МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

№ 7

1928

ИЗДАНИЕ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

СОДЕРЖАНИЕ.

Стр.

H. Четверухин. Методы геометрических приближений........... . 279

В. Брадис. Решение численных уравнений по способу итерации....... 283

Н. Колмогоров. Ряд медиан и теорема Стюарта............... 288

Л. Лодыженский. Об изменении дроби при одновременном увеличении или уменьшении ее членов . .................... 291

В. Скворцов. Об уравнениях прямой и плоскости ............ 299

Н. Несторович. Способы быстрого возведения в квадрат многозначных чисел . 305

Задачи.................. ............. 309

Решения задач............................ 310

Задачи из „Математического образования" за 1916 г., оставшиеся нерешенными. 316

Библиографический отдел......................... 321

SOMMAIRE.

N. Tchetveroukhine. Méthodes d'approximations géométriques

V. Bradis. Résolution des équations numériques par la méthode de l'itération.

N. Kolmogorov. Série de médianes et théorème de Stuart.,

L. Lodygensky. Sur une variation de la fraction à termes positifs.

V. Skvortzov. Sur les équations de la droite et du plan.

N. Néstorovltsh. Moyens pour élever rapidement au carré des nombres à plusieurs figures. Problèmes.

Solutions de problèmes.

Bibliographie.

Chronique.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

ЖУРНАЛ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

№ 7

1928

МЕТОДЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ.

Н. Четверухин (Москва).

§ 1. Другая форма задачи о касающемся круге.

Эта задача с точки зрения геометрических приближений была подробно рассмотрена в № 5 «Математического образования». Здесь мы дадим ей иную форму.

„Построить окружность, касательную к двум данным (начерченным) кривым так, чтобы центр ее находился на третьей данной кривой".

Как и в рассмотренном ранее случае1), мы начнем с доказательства предложения о касающемся круге, которое теперь будет читаться следующим образом:

Если точки А и В некоторой окружности получают бесконечно-малые перемещения по путям, касательным к этой окружности, в то время как центр ее О перемещается по данной кривой (ср), то перемещение центра есть величина 2-го или более высокого порядка малости относительно большего из перемещений точек А и В.

В доказательстве этого предложения много аналогии с тем, которое приведено в цитированной выше статье, поэтому мы лишь кратко наметим ход рассуждений. Пусть имеем окружность (О, Л, ß), центр которой О лежит на данной кривой (ср) (черт. 1). Отметим далее на линии (ср) точку О', являющуюся центром окружности (О'; А', В).

Легко убедиться, что: [00']аа' = 22).

В самом деле, из ДЖОО' имеем:

МО. s\n M........

sin О' • • \ /

Если А'—>А и мы примем дугу АА' за главную бесконечно-малую, то будем иметь:

sin M — sm^.ABA\ следовательно: _ [sin M] = [sin <^ ABA'} = 1.

Черт. 1.

1) См. статью автора в № 5 «Математ. образования», стр. 184.

2) Как и в цитированной статье, при помощи квадратных скобок обозначен порядок малости заключенной в скобках величины относительно другой, стоящей индексом при скобках.

Далее sin О', очевидно, стремится к некоторому конечному пределу, вообще говоря, не равному нулю.

Наконец, из &MFO (MF J_ АА) имеем: [МО] = 1. Таким образом формула (1) дает: [00'] = 2.

Обобщение на случай перемещения обеих точек А и В легко достигается тем методом, который был применен в аналогичном случае в цитированной уже работе1).

Именно, поворачиваем линию (В) около точки В на угол ОБО' так, чтобы она заняла положение {(В)) [черт. 1], касательное к окружности (О', А', В). Смещение ВВ' можно заменить двумя смещениями ВВ" и В"В' [по дуге окружности (ß, ß', ß")]. После первого смещения центр О' переходит в О"у причем [0'0/,]^2; после второго — в точку Ov причем [0^1^ = 1.

С другой стороны, [ß'ß"]^3 и следовательно [0"0,]^3, если за главную бесконечно-малую принять большее из перемещений АА' и ВВ\

Наконец, для полного перемещения центра будем иметь:

OO^OO' + OW'+O'V, [00J^2.

Построение. Построение геометрических приближений есть небольшое видоизменение построения, данного в предыдущей работе2). Выберем на кривой (ср) какую-нибудь точку Ог так, чтобы окружность (0\ Ä, В') пересекала кривые (А) и (В) по возможности близко к точкам касания, т.-е. чтобы дуги АХ'А и ß/ß' были малы (черт. 2).

Далее заменяем нормали, проходящие через точку О', перпендикулярами, опущенными из этой точки на секущие А'Аг' и ß'ß/. Найдя точки их пересечения—А" и В"—с кривыми (А) и (ß), соединяем эти точки. В середине хорды А'В" восставляем перпендикуляр и находим точку О" его пересечения с кривой (ср). Таким образом получаем первое приближение—окружность (О", А\ В"). После чего построения повторяются до получения желаемой степени точности.

Заметим, что предыдущие рассуждения предполагают выполнение следующих двух условий: а) искомая окружность имеет простое прикосновение в точках А и ß, b) перпендикуляр к хорде AB в ее середине должен иметь простое пересечение с линией (ср).

§ 2. Задачи на построение 3-й и 4-й степени.

Трудами ряда выдающихся математиков, каковы имена: Fermât, Descartes, Newton, De la Hire, Smith и Kortum, было доказано следующее основное предложение:

Всякая задача на построение 3-й и 4-й степени разрешима циркулем и линейкой, если в плоскости чертежа дано (вычерчено) одно, отличное от окружности, коническое сечение3).

Черт. 2.

1) «Математ. обр.», № 5, стр. 185.

2) Там же, стр.187 и 188.

3) См. Адлер. «Т. Г. П.», стр. 246—253. К. Th. Vahlen. «Über kubische Konstruktionen». «Archiv der Math, und Phys.» 1902. III B. В последнем сочинении указана литература по этому вопросу.

В силу этого решение задач 3-й и 4-й степени всегда может быть приведено к построению точки пересечения конического сечения с окружностью.

Известно, что конические сечения можно рассматривать, как геометрические места центров окружностей, проходящих через данную точку (фокус) и касающихся данного круга или прямой («направляющий» круг--в случае эллипса или гиперболы и «директриса»—в случае параболы).

Отсюда следует, что всякая задача 3-й или 4-й степени может быть представлена в форме отыскания центра окружности, проходящей через данную точку и касающейся данной окружности или прямой, при условии, чтобы искомый центр лежал на другой окружности.

Такая задача рассматривалась в § 1, где были построены геометрические приближения. Таким образом применение указанного выше метода позволяет представить решение любой задачи на построение 3-й или 4-й степени в виде процесса последовательных геометрических приближений.

Мы рассмотрим более подробно построение геометрических приближений в задаче о пересечении конического сечения с данной начерченной кривой (в частном случае —с окружностью).

Задача. Эллипс задан фокусами и большой осью. Найти точки пере сечения эллипса с данной (начерченной) кривой.

Пусть АА'—большая ось, F, Z7'—фокусы эллипса.

Кроме того, на чертеже имеется кривая (G), точки пересечения ко торой с эллипсом следует определить.

Из фокуса F радиусом АА' описываем направляющий круг эллипса Эллипс можно рассматривать, как геометрическое место центров окруж ностей, проходящих через другой фокус F и касающихся направляющего круга. Если, например, через Р обозначим центр одной из таких окружностей, то, очевидно, всегда будем иметь: PF + PF = AA.

Таким образом, задача сводится к построению на кривой (G) центра окружности, проходящей через F и касающейся направляющего круга.

Поступая согласно § 1, отмечаем на линии (G) начальную точку х0 и описываем из нее окружность, проходящую через F. Нормаль к направляющему кругу, проходящая через точку х0> в нашем случае совпадает с радиусом FxQ. Соединяя точку К с F и восставляя из середины N отрезка KF' перпендикуляр ЛШ, находим его точку встречи с линией (G)' которую обозначим через хх. Поступая аналогичным образом с точкой Хр приходим к точке х2... и т. д. Получаем последовательные приближения Xj, xv л ... искомой точки пересечения. Основное построение еще более упрощается, если проведем описанный круг эллипса (из центра О, радиусом OA)1).

Черт. 3.

1) О направляющем и описанном кругах эллипса см.: Млодзеевский —«Основы аналитической геометрии». Москва, 1922 г., стр. 279—281, а также: А. Пальшау—«Начала начерт. геометрии». 1924 г., стр. 197.

В самом деле, этот круг делит хорду KF пополам в точке N. Пр-и должая KF' до второй точки пересечения Z,, проводим диаметр LM о соединяем точки M и N. Таким образом, если проведем направляющий и описанный круги эллипса, то построение приближений требует применения одной линейки и представится ломаной FKLMN,

Приближения, как мы знаем, сходятся с квадратичной скоростью.

РЕШЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ ПО СПОСОБУ ИТЕРАЦИИ.

В. Брадис (Тверь).

Способом итерации или способом последовательных приближений в широком смысле этого термина является всякий способ, позволяющий путем повторения одной и той же операции переходить от некоторого приближенного значения искомой величины к другому, более точному приближенному ее значению. Например, общеизвестный способ Ньютона-Фурье дня решения уравнений с численными коэфициентами является способом итерации (в широком смысле). Обычно, однако, способом итерации называют способ, дающий более точное значение искомой величины путем простой подстановки менее точного ее значения в уравнение, ее определяющее, надлежащим образом преобразованное. Способ этот иногда так и называют «способом последовательных приближений через подстановку» («méthode d'approximations successives par substitution»).

Способ итерации в этом более тесном смысле заключается, в применении к решению численного уравнения с одним неизвестным

F(x) = 0..........(1),

в том, что уравнение это приводят к виду

*=/(*)...........(2),

что можно сделать бесчисленным множеством способов, а затем подставляют в правую часть приближенное значение xQ искомого корня, найденное посредством каких-либо иных соображений (иногда за это «исходное» значение можно бывает принять совершенно произвольное число). Подстановка приводит к первому приближению

*i =/ (*о).

Подставляя далее в правую часть уравнения (2) х = х1У получаем второе приближение

х2 =f (хг),

затем таким же порядком третье, четвертое, k-e приближение:

x3=f(x2), x±=f (xs)y . . . yxk=f(xk_1), . . .

При некоторых условиях, которым должна быть подчинена функция f (х) и которые выяснятся в дальнейшем, неограниченная последовательность чисел

Xqi Х±, Х2, X^i Х±у • . . , Хк_^ ЛГд.,.....(3)

сходится к некоторому пределу £ = lim хк9 который и является корнем данного уравнения (1). На практике приходится вести вычисление, т.-е. повторять подстановки до тех пор, пока два последовательных приближенных значения не окажутся равными в пределах тех десятичных знаков, с какими ведется вычисление. Отметим, что значительный произвол в пе-

реходе от данного уравнения (1) к уравнению (2) всегда позволяет дать функции f(x) такой вид, при котором последовательность (3) быстро сходится.

Способ итерации привлекает к себе внимание в силу трех обстоятельств:

1) замечательной простоты способа,

2) большой экономии в вычислительной работе, достигаемой при надлежащем выборе вида уравнения (2),

3) чрезвычайной общности способа.

Действительно, оказывается, что способ этот с выгодой применяется не только для решения численных уравнений (алгебраических и трансцендентных), лишь о которых мы и будем говорить в настоящей заметке, но и для разыскания функций, удовлетворяющих уравнениям диференциальным, интегральным, функциональным (см., напр., «Основные задачи математической физики» В. А. Стеклова, ч. II, стр. 78—80).

Рассмотрим примеры применения способа итерации к решению численных уравнений.

Пусть требуется найти положительный корень уравнения

л:3— Зх — 1=0........(4).

Как легко убедиться, это уравнение имеет два отрицательных корня и только один положительный, заключенный между 1 и 2; при х = Л левая часть уравнения обращается в —3, при х — 2 — в 1. Примем 2 за исходное значение, а для получения последовательных приближений представим уравнение (4) в виде

* = j^3*+ï .

Применяя итерацию и пользуясь для извлечения кубических корней подробной таблицей кубов, получаем такие результаты:

Итак, искомый корень найден с 4 десятичными знаками. Применяя таблицу 7-значных логарифмов, получим хь = 1,879390, х9 = 1,879387, jc10 = 1,879386, хп = 1,879386.

В качестве второго примера возьмем уравнение

X —cosa: = 0.........(5)

имеющее единственный корень между 42° и 43° (при х =42° левая часть уравнения принимает значение 0,0101, при х = 43°—значение 0,0191).

Приняв л;0=:42о, вычисляем последующие приближения по формуле

хк+г — cos хк. Получаем :

Таким образом искомый корень равен 42°20' или 42°2Г; ограничиваясь 4-значными таблицами, невозможно решить, какое из этих двух приближений точнее. Пользуясь более подробными таблицами, приходим к значению 42с20'48".

В обоих рассмотренных примерах разности каждых двух последовательных приближений неизменно убывали по абсолютной своей величине. Действительно, в первом примере разности л:А+1 — хк равны

—0,0871, —0,0241, —0,0068, —0,0019, —0,0006, —0,0001, 0,0000, а во втором

+35', -24',+16', -10', +6', -4',+3', -2', г.

Как видим, абсолютные значения этих разностей убывают приблизительно по закону геометрической прогрессии. В первом случае знаменатель этой прогрессии равен приблизительно 0,28, во втором —0,68. Это обстоятельство указывает на сходимость процесса, лучшую в первом случае, заметно более медленную во втором.

Однако, применяя способ итерации, мы можем встретиться и с таким положением, когда разности \xk+l—хк\ с возрастанием номера k не убывают, а возрастают. Возьмем, например, уравнение

л:3 —5х + 0,1 =0..... . . (6),

имеющее корень между 0 и 0,1, и попробуем найти этот корень, преобразуя уравнение (6) таким же образом, как мы преобразовывали уравнение (4), т.-е. приводя его к виду

Замечая, что правая часть уравнения (6) при х = 0 обращается в 0,1, а при х = 0}\— в —0,399, примем х0=0. Далее имеем:

Здесь абсолютные значения разностей растут, и мы не приближаемся к искомому корню, а удаляемся от него.

Объяснение этого явления, а также и критерий для распознавания случаев сходимости и расходимости последовательности чисел xQ, xv х2... мы получаем, воспользовавшись геометрическим истолкованием процесса итерации. Это истолкование можно найти в некоторых иностранных книгах1), но его мне ни разу не пришлось встретить ни в одном русском сочинении.

1) См., напр., Whittaker and Robinson. «The calculus of observations» (London, 1926), или Bromwich. «An Introduction to the theory of infinite séries» (London, 1926).

Имея уравнение

заменим его системой двух следующих:

У = х, У =/ (■*)•

Корень I уравнения (2) определяется абсциссой точки пересечения прямой у = х и кривой y=f (х). На чертежах 1, 2, 3, 4 изображены четыре различных случая взаимного расположения этих двух линий.

Выбрав исходное значение х=х0> мы вычисляем /(л:0), что геометрически означает переход от точки с абсциссой х0 на оси абсцисс по перпендикуляру к этой оси до пересечения с кривой y=f (х). Из этой точки пересечения по прямой, параллельной оси абсцисс, двигаемся до пересечения с прямой у = х. Абсцисса этой последней точки пересечения дает первое приближение х1щ Повторяя операцию, мы будем либо приближаться к точке пересечения кривой y — f (х) и прямой у = х9 как это показано на черт. 1 и 2, либо удаляться от этой точки, что имеет место в случаях, изображенных на черт. 3 и 4. Приближение и удаление могут происходить либо по «лестнице» (черт. 1 и 3), либо по «спирали» (черт. 2 и 4).

Если через точку пересечения кривой y=f(x) и прямой у = х провести перпендикуляр к этой последней, то плоскость будет разделена прямой у = х и перпендикуляром к ней на четыре квадранта: левый, правый, верхний и нижний. Рассматривая чертежи 1—4, мы легко придем к заключению, что итерация дает последовательное приближение к искомому корню в случаях, когда кривая у =/ (х) расположена в окрестностях корня в левом и правом квадрантах. В случаях же, когда эта кривая расположена

Черт. 3. Черт. 4.

в верхнем и нижнем квадрантах, итерация дает ряд чисел xQ. xv л:2..., не приближающихся к искомому корню g, а удаляющихся от него1).

Нетрудно дать и аналитическое доказательство соответствующей теоремы, которую формулируем следующим образом.

Положим, что уравнение x—f (х) имеет один и только один вещественный корень g внутри интервала (а, Ь)у где а<^Ь. Функция (x) предполагается непрерывной и диференцируемой в этом интервале. Взяв произвольное число х0 внутри интервала, отстоящее от g однако не дальше, чем от ближайшего конца интервала, составляем неограниченную последовательность чисел х^, x^, Хо • • • ) xki ^k~\~i ' ' ' * пользуясь формулой xk+1=f {xk).

Если для всех точек интервала (а, Ъ) имеет место неравенство

I /' (*) j < т,

где m постоянное число, заключенное между Oui, то

lim хк = ъ

k -> оо

Доказательство. Положим, что число хк находится внутри интервала (а, Ь) и отстоит от g не дальше, чем g отстоит от ближайшего конца интервала. Другими словами, абсолютное значение разности g— хк не превосходит ни g—а, ни b—-g. Вычитаем почленно равенства

**+!=/(**) и Е=/(Й и преобразуем правую часть полученного нового равенства по формуле Лагранжа:

- -/(?)= (** - «) / [5+ в (Х4 - ? )], 0 < 0 < 1.

Так как число находится в интервале (а, Ь), то в силу

условия I f (х) К //г, получаем неравенство, связывающее разности хк+х—? и хк—£, а именно

I **+i-4 < \хь—%\.т......(7)

Принимая во внимание, что 0<//г<<1> заключаем, что число х^х ближе к ?, чем хк. Следовательно, число хк+х тоже находится внутри интервала (а, Ь) и отстоит от ? уже ближе, чем ближайший конец интервала.

Полагая в неравенстве (7) k = О, 1, 2, 3, 4..., легко получаем зависимость между I хк—? I и I лг0—? I :

(8)

С возрастанием £ правая часть последнего неравенства стремится к О так как по условию 0</я<1, а потому

Приведенными соображениями доказывается достаточность условия \f(x) I </и<1 Для сходимости процесса при достаточно близком к ? исходном значении х0. Условие это вместе с тем, вообще говоря, и необходимо. Действительно, если во всяком достаточно малом интервале (а, Ь)у включающем ?, | f (х) | ^1, то | хк+х — 4^1 хк—? | , а следовательно,

1) Аналогичная геометрическая интерпретация была дана Н. Ф. Четверухиным в его докладе, прочитанном в Московском математическом кружке в 1920 г. и оставшемся не напечатанным. Прим. ред.

и j —с I ^ I x0 — ? I . Следовательно, как бы далеко мы ни шли в процессе итерации, мы не подойдем к искомому корню ? ближе исходного значения x0f как бы близко к ç ни было это последнее, а, быть может, будем все дальше отходить от £.

Формула (8) показывает, что сходимость процесса тем быстрее, чем меньше число т. Например, при т = -~у разность хк—£ уменьшается до части разности х0—ç при &=:10; при т = -^, — уже при k = 3. Следовательно, сходимость тем лучше, чем ближе к 0 наклон кривой y=f (х) в окрестностях корня или, другими словами, чем меньше эта кривая отклоняется в окрестностях корня от прямой, проведенной через точку пересечения кривой y—f {х) и прямой у = х параллельно оси ОХ. Впрочем, последнее заключение легко сделать и на основании одних только геометрических соображений.

Всякое уравнение F (л;) = 0 можно привести к виду x=f {х) различными способами. Например, рассмотренное выше уравнение Xs — 5л:—j—+ 0,1=0, которое мы приводили к виду х= у5х- 0,1 ' можно представить также так:

*==0,1).......(9)

или так:

х=х + А (х*~ 5*+ 0,1).....(10)

где А какое угодно постоянное, или в виде

x =У 5х~0'* , x =VW+Ö~Jx

и так далее.

Из предыдущего следует, что функцию f(x) в уравнении x=f (х) надо всегда выбирать такой, чтобы f (х) было вблизи корня как можно ближе к 0. Легко видеть, что этому условию удовлетворяет в данном случае уравнение (9). Но мы можем воспользоваться неопределенностью параметра А в уравнении (10), чтобы получить еще более быструю сходимость1). Действительно, при / (х) = х-\-А (х3 — 5л;+ 0,1) имеем/ (х) = = 1+Л (Зх2 — 5). В интервале (0; 0,1), содержащем, как мы видели выше, искомый корень, / (х) изменяется от 1—5 А до 1—4,97 А. При А = -^- мы обеспечиваем очень быструю сходимость, так как | /' (x) | будет в этом случае меньше 0,006: каждое последующее приближение будет по крайней мере в 100 раз ближе к искомому корню, чем предшествующее. В действительности сходимость еще лучше:

x\=f (х2) = 0,020001600384... Возвращаясь к уравнению (5) x = cosx, преобразуем его к виду х=х-{-А (x— cosx). Здесь / (х)=х-\-А (x-cosx), /(х)=1+Д (1+sinx). При изменении х от 42° до 43°,/ (х) монотонно изменяется от 1+Д. 1,6691 до 1+Л . 1,6820. Взяв A — — j^- = — -y, имеем |/ (x) | <0,01. Таким образом, каждое последующее приближение будет по крайней мере в 100 раз ближе к корню, чем предыдущее.

1) См. проф. Млодзеевский—Решение численных уравнений» (Гиз, 1924).

Итак, для решения вопроса о том, будет ли сходиться последовательность чисел *!, ха, х3..., доставляемых формулой хА+1=/(хЛ) при исходном значении х = х0, надо выяснить, какое наибольшее значение принимает \f (х) | в интервале (а, Ь), включающем искомый корень £ и исходное значение х0. Конечно, можно и не составлять производную, а ограничиться нанесением на чертеж нескольких точек кривой y=f (х) в окрестностях корня. При монотонности функции / (х) в интернале (а, Ь) вопрос решается одним взглядом на чертеж после нанесения двух - трех точек.

Быстрота сходимости определяется не только значением /(х), но и значением разности i — х0, т.-е. точностью исходного значения. Поэтому можно рекомендовать всегда начинать с графи некого решения уравнения F (х) = 0 посредством клетчатой бумаги, а затем, пользуясь найденным приближенным значением корня x0J применять итерацию.

Алгебраическое уравнение вида

а0хп-\-алхп~1-\- . . . +all_1x-f an = 0,

вообще говоря, выгодно приводить для применения способа итерации к виду

как на это справедливо указывает А. Круталевич в своей статье, посвященной способу итерации1). Однако в этой статье не выяснены условия сходимости процесса. Между тем в некоторых случаях итерация дает здесь расходящуюся последовательность, как это мы и видели выше, решая этим способом уравнение (6).

РЯД МЕДИАН И ТЕОРЕМА СТЮАРТА.

Н. Колмогоров (Алма-Ата).

Ряд медиан. Возьмем какой-либо треугольник со сторонами a, b и с и вычислим медиану, проведенную к стороне с\ тогда, как известно,

формула для вычисления этой медианы будет такова: m = Yj/ 2a2-\-2b2—c*.

Построим теперь ряд прямых, исходящих из вершины С треугольника ABC и соединяющих эту вершину с точками, взятыми на продолжении стороны с через промежутки, равные ~-с. (См. черт. 1).

Черт. 1.

Тогда можно вычислить последовательно отрезки CE, CF и т. д., идущие в правую сторону от медианы CD, а также и отрезки С/С, CL и т. д., идущие в левую сторону от той же медианы CD. Численные вели-

1) Статья «Разьвязаньне лiкавых раунаньняу спосабам дэдукцыйнай iтэрацыi» («Труды Государственного Белорусского университета», Минск, 1928 г.).

чины этих отрезков образуют расходящийся ряд, общий член которого будет равен:

Действительно, для определения СЕ возьмем треугольник CDEy в котором сторона СВ — а служит медианой, и вычислим эту медиану обычным способом и мы получим: а = yj/ 2СЕ2 -{- 2т2 — DE2 или 4а2 = 2СЕ% -\--f- 2т2 — DE2; так как m — ~j/ 2а2 -}- 2b2 — с2, a DE = с, то, подставив эти значения, имеем: 4а2 = 2СЕ1 -\----------—^--------— с2, откуда С/: = = у|/ 3 (2a2-f-l . с2) — 2ô2. Вычислим еще отрезок С/% для чего возьмем треугольник CBF, в котором сторона СЕ, вычисленная уже нами, служит медианой. Согласно формуле для вычисления медиан треугольника, имеем: C£=yj/ 2CF2-\-2a2— с2,откуда 4С£2 = 2^ +2а2 — с2; подставляя сюда вместо СЕ его найденное выше значение, мы после некоторых преобразований получим: CF=~y 4 (2а2 -f- 2с2) — Ab2.

Вычисляя и следующие отрезки прямых подобным же способом, а также и те отрезки, которые лежат по левую сторону от первой медианы CD, нетрудно убедиться, что численные значения этих отрезков образуют расходящийся ряд, общий член которого написан выше. Придавая букве п любое числовое значение (положительное или отрицательное), мы можем получить численную величину любого отрезка, соединяющего вершину С с точкой, взятой на продолжении стороны с или на самой стороне с. Докажем это сначала для п целого и положительного, пользуясь методом математической индукции, а именно: предположим, что общая формула для вычисления отрезков прямых, исходящих из С, справедлива для п-го отрезка, находящегося по правую сторону от первого отрезка, каковым мы будем считать медиану CD, и докажем, что она справедлива и для (/г —[-1 )-го отрезка, соединяющего точку С с точкой (на продолжении стороны с), отстоящей на расстоянии х/2 с вправо от точки пересечения /г-ого отрезка с продолжением той же стороны с. Тогда мы, присоединив к п и п +1 отрезкам еще п—1 отрезок, получим треугольник, у которого /г-ый отрезок служит медианой, а стороны этого треугольника будут: (п — 1)-й отрезок (левый от медианы), (лг -f-1 )-й отрезок (правый от медианы) и, наконец третьей стороной — отрезок равный с. Согласно общей формуле, имеем:

Докажем теперь, что

Действительно, так как тп служит медианой треугольника, то мы

можем написать:

откуда:

подставляя сюда вместо тп и тп^.1 их выражения, получим:

После упрощений и некоторых преобразований получим: Я1» + 1=ууГ(л + 1)[2а,в+ (п — \)с2]—2(п -1) о2 что и требовалось доказать.

Таким образом для п положительного и целого формула доказана. Подставим теперь вместо-f-я в общую формулу для /z-ого отрезка— п и мы после небольших преобразований находим:

Эта формула отличается от первоначальной только тем, что в ней а и b меняются своими ролями и она примет тот же вид, если в ней положить /г-)-2 = я1, b — av a = bv т.-е. m-n = ^~^fnl[2al2Jr{nl— 2)с2] — 2 [nl — 2)bx* следовательно, по этой формуле можно вычислять длины отрезков, расположенных слева от CD; иначе говоря, придавая букве п отрицательные значения, мы получаем значения отрезков, пересекающих продолжение стороны с слева от 1-й медианы CD; поэтому мы можем сказать, что формула справедлива и для отрицательных значений /г, только последние определяют леворасположенные от CD отрезки, что вполне согласуется с принятыми в матетематике условиями относительно знаков плюс и минус. Можно доказать теперь, что формула справедлива и для дробных значений я, а также и дпя иррациональных значений /г. Пусть п выражается дробным числом, напр., п = — , тогда точка пересечения п-го отрезка с продолжением стороны с будет находиться от основания 1-й медианы на расстоянии равном 1/2с.п = -g cj^ = Щ = ^д-Р и мы можем разделить у на q и считать на прямой KB промежутки между отрезками, определяемыми общей формулой, равными неу, а ~ и /г-й отрезок можно тогда принять за р-и отрезок, причем р — целое число и к нему можно тогда применить формулу.

Для п иррационального—доказательство такое, какое обычно применяют в таких случаях в геометрии. Итак, формула справедлива для всякого п.

Подставляя теперь в эту формулу вместо п сначала 0, потом 1, 2, 3 и т. д., мы и получим расходящийся ряд, который назовем рядом медиан, что будет указывать на происхождение этого ряда от вычисления медиан.

Напишем несколько первых его членов:

Теорема Стюарта. Из выведенной общей формулы для я-го отрезка получается, как следствие, теорема Стюарта. Дадим здесь ее вывод из формулы:

Пусть будет дан треугольник ABC и из вершины его С проведена произвольная прямая CD, пересекающая сторону AB в точке D (или продолжение стороны AB). (См. черт. 2).

Тогда мы можем в общей формуле положить:

и мы будем иметь:

*2 . BD и, наконец, что и, требовалось доказать.

Черт. 2,

ОБ ИЗМЕНЕНИИ ДРОБИ ПРИ ОДНОВРЕМЕННОМ УВЕЛИЧЕНИИ ИЛИ УМЕНЬШЕНИИ ЕЕ ЧЛЕНОВ.

Л. Н. Лодыженский (Тула).

(Доложено в заседании Тульского математического кружка 11 марта 1928 г.)

Возьмем дробь —5- с положительными членами.

Пусть числитель и знаменатель ее изменились—увеличились или уменьшились соответственно на положительные числа а и Ьу оставаясь, однако, положительными. Измененная дробь выразится так:

(1]

где можно брать любую из четырех комбинаций знаков. Определим, когда при этом изменении числителя и знаменателя данная дробь увеличивается и когда она уменьшается.

В случае разных знаков в числителе и знаменателе выражения (1) результат очевиден. Остается рассмотреть два случая: 1) изменение дроби при одновременном увеличении ее членов и 2) при одновременном уменьшении их.

Известно, что изучающих арифметику поражает тот факт, что дробь может увеличиться или уменьшиться от прибавления к ее членам или вычитания из них одного и того же числа. Но дальше мы встретимся с более парадоксальными фактами, как, напр., увеличение правильной дроби от прибавления к ее числителю меньшего числа, чем к знаменателю. Этим фактам и посвящена настоящая работа.

1. Рассмотрим сперва изменение дроби при одновременном увеличении ее членов.

Пусть данная дробь будет —измененная ß J_ b, где Д ß, а и

b-какие угодно положительные действительные числа. Найдем разность между измененной дробью и данной:

Следовательно,

Таким образом получаем теорему:

Теорема I. Пусть дана дробь с положительными членами. Прибавим к ее числителю и знаменателю соответственно два положительных числа. Тогда, если отношение первого из прибавленных чисел ко второму больше данной дроби, то дробь увеличится; если это отношение меньше дроби, то она уменьшится, и если указанное отношение равно ей, то дробь не изменит своей величины.

Эти условия необходимы и достаточны1).

Рассмотрим сначала увеличение дроби.

Если данная дробь больше единицы, то должно быть а> Ь, т.-е. для увеличения дроби надо прибавить к ее числителю большее число, чем к знаменателю.

Этот случай не представляет ничего замечательного. Но если дробь меньше единицы, то а и b можно выбрать так, чтобы удовлетворялись неравенства:

Тогда а < Ь, и дробь увеличится, хотя к ее числителю прибавлено меньшее число, чем к знаменателю. Этот несколько парадоксальный вывод представляет интерес.

Рассмотрим, как найти а и b в этом случае. Если допускать для них какие угодно действительные или хотя бы рациональные положительные значения, то решение вопроса не представляет затруднения и a w b могут быть найдены весьма различными способами2). Но если считать данную дробь арифметической, т.-е. числа А и В целыми положительными, и отыскивать такие же значения а и Ь, то задача, оставаясь неопределенной, станет более трудной и интересной. Сформулируем теперь задачу в окончательном виде.

Дана правильная арифметическая дробь найти два такие целых положительных числа а и Ь, причем а < Ь, чтобы было > -g- .

Покажем, как можно найти всевозможные решения этой задачи. Вычитая все члены неравенств (1) из единицы и умножая на Ь, получаем:

~Г b>b-a>0.

Обозначим: b — a = k; k— целое положительное число и, следовательно:

k >\ .

1) В «Курсе теоретической арифметики» А. Н. Глаголева, изд. 2-е, указан последний случай теоремы. См. стр. 154, упражн. 8.

2) Например, положим -^- = ^(l+-g-) = ^"gjg~ и а ~ k^A b~ 2kB^ где k — какое угодно положительное число.

Тогда:

откуда:

а будет равно b—k

Но если числа а и b— k при каком-нибудь выбранном значении к удовлетворяют условию задачи, т.-е :

то, очевидно, можно, сохраняя значение 6, взять для а любое целое число, заключенное между b — k и b, ибо эта пара чисел будет удовлетворять неравенствам (1).

Поэтому а и b найдутся по формулам:

m

(3)

предполагая, что значение k выбрано заранее.

Так как b число целое, то неравенство (2) можно переписать в таком виде:

(2а)

где символ Е(х) означает наибольшее целое число, содержащееся в х. При этом b не ограничено сверху. Чтобы найти все значения а, соответствующие взятому значению Ь, которое удовлетворяет последнему неравенству, присоединим еще условие. А именно потребуем, чтобы b не удовлетворяло неравенству (2) при значениях больших выбранного. Иными словами, b будет удовлетворять двум неравенствам:

(4)

Для такого значения b надо брать значения а по формуле:

(3)

При этом а не может быть взято меньше b — k. В самом деле, если а~Ъ—/, где l>k, то формула (2) показывает, что:

что противоречит второму из неравенств (4).

Пример, -g-= — . Возьмем k — Ъ, т.-е. будем искать решения в виде пар чисел, отличающихся одно от другого на 5. По формуле (4) находим:

Возьмем, например, b = 25. Тогда по формуле (3) для а можно взять 5 значений: 24, 23, . . . 20. Для наименьшей пары чисел имеем:

Но при tf<20 дробь уже не увеличивается, а уменьшается, так:

Для систематического нахождения целых решений задачи, т.-е. для отыскания значений а и Ь, можно поступать так. Даем k последвательно значения 1, 2, 3, . . . .и для каждого значения k отыскиваем по формуле (4) соответственные значения b и затем по формуле (3) находим значения а для каждого значения Ь. Делая таким образом, мы не пропустим ни одного решения, и всякое решение рано или поздно будет найдено. Следовательно, этот способ дает все решения.

Если В — Л = 1, то неравенство (2а) принимает вид:

b>Bk+\ .

Наименьшее из всех значений b получается при k = \ и будет равно ß + 1. Соответственное значение а будет равно b — \=В. Эти значения a vi b соответственно больше А и ß.

Если В —Л>1, т.-е. В — Л>2, то В > 2 — при условии, что Л не равно нулю. Наименьшее значение b найдется по формуле (2) при k=\, а именно:

Следовательно, bmin<^B при В^>2. Таким образом в этом случае наименьшее значение b меньше В.

Что касается наименьшего значения а, то можно бы показать, что оно всегда меньше Л, если В — Л>1 и Д>1 за исключением дроби -j- . Примеры решений с наименьшими значениями а и Ь.

1. 2. 3.

Выведем формулу числа решений для значений k, не превосходящих некоторого предела.

Пусть k^m, обозначая для краткости Е (уг^Г%) через перепишем неравенства (4) в виде:

Для каждого значения Ь, удовлетворяющего этим неравенствам, берем (по формуле (3)):

а = Ь — /, / = 1,2,. . . k .

Легко видеть, что число полученных таким образом решений будет:

Число решений для значений k = 1, 2, . . . //7 будет:

Преобразуем это выражение:

или

Пример. = Возьмем m = 4, т.-е. дадим означения:

«;=« (V-) -Е (х) - и Vi '(Vi+£ (JV)1 - » •

С помощью формулы (5) можно решить также следующий вопрос: для данной правильной дроби определить число решений нашей задачи, в которых а и b не превосходят данного целого положительного числа, но мы не будем на этом останавливаться.

Переходя к вопросу об уменьшении дроби при увеличении ее членов, мы ограничимся только краткими замечаниями. Здесь интересен случай, когда ее числитель увеличивается на большее число, чем знаменатель. Можно свести этот случай к предыдущему, для чего достаточно заметить, что, когда дробь -g- уменьшается от прибавления чисел а и b к ее членам, то обратная дробь -~ увеличивается. Формулы, выведенные выше для нахождений целых значений а и Ь> пригодны и в данном случае, если в них переставить А с В и а с Ь.

2. Перейдем теперь к рассмотрению изменения дроби при одновременном уменьшении ее членов.

Пусть данная дробь будет -~-, измененная ^zrb, где Л, ß, а и b— действительные положительные числа. При этом предполагаем, что:

а^А и b<B........(1),

допуская таким образом обращение в нуль числителя измененной дроби (но, конечно, не знаменателя). Найдем разность между измененной дробью и данной: hl— —\

А —а А_ _ Ab—В а __ и\ В b ) В - b В ~ ~В{В — Ъ) ~ ь-ь Из полученного равенства следует:

Теорема II. Пусть дана дробь с положительными членами. Вычтем из числителя некоторое положительное число, не превосходящее его, и из знаменателя—меньшее его положительное число. Тогда, если отношение 1-го из вычитаемых чисел ко 2-му меньше данной дроби, то дробь увеличится; если это отношение больше дроби, то она уменьшится и, наконец, если это отношение равно дроби, то она не изменит своей величины.

Эти условия необходимы и достаточны.

Сначала остановимся на увеличении дроби. Здесь представляет интерес случай, когда дробь увеличивается при вычитании из ее числителя большего числа, чем из знаменателя. Это возможно только для дроби большей единицы, так как тогда можно подобрать такие значения а и Ьу что будет:

1<Т<4(2)

Как и в ранее разобранных случаях и по тем же соображениям, мы займемся отысканием только целых решений задачи, т.-е. целых значений а и Ь1). Так как числа a w b ограничены неравенствами (1), то

1) Дробные или иррациональные решения находить не трудно. Например, можно взять какое-нибудь значение b меньше В и затем такое значение а, что

»<«<^ »■

Правая часть меньше А. Число решений будет бесконечно.

число таких решений будет конечное. Дальше мы выведем формулу для определения числа всех решений. Из неравенств (2) получаем:

Так как мы ищем целые положительные значения чисел а и о, то а — Ь — целое положительное число. Обозначим его через k.

a — b = k>\ .

Тогда:

(3)

В силу 2-го из неравенств (1) b^B—1. Поэтому:

(4)

При Л — В = 1

что невозможно.

Следовательно, в этом случае задача не имеет целых решений. Иными словами, дробь вида нельзя увеличить, вычитая из числителя большее число, чем из знаменателя.

Примечание. Этот результат можно доказать еще иначе. Согласно теореме II должно быть:

Но:

Следовательно: откуда:

что противоречит условию Ь<В

Предположим теперь, что А — т.-е. А — В >2; из неравенства (3) находим:

„Если при взятом значении k правая часть последнего неравенства меньше Ву то:

(5)

Соответствующее значение а найдется по формуле:

а = 6-Н, 4 = 1, 2, ... А,......(6)

ибо. если:

то и:

Заметим, что В должно быть > 2, так как иначе из него нельзя вычесть никакое целое положительное число, не получая нуля в остатке. Если А — В = 2, то наименьшее значение Ь:

будет меньше В при ß>2. Только при В = 2, b будет не меньше, а равно В:

следовательно, -^- будет единственная дробь с разностью членов, равной двум, не допускающая решения задачи. Если:

то

что меньше В при В>2. Следовательно, все дроби с разностью А — В— 5 допускают решение задачи. Для полного доказательства возможности решения задачи в указанных случаях надо еще показать, что значения а по формуле (6) не превзойдут А. Это будет сделано дальше.

Формула (4) дает верхнюю границу разности b—a — k. В некоторых случаях можно заменить эту формулу другою, более простой. В самом деле:

Если:

и, следовательно, при А<^2В получаем для k условие:

kSA—B — \.........(7)

Заметим, что в случае А>2В формула (7) дает для k большую границу, чем формула (4).

Мы видели, что при известных условиях можно выбрать b меньше В. Затем а берется по формуле (6). Возникает вопрос, не может ли при этом а оказаться больше или равно А. Покажем, что это не может быть. В самом деле, мы нашли, что всегда наибольшее значение k меньше или равно А — В—1. Наибольшее значение b есть В—1, следовательно, наибольшее значение а будет:

a = b + k^B — 1+(Л — В — 1)=Л-2,

т.-е. меньше А Наименьшая величина числителя измененной дроби будет А — а > 2.

Теперь уже вполне доказаны условия возможности решения нашей задачи. Кратко формулируя их, скажем: задача имеет целые решения для всех дробей, у которых А — £>1, кроме одной дроби: -^- .

Если дана дробь то для нахождения всех решений задачи поступаем так. Сначала убеждаемся в том, что А—В^>\, и если А — В = 2, то В>2. Затем по формуле (4) или (7) находим наибольшее возможное значение k (т.-е. а — Ь). Назовем его т. Потом, давши k какое-нибудь значение <т, находим значения Ь. Они будут заключаться в пределах:

Таких значений будет:

Для каждого значения b будем брать а= b+k1). Тогда число решений для каждого значения k (<т) будет равно пк. Полагая k последовательно равным 1,2,. . . m и на>одя каждый раз все решения с разностью a — b = k, мы исчерпаем все решения. Число их будет:

(9).

Пример: -g~ = -yf ' ^<2Д поэтому по формуле (7) находим;

&<13, m = 3.

По формуле (9):

Найдем все решения для этой дроби. £ = 1. По формуле (8) и формуле a=b-\-k:

Что касается уменьшения дроби, то здесь представляет интерес случай, когда дробь уменьшается при вычитании из ее числителя меньшего числа, чем из знаменателя. Этот случай можно свести к только-что решенному, если заметить, что, когда дробь уменьшается от вычитания чисел а и b из ее членов, то обратная дробь -^- увеличивается. Решения, найденные выше, останутся в силе, но к ним прибавятся новые, которые получаются при а = А. Тогда измененная дробь обращается в нуль и,следовательно, будет меньше данной. В более подробное рассмотрение этого случая я входить не буду.

Настоящая работа написана вполне самостоятельно. В курсах арифметики и номерах русских математических журналов, бывших в моем распоряжении, я не нашел ничего, относящегося к предмету работы. Но в виду простоты разбираемых здесь вопросов и невозможности в провинции навести исчерпывающие библиографические справки, представляется возможным, что полученные мною результаты или некоторые из них уже имеются в литературе2).

Sur une variation de la fraction à termes positifs.

Dans Particle présent l'auteur examine une variation de la fraction à termes positifs dans le cas, où les termes en sont augmentés ou diminués de quelques nombres positifs.

1) Можно брать также и меньшие значения а по формуле (6). Но для систематического нахождения всех решений и определения их числа лучше ограничиться значением а равным b-\-k.

2) Настоящее исследование обязано свои возникновением моему ученику К. К. Зажурило, который, встретившись при практических вычислениях с указанными здесь свойствами дробей, обратился ко мне за раз'яснениями.

L'article actuel est principalement consacré à certains cas particuliers voir:

a) la croissance de la fraction arithmétique (à termes entiers et positifs), quand le numérateur en est augmenté d'un nombre entier positif, moindre que le dénominateur;

b) la croissance de la fraction, quand le numérateur en est diminué d'un nombre entier positif plus, grand que le dénominateur, etc.

L. Lodygensky.

ОБ УРАВНЕНИЯХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.

В. В. Скворцов (Москва).

1. Пусть будут даны две точки А и В (черт. 1) на плоскости; проведем через эти точки прямую /. Рассматривая аналитическую геометрию данной прямой и обозначая через lt и £2 координаты точек А и В,- для любой точки M с координатой £, делящей в отношении X отрезок AB, будем иметь равенство

Черт. 1.

Откуда, после простых преобразований, получим

(А)

где

Пусть мы имеем систему координат ХОУ, тогда, проектируя точки нашей прямой / на оси координат (параллельными осям координат), получим

(А1)

или, полагая х%—хг = а и у2—у1 = Ь, будем иметь

(В)

Эти уравнения, очевидно, симметричны относительно текущих координат и координат данной точки A(xv уг).

Определим отрезки р и qs отсекаемые нашей прямой на координатных осях; для этого мы должны преобразовать уравнение (В) к виду

{Bf)

или к виду

Уравнения (В') определяют отрезок р, отсекаемый на оси л:-ов, а уравнения (В")— отрезок q на оси j/-ob

Определим отрезок /?;для этого сделаем преобразование параметра t, положив

t = v-\-v

где v—некоторый новый параметр, выбором которого мы определим отрезки. Подставляя значение t в уравнения (В), получим

x = av-\-p..........(1)

v = bv + q~..........(2)

где р = т-\-х19 Ç = bv-\-yv Полагая g = Q, получим v = — следовательно,

К)

Аналогично можно определить отрезок q, но проще получить круговой заменой из выражения для /?, т.-е.

(ßi)

В силу указанной симметрии уравнений (В) из соотношений (а^) и (ßt) следует

(ß)

Обозначая через р расстояние OR прямой / от начала координат и через а и ß соответственно углы </.ROP и ^ROQ, т.-е. ^ROP^ а и ^ROQ — ß, из трехугольников AROP и AROQ имеем

(3)

Приняв во внимание соотношения (а) и (ß), отсюда получаем относительно а и b однородные линейные уравнения

Условием совместности этих уравнений будет:

Раскрывая этот определитель, окончательно имеем уравнение прямой в нормальном виде

— X cos а —у cos ß -j- р = 0.......(I)

Из этого уравнения, приняв во внимание равенства (3), имеем уравнение прямой в отрезках, отсекаемых на координатных осях

си)

Если подставить значения р и q из равенств (04) и (ßx), после простых преобразований получим уравнение пучка прямых, проходящих через данную точку A (xv уг), т.-е.

y—yx=k(X — Хг)........(III)

где£ = -^-. Заметим, что к последнему уравнению можно притти из уравнений (В) или сравнивая выражения для р или q.

При такой подстановке значений р и q в уравнение (И) мы также приходим к уравнению

Но так как а = х2 — хг и b=y2—yv то последнее уравнение перепишется так

To-есть имеем уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Если бы мы подставили в уравнение (II) значения р и q из соотношений (а) и (ß), то наше уравнение превратилось бы в тождество.

2. Пусть мы имеем плоскость о и на ней три точки lv £2, £я (черт. 2). Разделим расстояние между точками g3 и g9 в некотором отношении X, мы по предыдущему определим некоторую точку X уравнением

8' = fc-«,)*+«,.........0)

где £ =—1 —X ' Аналогично> Деля в некотором отношении X1 расстояние между точками \х и получим

^(P-yv+ej.........(2)

Из этих уравнений исключаем окончательно будем иметь

\ = (53 _ у г* + (52 _ у v + ^......(Д")

Рассматривая v и t как переменные параметры, мы получим любую точку на нашей плоскости о.

Полагая vt = u, урзвнение (А") примет вид

^в-УА+в-у^-Н»......(ДО

Проектируя точки нашей плоскости а на координатные оси X, Y, Z

параллельным проектированием координатным плоскостям получим параметрические уравнения плоскости

(А)

где положено

Черт. 2.

Обозначая через /?, г отрезки, отсекаемые на осях координат нашей плоскостью, мы поставим себе задачей определить эти отрезки. Если мы определим один какой-либо отрезок, то два других получим круговой подстановкой. Найдем отрезок р\ для этого наши уравнения (А) должны иметь вид

(В)

Этого мы достигнем, аналогично предыдущему, сделав замену переменных, положив

и = и' + V и v = v' -f- V-

и налагая требование

Ô'v -f- ЬрЛ-уг = 0 c'v -j- C|i + z\ — 0

определяем v и jx, затем, подставляя их в выражение для х уравнения (ß), получим

Следовательно,

В силу симметрии уравнений (А) относительно х и xv у и уи z и zl будем иметь

Очевидно,

Если мы обозначим длину перпендикуляра, опущенного на плоскость а из начала координат, через р и через а, /3, у cosinus'bi углов, образуемых этим перпендикуляром с осями координат X, Y, Z, будут иметь место соотношения

Преобразуем первое рявенство, а два других получим круговой заменой, исключаем из этого равенства и равенства (а) /?, получим

Окончательно, присоединяя два других равенства, получим уравнения

Эти уравнения—линейные и однородные уравнения относительно миноров Дл, Д Аг, следовательно, из условия совместности этих уравнений будем иметь

Или, раскрывая детерминант, получим

Отсюда и из соотношений (с) исключая а, ß, у, получим уравнение в отрезках, отсекаемых на осях координат, в виде

(И)

Приняв во внимание соотношения (а'), (ßr), (у') и (3), из последнего уравнения получим

Или, разлагая детерминант А' по минорам элементов первой строки, окончательно получим

(X - хх) Дх + (у —ух)Ьу + (z — zt) Д3 = О Или в другом виде

(III)

Откуда, приняв во внимание соотношения (а), получим

(IV)

Если точка ;3 (л:3, у3. z3) любая точка пространства, то детерминанты уравнений (III) и (IV) будут тождественно равны нулю, т.-е. эти уравнения обратятся в тождества относительно последней строки, а стало быть, ранг матриц

равен единице, и следовательно, имеем уравнение прямой

3. Покажем, что все выводы, полученные в пп. 1 и 2, являются общими и распространяются на л-мерное пространство; для этого мы ограничимся случаем, когда # = 4.

Пусть будут даны четыре точки в пространстве (черт. 3). Назовем координаты этих точек через е., с9, * Разделим расстояние между точками £3 и £4 в некотором отношении X", подучим точку лежащую на прямой, проходящей через точки с3 и £4; затем, деля расстояние между точками ;2 и \" в отношении X', получим точку лежащую в плоскости, прохолящей через точки £4, ;3 и с.?, и, наконец, деля расстояние между точками £' и \х в отношении X, получим точку g, принадлежащую трехмерному пространству, проходящему через четыре заданные точки; уравнение этой точки будет

или

Обозначая через Ху F, Z, Т координаты четырехмерного пространства,, мы подвергнем наше трехмерное пространство такому проективному пре-

образованию, чтобы каждой точке трехмерного пространства соответствовала единственная точка на прямолинейных координатах четырехмерного пространства, и простое отношение трех точек при этом преобразовании должно быть инвариантно. Ясно, что при таком преобразовании линейная форма перейдет в линейную и, стало быть, параметрическое уравнение трехмерного пространства в пространстве четырех измерений будет

(В)

Найдем координаты р, q, г н s точек (/?, О, 0, 0), (0, <?, О, 0), (О, 0, г, 0) и (0, 0, 0, s).

Найдем /?, для этого мы произведем перобразование параметров, положив:

u = u'-\-\i\ v = v'-\-\b", w = w'

Подставляя значения и, v, w в уравнение (ß), приравнивая нулю в трех последних уравнениях свободные члены, определяем отсюда jj/, jj/', р.'" и, подставляя в первое уравнение для /?, будем иметь

(а1)

Делая круговую подстановку, получим

(8«)

В силу симметрии уравнений (ß) имеем

m

(т)

(8)

Очевидно, что Д. —Л'*, Д„ = Д'„, Д, = Д'„ Д, = Д'(. Теперь выберем так величины <х, ß, у, 8 и р, чтобы удовлетворялись равенства

ap — ßq — ^r = bs = р Отсюда, приняв во внимание соотношение (а), получим

или а (хДх +уЬу -f *Дг + Щ = plx

Следовательно, делая круговую замену, получим систему линейных однородных уравнений

Откуда, исключая Ах, Ау, Л:, Д„ будем иметь

Или в раскрытом виде

— ах — ßy — yz — U -\- р = 0 .

Последнее уравнение естественно назвать нормальным уравнением трехмерного пространства в прямолинейных координатах четырехмерного пространства.

В предыдущих пунктах мы видели, что для изучения пространства одного измерения нужно взять две точки,—двух измерений—три точки,— трех измерений—четыре точки; аналогично, для пространства п измерений нужно будет взять п-\-\ точек.

СПОСОБЫ БЫСТРОГО ВОЗВЕДЕНИЯ В КВАДРАТ МНОГОЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ1).

Н. Несторович (Ростов-на-Дону).

I. В № 1 „Математ. Образ."за 1912 год было приведено 2 способа быстрого возведения в квадрат чисел, близких к 50 и к 100, предложенные ныне покойным проф. Б. К. Млодзеевским. Не трудно вывести аналогичные приемы для быстрого возведения в квадрат и больших чисел. Но в виду того, что эти 2 способа во всем последующем изложении будут играть существенную роль, я позволю себе предварительно напомнить их, тем более, что они пользуются, повидимому, небольшим распространением; между тем, благодаря своей простоте, они заслуживают того, чтобы стать рабочими приемами даже в старших классах средней школы. От себя добавлю, что в своей преподавательской практике и в средней школе (при прохождении квадратных уравнений и даже еще раньше, в качестве примера приложения формул сокращенного умножения), и на практических занятиях в высшей школе я ежегодно излагаю их в течение почти десятка лет. В результате значительная часть учащихся переходит на эти приемы.

II. Итак, пусть

N=50 4-а,

тогда

/V2 = (50 + а)2 = 2500 ± 100а + а2 = 100 (25 ± а) -f- а2 =

= W0(5ö±ä— 2S)-f a^i00(yV-25)-f а2......(1)

или словами: для возведения в квадрат числа, близкого к 50, нужно

1) Настоящая заметка представляет выдержки из доклада автора „Приемы быстрого счета" в О-ве естествоиспытателей при С.-К.Г.Уп. (1 /IV—28), иллюстрировавшего лекцию проф. Д. Д. Мордухай-Болтовского на тему „Психология математического мышления".

возводимое число уменьшить на 25: это даст сотни искомого квадрата, к полученному результату остается прибавить а2. Если, например,

/V=43 (50 -7),

то:

(В последующем изложении в скобках будут помещаться вспомогательные действия, производимые в уме и поясняющие технику вычислений.) Если

то:

III. Пусть теперь

тогда

или словами: для возведения в квадрат числа, близкого к 100, нужно удвоить возводимое число и сбросить в полученном произведении одну сотню; это даст сотни искомого квадрата; затем к результату остается прибавить а2. Если, например,

то:

Если то:

Этими двумя приемами при небольшом навыке (практика показала, что для полного овладения ими нужно 20 — 25-минутное упражнение в течение 2—3 вечеров) можно устно возводить в квадрат числа в границах соответственно от 25 до 75 и от 75 до 12 , если помнить наизусть квадраты первых 25 чисел. IV. Пусть теперь

М=150±а,

тогда

или словами; для возведения в квадрат числа, близкого к 150, нужно сбросить в возводимом числе одну .сотню, к остатку прибавить 25 и утроить полученную сумму, это даст сотни искомого квадрата; наконец к результату остается прибавить а2. Если, например,

то:

Если то:

V. Пусть теперь

тогда

или словами: для возведения в квадрат числа, близкого к 200, следует s данном числе сбросить одну сотню и учетверить остаток; это даст сотни искомого квадрата; затем к полученному результату нужно прибавить а2. Если, например,

то:

Если то:

VI. Аналогично можно было бы вывести более или менее простые правила для возведения в квадрат чисел, близких к 250, 300 и т. д. Однако уже одно обилие подобных правил говорило бы против них, так как требовало бы запоминания большого числа правил и быстрой ориентировки в них, что само по себе составляло бы некоторую трудность

Поэтому после пыток составления аналогичных правил для групп чисел, близких к кратным 50, мне пришла мысль найти 1-2 правила, которые заменяли бы все эти правила в пределах тысячи, подобно TOiv-.y, как 2 правила проф. Б. К. Млодзеевского дают средство устного возведения в квадрат всех чисел в пределах 1-й сотни (двузначных) и даже за пределами ее до 125.

Для вывода подобного правила заметим, что всякое трехзначное число N может быть представлено в форме

М=100я+6,

где b представляет дополнение (если b со знаком—) или избыток (если b со знаком -}-) данного числа N до круглых сотен и, очевидно,

£<50

Тогда

N2=(1 ООп ± b)2 = 10000/12 + 200nb + b2 = 1 ООя [1 ООп ±2b)-\-b2=\ 00п=

= [(100п ±Ь)±Ь] + Ь2=\Ou \п i7V+ b)] -4- b* . (5) или словами: для возведения в квадрат трехзначного числа нужно прибавить к нему его избыток (или вычесть его дополнение) до круглых сотен; полученный результат умножить на число сотен, округляющих данное число; это даст сотни искомого квадрата; наконец, к этому результату остается прибавить Ь2. Пусть 7V=316 (3. 100 + 16)

Тогда

Если то

Если то

Этот же прием, очевидно, так же удобен и для возведения в квадрат четырехзначных чисел, не намного превосходящих 1000. Если, напр., 7V=1024 (10. lOO-j-24),

то

На практике в случае чисел, близких к круглым сотням снизу (т.-е. вида ЮО/г — Ь), выгоднее при устных вычислениях удваивать дополнение b и вычитать его из ближайшего сотенного округления (100/г), т.-е. пользоваться вместо формулы (5) такой:

(6)

Так что, если то

Таким образом устное возведение в крадрат трехзначных чисел предполагает лишь: 1) уменье устно умножать трехзначное число на однозначное, 2) знание наизусть квадратов чисел 1—25 и 3) свободное применение 1-го приема проф. Б. К. Млодзеевского.

VII. Для возведения в квадрат четырехзначных чисел также можно вывести правило, которое, быть может, не всякий назвал бы правилом для устного вычисления, но кот рое во всяком случае значительно сокращает вычислительную работу. Применение его предполагает свободное обращение с обоими способами проф. Б. К. Млодзеевского.

Всякое четырехзначное число N может быт представлено в форме: N=\00a-\-b, где а и b — двухзначные числа. Тогда

N2 = (100а -f Ь)'г = 10000а2 -f 200ab -\-b2=\ 0000а2 -j- b2 +

+ 100 [а2 + £2 — (a — b)2].........(7)

или словами: для возведения в квадрат 4-значного числа разбиваем его на 2 грани по 2 цифры; возводим каждую грань в квадрат и пишем эти квадраты рядом, вставляя между ними надлежащее число нулей, если второй квадрат будет содержать меньше 4 цифр, и отделяем штрихом две последние цифры; таким образом мы получим 7-или 8-значное число. Затем в сторонке складываем полученные квадраты, вычитаем из большей (численно) грани меньшую (эта разность a b войдет в квадрате и потому порядок вычитания не играет роли), возводим эту разность в квадрат и из полученной раньше в стороне суммы квадратов вычитаем квадрат найденной разности. Полученное число подписываем под найденным раньше 7 — 8-значным числом, отступив на 2 цифры влево, и складываем их. (Штрих, отделяющий 2 последние цифры в 7—8-значном числе, облегчит надлежащую запись слагаемых.)

Нижеследующие примеры пояснят применение этого правила.

1) Пусть тогда

2) 3) 4)

VIII. Последний прием нетрудно распространить на 5, 6 и вообще многозначные числа.

Пусть N будет 5 или 6 значное число. Разобьем его справа налево на грани по 2 цифры (последняя грань, очевидно, может содержать и 1 цифру), т.-е. представим N в форме:

N=a. 10* + 6.102-f с.

Тогда

(8)

Я не буду формулировать соответствующее правило словами, так как формулировка его заняла бы больше времени и места (к тому же она достаточно ясна из формулы (8), чем применение его на практике; я ограничусь одним примером. Пусть /V=2'39'26

Тогда

ЗАДАЧИ.

56. Разложить на множители

Л. Лодыженский (Тула).

57. Решить систему

Н. Агрономов (Владивосток).

58. Доказать, что при всяком целом и не отрицательном п число 34*4-3 + 5 . 27w+2 кратно 47.

А. Бутомо (Саратов).

59. Показать, что любая точка окружности, катящейся без скольжежения внутри другой окружности, вдвое большего радиуса, описывает диаметр последней.

В. Гук (Суханово).

60. Дана дуга круга в 120°. Принимая ее точки за центры кругов, описывают последние переменным радиусом, равным сумме отрезков, соединяющих центр с конечными точками дуги. Доказать, что описанные таким образом круги проходят чрез одну точку.

Г. К. (Пенза).

61. Найти геометрическое место центров окружностей, проходящих чрез данную точку и отсекающих на данной прямой отрезок данной длины.

62. Показать, что если диагонали четыреугольника, вписанного в круг, взаимно перпендикулярны, то расстояние какой-либо его стороны от центра круга вдвое менее противолежащей стороны.

63. Решить уравнение

2 snx-f-sn 2х=2 csx-f~cs 2х.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

32. Построить треугольник по основанию и высоте, если один из углов при основании вдвое более другого.

Восставим из средины D данного основания АС (см. черт.) перпендикуляр DE> равный данной высоте, и проведем чрез Е прямую PQ, параллельную АС. Соединим точки А и Е прямою АЕ и опишем из А дугу радиусом АС. Чрез D проведем прямую FG, параллельную АЕ и пересекающую упомянутую дугу в точке F, а линию PQ в точке G. Отложив затем ВХЕ=ВЕ и соединив В и В{ с с, получим треугольники ABC и АВХС, удовлетворяющие условию задачи.

Действительно, из построения имеем:

BE : AB = AD : AF = AD : AC = 1 : 2.

Трапеция АВВгС есть равнобочная, причем в ней AB = BBx=BtC. Поэтому около нее можно было бы описать круг; тогда хорды АВ> ВВ{ и ВХС будут стягивать равные дуги, следовательно:

/ ВАВХ = Z ВХАС= / ВСА = / ВСВХ и / ВАС = 2 /_ ВСА; /_ ВХСА = 2 /_ ВХАС.

2-е решение. Предполагая, что треугольник ABC—искомый, и дополняя его до равнобочной трапеции ABB'С, замечаем, что в ней AB — — ВВХ=ВЛС. Поэтому, обозначая AB чрез хи высоту треугольника ВМ чрез Ä, легко составляем уравнение:

x + 2|/~x^Ä2"=ö,

откуда X2 — Л2 == {^Y^y

или Зх2 -f 2bx - {b2 -f 4A2) = 0.

Решая это уравнение, получим

положительный корень уравнения, дающий ответ на задачу, легко построить с помощью циркуля и линейки.

Ф. Гусев, В. Давидов, А. В., В. Горнштейн (Москва), И. Кастровицкий (Сталинград), С. Адамович (Тула), И. Соловьев (Витебск), К. Верещагин (Козлов), Н. Фивейский (Ржев), Б. Сакк (Верхнеднепровск).

34. Составить уравнение хорды, проходящей через точку, данную внутри параболы, и делящейся в этой точке пополам.

Пусть уравнение параболы, отнесенной к главной оси и касательной в вершине, уг = 2рх, а координаты данной точки (х1Ууг). Проведем через данную точку диаметр, уравнение которого у=ух\ он пересечет параболу

в точке с координатами (—-, у^. Уравнение касательной в этой точке

будет

угловой коэфициент ее есть такой же будет и угловой коэфициент искомой хорды, так как она параллельна этой касательной, а потому уравнение ее

2-е решение. Пусть уравнение параболы у2 = 2рх, а уравнение искомой хорды у= kx-\-b; решая эти уравнения совместно, приходим к уравнению

о)

Ордината данной точки уг = • -v у , где у и j/'—ординаты точек пересечения искомой хорды с параболой; но из уравнения (1) - \- =-~ , следовательно,™- =yv откуда k — —,w уравнение искомой хорды

Н. Колмогоров (Алма-Ата), Я. Соловьев (Витебск), К. Верещагин (Козлов), Н. Орлицкий (Katowice), И. Кастровицкий (Сталинград), Л. Лодыженский (Тула), В. Давидов (Москва), Е. Воскресенская (Павлово), И. Чубинский (Оренбург), Я. Сапунов (Владимир), Петренко (Рига), С. Адамович (Тула).

35. Показать, что

Имеем:

Отсюда;

В. Давидов (Москва), И. Колмогоров (Алма-Ата), Н. Соловьев (Витебск), К. Верещагин (Козлов), И. Чубинский (Оренбург), Г. Торопыгин (Саратов), И. Фивейский (Ржев), М. Машков (Владимир), О. Новикова (Богородицк), И. Кастровицкий (Сталинград), В. Ефимов (Пермь), Д. Воскресенская (Павлово), А. Чернов, С. Адамович, Л. Лодыженский (Тула), П. Сапунов (Владимир), А. Лебедев (Н. Салда), В. Сакк (Верхнеднепровск), Петренко (Рига).

36. Решить уравнение:

Полагая:

имеем:

следовательно, уравнение можно представить в виде

или иначе

Логарифмируя, найдем

К. Верещагин (Козлов), Н. Колмогоров (Алма-Ата), Е. Воскресенская (Павловой А. Чернов (Тула), Г. Торопыгин (Саратов), И. Чубинский (Оренбург), Н. Соловьев (Витебск), В.Давидов (Москва), С. Адамович (Тула), П.Сапунов (Владимир), Петренко (Рига).

37. Найти сумму членов ряда

Возьмем две суммы

и составим выражение:

или

Сравнивая в обеих частях коэфициенты при /, получаем:

В дальнейшем будем предполагать, что | х | <1 (что необходимо для сходимости ряда). В таком случае

(1)

Диференцируя по х степенной ряд (1), сходящийся в промежутке (—1, -|-1) получим новый степенной ряд, сходящийся в том же промежутке:

(2)

Умножив обе части этого равенства (2) на 2х и прибавив результат к равенству (1), найдем окончательно:

Н. Колмогоров (Алма-Ата), Н. Соловьев (Витебск), К. Верещагин (Козлов), И. Чубинский (Оренбург), Л. Лодыженский (Тула).

38. Решить в целых числах уравнение:

Данное уравнение можно представить в виде

откуда

Полагаем

или

Это уравнение имеет очевидную пару целых решений: z = 3, у=\. Для нахождения прочих решений представим его в виде:

z2 — 8у2 = (З2 — 8 . 12)р,

где р—любое целое положительное число. Иначе:

Полагая

z—уУ 8 = (3 — У 8 )Р,

находим

Полагая /7 = 1, 2, 3, 4... получим для z значения 3, 17, 99, 577...

z__-j

и для у числа 1, 6, 35, 204... Соответственно для х= 2- найдем значения: 1, 8, 49, 288...

Но решения уравнения z2 — 83/2 = 1 можно найти и иначе, именно, с помощью разложения ]/ 8 в непрерывную дробь. Как известно, если обозначить Рп и Qn числитель и знаменатель п-й подходящей дроби для разложении У D, то удовлетворяется равенство:

PM2-DQn2 = (-!)".

Поэтому, разлагая l/ 8 в непрерывную дробь и составляя подходящие дроби четного порядка, мы можем принять их числители и знаменатели соответственно за z и у. Получим:

VT=(2; 1, 3, 1, 4...),

а подходящие дроби

Принимая во внимание, что х=^2~~, найяем сколько угодно пар решений для х и у. Приводим таблицу семи первых из них:

А. В. (Москва), Н. Колмогоров (Алма-Ата), П. Сапунов, М. Машков (Владимир), Н. Хайдуков (Петровск), И. Чубинский (Оренбург), А. Лебедев (Н. Салда), В. Сакк (Верхнедпровск).

39. Дробь ууЩ9 представить в виде у "I" 72 + • • • + 7*> где ап а2 а 7 —числа целые, положительные, меньшие 7.

Эта задача может быть формулирована так: данную дробь превратить в семеричную (аналогично превращению обыкновенных дробей в десятичные) Любая дробь может быть превращена в бесконечную (периодическую) семеричную дробь, но если знаменатель есть степень 7-и, то простую дробь можно представить в виде конечной семеричной дроби.

Принимая во внимание, что 117649 = 76 и что 12875 = 2-f-5 . 7-[-+ 3 . 72-f2 . 7s-\-5 74, находим, что

А. Дмитровский, А. В. (Москва), П. Сапунов, H Шуйский, М. Машков (Влади мир), Н. Хайдуков (Петровск), Е. Воскресенская (Павлов), И. Чубинский (Оренбург) М. Попов (Псков), А. Бутомо (Саратов), А. Кудинов (Задонск), И. Кастровицкий (Сталинград), П. Лебедев (Н. Салда), А. Билима-Пастернаков (Тула), Н. Фивейский (Ржев).

41. Найти четырехзначное число, обладающее тем свойством, что разность квадратов двух двухзначных чисел, составленных из его первых и его последних цифр, равна самому числу.

Легко видеть, что задача возможна лишь в том случае, если из квадрата числа, составленного двумя последними цифрами искомого числа, вычесть квадрат числа, составленного двумя первыми его цифрами. По условию задачи, имеем:

или i00a-f-£ = 62 — а2.......(1),

где а = 10х+_у<100; b = 10z + ^<100.

Пусть Ь — а-\-с\ тогда из (1) имеем:

откуда a = cq и lOl^-f-l = 1) с,

или

101g+ 1 9 2?+ 1 '

при <7 = 1, находим: с = 34, а = 34, b = 68, и искомое число = 3468= 682 — 342.

Примечание. Аналогичным свойством обладает число 13467 = = 1342_672

А. Дмитровский, А. В. (Москва), П. Сапунов, П. Шуйский М. Машков (Владимир), X. У. (Ростов-на-Дону), И. Чубинский (Оренбург), И. Хайдуков (Петровск). Г. К. (Пенза).

42. Две улицы AB и CD представляют собою дуги концентрических окружностей, причем точки А и С лежат на радиусе АО, а В и D на

радиусе ВО. Радиус внутренней дуги CD равен г, а наружной дуги AB равен r-\-d. Из точки А в В можно пройти либо по дуге AB, либо по отрезку АС, дуге CD и отрезку DB. При каких значениях r, d и /_ AOB = ol короче первый путь и при каких второй?

Пусть / AOB = ol (в радиальной мере), ОС = OD=r, АО =ОВ = = r + d, AC — BD — d.

Очевидно, ^ AB = (r+d) а; ^ CD = га. Первый путь ^ Л£ = (r-\-d) а; второй путь = ЛС-f- ^ CD-{~BD = 2d-\-m. Чтобы первый путь был короче, необходимо, чтобы (r-\-d) а < 2d -f- га; отсюда а<2.

Наоборот, если а > 2, первый путь длиннее второго. Величины г и d при этом не влияют на результат.

М. Фивейская (Москва), С. Кириенко (Борзна), П. Лебедев, Е. Воскресенская (Павлов), Н. Хайдуков (Петровск), М. Попов (Псков), Л. Михайлов, И. Чубинский (Оренбург), П. Сапунов, М. Машков, Н. Шуйский (Владимир), X. У. (Ростов-на-Дону), И. Кастровицкий (Сталинград), А. Бутомо (Саратов), Н. Фивейский (Ржев), В. Ефимов, (Пермь), Н. Слетов (Рига), В. Игумнов (с. Петропавловское).

43. Показать, что объем конуса равен произведению полной поверхности его на одну треть радиуса вписанного в него шара.

Пусть /—образующая, R—радиус основания и h—высота конуса, а г—радиус вписанного в него шара. Тогда г можно рассматривать, как радиус круга, вписанного в равнобедренный треугольник с основанием 2R и боковою стороной /, а потому имеем r =R~\/~l— ^ .

Полная поверхность конуса S~ nR (R-f-l), а объем конуса V—-у izR2h — -у R2y tl — R2i" . С другой стороны, произведение полной поверхности конуса на одну треть радиуса вписанного шара откуда и следует доказываемое предложение1).

И. Сергачов, А. Дмитровский (Москва), М. Машков, П. Сапунов (Владимир), X. У. (Ростов-на-Дону), А. Бутомо (Саратов), А. Кудинов (Задонск), Н. Хайдуков (Петровск), С. Кириенко (Борзна), Е. Воскресенская (Павлов), И. Чубинский (Оренбург), А. Маковский (Ульяновск), И. Кастровицкий (Сталинград), Н. Слетов (Рига), В. Ефитов (Пермь), Сацердотов (Псков), А. Билима-Пастернаков (Тула), П. Лебедев (Н. Салда), В. Игумнов (с. Петропавловское), И. Орлуцкий (Katowice).

44. Найти сумму квадратов п членов ряда

По условию (/г —f— 1 )-й член этого ряда будет:

откуда получим

и, следовательно:

Н. Хайдуков (Петровск), С. Адамович (Тула).

1) В решении Билима-Постернакова (Тула) дано доказательство аналогичной более общей теоремы об объеме всякого круглого тела и многогранника, в которые можно вписать шар.

45. Решить уравнение:

Пусть Зх2 — х-\-2=у; тогда 3x2-f-5x-J-2 =j/ -|- 6х, и данное уравнение примет вид

или

Отсюда

т.-е.

Следовательно,

Решая эти уравнения, получим:

А. Кудинов (Задонск), М. Машков, Н. Шуйский (Владимир), П. Милов (Люблино), И. Чубинский (Оренбург), Н. Хайдуков (Петровск), С. Адамович, Билима-Пастернаков (Тула), В. Игумнов (с. Петропавловское).

ЗАДАЧИ ИЗ «МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ » ЗА 1916 Г., ОСТАВШИЕСЯ НЕРЕШЕННЫМИ.

259. Определить двугранный угол при основании правильной четыреугольной пирамиды, если плоскость, делящая его пополам, разделяет объем пирамиды в отношении 3:5, причем большая часть находится при основании пирамиды.

Пусть имеем правильную четыреугольную пирамиду SABCD, причем плоскость, проходящая через ребро основания CD и делящая двугранный угол при основании пополам, пересекает противоположную грань пирамиды SAB по линии MN\ очевидно, MN\\AB. Обозначим сторону основания пирамиды через а, высоту А, апофему / и искомый двугранный угол

при основании <р; тогда h = -^-tgfo\ /= 2^ и объем всей пирамиды U — tgy. Плоскость CDMN, делящая двугранный угол при основании пирамиды пополам, делит противоположную апофему в отношении 1\а\

MN I

следовательно,---откуда

Нижняя часть пирамиды может быть рассматриваема как усеченная призма, три параллельных ребра которой суть АВ = а> CD=a и

MN= -Ту—^iTï> а площадь перпендикулярного к ребрам сечения есть

Объем нижней части

По условию VA = ~- К, следовательно,

так как решение sny = 0 не подходит, то сокращаем обе части уравнения на — sny\ получим:

или т.-е.

Отсюда

знак—перед радикалом соответствует тупому углу, непригодному для задачи; следовательно,

П. Сапунов (Владимир), А. Цивчинский (Одесса), А. Бутомо (Саратов), И. Фивейский (Ржев), Р. Гангнус (Москва), К. Верещагин (Козлов), Г. К. (Пенза), В. Сакк (Верхнеднепровск).

273. Найти общие формулы для выражения в целых числах ребер прямоугольного параллелепипеда, у которого боковая поверхность равна площади квадрата, построенного на его диагонали.

Обозначив ребра параллелепипеда через х, у, г, получим неопределенное уравнение

2 (х+у) z = x2+y* + z2; чтобы решить его в целых числах, представим его в виде x2 -\-у2 + z — 2xz — 2yz + 2ху = 2ху,

или

[х-\-у — Z)2 = 2ху.

Так как левая часть этого уравнения представляет полный квадрат, то и правая часть его должна быть квадратом. Поэтому положим х = 2а2, y = ß2 и получим

откуда

х-\-у — z = + 2aß, или 2а2+,52 — z = ±_2aß\ отсюда для z имеем выражения

z1 = (a-\-ß)2-\-a2 или z2 = (а — ß)2 + а2.

Итак, для выражения в целых числах ребер искомого параллелепипеда имеем:

x = 2а2; у = ß2 и z — (a±ß)2 + а2,

где а и ß—произвольные целые числа. Напр., при а = ß = 1 имеем: х=--2у = 1, z,=5, z9 = l.

N. Колмогоров (Алма-Ата), И. Кастровицкий (Сталинград), К. Верещагин (Козлов), А. Чернов (Тула), П. Сапунов (Владимир), С Адамович (Тула), В. Сакк (Верхнеднепровск), Петренко (Рига).

279. Показать, что всякая степень целого числа выше 2-й может быть представлена в виде разности двух квадратов.

Пусть N целое число и р целое и положительное число. Тогда N2+p можно представить в виде

причем числа, стоящие в скобках, целые и при четном, и при нечетном N.

И. Сергачов, А. В., А. Дмитровский (Москва), П. Сапунов, М. Машков, Н. Шуйский (Владимир), X. У. (Ростов-на-Дону), Е. Воскресенская (Павлов), М. Попов (Псков), Г. К. (Пенза), С. Адамович (Тула), И. Кастровицкий (Сталинград).

285. Пересечь пучок лучей Оа, Ob, Ос прямою так, чтобы в сечении получилась группа точек АВС\ конгруэнтная данной группе ABC, т.-е. чтобы AB' = AB и В'С = ВС.

Построим на отрезке AB сегмент, вмещающий угол aOb, а на отрезке ВС сегмент, вмещающий угол ЬОс. Если вторую точку M пересечения дуг этих сегментов соединить с А, В и С, то получим пучок лучей, конгруэнтный с пучком О (а. Ь, с). Теперь надо только отложить OA' = = MA на луче Оа и OB'= MB на луче Ob. Прямая А'В' будет искомая.

А. Дмитровский (Москва), X. У. (Ростов-на-Дону). Г. К. (Пенза), П. Сапунов (Владимир).

287. На линии основания равнобедренного треугольника в?ята точка 5 и из нее опущены перпендикуляры SP и SQ на боковые стороны треугольника. Найти огибающую прямых PQ.

Восьмем за ось абсцисс основание треугольника ВС, а за ось ординат его высоту АО. Тогда координаты вершин треугольника будут Л (О, А); В (— с, 0) и С (с, 0), а уравнения боковых сторон:

угловой коэфициент угловой коэфициент

Пусть абсцисса точки 5 есть а; тогда уравнения прямых SP и SQ будут:

(SP±AB) у — —|- (х-a), SQ±AC) j/=-£-(* —а)

Решая совместно уравнения линий AB и SP, найдем координаты точки Р: x — ^2 ; у = g2_j_^a , a решая совместно уравнения прямых АС и SQ, найдем координаты точки Q: х = g2_j_^2 ; у = •

Поэтому уравнение прямой PQ после упрощений будет:

Дифференцируя это уравнение по а, получим:

a исключая а из этого уравнения и уравнения линии PQ, получим, после упрощений, уравнения искомой огибающей в виде

Это уравнение представляет собою параболу с осью, направленной по высоте треугольника в сторону, противоположную его вершине А\ вершина же параболы лежит внутри треугольника на расстоянии с2С_^п2 от его основания ВС.

X. У. (Ростов-на-Дону), Г. К. (Пенза), П. Сапунов (Владимир).

2-е решение. Если на основании АС равнобедренного треугольника ABC возьмем две точки S и S' и опустим из них перпендикуляры SP, SQ, S'P' и S'Q' на боковые стороны, то отрезки РР' и QQ' будут равны между собою, как проекции одного и того же отрезка на две оси, одинаково к нему наклоненные. Следовательно, прямые PQ отмечают на прямых ВА и ВС подобные проективные ряды (т.-е. ряды, бесконечно удаленные точки которых одна другой соответствуют), а в таком случае огибающею прямых PQ будет парабола, капающаяся прямых ВА и ВС. Ось параболы есть биссектриса угла ABC Опустив из середины D основания АС перпендикуляры DL и DM на боковые стороны, получим касательную LM в вершине параболы, причем вершина будет в середине отрезка LM. Наконец, перпендикуляр в точке L к касательной AB определяет на оси параболы фокус, который таким образом совпадает с точкой D—серединой основания треугольника ABC.

А. Дмитровский (Москва).

290. Найти четыре целых положительных числа, обладающих тем свойством, что при сложении их по три в сумме получаются квадраты четырех последовательных целых чисел.

Обозначив искомые числа чрез х, yf z, будем иметь 4 уравнения:

о).

где /г—целое число. Сложив эти уравнения, получим:

откуда

(2).

При п, кратном 3, сумма x-\-y-\-z-\-t не будет целым числом; если же п не делится на 3, т.-е. имеет вид 3k + 1, где k— целое, то т/2 —|— 14 =9£2±6£-+15; п2 + и ^.3k?±2k-\-5, и потому сумма x+y + z-j-t будет числом целым. Вычитая из уравнения (2) каждое из уравнений (1), найдем:

(3).

Мы видим, что X и j/ всегда положительны, так как их числители имеют мнимые корни; что касается z и то, приравняв нулю их числители, будем иметь:

по свойству квадратного трехчлена, заключаем отсюда, что z>0, если я>7 или п<С—1, а ^>0, если п >—2 или п<^— 10; из этих неравенств видно, что z и £ будут одновременно положительными, если /г>7 или #<<—10. Итак, решение задачи дается формулами (3), причем п есть целое число, не делящееся на 3 и удовлетворяющее одному из неравенств: п>■ 7 или я< —10.

И. Сергачов, А. В., А. Дмитровский (Москва), М. Машков, Н. Шуйский, П. Сапунов (Владимир), А. Бутомо (Саратов), Н. Хайдуков (Петровск), Е Воскресенская (Павлов), X. У. (Ростов-на-Дону), А. Кудинов (Задонск), М.Попов (Псков), И. Кастровицкий (Сталинград), А. Билима-Пастернаков (Тула), Г. К. (Пенза), И. Фивейский (Ржев), В. Игумнов (с. Петропавловское).

293. Показать, что если sn (2а-)- ,3) = 2 sn|3, то tg (а+Р)= 3tga. Из данного условия имеем: sn (2ос —[— ^3) —|— sn ß = 3 sn ,з

или 2 sn (a-j-ß) es a= 3 sn ß.......(a)

и sn (2a-fß)— snß = sn/3,

или 2 sn a es (a -f- ß) = sn ß........(b).

Разделив (a) на (b), найдем:tg + ^ = 3; или tg (a + ß) = 3 tga.

И. Сергачов, A. Дмитровский (Москва), A. Бутомо (Саратов), M. Хайдуков (Петровск), X. У. (Ростов-на-Дону), Е. Воскресенская (Павлов), П. Сапунов, М. Машков, Н. Шуйский (Владимир), С. Кириенко (Борзна), А. Маковский (Ульяновск , А. Кудинов (Задонск), М. Попов (Псков). Н. Фивейский (Ржев), Н. Слетов (Рига), Г. К. (Пенза), А. Билима-Пастернаков (Тула), В. Ефимов (Пермь), В. Игумнов (с. Петропавловское.)

294. Решить уравнение:

Данное уравнение можно представить в виде

откуда видно, что корнями его служат все корни двучленного уравнения хп—\ =0, кроме x=L Но это уравнение распадается на уравнения:

или: X2-

или, наконец,

так как

Следовательно, корни данного уравнения:

А. В., И. Сергачов, А. Дмитровский (Москва), X. У. (Ростов-на-Дону), Е. Воскресенская (Павлов), П. Сапунов, М. Машков, И. Шуйский (Владимир), И. Хайдуков (Петровск), А. Бутомо (Саратов), С. Кириенко (Борзна), А. Кудинов (Задонск), М. Попов (Псков), П. Милое (Люблино), С. Адамович (Тула), Н. Слетов (Рига), И. Фивейский (Ржев), И. Шемянов, В. Зяблицкий (Владимир), И. Кастровицкий (Сталинград), И. Орлицкий (Katowice), В. Ефимов (Пермь), В. Сакк (Верхнеднепровск).

295. Две окружности пересекаются в точках M и N; в точке M проведены к обеим окружностям касательные, пересекающие их в точках Р и Q, и эти точки соединены с точкою N. Доказать, что MN2 = NP . 7VQ, и что £PNQ = 2 £PMQ.

Так как углы MPN и NMQ измеряются половиной одной и той же дуги MN, то / MPN= /_ NMQ. Точно так же / PMN = /_ MQN. Поэтому APMNc^ и ^ = ^g, откуда M№ = NP . /VQ. Продолжив MTV до точки 5, имеем:

/ /WS = / MPN+/_ PMN; / ÄVQ = / NMQ -f / Л/Q/V, откуда, сложив, получаем:

/ /WQ = 2 / PAfN + 2 / AWQ, или / = 2 / РЖ Q.

Л. Я, Л. Дмитровский (Москва), Л1 Машков. П. Сапунов, И. Шуйский (Владимир), //. Хайдуков (Петровск), Е. Воскресенская (Павлов), X. У. (Ростов-на-Дону), A. Бутомо (Саратов), С. Кириенко (Борзна), П. Милов (Люблино .М.Попов (Псков), B. Игумнов (с. Петропавловское), И. Кастровицкий (Сталин! рад), Н. Фивейский (Ржев), Г. К. (Пенза), Н. Слетов (Рига), В. Сакк (Верхнеднепровск).

275. Показать, что-

где и и v многочлены относительно х и у. Полагаем x = а -\~ b, у = а — Ь.

Тогда

Заменив а чрез 2 > а * через — получим многочлены и и выраженные чрез х и у.

П. Сапунов (Владимир), С. Адамович (Тула).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ.

История математики по Шпенглеру.

(Освальд Шпенглер. «Закат Европы». T. I. Образ и действительность. Москва, 1923 г.)

В разгар войны написанная и в год Великой русской революции выпущенная в свет книга Шпенглера «Закат Европы» («Der Untergang des Abendlandes») произвела редкий в литературных кругах шум и имела колоссальный успех. Этот шум охватил, как и следовало ожидать, круги историков, социологов и философов, но почти не коснулся математиков. А между тем книга не просто касается математики и ее истории (что одно уже должно было бы обратить на нее внимание математиков), но так плотно вплетает ее в ткань своего миропонимания и так резко выдвигает свое, совершенно оригинальное «понимание» самой математики, что становится невозможным для математиков замолчать эту книгу. Самая точка зрения автора на математику, как связанную с культурой не внешне только своими периодами расцвета и упадка, а имеющую глубокое органическое родство с «душой» культуры, заслуживает внимания математиков, желающих слить свою науку с другими в общий «комплекс» миропонимания. Мы не будем излагать здесь социологических и политических выводов Шпенглера, не будем касаться и вопросов искусства, которому в книге Шпенглера отведено значительное место,—едва ли не самое значительное, в виду той роли, которую он признает за искусством в развитии культуры. Но так как нельзя понять взгляд Шпенглера на историю математики, не зная его взгляда на

историю культуры, то придется остановиться несколько на последнем. Предоставим для этого слово прежде всего самому Шпенглеру.

«Необозримое множество человеческих существ, безбрежный поток, истекающий из темного прошлого, оттуда, где наше чувство времени утрачивает свою устрояющую силу, и беспокойная фантазия-или боязнь—наколдовала нам картину геологических периодов земли, чтобы скрыть за ней никогда не разрешимую загадку, и все это вновь теряющееся в таком же темном и вневременном будущем, таков фон картины истории человечества. Однообразный прибой бесчисленных поколений волнует широкую иоверхность. Растекаются блестящие полосы. Беглые отсветы проносятся и пляшут над ними, спутывают и затемняют ясное зеркало, изменяются, вспыхивают и пропадают. Мы называем их родами, племенами, народами и расами. Они охватывают ряд поколений в узком круге исторической поверхности. Когда угаснет в них сози дающая сила, а сила эта в разных случаях очень различна и предопределяет очень различную длительность и пластичность этих феноменов, угасают также и физиогномические, филологические и умственные признаки, и само явление вновь растворяется в хаосе поколений. Арийцы, монголы, германцы, кельты, парфяне, франки, карфагеняне, берберы, банту—таковы имена в высшей степени разнообразных образований этого порядка.

На этой поверхности ширят свои величественные круги волн великие культуры. Они возникают внезапно, распространяются в великолепных линиях, вновь выравниваются и пропадают, и зеркало пучины опять лежит пред нами одинокое и дремлющее».

Приведенный отрывок характерен не только по своему содержанию, весьма сжато и образно выявляя взгляд Шпенглера на историю, которую он даже не хочет признать «всеобщей», но лишь историей отдельных «культур», но кроме того он является и образцом изложения, особого стиля, единственно—по Шпенглеру—возможного при изложении этой истории. Недаром первый том имеет свой подзаголовок «Образ и действительность : с точки зрения Шпенглера «действительность» познается лишь при помощи «образов». Продолжаем цитату.

«Культура зарождается в тот момент, когда из первобытно-душевного состояния вечно-детского человечества пробуждается и выделяется великая душа, некий образ из безобразного, ограниченное и преходящее из безграничного и пребывающего. Она расцветает на почве строго ограниченной местности, к которой она и остается привязанной наподобие растения. Культура умирает, после того как эта душа осуществит полную сумму своих возможностей в виде народов, языков, вероучений, искусств, государств и наук и таким образом вновь возвратится в первичную душевную стихию. Ее жизненное существование, целый ряд великих эпох, в строгих контурах отмечающих постоянное совершенствование, есть глубоко-внутренняя, страстная борьба за утверждение идеи против внешних сил хаоса и внутренней бессознательности, где угрожающе затаились эти противоборствующие силы. Не только художник борется с сопротивлением материала и уничтожением идеи внутри себя. Каждая культура находится в глубоко символистической связи с материей и пространством, в котором и через которое она стремится реализоваться. Когда цель достигнута и идея, т.-е. все изобилие внутренних возможностей, завершена и осуществлена во внешнем, тогда культура вдруг застывает, отмирает, ее кровь свертывается, силы ее надламываются—она становится цивилизацией. И оно, огромное засохшее дерево в первобытном лесу, еще многие столетия может топорщить свои гнилые сучья. Мы наблюдаем это на примерах Египта, Китая, Индии и мусульманского мира. Так античная цивилизация времен империи необъятно разрасталась с кажущейся юношеской силой и изобилием и отнимала воздух и свет у молодой арабской культуры Востока».

В этой цитате обращает на себя особое внимание противоположение «культуры» и «цивилизации», обычно считаемых синонимами. Это противоположение у Шпенглера являются кардинальным устоем всей его теории и нужно ему для того, чтобы предсказать «Закат Европы», как это вскрывается из непосредственно следующего.

«Таков смысл всех падений в истории, к числу которых принадлежит наиболее отчетливо рисующееся пред нами «падение античного мира», и мы уже сегодня определенно ощущаем вокруг нас первые признаки того, касающегося нас самих и по течению и длительности вполне тождественного с первым, события, которое заполнит первые века ближайшего тысячелетия и которое будет «падением Запада».

Отдельные «великие культуры» живут и умирают, следовательно, совершенно независимо, между ними нет никакой преемственности, а поэтому нет и понимания. Таким образом, историю культур нельзя изучать, научный метод не даст никакого результата,-ее нужно переживать. Но «способность переживать историю и способ, каким она, а в особенности собственное становление, переживается, у разных людей очень различны.

Каждой культуре свойственен строго индивидуальный способ видеть и познавать природу, или, что то же, у каждой есть ее собственная своеобразная природа, каковой в том же самом виде не может обладать никакой другой вид людей. Точно так же у каждой культуры, а в пределах отдельной культуры, с меньшими отличиями,

у каждого отдельного человека, есть свой совершенно особый вид истории, в картине и стиле которого он созерцает, чувствует и переживает общее и личное, внутреннее и внешнее, общеисторическое и биографическое становление». Научному методу «понимания», в смысле установления причинности явления, Шпенглер противополагает прозревание (трудно найти более подходящее слово) судьбы культур.

«Область уразумеваемого при посредстве понятий остается далеко позади; судьба и случай равно относятся к решительным переживаниям отдельной души и целых культур. Это—вопрос этики, а не логики. Здесь бессилен всякий опыт, всякое отвлеченное познание, всякие определения; и кто пытается познать и то и другое путем, указуемым теорией познания, тот ничего не узнает».

Но не слишком ли затянулось наше изложение «системы» Шпенглера и не слишком ли это все далеко от нашей непосредственной задачи? Оказывается,—нет. Как раз на примере математики Шпенглер пытается показать различный «стиль души» у разных культур. Считая число лежащим «в качестве непосредственно данного элемента в основе всякой математики», он утверждает вместе с тем, что «число в себе не существует и не может существовать», но «существует несколько миров чисел, потому что существует несколько культур». Шпенглер в математике видит не столько «науку» в нашем смысле слова, сколько «искусство», выявляющее подобно пластике и музыке мирочувствование» культуры; поэтому и расцвет математики он видит не в систематической разработке ее материала в эпоху «цивилизации», соответствующей умиранию культуры, но в эпоху ее расцвета, когда проявляются существенные черты данной культуры, В виде конкретных примеров Шпенглер дает анализ трех культур: античной, арабской и западной; конечно, это—не объективный научный анализ, но шпенглеровский, построенный на проникновении в «судьбу» культуры. Вот его характеристики, поскольку они могут быть выражены посредством наших обыкновенных слов, выражающих нашу «западную» культуру и потому чуждых другим. Античная «аполлоновская» и «евклидовская» душа способна видеть и создавать лишь отдельные и неподвижные тела, резко выделяющиеся и единственно реальные; для нее не существует ни «пространства», как чего-то независимого от «тел», ни времени, как связывающего настоящее с прошедшим и будущим. Она статична в евклидовой геометрии и аисторична в геродотовой истории и плутарховых биографиях.

В самом деле, мы знаем, что геометрия древних не есть «наука о пространстве», как ее теперь иногда определяют, а «наука о телах и фигурах», которые существуют не в пространстве, а сами по себе, как отдельные, отграниченные сущности; там, где нет тел, нет ничего. Самые элементы фигур не меняются, они даны раз навсегда; идея «геометрического преобразования», основная для современной геометрии, чужда Евклиду. И хотя совсем без движения он обойтись не может, он вынужден применять принцип «наложения», но пользуется им редко; везде, где можно дать формально-логическое доказательство, которое всегда статично в своих застывших формах,—он его дает, избегая более легкого (для нас, с нашими кинематографами!) доказательства посредством наложения. Даже в области механики, этой специальной «науки о движении», древние греки разрабатывали учение о равновесии: великий Архимед, вершина греческой науки, а по Шпенглеру представитель «упадочного» периода, стал основателем статики. Нам, представителям совершенно иной культуры, может казаться, что эта статичность и аисторичность есть лишь низшая ступень «развития», но это не так. Античная культура изжила себя и выродилась в римскую «цивилизацию», уже не давшую ни искусства, ни математики, но лишь практичность и технику.

Мы, действительно, знаем огромные достижения римлян в области практики. Они создали «римское право», ставшее классическим образцом регулирования общественных отношений на практике. Но особенно отличились они в области техники. Кто не знает про римские дороги (напр., Via Appia и др.), мосты и водопроводы (акведуки)? Все эти инженерные сооружения были, конечно, результатом «приложения» математики; но они не дали никаких новых идей ни в математике,«ни в искусстве. Известно, что римский инженер Витрувий был образованным математически человеком; но неизвестно, чтобы он занимался математическими исследованиями. Известно, с другой стороны, что даже религию свою римляне скопировали с греческой, а для Шпенглера это уже последнее дело: «дух» культуры отошел, культура умерла.

Римская «цивилизация» кончилась действительной смертью. То, что выросло после нее, было нечто совершенно особое, отнюдь не новая «стадия» культуры. Обычная ошибка историков (в том числе и историков математики) заключается в их неотрешенности от своей «местной и временной» культуры, тогда как Шпенглер, подобно Копернику (по его собственным словам), перенес свою точку зрения в междукультурное пространство и созерцает равно объективно все миры, прошедшие и будущие...

Арабская, иначе «магическая» душа в противоположность отдельным «телесным» богам античности создает дуализм двух всеобщих субстанций—тела (тела «вообще», а не «тел») и духа; действенное, жизненное взаимоотношение между ними — заклинание, магическое действие, покорение мира наложением на него формы, архи-

тектурным стилем арки на колоннах, арабской, алгебраической символикой. Таким образом, не случайна античная геометрия и арабская алгебра. Кому же, однако, теперь не известно, что родоначальниками алгебры следует считать индусов, и что арабы находились уже под их влиянием? Да и с Диофантом никак не вяжется «арабская» алгебра. Здесь Шпенглер и сам чувствует некоторую натяжку и заявляет, что Диофант «не был великим математиком» и «внутренне не принадлежал к античной культуре», так как жил в эпоху расцвета культуры арабской.

Подобным же образом тот факт, что современная математика разрабатывает и геометрию (в смысле античности) и алгебру (в смысле арабском), а не только «анализ», как теорию функций,—для Шпенглера только факт жалкого и неудачного подражания, вовсе не выявляющего «души» западной культуры, а л^ишь обозначающего состояние ее упадка. Даже наши слова, посредством которых мы пытаемся охватить сущность той или иной культуры, не могут служить средством понимания истории как жизни, как «становления», потому что сами они представляют нечто окаменело «ставшее».

Мы подошли таким образом к западной душе, она же—«фаустовская» и «контрапунктическая». Последний термин, взятый Шпенглером из области музыки, соответствует, как известно, сочетанию нескольких мелодических самостоятельных голосов, отличающемуся однако полным благозвучием. Это душа аналитическая и историческая по преимуществу. Стремление в даль (Фауст, перспектива в живописи), непрерывные переходы от одного тела к другому и их сочетание в бесконечность (контрапункт, проблема бесконечного пространства), сведение всего существующего к чистому числу, поглотившему всю реальность бытия (аналитическая геометрия, теория функций), признание, наконец, за настоящим лишь роли границы между прошедшим и будущим—вот характерные признаки нашего западного «мироощущения». Апогеем этой культуры Шпенглер считает XVII век—век Декарта, Паскаля, Ферма, Ньютона и Лейбница, когда математика уже обнаружила свои основные тенденции. Век Эйлера, Лагранжа и Лапласа Шпенглер уже считает «осенью», а Гаусса, Коши и Риманна относит к «цивилизации» (вспомним, что это равносильно упадку) и характеризует как «угасание душевной творческой силы»; конец же XIX и XX век полон лишь «кропателями», «толкователями великих идей», «эпигонами».

Шпенглеру нельзя отказать в своеобразно верных сопоставлениях. Многие из подмеченных им у разных «культур» черты действительно характерны. И в области математики мы часто «не понимаем» древних только потому, что сроднились с современным мировоззрением и переносим его в другой мир, где отношения совершенно другие. Как нельзя понять художественного произведения, не будучи им совершенно увлечен и, следовательно, совершенно отрешившись от окружающего мира, так нельзя «понять» Архимеда или Евклида, не забыв современного анализа. Однако все-таки понимание возможно; и это необходимое в свое время «отрешение» кончается, а «понимание» остается; и тогда «понимается» не только прежняя культура, но и ее связь с настоящим. Преемственность культур все-таки существует.

И если нам, может быть, и суждено в ближайшее время пережить «упадок», то это, несомненно, лишь кризис, после которого мы в праве ожидать нового расцвета,— в какой точке земного шара и у какого народа—не все ли равно: рано или поздно новая культура станет достоянием всего мира!

В. В. Добровольский.

Рабочая книга по математике. Курс рабфака. Части I, II и III. Составили: Г. Брусиловский, Р. Гангнус, М. Горнштейн, Н. Хитрин и др. Гиз. М. 1928.

Авторы собрали большой материал для курса рабфаков, но расположили его не в систематическом порядке, а в виде ряда отдельных переплетающихся глав из всех отделов математики: арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии. Можно было бы многое возразить против такой мозаичности построения учебного курса математики с методической точки зрения, но авторы следовали в этом случае указаниям книги «Методические руководства и программы для рабочих факультетов» 1925 года. Но в настоящее время учебные планы и программы рабфаков, с переходом их на четырехгодичный курс и в связи с указаниями опыта последних лет, подверглись, как это видно из программ, изданных в 1928 году, самому решительному изменению в смысле введения систематизации курса математики. Такое изменение постановки преподавания математики, конечно, должно будет иметь самые благоприятные результаты, но оно должно повести и к коренному изменению методической стороны дела. Поэтому мы считаем нецелесообразным останавливаться на рассмотрении увязки материала и методических особенностей рассматриваемой книги, а коснемся лишь некоторых недочетов изложения, которых следовало бы во всяком случае избежать; таких дефектов, несмотря на значительное число составителей и наличность двух редакторов, оказывается не мало.

Наиболее неудачно составленной нам представляется вводная глава, посвященная четырем действиям над целыми числами. Самое включение ее в книгу нам

кажется излишним, так как поступающие на рабфак уже должны знать действия над целыми числами. Но, помимо большой растянутости, мы находим в ней и ошибки. Так, авторы ошибаются, утверждая что «особых основных названий для счета имеется всего пятнадцать» (стр. 5), в числе коих, кстати, не упомянут миллиард, хотя на этой же странице встречается это слово. Но ошибка, конечно, заключается не столько в указании числа необходимых названий, сколько в утверждении, что для беспредельного множества чисел достаточно конечного числа названий; совершенно очевидно, что для бесконечного числа всех классов потребуется бесконечно большое число словесных обозначений. В той же главе о происхождении десятичной системы счисления говорится в таком духе, как будто эта система—единственно возможная и исторически существовавшая. На стр. 17 помещена квадратная «таблица сложения» однозначных чисел от 1 до 10 и подробно, с примерами, объяснено ее употребление; на 26 стр. имеется такая же «таблица умножения» с объяснением употребления. Мы считаем эти таблицы для рабфаковцев излишними. Объяснение производства действий над целыми числами —вполне традиционное. Стиль задач и предлагаемых решений несколько небрежен: «надо разделиться поровну»... «можно купить пару, другую десятков кос»... Слово пара и далее употребляется излишне часто. Условие некоторых задач неполно: в № 49 спрашивается, сколько земных шаров можно поместить между землею и солнцем, но не указан способ размещения. Задача № 52: «В какое время долетит до нас звук от взрывов на солнце, полагая, что скорость звука 340м/сек.»— не сказано, в какой среде и т. п. Глава II начинается определением математики (стр. 34): «математика занимается изучением формы тел и способов производства измерений и вычислений». Вряд ли кто согласится с этим. На стр 35 окружность определяется, против обычного, как линия пересечения кривой поверхности цилиндра с его плоской поверхностью, но сам цилиндр не определен. Здесь же говорится и об эллипсе, а уже позже, что «пересечение двух линий называется точкой» (стр. 35), далее (стр. 36) определяются понятия отрезка и ломаной линии и пр.

На стр. 51 сказано: «пятнадцать шестнадцатых дюйма также есть дробь». Мы думаем, что это есть отрезок, а дробью будет отношение этого отрезка к отрезку, называемому дюймом. Авторы и дальше (например, стр. 267) пытаются установить отличие отношения от дроби в том, что отношение есть число отвлеченное, а дробь может быть и именованною; так, например, на той же странице дана именованная дробь -у рубля» (кстати, насколько нам известно, не существует такого денежного знака), между тем это лишь сокращенное обозначение -у- . 1 руб.

На стр. 105 дано определение умножения на правильную дробь, а затем оно без всякой оговорки употребляется для умножения на неправильную дробь.

В задаче 90 (стр. 127) указана погрешность в 6,96 км при измерении расстояния от Москвы до Ленинграда (649 км). Жаль, что не указано, какие были употреблены средства для измерения с такою погрешностью.

Определения треугольника даны в двух местах: на стр. 129, I ч., и на стр. 17, ч. II, причем они различны.

На стр. 153 предлагается «разобраться в доказательстве, приведенном на чертеже 111-м», на котором никакого доказательства не приведено. На стр. 188 вывод формулы для выражения объема четыреугольной пирамиды, получающейся от пересечения диагональными плоскостями куба, сопровождается необоснованным общим заключением: «стало быть, объем правильной четыреугольной пирамиды равен третьей части произведения площади основания и высоты пирамиды».

На стр. 194 дано следующее определение: «окружною скоростью называется (курсив наш) произведение длины его окружности на число оборотов в сек.». В таком же роде формулируется известная аксиома: «если две величины порознь равны одной и той же третьей величине, то они считаются (курсив наш) равными», а во II ч. на стр. 135 читаем: «три биссектрисы пересекаются в одной точке, называемой (курсив наш) центром вписанного круга».

На стр. 268 отношение двух значений одной и той же величины смешивается с коэфициентом пропорциональности.

На стр. 280 дается различие между эмпирическою и математическою функцией, заключающееся будто бы в том, что для эмпирической функции «невозможно указать, по какому закону изменяется функция», а математическая функция выражается математической формулой.

Встречаются местами неупотребительные термины, например, во II ч., стр. 5 «ломаная поверхность».

В III ч. на стр. 227 значится: «прямая, перпендикулярная большому кругу и проходящая чрез его центр (следовательно, и через центр шара, называется осью шара (курсив авторов). Мы впервые встречаем это второе название диаметра шара, да еще определенное чрез большой круг.

Что касается задач, то многие из них,имеющие якобы жизненное содержание, в действительности лишены реального смысла, например, № 40, ч 1: «в течение дня рабфаковец занимается по математике, географии и истории всего 9 часов. На математику он употребил в два раза больше времени, чем на географию, а на историю на 1 час меньше, чем на математику. Сколько времени он занимался по каждому из этих предметов?». Таковы же задачи № 19 (стр. 252), № 6 (II ч , стр. 77) и др.

Подобно стилю задач и изложение теории местами страдает небрежностью языка, например, «в скольких точках пересекается пара прямых?». Постоянно встречаются выражения: «ясно», «скажем» и т. п. На стр. 224, II ч. читаем: «Год тому назад, опираясь только на основное свойство треугольника, мы отправились в поле»...

Следует обратить внимание на чертежи, принадлежность которых П. В. Албычеву особо оговорена на заглавных листах. Однако чертежи геометрического типа ничего особенного не представляют, если не считать, что буквы на них курсивные, а не печатные; что же касается чертежей технического содержания, то они почти сплошь неудовлетворительны; таковы, например, черт. 66 на стр. 136 (I ч ), черт. 116 на стр. 160 (I ч.), черт. 47 на стр 97 (II ч), черт. 88 на стр. 185 (III ч.). Чертеж 140 на стр. 181 (I ч.) почему-то выполнен в перспективе, хотя все остальные чертежи пространственных фигур выполнены в параллельной проекции.

Каких-либо крупных методических достижений или оригинальных идей в книге мы не заметили, но она может быть полезна при условии основательной переработки и устранения отмеченных и других имеющихся в ней дефектов.

Д.

ХРОНИКА.

Методический colloquium по математике при геометрическом кабинете Северо-Кавказского государственного университета.

(Краткий обзор его деятельности.)

С осени 1924 г. при геометрическом кабинете Сев.-Кавказского гос. университета начал функционировать методический colloquium по математике типа научно-методического кружка. Организация его связана с открытием в составе Сев.-Кавказского гос. университета педагогического факультета.

Возникший вначале по проекту проф. В. П. Вельмина в форме одногодичной методической переподготовки младшего преподавательского персонала университета, colloquium этот вскоре приобрел популярность и завоевал симпатии широких учительских кругов Ростова и Нахичевани н/Д., для которых он стал своего рода высшей методической школой. В настоящее время более или менее активное участие в работах этого кружка (доклады, прения) принимает почти все передовое учительство Ростова и Нахичевани н/Д. Очень охотно заседания colloquium'a посещаются и студенчеством педфака, так что аудитория геометрического кабинета едва вмещает всех желающих.

Заседания colloquium'a происходят (в учебное время) почти регулярно раз в 2 недели по понедельникам в 7 час. вечера, чередуясь с заседаниями математического отделения общества естествоиспытателей при Сев.-Кавк. гос. университете.

Руководит этой работой с самого возникновения ее проф. Д. Д. Мордухай-Болтовской. К настоящему времени (конец 1928 года) colloquium имел 53 заседания, на которых было сделано 57 докладов, перечень которых приводится ниже.

Отсылая интересующихся деятельностью этого кружка за все время его существования к XV тому «Известий Сев.-Кавк. гос. унив.» (1928 г.), я ограничиваюсь здесь перечнем докладов, сделанных в нем в течение последнего—1928 года.

Рысс, А, Б. Учение о симметрии в элементарной математике (6/II 28).

Черняев, М. П. Тригонометрические уравнения и круговые функции (27/II 28).

Ягодинский, И. И. Метод Архимеда в исследовании «О спиралях» (19/111 28).

Егоров, С. Г. Роль математики на уроках физики в средней школе (2/IV 28).

Несторович, Н. М. Элементы истории математики в начальном преподавании математики (7/V 28).

Мордухай-Болтовской, Д. Д. Точность научной и школьной математической речи и международный язык Interlingua (24/IX 28).

Матышук, В. К. О неравенствах в курсе математики средней школы (8/Х 28).

Несторович, H. М. К 50-му заседанию методического colloquium'a (22/Х 28).

Черняев, М, П. Непрерывность в элементарной геометрии (22/Х 28).

Несторович, H. М. О внеклассных (кружковых) занятиях по математике (12/XI 28).

Мордухай-Болтовской, Д. Д. Из прошлого русской и настоящего белорусской математической терминологии (26/XI 28).

Ягодинский, И. И. Взгляд Аристотеля на математику (17/XII 28).

Н. Несторович.

Ответственный редактор И. ЧИСТЯКОВ.

Мосгублит № 34812._Зак. № 15. _Тираж 1.000.

Москва, тип. «Гудок», ул. Станкевича, 7.

ОТКРЫТА ПОДПИСКА НА 1929 ГОД

НА ЖУРНАЛ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР ПРОФ. 1-го МГУ И. И. ЧИСТЯКОВ.

8 КНИГ В ГОД. ЖУРНАЛ ВЫХОДИТ ЕЖЕМЕСЯЧНО, кроме мая, июня, июля и августа м-цев.

СОДЕРЖАНИЕ ЖУРНАЛА:

1) Статьи по вопросам математики, преимущественно элементарной; 2) Очерки и статьи по вопросам преподавания математики и соприкасающихся наук; 3) Заметки по истории математики, биографии и портреты математиков; 4) Библиографический отдел; 5) Сведения о с'ездах и конференциях преподавателей математики; 6) Вопросы, задачи и решения их.

ПОДПИСНАЯ ЦЕНА:

На год—6 р., на полгода—3 р. 50 к. Цена отд. номера 90 к. с пересылкой.

АДРЕС РЕДАКЦИИ:

Москва, Маросейка, Старосадский пер., 9, кв. 4.

ЗАКАЗЫ и ДЕНЕЖНЫЕ ПЕРЕВОДЫ НАПРАВЛЯТЬ ПО АДРЕСУ

Москва 19, Воздвиженка, 10, изд-во „РАБОТНИК ПРОСВЕЩЕНИЯ".

Подписка принимается также в отделениях и магазинах издательства и во всех почтовых предприятиях СССР.