МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

№ 1

1929

ИЗДАНИЕ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

СОДЕРЖАНИЕ.

Стр.

B. Брадис. Приближенные вычисления в педагогическом вузе....... 1

Н. Четверухин. К вопросу об изменении дроби при одновременном увеличении или уменьшении ее членов..... ...... . . . 9

C. Адамович. Один из случаев решения уравнения 4-й степени элементарными приемами .............................. 12

Д. Перепелкин. Об одном доказательстве формул для sin (a Щ ,3) и sin (л - ß) . 14

Г. Арзуманов. О перенесении количеств в равенствах........... 15

С. Слугинов. Связь формул Моавра и Эйлера..... ........ 16

И. Воронков. О формуле Машека................... 17

Д. Мордухай-Болтовской. Ненатуральное и апагогическое доказательство в прошедшем и будущем............... ... .19

А. С. Кованько. Методическая заметка о промежуточной кривизне пространственной кривой.......................... 34

Задачи.......................... . 36

Решение задач......... . ............ . . . 37

Хроника.......... . ............ ... 40

Новые книги................................ 40

SOMMAIRE.

V. Bradis. Sur les calculs approchés à l'école supérieure pédagogique.

N. Tchetveroukhlne. Sur la question de la variation d'une fraction dont le numérateur et le dénominateur croissent ou décroissent simultanément.

5. Adamovltch. Sur un des cas de la résolution de l'équation du 4-me degré pardes méthodes élémentaires.

D. Perepelklne. Sur une démonstration des formules pour sin (aj3) et sin (a — ß).

G. Arzoumanov. Sur le transport des quantités dans les inégalités.

5. Slouguinov. Relation entre les formules de Moivore etd 'Euler.

I. Voronkov. Sur la formule de Maschek.

D. Mordoukhaïy-Boltovsko'ty. Preuve non naturelle et apagogique dans le passé et l'avenir.

A. S. Kovanko. Note méthodique sur la courbure intermédiaire de la courbe gauche. Problèmes.

Solutions de problèmes.

Chronique.

Livres nouveaux.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

ЖУРНАЛ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

№ 1

1929 г.

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В ПЕДАГОГИЧЕСКОМ ВУЗЕ.

В. М. Брадис (Тверь).

Доклад, сделанный в заседании Московского научно-педагогического математического кружка 16/XII 1928 г.

1. Школа II ступени предъявляет в настоящее время к преподавателю математики ряд требований в области теории и практики приближенных вычислений. В основном требования эти сводятся к умению обращаться с приближенными числами (надлежащее округление приближенных результатов действий, т.-е. устранение «нелепых хвостов ненужных цифр», умение найти границу погрешности результата вычисления, умение обработать ряд опытных числовых данных) и к сознательному овладению некоторыми важнейшими вспомогательными средствами вычисления (различные математические таблицы, счетные приборы, графики, упрощенные и сокращенные приемы производства действий). Необходимость введения соответствующих статей в программу общеобразовательной школы признана уже давно, но в послереволюционной школе, поставившей жизненность преподавания одним из своих основных лозунгов, вопросы эти приобрели исключительно важное значение. Так называемые «реальные» задачи, на которых школа хочет проработать весь курс математики, оперируют с точными данными лишь в виде исключения. Отсюда неизбежность ознакомления школьников с приемами вычислений с приближенными данными. С другой стороны, и самая вычислительная работа, которую в прежнее время существенно упрощал искусственный подбор данных (деления «выходили» большей частью нацело, корни извлекались точно, ответы получались в удобных круглых числах и т. п.), в настоящее время, с отказом о г такого искусственного подбора, сильно осложнилась и требует много времени и сил, что естественно приводит к заключению о необходимости рационализации и механизации школьных вычислений, т.-е. к введению в повседневное школьное употребление ряда простейших вспомогательных средств вычисления.

Современные программы для школ II ступени (например, программа ГУСа 1927 года) уже в значительной степени отражают эту необходимость введения элементов приближенных вычислений. Существенным препятствием успешной проработки этих статей является то обстоятельство что преподаватель школы II ступени сам, в большинстве случаев, недостаточно в этих вопросах осведомлен. Университеты, готовившие в прежнее время главную массу преподавателей средней школы, не давали в отношении приближенных вычислений ничего или почти ничего. Примерно ту же, картину наблюдаем и в настоящее время: учебные планы педвузов, составленные ГУСом в 1927 году, не предусматривают курса, который зна-

комил бы будущих преподавателей математики и физики с теорией и практикой приближенных вычислений. Здесь мы имеем несомненный пережиток той «системы двойного забвения» (выражение Ф. Клейна), которая царила в прежнее время в университетах и которая, казалось бы, должна бесследно у нас исчезнуть после того, как революция создала сеть высших педагогических учебных заведений, имеющих основной задачей подготовку преподавателей для школ повышенного типа (II ступень, ШКМ и др.).

2. Независимо от потребностей своей будущей профессии, каждый студент физико-технического отделения педагогического вуза уже с первых дней своего пребывания на I курсе встречается с необходимостью обрабатывать приближенные результаты своих измерений и учитывать погрешности результатов своих вычислений: этого требуют его занятия в физической и химической лабораториях. В дальнейшем требования эти только растут (физика, метеорология, геодезия, астрономия). Обыкновенно необходимые сведения по приближенным вычислениям студент получает от руководителя занятий по той дисциплине, которая в этих сведениях нуждается. Например, прежде чем допускать студентов к занятиям в физической лаборатории, руководитель практикума обычно показывает студентам приемы вычисления границ погрешностей. При таком порядке важные и совершенно новые для студента понятия и приемы усваиваются наспех и без достаточного обоснования. Получается, кроме того, досадный параллелизм: студент несколько раз слышит об одном и том же, каждый раз получая только готовые рецепты, иногда несколько противоречащие один другому. Приемам обработки результатов измерений учат физик, геодезист, астроном, педолог, причем последний предъявляет далеко не самые минимальные требования: при обработке результатов педологических обследований применяется вычисление средних квадратических погрешностей (результатов отдельных измерений и их среднего арифметического) и вероятных погрешностей, приходится иметь дело и с корреляцией. Все это, плохо осознанное студентами, не связанное никакими общими идеями, естественно, быстро забывается. Особо приходится отметить те затруднения, какие испытывает преподаватель методики математики. Рассматривая со студентами III или IV курса вопрос о том, как проработать в школе II ступени те статьи программы, какие относятся к приближенным вычислениям, методист убеждается, что студенты сами этих статей не знают. Прежде чем рассматривать методическую сторону вопроса, преподавателю приходится прорабатывать со студентами содержание этих статей. Конечно, уделить на это достаточно времени не удается, и получается только новый беглый просмотр этих вопросов, новое повторение того, что было уже столь же бегло и неполно затронуто физиком, геодезистом и т. д.

Несомненно, та координация работы по отдельным дисциплинам, которая так необходима в школе II ступени, необходима в известной мере также и дня педагогического вуза.

3. Если бы поступающие в педагогические вузы молодые люди были хорошо знакомь с элементами приближенных вычислений хотя бы в том весьма скромном объеме, в каком это рекомендует существующая программа ГУСа для II ступени, указанные выше затруднения были бы заметно смягчены. Но опыт показывает, что абитуриенты современной школы II ступени, вообще говоря, не имеют никакого представления ни о необходимости учета погрешностей, ни о способах такого учета, и не умеют пользоваться никакими вспомогательными средствами вычисления, кроме логарифмических и логарифмо-тригонометрических таблиц. Несомненно, этот пробел подготовки отнюдь не случаен. С одной стороны, вообще на математику в школе II ступени времени отведено мало (как по числу лет,

так и по числу недельных часов). Преподаватель не в состоянии выполнить программу полностью и непременно должен чем-то из нее пожертвовать. Недостаточно владея теорией приближенных вычислений, не отдавая себе вполне ясного отчета в громадном значении этой теории, преподаватель естественно бывает склонен при указанном недостатке времени пожертвовать именно этими статьями курса, стремясь проработать, по крайней мере, хорошо ему самому знакомые и, с его точки зрения, более важные отделы.

4. В ныне действующих учебных планах в педвузах приближенные вычисления как особый предмет отсутствуют. Получается своего рода порочный круг: педвуз предполагает, что элементы приближенных вычислений во II ступени усвоены, а потому ими не занимается и выпускает преподавателей, незнакомых с этой дисциплиной, а потому, конечно, не могущих достаточно основательно поставить проработку соответствующих статей в школе. Те или иные недочеты в подготовке преподавателей устраняются его «переподготовкой». Мы видим, что институт повышения квалификации педагога (в Москве), устраивая курсы для преподавателей математики, ставит для них, между прочим, и занятия по приближенным вычислениям. Оказывается, что в этого рода «переподготовке» преподаватели, лишь недавно окончившие педвузы, нуждаются не менее, чем все другие. Такое положение нельзя не признать глубоко ненормальным. Ясно, в чем выход: на физико-техническом отделении в педагогических вузах должен быть поставлен краткий элементарный курс приближенных вычислений, охватывающий основные вопросы теории и вырабатывающий необходимые навыки. Такой курс совершенно необходим теперь, в дальнейшем же, с улучшением подготовки по этому разделу абитуриентов школ II ступени, надобность в нем будет постепенно отпадать.

На каком курсе педвуза ставить такой элементарный курс приближенных вычислений? Конечно, на первом, чтобы сразу вооружить студента теми знаниями и навыками, какие так ему нужны при занятиях физикой геодезией и т. д. Существующий учебный план физико-технического отделения отводит на математику для I курса 10 часов в неделю (4 часа лекций и 6 часов практических занятий). Уделив из этих 10 часов на приближенные вычисления хотя бы 2 часа лекционных и 1 час практических занятий в течение одного семестра (осеннего), мы дадим студенту хорошее понимание основных идей теории приближенных вычислений и успеем выработать у него достаточно прочные навыки.

До сих пор мы имели в виду только студентов физико-технического отделения, будущих преподавателей математики и физики. Однако, те же затруднения, только в несколько меньшей мере, испытывают и студенты естественного отделения, будущие преподаватели естествознания. Прорабатываемый ими (на I курсе) курс математики тоже должен включать элементы приближенных вычислений.

Приводим в конце статьи примерную программу элементарного курса приближенных вычислений для I курса физико-технического отделения, рассчитанную на 2 часа лекций и 1 час практических занятий в течение семестра. Программа эта с некоторыми сокращениями и изменениями прорабатывалась с 1926/27 г. на I курсе физико-технического отделения Тверского педагогического института, где на нее отводилось всего около 30 часов (2 часа лекций и 2 часа практических занятий в неделю в течение 17а—2 месяцев).

В существующей литературе нельзя указать ни одной книги, вполне отвечающей намеченной программе. В конце настоящей статьи приведен список пособий, которые могут быть в первую очередь полезны преподавателю при построении подобного курса.

5. Будущему преподавателю математики и физики необходимо ознакомиться также и со второй, неэлементарной, частью теории приближенных вычислений, отчасти просто развивающей и дополняющей, на основе математического анализа и теории вероятностей, вопросы, уже затронутые в элементарной части (учет погрешностей значений функций в общем случае, теория ошибок наблюдения в связи со способом наименьших квадратов, обоснование правил подсчета цифр, дальнейшее развитие графических способов вычисления, в том числе номографии и т.п.), отчасти ставящей новые вопросы (теория интерполяции, решение численных уравнений, приближенное диференцирование и интегрирование функций, приближенное интегрирование диференциальных уравнений и т. д.). Действительно, нельзя признать нормальным то положение, когда студент, проработавший, например, довольно обширный классический курс интегрирования диференциальных уравнений и встретившийся с каким-нибудь сравнительно несложным диференциальным уравнением, не приводимым, однако, ни к одному из рассмотренных им типов, оказывается совершенно не в состоянии что бы то ни было с этим уравнением сделать. Представляется совершенно необходимым, на ряду с проработкой классической теории, ознакомить студентов и с приемами численного решения каждого частного вопроса. Приемы эти, вообще менее выгодные, чем решение по общим формулам, когда все сводится лишь к применению той или иной буквенной формулы к данному частному случаю, оказываются, однако, единственно применимыми тогда, когда общей буквенной формулы нет или когда она есть, но чересчур сложна. Сравнительно благополучно обстоит в этом отношении дело с высшей алгеброй, дающей на ряду с общей теорией уравнений также и различные способы численного их решения, приложимые всегда, коль скоро известны численные значения всех входящих в уравнение параметров. Менее полно рассматриваются приемы численного интегрирования функций: в курсе математического анализа студент узнает, что интегралы, не сводящиеся к классическим типам, можно взять либо путем разложения в ряд подъинтегральной функции, либо посредством формул механических квадратур. Но дело редко идет дальше немногих общих указаний; практического умения применять эти приемы к решению конкретных задач студенты обыкновенно не получают, не говоря уже о знакомстве с гораздо более удобными методами численного интегрирования, основанными на применении интерполяционных формул более общего вида и на суммировании. Еще хуже обстоит дело с интегрированием диференциальных уравнений. Здесь все время уходит на изучение классической теории, приемы же численного интегрирования, начало применения которых восходит еще ко временам основоположников анализа (И. Бернулли, Эйлер) и которые теперь усиленно разрабатываются, остаются вовсе неосвещенными. Только овладение методами численного диференцирования и интегрирований дает изучению математического анализа известную законченность и делает студента способным использовать эти свои знания для решения вопросов, с какими он встречается в дисциплинах, анализ применяющих (механика, физика, астрономия). Интересно отметить, что студент, практически усвоивший эти методы, начинает больше ценить и методы общетеоретические. Так, студент, определив, например, длину синусоиды после более или менее длительных вычислений, основанных на применении формул механических квадратур, совсем по-иному воспринимает теорию эллиптических интегралов, чем студент, знакомящийся с этой теорией без подобной «психологической подготовки». С другой стороны, многие вопросы, которые были уже затронуты в элементарном курсе приближенных вычислений, не могли быть там рассмотрены с достаточной полнотой. К таким вопросам необходимо вернуться еще раз после того

как студенты овладеют методами математического анализа и теории вероятностей. Так, необходимо рассмотреть основы теории уравновешивания, так как только тогда станут вполне обоснованными те практические приемы, какими студенты пользуются при обработке результатов измерений уже с I курса. Важно дать способ вычисления границ погрешностей, значений любой функции по данным границам погрешностей значений ее аргументов.

Необходимо подробнее рассмотреть вопросы, связанные с построением и употреблением математических таблиц. Весьма существенно—и по новизне дела очень трудно—дать обоснование тем правилам подсчета цифр, применение которых так упрощает все элементарные операции с приближенными числами.

Итак, при постановке на I курсе элементарной теории приближенных вычислений, необходимость чего, как мне представляется, достаточно показана выше, остается еще ряд вопросов неэлементарного характера, частью органически связанных с этой элементарной теорией, частью непосредственно к ней примыкающих, вопросов, которые должны быть проработаны будущим преподавателем математики и физики.

6. Для проработки на физико-техническом отделении педвуза всех подобных вопросов существуют два пути: надо либо включить их в соответствующие дисциплины, фигурирующие в учебном плане (решение численных уравнений —в высшую алгебру, численное диференцирование и интегрирование—в анализ, теорию уравновешивания—в теорию вероятностей и т. д.), либо поставить особый предмет на старшем курсе. Против целесообразности первого пути говорят следующие соображения: 1) некоторые весьма важные отделы, как теория интерполяции, номография, не попадут никуда (интерполяция обычно рассматривается в исчислении конечных разностей, а эта дисциплина в учебном плане педвуза отсутствует); 2) вопросы численного интегрирования не могут быть изложены в курсе анализа сколько-нибудь полно, если не включать в этот курс исчисления конечных разностей; 3) незначительное число часов, отводимых по учебному плану на проработку отдельных математических дисциплин, в связи с невысоким средним уровнем подготовки студентов вообще не располагает преподавателя к какому бы то ни было расширению программы; так, имея на теорию вероятностей всего лишь один час в неделю (в течение года, на IV курсе), преподаватель этой дисциплины не станет включать в программу сколько-нибудь подробного освещения теории уравновешивания; 4) большинство преподавателей математики не имеют склонности уделять время и внимание вычислительной работе, без чего даже самое лучшее изложение теоретической стороны методов численного решения различных задач даст студентам весьма мало.

Эти соображения заставляют высказаться определенно в пользу второго пути, т.-е. за постановку особой дисциплины, рассматривающей неэлементарные вопросы теории приближенных вычислений.

Вопрос о целесообразности постановки такой дисциплины естественно приводит к более глубокому вопросу: должна ли вообще существовать на ряду с другими отраслями математики и теория приближенных вычислений как особая дисциплина, или содержание ее должно раствориться в ряд других математических дисциплин? Не имея возможности остановиться здесь на этом вопросе подробнее, ограничусь ссылкой на книгу F. Klein'a «Präzisions- und Approximationsmathematik» (1927 г.), который считает, что вся математика в целом делится на две резко отграниченные части (математика точных соотношений и математика приближенных соотношений), и на любопытную статью H. Behmann'a «Reine und angewandte Mathematik», появившуюся в 1928 г. в «Jahresbericht der deutschen

Mathematiker Vereinigung» (37 Band. 1 Heft), который тоже решает положительно вопрос о праве на самостоятельное существование теории приближенных вычислений: он находит, что должна существовать общая теория всех приложений математики, теория, включающая в себе и теорию приближенных вычислений (Numerisches Rechnen).

7. Изучение этой неэлементарной части курса приближенных вычислений желательно провести семинарским порядком на последнем курсе физико-технического отделения, завершая таким образом солидными практическими приложениями всю работу по изучению высшей математики в педвузе. Отвести на такой семинарий надо минимум 4 часа в неделю в течение семестра.

Ниже приведена примерная программа такого курса. В каждом конкретном случае эта программа должна быть результатом сговора между преподавателями высшей алгебры, анализа, теории вероятностей и преподавателем, ставящим курс приближенных вычислений. Если некоторые статьи будут полностью или частично проработаны в других дисциплинах, желательно соответственно углубить проработку остальных статей, или ввести некоторые новые, не менее интересные и поучительные (вычисления посредством рядов, ряды Фурье в связи с задачами гармонического анализа, теория корреляции и т. п.).

ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА КУРСА «ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ».

А. Часть элементарная (прорабатывается на 1 курсе физико-технического отделения педагогического вуза при трех недельных часах в течение семестра).

I. Основные понятия теории приближенных вычислений.

Вычисления с точными и неточными данными. Приближенное число и его границы. Абсолютная погрешность и ее границы. Относительная погрешность и ее границы. Точные цифры приближенного числа. Изображение и округление чисел. Основные задачи теории приближенных вычислений. Практика вычислений (формула, алгоритм, схема, поверка). Вычисления со строгим учетом погрешностей и без него.

II. Вспомогательные средства вычислений.

Счетные приборы (счеты, палочки Непера, арифмометр, счетные линейки). Математические таблицы (таблицы произведений, квадратов, кубов, обратных величин, длины и площади круга, натуральных тригонометрических величин; таблицы логарифмов и антилогарифмов; таблицы логарифмо-тригонометрические). Линейная интерполяция и условия ее допустимости. Графики и номограммы (простейшие примеры графического решения вычислительных задач; пользование готовыми графиками и номограммами). Некоторые упрощенные приемы выполнения арифметических действий.

III. Учет погрешностей результатов измерений.

Погрешности систематические и случайные. Среднее арифметическое результатов ряда равноточных измерений. Средняя квадратическая погрешность отдельного измерения и арифметического среднего как средство сравнения нескольких рядов приближенных значений одной и той же величины. Вероятная погрешность. Предельная погрешность. Упрощенный способ обработки результатов измерений (вычисление среднего отклонения от арифметического среднего).

IV. Учет погрешностей результатов вычислений.

Вычисление низшей и высшей границы результата (способ границ). Вычисление границы погрешности результата (способ границ погрешностей) и теоремы, на которых оно основано (весьма малые числа разных порядков малости; граница абсолютной погрешности алгебраической суммы; граница относительной погрешности произведения, частного, степени, корня). Сравнение способа границ и способа границ погрешностей.

V. Вычисления без строгого учета погрешностей.

Малая вероятность больших погрешностей. Практические требования к точности результатов вычислений (принцип А. Н. Крылова). Правила подсчета цифр. Понятие об их обосновании. Предельная и средняя квадратическая погрешность в единицах разряда последней цифры. Сокращенные приемы вычисления.

VI. Употребительнейшие приближенные формулы.

Формулы для действий над числами, близкими к 1 (умножение, возведение в степень, деление, извлечение корня, логарифмирование). Формула для тригонометрических функций углов, близких к 0° и к 90°. Выяснение условий допустимости различных приближенных формул при заданной точности результата вычисления.

Б. Часть неэлементарная (прорабатывается на IV" курсе физико-технического отделения педагогического вуза при четырех недельных часах в течение семестра).

I. Теория уравновешивания и способ наименьших квадратов.

Кривые распределения. Нормальное распределение. Случайные погрешности и их распределение. Определение параметров кривой нормального распределения погрешностей по конечному числу наблюдений. Закон распространения средней квадратической погрешности. Средняя квадратическая погрешность арифметического среднего. Вероятная погрешность, предельная погрешность. Понятие о весах наблюдений. Обработка неравноточных наблюдений. Основная идея способа наименьших квадратов. Разбивка невязок. Решение системы л+ m линейных уравнений с п неизвестными. Вычисление коэфициентов целой рациональной функции по нескольким парам наблюденных значений аргумента и функции.

II. Вычисление погрешностей приближенных значений функций.

Вычисление границ погрешностей (предельных погрешностей) значений функций по известным границам погрешностей значений аргументов (применение полных диференциалов). Вычисление средних квадратических погрешностей значений функций по известным средним квадратическим погрешностям значений аргументов. Распределение погрешностей в значениях функций. Погрешности суммы п приближенных равноточных слагаемых. Обоснование правил подсчета цифр.

III. Интерполяция.

Конечные разности и их основные свойства. Задача интерполяции. Формула Лагранжа. Способ Ньютона. Формула Ньютона. Формулы Стирлинга и Бесселя. Остаточный член. Понятие о гармоническом анализе.

IV. Математические таблицы.

Построение таблицы значений целой рациональной функции посредством разностей. Построение таблиц других функций. Субтабулирование. Источники погрешностей значений, получаемых посредством таблиц, и оценка этих погрешностей. Линейная интерполяция. Практика интерполяции с высшими разностями. Вычисление значения аргумента по заданному значению функций.

V. Решение численных уравнений.

Уравнения с одним неизвестным. Отделение корня и получение первого приближения (применение анализа бесконечно-малых, табличный подсчет, графический способ). Способы уточнения имеющихся приближений (способ régula falsi, Ньютона, Ньютона-Фурье, итерации, применение интерполяционных формул). Решение алгебраических уравнений по способу квадрирования (Данделин—Лобачевский—Греффе). Система п уравнений с п неизвестными. Понятие о теории исключения. Графическое решение системы двух уравнений с двумя неизвестными. Уточнение корней по способу Ньютона.

VI. Численное диференцирование и интегрирование функций.

Выражение производных через разности. Составление таблицы значений производной функции по таблице значений данной функции. Различные формулы численного интегрирования (формулы трапеций, средних прямоугольников, Симпсона, Котеса, Гаусса, Чебышева). Выражение интеграла через разности. Составление таблицы значений интеграла как функции верхнего предела по таблице значений подинтегральной функции. Графическое диференцирование и интегрирование.

VII. Численное интегрирование обыкновенных диференциальных уравнений.

Интегрирование посредством разложения в ряд. Способ последовательных приближений через подстановку Picarcd'a. Способ Runge-Cutta. Способы, основанные на применении конечных разностей и конечных сумм. Графическое интегрирование.

VIII. Основные понятия номографии.

Функциональные шкалы. Их применение для изображения зависимости между двумя переменными (двойные шкалы). Номограммы из тройной системы помеченных линий, как средство изображения зависимости между тремя переменными. Номограммы из

тройной системы помеченных точек (способ выравненных точек). Примеры номограмм для изображения зависимости между более чем тремя переменными.

Кроме этой примерной программы, частично осуществлявшейся в Тверском педагогическом институте1), приводим также программу курса «Теория и практика приближенных вычислений», помещенную в «Сборнике программ педагогического факультета Северо-Кавказского государственного университета» (Ростов-на-Дону, 1927 г.). Программа составлена проф. В. П. Вельминым и предназначена для проработки на старшем (IV) курсе физико-технического отделения.

Теория и практика приближенных вычислений.

Применение логарифмических таблиц к вычислениям. Степень точности получаемых результатов. Абсолютная и относительная ошибки. Применение логарифмической линейки и арифмометров. Практика вычислений над комплексными числами. Формула Моавра; применение логарифмических и тригонометрических таблиц к вычислениям в области комплексных чисел. Мера точности получаемых результатов.

Вычисления с тригонометрическими таблицами. Степень зависимости меры точности от выбора формул.

Общая задача интерполирования. Формулы Ньютона и Лагранжа; остаточные члены. Обобщенная формула Ньютона. Понятие о разностях высших порядков.

Техника работы с помощью таблиц, когда требуется принимать во внимание разности второго или третьего порядка. Вычисления в этом случае значения аргумента по заданному значению функции.

Приближенное вычисление корней алгебраических или трансцендентных уравнений: правило ложного положения, способ последовательных подстановок, способ Ньютона. Анализ степени точности.

Способ Греффе для вычисления корней алгебраического уравнения. Приближенное вычисление корней системы алгебраических или трансцендентных уравнений с несколькими неизвестными. Приведение задачи к типу линейных уравнений по способу Ньютона.

Применение рядов к приближенным вычислениям. Оценка степени точности результата, когда члены ряда складываются до п-го включительно.

Некоторые правила, с помощью которых вычисление сумм медленно сходящихся рядов может быть приведено к вычислению сумм быстро сходящихся рядов.

Приближенное вычисление определенных интегралов—механические квадратуры. Формулы Симпсона и Гаусса.

Суммирование сходящихся рядов с помощью интегралов. Формула Эйлера-Маклорена и ее применения. Значение некоторых расходящихся рядов. Формула Стирлинга. Гармонический ряд. Постоянная Эйлера. Методика использования расходящихся рядов. Элементы способа наименьших квадратов. Практика вычислений, встречающихся при применении способа наименьших квадратов.

Оценка предельных и вероятных ошибок в значениях функции, когда известны предельные и вероятные ошибки аргументов.

Вычисление с помощью упрощающих приближенных формул; примеры.

Пособия: Млодзеевский. Решение численных уравнений. Гаврилов. Практика вычислений.

Как мы видим, в эту программу, на ряду с вопросами, которые и нельзя ставить раньше, чем на IV курсе, входят некоторые элементарные вопросы, которые возможно и крайне желательно перенести на I курс. Подчеркнем еще раз необходимость разделения курса приближенных вычислений на две части: элементарную, прорабатываемую на I курсе, и неэлементарную, относимую на IV курс.

8. Закончим настоящую статью краткими библиографическими указаниями. Из обширной литературы по приближенным вычислениям, особенно обогатившейся за последнее десятилетие, отметим немногие работы,

1) На физико-техническом отделении Тверского пединститута «Приближенные вычисления» прорабатывались, начиная с 1923/24 г., на IV курсе. Обе части, элементарная и неэлементарная, соединялись вместе, что было осуществимо, конечно, лишь при условии значительного сокращения неэлементарной части программы. С 1926/27 г. элементарная часть прорабатывается на I курсе, и надобность в проработке ее на IV курсе отпадет впервые в 1929/30 году.

представляющие собой минимум того, что должно быть под руками преподавателя, читающего курс «Приближенных вычислений».

1. Абрамов Н. М. Технические вычисления. Гостехиздат. 1928.

2. Брадис В. М. Опыт обоснования некоторых практических правил действий над приближенными числами. («Известия Тверского педагогического института», 1927, вып. 3.)

3. Брадис В. М. Правила подсчета цифр. («Математическое образование», 1928, №№ 1 и 2.)

4. Гаврилов А. Ф. Практика вычислений. (Приближенные вычисления.) Гиз, 1926.

5. Головнин Д. Н. О содержании предмета графической математики. («Известия Азербайджанского политехникума», вып. IV и V. Баку, 1928.)

6. Иванов А. А. Теория ошибок и способ наименьших квадратов. «Научное книгоиздательство». Петроград, 1921.

7. Идельсон Н. И. Уравнительные вычисления по способу наименьших квадратов. Гиз, 1927.

8. Кавун И.Н. Приближенные вычисления. Курс элементарный. Изд. 2-е. Гиз. 1923

9. Крылов А. Н. Лекции о приближенных вычислениях. Изд. Института инженеров путей сообщения. Петербург, 1911.

10. Крылов А. Н. Приближенное численное интегрирование обыкновенных диференциальных уравнений. Изд. Российской железнодорожной миссии РСФСР. Берлин, 1923.

11. Ocagne M. Traité de Nomographie. Paris, Gauthier-Villars, 1921.

12. Павлов Н. Н. Производство технических вычислений. Гостехиздат, 1927.

13. Придатко С. Практические вычисления. Гиз, 1929.

14. Программы и методические записки единой трудовой школы. Вып. III и V. Гиз, 1927.

15. Runge С. und König, H. Vorlesungen über Numerisches Rechnen. Julius Springer. Berlin, 1924.

16. Sanden H. Praktische Analysis. 2 Auflage, Teubner, Leipzig-Berlin, 1923.

17. Sanden H. Mathematisches Praktikum, Teil I. Teubners Technische Leitfäden, Leipzig-Berlin, 1927.

Вторая часть этой книги, посвященная специально численному решению диференциальных уравнений, обещана к выходу в 1928 г.

18. Schrutka L. Zahlenrechnen. Sammlung Mathematisch-Physikalischer Lehrbücher, Teubner, Leipzig-Berlin, 1923.

19. Соколов Н. Н. Номография. Гостехиздат, 1925.

20. Субботин, М. Ф. Численное интегрирование диференциальных уравнений. Статья первая. («Бюллетени Средне-Азиатского государственного университета», 1927, № 16, и 1928, № 17.)

21. Фан-дер-Флит А. П. Арифметика приближенных чисел. Прага, 1922.

22. Weitbrecht W. Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate, Teile I und II. Sammlung Göschen, 1919 und 1920.

23. Werkmeister P. Praktisches Zahlenrechnen. Sammlung Göschen, 1921.

24. Whittaker E. T. and Robinson G. The Calculus of Observations. A Treatise on Numerical Mathematics. Second Edition, Blakie and Son, London, 1926.

Подробные библиографические указания можно найти в указанных выше книгах Sanden'a (№ 16), Schrutka (№ 18) и особенно в книге Whittaker'a (№ 24), а также в статьях Головнина (№ 5) и Субботина (№ 20). Много исторических и библиографических сведений содержат статьи в «Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften» (Band I, Teil II; статьи Bauschinger'a по теории уравновешивания и теории интерполяции, Селиванова—по исчислению конечных разностей, Mehmke—по элементарным вопросам теории приближенных вычислений).

К ВОПРОСУ ОБ ИЗМЕНЕНИИ ДРОБИ ПРИ ОДНОВРЕМЕННОМ УВЕЛИЧЕНИИ ИЛИ УМЕНЬШЕНИИ ЕЕ ЧЛЕНОВ.

Н. Четверухин (Москва).

Этому вопросу была посвящена напечатанная в № 7 «Математического образования» статья Л. Н. Лодыженского, в которой автор доказывает следующие две теоремы:

1. «Пусть дана дробь с положительными членами. Прибавим к ее числителю и знаменателю соответственно два положительных числа. Тогда, если отношение первого из прибавленных чисел ко второму больше данной дроби, то дробь увеличится; если это отношение меньше дроби, то она уменьшится, и если указанное отношение равно ей, то дробь не изменит своей величины».

2. «Пусть дана дробь с положительными членами. Вычтем из числителя некоторое положительное число, не превосходящее его, и из знаменателя—меньшее его положительное число. Тогда, если отношение 1-го из вычитаемых чисел ко 2-му меньше данной дроби, то дробь увеличится; если это отношение больше дроби, то она уменьшится и, наконец, если это отношение равно дроби, то она не изменит своей величины».

В начале той же статьи автор замечает: «Известно, что изучающих арифметику поражает тот факт, что дробь может увеличиться или уменьшиться от "прибавления к ее членам или вычитания из них одного и того же числа. Но дальше мы встретимся с более парадоксальными фактами (курсив мой. Н. Ч.), как, например, увеличение правильной дроби от прибавления к ее числителю меньшего числа, чем к знаменателю» 1).

Последнее замечание привело меня к мысли, что вопрос об изменении дроби потерял бы свою «парадоксальность» и приобрел наглядности если бы ему была дана простая геометрическая интерпретация.

Такой интерпретации и посвящена настоящая заметка.

Пусть -g—дробь с положительными членами. Измененная дробь имеет вид:

Полагая:

представим измененную дробь в следующей форме:

Не трудно видеть, что уравнение

А + тх У — ~Ъ~^с~

представляет гиперболу с асимптотами х=— В иу — гп> параллельными осям координат.

Остается только решить вопрос, в какой паре вертикальных углов расположена гипербола.

С этой целью определим начальную ординату гиперболы:

Черт. 1.

Предположим, что >я>-^-. Это означает, что гипербола имеет расположение, изображенное на черт. 1. При т<-^ гипербола изображена на черт. 2.

Наконец, при /д = — уравнение гиперболы получает вид:

ху — тх -j- By — тВ = О или:

(х + В) (у — т) — 0 .

Кривая распадается на пару прямых:

X =—В и у = т, изображенных на обоих чертежах, №№ 1 и 2.

Эти чертежи наглядно представляют процесс изменения дроби. При х>0 прибавляемые числа а и b положительны, и мы имеем случай, соответствующий теореме 1.

Ордината у изображает измененную дробь в^с^~ и, как показывает черт. 1, у= ß^~b ^ TT' если m =>-g-. Из того же чертежа видим, что < -у « Черт. 2 показывает, что у = -g-^ < ~ß~> если m = < -4-. При этом измененная дробь ^~аи всегда больше, чем .

Случай m — -ß мы рассмотрим позднее.

На тех же чертежах можно видеть и выполнение теоремы 2.

Если. О > л: > — Д то:

^ А А -\- а ^ А , л.

при m>-£-, -У + (черт. 1)

при /и<-д-, У=щ_\ > 4" (черт. 2).

Далее видим, что при х — — В, у= ь = 00 и> наконец, если л;< —5, то:

при m>-g-, у>т> ^ (черт. 1) при m<-ß-, y<m<~ß (черт. 2).

Остается случай т = -^-. В этом случае, как мы видим выше, гипербола распадается на пару прямых:

х = — В} у = т.

Следовательно при любом значении х, исключая х= — В, т. е. дробь не изменяется.

При х = — В, имеем:

Черт. 2.

Итак, измененная дробь принимает неопределенный вид и представится графически любой точкой прямой х =— В.

Таким образом геометрическая интерпретация дает полностью всю картину изменения дроби без всяких ограничений.

Если на черт. 1 предположим, что:

-g < 1, то в промежутке между у и 1

на оси OY можем отметить произвольную точку M и положить ОМ=т (/и<1).

Тогда асимптоты у = т и х= — В вместе с точкой ( 0, определяют нам гиперболу, изображающую дробь Ясно, что это и будет случай, когда правильная дробь увеличивается от прибавления к числителю меньшего числа, чем к знаменателю.

Так как на промежутке (-^-, l) имеется сколько угодно рациональных точек M (m — рационально), то, очевидно, каждая из них будет давать бесчисленное множество целых положительных чисел а и Ь. В самом деле, если т = ~, то можно положить: a — ko.\ Ь = Щ (& = 1, 2, 3. . .).

Чертеж показывает, что измененная дробь будет тем больше, чем больше ky но остается меньше -|-1) .

ОДИН ИЗ СЛУЧАЕВ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ 4-й СТЕПЕНИ ЭЛЕМЕНТАРНЫМ ПРИЕМОМ.

С. Адамович (Тула).

Общий вид уравнения 4-й степени следующий: axxk-\- bxx3-\-ctx2-\--\-dlx-\-el = О, который легко можно привести к виду

хА + ах" -[- by? -f СХ+ d = О.....I,

где коэфициенты а, с, by d суть числа целые.

Решение вида I принадлежит к высшей алгебре, но может случиться, что уравнение I представляет собой произведение двух квадратных или приводится к биквадратному2), т.-е. имеет следующие 4 вида:

1) Последнее следует также и из теоремы 1 (приведенной у Л. Н. Лодыженского и в начале настоящей статьи). Стоит лишь считать в выражении -р . данной дробью —jj-, а прибавляемыми числами А и В.

2) Я не упоминаю об уравнении возвратном в общем виде, т.-е. об уравнении ахА -\-Ьхъ + сх1 + №Ьх + akr* = 0, так как таковое подстановкой х — —- у- всегда можно привести к биквадратному. См. журнал «Вестн. опытн. физики», № 481, стр. 23, зад. № 922.

где m, я, р, q — числа рациональные или иррациональные.

Вид А был рассмотрен в частном случае в журнале «Математическое образование», № 4, где было указано, какая должна существовать зависимость между коэфициентами а, Ь, с, d, чтобы оно распадалось на 2 квадратных с целыми коэфициентами.

Я хочу познакомить читателя со случаем В в общем виде, т.-е. вывести условия зависимости между коэфициентами для уравнения I в том случае, когда а, Ь, с, d суть числа не только целые, а могут быть рациональными или иррациональными.

Допустим, что многочлен х4-f- ах* -f-bx*-f- ex-f-à может быть представлен в виде (х2-\~т) (х2-\-пх-\~р).

Тогда, раскрывая в выражении (х2 -f m) (х2 -f- пх -\-р) скобки, получим тождество:

X4 -f- ах3 -f- by? -\- ex -|- d = x4 -f- nx* -f- [m -f-p) x2 -\-mnx -\-mp.......11

Для того, чтобы тождество II имело место при любом значении х, необходимо и достаточно, чтобы существовали три числа тЛ п, р, удовлетворяющие системе уравнений а = я; Ь = т-\-р\ с = тп\ d=mp. . . . III Решим эту систему.

Для этого перемножаем первые три уравнения системы III, получим: abc — m2n2-\-n2.mp\ заменяя в этом .выражении т2п2 = £2; п? = а2\ mp = d (см. III), получим abc = c2-\-a2d...... . ... IV

Следовательно, если данный многочлен четвертой степени разлагается на множители указанного типа, т.-е. выполняется тождество второе, то коэфициенты удовлетворяют условию IV.

Наоборот, если коэфициенты а, Ь> с, d удовлетворяют условию IV, то многочлен x*-\-ax*-\-bx2-\-cx-\-d может быть представлен тождественно в виде [x2-\-m){x2Jrnx~\-p).

Итак, если в уравнении х*-]-ахг-\-Ьх2-\-сх-\-а~0 коэфициенты удовлетворяют условию abc = c--\-a2d, то уравнение распадается на произведение неполного квадратного уравнения на полное, т.-е. может быть представлено в виде (х2-\-т) (х2-\-пх-\гр) = 0, где т = -^-\ п = а\ р = — , причем числа а, Ь, с, d, m, п, р могут быть иррациональные.

Доказанное мною поясню на примерах.

Пример I. Решить уравнение:

здесь

По формуле IV должно существовать равенство

Следовательно, данное уравнение можно представить в виде:

Пример II. Решить уравнение:

В этом уравнении 6 = 0; формула IV принимает вид 0 = c2-{-a2d; для данного уравнения имеем 0 = 72(—5)-f-(7|/"5)2î/л = —1/"5; /г= —7; р=К5; а потому *4 — 7х3-[- iVSx — 5 = (х2 — V5)(x2 — 7x-\-V5) = 0.

Пример III. Решить уравнение:

Разделив на 2, получим:

здесь

Данное уравнение приводится к виду:

или окончательно

Выведенное мною соотношение между коэфициентами заставляет нас запомнить довольно громоздкую формулу abc = с2-\-аЫ.

Я предлагаю следующий простой практический прием решения этого типа.

Легко заметить, что свободный член двучленного множителя tfi = -~, а потому данное уравнение следует попробовать разделить на X2 -f- —, и если деление окажется без остатка, то первые два корня будут равны + j/"--jp а остальные два найдутся из квадратного уравнения, которое получится в частном от деления данного уравнения на X2 4-—. 1 а

Что же касается до вида С, то он мною разобран в общем виде, с указанием практического приема решения, в № 5 «Математического образования», а с видом D мы познакомимся в одном из последующих «Математического образования».

ОБ ОДНОМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ФОРМУЛ ДЛЯ sin(α+β) и sin(α—β).

Сообщил Д. Перепелкин (Москва).

В № 6 журнала «Математ. образование» за 1928 г. было помещено сообщение Н. И. Доброгай о новом доказательстве формул для sin (a-f-ß), принадлежащем Л. Пелози и основанном на равновеликости площадей. В связи с этим мне хотелось бы сообщить об одном доказательстве формул для sin (a 4- ß) и sin (a— ß), также основанном на рассмотрении площадей.

Доказательство это стало мне известно через одного из учащихся еще несколько лет тому назад. К сожалению, я не имею никаких сведений о происхождении этого доказательства и не знаю, было ли оно где-либо опубликовано.

Доказательство, о котором идет речь, опирается на выражение для площади треугольника через две стороны и заключенный между ними угол:

пл. ABC — J- AC . ВС . sin С.

Пусть си и 8 два данных острых угла (черт. 1). Через произвольную точку Р на их общей стороне проводим прямую ОР±_АВ. Тогда

(1).

С другой стороны, пл. АБО = пл. АРО -\- пл ВРО —

так что

(2).

Черт.1.

Из черт. 1 мы заключаем:

АР = OA. sin a; BP=OB.s\nfc ОР= OA . cos а = OB. cos ß. Заменяя в правой части равенства (2) АР и BP только что выписанными их значениями; заменяя далее ОР в первом члене правой части равенства ,(-) через OB.cosß, а во втором члене через CM.cosa, мы придем к равенству: ~ OA.OB.sm(a-)-ß)= = ~ O^.sina.Oß.cosß-l- 1 OB.sin ß.O^.cosa.

Сокращая обе части этого равенства на ^ОА.ОВ, мы и приходим к искомой формуле.

Для доказательства формулы для sin (a—ß) достаточно расположить углы a и ß (a > ß)% как указано на черт. 2, и повторить рассуждения, вполне аналогичные предыдущим.

Черт. 2.

О ПЕРЕНЕСЕНИИ КОЛИЧЕСТВ В РАВЕНСТВАХ

Г. Арзуманов (Баку).

При преподавании элементарной математики часто имеем дело с перенесением количеств из одной части равенства в другую.

Часто, вследствие недостаточного навыка учащегося, в уме последнего смешиваются понятия «самостоятельный член» и просто «количество», в ледствие этого мы видим, что ученик переносит в другую часть равенства также множитель, «меняя» при этом знак (множитель переносит как слагаемое).

Мы находим, что эти ошибки не случайны и они коренятся именно в том, что учащимся не усвоено: а) узнавание выражений (смысл отдельного члена), б) роль обратных операций.

Мы предлагаем применять следующую теорему (она не нова, но до сих •пор не достаточно подчеркнута).

Теорема. Всякое количество, с которым связана самая последняя операция в левой части равенства, может быть перенесено в правую часть под знаком обратной операции.

Мы здесь имеем в виду пока шесть алгебраических действий.

Тут нужно ясно представить, что мы подразумеваем под словами «с которым связана», а также «под знаком операции».

I. Количество, с которым связана операция, — это то количество, которое написано после знака операции.

Так, например, «:т» будем понимать, что операция деления связана с количеством «т» или, что все равно,— количество «//г», с которым связана операция деления. Следует тут же прибавить:

//. Количество, над которым производится операция, — это то количество, которое написано перед знаком операции.

Так, например,«я:» будем понимать,что операция деления производится над «/г».

III. Мысль: «количество находится под знаком данной операции», совпадает с мыслью: «данная операция связана с данным количеством», следовательно, приводится к случаю (I).

Пусть теперь даны количества а, Ъ, с и операция Д.

Пусть далее имеем:

а д Ь = с\ .......... (1)

Читаем: «Над количеством а производится операция Д, связанная с количеством Ь, в результате получается количество с. Если V означает операцию, обратную для Д, то ясно, что: a l_\b\J Ь — с\/ Ь.

\а=сУЦ..........(2),

откуда ясно применение теоремы, высказанной выше.

Это чисто арифметическое доказательство теоремы всегда доступно учащемуся.

Вместе с тем эта теорема настолько обширна, что ее можно назвать универсальным приемом при решении элементарных уравнений с одним неизвестным. Усвоив ее, учащийся будет уверен в дальнейшем развитии.

Если определяемое количество входит в несколько членов левой части, то для применения теоремы необходимо и достаточно, чтобы во всех членах определяемое количество входило в одной и той же степени.

Коллеги-педагоги сделают соответствующие выводы для построения курса преподаваемой ими элементарной математики.

Пользуюсь случаем указать еще на универсальность признака узнавания выражения по последнему действию, ибо этим признаком узнается не только «одночлен» или «многочлен», но и вид функции, а также цель задания.

СВЯЗЬ ФОРМУЛ МОАВРА И ЭЙЛЕРА.

С. Слугинов (Пермь).

В курсах анализа под именем формул Моавра и Эйлера известны такие соотношения:

(csa -f- i sn а)л= es /га-f isnn а . . . (1) формула Моавра;

csx-f-Zsnx^e^'.......(2) формула Эйлера.

Обыкновенно эти формулы выводятся независимо друг от друга. В настоящей заметке мы хотим показать, что формула Моавра легко приводится к формуле Эйлера, так что, в сущности говоря, формула Моавра тождественна формуле Эйлера.

В самом деле, пусть в равенстве (1-ом) па = х, тогда

(3).

Возвышая вторую часть полученной формулы в п-ую степень и заменяя затем в ней при переходе к пределу косинусы единицами, а синусы их дугами, мы придем в пределе (при/г->оо) к соотношению:

es X —J— i sn X = 1 —[— —j— -^-^r—I——I- ... (4).

Если обозначим правую часть последнего соотношения через ех'\ то и получим формулу Эйлера.

Формулы Моавра и Эйлера можно представить в более кратком виде, если воспользоваться символом Аргана Франсэ. Для этой цели положим

гх = г (es X -f- i sn x)......, . (a),

тогда формулы Моавра и Эйлера представятся соответственно таким образом:

(1.)"=1- ■ • • .00 и 1. = ^. . . . (4').

О ФОРМУЛЕ МАШЕКА.

И. Воронков (Москва).

Формула Машека относится к той части прикладной механики, которая занимается изучением работы живых двигателей (человека, лошади и пр.). Эта формула дает зависимость между следующими тремя величинами: усилием Я, развиваемым данными живыми двигателями, скоростью Vj с которой движется точка приложения этого усилия (например, скорость рукоятки ворота, вращаемого рабочим), и временем t, в течение которого производится данная работа. Понятно, что, поскольку формула Машека распространяется и на работу человека, эта формула имеет большой практический интерес, тем более, что к живым двигателям не приложимы те математические расчеты, какие имеют место для двигателей— машин. (Эту формулу мы находим также включенной в официальные программы по механике, изданные не так давно Главпрофобром для рабфаков и техникумов.)

Насколько нам известно, во всех курсах прикладной механики, где говорится о работе живых двигателей, формула Машека приводится без всякого вывода, как чисто эмпирическая формула, данная ее автором (чешским инженером Машеком) на основании многочисленных опытов. При этом указывается, что формула Машека лучше других аналогичных формул согласуется с действительностью. В настоящей заметке мы показываем, как можно получить эту формулу, исходя из некоторых весьма простых соображений.

Обозначим, как было упомянуто выше, через Р силу, развиваем) ю живым двигателем, через v— скорость точки приложения этой силы и через t— время, в течение которого работает живой двигатель. Тогда механическая работа, совершенная двигателем, будет:

Г=Я .v.t

Величины —Я, v и t не могут, понятно, неограниченно возрастать; они могут изменяться лишь в определенных пределах: от нуля до некоторой определенной верхней границы. (Само собой разумеется, что эта верхняя граница различна для разных живых двигателей, а для одного и того же двигателя зависит от вида той работы, которую двигатель совершает.) Кроме того, опыт показывает, что эти величины — Р, v и t не являются независимыми между собой переменными, если двигатель работает в нормальных условиях, т.-е. без крайнего переутомления и без вреда для своего организма, что на практике, конечно, и должно иметь

место. Так, например, если двигатель работает с данной силой Р и с данною скоростью V в течение t = 6 час, то он не может работать (нормально) с той же силой и той же скоростью в течение t=^0 час. При 10-часовой работе величины Р и v будут иметь, очевидно, меньшие значения. Вообще, заданным значениям двух из рассматриваемых переменных величин будет соответствовать (при нормальных условиях работы) некоторое определенное значение третьей величины, т.-е. мы приходим к заключению, что переменные Р, v и t находятся между собой в некоторой функциональной зависимости вида:

F(P, v, t) = 0, или, что то же, P=f{v} t). Далее, из того обстоятельства, что величины P,vwt изменяются лишь в определенных границах, следует, что должна существовать такая система значений этих величин, при которой полезная работа двигателя Т=Р . v . t будет наибольшей. Многочисленные опыты Кулона, Навье, Герстнера, Машека и др. вполне подтверждают это соображение: для каждого живого двигателя и для каждого вида производимой им работы действительно существует такая наивыгоднейшая система значений Р, v и t, при которой совершаемая двигателем полезная механическая работа достигает своего maximum'a. (Так, например, для лошади, работающей у конного привода, наивыгоднейшие значения силы, скорости и времени таковы: Р= 45 кг, v = 0,9 м/сек., t = 8 час). Если обозначим эти наивыгоднейшие значения через Pi9 vx и tv то будем иметь:

Tmax = Pl • ^1 • tl> Причем Рх =f(Vlt tx).

Наша задача состоит теперь в том, чтобы определить вид функции P=f(v, t)\ истинный вид этой функции, конечно, неизвестен, но можно попытаться найти приближенное выражение для нее. Для этого заметим прежде всего, что так как значения Р1% vx и tx соответствуют максимальной полезной работе, то, понятно, всегда нужно стремиться к тому, чтобы двигатель работал при этих наивыгоднейших значениях силы, скорости и времени. Если на практике это условие и не всегда строго соблюдается, то во всяком случае отклонения значений Р, v и t от наивыгоднейших должны быть невелики. Поэтому, если введем обозначения:

то эти относительные отклонения от наивыгоднейших значений будут малы по абсолютной величине, которая будет во всяком случае заключаться между 0 *и 1. Выражение для Р принимает теперь вид:

P+ffri О - х)9 t, (1 —у)] у).

Разлагая функцию <р (л;, у) в ряд Маклорена, получим:

Отбросив в этом разложении все члены порядка выше первого относительно x и у (что можно сделать ввиду малости х и у) и заменив х и у их значениями, мы сможем, очевидно, искомое выражение для Р представить, как функцию первой степени от v и t, в таком виде:

P = A+Bv+.Ct..........(1).

Таким образом, задача сводится теперь к определению постоянных коэфициентов — А, В и С. Это сделать уже не трудно. В самом деле, прежде всего мы будем иметь такое соотношение:

Pl = A + Bvx + Ctx.........(2)

Далее: выражение для работы, совершаемой двигателем, принимает теперь вид: Т= (A-\-Bv-^Ct) . v . t.

Эта функция, как сказано выше, достигает своего максимума при v = vl и t = tv — следозательно, ее частные производные при этих значениях аргументов обращаются в нуль. Это дает нам еще два соотношения

(3) (4)

Решая уравнения (2), (3) и (4), найдем:

Подставляя эти значения в уравнение (1), получим окончательно:

Это и есть формула Машека. Приведенный вывод этой формулы показывает, что: 1) формула Машека является единственной формулой, выражающей зависимость между Р, v и t, если только допустить, что эта зависимость — линейная, т.-е., другими словами, что эта формула является математическим следствием, вытекающим из предположения линейной зависимости между Р, v и t; 2) результаты, полученные на основании вычислений по формуле Машека, могут хорошо согласоваться с действительными результатами, полученными непосредственно из опыта, только в том случае, если значения Р, v wt мало отличаются от наивыгоднейших значений Pv v1 и tv Это последнее обстоятельство, как известно, вполне подтверждается на опыте.

НЕНАТУРАЛЬНОЕ И АПАГОГИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО В ПРОШЕДШЕМ И БУДУЩЕМ.

Д. Мордухай-Болтовской (Ростов-на-Дону).

§ 1. Два типа логических операций.

Следует различать два типа логических операций. Первый—анализ и синтез понятий. Понятие А не строится, но находится уже готовым, и путем рефлексии определяются существенные признаки: а, Ь, с..., с помощью которых оно относится к определенным классам.

На ряду с признаками а, Ь, с, наличность которых представляется непосредственно очевидной, вскрываются еще признаки: а, ß, у..., наличность которых является уже спорной, так как эти признаки как бы освещены колеблющимся светом, при одном употреблении понятия погружаются в мрак, при других—всплывают на свет.

Исследование этих смутных элементов анализа состоит в определении, т.-е. исследовании правомочности и неправомочности этих признаков путем подбора наиболее убедительных случаев, в которых, при особенно ясном выступлении контуров этого понятия, спорные признаки совершенно стушевываются или же, наоборот, вполне определенно выступают на свет.

С анализом связуется и синтез, выводящий из элементов анализа понятия А другие понятия В, С..., тоже обретающиеся в разуме, как и А, уже готовыми.

Такого рода, анализ понятий мы очень часто производим. Например, когда решаем вопрос о том, что такое глупость и что такое тупость> мы ищем типичные случаи, в которых мы определенно говорим: это— глупый человек, и такие, где мы скажем: тупой человек.

Другим примером является исследование определений злости и черствости, скупости и жадности, которые иногда смешиваются между собой.

Юридическое1) мышление во всяком случае принадлежит к этому типу. Оно ищет определения понятий, которые находит в мысли уже готовыми. Этот тип может быть назван схоластическим2), так как он характеризует схоластику, которая занимается почти исключительно определениями. Ко второму типу относятся операции силлогистические, пополняющие признаки а, Ь, с... другими неочевидными, но, в силу законов логики, неизменно связанными с а, Ь, с... В этой операции внимание направлено не во внутрь понятия, а вне его. Сперва понятие берется как оно есть, даже без анализа, очищающего его от неправомочных признаков а, ß, у .., и из совокупности а, Ь, с... а, ß, 7... и свойств, присущих классам, к которым относятся эти признаки, извлекаются другие свойства А: а', У, с'... а', ß', y'... Жизнь понятия здесь существенно отличается от жизни в среде операций первого типа.

Этот тип мышления присущ математике. Но было бы ошибочно думать, что при убеждении в чем-либо (а к убеждению и сводится доказательство в обычном смысле слова) действует только эта вторая, силлогистическая операция.

Раньше всего необходимо разобраться в понятиях, выявить определение, о чем идет речь, и здесь-то мы имеем, конечно, не вторую, а первую операцию; ведь в каждом споре мы раньше всего, да и больше всего являемся схоластиками. Самые же выводы мы делаем, не смешивая силлогистические операции с различными приемами, большей частью чисто психологического характера, заставляющими наших противников или учеников склоняться к признанию положений, нами не доказываемых, но представляющихся нам верными в то время, как другим неверными или только спорными.

Вся история математики3) от средневековья до настоящего времени идет по пути от анализа живых понятий к оперированию над мертвыми символами, от схоластического спора к формальному, алгебраическому аппарату, от убеждения к доказательству в смысле только установки формально-логических связей.

В начале кустарное производство ковров, в конце—фабричное их производство.

Рамус4) и рамисты—это схоластики-математики. Декарт и рационалисты5) еще на полпути, они уже имеют аппарат, который работает над элементарными понятиями, которые еще остаются понятиями, и подход к ним чисто схоластический. Пеано и логистики оперируют уже только символами.

1) Отметим основную проблему определения права, различно решаемую Кантом. Иерингом и др. См. Шершеневич. Определение понятия права. Казань. 1896. Коркунов. Лекции по общей теории права. СПБ. 1897.

2) Не будем упоминать о классиках схоластики и работах по средневековой философии. Отметим любопытную книгу по популярной схоластике, где можно найти все основные схоластические вопросы: Knithel. Aristoteles curiosus. Praga. 1682. Fylkowskl. Philosophia curiosa. 1680.

3) О значении схоластики в истории математики я говорю в работах: «Философско-математические идеи XVI века». («Известия Донского университета». 1919.) «Генезис современного числа». («Известия С. К. Г. У.» за 1928. Т. III (XV). «Аксиоматика XVII в.». «Генезис и история теории пределов». (Там же).

4) Рамус 1515—1572. Waddington. Ramus, sa vie, ses écrits et ses opinions. Paris, 1855. G. Wierkert. Encyclopädie des Petrus Ramus. Leipzig, 1848. Ziehen, § 23. Моя работа «Философско-математические идеи XVI века».

5) Renati Descartis Principia philosophiae Amstelodami, 1677, и другие работы. Куно-Фишер, т. I. О логике Декарта. Ziehen T. I, Сар. 2, § 23. Там же о Bouse, § 32.

Резче всего эта смена настроения выражается в физике. Средневековье живет аристотелевской физикой, анализируя свойства материи. Рационалисты эти свойства сводят к движению и комбинациям элементов-атомов, или монад. В новейшей же физике эта «модель» расширяется в формально математический аппарат.

§ 2. Аристотель и схоластика.

Обычно принято отказывать схоластикам1) в оригинальности, сводить всю деятельность схоластики к комментированию уже данных Аристотелем2) решений им же самим поставленных проблем.

В указанной мной схоластической проблеме об определении тогда можно видеть только проблему самого Аристотеля, т.-е. не средневековья, а античной мысли. Но более глубокий анализ Аристотеля и схоластики вскрывает глубокое между ними различие, хотя это различие и скрывается под аналогичной внешней формой словесной формулировки проблем.

В противоположность схоластике Аристотель в случае нескольких понятий, означаемых одним и тем же словом, не ищет то, которое он должен считать правомочным на это название. Он говорит о субстанциях с различных точек зрения. Он даже говорит о том, что больше и что меньше субстанция. Математические сущности, говорит он, менее субстанции, чем чувственные тела.

Для Аристотеля характерны двойственные положения: с одной стороны А есть By с другой стороны А не есть В.

Первое положение отвечает одному смыслу В, второе другому.

«То, что более просто,— говорит Аристотель,—то скорее принцип, чем то, что менее просто. Но последние виды, заключающиеся в родах, более просты, чем роды, так как они неделимы, в то время как род может делиться на большое число различных видов; поэтому, как мне кажется, виды—более принципы, чем роды. Но, с другой стороны, в виду того, что уничтожение рода влечет уничтожение вида, роды имеют в большей мере характер принципов, так как то является принципом, что влечет за собой другое».

Таким образом здесь принцип понимается в двух смыслах: во-первых, то, что не может быть разделено, во-вторых, то, что влечет другое.

Сам Аристотель не ставит проблемы: что такое принцип? Это уже схоластическая проблема. Схоластический комментарий к этому аристотелевскому рассуждению должен состоять в решении проблемы: что такое принцип, каково содержание смутного понятия о принципе, вскрываемого в душе и проясняемого с помощью тщательного анализа, с которым смешиваются другие смутные, колеблющиеся понятия, не допускающие такого прояснения.

1) Haureau. De la philosophie scolastique. Paris. 1850. Работы Werner, Rousselot

2) Aristoteles. Opera omnia graece et latine.

Об определениях Аристотеля: Analyt. pr. 11 с. 3.

Об аристотелевском методе: Elken. Die Methode der aristotelischen Forschung, Berlin. 1872. Gottini. Aristotele e il metodo scientifico. Pisa, 1873. См. также Franz Biese. Aristoteles Philosophie. Berlin, 1835—1842. Cousin. De la Methaphysique d'Aristotel. Paris, 1838. О логике Аристотеля см. Ziehen. Lehbruch der Logik. Berlin, 1920. Teil 1, § 9.

О схоластическом методе: Carl Prantl. Geschichte der Logik im Abendlande Leipzig. Bd. 1.1855. Bd. 2, 1863. Bd. 3, 1867. Bd. 4, 1870. Ziehen. I Teil. О различных смыслах субстанции. Met. V, 8. О принципе. Met. V, 1.

Единственное1) решение этой проблемы и будет отвечать верному из двух намечаемых Аристотелем положений. Другое же должно быть безусловно отброшено.

А называется В, C,D..., и каждое положение: А есть В, А есть С, А есть D—по Аристотелю—верно с своей точки зрения.

„Подобными2),— говорит Аристотель, —мы называем вещи, которые, не будучи абсолютно тожественны, различаются в отношении субъекта, но тожественны относительно формы. Четырехугольник больший подобен меньшему, неравные прямые подобны между собой, хотя и не абсолютно тожественны.

Но называют также подобными вещи, которые, имея ту же сущность и будучи в состоянии делаться больше или меньше, тем не менее не делаются ни больше, ни меньше, иначе говоря, качество которых специфически одно и то же. Именно в этом смысле говорят, что очень белое подобно тому, что менее бело, так как в них единство рода. Наконец, называют подобными вещи, представляющие больше сходства, чем различия, абсолютно или только по видимости; так, свинец больше походит на серебро, чем на золото; золото походит на огонь своим красноватым цветом и т. д."

Таким образом Аристотель только наблюдает, и наблюдения его дают эти три смысла подобия, но он не решает проблемы, что такое истинное подобие, которая является уже схоластической проблемой. Сущность античного мышления и состоит в собирании с помощью наблюдения признаков изучаемой вещи и выключения тех признаков, которые находятся между собой в противоречии, с отнесением их к обману чувств, в определении той совокупности признаков, которые выявляют, так сказать, реальный скелет вещи.

Античная мысль не реализирует абстракции, как это делает средневековая. Платоновские идеи3) - это вовсе не реализованные универсалии, это образцы, которым подражают реальные единичные вещи, образцы, тоже реально существующие, но в каком-то другом мире. У Аристотеля эти идеи обращаются в формы, и уже в нашем мире, в самих вещах, так сказать, души вещей, носители определяемых ими целей. В схоластическом реализме общее понятие—универсалия—получает реальное существование, проблема об определении приобретает онтологическое значение.

Что такое А? - с античной точки зрения, это—что в Л—обман чувств и что—правда?

На вопрос, что такое субстанция, Аристотель не отвечает ее определением. Но перед постановкой этой проблемы он дает определение субстанции. Это, говорит он, первое сущее, при этом не тот или другой модус сущего, но сущее, взятое в абсолютном смысле, прибавляя, что понятие первого понимается в различных смыслах в отношении понятия, знания, времени и природы.

Вполне сознавая несовершенство определения, он разбирает различные смыслы слова «субстанция». Субстанция4), говорят,—сущее, сущность

1) Интересно отметить, что древние при решении проблемы не ставили вопроса об единственности решения, а находят какое-либо решение, вполне удовлетворяясь им. См., напр., Аоифметику Диофанта. Впервые проблема об единственности решения ставится схоластикой в чисто теологической сфере. См. S. Anselmi. Prologium.... Monologium... Migne. Patrologia. T. 158. Ансельм. 1033-1109.

2) О подобии—Аристотель. Met. V. 9.

3) О платоновских идеях см. его диалоги: Федон, Теетет, Софист, Кратил,, Филеб, Менон, Федр и т.д. Аристотель против идей Платона. Analyt. Post., lib. 1,2, 19. Met., lib. VII, c. 14, 15; X, c. 10; XI, 4, 5, 11, 12; XIII, 2; XIV, 3.

4) О субстанциях. Met. V. 8.

Взгляды Аристотеля на определение см. Anal. Post. Lib. I, 13.

относят также к субстанциям, субстанцией является род, и субстанция— субъект. На этом последнем он более всего и останавливается, поясняя, что субъект есть то, чему все остальное является атрибутами, но сам он не является атрибутом чего-либо. Выбрав именно этот последний смысл, Аристотель исследует, что из признанного им реально сущим может быть названо в этом смысле субстанцией, и если приходит к заключению, что материя не вполне может быть названа субстанцией, то потому, что ей, как обладающей только потенциальным бытием, он не дает всей полноты реального существования.

Что такое А?—с схоластической точки зрения, это—какие характерные свойства присущи сущности, означаемой нами словом А, и наиболее стойкое из всех означаемых тем же словом.

Античная мысль1) воспринимаемое извне перерабатывает внутренней работой. Средневековая -смотрит внутрь, вполне доверяя своему внутреннему взору, проектирует его материал во вне, в сферу реального транссубъективного существования. Всякая проблема для нее имеет онтологическое значение, оно раскрывает содержание реальной сущности, разъясняя то, что в первый момент рефлексии представляется в смутном виде.

Вот все это следует хорошо продумать, чтобы понять, почему логика схоластическая и рамическая, которая ближе к первой, чем о ней думают, относится так враждебно к Евклиду, который является кровью от крови, плотью от плоти аристотелевской логики.

Для Аристотеля и Евклида определение вовсе не имеет того значения, которое ей приписывает Рамус. Евклид вовсе не строит системы геометрии, ни в смысле Рамуса2) и Арно, развертывая ее соответственно определенной иерархии понятий, ни в смысле Гильберта3), выводя все ее содержание как формально-логические следствия групп постулатов. Он только убеждает в том, что некоторые геометрические факты, им наблюдаемые, часто представляющиеся совершенно очевидными, не представляют обмана чувств, а в действительности имеют место, причем большинство из них имеют только посредственное значение для установки свойств правильных тел, имеющих кардинальное значение в платоно-пифагорейском мировоззрении и без изучения которых нельзя войти в святилище метафизики.

§ 3. Схоластика в современной науке.

Для нас интересней положительная, а не отрицательная сторона прошлого. Пройденный нами путь—это не ряд одних заблуждений, это скорее ряд истин, хотя и смешанный с заблуждениями. Чистая истина недоступна уму человеческому. Познаваемое всегда представляется в искаженном виде, но искажения эти весьма различны, так как сильно меняется точка зрения, с которой мы смотрим. Можно сделать сравнение с предметом, который мы не можем обнять одним взором и который отделен от нас туманом; мы ходим вокруг него, рассматривая его с различных сторон и ни с одной стороны мы не видим его полностью и во всей чистоте.

Схоластическая точка зрения, вызываемая схоластическим типом мышления, вовсе не дает одни заблуждения. И теперь может ставиться схоластическая проблема, но она уже не будет привлекать того внимания,

1) Характеристика античной мысли. Шпенглер. Закат Европы.

2) Petri Rami Geometriae. Libri XXVII. Basileae 1560. Scholarum. Mathematicarum Libri unus et triginta Basileae, 1569. Fracfurti 1569.

О Рамусе см. мою работу: «Философско-математические идеи XVI века». («Известия Донского университета», т. 2, 1919.)

3) Гильберт. Основания геометрии. Русск. пер. СПБ. 1923.

что раньше, вследствие того, что человеческий интеллект изменился и в своих вкусах и в своих способностях.

Схоластическое исследование было бы не больше, чем подражанием средневековой схоластике, совершенно таким же образом, как современная католическая архитектура является подражанием готике. Речь может итти не о восстановлении схоластической науки, а только о схоластическом элементе, который не может быть совершенно изъят из современной науки. Существует область, где в довольно широких размерах должна еще жить схоластическая проблема определения: это в методике. Здесь. формальная точка зрения совершенно невозможна. То, что изучается, должно быть определено, причем именно в схоластическом смысле.

Определение1) здесь не может быть только ярлыком, наклеиваемым на совокупность признаков.

Взяв понятие как оно есть в своем смутном виде в душе учащегося,, следует вместе с ним проанализировать его и вскрыть его характерные признаки и очистить его с помощью последних. Мы не будем говорить, каким образом учащийся приводится к окончательному определению и какие из определений основных математических понятий являются наиболее подходящими. Это все проблемы методики, важность которых современной методикой вполне осознана.

Но и в чистой научной области чистый формализм все-таки недостижим: все определения не сводятся к чисто номинальным. Конечной целью науки является познание вещей, которые некоторым образом уже частично познаны, так как мы, приступая к научному познаванию, уже знаем, к чему его прилагать. Мы не будем сейчас заниматься гносеологическим вопросом, каким образом это первичное до-научное знание приобретается, но мы укажем только на то, что оно есть и что оно дает познаваемую вещь как цель, переизложенной и еще не выраженной в логических терминах.

Проблема определения состоит в изыскании характерных признаков а, но не следует думать, что вскрытие признаков дает полностью эквивалент определенному. В конечном итоге все познаваемые вещи неопределимы.

Схоластическая проблема дает не полное, а только приближенное значение.

То, к чему относятся определения, аксиомы и выводимые отсюда положения, никогда целиком не совпадает с тем, к чему относятся выставляемые наукой проблемы. Пересечение двух кривых не может быть определено. Геометрия говорит об общей точке кривых, а не об их пересечении.

§ 4. Доказательства: что это так, и почему это так.

Аристотелевское определение2): «Знать — это иметь доказательство не из акциденций», схоластикой толкуется уже, чем его понимал сам Аристотель, разумея акциденцию в чисто логическом смысле.

Акциденциальное, случайное свойство, по Аристотелю, то, которое может оказаться в виде, принадлежащем роду А, и может не оказаться^

Ему противополагается существенное свойство, присущее только видам рода А.

1) Об определениях: Bonnel. Essai sur les définitions géométriques. 1870. Liard. Des définitions géométriques et des définitions empiriques. Paris. Alcan, 1888. Историю и вместе с тем методическое значение определений можно найти в прекрасной книге:

Schotten. Inhalt und Methode des Planimetrischen Unterrichts. 1870.

2) Определение знания у Аристотеля. Anal. Post. I, 9. II, 12. 13.

Аристотель привносит в логику элемент времени. Самая формулировка закона противоречия, отвергающая возможность вещи в одно и то же время быть и не быть, содержит этот временный момент. Вне сомнения и понятие случайности носит этот характер и понимается в том смысле, что свойство не всегда присуще А\ такова, например, болезненность, отнесенная Аристотелем к случайным свойствам не только потому, что она присуща и птицам, но и потому, что каждый человек может быть сегодня болен, а завтра здоров.

От существенных свойств Аристотель требует, чтобы они были присущи видам только данного рода, причем всегда.

Схоластическая мысль, с одной стороны, освобождается от пут времени, с другой стороны, идет дальше в смысле предъявления требований к существенным свойствам как основе знания.

Она ищет не только устойчивые признаки, могущие служить определением, но и такие, которые обладают своего рода приоритетом, выступая в мысли и раньше и выпуклее, претендуя достигнуть, так сказать, нутра вещи. Из них другие свойства вещей должны выводиться.

Понятие о существенных свойствах подвергается метаморфозе, при которой переступается сфера чисто логического анализа даже с аристотелевским временным элементом и за существенными свойствами усматривается уже онтологическое значение.

После этой длинной характеристики схоластического настроения читатель поймет анти-математиков1) XVI и XVII веков. С яростью набрасываясь на математику, они приводят в пользу своих анти-математических взглядов авторитеты древних, толкуя их, конечно, по-своему.

Прежде всего приводятся слова Прокла: «Геометрия менее всего познает причины».

Всякое знание разъясняет (demonstrat) причину по эффекту, эффект— по причине (causam per effectum, vel effectum per causam). У Прокла causa и effectus понимается в физическом смысле и противополагается логическому основанию и следствию, из него вытекающему, а анти-математиками— именно в этом последнем смысле, так что математик обвиняется в том, что дает не те логические обоснования, какие следует дать.

Ссылаются и на Сенеку, который говорит, что аргументы геометрии не убеждают, а вынуждают. Соглашаясь с первой аксиомой «Начал» Евклида, анти-математик не доволен доказательством, на ней основанным. Он не видит в нем знания, ибо всякое знание—это изучение существенных причин (principia per se).

Причина равенства А и В вовсе не это третье, но только их количество, и не существуй это третье, они все равно были бы равны.

Отношение равенств А к С, В к С с чисто аристотелевской точки зрения можно отнести к существенным свойствам, но схоластическая мысль видит тут внешний характер, ничего не говорящий о сущности А и В и относит их к несущественным свойствам.

Характерна критика 1-й теоремы I книги «Начал» Евклида.

«Здесь,—говорит Симплициус 2,—доказывается, что треугольник равносторонний, из того, что он построен между тремя кругами и имеет все свои стороны проходящими через центры окружности. Никто здесь не видит истинной причины существования. Ведь не потому треугольник равносторонний, что он построен между тремя окружностями, ибо, если бы он и не был построен между ними, все равно был бы равносторонний. Откуда следует,

1) Возражения анти-математиков собраны в книге:

Hugonis Stmplicii Crasgbartaci Scott. E. Soc. Iesu. de Mathematicis disciplinis libri duodecim, Antv. 1635. (Simplicius—латинизированное Hugo Simple, 1594—1654. Cm. Cantor. Geschichte d. Mathematik).

что такая причина—только случайная причина этого свойства.—Вот идеал математики: она должна, определив треугольник его существенными свойствами, затем извлечь оттуда и все его свойства совершенно так, как схоластик из определения бога1), как совершеннейшего существа, извлекает его бытие, единство и т. д. К чему Евклиду проводить круг, когда истинная причина всех свойств треугольника лежит в нем самом?»

Характерно также возражение Валлиса2) уже в XVII веке. Он соглашается с тем, что это так, что математики часто оперируют не per veram proximam causam (не через истинную ближайшую причину), но прибавляет, что все-таки математика достаточно научна, ибо она выводит все из природы вещи per medium necessarium (через среднее необходимое), т.-е. все-таки выполняет хотя бы часть предъявляемых Аристотелем требований.

Он соглашается, что доказательство первого положения «Начал» Евклида во всей своей целостности есть то> oxt (что это так) и что идеалом доказательства является тш oio-i (почему это так)3), и отмечает, что у Евклида имеются и последнего рода доказательства.

Но какой пример он приводит?

Вывод из определения: «круг—плоская фигура, заключенная в кривой с точками, равноотстоящими от центра»,—заключение: радиусы равны.

Самая природа круга, говорит Валлис, требует, чтобы точки окружности равно отстояли от центра; немедленно отсюда следует уже по истинной и ближайшей причине, что все радиусы, которыми измеряются эти расстояния, равны. Анализируя доказательство положения Евклида, валлис приходит к заключению, что и здесь последний вывод делается из истинной причины. Равносторонность треугольника выводится из того, что стороны равны, а вовсе не из того, что он оказывается в трех равных кругах, а равенство сторон, действительно, выводится из этого последнего, так что только промежуточные доказательства делаются не per veram causam.

Савилий, ссылаясь на Геминуса, находит, что ярким примером, когда математик учит не только тому, что есть, но и тому, почему это так, является исследование 5 Платоновых тел; в то время, как в окружность можно вписать правильные многоугольники с каким угодно числом сторон, в сферу можно вписать только пять правильных тел; математик дает разъяснение, почему это так, исходя из существенных свойств многогранников.

§ 5. Требования порт-роялевской логики.

С течением времени доказательства «это так» все меньше смущают ум, и у рационалистов сомнение касается только доказательства от противного, которое у них не только получило полное право гражданства, но и представляет наше главное орудие доказательства.

Но отзвуки этих нападений анти-математиков имеются у Арно.

Арно4) вооружается не только против апагогического доказательства, но и против доказательств слишком удаленных (Démonstrations par des voies trop éloignés).

1) См. Спиноза. Этика.

2) Walisi. Mathesis universalis, cap. III. De demonstrationibus mathematicis.

3) Впервые различие доказательств: reo grt, rd) aiö-zi (quia et quare) у Алфараби (f 950) см. Baur. Beitrage z. Geschichte der Philosophia des Mittelalters. Bd. 4, H. 23, Munster. 1903. Другая библиография у Ziehen. Lehrbuch der Logik. Bonn. 1920. T. I. Cap. 2, § 19, также Ziehen, T. IV, § 135, S. 805.

4) L'art de penser, p. 392 (это так называемая Порт-роялевская логика Арно и Николя). Pierre Nicole, 1625—1695. Antoine Arnauld, 1612-1694. Требования Порт-роялевской логики Арно старается осуществить в своем «Nouveaux éléments de Géométrie». Paris, 1683.

«Этот недостаток,—говорит он, — общий для всех геометров. Они вообще не заботятся о том, откуда их аргументы берутся, лишь бы они были убедительны, но между тем это — доказывать вещи очень несовершенно, если доказывать с помощью чуждых им путей, откуда они не вытекают согласно их природе».

Здесь, конечно, заключается нечто совершенно иное, чем Лежандрово требование простоты доказательства.

Как доказательство, грешащее против этого правила, Арно выставляет Евклидово доказательство:

I. 5-го положения 1 книги «Начал» (на школьном средневековом жаргоне: elefugia).

В равнобедреннном Л ABC:

1) углы ABC и АСВ при основании ВС равны между собой;

2) если продолжить равные стороны AB и ВС, то углы, образованные ниже основания, DBC и ECB, будут также равны.

Доказывается, беря на продолжении BD стороны AB произвольную точку F и на АЕ . . . AG — AF и соединяя прямыми F с С и G с В и затем доказывая, что AACF ^ A ABG и A FBC ^ A CBG.

II. 47-го положения I книги, т.-е. теоремы Пифагора. Арно представляется совершенно невероятным, чтобы доказательство равенства углов при основании равнобедренного треугольника, т.-е. такой простой, почти очевидный факт, требовало столь сложного логического аппарата, зависящего от иных, чем данный, треугольников, получаемых через продолжение сторон данного, как это делает Евклид. Арно кажется очевидным, что простая истина и просто доказывается.

Впрочем в это верили и Лежандр1) и его современники.

Но Арно верит и в то, во что уже не верил Лежандр, а именно, что для всякого простого положения должно быть не только простое, но и натуральное доказательство.

Что такое натуральное доказательство?—Арно не определяет, но видно, что это что-то приближающееся к доказательству „почему?-', о котором мы выше говорили, но в котором «существенность» свойств и причин заменена их «простотой» и «естественностью»—элементами, включающими, как картезианская «очевидность», моменты психологические.

По Арно, доказательство Пифагоровой теоремы у Евклида совершенно не натурально, ибо равенство квадратов, о котором в этом доказательстве говорится, в простейшей, натуральной зависимости находится не от равенства треугольников, употребляемых при доказательстве, а от пропорциональности линий, которую следует доказать, не прибегая ни к какой линии, кроме перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на основание треугольника.

Здесь Арно говорит как будто в духе Смиглециуса, но его натуральное доказательство — это не что иное, чем вывод свойств бога из его определения. Рекомендуемым им перпендикуляром анти-математик XVI века остался бы так же недоволен, как кругами в первом положении «Начал» Евклида.

§6. Апагогическое доказательство у Евклида.

Евклид довольно широко пользуется так называемым приведением к абсурду, иначе говоря, апагогическим доказательством, состоящим в том, что положение А доказывается опровержением противного не-Л с помощью вывода из последнего невозможного следствия. Этот прием доказательства,

1) Legendre. Éléments de Géométrie.

конечно, пускает свои корни с софистики1). И в самом деле, именно он является наиболее удобным для софиста. К признанию высказанного софистом положения собеседник приводится, доходя вместе с софистом от противоположного своему положения к абсурдному следствию. Именно этот способ давал наиболее легкий способ одурачения принуждением его остановиться на явно нелепом положении, возбуждающем улыбки присутствующих. В разделительном силлогизме: первая посылка—Л есть или В или С или D — давалась неполной, опуская почему-либо менее бросающееся в глаза,... или Е. Вторая посылка—Л не есть ни В, ни С—доказывалась извлечением из «А есть В», «А есть С» нелепостей. Тогда заключением этого условного силлогизма (modus tollendo ponens) получалось «А есть D», откуда тотчас выводилась нелепость, являющаяся непосредственно очевидной.

Начало апагогического доказательства должно отнести к элейцам. Этим приемом доказывает Парменид, что бытие не происходит и не уничтожается. Основная аксиома: небытие не может быть бытием (ex nihilo nihil fit). Если А происходит из В, то В становится Л, т.-е. небытие становится бытием. Бытие не уничтожается, так как бытие всегда есть бытие.

Античная математика не заботится о системе геометрии, о каких-либо принципах или общих свойствах пространства, из которых вытекают свойства геометрических фигур. Она только старается убедить читателя в истинности подмеченных свойств.

Можно сказать, что математик эпохи Платона, Аристотеля, Евклида терроризован софистами, он боится каждую минуту попасть в расставленные последними силки и борется или, вернее, строит укрепление против их нападений по всем правилам искусства, ими же самими выработанным.

Чтобы заставить согласиться со своими теоремами, он должен прежде всего заставить, не приводя доказательства, согласиться со своими аксиомами и постулатами, и, конечно, он может тем скорее рассчитывать на это согласие, чем меньше этих аксиом и постулатов. Но сокращение последних должно вести к ограничению свободы выбора логических путей, ведущих от них к теоремам: на ряду с прямыми доказательствами приходится применять и косвенные, апагогические.

Современный математик (вне сферы чисто аксиоматической работы) заинтересован не так сокращением начальных звеньев логической цепи, как умножением конечных.

Трудность выставляемых современными математиками проблем является другой причиной трудности разыскания логических путей и необходимости привлечения с прямыми доказательствами в широкой мере и косвенных.

§7. Типы апагогических доказательств.

Апагогическое доказательство отличается от прямого тем, что оно на ряду с математическими аксиомами пользуется логической аксиомой, которой не пользуется прямое.

Всякое апагогическое доказательство предполагает приложение закона исключенного третьего.

Следует доказать А. Предполагается, что имеет место не-Л и отсюда выводится абсурд—отрицание верного положения С—не-С. Таким образом, уже в начале доказательства утверждается альтернатива: А или не-Л

1) О софистах: «Диалоги» Платона: Софист Протагор. Xenophonti. Memorabilia. Soc. XVI — II, 2. Sextas Empirions Adversus Logicos. Lb. VII. А. Гиляров. Греческие софисты. Москва, 1888. И. Ягодинский. Софист Протагор. Казань, 1916. См. мою работу «Об апагогических доказательствах». (Ростовский «Научный вестник», 1922.)

и ничего третьего. Обратно, если в начале или в самом ходе доказательства применяется закон исключенного третьего, то или доказательство ведется от противного, или последнее содержится в доказательстве как составная часть. В самом деле, приложение его предполагает в начале и в ходе доказательства альтернативу В или ие-В и снятие одного члена альтернативы путем доказательства его невозможности. Если снимается не-Z? тем, что ие-В приводит к не-С, к отрицанию заведомо верного положения, то можем сказать, что положение доказывается апагогически. Если снимается В, то имеем апагогическое доказательство в замаскированной форме. Заменою В через ие-(не-В) мы получаем его в чистой форме: не В доказывается приведением не (ие-В) к не-С (абсурду).

Получаемый в конце апагогического доказательства абсурд может быть трех родов:

1) противоречие с уже признанной аксиомой или уже доказанным положением;

2) противоречие с условием теоремы;

3) противоречие со сделанным предположением. Чтобы яснее и глубже вникнуть в конструкцию каждого из этих типов, мы ограничимся только простыми апагогическими доказательствами с единичным приложением в самом начале закона исключенного третьего.

Доказать А.

Предполож. не-Л — абсурд.

Если принять обозначение:

Если В, то А через В, Л, то можно для первого типа наметить схему:

ß, А\ В — ие-А — не-С.

В «Началах» Евклида1) пример такого простого разомкнутого доказательства — 27-е положение книги I: о параллельности прямых при равенстве накрест-лежащих углов. Отрицание приводит к противоречию с теоремой о внешнем угле треугольника.

Десятая теорема III книги — о пересекаемости кругов не более, чем в двух точках. Отрицание приводит к противоречию с 5-й теоремой III кн. о неимении у пересекающихся кругов общего центра.

17-я т. XI кн. — о перпендикулярности прямой пересечения двух плоскостей, перпендикулярных к третьей, к этой последней. Отрицание против 13-го пол. XI кн. (о возможности восстановления только одного перпендикуляра к плоскости). Примеров простых разомкнутых доказательств, приводящих к отрицанию аксиом, очень много. У Евклида обычно такой аксиомой является 9-я I книги: целое больше части, причем доказательство носит полуинтуитивный характер. Таковы доказательства предл. 2-го III кн. о том, что прямая, соединяющая две точки окружности, лежит внутри ее, предложение 11-е о прохождении линии центров через точку касания кругов, предложение 18-е и 19-е кн. Iii и 36-е кн. VII о том, что наименьшее число, содержащее простые числа А, В, есть произведение AB, — отрицание приводит к тому, что меньшее число содержит большее; к тому же приводит и отрицание 1-го положения кн. VIII.

Второй тип апагогического доказательства, сомкнутый на условии: В, А В, не-А — ие-В, ие-А.

Примеры: 25-е положение VII кн.: Если два числа взаимно просты, то число, содержащееся в одном из них, будет взаимнопростым с другим. Отрицание приводит к признанию А и В не взаимнопростыми.

1) Евклидовых «Начал» восемь книг. Перев. Петрушевского. СПБ. 1819. «Начала» Евклида. Пер. Ващенко-Захарченко.

Того же типа 26-е и 30-е положения III кн.

Третий очень редкий тип — сомкнутый на заключении, причем может быть два типа:

В, А - В, не-Л - А.

Этот тип встречается у Евклида1) только один раз, а именно в доказательстве 12-го положения IX кн. «Начал»: «Пусть будет сколько ни есть от единицы непрерывно-пропорциональных чисел ABCD, говорю, что всякие первые числа, кои содержатся в D, будут содержаться и в Л».

Говоря современным языком,

1, Л, B,C,D-члены геометрической прогрессии

1 :А = А :B = B:C = C:D-следует доказать, что Е— всякий простой делитель D — делит также и А.

Евклид предполагает противное, что Е не делит А, и опровергает это предположение, выводя из него: Е делит А.

Этот редкий прием употребляется и Саккери в его «Euclides ab omni naevo restitutus» при его попытке доказать 5-й евклидов постулат. Саккери принимает за данные 26 первых положений «Начал», допускает предположительно ложность этого постулата и старается вывести из этого положения верность самого постулата.

Второй подтип - замкнутый не в начале.

Из не-Л извлекаются двумя путями два противоположных заключения: Е и не-Я.

Первый подтип можно рассматривать как предельный ко второму, когда Е совпадает с А

В, А В - не-Л — Е,

В — не-Л — ие-Е.

Пример: положение 7-е I книги: «Если концы соединить с точками С и D по одну сторону, то расстояния CA и СВ точки С от концов AB не могут быть равны, каждое каждому, расстояниям DA и DB точки D от концов AB»,

AD = AC\ /_ACD=^ADC, ^ADC<^BDC, ^ BDC> ^BCD\ BD = DC, ^BDC=/^BCD, что противоречит предыдущему.

Сложному апагогическому доказательству второго порядка отвечает схема:

В, Л; В, не-Л - D, С - абсурд.

D, не-С — абсурд.

Доказательство может быть дважды разомкнутым, когда оба колена приводят к отрицанию доказанного положения или аксиомы.

Может быть замкнуто-разомкнутым, если в одном колене имеется замкнутое, в другом разомкнутое апагогическое доказательство.

Наконец, возможен дважды замкнутый тип.

При этом будем иметь подтип, смотря по тому:

1 ) имеет ли место замыкание на условии или на заключении,

2) на D, на В или ином положении Е.

Дважды разомкнутое доказательство употребляется Евклидом в положении 24,-м III книги: подобные сегменты АСВ и CDF, построенные на AB — CF, равны.

1) Elem. Euclidis ed. Heiberg. IX, 12. Saccheri. Euclides ab omni naevo vindicatus. Milan. 1739. Vailati. Sur une classe remarquable de raisonnements par réduction à l'absurde. Revue de Métaphysique. 1901, p. 799.

Если нет, то С: один вмещает другой; если не-С, — пересекаются.

Первое предположение приводит к противоречию с 23-м положением III кн., второе — с 10-м III кн.

Пример замкнутого на условии: так обычно доказывается теорема, обратная теореме: в выпуклом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов — 2d.

А именно, если сумма — 2d, то можно описать около четырехугольника окружность. Проводя окружность через три вершины, мы должны иметь четырехугольник внутри или вне круга; в обоих случаях доказывается, что сумма противоположных углов не = 2^.

Пример замкнутого на положении Е доказательства дает метод исчерпывания Евклида (предл. 1, 5, 11, 12 XII книги).

§ 8. Борьба против апагогического доказательства.

Аристотель1) только довольно робко выдвигает преимущество прямого доказательства перед косвенным.

При этом его аргументы, как совершенно не гармонирующие с настроением умов XVI, а тем более XVII века, в эту эпоху уже не повторяются.

По его мнению, более согласны с природой выводы, в которых мы от включения или выключения из класса В переходим к включению или выключению из класса С, объемлющего В.

Положение «ни одно А не есть С» первее, чем «ни одно А не есть В»; мы в нем ближе подымаемся к принципам.

В апагогическом доказательстве порядок обратный:

Следует доказать, что А не есть В.

Предполагаем: некоторые А суть В. Все В суть С. Заключаем: некоторые А суть С, что неверно, и поэтому ни одно А не есть В.

Но, по Аристотелю, все-таки тем или другим путем достигается цель науки—построение связи между вещами и общими положениями, выставляемыми в начале науки.

Крайняя неприязнь рационалистов к косвенным доказательствам вытекает из их общего мировоззрения, старающегося все многообразие вселенной вывести из одного мирового принципа с помощью постепенного ряда ограничений, созидающих, как логическое следствие из простых, так же легко формулируемых, как теоремы геометрии, свойств божества, все содержание вселенной.

В глазах рационалиста вся вселенная представляется как ряд взаимоотношений, вытекающих из небольшого числа аксиом, относящихся к простейшим отношениям. В своих построениях, как метафизических, так и математических, он задается целью не только убедить, но и объяснить, т.-е. представить ряд доказанных положений как связную систему истин в порядке, отвечающем установленной им иерархии истин.

Комментатор «Начал» Евклида этой эпохи занят выпрямлением евклидовых апагогических доказательств, что достигается введением явно и неявно новых аксиом.

В выпрямленные доказательства III книги «Начал» Озанама2) приходят в скрытом виде аксиомы теории пределов.

1) Aristotelis. Analytica Post. Lib. 1, cap. 26. Интересно отметить, что Спиноза не может обойтись без апагогических доказательств. См. его Этика", 1 часть, т. V, 8, 11 и 14.

2) В особенности интересно выпрямление Озанамом XI теоремы книги III „Начал": Если круг ABC касается круга AIKM внутри этого последнего, то прямая, соединяющая их центры, проходит через точку их касания. Ozanam. Cours de Mathématiques Paris, 1720. Sect. XI.

Вообще исчисление бесконечно малых1) со всей системой аксиом, на которых оно основывается, является как система выпрямленных доказательств вместо более сложного апагогического метода исчерпывания.

В XVI веке нападки на апагогические доказательства ведутся, как против доказательств «это так», идущих через несущественные свойства.

Но с ними легче мирятся, чем в XVII веке2).

Савилий3), возражая Иосифу Скалигеру на его нападки против апагогического доказательства, объявляет, что «оно равно прямому в отношении истинности и необходимости, но ниже в отношении происхождения и достоинства» (scientiae generatione et dignitate inferior).

Совершенно в духе XVI века кладя центр тяжести интереса в методах изыскания истин, он не может признать (как он выражается) однобокой геометрии, он ждет от сокращения методов и сокращения области обретаемых истин, но не потому, что их нельзя вообще добыть прямым доказательством, а потому, что этого нельзя сделать сейчас. В апагогических доказательствах он видит целый арсенал орудий.

§ 9. Полная математическая индукция. На что указывает история доказательств?

На то, что приходится все понижать требования, к ним предъявляемые. Сперва желали доказывать не только прямым путем, но еще и натуральным, понимая это в смысле доказательств: «почему», т.-е. адэкватными, существенными и непосредственными причинами. Потом, примирившись с ненатуральными доказательствами, требовали прямых, т.-е. обходящихся без аксиомы исключенного третьего. Но пришлось и от этого требования отказаться. Более того, именно апагогическое доказательство явилось главным двигателем в лаборатории математической логики.

Возведение принципа полной4) математической индукции в определение целых чисел совершенно затушевывает его истинное значение, выявляемое его историей5), как логического постулата.

Это вовсе не свойство конечных целых чисел, а постулат, которым мы должны восполнить систему логических постулатов, чтобы быть в состоянии относительно чисел доказать то, что мы не можем доказать аристотелевской логикой.

Обоснованность такого рода рассуждений, как справедливо замечает Пуанкарэ6), сводящегося к заключению из бесконечного ряда силлогизмов,

1)Kepler. Nova stereometria doliorum, 1615. Opera omnia. IV, pp. 537—538. Эмбрион еще до Кеплера у Süffel. Arithmetica intégra Nova. 1544. Appendex libri secundi. О методе неделимых. Brunschwig. Les étapes. Lib. III, ch. IX, p. 160. Ziehen. Geschichte der Math, in XVI und XVII Jahrh. Leipzig. 1903, S. 121. Bon Cavalieri. Geometria indivis, cont. nova quidem ratione promota. Bononiae 1635, 1653. Exercitationes. Bon. 1643. Метод неделимых проходит через три ступени: Roberval, Gregorius. Vencentio и Taquet. Cantor II, 392. Против апагогических доказательств—Рамус (1515-1572).

2) P. Rami. Proemium Mathematicum. 1507. p. 428—429.

3) Sawilii. Lectiones.

4) История полной математической индукции: Francisko Maiirolico. Arithmeticae, Libri duo. 1557. Ven. 1577. Jacob Bernoulli. Ars consectandi, изд. 1713. Opera I, 282-283. Pascal. Oeuvres. Paris. 1908. Т. III, p. 456. Cantor. Vorlesungen. B. III S. 341. G. Vacca. Sur le principe d'induction math. Revue de Méth. 1911, p. 30.

5) Возведение принципа полной математической индукции в определение - см. Кутюра. Принципы математики.

О сверхлогичности полной математической индукции. Менделеев. Метод математики.

6) Пуанкарэ. Гипотеза и наука.

могла быть признана только тогда, когда математическая мысль вполне свыклась с бесконечными операциями и установила постулаты, определяющие получение определенных результатов с помощью этих операций.

Это, конечно, не математическая аксиома, относящаяся к свойствам чисел или пространств, но и как логическая аксиома она коренным образом отличается от так называемых логических законов: тожества, противоречия и исключенного третьего.

Это положение того же рода, что аксиома силлогизма, утверждающая истинность заключения при истинности посылок.

U верно. V верно. Из U и V выводится W. W верно, как U и V.

Отсюда вытекает более общего характера положение, которое тоже признается за очевидное. Если из сУ,, U2...Un конечным числом силлогизмов выводится W, то при истинности сУр U2... Un истинно также и W.

Из этой аксиомы ничего не выводится, она вовсе не включается в систему основных постулатов, а стоит совершенно особняком, санкционируя правила формальной логики, на основании которых совершается вывод.

Античными мыслителями признавались только те выводы, которые в действительности произведены, в которых прослежены все посылки и заключения

В полной математической индукции узаконяются выводы через бесконечный ряд силлогизмов.

Входящие в этот процесс силлогизмы не осуществляются в действительности, ибо нельзя произвести бесконечное число силлогизмов, но утверждается, что если U и W можно связать бесконечным рядом силлогизмов— t/p сУ2...сУ°° и закон образования можно ясно уразуметь, то при истинности U следует признать и истинность W.

При этом в положении: «если U истинно и существуют силлогизмы Uv U2... Un, связующие U с W, то W истинно», понятие «существовать» подвергается эволюции.

В глазах античного математика существование не присуще актуальной бесконечности, противоречия которой доказывают ее небытие.

Поэтому такая аксиома для п = оо не только не была бы им признана очевидной, но более того — была бы признана совсем не имеющей смысла, ибо относилась бы к тому, что невозможно.

Аристотель1) вполне определенно говорит, что в положительных доказательствах не может быть бесконечного ряда ни при восхождении к высшему, ни при нисхождении к низшему понятию. Предполагая бесконечность доказательного пути, мы отвергаем самую возможность доказательства.

§ 10. Логика доказательств в будущем.

Удивительно, что и теперь еще не все математики осознали, что основная проблема о доказательстве в смысле вывода истинного положения А из системы постулатов, обладающих психологическим свойством очевидности, совершенно того же рода2), что задача об интегрировании в конечном виде или построении с помощью циркуля и линейки. Она может разрешаться, может и не разрешаться, причем в большинстве случаев обычно не разрешается. Постулатов очевидных просто может оказаться недостаточно для вывода.

В XVI веке выставлялось требование доказывать, только оперируя существенными свойствами, в XVII — только прямым путем. Это очень

1) Anal. Poster. Lib. I, С. XIX, XXI, XXII, XXIII.

2) Более подробно: Лобачевский и основные логические проблемы в математмке — «Известия С. К. Г. У.» Отд. общ. наук. 1928.

интересные проблемы, и опыт показал, что они едва ли разрешимы. В будущем математики к ним вернутся, превратив их в аксиоматические проблемы, формулируя их следующим образом:

1) Можно ли положение Л вывести из постулатов Pv Я2, P:i ...Рп (безразлично, зависимых или независимых), которые не включают определенных объектов а,, а2, as...an, и, если возможно, построить этот вывод,

2) Можно ли положение А вывести из Р1ч Я8 - .-Рп прямым путем и, если возможно, построить этот вывод1)

Проблема о доказательстве с помощью принципа полной математической индукции будет ставиться таким образом:

Возможен ли вывод А из Pv Р2. ,.Рп (вообще из очевидных постулатов) 1) с помощью конечного числа силлогизмов? 2) с помощью счетного их множества?

При этом и последняя проблема не всегда явится разрешимой.

Мы определенно предсказываем, что будущей математикой будет вполне осознана невозможность установки связей между всеми истинными положениями. Эта связь будет устанавливаться только в некоторых группах, причем основными, исходными положениями группы вовсе не будут обязательно очевидные положения, что будут скорее просто более простые, легче проверяемые.

Но, как и в других случаях, проблема о выражении через элементы определенного класса по основании ее неразрешимости должна эволюционироваться в другую, более общую проблему, получаемую путем расширения той области элементов, в которой ищется решение.

Изыскание связи между положениями будет пониматься в более широком смысле изыскания связей, определяемых не только формальными законами логики, но и другими формальными законами, аналогичными первым, но уже не имеющими логического смысла — металогическими. Зачатки такой металогики мы уже имеем в логике трансфинитной, в которой устраняется закон исключенного третьего: кроме Л и не Л выступает еще нечто третье, причем это третье мыслится как определенная третья возможность на ряду с Л и не-Л.

Можно построить формальный аппарат такой металогики2), которая так будет относиться к логике, как четырехмерное пространство относится к трехмерному.

Такие выводы уже ничего не будут содержать из «почему», но правильные результаты, ими получаемые, будут говорить, что и в других случаях аппарат будет говорить: «это так».

МЕТОДИЧЕСКАЯ ЗАМЕТКА О ПРОМЕЖУТОЧНОЙ КРИВИЗНЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ.

А. С. Кованько (Баку).

Пусть нам дана кривая в пространстве уравнениями:

x=29(t)\ y = W)\ z = V.(t)......(1),

где <?, ^ и у—функции непрерывные и допускающие непрерывные производные 2-го порядка.

1) Первый опыт построения математической системы без аксиомы исключенного третьего. Brouwer. Begründung der Mengelehre unabhängig von logischen Satz von Abgeschlossenen dritter Theil.

2) См. мои работы: Sur les syllogismes en logique et les hypersyllogismes en Métalogique. Прот. О-ва ест. при С.-Кав. гос. университете. Metalogique, Metalgèbre Протоколы О-ва ест. при С.-Кав. гос. университете за 1928 г. До меня понятие металогики было обработано, но только с философской, а не математической стороны, проф. Н. Васильевым. («Журнал мин. нар. просв.» за 1905 г.).

Пусть a, ß, г—косинусы углов положительного направления касательной с осями координат, Ь, т, п — косинусы углов положительного направления главной нормали с осями, л, ja, v — косинусы углов положительного направления бинормали с осями.

Вообразим себе некоторое неизменное направление в отношении системы направлений: касательной, главной нормали и бинормали. Пусть косинусы углов этого направления с осями х, у, z суть соответственно: \у т), С, a Çlf т|р С|—косинусы того же направления относительно системы касательной и главной нормали и бинормали.

Мы, очевидно, имеем:

(2)

Диференцируя равенства (2), имеем: [так как \х ri± £2 — const]

(3)

Построим сферическую индикатрису направления (£, т), С) и рассмотрим отношение диференциала дуги индикатрисы к диференциалу дуги кривой и назовем это отношение промежуточной кривизной : К\&&)\

(4)

Вставляя значения г\\ С из формул (3) и принимая во внимание формулы Serret-Frenet, находим:

где р и г - соответствующие радиусы кривизны и кручения.

Рассмотрим следующие частные случаи:

1-я кривизна /Caß^ = -—; 2-я кривизна K\[XV =—; кривизна по главной нормали К1тп — — -f- —г\ Пусть направление (£т)£) || (нормальной плоскости); тогда Êj = 0. Пусть в—угол его с положительным направлением бинормали, тогда C!2 = cos2e. Следовательно:

Направление || соприкасающейся плоскости: тогда ^ = 0, и пусть — угол его с касательной. Тогда имеем:

Пусть направление (g, rh С) || спрямляющей плоскости, тогда: тц = 0 или ^12-|-С12 = 1, а потому £j = cos в,,; 7]1 = sine2; и мы имеем:

Мы видим, что если в данной точке направление совпадает с таким, что tg&2 = —то /С^* = 0, что может иметь место вдоль всей кривой, если — = const. _

ЗАДАЧИ.

1. Разложить на множителей

а32 + а16 + 1.

2. Решить уравнение

.v4 — 2Ь2х2 — 4а2Ьх + Ък = а\

X. У. (Ростов-на-Дону).

3. Решить уравнение

А. Бутомо (Саратов). 4. Доказать, что при четном а уравнение

не имеет целых решений.

5. Решить систему уравнений

И. Агрономов (Владивосток).

6. Вычислить детерминант

Л. Лодыженский (Тула).

7. Определить, при каком виде треугольника центр тяжести его площади является одновременно и центром тяжести его периметра.

8. Из точки В1У лежащей на стороне АС треугольника ABC, проводят прямую, параллельную к стороне AB и встречающую сторону ВС в точке Ах\ из точки А1 проводят прямую, параллельную АС и встречающую AB в точке Cv из С, проводят прямую, параллельную ВС и встречающую АС в точке В2 и т. д. Доказать, что контур А1С1В2А2С2В1 замкнутый и равен периметру треугольника ABC

H. Агрономов (Владивосток).

9. Определить острые углы прямоугольного треугольника, если угол между медианами, выходящими из вершин этих углов, равен 30°.

10. Чрез точки А и В, находящиеся на сторонах прямого угла в расстояниях а и b от вершины, параллельно сторонам проведены прямые, на которых откладываются отрезки АС и BD так, что AC:BD = a:b. Найти геометрическое место точек пересечения прямых AD и ВС

Г. К. (Пенза).

11. Определить площадь наибольшего прямоугольника, который можно вписать в эволюту данного эллипса.

12. Найти сумму шестых степеней корней уравнения:

х*-\-х— 1 =0.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

56. Разложить на множители

(ab — cd)2 — (a-f- b — c — d) [ab(c~\-d) —cd{a^b)\.

Легко видеть, что данное выражение обращается в нуль при а —с, a = d, b = c и b = d, а так как оно четвертой степени, то оно равно

Ца- c){a — d)(b — c){b — d),

где X —числовой коэфициент. Его можно определить, сравнивая, напр., коэфициенты при а2Ь2 в том и другом выражении. Отсюда находим, что \ = 1, и потому предложенное выражение равно

(а — с){а — d)(b — c)b — d).

А. Дмитровский, Л. В. (Москва), Е. Воскресенская (Павлов), А. Кудинов (Задонск), А. Билима-Постернаков (Тула), Н. Хайдуков (Петровск), Ф. Курепанов (с Арефино), Г. Торопыгин (Саратов).

57. Решить систему:

Системе, очевидно, удовлетворяют значения:

X =.у — z = kt

где k—произвольное число, в частности k = 0.

Обозначая общую величину равных отношений чрез X, имеем:

Возводя в квадрат обе части первого уравнения из системы (А) и вычитая почленно из полученного результата произведение правой и левой частей двух последних уравнений той же системы, будем иметь

X4 — 2x2yz -\-y2z2 —y2z2 + zàx + xf — x2zy = Ща2 — bc)

или

xA — 3x2yz + z*x + xy3 = Ща2 — bc),

иначе

x(x3 — 3xyz -ry6 + z3) = Ща2 — bc),

т.-е.

X . \* — Ща* — Ьс)> откуда x = a2 — bc, и аналогично

y = b2 — ca z = c2 — ab.

A. Кудинов (Задонск), A. В. (Москва), Э. Хилькевич (Тюмень), П. Хайдуков (Петровск), А. Билима-Постернаков (Тула), X. У. (Ростов-на-Дону), Н. Хайдуков (Петровск), Ф. Курепанов (с. Арефино).

В решении Э. Хилькевич указано, что тривиальными решениями данной системы будут также

где m и /—произвольные числа.

58. Доказать, что при всяком целом и не отрицательном п число 3*»+8_|_5 t 27П+2 кратно 47.

Преобразуем данное выражение так:

Очевидно, что при всяком целом и положительном п и при п = О это число делится на 47.

А. Дмитровский, А. В. (Москва), Н. Хайдуков (Петровск), А. Билима-Постернаков (Тула), Н. Фивейский (Ржев), Е. Воскресенская (Павлов), М. Машков (Владимир), В. Гук (Суханово), И. Кастровицкий (Сталинград), Пав. Хайдуков (Петровск), Г. Торопыгин (Саратов).

60. Дана дуга круга в 120°. Принимая ее точки за центры кругов, описывают последние переменным радиусом, равным сумме отрезков, соединяющих центр с конечными точками дуги. Доказать, что описанные таким образом круги проходят чрез одну точку.

На хорде AB, стягивающей данную дугу в 120°, построим вписанный в круг равносторонний треугольник ABC. Если теперь возьмем на данной дуге произвольную точку M и соединим ее с Л, В и С, то, применяя к четыреугольнику АМВС теорему Птоломея, получим: АМ.ВС-\-МВ.АС — =МС.АВ, или так как AB = ВС = АС, то AM -f MB = MC. Поэтому круг, описанный из центра M радиусом, равным АМ-\-МВ, пройдет чрез точку С, положение которой не зависит от выбора точки М.

А. Дмитровский (Москва), И. Кастровицкий (Сталинград), Я. Фивейский (Ржев), /7. Хайдуков (Петровск), Е. Воскресенская (Павлов), И. Хайдуков (Петровск),

61. Найти геометрическое место центров окружностей, проходящих чрез данную точку и отсекающих на данной прямой отрезок данной длины.

Примем данную точку О за начало прямоугольной системы координат; направим ось ОХ параллельно данной прямой; обозначим длину отрезка, отсекаемого кругами на этой прямой через 2а и положим, что уравнение прямой есть у = Ь.

Если радиус круга равен г, а расстояние его центра от данной прямой равно d, то г2 — d*—a2.

Пусть x и у координаты центра круга.

Тогда г2 = x2 -f-у2; d = + (b—у), и потому уравнение искомого геометрического места будет:

или x2 -f 2by — а2 — b2 = 0.

Это есть уравнение параболы, ось которой совпадает с осью OK и направлена от данной прямой к данной точке; ордината ее вершины равна —~—, а ордината фокуса равна .

А. Дмитровский, Д. Польшин (Москва), Э. Хилькевич (Тюмень), X. У. (Ростов-на-Дону) М. Машков (Владимир). И. Фивейский (Ржев), Е. Воскресенская (Павлов), А. Кудинов (Задонск), И. Кастровицкий (Сталинград), А. Лодыженский (Тула).

62. Показать, что если диагонали четыреугольника, вписанного в круг, взаимно-перпендикулярны, то расстояние какой-либо его стороны от центра круга вдвое менее противолежащей стороны.

Если во вписанном четыреугольнике ABCD диагонали взаимно-перпендикулярны, то — АВ-\- ^CD = ^" ВС-\- — ДО = 180°. Построим расстояние ОЕ центра круга О от стороны AB, проведем чрез точку В диаметр BF и соединим F с А. Так как — AB-{-^AF = 180°, то — AF = ^CD и AF = CD. Но ЕО = AF, как средняя линия треугольника ABF, а потому ЕО = CD,

Л. Дмитровский, Л. В., Д. Польшин (Москва), В. Ефимов (Пермь), #. Фивейский (Ржев), Э. Хилькевич (Тюмень), Е. Воскресенская (Павлов), Л. Маковский (Ульяновск), П. Хайдуков (Петровск), Ф. Курепанов (с. Арефино), Г. Торопыгин (Саратов).

63. Решить уравнение: 2sin^-|-sin2x = 2cosx-]Lcos2x

Из данного уравнения имеем:

или или

Если положим tg-x-zzzt, то, как известно,

Вставив эти выражения в последнее уравнение, получим:

и после упрощений приходим к уравнению:

Чтобы решить это уравнение, положим

Тогда для определения p,q,p' ,q' будем иметь четыре уравнения:

Из первых трех уравнений находим:

откуда

после чего четвертое уравнение дает:

Это уравнение можно представить в таком виде:

откуда получаем единственное действительное значение для

Следовательно, можем принять

Для q и qf получим такие значения:

Легко видеть, что корни уравнения f2 -\-p't-\- q' = 0 мнимые. Решая уравнение находим:

Корни действительные и вычисления дают для них следующие значения: ^ = 0,304424; t.2 = —1,324072, а отсюда при помощи уравнения tg-j- = t находим соответствующие значения л::

А. Дмитровский (Москва).

ХРОНИКА.

Студенческий физико-математический кружок имени Н. И. Лобачевского при Казанском государственном университете с первых дней его работы (1900 г.) поставил себе целью развитие математических знаний и привлечение к самостоятельной научной деятельности студенческого молодняка.

Кружок имеет уже библиотеку (2 500 книг), составленную главным образом из пожертвований.

Кружок просит лиц, сочувствующих его целям, помочь дальнейшему развитию библиотеки присылкою оттисков статей и книг, а также дубликатов книг, которые могут оказаться в библиотеках.

Адрес: Казань, Чернышевская, 18, университет.

Книги могут быть присылаемы наложенным платежом.

НОВЫЕ КНИГИ.

Проф. А. И. Яшнов. Методика основ механики. С 20 черт, в тексте. Изд. высш. педагог, курсов при МВТУ. М. 1929. Ц. 1 р.

Труды Пензенского общества любителей естествознания и краеведения. Вып. XIII. Физико-математическая секция. Пенза. 1928.

Всеукраїнська академія наук. Труди Фїзично-математичного відділу. T. XII, віп, 1. M. Кравчук. Алгебричні студії над аналітичними функциями. У Київі 1929. Ц. 75 к. Вип. 2. С. Н. Васильєв. Про головні прихляти будови механизмів. К. 1929. Ц. 50 к.

Сообщения Харьковского математического общества. Четвертая серия. T. I. Харьков. 1927. Ц. 3 р. 25 к. Т, II. X. 1928. Ц. 4 р. 50 к.

П. Карасев, Т. Ряднова, Н. Чулицкий. Математика для педтехникумов. Ч. I. Гиз. Ц. 3 р. 50 к. Ч. II. Гиз. 1929. Ц. 2 р. 60 к.

В. Гебель. Основной курс теоретической механики, Ч. II. Начала аналитической механики Гиз. М. 1928. Ц. 3 р. 40 к.

Ответственный редактор И. ЧИСТЯКОВ.

Мосгублит № 44100. Зак. № 695. Тираж 1000.

Москва, тип. «Гудок», ул. Станкевича, 7.

ЦЕНА 90 КОП.

СКЛАД ИЗДАНИЯ

ИЗДАТЕЛЬСТВО „РАБОТНИК ПРОСВЕЩЕНИЯ" МОСКВА 19, ВОЗДВИЖЕНКА,10.