МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

№ 1

1930

ИЗДАНИЕ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

СОДЕРЖАНИЕ

Д. Синцов.—К вопросу об об'еме усеченной пирамиды у египтян ........ 1

B. Добровольский.—Кинематическое родство плоских кривых.......... 4

A. Рейн—Приемы китайского счета....................... 15

М. Зимин.—Об уравнениях, определяющих площади, об'емы и их границы .... 22

К. Латышева.—Как можно ввести понятие интеграла в средней школе...... 26

C. Адамович.—Две теоремы о правильных многоугольниках........... 29

B. Бродзский.—Геометрическое доказательство формулы для суммы квадратов чисел натурального ряда............................ 30

П. Романовский.—Основные понятия топологии прямой и плоскости....... 32

Задачи.................................... 43

Решения задач............................. 44

Новые книги................................ 48

Sommaire

Д. Sintzov.—Sur la question du volume de tronc de pyramide chez les Egyptiens. Y. Dobrovolski.—Parenté cinématique des courbes planes. A. Rein.—Procédés Chinois de calcul.

M. Zimine.—Sur les équations qui déterminent les aires et les volumes.

K. Latycheva.—Comment on peut introduire le notion d'intégrale dans Pécole secondairoe.

S. Adamovitch.—Deux théorèmes sur les polygones réguliers.

V. Brodzki.—Demonstration géométrique de la formule de la somme des carrés des nombres naturels.

P. Romanovski—Notions fondamentales de topologie de la droite et du plan. Problèmes.

Solutions de problèmes. Bibliographie.

ПРОДОЛЖАЕТСЯ ПОДПИСКА НА 1930 ГОД НА ЖУРНАЛ

Московского научно-педагогического математического кружка

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

8 КНИГ В ГОД.

Ответственный редактор проф. 1-го МГУ И. И. Чистяков.

ПОДПИСНАЯ ЦЕНА: на год—6 руб., на полгода—3 руб. 50 коп. Отдельные номера по 90 коп. с пересылкой.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

№ 1

ЖУРНАЛ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

1930 г.

К ВОПРОСУ ОБ ОБЪЕМЕ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ У ЕГИПТЯН.

(Очерки по истории математики.)

Д. Синцов (Харьков).

В № 4 „Математического образования" за 1928 год проф. И. И. Чистяков знакомит нас с результатами исследований проф. В. В. Струве о так называемом Голенищевском папирусе, столь долго остававшемся недоступным для интересующихся историей математики.

По поводу одного места этой статьи, а также соответствующих мест статьи Д. П. Цинзерлинга („Геометрия древних египтян , „Изв. Росс. акад. наук", 1925), именно по вопросу о формуле объема усеченной пирамиды, мне хотелось бы высказать некоторые свои соображения, может быть, не лишние для читателей „Математического образования".

Прежде всего мне хотелось бы отметить, что дело идет об объеме пирамиды с квадратным основанием, и потому надо говорить не об общей формуле

V= * Н(В + Ь + \'ВЬ), (а)

а о более простой и доступной:

где а—сторона нижнего, а Ъ— верхнего основания,—как это и берет, впрочем, Д. П. Цинзерлинг. Я представляю себе, что египтяне рассматривали усеченную пирамиду как разность двух пирамид (подобно тому, как они рассматривали усеченный треугольник), одной—высоты Н-\-х, и другой—высоты х,—т.-е.

Далее, конечно, можно бы из подобия треугольников SKI и SCL (см. чер. 1) получить Н-\-х = н (а), или ^ +1 = ^ , ^ =~У~1 H =а"="з и' на~ конец, X =—г (в). Тогда У=\ Н%2 + \х(а? — р) = \н%*+ \н$(а+$) и, наконец, V — (а2-|-а Вычисления и даны в таком порядке:

Черт. 1.

Уже это хорошо, и нет надобности приписывать большую общность, чем нужно на самом деле. Является, однако, вопрос: можно ли считать, что египтяне имели понятие о подобии треугольников? Мне кажется, что да,—уже предание об открытиях Фалеса говорит об этом.

„Что египтяне были совершенно освоены с учением о пропорциональности и подобии, показывают их рисунки и изображения", говорит М. Симон (1. е., р. 52), ссылаясь на тот же недоконченный рисунок в гробнице Belzoni в Riban el Milek, на который ссылается и Zenthen.

Но тут возникает другое возражение. Пусть, с геометрическое стороны, написать формулу, связывающую высоты двух пирамид, и приемлемо, но возможно ли допустить у египтян способность произвести те алгебраические выкладки, для нас теперь столь легкие, но которые тогда не показались бы простыми? Поэтому я позволю себе показать, как окончательная формула X могла быть получена без выкладок. Прежде всего замечу, что в папирусе усеченная пирамида обозначается знаком £3 (чер. 2), представляющим,очевидно, сечение CKMD, перпендикулярное стороне основания, или,если угодно, проекцию пирамиды на вертикальную плоскость, параллельную такому сечению.

Дополняем теперь CKMD до треугольника, продолжая стороны CK и MD до пересечения в точке S. Опустив теперь из К перпендикуляр на CZ), назовем N и Г его встречи с CD и с QS \\ CD. Таким образом получим треугольники CATV и KSJ. Дополним ДС£/, до прямоугольника CQSL. Имеем:

ДСДО= ДСЖ, /\CRK-l\CKN и ДЛТ5=Д/Ш. Поэтому равновелики и прямоугольники KRQT и NKJL,

т.-е. х{а — ß) = ß . Я.

Помножив обе части равенства на a-j-ß, имеем

X (а2-ß2) ^ ^ ß (ос ß)

и, вводя в формулу, имеем:

что и требовалось доказать.

Из новейших сочинений по истории математики, знакомых со статьею Тураева, D. Е. Smith во II томе History of Mathematics отмечает, что формула объема усеченной пирамиды есть у Герона в его „Стереометрии", I, сс. 33, 34, где в основании берется именно квадрат (Tropfke ссылается на Metrica, где пирамида берется с треугольным основанием). Нынешнее правило встречается у Fibonacci, Practica geometriae, 1220, diritti II, 177.

Eric Peet в его обстоятельном исследовании папируса Ринда высказывает сомнение относительно смысла слова Sti,—если оно, как принимает проф. Тураев (и за ним Д. П. Цинзерлинг), означает вертикальную высоту усеченной пирамиды, то формула верна, но, по мнению Е. Peet, мы не имеем никаких средств решить этот вопрос; но было бы удивительно, если бы народ, дошедший до вывода множителя (a2-f-aß + ß2) правильно, сделал такую грубую ошибку, чтобы ввести вместо высоты пирамиды высоту ее боковой грани.

Что касается общего удивления, вызываемого у авторов (и проф. И. И. Чистякова, и Д. П. Цинзерлинга) по поводу верного решения нашей задачи в Голенищевском папирусе, то да будет мне позволено высказать по этому поводу некоторые соображения.

Черт. 2.

„Культура Египта достигла высокой степени развития задолго до того времени, от которого дошли до нас письменные свидетельства. Построение трех больших пирамид—Хеопса, Хефрона и Менкора (греч. Микерин)—надобно относить ко временам никак не позже 4-го тысячелетия до нашей эры". Отсюда до 12-й династии Сезортоса I (около 2300 г.), создавшего обелиски, прошел длинный период культурного развития. При 13-ой династии вторжение гиксов привело к упадку, и неудивительно, если после этого мы замечаем упадок, запечатленный надписями в Edfu (100 лет до нашей эры) и папирусом Акмима (700—800 лет после нашей эры).

Мы имеем аналогию между золотым периодом греческой александрийской школы и состоянием знаний в Западной Европе так около 1000—1050 г. нашей эры1.

Когда не-историк говорит о Египте и египетской науке, то как-то забываешь, какой длинный, чреватый событиями период здесь подразумевается, и нельзя ставить за одну скобку всю египетскую культуру. Мы можем допустить и здесь известный период расцвета, когда открывались и новые истины в области математики. Этот период творчества заканчивается, и далее идет лишь повторение, застой, а затем упадок.

Книгопечатания не было. И при преподавании (как и в средние века) преподаватель должен был диктовать своим слушателям и ученикам (это могли быть и взрослые люди). Может быть, папирус Rhind'a и есть продукт этого уже начавшегося застоя. Тогда могло получиться и смешение прямоугольного треугольника с равнобедренным, и прямой трапеции с равнобочною. Не кажется мне непонятным и параллельное существование александрийской науки и формул гарпедонаптов, приводимых Героном. И этому было бы не трудно подыскать параллели в современности. И это тем более вероятно, что то же самое констатируется в Египте и по дру!им отраслям знания.

„Замечательно, что в древнейших дошедших до нас медицинских папирусах (папирус Эберса) почти все рецепты разумны, а позднейшие медицинские рукописи кишат заговорами от болезней". И в искусстве: „Во времена Древнего царства его достоинством была верная передача форм... В человеческих фигурах этих изваяний иногда много жизни и движения; портреты грубо реалистичны, правда, с которой воспроизведены фигуры животных, изумительна. Но в более поздние времена влияние жрецов приковало искусство к формам, какие были освящены обычаем и преданием, наложило печать иерархического порядка на изваяния и картины, изгнало из искусства всякую свободу, всякую самобытность гениального творчества, дало его произведениям характер безжизненных работ, исполненных по предписанным правилам... Достойна удивления превосходная техника скульптурной работы... Правда, в барельефах нет усилия верно передавать в плоскости перспективу" (с. 1—2). „Колоссальные создания изумительного могущества энергической власти дивят... громадностью размера... И они построены с хорошим знанием законов архитектуры, по искусным планам, с соблюдением очень точных пропорций, так что свидетельствуют не только о технической ловкости, приобретенной долгой практикой, но и о геометрических знаниях,— строители обладали учеными сведениями, бывшими достоянием духовенства. Пирамиды возведены по планам и под руководством людей духовного сословия,— в этом нельзя сомневаться (с. 17,7) (хотя жрецы не любили потом в этом признаваться, поскольку эти постройки стоили египетскому народу колоссальных жертв трудом и жизнями и были чрезвычайно непопулярны)". (Цитаты взяты из бывшей у меня под руками „Истории" Вебера в переводе Н. Г. Чернышевского.)

Расцвет математических наук в Италии, начавшийся после освободительной войны, поведшей к объединению Италии, и во Франции в период послереволюционных и наполеоновских побед, и наоборот, упадок науки в Александрии

1 Реферату статей P. Tannery я собираюсь посвятить один из следующих очерков.

после порабощения римлянами, в Византии при господствовавшем там гнете и постепенном разложении, и ряд других аналогичных явлений позволяют установить как известную закономерность упадок творческой мысли и падение научной производительности в побежденном и угнетенном народе, и это позволяет считать вероятной догадку, что падение математического творчества в Египте совпадает по времени с порабощением Нижняго Египта гиксами.

КИНЕМАТИЧЕСКОЕ РОДСТВО ПЛОСКИХ КРИВЫХ.

В. Добровольский (Москва).

Alles rollt.

Heuleanx.

Представим себе две плоские кривые с и С (см. фиг. 1), из которых первая с катится без скольжения по второй С; тогда любая точка плоскости, в которой лежит Су напр., /И, опишет траекторию. Кинематическим родством кривых мы и будем называть принадлежность их к одному семейству этих траекторий. Семейство определяется кривыми с и С, а потому будем их называть порождающими кривыми семейства, траектории же — порождаемыми.

Данное определение не выделяет из всего многообразия кривых на плоскости какой-нибудь особой группы, так как любая кривая всегда может быть приписана к какому-либо семейству и даже не к одному, а к бесчисленному множеству их. В самом деле, стоит только представить себе какую-либо точку плоскости движущеюся по заданной кривой, а самую плоскость -вращающеюся вокруг этой точки, — и мы будем иметь движение, для которого можно определить порождающие кривые.

Для этого стоит лишь взять два бесконечно близких положения подвижной фигуры (см. фиг. 2) и восставить перпендикуляры из середин перемещений двух точек: точка пересечения этих перпендикуляров дает центр вращения, переводящего фигуру из первого положения во второе. Намечая ряд таких последовательных центров вращения на неподвижной плоскости, мы получим ломаную, обращающуюся в пределе в кривую С, называемую в кинематике неподвижной полодией. Отмечая же эти центры на плоскости подвижной фигуры, мы получим в пределе подвижную полодию с, качением которой по неподвижной и образуется наше движение. Только при отсутствии вращения, т.-е. при поступательном движении фигуры, мы не найдем таким построением центров; но в этом случае семейство траекторий будет состоять из тождественных кривых, а потому для нас не представляет интереса. Из этого же построения видно, что мгновенный центр находится в точке пересечения нормалей ко всем траекториям в точках, соответствующих одному и тому же моменту. Если задана лишь одна траектория и закон вращения вокруг точки, описывающей ее, то построение полодий можно провести следующим образом. Проводим нормаль к данной траектории и отыскиваем на ней такую точку, чтобы

Фиг. 1.

Фиг. 2.

скорость вращения ее вокруг M равнялась скорости самой точки М, но имела противоположное направление, т.-е. чтобы г - т1= ... или г — —-; если известен закон вращения при движении M по своей траектории, т.-е. s задано как функция а, то г определяется. Приводим два примера.

1. Точка M движется по кругу равномерно, и вращение совершается тоже равномерно; поэтому — = const.; след., неподвижная полодия есть круг: легко видеть, что подвижная полодия есть гоже круг. Мы имеем семейство циклоидальных кривых, на которых мы остановимся подробнее дальше.

2. Точка M движется по вертикальной прямой равноускоренно, а вращение совершается равномерно (свободно падающее вращающееся колесо). Уравнения движения будут: x — 0; y — —gt2; ? — mt* Поэтому — = ^= — Это выражение показывает, что неподвижная полодия—парабола, а подвижная—Архимедова спираль. На фиг. 3 показаны эти полодии.

Фиг. 3.

Фиг. 4.

Согласно данному определению кинематического родства, оно может быть установлено между любыми двумя кривыми и притом бесконечным числом способов. В самом деле, наши кривые могут быть приняты за траектории двух точек подвижной плоскости, расстояние между которыми может быть задано произвольно; тогда делая из точек одной кривой засечки на другой этим расстоянием, получим пары соответственных точек на кривых; проводя же в этих точках нормали, найдем в их пересечении мгновенные центры, определяющие неподвижную полодию. Подвижная же полодия находится построением на основном отрезке, как на базе треугольников с вершинами в мгновенных центрах, как это указано на фиг. 4 для движения отрезка концами по дугам круга; здесь взято два положения отрезка AB и АХВХ и построены по нормалям полюса Р и Ри а затем треугольник АХВ\Р\ перенесен на AB, и таким образом получен полюс Р на подвижной полодии. На этом же чертеже построена траектория M середины отрезка.

В виде примера кинематического родства по данным полодиям рассмотрим семейство циклоидальных кривых, для которого порождающими кривыми являются круги радиусов г (подвижной) и R (неподвижный). Если круги имеют внешнее касание, то каждая точка подвижного круга описывает эпициклоиду с точками возврата на неподвижном круге; каждая точка внутри подвижного круга описы-

вает растянутую эпициклоиду, не имеющую точек возврата, но имеющую зато точки перегиба, если расстояние ее от окружности подвижного круга меньше —; каждая точка внутри круга радиуса ^-j— описывает выпуклую кривую без точек перегиба; траектории точек самого круга тоже принадлежат к типу таких же кривых, но у них имеются точки с нулевой кривизной, хотя и не являющиеся точками перегиба; каждая точка вне подвижного круга описывает сжатую эпициклоиду, имеющую петли по числу точек возврата. При рациональном отношении радиусов имеем замкнутые кривые с конечным числом особых точек, при иррациональном—кривые не замыкаются. Если круги имеют внутреннее касание, то получаются соответственно: гипоциклоида с точками возврата или растянутая и сжатая гипоциклоида. Здесь имеем еще следующие особенности: если г < /?, то гипоциклоида получается та же, что и для подвижного круга радиуса R— г при том же неподвижном круге; если же г>/?, то гипоциклоида тождественна с эпициклоидой для радиуса подвижного круга г—R при том же неподвижном круге. Траектории, проходящие через центр неподвижного круга, называются розетками.

При R = oof т.-е. при качении круга по прямой, получается обыкновенная, растянутая или сжатая циклоида.

При г = оо, т.-е. при качении прямой по кругу, получается развертка круга, имеющая всего одну точку возврата. Траектория, проходящая через центр круга, есть Архимедова спираль.

При ~5 = +-4- все гипоциклоиды обращаются в прямые, именно в диаметры неподвижного круга, а все остальные траектории—в эллипсы, сумма осей которых постоянна и равна диаметру неподвижного круга.

При ~ß -:-[- — гипоциклоида принимает форму астроиды, а траектория, проходящая через центр,—форму четырехлепестного венчика.

При — — — 1 точка подвижного круга описывает кардиоиду, а внешние точки— улитки Паскаля.

Все эти кривые читатель не затруднится построить. Место не позволяет поместить их здесь, равно как и другие, иногда чрезвычайно изящные формы циклоидальных кривых. Впрочем, мы и не решаемся лишать читателя того чистого наслаждения, которое может доставить ему в часы досуга самостоятельное выполнение этих чертежей. Для образца мы приводим на фиг. 5 траектории Для-^=+—, а на фиг. 6—для -g = -f-— ' а читателю рекомендуем еще случаи: -5 = + ~г , + -у, + у, — 5 » + i % и др. Особенно оригинальны получаются траектории точек, далеко отстоящих от образующего круга.

Интересно отметить, что при мнимом г, а также и при обоих мнимых радиусах г и R может быть получена действительная траектория, одна для каждого случая (если бы оказалось две действительных траектории, то и полодии были бы действительны). Геометрического образования таких псевдоциклоид указать, конечно, нельзя, но уравнения их могут быть получены общим способом,

1 Знак + указывает внутреннее, а знак — внешнее касание образующих кругов.

который будет указан далее. С самими кривыми мы также еще встретимся, подойдя к ним уже с другой стороны.

Чтобы представить семейство кинематически родственных кривых аналитически, воспользуемся указанным выше представлением движения плоской фигуры как составленного из поступательного движения по заданной траектории и вращения вокруг точки, которую мы и выберем за начало координат. Для определения движения достаточно знать координаты этого подвижного начала Х0 и У0, как функции угла поворота в:

X0 = Fom У0 = Ф0(Н).

Будем считать угол в положительным при вращении по часовой стрелке (см. фиг. 7); тогда координаты точки M (х, у) выразятся формулами: X=X0-{-xcos в -\-у sin в; У =У0-\-х sin в -\-у cos , которые отличаются от известных формул преобразования координат заменой в на—в. Напр., если положить Х0 = а cos /яв; У0 = а sin /тгв, то будем иметь циклоидальное движение. Если положить

Х0 = а&; У0=ов*2,

то будем иметь второй указанный выше пример.

Для определения полодий находим мгновенный центр из условия:

Фиг. 5. Фиг. 6.

что дает координаты его в подвижных осях:

Фиг. 7.

Подставляя эти выражения в формулы для X и У, находим:

Если, наоборот, заданы полодии уравнениями:

где р и Я—независимые параметры, то для определения движения прежде всего пишем условие качения без скольжения: ds2 = dS\ или

которое устанавливает зависимость между параметрами р и Р. Затем, имея в виду, что общая касательная к полодиям составляет с подвижными осями углы, косинусы которых равны —z— и , а с неподвижными соответственно находим sinH = —1У* 1 1 ; cosH=—i—1» s , где штрихами обозначены производные по своим параметрам. Наконец, определяем координаты подвижного начала:

= А", — cos И -\-ух sin H); У0=Ух-\- (atj sin и —cos H).

Правые части этих формул могут быть выражены через любой из параметров р или Я, а так как через тот же параметр может быть выражен и угол Н, то по исключении параметра мы можем получить формулы:

*о =/*,(*); У, = Ф0(в).

Применяя эти формулы к случаю круговых полодий:

x{ = rcosp; Xi=Rco$P; yl=rs\np; У, =/?sinP,

найдем уравнения циклоидальных кривых:

верхние знаки относятся к внешнему касанию, нижние—к внутреннему; А —расстояние движущейся точки от центра подвижного круга; при Ь=г получаем эпи-или гипоциклоиду. Из уравнений видно между прочим, что при рациональном получаются алгебраические кривые, при иррациональном — трансцендентные. Напр., уравнение астроиды может быть представлено в виде:

Положим теперь

в таком случае получим уравнения одного вида псевдоциклоиды, именно парациклоиды:

Полагая же

найдем уравнения второго вида псевдоциклоиды гиперциклоиды:

Укажем теперь на взаимоотношения для некоторых частных видов движения.

1) Обе полодии одинаковы. Каждая траектория представляет увеличенный вдвое подэр неподвижной полодии относительно взятой точки; в этом мы убеждаемся из симметричного расположения обеих полодий относительно их общей касательной.

В виде примера рассмотрим качение равных конических сечений друг по другу. Если это—эллипсы или гиперболы, то каждый из фокусов описывает круг, а потому движение может быть осуществлено механизмом, известным под названием шарнирного антипараллелограма; при неподвижном коротком звене (фиг. 8) получаем эллиптические полодии, при неподвижном длинном—гиперболические (фиг. 9). При качении двух равных парабол фокус описывает прямую (фиг. 10).

Фиг. 8.

Фиг. 9.

Рекомендуем читателю построить траектории вершин и других точек подвижных полодий, траекторию центра гиперболы (лемниската), траектории внутренних и наружных точек эллипса и точек, не лежащих на подвижной гиперболе.

2) Неподвижная полодия — прямая. Так как здесь всегда можно положить Уг = 09 то уравнение равенства дуг обращается в X{=sx и есть, след., функция р\ для угла в получаем:

а для Х0 и Уо находим:

Если подвижная полодия—эллипс или гипербола, то фокус описывает так наз. кривую Делонэ (см. фиг. 11 и 12). При качении параболы по прямой фокус ее описывает цепную линию (фиг. 13).

Фиг. ю.

Фиг. 11.

Фиг. 12.

Если подвижная полодия—эпи - или гипоциклоида, то центр ее описывает эллипс (см. фиг. 14). Для получения гиперболы надо взять псевдоциклоиды, именно: чтобы качение происходило по действительной оси гиперболы, надо взять парациклоиду, а для качения по мнимой оси надо взять гиперциклоиду (см. фиг. 15). Для получения параболы надо катить по прямой развертку круга (см. фиг. 16).

3) Подвижная полодия—прямая. Точки подвижной прямой описывают эвольвенты (развертки) неподвижной полодии. Читатель не затруднится подобрать интересующие его примеры.

4) Одна из траекторий—прямая. Задача о разыскании всех движений с прямолинейной траекторией может быть сведена к следующему. Полагая Уо = 0, находим для подвижной полодии:

Xi = Х0' sin в; ух = — Х0' cos в,

а для неподвижной:

Xi=Xq, У1 = — Х0';

остается только задать произвольной функцией

Х0 = Х0 (в),

и мы будем иметь решение задачи. Эта функция, кстати сказать, имеет вполне определенное кинематическое значение: она указывает закон движения подвижного начала по прямой при равномерном вращении вокруг него. Мы уже имели подходящий сюда случай свободного падения равномерно вращающегося колеса.

Фиг. 13.

Фиг. 14.

Фиг. 15.

Фиг. 16.

Фиг. 17.

На фиг. 17 изображен случай равномерно вращающегося колеса, ось которого совершает прямолинейное гармоническое колебание; неподвижная полодия-эллипс, подвижная—розетка.

Если две траектории прямолинейны, то получаем качение круга внутри другого круга, вдвое большего радиуса, причем все точки подвижного круга описывают прямые (именно—диаметры неподвижного круга), все же остальные точки описывают эллипсы, о чем уже упоминалось.

Вместо задания функции Х0 можно задаться зависимостью между кривизнами полодий. В самом деле, радиусы кривизны полодий принимают в нашем случае такой вид:

для подвижной:

для неподвижной:

отношение их есть некоторая функция

Задаваясь этой функцией, мы получим для определения функции Х0 диференциальное уравнение:

Для интегрирования этого уравнения вводим новое переменное находим

откуда

Наше уравнение теперь получит вид:

если

а потому

разделяя переменные, получим

следовательно

Найдя / в функции с1н, получим

Остановимся на случае /= const. Тогда

где через m обозначена величина

Для подвижной полодии получим

или в полярных координатах:

Такие кривые называются синус-спиралями, а /гг — порядком их. Для неподвижной полодии получим

Такие кривые называются кривыми Рибокура, по имени ученого, занимавшегося ими.

Таким образом мы нашли, что при качении синус-спирали по кривой Рибокура полюс ее описывает прямую.

Пусть, напр., /77 = — -f =0, т.-е./=0, т.е. /?! = оо, иными словами, неподвижная полодия—прямая; тогда интегралы уравнения принимают неопределенный вид, но само уравнение упрощается:

вводя, как и раньше, новое переменное t— —, , находим /' = 0, т.-е. t= const,

откуда

откуда видно, что подвижная полодия есть логарифмическая спираль, за исключением того случая, когда t = 0; в этом случае она обращается в круг.

Между случаем движения с прямолинейной неподвижной полодией и с прямолинейной траекторией существует замечательная связь, выражаемая теоремой Habich'а:

Если кривая С, катясь по прямой, описывает одной из точек, с ней неизменно связанных, траекторию М, то подэр кривой С из М, катясь по траектории М, описывает точкой M ту же прямую1.

Так, напр., подэры круга при качении по соответственным циклоидам образуют прямолинейную траекторию.

Другой интересный пример представляет качение круга по кривой Делонэ, причем надо выбрать тот именно круг, который представляет подэр (из фокуса) эллипса или гиперболы, служивших для образования данной кривой. Точка, описывающая прямолинейную траекторию, в случае эллипса лежит внутри круга, а в случае гиперболы—вне его.

Если взять параболу, то как мы видели, кривая Делонэ обращается в цепную линию, а так как подэр параболы из фокуса есть прямая, то и получаем следующее интересное свойство: при качении прямой по цепной линии, одна из точек подвижной плоскости (не лежащая на этой прямой) описывает прямую, именно—директрису дапной ценной линии.

Указанный способ получения семейства родственных кривых устанавливает между всеми кривыми семейства определенное соответствие по точкам, вообще говоря, взаимно-однозначное (за исключением случаев колебательного движения точек по своим траекториям).

1 Доказательство ее можно найти у Cesàro, но так как оно довольно сложно, мы его не приводим.

Но вместе с тем каждое движение устанавливает соответствие и между двумя плоскостями, подвижной и неподвижной, причем соответствующими элементами служат: точка подвижной плоскости и кривая неподвижной. Рассматривая кривую на подвижной плоскости как ряд точек, найдем на неподвижной плоскости ряд кривых. Огибающую их будем считать кривою, соответствующею данной. С другой стороны, различные положения самой данной кривой тоже дают огибающую, которую также можно считать соответствующею данной. Оказывается, что обе огибающие совпадают; имеем теорему:

огибающая траекторий точек, лежащих на кривой, есть в то же время огибающая всех положений этой кривой.

В самом деле, пусть имеем кривую /С, неизменно связанную с подвижной полодией с (фиг. 17). Приведем из полюса Р нормаль РМ к этой кривой. Тогда направление движения точки M в данный момент будет перпендикулярно к РМ, иначе говоря, касательная к траектории этой точки будет в то же время и касательной к кривой К, но в этой же точке кривая К касается своей огибающей, так как их общая нормаль должна проходить через полюс. С другой стороны, траектория бесконечно близкой точки кривой К имеет общий элемент дуги с первой траекторией, а потому огибающая этих траекторий касается траектории точки M в самой же точке М. Таким образом точка M есть общая точка касания обеих огибающих, а так как это верно для всякого момента, то геометрическое место точек M есть одновременно и огибающая различных положений кривой К, и огибающая траекторий разных точек этой кривой. Для читателя будет интересно убедиться в правильности этой теоремы на примере циклоидального движения: обе огибающие для диаметра катящегося круга являются тоже циклоидами, с тем же неподвижным кругом и с подвижным кругом вдвое меньшего радиуса. Предлагаем выполнить построение для-^=4-у.

Таким образом между каждой кривой и ее огибающей устанавливается соответствие по точкам, именно по точкам взаимного касания. Обратив движение, т. е. переменив роли подвижной и неподвижной полодии, найдем, что переменятся и роли наших кривых. Поэтому кривые эти можно назвать сопряженными или взаимными.

Как видно из предыдущего, одну из сопряженных кривых можно задать произвольно; тогда при известном движении получим вторую кривую как огибающую. Но для получения обеих сопряженных кривых одновременно можно поступить, пользуясь следующей теоремой Камюса1:

две траектории одной и той же точки, связанной с произвольной кривой, при качении последней по подвижной и неподвижной полодиям, суть кривые сопряженные.

Так строят циклоидальные профили зубчатых колес.

Указанное выше соответствие плоскостей по элементам, точка—кривая: есть особый случай (вырождения) соответствия по сопряженным кривым. Отсюда следует теорема:

при обращении движения различные положения прежней траектории проходят через одну и ту же точку, именно ту точку, траектория которой взята.

Качение двух равных парабол даст простой пример на эту теорему: фокус подвижной параболы описывает директрису неподвижной, а директриса подвижной все время проходит через фокус неподвижной.

Фиг. 18.

1 Доказательство ее помещается в любом курсе кинематики механизмов.

При движении каждая кривая подвижной плоскости катится со скольжением по своей сопряженной, причем мера скольжения—-^- есть функция положения, т.-е. в конечном счете—функция е. Можно утверждать и обратное: пара сопряженных кривых (которые могут быть взяты совершенно произвольно) и мера скольжения их определяют движение.

Из предыдущего ясно, что в каждом движении среди бесчисленного разнообразия пар сопряженных кривых существует одна пара без скольжения, именно— пара полодий. Таким образом полодии также принадлежат к семействам сопряженных кривых, каждая—к своему, и представляют лишь особый случай родства, „родства по дугам", т.-е. когда отрезки кривых между соответственными точками равны друг другу.

Исследованием кривых, получаемых кинематически (Rollkurven, Roulettes), занимались многие авторы и собрали обширнейший материал, часть которого уже вошла в учебные курсы теоретической кинематики и кинематики механизмов. В настоящей статье они рассматриваются под новым углом зрения—кинематического родства. Нам не пришлось также нигде встретить теоремы о совпадении двух огибающих, вследствие чего дано ее доказательство. Точно так же общий прием нахождения полодий для получения прямолинейной траектории по заданному отношению радиусов кривизны их дан в значительно более простом виде, чем в статье Ф. Е. Орлова «из теории рулетт» (Новоросс. общ. естествоисп.). Подробные указания можно найти в Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften. Band III D, в частности Scheffers, «Besondere transcendente Kurven» (Rollkurven), а также в сборнике Loria «Specielle algebraische und transcendente Kurven».

Здесь укажем на след. общие сочинения.

1. Schell. Theorie der Bewegung und der Kräfte.

2. Kraft. Sammlung von Problemen -der Analytischen Mechanik.

3. Reuleaux. Lehrbuch der Kinematik. В. II.

4. Cesaro. Lezioni di geometria intrinseca. Есть немецкий перевод под заглавием: Vorlesungen über natürliche Geometrie.

5. Resal. Traité de cinématique pure.

6. Mannkeim. Principes et développements de la qéometrie cinématique.

7. Koenigs. Leçoné de cinématique.

8. Зернов. Прикладная механика.

9. Мерцалов. Кинематика механизмов.

ПРИЕМЫ КИТАЙСКОГО СЧЕТА.

А. Рейн (Владивосток).

§ 1. Живя на Дальнем Востоке, нельзя не заинтересоваться тем уменьем и той быстротой, с которой китайцы производят всякие вычисления на китайских счетах. Они так же хорошо и быстро складывают, умножают, делят и вычисляют проценты.

Больше всего заинтересовывает их способ деления на счетах. Я обратился к китайцу, просил его мне объяснить, как делается деление, которое на китайско-русском ломаном жаргоне называется „два люди пополам", но сразу не смог понять их способа вычисления.

Трудно понять оттого, что сами китайцы производят вычисления очень быстро, но на основании правил, которые заучены ими наизусть. Сами по себе правила достаточно запутаны и требуют запоминания ряда таблиц. По-китайски выучить—это ни в коем случае не значит понять; наоборот. Да и сами составители правил не могли их связать общею логической нитью доказательства, которое осмысливает содержание и дает таким образом возможность легкого усвоения и запоминания.

А между тем китайцы более 2.000 лет тому назад знали отрицательные числа.

В XIII столетии китайские математики знали способы приближенного решения уравнений четвертой и высших степеней.

Добился я понимания счета на китайских счетах только после того, как мне удалось достать переводы на английский язык японских книг по истории математики и достать некоторые книги на английском языке; описывающие китайский счет, как-то: Hayashi—k brief history of Japanese Mathematics. Eugene Smith.—к history of Japanese Mathematics.

От китайцев способы счета перешли к корейцам и японцам.

Корейцы до сих пор еще сохранили старый, давно заброшенный в Китае счет на палочках, а японцы изменили китайские счеты и широко ими пользуются, хотя вообще общематематическое развитие у японцев стоит очень высоко и нисколько не ниже, чем у европейцев. Наши счеты, несомненно, заимствованы у китайцев. Повидимому, самый древний способ счета у китайцев был при помощи веревки с узлами, но он не сохранился до наших дней. Письменные сведения о пользовании при счете палочками имеем еще задолго до начала нашей эры.

Китайцы цифры изображали палочками так:

и т. д.

Десятки изображаются горизонтальными палочками по числу единиц десятков, сотни- опять вертикальными палочками, тысячи - горизонтальными, и т. д. Так, на фиг. 1 показано палочками число 1 267.

Здесь цифра шесть изображена наоборот, как цифра десятка. Семь, как цифра единиц, изображена прямо.

Корейцы применяют при счете палочками при изображении 5 две перекрещенные палочки, как римская цифра десять.

Вообще же система счета как у китайцев, так и у корейцев десятичная.

Фиг. 1. Фиг. 2.

Корейцы до сих пор для счета пользуются палочками, которых берут 150. Палочки наколоты из бамбукового стержня.

У японцев палочки были прямоугольные длиною 5 см, в сечении квадрат со стороною равною 7 мм. Они укладывались в ящик.

Для отрицательных чисел применялись черные палочки.

Счет производился на разграфленной доске, в каждом квадратике которой располагалось по одной цифре. Ноль изображался кружком. Существовало также компактное записывание числа. Так, напр., 38 057 записывалось так, как показано на (фиг. 2).

Не останавливаясь на способах счета на палочках, который, правда, интересен, напр., при применении его к приближенному решению уравнений, перейдем к разбору арифметических действий на китайских счетах. Китайские счеты отличаются от наших тем, что у них на каждой спице 5 косточек, а не 10. Кроме того, у китайских счетов есть поперечная перекладина, которой отделяется меньшая часть счетов (см. схему—фиг. 3).

Каждая из пяти косточек изображает единицу своего разряда. Каждая косточка из двух изображает пять единиц своего разряда. Так, на фиг. 3 представлено на счетах число 7 319 062.

На китайских счетах костяшки круглые, спицы деревянные. На японских счетах костяшки скошена и в верхнем отделении имеется одна только костяшка, а не две. Японцы считают как форму костяшек, так и их число на своих счетах более удобными. Мне же кажется, что во многих случаях деления две костяшки в верхнем отделении счетов облегчают и ускоряют производство счисления, так как всегда имеется возможность положить на одной спице число включительно до пятнадцати, чего нельзя сделать ни на японских, ни на наших счетах.

§ 2. Сложение и вычитание на китайских счетах производится так же. как и на наших счетах. При числе меньшем пяти, и когда сумма меньше пяти, то сложение просто. Во всех случаях при сложении на китайских счетах рассматривают число или как сумму пяти с некоторым числом меньше пяти, или же как разность пяти и некоторого числа меньше пяти. При этом косточки, представляющие пять (две косточки на спице), откладываются вторым или третьим пальцем, а единицы —большим. При навыке китайцы на своих счетах, а японцы на своих достигают очень большой скорости.

Умножение на китайских счетах производится так же, как и на наших. Быстрота счисления на них определяется присутствием двух костяшек для обозначения пяти единиц каждого разряда, а также тем, что китайцы заучивают наизусть очень обширную таблицу умножения, которая во много раз больше той, которую необходимо запомнить европейцу для производства арифметических действий.

Правда, надо сказать, что у китайцев, а особенно у японцев таблица умножения состоит из умножения последовательных порядковых чисел на некоторое число. При этом у японцев при умножении не упоминается ни слово, обозначающее умножение, ни слово, обозначающее равенство.

Так, напр., для шести имеем:

1

6

6

2

6

12

3

6

18

4

6

24

5

6

30

6

6

36

7

6

42

8

6

48

9

6

54

Фиг. 3.

Собственно одно только действие представляет особый интерес—это деление.

При разборе способа деления на китайских счетах остановимся предварительно на том, как мы будем откладывать число на счетах, и условимся о том, как мы будем заносить последовательное расположение действия. Не имея возможности иллюстрировать, показывая положение костяшек на самых счетах, будем представлять положение костяшек на счетах во время различных стадий действия так, как это сделано на фиг. 4 и на всех последующих схемах.

Каждую спицу будем представлять между двумя вертикальными чертами, и для того, чтобы не спутаться, каждую спицу помечаем порядковой римской

цифрой. Счеты располагаем так, чтобы единичные костяшки были сверху. Горизонтальная черта отделяет костяшки единицы от костяшек пятерок. При делении делимое откладывается со второй спицы слева направо. Цифрами будем указывать число каждого разряда, положенное на счетах. При этом будем иметь всегда число как состоящее из числа меньше пяти, а если число больше пяти, то, кроме костяшек-единиц, еще из костяшки пятерочной. Следует указать, что при делении иногда приходится откладывать число единиц на одной спице—пятнадцать.

Как поясняющий пример, возьмем деление 225 на 5. Отложим 225 на счеты По принятой схеме запишем так:

Фиг. 4.

Первую цифру 2 откладываем на второй спице справа. Так как 2 < 5, то откладываем две костяшки в верхней части счет. Точно так же откладываем цифру десятков на третьей спице слева. На четвертой спице нужно отложить цифру единиц 5. Откладываем одну из двух костяшек в нижней части счетов. На фиг. 4 представлена схема расположения на счетах.

После установления способа откладывания цифры на счетах перейдем к пояснению деления на счетах. Делая это объяснение, я постараюсь сделать его понятным при нашем понимании арифметических действий.

Деление 225 на 5 можем представить так:

(1)

Начнем с деления в скобках. Разделим 20 на 5, получим 4. Поэтому можем переписать так:

или

(2) (3)

Получаем результат деления:

4 - 10 + 5г=45.............(4)

Параллельно возьмем второй пример:

476:7............... (5)

Схема расположения на счетах будет, как видно из фиг. 5, следующая:

Фиг. 5.

Представляем действие так:

Рассматривая схему действий, мы видим, что при делении мы делим на делитель первую цифру делимого, умноженную на 10. Так, в строке (1) делили 20:5, а в (6) 40:7.

У китайцев для этого имеется таблица, она заучивается сверх таблицы умножения. В ней дается частное и остаток от деления одного числа на другое, но эта таблица составлена так, будто делимая цифра предварительно умножена на 10.

Так, напр., для четырех:

4:5 = 8

4 : 6 —- 6, остаток 4,

4 : 7 = 5, „ 5 и т. д.

для двух:

2:6 = 3, остаток 2.

Для европейца, конечно, такой таблицы не надо, можно и без нее обойтись.

Начинаем с того, что убираем со счетов цифру высшего разряда и ставим вместо нее частное от деления этой цифры, увеличенной в 10 раз, на данное число. Остаток прибавляем к единицам низшего разряда. Получаем для нашего примера следующие схемы (фиг. 6 и 7).

Фиг. 6.

Фиг. 7.

Поступаем дальше со следующей цифрой так же, т.-е. увеличиваем ее в 10 раз и делим на делимое; результат ставим на место сброшенной со счетов цифры, а остаток прикидываем к числу, отложенному на следующей спице. В том случае, когда цифра оказывается больше делителя сама по себе и до умножения ее на 10, то сносим соответствующее число единиц к высшему разряду. Так, при первом примере (фиг. 6) берем на спице III цифру 2, множим ее на 10, получаем 20. Деля 20 на 5, получаем 4, которые и ставим на спице, обозначенной римской цифрой III. Для второго примера, как видно из фигуры 7, имеем на спице III отложенные 12. Так как 12 > 7, то сносим единицу на спицу II. Остается 5. Делим 50:7, получаем 7, которые и откладываем на спице II.

Остается для обоих примеров —для первого 5 на спице IV. Прибавляем одну костяшку на спице Hi. Получаем на спице II цифру 4, на спице III—цифру 5. Результат деления 45. Второй пример: на спице IV* имеем 7. Прибавляем единицу на спице III. Результат деления: на спице II—6, на спице III —8, т.-е. всего 68.

Надо помнить, что деление ведется, последовательно сбрасывая цифру делимого и ставя на место ее цифру частного. Поэтому, хотя бы остаток, сложенный со следующею цифрою, составил и более 10, но всегда, все-таки, выражается на

одной спице и никогда не переносится на высшую, потому что высший ряд представляет уже не делимое, а частное.

Как третий пример, возьмем деление

6 291 :9.

Изложим его кратко. Начинаем:

6:9 — 6, остаток 6,

на месте цифры делимого 6 ставим цифру частного 6. Остаток прибавляем к 2:

6 + 2 = 8.

На месте 2 ставим 8.

8:9 = 8, остаток 8.

Сбрасываем цифру делимого 8, ставим вместо нее цифру частного 8. Остаток прибавляем к 9. Получаем 9 -(- 8 = 17. Сбрасываем 9, получаем одну цифру частного, которую прибавляем к цифре 8 частного. Получаем вторую цифру частного, равную 9.

Остается 8.

Имеем 8:9 = 8, остаток 8.

Получаем третью цифру частного 8. Остаток складываем с единицей, получаем 9:9=10. Прибавляем к 8 единицу. Получаем частное, равное 699.

§ 3. Несколько сложнее деление на число, состоящее из двух цифр и более. Как пример, возьмем деление

289 899:486. . . .

Деление начинается с деления высшей цифры делимого на первую цифру делителя и частное ставится на место делимой цифры, а остаток прикладывается к следующей цифре. Потом следующая цифра делителя помножается на частное и произведение вычитается из следующих двух цифр делимого, и если есть третья цифра делителя, то также помножается на частное и произведение вычитается из остатка и третьей цифры делимого.

Далее действие продолжается попрежнему. Запишем так, ставя делитель раньше делимого, как делают китайцы и японцы, т.-е. имеем

Далее, если первая цифра, которую нужно делить, равна первой цифре делителя, но следующая за ней меньше делителя, то на месте цифры делимого ставят 9, а к следующей цифре делимого прибавляется сама цифра.

Так, для нашего примера цифра делимого 4 и делителя 4. Поэтому пишем так:

486 546 899 486 596 899

прибавляем 4, получаем

486 59 10 899,

причем 10 отложено на одной спице.

Продолжая далее, записываем действие так:

Здесь 59 есть первые две цифры частного, а 3159 остаток. Запись идет дальше так:

Частное будет 596,5.

Можем произведенное действие записать так:

Далее

Если при делении произведение делителя на частное окажется больше следующих двух цифр делимого, или произведение второй и третьей цифры делителя на частное больше трех следующих цифр делителя и т. д., то частное должно быть уменьшено на единицу, а к следующей цифре за ним (первой цифре делимого) нужно прибавить число, равное первой цифре делителя; затем действие продолжается как раньше.

Так, напр., надо разделить

2 014: 38.

Запишем так:

38 2 014

Делим 20:3^-6, но 6X8 — 48 более 1. Берем 5. Имеем 20:3 — 6, остаток 2.

Имеем

38 2 014

38 5 214

Прибавляем 3

Имеем

Далее

Продолжая действие, получаем 10:3 = 3, остаток 1, которую прибавляем к следующей цифре.

38 5 324

Имеем

При делении на двух- и более-значные цифры делителя требуются дополнительные умножения, которые делаются китайцами всегда на память.

ОБ УРАВНЕНИЯХ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ПЛОЩАДИ, ОБЪЕМЫ И ИХ ГРАНИЦЫ.

М. Зимин (Новочеркасск).

§ 1. Обычно с уравнением между двумя или тремя переменными мы соединяем представление о линии на координатной плоскости или о поверхности в координантном пространстве. Однако, как сейчас покажем, возможно, и притом сравнительно просто, без особого усложнения математических символов определять при помощи уравнений площади на плоскости—и объемы в пространстве, а также и их границы, составленные из частей отдельных линий или поверхностей.

Пусть на координатной плоскости неравенства

(1)

определяют известную площадь или, вообще говоря, некоторую область S. Заменим неравенства (1) равносильными им равенствами

(2)

из которых, складывая их почленно, получим уравнение

(3)

или

(3а)

Уравнение (3) удовлетворяется координатами каждой точки области S. Если же точка не принадлежит этой области, то одна или несколько функций /v (д-, у) для координат такой точки будут отрицательными, а потому некоторые из выражений

\А(*,у)\ -U(x*y) (v = l, 2, .... ri)

сделаются положительными, другие будут оставаться нулями, сумма же всех этих выражений, т.-е. левая часть уравнения (3) будет больше нуля. Уравнение (3), как отсюда видно, не удовлетворяется координатами точек, не принадлежащих области 5, а так как, с другой стороны, координаты всех точек области 5 этому уравнению удовлетворяют, то уравнение (3) или (За) и является таким образом уравнением площади, или области S.

Подобными же рассуждениями докажем, что в координатном пространстве уравнение

можем принять за уравнение объема, или области, определяемой системой неравенств

Пример. Рассмотрим уравнения трех окружностей одинакового радиуса а с центрами в начале координат (см. чертеж) и в точках M {а, 0) и N(—a, G);

Площадь ABOCDOA характеризуется неравенствами:

и потому ее уравнение, согласно формуле (За), будет

Для площади AMDPA, определяемой неравенствами

будем иметь уравнение

Наконец, площадь BNCOB, для точек которой

представится уравнением

§ 2. Пусть область 6У, определяемая условиями (1) или уравнением (3), пересекается кривой

? (X, У) = 0............(4)

Для координат точек, принадлежащих одновременно области S и кривой (4), выполняется уравнение

(5)

Если же точка не принадлежит совместно области 8 и кривой (4), то одно из выражений

или оба они для координат такой точки будут положительны, и потому уравнение (5) не будет иметь места. Таким образом уравнение (5) представляет ту часть кривой (4), которая заключена внутри области S. Точно так же покажем, что уравнение

выражает ту часть поверхности

которая заключается внутри области, определяемой в координатном пространстве неравенствами

Равным образом уравнение

выражает часть кривой

? (*, J/, г) = 0, ф у, г) = О,

заключающуюся внутри той же области.

Пример 1. Рассмотрим на плоскости прямолинейный отрезок, соединяющий точки А(хи ух) и /?(х2, .Уг), и пусть Х\ < х2 (при .г!=л-2 могли бы предположить, что у! <уо). Отрезок AB находится в области

и согласно вышесказанному, пользуясь уравнением прямой AB, для уравнения отрезка AB будем иметь

Пример 2. Уравнение части поверхности шара—

x2J\-y2-\-z'i - а2 = 0,

заключенной внутри конуса

X1 + _У2 — m2z~ = 0>

будет

I X2 +у2 - /тг2г21 + х2 + у* — m%2 + I х- +J/2 + z2 — а21 = 0.

§ 3. Переходим к выводу уравнений, определяющих границы области. Если область задана одним неравенством

Л (х, у) ^ О,

то граница области, очевидно, имеет уравнение

ft (X, у) = 0.

В случае двух или нескольких неравенств задача о разыскании границы области сводится к тому, чтобы все эти неравенства заменить одним равносильным. Пусть дана система двух неравенств

Л(х,у)^0 и Мх,у)&0........(6)

Эта система заменяется одним равносильным неравенством

fi(x,y)+f*(x, у)-\Мх9 у)-Мх, у)\&0 . . .(7)

Действительно, легко видеть, что неравенство (7) не выполняется, если функции f\ (л:, у) и /2 (х, у) либо обе отрицательны, либо разных знаков, но это неравенство будет иметь место при выполнении условий (6). Отсюда сейчас же следует, что граница области, определяемой неравенствами (6), будет представляться уравнением

Рассмотрим для примера по координатной плоскости две непараллельные прямые

D1 = ахх -{■- Ь\у -f- Ci = О, D2 = а2х -\- Ь2у + ^2 = О»

и из четырех углов, образуемых этими прямыми, выделим тот, внутри и на сторонах которого

Д : 0 и £>2^0.

Тогда, согласно предыдущему, уравнение совокупности сторон этого угла будет

В{ -\- D2 —!£>!—- D2 i = 0.

Не трудно получить также уравнения сторон и трех остальных углов. Напр.,. для угла

D, 0, Т)2 ^ 0

можем написать

Dx 0, — /л^О,

и сведя таким образом этот случай на предыдущий, уравнение совокупности сторон этого второго угла получим в таком виде:

П{ — D2 \DX + D2\ = 0.

Если число неравенств, определяющих область, более двух, то, заменяя два неравенства одним эквивалентным и повторяя такую замену надлежащее числа раз, мы сможем в окончательном результате свести все неравенства к одному, а тогда, как сказано выше, уравнение границы области получается непосредственно.

Пусть, напр., даны три неравенства (буквы х и у при знаках функций для краткости опускаются)

Л^О, /2^0, /з^О.........(8)

Вместо первых двух берем

Л 4-/2-1/.-Л 1^о,

а комбинируя это неравенство с третьим из (8), получим следующее олно, которое заменяет три неравенства (8):

/. +/2 +/« - l/i -ai -1/, +/» -/. - !/. -a11 г* о. . (9)

и потому, отбрасывая в (9) знак > , будем иметь уравнение границы области (8). Четыре неравенства

/i^O, /2^0, /,>0, /4 ^0........(10)

сводим сперва к двум:

/, +/« -1Л -/. i ^ о, /, +/, - ! /, -п ! з= о,

а эти два заменяем одним неравенством

-|Л+/2-/з-Л-|Л-/2| + 1/з/4||^0,

из которого, отбрасывая знак >, получим уравнение границы области (10),. и т. д.

Для примера найдем уравнение границы треугольника, заданного на координатной плоскости прямыми

л' = 0, у = 0, X -\-у — 1 = 0.

Для точек внутри треугольника будем иметь

х^0, у^-0, 1 — х—у^0.......(11)

Согласно вышесказанному, два первые неравенства заменяем одним:

а затем все три неравенства (11) сводим к следующему:

, и потому уравнение границы треугольника будет:

Найдем еще уравнение границы прямоугольника, заданного уравнениями четырех сторон

х — 0, х = а, у=0, у = Ь (а>0, Ь>0).

Для координат точек площади прямоугольника имеем неравенства: х^О, а — х^О, у^О, b—у^О. Эти неравенства заменяем сперва двумя следующими:

а эти два, в свою очередь, заменяем одним:

b уравнение границы прямоугольника получим отсюда, отбрасывая знак >. В частности для квадрата {а = Ь) уравнение границы может быть представлено в таком виде:

12х — а I + 12у — а | +112х — а \ — 2у — а | | = 2а.

Те же вышеизложенные соображения без труда прилагаются к составлению уравнений границ областей, определяемых в координатном пространстве несколькими неравенствами вида

КАК МОЖНО ВВЕСТИ ПОНЯТИЕ ИНТЕГРАЛА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ.

К. Латышева (Киев).

В последнее время начинают применять методы интегрирования для вычисления площадей в средней школе. Достаточно упомянуть работы: 1) Воропай В. С, „Принцип Кавальєрі та використання його в школі" — „Математика в школі", 1929 р., вип. 2, ДВУ (Воропай, Голубенко, Михайловський, Павловський); 2) Вилейтнер. „Как рождалась современная математика" (Глава II. Понятие предела и интеграла), Гиз, 1927 г. 3) Коммерель К., „Понятие предела в элементарной математике"—„Математика в школе", 1926 г. вып. II (VI); 4) Романовский Б. В., „Вычисление объемов тел" — „Физика и математика в трудовой школе", 1928 г., № 3.

В настоящей работе излагается способ введения понятия об интеграле на основании опыта работы со студентами-математиками I курса Киевского института народного образования, прорабатывающими курс „Вступление в высшую математику". Этот курс преследует цель не только дать новопоступившему студенту представление о высшей математике как об едином целом, как о науке, где одна часть логически вытекает из другой, не только желает заставить студента отучиться от механического заучивания правил, но желает и связать так называемую „среднюю" математику с так называемой „высшей".

Черт. 1.

Принимая во внимание подобную цель „Вступления в высшую математику", методы работы отличаются от обычных методов преподавания диференциального и интегрального исчислений.

Студентам еще из средней школы известно понятие о пределе. На первом же месяце преподавания „Вступления" понятие о пределе углубляется, даются основные теоремки из теории пределов. Студенту становится известным „бесконечно-малое" и „бесконечно-большое*.

Предположим теперь, что нам надо вычислить площадь какого-либо треугольника, высота h и основание а которого нам даны (черт. 1). Разделим высоту h на п равных частей. Через точки деления проведем прямые, параллельные основанию, а из точек встречи этих прямых со сторонами треугольника опускаем перпендикуляры на соседние прямые. Образуется ряд выступающих и ряд входящих прямоугольничков, так что, когда число п увеличивается, а высота каждого прямоугольничка стремится к нулю, то можем сказать, что площадь этого треугольника, равная сумме трапеций ABCDy есть предел, к которому стремится сумма как выступающих, так и входящих прямоугольничков. Длина основания любого прямоугольничка есть линейная функция расстояния х основания от вершины треугольника

Высота прямоугольничка равна Лх. Следовательно, имеем:

(S — площадь треугольника)

или:

Здесь надо произвести суммирование и перейти к пределу. Заметим, что под знаком суммы стоит линейная функция х{. Для вычисления заметим, что

Следовательно, имеем:

или

или

Черт. 2.

2) Вычислим теперь площадь круга радиуса /?; длина окружности нам известна. Разобьем всю площадь круга на п колец равной ширины (черт. 2). Разрежем эти кольца по радиусу круга. Возьмем одно из колец. Площадь этого кольца больше площади прямоугольника, имеющего своим основанием меньшую окружность, а высотой—ширину кольца, и меньше площади прямоугольника, основанием которого является большая окружность, а высотой—та же ширина кольца.

S5t есть сумма площадей всех колец, иными словами, есть площадь круга.

Тут имеем

2*'s xi\x<cisi<2- ix^x. i=i î ;=i

Под знаком суммы мы имеем снова линейную функцию х{. Мы можем ожидать,, что результат суммирования будет такой же, как в предыдущем случае. Действительно,

Но 15- = S= площади всего круга

Когда 11 -> оо,

В обоих случаях для вычисления площади нам пришлось рассматривать искомую площадь как предел, к которому стремится сумма соответствующих прямоугольников, когда число п этих прямоугольников неограниченно возрастает, а высота каждого из них стремится к нулю.

И в первом случае, и во втором результат суммирования будет иметь один и тот же вид: — и —. Результат можем обобщить и сказать, что всегда — z

Для удобства обозначают

и читают так: интеграл от 0 до а от xdx, причем мы только что видели, что

ДВЕ ТЕОРЕМЫ О ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКАХ.

(Методическая заметка).

С. Адамович (Тула).

I. Если вы хотите знать, как найти сторону правильного десятиугольника, вписанного в окружность, и заглянете в любой учебник геометрии или спросите у более опытного преподавателя математики, то можно с уверенностью сказать, что вы получите один и тот же ответ. Для построения стороны правильного вписанного десятиугольника нужно разделить радиус окружности в крайнем и среднем отношении, и большая часть будет стороной правильного десятиугольника. Я хочу познакомить читателя, как можно найти сторону вписанного правильного десятиугольника, не прибегая к золотому делению.

Пусть О есть центр данной окружности, радиус которой R.

Построение. Проводим два взаимно перпендикулярных радиуса OA и ОВ, концы их соединяем прямою AB, продолжаем ее и откладываем на ней ВС=АВ. Соединяем С с центром, получим отрезок CD, равный двойной стороне правильного вписанного десятиугольника (см. черт. № 1).

Доказательство. По свойству секущих, имеем равенство:

АС - ВС-^ЕС - DC.........(1)

АС—2 AB. : 2R ) 2; BC=R у 2; ЕС =2

Подставляем эти значения в равенство (1), получим:

Ry2 . 2Ryr2 — (2R у DC) -DC.

Упростив, получим:

4/?2 = DC- 2/? +DC2.

Решив это уравнение, найдем:

Черт. 1.

Исследование. Задача имеет одно решение и всегда возможна.

Примечание. Легко показать, что отрезок ЕС дает удвоенную сторону правильного вписанного звездчатого десятиугольника.

Определение. Звездчатым десятиугольником называется такой, который получается от деления окружности на 10 равных частей, если точки деления соединяем прямыми линиями, каждую с 3-ей точкой, пропуская две (см. черт. № 2).

Черт. 2.

Соединяем А с Л3; Л3 с Ли и т. д.1).

II. В элементарной геометрии вывод формул площади круга, боковых и полных поверхностей, а также и объемов цилиндра и конуса основан на том положении, что разность между радиусом круга и апофемою вписанного в нем правильного многоугольника, при бесконечном увеличении числа сторон многоугольника, стремится к нулю. Положение это не имеет прямого доказательства, т.-е. не приводится аналитическая зависимость между указанною разностью и числом сторон многоуголь ника. А между тем, основываясь на приводимой в некоторых элементарных курсах геометрии теореме: „если из какой-нибудь точки, лежащей внутри правильного многоугольника, опустим перепендикуляры на все стороны его, то сумма этих перпендикуляров, деленная на число сторон многоугольника, равняется апофеме", можно такую зависимость установить.

Пусть в круг радиуса R вписан правильней многоугольник со стороной а\ сторону описанного многоугольника с таким же числом сторон назовем Ь. Далее обозначим внутри круга точку Ж, из которой опустим перпендикуляры на стороны а и b и обозначим расстояния точки M до сторон а через h', А", К", а расстояния точки M до сторон о, через А/, А2", А3'", ••• Тогда, на основании выше приведенной теоремы, будем иметь:

где а —апофема, а п—число сторон многоугольника. Из этих равенств получаем:

Так как с увеличением до бесконечности я, числители дробей А/, А2", А', А" • • • не стремятся к нулю и бесконечности, то вся правая часть последнего равенства с увеличением п до оо стремится к нулю, а следовательно и а стремится сравняться с R.

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ФОРМУЛЫ ДЛЯ СУММЫ КВАДРАТОВ ЧИСЕЛ НАТУРАЛЬНОГО РЯДА.

В. Бродзский (Киев).

Графически сумму квадратов ряда натуральных чисел можно представить как площадь фигуры (черт. 1), которая составляется из ряда квадратов с площадями, соответственно равными I2; 2'-; З2; . . . ri2.

Но фигуре, площадь которой представляет графически сумму квадратов чисел натурального ряда, можно дать иной вид. Легко доказать, что квадрат каждого целого числа п можно рассматривать как сумму ряда нечетных чисел:

л2 = 1+ 3 + 5+ . . . + (2/г — 1).

1) Эта теорема мною в 1925 году была доложена на заседании Тульского математического кружка.

Рассмотрим квадрат О ABC (черт. 2). Пусть сторона его OA равняется пу прямые axbu а2Ьъ az bà и т. д. параллельны ОС, прямые схЬи сфъ с3Ь3 и т. д. параллельны OA, отрезки

Оал — аха2 = а2а3 = . . . = 1,

ОС\ ^=-С\С2 = с—- • • • —— 1«

Не трудно видеть, что площади фигур: OaxbiCx, axa2b2c2cxbu а2аф3с3сфъ . . . ап-\АВССп—\Ьп—\ соответственно равны 1; 3; 5; . . . {2п— 1).

Таким образом /г2 = 1 3 -|- 5 —|— . . . -f- (2п — 1 ).

Разложим на чертеже (3) каждое слагаемое суммы квадратов ряда натуральных чисел на сумму нечетных чисел. Тогда площадь фигуры (черт. 3), которая представляет графически сумму квадратов ряда натуральных чисел, будет

Черт 1.

Черт. 2.

Черт. 3.

составляться из п квадратов с площадями, равными 1; из (п — 1) фигур с площадями, равными 3; из (п — 2) фигур с площадями, равными 5, и т. д.; из двух фигур с площадями, равными (2п — 3) и из одной фигуры с площадью (2п — 1).

Представляя графически каждое нечетное число в виде прямоугольника с высотою, равною 1, можно сумму квадратов ряда натуральных чисел представить в виде фигуры, изображенной на черт. 4.

В состав ее входят п квадратов с площадями, равными 2; (я —1) прямоугольников с площадями, равными 3; (п — 2) прямоугольников с площадями, равными 3, и т. д.,... два прямоугольника с площадями, равными (2п—3), и одни прямоугольник с площадью (2п—1).

Приложим к только что рассмотренной фигуре, площадь которой представляет сумму квадратов п чисел натурального ряда, две фигуры вида, рассмотренного в начале статьи (черт. 1), с площадями, тоже представляющими сумму квадратов п чисел натурального ряда, так, чтобы образовался прямоугольник (черт. 5).

Легко видеть, что основание прямоугольника равняется 2я-|-1, высота его ——- , площадь

Черт. 4.

Черт. 5.

Таким образом, утроенная сумма квадратов ряда натуральных чисел равняется —-—-—J—------—- , а потому

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТОПОЛОГИИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.

П. Романовский (Москва).

Настоящая статья имеет целью в общепонятной форме изложить основные понятия топологии двух простейших пространств: прямой и плоскости.

§ 1 . Прямая, или одномерное евклидово пространство, есть совокупность всех действительных чисел, которые можно назвать точками. Расстоянием между двумя точками х и х называется неотрицательное число \х'—х\ — ]/{х'— х)2, т.-е. абсолютная величина разности х'—х.

Плоскость, или двухмерное евклидово пространство, есть совокупность всех пар действительных чисел; эти пары можно называть точками. Расстоянием между двумя точками (.г,//) и (#',?/') называется неотрицательное число

Вообще, n-мерное евклидово пространство есть совокупность всех систем из п действительных чисел; эти системы можно называть точками. Расстоянием между двумя точками (хи . . . хп) и . . ,хп') называется неотрицательное число

Легко видеть, что такое определение расстояния двух точек прямой, плоскости, вообще n-мерного пространства удовлетворяет всем тем требованиям, каким должно удовлетворять расстояние двух точек любого метрического пространства. В таком пространстве всякие две точки Р и Q имеют некоторое неотрицательное расстояние PQ, удовлетворяющее аксиомам1):

1) PQ = Q тогда и только тогда, когда P—Q (аксиома совпадения);

2) PQ=QP (аксиома симметрии);

3) PR g PQ-\- QR (аксиома треугольника)2).

Окрестностью точки называется совокупность всех точек рассматриваемого пространства, отстоящих от данной менее, чем на г, где г—произвольно заданное положительное число (самая точка, очевидно, принадлежит всякой своей окрестности). Таким образом окрестность точки на прямой есть внутренность отрезка, имеющего в данной точке середину, окрестность точки плоскости есть внутренность круга с центром в данной точке, окрестность точки трехмерного пространства есть внутренность шара с центром в данной точке, и т. д.

§ 2. Пусть Е— какое-нибудь множество n-мерного евклидова пространства (линейное множество, если п = 1 ; плоское множество, если п — 2). Какая-нибудь точка рассматриваемого пространства называется внутренней для Е, если существует по крайней мере одна окрестность этой точки, целиком содержащаяся3) в Е (ясно, что внутренняя для Е точка обязательно принадлежит Е, но не обязательно наоборот). Какая-нибудь точка называется внешней для Е, если существует хотя бы одна окрестность этой точки, не имеющая общих точек с Е (ясно, что внешняя для Е точка обязательно не принадлежит Е, но обратное заключение неверно). Последнее определение, очевидно, равносильно такому: внещней для Е точкой называется внутренняя точка множества, дополнительного к Е. Какая-нибудь точка называется граничной для Е. если в каждой окрестности этой точки имеются как точки, принадлежащие Е, так и точки, не принадлежащие Е (граничная точка сама может как принадлежать, так и не принадлежать Е). Ясно, что каждая точка рассматриваемого пространства является по отношению к Е либо внутренней, либо граничной, либо внешней, причем эти понятия друг друга исключают. Совокупность всех внутренних точек Е называется внутренностью (Innere) множества Е, совокупность всех граничных точек Е называется грающей (Grenze) множества Е, совокупность всех внешних точек Е называется внешностью (Äussere) множества Е. Внутренность, границу и внешность Е можно обозначать соответственно через Ei9 Еф Еа. Всегда Е( С Е, Еа Ç СЕ, Еа = (СЕ);. Граничные точки Е, принадлежащие Е, образуют кран (Rand) множества Е. Край Е обозначают через Ег. Таким образом Ег = ЕЕд= Е — Et. Каждое множество Е разбивается на две взаимно чуждые части: внутренность, т.-е. Е0 и край, т.-е. Ег\ Е—Ег-\-Ег (не исключена, конечно, возможность того, что одна из этих частей будет пустой).

1) F. Hausdorff. Grundzüge der Mengenlehre. Leipzig, 1914, S. 211.

2) Справедливость этой аксиомы для прямой следует йз неравенства | « + «' | §Ё Iа I + I *' |; вообще же для n-мерного евклидова пространства аксиома треугольника следует из неравенства

эквивалентного известному неравенству Cauehy —Lagrange'a.

3) По поводу терминологии теории множеств см. нашу статью .Основные понятия теории множеств", „Математическое образование", № 5, 1928.

Примеры. 1. Полуоткрытый интервал: а < х :§ Ь (на прямой). Внутренние точки определяются неравенством а<.г<Ь, внешние точки —неравенством х<а или %>Ь, граничными точками являются а и Ъ, край состоит из одной точки

2. Множество всех рациональных точек прямой. Внутренних и внешних точек здесь не существует, все точки прямой суть граничные, край совпадает с самим множеством1). Сказанное следует из того, что для каждого действительного числа существуют сколь угодно близкие рациональные и иррациональные числа.

3. Множество точек, лежащих внутри некоторого полигона плоскости2). Внутренность совпадает в рассматриваемом примере с самим множеством, внешними точками являются точки, лежащие вне полигона, границей является полигон, края нет вовсе (т.-е. он пустой).

4. Множество точек плоскости, составленное из вертикальных прямых х= — 9 X = . . . (черт. 1). Внутренних точек здесь нет; внешними являются точки, не принадлежащие этим прямым и, кроме того, не принадлежащие прямой х = 0\ граница состоит из точек прямых ж = 0, X = 1, х= у, # = у , . . . ; край совпадает с самим множеством.

Черт. 1. Черт. 2.

5. Множество точек плоскости, принадлежащих прямоугольникам (черт. 2). Внутренность состоит из точек, лежащих внутри прямоугольников; внешность—из точек, не принадле-

1) Рассмотренное множество всюду плотно (überall dicht). Последнее обозначает, что в окрестности каждой точки рассматриваемого пространства (в данном случае прямой) имеются точки множества. Как некоторая противоположность, множество называется нигде не плотным (nirgends dicht), если (напр., в линейном случае) на каждом отрезке существует подотрезок, свободный от точек множества.

2) Еще в основах геометрии доказывается, что всякий полигон делит плоскость на две части так, что всякие две точки одной части соединимы ломаной линией, не встречающей полигона, но никакие две точки разных областей этим свойством не обладают; при этом одна и только одна из этих частей вмещает целую прямую (D. Hilbert. Grundlagen der Geometrie. 4 Aufl., S. 8). Та из частей, которая не вмещает целой прямой, называется внутренностью полигона, другая часть -внешностью.

жащих множеству и, кроме того, не принадлежащих отрезку ! ^ < I; граница состоит из периметров прямоугольников и точек только что упомянутого отрезка; край состоит из периметров прямоугольников.

6. Множество точек плоскости, имеющих в полярных координатах целый радиус-вектор и несоизмеримый с тг полярный угол. Внутренних точек, очевидно, нет; внешними являются точки, не лежащие на окружностях r=l, г = 2, г = 3, ...; границу составляют эти окружности; край совпадает с самим множеством.

§ 3. Множество, не имеющее края, т.-е. множество, состоящее из одних внутренних точек, называется открытым. Множество, дополнительное к открытому, называется замкнутым. Из определения внутренней точки сразу следует, что сумма любого числа (конечного или бесконечного) открытых множеств есть открытое множество. Отсюда следует, что произведение любого числа (конечного или бесконечного) замкнутых множеств есть замкнутое множество (ибо произведение дополнений есть дополнение суммы). Затем, произведение конечного числа открытых множеств есть открытое множество. В самом деле, возьмем какую-нибудь точку произведения, т.-е. точку, принадлежащую каждому из множителей, и для каждого из них содержащуюся в нем окрестность этой точки; наименьшая из таких окрестностей (а такая существует, ибо число множителей конечное), содержась в каждом из множителей, содержится и в произведении, что и требовалось доказать. Отсюда следует, что сумма конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество (ибо сумма дополнений есть дополнение произведения).

Примером линейного открытого множества может служить открытый интервал а < X < Ь, примером плоского открытого множества—внутренность или внешность полигона, и т. д. Каждая окрестность точки, все пространство, внутренность или внешность произвольного множества суть открытые множества. Примером замкнутого линейного множества может служить закрытый интервал а ^ х :§ 6, примером плоского замкнутого множества—полигон, полигон вместе со своей внутренностью, полигон вместе со своей внешностью, и т. д. Граница произвольного множества и множество, состоящее из конечного числа точек, суть всегда замкнутые множества.

§ 4. Про какую-нибудь точку говорят, что она предельная (Grenzpunkt, Häufungspunkt) для множества Д если в каждой окрестности этой точки имеются отличные от нее точки множества Е1). Очевидно, что конечное множество не может иметь предельных точек. Множество называется 1) замкнутым (abgeschlossen), если оно содержит все свои предельные точки2); 2) плотным в себе (insichdicht), если все его точки суть предельные; 3) совершенным (perfekt), если оно одновременно замкнуто и плотно в себе. Совокупность предельных точек множества Е называется производной от Е и обозначается через Е'3). Тогда можно сказать, что множество Е: 1) замкнуто, если оно содержит свою производную, Е~) Е\ 2) плотно в себе, если оно содержится в своей производной, Е Q Е'\ 3) совершенно, если оно равно своей производной, Е=Е'. Не трудно показать, что Е и Е-\~Е' всегда замкнутые множества.

1) Это определение равносильно такому: точка называется предельной для Е, если в каждой окрестности этой точки находится бесконечно много точек Е. Про какую-нибудь точку говорят еще, что она есть точка сгущения для Е, если в каждой окрестности этой точки находится бесконечное несчетное множество точек Е.

2) Не трудно сообразить, что это определение замкнутого множества равносильно определению, данному в § 3.

3) Производная от производной есть вторая производная и т. д.; Е" — (Е')',Е"' = = (Е"У, ...

Множества, рассмотренные в шести примерах § 2, очевидно, плотны в себе, но не замкнуты. Примером замкнутого, но не плотного в себе множества может служить конечное множество, множество, состоящее из конечного числа полигонов и конечного числа не лежащих на них точек, линейное множество, состоящее из 0, 1, £ > -у ' * ' ' (здесь 0 есть единственная предельная точка), и т. д. Примерами совершенного множества могут служить закрытый интервал, полигон, сумма конечного числа полигонов, все пространство, и т. д. Примером не замкнутого и не плотного в себе множества могут служить множество, составленное из 1, -у-,

§ 5. Плотные в себе множества обладают очевидным свойством: сумма любого числа (конечного или бесконечного) плотных в себе множеств есть плотное в себе множество. Это свойство позволяет ввести понятие ядра множества. Ядром (Кет) множества называется наибольшее содержащееся в нем плотное в себе множество Таковое существует, ибо сумма всех плотных в себе множеств, содержащихся в данном множестве, удовлетворяет этим требованиям, ибо, во-первых, она содержится в нем; во-вторых, она плотна в себе; в-третьих, по самому своему определению она содержит все плотные в себе множества, содержащиеся в данном, и таким образом является наибольшим из них. Ядро замкнутого множества совершенно1) (ибо прибавление к плотному в себе множеству его предельных точек не нарушает плотности в себе). В частных случаях ядро может быть пустым. Ядро плотного в себе множества совпадает с ним, ядро же не плотного в себе множества есть правильная часть последнего2).

Точка множества Е называется изолированной (isoliert), если существует окрестность этой точки, не содержащая других точек Е. Не изолированные точки Е суть, очевидно, предельные для него. Таким образом Е — Е есть множество всех изолированных точек Е. Изолированные точки, очевидно, не входят в ядро, но не следует думать, что ядро множества получится в результате простого отбрасывания изолированных точек (так как точка, бывшая предельной для изолированных, может после отбрасывания последних сама стать изолированной). Поэтому нахождение ядра множества не является задачей настолько простой, насколько это могло бы показаться с первого взгляда.

§ 6. Всякое бесконечное множество, не имеющее предельной точки, называется расходящимся (divergent). В случае прямой примером такого множества служит совокупность всех целых чисел, в случае плоскости—совокупность всех точек с целыми координатами и т. д.

Множество называется компактным (kompakt), если оно не имеет расходящейся части. В случае евклидовых пространств понятие компактности эквивалентно понятию ограниченности, понимая под ограниченным множеством (be schränkte Моще) множество, все точки коего имеют от начала расстояние, меньшее некоторого положительного числа (или, что равносильно, множество конечного диаметра3). В самом деле, если множество неограниченно, то в нем существует

1) Можно показать, что ядро замкнутого множества есть совокупность всех его точек сгущения и что точки множества, не принадлежащие ядру, образуют лишь конечную или счетную часть. Совершенное множество, если оно не пустое, всегда имеет мощность континуума.

2) Аналогично можно ввести понятие покрышки множества, понимая под последней наименьшее замкнутое множество, содержащее данное. Нетрудно понять, что покрышкой Е является E + B=Ei + Br

3) Диаметром множества называется верхняя грань расстояний между его точками. Если эти расстояния могут быть как угодно большими, то диаметр бесконечен, в противном случае он конечный. В этом случае он есть наибольшее из расстояний между точками данного множества или наименьшее из чисел, превышающих все расстояния. Понятие граней множества действительных чисел основано на принципе непрерывности Dedekind'a.

Черт. 3.

последовательность точек с неограниченно возрастающим расстоянием от начала—эти точки образуют расходящуюся часть, — стало быть, неограниченное множество некомпактно; если же множество ограниченно, то, согласно теореме Bolzano-Weierstrass'а1), всякая бесконечная часть его имеет предельную точку,— стало быть, ограниченное множество компактно, что и требовалось доказать.

§ 7. Какое-нибудь множество е, составляющее часть некоторого множества Е, называется замкнутым относительно Е (relativ abgeschlossen), если все предельные точки множества е, принадлежащие Е, принадлежат также и е (предельные же точки е, не принадлежащие Д принадлежать к е не обязываются). Ясно, что всякое множество замкнуто относительно себя. Произведение любого числа и сумма конечного числа относительно замкнутых множеств есть относительно замкнутое множество (обнаруживается как в § 3, если ввести понятие относительной открытости).

Примеры относительной замкнутости: 1) открытый отрезок \ ^_g 1 замкнут относительно внутренности круга \xl -f-// < 1)> ибо к последней не принадлежат точки (± 1, 0); 2) правая полуплоскость (.г > 0) замкнута относительно плоскости с изъятой осью ординат (х=/ 0); 3) правая полупрямая (.г>0) замкнута относительно прямой с изъятым началом (.т^О), и т д.

Замкнутость относительно замкнутого множества равносильна замкнутости в абсолютном смысле—это следует из того, что если е Q Е и Е замкнуто, то всякая предельная точка е принадлежит Е. Вообще же относительная замкнутость может не оказаться абсолютной замкнутостью, как показывают предыдущие примеры, но абсолютная замкнутость, конечно, всегда является и относительной замкнутостью.

Определение относительной замкнутости дает возможность ввести важное понятие связности множества. Какое-нибудь множество Е называется связным (zusammenhängend), если его нельзя разбить на две не пустые взаимно чуждые части, замкнутые относительно Е (очевидно, тогда Е неразбиваемо и на всякое конечное число ^ 2 не пустых взаимно чуждых относительно замкнутых частей).

Связные замкнутые множества называются континуумами (Kontinuum). Принимая во внимание вышесказанное о равносильности замкнутости относительно замкнутого множества абсолютной замкнутости, можно еще определить континуум так: континуумом называется всякое замкнутое множество, которое нельзя разбить на два не пустых взаимно чуждых замкнутых множества (из этого определения следует, что континуум неразбиваем и на любое конечное число?" 2 замкнутых множеств2). Континуум, если

1) Теорема Bolzano-Weicrstrass'a. утверждает существование предельной точки для всякого ограниченного множества и доказывается следующим образом (предполагая, напр., множество плоским), Заключив наше множество в квадрат и разделив последний на четыре квадрата, берем тот из них, который содержит бесконечное число точек данного множества (по крайней мере один из четырех квадратов должен обладать таким свойством, ибо иначе данное множество было бы конечным). С этим квадратом поступим так же, со следующим опять так же и т. д. (черт. 3). Таким образом получается бесконечная последовательность квадратов, лежащих каждый в предыдущем и имеющих стремящийся к нулю диаметр. Согласно принципу непрерывности, существует точка, общая всем этим квадратам. Эта точка есть предельная для данного множества, ибо в каждом круге, имеющем центр в этой точке, целиком содержится некоторый квадрат последовательности, а поэтому и бесконечное число точек множества.

2) Zoretti показал, что более того, континуум неразбиваем даже на счетное число замкнутых взаимно чуждых множеств. См. В. v. Kerékjârtô. Vorlesungen über Topologie. I (Flächentopologie). Berlin, 1923, S. 38. При всех дальнейших ссылках на эту фундаментальную книгу мы ее будем сокращенно обозначать буквой К.

он не состоит из одной точки, является совершенным множеством (ибо иначе разбивка на изолированную точку и совокупность всех прочих точек оказалась бы разбивкою на две не пустые взаимно чуждые замкнутые части). Примеры континуумов даны ниже.

§ 8. Пусть е > 0. е-цепью (z-Kette) называется любая конечная последовательность точек, обладающая тем свойством, что расстояние всяких двух смежных точек ее меньше е. Какое-нибудь множество назовем е-сцепимым, если всякие две его точки соединимы е-цепью, целиком лежащей в множестве. Напр., множество в четвертом примере § 2 s-сцепимо, если з> -~, и только тогда; множество пятого примера § 2 г-сцепимо, если е > -j-, и только тогда; множество шестого примера § 2 г-сцепимо, если е>1, и только тогда. Множество точек плоскости, имеющих целые координаты, г-сцепимо, если г> 1, и только тогда; множество точек концентрических окружностей радиусов 1, 4, 9, . . . п2, . . ., очевидно, не г-сцепимо, как бы г велико ни было; ограниченное множество г-сцепимо во всяком случае, если г больше диаметра, но может уже не оказаться г-сцепимым, если г не больше диаметра (что видно на примере множества, состоящего ровно из двух точек); и т. д.

Какое-нибудь множество называется сцепимым (verkettet), если оно г-сцепимо, как бы малым г ни было.

Понятие сцепимости более широкое, чем понятие связности, т.-е. всякое связное множество сцепимо, но существуют несвязные сцепимые множества. В самом деле, если некоторое множество Е не сцепимо, то найдется такое г>0 и такие две точки Р и Q множества Е, которые не соединимы г-цепью, лежащей в Е. Разобьем Е на две части, относя к первой все точки Е, соединимые с Р г-цепью, лежащей в Еу а ко второй все прочие точки Е. Обе части не пустые (ибо Р принадлежит первой части, a Q—второй); кроме того, они замкнуты относительно Е, ибо если бы в одной части существовала точка предельная для другой части, то нашлись бы точки, принадлежащие разным частям и имеющие расстояние <е, что, очевидно, дает противоречие. Таким образом несцепимость влечет за собой несвязность, а, значит, связность влечет за собой сцепимость. Примерами несвязного сцепимого множества могут служить прямая без одной точки, плоскость без одной прямой и т. д. (сцепимость этих множеств очевидна, несвязность станет ясной из примеров § 7).

Но если речь идет об ограниченных замкнутых множествах, то понятия сцепимости и связности эквивалентны. В самом деле, несвязность ограниченного замкнутого множества влечет за собой возможность его разбивки на две замкнутые части. Пусть о их расстояние1),—тогда точки разных частей не соединимы о-цепью, лежащей в множестве, и таким образом налицо несцепимость. Стало быть, определение ограниченного континуума может быть дано в следующем виде: ограниченным континуумом называется всякое ограниченное замкнутое сцепимое множество.

1) Расстоянием двух множеств называется нижняя грань расстояний между их точками. Из этого определения видно, что расстояние двух множеств есть всегда неотрицательное число, которое наверное равно нулю, если множества имеют общую точку, но которое может быть нулем и в случае отсутствия общих точек (напр., расстояние между множеством всех рациональных чисел и множеством всех иррациональных чисел равно нулю, расстояния множеств четвертого и пятого примеров § 2 от оси ординат также равны нулю, и т. д.). Если множества, не имеющие общих точек, суть ограниченные замкнутые, то расстояние между ними существенно положительно. В самом деле, теорема Bolzano-Wcierstrass'a. позволяет доказать существование точек, осуществляющих наименьшее расстояние,—эти рассуждения того же порядка, какие в элементах анализа употребляются для доказательства существования maximum'a и minimum'a непрерывной функции на ограниченном замкнутом множестве (напр., закрытом интервале).

Примеры континуумов: закрытый интервал; дуга непрерывной линии; часть плоскости, ограниченная полигоном (включая периферию); кривая у = sin — ^0 <.т вместе с отрезком г = 0 ( — 1 <у 1 ) (черт. 4); спираль ç = вместе с окружностью г=1 (черт. 5); множество, составленное

из квадратов

и точки (1, 1)

(черт. 6); и т. д. и т. п.—все это суть континуумы, ибо это ограниченные замкнутые сцепимые множества.

Черт. 4. Черт. 5.

§ 9. Какое-нибудь множество Е называется непрерывно связным (stetig zusammenhängend), если всякие две его точки соединимы континуумом, лежащим в Е. Из этого определения следует, что континуум всегда есть непрерывно связное множество.

Понятие непрерывной связности более узко, чем понятие связности, т.-е. всякое непрерывно связное множество связно, но существуют связные множества, которые не непрерывно связны. В самом деле, если бы непрерывно связное множество оказалось разбитым на две не пустые взаимно чуждые относительно замкнутые части, то континуум, соединяющий две точки этих частей и целиком лежащий в данном множестве, подвергся бы этим самым аналогичной разбивке,

Черт. 6.

что нелепо. Затем, примером связного, но не непрерывно связного множества может служить кривая у = sin ^0 < х^ —^j, взятая вместе с точкой (0,0). Действительно, после разбивки такого множества на две относительно замкнутые части каждая дуга = sin — (s;g#:g^-\, как континуум, а следовательно и вся кривая ;//= sin -j- j 0 < х ^ попадают в одну часть, но туда же должна попасть и точка (0, 0), как предельная для упомянутой кривой, поэтому другая часть—пустая, что и доказывает связность рассматриваемого множества. Далее, если бы оно было непрерывно связным, то оно содержало бы некоторый континуум, соединяющий точки (0, 0) и ( — ,oV Этот континуум содержал бы каждую точку ^х, sin —j ^0 < X < — j , ибо иначе разбивка его на точки с большими абсциссами чем х и точки с меньшими абсциссами чем х была бы разбивкою на две не пустые замкнутые части. Получающееся таким образом совпадение континуума с данным множеством дает противоречие, ибо данное множество не замкнуто, так как, напр., предельная точка (0, 1) не принадлежит ему, что и требовалось доказать.

§ 10. Вернемся к понятию связности. Связные множества обладают следующим свойством „непрерывности": если связное множество с имеет как точки, принадлежащие Е, так и точки, не принадлежащие Е (где /> —некоторое множество), то е обязательно имеет хотя бы одну точку на границе Е. В самом деле, в противном случае множества eEi и еЕа были бы не пустыми взаимно чуждыми, замкнутыми относительно е и дающими в сумме г, что противоречит связности е. В частности континуум, соединяющий точку, принадлежащую Е, с точкой, не принадлежащей Е, обязательно пересекает границу Е. Отсюда, между прочим, следует, что всякое не пустое и неполное множество всегда имеет граничные точки (ибо таковые имеются на отрезке, соединяющем точку множества с точкой, не принадлежащей множеству). Таким образом граница всякого множества, имеющего точки и не заполняющего все пространство, никогда не может быть пустой (чего нельзя сказать о внутренности и внешности, каковые могут быгь пустыми, как, напр., во втором примере §2).

Связное множество не теряет связности от присоединения к нему всех или некоторых из его предельных точек. В самом деле, если бы получающееся множество было разбиваемо на две относительно замкнутые части, то первоначальное попало бы целиком в одну из частей (вследствие связности), и тогда точки другой части, если они есть, были бы предельными для первой части, что противоречит относительной замкнутости. Отсюда следует, что, дополнив связное множество всеми его предельными точками, получим континуум.

Сумма любого числа связных множеств, имеющих общую точку, есть связное множество, ибо при разбивке ее на две относительно замкнутые части каждое слагаемое по причине связности целиком попадает в одну часть, а так как все слагаемые имеют общую точку, то все они попадают в одну часть, следовательно другая часть пустая.

Теперь мы можем перейти к определению компонент (составных частей) множества. Пусть Е—какое-нибудь множество и Р какая-нибудь из его точек. Компонентой (Komponente) называется наибольшее связное множество, содержащее Р и содержащееся в Е. Существование такого множества непосредственно следует из предыдущей теоремы (рассуждение вполне аналогично тому, какое в § 5 употреблялось для доказательства существования ядра). Итак, каждой точке

отвечает своя компонента. Две компоненты или совпадают, или не имеют общих точек. Каждое множество распадается таким образом на компоненты, которые суть связные подмножества, не содержащиеся в другом связном подмножестве. Связное множество состоит из единой компоненты, и наоборот. Компонента всякого множества Е всегда замкнута относительно Е, ибо иначе добавление к ней предельных точек, лежащих в Еу дало бы большее связное подмножество, чем она. Отсюда следует, что компоненты замкнутого множества суть континуумы (помня, что замкнутость относительно замкнутого множества равносильна абсолютной замкнутости). Таким образом каждое замкнутое множество Е разбивается на континуумы-компоненты. Если континуумы-компоненты все состоят из единственных точек, то замкнутое множество Е называется нигде не связным (nirgends zusammenhängend). Если множество Е открытое, то компоненты его также открытые, ибо среди связных подмножеств, содержащих некоторую точку Р, имеется круг с центром в Р. Заметим, что понятие связного открытого множества эквивалентно понятию области, понимая под областью (Gebiet) такое открытое множество, всякие две точки коего соединимы ломаной линией, в нем лежащей. В самом деле, по самому определению, область есть непрерывно-связное множество (ибо ломаная линия есть континуум), следовательно подавно связное. Обратно, если бы две точки Р и Q связного открытого множества были несоединимы ломаной линией, в нем лежащей, то последнее разобьем на две части, относя к первой все точки, соединимые с Р ломаным путем, пробегающим в множестве, и ко второй - все прочие точки множества (обе части не пустые, ибо Р входит в первую, a Q во вторую). Не трудно понять, что обе части открытые, но тогда точки одной не могут быть предельными для другой, и таким образом противоречие обеспечено. Итак каждое открытое множество распадается на области-компоненты1).

1) Идея разбивки множества на компоненты может быть обобщена следующим образом. Пусть Е— какое-нибудь множество, для точек коего установлено понятие родства так, что: 1) каждая точка родственна себе; 2) если Р родственна Q, то Q родственна Р; 3) если Р родственна Q и Q родственна R, то Р родственна R. Совокупность всех точек, родственных Р, есть некоторое множество Ер содержащее Р. Два таких ЕР и Eg в силу свойств родства либо совпадают, либо не имеют общих точек. Такие множества Ер называются компонентами. Множество Е распадается на взаимно чуждые компоненты. Каждому определению родства отвечает свое распадение на компоненты. Определение компонент, данное в тексте, соответствует определению родства как возможности соединения связным подмножеством (в случае замкнутого множества это равносильно возможности соединения континуумом, содержащимся в множестве; в случае открытого множества это равносильно возможности соединения ломаной линией, лежащей в множестве).

Укажем здесь еще на определение компонент, которое получится, если родство точек определять как возможность соединения их е-цепью, лежащей в множестве. Компонентами являются s-сцепимые подмножества, не содержащиеся в другом таком подмножестве. Уменьшая г, получим разбивку на компоненты, являющуюся подразбивкою предыдущего. В четвертом примере § 2 при s > y имеем единую компоненту, при - ]_ - — - 1 2 < е ^--- 1f имеем п + 1 компонент, именно п правых прямых и сумму всех остальных. В пятом примере § 2 при ï> т имеем единую компоненту, при 2П + 2 < £ g= -- ^ имеем п -f-1 компонент, именно п правых прямоугольников и сумму всех прочих. В шестом примере $ 2 при £ > 1 имеем единую компоненту, при имеем бесконечное множество компонент: точки, лежащие на одной окружности, образуют компоненту.

Наконец, укажем на определение компонент, которое получится, если родство точек определять как возможность соединения их £-цепью, лежащей в множестве, как бы £ малым ни было (в предыдущем определении £ было фиксированным, здесь же £ произвольно). Тогда всякое сцепимое множество состоит из единой компоненты. Самые компоненты, однако, могут быть не сцепимыми, как видно на примере множества, составленного из прямых у~±Л и отрезков (черт. 7), ибо тут прямые 7/ = ± 1 составляют единую компоненту, как не трудно понять.

§ 11. Всякое замкнутое множество Е имеет открытое дополнение, которое распадается на области-компоненты1); это суть так наз. области, определяемые замкнутым множеством Е. Граница каждой области, определяемой Е, содержится в Е (в частности может совпадать с Е). Если замкнутое множество Е ограничено, то, в случае плоскости, среди областей, им определяемых, ровно одна неограничена (в самом деле, всякие две достаточно далекие точки, напр., точки, лежащие вне круга, заключающего Е, соединимы ломаным путем, не встречающим Е). В случае прямой, их будет две.

В линейном случае область обозначает открытое множество, содержащее все точки, лежащие между какими-нибудь двумя из его точек. Линейные области могут быть лишь трех типов: х > а, х < а, а < х < Ь. Такая простота линейных областей влечет за собой очень простую структуру линейных замкнутых множеств; именно, из сказанного следует, что, напр., самое общее линейное ограниченное замкнутое множество Е получается, если из закрытого интервала удалить конечное или счетное число открытых интервалов без общих точек. Эти интервалы называются смежными к Е. Если, кроме того, потребовать, чтобы смежные интервалы не имели общих концов, то получится общий вид ограниченных совершенных множеств2). Линейные континуумы также отличаются крайней простотой, напр., общий вид линейного ограниченного континуума есть закрытый интервал (это следует из того, что линейный континуум содержит все точки, лежащие между какими-нибудь двумя из его точек).

§ 12. Всякое взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие между точками двух множеств называется топологическим преобразованием одного множества в другое (каждое из них называется отображением другого). Одно множество называется гомеоморфным (homöomorph) другому, если оно может быть в него топологически преобразовано. Ясно, что 1) каждое множество гомеоморфно себе; 2) если одно множество гомеоморфно другому, то второе гомеоморфно первому; 3) если одно множество гомеоморфно другому, а это третьему, то первое гомеоморфно третьему. Гомеоморфные множества с точки зрения топологии суть лишь различные проявления одного и того же абстрактного образования. Какое-нибудь понятие называется топологическим, если оно инвариантно относительно топологических преобразований. По самому определению непрерывных соответствий свойство точки множества быть для него предельной есть топологически инвариантное свойство, так же как и свойство точки быть изолированной. Отсюда следует, что плотность в себе есть также понятие топологически

Черт. 7.

Черт. 8.

1) Если число областей-компонент бесконечно, то оно обязательно счетно. В самом деле, в каждой области очевидно существует точка с рациональными координатами. Относя к каждой области одну из таких точек, мы получим взаимно-однозначное соответствие между нашими областями и некоторым множеством систем рациональных чисел, но последнее может быть только конечным или счетным.

2) Классический пример нигде не плотного совершенного множества принадлежит Cantor'y. Это множество строится следующим образом. Сегмент (0, 1) делится на три равные части и средняя часть (без концов) выбрасывается, с оставшимися .двумя сегментами поступают так же, с оставшимися четырьмя снова так же, и т. д. (черт. 8). Оставшиеся точки образуют совершенное множество Cantor'а. Из его построения видно, что это есть множество всех троичных дробей, не содержащих цифры 1, т.-е. составленных только из цифр 0 и 2 (как, напр., 0,20220002... ), при условии представления конечных троичных дробей в виде периодических (напр., 0,1 — 0,0222...) в тех случаях, когда последняя значащая цифра есть 1.

инвариантное, но этого нельзя сказать о замкнутости, ибо, напр., преобразовывая обратными радиусами-векторами замкнутое множество г 2^ 1, получим не замкнутое множество 0<г^1. Этот пример кстати показывает, что ограниченность также может не сохраниться при топологическом преобразовании. То же самое можно сказать о сцепимости—это непосредственно ясно. Зато связность множества обладает топологической инвариантностью, ибо относительная замкнутость подмножеств сохраняется. Соединение замкнутости с ограниченностью тоже обладает этим свойством (хотя взятые порознь они им могут не обладать). В самом деле, ограниченность отображения сразу следует из теоремы Heine-Borel'я1) (нужно лишь заметить, что для каждой точки множества найдется такая окрестность, что отображение части множества, попадающего в эту окрестность, ограничено), замкнутость же—из теоремы Bolzano-Weierstrass'a. (ибо предел сходящейся последовательности отображенных точек есть отображение неизбежно существующей предельной точки соответствующей последовательности первоначальных точек). Из сказанного следует, что ограниченный континуум всегда переходит в ограниченный континуум. Поэтому ограниченное непрерывно-связное множество переходит в непрерывно-связное множество (впрочем, не обязательно ограниченное).

В качестве примеров гомеоморфизма укажем (без доказательства), что все плотные в себе счетные множества гомеоморфны (это доказал Sierpinski)2), затем, что все нигде не связанные совершенные множества гомеоморфны, но существует continuum топологически различных нигде не связных замкнутых множеств3).

(Окончание в следующем №)

ЗАДАЧИ.

1. Найти сумму нечетных чисел от

«(я- 1) + 1 до я (л + 1) - 1. н щ (Москва).

2. Разложить на множители

х± — 4х_1

Н. Зеликман (Щегловск).

3. Найти число, содержащее только простые множители 2 и 3 и обладающее тем свойством, что число всех делителей его куба в 7 раз больше числа всех делителей самого числа. А Бутомо (Саратов).

4. Решить систему уравнений

1 А. Зайцев (Богородск).

5. Определить сторону равностороннего треугольника, если расстояния некоторой внутренней его точки от вершин треугольника равны а, Ь, с. _ И. Щ. (Москва).

1) Теорема Heine-Borél'я формулируется так: если к каждой точке ограниченного замкнутого множества отнесена некоторая окрестность, то существует конечная система этих окрестностей, целиком покрывающая множество. Действительно, пусть теорема не верна. Тогда, заключив множество (если оно плоское) в квадрат и разделив последний на четыре квадрата, найдем неверность теоремы для общей части данного множества по крайней мере с одним из четырех квадратов. С этим квадратом поступим так же, и т. д. В результате, как в доказательстве теоремы Bolzano-Weierstrass'a., получим бесконечную последовательность квадратов со стремящимся к нулю диаметром и лежащих каждый в предыдущем. Их общая точка принадлежит множеству, следовательно к ней была отнесена окрестность. Квадраты последовательности, имеющие достаточно большой порядковый номер, целиком попадают в эту окрестность, что и дает противоречие, ибо уже система, состоящая из одной этой окрестности, покрывает общую часть множества с квадратом последовательности, попадающим в эту окрестность. Что и требовалось доказать.

2) К., S. 43.

3) К., S. 48, 58.

6. На сторонах AB и АС треугольника ABC построены квадраты ААХВ2В* и АА2СХС и вершины их Ах и Л2, смежные с Л, соединены прямой АХА2. Доказать, что перпендикуляр, опущенный из точки А на ВС, делит отрезок AtA2 пополам- Г. К. (Пенза).

7. Найти углы и стороны треугольника, получающегося от соединения прямыми оснований высот данного треугольника ABC.

8. Для построения конусообразной палатки имеются жерди длиною в / м< Какой высоты должна быть палатка, чтобы она заключала наибольший объем?

9. Найти предел выражения

при X = 0.

10. Показать, что если A -j- В-\- С= 90°, то

11. Вычислить детерминант

12. Найти точки перегиба конхоиды Никомеда.

И. Синявин (Данилов).

Задачи из области технической математики.

Идя навстречу запросам читателей, редакция открывает отдел „технических задач" и просит лиц, интересующихся вопросами и задачами, имеющими отношение к технике, принять участие в этом отделе присылкою соответствующего материала.

1. Дать возможно простой вывод приближенной формулы:

j/a2 + ft2 = 0,960 а + 0,398 Ь, если а > Ь, и указать предельную погрешность при пользовании ею.

2. Дать практически удобный метод, аналитический или графический, для приближенного решения системы уравнений:

rriiX2 — тА (1 -f- У)'1 + т2 гпзу2 = тъ (1 -)- х)2~\- пи

где ти т2,...ть суть постоянные числа, большие 1 (л: и у— положительные). Система связана с расчетом вентиляции рудника.

Студ. М. Г. А. Швырков.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

53. Показать, что уравнение

x2-\-Sy*=i 20/тг + 2 не может быть решено в целых числах.

Из данного уравнения видно, что х должно быть целым числом, квадрат которого при делении на 5 дает в остатке 2. Но в таком случае этот квадрат должен оканчиваться или цифрой 2 или цифрой 7, что невозможно.

А. Дмитровский (Москва), С. Адамович (Тула), М. Коростелев (Баталпашинск).

54. Решить уравнение:

Перенеся все члены, кроме (х-\-\)\ в левую часть, получим:

[jfI_j-(x_1)j] [(x)!-(x-1)!J-[*!H-(jc-1)1J = (jc + 1)!

или

[jc!+(jc —1)!] [*!_(*-1)!_1]=(*-{-1)!

или

(л:+1)(л:—1)![(аг— 1)(лг—1 ) ! — 1] =г (лг+1 ) !,

что, по сокращении, дает

(х — 1 ) ! [(л: — 1 ) (л: — 1 ) ! — 1 ] = х !

или

(а: — 1)(аг— 1)! —1 =х.

При X = 2 левая частью 0, а при х = 3 получим: 3 = 3. Так как левая часть возрастает быстрее правой, то единственное решение есть х — 3.

А. Дмитровский (Москва), IL. Чемисов (Дмитровск), Д. Польшин (Москва).

55. Доказать, что окружность, описанная около треугольника, не может проходить через центр вневписанного круга.

Пусть круг, описанный около треугольника ABC, проходит через центр M вневписанного круга, причем AM есть биссектриса внутреннего угла А. Тогда ВМ будет биссектрисой внешнего угла CBD, а так как zlCBM= у^МАС (как опирающиеся на (MC), то выходит, что ^ВАС = ^ CBD, т.-е. внешний угол оказывается равным внутреннему, несмежному с ним.

А. Дмитровский (Москва), Е. Воскресенская (Сормово), А. Бутомо (Саратов), If. Чемисов (Дмитровск), С. Адамович (Тула).

56. Из вершин А, В, С треугольника ABC проведены прямые, пересекающие противоположные стороны а, Ь, с соответственно в точках X, Y, Z и сходящиеся внутри треугольника в точке О. Зная, что площади треугольников AYZ, BZX и CXY относятся, как 10:15:24, найти отрезки сторон треугольника.

Положим, ВХ = х; СХ^=у; CY=z; AY—t\ AZ = u; BZ = v. На основании теоремы Чевы будем иметь:

xzu~~ytv...............(1),

а выразив площади треугольников AYZ, BZX и CXY, получим пропорцию

tu sin А : vx sin В : yz sin С — 10 :15 :24,

или, так как

a b с ' atii : bvx : cyz = 10 :15 : 24...........(2).

Если положим теперь

x—la, z = ^b, и —vc,

то

у = (\—\)а, t = (l — \i)b, V—(1 — v)c

и уравнения (1) и (2) примут вид:

^V = (l-X) (1-u) (l_v)..........(3)

и

(1 — J*) V : Х(1 — V) : (1 — X)р. = 10:15:24.......(4),

откуда

3v(1-,)= 2X0-V) ...........(5)

8X(l-v) = 5[х(1-Х) . •.......• . (6)

5^(1 — X) = l2v(1 -,х) .........• (7)

Из уравнений (3) и (5) получаем:

__Хи__ _ (1 — X) (1 — (х) 3 (1 — ja) 2Х

или, после упрощений,

2XV _ 3 (1 — X) (1 — а)2 = 0...........(8).

Если же определим v из уравнения (3) и вставим полученное выражение в уравнение (6), то придем к уравнению:

откуда, отбросив решение jx = 0, можем выразить рационально jx через X:

5 (2Х—1)(1 — X)1

Теперь вставим это выражение в уравнение (8) и, заметив, что

— 5Х — 13Х2 _ ^ 5 (2Х —1) (1-Х) '

получим уравнение:

или, после освобождения от дробей и сокращения на X2 (так как X ф 0)

10 (2Х — 1 ) (3X2 _|_ 1 ох — 5) — 3 (5 — 1ЗХ)2 ф О,

или, наконец,

60Хз _ 337x2 _j_ 190Х — 25 = 0..........(10)

Один из корней этого кубического уравнения есть Xj = 5 (корень непригодный, так как X должно быть меньше единицы). Разделив левую часть уравнения (10) на X—5, придем к квадратному уравнению:

60Х2 —37Х +5 = 0,

из которого найдем два другие корня:

Если подставим эти корни в выражение (9), то получим:

так что ji3, как число, большее единицы, оказывается непригодным. Таким образом, единственная пара решений для X и ^:

Подставив эти значения X и а в одно из уравнений (3), (5), (6) или (7), найдем, что

Теперь можно определить отрезки сторон треугольника; будем иметь:

х = еа'>у=ъа'> z=tï * '=ît*; и=Гбс; v=ï6 с-

А. Дмитровский (Москва\ X, Y. (Ростов-на-Дону).

57. В шар радиуса R вписан правильный тетраэдр, в него—шар; в этот шар снова тетраэдр и т. д. Найти предел суммы поверхностей и объемов (отдельно) всех шаров и всех тетраэдров.

Так как центр правильного тетраэдра лежит на его высоте на одной четверти ее, считая от основания, то радиус описанного шара втрое больше радиуса вписанного. Отсюда непосредственно получаем пределы сумм поверхностей и объемов шаров:

Далее, если обозначим через а ребро правильного тетраэдра, то его поверхность

а объем

но высота

а с другой стороны

где R радиус описанного шара; поэтому

Ребра вписанных тетраэдров пропорциональны радиусам шаров, т.-е. ребро второго тетраэдра втрое меньше ребра первого, и т. д. Следовательно, пределы сумм поверхностей и объемов тетраэдров будут таковы:

А. Дмитровский (Москва), А. Бутомо (Саратов), Е. Воскресенская (Сормово).

59. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить при помощи цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 и как велика их сумма?

Так как на место тысяч можно поставить любую из пяти значащих цифр, а на каждое из остальных трех мест любую из шести цифр, то общее количество чисел равно

5.63 = 1080.

Для нахождения их суммы заметим, что от сложения единиц мы получим 5-62(1+2 + 3 + 4 + 5)= 180-15, от сложения десятков 5-6М0 (1 + 2 + 3 + + 4 + 5) = 180-150, от сложения сотен 5-62-100 (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 180-15СО и от сложения тысяч б3• 1 ООО(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 216-15 ООО. Поэтому сумма всех чисел будет равна: 15 (180-111 +216000) = 3 539 700.

А. Дмитровский, Д. Польшин (Москва), Ч. Домбровский (Минск).

60. Прямая линия ВС постоянной длины движется своими концами по сторонам угла А; найти геометрическое место центров окружностей, описанных около треугольника ABC.

Если обозначим через R радиус одного из рассматриваемых кругов, то будем иметь:

2R = .—, . sin А

Таким образом, все эти круги имеют одинаковые радиусы, а потому геометрическим местом их центров будет окружность с центром в точке А А. Дмитровский, Д. Польшин (Москва), X. Y. (Ростов-на-Дону).

НОВЫЕ КНИГИ.

За квалифицированного педагога. Институт повышения квалификации педагогов, Гиз. 1929. Ц. 55 к.

Математика. Методическая проработка программного материала для 8 и 9 годов обучения школы II ступени. Под ред. М. А. Знаменского. 1930. Ц. 45 к.

В. Я. Гебель, Основной курс теоретической механики. Ч. I. М. Гиз. 1930. Ц. 2 р. 25 к.

Проф. С. А. Чаплыгин. Механика системы. Ч. I. Аналитическая статика. Ц. 30 к. Ч. II. Динамика системы. Ц. 75 к.

Проф. А. И. Яшнов. Основные начала теоретической механики. Для техникумов и рабфаков. Ц. 1 р. 30 к.

А. Гарт. Элементарная статика в опытах. Перевод с англ. Под ред. проф. H. Н. Бухгольца. Ц. 1 р.

Проф. С. А. Кованько. О свойствах функций действительного переменного на (с/>|-сл).

Проблема единства теории криволинейных интегралов по неспрямляемым кривым Jordan'a. Условия моногенности функций в обыкновенном и обобщенном смысле и условия конформного соответствия между двумя поверхностями. („Известия Азербайджанского госуд. унив.", 1930).

Ответственный редактор И. И. Чистяков.

Типо-литография Центросоюза. Москва, Денисовский, 30. Главлит >fe 63933.

СтАТБг, 176X250 мм 3 п. л. Тираж 1000 Р. П. № 0034

НАУКА и ТЕХНИКА СССР

Серия книг под редакцией акад. А. Ф. Иоффе, акад. Г. М. Кржижановского, М. Я. Лапирова-Скобло и акад. А. Е. Ферсмана.

В КНИГАХ ИЗЛАГАЕТСЯ

развитие и состояние естественно-исторических наук и научно-технической мысли в СССР в связи с развитием и успехами науки мировой.

Бухарин Н., акад. Наука в СССР. 16 стр. Ц. 25 к.

Кржижановский Г., акад. Научное строительство жизни. 18 стр* Ц. 25 к.

Ольденбург С, акад. Положение нашей науки среди науки мировой. 17 стр. Ц. 25 к.

Лапиров-Скобло М. Новые пути науки и техники СССР. 19-стр. Ц. 30 к.

Егоров Д., проф. Успехи математики в СССР. 12 стр. Ц. 25 к.

Иоффе А., акад. Физика за десять лет. 14 стр. Ц. 25 к.

Рождественский Д., проф. Строение атомов и спектральный анализ. 47 стр. Ц. 60 к.

Степанов Н., проф. Физико-химический анализ. 36 стр. Ц. 45 к.

Хлопин В., проф. Радий и радиоактивность в СССР. 17 стр. Ц. 25 к.

Лазарев П., акад. Успехи геофизики за последние годы. 15 стр. Ц. 25 к.

Никифоров П., проф. Достижения в области прикладной геофизики. 23 стр. Ц. 35 к.

Бергман А. Успехи неорганической и общей химии. 25 стр. Ц. 30 к.

Блох М., проф. Пути развития химии. 14 стр. Ц. 20 к.

Кравец В., проф. Научно-технические достижения в химической промышленности. 31 стр. Ц. 40 к.

Курбатов В., проф. Успехи коллоидной химии. 24 стр. Ц. 35 к.

Чичибабин А., проф., Успехи химии в СССР. 17 стр. Ц. 25 к.

Прянишников Д., проф. и Домонтович М. Агрохимия в СССР. 44 стр. Ц. 60 к.

Вернадский В., акад. Геохимия в СССР. 16 стр. Ц. 25 к.

Костицын В., проф., Успехи астрономии в СССР. 19 стр. Ц. 30 к.

Бончковский В., проф. Сейсмология и ее достижения. 26 стр. Ц. 35 к.

С заказами обращаться в издательство „РАБОТНИК ПРОСВЕЩЕНИЯ"

Москва 19, Воздвиженка, 10,

а также в магазины и отделения издательства.

90 коп.

КАЖДЫЙ ПРОСВЕЩЕНЕЦ

ДОЛЖЕН БЫТЬ ПОДПИСЧИКОМ ОРГАНА КУЛЬТУРНОЙ РЕВОЛЮЦИИ

„УЧИТЕЛЬСКАЯ ГАЗЕТА"

На 9 мес.—3 р. 10 к., 6 мес.—2 р. 25 к., 3 мес.—1 р. 25 к.

СКЛАД ИЗДАНИЯ

издательство „РАБОТНИК ПРОСВЕЩЕНИЯ" москва, 19, воздвиженка, 10.