МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

№ 8

1928

ИЗДАНИЕ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

СОДЕРЖАНИЕ.

Стр.

M. Гребенча. Точка наименьшего расстояния от четырех точек пространства 327

A. Рейн. Из элементарной геометрии треугольника............. 330

П. Флоренский. Физическое значение кривизны пространства....... 331

Н. Колмогоров. Решение в целых числах неопределенных уравнений высших степеней методом вспомогательных неизвестных............ 336

B. Марчевская. О корнях уравнения третьей степени ........... 340

C. Адамович. Геометрический вывод формулы площади треугольника в функции его сторон............................. 343

Ф, Гусев. Об отношении sin х/x...................... 346

Задачи . . ........................... 346

Задачи из «Математического образования» за 1916 год.......... 347

Решения задач.............................. 349

Хроника................................ 352

Библиография............................... 353

SOMMAIRE.

M. Grebentcha. Point de moindre distance de quatre points de l'espace.

A. Rein. Sur la géométrie élémentaire du triangle.

A. Florenski. Signification physique de la courbure de l'espace.

N. Kolmogorov. Resolution en nombres entiers d'équation, indéterminées.

E. Martchevskaïa. Sur les racines de l'équation du troisième degré.

S. Adamovitch. Méthode géométrique pour établir la formule de l'aire du triangle en fonction de ses cotés.

F. Goussev. Sur le rapport sin'x

Problèmes.

Solutions de problèmes.

Chronique.

Bibliographie.

ПРОДОЛЖАЕТСЯ ПОДПИСКА НА 1929 ГОД НА ЖУРНАЛ Московского научно-педагогического математического кружка

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

8 КНИГ В ГОД.

Ответственный редактор проф. 1-го МГУ. И. И. Чистяков. Подписная цена: на год —6 руб., на полгода —3 руб. 50 коп. с пересылкой.

Отдельные номера по 90 к. Подписка принимается: В Отделе периодич. изданий изд-ва «Работник просвещения» — ул. Герцена, 10; в магазинах изд-ва и во всех почтовых отд. Переводы направлять: издательство «РАБОТНИК ПРОСВЕЩЕНИЯ», Москва 19, Воздвиженка, 10.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

ЖУРНАЛ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

№ 8

1928

ТОЧКА НАИМЕНЬШЕГО РАССТОЯНИЯ ОТ ЧЕТЫРЕХ ТОЧЕК ПРОСТРАНСТВА.

М. Гребенча. (Москва).

Пусть мы имеем в пространстве 4 точки

Л у и 2,), В (х-,, у,, z2), С (х3, уй, z3), D (х4, yv z%).

Пусть точка наименьшего расстояния есть 5 (а, ß, -(); следовательно,

или

Условия минимума этой функции аргументов a, ,3, y суть

или

(1)

(2) (3J

Обозначая ]/ (Хд. — «)2 + (У*—j3)2-j-(z,,—у)2 через/-,., мы уравнения (1), (2) и (3) запишем так

(!') (Г)

или

Возвышая обе части каждого из этих уравнений в квадрат, по сложении полученных уравнений почленно получим:

(4)

Уравнения прямых AS, BS, CS и DS соответственно суть

Угол ASB, очевидно, равен

Из равенства cosinus'ob (см. равенство ( 4 ) вытекает и равенство углов (каждый из которых меньше тг).

Следовательно, / ASB= /_CSD. Переписывая уравнения (Г), (2') и (3') в виде . „ . „ . „ v .

и в виде

и рассуждая как выше, мы приходим к заключению, что

Допустим, что точка наименьшего расстояния 5 лежит вне тетраедра ABCD.

Пусть, напр., точки S и А лежат по разные стороны грани BCD.

Возьмем проекцию S', точки S на эту грань. Проведем проекции BS', CS' и DS' наклонных BS, CS и DS. Тогда по свойству проекций: BS' + CS' + DS' <BS+ CS + DS.

Проведем через S, S' и А плоскость. Следовательно, /_ AS'S тупой; против него лежит сторона AS треугольника AS'S. Следовательно, эта сторона больше каждой из остальных сторон этого треугольника. Следовательно, AS'<AS

и, следовательно, AS'+ BS'+ CS'+ DS'<AS + BS+ CS + DS.

Следовательно, сумма расстояний точки S' до точек А, 5, С и D меньше суммы расстояний до тех же точек от точки 5 названной искомой. Следовательно, точка 5 не может находиться по разные стороны грани BCS с точкой А.

Аналогичными рассуждениями мы приходим к заключению о невозможности для точки 5 находиться с точкой В по разные стороны плоскости CSD и т. д. Таким образом мы приходим к заключению, что точка 5 не может лежать вне тетраедра ABCD.

Итак, мы приходим к заключению, что точка наименьшего расстояния 1) не лежит вне тетраедра и 2) расположена так, что углы, образованные прямыми, соединяющими данные точки с искомой, и не имеющие общих сторон, попарно равны между собой (к тому же результату пришел и И. М. Воронков, исходя из механических соображений).

Возьмем телесные углы SA ВС, SABD, SACD и SBCD. Линейные углы этих углов суть

Вследствие доказанного выше попарного равенства углов ASC и BSD, ASD и BSC, и ASB и CSD, приходим к заключению, что линейные углы телесных углов равны между собой. Следовательно, каждый из телесных углов измеряется одним и тем же числом стерадианов. Так как точка 5 не лежит вне тетраедра, то 4 телесных угла выполняют пространство. Следовательно, величина каждого из них равна я стерадианов. Следовательно, грани тетраедра видны из точки S под равными углами.

Полученное решение аналогично решению случая трех точек, данных в плоскости. Тогда углы, образованные прямыми, соединяющими данные точки с точкой наименьшего расстояния, равны между собой и величина каждого из них равна -у радианов.

RESUME.

Point de moindre distance de quatre points de l'espace,

Soient A, В, C, D quatre points donnés dans l'espace à trois dimensions et 5 leur point de moindre distance. Traçons ÀS, BS, CS et DS. Alors les angles formés par ces droites n'ayant pas de côtés communs sont égaux, c'est

à d,re: / ASB = / CSD, / BSC = Z ASD et / BSD = / ASC.

Les valeurs des angles trièdres de sommet S et dont les arêtes passent par les points donnés sont égales entre elles.

ИЗ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ ТРЕУГОЛЬНИКА.

А. О. Рейн (Владивосток).

Каждый раз, когда начинаешь разбираться в отдельных свойствах различных элементов треугольника, то приходишь в удивление от того разнообразия зависимостей, которое здесь встречаешь.

Мне пришлось обратить внимание на ряд последовательных зависимостей для треугольника, вписанного в окружность.

Положим, имеем треугольник ABC (черт. 1), вписанный в круг, центр которого в точке О.

Тогда, опустив перпендикуляры из вершин на противоположные стороны, получим, как основание этих перпендикуляров, точки a, b и с.

Продолжив каждый из перпендикуляров до пересечения с окружностью, получим точки

\ Вч и Cv

Соединив эти точки попарно прямыми, получим треугольник, вписанный в той же окружности. Можно убедиться, что соответственно ^ АВЬ^ будет измеряться

Точно так же имеем, что

Черт. 1.

1

Отсюда видим, что Д AbBhCh^ имеет высоты треугольника ABC биссектрисами, т.-е., по обозначению черт. 1, имеем, что

2

Мы на черт. 1 обозначили соответственно через Д, Bh^ и точки пересечения продолженных высот Д-ка ABC из вершин с окружностью.

Углы треугольника будут равны

Продолжим наше построение, и из вершин треугольника проведем высоты, которые продолжим до пересечения с окружностью.

Точки пересечения продолженных высот с окружностью обозначим через Л,,2, Bh и Сп/

Соединив эти точки прямыми, получим треугольник АЬВЬСЬ^ для которого направления высот

явятся биссектрисами.

Очевидно, что углы будут соответственно равны

Последние соотношения приводят к

Продолжая дальше построение, мы будем получать последовательно треугольники, зависимость между которыми достаточно выяснена.

Мы можем также в данном треугольнике ABC провести биссектрисы из вершины каждого угла и продолжить их до пересечения с описанной около треугольника окружностью, получив соответственно точки 4V Вн и С&1 (черт. 2).

Соединяя полученные точки, получим

Для этого треугольника биссектрисы тре угольника ABC явятся высотами.

Углы треугольника АЬВЬСЬ^ будут соответственно равны

Черт. 2.

Очевидно, проводя биссектрисы углов треугольника АЬВЬСЬ , мы получим новый треугольник АЬВЬСЬ.

Проведя в последнем треугольнике биссектрисы, мы получим еще треугольник АЬВЬСЬ и т. д.

Из всего предыдущего видно, что, проводя в треугольниках высоты и продолжая их до пересечения с описанной окружностью и соединяя точки пересечения прямыми, получаем последовательный ряд треугольников.

Точно так же, проводя биссектрисы, получим второй ряд последовательных треугольников.

Конечно, каждый из треугольников одного ряда (напр., полученного от проведения биссектрис) может служить для образования треугольников другого ряда (напр., полученного от проведения высот).

ФИЗИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВА.

Из курса лекций 1923/24 г. во Вхутемасе по Анализу пространственности в изобразительно-художественных произведениях.

П. А. Флоренский (Москва).

Первоначальное понятие о кривизне возникает в геометрии применительно к плоским линиям. Кривизною в данной точке оценивают здесь, насколько быстро или, если угодно, насколько интенсивно уклоняется в этой точке

линия от прямизны; мерою же степени искривленности берется такая линия, у которой искривленность всюду одинакова, т. е. окружность. Мы подбираем такую окружность, которая слилась бы с данной кривой в данной точке, это выражается общностью трех бесконечно-близких точек у них. Более наглядно мы должны представлять себе это измерение кривизны как физическое измерение: мы имеем набор твердых кругов, причем номер в этой шкале тем более высок, чем круче изогнута дуга окружности. Если теперь мы будем приставлять по касательной к промеряемой линии эти круги, то одни из них пойдут по одну сторону линии, а другие — по другую, т. е. одни изогнуты положе этого места нашей линии, а другие—круче. Какой-то промежуточный номер соответствует окружности, изогнутой не круче и не положе, нежели измеряемая линия, и такая окружность некоторое, весьма малое, расстояние идет с нашей линией, не отступая от нее ни в ту, ни в другую сторону. Эта окружность, или степень ее искривления, и измеряет кривизну данного места нашей линии. Кривизна же окружности характеризуется ее радиусом R или, лучше, величиною Kv обратною этому радиусу:

Кривизна К{ линии от точки к точке меняется и может становиться в некоторых местах нулевою—когда линия выпрямляется, отрицательною— когда линия изгибается в обратную сторону, и бесконечно-большою—когда линия заостряется.

Аналогичное понятие можно установить и в отношении геометрических образов двухмерных, т. е. поверхностей. Но эту аналогичность нельзя упростить, заменяя измеряющую окружность таковою же сферою и принимая за меру кривизны величину, обратную радиусу этой сферы.

В самом деле, будучи многообразием двухмерным, поверхность в одном направлении искривляется вне какой-либо зависимости от своего искривления в направлении перпендикулярном; пример — лист бумаги, которая может быть изгибаема так или иначе, оставаясь по перпендикулярному направлению не изогнутой,— поясняет это свойство поверхности. Итак, величина, характеризующая кривизну поверхности, должна принимать во внимание степень искривленности поверхности по двум, взаимно перпендикулярным направлениям, т. е. двумя радиусами кривизны, как говорят — главными радиусами, из которых один — наибольший Rlt а другой—наименьший /?2. Так возникает понятие о гауссовой кривизне д3 поверхности в данной точке, причем

Мера кривизны /i2, вообще говоря, меняется от точки к точке и может принимать всевозможные значения между - со и -f оо, Геометрический смысл величины /С, как единой характеристики, устанавливается теоремою Гаусса о так называемом сферическом избытке а2. Пусть имеется у нас на евклидовской плоскости треугольник ABC со сторонами а} Ь, с. Сумма углов его 2 р2 равна т:, так что

а2 = 2/?2 — тс — О,

где

Перенесем теперь наш треугольник, предполагая стороны его гибкими, но не растяжимыми, на рассматриваемую кривую поверхность и возможно натянем его стороны, так чтобы при этом они не отставали от поверхности. Тогда каждая из них пойдет в направлении кратчайшего расстояния по поверхности, или, как говорят, по геодезической линии поверхности. Такую

линию, согласно определению прямой как кратчайшего расстояния, жители этой поверхности должны признать за прямую, или прямейшую,—прямую на этой поверхности, и следовательно весь треугольник—за прямолинейный. Но, понятное дело, форма этого треугольника теперь изменилась, и изменились его углы; теперь они уже не А, В и С, а А', В', С и сумма их 2/72 уже не тс, а некоторая другая величина. Поэтому

аа = 2/>2 — *

где

уже не равно нулю. Эта величина а2, т. е. величина отступления суммы углов деформированного на кривой поверхности треугольника—от суммы углов того же треугольника на евклидовской плоскости, носит название сферического избытка. Ясное дело, этот избыток имеет причиною искривленность поверхности и, следовательно, сам эту искривленность характеризует. Но далее деформация треугольника должна сказаться на величине его площади. Если представить себе, что мы выложили треугольник на плоскости весьма малыми квадратиками и сосчитали число их, а затем то же самое проделали с треугольником на кривой поверхности, то число квадратиков, там и тут выстилающих его плоскость, окажется различным, и эта разница опять-таки характеризует искривленность поверхности. Следовательно, должна возникнуть мысль связать эти три величины: площадь, сферический избыток и кривизну. Это и делает теорема Гаусса, согласно которой

где интеграл распространяется на всю поверхность 5 треугольника А'В'С на кривой поверхности, a di2 есть элемент площади этого треугольника. Смысл теоремы—в том, что сферический избыток накопляется в общей сложности всеми элементами поверхности, но в тем большей степени, чем больше кривизна в этом элементе. Иначе говоря, мы должны себе представить кривизну поверхности по какой-то формальной аналогии с поверхностной плотностью, и суммарное накопление этого качества поверхности сказывается сферическим избытком треугольника.

Физически теорему Гаусса можно толковать, воспользовавшись сыпучим или жидким телом. Если бы некоторое количество жидкости, мыслимой как несжимаемая, было налито тонким ровным слоем на поверхость плоского треугольника, а затем перелито слоем той же толщины на треугольник деформированный, то жидкости или нехватило бы, или было бы слишком много. Вот этот-то избыток (с положительным или отрицательным знаком) жидкости, отнесенный к толщине слоя, и равнялся бы сферическому избытку треугольника.

Возвращаемся к формуле Гаусса. Согласно приемам анализа бесконечно-малых, она может быть переписана в виде

1 s

где А, есть некоторое среднее значение кривизны нашей поверхности внутри треугольника. Следовательно,

ГА,

J s

Это среднее значение кривизны характеризуется как сферический избыток деформированного треугольника, но отнесенный к единице его же площади. Иначе говоря, это есть избыток жидкости при деформации треугольника,

отнесенный к полному ее количеству, или, иначе говоря, относительное изменение поверхностной емкости нашего треугольника при его деформации. Представим себе теперь, что треугольник наш делается все меньше и меньше. Тогда площадь его станет беспредельно убывать, но вместе с тем станет беспредельно убывать и сферический избыток (если только расчитываемая точка не есть исключительная). Отношение же этих убывающих причин будет стремиться к пределу, выражающему относительное изменение поверхностей емкости в данной точке. Это и есть истинная гауссова кривизна поверхности К2 в данной точке:

Итак, когда мы обсуждаем кривую поверхность из трехмерного евклидовского пространства, то перенос на нее плоского треугольника мы истолковываем как деформацию и к понятию кривизны подводим из представления, что стороны его сделались кривыми. Но это есть оценка, происходящая извне, и притом, когда признается этот внешний мир безусловно неизменным; это есть высокомерное объяснение, которое было бы глубоко чуждо и, вероятно, враждебно для обитателя этого треугольника. Гауссова кривизна, как величина i/^R^ для него есть только формально-аналитический способ выражаться, ибо этот житель не сознает ничего вне поверхности, на которой лежит его треугольник, и потому искривления, как такового, заметить неспособен. Оценка же происходящего внутренняя, в пределах доступного его прямому наблюдению, и соответственное выражение кривизны в данной точке будет им построено именно вышеуказанным способом: кривизна поверхности есть относительное изменение поверхностной емкости в данной точке, расчитанное на единицу площади. Физически изменение кривизны от точки к точке могло бы быть установлено опытами с тонким слоем наливаемой жидкости.

Трехмерное пространство тоже характеризуется в каждой точке мерою кривизны, причем делается быстрый переход, отнюдь геометрически не обоснованный, что трехмерное пространство может быть искривленным, так же и двухмерное. Чаще же всего обсуждение неевклидовых пространств ограничивается областями двухмерными. Когда же подвергается обсуждению и пространство трехмерное, то кривизна его вводится лишь формально-аналитически, как некоторое выражение дифференциальных параметров, и не имеет ни геометрической наглядности, ни физической уловимости. Остается неясным, что именно должен сделать физик, хотя бы в мыслимом опыте, чтобы иметь случай так или иначе высказаться о кривизне изучаемого им пространства. Отвлеченно геометрически, кривизна пространств должна выражаться искривлением прямейших, т.-е. кратчайших или геодезических линий. Но, как разъяснено выше, физик, оставаясь со всеми своими инструментами и даже со всеми своими наглядными представлениями в пределах этого самого трехмерного мира и подвергаясь, быть может, той же деформации, что и исследуемая им геодезическая, повидимому, не имеет способа непосредственно убедиться в искривленности прямейшей. Понятие, которого нехватает при обсуждении неевклидовских пространств, однако, легче может быть построено, если обратиться к предыдущему. Это понятие есть относительное изменение емкости пространства.

Все дело в том, что одно и то же геометрическое тело при разной кривизне пространства будет иметь и разную емкость. Изменение этой емкости, отнесенное к единице объема, будет изменять кривизну трехмерного пространства. Более точно к пониманию меры кривизны можно

подойти так. Вообразим тетраэдр, наполненный несжимаемою жидкостью. Пусть ребра этого тетраэдра гибки, но нерастяжимы и всегда натянуты, т. е. всегда суть прямейшие, грани же этого тетраэдра будем представлять себе способными растягиваться и сжиматься. Сумма телесных углов этого тетраэдра равна 4 тг, т.-е. четырем прямым телесным углам. Представим себе теперь, что наш тетраэдр перенесен в неевклидовское пространство. Тогда он деформируется: его ребра пройдут по геодезическим, грани станут плоскостями этого нового пространства. Следовательно, телесные углы изменятся, и сумма их уже не будет 2 тг, а потому изменится и объем тетраэдра. Следовательно, содержащейся в нем жидкости станет теперь либо слишком много, либо слишком мало; этот избыток, понимая его в алгебраическом смысле, зависит от степени деформации тетраэдра, и значит—от избытка над 4 тг суммы телесных углов деформированного тетраэдра. Но, с другой стороны, деформация тетраэдра и все вытекающие отсюда последствия зависят от степени искривленности данного пространства, и следовательно относительное изменение емкости тетраэдра характеризует кривизну пространства.

Можно высказать таким образом теорему, аналогичную теореме Гаусса:

f Ksdo8 = 2p3-4*.

Тут djz есть элемент объема, Ks— кривизна трехмерного пространства, 2/?3 — сумма телесных углов тетраэдра, интеграл же распространяется на весь объем тетраэдра. Это значит: избыток суммы телесных углов над 4 тг, который может быть назван гиперсферическим избытком, накопляется в тетраэдре каждым элементом его объема, но в различной степени; интенсивность этого накопления в каждом месте характеризуется мерою кривизны.

Итак, кривизна пространства тут понимается как удельная емкость пространства в данной точке. Написанное соотношение дает, попрежнему:

где К$ есть средняя кривизна постранства внутри тетраэдра. Очевидно

т. е. средняя кривизна равняется отношению гиперсферического избытка расчитанного на единицу объема. Делая тетраэдр все меньше и стягивая его около точки, мы заставим сферический избыток, расчитанный на единицу объема, стремиться к некоторому пределу, и предел этот есть истинная кривизна А"3 в точке, около которой сжимается тетраэдр.

Можно пояснить весь этот прием на частном примере. Перенесем тетраэдр на гиперсферу, так чтобы всеми своими вершинами он расположился в трехмерном многообразии, содержащем четырехмерное содержимое многообразие гиперсферы. Ясное дело, в своем начальном виде он не совпадет с содержащим гиперсферу многообразием и для совпадения должен быть искривлен. Тогда, после этого искривления, ребра тетраэдра пойдут по большим кругам (геодезическим) содержащего многообразия гиперсферы; грани совпадут с большими сферами того же содержащего многообразия, а объем деформированного тетраэдра составит часть объема вышеуказанного содержащего многообразия. Получится гиперсферический те-

траэдр, аналогичный в двухмерном пространстве сферическому треугольнику. Измеряя телесные углы этого гиперсферического тетраэдра, мы нашли бы сумму их большею, нежели 4тг. Разность той и другой величины зависит, очевидно, от степени искривленности тетраэдра, т. е. от кривизны гиперсферы, или от величины I//?3; а кроме того, эта разность зависит от размеров тетраэдра. В самом деле, тетраэдр, весьма малый сравнительно с объемом гиперсферического содержащего многообразия, и искривлен был бы весьма мало; а совсем малый тетраэдр мог бы считаться вовсе не подвергшимся деформации. Итак, если бы мы хотели, обратно, оценить кривизну гиперсферы по величине гиперсферического избытка, то этот последний надлежало бы отнести к единице объема. Таким образом, удельная емкость трехмерного сферического пространства характеризует собою его кривизну.

Подобные же рассуждения можно было бы применить и к пространствам большего, чем три, числа измерений. Тут опять пришлось бы говорить об удельной емкости, но уже не в отношении объемов, а -гиперобъемов и прочих /i-мерных содержаний соответственных я-мерных пространств. Удельная емкость в данной точке могла бы быть принята за характеристику их кривизны в этой точке.

РЕШЕНИЕ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ МЕТОДОМ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ НЕИЗВЕСТНЫХ.

Н. Колмогоров (Алма-Ата).

§ 1. Решение уравнения х2 -\-у2 = z2. Уравнение показывает, что z > к и z>_y, но z<x-\-y, следовательно, можно положить: z = x-\-u} z=y-\-v и z-\-t = x-\-y, где и, v и t какие-то целые и притом положительные числа. Решая систему уравнений: z = x-\-u, z~-y-\-v и z-\-t-—x-\-y относительно х, у и г, получим:

x — v-\-t, y-zii-\-t, z — u-\-v-\-t.

Подставим теперь в уравнение x-Jry2 = z2 вместо х> у и z их выражения через и, v и t, и мы после упрощений получим:

t2 = 2uv.

Это уравнение решить легко. Полагая, например, и — 2и2 и v — vx2, получим: t2=4ujvi\ откуда t=±:2ulvl. Следовательно, х~vx2±2uxvx\ у = 2«,2 ЧЬ 2tiïv1 ", z2 = 2и{- + v;1 ± 2uxvx, или х = [vs ± их)2 — и,2, y = 2ul2(ux±:vl)i z = (ux ±vl)2+ и2\ наконец, полагая ul-jzvx — ai их = Ь, будем окончательно иметь: х — а2 — b2> y = 2ab\ z — a2Jrb2, т.-е. мы получили известные формулы для выражения сторон Пифагоровых треугольников.

Подобным же способом можно решить и следующие уравнения : x24-y2 + z2 = t2\ x2-fj/2 + z*-fs2 = *2î x2+y2 + z*+. . . . + u2—v2\ x2+y* = + x2+y2 + z2=u* + v' + t*\ x2±ky2 = z2 + kt2; x2 + ^куЪ^1г2 = Р-\-ки2~{-1у2. Одним словом, —все однородные неопределенные уравнения второй степени со многими неизвестными.

§ 2. Решение уравнения xè-\-yz-\-z* — t3. В этом уравнении можно считать t>x, t>y, t>zy но t <х-\-у -\-z, следовательно, существуют такие целые числа а, (3, у и 5, что t = x-\-a, t—y-\-£\ t~z-]~y и

t-\-à=zx-\-y-\-z. Решая систему уравнений: t = x-\-<x\ t — y-\-£ t = г-fy, t-)rb = x-{-y + z относительно x, y, z и t, мы получим:

Подставим теперь в уравнение х*-\-уд-\-z*==t* вместо х, у} г, / их выражения через а, /з, у и о и мы после упрощений получим:

(1 ) 3я -f За28 + 3j328 -f- Зу28 = 12ajSy -f 6а/38 -f- 6ау8 -f- 6,3у8.

Это уравнение показывает, что о делится на 3 и, кроме того, 12а/3у должно делиться на 8; поэтому можно положить, например, 8 = 3у, тогла уравнение примет вид:

(2) 12у2 .f. За2 + З/З2 = 10а,3 4- бау 4- 6ßy.

Это уравнение показывает, что или а, или /3 должны делиться на 3; пусть а — За,, тогда уравнение (2) преобразуется в такое:

4у24-9а12 4-,32 = 10а, ß +6а,у + 2j5y или

(3) ß2 - 2 (5а, 4- Т) ß + (*f + ^*l2 - 6а,у) = 0.

Решим это квадратное уравнение относительно J3, и мы получим:

Пусть

тогда

откуда

Таким образом, мы выразили f через произвольные целые рациональные числа; это выражение для у, конечно, не дает при произвольных а1 и m целых значений, но это не должно нас смущать, потому что уравнение: хъ-\-у*-\-z'à = f] однородное, следовательно, если оно имеет вообще рациональные решения, то оно имеет и целые решения.

Выражение для 3 будет: ß = 5а, -f*ï zh (4ai + /waiï)> a для 8 и a были написаны выше, а именно: 8 = Зу, a — За,. Пусть а, = 1, м = 0,

тогда а = 3, - = 5-~; ß, — 14-у- ; ß2 = 6 у ; й = 16 или> в ВИДУ однородности уравнения x*-\-у*-\-z*— f\ a = 9, ß, = 43, ß2 = 19, 7 = 16 и 8 = 48, а для у, z w t получим:

Л" — 49, _у ~ 15, г = 42, и / = 58 (1-е решение) х = 37, у = 27, z = 30 и ^=46 (2-е решение),

4934-1534-423^ 588; 37^4-2734-30^=463.

Пусть ах = 1, w = 1, тогда a = 3, 7 = 2, ß, = 1 3, ß2 = 1, 8 ^ 6, а для jt, у, z v\ t будем иметь:

а: = 9, 3/= — 1, г —-10 и /"=12 (1-е решение) т..е. — 3, 3; — 5, г = 4, /" — б (2-е решение),

98 + (— 1 )3-f-108 =z 128 или 9*4-103^1234-13, 384-434-53 = 63.

§ 3. Решение неопределенного уравнения x*-\-y* = z* в целых числах в области рациональности M-\-N . У а, где М> N и а рациональные целые числа.

В уравнении x3-\-y* = zd можно положить z > х, z>y, z<x-{-y, следовательно, z = x-\-u, z=y~{-v, t-{-z = x-\-y> откуда x = v-\-t\ y = uArt и z = uJrv-\-t.

Подставив эти значения в уравнение -j- у3 = z\ получим сначала:

{v + t)* + (u + t)*=(u + v + t)\

а затем после упрощений:

t« = 3uv (u-\-v + 2t). Пусть P = 6vxtv av = 2vv тогда уравнение примет вид:

и2 -f- 2 (vx +1) и — tx = 0.

Сделаем еще td полным кубом целого числа, для чего достаточно положить vx — 4а8, ^ = 9ß3, и мы получим: = 216a3ß3, следовательно, ^-~6aß. Уравнение и- -f 2 (^i + t)u — tx = Q примет теперь вид:

и2 -f- 2 (4а8 -f- бар) и — 933 = О

или

и2 + 4 (2а2 -f 33) а// — 933 = 0. Решив теперь его относительно и, мы получим:

и = — 2 (2а2 -f- 38) а ± "К4 (2а2 -j- 343)2 ~j- 9ß».

Подставим теперь в выражения для х} у и z вместо //, v и t их новые значения и будем иметь:

x=I:8a3-j-6a3; у = — 4а3 ± lA (2а2 -f 3j3)2 -f 9J33;

г = 4а3 ± V 4(2a2-j-3ß)2-f9j^ при произвольных целых значениях а и р. Можно было бы прямо взять уравнение:

t* = 3u?v-\-3uv* + 6uvt

и решить его относительно или и, или г>, так как оно относительно этих неизвестных квадратное, и полученное значение подставить в выражения для Ху у и z\ тогда х, у и z будут иметь значения в области рациональности M-\-N\/a} где M, N и а будут, вообще говоря, рациональными числами.

В самом деле, решим уравнение:

3vtt2-\-3uv{v-\-2t) - t* = Q относительно //, и мы получим:

следовательно, решениями уравнения x*-\-y* = zz в области M~\-N\/a будут: , .-

при рациональных v и t.

§ 4. Исследование уравнения xz-\-y*~zz и вообще уравнения xn-\-y* = zn при п>2 и нечетном.

Возьмем сначала уравнение x^-{-yn — z3 и попытаемся исследовать характер чисел x, у и z с помощью вспомогательных неизвестных и, v и причем будем предполагать, что числа Х) у и z — взаимно - простые, как это и следует из уравнения х3-\-у* = z6. Пусть z>x>y, тогда можно положить z = x-\-u, z=yJrv и z + ^ — х+_у, где будем предполагать все числа целыми. Отсюда получим: x = v-\-tf y = u-\-t и z = ii-\- v-\-t, и уравнение ,\;3-f-j/3=:£3 обратится в следующее:

t3 = 3uv(u-\-v-\-2t)

или

£3 = 3 (г — *) (г — у) (х -{-у).

Докажем, что все три последних множителя в правой части последнего результирующего уравнения будут взаимно-простые между собой. Действительно, предположим противное, что z — х — о.ки х-]-у = Ъ . т, где 3 общий делитель чисел z — х и х-\-у\ тогда и t содержит в числе своих делителей по крайней мере один из делителей о, а в таком случае на этот делитель делится и z, так как z-\~t = x-\-y. Но если z делится хотя бы на один из делителей о, то на этот делитель делится и x, так как z — Х — Ь . £, а также и у, и числа x, у и z не будут тогда взаимно простыми, что противоречит условию, высказанному относительно чисел x, у и z в начале этого §. Точно так же можно доказать, что и (z — л:), и (z—Сбудут числа взаимно-простые, т.-е. числа {z — х)у {z—у) и {х-\~у) будут попарно взаимно-простыми. А если это так, то один из множителей (z — л:), (z—y) и (х-\-у) делится на 9, а остальные два должны представлять кубы каких-то целых чисел, если мы хотим решить уравнение t9 = 3(z — x){z— у){х-\-у) в целых числах.

Пусть z — лг = а3, z—jy —ßa, тогда x-\-y = 9j\ a £ = 3affy кроме того, a3-|- ßn -j-öaß-j- = 97s.

При таком предположении число z делится на 3. Но вообще-то говоря, одно из трех чисел х} у и z обязательно должно делиться на 3, чтобы уравнение хя ~\-y* = zd разрешалось в целых числах; даже больше, одно из чисел ху у и z должно делиться на 9, что ясно видно из уравнения: a3 -f- -f- 6apY == 9т3 для числа г. Это свойство чисел z — x, z — у и х-\-у, а также делимость одного из чисел x, у и z на 3 позволяет значительно упростить доказательство невозможности решения уравнения x34-y» = z* в целых рациональных числах.

Можно, например, доказать, что это уравнение не разрешается в целых числах только хотя бы при одном предположении относительно одной из разностей (z — x) и (z — у), и этого вполне достаточно, так как по крайней мере одна из них- должна представлять куб целого числа. Доказать можно или методом бесконечного спуска, как это делал Эйлер, или с помощью уравнения: л:3 -f-j/3 -|- Л3 — 2r3 -j- /3 при условии k = L

Но так как этот случай доказан, то я не буду повторять его, а перейду к исследованию общего уравнения, а именно: хп -\-уп' — zn при п > 2 и нечетном. Исследуем свойства чисел x.ywz при п рациональном, нечетном и абсолютно-простом. Будем считать и здесь числа х> у и z целыми и взаимно-простыми. Пусть, z>x>y> тогда можно положить, как и раньше, z = x-\-u> z=y-\-v, z +t = x-\-y> откуда: z = u-\-v-)rt, x = v-\-t, y = u-\-ty и наше уравнение обратится в следующее:

а после необходимых преобразований получим:

В квадратных скобках стоит целое число, так как п — число абсолютно простое. Кроме того, так как (гг-f- v-\- t)n должно делиться на u-\-v-Jr2t при п нечетном, то, на основании теоремы о делимости многочлена на двучлен, мы заключаем, что и tn должно делиться на u-\-v-\-2t, следовательно мы можем написать:

tn = nuv{u-\-v-{-2t) . Af,

где через M обозначен однородный многочлен п — 3 степени относительно /г, v w t. Полученное уравнение можно преобразовать в следующее:

f^n{z — x){z— у){х+у) . M.

Точно так же как и в случае рассмотренного выше уравнения, можно доказать, что множители z — х> z—y и х-\-у суть числа попарно взаимно-простые и каждый из них взаимно-прост и с множителем М} что следует из тождества:

Отсюда мы можем сделать такое пространное заключение: один из четырех последних множителей в правой части последнего уравнения, т. е. уравнения tn = n(z——у)(х~гУ) - M, обязательно делится на пп~1, тогда как остальные три должны представлять каждый в отдельности /г-ую степень целого числа, причем если из этих четырех множителей на пп~х делится последний, т. е. Ж, то ни одно из чисел х, у, z не делится на /г, а если на пп~г делится один из множителей z — х, z—у и х~тУ, то тогда одно из чисел х, у и z должно делиться на п. Но во всяком случае два из множителей z—z — y и х-\-у должны всегда представлять я-ую степень целого числа, чем и отличается это обобщенное уравнение Ферма от уравнения х2 -f-y2 = z2, в котором только одна из разностей: г—х, z—y может быть квадратом целого числа, и только лишь для некоторого класса чисел сумма х-\-у может быть равна точному квадрату целого числа, но вспомогательное неизвестное t2 на х-\-у в уравнении x2-{-j/* = 22 не делится.

О КОРНЯХ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ.

Е. Марчевская (Харьков).

Теорема. Если корни уравнения

хЗ + Лх2+рвх+/7з«0........(1)

все вещественны, то они заключаются: 1-й в промежутке

2-й в промежутке и 3-й в промежутке

где

Для доказательства приведем данное уравнение (I) с помощью подстановки х=у— 4г- к виду

С1)

где

и, следовательно, R — V —12/?. Тогда доказываемую теорему можно заменить такою:

Если уравнение , , ,

JK x3-\-px-\-q=0

имеет все корни вещественные, то они лежат:

1-й в промежутке 2-й в промежутке 3-й в промежутке

Для доказательства пользуемся известной теоремой высшей алгебры: если значения /(а) и f(b) разных знаков, то /(х) имеет нечетное число корней между а и Ь. Если же знаки чисел f{a) и f{b) одинаковы, то между числами а и b или не существует корней, или число их четное (см., напр., Д. Граве. «Элементы высшей алгебры». 1914, стр. 342).

Рассмотрим функцию

/(x)=X8 + /WC+flf

найдем частные значения ее при х =--j- и x=-g- ; будем иметь

следовательно.

ai)

и подобным же образом найдем:

(III)

Для применения вышеуказанной теоремы высшей алгебры исследуем знаки . / Р\ ./ /? ч

Мы имеем:

а так как по условию все корни уравнения вещественны, то

Это следует из того, что, по формуле Кардана, все корни уравнения 3-й степени будут вещественны при +-^-^0 (см. Д. Граве, стр. 42).

Рассмотрим сначала случай -f~ = 0; тогда первая из формул (IV) дает , рч / /?х

следовательно, в случае (а) корнем уравнения является -—а на осно вании (II) вторым корнем будет —.

Зная два корня, легко найдем третий, он равен

Таким образом при условии (а) имеем корни уравнения R R хг=—у ; x2 = xs = -g-, т.-е. первый корень лежит в начале первого промежутка, а второй и третий равны между собою и лежат на границе второго и третьего промежутка, так что для случая (а) теорема доказана.

При условии (Ь), принимая во внимание (Ш), подобным же рассуждением находим, что корни уравнения будут:

т.-е. и в этом случае теорема справедлива. Остальные два условия (IV) приводят к тем же результатам. Двойные корни получились в форме, которую легко преобразовать к виду, даваемому формулой Кардана.

Перейдем к случаю, когда -|Ç- + -qp- < 0. Тогда на основании упомянутой теоремы высшей алгебры из (IV) заключаем, что в каждом из промежутков D Dx / D г>. , D п.

лежит нечетное число корней, что возможно только тогда, когда в каждом из этих промежутков заключается по одному корню.

Таким образом теорема доказана. Примеры:

Здесь

Следовательно, Здесь

а корни уравнения

Промежутки, в которых лежат корни

Доказанная теорема и обнаруживает, что корни уравнения (I) лежат в промежутке

Она является частным случаем следующей более общей теоремы Лагерра;

Если все корни уравнения

^Х? + ^-1 + ^^~2+......+ам = 0

вещественны, то они лежат в промежутке

Одно из ее многих доказательств дано H. Nagy (b 27 m. 1—4 H. Jahresbericht des deutsch, mathem. Verein, стр. 43) и вытекает из одной теоремы проф. J. Schur'a.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ВЫВОД ФОРМУЛЫ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА В ФУНКЦИИ ЕГО СТОРОН.

С. Адамович (Тула).

Общепринятый алгебраический вывод формулы площади треугольника, помещенный в руководствах А. Киселева, К. Рашевского и др., может быть заменен и чисто геометрическим.

Прежде чем приступить к выводу формулы, укажу на историческое происхождение выражения площади треугольника в функции его сторон. Профессор М. Ващенко-Захарченко пишет, что выражение это было известно уже индусским математикам XI века. В 1814 году итальянский математик Вентури в изданной им «Истории оптики» указал на вывод выражения площади треугольника в функции его сторон, которое он отыскал в фрагментах рукописей сочинений Герона. По его мнению, автор этого вывода есть Герон, известный под именем Старшего, которого относят к I или II веку до нашей эры. Он принадлежал к геометрам Александрийской школы. Доказательство, данное Героном, основано на предложениях «Начал» Евклида.

Некоторые ученые, занимающиеся историей математики, высказывали мысль, что если в самом деле Героном Старшим было дано доказательство выражения площади треугольника в функции его сторон в том виде,

как оно приведено Вентури, то почему о столь важной теореме умолчали: Папп в своих «математических коллекциях», Прокл в своих «комментариях», Птоломей и др. геометры?

Такое мнение было уже высказано в 1830-х годах известным знатоком по вопросам, касающимся истории математики, итальянцем Либри. Весьма вероятно, что выражение это было найдено Героном, но не Старшим, а одним из позднейших. Вопрос о Геронах весьма запутан и до сих пор точно не выяснено, каким именно из Геронов написаны какие сочинения. Привожу доказательство, данное Вентури.

Дан треугольник ABC (черт. 1). Впишем в него крут DEF, с центром О. Проведем линии ОА, OB, ОС и перпендикуляры OD, OF, OF.

Площади треугольников ДОС, АОВу ВОС соответственно суть

Черт. 1.

Сложив эти выражения, видим, что площадь целого треугольника ABC равна

АС + АВ + ВС п лп , -oi -■—2—■- f. Принимая AC-f-AB-f- ~j- ВС— 2/7, найдем Д АВС—р . г. На продолжении стороны АС отложим длину CM = BD. Очевидно, линия AM равна половине периметра треугольника, т.-е. —ру и площадь Д будет равна Д ABC — AM . OD = у AM'1 . OD2. Проведем теперь прямые ONK±k АО и CK±_ АМ\ пересечение К этих прямых соединим прямою АК с точкой Д.

Углы АОК и АСК прямые, а потому точки Д, О, С, К лежат на одном круге, и/ ОАГЛ-р/ OAK=d или, заменяя /_ ОКА через / ОСА и разлагая /_ OAK на два Z О АС и / САК, получим Z ОСА + /ОДС + Z СЛ/С« rf. Кроме того, имеем / ОАС~{- / ОСА +Z OBA = d, откуда Z СД# = Z ОБА,

Треугольники BOD и ДСА* подобны, а потому ^C:Ctf==ßD:DO = CAf:Of или АС : СМ =s СЛ" : OF= CN : M7,

откуда AM :CM = CF: NF.

Умножая члены первого отношения на AM, а второго на AF, получим: AM2 : СМ . AM = CF . AF.NF . AF или ДМ2 . TV/7. AF— СМ . AM . CF . Д/\

Из прямоугольного треугольника ДОУУ имеем OF* — AF. FN. Следовательно, ДМ2 . OF2 =СМ . AM . CF . AF\ OF— OD = OE = r, а потому 5= j/"CAf . AM. C/7 . AF, но из построения известно, что АМ—р\ AF = p — ВС; CF = p — АВ\ СМ—р — ДС, подставляя в формулу площади, получим:

заменяя стороны треугольника соответственно буквами, получим: S = \r р ip-a) (p-b)

Эту теорему можно доказать другим способом, вполне доступным для учащихся старших классов второй ступени, рабфаков и других учебных заведений.

В Д ВАС впишем окружность с центром О и радиусом г, которая будет касаться стороны А в точке D.

Проведем вневписанный круг, с центром О' и радиусом га% касающийся стороны а в точке Е (черт. № 2).

Известно, что S = p .г . . . (1);ßD = p — b\ ВЕ = р—с. Треугольники BDO и ВЕС — подобны, из подобия можно получить пропорцию —у- — ~£г, откуда г . ra = BD . BE или г ra~(p—b)(p-c) . . . . (2)

Соединив точки Л, В и С прямыми с точкой О'у получим три треугольника АВО\ АСО\ ВСО'.

Площадь Д ABC = £±ABOfJr -f д ДСО' —д ßO'C или

(3)

Черт. 2.

Черт. 3.

Перемножив (1 j и (3), получим S2 = р . ггц (р -а), заменив в этом выражении радиусы из формулы (2), найдем:

S* = р (р - а) (р-Ь) (р—с)\ S = \/ р (р—а) (р-Ь) (р-с).

Примечание. Геометрический вывод этой формулы для учащихся будет очень легким и не таким тягучим, как общепринятый алгебраический, если преподаватель предварительно проделает в классе 3 весьма полезных подготовительных задачи.

Задача 1-я. Доказать, что S—p.r. . (1). Задача 2-я. Доказать, что BD — p—b. Это доказательство очень просто, если в треугольнике ВАС (черт. Jsfc 3) ввести обозначения; y-\-z = a\ х-\-у — = с; y-\~z = b.

Сложив все три уравнения, получим 2х-\-2у-\--\-2z = a -j- b -j- c\ x Ary -\-z—p\ вычтя из этого уравнения y-\-z = b> получим x—p—b) т.е. BD—p — ft. Задача 3-я. Доказать, что ВЕ—р - с. Положим СЕ = x = CM; BE — а — x — BN (см. черт. № 2)

AM —AN, а потому имеем:

Итак, для вывода формулы площади треугольника в функции его сторон достаточно применить три общеизвестные формулы: S — pn

ОБ ОТНОШЕНИИ sinx/x.

(Сообщено в Математическом кружке 1924 г. 11 мая.)

Ф. Гусев.

В журнале «Математическое образование» № 1 за 1915 г. проф. Б. К. Млодзеевский дал аналитическое, а проф. А. К. Власов — геометрическое доказательство предложения: если 0<х<х1<гс, то 1 ^>^1M_>_i1Mi > о. Это свойство можно вывести и из иных соображений. Пусть даны две положительных, меньше w, дуги: w ас и w bd. первая из которых больше второй.

Пусть далее ac\\bd и ok±_ac.

Требуется доказать, -=- < —

Переместим хорду db справа налево, параллельно самой себе в положение dxbx и радиусом odx опишем на ней дугу, тогда получим равенство:

Дуга d1b1 является внешней выпуклой по отношению к дуге db, следовательно, w dxbx > db. Откуда и находим:

что и требовалось доказать.

ЗАДАЧИ.

64. Решить систему уравнений:

X. У. (Ростов-на-Дону).

65. Показать, что числа вида:

при любом целом п делятся на 120.

И. Кастровицкий (Сталинград).

66. Показать, что дробь:

несократима, как, е бы цифры мы ни поставили на место многоточий.

С. Адамович (Тула).

67. Найти сумму п членов ряда:

12 + 34 + 56 + 78+910 + 1112 + 1314+ . . ., где каждый член записан цифрами двух рядом стоящих членов натурального ряда. Н. Агрономов (Владивосток).

68. Построить равнобедренный треугольник так, чтобы в нем высота, опущенная на боковую сторону и равная /, делила высоту, опущенную на основание, пополам. Ф. Гусев (Москва)

69. Найти величину площади, заключенной между дугами эллипса и параболы, заданных относительно прямоугольных осей координат уравнениями: X2 + 4у2 = 9т2 и уЬ — Ътх (частный случай: т—\).

Н. Орлицкий (Katowice).

70. Определить наибольшую хорду данной кардиоиды.

Э. Лейнек (Рига).

71. Вычислить стороны треугольника, зная его периметр 2/7 — 24, радиус вписанного круга г = 2 и радиус описанного круга R — 5.

72. Определить сторону правильного тридцатиугольника, вписанного в круг радиуса R.

73. Найти площадь эллипса, выраженного относительно прямоугольной системы координат уравнением:

(ах _L by)2 -f {а'х + Ь'уУ2 = 1,

и указать условие, при котором это уравнение перестает выражать

Л. Лодыженский (Тула).

74. Найти значение произведения:

sin 20° . sin 40° . sin 60° . sin 80°, не пользуясь таблицами логарифмов

ЗАДАЧИ ИЗ «МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ» ЗА 1916 ГОД.

252. На сторонах треугольника даны три точки А'\ В', С. Найти такую точку О, чтобы четыреугольники АВ'ОС, ВСОА' и CA'OB' оказались равновелики.

Пусть точки А', В', С лежат соответственно на сторонах ВС, АС и AB треугольника. На стороне AB отложим отрезок Вх так, чтобы площадь А'Вх=~ площади АБС. Так как треугольники А'Вх и ABC будут иметь общий угол, то их площади должны относиться как произведения сторон, заключающих этот угол:

отсюда:

т.-е. Вх—четвертый пропорциональный отрезок к трем известным AB, ВС и ЗАВ и, следовательно, может быть построен. Аналогично строим отрезок Су на стороне ВС.

Проведя через точки х и у прямые, параллельные А'С и А'В', в пересечении их» найдем точку О, которая и будет искомой.

Действительно:

но:

следовательно:

пл. О А ВС = пл. ABC + пл. хСА = пл. хВА = -у пл. ABC. Аналогично доказывается, что пл. ОАСВ' = пл- ЛАС и пл. ОЯ'ЛС =-!■ пл. Л£С. Следовательно:

Г. К. (Пенза).

261. Пересечь прямой параллелепипед плоскостью так, чтобы в сечении получился квадрат.

Пусть в параллелепипеде ABCD AXBXCXDX ребро ААХ перпендикулярно к плоскости основания. На основании ABCD из точки А радиусом равным AAt описываем дугу; пусть точка Е есть пересечение ее с ребром ВС; тогда точки Аъ А и Е определяют искомую плоскость. Если AAL<AB и AAl<^AD) то на AB легко найти такую точку О—центр дуги, чтобы получить требуемое пересечение.

Л. Цивчинский (Одесса) -дал решение и аналогичной задачи для произвольного параллелепипеда.

263. В данный круг вписать трапецию, у которой одна из параллельных сторон проходит чрез центр, а боковая сторона относится к другой из параллельных сторон, как m : п.

Пусть радиус круга /?; обозначая боковую сторону трапеции через х, замечаем, что сторона трапеции, параллельная диаметру, будет — х.

Проводя из вершины меньшего основания высоту трапеции h и выражая ее двояким образом, найдем:

отсюда получаются уравнения:

Взяв только положительное значение х и представив его в виде

легко построим х с помощью циркуля и линейки.

И. Кастровицкий (Сталинград), П. Сапунов (Владимир), Н. Соловьев (Витебск), И. Петренко (Рига).

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

47. Решить уравнение:

у* — 17у4 — 12f + ЗЗу2 -f 4у — 1 — 0.

Левая часть данного уравнения может быть разложена на два многочлена второй и четвертой степени, коэфициенты которых могут быть найдены по способу неопределенных коэфициентов; именно, полагая:

у_1 73,4 _ \ 2f -f ЗЗу2 + 4у — 1 = (уА + ауЦ-by2 -f гу + 1 ) (у- + tfy — 1 ), найдем: а~ 4; & = 0; f = — 8; —4,

поэтому данное уравнение примет вид:

(у2 — 4у — 1) (У + 4У— 8у+1) = 0; поэтому имеем два уравнения;

V2 — 4_у — 1 — О и У+ 4у — 8у+ 1 =0.

Из первого уравнения найдем:

второе же можно преобразовать при помощи подстановки y = z— 1, что приведет к уравнению:

отсюда: и

л»4^6'б = -1 ±|/"з±l/"3 .

А. Дмитровский (Москва), И. Фивейский (Ржев), X. У. (Ростов - на - Дону), //. Хайдуков (Петровск).

48. Найти рациональные решения уравнения:

л'2 — Зху -f 5у- — 2х 4- 7у — 12^0.

Данное уравнение представляет коническое сечение, и задача состоит в нахождении точек этой кривой, имеющих рациональные координаты. Одна из таких точек есть, очевидно, точка с координатами х = 0, у= 1. Если проведем чрез нее пучок прямых у— 1 = kx, то каждый луч этого пучка пересечет кривую кроме точки (0,1) еще в одной точке. Исключив у из уравнения кривой и уравнения пучка, будем иметь:

х2(1 — 3k 4- 5k2) 4- х( 1 Ik — 5) = О,

откуда, отбросив решение л:=0, найдем:

— 5 — 17Л? х~ Η3* +'

а вставив это выражение в уравнение пучка, найдем:

v-kx±\ — 1+2*-120»

Эти выражения при всяком k дают координаты одной из точек данного конического сечения. Так как всякому значению k соответствуют рациональные значения х и у и, наоборот, как видно из уравнения пучка, всякой паре рациональных х и у соответствует рациональное значение k, то предыдущие формулы для х w у дают все рациональные решения пред-

ложенного уравнения, если под k подразумевать всевозможные рациональные числа. Первоначальная пара значений х — 0 и у = \ получится, если положить k = ~j .

А. Дмитровский (Москва), П. Сапунов (Владимир), Н. Фивейский (Ржев), X. У. (Ростов-на-Дону), Е. Воскресенская (Павлов), А. Лебедев (Н. Салда).

49. Найти первый член арифметической прогрессии, сумма п членов которой равна п{2п-\-Ъ).

Обозначая первый член искомой прогрессии х, разность ее d и число членов п имеем равенство:

|2*.+ </(,-.DJ,, = ж(2(в+5)|

которое должно быть справедливо при всяком п. Отсюда:

dn2 4- (2х —d)n = 4/г2 -f-10;

следовательно:

d = 4; 2х — rf=10,

что дает х = 7.

А. В, А. Дмитровский, В. Г. Фридман, И. Сергачов (Москва), В. Сакк (Верхнеднепровск), И. Кастровицкий (Сталинград), Н. Слетов (Рига). Н. Орлицкий (Katowice), В. Игумнов (с. Петропавловское), В. Литвинский (Керчь), С. Поляков, А Билима-Постернаков (Тула), М. Сацердотов (Псков), Н. Фивейский (Ржев), П. Сапунов, M. M—в (Владимир), Е. Воскресенская (Павлов), А. Левщук (Иркутск), А. Бутома (Саратов). Н. Хайдуков (Петровск).

51. По данным углу и радиусу вписанного круга построить треугольник так, чтобы периметр всякого вписанного в него прямоугольника имел одно и то же значение, причем две вершины прямоугольника должны лежать на сторонах, составляющих данный угол.

Если периметры всех вписанных прямоугольников равны между собою, то они должны разняться периметру предельного прямоугольника, две вершины которого совпадают с вершиною В данного треугольника ABC— иначе говоря, полупериметр всякого вписанного прямоугольника должен равняться высоте BD треугольника ABC. Очевидно, для этого необходимо и достаточно, чтобы высота BD треугольника ABC равнялась его основанию АС. Поэтому решение предложенной задачи следующее: на произвольном основании MN строим известным способом треугольник MBN, имеющий данный угол при вершине и высоту, равную MN\ далее вписываем в угол MBN круг данного радиуса и проводим к этому кругу касательную ЛС, параллельную MN> так, чтобы этот круг для Д ABC был внутренним вписанным кругом. Треугольник ABC будет искомым.

А. Дмитровский (Москва), И. Кастровицкий (Сталинград).

52. Построить равнобедренный треугольник по основанию и биссектрисе угла при основании.

Пусть в равнобедренном треугольнике KLM основание КМ = а, биссектриса угла LKM KN—b. Если продолжим LM на отрезок MP—а и соединим Р с АГ, то угол / КРМ = ~- LMK— /_ NKM, а потому треугольники KNM и KNP подобны. Отсюда, обозначив MN через х, получим:

Т = "х + а '

т.-е., если b есть касательная к кругу и а—внутренняя часть секущей, то X есть ее внешняя часть. Поэтому для построения х надо взять круг с диаметром а, провести к нему касательную, равную Ь, и соединить ее

конец с центром; внешняя часть полученной секущей будет х. Далее строим Д KNM по трем сторонам и искомый Д KLM по основанию и углу при основании.

А. В., А. Дмитровский, И. Сергачов (Москва), В. Сакк (Верхнеднепровск), Н. Слетов (Рига), И. Кастровицкий (Сталинград), Н. Орлицкий (Katowice), В. Ефимов (Пермь), М. и Я. Карлинские (с. Пуховичи), Е. Воскресенская (Павлов), И. Гулевич (Ленинград).

53. Определить площадь параболического сектора ABC, если В лежит в вершине параболы, а Л—на главной оси, причем / ВАС — а, АВ = с и АС = Ь.

Пусть /_ а острый; опустив из С перпендикуляр CD на AB, будем иметь- CD~&sina; i4Z) = £cosa; BD — с— ôcosa.

Искомая площадь составится из треугольника CDA и параболического треугольника CDB, но площадь последнего, как известно, равна:

площадь:

складывая, получим, что площадь параболического сектора

К тому же результату придем и в случае a тупого; при a-=90° площадь сектора равна -у ос .

В. Сакк (Верхнеднепровск), И. Кастровицкий (Сталинград), А. Дмитровский, В. Фридман (Москва), Н. Фивейский (Ржев), Н. Орлицкий (Katowice), X. У. (Ростов-на-Дону), П. Сапунов (Владимир), Е. Воскресенская (Павлов), А. Кудинов (Задонск).

54. Доказать, что если sin x-l-sin v = 2 sin (х-|-v), то:

Данное условие представим в таком виде:

Отсюда следует, что или

Из этого равенства получаем:

или:

или, наконец:

Л. В., Д. Польшин, А. Дмитровский, В. Фридман, И. Сергачов (Москва), В. Сакк (Верхнеднепровск), И. Кастровицкий (Сталинград), Я. Слетов (Рига), В. Игумнов (с. Петропавловское), В. Ефимов (Пермь), И. Фивейский (Ржев), И. Орлицкий (Katowice), X. У. (Ростов-на-Дону), Я. Сапунов (Владимир), А. Бутомо (Саратов), И. Хайдуков (Петровск), А. Кудинов (Задонск), А. Маковский (Ульяновск).

55. Найти выражение общего члена ряда:

Составим выражение для второго и третьего членов ряда:

Отсюда можно предположить, что:

Справедливость этой последней формулы докажем заключением от п к #4-1. Пусть для некоторого п эта формула верна. Тогда:

т.-е. формула верна и для л-4-1; из того, что она верна для п — 2 и п — 3, следует верность ее для всякого п.

А. В., А. Дмитровский, Д. Полыиин, В. Фридман, С. Львов (Москва), В. Сакк (Верхнеднепровск), И. Кастровицкий (Сталинград), Н. Слетов (Рига), В. Игумнов (с. Петропавловское), Н. Фивейский (Ржев), М. Сацердотов (Псков), Н. Орлицкий (Katowice), X. У: (Ростов-на-Дону), Е. Воскресенская (Павлов), А. Бутомо (Саратов), M. M—в (Владимир), А. Левшук (Иркутск), А. Билима-Постернаков (Тула), И. Хайдуков (Петровск), А. Кудинов (Задонск).

Поправка.

Условие задачи № 46 («Математическое образование-*, № 6, стр. 267) должно быть исправлено следующим образом:

Упростить выражение:

ХРОНИКА

Расписание занятий ОРМО в 1-м полугодии 1928/29 ак. года.

23/Х. С. А. Богомолов. Основание теоремы о выпуклых многогранниках.

30/Х. С. А. Янчевский. Международный математический конгресс в Болонье 1928 г.

1 tyXI. H. И. Утешев. Функциональная зависимость в геометрии.

20/Х1. Проф. С. А. Богомолов. Морфология выпуклых многогранников.

27/XI. И. И. Гиляровский. Понятие бесконечности в геометрии.

4/X1I. Б. Б. Пиотровский, А. А. Чебышев-Дмитриев. А. Т. Шенкман. Краткие сообщения из педагогической практики.

Проф. С А. Богомолов. Сообщение о разбиении многоугольника на треугольники.

11/XII. Академик Я- В. Успенский. Гаусс и его значение в истории математики. Расписание занятий ОРМО на январь — февраль — март 1929 г. 29/1. Заседание, посвященное 10-летию ОРМО.

1. Доклад секретаря.

2. Доклад проф. В. И. Смирнова. Современное обобщение понятий о функции.

5/Н. С. М. Булдырев. О приближенных вычислениях по программам ГУСа. 12/II. Проф. С. А. Богомолов. Классификация выпуклых многогранников (по Федорову и Эбергарду).

26/11. Л. Л. Мищенко. Методика вопроса проектирования на ось.

5/IJI. Относительные числа. Обзорный доклад В. А. Крогиуса. Обмен мнений начнут M. Е. Волкобинский, проф. Н. В. Липин, А. А. Чебышев-Дмитриев.

19/1II. Проф. Б. Н. Делоне. Теорема Минковского о выпуклых многогранниках.

26/Ш. 1) И. А. Сигов. Испытание прочности балки на изгиб, как задача для учеников старших классов.

2) Л. Е. Варшавский и И. И. Кавун. Сообщения из педагогической практики.

Заседания происходят в Государственном институте научной педагогики (Фонтанка, 10). Начало заседаний в 7 часов вечера.

БИБЛИОГРАФИЯ.

Л. О. Вяземская. Английский язык для русских технических школ. Гиз, 1928, ц. 3 р. 50 к.

Этот учебник предназначается в первую голову для взрослых, задающихся целью в возможно короткий срок овладеть английским языком в видах чтения технической литературы. Параллельно с этим он является полезным и для лиц, стремящихся к изучению разговорного языка, так как построен на современной фонетической системе. Но фонетические знаки (в виде цифр) поставлены в тексте над строками и не являются поэтому помехой для тех, кто по тем или иным соображениям не интересуется фонетической стороной.

Существенная часть книги составляется из пятидесяти уроков. Первые три содержат основные сведения из грамматики и вводят в круг самых необходимых слов путем легких упражнений; слова весьма целесообразно собраны в таблицы, помогающие усвоению произношения, а также дающие возможность путем комбинаций составлять механически весьма большое количество фраз.

Начиная с четвертого урока, вводится легкий, а далее—постепенно более трудный материал из области математики, физики и разнообразных отделов современной техники, для проработки в классе или самостоятельно. Многие упражнения сопровождены рисунками и чертежами, некоторые даны в форме диалога. Каждый урок сопровождается объяснением новых слов и необходимого минимума грамматики, причем все объяснения даны по-русски, краткое систематическое изложение грамматики дано, кроме того, в конце книги. Корректура текста проделана весьма тщательно и опечаток мало. Печать и бумага не оставляют желать лучшего. Можно только посоветовать лицам, совершенно незнакомым с английским языком, предварительно поработать некоторое время по какому-либо обыкновенному, не техническому учебнику для более основательного ознакомления с общелитературным языком. Ибо последнему, по нашему мнению, уделено в учебнике Л. О. Вяземской, недостаточно места. С этой поправкой можно пожелать книге т. Вяземской самого широкого распространения среди нашей технической молодежи.

Н. Путята.

Новые книги.

Труды первых краевых научно-методических съездов преподавателей школ повышенного образования Дальне-Восточного края 20—30 июня 1928 г. Вып. IV. Материалы съезда преподавателей математики и физики. Владивосток. 1829. Ц. 1 р. 25 к.

Известия Северо-Кавказского государственного университета. Ростов-на-Дону. 1928. Вып. III.

M. H. Сергеев. О построении многочленов, приближенно изображающих на конечном отрезке данную непрерывную функцию. М. 1927.

И. Боцманов, В. Котович, Л. Лившиц, А. Марченко, И. Мильман. Учебник математики. Арифметика и основные сведения из геометрии. I ч., под ред. Л. Лившица. Изд. Ком. ун-та им. Я. М. Свердлова. М. 1299. Ц. 1 р. 90 к.

Труды математического семинария при Пермском государственном университете. Вып. I. 1927. Вып. II. 1928.

В. Я. Габель. Основной курс теоретической механики, ч. II. Гиз. М. 1928, ц. 3 р. 40 к.

Кэдтори. Введение в современную теорию уравнений. Перев. с англ. Б. Гагаева и В. Яблокова под ред. проф. Н. Парфентьева. Изд. Казанск. студ. физико-математ. кружка. Казань. 1928 г.

СОДЕРЖАНИЕ ЖУРНАЛА «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ» ЗА 1928 ГОД.

Статьи и заметки

Стр.

От редакции............................. 1

Математика за последние 50 лет. А. Васильев............. 3, 49

О геометрии Лобачевского. И. Соловьев ............... 9

О некоторых свойствах тетраэдра. Д. Перепелкин...........20, 59

Методологическая постройка программ учебной математики. С. Поляков . 23

К отделу о правильных многоугольниках. И. Чистяков.........33

Лабораторный метод в преподавании математики в средней школе. И. Чистяков .............................37

Правило подсчета цифр. В. Брадис..................49, 71

Методы геометрических приближений. Н. Четверухин......... 62,181, 279

Задача Леонарда Пизанского. И. Чистяков..............69

Очерки по методике арифметики. Ф. Эрн...............82, 124

Памяти С. П. Виноградова.....................97

О рекуррентных рядах. С. Виноградов ............... 98

Из истории метода наложения в элементарной геометрии. Д. Мордухай-Болтовской.........................107

Элементарное построение непрерывной функции, не имеющей нигде производной. П. Романовский....................114

Вывод уравнений сечений круглого конуса. Н. Оглоблин........116

Об одном свойстве равных антипараллелей треугольника. С. Зетель . .117

Вывод уравнений нормали и касательной к плоской кривой. И. Агрономов 120

Тригонометрические мнемонические круги. Н. Путята.........121

Из школьной практики. Д. Каплан.................121

Приближенные построения правильного девятиугольника и радиана. А. Дмитровский.......................128

О новейших исследованиях в области древнеегипетской математики. И. Чистяков..........................141

К вопросу о геометрических интерпретациях комплексных чисел. И. Агрономов ..............................150

Об одном классе уравнений 4-й степени. М. Горнштейн.......155

К вопросу об арифметических свойствах многочленов. В. Кудрявцев , .158

О делимости выражений ап-\-Ъп на а + Ь. Н. Агрономов......160

Об одном свойстве функционального определителя Якоби. И. Воронков . 161

Мнения немецких педагогов о прикладной математике в школьном преподавании ..........................165

К вопросу о математической терминологии. Д. Волковский.......167

Основные понятия теории множеств. /7. Романовский.........191

Дистанционные уравнения прямых и плоскостей. И. Агрономов.....199

Применение неопределенных уравнений к выводу признаков делимости на любые числа. А. Синкевич .... ............202

О медианах и центре медиан многоугольников. Н. Колмогоров ..... 204

Решение неопределенного уравнения хъ+у^ — mz* в целых числах. И. Колмогоров ..... ......................208

О рельефно-сферической перспективе. В. Добровольский........209

Теорема синусов для тетраэдра. В. Добровольский.........211

Один из практических приемов приведения уравнения 4-й степени к биквадратному. С. Адамович ...................212

Метод исчерпывания. Д. Мордухай-Болтовской...........229

Графическое решение квадратных уравнений с мнимыми корнями. Б. Побединский...........................240

Один из простейших элементарных способов нахождения одного из корней уравнения (х — 1) (х — 2) (х — 3) .. . . (х — f) r= т, где m — целое число. С. Адамович..................245

Геометрический вывод обобщенной теоремы Catalan'а. И. Франк .... 246

Геометрические образы в высшей математике. Н. Платонов......251

О корнях многочленов, удовлетворяющих линейному диференциальному уравнению 2-го порядка. В. Кудрявцев .......... 262

Новое доказательство тригонометрической формулы сложения дуг. Н. Доброгай..............................266

Стр.

Решение численных уравнений по способу итерации. В. Брадис.........283

Ряд медиан и теорема Стюарта. Н. Колмогоров................288

Об изменении дроби при одновременном увеличении или уменьшении ее членов. Л. Лодыженский....... . ..............291

Об уравнениях прямой и плоскости. В. Скворцов..............299

Способы быстрого возведения в квадрат многозначных чисел. Н. Несторович . . 309

Точка наименьшего расстояния от четырех точек пространства. М. Гребенча . . 327

Из элементарной геометрии треугольника. А. Рейн.............330

Физическое значение кривизны пространства. П. Флоренский..........331

Решение неопределенных уравнений высших степеней в целых числах методом вспомогательных неизвестных. Н. Колмогоров ............336

О корнях уравнения третьей степени. Е. Марчевская........... 340

Одно из старинных доказательств формулы Герона (способ Вентури). С. Адамович ............ ...................343

Об отношении sin^x. Ф. Гусев......................346

Задачи

№№ 1—9..................... . 44

10 — 18...................... 91

19-27......................132

28 — 37.................... 168

38 -45 .................... 214

46-55......... ....... 267

56 — 63 .................... 309

64-7.4......... . . .316

Задачи из „Математического образования" за1917 и 1916 гг., оставшиеся нерешенными . . ....... 45, 92, 133, 169, 215, 347

Решения задач

Решения задач, предложенных в 1928 г...... 92, 133, 169, 214, 268, 310, 34

Решения задач, предложенных в 1917 и 1916 гг. . . 137, 173, 219, 259

Хроника................ 45, 94, 138, 177, 273, 326, 352

Библиография................. 47, 95,140,179,225,321,353

ОПЕЧАТКИ.

Напечатано: Следует:

Ответственный редактор И. ЧИСТЯКОВ. Мосгублит № 41106 Зак. № 335. Тираж 1.000.

Москва, тип. «Гудок», ул. Станкевича, 7.