МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

№ 7-8

1929

ИЗДАНИЕ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

СОДЕРЖАНИЕ

И. Парфентьев. Основные принципы статистической механики......... 257

С. Поляков. К вопросу о доказательствах в учебной геометрии...... . 264

В. Скворцов. Проективные свойства многоугольников и треугольников..... 271

И. Глаголев. О родстве геометрических образов................ 277

A. Кованько. Интеграл Lebesgue'a..................... 292

B. Хмелевский. Магические квадраты и кубы. ............ 296

Л. Лодыженский. К вопросу об изменении дроби при одновременном увеличении или уменьшении ее членов..................... 316

C. Слугинов. Аналитическая теория круговых функций............ 319

М. Гребенча. Точка наименьшего расстояния от точек, расположенных на кривой . .............................. 324

М. Юкин. Некоторое обобщение теоремы Дезарга.............. . 329

М. Юкин. О числе точек пересечения трех поверхностей различных порядков, имеющих общую кривую, представляющую полное сечение двух поверхностей ........................ ... 332

Н. Зеликман. Об одной неудачной задаче из книги Н. Рыбкина «Сборник геометрических задач на вычисление».................. 334

Задачи .............................. . . —

Решение задач. ............................... 335

Библиография.............................. 345

Г. А. Грузинцев. (Некролог)......................... 349

Хроника................................... 350

SOMMAIRE

N. Parfentiev. Principes fondamentaux de la mécanique statistique.

5. Poliacov. Sur la question des démonstrations dans renseignement de la géométrie.-

V. Skvortzov. Propriétés projectives des polygones et des triangles.

A. Kovanko. Integrale de Lebesgue.

V. KhmélevskL Carrés et cubes magiques.

L. LodygenskL. Sur une variation de la fraction à termes positifs.

5. Slouguinov. Théorie analytique des fonctions circulaires.

M. Grebentcha. Point de moindre distance de points situés sur une courbe.

M. Joukine. Sur une certaine généralisation du théorème de Desargues.

M. Joukine. Sur le nombre de points d'intersection de trois surfaces.

N. Selikman. Sur un faux problème du recueil de M. Rybkine.

Problèmes.

Solutions de problèmes.

Bibliographie.

G. Grouzintzev. (Nécrologe).

Chronique.

ПРОДОЛЖАЕТСЯ ПОДПИСКА НА 1930 ГОД НА ЖУРНАЛ

Московского научно-педагогического математического кружка

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

8 КНИГ В ГОД

Ответственный редактор проф. 1-го МГУ И. И. Чистяков

ПОДПИСНАЯ ЦЕНА: на год-6 руб., на полгода—3 руб. 50 коп. Отдельные номер а—по 90 коп. с пересылкой.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

ЖУРНАЛ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

№7—8

1929 г.

ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ.

Проф. Н. Н. Парфентьев (Казань).

«Mais c'est la pensée qui est le tout».

H. Poincaré.

1. В природе мы наблюдаем явления и стараемся их объяснить с точки зрения принципа причинности, причем, раз мы построили такую абстрактную, на основе опыта созданную систему, то, пользуясь введенными нами постулатами, аксиомами и математическим языком, мы уже владеем явлением сполна, т.-е мы нередко можем знать и его прошлое, и понимаем его настоящее, и можем предсказать его будущее. Такие закономерности я буду называть, по Планку, динамическими. Прекрасный образец таких динамических закономерностей дает нам небесная механика и в частности хотя бы математически изученная и объясненная наша Солнечная система. Примечательным в этой системе являются две вещи: а) мы строили эту систему, предполагая в природе царящим принцип непрерывности, благодаря чему мы могли объяснять астрономическую механику помощью диференциальных уравнений; б) система диференциальных уравнений при наличии некоторых определенных начальных условий позволяет через интегралы этой системы путем определения произвольных постоянных интеграции определить историю системы в ее прошлом, настоящем и будущем, о чем в свое время так увлекательно говорил Laplace.

Несомненно, что в системах, базирующихся на принципе непрерывности и диференциальных уравнениях, построяемых на принципе причинности, нет места случайному. Тем не менее в природе — мы все это хорошо знаем! — есть область явлений, которую мы и не аттестуем иначе, как именно область случайного или как область статистики, если мы захотим в ней открыть какие-либо закономерности (это звучит парадоксально!).

Для таких областей явлений мы создаем статистические закономерности, причем статистические исследования ввели в науки о природе две новых глубоких концепции: мы научились наблюдать в природе процессы обратимые (пример отведенного маятника в идеально несопротивляющейся среде), или квази-обратимые (маятник с учетом сопротивлений), и процессы необратимые (тепло и второй принцип термодинамики). Обнаружилось, что тепловые процессы, как процессы неупорядоченного, хаотического до известной степени движения, обусловленные движением чрезвычайно большого числа частиц — молекул, атомов, электронов,—как-раз не поддаются обработке помощью динамических закономерностей, и здесь мы оставляем уже принцип каузальности, переходя всецело на статистический метод. Вот в этот-то момент мы и оставляем обычную механику динамических закономерностей и создаем механику статистическую.

В чем же ее характерный признак?

Грубо я могу сказать так: в статистической механике мы изучаем системы материальных элементов, стараясь установить самые общие и строгие законы, открываемые методами теории вероятностей и относящиеся или к отдельным индивидам всей системы, причем для них мы открываем законы типа средних величин, или же мы даем средние законы, относящиеся не к отдельным индивидам системы, а к некоторым их совокупностям, совокупностям, построяемым нами по определенным признакам и принципам.

Вот в самых общих чертах определение предмета статистической механики.

Но я хочу предупредить здесь одно недоразумение, которое может возникнуть у некоторых неопытных читателей, именно: было бы ошибкой думать, что в природе на самом деле есть какая-то область явлений, для коей нет вовсе абсолютных закономерностей, и эти области суть области, в коих, так сказать, царит только случай: статистическая механика, базирующая свои выводы на законе случая, есть только метод для открытия определенных последовательностей типа законов причинной зависимости. Ниже я освещу это положение еще ярче.

2. Статистическая механика изучает системы материальных скоплений, материальных множеств двояко: она изучает их или с точки зрения наивероятнейшей структуры, распределения объектов, индивидов того или иного материального множества, или же она изучает трансформации системы во времени, имея в виду опять-таки задать процесс перехода системы материальных объектов от одного состояния к другому, причем всегда имеется в виду возможность, как отправный пункт сравнения различных фаз состояния системы друг с другом, выделить наивероятнейшее состояние изучаемой системы.

В классической механике вообще в таких случаях имеют в виду выделять положения равновесия статического или динамического. В статистической механике проблема устойчивого равновесия, являющегося и наивероятнейшим, является при ее построениях кардинальной проблемой. Эту проблему можно хорошо охарактеризивать как проблему эволюции той или иной материальной системы.

Покажем сейчас, как можно получить средние статистические дан ные, характеризующие системы, исходя из закономерностей динамического характера, закономерностей точных. Для сей цели я воспользуюсь идеями замечательного мемуара Н. Weytn: „Sur une application de la théorie des nombres à la mécanique statistique et la théorie des perturbations^ (Enseign. math., 1914), но излагать их за специальностью мемуара не буду, а лишь в упрощенно-грубой форме возьму их для своей интерпретации. Представьте себе биллиард квадратной формы с ребром в 1 (единицу) длины; можно доказать, что, если пустить шар так, что компоненты скорости по сторонам квадрата будут несоизмеримы, то шар, отражаясь от боков биллиарда (трением мы пренебрегаем), своими траекториями заполнит сплошь всю площадь квадрата.

Вырежем на поле биллиарда некоторую конечную площадку ш и предположим, что мы наблюдали движения нашего шара в течение довольно долгого времени Т, причем мы старались учесть то время 7w, в течение которого наш шар пребывал за весь период Т на площадке Утилизируя закон больших чисел, конечно, мы можем добиться того, что дробь р=Ту может почитаться за вероятность пребывания нашего шара при движении на площадке ш.

Пусть на нашем биллиардном поле взято п площадей <Oj, со2, сол и п шаров; тогда вероятность, что шары 1, 2,. ..,/г соответственно попадают на свои площадки, выразилась бы произведением

причем само собой понятно, что

Если теперь мы возьмем N точек-шаров и только одну площадку со, то тогда вероятность, что из N точек только п попадут на площадку со, очевидно, есть

Чтобы оставаться верными духу статистической механики, мы будем понимать здесь Рп не геометрически при посредстве со, а статистически, в смысле временном, т.-е. будем измерять ее временем пребывания шаров на площадке со. Припишем теперь каждому шару массу, равную -^г, a 7V= 1020; если п шаров попадают на площадку со, то их масса ц = —; пусть со= ■ площади нашего биллиарда; средняя же плотность р=-*-; общая масса шаров есть 1.

Поставим себе теперь задачу: вычислить вероятность того, что средняя плотность шаров, находящихся на со, будет по крайней мере на 0,01 % уклоняться от нормальной плотности 1. В данном случае борелевская децимальная единица есть порядка ]/l02o= 1010, а уклон от нее есть 1016 = л 1010, и, след., л = 106. Поэтому, по Борелю, вероятность такого уклона л есть 10"~*а, или эта вероятность Р представляет собой приблизительно (подсчет, конечно, грубый) 1 :1012, единицу, деленную на единицу с lu12 нулями!!

Результат, который мы получили, — замечательный, ибо он говорит нам о следующем факте: шары, пущенные в числе Л7 под разными углами с течением времени распределяются на площади биллиарда равномерно. Если бы мы в начале движений все шары сгруппировали в кучу, то все равно с течением времени распределение их сделалось бы равномерным, и таким образом мы приходим к мысли, что при распределении беспорядочно движущихся объектов системы можно говорить о некотором термодинамическом равновесии. Для разрешения этой проблемы в общем виде надо было бы учитывать и стенки сосуда системы, и ее форму, и скорости движущихся молекул, и их массы, и их плотность распределения, и характер взаимных столкновений. Но надо всем этим в первичных изысканиях по математической статистике ставили еще один принцип — так наз. эргодическую гипотезу (Ergodenhypothese). Эта гипотеза была неотъемлемым атрибутом классической термодинамики. Формулировать эту гипотезу можно так: «Система очень большого числа объектов в период своей эволюции, будучи предоставлена себе самой, трансформируясь, переходит от одной фазы своего состояния к другой непрерывно».

Эта эргодическая гипотеза теперь нами уже оставлена, ибо современная физика с своей квантовой теорией и ее многочисленными применениями к теории атомистической структуры и материи и света, уже больше не пользуется принципом непрерывности, ибо благодаря именно этой

квантовой теории мы обнаружили, что в природе царствует также и принцип прерывности, и это-то обстоятельство отчасти и является причиной того, что кроме динамических закономерностей мы обязаны изучать закономерности статистические.

3. Роль прерывных вероятностей в статистической механике, конечно, уже по существу должна быть колоссальной, ибо последняя уже заранее изгоняет из своих рассуждений сплошность, вставая в основе своих концепций на атомистическую точку зрения в вопросах и строения, и механики материи, и я сейчас хотел бы показать, как простая проблема теории вероятностей — рулетка — может быть с большой продуктивностью использована статистической механикой для решения вопроса о распределении молекул по заранее намеченным участкам и об их наивероятнейшем распределении. Пусть нам предложена игра-рулетка; это диск с одинаковым числом полосок черных и красных, по периферии расположенных, и затем движущаяся стрелка, вращающаяся около центра диска, приводимая произвольно в движение. Можно задаться проблемой: сколько мы получим отдельных серий по одному красному цвету, сколько серий получится в процессе игры по два красного цвета один за другим, затем по три и т. д. Пусть общее число красных цветов есть R, так что

R = Пх + 2п,2 + Зп, + An, +......(а),

где я, — число изолированных красных цветов, п2 — число дублетов красного цвета, n:i—триплетов и т. д.

Чтобы сосчитать число черных цветов, вышедших во время игры, мы введем число я0, указывающее, сколько интервалов во время игры мы имели между последовательными цветами; тогда общее число черных цветов N есть

М+1=я0 + я1+я2 + я3 +....... (р),

если условиться прибавлять 1 (один) интервал тогда, когда игра черным цветом начинается и когда она черным кончается (один, значит, интервал перед черным цветом в начале игры и один после черного цвета после игры присчитывается). Например, в последовательности

XXX« • • • X • »0<» • XXX •

где «X* означает черный цвет, а «#»—красный, то мы согласно (ß) имеем п0 = 5, щ = 1, я2 = 2, я4 = 1. Следовательно,

7V+1 =5 + 1+2 + 1 =8+1,

что оправдывает формулу (ß)1).

Дальше я буду рассуждать так: Считая R и N за постоянные очень большие числа, очевидно, вероятность «Р» распределения чисел п0, п19... можно определить так:

(/? + УУ)!_ п01пг1п2\...

Наивероятнейшее распределение будет то, для коего Р есть maximum при наличии условий (а) и (ß). Вводя множители Lagrange'z. À и т, имеем:

log rto + À=:0;log r/j + 1 +л —T = 0;log я,+ 1 + À — i т = 0

1) Излагаемое только-что представляет собой видоизмененное рассуждение Langevin'a. Сравни, например, в «Физике за последние 20 лет» Ланжевена (перевод под редакцией акад. Иоффе и Дорфмана).

или отсюда непосредственно получаю:

т.-е. мы получили

и в силу (а)

или асимптотически (я беру оо-ое число членов и отбрасываю 1 в правой части)

Точно так же (ß) нам дает и, следовательно,

Но то же уравнение (о) нам говорит, что

Пример. Для нашей рулетки R^iN и , N Ш -у, след., если всего было проделано 20 000 испытаний, то нужно ожидать появления красного и черного цвета по ЮиОО. Числа же для серий будут такие (для красного цвета):

/^ = 2500; /г2 = 1250; я3 = 625; /г4 = 312; /г3 = 156; л6 = 78; /г. = 39; я8 = 19; П% — 9\ я10 = 4; пп = 2; /г12 = 1.

Вывод, который мы обязаны сделать, в общем виде можно формулировать так: какие бы нам ни были даны совокупности, могущие принимать разные комбинации, всегда можно говорить о некотором распределении их объектов, как о вероятнейшем. На примере рулетки мы видим, что изолированные выходы цветов являются наивероятнейшими. Свяжем теперь только-что разобранную задачу с такой общей проблемой:

А. «Пусть происходят N событий, совершенно случайных, и дана средняя продолжительность Т между двумя последовательными событиями; найти наивероятнейшую длительность промежутка между событиями».

Приурочим эту проблему к рулетке, не предполагая, что R = N, и допуская сначала, что в рулетке длительность между двумя последовательными выходами красного цвета и черного есть s, так что длитель-

ность, например, k-й серии будет ks; в этом случае средняя длительность Т для красного цвета, очевидно, (асимптотически).

Посмотрим, нельзя ли связать с е и Т число щ имеем

если считать асимптотически. Полагая

Ei — t (время), кратко можно утверждать, что

Когда распределяющиеся числа п1 связаны соотношением (/), статистическая механика говорит, что мы в данном случае имеем распределение каноническое, т.-е. типичное для статистических совокупностей, эволюционирующих во времени t. Но из формул

введенных нами выше, мы непосредственно выводим

так что

Отсюда же легко получаем:

или асимптотически

Если считать a = dt, то можно писать, правда, выведенную грубо такую интересную формулу статистической механики:

дающую каноническое распределение, непрерывное для модуля распредение Ту ибо наш s может изменяться непрерывно. Если же отбросить это

условие и ограничить изменяемость е только квантами hvy то мы в законе (/), который я запишу в форме

найдем уже квантовый закон распределения энергии, если будем считать Т за абсолютную температуру, a R за больцмановскую постоянную; я не хочу сейчас вдаваться в большие подробности по сему вопросу.

Формулу (со) статистическая механика может использовать также для решения такой увлекательной проблемы: «Предполагая, что средняя продолжительность атома есть Т и что в начале некоторого момента их было TV, то, учитывая распад атомных соединений, узнать, сколько останется атомов ко времени t».

Ответ на эту задачу как-раз дается формулой (со); я не хочу останавливаться сейчас и на этой проблеме и только лишь подчеркиваю, что проблемы жизни и смерти атомных соединений могут быть глубоко разрешаемы статистической механикой.

Если бы я захотел углубить свое изложение, я мог бы показать, как она разрешила проблему термической статики (учение о законах термодинамического равновесия), проблему термической динамики (уклонения и флуктуации около положения устойчивых фаз) и, наконец, проблему специального термического колебательного движения, я мог бы указать и на приложение результатов к броуновскому движению, к объяснению голубизны неба и т. д. и т д., но тогда нужно писать не статью для журнала, а книгу.

4. Но коль скоро я задался целью обрисовать в общих чертах статистическую механику, то вероятно у читателей возникает вполне естественный вопрос: «какую роль в этой новой механике играют принципы старой классической механики?» В основу исследования статистических совокупностей можно взять классические уравнения Lagrange'а.— Hamilton'а вида

если р.— импульс и — параметры в числе пу определяющем п степеней свободы. Отсюда сейчас же можно получить уравнение непрерывности гидродинамического характера:

указывающее нам, что статистические множества при наличии эргодической гипотезы обладают определенной стационарностью изменяемости своих фаз.

Так как у нас имеется еще интеграл Е — const., где Е — энергия системы, то иногда может случиться, что траектории пройдут через всякую фазу - точку поверхности Е —const., иногда этого не случится, и тогда эргодическую гипотезу придется заменить более стеснительной — quasi-эргодической. Должен заметить, что исследования типа исследований Poincaré в небесной механике, конечно, находят применение и в статистической механике, но здесь они должны быть квантазированы, ибо эргодическая гипотеза в настоящее время должна быть заменена квантовой энергетической гипотезой. (Не надо ее смешивать с quasi-эрго-

дической гипотезой.) Аналитически это должно выразиться присоединением к классическим уравнениям принципа

Фр/1д4 = п/ь где h — планковская постоянная.

Конечным результатом введения этого принципа получается то, что диференциальные уравнения предпочтительнее заменить разностными уравнениями, причем на все явления, происходящие в природе, налагается некоторая периодичность процесса эволюции; это—с одной стороны, а с другой стороны—в процессы, происходящие в природе, вводится и пертурбационный элемент — скачки, прерывность, и, следовательно, взамен прежней эргодической механики мы наталкиваемся на квантазированную. Этот сюжет я сейчас детализировать не буду.

5. Заключение. В заключение я хотел бы несколько остановиться на тех космогонических выводах, кои можно сделать на основе всего добытого статистической механикой. Прежде всего она значительно развивает и дополняет два замечательных закона Clausius'a, именно:

1) Энергия Вселенной — постоянна.

2) Энтропия Вселенной растет безгранично.

Второй принцип — это принцип эволюции Вселенной, утверждающий ее стремление итти всегда к наивероятнейшему состоянию. Это расширение и даже новые обобщения возможны именно не на основе термодинамики, а на основе атомистической структуры материи, что уже значительно подтвердил и сам L. Boltzmann, натолкнувшийся на функцию Н. Благодаря именно функции Н, непосредственно связанной с вероятностью данного состояния системы, мы превращаем 2-е начало термодинамики в теорему вероятности, в силу чего возможны, хотя и мало вероятны, такие факты, как летящие не вниз, а вверх кирпичи и т. п. Принято считать естественными процессами природы такие, кои являются необратимыми, но именно статистическая механика узаконяет, как естественные, и процессы обратимые и поясняет, почему необратимый процесс может стать обратимым.

Космологическое значение статистической механики еще более возрастает, если мы присоединим к ней современные теории относительности. Ведь согласно последним, мир может быть и конечным, но тогда все теоремы статистической механики должны дать нам, очевидно, иные мысли об эволюции Вселенной, и особенно эта новая проблема становится интересной, если мы попробуем заново продумать и осмыслить проблему времени: ведь если мы связуем наше мироопределение времени с необратимыми процессами природы, то ведь с точки зрения статистической механики возможно и убывание энтропии, и тогда, может быть, мы рискуем, попав в такую часть мира, не чувствовать времени этой именно части, или не уметь измерять в ней время...

Но я не хочу сейчас заниматься всеми этими специальными вопросами и хочу лишь указать, как говорят немцы, на Tragweit выводов статистической механики и для философии, и для космогонии, и для проработки заново проблемы закона причинности.

К ВОПРОСУ О ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ В УЧЕБНОЙ ГЕОМЕТРИИ.

С. Поляков (Тула)1).

Интересные статьи проф. Мордухай-Болтовского об эволюции методов наложения и исчерпывания приводят к общему вопросу о доказательствах в учебном курсе геометрии: если методы доказательства

1) Доложено в Тульском мат. кружке 21/IV 1929 г.

эволюционируют в связи с развитием культуры и науки, если характер и установка их изменяются в различные исторические эпохи, если, как увидим дальше, различные ступени развития человечества выдвигают и разные методы исследования и убеждения, то для учебной геометрии необходимо сделать выбор и между методами доказательства, и между стадиями их эволюции, и между способами их установки.

1.

В силу географических и промышленных условий древние греки образовали ряд государств-городов, занимавших каждое небольшую, легко обозреваемую территорию; древнеэллинская культура соответственно своему бытию отразила и в идеологии чувство гармонии, как законченности и определенности, культ тела, как чувственной ограниченности, ощущение бытия, как ставшего, определившегося. «Античность, — говорит Шпенглер1) — с внутренней необходимостью стала постепенно культурой малого; «аполлоновская душа» стремилась подчинить смысл ставшего при помощи принципа обозримого предела; геометрия от Архита до Евклида имеет дело с маленькими, удобными для обращения фигурами и телами». «Для античной мысли, носящей определенно статический характер, — замечает проф. Мордухай-Болтовской2), — совершенством может обладать только вполне ограниченная форма; снятие границ ведет к неопределенности, к несовершенству». В понятие числа у древнегреческих математиков и философов не могло входить свойство непрерывности, основанное на неопределенном сближении двух рядов чисел; число есть раздельная величина, его части существуют раздельно, не обладая общей границей, как части протяжений или времени; число поэтому не может служить интерпретацией сплошных величин. «Не следует, — говорит Аристотель,— прилагать арифметику к решению геометрических вопросов». Эти слова определяют традицию древнегреческой методологии. Главной характерной чертой древнегреческой математической мысли была геометризация методов доказательства. II, V и X книги «Начал Евклида», содержащие алгебраический материал — тожества, пропорции, несоизмеримые величины, и VII — IX книги, посвященные вопросам арифметики, исследуют все вопросы путем геометрических построений. В I, III, IV, VI, XI и XII книгах Евклида из 191 прямого предложения 36 доказаны сложным методом вспомогательных построений. Этот метод является для Евклида и древнегреческих геометров особенно характерным; его целевая установка — сведение данной условием фигуры на ранее доказанные предложения; так, знаменитое 5-е предложение о равенстве углов равнобедренного треугольника, названное в средине века «бегством убогих» (elefuga), приводит равнобедренный треугольник к двум парам равных треугольников по двум сторонам и углу между ними. Нередко новые пристройки делают неподвижной данную фигуру, связывают те части ее, которые в смысле обобщений должны быть подвижными, способными изменяться или изменять свое положение; вспомогательные построения в этих случаях, так сказать, надевают кандалы на фигуру, могущую жить и развиваться. В предложении о хорде в треугольнике (черт. 1), отсекающей подобный ему треугольник, хорда DE в интересах обобщения мыслится перемещающейся. У Евклида ее привязывают к точкам А и С прямые CD и АЕ, сводящие данную фигуру на треугольники с разными основаниями и равными высотами. Современная геометрия признаки подобия

Черт. 1.

1) «Закат Европы».

2) «Математич. образование», 1928 г., № 6.

треугольников приводит к вышеуказанной теореме; у Евклида доказательство сводится к построению при одной из сторон одного треугольника, равноугольного другому; очевидно, и это построение не дает наглядного представления о пропорциональности и изменяемости сторон. Подобие параллелограмов и другие предложения у Евклида связываются с построением фигуры, называемой Евклидом «гномон», которая состоит из трех параллелограмов: двух равновеликих между собой и третьего, подобного данному. Площ. DKMN = площ. MLBP; NMPC оо оо KALM оо ABCD (черт. 2). Гномон DKMLBPCN уже своею сложностью говорит о неподвижности. Уже этих беглых замечаний достаточно, чтобы видеть, что Евклидовский метод вспомогательных построений исследует фигуры в бытии, а не в становлении, неподвижные, законченные, неизменяемые.

Система и направление геометрической теории подсказывались происхождением геометрии, как орудия пространственного анализа: в основе ее лежали понятия об идеальной прямой, об идеальной плоскости и о плоских фигурах, понятия воображаемых геометрических образов, а не свойства видимых, наблюдаемых и измеряемых протяжений на земной поверхности где, как на сферической поверхности, нет прямых линий, нет параллельных линий, нет подобных фигур. Образы в геометрии надо воображать, ограничивать их основные свойства немногими условиями - аксиомами, оправдывать возможность их построений постулатами и проблемами. Это обстоятельство направляло геометрическую мысль к дедуктивному логически-умозаключающему изложению. «Геометрия на идеальной плоскости,— говорит проф. Суворов1), — явилась наукой, не имеющей ничего общего со своей прародительницей, геометрией на земной поверхности, а потому и самые понятия о плоскости и пространстве были признаны не заимствованными из опыта и измерения, а врожденными человеку». Античный математик дал дедуктивное изложение геометрической системы, в доказательствах должен был убеждать и силлогизмом, и актом, вычерчивающим и оправдывающим фигуру: у Евклида среди 191 предложения 53 задачи на построения. Способом наложения доказано только одно (4) предложение: в других предложениях, где можно было бы ожидать этот опытно-наглядный метод доказательства, например, для конгруентности сегментов, Евклид употребляет способ приведения к абсурду. Но научный дедуктивный метод Евклида особенно выделяется не в выборе, а в построении доказательств. «Само доказательство, — говорит Фуре2), — Евклидом построено, как строго логическая цепь рассуждений с непрерывными ссылками при каждом построении и при каждом шаге вперед на предшествующие определения или теоремы». В течение двух тысячелетий дедуктивное изложение Евклида служило образцом научного изложения. Только в XIX веке были обнаружены «пятна» в «Началах Евклида»: неполнота основных положений, а в особенности то, что он не мог избежать интуиции в своем стремлении к дедукции, — в его силлогизмы вплетается интуитивное утверждение. Во всяком случае стремление к строгой дедукции в доказательствах было второй характерной чертой «Начал Евклида», завершавших историю научного творчества древних греков в области элементарной геометрии.

Черт. 2.

1) «Празднование юбилея Н. И. Лобачевского», 1893 г.

2) «Очерк истории элементарной геометрии», 1912 г.

Наконец, на концепции «Начал Евклида» и на методах его доказательств отразилось в сильной степени влияние методологического скептицизма элейцев и софистов V века до нашей эры. Уже Аристотель оттенил высокое значение скептического направления для методического логического воспитания мышления. «Очень важно, - говорит Вундт1), — что с скептицизмом вообще в первый раз выступает резко очерченный логический метод; как у Зенона, так и у Кратила, скептицизм состоит в существенных чертах в разложении понятий на противоречащие друг другу признаки, откуда потом делается заключение в несостоятельности самих понятий». Здесь берет начало апагогический метод приведения к абсурду. У Евклида в 39 прямых предложениях употребляется доказательство от противного, почти все обратные предложения доказаны тем же способом, наконец, метод исчерпывания, употребленный в 6 предложениях, заканчивается приведением же к абсурду. Это перечисление показывает, как широко пользуется Евклид приведением к абсурду.

Из вышеуказанных 191 предложений 56 доказываются как бы естественной цепью силлогизмов и простых построений, вытекающих из условия теорем; доказательства этих теорем не могут характеризовать методы Евклида. Таким образом центр тяжести его методов находится в методе вспомогательных построений, в задачах оправдания построений и в приведении к абсурду. Нужно ли современной учебной геометрии опираться на методы Евклида?

2.

Как результат открытий и изобретений XV и XVI ст. (Америки, книгопечатания, карманных часов, микроскопа и др.) наступила эпоха возрождения наук: Леонардо-да-Винчи делает целый ряд исследований по механике и физике, Коперник устанавливает гелиоцентрическую систему мира, Галилей дает законы качания маятника и падения тел, Стевин формулирует законы статики и гидростатики, Джильберт изучает магнитные явления и земной магнетизм и т. д Формулировка законов и различных зависимостей требовала числового анализа изменяющихся величин, не могла мириться с античной традицией о прерывности числа, искала методов математического исследования вне геометризации. Региомонтанус в 1461 г. принужден был для некоторых предложений о плоских треугольниках прибегнуть к алгебре — «per artem rei et census», Стифель в руководстве по арифметике в 1544 году прибегает к символическим обозначениям действий и неизвестных буквами; в 1591 г. появился труд Вьета «Введение в искусство анализа», вводивший и обосновывавший буквенное счисление; в течение XVII ст. символизм Вьета приобрел доминирующее значение в математических работах; сам Вьет в 1593 г. дает примеры применения алгебраического анализа к геометрическим задачам («приложения к геометрии») и применяет геометрические построения к алгебраическим формулам («геометрические построения»). «XVII в.,— говорит Шереметевский2),— вдвинул всю «геометрию положения» в область приложения алгебраического анализа; созданием в 1637 г. аналитической геометрии была дана возможность не только размеры, но и форму протяжений выражать числовыми соотношениями алгебры».

Такое направление математического исследования расходилось с методологическими приемами Евклида, который даже учение о пропорциях избегал применять к геометрическим предложениям.

1) «Введение в философию», 1909.

2) Лоренц. «Элементы высшей математики».

«Имеются предложения, — говорит Вайлати1), — которые очень легко и непосредственно можно доказать, применяя учение о пропорциях и которые у Евклида доказываются, однако, гораздо более сложным и трудным способом, не зависящим от этого учения. В 1621 г. Савиль говорил, что «в прекрасном строении геометрии есть два порока, два недостатка: теория параллельных линий и теория пропорций. «В 1667 г. Арно опубликовал «Новые основания геометрии», в которых были введены, где можно, алгебраические доказательства. В XVII и XVIII ст. не раз повторялись попытки изложения геометрии по плану и образцу Арно, а в 1794 г. появились «Элементы геометрии» Лежандра, которые послужили образцом для громадного большинства руководств по геометрии на континенте Европы. У Лежандра, как и у его последователей, алгебраический анализ вытеснил сложные Евклидовы вспомогательные построения, особенно для подобия фигур; метрические соотношения практикуются здесь в алгебраической форме, а не в геометрической интерпретации; сравнение площадей и объемов в виде отношений сменяется формулами квадратуры и кубатуры. Руководства Руше и Комбегрусса и проф. Лавидова могут служить показателями переработки Евклида Лежандром. Вот характеристика «Элементов Лежандра», сделанная Лориа2): «Элементы геометрии Лежандра заслужили успех, так как, поскольку речь идет о форме, они, соперничая с Евклидом в ясности и точности изложения, превосходят его той сложной гармонией, которая дает им вид прекрасного здания, разделенного на две симметрические части: планиметрию и стереометрию: что же касается содержания, то они богаче Евклида количеством материала и превосходят его в некоторых частностях. Но великий французский аналист, составляя геометрию, не мог забыть о любимом предмете своих занятий, благодаря чему в его руках геометрия сделалась вассалом арифметики, у которой он заимствовал несколько способов рассуждения и даже некоторые названия; из области арифметики взял он также теорию пропорций». Но и новые попытки возвращения к Евклиду, какова, напр., «Элементарная геометрия» проф. Ващленко-Захарченко, не могут обойтись без алгебраического анализа.

Насколько Евклид перестал в XIX веке удовлетворять, как школьное руководство, видно из того, что в Англии, родине школьного консерватизма в преподавании геометрии, уже в 1795 г Плейфер при издании первых 6 книг Евклида в изложение 5-й книги ввел язык алгебры, а в 1870 г. президент «Ассоциации усовершенствования геометрии» выразился: «Из известных мне учителей не найдется ни одного, который не признался бы в том, что успех его почти пропорционален той свободе, с которой он позволяет себе отступать от строгого следования евклидовым «Началам».

В Германии недовольство Евклидом, как учебным руководством, привело в 1872 г. к решению Мюнхенского с'езда учителей ввести пропедевтический курс геометрии перед систематическим; пропедевтический курс должен был пользоваться опытно-наглядными приемами наложения, разложения и сложения фигур. Вообще реакция против Евклида вела не только к завоеваниям алгебраического анализа, но и к ослаблению чисто дедуктивного, логически умозаключающего изложения. Так, в 1741 году Клеро3) осуждал обилие у Евклида самоочевидных предложений, говоря, что, «в наше время все рассуждения о том, что заранее решается простым здравым смыслом, представляют лишь напрасную потерю времени». В 1855 году академик М. В. Остроградский4) сделал попытку «приблизить

1) Энриквес. «Вопросы элементарной геометрии». 1912.

2) Кэджори. «История элементарной математики». 1910 г.

3) «Руководство начальной геометрии».

4) «Дидактика математики».

изложение истин начальной геометрии к способам, употребляемым в других частях математики». Однако Остроградский «не посмел войти в решительное состязание с изложением, которому Евклид представил образец, а только некоторые предложения доказаны способом аналитическим и без пособия фигур». Изложение Остроградского имеет целевой установкой не дедуктивное построение предложений на основе аксиом, допущений и определений, а постепенное исследование все усложняющихся геометрических образов: плоскость, прямая, углы, перпендикуляры, наклонные и параллельные линии, прямолинейные фигуры, кривые вообще и окружность, геометрические построения, пропорциональные линии и подобие фигур, измерение и сравнение площадей, правильные многоугольники и измерение круга и, наконец, стереометрия. В результате исследований вытекают отдельные предложения о свойствах геометрических образов; отсутствие дедуктивной цепи теорем вызывает необходимость иногда обращаться к апагогическому доказательству в дополнение к анализу построений и наложений; исследовательский характер изложения выражается нередко в стремлении к наблюдению и опытно-наглядному рассуждению; таково, напр., изложение о кривых линиях и другие отделы. Таким образом в геометрии Остроградского характерно не только обращение к алгебраическому анализу в доказательствах, но и стремление освободить геометрию от задач дедукции, превратив ее в исследование геометрических образов.

Нельзя не сопоставить по целевой установке попытку Остроградского с развившимся за последние 50 лет движением к предварению систематического курса геометрии, курсом опытно-наглядной геометрии. Проф. С. А. Богомолов на I Всероссийском с'езде математиков в 1912 г. задачей этого курса наметил «накопление фактических данных и развитие интуиции пространства». По словам Симона «геометрия есть химическое соединение наглядного представления и логики». Педагогическая мысль в интересах дидактики превалирующее значение наглядному представлению уделило в пропедевтических курсах, предоставив в систематическом курсе господство логике. Остроградский такого разделения не сделал, но подошел к доказательствам и положениям, которые можно назвать индуктивными; он подошел к этим доказательствам, «не посмев войти в решительное состязание» с традицией Евклида, что сделано уже в XX веке, как увидим дальше.

3.

С XVII ст. наука геометрии обогащается многими новыми методами исследования и доказательства, которые существенно отличаются от методов Евклида и других древнегреческих математиков. В 1639 г. Кавальери опубликовал «Геометрию неделимых»; в 1637 г. Декарт создает «Аналитическую геометрию»; в 1639 и 1640 гг. труды Дезарга и Паскаля положили начало проективной геометрии; в конце XVII в. в трудах Як. Бернуни и других аналистов возникает диференциальная геометрия; в 1799 г. Монжем создается «Начертательная геометрия», в 1826 г. появился первый труд Н. И. Лобачевского по «воображаемой геометрии»; в 1827 г. в «Барицентрическом исчислении» Мебиуса возникли идеи векториального анализа.

Достаточно этих перечислений, чтобы видеть все богатства новых методов и их отличие от древнегреческих. «Разница, — говорит Рейс, — между античной и новой геометрией заключается в том, что первая рассматривает фигуры в бытии, а вторая — в становлении». В первой сказывается, по определению Шпенглера, «аполлоновская душа» с ее стремлением к настоящему, здешнему чувственно-осязаемому; во второй - «фаустовская ду-

ша», с ее стремлением к динамическому, изменющемуся, беспредельному. Условия и запросы культуры и жизни нового времени создали вышеуказанные новые геометрические дисциплины, и эти дисциплины нашли широкое поприще применений в науке, технике и разнообразной практике эпохи пара, электричества и завоеваний воздуха. Экономические условия нового времени с внутренней необходимостью вызвали поиски методов суммирования бесконечномалых элементов у Галилея, Кеплера, Кавальери, привели Декарта к революции во взглядах на число и на его взаимоотношения с протяжениями, создали, наконец, методы анализа бесконечномалых величин Ньютона и Лейбница. Функциональная изменяемость в рамках бесконечного непрерывного процесса и геометрическая интерпретация этой изменяемости в методах становления вечно движущихся фигур служили основой математических исследований нового времени.

«Результатом влияния быстрого развития анализа,— говорит В. В. Бобынин, — было совершенное преобразование математики и сообщение ей того своеобразного, специфического характера, который отличает математику в наше время от ее форм в прошлом».

Методы неделимых, метод координат, методы сечения и проектирования фигур, методы проекций и перспективы, барицентрическая установка, векториальный анализ и прочие методы геометрии нового времени отвечают динамизму нового времени, имеют целевой установкой не бытие, а становление фигур, изобретают приемы изыскания соответствия и свойств перемещающихся фигур, а не демонстрируют доказательства установленных истин. Ярко и определенно такой характер методов обнаруживается и в разложении фигур и тел на актуальные бесконечномалые элементы, и в интерпретации геометрических мест уравнениями, и в сечении и проектировании и в перспективных свойствах фигур, и в проекционном черчении, и в барицентрических координатах, и в искании методологических приемов «пангеометрии». Все эти методы имеют одну целевую установку в преобразовании фигур, один характер функционального анализа в топологии, одну тягу к динамизму, изменяемости и соответствию фигур. Геометрическое место есть закономерный путь перемещающейся точки и линии, проектирование, сечение и перспективные свойства фигур учитывают изменяемость и соответствие фигур при перемещениях их. Диференциальный анализ учитывает функциональные соотношения, барицентрическое исчисление устанавливает родство (соответствие) геометрических фигур; неевклидовы геометрии переносят исследование с плоскости на другие поверхности и учитывают новые функциональные возможности. Всюду исследование изменяемости геометрических образов, учет функциональных соотношений, интерес к становлению фигур. Очевидно, евклидовские методы доказательства не могут удовлетворять современное геометрическое мышление.

Отражением запросов нового геометрического мышления в учебной литературе служит учебник геометрии Бореля-Штеккеля и «Планиметрия» проф. Малера. Борель в предисловии говорит, что фундаментом геометрии в XIX в. является положение: элементарная геометрия эквивалентна исследованию группы движений; немецкий переводчик Штеккель при переработке книги Бореля отметил, что «методы Бореля совпадают с предложениями, выставленными педагогической комиссией Общества германских естествоиспытателей и врачей». Таким образом методы, употребленные Борелем, отражая направление и характер современного геометрического мышления, отвечают педагогическим требованиям, выставляемым наукой и жизнью.

В попытке Бореля модернизировать систематический курс геометрии: 1) алгебраические методы углубляются применением тригонометрического анализа (об'ем наклонной призмы, поверхности усеченного конуса и шара,

соотношение сторон треугольника); 2) способ наложения связывается с методами вращения и параллельного перенесения фигур; 3) метод сложных вспомогательных построений заменяется методами центральной и осевой симметрии (перпендикуляр и наклонные, равнобедренный треугольник, учение об окружности, равенство треугольников, параллельные линии, четырехугольники, правильные многоугольники); 4) вносятся понятия о методах проекции и перспективы; 5) приведение к абсурду почти отсутствует (только при определении площади круга); 6) метод исчерпывания заменен учетом актуально-бесконечномалых элементов (кубатура тел; 7) изложение оставляет в стороне задачи дедукции и приближается к исследованию геометрических образов как у Остроградского.

В книге Малера теоремы доказываются методами: 1) вращения фигур, 2) параллельного перемещения, 3) геометрических мест, 4) центральной и осевой симметрии, 5) приведением к абсурду, 6) алгебраическим анализом, 7) методом сопряженных линий и 8) способом приближения. Как видно, методы доказательства у Бореля и Малера сближают учебную геометрию с современными методами пространственного мышления. В мою задачу не входит оценка указанных учебников с точки зрения удачного или неудачного осуществления ими задач сближения учебы с наукой.

На I Всероссийском с'езде математиков было высказано решительное слово о выделении пропедевтического курса наглядной геометрии. По вопросу о систематическом курсе Т. А. Эренфест-Афанасьева высказала, что «форма и степень логической систематизации Евклида может и должна войти в рамки средней школы», а Д. В. Ройтман утверждал, что «невозможно среднему ученику усвоить толково и с пользой систематический курс геометрии в евклидовской форме». По мнению Ройтмана, курс геометрии должен быть радикально перестроен и для перестройки можно многое почерпнуть из трудов Монжа, Понселе и Штейнера.

Своей заметкой я хотел возбудить вопрос о выборе и установке методов доказательства соответственно с характером и направлением современного пространственного мышления и исследования. Паша, Веронезе и Гильберт хорошо выяснили вопрос об основаниях, на которых можно и должно строить здание геометрической теории. По вопросу же о методах доказательства только книга Энриквеса дает интересный, но неисчерпывающий материал. А между тем перестройка учебного курса геометрии в связи с выделением наглядной геометрии настоятельно требует пересмотра методов доказательства.

ПРОЕКТИВНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОУГОЛЬНИКОВ И ТРЕУГОЛЬНИКОВ.

В. В. Скворцов (Москва).

А. О многоугольниках.

1. Распространение теоремы Чевы (Ceva) на многоугольники. Теорема Чевы. Пусть будет дан треугольник ABC (черт. 1 ) и точка 5 (не лежащая на стороне треугольника), то, проведя прямые через вершины треугольника и через точку 5 и обозначая через Р, Q и R точки пересечения соответственных прямых AS, BS и CS со сторонами треугольника, получаем следующее соотношение:

Примечание. Точку 5 можно взять и вне треугольника.

Черт. 1,

Для многоугольника мы будем называть противолежащей стороной данному углу сторону, одноименную стороне правильного многоугольника, лежащей против одноименного угла. Очевидно, что при таком предположении мы можем рассматривать только многоугольники с нечетным числом сторон.

Для примера рассмотрим звездчатый пятиугольник Ах А2 А3 Ai Аг> (черт. 2).

Точки пересечения прямых, проходящих через вершины многоугольника (пятиугольника) и точку 5, с соответственными противолежащими сторонами, мы будем обозначать буквой «А» с двумя указателями, например: вершине Ах противолежит сторона Л3 Л4; точку пересечения прямой AXS с этой стороной обозначим через Лч4.

Из треугольников A1SAi и Л25Л4 имеем:

Аналогичным образом или совершая круговую перестановку указателей получим:

Черт. 2.

Перемножая эти равенства, мы видим, что произведение правых частей тождественно-равно единице, следовательно:

Итак, теорема доказана. Рассмотрим многоугольник с нечетным числом (2/г —j-1 ) сторон. Обозначая Аа (черт. 3) какую-либо вершину многоугольника.нетрудно видеть, что ей противолежит сторона Ап^я • Возьмем какую-либо точку 5, не лежащую на стороне многоугольника и проведем прямую А^ S точку пересечения этой прямой со стороной Ап_^а ^_|_a_j.-j обозначим через A"î\ *+1 . Заметим, что значения а —г и а = 2п -J- г-\- 1 определяют одну и ту же вершину.

Из треугольников А , SA и А , , .SA имеем:

Таких равенств будет 2п\\, так как а = = 1, 2, 3, . . . , 2п -f- 1.

Черт. 3.

Составляя произведение, получим:

При численных значениях а = г и у. = п-\-г множители, входящие в правую часть, сокращаются (так как указатель 2п + г-\-\ равносилен указателю г), следовательно, произведение тождественно-равно единице, а потому:

что и требовалось доказать.

2. Обобщение теоремы Ceva

Мы рассматривали многоугольники с нечетным числом сторон, теперь рассмотрим любой многоугольник как замкнутую ломаную (черт. 4).

Установим взаимно двухзначное соответствие, соответствующее двум направлениям обхода многоугольника, так что вершине соответствуют две стороны 'A+s ^a+s+l И Ах—s-l Ах-s, и обратно, каждой стороне соответствуют две вершины.

Возьмем какую-либо точку 5, не лежащую на стороне многоугольника, и проведем прямую A^S, точки пересечения этой прямой со сторонами А . А , , л и 'A—s—1 Ах—s соответственно обозначим через В , и С

Черт. 4.

Из треугольников А . SA и А , , .SA имеем:

И из треугольников Л ^SA и A SA получим:

Перемножая эти равенства и составляя произведение (при а=1, 2, . . . , п - 1, я), получим:

При численных значениях ос = г, a — ti-\-r -f-5 и a = n-fr + s + 1, приняв во внимание, что указатель я-f-ß равносилен указателю (3, множители произведения правой части сокращаются и, следовательно, все произведение равно единице, а стало быть:

Если п — нечетное число и соответствие установлено так, что соответствующие стороны совпадают, т.-е. множители последнего произведения попарно будут равны, то мы получим распространенную теорему Ceva.

3. Распространение теоремы Menelaes (Менелая) на многоугольники.

Теорема Менелая. Если треугольник АБС (черт. 5) прямая пересекает в точках /?, Р и Q, то имеет место равенство:

Черт. 5.

Пересечем многоугольник Аг А2 А3 Ах . . . Ап прямой / (черт. 6) и рассмотрим звено Аа А ^ (а = 1, 2, 3, . . . ,п — 1, я).

Обозначим точку пересечения этого звена «+1 с прямой / через А^ . На прямой / возьмем две точки Р и Q и соединим их с вершинами многоугольника, тогда из треугольников A^PQ и A ^PQ получим:

Черт. 6.

Составляя произведение (при а = 1, 2, 3, . . . , /г), мы видим, что правая часть последнего равенства тождественно-равна единице и, следовательно:

Что и требовалось доказать.

Примечание. К тому же результату можно притти, разбивая многоугольник на треугольники.

В. О треугольнике.

В элементарной геометрии совершенно обособленно друг от друга рассматриваются свойства биссектрис углов и медиан сторон треугольника

и эти свойства являются как бы независимыми друг от друга особенностями (Здесь идет речь о пересечении биссектрис и медиан в одной точке). Возникает вопрос: не существует ли связь или единство образов этих «особенностей», т.-е. не суть ли эти свойства частными случаями единого более общего свойства? На этот вопрос мы можем утвердительно ответить и, как увидим ниже, оно есть проективное свойство, удовлетворяющее гармонической конфигурации теоремы Дезарга.

4. Теорема Дезарга. Если прямые, соединяющие соответственные вершины двух треугольников, пересекаются в одной точке, то точки пересечения соответствующих сторон лежат на одной прямой.

Если стороны одного треугольника проходят через вершины другого треугольника, то такая конфигурация Дезарга будет гармоническая. Докажем обратное положение.

Черт. 7.

Рассмотрим треугольник ABC (черт. 7) и какую-либо точку 5. Если мы проведем прямые из вершин треугольника через эту точку 5 до пересечения с противоположными сторонами треугольника (или с продолжением сторон в случае, когда точка S дана вне треугольника) и, приняв вершины треугольника за диагональные точки полного четыреугольника, на каждой из сторон треугольника для точки пересечения стороны треугольника с прямой, проходящей через вершину треугольника и данную точку 5, строим четвертые гармонические точки, то эти четвертые гармонические точки будут лежать на одной прямой /.

Обозначим через L, M и N точки пересечения сторон треугольника с прямыми, проходящими через точку 5 и соответствующие вершины А, В и С треугольника, а через Р, Q и R соответственно четвертые гармонические, при указанном выборе диагональных точек; при этом, очевидно, вершины треугольника будут разделять две другие точки гармонической

группы, например; АС (У /WQ; и докажем, что точки Я, Q и R лежат на одной прямой.

Для доказательства предположим обратное, т.-е. пусть эти точки не лежат на одной прямой; покажем невозможность этого предположения.

Через точки Q и R проведем прямую / и продолжим прямую AS до пересечения с прямой / в точке Т. Приняв точку Я и Q за диагональные точки полного четыреугольника, для точки Т строим четвертую гармоническую точку Я, очевидно, QR У TP'. Из полного четыреугольника ANLM (по построению точек Q и R) мы видим, что точка Р' определяется пересечением прямых MN Е m и /, а из полного четыреугольника ANSM вытекает, что точка Р есть пересечение прямых ВС Ей и т. Так как точки Q, Т и R (гармонической группы точек Q, T, R и Р прямолинейного ряда /) и точки CL В (гармонической группы точек CLBP прямолинейного ряда п) находятся в перспективе с центром перспективы в точке А (по построению), то и четвертые гармонические точки Р и Р' будут также находиться в перспективе; следовательно, проектируя эти прямолинейные ряды / и п (точек) на прямую ///, получим гармонические группы точек М, К, N, Р' (так как Р' Е m >< I) и М> К, N, Р (так как Р Е /гаХ ')> чт0 при различных точках Р и Рг невозможно, ибо имеем три общих элемента, стало быть, этим самым наше утверждение доказано и точка РЕЯ' лежит на прямой /.

Отсюда, при таком построении всякой точке S соответствует единственная прямая / и обратно, в силу того, что наша конфигурация гармоническая, всякой прямой / соответствует единственная точка 5.

Соединим вершины данного треугольника с точками Я, Q и R и продолжим эти прямые до их взаимного пересечения, мы получим треугольник А'В'С.

Докажем, что прямые, проходящие через вершины треугольника ABC и точку S, проходят через вершины треугольника А''В'С'.

По построению точки A, L и Т лежат на одной прямой; докажем, что прямые BQ и CR пересекаются на этой же прямой. Для этого возьмем два прямолинейных ряда точек / и п и установим между ними такое проективное соответствие: точка Я — общий элемент этих прямолинейных рядов, т.-е. соответствует сама себе; точке В (прямолинейного ряда п) соответствует точка Q (ряда /) и точке С соответствует точка R, а этим самым мы установили перспективное соответствие. Предположим, что точке L (прямолинейного ряда точек п) соответствует точка Т (ряда точек /), а потому в силу перспективы (центр перспективы точка А') и так как ВС с> LP, то и QR > TP, но выше мы имеем QR У TP' или QR Cr TP (так как Р Е Pf по доказанному), следовательно, точка V совпадает с точкой T, а стало быть, центр А' перспективы лежит на прямой ALT, что и доказывает положение.

5. Теперь рассмотрим частные случаи конфигурации, имевшей место в п. 4.

Пусть будет дан треугольник АБС (черт. 8) и несобственная прямая /, тогда, очевидно, точка S будет точкой пересечения медиан сторон треугольника.

Кроме того рассматривая параллелограм, например, АС ВС, у которого две стороны суть стороны данного треугольника, мы усматриваем свойства диагоналей, т.-е. диагонали параллелограма взаимно делятся пополам.

Черт. 8.

Пусть будет дан треугольник ABC (черт. 9); докажем, что биссектрисы внешних углов треугольника пересекают противоположные стороны в точках, лежащих на одной прямой /, а этим самым, в силу гармонизма (согласно п. 4) мы докажем, что биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке 5.

Пусть прямая / проходит через точки Р и Q пересечения сторон данного треугольника с биссектрисами внешних углов при вершинах А и В, тогда, обозначая через Р точку пересечения прямой /со стороной нашего треугольника, по теореме Менелая, будем иметь:

ML JÊL ÇSL — 1 <а\ RB ' PC ' QA 1 • • W

но, так как две точки пересечения прямой / со сторонами треугольника суть точки пересечения биссектрис внешних углов со сторонами треугольника, то в силу свойств биссектрис будем иметь:

и, следовательно, из этих соотношений и равенства (а) получим:

или:

a отсюда (по п. 4) следует, что точка Р есть точка, лежащая на биссектрисе внешнего угла при вершине С данного треугольника ABC, что и доказывает положение.

Непосредственно из черт. 9 как следствие усматриваем, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Черт. 9.

О РОДСТВЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБРАЗОВ.

Н. А. Глаголев (Москва).

В элементарной геометрии изучаются два главные вида соответствия между собою плоских (и пространственных) фигур: равенство и подобие.

Эти два понятия служат основой для установления простейших видов зависимости между геометрическими фигурами. Между тем, в дальнейших отделах геометрии и в особенности в начертательной геометрии встречается необходимость изучать более сложную зависимость между собою плоских фигур, причем в процессе преподавания этой дисциплины постоянно чувствуется недостаток развития геометрического мышления учащихся.

Однако из средств большого развития геометрического мышления могло бы явиться, как мне кажется, рассмотрение в курсе геометрии даль-

нейших видов соответствия между геометрическими фигурами и в частности так называемого аффинного или родственного соответствия между ними, играющего большую роль в задачах начертательной геометрии.

В основу изучения этого соответствия могут быть положены работы Moebius'a об аффинном соответствии двух плоскостей, в которых им были установлены главнейшие свойства фигур, соответствующих друг другу в аффинном соответствии, установленном между плоскостями этих фигур.

Но можно обратить вопрос и принять эти свойства за определение аффинности или родства двух фигур. В таком случае можно построить в совершенно элементарной форме теорию родства фигур, вполне сходную с теорией подобия и являющуюся обобщением этой последней.

Ниже и дается опыт построения такой теории, причем ради краткости я ограничусь рассмотрением лишь плоских фигур; построение той же теории для пространственных форм не представляет никаких затруднений и может быть выполнено совершенно по такой же схеме.

§ 1. Определение родства двух многоугольников.

Понятие родства двух многоугольников можно установить как непосредственное обобщение понятия подобия. Необходимое и достаточное условие подобия двух многоугольников ABCD... и А В С П... можно выразить так: два многоугольника подобны, если возможно привести их вершины в такое соответстве, при котором диагонали, выходящие из соответственных вершин, делят эти многоугольники на треугольники, соответственные стороны которых пропорциональны.

Непосредственным обобщением этого условия является определение родства двух многоугольников: мы говорим, что два многоугольника: ABC... и АВ'С... называются родственными, если вершины их можно привести в такое соответствие, что диагонали, выходящие из соответственных вершин, делят эти многоугольники на треугольники, площади которых пропорциональны.

Будем употреблять следующий знак для выражения родства фигур Таким образом если ОABCDE^lOabcde (черт. 1), то

и такие же равенства имеют место для вершин Л, С, D и Е.

Рассматривая равенства (1) как ряд равных отношений и беря отношение суммы всех предыдущих к сумме всех последующих, мы легко заметим, что каждое из отношений, входящих в равенства (1), равно отношению площадей самих многоугольников. Таким образом отношение площадей любых двух соответственных треугольников, входящих в состав площадей двух родственных многоугольников, одинаково для всех пар соответственных треугольников и равно отношению площадей самих многоугольников. Это свойство, очевидно, также может служить определением родства многоугольников.

§ 2. Свойства родственных четыреугольников.

Рассмотрим теперь отдельные виды многоугольников. Для треугольников данное выше определение родства неприменимо, и мы увидим далее, что всякие два треугольника всегда можно считать родственными.

Черт. 1.

Пусть теперь нам даны два четыреугольника ABCD и abed (черт. 2). Посмотрим, при каких условиях они будут родственны между собой. Условия их родства имеют вид:

где ВИ и Du — высоты треугольников АБС и ACD.

Обозначая через M точку пересечения диагоналей четыреугольника

ABCD, имеем из подобия треугольников MBH и MGD 'f!Z= >

а потому

Точно так же

Таким образом найдем:

а потому из (1) следует:

Черт. 2.

Очевидно, что и обратно равенства (1) являются следствиями равенств (2), а потому имеем теорему:

Теорема 1. Чтобы два четыреугольника были родственными между собой, необходимо и достаточно, чтобы диагонали этих четыреугольников при пересечении делились в обоих четыреугольниках в одинаковом отношении.

Из этого предложения вытекают также следствия:

1. Фигура, родственная параллелограму, есть также параллелограм, и всякие два параллелограма родственны между собой.

2. Фигура, родственная трапеции, есть также трапеция, и две трапеции родственны тогда и только тогда, когда их параллельные стороны пропорциональны.

Теорема 2. Если четыреугольники ABCD и abed родственны между собою и стороны AB и CD пересекаются при продолжении в точке Я, ВС и AD — в точке Q, ab и cd—* в точке р, be и ad—в точке q (черт. 3), то

(3)

Все четыре пропорции доказываются совершенно одинаково, и достаточно доказать хотя бы одну из них. Докажем первую.

В силу основного определения родственных фигур имеем:

где АН и BG — высоты треугольников.

Черт. 3.

Но из подобия треугольников РАН и PBG имеем: ^ = ^5 следовательно

Соответственным образом получим для другого четыреугольника

А потому имеем:

Составляя для этой пропорции производную пропорцию, можем написать:

Точно так же можно получить пропорции:

Таким образом, отношение тех отрезков, которые образуются на каждой стороне и ее продолжении при ее взаимном пересечении с тремя другими сторонами, одинаково для соответственных сторон двух родственных четыреугольников.

Легко видеть, что и обратно: если для двух четыреугольников ABCD и abed имеют место пропорции:

В самом деле, так как

то из пропорции (5) следует:

Эти равенства и доказывают родство четыреугольников ABCD и abed. Задача. Построить четыреугольник, родственный данному четыреугольнику ABCD.

Решение. Выбираем произвольно треугольник abc (черт. 4) и примем его вершины за три вершины искомого родственного четыреугольника, соответствующие вершинам ABC данного.

Для получения четвертой вершины делим сторону ас в том же отношении, в каком делится диагональ АС при пересечении в точке M с диагональю BD, т.-е. строим точку m так, чтобы иметь:

Далее проводим прямую Ьт и берем на ней точку d так, чтобы иметь ^ =^7)- Четыреугольник abed и есть искомый. Приведенное решение показывает, что задача построения четыреугольника, родственного данному, становится вполне определенной лишь тогда, когда указаны три вершины родственного четыреугольника, т.-е. когда задан один из треугольников, входящих в состав искомого четыреугольника.

Черт. 4.

Черт. 5.

§ 3. Свойства родственных многоугольников.

Перейдем теперь к рассмотрению свойств родственных многоугольников. Условимся предварительно в следующей терминологии: будем говорить, что выпуклый четыреугольник входит в состав данного многоугольника, если вершины этого четыреугольника служат в то же время вершинами данного многоугольника.

Например, в состав пятиугольника ABCDE входят выпуклые четыреугольники: ABCD, АБСЕ, ACDE, ABDE, BCDE; их всего 5.

Очевидно, в состав всякого я-угольника входит всего

выпуклых четыреугольников.

Теорема 1. Всякие два соответственные четыреугольника, входящие в состав двух родственных многоугольников, родственны между собой.

Доказательство. Возьмем какие-либо два родственные многоугольника, например, ABCDEF и abcdef (черт. 5).

Выделим в них два каких-либо соответственных четыреугольника, например, ACDF и acdf. Эти четыреугольники разделяются диагоналями AD и ad соответственно на треугольники ACF, FCD и acf, fed и так как каждая из пар треугольников ACF и aef, FCD и fed состоит из соответственных треугольников, входящих в состав родственных многоугольников ABCDEF и abcdef, то в силу определения родства (см. § 1) имеем:

Точно так же, проведя диагонали CF и cf, найдем:

(2)

Из равенств (1) и (2) следует ACDF^acdf.

Таким же образом легко доказать родство любой другой пары соответственных четыреугольников.

Теорема 2. Если между вершинами двух многоугольников возможно установить такое соответствие, что всякие два соответственные четыреугольника будут родственны между собой, то и сами многоугольники будут родственны между собой.

Доказательство. Чтобы убедиться в справедливости теоремы, очевидно, достаточно показать, что площади любых двух соответствующих друг другу треугольников, входящих в состав данных многоугольников, находятся в постоянном отношении, т.-е. что это отношение одинаково для любых двух пар соответственных треугольников, и равно отношению площадей самих многоугольников.

Пусть даны два многоугольника ABCDEF и abcdef (черт. 5), причем каждые два соответственные четыреугольника, входящие в их состав, родственны между собой; напр., ABCD4ф abed и т. д.

Возьмем какую-либо пару соответственных треугольников, напр., ABDF и д bdf.

Так как по условию О BDEF^Obdef, то

Проведем теперь все диагонали, исходящие из вершины F. Из родства четыреугольников О ABCFä^Oabcf имеем:

из родства О BCD F О bcdf имеем:

из родства OCDEFi^iOcdef имеем:

Из этих пропорций имеем:

и в силу предыдущего

То же самое, очевидно, можно доказать и для любой другой пары соответственных треугольников.

Из предыдущих теорем непосредственно следует, что в каждом из двух родственных многоугольников две любые диагонали при взаимном пересечении разделяются на отрезки, находящиеся в одинаковом отношении в обоих многоугольниках, т.-е., если какие-либо диагонали MN и PQ первого многоугольника пересекаются в точке /?, а соответствующие диагонали тп и pq второго многоугольника—в точке г, то

и обратно: если такие соотношения имеют место для любых двух пар диагоналей данных многоугольников, то эти многоугольники родственны между собою.

Теорема 3. Если два многоугольника имеют пару конгруентных соответственных сторон и если эти стороны совместить между собой совпадением соответственных вершин, то прямые, соединяющие несовпавшие соответственные вершины обоих многоугольников будут все параллельны между собой, а несовпавшие соответственные стороны пересекутся на продолжении общей стороны.

(Теорема о параллельно-перспективном расположении двух родственных многоугольников).

Доказательство. Чтобы не усложнять чертежа, возьмем два пятиугольника ABCDE и abcde и пусть ABCDE^abcde и AB — ab (черт. 6).

Продолжим стороны DE и DC до пересечения в точках Я и Q с продолжением стороны АВУ а стороны de и de до пересечения в точках р и q с продолжением стороны ab.

Так как ABED ^frabed, то в силу теоремы 2 имеем:

РА __ра РЕ_ре_

ÀB ~~ ab И ÈD ~~ëd ' а так как АВ=аЬ} то, очевидно, РА=ра.

Черт. 6.

Далее, так как ABDE'# abde, то в силу той же теоремы имеем:

BQ_Ьд % CQ_сд

AB ab9 CD~ cd" а так как AB —ab, то BQ = bq.

Совместим теперь AB и ab (черт. 7). Соединим между собой точки Е и е, D и d, С и с. В силу равенства РЕ — =^-имеем Dd \\ Ее, а в силу равенства = ^ имеем Dd \\ Сс, т.-е. Сс I) Dd II Ее, что и требовалось доказать.

Заметим, что для доказательства теоремы нам достаточно было опираться на родство лишь двух пар четыреугольников:

ABED Ii abed и ABDE # abde.

Очевидно, что в случае /г-угольников придется опираться на родство (п—3), пар четыреугольников, так как каждый четыреугольник, который фигурирует при доказательстве, получается присоединением к стороне AB одной из несмежных с ней сторон, а таких сторон будет п—3.

Таким образом, чтобы два многоугольника с двумя равными сторонами можно было привести в параллельно-перспективное положение, достаточно, чтобы п—3 пары соответственных четыреугольников, входящих в состав данных многоугольников, были родственны между собой.

Примечание 1. Параллельно-перспективным расположением двух многоугольников мы назовем такое их расположение, при котором все прямые, соединяющие соответственные вершины обоих многоугольников, параллельны между собой, а пары соответственных сторон пересекаются в точках одной и той же прямой.

Такое расположение многоугольников ABCDE и abcde мы и имеем на чертеже 7.

Черт. 7.

Черт. 8.

Примечание 2. Нетрудно заметить, что отрезки ЕЕ0 и еЕ0, DD0 и D0d, СС0 и С0с параллельных прямых Ее, Dd, Сс находятся в одинаковом отношении, т.-е.

ЕЕ0 : Е0е = DD0 : D0d = СС0 : С0с (черт. 7).

В самом деле,

точно так же

откуда

Так же докажутея и остальные пропорции. Легко видеть, что это постоянное отношение указанных выше отрезков равно отношению площадей данных многоугольников. В самом деле:

Это постоянное отношение будем в дальнейшем обозначать буквую q и называть показателем родства данных многоугольников.

Примечание 3. Нетрудно заметить, что при параллельно-перспективном расположении двух многоугольников не только соответственные стороны, но и соответственные диагонали будут пересекаться в точках одной и той же прямой.

В самом деле, пусть многоугольники ABCDE и abcde приведены в параллельно-перспективное положение (черт. 8).

По предыдущему ЕЕ0: еЕ0 = СС0 : сС0-= q, откуда заключаем, что прямые ЕС Е0Со и ее пересекаются в одной точке, которую обозначим через R или г (см. черт.)

Теорема 4. Если два многоугольника, имеющие одну пару конгруентных сторон, после совмещения этих сторон принимают параллельно-перспективное положение, то эти многоугольники родственны.

Доказательство. Пусть многоугольники ABCDE и abcde, в которых АВ = аЬ, после совмещения сторон AB и ab приняли параллельно-перспективное положение, представленное на чертеже 8.

Докажем, что любые две диагонали первого многоугольника при взаимном пересечении разделяются на отрезки, находящиеся в том же отношении, что и соответствующие отрезки соответственных диагоналей второго многоугольника.

Возьмем, например, диагонали BD и ЕС, пересекающиеся в точке М, и пусть соответствующие диагонали bd и ее второго многоугольника пересекаются в точке т. Покажем, что прямая Mm параллельна прямым Dd, Ce, Ее.

Допустим, что это не так, и пусть прямая, проходящая через M и параллельная Dd, встречает диагонали bd и ее второго многоугольника соответственно в точках т! и т", а прямую AB в точке MQ.

Очевидно, имеем:

ММ0 : М0т' = DD0 : D0d и ММ0:М0т" = СС0:С0с9

и так как в силу параллельно-перспективного расположения данных многоугольников, DD0 : D0d — ССо : С0с, то ММ0 : М0т' = ММ0 :М0 тп, откуда М0т' = М^т!'; следовательно, точки т! и т" совпадают с точкою m пересечения диагоналей bd и ее, т.-е. Mm\\Dd, отсюда DM : МВ = dm/.mb; далее Mm || Сс || Ее, отсюда ЕМ:МС = ет:тс, что и требовалось доказать.

То же самое можно показать и для любой другой пары диагоналей многоугольника ABCDE.

Доказанные теоремы позволяют решить два важных вопроса о родственных многоугольниках.

Первый вопрос: при каких условиях и сколько нужно условий для родства двух данных многоугольников?

Пусть даны два многоугольника ABCDE и abcde, не имеющие пар равных сторон. Изменим abcde подобным образом в a'b'c'd'é так, чтобы иметь а!Ь' = АВ.

Если многоугольники a'b'c'd'é и ABCDE будут родственны и вершине А будет соответствовать а', вершине В — V и т. д., то, совместив стороны AB и a!br, мы приведем многоугольники ABCDE и d'b'c'd'é в параллельно-перспективное положение. Чтобы это было возможно, нужно^ чтобы п—3 пары соответственных четыреугольников, входящих в состав данных многоугольников, были родственны между собой.

Если это будет так, то в силу теоремы 4 ABCDE ^ a'b'c'd'e', а так как abcde od a'b'c'd'é', то, очевидно, ABCDE # abcde.

Следовательно, чтобы два данных /г-угольника были родственны между собой, нужно, чтобы их вершины можно было привести в такое соответствие, чтобы п — 3 пары соответственных четыреугольников, входящих в состав данных многоугольников, были родственны между собой.

Мы видели выше, что для родства двух четыреугольников необходимо два условия, а потому для родства двух /г-угольников нужно 2 (п — 3) = — 2п — 6 условий.

В частности при п = 3 имеем 2п — 6 — 2-3 — 6 = 6 — 6 = 0, т.-е. для родства двух треугольников не нужно ни одного условия.

Таким образом еще раз убеждаемся, что два треугольника всегда родственны.

Второй вопрос, который легко решается на основании данных выше теорем, это вопрос о построении многоугольника, родственного данному.

Пусть дан многоугольник ABCDEF и требуется построить многоугольник abedef, ему родственный.

Берем произвольно Д abc и достраиваем его по способу, данному в прошлом параграфе, до четыреугольника abed, так чтобы иметь abed # ABCD (черт. 9): далее [\bad достраиваем до abde # ABDE, затем д abe достраиваем до четыреугольника abef ; ABEF.

Многоугольник abedef и будет искомый; так как в данном случае п = Ь, п — 3 = 3 и многоугольники ABCDEF и abedef имеют как раз три пары соответственных четыреугольников, родственных между собой:

abed ABCD abde # ABDE abef # ABEF.

Убедившись в возможности этого построения, можно самое построение выполнить и иначе.

Черт. 9.

Черт. 10. Черт. 11.

Пусть дан многоугольник ABCDEF. Проведем в нем диагонали АС и все диагонали, выходящие из вершин В, точки их пересечения с АС обозначим через Mv Мъ М9 (черт. 10).

Возьмем теперь произвольный треугольник abc (черт. 11) и на стороне ас точки rnv т2 и тъ под условием

Проведем далее прямые bmx, bm2, bms и берем на них соответственно точки di е и / под условием:

Многоугольник abedef и будет искомый.

Это решение основывается на том, что в данном многоугольнике ABCDEF и искомом abcdef должно иметь место родство следующих пар четырехугольников:

ABCD # abed АБСЕ # abce ABCF#abcf.

Мы видим, что исходный треугольник abc можно выбирать совершенно произвольно.

Сравнивая построение родственного многоугольника с построением многоугольника, подобного данному, мы замечаем, что подобно тому как при построении многоугольника подобного можно произвольно выбирать одну из сторон искомого многоугольника, так и при построении многоугольника, родственного данному, можно произвольно выбирать один из треугольников, входящих в состав искомого многоугольника.

§ 4. Родство кривых линий.

Рассмотрим теперь какие-либо две кривые линии или фигуры, ограниченные криволинейными контурами. Мы дадим следующее определение родства этих линий:

две кривые линии называются родственными, если между их точками возможно установить такое соответствие, чтобы всякие два многоугольника, имеющие вершины в соответственных точках этих линий, были родственны между собой.

Из этого определения можно непосредственно вывести ряд свойств родственных линий.

/. Двум параллельным хордам первой кривой соответствуют две параллельные хорды второй.

Действительно, пусть А В и CD две хорды первой кривой и AB \\ CD.

Соединив концы хорд прямыми линиями, получаем трапецию ABCD.

Фигура abed, родственная трапеции ABCD, должна быть также трапеция (§ 2); следовательно, ab \\ cd, что и требовалось доказать.

2. Всякие две пары соответственных хорд при взаимном пересечении делятся в обеих кривых в одинаковом отношении.

Действительно, пусть AB и CD две какие-либо хорды первой кривой, M — точка их пересечения, а, Ь, с, d и m — соответственные точки для другой кривой. По определению родства имеем: О ACBD-P^Oacbd, следовательно,

3. Только что доказанное свойство родственных линий дает простой способ построения по точкам линии, родственной данной.

Пусть дана кривая G (черт. 12). Возьмем на ней три какие-либо точки А, В и С.

Возьмем далее три произвольные точки а, b и с на плоскости. Примем эти точки за точки искомой линии, соответствующие точкам А, В и С кривой G. Для каждой точки X кривой G находим соответственную точку х искомой кривой g следующим построением: соединяем точку х с точкой В, точку А — с точкой С и пусть M точка пересечения хорд АС и Вх; соединяем а и с, на прямой ас строим точку m под условием >

Черт. 12.

соединяем точки b и m и на прямой Ьт строим точку х под условием ~тх~МХ( ' Выбирая различные точки л: на кривой G, будем получать соответствующие им точки x кривой g. Если точка X будет перемещаться по кривой G, то соответствующая точка х, определяемая равенством (1), перемещаясь по плоскости, опишет кривую g.

Мы видим, что как прежде при построении родственных многоугольников, так и теперь при построении родственной кривой отправной точкой является некоторый произвольно выбираемый треугольник, служащий, таким образом, базисом для построения всякого родственного образа. Отсюда следует также, что если базисные треугольники ABC и abc равны между собой, то и самые линии G и g конгруентны.

4. Теорема о параллельно-перспективном расположении родственных кривых.

Если две родственные кривые имеют одну пару конгруентных соответственных хорд и если эти хорды совместить между собой с совпадением соответственных концов, то все прямые, соединяющие соответственные точки обеих кривых, будут параллельны между собой, а все пары соответственных обеих линий и пары касательных в соответственных точках будут пересекаться на продолжении совмещенных хорд.

Действительно, пусть AB и ab—две соответственные хорды родственных кривых G и g и AB — ab. Совместим хорды AB и ab (черт. 13). Возьмем на кривой G произвольные точки M, N и Р и пусть m, п и р — соответственные им точки кривой g. Требуется доказать, что Mm\\Nn\\Pp и пары хорд MN и тп, NP и пр, MP и тр, пересекаются на прямой AB.

Впишем в кривые G и g многоугольники AMNPB и amnpb; по определению родства кривых имеем:

AMNPB^ amnpb,

и так как AB —ab и эти стороны совмещены, то в силу теоремы 3 §3 имеем MN || тп, NP || пр, MP\\ тр и соответственные стороны MN и тп, NP и пр и диагонали MP и тр пересекаются на продолжении стороны AB. Далее, касательные в соответственных точках M и m, N и п, Р и р можно рассматривать как хорды, соединяющие бесконечно близкие точки кривой, а потому они обладают тем же свойством: касательные в точках M и ту Nun, Р и р пересекаются на прямой AB. Прямую AB будем называть осью родства кривых G и g.

Следствие: если родственные кривые G и g не имеют конгруентных соответственных хорд, то, взяв какую-либо пару соответственных хорд AB и ab, изменим кривую g подобным образом в кривую g' так, чтобы ab, увеличившись или уменьшившись, стала равна а!Ьг = АВ.

Кривые G и gr можно по предыдущей теореме привести в параллельно-перспективное положение. А так как g'eng от отсюда следует, что каждую из двух родственных кривых можно привести в параллельно-перспективное положение с кривой, подобной другой кривой.

Черт. 13.

§ 5. Главные хорды родственных линий.

Мы видели выше, что всяким параллельным между собой хордам одной из двух родственных линий соответствуют в другой линии также хорды, параллельные между собой.

Но, вообще говоря, углы между хордами одной кривой не равны углам между соответственными хордами другой.

В частности двум перпендикулярным хордам первой кривой соответствуют, вообще говоря, неперпендикулярные хорды во второй. Но можно поставить вопрос, не существуют ли такие две перпендикулярные хорды первой линии, которым соответствовали бы также перпендикулярные хорды второй линии.

Пусть даны две линии G и g, причем Gi^g.

Возьмем две какие-либо соответственные хорды XY и ху этих линий. Заменим линию g подобной ей линией g' так, чтобы ее хорда х'уг, соответствующая хорде ху кривой g, была равна XY, т.-е. xry' = XY.

Приведем затем линии G и g' в перспективно-параллельное положение. Возьмем затем на кривых G и g' две соответственные точки А и а' (черт. 14) и построим окружность, проходящую через точки Л и а' и имеющую центр на оси родства XY линии G и g. Чтобы найти центр этой окружности, соединим точки а' и А, из середины отрезка Аа! восстанавливаем к нему перпендикуляр; точка пересечения С этого перпендикуляра с осью XY и будет искомой.

Окружность с центром в точке С и радиусом CA = Ca! пройдет через точки А и а''. Пусть точки Р и Q — точки пересечения этой окружности с осью XY.

Соединив точки Р и Q с точками А и а\ получим прямые: АР, AQy а!Р и a!Q, на которых лежат соответственно хорды: AM, AN, am и arnf кривых G и g\

При этом, так как соответственные хорды линий G и gr пересекаются на оси родства, то хорде AM кривой G соответствует хорда а'т кривой g', а хорде AN—хорда а'п'.

При этом AM _LAN, ибо угол PAQ прямой, как опирающийся на диаметр, и по той же причине а!т! J_ aV.

Хорды AM и AN и суть искомые.

Перейдем теперь от кривой gf к кривой g. Так как подобие есть, очевидно, частный случай родства, то на кривой g найдется точка а, соответствующая точке а' кривой gf и две хорды am и ап, соответствую-

Черт. 14.

щие хордам a!m! и а!ri, причем am JL an. Хорды am и an кривой g будут соответствовать хордам AM и AN кривой G, причем AM ±_ AN.

Заметим теперь, что в силу п. 1 § 4 всякая пара хорд RS и TU, параллельных хордам AM и AN {RS || AM, TU\\ AN), обладает тем свойством, что им соответствуют хорды rs и tu кривой g; параллельные хордам am и an: rs || am, tu || an; следовательно, пары соответственных хорд RS и rs, TU и tu обладают тем же свойством, что и пары AM и am, AN и an: RS± TU и rs J_tu.

Таким образом существуют две системы хорд кривой G, таких, что все хорды одной системы параллельны между собой и всякие две хорды разных систем перпендикулярны между собой и что им соответствуют две системы хорд кривой g, обладающие тем же свойством.

Эти хорды называются «хордами главного направления» или, короче: «главными хордами» кривых С и ^.

§ 6. Теоремы о проектировании родственных фигур.

Теорема о параллельном проектировании родственных линий (эта теорема относится одинаково и к родственным кривым и к родственным многоугольникам).

Каждая из двух родственных линий бесчисленным множеством способов может быть получена как параллельная проекция линии, подобной другой.

Доказательство. Пусть даны две родственные линии G и g.

Возьмем две какие-либо соответственные хорды AB и ab этих линий (для двух многоугольников это могут быть две их соответственные стороны и две соответственные диагонали).

Заменим кривую g подобной ей линией g*, в которой хорда а!Ь', соответствующая хорде ab, была бы равна AB: a'b'^AB.

Совместив теперь хорды AB и rib'', мы приведем кривые G и gr в параллельно-перспективное положение. При этом все прямые, соединяющие соответствующие точки, напр., M и m', N и ri (черт. 15) кривых G и gr будут параллельны между собой, а все пары соответственных хорд, например MN и m'ri, пересекутся на прямой AB. Повернем теперь кривую gf около оси AB на произвольный угол а так, чтобы она заняла некоторое новое положение go в пространстве.

Точки т! и ri займут положение т0 и п0 (черт. 15). Легко видеть при этом, что прямые, соединяющие произвольные соответственные точки, например M и т& N и nö, кривых G и g0 будут все параллельны между собой.

В самом деле, так как Mm \\ Nn, то -йр = -#р> н0> очевидно, прямая tri ri Р, при повороте кривой gr на угол а около оси AB, перейдет в

Черт. 15.

положение /п0я0Р, причем т'п' = т0п0у п'Р=пиР, а потому из предыдущей пропорции следует:

Ш = слеД°вательно>Мпц II Nn0.

Таким образом точки кривой G получаются параллельным проектированием точек кривой g'.

Так как хорда AB была выбрана произвольно, угол поворота плоскости кривой gf около оси AB был также произволен, то такое проектирование можно было осуществить бесчисленным множеством способов.

Теорема об ортогональном проектировании родственных линий.

Каждую из двух родственных линий G и g можно единственным способом получить как ортогональную проекцию линии, подобной другой.

Доказательство. Возьмем на линии G какую-либо точку А и две главные хорды AB и АС, проходящие через эту точку. Пусть ab и ас — соответственные хорды линии g. Изменим линию g подобным образом в линию gr так, чтобы хорда a!V кривой gr была равна AB: a!b' — AB.

Тогда одна из двух других главных хорд, т.-е. а!с' и АС, будет больше другой (случай, когда при a!b' = AB будем иметь а!с! — АС, ниже рассмотрим отдельно), и всегда можно предположить, что хорда кривой g' будет больше хорды G, т.-е. ard>AC. В самом деле, если бы оказалось, что при а!У — AB ас'<АС, то, заменив кривую g кривой g' так, чтобы хорда а"с" была равна ЛС, мы, очевидно, должны были бы иметь агЬ">АС.

Итак, предположим, что агЬ' = АВ и a!d>AC.

Приведем кривые G и g- в параллельно-перспективное положение,, совместив хорды a!bf и AB. Затем повернем плоскость кривой gr на угол

кривая g займет при этом некоторое положение^ и треугольник а! С fi будет, очевидно, прямоугольным (ибо АС = a!dcos а) (черт. 16).

Далее, так как AC_LAB и АС0±_АВ, то СС0_1_АВ, а так как СС0 _1_ АС, то СС0 будет перпендикулярна к плоскости кривой G. Так как при этом в силу предыдущей теоремы все прямые, соединяющие соответственные точки кривых G и g^, должны быть параллельны между собой, то кривая G получается ортогональным проектированием кривой g', что и треб. док.

Если вместо хорд AB и ab выбирать другие пары главных хорд, то это, очевидно, не изменит ни направления проектирования, ни размеров кривой g', ни угла а между плоскостями линий G и g. В самом деле, мы видим выше, что отношение длин соответственных параллельных хорд в родственных линиях одинаково; следовательно, если AB — a'b', то и все хорды кривой G, параллельные хорде AB, будут конгруентны соответственным хордам кривой gr, и при выборе другой пары соответственных главных хорд размер кривой g' будет прежний; далее>

Черт. 16.

отношение длин хорд другой системы главных хорд должно быть одинаково для обеих кривых, следовательно, отношение ^ сохраняет постоянную величину для всех соответственных хорд этой системы, а потому другой выбор начальных хорд AB и a!br не изменяет величины отношения -тр и, следовательно, не изменяет угла а между плоскостями линий G и g'.

Таким образом иной выбор начальных главных хорд AB и ab приведет лишь к параллельному перемещению плоскости кривой gr в пространстве. В этом смысле ортогональное проектирование можно считать определенным единственным способом.

Допустим теперь, что при ab' — AB имеем а!сг — АС, тогда кривые G и gr будут иметь равные соответственные треугольники £±arbrc'=£±АВС, и, следовательно, кривые G и gr будут конгруентны между собой. В этом случае каждая линия получается ортогональным проектированием другой на плоскость, параллельную плоскости первой линии.

Доказанные теоремы об ортогональном и параллельном проектировании имеют весьма большое значение. Они показывают, что все фигуры, получаемые ортогональным и параллельным проектированием плоских фигур, суть фигуры, родственные параллельным.

С другой стороны, они позволяют определить, какие фигуры могут являться ортогональными или параллельными проекциями данных фигур.

Так, например, из предыдущего легко усмотреть следующие предложения:

1. Из двух произвольных треугольников каждый может быть получен как ортогональная проекция треугольника, подобного второму.

2. Чтобы один четыреугольник являлся ортогональной проекцией четыреугольника, подобного другому, необходимо и достаточно, чтобы диагонали обоих четыреугольников при пересечении делились в обоих четыреугольниках в одинаковом отношении.

3. Каждый параллелограм является ортогональной проекцией параллелограма, подобного любому данному параллелограму; в частности каждый параллелограм является ортогональной проекцией некоторого квадрата, и обратно — каждый параллелограм может быть спроектирован ортогонально в квадрат.

Можно привести много и других аналогичных теорем, касающихся проекций различных фигур.

§ 7. Сравнение понятий равенства, подобия и родства.

Сравним теперь три понятия: равенства, подобия и родства фигур, посмотрим, к каким первичным образам приложимо каждое из этих понятий.

Если мы будем рассматривать отдельные точки, то к ним ни одно из этих понятий не приложимо и, грубо выражаясь, можно сказать, что две точки всегда равны, всегда подобны и всегда родственны.

Если рассматривать пары точек, то к ним приложимо понятие равенства, именно: отрезки, определяемые двумя парами точек, могут быть равными или неравными между собой, но понятие подобия и родства еще не приложимо: два отрезка всегда подобны и всегда родственны (т.-е. всегда могут оказаться сходственными сторонами двух подобных или родственных треугольников).

Если рассматривать тройки точек, то к двум тройкам приложимы понятия равенства и подобия: треугольники, имеющие вершины в точке каждой тройки, могут быть равными или неравными, подобными или нет;

но понятие родства к двум тройкам неприложимо, так как два треугольника всегда родственны.

Наконец, если рассматривать четверки точек, то к двум четверкам приложимы все три понятия: два четыреугольника могут быть равными или неравными, подобными или неподобными, родственными или неродственными между собой.

Примечание. Продолжение этого процесса, т.-е. рассмотрение пятерок точек, приводит к общему понятию проективной геометрии коллинеарности: две пятерки точек могут быть коллинеарны или нет, тогда как две четверки всегда коллинеарны.

Приведенные свойства родственных фигур дают возможность, исходя из свойств данной фигуры, находить соответствующие свойства фигуры родственной. Особенно просто могут быть получены таким путем все главные свойства эллипса как фигуры родственной окружности.

В краткой статье нет возможности давать широкие приложения построенной теории, и моей задачей являлось лишь обратить внимание педагогической мысли на эту теорию родства фигур и поставить вопрос о возможности ознакомления с основами этой теории при прохождении курса элементарной геометрии.

ИНТЕГРАЛ LEBESGUE'A.

(Методический очерк)

А. С. Кованько (Баку).

В настоящей статье мы имеем целью дать в возможно сжатом и общепонятном виде теорию интеграла Lebesgue'a.

Интеграл Lebesgue'a практически возникает в том случае, когда идет дело об интегрировании быстро колеблющихся функций.

Предположим, что мы помощью механических квадратур по способу трапеций вычисляем площадь, ограниченную данной кривой.

Мы имеем известную формулу:

(i)

где (а, Ь) — промежуток на оси OA" [п — число интервалов деления промежутка (а, Ь)].

В этой формуле мы суммирование располагаем в порядке следования абсцисс точек деления отрезка (а, Ь).

Однако, если функция f{x) быстро колеблющаяся, следовательно, могущая принимать одно и то же значение или значения, мало разнящиеся друг от друга, то при большом п суммирование в формуле (1) выгоднее проводить, группируя одинаковые члены (хотя бы приближенно) и сравнивая их значения, помножая это сравненное значение на число одинаковых членов.

Тогда формула (1) может быть в несколько измененном виде написана так:

Вот исходя из этого принципа, мы можем вычислить точное значение интеграла непрерывной функции.

Именно: мы указываем промежуток значений функции, а затем уже подбираем те интервалы, где функция имеет это значение.

Итак, пусть нам дана непрерывная функция у = f(x) и пусть m и M—соответственно низшая и высшая границы этой функции на интервале (а, Ь).

Разделим промежуток значений функции на п одинаковых частей, занумерованных на прилагаемом чертеже цифрами по оси OY; через точки деления проводим прямые параллельно оси ОХ. Они пересекут кривую y=f(x). Каждые две рядом лежащие прямые, например Jc-я и (&-]-1)-я, заключают между собой отрезки кривой линии. Эти отрезки проектируются нами на ось ОХ и все нумеруются одним и тем же номером (&-)-1).

Число этих отрезков может быть конечное или бесконечное. Часть кривой линии y—f{x) может совпадать либо с &-ой, либо с (£+ 1 )-ой параллелью к оси ОХ. Мы будем их также проектировать на ось ОХ вместе с отрезками этой полосы k-{-\) и нумеровать их тем же номером {k-\- 1) на оси ОХ, если они принадлежат к k-iï параллели. Сумму их отрезков (проекций) на оси ОХ обозначим через ак. Эту операцию мы проделаем для каждой полосы. Тогда отрезок (а, Ь) разобьется на интервалы в конечном или бесконечном числе, из коих будут группы, занумерованные одним и тем же номером.

Вся площадь (АА'В'В) разобьется ординатами на части.

Составим теперь следующие две суммы.

Обозначим через S точное значение площади (AÄB'B)',

тогда очевидно, что

Si,n<S£S2n...........(3)

Увеличивая неограниченно число пу мы увидим, что 5, п будет увеличиваться, а 52 п—уменьшаться. Легко видеть, что эти две величины отличаются друг от друга на величину бесконечно малую.

В самом деле:

откуда ясно, что откуда

Следовательно, неравенство (3) дает нам:

Указанный процесс и есть процесс Lebesgue'a для вычисления интеграла. Интересно отметить, что интервалы деления на оси OY можно было бы выбрать различными, это не отразилось бы на результате вычисления.

Дадим теперь понятие о вычислении интеграла в случае разрывной функции. Пусть нам дана некоторая разрывная функция f(x).

Мы говорим, что функция/(лс) измерима, если, каково бы ни было положительное число е, можно подобрать такую непрерывную функцию уе (х), что \f(x) — f$(x) I <s для всякого X, исключая, быть может, значений ха, соответствующие точки которых на оси ОХ можно заключить в интервалы общей длины < е.

Вычислим интеграл функции fix) и обозначим его сокращенно через / (е). Предположим, что функция f(x) ограничена, и пусть M > 0—такое число, что \f(x) \ < M и |/e(jc)| < M при любом е.

Будем стремить е к нулю. Докажем, что 1(e) стремится к определенному пределу /.

Для доказательства достаточно показать, что каково бы ни было малое число cd > 0, существует такое число е0 > 0, что при е'< s0 и е" < s0 имеет место неравенство

Мы имеем

для всякого Ху исключая, быть может, множества точек, которые можно заключить в интервалы общей длины < г' -\- г".

Но на этих исключенных интервалах <j Д.} во всяком случае:

Значит, в силу (6) и (7)

Выберем е0 так, чтобы (2М-}-Ь — а)2г0<<о, тогда при е <е0 и б" < е0 мы получим, в силу (5), |/(е')—/<е")1<о>.

Значит НтДе) = / существует. Мы его условимся называть интегралом Lebesgue'a от функции f(x) и запишем его так: (L)Jf(x)dx.

Пользуясь методом его вычисления, легко вывести все его основные свойства, которые почти полностью совпадают со свойствами интеграла от непрерывной функции. На перечислении и выводе их мы не останавливаемся. В случае непрерывной функции или функции, имеющей конечное число точек разрыва, / совпадает с обычным интегралом.

Пример: f(x)—0 для всякой иррациональной точки интервала(0, 1), и f(x) = 1 для всякой рациональной точки этого интервала.

Мы можем выбрать fe^x) = 0.

В самом деле, возьмем число г > О сколь угодно малое. Так как множество рациональных точек счетное (т.-е. все их можно перенумеровать)1), то, заключая их последовательно в интервалы длины:~-, ^» • • '9 мы тем самым заключим их в интервалы общей длины = е. Вне этих интервалов f(x) =:f£(x) = 0; следовательно,

Но lf€(x)dx = 0 при всяком е, т.-е. 1(e) = 0, а потому Iim/(e) = /;

а потому (L)jf(x)dx = 0.

Заметим, что настоящую функцию f(x) мы не можем проинтегрировать процессом более частным, чем процесс Lebesgue'a.

Мы определили интеграл Lebesgue'a для ограниченной функции.

Его определение для неограниченной функции не представляет трудностей. Если f(x) неограниченная, то мы полагаем fA(X)=f(x), где

\f(x)\<A (А положительное число), и f(x) = удху • Л, где |/0*)|^>Л<

тогда условимся писать (если lim (I) Г \fA(x)\dx ф сю ) :

это и есть определение интеграла неограниченной функции f(x).

1) См. ст. П. Романовского «Основные понятия теории множеств», «Математическое образование» № 5, 1928 г.

МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ И КУБЫ.

В. Ф. Хмелевский (Красная Поляна).

I. Магические квадраты 4-го порядка. Определение предела возможных магических квадратов этого типа.

§ 1. Пусть имеем 16 предметов, напр., кубиков, перенумерованных цифрами натурального ряда чисел от 1 до 16. Размещая их в разнообразном порядке по квадратному не сдвигаемому полю, разделенному на 16 равных квадратиков, по 4 в каждом ряде (4 X 4), размеченных вроде шахматной доски, мы могли бы сделать 2092-101и (свыше двадцати тысяч Миллионов) перестановок; число это определяется по закону перестановок перемножением порядковых цифр 1 X 2 X ЗХ . . . X 15 X 16.

Из этого громадного количества случаев разнообразных перестановок лишь весьма ограниченное число их заслуживает названия магических или волшебных квадратов 4-го порядка. Магический квадрат получается каждый раз в результате удачной перестановки, когда цифры шестнадцати кубиков разместятся таким образом, что по всем десяти прямым (горизонтальным, вертикальным и диагональным) линиям квадрата получим общую для них сумму 34. Наша цель теперь выяснить, какое количество магических квадратов 4-го порядка может быть выужено из всей массы возможных перестановок из 16 чисел (предметов).

Френикль в XVII столетии1 в обширной работе о магических квадратах приводит 880 случаев квадратов 4-го порядка.

В позднейшей литературе нет более подробных исследований, так что число 880 всегда фигурирует при разговоре о магических квадратах 4-го порядка; поэтому я привожу здесь свое исследование, полагая, что оно заинтересует любителей математики.

Простых способов составления магических квадратов 4-го порядка может быть придумано много. Для этого обычно сначала пишут цифры натурального ряда чисел, располагая их в квадрат по 4 в ряд, как изображено на фиг. 1; можно, однако, располагать их в ином каком-либо порядке, но всегда в строго симметричном, напр., как изображено на фиг. 2 и 3.

Наиболее популярным примером магического квадрата 4-го порядка считается квадрат художника Дюрера (XVI стол, в г. Кёльне), изобразившего на картине, которую он назвал «Меланхолия», аллегорическую крылатую фигуру, окруженную атрибутами домоводства, техники, алхимии и астрологии, в числе коих фигурирует магический квадрат 4-го порядка (у нас фиг. 1Д). В этом квадрате, сличая его с фиг. 1, легко заметить и за-

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

1

2

5

6

3

4

7

8

9

10

13

14

11

12

15

16

1

5

2

6

9

13

10

14

3

7

4

8

11

15

12

16

1

Фиг. 1.

Фиг. 2.

Фиг. 3.

1 Frénicle, Paris, 1693. Divers ouvrages de mathématiques par Messieurs de l'Academie des sciences. Цитирую по книге английского математика W. R. Ball во франц. переводе: Récréations mathématiques et problèmes... Paris, 1918.

Фиг. 1 Ü! Фиг. 2 Di Фиг. 3 Di

Фиг. 1 Li Фиг. 2 Lx Фиг. 3 L]

Фиг. 1 Wj Фиг. 2 W, Фиг. 3 Wj

помнить порядок процедуры размещения чисел. Будем в последующем называть этот порядок размещения порядком Dv Этот Дюреровский порядок можно применить к составлению магических квадратов из чисел, расположенных симметрично, как в фиг. 2 и 3, и в результате получим магические квадраты, изображенные на фигурах 2DX и 3 Dr

Названный нами буквою Dx (по имени Дюрера) порядок писания есть в сущности способ перестановок, как видно из сличения фиг. 1 с фигурою 1 Д и т. д. При желании способ перестановок Dx можно многоразлично вариировать, и тогда получим иное расположение цифр в магических квадратах.

Другие методы могут быть названы методами отбора чисел парами (по две) в определенном порядке. Один из таких методов назовем буквою Ц\ примерами магических фигур, полученных этим методом, будут фигуры 1 Lx (происходит от фиг. 1), 2L{ (от фиг. 2) и Ъ Lx (от фиг. 3).

Иной метод отбора по две цифры (парами) мы назовем методом W; в результате его применения получим магические квадраты, изображенные на фигурах 1 Wx\ 2 W}\ 3 Wv

Все приведенные в качестве примеров девять образчиков магических квадратов обнаруживают в расположении чисел резкое между собою различие. Существенным различием между ними, важным для нашей последующей цели, следует считать положение их характеристик.

Характеристикой магического квадрата будем считать взаимное положение на полях квадрата чисел 1 и 16. Принимая это во внимание, мы видим, что все приведенные магические квадраты на фиг. 1, 2 и 3, распадаются на три группы:

1) Группа DA; у магических квадратов этой группы характеристика (1 и 16) располагается на полях, стоящих в противоположных углах доски (а\\ d\V);2) группа здесь характеристика (1 и 16) расположена на полях а II и с IV; 6) в группе характеристика (1 и 16) поместилась на полях а \ и а II.

Такое различное магическое размещение характеристики зависит, конечно, от порядка писания чисел на полях доски. При небольшой практике все такие способы (а их может быть много) легко запоминаются. Для нашей последующей цели достаточно упомянутых.

Для нашей цели, как читатель увидит из последующего, важно получить по одному образцу магических квадратов с разными характеристиками, что отчасти изображено на фиг. 4, где каждый номер имеет иную, отличную от других квадратов, характеристику. Теория перестановок подсказывает, что образцов магических квадратов с различными характеристиками должно было бы быть 16 X 15 :=240, но, как сейчас увидим, в действительности этого нет. Сличая между собою изображенные на фиг. 4 магические квадраты, заметим, что №№ 1и4, 2 и 8, Зи12 представляют не что иное, как как бы взаимное зеркальное отражение с последующим поворотом одного из квадратов и выпрямлением написанных чисел; в плоскости неизменно стоящей доски они между собою не совместимы, хотя порядок расположения их чисел одинаков; поэтому они являются истинными вариантами на подобие левой и правой гемиэдрии кристаллов изомерной винной кислоты (Пастер). Затем №№ 6 и 9, 7 и 13, 11 и 14, хотя в вастоящее время еще не заполнены числами для образования магических квадратов, но когда будут заполнены и если только будут заполнены, также в положении их характеристик окажутся зеркально отраженными вариантами. Эти последние номера не заполнены, так как мне не удалось сделать для них необходимую для магичности расстановку чисел; в отношении их могут быть две альтернативы: или кто-либо из любителей математики сумеет у\х заполнить, или, что мне кажется более вероятным, будет дока-

№ 1 №2 № 3

№ 4 № 5 № 6

№ 7 № 8 №9

№ 10 № 11 № 12

№ 13 № 14 № 15

Фиг. 4.

зано, что при таких положениях характеристик вообще невозможно построение магических квадратов 4-го порядка из чисел натурального ряда. Этот вопрос будет предметом статьи моего другого исследования.

Исключая неудавшиеся шесть номеров, все остальные девять номеров при помощи простых, легко запоминаемых приемов, о которых сейчас будет речь (§ 2), могут превращаться в новые магические квадраты с иными, перемещенными характеристиками.

Для показания того, как этого достигнуть, изучим подробнее изменения в № 1 фигуры 4-й, затем все для этого номера отмеченные методы изменения в положении характеристики применим с таким же успехом к остальным номерам фигуры 4-й, однако с некоторым значительным ограничением для №№ 3 и 12 фигуры 4-й и для магического квадрата, рассматриваемого отдельно в § 4 (фиг. 7 а).

§ 2. а) Наметим буквами и цифрами горизонтальные и вертикальные ряды доски 4-го порядка, наподобие шахматной доски, по шестнадцати полям которой перемещаются 16 номерованных кубиков, и, кроме того, четверки (по четыре штуки) обозначим буквами а, Ь, с, d; все это изображено на фиг. 5 а (=№ 1 фиг. 4).

а, ß) первое перемещение: горизонтальные ряды I и II, также HI

и IV фиг. 5а взаимно переместим, в результате получим магический квадрат, изображенный на фиг. 53; характеристика 1 и 16 сместилась с I ряда во II ряд; магичность квадрата сохранена.

а, у) Четверки А и В фигуры 5а, обе вместе, поменяем местами с обеими четверками С и D; в результате получаем магический квадрат фиг. 5у; характеристика сместилась в III ряд.

Фиг. 5а (№ 1 фиг. 4-й)

Фиг. 5ß. Фиг. 5v. Фиг. 5£.

Фиг. 5s. Фиг. 5Ç Фиг. 5ÇÇ.

у, b) I и II ряды фигуры 5у переместим между собою, переместим также и ряды III и IV*; в результате—магический квадрат, изображенный на фиг. 58, где характеристика сместилась в IV" ряд. Обратим внимание на то, что этот последний случай перемещения по доске поставил кубики в такое положение, что они кажутся как бы зеркальным отражением магической фигуры 5а, причем шрифт цифр мы выпрямили; фигуры эти между собою не совместимы, хотя порядок чисел одинаков.

а, е) Переместим четверки А и С фигуры 5а обе вместе с обеими четверками В и D; в результате получим магический квадрат фигура 5е; у этого нового магического квадрата характеристика займет верхний ряд линий с и d (с I и d I).

Проделывая здесь такую же процедуру обменных перемещений горизонтальных рядов квадрата, как это делалось в случаях /3, у, Ь, мы, не нарушая магичности получаемых квадратов, перемещаем характеристику с I горизонтального ряда во II, затем последовательно в III и, наконец, в IV.

/3, £) Чтобы взаимное положение 1 и 16 изменить в магических квадратах в положение 16 и 1, достаточно в магическом квадрате фигуры 5ß сделать перемещения, указанные фигурою 5 'с ; в результате этих перемещений получаем магический квадрат, у которого характеристика будет 16 и 1, а не 1 и16 (фиг. 5ÇC).

Нам незачем теперь детально изображать путешествие этой новой характеристики по полям доски; перемещение это произойдет буквально по тому же порядку, как это было указано для перемещения характеристики в ее первоначальном виде 1 и i6.

Итак, J\fo 1 фигуры 4-й (он же фиг. 5а) дал шестнадцать вариантов (сам-шестнадцат) основных магических квадратов с разными характеристиками.

Применяя все. указанные здесь для № 1 фигуры 4-й (фиг. 5а) приемы также к каждому из других номеров этой же фигуры 4-й, именно к Л№ 2, 4, 5, 8, 10, 15 » не к 3 и не к 12), мы и в них с такой же легкостью достигнем перемещения их характеристик по полям нумерованной доски, притом в таком же для каждого в отдельности количестве вариантов, т.-е. по сам-шестнадцат для каждого номера.

Эта легкость получения такого количества вариантов обусловлена особым свойством этих магических квадратов. Желая отметить это свойство, прежние авторы характеризовали их названием диаболических (diabolique, diabolic); вернее было бы называть их диабаллистическими (diaballistique, diaballistic1 или,короче, диабаллическими; в последующем в своих статьях о магических квадратах это свойство перебрасываемости рядов я буду называть именно словом «диабалличность, диабаллический».

§ 3. №№ 3 и 12 фигуры 4 отступают от общего для остальных номеров этой фигуры правила: они не диабалличны, ряды их не могут быть перебрасываемы без того, чтобы не нарушалось главное свойство магического квадрата—сохранность для всех десяти рядов одинаковой, так сказать, магической суммы, в нашем случае — 34.

В них все же могут быть сделаны перемещения характеристик. Так как оба эти квадрата построены аналогично и, следовательно, приемы для перемещений у них одинаковы, рассмотрим детально лишь № 3.

а/3) В магическом квадрате фиг. 6а ( = № 3 фиг. 4) в каждой ее четверке сделаем трансверсальные перемещения, указанные стрелками; в результате получаем квадрат фиг. 6ß, где характеристика (1 и 16) своеобразно переместилась во II ряд, заняв положение b II—с II.

1 Здесь я позволяю себе вольность создания наново термина для обозначения этого свойства. Слова диаболический, diabolique, diabolic чересчур напоминают совершенно неподходящее значение слова diabolus на латинском языке и àik^oXoç на греческом языке. При выборе термина на русском языке удобнее и вернее термин для обозначения этого замечательного свойства перебрасываемости в магических квадратах производить от греческого слова &а]ЗаХлю, foaßaXXeiv, что значит перебрасываю; от корня этого последнего слова мы имеем уже слова баллистический, ballistic, ballistics, также балласт.

ау) В квадрате 6a переместим четверки трансверсалью из положения I I в положение | | ; в результате получаем магический квадрат фиг. 6у, у которого характеристика не только переместилась в III ряд, но из направления 1 и 16 превратилась в направление 16 и 1.

Фиг. 6а.

Фиг. 6ß.

Фиг. 67.

Фиг. 6д.

у8) В магическом квадрате 6у сделаем трансверсальные перемещения членов четверок указаные стрелкой; в результате получаем магический квадрат с характеристикой в IV ряду (фиг. 68).

Полученные 4 магических квадрата (фиг. 6a, (3, у, 8) помощью зеркального отражения дают еще 4 магических квадрата, симметричных первым четырем; всего, следовательно, здесь имеем сам-восемь магических квадратов; характеристика у них — в горизонтальных рядах. № 12 фиг. 4-й

такими же, по аналогии, приемами дает также сам-восемь основных магических квадратов и также с различными по положению на неподвижной доске характеристиками, - расположенными в вертикальных рядах.

Добавление. Когда этот параграф с описанием недиабаллических основных магических квадратов был уже составлен, мне удалось составить еще один магический квадрат (фиг. 7а), по положению характеристик похожий на магический квадрат, изображенный на рис. 6а. Типы 6а и 7а, несмотря на внешнее сходство, отличаются друг от друга: 6а не диабалличен, и потому дает всего 8 основных магических квадратов с характеристиками в горизонтальных рядах и столько же с характеристиками в вертикальных рядах, всего, следовательно, 16 основных магических квадратов, между тем тип 7а оказывается типично диабаллическим и потому дает, как и все прочие (§ 2) диабаллические магические квадраты, по 16 основных магических квадратов в горизонтальных и вертикальных рядах, всего же, следовательно, 32 основных магических квадрата. Эта существенная между ними разница проявляется в числе производных магических квадратов при применении способа размножения их, описанного в § 5.

Фиг. 7а.

Фиг. 7£.

Тип 6а по этому способу дает всего 384 магических квадрата, а тип 7а дает 768.

Сравнивая строение этих схожих, по положению характеристик, магических квадратов между собою, легко обнаружить то свойство, которым отличаются диабаллические от недиабаллических магических квадратов и которое составляет причину диабалличности одних и недиабалличности других.

И те и другие, кроме 10 рядов (горизонтальных, вертикальных и диагональных), имеющих общую магическую сумму — 34, имеют еще дополнительные магические ряды, состоящие также из 4 членов, но ряды эти не расположены в одну линию.

У диабаллических (7а и все описанные в § 2) эти добавочные ряды расположены параллельно диагоналям. На рис. 7а эти ряды отмечены связующими линиями, именно:

(6 + 12) + (3 + 13) = 34 и (11+5)+ 14 + 4) = 34.

У недиабаллических квадратов такие дополнительные ряды расположены иначе: они пересекают диагонали; это отмечено связующими линиями на рис. б£, именно:

(7 + 8) + (9 + 10) = 34 и (4 + 3) + (14 + 13) = 34.

Достойно замечания то, что у всех недиабаллических магических квадратов эти пересекающие диагонали дополнительные магические ряды

имеют прямое отношение к направлению характеристики: они, смотря по положению последней, или захватывают ее (фиг. 8 в § 4) или средней своей частью параллельны характеристике (фиг. 6).

Зафиксированное на рис. 7ß положение характеристики, появившееся в результате взаимной диабаллической перестановки в фиг. 7а вертикальных рядов а и b между собою и с и d между собою, для нас интересно потому, что в следующем 4-м параграфе мы рассмотрим тип магического квадрата с таким же видом характеристики, но представляющий собою магический квадрат с совершенно особыми свойствами, не встречающимися у других рассмотренных типов.

Фиг. 8а.

Фиг. 8ß.

Фиг. 87.

§ 4. Кроме рассмотренных в §§ 2 и 3 основных магических квадратов, удалось при помощи сложного способа повторных проб перемещений написать такой магический квадрат (фиг. 8а), который не мог быть выведен правильными перемещениями ни от одного из предыдущих; сначала казалось, что он является как бы дополнением к серии вариантов получаемых от магического квадрата 6а (§ 3). При исследовании, однако, оказалось, что он совершенно особого типа.

Фиг. 8о\

Фиг. 8г

Легко убедиться, что этот магический квадрат (8а) недиабалличен; положение характеристики у него, однако, совершенно такое, как у диабаллического магического квадрата, изображенного на фиг. 7/3.

Недиабалличность этого магического квадрата 8а проявляется между прочим в пересекающем диагонали положении дополнительных магических рядов; на рис. 8S это изображено линиями, именно:

(3 + 5)-f-(12-|-l 4) = 34 и (6 + 16) + (1+11) = 34.

Применением уже известных приемов из магического квадрата 8а можно получить все остальные основные магические квадраты этого типа:

aß) трансверсальной перестановкой четверок в квадрате 8а из положения I I в положение | | , получаем основной магический квадрат 8|3; трансверсальной перестановкой членов всех четверок в основном магическом квадрате 8/3 получаем основной магический квадрат 88;

ay) трансверсальной перестановкой членов четверок в основном магическом квадрате 8а получаем основной магический квадрат 8у;

аг) затем, поворотом всего квадрата 8а вокруг диагонали 7—|—8—(—4—f—15 на 180° получаем основной магический квадрат Se; этим последним приемом перемещаем характеристику (1 и 16) с горизонтальных рядов в вертикальное положение; и затем такими же простыми приемами перемещаем характеристику по всем возможным для нее вертикальным рядам доски.

В результате таких приемов получаем 8 основных магических квадратов, которые затем дополняются односторонним зеркальным отражением, давая еще 8 симметричных первым восьми основных магических квадратов.

Все сказанное до сих пор не дает представления об особенных свойствах этого типа магических квадратов.

Мы, однако, выделили этот 8а магический квадрат со всеми его производными основными магическими квадратами в совершенно особый тип по той причине, что отношение его к описанному в § 5 способу размножения основных магических квадратов совершенно своеобразное.

Все остальные основные магические квадраты, описанные в §§ 2 и 3, применением способа параграфа 5-го дают каждый из них по сам-24 магических квадрата, которые сохраняют все свойства начального основного магического квадрата, т.-е. свойство диабалличности или недиабалличности, положение характеристики, магическую сумму в десяти рядах квадрата, магическую сумму дополнительных рядов и их положение.

Рассматриваемые же в этом § 4 основные магические квадраты, именно магический квадрат 8а и все его сам-16 вариантов с горизонтально (Ь экземпляров) и с вертикально (тоже 8) расположенными характеристиками дают, каждый из них, всего лишь еще по одному магическому квадрату, остальные же 22 квадрата к магическим квадратам не могут быть причислены, так как их диагонали не имеют магической суммы и только вертикальные и горизонтальные ряды и дополнительные ряды, пересекающие диагонали, имеют магическую сумму —34; дополнительные ряды отмечены линиями на фиг. 8о и на фиг. 9.

В суммах диагоналей отмечается та особенность, что обе они вместе, отличаясь друг от друга слагаемыми, в общем составляют сумму 68, т.-е. 2 Х34> дважды магическую. Один из таких 22 вариантов, происшедших от 8^, представлен фигурой 9-й1; единственным в этой серии вариантов магическим квадратом, кроме самого основного магического квадрата (фиг. 87), является магический квадрат, изображенный на фиг. 10 (с табличным № 19).

1 Квадрат фиг. 9 среди своих собратьев в общей серии этого типа значится под № 9, таков его табличный номер; квадрат фиг. 10, типичный магический квадрат в той же серии, значится под № 19. Номера их получаются от порядкового положения числовых значений букв в буквенном основном магическом квадрате; значение сказанного здесь выяснится в § 5 при описании таблицы (фиг. 12), способа пользования ею и значения номеров таблицы.

При сравнении расположения горизонтальных характеристик у всех восьми основных вариантов, происшедших от магического квадрата 8а описываемых в этом § 4, с расположением также горизонтальных характеристик у всех восьми основных магических квадратов, происшедших от магического квадрата 6а, описанных в § 3, нельзя не заметить, что характеристики этих двух групп ни разу не покрывают одни и те же поля квадратной доски; фигура 11 демонстрирует этот факт.

Фиг. 9 (табл. № 9).

Фиг. 10 (табл. № 19).

Крестики на полях, связанные точками, представляют перемещения характеристики при образовании основных магических квадратов, происшедших от магического квадрата 8а (§ 4), кружки представляют перемещения характеристики при образовании основных магических квадратов типа 6а (§ 3).

Такое, как бы дополнительное друг другу распределение характеристик в обеих этих группах указывало как будто на принадлежность обеих этих групп к одному типу, который, как сначала предполагалось, мог бы дать при посредстве простых приемов 16 основных магических квадратов наподобие того, как это установлено для основных магических квадратов из § 2 и для магического квадрата 7а из § 3, т.-е. так, как это встречается у магических квадратов диабаллических. Более внимательное, сопровождаемое проверкой исследование, однако, обнаружило, что эти типы, 6а и 8а, со всеми производными основными магическими квадратами представляют две группы основных магических квадратов, ничего общего между собою не имеющих, так как они совершенно разно относятся к излагаемому в § 5 способу размножения основных магических квадратов. Само собою понятно, что так же различаются между собою и те варианты, у которых характеристики расположены по вертикальным рядам, как у фигуры 8г и у № 12 фигуры 4-й.

Фиг. 11.

Теперь, на основании изложенного о значении основных магических квадратов и на основании излагаемого в следующем § 5 способа размножения их циферно-буквенными трафаретами, мы можем уже подвести итог общего числа магических квадратов 4-го порядка.

В § 2 типы магических квадратов, обозначенные на фиг. 4 №№ 1, 2, 4, 5, 8, 10, 15 и рассмотренные в § 2, дают каждый из них сам-16 основных магических квадратов, которые в свою очередь, размножаемые циферно-буквенными трафаретами, каждый из них дают сам - 24 магических квадрата:

7X16X24 = 2688

В § 3 рассмотренные магические квадраты представляют 2 типа, схожие отчасти (на половину) положением характеристик: а) из них тип 6а (=№ 3 и № 12 фигуры 4-й) дает 8 основных магических квадратов с горизонтально расположенными характеристиками (от № 3 фиг. 4) и 8 основных магических квадратов с вертикально расположенными характеристиками (от № 12 фиг. 4); каждый из этих основных магических квадратов по способу § 5 дает по 24 магических квадрата, всего, следовательно,

(8 + 8) X 24 = 384

б; тип 7а дает, как типично диабаллический магический квадрат, 16 основных магических квадратов с характеристиками, распределенными в горизонтальных рядах, и столько же (16) основных магических квадратов с характеристиками в вертикальных рядах; каждый из этих 32 основных магических квадратов даст, по способу § 5, тоже по 24 магических квадрата, следовательно,

(16 + 16) 24 = 768

В § 4 рассмотренный особый магический квадрат (фиг. 8а) дает обычными для недиабаллических магических квадратов приемами 8 основных магических квадратов с горизонтально расположенными характеристиками и также 8 с вертикально расположенными характеристиками; но эти последние 8 + 8 — основные магические квадраты, размножаемые способом § 5, дают каждый из них среди 24 квадратов только еще один магический квадрат, следовательно, всего

(8 + 8) 2 = 32

Итак, магических квадратов 4-го порядка насчитывается пока

2688 + 384 +768 + 32 = 3872.

Вероятные остальные будут открыты позже.

§ 5. Циферно-буквенные трафареты для размножения основных магических квадратов 4-го порядка. В основу размножения каждого основного магического квадрата, а их, как отмечено выше, имеем: 1) по §2 —7X16 = 112; 2) по §3 — 4X8 = 32; 3) по §4 — 2X8 = 16, а всего, следовательно, 160, отличающихся своими характеристиками. Примем такой ряд чисел: 0, 1,2, 4, 8. Числа этого ряда можно считать элементами, из которых порядком, излагаемым дальше, составляются все числа от 1 до 16, если от каждого из них вычесть 1. Так, напр: 16 —1=1 + -[-2+4+8; 15 — 1=24-4-|-8 и т. д.; затем 2 —1=1 и, наконец, 1—1=0.

Указанием на значение именно такого ряда чисел служит разложенное на множители алгебраическое выражение:

в котором число 1 может быть заменено величиною х°.

Для превращения какого-либо магического квадрата в варианты того же типа с тою же характеристикой заменяем составляющие его числа буквами. По примеру Кутузова1, примем для замены цифр буквами буквы греческого алфавита, для однообразия картины, и дадим буквам а, ß, у, о меняющиеся значения ряда чисел: 1, 2, 4, 8. Приведенная здесь таблица (фиг. 12) показывает, что численное значение букв меняется 24 раза.

Фиг. 12.

Для примера переработаем в буквенные магические квадраты несколько основных магических квадратов из тех 160 основных магических квадратов, которые намечены нами ранее (§§ 2, 3 и 4).

1. Превращаем основной магический квадрат .N& 4 фиг. 4-й в буквенный магический квадрат, приняв из таблицы (фиг. 12) значения букв по № 1, где а = 1, /3 = 2, у = 4, о = 8. При этом, переводя каждое число циферного магического квадрата на сумму из букв, единицу, вычитаемую из каждого числа квадрата, вписываем при буквах в каждую соответствующую клетку:

Фиг. 13.

1 П. Кутузов. ,,Магические или волшебные кубы", в журнале „Математик в школе", 1918. Эта поистине Bahnbrechende Arbeit в этой области прошла, повидимому, незамеченной, несмотря на ее достоинства. В одной из следующих моих статей я надеюсь показать, каким еще способом возможно раздвинуть предел числа магических кубов 3-го порядка, следовательно, как бы некоторое дополнение к работе Кутузова.

По этому буквенному основному магическому квадрату, составленному по типу (№ 4 фиг. 4-й) магического квадрата с определенной характеристикой, мы можем получить еще 23 новых числовых варианта автоматически, подставляя вместо букв разнообразные их числовые значения, согласно таблице (фиг. 12). Для примера возьмем № 16 числовых значений букв, где а —4, ß = 2, т = 8, о = 1, и перепишем буквенный квадрат на новый, порядковый, с цифровыми обозначениями чисел; в результате получаем новый магический квадрат (фиг. 14) с тою же характеристикой, следовательно, того же типа, но резко различающийся порядком расположения остальных чисел.

Фиг. 14 (№ по таблице 16-й).

Полученный новый магический квадрат того же типа сохраняет, как и его прообраз—№ 4 фиг. 4-й, характерную особенность — диабалличность. Применяя другие номера таблицы (фиг. 12), мы получим все остальные производные магические квадраты, сохраняющие также, как полученный № 16 (фиг. 14), ту же характеристику и свойство диабалличности, как их прообраз. Таким образом всего магических квадратов этого типа будет 24, (= сам-двадцать четыре).

2. Переработаем в буквенный магический квадрат для примера основной магический квадрат с иной характеристикой, определяющей его как не диабаллический магический квадрат; положим, возьмем квадрат, обозначенный у нас на фиг. 6у из § 3; для перевода его в буквенный квадрат примем значения букв по № 11, где а=1, (3 = 2, у = 4, о = 8.

Фиг. 15.

Для превращения буквенного квадрата в цифровой вариант мы можем взять любой из номеров таблицы (фиг. 12). Пусть № 18-й, где а = 4;

1 Для составления буквенного основного магического квадрата можно было бы взять любой номер из таблицы, и все 24 полученные магические квадраты были бы все равно те же, только табличные номера у них, как их ярлыки, были бы иные. Значение единого порядка для всех перерабатываемых основных магических квадратов выяснится в последующем.

]3 = 8; т = 2; 8 = 1. В результате получаем магический квадрат, который имеет ту же характеристику и так же не диабалличен, как и его родоначальник — основной магический квадрат (фиг. 6у); этот новый магический квадрат, по таблице значащийся под № 18, изображен на фиг. 16. Он имеет ту же характеристику и так же не диабалличен, как и его прообраз — основной магический квадрат (фиг. 6у). Все остальные номера сохраняют те же свойства этого основного магического квадрата.

Фиг. 16 (табл. № 18)

3. Переработаем в буквенный магический квадрат какой-либо основной магический квадрат из рассматриваемых в § 4, на особенность коих было уже указано в этом же § 4, напр., магический квадрат фиг. 88, принимая для переработки численное значение букв по № 1 таблицы 12-й, где в = 1, /3 = 2, у =4, 8 = 8. Магический квадрат 88 примет тогда такой вид (фиг. 17):

Фиг. 17.

Сличая буквенные магические квадраты параграфов 2-го и 3-го между собою, мы должны обратить внимание на то, что при всем их разнообразии у них все четыре буквы а, /3, 7, 8 во всех направлениях — горизонтальных, вертикальных к ним, диагональных и в соответствующих дополнительных рядах — неизменно повторяются каждая по два раза; это демонстрируется фигурами 13 и 15.

В изображенном же здесь буквенном магическом квадрате фиг. 17, представляющем один из особых основных магических квадратов параграфа 4-го (88), буквы а, ß, у, 8 повторяются по два раза лишь в горизонтальных, вертикальных и в дополнительных рядах; что же касается диагональных рядов, то повторяемость букв в них иная; так, в диагонали А— D (фиг. 17) буква а повторяется 2 раза, ß — 4 раза, ? — 3 раза, 8 — 1 раз; в диагонали В— С буква а повторяется 2 раза, ß— отсутствует, у повто-

ряется 1 раз, и о — 3 раза; в обеих диагоналях вместе все четыре буквы повторяются по четыре раза; в результате такой повторяемости сумма чисел по обеим диагоналям вместе—AD и ВС—всегда, при всех числовых значениях букв будет равна двойной магической сумме, т.-е. 2X34 = 68.

Точно такое же буквенное отношение в диагональных рядах обнаружим при переработке в буквенный вид всех остальных основных магических квадратов, рассматриваемых в этом § 4, так как все они взаимно связаны между собою сущностью своего происхождения, способами, не влияющими на буквенный состав диагоналей, так как они не диабалличны, что видно из сличения фиг. 8а, 8/3, 8у, 88, 8е, которые при переработке дадут одинаковый буквенный состав диагоналей.

Исследуем теперь, при каких числовых значениях букв, конечно, в пределах таблицы 12-й, возможно получить равенство сумм чисел обеих диагоналей, т.-е. чтобы диагональ AD = диагонали ВС =34. Равенство чисел по диагоналям будет иметь такой вид:

(ß + T + 8 + l)+(a + ß + l)+(a+ß + T-fl)+(ß + T + l)=(a + l)+ + (Т-г^ + '0 + (М-'0 + (а + ^Н~1); по упрощении получим уравнение: 4ß4-2y=28. В этом последнем уравнении буквы ß, 7, 8 могут попеременно принимать зачения 1, 2, 4, 8. Очевидно, равенство сумм чисел по диагоналям AD и ВС, достигается лишь в двух случаях: 1) когда ß = 2, 7 = 4, 8 = 8 и тогда а = 1 и 2) когда (3 = 1, у = 2, 8 = 4, а = 8; оба эти случая соответствуют номерам 1 и 19 таблицы 12-й. № 1 в числовом виде изображен фиг. 88.

При всех остальных числовых значениях букв диагонали будут иметь разные суммы, но обе диагонали вместе всегда будут иметь двойную магическую сумму, так как буквы в обеих диагоналях вместе повторяются четыре раза.

§ 6. Само собою понятно, и это уже давно известно, что для составления магических квадратов вместо натурального ряда чисел можно пользоваться всяким рядом чисел, лишь бы он составлял правильную восходящую или нисходящую арифметическую прогрессию, причем члены такой прогрессии могут быть целыми, дробными, положительными и отрицательными величинами, среди них может быть и 0. Такой ряд можно написать в общем виде:

где п— начальный член прогрессии, m— конечный член, р2— число членов арифметической прогрессии, порядок образуемых магических квадратов будет р (число целое и положительное), пит могут быть целыми, дробными, положительными и отрицательными.

Если в основу составления магических квадратов 4-го порядка из натурального ряда чисел от 1 до 16 мы приняли ряд чисел: О, 1, 2, 4, 8, то для составления магических квадратов 4-го порядка из ряда чисел других арифметических прогрессий мы, по аналогии, должны будем тогда в основу положить такой ряд: 0; \d; 2d; 4d; Sd, где d есть разность арифметической прогрессии из шестнадцати членов. При этом при переработке буквенных квадратов, для цифрового обозначения одного из элементов характеристики, конечно, в этом случае вместо 0 надо ставить число п, т.-е. наименьший член арифметической прогрессии.

Таким образом все выведенные для составления магических квадратов 4-го порядка закономерные правила могут быть при желании или какой-либо технической потребности раздвинуты далеко за пределы чисел натурального ряда.

II. Закон порядкового нарастания магических квадратов с основаниями 2 и 3 и связанного с ним параллелизма в нарастании числа членов арифметических и геометрических прогрессий, идущих на построение магических квадратов таких типов.

§ 7. Общеизвестен факт, что 24, 2°, 28, 29 и т. д. и всякое целое положительное число гГ>2 в разных степенях, как-то /г2, п3, я4, я8, ri3 и т. д., являясь выражением количества членов какой-либо арифметической прогрессии, всегда указывает на то, что такой ряд чисел может быть расположен в форме правильного квадрата, или куба, или квадрата и куба одновременно.

Простейшим, наиболее удобным для исследования магических квадратов и кубов, будет тот случай, когда арифметической прогрессией является натуральный ряд чисел; тогда число 2 в указанных степенях и всякое число п в соответствующей степени является и указателем количества членов прогрессии и последним ее членом, если первым ее членом будет 1.

Некоторые числа по разным их свойствам выделяются в совершенные числа. По отношению к магическим квадратам в качестве совершенных чисел можно принять числа 2 и 3 при условии, если они не комбинируются ни между собою, ни с другими простыми числами; так, напр., 24, 2°, 28, 29, 210, и т. д. составляются лишь из двоек, также З2, З3, З4 З6, З8, 3°, 31в, и т. д. составляются лишь из троек. Числа 5, 6, 7, 10, 11 и т. д., возвышаемые в соответствующие степени для составления того числа, которое определяет количество членов арифметической прогрессии, идущей на построение магических квадратов и кубов, не могут быть названы совершенными числами по отношению к магическим квадратам.

В отношении построения магических квадратов разница между этими последними числами и числами 2 и 3 весьма значительная.

Основные магические квадраты и кубы, состоящие из числа членов 2\ 2\ 28, 29, 21и и т. д., также из З2, З3, З4, З8, З9, З10 и т. д., характеристиками у которых мы считаем положение первого и последнего члена арифметической прогрессии на полях квадратов, каждый из них может быть автоматически размножен, давая, так сказать, пачки своего типа1.

Для основных магических квадратов 4-го порядка это показано здесь в §§ 2, 3, 4 и 5; здесь же показано, что каждая пачка у этих квадратов состоит или из 24 (сам-24) экземпляров магических квадратов или только из двух; в этом последнем случае эти два магических квадрата получаются на ряду с другими в этой же пачке своеобразными, но не магическими квадратами2.

1 Магический квадрат из 32 членов (девять членов) дает пачку лишь в два экземпляра (сам-друг), которые являются симметричными и потому не тождественными.

2 Этот описанный в § 4 случай пачки (сам-24), среди которой всего два экземпляра магических квадратов, логичнее было бы выделить из серии магических квадратов и, хотя по форме оба эти магические квадрата действительно магичны, присоединить их к серии тех особых характерных квадратов, которые, в числе 24, в общей пачке вместе с этими двумя магическими квадратами, имеют неравные диагонали, которые, однако, будучи сложены вместе, имеют общую сумму = 68, т.-е. 2 X 34; оба эти магических квадрата среди таких своеобразных квадратов в общей с ними пачке представляют как бы лишь частный случай диагоналей, дающих при сложении тоже сумму = 68.

Надо признать тот факт, что среди всей массы возможных перестановок из 16 членов (свыше двадцати тысяч биллионов перестановок) должны встречаться, помимо магических квадратов, иные группировки, вроде только что упомянутой, которые также заслуживают внимания исследователей, особенно если они получаются целыми пачками.

В следующей статье я покажу, что основные магические квадраты 8-го порядка и кубы 4-го порядка (те и другие состоят из 64 членов (=26) арифметического ряда), каждый из них может дать пачки в 720 экземпляров.

Так же пачками могут быть размножаемы магические квадраты и кубы, в построение которых входит число 3 с разными соответствующими показателями степеней. Между тем для магических квадратов и кубов, число членов которых определяется числами 5, 6, 7, 10 и т. д. в разных степенях, напр.: 52, 53, 72, 73, 74 и т. д., пока не найдено способов, которыми можно было бы размножать каждый из основных магических квадратов и кубов такого типа пачками.

Известный весьма остроумный способ Де-ла-Гира1, которым можно получать все новые и новые варианты магических квадратов, не таков, чтобы можно было им пользоваться автоматически. Составление каждого нового варианта магического квадрата по способу Де-ла-Гира, при значительном количестве предварительных условий, оказывается очень громоздким, и, кроме того, способ этот совершенно неприменим в случаях количества членов арифметических прогрессий, определяемых величинами /г3, /г9, когда такой ряд чисел не может быть расположен в квадрат. Таковы, например, числа 53, 59, б3 и т. п., определяющие количество членов прогрессии, которые не могут быть расположены в квадраты, а располагаются лишь в кубы.

В этой статье моей здесь в §§ 2, 3, 4, 5 для магических квадратов 4-го порядка подробно показан способ такого их автоматического размножения. Здесь также показано, что в основу этого способа размножения положен ряд чисел:

О, 1, 2, 4, 8,...............А

который с первой цифры после 0 является геометрической прогрессией со знаменателем ее = 2. Этот ряд для иных арифметических прогрессий, с разностью составляющих члены магических квадратов 4-го порядка, можно написать в общей форме: 0, \d, \d, Sd.

Ряд чисел А выявляется из сличения показателей степеней при X в тех множителях, на которые разлагается выражение

Вместо 1 в этом ряде можно было бы писать х°.

При соответствующем нарастании показателей степени при х, напр., до л:64, иначе х2%} где показатель степени при х есть указатель количества членов арифметической прогрессии, располагаемой в правильный квадрат или куб, одновременно нарастает и тот геометрический ряд чисел, который составляется для автоматического размножения пачками основных магических квадратов этого типа.

Ряд этот будет представлять теперь такой вид:

О, 1, 2, 4, 8, 16, 32,..........С.

Минуя 0, ряд этот имеет шесть членов; число 6 здесь соответствует показателю степени при 2, а 26 есть число членов натурального ряда

1 De la Hire. «Mémoires de l'Académie des Sciences pour 1705». Paris, 1706. Цитирую по книге W. Rouse Ball во франц. переводе: «Récréations mathématiques et problèmes». Paris, 1908.

чисел, идущих на построение магических квадратов 8-го порядка и кубов 4-го порядка.

По аналогии с тем, что известно теперь для магических квадратов 4-го порядка, у которых применением ряда А возможно автоматическое размножение основных магических квадратов до 24 (и до 2), и здесь в магических квадратах 8-го порядка и в кубах 4-го порядка оказывается также возможно подобное автоматическое размножение пачками. Но так как здесь переставляемых членов геометрического ряда С, по отношению к буквенному трафарету, имеется шесть (0 в счет не идет), а не четыре, то и число получаемых пачками экземпляров магических квадратов для каждого основного магического квадрата оказывается уже 720; применение этого способа для магических квадратов 8-го порядка и кубов 4-го порядка мною также уже подробно разработано, но об этом— в следующем сообщении.

При еще дальнейшем увеличении количества членов арифметической прогрессии, располагаемых в квадраты или кубы, напр., до величины 256 (= 28), что дает квадраты 16-го порядка, не давая кубов, одновременно нарастает на два члена, и геометрический ряд С приобретает теперь такой вид:

О, 1, 2, 3, 4, 8, 16, 32, 64, 128,... ...... D1

Ряд этот, минуя 0, имеет 8 членов геометрической прогрессии, что соответствует показателю степени при 2; 28 есть число членов натурального ряда чисел от 1 до 256, которые входят на составление магических квадратов именно этого 16-го порядка.

Следует отметить, что в этих рядах геометрических прогрессий, полагаемых в основу для размножения магических квадратов пачками, последний член всегда равен половине того числа, которым оканчивается арифметическая прогрессия, из чисел которой построены сами основные магические квадраты.

Так, в магических квадратах 4-го порядка общее число членов натурального ряда чисел достигает 16, последний член этого ряда тоже 16, и последний член геометрической прогрессии есть-^- — 8; такие же отношения в ряде С, где 32 — последний член геометрической прогрессии — равен ——, а 64 есть последний член натурального ряда чисел, начиная от 1; в ряде D 128 есть последний член геометрической прогрессии и он равен -у- и т. д.

Между прочим интересна такая деталь: в случае размножения пачками каждого основного магического квадрата 16-го порядка, каждая такая пачка составляет уже 40 320 производных магических квадратов; значит, имея хотя бы один магический квадрат этого порядка и признав его за основной магический квадрат2 по положению его характеристики (здесь: 1 и 256) и составив затем буквенный трафарет, мы сможем уже написать автоматически для одного только основного магического квадрата такое число магических квадратов! Пригодность этого метода для данного случая я испробовал пока на нескольких строках, составив из разных чисел от 1 до 256 сумму магического ряда 16-го порядка, подобрав числа

1 единицы в этом выражении всюду могут быть заменены величиной х°.

2 Теоретическое предельное число основных магических квадратов, фактически вероятно, не вполне достижимое, определяется произведением 256X^55 = 65280

к сумме такого ряда = 2056. Проверка этого вполне возможна на полном квадрате 16-го порядка, но и без проверки это очевидно, как необходимое следствие закона параллельного нарастания арифметических прогрессий, определяющих число цифр в магических квадратах, и геометрических прогрессий, являющихся основой их размножения.

Выявление этого параллелизма в нарастании обоих рядов с логическим последствием — нарастанием количества производных магических квадратов, размножаемых пачками, очевидно, можно продолжить до бесконечности, с логической гарантией их выполнимости.

Подобный параллелизм обнаруживается при построении магических квадратов, число членов которых составляется числом 3 в соответствующих степенях: так, З3—кубы 3-го порядка,

34—квадраты 9-го порядка,

36—квадраты 27-го порядка и кубы 9-го порядка,

38 — квадраты 81-го порядка и т. д.

Если для каждого основного куба 3-го порядка для размножения его пачками принимается ряд: О, (1 и 2), (3 и 6), (9 и 8), где в каждой скобке мы усматриваем члена геометрической прогрессии, у которой знаменатель равен 3, а весь ряд представил такую прогрессию: 3, 9, 27, то ясно, что такой геометрический ряд может автоматически нарастать при нарастании членов той арифметической прогрессии, количество членов которой определяется числом 3 с нарастающими показателями степеней и которые идут на построение основных магических квадратов и кубов с определенными характеристиками. Напр., 3(i дает квадраты 27-го порядка и кубы 9-го порядка. Число членов геометрической прогрессии определится количеством 6 (шесть есть показатель степени при 3); такой ряд, как показало исследование, оказался вполне пригодным, и он имеет вид1:

0; (1 и 2); (3 и 6); (9 и 13); (27 и 54); (81 и 162); (243 и 486)

каждая скобка есть член геометрической прогрессии. Обратим внимание на то, что последняя цифра этого ряда 2-й член в последней шестой скобке = 486, составляет 2/8 числа последнего члена арифметической прогрессии, именно 729; 486 = —

Магические квадраты и кубы, в основу определения числа членов которых кладется число 3 с соответствующими показателями степеней, отличаются характерной особенностью: у них каждый член геометрической прогрессии, полагаемой в основу размножения пачками основных магических квадратов, всегда составлен из двух цифр; при этом при составлении буквенных магических квадратов (трафаретов) числа одной пары не должны вместе складываться, и в то же время при перемещениях их по отношению к буквам трафарета должны перемещаться неразлучно, как одно число, как один член геометрической прогрессии и к тому же не изменяя места в своей скобке. В результате этой особенности—такой ограниченной перемещаемости этих шести пар—шести членов геометрической прогрессии, при применении способа циферно-буквенного трафарета, несмотря на высокий порядок этих магических квадратов, достигающих в нашем примере 27-го порядка, каждая пачка получается всего лишь в количестве 720 экземпляров магических квадратов, т.-е. такой же величины, как в квадратах всего лишь 8-го порядка (четного) из 64 цифр.

1 и здесь вместо 1 можно ставить х°.

В следующих моих статьях я надеюсь более детально представить на суд читателя выявляемые здесь вкратце закономерности в построении магических квадратов с основаниями 2 и 3.

Прочтя изложенное в предыдущих параграфах исследование о пределе числа магических квадратов 4-го порядка и простом способе быстрого, механического их писания в количестве 3872 и о некоторых закономерностях в построении магических квадратов с основанием 2 и 3, читатель, я думаю, сделает заключение, что составление и писание магических квадратов, бывшее до последнего времени делом умственного спорта и, пожалуй, интересной забавы, переходит в новую стадию—в стадию научного исследования; а наука начинается там, где на основании обоснованных положений и фактов возможны предсказания явлений, которые не были еще обнаружены. Теперь, когда предвидится возможность обозрения всех возможных случаев магических квадратов хотя бы нескольких порядков, составляющих ничтожный процент из всей необъятной массы пока не специализированных квадратов, возможна будет научная теоретическая разработка этого, достойного внимания со стороны научной мысли, явления в природе чисел.

К ВОПРОСУ ОБ ИЗМЕНЕНИИ ДРОБИ ПРИ ОДНОВРЕМЕННОМ УВЕЛИЧЕНИИ ИЛИ УМЕНЬШЕНИИ ЕЕ ЧЛЕНОВ.

Л. Н. Лодыженский (Тула).

В настоящей заметке я даю геометрическую интерпретацию вопросов, рассмотренных в моей статье «Об изменении дроби и т. д.», напечатанной в № 7 «Математического образования» за 1928 г.1

Рассмотрим сначала две теоремы, доказанные в этой статье. Теорема /. Пусть дана дробь с положительными членами. Прибавим к ее числителю и знаменателю соответственно два положительных

числа. Тогда, если отношение первого из прибавленных чисел ко второму больше данной дроби, то дробь увеличится; если это отношение меньше дроби, то она уменьшится, и если указанное отношение равно ей, то дробь не изменит своей величины.

Пусть данная дробь будет <7, измененная = Я'- Все числа здесь положительные. Будем изображать эти дроби точками плоскости, принимая числитель за ординату и знаменатель за абсциссу (см. черт. 1). Данная дробь изобразится точкой M (В у А), измененная —точкой N. (BJ-b} А-\-а)у (/ = 1,2,3) Следовательно,

Черт. 1.

1 В № 1 «Математического образования» за 1929 г. была напечатана заметка Н. Ф. Четверухина под тем же заглавием, в которой автор дал геометрическое истолкование вопроса, основанное на совершенно других принципах и преследующее другие задачи. Настоящая заметка была составлена и послана в редакцию еще до выхода № 1.

Из чертежа легко вывести, что при * > -g- дробь q' изобразится точкой Nh лежащей выше продолженной прямой ОМ и, следовательно, q' будет больше q\ при -y<^f ^'изобразится точкой 7V2, лежащей ниже прямой ОМ и, следовательно, q' < q и, наконец, при|- = дробь будет изображаться точкой iV8, лежащей на продолжении ОМ, откуда q'' — q.

Теорема 2. Пусть дана дробь с положительными членами. Вычтем из числителя некоторое положительное число, не превосходящее его, и из знаменателя—меньшее его положительное число.

Тогда, если отношение 1-го из вычитаемых чисел ко 2-му меньше данной дроби, то дробь увеличится; если это отношение больше дроби, то она уменьшится и, наконец, если это отношение равно дроби, то она не изменит своей величины; эта теорема выясняется подобным же образом с помощью черт. 2, на котором данная дробь изобразится точкой M (В, А) и измененная ^ ~~ ^ — другой точкой, N4 (Ä —*, А —а), (* = 1, 2, 3).

Покажем теперь, как можно очень просто решать графически вопросы, которым преимущественно посвящена цитированная выше моя статья. При этом будем предполагать, что числа Л, В, а и b—целые положительные, ^ограничусь почти исключительно применением 2-й теоремы.

1-й случай1. Дана неправильная дробь — • Требуется увеличить ее, вычитая из числителя большее целое число, чем из знаменателя, т.-е. надо найти такие целые числа а и о, причем а> Ь, чтобы А~°и было больше^. Геометрически это значит, что точка (В — b, А — а) должна лежать выше прямой у—— X и ниже прямой, проведенной через точку (В, А) параллельно биссектрисе координатного угла. Вопрос сводится к нахождению целых точек2, лежащих внутри треугольника МОР, образованного упомянутыми двумя прямыми и осью ординат.

Пример: —= — . Получаем

Черт. 2.

Черт. 3.

1 Стр. 295 и след. Страницы везде указаны по № 7 «Матем. Образования».

2 Т.-е. точек, у которых обе координаты целые числа.

3 См. стр. 298, где приведены все решения.

В цитированной статье между прочим доказывается (стр. 297), что у есть единственная дробь с разностью членов равною двум, не допускающая решения только что формулированной задачи. Это легко выяснить геометрически. В самом деле1, точки, соответствующие дробям с разностью А — В— 2, лежат на прямой

У = х+2............(*)

Соединяя эти точки с началом, видим, что внутри треугольника, образованного соединяющей прямой (*) и осью ординат, всегда будут лежать целые точки, исключая треугольника с вершиной (2, 4). Напр., для дроби существует одно решение: а = 3, Ь = 2.

Так же легко убедиться, сделав соответствующий чертеж, что в случае дроби, в которой А — ß = l, задача не имеет целых решений (ср. стр. 296).

2-й случай. Дана правильная дробь g. Надо уменьшить ее, вычитая из числителя меньшее целое число, чем из знаменателя2. Здесь решение сводится к отысканию целых точек, лежащих внутри и на основании треугольника МОР (см. черт. 4), образованного прямою у — в х, параллелью к биссектрисе координатного угла, проведенною через точку (В, А), и отрезком оси абсцисс, считая за основание последнюю сторону.

Пример: £ = 40* Задача имеет 8 решений.

Черт. 4.

Арифметически число решений можно определить по формуле (в статье она не приведена):

Получим

Примечание. Возможны случаи, когда по чертежу будет затруднительно решить вопрос о существовании некоторых решений; это зависит от масштаба и точности чертежа. Напр., когда требуется определить, лежит ли точка (8, 11) выше прямой у ="Yîx (см. черт. 3). Тогда придется прибегнуть к вычислению. Но это уже общий недостаток графического метода.

В заключение рассмотрим задачу на применение 1-й теоремы.4

Требуется увеличить правильную дробь ^, прибавляя к числителю мень-

1 Просим читателя сделать чертеж.

2 См. стр. 298, где намечен способ решения этой задачи.

3 При условии В < 2А.

4 См. стр. 295.

шее целое число, чем к знаменателю. Найти решения (или только число их) этой задачи, в которых прибавляемые числа а и b не превосходят данного целого положительного числа р.

Вопрос сводится к нахождению и подсчету целых точек, лежащих внутри и на правой стороне треугольника MPQ (см. черт. 5), образованного прямою у=—Ху ординатою х =В~р и прямою, проведенною через точку (В, А) параллельно биссектрисе координатного угла.

Легко видеть, что способ определения числа решений, примененный в статье при выводе формулы (5) на стр. 294, сводится к подсчету точек по вертикалям.

Черт. 5.

Беря для примера ß = — и /7 = 12, находим из черт. 5 следующие 17 решений:

b

4

5

6

7

7 8

8

9

9

10

10

11

11

11

12

12

12

а

3

4

5

5

6 6

7

7

8

8

9

8

9

10

9

10

11

Если продолжить чертеж до ординаты х =26, то можно найти число решений, которое определено на стр. 295 посредством формулы (5).

Résumé.

Dans note présente l'auteur donne l'interprétation géométrique des problèmes traités dans son article «Sur une variation de la fraction à termes positifs» (№ 7, 1928 de ce journal).

L. Lodjgensky.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КРУГОВЫХ ФУНКЦИЙ.

С. П. Слугинов (Пермь).

Определения. Идея аналитической теории круговых функций, принципы которой мы намерены развить в настоящей статье, принадлежит немецкому ученому Зейделю (Seidel). Будем исходить из формулы

Отсюда

Примем за определения косинуса и синуса следующие формулы:

Правые части равенств (1), (3) и (4) представляют собою, как известно, сходящиеся ряды при всяком конечном значении аргумента. При помощи соотношений (3) и (4) формула (2) представится таким образом

Равенство (5) в анализе обыкновенно называют формулой Эйлера. Изменяя в этом равенстве количество у в —у, получим вторую формулу Эйлера:

£~"y*=cosj/ — isiny...........(6)

Равенства (5) и (6) доставят нам:

cos_y=—--. • - (7) и s\x\y=—-2/—.....(8)

Соотношения (7) и (8) также можно принять за определения косинуса и синуса.

Таким образом косинус и синус, определенные нами, являются функциями от аргумента у, который, вообще говоря, может быть и мнимым числом.

Теорема сложения. Положим в формуле (5) j/ = a-j-ß, тогда

^(ot + ß)/=cos(a+ß)-fism(a+ß).........(а)

С другой стороны,

Сопоставляя соотношения (а) и (b) между собою, получим формулы сложения:

cos (a -j— ß) = cos а cos ß — sin а sin ß........(9)

sin (а -f- ß) = sin а cos ß — cos а sin ß........(10)

Следствия из предыдущих формул. Из формул (7) и (8) мы делаем такие заключения:

cos0 = l, sin0 = 0. . . (с) и sin2 v + cos2 j/= 1 . . .(11)

Из соотношений (3) и (4) следует, что

cos(—j/)=cos_y, sin (—y)=z — sin_y.......(d)

а также

Полагая в формуле (3) последовательно _у = 0 и 2, найдем:

cos 0 = 1 . . .(f), cos2 = l — \-r\^ —...... (g)

Если в правой части равенства (g)-для определения косинуса возьмем только два члена, то cos2 = l—2= — 1, причем сделанная нами ошибка будет менее 1-го отброшенного члена, именно ^ = |; поэтому cos2<0. Следовательно, уравнение cosj/ = 0 имеет по крайней мере один корень, заключенный между 0 и 2; пусть наименьший из этих корней будет 2> тогда формулы (9) и (10) доставят нам:

Формула же (11) приводит нас к равенству:

Но в последнем равенстве знак минус нужно отбросить, так как между 0 и у функция синус будет возрастающей. Последнее обстоятельство следует из того, что функция cosx, которая в силу соотношений (3) и (4) есть производная s\nxy в промежутке (о, у) будет положительна.

Поэтому

cos(x-|-y) =— sinx, sin (x + y) = cosA:.......(j)

Равенства (j) влекут за собою такие:

Также находим, что

cos (у — x) = sinx и sin (у — х ) = cosx .......(I)

Формулы для вычисления числа тт. Чтобы найти значение числа тт, поступаем следующим образом. Пусть tgx = ^"^. . . (m). Отсюда находим производную tgx. Зная производную tgx, легко получить и производную arc tgx, которая будет равна • Непосредственное деление приводит нас к равенству:

iT~^=l — x2Jrx± — x«+xs — . . .....(n)

Левая часть последнего равенства есть производная Функции arc tg х, правая же—производная функции:

-Ьт-у+- • - + ......(°)>

где С — произвольное постоянное. Равные производные соответствуют и равным начальным функциям. Следовательно,

arctgx^x-^+^-^-f. . . + С........(р)

Принимая в соотношении (р) аргумент х равным 0, получим, что С=0. Поэтому

arctgx = A'-y у +.........(12)

Сходимость ряда (12) можно исследовать, например, при помощи признака Даламбера. Имеем

Следовательно, lim - =х2. Итак, ряд (12) будет сходящийся для х2=1, каковое условие можно записать и так: —\<xtk\. Формула (12) для х = 1 дает:

т=1_у+__т+..........(q)

Этот ряд, служащий для вычисления тг, сходится очень медленно. Среди других способов, которые употребляются для вычисления тт, весьма удобен способ Мечина (Machin). Приведем этот способ.

Пусть a = arctg-^, тогда в силу соотношения (12)

Так как tga= ^, то, следовательно,

Формула для tg 2а легко выводится на основании предыдущих соображений.

Далее, так как tg4a>l, 4а > то полагая 4а--~ = Л,

получим

8 1+tg4a 239

Поэтому Л = arc tg ^ = ^-3-^4-5^-.......(t)

Но ^ = 4а — А; следовательно, окончательно будем иметь:

4~=4(у_ 3^5*" + 5~5*~ ' 9 )~ (239"" 3~23^ +5^2395— ' ' ' ) • (13)

Ряды, стоящие в правой части соотношения (13), очень быстро сходятся.

Равенство (13) и представляет собою формулу Мечина (Machin) для вычисления числа тт.

Представление синуса и косинуса под видом бесконечных произведений. Из формулы (с) и (к) видно, что sin л: обращается в нуль при х = 0, ±тт, ЧЬ2гг, ЧЬ Зтт, . . .

Что же касается cos л;, то, как показывают формулы (1), эта функция обращается в нуль при х=±|±у, — У' * * ' Поэтому на основании теоремы Безу sinx делится на двучлены

х— 0, x — л, х-2тг, x—Зтт, . . .

X-f-тг, X-f- 2гг, я + Зтг, . . . , cos л: делится на двучлены

Следовательно, при делении sinx и cosx соответственно на все только что указанные двучлены, получим частные, которые не зависят от x, т.-е. являются константами, а потому

Последние соотношения можно переписать следующим образом:

(и)

Заменяя в одной из формул (и) аргументы х и у соответственно —x и -^—Уу получим другую, что и убеждает нас в истинности этих формул.

Умножив обе части первой из только что полученных формул на у и приближая затем у к нулю, найдем:

(14)

Выражения для sinx и cosx символически можно записать следующим образом:

(15)

Разложение функции ctgx. Логарифмируя выражение для sin л: (14) будем иметь:

Взяв производные от обеих частей этого равенства, получим:

Обозначая отношение —— через ctgx и замечая, что

приходим к соотношению:

Если в формуле (\Ъ) заменим х через tu;, то она становится

Умножив обе части равенства (16) на ху вновь полученному равенству можно придать следующую символическую форму:

Ф.ормулы (14) и (16) играют важную роль в теории эллиптических функций, которые по своим свойствам имеют много аналогий с круговыми (тригонометрическими I функциями.

Таким образом, не прибегая к геометрии, можно чисто аналитически установить все формулы тригонометрии. В предыдущем изложении мы следовали методе Лорана (Laurent), но подвергли ее коренной переработке

Можно было бы изложить аналитическую теорию круговых функций по методу Зейделя, но этот метод более сложен, чем метод Лорана. Основные пункты аналитической теории круговых функций по методу Зейделя изложены во 2-м томе книги «Lehrbuch der Analysis» von Rudolf Lipschitz (§ 14).

ТОЧКА НАИМЕНЬШЕГО РАССТОЯНИЯ ОТ ТОЧЕК, РАСПОЛОЖЕННЫХ НА КРИВОЙ.

М. Гребенча (Москва).

Пусть мы имеем на непрерывной кривой AB п точек: А\) А$, - • •, Апу расстояния которых от точки А, отсчитываемые по кривой AB, соответственно суть

причем

Требуется найти на AB такую точку С, чтобы сумма расстояний от точки С до данных точек была бы наименьшей, если расстояния отсчитываются по кривой AB. Пусть AC = s и AB— Ь.

Следовательно, необходимо, чтобы

Обобщим задачу в том смысле, что потребуем, чтобы сумма расстояний, помноженных соответственно на положительные коэфициенты

была бы наименьшей, т.-е. чтобы

Рассматриваемая сумма ^rnk\s— sk\ непрерывна в промежутке (О, Ь)\

отыскание —-—. сведется к отысканию —' . s* .

Если 5 > sk, то - äs" '

если 5 < sk, то - • —r- K ' = — 1

и если 5 = sk, то d ST неопределенно.

Так как ——---------- есть число постоянное для значений аргумента в промежутке (sk, S^ + x), приходим к заключению, что графикой данной функции в промежутке (sk, + является прямая.

Найдем угловые коэфициенты этой прямой в промежутке (0, s).

Так как

то ds * = — 1 и, следовательно

След., графикой изучаемой функции в промежутке (0, является прямая с угловым коэфициентом — Z ткУ проходящая через точку

В промежутке (sv 5.,), очевидно,

Следовательно,

В промежутке (s2, s3)

и т. д.

В промежутке (s>f_1 5Л)

в промежутке (sn, b)

Очевидно, графика изучаемой функции есть ломаная линия, вершины которой суть точки с абсциссами sv s2, • ■ • > sn и ординатами

ибо именно в этих точках происходит изменение угловых коэфициентов звеньев, в то время как в промежутках

(О, s1)(sv Ss). . . (sn_v sn)(sn,b)

эти угловые коэфициенты неизменны.

Отыскание наименьшего значения функции сводится к отысканию наименее удаленной от оси абсцисс точки ломаной линии. Так как в каждом из промежутков

(О, sx), (sv s2). . . (sn_vsn) (sn, b)

функция монотонна, след., наименее удаленной точкой от оси абсцисс является одна из вершин этой ломаной линии.

Следовательно, наименьшее значение функции численно равно наименьшему из чисел:

так как эти числа суть длины ординат вершин ломаной линии. Так как угловые коэфициенты звеньев суть

мы видим, что они составляют ряд возрастающих чисел, причем первый член этого ряда есть число отрицательное, а последний — положительное.

След., ломаная линия состоит из звеньев, тангенсы углов наклона которых с положительным направлением оси абсцисс возрастают. Очевидно, та вершина ломаной будет иметь наименьшую ординату, в которой встречающиеся звенья имеют угловые коэфициенты разных знаков.

Таким образом мы приходим к следующим заключениям:

1) точкой наименьшего расстояния является одна из данных точек и

2) именно та, для которой числа

разных знаков.

В частности может оказаться, что один из угловых коэфициентов равен нулю.

Так как коэфициенты составляют ряд возрастающих чисел с разностями 2т}, 2тъ , очевидно, что все предшествующие коэфициенты суть числа отрицательные, а последующие—положительные, и ни один из предшествующих или последующих коэфициентов не может быть равен нулю, ибо из этого вытекло бы равенство нулю некоторых чисел тк% След., в случае, если один из угловых коэфициентов равен нулю, в ломаной имеется одно звено, параллельное оси абсцисс, каждая точка которого отстоит на одном и том же расстоянии от этой оси. Очевидно, точкой наименьшего расстояния служит любая точка оси абсцисс, принадлежащая проекции звена на ось абсцисс, т.-е. любая точка отрезка между двумя соседними из п данных точек.

Изменение расстояний между соседними точками не сказывается на относительном положении точки наименьшего расстояния Иными словами, если разности sk — sft1 изменяются, оставаясь одного знака, то точкой наименьшего расстояния новой системы точек будет точка того же номера, что и в прежней системе, при их перечислении в одном направлении.

Доказательство этого утверждения вытекает легко из предыдущего, ибо положение точки наименьшего расстояния не зависит от значений координат данных точек; в самом деле: 1) она совпадает с одной из данных точек, 2) с той именно, для которой числа

не зависящие от sk(k = \>2> • . ., я), разных знаков.

Можно отметить еще одно свойство точки наименьшего расстояния: пусть из данных точек Ах есть искомая; она останется точкой наименьшего расстояния для любого перераспределения коэфициентов по одну сторону от точки Д.

В самом деле, пусть коэфициенты:

mv т2,. - • , тХУ - - , тп перераспределятся так, что ряд их соответственно станет:

где каждое из чисел i, i2, • • - , 11л принадлежит одному из чисел ряда 1, 2, . . .,/—1 и числа it, iiJL29. • ,in — одному из чисел ряда /-f-1, 1 + 2,. . .пи ix = L

В таком случае последовательный ряд угловых коэфициентов звеньев:

является рядом возрастающих чисел, начиная с отрицательного. Так как для прежнего распределения точек числа:

и

были разных знаков (ибо точка А искомая), следовательно, то же относится к коэфициентам:

Следовательно, точка Ас остается точкой наименьшего расстояния и для нового распределения коэфициентов.

Соединяя перечисленные выше особенности в одну, можно сказать что номер точки, совпадающей с точкой наименьшего расстояния, не зависит от изменения расстояния между соседними точками и от перераспределения коэфициентов, относящихся к точкам, лежащим по одну сторону точки наименьшего расстояния.

В случае, если поставлена задача: дан на линии AB ряд точек А\у А2, • • • , Ап с расстояниями по кривой AB от точки А

и ряд постоянных чисел

требуется найти на AB точку С, чтобы

Рассуждения, аналогичные приведенным выше, показывают, что искомая точка совпадает с одной из данных точек. Однако, ряд угловых коэфициентов звеньев

не представляет, вообще говоря, ряд возрастающих чисел, ибо числа тк суть числа любого знака.

След., графика функции

в промежутке (О, Ь) есть ломаная линия, вообще говоря, с несколькими точками минимума. След., в этом случае может быть несколько пар

угловых коэфициентов соседних звеньев с разными знаками, а потому необходимо вычислить суммы

и взять наименьшую из них. То значение /, которому отвечает наименьшее значение суммы, и есть номер точки наименьшего расстояния.

В случае большого числа заданных точек можно предварительно найти пары углов коэфициентов последовательных звеньев с разными знаками; так как абсциссы вершин звеньев суть числа ряда

то вычисление сумм для отыскания точки наименьшего расстояния должно вести лишь для значений I, совпадающие с 1, п и с номерами точек, в которых угловые коэфициенты меняют знак с отрицательного на положительный, ибо лишь в этих точках исследуемая функция может иметь наименьшее значение, так как переходит от убывания к возрастанию. Наконец, в случае отыскания точки С, чтобы

необходимо вычислить те значения s, в которых

обращается в нуль, а также значение 5 для / = 1, п и номеров точек, в которых угловые коэфициенты звеньев меняют знак с отрицательного на положительный.

Корни уравнений

нужно, очевидно, искать в тех промежутках (sn s. tl), где суммы

меняют знак.

В самом деле, в этом случае вершины ломаной линии лежат по разные стороны оси абсцисс, а потому звено пересекает ее в точке, абсцисса которой есть искомый корень. Зная координаты вершин номеров i и i — 1, находим абсциссу точки пересечения звена с осью абсцисс, т.-е. искомый корень.

Поставленная задача связана с вопросом наивыгоднейшего сосредоточения грузов, доставляемых по криволинейному пути и расположенных на этом пути.

В случае расположения точек одинаковых масс на прямой задача решена В. Я. Цингером («Матем. сборн.», т. XVI, вып. 2). В случае расположения точек различных масс на прямой задача решена в «Сборнике статей по горному искусству» (ч. I) Л. Д. Шевякова. Там же установлено постоянство номера точки, совпадающей с искомой в случае изменения расстояния между данными точками.

В настоящей статье рассматривается случай расположения точек на кривой, причем устанавливается еще одно свойство—постоянство номера в точке, совпадающей с искомой при любом перераспределении масс точек, расположенных по одну сторону от искомой, а также рассмотрены некоторые обобщения этой задачи.

В случае непрерывного распределения масс на прямой задача решена нами в «Ученых записках» Горной академии.

НЕКОТОРОЕ ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ДЕЗАРГА

М. Юкин (Москва)

Пусть имеем два гомологических тетраэдра ABCD и ABCD, соответственные ребра которых пересекаются. Обозначим их ребра и грани следующим образом1

Тогда по условию pp' ~P; qq ЕЕ Q; rr' = R\ ll'z=.L\ mm' ~M и nn! ЕЕ N.

Теорема. Если соответственные ребра двух гомологических тетраэдров пересекаются, то точки их пересечения лежат в одной плоскости по три на одной прямой, образуя в этой плоскости 6 вершин полного четырехсторонника, а прямые, соединяющие соответственные вершины тетраэдров, проходят через одну точку.

Доказательство.

1. Треугольники BCD и BCD — гомологические с пересекающимися соответствующими сторонами, следовательно, к ним применима теорема Дезарга, т.-е. точки М, Ny Р лежат на одной прямой а; аналогично, рассматривая гомологические треугольники с пересекающимися сторонами CDA и CD А, найдем, что точки L, N9 Q лежат на одной прямой Ьу причем прямые а и b пересекаются в точке TV; следовательно, 5 точек Z,, Му Ny Ру Q лежат в одной плоскости со.

Далее из треугольников DAB и DAB следует, что L, Му R лежат на одной прямой с, а так как по предыдущему L и M лежат в плоскости (о, то и шестая точка R лежит в плоскости о>. Наконец, из треугольников ABC и ABC следует, что точки Ру Q, JR лежат на одной прямой dy также лежащей в плоскости со.

Если расположить рассуждение в формулах, получим следующую цепь силлогизмов:

1) Р лежит в а, Я лежит в о! 2) L лежит в ß, L лежит в ß'

M » » а, M » » а' N » » ß, N » » ß'

N » » а, N » » о! Q » » ß, Q » » ß'.

След., Ру My N лежат в аЕЕаХа'- След., L, N, Q лежат в öEEßXß'2.

3) L лежит в 7, L лежит в ]' 4) Я лежит в 8, Р лежит в 8' M » » f, M » » Y Q » » 8, Q » » Z' R » » T» R y> >y Y R >y » 8, /? » » 8E

След., Ly M, R лежат в £ = тХт' След., Я, Q, Р лежат в rf=8X^.

Из 1) и 2) следует аУ^Ь N, след., aft = w, след., /,, Му N, Ру Q

лежат в а>.

1 Большими латинскими буквами обозначаются точки, малыми латинскими— прямые и греческими плоскости.

2 Знак X означает пересечение, напр. а= ô х означает, что прямая а есть пересечение плоскостей ô и

Из 3) следует 6) LM=c лежит в со, следовательно, R лежит в с, следовательно, R лежит в со, и, наконец, из 4) и 5) следует, что 7) d лежит в со, т.-е. соответственные грани гомологических тетраэдров пересекаются в четырех прямых, лежащих в одной плоскости, образующих стороны четырехсторонника, вершинами которого служат точки пересечения соответственных ребер.

II. Так как по условию соответственные ребра пересекаются, то через каждую пару соответственных ребер можно провести плоскость.

1 ) ВС ^ В'С'=щ CA w СА'=*\ AB ^ А'В'=?\ AD ^ А'Н=1\ BD^B'D'=^ CD^CU=>.1

След., 2) АА1 лежат в х, р, x; След., ЛД'=(х X р) = (р * Х)=(ХХ*); » ВВ' » » 1г, р, [л; » ВВ' = (тт хр) = (рХ !*)=<!* X*); » СС » » X, тс, v; » СС=(*Хп)=Ы Xv)=(vXx)i

» DD' » » X, ц, v: » DD'=aX^=0*Xv) = (^ X v );

Пусть пересечением À, и, и р будет точка О,

4) ХХмХр^О; тогда в силу 4), след ,

5) (рХМ лежит в О; (x X !А) лежит в О; (цХ/7) лежит в О; далее, из 3) следует

6) (хХр) лежит в О; (^Хх) л^жит в О; (тгХр) лежит в 0;({хХ.тс) лежит в О; (^Xv) лежит в О; (j^Xv) лежит в О;

из 6), след., X лежит в О; тг лежит в О; v лежит в О; след., (кХ*) лежит в О; (я X v) лежит в О; (р X v) лежит в О.

Наконец, в силу 3) АА\ ВВ\ СС, DDf проходят через О. Таким образом доказана и вторая часть.теоремы. Обозначим:

AA'=f\ BB'=g; CC'=h; DD'=k.

Итак, мы получили конфигурацию Config. 154 в пространстве ^плоскостей:

а, ß, Т> s> а'> ß'> i> V> К Р> v> *i *> р> ш>

15 точек:

Л, Д С, Д Л7, В\ С, U, Ly M, N, Р, Q, /?, О,

20 прямых:

р, q, г, /, т, п, р\ q\ rf, 1\ т\ п\ а, Ь} с, d, /, g, A, k.

Из 15 плоскостей: 4 грани первого тетраэдра: а, ß, у, 8;

4 грани второго тетраэдра: а' ß' у' о7;

6 плоскостей, соединяющих соответственные ребра

л, ц, v, тс, X, р; 1 Дезаргова плоскость со.

Из 15 точек: 4 вершины первого тетраэдра: Л, 5, С, D;

4 вершины второго тетраэдра: А\ В, С, ГУ: 6 точек пересечения соответственных ребер тетраэдров: L, M, N, Р, Q, /?; 1 Дезаргова точка О.

Из 20 прямых: 6 ребер первого тетраэдра: /?, г, /, m, я;

6 ребер второго тетраэдра: //, г', /', /п', я'; 4 прямых пересечения соответственных граней тетраэдров а, о, с,

1 Знак w означает соединения, напр. ВС В' С'—п означает, что прямые ВС и В'С можно соединить плоскостью к (они лежат в одной плоскости лг).

4 прямых, соединяющих соответственные вершины тетраэдров; /, g, h, k.

В каждой плоскости этой конфигурации лежат 4 прямых и 6 точек (по три на одной прямой), т.-е. полный четырехсторонник.

Далее двойственно через каждую точку конфигурации проходят 4 прямых и 6 плоскостей (по три через одну прямую).

На каждой прямой конфигурации находятся три точки, и через каждую прямую конфигурации проходят три плоскости.

Теорема обратная. Если прямые, соединяющие соответственные вершины двух тетраэдров, проходят через одну точку, то соответственные ребра тетраэдров пересекаются, и точки их пересечения лежат в одной плоскости и по три на одной прямой.

Доказательство. По условию 1) f=AA проходит через О

g=BB' » » О

h=CC » » О

k=DD » » О.

Следовательно, эти прямые можно соединить плоскостями:

2) АА'^ВВ' = Р АА^СС = К АА ^DDr=\ ВВГ ~ СС=п BBr ^DDr=\x CC~D£y=v.

Отсюда следует, что соответственные ребра пересекаются в точках: 3) ABXA'B'=R ACXArC = Q ADX AU=L

всхвгс=р

BD x BrDr=M CDXCD'=N.

Далее, обозначая BCD=a B'CDr=ar

ACD = ^ ACH = $

ABD=y ABU =Y

ABC=Z А'В'С=Ъ',

находим, что 4) I, Af, N лежат в a=(c«XrjO I, TV, Q » » o=(ßXß') I, Af, R » » c=(TXt') P, Q, R » » d=(oX^y

Прямые а в M, имеющие общую точку TV, лежат в одной плоскости со; прямая су пересекающая а в m и пересекающая b в /., также лежит в ш, и, наконец, dy пересекающая b в Q и а в Я, также лежит в плоскости ш; следовательно, Z,. M, N, Р, Q, R лежат в аз, что и требовалось доказать.

О ЧИСЛЕ ТОЧЕК ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ТРЕХ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗЛИЧНЫХ ПОРЯДКОВ, ИМЕЮЩИХ ОБЩУЮ КРИВУЮ, ПРЕДСТАВЛЯЮЩУЮ ПОЛНОЕ СЕЧЕНИЕ ДВУХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

М. Юкин (Москва)

Известно, что три поверхности порядков т, п, р, не имеющих общей кривой, имеют тпр общих точек—точек пересечения всех трех поверхностей: через эти тпр точек проходят три кривые порядков пр, рт, тп их попарных пересечений.

Пусть дана некоторая кривая С порядка kl—полное сечение двух поверхностей порядков k и /:

Sk = 0; Тг=0; (I)1

Пусть далее даны три поверхности S\ S" и S'" порядков m, п, ру проходящие через кривую С, при условиях:

m > k; т> /; п > к; п> I; р > к; р > /.

Тогда их уравнения будут:

(S') + (2)

(S'") W=SkPp_k + v Tfi^ = 0 (4)

Казалось бы, что можно рассуждать так: поверхности S' и S" дают кривую порядка тп; если часть ее есть данная кривая порядка kl, то поверхности S' и S" пересекаются, кроме кривой С, еще дополнительно па кривой порядка тп — kl, а эта последняя имеет с поверхностью Sm (тп — kl)p = mnp — kip точек пересечения; аналогичным рассуждением, взяв кривую пересечения первой и третьей поверхностей со второй поверхностью, получим тпр — kin точек пересечения, а взяв кривую пересечения второй и третьей поверхностей с первой поверхностью, получим тпр — klm точек пересечения.

Получается как бы парадокс при таком рассуждении, ибо числа

тпр — klm; тпр — kin; тпр—kip

не равны между собой при различных т, п, р, а различные подсчеты одного и того же числа точек пересечения должны давать, конечно, одно и то же число.

Этот парадокс объясняется тем, что часть точек пересечения дополнительной кривой сечения двух поверхностей с третьей поверхностью падает на кривую С, общую всем трем поверхностям, и поэтому должна быть сброшена с общего их числа. Наша задача состоит в том, чтобы выяснить, сколько точек попадает из дополнительного сечения на ту же кривую С и сколько останется общих точек у трех данных поверхностей, кроме кривой С.

Пересечение Sf и S" состоит, во-первых, из кривой С порядка kl и, во-вторых,—из некоторой кривой С порядка тп — kl. Как следствие уравнений (2) и (3) получаем уравнение:

fe=7-fe'; или *^К^-Т'М~"»+=0- (5)

Уравнение (5) представляет поверхность порядка т + п — k — /, которая проходит через дополнительное сечение О поверхностей S' и

1 Сокращенно будем многочлены, стоящие в левой части уравнения, обозначать одной буквой с индексом внизу, который указывает на порядок этого многочлена.

но сечение поверхности (5) с S' состоит не только из С1, но еще из посторонней кривой, ибо уравнения:

имеют еще общее решение

Rm-k = 0; Мт^ = 0; (7)

представляющее кривую порядка (m —k)(m— /) = m2 — ml — mk-\- kl, которая не принадлежит поверхности Кривую С получим, отбрасывая из кривой (6) порядка т(т-\-п— k— /) = тп + m1 + km + Im кривую (7) порядка m2 — ml — mk-\-kl, откуда следует, что С будет порядка тп — kl. Аналогично пересечением S" и У" будет, кроме кривой С порядка kl, еще дополнительная кривая С" порядка тр — kl, которую получим из кривой порядка (п +/? - k — /) я = пр -{-ri- — kn — In, посторонней кривой

порядка п2—nk — ni -{-kl, не принадлежащей поверхности S"'.

Теперь можно сделать и подсчеты точек пересечения трех данных поверхностей тремя способами, хотя достаточно произвести его только одним способом, ибо из симметрии полученного выражения относительно m, п и р будет следовать, что оба других подсчета дадут то же самое число.

Кривая С порядка тп — kl имеет с поверхностью S"' порядка (тп — kl)p — тпр — kip общих точек. Часть из них лежит, однако, на кривой С, общей всем трем поверхностям.

Это общие точки поверхностей:

их будет kl(m-\- n — k — /).

Следовательно, y поверхностей S', S", S'", кроме общей кривой С порядка kl, будут еще общие точки в числе тпр — klp —kl{tn-\-n — k — I) или тпр — kl(m-{-n р)kl(k-{-1) (10)

Второй и третий подсчеты дадут очевидно тот же результат.

Пример. Если даны три поверхности второго, третьего и четвертого порядка, имеющие общее коническое сечение, то т — А\ п = 3; р = 2; & = 2; 1—\, и общих точек сверх конического сечения будет: 4 -3 • 2 — 2 • 1 (4+3 + 2) + 2 • 1 (2-+1) = 24 —2 ■ 9+2 3=24 — 18+6=12.

В частности, если все три поверхности одинакового порядка т, то формула (10; превратится в

Так, если три поверхности третьего порядка имеют общее коническое сечение, то они будут иметь еще 27 —18 + 6 = 15 общих точек, а три поверхности второго порядка с общим коническим сечением будут иметь еще 8 —12 + 6 = 2 общие точки.

Еще более частный случай: если С есть сечение двух поверхностей одинаковых порядков k, то формула (И) примет вид:

тъ — 3mk2 + 2ks.

Например, три поверхности второго порядка с общей прямой будут иметь еще 8 — 6 + 2 = 4 общие точки.

ОБ ОДНОЙ НЕУДАЧНОЙ ЗАДАЧЕ ИЗ КНИГИ Н. РЫБКИНА «СБОРНИК ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ».

(Часть I, Планиметрия, Гиз, 1927.)

Н. М. Зеликман (Щегловск).

На странице 37 этой книги имеются под № 278 две задачи одинакового содержания. Я остановлюсь лишь на второй из них. Вот ее формулировка.

В двух треугольниках большие стороны равны 1 м и 2 м, а соответствующие им высоты равны 8 дм и 1, 6 м. Подобны ли треугольники? Ответ гласит: да.

Подбор чисел, действительно, удовлетворяет пропорции

основание 1-го Д _ высота 1-гоД

основание 2-го Д высота 2-го Д

Но заключить отсюда, что треугольники подобны, опрометчиво.

Признака подобия двух треугольников — «2 треугольника подобны, если их основания пропорциональны соответственным высотам» не существует:

Насколько мне известно, эта задача фигурирует и в издании 1929 года.

Если изменить вопрос задачи на следующий: не исключается ли возможность подобия? — то ответ приобретает смысл.

ЗАДАЧИ.

61. Решить в целых и положительных числах уравнение:

х2у = 100ГЮл:4- у.

И. Кастровицкий (Сталинград)

62. Показать, что если каждая из величин vx и v2 не превосходит по абсолютной величине числа с, то и абсолютная величина выражения

не превосходит того же числа с. ' с1 В. Д. (Москва).

63. Доказать, что объем куба, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, более суммы объемов кубов, построенных на катетах. С. Адамович (Тула).

64 Доказать, что если целое число представляет собою сумму двух квадратов, то и всякая степень его тоже представляет сумму двух квадратов.

65. Через точку внутри круга проводят хорды, а в конце каждой хорды — касательные до взаимного пересечения. Показать, что геометрическое место точек пересечения касательных есть прямая линия.

66. Доказать, что если в тетраедре противоположные ребра взаимно перпендикулярны, то прямые, соединяющие середины противоположных ребер, равны между собою.

67. В данный треугольник вписать эллипс с данным фокусом.

68. Решить уравнение:

tgx— 4 sin2 л: (sin 2х — 4 cos2 x) = 2.

А. Бутомо (Саратов).

69. Решить уравнение:

sin (а — х). sin (b— х). sin (с — x). sin (d — xj — sxn^ x при условии, что a-\-b + c-f<i= 2тт.

A. Зайцев (Богородск).

70. Вычислить детерминант.

Л. Лодыженский (Тула)

71. Найти сумму п членов ряда

/ (1,2)+/ (2,3)+/ (3,4) + . . . ., где f {х,у) есть любой многочлен относительно х и у (обобщение задачи № 16).

А. Кованько (Баку).

72. Через точки M и N, взятые на сторонах прямого угла XOYy проводят прямые MP и NQ так, чтобы /_ ХМР— /_ YNQ. Найти геометрическое место точек пересечения прямых MP и NQ.

Г. К. (Пенза).

Поправка. Условие задачи № 28 должно быть исправлено следующим образом: Решить систему уравнений:

73. Решить уравнение:

xs — a* (a2 -ra + V)x — a4 (a + l) = 0.

74. Решить неравенство:

x2 + x — j/Л < Л.

75. Решить уравнение:

X3 — 6л: + 6 = 0.

76. К двум внешне касающимся окружностям провести секущую так, чтобы она окружностями делилась на три равные части.

Ф. Гусев (Москва).

77. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и разности двух линий, соединяющих центр вписанного в него круга с вершинами двух острых углов.

78. Найти предел суммы членов ряда

Пав. Хайдуков (Петровск).

79. Доказать тождество:

sin 2a cos (зо° -f а ) cos (з0° — у) = cos a cos у sin у.

В. Ефимов (Пермь).

80. Решить уравнение:

Поправка. В №6 в задаче № 54 вместо (лг + 1) должно быть (х 4-1)1, а з № S8 должны быть прибавлены слова: «то sin (Ix —у) = k • sin_y».

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ.

29. Найти предел суммы членов ряда:

А+А.1 + А А. А <

Ь^б 9^6 9 12 ' ' ' * ' Данный ряд можно представить в виде:

Если положим f (х) = (\ — 2 х) , то будем иметь:

Откуда / (0) = 1; / (0) = 3;/' (0) = 3'5;/" (0) = 3-5-7; и т. д. Поэтому, разлагая f (х) в ряд Маклорена, получим:

причем ряд будет сходящимся, если

Разделив обе части предыдущего разложения на Зл:, находим:

а если положим x = -j то получим:

Таков предел суммы членов данного ряда.

А. Дмитровский (Москва).

30. Доказать, что при F(0) и F(1) нечетных уравнение:

F{x) = a0xn + alxn-1-\-a2xn-*+ . . . . -f ап = 0 где а. — целые числа, не имеет целых решений.

Из условия теоремы следует, что сумма a0+#i+ • • . -}-ап , есть число четное, тогда как ап — нечетное. При четном х многочлен F(x) не может обратиться в нуль, так как в этом случае все его члены, кроме ап, четные числа. Если же х число нечетное, то четность или нечетность какого-нибудь члена а^п~~1 совпадает с четностью или нечетностью коэффициента ар откуда ясно, что сумма а0хп -f- аххп "~1 -j- ... ... -f- aH_Axv как и сумма коэффициентов а0 + аг -f- . • • + , есть число четное, а так как ап—нечетное число, то и в этом случае F(x) не может обратиться в нуль.

П. Сапунов (Владимир), А. Дмитровский (Москва).

31. Решить треугольник по углу Л, высоте ha и сумме двух сторон Ь-\--\-с — т. Построить треугольник по тем же данным.

Сравнивая два выражения для площади треугольника, имеем:

a. ha = be. sin А.........(1)

а возводя в квадрат обе части данного равенства, получим:

Ь2-\-гЬс-\-с2 = т>.........(2)

Но по известной теореме тригонометрии

b* + c2 = a2 + 2 be. cosA........(3)

поэтому равенство (2.) принимает вид:

а2 + 2bc (l+cos^) = m2.......(4)

Заменив здесь be через -^ч- находим

sin /\ ,

1+ 2a-fta.2co84 i = Q ^ 2 sin Acos^

т.-е. квадратное уравнение относительно стороны а:

а2 + 2h • ctg f . а - m2 = 0.........(5)

Найдя отсюда а, мы можем остальные элементы найти обычным путем, напр., по формуле Мольвейде. Уравнение (5) дает нам:

Отсюда мы видим: 1) что задаче удовлетворяет только одно значение а, соответствующее верхнему знаку перед радикалом; 2) что полученную формулу для а нетрудно построить. В самом деле,

представляет собою гипотенузу такого прямоугольного треугольника, в котором острый уголку, а противолежащий этому углу катет равен А. Вычитая из построенной таким образом гипотенузы величину A.ctg^ которую мы уже знаем, найдем длину стороны а.

Итак, задача свелась к построению треугольника по углу А, противолежащей ему стороне а и сумме двух других сторон, а эта задача— общеизвестна (см., напр., Киселев, Элем, геом., 23 изд., стр. 381).

А. Дмитровский (Москва), С. Адамович (Тула), X. У. (Ростов-на-Дону), А. Зимин (Кинешма), Н. Хайдуков (Петровск), П. Сапунов (Владимир).

32. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен углу между ребром и плоскостью основания. Вычислить двугранные углы этой пирамиды.

Если обозначим через а плоский угол при вершине пирамиды, через а сторону основания и через / боковое ребро, то будем, очевидно, иметь sin\~i£p рассматривая же а как угол между боковым ребром и плоскостью основания, получим: cos а = Ту^о '

Из этих уравнений следует, что cos а = ]/2 sin-^-, откуда

и для определения а получается квадратное уравнение:

дающее для cos а единственное возможное значение cosa =-----~—, а

отсюда а = 51°49'38".

Далее, если ß есть двугранный угол между боковою гранью и плоскостью основания, то, проведя апофему пирамиды и апофему основания, найдем:

откуда для ß получим значение: ß = 60°55'50".

Наконец, чтобы определить угол 7 между двумя соседними боковыми гранями, опустим из концов диагонали основания перпендикуляры на боковое ребро. Тогда получим равнобедренный треугольник, основание которого равно a ]/2, боковая сторона / sin а и угол при вершине

Поэтому

или, так как по предыдущему cos a = sin2a, то sin -~= sin а; отсюда

j=a и Y = 2a = 103°39,16,/

А. Дмитровский (Москва), С. Адамович, Л. Лодыженский (Тула), Я. Сапунов, Н. Шуйский (Владимир), А. Бутомо (Саратов), X. У. (Ростов-на-Дону), А. Зимин (Кинешма), А. Билима-Постернаков (Тула).

33. Найти площадь треугольника, образованного тремя касательными, проведенными к параболе, заданной уравнением у2 = 2рх, в точках

(*! л) (Х2 У2), (*з> Уз)-

Уравнения касательных к параболе в данных точках таковы:

рх —у,у +рхг = 0; рх —у2у -j- рх2 = 0; рх —у3у -f pxz = 0

Пользуясь известной формулой, выражающей площадь треугольника 5 по уравнениям его сторон, найдем:

Детерминант, стоящий в числителе, равен удвоенной площади треугольника, имеющего вершинами точки касания. Поэтому, обозначая площадь этого треугольника через Q, получим:

А. Дмитровский (Москва), Л. Лодыженский (Тула), А. Бутомо (Саратов), А. Зимин (Кинешма), X. У. (Ростов-на-Дону], П. Сапунов, М. Машков (Владимир). А. Агамалов (Актюбинск).

34. Решить уравнение:

Выражая все входящие функции через sin х и cos х, можем придать уравнению вид:

или

Обозначим sin x -j- cos x = z. Тогда sin x cos x = —^— (2) Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

z (1+ -2---)-ь|-(г2-1) + 1=о,

или

z3-f-3z2-fz— 1 =0.

Левая часть последнего уравнения распадается на множителей:

(z -f 1 ) (z2 + 2г — 1 ) = 0, откуда гд = — 1 ; z2 = — 1 ±|/"2.

Остается решить три уравнения:

sin л: -f- cos л: = — 1;

sin x -j- cos x = yr2 — 1

sin x -f- cos x = — ( ]/" 2 1 )•

Из первого уравнения имеем: cos (x — 45°) = — ~^2* откуда Ху = 45° ±135° + 360° n, но так как при этих значениях либо sin х, либо cos х обращаются в 0, а, следовательно tg л: и se х, или ctg* х и esc х делаются бесконечно большими, то углы, даваемые хи не удовлетворяют задаче.

Из второго уравнения имеем:

и по логарифмам находим:

X = 45° ± 72° 58'7" + 360°я. Наконец, из последнего уравнения никаких значений для угла х не получается.

А. Дмитровский (Москва), А. Бутомо (Саратов), А. Зимин (Кинешма), А. Билима-Постернаков (Тула), М. Машков, П. Сапунов (Владимир).

35. Найти уравнение поверхности, получающейся от вращения круга около прямой, лежащей в его плоскости.

Круг, лежащий в плоскости XZ> если ось O.Y проведена через его центр, выражается уравнением:

(x--ft)2+z2 = a2,

где а — радиус, b —абсцисса центра.

Чтобы получить уравнение поверхности, образованной вращением этого круга около оси г, надо в предыдущем уравнении заменить координату x расстоянием z соответствующей точки поверхности от оси z, т.-е. Ух2-\-у2. Таким образом уравнение поверхности будет:

Преобразуя его, получаем:

А. Дмитровский (Москва).

36. Показать, что tg3 20°, tg2 40° и tg 80° суть корни уравнения

Замечая, что tg20°.3 = tg60o = j/3^ tg 40°- 3 = tgl20° = — |/3~ и tg80°-3 = tg240° = j/3, и пользуясь формулой для tg3a:

приходим к трем тождествам:

Если возвысим обе части каждого из них в квадрат, то увидим, что все три тангенса являются корнями уравнения.

Откуда 9 x2 — 6 + X* = 3 — 18 х2 -f 27 л;4,

или

Поэтому tg* 20°, tg2 40° и tg2 80° представляют корни уравнения x3-33 х2+27 х-3 = 0.

Л. Дмитровский (Москва), А.Зимин (Кинешма), Б. Сапунов (Владимир).

37. Решить уравнение:

Полагая^тх— со$>х=у, имеем: 1—sm2x=y2 и уравнение принимает вид:

Решая его, находим: yx = j\ у2—3. Отбрасывая последнее значение, так как (sinx — cosx) не может равняться 3, имеем

или

А. Дмитровский (Москва). А. Бутомо (Саратов), X. У. (Ростов-на-Дону), Н. Сапунов (Владимир), С Адамович (Тула), А. Зимин (Кинешма), А. Билима-Постернаков (Тула), Н. Хайдуков (Петровск), Я Машков (Владимир), А Агамалов (Актюбинск).

38. Показать, что уравнение

х» + (аЬ-\-\)x3 + ad x2 -L-b-x-\-d = 0

может быть разрешено в радикалах только второй и третьей степени.

Левую часть данного уравнения можно разложить на множители, группируя члены следующим образом:

х* (ах2-\- 1)-р bx(ax2-\- \)d-\- (ах2-\- 1 ^ = О

отсюда

(ах2-\-1) (0c3-f abx~\-ad) = 0.

Следовательно, два корня определятся из квадратного уравнения:

a x2 -f 1 = 0; х1 , 2 = '

а остальные из кубического

x'à -f- айл' -j- arf = 0 и выразятся кубическими радикалами, что и требовалось доказать.

А. Бутомо (Саратов), А. Зимин (Кинешма), С. Адамович (Тула), П. Сапунов, М. Машков (Владимир), А. Агамалов (Актюбинск).

39. Доказать, что при неравных положительных числах а, Ь, с a*Jrb*-\-(*Jr3abc>a?(b-\- с) + Ь2 (с + а) + с2(а + Ь).

Перенеся все члены из правой части в левую и сделав преобразования, представим неравенство в таком виде:

a{a — b)(a — c)-\-b(b — a){b — с)-\-с(с - а){с — b) > 0.

Если теперь а > b > с, то первый член левой части положителен, второй—отрицателен и по абсолютной величине меньше первого, третий член положителен; значит, вся левая часть есть положительное число, и неравенство справедливо. Если а > b и b = с или а — Ь и Ь> с, то остается только первый или третий члены, и опять неравенство выполняется, потому что этот оставшийся член положителен. В случае, если а — Ь — с, неравенство обращается в равенство.

А. Дмитровский (Москва), С. Адамович (Тула), Е. Воскресенская (Сормово), П. Хайдуков (Петровск).

40. Решить систему:

Полагая

Zak = Zbk= • • =Ъпк=р и, сложив все данные уравнения, находим:

-----f хп)'+'=Аг+А2 + - - - + An = ZAk,

откуда t + !

. ....

Если заменим теперь в данных уравнениях сумму хх -f- ~г ' ' ' ~\~хп этим выражением, то придем к системе п линейных уравнений с п неизвестными.

А. Дмитровский (Москва), П. Хайдуков (Петровск), А. Агамалов (Актюбинск).

41. Найти два целых числа, обладающих тем свойством, что сумма цифр квадрата одного равна другому числу.

Покажем прежде всего, что если число N имеет больше двух цифр, то сумма цифр его квадрата меньше N. Пусть N есть /г-значное число. Тогда его квадрат имеет не больше 2п цифр и потому сумма цифр этого квадрата не может быть больше чем 18/г. С другой стороны, Л/>-10л~1, а при п > 2 справедливо неравенство: 10Л ~1 > 18 п. Следовательно, N > 1 8л.

Из этого предложения следует, что по крайней мере одно из двух искомых чисел N и N' должно иметь не больше двух цифр. В самом деле, если бы оба искомые числа имели больше двух цифр, то было бы одновременно: N > N' и N<N', что невозможно. Итак, надо искать решения среди однозначных и двухзначных чисел. Однозначные числа решения не дают. Что касается двухзначных чисел, то их достаточно испытать только до 36. Действительно, пусть двухзначное число N больше 36. Тогда сумма цифр его квадрата, как квадрата двухзначного числа, меньше 36, т.-е. N' < 36, а в таком случае сумма цифр квадрата числа N' тоже меньше 36 и не может быть равна N.

Просматривая таблицу квадратов чисел от 11 до 36, находим, что единственная пара чисел, удовлетворяющая условию задачи, есть 13 и 16.

Н. Хайдуков (Петровск), А. Дмитровский (Москва), Е. Воскресенская (Сормово).

42. Доказать, что число (1 • 2 • 3 . . . 28)-f 233 делится на 899. Представим данное число N в виде:

iV=(l • 2 • 3 . . . 28)-fl+29 . 8 и заметим, что, так как 29 — число простое, то, по теореме Вильсона, (1-23. . • 28) -f-1 делится на 29; значит, и все число N делится на 29. Теперь, умножив N на 29 30, будем иметь:

29 • 30N= (1 • 2 • 3 - 30) -f 233 . 29 • 30,

или

29 * 30yV=(1 - 2 - 3 . - - 30) -f-233 • (31 —2) • (31 —1), или, наконец,

29.30/Vr=(l -2-3. . . 30)-f ЗИ-f 466 = (1 -2 - . . 30) + 1 + 3«+ 31 -15, где t — целое число.

Так как число 31 простое, то, по теореме Вильсона, число (1 • 2 • 3 • • 30)-j- 1 делится на 31; значит, 29 • 30 N, а в таком случае и само /V—делится на 31. Но если число N делится на простые числа 29 и 31, то оно делится и на их произведение, т.-е. на 899.

А. Дмитровский (Москва), Н. Хайдуков (Петровск).

43. Построить прямоугольный треугольник по сумме двух катетов и биссектрисе прямого угла.

Пусть ABC искомый треугольник, в котором сумма катетов АС-\-ВС = а и биссектриса прямого угла CD — b. Если обозначим АС через X и ВС через у и отложим на продолжении ВС отрезок СЕ, равный АС, то AE\\CD, и мы имеем пропорцию:

АЕ _ВЕ CD~ ВС'

или

х j_ 2_откуда ху = .

b - у У 2

Это приводит к следующему построению х и у. Строим полукруг на диаметре MN, равном а, откладываем на нем MP=j^— и проводим PQJlMN до пересечения с полуокружностью в точке Q.

Тогда MQ2 = -CL^' Если теперь на перпендикуляре к MN в точке M отложим MR = MQ> проведем RS\\MN до пересечения с полуокружностью в точке S и опустим из S перпендикуляр ST на MN, то отрезки МТ и TN будут катетами искомого треугольника. Действительно,

MT+TN=a; МТ • TN=ST2 = MQ* = -^~■-.

А. Дмитровский (Москва), Н. Хайдуков (Петровск), X. У. (Ростов-на-Дону), С. Адамович (Тула), П. Хайдуков (Петровск).

44. В треугольнике ABC медианы ВМ и CN взаимно перпендикулярны. Доказать, что cos^>-y-

Обозначив через G точку пересечения медиан, из Д BGC имеем:

Далее

откуда

Поэтому предыдущее равенство дает:

откуда

Если теперь в выражении для cos Л:

заменим а- через —g—, то получим:

Но так как (о — г)2 > 0, то b2 + c~>2bc и b~Jbf > 1;

следовательно, cos Л > 5 •

Л. Дмитровский (Москва), В. Бутомо (Саратов), X. У. (Ростов-на-Дону), Пав. Хайдуков (Петровск).

45. Найти истинное значение выражения:

Преобразуя данное выражение, имеем:

откуда видно, что при х = 0 оно обращается в нуль.

А. Дмитровский (Москва), В. Бутомо (Саратов), X. У. (Ростов-на-Лону), А. Левшук (Иркутск;, Е. Воскресенская (Сормово), И. Шуйский (Владимир), А. Агамалов (Актюбинск).

46. Найти целые положительные решения уравнения:

Если положим x=y-\-t(t> 0), то данное уравнение преобразуется в такое:

или после упрощений

откуда

или

причем перед корнем надо взять знак -j-, так как у должно быть положительным числом. Теперь мы должны найти такие целые значения для t, чтобы З^2 —j— 1 было точным квадратом некоторого числа и; при этом, будет ли t четным или нечетным, в обоих случаях у будет числом целым. Но, положив 3t2-\-\=v2y или и2 — 3£2=1, мы приходим к так называемому уравнению Пелля. Из теории этого уравнения следует, что для нахождения его целых и положительных решений надо разложить в непрерывную дробь (она будет бесконечной и притом периодической) и составлять подходящие дроби. Это разложение таково:

или, сокращенно,У~3 — (1, 1, 2, 1, 2, ...); подходящие дроби: J_. J2. _5_. 26. 71. 97. 265. 362.

По теории уравнения Пелля, знаменатели дробей, стоящих на четных местах, дадут значения t> а их числители — значения и.

Таким образом, для t и и найдем следующие пять первых значений:

Для определения х и у имеем уравнения:

у=-f— ; x=y + t}

откуда находим пять первых значений для х и у:

А. Дмитровский (Москва), Н. Хайдуков (Петровск), Е. Воскресенская (Сормово) И. Шуйский (Владимир).

47. Построить окружность, проходящую через две данные точки и ортогональную к данной окружности.

Так как ортогональный круг характеризуется тем, что касательная к нему из центра О данного круга равна радиусу R этого последнего, то, обозначая через А и В данные точки и через С вторую точку пересечения прямой OA с искомым кругом, имеем: OA • ОС = R2.

Если А — внешняя точка, то для построения точки С проводим полуокружность с диаметром OA и из точки D ее пересечения с данным кругом опускаем перпендикуляр DC на OA; если же А — внутренняя точка, то проводим AD jl OA до пересечения с данным кругом в точке D и в этой точке строим касательную DC к данному кругу. Когда, таким образом, точка С построена, то остается провести окружность через три данные точки Л, В и Сш

Если точки А и В лежат на одной прямой с центром данного круга, то ортогональный круг обращается в прямую AB.

А. Дмитровский (Москва), X. У. (Ростов-на-Дону), И. Хайдуков (Петровск).

48. Вычислить выражение:

Полагая

приведем данное выражение к виду:

Так как

далее, откуда

Поэтому данное выражение равно:

верхний знак дает ^rz?=4-; нижний знак дает

А. Дмитровский (Москва), В. Бутомо (Саратов), Пав. и Н. Хайдуковы (Петровск), X. У. (Ростов-на-Дону), А. Левшук (Иркутск), А. Агамалов (Актюбинск).

49. Показать, что выражение (a-\-bi)p+qi может быть представлено в виде A-±-Biy где числа а, 6, /?, qy А, В — действительные и i = Y—Ï.

Представим а-\-Ы в тригонометрической форме:

Отсюда получим:

А. Дмитровский (Москва), X. У. (Ростов-на-Дону), Пав. Хайдуков (Петровск), Л. Лодыженский (Тула).

50. Вычислить действительные корни уравнения:

с пятью десятичными знаками.

Очевидно, что данное уравнение не может иметь положительного корня. Если положим х = —у у то уравнение приведется к виду:

или

Так как при изменении у от 0 до -\- оо функция у2у непрерывно возрастает также от 0 до -{-оо, то уравнение j/2y = 0,25 имеет один положительный корень. Логарифмируя обе части уравнения, имеем:

откуда, обозначая искомый корень через а, непосредственно видим, что 0,2 < а < 0,25.

Далее, пользуясь таблицами, последовательно найдем:

0,21 < а < 0,22 0,215 <а< 0,216 0,2153<а<0,2154 и 0,21533 < а < 0,21534,

причем а значительно ближе к 0,21534.

Таким образом а = 0,21534, откуда корень предложенного уравнения равен —а = — 0,21534.

А. Дмитровский (Москва), Н. Хайдуков (Петровск), С. Адамович (Тула).

БИБЛИОГРАФИЯ

В. П. Фармаковский. Техника выполнения графических расчетов, Опыт рационализации процесса выполнения графических расчетов, основанный на теоретическом и экспериментальном исследовании ошибок графических построений. Выпуск I, издание Военно-технической академии РККА имени тов. Дзержинского. Л., 1928, стр. 115, ц. 1 р. 80 коп. (Издание литографированное.)

Хотя геометрия давно уже пользуется чертежом для приближенных численных расчетов, но теории ошибок геометрических построений до сих пор не существует, если не считать нескольких отдельных и недостаточных попыток (обзор их можно найти у F. Klein'a,—«Präzisions-und Approximationsmathematik», 1928, стр. 171—174). В этом отношении геометрия явно отстала от анализа. При вычислении по какой-либо формуле, зная распределение погрешностей в данных, т.-е. вероятности различных значений погрешностей каждого из данных, можно установить, основываясь на созданной Гауссом теории ошибок, закон распределения погрешностей в результате. На практике эти распределения характеризуют, указывая соответствующие предельную и среднюю квадратическую погрешность, или даже только одну последнюю (в предположении нормального закона распределения). Подобный учет погрешностей, хотя бы в той упрощенной его форме, какую дает применение правил подсчета цифр, совершенно необходим при всякого рода численных расчетах. Ничего подобного не существует в геометрии. Получая те или иные интересующие нас численные значения с эпюра, или производя расчет посредством номограммы, мы имеем лишь весьма смутное представление о точности получаемых результатов. Нужна геометрическая теория ошибок, которая прежде всего должна выяснить, с какими погрешностями связано выполнение различных элементарных графических операций, а затем дать способы оценки точности результатов, получаемых посредством более сложных геометрических построений.

Вторая глава рассматриваемой книги тов. Фармаковского и дает ответ на первый из этих вопросов. Систематически и подробно освещены наиболее часто применяемые элементарные графические построения: постановка точки на данной прямой и на пересечении двух прямых, проведение прямой через данную точку и через две данные точки, проведение прямой через точку пересечения двух прямых, установка линейки по данному прямолинейному отрезку, откладывание отрезков заданной длины и т. п. Для каждой такой элементарной операции разработаны методы оценки погрешностей, проделаны десятки и сотни опытов, собранный числовой материал обработан и охвачен простыми эмпирическими формулами. Так, например, рассматривая постановку точки на пересечении двух прямых, образующих угол а°, автор дает для оценки погрешности (в направлении каждой из пересекающихся прямых) формулу

см. стр. 55), вполне подтверждающую основательность того страха перед «скользящим пересечением», о котором можно прочесть во всяком более подробном руководстве номографии. Здесь s означает среднее значение длины (в мм) проекции (на любую из пересекающих прямых) отрезка, соединяющего точку пересечения осей двух штрихов, изображающих эти прямые, с центром кружка, изображающего точку. Автор указывает, что формула эта справедлива в случае штрихов нормальной толщины (0,12 ми). В заключении он делает общую оговорку (стр. 113), что полученные им формулы относятся к одному определенному лицу, и приглашает читателей к повторению соответствующих опытов. Возможно, конечно, что приводимые им значения численных коэфициентов в формулах погрешностей и придется несколько изменить, когда будет накоплено больше опытного материала, но важно то, что установлен вид этих формул и указаны методы получения численных коэфициентов. Произведенное автором исследование позволяет ему установить ряд практических правил, определяющих наилучшие способы выполнения каждой элементарной операции.

Главе II предшествует введение, где выясняется цель исследования и напоминаются некоторые нужные автору предложения теории ошибок, и гл. I, содержащая изложение способов поверки чертежных инструментов и способов получения численных характеристик имеющихся в этих инструментах уклонений. Здесь автор опять-таки приходит к ряду вполне обоснованных заключений практического характера, важных как для чертежников-практиков, так и для предприятий, изготовляющих чертежные инструменты, и в первую очередь Тресту точной механики.

В заключение отметим один небольшой недочет. Автор рекомендует (стр. 44, 62) пользоваться толщиной человеческого волоса, как некоторой постоянной мерой, и считает эту толщину в среднем равной 0,07 мм. Между тем, толщина человеческого волоса, взятого от разных людей, очень различна, да и толщина одного и того же волоса сильно меняется от корня к концу. Надо поискать другой, более постоянный эталон. Им с успехом мог бы служить медный или никелиновый провод, употребляемый при обмотке телефонных катушек и изготовляемый разных весьма малых диаметров. Можно было бы взять провод диаметром 0,10 мм или 0,05 мм, который легко достать (в любом магазине радиодеталей).

Пожелаем автору скорейшего опубликования следующих выпусков, где ему предстоит исследовать вопросы о погрешностях различных более сложных употребительных на практике построений. Желательно, чтобы это исследование шло до графических способов интегрирования диференциальных уравнений включительно. Судя по книге того же автора «Пособие для графических расчетов. Действия над эмпирическими кривыми и над функциями, заданными графически» (Гостехиздат, 1926 г.), где, между прочим, рассмотрен и вопрос о погрешностях графического интегрирования функций, автор имеет все данные для успешного выполнения этой весьма обширной и чрезвычайно важной работы.

В. Брадис.

Проф. А. П. Яшнов. Методика основ механики. Москва, 1929 г.

Книга дает методический обзор основных понятий механики: скорость, ускорение, инерция, масса и др. В школьном преподавании эти понятия, к сожалению, часто даются в неопределенной, а иногда и неверной форме. Автор умело вскрывает ошибки трафаретного изложения механики и указывает приемы правильного освещения этих вопросов. Чрезвычайно важно, чтобы учащиеся оперировали с каждой величиной, встречающейся в формулах и уравнениях механики, как с величиной физической, и смотрели на самые уравнения как на физические законы; постоянно приходится наблюдать заучивание формул без осознания их физического смысла. Небольшая книжка проф. А. П. Яшнова поможет преподавателю не сбиться с верной дороги в этом трудном деле.

Нельзя не отметить, впрочем, некоторых рискованных приемов. Например, объяснение неопределенного выражения посредством непосредственного деления нуля на нуль (стр. 16—17) вместо обычного способа поверки деления умножением; еще можно получить первую цифру частного, например, написать — 3; но как получить в частном 125,4, когда автор совершенно справедливо замечает, что нуль в остатке означает конец деления?

Точно так же вызывает недоумение следующее место: «Иногда случается, что учащиеся выражают недоумение, каким образом можно говорить и о скорости и об ускорении в один и тот же момент времени. Такое недоумение можно пояснить таким сравнением: каждый момент настоящего есть граница между прошедшим и будущим; скорость в данный момент есть как бы результат всего прошедшего в процессе

движения (закон сохранения скорости), а ускорение можно считать как бы элементом будущего, возникающего как результат действия силы; но то и другое имеет место в данный момент настоящего». Но если ускорение есть результат действия силы, стало быть, оно есть, как и скорость, результат прошедшего; с другой стороны, и скорость есть элемент будущего именно по закону сохранения скорости, а потому подобное пояснение только увеличивает недоумение. Оба эти места, однако, не имеют существенного значения, так как первое относится к математической стороне вопроса, а второе носит философский характер.

Нельзя не пожалеть, что помещенная в конце книги литература не снабжена критическими указаниями: среди приведенных книг есть как раз учебники, содержащие разбираемые автором методические и научные ошибки.

Книжка правильно называется «Методикой основ механики», а не методикой механики, потому что в ней нет ничего по общим методическим вопросам: о построении курса в целом, фузионизме, о месте и значении лаборатории, связи с техническими вопросами и др. Надеемся, что почтенный автор поделится когда-нибудь с читателями своим богатым опытом и в этой области.

В. Д.

Л. Г. Асатиани. Большие счетные таблицы для механического и быстрого умножения и деления. Статистическое издательство ЦСУ СССР, М., 1929. Стр. 218, формат 23 см X 97 см, цена (в переплете) о руб.

Дороговизна арифмометров заставляет весьма приветствовать появление всякого нового пособия, хотя бы отчасти заменяющего счетную машину. В виду этого намерение Центрального статистического управления СССР притти на помощь статистикам (и всем вычислителям вообще), не располагающим арифмометрами, путем издания обширной таблицы, механизирующей труд получения произведений и частных многозначных чисел, заслуживает всемерного сочувствия. Интерес к изданной ЦСУ таблице повышается еще в силу того обстоятельства, что она, в отличие от подавляющего большинства аналогичных таблиц, ставит себе целью получение не точных, а приблизительных результатов, а именно только первых четырех значащих их цифр. К сожалению, ближайшее ознакомление с таблицей обнаруживает в ней серьезные недочеты. Хорошее намерение оказывается далеко не вполне удовлетворительно осуществленным.

Таблица состоит из двух частей. Часть I содержит точные произведения всех целых чисел от 3 до 999 на каждое целое от 1 до 99 и, сверх того, особые таблички поправок для деления. Если не считать этих поправок, то здесь мы имеем то же самое, что и в общеизвестной таблице О'Рурка1). Наличность такой таблицы произведений существенно упрощает работу умножения произвольного числа на трехзначный множитель и деления произвольного числа на трехзначный делитель. Возможно применение подобной таблицы и в случае, когда множитель (или делитель) имеет больше трех цифр, но практика показывает, что сколько-нибудь заметной пользы она здесь не приносит. Дополнительные таблички поправок, имеющиеся в рассматриваемой таблице ЦСУ, служат для деления и позволяют довольно просто находить первых 4 значащих цифры частного двух произвольных чисел, сколько бы цифр эти последние ни имели. Ошибка получаемого частного не превосходит, согласно указанию на стр. 6, двух единиц разряда 4-й значащей цифры этого частного. Чтобы упростить умножение четырехзначного числа на произвольное число, служит вторая часть таблицы, содержащая произведения всех чисел от 1000 до 9999 на каждое из чисел от 1 до 9. Надо раскрыть таблицу на том месте, где помещены произведения данного четырехзначного множимого, взять его произведения на все последовательные цифры множителя и сложить их, сдвигая, как обычно, каждое следующее частное произведение на одно место в сторону. Сложение делается или на бумаге, или на счетах. Разумеется, эта вторая часть таблицы может быть полезна и в том случае, когда требуется найти приближенное четырехзначное произведение двух произвольных многозначных чисел («Правила пользования таблицей» на это, однако, не указывают). Надо лишь округлить данные до 4 значащих цифр каждое, затем перемножить их указанным способом. Округляя произведение тоже до 4 значащих цифр, мы получим, как можно показать, искомое произведение со средней квадратической погрешностью около 0,6 единицы разряда последней (4-й значащей) его цифры и с предельной погрешностью в 6 единиц этого разряда. При этом округлять надо по обычному правилу (с усилением последней сохраняемой цифры в случае, когда первая из отбрасываемых цифр больше 4). В рассматриваемой таблице, отметим это кстати, почему-то употребляется исключительно округление по недостатку.

Итак, основным назначением рассматриваемой таблицы является, повидимому упрощение четырехзначного вычисления, т.-е. упрощение процесса получения прибли-

1) Инж. О'Рурк. Таблицы умножения. 11-е стереотипное издание Государственного технического издательства, М., 1929, стр. 495-f 16, формат 12 сл*Х14,5 см, цена (в переплете) 2 р. 50 к.

женных до 4 значащих цифр произведений и частных. Задача, несомненно, вполне заслуживает внимания. Действительно, тех 3 значащих цифр, которые в большинстве случаев дает счетная логарифмическая линейка (обычной длины в 25 см), нередко бывает мало, между тем как одна добавочная цифра часто уже устраивает. Конечно, здесь возможно обращение к таблице 4-значных логарифмов, дающей нужную точность, но надо заметить, что вообще применять логарифмы выгодно лишь тогда, когда искомый результат появляется лишь после ряда действий. Если же, как это часто бывает, требуется найти только произведение двух сомножителей или частное двух данных чисел, то выгоднее воспользоваться таблицей произведений: для решения подобной задачи нужно сделать три подыскания в таблицу логарифмов, не считая уже сложения (или вычитания) логарифмов, хорошая же таблица произведений должна давать результат после одного подыскания.

Таблица ЦСУ решает более или менее удовлетворительно только задачу 4-значного деления. Механизация, получаемая от применения таблицы, а именно второй ее части, при выполнении 4-значного умножения очень незначительна и не превосходит той механизации, какую дает применение палочек Непера (последние, при этом, позволяют получить результаты со значительно большим числом цифр). Нельзя не пожалеть, что составитель таблицы не построил для умножения поправок, подобных тем, какие им даны для деления. Тогда, вероятно, можно было бы обойтись одной лишь первой частью таблицы. Еще лучше было бы построить такие таблички поправок, которые служили бы одновременно и для умножения и для деления. Такого рода поправки мы находим в таблице Б. В. Нумерова, дающей приближенные значения произведений и частных с точностью до 3 значащих цифр1.

Неудобное умножение и является основным недостатком таблиц ЦСУ.

Второй серьезный недостаток — это крайне неэкономное расположение табличек поправок (в первой части). Эти таблички построены в виде треугольников, и под каждым таким треугольником, занятым цифрами, имеется ровно столько же незанятого места. Целый ряд страниц, начиная с 14 и далее, имеют совершенно необыкновенный вид: слева—узенький столбик основной таблицы (там, на стр. 14 — произведения 100 на каждое из чисел от 1 до 99), далее—громадный треугольник поправок, занимающий половину двух смежных страниц (14-й и 15-й), а под ним—такой же величины треугольник белой бумаги. Подобная растрата бумаги, недопустимая вообще, особенно недопустима в таблице, так как без нужды значительно увеличивает ее объем, а, следовательно, и ее цену и, главное, трудность обращения.

Самые поправки вычислены по принципу, который автором не разъяснен, хотя «Правила пользования таблицами» оканчиваются на середине стр. 6, и вся вторая половина этой страницы оставлена пустой. Можно догадываться, что поправки частного /\q вычислены по формуле Д# = q A b : (b -}- /\£), где Ь-\- Д&—делитель, Ь — та его часть, какую образуют первые три его цифры, q — частное от деления на Ь Д# — поправка, какую надо отнять от г/, чтобы получить частное от деления на Ь + Д Ь. Однако, одна табличка поправок дается для нескольких пар значений b и Д&, и неясно, по какому именно закону построены такие таблички. Поэтому трудно проверить правильность утверждения автора, что «в четвертом знаке (частного) возможны ошибки на одну единицу, а в исключительно редких случаях—на две единицы" (стр. 6). Во всяком случае, можно указать примеры деления, когда ошибка 4-значного частного полученного посредством таблицы, оказывается несколько больше 2 единиц разряда 4-й значащей его цифры. Так, частное от деления 151 367 900 на 20 455, равное 7 400,04..., оказывается по таблице равным 7 398. Кстати, отметим странный термин «логарифмические диференциации», употребленный автором в этом пункте без объяснений и означающий, повидимому, пропорциональные части в таблице логарифм.

Издана таблица опрятно, с боковыми вырезами, очень облегчающими ее раскрывание сразу на нужной странице, но, что совершенно недопустимо для такого рода изданий, с большим количеством опечаток: имеется вклейка, приглашающая исправить свыше 20 замеченных опечаток. А все ли замечены?

Известен целый ряд таблиц произведений, изданных главным образом в Германии (Crelle''я, Zimmermann'а, Henselin'a, Peters'a и др.). Для 4-значного вычисления более других удобна таблица Peters'a2, дающая готовые точные произведения всех

1 Б. В. Нумеров. Таблицы для трехзначного вычисления. Издание Государственного вычислительного института, Петроград, 1929, стр. 32, формат 17 см X 25 см, цена не указана. Таблицы для вычисления произведений и частных занимают вместе с поправками, всего 21 стр.

2 I. Peters. Neue Rechentafeln für Multiplication und Division mit allen ein - bis vierstelligen Zahlen. Berlin und Leipzig, Verlag Walter de Grugter und Co, 1919. Стр. 500, формат 24 см на 37 см, цена 20 германских марок, т.-е. около 9 рублей. Любопытно отметить, что в предисловии составитель благодарит своих сотрудников, помощь которых позволила ему выпустить таблицу «Fehlerfrei»—свободной от ошибок. И действительно, продолжительная работа с этой таблицей не обнаружила в ней ни одной опечатки.

чисел от 1 до 9 999 на каждое из чисел от 1 до 49. Чтобы не тратить валюты, нам надо, конечно, создать свою советскую таблицу произведений. Опыт Германии ясно показывает, что распространение счетных линеек и арифмометров отнюдь не делает такие таблицы ненужными. ЦСУ наметило правильный путь, стремясь дать таблицу для получения приближенных 4-значных произведений и частных, и надо только пожелать, чтобы таблица Л. Г. Асатиани была в последующих изданиях существенно переработана. Нет никакого сомнения, что идя по пути, указанному Б. В. Нумеровым, можно построить таблицу для 4-значного вычисления, свободную от тех недостатков, какими страдает таблица Л. Г. Асатиани в настоящем ее виде и важнейшие из которых отмечены выше. Все, приобретающие настоящее издание этой таблицы, неизбежно испытывают некоторое разочарование: солидные размеры, многообещающее заглавие,— а помощь в вычислении почти та же, что и от маленькой таблицы О'Рурка. стоящей более чем вдвое дешевле, очень удобной в обращении, совершенно свободной от опечаток.

В. Брадис.

Г. А. ГРУЗИНЦЕВ

22 августа с. г., в 7 часов утра, скончался профессор Григорий Александрович Грузинцев, в лице которого математическая наука и математическое образование в СССР потеряли деятельного и талантливого работника.

Г. А. Грузинцев родился в Харькове в 1881 году. В 1891 году поступил в 1-ю Харьковскую гимназию, которую и окончил в 1898 году.

В этом же году поступил на математическое отделение физико-математического факультета Харьковского университета, который окончил в 1908 году.

В это же время (с 1902 по 1903 год) он прослушал три семинара в Геттингенском университете. Слушал: Клейна, Гильберта, Минковского.

В 1908 году был оставлен по представлению профессоров Пшеборского и Синцова при Харьковском университете для приготовления к профессорскому званию.

В 1910 году сдал магистерский экзамен и получил звание приват-доцента Харьковского университета, а также был избран членом совета Харьковских высших женских курсов.

Одновременно с этим он преподавал в средних учебных заведениях города Харькова.

В 1912 году он был командирован университетом на 2-й съезд преподавателей математики. (Доклады: «О преподавании тригонометрии», «Не-Евклидова геометрия в средней школе».)

В 1908—1914 годах сделал доклады в Харьковском математическом обществе («Об одной теореме анализа», «Обобщение понятия угла в не-Евклидовой геометрии». «Решение одного функционального уравнения», «Решение одного трансцендентного уравнения» и др.). Участвовал в издании «Народной энциклопедии» Харьковского, общества грамотности и «Revue Semestrielle».

В 1914 году был командирован факультетом за границу. В виду невозможности попасть в Германию, пробыл до 1916 года включительно в Неаполе, где работал при университете и Academia délie Scienze над задачей «Определение особенных точек однозначных аналитических функций».

Вернувшись в конце 1916 года в Россию, он продолжал преподавать в Харьковском университете в качестве приват-доцента и в других вузах—в качестве профессора.

С 1919 года работал в Днепропетровске, сначала главным образом в ИНО, а затем исключительно в ИНО (благодаря тяжелой болезни), в это же время был избран действительным членом кафедры математического анализа в Харькове.

Пребывание его в Днепропетровске было посвящено научной работе (по теории функций и основаниям анализа), а также по методологии науки («Курс логики», «Введение в теорию науки» и «Очерки по теории науки»). Кроме этих работ, им сделан был ряд докладов в различных научных организациях Днепропетровска, Харькова и Москвы по математике и методологии науки.

Несмотря на резко обострившийся процесс в легких и дальнейшие осложнения болезни, с 1923 года, в тяжелых материальных условиях, с большой семьей, Григорий Александрович, кроме научной исследовательской работы, вел интенсивную общественную, преподавательскую и организационную работу, читал публичные лекции в рабочих клубах, в городе и окрестностях по астрономии и общим вопросам знания. Подготовлял к печати учебники для рабфаков и научно-популярные книжки. Орга-

низовал Физико-математическое общество, в котором и был председателем. Вел семинар повышенного типа по математическому анализу и в то же время нес ответственную работу по преподаванию в ИНО (экзаменовал студентов уже тяжело больной, в постели).

Общий упадок сил на почве истощения организма, перегруженного, кроме того, непосильной работой, нервное переутомление, выразившееся в длительных тяжелых припадках и, наконец, осложнение туберкулеза на гортань, лишившие его возможности питаться,—все это привело к неизбежному концу.

Список работ проф. Г. А. Грузинцева.

1. Une théorème sur les fonctions continues. Харьков, 1910 г.

2. Об одном функциональном уравнении. Харьков, 1913 г.

3. Об одном типе свойств точечных ансамблей. Харьков, 1924 г.

4. О различных мерах точечных ансамблей. Харьков, 1926 г.

5. Понятие отношения и аксиоматичное определение числа. Днепропетровск. 1926 г.

6. Элементы теории множеств. Днепропетровск, 1927 г.

7. О последовательном изменении переменных Днепропетровск, 1927 г.

8. Очерки по теории науки. Днепропетровск, 1928 г.

Примечание. Целый ряд работ Григория Александровича в рукописях передан в специальную комиссию при математическом факультете Харьковского ИНО, организованную академиком С. Н. Бернштейном.

ХРОНИКА

Отчет о деятельности Московского научно-педагогического математического кружка за 1928/29 г.

(С 1/Х 1928 г. по 1/Х 1929 г.)

1. Пленарные и секционные заседания.

В отчетный период состоялось 3 пленарных заседания кружка, на которых, кроме обсуждения организационных вопросов и выборов, были заслушаны доклады Н. П. Гольдбурта «Задачи и принципы физионизма» и А. Я. Хинчина «Современное состояние некоторых классических проблем теории чисел».

Работа секций может быть охарактеризована следующим перечнем докладов:

А. Научная секция.

1. Н. Ф. Четверухин —«Геометрические формы органического мира».

2. В. В. Добровольский- «О кинематическом родстве плоских фигур».

3. М. К. Гребенча—«О задаче наименьшего расстояния».

4. И. М. Воронков—«О задаче наименьшего расстояния».

5. С. В. Адамович (Тула) - «Новые элементарные способы решений уравнений 3-й степени».

6. Н. Ф. Четверухин—«Геометрические формы органического мира» (второе сообщение).

7. С. И. Зетель—«О свойствах некоторых четырехугольников».

8. В. В. Скворцов-«Обобщения теорем Чевы и Менелая».

9. В. И. Гук-—«О частном случае гипоциклоиды и о приборе для трисекции угла».

10. Н. Ф. Четверухин—«Метод геометрических приближений и обобщение задачи Паппуса».

11. Н. А. Извольский—«По поводу теоремы Чевы».

12. Н. А. Извольский—«Эволюция понятия о равенстве».

13. Л. А. Лодыженский (Тула)-«Об одном иррациональном уравнении».

14. П. И. Сапунов (Владимир)— По поводу задачи № 2, помещенной в журнале «Матем. образов.» № 1 за 1928 г.».

15. И. И. Чистяков—«Обобщение теоремы Эйлера в теории чисел».

16. С. И. Зетель —«О некоторых свойствах чевиан».

В. Историческая секция.

1. И. И. Чистяков —«Математика древних египтян» (2-й доклад).

2. Н. А. Путята—«Алгебра Саундерсона, 1733 г.».

3. Л. В. Покровская (Тверь)—«Математические рукописи XVII в. (хранящиеся в библиотеках Москвы и Ленинграда)».

4. Л. В. Покровская (Тверь)—«Землемерие в России по неизданным рукописям XVII в.».

5. И. К. Андронов—«Л. Н. Толстой как методист математики». (К столетию дня рождения Л. Н. Толстого.)

С. Методическая секция.

1. М. Ф. Берг-«Построение начальных глав стереометрии».

2. В. М. Брадис (Тверь)—«Методы приближенных вычислений в курсе педвузов».

3. И. К. Андронов-«Методика стереометрии положения» (2 доклада).

4. А. М. Воронец —«Терминология и классификация методов преподавания математики».

5. Н. А. Извольский—«О функциональном мышлении».

6. А. М. Воронец—«Функциональное мышление».

7. В. Э. Фриденберг - «Диалектика и точные науки».

8. А. Н. Шапошников—«Новые пути в преподавании математики».

II. Журнал «Математическое образование».

Первый год издания журнала (8 номеров) вызвал сочувствие и интерес к нему в самых разнообразных местах Советского Союза, а также и за границей. Среди лиц, принявших активное участие в журнале, кроме московских профессоров и преподавателей, были: Д. Д. Мордухай-Болтовской (Ростов-на-Дону), С. А. Богомолов (Ленинград), Н. А. Агрономов (Владивосток), В. М. Брадис (Тверь), Л. Лодыженский и С. Адамович (Тула) и др. Содержание статей большею частью касалось вопросов, стоящих на грани элементарной и высшей математики, а также методики математики. Большим успехом пользовался отдел задач.

Журнал поддерживал связь с различными математическими кружками и организациями в других городах, каковы: математические кружки Тулы и Твери, ОРМО— в Ленинграде, Математическая конференция —во Владивостоке, Математический коллоквиум—в Ростове-на-Дону и др. Указанные общества помещали в журнале отчеты о своей работе.

Издание всех 8 номеров журнала при тираже в 1000 экз. обошлось в 4 448 р. 89 к., каковая сумма была покрыта подпиской и дотацией от кружка в 500 руб.

Первый номер журнала почти полностью распродан. Число подписчиков достигает 600 человек.

Ответственным редактором состоит И. И. Чистяков.

В редакционной коллегии принимали участие: М. А. Юкин (секретарь редакции), И. К. Андронов, Д. И. Перепелкин и А. А. Дмитровский.

III. Библиотека.

За отчетный период в библиотеку Моск. научно-педагогического математического кружка поступила пожертвованная В. А. Богдановым его библиотека, содержащая около 500 томов (точная инвентаризация которой производится), а также библиотека покойного члена кружка Е. М. Пржевальского, пожертвованная его дочерью и содержащая около 100 томов. Наконец, отдельные поступления составляют около 40 томов. Работе библиотеки препятствует отсутствие подходящего помещения.

IV. Совет кружка.

Совет имел 9 заседаний. Председателем совета был избран А. В. Васильев; заместителями председателя-М. Ф. Берг и Ю. О. Гурвиц; секретарем—Н. Ф. Четверухин; казначеем - А. А. Глаголева; членами совета-И. И. Чистяков, Г. Н. Попов, И. К. Андронов и А. А. Дмитровский.

Представителями совета в президиумах секций были: А. В. Васильев и Н. Ф. Четверухин—по научной секции, И. И. Чистяков и Г. Н. Попов - по исторической секции, Ю. О. Гурвиц, М. Ф. Берг и И. К. Андронов-по методической секции.

V. Состав кружка. На 1 октября 1929 г. в кружке состояло 197 членов. Из них:

почетных—1,

иногородних—12,

преподавателей вузов - 49,

преподавателей техникумов и рабфаков—37,

преподавателей профшкол и фзу-11,

преподавателей труд, школ I и II ступени—100.

НОВЫЕ КНИГИ

М. П. Черняев. О некоторых специальных случаях одевания поверхностей. Труды С.-Кавказской ассоциации н.-и. институтов. Ростов-на-Дону. 1929. Congrès des mathématiciens slaves. Varszawa. 1929.

Н. Шемянов. Математическая лаборатория. Изд. 2-е. 1929. Ц. 85 к.

A. М. Воронец. Сборник задач и упражнений по математике. Для 7-го года обучения. М. 1930. Ц. 65.

В. Брадис. Как надо вычислять. Приближенные вычисления на пятом году обучения. М. 1929.

О. Вольберг. Основные идеи геометрии. М. 1930. Ц. 1 р. 75 к.

За квалифицированного педагога. Институт повышения квалификации педагогов. Проспект. М. 1929.

НОВЫЕ КНИГИ ПО МАТЕМАТИКЕ, вышедшие в изд-ве «Работник просвещения».

Математика. Методическая проработка программного материала V, VI, VII гг. обучения школы-семилетки. Под общ. ред. Комиссии научно-методического совета МОНО. 2-е испр. изд. 100 стр. Ц 1 р.

Содержание: О математических навыках, даваемых школою I ступени. Объем математических навыков по годам обучения школы 1 ступени. Программа по математике для второго концентра школы-семилетки. Программа по графической грамоте. Опыты планировки тем программы по математике V, VI, VII гг. обучения.

Шапошников А. Основы математической методики. Обзор учебного материала, связанного с элементарной калькуляцией. 176 стр. Ц. 1 р. 85 к.

Эменов В. Практика преподавания математики. (Дешевая биб—ка просвещенца). 125 стр. Ц. 30 к., в/п. 43 к.

Содержание: Планировка материала. Построение урока. Математика в комплексных темах. Некоторые замечания к проработке арифметических действий. План и карта.

Обучение счислению и измерению. Методическое пособие, составленное под руков. В. Л. Эменова. (Дешевая биб — ка просвещенца), 381 стр. Ц. 70 к., в/п. 83 к.

Поляк Г. Основные вопросы методики арифметики. Пособие для учителей школы I ступени. (Дешевая биб—ка просвещенца). 175 стр. Ц. 40 к., в/п. 53 к.

Содержание: Место математики в общем плане школьной работы. Методы работы по математике. Организация и учет работы по математике. Средства преподавания математики. Задачи. Устный и письменный счет. Библиография.

Торндайк Э. Новые методы преподавания арифметики. Перев. с англ. А. С. Долговой. Под ред. и с предисл. Д. Л. Волковского. 296 стр. Ц. 1 р. 25 к. (в папке).

Содержание: Реальность. Интерес. Теория и объяснения. Образование навыков и арифметические упражнения. Организация обучения. Изучение значений. Решение задач. Преподавание как путеводитель. Некоторые трудные случаи. Некоторые общераспространенные ошибки. Несколько поучительных спорных вопросов. Термины, определения и правила. Тесты и поверочные испытания.

С заказами обращаться в изд-во „РАБОТНИК ПРОСВЕЩЕНИЯ" Москва 19, Воздвиженка, 10, а также в магазины и отделения издательства.

Ответственный редактор И. И. Чистяков.

Главлит № А58093.____МОСКВА.__Тираж 1.000.

Типография «Гудок», ул. Станкевича, 7. .Заказ № 1983.

ЦЕНА 90 КОП.

СКЛАД ИЗДАНИЯ

ИЗДАТЕЛЬСТВО „РАБОТНИК ПРОСВЕЩЕНИЯ" МОСКВА 19, ВОЗДВИЖЕНКА,10,