Томъ I.

№ 1, 2

МАТЕМАТИКА ВЪ ШКОЛѢ.

Изданіе Отдѣла по Реформѣ Школы при Комиссаріатѣ Народнаго Просвѣщенія.

Іюль—Августъ 1918 г.

МОСКВА.

Типо-литіографія Русскаго Товарищества Печатнаго и Издательскаго дѣла

Чистые пруды, Мыльниковъ пер., соб. домъ. Телеф. 18-36.

НА ДНЯХЪ ВЫЙДЕТЪ

ИЗЪ ПЕЧАТИ БРОШЮРА

М. Н. Знаменскаго

„МАТЕМАТИКА ЛѢТОМ“

(къ вопросу о работахъ математическаго характера въ лѣтнихъ школьныхъ колоніяхъ).

Цѣна 75 коп.

Изданіе Отдѣла Реформы Школы Народнаго Комиссаріата по Просвѣщенію.

СКЛАДЪ ИЗДАНІЯ:

Остоженка, 53. Отдѣлъ Снабженія Комиссаріата Просвѣщенія.

„Математика въ школѣ“.

Годъ I. Іюль—Августъ, 1918 г. № 1—2.

Содержаніе: Отъ редакціи.—Цѣли и методы преподаванія математики въ новой школѣ. I. Чистяковъ. — Къ вопросу о математикѣ въ новой школѣ. В. Добровольскій.— Математика въ трудовой школѣ. О. Вольбергъ. — Теорема Лемуса, Э. Лейнѣкъ— Графическій методъ въ школѣ. В. Добровольскій.—О произвольно маломъ членѣ убывающей геометрической прогрессіи. Е. Томашевичъ.—Матетатическія замѣтки. В. Городковъ.—Нѣсколько словъ объ учебникахъ. О. Вольбергъ.— Проектъ примѣрнаго плана занятій по математикѣ на первой ступени единой трудовой школы.—Конкурсъ на составленіе сборниковъ задачъ по математикѣ для 1-й ступени единой школы.— Хроника.— Задачи.— Библіографія.— Новыя книги.

Отъ редакціи.

Журналъ „Математика въ школѣ“, издаваемый отдѣломъ по реформѣ школы при Комиссаріатѣ Народнаго Просвѣщенія, какъ показываетъ его названіе, имѣетъ своею цѣлью разработку вопросовъ преподаванія математики и соприкасающихся съ нею областей знанія на различныхъ ступеняхъ обученія, особенно на низшей и средней ступени. Необходимость общей новой разработки педагогическихъ вопросовъ, когда русская школа, вмѣстѣ со всей русской жизнью перестраивается на новыхъ основаніяхъ, является совершенно очевидной. Но для математики, какъ учебнаго предмета, имѣются и особыя причины, вызывающія необходимость въ данное время коренного пересмотра учебныхъ плановъ, программъ и въ особенности методовъ ея преподаванія. Такими причинами являются: быстрый прогрессъ самой математической науки, влекущій необходимость обновленія и пересмотра учебнаго матеріала и колоссальное развитіе приложеній математики въ практической жизни, дѣлающее знакомство съ основами математики для всѣхъ гораздо болѣе необходимымъ, чѣмъ это было ранѣе. Въ виду этого, въ послѣднее время во всѣхъ странахъ началась обширная работа по обновленію преподаванія математики, выразившаяся въ особенности въ дѣятельности извѣстной Международной Комиссіи по реформѣ математическаго образованія.

Помѣщая въ журналѣ главнымъ образомъ статьи методическаго характера, редакція предполагаетъ также удѣлять мѣсто статьямъ и замѣткамъ чисто математическаго содержанія. Сверхъ того, будутъ помѣщаться очерки по исторіи математики и ея преподаванія, математическая хроника, обзоры журнальной и учебной математической литературы и библіографія. Редакція считаетъ также полезнымъ помѣщеніе отчетовъ о засѣданіяхъ педагогическихъ обществъ и математическихъ кружковъ, свѣдѣнія о курсахъ и съѣздахъ преподавателей математики и пр. Наконецъ, въ журналѣ будутъ помѣщаться задачи для учащихъ и учащихся и рѣшенія къ нимъ.

Особое мѣсто будетъ отведено сообщеніямъ о работахъ подкомиссіи по реформѣ преподаванія математики при Комиссаріатѣ Народнаго Просвѣщенія.

Редакція въ заключеніе позволяетъ себѣ выразить надежду, что „Математика въ школѣ“ вызоветъ вниманіе и интересъ среди русскихъ педагоговъ къ дѣлу математическаго образованія и послужитъ ему на пользу.

Цѣли и методы преподаванія математики въ новой школѣ*).

І. Чистяковъ. (Москва).

I.

Главной цѣлью преподаванія математики въ школѣ обычно ставится формальное умственное развитіе учащихся, т.-е. развитіе и повышеніе въ нихъ способности къ правильному логическому мышленію. И дѣйствительно, математика, какъ наука, имѣетъ, повидимому, всѣ данныя для того, чтобы изученію ея можно было приписать подобное свойство воздѣйствія на мыслительную способность. Такъ, основныя понятія ея немногочисленны и въ высшей степени просты, но въ то же время отличаются чрезвычайной абстрактностью и общностью, таково, напр., понятіе о величинѣ. Изъ этихъ понятій и небольшого числа основныхъ истинъ, — аксіомъ, постулатовъ, опредѣленій, — все содержаніе науки развивается и выводится съ помощью дедуктивнаго метода рядомъ совершенно строгихъ сужденій и умозаключеній. Раз-

*) Докладъ, прочитанный на засѣданіи математической секціи по реформѣ школы 31-го мая 1918 г.

сматриваемые вопросы при этомъ могутъ трактоваться съ исчерпывающей полнотой; доказательства обладаютъ непререкаемой солидностью и убѣдительностью; всѣ сдѣланные выводы допускаютъ провѣрку и изслѣдованіе. Для самыхъ тонкихъ логическихъ построеній математика даетъ весьма благодарный и удобный матеріалъ. Естественно, поэтому, что во всѣ эпохи многіе философы одновременно интересовались и занимались на ряду съ философіей и математикой, таковы Пиѳагоръ, Платонъ, Декартъ, Лейбницъ, О. Контъ, А. Пуанкаре и мн. др. Такое мнѣніе о математикѣ, какъ наукѣ, способствующей по своему содержанію развитію ума par exellence, создалось, однако, главнымъ образомъ, по отношенію къ одной ея вѣтви, именно геометріи, и обязано своимъ происхожденіемъ знаменитой книгѣ—„Начала“ Эвклида. Можно безъ преувеличенія сказать, что ни одно научное сочиненіе никогда не имѣло такого успѣха, какъ „Начала“, написанныя еще въ III в. до P. X., но и до настоящаго времени не потерявшія своего обаянія и значенія. Въ теченіе болѣе 2000 лѣтъ Эвклидъ является учителемъ геометріи для человѣчества, и по его книгѣ и ея передѣлкамъ обучались едва ли не всѣ великіе ученые древности и новаго времени, Запада и Востока. „Начала“ распадаются на 15 книгъ, изъ коихъ 10 посвящены геометріи и 5 ариѳметикѣ, но особенно важно изложеніе собственно геометріи. Въ немъ всѣ геометрическія истины приведены въ стройную логическую систему, которая развивается изъ немногихъ основныхъ положеній. При этомъ, приводимыя доказательства отличаются ясностью, точностью и могутъ вообще служить образцомъ строго логическаго изложенія науки. Въ виду этихъ достоинствъ „Началъ“, за геометріею и установилась вышеупомянутая репутація исключительной пригодности для формальнаго умственнаго развитія учащихся. Но и другія вѣтви математики, — ариѳметика, алгебра, анализъ, — далеко не достигшія почти до послѣдняго времени той логической стройности построенія, которой обладаетъ система геометріи Эвклида, обычно разцѣнивались тоже съ точки зрѣнія ихъ воздѣйствія на развитіе въ учащихся способности къ логическому мышленію.

Однако, съ тѣхъ поръ, какъ подъ вліяніемъ идей Канта началась работа по критикѣ основъ геометріи, и въ особенности когда стали извѣстны геніальныя сочиненія въ этой области Н. И. Лобачевскаго, вѣра въ логическую несокрушимость „Началъ“ Эвклида, а тѣмъ болѣе прочихъ математическихъ дисциплинъ, была нѣсколько поколеблена. Работы Лобачевскаго и по-

слѣдовавшія за ними изслѣдованія многихъ западныхъ ученыхъ показали, что „Начала“ Эвклида далеко не обладаютъ тою степенью совершенства, которая имъ приписывалась, а также, что вообще абсолютно строгое въ логическомъ отношеніи изложеніе математическихъ дисциплинъ — дѣло крайне трудное и ужъ во всякомъ случаѣ не можетъ быть предметомъ школьнаго изученія. Съ другой стороны, на практикѣ не оправдалось и предположеніе о томъ, что лица, изучавшія математику, получаютъ въ ней способность особенно строго и правильно разсуждать. Наоборотъ, часто оказывалось, что лица, получившія достаточное математическое образованіе, не обнаруживаютъ умѣнья правильно и логически разсуждать при разрѣшеніи вопросовъ, не входящихъ прямо въ кругъ ихъ спеціальности. А лица, наиболѣе математически образованныя, и въ томъ числѣ почти всѣ выдающіеся и геніальные геометры и математики, кромѣ того, проявляли часто даже крайнюю степень наивности, разсѣянности и несообразительности въ самыхъ несложныхъ вопросахъ. Кто не знаетъ разсказа объ Амперѣ, который, переходя чрезъ мостъ и разсуждая о какомъ-то математическомъ вопросѣ, въ задумчивости поднялъ камешекъ и положилъ его въ карманъ, а свои дорогіе часы бросилъ въ Сену?

Развѣ не на нашей памяти жертвою своей математической разсѣянности сдѣлался геніальный физикъ Кюри, попавшій подъ колеса какого-то экипажа и раздавленный имъ? Правда, въ настоящіе годы войны мы видѣли на посту министра и даже предсѣдателя совѣта министровъ Франціи выдающагося математика— Пэнлеве, оказавшагося искуснымъ и дѣльнымъ администраторомъ. Но это лишь исключеніе, а какъ общее правило—ясно, что привычка къ точному мышленію не переносится математиками на области другого рода и характера. Она оказывается узко спеціальною способностью. Въ частности же по отношенію къ геометріи, лица, отлично усвоившія логическую цѣпь теоремъ и доказательствъ, оказываются часто слабоваты въ чисто пространственныхъ представленіяхъ.

Все изложенное ведетъ къ тому, что формальное развитіе ума не можетъ ставиться главной цѣлью математическаго обученія. Поэтому, давно уже многіе педагоги выдвигали на первый планъ не формальное, а матеріальное значеніе математическаго образованія, т.-е. цѣнность непосредственнаго приложенія математическихъ знаній въ практической жизни. Въ самомъ дѣлѣ, математика имѣетъ неоспоримую цѣну, какъ орудіе для познанія

природы. Механика, физика, астрономія достигли пышнаго раз-цвѣта благодаря примѣненію математики. Но и науки, далѣе стоящія отъ математики, каковы химія, статистика, политическая экономія, экспериментальная психологія и др., получаютъ въ послѣднее время все большую и большую силу и помощь отъ проникновенія въ ихъ методы математики. Безъ нея немыслимы инженерное дѣло, мореплаваніе, авіація, техника и вообще какая бы то ни было практическая дѣятельность. Поэтому математикѣ съ давнихъ поръ приписывалось важное практическое значеніе, и преподаванію ея стремились нерѣдко придать узко практическій характеръ. Особенно такая прикладная цѣль издавна приписывалась ариѳметикѣ, которая излагалась какъ собраніе различныхъ правилъ, пригодныхъ для рѣшенія практическихъ и коммерческихъ задачъ. Въ ариѳметикахъ арабскихъ и древнеевропейскихъ математиковъ число такихъ правилъ достигало нѣсколькихъ сотенъ; у насъ, въ ариѳметикѣ Магницкаго (1703 г.), тоже имѣются десятки правилъ тройныхъ, пятерныхъ, семерныхъ, фальшивыхъ и т. п. Даже въ современныхъ гимназическихъ программахъ мы еще не освободились отъ жалкихъ тройныхъ правилъ, этого пережитка практическаго направленія въ преподаваніи математики. Алгебра почти до послѣдняго времени тоже трактовалась, въ сущности, какъ наука практическаго характера, отличающаяся отъ ариѳметики только большей степенью трудности рѣшаемыхъ задачъ. Такъ, въ ариѳметикѣ даются задачи на простые проценты, а въ алгебрѣ—на сложные; отдѣлу объ уравненіяхъ приписывалась цѣль рѣшенія задачъ, которыя не разрѣшимы ариѳметикой и пр. Въ общемъ это направленіе имѣло какъ бы въ виду подготовить человѣка - практика; математически - образованные люди предполагались особенно расчетливыми, точными и подготовленными къ жизни.

Опытъ, однако, не подтверждаетъ и достиженія матеріальной цѣли математическаго образованія. Свѣдѣнія, вынесенныя по математикѣ изъ школы, оказываются мало примѣнимыми въ жизни. Она оказывается безконечно сложнѣе и разнообразнѣе правилъ и задачъ, предлагаемыхъ въ учебникахъ quasi - практическаго характера. Въ частности, кромѣ лицъ, спеціально посвящающихъ себя какой-либо дѣятельности, требующей математической подготовки, всѣ остальные абитуріенты школъ не находятъ обычно въ послѣдующей жизни никакого примѣненія своихъ математическихъ познаній, кромѣ развѣ четырехъ правилъ ариѳметики. И знанія, добытыя тяжелой цѣной въ школѣ, быстро испаряются

изъ памяти и остаются безъ примѣненія. Неправильнымъ оказывается въ большинствѣ случаевъ и предположеніе о большей расчетливости и общей аккуратности лицъ, получившихъ математическое образованіе.

Итакъ, ни формальная, ни матеріальная цѣль не достигаются въ должной мѣрѣ преподаваніемъ математики въ общеобразовательной школѣ, а потому и не могутъ быть поставлены прямой задачею математическаго образованія. Но цѣль этого образованія по существу не можетъ быть отдѣлена отъ задачи общаго образованія вообще и должна быть поставлена въ соотвѣтствіе съ этой послѣдней. И такъ какъ главною цѣлью общаго образованія въ новѣйшее время ставится не пріобрѣтеніе учащимися суммы полезныхъ свѣдѣній и логическаго аппарата, а возбужденіе въ нихъ духовной самодѣятельности и жажды къ самостоятельной умственной работѣ, то подобная же дѣль должна быть поставлена и преподаванію математики. Оно должно, слѣдовательно, вызывать въ учащихся интересъ и любовь къ математикѣ и самодѣятельность въ области изученія математическихъ истинъ.

Короче говоря, цѣлью преподаванія математики должно быть возбужденіе въ учащихся математическаго мышленія. И такъ какъ это мышленіе двусторонне: съ одной стороны оно касается понятій множественности и величины, а съ другой—формъ окружающаго насъ пространства, то и математическая наука разбивается на дисциплины двухъ родовъ: аналитическаго, каковы ариѳметика, алгебра, анализъ, и геометрическаго — геометрія съ ея подраздѣленіями. И задача математическаго образованія—вызвать самодѣятельность и стремленіе къ познанію какъ въ той, такъ и въ другой области, привитіе жажды математическаго мышленія и работы. Опредѣливъ изложеннымъ образомъ цѣль преподаванія математики въ школѣ, мы, очевидно, сводимъ сущность его не столько къ вопросу о разработкѣ учебныхъ плановъ и программъ по математикѣ, сколько къ усовершенствованію методовъ ея преподаванія.

(Продолженіе слѣдуетъ).

Къ вопросу о математикѣ въ новой школѣ*).

В. Добровольскій. (Москва).

Обученіе математикѣ зависитъ прежде всего отъ взгляда руководителей школы на роль математики въ процессѣ познанія природы. Весьма распространенъ взглядъ на математику, какъ на орудіе этого познанія; изъ этого положенія дѣлаютъ выводъ о необходимости умѣнья владѣть этимъ орудіемъ прежде, чѣмъ приступать къ изученію природы; такимъ образомъ математика въ школѣ является подготовительной наукой къ физикѣ и техникѣ. Такое приготовленіе къ чему-то еще незнакомому, не привлекающему еще вниманія учащагося, связь чего съ математикой носитъ совершенно отвлеченный характеръ, имѣетъ сомнительную педагогическую цѣнность и даетъ, какъ показываетъ опытъ, ничтожный результатъ. Но можно выставить параллельно этому взгляду и другой, а именно: математика есть средство для систематизаціи уже накопленнаго опыта, средство мнемонической символизаціи фактовъ и ихъ отношеній; а въ такомъ случаѣ обученіе математикѣ должно быть вѣнцомъ, а не началомъ образованія. Выраженіе реальныхъ отношеній между вещами при помощи математическихъ символовъ вводится въ школьное обученіе постепенно и лишь въ той мѣрѣ, въ какой это необходимо для сокращеннаго и точнаго обозначенія извѣстнаго уже комплекса эмпирическихъ данныхъ.

Я буду всецѣло стоять на второй точкѣ зрѣнія. Согласно этой точкѣ зрѣнія существуютъ двѣ основныя задачи обученія математикѣ: умѣнье правильно и точно выражать содержаніе своихъ мыслей и выработка способности къ логическимъ построеніямъ. Первая задача очень скоро выявится въ процессѣ ознакомленія дѣтей съ новымъ матеріаломъ: грамматическія формы языка окажутся недостаточными для обозначенія полученныхъ результатовъ. Не зная, что это—математика, дѣти познакомятся съ цифровымъ обозначеніемъ числа, какъ характеристики группы предметовъ и числа, какъ характеристики физической величины и научатся производить ариѳметическія дѣйствія и геометрическія построенія, подобно тому, какъ ничего не слыша про грамматику, дѣти научаются правильному построенію рѣчи, т.-е. согласованію словъ и предложеній. Такая постановка вопроса естественно указываетъ и методъ обученія математикѣ на первой ступени школы: отсутствіе особаго „предмета“ математики проникновеніе ея по возможности во всякую школьую работу—я не говорю въ другіе предметы, потому что, въ новой школѣ вѣроятно не будетъ вообще „предметовъ“ въ старомъ смыслѣ этого слова, т.-е. обрывковъ наукъ, распредѣленныхъ по клѣткамъ расписанія, а будетъ работа вокругъ тѣхъ или иныхъ центровъ интереса; на первой ступени такихъ центровъ можетъ быть два: общее природовѣдѣніе и общее человѣковѣдѣніе; въ дальнѣйшемъ могутъ постепенно отдѣлиться новые центры: математика,

*) Докладъ, прочитанный на засѣданіи математической секціи по реформѣ школы 18-го мая 1918 г.

физико-химія, астрономія, искусство, обществовѣдѣніе, а въ послѣдующія стадіи—геометрія, механика, исторія и т. д.

Вторая задача—полученіе новыхъ знаній путемъ логическихъ построеній вырисовывается въ чистомъ видѣ позже; дѣти въ своихъ сужденіяхъ, вообще говоря, логичны, но, такъ сказать, конкретнологичны, формально-логическія построенія ихъ не интересуютъ; поспѣшность введенія формальныхъ операцій приводитъ обыкновенно къ тому, что за символами исчезаетъ всякое конкретное содержаніе. Символическое обозначеніе и формальныя операціи надъ символами необходимы, но долгое время они должны лишь закрѣплять уже продѣланныя много разъ конкретныя операціи надъ конкретными вещами: сложенію чиселъ должно предшествовать сложеніе предметовъ въ кучки, формальнымъ правиламъ умноженія дробей—дѣйствительное отысканіе частей величинъ и т. д. Такая конкретизація математическаго образованія поведетъ къ тому, что ко второй ступени школы возможно выдѣлить новый центръ интересовъ чисто математическій, не проводя еще границъ, съ одной стороны, между ариѳметикой, алгеброй и анализомъ, съ другой—между геометріей и тригонометріей, а связывая весь математическій матеріалъ въ одну цѣпь постепенно усложняющихся отношеній. Только на самыхъ верхахъ средней школы, такъ къ 16 годамъ можно выдѣлить геометрію или механику (или и то и другое), разграниченіе же областей ариѳметики, алгебры и анализа даже для спеціалиста представляетъ большую задачу (см. В. Каганъ, „Что такое алгебра“ въ журналѣ „Вѣстникъ опытной физики“, а также „Сліяніе различныхъ отдѣловъ математики въ одинъ учебный предметъ“ въ журналѣ „Математическое Образованіе“).

Ко всему сказанному надо прибавить еще слѣдующее мето-дическоее положеніе: классныя математическія занятія должны носить кооперативный характеръ. Это значитъ, что задачи, даваемыя ученикамъ, хотя и рѣшаются каждымъ изъ нихъ индивидуально, но рѣшенія эти затѣмъ свѣряются другъ съ другомъ, и ученики оказываютъ товарищескую помощь другъ другу, т.-е. дѣлаютъ то, что въ нынѣшнихъ школахъ-казармахъ такъ строго преслѣдуется. Это возможно, конечно, лишь при полной отмѣнѣ балльной системы, при немногочисленномъ классѣ и при вниманіи учителя къ тому, что дѣлаетъ каждый ученикъ.

Возможно, что различные результаты, полученные у разныхъ учениковъ, дадутъ тему для весьма интересныхъ общихъ разговоровъ, напр., о варіаціи результата, въ зависимости отъ варіаціи данныхъ, о точности результата, объ ошибкахъ вычисленій или построеній, о среднихъ величинахъ и т. д. Самыя задачи такого рода могутъ быть даны учителемъ умышленно съ цѣлью потомъ вызвать на подобные разговоры.

Математика въ трудовой школѣ*).

О. Вольбергъ. (Москва).

Математику можно излагать, либо какъ индуктивную науку, въ которой экспериментъ и наблюденіе играютъ видную роль, либо какъ науку дедуктивную, стройно нанзиывающую другъ на друга ряды умозаключеній. Въ первомъ случаѣ стремятся вывести теоремы изъ положеній, наиболѣе очевидныхъ, и сдѣлать это наиболѣе очевиднымъ образомъ. Во второмъ имѣютъ въ виду построить всю систему на возможно меньшемъ числѣ основныхъ недоказуемыхъ положеній, при чемъ очевидность этихъ основъ и методовъ доказательства, какъ факторы субъективные и психическіе, не принимаются во вниманіе.

Строго дедуктивное построеніе математики, имѣющее цѣлью очищеніе ея отъ всего интуитивнаго, представляетъ собой безспорно огромный гносеологическій интересъ. Нерѣдко оно даетъ толчокъ новымъ и чрезвычайно цѣннымъ изслѣдованіямъ и открытіямъ въ области самой математики, но въ исторіи развитія математическихъ наукъ подведеніе логическаго базиса является обычно вторичнымъ процессомъ, который начинается только послѣ того, какъ новыя пріобрѣтенія уже добыты инымъ путемъ. „Геометрическое творчество,-говоритъ О. Гёльдеръ-не пользуется обыкновенно упомянутой формой дедукціи, представляющей чистый видъ ея. Творчество это руководится въ большинствѣ случаевъ интуитивными образами, иногда наблюденіями, которыя производятся въ извѣстномъ ряду случаевъ, т.-е. руководится аналогіей и индукціей: вообще во всѣхъ областяхъ математики, индуктивно полученные результаты часто указываютъ направленіе дедуктивному творчеству“. По словамъ горячаго приверженца логистики Кутюра, „логика вовсе не ставитъ себѣ задачей вдохновлять математическое творчество или же объяснять его; она довольствуется тѣмъ, что контролируетъ и провѣряетъ его въ подлинномъ смыслѣ слова“. Сущность строго логическаго доказательства лучше всего уяснить себѣ на излюбленномъ примѣрѣ Пуанкаре съ шахматами. Можно двояко объяснить шахматную партію: во-первыхъ, относительно каждаго хода выяснить, почему сдѣланъ именно этотъ ходъ, а не другой, раскрыть планы игроковъ, ихъ болѣе или менѣе вѣрные расчеты, во-вторыхъ, оправдать каждый ходъ съ точки зрѣнія правилъ шахматной игры. Логализированное доказательство, тщательно освобожденное отъ элементовъ интуиціи, представляетъ собой подобное оправданіе отдѣльныхъ моментовъ разсужденія Оно уясняетъ, что математикъ имѣлъ право свести подобіе или равенства однихъ элементовъ къ подобію или равенству другихъ, но для чего онъ это сдѣлалъ, какова общая структура доказатель-

*) Докладъ, прочитанный на засѣданіи математической секціи по реформѣ школы 31-го мая 1918 г.

ства—этого, логика не укажетъ. Первоначальный творческій процессъ, процессъ всегда интуитивный, сильно искаженный послѣдующей обработкой, неминуемо останется скрытымъ.

Если школа ставитъ себѣ задачу развить самодѣятельность ребенка, она естественно должна отказаться отъ дедуктивнаго построенія математики, при которомъ учащійся только убѣждается въ томъ, что все сказанное учителемъ или учебникомъ правильно, и замѣнить его индуктивнымъ, нагляднымъ, опытнымъ путемъ, который имѣлъ мѣсто въ исторіи развитія математики, какъ всякой иной науки. Способность и любовь къ чистымъ разсужденіямъ у ребенка еще слишкомъ ограничена. „Въ 8—9лѣтъ.— по словамъ Стенли Холла,—возрастъ разума еще только начи-наетсяа, и даже много позже, въ юношескомъ возрастѣ мысль сама по себѣ не интересуетъ учащагося. „Сущность логическаго метода,—говорить Стенли Холлъ, соотвѣтствуетъ духу взрослаго человѣка, и было бы большимъ заблужденіемъ учителей и ошибкой учебныхъ программъ подмѣнить этимъ схоластическимъ методомъ генетическій, который соотвѣтствуетъ естественнымъ законамъ развитія разсудка, интереса и способности усвоенія“.

Исторія развитія математическихъ наукъ говоритъ, что математика родилась изъ дѣйствія, изъ первыхъ попытокъ человѣка вліять на міръ, измѣнять его, приспособлять къ своимъ нуждамъ и потребностямъ. Даже первоначальныя представленія о числѣ и пространствѣ суть не врожденныя идеи чистаго, нагляднаго представленія, а результаты нашего приспособленія къ міру. „Чувство пространства,—говоритъ Пуанкаре,—сводится къ нѣкоторой постоянной ассоціаціи между извѣстными ощущеніями или извѣстными движеніями или къ представленію этихъ движеній“. „Что наблюдаемъ мы, констатируя чувства пространства въ нашемъ собственномъ сознаніи?“ спрашиваетъ онъ въ другомъ мѣстѣ. „И здѣсь,—опять-таки отвѣчаетъ Пуанкаре,—имѣя дѣло съ различными ощущеніями, мы знаемъ, что мы въ состояніи произвести движенія, позволяющія достигнуть предметовъ, въ которыхъ мы видимъ источникъ этихъ ощущеній“.

Достаточно прослѣдить за первыми безпомощными движеніями младенца, чтобы понять, что пространственное представленіе у ребенка еще очень несовершенно. У новорожденныхъ дѣтей движеніе глазъ некоординировано, аккомодація хрусталика отсутствуетъ. „Когда,—говоритъ Стенли Холлъ о двухъ изслѣдованныхъ имъ новорожденныхъ—предметъ, на которомъ останавливается неподвижный взглядъ ребенка, откатывался дальше или падалъ оо стола на полъ, онъ переставалъ существовать для ребенка; то же происходило, когда голова дѣлала внезапно боковое движеніе, или предметъ закрывали кускомъ бумаги. Такъ, Б. и Г. (такъ звали дѣтей) не могли найти своихъ рукъ и ногъ, если послѣднія исчезали съ поля ихъ зрѣнія“.

Гораздо позже, когда ребенокъ уже научился самостоятельно передвигаться, „онъ не узнавалъ на небольшомъ разстояніи своихъ родителей; вначалѣ у него даже отсутствовало представленіе, что нужно возвысить голосъ, чтобы быть услышаннымъ

на небольшомъ разстояніи; позже, наоборотъ, ребенокъ чрезвычайно повышалъ голосъ, когда говорилъ даже на маломъ разстояніи“.

Какъ видно, приспособленіе индивида къ міру и развитіе пространственнаго чувства достигаются только постепенно, путемъ повторныхъ упражненій послѣ цѣлаго ряда болѣе или менѣе неудачныхъ попытокъ. Развитіе моторныхъ центровъ есть необходимое условіе созданія правильнаго и яснаго представленія пространства. Этотъ процессъ нельзя считать законченнымъ въ школьномъ возрастѣ. Умѣніе оцѣнивать разстоянія и длины и стереометрическія представленія обычно плохо развиты у школьниковъ. Поэтому въ школѣ должно быть возможно больше движеній, движеній строго координированныхъ, направленныхъ къ достиженію опредѣленной цѣли. Никакое изученіе геометріи, никакія опредѣленія плоскости или прямой не могутъ замѣнить опытнаго знакомства съ ними, сопровождаемаго зрительными, мускульными и осязательными ощущеніями.

Развитіе числовыхъ представленій менѣе связано съ движеніемъ; они развиваются изъ способности нашего духа соотносить другъ къ другу различные предметы,—устанавливать однооднозначное соотвѣтствіе между элементами двухъ комплексовъ.

Въ образованіи понятія числа нужно различать 4 момента. Отнесеніе элементовъ одного комплекса къ элементамъ другого въ дѣйствительности, т.-е. путемъ дѣйствія. Напримѣръ дикарь, убивъ нѣсколько зайцевъ, приноситъ ихъ домой, раздаетъ домочадцамъ и убѣждается, что для него зайца не хватило. Отнесеніе путемъ мысленнаго эксперимента, когда, напримѣръ, дикарь на охотѣ разсчитываетъ, хватитъ ли дичи, относя себѣ зайца, женѣ другого и т. д. Третій моментъ—отнесеніе при посредствѣ вспомогательнаго комплекса (камешки, нарѣзки—вспомнимъ бирки,—мѣшочки съ рисомъ, которыми считаютъ нѣкоторые дикари и пр.); и, наконецъ, четвертый, когда вспомогательный комплексъ есть числовой корпусъ.

Какъ видно, развитіе числовыхъ представленій и первыя ариѳметическія операціи требуютъ дѣйствія, движенія, именно откладыванія въ одно мѣсто отдѣльныхъ соотносимыхъ предметовъ; позже движеніе замѣняется мысленнымъ экспериментомъ. Такимъ образомъ развитіе моторныхъ центровъ играетъ существенную роль для успѣшнаго обученія не только геометріи, но и счету.

На высшей ступени развитія, математика умышленно отказывается отъ всякой интуиціи, отъ всего, что привносятъ въ чистое мышленіе внѣшнія чувства. „Чистая математика,—говоритъ Кутюра,—есть совокупность формальныхъ выводовъ, независимыхъ отъ какого бы то ни было содержанія“. Но школьная математика, по крайней мѣрѣ на низшихъ ступеняхъ, представляетъ собой наиболѣе общую науку о внѣшнемъ мірѣ. Не нужно поэтому ни въ какой мѣрѣ отказываться отъ работы тѣхъ оргнановъ чувствъ, которые помогли бы ребенку ознакомиться съ нею. Если въ школьныхъ руководствахъ обычно выбираютъ средній путь между научно строгимъ, абстрактнымъ построеніемъ математики

и интуитивнымъ нагляднымъ изложеніемъ ея, то этимъ не достигаются ни интересы науки, ни педагогики.

Послѣднія изслѣдованія въ области основаній геометріи и ариѳметики показали, какъ трудно чисто логическое построеніе математики и какъ непригодно оно для школы.

Поэтому нужно отказаться отъ той quasi научности, которая только отчасти отказывается отъ интуиціи, не будучи въ силахъ изгнать ее совершенно, и ввести самое широкое пользованіе всѣми доступными средствами для достиженія наглядности. Не только зрѣніе, но и осязаніе и мускульное чувство и движеніе, должны стать нашими помощниками въ дѣлѣ познанія соотношеній между вещами.

Въ этомъ заключается принципъ лабораторнаго метода. При этомъ нѣтъ нужды совершенно отказаться отъ разсужденій, и замѣнить ихъ голымъ экспериментомъ. Математическое доказательство является огромнымъ экономизирующимъ факторомъ и тамъ, гдѣ его экономизирующая роль ясна, имъ необходимо воспользоваться. Но примѣнять его можно не на полунаглядныхъ чертежахъ, гдѣ производятся мысленныя перенесенія, перегибанія и накладыванія, а вырѣзывая фигуры изъ бумаги и производя всѣ эти операціи въ дѣйствительности. Замѣняя мысленный экспериментъ дѣйствительнымъ, мы облегчаемъ работу воображенія, но нигдѣ не удаляемся отъ научной строгости, потому что съ точки зрѣнія формальной математики и тотъ и другой экспериментъ имѣетъ одинаково отрицательную оцѣнку. Отказавшись отъ формальной математики, нѣтъ нужды ограничивать себя куцой наглядностью плоскаго чертежа. Особенно это относится къ изученію пространственныхъ соотношеній.

Итакъ лабораторный методъ замѣняетъ экспериментъ въ мысляхъ дѣйствительнымъ экспериментомъ; онъ не затушевываетъ интуитивные элементы математики, освобожденіе отъ которыхъ есть трудная задача для формальной математики, а выявляетъ ихъ съ полной откровенностью; онъ требуетъ, чтобы всѣ теоремы были сперва провѣрены на опытѣ, подобно тому, какъ они были найдены въ процессѣ развитія математики. Такимъ образомъ, математика „низводится“ до степени пониманія ребенка, который теперь уже въ состояніи не только съ изумленіемъ взирать на преподносимое ему доказательство, но съ самаго начала умѣетъ вполнѣ овладѣть математическимъ матеріаломъ и внести въ него частицу собственнаго творчества.

При лабораторномъ методѣ широко используются всѣ органы чувствъ, дается исходъ жаждѣ дѣятельности, развиваются разнообразные центры движеній. Лабораторный методъ обогащаетъ старую школу новыми и чрезвычайно цѣнными пріемами обученія, но все же школа остается школой, преслѣдующей какія-то цѣли, лежащія впереди въ будущей жизни ребенка. Задача новой школы—организація жизни ребенка въ настоящемъ. Воспитаніе и обученіе для будущаго не должно болѣе быть нашей исключительной цѣлью, какъ бы хороши ни были разные способы накачиванія премудрости въ дѣтскія головы; плохіе методы

преподаванія, равно какъ и хорошіе, должны быть оставлены. Очередная задача момента—замѣнить школы дѣтскими коммунами, гдѣ ребенокъ былъ бы поставленъ въ наилучшія для его возраста условія, и гдѣ его жизнь была бы полна содержаніемъ, соотвѣтствующимъ лѣтамъ, склонностямъ и развитію. Итакъ, прежде всего, слѣдуетъ выяснить, каково нормальное содержаніе жизни 8-лѣтняго ребенка (возрастъ поступленія въ коммуну). (Въ мою задачу естественно не входитъ выясненіе принциповъ организаціи дѣтской коммуны во всемъ объемѣ. Но для пониманія дальнѣйшаго приходится остановиться на нѣкоторыхъ основныхъ моментахъ. Сдѣлаю это въ нѣсколькихъ словахъ). Естественно свободно растущій ребенокъ прежде всего играетъ, изобрѣтаетъ, фантазируетъ и подражаетъ взрослымъ. Дѣтскія игры можно раздѣлить на 3 категоріи: это, во-первыхъ, разнаго рода дѣланія (приготовленіе лодокъ изъ бумаги, пирожковъ изъ песку, посуды изъ глины, куклы изъ тряпокъ и т. д.), во-вторыхъ, игры драматическія (подражательныя „нарочныя“) и въ-третьихъ,—подвижныя (мячъ, кегли, пятнашки и пр.). Дѣтская коммуна должна прежде всего организовать дѣтскую страсть къ дѣланію, дать ребенку возможность примѣнять свои усилія наиболѣе плодотворнымъ образомъ, и вмѣстѣ съ тѣмъ постепенно пріучать его къ систематическому труду, къ преодолѣнію сопротивленій матеріи, къ борьбѣ съ внѣшнимъ міромъ и къ пользованію силами природы. Не значитъ ли это—дать ребенку лучшее понять о мірѣ, гораздо лучшее, чѣмъ даетъ нарочитое изученіе хотя бы по лабораторному методу?

Первоначальное знакомство человѣка съ природой родилось изъ первыхъ робкихъ попытокъ воздѣйствовать на нее. Въ процессѣ работы наиболѣе цѣлесообразныя движенія фиксировались какъ привычныя, наиболѣе подходящія орудія и пріемъ выполненія работы положили начало наукѣ, когда человѣкъ достигъ такого развитія, что могъ извлечь и формулировать первыя правила. Учитывая исторію развитія науки, ея связь съ трудовыми процессами въ доисторическій періодъ, и постепенное обособленіе самостоятельныхъ научныхъ методовъ въ болѣе позднюю эпоху, нужно соотвѣтствующимъ образомъ организовать трудовые процессы въ школѣ и связать ихъ съ ученіемъ. На первой ступени, такимъ образомъ, намѣчается самое тѣсное общеніе между работой и усвоеніемъ знаній. Это не значитъ, что ребенокъ всѣ познанія пріобрѣтаетъ во время работы, но работа всегда должна быть стимуломъ для интеллектуальнаго труда. Она ставитъ задачи, задаетъ вопросы, и рѣшеніе ихъ представляетъ собой тотъ умственный трудъ, который долженъ найти себѣ мѣсто на первой ступени школы. Ознакомленіе съ числомъ и счетомъ, по крайней мѣрѣ потребность въ такомъ ознакомленіи, явится естественно при всякой осмысленной работѣ, будетъ ли то посадка цвѣтовъ или разсады на огородѣ (учетъ посаженнаго, сколько осталось или сколько нехватило и т. д.), школьное хозяйство (учетъ продуктовъ), картонажныя работы и т. д. Формы грядокъ и клумбъ дадутъ первое знакомство съ геометрическими фигурами; соста-

вленіе плана посадки (посадка производится не какъ попало, а по заранѣе намѣченному плану) научитъ владѣть циркулемъ и линейкой, а соотвѣтственные расчеты будутъ стимуломъ для первыхъ уроковъ ариѳметики. Картонажныя работы (папки для тетрадей, порфели для бумаги и пр.) потребуютъ умѣнія оцѣнивать величину площадей и объемовъ. Постройка метеорологической станціи (термометръ на солнцѣ и въ тѣни, дождемѣръ и флюгеръ) дадутъ поводъ для многихъ вычисленій и простѣйшихъ графикъ. Вырѣзываніе изъ бумаги ознакомитъ съ симметріей. Черченіе плановъ при всякихъ работахъ и постройкахъ дадутъ понять о масштабѣ и подобіи. Приготовленіе вещей по ранѣе намѣченной модели углубятъ понятія равенства и подобія. Взвѣшиваніе-дастъ понятіе о зависимости массы отъ объема, т.-е. о простѣйшей функціи. Расширеніе отъ тепла (хотя бы наблюденіе ртутнаго столбика въ термометрѣ), зависимость пути отъ времени, объема куба отъ ребра его, и площади квадрата отъ стороны—ознакомитъ съ новыми функціями. Графическое изображеніе дастъ имъ наглядность. Работы въ столярной или картонажной мастерскихъ, или геодезическія измѣренія — дадутъ понятіе о перпендикулярѣ, а построеніе прямого угла при помощи отрѣзковъ въ 3, 4 и 5 вершковъ, аршинъ или сажень будутъ стимуломъ къ изученію теоремы Пиѳагора. Позже, простѣйшія статистическія обслѣдованія, кромѣ техническаго навыка, послужатъ богатымъ матеріаломъ для вычисленійи діаграммъ, равно какъ и ознакомленіе съ городскимъ хозяйствомъ, составленіе смѣты школьной колоніи, изслѣдованіе вліянія разныхъ видовъ удобренія на урожайность и пр., и пр. Приведенныхъ примѣровъ, я полагаю, достаточно для того, чтобы составить себѣ правильное представленіе о трудовомъ методѣ въ математикѣ. Какъ видно, онъ довольно близокъ къ лабораторному, но отличается отъ послѣдняго тѣмъ, что при лабораторномъ методѣ измѣреніе, вырѣзываніе и вообще всякая работа есть средство для усвоенія знаній, развитія интеллекта, а при трудовымъ методѣ всякія изслѣдованія производятся для удовлетворенія той или иной практической потребности. Искусственный порядокъ лабораторнаго метода — работа для знанія — замѣняется естественнымъ— знаніе для работы. Этимъ устраняется послѣдній недостатокъ лабораторнаго метода и достигается полное тождество школы и жизни.

Какъ долженъ отразиться трудовой методъ на учебныхъ планахъ, учебникахъ и задачникахъ? Трудовой методъ ставитъ прохожденіе математики въ тѣсную связь съ производительными процессами трудовой коммуны. Поэтому здѣсь менѣе, чемъ гдѣ бы то ни было умѣстна строгая регламентація въ распредѣленіи учебнаго матеріала.

Во всякомъ случаѣ существующіе учебные планы должны быть въ корнѣ измѣнены. Совершенно неумѣстно раздѣленіе математики на отдѣльныя дисциплины, и изолированное, оторванное отъ другихъ образовательныхъ предметовъ прохожденіе ея. Предъ ребенкомъ лежитъ міръ какъ цѣлое—богатый, разно-

образный, интересный. Познаніе его не требуетъ раздѣленія; подходъ къ міру и жизни должны быть цѣльнымъ, синтетическимъ. Изъ него въ непосредственной связи съ тѣмъ, что обычно называютъ естествознаніемъ, обществовѣдѣніемъ и пр. извлекаетъ математика свой матеріалъ.

Самое содержаніе математики должно значительно измѣниться. Идея функціональной зависимости—вотъ тотъ стержень, который долженъ придать прочность и единство всей математикѣ. Графическое изображеніе функціи и діаграммы придадутъ наглядность функціямъ и величинамъ, а расширеніе математической символики (введеніе алгебраическихъ обозначеній и отрицательныхъ чиселъ примѣрно съ 3, 4 года обученія) будетъ способствовать переходу отъ наивно-нагляднаго мышленія ребенка къ экономному, отвлеченному мышленію взрослаго человѣка. Съ перваго года обученія необходимо понемногу пріучать дѣтей къ уравненіямъ, замѣняя традиціонный знакъ ? въ обратныхъ дѣйствіяхъ иксомъ и примѣняя его къ рѣшенію нѣкоторыхъ задачъ. Такимъ путемъ мы совершенно очистимъ ариѳметику отъ задачъ со всякими предположеніями и дадимъ имъ единственно правильное, естественное рѣшеніе.

Излишне говорить, что въ связи съ измѣреніями именованныя числа войдутъ въ математическій обиходъ съ начала перваго года; а округленіе чиселъ и приближенныя вычисленія будутъ необходимымъ слѣдствіемъ измѣрительныхъ работъ.

Необходимо подчеркнуть и настаивать на связи прохожденія математики съ исторіей ея развитія. Нѣтъ лучшаго пути къ уясненію самыхъ математическихъ вопросовъ и къ пробужденію въ дѣтяхъ чувства культурнаго родства съ прошлымъ, чѣмъ знакомство съ исторіей науки. Поэтому чрезвычайно желательно изданіе популярныхъ книжекъ по исторіи математики, гдѣ можно въ генетическомъ порядкѣ помѣстить многія свѣдѣнія изъ математики и дать историческія задачи. Для первой ступени такія книжки вполнѣ замѣнятъ всякіе учебники.

Задачникъ долженъ давать живой матеріалъ изъ области интересной и доступной дѣтскому пониманію, предоставить широкій просторъ самодѣятельности ребенка и избѣгать искусственныхъ задачъ, которыя не могутъ встрѣтиться въ жизни. Жизнь деревни и города, полевыя работы, игры, городское хозяйство, статистическія данныя, дѣтская литература, географія, физика, астрономія и пр.,—вотъ кругъ, изъ котораго можно почерпнуть богатый матеріалъ для задачника. Во многихъ задачахъ данныя можно не помѣщать въ условіяхъ, а отнести въ таблицы или предоставить самимъ учащимся найти ихъ изъ опыта. Это научитъ учащихся правильно оцѣнивать, что именно нужно знать для рѣшенія задачи, и самостоятельно находить нужный матеріалъ.

На первой ступени открывается возможность пройти почти полный курсъ элементарной практической математики. Вторая ступень должна быть посвящена, дополнительнымъ главамъ элементарной математики и углубленію уже пріобрѣтенныхъ знаній. Здѣсь умѣстно привить юношамъ понятіе о роли аксіомъ и о

строго математическомъ методѣ, который самъ по себѣ долженъ стать предметомъ вниманія. При атомъ пѣтъ нужды требовать систематическаго повторенія всего курса: достаточно тщательно проработать отдѣльныя главы. Знакомство съ основами анализа и дальнѣйшее изученіе аналитической геометріи въ тѣсной связи съ естествознаніемъ положитъ прочный фундаментъ математическаго образованія.

Юношескій періодъ въ жизни человѣка есть періодъ наиболѣе интенсивной умственной и духовной жизни; въ это время окончательно складывается характеръ, выявляются склонности, вырабатывается міровоззрѣніе. Молодой умъ пытливъ, ищетъ всеобъемлющихъ точекъ зрѣнія и отвѣтовъ на вопросы общаго философскаго характера. Поэтому въ эту пору болѣе, чѣмъ когда бы то ни было умѣстенъ обзоръ науки въ ея цѣломъ, и необходимо углубленіе въ методологію.

Не нужно опасаться нѣкоторой пестроты въ содержаніи только-что намѣченнаго плана: періодъ юности, есть періодъ яркаго самоопредѣленія. „Индивидуальность“— говоритъ Стэнли Холлъ—„требуетъ теперь болѣе широкихъ границъ для своего проявленія. Теперь можно учить только тому, что составляетъ большій интересъ и представляется наиболѣе цѣннымъ, если не самымъ цѣннымъ въ мірѣ. Мы не имѣемъ больше права принуждать и ломать волю ребенка, а должны незамѣтно руководить и воодушевлять его. Для тѣхъ, кто посѣщаетъ школу, дальше необходимо допустить изученіе предметовъ по свободному выбору“. Поэтому сколько-нибудь однообразная общая программа при большомъ разнообразіи индивидуальныхъ склонностей сейчасъ совершенно неумѣстна.

Для юношей съ расположеніемъ къ философскому мышленію нужно дать пищу въ видѣ общаго обзора математики съ высоты птичьяго полета и указанія ея мѣста и значенія въ общемъ кругу человѣческихъ знаній. Для молодыхъ людей практическаго склада, для будущихъ техниковъ и естествоиспытателей болѣе узкаго типа интересно и полезно изученіе основъ высшей математики. А. Пуанкаре дѣлитъ всѣхъ математиковъ по ихъ интеллектуальнымъ склонностямъ на 2 разряда: интуитивистовъ и логистовъ. Первые мыслятъ образно, наглядно; вторые—абстрактно, логично. Нельзя упускать изъ виду такое дѣленіе и необходимо дать подходящій матеріалъ тѣмъ и другимъ. Такимъ образомъ ни общая программа, ни общіе учебники совершенно не удовлетворяютъ потребности обученія на второй ступени. Единственное, что можно сдѣлать въ этомъ направленіи—это выработать нѣсколько типовъ программъ, учитывая различныя индивидуальныя склонности учащихся.

Вотъ примѣрное расположеніе матеріала въ школѣ второй ступени. Первые два года посвящаются дополнительнымъ главамъ элементарной геометріи, тригонометріи, алгебры и ариѳметики въ тѣсной связи съ аналитической геометріей и анализомъ безконечно малыхъ съ приложеніемъ къ физикѣ, механикѣ и техникѣ. Послѣдніе два года удѣляются дальнѣйшему ознакомле-

нію съ анализомъ и аналитической геометріей, начертательной геометріей и техническимъ черченіемъ—для однихъ, и знакомству съ общимъ строеніемъ математики и изученію математическаго метода—для другихъ.

Наглядность и изготовленіе моделей въ полной мѣрѣ сопровождаетъ прохожденіе математики на второй ступени такъ же, какъ п на первой, но взаимоотношеніе между производительнымъ физическимъ трудомъ и преподаваніемъ должно значительно измѣниться. Я уже говорилъ, что въ исторіи человѣчества наступаетъ періодъ отдѣленія интеллектуальнаго труда. Собираніе фактовъ изъ области повседневной жизни и работы, изъ жизни звѣрей, птицъ, рыбъ и пр. перестаетъ удовлетворять первобытнаго человѣка. Онъ не довольствуется болѣе той властью, которую даетъ ему физическій трудъ. Онъ стремится овладѣть вещами и силами природы болѣе легкимъ и скорымъ способомъ и находитъ его въ могуществѣ словъ, въ заклинаніи, въ знаніи „начала вещей“ и глубины „дѣяній древнихъ“. Умъ и фантазія начинаютъ работать болѣе широко, стараясь проникнуть за грань видимаго и непосредственно познаваемаго. Рождаются миѳы-за-клинанія, изъ которыхъ впослѣдствіи выдѣлится философія и наука. Этому періоду отдѣленія интеллектуальнаго труда отъ повседневныхъ заботъ въ жизни индивида соотвѣтствуетъ переходъ отъ отрочества къ юности. Поэтому нельзя въ этотъ періодъ ставить обученіе въ такую тѣсную связь съ физическимъ трудомъ, какъ это имѣло мѣсто на первой ступени. Мало того, для каждаго типа учищихся эта связь должна быть различной—болѣе тѣсной для юношей практическаго склада и болѣе отдаленной для молодыхъ людей съ наклонностью къ философскимъ обобщеніямъ. Во всякомъ случаѣ для тѣхъ и другихъ она не можетъ болѣе быть столь непосредственной, какъ въ дѣтствѣ.

Прохожденіе основъ высшей математики продолжаетъ отчасти стимулироваться тѣми работами, которыя идутъ въ мастерскихъ, но углубленіе въ основы науки естественно не находитъ себѣ опоры въ этихъ работахъ. Однако это не значитъ, что мы должны вернуться къ старымъ методамъ преподаванія, что трудовой методъ теряетъ свое специфическое содержаніе. Онъ не приложимъ болѣе въ своей старой, слишкомъ узкой формѣ и требуетъ значительнаго расширенія. Основнымъ свойствомъ трудового метода является его жизненность, естественность. Сохра-няя за нимъ эти качества, мы должны только расширить понятіе труда, включивъ сюда и умственный трудъ, чтобы удовлетворить потребности второй ступени. Такимъ образомъ трудовой методъ для юношей становится методомъ не столько физическаго, сколько интеллектуальнаго труда. Самостоятельныя работы учащихся на заданныя и произвольно избранныя темы при широкомъ пользованіи всевозможными источниками—таково должно быть главное содержаніе занятій по математикѣ на второй ступени. Задавъ какую-либо тему, учитель знакомитъ учащихся съ исторіей проблемы, освѣщаетъ ее съ разныхъ точекъ зрѣнія, указываетъ вкратцѣ существующіе на этотъ счетъ взгляды и даетъ

литературу. Дальнѣйшая разработка предоставляется самимъ учащимся. Нѣсколько такихъ работъ содѣйствуютъ общему развитію молодыхъ людей больше, чѣмъ годы кропотливаго изученія теоремъ.

Необходимо озаботиться изданіемъ доступныхъ для учащихся книгъ по разнымъ вопросамъ математики. Систематическіе курсы должны сообщать основательныя историческія свѣдѣнія, указывать связь съ естествознаніемъ и техникой, оставлять широкій просторъ творчеству молодыхъ людей, намѣчая новыя проблемы, рѣшеніе которыхъ выходитъ за предѣлы курса или предоставлять самостоятельно разработать тотъ или иной вопросъ, ограничиваясь только необходимыми разъясненіями. По возможности слѣдуетъ придерживаться такого порядка: техническія проблемы, или проблемы изъ области естествознанія (не произвольно сочиненныя, а тѣ, которыя были дѣйствительнымъ стимуломъ развитія того или иного отдѣла математики), исторія и математическое рѣшеніе.

Такимъ образомъ вмѣсто готоваго экстракта изъ прошлыхъ и настоящихъ трудовъ предъ учащимися предстанетъ живая картина созданія математики, ея связь съ экономическими отношеніями и развитіемъ культуры. Математика, появляющаяся на страницахъ учебника, какъ Афродита изъ морской пѣны въ законченномъ видѣ, уступитъ мѣсто наукѣ, зарождающейся въ далекомъ доисторическомъ періодѣ, развивающеяся постепенно, отражая въ себѣ всю исторію человѣчества, и черезъ муки творчества, путемъ пытливыхъ исканій вырастающей на глазахъ учащихся въ прекрасное зданіе современной математики. Такая замѣна статическаго, оторваннаго отъ жизни, изложенія динамическимъ, связаннымъ съ исторіей человѣческаго труда, диктуется вкоренившимся въ наше время въ науку и философію принципомъ эволюціи. И болѣе, чѣмъ гдѣ бы то ни было, она необходима въ трудовой школѣ, школѣ творчества, дѣйствія и работы, которая должна смѣнить старую школу пассивнаго заучиванія, созерцанія и голаго интеллектуализма, подобно тому, какъ старое положеніе картезіанцевъ: „мыслю — слѣдовательно существую“ смѣнилось новымъ, прекрасно выраженнымъ въ сло-кахъ гомункулуса, выходящаго изъ реторты доктора Вагнера: „Надо, чтобы я дѣйствовалъ, потому что я живу“.

Теорема Лемуса.

Э. Лейнѣкъ.

Въ большинствѣ учебниковъ геометріи можно встрѣтить среди упражненій три слѣдующихъ простыхъ теоремы, относящихся къ свойствамъ равнобедреннаго треугольника: въ равнобедренномъ треугольникѣ биссектрисы угловъ при основаніи равны, медіаны, проведенныя къ боковымъ сторонамъ равны и равны обѣ высоты, опущенныя на боковыя стороны.

Теоремы, обратныя послѣднимъ изъ двухъ приведенныхъ, доказываются такъ же просто, какъ и прямыя, но теорема обратная первой представляетъ весьма своеобразныя трудности. Эта теорема, утверждающая, что если въ нѣкоторомъ треугольникѣ равны биссектрисы двухъ внутреннихъ угловъ, то треугольникъ равнобедренный, извѣстна въ геометріи подъ названіемъ теоремы Лемуса-Штейнера, хотя съ такимъ же правомъ, какъ на это указываетъ М. Симонъ, она могла бы называться теоремою Теркема*).

Остановимся нѣсколько подробнѣе на заслуживающей вниманія исторіи этой теоремы.

Въ 1840 г. Даніилъ Лемусъ (D. Lehmus), профессоръ математики въ артиллерійскомъ училищѣ въ Берлинѣ, обратился къ знаменитому геометру Я. Штейнеру съ просьбою придумать для разсматриваемой теоремы „чисто геометрическое“ доказательство**).

Такое доказательство было Штейнеромъ вскорѣ найдено и сообщено Лемусу, а затѣмъ и опубликовано въ 1844 г. Во введеніи къ своей работѣ Штейнеръ указываетъ какъ на одинъ изъ доводовъ, заставившихъ его опубликовать доказательство теоремы, то обстоятельство, что такой знатокъ геометріи, какъ Штурмъ (J. Sturm), имѣющій отъ своихъ слушателей нѣсколько доказательствъ этой теоремы, призналъ доказательство Штейнера за наиболѣе простое. И дѣйствительно, подобно всему, выходившему изъ подъ пера этого геометра, его доказательство теоремы Лемуса отличается и простотой и изяществомъ.

Таково начало исторіи этой теоремы въ Германіи.

Почти въ это же время—за два года до появленія въ печати работы Штейнера—въ первомъ томѣ журнала Nouvelles Annales de mathématiques, въ отдѣлѣ задачъ подъ № 1, мы встрѣчаемъ ту же теорему, предложенную читателямъ для доказательства. Авторомъ задачи N2 1 является, вѣроятно, редакторъ журнала 0. Теркемъ (0. Terquem). Съ этого времени начинаютъ появляться все новыя и новыя работы, посвященныя доказательству теоремы Лемуса.

Повидимому, особенно большой интересъ вызвала она въ періодъ времени 1842—1854 гг. Къ этому періоду относятся работы цѣлаго ряда нѣмецкихъ, французскихъ и англійскихъ математиковъ. За упомянутый промежутокъ времени въ разныхъ

*) М. Simon, Über die Entwicklung der Elementar-Geometrie im XIX Jahrhundert, Leipzig, 1906, S. 131.

**) L. Mossbrugger, Archiv der Mathematik, Bd. 4 (1844), S. 330,

J. Steiner, Journal für reine und angewandte Mathematik, Bd. 28 (1844), S. 375.

журналахъ и учебникахъ напечатано болѣе чѣмъ 25 различныхъ доказательствъ этой теоремы.

Изъ числа наиболѣе видныхъ геометровъ, опубликовавшихъ работы, посвященныя разсматриваемой теоремѣ, достаточно назвать, кромѣ уже упомянутаго выше Штейнера,—Сильвестра (J. J. Sylvester) и Шварца (Н. А. Schwarz).

Уже кь 1853 г. теорема Лемуса пользовалась такою извѣстностью, что Клаузенъ (Т. Clausen)—въ то время астрономъ - наблюдатель при Дерптскомъ университетѣ—писалъ: „Доказательства этой, возникшей около 10 лѣтъ тому назадъ теоремы, столь разнообразны и даны столь многими лицами, что они почти уже образуютъ свою особую литературу, подобно теоремѣ Пи-ѳагора и теоріи параллельныхъ“*).

Интересъ, вызываемый этой теоремой, несмотря на всю ея простоту, заключался въ томъ, что долгое время не удавалось найти чисто геометрическаго и прямого доказательства. Всѣ чисто геометрическія доказательства теоремы Лемуса, предложенныя до 1893 г.—доказательства не прямыя, т.-е. пользуются методомъ приведенія къ абсурду.

Въ 1893 г. датскій геометръ Герцъ (Herz) далъ первое по времени прямое и очень простое доказательство**).

Доказательство Минка (W. Mink), принятое нѣкоторыми авторами за первое прямое и чисто геометрическое доказательство теоремы Лемуса, мнѣ таковымъ не кажется, такъ какъ онъ пользуется довольно широко теоріею пропорцій***).

Чисто геометрическими и прямыми доказательствами являются три слѣдующихъ доказательства: Герца, Барбарена (Р. Barbarin) и неизвѣстнаго автора В. В. (W. W.). Одновременно съ работами по доказательству теоремы Лемуса опубликованъ цѣлый рядъ работъ, содержащихъ доказательства нѣкоторыхъ болѣе общихъ теоремъ, находящихся въ тѣсной связи съ теоремой Лемуса. Еще Штейнеромъ было указано слѣдующее свойство треугольника, изъ котораго, какъ частный случай, мы имѣемъ теорему Лемуса: если въ треугольникѣ двѣ равной длины прямыя дѣлятъ углы при основаніи въ одномъ и томъ же отношеніи m : п (считая отъ основанія), то треугольникъ равнобедренный. Теорема эта извѣстна подъ названіемъ обобщенной теоремы Лемуса-Штейнера.

Кромѣ этой теоремы, Штейнеръ указалъ на случай анало-

*) Archiv der Mathematik, Bd. 20, (1853), S. 459.

**) Nyt Tidsskrift for Matematik, IV. A (1893), S. 55.

***) Archiv der Mathematik, Bd. 15, (1850), S. 358.

гячный основному — равенство биссектрисъ двухъ внѣшнихъ угловъ и, болѣе интересный случай—биссектрисы внѣшнихъ угловъ расположены по разныя стороны основанія. Этотъ послѣдній случай заслуживаетъ быть отмѣченнымъ особо, потому что здѣсь изъ равенства двухъ биссектрисъ слѣдуетъ равенство двухъ сторонъ. Одно изъ доказательствъ этого положенія—очень простое— дано Н. Извольскимъ*).

Подобнаго рода треугольники обладаютъ многими интересными свойствами. Они названы Эммерихомъ (А. Emmerich) по предложенію Нейберга (J. Neuberg) псевдоравнобедренными**).

Переходя къ обзору работъ по интересующему насъ вопросу въ русской математической литературѣ, мы должны прежде всего назвать двѣ замѣтки, помѣщенныя въ журналѣ „Вѣстникъ опытной физики и элементарной математики“***). Въ первой изъ нихъ приводится доказательство Герца, ошибочно приписанное Юэлю (С. Juel). Замѣтка анонимная, повидимому, помѣщена редакціей. Вторая замѣтка, принадлежащая Е. Григорьеву, приводитъ безъ указанія на автора, доказательство Тарри (G. Tarry).

Затѣмъ, въ томъ же журналѣ за 1910 г. напечатаны три работы: Н. Извольскаго (двѣ) и Е. Томашевича. Эти работы являются разработкою докладовъ, прочитанныхъ авторами ихъ на засѣданіяхъ Московскаго Математическаго кружка****).

Простое и остроумное доказательство, приведенное въ статьѣ Е. Томашевича и принадлежащее по его указанію С. Лапшину оказывается не новымъ. Оно опубликовано почти за 60 лѣтъ до появленія работы Е. Томашевича въ статьѣ Сильвестра, въ которой онъ упоминаетъ, что оно сообщено ему молодымъ геометромъ Смитсомъ (В. Smith) изъ Кембриджа*****). Ограничиваясь въ настоящей работѣ лишь плоскими треугольниками (Штейнеромъ доказана теорема Лемуса и для сферическаго треугольника), мы можемъ всѣ извѣстныя доказательства разбить на три группы: чисто геометрическія, алгебраическія и тригонометрическія. Первая группа можетъ быть подраздѣлена еще на группу прямыхъ и косвенныхъ доказательствъ. Громадное большинство этихъ послѣднихъ основывается на слѣдующей вспомогательной теоремѣ: „Если треугольникъ имѣетъ два неравныхъ угла, то большему

*) Вѣстникъ Одытн. Физ. XLIV сем. (1910), стр. 12.

**) Mathesis, t. XX (1900), р. 129.

***) В. О. Ф. XXX сем. (1903), стр. 19 и 164.

****) См. библіографическій указатель въ концѣ работы.

*****) The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine, vol. IV, Ser. IV-(1862), p. 366.

изъ нихъ соотвѣтствуетъ меньшая биссектриса". Нетрудно понять, что если считать эту теорему доказанной, то справедливость теоремы Лемуса обнаружится крайне просто.

Дѣйствительно, пусть биссектрисы гѵа и двухъ угловъ а и ß равны и предположимъ, что «>/9. Въ этомъ случаѣ, въ силу ТОЛЬКО ЧТО упомянутой теоремы что противорѣчитъ данному условію iva — ivß.

Въ отдѣльную группу должны быть отнесены два доказательства: доказательство Тарри и Бличфельдта (H. Blichfeldt)*). Оба упомянутыхъ автора обнаруживаютъ въ своихъ работахъ независимость теоремы Лемуса отъ постулата о параллельныхъ линіяхъ. Работа Тарри относится къ обыкновенной теоремѣ Лемуса, а Бличфельдтъ разсматриваетъ обобщенную теорему.

Способъ доказательства, употребляемый этими авторами— способъ приведенія къ абсурду. Что касается чисто геометрическихъ доказательствъ, не зависящихъ отъ постулата о параллельныхъ и притомъ прямыхъ, то мнѣ таковыя доказательства неизвѣстны и кажется и не могутъ быть даны. Неизвѣстно также чисто геометрическое и прямое доказательство обобщенной теоремы Лемуса-Штейнера. Нѣсколько разъ дѣлались уже попытки дать сводку всего напечатаннаго по разсматриваемому вопросу. Въ первый разъ такое предложеніе было сдѣлано въ 1849 г. редакторомъ журнала Archiv der Mathematik, Грунертомъ (J. Grunert). На его предложеніе отозвался Ланге (Th. Lange), давшій два неполныхъ и для того времени обзора разсматриваемаго вопроса. Затѣмъ, имѣемъ довольно полную библіографію, приведенную М. Симономъ въ его большой и чрезвычайно цѣнной работѣ о развитіи элементарной геометріи въ XIX столѣтіи (§ 17 Ь.). Нѣкоторыя указанія библіографическаго характера можно найти также въ журналѣ L’Intermédiaire des mathématiciens**).

Вплоть до самаго послѣдняго времени не перестаютъ появляться замѣтки, посвящаемыя теоремѣ Лемуса, свидѣтельствующія, что, несмотря на все множество уже напечатаннаго по этому вопросу, онъ все еще продолжаетъ привлекать къ себѣ вниманіе лицъ, занимающихся геометріей.

Настоящая работа состоитъ изъ двухъ, различныхъ по своему характеру, частей. Въ первой изъ нихъ приведены наиболѣе интересныя доказательства (всѣхъ типовъ) теоремы Лемуса. Вторая даетъ въ хронологическомъ порядкѣ списокъ всѣхъ извѣстныхъ

*) Journal de Mathématiques éléin. et spéc. (Bourget), t. 19, (1895), p. 169.

Annals of Mathematics, Ser. 2, t. 4, (1902), p. 22.

**) t. 2, (1895), p. 169—172; t.4, (1897), p. 248.

мнѣ работъ по разсматриваемому вопросу. Нѣтъ сомнѣнія, что и этотъ библіографическій указатель не обнимаетъ собою всѣ, безъ исключенія, напечатанныя работы о теоремѣ Лемуса; въ особенности это можетъ быть отнесено къ работамъ англійскимъ и американскимъ, разсѣяннымъ въ старинныхъ журналахъ, которые давно уже являются библіографическою рѣдкостью и мною не могли быть просмотрѣны.

I.

1. Доказательство Лемуса.

Авторъ этой теоремы далъ ей два доказательства, одно алгебраическое, другое геометрическое. Разсмотримъ здѣсь послѣднее*).

Пусть имѣемъ треугольникъ АВС, въ которомъ, согласно условію, обѣ внутреннія биссектрисы AM и BN равны. Предположимъ, что Д АВС не равнобедренными пусть тогда ясно, что a>ß. Построимъ далѣе при точкѣ А уголъ и проведемъ окружность черезъ точки АРМ; эта окружность, вслѣдствіе равенства угловъ и ß, пройдетъ также черезъ точку В. Такъ какъ Z PAB=ß' + a и , то вслѣдствіе выше обнаруженныхъ соотношеній ß' = ß и a>ß заключаемъ, что /^РАВ>Д_МВа потому и дуга, соотвѣтствующая первому углу, окажется больше дуги, соотвѣтствующей второму углу. Неравенство дугъ влечетъ за собою, въ свою очередь, неравенство хордъ: большей дугѣ соотвѣтствуетъ большая хорда. Итакъ, ВР>АМ, а тѣмъ болѣе | BN>AM,что противорѣчитъ условію BN—AM. Такимъ образомъ доказана справедливость теоремы.

Какъ извѣстно, заключеніе о томъ, что большей дугѣ соотвѣтствуетъ большая хорда, справедливо лишь въ томъ случаѣ, когда каждая изъ дугъ меньше полуокружности. Легко убѣдиться, что у насъ это будетъ имѣть мѣсто.

Дѣйствительно,

откуда, на основаніи выше полученнаго неравенства

*) Archiv der Mathematik, Bd. 15, (1850), S. 225.

Слѣдовательно, каждая изъ дугъ, соотвѣтствующихъ разсматриваемымъ угламъ, менѣе полуокружности.

2. Доказательство Штейнера*).

Предположимъ, что въ треугольникѣ углы и не равны и пусть а>/?; тогда изъ сравненія треугольниковъ AM В и ANB, имѣющихъ по двѣ соотвѣтственно равныхъ стороны, выводимъ неравенства:

(1)

(2)

Проведемъ черезъ точки В ти А прямыя соотвѣтственно параллельныя AM и ВМ. Разсматривая получившійся параллелограммъ АМВМ', заключаемъ, что Ml3 =АМ=NB, т.- е. Д NBW равнобедренный.

Отнимая отъ угловъ ß' и а' но равному углу NM'B=M'NB, мы убѣждаемся, что въ треугольникѣ ANM' уголъ при точкѣ N меньше угла при точкѣ М', а потому М'Л < NA или, такъ какъ МВ < NA, что противорѣчитъ ранѣе полученному соотношенію (1). Остается поэтому принять a=ß, т.-е. Д АВС— равнобедренный.

3. Доказательство Дескюба-Тарри**).

Это доказательство —одно изъ наиболѣе простыхъ — весьма похоже на только что разсмотрѣнное доказательство Штейнера. Помимо простоты оно интересно еще и потому, что можетъ быть сразу примѣнено къ обобщенной теоремѣ Лемуса. Какъ Дескюбъ (А. Descube), такъ и Тарри, упростившій его доказательство, разсматриваютъ лишь простѣйшій случай теоремы. Обобщенную теорему доказалъ, пользуясь этимъ способомъ, Гинзбургъ (J. Ginsburg)***).

*) См. стр. 18.

**) Journal de Mathématiques élém. et spée. (Bourget), t. IV (1880), p. 538.

L’Intermédiaire des mathématiciens, t. 2, (1895), p. 327.

***) The American Mathematical Monthly, vol. XXIV, (1917), p. 33.

Само доказательство основывается на слѣдующемъ простомъ предложеніи: Пусть каждая изъ двухъ величинъ а и ß раздѣлена на двѣ части «j, а., и ßlt такія, что имѣетъ мѣсто равенство Wl=~; тогда если a>ß, то

Дѣйствительно, на основаніи даннаго равенства имѣемъ:

откуда, вслѣдствіе заключаемъ: а1>/?1 . . . . . . . . (1)

Изъ даннаго соотношенія и полученнаго неравенства (1) выводимъ далѣе:

«2 >#а......................(2)

Приступая къ доказательству самой теоремы, предположимъ, что ВС>АС т. е. a>ß.

Перенесемъ прямую AM параллельно самой себѣ въ положеніе NP, соединимъ точку Р съ М и В и разсмотримъ полученный треугольникъ BMP. На основаніи тѣхъ же соображеній, какъ и въ доказательствѣ Штейнера, заключаемъ, что МВ > AN или, что то же МВ>МР,слѣдовательно:

? > Ѵ>............................(3)

Изъ неравенствъ (2) и (3) имѣемъ:

Итакъ, NB > NP или,

NB>AM, что противорѣчитъ условію теоремы

(Продолженіе слѣдуетъ).

Графическій методъ въ школѣ.

В. Добровольскій (Москва).

ВВЕДЕНІЕ.

О графическомъ методѣ вообще.

Графическій методъ въ самомъ общемъ значеніи этого слова, это—методъ условнаго обозначенія вещей и ихъ отношеній. Такъ, всякій схематическій рисунокъ (а вначалѣ всякій рисунокъ былъ схематическимъ, да и теперь по существу онъ остается таковымъ, т.-е. болѣе или менѣе условнымъ), всякое написанное слово, цифра, даже простая черточка, если ей придается опредѣленный смыслъ, все это уже—графика. Понимаемый въ такомъ широкомъ значеніи графическій методъ имѣетъ болѣе древнее начало, чѣмъ

исторія культурныхъ народовъ, а тѣмъ болѣе государствъ, а насколько онъ вкоренился въ современную культуру, можно судить по тому, что трудно себѣ представить нашу жизнь безъ книгъ, письма, рисунковъ и чертежей.

Какія же цѣли преслѣдуются графическимъ методомъ? Первые условные знаки имѣли несомнѣнно понятное всѣмъ сходство съ изображаемыми предметами (вспомнимъ іероглифы) и ихъ соотношеніями (напр., тире напоминаетъ протянутую веревку), но впослѣдствіи потребность въ упрощенной записи настолько удалила эти знаки отъ того, что они изображаютъ, что мы теперь часто не въ состояніи возстановить эту связь; на практикѣ въ этомъ, впрочемъ, и нѣтъ надобности, разъ извѣстно условіе, на которомъ основано употребленіе тѣхъ или иныхъ знаковъ. Однако, полный разрывъ между графикой (записью) и міромъ вещей противорѣчитъ основной цѣли самого метода—общенію между людьми, и вотъ въ процессѣ приспособленія къ жизненнымъ потребностямъ, изображенія стали пріобрѣтать наглядность. Въ особенности это важно было для изображенія отношеній вещей между собой. Надо было найти такіе образы, отношенія между которыми съ одной стороны были бы достаточно просты, съ другой напоминали бы дѣйствительныя отношенія въ окружающемъ мірѣ. Впослѣдствіи въ эти отношенія былъ введенъ элементъ величины, численности. Этимъ обоимъ требованіямъ въ высокой степени удовлетворяютъ геометрическіе образы: ихъ расположеніе изображаетъ качественную сторону явленій, ихъ величина—количественную. Такимъ образомъ, въ концѣ концовъ, графическій методъ сталъ пониматься уже, зато точнѣе, въ смыслѣ метода геометрическаго изображенія величинъ и ихъ отношеній. Въ настоящее время можно различить двѣ стороны этого метода: наглядность, служащую лишь средствомъ болѣе легкаго представленія и запоминанія, словомъ, усвоенія уже пройденнаго, и отысканіе неизвѣстнаго путемъ построенія взамѣнъ вычисленій.

Изображеніе родословныхъ, системъ управленія, народнаго образованія и т. п. при помощи пучковъ расходящихся лучей, кружковъ и прямоугольниковъ съ обозначеніемъ соотвѣтствующихъ лицъ и областей,—вотъ примѣры изображеній чисто качественныхъ отношеній; здѣсь исключительную роль играетъ наглядность. Помѣщаемыя въ календаряхъ наглядныя изображенія потребляемыхъ въ разныхъ странахъ продуктовъ въ видѣ мѣшковъ муки, бочекъ пива, коровъ и пр., преслѣдуютъ преимущественно цѣли наглядности, но обозначенныя на нихъ числа позволяютъ дѣлать и количественное сравненіе. Сюда же относятся и

карг: іограммы, т.-е. карты, на которыхъ отмѣчены области съ той или иной числовой характеристикой, напримѣръ, плотностью населенія, урожаемъ и т. и. Слѣдующую ступень представляютъ діаграммы въ видѣ прямоугольниковъ или секторовъ круга, изображающихъ своею площадью въ условномъ масштабѣ добычу ископаемыхъ, грамотность населенія и пр. Многія величины, какъ длина желѣзной дороги, число почтовыхъ отправленій и пр., удобно изображать просто прямыми отрѣзками соотвѣтствующей длины. Совмѣстное изученіе нѣсколькихъ діаграммъ и картограммъ можетъ дать результатъ, могущій быть изображеннымъ въ видѣ новой производной діаграммы, напримѣръ, количество почтовыхъ отправленій на 1 человѣка, длина желѣзнодорожной линіи, приходящейся, въ среднемъ, на 1 кв. версту, и т. д., и дающій обыкновенно совсѣмъ иное распредѣленіе прежнихъ объектовъ изслѣдованія въ рядъ.

Такія упражненія могутъ быть введены въ школѣ очень рано, если они не навязаны искусственно и въ большомъ количествѣ, а появляются при случаѣ, когда возбужденъ интересъ въ опредѣленномъ направленіи.

Наконецъ, въ цѣляхъ также преимущественно наглядности могутъ быть даны діаграммы тѣхъ же величинъ (добыча желѣза, длина желѣзныхъ дорогъ), расположенныхъ по годамъ для одной и той же страны; это послужитъ подходомъ къ понятію функціи и обращенію съ ней; метеорологическія кривыя одного и того же мѣста—тоже подходящіе примѣры для этой цѣли. Здѣсь, однако, величина является функціей времени, т.-е. мы имѣемъ чисто формальную зависимость; сравнивая же удачно выбранныя кривыя, можно установить и реальную зависимость двухъ величинъ, т.-е. ихъ параллельное измѣненіе во времени. Нанося климатическія кривыя на карту, можно ознакомить дѣтей съ функціей мѣста.

Графическое изображеніе функціи въ видахъ наглядности полезно давать и въ томъ случаѣ, когда самая функція изслѣдуется не на основаніи готовыхъ уже таблицъ (какъ въ предыдущихъ случаяхъ), а на основаніи собственныхъ опытовъ (физическіе законы) и вычисленій (уравненія); это способствуетъ запоминанію основныхъ свойствъ этихъ функцій.

Такой же характеръ иллюстрацій носятъ геометрическія истолкованія алгебраическихъ тождествъ въ родѣ -J-4-2ab-f-b2 и т. и.

Отъ метода усвоенія уже найденнаго при помощи графическаго изображенія, примѣры котораго мы только что привели, слѣдуетъ отличать графическій методъ изслѣдованія вопроса, т.-е.

рѣшеніе задачъ. Этотъ методъ прежде всего самъ собой напрашивается въ области самой геометріи. Geometrica geometrice! Построеніе лежитъ въ основѣ геометріи древнихъ. Евклидъ, Аполлоній, Архимедъ—его творцы, а въ новое время даже самъ Ньютонъ, открывшій новый могучій методъ изслѣдованія—методъ флюксій (методъ дифференціальнаго исчисленія), который вмѣстѣ съ методомъ координатъ Декарта далъ геометріи совершенно иное направленіе,—самъ Ньютонъ пользовался въ своихъ Principia методомъ древнихъ при изслѣдованіи коническихъ сѣченій. XIX вѣкъ, богатый вообще новыми идеями въ математикѣ, возвратился къ идеямъ чистой геометріи и создалъ кромѣ геометріи начертательной, этого завершенія геометріи древнихъ, еще геометрію проективную, очищенную не только отъ алгебры и анализа, но и отъ обычнаго понятія мѣры, оперируя лишь съ положеніемъ. Идейное вліяніе проективной геометріи громадно: оказалось, что если геометрія мѣры связана тѣснѣйшимъ образомъ съ движеніемъ твердыхъ тѣлъ, то проективная съ понятіемъ болѣе общаго характера, съ понятіемъ преобразованія (проективнаго). Примѣрами задачъ изъ геометріи мѣры могутъ служить основные и особые случаи построенія треугольниковъ, геометрическія мѣста точекъ, опредѣляемыхъ по свойствамъ ихъ разстояній отъ точекъ, прямыхъ, плоскостей и пр.; примѣрами задачъ проективнаго характера могутъ служить опредѣленіе геометрическихъ мѣстъ точекъ пересѣченія двухъ пучковъ лучей, находящихся въ проективномъ соотвѣтствіи, или построеніе лучей, соединяющихъ соотвѣтственныя точки двухъ проективныхъ рядовъ; затѣмъ, построеніе коническаго сѣченія по достаточному числу данныхъ элементовъ: пяти точкамъ, четыремъ точкамъ и касательной и т. д. Недостатки построенія въ сравненіи съ вычисленіемъ, общеизвѣстны: неопредѣлимость предѣловъ ошибокъ вслѣдствіе зависимости точности построенія отъ качества чертежныхъ инструментовъ и искусства чертежниковъ, необходимость самыхъ инструментовъ и требованіе иногда невыполнимыхъ размѣровъ чертежа. Но и достоинства его велики: непосредственность результатовъ, изящество и естественность самаго метода, а зачастую и неизмѣримая простота въ сравненіи съ утомительнымъ вычисленіемъ по таблицамъ и безъ нихъ, сложностью аналитическихъ формулъ и уравненій.

Но методъ построенія можетъ быть примѣненъ и въ такихъ задачахъ, которыя на первый взглядъ представляютъ задачи чисто аналитическаго, вычислительнаго характера. Это, во-первыхъ, задачи, относящіяся къ величинамъ, имѣющимъ направленіе, каковы силы, скорости въ механикѣ, многія величины въ ученіи

объ электричествѣ, словомъ, по современной терминологіи—векторы. Обобщеніе аналогичныхъ пріемовъ въ частныхъ наукахъ создало векторіальный анализъ, какъ особый математическій методъ. О его преимуществахъ предъ методомъ вычисленій можно сказать то же. что было сказано о построеніи въ геометріи, за исключеніемъ непосредственности результата, такъ какъ векторъ есть все-таки условное изображеніе дѣйствительной величины и потому требуетъ перевода при помощи условнаго масштаба; но въ настоящее время такъ свыклись съ векторіальнымъ изображеніемъ, что векторъ и сама величина почти слились въ представленіи (напримѣръ, сила) тѣмъ болѣе, что это изображеніе зачастую придаетъ и самой величинѣ, и операціямъ съ нею, такую наглядность, которой никогда не имѣетъ вычисленіе. Какъ примѣры такого метода могутъ быть указаны изъ механики задачи на сложеніе силъ, всѣ задачи изъ графостатики, опредѣленіе скоростей и ускореній въ плоскомъ движеніи; изъ электротехники—задачи на перемѣнные токи, магнитныя поля.

Но и не направленныя (абсолютныя) величины могутъ быть интерпретированы геометрически (въ видѣ отрѣзковъ, площадей, угловъ), вслѣдствіе чего многія алгебраическія и трансцендентныя формулы могутъ быть построены; результатъ построенія, выраженный числомъ, замѣнитъ въ такомъ случаѣ результатъ вычисленія по формулѣ. Такъ, „приложеніе алгебры къ геометріи“ превращается въ приложеніе геометріи къ алгебрѣ. Какъ извѣстно, изъ алгебраическихъ функцій могутъ быть построены циркулемъ и линейкой всѣ раціональныя, а изъ ирраціональныхъ тѣ, которыя разлагаются на комбинацію квадратныхъ радикаловъ, тригонометрическія функціи нѣкоторыхъ угловъ и нѣкоторыя другія.

Другая область примѣненія построенія вмѣсто вычисленія, это—пользованіе методомъ координатъ навыворотъ, т.-е. въ направленіи, обратномъ тому, какъ примѣняетъ его аналитическая геометрія.

Послѣдняя, какъ извѣстно, развивая „приложеніе алгебры къ геометріи“ методически исчерпывающимъ образомъ, замѣняетъ основной геометрическій образъ, или „элементъ“, точку—парой чиселъ (на плоскости), непрерывный рядъ точекъ—уравненіемъ съ двумя перемѣнными, приводя такимъ образомъ во взаимнооднозначное соотвѣтствіе двукратно-протяженное многообразіе точекъ плоскости съ двукратно-безконечнымъ многообразіемъ всѣхъ паръ чиселъ. Приложеніе алгебры при этомъ заключается въ томъ, что пара чиселъ, опредѣляющихъ точку (ея „координаты“), легко поддается обыкновенно геометрической интерпретаціи, на-

примѣръ, въ случаѣ прямоугольныхъ Декартовыхъ координатъ представляютъ разстоянія точки отъ двухъ постоянныхъ осей, въ случаѣ полярныхъ координатъ—разстояніе отъ постояннаго центра и уголъ этого разстоянія съ постояннымъ направленіемъ и т. д.

Вслѣдствіе этого и обратно: всякое уравненіе съ двумя перемѣнными, опредѣляющее явно пли неявно функцію одного перемѣннаго, можетъ быть изображено при помощи кривой, называемой ея графикомъ, а разнаго рода вопросы, связанные съ уравненіемъ, могутъ быть разрѣшены построеніями, относящимися къ этой кривой. Такъ, напримѣръ, рѣшеніе любого уравненія вида f(x) = 0 сводится къ нахожденію точекъ пересѣченія кривой f(x) = 0 съ осью Х-овъ; рѣшеніе уравненія вида замѣняется отысканіемъ точекъ пересѣченія двухъ кривыхъ у — f(x) и у — <р (х), рѣшеніе системы двухъ уравненій съ двумя неизвѣстными f(x,y)= 0 и (f{x,у) — 0 въ переводѣ на языкъ аналитической геометріи означаетъ общія точки кривыхъ f(x,y) = 0 и <р(х,у) = 0. Вычисленіе промежуточныхъ значеній функціи (интерполяція) и замѣна данной функціи болѣе простою (напримѣръ, линейною) также можетъ быть произведено графически легче, чѣмъ аналитически. Правда, графическій пріемъ часто даетъ весьма приблизительные результаты, но переходъ отъ этихъ приблизительныхъ къ болѣе точному отвѣту обыкновенно бываетъ легче чисто аналитическаго рѣшенія. Но встрѣчаются случаи, когда вообще аналитическій видъ функціи неизвѣстенъ, напримѣръ, когда опредѣлено на основаніи опытныхъ данныхъ лишь нѣсколько частныхъ значеній функціи. Переводъ таблицы такихъ значеній на графическій языкъ часто даетъ возможность легко подобрать и видъ функціи, довольно близко подходящій къ даннымъ условіямъ, а иногда даже и въ этомъ нѣтъ надобности, такъ какъ заключенія относительно свойствъ полученной функціи и различныя операціи надъ нею могутъ быть произведены непосредственно по графику. Во многихъ случаяхъ технической и метеорологической практики такіе графики вычерчиваются непосредственно самопишущими приборами (индикаторы, барографы).

Наконецъ, многія относящіяся сюда задачи могутъ быть разрѣшены методами номографіи, которые суть лишь спеціально приспособленные къ нѣкоторымъ вопросамъ графическіе методы.

Въ слѣдующихъ статьяхъ будетъ данъ матеріалъ, относящійся къ различнымъ областямъ науки и жизни, и сообщены пріемы обработки этого матеріала въ школѣ.

О произвольно-маломъ членѣ убывающей геометрической прогрессіи.

Е. Томашевичъ. (Москва).

Во 2-ой части „Сборника упражненій и задачъ по элементарному курсу алгебры, составленнаго гг. Бемомъ, Волковымъ и Струве (М. 1915) на стр. 194 помѣщенъ § 5: Сравненіе ариѳметической и геометрической прогрессій. Задачи этого отдѣла появляются у насъ впервые и нельзя ихъ не привѣтствовать; но § 5 все же, по моему мнѣнію, въ нѣкоторомъ отношеніи слабо разработанъ. Задача 617 есть основаніе всему дальнѣйшему; однако сама она недостаточно правильно изложена, а имѣющееся къ ней указаніе приводитъ рѣшающаго въ недоумѣніе. Далѣе имѣется задача 619: Показать, что въ геометрической прогрессіи

1,2; 1,44; 1,728;....

всегда можно найти такое значеніе для числа 1с (мѣсто члена прогрессіи), чтобы ик > 1000000.

Требованіе „показать“ слишкомъ неопредѣленно; лучше было бы: найти возможно малое значеніе

Остановимся прежде всего на задачѣ 617.

Возьмемъ 2 прогрессіи, ариѳметическую и геометрическую, съ двумя одинаковыми первыми положительными членами а и Ь; третьи члены этихъ прогрессій будутъ соотвѣтственно 26—а и —, но —=26—а-)-1----—; слѣд. третій членъ геометрической прогрессіи больше 3-го ариѳметической, независимо отъ того, будетъ ли прогрессія возрастающей или убывающей; этого вполнѣ достаточно, чтобы сказать то же самое и о членахъ 4-мъ, 5-мъ и т. д. Для рѣшенія задачи 619 напишемъ слѣдующіе ряды:

Изъ предыдущаго видно, что (1,2)* >1 -f- 0,2 Положивъ 1 -f- 0, 2к^>1000000, найдемъ

*^4999995.

Но этимъ рѣшеніемъ не слѣдуетъ ограничиваться; слишкомъ ужъ велико значеніе к, и естественно желаніе его понизить. Этого можно достигнуть, написавъ

Тогда вспомогательное ур-іе для нахожденія станетъ

но и это еще не все; можно написать

Такъ какъ у/Ю<3,2 и у/ ІО <1,8, то для рѣшенія задачи достаточно положить

значенія 7с, соотвѣтствующія этимъ случаямъ, будутъ 132 и 96.

Если ур-іе (1,2)* > 10е мы рѣшимъ при помощи логариѳмическихъ таблицъ, то наименьшее цѣлое значеніе есть 76; отъ него уже не такъ далеко найденное выше значеніе 96.

Пріемъ, примѣненный къ возрастающей прогрессіи, неприложимъ къ убывающей, когда мы пожелаемъ найти членъ прогрессіи, меньшій заданнаго числа; вслѣдствіе этого задачу приходится приводить предварительно къ прогрессіи возрастающей.

Рѣшимъ для примѣра такую задачу.

Найти возможно малое значеніе для неравенства

Это неравенство равносильно другому, именно

а подобный вопросъ уже рѣшенъ выше.

Примѣняя предыдущія разсужденія, найдемъ:

Мы уже видѣли, что этому неравенству можно удовлетворить, положивъ

Въ такомъ случаѣ к найдется изъ уравненія

Отсюда к =154.

Логариѳмическое рѣшеніе даетъ fc=113.

Математическія замѣтки.

В. Городковъ (Тобольскъ).

1. Объ одномъ „доказательствѣ“ двухъ теоремъ планиметріи.

Извѣстна теорема Чевы, состоящая въ томъ, что „если на сторонахъ AB, ВС, С Л треугольника АВС взять точки Clt Вѵ то необходимымъ и достаточнымъ условіемъ для того, чтобы прямыя ААѴВВХ, ССг пересѣкались въ одной точкѣ, является равенство:

Интересно то, что „доказать“ эту теорему можно очень просто: поставить въ числителѣ и знаменателѣ этого равенства послѣ каждой буквы по знаку умноженія и теорема „доказана“. Дѣйствительно,

что и требовалось доказать. Готъ же пріемъ можетъ быть примѣненъ и къ „доказательству“ обобщенной теоремы Чевы. Обобщенная теорема Чевы читается такъ: „Если на сторонахъ треугольника АВС взять точки и С2,А1 и и В2, то необходимымъ и достаточнымъ условіемъ для того, чтобы прямыя АуВ2,ВуС2,СуА2 пересѣкались въ одной точкѣ, является равенство

Дѣйствительно, 1 + 1 — 1 — 1 — 1 + 1=0. Совершеннно аналогично „доказывается“ теорема Менелая (обычная и обобщенная).

2. „Доказательства“ нѣкоторыхъ тригонометрическихъ тождествъ.

Большое число тригонометрическихъ парадоксовъ можетъ быть получено зачеркиваніемъ въ соотвѣтствующихъ формулахъ тригонометріи символовъ тригонометрическихъ функцій. Приводимыя ниже условія задачъ взяты изъ „Собранія вопросовъ и задачъ прямолинейной тригонометріи“ И. Верещагина.

1. (№ 125). Доказать, что

Зачеркивая въ обѣихъ частяхъ равенства , cos, sec, получимъ:*)

*) „Извѣстія Алексѣевскаго Донского Политехн. Института“, т. III, вып. 1, отд. 3.

2. (№ 139). Доказать, что

Зачеркнувъ sin, получимъ:

Равенство „доказано“.

3. (№ 139а). Доказать, что

Поступая такъ же, получимъ:

4. (№ 140). Доказать, что

Уничтоживъ sin, имѣемъ:

5. (№142). Доказать, что

Дѣйствительно,

6. (№ 163). Доказать, что

„Доказываемъ“ по тому же способу, что и выше:

что и требовалось доказать.

7. (№ 180). Доказать, что

Уничтоживъ символы sin и tang, имѣемъ:

Тождество „доказано“.

3. Два числовыхъ равенства.

Нѣсколько словъ объ учебникахъ.

О. Вольбергъ.

Можно много и красно говорить о необходимости уничтожить старую школу учебу и создать новую, основанную на самодѣятельности, творчествѣ и трудѣ. На этихъ благородныхъ разговорахъ пріятно развить самую розовую либеральность, не рискуя сказать ничего ни слишкомъ новаго ни слишкомъ стараго.

Но въ одинъ прекрасный день каждому начинаетъ казаться, что эти высокія, но общія истины онъ зналъ еще за полчаса до рожденія и не мѣшало бы вложить въ нихъ болѣе конкретное содержаніе. Да тутъ еще и сама жизнь подступаетъ со своими запросами. Черезъ полтора мѣсяца наступаетъ новый учебный годъ. Съ чѣмъ прикажете начать—съ Киселевымъ или Давыдовымъ?

Такъ грубая проза вторгается въ поэзію. Приходится изъ возвышенныхъ сферъ просвѣщенныхъ мечтаній перейти къ дѣйствительности и выбирать между Киселевымъ и Давыдовымъ или еще какими-либо патентованными учебниками на предметъ насажденій въ юношахъ математическихъ знаній и любви къ нимъ. Тутъ приходится отложить мечты въ сторону—„что подѣлаешь, жизнь требуетъ“—и, сваливъ, такимъ образомъ, вину на жизнь, (у просвѣщенныхъ людей жизнь исполняетъ функціи Крыловскаго чорта) можно спокойно сдѣлать все, что дѣлалось споконъ вѣку, ни мало не считаясь съ благородными мечтами. Эго называется дѣлать конкретную работу.

Хорошая это у человѣка способность—мечтать!

Какъ не хотите пріятно чувствовать себя просвѣщеннымъ гражданиномъ, идущимъ въ уровнѣ съ вѣкомъ, не ретроградомъ— Боже сохрани—и не крайнимъ утопистомъ,—упаси Господи,—а какъ разъ такимъ, какимъ полагается быть просвѣщенному человѣку въ наши дни. Пріятно помечтать! А главное—совершенно не мѣшаетъ работѣ. Поговоривъ о самодѣятельности и творчествѣ въ школѣ, можно затѣмъ выбрать учебничекъ получше для будущаго „самодѣльника“ и съ осени начать традиціонное „творчество“ „отселева до селева“. Конечно, необходимо сдѣлать тысячу оговорокъ (ну какой просвѣщенный и либеральный человѣкъ сдѣлаетъ что-либо безъ тысячи оговорокъ?) придется, конечно, пояснить, что учебникъ дается вовсе не для того, чтобы по нему учиться, а только для повторенія проработаннаго въ классѣ и еще на случай, ежели ученикъ заболѣетъ и пропуститъ нѣсколько уроковъ. Не будемъ однако говорить о заболѣвшихъ. Для нихъ можно устроить аптечку, положить тамъ рядомъ съ oleum ricinum нѣсколько учебниковъ и отпускать ихъ въ самыхъ

экстренныхъ случаяхъ и самыхъ малыхъ дозахъ только по рецепту врача.

Нуженъ ли учебникъ здоровому ученику? Учебникъ — говорятъ—сохраняетъ время, которое безъ него пришлось бы потратить на конспектированіе уроковъ. Это конечно вѣрно, но если говорить объ уничтоженіи учебниковъ, то естественно о самодѣльной стряпнѣ, въ которой творчества не больше, чѣмъ въ благородномъ искусствѣ фальшивомонетчика—и говорить не приходится.

Но безъ учебника и безъ конспектированія ученикъ не усвоитъ предмета. Это тоже вѣрно. Но вѣдь мы хотѣли во главу угла поставить не усвоеніе, а самодѣятельность—умѣніе самостоятельно работать и мыслить. Это были мечты, но попробуемъ реализовать ихъ. Что значитъ самодѣятельность? Впитываніе словъ учителя? Конечно, нѣтъ. Выкачиваніе изъ учебника разныхъ умныхъ вещей? Тоже нѣтъ. Самодѣятельность—это умѣніе самостоятельно разрабатывать вопросы и рѣшать ихъ, пользуясь книгами, собственными наблюденіями и соображеніями. Поэтому всякая работа въ школѣ должна вестись путемъ разработки всевозможныхъ темъ самими учащимися. Ни учебникъ взамѣнъ учителя, ни учитель взамѣнъ учебника—вотъ основное правило. Учитель—это введеніе, предисловіе, комментаріи и заключеніе. Все остальное, т.-е. самое содержаніе, — это ученикъ, жизнь и библіотека; и вотъ о библіотекѣ, т.-е. о доступныхъ учащимся книгахъ для чтенія и изученія математики и слѣдуетъ поговорить. Эти книги должны быть въ каждой школьной библіотекѣ въ возможно большемъ количествѣ, возможно болѣе разнообразныя по содержанію, объему и серіозности изложенія. Сюда могутъ войти и полные курсы отдѣльныхъ математическихъ дисциплинъ, и книги по исторіи математики и монографіи по отдѣльнымъ вопросамъ. Особенное вниманіе слѣдовало бы удѣлить изданію классическихъ произведеній, приспособленныхъ для школы. Но этого мало. Для рѣшенія того или иного вопроса иногда бываетъ необходимо вспомнить забытое правило, формулу и т. д. Копаться въ книгахъ каждый разъ, когда встрѣтится подобная надобность, было бы слишкомъ утомительно. Поэтому на рукахъ у каждаго ученика должны быть математическіе справочники, содержащіе опредѣленія съ краткими поясненіями, правила, формулы и теоремы съ выводами или намеками на выводы, таблицы, однимъ словомъ все то, что можетъ понадобиться въ работѣ.

Теперь является вопросъ, не могутъ ли учебники бытъ переименованы въ книги для библіотекъ?

Безусловно кое чѣмъ можно было бы воспользоваться.

Но прежде всего слѣдовало бы нѣсколько причесать эти учебники, разсчитанные на заучиваніе и раздѣленные на параграфы съ жирными правилами и теоремами и пр., и пр. Весь учебникъ нужно оживить, связать отдѣльныя части въ стройное цѣлое, снабдить примѣчаніями, указателемъ литературы, историческими свѣдѣніями; вмѣстѣ съ тѣмъ сократить скучныя и

однообразныя мелкія теоремы, шаблонныя доказательства которыхъ можно только намѣтить. Однимъ словомъ, необходимо придать учебнику благообразную внѣшность „честной“ книги. Но этого мало. Это должна быть не только честная, но и талантливая книга. Авторъ учебника долженъ былъ создать одну книгу для всякаго ученика, каковы бы ни были его индивидуальныя склонности, къ тому же книгу навязанную ученику, къ которой онъ вслѣдствіе этого приступалъ безъ всякаго интереса, а кончалъ съ отвращеніемъ.

Авторъ книги не будетъ связанъ ничѣмъ. Онъ можетъ создать книгу болѣе или менѣе серіозную, болѣе или менѣе отвлеченную въ зависимости отъ собственныхъ склонностей, книгу, которая не навязываетъ знанія, а только удолетворяетъ потребности въ нихъ.

Будемъ надѣяться, что въ близкомъ будущемъ наша математическая литература обогатится цѣнными произведеніями этого рода.

Въ настоящее время можно указать нѣсколько книжекъ, пригодныхъ для учениковъ старшихъ классовъ. Сюда слѣдуетъ отнести Перри—„Практическая математика“, Лоренца—„Элементы высшей математики“ и нѣкоторыя другія. Хуже обстоитъ дѣло съ младшими классами второй ступени. Можно рекомендовать элементарную математику Бореля-ПІтеккеля, но на ряду съ этимъ необходимо имѣть и книжки попроще. Можно было бы приспособить для этой цѣли „Концентрическое руководство алгебры“ К. Ѳ. Лебединцева. По исторіи математики для младшихъ классовъ Беллюстина—„Какъ постепенно дошли люди до настоящей ариѳметики“ (не мѣшало бы нѣсколько сократить ее). Для среднихъ и старшихъ классовъ хороши Кеджори „Исторія элементарной математики“ (тоже можно было бы сократить), и Тропфке— подъ тѣмъ же названіемъ (къ сожалѣнію, на русскій языкъ переведена только первая часть—исторія ариѳметики). Полезной книгой является математическая хрестоматія Игнатьева. Необходимо переиздать статьи Бобынина, разбросанныя въ журналѣ ..Математическія науки въ прошломъ и настоящемъ“.

Нѣтъ нужды говорить, что перечисленныя книги далеко не исчерпываютъ списка*). Но необходимо подчеркнуть, что хотя по чистой математикѣ наша литература не такъ ужъ бѣдна, но совершенно отсутствуютъ книги по математикѣ, гдѣ было бы отведено должное мѣсто техническимъ проблемамъ и гдѣ математика излагалась бы въ связи съ этими проблемами. Созданіе такихъ книгъ есть очередная задача.

Но какъ бы тамъ ни было, уже съ осени текущаго года нужно поставить крестъ надъ учебникомъ. Война въ этомъ отношеніи сдѣлала доброе дѣло: какъ извѣстно учебники исчезли

*) Болѣе подробный перечень книгъ по математикѣ, пригодныхъ для школьныхъ библіотекъ помѣщенъ въ № 3—5 журнала „Трудовая школа“ изд. отдѣла Реформы Школы Народнаго Комиссаріата, по Просвѣщенію.

съ рынка. Этого факта нельзя не привѣтствовать, и вмѣсто того, чтобы снова плодить учебную литературу, нужно заняться изданіемъ и переизданіемъ того, что можетъ войти въ составъ библіотеки. Для проведенія принципа самодѣятельности и творчества, для насажденія любви къ наукѣ и умѣнія пользоваться научной книгой—нѣтъ другого пути.

Проектъ примѣрнаго плана занятій по математикѣ на первой ступени единой трудовой школы-коммуны*).

Первый годъ.

Центры вниманія: Счетъ, сложеніе, вычитаніе, умноженіе и дѣленіе до 20. Измѣренія длины и вѣса.

Планъ: Счетъ, сложеніе и вычитаніе до 10. Приготовленіе домино. Вычитаніе, какъ дѣйствіе прямое. Измѣреніе длины и вѣса въ доступныхъ предѣлахъ. Счетъ, сложеніе и вычитаніе до 20. Связь вычитанія со сложеніемъ. Формулы (на числахъ). Измѣреніе длины ломаной. Сложеніе и вычитаніе отрѣзковъ. Составленіе таблицы сложенія.

Умноженіе и дѣленіе до 20. Приготовленіе масштаба, содержащаго нѣсколько единицъ длины (2—5 —10 дециметровъ и пр.). Измѣреніе длины или разстоянія повторнымъ откладываніемъ масштаба, содержащаго нѣсколько единицъ длины. Дѣленіе, какъ дѣйствіе прямое.

Понятіе о дробяхъ (7„ 7«. */* и т. д.)-

Дѣленіе на части полосы и отрѣзка. Дѣленіе круга на секторы. Приготовленіе масштаба съ дѣленіемъ на мѣры низшаго наименованія. Сложеніе и вычитаніе одинаковыхъ долей единицы.

Дѣленіе съ остаткомъ или нехваткой. Измѣренія, въ результатѣ которыхъ получаются составныя именованныя числа. Опредѣленіе длины на глазъ и вѣса мускульнымъ ощущеніемъ. Провѣрка измѣреніемъ. Оцѣнка ошибки. Приблизительное число. Счетъ, сложеніе и вычитаніе до 100. Пользованіе термометромъ. Приготовленіе лото.

Второй годъ.

Центры вниманія: Всѣ дѣйствія до 100. Составленіе уравненій вида axz±ib = c (на числахъ). Рѣшеніе ихъ по соображенію. Измѣреніе количества жидкости и сыпучихъ тѣлъ. Раздробленіе и превращеніе именованныхъ чиселъ (метрической системы). Переводъ

*) Настоящій проектъ выработанъ естественно-математическимъ подъ-отдѣломъ по Реформѣ школы при Народномъ Комиссаріатѣ по Просвѣщенію.

дробей въ болѣе мелкія и крупныя доли. Сложеніе и вычитаніе простѣйшихъ дробей. Оцѣнка объемовъ мензуркой. Измѣреніе площадей прямоугольниковъ и объемовъ брусковъ. Измѣренія въ полѣ. Черченіе простѣйшихъ плановъ.

Планъ: Всѣ дѣйствія до 100. Составленіе уравненій вида ах=ьЪ=с (на числахъ). Преобразованіе (на числахъ). Рѣшеніе уравненій по соображенію. Измѣреніе длины, вѣса, количества жидкостей и сыпучихъ тѣлъ (стаканами, бутылками, литрами и т. д.). Раздробленіе и превращеніе именованныхъ чиселъ. Переводъ дробей въ болѣе мелкія и крупныя доли. Сложеніе и вычитаніе простѣйшихъ дробей.

Приготовленіе мензурки. Оцѣнка объемовъ твердыхъ нерастворимыхъ тѣлъ мензуркой. Измѣреніе площадей клѣтчатой бумагой. Измѣреніе площадей прямоугольниковъ и фигуръ, составленныхъ изъ нихъ. Приготовленіе шашечницы. Черченіе простѣйшихъ плановъ въ масштабѣ. Развертка прямоугольныхъ брусковъ. Приготовленіе портфелей изъ бумаги и предметовъ призматической формы изъ картона и глины. Опредѣленіе объемовъ прямоугольныхъ брусковъ. Сравненіе моделей предметовъ собственнаго изготовленія. Провѣрка линейки поворачиваніемъ вокругъ ребра. Провѣрка плоскости линейкой. Параллельныя и перпендикулярныя грани и ребра. Понятіе объ углѣ. Провѣрка прямого угла. Приготовленіе наугольника. Счетъ, нумерація, сложеніе и вычитаніе до 1000. Измѣренія въ полѣ. Провѣшиваніе прямыхъ. Нанесеніе результатовъ измѣренія на бумагу въ масштабѣ.

Третій годъ.

Центры вниманія: Всѣ дѣйствія до 1000. Понятіе о десятичныхъ дробяхъ. Понятіе о процентѣ. Составленіе таблицъ измѣняющихся величинъ (запись результатовъ измѣренія), съ абсолютной и относительной оцѣнкой измѣненія. Діаграммы. Объемы призмы (прямой и наклонной) и пирамиды. Геодезическія измѣренія съ крестообразнымъ эккеромъ.

Планъ: Всѣ дѣйствія до 1000. Сокращенное умноженіе и дѣленіе на 5, 9,11,15, 25, 75. Составленія уравненій со скобками и неизвѣстными въ обѣихъ частяхъ. Преобразованія -f- -f- Ь) = а-\-х-\-Ъ\ (a-J-ж) -)-(Ь-j-а?) = a + а:+ Ъ -\-х=а-\- Ъи т. д. (а и b—числа).

Рѣшеніе уравненій по соображенію. Запись составного именованнаго числа (метрической системы) въ видѣ десятичной дроби. Сложеніе и вычитаніе десятичныхъ дробей; умноженіе и дѣленіе ихъ на цѣлое число. Понятіе о процентѣ. Оцѣнка относительныхъ величинъ въ процентахъ. Сложеніе и вычитаніе простыхъ дробей; умноженіе и дѣленіе ихъ на цѣлое число. Опредѣленіе площади треугольника, трапеціи и параллелограмма разрѣзаніемъ. Объемъ прямоугольнаго бруска. Изслѣдованіе помѣщенія

въ гигіеническомъ отношеніи (кубатура и свѣтовая поверхность). Развертка и приготовленіе призматическихъ и пирамидальныхъ предметовъ. Поверхность ихъ. Объемъ треугольной призмы (разрѣзаніемъ четырехугольной). Объемъ многоугольной призмы (разрѣзаніемъ на трехугольныя). Объемъ пирамиды (пересыпаніемъ песка и, въ частномъ случаѣ, разрѣзаніемъ куба). Объемъ наклонной призмы деформаціей (сдвигъ стопы бумаги). Выраженіе правилъ формулами. Вторая и третья степени. Опредѣленіе вѣса по объему (съ помощью удѣльнаго вѣса). Плаваніе призмы.

Приближенная сумма, разность, произведеніе и частное (произведеніе—при одномъ приближенномъ сомножителѣ, частное при приближенномъ дѣлимомъ). Счетъ, нумерація, сложеніе и вычитаніе всѣхъ чиселъ. Примѣры очень большихъ чиселъ (изъ разныхъ областей знанія) и ихъ наглядная иллюстрація. Наибольшая и наименьшая величина предметовъ даннаго рода. Графическая иллюстрація ихъ (діаграммы). Распредѣленіе въ рядъ по величинѣ. Среднее значеніе изъ многихъ результатовъ измѣренія одной и той же величины. Систематическое измѣреніе измѣняющихся величинъ и запись результатовъ въ видѣ таблицъ. Абсолютное и относительное (въ процентахъ) измѣненіе величины. Иллюстрація таблицы діаграммами. Графика измѣненія величины, заданной таблицей (на клѣтчатой бумагѣ).

Геодезическія измѣренія съ крестообразнымъ эккеромъ; приготовленіе эккера, разбивка прямоугольнаго участка земли .по плану съ помощью эккера. Измѣреніе высоты холма планками съ помощью ватерпаса; горизонтальныя поверхности; вертикальное направленіе; отвѣсъ; ватерпасъ, приготовленіе его. Разные виды треугольниковъ (ихъ высоты) въ связи съ приготовленіемъ ватерпаса.

Четвертый годъ.

Центры вниманія: Всѣ дѣйствія надъ цѣлыми числами. Всѣ дѣйствія надъ дробями. Организаціонные расчеты. Буквенныя преобразованія. Измѣненіе формулы въ зависимости отъ измѣненія входящихъ въ нее величинъ. Понятіе о функціи. Графическое изображеніе ея. Приближенныя вычисленія. Обращеніе простой дроби въ десятичную (точную и приближенную). Длина окружности. Площадь круга. Поверхности и объемы всѣхъ геометрическихъ тѣлъ. Измѣреніе угловъ. Геодезическія измѣренія. Сѣченія геометрическихъ тѣлъ.

Планъ: Всѣ дѣйствія надъ цѣлыми и дробными числами. Сокращенное умноженіе и дѣленіе на 121, 125, 625. Выраженіе извѣстныхъ правилъ и законовъ буквенными формулами. Буквенныя преобразованія (въ предѣлахъ практической необходимости). Измѣненіе формулы въ зависимости отъ измѣненія одной изъ входящихъ въ нее величинъ. Понятіе о функціи. Положеніе точки на прямой; разстояніе ея отъ начала. Положеніе точки, заданной

формулой х=а —Ь, при Ъса, Ь=а и Ь>а. Отрицательныя числа. Иллюстрація отрицательныхъ чиселъ. Дѣйствія надъ ними. Координаты. Графическое изображеніе функцій. Функціи у — х— а; у — а—х\ у — ах\у — ах±Ъ; У = ~- Сумма, разность, произведеніе и частное—какъ функція слагаемыхъ, уменьшаемаго пли вычитаемаго, одного изъ сомножителей и содѣлителей. Графическое изображеніе ихъ. Приближенныя вычисленія. Сокращенные способы приближеннаго умноженія и дѣленія. Обращеніе простой дроби въ десятичную (точную или приближенную). Отношеніе длины окружности къ діаметру. Длина окружности. Площадь круга (разрѣзаніемъ на секторы). Поверхности и объемы круглыхъ тѣлъ (экспериментально). Прямая и обратная пропорціональность. Подобіе. Опредѣленіе высоты предмета по тѣни. Математическое выраженіе подобія: равенство угловъ и пропорціональность отрѣзковъ. Полуденная линія. Гномонъ. Солнечные часы. Компасъ. Измѣреніе угловъ. Биссектриса. Сумма угловъ треугольника. Построеніе равныхъ угловъ, перпендикуляра къ прямой и биссектрисы. Отраженіе въ плоскомъ зеркалѣ. Симметрія (отраженіе, симметрія въ природѣ, симметрія правильныхъ фигуръ и тѣлъ). Понятіе о плоскостяхъ, осяхъ и центрѣ симметріи. Сѣченіе геометрическихъ тѣлъ плоскостью. Сѣченіе шара плоскостью. Экваторъ. Параллели и меридіаны (въ связи съ географіей). Геодезическія измѣренія при помощи эккера и прямоугольнаго равнобедреннаго треугольника. Опредѣленіе ширины рѣки построеніемъ на мѣстности. Самодѣльные астролябія и теодолитъ. Измѣреніе съ ихъ помощью. Съемка плана эккеромъ. Опредѣленіе уклона мѣстности. Рельефъ мѣстности въ разрѣзѣ. Опредѣленіе разстоянія до недоступной точки построеніемъ на мѣстности. Опредѣленіе высоты предмета съ помощью прямоугольнаго треугольника съ угломъ въ 45°. Нанесеніе измѣреній на бумагу.

Пятый годъ.

Центры вниманія: Систематическая проработка нумераціи. Организаціонные расчеты. Линейныя уравненія съ двумя неизвѣстными. Аналитическое и графическое рѣшеніе ихъ.

Основы техническаго черченія (для городскихъ школъ). Основы геодезическаго черченія (для сельскихъ школъ).

Планъ: Систематическая проработка нумераціи (недесятичныя системы нумераціи). Организаціонные расчеты (въ связи съ жизнью школы и ближайшей общины). Статистическія обслѣдованія. Составленіе діаграммъ и графикъ, иллюстрирующихъ мѣстную жизнь. Пользованіе справочниками. Интерполированіе (графически). Составленіе линейныхъ уравненій съ двумя неизвѣстными; аналитическое и графическое рѣшеніе ихъ. Графическое изображеніе функцій у — ах2 и у — ах3. Замѣна оси Х-овъ осью Y-овъ и наоборотъ. Корень квадратный и кубическій. Извлеченіе квадратнаго корня дѣленіемъ и подборомъ чиселъ.

Треугольники со сторонами 3, 4 и 5 единицъ и т. д. Построеніе прямого угла съ ихъ помощью. Равнобедренный прямоугольный треугольникъ. Теорема Пиѳагора примѣнительно къ нему. Теорема Пиѳагора (изъ разсмотрѣнія квадратовъ). Построеніе квадратнаго корня. Графическое изображеніе функціи у = а]'х. Отношеніе катета къ гипотенузѣ при постоянномъ углѣ. Отношеніе катета къ катету. Синусъ и тангенсъ, какъ коэффиціе-нты, характеризующіе уголъ. Синусъ и тангенсъ, какъ функціи остраго угла. Рѣшеніе прямоугольныхъ треугольниковъ по таблицамъ синусовъ и тангенсовъ. Выводъ формулы = ^g = -^-£y. Рѣшеніе треугольниковъ вычисленіемъ (въ простѣйшихъ случаяхъ). Геодезическія измѣренія съ помощью астролябіи (вычисленіемъ). Понятіе объ астрономическихъ измѣреніяхъ. Съемка плана планшетомъ съ компасомъ и мензулой.

Для городскихъ школъ. Черченіе геометрическихъ тѣлъ, простѣйшихъ предметовъ обихода и деталей машинъ въ трехъ проекціяхъ съ указаніемъ размѣровъ. Проекція призматическихъ, цилиндрическихъ, пирамидальныхъ и коническихъ тѣлъ (желѣзныя полосы, доска, бревно, болтъ, втулка, молотокъ и т. д.). Вычерчиваніе гайки (вписанные 4-хъ и 6-и угольники). Разрѣзъ дома. Опредѣленіе объема простѣйшихъ тѣлъ по чертежу. Формулы Гульдена для тѣлъ простѣйшаго сѣченія (безъ вывода, но съ поясненіемъ). Опредѣленіе вѣса по чертежу. Черченіе схемъ. Блокъ съ грузомъ—касательная къ окружности (построеніе ея). Ременная передача—касательная къ двумъ окружностямъ (построеніе ихъ). Расчетъ скоростей двухъ валовъ (ременная передача, зубчатая передача).

Схема цилиндра, поршня, ползуна, кривошипа и вала.

Для сельскихъ школъ. Разрѣзъ дома. Опредѣленіе кубатуры и свѣтовой поверхности по чертежу. Съемка мѣстности съ условными обозначеніями пашни, луга, лѣса и т. д. Зачерчиваніе рельефа мѣстности въ разрѣзѣ и при помощи горизонталей. Опредѣленіе уклона мѣстности по геодезическому чертежу.

Объяснительная записка къ проекту примѣрнаго плана занятій по математикѣ на первой ступени единой трудовой школы-коммуны.

Для новой школы ребенокъ является не эмбріономъ будущаго человѣка, а самодовлѣющей цѣнностью, маленькимъ гражданиномъ, жизнь котораго должна быть организована въ возможно лучшемъ соотвѣтствіи съ его физическими потребностями и духовными запросами. Поэтому, задача новой школы заключается въ созданіи такой „питающей духовныя и физическія силы ре-

бенка среды, при наличности которой всѣ стороны его духа и тѣла могли бы получить наиболѣе полное гармоническое развитіе*)“.

При такомъ пониманіи задачъ школы, естественно, совершенно отпадаетъ стремленіе сообщить учащимся возможно больше знаній, имѣя въ виду полезность этихъ знаній, для будущаго или для развитія интеллекта ребенка. Знанія, не имѣющія приложенія въ настоящемъ, оторванныя отъ текущей жизни, знанія чисто словесныя, — окажутся безполезными и въ будущемъ, а развитіе интеллекта достигается не путемъ пріобрѣтенія большого количества свѣдѣній отъ учителя или изъ учебника, а самостоятельной работой надъ живыми проблемами.

Но не развитіе интеллекта и не интересы будущаго выдвигаетъ трудовая школа на первое мѣсто, а воспитаніе воли, активности, умѣніе дѣйствовать и организацію жизни школьниковъ на началахъ соотвѣтствующихъ нарождающемуся соціалистическому строю. Поэтому школа изъ „учебнаго заведенія“ должна превратиться въ дѣтскую коммуну, главнымъ содерженіемъ которой явится производительный трудъ, создающій какъ матеріальныя, такъ и культурныя цѣнности, и гдѣ образовательная работа заключается не въ обученіи, а въ рѣшеніи тѣхъ проблемъ, которыя выдвигаетъ жизнь школьнаго коллектива, трудовые процессы, изслѣдованіе природы и жизни общины, частью которой является школа.

Въ виду того, что совершенно невозможно учесть какія проблемы въ какой моментъ появятся передъ школьниками, не можетъ быть и рѣчи о строгой регламентаціи образовательной работы. Да она и не нужна: въ школѣ, расчитанной на широкую самодѣятельность учащихся, нельзя не дать простора творчеству учащихъ. Поэтому предлагаемый планъ занятій по математикѣ представляетъ собой только примѣрную схему того, что, какъ и когда можетъ быть проработано съ дѣтьми: его задача помочь учащему, но никакъ не стѣснить его свободу и иниціативу.

Изъ факта существованія настоящаго плана не слѣдуетъ заключить, что въ школѣ долженъ быть учебный предметъ—математика, и что ему слѣдуетъ удѣлить опредѣленное число часовъ, согласно установленному расписанію, въ теченіе которыхъ учащіеся должны усвоить опредѣленный комплексъ математическихъ знаній и навыковъ. Существуютъ только проблемы, требующія примѣненія математики, и учащіеся должны рѣшать эти проблемы, т.-е. примѣнять къ нимъ математическій методъ. Но самыя проблемы по своему содержанію могутъ относиться къ весьма различнымъ областямъ труда и знанія. Математика должна широко раскинуть свои корни и находить пищу всюду, гдѣ есть строгая закономѣрность между явленіями, поддающаяся количественному анализу.

Согласно со сказаннымъ, настоящій планъ выдвигаетъ на первое мѣсто тѣ главы математики, которыя имѣютъ первостепен-

*) См. Бюллетени отдѣла Реформы школы „Трудовая школа“ № 1—2, статья „Основы школьнаго строительства“

ное значеніе для рѣшенія жизненныхъ вопросовъ. Сюда относятся: ариѳметическія дѣйствія надъ цѣлыми и дробными числами, линейныя уравненія, буквенная символика, діаграммы, графики, функціональная зависимость, измѣренія всякаго рода, рѣшеніе треугольниковъ, основы техническаго черченія (для городскихъ школъ) и основы геодезическаго черченія (для сельскихъ школъ).

Дѣйствія надъ цѣлыми числами распредѣлены на 4 года. Такое распредѣленіе ничѣмъ не отличается отъ обычнаго и не требуетъ поясненія. Однако, существенно важнымъ является то, на какомъ матеріалѣ прорабатывается счетъ и вычисленія. Потребность въ счетѣ встрѣчается такъ часто, что положительно невозможно указать тѣ работы, при которыхъ такая потребность не встрѣтится. Занимаются ли дѣти лѣпкой, гончарнымъ дѣломъ, плетеніемъ, приготовленіемъ игрушекъ, постройкой изъ самодѣльныхъ кирпичиковъ, разбивкой игрушечнаго или настоящаго сада, игрой въ лавочку, ведутъ ли они запись хозяйственныхъ расходовъ школьной коммуны, приготовляютъ ли домино, лото, или наглядныя пособія (счеты, аббакъ, таблицы сложенія или умноженія, таблицы мѣръ и пр.), счетъ и вычисленія въ видѣ учета матеріала и продуктовъ производства или въ связи съ измѣреніями, неминуемо займутъ почетное мѣсто въ школьной работѣ. Позже по мѣрѣ расширенія кругозора учащихся значительно расширится и кругъ вопросовъ, требующихъ примѣненія ариѳметики. На второмъ и третьемъ году обученія сюда прибавится измѣреніе площадей и объемовъ и опредѣленіе вѣса предмета по объему (для учета, какое количество матеріала пойдетъ на его изготовленіе, или для рѣшенія вопроса будетъ ли тѣло плавать), наблюденія учащихся за погодой (измѣреніе температуры и количества осадковъ), опредѣленіе возраста деревьевъ, сравнительной плодородности различныхъ почвъ, практичности разныхъ видовъ удобренія и т. д. Хозяйственные расчеты, связанные съ жизнью школы, будутъ все болѣе и болѣе дѣлаться предметомъ заботы учащихся и, наконецъ, въ четвертомъ и пятомъ году расчеты дѣтей далеко выйдутъ изъ области жизни школьной коммуны, захватывая жизнь общины (деревни или города) и различныя области знанія. Составленіе проектовъ и смѣтъ разныхъ улучшеній въ сельскомъ и городскомъ хозяйствѣ (общественная покупка парового плуга, раціональное землепользованіе и скотоводство, очистка квартала, разбивка сквера и т. д.), т.-е. всевозможные организаціонные расчеты, которые должны базироваться на реальныхъ данныхъ, почерпнутыхъ изъ справочниковъ и спеціальныхъ сочиненій или полученныхъ собственными опытами и наблюденіями школьнаго коллектива,—пріучатъ молодыхъ коммунаровъ къ строительству, къ созиданію, къ организаціонной работѣ.

По возможности всѣ проекты слѣдуетъ проводить въ жизнь, входя для этого въ сношенія съ муниципальными отдѣлами мѣстныхъ Совѣтовъ. Большую услугу муниципальнымъ органамъ окажутъ работы статистическаго характера, которыя должны проводиться въ тѣсномъ контактѣ съ ними. Если, такимъ образомъ, вмѣсто схоластическихъ задачъ на пропорціи, смѣшенія, учеты

векселей и др., учащіеся будутъ рѣшать задачи, которыя ставитъ подлинная жизнь, то этимъ самымъ школа достигнетъ полнаго сліянія съ жизнью, что является одной изъ главныхъ задачъ новой школы.

Кромѣ трудовыхъ процессовъ, наблюденій и организаціонныхъ расчетовъ ариѳметика можетъ и должна примѣняться къ разнаго рода развлеченіямъ. Не говоря уже о математическомъ матеріалѣ различныхъ игръ, подобающее мѣсто слѣдуетъ удѣлить математическимъ развлеченіямъ и всякаго рода расчетамъ, хотя и не имѣющимъ жизненнаго характера, но почему-либо интереснымъ для дѣтей. Сюда относятся историческія задачи, математическія игры, магическіе квадраты (провѣрка квадрата или заполненіе пустыхъ клѣтокъ), задачи на неопредѣленный анализъ, прогрессіи и многія другія.

Учащіеся съ большимъ удовольствіемъ займутся подобными упражненіями, пріобрѣтая попутно техническіе навыки и любовь къ занятіямъ съ числами.

Неопредѣленный анализъ—прекрасная тема для коллективной математической работы. Если задача приводится къ рѣшенію уравненія съ двумя неизвѣстными въ цѣлыхъ числахъ, можно раздѣлить трудъ, поручивъ одному учащемуся изслѣдовать какую-либо область значеній одного неизвѣстнаго, другому— другую и такимъ образомъ коллективными усиліями подобрать числа, удовлетворяющія условію. Такія задачи можно давать уже на первомъ году обученія, конечно ничего не говоря объ уравненіи. Задачи на прогрессіи не только интересны сами по себѣ, но часто встрѣчаются въ жизни. Такъ, напримѣръ расчетъ количества предметовъ въ пирамидальной кучѣ есть задача на ариѳметическую прогрессію; прогрессія размноженія (въ связи съ борьбой за существованіе въ мірѣ растеній и животныхъ)— примѣръ геометрической прогрессіи.

Когда числовой матеріалъ, которымъ владѣютъ учащіеся, достаточно обширенъ, и когда ихъ расчеты захватываютъ жизнь общины, округа, губерніи, государства, Европы и всего міра, а также техническія, физическія, астрономическія и прочія данныя, т.-е. когда учащіеся вступаютъ въ міръ большихъ чиселъ, которыя сами по себѣ имѣютъ для нихъ фантастическую привлекательность, чрезвычайно интересной задачей является наглядная иллюстрація этихъ огромныхъ, ничего не говорящихъ воображенію величинъ путемъ сопоставленія съ хорошо знакомыми дѣтямъ образами.

Чрезвычайно интересуютъ дѣтей также самые большіе и самые малые предметы даннаго рода (самое большое и самое малое животное, самая высокая гора, самая большая и самая малая птица и т. д.), которыми можно воспользоваться, какъ прекраснымъ матеріаломъ для діаграммъ.

Впрочемъ, къ простѣйшему виду діаграммъ—отрѣзку, иллюстрирующему число, измѣряющее длину,—можно приступить гораздо раньше, примѣрно со второго года (діаграммы роста). Позже площадь прямоугольника иллюстрируетъ какую-либо площадь,

и наконецъ всякія числа отображаются въ діаграммахъ разнаго вида.

Вычерчиваніе діаграммъ должно занять почетное мѣсто среди математическихъ занятій. Жизнь школы, общины, результаты наблюденій и статистическихъ обслѣдованій—все это станетъ весьма нагляднымъ, будучи отображено въ діаграммахъ. Нужно стремиться къ тому, чтобы стѣны школы покрылись картограммами и діаграммами собственнаго издѣлія школьниковъ, по которымъ можно было бы составить ясное представленіе объ окружающей жизни.

Въ школѣ, какъ мы уже говорили, ведутся систематическія наблюденія надъ температурой, количествомъ осадковъ и проч. измѣняющимися во времени величинами.

Результаты этихъ наблюденій записываются въ формѣ таблицъ, при чемъ школьники должны научиться быстро оріентироваться въ таблицахъ и обозначать абсолютное и относительное (въ %%) измѣненіе величинъ какъ въ сторону возрастанія, такъ и въ сторону убыванія, отмѣчая увеличеніе знакомъ +, уменьшеніе знакомъ —.

Полезнымъ упражненіемъ является нахожденіе средняго изъ ряда различныхъ. значеній величины и графическое изображеніе ихъ. Если измѣреніе производилось черезъ равные промежутки времени,—достаточно иллюстрировать табличныя данныя вертикальными отрѣзками, основанія которыхъ лежатъ на одной горизонтальной прямой, и соединить верхніе концы отрѣзковъ, чтобы получить графикъ, наглядно иллюстрирующій измѣненіе величины во времени.

Измѣренія, которыя ведутся съ перваго года жизни въ школьной коммунѣ, конечно, научатъ дѣтей обращаться съ именованными числами (метрической системы) въ предѣлахъ практической необходимости. При этомъ сами собой отпадаютъ тѣ аршинныя сложныя именованныя числа о 5—6 наименованіяхъ, которыми грѣшила старая школа.

Изображеніе именованнаго числа десятичной дробью составляетъ настолько простой и естественный подходъ къ десятичнымъ дробямъ, что его можно сдѣлать даже въ первомъ или во второмъ году обученія.

Впрочемъ въ планѣ знакомство съ десятичными дробями отнесено къ третьему году, имѣя въ виду, что, пока метрическая система не введена въ Россіи, дѣти часто будутъ сталкиваться съ русскими мѣрами и едва ли за первый годъ успѣютъ достаточно хорошо освоиться съ метрической системой. Но въ виду введенія метрической системы десятичныя дроби получаютъ большое значеніе.

Полнаго курса простыхъ дробей, основаннаго на теоріи дѣлимости, планъ не рекомендуетъ, потому что всѣ практически нужныя преобразованія дробей легко выполняются по соображенію.

Такъ какъ числовыя данныя, которыми придется оперировать учащимся, часто будутъ добыты путемъ измѣренія, т.-е. будутъ имѣть приближенный характеръ, естественно большое вни-

маніе должно удѣлить приближеннымъ вычисленіямъ. Слѣдуетъ добиваться, чтобы учащійся никогда не указывалъ въ результатѣ вычисленій число, за точность послѣднихъ цифръ котораго отнюдь нельзя поручиться. Поэтому школьникъ долженъ умѣть оцѣнить ошибку суммы, разности, произведенія и частнаго въ зависимости отъ ошибки слагаемыхъ, одного изъ сомножителей и т. д. Кромѣ того слѣдуетъ научить ребенка производить приближенныя вычисленія сокращеннымъ способомъ, дабы ему не приходилось напрасно тратить силы на нахожденіе тѣхъ цифръ, которыя все равно придется отбросить.

Картонажныя работы (приготовленіе портфелей для бумагъ, коробокъ разной формы для коллекцій или для игрушечной лавочки, фонариковъ и пр.), плетеніе корзинъ, гончарное дѣло, лѣпка, столярныя и др. работы—ознакомятъ школьниковъ съ формой геометрическихъ тѣлъ и потребуютъ умѣнія оцѣнивать площади, поверхности и объемы. Къ измѣренію площадей прямоугольниковъ можно приступить уже въ первомъ году, если встрѣтится надобность въ таковомъ. Позже, когда числовой рядъ въ предѣлахъ котораго дѣти производятъ всѣ дѣйствія, позволитъ, можно начать измѣреніе объемовъ. Впрочемъ, къ оцѣнкѣ объемовъ съ помощью самодѣльной мензурки можно приступить и раньше измѣренія площадей. Измѣреніе площадей прямоугольниковъ проходитъ черезъ четыре этапа: 1) накладываніе на прямоугольникъ квадратиковъ, вырѣзанныхъ изъ тонкаго картона и счетъ квадратиковъ; 2) дѣленіе прямоугольника на квадратныя клѣтки прямыми и счетъ квадратиковъ; 3) мысленное накладываніе квадратиковъ или дѣленіе на клѣтки и расчетъ (выводъ правила) и 4) автоматическое примѣненіе правила. Въ первомъ году, конечно, невозможно пройти всѣ 4 этапа. Во всякомъ случаѣ послѣдній—автоматическое примѣненіе правила— долженъ явиться естественнымъ обобщеніемъ многочисленныхъ примѣненій его.

Измѣреніе объемовъ прямоугольныхъ брусковъ, естественно, должно пройти черезъ аналогичные этапы.

Площади фигуръ, ограниченныхъ кривой (напримѣръ поверхность листьевъ), опредѣляются путемъ вычерчиванія ихъ на клѣтчатой бумагѣ и счета клѣтокъ.

Площади треугольника, трапеціи и параллелограмма легко найти разрѣзаніемъ; объемы геометрическихъ тѣлъ—экспериментально, какъ это обычно указывается въ пропедевтическихъ курсахъ геометріи.

При изготовленіи призматическихъ предметовъ не будетъ, конечно, недостатка въ плохихъ моделяхъ. Сравненіе ихъ съ хорошими наглядно покажетъ въ чемъ ихъ недостатки. Но чтобы исправить плохую модель, или, чтобы не повторить старую ошибку при изготовленіи новой, придется ясно и точно назвать погрѣшности данной работы, т.-е. указать, что ребра перекошены (не перпендикулярны), грани не параллельны и т. д. Такимъ образомъ, выясняя и исправляя недостатки плохихъ работъ, можно ознакомиться съ понятіями—параллельность и перпендикуляр-

ность. Конечно, можно прійти къ этимъ понятіямъ путемъ простого изученія хорошей модели и фиксированія вниманія учащихся на взаимоотношеніи реберъ и плоскостей. Это наглядный способъ. Но съ точки зрѣнія трудового метода новыя понятія должны вводиться по мѣрѣ того, какъ въ нихъ встрѣчается необходимость для правильнаго выполненія того или иного дѣйствія или для уясненія какого-либо процесса. Поэтому и уголъ въ предлагаемомъ планѣ появляется тамъ, гдѣ нужно дать математическое выраженіе подобія. Подобіе, т.-е. сходство фигуръ, отличающихся только размѣрами, познается интуитивно. Пропорціональность сторонъ подобныхъ многоугольниковъ, напримѣръ (вѣрнѣе пропорціональность чиселъ, измѣряющихъ стороны), не нова для учащихся, привыкшихъ пользоваться масштабомъ. Но чтобы построить многоугольникъ, подобный данному (подготовительная работа къ съемкѣ), мало имѣть отрѣзки пропорціональные сторонамъ многоугольника (отрѣзки пропорціональные сторонамъ можно найти измѣреніемь): необходимо составить эти отрѣзки подъ соотвѣтствующими углами другъ къ другу — иначе фигура не замкнется. Такимъ образомъ здѣсь встрѣчается потребность выявить понятіе равенства угловъ. Измѣреніе угловъ необходимо для геодезическихъ измѣреній и для наблюденій за движеніемъ солнца; оно находится, согласно плану, въ связи съ солнечными часами и измѣреніями съ помощью астролябіи и теодолита.

Геодезическія измѣренія выдвигаютъ потребность въ умѣніи рѣшать треугольники, т.-е въ знакомствѣ съ элементами тригонометріи. На первой ступени возможно дать только начальныя свѣдѣнія о синусѣ и тангенсѣ, какъ о коэффиціентахъ, характеризующихъ острый уголъ. Непосредственнымъ измѣреніемъ на миллиметровой бумагѣ легко опредѣлить значенія этихъ функцій для нѣсколькихъ угловъ, затѣмъ слѣдуетъ ознакомиться съ натуральными таблицами тригонометрическихъ величинъ, примѣняя ихъ къ рѣшенію треугольниковъ въ простѣйшихъ случаяхъ.

Съемка, черченіе плановъ, діаграммъ и графикъ, непрерывно ведущіяся съ перваго года школьной жизни (въ первомъ году планы чертятся безъ соблюденія масштаба), разовьютъ технику черченія и заставятъ научиться дѣлать простѣйшія геометрическія построенія. Въ связи съ экскурсіями на фабрики и заводы и изученіемъ элементовъ техники находится вычерчиваніе ременной передачи, схемы цилиндра съ поршнемъ, шатуномъ, кривошипомъ, валомъ и т. д., а также черченіе проекцій простѣйшихъ тѣлъ. Чертежи исполняются по соображенію—безъ правилъ начертательной геометріи,—но съ соблюденіемъ размѣровъ. Въ сельскихъ школахъ взамѣнъ основъ техническаго должны быть введены основы геодезическаго черченія. Цѣнной стороной техническаго и геодезическаго черченія является развитіе пространственныхъ представленій и способности производить мысленное экспериментированіе, т.-е. вообразить разрѣзъ тѣла плоскостью въ различныхъ направленіяхъ. Важно вообще научить школьниковъ оріентироваться въ чертежахъ и даже

опредѣлять объемы тѣлъ но чертежамъ. Къ формуламъ поверхностей и объемовъ, которыя изучены ранѣе, полезно прибавить формулы Гульдена, конечно, безъ вывода, но съ поясненіемъ на извѣстныхъ ранѣе примѣрахъ. Такимъ образомъ формулы Гульдена явятся обобщеніемъ многихъ формулъ поверхностей и объемовъ тѣлъ вращенія. Впрочемъ, онѣ должны примѣняться также и по отношенію къ новымъ тѣламъ простѣйшаго сѣченія (напримѣръ, кольцамъ). Отъ правилъ, выражающихъ площади, поверхности и объемы—естественный переходъ къ буквеннымъ формуламъ. Этотъ переходъ можно сдѣлать уже на третьемъ году; такимъ образомъ вводится буквенная символика. Впрочемъ, гораздо раньше, уже съ перваго года, начинается знакомство съ иксомъ. Впервые онъ появляется въ формулѣ (конечно числовой, въ связи съ какой либо задачей) взамѣнъ традиціоннаго знака вопроса. Такимъ образомъ начинается знакомство съ уравненіями, которыя служатъ для краткой записи условія въ тѣхъ задачахъ, гдѣ производятся операціи надъ неизвѣстной величиной.

Постепенно дѣти знакомятся съ преобразованіями вида х-^-х — 2х; Зх-\-х=4:х;2х-\-Зх = 5х и т.д., затѣмъ, съ примѣненіемъ законовъ сочетательнаго при сложеніи и распредѣлительнаго при сложеніи и умноженіи. Рѣшаются уравненія по соображенію въ тѣсной связи съ условіемъ задачи. Только на четвертомъ году можно стремиться къ автоматическому примѣненію правилъ.

Оперируя съ иксомъ, учащіеся ознакомятся съ буквенными преобразованіями. Поэтому на четвертомъ году буквенныя преобразованія не отнимутъ много времени и не представятъ собой ничего сложнаго, если, конечно, не имѣть дѣла съ многоэтажными формулами, что является совершенно излишнимъ; вполнѣ достаточно, если школьники сумѣютъ сознательно обращаться съ формулами въ предѣлахъ практической необходимости.

Полагая какую-либо величину, входящую въ формулу, перемѣнной, можно перейти къ понятію о функціи. Геометрія и физика дадутъ достаточное количество примѣровъ различныхъ функцій. Въ центрѣ вниманія четвертаго года находится линейная функція. Сумма, разность, произведеніе и частное разсматриваются соотвѣтственно какъ функція одного изъ слагаемыхъ, уменьшаемаго или вычитаемаго, одного изъ сомножителей и содѣлителей. Такимъ образомъ изучаются измѣненія суммы, разности, произведенія и частнаго, откуда можно сдѣлать соотвѣтствующіе выводы для приближенныхъ вычисленій.

Графическое изображеніе функцій, къ которому естественнымъ образомъ подводятъ діаграммы измѣняющихся величинъ, дадутъ функціи полную наглядность. Знакомство съ координатами заставитъ обратить вниманіе на отрицательныя числа. Изображая на оси иксовъ положеніе точки, разстояніе которой отъ начала задано формулой х = а — Ь, и придавая Ь различныя значенія, для Ь>а получимъ точку, расположенную влѣво отъ начала. Такимъ образомъ появляются отрицательныя числа.

Точка пересѣченія прямой, заданной уравненіемъ съ осью я-овъ наглядно иллюстрируетъ рѣшеніе линейнаго уравненія ах^Ь — О, а пересѣченіе этой прямой съ прямой даетъ графическую интерпретацію рѣшенію уравненія а# ± Ь = с. Наконецъ пересѣченіе двухъ прямыхъ интерпретируетъ рѣшеніе системы двухъ уравненій съ двумя неизвѣстными.

Въ связи съ формулами поверхностей и объемовъ куба и шара находится знакомство съ функціями вида у— ax'1 и у = ах3, которыя и вычерчиваются графически.

Можно начертить графику функціи у=х' (парабола), затѣмъ принять ось Х-овъ за ось У-овъ и наоборотъ; такимъ путемъ получится графическое изображеніе функціи у = \/х, къ которой приводитъ задача отысканія стороны квадрата данной площади. Кромѣ графическаго нахожденія квадратнаго корня можно познакомить дѣтей съ аналитическимъ—способомъ дѣленія или подбора чиселъ. Въ связи съ квадратнымъ корнемъ находится теорема Пиѳагора, которая можетъ быть доказана (вѣрнѣе показана, т.-е. сдѣлана очевидной) весьма просто и наглядно.

Остается подчеркнуть еще одинъ существенно важный пунктъ—бесѣды по исторіи математики, которыя должны вестись параллельно съ примѣненіемъ тѣхъ или иныхъ отдѣловъ ея. Въ этихъ бесѣдахъ слѣдуетъ остановиться какъ на связи развитія математики съ исторіей труда и экономическихъ отношеній, такъ и на развитіи самихъ математическихъ идей.

Такія бесѣды весьма интересуютъ школьниковъ и не только способствуютъ уясненію математическихъ вопросовъ, но вводятъ математику въ общій кругъ человѣческихъ знаній.

На первой ступени, единой школы дѣти, такимъ образомъ, знакомятся съ наиболѣе существенными отдѣлами элементарной практической математики. Необходимо, впрочемъ, еще разъ напомнить, что объемъ знаній не имѣетъ существеннаго значенія для школы. Гораздо важнѣе методъ, какимъ будетъ проработанъ матеріалъ и выборъ матеріала, но не количество его. Поэтому учащимъ представляется широкій просторъ сокращать и измѣнять или увеличивать кругъ вопросовъ, затронутыхъ въ примѣрномъ планѣ, и только тѣ умѣнія, которыя помѣщены въ обязательномъ минимумѣ, необходимо должны быть пріобрѣтены школьникомъ на первой ступени.

Проектъ обязательнаго минимума умѣній по математикѣ, которыя должны быть усвоены на первой ступени единой трудовой школы-коммуны.

На первой ступени учащіеся должны пріобрѣсти слѣдующія умѣнія изъ области математики:

Свободно обращаться со всѣми числами (цѣлыми и дробными какъ десятичными, такъ и простыми).

Записывать результаты систематическихъ наблюденій въ видѣ таблицъ съ абсолютной и относительной (въ %%) оцѣнкой измѣненій.

Находить среднее значеніе измѣняющейся въ нѣкоторыхъ предѣлахъ величины, заданной таблицей.

Иллюстрировать таблицы діаграммами и графиками на клѣтчатой и миллиметровой бумагѣ.

Производить простѣйшіе организаціонные расчеты и статистическія обслѣдованія.

Пользоваться всякаго рода справочниками и таблицами.

Приготовлять геометрическія тѣла и опредѣлять любыя площади, поверхности и объемы какимъ школьнику угодно способомъ.

Измѣрять вѣсъ, длину (землемѣрной цѣпью), количество жидкостей и сыпучихъ тѣлъ (по метрической системѣ).

Приготовить крестообразный эккеръ, ватерпасъ, мензулу.

Производить простѣйшія измѣренія построеніемъ на мѣстности и съемки съ помощью ихъ; измѣрять углы.

Оріентировать планъ на мѣстности по компасу и по мѣстнымъ предметамъ.

Записывать правила буквенными формулами и свободно производить буквенныя преобразованія въ предѣлахъ практической необходимости.

Имѣть понятіе о функціональной зависимости и о графическомъ ея изображеніи.

Рѣшать линейныя уравненія аналитически и графически

Проектъ примѣрнаго плана занятій по исторіи математики на первой ступени единой трудовой школы-коммуны

Первые два года. Бесѣды о жизни дикарей и первобытныхъ людей. Потребность въ счетѣ у нихъ. Устный счетъ. Первоначальныя названія чиселъ (1—палецъ, 5-рука, 3—нога страуса и т. д.). Счетъ камешками, зернами, зарубками, и пр. Счетъ группами. Происхожденіе десятичной системы нумераціи. Происхожденіе мѣръ длины.

Потребность въ измѣреніи площадей. Способы опредѣленія площадей въ древнемъ Египтѣ (изъ папируса Ринда). Сравненіе ихъ съ точными способами.

Третій годъ. Развитіе письменной нумераціи (Египетъ, Греція, Вавилонъ, Индія). Позиціонная система нумераціи. Выгода ея.

Счетъ песка Архимеда. Происхожденіе мѣръ времени. Шестидесятеричныя дроби (Вавилонъ). Происхожденіе десятичныхъ дробей.

Изображеніе чиселъ отрѣзками въ Греціи.

Четвертый годъ. Развитіе буквенной символики. Исторія уравненій. Выгода нашей символики сравнительно съ символикой древнихъ. Исторія отрицательныхъ чиселъ. Декартъ и методъ координатъ. Измѣреніе угловъ въ связи съ астрономіей (Вавилонъ). Опредѣленіе разстоянія до корабля на морѣ и высоты предмета Ѳалесомъ Александрійскимъ.

Пятый годъ. Систематическій обзоръ развитія ариѳметики, буквенной символики и линейныхъ уравненій; экономизирующая роль позиціонной системы нумераціи, современной математической символики и уравненій.

Зачатки тригонометріи (Вавилонскія таблицы хордъ) въ связи съ астрономіей.

Пиѳагоръ и его теорема.

Конкурсъ на составленіе сборниковъ задачъ по математикѣ для I-й ступени единой школы.

Комиссаріатъ Народнаго Просвѣщенія, имѣя въ виду настоящую необходимость въ новыхъ руководствахъ, какъ для учащихъ, такъ и для учащихся въ новой трудовой школѣ, объявляетъ конкурсъ на составленіе сборниковъ задачъ по математикѣ для первой ступени единой школы. Авторы, желающіе принять участіе въ конкурсѣ, должны считаться съ общимъ характеромъ новой школы, какъ онъ намѣченъ въ статьѣ „Основы школьнаго строительства (см. бюллетени Отдѣла Реформы школы № 1—2), а также удовлетворить слѣдующему заданію:

1) На первой ступени школы всѣ математическія дисциплины представляютъ одно органическое цѣлое и должны проходиться въ тѣсной связи съ ручнымъ трудомъ и общеобразовательными предметами, въ особенности же съ естествознаніемъ.

2) Необходимо на задачахъ подвести учащагося къ общимъ математическимъ законамъ, для чего слѣдуетъ въ число задачъ включить и теоремы.

3) Стимуломъ для математической работы, какъ и для всякой другой, долженъ быть живой интересъ ребенка къ поставленной передъ нимъ проблемѣ. По этому: а) матеріалъ для задачъ слѣдуетъ брать изъ области дѣтскаго труда, игръ, дѣтской литературы, дѣтскихъ наблюденій надъ жизнью человѣка и природы, а также изъ области общеобразовательныхъ предметовъ.

Примѣчаніе: Подъ дѣтскимъ трудомъ надо разумѣть тѣ производительные процессы, которые могутъ быть организованы въ трудовой школѣ примѣнительно къ возрасту дѣтей.

б) Задачи должны быть построены такъ, чтобы рѣшеніе ихъ удовлетворяло дѣтской любознательности или потребностямъ трудового процесса.

Примѣчаніе: Поэтому каждая задача должна имѣть въ виду близкую и интересную дѣтямъ цѣль, каковою можетъ быть уясненіе какихъ-либо процессовъ или явленій, или предвидѣніе ихъ. Такимъ образомъ, вычисленія только ради упражненія, въ общемъ и цѣломъ, нежелательны.

4) Условіе задачи должно ставить ребенка въ положеніе наиболѣе близкое къ жизни. Поэтому данныя для рѣшенія по возможности не слѣдуетъ преподносить въ готовомъ видѣ.

5) Историческія задачи и небольшія статьи по исторіи математики не только желательны, но должны представлять необходимый элементъ задачника.

6) Задачи-шутки, математическіе парадоксы и развлеченія могутъ найти себѣ мѣсто въ задачникѣ; однако, слѣдуетъ избѣжать опасности придать математикѣ анекдотическій характеръ.

7) Задачи должны быть изложены литературнымъ, яснымъ, понятнымъ дѣтямъ языкомъ. Желательны задачи въ формѣ статеекъ изъ области общеобразовательныхъ предметовъ.

8) Задачи-статейки желательно иллюстрировать рисунками, способствующими уясненію ихъ содержанія. Кромѣ того, рисунки и чертежи могутъ составлять часть самого условія, являясь необходимымъ элементомъ той или иной задачи. Во всѣхъ случаяхъ художественное исполненіе чертежей и рисунковъ имѣетъ чрезвычайно большое значеніе.

9) Необходимо дать дѣтямъ матеріалъ для самостоятельнаго составленія задачъ.

10) Комиссаріатъ не считаетъ возможнымъ стѣснять учителей и авторовъ сборниковъ тѣсными рамками обязательныхъ на каждый годъ программъ, но полагаетъ необходимымъ намѣтить примѣрно учебные планы и установить минимумъ для первыхъ трехъ и послѣднихъ двухъ лѣтъ первой ступени. Указанные планы будутъ опубликованы въ ближайшее время.

Примѣчаніе: Во всякомъ случаѣ идея функціональной зависимости должна пройти красной нитью чрезъ все преподаваніе математики. Кромѣ того, необходимо раннее введеніе именованныхъ чиселъ, метрической системы, простыхъ и десятичныхъ дробей, отрицательныхъ чиселъ, буквенной символики, графикъ и уравненій. Измѣреніе длины, площадей и объемовъ должно положить начало измѣрительной геометріи съ перваго года обученія.

11) Къ каждому сборнику задачъ должно приложить руководство для учащихъ, въ которомъ необходимо исчерпывающимъ образомъ разъяснить, какъ пользоваться даннымъ сборникомъ.

Нѣкоторые тезисы, быть можетъ, нуждаются въ разъясненіи. Самымъ существеннымъ и труднымъ для осуществленія является тезисъ 3-й, особенно въ той части, гдѣ говорится объ использованіи дѣтскаго труда для обученія математикѣ. Трудовой процессъ въ школѣ слагается изъ двухъ моментовъ: первый моментъ предвидѣнія, куда входятъ предварительные расчеты, чертежи, постройка моделей, и пр., и второй—самое осуществленіе. Естественно, что первый моментъ даетъ широкое поле для математической работы и долженъ быть соотвѣтствующимъ образомъ использованъ. Слѣдовательно, задача автора—намѣтить рядъ трудовыхъ процессовъ, доступныхъ для дѣтей даннаго возраста, и извлечь изъ нихъ нужный ему математическій матеріалъ, расположивъ его въ методическомъ порядкѣ. Такимъ образомъ, даже въ тѣхъ школахъ, гдѣ подлинное трудовое начало временно не будетъ примѣнено, учитель, прорабатывая съ дѣтьми надлежащимъ образомъ составленный сборникъ, научится преподавать математику по трудовому методу, и тѣмъ легче перейдетъ отъ воображаемаго труда къ дѣйствительному.

Пунктъ б. тезиса III имѣетъ въ виду исключить изъ сборника такія задачи, которыми они сейчасъ всецѣло заняты и рѣшеніе которыхъ само по себѣ никакъ не можетъ заинтересовать ни ребенка ни взрослаго. Едва ли ребенку важно знать, сколько заплатила барыня за курицу, или сколько перьевъ получилъ мальчикъ и т. д. А между тѣмъ въ окружающемъ ребенка мірѣ есть столько вопросовъ математическаго характера, что обращаться къ лавочкѣ или никому ненужнымъ вычисленіямъ по меньшей мѣрѣ излишне. Судя по современнымъ сборникамъ задачъ, можно подумать, что математика есть самый лишній предметъ въ мірѣ, потому что она прилагается только къ празднымъ и пустымъ вопросамъ. Тезисъ 4-й указываетъ на необходимость вывести ребенка изъ той искусственной условной сферы, въ которой рѣшеніе каждаго вопроса требуетъ только ряда дѣйствій надъ данными величинами. Въ жизни ничто не дается—все нужно найти, отчасти пользуясь работой, продѣланной другими, отчасти продѣлывая лично то или иное наблюденіе, тотъ или иной экспериментъ. Чтобы развить активность ребенка, умѣніе оріентироваться въ фактахъ, преодолѣвать препятствія не только вычислительнаго характера, слѣдуетъ, гдѣ это возможно, не помѣщать нужныя величины въ условія задачи, а предоставить ребенку самому опредѣлить ихъ путемъ опыта или по плану, а постояннаго техническаго или научнаго характера (изъ области физики, статистики, обществовѣдѣнія и т. д.) среднія скорости и среднія цѣны и пр. можно отнести въ таблицы. Чрезвычайно важно, чтобы учащійся самъ проанализировалъ и самъ узналъ, что требуется для рѣшенія. Поэтому въ условіи задачи не слѣдуетъ даже дѣлать ссылки на необходимость эксперимента или примѣненія таблицы.

Условія конкурса.

1) На конкурсѣ могутъ быть представлены сборники для всѣхъ пяти лѣтъ, либо для первыхъ 3 и послѣднихъ 2 въ отдѣльности.

2) Устанавливаются три преміи: 1-я— 6.000 руб., 2-я—4.000 руб. и 3-я—2.000 руб. за сборникъ задачъ для всѣхъ пяти лѣтъ.

Въ случаѣ представленія сборника за первые три или за послѣдніе два года, премія дается въ половинномъ размѣрѣ.

3) Срокъ представленія рукописей до 1 іюня 1919 г.

4) Присужденіе преміи не позже 1 іюля 1919 г.

5) Если ни одинъ сборникъ не будетъ признанъ удовлетворительнымъ, срокъ конкурса можетъ быть продленъ.

6) Рукописи сборниковъ, признанныхъ годными, должны быть представлены въ распоряженіе Комиссаріата, въ случаѣ выраженнаго имъ желанія использовать для напечатанія на слѣдующихъ условіяхъ: получившій 1-ю премію—по 600 руб. съ листа перваго изданія, 2-ю—500 и 3-ю—400 руб.

7) Рукописи, признанныя неподходящими для напечатанія—возвращаются авторамъ.

8) Рукописи должны быть подписаны псевдонимами. Фамилія автора и адресъ—въ запечатанномъ конвертѣ, на которомъ слѣдуетъ написать названіе сборника и псевдонимъ.

9) Рукописи слѣдуетъ адресовать: Москва, Остоженка, 53, Комиссаріатъ Народнаго Просвѣщенія, Отдѣлъ Реформы Школы, „Математическій конкурсъ первой ступени“.

За всѣми справками въ связи съ конкурсомъ обращаться въ Отдѣлъ Реформы Школы письменно или лично ежедневно отъ 12 до 1 ч. къ О. А. Вольбергу.

Хроника.

Въ отдѣлѣ Реформы школы Государственнаго Комиссаріата по Просвѣщенію въ настоящее время идетъ спѣшная работа по строительству единой трудовой школы, которая должна начать функціонировать съ осени текущаго года. Принципы, которые положены въ основу новой школы, уже разработаны и напечатаны въ бюллетеняхъ отдѣла („Трудовая школа“ № 1—2). Отдѣлъ распадается на рядъ подъотдѣловъ для выработки новыхъ программъ, просмотра учебниковъ по разнымъ дисциплинамъ и изданію пособій для учителей. Въ естественно-математическомъ подъотдѣлѣ закончено составленіе примѣрныхъ учебныхъ плановъ для первой и второй ступени единой школы.*) Рѣшено не навязывать школѣ общеобязательныхъ программъ, предоставивъ широкій просторъ иниціативѣ преподавателя. Кромѣ того рѣшено освободить школу отъ учебниковъ, замѣнивъ ихъ библіотеч-

*) Учебн. планъ 1-й ступени см. ср. 38. Остальные планы можно получать изъ отдѣла снабженія Нар. Комиссаріата по просвѣщенію (Остоженка, 53)

ными книгами для самостоятельныхъ работъ учащихся. При подъ отдѣлѣ работаютъ математическая и физическая комиссіи, составленныя изъ математиковъ и физиковъ-педагоговъ. Комиссіи представляютъ собой совѣщательный органъ, въ которомъ обсуждаются и освѣщаются вопросы, связанные съ реформой. Часть докладовъ, прочитанныхъ на засѣданіяхъ этихъ комиссій, печатается въ настоящемъ номерѣ журнала*).

Задачи.

Редакція проситъ сотрудниковъ, присылающихъ рѣшенія задачъ, помѣщать таковыя для каждой задачи на отдѣльномъ листкѣ и притомъ одной лишь сторонѣ листка. Лицъ, предлагающихъ новыя задачи, просятъ присылать также и краткія ихъ рѣшенія, если они автору извѣстны.

1. Изъ точки М, середины дуги проведены двѣ хорды J\IN1 и MN2, пересѣкающіяся съ прямою соотвѣтственно въ точкахъ Му и М2. Доказать, что изъ равенства MXN2 = M2Nt слѣдуетъ равенство 313f1 = MM2.

Доказательство желательно имѣть чисто геометрическое и прямое. Sylvester

2. На каждой изъ сторонъ треугольника АВС построено по треугольнику, съ углами при основаніи равными третьей части соотвѣтствующихъ угловъ даннаго треугольника. Доказать, что треугольникъ А'В'С, гдѣ А',В',С’—вершины новыхъ треугольниковъ,, расположенныя внутри даннаго треугольника, равносторонній. Изслѣдовать случай, когда точки А’,В',С лежатъ внѣ треугольника АВС. Ятгяі (1917).

3. При какомъ видѣ треугольника центръ тяжести его площади является одновременно и центромъ тяжести периметра.

Л.

4. На плоскости даны двѣ окружности и прямая AB. Разсматривая чертежъ какъ развертку двуграннаго угла а, опредѣлить при какомъ относительномъ расположеніи окружностей и прямой AB, эти окружности могутъ быть разсматриваемы какъ сѣченіе граней угла а нѣкоторой шаровой поверхностью.

Зависитъ ли результатъ отъ величины «? Л

5. Вывести формулу, выражающую объемъ правильнаго икосаэдра въ зависимости отъ площади одного изъ основныхъ пятиугольниковъ и длины наибольшей діагонали. g „

*) Списокъ книгъ, рекомендуемыхъ естественно-математической комиссіей помѣщенъ въ № 3—5 Бюллетеней отдѣла Реформы школы »Трудовая школа".

6. Обозначая черезъ F(x) многочленъ а0х* + ахх' -f а,я -|- а3 и черезъ хих2,х3корни уравненія F(x) = 0, доказать справедливость равенства

J. Maillard (1896).

7. Доказать, что при F(0) и F(l) нечетныхъ уравненіе

F(x) = a0xn-\-а1хп~'-..............................яи —О, гдѣ а,- цѣлыя числа, не имѣетъ цѣлыхъ рѣшеній...............(Теорема Гаусса).

8. Рѣшить въ цѣлыхъ числахъ уравненіе

1 —2 -f- 3 —(-..........-|

9. Доказать, что при четномъ а уравненіе

не имѣетъ цѣлыхъ рѣшеній

Э. Л.

10. Опредѣлить число чиселъ, находящихся среди п первыхъ треугольныхъ чиселъ и взаимно простыхъ съ п.

т А(А- —J— 1)

Треугольными числами называются числа вида —— •

Э. Л.

Библіографическій отдѣлъ.

А. Воронецъ. Сборникъ ариѳметическихъ упражненій и задачъ. Цѣлыя числа. Для учащихся въ первомъ классѣ среднихъ учебныхъ заведеній. Изд. т-ва И. Д. Сытина. М. 1918. Ц. 2 р.

Разсматриваемый задачникъ предназначенъ для учащихся въ I классѣ среднихъ учебныхъ заведеній и имѣетъ цѣлью дать имъ матеріалъ для усвоенія того, что ими проработано въ классѣ съ преподавателемъ. Поэтому какихъ-либо правилъ дѣйствій и поясненій въ книгѣ не помѣщено; вмѣсто этого авторъ счелъ полезнымъ помѣстить въ началѣ ея таблицы русскихъ и метрическихъ мѣръ, а также числовыя данныя, относящіяся къ величинамъ, встрѣчающимся въ физикѣ, астрономіи, географіи, техникѣ и пр. Нельзя не признать цѣлесообразности этого нововведенія: пользуясь приведенными числовыми данными, преподаватель можетъ и самъ составлять задачи кромѣ тѣхъ, которыя приведены въ сборникѣ, а также съ ихъ помощью и учащіеся могутъ составлять несложные вопросы и задачи для рѣшенія, какъ это рекомендуется въ послѣднее время нѣкоторыми педагогами. Всего въ задачникѣ 877 задачъ и примѣровъ для письменнаго рѣшенія, небольшое число упражненій геометрическаго характера и 158 задачъ для устнаго рѣшенія. Слѣдуя современнымъ педагогическимъ взглядамъ, г. Воронецъ не выдѣлилъ задачъ на именованныя числа въ особый отдѣлъ, а распредѣлилъ ихъ среди задачъ на цѣлыя числа.

Приведенныя въ сборникѣ задачи почти всѣ отличаются простотой и жизненностью содержанія; онѣ несложны и снабжены хорошо подобранными числами. Задачъ съ искусственными условіями, требующихъ какихъ-либо спеціальныхъ пріемовъ для рѣшенія, или большого числа дѣйствій, въ сборникѣ г. Воронца нѣтъ. На числовыя данныя для задачъ обращено серьезное вниманіе, и они заимствованы изъ надежныхъ и компетентныхъ справочныхъ изданій, хотя все же, при стремительномъ темпѣ идущихъ событій, нѣкоторыя данныя задачника, — напр. цѣны товаровъ, размѣры территорій Россіи и пр., — оказываются уже устарѣвшими. Въ числовыхъ примѣрахъ проведена надлежащая постепенность по отношенію къ ихъ трудности и въ общемъ удачно выбраны числа. Нѣкоторые примѣры и задачи носятъ характеръ математическихъ развлеченій, что оживляетъ изложеніе. Отвѣты на задачи въ продѣланныхъ нами примѣрахъ оказались правильными. Имѣется нѣкоторое число задачъ, отвѣты на которыя даются въ приближенной формѣ, что весьма полезно въ педагогическомъ отношеніи. Отмѣтимъ, однако, какъ дефектъ, что въ задачахъ по существу неопредѣленныхъ авторъ этого не указываетъ въ отвѣтѣ и даетъ лишь одно рѣшеніе. Таковы, напр., зад. №№ 638, 633 и др., гдѣ г. Воронецъ даетъ лишь одинъ отвѣтъ, хотя ихъ можетъ быть множество.

Что касается задачъ изъ области геометріи, то онѣ относятся къ измѣренію длины отрѣзковъ, величины угловъ, измѣренію и преобразованію площадей фигуръ, для чего приведены соотвѣтствующіе чертежи и на особомъ листѣ приложенъ транспортиръ. Недостаткомъ этого отдѣла является нѣкоторая разрозненность, а также скудость затронутаго матеріала, который могъ бы быть значительно расширенъ и пополненъ задачами съ конкретнымъ содержаніемъ. Въ задачникѣ нѣтъ также задачъ на дроби, хотя польза введенія въ учебный планъ 1-го класса пропедевтическаго курса простыхъ, а по возможности и десятичныхъ дробей, является общепризнанной.

Въ общемъ, задачникъ г. Воронца можетъ быть признанъ весьма подходящимъ и цѣннымъ пособіемъ для 1-го класса, и остается пожелать, чтобы авторъ продолжилъ свою работу и написалъ аналогичные сборники задачъ и для слѣдующихъ классовъ, которые могли-бы быть использованы для 1-й ступени единой школы. /. Чистяковъ.

НОВЫЯ КНИГИ.

А. Воронецъ. Сборникъ ариѳметическихъ упражненій и задачъ. Цѣлыя числа. Для учащихся въ 1-мъ классѣ среди, учебн. заведеній. Изд. Т-ва И. Д. Сытина. М. 1918. Ц. 2 р.

Н. К. Звѣревъ. Элементарная геометрія. Курсъ среднихъ учебныхъ заведеній. Ч. I. Планиметрія. Вып. I. Ц. 1 р. 20 к. Вып. II. Ц. 2 р. 60 к. М. 1916 г.

Труды всероссійскаго совѣщанія преподавателей физики, химіи п космографіи. 1917 г. 5—9 іюня въ Москвѣ. М. 1918. Ц. 8 р. 50 к., для членовъ совѣщанія 6 р. 40 к.

Е. Звягинцевъ и А. Бернашевскій. Задачникъ взрослыхъ по ариѳметикѣ. Для воскресныхъ школъ, классовъ и курсовъ взрослыхъ. Ч. I. М. 1918. Ц. 80 к.

А. Волковъ и А. Поляковъ. Лекціи по высшей математикѣ. Вып. I. Аналитическая геометрія. Изд. подъ ред. С. Финикова. М. 1918. Ц. 4 р. 50 к.

Н. Кашинъ. Методика физики. Изд. 2-е, дополненное и перераб. 1918. Ц. 8 р.

I. Косоноговъ. Концентрическій учебникъ физики для среднихъ учебн. заведеній. М. 1918. Ц. 4 р.

А. Бемъ, А. Волковъ и Р. Струве. Сборникъ упражненій и задачъ по элементарному курсу алгебры. Ч. II. 2-е пзд. М. 1918. Ц. 8 р.

B. Стратоновъ. Космографія (начала астрономіи). Для среди, учебіг. завед. и самообразованія. Изд. 3-е. М. 1918. Ц. 4 р.

Н. Кашинъ. Физика. 1-я ступень. Учебная книга для высшихъ начальныхъ училищъ и средней школы. М. 1918.

Редакціонная коллегія.

Типографія „Русскаго Товарищества печатнаго и издательскаго дѣла*. Москва, Чистые пруды, Мыльниковъ пер., 14.

ВЪ КНИЖНОМЪ СКЛАДѢ

Государственнаго Комиссаріата Народнаго Просвѣщенія,

Остоженка, 53.

Принимается подписка на еженедѣльные бюллетени Отдѣла Реформы Школы

„ТРУДОВАЯ ШКОЛА.

Вышелъ изъ печати 1-2.

Содержаніе: Отъ редакціи. — Основы школьнаго строительства.—Организація производительнаго труда въ школѣ,—Трудовая школа.—Хроника.—Конкурсы.

Печатается 3—5.

Содержаніе: 0. Волъбергъ. Математика на 1-ой ступени.— Н. Богуславская.Опытъ преподаванія математики, какъ методъ изслѣдованія жизни. — Полянскій. Объ учебникахъ —Списокъ книгъ, рекомендуемыхъ для школьныхъ библіотекъ.— Хроника.

Подписная цѣна за 10 №№ — 1 р. 50 к. съ пересылкой. Цѣна отдѣльнаго номера 30 к.

ВЪ КНИЖНОМЪ СКЛАДѢ

Государственнаго Комиссаріата Народнаго Просвѣщенія.

Остоженка, 53.

Принимается подписка на 6 номеровъ

ежемѣсячнаго журнала

„МАТЕМАТИКА въ ШКОЛѢ“.

Подписка принимается также въ книжныхъ магазинахъ М. О, Вольфа, Н. Карбасникова, А. Суворина и И. Д. Сытина.

Содержаніе журнала:

1) Статьи по вопросамъ преподаванія математики и соприкасающихся наукъ;

2) Статьи по различнымъ вопросамъ математики, оригинальныя и переводныя;

3) Очерки по исторіи математики, біографіи и портреты;

4) Хроника;

5) Задачи и рѣшенія задачъ;

6) Библіографическій отдѣлъ;

7) Объявленія.

Цѣна журнала до конца І9І8 г. съ пересылкой 9 р.

Цѣна отдѣльнаго номера 1 р. 50 к.

Журналъ въ кредитъ не высылается.

Лица и учрежденія, желающія получить счетъ, прилагаютъ 1 рубль.

Книжные магазины пользуются 10% съ подписной цѣны.