Томъ I.

№ 3, 4

МАТЕМАТИКА ВЪ ШКОЛѢ.

Изданіе Отдѣла по Реформѣ Школы при Комиссаріатѣ Народнаго Просвѣщенія.

Сент.—Окт. 1918 г.

МОСКВА.

Типо-литіографія Русскаго Товарищества Печатнаго и Издательскаго дѣла

Чистые пруды, Мыльниковъ пер., соб. домъ. Телеф. 18-36.

„Математика в школе".

Годъ I. Сентябрь—Октябрь, 1918 г. № 3—4.

Содержание: От редакции. — Цели и методы преподавания математики в новой шкоде. I. Чистяков.— Графический метод в школе. В. Добровольский. — Проект программы по метод, мат. для учит, семин. Андронов,— По поводу одной теоремы. Дубнов,—О необходимой реформе преподавания физики. Цингер.—Некоторые интересные задачи. В. Добровольский— Волшебные кубы. Кутузов— Задачи.— От Отдела Реформы Школы. — Об учебниках Шохор-Троцкаго. Лебединцев.— Библиографический указатель.—Хроника.—Новые книги.

От редакции.

С ближайшего номера журнал наш будет выходить нод названием „Физико-математические науки в школе".

Изменение названия соответствует расширенной программе журнала, который отныне будет давать место статьям из области физики, в широком смысле этого слова (включая химию, астрономию, технику и т. п.) Новые учебные планы стремятся слить математику и физику в единый цикл знаний, органически переплетающихся в преподавании—поэтому и в журнале естественно об'единить эти близкие между собой отрасли знаний. Журнал будет состоять из следующих отделов:

1) Статьи, посвященные основным принципам преподавания физико-математических наук в новой школе. Наша главная задача связать преподавание с производительным трудом—задача, являющаяся основой новой школы. Трудовой принцип, вопреки установившемуся в передовых странах запада его пониманию, мы мыслим не только, как один из новых видов педагогического воздействия на учащихся (что приближало бы этот метод к так. называемому лабораторному на младшей ступени и эвристическому - на старшей); трудовая школа для нас является одной из производительно-потребительных ячеек страны, необходимость, которых диктуется общественными, а не только чисто-педагогическими задачами.

2) Статьи научно-популярного характера с целью пополнить и углубить познания читателей в области физико-математических

наук, при чем особое внимание будет уделено тем вопросам, которые для школы в первые появляются в учебных планах. В частности, ряд статей будет посвящен внесению исторического элемента в преподавание, а также переводам отрывков из подлинных произведений классиков точного знания.

3) Научная и педагогическая хроника: открытия и изобретения; деятельность специальных обществ, кружков, с'ездов, отчеты о работах школьных мастерских и лабораторий и т. п.

4) Библиография; обзор журналов и рецензии книг, издающихся на русском и иностранных языках; списки рекомендуемых книг для преподавания и для учеников школьной мастерской и физического кабинета.

5) Задачи и решения к ним..

6) Заметки касающиеся жизни лаборатории.

7) Сообщения о деятельности Народного Комиссариата по Просвещению в области преподавания физико-математических наук.

Синтез производительного труда и науки, органическое соединение физической и образовательной работы осуществить не легко; он может явиться лишь результатом коллективных усилий многих тысяч строителей новой школы.

Ставя такия задачи журналу, редакция вполне сознает, что исполнение их невозможно без отклика с мест, из той школы, где идет на деле творческая созидательная работа. Мы обращаемся поэтому к товарищам педагогам, физикам, математикам, техникам и всем, кому дорого создание новой школы, с призывом помочь нашей работе присылкой статей, заметок и других материалов, касающихся преподавания физико-математических наук в школе.

Цели и методы преподавания математики въ новой школе.

И. Чистяков (Москва).

(Окончание).

II.

В соответствии с эволюцией воззрений на цели преподавания математики, менялись и взгляды на методы ее преподавания. Так, в связи с распространенным мнением о важности математики для формального умственного развития как на Западе, так и у нас получил распространение и господствовал почти до послед-

него времени абстрактно-дедуктивный метод ее преподавания Сущность его состоит, как известно, в том, что истины, входящие в содержание какой-либо математической науки, изучаются в систематическом порядке, при чем они выводятся при помощи строго-логических умозаключений из определений и основных положений, принимаемых без доказательства. Число этих последних доводится при этом до минимума; все же прочие истины доказываются, хотя справедливость их была бы ясна для учащихся и без доказательства. Способ классного преподавания обычно приближается при этом к лекционному, учащиеся должны отчетливо усвоить излагаемую теорию из объяснений учителя, или по учебнику, и затем уметь воспроизводить ее в своих ответах, упражнениям придается лишь второстепенное значение—служить для лучшего усвоения теории. Особенно полно абстрактно-дедуктивный способ проводился в преподавании геометрии, которая проходилась в учебных заведениях весьма близко изложению „Начал геометрии" Эвклида, отличающихся, как уже было упомянуто, высокою степенью совершенства в проведении этого метода Но, по образцу геометрии, и в других математических предметах сообое внимание обращалось на логическую сторону, получившую перевес над математическим содержанием.

Проведению строго - дедуктивного метода в преподавании математики придавалось при этом чрезвычайно важное научное и педагогическое значение. Даже самая достоверность математических истин приписывалась употреблению этого метода. В педагогическом же отношении именно постоянное применение дедукции считалось наилучшим средством для формального умственного развития учеников.

Особенно много сторонников дедуктивный метод преподавания имел и имеет во Франции, издавна отличавшейся высокою степенью постановки преподавания математики, но в то же время и склонностью твердо держаться в учебном деле установленных традиций. Так, еще в 1901 г., на акте в лицее Св. Людовика в Париже, проф. Blutel произнес речь, посвященную значению преподавания математики для формального умственного развития учащихся1).

В ней он подробно перечисляет ценные стороны абстрактно-дедуктивного метода. Так, этот метод развивает в учащихся способность внимания, ибо, вследствие тесной логической связи излагаемых истин, невнимание к излагаемому предмету даже на короткое время повело бы к полному его непониманию. Внимание же необходимо при всякой умственной работы, начиная со столь простой, как счет. Далее, неизменное применение дедукции развивает в учащихся склонность и способность к отвлечению и обобщению. Так, при начале изучения геометрии ученик соединяет со словом треугольник представление об определенной фигуре, начерченной на доске, впоследствии же он, отвлекаясь от особенностей конкретных треугольников, усваивает понятие о треуголь-

1) Nouvelles Anales de Mathématique, 1902, p. 325.

нике вообще. Логическое преподавание математики, далее, вообще развивает способность к правильному суждению, ибо математика представляет богатейший материал для самых тонких суждений. Правильность получаемых результатов дает полное удовлетворение в умственной работе, уверенность в собственных силах и привычку к проверке и контролю своих суждений и действий. Строгость математических выводов и доказательств побуждает стремиться к подобной же строгости и ясности при обсуждении вопросов из других областей знания и жизни. Наконец, дедуктивный метод способствует приобретению большого количества математических сведений в короткое время, в сжатом и точном изложении.

Подобная же высокая оценка логического метода преподавания математики делалась и другими авторитетными педагогами. И, тем не менее, начиная уже со середины XIX в.. увлечение им стало ослабевать и постепенно сменилось критическим к нему отношением. Одной из причин этой критики было появление исследований по основам геометрии, начало которым доложил Н. И. Лобачевский. Эти исследования показали, что содержание каждой математической науки зависит не от метода его получения, а от исходных аксиом и, напр., геометрия Эвклида может быть заменена равноценной ей иной геометрической системой какова геометрия Лобачевскаго. В частности, и эмпирическая достоверность истин геометрии Эвклида есть следствие не дедуктивного метода их получения, как многие склонны были думать прежде, но зависит от того, что свои исходные аксиомы она заимствует из реального мира. Таким образом выяснилось, что дедуктивный метод имеет не абсолютную, а лишь относительную ценность при выводе математических истин. Другою причиной критического отношения педагогов к дедуктивному методу была явная неуспешность занятий по математике и, в частности, по геометрии, несмотря на самое серьезное и строгое проведение его в преподавании. Исследование причин этой неуспешности показало, что этот метод слишком труден для учащихся, которые по своему возрасту и развитию, не только не способны оценить логическую строгость математического рассуждения, но часто даже и понять его сущности.

Односторонее пользование дедуктивным методом ведет, далее, к тому, что доказательства многих теорем оказываются слишком искусственными, и учащимся приходится усваиватъ их без ясного понимания их сущности. Точно так же связь между отдельными теоремами обыкновенно не ясна для учеников, и они ее запоминают, но не понимают. Все это совершенно идет в разрез с основным педагогическим принципом об активной умственной самодеятельности учащихся, но главным недостатком применения логического метода при обучении математике является то, что при этом остается неиспользованной одна из важнейших способностей человеческого духа—интуиция, т.-е. способность непосредственного усмотрения истины помимо логических рассуждений и доказательств. Между тем интуиция является простейшим и

чрезвычайно важным средством математического познания, особенно для учащихся младшого возраста, гораздо более склонных к конкретному и образному мышлению, чем к логическому рассуждению. Поэтому в преподавании математики, на ряду с логикой, должно быть отведено видное место и интуиции.

Признание важности интуиции имело своим следствием вообще постепенное проникновение в преподавание математики, на ряду с дедукцией индуктивного метода обучения. Как известно, сущность индуктивного метода познания состоит в том, что мы от наблюдения частных фактов, доступных нашему пониманию, восходим к познанию общих истин и законов. Соответствуя естественному стремлению человеческого ума переходить от конкретного к абстрактному, индуктивный метод, широко применяемый в естествознании, оказывается важным средством и для приобретения математических знаний.

Рассмотрение процессов научной математической работы показывает, что все открытия научных истин совершаются при помощи интуиции и индуктивного метода; именно мы угадываем общую истину из наблюдения ряда однородных частных фактов и затем стараемся дать ей общее прямое доказательство. Составляя, напр., ряд квадратов первых натуральных чисел, 1, 4, 9, 16, 25 и беря разность каждых двух рядом стоящих чисел, мы замечаем, что эти разности—3, 5, 7, 9 в данном случае представляют собой последовательные нечетные числа. Это наводит нас на мысль, что подобным же свойством обладают разности квадратов чисел натурального ряда вообще. Поэтому мы стремимся дать замеченному свойству логическое доказательство общого характера. Это легко сделать разными способами, напр., составляя общую буквенную формулу для разности квадратов двух последовательных чисел; в результате мы получим известную формулу нечетного числа, что и подтвердит правильность индуктивно найденного нами закона. Пусть еще мы имеем трехчлен х2-\-х-\-4:1 и замечаем, что при подстановке в него ряда чисел 1, 2, 3, 4, 5... получаются абсолютно простые числа 43, 47, 53, 61, 71... Это дает нам основание предположить, что этот трехчлен дает исключительно простые числа. Однако, пытаясь доказать замеченное свойство в общем виде, мы в данном случае не сможем этого сделать, и, наоборот, довольно скоро убедимся, что предположенное общее свойство в действительности не имеет места; так, при #=41 данный трехчлен дает уже число составное.

Таким образом, дедукция и индукция взаимно дополняют друг друга в математическом мышлении. Но на первых ступенях обучения строгие логические разсуждения, по их трудности, вообще, могут быть устранены и заменены интуитивным усмотрением истины учащимися.

Эта здравая педагогическая идея лишь в конце XIX века получила полное признание в области математического преподавания. Результатом этого признания явилось применение наглядных приемов преподавания математики, особенно в начальной школе, и широкое пользование наглядными учебными пособиями

Эти пособия имеют целью развитых обострить интуицию учащихся и внести в обучение возможно больше доступного для учеников конкретного содержания. Абстрактно дедуктивный метод преподавания поэтому почти везде на первых ступннях обучения заменяется теперь конкретно-индуктивным. К сожалению средняя школа пока еще весьма мало отводит места интуиции и наглядным методам преподавания. Даже общепризнанная идея о необходимости начального курса геометрии, стоящего в тесной связи с арифметикой, и преподаваемого с помощью наглядного метода, далеко еще не везде получила осуществление в средних школах.

Но проведение принципа наглядности в преподавании математики мы можем рассматривать лишь как первый этап на пути освобождения его от традационных и схоластических методов обучения. Ясно, что, способствуя развитию интуиции в учащихся, наглядный метод обучения, когда наглядные пособия демонстрируются преподавателем, еще не дает места для самодеятельности и инициативы учащихся, как это требуется современной педагогикой. Поэтому в последние десятилетия передовыми педагогами 3. Европы и Америки, в особенности Дж. Перри, выдвинут и разработан новый метод преподавания математики, названный лабораторным. Как показывает самое название, при этом методе класс математики превращается как бы в лабораторию. Учащиеся в этой лаборатории под руководством преподавателя изготовляют модели геометрических фигур и тел, производят всевозможные измерения, делают чертежи и проч., вообще активно участвуют в работах, которые дают обильный и наглядный материал для математического обучения.

Наконец в новейшее время в жизнь выдвинут принцип трудового обучения Этот принцип намечен пока еще в общих чертах и не разработан в деталях; однако, по отношению к преподаванию математики, ясно, что он является дальнейшим шагом в проведении 'индукции и завершением лабораторного метода. Именно, искусственные условия получения материала для математической обработки и изучения из специальной лаборатории земеняются здесь естественными данными, которые представляет жизнь в школе, где применяется метод трудового обучения. Несомненно, что в ближайшем будущем лабораторному и трудовому методам преподавания математики предстоит весьма важная роль в новой школе, и потому они заслуживают специального рассмотрения.

Графический метод в школе.

В. В. Добровольский (Москва).

Глава I. Диаграммы.

Оставляя совершенно в стороне диаграммы, или вернее схемы, изображающие родословные, соотношения органов управления, систем образования и пр., упомянем о составлении маршрутов по карте железных дорог или по схеме трамвайного движения, руководствуясь известными заданиями и правилами'езды как о примерах комбинационной работы из области графики. Известная задача Эйлера о Кенигсбергских мостах и приложение ее к другим городам, задачи на обвод фигур одним почерком, на лабиринты и ход коня представляют упражнения, весьма развивающие сообразительность. Такие упражнения помещены между прочим в книгах: Арене „Математические игры", Игнатьев „В царстве смекалки", Лямин „Физико-математическая хрестоматия" (т III, ч. 1-я) и др. Отсылая читателей к этим книгам, приведем примеры подобных же упражнений, там не имеющихся. Начнем с задачи о раз'езде:

Как разойтись двум поездам одинаковой длины на раз'езде, вмещающем только половину каждого поезда?

Составление схемы раз'езда и решение задачи предоставляем читателю.

Другой пример имеем в игре „волк и овцы". Здесь одна шашка (волк) противостоит четырем (овцам); начальное положение волка—на одной из черных клеток крайней линии доски, овцы занимают четыре черных же клетки на противоположной линии; движение совершается только но черным клеткам, при каждом ходе—на соседнюю клетку, при чем овцы ходят только вперед, волк же может и отступать. Цель волка—проскочить через цепь овец, цель овец -запереть волка. Каждая сторона имеет право делать по очереди только по одному ходу. Желательно путем проб выяснить комбинации ходов, благоприятные для той и другой стороны, и указать правильные ходы для овец, при которых они наверное выигрывают.

Теория строения молекулы химического соединения из атомов элементов указывает на возможность существования различных веществ (изомеров) одного и того же химического состава. Построение схем этого строения по данному составу или формуле, руковооствуясь принятым в химии правилам условного обозначения атомности черточкой, дает ряд хороших упражнений. Так, зная, что атомность углерода равна 4 (то-есть, что атом углерода способен соединиться с 4-мя атомами водорода), можно построить следующие схемы изомеров для углеводорода С4Н10:

(формула СН2 заменяет единственно возможную схему а формула С113—• схему—

В виде упражнения предлагаем читателю построить изомеры для СЙН12, СвН14 (углеводороды), C8HÖ (Öm)3)g (нитроглицерин); в послед-

нем соединении имеем двухатомный кислород (0) и трехатомный азот (N); формулу эту можно написать еще так: СН2 . СЖ02— — СИ . ON02—СН2. ON02, что облегчает ее построение, так как такой вид формулы, указывает на необходимость построения групп СН2, СН и ON02 (со свободными атомностями), соединения их затем в более сложные группы СН2. ON02, СН. ON02 и СН2. Oi\02 (с одной свободной атомностью в каждой группе) и окончательного соединения этих последних групп. Другие примеры можно найти в книгах по химии, напр. А. Реформатский. Органическая химия (краткий начальный курс).

Из области геометрии можно указать на определение всех возможных случаев взаимного положения кругов (двух и трех, при большем числе задача выходит весьма сложной), при чем любопытно отметить, что задача сохраняет свой смысл, если термин „круг" будем применять к любой замкнутой кривой, термином „пересечение" будем обозначать существование замкнутой площади, ограниченной частями данных кривых, и термином „касание"—существование конечного или безконечнаго числа общих точек, образующих, однако, в последнем случае лишь некоторую непрерывную линию, но не площадь.

Наконец, весьма полезно развить навык в понимании и составлении схем отопления, водопровода, электрического освещения, сигнализации и др. Схемы подобного рода можно достать в городских учреждениях и разных предприятиях, занимающихся соответствующими установками, а также в справочных книжках (напр. „Hütte") и специальных сочинениях (напр. Кертинг „Отопление и вентиляция", изд. „Русский Гошен", „Наглядный электротехничекский задачник" В. А. Александрова, какие-либо курсы по водопроводу и канализации, по установкам паровых и газовых двигателей и т. д.).

Переходя к диаграммам, характеризующим числовые соотношения, заметим прежде всего, что эти диаграммы часто дают не абсолютные, а относительные, выраженные в %% величины, и изображают их или в виде отрезков, или в виде площадей прямоугольников с одинаковыми основаниями (что приводится к сравнению отрезков), или, наконец, в виде площадей секторов, составляющих вместе полный круг (100%)- Поэтому удобно иметь способ построения этих процентных величин. Для отрезков это можно сделать так. Берем отрезок, равный 100 m/m, а если есть место, то и 200 m/m, и параллельно ему строим другой отрезок, изображающий в каком-нибудь масштабе величину, принимаемую за 100%; этот последний отрезок нужно расположить так, чтобы прямые, соединяющие концы его с концами первого отрезка, пересекались в пределах чертежа. Пусть, напр., по таблице 1-й требуется составить относительное (в %) распределение населения земли по частям света. Для этого, взявши отрезок в 100 m/m, проводим параллельную ему прямую, на которой последовательно откладываем эти числа (см. фиг. 1, которая ради удобства помещения в тексте уменьшена вдвое), находим точку пересечения крайних лучей, которую и соединяем с промежуточными точками;

промежуточные лучи укажут на другом отрезке число %. На этом примере между прочим видно, что приведенный графический способ неудобен для определения малых долей.

Таблица 1-я.

Миллионов квадратн. километр.

Миллионов жителей.

Европа ........

10

384

Азия .... . . . . .

44

862

Африка ........

30

158

Америка. . . . ....

39

140

Австралия и Полинезия.

9

6

Полярная область . . .

4

Всей суши.

136

1550

Миллионов квадратных километров.

Великий океан . . ...

175

Атлантический океан.

90

Индейский

75

Сев. и Южн. Лед. „

34

Всей водн. поверхности.

374

Для непосредственного откладывания %% на круге удобно построить раз навсегда особый транспортир с 200 делениями по окружности, при помощи которого и можно откладывать величины с точностью до и даже точнее; радиус такого транспортира, удобно выбрать равным 63,7 m/m,—тогда каждое деление по дуге будет незаметно мало отличаться от 2 m/m.

Предлагаем использовать для такой диаграммы данные той же таблицы 1-й (площади), а также следующие данные: В Москве строительная площадь равна 13887 квадр. саж., водой занято 741 кв. саж.. водой занято 741 кв. саж., под парками, садами и бульварами—1831 кв. саж. и под проездами (улицы, переулки, площади)—3629 кв. саж.

Фиг. 1.

Таблица 2-я.

Мужчина 33 лет.

Женщина 22 лет.

Юноша 16 лет.

Новорожденный.

Вес тела в гр.. . .

69663

55400

35547

2969

Скелет в % • • • •

15,9

15,1

15,6

15,7

Мышцы......

41,8

35,8

44,2

23,9

Жир.......

18,2

28,2

13,9

13,5

Мозг.......

1,9

2,1

3,9

12,2

По табл. 2-й можно вычертить 4 диаграммы, придавая им такие размеры, чтобы полные площади их были пропорциональны числам первой строки, для чего достаточно диаметры диаграмм взять пропорциональными квадратным корням из этих чисел, то-есть пропорциональными числам 264, 235, 189 и 55.

Круг может быть с удобством заменен прямоугольником, разделенным по высоте на части, пропорциональные тем величинам, которые они должны представлять. Так может быть изображен состав разных смесей, сплавов и пр. Как упражнения в вычислении могут быть даны задачи об определени весового состава химических соединений по их формулам и атомным весам входящих в них элементов; результат вычислений представляется диаграммой.

Укажу попутно на большой географический и статистический материал, который может быть использован для диаграмм,—материал, заключающийся в „географическом и статистическом справочнике Дворникова и Соколова, в „Карманном атласе" Гикмана и Маркса и в „Атласе диаграмм по экономическим вопросам" проф. Озерова. Последние две книги заключают большое количество уже построенных диаграмм.

Таблица 3-я. Составь животной пищи.

Воды.

Азотист.

Жир.

Безазот. экстракт.

Золы.

Бычачье мясожирн. .

53,05

16,75

29,28

0,92

, г> средн.

73,03

20,96

5,41

0,46

1,14

« тощ. .

76,37

20,71

1,74

1,18

Яйцо куриное ....

73,67

12,55

12,11

0,55

1,12

Молоко коровье. . . .

87,17

3,55

3,69

4,88

0,71

Сливки........

68,82

3,76

22,66

4,23

0,53

Масло сливочное. . .

12,70

86,05

Сыр русск.-швейц. .

33,59

23,81

32,32

4,84

5,43

Составъ растительной пищи.

Вода.

Азот.

Жир.

Сахар, декстрин крахмал.

Клетчат.

Зола.

Рис .... .

12,58

6,73

0,88

78,48

0,51

0,82

Пшено ....

11,79

10,51

4,06

76,16

2.48

2,82

Пшеничн. хлеб

40,45

6,15

0,44

51,12

0,62

1,22

Ржаной „

42,27

6,11

0,43

49,26

0,49

1,46

Картофель. . .

74,98

2,08

0,15

21.01

0,69

1,09

Капуста кваш.

91,79

1,35

0,27

4,48

1,21

2,00

Следующие данные относительно состава пищи (табл. 3-я), количества калорий (табл. 4-я) ц потребности человеческого орга-

Таблица 4-я.

1 гр. этил, алкоголя дает 10348 м. кал.

г> „ жив. жиров „ 9318- 9445 „

г, я белк. вещ. „ 5567 „

я у, мяса (филей) „ 6036 „

я w свеж. рж. хлЪба ; 2727 „

я „ сухого „ я я 4421

я ,0 свеж. пшен. хлеба „ 2807 я

я я сух- » « 4302

Таблица 5-я.

ВОЗРАСТ.

Количество вещества в гр.

Белки.

Жиры.

Углеводы.

На 3-й день жизни.....

7,7

9,0

9,3

Конец 1-й недели .....

13,0

15,0

15,4

я 8 т> .....

24,3

28,1

29,1

„ 5-го месяца ....

34,2

36,5

42,5

„ 1-го года......

38,4

38,4

76,8

Дети 2-х лет.......

45,5

36,0

110,0

я 3 я ......

50,0

38,0

120,0

я 6— 7 „ ...... j

55,0

40,0

140,0

„ 10-П „ ......

65,0

45,0

200,0

в 14-15 „ ......1

79,0

48,0

270,0

„ 15-18 я ......

100,0

50,0

400,0

Старше 20 лет......

118,0

56,0 1

450,0

Умеренно работающий мужч.

120,0

50,0

500,0

Сред, взросл, раб. ......

130,0

75,0 !

450,0

Умеренно работающая женш.

96,0

44,0

400,0

низма в той или иной пище (табл. 5-я и 6-я), должны дать богатый материал как для жизненных задач в школе, так и для применения сравнительных диаграмм. Не ограничиваясь обработкой приведенных данных, следует поставить на разрешение вопрос о количестве разных веществ, поглощаемых при данном (действительном) количестве продуктов питания, и о количестве теплоты,

Таблица 6-я.

130 гр. белковых веществ можно получить из 388 гр. сыра, или 491 гр. чечевицы, или 582 гр. гороха, или 614 гр. говядины, или 968 гр. куриных яиц. 488 гр. углеводов можно получить из 572 гр. риса, или 631 гр. белого хлеба, или 930 гр. ржаного хлеба.

Таблица 7-я.

ТОПЛИВО:

Теплотвор. способы.

Стоимость 100 киюгр. в марках.

ДВИГАТЕЛЬ:

Расход тепл. в кал. на 1 эффект, силочас.

Степень исаользов. тепл. в %.

даваемой ими; затем по ценам на продукты можно найти стоимость 1 гр. белка, 1 гр. жира и пр. и сравнительную стоимость 1 кал., полученной разными способами, и окончательный результат выразить диаграммой.

Цифры теплопроизводительности различных сортов топлива, стоимость его (в Германии до войны), расход теплоты и степень ее использования для разных двигателей (табл. 7-я) дадут материал для подобных упражнений. При пользовании этой таблицей следует прежде всего помнить, что теплопроизводительность для твердого и жидкого топлива дается в б. кал. на 1 кгр., а для годового (три последних строчки)—в б. кал. на 1 куб. мт. Затем, последний столбец получен из предыдущего следующим образом: „1 эффективный силочас" означает полезную (окончательную) единицу работы двигателя, соответствующую работе 1 лош. силы в продолжение часа, то-есть 75.3600 кгр—мт; переводя это в б. кал. (427 кгр—мт=1 б. кал.) и деля на соответствующий расход тепла, получаем степень использования тепла, то-есть часть всего израсходованного тепла, превращенную в полезную работу двигателя. Тот же метод служит для наглядного изображения ввоза и вывоза разных продуктов, землевладения, бюджета, распределения рабочих по производствам и многого другого. Когда мы останавливаемся не на распределении данной величины на категории в данный момент, а на процессе этого распределения, то удобнее этот процесс изображать особого вида диаграммой. Так, данные относительно траты энергии (в калориях) организмом человека (табл. 8-я) изобразятся диаграммой, приведенной на фиг. 2-й, для которой эти данные предварительно переведены в °/0. В виде такой же диаграммы можно изобразить расходную часть бюджета; приходная часть можетъ быть изображена на диаграмме в виде обратного процесса — составления 100 V0 из отдельных частей. Подобными диаграммами изображается обыкновенно тепловой баланс двигателей; напр. фиг. 3 и 4 служат для наглядного

Фиг. 2.

Фиг. 3. Фиг. 4.

сравнения в этом отношении паровой и газовой установок. В виде упражнений подобного рода предлагаем представить графически тепловые балансы согласно таблицам 9-й, 10-й и 11-й.

Таблица 8-я. Расход тепла человеком.

Испарение с пов. кожи..... 384 б. кал.

„ „ „ легкихъ ... 192 „ ,

Согревание........* • v 85 „ „

Удаление с мочей и калом ... б „ „

Лучеиспускание....... 1789 „ ъ

8-часовая работа........ 706 „ я

Всего. . . 3161 б. кал.

Таблица 9-я. Паровая установка в 200 лош. сил.

С выпуск, в атм.

С конденсацией.

Потери в котельной и трубопроводах .........

1750

1250

Теплота, превращ. в полез, раб.

632

632

Потери вследствие трения, лучеиспуск., теплопровод. . .

168

168

Теплота, заключ. в мят. паре .

4450

2950

Расход тепла на 1 действ. силочас..........

7000

5000

Таблица 10-я

Двигатель внутреннего сгор. в 200 лош. сил.

Газовый двигатель.

Двигатель Дизеля

Теплота, превращ. в полезн. раб.

632

632

Потери на трение, лучеиспускание и па работу воздушного насоса ........

160

200

Теплота, отданн. охлажд. воде .

800

500

Использов. тепнл. отраб. газ . .

500

320

Потер, тепл. отраб. газ . . . ,,

208

198

Расход тепла на 1 действ. сило час. .........

2300

1850

Таблица 11-я. Тепловой баланс паровой машины-компаунд в 200 индик. лош. сил.

Потеря отходящими газами, лучеиспуск. и остатками, . 18,6%

Отдано газами перегревателю пара ... ....... 8,2%

Отдано подогревателю питательной воды.....* - • Ip.&fVo

Использовано котлом.................... 64.6%

Теплота топлива. ............... 10U %

Потеря в паропроводе...............• • 2,2%

Индикаторная работа 15,2%

Теплота мятого пара................. .-• • 64,0%

Теплота свежего пара в котле............. 81,4%

Употребляются также, диаграммы в виде фипг. 5, составленной по таблице 12-й. Для сравнения предлагаем в таном же виде составить диаграмму но таблице 13-й, относящейся к установке, в которой для отопления пользуются свежим паром, между тем как в предыдущей установке для этого употребляется мятый. Предлагаем еще для диаграммы следующие сведения:

При перегонке нефти получаются по данным „Т-во Бр. Нобель" следующие количества продуктов: бензина 0,37%, газолина 1,7%, метеора 1,18%, керосина 31,58%, пиронафта 1,8(5%, мазута 62%; потери при перегонке 1,31%. При дальнейшей пере-

гонке 1,31%. При дальнейшей перегонке мазута получается: соляровых масел 18,56%, веретенных 4,47%, машинных 14,96%, цилиндровых 0,4%, нигрола и вискозина 1,15%, гудрона 21,46%, потерн при перегонке 1%.

При ознакомлении с астрономическими сведениями полезно дать наглядное представление об относительных размерах и расстояниях космических тел, напр. принять горошину за землю и представить размеры и положения луны, солнца, других планет и ближайших звезд; громадность этих размеров и расстояний особенно поразит, когда выяснится недостаточность не только листа бумаги, комнаты, но понадобится выйти за черту города, государства и, может быть, даже за пределы земных расстояний. С этими расстояниями любопытно также сравнить общую длину ж.-д. сети, сети телеграфной или что-нибудь еще из произведений человеческого труда.

Для демонстрации двух рядов переменных величин, изменяющихся параллельно, то-есть для ознакомления с функциональной зависимостью и ее графическим изображением, можно воспользоваться весьма многочисленными данными из различных областей знания и жизни. Начну хотя бы с изменяющегося состава пищи сообразно возрасту согласно приведенной уже выше таблице 5-й. Возрасты следует отметить точками, отстоящими от начала (нуля) на расстояниях, пропорциональных указанным временам, а на перпендикулярах, восставленных в этих точках, отложить последовательно указанные абсолютные величины; вместо абсолютных величин можно отложить относительные в %, принимая за 100% сумму всех трех величин для каждого возраста отдельно, следовательно принимая общую длину перпендикуляра одинаковой для всех возрастов. Крайние точки перпендикуляров соединяем на глаз непрерывной линией. Другим примером может служить рост населения и разделение его на городское и сельское; для Франции соответствующие данные приведены в табл. 14-й. Построив по ней три диаграммы, отдельно или совместно (то-есть при одних и тех же осях), можно построить двоякого рода производные диаграммы: или находя в %% ежегодный (средний за 5 летний промежуток) прирост населения, или находя %-ное отношение городского (и сельского) населения ко всему населению Франции в данном году. Любопытно также нанести на одну диаграмму кривые роста населения в крупнейших городах Европы (табл. 15-я) и других частей света (табл. 16-я). Развитие ж.-д. сети в России дано таблицей 17-й, указывающей число вновь

Фиг. 5.

открытых дорог в каждом году. По этой таблице можно составить: а) диаграмму увеличения длины всей сети, Ь) °/0-ное увеличение сети для каждого года по отношению к уже построенной сети. Интересно найти также отношение длины сети к количеству населения и к площади государства, а, пользуясь данными по эксплуатации, вычислить (в °/0) отношение пассажиров ко всему населению, число пассажироверст, пудоверст (для товарного движения) и так далее. Некоторые сведения по этим вопросам можно найти в статье „Железные дороги" словаря Брокгауза. Там же имеется сводная таблица развития железных дорог во всех государствах, данные которой хорошо нанести на одну диаграмму. Подобные же вопросы могут быть поставлены и относительно почты, телеграфа, телефона; хорошо пользоваться при этом местными сведениями. Численный состав учащихся в школе по возрасту и другим группам (кроме групп „неудовлетворительных", „опаздывающих" и „манкирующих"), общие расходы, расходы на одного ученика и др. могут быть изображены в виде стенных диаграмм в большом масштабе для наглядного представления о жизни школы. Для сравнения желательно приводить соответствую-

Таблица 14-я. Население Франции.

ГОДЫ:

Сельское.

Городское.

1846

26.754

8.647

1851

26.648

9.135

1856

26.245

9.845

1861

26.597

10.790

1866

26.472

11.595

1872

24.868

11.235

1876

24.928

11.977

1881

24.576

13.097

1886

24.452

13.767

1891

24.032

14.311

Население ЛОНДОНА в тысячах.

Население ПАРИЖА, в тысячах.

Население БЕРЛИНА в тысячах.

Население ВЕНЫ в тысячах.

Население ПЕТЕРБУРГА в тысячах.

Население МОСКВЫ в тысячах.

Таблица 16-я.

ГОДЫ:

Нью-1орк.

Чикаго.

Филадельф.

Сидней.

Питтсбургъ

1800

63

0

81

2,5

1,6

1850

661

30

409

54

68

1890

2741

1100

1047

383

344

Таблица 17-я.

1838 —

25

1861-

- 463

1872-

- 508

1883-

622

1894-

-1825

1845—

110

1862-

-1117

1873-

1958

1884—

824

1895-

-1886

1846 —

126

1863-

- 197

1874-

1745

1885-

1002

1896-

-2195

1847—

83

1864—

- 90

1875-

• 786

1886—

467

1897-

-1591

1848-

13

1865-

- 219

1876—

521

1887—

859

1898-

-2896

1850-

111

1866-

- 670

1877-

1055

1888-

766

1899-

-4952

1851—

469

1867—

- 443

1878

1179

1889—

421

1900-

-2854

1853-

42

1868-

-1763

1879-

• 628

1890—

684

1901-

-3337

1857—

113

1869—

-1192

1880-

125

1891 —

123

1902-

-1236

1859—

159

1870-

•2445

1881—

• 36

1892—

453

1903-

- 739

1860—

240

1871-

-2631

1882 -

331

1893—

1693

1904-

-1251

Таблица 18-я.

ГОДЫ:

Оплата 1 раб. ч. в тысячных долях лиры.

Средняя цена 100 клгр. пшен.

ГОДЫ:

Оплата 1 раб. ч. в тысячных долях лиры.

Средняя цена 100 клгр. пшен.

1871

171

31,37

1888

242

22,17

1872

177

32,77

1889

247

23,59

1873

183

36,96

1890

253

23.29

1874

189

37,55

1891

251

25.29

1875

194

28,27

1892

250

24,81

1876

199

29,49

1893

250

21,53

1877

207

34,40

1894

252

19,22

1878

208

32,13

1895

252

20,77

1879

211

32,06

1896

254

22,56

1880

221

32,99

1897

255

26,00

1881

223

27.19

1898

258

27,01

1882

226

26,24

1899

260

25,52

1883

229

23,81

1900

260

25,70

1884

232

22.29

1901

260

26,15

1885

236

22,01

1902

263

24,90

1886

237

22,06

1903

265

24,20

1887

238

22.14

щие данные и строить диаграммы по статистике народного образования в России и за границей. Хорошей задачей может послужить определение реальной заработной платы по денежной плате и ценам на продукты, главным образом на хлеб. Движение реальной заработной платы может определяться или количеством хлеба, соответствующим в данный момент денежной плате, или числом рабочих часов, потребных для покупки определенной единицы хлеба, или, наконец, числом рабочих дней в году, нужных для покупки хлеба, потребляемого за год в какой-нибудь исторический момент. а|л. 18-я и 19-я дают материал для подобных

задач. Кстати уместно привести историю цен на хлеб в бумажной валю.ге в связи с курсом бумажных денег (см. табл. 20) и данные о понижении покупательной силы звонкой монеты в связи с добычей звонкого металла (см. табл. 21-я). Аналогично можно поставить вопрос о реальной доходности °/0% бумаг по их номинальному °/0 и курсу (для примера приводим табл. 22-ю) или о реальном %» по которому производится заем (см. табл. 23-ю). Выпуск русских займов во время настоящей войны может дать подходящий материал для этого. Для характеристики роста дороговизны во время войны приведем следующую выписку из газет этого года.

Таблица 19-я.

ПЕРИОДЫ:

Цена 1 кв. пшен.

Заработная плата в день в кв. пшен.

Таблица 20-я.

ГОДЫ:

Курс ассигн. в сер. коп.

Цена 1 и. рж. муки на ассиг.

ГОДЫ:

Курс кред. рубля на зол.

Цена 1 ц.рж. муки на . бум. деньги.

Таблица 21-я.

ГОДЫ:

Покуп. сила зв. монеты в ценах на хлеб.

Добыча зв. матал. в мил. м а .

ГОДЫ

Покуп. сила зв. мон ты к ценах на хлеб.

Добыча зв. метал, в мил. мар.

Таблица 22-я. Русские госуд. бумаги.

ВРЕМЯ:

рента.

•»V °/о заем 1905.

ь°/о заем 1908.

Таблица 23-я. Германские импер. займы.

Годы выпуска.

Номин. %

Курс.

„В первой половине 1914 года житель московской губернии мог купить пуд ржи, меру картофеля, пуд говядины, пуд сала, пуд баранины, пуд свинины, по пуду масла топленого и сливочного, ведро молока, фунт масла льняного и сотню яиц—все это за 68 руб. 79 коп.

Следующая таблица 24-я показывает стоимость перечисленных выше продуктов с 1914 г. по полугодиям".

ПОЛУГОДИЯ:

ЦЕНЫ: Руб. |К.

Степень вздорожания.

1-я пол. 1914 г. . .

68

79

1

о

69

33

1

1 „ „ 1915 г. . .

79

5

1,2

Ъ fi у> • •

97

19

1,4

1 „ „ 1916 г. . .

163

49

2,4

о

273

75

4,0

1 „ „ 1917 г. . .

483

19

6,8

805

72

11,7

Ян.-Фев. 1918 г. . .

1708

32

24,8

Полезно составлять диаграммы не по готовым уже таблицам, а по данным правилам. Напр., подоходный налог по прусскому закону 1891 года взимается на основании следующего правила: доходы ниже 900 марок не облагаются, от 900 до 1050 уплачивается 6 марок, от 1050 до 1200—9 м. и так далее вплоть до 10500 м., а затем от 10500 до 30500 м. на каждые 1000 м. взимается по 30 м. „ 30500 „ 32000 „ „ „ 1500 „ „ 60 „

„ 32000 „ 78000 „ „ „ 2000 „ , 80 „

- ъ 78000 , 100000 „ ъ 2000 „- ; * НО „

„ 100000 „ 105000 в однообразной цифре 4000 „

„ 105000 и выше на каждые 5000 дополнительно 200 „

Сравнить с этими ставками ставки нашего подоходного налога, вычисляя % обложения при равных доходах! Другой пример подобного рода дает квартирный налог нынешнего года в Москве согласно последнему распоряжению Советской власти:

Кварт, с наемн. платой 1080—1.999 безъ отопл. и 1.620—2.999 с отопл. облаг. въ разм. 8%,

„ 2.000—2999 „ 3.000—4.499 „ л 12%

„ 3.000—3.799 „ 4.500-5 609 , „ 16%,

3 800 и выгае „ 5.700 и выше „ „ 20°/0.

Таким же способом могут быть составлены графики такси на почтовые и телеграфные отправления, закон простых и сложны! процентов, прибавки к жалованью вследствие дороговизны и др.

В виде особой задачи укажу на изображение при помощи диаграммы распределение населения по полу и возрасту на основании табл. 25-й. Задача может быть поставлена так. Примем обшее количество населения за 10.000 человек; вычислим, сколько из них мужчин и сколько женщин (всех возрастов); затем, узнаем распределение мужчин и женщин по возрасту (отдельно); полученные числа изобразим площадями прямоугольников с равными основаниями. Наконец, прямоугольники, относящиеся к разным

Таблица 25-я.

Рапределение населения в Евр. России по полу и возрасту.

Возрастные группы.

На 100 0 мужчин приходится.

На 10000 женщин приходится.

На 100 мужчин приходится женщ.

0— 5

1266

1219

98,0

5—10

1103

1066

99,1

10—15

1008

969

98,6

15-20

940

932

102,7

20—25

859

884

105,6

25—30

734

738

104,0

30-40

1312

1320

104,3

40—50

1087

1098

103,3

50-60

829

862

106,3

60-70

564

585

108,3

70-80

241

258

110,1

80 и более.

60

69

121,9

возрастам, но только к мужчинам, расположим рядом, основаниями на одной прямой, а над ними—по соответствующим же возрастам прямоугольники, относящиеся к женщинам.

Возьмем теперь пример из области биологии. Кэтлэ в своей „Социальной физике" приводит следующие данные относительно роста и веса человека в разное время его жизни, сведенные в таблицу 26-ю. Нанести эти данные на чертеж, а также составить

Таблица 26-я. Рост и вес человека в разном возрасте.

ВОЗРАСТ:

Мужчина.

Женщина.

Рост.

Вес.

Рост.

Вес.

Новорожд.

0,500

3,20

0490

2,91

1 года.

0,698

9,45

0,690

8,79

2

0,791

11,34

0,781

10,67

3

0*64

12,47

0,852

11,79

4

0,928

14,23

0,915

13,00

5

0,988

15,77

0,974

14,36

6

1,047

17,24

1,031

16,00

7

1,105

19,10

1,086

17.54

8

1,162

20,76

1,141

19.08

9

1,219

22,65

1,195

21,36

10

1,275

24,52

1,248

21,58

11

1,330

27,10

1,299

25,65

12

1,385

29,82

1,353

29,82

13

1,439

34.38

1,403

32,94

14

1,493

38.76

1,453

36,70

15

1,546

43,62

1,499

40,37

16

1,594

49.67

1,535

43,57

17

1,634

52,85

1,555

47,31

18

1,658

57.85

1.564

51,03

20

1,674

60,06

1.572

52,28

25

1.680

62,93

1.577

53,28

30

1.684

63,65

1,579

54,33

40

1,684

63,67

1,579

55,23

50

1 674

63,46

1,536

56,16

60

1,639

61.94

1,516

54,30

70

1,623

59,52

1.514

51,51

80

1,613

57,83

1.506

49,37

90

1,613

57,83

1,505

49,34

график веса в функции роста—представляет прекрасное школьное упражнение, тем более, что Кэтлэ дает и формулу для вычисления роста по возрасту, а именно:

или упрощенную

здесь a?—возраст, *y — соответствующий рост,. T— наибольший, * —наименьший рост, а — постоянный коэффициент, равный для Брюсселя 0,0545 (для мужчин) и 0,0521 (для женщин). Эти уравнения рекомендуется построить, вычисляя у для каждого заданного и нанести на тот же чертеж Относительно веса, как функций роста, следует отметить ожидаемую функцию —кубическую (по закону подобия); по Кэтле эта функция близка к квадратной (попробовать подобрать подходящий дробный коэффициент, взявши логарифмы обоих величин!) Измерения школьников дадут богатый материал для сравнения; каждый может составить свою собственную кривую роста и веса; можно отмечать наибольшие и наименьшие

Таблица 27-я.

Колебания в росте взрослых людей.

ГРУППЫ по РОСТУ.

Число лиц в кажд. тр.

На 1000 чел. приходится.

По наблюд.

По вычисл.

1,397 и ниже

4

1

2

1,422 до 1.397

1

1,448 — 1,422

3

1,473 — 1,448

7

1,499 — 1,473

6

1,524 — 1,499

10

1,549 — 1 524

15

1

3

1,575 — 1,549

50

2

9

1,600 — 1,575

526

20

21

1,626 — 1,600

1237

48

42

1,651 — 1,626

1947

75

72

1,676 — 1,651

3019

117

107

1,702 — 1,676

3475

134

137

1,727 — 1,702

4054

157

153

1,753 — 1,727

3631

140

146

1,778 — 1,753

3133

121

121

1,803 — 1,778

2075

80

86

1,829 — 1,803

1485

57

53

1,854 - 1,829

680

26

26

1,880 — 1,854

343

13

13

1,905 - 1,880

118

5

5

1,930 — 1,905

42

2

2

1,956 — 1,930

9

1

0

1,981 - 1,956

1

2,007 - 1,9*1

2

величины для данного возраста и, наконец, попытаться выяснить связь роста и веса в одном и том же возрасте, сравнивая цифры, полученные для разных индивидуумов этого возраста; для зрелого возраста Кэтлэ дает пропорциональность веса 2 72*й степени роста. Этот же материал дает возможность установить связь между числом определенных уклонений от средней величины и самыми уклонениями; тот же Кетлэ дает, между прочим, следующую таблицу (табл. 27-я) наблюдений и вычислений; последние сделаны на основании теории вероятностей; вдаваться в большие подробности мы здесь не имеем возможности. Приведем еще таблицу относит, веса мозга женщины по возрастам, при чем вес мозга новорожденного принят за 1 (см. табл. 28-я).

Таблица 28-я. Вес женского мозга.

Новорожд.

1

1 года.

2,38

2

2,53

з я

2,57

4 „

2,89

5 лет.

3,12

10 „

3,33

15 „

3,11

24-25 „

3,10

Каждый школьник может составить себе таже свою температурную кривую за день (нося в кармане постоянно обыкновенный термометр и наблюдая его показания через равные промежутки времени, напр., через каждые 1/2 часа); кривые температуры воздуха и атмосферного давления за год составляются совместно всеми учащимися; по ним можно определять средние величины для того или иного времени дня, месячные и по временам года, и сравнить полученные результаты с данными метеорологических станций. При вычислении средних величин надо иметь в виду, что брать средние арифметические можно лишь в случае отсчетов через равные интервалы и притом достаточно малые; вообще же средней величиной будет высота прямоугольника, равновеликого фигуре, ограниченной осью абсцисс, кривой и

крайними ординатами, и имеющего основанием основание той же фигуры.

Приведу еще таблицу восхода и захода солнца (табл. 29-я) для Петрограда в 1917 году, по которой можно составить диаг-

Таблица 29-я.

ЧИСЛА:

Восход.

Заход.

ЧИСЛА:

Восход.

Заход.

Января.

1

8-49

3—30

Июля.

10

3-21

8-52

я

11

8—32

3-53

я

20

3-44

8-29

я

21

8-11

j 4—19

30

4—09

8-03

я

31

7-46

.4—45

Августа.

9

4—34

7—35

Февраля.

10

7-19

5-10

•л

19

4—57

7-06

я

20

6—51

5-36

я

29

5—21

6-36

Марта. .

2

6—21

6—00

Сентября

8

5—46

6-05

Я

12

5-51

6—24

я

18

6—07

5-36

я

22

5—21

6—48

я

28

6—31

5-06

Апреля .

1

4—51

7-12

я .

11

4-22

7—37

Октября.

8

6-55

4—38

Я

21

3—55

8—02

я

18

7-20

4—10

Мая .

1

3-29

8—25

я

28

7—45

3—45

я

11

3-07

8—48

Ноября .

1

8—10

3-24

я

21

2—51

9-07

я

17

8-32

3-08

Я

31

2—41

9-20

я

27

8-49

2-58

Июня .

10

2—39

9—25

Декабря.

7

8-59

2-56

. : Я '

20

2—47 1

9—20

г,

17

9-02

3-03

'г,

зо !

3-01

9—10

я

27

8-56

3—19

рамму и наглядно проследить изменение величины дня и ночи. В астрономическом календаре даются таблицы поправок для вычисления этих величин на других широтах. Там же имеются склонения и прямые восхождения солнца изо дня в день, по которым можно проследить видимое движение солнца (годовое) по небесному своду.

Таблица 30-я.

Насыщенный пар.

Перегретый пар 30е С.

Эффективная мощность в л. с . .

291

252

198 146

95

0

293

247

199

146

98

Расх.пара на 1 эфф. силочас в кгр. .

6,54

6,21

6,06 6,06

6,58

5,22

5,05

4,94

4,98

5,26

Таблица 31-я.

Эффективная мощность в л. с.

442

373

310

247

-188

131

77

Расход пара на 1 эфф. силочас в кгр.........

7,17

7,46

7,75

8,14

8,67

9,55

11,22

Таблица 32-я.

Эффективная мощность в л. с. .

54,6

100,9

102,2

146,3

197,9

237,9

Полный коэфф. пол. действия в %

23,2

29,6

30,2

32,7

34,2

33,4

В качестве экспериментальных данных приведем еще ряд таблиц из области техники и физики. Табл. 30-ая относится к пешневой паровой машине нормальной мощности 250 лош. сил, табл. 31-я—к паровой турбине мощности 442 лош. сил и табл. 32-ая к двигателю Дизеля в 200 лош. сил. Во всех примерах следует для сравнения выразить мощность при испытании в % нормаьлной. Данные табл. 33-ей использованы для диаграммы, изображенной на фиг. 6-й; (см. стр. 33); табл. 34-я дает материал для построения подобных же диаграмм (относится к той -же машине).

Таблица 33-я.

Тепловой баланс паровой машины -комппунд с использованием промежуточного и мятого пара для отопления.

1. Полная нагрузка машины.

1.

Индикат. раб. в л. с.....

1085

1105

1097

1106

1100

1084

1075

2.

Подведенное к машине количество тепла в кал. на 1 силочас .

4340

4400

4530

4640

4820

50805430

3.

Промежуточный расход пара в % всего расхода .......

0

2,12

10,35

17,9

27,4

34,8

46,0

4.

Промежут. отвод тепла в тысяч, кал. в час........

0

94

471

844

1335

17602465

5.

Колич. тепла в мятом паре в тыс. кал. в час......

3920

3830

3630

2860

2570

35003230

Таблица 34-я. 2. 3/4"я нагрузка. 3. г/2-я нагрузка 4. 1/4-я нагрузка.

Для предварительного приближенного расчета паровых машин служит формула N=0,0001 kFc, в кот. N{—индикаторная мощность в лош. сил, к—коэффициент, вычисленный теоретически по давлению впуска, вредному пространству и наполнению, F— площадь поршня в cm* и с—средняя скорость поршня Bmt/sect Результаты вычисления коэффициентов к для машины компаунд с конденсацией даны в табл. 35-й 1р—давление впуска). На основании этих данных можно изобразить графически % увеличение мощности машины при увеличении наполнения.

Таблица 35-я.

Наполнение.

р=4

р=5

р=6

р=6,5

р=7

р=8

р=9

0,04

79

98

108

119

140

162

0,05

73

95

119

130

142

166

1-92

0,07

98

127

155

170

184

215

247

0,10

131

168

205

223

241

281

320

0,125

156

199

242

263

284

330

375

0,15

178

227

275

299

32а

373

425

0,20

218

276

333

361

389

449

510

0,25

251

Из физических таблиц приведем таблицу плотности воды (табл. 36-я) и таблицу насыщенного пара (табл. 37-я). Соб-

Таб. 36-я.

Таб. 37-я.

Таб. 38-я.

ственные опыты учащихся дадут другие таблицы, напр. удельный вес раствора поваренной соли, серной кислоты, спирта и др. Параллельно с результатами опытов желательно составлять таблицы на основании физических законов, выраженных уравнениями, напр. закон трения, равномерного и ускоренного движения закон расширения от теплоты, закон Бойля-Мариотта, закон фокусного расстояния в зеркалах и линзах и т. д. Оба графика (эмпирический и теоретический) относят к одним и тем же осям для сравнения. Приведем еще табл. 38-ю, заключающую результаты опытов Wilhelmy над превращением тростникового сахара (в растворе) в декстрозу и левулезу. Угол вращения плоскости поляризации характеризует концентрацию сахарного раствора; последняя может быть принята пропорциональной разности соответствующего угла вращ. и последнего угла, т.-е. к каждому углу следует прибавлять 18,70° и вычислять отношение начальной концентрации к концентрации в данный момент. Химия дает для течения реакции формулу c0jc=e-k\ где с0— начальная концентрация, с — концентрация через время t, а к -пост, коэфф., равный в нашем случае, 0,0031. График наглядно покажет степень уклонения действительного течения реакции от закона, выражаемого этой формулой.

График, вычерченный на основании таблицы, часто своим внешним видом так напоминает какую-нибудь известную кривую, что позволяет прямо таблицу заменить формулой. Поэтому весьма важно быть знакомым с графиками простых элементарных функций: линейной, квадратной и др. Изучение более сложных функций, напр. целых алгебраических, дробных, содержащих радикалы, показательной, лагарифмической и тригонометрических, следует сопровождать построением их графиков, которые помогают запомнить важнейшие свойства этих функций.

В связи с графиками ступеньчатыми, ломаными или плавными полезно поставить вопрос о непрерывности физической и математической,—вопрос, которого мы, однако, здесь разбирать не станем. Вопрос об использовании графиков в целях решения определенных задач мы откладываем до следующей главы, а теперь упомянем о полярных графиках, употребляемых значительно реже Декартовых, которыми мы до сих пор пользовались. Полярные диаграммы удобны там, где какая-нибудь величина меняется в зависимости от направления, напр. свойства анизотронных (неоднородных) тел. Эллипс инерции, дающий обратные величины моментов инерции данной фигуры относительно осей, проходящих через ее центр тяжести, представляет пример полярного графика. В электротехнике строится полярная диаграмма распределения силы света дуговой лампы в разных направлениях; по этой диа-

Фиг. 6.

грамме определяют среднюю полусферическую силу света лампы аналогично средним величинам в Декартовых координатах, т.-е. по площади. К полярным диаграммам следует отнести и индикатриссу Dupin'a, определяющую, как известно, кривизну нормального сечения поверхности в данной точке в зависимости от положения плоскости сечения. Некоторые полярные графики будут приведены в главе графических расчетов. О годографах, или векториальных графиках, имеющих также вид полярных диаграмм, будет итти речь в своем месте.

Теперь рассмотрим еще один вид наглядного представления функций, именно функции места, или, что одно и то же, функций двух независимых переменных, так как „место" на поверхности, то-есть точка, определяется двумя ее координатами. Простейшим примером могут служить отметки высот на планах и картах. Естественным является соединить точки с равными отметками при помощи непрерывных кривых (обычно такая непрерывность соответствует действительности), так называемых горизонталей. Привычному глазу такой план или карта дает полное представление о рельефе. С такою же целью дать наглядное представление о распределении температуры, осадков и пр. на земной поверхности составляют метеорологические картограммы. Построение линий равного потенциала какого-нибудь силового поля (плоского) дает еще ряд упражнений подобного характера. Распределение скоростей в поперечном сечении текущей жидкости (в трубе, канале, реке) также обыкновенно изображают кривыми равных скоростей. Напряжение материала тоже обыкновенно не бывает одинаково по всей площади сечения, и в некоторых сложных случаях, напр. в звеньях растянутой цепи, определяют кривые распределения напряжений для нахождения наибольшей величины.

Полную аналогию с такими семействами кривых представляет семейство изотерм, нанесенных в координатах р и v (давления и удельного об'ема) для газов или паров. Каждая точка такой диаграммы, как известно определяет состояние газа или пара (а также смеси насыщенного пара с жидкостью, или, как говорят, мокрого насыщенного пара); хотя для определения состояния и требуется знание трех величин р, v и t9 но в данном случае эти три величины связаны характеристическим уравнением; система нанесенных изотерм позволяет определять по двум из этих величин третью помимо характеристического уравнения.

В некоторых случаях по известному распределению переменной величины на данной площади требуется определить среднее значение этой величины в пределах определенной части площади. Это среднее значение может быть определено, как среднее арифметическое нескольких значений функции, лишь тогда, когда испытуемая площадь делится на равные площадки, притом достаточно малой величины каждая и такой формы, что в пределах одной элементарной площадки функцию можно считать постоянной и равной значению ее в центре площадки (термин „центр" не имеет здесь точного геометрического значения, это—просто точка.

приблизительно равно отстоящая от периферии площадки), точное значение средней величины получим, если в каждой точке плоскости вообразим восставленным перпендикуляр, пропорциональный значению функции в этом месте, вычислим об'ем полученного тела и разделим его на площадь основания. Подобно тому, как при определении среднего значения функции одного переменного в данном интервале мы подходим к понятию о простом интеграле и его наглядном представлении в виде площади, так и здесь можно подойти к понятию о двойном интеграле и его геометрической интерпретации в виде об'ема. По системе горизонталей таким путем можно с достаточной точностью вычислить об'ем, соответствующий контуру на поверхности земли и плоскости отсчета высот, напр. об'ем горы, об'ем воды в пруде, озере и пр. По распределению скоростей воды в данном сечении таким же способом может быть вычислен расход, то-есть, полный об'ем воды, протекающий в 1 сек. через данное сечение, и средняя скорость в данном сечении, то-есть постоянная во всем сечеяии скорость, дающая тот же расход.

Но может быть поставлена и обратная задача, а именно—могут быть заданы средние значения функции, отнесенные к определенным площадям, напр. средняя плотность населения в той или иной области, ограниченной данным контуром, сбор тех или иных хлебов, среднее давление на данную площадь, средняя плотность электричества на поверхности проводника, напряжение материала и так далее. На картах эти средние величины изображаются, обыкновенно, в виде более или менее густых штриховок, большей или меньшей густотой краски. Полезно давать в школе упражнения на составление таких картограмм. Разделяя большие области на более мелкие, напр. части света на государства, государства на провинции, губернии на уезды, выделяя некоторые территории особой густоты населения (города), можем подойти довольно близко к тому, что будем нашу среднюю величину относить не к площади, а к точке, то-есть будем говорить о значении фукции в точке-городе; конечно, для плотности населения мы не можем пойти как угодно далеко, стремясь в пределе к математической точке—самый город, изображаемый на карте точкой, имеет не только конечную площадь, но делится еще на округа с большей или меньшей густотой населения (данные для Москвы приведены в табл. 39-ой можно прибавить еще, что в Москве есть владения, где на площади в 600 кв. саж. живут до 400 и более человек). В других случаях, именно в случаях физически-непрерывных величин, можно дойти до практического предела g-^, где Д.Р—некоторая физическая величина, соответствующая всей площади Д5, напр. полное давление (сила) на эту площадь, или полное количество электричества, находящееся на этой площади, в этих случаях мы определяем новую функцию места (точки), как производную F по площади 8. Конечно, мы и здесь не имеем математической непрерывности в силу кинетической теории материи и электричества, но переход к последней

уже встречает меньше трудностей в смысле получения представления о существовании известного предела.

Наконец, на подобие того, как по графику функции одной переменной мы составляем график изменения этой функции, и тем подходим к понятию производной, мы можем проследить за изменением функции места в зависимости от движения определяющей точки по какому-нибудь направлению и подойти таким образом к понятию частной производной по данному направлению и к понятию полного диференциала.

Таблица 39-я.

РАЙОН:

Площадь в кв. саж.

Жителей тысяч.

Центр (внутри бульв.). • • •

1295

148,5

Между бульв. и Садовой . .

1584

214,8

Замоскворечье .......

3408

220,1

Между Садовой и границ. .

13800

815,4

Пригороды.........

19000

218,3

Приводя в этой главе некоторый материал для школьных упражнений, нам хочется уже теперь сказать учителю, что этим материалом нельзя ограничиться, и что нужно искать его везде— непосредственно в школьной жизни, в жизни родного города, обращаться за справками в разные учреждения, местные и иногородние, пользоваться в широкой мере справочниками, статистическими сборниками, календарями, газетами, журналами, энциклопедическими словарями и некоторыми пособиями, в которых можно найти большие подробности. Из таких пособий можем рекомендовать: Перри — Практическая математика; Бем, Волков и Струве—Сборник задач по алгебре, а также те, которыми мы пользовались при составлении настоящей главы:

Энциклопедический Словарь Брокгауза и Ефрона, статьи: „Россия"-, „Население", „Рождаемость", „Смертность", „Пищевое довольствие", „Железные дороги", „Кредит" и др.

„Hütte", Справочная книга—содержит большое количество физических и технических таблиц.

Русский астрономический календарь.

„Современное хозяйство Москвы"—содержит данные до 1912 г. для города и его предприятий.

В. А. Александров. Наглядный электротехнический задачник—заключает много схем электрических установок.

Ден. Очерки по экономической географии: ч. I Сельское хозяйство—таблицы сельскохозяйственного производства для России и Европы.

Дементьев. Фабрика, что она дает населению и что она у него берет. Богатый материал по фабричнозаводскому производству и рабочему населению.

Туган-Барановский. Русская фабрика.—Обзор исторического развития русской фабрично-заводской промышленности; много таблиц.

Его же. Статистические итоги промышленного развития России.

И. М. Кулишер. Очерки по истории экономического быта Западной Европы. Таблиц нет, но по всей книге разбросано много интересных данных. Вообще—книга интересная и ценная по ясности и простоте изложения.

П. Н. Милюков. Очерки по истории русской культуры, 3 части. Очень рекомендуем это сочинение учителю. Т часть седержит статистический материал по экономической истории России, таблицы, картограммы.

Роджерс. История труда и заработной платы.

„Положение рабочего класса", изд. Глаголева (сборник статей).

Вебер. Рост городов в XIX столетии. Очень много ценных таблиц населения.

Проф. Озеров. Основы финансовой науки. Данные по бюджету.

Кэтлэ. Социальная физика. Книга хотя несколько устарела, но ценна, как родоначальница статистических исследований, по постановке вопросов.

Ранке. Человек, 2 тома. Содержит сведения относительно состава человеческого тела, его размеров, веса, расхода тепла, нищи и пр.

Рамзин. Топливоснабжение города Москвы. Указания относительно роста цен за последние годы, привоза потребления топлива и продовольствия, температуры, стоимости освещения и др.

Оствальд. Основы физической химии. Рекомендуем эту весьма ценную, хотя и несколько трудную книгу.

Лассар—Кон. Химия в обыденной жизни. Очень интересное и доступное изложение; содержит данные относительно состава пищи и других предметов потребления и химического производства.

Россе. Современные силовые установки.

Барт. Выбор двигателя.

„Новые идеи в технике", сборник № 2.

Указанные три книги содержат богатый материал о топливе и эксплуатации двигателей.

Атлантикус. Государство будущего. Подробно разработанный план организации производства и потребления в социалистическом обществе. Очень хорошо было бы заняться иллюстрированием этой книги при помощи диаграмм или составить что-нибудь подобное, считаясь с современными условиями (книга написана в 90-х годах):

П. А. Кропоткин. „Хлеб и воля", и его же: „Поля, фабрики и мастерские". Указания относительно производства в свободно-коммунистическом обществе. Интересно сравнить с предыдущей книгей.

Руководство по товароведению, сост. преподав, практ. акад. коммерч. наук, под ред. Никитинского и Петрова, тт. I — III, Москва 1914—17.

Нужно ли еще прибавлять, что из графического метода не следует делать особого ..предмета", но даже и не связывать его непременно и только с обучением математике, а пользоваться им всегда, когда речь зайдет о самых явлениях, дающих материал для диаграмм и графиков, не навязывая искусственно учащимся содержания, в данный момент их не интересующего: один и тот же вопрос в разное время может быть то интересным, то скучным. Вычисления, сопутствующие построению диаграмм и графиков, с успехом могут вестись на началах кооперации, то-есть однородные выкладки съ разными числами ведутся разными детьми или группами, а результаты потом должны быть сверены; такая коллективная работа сократит до minimum'a скучную часть задачи, оживит ее и позволит скорее получить окончательный результат и перейти к другим работам.

Проект программы по методике математики для учительских семинарий,

выработанный И. К. Андроновым.

Доклад, читанный в математической подсекции С'езда по подготовке учителей 18 августа 1918 г.

I. Анализ современной действительной постановки математики в школе.

С этого вопроса должно начаться изучение методики математики, так как I) прежде чем изучать и строить идеальное, новое, лучшее—необходимо изучить и просмотреть реальное, старое, то, что вылилось в результате большой коллективной педагогической работы; 2) этим самым установится преемственность работы, которая необходима при всякой новой культурной постройке; 3) это рассмотрение постановки математики в школе послужит тем берегом, от котораго молодые учителя поплывут в новую неведомую страну, т.-е. на основании критического рассмотрения современной постановки математики будут строить новую методику изучения математики; 4) здесь особенно много возможно сделать самостоятельных работ—в виде рефератов и конференций, тем

более - это совпадает с началом учебнаго года, а следовательно и с первым посещением школы, как образцовой при семинарии, так и других.

В результате изучения этого вопроса—должны получиться ответы па вопросы:

I) что изучают в школе по-математике; 2) как изучают математику в школе; 3) что достигают этим изучением; 4) установление положительных и отрицательных сторон преподавания математики в школе.

Многим покажется странным—неужели сразу, не изучив методики, воспитанники могут ответить на эти вопросы и в особенности па вопрос четвертый. Да, ответы эти не будут конечными; это ответы—предположения па основании первых наблюдений. Только поднявшись па первую ступень воспитанники смогут итти дальше и снова, поставив эти вопросы, ответить на них. Не так ли развивалась и сама методика?

II. Методология математики и отдельных ея дисциплин: арифметики, геометрии и алгебры.

После изучения первой проблемы у учащихся встали вопросы — о содержании, последовательности, методах и целях изучения математики в школе. Естественно перейти к вопросу о строении математики науки вообще п отдельных ее дисциплин—арифметики, геометрии и алгебры, так как 1) это даст понятие о содержании, последовательности, методах и целях математики науки, осветив их свечею логики и гносеологии,—что создаст цельное мировоззрение на предмет математики у учащихся; 2) методология углубит понимание математических процессов; 3) только после -того, когда учитель получит солидное математически-философское образование, можно надеяться на самостоятельную творческую методическую работу учителя.

В результате изучения этого вопроса будут разсмотрены следующие вопросы:

1. Сущность математики, ценность ее, отношение к другим наукам. Математика и философия. Математика и естествознание. Научные методы выработки понятий, открытия и изложения. Синтез и анализ. Индукция и дедукция. Аналогия. Определения и их роль. Аксиомы, происхождение их и их роль. Теоремы и их классификация. Логическая сторона доказательства. Научная система, как конечное условие вывода. Критика основоначал математики. Интуиция и логика в математике.

2. Предмет и метод арифметики. Число. Возникновение числа. Система чисел. Арифметические действия и их законы. Эволюция числа. Идея прямых pi обратных действий. Теоремы и правила в арифметике, их роль. Строение задачи. Методы решения задач.

3. Предмет и методы геометрии. Основные начальные понятия геометрические: точка, линия, поверхность, тело. Происхождение производных понятий (отрезки и углы, круг, треугольники

и др. фигур). Происхождение теорем. Геометрические свойства: перепндикулярность, параллельность, равенство и неравенство, конгруэнтность, равновеликость, подобие, симметрия. Измерительные геометрические величины: длина, угол, площадь и об'ем геометрических фигур.

Определения, аксиомы, теоремы и доказательство теорем в геометрии. Задачи на построение и вычисление. Методы их решения.

4. Предмет и метод алгебры. Символизм. Эволюция числа. Цели создания относительных чисел. Действие и его законы. Теория иррационального числа. Теория алгебраических преобразований. Уравнение, как центральный вопрос алгебры. Теория функций. Приближенные вычисления в алгебре. Таблицы и графики в алгебре.

Метод прохождения этого отдела смешанный—беседы учителя с воспитанниками, рефераты воспитанников и лабораторные занятия по построению схематических таблиц приводящих в систему методологические знания.

III. Критико-исторический очерк методических идей по математике.

После уяснения строения и обоснования математических процессов можно приступить к рассмотрению методики математики, т.-е. к рассмотрению содержания, последовательности, методам и целям изучения математики в школе. Самый лучший метод для разрешения этого вопроса — будет генетически-исторический метод, так как

1) этот сложный вопрос разрешить одному лицу слишком ответственно, особенно в теперешнее время, когда реформируется все математическое образование; 2) нормальный метод изучения всякаго вопроса, по которому идет ученый в своих работах, есть метод генетический; 3) чтобы учитель стал творцом, ему необходимо видеть целую сеть возможных путей; изучение одного пути не дает движения мысли; 4) это даст возможность сознательна и критически относиться к преподаванию.

Здесь примерно будут разсмотрены следующие направления:

I. Методика арифметики.

Догматически-механическое направл. Магницкий. Стрельцов.

Элементарное направление. Песталоцци.

Монографическое направление. Грубе. Евтушевский.

Счетно-логическое направление. Генчель. Гурьев. Гольденберг. Житков. Егоров. Беллюстин. Аржеников.

Интуитивное направление. Лай.

Интуитивно-счетное направление. Волковский

Гербартовское направление формальных ступеней. Штеклин.

Конкретно-индуктивное направление. Шохор-Троцкий. Лебединцев.

Лабораторное направление. Перри. Лодж. Мукалов. Глаголева. Енько. Мрочек.

Лабораторно-измерительное направление Галанин Панков.

Лабораторно-графическое направление. Томилин. Добровольский.

Лабораторно-катехизическое направление. Лексин. Творчески-комбинационное направление. Извольский. Пуанкаре.

Жизненно-естественное направление. Горбунова и Цунзер Герлах.

Трудовое-производительное направление. Питт. Дьюи. Школа города Манна.

Зенченко и Эменов. Вольберг.

Математика в играх. Струтзерс. Фребель. Тромгольт. Аменицкий.

II. Методика геометрии.

Схоластическо-логическое направление. Эвклид. Давидов. Киселев. Утушкин.

Идея пропедевтического курса. Володкевич. Трейтлейн и др.

Направление, отрицающее пропедевтический курс. Ермаков. Латышев.

Стереометрически-наглядное направление. Вулих. Косинский. Планиметрически-наглядное направление. Волков. Винеке. Дистервег.

Геодезическое направление. Фальке. Фан-дер-Флит. Чертежно-задачное направление. Шохор-Троцкий. Стереометрическо-лабораторное направление. Гертель. Трейтлейн. Лексин.

Планиметрическо-лабораторное направление. Астряб. Практическо-лабораторное направление. Лермантов. Кинематическо-лабораторное направление. Карасев. Тригонометрическое направление. Ройтман. Баранов. Интуитивно-комбинационное направление. Извольский. Фузионистическо-кинематическое направление. Слугинов. Фессенко. Кулишер. Трудовое направление. См. арифметика.

III. Методика алгебры.

Формально-систематическое направление. Давидов. Киселев. Гебель.

Задачно-преобразовательное направление. Странолюбский. Евтушевский. Розенберг.

Реформистское направление. Клейн. Меранская программа. Функционально-графическое направление.

а) последовательное расположение. Бем, Струве, Волков, Лебединцев,

в) концентрическое направление. Фридман.

При рассмотрении того или иного направления необходимо устанавливать роль руководящей идеи направления, опираясь непременно на психологические и педагогические данные. Необходимо изучать в направлении и побочные положения. Так, например, проходя „интуитивно-логическое направление" Волковскаго, необходимо отметить роль картинок в преподавании арифметики.

Для изучения этого вопроса широко применяется реферативное начало, устраиваются методические диспуты, в беседах учителем подводятся итоги этих работ и ведутся лабораторные занятия по изготовлению пособий, иллюстрирующих идеи методистов, каковые систематически расстанавливаются в методическом музее.

По желанию воспитанников эти идеи и направления проверяются и иллюстрируются на опыте в образцовой школе, при помощи дачи уроков воспитанниками и преподавателем методики.

IV. Практический индивидуальный курс методики математики.

Только после вышеозначеннаго введения строится практический курс методики математики, так как

1) теперь воспитаник знает методику современна™ преподавания, знает различные пути, предложенные многими методистами, получил методологическое образование. Только теперь зарождается вопрос — чему же в конце концов учить по математике, для чего учить математике и как учить математике; 2) необходимо привести в систему свои прежние разрозненные методические знания; 3) придав значение только первым трем главам, можно впасть в крайность—выработать верхогляда, незнающего близко школы; поэтому на построение практической методики должно быть обращено достаточное внимание. Вопросы, которые будут рассмотрены здесь, в общих чертах таковы:

Установление содержания предмета математики в школе. Роль задач в математике. Исторический элемент в математико. Внесение нового и освобождение от старого содержания. Последовательность расположения материала. Примерная программа по годам обучения. Рассмотрение существующих программ.

2) Установление целей и значение изучения математики в школе.

Формальная и материальная цель, Ценность математики для общего образования.

3) Установление методов изучения математики. Методы изучения целых и дробных чисел. Методы решения задач. Роль устных вычислений. Сокращенные вычисления. Методы изучения геометрии и начальной алгебры. Формы, способы и приемы изучения математики.

Не догматически сообщаются ответы на поставленные вопросы, не на веру принимаются те или иные методические положения, а путем беседъ, при самом ближайшем участии всех воспитанников, которые работают на основании имеющегося у них методического материала и путем психологического и педагогическаго обоснования методических положений. Нужно будет вспомнить с учащимися психологию познания (обратив особенное внимание на роль активности в познании) и дидактические выводы, пройденные ими с преподавателем педагогики; если же этот отдел у учащихся слабо проработан, то необходимо преподавателю методики его разработать.

V. Обзор учебно-задачной литературы по математике и наглядных пособий.

Теперь, когда более или менее установилось методическое миросозерцание учителей — необходимо рассмотреть и сделать классификацию средств, при помощи которых изучается математика в школе. Как безпомощен учитель, часто даже вышедший из семинарии, при выборе учебных пособий и руководств. Недаром еще и теперь издаются задачники Евтушевского, Малинина и Буренина, Бычкова и учебники Давидова, Утушкина, и мн. др. Недаром и теперь хорошие руководства часто лежат на полках в магазинах, не проникая в школу или проникая слишком слабо. Так, например, задачник Грацианскаго, Бем, Волков и Струве и учебники Извольскаго, Лебединцева и др. вышли совсем в небольшом количестве.

Поэтому необходимо обратить внимание на следующие вопросы.

Роль учебника и задачника по математике в школе Классификация учебпо-задачной литературы. Что в конце концов должно вылиться в следующую классификацию: отжившая литература, малопригодная, условно-пригодная, вредная и лучшая литература.

Вопрос об организации музея и лаборатории по математике.

Классификация наглядных пособий по математике. Естественные и искусственные пособия. Искусственные—купленные и сделанные самими учениками пособия. Зрительно-наглядные, осязательные, вычислительные пособия и т. д.

Здесь учащиеся непосредственно знакомятся с литературой и о результате в форме реферата или диспута докладывают классу. Подводя итоги вышеозначенного проекта преподавания методики математики в учительских семинариях, можно сказать, что современная постановка методики математики неудовлетворительна: обращалось больше внимания на мелочи, детали, догматически на веру изложенные, благодаря чему вырабатывались методисты ремесленники, немогущие самостоятельно строить свою работу, т.-е. творить.

Цель методики математики—выработать методическое миросозерцание, привить любовь к методическим исканиям, дать возможность в дальнейшем работать самостоятельно над методическими вопросами, выработать учителя-творца, дать возможность сознательно и критически относиться к элементам математики, методам, пособиям и литературе; приобрести навыки и уменья в технике при пробных уроках.

Вся методика должна разрабатываться при активном участии воспитаников, путем углубленной переработки в рефератах и беседах, диспутах, где несколько воспитанников, приготовившись заранее, защищают, а другие отвергают то или иное направление, идею того или иного методиста, то или иное учебно-задачное руководство, путем чтения журналов методических, а может-быть и коллективное участие в нем, а также разрабатывается путем давания уроков в школе.

Конспект пробных уроков но должен касаться деталей проведения уроков, как это принято, не должно все вылиться в вопросо-ответную форму, которой строго придерживаться, обыкновенное уроке.

В конспекте воспитанник должен указать содержание, последовательность, метод, форму и цель ведения даннаго урока, хорошо все проанализировав и обосновав с точки зрения математической, педагогической и психологической. Отступление от конспекта нельзя признавать за порок, как это принято; наоборот, вообще отступление признать желательным необходимо, так-как это показывает, что молодой учитель начинает творить.

На последующем после урока разборе особенно необходимо обращать внимание на руководящие идеи, на психологический подход к ученикам, на ошибки научные педагогические и методические и меньше—на ошибки внешнего характера.

По поводу одной теоремы элементарной геометрии.

Я. Дубнов (Москва).

В учебниках геометрии, предназначенных для средней школы, обычно содержится вывод условия, достаточного для того, чтобы в 4-угольник можно было вписать круг, в виде теоремы: „если в выпуклом 4-угольнике сумма двух противоположных сторон равна сумме двух других сторон, то в такой 4-угольник можно вписать круг". Обычное доказательство этой теоремы (см. учебники Киселева, Извольского, Глаголева и др.) содержит, на мой взгляд, существенные дефекты, которые делают его несостоятельным.

Пусть ABCJD— 4-угольник, обладающий свойством, указанным в условии теоремы—будем говорить для краткости: свойством а. При помощи биссектрис двух внутренних углов—скажем, углов А и В—строим центр окружности, которая 1) касается трех сторон 4-угольника (DA, AB, ВС соотв. в точках М, N\ Р)*), 2) лежит по ту те сторону от AB, что и 4-угольник ABCD (выпуклый.)**). Рассуждая от противного, допускаем, что сторона ВС не касается построенной окружности; тогда из точки I) можно провести вторую (кроме DM) касательную DQ (Q— точка касания). При этом à priori возможны 4 случая: 1) DQ пересекает отрезок

*) Необходимо указать—и это обычно не делается,—что одна, по крайней мере, из точек ЖиР лежит внутри соотв. отрезка AD, ВС (иначе получилось бы АВ>АР-\-АС в то время, как по условию AB+CD=AD-\-BC). Для нашего рассуждения существенно, что точка M (черт. 1) лежит внутри отрезка AB.

**) Пользуюсь случаем отметить, что наши учебники склонны вводить в условия теорем такие свойства фигур, как „выпуклость", без того, чтобы в дальнейшем доказательстве как-нибудь использовать эти свойства, при чем не апеллируют даже к связанным с ними интуитивным предствлениям. При таких обстоятельствах указанные оговорки становятся ненужным балластом, имел единственное основание в стремлении авторов к спокойствию собственной математической совести.

ВС, 2) DQ пересекает продолжение отрезка ВС за точку С, 3) DQ\\BC, 4) DQ пересекает продолжение отрезка ВС за точку В.— Главный дефект обычного доказательства и состоит в том, что ограничиваются рассмотрением первых двух случаев, игнорируя 3-й и 4-й*). Между тем последние не являются невозможными для любого 4-угольника, будучи таковыми только для 4-угольника, обладающаго свойством а. В таком случае невозможность эта подлежит доказательству, которое, повидимому, не может быть сведено к двум словам, так как должно существенно апеллировать к свойству а. Так напр., случай 3, изображенный на черт. 1, может быть разобран след. образом: предполагая, что DQ \\ ВС, проведем прямую PQ, которая, очевидно, пройдет через центр О. Согласно условию, DM-\-MA+BP+PC=AN-\-NB-\-DC, а так как DM— DQ, MA = AN, NB = BP, то DQ-\-PC=DC, что невозможно, ибо DQ-\~PC есть проекция отрезка DC на общее направление прямых DQ и ВС**).

Подобным же образом может быть опровергнута и возможность случая 4.

Я бы не решился занять страницы этого журнала, посвященного преимущественно принципиальным вопросам, изложенными соображениями, еслибы ставил единственной целью—лишний раз показать, как тришкин кафтан гг. Киселевых, сшитый по всем правилам Эвклидовой „строгости", фатально лопается то в одном, то в другом месте. Главная цель этой статьи-на данном примере противопоставить обычному изложению, которое я назвал бы „статическим", иное „динамическое", основанное на идее движения (вариации переменного отрезка),—изложение, которое, кажется, ближе к психологии учащегося и богаче математическим содержанием. Предваряю, что последующие рассуждения никак не предназначаются для непосредственного использования учащимся, а предлагаются, как сырой материал, преподавателю.

Начнем, как обычно: строим окружность, касающуюся сторон ЗА, AB, ВС. Перенумеруем, для краткости, стороны DA, AB ВС, CD цифрами I, II, III, IV, при чем, по условию, сумма „нечетных" сторон равна сумме „четных": 1+Ш=П-{-ГУ. Посмотрим, как изменяются суммы, стоящие в обоих частях последнего равенства, когда отрезок DC (переменной длины) перемещается=себе так, что концы его D и С скользят по неподвижным прямым AD и

Черт. 1.

*) Любопытно, как обходят этот вопрос ответственные представители науки: в выдающемся учебнике Бореля-Штеккеля (Элементарная математика, т. II, русск. изд. Malhesis 1912) находим рассматриваемую теорему (стр. 84), которую „предлагается доказать самим учащимся".

**) И это рассуждение' неполно. Однако согласно цели этой статьи (см. ниже), в мои планы вовсе не входит исчерпывающее исправление обычного доказательства. Достаточно обнаружить сложный характер необходимых дополнений

ВС, при чем DC не пересекает противоположной стороны AB. В таком случае крайним положением при передвижении стороны DC против стрелки (см. черт. 2) будет AK (\\DC)*). При этом предельном положени 1) сторона I вырождается в точку, 2) стор. Ш—ВК, 3) стор. ÏY—AK; а так как АВ-\-АК>ВК, то здесь II+IV>I+III**).

Пусть теперь сторона IV движется от положения АК в направлении стрелки. Тогда 1) сторона II остается без изменения, 2) стороны I и III увеличиваются, 3) сторона IV пусть также увеличивается (по крайней мере, не уменьшается***); в дальнейшем, для простоты будем говорить только об увеличении). Итак, обе интересующие нас суммы I-f-Ш и II+IV увеличиваются. Мы знаем, что настанет момент, когда они станут равными: это произойдет, когда сторона IV в положении DfC! коснется круга (предполагается, что учащиеся уже знакомы: 1) со свойством 4-угольника, описанного около круга (прямая теорема), 2) возможностью построения касательных [|-ных любому данному направлению). Основной для нас вопрос: при неограниченном перемещении стороны IV от положения ^йГ в направл. стрелки, осуществится ли равенство 1-|-Ш= =II-fIV только однажды? Чтобы ответить на этот вопрос, присмотримся ближе к характеру изменения обоих сумм. При перемещении стороны IV из какого-нибудь положения CXDX в полож. C2D2, сумма Il-f-IV получает приращени МС2 (проводим СгМ \ \ AD)\ в то же время сумма I-f-III получает приращение jD^-f-C^ (■=СхМ+СгС2). А так как СгМ+ -\-СгС2>МС2, то сумма все

время возрастает быстрее, чем сумма II+IV****). Теперь картина изменения сумм „четной" и „нечетной" пары для нас ясна: сначала II-)-IV>I-f III; затем обе суммы увеличиваются, но вторая быстрее первой, достигая (при

Черт. 2.

*) Одна из сумм £A-{-£D и Z^+Z^ должны быть <Ы—пусть это будет первая сумма.

**) Если нежелательно говорить о стороне, обратившейся в точку, то можно, апеллируя к интуиции непрерывности, истолковать последнее неравеаство так: при достаточном приближении стороны IV к положению АК, будет II-f-IV>I+IIL

***) Пользуясь произволом в выборе трех сторон, касающихся окружности, можно всегда добиться того, чтобы стороны iD и ВС расходились (в крайн. случае—были || ) в направлении стрелки. Для этого достаточно, чтобы

***) Факт, сам по себе заслуживающий внимания ученика: если в трапеции большее основание удаляется от меньшего, то-сумма боковых сторон возрастает быстрее, чем сумма оснований.—Если учащиеся успели ознакомиться с этим фактом ранее, то рассуждение в тексте для них упрощается.

положении DfCf стороны IV) равенства с ней; при дальнейшем движении стороны IV, сумма I-j-III будет уже все время больше, чем Il-f-IV. Итак, на поставленный выше вопрос можем ответить утвердительно: равенство I-f-III=II+IV, данное в условии, возможно только тогда, когда и четвертая сторона IV касается построенной окружности. Этим теорема доказана.

Нетрудно предугадать, какие возражения могут выставить математики старой школы против приведенного рассуждения:

a) оно „не строго", апеллируя к интуиции непрерывности, говоря о вырождении стороны в точку (отрезок нулевой длины) * т. д.;

b) оно не короче и не проще обычного, даже исправленнаго необходимыми дополнениями.

На первое возражение ответим так: мы и не гонимся за пресловутой „строгостью". Для нас ценны именно эти отступления в область идей непрерывности, движения, предельного положения и т. п., имеющих опору в интуиции учащегося и являющихся основными в анализе безк.-м. Разве рассмотренное выше перемещение стороны IV из положения DtCx в Л2С2 не является подходом к той „безк.—малой вариации отрезка", которою впоследствии будем заниматься хотя бы в дифференциальной геометрии?

Здесь же заключается ответ на второе возможное возражение: конечно, можно на основе предлагаемого рассуждения (замена вращения стороны вокруг вершины—параллельным перенесением) конструировать „статическое" доказательство в старом духе, более короткое и, быть может, лучшее обычного; но мы этого сознательно не делаем. И вообще: мы вовсе не стремимся сделать школьную математику более легкой; мы только хотели бы видеть ее более богатой идеями.

Стоящее на очереди обновление методической и учебной литературы по физике*).

А. Цингер (Москва).

Реформа общеобразовательных курсов элементарной физики в направлении совершенного отрешения от пережитков схоластических традиций и создания возможно тесной, органической связи между школьной физикой и широкими областями ее применений в других отраслях естествознания, в технике и, наконец, в обыденно-житейской практике, уже давно является общепризнанным лозунгом среди физиков-педагогов.

*) Доклад, прочитанный на заседании физико-технической секции Отд. Реформы Школы 17 ноября 1918 г.

Желательность и целесообразность такого рода реформы все с большей и большей определенностью признается и у нас в России, и в Западной Европе, и в Америке,и даже в Японии*).

В настоящее время, в период пересоздания русской школы на совершенно новых началах, более чем когда-либо является возможным и нужным внести в постановку преподавания физики ту жизненность, которая необходима для того, чтобы элементы научного знания расширяли сознательность и углубляли интерес ученика в его отношении к процессам производительного труда, полагаемого в основу обучения и воспитания новых поколений.

Однако, необходимо сознаться, что лозунги проектируемой „трудовой" школы, повидимому, и для самих инициаторов реформы, а тем более для широких педагогических кругов, лишь намечают принципиальные перспективы нового школьного строя, не давая пока сколько-нибудь отчетливых очертаний практического осуществления. Тут возникает длинная вереница далеко еще невыясненных вопросов, касающихся не только детальных, но и самых существенных моментов нового уклада школьной жизни.

Конечно, эта неясность намечаемых планов может иметь и свои положительные стороны. Школа, нестесняемая узким руслом подробной регламентации, может легче проявить достаточную жизненную гибкость, необходимую для применения к особенностям местных условий, а свободной инициативе педагогов открывается безпримерно широкое поле для исканий и опытов в области новых методических и дидактических приемов.

Но, с другой стороны, неясность конкретного представления приемов педагогической работы в школе нового строя порождает совершенно естественные затруднения даже для тех деятелей школы, которые с самым искренним сочувствием относятся к общему направлению намеченной реформы.

Для быстрого и возможно более полного проведения в жизнь новыхъ принципов образования и воспитания настоятельно необходима всемерная широкая помощь работникам школы. Педагогу-физику, в виду исключительной роли его предмета в трудовой школе, такая помощь является особенно нужной.

Для ознакомления с тем, что сделано, делается и предполагается делать в целях осуществления нового школьного строя, для живого обмена мнений по всем теоретическим и практиче-

*) Наиболее обоснованную и наиболее убедительную пропаганду реформы школьной физики в указанном направлении находим мы в выпущенной несколько лет тому назад методике физики профессора чикагскаго университета Мэнна (С. R. Mann. The teaching of Physiks. New Iork. 1910).. В настоящее время по поручению Комиссариата подготовляется русский перевод этой чрезвычайно интересной книги, автор которой уже знаком русским педагогам по переведенной на русский язык учебной книге, составленной проф. Мэнном совместно с Твиссом, инспектором гимназии при Огийском университете. К сожалению переведено было первое издание учебника Мэнна и Твисса, значительно уступающее выпущенному вскоре второму изданию, совершенно заново переработанному авторами.

ским вопросам, возникающим среди текущей реформационной работы, необходимо создание периодического печатного органа, который на первое время должен получить обязательное распространение, если не среди всех учителей, то по крайней мере среди всех школ.

По многим причинам вместо основания нового периодического издания, специально посвященного преподаванию физических наук, было бы целесообразнее соответственным образом расширить программу уже начавшего выходить в свет, издаваемого Отделом Реформы Школы журнала „Математика в Школе".

Помимо периодического органа, который дал бы возможность широким педагогическим кругам быть в курсе работ по созиданию новой школы, было бы весьма своевременным дать несколько методических пособий, которые помогали бы учителю физики в разрешении тех или иных заданий трудовой школы.

В настоящее время вырабатываются приемы обучения раз-. личным видам трудового процесса; было бы весьма уместно параллельно с этим разработать вопрос об изложении элементов физики, исходя из опыта, получаемого при изучении трудовых процессов.

Вопрос об организации ученических лабораторий, имеющий даже в России свою уже двадцатилетнюю историю, до сих пор не получил еще полного практического разрешения, а рядом с ним теперь выдвигается еще новый вопрос об организации ученических мастерских для работ по физике. Физику-педагогу было бы весьма желательно иметь разработанный план работ в такой мастерской в связи с классными и лабораторными работами. Огромная педагогическая ценность таких мастерских не вызывает, конечно, ни малейшего сомнения.

Трудовой принцип выдвигает на первый план ознакомление детей и юношей с широкой областью приложений научных знаний в промышленной технике, вследствие этого возрастает педагогическая ценность экскурсий на фабрики, заводы и разного рода технические сооружения; но вопрос об экскурсиях разработан у нас так мало, педагоги имеют в этом деле так мало навыка, что руководство но организации экскурсий было бы как нельзя более кстати. Такое руководство, вероятно, удобнее всего было бы выпустить в форме серии отдельных брошюр, посвященных различным отраслям техники.

На ряду с этим желательно было бы разработать и более общий вопрос о том, какие вопросы техники могли бы затрагиваться в элементарных курсах физики. Для более основательного и компетентного разрешения этого вопроса была бы крайне желательна совместная работа специалистов техников и педагогов. В результате такой совместной работы могло бы получиться в высшей степени ценное методическое пособие.

Несколько позднее, вероятно, найдется возможность дать в помощь начинающему педагогу своего рода компендиум, ко-

торый содержал бы изложение элементов физики с возможно полными примечаниями научного и методического характера, с техническими примерами, литературными указаниями и пр.

Что касается вызываемой реформой потребности в школьной литературе для учеников, то прежде всего следует признать, что учебник старого типа настолько мало вяжется с проектируемыми методами обучения, что такой учебник неминуемо должен отойти на задний план в роли одного из необязательных пособий. Однако, не следует забывать, что учебник традиционного типа имеет то достоинство, что сообщает знания более или менее удовлетворительно систематизированные, между тем как ознакомление с элементами физики, исходя из трудовых процессов, непременно будет страдать отрывочностью и безпорядочностыо. В виду этого представлялось бы полезным дать в руки ученика систематический конспективный справочник, в котором были бы приведены определения, законы, элементарные формулы, таблицы физических постоянных и т. п.

В качестве одного из отделов такого справочника нли в виде отдельной книжки желательно было бы дать ученикам краткий исторический очерк развития физической науки.

За последнее время все с большей и большей настойчивостью высказывается совершенно правильное пожелание, чтобы школа с возможной полнотою знакомила учащихся с графическим методом*). В связи с этим было бы весьма полезно издать для нужд учеников альбом графиков, относящихся к разным отделам физики, космографии, метеорологии и пр., а также к некоторым техническим вопросам.

В соответствии с новыми приемами школьного преподавания были бы весьма уместны краткие -очерки того или иного отдела физики, связанные с изучением какого-либо знакомого ученикам объекта; например: велосипед, автомобиль, паровоз, электрический звонок, музыкальные инструменты и т. д.**).

Для развития в учащихся интереса к бесконечно широкой области технических приложений научного знания, желательно обновление и пополнение существующей популярно-технической литературы, которая оставляет желать еще многого как в качественном, так и в количественном отношении.

Наконец, может быть было бы своевременно поставить на очередь вопрос об учебной литературе по физике, приспособленной к нуждам учащихся, уже наметивших себе ту или иную профессию. До сих пор, несмотря на существование разнообразнейших специальных школ, физика преподавалась по одинаковым учебникам и программам и будущему сельскому хозяину,

*) См. В. Добровольский. Графический метод в школе. Математика в школе, № 1—2, 1юль—Августъ 1918 г.

**) Чрезвычайно интересный план подробного курса всей школьной механики, построенной исключительно на изучении велосипеда, был разработан, но к сожалению не опубликован инж.-мех. П. К. Энгельмейером.

и будущему зубному врачу, и будущему моряку и т. д. Отсюда естественно проистекала схоластическая мертвенность преподавания, для борьбы с которой могло бы оказать помощь издание учебных книг, приспособленных к кругу живых интересов той или другой профессии.

Несколько интересных задач.

В. В. Добровольский (Москва).

Задачи могут быть „интересны" по разным причинам. Одни— потому, что занимали знаменитых математиков и тем вошли в историю связанными с именем того или другого ученого; другие —своим содержанием, относящимся к той или иной области науки и жизни, третьи—методами решения. Кроме „исторических" задач первого рода я предлагаю в дальнейшем две задачи (№ 1 и 2) с „историческим" содержанием, одну (№ 3), связанную с именем Ньютона, и две однородные (№ 4 и 5) с физическим содержанием. Первая задача не требует комментариев. Интерес второй усиливается ее „микстурностью", т.-е. совмещением вопросов из разных областей знания (всплывание в воздухе, расчет на прочность и некоторая неопределенность в математическом отношении. Третья задача по идее проста, но требует выполнения кропотливых вычислений; упрощение последних и составляет особый „интересный" вопрос. Наконец, четвертая и пятая задачи могут быть названы типичными естественно-смешанными задачами (физика—геометрия—алгебра—арифметика) в отличие от задач, искусственно составленных, в роде тех, где стоимость фунта конфет должна быть равна большему корню данного квадратного уравнения, а число купленных фунтов — числу членов прогрессии, обладающей данными свойствами, как это бывало в задачах, предлагавшихся на выпускных экзаменах.

Предлагаем читателям заняться разработкой решения этих задач и сообщить в редакцию о результатах, присылая по возможности подробные решения, которые могут быть напечатаны в журнале. Указания на особые моменты в решении этих задач будут сделаны нами в одном из следующих номеров в журнале.

Задача № 1. По словам историка английских расчетных палат, англичанина Мартина около 1755 г. несколько рассыльных лондонских банкирских контор, собравшись однажды в таверне „Grosshopper", нашли способ расчета по взаимным долговым обязательствам банков более простой и удобный, чем ходить каждому по всем конторам для уплаты и получения денег. Какой это способ и в чем его преимущество? Показать это на следующем примере. Фирма Браун должна Гопкинсу 10.200 ф. ст., Джонсону 6.100 ф. ст., Смиту 5.400 ф. ст. и Гаррису 7.600 ф. ст. Гопкинс должен Брауну 8.700 ф. ст., Джонсону 5.300 ф. ст., Смиту 3.200 ф. ст. и Гаррису 9.400 ф. ст. Джонсон должен Брауну 5.800 ф. ст., Гопкинсу 6.100 ф. ст., Смиту 12.500 ф. ст. и Гаррису 11.000 ф. ст. Смит должен Брауну 4.900 ф. ст., Гопкинсу 5.500 ф. ст., Джонсону

13.400 ф. ст. и Гаррису 2.500 ф. ст. Наконец, Гаррис должен Брауну 8.500 ф. ст., Гопкинсу 10.300 ф. ст., Джонсону 15.000 ф. ст. и Смиту 1.800 ф. ст.

Какое минимальное количество денег может иметь каждый рассыльный?

Обобщить задачу на 12 лиц и составить формулу расчета.

Задача № 2. В 1670 г. иезуит Франческо Лана предлагал сделать 4 больших шара из жести, пустых внутри (для получения пустоты он, между прочим, указывал простое средство: наполнить шар водой, которую потом вылить), эти шары, по его мнению, должны были подниматься сами на воздух, а при достаточной величине и поднимать человека подобно тому, как пустой сосуд всплывает на поверхность воды. Правильны ли были его соображения, если даже принять во внимание, что воздух из шаров действительно мог быть удален?

Сам иезуит, впрочем, указал, как на причину неосуществимости своего проекта, на то, что летание человека противно воле бога, ибо если бы это было не так, то бог сотворил бы человека летающим. Хотя нас подобные соображения не смущают, однако нет ли других более реальных причин неосуществимости этого проекта.

Исследовать задачу, сделав примерный расчет размеров шаров.

Задача № 3. Определить глубину колодца, зная время, прошедшее от начала падения в него камня до того момента, когда был услышан звук удара камня о дно (или о воду, в каком случае узнается глубина уровня воды в колодце). В качестве численного примера можно принять это время 5 сек.

Задача № 4. В жидкости удельного веса уг плавает сплошной однородный шар удельного веса у. В каком отношении делится вертикальный диаметр этого шара свободною поверхностью жидкости? Для вычислений взять деревянный шар в воде.

Задача № 5. Заменить в предыдущей задаче шар цилиндром (напр. бревно, плавающее в воде).

Волшебные кубы.

П. Кутузов (Пенза).

Теория волшебных квадратов давно уже получила свою широкую разработку. Ищущему в математике красоты она показала много замысловатых комбинаций из мира чисел. За свои замечательные свойства и названы были квадраты волшебными, или магическими...

Теперь, как естественное обобщение этой идеи волшебных квадратов, сам собою возникает вопрос: не существует ли подобных красивых, волшебных числовых комбинаций, если плоскостную сеть (квадрат, разделенный на клетки) заменить сетью высшого порядка—сетью пространственной (куб. разделенный на кубики), иными словами: существуют ли такие числовые комбинации, которые можно было бы назвать волшебными кубами?

По аналогии с волшебными квадратами, мы назвали бы волшебным кубом куб, разделенный на пъ кубиков, в которых размещены все числа от единицы до пг так, что сумма чисел в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и в каждой диагонали куба одинакова.

Мои изыскания показали, что такие волшебные кубы действительно возможны. Их свойства более сложны, но и более красивы, чем свойства волшебных квадратов. Поэтому такие кубы имеют равное, если не большее право с квадратами называться волшебными, или магическими. Изучение этих волшебных кубов даст новую теорию, которая является как бы продолжением существующей теории волшебных квадратов, а потом, в свою очеред, сможет быть обобщена идеей волшебной числовой комбинации ?г-аго измерения. Оставляя подробное изучение теории волшебных кубов специалистам и любителям, я здесь позволю себе опубликовать часть моих изысканий и достигнутых результатов, именно, о простом волшебном кубе, состоящем из 27 кубиков. Моя заметка не имеет целью разработку теории волшебных кубов а лишь—указание на новую идею и на простейшие примеры, иллюстрирующие ее,

Если куб

условимся обозначать схемой

где верхний квадрат обозначает верхний слой кубиков, средний квадрат—средний слой, а нижний—нижний слой, и где клетки соответствуют кубикам слоев, то можно найти, подобно схемам волшебных квадратов, схему для группы таких волшебных кубов. Прием нахождения этой схемы имеет много общого с приемом волшебных квадратов. Разлагая

при ?г = 3 на множителей,

находим

Это разложение показывает, что волшебный куб разобьется на шесть (х в разложении повторился шесть раз) простейших волшебных кубов, характеризующихся числами 1, 2, 3, 6, 9, 18. Этими простейшими кубами могут быть следующие:

Складывая их по соответствующим клеткам, получаем схему волшебного куба, в котором сумма чисел во всех горизонтальных и во всех вертикальных рядах есть одна и та же, но где диагонали пока, за исключением одной, при произвольных а, ß, у, 6, et g имеют разные суммы: чтобы диагонали имели ту же общую сумму необходимо, чтобы:

с другой стороны для а, ß, у, tf, s и £ надо взять согласно разложению, числа 1, 2, 3, 6, 9, 18. Очевидно здесь могут представиться только 6 случаев:

Покажем теперь, как из этих таблиц и схемы волшебного куба получаются решения. Берем, например, 4-й случай. Подставляя данные на место букв в схему, производя сложение и увеличивая каждое получающееся в клетке число на единицу, получаем такой волшебный куб:

Каждый из шести получившихся таким способом кубов можно перевернуть (весь куб, а не его схему) в пространстве 24 раза, что дает их всего 6.24 или 144. Схемы всех этих волшебных кубов можно перевернуть в пространстве (не в плоскости) на обратную сторону, что дает всего 288 различных схем, а следовательно и волшебных кубов. Но это, наверно, еще не все возможные волшебные кубы.

Все эти волшебные кубы обладают одним интересным свойством: в них магическую сумму дают не только числа, расположенные по диагонали, но и все ряды проходящие через центральный куб, которому всегда соответствует число 14.

Подобным приемом можно составить волшебный куб в 64 клетки, но об этом в другой раз.

Задачи.

11. Показать, что если а не делится на 5, то а8-{-За* — 4 делится на 50.

//. Ч.

12. Решить уравнение

(а + 1 — х) [х2 — (а — I)2] + 8ах = о.

П. Ч.

13. В круг венсан равносторонний треугольник АС2, па дуге AB взята точка Р и прямыя АР и 'БР продолжены до пересечения с продолжениями сторон С В и 04 в точках Ми N. Показать, что BM.AN =consi.

IL Ч.

14. Построить треугольник ABC, если даны основания En F двух его высот, выходящих из вершин В к С, и прямая JJfJV,. на которой лежат эти вершины.

И. ч.

15. Показать, что

\/Т + \fZ+ V 3 + \fï+ ^5"+ = tes 36° -f cty 7°30f.

Э. .7.

16. Решить уравнение

(до. cty 2x = tg 2x. ctgx

Э. Л.

17. Зная, что основанием переменного треугольника служит большая ось данного эллипса, и что центр вписанного в него круга перемещается по дуге данного эллипса, найти геометрическое место третьей вершины треугольника.

IL Ч.

18. Решить уравнение

От отдела Реформ Школ Народного Комиссариата по Просвещению.

В России пали цепи сковывавши учащих и учащихся. Взамен принуждения, поощрения и соревнования—трех китов, которыми держалась старая школа—жизнь в новой школе строится на основе коллективного сотрудничества учащих и учащихся, живого свободного интереса их к школьной работе.

Вместе со старой школой погибает специфическая школьная литература, которая выросла в атмосфере угнетения и дисциплины Кончилось царство особой школьной науки и книги, и перед деятелями народного образования встает трудная и ответственная задача—дать народным массам и школьникам подлинную применимую в жизни науку в популярном изложении и снабдить свободную школу свободной популярно-научной книгой.

В области популяризации математики до настоящего времени сделано недостаточно, а у нас в России и совсем мало. Отдел Реформы Школы Народного Комиссариата по просвещению обращается ко всем математикам-педагогам с предложением приложить свои усилия к созданию популярных книг по математике для школ первой (8—13 л.) и второй (13—17 л.) ступени, которые могли бы служить для самостоятельного чтения учащихся разных возрастов,- начиная с 10 лет, и заменить собой учебник.

Желательны книги и брошюры следующих типов:

1. По истории математики, в которых должно проследить развитие математики в связи с историей человеческого труда и экономических отношений в живом контакте с общей историей культуры, останавливаясь при этом на сущности самых математических дисциплин.

2. По истории отдельных математических вопросов, как например, о возникновении счета, происхождении мер, история нумерации, развитие математической символики и уравнений определение площадей у египтян, римлян и точные способы определения таковых; измерение расстояния до недоступного предмета Фалесом Александрийским и дальнейшее развитие геодезии, история измерения земного шара, астрономических измерений и т.д.

3. Брошюры, в которых математика излагалась бы, как метод исследования жизненных проблем, взятых из области труда (сельское хозяйство, техника), науки (физика, астрономия, экономика), детской и отроческой литературы можно использовать произведения Жюль-Верна, Уэлльса и др.), математических развлечений,

В этих произведениях, исходя из конкретных заданий интересных для детей и юношей того возраста, для которого предназначена книга, нужно развернуть перед школьником ту или иную область математики как элементарной, так, для старшей группы, и высшей (аналитическая геометрия, дифференциальное и интегральное исчисление, теория вероятностей.

Во всех книгах следует принять во внимание, что дедуктивное изложение математики психологически не соответствует умственному развитию и потребностям детей первой ступени. Для возраста 10—13 лет следует стремиться сделать очевидными математические положения не посредством доказательств, а путем опыта и наглядного построения. Но на второй ступени желательно научить учащихся пользоваться математическим методом доказательства, однако, только в тех случаях, где экономизирующая роль его особенно ярко проявляется; при этом следует стремиться к уяснению сущности математического метода поэтому.

4. Желательны совершенно популярные книги, посвященные вопросам методологии математики и обоснованию геометрии и арифметики.

Математическое содержание книг для разных возрастов приблизительно определяется планами занятий по математике. Главное внимание следует уделить следующим темам: для 1-й ступени: счет, диаграммы, графики, линейная функция, линейные уравнения, буквенная символика, измерение площадей и объемов, с'емка планов и геодезические измерения. Для второй ступени, кроме тем, указаных для 1-й, конечно, иначе проработанных, следует обратить внимание на квадратную функцию, конические сечения, астрономические измерения, элементы проекционного черчения и основы дифференциального и интегрального исчисления, аналитической геометрии и теории вероятностей.

5. Кроме книг для учащихся, желательны руководства для учащих, которые облегчили бы педагогам проработку математики в духе трудовой школы, т.-е. показали бы как можно сконцетрировать математическую работу вокруг трудовых заданий, поручаемых всему школьному коллективу или отдельным группам учащихся, заданий, которые могут заключаться в муниципальных поручениях (статистические обследования, составление смет сельского и городского хозяйства и т. п.), а также в работах в мастерских, на фабриках и заводах, полях и огородах и т. д. (калькуляция производства, составление смет, техническое черчение, с'емка планов, землемерие)

6. Нужны, наконец, книги справочного характера, содержащие в себе таблицы физических и технических данных, состава и теплопроизводительности пищевых веществ, данных относящихся к сельскому хозяйству, экономике, обществоведению и т. д.

Из этих книг учащиеся будут черпать справочный материал для осуществления стоящих перед ними трудовых заданий.

Рукописи, принятые для печатания, будут оплачиваться по 700 руб. с листа в 40.000 букв первого издания в 20 тысяч экземпляров.

АДРЕСОВАТЬ: Москва, Остоженка, 63, Комиссариат Народного Просвещения, Отдел Реформы Школы.

Отзыв о книгах С. И. Шохор-Троцкого.

К. Ф. Лебединцев.

С. И. Шохор-Троцкий. Методика арифметики для учителей начальных школ, в двух частях. Изд.8-е, заново переработанное и значительно дополненное, с иллюстрациями и чертежами в тексте. Часть I. Арифметика изустных вычислений, преимущественно над числами первой сотни. Изд. т-ва И. Д. Сытина, Москва, 1915 г. Ц. 1 р. 10 к. 316 стр.

Часть П. Арифметика письменного производства четырех действий и их применений. Изд. т-ва И. Д. Сытина, Москва, 1916 г. Ц. 1 р. 80 к. 504 стр.

Первая часть труда г. Шохор-Троцкого посвящена, как указано в предисловии, „общим методико-арифметическим сображениям и частным вопросам методики обучения изустной арифметике, преимущественно над числами первой сотни". Переработка книги в настоящем издании выразилась главным образом в дополнении обычного арифметического материала элементами геометрического характера и упражнениями (вообще необязательными) в так назыв. „лабораторных" занятиях, в детском рисовании, черчении и т. п.; кроме того, многие частные вопросы обучения арифметике освещены подробнее и разностороннее, чем в предыдущих изданиях; основные же начала, как это указывает автор в предисловии, остались те же.

Эти основные начала (разделяемые и разрабатываемые автором уже в течение многих лет его литературной и педагогической деятельности) вполне совпадают с принципами, на которых зиждется современная педагогика и методика. Сущность методического обучения арифметике автор формулирует так: „а) обучение должно отличаться наглядностью приемов, б) предлагаемый ученикам материал должен отличаться возможно большей простотою, в) самодеятельность ученика должна стоять на первом плане и г) работа его должна быть совершенно сознательной (стр. 24).

В развитие и подтверждение этих общих принципов он приводит взгляд Жакото, что „учить других чему-либо значит показать своим ученикам, что они должны сделать для того, чтобы самим научиться тому, чему их хотят научить", и мнения Песталоцци: „обучение должно быть подчинено тому вечному закону, по которому знания человека начинаются не с отвлеченных понятий, а с наглядных представлений", и Коменского: „каждый раз надо стремиться к преодолению только одной трудности, не соединяя двух или более трудностей... в один и тот же момент обучения" (стр. 24—25), затем высказывает еще и такую существенную мысль: „Правил производства действий учитель не должен давать в готовом виде, а, напротив: они должны

быть создаваемы и развиваемы, исправляемы п изобретаемы постепенно самими учащимися но, конечно, под должным руководством учителя" (стр. 25).

Для всестороннего освещения и обоснования своих принципов автор приводит „вместо введения" ряд мыслей известных педагогов и выдающихся людей XVI—XIX столетия и современных—по вопросам о цели и методе обучения арифметике и вообще математике. Среди этих мыслей есть, конечно, много очень ценных и существенных, как напр. следующие мысли Жана Масе; „Истинная метода обучешя арифметике состоит в том, чтобы поставить ум ребенка в условия, приличествующие начальному периоду развития его, и в том, чтобы ребенок присутствовал, так сказать, при самом изобретении арифметики" (стр. 9; на стр. 24 автор развивает эту мысль далее, говоря, что ученик и „сам должен участвовать въ этом изобретении"); Дистервега: „...Верное восприятие учения идет путем наглядным при чем наглядность может быть как внешнею, так и внутреннею; из рассмотрения нескольких примеров ученики выводят правило, закон, который должен быть верно выражен..." (стр. 8); Л. Н. Толстого: „...Сообщайте определение, подразделение, правило, название— только тогда, когда ученик имеет столько сведений, что сам в состоянии проверить общий вывод,—когда общий вывод не затрудняет, а облегчает его..." (стр. 13); 0. Лоджа: „Дети должны делать свои собственные заключения, и их следует доводить до того, чтобы они делали небольшие открытия и изобретения. Математика дает наиболее удобный материал для дешевого и легкого эксперементирования..." (стр. 17), и т. д. Есть, однако, кое-что и спорное и малоценное среди этих мнений. Напр., весьма сомнительно, чтобы следовало всегда предпочитать вычисления, реальными предметами „вычислениям умственным и на доске" как то думает педагог XVIII века Оверберг (стр. 5); вряд ли можно согласиться и с мнением Лакруа, что „геометрия представляет собою, может быть, ту часть математики, которой следует учить детей раньше, чем другим отделам математики" (стр. 7); наконец, вряд ли что дает учителю мнение Мартина Лютера о необходимости обучения детей арифметике, или своеобразное определение арифметики Леонтия Магницкаго (стр. 1).

А кроме того надо сказать, что избранный автором прием— обосновать свои принципы преимущественно путем ссылок на мнения ряда выдающихся педагогов, ученых и мыслителей— представляется в данном случае не вполне достаточным. Его ценная сторона в том, что читатель видит непосредственно по первоисточникам, как представляли себе цель и сущность обучения арифметике наиболее авторитетные педагоги нашего и предыдущих веков, и убеждается, что основные принципы современной методики совпадают с теми, которые провозглашались в XVII веке Коменским и Локком, в XVIII—Песталоцци и Руссо, в XIX-м—Дистервегом, Масе, Л. Н. Толстым и т. д. Но современный читатель не удовлетворяется уже в деле обоснования методических приемов одними ссылками на авторитет хотя бы и

самых выдающихся мыслителей; он ищет другого, более глубокого обоснования, опирающегося на данные обшей и детской психологии, и в этом отношении останется не вполне удовлетворен данной книгой, и будет, конечно, прав: если автор уделил 28 страниц изложению основных принципов обучения арифметике, то следовало, конечно, уделить хотя бы немного места психологическому обоснованию принципа наглядности и самодеятельности учащихся, да и вопросу о формально-развивающем значении обучения арифметике; дело в том, что этот последний вопрос вовсе не так прост и бесспорен, как принято думать, и если в свое время он разрешался взглядом Клаусберга: „обучение арифметике должно быть для детского ума тем же, чем точильный камень служит для еще не отточенного режущего орудия" (стр. 2),—то в настоящее время мнение о развитии ума при помощи изучения арифметики не принимается читателем без доказательства, и всесторонность такого развития оспаривается.

Вопрос о соотношении между учебным предметом и соответствующей наукой разобран кратко, но ясно, и можно вполне присоединиться къ мысли автора, что наука в праве требовать от учителя одного: „чтобы данные учебного предмета не противоречили тем научным взглядам, которые твердо установлены, и чтобы то, въ чем наука еще не достигла определенного взгляда, не выдавалось в учебном предмете за достоверное" (стр. 20).

Также в общем вполне справедливы мнения автора о ценности изучения методики арифметики (§§ 7 и 8) и о необходиности тщательной подготовки учителя к урокам (стр. 27); сомнительно только, чтобы и опытному учителю могло удаться предварительное распределение учебного материала не только по годам или полугодиям, но и „по неделям и даже по дням недели" (стр. 22); съ другой стороны я не думаю, чтобы дельному педагогу было совсем невозможно (как говорит автор на стр. 23) добраться собственным умом до большей части приемов, излагаемых в методиках; беда только в том, что на это вполне самостоятельное открытие известных педагогическихъ истин у учителя уйдет слишком много лишнего времени и труда, и лучше, чтобы он во время воспользовался и опытом предшествующих поколений.

В конце 1-й главы (стр. 28—29) автор предостерегает учителя против некоторых неправильных или несвоевременных, по его мнению, выражений, затрудняющих детям понимание речи учителя. В принципе, конечно, трудно возражать против такого предостережения, но все же здесь многое—дело вкуса, и некоторые выражения, не нравящиеся автору, будут казаться другим педагогам вполне приемлемыми, как напр. „число изображается цифрами" или „разделить двадцать карандашей между пятью учениками поровну"; с другой стороны и выражения вроде „восемью-семь", вполне одобряемые автором, несомненно принадлежат к числу ..условных", „известных только из арифметики" и не всеми педагогами признаваемых; равно как не всякий одобрит и выражения вроде „сподряд" (стр. 97), считаемые автором за правильные.

Во второй главе разбирается вопрос о наглядных пособиях, о задачах и вообще о „средствах обучения арифметике". Классификация наглядных пособий (деление их на зрительные, зрительно-осязательные, зрительно-мышечные и т. п.), как указывает и сам автор, является лишь приблизительной, так что оспаривать ее я не буду; но надо сказать, что описания некоторых пособий почти ничего не могут дать читателю вследствие своей краткости, и лучше было бы о них вовсе не говорить, или дать достаточно подробное о них понятие и оценку. Напр., сведения о числовых фигурах и счетах Лая (стр. 33 и 45) сводятся исключительно к описанию внешности этих пособий, тогда как для читателя было бы очень важно знать, в силу каких именно соображений Лай рекомендует именно такое расположение кружков и шариков; вместе с тем рис. 9 (стр. 45), изображающий детские счеты Лая, не вполне отвечает действительности, так как подлинные счеты Лая представляют или линейку с 20 шариками (белыми и красными), расположенными по принципу „квадратных числовых фигур", или крышку пенала с 20 углублениями, расположенными по тому же принципу, и предназначенными для вкладывания в них специальных кнопок (Лай, Руководство к первоначальному обучению, основанное на результатах дидактических опытов, изд. 5-е, Москва 1916 г., стр. 286). И вообще автор уделил Лаю слишком мало внимания в своей книге; можно, конечно, оспаривать взгляды Лая и его педагогические выводы, но нельзя не признать значительной ценности за его исследованиями в области восприятия чисел детьми и взрослыми, и вследствие этого нельзя обходить молчанием его теории. Слишком кратко и для неосведомленного читателя совершенно невразумительно описание счетной линейки В. В. Лермантова (стр. 44—45); остается совсем невыясненным, чем руководился последний при построении своего наглядного пособия и годится ли оно вообще на что-нибудь при обучении арифметике. Далее, следует вполне согласиться с мнением автора о полезности Пифагоровой таблицы умножения лишь в том случае, если она составляется самими учениками под руководством учителя (стр. 48—50); но в этом параграфе есть очевидная обмолвка: „Ученики поймут, что изобретение этой таблицы не напрасно приписывается*) какому-то греческому мудрецу (по имени Пифагор), жившему в VI в. до P. X. (стр. 49; странно, как могут ученики сами понять, напрасно или не напрасно приписывается эта таблица Пифагору). Подобную же обмолвку находим и на стр. 32, где автор говорит: „Если ученик сам выполняет чертежи, изготовляет фигуры и вообще производит работу мускульную, то эта работа у зрячего ученика является работой осязательно зрительно-мышечной, у слепого же—осязательно-мышечной" (как это слепой ученик может выполнять чертежи, и каким образом „мускульная" работа является в то же время „осязательно-мышечной"?).

*) Курсив везде мой. К, Л.

Очень ценны мнения автора о необходимости изучения мер в тесной связи с окружающей детей обстановкой и при помощи активного их ознакомления с размерами встречающихся в обыденной жизни предметов (стр. 54—56); а также заслуживают полного внимания указания относительно наглядного изображения дробей (стр. 57), хотя они и очень кратки. Но вопрос о так назыв. лабораторном методе обучения арифметике (автор пишет „лабораторная метода") затронут только вскользь, и учителю будет непонятно, зачем может пригодиться „инвентарь арифметической лаборатории" (стр. 59—60), перечисляемый довольно подробно со включением целого ряда материалов и инструментов по ручному труду.

Далее автор разбирает вопрос о значении рисунков при обучении арифметике, при чем с полным основанием указывает на сравнительно малую применимость готовых рисунков и картинок в задачниках и отдает вполне заслуженное предпочтение иллюстрациям, выполняемым самими учащимися (стр. 60—65). Заслуживают внимания также и указания автора, на значение выразительного чтения и ритма при обучении счету (стр. 65—68); но автор несомненно преувеличивает значение слухового и ритмического элемента в выполнении арифметических действий, может быть потому, что сам принадлежит к людям моторного типа. Вполне возможно, напр., что для людей моторного типа „особенно сильно заметно влияние ритмического выполнения работы в тех случаях, когда приходится умножать одно многозначное число на другое многозначное же" (стр. 67); но для людей зрительного типа это влияние может быть почти или вовсе незаметным.

Разбирая вопрос о задачах и их значении при обучении арифметике, автор прежде всего разделяет все вообще задачи на две группы: задачи чисто арифметические и задачи алгебраического характера. Основания этой классификации он излагает так: „Чисто арифметическими будем называть как задачи, при решении которых мы, обозначив неизвестное буквою яг, над х-ом, по условиям задачи, не обязаны производить никакого действия, так и задачи, при решении которых съ помощью икса, над последним производится только одно действие, в результате которого получается известное число. Задачами алгебраического характера условимся называть: а) задачи, при решении которых с помощью икса мы, обозначив искомое число буквою х, над ним производим действие, над полученным новое действие и т. д., и в результате получаем известное число, и б) задачи, при решении которых с помощью икса мы производим над х-ом одно действие, но в результате получаем опять неизвестное число или выражение, в состав которого входит ж" (стр. 63). Как указывает тут же автор, эта классификация задач „вызывает у некоторых сомнение в возможности установки точного критерия для установления резкой границы между ними". Я тоже думаю, что эти сомнения небезосновательны, и что упоминаемые автором (стр.69, примеч.) возражения Ф. А. Эрна имеют под собою почву.

Последний в своих „Очерках по методике арифметики" (Рига 1912 г.) указывает (стр. 110—111), что „для составления уравнения не существует совершенно определенных правил, и, решая одну и ту же задачу составлением ур-ия, можно составить это ур-ие так, что над х-ом, обозначающим неизвестное, не будет совершено ни одного действия, или будет совершено одно или более действий". В качестве примера Эрн приводит задачу: „В классе 35 учеников; на последней скамейке сидит 3 ученика, на остальных 8 скамейках ученики рассажены по одинаковому числу. Сколько учеников сидит на каждой из этих скамеек?" и указывает, что при решении этой задачи различными способами может получиться одно из уравнений: 8х-\- 3 = 35, или Sx = 36 — 3, или даже х— ^ ~^ и задачу придется считать в первом случае алгебраической, а в остальных двух—чисто арифметической.

Из числа задач чисто арифметическихъ автор рассматривает сперва задачи простые, т.-е. решаемые одним действием, и указывает на их огромное значение для выяснения детям смысла и цели арифметических действий. Выполнение детьми простых, целесообразно подобранных и посильных их разумению задачной ставит в основу всего обучения арифметике, и характеризует самый методъ обучения, разрабатываемый им в своих книгах, именно как „метод целесообразных задач" (стр. 78—79). К этим идеям автора следует всецело присоединиться и признать, что они находятся в полном согласии с основными принципами современной педагогики психологии, вследствие чего и сущность принятого им метода является вполне прочно обоснованной. Также можно вполне согласиться и с мнением автора о сравнительно небольшой ценности сложных задач, в особенности требующих искусственных приемов решения (стр. 80—83).

Конец второй главы посвящен общеизвестным сведениям о формах обучения (излагательной и вопросо-ответной), о сборниках задач и учебниках арифметики и т. п. Соглашаясь по существу с автором в этих вопросах, я сделал бы по поводу их лишь следующие две оговорки. Во-первых, трудно ограничить срок, в течение которого учитель может с пользой для дела занимать детей своим рассказом: на стр. 89 автор говорит, что „учитель должен всегда избегать сколько-нибудь продолжительного (более поломинуты) изложения (лекционной формы)", а на стр.92 читаем: „Начальный учитель должен стремиться к тому, чтобы его изложение длилось каждый раз не больше одной минуты, и во всяком случае меньше того количества времени, в течение которого малолетние могут быть деятельно внимательны. Не говоря уже о некотором противоречии между этими двумя указаниями автора, ясно, что все зависит от существа разбираемого с детьми вопроса: если, напр., учитель захочет рассказать детям историю происхождения цифр или мер, то вряд ли можно ограничивать продолжительность его рассказа указанными рамками. Во-вторых, я сомневаюсь в том, чтобы в начальной школе (даже

в 3-й или 4-й годъ обучения) следовало приучать детей „к чтению незнакомых частей текста учебника" (стр. 95) и соглашаюсь с предыдущим мнением автора, что учебник должен служить только для лучшего усвоения материала, уже разработанного в классе под руководством учителя.

В третьей главе автор рассматривает вопрос о распределении курса арифметики в начальной школе по годам, и приходится признать, что мнения его по этому существенному вопросу изложены довольно неясно и противоречиво. Так, на стр. 99, говоря о курсе первого года обучения, он относит к нему четыре действия надъ числами первой сотни, нумерацию и первые два арифметические действия над целыми числами первого класса, прибавляя, что „эти знания должны бы быть усвоены учащимися младшего отделения", и что в курс того же первого года „должны бы войти также некоторые представления об обыкновенных дробях", и тут же подчеркивает, что „первая сотня во всяком случае должна бы быть к концу первого года в полном распоряжении учащегося, притом не столько при письменном, сколько при изустном вычислении", и что „школа, не дающая этого в течение первого года, не может считать достигнутые ею результаты удовлетворительными". Но несколькими строчками раньше (стр. 98-99) определенно говорится, что „въ первый год обучения в трехгодичной и четырехлетней одноклассной начальной школе только при особо благоприятных условиях учащимся возможно усвоить сколько-нибудь удовлетворительно четыре действия над числами первой сотни (повидимому, этими особо благоприятными условиями автор считает отсутствие в курсе первого года „задач, не совершенно прозрачных" и упражнений в так назыв. .„изучении чисел"—см. стр. 99).

А в заключение делается такой вывод: „въ крайнем случае учащиеся русской начальной школы должны к концу первого года овладеть четырьмя действиями над числами первых двух десятков, четырьмя действиями над круглыми десятками в некоторых случаях, простейшими дробями (половиной, четвертями) и нумерацией чисел первой сотни" (стр. 100). Эта противоречивость взглядов автора на данный вопрос еще усугубляется, если сравнить его нынешние мнения с теми, которые он развивал в предыдущем издании своей „Методики" (ч. I, изд. 7-е, 1903 г.); там говорилось совершенно определенно, что в первый год должны быть пройдены „четыре действия над числами первой сотни, нумерация и первые два арифметические действия над числами первого класса", с указанием, что „эти знания могут и должны быть усвоены учащимися младшего отделения" и что в курс перваго года „могут войти также некоторые представления об обыкновенных дробях" (стр. 60).

Далее сказано не менее категорически: „Первая сотня во всяком случае должна быть к концу первого года в полном распоряжении учащегося, притом не столько при письменном, сколько при изустном вычислении. Школа, не дающая этого в течение первого года, не может считать достигнутые ею результаты

удовлетворительными. Практически же это легко выполнимо" (стр. 60). Можно, конечно, спорить о том, каков должен быть курс первого года обучения; молено соглашаться и с тем, что в конечном счете многое зависит от состава класса, уровня развития детей, талантливости учителя и т. п.; но нельзя не признать, что читатель „Методики" г. Шохор-Троцкого вынесет по данному вопросу самое неопределенное впечатление, и что разница во взглядах автора, излагаемых им в 7-м и 8-м издании его „Методики", довольно существенна; было бы, конечно, важно, если бы автор упомянул в своем труде, в силу каких соображений он так значительно отступил от прежних взглядов, но на этот счет нет решительно никаких указаний в настоящем издании „Методики", и приходится только предполагать, что быть может здесь известную роль играет введение в курс элементов геометрического содержания (хотя эти упражнения автор считает для первого года необязательными—стр. 106).

Столько же недоумений вызывает и программа остальных лет обучения, излагаемая на стр. 100. „В первое полугодие второго года", говорит автор, „следует пройти часть нумерации (какую?), сложение, вычитание, умножение и деление некоторых чисел первой сотни (каких?) и применение этих действий к случаям, опять-таки очевидным. Во второе полугодие того же года должно знакомить с именованными числами и снабдить некоторым навыком в решении сложных (но не замысловатых) арифметических задач. Наконец, в течение третьего и четвертого годов обучения пройденное надо более или менее систематизировать, внеся в него учение о дробях и применение этого учения к решению задач на тройные правила, на правило процентов, а также некоторые элементы геометрического и элементарно-алгебраического содержания, и т. п.". Не говоря уже о неопределенности указаний, отмеченной выше, невольно спрашиваешь себя, куда же делись в этой программе действия над целыми числами за пределами первой сотни; и только на следующей странице есть указания на то, что в третий год должна проходиться „арифметика чисел многозначных" и говорится о необходимости поступиться, в интересах изучения действий над многозначными числами, решением более сложных задач; „в противном случае", говорит автор, „к концу второго года трудно добраться даже до действий над числами четырехзначными" (стр. 101); тут же, опять-таки несколько вразрез с приведенной программой, говорится о том, „что геометрические элементы и элементы учения о простейших дробях не должны быть чужды не только третьему и четвертому годам обучения, но даже и курсу первых лет" (стр. 101). И опять-таки в предыдущем 7-м издании „Методики" автор держался совсем иного мнения, выраженного вполне определенно: „В первое полугодие второго года должны быть пройдены нумерация, сложение, вычитание, умножение и деление любых многозначных чисел и применение этих действий к случаям не очевидным. Во второе полугодие того же года должны быть пройдены учения об именованны числахх и приобретен некоторый

навык в решении сложных (но не замысловатых) арифметических задач. Наконец, в течение третьего года обучения должны быть пройдены: более систематический курс по учебнику, учение о дробях и применения этого учения к решению задач на тройные правила, на правило процентов и т. п." (изд. 7-е, стр. 60—61).

Конечно, автор мог бы мотивировать такое изменение своих взглядов некоторыми педагогическими соображениями, указывая хотя бы на то, что целесообразнее более основательно и всесторонне усвоить счисление в пределах первой сотни и в силу этого не спешить с изучением многозначных чисел; мог бы указать, что намеченная ранее программа, в сущности, слишком обширна для трех лет обучения, и что следует, не увеличивая курса, распределить ее более равномерно на четыре года (об этом есть упоминание на стр. 102); но к сожалению, обо всем этом приходится только догадываться, сопоставляя различные мнения, высказываемые на стр. 97—104 данного издания, как между собою, так и с более ранними взглядами автора. По существу же я думаю, что в 7-м издании автор намечал для курса первых полутора лет слишком обширную программу, а в 8-м, желая избегнуть этой крайности, впал в противоположную.

Далее автор высказывается относительно распределения по годам учений об именованных числах, о мерах, о дробях простых и десятичных и т. п. В этой части главы он дает много вполне справедливых и ценных указаний. Так, он признает необходимым изучать меры и именованные числа не в виде обособленнаго отдела, а параллельно с соответствующими действиями над отвлеченными числами, начиная с .первого года обучения (стр. 105); высказывается за введение во все года элементов геометрического содержания (стр. 105—106); признает целесообразными вычисления только с такими простыми дробями, которые нмеют применение в практике, и с простейшими десятичными (стр. 10&—107), при условии, чтобы действия над ними изучались не столько по правилам, сколько по соображению, и т. д. Здесь можно сделать лишь следующие мелкие замечания: во-1-х, название § 8 неточно (он называется „место учения об именованных числах и о тройных правилах", а говорится в нем только об именованных числах); во 2-х, совершенно верно, что дроби со знаменателями в роде 91, 84,267—на практике неупотребительны, но нельзя сказать, чтобы в жизни встречались только указанные автором (стр. 107) дроби со знаменателями 2, 4, 8, 16, 3, 6, 12, 10 и 100—вотъ, напр., выдержка изъ „Тарифа на перевозку войск и их багажа" (Официальный указатель железнодорожных и др. пассажирских сообщений, изд. М. П. С. 1915 г., § 701): „За провоз багажа сверх льготного пуда на человека.....взимается на расстояниях до 200 верст—г1А% коп. с пуда ж версты, на расстояниях от 201 до 853 вер. к плате за 200 верст прибавляется по г/6ь коп. с пуда и версты, на расстояниях свыше 853 верст—Veo коп. с пуда и версты".

В конце третьей главы автор посвящает несколько страниц „методу изучения чисел", повидимому в силу того обстоятель-

ства, что этот метод в последнее время привлек к себе некоторое внимание составителей задачников для начального обучения (стр. 111). Он довольно обстоятельно и по большей части справедливо критикует метод изучения чисел, но, к сожалению, не излагает сколько-нибудь подробно сущности критикуемого учения, и без достаточных оснований объединяет в одну группу „сторонников изучения чисел" вместе со старинными педагогами Грубе, Паульсоном, Евтушевским и т. п. также и современных Штеклина, Лая и их „русских подражателей". Между тем, есть существенная разница между теориями Грубе и его последователей, которые верили в возможность непосредственного восприятия всех чисел первой сотни—и в этом была их психологическая ошибка - и между взглядами Лая и других сторонников экспериментальной методики, которые доказывают—и вполне основательно—возможность непосредственного восприятия, при известных условиях, чисел первого и отчасти второго десятка (до 10—12 включительно). Конечно, отсюда не следует, чтобы в русскую школу, где ученье начинается с 8 лет, нужно было пересаживать и все методические приемы, рекомендуемые иностранными авторами для детей 6-летняго возраста—в этом г. Шохор-Троцкий совершенно прав; но было бы еще лучше, если бы его критика „метода изучения чисел" не страдала указанной односторонностью.

Обширная четвертая глава посвящена счету и действиям в пределе первых двух десятков. Прежде всего автор разбирает вопрос о делении курса арифметики на ступени, при чем сначала в нескольких словах высказывает свое отрицательное отношение к обычному делению курса на арифметику первого десятка, первой сотни и чисел любой величины, а затем предлагает свое собственное распределение курса, „сообразно с успехами, которых начальная математика достигла за последнее десятилетие, и с теми указаниями, которыми составитель этих книг обязан своему личному опыту и опыту своих друзей" (стр. 119); в частности, курс арифметики первых двух десятков разделен на 15 ступеней, перечисляемых на стр. 122. Однако следует признать, что напрасно автор так отрицательно отнесся к обычному делению курса: когда ему пришлось распределять весь курс арифметики по отдельным частям своего „Нового арифм. задачника для учеников начальных школ", то у него получились такие отделы: арифметика чисел первых двух десятков (часть I), арифметика чисел первой сотни (часть II) и арифметика письменного производства действий (над числами любой величины, часть III), и, какъ видно, это распределение отличается от обычного лишь в определении границ первого концентра. Между прочим, автор подчеркивает, что главное отличие принятого в 8-м издании „Методики" распределения курса на ступени „заключается в том, что арифметика первых двадцати чисел выделена, так сказать, в отдельную, подобающую этой арифметике, рубрику" (стр. 120). Это, конечно, следует приветствовать, но ведь и при обычном делении курса большинство методистов подчеркивает

(и с полным основанием) необходимость выделения второго десятка в особый, так сказать, подотдел. Оригинальность того деления курса, которого придерживается автор, заключается таким образом в томъ, что у него первым концентромъ является арифметика чисел 1—20, а не 1—10; однако и внутри этого концентра ему приходится изучать и нумерацию, и сложение с вычитанием отдельно в пределах первого десятка, и отдельно—второго (ступени 2 и 5 с одной стороны, 4 и 6—с другой, стр. 122). Разумеется, и то распределение курса на ступени, которое предложено автором, может быть признано вполне приемлемым, но нельзя считать его единственно возможным и превосходящим все другие.

Методические приемы, рекомендуемые автором в этой главе, вытекают из его основных принципов, и по большей части с ними можно вполне согласиться. Но некоторые приемы вызывают сомнения. Так, напр., вряд ли целесообразно на первых же порах обучения заставлять детей, для самостоятельного упражнения в счете, наклеивать в тетрадях квадратики из бумаги с помощью жидкого клея (стр. 126); если это будут квадратики из белой бумаги, то на белых листах тетради они будут плохими объектами для счета; но если даже взять квадратики из цветной бумаги, то непривычка детей к наклеиванию поведет на первых же порах к неопрятному содержанию тетрадей; предвидя это, автор и сам советует учителю вперед „нанести в тетрадях учеников некоторое количество маленьких клеевых пятен, на которые учащийся будет уже самостоятельно наклеивать свои квадратики из бумаги",—но сколько же времени потребуется на такую предварительную работу! Правда, существуют в продаже листы бумаги, разграфленные на квадратные вершки или дюймы рядом проколов и смазанные на обратной стороне клеем (как почтовые марки); при желании непременно осуществить рекомендуемое авторомъ упражнение, учитель мог бы воспользоваться такими листами (от них легко отрывать отдельные квадраты). Но гораздо проще вместо этого проводить упражнения детей в рисовании, о которых упоминает здесь же автор. Подобным же образом и сомневаюсь, чтобы целесообразно было на первых же ступенях занятий проводить упражнения в изготовлении детьми прямых углов и квадратов из бумаги (стр. 128— 130); при всей полезности этого упражнения его лучше отодвинуть немного дальше, когда дети в состоянии будут успешнее с ним справляться. Некоторое недоумение возбуждает при этом указание автора: „рисунки приводятся здесь для того, чтобы учитель не пренебрег ими (?) и убедился, что эти упражнения — не игра, а дело, притом серьезное" (стр. 130)—если учитель сомневается в пользе „лабораторных" упражнений, то для его убеждения в целесообразности последних нужны основательные доводы и ссылки на опыт, а не одни только рисунки.

Разбирая вопрос о счете на первой ступени обучения, автор выражает сомнение в пользе упражнений в обратном счете, и говорит даже, что обратный счет—вовсе не счет (стр. 126),

С логической точки зрения это безусловно неверно: если разсматривать натуральный ряд чисел, как ряд символов, следующих друг за другом в определенном порядке, причем каждое следующее число считается больше предыдущего,—то прямой счет будет последовательным переходом от меньших чисел к следующим большим, а обратный—таким же переходом от больших к меньшим (между прочим, на эту логическую точку зрения ссылается и сам автор в примечании на стр. 124, не особенно ясно изложенном). С педагогической же точки зрения упражнения в обратном счете могут принести столь же существенную пользу при вычитании единицы, как упражнения в прямом счете—при прибавлении единицы (3-я ступень, стр. 132).

Я сомневаюсь также, чтобы можно было помочь выработке у детей представления о десятке такими приемами, какие указывает автор на 4-й стунени: „взять десять кубиков в беспорядке, а потом те же десять кубиков сложить в ряд или в столбец, десять спичек взять отдельно, и те же десять спичек связать в пучок, десять кружков нарисовать в беспорядке, а другие десять кружков нарисовать в виде карточной фигуры" (стр. 137). Подобно тому, как понятие о единице возникает у детей (в дошкольном возрасте) лишь тогда,, когда у них есть уже понятие о группах одинаковых предметов (два, много);—и понятие о десятке вырабатывается лишь тогда, когда учащимся приходится встречаться с группами предметов, содержащими несколько десятков или же один десяток и несколько единиц. Это, повидимому, признает и сам автор несколькими строками ниже, когда говорит, что „полезно взять несколько десятков (пучков) „спичек", и показать детям, что они знают, сколько здесь десятков спичек, хотя и не могут сразу сказать, сколько отдельных спичек во всех пучках". Вот почему многие методисты стоят за изучение счета и некоторых действий над круглыми десятками ранее перехода к числам второго десятка, ж надо сказать, что этот порядок имеет за себя известные основания.

На стр. 147—151 автор выясняет, почему он не считает целесообразным знакомить детей с умножением и делением в пределе первого десятка. Он указывает, что в первом десятке слишком мало случаев, когда применение этих действий может дать сокращение записи и рассуждения; в большинстве же случаев те же задачи решаются просто сложением. Конечно, и прохождение умножения лишь на 9-й ступени (после сложения и вычитания в пределе 20) можно считать вполне приемлемым (это— дело вкуса); но соображения автора не опровергают приемов тех методистов, которые изучают умножение (и деление) уже в пределах первого десятка; существенно лишь одно — понятие об умножении должно выясняться на таких задачах, где приходится складывать не менее трех одинаковых чисел, так как лишь в этом случае запись умножения более проста;

Далее отмечу ряд мелких погрешностей. На стр. 151 неточно выражено заглавие 8-й ступени: она включает не только сложение

однозначных чисел с суммою более 10, но и соответствующие случаи вычитания. На стр. 155—156 (как и несколько далее^на стр. 172) есть неверные ссылки на упражнения в „Новых задачниках" того же автора для учителей и учащихся: повидимому, вместо ЛМй 38 и 39 должны быть 42 и 43, а что следует читать вместо № 40 на стр. 156 — мудрено догадаться. На стр. 157 под чертежами перепутаны указания на соответствующие им произведения: 4x3 и 3X4 (а не 3X4 и 4X3, как напечатано). На стр. 159 читаем: „Выбравшись за пределы первых двух десятков, учащиеся могут приобрести более или менее ясные представления о делении..."—тогда как в тексте идет речь как раз о делении чисел второго десятка по содержанию. На стр. 178 имеется запись 20(4, тогда как в тексте идет "речь о делении на две одинаковые части. На стр. 181 читаем: „Для того, чтобы научиться подыскивать надлежащие делимые, делящиеся без остатка на данного делителя, ученики должны пройти целый ряд методически подобранных упражнений....", тогда как здесь говорится как раз о делении с остатком.

Вызывает некоторые возражения и методика деления с остатком на 12-й ступени (стр. 179—182): если учащиеся освоились уже с делением без остатка (по содержанию и на части), то сомнительно, чтобы для разработки деления с остатком требовались такие продолжительные и сложные упражнения, какие рекомендует автор. В особенности усложняет автор деление „на части" с остатком: ему хочется подчеркнуть, что деление „на части" с остатком совершается при одном молчаливо принимаемом условии- чтобы остаток был меньше делителя, и он предупреждает, что задачи с условиями вовсе не так просты в этом случае, как это может показаться начинающему учителю или лицу, не посвященному в вопросы этого порядка" (стр. 181). Затем в виде примерных рекомендуются задачи такого рода: „У учителя было 17 листов писчей бумаги; эту бумагу он роздал пяти ученикам так, что всем досталось поровну; но онъ не разорвал ни одного листа, и у него осталось бумаги меньше, чем сколько получил каждый ученик; сколько листов он роздал, по скольку листов получил каждый из пяти учеников, и сколько листов бумаги осталось у учителя на руках?" Приходится сознаться, что подобные задачи действительно не просты, но это отсутствие простоты введено здесь совершенно искусственно, и приходится, вспоминая предостережение Л. Н. Толстого, опасаться, что урок будет непонятен и незанимателен, раз „учитель объясняет слишком длинно и сложно то, что давно уже понял ученик" (стр. 13). Особенно неуместно здесь указание, что у учителя осталось бумаги меньше, чем получил каждый ученик; если бы раздавать приходилось не 17, а 19 листов бумаги пяти ученикам, то каждый получил бы по 3 листа, а в остатке было бы 4 листа—не меньше, а больше, чем досталось каждому. Подобная же существенная ошибка попадается и в другом примере, приводимом тут же: „если, напр., у мальчика было 18 орехов, и если бы он пожелал разложить их въ 5 кучек, то это ему

не удастся. У него останется меньше, чем сколько попадет в каждую кучку; пусть он оставшиеся орехи съел. Тогда представляются два вопроса: сколько орехов оказалось в каждой кучке и сколько орехов он съел?" (стр. 181). Еслибы автор разобрался до конца в этом примере, то увидел бы, что в каждой кучке окажется по 3 ореха и в остатке тоже 3 ореха, а не меньше*). Далее читаем: „Подобные задачи приведены в „З. д. уч-лей" и в „З. д. уч ков." Они составлены автором книг для того, чтобы учащий, при неопытности, не затруднялся изобретением задач такого рода, когда остаток не может дать дробного частного" (стр. 181). К сожалению, подобные задачи со всеми ошибками и излишними усложнениями воспроизведены и в „Задачнике для учителей" (стр. 59, №Ь 100а) и в „Задачнике для учеников" (ч. I, стр. 69, №№ 103а и 1036), но, как видно, они не только неопытному учителю въ данном вопросе помочь не могут, но и опытного поставят в большое затруднение.

В конце главы (стр. 195—198) автор довольно подробно говорит о тех действиях, которые он признал целесообразным исключить из курса первого года. Это—четыре действия над нулем и некоторые действия над единицей (умножение и деление на 1). По существу его соображения, конечно, вполне правильны (за одним исключением: в умножении на 1, вопреки мнению автора на стр. 197, может встретиться надобность при письменном производстве действий над многозначными числами, напр. при умножении 147 на 31); но мотивировка их слишком растянута и пространна, а ссылки на научную сторону вопроса слишком кратки, чтобы осветить существо дела.

На ряду со всеми указанными недочетами этой главы следует отметить, что автор предлагает и некоторые интересные нововведения, могущие внести наглядность и разнообразие в прохождение курса. Таковы, напр., предлагаемые им приемы изучения нумерации (стр. 139—140, 183—184—нумерация „в лицах"), измерений и лабораторных занятий (стр.169 -172—деление прямой, стр. 187—практическое ознакомление с мерами) и т. д.

Главы пятая и шестая посвящены сложению и вычитанию чисел в пределе первой сотни, а также умножению однозначных чисел и соответствующему делению; а седьмая—остальным случаям умножения и деления в пределе сотни и некоторым сведениям из области нумерации многозначных чисел и действий над круглыми сотнями. Этот материал разделен еще на 13 ступеней, так что всех ступеней в курсе первых двух лет обучения получается 28; этим, по мнению автора, „почти исчерпывается арифметика изустного производства четырех действий" (стр. 199). Приемы вычислений, здесь рекомендуемые, в общем представляют развитие тех, которые были выдвинуты и раньше

*) В 9-м издании ошибки в этих двух задачах исправлены, (в данной задаче указано, что орехов останется меньше, чем сколько всех кучек; а в другой, упомянутой выше—что у учителя осталось листов бумаги меньше, чем сколько было учеников); но и при этом исправлении они остаются громоздкими и неудачно придуманными.

(в пределе 20), и по большей части не вызывают возражений. Можно сделать лишь следующие замечания. Приемы устных вычислений иногда страдают лишним многословием: напр., на стр. 202—203 рекомендуется выполнять устное сложение так: „34 и б!.... 30 так и остается 30, а 4 и 5—девять, 30 да 9—тридцать девять"; „27 да 8... 20 оставим в покое; 7 да 8—пятнадцать; 20 да 15—тридцать пять" (слова „так и остается" или „оставим в покое", по мнению автора, служат для ритма и для ориентирования внимания). Еще многословнее примеры устного вычитания, вроде такого на стр. 211: „80, долой 2 (пауза)! 70 да 10, долой 2; 70 так и остается семдесят; 10, долой 2, будет 8; 70 да 8 семьдесят восемь". Слишком много времени и внимания отводится упражнениям в сложении равных слагаемых, как подготовке к усвоению таблицы умножения (стр. 222); чтобы уяснить детям пользу знания таблицы умножения, на этой ступени вряд ли понадобится много упражнений. Маловразумительны наставления автора на стр. 229 — 230, где он рекомендует учителю обратить внимание на артикуляцию слов в связи с таблицей умножения. Вызывает возражение способ записи деления с остатком (стр. 262— 265), при котором приходится сперва зачеркивать записанное частное, а потом заменять его верным (лучше было бы вовсе не писать цифры частного до его проверки). Напрасно также автор настаивает на том, что квадратным аршином, вершком и т.д.— называется не самый квадрат, а только площадь этого квадрата (стр. 270 —271); какой смысл придать новому термину—это вполне зависит от нас, и весь вопрос здесь не в „правильности", а в целесообразности того или иного словоупотребления.

Есть несколько мелких недочетов. "Несовсем правильно сказано по-русски: 7яблоков (стр. 224). Невполне точно и ясно выражено начало § 19 (стр. 235): „чисел, не делящихся на данного делителя, больше чем чисел, на него делящихся,—исключение составляет только делитель 2. Вследствие этого все деления, при которых получается остаток, могут совершаться, покуда учащиеся не овладели дробью, как частным, только приблизительно". Несомненная опечатка на стр. 246: „задача же: 4 арш. кумачу стоят 40 коп., сколько кумачу можно купить на 30 коп?—требует сначала разделения тридцать коп. на 3, а потом—сорока коп. на 10 коп.." Нельзя признать целесообразным употребление слова „отвесный" в смысле „перпендикулярный" (стр. 275), так как „отвесный"—синоним „вертикального" направления, „перпендикуляр" же может быть и не вертикальным. Наконец, мы встречаемся, повидимому, е обмолвкой на стр. 284, где автор говорит, что деление на нуль „не имеет никакого смысла", тем более, что на стр. 196 он высказывает ту же мысль не столь решительно.

Из числа полезных нововведений, предлагаемых автором в этих главах, следует отметить ознакомление детей с показаниями градусника (стр. 206—207, 217); интересные задачи из области простейших прогрессий, по Лезану (стр. 267—269), упражнения в простейших геометрических измерениях (стр. 270—277).

Все эти нововведения вносят разнообразие в обучение счислению, объединяют арифметику с жизнью и дают достаточный простор самодеятельности детей. Есть еще одно нововведение: это обозначение неизвестного числа в примерах для вычисления буквою ж, что автор усиленно рекомендует (стр. 219—220, 241 — 243, и раньше стр. 194); конечно, это обозначение имеет за собой известные выгоды, но все же приходится признать, что на этой ступени настоятельной нужды в нем еще нет, и вводить его или не вводить—это дело личной склонности учащего.

Последняя—восьмая—глава посвящена вопросу о выразительности речи, жесте и ритме при обучении арифиметике; в примечании автор упоминает, что эта глава написана им в сотрудничестве с г. Черносвйтовой-Хижняковой, преподавательницей пения на педагогических курсах Птгр. Фребелевского о-ва; некоторые же параграфы целиком принадлежат его сотруднице. В принципе, конечно, нельзя не признать большого значения выразительной речи как учителя, так и учащихся; совершенно прав автор, когда, напр., он указывает (стр. 295), что выразительное чтение формул может сделать излишними даже указания на наличность скобок; совершенно верно, что ритм облегчает всякую работу, в том числе и учебную, и можно согласиться с тем, что во-время сделанный выразительный жест иной раз ярко иллюстрирует сущность рассказа. Но, как мне уже приходилось упомянуть выше, автор несомненно придал слишком большое значение этим обстоятельствам в деле выполнения действий и усвоения таблиц сложения и умножения. Ритмическое разучивание таблицы умножения, с сопутствующей маршировкой или без нее, является всетаки только мнемотехническим средством, в роде упоминаемого на стр. 46—47 „пальцевого" способа усвоения труднейшей части этой же теблицы; но, какие бы мы ни применяли средства для скорейшего и легчайшего запоминания таблицы умножения или иного арифметического материала—все же на первом плане должно стоять сознательное усвоение сущности изучаемого вопроса, а все мнемотехнические средства поневоле занимают второстепенное место. Это признает, между прочим, и сам автор на стр. 66, где он говорит: „Для того, чтобы научиться делать какую-нибудь работу ритмически, конечно, необходимо прежде всего ее понять". Думаю также, что для достижения наибольшей ясности при восприятии учащимися условия задачи на „встречу" (стр. 295—296) гораздо большее значение, чем жесты, имеют графические иллюстрации и в особенности иллюстрация „в лицах" (здесь этот последний прием, пожалуй, еще уместнее, чем при изучении нумерации).

Вторая часть труда г. Шохор-Троцкого посвящена методической разработке вопросов, касающихся письменного производства действий над отвлеченными и именованными числами и над дробями обыкновенными и десятичными; вместе с тем разбираются и вопросы, касающиеся решения более сложных задач „арифметического" и „алгебраического" характера, а также и элементарные сведения из области геометрии, которые автор счи-

тает целесообразным внести в курс арифметики начальной школы. Как указывает и сам автор в предисловии (стр. V), переработка книги в данном издании выразилась в более подробном изложении методики четырех действий, в освещении вопроса о применении уравнений к решению арифметических задач, а также и в методической разработке вышеуказанных отделов из области геометрии и землемерия. Эта часть „Методики" у Шохор-Троцкого отличается, в общем, такими же достоинствами, как и первая, промахов же и недочетов содержит сравнительно меньше.

Первая глава (стр. 1—9) представляет краткое введение, в котором автор, между прочим, указывает, на какие ступени он считает нужным подразделить основной курс письменного производства действий над целыми и дробными числами. Этих ступеней оказывается 12 (а вместе с предыдущими 40); следует отметить, как положительную сторону предлагаемой автором последовательности материала, то обстоятельство, что учение об именованных числах у него распределено по курсу арифметики отвлеченных чисел, именно раздробление именованных чисел помещено непосредственно после умножения многозначных чисел, а после деления многозначных чисел идет превращение составных именованных чисел и действия над составными именованными числами (стр. 2); кроме того, совершенно правильно и заслуживает полного внимания указание автора, что во все время изучения письменного производства действий над числами следует ограничиться решением задач средней сложности и не требующих искусственных приемов решения (стр. 4).

Вторая и третья главы (стр. 10—108) посвящены вопросу о письменном производстве действий над целыми многозначными числами. Приемы, рекомендуемые здесь автором, в общем методически целесообразны и направлены к тому, чтобы научить учащихся по возможности сознательному выполнению действий. Можно отметить лишь следующие недочеты На стр. 16 автор совершенно бездоказательно и вразрез с действительностью утверждает, что „способ письменного производства вычитания многозначных чисел несравненно легче способа письменного производства сложения", и делает отсюда вывод, что „поэтому вычитанию следовало бы учить ранее, чем сложению", хотя и указывает, что в своих задачниках он все же сохранил обычный порядок изучения действий, „чтобы не итти вразрез с установившимися привычками". Сомнительно также утверждение автора на стр. 22, будто необходимость подписывать слагаемые друг под другом обнаруживается только начиная со сложения четырехзначных чисел; если дано для сложения не два, а несколько трехзначных чисел, то и в этом случае выгода подписывания слагаемых друг под другом очевидна. Далее на стр. 80—82 автор совершенно напрасно восстает против сокращения нулей в делимом и делителе; он думает, что учащиеся на этой ступени не смогут усвоить данного приема сознательно, в особенности в случаях, когда деление совершается с остатком. Однако можно без труда добиться понимания детьми данного приема сокращенного

деления, если поставить дело на почву задач и примеров на деление по содержанию: напр., разделить 4280 на 40 все равно, что узнать, сколько раз в 428 десятках содержится 4 десятка, и даже в случае деления с остатком вопрос не становится непосильным для понимания учащихся; если нужно разделить 72600 на 600 (авторский пример на стр. 80), то это все равно, что узнать, сколько раз в 726 сотнях содержится 5 сотен, и мы получаем в частном 145 и в остатке 1 сотню затем, черезчур детально и многословно изложен вопрос о делении на закруглимые и незакруглимые числа (стр. 82—101); совершенно излишни буквенные формулы закруглимых и незакруглимых чисел (стр. 84, 87, 88—примеч.); вряд ли можно сказать, что „закругление делителя облегчает отыскание частного, но не влияет на остаток (стр. 91). Есть еще более мелкие недочеты в этом отделе: напр. на стр. 47 неловко сказано: „взять какое, нибудь число-напр. 37 кубиков 20 раз"; на стр. 53 опечатки в умножении, обозначенном славянскими цифрами (вместо умножения 274X10=2740 выходит в славянской транскрипции 274ХЮ=ЯШ); на стр. 82 ошибка в примерном умножении: 2456x407=999592, а не 999602, как напечатано; на стр. 90 также существенная опечатка: число 421 довольно близко к двумстам (очевидно, к четыремстам).

Глава четвертая (стр. 109—171) посвящена вопросу о действиях над составными именованными числами и некоторым сведениям о дробях. Приемы изучения действий над именованными числами не вызывают возражений, можно лишь отметить, что автор в примерных вычислениях нередко берет многосоставные именованные числа (напр., стр. 115—и раньше стр. 63), против целесообразности которых он сам же высказался раньше (стр. 61); сомнительно также, чтобы было „изящнее не только с внешней стороны, но и с математической точки зрения" записывать составные именованные числа со вставленными знаками+между единицами последовательных наименований (стр. 118—121). Остальная часть этой главы изложена несколько несистематично; закончив вопрос об именованных числах на стр. 134, автор указывает, Что „рассмотренными выше тридцатью девятью ступенями, строго говоря, заканчивается курс арифетики натуральных чисел", а затем делает отступление в сторону и посвящает несколько страниц вопросам об изустных вычислениях, о методе целесообразных задач и наглядных пособиях в курсе арифметики письменного производства действий и даже об обучении четырем действиям в старинной школе (стр. 138). После этого на стр. 140 начинается изложение материала сороковой ступени, формулированное таким образом: „отдав себе отчет в особенностях всего курса арифметики письменного производства четырех действий над целыми числами, обратимся к следующей ступени. Сороковая ступень посвящена преимущественно учениям, относящимся до дробей (обыкновенных и десятичных). К этой области отнесены: деление круга на шесть равных частей, составление правильного шестиугольника из равных между собою равносторонних треугольников, вычерчивание так называемых розеток и т. п."

(стр. 141—142). Из дальнейшего однако оказывается, что к этой ступени отнесено раздробление некоторых дробей в более мелкие доли и обратное их преобразование (наглядными способами с помощью деления на части прямой линии и квадрата), а также ознакомление с простейшими десятичными дробями (десятыми, сотыми, тысячными), с обращением простейших обыкновенных дробей в десятичные и с понятием о проценте; затем изучаются важнейшие сведения о метрической системе мер, с применением изученного о десятичных дробях к установлению соотношений между главнейшими метрическими мерами и русскими. В общем, поскольку можно заключить из содержания второй половины этой главы, изучаемый здесь цикл сведений о дробях приноровлен к вопросу о метрической системе и соотношениям ее мер с русскими; но все таки объем этого цикла дробей остается несколько неопределенным. Есть и более мелкие недочеты. На стр. 151—152 даны рисунки, иллюстрирующие, повидимому, величину диаметра серебряного пятиалтынного но; рисунки эти весьма непонятны, и трудно согласиться с утверждением автора на стр. 153, будто „изображенные на рисунках 18, 19 и 20 манипуляции полезны, между прочим, и для углубления познаний учащихся относительно круга, диаметра, касательных прямых, параллельных прямых, расстояний между двумя параллельными и т. п." (между прочим, эти самые загадочные картинки изображены и на стр. 127 „Нового арифметического задачника для учеников", г. III). На стр. 155 невполне точны единичные отношения квадратного и кубического метра к русским мерам: 1 кв. метр=506, 12 кв. вершк. (а не 506, 13 кв. в., как напечатано); 1 куб. метр=11386, 35 куб. в. (а не 11386, 41 кв. в., как напечатано на стр. 155).

В заключение этой главы автор останавливается на особенностях курса дробей в начальной школе и на желательном характере задач; он совершенно верно указывает, что в основной курс должны войти только те преобразования и действия над простейшими обыкновенными и десятичными дробями, которые имеют практическое значение, т.-е. сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями (а в простейших случаях и с различными знаменателями), умножение и деление дроби на целое число; умножение же и деление на дробь подлежит усвоению только в том случае, если на это имеется достаточное количество времени, так как и без изучения умножения и деления на дробь учащиеся смогут решать задачи, касающиеся нахождения части от данного целого и наоборот (стр. 159—161). Заслуживают также полного внимания настойчивые указания автора на необходимость упразднения из курса начальной школы очень сложных задач с искусственным методом решения (стр. 167—168), хотя он, уступая существующей практике, включает их в некотором объеме в курс четвертого года начальной школы.

Главы пятая и шестая (стр. 171—284) посвящены вопросам о систематизации и дополнении курса целых чисел и дробей в четвертый год обучения; эти вопросы распределены еще на семь

ступеней (с 41-й по 47-ю) и сводятся к следующему перечню: уяснение смысла четырех действий над целыми числами; изучение некоторых способов сокращенных вычислений в связи с изменением результатов действий; некоторые дополнения из области именованных чисел (задачи на вычисление календарных промежутков времени) и геометрии (понятие о прямом угле и перпендикуляре, вычисление площади параллелограмма, треугольника, трапеции, многоугольника; объема прямоугольного параллелепипеда и некоторых других тел призматической формы; вычисление площадей взвешиванием); изменение дроби при изменении её числителя и знаменателя и расширение сведений о приведении дробей к общему знаменателю и сокращении дробей; умножение и деление на дробь; простейшие процентные вычисления; итальянская практика в применении к решению задач на тройные правила и процентные вычисления.

Автор полагает, что в начальной школе достаточно ограничиться пониманием учащимися смысла действий, а это достигается рассмотрением подходящих конкретных примеров; усвоение же учащимися тех или иных определений он считает необязательным. С этой основной мыслью можно вполне согласиться, равно как и с следующими методическими указаниями, которые он дает учителю на случай, если—последний все же пожелает достигнуть усвоения некоторой системы определений: „а) определений не должно давать в готовом виде, они должны быть выводимы самими учениками из примеров и с помощью товарищей и учителя; б) окончательную форму определению может придать учитель, который должен постараться о том, чтобы ученики к ней приблизились, благодаря классной работе; в) определение не должно быть даваемо непременно в такой форме: сложением называется действие и т. д...; согласно современным требованиям логики, этим определениям можно придать и такую форму: сложить два числа, или одно число с другим, значит найти.... и т. д." (стр. 197—198). Но приходится указать, что данный отдел изложен несколько многословно; к некоторым частным вопросам автор возвращается дважды на стр. 171—204; определение суммы выражено один раз так: „суммою называется число, которое можно получить, присчитав единицы одного числа к единицам другого (стр. 172), а другой раз так: „суммою данных чисел называется то число, которое можно получить, сосчитавши, сколько всего единиц во всех данных числах" (стр. 197; по-моему, первое определение заслуживает предпочтения); недостаточно определенно выяснена теоретическая и методическая сторона вопроса о действиях с нулем и об умножении на 1 (стр. 179—188); нельзя согласиться ни с теоретическим осуждением „записок", составляемых под руководством учителя (стр. 195—все зависит от того, как ведутся эти. записки, и у хорошего учителя они принесут большую пользу учащимся, а у плохого пойдут им во вред), ни с требованием, „чтобы окончательная форма определения была согласна с установленной в учебнике" (стр. 197).

Сведения из области геометрии изложены в довольно общей форме, что и естественно: тот или иной их объем зависит от количества свободного времени, имеющегося в распоряжении учителя; но следовало бы указать, что для определения площади круга имеется и другой способъ, помимо взвешивания—это разрезание модели круга на узкие секторы и составление из них фигуры, похожей на параллелограмм или прямоугольник. Очень неопределенны указания относительно вычисления объемов тел призматической формы (стр. 229); лучше было бы или вовсе не давать этих указаний, или дать их в достаточно подробном виде. На стр. 222. очевидная опечатка: „последний (т.-е. параллелограмм) обратится в прямоугольный треугольник (очевидно, должна быть—прямоугольник). Есть еще существенные опечатки ностр. 227: „умножить на смешанное число 37/2о значить помножить множимое на 7До или сначала помножить множимое на 3, потом то же множимое на 37/2о» и полученные два числа сложить; и на стр. 229—230: „площадь всякого круга, как известно, в три с лишком раза больше площади г квадрата, построенного на радиусе этого круга, или точнее (но тоже приблизительно)—равна устороенной площади этого квадрата, сложенной с одной седьмой долей того же квадрата".

Отдел действий над дробями по существу не вызывает возражений; заслуживает, между прочим, только одобрения мысль автора о желательности ознакомления учащихся с понятием об умножении и делении на дробь, но при условии, чтобы эти действия выяснялись на почве целесообразных задач и толковались бы, как определенные формы сокращенной речи и записи: „все дело только в том, чтобы учащиеся усвоили, что когда говорят: умножить на 3/4, то эти четыре слова заменяют собою только следующие 13 слов: сначала надо найти одну четверть данного числа, а полученное число помножить на 3 и т. п." (стр. 252). Автор указывает, между прочим, как выяснить учащимся целесобразность этого определения (стр. 254) и какую дать ему геометрическую иллюстрацию (стр. 256), Но приходится отметить, что данный отдел изложен в общем несколько многословно, несистематично и расплывчато, напр. вопрос об умножении на дробь затронут мимоходом (и совершенно некстати) на стр. 226—227, затем на стр. 245—246 (и тоже некстати), и наконец уже рассматривается по настоящему на стр. 250—257; вопрос о делении на дробь автор склонен скорее не включать в курс начальной школы (стр 258), но немного далее говорится: „Если учащиеся усвоили себе смысл термина: умножить на дробь, то им легко (хотя и не в той же ступени) усвоить себе также смысл термина: разделить на отвлеченную дробь" (стр. 265).

В связи с вопросом об умножении и делении на дробь рассматриваются и некоторые процентные вычисления, причем автор совершенно верно подчеркивает, что процент нужно понимать только как сотую часть числа и на этом принципе строить и методы процентных вычислений; указывает он и на желательность применения к задачам на проценты того способа вычи-

олений, который известен под названием итальянской практики. Приходится и здесь отметить некоторое многословие и несистематичность на стр. 287—294, а на стр. 289—291 вычисления, повидимому, недостаточно продуманы; если дана задача:" 3Д арш. сукна обходится в 4 р. 62г/2 коп.; во что обойдутся 7% арш.?"— то для её решения, вместо всех довольно сложных вычислений, приводимых на стр. 290, достаточно сообразить, что 71/2 арш. в 10 раз больше, чем 3/4 аРш- (7 Va составляет 3Д от ДО), а след. и цена искомого количества сукна будет в 10 раз больше, чем 4 p. 62V2 к., т.-е. 46 р. 25 к.; далее, если требуется вычислить, какую прибыль принесет за год капитал в 256 р., отданный по 7% (стр. 291), то для этого нет никакой надобности вычислять сперва 1% (2 Р- 56 к.), потом 6% (15 р. 36 к.) и, наконец, путем сложения и 7% (17 р. 92 к.), а совершенно достаточно, найдя 1% от капитала, умножить полученное чило сразу на 7. Очевидной обмолвкой является и утверждение автора на стр. 291, будто „во всяком случае задачи на так назыв. простое тройное правило не принадлежат к числу встречающихся в жизни".

Следующие четыре главы (VII—X) посвящены вопросам о некоторых случаях взаимной зависимости величин в арифметике (зависимость между результатами действий и данными числами, прямая и обратная пропорциональность величин) и решению сложных задач „арифметического и „алгебраического" характера, а также некоторым дополнительным сведениям из геометрии (глава IX).

В общем этим вопросам посвящается еще девять ступеней школьного курса, так что число всех методических ступеней достигает 56-ти. Изложение вопросов, разбираемых в главах седьмой, восьмой и десятой, несомненно могло бы быть значительно сокращено без ущерба для дела; напр. незачем было столь подробно распространяться о способах решения сложных задач, еели сам автор считает, что задавание таких задач является пережитком старины (стр. 331) и вообще противоречит требованиям здравой педагогики. В главе девятой излагаются способы прохождения с учащимися вопроса о подобии фигур, измерениях на земной поверхности и съемке планов, а также повторяются более подробно указания насчет вычисления поверхностей и объемов некоторых тел; следует признать, что и эта глава редактирована довольно небрежно, так как, напр., вопрос о вычислении площади круга, разбиравшийся раньше в У и YI главах (стр. 230 -278), повторяется здесь снова на стр. 435—436; небрежность редакции отражается и в самом построении суждений, напр. на стр. 435 читаем: „положив модель круга на одну чашку весов, а остальные четыре фигуры на другую, убедимся, что площадь круга приблизительно равна площади остальных четырех фигур". На стр. 436 автор говорит об измерении длины окружности, хотя этот вопрос, как сравнительно легкий, несомненно должен бы быть отнесен к одной из предыдущих глав; тут же указывается, что сравнение объема пирамиды и соответствующей призмы или конуса и соответствующего

цилиндра можно произвести при помощи насыпания песку в полые жестяные модели и взвешивания его; но, конечно, проще сравнить вместимости этих моделей непосредственно помощью пересыпания песку или переливания воды.

Есть и мелкие погрешности: напр. на стр. 314—315 слишкомъ многословно изложены законы изменения частного; на стр. 316 весьма неясно суждение, относящееся к вопросу о пропорциональности величин: „учение о пропорционалоности некоторых величин сводится, как известно, к тому, что при всех прочих одинаковых условиях значения некоторой величины прямо или обратно пропорциональны соответствующим значениям некоторой другой к которой она находится именно в этой функцинальной зависимости"; на стр. 414, при изложении вопроса о весах с четырьмя чашками, иллюстрирующих преобразование уравнения, говорится, что „крайняя слева чашка подымемся тогда как на самом деле она опустится (и самый-то прием страдает некоторой искусственностью); на стр. 440 есть опечатки в числах в задаче о лавочнике, и т. п.

В последней XI главе (стр. 462—490) излагается ряд методических указаний относительно продолжительности классных занятий арифметикой с каждым отделением начальной школы, характера обучения и повторения, проверки познаний учащихся, письменных работ, подготовки учителя к урокам, родной речи на уроках арифметики и т. п. Здесь есть много вполне верных и очень важных указаний, к которым нельзя не присоединиться,, напр. относительно характера обучения, относительно непедагогичности пользования готовыми ответами на задачи и т. п.; вызывает сомнения лишь вопрос об оценке экзаменов: хотя автор и полагает, что „постановка экзаменов должна быть такова, чтобы экзамены были источником радости, а не огорчения учащихся", но такая цель вряд ли достижима, а при правильной постановке школьного дела экзамены попросту становятся ненужными и для учащихся, и для учителя.

Подводя итоги всему предыдущему, я сказал бы, что разбираемое сочинение г. Шохор-Троцкого представляет собою труд, заслуживающий несомненного внимания и, в общем, высокой оценки. Его достоинством является то, что он дает систему методических указаний, построенную на широких принципиальных основах, вполне гармонирующих с основными идеями современной педагогики. Его отрицательная сторона сводится к тому, что основные принципы изложены иногда догматично, а предлагаемые указания порою слишком подробны и детальны, и оставляют мало простора для самодеятельности учителя; есть и отдельные немаловажные промахи, обусловленные недостаточно тщательной обработкой того или иного частного вопроса. Но в общем положительные стороны труда, бесспорно, берут перевес над указанными недочетами, и можно не сомневаться, что народный учитель сумеет с пользой для дела осуществить многие советы автора. К. Лебединцев.

Краткий указатель учебной литературы по математике и методике математики.

И. Чистяковъ (Москва.).

Руководителям различных педагогических курсов хорошо известна крайняя неосведомленность их слушателей относительна существующей учебной литературы но любому предмету. В частности, оказывается крайне недостаточным и знакомство учителей с современной литературой по преподаванию математики. В виду этого, мы помещаем здесь список книг, заслуживающих внимания и ознакомления со стороны преподавателей математики 1-й и 2-й школьной ступеней. Не все вошедшие в этот список сочинения одинаково ценны, некоторые из них не лишены даже довольно существенных недостатков, но во всех из них преподаватель найдет много полезного материала по вопросу о современном ведении обучения математике.

I. Сочинения, посвященные общим вопросам преподавания математики.

Дж. Юнг. Как преподавать математику, пер. А. Р. Кулишер. В 2-х выпусках.

М. Симон. Дидактика и методика математики, пер. Яшунского.

Шохор-Троцкий. Методы первоначального обучения математике. Изд. Педагогической Академии. T. II, ч. 1-я.

Володкевич. К вопросу о реформе преподавания математики.

Лебединцев. Метод преподавания математики в старой и новой школе.

Сборник программ и инструкций по преподаванию математики в З Европе. Под ред. проф. Синцова.

Труды 1-го Всероссийского Сезда преподавателей математики в СПБ.

Доклады, читанные на 2-м Всероссийском С'езде преподавателей математики въ Москве.

Дневник 2-го С'езда.

Васильев. Введение в анализ. Вып. I и II.

Ройтман. Значение математики, как науки и как общеобразовательного предмета.

Новые идеи в математике. Под ред. А. Васильева.

Щербина. Математика в русской средней школе.

Пуанкаре. Наука и метод. Пер. под ред. В. Кагана.

II. Арифметика, методика арифметики и задачники.

Э. Эрн. Очерки по методике арифметики.

В Барицкий. Очерки по методике начального курса арифметики.

Д. Волковский. Руководство к Детскому миру в числах, ч. I и II и задачник ..Детский мир в числах", ч. I, II, III.

И. Мундт. Новый путь. 1-й год обучения арифметике. Руководство для преподавателя и задачник. Пер под ред. В. Романова.

В. Лай. Руководство к первоначальному обучению арифметике. Пер. под ред. Волковского.

Д. Галанин Введение в методику арифметики.

Д. Галанин. Методика арифметики. 1-й год обучения, 2-й год обучения.

И. Штеклин. Методика арифметики. Пер. под ред. Волковскаго. 3 выпуска.

Его же. Задачник, 8 выпусковъ.

Мукалов. Заииски по методике арифметики.

Его же. Лабораторный метод изучения арифметики.

Уэнтворт и Рид. Первоначальная арифметика. Пер. под ред. Волковского.

Литцманн. Преподавание арифметики в Германии. Пер. Бема и Струве, под ред А. Волкова.

Литвинский. Изучение арифметики детьми.

Глаголева. Лабораторный метод в преподавании арифметики.

Енько. Лабораторный метод обучения начальному счету.

Его же. Справочник по начальному счету.

Лодж. Легкая математика. Пер. Томилина.

Герлах. Как преподавать арифметику в духе творческого воспитания.

С. Шохор-Троцкий. Методика арифметики для учителей начальных школ, в 2 частях.

Его-же. Новый арифметический задачник для учеников начальных школ, в 4 частях.

Его же. Методика арифметики для учителей средних учебных заведений.

Ф. Егоров. Методика арифметики, 6-е изд.

С. Житков. Методика арифметики.

Бернашевский и Звягинцев. Живой счет. Иллюстрированный сборник арифм. задач и упражнений, 3 вып.

Их же. Задачник взрослых.

Горбунова и Цунзер. Живмя числа. Задачник.

Рачинский. 1001 задача для умственных вычислений.

Ж. Таннери. Курс теоретической и практической арифметики. Пер. под ред. Волковского.

Э. Борель. Арифметика. Пер. под ред. Волковского.

Н. Извольский. Арифметика, ч. 1 и II.

Кюрзен. Систематический курс арифметики.

А. Воронец. Сборник арифметических упражнений и задач для 1-го кл. средн. учебных заведений.

И. Грацианский. Сборникъ арифметических упражнений и задач.

III. Геометрия, методика геометрии и задачники.

A. Кулишер. Методика и дидактика начального курса геометрии.

Его же Учебник геометрии. Курс подготовительный.

Трейтлейн. Методика геометрии. 2 части.

Беллюстин. Очерки по методике геометрии.

Шохор-Троцкий. Геометрия на задачахъ. 2 книги для учащих и учащихся.

Н. Извольский. Начальный курс геометрии. Упражнения к начальному курсу геометрии (въ отд. книге).

Его же. Геометрия на плоскости. Геометрия в пространстве.

Поль Бер. Начатки опытной геометрии. Пер. под ред. Гатлиха.

В. Кэмпбель. Наглядная геметрия.

Юнг. Грация. 1-я книжка по геометрии.

Долгов. Начальная геометрия и сборник упражнений по начальному курсу геометрии.

Маркович. Геометрия пространства.

Ройтман Курс элементарной геометрии.

Борель. Геометрия.

Астряб. Наглядная геометрия.

Маркус. Наглядная геометрия.

А. Никитин. 1-я ступень из геометрии. 2-я ступень из геометрии.

В. Гебель. Наглядная геометрия в задачах и примерах. Сост. по А. Гринбрук

Фауссек. Бумажное царство.

Карасев. Геометрия на подвижных моделях.

Филипс и Фишер. Элементы геометрии. Пер. под ред. Мрочека.

Глаголев. Геометрия и собрание задач.

Александров. Методы и решения геометрических задач на построение.

Лермантов. Применимая геометрия, основанная на опыт.

Вихерт. Введение в геодезию.

Н. Рыбкин. Сборник геометрических задач на вычисление. Ч. I. Планиметрия. Ч. II. Стереометрия.

Долгушин. Систематический курс геометрии.

Тер-Степанов. Сборник геометрических задач на вычисление. Ч. I. Планиметрия. Ч. II. Стереометрия.

Дианина. Опыт нагляднаго ознакомления с основными понятиями теории пределов.

Н. Зверев. Элементарная геометрия. Ч. I. Планиметрия. Вып. I и II.

В. Ефремович. Наглядная стереометрия (чертежи для приготовления стереометрическихъ моделей.).

Белянкин. Задачи по стереометрии (с решениями).

В. Каган. Задача обоснования геометрии.

Адлер. Теория геометрических построений. Пер. Шатуновского.

IV. Алгебра, графическое представление функций и задачники.

К. Лебединцев Курс алгебры для средних учебных заведений. Ч. I и II.

Его же. Концетрическое руководство алгебры.

В Каган. Что такое алгебра.

Граве. О преподавании элементарной алгебры.

Левитус. Курс элементарной алгебры.

Лермантов. Курс применимой алгебры.

Граве. Начала алгебры. Классное руководство для средних учебных заведений.

С. Виноградов. Повторительный курс алгебры.

Д. Галанин. Начальная алгебра в связи с пропедевтическим курсом геометрии.

Д. Бем, А. Волков и Р. Струве. Сборник упражнений и задач по элементарному курсу алгеоры. Ч. I и II.

Д. Бем А. Волков и Р. Струве. Сокращенный сборник упражнений по элементарному курсу алгебры.

Фербер. Арифметика (развитие понятия числа). Пер. Бема и Струве, под ред. Волкова.

Трубин. Применение графического метода к решению и исследованию уравнений.

Лебединцев. Систематический сборник задач по курсу алгебры.

Н. Извольский. Сборник алгебраических задач. Ч. I и II.

А. Воронец. Таблицы логарифмов и справочник.

Вульф и Цинзерлинг. Элементарная алгебра.

Е. Пржевальский. Собрание алгебраических задач для учеников старших классов средн. учебн. зав. 3 вып.

V. Тригонометрия.

С. Глазенап. Прямолинейная тригонометрия. Ч. I. Решение треугольников. Ч. II. Гониометрия.

Егунов и Янович. Курс тригонометрии для средн. учебн. заведений.

Слетов. Прямолинейная тригонометрия.

Рыбкин. Учебник прямолинейной тригонометрии.

В. Шидловский. Курс прямолинейной тригонометрии.

Э. Борель. Тригонометрия. Пер. под ред. проф. Салтыкова.

Злотчанский. Прямолинейная тригонометрия для средн. учебн. заведений.

Тиме. Прямолинейная тригонометрия (с историческим очерком.).

И. Тер-Степанов. Сборник тригонометрических задач.

VI. Начала высшей математики.

Поляков. Начала аналитической геометрии на плоскости. Пропедевтический курс для коммерч. училищ.

Виноградов. Краткий курс аналитической геометрии и диференциального и интегрального исчислений.

В. Свенцицкий. Краткий курс аналитической геометрии на плоскости.

Пенионжкевич. Основания аналитической геометрии.

Проф. Д, Синцов. Краткий курс аналитической геометрии на плоскости.

А. Волков и А. Поляков. Лекции по высшей метематике. Вып. 1. Аналитическая геометрия.

Лоренц. Элементы высшей математики. Пер. с дополнениями В. Шереметьевского.

М. Попруженко. Материалы по методике анализа безконечно-малых в средней школе.

М. Попруженко. Начала анализа.

Пенионжкевич. Основания анализа безконечно-малых.

И. Горский. Начала высшого анализа.

В Грэнвилль. Элементы диференциального и интегрального исчислении, пер. Маракуева.

Проф. А. Власов. Курс высшей математики.

Н. Билибин. Основания анализа безконечно-малых.

Белянкин. Задачи по аналитический геометрии на плоскости (с указанием решений).

VII. История элементарной математики и математические развлечения.

В. Бобынин. Лекции по истории математики.

В. Бобынин. Физико-математические науки в их прошедшем и настоящем состоянии (журнал).

А. Васильев. Из истории и философии понятия о целом положительном числе.

В. Лебедев. Очерки по истории точных наук. 3 выпуска.

Д. Галанин. Л. Магницкий и его арифметика.

Башэ. Игры и задачи, основанные на математике.

В. Беллюстин. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики.

Е. Игнатьев. В царстве смекалки. 3 выпуска,

Е. Игнатьев Математическая хрестоматия. Кн. I и II.

Р. Киричинский. Математический словарь.

И. Тропфке История элементарной математики. T. I. Арифметика, перев. Бема и Струве под ред. Чистякова.

Белянкин Краткий очерк истории развития математики.

Ф. Кэджори. История элементарной математики. Пер. под ред. И. Тимченко.

Шуберт. Математические развлечения и игры.

Тромгольт. Игры со спичками.

С. Роу Геометрические упражнения с куском бумаги.

Е. Лефлер Цифры и цифровые системы культурных народов.

Фурре. Очерк истории элементарной геометрии.

Ю. Виппер. 45 доказательств Пифагоровой теоремы.

В. Бобынин. Философское, научное и педагогическое значение истории математики.

Новые книги:

Гимназия на дому. Арифметика, вып. 1 и 2. Краткий курс геометрии вып. 1 и 2. П. Книгоизд. „Благо".

Р. Рэс. Упрощенное счисление. Пер. съ нем. Л. Филлер. П. 1917. Книгоизд. „Благо".

К. Лебединцев. Математика в народной школе. 1-я ступень. М. 1918—19. Ц. 3 р.

Стратонов. Краткий курс космографии (начала астрономии), стр. VI+132. Москва, 1918. Ц. 4 р.

Малышев. Арифметика, ч. I (целые числа), стр. 78. Рыльск, 1918. Ц. 2 р. 50 к.

Дубровский. Простые физич. приборы, съ добавл. „наглядн. пособия по космографии". 4-е (посмертн.) изд. под ред. Дрентельна, стр. 144. Изд. „Задруга". М. 1917. Ц. 2 р. 75 к.

Бачинский. Физика для ср.-уч. завед. Вып. III (учение о магнетизме в электричестве), стр. 292. М. 1918. Изд. Сытина. Ц. 5 р. 50 к.

От Отдела Реформы Школы.

Во изменение условий конкурса на составление сборников задач цо матиматике для 1-й ступени Единой Школы, объявленного Народным Комиссариатом Просвещеня и напечатанного в № 1—2 еженедельных бюллетеней Отдела Реформы Школы „Трудовая Школа" и в JV« 1 журнала „Математика в Школе", Отдел Реформы Школы извещает, что премии повышены для I — 2ö,000 p., II —15,000 р. и III — 10,000 р. за сборник задач для всех пяти лет. Срок представления рукописп продлен до 1 июня 1919 г.

Отдел Реформы Школы обращается ко всем, имеющим последнее издание книги „Mann and Twiss-Physics" (Мэн и Твисс—Физика), вышедшее в Америке после 1910 г., доставить таковое во временное пользование в Народный Комиссариат Просвещения (Остоженка, уг. Крымского проезда, 53), в Отдел Реформы Школы (комн. 90).

Продолжается подписка на еженедельный журнал

„НАРОДНОЕ ПРОСВЕЩЕНИЕ",

издаваемый Народным Комиссариатом по Просвещению.

Подписная плата: в год—30 р., на 6 месяцев—15 р., в месяц—2 р. 50 к.

отдельный №—85 коп.

Печатается № 29.

1) А. В. Луначарский. Борьба за душу.

2) Л. Г. Шапиро. „Октябрь" второй ступени.

3) А. Окуньков. Единая трудовая школьная коммуна.

4) Е. Ш. Организация учительства.

5) Л. Шапиро. Подготовка нового учителя.

6) И. Вихирев. Высшая школа и социальное обеспечение студенчества.

7) Ем. Ярославский. Сельскохозяйственное образование (с'езд комбедов).

8) Трудовые процессы по наглядным пособиям.

9) Ломакин. Привлечение активных и сознательных сил трудового населения к школьному строительству.

Библиография.

Федоров-Гартвиг. Трудовая школа и коллективизм В. Шульгин.

Никитинский. Пища, одежда и жилище и т. д. О. Вольберг.

Клетнова. Изучение родного края О. Вольберг.

Кроме того: богатый отдел хроники, извещения и оффициальный отдел.

Издательским подотделом Отдела Реформы Школы К. Н. П. выпущены следующие книги:

Блонский, П. Трудовая школа, ч. I.

я „ п Ч. II. (печатается).

Крупская, Н. Школьное самоуправление и школьная община.

Фария-де-Васконселлос. Новая школа в Польше.

Проф. Никитинский, Я. Пища, одежда и жилище в их взаимной связи.

Лебединцев, К. Руководство алгебры.

Печатается и выйдет весною 1919 г.

Лакур и Аппель. Историческая физика.

Мэнхен. Секрет искусного счетчика.

Лебедев, В. Очерки по истории точных наук.

Ушаков. Введение в науку о языке.

Шуру. История культуры.

Волконский. Законы речи и правила чтения.

Киршенштейнер. Развитие худож, творчества ребенка.

Фолль, К. Опыты сравнительного изучения картин.

Янжул, Е. Американская школа.

Дюи. Школа и ребенок.

Золотницкий. Живая природа в школе.