МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

№ 5

1928

ИЗДАНИЕ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

СОДЕРЖАНИЕ.

Стр.

H. Четверухин. Методы геометрических приближений ....... 181

П. Романовский. Основные понятия теории множеств . . ...... 191

Проф. Н. Агрономов. Дистанционные уравнения прямых и плоскостей .... 199

A. Синькевич. Применение неопределенных уравнений к выводу признаков делимости на любые числа . . . . . . . . ..... 202

Н. Колмогоров. О медианах и о центре медиан многоугольников ..... 204

Н. Колмогоров. Решение неопределенного уравнения х3 +у3 — mz3 в целых числах ....... ....... ........ 208

B, Добровольский. О рельефно-сферической перспективе .......... 209

B. Добровольский. Теорема синусов для тетраэдра......... 211

C. Адамович. Один из практических приемов приведения уравнения 4-й степени к биквадратному .................... 212

Задачи .... ...... ............. 214

Решения задач.............. ....... 216

Хроника........................... 223

Библиографический отдел...................... 225

Новые книги......................... 228

SOMMAIRE.

N. Tchetveroukhine. Méthodes d'approximations géométriques.

P. Romanovski. Notions fondamentales de la théorie des ensembles.

N. Agronomov Equations distantielles de droites et de plans.

A. Sinkevitch. Applications des équations indéterminées à la deduction de caractères de divisibilité.

N. Kolmogorov. Sur les médianes et le centre de médianes de polygones.

N. Kolmogorov. Sur la résolution de l'équation indéterminée x* -\-y3 = mz3 en nombres entiers.

V. Dobrovolski. Sur la perspective de relief sphérique.

V. Dobrovolski. Théorème des sinus pour le tétraèdre.

S. Adamovitch. Sur une des méthodes pratiques pour la réduction de l'équation, du 4-me degré à une équation bicarrée. Problèmes.

Solution de problèmes.

Chronique.

Bibliographie.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

ЖУРНАЛ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

№ 5

1928

МЕТОДЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ.

Н. Четверухин (Москва).

§ 1. Общие замечания.

В предыдущей статье1) мы имели примеры построения геометрических приближений, для выполнения которых достаточно одной линейки. Быстрота сходимости этих приближений должна быть оценена как 1-го порядка. Последнее вытекает из того, что ошибка wl последующего приближения 1-го порядка малости относительно ошибки w предшествующего. Как уже было указано2), ценность геометрических приближений в значительной степени зависит от быстроты их сходимости. В настоящей статье рассматривается метод построения геометрических приближений, сходящихся с квадратичной скоростью, т.-е. таких, в которых ошибка wl последующего приближения 2-го порядка малости относительно ошибки w предыдущего приближения.

Сложное геометрическое построение состоит из целого ряда операций, выполнение которых должно быть предварительно изучено. С этой целью мы рассмотрим несколько задач на построение касательных и нормалей. Ради общности мы не будем налагать на рассматриваемые кривые других требований, кроме непрерывности 1, 2 и 3-го рода (непрерывность точечная, касательной и кривизны). В остальном вид кривой остается совершенно свободным. При такой общности постановки задачи мы не можем, конечно, искать точного ее решения и разлагаем его в бесконечную последовательность повторений основного построения3). Каждое из повторений представляет собою более или менее удобное практически приближение искомого решения и может быть доведено до любой требуемой точности.

Мы не будем здесь останавливаться на других методах, например, на методе построения кривой ошибок (Fehlerkurve, Hilfskurve)4), который состоит в том, что стараются определить возможно больше точек вспомогательной кривой, проходящей через искомую точку, и таким образом приближенно находят последнюю. Этот метод не представляет собою регулярного сходящегося процесса и не может быть применен в построениях этой статьи с желательным результатом.

1) См. «Матем. образование», 1928 г. № 2, стр. 62.

2) Там же, стр. 63.

3) Там же, стр. 63.

4) См. Рынин. Ортогональные проекции. Адлер. Теор. геом. постр., стр. 72. Wiener. Lehrbuch der darstell. Geometrie. Scheffers. Lehrb. der darst. Geom. Bd. 2. 1920.

Геометрические приближения касательных и нормалей, которые мы здесь рассматриваем, будут применены в дальнейшем путем введения их в общее построение.

Во всем последующем изложении мы условимся обозначать порядок малости какой-либо величины при помощи квадратных скобок. Так, например, равенство:

[а] = 2

означает, что порядок малости а равен 2.

Иногда мы будем ставить в качестве индекса при квадратных скобках главную бесконечно малую, относительно которой определяется порядок. Такова, напр., следующая запись:

[sin а] а = 1

Черт. 1.

§ 2. Приближения касательных и нормалей.

1. Касательная проходит через данную точку.

Пусть через данную точку M требуется провести касательную к данной кривой (черт. 1).

Обозначим искомую касательную через MX (X—точка прикосновения). Проведем луч MA, близкий к касательной, так что дугу AB (или хорду AB) можем рассматривать как бесконечно малую 1-го порядка (главная бесконечно малая). Восставим перпендикуляр КО' в середине хорды AB и определим порядок малости дуги ВХ Проведем АС\\МХ и построим перпендикуляр ОТ в середине хорды АС.

Имеем: ^X=BT+ f~X1).

Таким образом дело сводится к определению порядка малости слагаемых, стоящих в правой части этого равенства.

Как легко видеть, ^.B'O'F'=^_BAC = 4.AMD = <x. Из Л MAD находим:

AD MA

Но, как известно: [AD]ab^2. Следовательно: [sin о]ав ^ 2.

Рассмотрим далее /\0'B'F. Вершина О' есть центр круга, проходящего через точки А, В и С. Следовательно, при А—*Х, (В—*Х,С—+Х) точка О' стремится к центру кривизны О данной кривой в точке X.

Таким образом в Д O'B'F будем иметь:

[а] :>2 и [О'В'] = [ОТ] = 0, а следовательно, [B'F]^>2.

1) Если точка X лежит между Вг и F, то знаки слагаемых в правой части этого равенства противоположны.

Установив порядок малости первого слагаемого, заметим, что для второго слагаемого: [ЕХ]ас^>21).

Но так как [AC]AB = î, что вытекает, например, из того, что:

[ВТ] то ясно, что: [FX]AB ^ 2. Порядок малости обоих слагаемых определен. Следовательно, имеем:

[&Х]АВ > 2. Заметим, что отсюда следует так же, что:

'[АХ]ав = [ХВ]ав = 1. Построение. Через точку M проведем луч MA так, чтобы отсекаемая им дуга AB была возможно мала. В середине К хорды AB проводим KB'А. AB.

Получим луч MB', который отсекает дугу А'В'2).

Если AB достаточно мала, то, на основании предыдущего, малость дуги А'В' приближается к квадрату величины AB. Повторяя это построение по отношению к дуге AB', получим новую дугу А'В", четвертого порядка малости относительно дуги AB, и т. д.

Имеем регулярный процесс геометрических приближений, сходящихся с квадратичною скоростью.

2. Нормаль, проходящая через данную точку.

Требуется построить прямую MX, нормальную к линии АХВ. Пусть точка О этой нормали является центром кривизны кривой для точки X. Проведем круг кривизны (О, DXE) (см. черт. 2).

Опишем из M окружность, пересекающую данную кривую в точках А и В. Будем рассматривать дугу АХВ как бесконечно малую 1-го порядка (главная бесконечно малая). Построим MB' \_АВ и докажем, что:

[ХВ] ^2.

Прямая DE, как общая хорда двух окружностей, перпендикулярна к ОМ. Проведем AC\\DE и DF\\BC\OM. Угол В'MX между нормалью и радиусом MB' равен, как легко видеть, углу ВАС (на черт, обозначен буквой а).

Черт. 2.

Рассмотрим А АБС. В нем сторона BC = BG-\-GC. Как известно: [DF]^3 и [BG]^3, а следовательно, и: [ВС] 2> 3.

1) См., напр., Duhamel. Eléments de Calcul infinitesimal, t. 1, p. 166.

2) На черт. 1 не изображено.

Далее имеем: Sina = -^-, следовательно: [Sin a] ^2 и [a] ^2.

Обращаясь к Д МХВ', тотчас находим, что: [XBr] ^ 2, так как этой стороне противолежит угол а.

Следовательно, \ХВ']^2 (и т. д.).

Заметим, что отсюда вытекает:

[АХ] = [ХВ] = \.

Построение. Из точки M проводим окружность так, чтобы отсекаемая ею дуга кривой AB была возможно мала. Строим MB' А_АВ. Проводим новую окружность из того же центра радиусом MB'. Она отсекает дугу AB'. Повторяя построение по отношению к дуге AB', находим дугу АЪ" и т. д.

Имеем сходящуюся последовательность геометрических приближений нормали: MB', MB", МВт...

Быстрота сходимости этой последовательности, как было доказано, квадратичная.

3. Касательная или нормаль параллельно данному направлению.

Оба метода, изложенные в пп. 1 и 2, совпадают, если вместо точки M дано направление касательной или нормали. В самом деле, пучок лучей M в построении 1 обращается в пучок параллельных, имеющих заданное направление. В тот же пучок параллельных обращаются и все концентрические окружности построения 2.

При этом одновременно строится касательная и нормаль. Процесс, как и в предыдущих случаях, квадратично сходящийся.

Построение. Проводим секущую AB, параллельную заданному направлению касательной.

Хорду AB делим в точке К пополам и восставляем перпендикуляр КВ. Через В' проводим новую секущую А'В' и т. д. (черт. 3).

§ 3. Теорема о касающемся круге.

Теорема. Если три точки А, В и С получают бесконечно малые перемещения по путям, касательным к окружности (ABC), то перемещение центра этой окружности 2-го или более высокого порядка малости относительно большего из перемещений самих точек.

Доказательство. Предположим сперва, что перемещается только одна точка А, точки же В и С остаются неподвижными. Траекторию точки А будем обозначать, следуя Manheim'y1), через [А). Если А перейдет в А\ то центр О окружности (ABC) перейдет в О', так как перпендикуляр МО

Рис. 3.

1) Manheim. Geometrie cinématique.

к стороне AB перейдет в перпендикуляр МО' к стороне А'В (черт. 4). Из А ОМО' находим:

пп' — м0 • Sin^ омо' (л\

ии — Sin ^M&O

Примем перемещение АА' за главную бесконечно-малую и определим порядок малости 00'. С этой целью опустим из точки M перпендикуляр МК на хорду АА' и продолжим его до пересечения в точке F' с прямой OA. Если точка А' -> А по траектории, касательной к окружности (ABC), то, как не трудно видеть, точка F->F, причем точка F есть центр кривизны траектории (А) в точке А. Отсюда следует, что: [2f.AFK\ А'А = 1. Но из Д OFM ясно, что: [ОМ] = = [4 ЛР/С]=1. Так как: 4 ОЛЮ'=^Д£Д', то: [ 4 ОЛЮ' ] = [ <4 Д£Л' ] = 1. Далее [^С ЖО'О ] = О. Следовательно, из формулы (1) будем иметь:

[00']ЛЛ'=2.........(2)1)

Пусть теперь перемещаются две вершины, например, А и В. Траектории их перемещений — (А) и (В) — по предположению касательны к окружности {ABC). Примем большее из перемещений АА/ и ВВ' за главную бесконечно-малую. Обозначим через О' центр окружности СБА' (черт. 5). Из A BOO' имеем:

. v, п D/v 00'. Sin £00' sin 4: ОБО =--

Но при Аг A lim ВО' = ВО и <^ B00f = const /-0).

Следоват.: [sin 4 ОВО']АА> = [00'] АА' и далее:

№ОВО']АА'~[00']АА'.

Так как 00' есть перемещение центра окружности, соответствующее перемещению точки А в точку А' по касательному пути (Л), то, по доказанному:

[00']АА' = 2

и, следовательно, 00' второго порядка малости или выше относительно большего из перемещений AfА и ВВ'

[00'] ^2..........(3).

[ < OßO'] ^ 2.

Черт. 4.

Черт. 5. Отсюда находим:

Повернем теперь траекторию (ß), касательную к окружности (ABC), на угол OßO' так, чтобы она стала касательной к окружности (AfBC).

Перемещение ВВГ мы можем, очевидно, заменить двумя перемещениями

1) Заметим, что, если бы перемещение точки А происходило по пути, не касательному к окружности, то [МО] — О и порядок смещения: [00'] = 1. В самом деле, центр окружности (А'AB) стремится занять в пределе такое положение, при котором этот круг проходит через В и касается в точке А траектории смещения. Следовательно, отрезок МО имеет пределом некоторый отрезок, вообще говоря, неравный нулю.

ВВ" и В"В\ где буквой В" обозначено положение точки В' после поворота. Так как траектория ВВ" касательна к окружности {ABC), то перемещение по ней точки В в точку В" влечет перемещение центра этой окружности О1 в точку О", являющуюся центром окружности (АВ"С),

причем: [0'0"Ш2..........(4).

Определим затем порядок малости дуги В"В' круга поворота. Имеем:

В7^= ВВ~. 4 ОБО';

следовательно: [BrB\ ^ 3.

Пусть теперь точка В" перейдет по дуге круга в точку В. Так как перемещение произошло по пути, не касательному к кругу (О", А'В"С) то порядок малости смещения центра последнего:

[ОЮг,/]в^ = 1г) или: [0"0'"]^3......(5)

относительно большего из перемещений АА и ВВ'.

Таким образом при смещении точек А и В в положения А' и В' по касательным путям центр круга О перемещается в О'", причем имеем:

00"' ^ ООг -f О'О" + ОЮш и, следовательно, принимая во внимание формулы (3), (4) и (5), найдем:

[00'"] ^ 2.

Теперь уже легко перейти к общему случаю, когда все три точки получают перемещения. Мы применим тот же метод, принимая за главную бесконечно-малую большее из перемещений.

Окружности (ABC) и (ABC) пересекаются под углом, порядок малости которого легко определить. Этот угол равен углу ОСО'". Подобно тому, как была получена формула (3), найдем:

[^ОСОт\ = [00"'] ^2.......(6).

Далее поворачиваем траекторию (С) около точки С так, чтобы она стала касательной к окружности (ABC). Угол поворота будет равен, очевидно, углу ОСОт.

Пусть точка С после поворота займет положение С". Перемещение СС можно заменить двумя перемещениями СС" и С"С, и мы снова можем воспользоваться методом, который был применен в предыдущем случае.

Обозначая через Ох центр окружности {ABC), получим: [ОтОг]^2..........(7)

Наконец, полное смещение центра окружности 00/ выразится формулой: 00, < 00'" -f 0'"0,

или, по применении формул (6) и (7):

[00ï]>2 (ч. т. д.).

Таким образом, если за главную бесконечно-малую принять большее из смещения (АА, ВВ' и СО), то перемещение 00, центра окружности (ABC) оказывается не ниже 2-го порядка малости.

Мы применим этот результат к построению геометрических приближений.

1) См. сноску на стр. 185.

§ 4. Обобщение задачи Аполлония.

Как известно, классическая задача Аполлония1) состоит в следующем: Построить окружность, касательную к трем данным окружностям. Эта задача является частным случаем следующей более общей:

Построить окружность, касательную к трем данным начерченным кривым2).

Предположим, что решение существует, и окружность (О, ABC) является этим решением (черт. 6). Проведем какую-нибудь произвольную окружность, которая встречает заданные кривые, напр., в точках А'Аг', В'В^ и С'С/.

Центр этой окружности обозначим буквой О'. Из основной теоремы нам известно, что при неограниченном убывании дуг АА', ВВ' и СО расстояние 00' центров обеих окружностей не ниже второго порядка малости относительно большей из этих дуг.

Дальнейшее изучение чертежа удобнее произвести в его детали, напр., для линии (В) (см. черт. 7).

Через точку О' проведем нормаль к кривой (В). Точку встречи нормали и кривой обозначим буквой В. Обозначим далее точку пересечения нормалей, проходящих через В и В, буквой F. Так как точка Т (при О' -> О) стремится занять положение центра кривизны F (в точке В), то из Д OFO' имеем:

\2$.0F0'Y^2, а из l\BFB\\BÏÏ^2.

Далее в силу выбора главной бесконечно-малой: [ВВ'] ^> 1, а следовательно, и [ВВ'] ^ 1.

Заменим нормаль OB посредством перпендикуляра к хорде В{В\ точку встречи которого с кривой (В) обозначим через В"* Согласно § 2 (п. 2) порядок допущенной при этом ошибки ВВ" будет иметь следующее выражение:

[ВВ"]ВВ'=2 или, помня, что [ÄB']^>1, [ВВ"]^>2. Наконец, получим:

[ВВ'' — В~В± ВВ"; следовательно: [BB'f] ;> 2.

Черт. 6.

Черт. 7.

1) См. истор. сведения: Ващенко-Захарченко. История математики. T. I, стр. 106. Е. Kötter. Die Entwickelung d. Synth. Geometrie. Jahr. D.-M.V. Bd. 5. 1901, а также: Адлер. Теор. геом. постр., стр. 18, 52, 55, 56, 64, 68. Александров. Методы решений геом. задач на постр., стр. 116. Специальному исследованию проблемы Аполлония посвящен мемуар: Е. Study. Das Apollonische Problem. «Math. Ann.», Bd. 49.

2) Само собой понятно, что в такой общей форме задача уже не может быть разрешена циркулем и линейкой (при конечном числе операций).

Вернемся теперь к общему черт. 6. Если из точки О' опустим перпендикуляры на хорды Л/Л', В{ВГ и СЪ'С, то точки Л", В" и С" пересечения этих перпендикуляров с кривыми (Л), (В) и (С) дают ошибки ЛЛ", Äß" и СС" не ниже второго порядка малости. Если построим теперь окружность (А", В", С"), то по основной теореме должны иметь: [ОО"] ^_ 2 (относительно большей из дуг ЛЛ", ВВ'Г и СС") и следовательно: [ОО"] ^ 4 (относительно главной бесконечно-малой)... и т. д. Таким образом мы имеем возможность построить геометрические приближения, сходящиеся с квадратичной скоростью. Предельная окружность этой последовательности кругов и есть искомая Аполлониева окружность.

§ 5. Число решений. Выбор начальных значений. Точность приближений.

При построении геометрических приближений мы implicite предполагаем существование решения, к которому эти приближения сходятся. Нижеследующий анализ прольет свет на этот вопрос.

Пусть даны (вычерчены) две линии (Л) и ] (В) (черт. 8).

Будем называть линией равных расстояний геометрическое место точек, одинаково удаленных от линий (Л) и (В), иначе—геометрическое место центров окружностей, касающихся той и другой линии. На черт. 8 линия (Л)— овальная, линия (В) — прямая. Линия равных расстояний состоит, как не трудно убедиться, из двух ветвей (<р) и (<}) и имеет одну бесконечно-удаленную точку в направлении, перпендикулярном данной прямой (В).

В случае двух овалов (черт. 9) линия равных расстояний состоит из четырех ветвей и имеет четыре бесконечно-удаленные точки по направлениям, перпендикулярным к общим касательным овалов (Л) и (В). В частности для классической задачи Аполлония, когда данными кривыми являются окружности, линии равных расстояний оказываются коническими сечениями.

Задача о построении окружности, касательной к трем данным кривым, сводится, очевидно, к отысканию точек пересечения линий равных расстояний, построенных для этих кривых попарно.

Отсюда можем заключить, например, что классическая задача Аполлония имеет, вообще говоря, 8 решений (причем каждая линия равных расстояний состоит из двух конических сечений).

Метод бесконечно-малых перемещений (теорема о касающемся круге) показывает, что, выбирая центр О' начальной окружности, достаточно близко к точке О, являющейся центром искомой окружности, мы

Черт. 8.

можем построить последовательность геометрических приближений, сходящихся с квадратичной скоростью. Таким образом для всех точек О' некоторой области Q, содержащей точку О, последовательность геометрических приближений сходится к точке О. Практически приступая к решению задачи, мы ни точки О, ни области Q не знаем. Нахождение этой области представляет новую задачу, которой можно и должно избежать, ибо для нас совершенно достаточно того, чтобы начальная точка попала внутрь этой области, т.-е. чтобы она была достаточно близка к точке О. С этой целью воспользуемся следующими соображениями. Мы знаем, что если начальная окружность выбрана так, что отсекаемые ею на кривых (Л), (В) и (С) дуги весьма малы, то центр ее Ог весьма близок к точке О. В самом деле, если, напр., дуги А'Аг' и В'ВХ' (черт. 10) весьма малы, то это означает, что точка О' лежит вблизи линии равных расстояний кривых (А) и (В). По той же причине точка Ог лежит вблизи линии равных расстояний для кривых {А) и (С), и, следовательно, вблизи точки пересечения этих двух линий равных расстояний, т.-е. точки О.

Основная теорема (о касающемся круге) дает возможность сделать грубую оценку: расстояние О'О менее большей из отсекаемых дуг Д'Л/, В'Вг\ С,С(. Самым простым приемом является следующий: повторение построений производится до тех пор, пока одна из найденных точек «практически» не совпадет с предшествующей.

§ 6. Артиллерийская задача. (Приложение метода геометрических приближений.)

Во время последней мировой войны в специальной литературе рассматривалась следующая артиллерийская проблема1).

В трех пунктах А, В и С замечен момент выстрела неприятельского орудия. На основании этих отметок определить на плане положение неприятельского орудия.

Не трудно убедиться в том, что эта задача сводится к частному случаю Аполлониевой. В самом деле, представим себе, что на плане нанесены три пункта А В и С, в которых сделаны наблюдения, и пусть точка О—неизвестное нам место нахождения неприятельского орудия. После выстрела в точке О звуковая волна достигла одного из пунктов, напр., С. Пусть это произошло в момент te. Аналогичным образом через tA и tB обозначим моменты времени, в которые выстрел был услышан в пунктах Ан В. Окружность, с центром в точке О и проходящая через точку С, представляет на чертеже звуковую волну в момент te. Проведем из точек А и В окружности, касающиеся окружности (О, С). Радиусы этих окружностей— RA и Rb - легко могут быть подсчитаны. Именно, если через v обозначим скорость распространения звука, то будем иметь:

Ra — v (tA — te); Rb = v [tB — te)]

Черт. 10.

Черт. 11.

1) См. E. Haenhtzschel. Eine artilleristische Aufgabe. «Zeitschrift für Math, и Naturw. Unterricht», 47, 18-20 (1916).

теперь ясно, что задача сводится к построению центра окружности, проходящей через точку С и касающейся двух данных окружностей с центрами в точках А и В и радиусами Ra и Rb.

Как известно, эта задача (Аполлония) о касающейся окружности может быть точно разрешена циркулем и линейкой (при конечном числе построений)1). Однако, сравнительная сложность построений и практический характер, который получила эта задача, заставляют искать иных более простых решений, хотя бы и приближенных. Метод последовательных приближений дает здесь хорошие результаты.

Взяв на плане начальную точку О произвольно, но по возможности так? чтобы окружность с центром в точке О и радиусом О'С отсекала весьма малые дуги окружностей (А) и (ß), соединяем О' с А и В. Точки встречи этих прямых (О'Д и О'В) с окружностями (А) и (В) обозначим через К и Z/ (черт. 12). Не трудно видеть, что точки К! и U являются основаниями нормалей, опущенных из О' на окружности (А) и (В) и, следовательно, для нахождения точки О" достаточно построить центр окружности (ÇK'L')2). Этим методом может быть достигнута любая требуемая точность. Из черт. 12 видно, что вследствие очень быстрой сходимости приближений уже первое приближение дает практически хороший результат.

§ 7. Пример построения приближений Аполлониевой окружности.

На черт. 13 имеются три овальные кривые: (Л), (В) и (С).

Выбираем произвольную точку Ох и описываем из нее окружность, пересекающую данные кривые в точках АхАу9 ВгВгг и СгСг'. Согласно § 4 из центра Ог опускаем перпендикуляры на хорды АгАг', ß1ß1/ и Эти перпендикуляры определяют нам на кривых точки Д2> ß2 и Cr Окружность, проходящая через эти три точки, является первым приближением. Центр ее находится в точке Os. Итак, окружность (Ov A1ß1C1) есть начальная (произвольно взятая), а окружность (02, А2В2С2)— первое приближение.

Черт. 12.

Черт. 13.

1) См. сноску на стр. 187.

2) Ср. с общим построением приближений, изложенным в § 4.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ.

П. Романовский (Москва).

Настоящая статья имеет целью в элементарной форме изложить самые основные понятия Теории множеств.

Введение.

Когда говорят, что понятие натурального числа есть понятие первоначальное и поясняют его многими примерами, то такое об'яснение обычно удовлетворяет всех, кроме математика, занятого основаниями своей науки. Это понятие считается настолько ясным, настолько лежащим в существе человеческого мышления, что кажется совершенно ненужным свести это понятие к каким-нибудь еще более простым понятиям.

Совершенно то же можно сказать о понятии множества. Это понятие, после произнесения ряда встречающихся в общежитии слов, которые пытаются рассматривать как дающие определение понятия множества и после ряда простых математических примеров становится настолько ясным и лежащим в существе человеческого мышления, что обычно ни у кого, за исключением математика, занятого основаниями своей науки, не вызывает потребности сводить это понятие к каким-нибудь еще более простым понятиям или вообще как бы то ни было сомневаться в этом понятии.

Попытаемся теперь выявить понятие множества при помощи вышеупомянутого средства.

Множество (ensemble, Menge; в менее удачном русском переводе еще ансамбль, совокупность) представляет собою собрание предметов, коллекцию предметов, совокупность предметов, группу предметов. Слова: собрание, коллекция, совокупность, группа — пытаются рассматривать как определяющие понятие множества. Что касается предметов, о каких идет речь, из коих составляется множество, то это должны быть математические предметы, как, например, числа, функции, сами множества, точки, прямые, плоскости, кривые, поверхности и т. д. Например, можно говорить о множестве всех натуральных чисел (1,2,3, 4,5 . . . ), о множестве всех простых чисел (2,3, 5, 7,11,13, . . . ), о множестве всех рациональных чисел, о множестве всех действительных чисел, о множестве всех комплексных чисел, о множестве всех функций действительного переменного, о множестве всех точек пространства и т. д.

Математические предметы, из коих состоят множества, называются элементами. Таким образом множества состоят из элементов. Математические предметы определяются посредством аксиом (задаваемых произвольно), которым эти предметы должны удовлетворять. При этом существование их (предметов) считается доказанным, если доказана непротиворечивость аксиом. Так, например, точки, прямые и плоскости Эвклидова пространства в чистой математике определяются при помощи аксиом в общих чертах данных еще Эвклидом и окончательно разработанных современными математиками (напр. Hilbert'ом). Существование точек, прямых и плоскостей, доказано, если доказана непротиворечивость этих аксиом. На основании сказанного, математические предметы представляют собою лишь абстрактные символы, не имеющие никакого содержания в самих себе и имеющие смысл только в отношениях между собой.

Операции над множествами

Рассмотрим к.-н. класс математических предметов (определенных теми или иными аксиомами, не противоречащими друг другу) и будем рассматривать различные множества, элементами коих являются эти математические предметы. Эти множества будем обозначать через Е,Е\ Е\ . . .

Пустым множеством называется множество, не содержащее вовсе элементов. Полным множеством мы называем множество, содержащее все элементы рассматриваемого класса. Дополнительным множеством к какому-нибудь множеству называется множество всех элементов рассматриваемого класса, которые не принадлежат данному множеству. Дополнительное множество к какому-нибудь множеству Е обозначается через СЕ1). Ясно, что дополнительное множество к дополнительному множеству есть первоначальное множество, т.-е. С (СЕ) = Е (ибо отрицание отрицания равносильно утверждению). Ясно, что дополнительное множество к пустому множеству есть полное множество и что дополнительное множество к полному множеству есть пустое множество.

Говорят, что множество Е содержит множество Е', или что множество Е содержится в множестве Е, или что Е есть часть или подмножество множества Е, если каждый элемент, входящий в Е'у входит и в Е. Обозначают это так: Е ) Е или Е ( Е2). Если Е Э Е и Е ) Е'то Е ) Еп (ибо каждый элемент из Е" принадлежит Е и, следовательно, принадлежит Е). Всякое множество содержится в полном множестве и всякое множество содержит пустое множество (справедливость последнего утверждения вытекает из того, что обычно в утверждении: ,,каждый такой-то элемент обладает таким-то свойством", неявно содержится оговорка: ,,если только такие элементы существуют", поэтому, в случае их несуществования, утверждение считается во всяком случае справедливым). Если Е ) Е\ то СЕ С СЕ (ибо каждый элемент из СЕ не принадлежит Е, следовательно, подавно не принадлежит Е\ следовательно, принадлежит СЕ). Если Е ) Ег и ЕСЕ\ то Е=Е'3) (поэтому для доказательства тождественности двух множеств достаточно показать, что каждый элемент одного принадлежит другому и наоборот).

Над множествами можно производить действия сложения, умножения и вычитания. Эти действия определяются следующим образом. Суммою нескольких множеств называется множество всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из данных множеств. Произведением нескольких множеств называется множество всех тех элементов, которые принадлежат одновременно всем данным множествам. Разностью двух множеств называется множество всех тех элементов, которые принадлежат первому множеству, не принадлежа второму. Обозначаются действия сложения, умножения и вычитания множеств так же, как обозначаются соответствующие действия над числами. Так, например, сумма, произведение и разность множеств Е и Е обозначаются соответственно так:

Е + Е; ЕЕ; Е — Е.

Поясним примерами.

Сумма множества всех рациональных чисел и множества всех иррациональных чисел есть множество всех действительных чисел. Произведение множества всех комплексных чисел модуля < 1 на множество всех действительных чисел есть множество всех действительных чисел, имеющих абсолютную величину <1. Разность между множеством всех положительных рациональных чисел и множеством всех целых чисел есть множество всех положительных дробных чисел.

1) Буква С происходит от слова complément. Следует заметить, что это обозначение несколько устарело, но тем не менее бывает иногда удобно.

2) Иногда (напр. у Hausdorff'а: Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig, 1914) вместо ) пишут сохраняя знак ) лишь для тех случаев, когда знак одинаковости = исключен. Вместо знака ) можно еще употреблять знак >.

3) Знак =, поставленный между двумя множествами, понимается здесь и в дальнейшем только как обозначение их одинаковости.

Из определений сложения и умножения множеств видно, что порядок, в котором множества складываются или умножаются, не играет никакой роли, поэтому имеют место законы коммутативности и ассоциативности сложения и умножения:

I. Е + & = Е + Е

II. (Е+Е')+Е" = Е+(Е' + Е")

III. ЕЕ' — Е'Е

IV. (ЕЕ')Е" = Е(ЕЕ")

где Е, Е, Е"—любые множества.

Закон дистрибутивности:

V. (E-j-E') Е'' = ЕЕ" Аг Е'Е"

также имеет место. Действительно, каждый элемент, принадлежащий (Е-\-Е')Е", принадлежит Е--Е и Е", но элемент, принадлежащий Е-\-Е, принадлежит Е или Е, следовательно, наш элемент или принадлежит Е и Е", или принадлежит Е' и Е", следовательно, принадлежит ЕЕ" или Е'Е", следовательно, принадлежит ЕЕ" -j- EE". Обратно, каждый элемент, принадлежащий ЕЕ" -\-Е'Е", принадлежит ЕЕ" или Е'Е", следовательно, или принадлежит Е и Е", или принадлежит Е' и Е" следовательно, принадлежит Е-\*Е и Еч, следовательно, принадлежит (Е-^-Е)Е". Таким образом левая и правая части V одинаковы. Ч. т. д.

Из того, что сложение и умножение множеств удовлетворяют основным пяти законам, следует, что все те правила, которые вытекают из этих пяти основных законов, применимы к множествам. Например, для перемножения нескольких сумм множеств нужно составить всевозможные произведения слагаемых этих сумм, беря по одному из каждой, а затем все эти произведения сложить.

Докажем еще некоторые формулы, касающиеся разности множеств (в формулах, содержащих разности множеств, аналогия с соответствующими формулами для чисел теряется).

Имеет место формула:

{Е — Е) Е" = ЕЕ" — Ef,

где Е, Е', Е" любые множества1). Действительно, каждый элемент, принадлежащий (Е — Е)Е>Г, принадлежит Е—Е и Е", следовательно, принадлежит Е, не принадлежа Е', и принадлежит Е", следовательно, принадлежит ЕЕ", не принадлежа f7, следовательно, принадлежит ЕЕ" — Е. Обратно, каждый элемент принадлежащий ЕЕ"—Е, принадлежит ЕЕ"', не принадлежа Е', следовательно, принадлежит Е и Е", не принадлежа Е, следовательно, принадлежит Е—Е и Е", следовательно, принадлежит (Е—Е) Е". Ч. т. д. Имеет место формула:

(^i - (Д. - ЕЯ ..(Еп- £/) = ...£„- (£V+£3' + . . . +£„'), где Ev Е2, . . . Еп, Ех', Е2' . . . Еп'—какие угодно множества. Иными словами, произведение разностей множеств равно разности между произведением уменьшаемых и суммою вычитаемых. Действительно, каждый элемент из левой части принадлежит всем Ег—Е/, E2—E2f, . . . Еп—Еп'; следовательно, принадлежит всем Е19 Е2, . . . Еп, не принадлежа ни одному из Ei, Е2, . . • Еп'\ следовательно, принадлежит Ev Е2 . • . Еп, не принадлежа Z^'+^V-f- . . . -f-f,/, следовательно, принадлежит правой части. Обратно, каждый элемент правой части принадлежит ЕХЕ2 . . . Еп9 не принадлежа £/+ Е2'-j- . . . -\-Еп', следовательно, принадлежит всем Ег,Е2...Еп

1) Следует заметить, что закон дистрибутивности здесь не нарушается, т. к. ЕЕ" ~Е' — ЕЕ" —Е'Е', но проще писать ЕЕ" - Е\ чем ЕЕ"-Е'Е".

не принадлежа ни одному из Е/, Е2\ . . . Еп'\ следовательно, принадлежит всем Е^ — Ех\ Е2 — Е2', . . .Еп—Ёп'; следовательно, принадлежит левой части. Ч. т. д.

Упорядоченные множества.

Говорят, что множество Е упорядочено (geordnet), если из всяких двух его элементов один условлено считать предшествующим другому так, что имеет место предложение: если имеем три элемента, причем первый предшествует второму и второй предшествует третьему, то первый предшествует третьему. Например, множество действительных чисел будет упорядочено, если из всяких двух чисел меньшее считать предшествующим большему.

Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным (wohlgeordnet)1), если в каждом подмножестве существует первый элемент. Например натуральные числа упорядоченные по величине дают пример вполне упорядоченного множества, т. к. во всякой совокупности натуральных чисел всегда найдется наименьшее из них. Напротив, целые числа упорядоченные по величине дают пример не вполне упорядоченного множества, т. к., например, в совокупности целых отрицательных чисел нет наименьшего числа.

M. Zermelo доказал, что всякое множество можно вполне упорядочить. Но его доказательство основано на принципе выбора (Auswahlprinzip), который нельзя считать общепризнанным. Этот принцип гласит: если имеем множество множеств G не пустых и не имеющих между собой общих элементов, то существует множество Е, содержащее ровно по одному элементу из каждого множества €2).

Для вполне упорядоченных множеств имеет место следующий принцип индукции. Рассмотрим к.-н. свойство, которым могут обладать элементы вполне упорядоченного множества Е, и предположим, что: 1) первый элемент обладает этим свойством; 2) если все элементы, предшествующие некоторому элементу, обладают этим свойством, то и он им обладает; тогда мы можем утверждать, что все элементы обладают рассматриваемым свойством. Действительно, допустим противное, т.-е. что существуют элементы, не обладающие рассматриваемым свойством. Тогда в множестве таких элементов должен существовать первый элемент, но этот элемент должен обладать рассматриваемым свойством, ибо все предшествующие элементы им обладают, что нелепо. Ч. т. д. Частным случаем этого принципа индукции, когда вполне упорядоченным множеством является множество всех натуральных чисел, упорядоченных по величине, будет то общеизвестное правило, что для доказательства справедливости к.-н. факта (например, к.-н. формулы) для всех натуральных чисел п достаточно: 1) показать справедливость этого факта для п = 1; 2) показать справедливость этого факта для к.-н. п, /г> /, предполагая его верным для меньших значений /г3).

1) Если отвлечься от природы элементов, а интересоваться лишь самим типом вполне-упорядоченности, то мы придем к понятию порядкового числа (Ordnungszahl) О теории порядковых чисел см., напр., F. Hausdorff. Grundzüge der Mengenlehre. Leipzig, 1914. Fünftes Kapitel.

2) Возражение противников заключалось в том, что они разрешали оперировать только с такими вещами, которые могут быть названы, т.-е. охарактеризованы при помощи конечного числа слов. Поэтому они (противники) могли согласиться с существованием множества Е лишь в тех случаях, когда действительно существует закон, позволяющий сделать выбор одного элемента из каждого множества £. Интересную полемику по этому вопросу читатель может найти в Leçons sur la théorie des fonctions professées par Emile Borel, Paris, 1914, Note IV.

3) Второе требование можно заменить меньшим требованием: 21 показать справедливость этого факта для к.-н. п,п>1, предполагал его верным для п — 1, Это вытекает из того, что перед каждым натуральным числом, кроме первого, есть непосредственно предшествующее (чего, вообще говоря, нет в произвольном вполне упорядоченном множестве).

Мощности множеств.

Про два множества говорят, что они содержат „одинаковые количества элементов" или имеют одинаковую мощность (puissance), если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие (correspondence univoque et réciproque), т.-е. такое соответствие, что каждому элементу одного множества отвечает один, и только один, элемент другого множества и наоборот1).

Очевидно, что каждое множество имеет одинаковую мощность с самим собою, ибо за взаимно-однозначное соответствие здесь можно взять соответствие между каждым элементом и им же самим. Если имеем три множества, причем первое со вторым и второе с третьим имеют одинаковые мощности, то первое с третьим имеют одинаковую мощность

Конечное множество никогда не имеет одинаковой мощности со своей правильной частью (часть множества называется правильной частью, если она не совпадает с самим множеством). Напротив, бесконечное множество всегда имеет одинаковую мощность с некоторыми своими правильными частями. Это свойство характеризует бесконечные множества и может быть принято за их определение2). Например множество всех натуральных чисел имеет одинаковую мощность с множеством всех четных натуральных чисел (ибо соответствие, по коему каждому натуральному числу отвечает удвоенное его, есть взаимно-однозначное соответствие между множеством всех натуральных чисел и множеством всех четных натуральных чисел).

Сравнение мощностей.

Говорят, что мощность множества А не более мощности множества В, если А имеет одинаковую мощность с некоторой частью множества В, и что мощность множества А не менее мощности множества если В имеет одинаковую мощность с некоторой частью множества А. Из этих определений следует, что если А и В имеют одинаковую мощность, то мощность А одновременно не более и не менее мощности В (здесь за части множеств А и В можно взять их самих). Из основной теоремы F. Bernstein'а3) непосредственно следует, что, обратно, если мощность А одновременно не более и не менее мощности В, то А и В имеют одинаковую мощность4).

Говорят, что мощность множества А меньше мощности множества В, если мощность А не более мощности В и если А и В не имеют одинаковой мощности. Аналогично говорят, что мощность множества А больше мощности множества Ву если мощность А не менее мощности В и если А и В не имеют одинаковой мощности. Наконец, говорят, что мощность множества А равна мощности множества В, если А и В имеют одинако-

1) Если всякие два множества, имеющие одинаковую мощность, считать тождественными, т.-е. если отвлечься от природы элементов, а интересоваться лишь „количеством" их, то мы придем к понятию кардинального числа (Kardinalzahl). О теории кардинальных чисел см., напр., F. Hausdorff. Grundzüge der Mengenlehre. Leipzig, 1914. Drittes Kapitel.

2) Следует заметить, что до сих пор мы не делали различия между конечными и бесконечными множествами, считая понятия конечности и бесконечности еще неопределенными.

3) Эта теорема гласит: если E)Ef,)E// и Е с Е" имеют одинаковую мощность, то Е с Ег имеют одинаковую мощность. Наглядное доказательство этой теоремы см. у Е. Borel. Leçons sur la théorie des fonctions. Paris, 1914, pag. 104.

4) Действительно A имеет одинаковую мощность с Вь где Вх С В, а В имеет одинаковую мощность с Аъ где А1 С А. Взаимно-однозначное соответствие между элементами А и В1 переводит А{ в Въ где В2СВ\- Т. о. мы получим В}Вх}Въ причем В с В2 имеют одинаковую мощность, следовательно по теореме F. Bernsteina В с В1 имеют одинаковую мощность и, следовательно, В с А имеют одинаковую мощность. Ч. т. д.

вую мощность. Из сказанного следует, что суждения ,,больше", ,,меньше", „равно" исключают друг друга (то, что „больше" и „меньше" исключают „равно", следует уже из самого определения, а то, что „больше" исключает „меньше" следует из того, что их одновременность повлекла бы за собой „равно", а это несовместимо с ними)1).

Не существует наибольшей мощности, т.-е. каково бы ни было множество Е, всегда существует множество, мощность коего больше мощности множества Е (напр., не трудно доказать, что мощность множества всех подмножеств к.-н. множества больше мощности последнего).

Учетные множества.

Простейшим примером бесконечного множества является множество всех натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, . . . Множество, имеющее одинаковую мощность с множеством всех натуральных чисел, называется счетным множеством (ensemble dénombrable). Таким образом бесконечное множество будет счетным тогда, и только тогда, когда его элементы можно перенумеровать.

Счетная мощность есть наименьшая из бесконечных мощностей, т.-е. каждое бесконечное множество имеет мощность не менее, чем счетную (отсюда следует, что бесконечная часть счетного множества всегда есть счетное множество). Для этого достаточно показать, что каждое бесконечное множество допускает счетную часть. Пусть Е к.-н. бесконечное множество. Пусть ах к.-н. его элемент. Этим элементом ах множество Е не будет исчерпано, т. к. иначе оно состояло бы из одного элемента и, следовательно, было бы конечным. Пусть поэтому а2 к. н. элемент из £, отличный от аг Элементами а19 а2 множество Е не будет исчерпано, ибо иначе оно состояло бы из двух "элементов и, следовательно, было бы конечным. Пусть поэтому а3 к.-н. элемент из Е, отличный от а1э а2. Опять найдем, что элементы at, се2, а3 не исчерпают множество Е и т. д. Таким образом мы получим счетное множество элементов а19 а2, а3, . . . принадлежащих Е, т.-е. счетную часть множества Е. Ч. т. д.

Если к элементам счетного множества прибавить конечное или счетное множество новых элементов, то получится снова счетное множество (отсюда по индукции следует, что сумма конечного числа конечных или счетных множеств, среди коих хотя бы одно счетное, есть счетное множество). Действительно, перенумеруем элементы данного счетного множества. Пусть ai> а2> аз> • • • они- Предположим сперва, что множество прибавляемых элементов конечное и перенумеруем эти элементы. Пусть ß,, ß2, . . . ßM они. Тогда после прибавления новых элементов все элементы могут быть перенумерованы следующим образом:

Предположив затем, что множество прибавляемых элементов счетное и перенумеруем эти элементы. Пусть ßt, ß2, ß3, . . . они. Тогда после прибавления новых элементов все элементы могут быть перенумерованы следующим образом: 12 3 4 5 6 .....

1) Но из наших рассуждений еще не следует, что всякие две мощности сравнимы между собой, т.-е. что между ними обязательно имеет место одно из трех соотношений: „больше", „меньше", „равно". Для обнаружения этого факта нужны значительно более глубокие рассмотрения. Эти рассмотрения основаны на теореме Zermelo о том, что всякое множество можно вполне упорядочить и, следовательно, базируются на принципе выбора.

Ч. т. д. Отсюда в частности следует, что множество всех целых чисел счетное, ибо оно есть сумма счетного множества всех целых положительных чисел, счетного множества всех целых отрицательных чисел (счетность последнего следует из того, что, относя каждому целому отрицательному числу его абсолютную величину, мы получим взаимно-однозначное соответствие между всеми целыми отрицательными числами и всеми целыми положительными числами) и множества, состоящего из одного нуля.

Если к элементам к.-н. бесконечного множества Е прибавить конечное или счетное множество новых элементов, то мощность Е не изменится. Действительно, пусть D конечное или счетное множество прибавляемых элементов и пусть Д к.-н. счетная часть Е (таковая, как мы видели, существует). Если теперь каждому элементу из Е — д отнести его самого, а между элементами множеств д и д -|-D установить взаимно-однозначное соответствие (это возможно, т. к., в силу вышеизложенного, д Jr D счетное вместе с д ), то этим самым будет установлено взаимно-однозначное соответствие между элементами множеств Е и E-\-D. Ч. т. д.

Если от бесконечного множества Е отнять конечное множество элементов, то мощность Е не изменится. Действительно, пусть F—конечное множество отнимаемых элементов. После отнятия останется бесконечное множество Е — F, ибо иначе первоначальное множество Е было бы суммою двух конечных множеств Е — F и F, следовательно, было бы конечным. Но теперь Е, как сумма бесконечного множества Е — F и конечного множества F, в силу вышеизложенного, имеет одинаковую мощность с Е — F. Ч. т. д.

Если от бесконечного несчетного множества Е отнять счетное множество элементов, то мощность Е не изменится. Действительно, пусть D счетное множество отнимаемых элементов. После отнятия останется бесконечное множество Е — D, ибо иначе первоначальное множество Е было бы суммой конечного множества Е — D и счетного множества D, следовательно, было бы счетным. Но теперь Е, как сумма бесконечного множества Е ~ D w счетного множества Д в силу вышеизложенного, имеет одинаковую мощность с Е — D. Ч. т. д.

Множество всех пар (т, п) из двух произвольных натуральных чисел m, п есть счетное множество (отсюда по индукции находим такой же результат для троек, четверок и т. д.). Действительно, эти пары можно пересчитать по схеме (стрелки указывают порядок, в каком их нужно пересчитывать):

т.-е. перенумеровать так:

Ч. т. д. Отсюда следует, что множество всех рациональных чисел счетное. В самом. деле, каждое положительное рациональное число единственным образом представимо в виде несократимой дроби, поэтому множество всех

положительных рациональных чисел имеет одинаковую мощность с множеством всех пар (т, п) из двух взаимно простых натуральных чисел, но последнее счетное, ибо является бесконечной частью множества, счетность коего сейчас была доказана, следовательно, и множество всех положительных рациональных чисел счетное. Наконец, множество всех рациональных чисел является счетным потому, что оно есть сумма счетного множества всех положительных рациональных чисел, счетного множества всех отрицательных рациональных чисел (счетность последнего следует из того, что, относя каждому отрицательному рациональному числу его абсолютную величину, мы получим взаимно однозначное соответствие между всеми отрицательными рациональными числами и всеми положительными рациональными числами) и множества, состоящего из одного нуля.

Сумма счетного числа конечных или счетных множеств есть счетное множество. Действительно, перенумеруем эти множества и в каждом из них выкинем те элементы, которые уже встречались в предыдущих множествах, а затем в каждом из перенумерованных множеств перенумеруем его элементы. Тогда каждому элементу суммы отвечает пара из двух натуральных нумеров, где первый есть нумер множества, коему элемент принадлежит, а второй есть нумер элемента в этом множестве. Таким образом элементы суммы будут поставлены во взаимно-однозначное соответствие с бесконечно многими парами (т, п) из двух натуральных нумеров, но эти пары образуют счетное множество, ибо оно является бесконечной частью множества, счетность коего уже была доказана. Ч. т. д.

Множества мощности континуума.

Вторым основным примером бесконечного множества является множество всех действительных чисел. Из аксиомы непрерывности непосредственно следует, что это множество не может быть счетным1). Множества, имеющие с ним одинаковую мощность, называются множествами мощности континуума (puissance du continu). Мощность континуума, как бесконечная мощность, отличная от счетной мощности, больше последней.

Множество всех действительных чисел, больших некоторого числа, множество всех действительных чисел, меньших некоторого числа, и множество всех действительных чисел, лежащих между некоторыми двумя числами, имеют одинаковую мощность с множеством всех действительных чисел, т.-е. имеют мощность континуума. Действительно, не трудно при помощи элементарных непрерывных функций получить взаимно-однозначное соответствие между элементами этих множеств и всеми действительными числами (числа х, х > а, при помощи y = \og (х— а); числа х, # < я, при помощи у = log (а — х)\ и числа х, а<х<Ь, при помощи y = log yzr^ становятся во взаимно-однозначное соответствие со всеми действительными числами у. Множества чисел х каждого из следующих видов: х^а\ х^а\ a5ьXg b\ a^£x<b; a<x^gb имеют также мощность континуума. Это следует из того, что прибавление одного или двух новых элементов к бесконечному множеству не меняет его мощности.

1) Для этого достаточно показать, что если имеем к.-н. счетное множество действительных чисел, то существует действительное число, не принадлежащее этому множеству. Перенумеруем элементы рассматриваемого счетного множества. Пусть аь а2, я3, . . они. Возьмем к.-н. интервал \ъ не содержащий ах. На интервале \\ возьмем к.-н. интервал 12, не содержащий а2. На интервале 12 возьмем к.-н. интервал 13, не содержащий az. И т. д. По аксиоме непрерывности существует, по крайней мере, одно число, принадлежащее всем интервалам Ij, 12, 13, ... Такое число, очевидно, отлично от всех аи a2l a3i . . . Ч. т. д.

Множество всех бесконечных последовательностей av а2, а8 . . . , члены коих суть цифры 0, 1, 2, . . .9, имеет мощность континуума. В самом деле, каждое число х вида 0 < 1 единственным образом представимо в виде существенно-бесконечной десятичной дроби 0, ах а2 а3 . . . (под существенно-бесконечной дробью мы подразумеваем такую, у которой как угодно далеко будут встречаться значущие цифры)1). Следовательно, множество существенно-бесконечных десятичных дробей 0, ах а2 ав . . . имеет одинаковую мощность с множеством чисел х вида 0<a;S1, следовательно, имеет мощность континуума. Нэ множество не существенно-бесконечных десятичных дробей, что равносильно множеству конечных десятичнных дробей, счетное (ибо конечные десятичные дроби образуют бесконечную часть множества всех рациональных чисел, а оно счетное), прибавление же счетного множества к бесконечному множеству не меняет мощности последнего, следовательно, множество всех бесконечных десятичных дробей О, ах а2 а3 ... имеет также мощность континуума, но оно равносильно множеству всех последовательностей av а0, а3, . . . , составленных из цифр 0, 1, 2, . . : 9. Ч. т. д.

Множество всех пар (ху у) из двух действительных чисел имеет мощность континуума (отсюда по индукции находим аналогичный результат для троек, четверок и т. д ). Заметим сперва, что если вместо действительных чисел X, у мы будем брать элементы какого угодно другого множества мощности континуума, то мощность множества всех пар (х,у) не изменится. Берем поэтому вместо действительных чисел последовательности составленные из цифр 0, 1, 2, ... 9. Тогда мы получим множество всех пар av а2, аъ, . . . ; Ьи Ь2, &я . . . из двух таких последовательностей. Каждой такой паре отнесем последовательность а1У bv а.2, *2> аз> ^з> • • • Такое соответствие будет взаимно-однозначным, ибо, обратно, каждая последовательность, составленная из цифр 0, 1, 2, ... 9, будет отвечать паре, составленной из последовательности цифр, стоящих на нечетных местах, и последовательности цифр, стоящих на четных местах. Поэтому множество пар последовательностей цифр имеет одинаковую мощность с множеством последовательностей цифр, следовательно, также имеет мощность континуума. Ч. т. д.

Мы пришли к интересному выводу, который может быть формулирован так: множество всех точек прямой, множество всех точек плоскости и множество всех точек пространства — все они имееют одинаковую мощность. Иными словами, прямая, плоскость и пространство имеют „одинаковые количества" точек. Этот результат может показаться парадоксальным и не совместимым с нашей интуицией, но в нем нет никакого логического противоречия (поскольку такового нет в натуральном ряде).

ДИСТАНЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ.

Проф. Н. Агрономов (Владивосток).

1. Более или менее хорошо известны следующие предложения элементарной геометрии:

1) геометрическое место точек, равноотстоящих от двух точек на прямой, в геометрии прямой есть точка;

2) геометрическое место точек, равноотстоящих от трех точек на плоскости, в геометрии плоскости есть точка;

1) Для числа, представимого конечной десятичной дробью О, Ьх Ь2 . . . bfn эта существенно-бесконечная дробь будет 0, Ьг Ь* . . . bn — 1 9 9 9 . . .

3) геометрическое место точек, равноотстоящих от двух точек на плоскости, в геометрии плоскости есть прямая;

4) геометрическое место точек, равноотстоящих от четырех точек в пространстве, в геометрии пространства есть точка;

5) геометрическое место точек, равноотстоящих от трех точек в пространстве, в геометрии пространства есть прямая;

6) геометрическое место точек, равноотстоящих от двух точек в пространстве, в геометрии пространства есть плоскость.

Схематически эти предложения можно свести в таблицу:

В геометрии

Г. м. точек, равноотстоящих от

2 точек

3 точек

4 точек

Прямой

Точка

Плоскости

Прямая

Точка

Пространства

Плоскость

Прямая

Точка

2. Таким образом устанавливаются известные соотношения между группами точек, с одной стороны, и точек, прямых и плоскостей—с другой. Точки, определяющие ту или иную плоскость, прямую и точку, мы будем называть центрами плоскости, прямой и точки. Очевидно, что каждой системе 2, 3, 4 точек, рассматриваемой как система центров, отвечает вообще определенная плоскость, прямая или точка. Обратное положение не имеет силы, т. к. для каждой плоскости, прямой и точки можно подобрать любое количество систем центров.

Введение понятия центра прямой, плоскости и точки позволяет нам заменять операции над высшими геометрическими образами операциями только над центрами. Т. о. геометрический чертеж с прямыми и плоскостями может быть заменен чертежом, включающим только точки.

3. Предположим теперь, что нам известны формулы расстояний между 2 точками в геометриях на прямой, на плоскости и в пространстве.

Придадим этим формулам следующий вид:

(1)

Если эти формулы доказаны нами для всех положений точек, то вывод уравнений прямой на плоскости прямой и плоскости в пространстве не представляет никаких затруднений.

Рассуждение, которое необходимо провести, имеет следующий характер. Пусть нам требуется найти уравнение прямой на плоскости. Очевидно, что для этой прямой мы всегда можем найти два центра, т.-е. рассматривать нашу прямую как геометрическое место точек, равноотстоящих от двух данных точек. Пусть координаты центров суть:

х2 у2

а координаты какой-либо точки прямой х и у. Пользуясь формулой расстояния, мы имеем:

или

(2) (3)

Т. к. это соотношение справедливо для любой точки прямой, то мы называем его уравнением прямой.

Далее, мы делаем заключение о том, что всякая прямая имеет уравнением линейное уравнение.

Доказательство того, что всякое уравнение 1-й степени с двумя переменными представляет прямую, не дает никаких трудностей. Все доказательство сводится к тому, чтобы показать, что

Ах + Ву-\-С = 0

можно представить в виде (3).

Подобным же образом выводятся уравнения прямой и плоскости в пространстве. Уравнение (2), (3) и аналогичные уравнения для прямой и плоскости в пространстве удобно называть дистанционными.

4. Несомненно, что подобное изменение главы об уравнениях простейших геометрических мест имеет большие преимущества. Кроме того, связанное с этим изложением понятие о центрах позволяет все операции аналитической геометрии свести к операциям над следующими символами:

а) геометрия прямой:

точка

б) геометрия плоскости:

точка

прямая

в) геометрия пространства;

точка

плоскость

прямая

В скобку помещаются координаты центров, определяющих тот или иной геометрический образ.

В качестве примера приведем формулу, являющуюся решением задачи:

найти расстояние (хг уг) от у2 -^-J; ответ имеет вид

ПРИМЕНЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ К ВЫВОДУ ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ НА ЛЮБЫЕ ЧИСЛА.

А. Н. Синькевич (с. Евминка Черниговского округа).

Устанавливаемые здесь признаки делимости получаются с помощью следующей теоремы.

Теорема. Если два неопределенные уравнения

ma-\-nb = ck (I)

и pa\-qb = cU (II)

где с, m, n, р, q, k, I — целые числа, имеют общую систему решений a = aQ, b = b{), то при значениях а и Ь, равных решениям первого неопределенного уравнения, линейная форма pa-\-qb есть число кратное с, если а0 является числом взаимно простым с с.

Доказательство. Общие решения первого неопределенного уравнения имеют вид

а = aQ -f- Tit, b = b0 — mt.

Подставляя эти значения а и b в форму pa-\-qb, получим:

pa-{-qb = ра0 -f- qb0 -j- (рп — qm) t.

Так как из тождеств

та0 + nb0= ck, ра0 -f- qb0 = cl

получается

(рп — qm) а0 = с (In — kq),

то рассматриваемая форма принимает вид

pa + qb = cl+ C(ln~kq)t

В этом выражении второе слагаемое есть число кратное с, так как а0 по условию не делится на с, а потому теорему можно считать доказанной.

При применении этой теоремы будем рассматривать данные числа, как состоящие из двух разрядов, например, 3574 —из 35 сотен и 74 единиц чли из 357 десятков и 4 единиц Число единиц высшего разряда будем обозначать через а, а низшего — через Ь. В приведенном примере 3574 = 100а 4- b и т. д. Такого рода выражения будут представлять форму ma-\-nb (см. теорему), а для формы pa-\-qb будем стараться получить возможно более простое выражение.

Необходимый для этого пр ем выясним на примере. Пусть с = 19, k=\, /=1, тогда /я = 10, ю = 1, а равенство (I) можно написать в виде

т-\- 9п = \9.

Это неопределенное уравнение, где m и п рассматриваются как неизвестные, имеет еще следующую простую систему решений т = \, п — 2, поэтому

1+9.2 = 19 или а + 2&=19.

Форма а-\-2Ь и является в рассматриваемом случае той искомой простой формой, которая дает нам признак делимости на 19. В самом деле, если какое-либо предложенное число делится на 19, то оно имеет вид 19£ и за уравнение (I) можно взять 10а-|-6=19^, где а и b числа разрядов предложенного числа, а форма искомая pa + qb будет a -J- 2Ь. Из теоремы следует, что в этом случае а-\-2Ь делится на 19.

Обратно, если форма а-\-2Ь, составленная для предложенного числа, имеет вид 19/, т.-е. имеет место уравнение а-\- 2Ь = \ 91, которое теперь уже должно соответствовать уравнению (I), то по теореме форма }0а-\-Ь делится на девятнадцать

При практическом применении этого признака делимости на 19 удобно располагать вычисления в следующих табличках (аналогичные расположения можно делать и в других случаях):

Пример I. Пример 2. Пример 3.

Заметим, что теорема справедлива и в том случае, если одно из чисел, k или / равно нулю.

Для вывода признака делимости на 31 имеем:

3 т-\-п =■ 31.

Вместо того, чтобы подыскивать другие значения тип, удовлетворяющие этому уравнению, можно в правой части его взять любое кратное 31 или 0.

В последнем случае имеем уравнение

3 m -f- п = 0,

которое удовлетворяется при т = \, п = — 3, и тогда форма, определяющая делимость на 31, есть а — ЪЬ.

Пример: 527

Указанный прием непосредственно не применим, если число с не содержит двух разрядов, т.-е. является однозначным числом. Покажем на примере с = 7, составление признака делимости. Полагая k = 3, пишем 2т-\-п—2\. Это неопределенное уравнение удовлетворяется при т=3 и п = \5\ тогда формой, определяющей делимость на 21, будет За-\-\5Ьь а для делимости на 7 имеем а-\-ЪЬ.

Рассмотрим еще один пример: с=3333311111. Частные значения букв теоремы будут:

m = 100000, л = 1, а = 33333, 0 = 11111,

а формой, определяющей делимость, будет а — ЪЬ.

Пример:

Для примера приведем несколько форм, определяющих делимость на те или иные числа.

m — 10, n = 1

с=

3

9

4

8

7

7

11

11

формы

а+b

а+b

2а+b

2а+b

a+5b

a-2b

a+10b

a-b

m = 100 я = 1

с =

13

13

17

19

19

23

29

31

37

41

формы

а+4b

3a-b

a-5b

a+2b

a—17b

a+7b

a+3b

a—3b

a—11b

a—4b

//г = 100, /г = 1

101

103

901

2113

формы

а—b

За—b

a—9b

13a—21b

/л=1000, /г=1

c=

2003

2113

формы

За—2b

113а—2b

//1=10000, /г = 1

91279127

формы

а—b

Вышеуказанный способ дает возможность составить более подробные таблицы признаков делимости.

О МЕДИАНАХ И О ЦЕНТРЕ МЕДИАН МНОГОУГОЛЬНИКОВ.

Н. Колмогоров (Алма-Ата).

Пусть дан какой-нибудь треугольник. Проведем медианы этого треугольника. Можно легко доказать, что утроенная сумма квадратов расстояний от центра медиан треугольника до всех вершин его равна сумме квадратов всех его сторон, т.-е.

3 (ОА2 + ОВ*-\-ОС2) = АВ2-\-ВС2~\-АС*.

Доказательство можно найти в любом курсе геометрии.

Эту теорему можно распространить на какие угодно многоугольники, как плоские, так и пространственные, если надлежащим образом определить медианы этих многоугольников. В курсах новой геометрии треугольника определение медиан дается обыкновенно только лишь для четыреугольников (см. «Новая геометрия треугольника» Д. Ефремова, глава IV, § 38, стр. 104), но это определение, мне кажется, не совсем удачное, ибо оно оставляет совершенно открытым вопрос о существовании медиан для пятиугольника, шестиугольника и т. д Я приведу здесь это определение медиан для четыреугольника: медианами четыреугольника называются прямые, соединяющие середины противоположных сторон этого четыреугольника, причем точка пересечения медиан четыреугольника наз. средней точкой (point moyen). Из этого определения медиан видно, что

в четыреугольнике медианы несколько отличаются от медиан треугольника и между ними нельзя провести почти никакой аналогии.

Дадим новое определение медиан для четыреугольника. Оно заключается в следующем: медианой четыреугольника называется прямая, соединяющая какую-нибудь из вершин его с центром медиан треугольника, вершинами которого будут служить остальные три вершины четыреугольника. Ясно, что всего медиан в четыреугольнике будет четыре. Эти медианы обладают свойствами, аналогичными медианам треугольника.

Можно, напр., высказать относительно медиан четыреугольника следующую теорему: все четыре медианы четыреугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 3 : 1 (эту точку назовем центром медиан четыреугольника).

Доказательство этой теоремы весьма простое; для пространственного четыреугольника (тетраэдра) доказательство можно найти в любом курсе механики и геометрии.

Дав новое определение медиан четыреугольника, можно сейчас же распространить на четыреугольник теорему о сумме квадратов расстояний от центра его медиан до всех вершин четыреугольника. Для четыреугольника эта теорема выражается так: учетверенная сумма квадратов расстояний от центра медиан четыреугольника до всех четырех вершин его равна сумме квадратов всех сторон и диагоналей четыреугольника.

Пусть нам будет дан четыреугольник ABCD, пусть О — центр медиан его, тогда мы можем написать:

Рис. 1.

Рис. 2.

Доказательство этой теоремы я не буду приводить здесь по причине его легкости.

Между прочим, заметим, что четыреугольник abed оснований медиан данного четыреугольника ABCD можно, по аналогии с треугольником оснований медиан какого-либо треугольника, назвать дополнительным для этого четыреугольника ABCD и, кроме того, четыреугольники abed и ABCD гомологичны и гомотетичны, причем центром гомологии и гомотетии будет служить точка О, центр медиан четыреугольника ABCD.

Перейдем теперь к пятиугольнику и дадим определение медиан его. Оно будет таково: медианой пятиугольника называется прямая, соединяющая какую-нибудь из вершин его с центром медиан четыреугольника, вершинами которого будут остальные четыре вершины пятиугольника. Всего, следовательно, в пятиугольнике будет пять медиан и главнейшее их свойство заключается в следующем: все пять медиан пятиугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 4: 1 (эту точку назовем центром медиан пятиугольника). Это свойство доказывается легко.

Рис. 3.

Докажем теперь для пятиугольника следующую теорему: упятеренная сумма квадратов расстояний от центра медиан пятиугольника до всех пяти вершин его равна сумме квадратов всех сторон и диагоналей этого пятиугольника.

Пусть нам дан пятиугольник ABCDE, пусть его медианами будут Аа, Bb, Ce, Dd, Ее, точка О — центр медиан его, тогда мы можем написать следующее равенство, выражающее теорему:

Докажем это соотношение. Сначала дадим выражение для квадрата какой-либо медианы, напр., для Сс. Из треугольника FCJ, для которого Сс служит медианой, имеем \Cc2 = 2(FC2-{-CJ1)—FJ1, из треугольника АБС имеем: 4 FC2 = 2 (ВС2 + АС2) — АВ\ из треугольника CED имеем: 4 С/2 = 2 (СЕ2 + CD2) — DE2, из треугольника AJB имеем: 4 FP = = 2 (BJ2-\-Aß) — AB2, из треугольника BDE имеем: 4 BJ2 = 2 (BD 2 + -\-BE?) — DE\ из треугольника ADE имеем: 4 AJ2 = 2 (AD2 -f- АЕ2) — — DE2, следовательно.

В виду того, что медиана Сс делится в точке О в отношении 4:1,

найдем, что

следовательно:

Точно так же найдем, что:

Сложим теперь все эти пять равенств и после упрощений мы получим окончательно:

Доказательство этой теоремы основано на том обстоятельстве, что во всяком четыреугольнике центр медиан его всегда совпадает со средней точкой его, что легко доказать. Пользуясь принципом математической индукции, можно доказать эту теорему и для какого угодно многоугольника.

Для всякого многоугольника она выражается так: сумма квадратов расстояний от центра медиан до всех вершин п-угольника, увеличенная в п раз, равна сумме квадратов всех сторон и диагоналей п -угольника.

Из этой последней обобщенной теоремы можно вывести замечательное следствие, применяя ее к правильным многоугольникам. Так как во всяком правильном многоугольнике центр медиан его совпадает с центром многоугольника, то расстояние от центра медиан правильного многоугольника до какой-либо вершины его равно радиусу многоугольника, вследствие чего, на основании последней теоремы, мы можем написать нижеследующие формулы, связывающие стороны и диагонали правильного многоугольника с его радиусом.

Для многоугольников с нечетным числом сторон они будут таковы:

1) 3R2 = a2 для правильного треугольника, откуда a = R]/r3) что известно из геометрии.

2) 5/?2r=a2-f b2 для пятиугольника, в этой формуле R — радиус, а—сторона, b — диагональ.

3) lR2 = a2Jrb2^-c2 для семиугольника, здесь /?—радиус, а —сторона, Ъ и с — диагонали.

4) 9R2= a2 + b*-\-c2-\-d* для девятиугольника, здесь R — радиус, а — сторона, Ь, с и d — диагонали.

5) (2п + \) /?2 = 2 + а22 + a2-f а,2+ . . . + а„2 для всякого правильного многоугольника с нечетным числом сторон; в этой формуле 2я-|-1—число сторон, ах—сторона, а2, а3, а4, . . . ан — диагонали.

Для многоугольников с четным числом сторон формулы будут таковы:

1) 2R2 = a2 для правильного четыреугольника, здесь R — радиус, а—сторона; из этой формулы имеем: а= R Y2, что известно из геометрии.

2) 4/?2= а2-\-Ь2 для шестиугольника, здесь а —сторона, Ь — диагональ, отличная от диаметра; из этой формулы имеем: a — R, что известно из геометрии.

3) 6R2 = a2 -f- ô2 -J- с2 для восьмиугольника; в этой формуле а —сторона, b и с—диагонали.

4) SR2 = a2-\-b2 -[- с2 + для десятиугольника, здесь а —сторона, Ь, с и d — диагонали.

5) (2п — 2) ф = а2-\-а22-\- а32+ а42+ . . . +а2п~1 для всякого правильного многоугольника с четным числом сторон; в этой формуле 2 п — число сторон, — сторона, а2, а3, а4, . . ап-х—диагонали, отличные от диаметра.

Пользуясь всеми этими формулами, можно вывести все те соотношения между стороной и радиусом каждого из правильных многоугольников, которые известны в геометрии, не прибегая, однако, к рассмотрению углов правильного многоугольника.

Преобразуем формулы:

в другой вид.

Преобразуем сначала первую формулу, т.-е.

Примем R за единицу, тогда, если многоугольник имеет 2п-\-\ сторон, и первая формула примет вид:

Вторая формула преобразуется в следующую:

Обе формулы можно вывести и другим путем, совершенно независимо от формул для правильных многоугольников, а именно: с помощью суммирования тригонометрических функций углов, составляющих арифметическую прогрессию, а также и с помощью интегрирования рядов, причем в последнем случае придется пользоваться известным рядом Фурье, а именно: sin аг-|—^~ s*n 2«i-f--у sin3at-f- . . . -f- — sin av сумма которого известна и равна —^-J^—*

РЕШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО УРАВНЕНИЯ: х33 = m.z3 В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ.

Н. Колмогоров (Алма-Ата).

Будем считать числа х, у, и, z взаимно-простыми.

Представим уравнение х3-\-у3 — mz3 в таком виде:

(х -\-у) (х2 — ху -\-у2) = mz3.

Здесь могут представиться 2 случая.

1-й случай. Числа х-\~у и х2 — ху -f у2 взаимно-простые.

Тогда одно из них должно быть кубом целого числа.

a) Пусть X -\-у = ее3. Полагая, наприм., х = аъ -f- 3a2b, а у = 3ab2 -f- b3 мы получим решение уравнения x3-\-y3 = mz3 в целых числах, причем z = а-\- b, а т = х2 — ху-^гУ2- Придавая буквам а и b произвольные значения, мы получим различные решения уравнения x3Jry3 = mz3. Пусть, напр., а = 2, Ь = 3, тогда х = 44, _у = 81, z = 5, а яг = 4933, и мы получим: 443 + 81 3 = 4933 . 53.

b) Пусть X2 — ху-\-у2=$3. Тогда, представив это уравнение под видом: (^Х\У )2~1~^(Л: 2^V)2~ft8 и Разлагая левую часть на два сопряженных комплексных множителя, получим:

Далее, т. к. сопряженные комплексные числа линейного вида при взаимно-простых н —^- суть тоже взаимно-простые числа, то.

положив: —iZ. -j- jj/з. - = ( a -f- i\f 3. b} 3, будем иметь:

*-f-j, = 2a3—18 ab2; x—y = 6a2b— 6b3, а из этой системы мы получим:

X = a* -f 3a2b — 9ab2 - 3b3; y = a3 — 3a2b — 9ab2 + 3b3; следов.: z = a2 -\-3b2, m = 2a3 — 18 ab*.

Пусть a = l,ô=2, тогда *= — 53, j/= —17, z=13, m~ — 70, и мы получим: ( - Ь3)3 + ( — 17)3 = ( — 70) . 133 или 53* + 173= 70 . 133, что не трудно проверить.

2-й случай. Числа х-\-у и х2 — ху-\-~у2 имеют общего делителя. Представив второе число под видом: (х-\-у)2 — Зху, можно легко убедиться, что общим делителем чисел х-\-у и х2 — ху-\-у2 может быть

только 3 при условии, если х-\-у делится на 3 и если х и у—числа взаимно-простые. В этом случае уравнение решается так:

c) Напишем уравнение в таком виде:

(х-\-у).(х2 — ху -\- у2) = mz3. Так как оба сомножителя левой части делятся на 3, то произведение их должно делиться на 9, поэтому здесь мы можем положить: х-\-у — 9 (а 4- Ъ)ъ\ пусть, напр., х = 5 (а-{-Ь)3,

а у = 4 (а Л- Ь)3, тогда т= '--------3 >а z~^> (aJr^)- Придавая буквам а и b произвольные значения, получим решение уравнения xz -j-у3 = тгъ в целых числах. Пусть а = 1, Ь — тогда х=5, у = 4, т = 7, z~—3, и мы получим: 53-|-43 = 7 . З3.

Возможны, конечно, и другие предположения относительно х и у.

d) В случае, если х2— ху-\-у2 = 9$3, х-{-у=3 к, то не трудно доказать, что X и у должны по отдельности делиться на 3; поэтому, сократив обе части уравнения x3-\-y3=mz3 на 27, мы можем решить его способом, указанным в п. Ь).

О РЕЛЬЕФНО-СФЕРИЧЕСКОЙ ПЕРСПЕКТИВЕ.

Памяти Б. К. Млодзеевского.

В. В. Добровольский (Москва).

Обыкновенная перспектива обладает, как известно, тем замечательным свойством, что прямые линии изображаются прямыми же, плоскости— плоскостями же; все бесконечно удаленные точки плоскости изображаются также прямой, а все бесконечно удаленные точки пространства—плоскостью. Если при небольшом поле зрения она удобна для изображения пространства, видимого глазом, то для изображения всего зрительного пространства она явно несостоятельна. В самом деле, линия горизонта представляет собою круг, а не прямую, а ведь она и есть изображение всех бесконечно удаленных точек горизонтальной плоскости. И это вовсе не есть следствие кривизны земли, как иногда полагают: на плоской поверхности мы все равно имели бы горизонт в виде круга, только радиус его был бы значительно больше, не обращаясь, однако, в бесконечность. Подобное же явление мы наблюдаем на «небесном своде», к которому наш глаз относит все достаточно удаленные точки пространства, практически принимаемые за бесконечно удаленные. Прямые линии уже не изображаются прямыми; в самом деле, две параллельные кажутся нашему глазу сходящимися на горизонте как в одну, так и в другую сторону, что создает впечатление кривых линий. Отойдя несколько в сторону от рельсового пути, можно убедиться в справедливости сказанного. Плоскости тоже уже не изображаются плоскостями, напр., горизонтальная плоскость, находящаяся под нами, кажется нам вогнутой, чашеобразной поверхностью, краями которой служит линия горизонта. При построении больших храмов давно заметили это явление, и для избежания такого впечатления стали делать пол выпуклым. Глядя на море с высокой горы или на землю с аэроплана, можно легко обнаружить этот эффект: выпуклая в действительности поверхность земли кажется вогнутой.

Попытаемся построить это воспринимаемое нами изображение действительного пространства, или зрительное пространство. Так как бесконечно удаленные элементы его замыкаются в сферу, а само оно сохраняет свойство непрерывности, то всякая точка пространства кажется нам

ближе своего действительного места. Какой закон приближения принять; это зависит от учета оптических и физиологических свойств нашего глаза, естественно напрашивается простейший, именно тот, который указывается теорией вогнутой чечевицы: мы все видим мир как бы через очки для близоруких. Выражая это математически, получим уравнение преобразования: j_ ± «

r' ~ г ' R '

где г'—радиус-вектор изображающей точки, г—радиус-вектор действительной точки, R—предельный радиус, соответствующий бесконечности.

Приведенная формула допускает простое построение изображающей точки на плоскости. Проводим круг радиуса R (см черт. 1), соединяем центр его О с данной точкой А и проводим из центра два луча ОМ и ON под равными углами в; соединяем А с В, а через С проводим СА'\\ВО. Получим изображение А в А.

В самом деле, в треугольнике ОАВ линия ОС является биссектрисой, а потому

но, с другой стороны,

следовательно,

Черт. 1.

Масштаб изображения равен — = ^ ^_у, т.-е. уменьшается с удалением от центра.

Все круги с центром в О изображаются концентрическими кругами, уменьшенными в указанном масштабе; для предельного круга получим круг вдвое меньший.

Посмотрим, какими линиями изображаются прямые. Пусть имеем центр перспективы О, предельный круг и прямую MN (см. черт. 2). Изображение какой-нибудь точки ее А пусть будет в А. Тогда, опустив из О и Л' перпендикуляры ОР и AQ на MN, найдем:

поэтому

Черт. 2.

причем букой h обозначен перпендикуляр ОР. Это указывает, что искомая линия есть коническое сечение, фокус которого находится в О, а директрисой служит данная прямая MN. Эллипс получается для прямой, не пересекающей предельного круга, гипербола—для секущей, парабола —для касательной.

Найдем еще те кривые, которые изображаются прямыми. Возьмем хорду предельного круга AB' (черт. 3). Пусть точка ее М' есть изображение точки М. Проведя ОС±_АВ' и MN±_A'B\ находим

Таким образом и здесь мы имеем коническое сечение, но оно здесь всегда будет гиперболой с центром в О и с ассимптотами OA' и OB', за исключением того случая, когда А'ВГ есть диаметр предельного круга; тогда гипербола обращается в прямую.

Не трудно перенести эти заключения на пространство. Так, напр , мы найдем, что плоскость изобразится, поверхностью вращения 2-го порядка, именно эллипсоидом, параболоидом или двуполым 1иперболоидом, за исключением диаметральных плоскостей предельной сферы, изображаемых каждая самой собою.

Примечание. В известном труде проф. Рынина «Перспектива» о рельефно-сферической перспективе сказано глухо, что «построение ее представляет значительные затруднения». Интересно отметить однако, что, пользуясь указаниями автора для построения обыкновенной перспективы, мы пришли к нашей же формуле, хотя отправная точка у нас совершенно иная.

У Рынина дано следующее построение (см. черт. 4). Пусть С —точка зрения, F—плоскость схода (изображение бесконечно-удаленных точек), /С— картинная плоскость (изображающая самое себя), И—горизонтальная плоскость.

Черт

Тогда

поэтому

или

откуда

что при а=0 дает

ТЕОРЕМА СИНУСОВ ДЛЯ ТЕТРАЭДРА.

В. В. Добровольский (Москва).

Введем следующие обозначения (см. черт. 1): Вершины: А, В, С, D. Плоскости граней: а, Ь, с, д. Длины ребер: Lab, Lbc и т. д. Площади граней: Sa, Sh и т. д.

Плоские углы: aD, bo* Со для трехгранного угла с вершиной D в плоскостях а, Ь, с и соответственно для других вершин.

Двугранные углы: ас, ад, сд и т. д.

Составим следующие два выражения для трехгранного угла D:

значки sin в правых частях суть обыкновенные синусы, а значки sin и Sin в левых—условное обозначение наших функций для угла D.

Из сферической тригонометрии известно, что для трехгранного угла D можно написать теорему синусов:

sin an _sin öd__sin cd .

sin bc sin cci sin ab '

общее значение этих отношений равно g."

При помощи этих функций можно получить выражения для объема тетраэдра, напоминающие выражения площади треугольника:

V=-j- Lab LecLadsIxïA; V= -|У ' SbSeSd Sin A.

Если написать такие же выражения для объема, вводя другие элементы тетраэдра, то и получим теорему синусов в двух видах:

Черт. 1.

Общее значение первых четырех отношений равно отношению тройного объема тетраэдра к произведению всех его ребер, а общее значение вторых четырех отношений равно отношению девятикратного квадрата объема к учетверенному произведению площадей всех граней.

ОДИН ИЗ ПРАКТИЧЕСКИХ ПРИЕМОВ ПРИВЕДЕНИЯ УРАВНЕНИЯ 4-й СТЕПЕНИ К БИКВАДРАТНОМУ.

С. Адамович (г. Тула).

Сущность математики заключается не в сложных формулах и не в обилии теорем, а в решении трудных вопросов возможно простыми приемами. Очень часто в учебниках математики и даже в математических журналах даются решения задач в довольно сложной форме. Задайте вы ученику, окончившему полный курс второй ступени, решить такую задачу. Число членов арифметической прогрессии равно корню уравнения х2 — х — —4970=0. Девяносто % из них будут решать это уравнение по формуле:

А между тем по смыслу задачи удовлетворяет вопросу лишь целый положительный корень, равный 71, а чтобы его найти, достаточно извлечь корень квадратный из свободного члена с точностью до единицы с избытком, т.-е. |Х4970 = 71 с избытком. Подобных задач встречается в элементарной математике довольно много. Например, в теории соединений: А=хп 3660. Найти х. Решить эту задачу можно в уме, стоит только извлечь корень квадратный из числа 3660 с избытком, и получим 61.

Известно, что решение уравнений 4-й степени принадлежит к одному из отделов высшей алгебры, но очень часто уравнение 4-й степени может быть разрешимо элементарно, т.-е. без помощи кубической резольвенты.

Докажем, что если в уравнении вида л:4 -\- ах3 -f- bx2 -f- ex -f- d = 0 сумма двух его корней равняется сумме двух остальных, то оно приводится к решению биквадратного уравнения, и найдем в этом случае зависимость между а, Ьу с и d.

Пусть искомые корни будут xv х2, х3, х±. По условию имеем х1-\-х2 = Х34-.*4- Обозначим хх -f- х2 = Хв + *i = Щ х\х2 = п\ хъх± — Р- Отсюда заключаем, что xt и х2 будут корнями уравнения х2 — тх -f- п — 0 (I), хг и xi—корнями уравнения х2 — тх-{-р — 0 (II). Перемножив (I) и (II), мы получим уравнение 4-й степени, т.-е. будем иметь тождество х*—2тхъ-\- -[- (т2 -\-n-\- р)х2 — т[п -|- р)х -f- пр = хк -f- ах3 -f- bx2 -\-cx-\-d, которое влечет за собою равенство коэфициентов:

— 2т = а\ т2-\-пАгр = Ь\ —т{п ~\-р) = с; пр = d.

Откуда находим т=—п~\-р=—=Ь--

Последнее равенство можно представить в виде 8с = 4ab — а31) это и есть искомая зависимость между коэфициентами.

Подставляя значение Ъ из данного равенства 8c — \ab — а3 в уравнение 4-й степени, получим

после освобождения от знаменателя имеем:

4ax*-{-4a2x3 + (8c + as)x2-{-4acx+4ad = Q . . . (I)

или

а{4х± -f \ахъ + а9-х2) + Щ2х2 -f ах) + Ш=0

или

а[2х2 -f ах)2 -f 4с{2х2 + ах) -\-4ad=0 Полагая 2х2-{-ах—у, имеем: ay2-j- 4cy-{-4ad = 0

Замечание 1-е. При а = 0 равенство 8c=\ab— а3 даст с = 0. Уравнение принимает вид х4 -j- bx2 -\-d=0.

Замечание 2-е. Если в уравнении а=0; сфО, то уравнение х*-\--\-ах3-\-Ъх2 -f cx-\-d = 0 принимает вид х*bx2-{-ex-{-d = Q, которое не может быть приведено к биквадратному.

Действительно, при а=0 равенство 8c = 4ab— а3 даст с=0, что не соответствует условию.

Замечание 3-е. Если коэфициент при х3 число нечетное, а остальные коэфициенты суть числа целые, то уравнение не приводится к би-

1) В немецком сборнике задач Бардей эта зависимость выражается в виде

квадратному, т. к. выражение Sc = Aab — а3 может быть приведено к виду с = ——g-, при а нечетном с будет дробное, что противоречит условию.

Замечание 4-е. Свободный член, каков бы он ни был, не окажет влияния на формулу, т. к. он отсутствует в ней.

Итак, чтобы определить, возможно ли решить уравнение 4-й степени вида x*-\-ax3-{-bx2 -\- cx-\-d = Q при помощи биквадратного, необходимо знать довольно громоздкую и трудную для памяти формулу зависимости коэфициентов. Мне известен следующий простой практический способ приведения уравнения 4-й степени к биквадратному. Принимаю второй член уравнения ах3 за удвоенное произведение и далее делаю соответственную группировку. Поясню на примерах.

Пример I. x4 — 4х*~\-%х — 24 = 0; (Ь = 0). Рассматривая —4х3 как удвоенное произведение, получим уравнение в таком виде:

(х2 — 2х)2 — 4(х2 — 2х) — 24 = 0. Полагаю х2 — 2х—у и т. д.

Пример IL 2xi — Sx3 — х2 + 18л: — 5 = 0. Делим сперва на 2, получим. Х4_4хз__|2^_ 9х _ _|_ = о.

Далее легко представить в виде:

(д* _ 2х )2 - \{х2 — 2х) — \ = 0.

Пример III. ab = {а — х) (& + J/Oc2 — Щ. По раскрытии скобок и освобождении от иррациональности получим — 2ахъ — (2Ь2 — а2)х2 + -\-2ab2x— а2Ь2 = 0. Принимая — 2ал;3 за удвоенное произведение, имеем (х2 — ах)2 — 2Ь\х2 — ах) — а?Ь2 = 0. Следует заметить, что при решении подобных уравнений употребляют весьма искусственные приемы; хотя эти приемы бывают часто очень красивы, но иногда и очень сложны, указанный мною прием считаю более простым. Высказанное подтвержу на задаче: решить уравнение х*—2рхъ + 2р2х1— р*х + m = 0, взятой из бывшего журнала «Вестник опытной физики и элементарной математики», помещенной под № 301 (5 серии), и решение, напечатанное в № 581, стр. 27:

Представим уравнение в виде (х2—рх-\--^У—(~—т^ = 0

или же [х2— хр-\--^— — р*~2 4/77 J = 0, т.-е. приводится к разности квадратов и вводится радикал, а между тем, по указанному мною способу, данное уравнение легко привести к виду (х2—рх)2 +/?2(х2— рх)-\-т=0. Далее обычная подстановка. Полагаю, что мое решение проще, а потому мною и доказано то, что было сказано в начале.

ЗАДАЧИ.

38. Решить в целых числах уравнение:

1+2 + 3+.....+ х=у2.

39. Дробь представить в виде -у+-^+.....+

где av а2.....ак—числа целые положительные меньше 7.

X. У. (Ростов-на-Дону).

40. Найти два последовательных целых числа, суммы всех делителей которых равны. А. В. (Москва).

41. Найти четырехзначное число, обладающее тем свойством, что разность квадратов двух двухзначных чисел, составленных из его первых и его последних цифр, равна самому числу. С Адамович (Тула).

42. Две улицы AB и CD представляют собой дуги концентрических окружностей, причем точки А и С лежат на радиусе АО, a fi и D на радиусе ВО. Радиус внутренней дуги CD равен г, а наружной дуги AB равен r-\-d. Из точки А в В можно пройти либо по дуге AB, либо по отрезку АС, дуге CD и отрезку DB. При каких значениях г, d и ^ АОВ = а короче первый путь и при каких второй? В. Брадис (Тверь)

43. Показать, что объем конуса равен произведению полной поверхности его на одну треть радиуса вписанного в него шара.

К. Торопов (Оренбург).

44. Найти сумму квадратов п членов ряда

А. В. (Москва).

45. Решить уравнение:

А. Бутомо (Саратов)

ЗАДАЧИ ИЗ „МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ" ЗА 1926 ГОД, ОСТАВШИЕСЯ НЕРЕШЕННЫМИ.

279. Показать, что всякая степень целого числа выше 2-й может быть представлена в виде разности двух квадратов.

285. Пересечь пучок лучей Оа, Ob, Ос прямою так, чтобы в сечении получилась группа точек А'В'С, конгруэнтная данной группе ABC, т.-е. чтобы А'В' = АВ и В'С = ВС.

287. На линии основания равнобедренного треугольника взята точка 5 и из нее опущены перпендикуляры SP и SQ на боковые стороны треугольника. Найти огибающую прямых PQ.

290. Найти четыре целых положительных числа, обладающих тем свойством, что при сложении их по три в сумме получаются квадраты четырех последовательных целых чисел.

293. Показать, что если sn (*2а -(- ß) = 2snß, то

tg (а + /3) = 3^а.

294. Решить уравнение:

хп + х1°+х»+.....+ х + 1 = 0.

295. Две окружности пересекаются в точках M и TV; в точке M проведены к обеим окружностям касательные, пересекающие их в точках Р и Q, и эти точки соединены с точкою N. Доказать, что MN2=NP.NQ, и что À/PNQ = 24/PMQ.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

19. Замечая, что, напр.,"^/~5 = 5 найти общий вид чисел, допускающих подобное вынесение целого числа из-под корня любой степени.

Пусть, согласно условию задачи, |/" х -|-^- = х |/" -=^- ; W-^- дробь не сократимая, возвышая обе части этого уравнения в п-ую степень, имеем: п

xz-\-y = x у,

следовательно, х = ky\ отсюда kz -{- 1 = knyn, что возможно лишь при А = 1. Тогда z=yn — 1 и искомое смешанное число имеет вид y-f~ пУ_^ \ действительно

напр.,

Р. Гангнус, Г. Невяжский, А. В. (Москва), И. Кастровицкий (Сталинград), П. Сапунов, Н. Шуйский, Некрасовский (Владимир), В. Сакк (Верхнеднепровск), Е. Воскресенская (Павлово), Н. Колмогоров (Алма-Ата), Н. Фивейский (Ржев), X. У. (Ростов-на-Д.), И. Чубинский (Оренбург), А. Цивчинский (Одесса), М. Коновалов (Щебекино), С. Илларионов (Шемурша), С. Адамович (Тула), К. Верещагин (Козлов) А. Лебедев (Н. Салда), В. Ефимов (Пермь) А. Бутомо (Саратов), Н. Хайдуков (Петровск), М. Попов (Псков), Я. Богданович (Ярославль), Г. Торопыгин (Саратов), А. Зайцев (Богородск). Зяблицкий, М. Машков (Владимир), Н. Соловьев (Витебск), Я. Орлицкий (Katowice).

20. Показать, что числа вида

N= /г4 2л3 +1\п2 -f- 10/г

при целом положительном п делятся на 24. Преобразовывая данное выражение, получим

Ы = п* + 2пъ — п2 — 2/г + 12/г (я + 1),

или

N={n-\-\)n{n — 1) (я + 2) + 12я(/г + 1), N= {п-\- 2) (л +1) n (п — 1) + 12/г (n -f 1)

Так как произведение п последовательных целых чисел всегда делится на произведение 1.2.3. . . /г, то первое слагаемое делится на 1 . 2 . 3 . 4, т.-е. на 24; далее, так как из чисел п и (/г-j-l) одно непременно четное, то и второе слагаемое делится на 24, а потому и сумма их N делится на 24.

В. Хотимский, А. В. (Москва), Н. Колмогоров (Алма-Ата), П. Сапунов (Владимир), К. Верещагин (Козлов), И. Чубинский (Оренбург), Г. К. (Пенза), Н. Фивейский (Ржев), В. Сакк (Верхнеднепровск), X. У. (Ростов-на-Дону), Е. Воскресенская (Павлово), Г. Невяжский (Москва), С. Адамович (Тула), П. Хайдуков (Петровск), А. Бутомо (Саратов), П. Богданович (Ярославль), А. Дмитровский (Москва), Н. Соловьев (Витебск).

21. Решить уравнение:

X4 —4х3 = 1.

Чтобы освободить уравнение от неизвестного в 3-й степени, положим х—у-\-\, получим

у_6у2-[-8у —4 = 0,

что можно представить в виде

откуда или

Таким образом получаем два уравнения

решая которые, получим:

и, следовательно, четыре корня данного уравнения будут

2-й способ. Применяя для решения данного уравнения общий способ Феррари, дополним левую часть его до полного квадрата, для чего прибавим к обеим частям по 4л;2, получим:

(X2 — 2л:)2 = 1 -f4x2; введем в скобки новое неизвестное z:

(X2 — 2х + z)2 = 1 + 4л:2 -f 2x2z — Axz + z2

или

(X2 — 2* -j- z)2 = л;2( 4 + 2z) — Axz-\-z2-\-\

и выберем z так, чтобы правая часть уравнения обращалась в полный квадрат; для этого нужно, чтобы:

4г2= . (4 + 2z) 02-f 1)

или

z3H-z + 2 = 0;

одним из корней этого уравнения (резольвенты) будет, очевидно, гг = — 1; вставляя его вместо z в предыдущее уравнение, получим

(л:2 — 2х — 1 )2 = 2л:2 + 4л: + 2 ;

отсюда

Х2 — 2х—\=±У~2 (

Решая полученные два квадратные уравнения, получим те же четыре значения для х, что и первым способом.

В. Хотимский, А. В. (Москва), Н. Колмогоров (Алма-Ата), К. Верещагин (Козлов), Е. Воскресенская (Павлово), И. Чубинский (Оренбург), Н. Милковский (Новозыбков), X. У. (Ростов-на-Д.) С. Адамович (Тула), Воронин (Москва), А. Бутомо (Саратов), Н. Шуйский (Владимир), И. Хайдуков (Петровск), П. Богданович (Ярославль), А. Дмитровский (Москва), В. Сакк (Верхнеднепровск), Н. Соловьев (Витебск), П. Сапунов, М. Машков (Владимир).

22. Построить отрезок х, удовлетворяющий уравнению

x-*=a-i-\-b-2-\-c-2~ . . . .+/"*

Сначала построим отрезок^, удовлетворяющий уравнению x1-2=a~2-\-b~2. Для этого достаточно построить прямоугольный треугольник с катетами а и Ь\ высота, проведенная на гипотенузу, и будет равна xv действительно, выражая двояким образом площадь треугольника, найдем: хх \f a2 -f- b2 = ab; отсюда

Построив затем на отрезках х1 и cv как на катетах, новый прямоугольный треугольник и проведя его высоту х2, убеждаемся, что

х2-2 = х1-2 + сГ*

или

x^-2 = a-2^rb-2-\-c-2

Очевидно, что, продолжая указанный процесс построения далее, получим отрезок ху удовлетворяющий данному уравнению

x-2 = a-2 + ô"2 + c-2+. . . .+/-2

Д. Польшин, Г. Невяжскй (Москва), TL Сапунов (Владимир), Н. Колмогоров (Алма-Ата), К. Верещагин (Козлов), И. Чубинский (Оренбург), Г. К. (Пенза), Е. Воскресенская (Павлово), П. Богданович (Ярославль), И. Кастровицкий (Сталинград), Н. Соловьев (Витебск), В. Сакк (Верхнеднепровск).

23. Найти значение

дг _ (а* + № + су (a? -f Ь* + с»)з (д* + -fc*) (д5 + Ь* + fs) (a? -f ~*7 H-ë77~~

если

a + ô-fc = 0.

Из данного условия вытекает, что с = — (a -f- b) и потому:

a2-\-b2-\-c2 = a2-{-b2-{-(a + b)2 = 2(a2-{-ab -f б2) a3 + £3 + сд = [a3 4- б3 - (a -f £)3]2 = 9a2b2 (a + ô)2 a4 -f 64 + c4 = a4 + ô4 -f (a -f ô)4 = 2 (a4 + 2a*b -f 3a2£2 -f 2aô3 -f ô4) a5 + ô5 + c5 = a5 + £5-(a + ft)5=-5a£(a + £) (a2 + aô + £2) a7+ô7+c7 = a7 + *7 _ (a-f ô)7 = - 7aô(a+ô)(a4+2asô4-3a2ô2+2aô3+^)

Подставляя все эти выражения вместо соответствующих трехчленов в числитель и знаменатель N и делая сокращения, найдем, что

at _ 2.9 2 _ 36 ;V — - 5 . - 7 ~~ 35 *

2-й способ. Так как a -|- ô -f-с = 0, то а, бис можно рассматривать как корни кубического уравнения

Х*-\-рх + С = 0;.........(1)

по формулам Ньютона получим:

a2 + b2 + c2 = {a-{- b + c)2 -2(ab + ac-\-bc) = — 2p Подставляя же вместо х в уравнение (1) a, b и с, найдем:

a3 + /?a-f? = 0; *3-f/?ô + tf = 0; с3+/?с + ?=0;

складывая эти тождества почленно, получим:

\ умножая их последовательно на а, Ь, с, затем на а2, Ь2, с2 и, наконец, на аА, Ь4, с' и складывая, найдем:

а* + Ь* + с* = 2р*\ аъ + Ь* +c~° = 5qp; а7 + b1 -+ с1 = — lp2q. Отсюда д. _ -2/7. ( - Зд)2. 2/72 _ 36

Д. Польшин, Р. Гангнус (Москва), Я. Колмогоров (Алма-Ата), А*. Верещагин (Козлов), Л. Цивчинский (Одесса), И. Чубинский (Оренбург), Г. К. (Пенза), Я. Хайдуков (Петровск), Я. Фивейский (Ржев), А. Бутомо (Саратов), С. Адамович (Тула), Я. Богданович (Ярославль), Я. Соловьев (Витебск), В. Саш (Верхнеднепровск), П. Сапунов (Владимир).

26. Показать, что если каждый из углов а, /3, у менее тг и es2а-\-es2ß-\-es2y= Ii то сумма синусов двух из этих углов более синуса третьего угла.

Из равенства es2 a -j- es2 ß -f- es2 7 = 1 следует, что зя2 a -f- 5/г2 J3 -[-5я27 = 2, или sn2oiJrsn2ß = 2 — s/г2?. Прибавляя к обеим частям 2sn a sn ß, получим sn2 а -f 25/г а s# /3 -f- s/г2 /3 = 2 — s#2 7 -|~ 2$/г а sn ß, и так как по условию а<тт и ß<<rc, то sn а>0; s#ß>0, т.-е. 2s/zas#ß>0. Следовательно, (5я a -f sn ß)2 > 2 — sn2 7, откула (s#a-|-

ß)2 >5/г27 (1), так как 2 — sn2^^>sn2 у. Извлекая из обеих частей неравенства (1) квадратный корень, получим требуемое неравенство sn a -f- 5я ß > 5я т.

Д. Польшин, В. Хотимский (Москва), Я. Сапунов (Владимир), £. Воскресенская (Павлово), К. Верещагин (Козлов), И. Чубинский (Оренбург), В. Сакк (Верхнеднепровск), И. Кастровицкий (Сталинград), Я. Богданович (Ярославль), Я. Фивейский (Ржев), А. Дмитровский (Москва), Я. Соловьев (Витебск), М. Машков (Владимир).

ЗАДАЧИ ИЗ „МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ" ЗА 1917 ГОД.

302. Пользуясь обычными обозначениями для треугольника, показать, что

Р3 — [<Р — а)* + (р — ЬУ+(р — c)3] = \2R . S

Так как ARS = abc, то правая часть равенства может быть заменена через ЗаЬс. Применим затем алгебраическое тождество:

(а -\-Ь-\-сУ={а-\-Ь — с)3 + {Ь-\-с — а)3 + (с + а — b)3-\-2Aabc\

полагая в нем а -\-b-\-c-2p, получим:

8/75 = 8 (р — с)3 + 8 (р — а)3 + 8 (р — b)3 -+ 2Aabc\

сокращая обе части этого равенства на 8, убеждаемся в правильности данного соотношения для треугольника.

А. Барсуков (Москва), В. Подсыпанин (В.-Волочек), К. Торопов (Оренбург), Е. Воскресенская (Павлово), Э. Попатенко (Пермь), Я. Фивейский (Ржев), В. Сакк (Верхнеднепровск), В. Зяблицкий, Я. Сапунов (Владимир), Я. Никифоров, А. Бутомо (Саратов), Г. К. (Пенза), М. Попов (Псков), К. Верещагин (Козлов), X. У. (Ростов-на-Дону), С. Адамович (Тула), С. Кириенко (Жлобин), М. Филиппов (Чувашрабфак), В. Игумнов (Чебоксары), А. Цивчинский (Одесса).

309. Решить в целых числах уравнение:

Полагая х-\-и = пу и у -{- v = пх, где п—любое целое число, получим: и — пу — X и v = nx—у\ давая в этих равенствах числам х, у и п любые целые значения, найдем для и и v значения, удовлетворяющие данному уравнению.

К. Верещагин (Козлов), П. Сапунов (Владимир), В. Сакк (Верхнеднепровск), Н. Колмогоров (Алма-Ата), Н. Кастровицкий (Сталинград).

313. Составить уравнение 3-й степени с рациональными коэфициентами, корни которого равнялись бы его коэфициентам.

Называя корни уравнения через а, Ь, с, имеем:

х* + ах2 + Ьх4-с = 0,

причем а, Ь, с должны удовлетворять равенствам:

a Jr ЬАгс = — а ab-{-ac-\- bc = b abc = — с

Из последнего равенства получаем, что или I) с = 0, или II) ab-\- 1 = 0;

I) вставляя с=0 в два первые уравнения, найдем

а -\- b = — a, ab = b\

последнее уравнение дает либо 1) £ = 0, и тогда, по первому уравнению, получим и а = 0; следовательно, имеем систему решений а1 = £1 = с1 = 0, и искомое кубическое уравнение будет л:3 = 0; либо 2) а = 1; тогда из предыдущего уравнения Ь — — 2, т.-е. имеем систему решений а2 = 1, ôa = — 2, с2 = 0 и искомое уравнение будет х3-{-х2 — 2х = 0.

II) Если ab-\-\ = 0, то Ь=--—, и вставляя это значение в два первые уравнения, получим систему

Определяя из первого уравнения с = — 2а-\-^ и вставляя это значение во второе, получим:

или, после упрощений

Последнее уравнение имеет только один рациональный корень а = 1, что приводит к системе решений: а3=1; 63 = — 1; с3 = — 1 и к кубическому уравнению

xz + x2 — х-1 =0. Итак, условию удовлетворяют три уравнения 3-й степени:

х3 = 0; хз_|_х2_2л: = 0; х3 + х* — х — 1 =0.

Н. Колмогоров (Алма-Ата), К. Верещагин (Козлов), П. Сапунов (Владимир), А. Бутомо (Саратов), В. Сакк (Верхнеднепровск), С. Адамович (Тула), X. У. (Ростов-на-Дону), В. Ефимов (Пермь).

315. Найти три целых числа, парные произведения которых составляют арифметическую прогрессию.

Пусть искомые числа х, у, z; тогда, по условию,

ху —yz =yz — xz,

или, разделяя на xyz,

Отсюда видно, что числа, обратные искомым, составляют арифметическую прогрессию, а потому искомые числа должны быть членами гармонической прогрессии. Для получения целых чисел, составляющих гармоническую прогрессию, можно взять любые три целых числа а, Ь, с, составляющих арифметическую прогрессию, т.-е. удовлетворяющих равенству

а — b — b— с

потом составить обратные им числа~, |, |и умножить эти числа на общее наименьшее кратное всех знаменателей abcy полученные целые числа be, ас, ab будут удовлетворять условию задачи.

Действительно, составленные из них парные произведения ас.ab; bc.ab; bc.ac составляют арифметическую прогрессию, что видно из равенства

ас . ab — be . ab = be . ab — be . ас

или

abc (а — b) = abc (b — с),

так как

а — b = b — с.

К. Верещагин (Козлов), Н. Колмогоров (Алма-Ата), Н. Шуйский, П. Сапунов Владимир), В. Сакк (Верхнеднепровск), X. У. (Ростов-на-Дону), Е. Воскресенская Павлово), Н. Соловьев (Витебск).

316. Решить в целых и положительных числах уравнение

X2 — у2 = х+\\у.

Представляя данное уравнение в виде

(х+У) (х—у) = х-{-у + Щ и полагая х-^у — и; х—y = v, откуда

дадим уравнению вид

или

отсюда

Так как v должно быть числом целым, то и может равняться только 0, 1, 5, 10, 25; тогда соответственные значения v будут 0, 1, 3, 4, 5, искомые целые значения для х и у будут

1 X

0

1

4

7

15

У

0

0

3

10

Я. Колмогоров (Алма-Ата), П. Сапунов (Владимир), В. Сакк (Верхнеднепровск), К. Верещагин (Козлов), И. Шуйский (Владимир), Н. Фивейский (Ржев), Э. Хилькевич (Тюмень), С. Адамович (Тула), Н. Кастровицкий (Сталинград), В. Отт (Весьегонск), Л. В. (Москва).

317. Показать, что уравнение

не имеет целых решений.

Уравнение можно представить в виде

или

Так как правая часть состоит из взаимно-простых множителей, то каждый из них должен быть точным квадратом, что для двух последовательных целых чисел невозможно. Последнее уравнение имеет, однако, очевидные пары решений х = \% у — — 1, или х= — 1, j/ = 1, следовательно, в условии, очевидно, подразумеваются целые и положительные решения. Отсутствие их может быть обнаружено простою подстановкою в левой части уравнения чисел 1, 2 . . . , ибо при х^>\ и j/>1 левая часть уравнения менее 1.

H Колмогоров (Алма-Ата), П. Сапунов (Владимир), В. Сакк (Верхнеднепровск), К. Верещагин (Козлов), Н. Фивейский (Ржев), А. Бутомо (Саратов), Э. Хилькевич (Тюмень), С. Адамович, С. Поляков, Л. Лодыженский (Тула), В. Отт (Весьегонск), Н. Кастровицкий (Сталинград), А. Цивчинский (Одесса).

320. Решить уравнение

Так как

то уравнение можно представить в виде

откуда:

следовательно, и

где k = любое целое число.

Г. Невяжский (Москва), А. Бутомо (Саратов), П. Сапунов, Д. Каплан, В. Зяблицкий (Владимир), К. Верещагин (Козлов), Н. Колмогоров (Алма-Ата), С. Поляков (Тула), Л. Гейвши (Сураж), X. У (Ростов-на-Дону), В. Сакк (Верхнеднепровск), В. Игумнов (Чебоксары), В. Ефимов, Э. Попатенко (Пермь), Г. Торопыгин (Саратов).

246. На данной прямой найти точку, из которой одна из двух концентрических окружностей видна под углом втрое большим, чем другая.

Пусть угол между касательными РА и РАг к меньшей окружности есть a, a между касательными PB и РВХ к большей окружности За; радиус большей окружности R и меньшей г (см. чер.). Очевидно, что точки О, Л, Р, В лежат на одной окружности, диаметр которой ОР\ следовательно, </ОВА = ^- и <^АОВ = а. Таким образом, решение сводится к построению треугольника АОВ со сторонами AO = r, OB = R, у которого <^АОВ = 2<^ОВА. Для этого проводим произвольный радиус большего круга OB, отмечаем его середину N и от N откладываем по направлению к центру NQ = ~; в точке Q восстанавливаем перпендикуляр QA до пересечения в точке А с меньшей окружностью. Треугольник АОВ будет искомый, ибо, проводя в точке N перпендикуляр NM к OB, найдем, что AM :МВ= QN:NB = -j : -j = г : /?, следовательно, ОМ есть биссектриса угла АОВ, а угол MOB равен углу ОВМ, так как треугольник ОВМ равнобедренный. Построив треугольник АОВ, проводим в точках А и В касательные к обоим кругам до их пересечения в точке Р, затем проводим круг с центром О и радиусом ОР; точки пересечения этого круга с данною прямой и будут искомыми. Задача может иметь два, одно или ни одного решения.

К. Верещагин (Козлов), С. Кириенко (Жлобин), В. Сакк (Верхнеднепровск), И. Кастровицкий (Сталинград). Г. К. (Пенза), П. Сапунов (Владимир).

ХРОНИКА.

Отчет о деятельности Московского научно-педагогического математического кружка за 1927—28 год.

(с 1/IV 1927 г, по 1/V 1928 г.).

1. Пленарные и секционные заседания.

В 1927 году (апрель—декабрь) состоялось 10 пленарных заседаний кружка, на которых были выслушаны и обсуждены следующие доклады (в хронологическом порядке):

1. И. И. Чистяков—«Очерк жизни и деятельности Ньютона».

2. Г. Н. Попов—«Всеобщая арифметика Ньютона».

3. В. В. Добровольский—«Значение Ньютона в истории механики».

4. Д. М. Синцов (Харьков)—«Интуитивный элемент в преподовании высшей математики».

5. А. Я. Хинчин - «Современное состояние великой теоремы Ферма».

6. И. С. Чернушенко (Харьков) —«О требованиях, предъявляемых к системе аксиом геометрии».

7. И. И. Чистяков —«Вступительное слово на собрании членов I Всероссийского съезда математиков и членов М. Н.-П. М. кружка».

8. В. М. Брадис (Тверь)—«К методике приближенных вычислений».

9. И. К. Андронов—«Современная учебная математическая литература».

10. Н. А. Глаголев—«Ньютон, как геометр».

11. H. Н. Лузин—«К истории открытия анализа бесконечно-малых».

12. Л. О. Вяземская —«Опыт преподавания математики по дальтон-плану в его чистом виде в 5 и 6 группах (1924—25 и 1925—26 учебные годы)».

13. В. В. Струве (Ленинград)—«О Московском математическом папирусе».

14. И. И. Чистяков —«Крепостной математик-композитор XVIII в. М. Матинский».

15. Н. А. Путята—«О волшебном тригонометрическом круге».

16. И. К. Андронов—«Эволюиця программ по математике за последние 10 лет».

В 1928 году заседания кружка разделились на пленарные и секционные. Организовались три секции: историческая, научная и программно-методическая. Секции сплотили группы активных работников, и деятельность кружка получила более отчетливые формы, соответствующие его основным целям.

За отчетный период (январь апрель) 1928 года было два пленарных заседания кружка, на которых были прочитаны следующие доклады:

1. С. И. Зетель—«О симедианах треугольника».

2. И. И. Чистяков—«Роль математических кружков и журналов в распространении математического образования».

Второе из этих заседаний, 25 марта 1928 г., было посвящено чествованию члена Совета кружка и редактора журнала «Математическое образование» проф. И. И. Чистякова по поводу 35-летия его научно-педагогической деятельности.

На секционных заседаниях были прочитаны следующие сообщения.

По программно-методической секции:

1. И. И. Чистяков—«О целях преподавания математики».

2. В. Г. Фридман—«О фузионизме при изучении математики в средней школе». По исторической секции:

1. А. А. Глаголева—«Алгебра Барсова».

2. И. И. Чистяков—«Математика древних египтян по новейшим исследованиям». По научной секции:

1. В. В. Добровольский—«О криволинейной перспективе».

2. M. М. Пистрак—«О взаимных свойствах эллипса».

3. Д. И. Перепелкин—«Поверхности 2-го порядка как геометрические места точек».

4. С. И. Зетель—«Об антипараллелях треугольника».

5. И. М. Воронков—«О формуле Машека».

II. Журнал «Математическое образование».

Возобновление журнала «Математическое образование» является крупнейшим событием в жизни кружка. Первый номер (январский) журнала вышел в феврале 1928 года.

Ответственным редактором был избран И. И. Чистяков. По его представлению совет утвердил редакционную коллегию в составе следующих лиц: М. А. Юкин (секретарь редакции), М. А. Знаменский, И. К. Андронов и Д. И. Перепелкин. Первоначальный тираж журнала —1000 экз. В настоящее время1) число подписчиков превысило 500 человек.

Согласно договору, заключенному с издательством «Работник просвещения», вся техническая сторона издания лежит на изательстве «Раб. просв.».

Журнал имеет распространение по СССР. Кроме того, предположено приступить к обмену с соответствующими изданиями за границей, для чего на обложке журнала помещается его содержание на французском языке.

III. Библиотека.

Библиотека М. Н.-П. М. кружка находится в периоде организации, так как вся библиотека б. Московского мат. кружка отошла к Политехническому музею. Совет кружка ведет переговоры о ее возвращении.

Совет кружка выражает благодарность всем авторам, приславшим экземпляры своих трудов для библиотеки кружка.

IV. Совет кружка.

Совет имел 10 заседаний. Председателем совета был избран А. В. Васильев; заместителями председателя — М. Ф.Берг и Ю. О. Гурвиц; секретарем — Н. Ф. Четверухин; казначеем — А. А. Глаголева.

Представителями совета в президиумах секций были: А. В. Васильев и Н. Ф. Четверухин — по научной секции, И. И. Чистяков и Г. Н. Попов — по исторической секции, Ю. О. Гурвиц, М. А. Знаменский и М. Ф. Берг — по методической секции.

V. Состав кружка.

На 1-е мая 1928 года в кружке числилось 169 членов. Иногородних членов — 4.

1) Сведения даны на 1-е мая 1928 г.

Почетных членов — 3 Преподавателей вузов — 35. Преподавателей техникумов и рабфаков — 34. Преподавателей профшкол и фабзавуч. —10. Преподавателей труд, школ I и II ст. — 90.

Весною 1928 года деятельность Московского научно-педагогического математического кружка и всех его органов была обследована административным отделом Московского совета и не вызвала с его стороны никаких возражений.

VI. Денежный отчет. (Составлен казначеем кружка А. А. Глаголевой.)

Получено: Руб. J Израсходовано: Руб. J

1. Передан остаток из кассы 1. Организац. расходы (печа-б. Московского матем. кружка. 173 23 тание анкет, устава членск.

2. От Ф. В. Гусева от про- книжек). ....... 60 —

данных им старых экзем- 2. Устройство заседаний (по-

пляров журн. «Мат. обр.» 24 — вестки, марки, оплата слу-

3. Пособие от Моно на издание жителей) ... ... 214 71

журнала.... . . 500 — 3. Писчебумажные и канцел.

4. Пособие от Главнауки за 6 принадлежности...... 15 32

кварталов...... 432 — 4. Другие расходы..... 11 21

5. Пособие от Главпрофобра. 200 - 5. На библиотеку (выписка

6. Поступило членских взно- иностр. журн.) .... . 50 — сов за 1927 год . . . 294 — 6. На издание журнала «Ма-

7. Поступило членских взно- тематическое образование». 500 — сов в 1928 году...... 115 50 __

8. Начислено % по книжкам

сберег, кассы...... 25 91 851 24

Остаток на 1/V 1928 г. . . 913 40

Итого..... 1.764 64 Итого..... 1.764 64

Секретарь Моск. н.- п. м. кружка Н. Четверухин.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ.

Орлов И. М. проф. Землемерное дело. Исторический очерк и современное состояние. Гос. тех. изд. М., 1927, изд. 3-е, ц. 70 к.

В предисловии говорится, что цель книги «показать интересующимся читателям основные задачи геодезии, нарисовать краткую историю этой науки и набросать картину современного ее состояния и применения в жизни». Нельзя не отнестись с полным сочувствием к формулированной автором цели, так как осуществление ее было бы весьма полезно для общего и математического развития учащихся, тем более, что, как правильно говорит автор на стр. 80, научно-популярная литература по геодезии на русском языке весьма бедна. Однако, малый объем книжки—100 стр. небольшого формата—вообще вряд ли был бы достаточен для сколько-нибудь обстоятельного изложения всех упомянутых вопросов. Если же принять во внимание, что часть места уделена рисункам, что не менее 10 страниц заняты ненужной перепечатай программы бывшего в 1922 году I Всероссийского геодезического съезда и списком учреждений, производящих в СССР съемки, а также, что автор крайне часто начинает фразу с новой строки, то является опасение, что при таких условиях поставленные в предисловии обширные задачи могут быть выполнены лишь поверхностно. Детальное ознакомление с книгой вполне подтверждает это предположение и свидетельствует о спешном и недостаточно внимательном ее составлении, хотя в предисловии к 3-му изданию и говорится, что книга была вся пересмотрена и дополнена.

Книга начинается историческим очерком развития сведений по геодезии, который составлен особенно неудачно. Так, вавилонянам посвящено всего несколько

строк, не содержащих никаких конкретных указаний на результаты, достигнутые ими в области землемерия. Между тем им принадлежит сохранившееся до сих пор деление окружности на 360 градусов, градуса—на минуты, минут—на секунды. Не сказано ничего о блестящем развитии в Халдее метрологии, создании 60-ричной нумерации и системы мер по идее, напоминающей метрическую.

О Египте говорится только как о колыбели геометрии, развившейся из потребностей в межевании страны после разливов реки Нила, но никаких более определенных сведений о достижениях египтян в геодезии не сообщается. Нет упоминания об уменьи египтян ориентировать свои храмы, пирамиды и другие сооружения по странам горизонта. Не упоминается о существовании особого класса землемеров «гарпедонаптов», т.-е. натягивателей веревки, которые с помощью петли, представляющей «египетский» треугольник со сторонами 3, 4, 5, могли проводить на земной поверхности взаимно-перпендикулярные прямые; не упомянуто об уменьи египтян вычислять площади прямоугольных фигур и круга и прочее.

В очерке, посвященном грекам, о Фалесе сказано, что он первый употребил окружность для измерения углов,—тогда как это было сделано халдеями,— но не упомянуто о том, что он мог определить с берега расстояние до корабля в море и предсказал затмение солнца. На стр. 12 сказано: «Сократ писал: я слышал, что в египетском Навкрате был один из древних богов»... и прочее, тогда как Сократ ничего не писал, а учил устно. О Платоне сказано, что он на дверях своей академии написал: «Nemo geometriae ignarus ingrediatur», откуда у читателя может явиться мысль, что Платон знал и писал по-латыни. Об Евклиде сказано, что он родился в 285 году, так что он оказывается современником Архимеда, и что он написал 15 книг—энциклопедию математических наук его времени, тогда как им написаны «Начала» геометрии—в 13 книгах. Относительно Эратосфена говорится, что он первый из людей определил размеры земного шара, хотя в действительности он вычислил часть дуги меридиана. О Гиппархе и его важнейшем учении о хордах, послужившем основанием тригонометрии, не упоминается. О Птоломее говорится, что у него впервые упоминается тригонометрическая функция синус, тогда как она введена арабами. Из сочинений его упоминается о труде по географии, но пропущена его система мира «Великое строение», или Альмагест.

Про римлян слишком категорически сказано, что они не имели никакой склонности к наукам и не поддерживали их. Между тем, не говоря уже об истории, праве, философии, римляне сделали не мало как-раз в областях, близких к содержанию книги: в землемерии, инженерном искусстве, проведении дорог и прочее, и результаты работы римских землемеров применялись на Западе в течение всех средних веков.

В истории геодезии в России совершенно не упоминается о достигшем большого развития своеобразном русском землемерии и межевании в допетровскую эпоху. Вопреки утверждению автора, что с 1700 г. изучение России посредством измерения стало на научную почву, древне-русские правила землемерия продолжали применяться и переиздаваться еще и при Петре I1). В том же очерке не упомянуто о картах России, выполненных при царях Борисе Годунове и Михаиле Федоровиче.

Что касается изложения собственно геодезии, то неясно, какая именно подготовка предполагается автором у читателей его книги. Судя по некоторым местам, она мыслится им весьма незначительной. Так, автор считает нужным объяснять устройство и употребление транспортира (стр. 68), на стр. 44 излагает подобие фигур, в нескольких местах пытается дать определение масштаба, неудачно отождествляя его с «уменьшением». Но, с другой стороны, он употребляет теорему синусов (стр. 38); говорит об эллипсоиде вращения, его осях и сжатии (стр. 36), о рефракции и пр. При этом часто математические термины и пояснения у автора не точны и не вразумительны. Напр., на стр. 36: «измеряются, не прямые линии и не дуги шара, а дуги эллипсоида», вместо дуги круга и эллипса. На 38 стр. тоже говорится: «дуги эллипсоида, а между ними заключаются треугольники не плоские, а сферические», тогда как сферические треугольники имеют место на шаре. О сферическом избытке сказано, что он возрастает с величиной площади треугольника, но не указан предел этого возрастания и т. п.

Переходя к чисто геодезической части, отметим отсутствие описания некоторых простейших геодезических инструментов, каковы, напр., квадрант, эккер, о последнем говорится только (на стр. 54), что эккеры служат для проведения перпендикуляров и имеют различное устройство. В то же время более сложный прибор—теодолит—описан весьма подробно. О буссоли сказано: «Коробка, в которой заключается магнитная стрелка, называется буссолью. Буссоль изобретена очень давно»... Нет описания хотя какого-либо планиметра. Названия многих инструментов приводятся без объяснения их устройства: тахеометр, эклиметр, пантометр, гониометр, стереокомпаратор, автостереограф и пр. Описание употребления инструментов—по его сжатости, а местами неясности—часто оказывается непонятным, напр., на стр. 21: «При помощи магнитной стрелки получилась возможность лучше связывать между собой соединение точки и проверять их». «Мензулу устанавливают под вершиною первого угла». «Каж-

1) См., напр., «Роспись полевой мере», 1709 г.

дая землеустроительная работа состоит из юридической части, техническо-землемреной и агрономической части, техническо-землемерной и агрономо-экономической».

Существенным дефектом рассматриваемой книги является употребление в ней старых русских мер: сажени, версты, десятины. Метрические меры проф. Орлов, правда, переводит в русские меры, но со слишком грубым приближением, недопустимым для книги по геодезии: километр—верста, гектар—десятина, метр—полсажени. При этом на стр. 22 без оговорок сказано, что метр равен одной десятимиллионной части меридиана.

Приводимые сведения из области физики и астрономии тоже мало могут дать читателю. Между прочим, говоря о магнетизме, автор не упоминает об аномалии, что было бы интересно для современных читателей.

Из геологических теорий автор приводит лишь парадоксальную гипотезу Вегенера, не высказывая при том своего мнения об ее истинности.

Чертежи в книге большею частью не ясны и мало удовлетворительны для излагаемого материала. Опечаток—громадное количество и, что особенно печально, их много в собственных именах и технических терминах. Так, на стр. 20 Диафант, вместо Диофант, на 23—Пери вм. Пири, на 47 стр. ганиометр—вм. гониометр. В четырех последних строчках стр. 74 имеем четыре опечатки: Гелусс—вж. Гаусс, Аполоний— вм. Аполлоний, Мользейде—вм. Мольвейде, катастрофическая (!) проблема вм. картографическая.

Библиографических указаний в книге никаких нет.

Приведенных дефектов, число которых могло бы быть еще увеличено, полагаем, достаточно, чтобы выразить пожелание о существенной переработке рассматриваемой книги, без чего ее нельзя считать пригодной для ознакомления с землемерием и его историей.

И. Ч.

А. Зайцев-Медзай. Тригонометрический метод при решении геометрических задач. Для подготовки в вузы. 1927. ГИЗ. Ц. 60 коп.

Книжку А. Зайцева нельзя не признать по меньшей мере странным явлением в издательской деятельности ГИЗ'а, так как она представляет собою редкостный случай плагиата. Трудно, конечно, даже невозможно, требовать от каждого учебника или задачника самостоятельности и оригинальности, но А. Зайцев перешел в этом отношении все пределы. Его «труд» является почти буквальным воспроизведением (за некоторыми сокращениями), не исключая даже предисловия, книжки Н. де-Жоржа «Образцы решения геометрических задач помощью тригонометрии», СПБ. 1899, причем это обстоятельство не оговорено ни в одном месте. Здесь можно обойтись без всяких рассуждений, достаточно указать только размеры заимствований. Это скажет само за себя.

В предисловии (страница 3, строка 6) читаем: «эти недостатки указывают на неумение решать предварительно задачи этого рода (геометрически-тригонометрические. Н. Г.) в общем виде и притом наиболее простым способом, на неумение своевременно производить упрощения и преобразовывать формулы, содержащие тригонометрические функции, для приведения их к виду, наиболее простому или удобному для логарифмирования, или же на неумение своевременно производить логарифмические вычисления в известной последовательности, располагать выкладки в стройном порядке, сопровождать решения задач правильной поверкой, связно и математически точно излагать работы и т. д.

Раскрывая книжку де-Жоржа в предисловии с 13-й строчки читаем дословно то же самое. Первые строчки, посвященные у де-Ж. рассуждениям о письменных испытаниях зрелости заменены у Зайцева-М. несколькими аналогичными (но более современными) фразами о дальтон-плане и лабораторном пути работы.

Дальше З.-М. продолжает: «Исходя из всего вышеуказанного, автор и составил (сомневаюсь, чтобы составил, вернее списал. Н. Г.) образцы решения геометрических задач тригонометрическим методом, полагая...», и т. д. Почти то же самое находим у де-Ж. через 30 строчек. Таким образом в предисловии «самостоятельными» являются лишь 5 строчек в начале и 4 строчки в конце (в последних указано число задач сборника) из всех 31 строчки.

Этот способ творчества выдерживается и дальше. Из всех 27 задач с подробными решениями только у двух задач (14-я планиметрическая и 7-я стереометрическая) условие не взято у де-Ж. Условия всех остальных списаны у де-Ж., иногда даже без изменения числовых данных (напр., № 3 планиметр). У половины задач (как, напр., №№ 1, 2, 3, 4 планим. и т. д.) списано и решение, условия другой половины взяты из задач для самостоятельного решения, приведенных у де-Ж. Обстоятельством, увеличивающим вину автора, является то, что в трех случаях им оговорено заимствование условия задач (№ 14 у A. Gess, №№4 и 8 у Рыбкина), хотя две последних задачи взяты также у де-Ж. Можно бы предполагать, исходя из этого, что условия остальных задач принадлежат А. 3. Но это, как я уже показал, совершенно не так: А. З. списал у де-Ж. не только условия, но даже и решения задач, ни

словом не обмолвившись об этом. Так же заимствованы и задачи для самостоятельного решения: из 24-х планиметрических взяты у де-Ж. целиком 14, в стереометрических—взяты все 16.

В самое изложение А. 3. не оказался в состоянии внести никаких улучшений и дополнений, рабски копируя де-Ж. Как пример, можно указать краткую заметку на стр. 7 «о степени точности вычисления величин по пятизначным их логарифмам», где полностью сохранено довольно примитивное изложение де-Ж. Если же он пробует внести кое-какие изменений, то по большей части. из них можно вынести только убеждение в полной беспомощности их автора и неуменьи его ясно представить себе излагаемый вопрос. Я приведу два примера.

Первая планиметрическая задача у де-Ж. читается так: «В круге радиуса г=5.8 дециметра, вписана трапеция, одно из оснований которой совпадает с диаметром круга. Определить площадь трапеции, если угол а между ее диагоналями содержит 40° 19'30"». При решении де-Ж. говорит: «трапеция, вписанная в круг, равнобочная» и т. д. Но З.-М. это показалось недостаточно убедительно, и условие задачи у него гласит: «в круге радиуса г = 4.7 дециметра вписана равнобочная трапеция»... и т. д. Указание в условии задачи на то, что трапеция, вписанная в круг, равнобочная, совершенно неуместно, так как такая трапеция неизбежно будет равнобочной. Это следует оговорить уже в решении, как и сделал совершенно правильно де-Ж.

На стр. 9-й при логарифмическом вычислении частного А. Зайцев применяет обычный метод преобразования отрицательных логарифмов к такому виду, когда отрицательна только характеристика, мантисса же положительна. Это преобразование он сопровождает таким «пояснением»: «Чтобы избежать вычитания логарифмов, берем их арифметические дополнения и складываем». До чего берем мы эти дополнения? Мы берем не арифметическое дополнение логарифма, а так наз. «дополнительный логарифм» (соlogarithme), причем действительно берем дополнение мантиссы логарифма до единицы, компенсируя это прибавкой отрицательной единицы к характеристике.

Не всегда удачно произведены сокращения текста книги де-Ж. Так, напр., на стр. 8, когда идет речь о поверочных задачах, А. З. оставлена такая фраза: «В иных случаях поверочная задача совсем оказывается невозможной или приводится к уравнению высших степеней, решение которого составляет уже предмет высшей математики». У де-Ж. это подкреплено во всем дальнейшем изложении примерами таких неразрешимых поверочных задач, но А. 3. выпустил их все. Следовало бы, раз речь зашла об этом, дать хотя бы один-два таких примера, либо уж совершенно выбросить это замечание.

Книжка А. З. не свободна и от опечаток. При беглом просмотре мне бросились в глаза две—-это страница 9, строчка 11: сверху поставлен ошибочно знак— вместо +, и стр. 36, строка 1-я снизу—в ответе выпущен множитель-1-

Все эти указания на недочеты книги, конечно, не играют главной роли. Они лишь усиливают основное обвинение, предъявляемое А. Зайцеву,—обвинение в изумительном по своей беззастенчивости плагиате, которому нет никаких оправданий.

Несомненно, что сборник этот будет иметь распространение, так как он может помочь приобретению необходимого для поступления в вуз уменья решать предложенные в нем (сборнике) задачи, между тем как школа второй ступени в настоящее время (справедливо или нет — другой вопрос) мало обращает внимания на эту сторону дела. Нельзя не пожалеть только, что Гиз, задумав издать такой сборник задач, не перепечатал просто сборника де-Жоржа, поручив его редакцию (в которой он, несомненно, нуждается, но которая ни в малейшей степени не была проведена А. Зайцевым) более сведующему и научно-добросовестному человеку, нежели А. Зайцев. Это и обошлось бы, пожалуй, дешевле, так как, вероятно, ГИЗ принял книжку А. З. как оригинальную работу.

Н. Гуляев

НОВЫЕ КНИГИ.

П. Карасев. Работы в школе с миллиметровой бумагой. Гиз. М. 1927. Ц. 40 к.

В. Добровольский. Техническая механика. Для индустриальных техникумов. Гиз. 1928. Ц. 4 р. 25 к.

Проф. В. Александров. Быстрые подсчеты. Изд. «Экономическая жизнь». М. 1926. Ц. 1 р. Его же. Математика для рабочих. М. 1926. Ц. 1 р. 50 к.

Ф. Трубин. Общий вывод сторон правильных многоугольников векториальным способом. Пермь. 1928. (Литограф.).

Л. Вяземская. Английский язык для русских технических школ. Гиз. М. 1928. Ц. 3. р. 50 к.

С. Шрейдер. Алгебра. Рабочая книга для поготовки в вуз. Изд. «Раб. Просв.». М. 1928.

А. Корольков. Математическая грамота. Пособие для городских школ подростков. 2-е доп. изд. М. 1927. Ц. 50 к.

Проф. Н. Агрономов. Об одном методе изложения теории детерминантов. Владивосток. 1928.

Ответственный редактор И. ЧИСТЯКОВ.

Мосгублит № 26122 Зак. № 2129. Тираж 1000.

Москва, тип. «Гудок», ул. Станкевича, 7.