МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

№ 2

1930

ИЗДАНИЕ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Р. С. Зетель. О метрических свойствах выпуклого четырехугольника........ 49

А. Щербаков. применение неопределенных уравнений к комбинированному способу подсчета угла поворота червяка при нарезке зубчатых колес......... 51

А.Щербаков. применение показательного уравнения 2J а к определению скорости резания по заданной стойкости резца..................... 53

К. Кувыркин. доказательство формулы тангенсов................... 54

Г. Романовский. основные понятия топологии прямой и плоскости.......... 55

А. Васильев. нужно ли писать и изучать историю математики в россии....... 00

Л. Лодыженский. В. В. Бобынин........................... 04

задачи . . . . . .................... ....... . 74

решения задач................................. 75

хроника......................................... 79

библиография................................ 80

SОMMAIRE

S. Zetel. sur les propriétés métriques du quadrilatère convexe.

A. Chtcherbakov. emploi d'équations indéterminées dans une question de technique.

A. Chtcherbakov. application de l'équation exponentielle 2х —a à une question technique.

K. Kouvyrkine. démonstration du théorème des tangentes.

P. Romanovskl. notions fondamentales de topologic de la doite et du plan.

A. Wassîliev. faut-il écrire ef étudier l'histoire des mathématiques en russie?

Z. Lodygenski. W. W. bobynine.

problèmes.

solutions de problèmes.

chronique

bibliographie.

ПРОДОЛЖАЕТСЯ ПОДПИСКА НА 1930 ГОД НА ЖУРНАЛ

МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

8 КНИГ В ГОД Ответственный редактор проф. МГУ И. И. Чистяков,

ПОДПИСНАЯ ЦЕНА: на год —6 руб., на полгода — 3 руб. 50 коп. Отдельные номера по 90 коп. с пересылкой.

ПОДПИСКА ПРИНИМАЕТСЯ:

в ОППИ изд-ва „Работник просвещения"--ул. Герцена, 10: в магазинах и отделениях издательства и у письмоносцев. Переводы направлять: изд-во „РАБОТНИК ПРОСВЕЩЕНИЯ"

Москва 19, Воздвиженка. 10.

АДРЕС РЕДАКЦИИ: Москва, Маросейка, Старосадский пер.. 9. кв. 4.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

№ 2

ЖУРНАЛ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

1930 г.

О МЕТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ВЫПУКЛОГО ЧЕТЫРЕУГОЛЬНИКА.

С. И. Зетель (Москва).

Особые виды четыреугольников изучены достаточно подробно. Мы знаем ряд свойств параллелограмов, четыреугольников, вписанных в круг, описанных около круга, но, насколько мне известно, мы почти не знаем свойств всякого выпуклого четыреугольника. Настоящая статья затрагивает вопрос о свойствах всякого выпуклого плоского четыреугольника.

§ 1. Пусть ABCD - выпуклый четыреугольник (черт. 1). Продолжим противоположные стороны его до взаимного пересечения. За вершины В и D продолжено по одной стороне, за вершину С продолжены две стороны, за вершину А не продолжена ни одна сторона.

Пусть внутренние углы четыреугольника ABCD будут А, Ву С и Д тогда из треугольников MDC и CNB получим следующие неравенства:

Черт. 1.

В случае параллельности ALI и CD, /_С+ /_B = 2d, при BC\\ADt / С -\- / D — 2d\ из AND и \ АМВ следуют неравенства:

Итак, угол при вершине, за которую стороны не продолжаются, с каждым соседним углом дает в сумме не более 2d. Угол при вершине, за которую продолжаются обе стороны, с каждым соседним углом дает в сумме не менее 2d.

Назовем вершину А% за которую не продолжается ни одна сторона, первой вершиной. Диагональ АС, исходящую из первой вершины, — первой диагональю. Диагональ BD — второй диагональю.

Примечание. В параллелограме любая вершина может быть названа первой. В трапеции каждая из вершин, прилежащих к большему основанию, может быть принята за первую. В параллелограме и трапеции каждая из диагоналей может быть названа первой.

Далее мы покажем, что первая и вторая диагонали в четыреугольнике разнятся по своим метрическим свойствам.

Предварительно введем еще один термин. Два треугольника, сторонами которых служат продолженные стороны данного четыреугольника или продолжения его сторон, назовем связанными относительно вершины четыреугольника в том случае, если их углы при этой вершине равны, либо дают в сумме 2d. Во всяком выпуклом четыреугольнике мы получим четыре пары таких треугольников (черт. 1).

1) [\АВМ и /\ADN связаны относительно вершины А:

2) 3)

§ 2. Составим следующее сложное отношение (черт. 2):

и докажем, что оно равно -™ где К—точка пересечения диагоналей,

(1)

по аналогии

(2)

§ 3. Перепишем равенства (1) и (2) в таком виде

(1')

(2')

Разделив (Г) на (2') получим:

(3)

Черт. 2.

Перемножив равенства (1 ) и (2'), получим:

(4)

Из рассмотрения равенств (3) и (4) получаем теорему:

Диагональ выпуклого четыреугольника делится в точке пересечения диагоналей на два отрезка так, что отношение квадратов отрезков диагонали равно отношению произведений площадей треугольников, связанных с соответствующими концами диагонали.

§ 4. Представим равенство (3) в таком виде:

Итак, отношение квадратов отрезков первой диагонали, считая от пер во вершины, равно отношению произведений продолженных сторон четыреугольника к произведению их продолжений.

Равенство (4) преобразуем

(4')

Из рассмотрения равенств (3) и (4') получаем следствия:

1-е следствие.

Во всяком четыреугольнике из возможных четырех отношений отрезков диагоналей (в каждое отношение входят отрезки только одной диагонали), отношение отрезков первой диагонали, считая от первой вершины, не меньше каждого из остальных.

Во всяком четыреугольнике — за исключением трапеции и параллелограма—отношение отрезков первой диагонали, считая от первой вершины, больше каждого из остальных.

2-е следствие. Если первая диагональ в точке пересечения диагоналей делится пополам, то и вторая диагональ делится пополам.

3-е следствие. Если из двух диагоналей только одна делится в точке пересечения диагоналей пополам, то делящаяся пополам—вторая диагональ.

4-е следствие. Если в четыреугольнике одна диагональ делится в точке пересечения диагоналей пополам, то произведения площадей треугольников, связанных с ее концами, равны между собой.

Пусть в четыреугольнике ABCD (черт. 3) DK=KB; тогда из равенства (4) получим:

Черт. 3.

(5) (5')

Итак, если в четыреугольнике одна диагональ делится в точке пересечения диагоналей пополам, то отношение произведения двух противоположных продолженных сторон к произведению их продолжений постоянно.

ПРИМЕНЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ К КОМБИНИРОВАННОМУ СПОСОБУ ПОДСЧЕТА УГЛА ПОВОРОТА ЧЕРВЯКА ПРИ НАРЕЗКЕ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС.

А. Щербаков (Тула).

(Доложено в заседании Тульского матем. кружка 27 января 1929 г.)

В настоящее время в элементарной алгебре опускается отдел неопределенного анализа, как не имеющий технического приложения. Поэтому я считаю не лишним

сделать небольшое сообщение о применении к техническому вопросу неопределенного уравнения 1-й степени с двумя неизвестными.

Нарезка зубьев на фрезах, зубчатых колесах, развертках, как известно, производится при помощи делительной головки (бабки). Устройство такой головки с делительными дисками для нарезки прямого зуба очень просто.

1 —Шпиндель. 2—Червячное колесо. 3—Червяк. 4—Рукоятка. 5—Делительный диск. 6—Нарезаемый предмет. 7—Нарезающая фреза. 8—Штифт рукоятки. 9—Штифт для диска.

При бабке обычно имеются 3 делительных диска с следующим числом отверстий:

1-й диск—15, 16, 17, 18, 19, 20.

2-й „ —21, 23, 27, 29, 31, 33.

3-й „ —37, 39, 41, 43, 47, 49.

Червячное колесо чаще всего имеет 40 зубьев, червяк—одноконечный. Но дело по существу не меняется и при других числах зубьев и концов.

Так как червяк и червячное колесо имеют одинаковый шаг, то при одном обороте червяка червячное колесо повернется на один зуб, т.-е. на— часть оборота. При 40 оборотах червяка червячное колесо с нарезаемым предметом сделает 1 оборот. Но число оборотов червяка обратно пропорционально числу зубьев нарезаемого предмета. Отсюда, чтобы определить число оборотов червяка (х) при нарезке на предмете а зубьев, пишем пропорцию:

40 : а = X : 1; х= — а

Например, при нарезке 32 зубьев, после каждой нарезки зуба надо повертывать рукоятку на х= — =1~=1—= 1 — оборота по 2-му кругу 1-го диска.

Но на практике иногда встречаются задачи, которые так просто не разрешаются. Например, при нарезке 57, 63... 187... зубьев нельзя найти указанным способом число оборотов червяка, так как на дисках нет таких чисел. В этом случае, если нет другой бабки и если указанные числа разлагаются на множители, прибегают к комбинированному делению, т.-е. угол поворота червяка стараются найти как сумму или разность углов поворота червяка (при неподвижном диске) и диска (вместе с червяком) по соответствующим кругам одного или двух дисков (свинченных). Например, для нарезки 63 зубьев имеем

40_49-- 9_ 7 J_ 21 _ 3_ Х~~ 63" 7.9 ~ 9 7 ~ 27~~ 21 '

Легко видеть, что в общем случае подбирать такие члены суммы или разности, которые делились бы на делители знаменателя, не так легко, и на практике на такой подбор уходит очень много времени, не имея уверенности, что задачу можно разрешить. Подходящих же таблиц иногда нет под руками.

Между тем этот вопрос прямо приводит к неопределенному уравнению.

В самом деле, для указанной задачи одно слагаемое должно было, чтобы сократиться с знаменателем, делиться на 7, а другое—на 9.

Поэтому

Находя X и у в целых числах, мы определяем сразу сколько угодно решений, из которых и выбираем более удобные для нашей цели.

Очевидно, этот прием является общим для всех подобных задач. Примеры 1. Нарезать на зубчатке 187 зубцов.

2. Нарезать 57 зубцов, если червячное колесо имеет 60 зубцов.

ПРИЛОЖЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 2x=а К ОПРЕДЕЛЕНИЮ СКОРОСТИ РЕЗАНИЯ ПО ЗАДАННОЙ СТОЙКОСТИ РЕЗЦА.

А. Щербаков (Тула).

(Доложено в заседании Тульского матем. кружка 19 апреля 1929 г.)

Теперь на показательные уравнения почти не обращают никакого внимания в элементарной алгебре, так как они как будто не имеют технического приложения. Привожу один пример их приложения к элементарному техническому вопросу, часто встречающемуся в повседневной практике.

При токарной обдирочной работе часто приходится пользоваться следующим соотношением между скоростью резания и продолжительностью работы резца без переточки: в среднем уменьшение скорости резания на 10% увеличивает продолжительность работы резца в 2 раза.

Например, если резец, вместо 80 мин. стоял 20 мин. при скорости резания v = 15 —, то, уменьшая скорость резания на 20%, можно продолжительность работы резца увеличить в 4 раза, т.-е. довести до 80 мин.

Значит, уменьшая (или повышая) скорость резания на 10°/0, 20%, 30%..., повышаем (уменьшаем) продолжительность работы резца в 2, 3, 8... раз.

Но на практике чаще требуется увеличить продолжительность работы резца без переточки, в зависимости от заданной стойкости и действительного времени его работы, в любое целое или дробное число раз. Например, при скорости резания v = 20 — резец стоял 18 мин., а стойкость заводом определяется в 1,5 часа. Следовательно, продолжительность работы надо увеличить в = 7,5 раза.

В этом общем случае определить процент уменьшения скорости резания ь ма затруднительно, так как интерполирование здесь приходится совершать с по мощи показательного уравнения 2* = а.

В самом деле, представляя указанную зависимость в виде таблички

Уменьшение скорости резания

Увеличение стойкости

находим, что процент уменьшения скорости резания возрастает в арифметической прогрессии, а увеличение продолжительности работы резца—в геометрической. Отсюда, принимая гипотезу о существовании подобной зависимости и в промежуточных интервалах, что согласуется с практикой, можно написать 2х = а, где а — число, показывающее, во сколько раз надо увеличить продолжительность работы резца, чтобы он имел заданную стойкость. Откуда -——•Для предыдущей задачи имеем х— j- ^ = 2,3, и скорость резания надо уменьшить на 10%'2,3 = 23°/0> т.-е. на 4,6 т.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЗАКОНА ТАНГЕНСОВ.

Н. Кувыркин (Иркутск).

Под таким заголовком в ноябрьской книжке американского журнала .School Science and Mathematics" за 1929 г. напечатана статья J. S. Georges'a.

Основываясь на свойствах гармонически разделенного отрезка, автор дает вывод известной в тригонометрии формулы тангенсов. Избегая мало знакомого иногда гармонического деления отрезка, мы попытаемся сделать тот же вывод на основании свойств биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника ABC (см. чертеж). В своих рассуждениях примем те обозначения, которые сделаны на чертеже. Пусть CD будет биссектрисой угла С, а ОТ)' — биссектрисой угла АСЕ. Тогда, по свойству биссектрис.

откуда

откуда

Разделив почленно равенство (4) на равенство (2) получим:

Проведем AC || DC и получим:

Разделив обе части равенства (7) на—, получим

Сопоставляя равенства (5), (6) и (8), находим, что

(9),

но —-— есть тангенс угла CD'D, так как треугольник DCD' прямоугольный, и — тангенс угла АСС\ так как треугольник АСС тоже прямоугольный (АС || DC).

Теперь попытаемся углы CDD и АСС выразить через углы А а В треугольника ЛВС. Имеем

(11).

Подставляя в равенство (10) значение /_ АСС из равенства (11), получим

(12).

Далее

(13)

Таким образом равенство (9) примет вид:

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТОПОЛОГИИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

(Окончание)

П. Романовский (Москва).

§ 13. Теперь мы опишем некоторые рассматриваемые в топологии определения кривых линий.

Простой дугой называется всякое множество, гомеоморфное сегменту; простой замкнутой кривой (или замкнутым контуром) называется всякое множество, гомеоморфное окружности. Из этих определений видно, что простые дуги и простые замкнутые кривые суть ограниченные континуумы.

Простая замкнутая кривая, как ограниченное замкнутое множество, определяет на плоскости некоторые области, из коих одна неограничена. Границы этих

областей должны быть какими-то подмножествами кривой. Jordan доказал1 — и это есть одно из самых фундаментальных положений топологии,—что всякая простая замкнутая кривая определяет ровно две области и является их общей границей. Та из этих областей, которая ограничена, называется внутренностью кривой, другая—внешностью. Мы не имеем возможности останавливаться на доказательстве этой теоремы2

Schoenflies показал3, что каждая точка простой замкнутой кривой является не только граничной для внутренности и внешности, но и достигаемой изнутри и извне, причем под достигаемостью (Erreichbarkeit) граничной точки области понимается существование простой дуги, имеющей конец в этой точке и принадлежащей всеми остальными точками к области4 . Это свойство оказывается характеристическим для простой замкнутой кривой, т.-е. имеет место обратная теорема5: всякое ограниченное замкнутое множество, определяющее на плоскости ровно две области и имеющее все свои точки достигаемыми для каждой из этих областей, гомеоморфно окружности6.

Топологическая инвариантность простых дуг и простых замкнутых кривых непосредственно следует из их определения. Можно еще добавить, что гомеомор-

Черт. 9.

Черт. 10.

Черт. 11.

Черт. 12.

Черт. 13.

1 Впервые в своем Cours d'Analyse de l'Ecole Polyt. См. еще Ch. J de la Vallée-Poussin. Кypc анализа бесконечно малых (русский перевод), т. 1,1922, стр. 412—417. См. также К., S. 59-

2 Выше было замечено, что тот частный случай этой теоремы, когда замкнутый контур есть полигон, доказывается еще в основах геометрии. См. еще К., S. 21.

3 A"., S. 65.

4 То, что граничная точка области может быть недостигаемой, видно на примере области, определяемой континуумом (черт. 9), состоящим из отрезка Ç~^ =L'q— ^ и отрезков /а? = 0, +1, i з 5 • • • \. Тут, напр., точка (0, 0) есть недостигаемая.

5 К., S. 79.

6 Schoenflies определял замкнутую кривую еще таким образом: замкнутой кривой наз~ всякое ограниченное замкнутое множество, определяющее на плоскости ровно две области и являющееся их общей границей. Из сказанного в тексте видно, что простая замкнутая кривая в смысле Jordan'* есть всегда замкнутая кривая в смысле 8choenflies% но не наоборот, ибо, напр., множество (черт. 10), составленное из // = sin (—^ ^х%~9я=*= 0^ , х и О является кривой в смысле Schoenflies'а, но не в смысле Jordan'а, так как точка (0, 0) есть недостигаемая.

Замкнутая кривая в смысле Schoenflies'а обладает топологической инвариантностью, но этот факт a priori не очевиден и требует специального доказательства (К., S. 126).

физм простых дуг или простых замкнутых кривых есть всегда гомеоморфизм наиболее совершенного типа1 в силу теоремы2: всякое топологическое преобразование сегмента или окружности можно дополнить до топологического преобразования плоскости в себе.

При помощи теоремы Jordan'а можно показать, что простая дуга всегда определяет на плоскости единственную область и что всякую простую дугу можно дополнить до простой замкнутой кривой3.

§ 14. Теорема Jordan's, (если ее предположить доказанной для пространства любого числа измерений) дает возможность обнаружить инвариантность числа измерений, т.-е..теорему Brower'а: т-мерное евклидово пространство не гомеоморфно (ni-(-/^-мерному евклидову пространству (// > 0). Иными словами, взаимно однозначное соответствие, которое можно установить между точками двух евклидовых пространств разного числа измерений, никогда не может быть непрерывным. Заметим сперва, что при т = \ теорема обнаруживается непосредственно следующим образом. Допустим противное, т.-е. что прямая оказалась топологически преобразованной в пространство с числом измерений не менее, двух. Возьмем в этом пространстве двухмерную плоскость и на ней круг Je. Круг к есть ограниченный континуум,—ему отвечает на прямой ограниченный континуум, т.-е. некоторый отрезок AB. Точкам А, В отвечают на круге к некоторые точки А', В' (черт. 14). Отрезок AB' есть подконтинуум круга к—ему отвечает на прямой подконтинуум отрезка ЛВ, содержащий точки А, В, т.-е. целиком весь отрезок AB; но это не совместимо со взаимно однозначным соответствием между точками круга к и точками отрезка AB, ибо отрезок А'В' не заполняет всего круга к. В случае m = 2 доказательство можно провести следующим образом (оно основано на теореме Jordan а для плоскости). Допустим противное, т.-е. что плоскость оказалась топологически преобразованной в пространство с числом измерений не менее трех. Возьмем в этом пространстве трехмерное пространство, в нем какую-нибудь сферу и на ней две диаметрально противоположные точки—северный и южный полюса. Этим полюсам Л и 8 отвечают на плоскости две точки н и ы. Опишем около п и s круги к и к', лежащие друг вне друга. По причине непрерывности, отображения всех достаточно северных широтных окружностей лежат в к, и отображения всех достаточно южных широтных окружностей лежат в к\ поэтому отображения достаточно северной и достаточно южной широтных окружностей суть замкнутые контуры, лежащие друг вне друга (черт. 15). Далее заметим, что замкнутые контуры, являющиеся отображением

Черт. 14.

Черт. 15.

1 Согласно Antoine, можно различать три типа гомеоморфизма. Наиболее совершенный тип гомеоморфизма двух множеств M и M есть возможность такого топологического преобразования плоскости в себе, при котором M переходите М'. Менее совершенным типом будет тот, когда такого преобразования не существует, но тем не менее некоторая окрестность множества M может быть топологически преобразована в некоторую окрестность множества Ж так, что M переходит в ДГ. Наконец, наименее совершенным типом будет тот, когда и такого преобразования не существует. Примеры гомеоморфизмов каждого из трех типов даются соответственно чертежами 11, 12. 13, как не трудно понять (К.. S. 73).

2 К., S. 69.

3 Л'., S. 67, 69. Не следует считать все эти теоремы „очевидными". При наличии самых общих определений полагаться на одну интуицию слишком рискованно. Лишь одни строгие доказательства могут считаться приемлемыми.

вышеупомянутых достаточно северных широтных окружностей, не могут все лежать друг вне друга, ибо иначе их внутренности не имели бы попарно общих точек и мы получили бы continuum взаимно чуждых областей, что невозможно (см. § 11, сноска 1). Итак удалось получить на сфере три такие широтные окружности ки &2» &з> что их плоские отображения ju j2i j3 обладают свойством: ji вне j2i j3 внутри j2. Соединив две точки окружности кл и кг хордой (последняя, проходя внутри сферы, не имеет общих точек с к2) и взяв ее отображение на плоскость, получим на плоскости простую дугу, соединяющую точку, лежащую вне j2, с точкой, лежащей внутри j2, и не пересекающую j2, что нелепо. Что и требовалось доказать.

§ 15. Теорема Jordan'а позволяет доказать топологическую инвариантность областей и вообще тот факт, что при топологическом преобразовании какого-нибудь множества внутренность переходит во внутренность (следовательно, край в край)1. Для этого, очевидно, достаточно показать (мы имеем в виду случай плоскости, в случае прямой вопрос ясен), что при топологическом преобразовании квадрата внутренность его переходит во внутренность замкнутого контура j, отображающего периферию квадрата. Прежде всего ясно, что отображение внутренности квадрата лежит целиком или внутри или вне ,у (ибо отрезок, соединяющий две произвольные точки внутри квадрата, переходит в простую дугу, не пересекающую j). Стало быть, остается показать: 1) что имеет место именно первый случай, 2) что внутри j нет неотображенных точек. Первый пункт обнаруживается следующим образом. Допустим противное, т.-е. что отображение внутренности квадрата лежит вне j, тогда отображение вертикальной средней линии квадрата есть простая дуга, соединяющая две точки j и пробегающая вне j. Эта простая дуга вместе с одной из частей j образует замкнутый контур, содержащий другую часть внутри2. Пусть, напр., эта последняя отвечает правой половине периферии квадрата. Тогда получается, что периферия левого прямоугольника отображается на контур не меньшего диаметра,, чем диаметр j (черт. 16); кроме того, этот прямоугольник находится в тех же условиях, как первоначальный квадрат, т.-е. отображение внутренности лежит вне отображения периферии (иначе отображение горизонтальной средней линии квадрата должно3 пересекать отображение правой половины периферии квадрата, что невозможно). Продолжая этот процесс до бесконечности (бери попеременно вертикальные и горизонтальные средние линии), получим последовательность прямоугольников (где каждый содержится в предыдущем) со стремящимся к нулю диаметром и не убывающим диаметром отображения, что нелепо, ибо диаметр отображения должен также стремиться к нулю. Остается доказать второй пункт, т.-е отсутствие внутри j неотображенных точек. Допустим противное, т.-е. что внутри j есть неотображенная точка Р. Соединим Р с какой-нибудь отображенной точкой внутри ./

Черт. 16.

1 Из этого факта будет следовать топологическая инвариантность Catnot'овых кривых, понимая под Cantor'овой кривой плоский ограниченный континуум без внутренних точек.

2 На основании предложения: если из некоторой точки проведены в другую точку три простые дуги, не имеющие попарно других общих точек, то одна из этих дуг лежит внутри контура, образованного двумя другими дугами. Это есть одно из следствий теоремы Jordan'а.

3 На основании предложения: если на простом замкнутом контуре даны в циклическом порядке точки Ри Р2, Р3 Р4, то простые дуги, соединяющие Pj с Р3 и Р2 с Р4 и пробегающие внутри контура, обязательно пересекаются. Это есть одно из предложений, вытекающих из теоремы Jordan'а.

ломаным путем,, лежащим внутри (черт. 17). Пусть Q—первая отображенная точка, встречающаяся на этом пути, если итти от Р (говорить о первой встрече законно по соображениям замкнутости). Точке Q отвечает внутри квадрата некоторая точка Qr Около QA опишем настолько малый квадрат, чтобы его отображение с уместилось в круге, описанном из Q радиусом <~Щ. Тогда Р лежит вне контура с. Но на основании уже доказанного первого пункта точка Q лежит внутри с, поэтому ломаная PQ должна пересечь с, что нелепо, ибо PQ (кроме Q) состоит из неотображенных точек. Что и требовалось доказать.

§ 16. Упомянем еще об определении непрерывной кривой по идее: „кривая есть след движущейся точки". Это определение таково: непрерывной кривой называется однозначный (но не обязательно взаимно однозначный) непрерывный образ сегмента. Для того, чтобы некоторое множество было непрерывной кривой, необходимо и достаточно, чтобы оно было ограниченным континуумом связным im Kleinen (доказано Hahn'oм и Mazurkiewicz'eм1), причем связность im Kleinen континуума обозначает существование для каждой его точки Р и каждого s > 0 такого тг) > 0, что всякие две точки континуума, лежащие в ^-окрестности Р, соединимы подконтинуумом, лежащим в s-окрестности Р. Часть плоскости, ограниченная полигоном, есть, очевидно, континуум связный im Kleinen, поэтому существуют непрерывные кривые, заполняющие площадь, — факт, не являющийся неожиданным для знакомых с кривыми Peano, Hilbert'а Pôlya и т. д. Из предыдущего следует, что такие кривые обязательно имеют кратные точки.

§ 17. В заключение укажем на некоторые основные определения, относящиеся к плоским областям. Мы будем предполагать области ограниченными. Область называется п-связной (n-fach zusammenhängend), если не существует и полигонов, лежащих друг вне друга, принадлежащих области и содержащих внутри себя хотя бы по одной точке не принадлежащей области, но существует п—1 таких полигонов. Область называется бесконечно-связной, если существует сколь угодно большое число таких полигонов. Из этих определений видно, что каждая область имеет определенную связность (Zusammenhangszahl), являющуюся либо натуральным числом, либо бесконечностью. Односвязные области называются еще просто-связными (einfach zusammenhängend). Таким образом область называется просто-связной, если внутренность каждого полигона, принадлежащего области, также принадлежит ей. Можно доказать2, что граница п-связной области состоит ровно из п континуумов (в частности граница просто связной области есть континуум) и что граница бесконечно-связной области состоит из бесконечного числа континуумов. Поэтому связность области может быть определена еще как число континуумов, из которых состоит граница. Напр., внутренность замкнутого контура есть просто-связная область; если из этой внутренности изъять п — 1 точек, то получится «-связная область; область, ограниченная п контурами (одним наружным и п — 1 внутренними), есть /i-связная область (черт. 18); вну-

Черт. 17.

Черт. 18.

1 К., S. 95.

2 К., S. 120.

тренность круга #2-J-y2< 1, из коей изъяты точки оси А" с абсциссами —-, -j~, есть бесконечно-связная область; и т. д. Можно доказать1, что п-связная область с помощью п—1 подходящих разрезов (Querschnitt) превратима в просто-связную и что, наоборот, если в результате п — 1 разрезов может быть получена просто-связность, то рассматриваемая область ^-связна. Все просто-связные области гомеоморфны внутренности круга, все /^-связные области гомеоморфны области, ограниченной и кругами (одним наружным и — 1 внутренними), но существует continuum топологически различных бесконечно-связных областей.

Этими замечаниями мы заканчиваем статью.

НУЖНО ЛИ ПИСАТЬ И ИЗУЧАТЬ ИСТОРИЮ МАТЕМАТИКИ В РОССИИ?

А. Васильев (Москва).

(Доклад, прочтенный на съезде математиков в Москве, в пленарном заседании 4 мая 1927 г.)

Придавши своему докладу показавшуюся, может быть, многим странною форму вопроса: „Нужно ли изучать и писать историю математики в России?", я тем самым избавил себя почти вполне от необходимости самому доказывать, что составление истории математики в России есть дело желательное и необходимое. Каждый из вас, вероятно, мысленно так и ответил на мой вопрос. Не может быть, действительно, никакого сомнения в пользе истории развития мысли в той или другой области. Я только что получил от В. И. Вернадского, председателя Комиссии истории знаний, организованной нашей Всесоюзной академией наук, его доклад „О современном значении истории знаний". Позволю себе привести из него несколько фраз:

„Историческое изучение,—пишет академик Вернадский,—является единственной возможностью быстрого проникновения в научную мысль новых представлений и исканий, связывая новое со старым". Оно является вместе с тем и лучшей „формой критической оценки, позволяющей отличать ценное и постоянное в огромном материале этого рода, создаваемом человеческой мыслью". „Отбор научного и важного точнее и быстрее всего может быть произведен при историческом его изучении". „Чем скорее будет произведен этот отбор, тем быстрее будет движение научной мысли".

Мы имеем примеры многих исторических сочинений, которые имели именно такое значение. Я помню „Механику" Маха, „Историю атомизма" Лассвица, работы Дюгема, Лориа; в свое время такую роль сыграла „История индуктивных наук" Уэвелля, могла сыграть „История физико-математических наук" П. Л. Лаврова, если бы она была доведена до конца.

К сожалению, еще не так много сочинений, вполне удовлетворяющих того, кто интересуется главным образом историей важнейших математических понятий.

В. В. Бобынин справедливо говорит, что мы не имеем еще до сих пор истории математики, написанной философски мыслящим математиком. С этой стороны много грешит и история математики, написанная проф. Морицом Кантором (четыре тома, из которых первый вышел в двух изданиях). Для М. Кантора Платон, напр., интересен теми открытиями, которые были сделаны в его школе, а не тем уважением к математическим истинам, которое имело громадное значение для истории человеческой мысли.

1 K., S. 121.

Но если никто не станет отрицать пользы и необходимости истории математики, независимой от месторождения ее представителей, — так сказать, вселенской математики, то, может быть, вызывает сомнения вопрос о необходимости изучать историю той или другой науки в одной только стране. Тем не менее мы имеем несколько примеров сочинений, написанных с этой целью.

Так, давно уже написана была С. Гюнтером „История математики в Германии". Во французском многотомном сочинении, посвященном французской науке, имеется отдел, посвященный истории математики. В Америке издана Д. Е. Смис и японским ученым Миками „История математики в Японии". Недавно мне попалось объявление об „Истории математики в Шотландии".

Что такие истории полезны и необходимы, видно прежде всего из того, что незнание математиками одной страны истории математики, ее успехов, не раз служило помехою развитию науки. Икосаэдрическая группа была известна Гамильтону еще задолго до работ Шварца и Клейна. Свежий пример мы имеем в новой теории квантов. Клейн несколько раз обращал внимание на связь между работами Гамильтона по динамике и его работами по оптике. Те, кто посещал недавно бывший в Москве съезд физиков, помнят, какая тесная связь существует между уравнением Гамильтона-Якоби и уравнением Шредингера, которое дало Шредингеру возможность решить задачу о станционарном состоянии атомных систем. Напомню также судьбу исследований по теории чисел известного английского математика Стефена Смита. Но если английские научные работы часто проходили незамеченными математиками других стран, то еще в большей степени это относится к русской науке. Резким примером такого отношения является одна брошюра под заглавием „Русский дар миру" (русский вклад в мировую культуру в оценке 20 английских ученых). В составлении брошюры приняли участие выдающиеся английские ученые. В предисловии говорится, что каждое положение брошюры сообщалось для проверки специалисту, являющемуся признанным авторитетом в этой области,—имена этих лиц представляют достаточную гарантию. Но что же мы находим на двух страницах, посвященных математике? Позвольте прочитать выдержку из этого отчета о русской математике. „В математике, в этой ,,матери наук", русскими выполнена весьма большая работа, в особенности в тех областях математики, которые соприкасаются с философией и представляют поэтому самый общий интерес. Два имени, которые в этой области особенно выдаются, суть имена Лобачевского и Минковского. Эти два исследователя являются образцами смелой оригинальности, типичной для русского ума. Работа Лобачевского была началом революции не только в геометрии, но и в философии пространства. Минковский представляет собой величину почти равного значения с Лобачевским в позднейшей стадии этой революции. Его взгляды на одновременность приводят к вопросу самого высшего порядка: „что такое время?"—подобно тому, как исследования Лобачевского привели его к вопросу: „что такое пространство?". В рассмотрении этого отвлеченного вопроса, который был выдвинут новейшими физическими исследованиями, работа Минковского является самым блестящим из всего сделанного. Помимо этих первоклассных величин, надо указать еще на ряд русских имен, прославившихся в области математики: Имшенецкого, работавшего в областях диференциальных уравнений, не тронутых до этого математиками Западной Европы, Сонина и Ляпунова в анализе, Маркова в теории чисел, Некрасова в теоретической динамике. Нельзя также не упомянуть, что не очень много лет тому назад научная Европа с удивлением и восхищением следила за откровениями весьма замечательного математического гения—русской женщины Софии Ковалевской" (!!).

В этом отчете отсутствует Чебышев, а Минковский причислен к русским математикам. Между тем в предисловии к брошюре сказано, что составитель пользовался знаниями и указаниями проф. Форсайта и Уайтхеда.

Можно привести аналогичные примеры и из французской и немецкой литературы. Так, напр., в известном отчете Гильберта о работах по теории алгебраических чисел не упомянуты работы Золотарева.

За последние годы отношение к русской науке изменилось. Благодаря изданию сочинений Чебышева не только на русском, но и на французском языке, они внимательно изучаются за границей. Обращено большое внимание на работы Маркова, Золотарева, Ляпунова, Вороного и многих других. Но много и таких интересных и важных работ русских ученых, которые остались до сих пор незамеченными, много имен (укажем хотя бы Летникова), которые почти совсем неизвестны вне России, а отчасти позабыты и нами.

История математики в тех ее главах, которые посвящены работам выдающихся ученых, давших на долгое время направление математическим работам, может быть рассматриваема как введение в изучение оригинальных работ этих ученых. Она может таким образом ускорить столь желательное издание сочинений наших великих ученых. Я с большой радостью узнал от профессора Г. В. Пфейффера, что одновременно и во Львове и в Киеве возникла мысль об издании сочинений Остроградского и что Украинская академия наук уже решила предпринять это издание, необходимость которого давно уже чувствовалось (я припоминаю, что еще в 1874 г. мы, студенты 4-го курса Петербургского университета, поднимали этот вопрос).

Необходимо приступить к изданию сочинений А. А. Маркова, и я позволю себе напомнить Ленинградскому физико-математическому обществу одну из резолюций, принятую им осенью 1921 г. в заседании, посвященном памяти Андрея Андреевича.

Необходимо также докончить издание сочинений Коркина и Золотарева; в 1911 г. был издан 1-й том сочинений Коркина, заключающий в себе и совместные работы Коркина и Золотарева.

С историей математической науки тесно связана и история математического образования. В этой области у нас сделано уже много Виктором Викторовичем Бобыниным, но его внимание, его неутомимые исследования были направлены преимущественно на XV"—XVIII века. История математического образования должна быть затронута, конечно, в сочинении, посвященном истории наших университетов, которым так много обязана и наша математическая наука и наше математическое образование, но в целом она еще мало изучена. А между тем история математического образования есть одна из важнейших страниц истории просвещения всякой страны. От постановки математического образования в школах зависит не только развитие научной деятельности в стране (вот почему на международных математических конгрессах в числе секций имелась всегда секция преподавателей математики и благодаря ей образована та Международная комиссия (JMUK), которая так много способствовала подъему математического образования во всем свете), но зависит и состояние техники в стране, зависит, что всего важнее, склад и направление мысли ее интеллигенции.

Французские математики наложили свой отпечаток на всю французскую мысль XIX в. Уайтхед в своем новом сочинении „Наука и современный мир" остроумно говорит, что история человеческой мысли без истории мысли математической была бы шекспировским „Гамлетом", в которой бы не было Гамлета или по крайней мере Офелии.

Вот то немногое, что я хотел дополнить к сознаваемой вами всеми важности разработки истории русской математики. Я остановил внимание на английской брошюре потому, что она, повидимому, послужила побудительным толчком к намерению Академии наук издать историю науки в России. Это намерение явилось в 1915 г. Предполагалось издать два больших тома, один—посвященный физико-математическим наукам, другой—гуманитарным, но размер статей предполагался небольшой. Академия наук поручила мне составить историю математики и механики, объем которой не должен был превысить 4—5 листов. Конечно, уже при первом приступе к работе это оказалось невозможным; составление истории механики взял на себя покойный П. О. Сомов, и, если не ошибаюсь, его очерк занял около 2 печатных листов. Будучи отвлечен грандиозными событиями

мировой войны и революции, я мог приступить к этой работе только в начале 1918 г.

Я решил разделить историю математики в России на 3 периода : 1 ) 1725—1826 гг; 2) 1826—1863 гг.; 3) 1863—1914 гг; и соответственно этому написать три главы.

Начало первого периода совпадает с основанием Академии наук, и научная работа в области математики в этот период находится под влиянием гениальной и неутомимой деятельности Эйлера. В начале второго периода Лобачевский излагает публично в 1826 г. свои, долгим усилием мысли выработанные взгляды на начала геометрии; в Академию наук в 1828 г. вступают Остроградский и Буняковский; в 1829 г. начинает свою ученую деятельность Миндинг; в конце периода (с 1863 г.) началась деятельность Чебышева, и поэтому глава, посвященная второму периоду, говорит главным образом о трудах Лобачевского, Остроградского Буняковского, Миндинга и Чебышева. Этот период кончается началом шестидесятых годов, когда обновление всей русской жизни привело к пробуждению умственных интересов в широких слоях русского народа и к обновлению университетов. Третья глава и должна показать, „что дала русская наука миру" за пятидесятилетие, протекшее от 1863 г. до начала великой мировой войны и Великой русской революции. Эта глава теснейшим образом связана с деятельностью обновленных университетов. В области математики, больше чем в какой-либо другой области русская наука была наукой русских университетов.

Две главы, посвященные первым двум периодам, изложенные сжато (без цитат и ссылок), однако уже заняли 5 листов. Они были готовы летом 1918 г. и сданы непременному секретарю Академии С. Ф. Ольденбургу, горячо относившемуся к этому предприятию. Но, конечно, ни в 1918 г., ни в два следующие года нельзя было думать об их напечатании, и русским ученым было трудно остановить внимание на истории их науки в прошлом; сколько мне известно, в Академию, кроме моей рукописи, были представлены только очерк истории механики, составленный П. О. Сомовым, и очерк истории физики, составленный П. П. Лазаревым.

Но когда в 1921 г. Академия постановила праздновать 100-летие рождения П. П. Чебышева, то по моей просьбе был напечатан тот выпуск, который посвящен периодам и разделен на две главы, но напечатан, по недостатку бумаги, в ничтожном числе экземпляров и поэтому является теперь библиографической редкостью.

Для истории математики в период от 1863 до 1914 г. был собран мною материал, который позволил мне вместе с тем приступить к составлению карточного каталога математиков; этот каталог, составленный по типу библиографического словаря Поггендорфа, заключает свыше 150 карточек. Но тяжелые годы, последовавшие за 1918 годом, не позволили мне продолжать работу; затем явились другие научные интересы. Трудно было и рассчитывать на напечатание составленной и разработанной истории математики. Притом, работая над третьим периодом, я пришел к убеждению, что работа должна уже быть ведена в более широких размерах. Она дожна заключать в себе не менее 10—12 печатных листов и поэтому не может быть делом одного человека. Достойно закончена она может быть только коллективной работой нескольких математиков. Я намечаю 8 или 10 главных отделов, и только монографии, написанные специалистами по этим отделам, могли бы послужить к составлению сводного тома.

Желание видеть законченной начатую работу и побудило меня поставить на съезде вопрос об истории математики в России.

Что и эти монографии и объединяющий их том будут написаны не без надежды на напечатание, на это дает большую надежду деятельность Академической комиссии по истории знаний. Она уже напечатала очерк истории географии в России, издала сборник, посвященный памяти знаменитого биолога К. Ф. Бера, и приступила к печатанию истории механики, составленной, как я выше упомянул, П. О. Сомовым.

Я рад, что могу сообщить, что председатель Комиссии в письме, полученном мною на-днях, выразил готовность содействовать делу изучения, составления и издания работ по истории русской математики.

Достойное русской науки составление истории русской математики может быть, повторяю, достигнуто только коллективной работой. Для организации такой работы заложится сейчас начало созданием Всесоюзной ассоциации русских математиков. Для коллективной работы по истории русской математики под руководством этой Ассоциации и при помощи Комиссии по истории знаний и я приглашаю товарищей—русских математиков.

Нужно создать труд, который ясно и ярко оценил бы заслуги перед человеческой мыслью наших великих ученых, но в котором не остались бы незамеченными и труды более скромных тружеников на ниве русского математического просвещения.

В. В. БОБЫНИН.

(Биографический очерк.)

Л. Н. Лодыженский (Тула).

Настоящий очерк содержит только жизнеописание Бобынина; его научные труды затронуты здесь лишь постольку, поскольку это необходимо для его биографии и характеристики.

В печати имеется немного материалов для биографии Б. Большая часть их — краткие заметки в энциклопедических словарях. Наиболее полными являются автобиография В. В. в IV" т. „Критико-биографического словаря русских писателей и ученых" С. А. Венгерова (с 1874—1879 и библиография с 1879-1882 гг.), доведенная до 1893 г., и некролог Г. Н. Попова1.

При составлении биографии Б. я пользовался почти исключительно неизданными рукописными материалами и сообщениями лиц, лично его знавших. Этими материалами являются:

1. Автобиография Б., написанная в 1887 г., 19 стр. в 4-ю долю писчего листа.

2. Автобиография 1904 г., 39 -f-3 стр.

3. Пять кратких автобиографических заметок, размером от 2 до 6 страниц.

4. Собрание писем к Б. от русских и иностранцев, преимущественно за текущее столетие (около 300 экземпляров).

5. Черновые письма Б., относящиеся к 70-м и первой половине 80-х годов (более 100 экземпляров). Если даже допустить, что некоторые из этих писем и не были отправлены (относительно многих можно установить по контексту других писем, что они были посланы), то все же они являются весьма ценным биографическим материалом, замечательным по своей искренности.

6. Различные отрывочные записи и заметки Б.

7. Три письма Б. к С. И. Дружининой2.

Все ссылки на письма, сделанные в настоящей статье, относятся к черновикам. Исключение составляют цитаты из писем к С. И. Дружининой, взятые из подлинников.

Из лиц, знавших Б., я более всего обязан очень ценными сведениями и замечаниями о нем С. И. Дружининой, бывшей преподавательнице новых языков и истории в Туле. Она знала Б. с 1878 г. до его смерти и выполнила для него почти все переводы его статей на французский язык (о чем Б. упоминает в письмах и в автобиографии). Я считаю своим долгом выразить ей глубокую благодарность.

1 См. .Сборник статей по вопросам физико-математических наук" под редакцией А. И. Бачинского и А. А. Михайлова. Москва, 1924, стр. 62—64.

2 Много писем Б. могло бы найтись в бумагах его друзей А. И. Гольденберга и В. А. Гольцева (если эти бумаги сохранились), с которыми покойный вел оживленную переписку.

Живя в провинции, я не мог использовать все, что имеется о Б. в печати, а также изучить материалы, вероятно, хранящиеся в архивах Московского университета и других учебных заведений, в которых он работал. Поэтому настоящую статью надо рассматривать только как материалы к его биографии.

Виктор Викторович Бобынин1 родился 8 ноября старого стиля 1849 г. в деревне Шилы Рославльского уезда Смоленской губ., где у его отца Виктора Ивановича было небольшое имение.

Мать Виктора Викторовича Вера Николаевна Зверева умерла через месяц после рождения сына. „Отец после потери жены продал Рославльское имение и переселился сначала в Тулу, а затем в купленное им в Одоевском уезде Тульской губ. имение, деревню Бредихино. Здесь В. В. провел все свое детство до самого поступления в гимназию"2. После смерти отца Б. унаследовал от него имение и всегда проводил в нем лето. Он называл Тульскую губернию своей второй родиной. Не имея ни братьев, ни сестер, он рос одиноко при отце и тетке, сестре отца. Отсутствие сверстников ему заменяли чтение и окружающая природа, красоты которой „приковывали его внимание и живо им чувствовались"3. Вследствие такой близости к природе В. В. рано почувствовал влечение к естественным наукам. Научившись грамоте на 7-м году от роду, он стал с жадностью читать все, что только попадалось под руку, но больший интерес чувствовал к историческим и географическим сочинениям.

В сентябре 1860 г. „В. В. поступил в 1-й класс Тульской гимназии своекоштным пансионером. Он уступал своим товарищам по подготовке, которая не была систематична, но превосходил их развитием. Поэтому учился он хорошо и со 2-го класса занимал место первого ученика"4.

В то время в гимназии преобладающее значение имели естественные науки, изучавшиеся на протяжении всего курса. Господствовавшее в обществе 60-х годов увлечение естественными науками, которым были проникнуты молодые гимназические преподаватели, сообщало предмету естествоведения в глазах учащихся некоторое обаяние. Б. находил, что уроки естественной истории, веденные в духе университетских лекций, не всегда были по силам большинству учащихся. Но сам он, повидимому, был достаточно развит для понимания лекций и занимался естественными науками с большим интересом и успехом. В 1865 г. при переходе его из 5-го класса в 6-й произошла реформа, почти вычеркнувшая естественные науки из учебного плана гимназий. Она была неприятна для Бобынина, так как лишала его возможности изучать естественные науки в 6-м и 7-м классах. Но его „интерес и даже увлечение естественными науками были так велики, что он решил самостоятельно изучить то, что было вычеркнуто из преподавания"5. Он занимался оологией, минералогией и химией, причем для занятий последней приобрел на средства от репетиторства коллекцию приборов и реактивов и сам делал опыты. Но особенно интересовали его астрономия и космогонические гипотезы. В это время он, повидимому, впервые познакомился с сочинениями по истории физико-математических наук и с большим интересом прочел „Космос" Гумбольдта и „Биографии" Араго.

Некоторые ученики гимназии сохранили интерес к естественной истории после отмены этого предмета, и по их просьбе и с разрешения гимназического начальства Б. прочитал им весною 1866 г. несколько рефератов в форме изустных чтений", по его выражению) о космогонической теории Канта-Лапласа и по истории земной коры.

В 1867 г. Б. кончил гимназию с золотой медалью и поступил на естественное отделение физико-математического факультета Московского университета. Но

1 Род Бобыниных происходит от некоего Прокофия Корсона, который выехал из Литвы из вотчины „Бобынич" и стал писаться Бобынин.

2 Автобиография 1887 г., стр. 1.

3 Автобиография, стр. 1.

4 Автобиография, стр. 3.

5 Автобиография 1887 г.. стр. 3.

он остался недоволен отсутствием астрономии и слабостью курса математики. Поэтому, пробыв здесь менее года, он перешел на математическое отделение, где и кончил курс. Из-за этого пропал год, так что Б. пробыл в университете 5 лет.

„Прохождение университетского курса происходило для Б. при весьма тяжелых условиях"1. Отец Б. не имел средств помогать сыну, и потому „заботы о своем содержании Б. пришлось взять на себя, что вынудило его употреблять большую часть своего времени на дешевые уроки, разбросанные к тому же на больших расстояниях. Это отозвалось крайне неблагоприятно на ходе учебных занятий Б. Ему пришлось ограничиться почти исключительно изучением излагаемого на лекциях. Вследствие этого университет, дав Бобынину необходимые основные знания для дальнейших занятий, не оказал никакого влияния на направление последних или, как обыкновенно говорят, на выбор специальности. Что это так, видно из того, что выбранная им впоследствии специальность —история математики —вовсе не входила в университетский курс"2.

В письмах Б. к его другу и товарищу по гимназии В. А. Гольцеву3, написанных летом 1871 г. (т.-е. при переходе с 3-го курса на 4-й), есть несколько характерных мест, показывающих взгляды В. В. во время студенчества. Так, в одном письме, отвечая Гольцеву на его предложение принять участие в студенческом кружке самообразования, Б. высказывается по поводу чтения популярных лекций членами кружка и предъявляет к этим лекциям очень серьезные требования. „Популярные лекции прежде всего должны сообщить... серьезные знания, а не быть одним из средств убийства праздного времени, как, к несчастью, часто случается теперь". Он восстает против выступлений неподготовленных лекторов, которые развивают в слушателях дилетантизм и фразерство. „Может быть, ты рассердишься на меня,—прибавляет он,—но все-таки я не могу от тебя скрыть, что при мысли о том первокурсном студенте, который читал у вас лекции о положительной философии, мне всегда представляется глубокомысленная фигура осла, с важным видом трактующего о свойствах соловьиного пения".

Другое место из тех же писем рисует прямолинейность и решительность Б. и его стремление к полному знанию предмета. Читая известную книгу Дрэпера „История умственного развития Европы", Б. возмущается урезками, сделанными цензурой в русском переводе, и тотчас решает не приобретать больше переводов на русский язык, а только подлинники или переводы на другие иностранные языки.

После усиленных занятий Б. сдал в мае 1872 г. государственные экзамены и кончил курс с званием кандидата. Кончая университет, он имел определенное намерение посвятить себя научной деятельности. В письме, написанном накануне отъезда из Москвы (18/VI 1872 г.), он говорит: „Ближайшая цель—получение магистерской и докторской степени—уже поставлена. С августа или сентября я начинаю самым серьезным образом заниматься приготовлением к магистерскому экзамену и года через полтора или два буду магистром и получу кафедру в университете".

Замечательно, что, составляя такой план дальнейшей деятельности, Б. не смущался тем, что он не был оставлен при университете для приготовления к профессорскому званию и что он, несмотря на сильное влечение к научным занятиям, не выбрал себе еще специальности. Неудивительно, что при таких обстоятельствах в нем возникали сомнения в успехе, которые ярко выражены в только что цитированном письме: „Итак, исполнилось мое давнишнее желание: я выхожу из университета и вступаю на поприще гражданской деятельности. Что ждет меня? Удастся ли мне исполнить хоть десятую часть того, о чем я думаю до сих пор, или, не сделав ничего, не придется ли мне, утомленному борьбой, бросить все и поселиться в какой-нибудь глуши? Все может случиться. А между тем силы

1 Там же, стр. 3.

2 Там же, стр. 3 и 4.

3 Виктор Александрович Гольцев (1850—1906), ученый юрист и публицист, редактор „Русской мысли".

у меня есть, есть и страстная жажда деятельности: жаль, если все это бесплодно погибнет".

Подобно большинству московских студентов, приехавших из провинции, Б. полюбил Москву и московскую жизнь и по окончании курса неохотно покидал столицу. В письмах, относящихся к последнему году студенчества, он высказывает сожаление о том, что не может остаться в Москве и вынужден ехать на службу в провинцию.

В августе 1872 г. Б. взял место преподавателя математики, физики и космографии в военной гимназии в Нижнем-Новгороде, куда он и переехал к началу учебных занятий. Первое время жизни в провинции он очень скучал и в письмах сильно жаловался на то, что попал в такую глушь. В сентябре он пишет своим московским друзьям (повидимому, бывшим своим ученицам): „Пишу к вам из „великого и славного" Нижнего-Новгорода, как величают его местные туземцы-патриоты, или из „проклятой трущобы", как утверждаю я сам. Прежде зависть была мне почти неизвестна, теперь же я завидую вам, так как вы находитесь в Москве... Не покидайте меня в одиночестве, пишите ко мне как можно чаще".

Нижегородское общество произвело на него удручающее впечатление. В том же письме он говорит: „Странно, как скоро мельчают люди в наших захолустьях. И это на первых порах. Что же будет впоследствии, года через 2 или 3? Впрочем, если бы я был уверен, что мне придется прожить здесь столько времени, я, кажется, сейчас бы застрелился1. Скука и тоска невыразимая. Вся общественная жизнь выражается и завершается картами. Карты на первом плане, даже и тогда, когда в них не играют".

Его возмущало также равнодушие местных жителей к красотам природы. „На таком живописном месте, как Нижегородский откос,—говорит он,—поразительно мало гуляющих".

Но к счастью для Б. он попал на педагогическую службу в благоприятное время. Это было время милютинских военных гимназий, проникнутых либеральными и гуманными идеями. Через несколько месяцев он пишет уже совсем в другом духе: „Что же касается до меня, то мне живется теперь недурно. Окруженный любовью учеников и уважением товарищей и начальства, я с увлечением предаюсь своим любимым занятиям математикой и другими науками. Скуки не осталось и следа, так что я назвал бы себя совсем счастливым человеком, если бы только верил в возможность счастья на земле".

Но, очевидно, служебная работа и продолжительные усидчивые занятия наукой не могли возместить отсутствие подходящего общества, и через полтора года в письме к Гольцеву (3/1II 1874 г.) В. В. опять жалуется на скуку, одиночество, пустоту, ничтожество провинциального общества. Сравнивая нижегородское общество 70-х годов с вятским обществом 30-х годов, описанным Герценом, Б. не находит существенной разницы. „То же отсутствие высших интересов, та же растительная жизнь".

30 июня 1874 г. Б. женился на дочери воспитателя Нижегородской военной гимназии Виктории Карловне Эрнрот. Он прожил с ней 45 лет и пережил ее на несколько месяцев.

Условия провинциальной жизни, полное умственное одиночество, наконец, довольно многочисленная семья, требующая увеличенного заработка2, могли бы засосать менее стойкого и энергичного человека. Но они не лишили его энергии. Он продолжал усиленно заниматься.

Нижегородский период оказался чрезвычайно важным в жизни Б. В это время определились окончательно его умственные интересы, и был сделан выбор специальности, определившей всю его дальнейшую жизнь. Долгий 35-летний московский период его жизни явился лишь логическим следствием и развитием нижего-

1 В. В. не предполагал, что ему придется прожить в этом обществе 9 лет.

2 Как видно из записей Б., он давал и частные уроки, хорошо оплачиваемые.

родского. На основании записок и писем В. В., эволюция его умственных интересов во время жизни в Нижнем-Новгороде представляется в таком виде.

По собственному признанию, Бобынин „не вынес из университета никаких исключительных симпатий к той или другой науке, кроме несколько большей склонности к математической физике и метеорологии"1.

Намерение избрать профессию ученого, неоднократно высказывавшееся им в письмах, не отличалось достаточной определенностью, так как им не было избрано научной дисциплины, в которой он предполагал бы работать. Поэтому, поселившись в Нижнем-Новгороде, он „сосредоточил свои занятия на укреплении и расширении своих знаний по всем предметам университетского курса". Выписывая много французских и немецких книг и журналов2 по физико-математическим наукам и читая при этом статьи по истории этих наук, Б. стал все более и более приходить к убеждению в громадной важности истории математики. „Относительно слабая разработка истории физико-математических наук, обусловливая существование в ней обширного поля исследований", еще увеличивала в глазах Б. „присущий этой дисциплине захватывающий интерес. Все это вместе взятое привело, наконец, к разрешению вопроса о выборе специальности в пользу истории и частью философии наук математических. С этого времени они делаются главным предметом его занятий"3. Первой работой в избранной области была статья „Об анализе и синтезе", напечатанная в „Журнале министерства народного просвещения" в 1877 г.

После того как Б. выбрал своею специальностью историю математики, он мог придать большую определенность и конкретность своим планам ученой карьеры. Теперь перед ним вырисовывался определенный путь: написать и защитить диссертацию pro venia legendi4 по истории математики и, в качестве приват-доцента университета, читать курс этой науки. Мечты о профессуре пришлось отбросить, так как в русских университетах не было кафедры истории математики. Принимая это решение, Б. не мог не видеть бесхлебности избранного им пути. Вознаграждение приват-доцента, читающего необязательный курс, было ничтожно. Тратя много времени на подготовку к лекциям, Б. должен был продолжать работу в средних учебных заведениях, иметь там много уроков, чтобы прожить с своей довольно многочисленной семьей. Однако Б. пошел по этому пути и не отступил от него5.

Что касается времени, когда у Б. созрел этот план, то, повидимому, это было не позже 1875 г., так как в конце этого года или в самом начале следующего В. В. начал писать свою первую диссертацию.

Несколько позже, а именно в 1877—78 гг. окончательно сложились взгляды Б. на преподавание математики. Он пришел к убеждению, что основные принципы преподавания математики могут быть доставлены только историей и философией этой науки.

Темой для диссертации Б. выбрал историю периода чистой индукции в развитии математических наук6, т.-е. периода создания и первоначального развития основных математических понятий и действий. По словам Б.7, „тема эта до сих пор еще не была затронута ни одним из историков математики, и материалы

1 Автобиография 1887 г., стр. 5.

2 Об этом свидетельствуют, кроме автобиографии, также счета московских книжных магазинов и записи Б. о прочитанном.

3 Эта и предшествующие цитаты взяты из автобиографии 1887 г., стр. 5.

4 „Для получения права чтения" (лекций).

5 В черновиках писем Бобынина есть указания на то, что еще до перевода в Москву он говорил о своем желании читать в университете курс истории математики с профессорами Н. В. Бугаевым и А. Ю. Давидовым, которые отнеслись сочувственно к этому намерению. Это было, можно думать, большой нравствнной поддержкой для него.

6 Точное заглавие: История индэуктивного периода развития наук математических. Доисторический период".

7 Из письма 1881 г.

для ее разработки приходилось искать в логике, психологии, сравнительной филологии, этнографии и истории первобытной культуры".

Работа над диссертацией взяла 2 года с лишком и дала довольно объемистое сочинение, приблизительно в 15 печатных листов.

Такое содержание диссертации требовало от его рецензента эрудиции одновременно в области истории математики и истории культуры. Таких ученых, очевидно, не оказалось ни на физико-математическом факультете Московского университета, ни в Петербургской Академии наук, куда Бобынин послал свое сочинение. Это обстоятельство отозвалось очень неблагоприятно на судьбе диссертации. На физико-математическом факультете Московского университета, гда она была прочитана несколькими профессорами, не нашлось никого, кто согласился бы писать о ней отзыв.

В Академии наук физико-математическое отделение не нашло диссертацию подходящей по содержанию к компетентности отделения, и рассмотреть ее было поручено филологу—академику Шифнеру, который в своем заключении не признал за работой Б. оригинального значения и только высказал мнение, что это сочинение может быть полезно тем, что знакомит русскую читающую публику с материалами, добытыми европейской наукой. Кроме того, он сделал несколько критических замечаний об устарелости источников, которыми пользовался Б. при выяснении вопроса об образовании имен числительных1. Мы думаем, что Шифнер, не будучи математиком и не зная истории математики, едва ли мог судить о значении работы.

Когда выяснилась неудача его сочинения, Б. приступил к составлению новой диссертации. Но прежде чем излагать ее историю, я остановлюсь на других сторонах деятельности В. В. в Нижнем-Новгороде.

Научные занятия не мешали В. В. работать на пользу местного края. В 1874 г. по просьбе Нижегородского общества распространения грамотности, членом которого он состоял, Б. занялся определением числа лиц школьного возраста в Нижегородской губернии. Результаты его работы были опубликованы в журнале „Семья и школа" за 1875 г. Но для решения этого вопроса было необходимо иметь таблицы смертности и народонаселения Нижегородской губернии, которые в то время еще никем не были составлены. Поэтому предварительно Б. занялся составлением этих таблиц, которые и были напечатаны в сборнике, изданном в 1875 г. Нижегородским статистическим комитетом. За эту работу Б. был избран членом статистического комитета.

„Летом 1875 г. он написал по просьбе директора Нижегородско-Самарского земельного банка основанный на принципах теории вероятностей критический разбор употребляемого в земельных банках способа тиража закладных листов и вместе с тем составил проект нового, более быстрого и справедливого способа тиража, который и был принят банком для постоянного употребления"2 и напечатан в виде отдельной брошюры (Н.-Новгород, 1875 г.).

Живя в Нижнем-Новгороде, Б. дважды читал публичные популярные лекции. Первый раз в 1875 г. он прочел 3 лекции о теории вероятностей и ее приложениях к играм и страхованию. Другой раз в 1881 г.—две лекции по астрономии.

Я думаю, что Б. не случайно занимался теорией вероятностей, т.-е. математической дисциплиной, ближе других связанной с общественными вопросами и интересами. Не было ли это выражением народнических тенденций людей 70-х гг.? К этому мнению склоняет меня пример младшего современника Б., покойного

1 См. официальный ответ Бобынину непременного секретаря Академии от 28/IX 1879 г. с приложением копии донесения Шифнера, заслушанного и одобренного общим собранием Академии в заседании 7/IX 1879 г. Рукопись сочинения была возвращена Бобынину.

Из всего сочинения, содержавшего 9 глав, считая введение, были напечатаны много позднее в виде отдельных статей только одна глава в „Математическом листке" А. И. Гольденберга (в 1879 г.) и две в журнале самого Б. (в 1886 и 1887 гг.).

2 Автобиография 1887 г., стр. 7.

профессора А. В. Васильева, который, как он мне сам говорил, состоя в те же годы приват-доцентом Казанского университета, начал читать по своему выбору курс теории вероятностей ради ее близости к социальным вопросам.

Кроме того, Б. издал несколько работ по антропологии и метеорологии. Одна из них была напечатана в „Comptes rendus" Парижской Академии наук за 1876 г. (t. 82).

Весною 1879 г. Б. приступил к составлению второй диссертации на тему: „Математика древних египтян по математическому папирусу Ринда1. Выбирая эту тему, Б. высказывал в одном письме уверенность, что „предмет и содержание нового сочинения уже никоим образом не могут считаться выходящими из сферы компетентности профессоров физико-математического факультета".

Вскоре после начала работы над сочинением Б. прочел в журнале „Математический листок" заявление редактора-издателя А. И. Гольденберга о его намерении познакомить читателей с содержанием папируса Ринда. Б. сейчас же воспользовался этим и в письме от 14/V 1879 г. предложил Гольденбергу свою статью на эту тему. Гольденберг ответил согласием и предложил В. В. вообще сотрудничать в своем журнале по отделу истории математики. Б. с живейшим удовольствием согласился (письмо от 8/VI), но сообщил, что сочинение о папирусе еще не отделано и будет закончено на каникулах, к августу 1879 г.; теперь же Б. предложил главу из своей первой диссертации „Происхождение и развитие письменного счисления", которая и появилась в этом году в „Математическом листке".

Работа над сочинением затянулась, и оно было закончено только в самом конце 1880 г. Не менее затянулось и печатание сочинения, которое выходило в виде приложения к „Математическому листку". Журнал Гольденберга испытывал материальные затруднения, выходил с большими запозданиями, и одно время ему угрожало закрытие. Все это волновало Б., и в переписке с Гольденбергом он не раз выражал беспокойство о судьбе журнала и своей статьи. Наконец, он получил успокоительный ответ от Гольденберга, извещавший, что журнал будет выходить, а сочинение Б.—печататься2.

Окончание сочинения и принятие его к печатанию в „Математический листок" делали близким осуществление поставленной Б. цели: в качестве приват-доцента читать курс истории математики в университете. Так как на скудный и неопределенный заработок приват-доцента он ни в коем случае не мог существовать с семьей, то ему надо было переходить на службу преподавателем средней школы в университетский город. Он выбрал Москву, решивши вместе с тем представить свою диссертацию в Московский университет. В августе 1881 г. он перевелся в 4-ю Московскую военную гимназию преподавателем математики. (Позднее, после преобразования военных гимназий в кадетские корпуса он служил в 1-м и 3-м корпусах.) Его диссертация была уже закончена и принята в рукописи физико-математическим факультетом. Все было готово к ее защите в декабре 1881 г.3. с тем чтобы начать чтение лекций с января следующего года. Но сочинение о папирусе все еще не было напечатано, и Б. приходилось ждать с защитой диссертации. Покинув Нижний-Новгород и расставшись там с испытанными друзьями, Б. чувствовал себя в Москве одиноким и не находил сочувствия своим целям. Понятно, это действовало подавляюще на его настроение. „Что-то будет далее, а теперь пока плохо", писал он нижегородским друзьям в январе 1882 г.

Наконец, в марте 1882 г. сочинение было напечатано и вышло в свет отдельной книгой. „Математический листок" к тому времени уже закрылся. 7 мая состоялась защита диссертации, „довольно удачная",—по выражению Б. в одном

1 Который незадолго перед тем (в 1877 г.) был издан Эйзенлором (Eisenlohr).

2 По приезде в Москву Б. сблизился с Гольденбергом и бы, а с ним в дружеских отношениях.

3 Распоряжение о печатании тезисов было подписано деканом В. Я. Цингером 1 ноября 1881 г.

письме. Вследствие близости окончания занятий в университете Б. не мог приступить к чтению лекций в том же 1881/82 академическом году. Пришлось ждать осени.

Лето он провел в подготовке к лекциям. „С сентября я начинаю чтение лекций по истории математики в университете и теперь занимаюсь обработкой курса. Эта обработка—очень трудная вещь. Нередко в виду ее трудностей теряешь бодрость и впадаешь в уныние и хандру" (из письма летом 1882 г.).

Пробные лекции, необходимые для получения звания приват-доцента, состоялись в сентябре. Первая — на тему, выбранную факультетом, „Декарт и его значение в истории математики"—была прочитана 15 числа, и вторая—на тему по выбору лектора—„Философское значение истории математики"—22-го В октябре Б. приступил к чтению лекций.

Итак, желанная и давно поставленная цель была достигнута. В. В. с увлечением приступил к чтению лекций. Но здесь его ожидали немалые затруднения и разочарования. Сначала он хотел дать на протяжении всех 4 лет университетского курса „подробное систематическое изложение истории математики от древнейших времен до новейших"1. Но уже со второго года чтения лекций, т.-е. с 1883/84 академического года, этот план оказался невыполнимым. Часы лекций по истории математики—предмета необязательного—совпадали с часами чтения обязательных предметов и, понятно, студенты отдавали предпочтение последним. Кроме того, расписание в университете менялось по семестрам, чего не мог делать Б., связанный уроками в средней школе, где расписание составлялось на целый год. С введением университетского устава 1884 г. сильно увеличилось время обязательных занятий в виде лекций, упражнений и пр. Это поставило необязательные предметы, в том числе и историю математики, в еще более затруднительное положение.

Б. не сразу отступил от своего первоначального плана. В 1883 г. он сделал первую уступку: сократил общий курс до трехгодичного и ввел эпизодический курс истории новой математики2. Но для спасения дела пришлось делать дальнейшие уступки, а именно заменить систематический курс эпизодическим. Он разделил историю математики на 4 отдела по эпохам и читал каждый отдел в течение года при одной часовой лекции в неделю. Эти уступки Б. делал с большим сожалением. Он любил систематичность и полноту изложения и неохотно поступался ими.

Лекции Б. не пользовались популярностью среди студентов и мало посещались ими. Кроме объективных причин, указанных выше, многое зависело и от самого лектора. Во-первых, его преимущественный интерес к древней математике и особенно к донаучному периоду ее развития не разделялся слушателями, интересовавшимися, напротив, больше историей новой математики. Это вполне естественное обстоятельство удивляло Б. Во-вторых, его манера читать не была увлекательна, его изложение было сухое и дикция монотонная. Однако некоторые студенты, которые настолько интересовались предметом, что прослушали весь курс, отзывались о лекциях Б. очень лестно и даже восторженно.

Но чтение лекций в университете было для Б. лишь одним из средств для достижения поставленной им задачи: пропагандировать изучение истории математики среди русских ученых. При этом он не ограничивался представителями физико-математических наук, но старался заинтересовать также ученых других специальностей, могущих оказать помощь в собирании данных по истории математики, а именно историков, археологов, географов. Рамки университетской аудитории были слишком узки для такой пропаганды. Более универсальными средствами являлись, во-первых, чтение рефератов в собраниях ученых обществ и съездов и, во-вторых, выступления в печати.

Б. широко использовал первое средство и много раз выступал с докладами. Собираясь ехать на съезд естествоиспытателей и врачей в декабре 1889 г., он

1 Автобиография 1887 г.. стр. 11.

2 Автобиография 1887 г., стр. 11.

писал С. И. Дружининой (23 X111889 г.): „Цель моей поездки — распространение понятий о всесторонней важности истории математических наук в среде специалистов-математиков, так туго воспринимающих эти понятия". „Для достижения этой цели я прочту на съезде в секции математики и астрономии два реферата". Как велика была его энергия, показывает, например, тот факт, что на 7-м съезде в 1883 г. он прочел 3 доклада.

Между прочим, на этом съезде было принято его предложение обратиться к русским обществам естествоиспытателей и географическим обществам с просьбой внести в программу их работ собирание памятников народной математики по выработанной Б. примерной программе. По его словам, это обращение не имело успеха, и лишь в Казани стали собирать материал. Кстати, сам Б. еще ранее начал собирать памятники народной математики, которые составили коллекцию значительных размеров, к сожалению, не сохранившуюся после его смерти.

Находя, что устные доклады могли иметь в то время (80-е годы) очень ограниченное действие, В.В. придавал главное значение своим выступлениям в печати. Но журналов, посвященных истории математики, в то время в России не было. Из математических журналов много места уделял истории математики „Математический листок" Гольденберга, но он скоро закрылся. Общепедагогические журналы, понятно, могли лишь изредка помещать специальные статьи по истории математики. Весьма показательно, что за время с 1882 по 1884 г., т.-е. с начала чтения лекций в университете и до издания собственного журнала, Б. смог напечатать только две статьи: одну в „Математическом листке", другую в „Журнале министерства народного просвещения"1. В то время, и ранее— в 70-х годах, Б. с трудом добивался помещения своих статей в журналах. Он писал письма в редакции, в которых доказывал важность статей по истории и философии математики, и часто получал отказы.

Такое положение делано настоятельно необходимым издание собственного органа, посвященного если не исключительно, то главным образом истории физико-математических наук. По меткому выражению Б.2, трудную везде, а в нашем отечестве в особенности, задачу создания подобного органа и решился или, лучше сказать, отважился взять на себя Б. Журнал под названием „Физико-математические науки в их настоящем и прошедшем" начал выходить в январе 1885 г. по широкой программе, включавшей, кроме физико-математических наук, также антропологию. Вводя статьи по этой науке, Б. надеялся, что это расширит круг подписчиков. Надежда не оправдалась.

Назначив подписную плату 10 руб. в год, Б. рассчитывал, что журнал будет расходиться в количестве не меньше 600 экземпляров, что даст возможность вести издание безубыточно и даже пригласить платных сотрудников для руководства отделами (научных новостей, отчетов о деятельности научных обществ и учреждений и др.). Б. строил свой расчет на том, что в то время в России было более 600 средних учебных заведений. Он полагал, что почти каждое учебное заведение выпишет журнал для своей фундаментальной библиотеки, и что кроме того подпишутся многие преподаватели физики и математики. Но эти расчеты не оправдались. Вместо 600 подписчиков их оказалось только 126, а по учебным заведениям разошлось только 87 экземпляров3. Недостаток подписчиков сделал издание убыточным. Не имея возможности пригласить платных руководителей отделами, В.В. должен был лично нести всю работу по редактированию и корректированию журнала и все хлопоты по его печатанию и рассылке. Из-за этого номера журнала выходили с большими запозданиями, достигавшими иногда нескольких лет.

1 Автобиография 1887 г., стр. 9.

2 Автобиография-1904 г.. стр.9.

3 18 ноября 1890 г. Б. писал С. И. Дружининой, что результаты министерской рекомендации его „Библиографии" выразились всего только в 16 выписанных экземплярах.

Для спасения журнала Б. дважды (в 1888 г. и 1899 г.) сокращал его программу, чтобы этим удешевить и облегчить издание. С замечательной стойкостью, оставаясь одиноким в своей работе, Б. продолжал в течение 20 лет издавать журнал, пока, наконец, в 1905 г. он не увидел себя вынужденным прекратить издание. Он сделал это с тяжелым сердцем. „В этом журнале — весь я", говорил он.

При таких условиях лекторской и писательской деятельности становятся понятными слова Б. в его письме к Дружининой1, где он благодарит ее „за сочувствие его деятельности, полной столькими тревогами, разочарованиями и неудачами".

Закрыв свой журнал, Б. не прекращал до последних лет жизни оживленную литературную деятельность, сотрудничал в различных русских и иностранных журналах.

В 1911 и 1913 годах В.В. принял деятельное участие во всероссийских съездах преподавателей математики, на которых он прочел доклады о введении исторических элементов в курс математики средней школы и об указаниях, получаемых преподаванием математики от ее истории.

Как это часто бывало с русскими учеными, научные заслуги Б. получили признание раньше за границей, чем в России. Первый из иностранцев обратил внимание на работы Б. известный шведский историк математики Густав Энестрем (Gustaf Enestrôm,) издававший в Стокгольме журнал „Bibliotheca Mathematica", посвященный истории математики. В 1887 г. он предложил Б. сначала обмениваться изданиями (журналами), а затем и сотрудничать в „Bibl. Matern." Б. тотчас отозвался на предложение, и в том же 1887 г. в этом журнале была напечатана его первая статья—рецензия на историю математики М. Е. Ващенко-Захарченко. В 1891 г. Эрнестрем, заинтересовавшийся программой курса истории математики, который Б. читал в Московском университете, напечатал ее на французском языке в своем журнале2. В 1896 г., по случаю десятилетия журнала „Bibl. Matern.", в нем была помещена краткая биография Б. с его портретом.

В 1895 г. у Б. завязалась переписка и заочное знакомство с известным германским историком математики Морицом Кантором (М. Cantor). Поводом послужила присылка В.В. статьи (Extraction des racines carrées dans la Grèce Antique) в журнал „Zeitschrift für Mathematik und Physik", Historisch-litterarische Abtlilung, одним из редактороров которого был Кантор. Статья была напечатана в 40-м томе журнала в 1896 г.

23 августа 1899 г. исполнилось 70-летие Морица Кантора. Еще задолго до этого его почитатели решили, по немецкому обычаю, издать сборник статей по истории математики, посвященный юбиляру. Они обратились к виднейшим историкам математики Европы и Америки, в том числе и к Б., с предложением принять участие в сборнике3. Б. прислал статью („Développement des procèdes servants â décomposer le quotient en quantièmes)", которая и была напечатана в этом сборнике, вышедшем в 1899 г. и составившем IX том „Abhandlungen zur Geschichte d. Mathematik".

(Окончание в следующем номере).

1 От 18/XI-1890 г.

2 См. ,Bibl. Math.", 2-me série, 5, p. 79.

3 Циркулярное письмо проф. Куртце из Торна от 18/VI 1898 г.

ЗАДАЧИ

13. Показать, что уравнение

л:2 + 9у2 = ЗА+-2

не может быть решено в целых числах.

14. Данный отрезок а разделить на две части так, чтобы сумма площадей построенных на них правильного шестиугольника и равностороннего треугольника была наименьшей.

15. Доказать, что если при пересечении ребер тетраедра с шаром обра зуется шесть равных хорд, то суммы противоположных ребер тетраедра равны между собою.

Г. К. (Пенза).

16. Решить систему уравнений:

(X +у) (ху - 1 ) == (а + Ь) {ab - 1)

А. Агамалов (Актюбинск).

17. Решить уравнение

tg;c — 4 sin'2* (sin 2х — 4 es2*) = 2.

А. Бутомо (Саратов).

18. Проверить равенство

С. Адамович (Тула).

19. Найти сумму п членов ряда

20. Показать, что если a-j-ß-f-y + 8 —0, то cs 2а-f es 2ß-j-es2y-j-es2Ь — A (csa csß cs y csè — sin a sinß sin у sin 8).

21. Найти предел выражения

при неограниченном возрастании х.

А. Бутомо (Саратов).

22. Доказать, что при неравных a, b и с

23. Доказать, что если оси двух парабол взаимно перпендикулярны, то четыре точки их пересечения лежат на одной окружности.

24. Решить в целых числах уравнение:

А. В. (Москва).

1 Курсив мой.

Задачи по технической математике

3. Дать удобные для массовых расчетов номограммы следующих формул Girard'a и d'Aubuisson'a:

Пределы изменения:

Проф. М. Попов.

4. Изучение просачивания воды в грунте приводит к диференциальному уравнению:

Дать удобное для практического пользования решение этого уравнения, если а меняется в предедах от 0 до 1 (главным образом от 0,001 до 0,01), a i изменяется от 0 до 0,01 (главным образом от 0,001 до 0,01).

Преп. М. Г. А. Каменский.

5. Найти радиус круга, если известны стороны аи а2, ал.....ап вписанного в него л-угольника.

Денисюк.

6. Дать удобный аналитический или графический метод решения систем уравнений, связанных с расчетом вентиляции в рудниках:

Корни каждой системы должны быть положительны. Коэфициенты ти т2. . . . т* положительны.

Горн. инж. И. Швырков.

Поправка. В условия задач предыдущего № „Математического образования" вкрались неточности: в задаче № 1: вместо 0,960 должно быть 0,961 и в задаче № 2: числа ти тъ...../и5 постоянные и положительные.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

58. Показать, что если

Определив из данного уравнения А, получаем:

откуда sin (2* —у) — k sin у.

А. Дмитровский (Москва), А. Бутомо (Саратов), А. Агамалов (Актюбинск), В. Сакк (Верхнеднепровск), А. Маковский (Ульяновск), С. Адамович (Тула).

61. Решить в целых и положительных числах уравнение:

х2у~А0 000х+у.

Из данного уравнения имеем:

откуда видно, что, так как числа лг-j-l и х — 1 взаимно простые с числом х, то они представляют собою два делителя числа 10 000, отличающиеся друг от друга на две единицы. Таких делителей есть, очевидно, только две пары: 2 и 4, 8 и 10, причем 10 000 делится на произведение делителей каждой пары.

Поэтому для л: получаем два значения: *1 = 3 и дг2 = 9: соответствующие значения у будут: у{ — 3 750; у2 = 1125.

А. Дмитровский (Москва), И. Шуйский (Владимир), М. Коростелев (Баталпашинск), В. Сакк (Верхнеднепровск^ Я. Фивейский (Болшево), II. Чемисов (Дмитровск), Л. Билима-Постернаков (Тула), X. У. (Ростов-на-Дону), Н. Хайдуков (Петровск).

62. Показать, что если каждая из величин v{ и v2 не превосходит по абсолютнои величине числа с, то абсолютная величина выражения . Vi t~ не превосходит того же числа с.

При выполнении условий теоремы справедливы два неравенства:

откуда получаем:

Из этих неравенств следует, что положительная величина 1 -]--^j— больше или равна абсолютной величине дроби Vx — Vl ,

В. Сакк (Верхнеднепровск), И. Кампиони (Тула), А. Дмитровский (Москва), А. Агамалов (Актюбинск), А. Левшук (Иркутск), С. Адамович (Тула).

63. Доказать, что объем куба, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, более суммы объемов кубов, построенных на катетах.

Обозначим через а и b катеты, а через с гипотенузу прямоугольного треугольника. Тогда с3 = (а2 -f- b2) с = ачс -\- Ыс. Так как а < с и b < г, то, заменив в первом члене второй части равенства с через a, a во втором с через получим:

Теорему можно обобщить: неравенство сн>ал-\-Ьп будет иметь место при всяком я, большем двух.

А. Дмитровский (Москва), X. У. (Ростов н/Д.), В. Сакк (Верхнедпепровск), А. Агамалов (Актюбинск), А. Левшук {Иркутск), А. Бутомо (Саратов), Н. Шуйский (Владимир), О. Хилькевич (Тюмень), В. Лебедевская (Саратов), II. Чемисов (Дмитровск). И. Кампиони (Тула).

64. Доказать, что если целое число представляет собою сумму двух квадратов, то и всякая степень его тоже представляет сумму двух квадратов.

Легко видеть, что если каждое из двух целых чисел N и N' представляет собою сумму двух квадратов, то и произведение их есть также сумма двух квадратов. Пусть iV = a2-f-ô2: N' = e2-\-d2. Тогда NN' = (ас ~\- bd)2 -f- (be — ad)2. Поэтому, если N есть сумма двух квадратов, N2, TV3, Nl и т. д. также представляют собою суммы двух квадратов.

С. Львов, А. Дмитровский (Москва), А. Бутомо (Саратов), Н. Фивейский (Болшево), М. Иванов (Тула), А, Агамалов (Актюбинск), I/. Кампиони (Тула), В. Сакк (Верхнедпепровск).

65. Через точку внутри круга проводят хорды, а в конце каждой хорды— касательные до взаимного пересечения. Показать, что геометрическое место точек пересечения касательных есть прямая линия.

Проведем через данную точку А хорду, перпендикулярную к радиусу 0.1, и в концах ее касательные, пересекающиеся в точке В. Тогда В лежит на прямой OA и OA. OB—г2, где г радиус круга. Если проведем теперь через точку А произвольную хорду, опустим на нее из центра перпендикуляр ОС и построим в концах ее касательные, пересекающиеся в точке 7), то опять D будет лежать на прямой ОС и ОС. OD —г2. Отсюда видно, что треугольники О АС и OBD подобны, < О HD — прямой, и геометрическим местом точек D служит прямая, перпендикулярная к ОН в точке В. Эта прямая инверсна с кругом, построенным на OA, как на диаметре, по отношению к данному кругу.

И. Фивейский, А. Дмитровский (Москва), X. У. (Ростов н/Д.), И. Кампиони (Тула), В. Сакк (Верхнедпепровск).

66. Доказать, что если в тетраэдре противоположные ребра взаимно перпендикулярны, то прямые, соединяющие середины противоположных ребер, равны между собою.

Обозначим через К и L середины ребер AB и CD тетраэдра A BCD, а через M и N середины ребер АС и HD. Тогда, по свойству средней линнии треугольника, КМ\\ВС, NL\\BC, KN\\AD и ML\\AD. Поэтому четырехугольник KMLN есть параллелограм (так что прямые KL и MN пересекаются и делятся пополам): если же ребра AD и ВС взаимно перпендикулярны, то прямые KL и MN равны между собою, как диагонали прямоугольника.

Очевидно, справедлива и обратная теорема; комбинируя же обе теоремы, легко убедиться в том, что если две пары противоположных ребер взаимно перпендикулярны, то и третья пара взаимно перпендикулярна.

С. Адамович (Тула), А. Дмитровский (Москва), X. У (Ростов н/Д.), А. Бутомо (Саратов). И. Кампиони (Тула).

67. В данный треугольник вписать эллипс с данным фокусом.

Если данный фокус F лежит внутри ABC. то, построив внутри треугольника САМ, равный [BAF, и <CBN, равный <^ABF, получим, на основании известного свойства эллипса—в пересечении прямых AM и BN второй фокус F1. Тогда отрезок GF1, где G—точка, симметричная с F относительно касательной AB, даст длину большой оси искомого эллипса.

Задача возможна и в том случае, когда F лежит вне треугольника — в одной из областей, в которых находятся вневписанные круги.

Если, например, F лежит внутри </Х4£, где D и Е точки на продолжении сторон AB и АС, то придется построить 'САМ', равный < BAF, внутри

< DAE и < DBN\ равный < Cß/\ внутри < DBC. Второй фокус F будет в пересечении прямых ЛМ и BN'.

А. Дмитровский (Москва), X. У. (Ростов н/Д.), В. Сакк (Верхнеднепровск).

68. Решить уравнение: tgx— 4 sin2* (sin 2* — 4 cos2*) = 2.

Если положим

Вставив эти выражения в данное уравнение, будем иметь:

или, наконец,

откуда tx—2.

Далее из уравнения /4 — б/2-4-1=0 находим:

а отсюда

Уравнение tgx = t дает соответствующие значения х:

С. Адамович (Тула), А. Дмитровский (Москва). X. У. (Ростов н/Д.), А. Агамалов (Актюбинск), В. Лебедевская (Саратов), П. Милов (Люблино), А. Билима — Постернаков (Тула). Н. Фивейский (Москва). В. Сакк (Верхнеднепровск), М. Коростелев (Баталпашинск), Я. Хайдуков (Петрове ).

69. Решить уравнение:

при условии, что

Разделив обе части уравнения на sin 4х и применив формулу для sin (а — ß> приведем данное уравнение к виду:

или, если положим

Легко видеть, что уравнение удовлетворяется при t = ±i. В самом деле, подставляя ±1 на место t, будем иметь:

Поэтому левая часть уравнения делится на После деления коэфициент при t2 будет sin a sin b sin с sin d, а свободный член cos a cos b cos с cos d—1. Что касается коэфициента при t, то он, очевидно, будет равен коэфициенту при t9 в данном уравнении, т. е.

Это выражение легко приводится к виду:

или — ( так как

Таким образом получаем квадратное уравнение:

откуда

где

Из уравнения t = cotgx найдутся соответствующие значения х.

А. Дмитровский (Москва).

70. Вычислить детерминант:

Если вычтем из элементов первой строки элементы второй, умноженные на ах, элементы третьей, умноженные на а2, и т. д., то приведем детерминант к виду

откуда видно, что он равен

И. Чемисов (Дмитровск), О. Адамович (Тула), А. Дмитровский (Москва), А. Агамалов (Актюбинск), В. Сакк (Верхнедпепровск).

ХРОНИКА.

Консультационное бюро при Московском научно-педагогическом математическом кружке.

Московский научно-педагогический математический кружок организовал консультационное бюро по вопросам программно-методическим и научным в области преподавания и изучения математики.

С письменными запросами могут обращаться все преподающие и изучающие математику по адресу редакции журнала „Математическое образование" с надписью „Для консультационного бюро". О времени и месте устных консультаций будет объявлено особо.

По поручению правления кружка проф. М. Гребенча.

БИБЛИОГРАФИЯ

Г. Б. Поляк. Основные вопросы методики арифметики. Пособие для учителей школы I ступени. Изд. „Раб. просв.". М. 1929. Ц. 1 р.

Как видно из предисловия и других мест разбираемой книги, автор считает актуальнейшей задачей нашей школы рационализацию школьной работы в области формальных навыков. При этом он правильно указывает (стр. 26), что разрешение этой проблемы упирается в первую очередь в вопрос о методах работы. Однако именно рассмотрению методов в книге уделяется менее всего места. Так, характеристике важнейших методов - исследовательского и лабораторного — отведено немного больше двух страниц, причем автор ограничивается лишь общими соображениями, не давая каких-либо конкретных указаний о проведении этих методов в школе. Более обстоятельно разбираются наглядно-иллюстративные приемы работы, а наиболее подробно излагается метод игры, который в нашей, школе, однако, едва ли может получить то широкое распространение, на которое рассчитывает автор.

По вопросу о месте математики в школе автор стоит на официальной точке зрения, которая проводилась с 1925 г., именно, что математика является лишь одним из средств школьной работы, главным содержанием которой является проработка комплекса. Поэтому в первой главе своей книги автор подробнейшим образом рассматривает вопрос об увязке школьной математики с комплексом. Мы полагаем, однако, что в настоящее время, когда выдвинуты задачи реконструкции всего хозяйства страны перехода к индустриализации и к осуществлению пятилетнего плана, роль математики в школе должна существенно повыситься, и преподавание ее, даже и в школе 1 ступени, должно быть увязано с этими новыми величайшими проблемами. К сожалению, о такой увязке мы не находим в разбираемой книге упоминания.

Глава III посвящена вопросу об организации и учете работы в школе. Однако автор, сообщая подробные сведения по этому вопросу из практики американской и западно-европейском школы, не дает конкретных указаний, которые были бы применимы для советской школы. Автор и в других частях своей книги приводит не мало сведений о преподавании арифметики в школах Запада и Америки, которые могут представить известный интерес для наших учителей: однако в наших условиях совершенно иной организации работы — связи образования с политехнизмом, индустриализацией, коллективизацией сельского хозяйства и проч.—иностранные достижения вообще не могут быть перенесены в нашу школу.

Глава IV касается вопроса о наглядных пособиях по арифметике. Новым в ней является описание предлагаемой автором вместо дорого стоящих шведских счетов особой счетной доски. Мы полагаем однако, что это пособие является излишним при надлежащем использовании обыкновенных классных или торговых счетов, значение которых автором напрасно умаляется.

В главе V разбирается вопрос о задачах, но некоторые предлагаемые автором способы классификации задач нам кажутся очень странными, напр., п. 2) „по отношению учащихся к задачам могут быть а) задачи о третьих лицах, б) задачи, решаемые учащимися для себя". Или по отношению к комплексным темам: 1) комплексные задачи, 2) задачи на слова комплекса, 3) внекомплексные задачи. В этих классификациях обращается более внимания на внешнюю и случайную сторону в задачах, а не на внутреннюю сущность задач. Для преодоления трудностей, встречаемых учащимися в задачах, автор рекомендует разные второстепенные и внешние меры и приемы, напр. (стр. 91): 1) „упражнять детей в тихом чтении вообще и в тихом чтении задач* и т. п., упуская самое главное—методическое распределение задач по степени трудности. Неправильно утверждение автора, будто в наших школах наиболее распространенным является аналитический метод (стр. 98); в действительности, конечно, более употребительным является синтетический метод, как более легкий для детей.

Не останавливаясь на других местах книги т. Поляка, с которыми нам тоже было бы трудно согласиться, мы полагаем, что наиболее ценным является в ней изложение некоторых сведений о постановке преподавания арифметики за границей. Современную же нашу школу с ее историей автор, повидимому, менее знает, чем заграничную, и в его книге учительство не найдет ответа на наиболее жгучие интересующие его вопросы о надлежащей постановке преподавания арифметики в советской школе в настоящий ответственный момент.

Ответственный редактор И. И. Чистяков.

Тино-литография Центросоюза. Москва, Денисовский, 30. Главлит № 68.791. Ст. АТБг> 176 v 250 мм 2 п. л. Тираж 1.000 экз. Р. П. № 0065.

ФИЗИКА, ХИМИЯ, МАТЕМАТИКА, ТЕХНИКА В ТРУДОВОЙ ШКОЛЕ

ЖУРНАЛ ГЛАВСОЦВОСА И ИНСТИТУТА МЕТОДОВ ШКОЛЬНОЙ РАБОТЫ РСФСР

Ответственный редактор П. П. Лебедев.

8 книг в год

ЗАДАЧИ ЖУРНАЛА

ПОМОЧЬ преподавателю в реализации программ и в усовершенствовании методов преподавания.

ПОМОЧЬ преподавателю в пополнении знаний приобретением новых и углублением и уточнением уже имеющихся.

ОСВЕЩАТЬ задачи социалистического строительства страны с точки зрения слияния их с работой школы.

АКТИВНО УЧАСТВОВАТЬ в создании новой политехнической школы коммунистического воспитания.

ОТДЕЛЫ ЖУРНАЛА

Общий. Научно-методический. Вопросы частных методик. Школьная практика. Лабораторная практика, упрощенные и самодельные приборы, экскурсии. Помощь самообразовательной работе педагога. Завоевания науки и техники. Научные и педагогические новости. Хроника. Библиография. Переписка с читателем.

УСЛОВИЯ ПОДПИСКИ: на год —7 руб., 6 мес —4 руб.

Подписка принимается:

ул. Герцена, 10—в ОППИ изд-ва, во всех отделениях и магазинах изд-ва и у письмоносцев.

Переводы направляйте:

Москва 19, Воздвиженка, 10, изд-во „РАБОТНИК ПРОСВЕЩЕНИЯ".

90 коп.

КАЖДЫЙ ПРОСВЕЩЕНЕЦ

ДОЛЖЕН БЫТЬ ПОДПИСЧИКОМ ОРГАНА КУЛЬТУРНОЙ РЕВОЛЮЦИИ—ГАЗЕТЫ

„ЗА КОММУНИСТИЧЕСКОЕ ПРОСВЕЩЕНИЕ

На 7 мес. (с 1/VI)—2 р. 50 к., 6 мес.—2 р. 25 к., 3 мес.—1 р. 25 к.

СКЛАД ИЗДАНИЯ:

ИЗДАТЕЛЬСТВО „РАБОТНИК ПРОСВЕЩЕНИЯ4 МОСКВА 19, ВОЗДВИЖЕНКА, 10.