МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

№ 6

1929

ИЗДАНИЕ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

СОДЕРЖАНИЕ:

B. Алферов. Арифметические ряды и прогрессии............... 209

П. Сапунов. Решение уравнений 2-й степени с двумя неизвестными в рациональных числах............................ 213

C. Гирман. Деление выпуклого или ущербленного четыреугольника на четыре равновеликие части прямыми, проведенными из одной и той же точки . 215

П. Яковлев. Площадь многоугольника . . ... ............ 217

Н. Слетов. Выяснение реального смысла относительных чисел....... 219

В. Матышук. О двух последовательных целых числах, сумма квадратов которых есть полный квадрат........ . .. .......... 230

М. Зимин. Уравнение касательной для угловой точки зрения........ 233

Г. Медведев. Решение двух неопределенных уравнений в целых числах .... 235

Л. Лодыженский. Об уравнении ах = Ьх............ ... . . . 237

А. Рейн. Обобщенная задача Паппуса .................. 242

Ф. Клейн. Развитие математики в немецких университетах в XIX в...... 244

Задачи................................. 248

Решения задач.............................. 248

Памяти В. В. Бобынина........................... 254

Хроника.

Библиография.

SOMMAIRE:

V. Alferov. Séries et progressions arithmétiques.

P. Sapounov. Résolution de l'équation du second degré à deux inconnus en nombres rationnels.

S. Girman. Division d'un quadrilatère convexe ou non convexe en quatre quadrilatères a aires égales par des droites passant par un même point.

P. Iakovlev. Aire d'un polygon.

N. Sletov. Eclaircissement du sens réel des nombres relatifs.

V. Matlchouk. Sur des nombres entiers consécutifs dont la somme de carrés est un carré parfait.

M. Simin. Equation de la tangente pour un point angulaire de la courbe.

G. Medvedev. Résolution des deux équations indéterminées en nombres entiers.

L. Lodygensky. Sur équation ax — bx.

A. Rein. Problème generalysée de Pappus.

F. Klein. Développement des mathématiques dans les universités allemandes au XIX siècle.

Problèmes.

Solutions de problèmes.

Au mémoire de W. W. Bobynin.

Chronique.

Bibliographie.

ПРОДОЛЖАЕТСЯ ПОДПИСКА НА 1929 ГОД НА ЖУРНАЛ

Московского научно-педагогического математического кружка

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

8 КНИГ В ГОД. Ответственный редактор проф. 1-го МГУ И. И. Чистяков.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

ЖУРНАЛ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

№ 6

1929 г.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ РЯДЫ И ПРОГРЕССИИ.

В. Алферов (Москва).

При углубленном изучении отдела прогрессий, а также при доказательстве некоторых геометрических теорем иногда приходится иметь дело с арифметическими рядами и с необходимостью нахождения сумм конечного числа членов таких рядов. Нахождение частных сумм производится чаще всего искусственными способами, более или менее остроумными. Однако можно было бы и эти искусственные приемы суммирования арифметических рядов объединить в общую теорию, по своей элементарности в некоторых своих частях доступную для учащихся средней школы. Прежде чем перейти к изложению этой теории, остановимся на рассмотрении существующих приемов суммирования наиболее распространенных рядов. Например, при одном из способов вывода формулы объема пирамиды требуется знать выражение суммы квадратов п последовательных целых чисел. Способ нахождения п-и частной суммы этого ряда, основанный на рассмотрении искусственного тождества: пд — (п — 1)3 = 3/г2— З/г + 1, посредством которого приходят к формуле Архимеда

общеизвестен. При рассмотрении аналогичного ряда: 12 + 32 + 52 + + ... + (2п — 1 )2, для нахождения формулы Sn = -{2п -1 )(2п-суммы п его членов прибегают к другому искусственному тождеству:

п* — (п — 1)» = (2л — I)2 — (л — 1) . п.

Полагая в этом последнем п последовательно равным 1,2, 3 ... п и складывая почленно получающиеся равенства, мы получим вышеуказанное выражение для Sn, если предварительно найдем формулу для суммы п членов такого ряда:

1 . 2 + 2- 3 + 3- 4+ ... +Л(Л +1).

Этот ряд может быть преобразован следующим образом в ряды уже известные:

После преобразовании мы получим выражение для 5„= v ~——

В следующем ряде могут быть допуще ны такого рода преобразования1):

Приведенных примеров достаточно, чтобы выявить всю искусственность приемов, применяемых для нахождения сумм конечного числа членов рядов рассмотренного типа. Нахождение сумм, таким образом, представляет некоторую головоломку и, как всякая головоломка, является мало целесообразной для учащихся. Отпадает даже возможность ставить такие вопросы в курсе средней школы, за исключением, может быть, самых необходимых.

Но задача всякого преподавания математики состоит в том, чтобы давать ,,многое в немногом", т.-е. добиться того, чтобы учащиеся усвоили некоторый элементарный метод, не обременительный для памяти, посредствам которого можно было бы решать неограниченное множество аналогичных вопросов.

Поставим себе задачей дать элементарный прием, обладающий большой общностью, для нахождения частных сумм рядов рассмотренного типа (арифметических), в связи с изучением прогрессий. Отдел прогрессий, в частности отдел арифметических прогрессий, может быть прекрасно использован для развития у учащихся идеи функциональной зависимости между величинами, а также может служить отправным пунктом, чтобы познакомить учащихся с методом полной индукции, основное значение которого для метода математики так отстаивал Poincaré.

После вывода формул для п-го члена и суммы п членов арифметической прогрессии, на ряду с упражнениями на решение и составление уравнений на этот отдел, можно было бы поставить вопросы и упражнения примерно следующего рода. Почему /г-й член прогрессии может быть назван общим членом? Как можно написать прогрессию, зная п-й ее член? И аналогично: почему п-я частная сумма может быть названа общим выражением для суммы любого числа членов и как, пользуясь выражением для п-й частной суммы, написать всю прогрессию? Почему выражение для суммы п членов прогрессии не может содержать члена, свободного от п? Каковы степени общего члена и суммы п членов арифметической прогрессии?

Таким образом, решая вышеприведенные прямые и обратные вопросы на арифметическую прогрессию, мы можем, естественно, поставить вопрос о том, что будет представлять собою последовательность чисел, если общий член ее имеет степень выше первой относительно п. Будет ли это арифметическая прогрессия? Как суммировать такой ряд?

Чтобы ответить на последний вопрос, найдем предварительно, например, выражение для суммы п членов изученной уже арифметической прогрессии, основываясь на том, что степень ее суммы на единицу больше степени общего члена.

Так как выражение для суммы не содержит свободного члена, то в следующем простом примере мы могли бы представить выражение для суммы так:

1 -f- 2 -|- 3 -|- . . . -\-п — An- -f- Вп, где коэфициенты А и В нужно определить.

1) Преобразования как этого, так и предшествующего ряда заимствованы из «Математического вестника», сентябрь 1915 г., статья Виткевича.

Полагая п равным 1 и 2, коэфициенты А и В мы можем определить из следующих уравнений:

А+В = 1 4А + 2В = 3.

Откуда А = \ и В = \ и Sn = \ rt*+\n = ^±lï.

Для того, чтобы нашим рассуждениям, основанным на предположении, дать строго научное обоснование, применим метод полной индукции. Докажем, что если формула справедлива для какого-нибудь числа п, то она будет справедлива для числа, на единицу большего, чем п.

Sn + i представится так:

О/1-fi ——у--1 \п~Г л) —-2---

Таким образом формула остается справедливой и для а так как формула для Sn справедлива, например, для п = 1, то она справедлива для всякого п.

Для вывода формулы Архимеда можно применить аналогичные соображения.

Полагаем Sn = An3 -f- Bn2 -f Cn. Составляем три уравнения:

А + В + .С=1 8 Л + 4В + 2С=:5 27Л + 9£ + ЗС=:14.

Откуда: А= ß=J; C=J-

ç _i 3_l'„ 2 - 1 „ _"(/* + !) (2/i + D

Для удобства запоминания Sn можно представить так:

Применим метод полной индукции и покажем, что формула справедлива для п на единицу большего. Действительно,

Таким образом формула для 5М, будучи справедливой для /г = 1, будет справедлива для всякого

Предложенный прием требует составления уравнений, число которых равно степени относительно п выражения для Sn. Последующие более общие рассуждения показывают, что число уравнений, необходимых для определения коэфициентов Л, В, С, . . . /г-й частной суммы ряда, на практике может быть уменьшено на единицу и, следовательно, может быть сведено к числу, равному показателю степени общего члена исследуемого ряда.

Поставим себе для разрешения вопрос в таком виде. Дается ряд, /г-й член которого есть целая рациональная функция от п (арифметический ряд). Найти выражение для суммы п членов этого ряда.

Имеем ряд:

Предположим, что Sn, будучи целым рациональным многочленом относительно п, будет иметь вид:

причем предполагается, что й0 /- 0. Тогда:

При вычитании 5Л_1 из Sn члены с показателем / сокращаются, и мы имеем:

где сл — b0l, а следовательно, не равно нулю. С другой стороны:

Поэтому:

Из этого тождества следует: /—1=&, откуда: / = &-)-1, т.-е. показатель степени Аг-й частной суммы арифметического ряда на единицу больше показателя степени Аг-го его члена.

В то же время: сх — аф или: Ь01=а0, откуда:

Таким образом коэфициент при старшем члене Аг-й частной суммы арифметического ряда равняется коэфициенту при старшем члене выражения я-го члена ряда, деленному на показатель степени Аг-го члена, увеличенный на единицу.

Последнее заключение позволяет свести число уравнений, необходимых для определения всех коэфициентов искомого выражения Аг-й частной суммы, к числу, равному степени общего члена рассматриваемого ряда.

Пусть степень общего члена будет k.

ип — а0 пк A- at Аг*-1 -{- а2 nk~2 +......+ cik-л n -f- ак.

Тогда выражение для Sn может быть представлено так:

5« = i41«+i48«» + i4, «3-f......+ Акпъ + ^п*+\

Мы имеем, следовательно, систему k уравнений с k неизвестными:

Решая эту систему, найдем все Ак выражения для Sn • Ограничимся двумя примерами. Пусть нужно найти сумму Аг членов ряда:

Выражение для Sn имеет вид:

Или:

Из системы уравнений:

А + В+±--=\ 4 Д-f 25-f J = 10 определяем: А = 0 и В =— у

Выражение для Sn будет таково:

В заключение найдем выражение для суммы п членов арифметической прогрессии:

a; a-\-d\ a-\-2d; . . . а-\-(п — \)d. ип = а-\-(п— \)d=dn-\- (a — d).

Чтобы найти выражение для Sn) нужно только решить одно уравнение с одним неизвестным:

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 2-й СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ В РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ.

П. Сапунов (Владимир).

В заметке под таким же заголовком в № 2 — 3 Математического образования" были указаны три частных случая, когда уравнение

Ax2 + Bxy +Cy* + Dx + Ey + F = 0 . . . (1)

легко решается в рациональных числах. В том случае, когда ни один из трех членов

Ax^ + Dx + F, Cy2 + Ey + F, Ах2 + Вху + Су2

не разлагается на два линейных рациональных множителя, достаточно для решения уравнения (1) в рациональных числах знать какую-либо одну пару рациональных решений его.

В самом деле, пусть известна пара решений:

х = а, y=rß.

Вводя вспомогательные неизвестные х! и у , связанные с неизвестными x и у при помощи равенств:

х = х'-\-<х., у=у-\-'р..... (2)

получим из уравнения (1):

Ах'2 + Вх'у' + СУ2 + {2Аа + В? + D) х' + (ßa + 2С/3 -f + Л a2 +

+ £aß + Q2 + Da + £ß + /7=0...... (3).

Так как Аа2-\-Ва$С$2-\-D<x-\-Ер-\- F=0, то уравнение (3) примет вид:

Ax'2 + Bx'y'-{-Cy* + Mx' + Ny = 0.......(4),

где M = 2Аа-\-Bp-\-D, N = Ba-\-2Cß-{-Е . ... (5).

Уравнение (4) легко решается в рациональных числах, так как его возможно представить в форме кратной пропорции, все члены которой—линейные функции переменных х' и у.

Зная x1 и у, x и у определяются на основании (2).

Примеры: 1) Решить в рациональных числах уравнение:

х2-\-2ху-\-Зу2-\-Ах-\-5у — 15 = 0

Очевидная пара решений данного уравнения: х = 1 ; _у = 1 . Переходя к вспомогат. неизвестным на основании (2), получим:

хч +_ 2х'у' + зу2 -+ 8х' -f- 13У = 0 , откуда x'(x9 + 8) = —У (2х' + ЗУ + 13)

или -, =— - f-+-— — m, где m рациональное число. У x + 8

Отсюда : = /гау'

Решая полученную систему, получим :

2) Решить в рациональных числах уравнение: 2х2 + зу2 = 5. Очевидная пара решений: х=у = \.

Переходя к вспомогательным неизвестным, получим :

3) Решить в рациональных числах уравнение: Зх2 — у1 = 3. Очевидная пара решений: х = 1 ; J/ = 0.

Переходя к вспомогательным неизвестным, получим :

Зх'2-f- Ьх' = у2, откуда у = хт|^=^,

Окончательно: x = |i^: v = -x-^-«.

ДЕЛЕНИЕ ВЫПУКЛОГО ИЛИ УЩЕРБЛЕННОГО ЧЕТЫРЕУГОЛЬНИКА НА ЧЕТЫРЕ РАВНОВЕЛИКИЕ ЧЕТЫРЕУГОЛЬНИКА ПРЯМЫМИ, ПРОВЕДЕННЫМИ ИЗ ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ ТОЧКИ.

С. Гирман (Ленинград)

В русской математической литературе мне не удалось найти указаний, как разделить на четыре равновеликие четыреугольника всякий выпуклый или ущербленный четыреугольник прямыми, проведенными из одной и той же точки, а между тем еще в 1841 году немецкий математик Бруне1) доказал теорему, дающую возможность очень просто решить эту задачу. Вот эта теорема и ее доказательство:

Теорема Бруне. Если в каком-нибудь выпуклом или ущербленном четыреугольнике через середину каждой из обеих его диагоналей провести прямую, параллельную другой диагонали, и точку пересечения этих параллельных диагоналям прямых соединить прямыми со серединами четырех его сторон, то последние четыре прямые разделят четыреугольник на четыре равновеликие четыреугольника.

Доказательство. Пусть К и L будут середины диагоналей АС и BD выпуклого четыреугольника AECD (черт. 1), далее пусть через L проведена прямая MN, параллельная АС, и через К— прямая QR, параллельная BD. Соединим как точку пересечения Р этих параллельных с А, В, С, D, так и L с А и С, а К с В и D.

Так как треугольники АРС и ALC имеют общее основание АС, и вершины их Я и Z лежат на прямой MN, параллельной АС, то

пл. Д АРС = пл. Д ALC.

Кроме того, так как BL = LD, то

пл. Д ABL = пл. Д AID = \ пл. Д BAD,

пл. Д СЖ = пл. Д CLD— I пл. Д BCD.

Следовательно,

Итак,

пл. а АРВ -[•- пл. а ВРС = 2 пл* ABCD. . . (1)

Так как аа BPD и ß/£D имеют общее основание BD, и вершины их Я и /С лежат на прямой QR, параллельной BD, то

пл. Л BPD= nn.ABKD.

Черт. 1.

1) Eine Eigenschaft des Vierecks. Von Herrn Rechnungsrath Brune zu Berlin. Journal für die reine und angewandte Mathematik. Herausgegeben von A. L. Crelle. 22 Band. S. 379. Berlin, 1841.

Кроме того, так как СК—КА, то

Следовательно,

Итак,

пл. А 5РС |- пл. A CPD = 1 пл. Л5СО.....(2)

Из чертежа видно, что

пл. А АРВ + пл. А £РС + пл. Л CPD -f пл. A DPA = пл ABCD,

откуда на основании равенства (1) следует, что

пл. A CPD + пл. A DPA = \ пл. ABCD.....(3)

Из равенств (1) и (2) следует, что

пл. А АРВ -f- пл. А ВРС = пл.А ВРС + пл. А CPD,

откуда

пл. А АРВ — пл. A CPZ>........(4)

Из равенств (2) и (3) следует, что

пл. А ВРС -f пл. A CPD = пл. A CDP + пл. A DPA,

откуда

пл. А ВРС = пл. A DPA. ....... (5)

Кроме того, если разделим пополам стороны четыреугольника ABCD и их средины Z?, F, G, // соединим прямыми линиями с точкой Я, то.

пл. А АРЕ = пл. А ВРЕ= \ пп.&АРВ . . . . (6)

пл. ABPF=nn.ACPF= \ ш.АВРС ....{!)

пл. A CPG = пп. A DPG = ^nn. A CPD . . . . (8)

пл.Д DPH = пл. А АРН = - пл. A DPA . . . . (9)

Из равенств (6), (8) и (4) следует, что

пл. А АРЕ = пл. А ВРЕ = пл. A CPG = пл. A DPG. . (10)

Из равенств (7), (9) и (5) следует, что

пл. А Л РЯ= пл. A BPF— пл. А СРЕ= пл. A DP/Y. .fil)

Наконец, из равенств (10) и (11) следует, что

или

пл. Л/УР£ = пл. ВЕРЕ = пл. ŒPG = пл. DGPH = j пл. ABCD, что и требовалось доказать.

Если бы четыреугольник ABCD был ущербленный, т.-е. имел входящий угол, например, при С (черт. 2), то в предыдущем доказательстве, как в этом легко убедиться, в суммах знак «-]-» перед площадями треугольников BCD и CBL, расположенных внутри входящего угла BCD, надо было бы изменить на противоположный, т.-е. на « — ».

Для параллелограма, прямоугольника, ромба и квадрата построение, указанное в теореме, значительно упрощается, так как в этих четыреугольниках точка Р совпадает с пересечением диагоналей, и ломаные EPG и FPH обращаются в прямые линии, соединяющие средины противоположных сторон четыреугольника, проходящие через пересечение его диагоналей и параллельные его остальным сторонам.

Изложенное доказательство отличается от доказательства Бруне только большею полнотой, более простым выводом равенства (3), уменьшенным размером чертежа 1-го и добавлением чертежа 2-го. Что же касается самой теоремы, то в текст ее я вставил слова: «выпуклом или ущербленном», так как для четыреугольников «обращенного и полного» теорема Бруне не имеет места.

Подлинный же текст теоремы следующий:

«Lehrsatz. Wenn man in einem Vierecke mit jeder der bei den Diagonalen durch den Mittelpunkt der anderen eine Parallele zieht und den Durchschnittspunkt dieser Parallelen mit den Mittelpunkten der vier Seiten durch gerade Linien verbindet, so theilen letztere das Viereck in vier flächengleiche Theile».

Черт. 2.

ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА.

П. Д. Яковлев (Казань).

В известном курсе топографии покойного профессора В. В. Витковского дается без вывода такая формула площади многоугольника с п сторонами. (2-е издание, 1915 г., стр. 701).

Черт. 1.

Ап-\)"\-ап-\аЛ&\пАп-л\, где av af,..., ап суть длины сторон и А19 АШ9..., Ап—углы, причем угол Аг составлен сторонами а} и а.,. Проф. Витковский считает эту формулу удобной тем, что «она не требует измерений на бумаге, так как входящие в нее величины известны из измерений в поле и потому ошибка вывода не зависит от точности построения плана».

Дадим вывод этой формулы. Покажем прежде всего, что она справедлива при п — Ъ. Действительно, площадь /^AlA2ASi т.-е. Р3, может быть представлена в такой форме:

Р3 = £ [аг аа sin А1 — а, а3 sin AQ -j- а2 а3 sin А*],

ибо алгебраическая сумма первых двух слагаемых, стоящих в скобках (или последних, двух) равна нулю. Так как sin ^3 = sin {Аг-\-А%)9 то формула наша может быть переписана в такой форме:

Р3 = 2 [а} а2 sin Аг — ах а3 sin (Аг -f- А2) -f- а> а3 sin А.2].

Таким образом формула (1) оправдывается при п = 3.

Возьмем теперь я-угольник А1А2... Ап-2 Ап-\ Ап+ь У которого стороны последовательно суть а1У #2, ая,..., ап-ь k и который мы можем получить, проведя в многоугольнике с (/г -f-1 )-й стороной диагональ k через вершины Ап-л и An+i- Тогда, если закон справедлив, формула, выражающая площадь нашего /z-угольника, должна быть написана так:

(2) Рп= £ [ajaosin^, — alazs>m(Al-\- AJ-f . . . + а, ап-л sin {Аг-{ А2 -f

Верхний знак при членах в скобках соответствует п четному и нижний п нечетному. Чтобы доказать, что формула (2) справедлива,употребим метод математической индукции.

Прибавим к площади нашего /г-угольника площадь треугольника Ап—\ Ап Ап-\л и покажем, что площадь полученного многоугольника с (/г-|-1)-й стороной выражается по тому же закону.

Обозначим угол Ап-~\ Ап Ап+л через а и примем во внимание, что

(3) А'п-\=Ап-л — а

Из треугольника Ап-^АпАп+\ имеем

Черт. 2.

Положим далее

и докажем, что величина выражения

есть нуль, коль скоро имеют место соотношения (4). Достаточно, очевидно, рассмотреть величину выражения, заключенного в скобки. Подставляя на место ап и k их значения из (4), получаем

Площадь треугольника Ап--\АпАп^ равняется-- ап ап+\ sin An. Но ту же площадь мы можем представить и иначе. Полагая в (6) / равным последовательно 1, <?, 3,..., (п — 2), (п—1), мы получим, принимая во внимание (5), ряд выражений:

где знаки от строки к строке мы меняем (что имеем право сделать) на обратные. Так как по доказанному сумма членов каждой строки равна нулю, то и сумма всех написанных выражений равна нулю. Поэтому присоединение в виде слагаемого суммы этих выражений к площади л-угольника не изменит величины этой площади. Присоединяя еще к сумме этих выражений площадь нашего треугольника, т.-е. * ап ап+\ sin An, и прибавляя, наконец, все это построчно к площади Рп (2), мы получим, приняв во внимание (3) и произведя все необходимые сокращения:

Итак, коль скоро формула справедлива для /г-угольника, она необходимо справедлива и для многоугольника с (я + 1)-й стороной. А так как для п = 3 она имеет место, то отсюда следует ее всеобщность.

Формула эта справедлива для многоугольника не только выпуклого, но и для многоугольника, некоторые из углов которого превосходят 180°. Весьма простые соображения позволяют оправдать формулу и для этих случаев, что мы и предоставляем сделать читателю.

ВЫЯСНЕНИЕ РЕАЛЬНОГО СМЫСЛА ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

(К методике алгебры.)

Н. П. Слетов (Рига).

Относительными числами, как известно, называются условные числовые обозначения вида «4- а» и «—6», где а и b — какие угодно абсолютные числа: как целые, так и дробные. Напр.,-}- 5,-7, — 2^, -р- и т. п. суть числа относительные. При этом числа со знаком «-)-» впереди называются положительными, а числа со знаком «— » — отрицательными.

Почему такие условные числовые обозначения называются именно «относительными» числами и почему одни из них называются «положительными», а другие «отрицательными»? К чему все они «относятся» и что именно одни из них «отрицают», а другие, значит, «утверждают»? На какие вопросы отвечают эти числа? Что вообще они означают, т.-е. какой реальный смысл вообще они имеют? И когда они этот смысл имеют и когда нет?

Обыкновенно в учебниках этих вопросов не ставят и не решают. А вместо этого всю теорию этих условных числоеых обозначений излагают чисто догматически, т.-е. новые условия, новые термины, определения и правила просто устанавливают: их вводят в готовом виде, а не выводят из ранее известного.

Вот, например, как делается самый первый приступ к ознакомлению учащихся с относительными числами в одном из очень популярных и, в общем, очень хорошем русском учебнике:

«Назовем какое-нибудь одно из двух направлений (такой-то) жел. дороги положительным, а другое отрицательным»... «расстояния, считаемые в положительном направлении, будем называть положительными расстояниями, а расстояния в отрицательном направлении — отрицательными. Первые будем выражать числами со знаком -[- (или вообще без знака), а вторые — числами со знаком —».... «Здесь знаки и —, конечно (!?), не означают действий сложения и вычитания, а только служат условно для обозначения направлений».

Таким образом положительные числа здесь совершенно отождествляются с обыкновенными, абсолютными числами, так что ничего нового, особенного как будто бы и не представляют. Знаки же сложения и вычитания здесь перестают быть знаками сложения и вычитания1).

Разве может ученик, только-что начинающий изучать алгебру, понять что-нибудь из такого догматического введения новых условий и новых терминов, когда им не придается никакого общего реального смысла? И я знаю, что поймет все это он, при таком подходе к делу, очень и очень не скоро.

А между тем, можно подбирать задачи и вопросы так, что ученик сам будет на них отвечать и притом будет наводиться ими на новые для него понятия и представления и на их обозначения, так что понимание их реального смысла будет создаваться в его сознании еще до облечения их в форму логических, словесных определений. Тогда выработка понятия в сознании ученика будет предшествовать формальному определению этого понятия. При этом каждое новое условие и даже почти каждый новый термин будут сами собой напрашиваться.

Чтобы догадаться, какого методического приема надо держаться при этом, выясним прежде всего для самих себя: зачем нам нужны эти новые (после дробей) условные числовые обозначения и почему именно такие?

Нам, математикам, конечно, известно, что относительные числа прямо-таки необходимы нам прежде всего для возможности решения в самом общем виде всех задач на вычитание. Задачи же эти бывают трех типор. Приведем примеры их и притом так, чтобы в трех взятых нами простых задачах только условия и вопросы были различные, а количества, о которых в них будет говориться, пусть будут однородными и даже будут обозначаться одинаковыми буквами.

Задача 1-го типа. У торговки было а яблок, покупатель же хочет купить у нее b яблок. Достаточно ли для этого имеющихся у нее яблок или же нет, и сколько именно яблок останется у торговки после продажи или же скольких яблок ей недостанет для этого?

Ответ. Если а > Ь, то останется {а — Ь) яблок; если же а < Ь, то недостанет (Ь — а) яблок.

1) Имени автора упомянутого учебника я не называю, так как догматичность изложения теории относительных чисел, в большей или меньшей степени, есть общий недостаток учебников алгебры, как русских, так и иностранных. Об этом более подробно см. в моей книжке: Н. П. Слетов. Как преподавать отрицательные числа и в чем их реальная сущность. Рига, 1925.

Общего же ответа зараз на все вопросы задачи дать пока нельзя.

Задачи этого 1-го типа суть задачи на «собственно вычитание» (на отнимание или уменьшение данного количества на столько-то единиц его меры). Искомый результат такого действия называется остатком.

Задача 2-го типа. У одной торговки а яблок, а у другой b яблок. Найти разность между этими двумя количествами яблок, т.-е. сказать: как и на сколько штук количество яблок 1-й торговки отличается от их количества у 2-й торговки?

Ответ. Если а> Ь, то 1-е количество больше 2-го на (а — Ь) яблок, если же а < Ь, то 1-е количество меньше 2-го на (Ь — а) яблок. Общего же ответа зараз на оба вопроса задачи дать тоже пока нельзя.

Задачи 2-го типа называются задачами на «разностное сравнение» двух однородных количеств. Искомый результат такого вычитания называется разностью.

Задача 3-го типа. Торговка, у которой уже был достаточно большой запас яблок, купила еще а яблок, а продала b яблок. Как и на сколько штук в общем изменилось от этого начальное количество ее яблок, т.-е. увеличилось ли оно или уменьшилось и на сколько именно?

Ответ. Если а>Ь, то начальное количество яблок у торговки увеличилось на (а — Ь) штук; если же а<Ь, то оно уменьшилось на (Ь — а) яблок. Общего же ответа зараз на оба вопроса задачи дать пока нельзя.

Задачи 3-го типа можно назвать задачами на «соединение двух противоположно направленных изменений».

Легко заметить, что, если буквы а и b в наших трех типах задач на вычитание имеют соответственно одинаковые явные значения, то решение задачи 3-го типа дает нам в то же время и решения задач первых двух типов. Например, если при решении 3-й задачи окажется, что количество яблок у торговки увеличилось на (а — Ъ) шт., то это будет означать, что а на столько-то больше, чем b, а это дает решение задачи 2-го типа: количество яблок у первой торговки на (а — Ь) больше, чему второй. А если а > Ь, то для 1-й задачи окажется, что у торговки, имевшей а яблок и продавшей b яблок, останется {а — Ь) яблок.

Таким образом, если мы изобретем способ обобщать решение задач 3-го типа, то тем самым мы сможем решать в самом общем виде и задачи 1-го и 2-го типов. Решение же задач 3-го типа легко обобщить следующим образом:

Условимся всякое увеличение какого-либо, хотя бы и не явного, а воображаемого начального количества на столько-то единиц его меры обозначать соответствующим числом со знаком «-J-» впереди, а уменьшение его на столько-то — числом со знаком « — » впереди. Например, уменьшение на 50 обозначим через (—50), а увеличение на 40 через (—[- 40). При этом условимся также в том, чтобы увеличение, например, на 40, называть «изменением на (-J-40)», а уменьшение на 50 называть изменением на (—50)». Если мы примем эти условные обозначения, то нашу задачу 3-го типа можно решить в самом общем виде следующим рассуждением:

Когда торговка купила еще а яблок, то начальное количество ее яблок увеличилось на а шт. (Пишем: « '-a»), a когда она продала b яблок, то начальное количество их уменьшилось на b штук. (Пишем: «— b»).

Таким образом окажется, что в общем начальное количество яблок у торговки изменилось на {-\а — Ь) яблок.

Это решение будет охватывать решительно все возможные случаи: и когда а > Ь, и когда а < Ь, и когда а — Ь. Например, если а = 40 и b = 50,

то в общем начальное количество яблок у торговки изменилось на (-[-40 — 50), т.-е. на ( — 10) штук. А это значит, что оно уменьшилось на 10 яблок.

Но как привести самих учащихся к принятию вышеуказанного условия: обозначать увеличение какого-либо воображаемого количества числом со знаком «-]-» впереди, а уменьшение его — числом со знаком «—» впереди?

Это можно сделать такими, примерно, предварительными упражнениями:

Зад. 1. Учитель говорит и спрашивает: В зале происходило собрание, на котором вначале было довольно много народа, положим, N человек. Итак, повторите и запишите, сколько человек было на собрании вначале.

Во время собрания в зал вошло еще 40 человек. Сколько человек оказалось тогда на собрании?

А вышло из зала 25 человек. Сколько человек осталось тогда на собрании?

Как и на сколько в общем изменилось количество людей на собрании?

Почему?

Значит, сколько человек оказалось на собрании в конце его?

Ученики отвечают и пишут

N человек

(А+ 40) чел. (А+40 - 25) чел.

Увеличилось на 15 чел.

Потому что вошло в зал на 15 чел. больше, чем вышло из него.

(А+ 15) чел.

Таким образом ученики сами обозначают увеличение неявного количества N числом со знаком «+» впереди, a уменьшение — числом со знаком «—» впереди. Поэтому в конце можно написать, что yV+40 — 25 = N-[-15, т.-е. ученики вместо-;-40 — 25- напишут + 15, т.-е. они соединят два противоположных изменения начального количества.

Подобных, разнообразных по содержанию задач можно было бы решить таким же образом сколько угодно: в одной можно говорить о приходе и расходе капитала, в другой — о повышении и понижении температуры, в третьей — об удалении и приближении к какой-либо точке и т. п.

Но чтобы сконцентрировать внимание учащихся в желательном нам направлении, то после решения одной - двух конкретных задач подобные им задачи лучше вначале предлагать в общей, отвлеченной от реальности форме. Например, в виде следующих задач Л. 2 и jY? 3:

Зад. 2. Возьмем какое-нибудь достаточно большое количество А.

Уменьшите его сперва на 40, а потом еще уменьшите на 60.

Как и на сколько в общем изменилось от этого количество А?

Значит, чему равно А — 40 — 60? Таким образом, А — 40 — 60 = А — 100.

Зад. 3. Упростите выражения:

Л + 23 + 17 А - 25 - 45 А + 53 - 53

А можно написать и так:

вместо А + 53 — 23 написать » у4 + 53 — 73 »

Значит, ученики напишут: А

Уменьшилось на 100 А — 100

Решение

В результате таких упражнений учащиеся увидят, чт о во всех таких задачах говорится о некотором неявном достаточно большом «начальном» количестве, которое увеличивается или уменьшается сперва на столько-то, а потом еще на столько-то. При этом во всех таких задачах нас интересует вопрос не о том, какое количество получится вместо данного, а лишь о том, как и на сколько единиц своей меры оно изменяется. Поэтому учащиеся будут вполне подготовлены к тому, чтобы ввести вышеуказанное условное обозначение: Условимся увеличение и уменьшение какого-либо воображаемого достаточно большого количества на столько-то единиц его меры обозначать соответствующими числами со знаками «+» или «—» впереди, т.-е. увеличение будем обозначать знаком «-[-», а уменьшение—знаком «—». Далее, условимся такие числа, со знаком -[- или —впереди, называть относительными числами, так как ими мы обозначаем изменения, которые мы мысленно «относим» к соответствующему начальному количеству.

Таким образом, относительные числа имеют реальный (а не только формальный) смысл только в таких случаях, когда мы можем указать соответствующее начальное количество, к которому мы их „относим". Например, сказать, что на собрании присутствует (+40) или (—40) человек, не имеет никакого смысла. А можно сказать так: «Начальное количество людей на собрании изменилось на (—[— 40) или на ( — 40) человек»; или так: «Сравнительно с начальным количеством людей на собрании, в конце его на нем оказалось (j— 40) или (—40) человек», т.-е. на 40 чел. больше или меньше.

Как видим, относительные числа означают не количества, а их изменения на столько-то. Поэтому их нельзя называть «количествами», хотя бы и «алгебраическими», как это делается во многих учебниках1).

В отличие от «относительных» чисел, обыкновенные числа, без знаков «+» и «—» впереди, будем называть «абсолютными», т.-е. безотносительными. Поэтому, абсолютное число, входящее в обозначение относительного числа, называется его абсолютной величиной.

Такого рода вычисления, как, например:

4-8 + 2 = +10; —7-5 = —12;

+ 8 — 8 = =F0; + 8 — 6 = + 2; + 8 — 12 = — 4

условимся называть соединением относительных чисел.

Значит, «соединить» два относительных числа—это значит узнать, как и насколько изменится в общем какое-либо начальное количество, если его изменить сперва так и на столько, как обозначено первым числом, а потом так и на столько, как обозначено вторым числом.

Далее выводим общие правила соединения двух относительных чисел:

I. Чтобы соединить два относительных числа с одинаковыми знаками, надо сложить их абсолютные величины, а сумму взять с общим знаком впереди.

Например: +8 + 7 = + 15; —12 — 9 = - 21.

Это потому так, что два одинаково направленных изменения количества складываются, с сохранением их общего направления.

II. Два относительных числа с разными знаками, но с одинаковыми абсолютными величинами, взаимно уничтожаются, т.-е. соединяются в + или — 0.

Например, +9 — 9= + 0.

1) Впрочем, относительными числами обозначаются иногда и самые «количества", но это не главное и об этом можно говорить после.

Это значит, что два равных, но противоположных изменения количества взаимно уничтожаются или «аннулируются», так что в результате начальное количество остается без изменения.

III. Чтобы соединить два относительных числа с разными знаками и с разными абсолютными величинами, надо из большей абсолютной величины вычесть меньшую, а разность взять с таким знаком, какой стоит перед большей абсолютной величиной.

Например: — 20—— 3, так как 20 — 17 = 3.

Это потому так, что при двух противоположно направленных изменениях количества меньшее изменение «аннулирует» только часть большего изменения, так что остается направление большего изменения.

Итак, относительные числа означают направление и размер изменений какого-либо «начального» количества. Изменения же количеств некоторых математических величин носят особые, специальные для данной величины названия. Так, увеличение расстояния называется удалением, а уменьшение его — приближением к какой-нибудь точке. Увеличение капитала называется или приходом, или прибылью, а уменьшение его — или расходом, или убытком. Изменение расстояния по отвесному направлению, т.-е. вверх, или вниз, называется повышением или понижением. Увеличение температуры тоже называется повышением ее, а уменьшение — понижением1).

Особого внимания заслуживает обозначение относительными числами изменений: 1) расстояния и 2) количества протекшего времени. Особенность этих обозначений легче всего подметить при решении соответствующих задач, например, следующих под №№ 4 и 5:

Зад. 4. Путник, передвигавшийся, положим, по прямому пути MN (черт.), вначале был в точке О, довольно далеко от своего дома М, вправо от него. После этого из точки О он передвинулся на расстояние OA, равное а км, а потом на расстояние AB, равное b км. На каком расстоянии OB от точки О он оказался после этого?

Решение. В задаче говорится о двух началах дороги путника: 1) точка О есть условное, случайное начало его пути и 2) точка Ж, т.-е. положение дома путника, есть абсолютное начало его пути. Здесь начальное расстояние путника от дома направлено вправо. Поэтому передвижение путника вправо будет удалением от дома, а передвижение влево — приближением к нему.

Таким образом расстояние, пройденное вправо, надо обозначать числом со знаком -f-, а расстояние влево — числом со знаком —. В нашей же задаче ничего о направлении частей пути OA и AB не сказано. А между тем, решение задачи представляет 5 особых случаев, как это видно из положений точек А и В на пяти прямых MN, отмеченных на нашем чертеже римскими цифрами I, II, III, IV и V.

I. 0Л = + а = +8 км и АВ = -{-Ь = -{-3 км. Тогда 05 = + а + —|— ^ = —j— 8 —j— 3 == —|— 11 км, т.-е. путник в конце оказался вНо вправо от О.

II. OA = — а = — 2 км и АВ = — Ь = — 7 км; тогда OB = — а — — Ь = — 2 — 7 = — 9 км, т.-е. путник оказался в 9 км влево от О.

1) Все эти увеличения обозначаются знаком +, а уменьшения знаком —.

Отсюда видно, что расстояния, пройденные путником вправо, мы обозначаем числами со знаком -\- впереди, а расстояния, пройденные влево,— числами со знаком + впереди. И это только потому так, что начальное расстояние МО направлено вправо от абсолютного начала, причем такое обозначение вполне нами обосновано.

Зад. 5. Второе по Бремени из двух данных событий произошло через а лет после условного начала нашей эры, а первое событие произошло за b лет до второго. Когда относительно начала нашей эры произошло второе событие?

Решение. Время есть тоже математическая величина (так же, как и расстояние, и теплота, температура, всякая совокупность однородных предметов, капитал, стоимость, вес и т. п.), но время есть величина особенная: количество его само по себе никогда не уменьшается: время непрерывно «течет» всегда вперед. Поэтому решить нашу задачу № 5 в общем виде можно только так: предположим прежде всего, что до начала нашей эры прошло всего Т лет. Затем решаем задачу по вопросам и по следующей схеме задачи:

Схема задачи.

До начала эры Т лет; 2-е событие через а лет после начала эры; 1-е событие за b лет до 2-го.

Вопросы.

Итак, 1) сколько лет прошло до начала эры? Тогда, 2) „ „ „ „ 2-го события? и 3) „ „ „ 1-го „ ?

Ответы. Т лет (Т+а) лет (Т+а — Ь) лет.

При соединении же чисел {-{-а—Ь) может быть 3 случая: во-первых, а> Ь; тогда (+а — b) будет числом со знаком-|- впереди, и это будет означать, что 1-е событие произошло через {а - Ь) лет после начала эры; во-вторых, а = Ь; тогда-f-a — £ = + 0 и это значит, что 1-е событие совпадает по времени с началом нашей эры; в-третьих, а < Ъ\ тогда J^a—b = числу со знаком «—» впереди, и это будет означать, что 1-е событие произошло за {Ь — а) лет до начала эры.

Теперь перейдем к обобщению решения всех трех типов задач на вычитание.

Решать в самом общем виде 3-й тип таких задач мы уже умеем. Например:

Зад. 6. Как и насколько в общем изменилось количество после увеличения его таи уменьшения на Ь?

Мы говорим: Искомое изменение х—-\-а — Ь, или же —Ь^-а, так как результат соединения двух изменений не зависит от их порядка. Например, + 5 — 7 = — 2 и - 7+5 = —2.

Итак, при решении задач третьего типа у нас получается формула;

X = + а — Ь = —■ Ь-\-а.

Вычисляется же это выражение посредством вычитания всегда меньшего из большего, так что такое вычитание оказывается всегда реально-возможным: и при а > Ь, и при а< Ь.

Поэтому, раз мы хотим решать задачи действительно в общем виде, то решение всех трех типов задач на вычитание надо сводить

именно к этому его виду: или (-f- а — Ь)у или (— b + à). А для этого достаточно условиться в том, чтобы считать всякое выражение вида (а — Ь) равносильным выражению (+а— Ь), или (— 6 +а), т.-е. что разность (а — 6) = + а — b или — b + ci.

Это значит, что вопрос о разности между количествами а и b мы заменяем вопросом о том, как и яа сколько изменится какое-либо третье количество, если его увеличить на a, a затем уменьшить на Ь, или наоборот. Тогда, если окажется, что это третье количество от этого в общем увеличится на столько-то, то это будет означать, что а на столько-то больше, чем b, а если уменьшится, то, значит, а на столько-то меньше, чем Ь.

Если мы примем эту формулу [а — b~=.-\-a — b], то при решении в общем виде всех трех типов задач на вычитание можно будет применять так называемый «способ простейшего случая», который состоит в следующем: при решении задачи в общем виде предполагаем частный случай ее, по возможности простейший, а затем выведенную для этого частного случая формулу распространяем уже на все возможные случаи1).

Покажем применение этого способа к решению всех трех типов задач на вычитание.. Начнем с 3-го типа, а потом перейдем ко 2-му и затем 1-му.

Зад. 7. Куплен товар за b руб., а продан за а руб. Сколько прибыли или убытка оказалось при этом?

Решение. Предположим, что получена прибыль в хруб.; тогда х=а—b т.-е. торговый капитал увеличился на {а — Ь) руб. Применим эту формулу к частным случаям:

1) a>b: а = 35, а 6 = 27.

x = 35 _ 27 = + 35 — 27 = + 8,

и это число со знаком 4- впереди означает, что действительно получена прибыль в 8 руб., как мы и предполагали.

2) a<b: а = 35; 6 = 40.

jc = 35 — 40 = + 35 — 40 = —5, а это число, со знаком «—» впереди, означает, что при продаже оказался убыток в 5 руб., а не прибыль, как мы предполагали.

Таким образом, число со знаком «—» впереди отрицает верность нашего предположения о направлении изменения капитала и исправляет его в обратное.

И так будет всегда: число со знаком « +» впереди будет утверждать наше предположение, а число со знаком « — » будет, наоборот, отрицать его. Поэтому числа со знаком «—» впереди принято называть отрицательными (т.-е. отрицающими), а числа со знаком «+» впереди—положительными, утверждающими.

Так мы условимся называть их для краткости и впредь.

Зад. 8. Высота одной горы а метров, а высота другой b метров. Определить разность между этими высотам.

Решение. Предположим, что первая гора выше второй на х м. Тогда

x = а — b

Частные случаи:

1) a>b: а = 4300 и 6 = 3800. Тогда х = + 4300— 3800 = -j- 500.

1) Нам, математикам, конечно, известно, что этот «способ простейшего случая» широко применяется во всей математике: и в арифметике (впервые при переходе к умножению на дробь), и в алгебре, и в тригонометрии, и в аналитической геометрии, и в механике...

Эта «положительная» разность означает, что 1-я гора действительно выше 2-й, как мы и предполагали.

2) a<b: а = 4300 и 6 = 4700.

х = + 4300 — 4700 = — 400,

a эта «отрицательная» разность означает, что высота 1-ой горы не больше, а меньше второй. Значит, она отрицает предположенное нами направление разности между этими двумя однородными количествами.

Зад. 9. У хозяйки в запасе а яиц, а на обед ей нужно истратить b яиц. Сколько яиц у нее останется после обеда, или скольких яиц ей недостанет для него?

Решение. Предположим, что у хозяйки останется х яиц; тогда

х — а — Ь.

1) а> Ь: а = 8 и й = 6. Тогда х = -j- 8 — 6 = -j- 2, т.-е. действительно

останется 2 яйца.

2) а < b\ а = 8, а 0 = 11; х =-f-8 — 11 = — 3, т.-е. у хозяйки не только не останется ни одного яйца, а наоборот, ей недостает трех яиц для обеда.

Таким образом, предполагаемое при решении задачи «положительное увеличение» есть действительно увеличение, а «отрицательное увеличение» есть уменьшение.

Точно так же, положительная разность между первым и вторым количеством означает, что 1-е количество больше второго на столько-то, а отрицательная разность означает, что 1-е количество меньше 2-го.

«Положительный остаток» от вычитания есть действительно остаток, а отрицательный остаток есть недостаток.

Вводя такое условное действие над числами, которое выражается формулой

а — b = -f- а — ô = — b + а,

мы вводим в математику новое условнее арифметическое действие: вычитание большего из меньшего.

Например, 5 — 7 = —|— 5 — 7 = — 2;

2,375 —12,23 = + 2,375 - 12,23 = — I 12,230 ! =_9,855. ' ' i -2,375 j

Этому условному действию можно дать следующее определение, раскрывающее истинный его смысл: «Вычесть большее из меньшего» значит, наоборот, вычесть меньшее из большего, и только результат взять со знаком «—» впереди, т.-е. отнести его к соответствующему количеству как уменьшение его на столько-то1).

Итак, мы видим, что во всех случаях применения относительных чисел мы можем смотреть на них как на условные числовые обозначения, отвечающие зараз на 2 вопроса: 1) как и 2) на сколько единиц своей меры некоторое количество изменяется или изменилось, или изменится

1) Этим новым условным действием мы дополняем целый ряд условных же (т.-е. условно называемых) арифметических действий, уже известных учащимся из арифметики:

1) Прибавление и вычитание нуля: а - 0 = а.

2) Умножение и деление на единицу: а Л =а и а\ \ =а.

3) Умножение и деление на дробь:

или должно быть изменено. И мы видим, что эти числа прямо-таки необходимы нам прежде всего для обобщения вычитания. Такой взгляд на них можно провести и дальше почти через весь курс алгебры, с тем чтобы перенести его дальше: в аналитическую геометрию.

За недостатком места изложим вкратце теорию дальнейших действий над относительными числами, пока до вычитания многочленов включительно.

1. Соединять можно не только два, но и несколько изменений одного и того же количества. Например: + 5— 8 -j-7— 6 —|— 9 == —|— 7.

Такой ряд (которому можно придать более общий вид: + а — b -f--\-с — d + е) называется многочленом, причем члены со знаком + впереди называются положительными, а члены со знаком « - » отрицательными.

Многочлен, на который мы смотрим как на ряд соединяемых относительных чисел, обладает и свойством переместительности, и свойством сочетательности своих членов, т.-е. обозначаемые относительными числами изменения можно соединять в каком-угодно порядке и образуя из них какие-угодно сочетания.

Например: + 5 — 8 —|— 7 — 6+9 = — 8 — 6 +- 5 + 9 + 7, причем это соединение можно произвести так: 1) —8 — 6 = —14; 2) —|— 3 —j— 9 = —|— 14; 3) —14 + 14 + 7 = + 7.

2. Так называемое «приведение подобных членов многочлена» есть не что иное, как соединение ряда относительных чисел, только с наименованиями, имеющими вид неявных буквенных выражений. При этом производится и перестановка, и сочетание членов многочлена.

Например: 3d2— 2 ab + 4 о1 — 6 а? + 4 ab — 6 b'2 — х) + 3 а2 —2 ab + -h 4 b2 — 6 а2 + 4 ab — 6 b2 = — 6 a2 + 3 a2 + 4 ab — 2 ab — 6 b2 + 4 b2 = = — 3a2-\-2ab — 2b2. ^_^ ^_^_^

3. Так как ряд соединяемых относительных чисел обладает и свойством переместительности, и свойством сочетательности своих членов, то соединение таких чисел (обозначающих «изменения») очень похоже на сложения абсолютных чисел (обозначающих количества). Поэтому условимся соединение относительных чисел называть сложением их, и потому будем обозначать его знаком +. Для этого надо предварительно заключать члены ряда в скобки.

Например, вместо х = 5 — 8 + 7 — 6 + 9 пишем: х = (+ 5) -|- ( — 8) + + (+7, + (-6) + (+9).

Тогда сочетания нескольких членов можно обозначать прямоугольными скобками, например так:

Х=[(+ 5) + (+9)] + [(-8) -f (- 6)]+ (+7)=(+14) +(- 14) + (+ 7) = = (+7).

Результат соединения относительных чисел будем называть алгебраической суммой (обозначаемых ими изменений).

«Алгебраическая сумма» вычисляется то посредством сложения, то посредством вычитания абсолютных величин ее «слагаемых».

Свойство сочетательности алгебраической суммы можно выразить так:

Вместо того, чтобы прибавить к какому-либо числу несколько чисел последовательно, одно за другим, можно прибавить за раз их сумму.

Например: 5 — 8 + 7 — 6-f 9 = (+ 5) -f (— 8) -f (~f- 7) + ( - 6} + + (+9) = (+5) + [(^8)+(+7) + (-6) + (+9)| = (+5) + (+2) = = (+7).

То же самое в общем виде: a-b + c-d + e^i+a^ + i- ô) + (+c)-H_d) + (-f e) = (+a)-f + [(-*) + (+с) + (—d) + (+e)] = a + (-b + c-d+e).

2) Прежде всего, чтобы обозначенное в многочлене вычитание сделать всегда реально-возможным, поставим перед первым членом знак -(-.

Такое преобразование многочлена называется заключением нескольких членов многочлена в скобки со знаком + перед скобкой. Его можно производить по такому общему правилу знаков:

Чтобы заключить несколько членов многочлена в скобки сознаком-j-перед скобкой, достаточно написать их в скобках по порядку без изменения знаков перед ними.

Обратно: Вместо того, чтобы к какому-либо числу прибавить за раз сумму нескольких чисел, можно прибавить их к нему последовательно, одно за другим.

Например:(- 5) + [(- 8) + (+ 7) + (- 6) + (+ 9)] = (— 5) + (- 8) + + (+7) + (-6) + (+9) = (-5-8 + 7-6 + 9) = (-3).

Такое преобразование суммы называется сложением многочленов. Ему можно придать такой, более простой вид: —5 + (—8 + 7 — 6 + 9) = = — 5 —8 + 7-6 + 9 = -3.

Отсюда можно вывести такое правило знаков при сложении многочленов: чтобы к какому-либо числу прибавить многочлен, достаточно приписать к этому числу члены многочлена один за другим, без перемены знаков перед ними.

Прибавление многочлена, толкуемое так, как выше показано, имеет реальный смысл при всех возможных явных значениях букв.

4. Раз можно «складывать» относительные числа, то можно, обратно, и «вычитать» их. Для такого действия можно вывести следующее определение, раскрывающее истинный его смысл: «вычесть относительное число значит «аннулировать» обозначаемое им изменение прибавлением противоположного ему изменения на столько же».

Например: (+7)- (- 2) - (+ 7) + (+ 2)= (+ 9), т.-е. «вычесть уменьшение на 2» значит аннулировать его прибавлением увеличения на 2.

Для проверки к «остатку» (+9) прибавим «вычитаемое» (—2); получим «уменьшаемое» (+?). В самом деле: (+9) + (—2) = (+9 — 2) =

Отсюда правило знаков: Чтобы вычесть относительное число, достаточно к «уменьшаемому» приписать «вычитаемое» ^обратным знаком впереди.

Например: (—7) - (—10) = (—7 +10) = (+3).

После этого можно производить вычитание суммы относительных чисел по следующему правилу: Вместо того, чтобы из какого-либо числа вычесть за раз сумму нескольких чисел, можно их вычесть из него последовательно, одно за другим.

Например: — 3 — (— 8 + 7 — 6 + 9 ) = (- 3) — [(— 8) + (+ 7) + + (-б)+(+9)]=(-3;-(-8)-(+7)-(-б)-(+9)=(-3 + 8-— 7 + 6 —9)=(-5).

Тоже в общем виде: — а— (—й+с — d -f е) = (— а) — [(— &) + + (+ с) + (-d) + (+ е))=(-а)- (- Ь) - (+ c)-{-d)-{+e) = = — a\b — с-\- d — е.

Отсюда правило знаков: Чтобы вычесть многочлен, достаточно к «уменьшаемому» приписать все члены «вычитаемого» многочлена z обратными знаками впереди.

Так толкуемое вычитание многочлена тоже имеет реальный смысл при всех возможных явных значениях букв.

Выясняя реальный смысл относительных чисел, следовало бы остановиться и на тех случаях, когда ими обозначаются не «изменения», а самые «количества». Например: относительными числами обозначаются температуры—сравнительно с абсолютной температурой замерзания воды, высоты разных точек на земле и внутри ее—сравнительно с абсолютной высотой уровня моря, и т. п. Но об этом подробнее в следующий раз.

О ДВУХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ, СУММА КВАДРАТОВ КОТОРЫХ ЕСТЬ ПОЛНЫЙ КВАДРАТ.

В. Матышук (Ростов-на-Дону).

Задача определения совокупности всех так называемых пифагоровых чисел уже давно решена, и вывод соответствующих формул не представляет никаких затруднений. Если x, у и z — тройка таких чисел, удовлетворяющих, следовательно, уравнению

x2 -\-у2 = Z2,

то мы получим их, если в равенствах

x = 2тп у = tri1 — п2 z = m2-\-n2

буквам тип будем давать значения целых чисел. Все выводы могут, однако, стать гораздо более сложными, если на два из пифагоровых чисел наложены некоторые условия, что и имеет место в интересующем нас случае.

Поставим себе задачу вывести формулу, позволяющую получить все пары таких последовательных целых чисел, сумма квадратов которых есть полный квадрат. Другими словами, надо найти все такие прямоугольные треугольники, катеты которых выражаются последовательными целыми числами. Задача определения таких прямоугольных треугольников, гипотенуза и катеты которых выражаются последовательными целыми числами, приводится к элементарному квадратному уравнению и помещается во всех алгебраических задачниках. Она дает единственное решение - так называемый «египетский треугольник» (3, 4, 5). Поставленная же нами задача приводит нас к неопределенному уравнению 2-й степени.

Если меньшее из определяемых нами чисел обозначим через s, то получим квадратное уравнение

52 + (5+1)2=J,2>

где у также должно быть целым числом. Решая это уравнение относительно 5, будем иметь

S = -1±/2^T........(1)

Выражение 2у1—1 должно быть полным квадратом.

Мы пришли таким образом к частному случаю уравнения Пелля

2у2 — х2 = 1.........(2).

Для решения этого уравнения применим метод непрерывных дробей, подробно изложенный в первом томе «Энциклопедии элементарной математики» Вебера и Вельштейна (кн. II, гл. XV).

Как известно, всякое иррациональное число, представляющее собой квадратный корень из целого положительного числа, может быть представлено в виде бесконечной непрерывной периодической дроби. Пусть ]/D такое иррациональное число. Мы можем, следовательно, представить его в таком виде:

Отметим, что период начинается непосредственно с первого знаменателя, т.-е. av Пусть число членов периода л. Весь период будет состоять из такой совокупности чисел:

(а19 а.,,... ап) и ап+1 = ах

а есть наибольшее целое число, заключающееся в j/D. Введем подходящие дроби:

Р\ Р% Р»

Согласно известным свойствам непрерывных дробей, можно написать:

./7) — pn+iV»M + Pn v Qn+iVn+i + Qn

Так как рассматриваемая непрерывная дробь бесконечна и периодична, то

\/ D — а

Поэтому последнее равенство может быть написано в таком виде:

yfß= Р«+х - аР« + РУ D Qn+i - aQ« + Q,y D

или

CQn+1 - aQ„)/D + Q„D = Pn+l - aPn + Pn y Ü

Так как j/D есть иррациональное число, то отсюда вытекает, что

QnD = Pn+1-aPn

Помножив первое равенство на Pnf а второе на—QM, сложив их и помня основное свойство подходящих дробей, что

PnQn + 1-QnPn+l = (-1)".

получим

Pn*_DQ„* = (-l)".

Нетрудно видеть, что последнему равенству удовлетворяют все пары чисел (P2f1, Q?M), (Я8„, Q9n) и т. д., т.-е. числители и знаменатели всех подходящих дробей, индексы которых кратны п.

Отсюда вытекает способ решения неопределенного уравнения рассматриваемого нами типа. Если оно имеет вид

х2 — Dy2 — 1,

где D— целое положительное число, не являющееся полным квадратом, то сперва необходимо развернуть иррациональное число \/D в непрерывную дробь. Если п (число членов периода) — четное число, то каждая подходящая дробь даст нам нужное решение. Если же п — число нечетное, то подходящие дроби ~~ дадут нам решения, поочередно удовлетворяющие уравнениям

в зависимости от нечетности и четности коэфициента к при индексе п. В теории чисел доказывается, что полученные таким путем пары чисел будут исчерпывать все решения каждого из уравений (3).

В интересующем нас случае уравнения (2) D = 2. Развертываем иррациональное число ]/z в непрерывную дробь. Будем иметь

отсюда

Таким образом

Период здесь состоит только из одного члена п — \. Составим ряд подходящих дробей:

Следовательно, уравнение (2) имеет такие пары корней:

соответствующие подходящим дробям

Составим теперь рекуррентную формулу, связывающую непосредственно с Ри+1 и Р24_!. Пусть

Тогда

Решим систему уравнений:

Отсюда имеем

Подставляя полученные значения для а и ß в выражение для Я2А + 3, после соответствующего преобразования будем иметь:

Аналогично Qu + 3 = 6 Q2, +1 — Q2Jfc _,

Эти формулы позволяют нам непосредственно выписывать корни уравнения (2):

Хк — ^2к — 1 » У к = ^2к — 1

Так как хг = 1 и х2 = 7, то

х3 = 6 . 7 — 1 = 41 ; л:4 = 6 . 41 — 7 = 239 и т. д.

Аналогично, так как ух = 1 , у2 = 5 , то

_у3 = 6.5 — 1 =29; уК = 6.29 — 5 — 169 и т. д.

Теперь осталось нам получить рекуррентную формулу для 5. Из равенства (1) следует, что

Заметим, что здесь мы вполне можем удовлетвориться положительным решением, так как пара чисел sk и sÄ+l по абсолютной величине останется той же, независимо от знака при P,Jk_x. Имеем

Pik +1 = 2sk + i +1

Следовательно, на основании равенства (4) можно написать:

Таким образом, если мы знаем две смежных пары чисел, обладающих интересующим нас свойством, то сейчас же можем найти следующую по величине пару по формуле

Sk + 2 = 6Sk + J — Sk + 2

При этом соответствующие значения у определятся по формуле

Л + 2 = бЛ + 1 —Л

Первоначальные значения для 5 следующие: s„ = 0, st = 3, а для j; следующие: j/0 = 1; J^i = 5. Соответственно этому

s3 = 6.3 — 0 + 2 = 20 j/3 = 6.5- 1 =29

Действительно:

202 + 212 = 292

Дальше st = 119; j/4 = 169

55 = 696; j/5 = 985 s6 = 4059; yß = 5741

Эту операцию можно продолжать до бесконечности.

УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ ДЛЯ УГЛОВОЙ ТОЧКИ КРИВОЙ.

М. Ф. Зимин (Новочеркасск).

Обычное определение производной функции F(x), как предела отношения

F(x + h)-F(x) h

при h 0, предполагает, что этот предел существует и не зависит от того, каким образом h стремится к нулю, в частности, не зависит от знака А. Но может оказаться, что при бесконечно малых h > 0 и k < 0 пределы

не равны. Тогда говорят, что функция F(x) при рассматриваемом значении X имеет производных: правую, соответствующую положительному приращению независимого переменного, и левую, соответствующую отри-

цательному значению того же приращения. Эти две производных будем обозначать так:

Пусть функция Fix), непрерывная в промежутке (а, 6), имеет в этом промежутке, вообще говоря', единственную определенную производную за исключением значения независимого переменного x = x0t для которого существует две производных: правая и левая. Кривая у — Fix), представляющая в промежутке (а, Ь) рассматриваемую функцию, будет иметь так называемую угловую точку [л:д, F(x0)]y в которой две ветви кривой будут сходиться под некоторым углом.

Простейшей из функций, имеющих две производных, является функция, определяемая равенством

F(x) =п \х — х01 -f - b,

в котором вертикальные черты выражают, как обычно, абсолютное значение числа. Легко видеть, что при х > х0

F(x) = n (х — Хц)-\-Ь, F'(x) = n,

а при x < х0

F(x) = _n{x — Xtt) + bi Г[х) = -п.

Если же х = х0, то значение производной будет зависеть от знака приращения независимого переменного, именно, при h > О

a при k < 0

Более общая функция

F{x) = m -f (x — x0) -j- n \x — x0 j + b

будет иметь для x = x0 производные

f + (x0)=*=m-{-ny f-(х») = т — п.

На плоскости координат уравнение

у = т (х-х0)-\-п [х — х0] +Ь.........(1)

представит угол с вершиной в точке (xit} b), сторонами которого служат полупрямые:

у — т {х — ха) -\-п (x — х0) -f Ь для x ^ х0 и у = m (x — х0) — п (х — х0) + b для xх0.

По аналогии с линейной функцией у = m (х — xJ-\-b функцию (1) можно назвать угловой.

Рассмотрим теперь кривую у = F(x) с угловой точкой (xQ, у0 = = F(x)y в которой существуют две производных

f' + ixo) и/'_(х„).

В уравнении (1) угловой функции определим параметры m, n, b так, чтобы при х = х0 мы имели

Подставляя найденные отсюда для b, m, п значения в уравнение (1), получим

(2).

Последнее уравнение геометрически представляет угол, вершина которого есть угловая точка (л'0, у0) кривой j; = /r(jc), а две стороны которого суть две касательные к двум ветвям кривой, выходящим из угловой точки.

Для обыкновенной точки (х0,у0) кривой y=f(x) правая и левая производные совпадают:

f'+(x0)=r-(xo)=Ff(xt),

и в этом случае уравнение (2) обращается в обычное уравнение касательной

У— Л=/'(*о) С* — Хо).

Пример. Рассмотрим непрерывную функцию

Для х = 0 эта функция имеет две производных:

Кривая

имеет угловую точку в начале координат (см. чертеж), и уравнение касательной в этой точке, согласно предыдущему, будет такое:

РЕШЕНИЕ ДВУХ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ.

Г. Медведев (Владивосток).

1. Пусть дано уравнение

x3+y;^z,>...........(1)

Мы можем положить, что

откуда, исключая k, получим квадратное уравнение относительно х:

или

Подкоренное выражение должно представлять полный квадрат:

откуда

Опять-таки мы должны положить

или

Это уравнение решается в целых числах в предположении, что

или, полагая b — с Y 3 :

Подставляя эти значения в (2) и (3) и откидывая общий для х и у делитель 4/?2, получим:

При любых целых а и с мы будем получать значения х и j/, дающие целочисленные решения уравнения (1). Напр., при а = 1, й = 2 получим

2. Пусть дано уравнение x2-j-j/2 = 2:n.

Обозначим через M целое комплексное число М= a-\-bi = r(cos9-j~ —f- sin 9).

Возведя его в я-ю степень, получим

где

Очевидно, что

дает полную я-ю степень.

Итак, для целых решений уравнения

x2-\y2 = zn.......... (1)

имеем формулы при п =2, 3,...я

дающие при целых а и b целые решения уравнения (1). Напр., при а = \ Ь — 2 и при п = 2, 3, 4, 5 имеем:

ОБ УРАВНЕНИИ ax = bx.

Л. Н. Лодыженский (Тула).

(Доложено в заседаниях Тульского математ. кружка 30/Х 1927 г. и 4/XI 1928 г.)

Уравнению

ах = Ьх............(1)

была посвящена статья проф. И. И. Чистякова Решение одного трансцендентного уравнения"1), в которой автор решает вопрос о существовании действительных корней уравнения и указывает способ их вычисления. В настоящей заметке даны некоторые дополнения к указанной статье и, кроме того, рассматриваются чисто мнимые корни.

1. В уравнении (1) будем считать постоянные а и b действительными и притом а положительным (последнее для того, чтобы функция ах была действительной при всяком действительном х). Далее, не уменьшая общности, можно считать, что а>1, так как в противном случае подстановкой х = — х' и л — -— приведем уравнение к виду агх' = — Ьх\ где ci} > 1 ; b может быть положительным или отрицательным, но не равным нулю, так как в последнем случае уравнение, очевидно, не имеет решений.

В указанной статье И. И. Чистяков устанавливает, что уравнение (1) при b отрицательном имеет всегда только один действительный (отрицательный) корень. При b положительном число действительных корней определяется с помощью признака2):

Здесь, как и дальше, ln а означает натуральный логарифм, е — неперово число.

Примечание. Признак этот выводится следующим образом (привожу вывод И. И. Чистякова с небольшим изменением). Логарифмируя уравнение (1) и полагая x In а = г, получаем уравнение

f(z) = z-\nz = c,.............(3)

где с — In Ь — In In а. Исследуя с помощью первой и второй производной функцию f(z), находим, что при z = 1 она достигает minimum'a, который равен!. Отсюда, при с>1 уравнение (3), а следовательно и (1), имеет 2 действительных корня, при с£ = 1 — один корень (кратный) и при с<1 — ни одного. Переходя в соотношении In// — In In а ^ 1 от логарифмов к числам, получим признак (2).

В каждом частном случае уравнение (1) вообще может быть решено с очень ограниченным приближением графически, если построить линии у = ах w у = Ьх. Мы не останавливаемся на этом решении в виду его легкости и общеизвестности. Графическим способом можно также решить некоторые общие вопросы, напр , установить существование единственного корня при Ь<^0. Но вычисление корней с заданной точностью и нахождение точных условий существования корней требует применения аналитического метода.

2. В статье И. И. Чистякова дан очень удобный элементарный способ вычисления корней уравнения (1), основанный на приведении его

1) "Вестник опытн. физ. и элемент. математ.", № 534, 1911 г., стр. 159 — 162.

2) Ibid., стр. 161.

к виду (3)1). Здесь мы рассмотрим вычисление корней уравнения (1) по способу итерации.

Положим сперва, что уравнение имеет два действительных корня. Заменив его двумя уравнениями

(4)

(5)

найдем, что в этом случае логарифмическая кривая (4) пересекает биссектрису нормального координатного угла в двух точках Л и ß, абсциссы которых £, и £2 соответственно равны корням уравнения (1) (см. черт.). Кривая (4)—выпуклая книзу и расположена так, как показано на чертеже. По теореме Лагранжа, на дуге AB есть некоторая точка С, в которой касательная параллельна хорде AB, т.-е. линии (5). Обозначив -1~ ах через ? (х) и абсциссу точки С через ст находим, что ср'(с) =1, а так как функция ср'(х) возрастающая, то поэтому при х<^су'(лг)<1, а при х^> (х)^> 1.

Отсюда следует, что вблизи меньшего корня (точнее: в промежутке, его заключающем, причем верхняя граница промежутка должна быть меньше с) Этого условия достаточно для применения метода итерации2). Следовательно, можно найти меньший корень £х способом итерации, беря за первое приближение какое-нибудь число х1<^с и вычисляя дальше так: х2 = о{х1). хл = if \х2). Числа х1У х2у х3,... будут приближаться к 51- как к пределу. Что касается быстроты, с которой приближения сходятся, то она характеризуется формулой3)

(6),

где m—некоторое положительное число, меньшее единицы и удовлетворяющее неравенству | у'(х) \ <Ст во всем промежутке, заключающем корень и первое приближение. Заметим, что, вследствие неизбежной неточности всех вычислений, ошибки получаемых приближенных значений могут убывать медленнее или быстрее, чем это указывается формулой (6). На практике следует продолжать вычисления до тех пор, пока два последовательных приближения не будут более различаться между собой в пределах того числа десятичных знаков, с которым производятся вычисления4).

По чертежу легко убедиться, что за 1-е приближение можно взять самое, а также любое число между с и большим корнем £2, Хотя в промежутке (с,52) у'(*)^>]> тем не менее последовательные приближения

1) Можно соединить этот способ с методом régula falsi, применяя последний к уравнению (3).

2) См. статью В. М. Брадиса в № 7 ,.Математич. образ." за 1928 г., стр. 286, и Runge и König. Vorlesungen über numerisches Rechnen. Berlin, 1924. стр 155 — 157.

3) Runge и König, цитир. соч , стр. 156. Формула эта общая, т.-е. применима не только к рассматриваемому уравнению.

4) См. цитир. статью Брадиса, стр. 282, и Крылов, Лекции о приближ. вычислениях, 1911, стр. 302.

будут сходиться. Если же за 1-е приближение взять число больше £2, то приближения будут расходиться. Следовательно, больший корень уравнения нельзя вычислить способом итерации, беря уравнение в виде (4).

Чтобы продолжить исследование, рассмотрим вопрос чисто аналитически. Для этого перепишем уравнение (1) в виде/(х) = аж—Ьх = " и исследуем функцию /(х). Обозначая единственный корень производной f(x) = ln а . ах— b через х0, находим

Легко видеть, что при х = х0/(.х) достигает minimum'a. Вычислим его:

Выше при выводе признака (2) мы видим, что если уравнение (1) имеет два действительных корня, то In & — In In а > 1. Поэтому f(x0) <0. Но ДО) и/(-|-оо) положительны. Следовательно, один корень уравнения содержится между нулем и х0, а другой больше хл. Рассмотрим производную <р\х) = ^ ах% <р'(х0) = 1; <р'(х) — возрастающая функция, следовательно, при х<Сх0 ?'(х)<1. Если принять еще во внимание, что, очевидно, х0 равно с, то мы придем к тому же выводу относительно вычисления корня Ец какой получили выше с помощью геометрической интерпретации

Имея формулу для хп, в которой для вычисления удобнее заменить натуральные логарифмы десятичными, так что

легко найти более тесные пределы для обоих корней уравнения (1). Для этого достаточно подставлять в f(x) убывающие целые положительные значения х меньшие хоУ пока не найдем двух последовательных целых чисел, для которых f(x) имеет разные знаки; между этими числами и заключается меньший корень. Таким образом мы узнаем корень с точностью до единицы. Подобным же образом найдем пределы для большего корня.

Напр., для известного уравнения 2ж = 4х1), которое имеет два действительных корня, так как 4>£ln2, х0 = 2,53. Подставляя сначала числа 2, 1, 0 и затем 3, 4, очень легко находим, что один корень лежит между О и 1, а другой равен 4. Еще пример. Для уравнения Зж=И0х лг„=^,01. Поступая по предыдущему, найдем, что один корень заключается между О и 1, другой между 3 и 4.

Чтобы вычислить больший корень уравнения (1), дадим ему вид

Х=*А+Ж£=9{Х)............(7,

(логарифмы взяты при произвольном основании). Тогда

Следовательно, ср'(л;)<1 при всяком х>х0. А так как Е2>*0> то корень £2 можно вычислить способом итерации, беря за 1-е приближение какое-нибудь число больше х0 и вычисляя по формуле xn + i = y(xn).

Когда уравнение (1 ) при b положительном имеет только один корень, то он равен х0. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что

1) Оно было исследовано и решено в упомянутой статье И. И. Чистякова.

в этом случае Ь = е\па и следовательно хл = -.—-- и аа'о =е. Корень этот, очевидно, будет двукратный.

Если ib<<0, то единственный корень уравнения можно вычислить способом итерации, приводя уравнение (после подстановки ;с= — х' и Ь = — Ь') к одному из двух видов:

смотря по тому, какая из функций, стоящих в правых частях последних двух равенств, имеет производную, остающуюся по абсолютной величине меньше единицы вблизи корня.

Для примера вычислим меньший корень уравнения 2х=4х. Мы видели, что он заключается между 0 и 11). Легко найти, что он меньше у. Приведем уравнение к виду 2"т = ? (х) • (х) = ^р- 2х. Так как lg2 = 0,693... <у Угу то в промежутке (0; 0,5) <?'(*)<?'(0,5)<-] . Предел ошибки я-го приближения найдем по формуле (6), полагая в ней {хх — £j) <С у и /я = -|-. В частности (х9 — g, j < 10 - 6 • Следовательно, уже 9-е приближение даст искомый корень с 5 верными цифрами. Вычисляя сначала по 4-значным таблицам логарифмов, затем по 5-значным и 7-значным, получаем:

х{=0 x.t = 0,3093 х9 = 0,30991

х2 = 0,25 х6 = 0,30978 х10 = 0,3099067

Xi = 0.2973 х1 = 0,30989 лгп = 0 309е 068

х4= 0,3072 л:8 = 0,30990 хп = 0,3099068

jc13 = 0,20990693

Мы видим, что приближения изменяются монотонно, что бывает всегда, когда производная <р\х) [не только для уравнения (1)] положительна вблизи корня. Заметим, что практически нет надобности вычислять приближенные значения хп, кроме последнего. Проще вычислять их логарифмы, пользуясь формулой lg jcJl+1 = lg 0,25-\-zn, где zn определяется из равенства lg zn = \g xn-\-\g\g2. Однообразие вычислений сильно облегчает их. Кроме того, когда приближения начинают изменяться медленно, то достаточно отыскивать поправки к найденным перед этим логарифмам и числам, что выполняется в уме. Это замечание относится и вообще к определению корней уравнения (1) способом итерации.

Вычислим еще большой корень уравнения 3х=\0х. Перепишем его в форме (7)

(логарифмы—десятичные) и начнем вычисления с ^ = 3. Вблизи корня производная <р'( х ) < jy^y<-j • Следовательно, с каждым шагом ошибка уменьшается по крайней мере втрое. Вычисления чрезвычайно просто выполняются по формуле \gxn + x = lg(l -\-\gxn) — Iglg3. Вот результаты:

хх = 3 х3 = 3.136 хд = 3,136357

х2 = 3,096 х6 = 3,1361 лг1и = 3,136364

х3 = ЗЛ25 л-7 = 3,13(-2 хп = 3,136366

хА = 3,1 ^3 xs = 3,1363 31 х12 = 3,136366

1) Можно доказать, что этот корень иррациональный. Допустим, что х=—у — несократимой правильной дроби, так что 2т= 4—; отсюда 2т — 4п ( — ) и пп — _ 22» w . тл причем 2/2 —/и >0. Это равенство невозможно в виду единственности разложения целого числа на простые сомножители.

3. Займемся отысканием чисто мнимых корней уравнения (1), считая попрежнему постоянные а и b действительными и, кроме того, а> 1. Так как ах— Ъх |п а, то, полагая

х\па = о\ -— = Ь.,..... . . . . (8)

приведем уравнение к виду Ъу* = Ьху\ или

cos <р -J- j sin ср = ôjcp*,.........(9)

где bx— действительное. Так как мы будем искать только действительные значения у, то у должно удовлетворять двум уравнениям:

cos <р = 0............(10)

и

sin ? = Ьгу............(11)

Из уравнения (10) получаем

ф = (à-f-l)ir, где ft = 0, ±1, ±2,......(12)

следовательно, если уравнение (9) имеет действительные корни, то независимо от величины Ъл они должны заключаться в формуле (12). Подсталяя (12) в (11), находим, что Ьг должно быть вида:

ь - '-')' ..........(13)

'"(*+;)"

Таким образом, если^ будет вида (13), то уравнение (11) имеет корень (12), причем в (12) и (13) k должно иметь одно и то же значение. Очевидно, уравнение (11) удовлетворяется также и при

9 = _(A + l)ic,..........(12')

которое может быть получено из (12), если вместо k подставить число — k — 1. Итак, если значение Ьх выбрано по формуле (13), то уравнение (9) имеет 2 действительных корня (12) и (12'). Докажем, что при таком значении Ьх уравнение (II) не может иметь других корней вида (1^), кроме двух, указанных выше. В самом деле, допустим, что существует корень этого уравнения: <? = (j-f-y) тг, где i—целое число, не равное ни А ни—k — 1. Подставляя это значение ? в (И) и заменяя его выражением (13), получим

Если разность i— k четная, то уравнение приводится к i-\--^z=z — k-\—£y откуда i = k. Если же i — k — нечетное, то — — & —и г = — k—1. Из полученного противоречия следует справедливость высказанного утверждения.

Возвращаясь к уравнению (1), с помощью формул (8) находим, что необходимое и достаточное условие существования чисто мнимых корней уравнения (1) выражается равенством

При таком значении b уравнение имеет 2 чисто мнимых корня

Легко видеть, что мы получим все возможные значения коэфициентов b wbv если ограничимся лишь целыми неотрицательными значениями k. Уравнение (1), в котором постоянные а и b связаны равенством (13), может иметь один действительный корень (отрицательный) если k нечетное положительное и, следовательно, b < 0. Если же k четное положительное или нуль, то b > 0, но, как легко видеть, b будет меньше е In а и в силу признака (2) уравнение не имеет действительных корней. Итак, при b положительном уравнение не может иметь одновременно действительных и чисто мнимых корней.

Пример. Пусть а = е. Полагая k = 0, находим по формулам (14) и (15), что уравнение

имеет чисто мнимые корни x = -\-~L Действительных корней у него нет.

Вопрос о чисто мнимых корнях уравнения (1) может быть также решен геометрически. Очевидно, достаточно ограничиться исследованием действительных корней, общих двум уравнениям (10) и (11). Строим синусоиду z = sin?. Корни уравнения cos ср = 0 изобразятся абсциссами вершин синусоиды. Корни уравнения sin ? = b{ ? даются точками пересечения синусоиды с прямою z = bx? (а). Надо найти значения коэфициента Ь,, при котором прямая (а) проходит через вершины синусоиды. Так как вершины равны <р = ^k-{- 2)тс* а соответствующие им ординаты суть z = (— 1)*, то отсюда получается формула (13). Из чертежа1) ясно, что прямая (а) может проходить только через 2 вершины синусоиды, симметричные относительно начала координат, и что при выбранном значении Ьх уравнения (10) и (11) имеют 2 общих равных и противоположных корня (12) и (12').

Résumé.

Dans la note présente, consacrée à l'équation (1), où les constantes a et b sont réelles et en outre a est positif, l'auteur montre, comment on peut calculer les racines réelles Vie l'équation (1 ) par la méthode d'itération [iterative] [v. les formules (4) et (7)]. Il trouve en même temps la condition (»4) vu laquelle l'équation (1) reçoit des racines purement imaginaires. Celles-ci sont comprises dans la formule (15).

L. Lodygensky.

ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА ПАППУСА (Pappus).

А. О. Рейн (Владивосток).

1. Под задачей Паппуса, как видно из литературы, понимают следующую: Через точку на биссектрисе прямого угла провести пъям\ю данной длины.

Особенно подробно и полно эта задача разобрана в книге А. Марожера под названием ,Задача Паппуса и первые сто ее решений'' (,,Le problème de Pappus et ses cent premières solutions").

1) Читатель не затруднится сделать чертеж.

В „Вестнике опытной физики и элементарной математики" за 1910 г. И. И. Александров дает решение более общей задачи путем геометрического построения. Он решает задачу о проведении прямой данной длины через точку биссектрисы непрямого угла.

Переходя к дальнейшему обобщению задачи Паппуса, поставим ее так: Провести прямую через точку, не лежащую на стороне прямого угла, так, чтобы ее отрезок между сторонами данного угла был данной величины.

2. Положим, имеем данный прямой угол АОВ, стороны которого примем за оси координат, и точку М, не лежащую на его стороне. Пусть точка M определяется радиусом OM — R и углом МОА = ^.

Для определения искомого направления отрезка AB данной длины и равного AB = d нам нужно найти направление прямой MAB, проходящей через точку Ж и от которой стороны прямого угла отсекают отрезок AB данной длины.

Мы всегда можем взять на стороне прямого угла произвольную точку и из нее засечь отрезок данной длины, но направление его не будет проходить через данную точку. Всегда возможно представить себе отрезок AB в его данном положении как полученный от перемещения из другого положения при скольжении концов отрезка по сторонам прямого угла.

Поэтому положение точки M можем определить как точки пересечения окружности с центром в точке О и радиуса ОМ и геометрического места точек прямой при скольжении двух ее точек по сторонам прямого угла.

Как известно из аналитической геометрии, геометрическое место точек прямой при скольжении двух ее точек по сторонам угла будет эллипс.

Если две точки прямой скользят по сторонам прямого угла, то геометрическое место любой другой точки этой прямой будет также эллипс, для которого стороны прямого угла явятся главными осями.

3. Напишем уравнение геометрического места точек прямой при скольжении двух ее точек по сторонам прямого угла, пользуясь полярными координатами и полага'я начало координат в центре эллипса.

Тогда получим:

1 — Е* cos2

где b есть малая ось эллипса и будет равна MA, = а? ~ - — эксцентриситет, ц — угол МО А, большая ось эллипса будет MB, R—радиус-вектор точки M — представляет собою ОМ.

Преобразуя уравнение ( i ) и имея в виду, что длина отрезка AB дана, получим систему двух уравнений, в которой неизвестными будут а и Ь.

Итак, имеем: Обозначая:

(2). (3),

получим вместо уравнений (2) следующие:

Преобразуем второе уравнение и получаем следующую систему уравнений вместо (4):

(5).

Из уравнения (5) следует, что величина а и b по данным /?, ц и ü определится как координаты точки пересечения эллипса и равносторонней гиперболы. Зная же величину полуосей эллипса, являющегося геометрическим местом точек M при скольжении прямой MAB двумя точками по сторонам прямого угла, мы всегда можем построить этот эллипс и найти положение прямой MAB.

РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ В НЕМЕЦКИХ УНИВЕРСИТЕТАХ В XIX В.

(Из лекций проф. Феликса Клейна1)

XVIII век создал прочную основу для развития математики во всех направлениях. Университеты, однако, еще не играли в то время главной роли в этой работе. Первенствующее значение имели тогда академии. В отношении национальности здесь тоже еще нет точных границ. В начале этого периода появляется в Германии такой крупный ученый, как Лейбниц; потом среди родственной швейцарской нации выдается династия Бернулли и великий Эйлер. Деятельность этих ученых, даже в ее внешнем проявлении, не была ограничена тесными географическими границами: чтобы ее охватить, следует к Германии и Швейцарии присоединить также Голландию и особенно Россию С другой стороны, в царствование Фридриха Великого знаменитые французские математики Лагранж и Д'Аламбер, Мопертюи, на ряду с Эйлером и Ламбертом, были славой и гордостью Берлинской академии. Совершенно изменила эти условия только Французская революция.

В двух направлениях проявилось влияние этого великого исторического события на развитие знаний, С одной стороны, происходит разделение народов и выдающееся развитие их характерных национальных особенностей. Научные идеи, конечно, сохраняют свою общность, и международные сношения ученых не теряют своего значения для развития знаний, но способ обработки и развитие научной мысли происходят уже на национальных основах.

С другой стороны, влияние французской революции проявляется в методах обучения. В этом отношении знаменательным является создание Политехнической школы в Париже в 1794 г. С этого времени признаются великие истины: научные исследования и преподавательская деятельность легко совмещаются, преподавание не является достаточным без непосредственного общения учителей и учеников; первенствующее значение прежде всего имеет пробуждение самодеятельности студентов Пример Парижа не остался без последствий, потому что вошло в обычай опубликовывать в систематической форме курсы, читаемые в этой школе; таким путем возник целый ряд прекрасных школьных учебников, которые и теперь еще являются основными для обучения математике в Германии и др. странах.

Но вернемся к нашему историческому очерку. Прежде всего охарактеризуем положение Гаусса в современной ему науке. Гаусс стоял во главе нового направления: во-первых, в отношении времени, в которое протекает его деятельность, так как первые опубликованные его статьи относятся к 1790 г., и деятельность его охватывает первую половину девятнадцатого века; затем по богатству новых плодотворных

1) Скончавшийся в 1925 г. германский профессор Ф. Клейн, известный ученый и инициатор реформы в области преподавания математики в направлении связи его с жизнью и техникой, является также автором ценных работ по истории математики и математического образования в XIX в. Небольшая часть их появилась в 1926 и 1927 гг. в двух выпусках: F. Klein. Vorlesungen über bie Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert. Печатаемый очерк прекрасно излагающий ход развития высшего математического образования в Германии, заимствован из лекций Ф. Клейна в Геттингенском университете.

мыслей и открытий во всех почти отраслях математики чистой и прикладной, наконец, и по своим методам, так как он первый вернул ту точность доказательствам» которая удивляет нас у древних и которую отодвинуло на дальний план почти исключительное направление эпохи, предшествовавшей новым открытиям. Несмотря на это, я поставил бы Гаусса в ряду великих исследователей XVIII века, наравне с Эйлером, Лагранжем и т. п.

Принадлежит он к ним по универсальности своих работ, в которых нет еще той специализации, которая составляет характерную черту нашего времени Он принадлежит к ним вследствие своего интереса к науке по существу исключительно академической, а также вследствие отсутствия в его преподавательской деятельности вышеописанною нового характера. Картина развития математики в эту эпоху являет как бы хребет высоких гор, возглавляемых могучей вершиной. Эти горы—ученые XVIII века, вершина их — Гаусс.

За ними тянется обширная, богатая страна, менее возвышенная, но полная новых элементов жизни. В последующем периоде более связаны с Гауссом астрономы и космографы, находящиеся под преобладающим влиянием Бесселя. Тем временем в начале этого столетия в наших университетах в теоретической математике начинается независимое развитие, а вторая четверть этого века составляет начало эпохи, которую отметили прославленные имена Якоби и Дирихле.

Якоби начал свою деятельность в Берлине, куда возвратился в последние годы своей жизни (умер в 1851 г.); кульминационный период его деятельности приходится все-таки на время от 1826 до 1843 г., когда он вместе с Бесселем и Нейманом работал в Кролевце. Здесь он в 1829 г. опубликовал свое сочинение «Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum,» в котором изложил в аналитической форме систематический курс открытий своих и Абеля в области эллиптических функций. Позже, после довольно продолжительного пребывания в Париже, вернувшись в Кролевец, он развил известную деятельность как учитель, с которым никто до сих пор не сравнялся по силе влияния на своих учеников и по непосредственным результатам, полученным в области чистой математики. Представление о его работе могут нам дать «Лекции по динамике» (Vorlesungen über Dynamik), изданные Клебшем в 1866 г., и полный курс его лекций в Кролевце, опубликованный Кронекером в VII томе «Полного собрания сочинений» Якоби.

Новым является то, что Якоби читал исключительно о том, над чем сам работал, и единственной целью его было ввести слушателей в круг собственных мыслей. С такой целью он первый создал математический семинар. Увлечение его было так велико, что не раз на своих лекциях он знакомил с главнейшими результатами своих исследований, не находя времени на опубликование их в печати.

Дирихле преподавал сначала в Вроцлаве, а потом в течение долгого периода (1831—1865) в Берлине и, наконец, четыре года в Геттингене. Идя по стопам Гаусса, но оставаясь в то же времяа в тесном контакте с современными французскими учеными, он избрал центральными пунктами своей научной деятельности математическую физику и теорию чисел. Добавим, что его менее интересовали рассуждения, охватывающие широкие области, чем простота понятий и вопросы основ, и эти вопросы он особенно подчеркивал в своих лекциях. Эти лекции характеризуются ясностью и какой-то особенной объективностью; они были особенно доступны для начинающих и в то же время в высшей степени увлекательны для подготовленных слушателей или читателей. Для примера достаточно вспомнить о его лекциях по теории чисел, изданных Дедекиндом и представляющих до сих пор наилучшее сочинение по этому вопросу. Гаусс, Якоби, Дирихле — вот имена, каторые дали направление целому позднейшему периоду.

Проследим далее в нашем очерке другой путь, а именно по университетам, наиболее выдающимся по работе над математической наукой. На ряду со специальными результатами индивидуальной работы все большую роль играет принцип совместной работы и ее зависимость от местных условий.

Принимая за высшую границу нашего очерка 1872 год, назовем здесь университеты Кролевецкий, Берлинский, Геттингенский и Гейдельбергский. О деятельности Якоби в Кролевце мы говорили уже выше. Можно еще добавить, что после его отъезда университет остается еще центром изучения математики: Ришело и Гессе умеют поддержать высокую традицию Якоби, первый—в области аналитической, другой—в геометрической.

Одновременно преподавание математической физики Фр. Неймана начинает притягивать все больше слушателей. Ряд выдающихся математиков выходит из Кролевца, и нет, можно сказать, университета в Германии, которому бы Кролевец не дал профессора.

О Берлине мы говорили выше. Годы от 1845 до 1851, в течение которых Якоби и Дирихле работали там вместе, были кульминационной эпохой берлинской школы На ряду с предыдущими, знаменитой личностью является Штейнер (пробывший в этом, университете от 1835 до 1864 г.), творец синтетической геометрии в Германии.

Это был ум всесторонне оригинальный, профессор, необыкновенно увлекающий главным образом благодаря последовательности, с какой он развивал свои геометрические взгяды. Событием, имеющим немалое значение, было основание в 1826 г. Креллем журнала: Journal für die reine und angewandte Mathematik». В течение десятков лет это был единственный немецкий математический журнал; на его страницах появились главнейшие сочинения почти всех выдающихся представителей быстро развивающейся немецкой науки. Из трудов иностранных ученых мы находим в первых томах исследования Абеля. Крелль сам вел этот журнал в течение 30 лет, после него Борхардт (1856—1880 г.), теперь (в 1893 г), журнал этот доведен до 110 тома. Следует также упомянуть о возникновении (в 1844 г.) Берлинского общества физиков. Среди его членов назовем Гельмгольца, Кирхгофа и Клаузиуса, и хотя этих ученых не можем причислить к математикам в точном значении этого слова, все же их произведения оказали большое влияние на развитие математической науки в разных направлениях. В течение этого же периода Энке, как директор астрономической обсерватории в Берлине (1825—1862), оказал далеко распространившееся влияние путем выработки методов астрономического исчисления, на основах, данных Гауссом.

Оставим на время Берлин, к которому вернемся, когда будет итти речь о современном развитии математики в этом университете, и перейдем к геттингенской школе.

Твердую основу, из которой выросло значение Геттингена, составляет традиция Гаусса. Она нашла себе продолжение в отношении физич ской стороны, когда Вильгельм Вебер, вернувшись из Лейпцига в Геттинген (в 1849 г.), ввел впервые систематические упражнения в методах точных электромагнитных измерений, которые выработал вместе с Гауссом. В математике следуют быстро одно за другим известные имена. После смерти Гаусса его преемником был Дирихле, который перенес сюда свою живую преподавательскую деятельность на короткий период времени (1855—1859). На ряду с ним выделяется Риманн (1851—1866), а немного позднее следует Клебш (1868 — 1872).

Риманн связан как с Гауссом, так и с Дирихле; он всецело разделял мысли Коши о применении комплексных переменных. Здесь берет начало его глубокое творчество в области теории функций, которая с этого времени становится обильным и постоянным источником увлекательных исследований. Клебш дополняет, если можно так выразиться, Риманна. Прибыв из Кролевца и занявшись сначала математической физикой, он нашел в период своей работы в Гиссене (1865 — 1868) собственное направление исследований, примененное позднее с таким успехом в Геттингене. Знакомый с сочинениями Якоби и новой геометрией, он ввел в эту область результаты алгебраических исследований английских математиков Кэли и Сильвестра и на двойной, так построенной, основе создал новые пути, ведущие к разрешению проблем из всей теории функций, особенно идей Риманна. Но это еще не является достаточным для характеристики значения Клебша в деле развития нашей науки. Человек с живым воображением, легко проникающий и в чужие мысли, он оказывал на своих студентов влияние, далеко выходящее за пределы обычного преподавания. Одаренный характером деятельным и предприимчивым, он создал вместе с Нейманном в Лейпциге новый периодический журнал «Mathematische Annalen», который, выходя беспрерывно, достиг уже 41 тома (в 1899 г. вышел 51-й том).

Припомним еще памятные годы в Гейдельберге (от 1855 г. до 1870 г.). Тогда Гессе читал свои прекрасные знаменитые лекции по аналитической геометрии. Тут же Кирхгоф преподавал математическую физику, а Гельмгольц обрабатывал свои великие исследования в области математической физики, послужившие основой для прекрасных работ Киргофа.

Теперь придется мне упомянуть о второй берлинской школе, начинающейся в половине XIX столетия и продолжающейся до сего времени. Но главе ее стоят Куммер, Кронекер и Вейерштрасс (двое первых — ученики Дирихле) и занимаются преимущественно теорией чисел; последний, основываясь главным образом на идеях Якоби и Коши, является одновременно с Риманном творцом новой теории функций. Мы можем только вскользь упомянуть о лекциях Куммера, которые своей простотой построения и способом изложения приносили много пользы большинству слушателей, хотя не выделялись особенно оригинальным содержанием. Совершенно иначе было с Кронекером и Вейерштрассом, преподавание которых с течением времени приобретало все более и более характер научного индивидуализма. Оба эти исследователя отодвигают на задний план интуитивные методы, оба избегают чересчур длинных формальных доказательств нашей науки, отдаваясь строгой критике основных понятий анализа. В этом направлении Кронекер идет дальше, чем Вейерштрасс, так как старается совершенно исключить понятие об иррациональном числе и свести все выводы исключительно к связи между целыми числами. Эти стремления оказали широкое влияние и придали выдающийся характер большей части современных математических исследований.

Мы обрисовали подробно состояние нашей науки до 1870 г. Невозможно пойти тем же путем в изображении позднейшего развития. Развитие это не закончено; люди, принимающие в нем участие, находятся еще в полном расцвете своего творчества.

Мы можем только сделать несколько общих замечаний о теперешнем характере математической науки в Германии. Но, прежде чем это сделаем, мы должны дополнить предыдущий отчет в двух направлениях.

Прежде всего мы должны подчеркнуть, что не исчерпали темы даже в ее тесных границах. Действительно характерную черту немецких университетов составляет то, что их жизнь не вполне централизована; всюду, где появляется глава школы, он находит подходящую сферу деятельности. Как пример из эпохи более отдаленной можем назвать старого аналитика И. Фр. Пфаффа, который работал в Гейлтштадте и в Галле с 1788 до 1825 г. и в течение некоторого времени имел среди своих учеников Гаусса. Пфафф был первым представителем комбинаторной школы, которая в течение некоторого вгемени играла большую роль в разных немецких университетах, но под конец должна была уступить свое место в виду нового значительного прогресса знаний. Можем еще назвать трех великих геометров: Мебиуса в Лейпциге, Плюккера в Бонне, Штаудта в Эрлангене. Мебиус был одновременно астрономом и заведывал лейпцигской обсерваторией от 1816 до 1868 г. Плюккер посвятил математике только первую половину периода своего творчества (1826 — 1846); позже он отдался опытной физике (его исследования хорошо известны); потом, под конец жизни (1854 1868) вернулся снова к геометрическим исследованиям. Случайное обстоятельство, что каждый из этих трех ученых работал как учитель только в тесном кругу, сделало то, что развитие новой геометрии отодвинулось в нашем очерке на второй план.

За пределом университетских кругов выступает имя Грассмана из Штетина, который в своем «Ausdehnünglehre» (1844 — 1862; создал систему, охватывающую выводы новой геометрии, а на другом поприще—имя Ганзена из Готы, знаменитого представителя теоретической астрономии.

Мы должны еще вкратце упомянуть о развитии технического образования. Приблизительно в половине столетия возник обычай привлечения выдающихся ученых на кафедры в политехнических школах. На первом месте следует поставить Цюрих, который, несмотря на политические границы, можно считать принадлежащим к области нашего очерка; значительное число профессоров, которые преподавали раньше в политехнической школе в Цюрихе, составляют теперь украшение немецких университетов. Идеал политехнической школы в Париже — соединение математического образования с техническим — делается теперь все более распространенным. Большое влияние в этом направлении оказали лекции Реатенбахера по теории машин, которые привлекали в Карлсруэ все возрастающие кадры восторженных студентов. Вполне научно были разработаны начертательная геометрия и кинематика. Кульман в Цюрихе, создавший графическую статику, применил очень удачно основы новой геометрии к механике. Вместе с этим развитием науки возникали многочисленные политехнические школы в Германии в 1870 г. и в последующие годы; в некоторых из прежних школ были произведены реформы. В Мюнхене и в Дрездене, по примеру Цюриха, были основаны специальные факультеты для подготовки будущих учителей и профессоров. Политехнические школы приобрели таким путем большое значение в деле преподавания и развития математических знаний. Но мы не можем уже больше касаться интересных вопросов, находящихся в связи с этой темой

Проследивши весь путь развития, приходим, как бы то ни было, к убеждению, что в Германии, как и в других странах, число людей, интересующихся математикой, быстро возросло и, как результат этого, количество математической продукции достигло колоссальных размеров. Ортман и Мюллер, организуя в Берлине журнал, посвященный годичным библиографическим обзорам («Die Fortschritte der Mathematik») удовлетворили неотложную потребность. Теперь ежегодники этого журнала дошли до 21 тома.

В заключение скажу еще несколько слов о новом развитии университетского преподавания. Главные услия направлены на облегчение математического образования путем усовершенствования оборудования семинариев.

Устроены при них не только специальные библиотеки, но и лаборатории для работы студентов, желающих непосредственно пользоваться библиотекой. Созданы коллекции моделей и курсы рисования, чтобы победить враждебное настроение против черезмерной отвлеченности университетского преподавания. Студентов привлекало к специальным занятиям все то, что являлось необходимым условием для развития знаний. С другой стороны, все растет стремление к работе, основанной на взаимном влиянии различных специальных отраслей. Там, где один человек не может много сделать, необходимым является привлечение других к совместной деятельности для одной общей цели. Это побудило в последнее время к созданию немецкого математического общества (Deutsche Mathematikvereinigung).

Первый годовой отчет этого общества, содержащий на ряду с другими обширный реферат о развитии математических теорий и одновременно опубликованный каталог объяснительных моделей и приборов, указывает направление, в каком следует двигаться в будущем. При тех средствах опубликования, какими теперь располагаем при все возрастающем числе новых сочинений, является почти невозможным следить

за развитием во всех отраслях математики. Задачей общества является собирание систематизация, поддерживание отношений так, чтобы материальные трудности не задерживали работы и движения вперед.

Развитие же математики, как и каждой другой науки, останется навсегда правом и наградой отдельной личности. Геттинген. Январь 1893 г.

Перевела К. Якубович.

ЗАДАЧИ

53. Показать, что уравнение:

x2 + 5j/2 = 20m + 2 не может быть решено в целых числах.

54. Решить уравнение:

(*!)■ = (* + +1) + [(*-1) !]2.

А. В. (Москва).

55. Доказать, что окружность, описанная около треугольника, не может проходить через центр вневписанного круга.

И. Агрономов.

56. Из вершин А, В, С треугольника ABC проведены прямые, пересекающие противоположные стороны а, Ь, с соответственно в точках X, К, Z и сходящиеся внутри треугольника в точке О. Зная, что площади треугольников AYZy BZX и CXY относятся как 10:15:24, найти отрезки сторон треугольника.

57. В шар радиуса R вписан правильный тетраэдр, в него — шар, в этот шар - снова тетраэдр и т. д. Найти предел суммы поверхностей и объемов (отдельно) всех шаров и всех тетраэдров.

58. Показать, что если

tg(y-x)^\^Ag X,

59. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить при помощи цифр 0, 1, 2, 3', 4, 5 и как велика их сумма?

60. Прямая линия ВС постоянной длины движется своими концами по сторонам угла А; найти геометрическое место центров окружностей, описанных около треугольника ABC.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

67 (1928 г.). Найти сумму п членов ряда

12 + 34 + 56 + 78 + 910 + 1112 + 1314 +

где каждый член записан цифрами двух рядом стоящих членов натурального ряда.

(Задача была предложена проф. Н. А. Агрономовым.)

Общий член ряда может быть представлен в виде Тогда

Каждая из сумм здесь представляет сумму членов арифметической прогрессии, состоящей из ряда последовательных нечетных чисел. Предположим сначала, что ряд содержит некоторое число полных прогрессий, т.-е. что число п имеет вид пг=5 .10 к~ 1—1; тогда сумма его членов может быть найдена на основании формулы суммирования ряда нечетных

чисел:

Действительно:

Соединяя здесь 2-й член с 3-м, 4-й с 5-м и т. д., можем искомой сумме s придать вид:

а производя возведения в квадрат, имеем:

или:

что по сокращении даст:

прибавляя сюда еще

получим:

причем, так как

Пусть теперь п— произвольное число. Тогда для нахождения суммы п членов данного ряда возьмем наибольшее число щ вида 5.10Л ~1—1, содержащееся в п\ при этом сумма членов у \ ап выразится предыдущей формулой (II). Чтобы получить аЛ, к этому выражению, согласно фор муле (I), придется добавить члены:

что можно представить в виде:

так что окончательно будем иметь:

П. Сапунов (Владимир), Л. Лодыженский (Тула), А. Цивчинский (Одесса); неполные решения: И. Сергачев (Москва), Е. Воскресенская (Павлов).

14. Решить систему уравнений:

Складывая эти уравнения, найдем:

откуда

x+^-h^i-^p^1........d).

Исключим теперь из данной системы одно из неизвестных, напр. х\ для этого вычтем почленно из первого уравнения второе; найдем:

откуда

С другой стороны, вычитая из 2-го уравнения 3-е, будем иметь

у2 -z2-\-2zx — 2xy = b2 — c2,......(II)

откуда

Приравнивая оба найденные значения для х, получим:

или

Освобождаясь от знаменателя и от радикала, получим:

иначе Отсюда

или

Но уравнению (I) можно еще придать вид:

или

откуда

Подставляя сюда вместо z—у его найденную величину, найдем:

а складывая это уравнение с уравнением (I), т.-е.

получим:

аналогично или круговою перестановкою букв найдем:

А. Дмитровский (Москва), И. Челисов (Дмитровск), /7. Сапунов (Владимир), Павлов (Дженасемей).

23. Уравнение пары прямых ах2-{-2Ьху-{-су2 = 0 ; найти уравнение биссектрисы угла между ними.

Угловые коэфициенты kx и k2 данных прямых удовлетворяют уравнению:

a-\-2bk -f ck*=0, откуда kt -f k9 = —- ~ ; kYku — * . Если обозначим через ш координатный

угол, а через k угловой коэфициент одной из искомых биссектрис, то, выражая тангенс угла между биссектрисой и каждой из данных прямых, получим соотношение:

или после упрощений

Заменив здесь ki-\-k2 и предыдущими выражениями, находим:

или

Этому уравнению удовлетворяют угловые коэфициенты биссектрис, уравнение которых получим, если подставим сюда — на место k. Таким образом уравнение биссектрис будет:

или, в случае прямоугольных координат,

А. Дмитровский (Москва), А. Бутомо (Саратов), Н. Фивейский (Ржев\ Е. Воскресенская (Павлов), С. Адамович, А. Чернов (Тула), И. Челисов (Дмитровск), В. Конец (Map. Посад), Павлов (Дженасемей).

24. Показать, что tglO0, tg70° и tgl30° суть корни уравнения:

\/Jx*~— Зх2 — 3|/Зл; + 1 = 0.

Разделив все члены уравнения на j/З , легко можно привести его к виду

Зх — х* _ у з 1—Здг2— 3 "

Заменяя здесь д: через tgj/, найдем, что левая часть уравнения будет тождественно равна tg Зу, правая же часть представляет tg(30°-f-180°.#). Отсюда видно, что уравнение удовлетворяется при у = 10° -f- 60°. п, или при a; = tg(10o4-60o. л); поэтому tglO°, tg70° и tg 130° суть частные значения х, получающиеся при п = 1, 2, 3.

А. Дмитровский (Москва), П. Сапунов (Владимир), Е. Воскресенская (Павлов), И. Челисов (Дмитровск), Н. Фивейский (Ржев), А. Бутомо (Саратов), А. Чернов, С. Адамович (Тула), А. Зимин (Кинешма), Павлов (Дженасемей).

2-е решение. Рассмотрим вместо данных углов какие-нибудь три угла а — 60°, а и а -f- 60ü и сложим их тангенсы:

tg (а — 60°) -f-tg а + tg (о + 60°) = tge-Vj _ tg а _^ tg* _+j/3_ _ 3 tg 3 ^

1 Н- |/3 tg » 1— l/3tga

поэтому, при а = 70°, получим;

tgl0° + tg70°-f tgl30°=r3tg 3Q° = i/3.

Составляя далее сумму парных произведений тангенсов, имеем: tg (а - 60°). tg а -f tg а . tg (а+60°) + tg (а + 60°) tg (а - 60е) = *^=l|= = — 3 (независимо от а).

Наконец, ffT3„ o+(rry

tg(a-60°).tga.tg(a4-60°) = ^-3^tf- = -tg3a,

а потому tg 10°.tg70°.tg 130° = — tg210° = — tg30°=- yf-

Следовательно, tglO°, tg70° и tgl30° суть корни уравнения: x3— ^Зх*~ 3*-f Yf = 0, или j/3jt3 — Зх2 — 3j/3*-f 1 =0.

25. Найти без помощи таблиц произведение: .

Данное произведение можно представить в виде:

Если обозначим первый трехчлен через Р, а второй через Q и применим тождества:

то будем иметь:

Отсюда, складывая, находим:

Далее

откуда после сложения получим:

Поэтому Р= 2 ]/6+|/2 -3; Q = 2/6 +]/2" + 3

и PQ = (21/6 -j- /2")2 — 9 = 17-f81/3 = 30,856...

Л. Дмитровский (Москва), Я. Сапунов (Владимир), Е. Воскресенская (Павлов), Н. Фивейский (Ржев), А. Бутомо (Саратов), А. Зимин (Кинешма), И. Челисов (Дмитровск), В. Копец (Map. Посад).

27. Решить систему уравнений:

Первому уравнению можно придать вид:

возводя затем обе части второго уравнения в квадрат и вычитая его почленно из предыдущего, получим:

Отсюда 2xv = а2. _4_± i^L.

Решая совместно это уравнение и 2-е уравнение данной системы, найдем:

ХУ. (Ростов-на-Дону), А. Бутомо (Саратов), С. Адамович (Тула), П. Сапунов (Владимир).

ПАМЯТИ В. В. БОБЫНИНА.

25 ноября текущего года исполняется десятилетие со дня смерти известного историка математики, профессора Московского университета Виктора Викторовича Бобынина. Московский научно-педагогический математический кружок, в котором В. В. Бобынин состоял деятельным членом, постановил ознаменовать 10-летнюю годовщину со дня его смерти устройством торжественного заседания, посвященного его памяти.

В. В. Бобынин родился в 184 9 г., обучался в Тульской гимназии и Московском университете, который блестяще окончил в 1872 г. по физико-математическому факультету. Сделавшись преподавателем Нижегородского кадетского корпуса, он напечатал в Нижнем-Новгороде несколько работ из области статистики и метеорологии, но очень скоро его интерес сосредоточился на истории математики. В 1878 г. для получения должности приват-доцента этой науки в Московском университете он представил диссертацию: „История индуктивного периода развития наук математических. Доисторический период", однако она была возвращена автору, так как ни в университете, ни в Академии наук не оказалось специалистов по истории математики, способных оценить названную работу. Перейдя в 1881 г. на службу в Москву преподавателем 4-й московской военной гимназии, он представил в Московский университет вторую работу: Математика древних египтян", в которой он дал замечательное по глубине исследование незадолго до того открытого и изданного математического древнеегипетского папируса из собрания Rhind'a. Эта диссертация была защищена им в 1882 г., и тогда же началось чтение им лекций по истории математики в Московском университете. Кроме общего курса истории математики, В. В. Бобынин часто читал еще и специальные курсы, как, напр., „История донаучного периода математики", „История математики у египтян", „Индусская математика" и пр.; в особенности часто и охотно он читал курс „Истории математики в России", в котором он не имел предшественников и который он разрабатывал по собственным исследованиям, собирая и изучая древнерусские математические книги и рукописи. В 1885 г., с целью поднятия интереса к истории математики, он основал журнал „Физико-математические науки в их прошедшем и настоящем состоянии", который издавался им на собственные средства и был посвящен вопросам истории, философии и методологии математики. Кроме многих очерков, посвященных изложению развития математики у разных народов в различные эпохи, В. В. Бобынин поместил в этом журнале ряд собственных ценных исследований по истории математики в России. Той же цели служили отдельно изданные два выпуска: „Очерки истории развития физико-математических знаний в России", 1886 и 1893 гг. и фундаментальное исследование в трех томах: „Русская физико-математическая библиография", доведенное до 1810 г. Отдельно им были выпущены еще „Биографии знаменитых математиков

XIX в.", 5 вып., и ,,Исследования по истории математики", 3 вып., 1896 г. После прекращения своего журнала в 1900 г., В. В. Бобынин печатал свои труды в различных других русских изданиях, особенно охотно в начавшем выходить в 1912 г. ,,Математическом образовании", а также в иностранных журналах: „Bibliotheca Mathematica", „L'Enseignement Mathématique", „Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik" и пр.

Важным достоинством всех вообще работ В. В. Бобынина является то, что он в них стремился не столько к собиранию исторических данных, сколько к их сравнительному изучению с целью вывода основных законов, которым подчиняется математическое мышление человечества. В этом отношении особенно важны его работы по истории донаучного периода математики, в частности по истории дробей. Ценные научные труды В. В. Бобынина доставили ему почетную известность в России и за границей результатом чего явилось сделанное ему через проф. Морица Кантора предложение читать историю математики в одном из германских университетов, которым, однако, В. В. Бобынин не воспользовался. Но им было принято предложение М. Кантора участвовать в составлении IV т. его труда: Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik, для которого В. В. Бобынин составил историю элементарной геометрии в XVIII в. Много работал он также в области истории математического образования, особенно в России, а также по вопросам преподавания математики, в которое стремился ввести исторические элементы.

Несмотря на свои выдающиеся ученые заслуги, В. В. Бобынин отличался поразительной скромностью, не искал никаких академических отличий и всю жизнь довольствовался званием приват-доцента; профессором он был сделан уже после Октябрьской революции. Он вел суровый образ жизни истинного ученого, отдавая все свое время, силы и скромные материальные средства на научную работу в избранной специальности. В отношениях к другим людям он отличался изумительной приветливостью, внимательностью и душевным благородством, которое никогда не будет забыто лицами, входившими с ним в близкое соприкосновение.

И. Чистяков.

A LA MEMOIRE DE M. V. V. BOBYNINE

Le 25 Novembre courant aura lieu le dixième anniversaire de la mort de M. Victor Bobynine, professeur à l'Université de Moscou, historien des mathématiques connu. Le Cercle Pédagogique Mathématique de Moscou, dont M. Bobynine fut un membre actif, a décidé de célébrer ce jour par une réunion sollenelle en sa mémoire.

M. Bobynine naquit en 1849 et fit brillament ses études au Lycée de Toula et à la Faculté des Sciences de Moscou, d'où il sortit en 1872. Ayant été nommé professeur au Corps des Cadets de Nijni - Novgorod il publia dans cette ville quelques travaux de statistique el de météorologie, mais bientôt se tourna vers l'histoire des mathématiques. En 1878 il présenta à l'Université de Moscou, en vue d'y être nommé ,,privat-docent" pour l'histoire des mathématiques, une thèse, intitulée „Histoire de la période inductive du développement des sciences mathématiques. Période préhistorique". Cette thèse, pourtant, fut retournée â l'auteur, car il ne se trouva ni â l'Université, ni â l'Académie des Scienses aucun spécialiste en histoire des mathématiques, capable d'estimer ce travail. En 1881, ayant été transféré à Moscou comme professeur au 4-e Lycée Militaire, il présenta à l'Université de Moscou un second travail ,,Les mathématiques des Egyptiens de l'antiquité". Il y donna une étude très approfondie de l'ancien papyrus Egyptien mathématique de la

coiléction de Rhind, découvert et publié peu de temps auparavant. 11 soutint cette thèse en 1882 et commença, la même année, son cours sur Phistoire des Mathématiques à l'Université. A côté d'un cours sur l'histoire générale des mathématiques, M. Bobynine faisait souvent des cours spéciaux, comme, par exemple, „Histoire de la période préscientifique des mathématiques", „Histoire des mathématiques chez les Egyptiens", „Les mathématiques Hindoues" etc. Mais surtout il se plaisait à enseigner l'histoire des mathématiques en Russie, en laquelle il n'avait pas de prédécesseur et qu'il étudiait d'après des anciens livres Russes et manuscripts des mathématiques. Dans le but de stimuler l'intérêt pour l'histoire des mathématiques, il fonda en 1885 une revue „Les sciences physiques et mathématiques dans leur état passé et actuel" qu'il éditait à son propre compte et qui traitait des questions d'histoire, de philosophie et de méthodologie mathématiques. En plus de nombreuses études consacrées à l'exposition du développement des mathématiques chez divers peuples à des époques différentes, M. Bobynine publia dans cette revue une série de précieux travaux sur l'histoire des mathématiques en Russie. Puis nous devons mentionner dans le même ordre d'idées deux éditions séparées: „Esquisses d'histoire du développement des connaissances physiques et mathématiques en Russie" (1886 et 1893) et une étude fondamentale en trois Ivolumes: „Bibliographie physique et mathématique russe" qui s'arrête à 1810. Il édita encore, séparément, les „Biographies des célèbres mathématiciens du XIX siècle (5 fascicules) et „Etudes sur l'histoire des mathématiques (3 fascicules, 1896), Après que, en 1900, sa revue ait cessé d'exister, M. Bobynine publiait ses travaux dans divers revues Russes, surtout dans „L'Instruction Mathématique" qui commença à paraître en 1912 et aussi dans les revues étrangères:, Bibliotheca Mathematica", ,,1'Enseignement Mathématique", „Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik" et autres.

Le mérite général important des oeuvres de M. Bobynine consiste en ce qu'il ne cherchait pas tant à amasser des données historiques qu'à faire leur étude comparée dans le but d'établir les lois fondamentales qui régissent la pensée mathématique de l'humanité. Dans ce sens il faut surtout estimer ses travaux sur l'histoire de la période préscientifique des mathématiques, en particulier sur l'histoire des fractions. Les travaux de M. Bobynine lui acquirent une réputation honorable en Russie comme à l'étranger et lui valurent l'invitation faite par l'intermédiaire de M. Moritz Cantor d'enseigner l'histoire des mathématiques dans une des universités allemandes; invitation, dont M. Bobynine, d'ailleurs, ne profita pas. Mais il accepta la proposition de M. Cantor de collaborer au quatrième volume de son travail „Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik" auquel il contribua l'histoire de la géométrie élémentaire an XVIII siècle. Il travailla beaucoup aussi à l'histoire de l'enseignement mathématique, surtout en Russie, et à divers questions de l'enseignement des mathématiques où il cherchait à introduire des éléments historiques.

Malgré ses grands mérites scientifiques M. Bobynine se distinguait par une modestie remarquable, ne cherchait aucune distinction académique et se contentait toute sa vie de son état de privat-docent; il ne fut nommé professeur de faculté qu'après la révolution d'Octobre 1917. Il menait un genre de vie austère d'un vrai savant, en sacrifiant tout son temps, ses forces et ses modestes moyens au travail scientifique. Dans ces rapports avec les gens il était d'une affabilité, d'une attention et d'une noblesse d'ame exceptionnelles ét qui ne seront jamais oubliées de ceux qui le connurent personnellement.

I. Tchistiacov.

professeur de l'Université de Moscou.

ХРОНИКА

Институт повышения квалификации педагогов в Москве.

Прошло уже около двух лет с того момента, когда Институт повышения квалификации педагогов сделал первый прием курсантов-учителей на заочные курсы специального физико-математического цикла. Эти курсы имеют целью, не отрывая педагогов на местах от их ежедневной производственной работы, дать им возможность повысить свою квалификацию, сравняв их как по знаниям, так и по правам с лицами, окончившими педагогический вуз.

Обычная работа курсанта-заочника состоит в том, что он, имея на руках основные учебники (Власов. Курс высшей математики; Фербер. Арифметика и Богомолов. Основания геометрии) получает, сверх того, печатные заочные уроки, содержащие план работы, контрольные вопросы для самопроверки и дополнительный рабочий материал в виде теоретических дополнений к учебнику и задач. Прорабатывая эти уроки, курсанты время от времени выполняют специальные контрольные задания, присылаемые в Институт, которые рецензируются и исправляются специальными рецензентами.

В своей повседневной работе курсанты письменно обращаются к рецензентам и помимо контрольных работ, за разъяснениями отдельных вопросов и задач.

В январе текущего года Институт устроил первую зачетно-лабораторную сессию, на которую съехалось всего лишь 9 курсантов физ.-мат. цикла, которые, проработав на сессии около половины курса, сдали зачеты—некоторые за половину курса, а некоторые за четверть. Конечно, эту первую сессию вряд ли можно назвать удачным опытом. В текущем августе созвана вторая сессия заочников, собравшая 25 человек, проработавших на сессии отдельные вопросы по всему курсу, и из них 9 человек получили зачет по всему курсу и еще 7 человек—по частям курса.

С математикой таким образом у 9 человек покончено, и можно на основании этого опыта высказать следующее: курсанты—учителя школ второй ступени (7- и 9-леток), имевшие сами до поступления на заочные курсы лишь среднее образование, после двух лет работы на заочных курсах получили более чем удовлетворительные знания по основным отделам высшей математики, как аналитическая геометрия, диференциальное и интегральное исчисления с приложениями к геометрии дифер. уравнения и, кроме того, сведения по специальным отделам, как-то: теория вероятностей, приближенные вычисления и основания арифметики и геометрии, необходимые для усовершенствования их производственной работы. В настоящее время программа по математике увеличивается почти вдвое, и в нее будут введены: вариационное исчисление, теория функций, высшая алгебра и векторное исчисление. Число курсантов физмата, включая филиальные отделения института, достигает нескольких тысяч.

Год спустя после открытия заочного цикла физмата, при институте открылись вечерние курсы физмата для повышения квалификации московских педагогов II ступени, на которых в прошлом учебном году пройдена половина программы математики для заочников и на которых было около 30 курсантов-педагогов.

НОВЫЕ КНИГИ.

Проф. М. Ф. Зимин. Аналитическая геометрия. Изд. 5-е. Новочеркасск, 1928 г.. ц. 6 р.

Проф. С. Я. Купидонов. Индустриальная школа Украины и унификация систем технического образования СССР. Педагогика профобразования. Вып. I. Изд. Высш. педаг. курсов при Московском высш. техн. училище. М., 1929, ц. 75 к.

Проф. С. Я. Купидонов и инж. Н. А. Спицын. Нормы и стандарты СССР по машиностроительному черчению. Методика графики. Ч. I. Изд. Высш. пед. курсов при М. В. Т. У. М., 1929, ц. 1 р. 75 к.

Известия Тверского педагогического института. Вып. V. Тверь, 1929, ц. 2 р.

Г. Н. Попов. Памятники математической старины в задачах. Гиз. 1929, ц. 50 к.

Г. К. Брусиловский и Р. В. Гангнус. Курс математики для индустриальных техникумов. Ч. I. Гиз. 1929, ц. 6 р. 55 к.

Обучение измерению и счислению. Вып. II. Сборник статей. Изд. „Раб. просв." М., 1929, ц. 1 р. 80 к.

Проф. С. О. Шатуновский. Методы решения задач прямолинейной тригонометрии. Гиз. 1929, ц. 1 р.

Ответственный редактор И. И. Чистяков.

Мосгублит № 59830.

Тип. «Гудок», Москва, ул. Станкевича, 7.

Тираж 1.000.

ЦЕНА 90 КОП.

СКЛАД ИЗДАНИЯ

ИЗДАТЕЛЬСТВО „РАБОТНИК ПРОСВЕЩЕНИЯ" МОСКВА 19, ВОЗДВИЖЕНКА,10.