МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

№ 6

1928

ИЗДАНИЕ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

СОДЕРЖАНИЕ.

Стр.

Проф. Д. Мордухай-Болтовской. Метод исчерпывания-............ 229

Б. Побединский. Графическое решение квадратных уравнений с мнимыми корнями..... ........ ............ 240

С. Адамович. Один из простейших элементарных способов нахождения одного из корней уравнения вида (лг — 1) . (х — 2) . (х — 3) . (х— 4) . (х — 5) . . . t, где t — целое число . . ...... ............. 245

И. Франк. Геометрический вывод обобщенной теоремы Catalatta ....... 246

H. Платонов. Геометрические образы в высшей математике ......... 251

В. Кудрявцев. О корнях многочленов, удовлетворяющих линейному диференциальному уравнению второго порядка............ . 262

Н. Доброгай. Новое доказательство тригонометрической формулы сложения дуг sin (a -f- b) — sin а . cos b -j- sin b . cos a.............. 266

Задачи......................... 267

Решения задач . . . . . ............. ........ 268

Хроника............. . . . . ........... 273

SOMMAIRE.

Mordoukhai-Boltovskoi. La pensée antique et Finfini.

B. Pobèdinski. Résolution graphique des équations du second degré à racines imaginaires.

5. Adamovitch. Un des moyens élémentaires les plus simples pour trouver une des racines de Téquation x (x — 1) (x — 2). . . = m.

I. Frank. Demonstration géométrique du théorème de Catalan généralisé.

N. Platonow. Images géométriques en mathématiques supérieures.

W. Koudriawtzew. Sur les racines des polynômes, vérifiants l'équation différentielle linéaire du seconde ordre.

N. Dobrogaï. Une demonstration nouvelle de la formule sin {a-\-b) — sin a . cos b -f--|- sin b . cos a.

Problèmes.

Solutions de problèmes.

Chronique.

Bibliographie.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

ЖУРНАЛ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

№ 6

1928

МЕТОД ИСЧЕРПЫВАНИЯ.

Проф. Д. Д. Мордухай-Болтовской (Ростов-Дон).

§ 1. Античная мысль и бесконечность.

Античная мысль не знает в нашем смысле математической бесконечности. Бесконечность как актуальная1), т.-е. бесконечность множеств и трансфинитных чисел, так и потенциальная бесконечность предела вышли из средневекового схоластического мышления. Бесконечность медленно отвоевывала себе права. Долго в схоластике держится доказательство, которое можно назвать reductio ad infinitum2), которое существование об'екта, небытие которого следует доказать, ставит в зависимость от существования недопустимой актуальной бесконечности. Актуальная бесконечность сперва бога, затем вселенной и, наконец, числа.

Для античной мысли, носящей определенно статический3) характер, совершенством может обладать только вполне ограниченная форма; снятие границ ведет к неопределенности, к несовершенству. Это, конечно, точка зрения, как-раз противоположная спинозовской и канторовской, для которых конечное получается из бесконечного путем наложения границ на более совершенное. Более того, бесконечность, которая всегда приравнивается безграничному, теряет свое право на существование в силу вскрываемых в ней противоречий.

В признании Аристотелем потенциальной бесконечности можно было бы видеть зародыш идеи предела.

Представляет ли эта бесконечность то, что вещь стремится достигнуть, но не достигает?

Но такая формулировка совсем не в античном духе, античная мысль не знает движущейся переменной величины. Да, кроме того, идея предела характеризуется не только одним стремлением к ней, но и сколь угодно близким приближением, поэтому бесконечность и не может быть признана в собственном смысле пределом.

У Аристотеля актуально бесконечное— это снятие всех границ, потенциальное—это только возможность снятия всякой определенной границы, при этом вовсе не мыслится вся совокупность этих возможностей.

1) Аристотель о бесконечности—«Fhys.». Cap. V. «De Generat. et Corrup». Сар. III.

2) Примеры reductio ad infinitum можно найти у Аристотеля и у схоластиков.

Первым образцом такого доказательства является известное Зеноновское доказательство несуществования пустого пространства. См., например, Таннери—«Первые шаги греческой науки». Укажем также доказательства существования первой материи и первого двигателя у Аристотеля. «Мех.», гл. XIV, стр., 16; «Phys.», VIII, стр. 49.

3) О статическом характере античной мысли см. Шпенглер—«Закат Европы», том I

Античный математик никогда не берет бесконечный ряд. Весь ряд у него мыслится конечным.

Он только говорит, что в ряду Av Л2, А3 . . . он может выбрать та/foe Лм, что разность А—Ап окажется меньше наперед заданной величины: —^-, "ШхГОн 1) вовсе не мыслит переменного Ху проходящего через значения Д, Л2, Л3 . и стремящегося к А\ 2) он вовсе не мыслит всей бесконечной совокупности Av Л2, Л3 . . . , а только конечное число операций, достигающих цели. На первый взгляд кажется, что внесение понятия предела в даламберовском1) смысле ничего не дает, что все доказательства, выдвигаемые методом пределов, при более строгой обработке в конечном итоге сводятся к античной методе.

Если признать, что идея предела в строгой обработке должна выпасть, являясь логически не действующей, то и тогда за ней следует признать большое значение уже в эвристическом смысле, признать, что эта общая идея явилась основной при построении, может быть, и недостаточно обоснованных методов, сменивших античные, косившие более случайный характер.

Но не трудно видеть и то, что такое возвращение к античной методе при требовании логической стройности не достигает цели.

Понятие предела содержит больше, чем то, что определяется условием, что А — X может быть сделано менее всякой заданной величины, это большее выражается обычным в настоящее время добавлением: «и в дальнейшем остается меньше этой величины»2).

Это прибавление дает возможность выделить случай, когда ряд А\ Л2, А3 . . . имеет только одну точку сгущения среди случаев, когда этих точек вообще много и даже бесконечно много. Но при этом необходимо то, что совершенно чуждо и Евклиду и Архимеду: необходима мысль о всем бесконечном множестве Av А>, А.г . . . Собственно говоря, замена актуальной бесконечности метода неделимых потенциальной бесконечностью теории пределов вовсе не уничтожает первой, она ее, так сказать, загоняет в подполье, она существует сперва скрытно, а потом выступает явно А именно—во всяком пределе мыслится весь процесс приближения к пределу в его целом. Процесс этот во времени всегда незакончен, а в мысли он является, как нечто во всей своей полноте, и определяет так называемый фундаментальный ряд Кантора3). Там, где множество содержит бесконечное число точек сгущения, например, в случае континуума, метод древних всегда будет дефектным. Постулирование существования четвертой пропорциональной X в пропорции4): _ А:Х=а1: а2

1) Определение Даламбера предела см. «Encyclopédie méthodique des arts et des métiers» (Diderot), статья Limite, также Melanges, § XIV. Об истории пределов смотри мою статью в «Известиях северо-кавказского университета»: «Генезис и история пределов». О Даламбере см. Bobynin. «Elemente der Geometrie» в Cantor. «Vorlesungen ub. Ges. der Math.», В. IV, Ab. XXII, S. 355, также В. III, также статья Бобынина-«Элементарная геометрия и ее деятели во второй половине XVIII века», «Журнал мин. нар. просв.», сер. XII, 1907, № 1, отдел 2.

2) См., напр., Поссе. «Курс дифференциального и интегрального исчисления», § 5. У Коти («Уроки дифф. и инт. исчисления», пер. Буняковского, СПБ. 1831) этот пункт не выявлен.

3) Кантор. Учение о множествах. Новые идеи в математике. Его работа в «Math. Ann.», 21, 23, и «Acta Math.», t. II.

4) У Клавия впервые выступает этот постулат. См. «Euclidis elementorum libri XVI». Auetore Christophoro Clavis. Francfurti 1654. См. также Энрикес. «Вопросы элементарной математики». СПБ. 1915, стр. 220, статья Вайлати «Учение о пропорциях». «Мат. обр.», 1916 г., № 7—8.

определяет некоторое соотношение между множествами А. и аг и поэтому обоснование его ведет к рассмотрению непрерывных множеств.

Древние мыслили актуальную бесконечность пространства и числа, но отрицали их реальное существование. Но что касается до актуальной бесконечности какого-либо процесса, то здесь дело шло еще дальше: они не могли и мыслить об этом. Этим разрешается следующая интересная загадка: Аристотель, отрицая бесконечность вселенной в пространстве, признает вечность ее во времени1). Чтобы понять это, следует хорошо продумать Аристотеля. Дело в том, что он очень далек от эмансипации математических и логических понятий от элементов времени и пространства. Аристотель, как и Евклид, мыслил только числа и величины геометрические; прошло не мало времени до появления понятия алгебраической величины, об'емлющей, как класс, как дискретные, так и непрерывные величины.

Формулировка основных логических аксиом содержит время: А не может быть в одно и то же время Л и не Л2). Все данное является данным во времени.

Всякое доказательство относится к существованию чего-либо в определенный момент.

Бытие безотносительно ко времени не существует у Аристотеля. Поэтому и вопрос о существовании или несуществовании бесконечного времени им не может быть поставлен. Утверждение, что мир вечен, не следует понимать так: время бесконечно, а только так, что ко всякому моменту времени можно прибавить еще следующий момент. И Аристотель никогда не прибавляет: и так до бесконечности, ибо никакой бесконечности он здесь не мыслит. Бесконечное пространство мыслится, хотя без права на существование.

Но бесконечное время и мыслиться не может, ибо нет для него момента времени.

Эта немощность вневременного мышления явно выявляется в Зеноновских парадоксах3). Берется бесконечный процесс, с помощью которого строится бесконечное множество.

Мы обявляем, что все элементы действительно строятся, и этот процесс мыслим, как нечто целое и вне времени, в которое мы этот процесс вполне можем осуществить. Иное дело—античный мыслитель. Он утверждает, что не все элементы осуществляются этим процессом, при чем при этом утверждении он не может отрешиться от суб'ективного бессилия, от невозможности конкретно достигнуть отдаленных элементов4). 10-е по-

1) Arlst. «Phys.» VIII. 1. Tiedemann «Geist der Spec. Philos.», В. III, S. 542. Thorn Aq. p. 1, q. 7, a. 2. I Sent, des 43, q. 1. Quodex üb. g. a. 1. lib. 10 q. 2. a. 4. XI Met. lec. 10. Аргументы Прокла за вечность вселенной у Philipona «Contra Proclum de aeternitate mundi. Ven. 1535. Схоластики, пытаясь примирить Аристотеля со св. писанием, признавали высказываемое Аристотелем за передачу чужого мнения. Thorn. Aq. 1 p. q. 46.

2) См. «Аналитики Аристотеля». Конспект в «Логике» Владиславлева. Об Аристотеле Bninschvig. Les étapes de la philosophie mathématique». Alcan. Paris. 1912. p. I, ch. V. Milhaud. -Arisiote et les mathématiques». «Archiv für Gesch. der Phil», t. XVI. 1903.

3) Bninschvig p. I, ch. III, ch. IX. Об элейцах см. Arist. «Phys.», 1, 2, 3, 4 «De Coelo», III. 1. «De sophis. el.», 28. Simplic. in «Phys.». Arist. 8,9,22,24,25. Sext Empyr. Pyrrh. hyp. 111,65. «Adversus mathematicos», X, 46.

4) Понятие переменного некоторое время остается связанным со временем, всякое изменение мыслится во времени. Время является универсальным независимым переменным у Баррова и Ньютона (1643—1727). Barrow. «Lectiones opticae et Geometriae». Newtoni. «Theoria fluxionum» (теория флюксой, франц. перевод 1740 г.) см. Cantor. «Vorlesungen Ps.» III.

ложение начал Евклида1): «Даны две величины Л, а, и от большей Л берется более половины, от остатка опять более половины и т. д. Всегда можно притти к остатку, который будет меньше данной величины а», на котором основывается апалогическое доказательство метода исчерпывания, вовсе не утверждает, что этим алгорифмом достигаются все случаи: <0, 1, < 0,0.1, <0,00 1 . . .

§ 2. Евклидова форма метода исчерпывания2).

Общая схема метода исчерпывания в его первой стадии развития, той, которая имеет место в «Началах» Евклида, следующая: Следует доказать, что

А:В = а:Ь..........(1)

Доказательство разделяется на две части. Если пропорция не выполняется, то возможны два случая:

1) А:Х=а:Ь< где X < В.......(2)

2) А:Х=а: Ь, где X > В

Для исключения первого случая пользуются рядом величин:

иного рода, чем Л, но таких, что все члены будут: 1) меньше А и 2) разность А—Рп№ при надлежащем выборе п может быть сделана меньше любой величины (можно сказать, в какой угодно мере исчерпана3).

Такой же ряд берется и для В\

р(\) р(2) р(3)

и доказуется, что

Pa(«)iPh(n) = a:b.........(3)

Но тогда п можно взять настолько большим, что будем иметь Р/п) < X, ибо между X и В будет какая-либо разность, меньше которой можно сделать В—Р^пК Но, с другой стороны, по предположению:

PJn> < А

Сравнение пропорций (2) и (3) дает:

Pa(»).ph(») — A:X

Это же при PJ") < Л, Pb(") > X невозможно, как это следует из теории пропорций Евклида (5-ая книга «Начал»).

Совершенно таким же образом с помощью рядов:

Q/Ч QJ2) • - - » Qa(n) Q„(n)>A

Q/Ч QJV .... QbM Qb(») > В

таких, что разности QJn) — Л, Q,f") — В могут быть исчерпаны, исключается и второй случай.

1) «Начала Евклида», русские переводы Петрушевского 1833. Ващенко-Захарченко 1880. Немецкие Lorenz. Halle 1840.

2) «Начала» Евклида. О методе исчерпывания Klügel. «Math. Wörterbuch. Exhaustionsmethode».

3) Выражение «исчерпание», «метод исчерпывания», видимо, впервые встречается у Такэ, который, выявляя общие схемы метода исчерпывания и устанавливая с помощью его положения общего, абстрактного характера, ведет его к превращению в метод пределов. Andreae Taquet е. soc. Jesu «Opera mathematica». Losani 1666. Taquet «Elementa Geometriae planae et Soidae». Antverpiae 1684.

Метод исчерпывания в началах Евклида применяется для доказательства следующих положений:

1) Площади кругов относятся между собой, как квадраты диаметров (XII книга, 2-е положение).

Здесь А и В— площади кругов, а и b — квадраты их радиусов, PJn) — площадь правильного вписанного многоугольника, Qa(n) — описанного.

Паппус1) отсюда выводит теорему, что окружности кругов относятся как их диаметры, замечая, что это может быть выведено из того, что периметры подобных многоугольников с равным числом сторон относятся, как диаметры вписанных или описанных кругов.

2) Трехсторонние пирамиды равных высот относятся, как основания (Xig.

А и В— об'емы пирамид, а и b - площади оснований, Ра — об'ем суммы входящих, Qa —выходящих призмочек.

3) Конус равен 73 цилиндра с одной с ним высотой и тем же основанием (ХИ10).

А — об'ем конуса, В — цилиндр, Ра — вписанного, Qa — описанного конуса пирамиды, Рь — вписанного, Qb — описанной около цилиндра призмы.

4) Конусы и цилиндры с одной высотой относятся, как основания (ХИП).

5) Подобные конусы и цилиндры в тройном отношении, как диаметры их оснований (ХН12).

6) Сферы в тройном отношении, как их диаметры (ХН13).

Тем же методом Архимед доказывает, что площадь эллипса относится к площади круга набольшой оси, как малая ось к большой, путем сравнения вписанных многоугольников с вершинами на перпендикулярах к большой оси.

Эта форма метода исчерпывания применяется часто в учебниках лежандровского типа, например, у Давидова при доказательствах2):

1) пропорциональности центральных углов и дуг,

2) пропорциональности площадей прямоугольников с равными высотами,

3) пропорциональности отрезков, отсекаемых на прямых параллельными,

4) пропорциональности двугранных и линейных углов,

5) пропорциональности об'емов параллелепипедов с равновеликими основаниями и высот.

Форма Евклидова метода исчерпывания с привлечением идеи предела и при соответствующей переработке превращается в прямой метод по схеме:

1) Паппус во времена Диоклетиана (284—305 по P. X.). «Collect. Max». IV, 11. Старое издание Коммадина Ven. 1589; новое Hultscz. Vol. t. XIII. Berolini. 1875-78.

2) Основа их: Legendre. «Elements de Geometrie». Методическая переработка: Lacroix «Elements de Geometrie à Pusage de l'Ecole centrale des Quatre nations». Paris 1814. К этому типу относятся известные учебники: Rouche' et Comberousse, Niewenglowski, Hadamard (хотя не вполне). О Лежандре и его учебнике см. Bobynin. «Lehrbucher».

и вызывает следующие идеи:

1) принцип Гурьева1): если

U<A<V и lim U = lim V= С, то А = С,

или в более общей форме:

и < W < V \\mU=\\mV=C, то \\mW=C.

2) Если U:S = a:b, то limU:limS = a:b.

В методе неделимых этих идей нет, он пользуется актуально бесконечно малым, идет по другой линии.

§ 3. Первая Архимедова форма метода исчерпывания.

Метод исчерпывания подвергается дальнейшей эволюции у Архимеда2). Исчерпывается не разность между данной величиной А и членами ряда, дающего его приближенные значения:

Р 0)ц р (V% . . . . р H ........ (Р ),

а разность между соответствующими членами ряда (Ра), дающего приближение по недостатку, и ряда:

Q/Ч Q/2).....Qa(n>.........(Qa),

дающего приближение по избытку. Следует доказать, что А = В.

Для устранения предположения В > А пользуются двумя парами рядов:

Pa(x)<PJ2)<' • - PJm) I RfXRb<2><. . .</?»«

QJl)>Qa(2>> - ■ « QaW ! > Sà« > . . . > Sè«e

для которых

PM<A<QM.........(5)

Rb<») <B <Sb(»>

при чем устанавливается возможность исчерпывания разностей Q/m^ — Я/"1^, — и отсюда выводится, что отношения Qa(.):PM, sp:RP

можно предполагать при надлежаще выбранных m,п меньше всякого отношения С: Л, где С> Л. Далее обнаруживается, что всегда при п можно выбрать m так, что

PaM<Rb(n)f QM>Sb(»).

Полагая В = А', где А1 — величина того же рода, что А, имеем тогда при некотором п

Sb(n>:Pa(m)<A' \А.

Но это невозможно, ибо

Sb(»)> А' = В PJm><A' = B*

Таким же образом устраняется и случай

В<А.

1) «Опыт усовершенствования элементов геометрии». Спб. 1798. «Основание геометрии». Спб. 1825. О Гурьеве (1766—1813) см. Bobynin. S. 319.

2) Archimedis «Opera» (ed. Heiberg). Архимед (287—212 до P. X.).

По этой схеме ведется Архимедом доказательство ему принадлежащей (и потому в Евклидовы «Начала» не входящей) теоремы:

Круг равновелик треугольнику с основанием, равным длине окружности, и с высотой, равной радиусу.

А — площадь круга,

В — площадь треугольника,

PJn) — вписанный правильный многоугольник,

QJn> — описанный правильный многоугольник,

RJ") — треугольник с основанием, равным периметру первого и с высотой, равной радиусу,

Sb(n)— треугольник с основанием, равным периметру второго, и с высотой, равной радиусу.

2) Другой пример —это 13-е положение книги о конусе и цилиндре1) о том, что боковая поверхность цилиндра равна площади круга, диаметр которого — среднепропорциональное между стороной (т.-е. образующей) и диаметром цилиндра.

Здесь А — поверхность цилиндра, В — круга,

Ра(т) ~~ поверхность вписаннной призмы, Qb(m>— описанной,

R/m)— вписанного в круг многоугольника, Rb(n)— описанного.

3) Положение 15-е: поверхность конуса равна площади круга, имеющего радиусом среднепропорциональное между стороной конуса и радиусом его основания.

4) Поверхность шара равна учетверенной площади большого круга (положение 31-е).

За PJm\ QJm) принимаются поверхности, описываемые вращением вписанного и описанного в полукруг многоугольника.

5) Об'ем шара равен учетверенному об'ему конуса, основанием которого служит большой круг шара и высота которого равна его радиусу.

6) Поверхность сегмента шарового меньше полусферы равна площади круга, имеющего радиусом прямую, идущую от вершины сегмента к окружности основания (положение 40-е).

7) Об'ем сегмента равен об;ему конуса, основание которого равно поверхности сегмента, а высота — радиусу шара (положение 42-е).

Этот метод дает следующую форму ему соответствующей теории пределов:

U< А < V S<B<T

U<S< Т< V\\\mU=üm V->\\mS = \\m 7 = Iim U=\\m V-+A = B

и таким образом включающий принцип более общий, чем упомянутый выше принцип Гурьева.

§ 4. Вторая Архимедова форма метода исчерпывания2).

В эгой форме неравенства (5) заменяются более простыми

Pn(m)<A<QJm>

Pa<m)<B<Qa(m)y

причем Р и Q выбирается так, что

pjm) = ao(m) + a(m)+.........aJm) _ j

Q/m> = a/m>+a2^+.........e„!W + apw

где OL,(m> по мере возрастания m убывает.

Разность OJm> — PJm\ как равная ap(m), может быть сделана как угодно малой.

1) «О шаре и цилиндре», перевод Петрушевского.

2) Milhaud. «La méthode d'Archimede». «Rev. Scient.». 1908.

Так поступает Архимед при определении об'ема коноида (тела вращения параболы) а. представляет входящие и выходящие цилиндры. Ра(тК QJm) представляют цилиндры, равновеликие сумме этих элементарных цилиндров. В — об'ем цилиндра, основание которого — основание коноида, а высота — половина высоты коноидов.

Этот мет д применяется при выводе об'ема гиперболического конуса (гиперболоида вращения) и площади Архимедовой спирали.

Этот метод и теперь применяется в школьной литературе при так называемой «чортовой лестнице», т.-е. доказательстве равновеликосги двух пирамид с равными высотами и равновеликими основаниями. Но только в этом случае Архимедов метод представляется в несколько видоизмененном виде.

Доказывается, что а/т1 = а/т\ откуда PJm> = Ра(т)> QJm) = QJm)-

Архимеду приходится делать то, что избегается в этой последней форме, суммировать

eF-i = e.w + eiw+.....*pM-V

находить такую величину определенного рода, например, в первом примере цилиндра, для которой о i служила приближением по недостатку, а сумма зр — по избытку. Ему приходится суммировать

1+2+3+....+я 12 + 22 + 32+ . . . +/г2.

Ему не удается этим методом найти площадь сегмента параболы, так как приходится встречаться с суммой

|/1+1/-2 + 1/3+. . . у/1ьу

которую он, конечно, не может просуммировать.

Этот метод в обработке идеей предела приводит к основной идее интегрального исчисления1) в том виде, как она ныне (а не во время существования метода неделимых) представляется, а именно к представлению величины Д как предела суммы бесконечно великого числа бесконечно малых элементов. Тогда указанная выше форма сводится к следующей схеме:

(анализ) (синтез)

Указанное выше видоизменение архимедовского метода приводит

к схеме:

1) См. литогр. записки Д. Мордухай-Болтовского «Курс диффер. и интегр. исчисл.», т. I, Варшава. 1915. Также шесть лекций по философии математики.

§ 5. Метод неделимых, как выпрямление метода исчерпывания.

Характерная черта мысли эпохи возрождения, состоящая в том, что в науке прежде всего - ars inveniendi метод изыскания1) истин, а в несравненно меньшей мере-ars demonstrandi метод доказательства.

Метод неделимых2), который нарождается в XVIII веке, вполне отвечает этой черте.

Он мало убеждает и современников, но много обещает открыть. Берем его наиболее примитивную форму, которая находится у Кеплера.

Для определения площади круга Кеплер делит круг радиусами на равные бесконечно малые секторы (черт. 1). Эти бесконечно малые секторы он признает тождественными бесконечно малым треугольникам с высотой, равной радиусу, и основанием, равным дуге сектора К. Прямой PB он восстанавливает перпендикуляр ВС= OA и откладывает m PO . . . . Bl B.i=AlA.i и т. д. в силу равновеликости треугольников A1A%CvBBlCi и т. д. он получает, что площадь круга равна сумме площадей треугольников Bn—îCBn — ВСР, т.-е. теорему Архимеда.

В этом рассуждении признается существование актуально-бесконечно малых элементов круга и при этом признается, что те признаки двух элементов, об уменьшении разности которых свидетельствует интуиция, для бесконечно малых элементов совершенно сравниваются.

Это доказательство прямое в противоположность апагогическому методу исчерпывания.

На это следует обратить внимание. Вне сомнения, в дальнейшем при всех больших нападках рационалистов на апагогические доказательства3), к развитию метода неделимых способствует не столько его простота и практичность, как прямой характер его выводов.

В дальнейшем у Кавальери косвенная схема метода исчерпывания превращается в более простую схему метода исчерпывания.

Чтобы доказать, что

А\В—-а\Ь,

А и В разбиваются согласно идее второго метода Архимеда на части при чем неделимые (такое понятие, конечно, чуждо Архимеду)

Черт. 1.

1) Д. Мордухай-Болтовской «Философско-математические идеи XVI в.». «Известия Донского универ.» за 1919 год.

2) Kepleri. «Nova stereometria doliorum». Изд. 1615. Также в «Opera omnia» Francfurti 1871, vol. IV, p. 537—538. Bon. Cavalieri. «Geometria indivisib». Bononiae 1635(1653). Walisii «Arithmetica infinitorum». Opera Oxoniae 1693. Аксиоматику исчисления бесконечно малых актуальных см. у l'Hopital. «Analyse dos infin. petits». Paris 1759. Историю исчисления бесконечно малых - в книге: Gerhardt. «Die Entwickelung der Höheren Analysis». Halle. 1855. В «Vorlesungen» Cantor'a В. II, k. 78. «Infinitesimal. Betrachtung». Kepler. Cavalieri. Из старых книг: Knorre. «Dissertatio geometrica de methodo exhaustionis et indivisibilium». Wittenburguae 1692. Во взглядах на метод исчерпывания влияния зарождающейся идеи предела.

3) Об апагогических доказательствах - моя статья в «Ростовском научном вестнике» за 1922. Аристотель об апагогических доказательствах «Analytica Pos.», lib. 1, стр. 26; см. также Порт-Роялевскую логику. «L'art de penser» (Арной Николя). Примеры выпрямленных доказательств (с помощью введения бесконечно малых) можно найти в книге Ozanam. «Cours de Mathématiques». Paris. 1720; напр., lect. XI.

Доказывается, что для всякого / путем отождествления

а, и ß. . . râj njt для которых не трудно установить пропорцию

а. : ß = а : b

Легко видеть, какому изменению подвергается эта схема при установке

понятия бесконечно малого, в современном смысле, как переменного с пределом = 0.

А — lim 2 а., 5 = lim 2|3.

а. У. тождественны, a только эквивалентны1) a. и ß., т.-е.

Jim —=1, lim-ô- = l, поэтому на основании второй леммы анализа

Л = lim Ea^. Z? = lim S ßJ а так как a,.:ß, = a:ô, то

Л:£ = а:6.

С точки зрения Кавальери а. и ß. не эквиваленты частей Л и Z?, а сами эти части, Л и Z?— не пределы суммы, а сами суммы а. и или, что то же. a J и /3;..

Отсюда вытекает принцип Кавальери2), устанавливающий равенство величин из равенства их неделимых, равенство двух тел между двумя параллельными плоксостями из равенства площадей их сечений параллельными этим плоскостям плоскостями и т. д.

Это метод совершенно чужд античной мысли.

Торичелли3) старается убедить в том, что метод неделимых служил у античных математиков методом открытия, который не совпадал с методом доказательств, но с этим едва ли можно согласиться.

В действительности же психология открытий тех теорем, которые доказывались Евклидом и Архимедом апагогическим путем, много проще, чем думал Торичелли. 2-е положение XII книги «Начал»—естественное распространение того, что уже доказано для подобных прямолинейных фигур и вообще подобных фигур. Таково же происхождение и 18-го положения XII книги.

Теорема Архимеда о площади круга составлена по образцу теорем, относящихся к площадям правильных многоугольников. Значения поверхностей и об'емов конусов и цилиндров верней всего были найдены развертыванием их в плоскости, что, конечно, проще метода неделимых.

Совершенно невероятно, чтобы этот метод, совершенно неудобный при нахождении об'ема и поверхности сферы, применялся Архимедом в этих случаях как эвристический.

Впрочем, сам Архимед в упомянутом выше сочинении совершенно ясно говорит об истории сьоих открытий. Аналогон круга—сфера, тре-

1) Эта форма вырабатывается впервые Дюгамелем—Duhamel. «Elements de calcul infinitesimal». Paris. 1860, ch. IV, V, VI.

2) Обработка принципа Кавальери в смысле современных идей см. Weber-Wellsein. «Энциклопедия элементарной математики», изд. Матезис. Одесса, т. II, книга III, § 90. Принцип Кавальери, стр. 262; см. также Heinze «Genetische Stereometrie».

3) Торичелли (1608—1647). «De dimensione parabolae» в «Opera geometrica». Florence. 1644. О нем Cantor. «Vorlesungen». В. U.S. 883.

угольника—конус. Вот эта мысль и руководит Архимедом в поисках вывода, конечно, ощупью формулы для об'ема шара.

Архимед1) говорит: «Благодаря изложенной теории о том, что шар в четыре раза больше конуса, которого основанием служит большой круг, а высота равна радиусу круга, мне пришла в голову мысль, что поверхность шара в четыре раза больше его большого круга, при чем я исходил из представления, что как круг равен треугольнику, основанием которого служит периферия круга, а высота равна радиусу круга, так и шар равен конусу, которого основанием служит поверхность шара, а высота равна радиусу этого шара».

В сочинении «О шаре и цилиндре» Архимед строит строгое доказательство (при чем апагогически) этих положений.

Аналогон параболы —параболоид (коноид) и теоремы об об'еме сегмента коноида—аналогон раньше открытой теоремы о площади параболического сегмента.

Теорема о сфероидах —естественное обобщение теоремы о сфере

§ 6. Третья Архимедова форма метода исчерпывания.

В третьем методе Архимеда неравенства (5) заменяются:

Рам<А Pffm)<B.

Что А — PJm> может быть сделано как угодно мало, выясняется построением.

рм образуется из частей, каждая последующая из которых получается из предыдущей делением последней по определенному закону:

Дальше доказывается, что при взятии достаточного числа членов Paj— разность В—Рп(т>~ может быть тоже сделана сколь угодно малой. Невозможно, чтобы А < В, ибо тогда

В — РаМ>В — А

и невозможно, чтобы А > Ву ибо тогда

А—РаМ>А-В.

В известном выводе Архимеда площади сегмента параболы за Р а1 принимается площадь Д А OB, вписанного в сегмент, за Р а2 — Д OFB, вершина F которого на FM±_AB и МС = МВ (черт. 2) и другого аналогичного треугольника, за Р аг— Д FHBt где HN _\_ СВ и MN=NB и других аналогичных треугольников и т. д.

К этой форме больше всего подходит название «метод исчерпывания».

Представление РМ суммой HPaj представляет не что иное, как приближенное вычисление /Vm).

Берется величина Ря1, близкая к Р}т)} которая может быть признана за первое ее приближение. Это будет то, что можно назвать

Черт. 2.

1) Квадратура параболы Архимеда: Arch. «Opera» (ed. Heibug), I, 288. Cantor. «Vorlesungen», В. I. К. 29, S. 289. См. также Duhamel. «El. de cale inf.», ch. V, p. 29.

первым черпком. Затем берут остаток РаМ — РаХ и ищут его приближение Ра2.

Это будет второй черпок. Рассматривая новый остаток Ра^ — — Ра1 —Рао, находим его приближение Ра3 и т. д. С некоторым черпком PJm) окончательно исчерпывается, получается полное значение.

Но те же черпки служат и для приближенного вычисления А, но здесь точное значение уже не достигается. Внося идею предела, можно сказать, что предел суммы таких черпков будет точно равняться исчерпываемой величине и Д которая таким образом является пределом суммы бесконечно великого числа слагаемых, бесконечно убывающих, начиная с первого.

Чтобы выявить, каким образом эта форма приводит к этой другой точке зрения анализа, рождающей на ряду с интегралом еще ряды, мы представим способ Архимеда определения площади сегмента параболы в переработанном виде с привлечением понятия предела. Первое приближение (черт. 2) площадей, вписанных в параболу у2=^х £\АОВ (ВС=\. ОС=1), т.-е. 1. Остаток площадь сегментов АО и ВО.

Приближение их—площадь треугольников, в них вписанных. Удобнее всего орать OF В, где Е середина СВ и EF\\ OY

^§С=1Ш' IE = llv КОС (как у при x = KF = FE=1!2) равняется -i-KL = ~ LF=KF~KL = IE-KL = 42-±- = -±-

пл. О BF h ^ j~ г. ---TT—r = —, как высоты, опущенные на общую сторону OB, но последние относятся как параллельные отрезки LF= ВС, т.-е. как 1:4.

Таким образом приближение первого остатка — .

Второй остаток—остальные еще меньшие сегменты, с которыми поступаем так же.

Сумма этих площадей оказывается равной -~ и т. д.

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ С МНИМЫМИ КОРНЯМИ.

Б. Побединский (Баку).

Предположим, у нас имеется парабола

У = Х'2,

графически изображенная кривой (черт. 1), расположенной выше оси абсцисс.

Если мы вместо У возьмем — у то будем иметь

—у =х'2;

парабола эта будет мнимой, так как абсциссы ее

при положительных значениях у' будут мнимыми величинами.

Гр1фическое изображение такой кривой мы можем представить себе как зеркальное изображение верхней кривой (у = х'2), совмещенное с ней в одной плоскости чертежа.

Таким образом график параболы

У = Х'2............(1)

удовлетворяющий как положительным, так и отрицательным значениям координат, изобразится двумя ветвями кривой, симметричными относительно оси X'.

Предположим теперь, что у нас имеется уравнение

х'2 — с = 0.

Перепишем его в виде

Берем две функции

х'2— у' с —у*

Первая функция изобразится нашей кривой (с обеими ветвями), а вторая прямой параллельной оси X' и отстоящей от нее на расстоянии-}-с Нетрудно видеть, что абсциссы точек пересечения этой прямой с параболой и дадут корни нашего уравнения.

Предположим затем, что нам дано уравнение

или

X'2 = — С.

Введем попрежнему функцию

тогда —с=у или у = — с.

Первая функция по-старому изображается кривой с двумя ветвями а функция

у'=-с

прямой, параллельной оси X' и отстоящей от нее на расстоянии — с.

Абсциссы точек пересечения этой прямой с параболой дадут, очевидно, решения нашего уравнения, но так как теперь точки эти лежат на мнимой части кривой, то и значения корней будут мнимыми величинами,

Переменим начало координат так, чтобы новое начало относительно

старого имело бы абсциссу, равную, например,--~ , тогда ордината но-

вого начала, очевидно, будет равна — ; старые координаты кривой выразятся через новые равенствами

и уравнение параболы будет

или

у = х2 — ах...........(2)

при чем оно выражает обе ветви кривой.

Как пользоваться верхней ветвью при решении квадратных уравнений—это уже общеизвестно, а следовательно, нам предстоит задача заняться нижнею ветвью.

Предположим, у нас имеется уравнение

X2 — ах-{-с = 0.........(3)

Перепишем его в виде

x2 — ах — — с

и обозначим

X2 — ах—у.......• . . (4)

— с=у..........(5)

Если с будет больше ~, то прямая (5) пересечет мнимую ветвь (черт. 1), а следовательно, абсциссы точек пересечения этой прямой с ветвью параболы будут корнями нашего уравнения.

Ось мнимой ветви будет действительная прямая, так как она есть ось ординат Y\ а потому для определения мнимых абсцисс- мы должны сначала связать координатную ось Y с осью мнимой ветви, а затем уже измерять мнимые отрезки от Y до точек мнимой кривой, которые, конечно, будут мнимыми.

Итак, для нашего случая один корень будет равен

xx = AB+BMxi \ (6)

а другой x2 = AB — BMui \v ;

Черт. 1.

Черт. 2.

Из чертежа 1-го видно, что

а абсолютное значение

Подставив эти значения в равенства (6), получим

Соединяя оба корня вместе и внося i под радикал, получим

ответ который дается аналитическим решением уравнения (3).

Перенесем теперь начало координат так, чтобы абсцисса нового начала относительно старой системы координат X'0'Y' была бы равна -f (черт. 2).

Для перехода от старой системы координат к новой в настоящем случае будем иметь

и уравнение (1) преобразуется в следующее

или

Черт. 3.

Рассуждая аналогично всему вышесказанному, мы найдем, что корни уравнения

изобразятся абсциссами точек Мг и М2 (черт. 2) и численная их величина определится из равенства

Таким образом комплексные числа изобразятся отрезками АВМг и ВАМ2, и, следовательно, отрезки, изображающие комплексные числа, можно обозначать тремя буквами, помня, что первые две буквы обозначают начало и конец действительной части комплексного числа, а вторые две—начало и конец мнимой части.

Для отличия от обыкновенных отрезков можно ввести обозначение

ставя под первыми двумя буквами черту, а в конце помещая и

При таком обозначении искомые корни уравнения выразятся через

х1 = ABMxi

и х2 = A BMJ

Из всего вышесказанного видно, что при графическом решении квадратных уравнений нет никакой надобности каждый раз вычерчивать

параболы; достаточно вычертить один раз и притом только верхнюю (действительную) ветвь.

Предположим, у нас имеется уравнение X2 — ax-f с = 0 . . . (7) Берем вычерченную параболу (черт. 3) у = х'2 берем на ней точку О" с абсциссой, равной —• , проводим через нее вертикальную линию DA и от точки D вверх по вертикали откладываем отрезок DA, равный свободному члену уравнения (7), уменьшенному на величину отрезка 0"Д т.-е. берем

DA = c~0,}D

Через точку А проводим прямую, параллельную оси X, точки Мх и ее пересечения с параболой и дадут корни уравнения, т.-е. будем иметь

Черт. 4.

Так же точно решается уравнение

х2-|-ax-f с = 0,

но только в настоящем случае точка О" берется с абсциссой, равной -Ь"у" •

На чертеже 4 вычерчены обе ветви параболы и дано решение уравнений

X2 —2x4-1,36 = 0 и x2-f 1,4х + 1,93 = 0

Для первого получены корни

*= 1 ± 0,6/,

а для второго

х= — 0,7 + 1,2/, т.-е. корни, отвечающие аналитическому решению уравнений.

ОДИН ИЗ ПРОСТЕЙШИХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СПОСОБОВ НАХОЖДЕНИЯ ОДНОГО ИЗ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ ВИДА X (X—1) . (X—2) . (X—3) . (X—4) . (X—5)...= m , ГДЕ m ЦЕЛОЕ ЧИСЛО.

С. Адамович (г. Тула).

Известно, что в курсе элементарной алгебры не рассматриваются в общем виде решения уравнений степени выше второй (биквадратные и возвратные уравнения—это частные случаи высших степеней), а потому и задачи, встречающиеся в курсе элементарной алгебры, условие которых сводится к кубичному или к уравнению 4-й степени, остаются нерешенными. Так, напр., в одном из учебников элементарной алгебры указано, что для нахождения числа элементов, участвующих в размещении ,4^ = 60, требуется знание высшей алгебры.

Я предлагаю следующий простой способ элементарного решения этой задачи. Условие задачи приводит к уравнению x (х — 1) (х— 2) = 60. Уравнение это я решаю так: средний множитель х — 1 приравниваю к корню кубичному из 60, взятому с точностью до единицы с избытком, т.-е. х-1=]/б0 = 4 с избытком. Откуда х — 1 = 4 ; хх = 5.

Пример. Найти х из AJ — 360. По условию задачи

4/--

x (х — 1 ) (х — 2) (х — 3 ) = 360 ; х — 1 = у 360 — 5 с избытком, хх = 6.

Пример. Найти х из Л/= 2520. По условию x (x — 1 ) (x — 2) (х — 3) (X — 4) = 2520. Средний множитель X— 2 = \/ 2520 = 5 с избытком ; х — 2 = 5 ; х1 = 7.

Пример. Найти х из Лх7 = 604800.

X (х — 1 ) (х — 2) (х — 3) (x — 4) (х — 5) (х— 6) = 604800. x - 3 = ^604800 = 7 с избытком ; х — 3 = 7 ; хх — 10. Для нахождения корня 7-й степени из числа 604800 можно пользоваться логарифмами. Для чего, положив j/6048u0=j/, логарифмируя получим lg у = ——^——7— = 0,82^94, откуда у = 6, 698, т.-е. j>>6, следовательно, корень 7-й степени из числа 604800 с избытком равен 7.

Вышеприведенный мой способ решения может быть применим и к следующим видам уравнений 3-й степени.

Например: [х + 8) (х + 9) [х +10) = 1320 , x -f 9 = J/T32Ö = 11 с избытком; xt = 2.

Замечание 1-е. Может случиться, что уравнение вида х3 + Зах2-\--|- Ьх -f-с = 0, где а, Ь, с — числа целые, решается подобно вышеуказанному.

Пример: х3-'-ЗЗх2-}-362^с — 864 = 0. Делим коэффициент при хг на 3, получим 33:3=11, средний множитель равен х-\-\\. Уравнение можно представить в виде (x-f-10) (х-\- 11 ) (л: +12) == 1872;л:-(-11 = |/ 1872 = 13 с избытком; х-\-\ \ = \Ъ \хх — 2.

Пример: хъ — Зх2 -|- 2х — 336 = 0 ; —3 : 3 = — 1, средний множитель je — 1 = \/ баб — 7 с избытком; хг — 8.

Пример: х3-}-9х2-[-26л:-|-30 = 0;9:3 = 3. Уравнение будет

(Х + 2) (лг-f 3) — 6;х+3 = у — 6 = — 2 с избытком; х-f-

-(-3 = — 2; хг = — 5. Остальные корни мнимые.

Замечание 2-е. Этим способом можно пользоваться и в квадратных уравнениях, если по смыслу задачи требуется получить целые корни.

Например: Число членов арифметической прогрессии равно неизвестному в уравнении (х — 2) (х—3) = 110 ; х—2 = |/ 110 = 11 с избытком; .^ = 13. Для уравнения же вида х (Х-\- 1) = 8372 х = |/ 83/2 = 91 с недостатком; хх = 91 ; х2 = 92.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ВЫВОД ОБОБЩЕННОЙ ТЕОРЕМЫ CATALAN'А.

И. М. Франк (Москва).

1. Введение. Геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из произвольной точки плоскости на касательные кривой, лежащей в той же плоскости, носит название подэры этой кривой относительно данной точки.

Нормаль кривой есть касательная ее эволюты. Поэтому геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из произвольной точки на нормали кривой, есть подэра ее эволюты. Как подэру, так и подэру эволюты мы будем предполагать построенными с помощью одной и той же точки, называемой полюсом построения.

Между площадями этих кривых существует соотношение, впервые открытое Е. Catalan'ом в 1886 г.1): Разность площадей подэры кривой и подэры ее эволюты равна площади самой кривой.

Теорема эта была им доказана лишь для случая, когда кривая всюду выпукла и полюс построения лежит внутри нее.

Впоследствии было дано несколько доказательств этой теоремы2), при чем аналитическим методом она была распространена на любую замкнутую кривую3). Строгого и полного геометрического доказательства, насколько нам известно, не существует. Настоящая статья посвящена геометрическому доказательству обобщенной теоремы Catalan'a, дающему этой теореме новую форму (§ 7, следствие).

2. Образование площадей. Рассмотрим движущийся отрезок, меняющийся как по величине, так и по направлению.

При перемещении отрезок покрывает некоторую площадь. Каждому элементу ее будем приписывать определенный знак, а алгебраическую сумму этих элементов считать за площадь, описанную отрезком. Условимся движущийся отрезок считать направленным, т.-е. вектором.

Будем приписывать элементу площади знак плюс, если при движении вектора этот элемент переходит с левой стороны вектора (смотря вдоль него) на правую, и знак минус в противоположном случае.

Удобно представить себе, что если вектор, покрывая площадь, движется вперед своей левой стороной, то элемент площади окрашивается в красный цвет, а если правой — то в дополнительный ему зеленый.

1) «Mélanges mathématiques- («Mém. Soc». Liege, 2-е ser., XII, 1886, p. 230)

2) К. Tsuruta. «Conter pedals» («Mess. math. , 2 ser., XXIII, 1894).

3) L'Intermédiaire des Mathématiques. T. II. 1895, p. 107, там же W. Mantel, pag-107 и С. Juei et E. Duporcq, pag. 109.

Удобство интерпретации с помощью красок в том, что, кроме положительных— красных площадей и отрицательных—зеленых, имеются еще белые площади, либо не покрытые вектором, либо покрытые дважды и при этом окрашенные сначала в один, а потом в другой ему дополнительный цвет.

Площадь, покрытая отрезком, есть разность окрашенных им красных и зеленых площадей. Белые площади мы можем просто отбросить. Предположим, что вектор закреплен своим началом в неподвижной точке, а конец его скользит по кривой. Нетрудно видеть, что положительные площади образуются при вращении вектора против часовой стрелки, а отрицательные—в обратном случае. Таким образом определение площади в данном случае вполне совпадает с обычным ее определением в полярных координатах.

Каждой точке данной кривой соответствует одна точка подэры и одна подэры эволюты. Возьмем соответственно три вектора, концы которых лежат в этих точках, а начала закреплены в полюсе построения, и будем рассматривать плошали, описанные ими. Таким образом устанавливается однозначное соответствие между площадями исследуемых трех кривых.

3. Частный случай движения двух векторов, совпадающих своими серединами1). Предположим, что вектор закреплен своей серединой. Тогда верхняя и нижняя его части образуют площади, равные по величине и противоположные по знаку. Поэтому площадь, описанная вектором при вращении его вокруг середины, равна нулю.

Рассмотрим произвольное бесконечно малое перемещение вектора. Его можно представить как поступательное перемещение вектора, равное перемещению его середины плюс поворот вокруг нее. Если пренебречь бесконечно малым изменением длины вектора, то площадь, описанная при этом, равна площади параллелограма, одна пара сторон которого равна и параллельна начальному положению вектора, а другая—перемещению его середины. Заменяя площадь трапеции площадью параллелограма, мы делаем ошибку, равную площади двух треугольников с бесконечно-малыми сторонами, т.-е. на величину второго порядка малости.

Пусть два вектора двигаются так, что середины их все время совпадают. Тогда при бесконечно-малых перемещениях у элементарных параллелограмов стороны, параллельные перемещению общей середины векторов С, будут равны между собою. Соединим прямыми попарно начала векторов и их концы. Предположим, что эти прямые параллельны перемещению точки С. Тогда равные стороны элементарных параллелограмов будут лежать на этих прямых, и, значит, высоты их будут также равны. Отсюда оба элементарные параллелограма равны. Суммируя элементарные перемещения, найдем, что площади, описанные векторами, также равны.

Поэтому:

Если параллелограм движется так, что одна пара его сторон остается все время параллельной траэктории центра, то диагонали его, которые считаем направленными к одной из сторон этой пары, описывают равные площади.

Векторы, противоположные по направлению, при одинаковых перемещениях образуют площади равные, но противоположные по знаку. Поэтому, если считать диагонали направленными к разным сторонам этой пары, то площади, ими образуемые, будут равны и противоположны по знаку.

1) Содержание §§ 3 и 4 близко к изложению W. Mantel'я, «lnterm. Mathém.» T. II, 1895, p. 107.

Черт. 1.

4. Лемма. Пусть Г—данная кривая (черт. 1). Из произвольной точки плоскости О опускаем перпендикуляры на касательную и нормаль к ней в точке М. В результате получаем точку подэры Р и подэры эволюты К. Точки ОРМК образуют прямоугольник. Пусть точка M перемещается по кривой Г, и для каждого ее положения выполняем то же построение. Мы получаем т. о. семейство прямоугольников, которые можем рассматривать кинематически, как непрерывную деформацию прямоугольника ОРМК. При этом вершина его Р движется по подэре кривой, а К—по подэре эволюты ее. Сторона его РМ остается касательной к кривой Г. Центр прямоугольника С лежит на середине диагонали его ОМ. Но ОМ есть радиус-вектор кривой Г, и геометрическое место середин его есть кривая Г\ подобная Г, с отношением подобия, равным 0,5, и подобно расположенная относительно О. Поэтому касательная к Г1 в точке С параллельна касательной к Г в точке М, т.-е. РМ, а значит и КО. Таким образом получаем частный случай движения, рассмотренного в прошлом параграфе. Замечая, что диагональ ОМ направлена к стороне РМ, а диагональ PK к стороне OK, получим лемму:

Сектор площади данной кривой равен взятой с обратным знаком площади, образованной отрезком, соединяющим точку подэры с точкой подэры эволюты, когда концы этого отрезка пробегают дуги этих кривых, соответствующие дуге данной кривой.

5. Площадь, описанная замкнутой кривой. Проследим теперь отдельно движение части прямоугольника, именно движение треугольника ОРК. Предположим, что все его стороны, т.-е. ОР, PK и КО, описывают площади. Сумму площадей, описанных ими, назовем площадью, описанной треугольником.

Площадь самого треугольника считаем положительной, если обход ОРК совершается против стрелки часов, или, что то же, если при этом внутренние точки треугольника остаются все время влево от контура. Наоборот, если они остаются вправо, то считаем площадь треугольника отрицательной. Знак площади треугольника не следует смешивать со знаком части плоскости, заключенной в треугольнике, описанной сторонами треугольника. Знак элементов последней зависит только от того, каким образом они перешли через одну из его сторон.

Пусть какой-либо элемент площади, бывший внутри треугольника, при его перемещении окажется вне его. Если площадь треугольника положительна, то для этого он должен перейти через одну из его сторон слева направо, т.-е. согласно определению (§ 2) получить знак плюс. Наоборот, если она отрицательна, то справа налево, т. е. получить знак минус.

Короче: элемент площади, выходящей из треугольника, получает знак, совпадающий со знаком площади треугольника. Нетрудно видеть, что площадям, входящим в треугольник, должен сообщаться знак, обратный знаку его площади.

Если знак площади треугольника остается неизменным, то элементам площади, входящим и выходящим из треугольника, сообщаются противоположные знаки. Что касается знака площади треугольника, то он, вообще говоря, может измениться на обратный, но изменение площади треугольника мы предполагаем непрерывным, т.-е. площадь треугольника

может убывать до нуля, когда все его вершины будут расположены на одной прямой, после чего она может снова возрастать, имея уже другой знак, если знак обхода окажется измененным на обратный. Таким образом, если данный элемент площади находится внутри треугольника, то знак площади треугольника измениться на обратный не может. Отсюда следует, что элемент площади, который при движении треугольника вошел внутрь его и потом снова из него вышел, сохранит свой знак или останется «белым», если он был таковым первоначально.

Пусть треугольник переходит из положения ОРК в положение ОРхКх (черт. 2). Всю плоскость в начальный момент движения считаем «белой», т.-е. не имеющей ни знака плюс, ни знака минус.

Часть плоскости, лежащая вне начального и конечного положения треугольника, останется «белой», независимо от пути треугольника.

Часть плоскости, лежащая внутри начального положения треугольника ОРК и вне конечного его положения—OPiKl, получила знак, совпадающий со знаком треугольника в начальный момент. Действительно, каждый элемент этой площади в некоторый момент вышел из треугольника. Площадь треугольника в этот момент имела тот же знак, что и в начальный, ибо, пока элемент площади был внутри треугольника, площадь последнего не могла изменить знака. Элементам же площади, выходящим из треугольника, как уже было сказано, сообщается знак, совпадающий со знаком площади треугольника. Аналогичным рассуждением найдем:

Площадь, находившаяся вне треугольника в начальный момент, т.-е вне ОРК, и заключенная внутри его в конечный момент движения, т.-е внутри OPxKt, получила знак, противоположный знаку площади треугольника в конечный момент.

Если треугольники ОРК и ОРхКх не перекрываются своими площадями, то первый из рассмотренных случаев определяет знак всей площади, заключенной в ОРК, а второй—всей площади, заключенной в ОР±Кх. Если же треугольники перекрываются, то общую им площадь надо отнести и к первому, и ко второму из рассмотренных случаев и отсюда определить ее знак. Например, если знаки площадей треугольников ОРК w ОРхКх противоположны, то части плоскости, заключенные в них, имеют одинаковые знаки, совпадающие со знаком площади ОРК Площадь, общая им обоим, будет того же знака, притом двойная.

Наоборот, если площади треугольников имеют одинаковые знаки (черт. 2), то части плоскости, заключенные в них, имеют противоположные знаки, а площадь, общая им обоим, будет «белой».

Докажем это. Предположим, что .элемент площади был внутри треугольника во все время его движения, тогда очевидно, что он остался белым. Однако, в этом случае площадь треугольника не могла изменить

Черт. 2.

своего знака, так как она не могла перейти через нуль. Поэтому площади ОРК и ОРхКл имеют одинаковые знаки, что и должно быть. Предположим, что элемент площади в некоторый момент вышел из треугольника—тогда к нему применимо рассуждение, приведенное в первом случае. Но в этом случае найдется момент, когда он войдет в треугольник, т.-е. к нему применимо рассуждение, приведенное во втором случае. Т. о. наше предположение оправдано.

Резюмируя все сказанное, найдем:

Площадь, описанная треугольником, равна разности площадей его в начальный и конечный моменты.

Нетрудно видеть, что теорема эта обобщается на случай, когда речь идет о движении не треугольника, а произвольной замкнутой кривой.

6. Теорема Catalan'a. Вернемся к треугольнику ОРК. Площадь, им описанная, как было уже сказано, есть сумма площадей, описанных его сторонами.

Сторона ОР есть радиус-вектор подэры, и значит площадь, описанная им, есть площадь ее сектора.

Отрезок PK, по доказанному, описывает площадь, равную по величине и обратную по знаку площади сектора данной кривой. Отрезок OK есть радиус-вектор подэры эволюты, поэтому КО описывает площадь сектора подэры эволюты, взятой с обратным знаком.

Отсюда следует теорема:

Если ММХ—дуга кривой, РР1—соответственная дуга ее подэры ККХ> подэры эволюты и О — центр построения, то площадь сектора подэры ОРРх минус площадь сектора подэры эволюты OKKv равна площади сектора самой кривой ОММ1 плюс разность площадей треугольников ОРК и ОР1Кг

Единственным условием применимости теоремы является непрерывность данной кривой, ее подэры и подэры эволюты. Если это условие не соблюдено, то можно кривую разбить на дуги и применить теорему к каждой из них, а результаты просуммировать.

Если данная кривая замкнута, то, обойдя вокруг нее, вернемся к начальной точке. Треугольник ОРК вернется к прежнему своему положению, и значит площадь, им описанная, будет равна нулю.

Отсюда имеем:

Площадь подэры замкнутой кривой минус площадь подэры эволюты ее равна площади самой кривой.

7. Следствие. Рассмотрим треугольники ОМР и ОКР (черт. I). Площади их в каждый данный момент равны, и значит на основании § 5 и площади, ими описанные, также равны.

Сторона PO у них общая. Стороны МО и KP на основании доказанного (§ 4) описывают равные площади. Отсюда стороны MP и PK также должны описывать равные площади.

Таким образом получаем теорему:

Площадь сектора подэры эволюты OKKi равна площади МРРХМХ, описанной отрезком касательной кривой, взятым от точки касания M до точки подэры Р.

Возвращаясь назад к движению параллелограма, мы найдем, что: Если параллелограм движется так, что одна пара его сторон параллельна траектории центра, то эти стороны покрывают равные по величине площади, но с обратными знаками.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБРАЗЫ В ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ.

Н. Платонов (Тверь).

Геометрический смысл якобианов.

При определении площадей, ограниченных кривыми линиями, иногда большую услугу оказывают выражения, называемые якобианами по имени открывшего их математика Якоби.

Сущность этого открытия состоит в следующем. Положим, что нам надо вычислить площадь фигуры, ограниченной каким-нибудь криволинейным периметром (рис. 1). Для этого мы проводим семейство кривых А и семейство кривых В, отличающихся некоторым параметром (в каждой из этих систем).

Рис. 1.

Если мы будем придавать параметрам этих систем значения, бесконечно близкие между собою, то весь наш контур разделится на бесчисленное множество площадей, по своим очертаниям весьма близких к паралледограмам. Следует представлять себе дело так, что каждая такая бесконечно малая фигура имеет стороны, неограниченно приближающиеся к прямым линиям, попарно параллельным между собою. Противоположные стороны каждой фигуры, если и не равны между собою, то по крайней мере отличаются друг от друга на величину бесконечно малую второго порядка. Точно так же и направления противоположных сторон, если и не совпадают, то отличаются друг от друга на величины бесконечно малые высших порядков.

При этих условиях наш взгляд на элементы площади, как на параллелограмы, оправдывается

Пусть ABCD (рис. 2) —один из таких параллелограмов. Пусть ВК=а, BL = b, CL = с, СМ = d. Это будут проекции сторон параллелограма на координатные оси.

Площадь KLMN=(a-\-b) {с -j- d) = ас -f-be ad -f- bd. Площадь ВЬС=Щ-9 площадь ADN = Ц-у площадь АВК= ~, площадь СМи=Ц.

Сумма площадей BLC, ADN, АВК и CMD есть bc-\-ad. Отсюда площадь параллелограма ABCD = (са -|- cb -f da -f db) — (cb + da) = = ca -J- db.

Но a есть проекция AB на ось j/ или АВу d есть проекция AB на ось х или АВХ с есть проекция ВС на ось х или ВСХ b есть проекция ВС на ось у или ВСу.

Поэтому площадь

ABCD = ABу . ВСХ + АВХ. ВСу.

Однако примем во внимание и знаки.

Условимся вот в чем. Очертания параллелограма ABCD определяются двумя его сторонами, например, AB и ВС, т.-е. их величиною и взаимным наклонением. Условимся положительным направлением линии

считать такое ее направление, при котором ординаты ее увеличиваются. Тогда направление AB надо считать от А к В и направление ВС от В к С. Тогда проекция АВХ идет налево, следовательно, ей надо приписать знак —; АВу идет вверх, она имеет знак -\-\ ВСХ идет направо, она имеет знак -f-; ВСу идет вверх, она имеет знак также -[-.

Таким образом площадь параллелограма ABCD выражается так: ВСх.АВу~АВх. ВСу, при этом знак — мы поставили потому, что в выражении проекции АВХ мы уже мыслим знак —, так что в общем по прежнему знак -\-.

Отсюда видно, что площадь элементарного параллелограма выражается детерминантом

Положим теперь, что линии AD и ВС принадлежат одному семейству с изменяющимся параметром v и AD отвечает значению параметра v и ВС бесконечно близкому значению того же параметра vf. Точно так же ВА и CD принадлежат другому семейству и бесконечно близким значениям щ и ut другого параметра и. Параметр v изменяется в направлении от vt к v2 и параметр и изменяется в направлении от ил к #2.

Рассмотрим внимательнее переход ВС. Что меняется, когда мы двигаемся от В к С? Меняется л:, меняется уу меняется значение параметра и, но не меняется значение параметра v. Каждому новому значению параметра и при движении вдоль ВС отвечают новые значения х и у. Выходит так, что х и у для этого перехода являются функциями параметра и.

В виду этого можно говорить об изменении и одного х на этой линии в зависимости от изменения параметра и. Чтобы оценить полное изменение х для перехода по пути ВС, воспользуемся аналогией, взятой из области механики. Пространство, пройденное телом, равняется v.t% если скорость v постоянна. Если же она переменна, то пройденное пространство равняется v . dt где v — скорость в данный момент, a dt — бесконечно малый промежуток времени, — что же касается v, то это есть

Так как изменение х при равномерном изменении параметра и (по пути ВС), вообще говоря, неравномерно, то мы имеем

т.-е. быстроте изменения х (частная производная в виду наличия и другого аргумента у) в зависимости от изменения параметра, умноженной на бесконечно малое приращение л\ Также найдем, что

Отсюда площадь элементарного параллелограма равна

Иначе :

Выражение это может быть представлено при помощи детерминанта

чтобы определить всю площадь, ограниченную конечным контуром, надо интегрировать подобные диференциальные выражения в определенных пределах изменение параметра.

Детерминант, только что написанный, и называется якобианом. Особенно полезным вычисление этих якобианов оказывается тогда, когда пределы интегрирования определяются криволинейными контурами.

Для иллюстрации метода приведем пример.

Возьмем семейство парабол у —их2 и прямых y=v (рис. 3).

Поставим себе целью найти площадь, ограниченную, например, контуром ABCD.

Из данных уравнений находим :

Отсюда

Отсюда для детерминанта, который и называется якобианом, находим выражение:

Оно равно —

Поэтому площадь элементарного параллелограма равна

Конечную площадь, например, ABCD, получим, интегрируя такие выражения в конечных пределах для данных значений параметров.

Для площади BDKL получим :

Рис. 3.

Для проверки произведем интегрирование упрощенным путем, принимая за независимое переменное у (рис 3).

Разобранный пример достаточно ясно показывает, как применяются на практике якобианы.

Но представления начинающего изучать высшую математику будут ярче и глубже, если мы более детально остановимся на геометрическом рассмотрении строения якобиана, не довольствуясь одними аналитическими суждениями.

Обратимся снова к рисунку (3).

Напомним форму полученных частных производных:

Рассмотрим эти выражения в связи с перемещениями по конечному контуру afrq (те же соображения касаются перемещений и по бесконечно малому контуру того же типа).

Перемещение fh. Совершая его, мы не изменяем у, но изменяем л:, и, кроме того, изменяем параметр и. Из чертежа ясно видно, что одинаковым приращениям х вдоль линии В\ отвечают не одинаковые приращения параметра, и, конечно, обратно. Вот почему эта частная производная не есть константа. Она зависит и от а и от v. Это ясно видно из чертежа. Равным изменением параметра на участках Bfr, 8ч. ijn.... и таким же изменением параметра на участках Aa, cq,.... отвечают неравные изменения x и они зависят от v.

То же надо сказать и о выражении

характеризующим переходы по линии AB, аД fi,.... и т. д.

Это означает, что вдоль линии В\ с изменением параметра и величина у не изменяется.

Это означает, что приращению параметра v отвечает равное приращение ординаты v вдоль линий AB, a&, 71 и т. д., что и естественно, так как у =v.

Итак, составляя якобиан из частных производных, мы как бы обходим каждый бесконечно малый элемент по типичным контурам, и уясняем себе связь между изменением х, у, и и v при этих переходах.

Но пойдем далее. Нельзя ли отдать себе отчет в том, что же представляет собою якобиан с геометрической точки зрения, по крайней мере для простейших случаев.

Для этого рассмотрим во взаимной связи рисунки (3) и (4). На рисунке (3) представлено два семейства кривых, выражаемых уравнениями

Здесь X и у обозначают координаты точки какой-нибудь кривой семейства, а и и v — параметры.

Решим те же уравнения относительно и и v. Мы получим:

v = x2 . и\ v =у ; и=-^ .

Здесь можно мыслить и и z> как координаты точки (рис. 4), а хну — как параметры семейств. Построим и эти два семейства (рис. 4) и сравним их между собою.

Возьмем для примера точку а в той и другой системе; для нее и там и здесь для точки Ö* : для точки y :

Сопоставление рис. 3 и 4 дает возможность сделать некоторые интересные заключения.

Рис. 4.

На рис. 3 точки у и / лежат на одной кривой параметра u — U на рис. 4 те же точки лежат на одной вертикали, т.-е. линии, параллельной оси v. Это и не удивительно, так как для точек т и i и = 1, а ведь и в системе рис. 4 есть расстояние, считаемое вдоль горизонтальной оси, это есть абсцисса новой системы.

Точно так же мы найдем и обратное соответствие. Например, на рис. 4 точки y и & лежат на одной линии параметра * = 1, на рис. 3 они принадлежат линиям разных параметров, но лежат на одной и той же вертикальной линии. Причина та же, что и указанная выше.

Будем называть представленное на рис. 3 первой системой, а на рис. 4 второй системой.

Частью прямолинейный, частью криволинейный контур -рк8 первой системы отвечает прямолинейному и прямоугольному контуру второй системы; то же касается контуров а9ту и 8кХе.

Существует и обратное соответствие.

Прямолинейному, но не прямоугольному контуру 8167 (рис. 4) отвечает прямолинейный и прямоугольный контур 8187 Рис- 3 (если мысленно соединить точки Sifty прямыми).

Называя точки 9-, jn, к, \, мы идем на рис. 3, удаляясь от вертикальной оси координат, а на рис. 4 мы идем, приближаясь к ней.

То же и относительно точек а. 7, 8, е.

Далее: в системе первой точки а, fr, 1, 7 принадлежат двум смежным линиям параметров и = \ и и = 4; в системе второй эти же точки принадлежат трем смежным линиям параметров х = ~; х~1\ х — 2, при чем две из них лежат на линии среднего параметра.

То же и обратно: в системе второй точки 8, i, fr, f принадлежат линиям трех смежных параметров и =4; и = 1\ ti=-^-} в системе первой эти точки принадлежат трем смежным линиям параметров u — i\ и = 1; я=-^-, при чем две из них лежат на линии среднего параметра.

Бросается в глаза и еще такое соответствие: в первой системе точки fr, i, ju, к идут слева направо и взяты на равных расстояниях, в системе второй они идут справа налево и им становится все теснее. Разумеется, легко можно было бы найти и обратное соответствие.

Теперь сравним площади, ограниченные соответствующими линиями в той и другой системе.

Площадь ccfrry в системе первой менее соответствующей площади во второй системе; площадь -рко, наоборот, более соответствующей площади во второй системе.

Отсюда видно, что постоянного соотношения между площадями первой и второй системы нет. Это отношение переменно. В сущности якобиан и есть тот переменный множитель, на который надо умножить бесконечно малый элемент площади, взятый в одной системе, чтобы перейти к соответствующему бесконечно малому элементу другой системы.

Заметивши это, можно дать якобиану геометрическое истолкование,

Пусть рис. 5 представляет на плоскости хоу такое же семейство парабол, как и на рис. 3, при чем OAK— кривая параметра u—\. а кривая OBL параметра и = -g- .

Пусть нам нужно найти величину площади, ограниченную контуром ABLK Вообразим себе тело ABCD, имеющее в основании контур ABKL и высоту АС = \. Об'ем такого тела ABKL CDMN численно равен площади его основания ABLK Деформируем теперь это тело в тело ABKLCDMN (рис. 6), у которого основанием служит площадь ABLK, вполне соответствующая площади ABLK (рис. 5) в смысле соображений,

Рис. 5.

высказанных ранее (в системе рис. 5 х v\ у —координаты, и и ^—параметры, в системе рис. 6 и и v— координаты, х и у—параметры).

Представим себе, что контур ABKL рис. 5 разделен на бесчисленное множество элементов параметрическими кривыми и соответствующие элементы построены в системе рис. 6 на контуре ABKL. Эти элементы будут прямоугольны, но не равны по площади, хотя и бесконечно малы. Построим на каждом таком элементе рисунка 6 прямую призму высоты, равной якобиану для этого элемента. Тогда мы получи vi те по ABLKCDMN (рис 6), которое по своему об'ему будет численно равно об(ему того же тела рис 5 и вместе с тем численно равно площади фигуры ABLK рис.5. Таким образом применение якобианов геометрически обозначает как бы замену подлежащего вычислению об'ема ABKLCDMN рис. 5 вычислением деформированного об'ема ABKLCDMN рис. 6.

В чем же преимущество такой замены? Оно ясно из чертежа.

Тело ABLKCDMN рис. 5 ограничено с четырех сторон плоскостями, а с двух сторон криволинейными поверхностями; тело же ABKLCDMN рис. 6 ограничено с пяти стогон плоскостями и лишь с одном стороны кривой поверхностью. Само собою разумеется, что интеграция во втором случае протекает легче.

Выясним еще одно интересное соотношение.

В теории якобианов доказывается, что произведение прямого и обратного якобиана равняется единице.

Найдем этому геометрическое подтверждение.

Возьмем для примера две системы кривых (рис. 7>, выражаемых уравнениями: у = их2 и y = vx, где х и у — координаты, а и и v — параметры.

Решая эти уравнения относительно х и у> найдем:

Рис. 6.

Составляем частные производные для вычисления якобиана:

или, в виду того, что

Соответствующие системы кривых на рис. 8 выразятся уравнениями:

где и и ^ — координаты, ахи у— параметры.

Составим и здесь якобианы для обратного перехода:

Видно, что

После того как частная проверка уяснила, о чем собственно идет речь, дадим затронутому положению общее доказательство, но не аналитическое, а геометрическое.

Рассмотрим для этого рис. 7 и рис. 8. Фигура aßy8 рис. 7 отвечает фигуре aßy8 рис. 8, и фигура -yßx^ö* рис. 8 отвечает фигуре fß^fr рис. 7^

Рис. 7.

Рис. 8.

Соответствие полное в том смысле, как указано выше. Фигура aßyS на рис. 7 ограничена параметрическими линиями, но на рис. 8 фигура, соответственная aßyo, ограничена координатными линиями (точнее — линиями, параллельными осям координат). И обратно—фигура ßy^ö ограничена на рис. 8 параметрическими линиями, а на рис. 7 —* координатными.

Выделим теперь на том и другом рисунке фигуру ßyju. Она является интересной в том отношении, что является на рис. 7 общей для фигур aßyS и ßyrjfr; точно то же можно сказать и о рис. 8.

Таким образом мы можем утверждать, что изображение фигуры ßyp. на рис. 7 есть ßyju на рис. 8 и обратно.

На рисунке 7 фигура ßyiu ограничена двумя параметрическими линиями и одной координатной; то же можно сказать и о фигуре ßyju на рис. 8.

Примем, что эти фигуры бесконечно малы по своим размерам. И пусть якобиан, отвечающий средней точке фигуры aßy на рис. 7, есть У, а якобиан для рис. 8 есть Jx.

Чтобы получить площадь фигуры aßy на рис. 8, мы должны умножить площадь aßy рис. 7 на У, для обратного перехода имеем множитель Jv

Так как мы при этом, пользуясь двойным переходом, должны вернуться к прежней величине элементарной площади, то JJx—\,

Рис. 9. Рис. 10.

До сих пор мы брали примеры, где одно из семейств параметрических линий—система прямых.

Усложним наш пример и возьмем кривые рис. 9, отвечающие уравнениям

где x и у — координаты, и и v — параметры. Вычисляя У, найдем:

Рис. 11.

контуру aßy8 рис. 9 отвечает контур aßyS рис. 10. Имеем:

(x и у— координаты, и и v— параметры). Обратно:

И, следовательно,

Наконец, можно представить себе возможность истолкования геометрического значения якобиана третьего порядка, если только начать иллюстрацию с пространства трех измерений.

Пусть нам дана система уравнений х — и

у — vx2 = vu2

z = w —y = w — vu2, rj\ex,y,z—координаты, а и, v, w — параметры (см. рис. 11).

Представим себе, что мы построили 3 семейства поверхностей, отвечающие ризличным значениям параметров и, v и w. Это будет система плоскостей, перпендикулярных к оси x (первое семейство), система цилиндров параболического очертания (второе семейство) и система плоскостей, параллельных оси x и наклонных к осям у и z. Все эти семейства видны на рис. 11.

Положим, что нам надо определить об'ем тела ABEFC DGH, ограниченного поверхностями этих трех семейств.

Как и ранее мы найдем соответствие этому телу ABE FCDGH в системе рис. 12 где и, v, w—координаты, а х, у, z— параметры.

При этом тело,ограниченное на рис. 11 с четырех сторон кривыми поверхностями и только с двух сторон плоскостями, деформируется в тело (рис. 12) ограниченное со всех шести сторон плоскостями (прямоугольный параллелепипед).

Ранее деформирующим множителем был якобиан второго порядка, а теперь это будет якобиан третьего порядка

Рис. 12.

Если мы представим себе, что тело ABCDEFGH на рис. 11 имеет всюду плотность 1, а тело ABCDEFGH на рис. 12 имеет в каждой точке своего об'ема плотность, выражаемую величиною якобиана, то масса тела на рис. 12 численно будет равна об'ему тела на рис. 11.

О КОРНЯХ МНОГОЧЛЕНОВ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ ЛИНЕЙНОМУ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

В. А. Кудрявцев (Москва).

Настоящая статья имеет целью исследовать вопрос о распределении корней многочленов, удовлетворяющих линейному диференциальному уравнению второго порядка, коэффициенты которого суть многочлены,, а также многочленов, сопряженных с предыдущими.

Пусть имеем такое диференциальное уравнение:

P(z)u"-\-P\z)u' + Q(z)u = 0,......(1)

где P(z),P'(z),Q(z) многочлены степеней р-\-\,р,р— 1 соответственно.

Тогда, как доказал Heine („Berliner Berichte" 1864), всегда можно так подобрать многочлен Q(z), чтобы уравнению (1) удовлетворял многочлен u(z); это можно сделать

способами, где п — степень u(z).

Humbert („Journal de L'Ecole Polythechnique" 1880) доказал, что если корни zQzv.z многочлена P(z) все действительны (и различны), при чем

(2)

где Х0 > 0, > 0, . . .X р> 0, то корни u(z) все действительны и заключены между крайними корнями из ряда z0zx , . . zp>

Та же самая по существу теорема доказана Stieltjes'oM („Acta Mat." 1885). Но в то время, как Humbert дал аналитическое доказательство, Stieltjes опирается в своих выводах на теорию логарифмического потенциала.

Bôcher („Reiheentwiclungen der Potentialtheorie" 1894), пользуясь методом Stieltjes'a, доказал (для уравнения аналогичного предыдущему, а именно уравнения Ламе) теорему более общего характера, а именно он распространил теорему Stieltjes'a на комплексные корни и доказал такую теорему: Все корни многочлена u(z), удовлетворяющего (1), лежат внутри многоугольника корней многочлена P(z).

Многоугольником корней мы называем выпуклый многоугольник, вершинами которого служат корни данного многочлена, другие же корни этого многочлена лежат внутри многоугольника или на его сторонах.

Аналогичное доказательство дано Klein'ом в его литографированных лекциях по теории линейных диференциальных уравнений („Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung" 1894).

В настоящей статье мы будем предполагать, что коэффициент Pf (z) в уравнении (1) есть производная коэффециента P(z). Тогда для уравнения (1) мы докажем теорему Bôcher, пользуясь соображениями аналитической геометрии1).

1) Легко видеть, что наше доказательство и, следовательно, теорема имеет место без указанного предположения относительно коэффициента P'(z). Мы можем предположить вместо этого, что и при комплексных корнях P(z) имеет место разложение (2), при чем >о> 0, >! > 0 . . .).„>().

Предварительно докажем такое предложение: кратные корни u(z) должны быть корнями P(z).

В самом деле, пусть zm есть кратный корень u(z), кратности k. Тогда

u(zm) = w{zm) = u"(zm) = . . . = uk~' (Zm) = 0,

при чем, i№(zm) ф 0.

Диференцируя уравнение (1) k — 2 раз, имеем

Piz)u(k>+Pï(z)uk-1+ . . .=0. В силу написанных равенств имеем

P(zmyuW{zm) = Q\

а так как uW(zm) ф 0, то = 0, что и требовалось доказать.

Кроме этой теоремы, мы будем в нашем доказательстве опираться на следующую теорему:

Если корни некоторого многочлена лежат по одну сторону некоторой прямой, то по ту же сторону лежат и корни производной этого многочлена

Если при этом часть корней многочлена лежит на самой прямой, то корни производной могут лежать на этой прямой только в том случае, если они совпадают с корнями многочлена, т.-е. в случае кратности корней многочлена.

Первая часть этой теоремы доказана Berlôty (С./?. 1884); что касается второй части, то она непосредственно следует из формул Berlôty, но им явно не формулирована, на что указал Witting („Zeitschrift der Math, und Physik" 1885).

Предлагаемое здесь доказательство теоремы Bôcher использует ту же идею, которая лежит в рассуждениях Berlôty.

Выведем теперь одно уравнение, основное для нашего доказательства. Введем следующие обозначения. Обозначим через: ск = ak + ibk корни Р (z), ** = *»-НЛ. корни и (z), zs' = xs'-\-iysf корни и'(z)] так как и (zm) — 0, то из уравнения (1) следует:

(3) (4)

В то же время мы имеем:

(5) (6)

при этом

Отсюда

(7)

Разделяя действительную и мнимую части, будем иметь:

(8)

(9)

где

Умножая уравнение (8) на cos ср, а уравнение (9) на sin?, 0<<?<2«л, складываем их и, вычитая в соответствующих местах поло тельную величину q, имеем такое уравнение:

Это уравнение — основное для нашего доказательства. Им можно пользоваться, если As2 и ф 0.

Пользуясь уравнением (10), докажем нашу основную теорему:

Если корни многочлена Р (z) лежат по одну сторону некоторой прямой (часть из них может лежать на самой прямой), то корни многочлена и (z) могут лежать только по ту же сторону прямой.

На самой прямой корни и {z) только тогда могут лежать, если они совпадают с корнями Р [z).

Доказательство.

Итак, пусть имеем прямую L, данную нормальным уравнением:

X cos ? Jry sin ? — q = 0.

Пусть корни Р (z) лежат с отрицательной1) стороны прямой L (некоторые из них, по крайней мере два, на самой прямой). Тогда мы должны иметь:

ak cos<?-\-bksin<? — q^0.......(11 ).

Допустим, что существуют корни и (z), лежащие с положительной2) стороны прямой.

Тогда для некоторых значений индексов m будем иметь:

XmC0S9+ymsin<? ~q>0.......(12).

Пусть теперь zm> = хт> -f iym' означает корень и (z) самый далекий от прямой L среди корней, для которых имеет место соотношение (12).

Докажем, что имеет место неравенство

(хт cos f -\-у„г' sin y—q) — (xjcos ср -r-_y/sin <р — q) > 0 . . (\Ъ). для всякого s.

В самом деле, проведем через корень zm> прямую Z/, параллельную прямой L, тогда все корни ^производной и!(z) нашего многочлена u(z) должны лежать с той же стороны от V, с которой лежит и L (по теотеме Berlôty). Ни один корень зв' производной и' (z) не может лежать на прямой Z/, ибо тогда он совпадал бы с кратным корнем и (г) по теореме Berlôty и, следовательно, с корнем P(z), что невозможно, так как корни P{z) лежат с отрицательной стороны прямой L (и отчасти на самой L).

Следовательно, расстояние корня zm> от прямой L в алгебраическом смысле больше расстояния всех корней я\ производной и (z), т-е мы имеем неравенство

Хт' COS Ср -\-ytri Sin ff — ^> X'.COS ср -рУв51П f — q

для всякого s, а отсюда вытекает неравенство (13).

Обращая внимание на (11), (12), (13), мы видим, что если в уравнении (10) заменить индекс m через т\ 2), то левая часть его будет положительная, что невозможно.

Следовательно, мы должны иметь

x„,cos ? -\-ymsin......(14).

1) Термины отрицательная и положительная сторона прямой здесь не могут вызвать недоразумения.

2) При указанных условиях ДА2 и £Л2фО.

Докажем теперь, что корни и (z) только тогда могут лежать на прямой, если они совпадают с корнями P(z).

Для этого допустим, что какой-нибудь корень 8m = xm-\-iym не совпадает ни с одним из корней ск = ак -j- ibki и пусть zm лежит на прямой/,.

Тогда *,„cos?+j/wsin<p — q = 0.......(15).

Корень fsm не может быть кратным, ибо тогда он совпадал бы с корнем многочлена P(z). След., ят не может совпадать с каким-нибудь корнем производной u'(z). Поэтому в уравнении (10) D2 и А2 отличны от нуля. Мы имеем:

akcos ? + bÄsin <р — q é.0.......(11).

для всякого k xrscos?-{-yssin? — q ^0

для всякого 5 (для некоторых 5 знак<, а для некоторых =) вследствие (14) по теореме Berlôty. Левая часть уравнения (10) будет положительна, что невозможно. То же самое получилось бы, если бы для всякого #т (при чем ет не совпадает с ск) имело место равенство (15), ибо тогда мы имели бы

x'scos <р -f-j/'esin ? — ^=0

для всякого 5. Левая часть уравнения (Ю) была бы положительна, что невозможно. Наша теорема доказана вполне.

Совершенно так же докажем, что если все корни многочлена Р z) лежат на некоторой прямой, то на той же прямой лежат и корни многочлена u(z).

Из доказанной нами теоремы непосредственно следует теорема Bochen

В самом деле. Возьмем многоугольник корней P(z). Так как это выпуклый многоугольник, то он целиком лежит по одну сторону любой из его сторон. Согласно доказанной нами теореме, корни u(z) должны лежать с той же самой стороны любой из сторон многоугольника корней P(z), где лежит и сам многоугольник. А это означает, что корни u(z) лежат внутри многоугольника корней P{z). Теорема Bôcher доказана.

Ясно, что корни u(z) не могут лежать на сторонах многоугольника корней P{z), как только совпадая с корнями Р (z).

Мы видели, что многочлены Q (z) всегда можно так подобрать, чтобы уравнение (1) удовлетворялось каким-нибудь многочленом же u(z). Спрашивается, не связаны ли как-нибудь корни этих многочленов u(z) и Q(z)l На этот вопрос дал отчасти ответ Van Vleck (,,Bull. of Amer. Mat. Soc." 1898), который доказал для случая уравнения аналогичного (1 ) (уравнения Ламэ), что если корни P(z) все действительны, то корни Q(z) тоже действительны и заключены между крайними корнями P(z).

Мы докажем такую теорему:

Корни многочлена Q (z) в уравнении (1) лежат внутри многоугольника корней Р (z).

Обозначим какой-нибудь корень Q(z) через ^ = а—[- iß. Так как Q(y) = 0, то из уравнения (1) имеем:

Р (Т) и'(7) + Я'(т) ttïT)±=0......(3').

Это уравнение аналогично уравнению (3). Только вместо zт, стоит 7. Поэтому ясно, что уравнение, аналогичное (10), напишется так:

где V = (a-x/)*-Hß-j,/)*

Ок* = (<х-ак)* + ($- А)"

Докажем теорему:

Если корни P(z) лежат по одну сторону прямой (некоторые могут лежать на прямой), то и корни многочлена Q(z) лежат по ту же сторону этой прямой.

Корни Q (z) только тогда могут лежать на самой прямой, если они совпадают с корнями P(z).

Доказательство. Имеем:

aÄcos9-fbÄsin<p — q^O.......(16).

для всякого ск. Тогда, согласно доказанной нами вначале теореме, мы должны иметь:

Хт cos 9 +j/m sin <р — q < 0.......(17).

для всякого zm, отличного от ск. Следовательно,

х/ cos ? -{-у/ sin <р — q < 0.......(18).

для всякого z/, отличного от ск Допустим теперь, что

a cos <р-|-ß sin ?— q>0.......(19).

Ясно, что в этом случае Лв2 и Dk2 =j= 0.

Тогда уравнение (10') дает в левой части положительную величину, что невозможно. Следовательно, имеем:

a cos ? ß sin <р — q ^ 0.......(20).

Первая часть теоремы доказана.

Для доказательства второй части заметим, что корни u(z), тогда только лежат на прямой L, если они совпадают с корнями P(z)\ корни производной u'(z) тогда только лежат на прямой если они совпадают с корнями u(z) и, следовательно, с корнями P(z).

Допустим теперь, что корень Q(z), лежит на прямой L и не совпадает с корнем ск многочлена P(z). Тогда он не может совпадать ни с корнем u(z)y ни с корнем u'(z) по предыдущему. Величины А2 ни2 отличны от нуля и, следовательно, мы можем воспользоваться ур. (10'j. Вследствие нашего допущения мы имеем:

acoscp-j-ßsincp — q = 0.......(21).

Принимая во внимание (16), (18), (21), мы видим, что левая часть уравнения (10') положительна, что невозможно. Теорема доказана вполне.

Из этой теоремы следует непосредственно, что корни Q(z) лежат внутри многоугольника корней Р(z). Ясно, что на сторонах многоугольника корни Q(z) могут лежать, только совпадая с корнями P(z).

НОВОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ ДУГ.

Sin (а-\- b) = sina . cos b -f - sin b . cos a.

В последней книге «L'Enseignement Mathématique» помещено новое доказательство вышеприведенной тригонометрической формулы, принадлежащее Луизе Пелози (Турин).

Как известно, существующие доказательства этой формулы основаны большею частью на подобии треугольников, либо на теореме Птолемея для

вписанного четыреугольника, либо на теории проекций, либо же на теории векторов. Предлагаемое доказательство построено на совершенно иных соображениях, основанных на равновеликости треугольников, и в этом смысле является полезным для повторения понятий, относящихся к геометрии площадей.

Пусть а и b означают острые углы, которым соответствуют в тригонометрической окружности радиуса, равного 1, дуги AB и ВС. Проведя АР и CQ перпендикулярно к радиусу OB и СЛ/ перпендикулярно к диаметру А'А, будем иметь:

АР = sin а, ОР = cos а, QC= sin b, OQ = cos ft,

NC = sin (а-j-ft).

Соединив А с Q и С и заметив, что радиус ОЛ = 1, по1учим, что величина NC представляет удвоенную площадь треугольника АОС, а потому

sin [a-\-b)=NC = 2 . пл. АОС=2 . пл. АОМ + 2 . пл. МОС.

С другой стороны, треугольники AQC и PQC равновелики, ибо они имеют общее основание QC, а вершины их Л и Я лежат на линии АР, параллельной к основанию QC. Отняв от каждого из этих треугольников треугольник MQC, заключаем, что треугольники AQM и РМС (заштрихованные на чертеже) равновелики; поэтому Tpeyгольник АОС равновелик сумме треугольников AOQ и РОС, откуда

2 . пл. АОС =2 . пл. AOQ-\-2 . пл. POC—OQ . АР+ОР . QC = = cos ft . sin a -\- cos a . sin ft,

а так как 2 . пл. Л ОС = sin (a -j- ô), то

sin (а -f- ft) = cos ft . sin a -f- cos а . sin ft.

Аналогичные рассуждения подтверждают справедливость этой формулы для любых значений а и ft.

Если а = Ь, то точки Q, Ж и Р совпадают, и площадь треугольника АОС становится равной sin а . cos а; это непосредственно приводит к формуле

sin 2а = 2 sin а. cos а.

Сообщ. Н. И. Доброгай (Винница).

ЗАДАЧИ.

46. Упростить выражение:

47 Решить уравнение:

П. Сапунов (Владимир).

48. Найти рациональные решения уравнения:

К. Верещагин (Козлов).

49. Найти первый член арифметической прогрессии, сумма п членов которой равна п [2п-{-5).

X. У. (Ростов на-Дону).

50. Найти все треугольники, обладающие тем свойством, что в них расстояния от вершин до точки, из которой стороны треугольника видны под равными углами, выражаются рациональными числами.

И. Городов (Кадиевка).

51. По данным углу и радиусу вписанного круга построить треугольник так, чтобы периметр всякого вписанного в него прямоугольника имел одно и то же значение, причем две вершины прямоугольника должны лежать на сторонах, составляющих данный угол.

52. Построить равнобедренный треугольник по основанию и биссектрисе угла при основании.

Ф. Гусев (Москва).

53. Определить площадь параболического сектора ABC, если В лежит в вершине параболы, а Л на главной оси, причем ^ ВАС = а, AB — с и АС=Ь.

54. Доказать, что если

то tg т . tg f = -j-.

А. Зайцев (Богородск).

55. Найти выражение общего члена ряда:

Л. Лодыженский (Тула).

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

18. Найти геометрическое место центров окружностей, касающихся данного круга и данной прямой.

Пусть MN— данная прямая, О —центр данного круга с радиусом Рассмотрим три случая:

1) Прямая MN и данный круг не пересекаются. Проведя по обе стороны прямой MN на расстоянии R от нее две параллельные ей прямые AB и А'В', легко убеждаемся, что центры искомых окружностей отстоят на одинаковом расстоянии от точки О и прямой AB в случае внешнего касания кругов и от точки О и прямой А'В' в случае внутреннего касания. Искомое геометрическое место, следовательно, представляет совокупность двух парабол, имеющих фокусом точку О, а директрисами прямые AB и А'В'. Проведя чрез О прямую POQS, перпендикулярную к MN и пересекающую данную окружность в точках Я и Q и линию MN в S, видим, что вершина одной из этих парабол лежит на середине PS, другой—на середине QS.

2) Прямая MN и данный круг пересекаются. Делая построение, аналогичное предыдущему, получим и в этом случае совокупность двух парабол, направленных вершинами в противоположные стороны и пересекаю-

щихся между собою в точках пересечения данной окружности с данною прямой. Как и в первом случае, общим фокусом их будет О, директрисами — прямые AB и А'В', а вершины находятся на середине отрезков PS и Q.S.

3) Прямая MN и данньй круг касаются. Этот случай можно рассматривать, как предельный по отношению к предшествующим. Проводя снова прямую AB II MN на расстоянии R от нее, убеждаемся, что искомое геометрическое место составится из параболы с вершиною в точке прикосновения данного круга и прямой MN, фокусом О и директрисою AB и из прямой, перпендикулярной к MN в точке ее прикосновения с кругом.

Г. Невяжский, Д. Польшин (Москва), П. Сапунов (Владимир), К. Верещагин (Козлов), И. Соловьев (Витебск), А. Цивчинский (Одесса), И. Чубинский (Оренбург), И. Кастровицкий (Сталинград), Г. К. (Пенза), В. Сакк (Верхнеднепровск), Л. Лодыженский (Тула), Е. Воскресенская (Павлов), X. У. (Ростов-на-Дону).

24. Найти отношение площадей, на которые разделяется площадь трапеции прямой, проходящей через центр тяжести трапеции и параллельной ее основаниям, если отношение большего из них к меньшему равно q.

Центр тяжести трапеции лежит: 1) на прямой PQ, соединяющей средины Р и Q параллельных сторон ВС и AD данной трапеции ABCD, 2) на прямой EFy соединяющей центры тяжести Е и F треугольников ABC и Л CD, на которые трапеция разделяется диагональю Л С, т.-е. он находится в точке G пересечения упомянутых линий. По свойству центра тяжести имеем:

откуда

Проведя через G прямою MN \\ AB и опустив на нее из точек Е и F перпендикуляры, найдем, что их отношение тоже равно а.Ь\ таким образом средняч треть высоты трап ции h разделится прямою MN в отношении a.b. Поэтому высота верхней части трапеции MBCN будет

а нижней части AMND

Обозначая длину линии MN через х, а высоту дополнительного треугольника данной трапеции ВКС через z, получим из подобия треугольников AKD и ВКС

откуда находим:

Пусть Sx площадь MBCN и S2 площадь AMND, тогда имеем:

а отношение площадей:

так как по условию ~ — q и a = bq, то, вставляя вместо а это выражение и сокращая дробь на Ь3, окончательно получим:

И. Сергачев (Москва), П. Сапунов (Владимир), К. Верещагин (Козлов), В. Сакк (Верхнеднепровск), Е. Воскресенская (Павлов), X. У. (Ростов-на-Дону), Я. Фивейский (Ржев), Г. К. (Пенза), Я. Милковский (Новозыбков), И. Чубинский (Оренбург), А. Цивчинский (Одесса), Я. Соловьев (Витебск), И. Кастровицкий (Сталинград).

27. Основанием переменного треугольника служит большая ось данного эллипса, а центр вписанного в него круга перемещается по дуге данного эллипса, найти геометрическое место третьей вершины треугольника.

Пусть АС— большая ось данного эллипса, уравнение которого относительно главных осей ^ Н~ ^ =1- ^з какой-либо точки M (ху) на дуге эллипса опустим на АС перпендикуляр MN=y и радиусом MN из точки M опишем окружность, пусть касательные к ней, проведенные из точек Л и С касаются ее в точках Р и Q и пересекаются между собою в точке В\ тогда ABC будет один из упоминаемых в условии переменных треугольников; линии AM, ВМ и СМ будут равноделящими его углов. Очевидно, что AP = AN и BQ = BN, так что AP-\-CQ = AC=2a. Найдем длину отрезка BP=:BQ. Из треугольника ВРМ имеем ВР = РМ . ctg — или

Но

поэтому или

Но из уравнения эллипса следует, что

подставляя, имеем

Отсюда сумма сторон треугольника

т.-е. постоянной величине. Поэтому вершина переменного треугольника будет описывать эллипс с фокусами в концах А и С большой оси данного эллипса. Большая полуось его будет иметь длину а J^f^f \ эксцентрицитет ^+m и малую полуось -^r^ •

А. Дмитровский (Москва), К. Верещагин (Козлов), Е. Воскресенская (Павлов), И. Чубинский (Оренбург), Г. К. (Пенза), А. Цивчинский (Одесса), Я. Соловьев (Витебск), В. Сакк (Верхнеднепровск).

28. Упростить дробь:

Умножив числителя и знаменателя данной дроби на aw+\ получим:

В. Давидов (Москва), И. Колмогоров (Алма-Ата), Я. Сапунов (Владимир), Н. Соловьев (Витебск), К. Верещагин (Козлов), И. Кастровицкий (Сталинград), И. Чубинскии (Оренбург), Г. Торопыгин (Саратов), Н. Орлицкий (Katowice), А. Зайцев (Богородск), Е. Воскресенская (Павлов), В. Зяблицкий, М. Машков (Владимир), Э. Попаmenко (Пермь), Н. Фивейский (Ржев), В. Горнштейн (Москва), А. Лебедев (Н. Салда), В. Сакк (Верхнеднепровск).

29. Показать, что при четном п

1-й способ. Обозначим левую часть данного равенства через f (/г), правую—через ср (я), и через F (п) и Ф in) следующие выражения:

тогда очевидно, что

следовательно, / (/г) = ср (п).

2-й способ. При п = 2 и п — \ доказываемое равенство справедливо. Допустим, что оно верно для какого-нибудь четного п и докажем, что в таком случае оно будет верно и для п-\-2, т.-е, что

а для этого достаточно убедиться, что

Но левая часть этого равенства может быть представлена в виде

Таким образом формула будет верна дпя я = 6, 8 и т. д, вообще для четного п.

В. Давидов (Москва), И. Соловьев (Витебск), И. Кастровицкий (Сталинград), К. Верещагин (Козлов), И. Чубинский (Оренбург), Ai. Машков (Владимир), Л. Лодыженский (Тула), И. Фивейский (Ржев), Н. Колмогоров (Алма-Ата), В. Сакк (Верхнеднепровск).

39. Найти предел суммы ряда

Общий член ряда имеет вид

где п ^г5. При я, стремящемся к сю, этот член имеет пределом 0, и легко убедиться, что данный ряд сходящийся. Для суммирования его разложим общий его член на элементарные дроби, пользуясь способом неопределенных коэфициентов. Полагая

найдем

Первый и последний члены в совокупности дают (""^"зО* а 1 1 второй и третий —— . -^. Поэтому предел суммы членов данного ряда

равен J_ _4___1_ 1 _ 1

//. Соловьев (Витебск), К. Верещагин (Козлов), И. Чубинский (Оренбург), Г. Торопыгин (Саратов), Л. Лодыженский, А. Чернов (Тула), В. Давидов (Москва), И. Хайдуков (Петровск), Е. Воскресенская (Павлов), И. Колмогоров (Алма-Ата), С. Адамович (Тула), В. Брадис (Тверь).

31. Доказать неравенство:

/a + b\n<r-an+b» \ 2 ) = 2 '

причем знак равенства соответствует Ь = а. При а~Ь имеем очевидное равенство

Положим поэтому, что а>0 ft>0, афй и л целое и положительное число. Данное неравенство равносильно такому:

(а + *)"<2"-1 (ап+оЛ).......(1).

Это последнее неравенство докажем по методу математической индукции. Оно, очевидно, справедливо при п = 2, ибо

0<(a-ft)2; (a + )ft2<(a — ô)2+(a + ô)2i (a+ft)2<2 (a* + ft»).

Допустив теперь справедливость неравенства (1), докажем, что будет верно и неравенство:

(а+Ь)л+1<2н (a^-fft**1).....(2).

Для этого умножим обе части неравенства (1) на положительное число (a-1-ft):

(a-\-b)*+l<2n-% (an + ftM) (a+ 6).

Таким образом для доказательства неравенства (2) достаточно обнаружить, что

2й-1 (an-| ft") (a -f ft) < Г (an+l -f

Из последнего же неравенства имеем:

anJrl + aft'1 + anb -j- ft"+x < 2an+L + 2ftw+i. 0<a" (a —ft) - ftu (a —ft). 0 < (a ft) (аЛ — ft"),

что верно, ибо обе разности а — ft и an — ftw имеют одинаковые знаки. 2-й способ. Возьмем функцию

у = (х+ !)• —2"-* (хп-[-1),

ее производная будет

£х = п [(J + l)-1-^)-*];

полагая, что п—число четное, видим, что единственным действительным корнем уравнения / (л;)=0 будет х=\. Составляя вторую производную той же функции, найдем:

Г {х)==п (п — 1) (х+ l)w-2-2w-] п (п — 1) хп-\

при л; = 1 эта функция принимает отрицательное значение f (1) = — п(п — 1) 2w~~2,a потому / (х) при х—\ достигает наибольшего значения, равного нулю. На этом основании

(х-\-\)п — 2п~1 (хп+1)^0;

отсюда, полагая х = ~г- и умножив обе части неравенства на 6", что при четном п всегда можно сделать, ибо Ьп будет положительным, получим:

{a + b)n^2n~1 (ап + йм),

что и требовалось доказать.

Если же п нечетное, то неравенство, вообще говоря, будет справедливо только при положительных а и Ь\ при отрицательном значении а или b оно может оказаться и несправедливым. Когда а и b оба отрицательные числа и п—нечетное, неравенство явно будет несправедливо.

И. Колмогоров (Алма-Ата), Н. Соловьев (Витебск), К. Верещагин (Козлов), И. Кастровицкий (Сталинград), П. Р., С, Адамович, А. Чернов, Л Лодыженский (Тула), И. Чубинский (Оренбург), М. Машков, П. Сапунов (Владимир).

33. Доказать, что если при пересечении сторон четыреугольника с окружностью образуются четыре равные хорды, то суммы противоположных сторон четыреугольника равны между собою.

Так как равные хорды одинаково удалены от центра круга, то в четыреугольник, упоминаемый в условии задачи, может быть вписан круг. Но в описанном четыреугольнике суммы противоположных сторон, как известно, равны.

К. Верещагин (Козлов), И. Соловьев (Витебск), Н. Фивейский (Ржев), А. Чернов (Тула), В. Горнштейн, В. Давидов (Москва), Е. Воскресенская (Павлов), М. Машков (Владимир), С. Адамович, П. Р. (Тула), И. Кастровицкий (Сталинград), Я. Чубинский (Оренбург), П. Сапунов (Владимир), В. Сакк (Верхнеднепровск).

ХРОНИКА.

Первый Дальневосточный краевой научно-методический с'езд преподавателей математики и физики школ повышенного типа (20—30 июня 1928 г.).

1.

Мысль о необходимости и своевременности организации ряда научно-методических съездов, как одной из форм повышения квалификации преподавателей школ повышенного образования, была поставлена зав. Далькрайоно А. А. Лобовым в декабре 1927 года в расширенном совещании правления Д/В государственного университета с участием представителей педагогического факультета, Научно-педагогического общества при Д/В г. у. и Приморского отделения Секции научных работников. В этом совещании было принято решение об организации во 2-й половине июня 1928 года в городе Владивостоке четырех краевых научно-методических съездов: съезда преподавателей обществоведения, русского языка и литературы, математики и физики, естествознания и географии. Центральная база для научно-методических съездов была в виде педагогического факультета Д/В г. у. и Научно-педагогического общества при Д/В г. у. с его секциями.

В феврале месяце 1928 года Научно-методическим советом ДКоно было разработано положение о съездах, смета и проекты повесток съездов. Означенные материалы поступили в педфак Д/В г. у. для проведения в жизнь. В это время было организовано бюро Н.-м. съездов, в состав которого вошли в качестве руководителей съезда по математике и физике проф. Н. А. Агрономов и доц. А. П. Бекеев, которому впоследствии и было поручено ответственное руководство съездом за отказом проф. Агрономова.

В целях разработки программы съезда преподавателей математики и физики было созвано широкое совещание при математической конференции Научно-педагогического общества с участием научных работников, педфака и преподавателей школ повышенного типа города Владивостока. В этом совещании была подвергнута обсуждению примерная повестка, составленная Н.-м советом ДКоно, внесен ряд дополнений и выработана программа съезда, которая и была утверждена в дальнейшем Н.-м. советом ДКоно.

II.

Программа работ съезда, подробно изложенная в повестке и дневнике съезда,, вытекала из тех задач, которые были поставлены перед съездом Далькрайоно и самой жизнью.

Первая часть повестки съезда состояла в пленарных заседаниях всех четырех съездов. На пленуме были поставлены четыре доклада на темы политического и общепедагогического характера, а именно: 1) «Культурная революция, подготовка кадров и школы повышенного образования» (зав. Далькрайоно А. А. Лобов); 2) «Антирелигиозное воспитание и методы его проведения в школе» (А. Д. Колбин); 3) «Рефлексология в педагогике» (доц. В. И. Ишерский); 4) «Очередные задачи в работе по повышению квалификации педагогического персонала ДВК» (секретарь Н.-м. совета ДКоно П. Я. Качин). На проведение означенной части повестки съезда было выделено полтора дня. Остальные 7!/9 дней были отведены работе съезда по вопросам специальности.

В специальной части работы съезда повестка была построена таким образом, что она начиналась вопросами теоретического научного характера, продолжалась методологическими и методическими, в центре внимания стояли программные вопросы и заканчивалась повестка сообщениями обзорного характера и организационными вопросами.

Повестка съезда преподавателей математики и физики была проведена в следующем виде:

1. Общенаучные и методологические доклады: «Современная математика и современные математики» (проф. Н. А. Агрономов); «Успехи и методы современной астрономии» (В. И. Туранский); «Современное учение о строении атома и вещества» (проф. Б. И. Зубарев); «Обзор электрических явлений с точки зрения электронной теории» (И. И. Портнягин); «Современное состояние и успехи радиотехники» (инж. M. Н. Головщиков).

2. Доклады методического характера: «Основные задачи преподавания математики и физики в советской трудовой школе» (доц. А. П. Бекеев, В. Н. Шумкин); «Организация занятий по математике и физике, метод преподавания и учет работы при классной и лабораторной системах» (И. Б. Чарнецкий, В. Н. Шумкин, А. А. Болтунов); «Опыт проведения тестов как метод учета работы» (Н. А. Арцыбышев, А. М. Канаш, В. С. Кудинов, И. Б. Чарнецкий); «Элементы теории чисел в преподавании математики» (проф. Н. А. Агрономов); «Начала астрономии в школьном обучении» (В. И. Туранский); «Черчение, его место и значение в школьном обучении» (H. Н. Берлинский); «Практическое приложение геометрии на местности и геодезические работы в школе» (доц. Ф. И. Кузьмич).

3. Доклады по вопросам учебных программ, учебных пособий и организации кабинетов: «Программы по математики школ 11 ступени» (доц. А. П. Бекеев, Л. Н. Ватеркамф и П. П. Никитин); «Программы по математике для техникумов» (Н. А. Арцыбышев, М. Я. Гладков); «Программы по физике школ II ступени» (А. Е. Крафт, А. И. Кукевич); «Программы по физике техникумов» (А. А. Болтунов, М. Я. Гладков); «Разбор учебной литературы и пособий по математике и физике» (Н. И. Антонов, И. Р. Гомонов, А. Е. Крафт, А. И. Кукевич, П. П. Никитин); «Организация кабинетов математики и физики» (доц. А. П. Бекеев, Н. И. Фролов, И. А. Фефилов).

III.

Съезд состоял из 69 участников, прибывших из всех округов Д/В края и из полосы Китайско-Восточной железной дороги. Участники съезда распределяются следующим образом: 1) по типам школ: 7-летка—11 человек, II ступень—29 человек, техникумы, проф.-техн. школы—16 человек, университет и рабочий факультет—7 человек;

2) по образованию: с высшим—29 человек, с неоконченным высшим —23 человека, специально педагогическим—10 человек, средним—7 человек; 3) за чей счет прибыли на съезд: ДКоно—20 человек, окроно-10 человек, рик —3 человека, учебные заведения - 7 человек, за личный счет—29 человек.

Президиум съезда был избран в следующем составе: председатель И. П. Терентьев (Читинский округ), зам. председателя M. Н. Кулеш, (К.-В. ж. д.), секретари: П. И. Шевченко (Амурский округ), П. В. Арсентьев (Сретенский округ), И. П. Арский (Хабаровский округ), Г. П. Пономаренко (Владивостокский округ). Кроме того в состав президиума включены были представители организационного бюро—ответственный руководитель доц. А П. Бекеев и секретарь А. М. Канаш.

Съезд происходил в здании Д/В г. у. В кабинетах математики и методики математики были организованы выставки научной, методической и учебной литературы, наглядных пособий и приборов лабораторного характера, значительная часть которых изготовлена студентами педфака на занятиях ручного труда по заданиям руководителей методических курсов математики и физики.

IV.

Работа съезда протекала при большой и напряженной деятельности участников, несмотря на естественную к концу учебного года утомленность. Продуктивность работы съезда определяется его итогами, которые могут быть даны в следующем перечне:

I. Съезд своим составом участников выявил заинтересованность широких слоев учительства всех школ повышенного типа.

II. Программа съезда и характер ее построения, несмотря на некоторые организационные трудности по подготовке и выполнению, в значительной мере удовлетворила запросы участников съезда.

III. Научный раздел программы съезда дал краткое обозрение по основным вопросам и ознакомил с современными научными достижениями.

IV. По методическому разделу съезд своими постановлениями выявил мнение учительства края, отмечая тем самым пути и методы работы на ближайшие годы:

1) Общее направление работы, определяемое задачами трудовой школы, должно строиться с учетом требований методологических, педолого-педагогических и производственно-практических.

2) В отношении организации занятий необходим продуманный и должным образом подготовленный переход к лабораторной системе, сочетаемой с лабораторно-исследовательским методом.

3) В вопросе учета школьной работы на ряду с существующими формами признан желательным и ценным метод тестов.

Предостерегая от любительского тестирования, как необеспечивающего методическую правильность работы и надежность результов, съезд выдвинул вопрос об организации краевого научно-методического центра по вопросам тестирования.

4) В целях создания условий, необходимых для проведения активных методов обучения, должно быть положено основание плановой организации учебно-вспомогательных учреждений (лабораторий и кабинетов).

В условиях обычной классной обстановки необходимо деление классов по предметному или цикловому признаку.

Наличие соответствующих ассигнований на развитие учебно-вспомогательных учреждений, а также организация в ближайшее время на Д/В мастерской пособий и простых приборов лабораторного характера (или открытие на Д/В отделения центральной мастерской) являются необходимыми условиями к успеху намеченного плана.

Придавая значение изготовлению наглядных пособий и простейших приборов учащимися на занятиях по ручному труду, признается необходимым установление связи между преподавателями ручного труда, математики и физики. К обязанностям последних отнести методическое руководство по составлению плана изготовления пособий и приборов.

V. В вопросе новых учебных программ школ второй ступени и проведения их в жизнь на основании данных опыта годичной работы и учета объективных условий, создавшихся за период работы по переходным программам, съезд отметил следующее:

По математике.

1) Программы по объему материала признать минимальными и подлежащими обязательному выполнению с 1928/29 учебного года.

2) Число недельных часов, отводимых на проработку программы, недостаточно, а потому необходимо увеличить до пяти часов на каждом году обучения.

3) Распределение материала, данного в программе, признать как опыт построения курса в духе «единой математики». Оценивая трудность и ответственность в та-

ком построении и проведении его, считать данное распределение основным и руководящим, внеся в него следующее перераспределение:

а) Изучение графика линейной функции и вопрос решения систем двух и трех уравнений перенести с 6-го года на 7-й.

б) Признать желательным включение в программу 7-го года изучение функций вида: у = ах2 -\- с; у — ах'1 -f- Ьх; у = (a -f- х)2 и у = (a -f- х)2 it

в) Формулы сокращенного умножения (куб суммы и куб разности) перенестив первый концентр.

г) Понятие о равносильных уравнениях на 9-м году обучения прорабатывать как вводную часть к решению уравнений высших степеней, показательных, логарифмических и тригонометрических.

д) Учение о логарифмах на 8-м году прорабатывать после изучения функций второй степени.

4) В вопросе комплексирования математики с другими учебными предметами руководящими являются пути и формы, указанные в объяснительной записке к программам. Но принимая во внимание сложность и неразработанность вопроса, съезд рекомендует в ближайшее время сосредоточить внимание главным образом на связывании материала математических и естественных наук.

5) По вопросам связи математики, в частности геометрии, с вопросами практического приложения к геодезическим работам признать, что эта связь должна проводиться систематически. Вопросы приложений геометрии к задачам на местности должны иметь целью уяснить основное различие между методами в математике и в прикладных математических науках, а также ознакомить с простейшими инструментами, поверкой их и способами работ этими инструментами.

По физике.

1) Оценивая содержание программ и распределение материала по годам обучения, в целом отвечающих задачам трудовой школы, съезд устанавливает недостаточную полноту объяснительных записок, которые должны быть построены по типу «методических руководств», изданных для рабочих факультетов.

2) В отношении отдельных пунктов программы внесены следующие пожелания: а) Понятие о работе перенести с 5-го года на 6-й.

6) В программу 6-го года включить изучение закона Ома для простой электрической цепи.

в) Необходимо сокращение материала 2-го концентра и в особенности на 9-м году обучения за невозможностью проработки программного материала лабораторным путем.

г) Необходимо в курсе 2-го концентра включение элементов военизации (понятие о баллистике, артиллерийских измерительных приборах и прочее), связывая их с соответствующими отделами физики.

По курсу „Астрономические наблюдения и сведения"".

Необходимо использовать все предначертания программного характера и немедленно приступить к проведению их в жизнь, несмотря на ряд трудностей, с теми средствами и возможностями, которыми школа располагает в настоящее время.

VI. В отношении программ техникумов съезд вынес следующее постановление:

Индустриальные техникумы.

Программы Главпрофобра 1927 года по математике невыполнимы в условиях краевой работы, а потому требуют тщательного пересмотра и сокращения по следующим основаниям:

1) Программа перегружена вследствие неправильного расчета составителями учебного времени (738 часов вместо фактических 480).

2) Программа не учитывает действительных знаний оканчивающих семилетку.

3) Программа включает некоторые вопросы большой трудности в чисто математическом отношении и имеющее малое приложение в технических вопросах.

4) Порядок распределения материала не оправдывается данными, объяснительной записки.

Программы по физике вполне отвечают поставленным требованиям.

Педагогические техникумы.

Программы по математике и физике соответствуют поставленным требованиям и признаются возможными к выполнению в пределах отведенного времени на проработку при условии приема в техникумы учащихся, прошедших программу семи-

летки. При существующих условиях необходимо, как временное явление, увеличение числа часов на математику до 10 на двух первых курсах и на физику до 4.

В связи с разбором программы по физике вынесено пожелание о введении на 1-м и 2-м курсах систематического курса «Начала астрономии» при одном недельном часе, изъяв означенный учебный материал из курса «Эволюционная теория».

VII. Ряд вопросов методических, программных и практических более частного характера, но требующих также коллективной проработки, естественно не мог быть охвачен в процессе работ одного съезда.

VIII. Оценивая настоящий момент в вопросе проведения реформы преподавания в советской школе как наиболее ответственный, съезд указал те организационные формы и возможные мероприятия в ближайшее время, при наличии которых может быть обеспечена продуктивная планомерная работа, связанная с повышением квалификации педагогических кадров:

1) Объединение преподавателей математики и физики школ всех ступеней и типов путем организации Дальне-Восточной физико-математической ассоциации.

2) Периодический созыв научно-методических съездов один раз в два года.

3) Выделение в журнале «На культурном фронте», издаваемом Научно-методическим советом Далькрайоно, отдела по вопросам преподавания математики и физики.

4) Содействие со стороны математической конференции Научно-педагогического общества по рецензированию и рекомендации наиболее ценных и практически полезных вновь выходящих пособий и литературы.

5) Организация при педагогическом факультете Д/В г. у. краткосрочных курсов по вопросам практического приложения геометрии на местности и курсов по изготовлению простейших приборов и наглядных пособий.

V.

Выводы из работ съезда могут быть формулированы в следующих положениях:

1) Первый научно-методический съезд преподавателей математики и физики установил впервые взаимосвязь между работниками школ повышенного типа, разбросанными на обширной территории Д/В края.

2) Постановлениями съезда определяется общее направление, план и характер работы на местах в ближайшее время.

3) Продуктивность и успех работы в значительной мере будут зависеть от того, в какой степени высказанные пожелания съезда найдут разрешение со стороны руководящих органов и в какой мере будет оказано содействие со стороны научно-педагогических учреждений и общественных организаций, к которым съезд сделал обращение.

4) Опыт первого съезда, потребности ближайшего будущего обязывают принять меры к тому, чтобы заблаговременно подготовить почву для дальнейших съездов, которые необходимо включить в общую систему работы по повышению квалификации педагогических кадров.

Доц. А. П. Бекеев (Владивосток).

Ответственный редактор И. ЧИСТЯКОВ Мосгублит № 32120 Зак. № 2423. Тир. 1 000

Москва, тип. „Гудок", ул. Станкевича, 7.