МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

№ 2-3

1929

ИЗДАНИЕ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

B. Добровольский. Механизмы как основа для изучения математики..... 41

Н. Извольский. По поводу теоремы Чевы..... ............ 45

П. Романовский. Теорема Dirichlet об арифметической прогрессии....... 48

Б. Побединский. Графическое интегрирование функций............ 60

C. Зетель. О построении и свойствах некоторых чевиан........... 66

П. Сапунов. Решение уравнений 2-й степени с двумя неизвестными в рациональных числах ......................... 71

С. Богомолов. Морфология выпуклых многогранников............ 73

С. Ляшук. Несколько слов по поводу программ приемных испытаний для поступающих в вузы........................... 86

Н. Колмогоров. Тетраэдрометрия ....... ............. 90

Б. Побединский. Метод Головнина..................... 98

Задачи.................................. 105

Решения задач.............................. 105

Хроника....... ..... ..................... 111

Новые книги................................. 112

SOMMAIRE

V. Dobrovolski. Les méchanismes comme la base de renseignement mathématique.

N. Jsvolski. Sur le théorème de Céva.

N. Romanovski. Une demonstration qu théorème de Dirichlet sur la progression arithmétique.

B. Pobédinski. L'intégration graphique des fonctions.

S. Settel. Construction et nature de quelques droites de Céva.

P. Sapounov. Résolution graphique des équations du second degré en nombres rationaux.

B. Pobédinski. Sur la méthode du prof. D. Golovnine.

S. Bogomolov. La morphologie de polyèdres convexes.

N. Kolmogorov. T'étraedrométrie.

5. Liachouk. Quelques mots sur les programmes des examens aux écoles supérieures.

Problèmes.

Solutions de problèmes.

Chronique.

ПРОДОЛЖАЕТСЯ ПОДПИСКА НА 1929 ГОД НА ЖУРНАЛ

Московского научно-педагогического математического кружка

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

8 КНИГ в год.

Ответственный редактор проф. 1-го МГУ И. И. Чистяков.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

ЖУРНАЛ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

№ 2-3

1929 г.

МЕХАНИЗМЫ КАК ОСНОВА ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ.

В. В. Добровольский (Москва).

Вряд ли теперь можно еще ставить математику в школе как обособленный предмет, изучающий числа, формулы, линии и пр. и лишь впоследствии прилагаемый к разным практическим вопросам. Вряд ли нужно еще доказывать, что эти самые практические вопросы могут и должны служить основой для тех обобщений, которые составляют предмет математики. Таким образом окружающая ребенка жизнь с ее властными требованиями является тем данным, которое служит исходной точкой его умственного развития и приводит в процессе этого развития к необходимости противоположения себя в форме отвлеченных понятий; дальнейшее развитие этого процесса влечет уже к приложениям, т.-е. к возвращению к конкретной обстановке, но уже не просто воспринимаемой, а освещаемой знанием. Так завершается известный цикл развития. Эта диалектика развития верна не только в отношении всего периода учения, но и для каждого, даже весьма небольшого цикла, даже отдельного вопроса; так, если приходится иметь дело с колесом (телега, тачка, велосипед), то неизбежно возникает вопрос об окружности, о прямой как оси вращения, о перпендикуляре к плоскости (ось и плоскость вращения), о пропорциональности (различные скорости на разных расстояниях от оси) и др. Естественно, что по выяснении основных математических связей по этим вопросам делается переход не к другим отделам геометрии, логически опирающимся на указанные связи, а к разрешению вопросов о движении колеса, скорости езды и пр., что в свою очередь при более расширенной постановке вопроса приводит к механизму зубчатой передачи (в трамвае), цепной (в велосипеде и грузовом автомобиле) и даже к механизму кривошипа и шатуна (паровоз); цикл таким образом повторяется.

Настоящая статья имеет в виду дать пример того, как разные математические вопросы могут быть связаны с движением в механизмах. Движение само по себе является наиболее привлекающим внимание ребенка, поэтому оно наиболее удобно для исходного момента. О колесе мы уже упоминали; зачем нужно знать окружность обода и как его измерить? Вот один из первых вопросов; для ответа на него вовсе нет надобности вписывать и описывать правильные многоугольники и доказывать теоремы о пределах,—достаточно прокатить колесо по дороге. Прокатывая меньшее колесо, найдем зависимость окружности от диаметра и установим первые элементы функционального мышления в форме прямой пропорциональности, а одновременно с этим и значение коэфициента, как постоянного отношения. Второй вопрос: как изменится движение, если ось колеса согнется? Здесь возникает вопрос о прямой как линии кратчайшего расстояния (геометрическая ось вращения остается прямой, а вещественная

Черт. 1.

согнутая ось явно от этой прямой отклоняется) и об одинаковости радиусов (при согнутой оси колесо «бьет»). Наконец, если колесо насажено неверно (перекошено), то при проверке угольником мы знакомимся с известным свойством перпендикуляра к плоскости.

Еще лучше, если есть возможность поработать на ножном токарном станке (см. черт. 1). Здесь мы прежде всего устанавливаем неподвижно резец и убеждаемся в одинаковости радиусов круга, проводимого резцом на обтачиваемом предмете, затем в различности скоростей резания для предметов разного диаметра, в тождественности перенесения по параллели и перенесения параллельно самому себе (установка суппорта) и многое другое. При рассмотрении передачи от ножной педали к шпинделю мы встречаем целый ряд математических вопросов и прежде всего находим изменение угловой скорости вращения в обратном отношении к величине диаметров ступеней, охватываемых передаточным ремешком. Эта пропорция, устанавливаемая непосредственно из опыта, ведет к нахождению основного свойства пропорции («произведение крайних равно произведению средних»), так как каждое из упомянутых произведений представляет путь, пройденный ремешком одновременно на обоих шкивах. Перекидывая ремешок на другую ступень, мы изменяем это самое отношение; при этом в новой пропорции нам заранее известны оба новых диаметра и угловая скорость нижнего шкива; основное свойство пропорции позволяет нам решить ее, найдя четвертый неизвестный член—угловую скорость шпинделя. Это перекидывание ремешка естественно приводит к понятию касательной. Здесь же мы устанавливаем понятие концентрических кругов.

При установлении прямой пропорциональности, напр., между пройденным расстоянием и временем или проделанной работой и временем и т. п. и при графическом изображении этой зависимости можно впервые дать понятие об угловом коэфициенте прямолинейного графика, т.-е. о функции тангенса.

При наличии пары зацепляющихся зубчатых колес (иногда в том же токарном станке в виде «перебора» (см.черт. 2), а то и просто в дешевых стенных часах, которые могут быть прекрасным учебным пособием) ставится тоже ряд математических вопросов. Кроме упомянутых выше пропорций и соотношений скоростей здесь возникает вопрос о делении круга на равные части и о возможности такого деления при помощи циркуля и линейки. Этот вопрос, как общеизвестный, я обойду здесь молчанием, а перейду к мало известной в широких кругах связи между зубчатыми колесами и непрерывными дробями. Этот отдел алгебры всегда стоял особняком в курсе, и понятно, почему от него так легко отказались. А между тем в практике зубчатого зацепления иногда приходится решать следующую задачу. По расчетам механизма (напр., подъемного) получается требование определенного передаточного числа, т.-е. отношения угловых скоростей, причем это число выражается какой-нибудь сложной

Черт. 2.

дробью, напр., 3,41; между тем осуществление такого числа в точности требовало бы колес с 100 и 341 зубцами, что совершенно неприемлемо с точки зрения их изготовления. Тогда подыскивают к этому числу ближайшую простейшую дробь, что, как известно, выполняется при помощи разложения 3,41 в непрерывную дробь:

Первые два приближения дают-у- и причем для последнего значения ошибка меньше ^ ^ — (она равна в самом деле 0,01). Самый процесс разложения довольно прост, определение же ошибки сводится к несложному алгебраическому преобразованию, если ограничиться двумя-тремя первыми необходимыми дробями.

Черт. 3.

Механизм кривошипа и шатуна может дать благодатный материал для первоначального ознакомления с функциями синуса и косинуса и со свойствами криволинейного графика. Этот механизм встречается довольно часто (в насосах, паровозе, в упомянутом токарном станке с легким видоизменением и др.). Схема его представлена на чертеже 3, где OA — кривошип, AB — шатун, В — ползун в направляющих, а от него влево—шток поршня или аналогичная деталь. В токарном станке роль кривошипа

играет колено нижнего вала, за который цепляется крюк, а вместо ползуна имеем край ножной педали, охватываемый этим крюком; сам крюк играет роль шатуна; разница против указанной схемы будет лишь в том, что вместо прямолинейного движения конец шатуна будет ходить взад и вперед по дуге круга. Полезно изготовить деревянную (в крайнем случае бумажную) модель этого механизма и вести параллельно опытное и геометрическое исследование механизма.

Прежде всего замечаем, что в треугольнике О AB угол В всегда меньше угла О, так как г</, но что между этими углами нет пропорциональности; следя за изменениями угла ß при непрерывном возрастании а, находим его наибольшее (положительное) и наименьшее (отрицательное) значение; введение функции синуса здесь будет еще преждевременно, так как не вызывается потребностью. Основная цель исследовавия—установить соответствие между положениями кривошипа и ползуна, а потому мы намечаем несколько точек на окружности кривошипа (обыкновенно делятся на 12 равных частей) и из этих точек делаем засечки на линии движения ползуна. Эти засечки поучительны тем, что устанавливают теоретическую возможность овух точек пересечения прямой и круга, из которых только одна является практически выполняемой; можно, впрочем, упомянуть, что иногда бывает два шатуна для двух противоположных поршней, и тогда обе теоретические возможности осуществляются. Если бы нам захотелось избежать такого построения при помощи засечек, то мы воспользовались бы проекциями OA и AB на OB, причем мы исходили бы из представления о проекции, как того, что «видно сверху»; мы увидели бы сокращенную длину OA в виде OD и сокращенную длину AB в виде DB. Величина сокращения есть функция.угла и называется его косинусом. Тогда отклонение ползуна от «мертвой точки», т.-е. величина

x = (a -f- /) — (а cos а — / cos ß).

Углы а задаются и для них подбираются по таблицам косинусы (для некоторых углов вроде 30°, 45°, 60° рекомендуется найти косинус без таблиц). Наталкиваемся на затруднение с углами /3, которые, как указано, находятся в зависимости от углов а; теперь пора эту зависимость проследить глубже, именно — посмотрев на механизм со стороны вала, найдем, что кривошип закроет шатун, и оба сократятся до величины AD, которая и будет общей проекцией г и / на направление, перпендикулярное к первому. Соответствующие углы наклона дополняют углы а и ß до 90°, a косинусы их являются таким образом тоже функциями а и /3; мы их называем синусами. Искомое соотношение может быть теперь написано так: г sin a — I sin ß.

Из него мы и подыскиваем ß для каждого а.

Построение графика движения ползуна, как указано на чертеже, и его разбор приводит к более общему понятию переменного уклона и к выражению скорости посредством касательной к графику.

Как построение, так и вычисление по указанным формулам приводит к тому, что при большом / сравнительно с г (напр., 1=8 г) углы ß получаются небольшие, а их влияние на х еще меньше. Поэтому естественно возникает упрощение в построении и вычислении, соответствующее простому проектированию точки А на диаметр круга кривошипа, вместо перенесения ее на этот диаметр по дуге; получается синусоида, приведенная на чертеже направо. Отсчитывая расстояния от средней точки, а время—от момента вертикального положения (что для этого случая, и только для этого, соответствует одно другому), находим синусоиду в ее обычном виде, а закон движения в формуле

x ~ г sin а.

Этими примерами можно ограничиться.

ПО ПОВОДУ ТЕОРЕМЫ ЧЕВЫ.

Н. А. Извольский (Москва).

Мне не приходилось в математической литературе видеть изыскания, аналогичные с ниже данными. Между тем получающиеся здесь результаты интересны и сами по себе, и могут быть полезными при работе над другими вопросами геометрии. Поэтому я и предлагаю вниманию читателей эти свои изыскания.

1. Пусть в треугольнике АБС (черт. 1) построены 3 трансверзали ЛД БЕ и СУ7, пересекающиеся попарно в точках М, N и Р. Тогда легко получим:

Здесь мы берем все отрезки в одном направлении, согласно обходу треугольника АБС в направлении АСВ, и площади треугольников обозначаем так, чтобы площадь каждого треугольника оставалась слева при его обходе согласно обозначению (например, А РМС)\ поэтому все они считаются положительными. Если бы какие-либо из точек M, N и Р оказались вне Д АБС, как на черт. 2, то некоторые отрезки и некоторые площади рассматриваемых треугольников надо было бы считать отрицательными, так как при прежних обозначениях эти отрезки шли бы в обратном направлении, а площади этих треугольников оставались бы вправо. На черт. 2 отрезок АЕ был бы отрицателен и площади треугольников ABM, AMP. АВР, САР и РАБ также отрицательны. Перемножая по частям все полученные равенства, получим:

так как площади треугольников АВР, CAN и ВСМ сократятся. Далее мы видим:

(отношение -т^-' для черт. 1 положительно, а для черт. 2 отрицательно).

Черт. 1 Черт. 2.

Также:

Тогда получим:

Но см есть ангармоническое отношение точек F, С, M и N на прямой FC, обозначаемое (FCMN); так же:

Поэтому:

Последнее сделано на том основании, что ангармоническое отношение не меняется, если, разбив 4 точки на 2 пары, переставить точки каждой пары.

Проектируя точки С, F, N и M из точки А на BE, получим соответствующие точки Е, В, Р и M, а потому:

Также:

т -е. 3 полученных ангармонических отношения равны между собою. Поэтому:

Итак: если из трех вершин треугольника провести 3 трансверзали, то на сторонах треугольника получим 6 отрезков, причем отношение произведения трех из них, взятых через один, к произведению трех остальных равно ангармоническому отношению четырех точек, получаемых на каждой трансверзали, взятых в таком порядке: вершина треугольника, точка пересечения этой трансверзали с противоположной стороной, точка пересечения этой трансверзали с другою, которая да^т отрезок, входящий в предыдущий член отношения и начинающийся от той вершины, из которой идет трансверзаль, на которой берется ангармоническое отношение, и, наконец, точка пересечения с третьей трансверзалью.

2. Известно, что если в ангармоническом отношении (ADPN) точки A, D и Р считать закрепленными, а точку N передвигать по AD, то ангармоническое отношение (ADPN} проходит через все числа от —оо до -|-ос, причем повториться одно и то же число не может, и, кроме того, при совпадении точки N с А оно становится равным <х>, при совпадении с D— нулю и при совпадении с Р—единице.

Итак, если N совпадает с Р, т.е. если все 3 трансверзали проходят через одну точку (если они становятся чевианами), то (ADPN) = \, и мы имеем теорему Чевы:

Так как ни при каком ином положении точки N ангармоническое отношение (ADPN) не равно единице, то, обратно, условие:

ведет к заключению, что AD, BE и CF проходят через одну точку, т.-е. получаем обратную теорему Чевы.

3. Будем называть:

АЕ . CD . BF ЕС. DB . FA

«отношением Чевы», даже если AD, BE и СЕ не проходят через одну точку.

Легко на любой трансверзали, например на ЛО, получить такие точки Р и /V, чтобы, проведя через них трансверзали ВРЕ и CNF, получить отношение Чевы = — 1; для этого надо, чтобы (ADPN) = — 1, т.-е. чтобы точки Р и N гармонически делили точки А и D. Также, взяв на AD произвольно точку Р и построив затем точку N так, чтобы она совместно с точкою D делила гармонически точки А и Р, найдем, что (APDN) = — — 1, а, переставив средние точки, получим, как известно, что (ADPN) = 2. Тогда, построив трансверзали ВРЕ и CNF, получим отношение Чевы, равное 2, и т. д.

4. Пусть в треугольнике ABC (черт. 3) AD есть биссектриса угла Л, а СЕ—трансверзаль, делящая сторону AB в отношении-^-, т.-е. эт= — . В каком отношении разделится этою трансверзалью биссектриса AD?

Для решения этого вопроса построим еще биссектрису BE угла В. Тогда, называя, как обычно, стороны треугольника ABC через a, b и с, получим:

(последнее потому, что ВРЕ есть биссектриса треугольника DBA и отрезок DB = -г^—) . Тогда из:

получим:

откуда:

Легко решается ряд аналогичных вопросов, например, с медианами, высотами и т. д.

Черт. 3.

ТЕОРЕМА DIRICHLET ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.

П. Романовский (Москва).

Существуют простые арифметические теоремы, попытки элементарного доказательства коих наталкиваются на непреодолимые затруднения и которые удалось доказать лишь с помощью более высоких аналитических методов. К числу таких теорем принадлежит классическая теорема Dirichlet об арифметической прогрессии. Эта теорема гласит: каждая арифметическая прогрессия:

N% N+M, N+2M, yV+ЗЖ, . . .

в которой первый член N и разность M суть взаимно простые натуральные числа, содержит бесконечно много простых чисел. В то время как частный случай этой теоремы, когда разность равна единице (тогда теорема сводится к утверждению существования бесконечного множества простых чисел), как известно, непосредственно доказывается в нескольких словах1), общее доказательство получается значительно более сложным путем2).

Настоящая статья имеет целью реферировать доказательство этой теоремы Dirichlet. От читателя требуется лишь знание основных результатов элементарной теории чисел и самых общеизвестных фактов из области анализа (в том числе представление о главных свойствах абсолютно сходящихся рядов и о правиле их умножения).

Введение.

Прежде чем приступить к процессу доказательства, сделаем некоторые предварительные замечания.

Во-первых, ясно, что гипотеза взаимной простоты первого члена и разности существенна, ибо если бы они имели общего делителя, то все члены прогрессии имели бы этого делителя, и, следовательно, все члены прогрессии (за исключением, быть может, одного) были бы составными числами.

Затем заметим, что вместо чисел М, N всегда можно взять числа M, N-\-KM, где К—какое-нибудь натуральное число (эти числа, очевидно, будут также взаимно простыми), так как получающаяся в результате такой замены прогрессия:

N + KM, N-\-{K-\-\)M, N-\-(K + 2)M, N+{K+3)M9 . . .

является частью данной прогрессии, поэтому, если будет показано, что

1) Например, так: Допустим противное, т.-е. что существует лишь конечное число простых чисел. Тогда произведение всех их, сложенное с единицей, не делится ни на одно из них (ибо сумма двух слагаемых не делится на некоторое число, если одно слагаемое на него делится, а другое нет), что нелепо, ибо каждое число (отличное от единицы) должно делиться по крайней мере на одно простое число. Что и требовалось доказать.

Следует заметить, что также просто можно доказать теорему Dirichlet в случае прогрессии 5, 11, 17, 23, 29 . . . (см. Д. Ф. Егоров. Элементы теории чисел. Москва, 1923, стр. 28).

2) Общее доказательство можно найти в Vorlesungen über Zahlentheorie самого Dirichlet, а также еще, например, у Р. Bachmann. Analytische Zahlentheorie. Leipzig, 1921. Vierter Abschnitt (рассуждения коего основаны на результатах предыдущего, т.-е. третьего, Abschnitt'a, посвященного теории Dirichlet'овых рядов и, кроме того, в одном пункте ссылаются на один факт, вытекающий из рассмотрений пятого и шестого Abschnitt'oв, посвященных теории числа классов бинарных квадратичных форм).

новая прогрессия содержит бесконечно много простых чисел, то отсюда будет следовать, что и данная прогрессия содержит бесконечно много простых чисел.

Далее заметим, что вместо чисел M, N всегда можно взять числа a7w, N, где Л*—какое-нибудь натуральное число, взаимно простое с N (числа КМ и N будут, очевидно, взаимно простыми), так как получающаяся в результате этой замены прогрессия:

/V, N + KM, N+2KM, W+3/Ш, . . .

опять является частью данной прогрессии.

Из предпоследнего замечания вытекает, что общность доказательства не будет нарушена, если ограничиться прогрессиями с нечетными первыми членами (ибо если N—четное, то M вследствие взаимной простоты с N должно быть нечетным, а поэтому N-\-M нечетное, но вместо M, N можно брать M, N-\-M), а последнее замечание показывает, что общность не будет нарушена, если, кроме того, предполагать разность делящейся на 8 (ибо 8, как имеющее единственного простого делителя 2, взаимно просто со всяким нечетным числом).

Итак, не нарушая общности доказательства, мы можем, кроме гипотезы взаимной простоты первого члена с разностью, еще предполагать первый член прогрессии нечетным, а разность кратной восьми.

Необходимые сведения из элементарной теории чисел1).

Как известно, два целых числа а и b называются сравнимыми по модулю m(a = b(mod. m)), если их разность делится на натуральное число т2). Понятно, что если одно число сравнимо с другим, то второе сравнимо с первым, и если одно число сравнимо с другим, а это с третьим, то первое сравнимо с третьим. Отсюда следует, что для каждого модуля m все целые числа можно разбить на классы так, что каждый класс объединяет все сравнимые между собой по модулю m числа. Такие классы называются классами по модулю т. Число этих классов, очевидно, равно т. Если из каждого класса выбрать по одному представителю, то получается так называемая полная система вычетов по модулю т. Простейшей полной системой вычетоз по модулю m является совокупность неотрицательных целых чисел, меньших m (т.-е. О, 1, 2, . . . /тг — 1 ). Если какое-нибудь число взаимно просто с модулем, то все сравнимые с этим числом числа будут также взаимно просты с модулем. Таким образом каждый класс, содержащий хотя бы одно число, взаимно простое с модулем, обязательно сплошь состоит из чисел взаимно простых с модулем. Всякая система представителей таких классов (по одному от каждого) называется приведенной системой вычетов по модулю т. Простейшей приведенной системой вычетов по модулю m является совокупность целых положительных чисел, не превышающих m и взаимно простых с т. Число таких чисел, как известно, обозначается символом <р(/я) (числовая функция Gauss'a). Следовательно, каждая приведенная система вычетов по модулю m состоит из у(т) представителей.

Как известно, обе части всякого сравнения можно умножить на любое целое число и несколько сравнений по одному и тому же модулю

1) Эти сведения (с их доказательствами) можно найти в любом элементарном учебнике по теории чисел.

2) Очевидно, что теорема Dirichlet об арифметической прогрессии может быть формулирована еще следующим образом: если M и N взаимно просты, то существует бесконечное множество простых чисел, сравнимых с N по модулю М.

можно почленно складывать и умножать (в частности возводить в степень). Отсюда следует, что значения какого-нибудь многочлена с целыми коэфициентами, отвечающие сравнимым по какому-нибудь модулю m значениям аргумента, также сравнимы по модулю т. Поэтому, когда требуется разрешить какое-нибудь сравнение вида а0хп-\- агхп~1 -f- . . . -f~ -fanE0 (mod. m), где в левой части стоит многочлен какой-нибудь п'ой степени с целыми коэфициентами а0, av . . . ап, то достаточно искать решения лишь в пределах какой-нибудь произвольно выбранной полной системы вычетов по модулю т. Числом корней такого сравнения называют число всех его решений в пределах какой-нибудь полной системы вычетов по модулю т.

Из элементов теории сравнений известно, что сравнение первой степени ах = b[mod. m) всегда имеет единственное решение, если а взаимно простое с модулем т. Отсюда в частности следует, что если а взаимно простое с т, то существует единственное (в пределах какой-нибудь полной системы вычетов по модулю т) число а' такое, что аа! = 1 (mod.m) (а', очевидно, взаимно простое с т). Связанные таким условием числа а и а называются союзными числами (numeri socii) по модулю т.

Далее, из элементов теории сравнений известно, что сравнение второй степени х2 = a (mod.p), где модуль р есть нечетное простое число, может в зависимости от выбора числа а (предполагаемого взаимно простым с р) как иметь, так и не иметь решений. В соответствии с этим число а называется квадратичным вычетом или квадратичным невычетом по модулю p. Legendre ввел особый символ (—)» который по определению считается равным -f-1, если а есть квадратичный вычет по модулю /?, и равным —1, если а есть квадратичный невычет по модулю р.

Этот символ был обобщен Jacobi, который определил (-|г), где Р — какое-нибудь нечетное натуральное число, взаимно простое с целым числом а, как произведение всех Legendre'овых символов (-^-), когда р пробегает

все простые множители числа Р. Отсюда видно, что символ Jacobi, так же как и символ Legendre'a, может иметь лишь значения и —1. Два Jacobi'евых символа с общим нижним аргументов, верхние аргументы коих сравнимы по модулю нижний аргумент, всегда равны между собой. Из определения Jacobi'ева. символа видно, что для перемножения нескольких Jacobi'евых символов с общим верхним аргументом достаточно перемножить нижние аргументы. Можно доказать, что аналогично, для перемножения нескольких Jacob'евых символов с общим нижним аргументом достаточно перемножить верхние аргументы. Таким образом символ Jacobi мультипликативен относительно обоих аргументов. В теории Jacobi'ева. символа доказываются следующие важные свойства. Если Р и Q — взаимно простые нечетные натуральные числа, то:

если Р нечетное натуральное число, то:

кроме того, очевидно, всегда

Про какое-нибудь число а, взаимно простое с модулем //г, говорят, что оно принадлежит показателю о, если 8'ая степень числа а сравнима с единицей по модулю m (а = 1 (mod. m)) и никакой показатель, меньший 8, этим свойством не обладает. На основании малой теоремы Fermat показатель о всегда есть делитель числа у(т). Числа g, принадлежащие показателю у{т), называются первообразными корнями по модулю m Если g есть первообразный корень по модулю т, то числа 1, g, g2} . . g4{m)—\ образуют приведенную систему вычетов по модулю /я, ибо число их равно ср(лгг), и все они не сравнимы между собой по модулю т. Вообще всякая совокупность степеней g, показатели коих образуют какую-нибудь полную систему неотрицательных вычетов по модулю <р(/гг), является приведенной системой вычетов по модулю т. Поэтому, если первообразный корень g по какому-нибудь модулю m фиксирован, то каждое число а, взаимно простое с /тг, сравнимо по модулю m с некоторой степенью g> показатель коей вполне определен в пределах какой-нибудь полной системы неотрицательных вычетов по модулю ср(лгг), — этот показатель называется индексом числа а. Индексы в некотором роде аналогичны логарифмам: при умножении чисел индексы их складываются. Первообразные корни существуют не по каждому модулю, но во всяком случае они существуют по каждому модулю, являющемуся степенью нечетного простого числа2). Если модуль m есть степень двух, то первообразных корней по нему не существует (исключение составляют лишь первая и вторая степень, т.-е. числа 2 и 4), в этом случае говорить об индексах нельзя, но не трудно показать, что получающееся от этого неудобство может быть легко устранено. В самом деле, легко показать, что два числа вида ( — 1) 5 сравнимы между собой по модулю 2 (с^гЗ) только в том случае, когда показатели а сравнимы по модулю 2, а показатели л по

1) Из сказанного в тексте видно, что символ Jacobi всегда может быть вычислен процессом, похожим на алгорифм Эвклида для нахождения общего наибольшего делителя. Пусть, например, требуется вычислить ^—• Последовательно находим:

2) Lejeune Dirichlet. Vorlesungen über Zahlentheorie. Braunschweig, 1894. Supplement V, § 128 (первообразный корень g по модулю р, где р - простое нечетное число, является первообразным корнем и по модулю—любая степень р, если только g-p-i —1, всегда делящаяся на р в силу малой теоремы Fermât, не делится на /?'2). См., напр., еще Serret. Cours d'Algèbre supérieure, t. H. Paris, 1910, pag. 78. Легко сообразить, что всякий первообразный корень по модулю—степень простого нечетного числа р есть квадратичный невычет по модулю р.

модулю ~2~ 9(2')1), поэтому числа (—1) 5 , когда а пробегает какую-нибудь полную систему неотрицательных вычетов по модулю 2, а X— таковую по модулю ~ ср(2с), образуют приведенную систему вычетов по модулю 2с (так как число их равно 2.-~<?(2'!) = <р(2с) и все они не сравнимы по модулю 2е) и, следовательно, всякое нечетное число а сравнимо по модулю 2е с некоторым (—1) 5, причем аил вполне определенны в пределах каких-нибудь полных систем неотрицательных вычетов по модулям 2 и -~-<р(2с) соответственно. Таким образом вместо одного индекса мы имеем в рассматриваемом случае два индекса: а, X. При умножении чисел как а, так и X складываются. Рассмотрим теперь произвольный модуль М, кратный восьми. Разложим его на простые множители: М — 2 р1 р% . . . (где /?р р2, . . . разные нечетные простые числа, число коих в частности может быть и нулем, все av а2, . . . ^1, сТ^З).

Фиксируем первообразные корни gv g2, . . . по модулям pv р2 , . . . Каждое число а, взаимно простое с М, будет взаимно простым с каждым из 2 , рх , р2 , . . . следовательно, имеет по модулю 2 некоторые индексы а, X, по модулю рх некоторый индекс vp по модулю р2 некоторый индекс v2, . . . Систему а, X, vx, v2, . . . назовем системой индексов числа а. Каждое число я, взаимно простое с М, имеет вполне определенную систему индексов (если эти индексы брать в пределах каких-нибудь заранее выбранных полных систем неотрицательных вычетов по модулям 2, ~2~о(2 ), у(рг ), z(p2 ), . . . соответственно) и обратно, каждой системе индексов отвечает вполне определенное (в пределах какой-нибудь заранее выбранной приведенной системы вычетов по модулю М) число а.

В заключение этого обзора сведений из элементарной теории чисел заметим, что понятие принадлежности какого-нибудь числа, взаимно простого с модулем т, к некоторому показателю имеет некоторые аналогии в теории корней из единицы (Einheitswurzeln). Число s называется корнем из единицы, если некоторая степень этого числа равна единице, причем можно сказать, что s принадлежит показателю о, если е = 1 и никакой показатель, меньший 8, этим свойством не обладает. Каждый корень какой-нибудь /г'ой степени из единицы принадлежит некоторому показателю—делителю числа п. Корень п'°* степени из единицы, принадлежащий показателю я, называется первообразным корнем /гой степени

1) Lejeune Dirichlet. Vorlesungen. Suppl. V, § 130. Полезно при этом заметить, что число (—1)5 есть вида

8/С+1, если о. и X четные

8К + 3, если а и X нечетные ибо, как видно

8К~\-5, если а четное и X нечетное 8/С + 7, если а нечетное и X четное.

по индукции, последовательные степени числа 5 суть попеременно вида8/С + 1 и SK + 5.

из единицы (primitive Einheitswurzel). Все корни я'ой степени из единицы суть степени какого-нибудь первообразного среди них, причем все они получаются по одному разу, если показатель степени пробегает какую-нибудь полную систему вычетов по модулю п. Но аналогия нарушается тем обстоятельством, что первообразные корни п'°* степени из единицы существуют для каждого я, а первообразные корни по модулю m существуют не для каждого т.

Dirichlet'oвы ряды. Так называют ряды вида:

С1 с2 СЪ

где cv с2, cif . . положительные числа, стремящиеся в бесконечность, не убывая (т.-е. сг^с2^с3^ . . . ), alf а2, а3, . . . какие-нибудь комплексные (в частности, может быть, действительные) числа и 5 — независимое переменное.

В доказательстве теоремы Dirichlet об арифметической прогрессии основную роль играют следующие два типа таких рядов:

1) когда числа а1% я2, а3, . . . все равны 1 и стремление чисел сх, с2, cv . . . в бесконечность таково, что отношение числа тех из этих чисел, которые к t стремится к определенному конечному отличному от нуля пределу при непрерывном неограниченном возрастании положительного переменного t;

2) когда числа а19 а2, aà, . . . таковы, что ряд аг -f- а.2 + аз ~Ь • • • есть ряд с ограниченными суммами, т.-е. модули чисел а1У ах а2, ai ~г а2 ~г~ аз> • • • меньше некоторого положительного числах).

Ряды первого типа обладают тем свойством, что они сходятся при всех значениях 5 больших единицы, причем их сумма .S (зависящая от s) неограниченно возрастает, когда s стремится к единице, и возрастание это таково, что (5 — 1) 5 стремится к определенному конечному, отличному от нуля пределу.

Ряды второго типа обладают тем свойством, что они сходятся при всех положительных значениях s, и сумма их есть непрерывная и имеющая непрерывную производную функция положительного переменного 5.

Свойство рядов первого типа легко доказать, если заметить, что (s — 1) (l -j- -J--1--J- . . . ) стремится к 1, когда 5 стремится к 1. Этот вспомогательный факт можно обнаружить таким образом: при п^х^п-\-\ имеем ^ + 1)* =^ "j^" — 7F1 откуда, после почленного интегрирования в пределах от п до я-f-l и последующего за этим суммирования по всем натуральным числам /г, получим -^г + -gr -f--р- + + . . <7~1 <1 + +4Г + ' " следовательно, + • ■ = yirf+e> где 0<«<1, откуда

[s —1)(1 + + . . . ) = 1 +0(5 — 1) стремится к 1.

1) Это всегда будет так, если ряд а{ + а2 + az + . . . сходится, но сходимость не обязательна; например, ряд 1—1+1—1 + . . . расходится, но все его конечные суммы суть либо 1, либо 0, следовательно, ограничены.

Искомое свойство рядов первого типа можно теперь обнаружить следующим образом. Обозначим через T(t) число тех из чисел cv с2, с3, . . > которые ^ t. По условию —j1 стремится к конечному, отличному от нуля пределу, при неограниченном возрастании t. Обозначим этот предел буквой ш. Тогда — при неограниченном возрастании п стремится также к ш. В самом деле, если числа сп идут, строго возрастая (т.-е. сх < с2 < га < ... ), то, очевидно, Т{сп) = п и — = Т^Сп' стремится к <о, так как сп неограниченно возрастает; если же числа сп лишь не убывают (т.-е. сл<^С}<^ ^^з^. . • ), то легко сообразить, что равенство Т{сп) — п перестает быть справедливым, но зато, очевидно, во всяком случае справедливо неравенство Т(сп— 1) < n<L Т{сп), из которого находим — Сп~~^ • Сп~ 1 < — <j , откуда — стремится к со, так как крайние части этого неравенства стремятся к ш. Итак, во всяком случае, — стремится к ш, следовательно, как бы положительное число s малым ни было, всегда найдется нумеру, что при #>v имеем со—е< — <(»-[-£, откуда - — - <С <[ — < —-!— и, следовательно, -—г^— <г — << — - 'g ; , если 5 положительно и /z>v. Из последнего неравенства вытекает сходимость рассматриваемого Dirichlet'ова ряда -J-e 4- -ji 4- —, -f- . . . при s > 1, ибо последнее неравенство говорит, что члены этого ряда, начиная с некоторого, становятся и продолжают быть меньше соответствующих членов сходящегося ряда 1 -f - + -jr + • • - , помноженных на некоторое постоянное положительное число. Делая в последнем неравенстве последовательно п = V -|-1, V -f- 2, V -j- 3, . . . , складывая почленно получающиеся таким образом неравенства и умножая все на 5 — 1 (что законно, ибо 5 — 1 положительно), получим:

Замечая, что пределы (при стремлении 5 к 1) крайних частей этого неравенства будут ш —г и о) + е, так как (s — 1 )[(7X^7 + " " ' 1 стремится также, как и (s—1)(l 4- • • • )' к 1' иб° Разн0СТЬ между этим выражением и предыдущим (s — + -^r + • • + v) стремится к o(l4-y+- • . 4~^) = 0, и принимая во внимание, что е произвольно мало и что (s — !)(-— + -^ + • • •) отличается от сред-

ней части полученного неравенства на (s — 1) (-^-f--j- . . . т~""~г)> стремящееся к 0(-~+ ~|г~Ь • 1 ,^cv)=^ легко находим стремление (s — s + . • • ) к (Di Таким образом свойство Dirichlet'овых рядов первого типа доказано.

Простейшим примером Dirichlet'овых рядов первого типа будет ряд —«H-----s H--* + • • • > где положительные числа е., с2, св> . . . образуют арифметическую прогрессию. В самом деле, эти числа можно написать в виде а-\-Ь9 а-\-2Ь, а-\-ЪЬ, . . . где £>0. Символ T(t) в этом случае равен числу решений в натуральных числах неравенства a-^nb^t, но оно равносильно неравенству п 5g - ~ д ; следовательно, число решений есть Г—]> гДе символ [. . .] обозначает целую часть стоящего внутри него числа Отношение - у =---= —tzia--}— стремится к 1. -~■= -у (то, что первый множитель стремится к 1, следует из того, что при неограниченном возрастании х отношение ^ стремится к 1, ибо почленное деление очевидного неравенства х — \<1[х]<^х на х дает 1--~ <С — крайние части чего стремятся к 1), т.-е. к отличному от нуля конечному пределу. Таким образом рассматриваемый ряд есть Dirichlet'ов ряд первого типа.

Теперь перейдем к рядам второго типа.

Сходимость этих рядов для всех положительных значений s легка доказывается при помощи формулы Abel'я:

(справедливость коей легко обнаруживается по индукции1)), если в ней положить щ=—ёУ ий = . . . ; ^ = 0,, u2 = a2, ... ; ибо тогда:

т.-е. сумма /г первых членов рассматриваемого Dirichlet'ова. ряда равна сумме п — I первых членов ряда:

плюс остаточный член:

1) При л = I она очевидна. Пусть она верна для некоторого п; тогда, складывав её почленно с очевидным равенством ип+г tf„-fj = — ип+Лрх -{- v9 -j- • • •+t/«)+ + m„4-i(*'i + г>2 + . • • +vn+\)> найдем её верность для я-f-l.

но этот новый ряд сходится при всех положительных значениях s, ибо его члены получаются от умножения соответствующих членов, очевидно, сходящегося ряда с неотрицательными членами:

на числа, модули коих меньше некоторого положительного числа; остаточный же член стремится к нулю, ибо является произведением стремящейся к нулю величины —, на ограниченную величину. Более того, Dirichlet'ов ряд второго типа не только сходится для всех положительных значений s, но сходимость эта равномерная для s^re, как бы малым положительное число е ни было. Это сразу следует из предыдущего рассмотрения, если заметить, что стремится к нулю равномерно для s^ge (ибо, начиная с того п, с которого сп>1, для всех этих 5 имеем —, ю -—- не зависит от s и стремится к нулю). Если теперь вспомнить, что сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций есть непрерывная функция, то мы можем из сказанного заключить, что сумма Dirichlet'ова ряда второго типа есть непрерывная функция положительного переменного s. Остается еще обнаружить, что она имеет непрерывную производную. Для этого достаточно показать, что ряд, получающийся в результате почленного диференцирования рассматриваемого Dirichlet'ова ряда, сходится равномерно для s^r s, как бы е малым ни было. Но это доказывается совершенно аналогично: нужно лишь всюду вместо —g писать & 8п . Единственно сомнительным может оказаться утверждение неотрицательности членов получающегося в ходе рассуждений ряда:

но и тут препятствий не встречается, ибо члены этого ряда, начиная с некоторого достаточно далекого, неотрицательны для всех s (так как функция -—s* > гДе 5^е, убывает при х^>е* , как это видно из рассмотрения производной).

Характеры.

В доказательстве теоремы Dirichlet об арифметической прогрессии важную роль играют некоторые специальные числовые функции, называемые характерами (Charakter). Определение этих функций может быть дано следующим образом.

Как уже говорилось, каждое число п взаимно простое с разностью с а± а2 прогрессии М — 2р1р2. . . (предполагается, что эта разность кратна восьми) имеет определенную систему индексов а, X, v15 v2, . . . удовлетворяющих неравенствам 0 <; а < 2; 0 ^ X < 9(2 ); 0 <Çv, < ср(/?а *) ; 0 <^

<>2<С?(л )• • • • Число всех таких систем а, X, vlf v2, . . . очевидно

равно 2. -^-?G). 9(рг >Лр2 ) . . . = ?G %(/?, О . . . = — ^\2px p2 . . ;=:9(M)1), причем каждая такая система обязательно является системой индексов некоторого числа /г, взаимно простого с М, и два числа п имеют одинаковые системы индексов тогда, и только тогда, когда эти п сравнимы по модулю Ж. Вместо неравенств 0<^а<2;

. можно потребовать, чтобы а принадлежала некоторой полной системе неотрицательных вычетов по модулю 2, л — некоторой полной системе неотрицательных вычетов по модулю -^-»G), vL — некоторой полной системе неотрицательных вычетов по модулю у\рг /, v2 — некоторой полной системе неотрицательных вычетов по модулю <?(/?2 ), . . . Между такими системами а, x, vx, v2, . . . и числами какой-нибудь приведенной системы вычетов по модулю M таким образом установлено взаимно-однозначное соответствие. Задание индексов а, x, vA, v2, . . . влечет за собой определенность числа п до модуля М, задание числа п влечет за собой определенность индексов a, x, vx, v2, ... до модулей 2, -^-<pG), ?(pi ') , ( °2) иЛр2 /, . . . соответственно.

Заметив все это, возьмем какую-нибудь систему корней из единицы ®> ть ш1> °>2, . . степеней 2,-j-<pG), ?(pj l), Д/^2),- • - соответственно. Таким образом имеем:

Число всевозможных систем 0, г,, ш2, . , . равно 2.

■<да *) • Д/*2 ) • • • = <p(Af), так как число корней из единицы какой-нибудь а'ой степени равно а. Каждой системе в, rh a>v cü2, . . . отнесем функцию Х(/г) = 0 Tj o>j (о2 . . ., где а, X, v1, v2, . . . система индексов числа п. Такая функция определена для всех чисел /г, взаимно простых с М, и в ее определении не содержится многозначности, так как если п дано, то индексы а, x, vlf v2, . . . определены до модулей 2, 1 / с\ ( а,\ / а%\ а \ -^-?\2jf >Арг ), у\р2 /, . . соответственно, но тогда 0, т] ,

1) Если /я и m' взаимно простые, то р(яш') = <р(/и)<р(/и'), что следует из известной, доказываемой в элементах теории чисел, формулы: <?{т) — т(л - - - yj} . . , где р, р', рп\ . . . различные простые числа, делящие т.

ooj *,co2 , . . . вполне определены в силу того, что две степени корня а'ой степени из единицы всегда равны, если показатели этих степеней сравнимы по модулю а. Каждая такая функция носит название характера. Значение характера 1(п) для двух чисел п, сравнимых по модулю Му одно и то же, ибо такие п имеют общую систему индексов.

Каждой из у(М) возможных систем 0, т], ш1Э со2, . . . отвечает свой характер. Разным системам 0, т], о>1, ш2, . . отвечают разные (т.-е. не совпадающие тождественно) характеры. Действительно, возьмем число п таким, чтобы один из индексов был единицей, а остальные нулями, тогда 'А(п) равно тому из 0, г\, шг ш2, . . . которому отвечает индекс, равный единице; следовательно, два характера, для коих этот корень не один и тот же, имеют в таком п разные значения; следовательно, тождественное совпадение двух характеров может быть лишь тогда, когда они отвечают одной и той же системе корней из единицы 0, y], <!>!, а>2, . . . Таким образом существует ровно у(М) различных характеров1).

Так как при умножении чисел индексы складываются, то каждый характер обладает теоремой умножения: Х(пЩп!) = Х(пп'), где п и п' — числа взаимно простые с М.

Так как произведение двух корней какой-нибудь а'ой степени из единицы есть корень а'ой степени из единицы, то произведение всяких двух характеров X и X' есть снова некоторый характер X".

Если все корни и^ единицы 0, к), сор сю.2, . . равны +1, то соответствующий характер называется главным характером (Hauptcharakter). Если все 0, т], (ûj, со2, . . . равны +1, причем по крайней мере один из них равен —1, то соответствующий характер называется двойственным характером (ambige Charakter). Если по крайней мере один из 0, т], mv ü)2, . . . мнимый, то соответствующий характер называется мнимым характером (imaginärer Charakter).

1) Рассмотрим численный пример. Пусть M = 2800 = 24 . 52 . 7. За первообразный корень по модулю 52 = 25 можно взять 2 (ибо 2 есть первообразный корень по модулю 5 и 25—1 — 1=15 не делится на 52 — 25), за первообразный корень по модулю 7 можно взять 3. В рассматриваемом случае существует ?(2800) — = 2800 (l---~~ "Т~)0--7") ~ характеров. Каждый характер имеет вид х(п) = Н гт W] ш2 , где я, \ vj, -^ — система индексов числа/г, причем в,>?, w,, *>2 суть какие-нибудь фиксированные корни из единицы степеней 2, -у ?(24) =-l~lô(l —-l-)-z4, <р(5'2) = 25(l - у) = 20, ?(7) = 7(l — у) = 6 соответственно. Например:

есть один из характеров. Вычислим для примера его значение при п = 151. В этом случае а = 1, л = 2 (ибо (— 1)152 = — 25 Е 7 Е 151 по модулю 2* = 16), v, = 0 (ибо 2°=: iE 151 по модулю 52 = 25), v2 = 4 (ибо З4 = 81 Е 4 Е 151 по модулю 7.) Стало быть:

Характеры обладают следующими двумя важными свойствами:

1) если X— какой-нибудь характер и число п пробегает какую-нибудь приведенную систему вычетов по модулю М, то сумма значений Х(п) равна:

j 0, если характер X не главный, Ï ?(УИ), если характер X главный,

2) если п — какое-нибудь число, взаимно простое с А/, и X пробегает все характеры, то сумма значений 'А(п) равна:

J 0, если il не сравнимо с 1 по модулю Му \ <p(yW), если п сравнимо с 1 по модулю М.

Первое свойство доказывается так: сказать, что п пробегает какую-нибудь приведенную систему вычетов по модулю М, это то же самое, что сказать, что система индексов а, X, vl5 v2, . . . пробегает все комбинации из целых чисел, удовлетворяющих неравенствам 0<^а<2, О < X < -у- ? . ; поэтому сумма всех значений /(/г), о коих идет речь, равна сумме всех произведений 0 7] (0| со2 . . . отвечающих таким системам а, X, vx, v2, . . . (при неизменных 0, т), сор со2, . . . ). На основании правила умножения сумм, это равно произведению сумм: всех 0 , всех т) , всех ш1 всех со2 , . . . Если характер не главный, то по крайней мере один из 0, т|, o)j, ш2, , . . отличен от +1, но тогда соответствующий ему множитель в последнем произведении в силу известного свойства суммы степеней корня из единицы1) равен нулю, и, следовательно, самое произведение равно нулю. Таким образом первая часть первого свойства доказана. Если X — главный характер, то все значения Х(я) равны 1, и сумма их равна числу их, т.-е. <?{М). Таким образом и вторая часть первого свойства доказана.

Второе свойство доказывается так: сказать, что X пробегает все характеры,—это то же самое, что сказать, что 0, юп со2, • • пробегает все системы корней из единицы степеней 2, -^-©G), Д/^О, <р(/?2 0, . . . соответственно, поэтому, сумма всех значений /(я), о коих идет речь, равна сумме всех произведений 0 т] тх а>2 . . . , отвечающих таким системам 0, y], со2, . . (при неизменных а, X. vx, v2, . . ). Такую сумму легко преобразовать дальше, если принять во внимание то известное обстоятельство, что все корни какой-нибудь степени из единицы являются степенями какого-нибудь первообразного среди них. Поэтому, если 0', г/, ш/, со./, . . .—какие-нибудь фиксированные первообразные корни из единицы степеней 2, 2 <р\2/, ^\pi /,

1) Если е есть корень д'<>й степени из единицы, отличный от +1, то имеем:

*\Р% /> • • • соответственно, то 0' пробегает все 0, г/— все yj o>t — все coj, со2'—всео>2, . , . когда а', X', v/, v2', . . . пробегают значения, удовлетворяющие неравенствам 0<а'<у, 0<Х'<^ 1 т^), 0<v/< <.?\j0, /', 0<v2 /,. . . соответственно. Следовательно, вышеполученная сумма произведений 0 г] шх <о2 . . . отвечающих разным 0, т], (о1, ш2, . . . равна сумме всех произведений:

отвечающих разным

сумма же таких произведений рассматривалась при доказательстве первого свойства, ибо 0' , х\ , ш1' , ш2' , . . . суть неизменные (для разных слагаемых) корни из единицы степеней 2, cpg ), ^(pj 0, )> • • • соответственно, и мы видели тогда, что она равна нулю, если хотя бы один из 0' , т/ , , а>2' , . . . отличен от -[-1 ; но это будет всякий раз, когда п не сравнимо с 1 по модулю М, так как равенство всех их единице по причине первообразности корней 0', г/, ш/, ш2', . . . возможно лишь, если все индексы a, À, vr v0, . . равны нулю, а тогда п сравнимо с 1 по модулю M (ибо все "индексы числа 1 равны нулю). Таким образом первая часть второго свойства доказана. Если л сравнимо с 1 по модулю М, то все индексы равны нулю, и, следовательно, для каждого характера X значение /(я) равно 1, и сумма их равна числу характеров, т.-е. у(М). Таким образом и вторая часть второго свойства доказана.

(Продолжение следует.)

ГРАФИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ.

Б. Побединский (Баку).

Как известно, способ интегрирования функций, предложенный проф. Massau1), состоит в проведении касательных к интегральной кривой по данным ординатам диференциальной кривой, причем касательные эти пересекаются на медианах, разделяющих взятые интервалы на равные части. Вот это-то допущение о пересечении касательных на медианах и дает часто на практике ошибки, избежать каковые возможно, применяя нижеуказанный метод построения интегральной кривой.

Предположим, что по данной диференциальной кривой мы получили интегральную кривую; на чертеже 1 изображена часть такого построения.

1) Massau J. Mémoire sur l'intégration graphique. Livre 1, изд 1878 г.

Проведем касательные к интегральной кривой в точках с абсциссами хх и х2 т.-е. с углами, тангенсы которых соответственно равны аг и а2. Определим абсциссу точки пересечения касательных. Уравнение касательных в точках Мх и М2 будут:

или, что то же:

Решая систему уравнений (1) совместно, определяем абсциссу точки пересечения касательных; имеем:

или

(2)

Разлагая у2 в ряд по формуле Тейлора, ограничиваясь третьим членом разложения (ограничиваемся третьим, а не вторым потому, что в знаменателе формулы (2) стоит — а{ 4- а2 = Да, т.-е. конечное приращение первого порядка, так что в конечном счете мы будем иметь дело также с конечными приращениями первого порядка), т.-е. пренебрегая членами, содержащими приращения Дл; степени выше второй, получим:

подставляя затем это значение у.2 в формуле (2) и заменяя в ней х2 через х1-\-\х, а а2 через аг-|-Да, получим:

Черт. 1.

(3)

Таким образом из черт. 1 мы видим, что.

(4)

Определим теперь величину тангенса угла, образуемого касательной к интегральной кривой в точке Мп, т.-е. в точке, лежащей на вертикали, проходящей через точку пересечения касательных А.

Так как абсцисса этой точки равна хх +Дх,, то тангенс угла касательной будет /(^, + Д*!).

Разложим ее по формуле Тейлора, ограничиваясь вторым членом, имеем:

или, принимая во внимание равенство (4):

так как

Формула Лейбница дает:

но очевидно, что

а потому

или

Подставив полученное значение в выражение (5), найдем:

или

Величина Да/, вообще говоря, будет крайне незначительно влиять на численное значение последнего выражения, а потому мы можем ею в большинстве случаев пренебречь и в результате будем иметь:

или окончательно: но

а потому

(6)

Таким образом мы пришли к выводу, что величина тангенса угла касательной к интегральной кривой в точке Мп на вертикали точки пересечения касательных с тангенсами clx и а2 равна ** ^а* и так как тангенсы углов касательных к интегральной кривой равны соответствующим ординатам диференциальной кривой, то абсциссы точек пересечения касательных мы найдем, полагая в уравнении диференциальной кривой, т.-е. в уравнении

или

у' равным

где п — 0, 1, 2, 3, 4, . . . и определяя соответствующие значения х.

Вполне точное решение мы получили бы, если бы для определения абсцисс точек пересечения касательных мы воспользовались бы для определения Axt формулою 4, но в громадном большинстве случаев это будет бесцельно и только для значений а/ близких к нулю можно пользоваться этой формулой.

Из всего вышесказанного следует, что построение интегральной кривой мы можем производить следующим образом :

Решаем данное уравнение диференциальной кривой у' = —f (х) относительно х> получаем уравнение:

х = ?(у) .... (7)

Даем у ряд значений у0'у

тогда уравнения (7) доставят нам ряд прямых параллельных оси Y (черт. 2).

Берем на вертикали_у0' точку MQ и, начиная от нее, строим первую касательную к интегральной кривой по тангенсу у/; для этого откладываем на оси X в произвольном масштабе отрезок Af0i4e, равный единице, а на перпендикуляре к нему отрезок АиВ0 в том же масштабе и равный у0'; точка Nt( будет точкой пересечения касательных. От точки Nx строим таким же образом новую касательную с тангенсом ух' и продолжаем ее до пересечения с вертикалью "^У1^""Уа ; эта точка будет N2 и т. д. В результате получаем ломаную линию, объемлющую интегральную кривую.

Соединив теперь точки MQ,MV . . . плавной кривой, мы и получим искомую интегральную кривую.

Если уравнения (7) мы получить, не можем т.-е. не сможем выразить X в явной форме, то предыдущие рассуждения приводят нас к следующему построению интегральной кривой.

Строим по уравнению

У =/'(*)

диференциальную кривую (черт. 3).

Берем на ней какую-либо точку Nv проводим через нее вертикаль и затем на пересечении этой вертикали с осью X (нижняя часть

Черт. 2.

Черт. 3.

Черт. 4.

чертежа) замечаем точку Мл% из которой проводим прямую с тангенсом, равным j//.

Даем ух' какое-нибудь приращение Ду/, откладываем на оси Y отрезок ух' -f- ДУ!' и проводим линию параллельную оси X до пересечения ее диференциальной кривой в точке N2.

Из точки 7V2 проводим вертикаль до пересечения ее в точке М2 с прямой, исходящей из Ми и т. д.

Дальнейший процесс построения ломаной линии ясно виден на чертеже.

Соединив теперь плавной кривой (не показанной на чертеже) точки Мх, Мь, Мъ, Mv . . . , т.-е. нечетные точки, мы получим искомую интегральную кривую.

Для удобства черчения удобнее для ухг и д^' брать какие-нибудь круглые числа.

Диференциальная кривая может быть не только задана уравнением; она может быть какая угодно эмпирическая кривая или просто нарисованная от руки. В последних случаях по интеграции мы можем графическими приемами получить аналитическое выражение интегральной кривой1).

Из всего вышеизложенного вытекает, что настоящий способ имеет перед способом проф. Massau то преимущество, что он дает возможность более точно нанести точки прикосновения касательных к интегральной кривой, а следовательно и сама интегральная кривая получает более правильное очертание. Вместо того, чтобы при каждой точке пересечения строить треугольники, можно ограничиться следующим построением (черт. 3):

Откладываем влево от начала координат по оси X единицу и конец отрезка Р принимаем за полюс; затем на оси ординат от О откладываем отрезки, численно равные соответствующим тангенсам углов касательных к интегральной кривой или, следовательно, равные соответственным ординатам диференциальной кривой. Соединив концы этих отрезков с полюсом Р, получим ряд лучей параллельных касательным к интегральной кривой.

Имея теперь направление касательных, не трудно вышеуказанным способом воспроизвести всю интегральную кривую; ход построения ясен из чертежа 3.

Если чертеж делается на клетчатой бумаге, то построение треугольников на практике лает более точное решение, так как при проведении параллельных линий возможны лишние ошибки сверх получаемых при нанесении отрезков.

На чертеже 4 для иллюстрации показано построение интегральной кривой по данной диференциальной / = л: .

Как видно из чертежа в тех местах, где диференциальная кривая делает более крутой изгиб, интервалы следует делать меньше, увеличивая их по мере выпрямления кривой. На чертеже 4 взято три серии интервалов, и, как видно из чертежа, решение получилось вполне удовлетворительным.

Так как в приведенном примере касательные вполне ясно обрисовывают интегральную кривую, то для того, чтобы не затемнять чертежа, точки касания (на чертеже показанные кружками) плавной кривой не соединены.

1) Побединский Б. Т. Интерполяция в графической математике. Изд. 1928 г.

О ПОСТРОЕНИИ И СВОЙСТВАХ НЕКОТОРЫХ ЧЕВИАН.

С. Зетель (Москва).

Прямые, исходящие из вершин треугольника и пересекающиеся в одной точке, называются прямыми Чевы, или чевианами.

Прямые Чевы делят противоположные стороны так, что произведение трех неприлежащих отрезков равно произведению трех других неприлежащих отрезков

Черт. 1.

Приведенная теорема обратима, т.-е. если существует равенство (1), то ЛД BE, CF пересекаются в одной точке.

Прямые, выходящие из вершин треугольника и делящие противоположные стороны пропорционально п-й степени прилежащих сторон, — чевианы (чертеж 1).

Действительно, пусть AD, BE и СЕ—прямые, удовлетворяющие данным условиям, т.-е.

Отсюда

Поставим следующую задачу: построить чевианы, делящие стороны треугольника пропорционально п степеням прилежащих сторон. При я = 0, л — 1 чевианы будут медианами и биссектрисами. Итак, для двух случаев построение известно. Решение этой же задачи в общем виде нам не приходилось встречать и в полных курсах «Новой геометрии треугольника», только в частном случае, для п— 2, задача решена. Чевианы, делящие стороны пропорционально квадратам прилежащих сторон, могут быть легко построены; они носят название симедиан, обладают рядом весьма интересных свойств, изученных главным образом Лемуаном (Lemoine).

Цель настоящей статьи дать решение этой задачи для всякого целого л (/î>0 и п<0) и рассмотреть свойства этих чевиан. Ясно, что для /г = 0, п~\ и п = 2 мы получим известные свойства медиан, биссектрис и симедиан.

Дадим два способа решения нашей задачи. Первый - переход от п к Л-f- 1.

По данной чевиане, делящей сторону треугольника в отношении п степеней прилежащих сторон, построить чевиану, делящую ту же сторону s отношении п-~\ степеней.

Пусть ВМ—данная прямая. Тогда (чертеж 2)

Разделив АС пропорционально отрезкам РА и QC, найдем основание искомой чевианы.

Для обоснования второго способа построения чевиан обратимся к рассмотрению изотомических и изогональных прямых в треугольнике.

Две прямые, соединяющие вершину треугольника с точками, равноотстоящими от середины противоположной стороны, называются изотомическими прямыми1). Из определения изотомических прямых следует, что если данная прямая BE (чертеж 1) делит сторону треугольника в отношении (—] , то ей изотомическая ВЕг делит ту же сторону в отношении Г J = - (-гГ-

Следствие. Прямая изотомическая биссектрисе делит противоположную сторону на части обратно - пропорциональные прилежащим сторонам. Эта прямая называется антибиссектрисой2).

Две прямые, проходящие через вершину треугольника и составляющие равные углы с биссектрисой, проведенной из той же вершины, называются изогональными прямыми треугольника3).

Приведем теорему Штейнера об изогональных прямых.

Если изогональные прямые треугольника ABC, проведенные через вершину В, пересекают сторону АС в точках M и N (чертеж 2), то

Черт. 2.

Так как

(2), (3).

Перемножая равенства (2) и (3), получаем

Применим теорему Штейнера к частному случаю.

Пусть

Следствие. Прямая изогональная медиане — симедиана—делит противоположную сторону пропорционально квадратам прилежащих сторон. В прямоугольном треугольнике симедиана, проведенная из вершины прямого угла, совпадает с высотой.

1) Ефремов. Новая геометрия треугольника, стр. 132.

2) Там же, стр. 136.

3) Там же, стр. 119.

Свойства изотомических и изогональных прямых дают нам возможность высказать следующее положение.

По данной чевиане, делящей сторону треугольника в отношении п степеней прилежащих сторон, возможно построить чевиану, делящую сторону треугольника в отношении п -f-2 степеней тех же сторон.

Пусть BL (чертеж 2) делит сторону АС так, что -j-^ = {—) •

Построим прямую BN изотомическую BL, тогда

AN _ / с \~п NC \ а ' '

Построим ВМ изогональную BN, тогда

Итак, задача о построении интересовавших нас чевиан разрешена. Теперь обратимся к изучению их свойств.

I. Чевиана, делящая сторону треугольника в отношении п степеней прилежащих сторон, является геометрическим местом точек, расстояния от которых до прилежащих сторон треугольника п — 1 степени соответствующих сторон.

Пусть /Ш-одна из этих чевиан (чертеж 2); MF±_AB, MD J_ ВС;

Пусть К— произвольная точка на прямой ВМ; КЕ_[_АВ; KG ±_ВС;

КЕ _ FM __ сп~х KG ~ MD ~ an-i '

При п = 0 получим: медиана—геометрическое место точек, расстояние от которых до прилежащих сторон, обратно - пропорционально этим сторонам.

При /г = 1 KE = KG (свойство биссектрисы).

При я = 2 симедиана—геометрическое место точек, расстояние от которых до прилежащих сторон треугольника прямо - пропорционально этим сторонам.

II. Расстояние от точки пересечения чевиан до соответствующих сторон пропорционально п — 1 степени этих сторон. Точку пересечения чевиан назовем центром чевиан. Центр симедиан называю точкой Лемуана.

III. Определим расстояния от центра чевиан до соответствующих сторон. Пусть расстояния от центра чевиан до сторон а, Ь, с соответственно равны X, у, z. Тогда

где S — площадь треугольника

При п~0 При п = 1

где г—радиус круга, вписанного в треугольник. При п = 2 и а1 = V1 -f- с1, имеем

Следовательно, в прямоугольном треугольнике симедианы пересекаются на середине высоты, опущенной из вершины прямого угла.

IV. Проведем через центр чевиан прямые параллельные сторонам треугольника (чертеж 3). В дальнейшем будем называть эти прямые параллелями.

Найдем величину отрезков ЛХ, MN и PQ:

На основании равенства (5) Отсюда получаем

Интересен частный случай для л = — 1. При этом условии получаем:

Итак, отрезки сторон треугольника, заключенные между параллелями, проведенными через центр антибиссектрис, равны между собой.

Черт. 3.

Для прямоугольного треугольника при п=\ из равенства (6) получаем следствие: отрезок на гипотенузе, заключенный между параллелями, проведенными через центр вписанного круга, равен сумме соответственных отрезков на катетах.

V. Мы определили длину отрезка АХ, расположенного на стороне Ь; определим отрезки АК и LC (чертеж 3).

Следовательно, AK : KL : LC = cn : bn : an.........(7)

Для прямоугольного треугольника при п = 2 получаем следующее свойство. Параллели, проведенные через середину высоты, отсекают на сторонах треугольника отрезки, связанные следующей зависимостью: средний отрезок на гипотенузе равен сумме крайних, а отрезок на катете, прилежащий к гипотенузе, равен сумме двух других отрезков, отсеченных на том же катете.

VI. Шестиугольник QLKNMP (чертеж 3) удовлетворяет условию теоремы Паскаля; следовательно, шесть названных точек лежат на коническом сечении. Посмотрим, при каком п это коническое сечение будет кругом.

Составим произведение отрезков

При п = 2 KG GN=QG . GL = PG . GM. Коническое сечение — круг. Шесть точек пересечения сторон треугольника с параллелями, проходящими через точку Лемуана, лежат на одной окружности, называемой первой окружностью Лемуана.

При п = 2 получаем еще одно интересное свойство

Следовательно, /_ АРК— Z АСВ. PK— прямая антипараллельная ВС. На основании полученного можно определить симедиану, как прямую, делящую прямые антипараллельные противоположной стороне пополам. Далее имеем

Антипараллели, проведенные через точку Лемуана, имеют постоянную длину, равную ä2 + ti + (fl ■

В точке Лемуана эти антипараллели делятся пополам, а потому шесть точек пересечения сторон треугольника с антипараллелями, проведенными через точку Лемуана, лежат на окружности, называемой второй окружностью Лемуана.

Для прямоугольного треугольника диаметром этой окружности служит высота, опущенная на гипотенузу.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 2-й СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ В РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ.

П. Сапунов (Владимир).

Уравнение

Ax2-\-Bxy-\-Cy2-\-Dx-{-Ey + F=0 .... (1)

легко решается в рациональных числах, если возможно представить его в форме кратной пропорции, все члены которой линейные функции переменных x и у.

В самом деле, если уравнение (1) может быть представлено в форме пропорции:

(2):

то, обозначая каждую часть равенства (2) через m (рациональное число), получим систему двух линейных уравнений с двумя переменными х и у:

Решая эту систему, найдем х и у в зависимости от рационального числа т.

Уравнение (1) чрезвычайно легко может быть представлено в форме кратной пропорции в следующих частных случаях:

1 ) Ах2 -р Dx -f- F разлагается на 2 лин. рац. множителя

2) Cy2-\-Ey + F » » 2 » » »

3) Ах2 \-ВхуСу2 » » 2 » » » Примеры:

1) Зад. № 48 из журнала «М. О.», № 6. Решить в рациональных числах уравнение:

так как

то данное уравнение можно представить в форме пропорции:

откуда

где m рациональное число. Отсюда

Решая систему уравнений, получим:

2) Решить в рациональных числах уравнение:

так как

2х2 -f Зху — 2у2 m (X -f 2у) (2х —у),

то данное уравнение может быть представлено в форме:

(X + 2у) (2х —у) = Ъх + Зу — 1,

откуда

где m рациональное число. Отсюда:

Решая эту систему уравнений, найдем:

3) № 7 из № 1 за 1928 г. Найти два рациональных числа, сумма которых равнялась бы сумме их квадратов.

или

откуда откуда

По этому же принципу легко разрешаются и уравнения с большим числом неизвестных.

4) Решить в целых числах уравнение:

где тип взаимно-простые целые числа. Отсюда

xn = mz-\- ту хт = nz — пу,

исключая X, находим:

m-z -f- ?п2У = n2z — п2у,

откуда

Для у целого необходимо, чтобы z = k(m2J\-ri1)i так как п2 — т2 и m2 -f- п2 числа взаимно-простые.

Тогда у = k (п2 — т2) и x = 2kmn, где m и п целые числа.

МОРФОЛОГИЯ ВЫПУКЛЫХ МНОГОГРАННИКОВ.

С. А. Богомолов (Ленинград).

Учение о многогранниках пользуется у нас малой известностью: с одной стороны, общеобразовательная школа не может входить в такие подробности, несмотря на элементарность и наглядность большинства возникающих здесь вопросов; с другой стороны, и в высшей специальной школе не находится места для подобного курса. Между тем учение это представляет интерес как с чисто геометрической стороны, так и со стороны возможных приложений (например, в кристаллографии); наконец, по своему характеру оно в некоторых своих частях тесно связано с элементарной геометрией, являющейся предметом школьного преподавания. Этим я не хочу сказать, что затрогиваемые здесь вопросы следует вносить в школу; но для преподавателя может оказаться не лишним ознакомиться с ними; это не только расширит его кругозор, но и может быть частично использовано для занятий в кружках.

В первой части настоящей статьи я перечислю основные теоремы о многогранниках (речь будет итти только о выпуклых формах), не входя, однако, в доказательства и ограничиваясь ссылкой на литературу; я только остановлюсь подробней на следствиях из теоремы Эйлера. Во второй части будет разобран вопрос о построении всевозможных типов /г-гранников при данном числе п граней1).

I. Основные теоремы о выпуклых многогранниках.

1. Теорема Эйлера (1752 г.): Во всяком выпуклом многограннике имеет место соотношение:

(1) . . . e+f=k + 2,

где е—число вершин, /—число граней и k—число ребер (указанная теорема имеет место не только для выпуклых многогранников, но этих обобщений я касаться не буду). Существует несколько различных доказательств теоремы Эйлера, которые уже начали просачиваться в учебники; помимо более подробных курсов, которые будут указаны ниже, можно сделать еще следующие ссылки:

Филипс и Фишер. Элементы геометрии (1913), стр. 325—326.

Герхер. Учебник элементарной геометрии (Гиз, 1922), стр. 50—51.

Душин. Курс элементарной геометрии (1923), стр.193—194; теорема доказана только для правильных многогранников.

2. Теорема Лежандра (1809): Если известно число граней многогранника, их наименования и способ их соединения, то число данных, необходимых для полного определения многогранника, равно числу его ребер.

Теорема верна для всех многогранников, удовлетворяющих формуле Эйлера; доказательство ее можно найти в следующих книгах: Legendre. Éléments de Géométrie (1840), p. 232. Ващенко-Захарченко. Начала Евклида (1880), стр. 612. Brückner. Vielecke und Vielflache (1900), p. 66.

3. Теорема Коши (1812): Два выпуклых многогранника, у которых грани соответственно равны и одинаково расположены, будут равны между собой.

Скажу несколько слов об истории этой теоремы.

1) Настоящая статья является изложением двух докладов, сделанных в ОРМО осенью прошлого года.

В XI книге «Начал» Евклида имеется такое определение (цитирую по книге Ващенко-Захарченко): «Равными и подобными телами называются такие, которые ограничены одинаковым числом равных и подобных плоскостей». Давно уже было замечено, что это определение включает в себе известную теорему, но доказал последнюю впервые Коши; его доказательство можно найти у Ващенко-Захарченко (стр. 608—611). Однако это рассуждение содержит один пробел, который был восполнен Лебегом; исправленное доказательство изложено в курсе:

Hadamard. Leçons de Géométrie élémentaire, t. II, p. 596—601.

4. Теорема Минковского (1897): Выпуклый многогранник вполне определяется площадями своих граней и направлениями их нормалей.

В противоположность предыдущим, доказательство этой теоремы весьма сложно; впервые оно изложено Минковским в его статье «Allgemeine Lehrsätze über konvexe Polyeder» (Gött. Nachr. 1897) и повторено во II томе собрания сочинений1).

Перечислив основные теоремы о выпуклых многогранниках, мы выведем некоторые соотношения между числами, характеризующими многогранник; это будут обычные следствия из теоремы Эйлера. Указанные соотношения имеют непосредственное отношение к нашей теме.

Введем еще следующие обозначения:

f.... число /—угольных граней в многограннике;

et число i—гранных вершин.

Таким образом имеем равенства:

(2) . . . /=/3+/4+/5+/6+. . .

(3) . . е = е% + в1 + еь + е%+ . . .

Далее каждая /—угольная грань имеет i ребер, но каждое из этих ребер входит в состав еще одной грани, смежной с первой, так что легко понять соотношение:

И) - - - 3/з + 4/, + 5/5 + 6/0+. . =2k;

точно так же получим:

(5). . . 3*, +4^ + 5*5+6ев+ . . .=2*.

Выведенные таким образом уравнения (1)—(5) и послужат нам основой для дальнейших заключений.

Прежде всего бросается в глаза, что в этих уравнениях можно переставить буквы е и /, оставляя на месте букву k; следовательно, существует известного рода взаимность, в силу которой такую же перестановку можно делать и во всех формулах, выведенных из уравнений (1)—(5). Конкретное воплощение этой взаимности можно дать, перейдя от данного многогранника к многограннику, взаимно полярному с ним относительно некоторого шара: числа граней и вершин при этом поменяются местами, а число ребер останется неизменным.

Далее выведем некоторые неравенства; из формулы (4) следует, что

2^>3/3 + 3/4 + 3/5 + 3/6+. . . ,

или:

(6) . . . 2£>3/;

тогда формула Эйлера дает:

2/+ 2е — 4>3/,

1) Это доказательство служило предметом доклада проф. Б. Н. Делонэ в одном из собраний ОРМО.

откуда:

/<2е — 4.

На основании закона взаимности отсюда найдем:

é><2f — 4,

или:

/>2-+2-Соединяя окончательно, получаем:

(7). . . -f + 2</<2e-4,

и здесь опять можно переставить буквы е и /:

(*)•.. -£+2<é><2/— 4.

Если, например, речь идет о 6-гранниках, то возможное для них число вершин определяется неравенствами:

5 0<8;

ниже мы увидим, что все эти случаи действительно имеют место.

Сам Эйлер основывался на неравенствах (7) для своей классификации многогранников; он сначала подразделял их по числу вершин, а затем перечислял различные возможные случаи для числа граней.

То же самое равенство (4) может быть переписано так:

Л+/б+Л+/е+. • •=2Ä-{2/8+4/4 + 4/, + 6/e + 6/7+. . . },

откуда следует, что общее число граней нечетного наименования само должно быть четным; на основании начала взаимности подобное же можно утверждать и о вершинах. Отсюда, например, вытекает, что из 7 треугольников, 6 пятиугольников и любого числа четыреугольников нельзя образовать многогранник.

Мы видели выше, что при данном числе граней число вершин колеблется в известных границах; но если нам даны наименования граней, то число вершин определяется вполне. В с. д., на основании формул (1), (2) и (4) имеем:

2е = 2k - ?/+ 4 = 4 + Ij . ft - 2Е/„

или:

(9) . . 2е = 4+/3 + 2/1 + 3/5-!-4/6+. . .; по началу взаимности отсюда выводим:

(10). . 2/=4+e,4-2e44-3eB + 4é?,+ . . .

Формула (9) решает поставленный выше вопрос; если, например, речь идет о многограннике, составленном из 8 треугольников и 6 четыреугольников, то для него £ = 12 (что такой многогранник существует, видно на примере кубооктаэдра).

Наконец, мы получим весьма важный для последующего результат, если умножим равенство (10) на 2 и сложим с равенством (9), воспользовавшись в то же самое время формулами (4) и (5);

4(/к+Л+/в+/б+...)4-2(е, + *1 + «» + «. + ...) = 8 + 2*з + + 4е, 4-бе-0 + 8е«+...+ 4 +/, + 2/, +3/5 + 4/в+...;

после упрощений найдем:

(11). . . 3/s+2/4+/5 = 12+/7 + 2/8+... + 2el+4eR+6ee+...;

отсюда же, очевидно, вытекает неравенство:

(12). . . 3/,+ #,+/,> 12,

и подобное же можно написать для е3, ev еъ.

Неравенство (12) говорит, что невозможен многогранник, в котором совсем не было бы граней наименований 3, 4, 5; если же во многраннике нет треугольных и четыреугольных граней, то в нем должно быть, по крайней мере, 12 пятиугольных граней, и т. д.

На этом мы заканчиваем вывод следствий из основных уравнений1); и в заключение заметим, что все выведенные условия необходимы для существования многогранника, но еще недостаточны для этого. Так, Брюкнер приводит пример такого задания характеризующих чисел:

/з = 4> /б = 2; es = 6> е4 = 1,

которое удовлетворяет всем нашим условиям, а соответствующий многогранник невозможен, ибо при наличии двух 5-угольников необходимо, по крайней мере, 8 вершин. Это показывает, что если бы мы пожелали перечислять различные типы многогранников, основываясь на уравнениях (1)—(5), то для каждого решения их понадобилось бы особое доказательство существования.

II. Морфология многогранников.

В этой главе мы займемся задачей о построении всевозможных различных типов многогранников, имеющих одно и то же данное число граней; пособиями служат следующие книги:

Eberhard. Zur Morphologie der Polyeder (1891).

Федоров. Основания морфологии и систематики многогранников (1893). Brückner. Vielecke und Vielflache (1900);

Отметим сейчас же, что содержание названных работ далеко не исчерпывается теми вопросами, которые будут здесь затронуты.

Еще Штейнер поставил вопрос об определении числа различных типов я-гранников по данному п\ ответа в виде готовой формулы, которая позволяла бы по данному п вычислить искомое число, нет и поныне. Некоторые трудности этой задачи станут ясны из дальнейшего; Брюкнер даже сомневается, чтобы на вопрос Штейнера можно было ответить вычислительным путем. Остается, однако, путь действительного построения различных типов, возможных при данном п, после чего, конечно, никто нам не помешает сосчитать их число.

Во второй половине XIX столетия были предложены различные способы для указанных построений—преимущественно английскими и немецкими математиками; кроме упомянутых выше, здесь следует назвать имена: Мебиуса (1858), Кэли (1860), Жордана (1866), Киркмана (1855) и Гермеса (1894—1896). Дальнейшие подробности, равно как и ссылки на литературу, читатель может найти у Брюкнера.

Уточним нашу задачу следующими определениями. Прежде всего всякие отношения меры мы оставляем в стороне; здесь для нас важно лишь наименование и расположение граней и телесных углов многогранника. Два многогранника называются изоморфными («видимо—однородными» по Федорову), если они имеют одно и то же число соответственно одноименных граней, которые в тех же сочетаниях сходятся у соответственных

1) Существуют, конечно, и другие интересные соотношения; так сочетая формулы (9) и (10), можно вывести такое:

вершин; о многогранниках, изоморфных друг с другом, будем говорить, что они принадлежат одному и тому же типу. Так, например, куб, любой параллелепипед, любая 4-угольная призма и вообще всякий 6-гранник, образованный шестью 4-угольниками, будут одного и того же типа (единственность типа такого 6-гранника вполне выяснится ниже).

Изоморфные многогранники могут отличаться друг от друга в том самом отношении, в котором мы различаем конгруентные фигуры от симметричных; мы имеем в виду различие в «смысле». Проще всего будет пояснить это примером; на черт. 1 многогранники а и Ьу очевидно, изоморфны, так как они составлены из одного и того же числа соответственно одноименных многоугольников, которые в тех же сочетаниях образуют телесные углы многогранника; однако, если мы от треугольника № 1 перейдем к 4-угольнику № 2, а затем к 6-угольнику № 3, то в одном многограннике мы будем перемещаться по движению часовой стрелки, а в другом — против. Эти соображения приводят к тому, чтобы различать прямо- и отраженно-изоморфные многогранники; Федоров, будучи кристаллографом, привыкшим отличать так называемые энантиоморфные формы кристаллов, говорит в последнем случае о двух различных типах; Эбергард же довольствуется указанием одного из них, так как получение другого не представляет затруднений: надо только отразить первый многогранник на плоскости одной из его граней и посмотреть, происходит ли от этого различие в смысле или нет (ясно, что если эту операцию проделать на многограннике с, то ничего нового не получим). Ради упрощения дела мы формулировали определение изоморфизма таким образом, что оба случая объединяются в одну группу, и на указанном различии мы больше останавливаться не будем.

Наконец, два многогранника будем называть алломорфными, если они составлены из одного и того же числа соответственно одноименных граней, которые, однако, различным образом сочетаются при вершинах наших тел. Так многогранники а и с на черт. 1 образованы каждый из двух треугольников, двух 4-угольников, двух 5-угольников и двух 6-угольников, причем число вершин одно и то же и все они—трехгранны; но многоугольники эти располагаются различным образом, что видно хотя бы из того, что в случае а имеется трехгранный угол, образованный двумя 5-угольниками и 6-угольником, а в случае с такого угла нет. Впервые алломорфные типы встречаются у 8-гранников; а у 10-гранников известный набор граней может давать уже до 11 алломорфных типов.

Кстати о чертежах; они построены по следующему способу: одна из граней многогранника (обыкновенно—высшего наименования) выбирается в качестве основной, и затем задается точка вне многогранника и достаточно близко к указанной грани; наконец, из этой точки проектируются на основную грань все остальные вершины и ребра многогранника. Получается так называемая «сетка» многогранника, которая вполне применима там, где речь идет лишь о типе многогранника; некоторое неудобство

Черт. 1.

этого способа заключается в том, что в зависимости от выбора основной грани меняется вид сетки; а это может иногда, при отсутствии должной осторожности, повести к неверным заключениям.

С точки зрения морфологии многогранники делятся на общие и частные. Многогранник называется общим, если все его телесные углы—трехгранны, и частным, если у него имеется хотя бы один телесный угол высшего наименования. Основанием для такого деления служит то обстоятельство, что в совокупности произвольно данных плоскостей вообще каждые 3 плоскости пересекаются в одной точке; но для того, чтобы через одну точку прошло большее число плоскостей, нужно особое расположение их.

Сейчас мы обращаемся к морфологии общих многогранников.

Легко видеть, что в этом случае равенство (5) превращается в более простое:

3e = 2k\

присоединяя сюда формулу Эйлера, получаем для общего /г-гранника следующие уравнения:

(13). . . f=n\ е = 2п — 4; Ä = 3/г — 6,

которые позволяют определить числа его вершин и ребер.

Читатель сам убедится без труда, что при каждой вершине общего многогранника, за исключением тетраэдра, имеется не более одного треугольника.

Так как все отношения меры мы оставили в стороне, то легко понять, что можно в известных границах непрерывным образом менять положение плоскостей, ограничивающих данный многогранник, причем его тип будет оставаться тем же самым. Изменение типа произойдет лишь при исчезновении одного из «ребер скрещивания». Это важное понятие было введено и исследовано Эбергардом (I.e., р. 21—24). Пусть ребро AB является общим для граней а и ß (черт. 2а); концы его А и В служат вершинами еще двух других граней j и b (другого расположения граней не может быть, так как многогранник общий); об этих последних гранях будем говорить, что они ограничивают ребро AB. Так вот, если ограничивающие грани не пересекаются на поверхности многогранника, то данное ребро называется ребром скрещивания. Так, например, каждое ребро многогранника типа d (черт. 9) обладает этим свойством; а для многогранника типа а ребро pq будет ребром скрещивания, a uw—нет. Легко также убедиться, что сторона треугольной грани не может быть ребром скрещивания, ибо ограничивающие его грани пересекаются по ребру, исходящему из 3-й вершины треугольника (это можно проверить на том же типе а).

Вернемся к многограннику, часть которого изображена на черт. 2а, и будем менять наклон граней 7 и 8 таким образом, чтобы ребро скре-

Черт. 2.

щивания AB беспредельно уменьшалось, а в остальном тип многогранника не изменялся; Эбергард подробно доказывает, что это возможно. Когда ребро AB обратится в нуль (черт. 2b), то, очевидно, произойдет существенное изменение в морфологических свойствах многогранника, и он даже перестанет быть общим, обратившись в частный. Этот момент процесса будет для нас очень интересен в дальнейшем; но сейчас мы на нем не остановимся, а будем продолжать изменение наклона граней у и о, так что появится ребро CD (черт. 2с), по которому они станут смежными, а грани аир станут ограничивающими это ребро; легко видеть также, что наименования граней т и 8 увеличатся на единицу, а граней а и р уменьшатся тоже на единицу. Указанный процесс, приводящий к изменению типа многогранника (при сохранении числа его граней), будем называть «скрещивание ребер». Нетрудно понять, что совершать указанный процесс над ребром, которое не является ребром скрещивания, нельзя, ибо он поведет тогда к уничтожению самого многогранника.

Таким образом скрещивание ребер позволяет, зная один л-гранник, получать /г-гранники других типов. Так, если мы возьмем 7-гранник а (черт. 9) и будем скрещивать ребро pq, то крайние треугольники обратятся в 4-угольники, смежные по новому ребру, а это ребро разделит 5-угольники, полученные из прежних 6-угольников; т.-е. мы придем к типу d. Точно так же, скрещивая ребро uv> получим тип Ь, и т. д.

Я не буду останавливаться дольше на этом способе, так как намерен со всей подробностью изложить построение общих /г-гранников из общих (п—1 )-гранников с помощью трех основных действий; построение это принадлежит Эбергарду, а взаимное построение для многогранников с одними треугольными гранями было указано еще Мебиусом.

На основании неравенства (12) можно утверждать, что в каждом многограннике должны быть грани, по крайней мере, одного из наименований 3, 4, 5. Поэтому все /г-гранники можно разделить на три группы:

Рп] . . . многогранники, имеющие хотя бы одну треугольную грань;

Рпп . . многогранники, не имеющие треугольных граней, но имеющие хотя бы одну 4-угольную грань;

Рпт . . . многогранники, не имеющие ни треугольных, ни 4-угольных граней, и, следовательно, имеющие 5-угольные грани.

Возьмем один из Рп] и остановимся на какой-нибудь его треугольной грани (черт. 3); если отбросить плоскость этой грани, то смежные с ней грани пересекутся в точке О, образуя при ней трехгранный угол; таким путем мы получим один из Pn_v Обратно, если взять один из общих {п—1)-гранников (все равно какой группы) и отсечь от него при к.-л. вершине треугольную пирамиду, наблюдая только за тем, чтобы секущая плоскость проходила через внутренние точки ребер, сходящихся в выбранной вершине, то, наверное, получим один из РпК Такое построение будем называть притуплением вершины; это — первое из упомянутых выше основных действий.

Переходим теперь к Рни, и выбираем одну из его 4-угольных граней (черт. 4); если мы опять отбросим эту грань, то может, конечно, случиться, что смежные грани пересекутся в одной точке, образуя при ней 4-гранный угол; но этого случая легко избежать, изменяя достаточно мало наклон одной из смежных граней (без изменения типа многогранника).

Черт. 3.

Таким образом можно считать, что получится фигура, изображенная пунктиром на черт. 4; здесь тоже мы приходим к некоторому Р„_,, который уже может содержать и треугольные грани, ибо наименования граней а и ß при этом понижаются на единицу. Обратно, при помощи притупления ребра такого Рп_^ получается один из PJ1.

Наконец, берем Рпт и его 5-угольную грань (черт. 5); отбрасывая эту грань, мы получим в общем случае (которого всегда можно добиться) один из Pn_v часть которого изображена пунктиром на черт. 5; заметим, что грань а будет иметь в нем наименование, по крайней мере, равное 6, а грани ß и s могут быть 4-угольниками (надо вспомнить, что все грани первоначального многогранника были наименований 5 и выше). С помощью обратного процесса—притупления двух ребер с общей вершиной—из такого Ри_1 мы получим один из Рн,м .

Черт. 4. Черт. 5.

Итак, если все Рм__г уже построены (речь идет, конечно, только о различных типах), то всевозможные Рп можно получать следующим образом:

1) Рп] получаются с помощью притупления вершин у Р {n_v Рпм-1,

2) Рп11 получаются с помощью притупления ребер у Ри Ршп-Н и У таких Р1 я—1, у которых после этой операции не останется треугольных граней;

3) Рмш получаются с помощью притупления двух ребер у Р и у таких Рпм-1, у которых после этой операции не останется 4-угольных граней.

В книге Федорова мы тоже найдем описания этих трех основных действий, причем он делает одно указание, направленное к сокращению числа построений: «нет надобности применять одного и того же процесса притупления к равнозначным элементам, т.-е. таким, с точки зрения которых многогранник имеет одинаковую видимость». Другими словами, равнозначные элементы имеют одинаковое расположение по отношению к остальным элементам многогранника; вполне же определенно можно ввести это понятие следующим образом. Совершенно ясно, что каждый многогранник будет изоморфен с самим собою, если каждой вершине отнести ее самое (и соответственным образом соотнести грани); но в некоторых случаях многогранник может оказаться изоморфным самому себе при таком соотнесении его элементов, что вершине А будет соотнесена некоторая другая вершина В; в таком случае мы говорим, что А равнозначна В (Федоров говорит в подобных случаях о «видимой симметрии»). Легко сообразить, что это определение можно распространить и на ребра многогранника. Так, например, все вершины тетраэдра и параллелепипеда равнозначны, и то же самое можно сказать об их ребрах; далее во многограннике, изображенном на черт. 8а, вершины pnq, rnv, suit, tnw будут равнозначными.

Заговорив о книге Федорова, следует упомянуть о другой ее особенности, а именно—о выражении типа многогранника с помощью особых символов; эти символы состоят из небольшого ряда чисел и позволяют быстро начертить сетку многогранника, но, к сожалению, в немногих словах нельзя выяснить суть дела.

Изложенный выше способ для построения общих я-гранников мы приложим теперь к случаям п = 4, 5, 6, 7. Было указано уже, что притупление ребра применяется к Я1п_г только в том случаи, если после этой операции у него не останется ни одной треугольной грани; легко видеть, что это возможно лишь в 2-х случаях: \) Р1 п_х имеет только одну треугольную грань, и мы притупляем ребро, исходящее из ее вершины (тогда этот треугольник превращается в 4-угольник); 2)Р1п_г содержит только две треугольные грани, не имеющие общих сторон, но соединенные ребром, идущим от вершины одной грани к вершине другой (напр., ребро pq на черт. 8а); притупляя это ребро, мы оба треугольника превратим в 4-угольники. Что же касается притупления двух ребер с общей вершиной, то уже выше было замечено, что можно ограничиться применением этого действия к тем Pn_v которые имеют грани наименования 6 или выше; в дальнейшие условия здесь можно не входить. Этих указаний для нашей цели будет достаточно, и мы переходим к намеченным построениям.

Общие четырехгранники.

При п = 4 формулы (13) дают:

/=4, е — 4, k = 6; каждая из 4-х граней должна быть треугольником, так как в противном случае число вершин многогранника было бы больше четырех; если еще принять во внимание, что эти 4 треугольника должны сочетаться в 4 трехгранных угла, то станет совершенно ясно, что для 4-гранников существует только один тип, а именно—тип тетраэдра (на черт. 6 изображена его сетка; пунктирные линии пока оставим в стороне).

Общие пятигранники.

Согласно изложенному выше, мы получим их, применяя к тетраэдру основные действия; но сейчас же можно заметить, что 2-е и 3-е действия здесь не потребуются, и в нашем распоряжении остается лишь притупление вершин. Далее все вершины тетраэдра—равнозначны, и достаточно притупить только одну из них, так что и здесь получится один единственный тип. Это притупление показано пунктирными линиями на черт. 6; легко видеть, что получается многогранник типа трехгранной призмы; его сетка, отнесенная к 4-угольной грани, изображена на черт. 7 (если обращать внимание лишь на сплошные линии).

Черт. 6.

Черт. 7.

Общие шестигранники.

Они получаются из предыдущего типа с помощью основных действий, причем 3-е действие можно сейчас же устранить (оно делается необходимым при большем числе граней). Опять-таки нетрудно убедиться, что все вершины многогранника черт. 7—равнозначны; притупляя одну из них (именно вершину А; см. пунктирные линии), получаем многогранник, в котором 2 треугольника разделены двумя 5-угольниками и соединены двумя 4 -угольниками; его сетка, отнесенная к одной из

5-угольных граней, изображена на черт. 8а. Второе основное действие здесь также применимо: надо притуплять одно из ребер, соединяющих треугольные грани. Но так как эти 3 ребра равнозначны, то достаточно притупить одно из них, именно AB; выполняя это действие (прерывистые линии), приходим к многограннику, ограниченному шестью 4-угольниками;

его сетка снова изображена на черт. 8Ь, и это будет тип параллелепипеда.

Итак, для п — Ь имеем всего 2 типа.

Общие семигранники.

Мы построим их, исходя из предыдущих 2-х типов и применяя к ним основные действия, причем и здесь 3-е действие не понадобится. Остановимся сначала на типе 8а. Применяя указанные выше признаки, можно убедиться, что вершины в каждой из следующих пар:

р и q, г и v, uns, t и w

оказываются равнозначными: далее нетрудно убедиться, что притупление вершин г и 5 приведет к отраженно-изоморфным типам; так что в конце-концов можно ограничиться притуплением вершин q, s и t. Я позволю себе быть здесь более кратким; читатель приглашается сам разобраться во вновь выводимых типах:

1) притупление вершины q дает тип 9а;

2) притупление вершины 5 дает тип 9Ь (только на черт. 9 он отнесен к 6-угольной грани, а сначала, притупляя вершину s, получаем его сетку, отнесенную к 5-угольной грани);

3) притупление вершины t дает тип 9с (здесь его сетка тоже отнесена к 6-угольной грани).

Черт. 8.

Черт. 9.

Далее о многограннике 8а возможно притупление ребра, именно — ребра pq, ибо при этой операции оба треугольника превратятся в 4-угольники; легко видеть, что

4) притупление ребра pq дает тип 9d.

Переходим к многограннику 8Ь; все его вершины равнозначны; нетрудно убедиться, что

5) притупление вершины о дает тип 9е.

Притупление ребер достаточно будет применить к какому-нибудь одному ребру, так как все они равнозначны; притупляя ребро от, мы снова придем к типу 9d.

Итак, существует 5 типов для общих 7-гранников.

Мы только что встретились с повторяемостью типов при построении с помощью основных действий; если бы мы не учитывали равнозначности элементов, то это случалось бы гораздо чаще. Вот эта повторяемость типов и мешает дать непосредственный ответ на вопрос о числе типов л-гранников, зная число (п—1 )-гранников.

Имеются также способы для непосредственного построения общих л-гранников без предварительного вывода многогранников с меньшим числом граней; таков метод Киркман-Гермеса, но, не желая чрезмерно увеличивать размеры статьи, мы отсылаем читателя для знакомства с ним к книге Брюкнера.

В заключение дадим числа типов для разобранных до сих пор значений п:

Число граней .....

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Число типов .....

1

1

2

5

14

50

233

1.250

7.533

Последние 2 числа, указанные Гермесом, требуют еще проверки, так как при обилии типов всегда возможен просмотр. К книге Брюкнера приложены таблицы типов общих я-гранников, кончая значением ^==10, а у Федорова—кончая п = 9.

Переходим к морфологии частных многогранников.

Здесь равенство (5) можно переписать так:

Зе+\еА + 2е6 + Зеш+. . . } = 2£,

или, полагая

(И) . . . P = *4 + 2e5 + 3é?6+ . . . ,

получаем:

Зе-\-р= 2k;

сочетая последнее уравнение с формулой Эйлера и имея дело с п гранями, найдем следующие основные уравнения для частного многогранника:

(IS). . . f=n\ е = {2п — 4) — р; k = {3n — 6)— р,

по которым вычисляются числа вершин и ребер.

Сопоставляя эти уравнения с уравнениями (13), мы видим, что число р, определенное равенством (14), показывает, насколько у частного многогранника меньше вершин (и ребер), чем у общего с тем же числом граней; это число называется степенью частности многогранника. Равенство (14) можно теперь истолковать так, что при образовании 4-гранной вершины теряется одна трехгранная, при образовании 5-гранной теряются 2 трехгранных и т. д.; это станет яснее из последующего.

Найдем наибольшее возможное значение для р при данном п\ из последнего равенства (15) видно, что с увеличением р число k уменьшается, но тогда равенство (4) говорит, что наименования некоторых граней должны также уменьшаться. Далее равенство:

о — (Ъп—6) — k

показывает, что наибольшее значение для р получится при наименьшем значении для а из уравнения (4) следует, что:

2k > 3/;

отсюда находим для р следующую верхнюю границу:

Таким образом получается следующая табличка наибольших значений для р при данном п:

Число граней ....

4

5

6

7

8

9

10

Maximum р......

0

1

3

4

6

7

9

Черт. 10.

Можно доказать, что действительно этот maximum каждый раз достигается; особенно просто это для четного п = 2т: тогда //г-угольная дипирамида решает вопрос.

Что касается построения частных я-гранников, то они получаются из общих #-гранников путем уменьшения до нуля некоторых ребер скрещивания. В самом деле, если мы возьмем какую-нибудь многогранную вершину О частного многогранника (черт. 10а) и в известных границах изменим наклон ее грани а, то эта вершина распадется на 3 трехгранные вершины Д В, С (черт. 10b), и появятся ребра скрещивания AB и ВС. Что эти ребра будут действительно обладать указанным свойством, следует хотя бы из того, что допустить, например, у граней ß и 8 какие-нибудь общие точки на поверхности многогранника (за исключением первоначальной точки О) значило бы вступить в противоречие со свойством выпуклости данного многогранника. Обратно, сокращая до нуля эти ребра скрещивания, мы можем от общего многогранника перейти к частному или повысить степень частности, если уже имелся частный многогранник.

Таким образом путь для построения частных многогранников ясен: знакомый уже нам процесс скрещивания ребер надо прервать в тот момент, когда ребро обратится в нуль (см., например, черт. 2Ь); проделав это со всеми ребрами скрещивания (неравнозначными), мы получим многогранники 1-й степени частности. К этим последним можно снова применять подобную же операцию, причем получаются многогранники 2-й степени частности и т. д.; надо только наблюдать за тем, чтобы при сокращении ребра не уменьшить числа граней или совсем не уничтожить многогранника (так, напр., очевидно, нельзя скрещивать стороны треугольных граней).

Теперь приложим эти общие рассуждения к выводу типов частных /г-гранников для значений п = 4, 5, 6.

Легко убедиться, что частных 4-гранников совсем нет: с одной стороны, наибольшее значение р равно 0 (см. выше), а с другой—все грани тетраэдра суть треугольники, и ребер скрещивания у него не имеется.

Частные пятигранники.

В общем 5-граннике (черт. 7) имеются 3 ребра скрещивания, а именно—ребра, соединяющие треугольные грани; все эти ребра—равнозначны, и достаточно будет сокращать одно из них. Сокращая ребро AB, получаем черт. 11—тип 4-угольной пирамиды. Многогранников высшей степени частности не может быть, ибо в полученном многограннике все ребра являются сторонами треугольников.

Частные шестигранники.

Здесь можно дойти до многогранников 3-й степени частности (см. выше таблицу). В типе 8Ь ребрами скрещивания являются все ребра, и притом все они равнозначны; сокращая ребро mq, находим частный многогранник черт. 12а.

В типе же 8а ребрами скрещивания будут лишь ребра: pq, rt, ts, uwy wv; но легко видеть, что rt и vw, ts и wu—равнозначны, а скрещивание ребер rt и ts поведет к отраженно-изоморфным формам, так что будем исходить лишь из ребер pq и ts. Скрещивание ребра pq приведет снова к типу 12а, а ребро ts даст новый тип 12Ь. Итак, получаем 2 многогранника 1-й степени частности.

В типе 12а стороны треугольников и ребро qr не являются ребрами скрещивания (последнее—потому, что ограничивающие грани имеют общую точку т)\ остаются ребра pq, sry uq и vr, которые все равнозначны (считая за таковые и те, которые приводят к отраженно-изоморфным формам).

Сокращая ребро uq, приходим к типу 13с. В многограннике 12Ь имеем следующие ребра скрещивания: pq, rs, uv; сокращая ребро rs, получаем 13d—тип пятиугольной пирамиды; а сокращение ребер pq и uv приведет

Черт. 11. Черт. 12.

Черт. 13. Черт. 14.

нас снова к типу 13с, в чем читатель убедится без труда. Итак, имеется два многогранника 2-й степени частности.

Наконец, в типе l?d ни одно ребро не подлежит сокращению, а в типе 13с имеется только одно ребро uv, к которому можно применить эту операцию; сокращая его, получаем тип черт. 14 (это есть треугольная дипирамида). Итак, имеется только один 6-гранник 3-й степени частности, и итти дальше уже нельзя, так как все его грани суть треугольники.

Мы встретились и здесь с повторяемостью типов, которая вызывает те же затруднения при определении числа частных я-гранников, которые были отмечены выше по отношению к общим.

Приводим в заключение числа частных я-гранников для тех значений /г, для которых вопрос был разобран до конца:

Число граней .....

4

5

6

7

8

Число типов ......

0

1

5

29

243

Мы видим, что число частных многогранников растет быстрее числа общих; в книге Федорова дается полный вывод частных 7-гранников1).

6 апреля 1929 г.

НЕСКОЛЬКО СЛОВ ПО ПОВОДУ ПРОГРАММ ПРИЕМНЫХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ.

С. Ляшук (Москва).

С 1 июня во всех московских вузах открывается кампания по подготовке к предстоящему осеннему приему новых кадров пролетарской молодежи на первый курс. В связи с усилившимся темпом индустриализации страны во многих втузах намечается значительное расширение приема на некоторые факультеты, как, например, химический и строительный в МВТУ.

Снова многие тысячи молодых людей уже сейчас лихорадочно готовятся к предстоящим конкурсным испытаниям, затрачивая на эту подготовку массу времени и энергии и часто не мало материальных средств. Поэтому было бы необходимо, чтобы те органы, на обязанности которых лежит составление хорошо обдуманных и ясных программ конкурсных испытаний, отнеслись к этой задаче с должным вниманием.

Просматривая программы за прошлые годы, к сожалению, приходится констатировать, что они часто страдают весьма существенными недостатками. Программа по математике, составленная в прошлом году Главпрофобром,содержит неясные и недоговоренные места. Так, например, при перечислении геометрических теорем в одном случае говорится:

«Доказательство свойства параллельных сечений в пирамиде (§ 30)», а в другом (в § 33):

«Боковая поверхность и объем цилиндра и конуса; поверхность и объем шара».

Примечание же в п. I говорит: «Доказательства теорем, не перечисленных в программе, не требуется».

1) Число типов у Федорова больше указанного в таблице, так как он отличает отраженно-изоморфные многогранники; но имеется один просмотр, а именно: типы IV'ij и 1V'"12 при ближайшем рассмотрении сказываются тождественными, Точно также в перечне общих 9-гранников типы VI 55 и VI 56 совпадают с VI 47 и VI 46.

Естественно, у читающих эту программу возникает вопрос, что же, наконец, требуется: доказательство ли всех теорем, перечисленных в программе (как, напр., в § 33), или только тех из них, где упомянуто слово «доказательство» (как в § 30)?

Что этот вопрос мог возникнуть у испытуемых, ясно из того, что он возникал, как нам пришлось убедиться на личном опыте, у многих экзаминаторов. Ясно, что на этой почве могли возникать между испытуемым и экзаминатором нежелательные недоразумения.

В примечании к программе тригонометрии сказано, что для втузов программа дополняется введением круговых функций arc sin х, arc cos x, arc tg x, но в каком объеме требуется знание их, остается совершенно невыясненным. Указанные дефекты бросаются в глаза при первом же чтении. Входить в более детальный разбор и критику программы Главпрофобра не является задачей настоящей заметки.

Нам хотелось бы указать, как на пример крайне небрежного и невнимательного отношения к составлению программ, на программу для поступления в Электромашиностроительный институт имени Я. Ф. Каган-Шабшая.

В № 4 от 24 мая 1926 г. изд. указанного института в статье «Система Эмикш» в сопоставлении с нормальными русскими втузами в числе прочих требований, предъявляемых к поступающим, содержится следующее (цитируем дословно):

«От поступающих и переходящих на третий цикл Ском'а требуется доказательство теоремы:

Средний квадрат sin а (при изменении а от 0 до 2 7г) равен 7f». И тут же приведено «доказательство» теоремы:

«Обозначим искомый квадрат через х, тогда:

но, с другой стороны,

ибо при изменении a от 0 до 2tz cos2 a повторит все значения sin2<x. Сложим оба равенства

откуда x равняется l/v что и требовалось доказать.

Я. Ф. К.-Ш».

Станем первоначально на точку зрения лица, только изучающего тригонометрию (каковыми являются желающие поступить в вуз) и добросовестно старающегося понять и усвоить то, что ему предлагается и что затем от него потребуют; и постараемся сделать все те выводы и заключения, которые вытекают как из самой формулировки теоремы, так и из предложенного доказательства.

Прежде всего в условии теоремы говорится об изменении a от 0 до 27г; характер же этого изменения не определен: получает ли a все значения на указанном интервале, изменяясь непрерывно, или a изменяется скачками и имеется в виду конечный ряд дискретных чисел а^с^ .... ам. Из условия теоремы это остается неясным. Естественно, учащийся для разрешения недоумения по этому вопросу, обращается к доказательству теоремы и из него с полной неоспоримостью убеждается в правильности

второго предложения. Но в таком случае возникает вопрос, какие именно значения получает а,—абсолютно произвольные, или а1 а.} а3 . . . . ан представляют некоторый конечный ряд, составленный по определенному закону. При отсутствии какого бы то ни было на этот счет указания. остается в полной силе первое предложение. Итак, аа а8 . . . . ап — конечный ряд дискретных значений в интервале от 0 до 2тг и притом — абсолютно произвольных. Но тогда немедленно, на основании доказанной теоремы получаются самые неожиданные результаты. Действительно, получается

если учащийся по невнимательности примет за истину утверждение, что cos2ae. повторит все значения sin2aA, то-есть каждому sin2 а. найдется равный ему cos2ctÄ при любом конечном числе п и произвольных значениях а;

или на конкретном примере:

получим

но так как то остается то есть

или

Результат, могущий поколебать веру в математику у самого доверчивого человека.

Получив таковой, учащийся естественно начнет искать каких-либо подразумевающихся и прямо невысказанных ограничений в условии теоремы.

Возможно, он сделает предположение, что сцси.....ап представляют арифметическую прогрессию, и попробует опять-таки на конкретном примере проверить правильность всех высказанных в теореме положений, взяв, например, правильный вписанный пятиугольник с началом дуг в одной из его вершин. Тогда он быстро убедится в том, что, во-первых,

никак не равна

а во-вторых, cos2a не повторяет значений sin2a. Убедившись, что и при этом ограничении приведенное доказательство теоремы остается неверным, учащийся, если не потеряет окончательно веру в себя и в свои способности, попытается наложить на условия теоремы еще одно ограничение: предположит, что разность прогрессии равна первому члену а и, кроме того, £ кратно a; j= ka (где k — целое число), например, а — ^. Только в этом случае учащийся увидит, что действительно значения cos2a будут повторять значения sin2a, но при этом он еще раз убедится, что ни при

каком конечном числе п как у--как и т-• не равны ^ еслиаА=2тг, и в конце-концов теорема останется для него недоказанной и неверной.

Трудно предположить, чтобы многие из учащихся могли провести все проведенное исследование. Большинство из них в лучшем случае станет втупик, дойдя до первой же из указанных нелепостей, в худшем,— совершенно не разобравшись, примет за непреложную истину теорему и все приведенное доказательство целиком.

Ясно, что теорема в том виде, как она сформулирована, не будет верна: ни при каком конечном значении п и абсолютно произвольных значениях а в интервале от 0 до 2гг суммах - 1 не равна сумме £ ——* и каждая из них не равна j Действительно, наложим даже ограничение на условия теоремы: пусть ах а2 а3 . . . ап составлают арифметическую прогрессию с разностью ß.

Обозначим средний квадрат синуса через Zlf а средний квадрат косинуса через 14, тогда

Применяя к правой части известную теорему тригонометрии: сумма косинусов п углов, составляющих арифметическую прогрессию, равна

получим:

С другой стороны:

Производя те же преобразования, что и в предыдущем случае, и применяя ту же теорему тригонометрии, получим:

Сравнивая Sj и £2, приходим к следующим выводам:

1. При конечном значении п и любых а и ß, SA ф £2 и теорема не верна.

2. Теорема верна при конечном значении п только в случае, если: а) аргумент а возрастает в арифметической прогрессии (первое необходимое условие) и

второе

б) необходимое

условие

1. или если

2. или если

или, упрощая при

Итак, только в указанных случаях и при соблюдении указанных условий теорема верна и 21=22> но притом вовсе не потому, что sin2a повторяет значения cos2a. Такое повторение возможно только в одном весьма частном случае, когда cc = ß и^=ка [где k — число целое].

Конечно, мы не сомневаемся, что автор программы, говоря об изменении а от 0 до 2тг, предполагал, что а изменяется непрерывно, проходя через все значения между 0 и 2тг. Тогда действительно

lim S sin2 *J — lim £ cos2** — ^

Но ведь в условии об этом ни слова не сказано, а в доказательстве мы имеем дело с конечным числом дискретных значений sin2 а и cos2 о.

Нам представляется обязательным при составлении любой программы соблюдение следующих требований:

1. Условие всякой теоремы должно быть сформулировано настолько я сно и точно, чтобы не оставалось места для каких бы то ни было сомнений и различных толкований этого условия.

2. Оперируя с конечным числом дискретных значений какой-либо функции, нельзя приписывать им свойств, которыми они не обладают и которые осуществляются только тогда, когда введено понятие о непрерывном изменении функции и произведен переход к пределу.

Метод же, которым пользуется автор, неприемлем по существу, так как немедленно же приводит к самым абсурдным результатам и ни в коем случае не может быть оправдан стремлением «упростить» доказательство, так как, поселяя хаос в математических понятиях у учащихся, является с точки зрения методики абсолютно недопустимым.

ТЕТРАЭДРОМЕТРИЯ.

Н. Колмогоров (Алма-Ата).

Возьмем прямоугольный тетраэдр ABCD (рис. 1). Будем обозначать трехгранные углы большими латинскими буквами, причем прямой трехгранный угол будем обозначать буквой D; площади граней, лежащих против трехгранных углов,—соответствующими буквами греческого алфавита, т.-е. через ос, /3, f и 8.

Дадим теперь определения тетраэдрометрических функций. Назовем синусом трехгранного угла A1) отношение противолежащей этому углу площади грани а к площади грани, лежащей против прямого трехгранного угла D, т.-е. sin А =-у-; точно так же sin ß = ~-, sinC= Введем еще следующие функции:

1) Трехгранные углы прямоугольного тетраэдра будем называть элементарными углами; они вполне определяются плоскими углами, определяющими в свою очередь положение грани ЛВС.

Всего функций для каждого трехгранного угла будет Л24 = 4 . 3 = 12, Основных формул будет только лишь 10.

Первая основная формула вытекает из теоремы Пифагора для пространства 3-х измерений и будет иметь следующий вид:

или

(1)

Остальные формулы будут:

(2); (3); (4); (5); (6); (7); (8); (9);

(10);

Рис. 1.

Вывод этих формул очевиден.

Можно еще составить производные формулы. Из них заметим следующие:

Рис. 2.

Теорема синусов для тетраэдра.

1) Возьмем тетраэдр, у которого две какие-нибудь грани взаимноперпендикулярны, и примем одну из этих граней за основание тетраэдра.

Пусть плоскость ЕВС ±_АЕС (рис. 2) и пусть ребро AB лежит в плоскости ADB> перпендикулярной к ребру ЕС, тогда тетраэдр АЕВС разделится плоскостью ADB на два прямоугольных тетраэдра: ADBC и ADBE, и мы будем иметь:

отсюда: или

Далее, пл. Д BDC = пл. ДЛ/?С . sin Л, где через Ах обозначен трехгранный угол ABDCy составляющий часть трехгранного угла Л, причем последний будет некоторой функцией двух трехгранных углов, а именно: упомянутого трехгранного угла Л, и трехгранного угла ABDE, который обозначим через Л2, и будем считать, что Л=/(Л1, Ла); точно также и для трехгранного угла В введем такое же обозначение и положим В — ^(В1У В.2)у т.-е. трехгранный угол В есть функция трехгранных углов BADC и BADE. Введя эти обозначения, мы можем написать:

сложим это равенство с равенством:

и мы получим:

но

следовательно,

или

Обозначим теперь выражение sin sin -|— sin Л2 sin С через sin Л и мы получим окончательно:

Таким образом мы определили sin трехгранного угла Л, как выражение sin Аг sin Е-\- sin Л2 sin С, т.-е. как функцию трехгранных углов Ах и Ла.

Если мы положим, как указано вначале, sin Е = cos Ла, а 51,пС=со5Л1, то мы получим:

sin Л = sin At cos Л2 -f- sin Ла cos Л,, и наше определение получает подтверждение формулой плоской тригонометрии. Только здесь нужно помнить, что sin и cos трехгранного угла связаны несколько иначе, чем sin и cos плоского угла.

Продолжим теперь наше доказательство теоремы синусов дальше: имеем:

пл. Д ADC — пл. ABC sin Вх\ пл. Д ADE = пл. Д ABE sin 52; сложим эти равенства:

или

Обозначим и здесь выражение: sin ^ sin ^-f- sin ^ sin С через sin В и тогда мы будем иметь:

Наконец, соединив все полученные равенства, получим:

что и требовалось доказать.

2) Пусть теперь будет дан тетраэдр опять с двумя взаимно-перпендикулярными гранями (рис. 3), но плоскость, проходящая через высоту DE тетраэдра и перпендикулярная к ребру AB, не проходит через вершину С.

Пусть плоскость ADB_LABC и пусть DEH _LAB. Спроектируем на плоскость DEH грани DCB и ADC тетраэдра ABCD. Проекцией их будет один и тот же тр-к DEH. Так как трехгранные углы А и В в данном тетраэдре мы можем считать элементарными углами, т.-е. они определяются соответствующими им плоскими углами, то, на основании теоремы о проекциях, имеем:

откуда или

Соединим точку Е с С и мы разобьем д ABC на тр-ки ВЕС и АЕС, причем будем иметь:

сложив эти равенства, получим:

но из пропорции имеем:

подставив это в выражение для Д ABC, будем иметь:

Наконец,

Обозначая и здесь sin Dx sin A -f- sin Dt sin В через sin D, мы можем написать:

Так же доказывается и пропорция:

Соединив все пропорции, получим:

3) Возьмем теперь тетраэдр ABCD (рис. 4) и проведем через ребро АС и высоту СЕ плоскость ACH, она будет перпендикулярна к основанию ABD; точно так же проведем плоскость CDF через ребро CD и высоту СЕ, она будет тоже перпендикулярна к основанию и предположим, что при точке Е образовался прямой трехгранный угол EADC.

В сущности можно и сразу доказать, что теорема синусов справедлива для любого тетраэдра после того, как она установлена для 2-х частных случаев; а если я беру сейчас тетраэдр с некоторыми условиями, то только лишь для того, чтобы упростить доказательство.

На основании предыдущих случаев, имеем:

но так как sin //а = sin //2, то, разделив первую пропорцию на вторую,

получим:

Далее,

откуда получим:

Затем можем написать следующие равенства:

здесь С,, Са и С3 — элементарные трехгранные углы всего трехгранного угла С тетраэдра ABCD.

Сложим последние три равенства и мы получим:

В этом равенстве выразим пл. д ABC и nn./^BCD через пл. д ADC, пользуясь доказанными выше пропорциями, и мы получим:

откуда:

Выражение sinC\ sin5-f-sinC2sinD-(-sinC^sin А есть ничто иное, как sin трехгранного угла С, который является функцией трех трехгранных (элементарных) углов Ср С2 и С3, что мы обозначим так:

C=f(cv с%, сл).

Вообще каждый трехгранный угол тетраэдра представляет функцию двух или трех элементарных трехгранных углов, смотря по положению высоты тетраэдра, опущенной из вершины исследуемого трехгранного угла. Если мы опустим высоту из вершины С, то трехгранный угол С будет функцией трех элементарных трехгранных углов, на которые он

(этой высотой—перпендикуляром) разобьется, а трехгранные углы при остальных вершинах будут уже функциями 2-х элементарных трехгранных углов.

Соединив теперь все полученные пропорции, получим:

В № 5 журнала «Математическое образование» дано в статье В. В. Добровольского «Теорема синусов для тетраэдра» доказательство этой теоремы с помощью сферической тригонометрии и один из конечных результатов совпадает с моим.

Укажем теперь связь, которая существует между Бт'ами элементарных трехгранных углов и функциями плоских углов, которыми определяются элементарные трехгранные углы, что даст нам возможность построить теорию тетраэдрометрических функций весьма просто. Возьмем для этого прямоугольный тетраэдр ABCD (рис. 5) и опустим из вершины D прямого трехгранного угла высоту DM на грань ABC и обозначим углы, которые высота DM образует с ребрами ADy BD и CD соответственно через a, b и с, тогда будем иметь:

поэтому мы можем сказать, что: sin А = cos а, т.-е. sin трехгранного угла А равен cos плоского угла а; точно так же

откуда:

следовательно, sin В = cos b; наконец,

или

следовательно, sin С = cos с.

В виду соотношения sin2 A -f- sin2 В -f- sin2 С = 1, а также и вследствие того, что sin А = cos a, sin В = cos b и sin С = cos с, мы можем написать формулу: cos2 а -(- cos2 b -f- cos2 с = 1, известную из аналитической геометрии.

Вывод формулы сложения плоской тригонометрии из формулы тетраэдрометрии.

Возьмем тетраэдр ABCD с вершиной в D и основанием ABC; пусть грань ADB будет перпендикулярна к грани ABC и пусть плоскость CDE (рис. 6) будет перпендикулярна к ребру AB; тогда тетраэдр ABCD разобьется плоскостью СОЕ на два прямоугольных тетраэдра: AECD и

Рис. 5.

CEDB с прямыми трехгранными углами при точке Е. Опустим из вершины Е перпендикуляр сначала на плоскость BCD, а потом на плоскость ACD и обозначим углы, которые эти перпендикуляры делают с ребрами BE у ЕС у DE и АЕ, ЕС, DE соответственно через а, Ьу с и av bt и сг Заметим прежде всего, что, согласно определения тетраэдрометрических функций и их связи с тригонометрическими функциями, мы можем написать: sin^drncosaj, sin В = cos a, sin С = s\nf(cv с2) = sin Q sin A -f- sin C, sin ß; кроме того, согласно нашим обозначениям, sinC1 = cosft, sinC2 = cosèr Подставим в выражение для sin С вместо sin Л, sin В, sin С, и sin С, их значения и мы получим: sin/(c1 ,с2) — cos b cos аг -j- cos bx cos а. Далее, если бы мы на один миг сделались двумерными существами, то нам казалось бы, что два угла какой-нибудь из трех пар углов, а именно: а, ах\ by с, cv были бы равны нулю; пусть с и сг будут равны нулю, тогда a -f- b = 90° и aa -}- ^ = 90°, и мы можем сказать, что С — Q -f- Са или ^/ С = a -f- fl^ ; /_В—Ь\ /_А — ЬХ и, следовательно, подставив эти значения в выражение для sin С, получим:

sin (a -f- аг) = cos (90 — a) cos at -f - cos (90 — ax) cos a,

или

sin (a + аг) = sin a cos ax -j- sin a, cos a, а это и есть известная формула сложения плоской тригонометрии.

Формулы сложения для любого трехгранного угла будут по определению, данному при доказательстве теоремы синусов, иметь следующий вид:

Пусть трехгранный угол D — =ft(Dv D2, Dg); точно так же

A=f2(AvAiyA3)y B=fABvBv ß8), С =fk(Ci, С2, С3), а формулы будут:

Формулы, соответствующие формулам cos'ob плоской тригонометрии, будут: , где a, ß, у и 8 — площади граней тетраэдра, а Лг А,, Л3, ßl5 ß2, ß3, Cj, C8, C3, Dv D2, D3 — элементарные трехгранные углы. Отсюда получим:

Рис. 6.

Исключая а, /3, у и 8, получим:

Так связаны между собой элементарные трехгранные углы:

Об ангармоническом отношении пяти точек плоскости.

Пусть будет дан пятигранный угол SABCDE, пересечем его двумя непараллельными плоскостями, пересекающими все его ребра; пусть многоугольники сечений будут: ABCDE и abcde. Докажем, что для пятигранного угла SABCDE и назовем каждое из этих двойных отношений ангармоническим отношением пяти точек плоскости или пяти прямых, служащих ребрами пятигранного угла SABCDE. Имееем:

где H и h — высоты пирамид: SABCDE и Sabcde (рис. 7). Откуда получим:

следовательно,

что и требовалось доказать.

Это отношение можно символически обозначить так (ABCDE).

Свойства этого отношения аналогичны свойствам ангармонического отношения четырех точек на прямой линии.

Можно, например, написать:

что проверяется непосредственно. Еще свойство:

(ABCDE) = (ABCFE) . (ABEDE),

а отсюда можно получить:

(ABC0DnE) = (ABC{iDlE) . {ABCXD2E) .

.....(ABCn_2Dn^E) . (ABCn^DnE),

что тоже проверяется довольно просто.

Рис. 7.

Теоремы Чевы и Менелая.

Теорема Чевы. Если прямые, соединяющие какую-нибудь точку О с вершинами тетраэдра ABCD, пересекают его грани а, /3, у и 8 (или продолжения их) в а, by с и dy то между sin образовавшихся трехгранных углов существует следующее соотношение:

где BCDO, DC АО и т. д. — обычные обозначения трехгранных углов.

А для частей площадей граней тетраэдра теорема выразится, по моему мнению, так:

по аналогии с теоремой Чевы для тр-ка.

Теорема Менелая мной еще не доказана для тетраэдра, но, мне кажется, ее можно формулировать так: если грани а, ß, у и 8 тетраэдра ABCD (или их продолжения) пересекаются секущей прямой в точках a, by с и d, то

Укажу еще, что и для пространства 4-х измерений можно построить своего рода пентаэдроидометрию, основываясь на прямоугольной фигуре 4-х измерений, ограниченной пятью твердыми телами (тетраэдрами), т.-е. на прямоугольном пентаэдроиде, для которого справедлива теорема Пифагора. Эту теорему с помощью определителей пятого порядка, как известно, можно выразить так:

где Av Л2, Л3, Av Л5 вершины фигуры.

МЕТОД ГОЛОВНИНА.

Разбирая бумаги покойного проф. Д. Н. Головнина, я нашел среди них черновую рукопись (без чертежей), в которой описан метод, излагавшийся им в последние годы на лекциях как в Политехническом институте, так и в университете (в Баку).

Д. Н. Головнин называет этот метод: упрощенный метод «перемещений» и, как будет видно из дальнейшего, он является обобщающим методом, так как всем известный метод «вращения» является частным случаем метода «перемещений», к тому же метод этот проще метода «вращения».

Рукопись изложена ниже полностью; мною добавлены только чертежи.

Инженер путей сообщения Б. Г. Побединский.

Упрощенный метод «перемещений» на эпюрах начертательной геометрии.

Как известно, в курсах и руководствах начертательной геометрии до сих пор применялись три основных метода так наз. «перемещений»: метод «перемены плоскостей проекции», «вращения» и «совмещения». Каждый из названных методов отличается особенностями, которые дают основание предпочитать тот или иной из них для каждого конкретного

исследования. Излагаемый метод — четвертый — может быть назван методом «перемещения, параллельного плоскости проекций», и состоит в следующем.

Известно, что наличность двух ортогональных проекций системы точек на эпюре однозначно определяет взаимное положение (расположение) этих точек, а следовательно, и тех линий и поверхностей, которые ими определяются. При этом необходимо только, чтобы проекции каждой точки системы лежали на параллельных прямых общего всем им направления; конкретное положение так наз. оси проекций перпендикулярной к этому направлению не имеет влияния на форму изображаемой системы точек. Поэтому вертикальную и горизонтальную проекции системы точек можно передвигать друг относительно друга, не изменяя формы этой системы, если обе проекции каждой точки остаются на упомянутых неподвижных параллельных прямых.

Так, на черт. 1 многогранник, определенный проекцией вертикальной (А) и горизонтальной (В), остается одинаково точно определенным совокупностью вертикальной проекции[А) и придвинутой горизонтальной проекцией (С), или совокупностью той же вертикальной проекцией (А) и отодвинутой горизонтальной проекцией (D). Эту последнюю можно было передвинуть и в положение (Е) по другую сторону вертикальной проекции, причем совокупность проекций (А) и (Е) определяла бы форму проектируемого многогранника так же, как и ранее рассмотренные комбинации его проекций. Само собой разумеется, что вместо того, чтобы передвигать горизонтальную проекцию из положения (В) в положения (С), (D) и (Е)у с одинаковым правом можно было передвинуть вертикальную проекцию (А) в положение (Z7), причем совокупность проекции (F) с любой из имеющихся на эпюре горизонтальных проекций определяла бы точную форму проектируемого многогранника. Всем рассмотренным перемещениям проекций соответствует приближение или удаление проектируемого многогранника по отношению к той или иной плоскости проекций, но не изменяет его формы. Поэтому во всех случаях, когда предметом геометрического исследования является не выяснение взаимного положения многогранника и плоскостей проекций, а только его собственная форма, можно использовать свободу выбора относительного положения вертикальной и горизонтальной проекций в целях упрощения тех или иных построений, относящихся к проектируемому многограннику. Во всех, однако, расположенных передвижениях форма или вид обеих проекций остается неизменным; изменяется только их взаимное положение и притом с тем ограничением, что обе проекции каждой точки остаются на общей прямой, перпендикулярной к направлению от проекций.

Между тем так наз. «перемещения» имеют целью использовать заданную эпюру для суждения о форме того или иного предмета с иных точек зрения, или, иначе говоря, с различных сторон. Для этой цели можно применить рассуждения, сходные с ранее изложенными.

Черт. 1.

Пусть на эпюре (черт. 2) многогранник определен проекциями вертикальной (I) и горизонтальной (II). Положим, что горизонтальная грань ABCDEFGH переместится, оставаясь в той же горизонтальной плоскости, и горизонтальная его проекция займет положение (III), соответственно с чем переместится и весь данный многогранник. Ясно, что при таком перемещении в пространстве все точки данного многогранника не изменяют своей «отметки», т.-е. расстояния от горизонтальной плоскости проекций. Следовательно, траектория их вертикальной проекции во время перемещения многогранника представит прямую, параллельную оси проекций, или, что тоже, перпендикулярную к прямым (аа'), [bb')...

Черт. 2.

Поэтому для каждого нового положения (III) горизонтальной проекции данного многогранника легко построить соответствующую вертикальную (IV). Так как горизонтальной проекции каждой передвинутой точки соответствует вертикальная в виде точки, лежащей на общем перпендикуляре к оси проекций и на горизонтальной прямолинейной траектории вертикальной проекции.

При рассмотренном перемещении многогранника его горизонтальная проекция не меняла формы или своего вида, но изменила свое положение на эпюре. Ясно, что при всяком перемещении горизонтальной проекции на эпюре без изменения ее вида указанным приемом можно построить соответствующую вертикальную проекцию и таким образом получить новую эпюру данного многогранника, но перемещенного относительно плоскостей проекций, чему соответствует рассмотрение его в пространстве с другой стороны.

Само собой разумеется (черт. 3), что так же, как передвинута была горизонтальная проекция (II) данного многогранника, можно бы было передвинуть и вертикальную его проекцию (I), не меняя вида. Каждому любому ее новому положению (III) соответствует новая горизонтальная

проекция (IV), все точки которой находятся в пересечении прямых, проведенных перпендикулярно оси проекций из новых вертикальных проекций, с прямыми, проведенными через прежние горизонтальные проекции (II) параллельно этой оси.

Понятно, что всякая новая эпюра, каковы (III) и (IV) на черт. 2 и черт. 3, могут быть в свою очередь приняты за данные для последующего применения к ним перемещения, подобного ранее произведенному. Так, на черт. 2 вертикальная проекция (IV), не меняя вида, перемещена в положение (V), и построена соответствующая новая горизонтальная проекция (VI). Аналогично этому на черт. 3 к эпюре с проекциями (III) и (IV) применено перемещение, в котором горизонтальная проекция (IV), не изменяя ее вида, перемещена в положение (V), и затем найдена новая вертикальная проекция (VI).

Изложенный метод построения новых эпюр данных систем точек может быть применен для того, чтобы проектируемая система точек получила заранее заданное положение того или иного принадлежащего ей геометрического элемента: прямой, плоскости и т. п. Примером таких построений могут служить черт. 4 и черт. 5.

На чертеже (4) дан куб, который должен быть перемещен так, чтобы диагональ его AG (ag, a'g') оказалась перпендикулярною к одной из плоскостей проекций.

Такое перемещение, как и при иных методах перемещения, в общем случае, требует применения элементарного перемещения два раза: первым перемещением ориентирующая прямая AG может быть поставлена в положение, параллельное одной из плоскостей проекций, для чего на черт. 4 выбрана вертикальная плоскость проекций; второе перемещение позволит поставить эту прямую в требуемое положение перпендикулярно к горизонтальной плоскости проекций.

Во втором примере (черт. 5) даны проекции треугольника ABC и требуется показать на данной эпюре проекции окружности, описанной вокруг данного треугольника. Непосредственно на данной эпюре эта задача не решается, если же треугольник проектируется на какую-либо плоскость проекций без искажения, то задача решается, как известно, без затруднения. Для перемещения данного треугольника ABC так, чтобы его плоскость оказалась параллельной одной из плоскостей проекций, в общем случае нужно сделать два элементарных перемещения: первое имеет целью поставить плоскость треугольника в положение, перпендикулярное к одной из плоскостей проекций, для чего на черт. 5 выбрана вертикальная плоскость проекций. Ориентирующей линией в этом случае служит горизонталь АН (ahy a'h') плоскости, которая на проекции (III) поставлена перпендикулярно к оси проекций, так что новая вертикальная проекция превращается в точку (a'h'), а новая вертикальная проекция треугольника в прямую Ь'а'с'. Второе перемещение имеет целью поставить плоскость ABC в положение, параллельное горизонтальной плоскости проекций, сообразно чему вертикальная проекция (V) перемещена без изменения ее вида в положение параллельное оси проекций. Новая горизонтальная проекция (VI) треугольника представляет истинную фигуру данного треугольника ABC. В полученной Vi проекции проводится описанная окружность с центром в О, отмечаются проекции точек проведенной окружности на вертикальной проекции V, а затем обратным построением отмеченные точки последовательно находятся на проекциях (IV), (III) (II) и, наконец, (I).

Из предыдущего видно, почему изложенный метод назван методом «перемещения, параллельного плоскости проекций»: проекция на одну из плоскостей проекций, не измененная по виду, располагается где угодно

Черт. 3.

Черт. 4.

Черт. 5.

на чертеже1) и как угодно повернутая по отношению к первоначальному положению; другая же новая проекция находится из условия, что расстояние каждой проектируемой точки от упомянутой плоскости проекций при указанном перемещении не меняется.

По сравнению с методом «перемены плоскостей проекций» изложенный метод имеет педагогическое преимущество большей наглядности; в техническом отношении изложенный метод позволяет составлять новые эпюры в тех областях чертежа, которые еще не использованы, и, кроме того, не приводит к затруднениям в составлении новых проекций в различные стороны от первоначально заданной эпюры, что нередко встречается при применении метода «перемены плоскостей проекций».

С методом «вращения» изложенный способ совершенно совпадает, так как «вращение» представляет лишь частный случай рассматриваемого, когда перемещаемая неизменная по своему виду проекция только вращается вокруг некоторой оси; проекция эта должна поместиться в пределах чертежа, что далеко не всегда возможно. Кроме того, применяя метод «перемещения, параллельного плоскости проекций», составитель чертежа освобождается от необходимости искать наиболее подходящее место оси вращения в зависимости от намеченного положения перемещаемой проекции и размеров чертежа.

Метод «совмещения» в частном случае, когда совмещаемая плоскость перпендикулярна к одной из плоскостей проекций, совпадает с методом «перемещения, параллельного плоскости проекций», а в более общем случае представляет чувствительное упрощение, как то видно из примера (черт. 5).

В методологическом отношении изложенный прием имеет то педагогическое преимущество, что он не дробит внимания на изучение трех различных приемов и, кроме того, обладает достоинством большей наглядности.

В заключение следует сказать, что автор считает излагаемый метод «перемещений» наиболее практичным, наглядным и простым из предложенных до сих пор и решился изложить его потому, что в наличной литературе описываемый метод, как таковой, не упоминается2). Только в переводном курсе Геометрического черчения Ф. Глазера, Ф. Штаде и М. Зейделя приведены эпюры, построенные подобно вышеизложенному, но в виде особых приемов для нескольких конкретных случаев. Между тем при преподавании начертательной геометрии автору представляется особенно ценной именно метод решения задач на перемещение в пространстве данных систем точек, так как практика преподавания показала автору, что излагаемый метод усваивается учащимися легче других.

1) При техническом выполнении чертежа неизменную по виду проекцию удобнее всего сколоть на прозрачную бумагу и затем наносить в намеченном месте и в избранном положении на новую эпюру.

2) Названия авторов просмотренных курсов Начертательной геометрии: Н. Макаров (1885 г.), Н. Нечаев (1881), В. Курдюмов (1895), А. Пальшау (1901), М. де Losht-Labye (1909), Ф. Глазер, Ф. Штаде и М. Зейдель (1901), Е. Geyder (1906), Е. Müller (1908), M. Дешевой (1924), А. Киршке (перевод А. Момма 1925), G. Scheffers (1920 и 1922), G. Loria (1925).

ЗАДАЧИ.

13. Решить уравнение:

А. Зайцев (Богородск).

14. Решить систему уравнений:

(*+ j/ + z)2-fx2-f-2yz = a2 (x-\-y + z)*+y'*-\-2zx = b* (x+y + z)2-\-z2 + 2xy = c*

15. Доказать неравенство:

(а« + Ь)2 + (*» + а)2 < (а2 + £2 + 1 )»

16. Найти сумму л членов ряда:

I2 . 22 + 22 . 32 + 32 . 42-f.....

17. Вычислить детерминант:

18. Периметр прямоугольного треугольника 2р\ высота, опущенная на гипотенузу—А; определить площадь треугольника.

В. Ефимов (Пермь).

19. Правильный пятиугольник ABCDE вписан в круг, и касательная в точке С пересекает продолжение AB в точке F. Доказать, что прямая DF делит угол BDC пополам, и что DF2 = AB2 -f- AC2.

20. Найти геометрическое место вершин треугольников, имеющих данное основание и данную разность углов при основании.

21. Определить площадь треугольника, длины сторон которого суть корни уравнения:

X? — ах2 - )- Ьх — с — 0.

22. Показать, что 7*Л — 48л - 1 при целом и положительном п делится на 2304.

23. Уравнение пары прямых ах2 -\- 2bxy -f- су2 — 0; найти уравнение биссектрисы угла между ними.

24. Показать, что tglO0, tg70° и tgl30° суть корни уравнения:

|/Т. *3 — 3jc2 -3/3 jt-fl =0.

25. Найти без помощи таблиц произведение:

/1° 1° 1 сч / 1° 1° 1 О,

(tg7-i- +tg37 \ -ftg67-i-).(tg22-i- +t«52J +tg82 \ ).

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

40. Найти два последовательных целых числа, суммы делителей которых равны.

Если число имеет вид Л/ —а» Ь? и, где а, Ь, с—простые числа, то, как известно, сумма всех его делителей выражается числовою функцией

Так как простых множителей в числе может быть произвольное количество, то решение задачи в общем виде представляет непреодолимые

трудности. Нижеследующее решение, принадлежащее автору ее, А. В. (Москва), может дать неограниченное число пар чисел, удовлетворяющих поставленному условию.

Пусть искомые числа—Л/, и Nx; по условию N%—Л/1 = 1. Положим N2 = Зп . х, где X—простое нечетное число.

Тогда NX = N% — 1 = Зп.х — 1 =2у, откуда у= Ъ"х~ 1 .

Пусть у—простое число, тогда будем иметь:

Чтобы Jkt(Nt) = Id(N9), необходимо

откуда

Таким образом:

где X и у простые числа вида

Давая п значения 1, 2, 3..., получим:

при п — \у Х = 5, у = 7, Л^ = 14; М> = 1 5,

/г = 2, *=23, j/ = 103; 7V1 = 206; 7V2 = 207, т; —3, л: =77 — число составное, я = 4, л; = 239, j; = 9679, Nt = 19358, TV2 = 19359 при п = 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 — X—число сложное. Р. Гангнус (Москва), Н. Хайдуков (Петровск) нашли первую пару требуемых чисел.

46. Упростить выражение:

Заменяя подрадикальное выражение второго корня соответствующей дробью, можно всему выражению придать вид

или, вводя числителя под корень 5-й степени

С. Адамович (Тула), А, Бутомо (Саратов), Н, Хайдуков (Петровск).

50. Найти все треугольники, обладающие тем свойством, что в них расстояния от вершины до точки, из которой стороны треугольника видны под равными углами, выражаются рациональными числами.

Точка, из которой стороны треугольника видны под равными углами, не может лежать на контуре треугольника и вне его (это легко показать); значит, эта точка в случае ее существования лежит непременно внутри треугольника. Но тогда из этой точки каждая из сторон треугольника видна под углом в 120°. Пусть а, о, с—стороны треугольника и av bv сх—■

расстояния от вершин треугольника (Л, В и С) до точки, из которой стороны его видны под равными углами. На основании формулы, выражающей квадрат стороны, лежащей в треугольнике против угла в 120°, будем иметь для сторон треугольника следующие выражения:

В этих формулах и заключается ответ на вопрос задачи, если под av bv Cj подразумевать рациональные числа.

М. Машков (Владимир), И. Кастровицкий (Сталинград), Н. Хайдуков (Петровск). 59. Показать, что любая точка окружности, катящейся без скольжения внутри другой окружности вдвое большего радиуса, описывает диаметр последней.

Возьмем за начальное положение малого круга О, то, когда избранная на нем точка Л есть точка касания обоих кругов. Перекатим малый круг (см. чер.) в новое положение; тогда точка Af пересечения диаметра большого круга АА с малым кругом в новом его положении и будет новым положением избранной нами точки. Действительно, обозначим чрез а угол АОхВ, через г радиус большого круга ЛО,; тогда дуга большого круга, на которую сделано откатывание ^ AB —ген. Но так как треугольник Л,0.;0, — равнобедренный, то /_ АЮ2В = 2а, и, следовательно, ^ А1 В = у . 2а = г.а. Таким образом, ^А1В=^АВ и, так как величина угла а в данном случае не играет роли, то ясно, что при качании малого круга внутри большого взятая точка все время движется по диаметру.

М. Фивейская. Д. Польшин (Москва), И. Кастровицкий (Сталинград), Е. Воскресенская (Павлово), Л. Лодыженский (Тула), А. Кудинов (Задонск), И. Фивейский (Ржев).

64. Решить систему уравнений:

Данную систему уравнений представим в таком виде:

или, если разделим первое уравнение на ab, второе на be и третье на ас,

Сложив все три последние уравнения, находим:

а вычтя отсюда второе уравнение, получаем:

откуда

Аналогично найдем:

В. Добровольский, А. Дмитровский (Москва), А. Бутомо (Саратов), С. Адамович (Тула), А. Цивчинский (Одесса), Н. Хайдуков (Петровск), Е. Воскресенская (Павлов), В. Зяблицкий, И. Шуйский (Владимир), И. Фивейский (Ржев), Пав Хайдуков (Петровск), И. Сергачев (Москва).

65. Показать, что числа вида:

п*-\-2пь — п2 — 2п

при любом целом п делятся на 120.

Разложив данное выражение на множители, имеем:

М=п{п + 2){пк — 1 ) = (/! +2) (л + 1)л(я — l)(/z2+l).

Так как (п-\-2)(п-\- \)п(п—1), как произведение четырех последовательных целых чисел, делится на 4, т.-е. на 24, то, если один из этих четырех сомножителей делится на 5, число N делится на 120. Если же ни одно из чисел п-\-2, я + пи п — 1 не делится на 5, то очевидно, что п при делении на 5 должно давать в остатке 2, т.-е. n — bt-\~2, где t—целое, а в таком случае п2 ~\-1 = 25t2 -|- 20t-\- 5 и есть число, кратное 5; поэтому N опять делится на 120.

А. Дмитровский (Москва), А. Бутомо (Саратов), С. Адамович (Тула), X, У. (Ростов-на-Дону), А Цивчинский (Одесса). Н. Хайдуков (Петровск), Е. Воскресенская (Павлов), Н. Шуйский (Владимир), И. Фивейский (Ржев), В. Зяблицкий (Владимир), П. Сапунов (Владимир).

6В Построить равнобедренный треугольник так, чтобы в нем высота, опущенная на боковую сторону и равная /, делила высоту, опущенную на основание, пополам.

Пусть в равнобедренном треугольнике ABC высота ADy опущенная на боковую сторону ВС, проходит через середину M высоты BE, опущенной на основание Л С. Так как / МАЕ — /_ СБЕ, то /\AMEco Д ВСЕ Из подобия их имеем:

АЕ _ ME ВЕ~ ЕС у

откуда АЕ . ЕС=ВЕ . ME, или АЕ2 = 2МЕ2,

AE — MEV2"и АС = ВЕУ~~г.

Таким образом в искомом треугольнике отношение основания к высоте должно равняться Y 2 •

Если дана высота AD, равная /, то, замечая, что

CD ME 1 пПк 1

ad = АЕ = уТ ■ откуда CD = v7'

можем легко построить Д ADC, а из него сейчас же получим и искомый ДЛЯС.

А. Дмитровский (Москва), X. У. (Ростов-на-Дону), П. Хайдуков (Петровск). И. Сергачев (Москва), П. Сапунов (Владимир).

70 Определить наибольшую хорду данной кардиоиды. В уравнении кардиоиды r = 2a (1 + cos ? ) положим для простоты, не нарушая общности, 2а = 1 и пусть координаты концов искомой хорды равны rv ^ и г2, <ра. Обозначим через а полярный угол биссектрисы того угла между радиусами-векторами гг и г2, который меньше 180°. Тогда <р1 = а-(--|3; 'f 2 = а — ß, где ß ^ 90°. Если обозначим длину хорды через /, то будем иметь: /2 _ г г + г22 _ 2rtr2 cos ( Ь - *в) = (г, - г,) 2 + 2гхг2 [ 1 — cos ( ¥, — = = — ^)2-г 4rir2 sin2 ß = (cos <р, — cos <р2)2 + -f 4 (1 -f cos ?j) (1 -f cos ?2) sin2ß = 4 sin2 a sin2 ß + 16 cos2-^±cos2 sin2ß= 4 sin2 ß [sin2a-|-

Так как cosß>0, то очевидно, что для наибольшей хорды должно быть cosa = l, т.-е. а = 0. (Предположение cosß = 0 не соответствует

наибольшей хорде, так как в этом случае /=2, тогда как наибольшая хорда, очевидно, больше 2).

Теперь надо определить ß так, чтобы выражение

имело наибольшее значение. Приравняв нулю производную по ß, получим:

sin ß (1 4-cosß)3 — 3(1 — cosß)(l 4-cosß)2sinß = 0, откуда, отбросив решения sin ß = 0 и l-}-cosß = 0, как дающие /=0, найдем: 1 -(- cos ß = 3 (1 — cos ß),

т.-е. cosß = y,Hß = 60°.

Итак, наибольшая хорда соединяет точки, для которых

^ = 4-60°.

Длина ее /—2sin 60°. ( 1 + cos 60°) = l|pl ? если же уравнение кардиоиды дано в виде г = 2а (1 -j-cos ?),

то /= За У 3 .

А. Дмитровский (Москва),

71. Вычислить стороны треугольника, зная его периметр 2/> = 24, радиус вписанного круга г =2 и радиус описанного круга R = 5. Если обозначим стороны треугольника через а> Ь, с, а площадь его через S, то будем иметь три уравнения:

a+b + c = 2j>;^£-==R;S=pr,

откуда, перемножив второе и третье уравнения, получим:

abc = 4Rrp. Далее V р(р — а)(р — b)(p — c)=prt

(p-a)(p-b)(p-c)=pr*

или р* — (а -|- b -f с)р2 -f- [ab Jrbc-\-ac)p — abc = pr2.

Из этого уравнения, заменив а-{-Ь-\-с через 2р и abc через 4/?г/?,

найдем: abbe-\-ас — р2 -j- г2 -f - 4/?г.

Мы видим, что а, о, с являются корнями кубического уравнения

х3 - 2/?х* -f {р2 -f г2 + 4/?r) x — 4/?гр = 0

или, при данных значениях /?, г> Ry Xs— 24х2-\-188х— 480 = 0.

Один из корней этого уравнения, очевидно, есть х1 = \0. Разделив левую часть уравнения на х —10, получим квадратное уравнение:

л:2 — 14х -f- 48 = 0, откуда х2 = 8 ; х8 = 6.

Итак, стороны треугольника:а~\0\Ь = 8 ;с = 6.

А. Бутомо (Саратов), В. Ефимов (Пермь), Л. Дмитровский, В. Сувиров (Москва), X. У. (Ростов-на-Дону), Н. Шуйский, С. Адамович (Тула), Я. Орлицкий (Katowice), Я. и Я. Хайдуковы (Петровск), В. Литвинский (Керчь), Е. Воскресенская (Павлов) В. Зяблицкий, Я. Фивейский (Ржев), Я. Сапунов ^Владимир), И. Сергачев (Москва).

72. Определить сторону правильного тридцатиугольника, вписанного в круг радиуса /?.

Примем радиус круга за единицу и пусть от точки А, взятой на. окружности, отложены по одну сторону диаметра АО хорды:

АВ = alQ ; ЛС = ав = 1 и AD = a~0. Тогда ВС — аи ; CD = a30 uBD — a16.

Применяя к четыреугольнику ABCD теорему Птоломея, получим: <*зо • + atb • аь = аь • аю — аю, откуда а10(1 — а30) = а15. а5, или

Определив 1 — а3., имеем : и отсюда:

А. Дмитровский (Москва), X. У. (Ростов-на-Дону), А. Бутомо (Саратов)» Н, Фивейский (Ржев), И. О (Katowice), Е. Воскресенская (Павлов), В. Ефимов (Пермь)' П. Хайдуков (Петровск), Н. Хайдуков (Петровск) X. У. (Ростов-на-Дону).

73. Найти площадь эллипса, выраженного относительно прямоугольной системы координат уравнением ( ах -f- by )2 -f - ( ахх -f- bly )2 = 1, и указать условие, при котором это уравнение перестает выражать эллипс.

Уравнение данного эллипса относительно главных осей будет:

slx!2-\-s2yt* = \)

где sx и s2 — корни квадратного уравнения:

откуда

Полуоси эллипса равны

а площадь его

Данное уравнение выражает эллипс, если ab' — а'Ь не равно нулю,

Если же ab'— a'b = 0, или — — -f, то, положив а = Ха, Ь-=^\Ь 9

приведем уравнение кривой к виду :

Это уравнение выражает две параллельные прямые.

А. Дмитровский (Москва), Е. Воскресенская (Павлов), Я. Орлицкий (Katowice).

74. Найти значение произведения sin 20°. sin 40°. sin 60°. sin 80°, не пользуясь таблицами логарифмов.

Преобразуем данное произведение следующим образом:

В. Добровольский, А Дмитровский (Москва \ А. Бутомо (Саратов), Л. Лодыженский, С. Адамович (Гула). И. Хайдуков (Петровск), X. У, (Ростов-на-Дону), В. Зяблицкий (Владимир) Е Воскресенская (Павлов),

ХРОНИКА.

Н. А. Агрономов.

Редакцией получено глубоко печальное известие о смерти профессора Дальневосточного государственного университета Николая Александровича Агрономова, внезапно скончавшегося 23 апреля сего года, на 43 году жизни, от паралича сердца. В его лице русская математическая наука и дело математического просвещения потеряли деятеля редкой одаренности и исключительной работоспособности и энергии. За недолгое время своей жизни Н. А. Агрономов успел опубликовать огромное количество ценных исследований, статей, заметок и задач из области теории чисел, геометрии треугольника, аналитической геометрии, теории детерминантов и др. отделов математики.

Придавая огромное значение математической журналистике в деле математического образования, Н. А. Агрономов принимал горячее участие в «Вестнике опытной физики и элементарной математики», а также в «Математическом образовании», деятельным сотрудником которого он был со времени основания этого журнала в 1912 г. В 1915 г. он начал издавать в Ревеле собственный журнал «Математический листок», весьма интересный по содержанию, но прекратившийся во время войны. После этого Н. А. Агрономов печатал много своих статей в различных иностранных математических журналах. Сделавшись профессором Дальневосточного государственного университета, он явился основателем Математической конференции Научно-педагогического общества и редактором органа этой конференции —«Отчетов» о ее деятельности, приобревшего за короткое время издания характер серьезного математического журнала, причем большое количество статей в нем принадлежало тоже Н. А. Агрономову.

Узнав о предстоящем возобновлении в 1928 г. «Математического образования», Н. А. Агрономов отнесся с крайним сочувствием к этому начинанию и доставил для помещения в нем ряд статей и задач, которые и были напечатаны в нашем журнале в прошлом году. Он же давал и ценные советы редакции по поводу ведения журнала и обещал свое сотрудничество и далее... Этим надеждам не суждено было осуществиться. Скорбя об утрате своего долголетнего сотрудника и друга, редакция «Математического образования» рассчитывает посвятить его памяти особую статью.

Вниманию самоучек.

Бюро содействия исследовательской работе самоучек при Государственном политехническом музее сообщает, что им открыта консультация по физико-математическим и естественно-историческим дисциплинам и предоставляются места в лабораториях музея для экспериментальных исследовательских работ.

Обращаться лично и письменно по адресу: Москва, Китайский проезд, д. 3/4, Политехнический музей. Прием от 2 до 6 час. ежедневно, кроме дней отдыха.

Бюро обслуживает только самоучек, ведущих исследовательскую работу. Информационный материал высылается по требованию бесплатно.

Президиум бюро.

НОВЫЕ КНИГИ.

В. В. Добровольский. Краткий курс математики для поступающих в техникумы. Гиз. 1929, ц. 3 р. 25 к. Отчет о деятельности математической конференции научно-педагогического общества Д.-В. Г. У. № 9. Владивосток. 1929, ц. 1 р. 40 к.

A. Н. Шапошников. Новое для математического преподавания. Вып. II. Изд. «Работник просвещения». М. 1929, ц. 90 к.

B. А. Польский. Геометрические приложения плоских векторов. Краснодар. 1928 год.

Ответственный редактор И. Чистяков.

Мосгублит № 47354._ Зак. № 847._Тираж 1.000.

Тип. «ГУДОК», Москва, ул. Станкевича, д. 7.

ЦЕНА 90 КОП.

СКЛАД ИЗДАНИЯ

ИЗДАТЕЛЬСТВО „РАБОТНИК ПРОСВЕЩЕНИЯ" МОСКВА 19, ВОЗДВИЖЕНКА,10.