МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

№ 6

1930

ИЗДАНИЕ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Д. Синцов—А. В. Васильев как педагог и популяризатор .... 177

Л. Лодыженский.— О тригонометрических уравнениях ...... 185

Г. Ключарев — Об одной теореме геометрии треугольника .... 190

Г. Боев.— О биноме Ньютона с дробным и отрицательным показателем .......................... 192

М. Черняев.— Об одной формуле геометрии треугольника . . . 194

И. Тихонов.— Заметка о простых числах............ 196

С. Зетель.—О свойстве прямых, проходящих через центр круга, вписанного в многоугольник . .............. 197

Задачи............................. 200

Решения задач......................... 201

SOMMAIRE

D. Sintzow.—A. Uassiliev comme pédagogue et vulgarisateur. L. Lodygenski.—Suv les équations trigonométriques. G. Кlioutcharev.—Sur un théorème de la géométrie du triangle. G. Boév.—Sur le binôme à exposant fractionnaire et négatif. M. Tcherniaïev.— Un théorème de la géométrie du triangle. N. Tikhonov.—Notice sur les nombres premiers. S. Zetel.—Propriétés des droites qui passent par le centre du cercle inscrit dans polygon. Problèmes. Solutions de problèmes.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

№ 6

ЖУРНАЛ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

1930 г.

А. В. Васильев.

АЛЕКСАНДР ВАСИЛЬЕВИЧ ВАСИЛЬЕВ КАК ПЕДАГОГ И ПОПУЛЯРИЗАТОР.

Д. Синцов (Харьков).

(Доклад, читанный ни заседании, посвященном памяти А. В. ВАСИЛЬЕВА. 25/1 1930 г.).

Многостороннюю деятельннсть А. В. Васильева трудно осветить полностью одному человеку, и в то же время различные стороны его деятельности, обнимающие более полувека, настолько тесно переплетаются между собой, что трудно, говоря об одной, обойти молчанием другие. Поэтому, приняв на себя задачу остановиться на деятельности А. В. Васильева как педагога и популяризатора науки, я не могу не коснуться хотя немногими штрихами его общественной и научной деятельности.

Мне довелось быть довольно близким к Александру Васильевичу за годы моего студенчества и приват-доцентства в Казани (1886—1899 гг.). Сначала ученик, потом помощник А. В. в его работе по Физико-математическому обществу

и по чествованию Н. И. Лобачевского в 1893 г., в 1899 я покинул Казань, но дружеские связи не прекращались, шла деятельная первые годы переписка, потом несколько ослабевшая. Среди членов Моск. научно-педагогического кружка есть лица, близко знавшие покойного в последний, московский период его жизни. Боюсь поэтому, что именно за последние годы мой очерк будет неполным.

I. Общественная деятельность А. В. Васильева по народному образованию.

Сын известного синолога, ак. В. П. Васильева, и внук по матери казанского астронома И М. Симонова, А. В. Васильев родился в Казани, но вырос и воспитывался в Петербурге. Ученик П. Л. Чебышева, он воспринял традиции петербургской математической школы. Студенческие годы А. В. (1870—73 гг.) были очень тихими в Петербургском университете, и А. В. серьезно и исключительно занимался наукою. Он вспоминал потом, что, по его предложению, на одной из студенческих сходок было принято постановление добиваться, чтобы Академия наук издала собрание сочинений М. В. Остроградского.

По окончании курса со степенью кандидата в 1874 г. А. В. мечтал одно время отправиться в Японию инструктором или ехать для научных занятий за границу. Но, получив приглашение читать лекции по чистой математике в Казанском университете, увлекаемый желанием перейти скорее к фактической деятельности, А. В. отправляется в свой родной город. В нем сказался семидесятник с его стремлением итти в народ. И это было не только мечтанием юноши-студента. Считая долгом каждого образованного человека по мере сил содействовать культурному прогрессу страны, А. В не находил возможным ограничиваться сферою специально научных занятий и при первой возможности (в 1880 г.) принимает участие в земской деятельности и в первый раз избирается в гласные свияжского уездного земского собрания на крестьянском избирательном съезде. Свияжское собрание избирает А. В губернским гласным, и с 1880 г. по 1889 г. он все свое свободное от исполнения профессорских обязанностей время отдает земской деятельности, обращая особое внимание на вопросы народного образования и вопросы экономические. В течение шести лет (1883—1889 гг.) А. В—член от земства в свияжском училищном совете. Первою целью А. В. поставил себе увеличить число школ в уезде, чтобы сделать школу доступною населению. При нем числа школ в уезде увеличилось с 43 до 90 и число учащихся от 1692 до 3100. Свияжский уезд занял в этом отношении одно из первых мест в России (1 школа на 920 жителей и 1 ученик на 28 жителей). Отметим также введенное в свияжском земстве премирование учителей за оканчивающих экзамены,—мера, увеличивавшая вознаграждение тружеников учителей народных школ, работавших в чрезвычайно тяжелых условиях. Обращает А. В. внимание и на другие вопросы школьного дела: улучшение школьных помещений, школьные сады, устройство повторительных курсов для окончивших школу, устройство четвертого отделения, организация складов для продажи книг и т. д.

В губернском земском собрании А. В. принимает участие во всех комиссиях по народному образованию, и ряд принятых Казанским губернским земством мер вызваны к жизни инициативою А. В.: устройство воскресно-повторительных классов, образование образцовых волостных училищных библиотек и фонда для выдачи ссуд на постройку училищных зданий; в числе мероприятий экономического характера—решение приступить к изучению экономического положения селений, обремененных продовольственным долгом, и организация для этого статистического бюро, закончившего в 1893 г. издание „Материалов для оценки земельных угодий Казанской губернии", заключавших и экономическое описание губернии; далее—учреждение особой комиссии для изучения причин экономического упадка населения и выяснения мер к его поднятию; комиссия эта, членом которой был и А. В., доля на была при беспристрастном отношении к делу на первый план поставить вопрос о расширении крестьянского землевла-

дения и потому с особенным вниманием отнеслась к вопросу о крестьянском земельном банке и организации переселений. Но доклад, составленный в таком направлении, не соответствовал интересам господствующей помещичьей партии, и рассмотрение его было отложено, а через год А. В., только что начавший деятельно заниматься организацией отдела народного образования на готовившейся Казанской промышленной выставке 1890 г., должен был совсем оставить земскую деятельность. Напомним, что в 1890 г. совершилось преобразование земства, сузившее пределы его компетенции и деятельности, заменившее прежнее бессословное земство сословным, с усилением помещичьего, в большинстве крепостнического элемента и усилившее административную опеку. Доклад комиссии так и остался без рассмотрения. Отличавший всегда А. В. интерес к вопросам экономики проявился в это время его деятельным участием в разработке вопроса о страховании посевов на основании материалов, собранных Грассом и обработанных известным статистиком Н. Ф. Анненским. Значение участия А. В. в этом капитальном труде Грасс оценил, разделив с ним и с Н. Ф. Анненским полученную им Самаринскую премию Академии наук. При первой представившейся возможности А. В. возобновляет свою земскую деятельность. В голодный 1899 г. мы видим А. В. во главе организованного им кружка помощи голодающему населению Казанской губернии. Число столовых, открытых членами комиссии (к которой примкнул кружок), превысило 300; в распоряжение самого А. В. поступило 3591 р. 75 к., которые были им израсходованы преимущественно в Свияжском уезде среди как русского, так и татарского населения. (См. напечатанный им отчет проф. А. В. Васильева по помощи пострадавшим от неурожая в Казанской губ.) И здесь не обошлось без вмешательства губернской администрации, ставившей препоны и в конце концов запретившей дальнейшую деятельность. Приблизительно к этому же времени относится записка А. В по вопросу об учреждении при казанском губернском земском собрании особого органа для обсуждения вопросов по народному образованию (Каз, 8°, 16 стр., 1901.)

С учреждением Государа венного совета А В. Васильев избирается в него от академической курии и переезжает в Петербург. В Государственном совете его деятельность та же сосредоточилась главным образом в области вопросов народного образования.

Позднее А В. принимает деятельное участие и в казанском городском самоуправлении, главным образом также по вопросам народного образования, но эта сторона общественной работы А В. вышла из моего поля зрения

Литературными проявлениями интереса А. В. к вопросам экономики и его широкой осведомленности в этих вопросах являются статьи его: ,.К истории землевладения в Свияжском уезде изд Общ. арх.. ист. и этн. XII, 1895 г., 11 стр.), „Прогрессивный подоходньй налог 1812 г и падение Сперанского" (сообщение в заседании секции Русского исторического общества 30/111 1916 г., „Голос минувшего", 1916 г.).

II. А. В. Васильев как университетский преподаватель.

К преподавательской деятельности А. В. приступил очень рано—сейчас же по окончании университета и ему сразу пришлось взять на себя чтение ряда обязательных курсов. К 1886 г. когда я вошел в число слушателей А. В., он имел за собою уже 12-летний опыт преподавателя. В эти годы происходило изменение преподавания в связи с введением устава 1884 г. Происходило при этом значительное сокращение преподавания. Из обязательных курсов некоторые выпали. Так, при мне уже не читался курс теории деления круга, ранее литографированный, курс высшей алгебры (теория подстановок и алгебраического решения уравнений перешли в дополнительные). Основные курсы, которые читал А. В. в мое время были: введение в анализ, диференциальное исчисление, геометрические приложения диференциального исчисления, итерирование диференци-

алъных уравнений, исчисление конечных разностей, теория вероятностей, теория чисел (теория квадратичных форм).

Хотя А. В. вообще относился к преподаванию с увлечением и лекции читались им всегда с большим увлечением и темпераментом, любимым курсом его был курс „Введения в анализ", в состав которого входили начала теоретической арифметики, развитие понятия о числе, теория чисел, кончая законом взаимности, теория комплексных чисел и теория пределов. С любовью разрабатывая свой курс и пополняя его новыми отделами, именно его прежде всего он издал в двух выпусках, из которых в первом излагается учение о целом положительном числе, во втором—развитие понятия о числе. А. В. сумел дойти до понятия о трансфинитных числах (знакомя с ним в духе Бореля, в связи с теорией роста функций). Выдержавшие несколько изданий, оба эти выпуска получили широкое распространение среди математиков всего Союза и имеют большое значение для развития математических представлений будущего преподавателя математики и заставляют желать скорейшего их переиздания. От введения в анализ мы переходили под руководством А. В. к диференциальному исчислению. В мое время А. В. предпосылал ему обширное введение—учение о бесконечно малых в духе Дюгамеля.

Курс этот был только литографирован в мое время, так же как и следовавший за ним курс геометрических приложений диференциального исчисления. Последний курс (я не имею его сейчас под руками и говорю на основании сохранившихся записок) был довольно обширен,—в теории поверхностей А. В. вводил криволинейные координаты и доходил до понятий о наложении поверхностей и теоремы Дюпена.

В мое время А. В. читал нам также курс интегрирования диференциальных уравнений, базируясь на только что вышедшем тогда курсе С. Jordan'a. Не ограничиваясь областью вещественного переменного, доказательство существования интеграла А. В. давал и для комплексной области и давал понятие о связи интегрирующего множителя с бесконечно малым преобразованием. Курс этот, кажется, литографирован не был.

Издан был литографским способом другой курс—теории вероятностей, со введением исчисления конечных разностей,—курс, построенный по философским основаниям, на почве позитивизма, но, высказываясь сторонником принципа детерминизма, А. В. умело доказывал (в противоположность О. Конту) законченность и возможность теории вероятностей.

Можно только пожалеть, что этот курс не был издан, как курсы диференциального исчисления и диференциальной геометрии.

Но университетом не исчерпывалась преподавательская деятельность А. В., не поглощалась его преподавательская энергия. Горячий поборник высшего женского образования, он был в Казани одним из главнейших организаторов и работников Высших женских курсов, устроенных кружком профессоров и нашедших себе приют в зданиях университета. По переезде в С.-Петербург А. В. входит в число преподавателей университета, сначала в качестве приват-доцента, на Бестужевские высшие женские курсы и в Педагогической академии. В последней А. В. читал курс „Обзор важнейших вопросов философии математики", объявленный им на 1908/09 и затем на 1909/10 академические годы.

Характерной чертой преподавательской деятельности было то, что А. В., стремился дать общее философское освещение изучаемой дисциплины и тем дать представление о необходимости ее изучения,—это старание должно было вызвать и выявить активность слушателей. Поэтому А. В. всегда давал на лекциях массу задач и упражнений по курсу для домашнего решения, и даже по такому курсу, как введение в анализ, число предлагаемых А. В. задач превышало сотню. А. В. поощрял представление этих задач, беседовал по поводу их со студентами, привлекал их на свои „пятницы", и тем устанавливалось столь важное общение преподавателя со студентами, особенно важное для математиков, не имеющих лабораторных за-

нятий, естественным образом приводящим к такому общению. И особенно это было ценно в А. В. в то глухое время, когда Устав 1884 г., уничтожая университетскую автономию Устава 1863 г., рассматривал профессоров и студентов как отдельных посетителей университета. И я уверен, что каждый из тех, кто был тогда в Казанском университете, с благодарностью вспоминал эти „пятницы" и то влияние, которое они оказали на его научное развитие. И это сближение давало возможность выявить более способных и вызвать в них интерес к занятиям наукой. Так постоянное общение с таким живым, полным заразительной кипучей энергией человеком разрешало вопрос о кадрах, и немноголюдный Казанский университет за короткое время выдвинул ряд лиц, ставших потом преподавателями математических наук во всех концах России.

III. А. В. Васильев как публичный лектор-популяризатор.

Одно преподавание в высшей школе не удовлетворяло и не могло удовлетворить А. В. при живости в нем чувства обязанности каждого образованного человека в России отдавать свои знания широким массам. И свой организаторский талант он проявляет, устраивая в 1895 г. в стенах Казанского университета лекции по физико-математическим наукам. Эти лекции, спроектированные по типу University Extension из цикла отдельных курсов, превзошли ожидания устроителей,—обширный актовый зал Казанского университета оказался переполненным1. На следующий год физ.-м. о-во снова организовало такие курсы. Памятью этих курсов остались „Конспекты публичных лекций", устроенных Казанским ф.-м. об-вом весною 1895 г.

Сам А. В. не раз выступал с публичными лекциями; блестящий лектор, он умел находить и в области своей специальности темы, имеющие общий интерес. Таковы в мое время его лекции: „Законы случайных явлений" (напечатанная потом в „Вестнике Европы"), „О математическом и нравственном ожидании", „О женщине-математике в древности — Ипатии" (читано в пользу комиссии помощи голодающим). За позднейшие годы у меня, к сожалению, нет данных. Но пополнением можно считать многочисленные доклады А. В. в Казанском физико-математическом обществе, им созданном и теперь приближающемся к 50-летию своего существования.

В 1880 г. вместе с несколькими другими молодыми профессорами и преподавателями Казанского университета А. В. задумал создать математический кружок, который мог бы поддерживать в своих членах любовь к занятиям математикой и содействовал распространению физико-математических знаний в местном крае. Не решаясь выступить с самого начала в качестве самостоятельного общества, организаторы примкнули к Обществу естествоиспытателей при Казанском университете, образовав в нем особую секцию физико-математических наук и избрав своим председателем известного ученого, астронома М. А. Ковальского. После смерти Ковальского в 1884 г. А. В., выбираемый до того времени товарищем председателя секции, был избран и с тех пор продолжал неизменно избираться председателем. „Протоколы заседаний секции физико-математических наук о-ва естествоиспытателей при Казанском университете", которых за 10 лет существования секции вышло 8 томов, дают картину энергичной деятельности председателя, являющегося и наиболее деятельным членом секции.

Он читает ряд докладов:

„О возможном влиянии Гаусса на развитие идей Лобачевского".

„О Конте".

1 В ч. VII т. I Изв. Каз. ф.-м. о-ва 1897 г. отпечатаны проекты распределений лекций на публичных курсах А. В. Васильева и параллельно В. Л. Некрасова— конспекты публичных лекций 1895 г., см. т. V, п. 2, 1896 г. в т. VI, п 2.

„Памяти M. А. Ковальского".

„По поводу юбилея Буняковского".

„Сообщение о рукописи элементарной алгебры Лобачевского".

„Роль профессора Вейерштрасса в современном развитии математики".

„Некролог Мельникова" (проф. математики Казанского ун-та, ученик Лобачевского").

„О заслугах Д. Ю. Давидова".

Здесь мы видим первые проявления того интереса к деятельности и заслугам Н. И. Лобачевского, который занимает А. В. в последующий период его работы и становится делом его жизни.

В 1890 г. окрепшая за 10 лет существования секция реорганизовалась в самостоятельное физико-математическое общество, во главе которого естественным образом становится А. В. Васильев. При открытии общества на первом заседании 28 X 1890 г. А В Васильев произносит блестящую речь -„Из истории и философии понятия о целом положительном числе", которой и открывается 1-й выпуск I тома „Известий общества". С тех пор общество выпустило, кончая 1925 г., 28 томов своих „Известий". Просматривая первые томы этих „Известий" и протоколы заседаний, встречаешь доклады А. В. Васильева, отзывавшиеся на важные события математической жизни, и освещение их. Вот для образца список за первые годы:

„Об ученых заслугах Кронеккера".

„О Б. Больцано и его „Парадоксах бесконечного".

„Об иезуите Саккери (итальянском предшественнике Лобачевского).

„Об ученых трудах Лобачевского по алгебре и анализу".

„О геометрии многих измерений".

„О взглядах О. Конта на чистую математику (по поводу столетия со дня рождения).

„Университет и преподавание математики в средней школе". „Новая работа по вопросу об основаниях геометрии" (Hilbert'а).

Но этот перечень дает только неполное представление о деятельности А. В., главное внимание и энергия которого были устремлены на увековечение памяти Н. И. Лобачевского и на популяризацию его имени и его заслуг в России и за границей.

IV. А. В. Васильев как популяризатор идей и заслуг Н. И. Лобачевского.

Известно, как мало был оценен при жизни наш знаменитый соотечественник, с каким трудом пробивали себе путь и его идеи и как мало встречал он поддержки в среде коллег и даже в ученом мире. Тем выше, конечно, должны мы ценить настойчивость, с какой он снова и снова обрабатывает свою тему. Но только Гаусс оценил его работы, и опубликование переписки Гаусса с Шумахером раскрыло глаза западным ученым на значение Лобачевского, а перевод Houel'ем переписки и самих „Geometrische Untersuchungen" обратил внимание на Лобачевского и в странах романского мира. Но все же оценка, и притом далеко неполная, Лобачевского оставалась ограниченною узким кругом специалистов.

Если теперь имя Н. И. Лобачевского пользуется такою широкою славою, то этим мы обязаны именно А. В. Васильеву. Он вместе с О. М. Суворовым осуществили в 80-х годах издание геометрических сочинений Лобачевского. А. В. Васильеву пришла счастливая идея открыть международную подписку для увековечения 100-летия со дня рождения Н. И. Лобачевского Был организован комитет по организации чествования под председательством А. В., и началась кипучая работа. В результате был собран капитал для выдачи премии и в заключение поставлен памятник-бюст перед университетом, который прославил и где работал Н. И. Лоба-

чевский. Памятны дни этого чествования в 1894 г. Памятны речи, произнесенные А. В. Васильевым в эти дни. Но не всем известна та громадная закулисная работа, которая выполнена была А. В. Васильевым; сколько было одной переписки со всеми членами организационного комитета!

К открытию памятника было приурочено издание сборника статей, присланных иностранными учеными, и первые присуждения премии имени Н. И. Лобачевского связались с именами S. Lie, Hilbert'a, получившими первые премии, и Ф. Клейна и H. Poincaré, дававшими отзывы и получившими за рецензии медали имени Н. И. Лобачевского.

И после организации юбилейных торжеств А. В. продолжает работать над изучением трудов и жизни Н. И. Лобачевского и связанных с ним вопросов. Достаточно назвать его речь и статьи, посвященные Н. И. Лобачевскому, сверх тех, которые мы уже назвали выше:

„Николай Иванович Лобачевский" (речь на торжественном собрании Казанск. унив. 22 X 1893 г.). Речь эта была переведена на немецкий язык T. Engel'ем, а также на испанский, английский и др. языки.

„Значение Н. И. Лобачевского для Казанского университета" (речь, произнесенная в день открытия памятника Н. И Лобачевскому 1 XI 1896 г.).

„Lobachevsky as algebraist and analyst", Bull. Math. American Society.

„Пространство и движение". 1900 г.

А организованное Казанским ф.-м. обществом чествование нашло широкий отклик в России и за границей. Во всех русских научных центрах были организованы заседания в честь Н. И. Лобачевского и произнесены соответствующие речи и напечатаны статьи: в Москве Л. К. Лахтиным, в СПБ Д. П. Долбнею, в Киеве Н. П. Соколовым, в Тифлисе Пламеневским, в Харькове А. П. Грузинцевым (биография) и К. А. Андреевым (оценка научных заслуг), не говоря о научных статьях и заметках.

И в дальнейшем А. В. не перестает заниматься Лобачевским. Он ведет переписку с Ф. Энгель, изучившим русский язык, чтобы переводить Лобачевского; издает „Элементарную геометрию" Лобачевского, найденную Н. П. Загоскиным. Когда ГИЗ решил издавать полное собрание сочинений Н. И. Лобачевского, А. В. принял в этом деле деятельное участие.

V. А. В. как посредник между Россией и Западом.

Как и в отношении Лобачевского, А. В. выступал в двойной роли: распространителя математических знаний в России и ознакомителя иностранцев с работами русских ученых в области математических наук. В течение ряда лет он реферирует работы русских математиков в „Jahrbuch üb. d. Fortschritte d. Mathematik", пишет для „Bolletino di bibliografia e storia della scienze mathematiche" очерк научной деятельности П. Л. Чебышева— „Р. Tchebychef et son oeuvre" (56 стр.), переводит и посылает на международный съезд в Чикаго работы О. Первушина, занимающегося исследованием в области теории простых чисел.

Еще больше сделано А. В. в области ознакомления русских с новыми или классическими вещами западной науки, начиная с брошюры 1878 г. „Об особенных решениях в связи с новыми взглядами на задачу интегрирования диференциальных уравнений 2-го порядка", представляющую расширенный ответ („Записки Каз. ун.") на магистерском экзамене, в которой А. В. знакомил с составлявшими в тот момент новость работами, которые содержали весьма важную и многообразную теорию коннексов, только что набросанную Клейном. А. В. стремится в своих чисто научных работах знакомить с новейшими достижениями западной математики. Это сказалось и в выборе темы магистерской диссертации—„О функциях рациональных, аналогичных двояко-периодическим", где автор знакомит с составлявшей тогда новость теорией аутоморфных функций.

По поводу всех выдающихся событий в математическом мире Запада А. В. делает соответствующие доклады и пишет статьи о Вейерштрассе, Кронекере, переводит речь Эрмита о Вейерштрассе и т. д.

Из его доклада „На открытие Казан, ф.-м. о-ва" вырастает известная всем книга „Целое число", выдержавшая уже два издания.

Стремясь сделать доступными для более широкого круга лиц, интересующихся математикой, — и в первую голову преподавателей математики, — классические произведения по основам математики, он сам переводит классические мемуары Гельмгольца и Кронекера, а его ученики переводят под его редакцией мемуары Дедекинда, Вейерштрасса, — „О Лудольфовом числе",— к которому А. В. пишет обширный исторический комментарий к юбилею Лобачевского, издает сборник „Об основаниях геометрии" с классическими мемуарами Гаусса, Римана, Бельтрами, в котором сам переводит мемуары Гельмгольца, поручает перевести Эрлангенскую программу Ф. Клейна, его же лекции по избранным вопросам элементарной геометрии, которые и издает Казанское физико-математическое общество; в дальнейшем осуществляет сборник „Об основаниях арифметики" и Ганкеля „Лекции по теории комплексных чисел" и пр.

По приезде в Петербург А. В. принимает на себя редакторство сборников „Новые идеи в математике", в двух выпусках которых дана целая библиотека мемуаров по философским принципам математики.

В последние годы деятельность А. В. в этом отношении расширяется и углубляется.

В юбилейный том Казанского физ.-мат. общества он дает общий очерк развития математики, взяв за основу составленную для словаря Граната статью о математике и давая к ней впятеро превышающие ее примечания. Если одним из первых трудов А. В. по истории математики была его вступительная статья к переводу Papeliier, где он дал блестящий очерк подготовки анализа бесконечно малых, то в этой статье он дает очерк развития общих математических идей. В академическом издании „Русская наука" А. В. пишет отдел математики.

Увлекаясь новыми идеями Эйнштейна, А. В. пишет замечательно интересную книгу „Пространство, время и движение", переведенную вскоре на английский язык. Наконец, почти как лебединая песнь, звучит речь А. В. на его юбилее в Моск. матем. кружке, напечатанная в „Математическом образовании",— „Математика за последние 50 лет".

Широко образованный человек западного склада, А. В. в своих частых поездках за границу приобрел широкий круг знакомств среди западных математиков. Поэтому, работая на пользу родной страны, он всегда оставался европейцем и всем своим научным предприятиям умел придавать международный масштаб.

Это умение дать международный масштаб, не смущаясь трудностями, сделало А. В. Васильева инициатором и еще в одной области, что большинству математиков менее известно. Ободренный, как мне теперь думается, успехом создания Международного комитета Лобачевского, А. В. Васильев задумал создать международные математические съезды и вместе с Laisant'oм и G. Cantor'oм явился инициатором этого дела. Первый съезд состоялся в Цюрихе в 1896 г.

Через два года междунар. мат. съезд снова соберется в Цюрихе. Но А. В. Васильеву уже не суждено было до него дожить. И как больно было ему, что ему не удалось попасть на первый после войны действительно международный съезд в Болонье. Давно уже порываясь снова побывать за границей, как он часто ездил туда раньше, он особенно был огорчен тем, что ему не удалось присутствовать при возрождении его детища, и горько жаловался мне на это в одном из своих последних писем от 3/1 1929 г.

О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ В КУРСЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ.

Л. Н. Лодыженский (Иваново-Вознесенск).

(Доклад, читанный в заседании физико-математической предметной комиссии Тульского рабфака 23/11—1928 г.).

1. Предмет доклада:

а) общее определение тригонометрических уравнений,

б) определение круга тех уравнений, которые изучаются в элементарной математике,

в) указание некоторых определенных видов уравнений, которые следует изучать в средней школе и в частности в рабфаке.

В своем докладе я ограничиваюсь вышеуказанными вопросами, менее других разработанными и выясненными в учебной литературе, намеренно не останавливаясь на других вопросах, может быть и не менее важных (как потеря и приобретение корней, искусственные способы решения, методический подбор материала), но лучше освещенных в литературе.

Во многих старых учебниках ничего не говорится о тригонометрических уравнениях, например, в классическом курсе Serret1, в обширном учебнике Пржевальского2 и в сжатом, но очень хорошем руководстве Тиме3. В последних двух книгах к курсам приложены сборники задач, в которых есть не мало тригонометрических уравнений, но теория их не излагается. Также умалчивает о тригонометрических уравнениях учебник Hessenberg'a4 из Sammlung Göschen. В более новых книгах имеется глава о тригонометрических уравнениях.

Определение тригонометрических уравнений дается авторами почти одинаково.

„Тригонометрическими называются уравнения, которые заключают неизвестные величины под знаком круговых функций" (Борель)5 или если неизвестное является аргументом или входит в состав аргумента тригонометрической функции" (Рыбкин)6.

При анализе этого определения мне придется отдельно говорить об уравнениях с одним и уравнениях с несколькими неизвестными.

2. Уравнение с одним неизвестным.

Это определение, очень общее, вызывает сейчас же вопрос: может ли неизвестное входить также под знаком другой функции? Немногие авторы останавливаются на этом естественном вопросе и разделяют уравнения на два класса:

1) содержащие неизвестные только под знаком тригонометрических функций и 2) содержащие неизвестные также и под знаками других функций (Борель7 и за ним Виноградов, Глазенап8). Далее, они называют уравнения 2-го класса существенно трансцендентными (т.-е. не приводящимися к алгебраическим) и ограничиваются 1-м классом.

Затем возникает вопрос, как неизвестное входит под знаком тригонометрических функций, иначе говоря, как выражаются аргументы тригонометрической

1 Traité de trigonométrie, 8-me éd., 1900. Paris.

2 Прямолинейная тригонометрия, изд. 1-е, M., 1873.

3 Плоская тригонометрия, СПБ, 1881.

4 Ebene und sphärische Trigonometrie, Leipzig, 1904, 2 Auflage.

5 Тригонометрия, русский перевод под ред. H. H. Салтыкова. M., 1909 г., стр. 168.

6 Прямолинейная тригонометрия, вып 2-й, изд. 1-е, M., 1905 г., стр. 1.

7 Киких- не указывается. В элементарных сочинениях допускаются только линейные функции неизвестной, в задачниках по высшей математике вводятся и другие элементарные функции.

8 Тригонометрия, ч. II—Гониометрия, изд. 3-е, 1922 г.

функции через неизвестное. Об этом авторы молчат (кроме Бореля), но из приводимых ими уравнений ясно, что аргументы могут быть только линейными функциями неизвестного: ахЛ-Ь— есть самый общий вид аргумента1.

Примеры уравнений существенно трансцендентных вместе с подробными численными их решениями приводят Глазенап2, Hammer3, Spitz4. Первый рассматривает уравнение Кеплера, которое он решает способом последовательных приближений. Второй берет уравнение вида x—s\nx~a получаемое при решении задачи об определении центрального утла кругового сегмента по данной площади и радиусу, и решает его способом ложного допущения. Наконец, третий решает тремя способами уравнение sinx — kx.

Но этого мало Надо еще указать, какими из уравнений, содержащих только тригонометрические функции неизвестных, будет заниматься тригонометрия. И здесь наиболее точен Борель. „Мы ограничимся,— говорит он,—рассмотрением только таких тригонометрических уравнений, которые приводятся к виду алгебраических, если принять за новые неизвестные величины круговые функции неизвестных величин, входящих в данные тригонометрического уравнения"5. Как видно, он говорит здесь об уравнениях с любым числом неизвестных. И дальше в виде примера формулирует вид некоторого уравнения с одной неизвестной х, которая зависит алгебраически от круговых функций дуг olxx2, а2х, апх, где числа аи а2, ан соизмеримы с числом а, т.-е. аг. — тр., где mt—целое число6. Если еще прибавить к аргументам постоянное слагаемое, заменив агл; через aix~\~?i1^7, то полученное уравнение обнимает собою все виды уравнений, встречаемых в учебниках. (В последних все а,.—рациональны.)

Кроме Бореля, ни один из известных мне авторов не указывает, что аргументы функций должны быть линейными относительно неизвестной дуги. Из других авторов говорят о том, что изучаемые в курсе уравнения должны приводиться к алгебраическим, Bourlet и Глазенап8, но до гют это не вполне ясно. Например, Bourltt говорит об „обыкновенных" уравнениях вместо алгебраических. А главное, они не рассматривают условий, при которых это приведение возможно. Bourlet характеризует общую методу словами: ..выражают все неизвестные тригонометрических функций посредством одной из них и тогда получают обыкновенное (т.-е алгебраическое) уравнение с одной неизвестной..." Он указывает только один вполне определенный вид уравнения, приводимого к алгебраическому,—это уравнение, в котором аргументы всех функций равны х9.

Примечание. Слова Бореля, приведенные в начале 6 5 (стр 2) можно бы принять за определение тригонометрических уравнений в элементарном курсе математики. Но за этим определением встает трудный вопрос: когда тригонометрическое уравнение можно привести к алгебраическому? Я не знаю общего ответа на него. равда, можно сказать, что, если тригонометрическое уравнение имеет вид f (х =0, где f (х) однозначная функция с одним периодом w, не имеющая существенно особых точек в конечной части плоскости, то, согласно известной теореме теории функций (см. например, Оsgооd, Lehrbuch der Functionentheorie, 4-te Aufl., 1923, В. I, S. 466), f(x) выражается рационально через tg — и следовательно приводится к алгебраической подстановке tg — = t.

1 В высшей математике дело обстоит иначе: например, в интегралах Френеля подъинтегральная функция есть sin ж2 или cos ж2.

2 Ч. II, стр. 105, 100.

3 95, 96.

4 Lehrbuch der elementaren Trigonometrie, 6 Aufl., Leipzig, 1888, S 82- 86.

5 Тригонометрия, стр. 168, 169. Ср. также R. Baltzer D., Elemente der Mathematik, 6 Aufl., Band I, S. 2o2.

6 Стр. 169. Дальше уравнение приводится к алгебраическому относительно tg Но, конечно, можно его привести к алгебраическому урав ению относительно sin ах или cos ах.

7 Это не вносит существенной разницы в преобразования.

8 Глазенап, там же, стр 91. Я не упоминаю о вино1радове, который в этом пункте следует НогеГю и Bourlet.

9 Bourlet. Leçons de Trigonometrie rectiligne, 7-me éd., Paris, 1924, p. 149.

„На ряду с этой общей методой,—говорит Bourlet,—которая иногда может привести к вычислениям очень трудным и даже безвыходным, существуют специальные методы, которые зависят от формы решаемого уравнения и которые нельзя заключить в общее правило. Мы получим о них достаточное понятие из следующих примеров" (стр.150)1. Почти так же говорит и Борель (стр.169) Таким образом, оба автора смотрят на приводимые ими дальше виды уравнений как на примеры. При этом обычно главная цель приема состоит в понижении степени получаемого алгебраического уравнения. Этими вопросами я здесь заниматься не буду.

Повидимому, в настоящее время нельзя дать классификацию тригонометрических уравнений с одной неизвестной (об уравнениях с несколькими неизвестными речь будет дальше). Если выразить все функции через sinx и cosх и освободить уравнение от радикалов и дробей, то степень полученного уравнения не предрешает вопроса о степени алгебраического уравнения, к которому данное уравнение может быть сведено, и следовательно степень не может служить признаком для классификации. Так, например, уравнение 6-й степени sin6;t-j-cos6X — а сводится к квадратному уравнению, а уравнение 3-й степени cos8a:-(--j- sin8 X — а — нет.

Уравнения рассматриваемого вида приводятся посредством подстановки smx = uy cosx=v в алгебраической системе уравнений f(u,v) = Q> и*-|-г** = 1, где функция /—целая рациональная.

Можно указать следующие виды тригонометрических уравнений, строго определенные и в то же время встречающиеся во многих учебниках.

I. f(ax -f- b) = tf {ex -f- a),

где / и <p означают или одинакие или сходные тригонометрические функции (кофункции). В задачниках b и a обычно равны нулю, а буквы а и с означают целые положительные числа.

II. Уравнение линейное относительно sinx и cosx:

a cosx-f b sin X = с.

Примечание. Из различных способов решения этого уравнения наиболее удобным со стороны вычисления является способ введения вспомогательного у» ла.

III. Уравнение второй степени с левой частью однородной относительно cos л* и sin л; и с постоянной правой частью:

a cos2 X -f- 2b cos x sin x -j- с sin? x = d.

Примечание. И для этого уравнения наиболее удобным в смысле вычисления является переход к функциям двойного аргумента и введение вспомогательного угла.

Можно указать еще на уравнение п-ом степени однородное относительно cos л: и sinx, легко приводящееся к целому алгебраическому уравнению той же степени и с теми же коэфициентами, но оно однако (у Рыбкина, ч. И, есть уравнение 4-й степени) едва ли представляет ценность.

Эти уравнения охватывают значительное число более частных видов, встречающихся в учебной литературе; так, например, 1-е уравнение включает в себя уравнение s'mx = m при а— 1, # —О, с = 0 и уравнение sin ах~т при b = 0t с = 0.

Простейшие тригонометрические уравнения вида f(x) — m, где /-одна из основных тригонометрических функций, получаются также и из линейного, когда один из коэфициентов а и b равен нулю.

1 Из приводимых им уравнений он решает уравнение sin5# = sin3œ посредством приведения к алгебраическому уравнению пятой степени относительно sin х, а также известным особенным способом.

Уравнениями, сводящимися к указанным трем видам, ограничивается например Hammer в своем обширном руководстве1, но зато он очень обстоятельно излагает способы вычисления корней, на что другие авторы обращают меньше внимания.

Примечание. Прохождение тригонометрических уравнений требует методического подбора задач иногда не по виду их, а по способу решения. Например, уравнения с одной функцией, уравнения с двумя функциями, из которых одна легко (понятие не строго определенное, но играющее большую роль в преподавании; сравни переход „от легкого к т рудному") выражается через другую и т. п. Разумеется, в числе решаемых уравнений будут и не подходящие под приведенные 3 вида.

3. Системы уравнений с несколькими неизвестными.

О системах уравнений авторы руководств говорят еще меньше, чем об уравнении с одной неизвестной. Так, например, Рыбкин не говорит о них ни в своем учебнике, ни в своем более обширном курсе „Прямолинейная тригонометрия", второй выпуск которой содержит большую (в 45 стр.) статью о тригонометрических уравнениях. Борель разбирает только примеры, т.-е. несколько важных видов. Два автора (Bourlet и Глазенап) дают определенные системы тригонометрических уравнений и хорошо ограничивают круг рассматриваемых ими уравнений. В существенном они согласны, но дополняют друг друга.

Вот сводное изложение того материала, который мы находим у них.

Оставаясь на почве общего определения тригонометрических уравнений, мы делим системы уравнений на два класса: к первому классу относим уравнения. в которые неизвестные входят только под знаком тригонометрических функций2, ко второму классу относятся системы, содержащие, на ряду с тригонометрическими функциями неизвестных величин, также и самые эти величины, точнее говоря, линейные функции их.

Если определять системы первого класса так, как это сделано выше, т.-е. предполагать, что аргументами тригонометрических функций служат сами неизвестные (подобно уравнениям с одной неизвестной, когда последняя служит аргументом всех входящих в уравнение тригонометрических функций), то можно наметить два общих способа решения: для каждого неизвестного выражают все его тригонометрические функции или через одну из них (например, sinus) или же через tangens половины этого неизвестного. Употребляя второй способ, мы получаем сразу, при отсутствии радикалов в тригонометрическом уравнении, рациональное алгебраическое уравнение.

Первый класс не трудно расширить3. Можно наметить следующий вид системы, представляющий обобщение уравнения с одной неизвестной, указанного Борелем. Как установлено раньше, в уравнения входят только тригонометрические функции. Их аргументы должны быть линейными функциями неизвестных дуг Л", у, z, ... вида atx -f bfy -\-ctz + • •.+А-

Коэфициенты при неизвестных суть или рациональные числа, в простейшем случае целые, или, общее, действительные числа, но такие, что коэфициенты при одном и том же неизвестном в разных аргументах во всех уравнениях соизмеримы между собою, т.-е.4 являются целыми кратными некоторого числа. Свободные члены р произвольны. Тогда с помощью формул сложения можно привести эту систему к системе алгебраических уравнений относительно функций, непо-

1 Lehr- und Handbuch der ebenen und sphärischen Trigonometrie, 3 Aufl., Stuttgart, 1907. S. 201—210. Есть и более новое издание.

2 Для уравнений с несколькими неизвестными, как и для уравнений с одной неизвестной, предполагается (молчаливо почти у всех авторов), что над тригонометрическими функциями неизвестных делаются только 6 арифметических действий, и притом извлечение корня очень редко.

3 Воurlеt, р. 161, говорит о системах, приводящихся к указанному типу после легких преобразований, например, если в одно из уравнений входит cos (х -f- у), то его выражают по формуле сложения.

4 Так что at, а2, аА, ... относятся как целые числа и равны соответственно ща, п2а ..., где «/-—целые числа.

средственно зависящих от новых аргументов и, v, w, .. ., входящих отдельно друг от друга с коэфициентами единица.

Эти новые аргументы суть постоянные кратные неизвестных дуг:

и = ах, V = by, w — cz, ...

Таким образом, мы получим более простую систему, рассмотренную выше. А она приводится к алгебраической.

Это уравнение охватывает, как мне кажется, все виды, рассматриваемые в элементарных сочинениях.

Эта общая метода „приводит часто к вычислениям очень трудным и иногда безвыходным. Тогда надо искать преобразование системы, которое представит ее под более удобной формой. Это преобразование вообще есть дело искусства и почти нельзя указать общего правила на этот счет"1.

Уравнения этого рода, встречающиеся в учебной литературе, не отличаются сложностью, и решаются они большей частью искусственными приемами. Как на систему, решаемую по общей методе, можно указать (Bourlet, р. 161).

a tgx-\-b tgy-\- с = 0; d\ ctg X -\- bx zX%y -\- Ci = 0.

Системы уравнений 2-го класса делятся на 2 вида. К 1-му принадлежат системы, в которых одни уравнения содержат только тригонометрические функции неизвестных, а другие уравнения содержат только самые неизвестные. Слово самые не точно, и означает, конечно, алгебраические функции неизвестных и даже, повидимому, только линейные. Ко 2-му относятся системы, в которых самые неизвестные и их тригонометрические функции входят в одни и те же уравнения2.

В этом случае нельзя указать общего процесса решения. Все зависит тогда от изобретательности вычислителя3.

Глазенап4 приводит две простые системы, линейные относительно неизвестных дуг и тригонометрических функций:

одна 1-го вида:

ах-\-Ьу — А, с sin х-\- d sin j; == р\

другая 2 го вида:

ax-\-by-\~c s\ny—pf a,iX-\- b$-\-Ci cosy=pu

и прибавляет: „ни та, ни другая система алгебраическим путем вообще не может быть решена". Далее он останавливается на частном случае системы 2-го вида когда она разрешима алгебраически. Это тот случай, когда коэфициенты дуги, служащей аргументом тригонометрических функций, равны нулю. Система имеет вид

ах -\- с sin_y = р, ахх -{- сх cosy = рх\

X легко исключается, и получается линейное уравнение относительно sinj; и cosj/.

Пример системы 2-го класса 2-го вида, разрешимой алгебраически, приводит также Baltzer5:

X sin (а —у) — а, х sin (3 —у) — Ь.

Исключив X посредством деления, получаем легко решаемое уравнение.

1 Bourlet, р. 162.

2 Точнее говоря, в которых одни и те же уравнения содержат как алгебраические линейные, так и тригонометрические функции неизвестных.

3 Bourlet, р. 165.

4 Стр. 99.

5 Die Elemente der Mathematik. В. I, S. 262.

В учебной литературе, насколько мне известно, занимаются только системами 1-го вида.

„Случай, наиболее часто встречающийся, по крайней мере, в решении треугольников, это тот, где одно уравнение дает сумму или разность двух неизвестных углов, а другое представляет некоторое соотношение между тригонометрическими функциями этих углов"1.

Я думаю, что в преподавании следует ограничиться случаями, когда второе уравнение дает результат одного из четырех арифметических действий над одинаковыми или сходными функциями различных неизвестных2. Но в задачниках часто встречаются суммы или разности квадратов синусов или косинусов.

Из систем, содержащих больше двух неизвестных, в задачниках рассматриваются только уравнения с тремя неизвестными, причем обычно одно уравнение дает сумму неизвестных (равную или тг), а другие два представляют несложные соотношения между функциями неизвестных, например sinxisinj/rsinz^ — а: b.c. В рабфаке я считаю нецелесообразным заниматься этими уравнениями.

ОБ ОДНОЙ ТЕОРЕМЕ ГЕОМЕТРИИ ТРЕУГОЛЬНИКА.

Г. Ключарев (Пенза).

1. Теорема. Прямые, соединяющие вершины какого-нибудь треугольника с противолежащими вершинами подобных равнобедренных треугольников, внешне или внутренне построенных на его сторонах, пересекаются в одной точке.

Доказательство. Построим на сторонах треугольника ABC как на основаниях (см. черт.) подобные равнобедренные треугольники СВАи АСВХ и A4 Ci. Проведем прямые ААи ВВ{ и ССг. Пусть они со сторонами треугольника ABC пересекаются в точках Д Е и F.

Так как

то

Аналогично

Перемножая по частям последние три равенства, найдем

(1)

1 Bourlet, p. 165.

2 Интересны указания Hammer'a (в цитированном сочинении, §210—212) на важнейшие для приложений системы с двумя неизвестными и численное решение их с помощью особых таблиц ^lg f~ri) •

Обозначим, как обычно, высоты треугольника ABC через ha, hb и йс. Пусть, кроме того, высоты равнобедренных треугольников, опущенные на основания, будут hj, hb' и ke'. Будем иметь:

(2)

Если теперь в равенстве (1) произведем замену площадей треугольников их значениями из равенств (2), то найдем

(3)

т.-е. отрезки, отсекаемые прямыми ААХ, ВВХ и ССХ на сторонах треугольника АБС, удовлетворяют условию обратной теоремы Чевы, что и доказывает высказанную теорему.

На чертеже равнобедренные треугольники были внешне построены на сторонах треугольника ABC— площадь их не налегала на площадь последнего; но очевидно, что доказательство будет такое же, если эти треугольники построить на сторонах основного внутренне.

Следствия.

1 ) Прямые, соединяющие середины M, N и Р сторон треугольника ABC с серединами Мх, Nx и Рх сторон треугольника АХВХСХ, пересекаются в одной точке, так как шестиугольник MPXNM PNX (на чертеже указаны лишь его вершины) является уменьшенным в два раза и дважды перевернутым изображением шестиугольника АСХВАХСВХ.

2) Треугольники ABC и АХВХСХ имеют общий центр тяжести, так как

и, следовательно, медианы треугольников пересекаются в одной точке.

2. Небезынтересно тригонометрическое доказательство теоремы. Отрезки DC, ЕА, FB, СЕ, АЕ и BD легко выразить через углы и стороны основного треугольника и угол а при основании равнобедренных треугольников. Определим, напр., отрезок DC. Замечая, что

пл. AACD + iiji. A AXCD = пл. [\АСАЬ

для определения DC получаем уравнение

откуда

(4)

Формулы для остальных отрезков составляются по аналогии. Их тоже будем называть формулами (4).

Если в этих формулах стороны треугольника ABC выразим через радиус круга описанного и синусы противолежащих углов, перемножим отрезки по три и разделим произведения, то снова придем к равенству (3), доказывающему теорему.

Известные теоремы о пересечении медиан и высот треугольника являются предельными случаями разобранной теоремы: 1) при а = 0 и 2) при а = 90°, что легко усматривается из формул (4) при подстановке в них указанных предельных значений угла а.

О БИНОМЕ НЬЮТОНА С ДРОБНЫМ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.

Г. Боев (Саратов).

Ценность бинома Ньютона в курсе школьной математики значительно понижается благодаря тому, что по традиции рассматривается лишь случай целого положительного показателя. Между тем введение дробного и отрицательного показателя в формулу бинома Ньютона требует лишь понятия о степенном ряде и доказательства сходимости этого ряда: все это легко может быть введено в курс в связи с изучением геометрической прогрессии. В настоящей заметке я покажу, каким образом весьма просто без помощи диференциального исчисления можно вывести ряд Ньютона для бинома с любым показателем.

1°. Отправным пунктом служит тождество

где С°ш=С"п =1. Если //г, // целые, то справедливость этого равенства может быть обнаружена из соображений комбинаторики. В самом деле, вообразим множество, состоящее из m элементов I рода (напр. черных шаров) и п элементов II рода (белых шаров). Будем составлять всевозможные сочетания из этих т-\-п элементов по к штук в каждом. Подсчитаем, сколько имеется сочетаний, содержащих среди своих к элементов v элементов II рода. У каждого из таких сочетаний имеется к — v элементов I рода, следовательно всего сочетаний с v данными элементами II рода имеется C*~v штук. Но v элементов II рода можно выбрать С\ способами. Таким образом всего сочетаний с v элементами будет C*~v С\ Всех же вообще сочетаний, очевидно, будет Ст * С* штук, что, с другой точки зрения, равно С*+м> и формула (1) доказана.

Доказанное равенство (1) легко проверить для какого-либо численного значения к при любых т, п. Напр. при к — 2.

Докажем теперь справедливость нашего равенства для любого целого k и любых т, п. Правая и левая часть (1) представляют собой многочлены относительно m, п степени к, равные друг другу при бесчисленном множестве значений ту п (а именно при целых и положительных), следовательно они равны тождественно.

2°. Будем теперь рассматривать ряды вида

Легко видеть, что если m — целое положительное, то ряд обрывается, и Fm (х) обращается в обычный бином (1-\-х)т. Если же m — дробное или отрицательное, то ряд Fm(x) бесконечен и сходится при |;с|<1.

Выведем правило умножения функций Fm{x). Имеем

Последнюю сумму можно записать так:

что в силу (1) при любых m, п равно

Итак

(2)

Далее, не трудно обобщить этот результат на случай нескольких сомножителей и, наконец, получить

где q — целое положительное.

Пусть теперь т = р-. Тогда из только что доказанного следует:

отсюда

Читая это равенство справа налево, мы видим, что (l-j-л:)^ разлагается в бесконечный ряд Ньютона с показателем /ю = у.

3°. Чтобы найти смысл ряда Ньютона с отрицательным показателем, положим в тождестве (2) п = — т. Получим

Отсюда

Итак (1-j-jtj- т изображается рядом Ньютона с показателем —т.

Примечание. Равенство (3) может служить для первоначального вывода формулы бинома Ньютона с целым положительным показателем. В самом деле, положим m — 1, тогда выйдет

но F) — \-\- X , итак

ОБ ОДНОЙ ФОРМУЛЕ ГЕОМЕТРИИ ТРЕУГОЛЬНИКА.

М. Черняев (Ростов-на-Дону).

Стороны треугольника ABC—ВС, CA и AB разделены соответственно в отношении X, [x и v. Точки деления a, b и с соединены с противоположными вершинами треугольника. Соединяющие прямые Аа, ВЬ и Сс образуют новый треугольник aßy.

Выразим площадь полученного треугольника в функции площади данного треугольника—S и чисел X, \ь и v. Имеем:

Введем следующие обозначения:

Так как

то

аналогично получаем:

Имеем

(1)

Так как

то

то-есть

(2)

аналогично находим еще два уравнения:

(3)

И

(4)

А так как

то можно написать

или

(5)

аналогично получаем еще два уравнения:

(6)

(7)

Из уравнений (1), (2), (3) и (4) следует

Из уравнений (5), (6) и (7) находим:

(9)

Внося выражения (9) в уравнения (2), (3) и (4), получаем систему уравнений для определения ии и2 и и3:

(10)

Разрешая систему (10), находим:

(11)

Внося выражения для ии и2 и и3 из (11) в уравнение (8) и разрешая полученное уравнение относительно х, окончательно находим:

(12)

Примеры:

то-есть три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

то-есть три высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Примечание. Формула (12) может быть рассматриваема как обобщение известного тождества Чевы.

В частном случае, когда

формула (12) принимает более простой вид:

Примеры:

то-есть три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

ЗАМЕТКА О ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ.

Н. Тихонов (Новочеркасск).

Пусть р—простое число и N—целое положительное число, которое заключено между р и р2. Если N не делится ни на одно простое число меньше р, то N само есть простое число. Действительно, если бы число N <р2 имело простой множитель, который больше /?, то оно имело бы и другой простой множитель, меньший /?, что противоречит условию.

Возьмем ряд простых чисел от 2 до р:

2, 3, 5, ... ,/7..............(1)

Пусть число всех чисел ряда (1) равно к. Расположим те же числа в каком-либо другом порядке и разобьем их на две группы:

Рассмотрим далее целое положительное число N, составленное из суммы или разности произведений целых и положительных степеней чисел обеих групп

N=Pi* /72*з .... ря *. ± qtbq£ .... qj".......(2)

Это число не делится ни на одно из простых чисел ряда 2, 3, 5, ... р. Поэтому, если N отлично от единицы, то Л/>/?, а если, кроме того, Л/< /?2, то N есть число простое.

Весьма вероятной является обратная теорема:

Если N—простое число, заключенное между р и р\ то такое число может быть выражено через простые числа 2, 3, 5, ____р по формуле (2).

Теоретическое обоснование этой теоремы, повидимому, представляет большие трудности. Приходится ограничиться эмпирической поверкой.

1) Берем числа

при помощи которых простые числа в промежутке от 3 до 9, т.-е. 5 и 7, могут быть выражены так:

5 = 32 — 22,

7=:32_2.

2) При помощи чисел

простые числа в промежутке от 5 до 23 выражаются следующим образом:

7 = 2.5 — 3, 11=5 +2 .3, 13 = 3 +2 .5, 17 = 2 4-3 .5, 19 = 22 + 3 .5, 23 = 3 4-22.5.

3) С помощью чисел ряда

2, 3, 5, 7

можем выразить все простые числа в промежутке от 7 до 49 таким образом:

11=3 .7 — 2.5, 13 = 22.7 — 3.5, 17 = 5 .7 —2.32, 19 = 72 —2.3.5, 23 = 5 .7 —22.3, 29 = 2 .7 + 3.5. 31 =2 .5 + 3.7, 37 = 7 +2.3.5, 41 =2 .3 + 5.7, 43 = 3 .5 + 22.7, 47 = 22.3 + 5.7.

4) Не трудно также убедиться составлением соответствующей таблицы, что и все простые числа, заключенные между 11 и 121, могут быть выражены через простые числа 2, 3, 5, 7, 11.

О СВОЙСТВЕ ПРЯМЫХ, ПРОХОДЯЩИХ ЧЕРЕЗ ЦЕНТР КРУГА, ВПИСАННОГО В МНОГОУГОЛЬНИК.

С. Зетель (Москва).

1. Многоугольник, в который можно вписать круг, отличается тем свойством, что биссектрисы его внутренних углов пересекаются в одной точке.

Напомним свойство прямых, проходящих через точку, взятую на биссектрисе. Пусть через точку D, взятую на биссектрисе угла ABC (рис. 1), проведена произвольная прямая, пересекающая стороны угла в точках А и С.

Проведем

Рис. 1.

Из подобия ДА/WD и Д ABC имеем:

(1)

Проведем через точку D прямую DL, пересекающую сторону угла AB в точке К и продолжение стороны ВС в точке L.

(2)

Следовательно,

(3)

Будем считать отрезки, отложенные на сторонах угла, положительными, а отрезки, отложенные за вершиной угла, на продолжении его сторон, — отрицательными (напр., BL — черт. 1). При этом условии равенство (3) можно сформулировать так: алгебраическая сумма обратных величин отрезков, отсеченных на сторонах угла произвольной прямой, проходящей через точку, взятую на биссектрисе угла, — величина для данной точки постоянная.

2 Пусть в многоугольник ABCDE можно вписать кр)г (рис. 2). Проведем через центр круга О произвольную прямую, не проходящую ни через одну из вершин многоугольника. Так как центр вписанною круга лежит в точке пер<:сечения биссектрис внутренних углов многоугольника, то на основании равенства (3) можно написать:

где г — радиус вписанного круга, а Л, В, С, D, f—внутренние углы многоугольника.

Следовательно

Итак, алгебраическая сумма обратных величин отрезков, отсеченных на сторонах многоугольника произвольной прямой, проходящей через центр круга, вписанного в многоугольник, и не проходящей ни через одну из его вершин,—величина постоянная, равная частному от деления суммы синусов внутренних углов многоугольника на радиус вписанного круга.

3. Равенство (3) для треугольника ABC (рис. 3) примет вид:

(5)

(R—радиус круга, описанного около треугольника, 2р—периметр, 5—площадь треугольника).

Следовательно, алгебраическая сумма обратных величин отрезков, отсеченных на сторонах треугольника произвольной прямой, проходящей через центр вписанного круга и не проходящей ни через одну из вершин треугольника, равна квадрату его периметра, деленному на произведение сторон треугольника.

Эта сумма, как следует из формулы (5), выражается рациональным числом, если стороны треугольника выражены рациональными числами.

Рис. 3.

4. Рассмотрим равенство (4) в предположении, что ABCDE—правильный многоугольник. Для краткости обозначим левую часть равенства (4) одной буквой Sn, где п—число сторон правильного многоугольника.

(6)

где а—сторона многоугольника. При п = 3

(7)

при п = 4

при п = Ь

Ssf S4, S6i как следует из равенств (7), (8), (9), выражаются рациональными числами, если сторона многоугольника выражена рациональным числом. Равенство (8) может быть отнесено не только к квадрату, но и к ромбу.

ЗАДАЧИ.

58. В детдоме имеется 52 шара и их хотят раздать 24 детям для игры. Как надо разделить детей на равные группы, чтобы каждая группа имела одно и то же число шаров и чтобы этих групп было возможно больше?

С. Адамович (Тула).

59. Показать, что число вида a4-f-3 может быть представлено в виде суммы трех квадратов.

Г. Соколов (Владимир).

60. Доказать, что если числа тип (целые и положительные) не взаимно-простые, то уравнение 2хш = 3уп не решается в целых числах.

И. Кастровицкий (Сталинград).

61. Решить систему уравнений:

А. Бутомо (Саратов).

62. Доказать, что прямая, соединяющая вершину прямого угла в прямоугольном треугольнике с центром квадрата, внешне построенного на гипотенузе, делит прямой угол пополам.

63. Стороны треугольника разделены в отношении т\п в круговом порядке и точки деления соединены с противоположными вершинами. Найти отношение площади треугольника, образованного проведенными прямыми, к площади основного треугольника (частный случай т\п — 2\ \).

М. Ю. (Москва).

64. Построить треугольник, зная положение вершин равносторонних треугольников, построенных внешним образом на его сторонах.

65. Вычислить длину прямой AD, проведенной из вершины А треугольника до точки на основании D так, что круги, вписанные в треугольники ABD и ACD, равны.

66. Показать, что если

то

67. Доказать, что при целом п

68. Найти приближенное значение числа

Г. Боев (Саратов).

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

25. Доказать, что если сумма двух целых положительных чисел А-\- В делится на 5, то при п, не делящемся на 5, числа An4-{-В и Вп±-\-А делятся на 5. Представив выражение Апх-\-В в виде:

Л(л*-1) + (Л + Б),

сведем решение задачи к доказательству делимости первого члена на 5. Но если п не делится на 5, то п1 — 1 есть число, кратное 5. В самом деле, мы имеем в этом случае:

или

n=5t + 2,

где /—целое число. Тогда, как легко видеть,

/*4 = 5н + 1

или

я4 = 5v +16,

где и и V ~ целые числа, так что ni — 1 делится на 5. Следовательно, числа

А(п* — + +

делятся на 5.

А. В., А. Дмитровский (Москва), Р. Шотт (Белополье), Н. Доброгай (Винница), М. Житков (Семенов), И. Чемисов (Дмитровск). В. Кобылин (Галич), В. Шнейдмюллер (Саратов). В. Сакк (Верхнеднепровск), А. Бутомо (Саратов), Е Воскресенская (Сормово», В. Красильников, В. Лебедевская (Саратов), Н. Павлинский (Днепропетровск), А. Баранов (Тула), Г. Соколов (Владимир), Н. Хайдуков (Петровск).

26. Решить уравнение:

Положив

откуда

приведем данное уравнение к виду:

или

г4 — 8*з + 24г-> — 32z -f 16 = 0.

Левая часть уравнения представляет (z — 2)4. Поэтому все корни равны между собою и равны 2. Отсюда

х=А— 5 = — 1.

А. Агамалов, А. Дмитровский (Москва), А. Левшук (Иркутск), И. Кампиони (Тула)* Р. Шотт (Белополье), Н. Доброгай (Винница), М. Житков (Семенов), В Лебедевская (Саратов), С. Гурдоюанидзе (Харьков) X. У. (Ростов-на-Дону), И. Чемисов (Дмитровск),H Шуйский (Владимир), Л.Лисковый (Винница), В. Тарабрин (Суханово), Б. Кобылин (Галич), В. Шнейдмюллер (Саратов), В Сакк (Верхнедпепровск), Е Воскресенская (Сормово), А. Бутомо (Саратов), А. Богатырев (Казань), С. Адамович (Тула), В Красильников, Н. Павлинский (Днепропетровск), А. Баранов (Тула), Н. Хайдуков (Петровск), Г. Соколов (Владимир), if. Колмогоров (Алма-Ата).

27. Пользуясь обычными обозначениями, показать, что во всяком треугольнике 27/?2 > 4/?2 > Ю8г2.

Неравенство 27/?2>4/?2 или 3/?|/3 > 2/7, равносильно утверждению, что при данном радиусе круга R периметр произвольного вписанного треугольника меньше периметра равностороннего вписанного треугольника. Такая теорема действительно существует. Доказать ее можно, например, следующим образом. Если обозначим стороны Д ABC через a, b и с, то будем иметь:

а = b _ с = 2R sin Л sin# sin С

откуда

р = R (sin Л + sin В -f- sin С).

Надо найти наибольшее значение суммы sin Л -f- sin В 4- sin С при условии

Л-fß f С=180°.

Представив эту сумму в виде:

2 sin —-— cos —£--г sin ^>

замечаем, что при данном угле С она будет наибольшая, когда Л=.#, так как в этом случае

А —В . cos= 1.

Поэтому будем искать maximum суммы 2 sin A -j- sin С при условии 2Л -j- (7= 180°, или maximum суммы 2 sin A -f-sin 2Л.

Приравняв нулю производную по Л, имеем:

2 cos Л + 2 cos 2Л = О,

или

откуда, отбросив решение .

cos —= 0,

как дающее Л = 180°, находим:

М = 90° и А = 60°. 2

Это действительно maximum, потому что вторая производная

2 sin А — 4 sin 2Л

при Л = 60° отрицательна. Значит,

А = Я = С 60°,

и наибольший периметр имеет равносторонний треугольник, так что

27Д2^4/>2.

Для доказательства неравенства

воспользуемся формулой:

откуда

Мы имеем произведение трех положительных чисел:

сумма которых равна: т.-е. она постоянна.

Известно, что в этом случае произведение достигает наибольшего значения, когда все три сомножителя равны между собою, т.-е- когда

а — Ь = с.

Таким образом при данном г из всех описанных треугольников наименьший периметр имеет равносторонний треугольник, для которого:

и

Следовательно, или

А. Дмитровский (Москва), М. Житков (Семенов), И. Чемисов (Дмитровск), Б. Кобылин (Галич), С. Адамович (Тула), Н. Павлинский (Днепропетровск), Г. Соколов (Владимир;.

28. В круг вписаны: трапеция, основанием которой служит диаметр, и равнобедренный треугольник, стороны которого параллельны сторонам трапеции. Доказать, что обе фигуры равновелики.

Обозначим через AD диаметр, служащий основанием трапеции ABCD, и через EG основание равнобедренного ,f\EFG, стороны которого параллельны сторонам трапеции, провелем через вершину F треугольника диаметр FK, пересекающий EG в точке L, соединим точки Е и К и опустим из В и С перпендикуляры ВН и CJ на диаметр AI). Тогда

FK±AD.

Так как

АЕ=у ; BF,

то

AB ^ <j ЕК А АВН-- Д CDJ= A EKL, С J — EL, JD — LKu AJ= FL.

Переместив Д CDJ, можем превратить трапецию ABCD в прямоугольник со сторонами AJ и СУ. Такой же точно прямоугольник можно сложить из треугольников EFL и FGL. Следовательно, трапеция ABCD и Д EFG равновелики.

А. Агамалов, А. Дмитровский (Москва), А. Левшук (Иркутск), И. Кампиони (Тула). Р. Шотт (Белополье), И. Чемисов (Дмитровск), Д. Польшин (Москва), А. Богатырев (Казань), В. Дорофеев (Суханово), В. Кобылин (Галич), В. Шнейдмюллер (Саратов), В. Сакк (Верхнеднепровск), А. Бутомо (Саратов), С. Адамович (Тула), В. Красильников, В. Лебедевская (Саратов), И. Павлинский (Днепропетровск), А. Баранов (Тула), .4. В. (Москва),Я. Хайдуков (Петровск).

29. Построить треугольник по двум сторонам так, чтобы из противолежащих им углов один был вдвое более другого. Пусть в Д АБС

ВС —а, АС = Ь и /_А — 2 / В.

Если проведем биссектрису AB угла А, то треугольники ACD и ABC будут подобны, откуда получим:

Таким образом, отрезок CD легко построить. Но AD — DB, и потому в /\ACD все стороны известны. Когда построен Д A CD, то построение Д ABC не представляет никакого затруднения.

Для возможности задачи, очевидно, должно быть а >> Ь. Тогда само собой выполняется условие:

АС — CD < AD.

В самом деле,

откуда

Другое условие:

дает:

или или

откуда

Итак, условием возможности задачи является выполнение неравенства:

А. Агамалов, А Дмитровский (Москва), И. Чемисов (Дмитровск), В. Кобылин (Галич), С. Адамович (Тула), X. У. (Ростов-на Дону), В. Красильников, Н. Павлинский (Днепропетровск), В. Сакк (Верхнеднепровск), В. Тарабрин (Суханово), Г. Соколов (Владимир).

30. Точки полуокружности соединены прямыми с концами диаметра и в полученные треугольники вписаны квадраты. Найти геометрическое место центров квадратов.

Примем центр круга за начало координат и направим ось X по диаметру AB, а ось К перпендикулярно к нему. Пусть АСВ один из треугольников, CD— е. о высота и M—центр вписанного в него квадрата. Известно, что сторона вписанного квадрата равна

Если обозначим через г радиус круга и через ; абсциссу точки С, то сторона квадрата будет

и для ординаты у точки M получим выражение:

Чтобы выразить через \ абсциссу х точки Му представим ее в виде

где Q—вершина квадрата, лежащая на диаметре и ближайшая к точке А. Пропорция

дает

откуда находим:

Теперь надо исключить Е из выражений для х и у. Мы имеем:

и отсюда

Вставив на место ; это выражение, получаем после упрощения

Это и есть уравнение искомого геометрического места.

Оно представляет эллипс, проходящий через точки А и ./>; малая ось его лежит на оси ординат и имеет концами точки с координатами

У\ =-3 и у2=—г.

А. Дмитровский, А. Агамалов (Москва), М. Житков (Семенов), И. Чемисов (Дмитровск), В. Сакк (Верхнеднепровск), Н. Павлинский (Днепропетровск).

31. Вычислить двугранный угол наклонения боковой грани к плоскости основания правильной четыреугольной пирамиды, если его линейный угол равен углу при вершине пирамиды.

Обозначим через а сторону основания пирамиды, через / ее апофему и через я искомый угол наклонения боковой грани пирамиды к плоскости основания; тогда

Так как плоский угол при вершине тоже равен а, то из треугольника, служащего боковой гранью, находим:

Таким образом, для определения а имеем уравнение:

или

или

где

Это уравнение, очевидно, не имеет рациональных корней.

При £ — 0,5, левая часть =--— , а при t=\ она равна-j-2. Поэтому уравнение имеет положительный корень, заключенный между 0,5 и 1 и очень близкий к и,5. Других положительных корней нет, потому что при £>0 левая часть все время возрастает. Отрицательных корней тоже быть не может, так как выражение t3-f t2-f-1 — t(t2 -f-1) отрицательно при £<0, и потому два других корня мнимые. Для приближенного вычисления корня можно было бы, освободив уравнение от квадрата неизвестного, применить формулу Кардана, но удобнее поступить так. Положим,

Тогда уравнение примет вид:

Оно, очевидно, имеет корень, немного меньший, чем—-или 0,09. Сделав несколько проб, мы нашли, что

/ (0,0874) с* -f 0,00026; /(0,0873) — 0,00093.

Таким образом можно принять: z = 0,0874 с ошибкой меньше 0,00005. Отсюда

£=0,5437 = cos а и а = 57°04'.

А. Дмитровский (Москва), М. Житков (Семенов), И. Чемисов (Дмитровск), Б. Тарабрин (Сухановой Б. Кобылин (Галич), Н. Павлинский (Днепропетровск).

32 Найти два числа, из которых каждое равно сумме цифр куба другого.

Обозначим через N одно из искомых чисел и через N' сумму цифр его куба Если N имеет п цифр, то 10n_1 SiV^10n; с другой стороны, N'3 им:ег не больше Зп цифр и сумма их не может превзойти 27п, так что N' ^ 27л. При п — 3 выполняется неравенство: 10n—l > 27п, а так как левая часть растет быстрее правой, то оно справедливо и при /г>3. Поэтому число 27п при /г>2 имеет не более n — 1 цифр. Отсюда следует что при п > 2 куб числа N' имеет не более 3(п— 1) цифр и сумма их не превосходит 27 (п — 1), т.-е. она меньше, чем 27п, тоже имеет не более п — 1 цифр и не может равняться числу N, имеющему п цифр. Таким образом, решения задачи надо искать только среди однозначных и двузначных чисел. Далее, легко видеть, что условию задачи не может удовлетворять двузначное число, большее, чем 54. В самом деле, если п = 2 и Л^>54, то сумма цифр числа N* не может быть больше 54, т.-е. а в таком случае сумма цифр куба числа N' тоже не превышает 54, т.-е. она не может равняться N.

Рассматривая таблицу кубов чисел от 1 до 54, мы находим только одну пару чисел, удовлетворяющих условию задачи, а именно 19 и 28. Кроме того, есть пять чисел: 8, 17, 18, 26 и 27 таких, что каждое из них равно сумме цифр своего куба.

А. Дмитровский (Москва), М. Житков (Семенов).

33. Определить острые углы прямоугольного треугольника, в котором биссектриса прямого угла равна проекции гипотенузы на эту биссектрису.

Пусть а и b—катеты треугольника и a>i. Проекция гипотенузы на биссектрису прямого угла равна разности проекций катетов, т.-е.

Если из конца биссектрисы опустим на катеты перпендикуляры, то получим квадрат, сторона которого х найдется из пропорции:

откуда

Поэтому биссектриса равна По условию задачи мы имеем:

или

Отсюда

и, отбросив отрицательное решение, получаем:

-|-= 1 + j/2 = tgA; Л=67°30'; Б=22°30'.

Д. Польшин, А. Дмитровский (Москва), И Кампиони (Тула), М. Житков (Семенов), Л Чемисов (Дмитровск), В. Тарабрин (Сухан во), В. К былин (Гальч), В. сакк (Верхнедпепровск), В Шнейдмюллер (Саратов), А. Ьупшмп (Саратов), Е. Воскресенская (Сормово), Н. Павлинский (Днеиропетровск), А. В. (^Москва;, Н. Колмогоров (Аша-А.а).

34. В мешке лежат пластинки с буквами к, л, м, о, о, о, т. Вынимаем эти пластинки. Какова вероятность, что буквы будут вынуты в таком порядке, что образуют слово молоток?

Число всех равновероятных случаев равно числу перестановок из 7 элементов, т. е. /!, а число благоприятствующих случаев есть 3!, потому что из трех пластинок с буквой о можно составить 3! перестановок. Таким образом, искомая вероятность равна

А. Дмитровский, А. Агамалов (Москва), Я. Доброгай (Винница), М. Житков (Семенов), И. Чемисов (Дмитровск), А. Богатырев (Казань). Б. Кобылин (Галич), А. Бутомо (Саратов), Е. Воскресенская (Сормово), И. Павлинский (Днепропетровск), А. В. (Москва).

35. Шар, образующий в сечении с плоскостью XOY окружность, уравнение которой

(х — a)2 -+- (у — Ь¥ — г2,

касается плоскости

Ax-\-By + Cz4-l)z=0.

Найти уравнение шара.

Центр шара лежит на прямой, проходящей через центр круга и перпендикулярной к плоскости XOY, т.-е. он имеет координаты:

х = а; у = Ь.

Если обозначим третью координату центра шара через С, то радиус его будет:

Поэтому уравнение шара напишется так:

{х а)2 + (у _ Ь)2 + (z :)2 _ гг +

или

(х — а)2 + (j; — &)2 + z2 — 2Сг — г2 = 0.

Так как шар касается плоскости

Ах - f 7iy -f Cz -f Z> = 0,

то расстояние его центра от этой плоскости должно равняться радиусу. Отсюда получаем условие:

или

(Аа 4- ВЬ4- Сг4- оу — (A- -f J5- 4 С2) (г2 4- С2) = о.

Определив из этого квадратного уравнения С, после упрощений находим:

и, заменив С этим выражением, получим уравнение шара в окончательном виде. Задача имеет два решения. Они действительные, если

{Аа + ВЬ + D)2 — (A2 + В2) г2 > 0,

или

а это значит, что расстояние центра данного круга от прямой пересечения данной плоскости с плоскостью XOY больше радиуса круга, т.-е. эта прямая и круг не пересекаются; решения мнимые, если

{Аа + Bb + D)2 — {А2 4- В2) г2 < 0,

т. -е. прямая пересекает круг; наконец, оба шара совпадают, если

{Аа 4- ВЬ 4- В)'2 — {А2 4- В2) г2 = 0,

т.-е. прямая касается круга.

А. Дмитровский (Москва). И. Чемисов (Дмитровск), А. Бутомо (Саратов), Н. Павлинский (Днепропетровск).

Ответственный редактор И. И. Чистяков.

Главлит № А—85055. Типо-литография Центросоюза. Москва, Денисовский, 30. Тираж 1.300.

Ст. А. Т. Б5 176 X 250 мм 2 п. л. Р. П. № 0082.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

ЖУРНАЛ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА.

Ответственный редактор проф. I МГУ И. И. ЧИСТЯКОВ.

В число сотрудников входят профессора и преподаватели московских и провинциальных вузов, втузов, педвузов, техникумов и других учебных заведений СССР.

8 КНИГ В ГОД

ЗАДАЧИ ЖУРНАЛА:

Содействовать углублению и расширению математических знаний преподавателей математики, студентов вузов и учащихся рабфаков, техникумов и старших классов трудовой школы.

Знакомить читателей в доступной форме с новыми завоеваниями математической науки и ее приложением в области прикладных наук и техники.

Способствовать разработке новых учебных программ и методов преподавания элементарной, высшей и технической математики.

Содействовать об'единению и взаимному осведомлению математических и педагогических обществ, кружков, с'ездов, конференций и т. п. в их работе по постановке математического образования.

СОДЕРЖАНИЕ ЖУРНАЛА:

Статьи и заметки по различным отделам математики—элементарной, высшей и технической. Очерки по истории математических наук и их преподавания. Статьи по общей и частной методике преподавания математики на всех ступенях обучения. Сведения о научной и педагогической деятельности математических и педагогических обществ, кружков и других объединений. Обзор текущей научной и педагогической математической литературы. Задачи и решения из области элементарной, высшей и технической математики. Математическая хроника. Ответы на запросы читателей.

УСЛОВИЯ ПОДПИСКИ: на год—6 руб., на полгода—3 руб. 60. коп. Отдельные номера по 90 коп. с пересылкой.

ПОДПИСКА ПРОДОЛЖАЕТСЯ.

ПОДПИСКУ НАПРАВЛЯТЬ: Периодсектор Госиздата—Москва, центр, Ильинка, 3; в магазины и отделения ГОСИЗДАТА.

АДРЕС РЕДАКЦИИ: Москва, Маросейка, Старосадский пер., 9, кв. 4.

ФИЗИКА, ХИМИЯ, МАТЕМАТИКА, ТЕХНИКА В ТРУДОВОЙ ШКОЛЕ

ЖУРНАЛ ГЛАВСОЦВОСА И ИНСТИТУТА МЕТОДОВ ШКОЛЬНОЙ РАБОТЫ РСФСР

Ответственный редактор П. П. ЛЕБЕДЕВ.

8 КНИГ В ГОД,

ЗАДАЧИ ЖУРНАЛА:

Помочь преподавателю, в реализации программ и в усовершенствовании методов преподавания.

Освежать запас знаний учит ля сообщением сведений о новых завоеваниях науки и техники.

Держать учи.еля в курсе педагогической и научной жизни внутри Союза и за границей.

Освещать задачи социалистического строительства страны с точки зрения слияния их с работой школы.

Активно участвовать в создании новой политехнической школы коммунистического воспитания.

УСЛОВИЯ ПОДПИСКИ: на год—7 руб., на 6 мес— 4 руб.

ПОДПИСКУ НАПРАВЛЯТЬ:

Периодсектор Госиздата — Москва, центр, Ильинка, 3; в магазины и отделения ГОСИЗДАТА.

НОВАЯ КНИГА ПО МАТЕМАТИКЕ

КОМПАНИЙЦ П.

ВЫСШУЮ МАТЕМАТИКУ — В ШКОЛЫ

80 стр. текста и чертежи на 87 стр. Цена 3 р., в/п. 3 р. 35 к.

С ЗАКАЗАМИ ОБРАЩАТЬСЯ:

В сектор книгораспространения Госиздата РСФСР — Москва, ГСП—1, Богоявленский пер., 4—Отдел школьной литературы; во все магазины и отделения Госиздата.