МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

№ 7—8

1930

ИЗДАНИЕ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

H. Горин.—О тождестве Эйлера Лагранжа...................... 209

Б. Побединский.—Симметрично-периодические номограммы............ 210

М. Черняев.—Об одном свойстве треугольника................... 218

Ч. Домбровский.—Об ускорении темпа сходимости разложений квадратных корней

из натуральных чисел в непрерывные дроби........... 220

В. Брадис. О формуле |/а2+в2.......................... 223

В. Добровольский.—Пентасферический тетраэдр............... 225

Н. Доброгай.—О площади правильного 12-угольника................ 228

Задачи...................................... 230

Решения задач.................................. 231

SOMMAIRE

N. Gorine.—Sur l'identité cTEuler—Lagrange

С. Pobédinski. Nomogrammes symmétrîces—périodiques

M. Tchemiaev. Sur une propriété du triangle

L. Dombrowski. Sur l'accélération de la concertence des développements des racines carrés dénombres naturels en fracgions continues.

U. Bradis. Sur la formule Ya*+b2

U. Dobrovolski. Tétraèdre pentasphérique.

N. Dobroqaï. Sur Taire du dodécagone régulier

Problèmes

Solutions de problèmes.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

№ 7—8

ЖУРНАЛ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

1930 г.

О ТОЖДЕСТВЕ ЭЙЛЕРА-ЛАГРАНЖА.

Н. П. Горин (Свердловск).

Под тождеством Эйлера-Лагранжа мы разумеем выражение:

(1)

Это тождество, имея чисто геометрический характер, допускает возможность некоторого обобщения.

Если в трехмерном Евклидовом пространстве мы имеем два вектора Р{ и Р2 с углом между ними с, то совершенно очевидно:

Рг - А2 - sin 2 ? = . Я22 — /V. р,2. cos 2 о (2)

Взяв прямоугольные декартовы координаты и выразив через проекции хих2,х3 вектора Рх и уиуо,у:\ вектора Р2 квадрат величины бивектора, образованного этими векторами, а также квадрат их скаларного произведения, мы из формулы (2) получим тождество (1) Эйлера-Лагранжа. Эти соображения мы сейчас же можем перенести на пространство п измерений.

Скаларное произведение двух векторов Р, и Р.> и квадраты их величин выражаются формулами:

где X1 и У контравариантные, a xi и у. — ковариантные составляющие векторов. Квадрат величины бивектора, образованного векторами Рл и Р29 будет:

причем

Подставляя полученные выражения в формулу (2), получим выражение общего вида:

Перейдя к прямоугольным координатам, т.е. положив х, = х' и у.—у\ получим обобщение тождества Эйлера-Лагранжа для 2 пвеличинуnyi{t = 1, 2,• • • п):

(3)

Из выражения (3) не трудно получить новое, положив в нем ixn вместо хп и iyn вместо уп1 где i = у — 1. Это новое тождество, в результате не содержащее мнимости, имеет такое же значение при преобразованиях, относящихся к вопросам геометрии Лобачевского, какое тождество (1) или (3) имеет в вопросах трехмерной или многомерной геометрии Евклидова пространства. В частности из формулы (3) для шести величин хих2,хл и Ух,УъУъ мы получим тождество (1), а взяв вместо л;3 и ул обозначения ix:] и iy6i будем иметь:

(4)

Это выражение имеет большое значение в геометрии гиперболической плоскости. Для трехмерного же пространства Лобачевского мы получим аналогичное тождество при п= 4:

В левой части выражения (3) мы будем иметь всего СЛ2=~~ -~ слагаемых, причем для случая, когда вместо хн и уп мы берем ixn и iyH% (//— 1) член будут иметь знак минус. Если мы для k пар значений х и у возьмем ix и iy, то будем иметь А-(/г — к) членов со знаком минус. Наибольшее число членов в левой части со знаком минус будет при к=— для четного п и при к=—-— для п нечетного. Таким образом при /; четном мы можем из формулы (3) при замене к пар значении х и у на ix и iy получить различных тождеств: при // нечетном таким же способом мы получим —-— различных тождеств.

СИММЕТРИЧНО-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ НОМОГРАММЫ.

Б. Г. Побединский (Баку).

Впервые указание о симметрично-периодических номограммах было дано проф. Герсевановым1, причем основанием для их построения послужили номограммы из равноудаленных точек, предложенные также проф. Герсевановым2.

Не касаясь последних номограмм, как представляющих ограниченный интерес3, в настоящем изложении я касаюсь только симметрично-периодических номограмм в их простейшей форме и даю метод их построения в том случае, когда круговая шкала равномерная.

1 Герсеванов Н. „Основания номографического исчисления", в. I, 1006 г., стр. 44—48.

2 То же, стр. 25—31.

3 Soreau R. „Nomographie ou Traité des abaques", т. II, 1921 г., стр. 171—172.

Предположим, что мы задались целью построить номограмму функции

V=f («,)+/Ы +/(%)+ • • +/(«„)

при условии, чтобы все/(аг) читались на равномерной круговой шкале.

Возьмем окружность и разделим ее на части, равные между собой; направление делений примем от Ä (черт. 1) в сторону, противоположную движению часовой стрелки.

Проведем ось симметрии АК и перпендикулярно к ней через произвольную точку N линию ОМ, на которой нанесем шкалу величин а. Деления идут одинаково в обе стороны, начиная от точки N.

Деления нанесем так, что если мы поставим одну ножку циркуля в какой-либо ее точке О, соответствующей значению, например aif другую в точке .4 и из первой точки радиусом OA опишем дугу, то дуга эта засечет окружность в точке С, определяющей дугу АС, равную / (а.).

Допустим, что точка M соответствует значению а,; ставим одну ножку циркуля (будем называть ее первой ножкой) в точку M, а другую (или вторую) в i и из точки M радиусом MA проводим дугу до пересечения с окружностью в точке Е; тогда дуга АЕ изобразит f {а{)У т.-е.

Черт. 1.

(1)

Перенесем ножку циркуля из M в точку О, соответствующую значению а2, и радиусом, равным ОЕ, засечем окружность в точке D; из той же точки О радиусом, равным OA, засечем окружность в точке С; дуга АС изобразит / (а2). Чертеж дает

так как

Хорда ЕВ перпендикулярна оси симметрии АК, поэтому

и, следовательно,

Далее из чертежа же видно, что дуга ВС общая дугам АС и BD, а поэтому

или

Выше мы имели следовательно, Кроме того, или

поэтому в силу равенств ( 1 ) и ( 2 )

Деления, как мы уже выше говорили, идут от точки А в сторону, противоположную движению часовой стрелки, а потому прочитать непосредственно по точке D сумму V2 мы не можем; переносим поэтому точку D помощью оси симметрии в точку R, лежащую влево от оси симметрии; так как дуги AD и AR равны между собой, то отсчет по точке R и даст нам искомую сумму.

Таким образом мы приходим к правилу: если при чтении номограммы обе ножки циркуля будут по правую сторону оси симметрии, то ножку, стоящую на круговой шкале, переносим с помощью оси симметрии в левую сторону; по соответствующей точке прочтем искомую сумму V2.

Но предположим теперь, что нам необходимо продолжить суммирование. В таком случае, не трогая пока ножки, стоящей в точке Д переносим другую ножку из О в точку Т (черт. 2), соответствующую значению а3, и из этой точки (Т) радиусом, равным TD, засекаем круговую шкалу в точке С.

Как видно из черт. 2,

откуда

Далее чертеж дает

Черт. 2.

но

следовательно.

или

Так как

то

АЕ—дуга, описанная из точки Т, соответствующей значению аа, а потому

а, следовательно, и

и окончательно

Отметка точки С дает величину 1/3; отсюда вытекает следующее правило: если при окончательном подсчете ножки циркуля будут по разные стороны оси симметрии, причем вторая ножка будет по правую сторону оси, то отсчет делаем по второй ножке.

Продолжим наше суммирование. Перенесем первую ножку из точки Т в точку S (черт. 3), соответствующую значению а4, и из этой точки (S) радиусом, равным SC, засекаем круговую шкалу в точке Б.

Из чертежа видно, что

поэтому

и, следовательно,

Черт. 3.

Но AI) — дуга, описанная из точки S, соответствующей значению а4, поэтому

следовательно, и

а потому

дуга ABCDE-Vb=f (а,) +/(а2)+/(а3)+/(а4).

Отметка точки £* дает сумму l/4, а отсюда правило: если при окончательном подсчете обе ножки будут по разные стороны оси симметрии, причем вторая ножка будет в левой части, то, пользуясь осью симметрии, переносим точку (В) из левой части в правую (точка Е). Отметка последней точки и даст нам искомую сумму V±.

Чтобы вернуться снова в левую часть номограммы и тем самым показать ее периодичность, возьмем еще один отсчет. Переносим первую ножку циркуля из точки vS в точку G (черт. 4), соответствующую значению а5, и из этой точки (G) радиусом OB засекаем круговую шкалу в точке С. Из черт. 4 видно, что

и, следовательно,

но

поэтому и

Черт. 4.

Отметка точки С с прибавлением к ней полного отсчета по круговой шкале дает нам искомую сумму 1/5.

Предположим, что вся круговая шкала разделена на m частей; отметка точки А, по проходе всей круговой шкалы, будет f (а.) = яг, а отметка точки С—/ (ак) = п, тогда величина

Vb — m -f- я.

Из вышесказанного вытекает, что при прохождении несколько раз по круговой шкале к окончательному отсчету надо прибавить столько раз величину m — /(^), сколько раз мы прошли точку А.

Из черт. 4 вытекает, что если при окончательном отсчете обе ножки циркуля будут по левую сторону оси симметрии, то отсчет делается по второй ножке.

Соединяя все разобранные выше случаи, мы можем формулировать правило чтения симметрично-периодической номограммы следующим образом:

Если обе ножки циркуля при окончательном подсчете окажутся по одну сторону оси симметрии, то результат читается на левой половине окружности;

если же обе ножки окажутся по разные стороны оси симметрии, то результат читается на правой стороне. Пройдя полную окружность, надо сделать соответствующую пометку и подсчет продолжать в обычном порядке, и при окончательном подсчете надо прибавить к последней прочитанной пометке столько раз полное число делений всей окружности, сколько раз была пройдена полная окружность.

Для того чтобы все предыдущие наши выводы имели место, необходимо соответственным образом проградуировать шкалу значений а. Посмотрим, как это надо сделать.

Предположим, что (черт. 5)

и половина угла МОК равна ф. Из чертежа имеем

(3)

Положим, что ОМ—г и MD = /, следовательно, OD — r+l

Чертеж дает

откуда

Черт. 5.

Подставив значения OD и ? в равенство (3), получим

(4)

Аналогично найдем

(5)

и, следовательно, вообще

(6)

причем длины \ выразятся в тех же мерах, что и г и 4.

Легко видеть, что вместо аналитического определения величин л мы можем проградуировать шкалу простым делением соответственных дуг пополам.

Так, например, предположим, что

Делим дугу AB пополам (черт. 6), производя засечку произвольными, но равными между собою радиусами ВС и АС. В пересечении линий MN \л ОС найдем точку S, соответствующую значению сц, так как нетрудно видеть, что SA—SB.

Таким образом для построения шкалы приходится вычислять / (а) по заданным а. Градуировка шкалы начинается в точке D (черт, 5) и идет симметрично в обе стороны.

При построении вышеописанной номограммы большим неудобством является прямолинейность шкалы Л1/У(черт. 6). Более удобная градуировка получается в том случае, если шкала MN будет дугою окружности, концентричной с основной окружностью.

В этом случае мы также можем градуировать шкалу а путем простого деления соответствующих дуг МК (черт. 5 и 7) пополам или так же, как и выше, предварительно аналитически определив расстояния соответствующих точек от начальной D.

Черт. 6.

Черт. 7.

Чертеж 7 дает При прежних обозначениях откуда

следовательно,

и вообще

Величину / мы можем выразить в долях от величины г; положим

тогда равенство ( 7 ) примет вид

Возьмем, например, /тг = 5, a /'(a) = Iog а. Равенство (8) доставит

À = 0,6 log а. Ч

Номограмма последней формулы изображена на черт. 8, где шкалой а служит дуга ААХ.

Черт. 8.

Рассматривая последний чертеж, мы видим, что в настоящем частном случае шкала величин а неудобна в том отношении, что с ростом величин а графические интервалы настолько уменьшаются, что в пределах, больших а, мелкие деления получить на шкале затруднительно. Этого неудобства можно избежать, надлежащим образом трансформировав графически шкалу а.

Трансформация шкалы а может быть произведена на основании следующих соображений (черт. 9).

Предположим, точка Е соответствует некоторому значению а{. Проведем через точку Е и через центр круговой шкалы прямую ОЕ; прямая эта, очевидно, будет служить для круга осью симметрии, а потому, где бы мы ни взяли на этой прямой какую-нибудь точку F, засечка, произведенная из этой точки радиусом F А, даст ту же точку В, что и засечка, произведенная из точки Е радиусом ЕА, или засечка, произведенная из точки F радиусом FC, даст ту же точку D, что и засечка, произведенная из точки Е радиусом ЕС

Таким образом мы видим, что прямой ОЕ может быть приписана пометка а2 и что при отсчетах совершенно безразлично, в какую точку прямой ОЕ мы поставим ножку циркуля. Шкала а может быть заменена пучком прямых с центром в О. Практически пользоваться таким пучком неудобно, но он позволяет трансформировать вычерченную шкалу (величин а) ААг.

Трансформацию мы можем, например, произвести следующим образом.

Берем на оси симметрии номограммы произвольную точку В (черт. 8) и из нее произвольным радиусом засекаем луч, проходящий через пометку шкалы а, равную 2; из полученной точки тем же радиусом засекаем луч, проходящий через пометку 3, и т. д. Соединив затем плавной кривой вышенайденные точки, получим трансформированную шкалу, которую мы сможем проградуировать более детально. Чем чаще будут расположены лучи пучка (а), тем точнее будет вычерчена трансформированная шкала.

На черт. 8 для примера приведены правые половины трансформированных шкал ББХ, ССХ и DDu причем кривая последней шкалы совершенно произвольна.

Из всего вышеизложенного явствует, что если при одной и той же круговой равномерной шкале мы построим ряд шкал, например круговых для различных функций f\ (a), fo (а), fa (а) и т. д., то мы в состоянии будем читать на такой номограмме величины

y=M*i) + M«i)+M«8)+ • • •>

причем общее правило отсчетов остается прежнее.

Черт. 9.

ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ ТРЕУГОЛЬНИКА.

М. Черняев (Ростов-на-Дону).

Через вершины тр-ка ABC проведены три параллельные прямые, которые пересекают противоположные стороны соответственно в точках Аи В\ и Сл\ на прямых ААи ВВ\ и CCi взяты точки Ла, В2 и С2, удовлетворяющие условию

Докажем следующие две теоремы:

I. Три точки А2, В2 и С2 при любом направлении параллельных прямых ААи ВВХ и CCj лежат на одной прямой линии.

II. Огибающая прямых АгВ2С2 есть коническое сечение, вписанное в треугольник ABC.

Пусть координаты вершин тр-ка АБС в прямоугольной декартовой системе координат будут

А (0,0); В (a, h) и С(Ь,0)>

Тогда ур-ния сторон тр-ка:

Ур-ния прямых:

Координаты точек Аи В} и Сг:

где

Координаты точек Л2, В2 и С2:

то три точки Лг, В2 и С2 лежат на одной прямой.

Составим уравнение этой прямой:

В развернутом виде ур-ние прямой А2В2 будет

Располагая по степеням л, имеем

Огибающая последнего семейства прямых, зависящих от одного переменного параметра À, будет иметь ур-ние

4 Л? х2 -f 4 j/2 (а2 — ab + b2) —4 А (2 а—Ь)ху — 4 h2 bx-\- Ah by (а - b) + ft- ft* = 0.

Итак, огибающая прямых Л25- есть коническое сечение.

Найдем координаты точек пересечения данного конического сечения со стороной (АС) у—-0; для получения абсцисс точек пересечения получим ур-ние

(2х — 6)2 = 0;

следовательно, коническое сечение касается стороны АС в точке/-—, о\

Для определения абсцисс точек пересечения рассматриваемого конического сечения со стороной AB Çy — —^ имеем следующее ур-ние:

следовательно, коническое сечение касается стороны AB в точке!—, —

Аналогично убедимся, что рассматриваемое коническое сечение касается стороны ВС Теорема доказана.

ОБ УСКОРЕНИИ ТЕМПА СХОДИМОСТИ РАЗЛОЖЕНИЙ КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ ИЗ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ.

Ч. Домбровский (Минск, БССР).

Тов. Матышук из Ростова-на-Дону напомнил нам в № 6 „Математического образования" за 1929 г. способ решения уравнения Pell'a х2 — Dy2 — 4-î посредством разложения j/D в непрерывную дробь. Наоборот, это решение практически полезно для извлечения \/D (D натуральное) методом непрерывных дробей. Ибо известно, напр., что l^Ül = ( 1,1, 1...) — очень медленно сходящаяся непрерывная дробь, а уже сам \Г~Ь = (2, 4,4,4...) дробь, значительно скорее сходящаяся.

На основании статьи тов. Матышука, для того чтобы извлечь |/ D, можно, найдя сначала более медленно сходящуюся непрерывную дробь с подходящими дробями .у1, тА..-> с периодом в // членов (звеньев) и целой частью, равной ^ найти затем Рп и Qw, и так как то затем имеем

где \' Рп'г 1 гораздо скорее сходится, как непрерывная дробь, ибо

корень же}/a-—i, или у'№-\-2Ь (где а = о + 1), равен (b, 1,2ft, 1,20,1,2b, ...).

Заметим, что нет необходимости находить все звенья аи я2»- • ибо они повторяются симметрично относительно крайних:

а2 = ап\ a3 — an-i и т. д.

Чтобы доказать это, будем понимать под PuP2l^-^ Q11Q2,... числители и знаменатели подходящих дробей для разложения \/D — аь где ах имеет прежнее значение. Таким образом Рх=0. Тогда

но ап ,—2аг, следовательно ан41 -\-\/ О — а^ — хГО-^-av и мы имеем

откуда Qn_t = Pn, иначе \ D не был бы иррациональным числом. Но

Р.=Рп-1 Яп+Рп-ь следовательно, Q» ., = Р„ А аи 4- Я,4_ „ где Рп , < Р„. 41

следовательно,^ есть целое частное от деления на Рн-и а РЛ_2 — остаток от этого деления. Мы легко убедимся, что разложение-^-—в непрерывную дробь есть (ап9ап . .,а2) (ибо Л = 0); но ведь

ибо

А разложение в регулярную непрерывную дробь может быть только одно, откуда

ап — а2\ дп_ 1 =а3 и т. д.

Если мы, напр., разлагаем j/61 в непрерывную дробь, то мы имеем

что на основании пропорции (5) равняется

было в пропорции (4), и т. д.; мы видим, что с этого места и повторяются частные знаменатели, именно 1,3,4,1.

Вот так надо практически пользоваться доказанным.

Но некоторые корни типов }/а2Ц-1 и |/а2— 1 все же медленно сходятся. Напр., [/2 или |/ 3~ самые употребительные в геометрии (правильные многоугольники и т. д.). Мы докажем, что в разложении\fa2-\-\ корень Q2ki.n|/"a2-|-ï=: =j/QT* +12(а* +1 ), a в разложении |/а2—1 корень Q2jfc j/а2-•i = v/rQ2A2(а2—F) всегда того же типа (&—произвольное натуральное число), т. е. Qn+i2(tf2-f 1)— = Л2 + 1 в первом случае, Q2jk2(a* — l) = Z?2— 1 во втором, где Ли # — натуральные числа.

Для этого заметим, что в разложении

Px = a\ Qt = 1; P3 = 2a2-|_i; Q2 = 2a: P3 = 4 <r-f 3 a; Qa=4a* + 1.

Стало быть

Qi4^ + 1)='>it + l! 0)

QiQ2(a2 + l) = PiA + a; (2)

Q22(a2 + l)=P22-1; (3)

Q2Qa(a2 + l) = P2P3~a. (4)

Мы докажем, что вообще

Qu-12 (я2 +1 ) = Pu- r + 1 ; О ') Q2.-1 Q2* (a» +1 ) = Р%_, P2* + a; (2')

Q2*2(*2+1 ) = P21r-1; (3) Q2,Q2*+i (a2 +1 ) = Pu- л; (4')

Применим для этого полную индукцию. Так как

Q2n = Q2*_i «2n + Q2n-2, a a2n = 2a, то Q2„ = 2 Q2^ a 4- Q2n_2; (5)

и также получим

Ръ = *Р*ш-1* + Рш-* (6)

Q2n+i=2Q2Äa+Q2^ii (7)

P2M+1=2P2wa + P2w^. (8)

Допустим, что (!') — (4') справедливы для k^n; тогда Q2^_!2 (a2 -f-1 ) = P2„_12 + 1 [по (!')] и т. д.

Но тогда Q2»+i2(^2-fl), на основании (7), равно (2 Q2fl a-f- Q2«—i)8 (a- 1 )= = 4 a? (a* +1 ) Q2„2 + 4 a <a» -f 1 ) Q2n Q2n_, + (a2 +1 ) Q2n_r^, а на основании допущенного

Q2w2(a2 + l) = P2n2^i; [по (3')]

Qu-iQi»(a>+1) = P,,jP,ll + a; [по (2')]

Q2n-t2(^+l) = ^_r + 1; [по (1')}

значит

что, на основании (8), равно P2»_i2-|-1. Значит, (Г) справедливо и для k — n-\-\.

Подобно этому Q2n-fi Q2H+2 (л2 +1)) на основании (5), равно Q2n+i (2 Q2 n+i # + -f- Q2w) (a2 -f-1 ), ибо (5) справедливо для всякого п; идя этим путем далее, мы докажем всеобщность (2') и т. д. Этим методом вообще мы и докажем оба наши утверждения.

Таким образом, напр., j/2 = (1,2, 2,2,. ..); значит, так как Q3~5, Q5 = = 29,..., то типа j/#2 +1 должны оказаться S|A2=y/5Ô, 29 у/1Г=|/1682 и т. д. И действительно, ]/3Ô=/72+1 =(7,14,14,14,.. .);/Ï682 = /412-f-l = (41,82, 82,82,...), что уже значительно скорее сходится.

Так же так как |/Т=|/22—1 =(1,1,2,1,2,1,2,..то Q2 = l, Q4 = 4, Q6 = 15,... и типа j/a2—1 окажутся 4j/3, 15^/3 и т. д. Действительно, 4/У=|/72-1, 15]/Т=|/262 — 1 = (25,1, 50,1, 50,1,50,...), что тоже значительно скорее сходится.

О ФОРМУЛЕ √а2 + b2 = 0,960 a + 0,398b.

В. Брадис (Тверь).

Требуется заменить функцию \/а2-\-Ь2, где а и b можно считать принимающими всевозможные неотрицательные значения и а^Ь, функцией Aa-\-Bbt где А и В^>0. Конечно, такая замена возможна лишь с некоторым приближением, и задача заключается в целесообразном выборе значений коэффициентов А и В.

Обозначим через S относительную погрешность формулы

\'a*-\-b* = Aa-\-Bb, (I)

т. е. положим, что

v_ Aa + Bb—v'a*-\-F- ^

и будем рассматривать а и b как прямоугольные координаты точки на плоскости. Нам надо выяснить, какие значения принимает S в разных точках части плоскости, ограниченной лучами ô = 0 и Ь = а.

Выражение (II) для S значительно упрощается, если перейти к полярным координатам, положив a = rcosty b = rsint. Тогда

Z — Aco$t+Bsint— 1 (III)

Следовательно, погрешность S вовсе не зависит от г и является функцией только t Таким образом во всех точках каждого луча, выходящего из начала координат, значение S постоянно. Остается выяснить, какие значения принимает S в разных точках дуги круга г — const. Хотя при этом можно было бы ограничиться значениями t от 0 до ~ir, но удобнее начать с рассмотрения t в двойном интервале (0^/^~ тг).

Рассматривая выражения

2(г) = Л cos^-fßsin*— 1,е' (t) = — A sin t +В cos t

и полагая, что -^- = tg£0, где 0<£0<— я, легко убеждаемся, что L(t) растет при возрастании t от 0 до t0, достигает при t — t^ максимумам при дальнейшем возрастании t (от t0 до -~ тг) уже убывает.

Выберем значения для А и В с таким расчетом, чтобы S (0) и S ( — ic ^ имели равные отрицательные значения, а Е(£0) имело бы положительное значение такой же абсолютной величины. Тогда, откладывая значения £ (t) по соответствующим радиусам, начиная от точек окружности г =1, получим графическое изображение погрешностей на дуге любого круга г — const в виде сплошной линии, показанной на чертеже.

Поставленные условия

приводят к системе уравнений

которые дают, что

или что А = 0,9603..., В= 0,3978...

Округляя эти значения А и В до тысячных, приходим к формуле

(VI)

Какую же погрешность она дает? Относительная погрешность достигает равных между собой наибольших значений при: 1) /=0, 2) /г=/0 = агс tg jfofiQ = arc tg 0,4146 = 22,5°, 3) / = —it —45°. Вычисляя их по формуле (ИГ), получаем значения, не превосходящие 0,04, или 4% (небольшие расхождения объясняются округлениями, сделанными нами при вычислении коэффициентов А и В). Итак, погрешность формулы (VI) достигает наибольшего своего значения, не превосходящего, однако, 4%, при 0 = 0, Л = 0,415а, Ь — а.

Небезынтересно отметить, что при значениях t, удовлетворяющих уравнению L(t) =0, а именно при t—b° 43' и t = 38° 19', мы получим по приближенной формуле точные результаты, вернее сказать: получили бы точные результаты, если бы коэффициенты формулы (VI) были вычислены точно по формуле (V), Следовательно, при £ = 0,118 а и при b = 0,790 а погрешность формулы (V!) близка к 0.

Вместо условий (IV) можно было бы поставить другие, которые привели бы к другим приближенным формулам. Например, можно было бы потребовать, чтобы средняя квадратическая погрешность, квадрат которой, рассчитанный на единицу площади, равен

был бы минимум. Приравнивая к нулю частные производные от а2 по А и по В, получаем уравнения

которые дают А = 0,934, В = 0,427.

Формула

v/a3 + ft2 = 0,934 a -f 0,427 b (a^b) (VU)

дает меньшую среднюю квадратическую погрешность, чем формула (VI), зато при некоторых частных значениях а и b погрешность формулы (VII) оказывается больше, чем максимальное значение погрешности формулы (VI). Так, при Ь = 0 погрешность формулы (VII) равна 5,2%.

Конечно, вместо условия минимума средней квадратической погрешности (относительной) можно поставить и еще много других условий и получить ряд новых приближенных формул, имеющих свои достоинства1.

13/VIII—1930,

ПЕНТАСФЕРИЧЕСКИЙ ТЕТРАЭДР.

В. В. Добровольский (Москва).

Четыре плоскости, не пересекающиеся в одной точке, разделяют пространство на 15 областей (черт. 1): одна область внутри тетраэдра ABCD, четыре— АВСА'Б'С и ABDA'B'D', имеющие с тетраэдром общую грань: ABC, A BD и т. д., шесть — подобных ABA'В'В"А", имеющих с тетраэдром общее ребро: AB и т.д., и четыре — подобных АА'А"А"\ имеющих с тетраэдром только одну общую вершину А и т. д. Отыскивая сферы, касательные ко всем четырем плоскостям, увидим прежде всего, что центры их не могут быть внутри последних четырех областей, так как каждая из них ограничена только тремя плоскостями. Из остальных 11 областей—одна внутренняя и 4 внешних, имеющих общую грань с внутренней, окажутся годными для помещения искомой сферы -это будут одна вписанная и 4 вневписанных сферы в данный тетраэдр. Проведя из центров этих сфер к вершинам тетраэдра прямые, найдем для внутренней области соотношение

где р - радиус вписанной сферы, Fi,...,-Fa — площади граней тетраэдра и V— объем его; для внешних областей подобным же образом получим

Черт. 1.

1 Статья написана в связи с задачей № 1 „Математического образования" (1930 г., №1); правильное решение задачи, исходя из условия minimum.a средней квадратической погрешности, получено Л. Лодыженским. (Ред.)

При существовании тетраэдра, т. е. при условии, что четыре точки А, В, С, Ü не лежат в одной плоскости, мы найдем из этих уравнений единственные значения для р, р' и т. д. Посмотрим, что получится в 6 „корытцах", подобных ABA'В'В' А"] предполагая и здесь возможность касательных сфер и соединяя центр такой сферы с вершинами тетраэдра, получим соотношения:

Из этих соотношений видим, что

а потому только три уравнения из шести определяют положительное значение радиуса; следовательно, из шести областей только три заключают касательную сферу.

Таким образом, вообще говоря, имеется 8 сфер, касательных к 4 данным плоскостям; из них 5 существуют всегда, 3 же последних перестают существовать при обращении в нуль выражений, стоящих в скобках

F9 + Fé — Ft — F2 = 0 и т. д.

Легко видеть, что для обращения в нуль всех таких выражений необходимо и достаточно, чтобы

F1=zF2—F,=zF4.

Тетраэдр, имеющий только пять сфер, касательных к плоскостям его граней, мы и предлагаем назвать пентасферическим.

Последний вывод выражает следующую теорему:

Теорема 1. Для того чтобы тетраэдр был пентасферическим, необходимо и достаточно равенство площадей всех его граней.

Из этой теоремы легко выводятся следующие следствия:

1. Все высоты пентасферического тетраэдра равны между собою.

2. Четыре вневписанные сферы пентасферического тетраэдра равны между собою и имеют вдвое больший радиус, чем вписанная.

3. Радиус вписанной сферы равен 1/4 высоты.

Построение пентасферического тетраэдра может быть выполнено двумя способами: стереометрически (напр., при помощи методов начертательной геометрии) или планиметрическим построением всех граней на плоскости.

В основе того и другого построения лежит следующее: одна грань тетраэдра может быть выбрана совершенно произвольно, а три другие грани должны иметь основания и высоты равными сторонам и соответственным высотам заданной грани.

На основании этих свойств граней стереометрическое построение заключается в следующем: берут произвольный треугольник и строят три круглых цилиндра, имеющих осями стороны этого треугольника и проходящих через противоположные вершины; точка пересечения всех трех цилиндров даст четвертую вершину тетраэдра.

Планиметрическое построение можно провести так. Берем три прямолинейных отрезка, которые могут быть сторонами треугольника, и откладываем их на одной прямой один за другим (черт. 2) ; над каждым отрезком проводим по параллельной на расстоянии соответствующей высоты треугольника, составленного из них; на одной из параллелей берем произвольно точку, напр. S', и на соседней параллели делаем засечку из В радиусом BS1; затем из С проводим дугу круга радиусом CS", а из Аг —радиусом A S!; точка S'", вообще говоря, не лежит на третьей параллели; но, сделавши несколько (3—4) проб, найдем геометрическое место точек S'", пересечение которого с этой параллелью определит действительное место Dx вершины этой грани, а по ней найдем и вершины D2 и D двух других граней.

Определим теперь положение центров вневписанных сфер пентасферического тетраэдра. Конечно, они могут быть найдены общим способом: в точках пересечения биссекторных плоскостей внутренних и внешних двугранных углов тетраэдра. Но в нашем случае они занимают особое положение, которое может быть найдено при помощи более простых построений. Для выяснения этой особенности соединим два любых центра вневписанных сфер. Так как они находятся на одинаковом расстоянии от одной из плоскостей, будучи расположены по обе стороны ее, то эта плоскость проходит через середину отрезка, соединяющего центры; но это верно также и для другой плоскости; поэтому

середина отрезка, соединяющего два центра вневписанных сфер, находится на ребре тетраэдра.

А так как, кроме того, эти же центры находятся на равных расстояниях от двух других плоскостей, будучи расположены по одну сторону их, то отрезок, их соединяющий, параллелен противоположному ребру тетраэдра. Наконец, имея в виду, что радиусы этих сфер равны половине высоты, найдем, что упомянутая прямая пересекает ребро тетраэдра как раз по середине. На черт. 3 показаны два таких центра Сх и Д, из которых опущены перпендикуляры СХНХ и ОхНг на плоскость ABC, перпендикуляры СХНХ и DXH2— на плоскость грани ABB, перпендикуляры С\Н\% и DXH2"—на плоскость грани BCD и, наконец, перпендикуляры ОхНх1П и С2И2"'—на плоскость грани ACD. Ввиду указанных выше свойств имеем:

1) CXD\ пересекает AB в точке Е, так что

АЕ=ЕВ; CXE = EDX\

2) CXDX H CD.

Черт. 2.

Если соединить между собою все четыре центра вневписанных сфер, то получим тетраэдр AiB\C\Du ребра которого будут параллельны ребрам данного и будут проходить через середины ребер данного; это будет тетраэдр, сопряженный данному1. Итак, мы имеем теорему:

Теорема II. Центры вневписанных сфер пентасферического тетраэдра находятся в вершинах тетраэдра, сопряженного с данным, и обратно.

Из этой теоремы легко получаются следствия:

1. Центр вписанной сферы находится в пересечении медиан тетраэдра, т. е. прямых, соединяющих середины противоположных ребер; эта же точка является центром тяжести тетраэдра.

2. Сфера, вписанная в данный пентасферический тетраэдр, является вписанной в октаэдр, вершины которого находятся в серединах ребер данного тетраэдра.

3. Упомянутый октаэдр имеет равные по площади грани.

На основании теоремы II и следствия 1 из нее легко построить центры всех пяти сфер пентасферического тетраэдра, не прибегая к биссекторным плоскостям.

Черт. 3.

О ПЛОЩАДИ ПРАВИЛЬНОГО 12-УГОЛЬНИКА.

Н. И. Доброгай (Винница).

Исходя из обычно даваемой в учебниках геометрии формулы площади правильного многоугольника:

$п = \ пап Aw, (1 )

где п — число сторон, ап — сторона и hn — апофема правильного многоугольника, для случая я = 12 имеем в функции радиуса г описанного круга:

ах2 = гУ2-уТ ;A12 = -L г ]/~2 + /У, (2)

а потому по формуле ( 1 ) получим:

S12 = 6ryr2 — ir3 • |г ]/2+/У=3 гК

V. Thébault в июльской книжке бельгийского математического журнала „Матезис"2, справедливо указывая на сложность формулы для апофемы правильного 12-угольника, предлагает следующий вывод площади его, не зависящий от сложных радикалов ( 2 ).

1 О сопряженных тетраэдрах см. .Математическое образование" за 1928 г., № 1, статья Д. И. Перепелкина.

2 „Mathesis", 1930, р. 251.

Пусть АХА2А3 . . . АХ2 правильный 12-угольник, вписанный в круг радиуса А\0 — г, апофема его Oco = A, H — ортогональная проекция со на радиус АхО, Ж— середина ОА1.

Угол АхО со, составляющий половину угла Ах ОА2, равен 15°. Сравнивая два выражения удвоенной площади прямоугольного треугольника Ах со О, получим:

Ах со • со О = Ах О. со Я.

Но так как /И является центром круга, описанного около прямоугольного треугольника Аха>0, то угол АХМ со, как центральный, вдвое более вписанного угла АхОш> а потому равен 15° . 2 = 30°. Стало быть,

как катет, лежащий против острого угла в 30°. Следовательно,

где <з означает площадь треугольника ^ со О.

Но так как площадь правильного 12-угольника составляет 24-кратную площадь треугольника Ахш09 то

площ. АхА2Аг. . . АХ2 — \2 Агш • соО = 12 Ах А2 • f? =3г2.

Тут же автор в примечании указывает, что можно также избежать вычисления апофемы, если рассуждать независимо от общей формулы ( 1 ). Площадь правильного 12-угольника равна шестикратной площади хотя бы четырехугольника Ах А2 Аз О. Но так как площадь этого ортодиагонального четырехугольника равна

то имеем:

Нам кажется, что уважаемый автор, стиль которого мы старались везде сохранить, упустил из вида построение, еще более упрощающее проводимую им идею, а именно: рассуждая аналогично относительно треугольника АхА2Оу а не Ах со О, и проектируя точку At на радиус АгО, получим из прямоуг. тр-ка Ах N0:

а потому

Кроме того, представляется нелишним заметить, что наши учебники, приводя формулу ( 1 ), почему-то забывают упомянуть о формуле

дающей площадь правильного многоугольника независимо от его апофемы1 (Действительно, эта площадь в п раз больше площади треугольника Ах Аг О, в котором за основание берем А20=г, а за высоту — AXN=^~AXA^

Если п четно, то ~А: Аг будет периметром правильного многоугольника, имеющего тот же радиус и вдвое менее сторон. Поэтому формулу (3) можно выразить так:

Площадь правильного 2п-угольника равна половине произведения его радиуса и периметра правильного п-угольника, имеющего тот же радиус.

В нашем случае для правильного 12-угольника формула (3) дает:

Si2 = ~75- Г • 6 аь =~7ГГ • 6г = 3г2.

Для правильного 8 угольника будем иметь:

причем избегаем введения в формулу ( 1 ) сложных выражений:

ЗАДАЧИ.

69. Показать, что число N=p+ 2~2 , где р—простое число, большее 3, а л—его цифра единиц—есть число сложное.

А. В. (Москва).

70. Решить уравнение:

X2 —)/а — х = а.

Г. Шлуглейт (Москва).

71. Решить систему уравнений:

72. Построить треугольник по высоте ha, биссектрисе 1а угла при вершине А и сумме Ь-\-с сторон, заключающих этот угол.

73. Обозначая длины сторон вписанного в круг четырехугольника аиа21а^а49 а длины перпендикуляров, опущенных на них из центра круга,—ри ръ p., pv доказать соотношение:

1 См., напр., Guichard-„Traité de géométrie", tome I, p. 277. (Paris, Vuibert, 1924.)

74. Решить уравнение:

sin л: • sin2 2 A: = sin83 х.

Л. Лодыженский (Иваново-Вознесенск).

75. Зная, что в треугольнике угол 5~ЗЛ, найти выражение стороны с через а и Ь.

Н. Зеликман (Щегловск).

76. Найти сумму девятых степеней корней уравнения

х*-\~Зх-{~9 = 0.

77. По данному основанию построить равнобедренный треугольник так, чтобы вписанный в него круг проходил через центр описанного круга, и вычислить углы этого треугольника.

78. Найти геометрическое место точек пересечения диагоналей прямоугольников, стороны которых проходят через четыре заданные точки.

79. В данный треугольник вписать прямоугольник с наименьшей диагональю. 89. Найти вид функции f(n) из равенства

Я. Гиленко (Иркутск).

81. Доказать формулу

A. В. (Москва)

Задачи из области технической математики.

7. Имеются четыре точки, являющиеся вершинами выпуклого четырехугольника. Найти центр и радиус окружности, проходящей наиболее близко к данным точкам.

Обобщить на случай большего числа точек,

8. Аэроплан вылетает по прямой из точки Л, долетает до некоторой точки С и возвращается по прямой в точку В, находящуюся на земле на расстоянии а от А Каково геометрическое место точек С, если аэроплан может продержаться в воздухе b часов и использует все горючее?

Обобщить задачу на тот случай, если имеется ветер данного направления и силы.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

36. Решить уравнение:

л?+ 10* —7 . . А X---- =+ 1 m 0.

Представив данное уравнение в виде

4 (х+1 )\rl(x— 1) = X2+ 10X — 7

и возвысив обе части в квадрат, получим после упрощений следующее уравнение:

X4— 12х3 + 54 X1 — 108х + 81 =0,

или

так что все четыре корня равны между собою и равны 3.

Число 3 действительно удовлетворяет данному уравнению при положительном значении радикала.

А. В., А. Дмитровский (Москва). X. У. (Ростов-на-Дону). А. Баранов, С. Адамович (Тула). В. Антропов (Ковров). Я. Колмогоров (Алма-Ата). А. Бутомо (Саратов). Я. Кампиони (Тула). В. и Р. Шотт (Белополье). Пав. Хайдуков (Петровск). М. Коростелев (Баталпашинск). А. Левшук (Черемхово). М. Шерстнев (Суздаль). Я. Хайдуков (Петровск). Е. Воскресенская (Сормово). В Маловичко (Херсон). Б. Кобылин (Галич).

37. Найти двузначное число, обладающее тем свойством, что если сложить его с суммою кубов его цифр, то получится число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

Так как сумма кубов цифр должна быть однозначным или двузначным числом, то ни одна из цифр искомого числа не может быть больше 4. Но цифра 4 также невозможна, потому что в таком случае сумма кубов цифр была бы больше 60, тогда как число, написанное в обратном порядке, оказалось бы меньше 50. Нельзя взять и цифры 3. В самом деле, как видно из уравнения

сумма кубов цифр должна делиться на 9, но этого не будет, если одна из цифр будет равна 3, а другая меньше 3. Итак, единственным решением может быть число 12. Действительно,

А. В, А. Дмитровский (Москва). X. У. (Ростов-на-Дону;. А. Баранов. С. Адамович,

И. Кампиони (Тула). Я. Шуйский (Владимир). В. и Р. Шотт (Белополье). Пав. Хайду км (Петровск). А. Бутомо (Саратов).

39. Найти предел суммы членов бесконечного ряда:

Представим данный ряд в виде:

Пусть теперь

Тогда

откуда

и т. д. Разлагая f(x) в ряд Маклорена, имеем:

причем ряд будет сходящимся при (х) <

Полагая х = -^~, находим:

откуда

А. Дмитровский (Москва). Н. и Пав. Хайдуков (Петровск). В. Маловичко (Херсон). Я. Сапунов (Владимир). В. Скрылев (Николаев).

41. Определить углы равнобедренного треугольника, в котором высота вдвое менее биссектрисы угла при основании.

Если АС основание равнобедренного треугольника ABC, то высота BD — ~: с sin .4, а биссектриса АЕ угла А найдется из пропорции:

откуда

Так как АЕ = 2 BD, то для определения угла А имеем уравнение: sin 2/1= = 2 sin Л sin Та Л, или cos A ^sin'V* А> Это уравнение дает: 8/а А — 90° -f А или 3/аЛ = 90°—Л. Но из первого выходит, что Л = 180°; следовательно, 9/ъА-\-4 А = 90°, откуда Л —36°.

Л. Дмитровский (Москва). X. У. (Ростов-на-Дону). А. Варанов, С. Адамович (Тула). 2/. Шуйский. (Владимир). В. Е. Азриэль (Луганск). В. и Р. Шотт (Белополье). Пав. Хайдуков (Петровск). А. Бутомо (Саратов). А. Левшук (Черемхово). Я. Хайдуков (Петровск). Е. Воскресенская (Сормово). В. Маловичко (Херсон). В. Кобылий (Галич). А. Шерстнев (Суздаль). П. Сапунов (Владимир).

42. Найти площадь равнобедренного треугольника, у которого боковая высота h и периметр 2р даны так, что отношение h к 2р максимально.

Пусть АС—основание равнобедренного треугольника, В — его вершина.

Тогда

Производная последнего выражения по переменному Л после упрощений принимает вид:

так что для определения угла Л получаем уравнение:

откуда cos А=--, причем знак минус перед радикалом, очевидно, должен быть отброшен. Далее находим:

и площадь треугольника равна

А. Дмитровский (Москва). Д. Варанов (Тула). Д. Польшин (Москва). В. и Пав. Хайдуков (Петровск). А. Бутомо (Саратов). Е. Воскресенская (Сормово). Б Кобылин (Галич).

43. Показать, что

Умножив каждый член левой части на sin напишем следующие три равенства:

Если теперь сложим эти равенства, то получим:

откуда

2-е решение. Так как

то, применяя тождество:

(см. „Математическое образование", № 3, 1930 г.), при & = 3 получим:

А. В., А. А. Дмитровский (Москва). А. Баранов, С. Адамович (Тула). Д. Польшин (Москва)

ОГИЗ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО „УЧГИЗ"

ОТКРЫТА ПОДПИСКА НА 1931 год НА ЖУРНАЛЫ

КОММУНИСТИЧЕСКОЕ ПРОСВЕЩЕНИЕ

Руководящий боевой политический журнал Наркомпроса РСФСР

24- номера в год

Рассчитан на широкие просвещенские массы, на активных строителей социалистической культуры и на работников партийных, комсомольских и профсоюзных организаций, ведущих работу в области народного образования и культурного строительства

ПОДПИСНАЯ ЦЕНА:

на год—5 руб., 6 месяцев—2 руб. 50 коп., 3 месяца—1 руб. 25 коп.

УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ КНИГА

Библиографический журнал

Дает возможность работникам просвещения критически ориентироваться среди имеющихся учебников и педагогич. литературы и служит руководством по вопросу методики работы с учебной книгой

Необходимое пособие для городских школьных библиотек в школ всех ступеней

ПОДПИСНАЯ ЦЕНА:

на год — 2 руб., 6 месяцев — 1 руб., 3 мееяца— 50 коп.

ПОДПИСКА ПРИНИМАЕТСЯ Периодсектором ОГИЗ1*, (Москва, центр, Ильинка, 3), во всех отделениях, магазинах в киосках КНИГОЦЕНТРА ОГИЗ в на почте.

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО „УЧГИЗ"

ОТКРЫТА ПОДПИСКА НА 1931 год НА ЖУРНАЛЫ

ФИЗИКА, ХИМИЯ. МАТЕМАТИКА и ТЕХНИКА В ТРУДОВОЙ ШКОЛЕ МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

8 НОМЕРОВ В ГОД

Рассчитан на преподавателей математики, физики, химии, техники и труда школ И ступени и школ повышенного типа

ПОДПИСНАЯ ЦЕНА; На год—7 р.; 6 месяцев—3 р. 50 к.

НА ПУТЯХ К НОВОЙ ШКОЛЕ

12 НОМЕРОВ В ГОД

Задачи журнала: всестороннее освещение основ марксистской педагогики, борьба за марксистско-ленинскую линию на фронте народного просвещения, борьба против оппортунистической терпимости к буржуазным взглядам в области педагогики и борьба с право-„левацкими" загибами всякого рода.

Журнал рассчитан на работников школ, педтехникумов, вузов, на аспирантов, а также на студенчество, на парт, и культ-работников, интересующихся вопросами педагогики.

ПОДПИСНАЯ ЦЕНА: На год—6 р. 50 к. на 6 м.—3 р. 25 к.

отдельный номер—65 к.

ПОДПИСКА ПРИНИМАЕТСЯ Периодсектором Книгоцентра ОГИЗ'а (Москва, центр, Ильинка, 3), во всех отделениях, магазинах и киосках КНИГОЦЕНТРА ОГИЗ и на почте.