МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

№ 5

1930

ИЗДАНИЕ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

СОДЕРЖАНИЕ

H. Четверухин.— Геометрические формы органического мира............. 145

С. Зетель — Доказательство формулы тангенсов, формул Мольвейде и некоторых других соотношений в треугольнике...................... 157

В. Фридман.— Расширение понятия о наименьшем кратном и общем наибольшем делителе................................... 160

М. Гребенча —Об огибающей одного семейства................... 166

В. Польский.— Доказательство тождества...................... 167

Ч. Домбровский .— Еще о решении численных уравнений............... 168

Задачи.......................................169

Решения задач............................. 170

Хроника...................................... 175

SОMMAIRE

N. Gchetverouhine.— Formes géométriques du monde organique.

5. Zetel— Démonstration de quelques formules trigonométriques.

V. Friedmann.— Extension de la notion du plus petit commun multiple et de plus grand commun diviseur.

M. Grebentcha — Sur l'enveloppe d'une famill.

V. Polski — Démonstration de Tidotité m=k mrc _1

Dombrovski—Sur la résolution des équations numériques.

Problèmes. Solution de problèmes. Chronique.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

№ 5

ЖУРНАЛ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

1930 г.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМЫ ОРГАНИЧЕСКОГО МИРА1

Н. Четверухин (Москва)

1. В живописном разнообразии форм окружающей природы многие отдельные представители ее привлекают наше внимание своей изумительной правильностью и геометрической законченностью. Вспомним только о строении снежинки и других кристаллов! Поэтому совершенно естественны попытки применить математический метод к изучению форм природы. Многие математики и натуралисты посвятили свои работы разрешению этой интересной задачи, и некоторые отдельные части ее, как, например, вопрос о строении кристаллов, являются весьма тщательно и детально исследованными. В основе этого учения лежит чисто математический принцип симметрии. Интересующимся рекомендуем талантливую книжку проф. Г. В. Вульфа „Симметрия и ее проявления в природе", Москва, 1919.

Дальнейшее обобщение принципа симметрии открывает, как будет видно из этой статьи (2-я часть), широкие горизонты и возможность изучения не только неорганического, но также и органического мира. Таким образом вопрос имеет прежде всего научный интерес, но одновременно не следует забывать и его педагогической стороны, которая заключается в комплексировании естественно-научного материала с математическим методом.

Первая часть этой работы посвящена изложению методов аналитического изображения (с помощью уравнений) различных объектов органического мира (листьев, плодов, надкрыльев насекомых и т. д.).

Проблема по существу интерполяционная, так как отыскивается уравнение контура (например, листа) по отдельным данным. Различные авторы подходили к ней с разных сторон. Остановимся прежде всего на работах немецкого математика-натуралиста Bodo Habenicht'a.

Перу Habenicht'a принадлежит ряд работ, из которых в моем распоряжении были следующие:

1. «Analytische Form der Blätter» (Quedlinburg, 1895).

2. «Flächengleichungen organischer und verwandter Formen, intuitiv behandelt» (Quedlinburg, 1897).

3. «Beiträge zur mathematischen Begründung einer Morphologie der Blätter» (Berlin, 1905).

Пытаясь в кратком очерке дать представление об этих работах, я оставляю за собой право вносить те или другие изменения в изложение автора, в особенности если они способны упростить рассуждение.

1 Доложено в заседаниях научной секции Московского научно-педагогического математического кружка.

2. Можно рассматривать контур листа как замкнутую кривую, уравнение которой в полярной системе координат имеет вид:

9 =/(?)•

Проблема сводится к разысканию функции /(?).

Если предположить кривую р = /(9), изображающую контур листа, симметричной относительно полярной оси, а функцию / (^)- представленной конечной суммой Fourier, то последняя должна состоять из одних cosinus'ов и будет иметь вид:

р — а0-\-ах cos <р 4-а2 cos 2<р-j-а3 cos 3<р-f- ... -f-cos я?.

Исходя из этого общего уравнения, Habenicht подробно и терпеливо исследует различные его частные случаи, начиная с простейших, и постепенно переходит к более сложным.

Кривые, изображаемые уравнением р —- а0-f-яi cos ?, он называет „сердцевидными" (Herzcurve). В зависимости от коэфициентов а0 и ал имеем три типа таких кривых.

При а0 > CL\ выемка кривой не доходит до полюса О, так как ср = 180° дает р = ао— (i\> 0 (черт. 1).

При а0 = аг уравнение принимает вид:

р =-_ö0 (1-4- cos <р)

и представляет обыкновенную кардиоиду (черт. 2), имеющую точку возврата в полюсе О.

Наконец, при а0 < ах получаем кривую, имеющую узел в полюсе О.

При ср=з!80° радиус-вектор р — а0 — ах < 0 отрицателен и, следовательно, направлен в противоположную сторону, т.-е. совпадает по направлению с радиусом-вектором для угла о = О (черт. 3).

Черт. 1.

Черт. 2.

Черт. 3.

Черт. 5.

Условившись не рассматривать отрицательных значений радиуса вектора, Habenicht освобождается от внутренней части кривой (петли) и сохраняет лишь ее внешний контур.

Далее рассматриваются сердцевидные кривые, содержащие cos? в степенях выше первой. Так я-ая сердцевидная кривая („я-Herz") имеет вид:

р = а0-\- ах cos п о.

Заметим, что правая часть может быть разложена по cosinus'aм углов, кратных ср, и выразится как сумма Fourier. Так, например, кривая

р = 49 4-64 cos7 9

может быть представлена следующим разложением по cosinus'ам кратных углов:

р = 49 4- 35 cos о -f 21 cos Зф -f- 7 cos 5? -{- cos 7cp.

Черт. 4 дает понятие о виде этой кривой.

Черт. 4.

Черт. 6.

Подбирая достаточно высокую степень cos ?, можно придать контуру кривой вид, весьма близкий к форме листа.

На черт. 5 изображена кривая, уравнение которой следующее:

р == 5 -f- 3 cos 71 ?.

Следует заметить, что у всех сердцевидных кривых касательная в точках, лежащих на полярной оси, перпендикулярна к последней. Исключение составляют лишь случаи, когда в такой точке имеется острие или узел (см. черт. 2 и 3).

Добавляя к приведенному выше уравнению член 2 cos о, Habenicht получает контур листа сирени в следующем виде:

р = 5 2 cos 9 + 3 cos71 ©.

В полюсе О контур имеет точку возврата (черт. 6), так как при z = = 180° р = 0.

Переходим теперь к рассмотрению кривых вида:

р = a cos то (где m = 1, 2, 3, ...)1.

Уравнение

о = a cos ?

представляет окружность, проходящую через полюс О, и с центром, лежащим на полярной оси. Коэфициент а представляет длину диаметра этой окружности.

Уравнение

1 Такие кривые были подробно изучены Guido Grandi, который дал им название Rhodoпееп (Rosencurven) в его труде „Flores geometrici ex rhodonearum et claeliarum descriptione résultantes" (Florentiae, 1728).

(при f изменяющемся от 0° до 360°) представляет четырехлепестковую кривую, изображенную на черт. 7.

Более подробно мы остановимся на уравнениях трехлепестковых кривых и получим контуры листьев некоторых растений.

Так, уравнение

р = a cos 3?

дает кривую, изображенную на черт. 8.

Максимумы радиуса-вектора о будем иметь при

cos Зо = 1

или

3? = 2&т:; ср = 2к ~ ,

т.-е. три максимума при

f —и> 3 ' 3 '

что дает для радиуса-вектора значение о = я. Кривая состоит из трех лепестков (черт. 8).

Черт. 7. Черт. 8.

Если рассмотрим далее уравнение

р = а (l-j-cos3?),

то по сравнению с предыдущим все радиусы-векторы увеличатся на а.

Максимальные значения (р = 2а) радиуса-вектора получаем при тех же значениях полярного угла

но в то время как для кривой (черт. 8), при ? = р — 0,

для новой кривой (черт. 9) р=0 при ?=-|-. Откуда видим, что углы лепестков кривой теперь стали вдвое больше и она имеет форму, изображенную на черт. 9.

Мы воспользуемся этой кривой, чтобы получить уравнение контура листа кислицы.

Добавляя еще один член к правой части предыдущего уравнения, придем к уравнению листа кислицы в следующей форме:

р = 4 (1 + cos 3?) + 4 sin2 Зср.

Добавочный член придает лепесткам этой кривой несколько сердцевидную форму (черт. 10).

Черт. 9. Черт. 10.

Уравнение

0 = 4(1 4- cos Зср) -f 2 sin2 Зср,

по мнению Habenichts, довольно хорошо представляет контур трилистника (Trifolium)1.

Уравнение:

р = 4 (1 -f- cos Зср) — 4 sin2 Зср дает контур донника трилистного (черт. 11).

Сравнивая последнее с уравнением листа кислицы, Habenicht остроумно замечает, что различие, выражаемое членом 8 sin2 Зср, надо приписать действию солнца, так как кислица растет в тени, а донник на солнце.

Постепенно усложняя уравнение, цитируемый автор получает впоследовательном порядке большое количество различных контуров листьев, анализируемых им с исключительным терпением и тщательностью. В кратком очерке нет возможности дать полное представление о работе Habenicht'a, почему я, опуская ряд интересных кривых и нарушая этим последовательность автора, остановлюсь еще лишь на немногих примерах.

Добавляя члены, содержащие многократные углы, можно придать краю листа зубчатую форму. Так, добавляя к рассмотренному выше уравнению листа сирени (р = 5 4 2 cos ç -f - 3 cos71 cp) член

Черт. 11.

1 Задача: найти, кривую, которая представляла бы контур Trifolium pratense,—была поставлена в Nouvelles Annales de Mathématiques и была решена в 1894 году Брокаром (H. Brocard).

получаем уравнение листа крапивы (черт. 12) в следующей форме:

p = 5-f-2cos?-f-3cos71 ? — sin2180.cos4 -|- .

Другой пример постепенного усложнения контура дает лист конского каштана. Принимая за исходную кривую круг [с центром в точке (р = 2, о = 0) и радиусом г= 4]

добавляем член

и получаем семидольную кривую:

изображенную на черт. 13.

Черт. 12. Черт. 13.

После чего, добавляя еще раз член ( — 0,3 sin2 60?), доставляющий нужную зубчатость краю листа, находим уравнение контура листа конского каштана (черт. 14):

р = 2 f cos ? + v/3 + cos2?^ — 6 sin2 Ц- — 0,3 sin2 60?.

Подобным же образом, отправляясь от кривой

постепенным ее усложнением приходим к уравнению листа клена, которое у Habenicht'a пишется так:

р —10vl~^fcö^-- 5 ^1 -f sin2 5,5? .cos2-^, — sin227,5? . cos2-|-.

3. Некоторые плоды можно в первом приближении считать поверхностями вращения. Так, осевое сечение груши имеет уравнение

р = 32 -j- 8 sin ? — 9,4 sin 3?,

представленное графически на черт. 15.

Осевое сечение персика (черт. 16) дает уравнение

Наконец, осевое сечение яблока можно представить в следующем виде:

Соответствующий контур изображен на черт. 17.

Черт. 14. Черт. 15.

В тех случаях, когда объект не является поверхностью вращения, могут быть с успехом применены различные методы. Некоторые из них по своей простоте и остроумию заслуживают быть отмеченными.

Черт. 16. Черт. 17.

Предположим, что поверхность отнесена к пространственной системе полярных координат ft, р) и нам известно уравнение ее экватора в плоскости ? = 0:

р=№ bu b* О,

содержащее m коэфициентов bt.

Кроме того, предполагаем, что и уравнение нулевого меридиана (0-меридиан) поверхности, лежащего в плоскости Ь— 0, также известно в форме:

Р=/(Ъ аъ а>ь ..я„)> содержащей п коэфициентов а4.

Искомое уравнение поверхности мы можем представить себе как состоящее из членов, полученных комбинированием членов уравнения экватора с членами уравнения О-меридиана. Такое уравнение, кроме широты и долготы (ср, ft), будет содержать (п.т) (неизвестных) коэфициентов ct и напишется следующим образом :

p = f(V, ft, Си съ ..., спт).

Подсчитаем теперь число условий, которое мы имеем для определения коэфициентов с4ш

При 9 = 0 уравнение должно давать экватор, т.-е. должно выполняться тождество:

*т(0, ft, си съ cnm)=f(b,bu b2. bJ,

откуда, сравнивая коэфициенты, мы получаем m соотношений.

Подобным же образом при 0 = 0 получаем 0-меридиан, и должно иметь место тождество:

°> Си с2, cnm)=f (<?, аи аъ ап).

Сравнение коэфициентов обеих частей этого тождества доставляет новые п соотношений.

Кроме того, для каждого из полюсов мы должны иметь определенное однозначное р.

Полагая ç= i (сев. полюс) и затем ? = — (южн. полюс), мы получим два следующих равенства:

p — f , », Си съ ..., спт^ = Const

р = f (— y , ft, гь с2, ... с„Л = Const.

Это требование означает, что все члены, содержащие ft, должны исчезнуть, и доставляет нам два раза по (т— 1) соотношений.

Всего, следовательно, мы имеем: п -\- m -f- 2 (m— 1) — n-\-3m— 2 соотношений.

Заметим теперь, что при подсчете соотношений одно из них было сосчитано дважды, а именно то соотношение, которое выражает совпадение начальных точек экватора и О-меридиана:

^(0, 0, си с2, ..., cnm)=f(0t bu b2, ... bm) =/(0, au a2, ... an)

и которое, очевидно, должно быть удовлетворено еще при задании экватора и 0-меридиана. Поэтому, уменьшая найденное число соотношений на 1, мы будем иметь: п-\-Зт— 3 соотношений.

Если это число равно п.т — числу неизвестных коэфициентов с, то задача их разыскания вполне определенна.

Очевидно, что условие:

п -\- Зт — 3 = п ,т

удовлетворяется при

1) m = 1 и любом п

или

2) п — 3 и любом т. Применим этот общий метод к конкретным случаям.

Пример I— плод лягушечника (сем. сложноцветных). В качестве экватора можно взять кривую:

p = 9-f cos2 15».

Выступы этой кривой соответствуют семенным долям, которых обыкновенно имеется около 30.

За 0-меридиан принимаем круг с уравнением

р — 10 cos ср.

Уравнение искомой поверхности получается свертыванием уравнений экватора и меридиана, причем мы должны принять #г = 31 и /г = 22.

Следовательно надо писать уравнение поверхности так:

Так как уравнение содержит только cosinus'ы, то для обоих полюсов

мы получим одно и то же выражение, и следовательно достаточно написать требование однозначности р в полюсах только один раз. Поэтому число условий для определения коэфициентов сь в рассматриваемом примере будет таково:

п-\- т-\-(т — 1)— 1 = п-\-2т — 2 = 6.

Так как число неизвестных коэфициентов ct также равно т. /1 = 6, то задача определенная.

Полагая ср = -^-, получим для полюса:

р = с ! -\- cs cos 15» + ^г, cos215»,

откуда:

Cs — Сь = 0, так как Ь не должно входить в значение р.

Далее при ср — 0 должны иметь экватор, т.-е.

р=с1 + с2 + с4 cos 15» + с6 cosM5&E 9 +cos215b.

Это тождество дает:

^i + ^2 — 9; ^1 — 0; с6 = 1.

Наконец, » = 0 дает 0-меридиан:

р=С\-\-С2 cos ср -|— г6 ср cos ср— Ю cos ср,

откуда имеем:

Ci =0; с2-\- cG = 10; с2 = 9.

Подставляя найденные коэфициенты, получаем уравнение плода лягушечника в следующей форме:

р = 9 cos o-[~cos2 15» . cos ср.

Пример II—буковый жолудь.

Чтобы получить уравнение экватора, проделаем некоторое преобразование астроиды, которое и даст нужную кривую.

1 6, = 9: h,~0: h, = 1.

2 в, =z0: »2 = 10.

Уравнение астроиды

в полярной системе пишется так:

или

где через &' обозначен полярный угол, а через р — радиус-вектор.

Далее производим преобразование полярного угла Ь' в новый угол H с помощью формулы:

Эта формула показывает, что углу &' в 90° соответствует угол fr в 120°, а трем прямым углам—полный оборот на 360°. Следовательно астроида преобразуется в кривую, изображенную на черт. 18 (Ь), которую и будем считать экватором.

Черт. 18.

Уравнение ее мы напишем в сокращенном виде:

где

В качестве 0-меридиана примем кривую:

Комбинируя уравнения экватора и О-меридиана, напишем уравнение искомой поверхности жолудя в следующей форме:

о = сх + с2 sin ф -|- гз sin2 ? -f с± R -f- c5/? sin ? -j- <;G/? sin2

Так как

# = 3, a m = 2

(свободный член в правой части уравнения экватора равен нулю), то число условий равно числу неизвестных коэфициентов ch и задача имеет определенное решение.

Полагая ? = 0, получаем экватор, т.-е.:

9^cx+c4R=R,

откуда

с\ = 0: сА = \.

При ft = 0 (/?=!) получаем 0-меридиан:

Следовательно:

^1+^ = 1; с2 + г5=:1; + c0 = 1.

Черт. 19.

Для северного полюса ( о = i имеем:

т.-е.:

Для южного полюса ( *э = — ] имеем:

т.-е.:

Из этих условий находим коэфициенты г;:

и уравнение искомой поверхности примет вид:

или

4. В описанных работах Habenicht'a „геометризация" органических форм преследовала главным образом морфологические цели. Более широкую постановку вопроса находим у московского биолога Е. С. Смирнова.

В качестве объекта Е. С. Смирнов избрал жуков семейства Coccinellidae и искал уравнения надкрыльев различных представителей этого семейства. Этим достигалась не только точная математическая характеристика формы надкрыльев, но также и самый выбор признаков, каковыми могли служить коэфициенты найденных уравнений или некоторые функции коэфициентов. Обработке были подвергнуты 8 родов и 31 вид жуков семейства Coccinellidae1.

1 Эти результаты доложены Е. С. Смирновым в его предварительном сообщении берлинскому интернациональному конгрессу по изучению наследственности в 1927 г. и напечатаны в трудах последнего.

Черт. 20.

Полученный материал при соответствующей статистической обработке позволял судить о видовой и также родовой изменчивости формы надкрыльев.

Так как снятие контура надкрыльев производилось с помощью микроскопа и рисовального аппарата, то рисунок давал горизонтальную проекцию надкрыльев. Строгое соблюдение одинаковых условий зарисовки контуров обеспечивало возможность их точного воспроизведения и сравнения.

Зарисованный контур относился к полярной системе координат, в которой его внутренний край служил полярной осью, а полюс помещался в крайней левой точке этого края (черт. 20).

Кривая, образованная парой надкрыльев, считалась симметричной относительно полярной оси, и уравнение ее искалось в форме конечной суммы Фурье, содержащей лишь члены с косинусами.

р = а0-\-а1 cos о + а2 cos 2о -f- а3 cos Зср -f- .... -\-ап cos щ = /(?)•

Коэфициенты а0, аи a2i ... ап этого уравнения определялись с помощью измерений радиусов-векторов, взятых для определенных углов ср. Такой метод является одной из форм так называемого и гармонического анализа" и широко применяется при изучении периодических явлений1. Если число измеренных радиусов-векторов р7. больше числа неизвестных коэфициентов (я-f-l) суммы Фурье, то последние определяются по способу наименьших квадратов, т.-е. из условия, что сумма

должна иметь наименьшее значение.

Если число измерений радиусов-векторов равно числу неизвестных коэфициентов, т.-е. сделано как раз п-\г\ измерений, то получаем систему п-j-1 уравнений со столькими же переменными. Очевидно, что точность изображения кривой с помощью уравнения р=/(<р) возрастает с увеличением числа произведенных измерений. В работе Е. С. Смирнова оказалось достаточным разделить угол в 180° на 8 частей, что доставляет 9 значений радиусов-векторов pt..

Принимая уравнение кривой в форме:

и подставляя в него соответствующие значения о4 и pt., можем разрешить систему относительно коэфициентов а0, аи а$. Таким образом функция р=/(ф) оказывается определенной и достаточно характеризует форму контура надкрыльев.

Коэфициенты а0ч аи аъ а8 являются функциями радиусов-векторов рь и могут рассматриваться как числовые характеристики контура надкрыльев.

Найденные уравнения подвергались сравнению и обработке методами вариационной статистики как в пределах одного вида, т.-е. сравнивались индивидуальные уравнения отдельных экземпляров данного вида, так и в пределах рода, причем в этом случае сравнивались топовые уравнения видов, входящих в состав определенного рода. Наконец, подвергались сравнению 8 родов, входящие в состав семейства Coccinellidae.

1 См. Runge und König, „Numerisches Rechnen", Berlin. 1924, S. 211.

Для примера приведем типовое уравнение надкрыльев жуков вида Semiadalia notata Laich1:

Помимо той ценности, которую представляют найденные уравнения для морфологии и систематики, как наиболее точные характеристики контура надкрыльев, сравнительное изучение их в указанном выше смысле привело к интересным результатам.

Рассматривая корреляцию коэфициентов а0 и аг вида Semiadalia notata, Е. С. Смирнов получил для коэфициента корреляции следующее значение:

Ч,а =-0,389 ±0,121,

откуда видно, что коэфициенты а0 и а{ изменяются в противоположных направлениях, между тем как сравнительное изучение изменчивости коэфициентов а0 и ах для различных родов, входящих в семейство Coccinellidae, дало, совершенно обратный результат: коэфициенты изменяются в одном и том же направлении. Таким образом, как оказывается, взаимная изменчивость каких-либо признаков в одной систематической группе („конгрегации", по терминологии Е. С. Смирнова) может иметь совершенно иной, даже противоположный характер, чем в группе более высокого порядка.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ФОРМУЛЫ ТАНГЕНСОВ, ФОРМУЛ МОЛЬВЕЙДЕ И НЕКОТОРЫХ ДРУГИХ СООТНОШЕНИЙ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ

С. И. Зетель (Москва)

В № 2 „Математического образования" за текущий год помещена статья Н. Кувыркина „Доказательство закона тангенсов", где автор выводит теорему тангенсов на основании свойств биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника.

Пользуясь биссектрисами, мы иным путем выведем формулу тангенсов, далее получим формулы Мольвейде и еще некоторые соотношения, существующие в треугольнике.

§ 1. Пусть в треугольнике ABC (черт. 1) AD и AF—биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине А. Обозначим AD через 1аУ AF — через /„'; S=SAJ>B-^-SACI)i где S — площадь треугольника ABC.

Черт. 1.

(1)

1 Коэфициентами типового уравнения служат средние величины коэфициентов индивидуальных уравнений данного вида,,

Подставляя в полученное равенство значения /„ и 1п' из (1) и (2), имеем:

(3)

§ 2. Перейдем к выводу формул Мольвейде. Проведем из вершины А высоту AM (черт. 1).

(4)

Из (4) и (1) имеем:

(5)

Выведем вторую формулу Мольвейде:

Заменяя 1п на основании (4), имеем:

Из (6) и (2) получаем:

§ 3. Равенства (1) и (2) дают возможность найти длины биссектрис в зависимости от сторон треугольника.

Для этого следует в формулы (1) и (2) подставить соответственно значения sin А и cos 4 из формул:

После подстановки получим:

(8)

(9)

§ 4. В заключение обратим внимание на интересное соотношение, существующее в треугольнике. 4

Из (1) следует:

(10)

Из чертежа (2) замечаем, что

(11)

где га—радиус круга, касающегося сторон b и с, с центром на стороне а.

Черт. 2.

(12)

или

(13)

Так как

то

В первом из равенств (14), заменив получим:

по аналогии

(15)

Формулы (12), (13), (14) и (15) нам не приходилось встречать ни в одном из руководств по тригонометрии.

РАСШИРЕНИЕ ПОНЯТИЯ О НАИМЕНЬШЕМ КРАТНОМ И ОБЩЕМ НАИБОЛЬШЕМ ДЕЛИТЕЛЕ

В. Г. Фридман (Москва)

(Продолжение)

Приведем теперь некоторые практические применения наименьшего кратного дробных чисел.

1) Найти, через сколько часов 3 автобуса, одновременно вышедшие с конечной станции, вернутся снова одновременно к этой станции (после курсирования по городу), если полный рейс одного продолжается \~ часа, второго — 1 -^-часа и третьего—^ часа. Наим. кратное данных 3 чисел равно Ю~ (час). Значит, это произойдет через 10V2 часов.

2) Биения камертонов. Один камертон дает 450 колебаний в секунду, а другой—460. Оба приведены в звучание одновременно. Узнать, через сколько времени колебания камертонов окажутся в первоначальной фазе.

Решение. Периоды колебаний равны 4^Q и 4^Q сек. Наим. кратное их равно сек. Значит, это произойдет через сек., т.-е. через интервал в Vio сек- мы будем слышать усиленный звук, что даст 10 биений в секунду.

Это решение совпадает с общепринятым в физике способом решения: 460 — 450 = 10, — значит, 10 биений в секунду. Но такое совпадение получится далеко не всегда. Вот пример: пусть один камертон дает 460 колебаний в сек., а другой—490. Значит, должно получиться 30 биений. Найдем теперь наим. кратное -щ- и -^j3~ > получаем уд- (сек.), а это означает лишь 10 биений в секунду. Причина противоречия объясняется просто. Через ~ сек. первый ка-

мертон должен совершить ^ : -щ- = А6 колебаний, а второй — 49; разность чисел колебаний равна 3, а не 1. Разность чисел колебаний будет равна 1 через -^j сек., когда первый камертон даст : -щ — — —15 — колебания, а второй — — =16-^- колебаний. Мы видим, что разность чисел колебаний действительно равна 1. Через ^ сек. числа совершонных колебаний будут 30-у и 32(разность в 2 колебания). Но вся суть дела в том, что фаза колебаний будет при этом не первоначальная, именно она будет отличаться от первоначальной на ^- или на -|- периода. Находя же наим. кратное, мы решаем вопрос о нахождении обоих камертонов в первоначальной фазе.

Таким образом противоречия здесь нет. Мало того, анализ дела (на основании возникшего противоречия) ясно показывает, что отдельные удары биений камертонов неравносильны друг другу: самые сильные удары (возвращение к первоначальной фазе) будут происходить лишь 10 раз в секунду, и между каждыми двумя такими ударами размещаются по два менее сильных удара. Интересно заметить, что мы получаем полное совпадение результатов обоих способов решения в том случае, когда разность чисел колебаний равна наиб, делителю этих чисел. Это как раз имело место для случая 450 и 460 колебаний. Если же этого нет, то число биений превышает число возвращений к первоначальной фазе во столько раз, во сколько раз разность чисел колебаний превышает их общий наибольший делитель.

Понятие наим. кратного дробных чисел с успехом может быть применено и для нахождения числа биений трех и более камертонов. Так, для камертонов с числами колебаний 320, 350 и 340 получаем периоды колебаний в ^gg- , "змГ и сек->—наим. кратное равно ; значит, 10 биений (или 10 согласованных ударов) в секунду. Здесь обычный метод нахождения числа биений не дал бы столь ясного результата.

За недостатком места мы оставляем в стороне другие практические применения. О применении расширенного понятия о наим. кратном к расчету приближенных периодов в астрономии будет речь к концу статьи.

Переходим к вопросу об общем наибольшем делителе. Известно, что нахождению общей меры двух отрезков способом последовательного наложения соответствует нахождение общ. наиб, делителя двух целых чисел способом последовательного деления. Если нам будут даны отрезки длиной в 4^2 и 38/4 см, то, пользуясь последовательным наложением, мы легко найдем, что их общая мера есть отрезок длиною в 3/4 см. Совершенно естественно считать, что у дробных чисел 41/2 и 33/4 есть общ. наиб, делитель :у4, и его также можно найти способом последовательного деления так:

Физика в сущности давно уже пользуется для дробных чисел термином „общ. наиб, делитель"; по отношению, например, к магнетону Бейеса давно уже

говорят: этот магнетон (равный 18,6.10 ~22 CGS или 1123,5 гаусса X см) есть общ. наиб, делитель магнитных моментов атомов (см., например, „Успехи физ. наук" за 1925г., № 1, стр. 113). Знаменитая постоянная Планка h ( = 6,54.10 —27 эрг./сек.) есть не что иное, как общ. наиб, делитель квантов лучистой энергии (что непосредственно вытекает из известного равенства f = A.v, где v целое число, означающее число колебаний в сек.). „Stillschweigend", как говорят немцы, мы применяем общ. наиб, делитель дробей при нахождении площади прямоугольника, длины сторон которого выражены дробными числами. Например, если основание равно -у см, а высота — см, то мы разрезаем прямоугольник на квадраты со стороною в см, и по самой сущности дела эта -j- см является общ. наиб, делителем у- и

Совершенно ясно из приведенных примеров, что существующее в теоретической арифметике слишком узкое понятие об общ. наиб, делителе лишь целых чисел нуждается в расширении, распространении на дробные числа.

Определение. Общий наибольший делитель двух или нескольких кисел (целых или дробных) есть наибольшее из тех {целых или дробных) чисел, на которые данные числа делятся нацело.

Способы нахождения, а) \ и 4~ . Общ. наиб, делитель—.

Здесь остается в силе известная теорема об умножении данных чисел на одно и то же целое число (что не может вызывать никаких сомнений).

Здесь мы имеем последовательно: = Q и = 14Q и затем случай (с).

Заметим, что 3 есть общ. наиб, делитель числителей, а 24—наим. кратное знаменателей.

Итак, общий наибольший делитель двух дробей равен общему наибольшему делителю их числителей, деленному на наименьшее кратное их знаменателей. Общее доказательство этого правила не представляет никаких затруднений. Оно справедливо и для случая нескольких дробей. Например, общ. наиб, делитель ±, А „ |_ равен ±.

Для случая десятичных дробей дело упрощается. Здесь достаточно уравнять нулями число десятичных знаков, затем найти общий наибольший делитель, не обращая внимания на запятые, и, наконец, отделить прежнее число десятичных знаков. Возможность такого упрощения объясняется тем, что в случае одинаковых знаменателей [см. выше случай (с)] наим. кратное знаменателей равно данному одинаковому знаменателю. Например, наиб, делитель 2,4 и 0,32 равен наиб, делителю 240 и 32, деленному на 100, т.-е. 0,16.

Не трудно убедиться в том, что все основные свойства общ. наиб, делителя (а не только вышеприведенное) остаются в силе. Между прочим остается справедливым, что общ. наим. кратное чисел равно их произведению, деленному на общ. наиб, делитель. Например, для случая дробей ~ и —- имеем: произве-

дение равно наиб, делитель =-^-> и, значит, наим. кратное =-^-: Непосредственно же находя наим. кратное, согласно вышеустановленному правилу, мы получаем: наим. кратное 5 и 3 равно 15, общ. наиб, делитель 6 и 8 равен 2; значит, наим. кратное равно

Заметим, что все приведенные выводы применимы и к случаю сложных дробей вида Ограничимся рассмотрением числового примера. Пусть нам даны дроби: —^— и —^—. Находим сперва наим. кратное числителей -|- и ~ , оно равно Д~ ; далее наиб, делитель знаменателей -| и равен ~ . Значит, наименьшее кратное сложных дробей равно -~ : ~ = 540. Теперь находим наиб. делителя числителей сложных дробей: он равен ~; наим. кратное знаменателей равно -^=35. Значит, наиб, делитель данных сложных дробей равен

Такие же результаты мы получили бы, если бы предварительно заменили данные сложные дроби обычными, именно ^ и 2ï : Действительно наим. кратное 27 и 20 равно 540, а наиб, делитель 20 и 21 равен 1, и т. д.

Интересен вопрос о несоизмеримых числах. Здесь применение понятия о наим. кратном, а также об общ. наиб, делителе, возможно лишь для случая подобных радикалов вида m. j/ а и п. \ а, где m и п — рациональные числа; но такие иррациональные числа являются по отношению друг к другу соизмеримыми. Словом, понятие общего наименьшего кратного и понятие общего наибольшего делителя применимы лишь к взаимно соизмеримым числам, что вытекает из самого существа этих понятий. Ясно, что наим. кратное т\ а и n\fа равно наим. кратному тип, умноженному на j/ а (если считать, что все множители, представляющие точный квадрат, уже вынесены из-под знака корня1); наиб, же делитель равен наиб, делителю m и /г, также умноженному на |/ а.

Здесь возникает интересный вопрос о приближенном нахождении наим. кратного (равно и наиб, делителя), имеющем, в частности, большое значение в астрономии. Например, период Сарос, по истечении которого лунные затмения повторяются в прежнем порядке, равен приближенно 6 585-^- дня, именно 223 синодических лунных месяца = 6 585,32 суток, а 2;-2 драконических лунных месяца—6 585,35 суток, причем продолжительность синодического месяца равна 29,5306 суток, а драконического — 27,2122 (с точностью до 0,0001). Ясно, что Сарос есть приближенное наим. кратное этих двух месяцев (выраженных, к слову сказать, в дробных числах).

Рассмотрим сначала (для примера) приближенное нахождение наим. кратного I 2 и ] 3 (точнее, нахождение наим. кратного приближенных значений \' 2 и \/ 3 ). Результаты представляются следующей таблицей:

1 При таком вынесении могло бы получиться, что перед корнем оказались бы множители, представляющие общие множители m и п, и это изменило бы результат.

До 1

До 0.1

До 0,01

До 0,001

Y 2......

1 или 2

1,4 или 1,5

1.41 или 1,42

1,414 или 1,415

и......

1 или 2

1,7 или 1,8

1.73 или 1,74

1,732 или 1,733

Наим. кратное .

1 или 2

23,8 или 27.0

243,93 или 123,54

1 224,524 или 2 452,195

Из-за того, что у 1,42 и 1,74, а также 1,414 и 1,732 имеются общие делители, получается большой разрыв между наим. кратным приближенных значений с недостатком и с избытком. Ясно, что здесь не может быть речи о приближении значений наим. кратного к определенному пределу (к точке сгущения); этого следовало ожидать заранее, так как понятие об общем кратном несоизмеримых чисел не имеет смысла.

Интересные результаты получаются при аналогичной попытке по отношению к Саросу. Здесь получается следующая таблица:

До 1

До 0,1

До 0,01

До 0.001

Синодич. месяц.......

29 сут.

29.5 сут.

29,53 сут.

Драконич, месяц......

27

27,2

27,21

„Сарос" (наим. кратное) . .

783

8 024

80 351,13

Ясно, что таким путем мы находим лишь „Сарос", но не Сарос. Полученные таким способом данные сильно ошибочны; например, период в 8 024 дня содержит 272 раза по 29,5 суток и 295 раз по 27,2 суток. Но ведь здесь точность лишь до 0,1: значит, ошибка равна, вследствие отбрасывания 0,0306 и 0,0122, в первом случае 0,0306. 272 = 8,32 суток и во втором—0,0122-295 = 3,60 суток. Между тем, вышеприведенные приближенные значения Сароса отличаются друг от друга лишь на 0,03 суток.

Провал" способа нахождения Сароса при помощи наим. кратного вполне естественный; ведь по самому существу понятие наим. кратного (а также наиб, делителя) имеет смысл лишь при вполне точных подсчетах, с точными (соизмеримыми) данными. Но здесь имеется выход из положения,—превращение провала в победу.

Действительно, прибавляя к 8 024 суток поправки в 8,32 и 3,60 суток, мы получаем, что 272 синодических месяца = 8 032,32 сут., и 195 драконических = 8 027,60. Разница составляет 4,72 сут. А разность между продолжительностями обоих месяцев равна 2,32; удвоив ее, получаем 4,64, что только на 0,08 меньше 4,72. Поэтому, отнимая по 2 месяца, получаем, что 270 синодических месяцев = = 7 973,18 суток, а 293 драконических — 7 973,26. Разность равна лишь 0,08 суток. Мы получили (пока) не Сарос, но другой период, равный 21 году 303 дням (т.-е. 22 годам без 2 месяцев). Такой период не трудно проследить по астрономи-

ческим календарям; вот примеры (они, между прочим, вполне подтверждаются полным циклом лунных затмений с 1842 г. по 1888, составленным К. Фламмарионом).

Годы

Месяц и число (характер затмения)

Величина (диаметр Луны—1)

Продолжительность

Месяц и число (характер затмения)

Величина

Продолжительность

1903. .......

11—12 апреля (частное)

0,97

4 ч. 33 м.

6 октября (частное)

0,87

5 ч. 41 м.

1925. . . .....

8—9 февраля ; 0.74 (частное)

5 ч. 47 м.

4 августа (частное)

0,75

4 ч. 55 м.

1906........

9 февраля (полное)

1,63

5 ч. 46 м.

4 августа (полное)

невидимо в России

1927/28 .......

9 декабря 27 г. (полное)

1,36

5 ч. 14 м.

3 июня 28 г. (полное)

1,25 j 4 ч. 56 м. видимо на Дальнем Востоке

Здесь интервал между соответствующими затмениями все время равен 21 году 10 мес.

Но мы можем, пользуясь наим. кратным, получить и Сарос. Действительно, наим. кратное обоих месяцев (если продолжительность их дана с точностью до 1 ) равно 27.29= 783 сут. Допущенные при этом ошибки равны 0,5306.27 = 14,33 сут., а также 0,2122.29 = 6,15 сут. Значит, 27 синодических месяцев = 797,33 сут., а 29 драконических = 789,15 сут. Разница составляет 8,18 суток. Но учетверенная разность одного синодического и одного драконического месяцев (т.-е. 2,32) составляет 9,28, что лишь на 1,10 сут. отличается от 8,18. Значит, отнимая1 по 4 полных месяца, получаем, что 23 синодических месяца = 679,21 сут. и 25 драконических месяцев =680;30 сут. Разница равна лишь 1,09 сут. Теперь удваиваем период и получаем, что 46 синодических месяцев = 1358,42 сут., а 50 драконических = 1360,60; разность также двойная, именно 2,18 сут., что лишь немного меньше 2,32. Поэтому добавляем еще по одному месяцу (добавляем потому, что 46 синодических месяцев оказались меньше 50 драконических) и получаем, что 47 синодических месяцев = 1387,95 сут., а 51 драконических —1387,81. Разница лишь 0,14 сут.

А теперь сопоставляем этот период с ранее полученным и производим вычитание. Получаем: 7 973,26 - 1387,95 = 6 585,31 сут. и 7 973—1387,81 = 6585,19 сут. И соответствующие числа месяцев равны 270 - 47 = 223 и 293 — 51 = 242. Мы получили Сарос!

Итак, расширенное понятие наим. кратного и в этом случае вполне себя оправдало как основное вспомогательное средство для нахождения приближенных периодов повторяемости периодических текущих явлений. Само собой разумеется, что предлагаемый нами здесь метод вполне применим и к подсчету таких периодов, как Метонов цикл или промежуток между двумя великими противостояниями Марса, и т. д.

1 Надо именно отнимать, так как у нас 27 синодических месяцев больше (по продолжительности) 29 драконических.

Заметим в заключение, что обычное распространение понятия наим. кратного, а также общ. наиб, делителя на алгебраические выражения (одночлены) является лишь внешней аналогией и имеет лишь узкое прикладное значение для преобразования алгебраических дробей). Предлагаемое же здесь расширение понятия есть расширение по существу дела; конечно, это влечет за собой, как было показано, и расширение практических применений понятия.

Мы полагаем, что это расширение можно было бы с пользой для дела применить и в практике изучения математики в трудовой школе, вообще при изучении так называемой средней математики, особенно для любителей математики среди учащихся, так как здесь несомненно имеются моменты, математически развивающие учащихся, расширяющие их горизонты (и теоретически и практически).

ОБ ОГИБАЮЩЕЙ ОДНОГО СЕМЕЙСТВА

М. Гребенча (Москва)

Задача отыскания огибающей семейства окружностей, центры которых лежат на оси абсцисс, а радиус равен ординате параболы

у2 = 2рх

в той ее точке, абсцисса которой равна абсциссе центра окружности, является весьма распространенной в учебниках.

Уравнение огибающей есть парабола, уравнение которой есть

у2=р(2х + р).

Студ. АКВ А. Т. Титов обратил мое внимание на то обстоятельство, что огибающая касается не всех окружностей рассматриваемого семейства.

Действительно, при ближайшем рассмотрении оказалось, что окружность семейства

(X_a)2_j_3,2 = 2/7a

пересекает ось абсцисс в точках, абсциссы которых суть а—у/ 2ра и а-j- |/ 2/?а.

Рассматривая функцию z = a—j 2/?а, мы видим, что (при р > 0) она в промежутке ( 0, -~- ) убывает, имея значения в концах промежутка 0 и-|-, и в промежутке ,оо\ снова возрастает, имея при а = -~~ минимум и при з. — 2р значение 0. Значения функции г = а --Г)/2рен все время возрастают. Таким образом семейство окружностей

(х — а)*-\-у2 = 2ра

при изменении а от 0 до ~- таково, что окружности этого семейства являются непересекающимися и покрывающими друг друга. При изменении а от ^- до оо мы имеем дело с семейством окружностей такого рода, что представители семейства, отвечающие бесконечно близким значениям параметра, пересекаются, ибо абсциссы точек пересечения окружностей с осью абсцисс в промежутк возрастают.

Таким образом задача дает решение вопроса в случае отыскания огибающей семейства окружностей, центры которых лежат на оси параболы, исключая отрезок между вершиной параболы и ее фокусом.

Пусть дана линия

у=/(х),

непрерывная в промежутке (а, Ь) вместе со своей производной.

Отыскание огибающей семейства окружностей, центры которых лежат на оси абсцисс, а радиусы суть ординаты соответствующих точек,—легко.

Уравнение семейства окружностей:

(х- а)2 +j,2=/2(a)j

Диференцируя по а, имеем:

— (х-а) =/(а)/(а). откуда получаем уравнение огибающей в параметрической форме:

y=f(a) /1 -Я oö х = а— Да)/'(а).

Рассмотрение уравнения огибающей показывает, что огибающая семейства есть непрерывная кривая для значения параметра а в промежутке (а, Ь), исключая те промежутки, для которых [/''(а)] > 1, ибо для этих значений параметра ордината есть число мнимое

Следовательно, найденная кривая есть огибающая семейства окружностей, центры которых лежат на оси абсцисс, причем угловые коэфициенты касательных в соответствующих точках данной кривой должны быть по абсолютной величине не больше 1.

Для тех значений параметра, которые обращают /'(а) в единицу, огибающая пересекает ось абсцисс (ибо у = 0), а касательная в этой точке к оси абсцисс перпендикулярна.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВА Πcs(mπ/(2k+1)) = 1/2k

В. А. Польский (Краснодар).

Доказательство этого тождества мы имеем в статье М. Рахлина и М. Хазанова, помещенной в № 3 „Математического образования" за 1930 год. Авторы с помощью ряда Маклорена разрешили интересную гониометрическую задачу. Мне, с своей стороны, хотелось предложить другое, более простое доказательство того же тождества, основанное исключительно на элементарных соотношениях гониометрии.

Действительно, так как

то после замены оь\— через а, находим:

Здесь, как легко заметить, после сокращения на синусы с четными коэфициентами аргументов, в знаменателе останутся только синусы с нечетными коэфициентами, а в числителе — такое же количество синусов с четными коэфициентами аргументов: 2k, 2k— 2, 2k—4, и т. д. Но, с другой стороны:

Точно так же:

sn3a=sn(2&— 2) a; sn5a = sn(2& — 4) а, и т. д.

Следовательно, можно еще продолжить сокращение нашей дроби: sna сократится с sn 2koL, sn За с sn (2k — 2) a, и т. д. Так как количество множителей-синусов в числителе и в знаменателе одинаково, то все синусы сократятся, и у нас останется дробь — .

Таким образом тождество доказано, т.-е. мы имеем:

ЕЩЕ О РЕШЕНИИ ЧИСЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ.

Ч. Домбровский (Минск).

Этому предмету была посвящена работа А. П. Круталевича в № 17 —18 „Трудов Белорусского гос. университета" (1928). На ошибки ее указал первый В. Брадис в № 7 „Математического образования" за 1928 год (стр. 282 — 283). Но пример т. Брадиса не убедителен. Он берет уравнение

xs — 5* +0,1 = 0

и показывает, что методом т. Круталевича мы не приближаемся к корню этого уравнения, заключенному между 0 и 1. Но т. Брадис не замечает, что его же вычисления последовательных приближений —0,4642, —1,343, —1,896, —2,124 приводят к другому корню этого уравнения, близкому к — )/ 5 (корень уравнения хл — 5х = 0). Следовательно, это не подходящий пример на неприменимость метода итерации т. Круталевича.

Я предлагаю вместо этого следующий весьма эффектный пример на эту неприменимость. Возьмем уравнение

ДГ" -\-х— 1=0,

имеющее корень между 0 и 1 и не имеющее других вещественных корней.

Метод т. Круталевича состоит в том, что за первое приближение корня уравнения он берет у Л, если уравнение имеет вид

Хп =А-\~Х/(Х),

где f(x) -целый многочлен степени п — 2 относительно х. Здесь этот метод дает:

хх = 0; х2 = 1 ; *з = 0; лг4 = 1 ; ... х->н — 1 — 0; х2п = 1

для всякого целого и положительного п. Значит, это уравнение неразрешимо методом т. Круталевича, тем более, что после деления на х (что предлагает т. Круталевич для нахождения второго корня уравнения) оно дает

и, согласно методу т. Круталевича, должно иметь первым приближением вещественного корня . . . j—1 ! Вторым приближением тогда должно быть )/ ±1 —1,

и т. д., как это по поводу другого примера заметил в одном из заседаний Физико-математического о-ва при Белорусском гос. университете д-р Ц. Л. Бурстин (он брал уравнение х2 = 2х—1, имеющие двойной корень 4-1).

Если мы сделаем для уравнения х* = \—л: или х — ^\— х построение, которое делает т. Брадис на стр. 285 „Математического образования44 за 1928 г. (№ 7), то мы получим „хождение кругом да около44 по контуру квадрата (0,0), (0,1), (1,1), (1,0), очень эффектно показывающее неприменимость метода тов. Круталевича к этому уравнению.

ЗАДАЧИ

46. Решить уравнение:

л:3 — (а+6-f l)x2-f {ab-\-2a — \)х - ab■-а-f £ + 1 = 0.

С. Адамович (Тула).

47. Доказать что уравнение

*2 + 4у> + 8;г2 + 8*2 = я,

где п—число вида Ьт-\-2 или 4/?г-{-3, не может быть решено в целых числах.

48. Решить в целых числах уравнение:

X -\-у — 2ху -f- ху2 = 2уз _ 1.

49. Доказать равенство:

12 + 22+ ... + ф On + 1 + 2 (С\ + С\ +....+ Сп%

А. Зимин (Кинешма).

50. Из внешней точки А проведены к окружности две касательные AB и АС и середины их D и Е соединены прямою DE; доказать, что эта прямая не может пересечься с окружностью.

51. Доказать, что если около четырехугольника нельзя описать круга, то произведение его диагоналей менее суммы произведений противоположных сторон.

52. Через данную точку провести секущую к двум окружностям так, чтобы образовавшиеся в них хорды были равны.

Е. К. (Москва).

53. На медиане AD данного треугольника ABC найти такую точку М, чтобы сумма MA2 -f-MB2 -f- MC2 была наименьшей.

54. Показать, что

1 + sc20° = ctg30°. ctg40°.

55. В эллипсе провести параллельно большой оси хорду так, чтобы, соединив концы ее прямыми с концами большой оси, получить трапецию наибольшей площади.

56. Применить к нахождению интеграла

способы: 1) интегрирование по частям, 2) вторую подстановку Эйлера, 3) третью подстановку Эйлера, и объяснить различие получающихся результатов.

Н. Павлинский (Днепропетровск).

57. Решить уравнение:

А. Бутомо (Саратов).

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

13. Показать, что уравнение

x2-\-9y2 = 3k-\-2

не может быть решено в целых числах.

Из данного уравнения видно, что квадрат целого числа х при делении на 3 должен дать в остатке 2. Но если число не делится на 3, то оно имеет вид:

3t dz 1,

где t—целое число, и квадрат его, равный

9fl±6t+l9

при делении на 3 дает в остатке единицу.

А. Дмитровский (Москва), Н. Зеликман (Щегловск), С. Адамович (Туча), В. Швейдмюллер (Саратов), А. Левшук (Иркутск), И. Кампиони, М. Иванов, А. Баранов (Тула), А. В. (Москва), А. Бутомо (Саратов), И. Чемисов (Дмитровск), Б. Кобылин (Галич).

14. Данный отрезок а разделить на две части так, чтобы сумма площадей построенных на них правильного шестиугольника и равностороннего треугольника была наименьшей.

Если обозначим через х сторону правильного шестиугольника, то площадь его Q будет относиться к площади Q' равностороннего треугольника, сторона которого а — X, как

6х2:(а — X)2;

так что можно положить:

Q = 6\x2; Q' — X(a — х 2,

где л—постоянное, и задача сводится к определению minimum функции

/ х) = 6х2 + (а — X)2.

Мы имеем:

/'(*) = 12х — 2 {а — х) = 14X — 2а, и уравнение /' (х) = 0 дает

Так как

/'(*) = 14>0,

то это действительно minimum.

А. Дмитровский (Москва), А. Зимин (Кинешма), А.Агамалов (Актюбинск), д. Польшин (Москва), А. Баранов (Тула), С. Левшук (Иркутск). А. Богатырев (Казань), Н. Зимовнов (Саратов), С. Адамович (Тула), H Зеликман (Щегловск), Е. Воскресенская (Сормово), X. ,7. (Ростов на/Д), А Бутомо (Саратов), И. Чемисов (Дмитровск), Б. Добронравов (Ульяновск), Б. Кобылин (Галич), В. Лебедевская (Саратов).

15. Доказать, что если при пересечении ребер тетраэдра с шаром образуется шесть равных хорд, то суммы противоположных ребер тетраэдра равны между собою.

Из условия задачи следует, что ребра тетраэдра одинаково удалены от центра шара, а потому шар, концентрический с данным и касающийся одного из ребер, коснется и всех остальных.

Если обозначим точки касания ребер AB, AC, AD, ВС, BD и CD соответственно через К, L, M, N, Р и Q, то получим следующие равенства:

AK:=AL = AM = a: В К = BN = BP = b : CL = CN=CQ = c; DM = DP=DQ = d.

Каждая пара противоположных ребер даст в сумме

a -f- b -f- с -f- d.

A. Дмитровский (Москва), H. Зеликман (Щегловск), И. Чемисов (Дмитровск), С. Адамович (Тула).

16. Решить систему уравнений:

Две пары решений очевидны:

хх = а; ух = Ь\

и

х2 = Ь\ у2 — а.

Положив

x-\~y = z; ху = t,

приведем данные уравнения к виду:

z(t — \) = (a + b)(ab— 1), z* — 21 = а2 + Ь*

и после исключения t получим для определения z кубическое уравнение:

zs — (a* + b* + 2)z — 2(a-\-b) (ab —1) = 0,

один из корней которого есть

zx = а -f- Ь,

откуда

ti — ab.

Если разделим левую часть кубического уравнения на z — а — Ьу то придем к квадратному уравнению:

z2 + (tf-f b)z + 2(ab — 1) = 0

и из него найдем:

Второе из данных уравнений дает:

2t2, з = г2,32 - (а2 + ft*) = — (я -f *) z2,8 — 2 (а* — 1 ) - (а2 + б2), откуда после упрощений получим:

Теперь неизвестные х и у будут корнями трех квадратных уравнений: W2_^_|_^. = o,(/=i, 2, 3),

причем первое из них даст решения, указанные вначале.

А. Дмитровский (Москва), А. Зимин (Кинешма), С, Адамович, И. Кампиони (Тула), А. Богатырев (Казань), А. В. (Москва), X. У. (Ростов н/Д.), А. Бутомо (Саратов), Д. Синцов (Харьков), Н. Зеликман (Щегловск).

181. Проверить равенство;

Преобразуя левую часть равенства известным способом, получим:

Чтобы проверить данное равенство, возвысим обе части его в шестую степень. Возвышение левой части дает:

Если возвысим правую часть, то результат будет тот же:

А. Дмитровский (Москва), А. Зимин (Кинешма), А. Агамалов (Актюбинск), А. Левшук (Иркутск), Н. Зимовнов (Саратов), Г. Соколов (Владимир), В. Тарабрин (Суханово), М. Иванов, А. Варанов, И. Кампиони (Тула), Н. Зеликман (Щегловск), А. В. (Москва), X. У. (Ростов на/Д.), A. Бутомо (Саратов), И. Чемисов (Дмитровск), Д. Синцов (Харьков), Б. Кобылин (Галич), B. Лебедевская (Саратов), Н. Хайдуков (Петровск), Е. Воскресенская (Сормово).

19. Найти сумму п членов ряда:

Напишем следующий ряд тождеств:

1 Задача № 17 была уже помещена в № 1 „Мат. Обр." под №68.

Если сложим все эти тождества и обозначим через Sn искомую сумму п членов данного ряда, то получим:

/1-1=0,5.(^-1),

откуда

Sn = 2n-\.

А. Дмитровский (Москва), Н. Зеликман (Щегловск), А. В. (Москва), Б. Кобылин (Галич), С. Адамович (Тула).

20. Показать, что если а -(- ß -J- у + 8=0, то

Так как при условии задачи

то можем преобразовать данное выражение следующим образом:

Упростив это выражение, получим:

А. Дмитровский (Москва), А. Зимин (Кинешма), В. Сакк (Верхнеднепровск), А. Летук (Иркутск), А. В. (Москва), Е. Воскресенская (Сормово), Н. Зеликман (Щегловск), X. У. (Ростов на/Д.), А. Бутомо (Саратов), И. Чемисов (Дмитровск), Б. Кобылин (Галич), С. Адамович, (Тула).

21. Найти предел выражения:

при неограниченном возрастании л:.

Представим данное выражение в виде:

Умножив и разделив первую скобку на

а вторую на получим:

1 В условии задачи вследствие опечатки было вместо хъ во втором радикале напечатано X.

Если разделим числитель и знаменатель каждой дроби на л;2, то увидим, что при X оо первая дробь имеет пределом— у, а вторая дробь будет:

и ее предел равен нулю, а потому и предел всего выражения равен--у.

А. Дмитровский (Москва), Я. Зеликман (Щегловск), Л. Лодыженский (Тула), А. Левшук (Иркутск), А. Баранов (Тула), А Зимин (Кинешма), Е. Воскресенская (Сормово), Л. Чемисов (Дмитровск), Б. Кобылин (Галич), С. Адамович (Тула), В. Лебедевская (Саратов), В. Сакк (Верхнеднепровск).

22. Доказать, что при неравных a, b и с

Данное неравенство равносильно такому:

3 (аз + й8 + г3)>(а2 + б2 4_С2) (а + ь + с),

или

2 (а3 + ^ + £3) >(а + 6)ао + (£ + с)£г + (с+а)га,

или

(а + о) (а2 - ab + ô2) + (ô + с) (b2 — be + с*) + (c _|_ a) _ ca д_ a2) > >(a + ô) a£ -f- (6 + с) far + (с -f a) ca,

или, наконец,

+ (a —ô)2-f (ô-f^)(ô —c)2 + (r + a) (с — a)2 > 0.

Отсюда видно, что при неравных а, 6 и с данное неравенство справедливо* если суммы a-f-ô, b-\-c ис-{-а положительны.

А. В., А. Дмитровский (Москва), А. Зимин (Кинешма), Е. Воскресенская (Сормово), А. Бутомо (Саратов), И. Чемисов (Дмитровск), Б. Кобылин (Галич), С. Адамович (Тула), А. Агамалов (Москва).

23. Доказать, что если оси двух парабол взаимно перпендикулярны, то четыре точки их пересечения лежат на одной окружности.

Если направим оси координат параллельно осям данных парабол, то уравнения их будут:

х2 + Ах-\-Ву-{-С=:0

у*+А'х-\-В'у+С = 0.

Сложив оба уравнения, получим уравнение некоторого конического сечения, проходящего через точки пересечения парабол:

х*+у*+(А+А')х+(В+В)у+С+С=0.

Но так как, по условию, оси парабол взаимно перпендикулярны, то система координат прямоугольная, а в таком случае это уравнение выражает окружность.

А. Дмитровский (Москва), Я. Зеликман (Щегловск), Д. Польшин (Москва), Е. Воскресенская (Сормово), X. У. (Ростов на/Д.), И. Чемисов (Дмитровск), Д. Синцов (Харьков), С. Адамович (Тула), Я. Хайдуков (Петровск).

24. Решить в целых числах уравнение:

Если положим л;—1, то будем иметь:

так что у —±2.

При л = 2 получим:

откуда

При х — 3 вычисления дают:

так что

Таким образом, мы нашли три пары решений:

* = 1; ^ = ±2; х — 2\ у = + 17; х = 3: у = ±\ 645.

Испытывая далее х —4, после довольно больших вычислений получим:

/(5) = w=w=5194 672 859 376

и при этом сумма

[/(4)Р+/(5)

не является точным квадратом, так что х = 4 не дает решения.

Испытание значения х — Ъ представит слишком большие вычислительные трудности.

А. Дмитровский (Москва), С. Адамович (Тула).

ХРОНИКА

Краткий отчет о деятельности Тульского математического кружка. 1928—29 год.

На первом заседании 14/Х—1928 г. был принят план работ кружка на предстоящий год. Этот план был целиком выполнен, кроме пункта о напечатании сборника с отчетом и некоторыми докладами, что не было сделано за отсутствием средств. В течение года было 11 заседаний.

В осеннем семестре:

14/Х. Л. Н. Лодыженский. — Об уравнении \' х + 2 \/х— 1 —ух—- 2у~х —1 = 2 (по поводу задачи № 2 из „Математ. образов." за 1928 г., № 1). Доклад напечатан в № 5 этого журнала за 1929 г.

4/XI. Л. H. Лодыженский. - Об уравнении ax=zbx (напеч. в „Матем. образов.4' 1929 г., № 6).

С. В. Адамович.—Сообщение о заседании Московского математического кружка 28/Х, на котором им был сделан доклад о новых способах решения кубичного уравнения.

25/XI. А. А. Чернов.—Об одном практическом способе разложения рациональных дробей на элементарные дроби.

С. В. Адамович.—Очерк истории теоремы Герона о площади тр-ка и изложение чисто геометрического доказательства этой теоремы.

23/XII. Л. Н. Лодыженский.—Очерк развития понятия о функции.

С. В. Адамович.— Одно из старинных доказательств теоремы Герона (способ Вентури) (Напеч. в „Математ. образов." 1928 г., № 8.) В весеннем семестре.

27/1. А. Ф. Билима-Пастернаков. — Чисто геометрическое элементарное доказательство теорем Гюльдена о телах вращения.

А. Д. Щербаков.—Применение неопределенных уравнений 1-й степени с 2 неизвестными к* комбинированному подбору шестерен для нарезки зубчатых колес. (Напеч. в „Матем. образов." 1930 г., № 2.)

С. А. Адамович—Демонстрация прибора для деления угла на любое число равных частей. 17/II. Проф. И. И. Чистяков (Москва).—Обобщение формулы Эйлера в теории чисел и ее применения.

10/III. Л. Н. Лодыженский.—Очерк и сгори л и теории бесконечных детерминантов и систем линейных уравнений с бесконечным числом неизвестных—1-я часть.

А. Ф. Билима-Пастернаков.—2-я часть доклада о теоремах Гюльдена.

31/Ш. Л. Н. Лодыженский.—2-я часть доклада от 10/111.

С. Н. Поляков.—Доказательство теорем Гюльдена по методу неделимых.

21/IV. С. H Поляков.—К вопросу об эволюции доказательств в учебной геометрии. (Напеч. в „Матем. образ." 1929 г., № 7—8.)

Л. Н. Лодыженский.—О неизданных рукописях В. В. Бобынина по истории математики (по материалам Тульского архива).

19/IV. С. В. Адамович.—Одно из доказательств теорем сложения синуса и косинуса.

А. Д. Щербаков.—Применение показательного уравнения 2х — п к определению стойкости резца. (Напеч. в „Матем. образ." 1930 г., № 2.)

А. Ф. Билима-Пастернаков.—Об одной тэореме стереометрии (по поводу задачи № 43 из „Мат. образ." за 1928 г.).

9/VI. С. Н. Поляков.—Пропедевтический курс геометрии как 1-я ступень математического мышления.

Л. Н. Лодыженский.—Решение одного уравнения 4-й степени по способу итерации (по поводу задачи № 63 из .,Мат. образ." за 1928 г.).

Весною 1929 г. в кружке было 25 членов, в том чи:ле 2 иногородних почетных: профессора А. В. Васильев и И. И. Чистяков (Москва).

1929 — 30 год.

Первое заседание 13/Х—1929 г. было посвящено памяти скончавшегося 6/Х почетного члена кружка А. В Васильева. Л. Н. Лодыженским была прочитана биография покойного.

3/XÏ. С. В. Адамович.—1) О Владимирской губернской математической конференции в июне с/г. (в которой докладчик принимал участие). 2) Элементарный вывод формул для пределов действительных корней кубического уравнения.

24/XI. Заседание было посвящено памяти проф. В. В. Бобынина по случаю 10-летия его смерти. Выли сделаны доклады:

Л. Н. Лодыженский.—Биография В. В. Бобынина (напеч. в ,,Матем. образ." 1930 г., №№ 2 и 3).

С. Н. Поляков—Бобынин как историк математики.

22/1—1930 г. Л. H Лодыженский.—О применении метода итерации к доказательству сходимости некоторых бесконечных выражений.

С. В Адамович. - О некоторых свойствах кратных пропорций и о так называемых радикальных пропорциях.

С. Н. Поляков. - Элементы геодезии в преподавании геометрии.

Председатель кружка Л. Лодыженский.

Ответственный редактор И. И. Чистяков. Главлит N° А—77425. Типо-литография Центросоюза, Москва, Денисовский, 30. Тираж 1.300

Ст. А. Т. Б5. 176X250 мм 2 п. л. Р. П. № 00121.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

ЖУРНАЛ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА.

Ответственный редактор проф. I МГУ И. И. ЧИСТЯКОВ.

В число сотрудников входят профессора и преподаватели московских и провинциальных вузов, втузов, педвузов, техникумов и других учебных заведений СССР.

8 КНИГ В ГОД

ЗАДАЧИ ЖУРНАЛА:

Содействовать углублению и расширению математических знаний преподавателей математики, студентов вузов и учащихся рабфаков, техникумов и старших классов трудовой школы.

Знакомить читателей в доступной форме с новыми завоеваниями математической науки и ее приложением в области прикладных наук и техники.

Способствовать разработке новых учебных программ и методов преподавания элементарной, высшей и технической математики.

Содействовать об'единению и взаимному осведомлению математических и педагогических обществ, кружков, с'ездов, конференций и т. п. в их работе по постановке математического образования.

СОДЕРЖАНИЕ ЖУРНАЛА:

Статьи и заметки по различным отделам математики—элементарной, высшей и технической. Очерки по истории математических наук и их преподавания. Статьи по общей и частной методике преподавания математики на всех ступенях обучения. Сведения о научной и педагогической деятельности математических и педагогических обществ, кружков и других об'единений. Обзор текущей научной и педагогической математической литературы. Задачи и решения из области элементарной, высшей и технической математики. Математическая хроника. Ответы на запросы читателей.

УСЛОВИЯ ПОДПИСКИ: на год—6 руб., на полгода—3 руб. 60. коп. Отдельные номера по 90 коп. с пересылкой.

ПОДПИСКА ПРОДОЛЖАЕТСЯ.

ПОДПИСКУ НАПРАВЛЯТЬ: Периодсектор Госиздата—Москва, центр, Ильинка, 3; в магазины и отделения ГОСИЗДАТА.

АДРЕС РЕДАКЦИИ: Москва, Маросейка, Старосадский пер., 9, кв. 4.

90 коп.

ФИЗИКА, ХИМИЯ, МАТЕМАТИКА, ТЕХНИКА В ТРУДОВОЙ ШКОЛЕ

ЖУРНАЛ ГЛАВСОЦВОСА И ИНСТИТУТА МЕТОДОВ ШКОЛЬНОЙ РАБОТЫ РСФСР

Ответственный редактор П. П. ЛЕБЕДЕВ. 8 КНИГ В ГОД.

ЗАДАЧИ ЖУРНАЛА:

Помочь преподавателю в реализации программ и в усовершенствовании методов преподавания.

Освежать запас знаний учителя сообщением сведений о новых завоеваниях науки и техники.

Держать учителя в курсе педагогической и научной жизни внутри Союза и за границей.

Освещать задачи социалистического строительства страны с точки зрения слияния их с работой школы.

Активно участвовать в создании новой политехнической школы коммунистического воспитания.

УСЛОВИЯ ПОДПИСКИ: на год-7 руб., на 6 мес—4 руб,

ПОДПИСКУ НАПРАВЛЯТЬ: Периодсектор Госиздата—Москва, центр, Ильинка, 3; в магазины и отделения ГОСИЗДАТА.

НОВАЯ КНИГА ПО МАТЕМАТИКЕ

КОМПАНИЙЦ П.

ВЫСШУЮ МАТЕМАТИКУ — В ШКОЛЫ

80 стр. текста и чертежи на 87 стр. Цена 3 р., в/п. 3 р. 35 к.

С ЗАКАЗАМИ ОБРАЩАТЬСЯ:

В сектор книгораспространения Госиздата РСФСР — Москва, ГСП—1, Богоявленский пер., 4—Отдел школьной литературы; во все магазины и отделения Госиздата.