт“ учет векселей). Лишь геометрический материал несколько расширен в сторону вычисления площадей (трапеция, многоугольник, сектор круга, боковая поверхность цилиндра и конуса) и объемов (прямая призма с многоугольным основанием, конус, шар). Следовательно, математическая подготовка наших и французских ребят более или менее одинакова. Поэтому тем более бросается в глаза значительно меньший объем программы по математике в французской средней школе. Лишь класс математики значительно расширяет круг изучаемых вопросов.

Приводим программу каждого класса, причем для сравнения рядом с французской номенклатурой класса приводим соответствующий (конечно, относительно) год обучения в советской школе.

Шестой класс (пятый год обучения) — 2 часа в неделю.

Повторение действий над целыми числами. Упражнения на устный счет. Делимость на 2, 5, 9 и 3. Задачи, связанные с величинами, выраженными целыми числами. Понятие о дробях.

Приведение дробей к общему знаменателю. Задачи, связанные с дробными числами от определенных величин.

Арифметические действия с дробями. Десятичные дроби. Десятичные числа.

В программе шестого класса обращает на себя внимание скудость преподаваемого материала, в особенности по сравнению с нашим пятым годом. Так, геометрический материал совершенно отсутствует. В первую очередь это объясняется незначительным количеством часов, отведенных на математику (у нас 5—6 часов в шестидневку).

Необходимо отметить, что курс арифметики этого года еще не носит характера обобщений и обоснований арифметических действий над целыми и дробными числами. В инструкции относительно преподавания математики прямо говорится:

.... повторение слова „величина" указывает на желание придать обучению конкретный характер“.

И далее:

„Задачи на величины, представленные целыми числами, не являются новостью для учеников шестого класса. Не надо упускать из виду того, что если основные арифметические действия могут способствовать исчислению, то качество исчисляемых объектов или измеряемых величин от них ускользает. Надо сделать упор на это для того, чтобы избежать путаницы, которая часто бывает у ученика на этом уровне, особенно когда речь идет о величинах“.

„Например, умножение 27 на 15: дается определить число шариков, которые содержатся в 15 мешочках, имеющих по 27 шариков каждый; цену 15 м материи в франках по 27 франков за метр; измерить в квадратных метрах площадь прямоугольника, размеры которого равны 27 м и 15 м. Тогда как в первой задаче имеется просто исчисление шариков, вторая прибегает к условному соотношению, которое является не чем иным, как пропорциональностью цены и меры; в третьей используется то свойство геометрии, что два прямоугольника с одинаковыми основаниями (например 27. — А £.), приложенные друг к другу этими основаниями, составят новый прямоугольник с тем же основанием, но высота которого является суммой двух первых“. (Выделение везде наше. — А. Б.) Мы намеренно привели эту, несколько длинную, выдержку из инструкции, ибо в ней особенно ярко сказывается тенденция индивидуализировать каждый случай умножения, вместо того чтобы, наоборот, сделать упор на то общее, что имеется во всех трех задачах: умножение 27 на 15 и одинаковый численный результат.

Между прочим, обращаем внимание на разделение понятий: „десятичная дробь“ и „десятичное число“, что у нас обычно не проводится.

Пятый класс (шестой год обучения) —2 часа в неделю.

Метрическая система. Длина. Поверхность. Объем. Вес. Плотность. Денежные единицы. Время. Скорость. Простые упражнения по переводу одних мер в другие. Тройное правило. Простые проценты. Примеры на учет ренты. Употребление букв для изображения чисел. Простые задачи, приводящие к уравнению первой степени.

Как видим, и программа шестого года обучения находится еще целиком „в царстве арифметики“.

Введение раздела „Поверхности и объемы“, согласно инструкции, должно ограничиться „указанием самых простых формул ввиду их числовых применений“, т. е. как материал для арифметических выкладок. Понятно, что все формулы даются без доказательства. Исключение делается для формулы площадей прямоугольника, относительно которого рекомендуется „показать, как многократное перемещение данного прямоугольника позволяет перекрыть, в конце концов, всякий прямоугольник, у которого измерения являются кратными первого“. Вот и все „доказательство“. Отсюда уже надлежит сделать вывод о площади прямоугольника, у которого стороны соизмеримы со сторонами квадрата.

Буквенные обозначения, как и следовало ожидать, вводятся при задачах на „простые проценты и коммерческий учет“, а также там, где имеются действия с пропорциональными величинами (отметим, что раздел пропорциональности в общем виде еще не проходится, речь идет опять лишь о конкретных примерах). Это меньше, чем требования нашей программы по курсу арифметики.

Обращает на себя внимание введение уравнений первой степени с одним неизвестным. Речь идет здесь о выражении условия задачи в виде простейшего равенства (уравнения), в котором фигурируют данные числа и неизвестное. Решение проводится на основе применения правил арифметических действий. Инструкция предостерегает от „механизирования“ преобразований, которое могло бы привести к „невозможному действию— в арифметическом смысле“, например вычитанию большего числа из меньшего. Поэтому рекомендуется изучать уравнения только на конкретных задачах.

У нас неоднократно высказывались мнения о более раннем введении простейших

уравнений. Были голоса и за то, чтобы начинать алгебру с уравнений и даже строить весь курс алгебры на уравнениях. Отбрасывая последние, „левые“, т. е. ликвидирующие систематический курс алгебры высказывания, мы все же считаем, что вопрос о введении в курс арифметики пятого (а может быть и четвертого) года обучения следовало бы еще раз пересмотреть. За этот пересмотр говорит и то, что многие и многие педагоги вводят X под тем или иным соусом, в том или ином разделе. Не лучше ли узаконить этот „обычай“, оправив его в должные методические рамки.

Четвертый класс (седьмой год обучения) — 3 часа.

I. Арифметика. Общий делитель двух чисел. Понятие об общем наибольшем делителе и общем наименьшем кратном двух чисел.

Практические правила по разложению данного числа на первоначальные множители. Нахождение общего наибольшего делителя и общего наименьшего кратного. Упражнения на метрическую систему, простые и десятичные дроби. Величины прямо и обратно пропорциональные. Определение квадратного корня. Практическое правило для извлечения квадратного корня из целого числа и десятичной дроби.

II. Геометрия. Прямая линия и плоскость. Отрезок прямой. Окружность. Углы. Употребление линейки, циркуля, транспортира. Треугольники. Равнобедренный треугольник. Равенство треугольников. Перпендикулярные линии и наклонные линии. Равенство прямоугольных треугольников. Параллельные прямые. Употребление наугольника. Сумма углов треугольника и многоугольника. Параллелограм. Прямоугольник. Ромб. Квадрат. Трапеция. Пересечение окружности прямой. Касательная. Хорды и дуги. Сравнение вписанного и центрального углов. Относительное положение двух окружностей. Элементарные построения, связанные с прямой линией и с окружностью.

В этом классе продолжается изучение арифметики, причем, как и раньше, по выражению самой инструкции, „указания в программе арифметики носят еще следы недоверия к возможностям учеников— в каждом разделе говорится о практических правилах“.

Вызывает на размышления введение в курс арифметики „практического правила“ для извлечения квадратного корня из чисел. В курсе арифметики, геометрии и физики пятого года ученик уже встречается с задачей определения стороны квадрата по данной его площади, причем он находит его путем проб, что при более и менее крупных числах (не говоря уже о десятичных дробях) затруднительно. Не подумать ли и нам о введении в курс пятого года „практического правила“ или хотя бы навыка пользования таблицей квадратов и квадратных корней.

О геометрии мы скажем по поводу всего курса в целом. Здесь сделаем лишь несколько замечаний. Во-первых, странно читать, что введение систематического курса геометрии (носящего еще все же пропедевтический характер, как увидим дальше) мотивируется тем, что „на этом уровне должны пробуждаться у большей части учеников математические способности“(!?).

Во-вторых, порядок прохождения тем не является обязательным и даже рекомендуемым, с точки зрения систематичности или методики: „Преподаватель в этом отношении руководствуется книгой, которая имеется у учеников“.

В-третьих, наконец, и здесь мы имеем непрерывные предостережения от излишнего теоретизирования, злоупотребления доказательствами. Основным методом является индуктивно-исследовательский, когда ученик из ряда конкретных примеров на основе их анализа мог бы сформулировать вывод и уяснил бы необходимость его логического доказательства, которое и надо давать в наиболее простых случаях.

Сам по себе такой подход к теореме ничего плохого не заключает, если не остановиться на известном этапе, господствующем и заслоняющем дедуктивное построение самого курса. Думается, что в настоящее время мы слишком мало применяем такой метод.

Приведем программу последних трех классов, не останавливаясь на рассмотрении отдельных ее деталей.

Третий класс (восьмой год обучения) — 3 часа.

I. Арифметика и алгебра. Свойства суммы, разности, произведения и частного целых чисел и дробей. Отношение между двумя величинами. Пропорции. Конкретные

сведения о положительных и отрицательных числах; действия; практические применения. Одночлены и многочлены. Сложение, вычитание и умножение одночленов и многочленов. Деление одночленов. Уравнения первой степени с одним и двумя неизвестными.

II. Геометрия. Точки, делящие отрезок прямой линии в определенном отношении. Параллельные прямые и пропорциональные линии. Подобные треугольники. Соотношение между сторонами и углами треугольника; свойство секущей к окружности. Построение четвертой пропорциональной, средней пропорциональной. Правильные многоугольники: квадрат, шестиугольник и равносторонний треугольник. Измерение окружности круга. Измерение площади прямоугольника, параллелограма, треугольника, трапеции, многоугольника, круга. Отношение площадей двух подобных треугольников.

Здесь, наконец, мы видим очень запоздавшее, по нашему мнению, завершение курса арифметики и переход к алгебре.

При изучении относительных чисел настоятельно рекомендуется воспользоваться их векторным изображением на оси.

Второй класс (девятый год обучения) — 4 часа.

I. Алгебра. Задачи и вопросы по программе предыдущего класса. Решение и исследование уравнения первой степени с одним неизвестным. Неравенства первой степени. Координаты. Изучение и графическое изображение функции у = ах+ Ь. Решение и исследование системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Использование графиков для решения предыдущей задачи и решения неравенств первой степени с одним и двумя неизвестными. Задачи на составление уравнений. Исследование результатов.

II. Геометрия. Прямая линия. Отрезок прямой. Углы. Прямой угол. Перпендикулярные прямые. Измерение углов. Треугольники. Равнобедренный треугольник. Геометрическое место точек, равноотстоящих от двух данных точек. Случаи равенства треугольников. Перпендикуляр и наклонные. Прямоугольный треугольник. Случаи равенства. Геометрическое место точек, равноотстоящих от двух прямых. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника и выпуклого многоугольника. Параллелограмы и трапеция. Фигуры, симметричные относительно данной точки или прямой. Две плоские симметричные фигуры равны между собой. Окружность. Пересечение окружности прямой. Касательная. Хорды и дуги. Относительное положение двух окружностей. Вписанные углы. Углы, вершина которых лежит внутри или вне круга. Дуга, вмещающая данный угол. Построения при помощи прямой и окружности. Пропорциональные линии. Точки, делящие отрезок в данном отношении. Определение гармонического деления. Параллельные прямые и пропорциональные линии. Подобные треугольники и многоугольники. Свойство биссектрисы треугольника. Геометрическое место точек, отношение расстояний которых от двух данных точек постоянно. Соотношение между сторонами в прямоугольном и любом треугольнике. Определение синуса и косинуса углов от 0° до 180°. Пропорциональные линии в круге. Четвертая пропорциональная. Средняя пропорциональная. Правильные выпуклые многоугольники. Вписывание в окружность квадрата, шестиугольника, равностороннего треугольника, десятиугольника и пятиугольника. Подобие правильных одноименных многоугольников. Отношение их периметров.

Площади. Измерение площади прямоугольника, параллелограма, треугольника, трапеции, многоугольника. Отношение площадей двух подобных многоугольников. Площадь правильного выпуклого многоугольника. Площадь круга, сектора, сегмента. Отношение между площадями двух кругов.

Программа этого года особенно выпукло показывает сугубую концентричность построения всего курса математики. В самом деле, нет почти ни одного раздела алгебры и геометрии, с которым ученики не имели бы дела раньше, иногда не один раз.

Ввиду систематического построения курса геометрии рекомендуется придерживаться про-

граммы в отношении порядка прохождения тем. Но опять-таки „в том случае, конечно, если книга, которой пользуются, не избрала другого порядка“.

Отметим однако, что, признавая руководящую роль программы, особенно в наших условиях (значительное количество малоподготовленных учителей), и абсолютно отрицая полный произвол в распределении материала, могущий поставить на голову весь курс и его логическую систему, мы, тем не менее, считали бы возможным предоставление некоторой свободы творчества преподавателю и автору учебника, дабы путем опыта вносить те или иные поправки и улучшения в самое построение курса.

Первый класс (десятый год обучения)— 34/2 часа.

I. Алгебра. Уравнение второй степени с одним неизвестным. Корни его (за исключением мнимых корней). Соотношения между коэфициентами и корнями. Знак корней.

Трехчлен второй степени. Неравенства второй степени. Задачи на уравнения второй степени. Изменение трехчлена второй степени. Графическое изображение. Изменение функции а x_^fr - Графическое изображение.

Прогрессии арифметические и геометрические. Сложные проценты. Пользование таблицей логарифмов с пятью десятичными знаками.

II. Геометрия. Плоскость и прямая линия. Определение плоскости и прямой. Пересечение двух плоскостей. Параллельные прямые и плоскости. Перпендикулярные прямые и плоскости. Свойство перпендикуляра и наклонных к плоскости, проведенных из одной точки. Двугранные углы. Плоский угол двугранного угла. Взаимно перпендикулярные плоскости. Проекция площади плоского многоугольника. Симметрия по отношению к точке и прямой к плоскости. Многогранные углы. Случаи равенства и подобия трехгранников. Многогранники. Круглые тела.

Этим заканчивается программа средней школы Франции. Какие же итоги и выводы, хотя бы предварительные, можно сделать из рассмотрения этой программы? Наметим некоторые.

1. Прежде всего та, прямо безудержная, концентричность расположения материала, которая красной нитью проходит через весь курс, ничем не может быть оправдана. Может быть этим и достигается известное (пускай, даже значительное) облегчение в усвоении отдельных тем курса, но безусловно исчезает целое, система. Курс арифметики или геометрии как единая, стройная, логически развертывающаяся научная дисциплина исчезает из поля зрения учащихся. Ни один учащийся после прохождения всего курса не сможет изложить, хотя бы в виде конспективного перечня тем, содержания дисциплины в систематическом построении. Имеется ряд отрывочных знаний, некоторые навыки их практического применения, наука исчезла.

2. Не может удовлетворить нас и объем даваемых знаний. Исчезла совсем тригонометрия (нельзя же считать даже за элементы тригонометрии понятие о синусе и косинусе), не говоря уже об элементах анализа. Элементы аналитический геометрии даются лишь в пределах пользования ими в алгебре.

В этом снижении объема опять-таки сказывается (кроме недостаточного количества часов) сугубая концентричность программы, несомненно требующая более длительного времени для ее проработки да еще почти исключительно исследовательским методом, как это рекомендуется для первых классов.

Однако не мешало бы посмотреть, нет ли и в наших программах такого материала, от которого можно было бы разгрузить учащихся без ущерба для целостности и систематичности курса.

3. Курс арифметики чрезмерно растянут и сугубо эмпиричен. Последнее затрудняет переход к алгебраическим обобщениям в дальнейшем и дает мало материала для исследования свойств чисел.

Надо продумать вопрос о введении у н?с в курс арифметики простейших уравнений первой степени и извлечения квадратного корня.

Надо немедленно последовать примеру французской программы и выбросить из нашей программы архаическое „разностное отношение“.

4. Курс алгебры построен наиболее систематично. Элементы концентризма имеются и в нашей программе, даже больше, чем во французской, и, может быть, больше, чем требуется.

По объему наша программа значительно шире и не мешало бы несколько ее разгрузить— в первую очередь от непрерывных дробей, а затем от некоторых видов уравнений (возвратных, двучленных и трехчленных). Надо

подумать о степени необходимости дробей многочленными знаменателями.

5. Построение курса геометрии, ликвидирующее ее как научную дисциплину, никоим образом не может быть нами принято. Можно лишь и здесь обсудить вопрос о некотором облегчении курса (например, теорема о противоположных сторонах вписанного в окружность четырехугольника, проекция фигуры на две взаимно перпендикулярные плоскости, геодезический материал и пр.).

6. Признавая целесообразность применения исследовательского подхода, индуктивного метода в начале изучения той или иной темы, мы не можем предоставить ему то господствующее положение, какое этот метод занял в преподавании во французской школе.

Само собою разумеется, приведенные выводы не являются ни окончательными, ни исчерпывающими. Это только первая наметка. Программа требует дальнейшего изучения и анализа, и мы призываем к этому педагогов.

В заключение, не приводя детальной программы дополнительного класса — класса математики, укажем на основное содержание курса (на математику отведено 9 часов в неделю).

1. Повторение курса арифметики.

2. Повторение основных разделов алгебры.

3. Понятие о производной. Производные элементарных функций. Понятие о первоначальной функции. Применение к вычислению некоторых площадей.

4. Полный курс тригонометрии.

5. Геометрия. Превращение фигур. Инверсия. Стереографическая проекция, конические тела.

6. Элементы начертательной геометрии.

7. Элементы механики.

ЗАДАЧИ

Предлагается присылать решения в редакцию

1. Найти двузначное число, зная, что сумма от сложения его с числом, написанным теми же цифрами, но в обратном порядке, есть точный квадрат.

Решить такой же вопрос относительно трехзначного числа.

2. Доказать, что число вида + 3 может быть представлено в виде суммы трех квадратов.

3. Решить уравнение х* — \/а — х — а

Г. Шлуглейт (Москва)

4. Показать, что уравнение

ах* + (ab + \)х* + adx* + bx + d = О

может быть решено в радикалах второй и третьей степени.

5. Показать, что уравнение

x\+y\ = l0z + 9

не имеет решений в целых числах.

А. В. (Москва)

6. Доказать, что прямая, соединяющая вершину прямого угла в прямоугольном треугольнике с центром квадрата, внешне построенного на гипотенузе, делит прямой угол пополам.

7. Вычислить длину прямой AD, проведенной из вершины А треугольника ABC до точки D на основании так, что круги, вписанные в треугольники ABD и ACD, равны.

8. Зная, что в треугольнике ABC угол В — ЗД найти выражение стороны с через а и Ь.

9. Доказать, что если в прямоугольном треугольнике один угол равен .75°, то квадрат гипотенузы равен учетверенному произведению катетов.

10. Дан треугольник ABC. Сторона ВС продолжена, и в образовавшиеся внешние углы треугольника вписаны окружности, радиусы которых равны радиус/ окружности, вписанной в треугольник ABC. К этим окружностям из вершины А проведены две касательные, образующие с прямою ВС треугольник АВ{С{. По сторонам треугольника ABC вычислить площадь треугольника АВ{С^

М. Зимин (Новочеркасск)

11. Из центра двух данных концентрических окружностей проводят неподвижную и подвижную полупрямые; точки пересечения их с окружностя-

ми соединяют прямыми. Найти геометрическое место точек пересечения этих прямых.

Г. К. (Пенза)

12. Данный отрезок разделить на две части так, чтобы сумма объемов: шара, построенного на первом отрезке, как на диаметре, и конуса, радиус основания которого и высота равны половине другого отрезка, была наименьшею.

13. Из внешней точки А проведены к окружности две касательные AB и АС и середины их D и Е соединены прямою DE\ доказать, что эта прямая не может пересечься с окружностью.

14. Решить уравнение:

. 3jc . \\х

2 COS Х-Sin — := Sin -у .

15. Показать, что

1 + sec 20° = ctg 30° - ctg 40°.

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

Нижеследующие примеры и задачи на все отделы элементарной математики служили темами на вступительных поверочных испытаниях по математике в I Московском государственном университете в сентябре 1933 г. Здесь мы печатаем первые пять вариантов из десяти. Темы сообщены редакции участвовавшим в приемной комиссии професором И. И. Чистяковым.

Вариант I.

1) Решить уравнение —Q H--= 1.

2) Основанием прямой призмы служит равнобедренный Д, в котором угол при вершине а и в котором разность между его боковой стороной и основанием равна d. Высота призмы И. Найти объем призмы.

3) Привести к виду, удобному для логарифмирования

cos а — sin 2 а.

4) Найти длину хорды, проходящей через середины двух взаимно перпендикулярных радиусов окружности, если радиус равен R.

5) Решить уравнение sin х — cos х == j/-L .

6) Написать первые 8 членов геометрической

прогрессии, в которой произведение первых двух членов — -^-произведения 1-го члена на 5-й, равно i.

7) Чему равняется log rj2b?

Вариант II.

1) Решить уравнение (х — а)* + (х — Ь)ъ — — (a — b)* = x(x — a — b) + ob.

2) Определить угол при вершине осевого сечения конуса, образующая которого / и боковая поверхность S'.

3) Привести к виду, удобному для логарифмирования:

4) Из внешней точки, отстоящей от окружности радиуса R на расстоянии ее диаметра, проведены две касательные. Найти расстояние между точками касания.

5) Решить уравнение 1—cos 2 х + sin х = 0.

6) В геометрической прогрессии 5 членов, сумма которых за исключением первого 195, а за исключением последнего 13. Вычислить крайние члены прогрессии.

7) Чему равняется log^—(д2)?

Вариант III.

1) Решить уравнение

2) Определить объем прямой призмы, в основании которой равнобедренный Д с углом при вершине а и с основанием д, если диагональ одной из равных боковых граней этой призмы наклонена к плоскости основания ее пол углом р.

3) Привести к виду, удобному для логарифмирования, sin 2 а — 2 sin а.

4) В окружности радиуса R проведена хорда, перпендикулярная к диаметру и делящая его на части в отношении т\п. На этой хорде построен правильный Д. Найти площадь этого треугольника.

5) Решить уравнение 2 sin* х + sin* 2 х = 2.

6) Найти сумму первых 6 членов геометрической прогрессии, в которой произведение 1-го члена на 3-й равно щ, а сумма 3-го члена с 4-м равна 1.

7) Чему равняется log^^û““*)?

Вариант IV.

1) Решить уравнение ~~ + 2+ - ~ - - - 0 .

2) Угол при вершине осевого сечения конуса равен а; радиус круга, описанного вокруг этого сечения, равен R. Найти объем конуса.

3) Привести к виду, удобному для логарифмирования -г—-^ .

4) Определить площадь Д по основанию его а и по двум прилегающим к нему углам в 45° и 60°.

5) Решить уравнение cos 2 х — sin х.

6) Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 28, а сумма следующих трех членов 3-L. Найти 8-й член прогрессии.

7) Чему равняется log 0 1 1000?

Вариант V.

1) Решить уравнение __ = -__-.

2) Прямоугольный Д с острым углом а и высотою h (опущенной на гипотенузу) вращается вокруг оси, проходящей через вершину прямого угла и параллельной гипотенузе. Определить объем тела вращения.

3) Привести к виду, удобному для логарифмирования ——сг -r 1 — sin 2 а

4) Даны две концентричные окружности с радиусами R и г. Определить длину хорды большей окружности, касательной к меньшей окружности.

5) Решить уравнение 3sinä;t— 3sin.r-cosjt— — cos2jc== 1.

6) Найти сумму 9 членов арифметической прогрессии, 6-й член которой равен 5, а сумма 3-го и 8-го членов равна 5.

7) Найти, чему равняется log

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

От редакции............................... 3

Научный и научно-популярный отдел

Проф. И. Чистяков, О новейших исследованиях в области древнейшей истории математики.................. 5

Доц. С. Зетель, Об одном замечательном случае неравенства треугольников ............................ 10

Проф. М. Зимин, о тригонометрических тождествах вида / (sin *)=/(cos х) . 14

Проф. И. Чистяков, Несколько замечаний о прогрессиях......... 1 >

Проф. И. Лобко, Из истории установления метрических мер....... 18

Доц. Ю. Кушнир, Фотоэлектрический эффект и его применение..... 32

Инж. 3. Гинзбург, Основные идеи телевидения............... 38

Общая методи ка Асп. Т. Щербакова, Состояние преподавания физики в средней школе в 1932/33 учебном году.................45

Проф. И Попов, Состояние астрономических знаний в школе в связи с подготовкой к преподаванию астрономии на десятом году обучения.......................52

Частная методика

В. Снигирев, Буквенные выражения..................... 57

П. Ларичев, Система уравнений первой степени............. 61

Е. Загоскина, Площади прямолинейных фигур............... 66

П. Ларичев, Квадратные уравнения..................... 70

Н. Зерченинов, Как проводить поверочные испытания по математике . . 78

Н. Плешков, Определение частоты перемен переменного тока методом

звукового резонанса ..................... 82

Г. Фалеев, Демонстрация стоячих волн................... 83

А. Белогорский, Некоторые указания при работе с универсальным мостиком Кольрауша....................... 84

Вопросы преподавания за границей

А. Барсуков, Программа по математике в средней школе Франции .... 86

Задачи.

УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО!

РУССКИЙ ЯЗЫК

И ЛИТЕРАТУРА

В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Отв. ред. С. А. КАМЕНЕВ

СБОРНИК СТАВИТ СВОЕЙ ЗАДАЧЕЙ освещение конкретного опыта преподавания русского языка и литературы в средней школе и разработку вопросов методики преподавания русского языка и литературы.

К СОСТАВЛЕНИЮ СБОРНИКА привлекаются лучшие методисты, профессора и научные работники соответствующих научных институтов и педвузов, преподаватели языка и литературы образцовых школ, дающие лучшие образцы постановки языка и литературы.

СБОРНИК БУДЕТ ЯВЛЯТЬСЯ практическим методическим пособием для преподавателей русского языка и литературы в средней школе.

А сборника в год- Подписная цена на год—4 руб.

Подписка иа все сборники принимается всеми отделениями, магазинами, киосками и уполномоченными КОГИЗа, на почте и в главной конторе подписных и периодических изданий КОГИЗа, Москва, Маросейка,^

УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

МАТЕМАТИКА и ФИЗИКА

в средней школе

Отв. редактор А. Н. БАРСУКОВ

ЗАДАЧИ СБОРНИКА—помощь преподавателю средней школы в педагогической работе и в повышении его теоретического и методического уровня.

В СБОРНИКЕ БУДУТ ПОМЕЩАТЬСЯ: научные и научно-популярные статьи по актуальным вопросам математики, физики, астрономии, а также статьи по истории этих наук. Вопросы общей и частных методик. Из школьной практики. Преподавание математики, физики и астрономии за границей. Критика и библиография. Педагогическая консультация. Задачи для педагогов и учащихся средней школы.

СБОРНИК РАССЧИТАН на преподавателей математики, физики и астрономии в средней школе, но является также пособием и для студентов педвузов.

4 сборника в год. Подписная цена на год—4 руб.

Подписка на все сборники принимается всеми отделениями, магазинами, киосками и уполномоченными КОГИЗа, на почте и в главной конторе подписных и периодических изданий КОГИЗа, Москва, Маросейка, 7.

Цена 1 p.

УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

Открыта подписка на методические сборники на 1934 год

В течение 1934 года выйдут из печати следующие методические сборники:

1. ИСТОРИЯ в средней школе

4 сборника в год ■ Подписная цана на год- 4 рубяя

2. МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА в средней школе

4 сборника в год ■ Подписная цена на год—4 рубля

3. РУССКИЙ ЯЗЫК И ЛИТЕРАТУРА в средней школе

4 сборника в год ■ Подписная цена на год—4 рубля

4. БИОЛОГИЯ И ХИМИЯ в средней школе

4 сборника в год ■ Подписная цена на год—4 рубля

5. ПОЛИТЕХНИЧЕСКОЕ ОБУЧЕНИЕ В ШКОЛЕ

4 сборника в год ■ Подписная цена на год-4 рубля

6. ДОШКОЛЬНОЕ ВОСПИТАНИЕ

б сборников в год ■ Подписная цена на год—3 р. 60 к.

7. ИНОСТРАННЫЙ ЯЗЫК в средней школе

3 сборника в год ■ Подписная цена на год—1 р. 80 к.

Подписка на все сборники принимается всеми отделениями, магазинами, киосками и уполномоченными КОГИЗа, на почте и в главной конторе подписных и периодических изданий КОГИЗа, Москва, Маросейка, 7