МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

№ 4

1929

ИЗДАНИЕ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

П. Романовский. Теорема Dirichlet об арифметической прогрессии ....... 113

К. Вавренюк. Суммирование рядов............ ....... 125

В. Польский. Применение комплексных чисел в тригонометрии . . ..... 129

В. Добровольский. Об одной задаче максимума . .......... . . 136

Н. Колмогоров.Об элементарных тетраэдрометрических функциях и некоторых теоремах тетраэдрометрии....................... 138

М. Олевский. Об относительной кривизне плоских кривых.......... 145

Задачи . . ..... ...... ......... ....... 146

Решения задач............................ 147

SOMMAIRE

Р. Romanowski. Une demonstration du théorème de Dirichlet sur la progression arithmétique.

K. Vavrenuk. Sommation de séries.

V. Polski. Les nombres complexes dans la trigonométrie.

V. Dobrovolski. Sur un problème de maximum.

N. Kolmogorov. Sur les fonetions élémentaires de tetraédrométrie.

M. Olevski. Courbure relative de courbes planes.

Problèmes.

Solutions de problèmes.

ПРОДОЛЖАЕТСЯ ПОДПИСКА НА 1929 ГОД НА ЖУРНАЛ

Московского научно-педагогического математического кружка

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

8 КНИГ В ГОД. Ответственный редактор проф. 1-го МГУ И. И. Чистяков.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

ЖУРНАЛ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

№ 4

1929 г.

ТЕОРЕМА DIRICHLET ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.

П. Романовский (Москва).

(Окончание1))

Вывод основной формулы.

Рассмотрим какую-нибудь числовую функцию F(n), определенную для всех натуральных чисел п, взаимно простых с разностью прогрессии М, и обладающую свойствами:

1) она не исчезает тождественно;

2) ряд T\F{ti)\ сходится;

3) F(n) F(n!\ = F(tin!), где п и п—любые числа, взаимно простые с M (теорема умножения).

Нетрудно заметить, что для каждого /г, отличного от 1, соответствующее значение такой числовой функции имеет модуль, меньший единицы, а для /г, равного 1, оно равно 1. В самом деле, так как F не исчезает тождественно, то хотя бы для одного п число F(n) отлично от нуля, но тогда даваемое теоремой умножения равенство Fin) F(\)-=F(n . \)=F(n) можно сократить на F{n), что дает F{\) = 1. Далее, если п отлично от 1, то \F(n)\ не может быть так как иначе это было бы так для бесконечно многих п (ибо это будет для всех степеней я), что противоречит сходимости ряда TF(n).

Имеют место формулы:

где факторирование—по всем простым числам р, не делящим Му а суммирование—по всем натуральным числам п, взаимно простым с М;

S F(p) + ±- S FW) + \ S F(p*) + . . • =Log 2 F{n),

где в левой части все суммирования по простым числам /?, не делящим /И, а в правой—повеем натуральным числам п, взаимно простым с Ж, причем Log обозначает одно из значений логарифма2).

1) См. № 2—3 «Математического образования».

2) Как известно, логарифм по основанию е (все логарифмы, встречающиеся в настоящей статье, предполагаются взятыми по этому основанию) какого-нибудь комплексного числа г, отличного от нуля, имеет бесконечное множество значений, причем все они получаются из одного из них прибавлением произвольного кратного 2тг/. Все значения логарифма какого-нибудь комплексного числа z, отличного от нуля, получаются по формуле Log z =z log \z\ -|- i Arg z, где log обозначает обычный натуральный логарифм положительного числа, a Arg — любое значение аргумента комплексного числа.

Полезно заметить, что: 1) если подлогарифмическое число z, непрерывно изменяясь, стремится к конечному отличному от нуля пределу, то Log z, если про него

В самом деле, так как \F(p)\<^\9 то j—~~ = l-{-F(p)-{--f- F(p)--\- . . .; следовательно, произведение конечного числа дробей 1 — F{p) как неттрудно видеть (если принять во внимание правило умножения абсолютно сходящихся рядов, теорему умножения функции F и единственность разложения чисел на простые множители), равно части суммы TF(n), составленной из тех её слагаемых, которые отвечают числам я, не имеющим простых делителей, отличных от чисел /?, фигурирующих во взятых нами дробях ^ —F(p) ' ^ пределе отсюда получается первая формула. Для доказательства второй формулы достаточно написать1)

(что законно, ибо \F(p)\<^i) и профакториировать это равенство по всем простым числам /?, не делящим Л/, имея при этом в виду первую формулу и помня, что при умножении степеней показатели складываются, а затем полученное равенство прологарифмировать.

Примером функции F(n)y удовлетворяющей поставленным выше условиям, служит —jjr-y гДе s>l и "/—какой-нибудь характер. В самом деле, теорема умножения справедлива потому, что она справедлива для характеров, а сходимость ряда T\F{n)\ следует из того, что |Х(л)|=1 и поэтому |/(#)| =. Применив вторую формулу к этой функции и помножив обе части на */(Л/'), где №— число, союзное с Л/ по модулю М, получим:

Написав эту формулу для каждого характера, сложив почленно эти cp(Af) равенств и приняв во внимание второе свойство характеров, получим искомую основную формулу (на которой базируется доказательство теоремы Dirichlet):

известно, что его изменение может быть только непрерывным, стремится к некоторому конечному пределу (это видно из вышенаписанной формулы значений логарифма, ибо log 1^1 и непрерывно изменяющийся Arg 2 в этом случае стремятся к конечным пределам); 2) если подлогарифмическое число z стремится в бесконечность, то Log 2 стремится в бесконечность (ибо log \z\ в этом случае стремится в бесконечность); 3) если подлогарифмическое число z стремится к нулю, то действительная часть Logz (т.-е. log |*|) стремится к отрицательной бесконечности. Эти замечания следует иметь в виду в дальнейшем.

1) Из элементов анализа известно, что при \г\ < 1 имеем:

откуда:

причем Log обозначало одно из значений логарифма, подходяще выбранное.

де X, У/, X", ... — всевозможные характеры и где все суммирования в левой части распространены на те из простых чисел /?, не делящих Л/, которые удовлетворяют написанному под соответствующим знаком Ï сравнению (по модулю М). В самом деле, если X пробегает все характеры, то суммы чисел '/.(N'p) равна:

I О, если N'p'-^r- 1,

\ ?(М), если N'p Е 1, сумма чисел '/.(N'p2) равна:

j о, если №р2Ф 1,

j <р(М), если TV'/? = 1, сумма чисел '/(N'p*) равна:

но сравнения N'p = 1, N'p2 El, Nps ~ î, . . . в силу MV' = 1 равносильны сравнениям p^N, р2 /V, p^—^N. . . соответственно.

Dirichlet'овы ряды, отвечающие характерам.

Каждому характеру X отвечает Dirichlet'ов ряд -, где п пробегает в возрастающем порядке все натуральные числа я, взаимно простые с М. Этот ряд есть Dirichlet'ов ряд первого типа, если X— главный характер, и второго типа, если X — неглавный характер. В самом деле, если X — главный характер, то все 7.(п) — 1; остается поэтому лишь обнаружить стремление отношения -у- (придерживаясь введенных ранее обозначений) к конечному отличному от нуля пределу. Для этой цели заметим, что совокупность всех /г, взаимно простых с М, разбивается на ср(УИ) арифметических прогрессий с разностью Му для которых, как мы видели, отношение, аналогичное —~ , стремится к конечному положительному пределу; следовательно, и как сумма аналогичных отношений для конечного числа арифметических прогрессий, также стремится к конечному положительному пределу. Что и требовалось доказать. Если X — неглавный характер, то ряд 2Х(я), где п пробегает в возрастающем порядке все натуральные числа п, взаимно простые с М, есть ряд с ограниченными суммами. Действительно, согласно первому свойству характеров сумма чисел Х(я), когда п пробегает приведенную систему вычетов по модулю М, равна нулю; следовательно, составляя последовательные конечные суммы ряда SZ(#), мы будем иметь периодическое повторение тех же самых величин через каждые у(М) членов; поэтому, все конечные суммы ряда могут иметь не более у(М) различных значений, следовательно, ограничены. Таким образом Dirichlet'ов ряд, отвечающий неглавному характеру, есть ряд второго типа.

На основании того, что было доказано о рядах первого и второго типа, мы можем теперь заключить следующее: Dirichlet'ов ряд, Отвечающий какому-нибудь характеру, сходится при s>1, причем поведение его суммы Sy когда 5 стремится к 1, существенно различно для главного и неглавного характеров, именно, для главного характера .S неограниченно возрастает, и возрастание это таково, что (s —1)5 стремится к конечному отличному от нуля пределу; для неглавного же характера 5 стремится к некоторому конечному пределу (ибо S, как непрерывная функция положительного переменного s, в частности непрерывна и для 5=1).

Крайне важно обнаружить, что эти пределы отличны от нуля для каждого неглавного характера. Этот пункт является наиболее трудным. Коль скоро он пройден, доказательство теоремы Dirichlet осуществляется в нескольких словах, исходя из выведенной выше основной формулы.

Отличие от нуля предела Dirichlet'ова, ряда, отвечающего двойственному характеру.

Представление двойственного характера в виде Jacobi'ева символа. В выражении двойственного характера:

очевидно, можно пропустить все те множители, которые отвечают корням из единицы, равным -М. Тогда каждый двойственный характер будет равен произведению нескольких из числовых функций:

Выше было упомянуто (см. сноску на стр- 52), что индекс а:

четный, если п вида 4А -f- 1, нечетный, если п вида 4&-J-3,

и что индекс л:

четный, если п вида 8&-|-1 или 8А-{-7, нечетный, если п вида 8&-{-3 или 8А —[- 5.

Сравнивая это с тем, что было сказано о значениях У~^Л и (-^-j, мы можем заключить, что (-1)* =(-^1^ и (—1)>=(-^-). Далее, в силу того, что каждый первообразный корень по модулю степень нечетного простого числа р есть квадратичный невычет по модулю /?, все (|n)» (р2)>- • • равны —1, и следовательно (—1) = (у) (£)=(£)• <-""=(i;)"=(l)=(J7) ••• Таким образом каждая из числовых функций (—1) , (—1) , ( — 1) , (-—V'2, . . . имеет вид \ или (•jj) • Но вид (-^) заключен в виде (^), так как, в силу свойств Jacobi'ева символа, (-^ ) = (~ ) , если D — вида 4^ -f-1 ; если же D вида 4ß-[-3, то = ± (^*)> где знак:

j -)-,если я вида 4£-j-l, ) — , если п вида 4ß -j- 3,

следовательно-^- = (-^)(^) = • Поэтому каждая из числовых функций (—1), (-1), (-1). (— 1) I • • • есть вида ( — ) . Но тогда, согласно правилу умножения Jacobi'ева символа, и всякое произведение, составленное из этих функций, имеет такой же вид.

Таким образом каждый двойственный характер Цп) представим в виде Jacobi'ева символа при подходящем выборе числа D.

Новое выражение для предела Dirichlet'ова ряда, отвечающего двойственному характеру.

Это новое выражение можно получить при помощи числовой функции /(/я), определяемой следующим образом1): обозначим через ^(т) число корней сравнения х- Е D (mod. m), обладающих тем свойством, что общий наибольший делитель чисел т, 2х,---—— равен 1. Тогда /(m), по определению, есть сумма всех чисел вида <Ц , отвечающих всевозможным натуральным числам ja, дающим дроби целое значение. Числовая функция f(m) определена для всех натуральных чисел т> и ее значения суть неотрицательные целые числа.

Изучение числовой функции f{m) показывает, что ряд/(1 ) -f- у + _|_ —|-. . , сходится при 5>1 и что выражение X ("xj ^ » где суммирование производится по нсем натуральным числам я, взаимно простым с 2D, равно произведению выражения

на некоторое выражение, стремящееся к 1 вместе с 5. Выкладки, в результате которых все это обнаруживается, носят вполне элементарный характер и основываются только на теории делимости целых чисел, на элементах теории сравнений и на правиле умножения абсолютно сходящихся рядов2).

Но Dirichlet'ов ряд, отвечающий двойственному характеру, вследствие представимости двойственных характеров в виде Jacobi'ева символа (—), имеет вид \s~ (суммирование по всем п, взаимно простым с Ж), причем число £), очевидно, таково, что все его простые делители находятся среди простых делителей числа М. Подходящим выбором D можно достигнуть и обратного, т.-е. того, что все простые делители числа M будут простыми делителями числа D (для этого достаточно вместо D взять DM2, отчего {~) не изменится), но тогда взаимная простота какого-нибудь числа с M равносильна взаимной простоте с D (или с 2D, так как 2 уже входит в D)\ следовательно, Dirichlet'ов ряд, отвечающий двойственному характеру, принимает вид е|—)_ (где суммирование по всем /г, взаимно простыми с 2D). Принимая во внимание вышесказанное об этом выражении, мы можем сделать такое заключение: предел Dirichlet'ова ряда, отвечающего двойственному характеру, равен (при подходящем выборе числа D) lim (s — !)[/(!) -f^ -f§+ . . .]■ Это а priori ^0, ибо /^0 всюду. Цель будет достигнута, если покажем, что знак = исключен.

1) Эта функция зависит от целого числа Д не являющегося квадратом. Каждому целому числу Д которое не есть квадрат, отвечает своя функция f{m).

2) Р. Bachmann. Analytische Zahlentheorie. Leipzig, 1921. S. 97-105, 106—107

О представлении чисел формою х- — Dy1.

Предполагается, что D не есть квадрат. Говорят, что число m представимо бинарной квадратичной формой х2—Dy2, если при подходящих целых X, у эта форма равна т. Каждая система целых чисел х, уу дающая форме значение т, называется представлением (Darstellung) числа т. Бхли X, у и х\ у' суть два каких-нибудь представления числа т, то1) число -—= = t-\-uy D имеет норму 1, причем рациональные числа ty и представимы в виде дробей знаменателя т2). Назовем два представления х, у и х\ у1 однотипными, если числа t, и целые. Легко видеть, что если х, у с х\ у' однотипны, то х\ у' с х, у однотипны, и что если x, у с х\ у' однотипны и х', у' с х'\ у" однотипны, то x, у с х", у' однотипны. Поэтому все представления числа m формою x2 — Dy2 разбиваются на некоторые вполне определенные группы, каждая из которых объединяет все однотипные между собой прздставления. Понятно, что все представления х'у у' какой-нибудь группы получаются из одного из них X, у по формуле х'-\-у'\/D — {х-\-уyrD){t-\-uyf D), где t-\-u\/D пробегает все числа такого вида с целыми t, и и с нормой = 1, иными словами, t, и пробегает все целочисленные решения уравнения t2 — D//2 = l, называемого уравнением РеИ'я, Числа t+u\fD с целыми t, и и с нормой =1, очевидно, образуют группу3) (относительно действия умножения), ибо произведение и частное двух таких чисел есть такое же число. Этих чисел в случае Z)>0 бесконечно много (это можно

1) Здесь будет не лишним сказать несколько слов о квадратичном корпусе (Quadratischer Körper) k Корпусом (Körper) вообще называют всякую совокупность чисел, обладающую тем свойством, что действия сложения, вычитания, умножения и деления, производимые над числами этой совокупности, дают числа, принадлежащие этой совокупности. Числа вида А-\-В]/ D, где А, В — произвольные рациональные числа, и D — фиксированное целое число, не являющееся квадратом (тогда представление в виде А + BV D единственно), образуют корпус, ибо:

Число А - В ]/ D называется сопряженным числу A-\-B\f D . Произведение числа на свое сопряженное называется нормой этого числа. Норма А-\-B\f D равна А2 — DB2. Легко видеть, что сопряженное суммы, разности, произведения, частного равны соответственно сумме, разности, произведению, частному сопряженных. Отсюда следует, что норма произведения и частного равна соответственно произведению и частному норм.

2) Последнее следует из того, что t — х х — Dy у и==У х * У если принять во внимание равенство л:2 — Dy- z=z m .

3) Группой (Gruppe) вообще называется всякая совокупность каких-нибудь элементов, для которых существует определенное правило, позволяющее всяким двум элементам а и Ь рассматриваемой совокупности отнести третий элемент с той же совокупности так, что выполняется закон ассоциативности и результаты обоих обратных действий (нахождения а по Ь и с и нахождения Ь по а и с) всегда существуют и единственны. Закон коммутативности вообще не предполагается; группа, им обладающая, носит название коммутативной или абелевой (называемая так в честь АЬеГя) группы.

доказать1), причем (как легко непосредственно обнаружить) все они заключены в форме t-\- и у D — + (Т-\- U\f £))*, где T-\-U\fD наименьшее из превышающих единицу среди них (легко понять, что Т и U положительны) и к — произвольное целое число (= о) . Система Т, U называется фундаментальным решением (Fundamentalauflösung) уравнения Ре11'я. В случае D<0 только ± 1 (а если D~ — 1, то еще+г) суть числа вида t-\-u^D с целыми t, и и с нормой =1, ибо в этом случае уравнение Pell1 я £2-{-д#2 = 1 (д = — D>0), очевидно, имеет лишь два целочисленных решения:

(а в случае Д = 1, еще два:

Из сказанного по поводу уравнения Pell'я заключаем, что в случае D^>0 каждая группа содержит бесконечно много представлений, в случае же D<0 —лишь конечное число представлений (два, если D<^—2; четыре, если D--— 1). В случае D>0 в каждой группе существует ровно одно представление х, у, удовлетворяющее неравенству -\-у ]/D<i c7f/D), где а — произвольно фиксированное (для рассматриваемой группы) положительное число. Это сразу следует из того, что все х-\-у\/D заключаются в форме ± {Т-\- Uj/ D)k(x-\-y у/ D), где х-\-у\/D — одно из них. В частности можно взять а = |//тг. Тогда ограничительные неравенства принимают вид

Отсюда последовательно находим

Обратно, из у~>0, х^> у у, вытекают (идя в обратном порядке) исходные неравенства. Стало быть, в каждой группе существует единственное представление, удовлетворяющее неравенствам yigO; ;с> q у .

Можно показать (как это в более общем виде делается в элементах теории бинарных квадратичных форм2), что число групп представлений какого-нибудь числа m формою х2 — Dy2 всегда конечно ;i не превышает f(m) (определение числовой функции / приведено выше).

Из этого следует, принимая во внимание вышесказанное о числе представлений в каждой группе, что: 1) в случае Z)<0 число всех представлений какого-нибудь натурального числа m формою х2 — Dy2 всегда <^4/(/п); 2) в случае D>0 число всех тех представлений какого-нибудь

1) Lejeune—Dirichlet Vorlesungen. Suppl. VIII. 2) Lejeune—Dirichlet Vorlesungen, §§ 60,62.

натурального числа m формою х2— Dy2, которые удовлетворяют неравенствам у^> О, X > у у, всегда _< /"(/я).

Вывод окончательного результата, основанный на ослаблении ряда /(1)+^Р + ^Р+. • .

Так как в случае D<0 число всех представлений какого-нибудь натурального числа m формою х2 — Dy2 всегда <,4Дт)> то (беря можно написать S J D^2)&. <: 4^(1 ) + ^ + ф + - • •]> где суммирование в левой части производится по всем системам целых чисел х,уу кроме системы 0, 0. Действительно, для всех таких систем х2 — Dy2 равно натуральному числу, причем каждое натуральное число m может получиться не более Щт) раз, стало быть, каждое слагаемое левой части имеет вид где m натуральное число, причем не более 4/(//г) слагае мых равны —8 .

Так как в случае D>0 число тех представлений какого-нибудь натурального числа m формою х2 — Dy2, которые удовлетворяют неравенствам у^ 0 ; x^>-jjy, не более f(m), то (беря s>l) можно написать s tjfl — Dyiy ^/(0+^+4^ + . . . » где суммирование в левой части производится по всем системам целых чисел х, j/, удовлетворяющим неравенствам з;^0; х^> -^у . Действительно, для всех таких систем X2 — Dy2 равно натуральному числу, причем каждое натуральное число m может получиться не более f(m) раз, стало быть, каждое слагаемое левой части имеет вид —8Л где m — натуральное число, причем не более f(m) слагаемых равны —s .

Из сказанного следует, что если в обоих случаях (D^O) будет показано стремление (s — 1 ) S ^2 _1 Dy^g к положительному пределу, то этим будет показана невозможность стремления

к нулю. Для доказательства же стремления (s — 1)1 ^а D к положительному пределу достаточно показать, что если слагаемые суммы 2 j-- п .8 (где суммирование производится по всем системам х. у, кроме 0, 0, в случае D<0, и по удовлетворяющим неравенствам у7>0, Т х^> -цУу в случае D>0) расположить в порядке неубывания соответствующих значений формы х2 — Dy2, то эта сумма представит собой Dirichlet'ов ряд первого типа, так как уже было доказано, что произведение 5 — 1 на сумму Dirichlet'ова ряда первого типа стремится к отличному от нуля пределу, когда 5 стремится к единице. Стало быть, все свелось к доказательству стремления отношения Т^ (придерживаясь

ранее введенных обозначений) к отличному от нуля пределу. Но этот факт обнаруживается очень легко благодаря простому и удобному геометрическому смыслу • Пусть сперва D<^0. В этом случае T(t) есть число всех систем целых чисел х, у (кроме системы 0, 0), удовлетворяющих неравенству х2— Dy2^t, или, что равносильно, число всех систем целых чисел х, у (кроме 0, 0), удовлетворяющих неравенству (х ~7~) —^(-^ V^t) — т~е* число всех (кроме одного) квадратов квадратной сетки частоты |/" * (см. черт. 1), нижний левый конец коих лежит в области определяемой неравенством х2 — Dy2<;i. Сумма площадей таких квадратов равна Tï^j/^y) — ^ î по определению площади она стремится к площади области, определенной неравенством X2 — Dy2<^l т.-е. к площади эллипса, уравнение коего есть х2 — Dy2 = \ (см. черт. 2). Но эта площадь есть число существенно положительное. Пусть затем D^>0. В этом случае T(t) есть число всех систем целых чисел Ху у таких, что j/^>0; х^> jj у ; и удовлетворяющих неравенству X2 — Dy2<^t, или, что равносильно, число всех систем целых чисел х> у, удовлетворяющих неравенствам y]f \ *|/> ~f} \У~\^ т) ; ^x;j/~yj — D^y|/"~-j <1, т.-е. число всех квадратов квадратной сетки частоты (см. черт. 1), нижний левый конец коих лежит в области, определяемой неравенствами

Черт. 1.

Сумма площадей таких квадратов равна —J =■—ï по определению площади она стремится к площади области, определенной неравенствами у]>0; х^> -jj у; х2 — Dy2<;i, т.-е. к площади, ограниченной дугой гиперболы х2 — Z3ya = l, отрезком оси абсцисс и отрезком прямой х - -цУу проходящей через начало координат (см. черт. 3). Но эта площадь есть число существенно положительное.

Итак, доказательство отличия от нуля предела Dirichlet'ова ряда, отвечающего произвольному двойственному характеру, закончено.

Отличие от нуля предела Dirichlet'ова ряда, отвечающего мнимому характеру.

Во-первых, заметим, что из того частного случая ранее доказанной основной формулы, когда N= 1—тогда эта формула принимает вид:

(ибо в этом случае N' — 1 и, следовательно, все Х(ЛЛ), ZW), 7J'(N'), . . . равны единице) — непосредственно следует, что предел Dirichlet'ова ряда, отвечающего неглавному характеру, может быть равным нулю самое большое для одного неглавного характера. В самом деле1): 1) Dirichlet'ов ряд, отвечающий главному характеру, стремится в бесконечность так, что произведение его на 5 — 1 стремится к отличному от нуля конечному пределу; следовательно, он равен произведению - — ^ на величину, стремящуюся к отличному от нуля конечному пределу, поэтому логарифм его равен сумме log - ^_ с логарифмом величины, стремящейся к конечному отличному от нуля пределу, т.-е. с величиной, стремящейся к конечному пределу; 2) если Dirichlet'ов ряд, отвечающий неглавному характеру, стремится к отличному от нуля пределу, то его логарифм есть величина, стремящаяся к конечному пределу; 3) если Dirichlet'ов ряд, отвечающий неглавному характеру, стремится к нулю, то, вследствие диференцируемость он есть произведение 5 — 1 на величину, стремящуюся к конечному пределу2); следовательно, его логарифм равен сумме — log - j- ^

Черт. 2. Черт. 3.

1) Следует при этом иметь в виду замечание в сноске на стр. 113.

2) Заметим, что только в этом пункте потребовалась диференцируемость суммы Dirichlet'ова ряда второго типа. Нигде больше эта диференцируемость не нужна.

с логарифмом величины, стремящейся к конечному пределу, т.-е. с величиной, которая (в зависимости от того, отличен ли этот предел от нуля, или равен нулю) либо стремится к конечному пределу, либо имеет действительную часть, стремящуюся к —сю . Отсюда заключаем, что если q есть число всех неглавных характеров, коим отвечает Dirichlet'ов ряд, стремящийся к нулю, то действительная часть правой части вышенаписанной формулы есть сумма (1 — <7)l°gyzry с величиной, стремящейся к конечному пределу или к —оо; следовательно, если <7>1, то эта действительная часть во всяком случае стремится к — оо; но это нелепо, ибо левая часть формулы есть положительное выражение. Что и требовалось доказать.

Отличие от нуля предела Dirichlet'ова ряда, отвечающего произвольному мнимому характеру, есть непосредственное следствие из этого замечания. В самом деле, допустим противное, т.-е. что этот предел равен нулю для Dirichlet'ова ряда, отвечающего некоторому мнимому характеру. Но тогда он равен нулю и для Dirichlet'ова ряда, отвечающего сопряженному характеру1) (ибо величины Dirichlet'овых рядов, отвечающих сопряженным характерам, сопряженные) и, следовательно, оказались обнаруженными два неглавных характера с равными нулю пределами Dirichlet'овых рядов, им отвечающих, что нелепо. Что и требовалось доказать.

Следует заметить, что это доказательство не распространимо на случай двойственного характера, ибо сопряженный характер не является в этом случае новым характером, а совпадает с данным. Поэтому отличие от нуля предела Dirichlet'ова ряда, отвечающего какому-нибудь двойственному характеру, пришлось обнаруживать при помощи других, значительно более сложных рассмотрений.

Доказательство теоремы Dirichlet об арифметической прогрессии.

Теперь, после того как обнаружено стремление в бесконечность Dirichlet'ова ряда, отвечающего главному характеру, и стремление к конечным и отличным от нуля пределам Dirichlet'овых рядов, отвечающих неглавным характерам при стремлении 5 к 1, доказательство теоремы Dirichlet осуществляется в нескольких словах, исходя из ранее доказанной основной формулы:

В самом деле, при стремлении 5 к 1 правая часть стремится в бесконечность, ибо слагаемое, отвечающее главному характеру, стремится в бесконечность, а слагаемые, отвечающие неглавным характерам, стремятся к конечным пределам2) (очень существенно то, что при стремлении 5 к 1 ровно одно слагаемое неограничено, а остальные ограничены, так как если бы были неограничены не менее двух слагаемых, то a priori не исключалась бы возможность их взаимного уничтожения, и мы не имели бы права утверждать, что сумма неограничена). Но раз правая часть

1) Комплексные числа a + Ы и a — Ы называются сопряженными. Число, сопряженное корню какой-нибудь степени из единицы, есть корень этой же степени из единицы. Если все корни из единицы, определяющие данный характер, заменить им сопряженными, то получается сопряженный характер.

2) Ибо Dirichlet'ов ряд, отвечающий главному характеру, стремится в бесконечность, a Dirichlet'овы ряды, отвечающие неглавным характерам, стремятся к конечным, отличным от нуля пределам.

стремится в бесконечность, то и левая также, и, следовательно, выражение, стоящее в [ ], стремится в бесконечность, но часть этого выражения, составленная из всех слагаемых, кроме первого, остается ограниченной, когда 5 стремится к 1, ибо, очевидно, справедливо следующее усиление (замена всех множителей -у, -у-, . . . наибольшим из них, замена s единицей и суммирование по всем натуральным числам ^2 вместо суммирований по простым числам, удовлетворяющим соответствующим неравенствам):

поэтому другая часть, состоящая из одного первого слагаемого, т.-е.:

неизбежно должна стремиться в бесконечность, откуда следует, что простых чисел /?, удовлетворяющих сравнению p^N {mod. M) (т.-е. принадлежащих рассматриваемой арифметической прогрессии), бесконечно много, ибо если бы их было лишь конечное число, то S , как конечная сумма, стремилась бы к конечному пределу, именно к сумме пределов слагаемых (каждое слагаемое -у- имеет предел , когда 5 стремится к 1).

Таким образом теорема Dirichlet об арифметической прогрессии доказана1).

1) Нетрудно заметить, что таким образом оказалось доказанным не только то, что арифметическая прогрессия с разностью M и первым членом N, взаимно простыми дгуг с другом, содержит бесконечное множество простых чисел р, но и то, что эти простые числа р встречаются настолько часто, что ряд, составленный из чисел, им обратных, т.-е. ряд —, расходится (в самом деле, если бы он был сходящимся, то его сумма была бы больше ^ -v» где$>1. и S Дг не могла бы стремиться в бесконечность).

Дальнейшее углубление рассуждений позволило бы установить степень быстроты расходимости этого ряда, именно, можно показать, что сумма членов этого ряда, знаменатели коих не превосходят х, асимптотически равна 1°S-*L (говорят, что две величины, зависящие от неограниченно возрастающего переменного х, равны асимптотически, если их отношение стремится к единице) и что даже, более того, разность между этой суммой и последним выражением стремится к некоторому конечному пределу при неограниченном возрастании х (см., напр., Р. Bachmann. Analytische Zahlentheorie. Leipzig, 1921. S. 378).

СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ.

К. Вавренюк (ст. Ершов Р.-У. ж. д.)

§ 1. Выражение Z/(x) представляет собою символ суммы всех значений функции f(x), когда х принимает значения от 1 до п} (х = = 1, 2, 3, . . . . л), т.-е.

Таким образом:

§ 2. Теорема. Чтобы суммировать сложную функцию <р (х) = / (л;) 4~ -|— /^(лг) —[- . . . ., представляющую собой сумму функций, достаточно просуммировать каждую слагаемую функцию в отдельности при значениях х=\, 2, 3, , . . я и результат суммирования сложить, т.-е.

Пример:

§ 3. Теорема. Если /я — число постоянное, то Zmf{x) = mT.f(x)

В самом деле,

Пример:

§ 4. Если количество, стоящее под знаком символа I, не содержит переменной величины, то все члены суммы равны между собой. Таким образом,

§ 5. Приведем несколько примеров, позволяющих уяснить изложенное.

Пример 1. Написать ряд, который в сокращенной форме имеет вид

Пример 2. Написать ряд 1 . 3 . 5 -|- 2 . 4 . 6 -f- 3 . 5 . 7 + . . . -\-п(п-\- 2) (п-\-4) в сокращенном виде.

Пример 3. Найти значение для

Пример 4. Упростить

§ 6. Основная теорема. В самом деле,

Нетрудно также убедиться, что

§ 7. Формула § 6 может быть применена для определения суммы численных рядов.

Пример 1. Пусть f(x) = x2.

Подставляя этого вида функцию в основную формулу, получим:

Упрощая,

отсюда

Пример 2. Пусть f(x) = xs.

Пользуясь основной формулой, получим

Упрощая,

Подставляя найденное значение для Тху получим

Аналогичным образом сумма первых п натуральных чисел, возвышенных в какую угодно степень, может быть найдена, если только суммы низших степеней натуральных чисел известны.

§ 8. Сумма вида если /(х) есть сложная рациональная функ-

ция, может быть сведена к сумме следующих рядов:

Пример 1. Найти сумму

Пример 2. Найти сумму ряда

Функция имеет вид

§ 9. Пусть

число сочетаний из k элементов по X. Тогда

Следовательно,

Таким образом

При подстановке вместо k соответственно значений 2, 3, 4, . . . и т. д., мы получим:

Пример 1.

Пример 2.

т.-е. и

§ 10. Многие дробные ряды могут быть суммированы посредством формулы § 6. Пример:

Упрощая,

Подобным образом

приводит к значению

к значению

Например, найти сумму ряда

до it членов.

Функция имеет вид

Подставляя данную функцию в основную формулу, получим

§ 11. Суммировать ряд вида

Пусть, например, нужно суммировать ряд

до п членов.

В данном случае функция имеет вид

Таким образом

Отсюда:

§ 12. Путем подстановки f(x) = xrx в основную формулу легко вывести формулу

и суммировать следующие и многие другие ряды:

§ 13. При помощи этой формулы можно, как увидим, суммировать тригонометрические ряды.

При подстановке в нашу формулу

получим:

Производя известные преобразования, получим:

Если

то

И, наконец, положивС—ß, мы окончательно получим нужную для нас формулу:

Подобным образом найдем, что

(Заимствовано из книги Arthur Schoultze: Advanced Algebra).

ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ В ТРИГОНОМЕТРИИ.

В. А. Польский (Краснодар).

I.

§ 1. Известные элементарные свойства комплексных чисел и их геометрическое представление позволяют довольно просто получить многие формулы тригонометрии. Прежде всего отметим, что, изображая геометрически комплексное число, мы последнее связываем с определенным прямоугольным треугольником, у которого величина катета, параллельного оси, равна вещественной части, величина другого катета равна коэфициенту при i ( = У —Л ), и величина гипотенузы равна модулю данного комплексного числа.

Вводя известное сокращенное обозначение комплексного числа, мы наглядно получаем аналитическое выражение такого треугольника с катетами X, у и гипотенузой г

х-\- yi — r^,

где с — угол между гипотенузой и положительным направлением оси. Очевидно, для симметричного относительно оси треугольника будет иметь

X—yi = г ср.

Пользуясь таким сокращенным обозначением, я имел в виду в настоящей небольшой статье рассмотреть несколько примеров тригонометрических приложений комплексных чисел, полагая, что многие приводимые здесь выводы не были еще освещены в печати, несмотря на то, что предпосылки к ним многим более или менее известны1). Переходя к изложению поставленной темы, предварительно докажем следующие предложения:

1. Пусть комплексные числа: a-f-W, c-\-di и их произведение (ас — bd)-\-(bc-\-ad) i с соответственными модулями и аргументами: /-,сх;р ,Р;/?,ср изображаются треугольниками О AB ; O^CD ; 02MN (черт. 1) с общей осью EF. Построим угол FO^G, равный а ; опустим из точки A4 на прямую 02G перпендикуляр MG ; продолжим прямую 0,2G до пересечения в точке К с продолжением линии MN. Докажем что R-—rp и <рс=а-{-/3. Первое соотношение получаем непосредственно:

Черт. 1.

Второе соотношение легко обнаруживается из подобия треугольников О AB ,0%NK и МОК. Обозначая через m и п соответственно длины отрезков 02N и MN, находим:

Исключая отсюда МК и 02К, найдем, что при

Отсюда

треугольники O^MG и O^CD подобны, отсюда угол G02M=ß, следовательно,

<р = a -f ß .

Таким же приемом можно легко доказать справедливость теоремы для всякого угла <р. Теоремы об умножении нескольких комплексных чисел, делении, возведении в степень и извлечении корня из комплексного числа в функции модуля и аргумента, очевидно, являются простым следствием доказанной.

2. Выведем одно следствие из известного условия равенства комплексных чисел.

1) К. Фербер. Арифметика, изд. 1914 г.

Проф. В. П. Ермаков. Теория векторов на плоскости, изд. 1887 г. Н. А. Шапошников. Основной курс математич. анализа, т. I, вып I. 1904 г. и др.

2) Эту формулу также можно получить, выражая двояко площадь треугольника 0%МК.

Если

где а, Ь, с, d, k— вещественные числа,

Из условия этого предложения имеем : а -}- Ы= ck ~{~dki, что дает a = ck,b = dky отсюда и получаем требуемое соотношение.

II.

Формулы тригонометрии.

§ 2. Основные соотношения.

При радиусе, равном единице, из треугольников ОАВ, OCD, OMN (черт. 2) имеем:

(А) (В) (С)

1. Умножая каждое из приведенных равенств на соответственное сопряженное, найдем : cos2a -f- sin2a = 1 ; 1 -f- tg2a = sec2a ; 1

-j- ctg2a — csc2a .

2. Почленным делением тех же равенств составим еще такие:

Черт. 2.

3. Исключая из равенств [ (А), (В), (С) ] 1 л и i, получаем интересный детерминант:

в котором, сопоставляя между собой элементы параллельных рядов или элементы, расположенные симметрично обеих диагоналей, можно получить все соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла.

§3. Формулы приведения. Так как ( 1 я>° ) * • 1 ± « = W. k ± « = ik .1 ± а, то, переходя к тригонометрической форме, можем записать:

cos (90°. k ± a) -f- i sin (90° .k±a) = ik (cos а + i sin а).

Давая k значениям, 2, 3, 4, получим известные формулы приведения.

§4. Формулы суммы, разности, произведения и частного углов тригонометрических функций.

Так как U.1 ±ß=la±ß;(l«)', = lna; = la то, переходя к

тригонометрической форме, получим все искомые формулы синуса и косинуса суммы и разности двух углов, кратного угла и половинного.

§ 5. Сумма и разность синусов и косинусов.

Выразим сумму \А + 1# в виде

отсюда

что приводит к известным формулам, удобным для логарифмических вычислений.

§ 6. Несколько формул преобразования.

Прежде всего найдем выражения для косинуса и синуса из (А) § 2 :

(А)

Далее, полагая, что углы А, В и С связаны условием : А -{- В -f- С = 180 , выведем несколько соотношений, связывающих эти углы.

1. Перемножим суммы:;

отсюда, принимая во внимание сперва верхние знаки, а потом нижние, а также имея в виду формулы (А) § 6, получим :

2. Возьмем следующее тождество:

из него также легко находим :

3. Возьмем еще тождество :

отсюда

4. Перемножим равенства :

имеем :

отсюда

Из равенств: ctg А — (esc А)А ; ctg В = (esc В)в ; j-fctgC = = (esc С)с также почленным перемножением найдем:

Заменяя в предыдущих комплексных равенствах углы А, В и С их половинами, легко можно найти известные, подобные предыдущим, формулы.

Таким же способом легко можно получать и другие интересные формулы преобразования тригонометрических функций, напр., для случая четырех углов, когда их сумма равна 360° и т. д.

§ 7. Круговые функции.

Из равенств (А); (В); (С); § 2 при замене той или иной тригонометрической функции, напр., через х находим:

(2): (4);

(5): (6)

Заменяя в этих равенствах х через — х> или перемножая почленно, напр., равенства (1) и (2) и т. д., или перемножая, напр., равенство (1) на (1) же, заменив в последнем предварительно х на_у, или возводя обе части какого-либо равенства в квадрат и т. д., мы получим известные соотношения между круговыми функциями.

Пример. Выразить арксеканс через арккотангенс. Пусть arc secx = arc ctgj/; тогда из (5) и (4)

отсюда

Следовательно,

§ 8. Значение косинуса некоторых углов. 1. Так как 1 ^ -f-1 _ 9о° = i — i = 0 ,

то

1 45= +1-45^ = V\ 90° + 1-90' + 2 = \2 ,

отсюда (§ 6)

или

отсюда

следовательно

4. Просуммируем ряд (геометрич. прогрессия):

отсюда

Решая это уравнение относительно 172°+ 1_.72°, находим:

следовательно

отсюда

Таким же способом легко можно получить и синусы некоторых углов и т. д.

§9. Несколько примеров суммирования простейших тригонометрических рядов.

1. Просуммируем ряд комплексных чисел:

Переходя к тригонометрической форме, получаем:

Давая здесь а и х те или иные значения, легко можно получить интересные формулы суммирования тригонометрических рядов. 2. Суммируя этим же приемом ряды:

легко можем найти известные суммы: cos л;-j-cos Зл;-f- cos Ъх -j-- • • -f--j-cos(2At—1)лг; cosx— cos 2x -j- cos 3 x— • • • ±cos/îx, и суммы синусов, составленные по такому же закону.

3. Возьмем бесконечный ряд (прогрессию):

Очевидно

или в тригонометрической формуле:

4. Возьмем тождества:

Складывая почленно эти тождества, находим:

отсюда:

5. Найдем сумму следующего бесконечного ряда:

Очевидно,

Полагая |л:|<1 и обозначая искомую сумму через s, находим:

Так как

то

Отсюда:

§ 10. Формулы синусов и косинусов в косоугольном треугольнике.

Рассматривая стороны а и с треугольника ABC как слагаемые, а стороны b как геометрическую их сумму, составим равенства:

Ca 4- ci-c = b и С-а -\~ас=Ь2).

Вычтем из первого равенства второе, а затем их перемножим:

с ( 1 а - 1 -а) = а ( 1 с - 1 _) ; Ь* = а2 + с2 + ас ( 1 л f с +1 -

Отсюда

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ МАКСИМУМА.

(По поводу формулы Машека).

В. В. Добровольский (Москва).

Связь между силой тяги животного, его скоростью и продолжительностью работы я обыкновенно пишу в симметричном виде:

где Я0, г/0 и t0 являются наивыгоднейшими значениями величин Я, v и т.-е. такими, при которых развиваемая суточная работа L = Pvt будет наибольшая (см. мою „Техническую механику", стр. 234).

Доказательство этого положения можно провести вполне элементарно, не прибегая к производным; чтобы не останавливать внимания читателя на этой частной задаче технической механики, введем обозначения

1) Задача из журнала „Математическое образование" за 1928 г., № 4, стр. 169, и № 7, стр. 312.

2) Равенства были известны еще I. F. Français (журнал „Annales de Nismes." 1813-16 гг.).

а вместо числа 3 поставим произвольное постоянное С. Тогда мы будем иметь общую математическую задачу:

Найти максимум произведения трех множителей, сумма которых постоянна.

При наших обозначениях мы ищем, следовательно, максимум U = xyz при x У + 2 = С.

Определяем г через х иу и, подставляя в t/, найдем:

U=xy (С—x—у).

Изобразим это уравнение графически, для чего произведем сечение изображающей поверхности плоскостями, параллельными плоскости xoU (см. черт); это будут параболы, вершины которых будут лежать над серединами их хорд, находящихся в плоскости хоуу напр., вершина Сг проектируется в середину АгВг, вершина С2 — в середину А2В2 и т. д. Иначе говоря, эти вершины лежат в плоскости, параллельной оси о U и проходящей через медиану треугольника АОВ (линия AB есть линия пересечения поверхности с плоскостью хоу, потому что при U=0 имеем x = 0;z = — 0; х-\-у = С; первые два уравнения представляют оси координат, а последнее — прямую AB). В этой же плоскости будет лежать и наивысшая точка поверхности, которая является одной из вершин указанных парабол. Таким же рассуждением находим, что наивысшая точка поверхности должна лежать в плоскости другой медианы треугольника. Таким образом проекцией этой точки на плоскость х о у служит точка G пересечения медиан, а это приводит к тому, что x=j/ = 2 = y

Итак, максимум произведения трех множителей, сумма которых постоянна, получается при равенстве их.

Для соотношения Машека это и означает, что максимальная работа будет при Р = Р0У v = vq и t=t0.

Если бы мы, обобщая задачу, связали х,у, z не постоянством суммы, а линейной зависимостью в общем виде, напр., полагая z = Ах -f- By + С, то нашли бы, что вершины парабол, получаемых в сечении плоскостями,

параллельными xoU, лежат на кривой, проекция которой на плоскость хоу есть парабола

Ву2-\-Су-\-2Ах = Ъ,

а для других парабол имели бы

Ах2-{-Сх-^2Ву = 0.

Совместное решение этих уравнений приводит к кубическому уравнению, один из корней которого и определяет координаты высшей точки поверхности.

Если же, наоборот, заданы эти координаты, напр., х(., V(j , то по ним можно определить коэфициенты Л, В, С из тех же уравнений:

АХо2 + Сх0 -f 2Ву0 = 0 ; Ву02+Су0-\-2Ах, = 0;

присоединяя к ним еще:

г0 = Ах0 + ByQ -f- С,

получим:

Возвращаясь к формуле Машека, найдем, что для нее надо положить х0 = — у0 — z0 — 1 , что дает А =— 1; В — — 1; С = + 3 , другими словами, формула Машека является единственно возможным соотношением между P,v и t из всех линейных.

ОБ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ТЕТРАЭДРОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ И НЕКОТОРЫХ ТЕОРЕМАХ ТЕТРАЭДРОМЕТРИИ.

Н. А. Колмогоров (Алма-Ата).

Будем называть трехгранные углы прямоугольного тетраэдра элементарными трехгранными углами, а их функции sin, cos, tg и т. д.—элементарными тетраэдрометрическими функциями.

Возьмем прямоугольный тетраэдр ABCD и исследуем тетраэдрометрические функции его трехгранных углов. В своей работе, помещенной в № 2 — 3 журнала «Матем. образ.», я ввел следующие обозначения:

где Л, ß, С—трехгранные углы; а, ß, т и о—площади граней тетраэдра, лежащих против трехгранных углов Л, Ву С и D. Кроме того, там же доказано следующее соотношение:

s\rcA -j- sin2ß -f- sin2C = 1,

причем установлена связь между функциями трехгранных углов и плоских углов, выражающаяся в следующем:

sin А = cos a, sinß = coso и sinC= cose,

где а, b и с—плоские углы (см. рис. 1). Докажем теперь, что sin Л есть величина постоянная для трехгранного угла Л при изменении плоского угла BDC и вместе с тем при изменении величины площадей граней BDC и ABC, но не их направления, т.-е. ребро AD должно при этом оставаться перпендикулярным к плоскости BDC, а грань ABC—перпендикулярной

Рис. 1.

к DM. Пусть при этих условиях плоский угол BDC уменьшается, тогда площади граней BDC и ABC тоже будут уменьшаться, но их отношение будет постоянно, так как грань BDC при своем изменении будет все время служить проекцией грани ABC, в свою очередь изменяющейся, следовательно, sin Л будет величиной постоянной. При своем уменьшении грань BDC в пределе сделается равной стороне DE, а грань ABC—стороне АЕ треугольника ADE, из которого находим, что величина sin Л сделается равной -j^r, но это отношение для данного трехгранного угла А—величина постоянная.

Если же плоский угол BDC при тех же условиях будет увеличиваться до 180°, то площади граней BDC и ABD будут тоже увеличиваться, но их направление будем и в этом случае считать неизменным, тогда sin А будет величиной постоянной, так как отношение будет все время оставаться постоянным. В пределе площади BDC и ABC обратятся в бесконечные полосы двух плоскостей—одна шириной, равной DE, а другая—АЕ, а их отношение будет равно -^г, следовательно, sm А=-^, т.-е. величине постоянной, что и требовалось доказать. (При доказательстве предполагалось, что когда плоский угол сделается равным 180°, то его сторона DC будет j_ DE, и сторона BD — J_ DE, следовательно, стороны DC и BD будут составлять одну прямую линию, параллельную ВС.)

О смежных трехгранных углах.

Дадим теперь определение смежных трехгранных углов. Будем называть два трехгранных угла смежными, если они имеют общую вершину и одну общую грань, а вторая и третья грани первого трехгранного угла суть продолжения соответственно второй и третьей граней второго трехгранного угла.

Докажем, что синусы смежных трехгранных углов, у которых общая грань к одной из плоскостей остальных граней, равны между собой. Действительно, возьмем прямоугольный тетраэдр ABCD и через ребро BD проведем произвольную плоскость BDF (рис. 2), тогда мы при вершине F получим смежные трехгранные углы, удовлетворяющие поставленным условиям.

Плоскостью BDF прямоугольный тетраэдр ABCD разобьется на два тетраэдра, для каждого из которых теорема синусов справедлива (см. первую мою работу), так как у каждого тетраэдра есть две взаимно-перпендикулярные грани (см. рис. 2), следовательно, для них теорема синусов доказывается без применения теоремы о синусах смежных трехгранных углов (см. 1 и 2 случаи доказательства теоремы синусов в моей первой работе). Поэтому, применяя теорему синусов для тетраэдра BDCF, имеем

DBC _ DBF sin FDBC ~~ sin С '

точно так же—для тетраэдра ABDF имеем:

ABD _ DBF sin F ABD sin A

Разделив первую пропорцию на вторую, получим:

Рис 2.

но из прямоугольного тетраэдра ABCD следует, что

DHC _ sin А ABD ~~ sin С

следовательно, sin FA BD = s\n FDBC, что и требовалось доказать.

При доказательстве 3-го случая теоремы синусов я на это свойство синусов смежных трехгранных углов и опирался (см. первую мою работу).

Теорема синусов для любого тетраэдра.

Пусть дан какой-нибудь тетраэдр ABCD. Опустим из его вершины С перпендикуляр СЕ на противоположную грань ABD и проведем сначала через СЕ и ребро CD плоскость CFD (см. рис. 3).

Эта плоскость будет перпендикулярна к основанию ABDy следовательно, тетраэдр ABCD разобьется на два тетраэдра, удовлетворяющие 1 и 2 случаю этой теоремы; поэтому мы можем написать:

откуда

но трехгранные углы FBCD и FADC — смежные, причем общая грань FCD ±_ к грани ABDf следовательно, синусы их будут равны, и последнее равенство примет вид:

Далее проведем через высоту СЕ и ребро ВС плоскость ВСН. Она будет перпендикулярна к основанию ABDy и мы опять получим два тетраэдра: АВСН и BCDH, к которым можно применить теорему синусов на том же основании, как в только что рассмотренном случае. Применив ее, мы получим:

или, соединив эту пропорцию с предыдущей, получим:

Рис. 3.

Наконец, на основании теоремы о проекциях, имеем:

сложив эти равенства, получим:

или на основании предыдущих пропорций:

причем выражение:

есть синус трехгранного угла С тетраэдра ABCD.

Таким образом для любого тетраэдра теорема синусов доказана и имеет следующий вид:

nn.JtCD _ пл^Л£>С _ пл. A BD _ пл. АВС_ sin Л sin В sin С sinD

Из этой теоремы вытекает, как следствие, что синусы любых двух смежных трехгранных углов равны между собой.

Остается теперь определить, чему же равен знаменатель полученного ряда равных отношенй?

Чтобы ответить на этот вопрос, установим сначала зависимость между синусами трехгранных углов, введенных мною, и синусами трехгранных углов, известных из сферической тригонометрии под названием синусов вершин тетраэдров, с помощью которых тоже можно доказать теорему синусов для тетраэдра, и она уже доказана (см. № 5 журнала «Матем. образов.»), причем будем иметь в виду второе выражение этой теоремы, совпадающее с моим.

Возьмем сначала прямоугольный тетраэдр и составим выражение для его объема с помощью синусов его вершин1). Оно будет иметь следующий вид:

V=~^-2 AD .DC . \bD AD . пл. Л5С sin, А,

откуда

. - _ пл. BDC Sini Л — 2 un. ЛВС '

но, по нашему определению, sin Л есть отношение площади грани bdc к площади грани abc, т.-е.

поэтому, сравнивая эти два выражения для sin^ и sin Л, находим:

sin Л = 2 sint Л,

т.-е. определенный мной синус равен двойному синусу вершины того же трехгранного угла, причем синус вершины должен быть выражен через синусы двухгранных углов данного трехгранного угла Л.

Между прочим любопытно отметить, что синусы вершин трехгранных углов Л, В и С прямоугольного тетраэдра связаны следующей зависимостью:

sinj* Л -j- sin,25-f- sin12 С = -у .

Возьмем теперь выражение теоремы синусов в двух видах: через sin трехгранных углов в моем обозначении и через sinL вершин трехгранных углов. Для краткости площади граней будем обозначать так, как это указано в № 5 журнала «Математ. образ.», а именно: через Sa, Sbf Se) Sd> тогда мы можем написать:

где k—величина постоянная для данного тетраэдра и которую предстоит нам определить.

где V—объем данного тетраэдра.

1) Синусы вершин трехгранных углов я буду обозначать со значком ь поставленным у названия sin справа, внизу.

Разделим теперь первый ряд отношений на второй и мы получим:

отсюда мы делаем такое заключение: отношение синусов вершин трехгранных углов тетраэдра к синусам его тре>гранных углов есть величина постоянная. Определим теперь из этого ряда величину k, пользуясь способом, какой принят в интегральном исчислении при определении постоянных величин определенного интеграла, а именно: возьмем какой-нибудь тетраэдр, для которого мы сможем легко определить, напр., sint Л и sin Л. Возьмем, напр., правильный тетраэдр и определим для него sin, А и sin Л. Легко вычислить, что sin1 А = —-ц—, sin/l = —-щ—, следовательно, ^пЛ т'~е* тоже, что и для прямоугольного тетраэдра. Можно бы взять и какой-нибудь другой тетраэдр, и мы получили бы тот же результат.

Теперь можно определить и величину k.

Действительно,

откуда получим:

Итак, отношение любой площади грани к синусу противолежащего трехгранного угла всякого тетраэдра равно удвоенному произведению площадей всех его четырех граней, разделенному на 9-кратный квадрат его объема.

Сейчас можно составить выражения для объема тетраэдра через новые синусы его трехгранных углов, напр., 1/=-^- j/ 2 ShSßd sin А •

Докажем теперь с помощью тетраэдрометрии теорему, аналогичную теореме о квадрате стороны, лежащей против острого угла или тупого угла в треугольнике, чтобы этим самым показать, что тетраэдрометрию можно легко и просто развивать именно путем применения этих новых функций, а не функций, введенных из сферической тригонометрии, так как последние выражаются более сложно, чем новые функции. Однако в виду простой связи новых функций с функциями, взятыми из сферической тригонометрии, можно быстро переходить от одних к другим.

Итак, возьмем произвольный тетраэдр ABCD и опустим из его вершины D перпендикуляр DE на основание АБС; тогда трехгранный угол D разобьется на три элементарных трехгранных угла Dv Z), и D3, и мы можем написать:

Черт. 4.

Точно также можно написать и следующие равенства:

Умножим теперь первое равенство на пл. ABC, второе —на BCDy третье - на CD А и четвертое - на DAB, после чего из первого равенства вычтем остальные, тогда мы после упрощений получим:

(пл. ABC)2 = (пл. BCD)2 + (пл. CD А)2 + (пл. DAB)2 — 2 (пл. BCD). (пл. С DA) sin Аг— 2 (пл. DAB) (пл. BCD) sin Л2 — 2 (пл. СОЛ) (пл. DAB)sm В{,

так как между синусами элементарных трехгранных углов Dv D9, DQ, Аг> Л2, Л3 и т. д. можно легко установить следующие соотношения:

sin jDj = sin Л.р sinD2 = sinß2, sin D3 — sin Q, sin A^ = sin ßa, sin Л2 = sin C8, sin ßj = sin C2,

а отсюда вытекают соотношения между элементарными трехгранными углами. Эти соотношения показывают, что из двенадцати элементарных трехгранных углов независимых будет только 5, а остальные определяются этими пятью независимыми элементарными трехгранными углами. Нужно помнить, что при выводе последней формулы для квадрата площади грани ABC буквы для обозначения площадей и элементарных трехгранных углов идут в круговом порядке.

Таким же путем можно вывести и формулы для квадратов площадей остальных граней тетраэдра. Отсюда уже ясно, что между плоской тригонометрией и тетраэдрометрией можно провести полную аналогию. А если это так, то, пользуясь тетраэдрометрией, можно высшую геометрию пространства 3-х измерений развивать в духе плоской геометрии Шаля, так как с помощью тетраэдрометрии ангармоническое отношение пяти произвольных лучей, исходящих из одной точки, но не лежащих в одной плоскости, выражается также просто, как и ангармоническое отношение четырех лучей, проведенных из одной точки в одной плоскости. Кроме того, и основные уравнения высшей геометрии и теоремы Чевы и Менелая имеют место в трехмерном пространстве.

Много любопытного представляла бы тетраэдрометрия для пространств Лобачевского и Римана, если надлежащим образом развить ее для этих пространств. Я это говорю потому, что в том и другом пространствах площади граней тетраэдра измеряется угловой мерой—в первом площадь треугольника измеряется его дефектом, а во втором (Римана)—его избытком, следовательно, для пространств Лобачевского и Римана тетраэдрометрия могла бы иметь много общих точек соприкосновения.

Установим теперь зависимость между всеми функциями трехгранных углов тетраэдра и его основными шестью элементарными функциями элементарных трехгранных углов. Возьмем равенства:

и умножим первое на sinD, второе—на sin Л, третье—на sinß, четвертое—на sin С, а после этого вычтем из первого равенства все остальные, и мы тогда получим:

Такие формулы получатся и для квадратов sin'ob трехгранных углов Л, В и С.

Для большей убедительности, что рассуждения наши справедливы, применим эту формулу к прямоугольному тетраэдру с прямым трехгранным углом D, и мы получим:

так как здесь sinD = 1, sirM1 = o> sin^2=0 и s\nBi = 0) а трехгранные углы А, В и С превращаются в элементарные.

Можно, исходя из выражений для квадратов площадей граней любого тетраэдра, вывести для тетраэдра и теорему Стюарта.

Одним словом, поле приложений тетраэдрометрии весьма велико и также богато, как и приложения плоской тригонометрии.

В заключение скажу, что подобно тетраэдрометрии можно развить и пентаэдроидометрию.

Приведу здесь некоторые формулы пентаэдроидометрии.

Возьмем прямоугольный пентаэдроид ABCDE с прямым четырехтелесным углом при вершине Е (рис. 5).

Пусть объем тетраэдра ABCD будет vv объем тетраэдра ABCE=viy объем тетраэдра ABDE = vs, объем тетраэдра ACDE — vg и объем тетраэдра BCDE = v6, тогда будем иметь:

Назовем синусом четырехтелесного угла А отношение, —-,т.-е. отношение противолежащего к тетраэдру, лежащему против прямого четырехтелесного угла Е, и обозначим: sinA=-^5-, также sinZ? = -^-; sin С=— и sinD=— .

Между этими функциями есть очевидная зависимость:

sin2A -f sin2В + sin2С + sin2D = \.

Всех функций будет Л52 = 20. Определить их не представляет затруднений; из этих определений можно вывести основные формулы пентаэдроидометрии; их, очевидно, будет 17.

Теорема синусов тоже должна иметь место в пентаэдроидометрии и выражается так:

Теорема о проекциях выражается следующим образом:

где Va у Уву Vc , Vd, V^ —объемы тетраэдров. Из этих равенств получим:

Формулы, соответствущие формулам сложения, будут иметь вид:

Рис. 5.

ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЕ ПЛОСКИХ КРИВЫХ.

М. Н. Олевский (Москва).

Обычное понятие кривизны кривой конструируется путем сравнения этой кривой в каждой ее точке с элементом прямой (касательной к ней), искривление которой принимается за нулевое. Такую кривизну мы будем называть абсолютной.

Однако возможна более общая постановка вопроса, а именно: производить сравнение данной кривой С, не с прямой, а с некоторой кривой же С2, относительно определенной ее точки, искривление которой в этой точке принять нулевым; таким образом вводимую кривизну естественно назвать относительной.

В настоящей заметке мы, вводя в рассмотрение понятие об относительной кривизне плоских кривых (с только что высказанной точки зрения), исследуем вначале случай сравнения данной кривой с окружностью; уяснив, что для этого простого случая введенное понятие представляется разностью абсолютных кривизн рассматриваемых кривых в исследуемой точке, мы без труда доказываем справедливость этого и для общего случая (когда кривая, с которой мы сравниваем основную, произвольна).

Пусть имеем кривую Q , заданную в параметрической форме:

Проведем в двух ее бесконечно-близких точках, соответствующих значениям параметра t и tJrAt две касательные окружности (постоянного радиуса R) к ней; очевидно, что место центров окружностей будет кривая, параллельная Cv

Назовем (исходя из тех же геометрических соображений, на почве которых строится понятие и обычной кривизны) предел отношения угла А 6 между двумя такими смежными окружностями к элементу Д 5 линии С1 — относительной кривизной кривой С1 в точке M (t). Ясно, что, устремляя радиус рассматриваемой окружности коо, мы получим абсолютную кривизну.

Значит, искомая кривизна

Но из Д-ка щощ (черт.) имеем:

где As{ — линейный элемент кривой, параллельной Сх. Уравнения этой кривой, как известно, имеют вид1)

Следовательно,

где — радиус кривизны Cv

1) G. Loria. „Spezielle algebraische und transcendente Kurven", В. II.

А, следовательно,

таким образом мы получаем теорему:

Кривизна кривой С. в некоторой точке MY относительно некоторой фиксированной точки М2 на кривой С2 (относительная кривизна!) представляется разностью их абсолютных кривизн для рассматриваемых точек Мх и М21).

Пока что мы доказали это, если С2 есть окружность; но последнего вполне достаточно для того, чтобы с очевидностью обнаружить справедливость высказанной теоремы и в общем случае, ибо, рассматривая вместо С, в М2 ее соответствующий соприкасающийся круг, мы сводим доказательство к предыдущему случаю.

В заключение отметим, что рассмотрение относительной кривизны (не внося в рассуждения никаких новых элементов) вводит, как мы видим, важное с геометрической точки зрения сочетание абсолютных кривизн рассматриваемых кривых.

Im vorliegenden Aufsatze wird bezeigt, dass: die Krümmung einer ebenen Kurve Cd im Bezug auf einen bestimmten Punkt einer anderen Kurve C> (Relative Krümmung!) stellt sich al§ die Differenz ihrer absoluten Krümmungen dar.

ЗАДАЧИ.

26. Разложить на два множителя выражение:

(Х* + Хь -f X3)4 + (jt4 + X2 -fx)4 - 1 .

27. Решить систему уравнений

х4+У =^2 (х—у)4 X1 -\-у2 = а2.

28. Решить систему уравнений:

H. Агрономов.

29. Найти предел суммы членов ряда

30. Доказать, что при F(0) и F{\) нечетных уравнение

F(x) = a0xn + alx"-'+ • • • • +аи = 0, где а. — целые числа, не имеет целых решений.

(Теорема Гаусса).

1) Для большей ясности отметим, что приведенным построением относительной кривизны, мы находим кривизну некоторой линии Сг относительно некоторой определенной точки другой кривой С2. Рассматривая другую точку на С2 в качестве основной (в ней значение ее абсолютного радиуса кривизны р2 — вообще отлично от oâ в предыдущей точке), мы приходим к кривизне относительно этой точки. Такое рассмотрение приводит к необходимости передвигать кривую С2 вдоль Сь сохраняя всегда касание кривой С2 с Сх в определенной ее начальной точке; перенося Са по Ci из другого начального положения, мы найдем кривизну Сх относительно новой начальной точки кривой С2.

31. Решить треугольник по углу Л, высоте ha и сумме двух сторон b -f с = m .

Построить треугольник по тем же данным.

Л. Бутомо (Саратов).

32. В правильной четыреугольной пирамиде плоский угол при вершине равен углу между ребром и плоскостью основания. Вычислить двугранные углы этой пирамиды.

33. Найти площадь треугольника, образованного тремя касательными, проведенными к параболе, заданной уравнением у2 = 2рх, в точках (х1}у1)Лх2)у2)у(х.дУуг).

34. По какой кривой следует разрезать лист железа, чтобы из двух полученных частей можно было изготовить колено водосточной трубы, считая радиус поперечного сечения каждой части колена равным г и угол между их осями 2а (=120°).

И. Соловьев (Витебск).

35. Решить уравнение

sin x -)- cos x -j- tg x -f- ctg x -f- sec x -(-esc x — — 3.

36. Найти уравнение поверхности, получающейся от вращения круга вокруг прямой, лежащей в его плоскости.

Я. Орлицкий (Katowice).

37. Показать, что tg-20°, tg140° и tg280° суть корни уравнения

jt3—33x2-f 27 x - 3 = 0.

38. Решить уравнение

5(1 — sin 2 х) — 16 (sin х — cos x) -f- 3 =s 0 .

39. Показать что уравнение пятой степени

х* -f (ab + -а) хц i adx2 -f bx -f d = 0

может быть разрешено в радикалах только второй и третьей степени.

В. Гук (Суханово).

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

1. Разложить на множителей:

аз2_|_ а™ + \ =0.

Так как все корни данного трехчлена мнимые, то его множители с действительными коэфициентами не могут быть ниже второй степени. Разложение произведем по такой схеме:

Замечая, что имеем далее:

А. Дмитровский (Москва), X. У. (Ростов-на-Дону), Л. Бутомо (Саратов), П. Милов. (Люблино), П. Сапунов (Владимир), С. Адамович (Тула\ И. Шуйский, В. Зяблицкий М. Машков, (Владимир), Н. Хайдуков (Петровск), Пав. Хайдуков, Е. Воскресенская (Павлов).

2. Решить уравнение:

х* — 2b2x2 - \cûbx + bx — a>.

Представив данное уравнение в виде:

(л:2— Ь2)2 ~ а2(4Ьх-\-а2) — О,

положим х — Ь-у. Тогда получим уравнение:

у- (у + 2bf — ci- (\Ьу \ АЬ% -f а*) = О

или

у _|_ 4Ъул + 46у2 — \а2Ьу — 4а2£2 — а4 = О .

Левая часть этого уравнения легко разлагается на два квадратных множителя, и мы имеем:

(у2 — а2) (у2 + 4by + a2 -f \b2) = О .

Отсюда находим:

J>i,î=±a;j>3M = - 2о±У"4è2 - а2 - 4ft* = — 2b±ai.

Так как л;г=_у-|-£, то

ATj, g = ô ± a ; xs , 4 = — b±ai.

A. Дмитровский (Москва), H. Фивейский (Ржев), A. Бутомо (Саратов), П. Милов (Люблино), П. Сапунов (Владимир), С. Адамович (Тула), Е. Воскресенская (Павлов), В. Зяблицкий (Владимир), В. Копец (Мар-Посад), И. Хайдуков (Петровск).

4 Доказать, что при четном а уравнение

не имеет целых решений.

Освободив данное уравнение от дробей и написав его в виде:

x2 + y2 + z2 = axyz , замечаем, что при четном а или одно из чисел х ,y,z должно быть четным, или все три. В первом случае, положив x=2^.M}y=Nlfz = N2) где N,NX и N2 нечетные числа, будем иметь 2 Ъ. N2 — Л^2+ М2 = 2А а Л/Л/j N,.

Так как сумма квадратов двух нечетных чисел делится только на первую степень числа 2, то это же можно сказать и о всей левой части уравнения; правая же часть его делится на 2Н-1, а потому равенство невозможно.

Во втором случае пусть х = 2> N; у = 2^. Nx ; z = 2*.N9.

Если X = ц = V, то левая часть содержит 22>>, а правая, по меньшей мере, 2ù + 1 у и равенство невозможно. Далее возможны два существенно различных предположения: 1) \^ju>v; 2) X>|u = v.

Если a>|u>v, то уравнение принимает вид:

2 2v(22X-2v. Л/2 + . А^2 + M2) = . a NN, N, ;

левая часть содержит 22v(b скобках стоит нечетное число), а правая по меньшей мере, 2>>+p+v+1 f и равенство невозможно.

Если, наконец, À> jn = v, то мы имеем уравнение:

22v (22-2v. yv2 -f M2 + N.2) = 2^+2v. a NN, N2 ; здесь левая часть содержит 22v+1 (см. выше), а правая, по меньшей мере, 2Vt-2v-î-i } и равенство опять оказывается невозможным.

Е. Воскресенская (Павлов), А. Дмитровский (Москва), П. Сапунов, М. Машков (Владимир).

5. Решить систему уравнений:

Очевидно, что этой системе удовлетворяют нулевые значения неизвестных, а также равенство нулю двух каких-либо неизвестных при произвольном значении третьего. Представим данную систему в виде:

(1)

Разделяя почленно эти уравнения на xyz, имеем:

Складывая почленно эти уравнения, находим:

(3),

а вычитая из этого уравнения почленно предыдущие, имеем:

Умножая в этой системе почленно первое уравнение на второе, первое на третье и второе на третье, найдем:

откуда получаем решения данной системы:

II. Фивейский (Ржев), А. Бутомо (Саратов), X У. (Ростов-на-Дону), Я. Сапунов, М. Машков, В. Зяблицкий (Владимир), С. Адамович (Тула), Н. Хайдуков (Петровск), Пав. Хайдуков, Е. Воскресенская (Павлов),-Л. Зимин (Кинешма).

6. Вычислить детерминант:

Обозначив сумму ах — а2—-ад . . . . -f- ап через Та и прибавив к. элементам первого столбца элементы всех остальных столбцов, отчего величина детерминанта не изменится, получим детерминант:

Таким образом данный детерминант равен аг -\- а2 -f- а3 -f- . -+лн.

А. Дмитровский (Москва), X. У. (Ростов-на-Дону), И. Фивейский (Ржев). М. Машков, П. Сапунов (Владимир),

7. Определить, при каком виде треугольника центр тяжести его площади является одновременно и центром тяжести его периметра.

Пусть в треугольнике ABC сторона а не равна стороне Ь. Центр тяжести его периметра есть центр трех масс, лежащих в серединах Av Вх и Сх его сторон и пропорциональных а, Ь, с. Первые две массы имеют свой центр на прямой Ах В]у параллельной АВУ в точке D, которая не есть середина отрезка АгВх, а центр всех трех масс лежит на прямой DCX, не проходящей через вершину С и пересекающейся с медианой ССХ в точке Q.

Отсюда ясно, что если а не равно Ьу то центр тяжести периметра не может совпадать с центром тяжести площади. Следовательно, оба центра тяжести совпадают только в равностороннем треугольнике.

А. Дмитровский (Москва), Н. Фивейский (Ржев), И. Орлицкий (Katowice), M. Машков, В. Зяблицкий, П. Сапунов (Владимир). Пав. Хайдуков (Петровск), Е. Воскресенская (Павлов).

8. Из точки Bv лежащей на стороне АС треугольника АВСУ проводят прямую, параллельную стороне AB и встречающую сторону ВС в точке А1У из точки А1 проводят прямую, параллельную АС и встречающую AB в точке Сг; из С1 проводят прямую, параллельную ВС и встречающую АС в точке В2, и т. д. Доказать, что контур А1С1В2 А1С2В1 замкнутый и равен периметру треугольника ABC.

Из построения мы получаем равенства:

СХА1=АВ1 и СХАХ= В2С, откуда АВХ=В2С и потому АВ2 = В1С. Но так как С2 А2 = АВ2, то С2А2 = ВХС, а это показывает, что прямая, проведенная через С2 параллельно ВСУ пройдет через Вх, т.-е. контур замкнутый. Далее Л, В} -\- А2 В.2 = Сх А + ВСХ — AB; точно так же Вг С2 + + С, В2 — ВС и Cj Ах -f- С2 А2 =г АС. Следовательно, длина контура равна периметру треугольника АБС.

А. Дмитровский (Москва), А. Бутомо Саратов), П. Милов (Люблино), В. Павлов (Улала , X. У. (Ростов-на-Дону), В. Зяблицкий, П. Сапунов, М. Машков (Владимир) П. Хайдуков (Петровск).

9. Определить острые углы прямоугольного треугольника, если угол между медианами, выходящими из вершин этих углов, равен 30°.

Пусть медианы AD и ВЕУ выходящие из вершин Aw В острых углов прямоугольного треугольника ABC, пересекаются в точке М. По условию, /_ AME = 30°. Но / AME = / ВЕС — / DAC. Если положим = = у = k, то tg /_ ВЕС — ^ = 2 A; tg/Di4C=^=T * и потому tg /_ АМЕ= ___2_ 36 ? откуда получаем уравнение:

1 + 2 (1 -h £-)

Произведение корней этого уравнения равно 1; значит, если kx = = tgA то Ä, = tgÄMTaK,tg^=3^+/|-1=^4^2l;t^ = ±JL_ iL , а отсюда найдем, что

А. Дмитровский (Москва), А. Бутомо (Саратов), X. У. (Ростов-на-Д.), В. Павлов (Улала). П. Сапунов (Владимир).

10. Через точки А и В, находящиеся на сторонах прямого угла в расстояниях а и b от вершины, параллельно сторонам проведены прямые на которых откладываются отрезки АС и BD так, что АС : BD = a.b. Найти геометрическое место точек пересечения прямых AD и ВС.

Если обозначим через О вершину прямого угла и примем стороны OA и OB за оси координат ОХ и OK, то координаты точки С будут а и k, а координаты точки D + \b и Ьу где X — некоторый числовой множитель (знак -f- относится к тому случаю, когда оба отрезка откладываются внутрь угла или оба наружу, а знак —, когда один внутрь угла, а другой наружу). Уравнения прямых AD и ВС напишутся так:

Ьх — (± — а) у — ab = 0; (ка — b) х — ay-\-ab = 0.

Сложив эти уравнения, получим:

lax =Fïby =r 0, или ахЦ^Ьу — 0.

Это уравнение при том и другом знаке выражает прямую, проходящую через точку пересечения прямых AD и ВС, а так как в него не входит параметр л, то прямые ах — Ьу = 0 и ax-\-by = 0 является искомым геометрическим местом, которое можно выразить одним уравнением: a2 x2 — Ь2у2 = 0.

Другое решение. Точки С и D являются соответственными элементами двух проективных рядов, расположенных на прямых АС и BD. Эти ряды проектируются из центров А и В двумя проективными пучками лучей, причем лучу AB соответствует луч ВА. Следовательно, эти пучки лучей перспективны, и точки пересечения соответственных лучей AD и ВС лежат на прямой линии. Так как бесконечно-удаленной точке ряда АС соответствует бесконечно-удаленная точка ряда BD, то лучи АО и ВО, проектирующие эти точки, друг другу соответствуют, и точка О принадлежит искомому геометрическому месту. Определенному направлению на прямой АС могут соответствовать два различных направления на прямой BD, так что искомое геометрическое место состоит из двух прямых, проходящих через вершину прямого угла.

А. Дмитровский (Москва), В. Павлов (Улала), П. Сапунов, М. Машков (Владимир).

Ответственный редактор И. И. Чистяков.

Мосгублит № 50942._МОСКВА.__Тираж 1.000

Типография «Гудок», ул. Станкевича, 7. Заказ

ЦЕНА 90 КОП.

СКЛАД ИЗДАНИЯ

ИЗДАТЕЛЬСТВО „РАБОТНИК ПРОСВЕЩЕНИЯ" МОСКВА 19, ВОЗДВИЖЕНКА,10.