МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

№ 5

1929

ИЗДАНИЕ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

A. Бекеев. Н. А. Агрономов......................... 153

Н. Агрономов. О некоторых формах уравнения прямой и плоскости..... 157

Н. Агрономов. Обобщенная форма нормального уравнения прямой...... 159

Н. Четверухин. Несколько замечаний о методе итерации.......... 160

В. Копец. Свойства антипараллелей треугольника, проводимых из вершин его углов............................... 164

Л. Лодыженский. Об иррациональном уравнении х ф 2 ]/" х _ -j........ 168

И. Несторович. О школьной геометрической идиографии.......... 174

П. Сапунов. Отделение собственных корней от посторонних при решении иррациональных уравнений.................. ... 184

Задачи................... ............. 200

Решения задач......................... 201

Хроника................................. 208

SOMMAIRE

A. Bekeev. N. Agronomov.

N. Agronomov. Sur certaines formes de l'équation de la droite et du plan.

N. Agronomov. Forme generalysée de l'équation normale de la droite.

N. Tchetveroukhine. Quelques considérations sur la méthode de l'itération.

V. Kopetz. Quelques propriétés des antiparallèles dans Je triangle.

L. Lodygensky. Sur une équation à radicaux.

N. Néstorovitsch. Sur l'idiographie géometrigue scolaire.

P. Sapounov. Separation des racines étrangères dans les équations avec radicaux.

Problèmes.

Solutions de problèmes.

Chronique.

МАТЕМAТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

ЖУРНАЛ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

№ 5

1929 г.

Н. А. АГРОНОМОВ.

12/Х 1886 —23/IV 1929.

23 апреля 1929 года внезапная смерть от паралича сердца оборвала кипучую и плодотворнейшую деятельность одного из виднейших научных работников Дальневосточного края, профессора и руководителя кафедры математики Дальневосточного государственного университета Николая Александровича Агрономова.

Н. А. Агрономов родился в г. Риге в 1886 году в семье педагога; среднее образование получил в гимназиях в Риге и Вологде, высшее - в Петербургском университете по математическому отделению физико-математического факультета. Самостоятельную трудовую жизнь Н. А. начал со студенческой скамьи, пробивая себе дорогу и поддерживая семью.

Призвание и интерес к исследовательской и творческой работе в области математических наук у Н. А. Агрономова проявились к моменту окончания средней школы. 1905 год можно считать началом этой дея-

тельности, так как в этом году в журнале «Вестник опытной физики и элементарной математики» появляется первая печатная работа Н. А. Агрономова (в то время ученика 8-го класса гимназии) на тему: «К теории непрерывных дробей».

К моменту окончания университета в лице Н. А. выявляется вполне определившийся работник, достойный дальнейшего научного совершенствования; за период студенческих лет его имя появляется, кроме указанного журнала, в котором напечатаны еще четыре работы, также и на страницах бельгийского журнала «Mathesis», где помещены четыре работы и ряд решений объявленных журналом задач.

Естественному стремлению Н. А. к научно-исследовательской работе не удалось осуществиться к моменту окончания университета; в силу сложившихся семейных обстоятельств он должен был искать заработка в средней школе, что надолго отодвинуло его от работы в высшей школе. Но вместе с тем стремление к запросам науки никогда не покидает Н. А. Если с 1910 года Н. А. становится преподавателем средних учебных заведений г. Ревеля, то вместе с тем его имя продолжает появляться на страницах ранее указанных журналов, равно как и в новом журнале «Математическое образование», организованном Московским математическим кружком.

Н. А. Агрономов являлся постоянным и одним из деятельных сотрудников журнала «Математическое образование» за все время его существования; имя Н. А. мы видим на страницах журнала до самого последнего времени (№ 4 1929 г.).

В 1911 году в «Математическом сборнике», издаваемом Московским математическим обществом, печатается работа Н. А. Агрономова на тему «Числовые тождества, находящиеся в связи со свойствами символов, подобных символу Е». В этой работе, написанной под влиянием трудов профессора Н. В. Бугаева, известного специалиста по теории числовых функций, рассматриваются более общие символы, и автор приходит к теореме, содержащей свойства, отмеченные проф. Бугаевым, как простые следствия.

С 1914 года научно-исследовательская деятельность Н. А. Агрономова резко повышается. За период 1914 — 1916 гг. появляются в печати 45 работ, помещенных как в русских, так и в иностранных журналах, к которым, кроме названных, необходимо прибавить следующие: «Известия Казанского физико-математического общества», «Periodico di Matematica», «Gazeta matematica», «The Töhoku Mathem. Journal». Характер и разнообразие тем этих работ ясно выделяют Н. А. Агрономова как математика с широким кругозором и вместе с тем как исследователя, проявляющего симпатии и интерес к двум наиболее простым, но в то же время наиболее удивительным образованиям математики, как «целое число» и «треугольник».

Н. А. широко интересовался общепедагогическими вопросами, свидетельством чему является его семилетнее пребывание (1910—1917 гг.) на посту председателя и члена правления Педагогического общества в г. Ревеле.

Вся педагогическая деятельность Н. А. носила такой же широкий характер; с 1915 года Н. А. издает и редактирует журнал «Математический листок», которым об'единяет ревельских преподавателей математики. Журнал выходил в течение двух с половиною лет и прекратился в 1917 году.

К 1917 году мы видим в лице Н. А. Агрономова сформировавшегося ученого, соединяющего в себе научное творчество с интересом к педагагогике.

Революционные события 1917 года захватывают Н. А. в тот круг работы, на котором его сила и творчество могли дать наивысшую продукцию. Н. А. является первым председателям Эстляндского учительского профессионального объединения и организатором первого народного университета в г. Ревеле. В конце 1917 года в связи с реакционными настроениями и военной обстановкой в Прибалтийском крае H. А уезжает в

в г. Благодарный, Ставропольской губернии, на работу в земском реальном училище.

Только в 1919 году Н. А. становится работником в высшей школе, когда по представлению профессора Шапошникова избирается доцентом Кубанского политехнического института, откуда командируется в числе одного из организаторов Ставропольского сельскохозяйственного института, где избирается профессором по кафедре математики. В этот период жизнь выдвигает Н. А. как организатора новой высшей школы, и мы видим его на посту проректора научно-учебной части и в течение двух лет (1921—1923 гг.) в должности ректора вышеуказанного института. Стремление отойти от административной работы и всецело отдаться научно-исследовательской деятельности побуждает Н. А. принять предложение Дальневосточного государственного университета занять кафедру математики, в надежде здесь, на далекой окраине найти благоприятные условия для своей работы.

Энергия, широкий кругозор и редкое уменье отзываться на запросы жизни вновь вовлекают Н. А. в сферу административной работы, тем более, что в 1923 году только еще начиналась на Дальнем Востоке реформа высшей школы. Деятельность Н. А. на Дальнем Востоке протекала на глазах всей общественности; его имя неоднократно появлялось на страницах печати по разнообразным вопросам строительства ДВГУ в наиболее трудный период его организации и первоначальных форм развития. Придавая исключительное значение научной и научно-учебной стороне в жизни молодого формирующегося вуза, Н. А. уделял громадное внимание плановой организации этого раздела, изданию трудов университета и установлению связи с ученым и научным миром как в пределах Союза, так и в зарубежных странах. Результатом энергии и деятельности Н. А. Агрономова на посту проректора ДВГУ в течение трех с половиною лет явился прочный фундамент научно-учебной жизни, необходимый и достойный для молодого советского вуза.

В 1927 году H.A. отходит от административной работы с тем, чтобы посвятить себя всецело делу служения избранной специальности и культурному строительству Дальневосточного края. За это время наблюдается резкое повышение его научной продукции; вместе с тем мы видим его имя в числе представителей, командированных Дальневосточным отделом народного образования в октябре 1927 г. в Японию для установления культурных связей; в сентябре 1928 г. Н. А. представительствует от советской науки и Дальневосточного университета на Международном математическом конгрессе в Италии.

С именем H.A. Агрономова связано создание в 1923 году научно-педагогической организации — Математической конференции (секция Научно-педагогического общества при ДВГУ); на посту председателя конференции Н. А. являлся вдохновителем, мозгом и сердцем этой молодой организации, сформировавшейся, расцветшей и окрепшей за шестилетний период своего существования.

Математик-теоретик с широким кругозором и вместе с тем глубокий педагог резко сказался в Н. А. в качестве участника и одного из организаторов Научно-математического с'езда преподавателей математики и физики школ повышенного типа Дальневосточного края в июне 1928 года. Здесь Н. А. выступал с обзорным докладом на тему «Современная математика и современные математики» и с научно-методическим докладом «Элементы теории чисел в школе». Кроме того, на этом же с'езде, по инициативе Математической конференции, в частности ее председателя Н. А. Агрономова, был выдвинут и принят вопрос о краевом физико-математическом научно-педагогическом объединении.

Научное творчество Н. А. Агрономова резко поднялось за последние годы. Если общий перечень печатных работ по неполно составленному списку дает число 140, то на период 1925 — 1929 гг. приходится 75 работ, помещенных в «Трудах ДВГУ», «Отчетах Математической конференции Научно-педагог. общества», в «Трудах Математического семинария при Пермском университете», в «Математическом образовании» и в ряде иностранных журналов, среди которых, кроме ранее отмеченных, необходимо указать: «Nouvelles annalles de mathématiques», «Revista Matemàtica Hispano-Americana», «Bollettino dell'Unione Matemàtica Italiana», «The American Mathematical Monthly». В приведенное число работ не входит большое количество рецензий и рефератов, равно как и свыше 150 задач, составленных Н. А. Все эти задачи носят ту отличительную особенность, что они сами собою напрашиваются на обобщения, открывая целую область для самостоятельных исследований.

В связи с педагогической деятельностью в высшей школе Н. А. издал ряд учебных руководств по читаемым им курсам. Среди них необходимо выделить «Курс аналитической геометрии», издание ДВГУ в 1926 г. В этом курсе Н. А., следуя фюзионистическому направлению, дает построение геометрии точки, прямой и плоскости на понятии «геометрическое место».

Широта математического кругозора Н. А. Агрономова особенно отчетливо сказывается в его рукописях, среди которых находится до 20 законченных работ, дающих богатый материал, готовый к напечатанию. В неоконченных рукописях, над которыми, повидимому, Н. А. работал последнее время, можно видеть следующие заголовки: «Теория определителей», «Классификация геометрии», «Начала аналитической геометрии плоских многообразий», «Диадическое исчисление», «Инвентарь современной геометрии треугольника» и т. д. Не имея возможности дать даже только перечисление работ, отметим еще, что в рукописях Н. А. имеется громадной ценности материал в виде тем и предложений, которые он заносил изо дня в день с 1924 года; здесь даны по преимуществу заголовки тех об'ектов математического исследования или те положения, которые автором чувствовались интуитивно, но которым не дано было полного доказательства. Эти темы и предложения прекратились со смертью Н. А. на № 897. Среди разнообразия тем и вопросов, охваченных исследованиями Н. А., необходимо отметить те, которые—по словам профессора И. И. Чистякова, сказанным еще в 1915 г. на страницах «Математического образования»,— выделяют Н. А. Агрономова как известного специалиста в области неопределенного анализа и геометрии треугольника.

Невозможно охватить всей разносторонней деятельности этого исключительного работника, сочетавшего в себе редкие качества ученого, педагога, администратора, общественного и профессионального деятеля, товарища и человека.

Со смертью Н. А. Агрономова наука потеряла преданного работника и энтузиаста, Дальневосточный край лишился того деятеля, чье имя было достойным примером постоянного и искреннего служения делу культурного строительства края; Дальневосточный гос. университет — одного из талантливых и энергичнейших руководителей научной и научно-педагогической работы; научные работники — редкого товарища; секция научных работников— одного из деятельных и преданных профессиональному делу членов; студенчество — исключительного учителя и старшего товарища, который своей жизнью и деятельностью дал достойный пример гражданского долга.

А. Бекеев.

Владивосток, июнь 1929 г.

О НЕКОТОРЫХ ФОРМАХ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Н. Агрономов

1. Помимо классических форм уравнения прямой

(1)

и плоскости

(2)

можно указать еще несколько форм уравнений прямой и плоскости. Некоторые из них указаны мною в статье «О некоторых формах уравнения прямой»1). Настоящая заметка имеет своей целью пополнить число этих форм.

2. Допустим, что прямая

(3)

пересекает координатные оси в точках А и В.

Обозначим через г, гаУ гЬ9 ге радиус вписанного круга треугольника ОАВ и радиусы вневписанных кругов, соответствующих углам ОБА и ОАВ, BOA. Известно, что радиусы вписанной и вневписанных окружностей выражаются следующим образом:

(4)

Черт. 1.

В нашем случае

(5)

1) «Труды Государственного Дальневосточного университета», XV, 1.

Следовательно, для треугольника ОАВ

Отсюда мы имеем:

(8)

Подставляя эти значения в формулу (3), мы получаем следующие виды уравнений прямой:

(9)

3. С другой стороны, мы имеем:

(10)

Таким образом уравнениям прямой можно придать еще следующие формы:

(11)

4. Предположим теперь, что дана плоскость с уравнением

(12)

которая пересекает координатные оси в точках А, В, С.

Обозначим через г, гв, гЬУ гс радиусы вписанной и вневписанных сфер тетраэдра ОАВС. Известно, что эти радиусы выражаются следующими формулами:

Черт. 2.

где V об'ем тетраэдра, a sa, s0, se, slt — площади граней. В нашем случае

(14)

Следовательно, в нашем случае

(15)

Отсюда мы имеем:

(16)

Следовательно, уравнению плоскости можно придать вид

(17)

или

(18)

ОБОБЩЕННАЯ ФОРМА НОРМАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ.

Н. Агрономов

Предположим, что положение прямой на плоскости определено для данной прямоугольной системы координат следующим образом:

1) длиной ро наклонной, образующей с прямой угол <р;

2) углом <р;

3) углами а и ß, образуемыми наклонной с координатными осями.

Из треугольника ОТА имеем

(1)

Из треугольника О ТВ находим:

(2).

Но так как уравнение прямой есть

то о подстановке из (1) и (2) а и b в (3) мы имеем:

X sin (a -j- ср) -\-у sin (ср — ^) —Z7? s*n ?...... (4).

Это и есть обобщенная форма нормального уравнения прямой. Если теперь положить

/_ОТА = а' \

ZOTB = ßf i ...........(5)'

то уравнению (4) можно придать вид

xsin(a + a,)+J/sin(j3-f ß')=/*<p........(6)

Полагая в (4)

?=^90°............. (7),

мы имеем

xcosa-|-j/cos $=р.........(8),

т.-е. обычную форму нормального уравнения прямой.

Предположим, что ру есть медиана треугольника ОАВ. Тогда а' = 180° — 2а ^ ß'=180o_ 2ß /(9)* Подставляя эти значения в формулу (6), мы получим

xseca sec/3 = ..........(10),

где d есть длина отрезка, заключенного в координатном углу, а a и ß—углы, образуемые этим отрезком с координатными осями1). Положим теперь, что

/а = 90, Zß = 0 ..........(И).

Тогда наше уравнение приобретет вид

х cos ф -\-у sin ф~ b sin ср....... . . . (12).

Если положить, что

/А4лг = со,............(13),

то

у = о> — 90°...........(14),

и наше уравнение после незначительных преобразований приобретает вид

y = xtg(ö-\-b..........(15),

т.-е. обычный вид уравнения прямой с угловым коэфициентом и ординатой в начале.

Поворотом координатной системы справедливость уравнения (4) доказывается для всех возможных расположений прямой.

НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЙ О МЕТОДЕ ИТЕРАЦИИ

Н. Четверухин (Москва)

Методу итерации (последовательных приближений) и его применению к решению численных уравнений посвящена напечатанная в «Математическом образовании» (№ 7, 1928 г.) статья В. М. Брадиса. Как указано в примечании редакции к этой статье, на ту же тему мною был прочитан в 1920 году доклад Московскому математическому кружку. В основном выводы моего доклада совпадали с изложенным в статье В. М. Брадиса, пришедшего к ним независимо от меня. Поэтому в настоящей заметке я ограничиваюсь лишь небольшими дополнениями.

1) «Труды ГДУ», XV, серия № 1, стр. 37.

1. В. M. Брадис рассматривает данное численное уравнение в форме: x = f(x). Поэтому левая часть итерационной формулы у него всегда х. В геометрической форме это означает, что ищется точка пересечения двух кривых, из которых одна всегда биссектриса у = х, а другая имеет уравнение y—f(x).

В своей постановке задачи я рассматривал систему двух уравнений

(1),

которые получаем, если данное численное уравнение имеет вид:

Ч(Х) = *(Х) (2)

Желая построить последовательные .приближения корня л* = £ уравнения (2), мы даем х начальное значение х0 и подставляем последнее, предположим, в правую часть уравнения (2). Получим:

<р(Х) = <Н*о)

Найдя из этого уравнения x = xv поступаем с ним подобно предыдущему—и из уравнения

?(x) = <t (xt)

находим х = х2 и т. д.

Если окажется, что последовательные значения х0, xv х2 . • не приближаются к искомому корню л; = £, а наоборот все более удаляются от него, то следует обратить процесс, определяя х из уравнения:

Таким образом находим процесс последовательных приближений корня х- £.

В геометрической интерпретации дело сводится к отысканию точки (£, т]) пересечения кривых у = ср (х) и у = 6 (х).

Процесс последовательных приближений представится графически «лестницей» или «спиралью» в зависимости от расположения кривых (см. черт. 1 и 2).

Черт. 1.

Черт. 2.

При этом не следует забывать о возможности обратить процесс последовательных приближений. Так, приведенные в цитированной уже статье В. М. Брадиса1) чертежи 2 и 3, изображающие случай расходящегося процесса, как легко видеть, могут изображать и сходящийся процесс, если его вести в обратном направлении, т.-е. хг берется как начальное значение, а х0—первое приближение и т. д.

1) «Мат. образ.», № 7, 1928 г., стр. 285.

2. Более общая форма численного уравнения может давать еще и другие преимущества. Придавая задаче графическую форму, мы имеем при этом большую свободу в выборе кривых, что весьма помогает ориентироваться в задаче и удачно подобрать начальные значения. Покажем, как это можно сделать на примере.

Рассмотрим уравнение вида: хп sin х — а — 0.

Представляя его в виде: sin х = , замечаем, что графически дело сводится к определению точек пересечения синусоиды y = s\n х и гиперболы я-f-1-го порядка j/=

Пусть для определенности а — 1 и п = 2.

Тогда наше уравнение будет таково: х* sin х — 1 = 0.

К отысканию его корней мы и перейдем.

В геометрической форме мы имеем здесь обыкновенную синусоиду у = sin X и гиперболу 3-го порядка у — -~.

Нанося их на чертеже, мы легко подмечаем два действительных корня нашего уравнения.

Можно даже заметить, что процесс приближений к меньшему корню образует «спираль», а к большему — «лестницу». Вместе с тем устанавливается и направление процесса.

В качестве начального значения для меньшего корня выбираем jc0=1, так как меньший корень, очевидно, лежит между 1 и

Определяя хг из уравнения хх2 sin 1=1, находим: хг = 1,090. Подобным же образом из уравнения х22 . sin ;с, = 1, находим: д;2 = 1,0ь2 и т. д.

Чертеж показывает, что для второго (большего) корня выгодно принять в качестве начального значения xQ==iz.

Первое приближение хг определяем из уравнения: х02 . sin ^=1, что дает: ^-=3,042. Второе приближение: х% = 3,033 и т. д.

Таким образом могут быть с любой точностью вычислены оба корня. Возможность совершенно произвольного разбиения данного уравнения доставляет здесь большие удобства.

Процесс приближений большего корня оказался обратным процессу приближений меньшего.

3. Чтобы судить о быстроте сходимости процесса приближений, мы рассмотрим два последовательных приближения:

xn+i = 5 + А хп+1

Для этих приближений выполняется равенство:

или:

Черт. 3.

1) Или наоборот: ср (хп+г) = $ (хп).

Вычитая отсюда равенство

-f (?) = * (S),

получаем:

? (S + Л x.) - f (S) = ф (? + Д *л+г) - * (5) и, по теореме Лагранжа:

а*„ ?' (£ + ©„. дх„) = Л*п+1 'У (;+е„+,. дхп+))

Отсюда можем определить отношение погрешностей двух последовательных приближений:

Agg +1 _ у' Й + вп ; afftj

(? + ©n + l • a** + l)

В пределе при л оо это отношение имеет величину: lim Д^г-{-1 у' (5)

так как lim Д хл = lim Д xn+ï = 0.

Чем меньше величина-^Ц-5-—, тем быстрее сходится процесс приближений. Последняя формула показывает, что наивыгоднейшее расположение кривых вблизи корня будет при <?г (£) = 0 или <]/ (£) = оо, т.-е.; когда касательная к одной из кривых параллельна какой-либо оси координат. Результат усиливается, если касательные к обеим кривым параллельны осям координат.

4. Пусть численное уравнение имеет вид:

/ (X) = 0.

Представляя его в форме:

? (x) f (*) + X = x, где <?(х) — некоторая функция, которая будет определена дальше.

Предположим, что последовательные приближения вычисляются по правилу:

9 (*«)/ (*п) +*»==*п+Г

тогда, согласно предыдущему:

(так как / (£)—0).

Сходимость будет наиболее быстрой, если этот предел равен нулю.

\ (I) f (?) + 1=0.

Отсюда определяем вид функции \ (£):

Заменяя функцию \ (х) найденным выражением, приходим к следующей итерационной формуле:

которая представляет известный алгоритм Ньютона для вычисления корней. Таким образом последний является частным случаем метода итерации.

СВОЙСТВА АНТИПАРАЛЛЕЛЕЙ ТРЕУГОЛЬНИКА, ПРОВОДИМЫХ ИЗ ВЕРШИН ЕГО УГЛОВ.

В. Копец (Мар. Посад).

§ 1. Построение (черт. I). Пусть в треугольнике ABC углы j3>y>a. Отложим в угле ß угол CBD = а и /_ ABDl = 7 и проведем BD и BD, до пересечения со стороной АС=Ь в точках Ö и Dr Тогда отрезки BD и BDX будут антипараллелями по отношению к сторонам треугольника AB — с и ВС = а, идущими из вершины его угла ß. По построению /_ BDE = / ADX В, а потому BD = BD, и высота BE делит DD, пополам.

Аналогично проводим антипараллели АК= = АК, из угла Л и CL = CLX из угла С. Заметим, что при точках К и Кг получаются углы, равные углу треугольника А = a, a при точках L и Lx углы, равные углу С = 4. Отсюда находим, что антипараллели АКХ \\ BD и CLX || АК

Итак, 6 антипараллелей попарно равны (идущие из одного угла) и попарно параллельны (идущие из концов одной стороны). Отсюда видна возможность построения всех шести антипараллелей по одной из них, например, по данной BD.

Действительно, отложив DE = D,E, проводим АКг \\ BD и CL || BDX. Затем откладываем GL = GLX и КЕ= КХЕ и, наконец, проводим CL и АК.

Далее, если отложить DXS = BD, то мы получим внутри Д ABC еще отрезок D,S, равный нашим антипараллелям и параллельный CLX и АКХ\ следовательно,/}^ может служить для построения антипараллелей CLX иАК.

В дальнейшем будем называть антипараллели BD и BDX (из большего угла В) внутренними, антипараллели АК и АКХ (из меньшего внешними, и CL и CL, (из среднего по величине /_ т) внутренне-внешними.

Антипараллели BD,, АК, и CLX, идущие с правой стороны от высот — «правыми», а антипараллели BD, АК и CL — «левыми».

§ 2. Из подобия треугольников ABDX и CBD находим, что BDX : AD, = CD : BD и, так как BD — BDX, то

BD2 = AD,.CD \

Аналогично: АК2 = ВК - CK,}..........(1),

CL2= AL . BLX I

т.-е. антипараллели являются средними пропорциональными между отрезками, отсекаемыми ими на противулежащих сторонах. § 3. Из подобия треугольников АБС и BCD имеем:

ВС: АС = DC: ВС; откуда BC2 = AC.DC = b.DC { (2)

Аналогично AB2 = АС. ADX = b. ADX \ки

т.-е. стороны треугольника, заключающие антипараллель, являются средними пропорциональными между третьей стороной треугольника и соответствующим отрезком на этой стороне.

§ 4. Перемножая равенства (2), находим:

ВС2. AB2 = b2DC. ADx = b2 BD2 (по 1), т.-е.

а2, с2 = b2. BD2, отсюда имеем новое выражение антипараллелей через стороны треугольника:

Черт. 1.

Аналогично:

(3),

т. - е. каждая антипараллель есть четвертая пропорциональная к трем сторонам треугольника, что дает возможность их построения по данным сторонам треугольника.

§ 5. Перемножая BD и CL (по 3), найдем:

Аналогично:

(4),

т.-е. сторона треугольника является средней пропорциональной между соответствующими антипараллелями, выходящими из вершины углов, заключающих данную сторону. Это дает способ построения стороны треугольника по данным антипараллелям.

§ 6. Перемножая BD, AK и CL (по 3), находим:

BD. AK. CL = а^~- = abc......(5),

т. - е. произведение трех антипараллелей треугольника равно произведению трех его сторон.

§ 7. По формуле § 3 имеем выражение отрезков антипараллелей через стороны треугольника:

Аналогично:

(6).

§ 8. Перемножая отрезки «правых» антипараллелей, (по 6) найдем:

и «левых»

Отсюда: AL. ВК РС = АР,. BLV CK,...........(8),

т.-е. произведение отрезков правых и левых антипараллелей равны между собой и равны произведению сторон треугольника.

Иными словами, эти произведения удовлетворяют теореме Чевы для треугольника со сторонами: 1) ADl-\-CD\ 2) AL~\-BLX и 3) СКх-\-ВК, который может быть построен, если каждая сторона его меньше суммы двух других сторон, что будет при 2а2^>Ьс.

Сопоставляя же выводы § 6 с формулой (8), найдем еще, что BD.AK.CL = CD1.AL.BK=AD1.BK1.CKl . .(9), т.-е. 3 антипараллели и 3 соответствующих отрезка удовлетворяют теореме Чевы для треугольников со сторонами:

1) BD -j- DC, АК+ВК CL + AL и

2) BD-\-ADl} AK-\-CKv и CL -^BL^ (если он может быть построен).

§ 9. По формуле (6) находим отношения отрезков, образуемых двумя равными антипараллелями на стороне треугольника.

(10)

т. - е. отрезки пропорциональны квадратам сторон треугольника. § 10. По формуле (3) имеем еще следующие соотношения:

(11)

т.- е. антипараллели, параллельные между собою, относятся, как квадраты сторон треугольника, сходящихся в вершине, противоположной тем вершинам, из коих антипараллели выходят.

§ 11. Сопоставляя выводы § 9 и § 10, находим:

(12;

т. - е. отношение параллельных антипараллелей равно отношению тех отрезков, которые сделаны на стороне, пересекающей взятые антипараллели и идущие из тех же углов, как и самые антипараллели.

§ 12. Выражение § 3 BC2 = b.DC и AB2 = b.ADt есть обобщение известной теоремы о том, что катет является средней пропорциональной между гипотенузой и прилежащим отрезком на случай остроугольного и тупоугольного треугольника, если /_ В острый или тупой.

Отсюда имеем:

Раскрывая скобки, находим:

(13а).

Но так как из подобия треугольников видно, что

то получим еще

(13),

т. - е. обычные выражения квадрата стороны треугольника против острого угла.

Аналогично и для тупого угла (черт. 2):

Отсюда:

(14а), (14).

При DE=0 из (13а) и (14а) получим теорему Пифагора. Таким образом отрезок DE играет роль, аналогичную проэкциям BF и ВК- Отрезок DE в свою очередь есть проэкция антипараллели BD на сторону АС.

Итак: квадрат стороны против угла треугольника равен сумме квадратов двух других сторон 4= удвоенние произведение этой стороны на проэкцию антипараллели, идущей из вершины, противоположной искомой стороне.

Отсюда, решая квадратное уравнение относительно АС, находим:

AC==FDE-\-\TÖE*^№^BC* . . . .(15),

где два знака перед DE соответствуют двум случаям острого и тупого углов.

§ 13. Найдем еще выражение, обобщающее теорему о перпендикуляре из прямого угла на гипотенузу на случай острого и тупого углов:

1) Угол ß>90°. Из подобия треугольников ABDX и BCD имеем (черт. 2):

BDX : ADX = DC : BD; отсюда: BD2 = ADX.DC

т.-е. антипараллель BD есть средняя пропорциональная между отрезками, отсекаемыми равными антипараллелями BD и BDX на стороне АС. Полагая теперь BE?-\-DE2 = AD ,DC= BD2, найдем еще, что BE2 «= (АЕ— DE) {ЕС— DE) — DE2 = АЕ. ЕС — АЕ. DE— ЕС.DE + DE2 — DE2 = АЕ.ЕС— {ЕС+ -j-АЕ) DE = АЕ.ЕС — АС.DE... (16).

Но так как АС. DE = AB. BG — ВС. BP, как указано выше, то BE2 — АЕ. ЕС — AB. BG, или BE2 = АЕ .ЕС — BC.BF . .(17)

Здесь BE2 выражен через проэкции АЕ и ЕС сторон AB и ВС на АС.

2) Аналогично и для ß<90° (черт. 3):

BE2 = (АЕ+ОхЕ) {ЕС + DE) — DE2 = AE.EC-\-AC.DE = = АЕ .EC + AB.BG = AE .EC + BC.BF.

Повидимому, и в случае В 90° теорему о перпендикуляре надо выражать не как свойство перпендикуляра, а как свойство антипараллели, только направление ее здесь сливается с перпендикуляром, т. е. высотой треугольника.

§ 14. Соответственно изложенному выше антипараллель будет играть важную роль и в доказательстве теорем о квадратах сторон треугольника, когда мы чисто геометрически истолковываем AB2, ВС2 и АС2, как площадь квадратов, построенных на сторонах треугольника.

Здесь, проведя антипараллели BD и BDV мы прямо выделяем ими прямоугольники DtDML, AD.NM и DCLS, куда уложатся соответственно AB2, ВС2, и видим, что tzßk-\-xyFB = DD1ML (см. черт. 4 и 5).

Заштрихованные площади равновелики. В случае же В = 90° эти площади уничтожаются. Превратив квадраты и прямоугольники в равно-

Черт. 2.

Черт. 3.

Черт. 4.

великие параллелограмы, мы могли бы провести доказательства этих теорем совершенно так же, как это обычно делается для теоремы Пифагора.

Свойства антипараллелей треугольника нам кажутся достаточно интересны и приложения их к обобщению известных теорем достаточно важны, чтобы стоило обратить на них внимание педагогов и учащихся средней школы; последним выводы этих свойств могли бы быть предложены в качестве полезной самостоятельной исследовательской работы; с другой стороны, при такой трактовке теоремы о перпендикуляре и о квадратах сторон треугольника вопросы эти получают и новое освещение и вполне законченный вид.

Черт. 5.

ОБ ИРРАЦИОНАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ √x+2√x-1 - √x-2√x-1 = 2

Л. Н. Лодыженский (Тула)

(Доложено в заседании научной секции Московского Н.-П. кружка 3 марта 1929 г.)

Данное уравнение, предложенное для решения в № 1 «Математического образования» (стр. 44), представляет большой интерес. Формально оно решается очень просто, но результаты получаются поразительные. С одной стороны, существование бесконечного множества корней уравнения заставляет предполагать, что мы имеем дело с тожеством. С другой стороны, некоторые значения неизвестного как будто не удовлетворяют уравнению1). Но как может случиться, что алгебраическое уравнение с одним неизвестным, не будучи тожеством, имеет бесконечно много корней?

1. Исследование данного уравнения выдвигает на первый план важный вопрос о выборе значений радикалов, входящих в уравнение. Этот вопрос трактуется в литературе разноречиво. Я коснусь его здесь настолько, насколько это нужно для исследования данного уравнения. Для нас важен случай квадратного радикала. Как же выбирать его значение, когда в уравнение вместо неизвестного подставляется какое-нибудь число?

Положим сперва, что имеем действительный радикал, тогда обычно радикал понимается в арифметическом смысле, т.-е. для него берут положительное значение. Это общераспространенная, традиционная точка зрения. Однако не все авторы стоят на ней. Так, Г. Бархов2) допускает отрицательные значения корней, выбирая знаки так, чтобы удовлетворить уравнению. Затем проф. Граве3) говорит, что принятый в русских руководствах элементарной алгебры обычай считать корень квадратный вещественным и положительным «никакой обязательности заключать не может» и что в различных задачах «приходится отступать от указанного обычая».

1) См. дальше, а также решение, приведенное в № 3 «Математ. образования» за 1928 г.

2) Г. Бархов. Руководство алгебры. Москва 1915, стр. 629, 630.

3) Д. Граве. Начала алгебры Петроград. 1915, стр. 194.

Иногда вместо того, чтобы рассматривать отрицательные значения квадратного корня, вводят перед ним множитель е, могущий равняться +1, и определяют знак £ вместе с положительным значением корня.

Напр.1)

8 + е/х = 7

2|/ЗГ=-Î, £ = — 1, \/~Х = Х—\.

Ясно выраженную общую точку зрения на рассматриваемый вопрос мы находим у Н. А. Извольского2). «Полное решение радикальных уравнений с квадратными корнями, —говорит он, —состоит не только в том, чтобы найти соответствующее значение неизвестного, но еще и в том, чтобы указать, какое именно значение корня должно взять».

В самом деле, ограничение действительными положительными значениями квадратного корня необходимо, когда это требуется условиями задачи, решаемой с помощью иррационального уравнения. Но если такое уравнение рассматривается, как самостоятельная задача, то это ограничение имеет чисто условный характер и не может быть оправдано даже дидактическими соображениями, поскольку в алгебре вводятся два значения корня.

Перехожу к случаю, когда при подстановке испытуемого значения неизвестного в иррациональное уравнение получается мнимый радикал. Какое значение брать для него? В большинстве просмотренных мною руководств этот случай не рассматривается. Но проф. Граве3) приводит условие: «если... радикал мнимый, то он берется с тем знаком, при котором коэфициент при i (т. е. при i/—1. Л. Л.) положителен». Но из контекста и всего содержания книги видно, что это условие относится только к чисто мнимым радикалам и что, повидимому, автор не считает его обязательным. Цитированный выше Бархов4) считает возможным для чисто мнимых радикалов брать значение как с положительными, так и с отрицательными коэфициентами при i.

Не находя в элементарных руководствах алгебры общего ответа на вопрос о выборе значений комплексного корня в общем случае5), обратимся к сочинению из другой области. В известной книге Burkhardt'a «Einführung in die Theorie der analytischen Functionen»6) приведено определение главного значения квадратного корня. Это значение «характеризуется тем, что его Arcus <!> удовлетворяет условиям:

другими словами, действительная часть главного значения z не отрицательна. Если же она нуль, то главное значение положительное мнимое». Это определение является произвольным, так как оно есть следствие другого произвольного (по выражению автора) определения: считать главным значением аргумента (arcus'a) комплексного числа

z = г (cos ? -f- i sin ©),

то значение, которое удовлетворяет условиям:

1) М. Симон. Дидактика и методика математики. 2-е русское издание. Петроград 1917, стр. 112.

2) Н. Извольский. Курс элементарной алгебры, 1924, ч. II, стр. 104.

3) Цитир. соч., стр. 194.

4) Цитир. соч., стр. 631, 632.

5) Случай этот встречается в «Элементарной алгебре» Н. Маракуева, т. I. Москва, 1916, стр. 565, но из его примеров нельзя усмотреть общего правила.

6) 5—te Aufl. Berl. u. Leipz. 1920, стр. 200.

7) Ibid, стр„ 181, 182.

Деля ср пополам, получаем написанные выше неравенства для <!>. Если z действительное, то <р и ф равны нулю и j/ г равно положительному числу1).

Таким образом главное значение корня заключает в себе, как частный случай, арифметическое значение действительного корня.

Необходимо отметить, что указанное выше главное значение квадратного корня выбирается только для постоянного или для начального значения z. Если же z изменяется, то дело обстоит иначе. Напр., при z=.i мы, согласно определению главного значения, возьмем у 2z = — 1 -f i. Если же z сделает обход около начала координат и вернется к прежнему значению i, то, как известно, надо будет уже взять yr2z = — 1 -г.

Теперь я изложу ту точку зрения на решение уравнений с многозначными функциями, которую я считаю правильной.

Пусть имеем уравнение f(x) — 0. Если f(x) однозначная функция, то для решения уравнения достаточно найти значение неизвестного, так как левая часть уравнения будет тогда иметь только одно значение. Но,если f(x) многозначная функция, то недостаточно найти величину х: надо еще указать значение функции f(x). Ибо одно значение ее может быть равно нулю, а другое нет. И если для данной функции вообще допускается несколько значений, то почему при решении уравнений ограничиваться только тем ее значением, которое произвольно условились считать главным?2)

2. После этих предварительных замечаний перехожу к данному уравнению. Не рассматривая решение уравнения посредством возведения в квадрат, которое было напечатано в № 3 «Математического образования», я приведу другое решение.

Упростим уравнение, сведя число радикалов к двум. Замечая, что

х±2^х~—^ — (y'x^Til)2 (1)

и вводя ясные из дальнейшего обозначения, найдем:

+ 2 )7х==Т= ±[у'^—Л +1 ) (2)

w% = Y х — г^'х- "i= ±(/^т — ï) (3)

Пользуясь этими преобразованиями, находим следующие решения:

1) Возьмем в равенствах (2) й (3) положительные знаки перед скобками; тогда уравнение обратится в тожество : 2 = 2.

2) Берем в (г) знак -f- перед скобкой и в (3) минус; тогда уравнение приводится к виду:

2/*=Т = 2, откуда х=2, считая ух~\=- — 1.

1) Если брать -f в пределах 0±::?<2 7г, то главное значение квадратного корня будет характеризоваться тем, что коэфициент при / положителен. Если же он нуль, то главное значение действительное положительное.

2) Для подтверждения этого взгляда сошлюсь на решение трансцендентного уравнения л- = агсtg х в книге C.Runge u.H.König. Numerisches Rechnen. Berl. 1924, стр. 157. Если ограничиваться главным значением arc tg х (между — и Ц )> то Уравнение будет иметь только один действительный корень :х~ 0. Если же брать всевозможные значения arc tg ху как делают авторы, то найдем бесконечное множество других решений: в каждом промежутке между пк и (л-4-1)тг, где п какое-либо целое число, будет заключаться один корень.

3) Возьмем в (2) знак минус перед скобкой, а в (3) плюс; получим

— 2 yfx — 1 = 2, откуда х = 2, считая ух—1= —1.

Если допускать для квадратных радикалов отрицательные значения, то 2-е и 3-е решения не вызывают сомнений. Но 1-е решение, согласно которому X остается произвольным, требует исследования. Так как это решение основано на выборе положительных знаков в равенствах (2) и (3), то поэтому возникает вопрос: можно ли делать такой выбор при всех значениях х?

Сначала рассмотрим вопрос совсем элементарно. Для проверки этого решения подставим различные значения х в данное уравнение. При этом будем брать для действительных радикалов положительные значения, а для мнимых—главные.

Интересно рассмотреть действительные значения х, разделив их на 4 группы:

1) *>2; 2) 1 0<2; 3) х=И; 4) х<\.

1) Подстановка легко выполняется. Из тожества (1) видно, что при X > 1 под внешними радикалами стоят положительные числа и потому в равенствах (2) и (3) следует взять знак -f- перед скобками. Таким образом уравнение удовлетворится при всех действительных значениях jc> 2, а также, как легко видеть, и при х = 2.

2) В этом случае 0<|Лх:—1<1. Поэтому надо взять

wx = у/'х — 1-j-t; w2 = 1 — ]/X — l.

Следовательно, уравнение приводится к виду:

2|/дГ—1 =2,

откуда х = 2, что противоречит предположению : 1 <^х < 2.

3) При х=\ получаем у 1 —j/1 =2, или 0=2. Таким образом единица не удовлетворяет уравнению.

4) При х<М радикал j/x — 1 чисто мнимый. Согласно условию, его значение будет —х. Тогда

wx = j/* + 2 * j/ï— х = ± (i v'ï —x-f 1)

w9 = Yx — 2 г j/ï — л: = ±(* |/Г— x— 1 ).

Беря главные значения, получаем:

xe/j = i y\ — ^ + 1; w2 = 1 — i y\ — x-

Уравнение приводится к виду 2/j/l—х = 2, что невозможно.

Таким образом, делая проверку и следуя определенным правилам выбора значений корней, находим, что уравнение удовлетворяется при всяких действительных значениях х^>2 и не удовлетворяется при х<^2.

3. Если подойти к вопросу с общей точки зрения, изложенной выше, то он примет такой вид. Левая часть уравнения есть многозначная алгебраическая функция x. Она имеет несколько значений или ветвей. Спрашивается, существует ли такая ветвь ее, которая тожественно равна двум, а также при каких значениях х равны двум другие ветви ее? Заметим, что с точки зрения теории функций становится очевидной недопустимость решения, согласно которому уравнение удовлетворяется бесчисленным множеством значений неизвестного и не удовлетворяется при некоторых других значениях его. В самом деле, если аналитическая функция имеет постоянное значение во всех точках действительной оси вправо от точки

л'= 2, то по известной теореме она должна сохранять это значение и при всяком x. Таким образом вопрос о вычислении результатов подстановки в уравнение различных значений х связывается с вопросом об аналитическом продолжении функции. Дальше я привожу резюме исследования левой части уравнения, как функции комплексного переменного х1).

Обозначим левую часть уравнения через f(x):

f (x) = Yx -f- 2 j/jc—1 — Ух — 2-yfx^A

или, пользуясь обозначениями равенств (2) и (3),

Функции wx и w2 четырехзначные. Особые точки их суть х = 1 и х = 2. Обозначим через R1(x) и Ru{x) значения (ветви) этих функций, вполне определенные тем, что для некоторого действительного числа х0>> 2

Ri (*о) = + Yx* + 2]/*о —1; R% (xe) = -f jAo — 2\/х~^

и изучим функции /?j(x) и Rn{X).

Исследуя эти функции, находим, что они однозначны в области точки х = 22), но что точка х = \ является для них критической. Если обозначить через Rx (х) и R.2 (х) значения рассматриваемых функций после обхода x около точки х = 1, то будем иметь:

Rx (x) = - R2 (x); R2(x) = —Rt (x).

Для исследования уравнения важно отметить, что при переходе х по действительной оси через точку х = 2 справа налево R2 (х) меняет знак и приходит в точку je = 1 с отрицательным значением R2 (х) =■ — 1.

Далее доказываем, что

Ri M |/F=T-f 1 и R2 (x) —- ^х=Л — 1 (5),

причем функция у/х — 1 определяется вполне тем, что для х = х0 (или x -= 2) она положительна. Что касается функций ^ и щ2, то, смотря по выбору значений радикалов при х = х0, четыре значения как той, так и другой функции будут:

R, {x)i — Rl (*), R2(x), — R2(x).

Принимая во внимание, что в формуле (4) надо взять для у/х—1 в обоих случаях одинаковые значения, получаем всего 4 комбинации, дающие различные результаты. Таким образом устанавливается, что /(х) есть 4-значная функция, значения которой/. (/ = 1, 2, 3, 4) будут

Л=Я|-Яш; /2=#2-#i; fi=-Ri-R*-

Подставляя сюда формулы (5), находим:

Л(Х) = 2; Л (х) = —2; /, (х) = 2 у/х— 1 ;/4 (х) = — 2 j/x— 1.

Таким образом, из четырех функций /Дх), /а = 2, /2 не равна двум ни при каком значении jc,/3 = 2 при л: == 2, наконец, /4 (2) — — 2, но если x, сделав обход около точки х = 19 возвратится в точку х = 2, то/4 сделается равной двум.

Отсюда следует, что решения, найденные выше (п 2) оказываются правильными.

1) В устном докладе исследование было изложено более полно.

2) Чтобы обнаружить это, полагаем х = 2-\-у и разлагаем подкоренное выражение функции R2 {x) в степенной ряд при v, близком к нулю.

Теперь делается понятным, почему при элементарном исследовании уравнения получилось, что оно удовлетворяется при всех действительных значениях х>2 и не удовлетворяется при х<2, в частности при х~*\. Когда мы подставляли значение х^>2, то мы вычисляли одну ветвь функции /(X), а именно /i=/?i + /?a, подставляя же значение *<1, мы определяли другую ветвь: /3 — Rx -\-R^ 1-я ветвь равна двум тожественно, вторая же только при х = 2. Чтобы сделать подстановку х = 1 в уравнение в согласии с вычислением подстановки х>>2, надо найти аналитическое продолжение функции Rx{x) и R2(x) в точку х — \ (аналогично обстоит и с подстановкой всякого действительного значения х <[ 2). Тогда получим

/?10) = 1; /?.(!)--11)

и отсюда тожество: 1 —(—1) = 2. Здесь мы встречаемся с тем фактом, что одна и та же формула может представлять при разных значениях переменного или в разных областях плоскости различные функции, которые нельзя вывести одну из другой посредством аналитического продолжения. Такими функциями являются fx(x) и /3(х).

Не трудно найти алгебраическое уравнение, которому удовлетворяет функция f(x). Полагая

у = ]/X + 2 ух — 1 —ух — 2 ; х — 1

w освобождаясь от радикалов, находим

(У2 —4) (у8 —4x-f 4) = 0. (6).

Уравнение оказывается приводимым. Оно распадается на 3 уравнения: у — 2 = 0, v-j-2 = 0, У2 — 4x-f4 = 0.

Из 4-х корней уравнения (6) два (у, и у2) получаются из разных уравнений 1-й степени, а два других (_у3 и j/J — из одного квадратного уравнения. При изменении х у, и у2 не могут обмениваться значениями между собой и с у3 и yv Но корни j/8 и j/4 переходят один в другой при обходе X около точки х = 1. Мы пришли к тем же результатам, которые получали раньше. Но без сделанного выше исследования вопрос об изменении членов левой части данного уравнения (wl и w2) и о вычислении подстановок остался бы не разъясненным.

Resume.

La note actuelle est consacrée à l'équation irrationnelle citée plus haut, qui a une infinité de racines. Est-elle une identité ou non? L'auteur Pexamine de deux manières, élémentairement d'abord et au point de vue de la théorie des fonctions ensuite. Le premier membre de Péquation étudié comme fonction analytique de la variable complexe x montre que cette fonction a une branche identiquement égaie au nombre 2.

L. Lodygensky.

1) A не + 1, как получается, если взять арифметическое значение корня.

О ШКОЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИДИОГРАФИИ1)

Н. Несторович (Ростов н/Д.)

«Способ обозначений есть важная часть искусства изобретать»

Лейбниц.

«Dans les sciences mathématiques une bonne notation a la même importance philosophique qu'une bonne classification dans les sciences naturelles».

H. Poincaré2).

«В элементарной математике надо особенно остерегаться слишком низкой оценки обозначений, потому что наглядность и ясность, а потому и успешность преподавания, много зависят от знаков».

Симон. Дид. и метод, мат., стр. 249.

§ 1. Прогресс математики всегда сопровождался прогрессом математической символики, так как символика давала конкретных заместителей как для понятий, так и для форм мышления и позволяла таким образом как бы механизировать процесс мышления. Поэтому с древнейших времен математики уделяли достаточно внимания выбору символов, и, если выбор производился рационально, введение новой символики создавало иногда эпоху в развитии науки. Таково, например, значение введения Вьетой буквенных обозначений для количеств; такое же значение придавал своей символике диференциального исчисления и Лейбниц. Отстаивая преимущества своей символики перед символикой Ньютона, он выразил значение ее словами, поставленными в начале настоящей статьи, и выбор новых обозначений производил с необычайной тщательностью, советуясь подчас по поводу того или иного символа с другими математиками.

Важное значение символики чрезвычайно рельефно выразил в последнее время Э. Мах, говоря, что «способ выражения и целесообразная система символов и технических терминов представляют собою не только необходимое пособие для совместной работы ученых и для передачи добытых результатов из поколения в поколение, но в то же времи они представляют собою прежде всего единственное средство избавить человеческую память и человеческий ум от всякого излишнего бремени и труда и таким образом сберечь их для более важных и более существенных актов их деятельности. Всякий, кто занимался математическими работами, испытывал такое чувство, как будто формулы и символы берут отчасти на себя труд работать за него, или, употребляя слова знаменитого Эйлера,— что «его карандаш иногда бывает остроумнее его головы». «Как бы странным это ни казалось, — говорит Мах, — но сила математических наук основана главным образом на том, что им посчастливилось устранить всякую лишнюю работу ума и довести экономию умственных сил до крайних пределов»3).

Кроме того, идиографическая запись придает языку математических формул характер международного языка, подобного языку химических формул, нотных музыкальных обозначений, сигнального кода в мореплавании и т. д. Поэтому-то мы без особого труда в состоянии понять содержание математической книги, написанной хотя бы на совершенно чуждом нам языке, так как при помощи особых общеупотребительных символов выражаются не только величины, но и всевозможные операции с ними и отношения их друг к другу. Изложение сложнейших рассужде-

1) Доложено в заседании методического colloquium'a при Геометрическом кабинете С.-К. Г. У. 17 мая 1926 г.

2) Vahlen. Konstruktionen und Approximationen. Teubner. 1911. стр. XII.

3) Э. Чезаро. Элементарный учебник алгебраического анализа, часть II, стр. 8—9.

нии содержит, помимо формул, подчас лишь немногие связующие слова на том или ином национальном языке.

Но подобно тому как разные науки (логика, математика, физика, химия) в разной степени перешли на этот условный язык, так и в самой математике различные отделы в различной степени проникнуты этой идиографией. В то время как алгебраическая идиография уже довольно давно достигла высокой степени совершенства и всеобщности, идиографическая запись в геометрии привилась в меньшей степени и оставляет желать во многих частях лучшего.

Предметом настоящей статьи будет лишь геометрическая идиография и притом с узкой точки зрения, как школьная геометрическая идиография. Вопрос этот будет рассмотрен с трех точек зрения: 1) насколько возможны и нужны сокращенные идиографические записи в курсе средней школы, 2) какими средствами (символами) располагает для этого геометрия и 3) насколько эти символы рациональны.

§ 2. Обращаясь к различным учебникам геометрии, мы встречаем большое разнообразие в формах записи условия и доказательства теорем от чисто риторических (словесных), где доказательство сопровождается одним чертежом без каких бы то ни было символических записей, и кончая такими, где все доказательство записано формулами, соединенными словами вроде: «отсюда следует», «точно так же» и т. п., а также ссылками на предшествующие теоремы и аксиомы.

Рассмотрим для примера доказательство теоремы о равенстве вертикальных углов у разных авторов.

I. Hadamard. Leçons de Géométrie élémentaire, 1-е partie, Paris, 1906, p. 11.

Теорема. Вертикальные углы равны.

Перевернем угол BOD так, чтобы сторона OD приняла положение OB и сторона OB заняла бы положение OD. Тогда полупрямая ОД составляющая продолжение OB, примет положение ОЕ по продолжению OD, и угол AOD займет положение угла ВОЕ. Отсюда и следует равенство этих двух углов.

Мы видим, что все доказательство ведется словесно (риторически), и никакие записи, кроме чертежа, не требуются.

Прямую противоположность представляет доказательство той же теоремы у другого автора:

II. Spieker. Lehrbuch der ebenen Geometrie. 42-e Aufl. Berlin-Halensee 1925, S. 22. или 22-e Aufl. Potsdam 1895, S. 9—10.

Теорема. Вертикальные углы равны.

Условие: а и ß — вертикальные углы i Заключение: a = ß > §11,1

Доказат.: a -j- у = ß + у (как смежные) I

ï = ï

поэтому: ct = ß (если от равных величин отнимаем равные, то получим равные разности). (по акс. VI).

Если бы ввести какие-либо знаки для обозначения понятий «условие», «заключение» вроде предложенного Padoa символа Р (proposition) или Ts (тезис), а формулировки (в скобках,) теорем или аксиом, на которые

Черт. 1.

опирается доказательство заменить ссылками на соответствующие параграфы1), то все доказательство, не потребовало бы ни одного слова.

Какой же из этих приемов более пригоден в школьной практике?

Прежде чем ответить на этот вопрос, рассмотрим другой пример из Spieker'a2).

Теорема. Суммы противоположных сторон описанного четыреугольника равны друг другу.

Условие: ABCD— описанный четыреугольник.

Заключение: ABJ\- CD = ßC-f- AD. Доказат.: По § 119,1 имеем:

Черт. 2.

Если предложить учащемуся доказать эту теорему без всяких записей, то весьма вероятно, что нить доказательства будем им потеряна.

На последнем примере видно, что отказываться от идиографии в школьной практике нельзя, но, быть может, не вполне уместна будет и другая крайность, так сказать, злоупотребление идиографией. Одностороннее увлечение идиографическим ведением доказательства, даже в простейших случаях, таит в себе ряд опасностей. Во-первых, это приучает учащихся думать автоматически, так как после записи начальных данных по условиям теоремы доказательство в дальнейшем сводится подчас к одним формальным преобразованиям, производимым чисто автоматически. Особенно силен этот элемент автоматизма в алгебре с ее высокоразвитой символикой, и потому алгебра в смысле развития мыслительного аппарата должна быть поставлена гораздо ниже геометрии. Эта сторона дела чрезвычайно удачно была выражена Шустером следующими словами по поводу составленного уже уравнения: «теперь нам больше не нужно думать; за нас думает уравнение»3)

Во-вторых, исключительное пользование идиографическим способом ведения доказательства отучает учащегося от способности удерживать в памяти цепь умозаключений, ведущих к доказательству предложения, ослабляет осознанность хода доказательства в целом и, наконец,

в-третьих, оставляет в стороне развитие способности выражения на родном языке.

Но идиографическая запись имеет и свои достоинства:

1) она дает возможность обозреть весь ход доказательства, так сказать, с высоты птичьего полета, а это особенно ценно тогда, когда доказательство очень длинно и распадается на ряд отдельных звеньев. Наиболее типичным примером подобного рода предложений может служить теорема о двух перпендикулярах (условие перпендикулярности прямой к плоскости), сводящаяся к доказательству равенства 5 пар треугольников:

1) Как это и было в старых изданиях Spieker'a, напр., 22-м, и как это сделано в стороне предыдущего доказательства по 22-му изд.

2) Стр. 101 42-го изд. или стр. 84 22-го изд.

3) Мрочек и Филиппович. Педагогика математики, стр. 319.

2) представляет прекрасный мнемонический прием, позволяющий более или менее длинную цепь заключений представить в форме краткой записи;

3) приучает к пользованию особым международным языком и

4) обладает своеобразным изяществом лаконизма.

Поэтому наиболее правильной формой ответа на поставленный выше вопрос представляется следующая: необходима как риторическая форма доказательства, так и идиографическая запись его в форме, например, даваемой Spieker'ом.

Даже больше того, быть может, небесполезно было бы приучать учащихся к идиографической записи и таких положений, которые обычно выражаются словесно. Таковы, напр., обозначение высоты ( BD _]_ А С), медианы (AF= ЕС), биссектрисы (//АВЕ=г/ЕВС), условие нахождения трех точек A, D, С на одной прямой \ADJrDC = АС) и т. д. и т. д., основанные на свойствах или определениях данных линий и фигур.

Некоторые педагоги идут очень далеко в этом отношении и безусловно требуют при каждом доказательстве обязательного фиксирования всех стадий его в форме идиографической записи. Они обращают, так сказать, известное требование педагогики: «пиши мелом и говори, что пишешь», выставляя требование: «говори и записывай все, что говоришь». И нельзя отказать в целесообразности такому требованию, тем более что систематические записи подобного рода составят прекрасный конспект, по которому легко восстановить нужное доказательство, навести нужную справку. Необходимо только остерегаться односторонности в пользовании идиографией; нельзя, напр., оставлять без словесного выражения такие простейшие доказательства, как доказательство теоремы о вертикальных углах и подобные ей.

Наиболее последовательно идиографическая запись геометрического материала проведена в упомянутой выше книге Spieker'a, особенно в старых изданиях его.

Заканчивая настоящий параграф, рассмотрим еще пару примеров из книги Spieker'a.

Теорема. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны1).

Условие: AB —АС. Заключение: /_В= /_С. Доказат.: разделим /_А линией AD пополам; тогда

Черт. 3.

1) Изд. 42-е, стр. 39.

Теорема. Дана окружность, вневписанная в д ABC и касающаяся продолжений сторон треугольника в точках G и И; всякая касательная к меньшей из дуг G H отсечет д постоянного периметра1).

Черт. 4.

Подобным записям нельзя отказать в известном изяществе.

§ 3. Для того, чтобы можно было пользоваться подобными записями, необходима определенная символика, притом не только для геометрических объектов, но и для выражения отношения между ними. Такая символика существует, хотя, быть может, не вполне последовательная, не вполне законченная и даже не вполне однообразная, т.-е. не международная.

Каким же требованиям должна удовлетворять рациональная идиография вообще и геометрическая — в частности?

1. Она должна давать способы изображения геометрических объектов и отношений между ними: наиболее целесообразные, т.-е. такие, чтобы символы вызывали в сознании ассоциативные связи, иначе говоря, должна существовать связь начертания с идеей или понятием. Этому условию вполне, напр., удовлетворяет знак равенства ( = ), введенный Рекордом, который так оправдывал введение этого символа: «Я поставлю для обозначения равенства пару параллельных линий одинаковой длины, ибо никакие два предмета не могут быть более равными»2). Этому же условию удовлетворяет и знак скобок, введенный Жираром, а также знаки > и <, введенные Гарриотом. Первый напоминает обруч или две руки, как бы охватывающие заключенное в скобках выражение; вторые указывают широким концом на большую величину, а узким — на меньшую.

2. Символы должны быть наиболее универсальны, т.-е. должны быть понятны лицу любой национальности, иначе говоря, не должны носить на себе печати национального происхождения. Этому условию удовлетворяет, напр., знак подобия оо, введенный Лейбницем, как знак лежачей буквы S — начальной буквы латинского слова similis, а также греческая буква я, введенная Эйлером для обозначения отношения окружности к диаметру, так как латинский и греческий языки в течение средних веков служили своего рода международными языками. Также удобны символы S и П суммы и произведения.

С этим требованием особенно нужно считаться при введении новых символов.

3. Символы должны быть наиболее удобны, т.-е. не должны быть чересчур громоздки в записи и не должны давать повода к недоразумениям благодаря сходству их с другими знаками. Этому условию не удовлетворяет, напр., знак угла (/), сходный со знаком «меньше» « )

1) Изд. 22-е, стр. 92.

2) Кеджори. История элемент. математики, стр. 344.

4. Каждому понятию должен соответствовать один или (что хуже, но допустимо) несколько определенных знаков, но каждому знаку должно отвечать только одно понятие. С нарушением этого требования мы встречаемся в старых изданиях Spieker'a. Для обозначения параллельности он пользуется1) символом ф, который более уместен (и более распространен) для выражения отношения неравенства.

Аналогично символу неравенства можно бы пользоваться символами |1 и А* для обозначения непараллельности и неперпендикулярности.

Точно так же для сокращения записи удобно было бы ввести соединение двух символов в один. Так, напр., совокупность условий

AB = CD и AB II CD

удобно было бы записывать так:

AB#CD,

где знак ф£ представляет соединение знаков равенства (=) и параллельности ( II ).

§ 4. Перейдем теперь к оценке, с точки зрения выставленных требований, символов элементарной геометрии, не останавливаясь на общепринятых обозначениях, как, напр., на обозначениях элементов треугольника, ведущих свое начало от Эйлера, именно:

Л, By С —для вершин;

a, h, с — для противолежащих этим вершинам сторон, а также а, ß, у — для углов (на ряду с А, В, С); ha, hbf hc — для высот; та, тъ, тс — для медиан; la, h, h—для биссектрис;

Ry Р> 9а, 9b, 9с (или г у га> гь, Гс )—для радиусов кругов описанного, вписанного и вневписанных;

2/7 — для периметра и др.

Рассмотрим лишь те, которые либо не общеприняты, либо вызывают некоторые возражения, а также те, которые, быть может, следовало бы ввести.

1. В качестве знака конгруэнтности часто употребляют знак=, но, конечно, более уместен знак £2, представляющий из себя соединение знаков равенства и подобия, так как «конгруэнтные, —говорит Spieker,—это такие фигуры, которые не отличаются ни по форме, ни по величине»2). Правда, с дидактической точки зрения этот знак может вызвать некоторые возражения, так как этим знаком приходится пользоваться до изучения подобия и таким образом смысл одной из его частей может быть установлен только впоследствии; но знак этот вполне характеризует то понятие, для выражения которого он предложен, и потому нет оснований заменять его. Во всяком случае, он удобнее знака =, так как использование знака равенства в этом новом смысле повело бы к нарушению требования 4 предыдущего параграфа.

2. Для выражения приближенного равенства представляются более удобными, чем обычно употребляемый знак ~, символы, предложенные Vahlen'ом3) ( ' =F= ). Первый из них обозначает «несколько больше», второй — «несколько меньше», третий — «равен приблизительно», т.-е. выражают соответственно приближения «с избытком», «с недостатком» и без указания знака погрешности.

1) Spieker. 22-е изд., стр. 10 и след.

2) Spieker. 22-е изд., стр. 24 (или 42-е изд., стр. 34).

3) Vahlen. Konstruktionen unci Approximationen, S. XII.

Для выражения тождества удобен знак =, выражающий, так сказать, «усиленное» равенство.

3. Для обозначения угла из трех символов {</АВС, 2$.ABC и ABC) наименее удачным представляется наиболее распространенный i^) так как он сходен со знаком «меньше» «). Символ -< естественнее, так как он указывает на способ измерения углов при помощи дуг, симзол же ЛВС представляет естественную аналогию с символом дуги AB и отрезка AB; кроме того, он проще в начертании, чем символ ^С.

Этот же символ может быт применен и для обозначения углов между двумя прямыми AB и CD, или а и b: {AB, CD), или {а, Ь).

4. В большинстве книг по геометрии отсутствует особый знак для обозначения окружности. Spieker1) пользуется знаком 0, Adler2) — знаком M (Р) для обозначения окружности с центром в точке M и проходящей через точку Р. Быть может, наиболее удачным было бы соединение этих двух символов. Тогда, обозначая по обыкновению точки прописными буквами, а отрезки — малыми, мы могли бы удобно выразить следующие понятия:

Окружность радиуса г с центром в точке Р ... . .. QP (г).

Окружность с центром в точке Р и радиусом = AB . . QP(AB).

Окружность с центром в точке Я, проходящая через точку Л . QP (А).

Менее удобно применяемое Александровым3) обозначение окружности с центром в точке О и проходящей чрез точку л символом (О, Л), так как точки О и А, играющие в окружности существенно различную роль, входят в этот символ симметрично.

5 Отсутствует в большинстве книг особый знак для площади. Часть авторов просто ставит целое слово «площадь», другие — сокращенное «пл». Этот символ не удовлетворяет требованию 2, так как он не международен и в каждом языке выражался бы посвоему. Spieker не вводит определенного знака для площади, —но площадь квадрата, построенного на отрезке а, обозначает4) символом а2, а площадь прямоугольника со сторонами а и b— символом {а. Ь). В другом месте5) для численного значения площади в квадратных единицах он пользуется маленьким квадратиком, стоящим после алгебраической формулы, выражающей площадь. Так, он пишет:

квадрат = а2 □

треугольник =-~\~

прямоугольник = ah □

ЬЛ-d uv~. трапеция =—^—. А □

описанный многоугольник = [j (р — радиус вписанного круга)6)

Аналогичный символ применяется в книге Henrici und Treutlein:7) площадь квадрата ACHL обозначается символом □ CL, площадь прямоугольника АСХ С2 К—символом □ Q К, но общего знака для площади нет.

1) Spieker изд. 22-е, стр. 74 и след. (или 42-е, стр. 86 и след.).

2) Адлер. Теория геометрии, построений.

3) Александров. Сборник геометрических задач на построение. М. Гиз, стр. 9 и след.

4) 22-е изд., стр. 111.

5) 22-е изд., стр. 152.

6) В новом издании упразднен как тот, так и другой символ.

7) Lehrbuch der Elementar-Geometrie. 4-е Autl. 1910. I-er Teil. S. 83.

В книге Lazzeri und Bassani запись доказательства теоремы Пифагора дается в таком виде:

Ш =BC.BD; и ÄC2 — ВС. VC,

откуда

ÂS2+ЛС2= ВС. (BD + DC) или Aß2 + ЛС2 = ßC2; но этим все дело и ограничивается.

Быть может, наиболее подходящим было бы заключение в прямоугольник контурного (по вершинам) буквенного обозначения многоугольника. Так, площадь Д ABC следовало бы обозначать символом | ABC\f площадь четьфехуголника — символом | ABCD I и т. д., или присоединить к контурному (по вершинам) обозначению многоугольника знак маленького квадрата: АВС^У ABCD*-} и т. д. или, наконец, символом |Л/?С|2, j ABCD I2 и т. д. аналогично cm2 dm2 и пр. В последнем случае об'ем многогранника S.ABCD...F было бы естественно выражать символом

Между прочим, этим обозначением лишний раз подчеркивалась бы размерность величин, очень часто недостаточно ясно представляемая учащимися1).

Таким образом, напр, об'ем правильной 4-угольной пирамиды S ABCD со стороной основания а = 4 ст. и высотой /7 = 6 ст. выразился бы символически так:

S A BCD 8z=32 cm?.

Что касается довольно часто употребляемого символа 5 для обозначения площади и поверхности, то он, в соединении с контурным обозначением (в виде индекса) многоугольника [напр., S(ABüD) = площадь четыреугольника ABCD; S (конус) = поверхность конуса], довольно удобен, хотя и носит следы национального происхождения (surface), как и буква F, употребляемая в том же смысле немцами (Fläche).

6. Для обозначения элементов, общих двум или нескольким основным образам (точка, прямая, плоскость), удобны обозначения, принятые в проэктивной геометрии, именно, символы, образов-производителей заключаются в скобки или, если это не поведет к недоразумениям, ставятся рядом.

Так (АВ) = а или АВ = а обозначают, что прямая а определяется точками А и В; (ab) = A обозначает точку А, определяемую пересечением прямых а и Ъ; (a,ß) = a — прямую а пересечения плоскостей а и р2). (ABC) и (ару) обозначают соответственно : плоскость, проходящую чрез точки А, В и С, и точку, определяемую пересечением плоскостей а,/3,т.

1) Как курьез, приведу ответ, полученный мною два года под ряд на приемных испытаниях от окончивших 5-летку. Была предложена задача, которая сводилась к вычислению (для расчета стоимости покраски) площади забора длиной в 30 м и высотой в 1,8 м. Ответ получился: «54 кубических метра». Я спросил: «Почему же кубических?» Ответ: «Потому что множится на высоту». — «А если повалить этот забор на землю?»—«Тогда будут квадратные». — При проверке оказалось, что подобный взгляд—далеко не единичное явление, и нередко учащиеся считают, что раз в произведение входит высота, то произведение будет выражаться в кубических мерах.

2) Обозначение плоскостей малыми буквами греческого алфавита принято почти во всех курсах проэктивной геометрии, хотя, быть может, лучше было бы применение с этой целью прописных букв того же алфавита или готического шрифта или, наконец, подчеркивание этих же букв снизу, так как малые буквы греческого алфавита общеприняты для обозначения углов.

Лучше было бы предложенное Vahlen'ом1) заключение символа определяющего точку, в круглые скобки, прямую — в квадратные, плоскость—в фигурные, так как при обычных обозначениях получается нарушение требования 4 предыдущего параграфа. Действительно, символом (ab) в пространстве обозначается и точка пересечения двух прямых, и плоскость, определяемая пересечением тех же двух прямых.

По Vahlen'y, точки должны обозначаться символами:

(1), (2), (3).

Правда, при этом нарушается требование 3 (простоты начертания). Поэтому, быть может, проще было бы устранить совершенно скобки, а для обозначения плоскостей применять подчеркивание снизу (аналогично символам отрезка, угла и дуги, проставляемым сверху).

Тогда вместо (1), (2) и (3) имели бы символы:

7. Наконец, следует еще отметить отсутствие особого символа для выражения отношения «следствия». Наиболее естественным знаком для этой цели представляется знак стрелки ( -> ), подобный знаку направления реакции в химических формулах. Во всяком случае, этот знак удобнее знака Э , заимствованного из идиографии Peano2), так как стрелка, в зависимости от расположения записи, допускает поворот в любое положение (<-,!> 4) без искажения смысла символа. Между тем символ Peano в положении С обозначает уже «включение» (inclusion; напр.., «класс животных С позвоночных»); в положении n этот символ похож на символ совместного утверждения г> (напр.: «ромб г\ прямоугольник = квадрат»), а в положении и похож на символ ^ альтернативного утверждения (reunion; напр.: «углы с паралелльными или перпендикулярными сторонами равны w — 2d»).

Здесь же, кстати, можно отметить, что идиография Peano, чрезвычайно интересная сама по себе, едва ли может быть использована в какой-либо части для школьной практики между прочим и потому, что символы ее сходны с некоторыми общераспространенными символами геометрии. Так, напр., последний из упомянутых символов — альтернативного утверждения— сходен со знаком дуги.

Единственный символ идиографии Peano, который мог бы найти себе место в элементарной математике, это символ г3) «принадлежности индивидуума к классу [ABCD г параллелограм], но едва ли есть нужда во введении его, тем более что в примере, подобном приведенному, он как раз может повести к недоразумениям, так как этот символ (г) может быть принят за пятую букву Е контурного обозначения многоугольника.

В заключение посмотрим, как можно было бы при всех указанных обозначениях представить идиографически запись доказательства теоремы о двух перпендикулярах.

1) Konstruktionen und Approximationen, S. XII.

2) См. напр.: Padoa. La logique deductive. Или Кутюра. Философские принципы математики.

3) Греческое эпсилон малое

Теорема. Если прямая (AAV черт. 5), пересекающаяся с плоскостью (а), перпендикулярна к двум прямым (OB и ОС), проведенным на этой плоскости чрез точку пересечения, то она перпендикулярна и ко всякой третьей прямой (OD), проведенной на плоскости через ту же точку пересечения.

Черт. 5.

Двойной чертой подчеркнуты и последовательно перенумерованы те 5 пар конгруэнтных треугольников, рассмотрение которых входит в доказательство; одной чертой — следствия, непосредственно вытекающие из предыдущих предложений.

Как тема доклада, так и руководящие указания по ней были даны проф. Д. Д. Мордухай-Болтовским; пользуюсь случаем выразить Д. Д. свою глубокую благодарность.

1) Точку над буквой можно бы ставить для обозначения точки в сомнительных случаях, подобных данному (для отличия от нуля), аналогично, знакам угла, дуги и отрезка.

ОТДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОРНЕЙ ОТ ПОСТОРОННИХ ПРИ РЕШЕНИИ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

П. Сапунов (г. Владимир)

Решение каждого иррационального уравнения сопровождается тремя моментами: 1) приведением уравнения к рациональной форме, отчего в большинстве случаев получается уравнение, неравносильное данному; 2) решением получившегося рационального уравнения; 3) отделением собственных, корней от посторонних, обычно проводимое проверкой найденных корней путем подстановки их в заданное иррациональное уравнение.

Разрешение всех этих вопросов, сопровождающееся зачастую длительными, громоздкими выкладками, почти неминуемо, как показывает опыт, сопутствуется у учащихся целым рядом ошибок и описок, в поисках которых они затрачивают чрезвычайно много времени. Редкий учащийся доводит без поправок до удовлетворительного конца решение иррационального уравнения с двумя, а в особенности с тремя иррациональными членами.

Нужно громадное напряжение внимания, чтобы не сделать за длительную работу какой-либо описки, если не ошибки.

Настоящая статья исключительно посвящена 3-му моменту — отделению собственных корней от посторонних, а потому на первых двух моментах я останавливаться не буду; однако должен заметить, что необходимость в упрощении разрешения первых двух вопросов не может не чувствоваться, и это упрощение возможно, чему будет посвящена особая статья.

С отделением собственных корней способом подстановки их в данное уравнение обстоит дело не особенно благополучно в тех случаях, когда корни дробные или иррациональные.

Если один корень целый, а другой дробный, то в большинстве случаев учащийся склонен (и не без основания) предполагать, что дробный корень должен быть посторонним, а потому его не проверяет. В этой склонности учащегося отчасти виноваты составители задачников, которые считают своим непременным долгом составлять подавляющее большинство иррациональных уравнений так, чтобы собственный корень уравнения был непременно целым.

Если же, паче чаяния, оба корня окажутся иррациональными, то здесь учащийся или не проверяет корней совершенно, предполагая, что сделал где-либо ошибку, или делает проверку не всегда верно, освобождая равенство от радикалов возведением в квадрат обеих частей в тех случаях, когда этого делать нельзя.

Пример неправильной проверки:

Рациональное уравнение, получающееся из уравнения \гх —{— 1 —|— + J/JC + 2 = у х + 3 дает корни х = =~ у . Корень х=----—^-- посторонний, однако после следующей неправильной проверки учащегося он оказался собственным.

|/ -3-2 vt i |/ - 2 уТ~ =| / 3 - 2/"з" (I).

Умножая все члены на|/ 3 и возводя обе части в квадрат, получим: _ 3 — 4 |/Т + 2 }/б )/~3~+ 12=3 — 2 \ГЪ

откуда

Сокращая на 2 и возводя еще раз в квадрат, получим тождество:

Тогда как, умножая все члены равенства (I) на]/ —3, получим:

откуда уже очевидно, что левая часть больше правой. Учитывая громоздкость вычислительной работы при отделении собственных корней, я считаю вполне целесообразным ввести другой метод для этой цели.

Необходимость введения другого метода обусловливается также и тем, что существует, как увидим дальше, класс неопределенных иррациональных уравнений с одним неизвестным, имеющих бесчисленное множество корней, отыскание которых сводится к определению границ или границы для неизвестного, что легко достигается при помощи отделения собственных корней методом неравенств.

Прежде чем приступить к изложению темы, необходимо оговориться, что в дальнейшем будет итти речь об отделении только вещественных корней от вещественных же.

Далее, так как в настоящей статье придется встретиться с преобразованием тождеств или равенств, относительно которых необходимо доказать, что они являются тождествами, то необходимо, главным образом для читателей-учащихся, внести ясность и определенность в этом вопросе. Перечислим без пояснений все случаи преобразований, могущие встретиться при чтении статьи или при проверке правильности решения уравнений:

1. Из обеих частей тождества можно извлекать квадратный корень, беря результаты с одним и тем же знаком, если каждая часть не представляет четной степени.

2. Если одна часть тождества положительна, а другая представляет квадрат многочлена, который положителен, то при извлечении квадратного корня из обеих частей 1-я часть берется со знаком «-]-», если же многочлен отрицателен, то 1-я часть берется со знаком « — ».

3. Если одна часть тождества положительна, а другая трехчлен, представляющий квадрат разности, то необходимо для извлечения квадратного корня из обеих частей предварительно знать, какова это разность, положительна или отрицательна; если это известно, то применяют правило 2-е.

4. Если каждый член равенства есть число мнимое, то можно все члены равенства умножить на уг — 1 .

5. Если среди членов равенства имеется квадратный корень из комплексного числа, то умножать все члены равенства на i/ — 1 нельзя.

6. Возводить в квадрат обе части равенства j/* a-f- у b Ч- + |/ а— Y b =.± у N, вообще говоря, можно, за исключением частного случая, когда a <' 0 и b > 0.

7. Возводить в квадрат обе части равенства j/ Л + у В =± у N, где все члены мнимы, но не выражены через /, нельзя и можно в том случае, если они выражены через i.

8. Возводить в квадрат обе части равенства M = j/ N можно в том случае, если N^>0 и Л1 : 0.

I. Отделение собственных корней от посторонних в иррациональных уравнениях вида /Х+/1Г=±/~7У, где А, В и N вещественны при вещественном значении неизвестного.

§ 1. Основные положения.

Теорема /. Для справедливости равенства j/ А ± j/~ß~= ± \TN, где Л, В и TV—вещественные числа, необходимо (но не достаточно), чтобы А, В и N были бы одного и того же знака:

В самом деле, если бы Ау В и N были разных знаков, то после соответствующего перенесения радикалов из одной части равенства в другую получилось бы, что вещественное число равнялось бы мнимому, что невозможно.

Замечание 1. Одна из величин Л, В или N или все три одновременно могут равняться нулю.

Замечание 2. Равенство уА-\-у/ В= — yr N справедливо только в том случае, когда A = B = N = 0.

Замечание 3. В равенстве у/ A -f- ]/ B = \f N если N = 0, то А=В = 0] если А = 0, то B = N; если ß = 0, то ^=jY. Аналогичные условия можно получить и для равенств:

/Х- /7Г=+]/лГ.

Теорема 2. Уравнение 4AB=[N—(Л-fß)]2 может иметь только такие вещественные корни, которые обращают выражения Л, В и N в числа одного и того же знака.

Что А и В дожны быть одного и того же знака, вытекает непосредственно из формы данного уравнения (ибо в противном случае левая часть уравнения будет отрицательна, тогда как правая всегда положительна). Докажем, что N одного знака с А и В.

Преобразуем данное уравнение в следующий вид:

(А — В)2 + N2 = 2N(A -j-ß)

Левая часть уравнения всегда положительна (или равна нулю, когда А = В и N=0); правая же может быть положительной только в том случае, когда N одного знака с А-\-В (или равной нулю, когда TV—О, а А +Вф 0); а так так А и В одного и того же знака, то, следовательно, все три величины Л, В и N должны быть одного и того же знака.

Теорема 3. Пусть уравнение 4Л£ = [М — (Л ~\-В)]2у получающееся из уравнений j/ Л+j/ В = ±j/ N путем освобождения их от радикалов, имеет одним из корней хг

Тогда: 1) если xt удовлетворяет одному из неравенств: Л.>0, ß>0, ЛА>0, а также неравенству Л-f-ßCTV, то этот корень принадлежит уравнению ^f~A-\~y~B=\f~N\ 2) если хх удовлетворяет неравенствам: Л>В>0 и Л + /?>7У, то этот корень принадлежит уравнению j/X—^f~B—\f^N\ 3) если хх удовлетворяет неравенствам: В>Л >0 и A^B^N, то этот корень принадлежит уравнению у А —у В = — у N.

Так как xt есть корень данного уравнения, то он обращает его в тождество:

4AB=[N-(A+B)]'2...........(1).

Преобразуем это тождество на основании данных неравенств.

1. Так как Л£>0 и A + B^Ny т.-е. N — (А -fß) >0, то, извлекая из обеих частей квадратный корень, получим тождество:

2/ÄB = N— (Л + ß),

или

Л + £+2/Л£ = Л^; так как обе части одного и того же знака, то извлекая еще раз квадратный корень из обеих частей тождества, получим также тождество:

|/Л~+ У В = j/77, что и доказывает 1-ю часть теоремы.

2. Так как Л£>0 и Л + £>М, т.-е. N— (Л + £)<0, то при извлечении квадратного корня из обеих частей тождества (1) мы должны для сохранения тождественности обеих частей положить у'4AB — — 2j/ AB, т.-е. получим тождество: —2y"AB = N—(Л-j-ß), откуда

A f В- 2/ÄB = N..........(2)

так как А^>ВУ то, извлекая квадратный корень из обеих частей тождества (2), мы должны положить

Y А -\-В — 2/АВ = /X— / А,

т.-е. получим тождество |/ А —\/ В = yr Ny что и доказывает 2-ю часть теоремы.

3. Для доказательства 3-й части необходимо при извлечении квадратного корня из обеих частей (2) для сохранения тождественности положить

Y A -f В - 2^АВ = |/7Г— i/Д

так как В ^ А. Тогда получим тождество: j/ В—j/ А=У N, или У А — у/В — — j/TV, что и доказывает 3-ю часть теоремы.

Замечание 1. хх может принадлежать уравнению у A -f- у/В = — |/ jV только в единственном случае, когда хх удовлетворяет равенствам: A—B — N = 0. В этом случае он бу^ет удовлетворять всем четырем уравнениям.

Замечание 2. хх может одновременно удовлетворять двум уравнениям в следующих частных случаях:

1) если хх удовлетворяет уравнениям: А-\- В = N и В —0, то он принадлежит уравнениям уrА + ]/В — |/N;

2) если хх удовлетворяет уравнениям: N=zO и А — Ву то он принадлежит уравнениям: у А—у В = ±yN.

Замечание 3. В уравнении у А + V& = \f-N xt может удовлетворять равенству А -\- В = N в том случае, если А или В равно нулю; в уравнении [/Л—yB—\fN хх может удовлетворять равенству A -f- В — N в том случае, если В = 0; в уравнении уА — \/ В = — У N хг может удовлетворять равенству А + В = N в том случае, если А = 0.

Из теоремы 3 вытекают следующие выводы:

1. Собственный корень уравнения yA-\-\/B=yNy удовлетворяющий одному из неравенств: А >- 0, ß>0, Л/>0, должен удовлетворять и неравенству А-\- В< N.

2. Собственный корень уравнения у А—j/j3=|/7V должен удовлетворять неравенствам: А>В>0 и А-\-В>N.

3. Собственный корень уравнения у А—У В = — УN должен удовлетворять неравенствам: 5>Л>0 и A-{-B^N.

Следствия из теоремы 3:

1. Собственный корень уравнения ]/А -\- \ГВ = \/Л/, удовлетворяющий одному из неравенств: Л<;0, ß-<0, 7V<;0, должен удовлетворять и неравенству A-\-B~>N.

2. Собственный корень уравнения у/ А — \* В =|/'N должен удовлетворять неравенствам: Л<;В<;0 и А-\- В <С N.

3. Собственный корень уравнения у/А — \/В — — j/TV должен удовлетворять неравенствам: £<СЛ<;о и А-\- В ^ N.

Для доказательства этого достаточно все члены уравнений

умножить на л/— 1 и применить выводы теоремы 3.

Соединим выводы и следствия в одну общую таблицу.

Таблица № 1 отделения собственных корней от посторонних

Уравнение

Каким неравенствам должен удовлетворять собственный корень

Примечание. Если Л, В и N рациональные функции неизвестного, то достаточно знать только первые две формулы (1) и (2), так как всегда можно привести иррациональное уравнение к виду ]/м — \ Р.

§ 2.

Покажем на примерах отделение собственных корней от посторонних способом неравенств.

Нет, конечно, никакой надобности прибегать к этому способу в том случае, когда уравнение имеет один иррациональный член, а рациональный независит от неизвестного.

В этом случае вполне очевидно, что уравнение y'f{x) -j- m = п будет иметь собственные корни, если /г>0, и посторонние корни, если п<^0.

1. Пусть уравнение имеет один иррациональный член, а рациональный зависит от неизвестного: у2хЦ-6 = х — 1.

Рациональное уравнение дает корни: хг = — 1; х2 = 5. Так как правая часть уравнения должна быть больше или равна О, то „Y + 1 >0, т.-е. л:>1, т.-е. собственный корень х2 = 5.

2. Уравнение содержит два иррациональных члена, а 3-й не зависит от х.

У 4х"+8 + у' Зх —2 = 2.

Рациональное уравнение дает корни 34 и 2. Так как УУ=з4>0, то по формуле (1) из таблицы № 1 имеем:

7х + 6 < 4, т.-е. x < — у последнему неравенству корни 34 и 2 не удовлетворяют: оба посторонние.

3. /4л:-;-8 — у 3x^2 = 2.

Так как N=4>0, то по формуле (3) имеем:

4л;+8>3х —2 и 7*-|-6>4

откуда

Оба корня 34 и 2 удовлетворяют последним двум неравенствам, а потому являются собственными.

В этом примере можно было бы применить формулу (1), предварительно преобразовав уравнение в вид:

2 -f уъх^г — )/'4х~-\- 8. Так как А — 4>0, то по формуле (1) имеем: Зл'-f- 2 < 4л;-f-8 или л:> — 6. Последнему неравенству оба корня удовлетворяют.

4. ybx + 20 — = 2 или |/5х+20 = j/x-f 8 -f |/47 Рациональное уравнение дает корни 1 и —4.

Так как ß=4>0, то х +12 < 5x-L20, т.-е. х> — 2 корень 1, удовлетворяющий последнему неравенству, собственный; корень — 4 неудовлетворяющий последнему неравенству, посторонний.

5. у'2х + \ + у7х — 27 = |/ Зл:+4.

Рациональное уравнение дает корни: 4 и —12, 6.

Так как 4 обращает А = 2х-\-\ в положительное число, то

9х — 26 <3x + 4, т.-е. л:<5.

Корень 4, удовлетворяющий последнему неравенству, собственный. Так как —12, 6 обращает 2x-f-l в число отрицательное, то по формуле (2) получим х>5; следовательно этот корень—посторонний.

6. j/x-fl + j/x + 2 = yx + à Рациональное уравнение дает корни:

_ — 6 + 2)/з~ х- 3

откуда приближенно: хг ^ — 0,9; л:2 53 — 3,1.

Так как —0,9 обращает х-\-1 в число положительное, то 2x-j-3 <;л:-|-3; так как х<;0, следовательно, хх — — 0,9 — собственный корень; так как —3,1 обращает х-\-\ в число отрицательное, то х>0> т.-е. х2 = — 3,1—корень посторонний.

§ 3.

Отделение собственных корней в уравнениях вида:

Va + ± Va — '= ± |/М

где a, b м N вещественны при вещественном значении неизвестного и b > О Освобождая уравнения:

(2), (3)

от радикалов, получим последовательно:

2a-\-2}/¥^rb = N О1),

2а — 2y/h^~b = N (2*) и (З1),

N2 — 4aN+4b=:0 (4),

т.-е. рациональное уравнение получилось общим для всех трех уравнений. Из (4), решая уравнение относительно Ь, получим:

1-й случай: 7V>0, ô>0, а следовательно, на основании теоремы 1 § 1 и а>0, a также а>у/Ь.

Уравнение (I7), а, следовательно и (1), может иметь решение в том случае, если N—2а>0, т.-е. a (6), а так как Ь>0, то из (5):

4aN — N2>Q, т.-е. (7>'

Соединяя оба неравенства в одну строку, получим:

Неравенства (8) и неравенство N>0 являются условиями, необходимыми и достаточными, чтобы уравнение (1) имело решения, так как при соблюдении этих неравенств будет соблюдено и неравенство a>yb.

D N ...... / N N , л

В самом деле, так как -j-<.a<г, то, положим, a= — -j-p, где 0<|3<^~. Тогда из (5) b—Nß. Докажем, что a>yb.

Так как > ß, то —ß>0 или, возводя обе части в квадрат:

16 2 i ^ >U' прибавляя к обеим частям по Л/'/З, получим:

извлекая квадратный корень из 2 положительных частей неравенства, получим:

\л~$> vw, т.-е. a> j/T,

что и требовалось доказать.

Уравнение (2'), а следовательно, и (2) может иметь решение в том случае, если 2а — 7V>0, т.-е. а > -у (9).

Соединяя неравенства (9) и (7), можно заменить их одним:

а>-2...........(Ю)

Неравенства (10) и Af>0 являются условиями, необходимыми и достаточными, чтобы уравнение (2) имело решения, так как при соблюдении4 этих неравенств будет соблюдено и неравенство a>]/6.

В самом деле, так как а>-^-, то положим a = -y-(-ß, где /3> 0 тогда из (5):

Уравнение (3) в этом случае решений иметь не может, так как на основании (5) таблицы № 1 необходимо соблюсти условие:

а — \fb > a -f- ]/ Ъ, что невозможно, принимая во внимание перед знаком радикала только один знак плюс.

2-й случай: jV<0, b<0, а, следовательно, на основании теоремы 1 § 1, а<0, а также j/Ь < | а | .

Умножая все члены уравнений (1), (2) и (3) на |/—1, получим:

(11), (12), (13).

Полагая —а = а1, —N—Nlt где at>0 и JV^O, получим:

(11), (12'),

(13'),

(11"), (12"),

(13"),

т.-е. пришли к уравнениям, уже рассмотренным в 1-м случае, а потому: уравнение (11") имеет корни при соблюдении неравенств:

Умножая члены неравенств на — 1 и переходя к обозначениям a vi N получим необходимые и достаточные условия для решения уравнения (11)

Уравнение (12") решений не имеет, а потому уравнение (12) также их не имеет.

Уравнение (13") имеет корни при соблюдении неравенств:

Умножая члены неравенств на —1, и переходя к обозначениям а и Л/, получим необходимые и достаточные условия для решения уравнения (13):

Замечание 1. Так как в уравнениях

при N = 0 и Ь = 0 а может быть каким угодно, то неравенства (10) и (15) могут не исчерпать всех корней. Будем называть корни указанных уравнений, не удовлетворяющих неравенствам (10) и (15) «особыми корнями». Занесем результаты исследования в этом § в следующую таблицу:

Таблица № 2 отделения собственных корней в уравнениях вида

Уравнение

Значения b

Значения N

Значения а

Примечание

Замечание 2. При определении границ неизвестного необходимо пользоваться неравенствами последних двух столбцов.

§4. Решение примеров.

1. ]/зл:+2 + ]/12л: + 4 + j/зл: + 2 — /12л: + 4 = 8.

Рациональное уравнение дает корень 5.

Так как jV=64>0, то на основании (1) таблицы № 2, имеем:

16<3х + 2<32.

х — 5 удовлетворяет последовательно двум неравенствам, а потому является корнем собственным.

Рациональное уравнение дает корень 6-^-.

Так как Af=100>0, то по (3) таблице № 2 имеем: 4jc —f- 1 > 50. 74

х = 6-^у- последнему неравенству не удовлетворяет, а потому является посторонним корнем.

3. Уравнение из журнала «М. О.» за 1928 г. в № 1:

j/jt + 2у~х~— Ï — У~х - 2угх—\ = 2.

Рациональное уравнение обращается в тождество, однако отсюда не следует, что и данное уравнение тождество.

Так как N= 4 > О, то на основании (3) таблицы № 2 имеем: х>2.

Данное уравнение имеет бесчисленное множество решений, удовлетворяющих неравенству х>2.

Так как jV=4>0, то данное уравнение решений не имеет, несмотря на то, что рациональное уравнение обращается в тождество.

5. 'уГ2х — 7 -fу — 8*-f 24 -f у2х — 7 — у — Sx-\-24 = у-7*.

Рациональное уравнение дает тождество.

Так как N=— 4<0, то на основании (2) таблицы № 2 имеем: — 2>2х — 7> — 1, т.-е. л>2 -у и х>3.

При значении х в этом промежутке Ь — — 8x-j-24>0.

Итак, данное уравнение имеет бесчисленное множество решений — область чисел, лежащую в интервале: 2~>х>3.

6. у 2х — 7 -f |/ZT8x-{-24" — jAx - 7 — j/ — 8x + 24= — /—4"

Рациональное уравнение дает тождество.

Так как N =— 4<0, то на основании (7) таблицы № 2 имеем:

2х — 7> — 2, т.-е. ;с>2^-.

Данное уравнение имеет бесчисленное множество решений, удовлетворяющих неравенству х>2^~.

II. Отделение собственных корней от посторонних в иррациональных уравнениях вида j/a -j- уЬ + У cl — У Ь = j/ÏV, где a, i и Л/ вещественны при вещественном значении неизвестного и £>0.

В части I настоящей статьи рассматривались уравнения

где Ау В и N были вещественны. Однако подобные уравнения могут иметь вещественные решения и при комплексных или мнимых значениях А, В и N. В части II мы рассмотрим частный случай таких уравнений, когда Л и В — сопряженные комплексные числа (в частности мнимые), а число N вещественно при вещественном значении неизвестного.

§ 1. Основные положения.

1. Для извлечения квадратного корня из комплексного числа существует формула:

(1).

Для определенности выберем перед круглыми скобками какой-либо один знак, например, плюс, и в дальнейшем так же, как и в I части, отрешимся от двойственности знака квадратного корня, принимая во внимание только тот знак, который стоит перед знаком радикала, т.-е. положим:

(2),

(3).

Замечание 1. Формула (3) в частном случае не верна, когда Ь = 0 и а<0.

Замечание 2. Если а = О, b = — 1, то

Замечание 3. Формулы (1), (2) и (3) верны и для а>0, £>0.

2. Суммы и разность квадратных корней из сопряженных двучленов. Складывая и вычитая почленно равенства (2) и (3), а также (4)

и (5), получим:

У а ± ]/я = У2а± 2 |/сС1 — Ъ = /N (6) и (7),

где N=2a±2/ä* — b (8) и (9),

/*+/1=1 = /2~ (10),

/i—/=Г/ =/2 . / (11).

Л/" вещественно при а2 — ô>0.

Замечание 4. В соответствии с замечанием 1 формулы (6) и (7) не верны, когда £>0 и а<0.

3. Разложение квадратного корня из вещественного числа на сумму или разность квадратных корней из сопряженных двучленов.

Формулы (6) и (7) показывают, что квадратный корень из вещественного числа можно разложить на сумму или разность квадратных корней из сопряженных двучленов вида a-\-yrb и а — j/ô.

Для решения этого вопроса необходимо убедиться в возможности нахождения чисел а и b при данном jV, т.-е. в возможности разрешения уравнений (8) и (9), которые после освобождения от радикалов дают общее рациональное уравнение:

N2—4a7V-f-4ö = 0 (12),

т.-е. неопределенное уравнение 1-й степени с двумя неизвестными. Для решения уравнения (8) необходимо а подчинить условию:

N— 2а<О, т.-е. а<~ (13).

Знак равенства в том случае, когда а2 = Ь.

Для решения уравнения (9), необходимо а подчинить условию:

N— 2а<0, т.-е. а>^- (14).

Выбрав а надлежащим образом, значение b определится по формуле:

b = -^-J<l- (15).

I. Если £<0, то из (15) получим границы для а:

при Л/>0 а< ^ (16),

при Л/<0 а > (17).

Соединяя эти границы с границами (13) и (14), получим:

1) для уравнения (8): если М>0, то а< ^ (18),

если 7V<0, то получаются противоречащие неравенства, а потому уравнение решений не имеет;

2) для уравнения (9): если Л/>0, то получаются противоречащие неравенства, а потому уравнение решений не имеет;

если /v<0, то я>^- (19)

Знак равенства между а и иметь места здесь не может, так как при Ь — 0 и а=—<;0 формулы (6) и (7) не верны.

II. Если ô>0 (тогда на основании замечания 3 а>0 и, следовательно, на основании (8) и (9) и 7V>0), то из (15) получим такие границы а:

при jV>0 (20).

Соединяя эту границу с границами (13) и (14), получим:

1) для уравнения (8):

т < а<-2- (21),

2) для уравнения (9)

а>^ (22).

Формулы (18), (19), (21) и (22) позволяют разложить квадратный корень из любого вещественного числа на сумму или разность квадратных корней из двух сопряженных двучленов желаемым и не единственным способом. По этим формулам нельзя только разложить квадратный корень из отрицательного числа на сумму квадратных корней из сопряженных двучленов, но этот недостаток пополняет формула (2) из таблицы № 2.

§2. Природа уравнений, обычный способ решения которых приводит к тождеству.

Вернемся к уравнению 3 из § 3 ч. I и ему подобным, приводящимся к тождествам.

Докажем, что подобные уравнения есть неопределенные уравнения с двумя неизвестными.

Всякое неопределенное уравнение с двумя неизвестными может быть выражено тождеством с одним неизвестным. Для этого достаточно вместо одного из неизвестных подставить его значение, выраженное через другое.

Уравнение

Yx+ 2ух— 1 — Y х-2|/Зс — 1 =2

представляет собой по форме разложение |/jV вида:

которое в свою очередь, как мы знаем из предыдущего параграфа, представляет неопределенное уравнение.

Для неопределенности вышеуказанного уравнения необходимо и достаточно, чтобы подкоренные выражения под вторыми внутренними радикалами, будучи одинаковыми, зависели от х = а и 4= TV определенным образом на основании формулы b — —^-.

Если найденное выражение для b будет тождественным с соответствующим подкоренным выражением уравнения, то это и докажет его неопределенность.

В самом деле: ^ _ 4aN—N* _ 16х- 16 _цх_^

что вполне соответствует подкоренному выражению второго внутреннего радикала.

Подобных уравнений можно составить сколько угодно. Для этого необходимо двум из трех величин a, b и N дать произвольные значения, а третью определить из уравнения (12).

Пример. Пусть а = 4л:-fi; N=2x-\-8; тогда Ь = 7х2-\-26х — 8, и уравнение будет таким:

У Ах + 1 -f |/7л:2+26х— 8 ± У ix + 1 — /7х2 + 26лг—8 = ± |/ 2х+8.

Все подобные уравнения — замаскированные неопределенные уравнения, а потому имеют бесчисленное множество решений.

§ 3.

Переходя к решению иррациональных уравнений, указанных в заголовке II части, необходимо сделать следующее замечание: так как эти уравнения по существу ничем не будут отличаться от уравнений (6) и (7), а также уравнения

У а + у F — У a—Y~b = - y'N,

рассмотренного ранее, с тою только разницей, что a, b и N будут выражены в них через одно и то же переменное, то отделение собственных корней их должно производиться на основании тех же неравенств, которые были получены в § 1 и таблице № 2. Поэтому таблицу № 2 объединим с результатами § 1 в следующую таблицу, которая объединит всевозможные случаи решения уравнений:

У a -j- yrb ± У а — ]/Т=± у% за исключением уравнения

не представляющего интереса, так как оно имеет единственный корень, обращающий a, b и N в нули. На практике с такими уравнениями встречаться почти не приходится, да и решение их вполне очевидное.

Таблица № 3 отделения собственных корней в уравнениях

Уравнение

Значен. N

Значение а

Примечание

Особое решение

Примеры.

1. У~х +/3* —1 — У~х - /ЗлГ— 1 = |/5х Рациональное уравнение дает корни

у_-6 + /5». „ =03 =_27

При лг1С>эО,3 iV>0, а потому, на основании (4), х>2-^-х, т.-е. л'<;0.

Так как этот корень последнему неравенству не удовлетворяет, то он будет посторонним.

При х2^,— 2,7 /V<0, а потому, на основании (5), .v>l-|-x,

т.-е. X < 0.

Так как этот корень последнему неравенству удовлетворяет, то он — собственный.

2. У Ах 4-1 + у fx* + 26л: — 8 + j/v* + 1 — /7л:2 +2бЗс"—~8 = j/2x-|-8 (превращенное в тождество). Пусть Лг=2л:-}-8>0, т.-е. л;> —4. На основании (1) таблицы 3 имеем:

откуда

На основании (2) таблицы № 3 имеем:

Соединяя получившиеся неравенства, получим при Л/>0

На основании (3) имеем: л:<— и х>1, т.-е. неравенства противоречащие, а потому уравнение при 7V<0 корней не имеет.

Итак, окончательная область чисел, удовлетворяющих данному уравнению, определится неравенствами: —4<*<1.

3. У\х -\-1 -f j7jt^2bx~— 8 — ]/~4л; -f 1 — у7х2 26л:—= у/2х+ 8.

Пусть iV>0, т.-е. х> — 4. На основании (4) имеем: х>1.

Пусть 7V<0, т.-е. л: < — 5. На основании (5) 4л;-}~ 1 > yx-f-2,

т.-е. 3-^-л>3 или у]>-у. Так как получились неравенства противоречащие, то при iV<^0 уравнение решений не имеет. Уравнение имеет особое решение х = — 4, обращающее b в нуль и а — b в число, не равное нулю.

Итак, окончательная область чисел, удовлетворяющих уравнению, определяется неравенством: х>1.

Особое решение х = — 4.

На основании (7) N= 2х-\- 8 <^0, т.-е. х<—4; 4л:+1 <JC-f-4, т.-е. х<1.

Заменяя оба неравенства одним, получим: х< — 4.

Особое решение х ——4 вошло в найденную область, а потому окончательно л:< —4.

Из последних трех примеров мы видим, что совокупность корней всех трех уравнений представляет собой полную область вещественных чисел от —CSD до -н счэ.

Таким образом совокупность трех уравнений:

y Ах +1 -f /7x2 + 26x = 8 ±уГ4х -f 1 — }/7х* + 26х —1$ = ± у 2jc-J-8

представляет собой тождество для любого вещественного числа, а каждое уравнение в отдельности есть одна из ветвей тождества, хотя в некоторых частных случаях, как увидим дальше, ветвь тождества может превратиться в уравнение, имеющее один корень, или в уравнение, корней не имеющее.

5. Уравнение

уГ2х — 3 -f- i/3x2 — *x-[-5 — ~^2х — 3 — /ЗЗс2 — 8*4-5 = — у 6х— 10;

обращающееся в тождество, решений не имеет, так как на основании (7) М=6х—10<0, т.-е. *<-|- и 2х —3<3х —5, т.-е. *>2. Получились неравенства противоречащие.

6. |Д - -т + 7("х - 2)("х +1") - у*-\ — /(*--2)(* + 1)= —|/2jc —4.

Рациональное уравнение дает тождество. На основании (7) имеем: N = 2х — 4<0, т.-е. х<2.

а = х--^г^-*—2> т-~е-> чт0 невозможно ни при каком значении x. Уравнение корней не имеет, за исключением особого х = 2, обращающего в нуль N и Ь.

§ 4. Особого рода уравнения, приводящиеся к нелепым равенствам.

До сих пор мы рассматривали уравнения, рациональные уравнения которых давали вполне определенные решения, или приводились к тождествам. Существует особый класс уравнений, которые при освобождении от радикалов превращаются в нелепые равенства, но имеют корни.

К нелепым равенствам могут пэиводить уравнения вида

У a -f у b ± Y а - уТ= ± V~N> где М—2а-\-2р и р имеет знак, противоположный знаку радикала

В самом деле, в этом случае

и уравнения примут вид:

Возводя в квадрат обе части, получим:

2а ± 2 ]/ а2 — а2 -f/?* = 2а -j- 2/7, или ± 2 | р | = 2/7, т.-е. нелепое равенство.

Посмотрим, какие из уравнений могут иметь только особые решения.

Для уравнения l/ a -f- \fb + j/^a — |/ й = i/Л/ N=2a — 2р, где /7>0, откуда вытекает, что , т.-е. это уравнение, обращаясь в нелепое равенство, имеет на основании (3) таблицы 3 область решений.

Для уравнений j/^a-f-yô —Ya—\/Ь = ±\/N N= 2а -[-2/7, где /7>0, откуда вытекает, что а<С-^у т.-е. 1-е уравнение на основании (4) и (5) может иметь только особые решения, а 2-е на основании (7) будет иметь область решений.

Примеры.

Освобождаясь от радикалов в этом примере, а также во всех последующих, получим нелепые равенства.

Область чисел, удовлетворяющих уравнению лс<1.

область чисел, удовлетворяющих уравнению х <; 1.

уравнение имеет только особый корень х = \.

уравнение имеет только особый корень х = — 1.

уравнение имеет только особый корень

Причину обращения уравнений, имеющих корни, в нелепые равенства, т.-е. причину потери корней нужно считать в том, что подобные уравнения, как это будет показано дальше, имеют корни при ô>0 и а < О, а мы знаем (см. вступительную часть статьи п. (6), что возвышать в квадрат обе части уравнений

Y а + yb ± Y а — Y~b = ± y/N

в этом случае нельзя, ибо от этого получаются уравнения, неравносильные данным. Для того, чтобы не потерять корни, необходимо предварительно все члены уравнений умножить на у/— 1.

Докажем, что в уравнениях этого § #>0 и а<^0.

Так как для уравнения

то на основании (2) таблицы № 2 й< 0 и 7VX).

Исключая частный случай Ь = О и N=0, когда а = 0, получим

Ь<^0 и 7V<0, а так как -^-^а^-у-, т-~е- а лежит между двумя отрицательными числами, то а < 0. Так как для уравнений Y а + j /У - ]Д - у T=±yrN а < f. то на основании (5) и (6) таблицы № 2, #>0 и 7V<0, а потому неравенство а<С~9- превращается в й<0.

ЗАДАЧИ.

40. Доказать, что при неравных положительных числах а, й, £ a8 + *84-c8+3afc> a2(£_j_ c) + b2 (c-f-a)-(-c' (а-{-£).

41. Решить систему

если

Н. Агрономов.

42. Найти два целых числа, обладающих тем свойством, что сумма цифр квадрата одного равна другому числу.

А. В. (Москва).

43. Доказать, что число

(1 .2. 3... 28)-j-233

делится на 899.

44. Построить прямоугольный треугольник по сумме двух катетов и биссектрисе прямого угла.

Ф. Гусев (Москва).

45. В треугольнике ABC медианы ВМ и CN взаимно перпендикулярны. Доказать, что cs^4 > 4- •

46. Найти истинное значение выражения

(1 —cosa:). ctg л:

при X = 0.

С. Адамович (Тула).

47. Найти целые положительные решения уравнения

И. Кастровицкий (Сталинград).

48. Построить окружность, проходящую чрез две данные точки и ортогональную к данной окружности.

49. Вычислить выражение

sin( arc cos ~| -\- 2arc tg у)

50. Показать, что выражение (а + bïf+qi может быть представлено в виде А4-В1, где числа а, Ь, /?, q, А, В—действительные и i= j/ — 1.

51. Внутри треугольника ЛБС найти две такие точки M и М{, чтобы . ßM. СМ = АМ1. ÄAfj. CAf,.

52. Вычислить действительные корни уравнения

2г+4л: = 0

с пятью десятичными знаками.

Л. Лодыженский (Тула).

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

69. Найти величину площади, заключенной между дугами эллипса и параболы, заданных относительно прямоугольных осей координат уравнениями: х2-{-4у2 = 9т2; у2 = 2тх (частный случай: т = \).

Хорда, соединяющая точки пересечения двух данных кривых, делит искомую площадь на сегмент параболы и сегмент эллипса. Для нахождения координат точек пересечения данных кривых решаем их уравнения совместно; найдем

x2-\-Sx — 9т2 = 0; x}=jm, (х2 — — 9т)

V2 = 2т2; у = ±т\г2', уг = т\Г2

Отсюда, по теореме Архимеда, площадь параболического сегмента Sx = т2\ 2. Представляя далее уравнение эллипса в виде

видим, что отношение его полуосей равно ^ , и потому его можно рассматривать, как проекцию круга радиуса Зт> на плоскость, составляющую с плоскостью круга угол ч = —. Следовательно, площадь эллиптического сегмента вдвое менее площади соответствующего сегмента круга. Хорда последнего Аух = \т y 2, а расстояние ее от центра х1 = т. Если

обозначить — дуги (или соответствующего ей угла) кругового сегмента в радианной мере через а, то, как известно, площадь его = г9 (а — sna csa).

Так как у нас csa = 1 , sna= 21/ 2 и r_3m то площадь эллиптического сегмента

52=!^(агс csl-.2VT) 2 3 9

а вся площадь данной фигуры

5 = ^ + 52 = 771* (ÏJ.+ 9 arc es 1). 11 3 2 3

Полагая ттг=1 и произведя вычисления, найдем а = 70° 31'43" и 5 = 6,012 кв. ед.

Л. Лодыженский (Тула), А. Бутомо (Саратов), Е. Воскресенская (Павлов) В. Ефимов (Пермь), Я. Сапунов, М. Машков (Владимир), Д. Польшин (Москва).

3. Решить уравнение:

Умножим обе части уравнения на (j/ Зх — 8 ~г [/х— 4) и разделим на \/х — 2, причем вводится посторонний корень х — 3 и теряется очевидный корень xi = 2. Тогда получим:

где, как легко видеть, Л/ф 0 и 2ф_у.

Возводя обе части последнего уравнения в куб, после упрощений найдем:

]/z(4 — z) .N=py{4—y).N . Сокращая на TV и возводя еще раз в куб, будем иметь:

2(4 — г)=у(4— у), или 4(z— y) = {z+y) (z—y), или, по сокращении на z—у ф 0, получим: z-[-j/ = 4 и, следовательно:

откуда

Окончательно данное уравнение имеет следующие корни:

Я. Сапунов (Владимир), С. Адамович (Тула), Пав. и И. Хайдуковы (Петровск), И. Челисов (Дмитровск).

11. Определить площадь наибольшего прямоугольника, который можно вписать в эволюту данного эллипса. Уравнение эволюты эллипса:

где

Если обозначим через х и j/ координаты одной из вершин вписанного прямоугольника, то площадь его будет 4ху, причем л* wy связаны предыдущим уравнением. Из этого уравнения мы имеем:

а потому задача сводится к нахождению maximum'a функции

Приравняв нулю производную/'(jc), получим:

или

Предположение 1—^—j /3 = 0 дает х = -hа, у = 0, ху — 0 и должно быть отброшено. Из уравнения же

имеем

после чего из уравнения эволюты найдем:

Таким образом вершины наибольшего прямоугольника лежат на прямых:

Площадь его равна

А. Дмитровский (Москва), X. У. (Ростов-на Дону), М. Машков, П. Сапунов (Владимир), А. Бутомо (Саратов), И. Челисов (Дмитровск).

2-е решение.

Уравнение эволюты эллипса

Если обозначить через ху координаты одной из вершин вписанного прямоугольника, то площадь его будет равна 4 ху, и задача будет состоять в нахождении maximum'a абсолютной величины произведения ху. Но это равносильно отысканию maximum'a выражения:

а так как сумма (~^~) 8 + (ßj 3 постоянна и равна 1, то произведение положительных чисел (—) ^ . (~Х 3 будут, как известно, иметь наи-

большее значение, когда оба слагаемые равны между собою Итак, должно быть

откуда T = ±f Далее имеем: ( А )2/в ^ (Z)2/a = j. JL==± . % = ±ф=, и площадь искомого наибольшего прямоугольника равна:

12. Найти сумму шестых степеней корней уравнения:

х3 + х -1=0.

Обозначая через а, ß, у корни данного уравнения и полагая, как обыкновенно, sH — a'l-\- ß"-j- у", непосредственно имеем:

S, =0; aß + ßY + Ta=1.

Далее

s2 =5,2 - 2 (aß+ ßy + -/а) = — 2.

Вставив в данное уравнение последовательно а, ß, у и сложив результаты, получим:

5зН~51 — 3 = 0, откуда sB = 3.

Если сделаем то же, умножив предварительно обе части уравнения на х, то найдем:

54 Н~ s2 — si — °> откуда 54 — — s2 = 2.

Наконец, выполним еще раз то же действие, умножив обе части уравнения на х3, тогда будем иметь:

Итак,

А. Дмитровский (Москва), X. У. (Ростов-на-Дону), А. Бутомо (Саратов), М. Машков, П. Сапунов (Владимир), Л. Лодыженский (Тула), Н. Фивейский (Ржев), П. и И. Хайдуковы (Петровск), Павлов (Улала), А. Зимин (Кинешма), Ь. Гук (Москва).

13. Решить уравнение:

Данное уравнение представим в таком виде:

или

Логарифмируя обе части уравнения, находим:

или

Отсюда получаем:

Л. Дмитровский ^Москва), £. Воскресенская (Павлов), /4. Бутомо (Саратов), Ефимов (Пермь), Я. Фивейский (Ржев), С. Адамович (Тула), А. Зимин (Кинешма), X. У. (Ростов-на-Дону), A4. Машков, П. Сапунов (Владимир), А. Чернов (Тула), М. Добровольский (Первомайск), В. Конец (Map. Посад), И. Челисов (Дмитровск), Н. Орлицкий (Katowice), А. Левшук (Иркутск), П. и И, Хайдуковы (Петровск), В. Павлов (Дженасемей).

15. Доказать неравенство:

(a2 -f b)* -f (b2 + а)2 < (а2 + Ь* + 1 )2.

Преобразуя выражение:

(а* + 02 + ! )2 _ (а, + ô)2 _ (£2 + а)2>

находим, что оно равно

Так как последнее выражение, как сумма двух квадратов, ни при каких действительных значениях а и b не может обратиться в нуль, то

(а2-\- £2 + I)2 — (а2-\- £)2— (я + *2) >° и, значит, данное неравенство доказано.

А. Дмитровский (Москва), С. Адамович (Тула), А. Бутомо (Саратов), X. У. (Ростов-на-Дону), П. Сапунов (Владимир). П. и Н. Хайдуковы (Петровск), В. Павлов (Дженасемей).

16. Найти сумму п членов ряда

l*.22-f 22.32-f З2 . 42-f ...

Общий #-й член ряда имеет вид: п? (п -f-1 )2, а потому искомая сумма

После обычных упрощений находим:

Л. Дмитровский (Москва), Л. Бутомо (Саратов), Я. Фивейский (Ржев), С. Адамович, Л. Лодыженский (Тула), М. Машков, П. Сапунов (Владимир), А. Чернов (Тула), И. Челисов (Дмитровск). П. и Н. Хайдуковы (Петровск), В. Павлов (Дженасемей).

17. Вычислить детерминант

Вычтя из элементов третьего столбца элементы второго, умноженные на а, потом из элементов второго столбца элементы первого, тоже умноженные на а, получим детерминант:

Если в этом последнем детерминанте прибавим к элементам второй строки элементы первой, умноженные на а3, то найдем:

А. Дмитровский (Москва), Я. Фивейский (Ржев), А. Бутомо (Саратов), В. Ефимов (Пермь), С. Адамович, А. Чернов, Л. Лодыженский (Тула), X. У. (Ростов-на-Дону), М. Машков (Владимир).

18. Периметр прямоугольного треугольника 2/7; высота опущенная на гипотенузу, А; определить площадь треугольника.

Если обозначим катеты треугольника через х и у, а гипотенузу—через z, то будем иметь три уравнения:

х2-\-у2 = z2; xy — hz, и x-\-y-\-z — 2p.

Из них получаем:

х- + 2ху -\-у2 = {2р — z)2 или z2 ~\~ 2hz = 4/7-— 4pz-\~z2,

откуда z = п » и площадь треугольника 5= -у = 2р + п '

А. Дмитровский (Москва), А. Бутомо (Саратов), И. Фивейский (Ржев), А. Чер~ нов* (Тула), М. Добровольский (Первомайск), X. У. (Ростов-на-Дону), Я. Фивейский (Ржев), Я. Шуйский, М. Машков, П. Сапунов (Владимир), С. Адамович (Тула), А. Зимин (Кинешма),#.#о/7^(Мар. Посад), И. Челисов(Дмитровск), П. и Я. Хайду ковы ^Петровск).

19 Правильный пятиугольник ABCDE вписан в круг, и касательная в точке С пересекает продолжение AB в точке F. Доказать, что прямая DF делит угол BDC пополам и что DF2= AB* + AC*.

Так как /_FAC = / CAD и /FCА = / ACD, то Д AFC = Д ACD, и CF=CD, AF=AD. Касательная CF параллельна хорде BD, и потому /_BDF=/_DFC\ но в треугольнике DCF /_ DFC = / FDC\ значит, /_BDF= /_FDC, и прямая DF есть биссектриса /_BDC. Если теперь примем AD за радиус круга, то CD будет стороной правильного вписанного десятиугольника, a DF—стороной правильного вписанного пятиугольника, откуда, в силу известной теоремы: a52=.fl1o2H-/?2, непосредственно имеем:

DF* = CD* + A&, или DF* = AB2 + AC2.

А. Дмитровский (Москва), А. Чернов (Тула\, М. Добровольский (Первомайск), Е. Воскресенская (Павлов), Я. Фивейский (Ржев), А. Бутомо (Саратов), М. Машков, П. Сапунов (Владимир), А. Зимин (Кинешма), В. Павлов (Дженасемей), В. Копец (Map. Посад), И. Челисов (Дмитровск), М. Добровольский (Первомайск), 11. и И. Хайдуковы, (Петровск).

20. Найти геометрическое место вершин треугольников, имеющих данное основание и данную разность углов при основании.

Примем середину основания треугольника за начало координат и направим ось X по самому основанию. Тогда, обозначая длину основания через 2а и углы при основании через ср и à, напишем уравнения боковых сторон треугольника в виде

у •— к (х -р а); у = к'(х—а)

где A: = tg?; к' = — tg6, причем о — fy = const.-a, а угловые коэфициенты к и к' связаны соотношением:

Исключая л: и а:' из этого соотношения и из уравнений сторон, получим:

или

Это и есть уравнение искомого геометрического места, которое представляет равностороннюю гиперболу с центром в середине основания треугольника.

Другое решение. Боковые стороны треугольников образуют два равных и противоположно направленных проективных пучка лучей, т.-е. такие два пучка, что при повороте луча на некоторый угол соответственный луч поворачивается на такой же угол в обратную сторону. В этом случае геометрическим местом точек пересечения соответственных лучей служит равносторонняя гипербола, для которой прямая, соединяющая центры обоих пучков, является диаметром.

А. Дмитровский (Москва), X. У. (Ростов-на-Дону), Е. Воскресенская (Павлов), А. Бутомо (Саратов), А. Зимин (Кинешма), П. Сапунов (Владимир), В. Павлов (Дженасемей), И. Челисов (Дмитровск).

21. Определить площадь треугольника, длины сторон которого суть корни уравнения

л:3 — ах2 -f- bx — с = 0.

Если обозначим длины сторон треугольника через xv х2 и х3, то будем иметь соотношения:

хг -f- х2 -f- хя = 2р = а\ ххх2 -f- х2х3 -f- xsxt = b; xxx^xz = с.

Теперь выразим квадрат площади 5 треугольника по формуле Герона:

a отсюда

A. Дмитровский (Москва), A. Чернов (Тула), X. У. (Ростов-на-Дону), И. Фивейский (Ржев), Н. Шуйский, П. Сапунов (Владимир), А. Бутомо (Саратов), Л. Лодыженский (Тула), А. Зимин (Кинешма), С. Адамович (Тула), В. Копец (Map. Посад), И. Челисов (Дмитровск), П. и Н. Хайдуковы (Петровск).

22. Показать, что 72Л—48я— 1 при целом и положительном п делится на 2304.

Представим данное выражение в таком виде:

Здесь все двучлены, стоящие в скобках, при целом и положительном п, делятся на 49—1, т.-е. на 48. Следовательно, данное число делится на 482, т.-е. на 2304.

А. Дмитровский (Москва). А. Чернов (Тула), Е. Воскресенская (Павлов), Н. Фивейский (Ржев). М. Машков, П. Сапунов (Владимир), А. Бутомо (Саратов), С. Адамович (Тула), В. Павлов (Семипалатинск). И. Челисов (Дмитровск) П. и И. Хайдуковы, (Петровск).

23. Уравнение пары прямых ах- -}- 2Ьху 4- су2 = 0; найти уравнение биссектрисы угла между ними.

Угловые коэфициенты kx и k% данных прямых удовлетворяют уравнению: а-]-2 bk -}- ck2 — 0, откуда

Если обозначим через ш координатный угол, а через л: угловой коэфициент одной из искомых биссектрис, то, выражая тангенс угла между биссектрисой и каждой из данных прямых, получим соотношение:

или, после упрощений

Заменив здесь (к1-\-к2) и предыдущими выражениями, находим:

или

Этому уравнению удовлетворяют угловые коэфициенты биссектрис, уравнение которых получим, если подставим сюда на место к. Таким образом уравнение биссектрис будет:

или в случае прямоугольных координат

А. Дмитровский (Москва), X. У. (Ростов-на-Дону), Е. Воскресенская (Павлов), Л. Лодыженский (Тула), А. Бутомо (Саратов), П. Сапунов (Владимир), Н. Фивейский (Ржев), //. Челисов (Дмитровск).

А. В. ВАСИЛЬЕВ.

Настоящий номер журнала был уже приготовлен к печатанию, когда Московский Научно-Педагогический Математический Кружок и редакция «Математического Образования» снова понесли невознаградимую утрату: 6 октября скончался от припадка грудной жабы председатель и почетный член Кружка, заслуженный профессор Александр Васильевич Васильев. По постановлению Совета Кружка памяти А. В. Васильева будет посвящено особое заседание Кружка и специальная статья в «Математическом Образовании».

Ответственный редактор И. И. Чистяков.

Мосгублит Л» 56010.______МОСКВА. Тираж 1.000.

Типография «Гудок», ул. Станкевича, 7. Заказ Л» 1596.

ЦЕНА 90 КОП.

СКЛАД ИЗДАНИЯ

ИЗДАТЕЛЬСТВО „РАБОТНИК ПРОСВЕЩЕНИЯ" МОСКВА 19, ВОЗДВИЖЕНКА,10.