МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

№ 3

1930

ИЗДАНИЕ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

В. Мезенцев.—О введении формулы Simpson'a в элементарную математику...... 81

Л. Н. Лодыженский—В. Бобынин...................... 86

B. Гук.—Алгебраическое решение полного кубического уравнения введением двух неизвестных............................ . . . 90

М. Рахлин и М. Хазанов— Доказательство одного гониометрического тождества ... 92

П. Яковлев. —Об одном приеме решения задач на extremarelativa некоторых симметрических функций............ .,.................. 96

C. Слугинов — Геометрическое место полюсов одного конического сечения относительно другого.................................. 103

В. Сакк.— Об одной задаче из теории вероятностей................. 104

Задачи....................................... 105

Решения задач................................... 106

Хроника..................................... 112

SOMMAIRE

V. Mesentzev. Sur Pintroduction de la formule de Simpson dans les mathématiques élémentaires.

N. Lodygenski. W. W. Bobynine.

V. Gouk. Résolution algébrique de Péquation complète du 3-me degré par Pintroduction de deux inconnues.

M. Rakhline et M. Khazanov. Démonstration d'une identité goniométrique.

P. Jakovlev. Sur une méthode de résolution des problèmes sur le maximum et minimum relatifs de quelques fonctions symmétriques.

S. Slouguinov. Lieu géométrique des pôles d'une conique par rapport à une autre conique.

V. Sakk. Sur un problème de la théorie des probabilités. Problèmes.

Solutions des problèmes. Chronique.

ПРОДОЛЖАЕТСЯ ПОДПИСКА НА 1930 ГОД НА ЖУРНАЛ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

орган московского научно - педагогического математического кружка

8 КНИГ В ГОД

Ответственный редактор проф. 7 МГУ И. И. Чистяков.

ПОДПИСНАЯ ЦЕНА: на год —6 руб., на полгода 3 руб. 50 коп. Отдельные номера по 90 коп. с пересылкой.

ПОДПИСКА ПРИНИМАЕТСЯ:

в ОППИ изд-ва „Работник просвещения"—ул. Герцена, 10; в магазинах и отделениях издательства и у письмоносцев. Переводы направлять: изд-во „РАБОТНИК ПРОСВЕЩЕНИЯ" Москва 19, Воздвиженка, 10.

АДРЕС РЕДАКЦИИ: Москва, Маросейка, Старосадский пер., 9, кв. 4.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

№ 3

1930 г.

ЖУРНАЛ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

О ВВЕДЕНИИ ФОРМУЛЫ SIMPSON'А В ЭЛЕМЕНТАРНУЮ МАТЕМАТИКУ

В. Мезенцев (Воронеж).

[1]. Формула Simpson'a

где

и /?п— остаточный член, как известно, является из ряда других, формулой наиболее удобной в обычной практике для вычисления приближенного значения определенного интеграла. Если_у есть целая функция от х не выше третьей степени, то, как это следует из приводимого в курсах анализа выражения для /?п, последний равен нулю при всяком п, а потому для этого случая (полагая п=\) имеем:

Это замечательное равенство ускользает при обычно приводимом элементарном доказательстве формулы Simpson'a. Вот этот весьма простой вывод.

Пусть требуется найти приближенную величину площади S криволинейной трапеции АВВ2А2. Разделим точками тип основание АА2 = а на три равные между собой части, проведем соответствующие этим точкам ординаты mm' и пп' и затем ломаную Вт'п'В2. Сумма площадей трех трапеций:

АВт'т, тт'п'п, пп'В2А2 будет, очевидно, равна

где у^ — АВ, у2 — А2В2. Заменяя здесь сумму mm1-\-nrC приближенно ей равным 2Л151 = 2_у1, где у1—так наз. „срединная ордината" (т. е. AAi=AiAo), мы и приходим к приближенному равенству:

Черт. 1.

(а).

С целью уменьшить погрешность, делаемую вообще при употреблении этой формулы, она обобщается следующим образом.

Основание АА' = а криволинейной трапеции АВВА', площадь которой 5 требуется определить, делится на 2п равных между собою частей и из точек деления Аи А2, ... проводятся соответствующие ординаты

АВ = у0, А1В1 = уи ...., А'В' =у2п.

Применяя к каждой из п криволинейных трапеций

АВВ2АЪ A2B2B4A4i ..., А2п-2В2п_2В'А'

формулу (а), получим приближенное значение искомой площади 5 как суммы

это и есть формула Simpson'a в ее общем виде.

[2]. Указанный вывод имеет тот существенный недостаток, что при нем нельзя указать случаев, когда формула Simpson'a дает точную величину площади, за исключением того, когда линия ВВ' есть прямая, т. е. у есть целая функция не выше первой степени,—случая, очевидно, совершенно безынтересного. Между тем правило Simpson'a дает точные результаты и для функций второй и даже третьей степени. Приводимое ниже элементарное доказательство позволяет утверждать точность результатов в случае, когда у есть функция не выше второй степени. Оно дает возможность пользоваться правилом Simpson'a не только для приближенных вычислений, но и получить весьма просто многие формулы элементарной геометрии и механики. Случай, когда у есть функция третьей степени, оставляем в стороне, как не имеющий значения в элементарной математике. В нижеследующем подразумевается известным понятие о прямоугольной системе координат, знание координат середины отрезка прямой, геометрическое значение уравнения у = ах2 -\~ bx -j- с и умение определять координаты точек пересечения параболы с прямой,—в общем те сведения, которые в настоящее время входят в обычный курс элементарной математики. Требуется также определение площади криволинейной трапеции как предела суммы элементарных прямоугольников, именно

Черт. 2.

Черт. 3.

[3]. Докажем теперь, что площадь параболического сегмента равна 2/з площади параллелограма, построенного на данной хорде и отрезке прямой, проведенной параллельно оси параболы, от середины хорды до пересечения с параболой.

Рассмотрим сначала случай, когда ВВ' перпендикулярна оси параболы у2 = 2рх.

Найдем площадь ОАВ\ пусть АВ — Ь, А' В= ОА = а> S' = площ. О AB есть сумма площадей криволинейных трапеций вида тпп'т', £" = площ. OA'В—то же—трапеций вида рпп'р\ координаты точки п обозначим через х и у, mm' = а, рр' = 3; следовательно, координаты точки п' будут дг + а и

Имеем:

откуда

Из равенства

имеем

Далее, так как

можно положить

где у' стремится к нулю одновременно с а и ß. Обозначая через у наибольшее по абсолютной величине из всех у', соответствующих различным положениям точки п на параболе, имеем:

сумма площ. (тпп'т') = 2 сумма площ. (рпп'р')-\-*{. сумма площ. (рпп'р), т. е.

а так как то

Следовательно

Рассмотрим теперь случай произвольной хорды В'В". Пусть х\ У—координаты точки В\ х", у"— точки В". Проведем через середину С отрезка В'В" прямую, параллельную оси параболы, и найдем величину отрезка Ьс.

Абсцисса точки С—

Черт. 4.

Уравнение прямой DC-Абсцисса точки D—

следовательно

Очевидно, что площадь S' сегмента ВВ" равна

S' = площ. (ОАВ')— площ. (OB'А) — площ. трапеции (А'В'В'А),

т. е.

и так как

[4]. Предыдущая теорема позволяет легко вывести формулу Simpson'a. Действительно, площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой, ось которой перпендикулярна оси х-ов, выражается

где

у 0 = Aß, у2 = А"В", ух — А'В—„срединная ордината",

Отсюда

Итак, при нахождении предела вида (Ь) мы можем пользоваться последней формулой, утверждая точность получаемых результатов для случая, когда у есть целая функция не выше второй степени, т.-е.

Черт. 5.

В противном случае ею можно пользоваться как приближенной, обобщив ее вышеуказанным образом.

[5]. Приложение правила Simpson'a в геометрии.

Если в планиметрии формула Simpson'a играет роль почти исключительно приближенной,—что, конечно, тоже очень важно,— то в стереометрии, кроме

того, посредством нее легко получить многие формулы для объемов, требующих обычно довольно пространных рассуждений. В этом случае формула Simpson'a имеет вид

причем тело предполагается ограниченным параллельными плоскостями, р0у рх — площади крайних сечений, р1—„срединное сечение", т.-е. проведенное параллельно основаниям через середину высоты И.

Приведем несколько примеров.

1. Объем призмы (прямой и наклонной), цилиндра

2. Объем пирамиды и конуса

3. Объем усеченной пирамиды (и конуса).

Пусть а0, at—какое-либо из соответственных сторон многоугольников, лежащих в рассматриваемых сечениях.

т. е.

откуда и

4. Об'ем шара.

зная же об'ем шара, не трудно найти его поверхность.

[5]. Так же просто находится объем шарового сегмента, объемы некоторых тел вращения, объем трехосного эллипсоида (зная площадь эллипса) и других тел, объемы которых элементарным образом находить было бы затруднительно.

Для примера вычислим объем, общий двум круговым цилиндрам, одинакового радиуса, оси которых пересекаются под прямым углом. Если г—радиус цилиндра, а р—половина стороны квадрата, лежащего в сечении рассматриваемого тела плоскостью, проведенной параллельно осям цилиндров на расстоянии Л, то

Следовательно

Заметим также вычисление по правилу Simpson'a об'ема призматоида,— тела, часто встречающегося при расчетах земляных работ.

[6]. Правило Simpson'a легко дает и формулу равномерно ускоренного движения. Действительно, пройденное пространство S есть предел суммы вида

где

а потому

Весьма удобная формула для нахождения центра тяжести однородного тела, ограниченного параллельными плоскостями и сечения которого выражаются функцией второй степени расстояния от основания,—

где zc—высота ц. т. над сечением pQy а рх — срединное сечение, также просто может быть получена на основании формулы Simpson'a.

Итак, правило Simpson'a, помимо большого практического значения при приближенных вычислениях, является при вышеизложенном доказательстве одной из довольно общих формул элементарной математики. Давая возможность элементарным образом находить приближенно значение определенного интеграла, она значительно расширяет область приложения элементарной математики, а давая точное значение интеграла в случае функций второй степени, она придает ей большую законченность, как отделу математики, изучающему функции главным образом первой и второй степени.

В. В. БОБЫНИН.

(Окончание).

Л. Н. Лодыженский (Тула).

Несколькими годами позже Б. вместе с девятью другими известными историками математики Европы и САСШ принял участие в продолжении капитального труда Кантора „Vorlesungen über Geschichte der Mathematik", который сам автор за преклонным возрастом не чувствовал себя в силах окончить единолично. В последнем, 4-м томе1 этого сочинения, составленном десятью авторами, в том числе самим Кантором, Б. принадлежит история элементарной геометрии2. Этот факт показывает, как высоко ценили Б. специалисты истории математики на Западе.

Несколько позже, чем с Кантором, у Б. завязались сношения с Лезаном (С. A. Laisant), основателем журнала «L'Intermédiaire des Mathématiciens", приглашавшим в 1893 г. В.В. сотрудничать в этом журнале. Повидимому, Б. в жур-

1 Вышел в 1908 г., посвящен эпохе с 1759—1799 гг.

2 Русский перевод напечатан в „Журнале мин. нар. просв." за 1907 и 1908 гг.

нале участия не принял, но в 1898 г. Лезан, через проф. H. Н. Лигина обратился к Б. с предложением сотрудничать в новом журнале „L'Enseignement Mathématique", который Лезан редактировал вместе с женевским проф. Фером (H. Fehr). По желанию редакции, Б. написал для журнала четыре статьи о постановке преподавания математики в России в прошлом и настоящем, которые были напечатаны в названном журнале за 1899 и 1903 гг. По словам Б., занявшая в этих статьях видное место критика современного состояния преподавания математики в России обратила на себя в Западной Европе особенное внимание1. Приведем несколько выдержек из писем к Б. проф. Фера, в которых последний очень лестно отзывается об этих статьях. 26(13)/1Х 1901 г. по поводу первой статьи: „Ваш интересный очерк был отмечен всеми нашими читателями, и мы надеемся, что он послужит примером для других статей". 30(17)/1Х 1902 г.: „Ваши две первые статьи живо заинтересовали наших читателей, и они желают продолжения или, по крайней мере, ожидают новую статью". 27(14)/IV 1903 г. по поводу третьей статьи Фер выражает уверенность, что подобно предыдущим она не преминет заинтересовать читателей журнала; „они сделают сравнение (постановки преподавания математики на Западе и в России. Л.Л.), и оно будет не всегда благоприятно для стран Запада".

Об известности, которой пользовался Б. на Западе, свидетельствует также письмо к нему профессора Вольфинга (Е. Wölffing) из Штутгарта (от 6/Х 1901 г.). Работая в то время над книгой2 Перечень важнейших учебников и монографий в области математики и механики", д-р Вольфинг хотел в своем труде уделить подобающее место России, так как, по его словам, он „убедился, какое большое значение приобрела в новейшее время русская математическая литература". Не находя о ней в иностранных журналах достаточных сведений, он просил Б. присылать ему нужные материалы. „Я думал, — прибавляет он, — что с своей просьбой я должен в первую очередь обратиться к вам как к библиографу математики в России".

В бумагах Б. сохранились письма профессоров А. В. Васильева и Д. Д. Мордухай-Болтовского, показывающие, с каким уважением они относились к его познаниям.

Б. состоял действительным членом нескольких русских научных обществ и одного иностранного.

В 1909 г. Петербургская Академия наук дала В.В. лестное поручение написать отзыв о сочинениях проф. Бубнова по истории математики, представленных для соискания академической премии. За этот отзыв Б. получил от Академии золотую медаль.

В 1907 г. Б. оставил преподавание в 1-м и 3-м кадетских корпусах и по выходе в отставку получал небольшую пенсию. Всего он прослужил в военных учебных заведениях (в Нижнем и Москве) 35 лет (1872—1907 гг.). С тех пор Б. стал проводить больше времени, чем раньше, в деревне, куда он перевез и свою библиотеку3.

В университете Б. читал лекции в течение 35 лет (1882—1917 гг.). Ежегодно он читал от 3 до 6 часов в неделю. Иногда, кроме истории математики, он читал еще особый курс: „История и современное состояние преподавания математики", а также теорию чисел.

Несмотря на свою известность и авторитет в научном мире, Б. в качестве приват-доцента занимал бесправное положение в университете. Он оставался в положении младшего преподавателя, не входившего ни в совет университета,

1 Автобиография 1904 г., стр. 36.

2 Вышла в 1903 г. под заглавием: „Mathematischer Bücherschaft. I, Reine Mathematik".

3 В. В. был большим библиофилом. Еще гимназистом он начал составлять себе библиотеку, достигшую к концу его жизни солидных размеров 6 000 томов. Часть библиотеки, сохранившаяся после его смерти—немного более половины, находится в распоряжении Московского математического общества.

ни в факультетский совет1. Это положение им остро чувствовалось, что видно, во-первых, из его записки с критикой проекта университетского устава, выработанного в 1905 г. комиссией петербургских профессоров, и, во-вторых, из того, что он входил в 1905 и 1917 гг. в организацию младших университетских преподавателей, ставившую себе целью защиту их интересов.

Уехав в марте 1917 г. из Москвы и проведя по обыкновению лето в деревне, Б. осенью вернулся в Москву, намереваясь приступить к чтению лекций2. Но он не мог найти квартиру и должен был вернуться в деревню. Здесь он прожил до осени 1919 г. Несмотря на тяжелые условия жизни того времени, он не оставлял научно-литературной работы. При этом он пользовался своей большой библиотекой, благодаря которой он получил от Наркомпроса охранную грамоту на дом со всей обстановкой. При посредстве проф. И. И. Чистякова он заключил в марте 1919 г. договор с Наркомпросом об издании двух своих обширных сочинений: ,,История русской математики" в одном томе и ,,Всеобщая история математики" в трех томах3. Над этими сочинениями Б. усиленно работал последние месяцы своей жизни и успел написать довольно много. Сочинения остались неоконченными, и написанные части их не изданы.

Другим неоконченным произведением, которым Б. занимался по крайней мере 17 лет (1900—1916 гг.) является ,,Био-библиографический указатель русских математиков, астрономов, механиков и физиков". По словам И. И. Чистякова, поручение составить словарь было дано Б. Московским математическим обществом (при президенте Н. В. Бугаеве), которое сделало публикацию, приглашавшую русских ученых присылать В.В. свои автобиографии. Б. собрал большой и очень ценный черновой материал, потребовавший от него громадной работы. В чистовом тексте, годном для печати, Б. довел словарь до буквы С. Окончить словарь ему помешали: медленное поступление биографических сведений от ученых, еще живших в то время, затрата большого количества времени на переписывание материалов и текста словаря, что Б. приходилось делать одному без помощников, и, наконец, установление им слишком широких рамок для словаря, в который автор включил много имен, едва ли заслуживающих быть помещенными в этом сочинении. Тем не менее словарь и в неоконченном виде представляет большую ценность, а если использовать черновые и немногие посторонние материалы, то можно издать его в полном виде4.

В марте 1919 г. Б. постигла тяжелая потеря: умерла его жена.

Осенью того же года он получил предложение читать лекции по истории математики в Тульском институте народного образования. Б. переехал в Тулу и начал чтение лекций. Он очень интересовался ими и усердно готовился к ним. Но он проработал недолго, так как скоро заболел и умер. В.В. отличался крепким здоровьем, но последнее время начал хворать: у него стали слабы ноги и ходил он с трудом. Тем не менее он не бросил работы и слег только за несколько дней до смерти, которая наступила 19 ноября. По выражению окружающих, „он умер среди книг".

В жизни Б. преобладающую роль играли умственные интересы. В нем была чрезвычайно сильна любовь к знанию. Она проявлялась еще с ученических лет и не ослабевала до конца жизни. В его записках, относящихся к первым годам учительской деятельности, мы находим составленные им „руководящие принципы человеческой жизни", один из которых гласит: „помни, что ты очень мало зна-

1 Звание профессора он получил только после Октябрьской революции, когда он фактически уже не работал в университете.

2 В 1917/18 академическом году он предполагал читать 5 час. по истории математики черновая заявления декану физ.-мат. факультета).

3 По устному сообщению И. И. Чистякова и по письму Б. к С. И. Дружининой от 6/V 1919 г.

4 Рукописи словаря и материалы к нему хранятся в Тульском архивном бюро, где они были обнаружены мною при работе над бумагами Б.

ешь, что область известного крайне мала в сравнении с областью неизвестного,— поэтому по мере своих сил старайся о развитии человеческих знаний: в этом счастье твое и человечества". Мы не ошибемся, сказав, что этому принципу он следовал всю жизнь.

Он страстно любил и высоко ценил науку и несколько раз выступал в ее защиту против нападок на нее, появлявшихся в прессе. На склоне дней своих в 1910 г. он выступил на XII съезде естествоиспытателей и врачей с докладом, в котором защищал науку против нападений на нее Л. Н. Толстого в известной его статье ,,О ложной науке".

Если исследовать ближе его любовь к знанию, то мы увидим, что он любил знание точное и полное. Отсюда стремление к накоплению строго проверенных фактов, к собиранию памятников народной математики и к библиографии. Это стремление к полноте, эта боязнь упустить какую-нибудь деталь нередко задерживали его на описании фактов и отдаляли момент перехода к общим выводам, которых он иногда так и не успевал сделать.

Тяготению к подробностям и точности соответствовал и его слог. Он писал длинными фразами с многочисленными определительными словами и обстоятельственными предложениями1. Это делало изложение несколько тяжелым и мешало популярности его сочинений. Но его устная речь была проще письменной, он говорил свободно и не искал слов, но несколько монотонно.

Он имел независимый ум, не склонный поддаваться влиянию авторитетов и господствовавших в обществе взглядов, с которыми он часто расходился.

Будучи склонен сам к строго последовательному логическому мышлению, он требовал такой же последовательности от научных сочинений и не прощал им противоречий. Еще студентом он в одном письме2 утверждал, что автор, обстоятельно изучивший свой предмет и составивший себе известные убеждения, никогда не будет противоречить им не только в проведении главной мысли, но даже и в мелочах. „Что касается меня лично, — прибавляет В.В., — то я готов простить сочинению многие важные недостатки, но никогда не прощу уклонения от главной мысли, какими бы достоинствами оно (сочинение) ни отличалось".

Ту же черту рассудочности и последовательности можно найти и в характере Б. Она ярко проявлялась в его действиях, когда он принимал решения, определявшие его жизненный путь.

Еще в молодости, придя к убеждению в громадном значении истории математики, он посвящает себя ее изучению, не сулившему никаких материальных благ. Найдя, что для распространения историко-математических знаний среди математиков ему надо сделаться приват-доцентом университета, он направляет свои усилия к получению этого звания, не доставлявшего ни материальной обеспеченности ни особо почетного положения. Увидев, что в журналах того времени (80-е годы) он не может печатать все свои статьи, которые он считал нужным опубликовать, он начал издавать свой журнал, хотя и знал о больших трудностях и невыгодности этого предприятия.

Для выполнения этих решений нужен был твердый характер и громадная настойчивость. Чтобы из провинциального учителя сделаться доцентом университета и ученым с европейским именем, ему пришлось преодолеть громадные трудности. Первые годы его занятий по истории математики прошли в провинциальной глуши, где не было библиотек с нужными ему сочинениями. Он должен был выписывать книги на свой счет и тратил на них значительные суммы. Он не имел руководителей и ему неоткуда было получить совет или указание. Со своей первой диссертацией он встретил совершенно своеобразные затруднения: она осталась неоцененной из-за отсутствия компетентных рецензентов. Двухлетняя

1 Они очень похожи на немецкие фразы. Может быть, здесь сказалось влияние немецкой литературы, которою Б. много занимался.

2 К В.А. Гольцеву (июнь 1871 г.).

работа над нею пропала даром. Но он не был обескуражен. Очень характерно он замечает в своей автобиографии, что „эта неудача не могла, конечно1, охладить стремления В.В. к достижению предположенной цели".

Он отличался неутомимым трудолюбием. Еще в гимназические годы он занимался так усиленно уроками и чтением, что воспитатель в письме к его отцу счел нужным советовать следить за тем, чтобы В.В. отдыхал летом.

С молодости и почти до 60-летнего возраста он был принужден иметь до 36 недельных уроков в кадетских корпусах. Заниматься научной и литературной деятельностью ему приходилось после службы, и нужны были его крепкое здоровье и выносливость, чтобы справиться с его громадной работой. Он спал только 6 часов в сутки и работал до 14 часов в день. В своей работе он отличался большой правильностью. В юности он составлял для себя расписание занятий по часам. Каникулами он пользовался для более серьезных работ. Большую часть своей второй диссертации он написал в летние каникулы 1879 и 1880 гг. В своей статье об анкете среди математиков, произведенной редакцией журнала „L'Enseignement Mathématique", он с осуждением отзывается об ученых, не пользующихся своими вакациями для научных занятий.

Он самостоятельно изучал языки, не заботясь о произношении, и знал их около 10 (включая шведский и голландский). Он не старался научиться говорить на иностранных языках и никогда не ездил за границу.

В нем в высшей степени было развито чувство долга. Он был бескорыстен, о чем свидетельствует прежде всего избранная им специальность, и равнодушен к материальному комфорту.

В отношениях с людьми он был гуманен и деликатен. Он был чрезвычайно правдив. В упомянутых выше „руководящих принципах" на первом месте стоит: „люби истину и не позволяй себе сознательно служить лжи".

Будучи по существу кабинетным человеком, он однако не чуждался общества и был неизменным организатором ежегодных обедов, устраивавшихся физико-математическим факультетом и Московским математическим обществом.

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПОЛНОГО КУБИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВВЕДЕНИЕМ ДВУХ НЕИЗВЕСТНЫХ.

В. Гук (Суханово).

(Извлечение из доклада 2/XI 1924 г. Московскому научно-педагогическому математическому

кружку)

Умножая полное кубическое уравнение

ay* + by* + cy + d=0........... (I)

на б3 а2, принимая первые два члена его за первые два члена куба суммы двух выражений2 и преобразовывая его, имеем

(bay 4- 2b)3 + 3 (12 ас — 4 b2) (вау -f 2b) + 2 (108а Ч — 36 abc + Ш) — 0. (II)

Приравнивая каждое из выражений, стоящих в скобках, соответственно X, р и q, имеем (III)

x3-f 3/?х + 2?, = 0............(IV)

Полагая р равным t(x-\-t)., т.-е, вводя вспомогательное уравнение вида

t(x + t)=p............. (V)

1 Курсив мой.

2 Т.-е. поступаем так же, как и при решении уравнения квадратного (там только множитель 22«). Это обязательно в том смысле, что до конца дает возможность избежать дробей и тем лучше обостряет внимание в трудных и основных местах решения.

и перенося свободный член 2q вправо имеем

x3-]-3xt(x-{-t) = — 2q......... (V)

Дополняя левую часть до полного куба двучлена, имеем

(x-\-ty = t* — 2q.............(VII)

Далее можно поступать двояко, хотя, по возведении обеих частей уравнения (V) в куб, все сводится к простоте решения уравнений (V) и (VII) относительно Р и (х-\- ty.

I. Возведя почленно обе части уравнения (V) в куб и подставив сюда значение (x-\-t)3u3 уравнения (VII), имеем разрешающее уравнение

Р — 2сР—р* = 0,............(VIII)

откуда

*» = ?±уУ+/>3........ .... (IX)

Решив уравнение (V) относительно х, имеем

x-^-t............. (X)

а подставив сюда значение t,—

(XI)

Знаки под корнем берутся или оба 4- или оба — ; причем в обоих случаях выражения для корня тождественно равны, в чем мы убеждаемся при освобождении знаменателей от иррациональности.

II. Извлекая корень кубический почленно из обеих частей уравнения (VII) и перенося потом t вправо, имеем

x = fp — 2q-t............(XII)

Подставляя сюда значение te-{-или — из строки (IX), имеем

* = f — q-\-\fq*+p* — fv + /q*^Çp*.......(VIII)

Из строк (II, III и X) имеем

с öl Р 12яс — Ab2 . ХгЛ\Г\

6ау — 2Ь — х — -~--1 =----1,.......(XIV)

откуда

4 (Зас — b2)t-l—2b — t ,„,Л,

У =------6а- ' (ХУ)

Таким образом разрешающее уравнение, будучи 6-й степени, решается как квадратное, но 6 его корней для кубического уравнения дают две тройки попарно равных корней, чем я и воспользовался в формулах строки (XI). В формуле же строки (XIII) эти тройки корней сливаются даже по внешнему виду.

При решении возведением уравнения (V) в куб мы к приведенному уравнению (IV) приобщим еще два. Все три вместе напишутся так:

(f 1д:)3 + 3р (f\x) + 2q = 0..........(XVI)

Воспомогательные уравнения к ним будут

t(f \x + t)=p, разрешающее же—ко всем трем одно и то же, т.-е.

Формула же примет вид

Здесь для X девять различных значений. Их нужно брать так: взяв при х коэфициентом 1-е значение jfl, справа берем при двух радикалах одновременно и последовательно 1-е, 2-е и 3-е значение 1^1, получаем 3 корня, потом при X берем коэфициентом 2-е значение f \, а справа попрежнему получаем еще 3 корня и, наконец, слева берем 3-е значение f 1, а справа попрежнему получаем еще 3 корня. Освобождая уравнения (XVI) от радикалов (если бы мы захотели написать уравнения в обычном виде) имеем

(х3 + 2^)3 + (3/7л:)3ггг0,

т.-е. одно уравнение девятой степени, приводимое к

х3 + 3/7л: + 2с = 0 и (х3-{- 2?)2 + 3/7x(x3-f-2ç) + 9/?2x2=:0

Примечание. До последнего времени не излагался и был забыт, вероятно по причинам не столько методологического характера, сколько исторического, способ, предложенный Вьета в 1591 г. Он заключается в том, что в приведенном уравнении (IV) X заменяется pt—^—t и тем еще быстрее получается разрешающее уравнение (VIII).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОДНОГО ГОНИОМЕТРИЧЕСКОГО ТОЖДЕСТВА.

М. Рахлин и М. Хазанов (Москва).

Докажем тождество:

где k—любое целое и положительное число.

Введем вспомогательную функцию

(1 ) /' (х) = sin (р arc sin

где arc sin л: — наименьшая дуга, синус которой равен х.

Найдем общий вид производной первого порядка функции (1) и разложим ее в ряд Маклорена.

диференцируя обе части последнего выражения, получим

откуда

дальнейшие диференцирования дают:

или

Полагая дг = 0, имеем:

Следовательно, разлагая f(x) в ряд Маклорена, имеем:

Легко понять, что при нечетном значение р — последний ряд конечен, а при о четном — бесконечен.

Полагая p = 2&-f-1 и обозначая aresin* через у и, следовательно, х — через sinj/, можем /(*) разложить в следующий конечный ряд:

Выражение, стоящее в фигурных скобках, представляет собой полином степени 2к относительно sin_y или степени k относительно sin2j/. Этот полином может быть разложен на множители вида

sin 2у — sin2 yv

где sin2^— один из корней, обращающих тождественно в нуль следующее уравнение:

Так как знаменатель выражения (4) в бесконечность не обращается, то

sin (2£ + l)j/=:0,

что будет имет вместо при {lk-\-X)y — t№, где m — целое число, а следовательно корнями предыдущего уравнения будут следующие величины:

и потому выражение,

стоящее в фигурных скобках тождества (3), может быть представлено в виде:

Введя прежний символ р, имеем:

Сделаем дальнейшее преобразование в выражении (5).

Так как выражение (4) тождественно равно выражению (5), то имеем:

Пусть у — -, тогда тождество (6) примет вид:

Так как sin |p£-|-l)^J— (—1)*, то, разделив обе части тождества (7) на 2** и извлекая из обеих частей тождества корень степени 2к> получим

Из доказанного тождества путем несложных преобразований можно получить следующую любопытную формулу:

Выведенное тождество (*) может быть применено к интегрированию функций .

Рассмотрим

Из анализа известно, что

где Л —>0 и определяется неравенствами

Для определения / \g(cosx)dx положим

в формуле (I) /г = -. . . , где £->оо. Тогда п = к,и

Легко заметить, что на основании тождества(*) выражение, стоящее в [ ]1 равно = .

Следовательно,

1 Ибо тогда

ОБ ОДНОМ ПРИЕМЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА EXTREMA RELATIVA НЕКОТОРЫХ СИММЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

П. Д. Яковлев (Казань).

Не так давно нам пришлось заняться решением одной из общеизвестных задач на maximum (именно задачи о maximum'e функции xyz---uv, при условии x-\-y-\-z-\-- • --\-u-\-v = const), не прибегая к диференциальному исчислению. Как известно, эта задача имеет много элементарных решений1. Поэтому нам хотелось отыскать прием решения, который, при возможной простоте, был бы в то же время и совершенно оригинальным. Такой прием, как кажется, нам и удалось найти. Симметричный характер решения задачи послужил косвенным указанием на то, что прием наш может оказаться применимым и к другим задачам на extrema relativa2, именно в том случае, когда, как и во взятой задаче, и заданная функция и функция, входящая в левую часть уравнения, налагающего на переменные известные ограничения, суть функции целые симметрические. После проверки это так и оказалось, и мы далее приводим на ряду с упомянутой задачей еще несколько задач на extrema целых симметрических (как алгебраических, так и трансцендентных) функций, решаемых тем же самым способом.

Прием, о котором мы говорим, очень прост и довольно изящен, поэтому мы и решили показать здесь применение его на нескольких примерах.

В основании приема, в зависимости от ограничения, налагаемого на переменные, входящие в состав функции, extremum которой отыскивается, лежит применение одного из следующих двух предложений.

I. Если hx и h2 могут принимать любые значения, приближаясь неограниченно к нулю, то одновременное существование неравенств

(1) x + hx>y,

(2) y + h2>x

возможно только при х—у.

II. Если hx и h2 могут принимать любые значения, приближаясь неограниченно к единице, то неравенства

(3) hxx>y,

(4) h2y > X

могут осуществляться одновременно только при х=у.

Докажем эти предложения. Обращаясь к первому из них, допустим от противного, что х>у, и положим

(5) х—у-\-р,

где /?">(). Подставляя значение лг'а в неравенство (2), найдем, что (5) возможно лишь при А2 > р ; но это противоречит условию, по которому h2 может приближаться к нулю, не подвергаясь никаким ограничениям. Так же докажем, воспользовавшись неравенством (1), невозможность соотношения х <у. А отсюда следует, что х—у.

Для того чтобы доказать предложение второе, заметим прежде всего, что hi и h2 можно считать большими нуля, пользуясь правом рассматривать их значения внутри достаточно узкого интервала, одним из концов которого является единица. А в этом случае, т.-е. при hx > 0t и Л2> 0, х и у должны, очевидно,

1 См., например, решения Darboux и Goursat.

2 Под задачами на extrema relativa нужно понимать задачи на отыскание extrema (maximum, minimum) функций, переменные которых связаны некоторыми дополнительными условиями, представленными в виде одного или нескольких уравнений, в состав которых входят эти переменные.

иметь одинаковые знаки. Таким образом относительно х и у возможны только два предположения: 1)л:>0, _у>0и 2) л; < 0, _у < 0. Приведем доказательства для обоих этих случаев параллельно. Допустим от противного, что х>у, и положим

(6) x = qy,

где<7> 1 {q < 1). Тогда, сопоставляя равенство (6) с неравенством (4), найдем, что первое возможно только при А2 > q (h2 < q), а это находится в противоречии с условием, по которому h2 может неограниченно приближаться к единице. Так же докажем невозможность соотношения х<у; отсюда будет следовать, что х=у.

Установив справедливость наших двух предложений, обратимся к решению некоторых задач на extrema relativa, пользуясь этими предложениями.

В зависимости от того, какое ограничение мы налагаем на переменные, входящие в состав функции, extremum которой отыскивается, задачи эти будут двух типов.

К задачам первого типа мы отнесем те, для которых ограничение выразится в такой форме:

Xi -f- х2 -\- - • - хп = с ;

и к задачам второго типа — для которых оно будет иметь вид

Xi • х2 • • - хп = с,

где xt, х2 , ... 9хп суть те переменные, от которых зависит рассматриваемая функция, причем *!>(), х2>0, •--,хп>0, и с — const

Задачи первого типа. Обратимся прежде всего к той задаче, на которой мы в первый раз испытали применение нашего приема. Ее можно формулировать так:

1. Найти, при каких положительных значениях переменных функция F=Xi.x2.. .хп достигает extremum и какого рода последнее, если хл-\-х2-]г . ш. -\-хп = с.

Допустим, что F достигает extremum при х1=х1\ х2 — Х2,...,хп = х'. Обозначая extremum через F0i будет иметь

(7) F0 = Xi .х2'... .хп'.

Выделим в правой части равенства (7) какие-нибудь два фактора, например» х- и х-, обозначив для простоты произведение остальных факторов через х, т.-е. положим

(8) F0 = xi'xj'x.

Подвергнем теперь изменению х- и х- ; увеличим х- и одновременно с этим, согласно с условием задачи, уменьшим хг на одно и то же количество Аь которое мы, очевидно, можем считать положительным1. Обозначая через Fx полученное после этого значение функции F, будем иметь

Л = (*/ + hi) (х/ — Aj) X,

что можно переписать еще так:

(9) FlzzzXi'Xj'x— hlX(Xj'

Вычитая почленно из равенства (8) равенство (9), получим

F0 — F = h1x(xi' — xj'-{-hl),

откуда

1 Все дальнейшие рассуждения можно провести и в предположении, что Ьл так же, как и рассматриваемое далее h2, меньше нуля.

Поступая подобным же образом, но уже прибавляя некоторое количество А2 > 0 к xj и вычитая его из х- и принимая во внимание симметричность функции F} непосредственно получим равенство

(11) f^p.=x/-x'+h2>

где Fi выражает значение функции F, полученное после изменений, которым подверглись х- и х- во втором случае.

Рассмотрим равенства (10) и (11). Числители дробей, стоящих в левых частях этих равенств, вследствие того что hx > 0, h2 > 0 и х > 0, будут иметь такие же знаки, как и соответствующие правые части равенств. Но F0 — Fx и F0 — F2 должны быть, очевидно, или одновременно положительны (когда F0 maximum) или же одновременно отрицательны (когда F0 minimum). В первом случае будет иметь место система неравенств

и во втором

Но из того обстоятельства, что hx > 0 и А2 > 0, следует невозможность системы (13), ибо она осуществляется только при Ах -|- А2 < 0, в чем можно убедиться почленным сложением неравенств (13). Поэтому приемлемой остается только система (12). А отсюда, с одной стороны, имеем, что при указанных условиях задачи F0 есть maximum, с другой же, заметив, что Ах и h2 суть произвольные количества, которые мы можем неограниченно приближать к нулю, заключаем, на основании предложения 1, что лг/ = л;/, т.-е. что значения независимых переменных, при которых/^—maximum, равны между собою, так как под индексами i и j {i=J=j) мы можем подразумевать любые целые числа от 1 до п.

2. Найти, при каких положительных значениях переменных основная симметрическая функция т-го измерения F(xux2<. J = £ ^ .Га2 ... x>.w достигает extremum и какого рода последнее, если х1-\-х2-\-...-\-хп = с.

Функция F может быть представлена в следующем виде, если предположить, что m <С п — /:

^ (14) F(xux2,...xn) = xixj ^xliX^...xlm+ + ^х^х^...х^^-i-

где под знаками сумм х{ и х} не содержится.

Действительно, если мы выделим все члены суммы 2, содержащие в себе сомножителями переменные х{ и Хр и вынесем произведение их за скобку, то в скобках останется сумма 1^, состоящая из членов, каждый из которых содержит в себе m — 2 сомножителя, отличных от xi и хг Среди оставшихся членов суммы 2 имеются содержащие х{ и содержащие хг Соединив первые в одну и вторые в другую группу и вынеся за скобки в первой группе х{ и во второй Xj, мы обнаружим, что суммы, заключающиеся в скобках, равны, ибо как одна из них, так и другая представляет собою сумму произведений из одних и тех же п — 2 переменных, взятых по m — 1. Обозначая эти суммы через £2 и вынося 22 за скобки, получим (х{ -f- xj/L2. Последняя сумма, Е3, состоит из членов, не содержащих ни xi ни Xj.

В частных случаях вид первой части равенства (14) может быть иным. Именно, при т=п — 1 будет отсутствовать Е3, так как функция не будет иметь членов, которые не содержали бы хг и Xj одновременно; при т — п функция сведется только к одному члену, и случай этот рассмотрен уже выше (зад. 1).

Вводя прежние обозначения (зад. 1), подвергая xt и xj тем же изменениям и замечая, что (xf-j-hi) + (xj — h) = х4Ц-хл, мы будем иметь:

(15) F. = х/ х! £, + (х; + */) £2 + 23,

(16) F, = (л-/ + Ai) (х/ - AO 2i + (х/ + л/) S2 + S3,

откуда, после почленного вычитания равенств (15) и (16) и разделения обеих частей на произведение hx £t, получим

(17) ^Z' = <_*; + Al.

Поступая так же, как и в задаче 1-й, на тех же основаниях, найдем

(18) %iP = */-< + A*

Но из сопоставления первых частей равенств (17) и (1) следует, что функция Е 1) достигает maximum и 2) это происходит при х-—х-.

3. При каких значениях переменных простая симметрическая функция /: = Xi*4-x2* +. ..-}-хпк достигает extremum и какого рода последнее, если Xt+x2 + ...+xn = c ?

Предварительно докажем следующее предложение:

В разложении бинома (z—р)"\ в котором z > 0, /? > 0 и z—р > 0, сумма всех членов, начиная с 3-го, больше нуля.

Для доказательства рассмотрим два могущих представиться случая, именно когда сумма первых двух членов разложения бинома меньше нуля и когда она больше нуля.

В первом случае теорема очевидно оправдывается, ибо сумма всех членов разложения бинома положительна {z—/?)ш>0, вследствие чего абсолютная величина суммы первых двух членов необходимо должна быть меньше абсолютной величины суммы всех остальных членов.

Во втором случае, т.-е. когда zm — mpzm~l > 0, что равносильно неравенству

(19) z — mp> о,

мы должны только доказать, что алгебраическая сумма каждой пары последовательно идущих членов, Т2к +1 и Т2к + 2, где индексы обозначают номера мест в разложении, больше нуля.

Действительно,

а так как, по (19), разность z — mp больше нуля, то выражение, стоящее в скобках, тоже больше нуля, и таким образом

7'Ä + 1-|-78fc + 8>0.

Теперь не трудно видеть, что сумма членов разложения, начиная с 3-го, больше нуля, так как при /rc = 2ft-j-l> т.-е. при четном числе членов разложения, она представляет собою сумму положительных разностей, а при т — 2п, т.-е. при нечетном числе членов, она является суммой также положительных разностей, сложенной с последним членом, которой больше нуля, ибо занимает нечетное место.

Обращаясь теперь к функции F, возьмем какие-либо две переменных xt и xjt Пользуясь прежними обозначениями и заменяя для простоты одной буквой х

сумму &-ых степеней тех значений всех остальных переменных, при которых F достигает extremum, будем иметь

(20) Fo = + + *•

Изменяя х- и х- в соответствии с условием задачи, получим

p1 = (x'<+A1)*+(*/-Ai)* + *

или

(21 ) Ег = (X'к + ккх х/ * -1 + Ai2/?) + (х/ * - khi х- к-' + h? q) + x,

где Z^2/? и k{2q обозначают сумму всех, начиная с 3-го, членов разложения каждого из биномов, с вынесением на первое место общего множителя hx2 этих членов.

Почленно вычитая равенство (21) из равенства (20) и деля обе части полученного равенства на к/ги найдем

(22)

Подобным же образом получим

(23)

По доказанному, hx2q > 0 и h22q' > 0; следовательно и q > 0, q' > О, а отсюда

(24)

Каждая из дробей (24) может, как это не трудно видеть, неограниченно приближаться к нулю, поэтому условия предложения 1 выполнены для выражений, стоящих в правых частях равенств (22) и (23). Но выражения эти могут быть одновременно только отрицательными.

Отсюда: функция F 1) достигает minimum'a и 2) это возможно при х/ *~* = = х- к~ \ т.-е. при Xi=Xj'.

Задачи второго типа. Займемся теперь задачами второго типа. Решим такую задачу.

4. Найти, при каких значениях переменных функция F = х^-\-х2к-\-... хпк достигает extremum и какого рода последнее, если х{х2. ..хп = с. Пользуясь обозначениями задачи 3-й, напишем:

(25) (26)

Вычитая почленно из равенства (25) равенство (26) и деля обе части на

получим

(27)

Также будем иметь

(28)

Вследствие того, что 1, к > о , 2, к > 0, так как можно считать hx > 1, А2>1, знаки числителей F0 — Fx и F0 — F2 таковы же, как и знаки правых час-

тей равенств (27) и (28), причем разности и Е0 — Ег и Е0 — F2 одновременно положительны или одновременно отрицательны.

Сообразно с этим будет иметь место одна из двух систем неравенств:

(29) — Ав*Х/*+*7>0

или

(30) — h2kx'k+x/k<0.

Но так как х'г-> 0, л;^>0, At > 1 и А2>1, то система (29) невозможна, так как она осуществляется только при hlh2<î, что можно обнаружить почленным умножением этих неравенств, перенеся предварительно отрицательные члены в правую часть. Следовательно возможна только система (30). Но отсюда заключаем, что F0—minimum и что этот minimum получается при л;'/'-f- x'f,—т.-е. при x'i = xfj, ибо hi и h2 мы можем заставить неограниченно приближаться к единице.

До сих пор мы занимались отыскиванием extrema только функций алгебраических. Приведем несколько примеров нахождения extrema функций трансцендентных симметрических.

5. При каких значениях дуг функция F= 2 sin а8 достигает extremum и какого рода последнее, если £ я8 = с и 0 < а8 < тс?

Пусть функция F получает extremum F0 при а/, а2', ...,ап'. Прибавляя к аргументу а/ и отнимая от а/ дугу 6i>0, причем, сообразно с условием задачи, 0<а/ + в1<тг и 0 < ь! — ег < г., получим, обозначая новое значение функции F через Fx :

или

(31)

и также (32)

Так как sin" 4 J > 0, то знаменатели первых частей равенства (31) и (32) положительны и, следовательно, знаки разностей F0 — Fi и F0 — F2 совпадают со знаками правых частей этих равенств. Как нам известно, трехчлены ос/ — а/4~®1и olJ — a/-f-e2 не могут быть одновременно отрицательны, если дуги &х и в2 могут принимать любые значения, приближаясь неограниченно к нулю, как это имеет место. Также не могут иметь эти трехчлены и различных знаков, ибо F0—Ft и FQ — F2 имеют одинаковые знаки, в то время как ja/— a/-f-61< <тс и ja' — а/-f-в2 j < it; иными словами, если бы упомянутые трехчлены имели различные знаки, то и разности F0 — Fx и F0 — F2 также имели бы различные

знаки. Итак, одновременно а/ — ау -f- Qt > О и а.' — а / + Ö2 > 0, откуда следует, что F0 — maximum, получаемый функцией при а/ = ау.

6. При каких значениях дуг функция FQ —sin ах sin a2 ... sin aw достигает extremum и какого рода последнее, если ï ols = c и 0 < a5 < ~ ?

Выделяя sin а/ и sin ау и обозначая для простоты произведение остальных факторов через S, будем иметь

откуда и также

Но отсюда, исходя из тех же сображений, что и в задаче 5-й, заключаем, что а/ = а/ и F0 — maximum.

На этом примере мы и закончим нашу статью об extrema симметрических функций, ограничившись только рассмотренными типичными задачами, представляющими при решении некоторые особенности.

В заключение остается только выяснить, в каком отношении находится приведенный способ решения задач на extrema к диференциальному исчислению.

Нет сомнения, что читатели обратили с самого начала внимание на вид левых частей тех равенств [как, например, равенств (10) и (11) в задаче 1-й], которые давали ответ на поставленный в задаче вопрос. В состав левых частей этих равенств входили отношения приращения функции F по двум переменным X; и х- к приращениям hx и h2 переменной х{.

Покажем, что предел первого из этих отношений при h{ — 0 должен быть равен нулю, если функция F, непрерывная для любых значений переменных хи х2,.. .х'п (лишь бы сохранилось условие хх -\-х2-+-••• + *„ = с), достигает при х{' и х/9 как мы это допустили, maximumca или minimum'a.

Возьмем отношение —^-1, фигурировавшее в задаче 1-й. Для простоты допустим здесь, что i = 1 и j = 2, т.-е. что приращения получают Х\ и х2. Предполагая, как и раньше, что extremum'a функция достигает при хг', х2'9... хЛ' будем иметь постоянно при достаточно малом hx :

F(xi,x2'xz', ...X,/) — F{xi -\-hux2 — hux3',. ,.xn') > 0 или < 0,

что можно написать еще так, полагая хх' + х2 = с — (х3' +... + хп') = c^const.).

F(xi, Ci — Xi\ хд\...хп') — F[xi-\-hi9 Ci — (Xx'+Aj), x3\...xn'] > 0 или < 0.

Но из этого сотношения следует, что функция F(X\9Ci—-^î » аг3', ... лгЛ') от одной независимой переменной хх достигает extremum'a при х1=хх'у поэтому, при Xi —Xi

Теперь не трудно вывести равенство X\=X2. Вследствие того, что (см. задачу 1)

где X > О или т.-е.

(33)

Так как hx > 0, то при условии (33) постоянно ^-г—— > 0 и таким образом F0 — maximum. Не трудно видеть, что к такому же выводу мы пришли бы, если бы исходили из предположения, что ht < 0.

Мы взяли только одно из встретившихся выше отношений и показали, чему равен его предел, установив попутно условия, при которых функция достигает extremum'a, причем указали, какого рода последнее. Но нетрудно, однако, видеть, что и во всех остальных случаях мы могли бы получить, рассуждая подобно тому, как это сделано выше, такие же результаты.

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ПОЛЮСОВ ОДНОГО КОНИЧЕСКОГО СЕЧЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ДРУГОГО (по Эрмиту).

С. П. Слугинов (Пермь).

Целью настоящей заметки является изложение в более упрощенном виде вопроса, поставленного в заголовке и рассмотренного Ш. Эрмитом в I томе его сочинений (Oeuvres de Charles Hermite, t. I, Paris, Gauthier — Villars, 1905). Интересующий нас вопрос ставится Эрмитом следующим образом.

На плоскости даны два конических сечения А и В\ рассматривая касательную к коническому сечению А, как поляру конического сечения В, найдем геометрическое место ее полюса, предполагая, что касательная пробегает кривую А.

Пусть уравнение конического сечения Л, отнесенное к вершине и оси, будет

yi = 2px + qX2...............(1)

тогда уравнение касательной к нему в точке (а, 3) выразится так:

fy=p(x + *) + q*X.............(2)

Так как точка (а, В) лежит на кривой А, то, следовательно, имеет место соотношение

В2=2/га + <г/-................(3).

Положим далее, что подобное же уравнение конического сечения В запишется следующим образом:

y2=2Pix-\-qix*..............(4),

а уравнение ее поляры соответственно примет форму

уух = (qi Хх + рх) X + pi xi............(5),

где Хи у — координаты полюса.

Отождествляя уравнение (5) с уравнением (2), будем иметь

q\X\Pi = У±— Elb . (6)

Отсюда

а = --BEl^i -, о------------......(7)

Подставив вместо а и 3 соответствующие им выражения, определяемые соотношениями (7), в равенство (3), мы и получим уравнение искомого геометрического места. Это уравнение будет;

,_ЕЖ___= ___2ргр1х1__________ p-Pl xi2____ (8)

или:

p2yi2 = 2Pi [(pqi — qpi)Xi+ppx]xi-TPL2xr.........(9)

или:

Pi2У2 = 2РРГ *г + [ 2/>i (pqi - qp,) + Pi2 ] *i2........• (10)

Итак мы видим, что искомое место есть коническое сечение.

В заключение настоящей заметки скажем несколько слов относительно составления уравнения поляры (5).

Если возьмем общее уравнение кривой 2-го порядка в однородных координатах, т.-е.

F(x9y,t) = Ax* + Bxy + Cy* + Dxt+Eyt+F? = 0 . . . •........(а),

то уравнение поляры запишется так:

xFXi + yFH + tFh = 0.............(b)

Принимая в этом уравнении и уравнении (а) переменную t=1, получим уравнение конического сечения и поляры в декартовых координатах, т.-е.

Q(Xly) = Ax* + Bxy + Cy2 + Dx + Ey-{-F=0....... .(а')

и (2Ax1 + Byl+D)x + (Bx1 + 2Cy1+E)y + (Dx1 + Ey1 + 2F) = 0 . . . . (b')

От этих общих форм легко перейти к частным формам уравнений (4) и (5).

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

В. Сакк (Верхнедпепровск).

В изданной в 1929 году вторым изданием (ГИЗ) книжке С. П. Виноградова „Элементы теории вероятностей" есть (на стр. 25) пример с решением, о котором— особенно, принимая во внимание широкое распространение этой книжки по школам соцвоса — мне хотелось бы сказать несколько слов.

Условие задачи таково: Л, В и еще 8 человек стоят в очереди; определите вероятность того, что А и В отделены друг от друга тремя лицами.

После подробного решения имеем ответ: вероятность этого события равняется = -FTT^r, числу, которое сразу, на первый же взгляд, кажется нам очень малым. И действительно, в решении допущена ошибка: число всех возможных случаев найдено правильно (Р10 = 10!), но число случаев, благоприятствующих наступлению данного события, определено неверно.

Если мы возьмем восемь элементов кроме А и В, то, не изменяя их порядка, мы можем поместить А и В> сообразно условию, шестью способами:

Меняя А и В местами, имеем 6.2 = 12 случаев и, наконец, переставляя в каждой строке элементы ai....a8 всеми возможными способами, получаем число всех благоприятствующих случаев равным

7V=6.2.P8 = 12.8!

Тогда вероятность наступления события, указанного в условии задачи, равна-лг=Т5-

Для проверки этого решения найдем сумму вероятностей всех единственно возможных в данном случае событий, которыми являются для А и В возможности быть отделенными друг от друга числом людей от 0 до 8,

Рассуждая аналогично предыдущему, найдем ряд значений для числа благоприятных случаев Nn, где п— число людей между А и В :

N0 = 2.9. Р8 = 18.8! Nt = 2.8. Р8 = 16.8!

ЛГ8 = 2.1. Р8 = 2.8!

Складывая почленно, имеем:

а сумма вероятностей наступления какого-либо из этих событий равна =1 , что и должно получиться, так как события — единственно возможны.

Ошибка в решении, предложенном в упомянутой книжке, заключается в том, что внимание обращено только на 3 элемента, которые стоят между А и В;

их, действительно, можно выбрать Al способами. Но, кроме того, 1) оставшиеся 5 элементов можно взять в разном порядке 5 ! способами; 2) к каждому из этих соединений одну и туже группу А атапарВ можно присоединить шестью способами. В результате не достает множителя 6 ! Введя его, получим правильное решение.

ЗАДАЧИ.

25. Доказать, что если сумма двух целых положительных чисел А-\-В делится на 5, то и при не делящихся на 5 числа АпА-\-В и Вп^-^А делятся на 5.

И. Кастровицкий (Сталинград).

26. Решить уравнение

27. Пользуясь обычными обозначениями, показать, что во всяком треугольнике

27#2> 4/?2> 108г2.

28. В круг вписаны: трапеция, основанием которой служит диаметр, и равнобедренный треугольник, стороны которого параллельны сторонам трапеции. Доказать, что обе фигуры равновелики.

29. Построить треугольник по двум сторонам так, чтобы из противолежащих им углов один был вдвое более другого.

Ф. Гусев (Москва).

30. Точки полуокружности соединены прямыми с концами диаметра и в полученные треугольники вписаны квадраты. Найти геометрическое место центров квадратов.

31. Вычислить двугранный угол наклонения боковой грани к плоскости основания правильной четыреугольной пирамиды, если его линейный угол равен углу при вершине пирамиды.

А. Билима-Постернаков (Тула).

32. Найти два числа, из которых каждое равно сумме цифр куба другого.

А. Троицкий (Пенза).

33. Определить острые углы прямоугольного треугольника, в котором биссектриса прямого угла равна проекции гипотенузы на эту биссектрису.

Г. К. (Пенза).

34. В мешке лежат пластинки с буквами к, л, м, о, о, о, т. Вынимаем эти пластинки. Какова вероятность, что буквы будут вынуты в таком порядке, что образуют слово молоток?

В. Сакк (Верхнеднепровск).

35. Шар, образующий в сечении с плоскостью XOY окружность, уравнение которой (х— a)2-f-(v—ô)2 = r2, касается плоскости Ax-\-By-\- Cz-\-D = 0. Найти уравнение тара.

Н. Орлицкий (Katowice).

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

72. Через точки M и Л/, взятые на сторонах прямого угла XOY, проводят прямые MP и NQ так. чтобы /_ ХМР— /_ YNQ. Найти геометрическое место точек пересечения прямых MP и NQ.

Если примем /_ XOY за координатный угол и обозначим абсциссу точки M через а и ординату точки N через Ь, то уравнения прямых MP и NQ будут:

у — к(х — а); у — b = к'х.

Но легко видеть, что при выполнении условия / ХМР = /_YNQ, угловые коэфициенты к и к! связаны соотношением: kk' = \.

Исключив к и к' из этого соотношения и из уравнений прямых, найдем уравнение геометрического места точек их пересечения:

X2 —у1 — ax-{-by = 0.

Это—равносторонняя гипербола, центр которой находится в середине отрезка ALV, а оси параллельны осям координат.

Другое решение. Прямые MP и NQ представляют собою соответственные лучи двух равных и противоположно направленных проективных пучков. В этом случае геометрическим местом точек пересечения соответственных лучей служит равносторонняя гипербола, имеющая MN своим диаметром. Она проходит через точку О, так как лучу МО соответствует луч N0. Поэтому диаметр MN и диаметр, проходящий через О, равны между собою, а в таком случае главные оси являются биссектрисами углов между ними, т. е. они параллельны прямым ОМ и ON.

А. Дмитровский, Н. Фивейский (Москва), А. Агамалов (Актюбинск), X. У. (Ростов-на-Дону), В. Сакк (Верхнеднепровск).

73. Решить уравнение:

х* — a2 (a2 + a-f 1) х— а* (а + 1) = 0.

Один из корней данного уравнения есть х^ =—а. Разделив левую часть уравнения на х-\-а, получим квадратное уравнение:

X2 — ах — а* (а + 1) = 0,

из которого найдем два других корня:

x<l— — а2; х3 = а2-{-а. А.

Дмитровский (Москва), А. Бутомо (Саратов), В. Сакк (Верхнеднепровск), А. Агамалов (Актюбинск), Н. Фивейский (Москва), X. У. (Ростов-на-Дону), А. Билима-Постерпаков, С. Адамович, И. Кампиони (Тула), Н. Хайдуков (Петровск).

74. Решить неравенство:

х2 + х— \/А<А.

Представим данное неравенство в таком виде:

или

Отсюда следует, что ХЛ~\ должно удовлетворять неравенству:

а потому

А. Дмитровский (Москва), А. Бутомо (Саратов), В. Сакк (Верхнеднепровск), А. Агамалов (Актюбинск), И. Фивейский (Москва), А. Билима-Постернаков (Тула), Я. Хайдуков (Петровск).

75. Решить уравнение:

X3 —6x-f 6 = 0.

Проще всего применить формулу Кардана. Мы имеем:

Поэтому

где а один из мнимых корней уравнения х3 = 1.

А. Дмитровский (Москва), А. Бутомо (Саратов), И. Чемисов (Дмитровск), В. Сакк (Верхнеднепровск), Э. Хилькевич (Тюмень), Н. Фивейский (Москва), С. Адамович (Тула), И. Кампиони (Тула), Н. Хайдуков (Петровск).

76. К двум внешне касающимся окружностям провести секущую так, чтобы она окружностями делилась на три равные части.

Пусть искомая секущая пересекает один круг в точках А и В, другой - в точках С и Û. Если обозначим радиусы кругов через R и г, а половину хорды AB через х, так что AB = BC=CD = 2x> то, опустив из центров перпендикуляры на секущую и проведя через центр одного из кругов прямую, ей параллельную, до пересечения с другим перпендикуляром, из полученного прямоугольного треугольника будем иметь:

откуда после упрощений получим:

Отбросив решение х = 0, находим из этого уравнения:

Задача возможна, если 14/?г — R2 — г2 > 0, а так как из уравнения \ARr— R2 — г2 = 0 получается — = 7 ± 4 \f 3, то для возможности задачи необходимо, чтобы выполнялось неравенство:

Кроме того, должно быть:

но эти требования выполняются сами собою. В самом деле, неравенства:

дают:

Проведем теперь в точке M касания кругов общую касательную и обозначим через N точку ее пересечения с искомой секущей. Очевидно, что N есть середина отрезка ВС и потому

Таким образом отрезок ММ легко построить, а тогда найдем и положение точки А, так как NA = ММ уЪ.

Задача имеет два решения, симметричные относительно линии центров. Если R = r, то X = у, что непосредственно ясно геометрически.

А. Дмитровский (Москва), И. Чемисов (Дмитровск), X. У. (Ростов-на-Дону , С. Адамович (Тула).

77. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и разности двух линий, соединяющих центр вписанного в него круга с вершинами двух острых углов.

Если соединим центр О вписанного круга с вершинами А и В острых углов прямоугольного треугольника ABC, то очевидно, что /_ АОВ=\ЪЪ°'. Пусть АО>ВО. Тогда, отложив на АО отрезок OD, равный OB, и соединив D с В, будем иметь:

Отсюда получаем такое решение. На отрезке AB, равном данной гипотенузе, надо построить дугу, вмещающую угол в 157-у- (т.-е. в 180° — 22-V V и отложить на ней хорду AD, равную данной разности. Когда положение точки D известно, построение треугольника не представляет никакого затруднения.

А. Дмитровский (Москва), X. У. (Ростов-на-Дону), С. Адамович (Тула).

78. Найти предел суммы членов ряда:

Найдем сначала пределы сумм:

Если сложим п равенств:

то получим:

Далее напишем п равенств:

или

Сложив их, имеем:

так как известно, что

то отсюда находим:

Теперь, чтобы найти предел суммы

напишем и сложим п равенств:

Замечая, что

находим после сложения:

откуда

А. Дмитровский (Москва), Н. Хайдуков (Петровск).

79. Доказать тождество:

Преобразуя данное выражение, находим последовательно:

А. Дмитровский (Москва), А. Бутомо (Саратов), А. Агамалов (Актюбинск), Я. Шуйский (Владимир), В. Лебедевская (Саратов), Н. Фивейский (Москва), А. Билима-Постерпаков (Тула), А. Левшук (Иркутск*, С. Адамович (Тула), И. - Коростелев (Баталпашинск), В. Сакк (Верхнедпепровск), Л. Шуйский (Владимир), Н. Хайдуков (Петровск), С. Львов (Москва).

80. Решить уравнение:

Положим,

откуда

После преобразования данное уравнение примет вид:

уЬ _ 1 (у -f 40у> — 80у2 + 80у — 32 = 0.

Левая часть представляет собою (у — 2)5. Поэтому все пять корней равны между собою и равны 2. Соответствующее значение х есть х = 5 (радикал должен быть взят со знаком -f-).

А. Дмитровский (Москва), Л. Бутомо (Саратов), Н. Шуйский (Владимир), А. Билима Постернак с в, С. Адамович (Тула), В. Сакк (Верхнеднепровск), X. У. (Ростов), С. Львов (Москва).

ХРОНИКА.

От Совета Московского Научно-Педагогического Математического Кружка. Обращение к членам Кружка.

В настоящую эпоху, когда наша страна на прочном фундаменте закладывает величественное здание социализма, когда вырастают мощные гиганты-заводы и хозяйственные комбинаты, когда сельское хозяйство перестраивается на новых, социалистических началах, когда трудящиеся массы, осознав силу научного знания и техники, сами стали рваться к приобретению знаний и удовлетворению своих культурных запросов, чтобы использовать уже имеющиеся возможности, а, с другой стороны, самим проложить новые пути по перестройке жизни страны, когда вопрос о подготовке кадров, в связи с ускорением темпа выполнения пятилетнего плана, приобретает такое первенствующее значение,—работники школы, науки и техники не могут не принимать самого деятельного участия в общей работе социалистического строительства.

Чтобы получить наибольший эффект, эта работа должна вестись планомерно и организованно, с тем, чтобы специальная научная подготовка отдельных лиц полностью была использована.

Математический кружок, как организующий научные силы работников в области математических дисциплин и их преподавания, обращается к своим членам с призывом еще шире развернуть свою работу по распространению точных знаний среди рабочих и крестьян—участников социалистического строительства.

Совет Кружка, подвергнув этот вопрос всестороннему обсуждению, указывает на следующие основные виды такой работы: 1) чтение докладов и лекций на заводах, в колхозах и совхозах, в округах и районах, на съездах и совещаниях по народному образованию, на курсах по переподготовке преподавателей и т. п.; 2) консультацию коллективов и отдельных лиц по научным и методическим вопросам; 3) участие в работе органов по организации народного образования.

Совет Московского Научно-Педагогического Математического Кружка призывает своих сочленов в порядке социалистического соревнования откликнуться на это воззвание и со своей стороны указать еще другие виды работы, которые могли бы расширить участие Математического Кружка в общем деле строительства силами всех трудящихся социализма и выполнения пятилетнего плана в кратчайший срок.

Ответственный редактор И. И. Чистяков. Главлит № А—70413. Типо-литография Центросоюза. Москва, Денисовский, 30. Тираж 1.000 Ст. А. Т Б5 176 X 250 мм 2 п. л. Р. П. № 0082.

90 коп.

КАЖДЫЙ ПРОСВЕЩЕНЕЦ

ДОЛЖЕН БЫТЬ ПОДПИСЧИКОМ ОРГАНА КУЛЬТУРНОЙ РЕВОЛЮЦИИ—ГАЗЕТЫ

„ЗА КОММУНИСТИЧЕСКОЕ ПРОСВЕЩЕНИЕ

На 6 мес.—2 р. 25 к., 3 мес.—1 р. 25 к.

СКЛАД ИЗДАНИЯ:

ИЗДАТЕЛЬСТВО „РАБОТНИК ПРОСВЕЩЕНИЯ* МОСКВА 19, ВОЗДВИЖЕНКА, 10.