МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

№ 4

1930

ИЗДАНИЕ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

СОДЕРЖАНИЕ

С. Адамович.— Разложение на множители...................... 113

П. Андронов.— О прямой Симпсона......................... 119

Е. Марчевская.— О корнях уравнения третьей степени............... 123

П. Флоренский.— Пример аналитической функции с коробовою точкой........ 129

В. Фридман,— Расширение понятия об общем наименьшем кратном и общем наибольшем делителе................................... 132

Задачи.......................................135

Решения задач...................................136

Новые книги....................................144

SOMMAIRE

S. Adamovitch — Décomposition de polynômes en facteurs.

P. Andronov — Sur la droite de Simpson.

E. Martchevskaïa.— Sur les racines de l'équation du troisième degré.

P. Florensky.— Exemple de fonction analytique avec point anguleux.

U. Fridman.— Sur le plus petit commun multiple et le plus grand commun diviseur de fractions ordinaires.

Problèmes.

Solutions de problèmes.

Bibliographie.

ПРОДОЛЖАЕТСЯ ПОДПИСКА НА 1930 ГОД НА ЖУРНАЛ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

орган московского научно-педагогического математического кружка

8 КНИГ В ГОД

Ответственный редактор проф. 1-го МГУ И. И. Чистяков

ПОДПИСНАЯ ЦЕНА: на год —6 руб., на полгода—3 руб. 50 коп. Отдельные номера по 90 коп. с пересылкой.

ПОДПИСКА ПРИНИМАЕТСЯ:

в ОППИ изд-ва „Работник просвещения"—ул. Герцена, 10; в магазинах н отделениях издательства и у письмоносцев.

Москва 19, Воздвиженка, 10.

АДРЕС РЕДАКЦИИ: Москва, Маросейка, Старосадский пер., 9, кв. 4.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

№ 4

ЖУРНАЛ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

1930 г.

РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ.

Методическая заметка.

С. Адамович (Тула).

Приобретение навыка в разложении многочленов на множители несомненно весьма важно, так как подобного рода навык представляет весьма мощное орудие для преобразования алгебраических выражений и играет большую роль как при изучении низшей алгебры, так и высшего математического анализа, напр., интегрального исчисления.

Чтобы достигнуть успеха в рассматриваемой области алгебры, важна систематичность подбора примеров, постепенность перехода от более простых примеров к более сложным.

Нельзя требовать от учеников, чтобы они сразу ознакомились со всеми разнообразными приемами разложения алгебраических выражений на множители. Для достижения этой цели следует проделывать не сложные, а простейшие типичные примеры.

А иной усердный преподаватель придумает даже примеры с буквенными показателями. Подобные упражнения бесполезны. Не следует без настоятельной потребности усложнять внешний вид алгебраических примеров.

Наоборот, следует упражнять учеников в решении самых простых примеров, но эти примеры должны быть типичные, т.-е. такие, которые часто встречаются в дальнейшем курсе.

Прежде всего следует показать ученикам, как выносить за скобки общий множитель. Далее нужно разобрать с учениками разложение разности квадратов и способ группировки. Разложение квадратных трехчленов должно быть изложено после того, как учащиеся познакомятся с извлечением квадратного корня из чисел или решением квадратного уравнения. Причем при разложении квадратного трехчлена следует познакомить с двумя способами.

I способ. Прибавлением и вычитанием квадрата половины среднего коэфициента.

Пример: X2 —J— 7jc -j— 10;

II способ. Разложение свободного члена на два таких множителя, чтобы их сумма (или разность, если свободный член со знаком минус), была равна коэфициенту среднего члена.

Пример:

Пример:

Как солидный пример можно рекомендовать следующий.

Разделив на y-\-î, прибавив и вычтя по АГл,^_ > приведем к виду:

Разложив разность квадратов и умножив на + получим окончательно

(*+У + 1) (*У + х-х2+У— !)

Если учащийся сделает этот пример, то он хорошо знает разложение на множители.

Известно из аналитической геометрии, что уравнение степени выше первой может изображать не одну линию, а совокупность двух линий.

Пример. Уравнение

4х2 — \xy-\-y2 — Wx-\-5y — 6 = 0.

Разложив левую часть на множители, получим

(2х —у — 6) (2а: +1 — j/) = 0,

т.-е. оно представляет две прямые:

2х — 6 =у\ 2х-\-\—у.

Замечание. Квадратный трехчлен вида ах2-f-Ьх-f-с или ж2-f-рх-f-при а, &, с, р и (/ числах нечетных, не разлагается на множители*.

Я хочу обратить внимание читателя на более искусственные приемы разложения алгебраических выражений на множители, не входящие в программу средних школ, знакомство с которыми считаю полезным для молодого преподавателя.

I. Разложение суммы двух квадратов на множители. Если к выражению а2~\-Ь2 прибавим и вычтем по lab, то получим

(a + b)2 — lab

или

{а + bf — (у lab)2 = (а + b + \ïâb)(а + Ь—\ lab).

Отсюда видим, что, чтобы сумму двух квадратов можно было разложить на два рациональных множителя при помощи формулы разности квадратов, необходимо, чтобы удвоенное произведение оснований было точным квадратом.

Пример:

(x2)2 —(2)2; 2.x2.2 = 4jc2; X* + 4 -f \х2 — \х2 = (л:2 + 2х + 2) (х2 — 2х + 2).

Замечание. Произведение суммы двух квадратов на сумму двух других квадратов всегда может быть представлено суммою двух квадратов.

Пример: (а2 + &2) (<•- -f- &2) = (ас -f- fo/)2 + M — Ь(')'1**

* Это мною доказано. См. реш. зад. № 55 в „Математич. образовании" за 1930 г.

** Проф. В. Ермаков в своем труде .аналитическая геометрия'" на стр. 35 замечает, что это тождество часто встречается в математике.

II. Биквадратный трехчлен Ах*-f- Вх2-f-С может быть разложен на множители и будет иметь один из следующих видов:

А(х2-*) (jfl-Ç)

или

А (х2 + px + q) {х2 —рх — q).

Пример:

1х* — 56л:- + 105 = 7 (х* — 3) (х2 — 5).

Пример:

5х* + 1 Ох2 + 45 = 5 {х- + 2л: + 3) (jfi — 2л: + 3).

III. Биквадратный трехчлен вида х[ — hx2y2-\-yé9 где h есть некоторое целое или дробное число.

Указанный трехчлен может быть представлен в следующих формулах:

(*i+j,2)2_(Ä + 2)*y............I;

Ос2 —у-)2 — (h — 2) х-у- ...........II;

Отсюда легко видеть, что данный трехчлен может быть разложен на множители, когда коэфициент при х2у2 есть точный квадрат, увеличенный или уменьшенный на 2, т.-е. h = z'2+2, причем первое разложение возможно при нижнем знаке, второе—при верхнем.

Пример:

X' — 79х2у--\-у*;

Здесь — 79 = — 92 + 2;

(х- +У-)2 — 8\х2у2 = (л:- -f-y2 -j-9ху) (х- -\-у2 — 9ху).

Пример:

Xs + (2я — а2 — 3) х±у2 -\-у4.

Изменив знак перед скобкой второго члена, имеем:

Х8 _ (а2 _ 2а + 3) лг*у2 + V4; а2 — 2а -f 3 = (а — 1 )2 + 2.

Следовательно, данный трехчлен можно представить в виде

Xs — (а — 1 )2х4у2 — 2хАу'2 -\-у*

или

[Х4 ^yqi-[(a-\)x2y]2

и окончательно

[л:4 —у2 -{-{а — 1 )х-у] [х[ —у1 — (а — 1 ) х2у].

IV. Многочлен вида Ах2у2 + Вх2 + Dy2' +Е разлагается на множители, если B.D — A.E.

Пример:

Зл^у-Ч- X2 + 24у2 + 8.

Здесь 3.8 = 1.24;

(Зу2 +1 ) + 8 (Зу2 +1 ) = (Зу- +1 ) (л:2 + 8).

К разложению на множители многочленов вида

следует применить I способ разложения квадратного трехчлена, а потому я останавливаться на этом не буду, а только укажу, что многочлен

Ах2-\- Вху -f Су- + Dx-\-Ey + F

разлагается на множители в виде

А(х-а) (х-р)

и многочлен

Ах*у* -f В х- + Сху -f Dy- + Е

разлагается на множители в виде

(Ау*+В) (х-а) {х-ß)

или

Л (лу -f рх + #у -f 2) (ху —рх — qy + z)-

V. Кубичный трехчлен вида x*-\-px-\-q, если разлагается на множители, то может иметь один из следующих видов:

(х -f а) {х- — ах+ Ь)

или

(х—а) (х2 -\-ах + Ь).

Перемножив:

(х + а) {х2 — ах ~\- Ь) — х (х -(- а) (х — а) + b (х + а)=Jt:* -f- (6 — а2) л: -f- а&.

Из этого я даю следующее правило:

Чтобы разложить трехчлен вида х:] -\-px-\-q на рациональные множители, необходимо свободный член разложить на два такие множителя, разность которых между одним из них и квадратом другого есть коэфициент среднего члена.

Пример:

х*-\-\7х— 42; 42=2.21; 21 —22= 17; х*-\-17х — 42 = (х — 2) (*2 + 2х + 21).

Пример:

хп+ 4*4-39 = (л;-}-3)(;с2 — Зх + 13)*.

Замечание. Трехчлены вида aar -j- Ъх -f- с и ж3 -f- Vх + 2i при а, Ъ, с, р и q числах нечетных, на рациональные множители не разлагаются.

Кубичный четырехчлен ах* -\- bx1 -f-сх -\- d разлагается на множители весьма просто, если произведение крайних коэфициентов равно произведению средних, т.-е. ad = bc.

Пример:

21 х- - 14ах2 + 9х — 6а;

здесь

21.(— 6а) = — 126а; (— 14а).9 = — 126а; 21л:3— 14ал;- -f 9х — 6а = 7х2 (Ъх — 2а) + 3 (За: — 2а) = (Зл: — 2а) (Ix1 -f 3).

Если сумма коэфициентов четырехчлена ал:3-[-6л:2-f-£•*:-|-d равна нулю, то это точный признак, что многочлен имеет множитель х — 1.

Пример:

7л:3— 5х2 —4*4-2;

здесь

_ 7 + ( — 5)+( — 4)+ 2 = 0.

* Указанный способ разложения кубичного трехчлена в русской печати не встречается. Впервые вышеозначенный способ мною был доложен в Московском математическом кружке в ноябре 1928 г.

Многочлен разлагается на

{х-1) (7х* + 2х — 2).

Если многочлен имеет множитель л: + 1, то сумма коэфициентов при четных степенях равна сумме коэфициентов при нечетных степенях.

Пример:

Jc:j+9^+23x + 15;

здесь

1 _)_ 23 = 9 + 15.

Следовательно,

л:а +9х2 + 23лг + 15 = (*+l)(*+3) (х + 5).

Способ отыскания множителей х — 1 и х +1 применим не только к многочленам квадратной и кубичной формы, но и к многочленам высших степеней.

Пример:

2х* — 2х* + Зх* — Зх2 + 6х — 6 ;

здесь

2 — 2-f3 — 3 + 6—6 = 0,

следовательно, данный многочлен имеет множитель х — 1 :

2хь — 2х± + Зл? — Зх- + 6х — 6 = (л; — 1 ) (2xJ + Злг2 + 6).

Для отыскания двухчленного множителя пользуются очень часто так называемой теоремой Безу.

„Многочлен, содержащий букву х, делится без остатка на х — а, если этот многочлен обращается в нуль после подстановки в него а вместо хи.

Пример. Многочлен

\ах* — 7а2х- — Шх + 9а4

обращается в нуль при х = a, a потому он делится на х — а.

Пример. Найти все целые двухчленные делители многочлена х* — 17х* + 98*- — 232л: + 192.

Находим делители числа 192; это будут числа 2, 3, 4, 6, 8 и т. д. Искомыми делителями будут

л: + 2; х + 3; х + 4; х + 6...

Подставляя в многочлен вместо х число 2, легко убедимся, что многочлен обращается в нуль; стало быть, он делится на х — 2. Подставляя же вместо х число —2, убедимся, что многочлен не обращается в нуль; следовательно, л: + 2 не есть его делитель.

Продолжая дальнейшее испытание, легко найдем, что делителями данного многочлена будут:

X — 2; X — 3; х—-4; х—8;

других целых делителей не может быть, так как данный многочлен — четвертой степени.

Если многочлен степени выше третьей, то он может не иметь двучленных множителей, а все же на множители разлагается.

Рассмотрим, как разлагаются многочлены 4-й степени. Если многочлен вида

X* + ах3 + Ьх- + сх + d

разлагается на множители, то он может быть представлен в виде

(х2 ~\-px~\-q) (х- + тх + /г).

Разбирать этого случая я не буду, так как он изложен в № 4 „Математ. образование" за 1927 г.

Может случиться, что многочлен вида

хЛ + ах4 -f - bx- -\-cx-{-d

разлагается на

(х2 + m) (х- + пх + р).

Этот случай мною разобран в № 1 „Математ. Образ." за 1929 г. Наконец, рассмотрим многочлены вида

хл -f- ах- -| - Ъх -f- с

и

хА + /ггх -f- я.

Сперва заметим, что если многочлен вида

х{ + аа?'- + Ьх -\-с

разлагается на множители, то он будет иметь следующий вид:

(х- + тпх+ р) {х- — тх + q).

Перемножив эти два квадратных трехчлена, найдем

а;4+ (/?+# — m1) х- — m (р — q) x~\-pqz=zö.

Из полученного я вывожу следующее правило: для нахождения коэфициента m при среднем члене необходимо коэфициент при х разделить на p — q, т.-е.

и еще должно быть выполнено условие относительно коэфициента при т. е.

p-\-q — m2 = а.

Таким образом необходимые условия:

и

Пример:

х*-{-26х2— 5х~ 176.

Если будем делать испытания по теореме Безу, т.-е.

176 = 1.176 = 2.88=... и т. д.,

то все это будут напрасные испытания, так как многочлен не имеет двучленных делителей. Применяя свой способ, я рассуждаю так: коэфициент у х—число нечетное, а потому 176 буду разлагать на такие два множителя, чтобы разность их была числом нечетным, т.-е. один из них должен быть четный, другой нечетный; таковые множители суть 1.176 и 11.16. Ясно, что удовлетворит требованию 2-е произведение, так как

16 — 11=5: 5:5 = 1 и 11+16 — 1-= 26.

Итак

Ж4 4_2бх- — Ъх +176 = (#-' + ж + 16) (Х-—Х + 11)*).

Пример:

л*1 + Sx — 6; 6 = 2.3; 2+3=5; 5:5 = 1.

*) Способ этот мною был доложен в Московском математическом кружке и на Тульской и Владимирской математических конференциях.

Данный многочлен разлагается на

(х- -\-х — 2) (х- — X + 3).

Пример:

X* — 100*-+ 20* — 1.

Так как свободный член со знаком минус, то берем сумму абсолютных величин:

(1 + 1) = 2; 20:2 = 10; —1+1 —10-' = —100.

Предложенный многочлен распадается на

(л?+10* — 1) (*-' — 10* + 1).

Конечно, есть еще очень много приемов, применяемых при разложении алгебраических многочленов, но с ними мы познакомимся в задачах, которые будут предлагаться на страницах журнала.

О ПРЯМОЙ СИМПСОНА.

П. П. Андронов (Владивосток).

(Доклад, сделанный в заседании Математической конференции Д.-В.Г.У. 25/1 —1929 г.).

В геометрии треугольника имеет место следующая теорема (см., напр., F. G.-M. Exercices de géométrie, p. 537):

Теорема. Если через произвольную точку Р описанной около треугольника ABC окружности провести три прямые, соответственно составляющие одинаковые по величине и по направлению углы со сторонами треугольника, то точки пересечения проведенных прямых с соответствующими сторонами треугольника лежат на одной прямой.

Эта теорема легко доказывается приемами элементарной геометрии, и она особенно популярна в том частном ее виде, когда из Р опускаются перпендикуляры на стороны треугольника ABC. Фигурирующая в теореме прямая трех точек называется прямой Симпсона (Droite de Simpson), соответствующую же точку Р иногда называют полюсом этой прямой.

Если, далее, в плоскости имеются четыре прямых AB, АС, ЕВ, ЕС, пересекающихся попарно в точках А, В, С, D, Е, F и образующих четыре треугольника

Черт. 1. Черт. 2.

ABC, CDE, ADF, BEF, то доказывается (F. G.-M., p. 299), что окружности, описанные около этих треугольников, проходят через одну и ту же точку М, которая называется точкой Микеля (Pointe de Miguel) и которая обладает следующим замечательным свойством.

Теорема. Если через точку Микеля провести четыре прямые, соответственно составляющие одинаковые по величине и по направлению углы с четырьмя данными прямыми, то четыре точки пересечения проведенных прямых с соответствующими прямыми из четырех данных лежат на одной прямой.

Эта теорема есть следствие предыдущей теоремы.

Целью настоящей заметки является показать, что приведенные теоремы оказываются следствиями более общего свойства всякого треугольника.

Будем вести рассуждения в прямоугольной системе координат. Допустим, что в этой системе координат заданы три постоянные прямые с уравнениями

(1)

и соответственно им заданы три постоянные направления с угловыми коэфициентами

(2).

Предложим себе найти геометрическое место таких точек Р (£, т]), что, если через Р провести три прямых по направлениям (2), то точки пересечения их с соответствующими прямыми (1) лежат на одной прямой, уравнение которой будем писать в виде

X = kx -f- b............. (3).

Точка пересечения прямой (3) с первой прямой (1) имеет координаты

угловой же коэфициент прямой, соединяющей эту точку с P(ç, tj), выразится поэтому так:

По условию вопроса этот угловой коэфициент должен быть kx\ что приводит к такому уравнению:

или

аналогично

Исключая отсюда b и k и принимая для краткости

уравнение искомого геометрического места получим в виде

или, после некоторых преобразований и замены ; и г\ на х и у,

У — kxx — bx ki (y—kiX — й,)!=:0.

Это уравнение иначе можно переписать так:

где

или, наконец, так:

(5).

В результате всего этого мы приходим к такой теореме:

Теорема. Если в плоскости имеем три вполне определенных прямых

и соответственно им три вполне определенных направления с угловыми коэфициентами

то коническое сечение

есть геометрическое место таких точек Р, что прямые, проходящие через И по направлениям (II), пересекают соответственные прямые (I) в трех точках, лежащих на одной прямой.

Это коническое сечение, как легко видеть, проходит через вершины треугольника, образованного данными прямыми. Кривую эту можем назвать коническим сечением Симпсона, описанным около данного треугольника для заданных направлений.

Если теперь в плоскости имеем четыре вполне определенных прямых и соответственно им четыре определенных направления:

прямые I, II, III, IV,

направления 1, 2, 3, 4,

то, взявши два из образующихся здесь треугольников (I, П, III) и (IV, II, III), около каждого из них можем описать конические сечения Симпсона для направлений 1, 2, 3 и 4, 2, 3 соответственно.

Эти два конических сечения, кроме точки пересечения прямых II и III, будут иметь еще три общих точки Ми Ж2, М3 (две из них могут оказаться мнимыми). Взявши одну из этих точек, например Ж2, проведем через нее прямые по направлениям 1, 2, 3, 4. Согласно доказанной теореме, точки 1', 2', 3' лежат

Черт. 3.

на одной прямой; на одной прямой лежат и точки 4', 2' 3'. Отсюда заключаем, что все четыре точки Г, 2', 3', 4' лежат на одной прямой. Аналогичные рассуждения можно повторить и в отношении точек Ми М3.

Точки Мъ Мъ М3 можем назвать точками Микеля четырех данных прямых для заданных направлений.

Легко доказать такую теорему:

Теорема. Имея в плоскости четыре определенных прямых 1, II, III и IV и описав около треугольников

(I, II, III), (I, II, IV), (I, HI, IV), (II, III, IV)

конические сечения Симсона соответственно для направлений

1, 2, 3; 1, 2, 4; 1, 3, 4; 2, 3, 4,

получим, что все эти конические сечения пройдут через три определенных точки Ми Мъ М,.

В самом деле, взявши два из этих треугольников, например (I, П, III) и (I, II, IV), найдем точки Микеля Ми М2, М-6 для заданных направлений. Так как при этом точки 1', 3', 4' оказываются лежащими на одной прямой, то коническое сечение Симпсона треугольника (I, III, IV) для направлений 1, 3, 4 необходимо должно пройти через Ми М2 и М?>.

Аналогично и для четвертого конического сечения Симпсона.

Эта теорема иначе говорит о том, что точек Микеля четырех данных прямых для заданных направлений существует три, и только три.

Для иллюстрации найденных результатов прежде всего следует показать, что приведенная в самом начале теорема есть следствие из них.

Если через M проводятся прямые, составляющие со сторонами треугольника одинаковые по величине и по направлению углы, то в наших обозначениях это выразится так:

Коэфициент при ху в уравнении (5) будет

Далее, беря разность коэфициентов при х2 и у2 в том же уравнении, получим

Но

а потому

т.-е. коэфициенты при х2 и у2 одинаковы.

Отсюда следует, что действительно при таких условиях коническое сечение Симпсона представляет собой описанную около треугольника окружность.

В качестве второго примера, иллюстрирующего то, что полученные нами результаты достаточно общие, можно указать на геометрическое место точек, о котором упоминают Brocard и Lemoyne в их книге „Courses géométriques remar-

quables", tome I, p. 309, и которое там называется коническим сечением Симпсона. Там говорится, что, если проекции точки M на стороны Ь, с, а треугольника АБС, полученные соответственно при помощи перпендикуляров из M на а, Ь, с, лежат на одной прямой, то M принадлежит геометрическому месту с уравнением в нормальных координатах:

ßy cos В sin С + ay cos С sin А + аЗ cos Л sin 5 = 0.

В наших обозначениях, если угловые коэфициенты сторон

а, Ь, с

треугольника суть соответственно

k\9 k^,

то угловые коэфициенты прямых, проводимых через М, будут

Черт. 4.

Уравнение (4) поэтому напишется в таком виде:

или

или, наконец,

О КОРНЯХ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ.

Е. Марчевская (Харьков).

В № 8 за 1928 г. журнала „Математическое образование" на стр. 340 была доказана следующая теорема: Если корни уравнения

все вещественны, то они заключаются: 1-й — в промежутке

2-й — в промежутке и 3-й — в промежутке

где

Для уравнения вида

по этой теореме имеем корни:

1-й—в промежутке

2-й — в промежутке

3-й — в промежутке

где

Справедливость этой теоремы можно было предвидеть из приводимых далее геометрических соображений. Заметим предварительно, что известное условие вещественности корней

требует, чтобы было

причем р = О может быть только при q = 0.

Корни уравнения (1) можно найти, определив абсциссы точек пересечения кубической параболы

y = x?'+px-f-q (2)

с осью х-ов

у = 0.

Как известно, на основании исследования производных у, функция эта или имеет экстремальные значения, если р < 0, или не имеет их и все время возрастает, если р^О. Соответственно этому имеем два вида кривой (2), изображенные на чертеже (1) и (1').

Черт. 1.

Черт. 1'.

Черт. 2.

Обратимся к вопросу: когда уравнение (1) может иметь три вещественных корня, т.-е. когда кривая (2) может иметь три точки пересечения с осью х - ов? При р < 0 это может быть при таких трех положениях кривой относительно

оси X - ob: 1) ось х-ob пересекает кривую в 3 точках: А Б, С; 2) ось х-ов касается кривой в точке Д где у достигает maximum, и пересекает кривую в точке F (черт. 3); 3) ось л: - ов касается кривой в точке Ел где у достигает minimum'a, и пересекает кривую в точке G (черт. 4). Найдем абсциссы точек Д Е, G, F. Так как в точках D и Е у достигает экстремальных значений, то

Черт. 3.

Черт. 4.

Для определения абсцисс точек G и F составляем уравнение касательных GE и DF, а для этого определяем отрезки EQ и DP. Так как —EQ является minimum'oм у, то мы найдем —EQ как значение у при

Уравнение касательной GE имеет вид:

(3)

Пересечение прямой (3) с кривой (2) даст точки G и Е.

Таким образом

Подобным же образом найдем:

Черт. 2 показывает, что первый корень лежит между

в промежутке

второй корень — в промежутке

и третий—в промежутке

Из черт. 3 находим: двойной корень, равный ——— —-, и простой корень, равный -J- —з~~ *

Наконец, из черт. 4 имеем простой корень, равный —^ з и двойной равный -4--—т—• о

Таким образом справедливость доказаннной теоремы во всех трех случаях усматривается непосредственно из чертежа.

Рассмотрим теперь уравнение (1)

x* + px + q = 0 (1)

при условии

Р>0.

Чертеж (1 ') показывает, что кривая может пересекаться с осью х - ов только в одной точке; следовательно, уравнение (1) имеет только один вещественный корень, как это известно из формулы Cardan'a.

Если назовем кривую

y = xA+px + q

при условии р < 0 параболой вида (Л), а при условии рт^О параболой вида (7J), то на основании чертежа можно сказать, что для параболы вида (Л), перенося ось х-ов параллельно самой себе (при этом в уравнении (1) изменяется только известный член), всегда можно получить три точки пересечения оси х-ов с кривой; для параболы же вида (В) при таком перенесении всегда будет только одна точка пересечения. Таким образом для параболы вида (Л) существование мнимых корней обусловлено положением кривой относительно оси х-ов, а для параболы вида (В)—формой кривой.

Если мнимые корни уравнения (1) при р < Ü назвать мнимыми корнями вида (Л), а при /7^0 — мнимыми корнями вида (В), то между ними можно установить разницу. Пусть уравнение имеет корни: Y

Так как

Так как

Черт. 5.

Следовательно:

Пусть а > О

Если построим прямые у =--}—— {ВгВ) иу = —^— (Л, Л), а также прямые х =——{KXL) п х= 2 (KLt)9 то пересечение их даст прямоугольник, на сторонах которого KXL или KL^ лежат корни x2 — b-\-ci и x3 = b— ci, при условии р < 0.

При /?;^0 корни лежат на продолжении KXL или А7^ или в точках Ки L или /Г, Lx.

Аналогично рассуждаем при а^О. Подбирая корни, удовлетворяющие условию I с I < -^-|/ 3 или I с I > -у}7 3 , получим параболу вида (Л) или вида (В).

Примеры: 1) Пусть корни уравнения равны:

хх = 4 ; х2 = — 2 -(- 3/ ; лг3 = : — 2 — 3/

Тогда

а = 4; £2 = 9; c-(<-|V;

поэтому будем иметь параболу вида (Л):

j/ = (х— 4) (х + 2 —3/) (л: + 2 + 3/), или у zzz (л: — 4) (л:- + 4л; + 13) или у — х'л — Зх — 52.

р —— 3<0—парабола вида (Л).

2) Пусть корни уравнения равны:

х} = 4 ; Хо = — 2 + 5/ ; x:J =-- — 2 — 5/.

Тогда

Поэтому парабола будет вида (В):

у - ~хл + 13х —116:

Действительно, /?> 0.

Интересно исследовать вопрос: как, в случае существования мнимых корней уравнения 3-й степени, нарушаются те условия, которые являются необходимыми и достаточными, чтобы все корни уравнения были вещественными?

Существует теорема: условие, необходимое и достаточное для вещественности всех корней уравнения f(x) = 0, состоит в неравенствах:

X î, х2,... лгш корни уравнения f(x) — О, освобожденного от кратных корней (Д. Граве. Элементы высшей алгебры. 1914 г., стр. 403.)

Как известно,

(Д. Граве, стр. 282.) Для уравнения

имеем

Для вещественности всех корней уравнения 3-й степени формулы Cardan'a требуют выполнения условия

если нет кратных корней; следовательно,

Если имеем параболу вида (Л), т.-е. р < 0, то условие Д2>0 соблюдено. Если уравнение имеет мнимые корни, то на основании формул Cardan'a

а потому

т.-е. в этом случае нарушено только одно 2-е условие.

Для параболы вида (В) имеем /7^0, и так как в этом случае существуют мнимые корни, то на основании формул Cardan'a

следовательно,

т.-е. нарушены оба условия.

Доказанная теорема о корнях уравнения 3-й степени приводит к следующему заключению: 1) если при р < 0 уравнение (1) имеет корень вне промежутка ^—~у "^у)' то эт0 УРавнение имеет мнимые корни; 2) если при р < 0 уравнение (1) имеет корень в промежутке!--—, -f—у 1> то все корни этого уравнения вещественные.

Примеры: 3) xz — 7л: -|- 6 = 0

Корень X = 1 лежит в промежутке ^— -у, + -у J 5 следовательно, все корни вещественные. Действительно, х2 = 2, хг= - 3.

4) л:3 — Зх — 52 = 0

См. пример 2-й.

Я = ^ — 12р = V 36 = 6.

Корень лг = 4 лежит вне промежутка I — — , +у I, следовательно, уравнение имеет мнимые корни. Действительно, мы видели, что

Хч = — 2 -j- 3/; #з = — 2 — Зг.

ПРИМЕР АНАЛИТИЧЕСКОЙ КРИВОЙ С КОРОБОВОЮ ТОЧКОЙ.

П. Флоренский (Москва).

В элементарных курсах анализа при обсуждении видов прерывности обычно ограничиваются двумя видами существенных особых точек — точкою разрыва и угловою, в соответствии с прерывностью самой функции f(x) или ее первой производной f'(x). Однако может случиться, что и та и другая в данной точке непрерывны, но тем не менее вторая производная f"{x) претерпевает в точке х — а разрыв. В таком случае можно говорить, что основная кривая f(x) имеет в точке х=а разрыв третьего порядка. Таким образом, согласно знакоположению Дирихле,

(1) (2) (3)

Радиус кривизны р выражается равенством:

(4)

Следовательно, в нашем случае предельные значения радиуса кривизны справа и слева от точки х = а выразятся соответственно равенствами:

(5) (6)

В силу соотношений (2) и (3) из (5) и (6) явствует неравенство предельных значений радиусов кривизны справа и слева от точки х = а:

Таким образом рассматриваемая кривая, не претерпевая разрыва и не ломаясь в означенной точке, испытывает внезапное изменение своей кривизны. В архитектуре линии сводов, стен и т. д., получаемые смыканием прямых и дуг различного радиуса кривизны, получающих в общей точке также и общую касательную, называются коробовыми. Расширяя объем этого термина, мы станем называть коробовыми кривыми все кривые с внезапным изменением радиуса кривизны при отсутствии излома или разрыва в соответственной точке, а точки, где прерывно меняется радиус кривизны,—коробовыми точками.

Рассмотрим простой пример одной из кривых с коробовою точкою. Она выражается функцией

»=фг. <8>

Мы будем рассматривать течение этой кривой только в промежутке от — 1 до + 1, так как именно в этом промежутке находится ее коробовая точка. Особой точки или угла можно было бы ждать для значения х — 0.

Однако

(9)

Кроме того,

(10)

что дает

(11)

Таким образом разрыва первого или второго порядка в х = 0 у кривой не имеется ни справа, ни слева. Рассмотрим теперь вторую производную:

(12)

При X — 4- 0 в знаменателе трех последних членов получается со высшей породы (термин Н. В. Бугаева) сравнительно с числителем; поэтому эти три члена при х=. -|-0 будут нулями и, вследствие равенства нулю также и первого слагаемого,

/"(+0) = 0 (13)

Если же / = —0, то три последние слагаемые будут нулями, так как порода нуля в числителе везде выше породы нуля в знаменателе; первое же слагаемое даст 2.

Таким образом

/'"(—0)=2 (14)

График функции f'(x) представлен на фиг. 1 штриховою линией ILKMONQRS. При х = =со f"(x) стремится к 1. Кривая имеет справа и слева асимптоту TVU, параллельную оси ОХ, и проходящую от нее на расстоянии 01/= 1. Между X =0,7 и #=0,8 кривая получает максимум, равный 1,03. В точке К она пересекает асимптоту UT и идет почти параллельно ОХ, затем круто поворачивает вниз и, после перегиба в М, приходит в О, касаясь оси ОХ. Далее кривая обрывается и выходит в точке X = 2, где касательной ей служит прямая с уравнением // = 2. Круто поворачивая книзу, она перегибается, в Q пересекает асимптоту и, после минимума в В (между х = — 0,7 и х — — 0,8), равного 1,07, начинает подходить к асимптоте снизу.

Разрыв первого порядка у f"{x) доказывает разрыв второго порядка у f'(œ) и разрыв третьего порядка у }\х). Следовательно, f'(x) имеет в начале координат угловую точку; углы наклонения о ее касательных справа (ось абсцисс) и слева даются соотношениями:

(15)

(16)

Следовательно угол между касательными в точке х = 0 равен 63 °30#. График f'(x), т.-е. тангенс угла наклонения кривой f(x), представлен тонкой линией EOF.

Основная кривая начерчена толстой линией ЛОВ. В х — 0 у нее имеется особая точка—разрыв третьего порядка, характеризуемый скачком изменения радиуса кривизны р. В самом деле,

(17)

(18)

Следовательно, справа от точки О основная кривая выпрямляется, а слева представляет часть окружности, описанной из точки С радиусом равным 1/2. Но касательная основной кривой справа и слева одна и та же. Таким образом рассматриваемая кривая относится к типу коробовых. Для наглядности на чер-

теже нанесен пунктиром также граф радиуса кривизны — кривая WZQCQ'W. Эта кривая имеет в Z минимум, асимптотически приближается к оси OY, а далее появляется в С (причем ОС=1/2) и быстро подымается вверх. Результаты вычисления точек обсуждаемой основной кривой с точностью до 0,0001 сопоставлены в таблице.

Таблица величин, характеризующих функцию у=—х~—.

X

У

у'

у"

Р

— 1

0,731 054

- 1,265 508

0,978 036

4,290 26

- 0,9

0,609 392

- 1,167 878

0,974 521

3,729 60

— 0,8

0,497 472

- 1,070 575

0,971 832

3,23516

— 0,7

0,395 372

— 0,973 402

0,972 585

2,794 42

— 0,6

0,302 807

- 0,875 730

0,983 595

2,387 83

- 0,5

0,219 590

— 0,771,513

1.005 931

2,002 94

— 0,4

0.147 863

— 0,668 276

1,127 091

1,543 69

— 0,3

0,086 9С0

- 0,547 072

1383172

1,070 75

— 0,2

0,039 732

— 0,390 674

1,756153

0,703 727

- 0,1

0,010 000

— 0,199 950

1,994 505

0,531 667

- 0

0,000 000

— 0

2,000 000

0,500 000

4- о

0,000 000

+ 0

0,000 000

ос

Ч-ол

0,000 000

+ 0,000 055

0,005 538

184,78

4- 0,2

0,000 268

+ 0,009 325

0,243 839

4,101 69

+ 0,3

0,003100

+ 0,052 926

0,639143

1,57117

+ 0,4

0,012138

+ 0,130 789

0,873 908

1,17404

+ 0.5

0,030 410

4- 0,228 487

0,994 070

1,085 76

4- 0,6

0,057192

4-. 0,324 273

1,016 421

1,140 41

4 0,7

0,094 730

4- 0,426 598

1,027 418

1,250 74

+ 0,8

; 0,142 528

4- 0,529 426

1,028177

1,406 64

-f 0,9

0,200 607

4- 0,632122

1,025 472

1,614 63

+ 1

' 0,268 943

4- 0,734 495

1,021 965

1,86912

РАСШИРЕНИЕ ПОНЯТИЯ ОБ ОБЩЕМ НАИМЕНЬШЕМ КРАТНОМ И ОБЩЕМ НАИБОЛЬШЕМ ДЕЛИТЕЛЕ.

В. Г. Фридман (Москва).

Обычное определение наименьшего кратного нескольких данных чисел имеет в виду лишь целые числа, и не принято говорить о наименьшем кратном дробных чисел. А между тем ряд вопросов, решаемых при помощи нахождения наименьшего кратного, требует распространения понятия наименьшего кратного и на дробные числа: таковы вопросы о нахождении времени повторения периодически

протекающих явлений, как то: совокупности нескольких колебательных движений (например, звучащих тел), прежнего расположения планет, возвращения нескольких автобусов к исходному отправному пункту, противостояния телеграфных столбов двух телеграфных линий по обе стороны железной дороги и т. д. Не так давно знаменитый английский физик Дж. Дж. Томсон применил понятие наименьшего кратного к разъяснению вопроса о распределении электронов-волн (как частиц и как волн, — см. его статью „За пределами электрона"—„Успехи физ. наук", № 5 за 1928 г.). Во всех этих вопросах числовые данные задач могут оказаться выраженными в дробных числах, как то: периоды колебания или времена курсирования автобусов и т. д.

Таким образом понятие о наименьшем кратном целых чисел не достаточно полно отображает те задачи, которые должны решаться при помощи этого понятия; оно им не адэкватно. Поэтому предлагаемое ниже расширение этого понятия не является чем-то искусственным, а вызывается самою сущностью дела.

Расширенное определение. Наименьшее кратное нескольких целых или дробных чисел есть наименьшее (целое или дробное) число, делящееся нацело на данные числа.

В этом определении сохранены два самых характерных признака наименьшего кратного: делимость нацело и наименьшая величина. Но зато произведен выход из области целых чисел. Если нужно найти наименьшее кратное двух чисел тип (безразлично, целых или дробных), то дело (по существу) сводится к решению в целых, и притом наименьших, числах неопределенного уравнения:

тх — пу, или тх — пу = 0.

Например, для случая чисел 12 и 18 имеем: \2х—ЛЪу, или 2х — 3у=0, откуда легко получается, что # = 3 и j/ = 2 и, значит, наименьшее кратное = = 12.3 = 36.

К такому же неопределенному уравнению сведется дело и при нахождении, например, наименьшего кратного дробных чисел 0,12 и 0,18; оно окажется равным 0,12. 3 = 0,36 (или 0,18.2).

Практика нахождения наименьшего кратного двух дробных чисел.

I. Случай числителя дробей, равного 1.

где п — целое число. Н. К. = 1; 1

В обоих приведенных случаях остается справедливым правило: если большее из данных чисел делится на другое число, то большее число есть наименьшее кратное.

с)— и —- • Это случай взаимно простых знаменателей. Н. К =1.

Что это так, легко показать, умножая большую дробь на 2, 3 и т. д., пока не получится произведение, делящееся на — - Вообще наименьшее кратное дробей — и ~ , где тип взаимно простые числа, равно 1.

d) - и —. Н. К.=—. Легко находится умножением > последовательно на 2, 3 и т. д., что равносильно делению знаменателя 6 на 2, 3 и т. д. Здесь нужный

результат дает деление 6 на 3: частное 2 есть общий наибольший делитель знаменателей 6 и 8 (так как мы разделили 6 на такое число, чтобы 8 разделилось на полученное частное 2). Здесь не трудно усматривается правило, общее для всех 4 приведенных случаев: наименьшее кратное дробей ^ и — , где m к непроизвольные целые числа, равно 1, деленной на общий наибольший делитель знаменателей. Например, для случая (с) общий наибольший делитель 3 и 4 (дробей 1/з и х\а) равен 1, и Н. К. =1 /i = 1, как и было получено раньше.

II. Случай одинаковых числителей {но не равных 1).

а) 3 и — , где п — целое число. Н.К. =3.1 = 3, так как данные числа можно изобразить в виде 3.1 и 3 —, и дело сводится к случаю (а) пункта 1.

Ь)-у и —. Н. К. = 2 • (случай (Ь) пункта 1).

с)4 и — • Н.К. = 5.1 =5;

d)T и т. H.K.= 7.î==r

Общее правило: наименьшее кратное двух дробей с одинаковым числителем равно этому числителю, деленному на общий наибольший делитель знаменателей.

III. Случай одинаковых знаменателей. — и — . Наименьшее кратное 8 и 10 равно 40. Значит, наименьшее кратное ^ и — равно — .

Правило: наименьшее кратное двух дробей с одинаковым знаменателем равно наименьшему кратному числителей, деленному на данный знаменатель.

Примечание. Мы в пунктах II и III руководились тем основным свойством наименьшего кратного (сохраняющим, очевидно, силу и здесь), что, если умножить (или разделить) данные числа на одно и то же целое число, то их наименьшее кратное умножится (или разделится) на это же число.

Только что приведенное правило особенно применимо для нахождения наим. кратного десятичных дробей. Например, наим. кратное 0,16 и 0,24 равно 48 : 100 = 0,48; или наим. кратное 0,8 и 0,12 равно наим. кратному 80 и 12, т.-е. 240:100 = 2,4. Здесь полезно руководствоваться следующим практическим правилом: чтобы найти наим. кратное двух десятичных дробей, достаточно уравнять нулями число десятичных знаков дробей, затем найти наим. кратное данных чисел, не обращая внимания на запятую, и, наконец, отделить в найденном наим. кратном прежнее число десятичных знаков.

IV. Общий случай обыкновенных дробей с разными числителями и разными знаменателями.

— и 4~ . Приведение к общему знаменателю дает т| и . Затем, наименьшее кратное 15 и 8 равно 120. Делим его, согласно п. III, на 18. Искомое наименьшее кратное — и — равно—^-5— = —. Но 20 есть наименьшее кратное числителей 5 и 4, а 3 — общ. наиб, делитель знаменателей 6 и 9. Не трудно доказать справедливость следующего самого общего правила, применимого ко всем случаям I—IV.

Наим. краткое двух дробей равно наименьшему кратному числителей дробей, деленному на общий наибольший делитель их знаменателей.

Так, наим. кратное дробей и — (случай II) равно наим. кратному числителей (т.-е. 7), деленному на общ. наиб, делитель 6 и 8 (т.-е. 2), или — . Или наим. кратное ^ и — (случай III) равно наим. кратному 8 и 10 (т.-е. 40) деленному на общ. наиб, делитель знаменателей (т.-е. 9), или — .

Доказательство справедливости общего правила. Пусть даны дроби у и где а, о, с и а — целые числа. Наим. кратное дробей и равно -------v- (см. п. I). Но -г- =л* 4~ и j =с-~ • Значит, чтобы получить наим. кратное этих дробей, нужно найденное наим. кратное дробей и — умножить 1) на а и 2) на те первоначальные множители с, которых нет в числе а\ иными словами, надо множить на наим. кратное чисел а и с. Отсюда и получается общее правило.

Доказанное правило справедливо и для случая нескольких дробей. Ограничимся рассмотрением числового примера. Даны дроби: у, у и — . Приводим их к общему знаменателю: — , — и — . Наим. кратное числителей 8, 9 и 2, т.-е. 72, делим на 12 (см. п. III). Получаем — =6, это и есть искомое наим. кратное. Его можно было бы найти, просто деля общ. наим. кратное 2, 3 и 1 (т.-е. 6) на общ. наиб, делитель 3, 4 и 6 (т.-е. 1).

Деля 6 на данные дроби, получаем целые и притом взаимно простые числа: 9, 8 и 36. Остается, значит, справедливым известное свойство наим. кратного, что и естественно, так как распространение понятия наим. кратного на дробные числа не меняет, как было выяснено выше, существенных сторон определения наим. кратного.

(Продолжение следует.)

ЗАДАЧИ.

36. Решить уравнение:

4 |/ 2 (je — 1 )

37. Найти двузначное число, обладающее тем свойством, что если сложить его с суммою кубов его цифр, то получится число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

И. Кастровицкий (Сталинград).

38. Определить, сколькими способами можно разместить р элементов в п клетках.

Г. К. (Пенза).

39. Найти предел суммы членов бесконечного ряда

40. Показать, что уравнение

х* + (ab — 1)л;3 + adx*-\-bx-\- d=0

может быть решено в радикалах второй и третьей степени.

B. Гук (Суханово).

41. Определить углы равнобедренного треугольника, в котором высота вдвое менее биссектрисы угла при основании.

42. Найти площадь равнобедренного треугольника, у которого боковая высота h и периметр 2р даны так, что отношение h к 2р максимально.

Г. Торопыгин (Саратов).

43. Показать, что

C. Львов (Москва).

44. Доказать, что в выпуклом четыреугольнике ABCD имеет место соотношение:

AB. sin [_CADAr AD. sin /_ВАС = АС. sin /_BAD.

H. Зеликман (Щегловск).

45. Показать, что если нормаль в точке M эллипса пересекает большую его ось в точке Q, а малую в точке Qv то Жф:М(?1 = Const.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

1. Найти сумму нечетных чисел от

п{п — 1)-М до л(л + 1) — 1-

Число всех этих чисел на единицу больше полуразности последнего и первого числа, т.-е. оно равно:

Поэтому сумма их S выразится так:

А. Дмитровский, Я Фивейский, III. Миневич, Д. Фридман, (Москва), X. У. (Ростов-на-Дону), Я. Зеликман, (Щегловск), Зинко (Колима), А. Агамалов (Актюбинск), И.О. (Katowice), Я Коростелев (Баталпашинск), Е. Воскресенская (Сормово), Г. Торопыгин (Саратов), В Иванов (Дергачи), А. Бутомо (Саратов), Я Чемисов (Дмитровск), Д. Синцов (Харьков), В. Кобылин (Галич), С. Адамович (Тула), Г. Боев (Саратов), Я. Хайдуков (Петровск), Г. Соколов (Владимир), А. Зимин (Кинешма).

2. Разложить на множители хА— Ах—1. Преобразуем данное выражение так:

Решая теперь уравнения:

находим:

Следовательно,

А. В., А. Дмитровский, III. Миневич. Н. Фивейский (Москва), X. У. (Ростов-на-Дону), Я. Зеликман (Щегловск), Зинко (Колима), А. Агамалов (Актюбинск), II. Милов (Люблино), Г. Торопыгин, Г. Боев, В. Шнейдмюллер (Саратов), И. Чемисов (Дмитровск), Д. Синцов (Харьков), С. Адамович (Тула), А. Зимин (Кинешма), Е. Воскресенская (Сормово), Я. Хайдуков (Петровск).

3. Найти число, содержащее только простые множители 2 и 3 и обладающее тем свойством, что число всех делителей его куба в 7 раз больше числа всех делителей самого числа.

Если обозначим данное число через N, то, по условию,

Л/=2а . 3ß; W = 23a - 33ß.

Число всех делителей числа N равно (a-f-1) (ß-M), а число всех делителей его куба (За -f 1) (3ß-f- 1). Так как

то один из сомножителей За -f- 1 или 38 -|- 1 должен делиться на 7.

Пусть За~\-\ =7t, где t — целое число. Отсюда находим общее выражение для а:

* = 2+7и,

где и—целое число.

Вставив это выражение в предыдущее уравнение, имеем:

или

откуда

Очевидно, что единственное решение есть и = 1. Тогда ß = 3; а = 2 -f- 7и = 9, и искомое число М= 29.33 = 13824.

Другое решение задачи получим, обменяв местами показатели а и ß:

N' = 2я.3^ = 157 464.

Л. Дмитровский, Ш. Миневич и А. Фридман (Москва), П. Милов (Люблино), X. У. (Ростов-на-Дону), М. Житков (Семенов), Зинко (Колима), Г. Торопыгин (Саратов), В. Фивейский (Болшево), И. Чемисов (Дмитровск), Б. Кобылин (Галич), Д. Синцов (Харьков), .4. В. (Москва), С. Адамович (Тула), Н. Хайдуков (Петровск), Г. Соколов (Владимир), Е. Воскресенская (Сормово).

4. Решить систему уравнений:

Умножив первое уравнение соответственно на 2, на 5 и на 14 и вычтя его из второго, третьего и четвертого, получаем:

Отсюда, так как и и v не могут оба равняться нулю,

при чем отброшено решение х=у, которое, очевидно, не может удовлетворять данным уравнениям. Таким образом для определения х и у имеем два уравнения:

и

или и

Положив xy—z; x-\-y = t, получаем уравнения:

Из первого уравнения имеем

z=z2t — 5

и, вставив это выражение во второе, получаем

t = 4;

поэтому

г = 8 —5 = 3.

Теперь из уравнений:

ху = 3; х+у=4

находим :

Х\ = 3; ух — 1 и х2 = 1 ; у2 = 3.

Наконец, первые два из данных уравнений дают;

А. В., Д. Польшин, А. Дмитровский, И. Фивейский, Ш. Миневич (Москва), П. Милов (Люблино), Н. Зеликман (Щегловск), Зинко (Колима), М. Житков (Семенов), X. У. (Ростов-на-Дону), М. Коростелев (Баталпашинск), А. Бутомо, Г, Торопыгин, М. Зимовнов (Саратов), И. Чемисов (Дмитровск), Д. Кобылин (Галич), В. Иванов (Дергачи), С. Адамович, А. Баранов (Тула), Г. Боев (Саратов), А. Зимин (Кинешма), А. Левшук (Иркутск), Н. Хайдуков (Петровск), Г. Соколов (Владимир).

5. Определить сторону равностороннего треугольника, если расстояния некоторой внутренней его точки от вершин треугольника равны а, Ь, с. Обозначим данную точку через О, вершины треугольника через А, В, С, / В АО через а и сторону треугольника через х. Тогда из &АВО найдем:

а из Д АСО:

или

откуда

Таким образом приходим к уравнению:

которое после упрощений принимает вид:

Решая это уравнение, получаем:

причем предполагается, что a^b^ic.

Найдем условие действительности корней. Из неравенства

следует, что откуда

и

Обратно, если

то

и если мы имеем: если же то, так как и опять

Значит, для действительности корней отрезки a, b и с должны быть таковы, чтобы из них можно было составить треугольник. Если Ь-\-с — а, то радикал обращается в нуль.

Далее, так как О внутренняя точка, то из углов АО В, ВОС и СО А па крайней мере два не меньше 90е, а потому справедливы по крайней мере два из трех неравенств:

откуда и

Отсюда видно, что в выражении для х2 радикал должен быть взят со знаком -|~ и он не может обратиться в нуль для внутренней точки. Если же взять радикал со знаком —, то О будет внешней точкой.

Легко при этом видеть, применяя теорему Птолемея, что радикал превратится в нуль, т.-е. будет а = Ь-\-с, когда О лежит на окружности, описанной около треугольника АБС

А. А. Дмитровский (Москва), М. Житков (Семенов), Д. Синцов (Харьков), Зинко (Колима), Н. Зеликман (Щегловск), Н. Фивейский (Москва), Д. Богатырев (Казань), А. Зимин (Кинешма), Н. Хайдуков (Петровск).

6. На сторонах AB и АС треугольника ABC построены квадраты AAXB2B и AA2CiCy и вершины их Л] и Л2, смежные с Л, соединены прямой АХА2. Доказать, что перпендикуляр, опущенный из точки Л на ВСУ делит отрезок АХА2 пополам.

Построим параллелограм ААфАъ двумя сторонами которого служат ААХ и ЛЛ2, и параллелограм АВЕС две стороны которого AB и АС.

Так как /_АхААг-\-/_ВАС—\Ш0, то эти параллелограмы равны между собою. Но стороны одного из них перпендикулярны к равным сторонам другого. Поэтому диагональ AD перпендикулярна к диагонали ВС, но AD проходит через середину диагонали А1А2.

А. В., Д. Польшин, А. Дмитровский, А. Фридман, III. Миневич (Москва), П. Милов (Люблино), X. У. (Ростов-на-Дону), А. Зякин (Курск), Зинко (Колима), Н. Зеликман (Щегловск), М. Житков (Семенов), Г. Торопыгин (Саратов), В. Иванов (Дергачи), В. Фивейский (Болшево), А. Бутомо (Саратов), И. Чемисов (Дмитровск), Д. Кобылин (Галич), А. Зимин (Кинешма), Е. Воскресенская (Сормово), Г. Соколов (Владимир).

7. Найти углы и стороны треугольника, получающегося от соединения прямыми оснований высот данного треугольника ABC.

Положим сначала, что треугольник ABC остроугольный. Обозначив через К, L, M основания высот и через О точку их пересечения, замечаем, прежде всего, что около четыреугольников ВКОМ и CKOL можно описать круги. Поэтому

/ МКО = / МВО = 90° — Л и /_ OKL = / ОСЬ = 90° — А,

так что КО есть биссектриса угла LKM и / LKM = \m° —2А.

Совершенно так же найдем:

/Ж1АГ=180° — 2В\ //ГЖ1 = 180° —2С.

Далее, обозначив стороны Д ABC через а, Ь, с, имеем:

откуда но

поэтому или

Аналогично найдем:

Положим теперь, что в*ДЛ£С /_ В тупой. Повторив с небольшими изменениями прежние рассуждения, легко найдем, что

ILKM = 2A\ ^МШ=2В — Ш°\ /KML=2C.

Для сторон ДАХЖ получим прежние выражения, с тою только разницей, что

МК= — bcosB.

А. Дмитровский, Н. Фивейский (Москва), X. «У. (Ростов-на-Дону), Н. Зеликман (Щегловск), Г. Торопыгин, А. Бутомо (Саратов), И. Чемисов (Дмитровск). Д. Кобылин (Галич), В. Сакк (Верхнеднепровск), Зинко (Колима).

8. Для построения конусообразной палатки имеются жерди длиною в / м. Какой высоты должна быть палатка, чтобы она заключала наибольший объем?

Если обозначим высоту палатки через х> то объем ее будет:

Вопрос сводится к определению maximum'a функции

/ (X) = (I2 — х2)х = 12х — х\

Приравняв нулю производную /' (х\ имеем:

/-> — 3л2 = 0,

откуда высота палатки

А. Дмитровский, А. Фридман, Ш. Миневич (Москва), X. У. (Ростов-на-Дону), Н. Зеликман (Щегловск), М. Житков (Семенов), Е. Воскресенская (Сормово), Г. Торопыгин, Н. Зимовнов, В. Шнейдмюллер (Саратов), В. Фивейский (Болшево). Я. О. (Katowice), А. Бутомо (Саратов), И. Чемисов (Дмитровск), Д. Синцов (Харьков), Д. Кобылин (Галич), С. Адамович А. Баранов (Тула), А. Левшук (Иркутск), Н. Хайдуков (Петровск), А. Зимин (Кинешма), Зинко (Колима).

9. Найти предел выражения

при X = 0.

Преобразуем данное выражение так:

Отсюда видно, что при х—0 его предел есть нуль.

А. В., Д. Польшин, А. Дмитровский, Ш. Миневич (Москва), X. У. (Ростов-на-Дону), ff. Зеликман (Щегловск), Н. О. (Katowice), M. Житков (Семенов), Е. Воскресенская (Сормово), Г. Торопыгин, А. Бутомо. М. Зимовнов (Саратов), И. Чемисов (Дмитровск), Д. Кобылин (Галич), Б. Иванов (Дергачи), Д. Синцов (Харьков). Н. Хайдуков (Петровск), С. Адамович (Тула), Г. Соколов (Владимир), Зинко (Колима).

10. Показать, что если

то

Если

то

откуда

Но из неравенства:

мы имеем:

Следовательно,

Неравенство переходит в равенство, когда Л—В=С=30°.

А. Дмитровский, Н. Фивейский (Москва), X. У. (Ростов-на-Дону), ff. Зеликман (Щегловск), А. В. (Москва), В. Адамович (Тула), Зинко (Колима).

11. Вычислить детерминант:

Прибавив к элементам первого столбца элементы всех остальных столбцов, сделаем все элементы этого столбца равными 21, так что данный детерминант Д равен:

Если в этом детерминанте вычтем из элементов каждой строки элементы строки, находящейся непосредственно под нею, то все элементы первого столбца, кроме последнего, обратятся в нули, и мы получим:

Повторив то же преобразование с последним детерминантом, находим:

А. Дмитровский, А. Фридман (Москва), Н. Зеликман (Щегловск), М. Житков (Семенов), Е. Воскресенская (Сормово), В. Фивейский (Болшево), А. Бутомо, В. Шнейдемюллер (Саратов), И. Чемисов (Дмитровск), Д. Синцов (Харьков), Д. Кобылий (Галич), С.Адамович, А. Баранов (Тула), .4. В. (Москва). А. Зимин (Кинешма), В. Сакк (Верхнеднепровск), Г. Соколов (Владимир), Зинко (Колима).

НОВЫЕ КНИГИ.

Н. Г. Бруевич. Учебник технической механики. Под ред. В. В. Добровольского. Гиз. 1930. Ц. 4 р. 50 к.

В. Брадис. Четырехзначные математические таблицы. Гиз. 1930. Ц. 45 к.

Научные известия Смоленского государственного университета. Физика и математика. Вып. I. Смоленск. 1929.

Отчет о деятельности Математической конференции научно-педагогического общества ДВГУ. Владивосток. 1930. Ц. 1 р. 25 к.

В. Грэнвиль и Н. Лузин. Элементы диференциального и интегрального исчислений. Ч. I. Гиз. Ц. 5 р., пер. 45 к. 1930. Ч. II. Гиз. Интегральное исчисление. Ц. 2 р.

Сборник, посвященный памяти профессора Н. А. Агрономова. (Труды ДВГУ). Владивосток. 1930. Ц. 2 р. 50 к.

В. Добровольский. Краткий курс математики для поступающих в техникумы. Изд. 2-е. Гиз. 1929. Ц. 3 р. 15 к., пер. 30 к.

В. Брадис. Арифметика приближенных вычислений. Гиз. 1930. Ц. 2 р. 40 к.

Проф. А. С. Кованько. Исчисление конечных разностей. Литогр. Лекции и пособие для студентов. Баку. 1929.

Ответственный редактор И. И. Чистяков. Главлит № А—72498. Типо-литография Центросоюза. Москва, Денисовский, 30. Тираж 1.000. Ст. А. ТГБз 176 X 250 мм 2 п. л. Р. П. № 0082.

ПОДПИСЫВАЙТЕСЬ

НА 2-Е ПОЛУГОДИЕ

Ежемесячный орган ЦС секции научных работников

Отв. редактор А. Я. ЭСТРИН

ОСВЕЩАЕТ ВОПРОСЫ:

Применение методов диалектического материализма к отдельным отраслям научного знания.

Роль и значение научной работы в социалистическом строительстве.

Подготовка научных кадров, аспирантуры, выдвиженцев.

Подготовка специалистов и реформа высшей школы и научных учреждений. Культурная пятилетка.

Социалистическое соревнование и самокритика среди научных работников.

Значение науки и научных методов работы в развитии техники и организации производства.

Планирование научной работы.

Методика преподавания в высшей школе.

Жизнь высшей школы и научных учреждений в СССР и за границей.

ЖУРНАЛ НЕОБХОДИМ КАЖДОМУ НАУЧНОМУ РАБОТНИКУ, АСПИРАНТУ, ВЫДВИЖЕНЦУ, СОТРУДНИКАМ НАУЧНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ И ВУЗОВ

УСЛОВИЯ ПОДПИСКИ: на год (без № 1)—7р.50к.,

6 мес —4 р. 50 к., 3 мес.—2 р. 50 к.

ПОДПИСКА ПРИНИМАЕТСЯ:

ул. Герцена, 10—в ОППИ изд-ва

„Работник просвещения",

во всех отделениях и магазинах изд-ва и в почтовых отделениях.

НА ПУТЯХ

К НОВОЙ ШКОЛЕ

Орган Научно-педагогической секции ГУСа

Ответственный редактор Н. К. КрупскаЯ

- ЕЖЕМЕСЯЧНЫЙ ЖУРНАЛ -

Разрабатывает проблемы марксистской педагогики и коммунистического воспитания.

Разрабатывает вопросы педагогики колхозов и педагогики социалистического города.

Отражает работу общества педагогов-марксистов.

Разрабатывает ВОПРОСЫ создания педкадров и подготовки учителя.

Обсуждает ВОПРОСЫ педагогической пропаганды и вовлечения масс в строительство новой школы.

Знакомит учителя с педагогической мыслью и практикой Западной Европы и Америки.

УСЛОВИЯ ПОДПИСКИ:

на год (без №№ 1 ' и 2) - 5 р. 50 к., 6 мес — 3 р. 50 к., 3 мес.— 2 руб.

90 коп.

КАЖДЫЙ ПРОСВЕЩЕНЕЦ

ДОЛЖЕН БЫТЬ ПОДПИСЧИКОМ ОРГАНА КУЛЬТУРНОЙ РЕВОЛЮЦИИ—ГАЗЕТЫ

„ЗА КОММУНИСТИЧЕСКОЕ ПРОСВЕЩЕНИЕ

На 6 мес.—2 р. 25 к., 3 мес.—1 р. 25 к.

СКЛАД ИЗДАНИЯ:

ИЗДАТЕЛЬСТВО „РАБОТНИК ПРОСВЕЩЕНИЯ* МОСКВА 19. ВОЗДВИЖЕНКА 10*