МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

ЖУРНАЛ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

№ 4

1928

„РАБОТНИК ПРОСВЕЩЕНИЯ"

МОСКВА

СОДЕРЖАНИЕ.

Стр.

Проф. И. И. Чистяков. О новейших исследованиях в области древнеегипетской математики ... .................... 141

Проф. Н. А. Агрономов. К вопросу о геометрических интерпретациях комплексных чисел.......................... 150

М. С. Горнштейн. Об одном классе уравнений 4-й степени...... 155

В. А. Кудрявцев. К вопросу об арифметических свойствах многочленов . 158

Проф. Н. Агрономов. О делимости выражений aw-f-bw на а+Ь..... 160

И. М. Воронков. Об основном свойстве функционального определителя Якоби.................................... 161

Мнения немецких педагогов о прикладной математике в школьном преподавании................................. 165

Д. Волковский. К вопросу о математической терминологии..... 167

Задачи . . ............................. 168

Решения задач....................., . . 169

Хроника.................. 177

Библиографический отдел............ 179

Новые книги...................... 181

SOMMAIRE.

Р.

I. Ichistiacov. Etude dans le domaine des mathématiques de l'ancienne Egypte. 141

N. Agronomof. Contribution à l'étude de la question des interprétations géométriques des nombres complexes .................. 150

M. Hornstein. Sur une classe particulière des équations du 4-me ordre . . . 155

W. Koudriavtzev. Note sur la question des propriétés arithmétiques des polynômes............ . . . ..... 158

N. Agronomof. Notice sur la divisibilité des expressions de la forme aw-f-bM par a+b . .... ........ ......... . . 160

I. Voronkov. Note sur une propriété fondamentale du déterminant fonctionnell de Jacobi........................... ... 161

Opinions de pédagogues allemands sur le mathématiques appliqués dans l'enseignement scolaire . .................. . 165

D. Volkovskoï. Considérations sur la question de la terminologie mathématique ........... ................. . . . 167

Problèmes........ . ................ 168

Solutions de problèmes ... . . ......... 169

Chronique........... . . . . ..... ..... 177

Bibliographie........... .... . 17i)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

ЖУРНАЛ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

№ 4

1928

О НОВЕЙШИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ В ОБЛАСТИ ДРЕВНЕ-ЕГИПЕТСКОЙ МАТЕМАТИКИ.

Проф. И. И. Чистяков (Москва).

В сентябре 1927 г. в Москве имело место важное событие для истории математических наук: профессор Ленинградского университета В. В. Струве сделал в Московском музее изящных искусств, а затем (IX—29) в Московском научно-педагогическом математическом кружке сообщения о результатах произведенного им расшифрования древнеегипетской рукописи — папируса математического содержания, хранящегося в названном музее. Этот папирус, принадлежащий к собранию египетских древностей, приобретенных музеем от русского египтолога Голенищева-Кутузова, давно привлекал внимание как египтологов, так и историков математики; поэтому разбором его начал заниматься известный знаток истории древнего Востока и древне-египетского языка, профессор Ленинградского университета Б. А. Тураев, опубликовавший в 1915 г. в английском журнале «Ancient Egypt» (на английском языке) небольшой, но чрезвычайно ценный отрывок. Но вследствие преждевременной кончины проф. Б. А. Тураева (23 июля 1920 г.) этот перевод остался не законченным, и лишь теперь, благодаря трудам проф. В. В. Струве, успешно выполнившего труднейшую работу по расшифрованию папируса, наука получает возможность приобретения новых сведений о древне-египетской математике из первоисточника. Поэтому представляется в высокой степени желательным, чтобы проф. В. В. Струве получил возможность скорее опубликовать полностью свое ценное исследование, предварительные доклады о котором были им сделаны в упомянутых заседаниях. Настоящая заметка имеет своею целью изложить в кратких чертах результаты, сообщенные в упомянутых докладах, предпослав им краткий обзор ранее имевшихся в науке сведений о математике древнего Египта.

I.

Как известно, до последнего пятидесятилетия все наши сведения о математических знаниях древних египтян основывались исключительно на сообщениях древнегреческих ученых, которые вообще высоко ценили египетскую науку и в частности считали Египет колыбелью геометрических знаний человечества, а египетских ученых—своими учителями в области геометрии1). Возникновение этой науки в Египте они при этом ставили в связь с необходимостью в этой стране постоянного межевания, так как

1) С. А. Bretschneider. Die Geometrie und die Geometer vor Euclides. Leipzig, 1870, pp. 6—8.

река Нил, при своих ежегодных разливах, смывала все границы прилежащих земельных участков, вследствие чего возникала необходимость новых измерений на земной поверхности. Отсюда египтяне и приобрели примитивные геометрические сведения, в частности знакомство со свойствами названного впоследствии в честь их «египетским» прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4 и 5. Этим треугольником они пользовались для проведения взаимно перпендикулярных прямых линий на земной поверхности, пользуясь веревочной петлей, связанной из трех кусков длиною в 3, 4 и 5 единиц длины, которую они натягивали на три колышка. Кроме геометрии, египтяне, по другим указаниям, усердно занимались и арифметикой как в целях применения ее в практической жизни, так и ради приложений к астрономии, которой они всегда глубоко интересовались; при этом, по свидетельству Геродота, они пользовались счетными приборами. В виду высокого состояния математической науки в Египте, греческие ученые часто ездили туда с целями ее изучения; так, известно о путешествиях в Египет Фалеса, Пифагора, Евдокса, Платона и др. ученых. Заимствованные у египтян первоначальные геометрические сведения послужили грекам основанием для создания научной геометрии.

Но и помимо свидетельства греческих писателей, для позднейших европейских ученых было ясно, что египтяне должны были обладать несомненными сведениями из области чистой и в особенности прикладной математики. Об этом можно было заключить по сохранившимся до нашего времени грандиозным зданиям и сооружениям, каковы пирамиды, храмы, плотины, каналы и пр.; многочисленные надписи, рисунки и чертежи на зданиях заставляли предполагать у египтян существование письменной нумерации и чертежного искусства. Поэтому понятно стремление ученых ознакомиться с состоянием древнеегипетской науки по первоисточникам. Однако этому препятствовало совершенное неуменье их разбирать иероглифы. Новая эра в этом отношении наступила только в XIX в., в связи с открытием, во время экспедиции Наполеона в Египет в 1799 г., знаменитого Розеттского камня, содержащего один и тот же текст на египетском и древнегреческом языках и послужившего ключом к раскрытию смысла египетских письмен. Благодаря работам Шамполлиона, Юнга и др. египтологов ученые к середине XIX в. оказались в состоянии разбирать древнеегипетские тексты и понять египетскую письменную нумерацию. При этом выяснилось, что египтяне разновременно употребляли три рода письма; древнейшим из них было иероглифическое, пользовавшееся для изображения букв и слогов схематическим изображением предметов, названия которых начинались с этих, букв или слогов. Впоследствии из иероглифов постепенно выработались более простые и округленные знаки,— так называемое иератическое письмо. Наконец, в целях скорописи, египтянами был выработан еще третий вид письма—так называемое демотическое письмо. Из рассмотрения египетских надписей и папирусов скоро обнаружилось, что египтяне пользовались десятичною системою счисления, причем в иероглифическом письме были особые знаки только для изображения единиц различных десятичных разрядов. Так, единица изображалась вертикальной чертой, десяток — подковой, сотня — свернутым листом и пр.; характерно изображение 100000 при помощи головастиков, которых, действительно, после разлива реки Нила оставалось неимоверное количество, и миллиона—фигурой человека с руками, поднятыми в знак удивления. Для изображения нескольких единиц какого-нибудь разряда соответствующий иероглиф повторялся нужное число раз. Дроби у египтян, кроме — , употреблялись исключительно аликвотные, т.-е. имеющие в числителе 1; для их изображения писался их знаменатель, над которым ста-

вился особый круглый значок; дробь -j имела специальный знак. В иератическом письме, подобно греческой или славянской нумерации, особые знаки употреблялись для обозначения не только десятичных разрядов, но и нескольких единиц какого-нибудь разряда, т.-е. 1, 2, 3... 10, 20, 30... 100, 200, 300... 1000, 10000, 100000, 1000000. Составные числа писались по аддитивному принципу. Для изображения дробей писался знаменатель с поставленной над ним точкой, но дроби -у — и имели свои собственные обозначения.

Постепенное расшифрование в XIX в. множества рукописей, надписей на храмах и пр. с несомненностью показывало, что египтяне умели производить действия над целыми, дробными и именованными числами, а также вычислять площади фигур и об'емы тел. Однако способы, какими они выполняли свои вычисления, оставались неизвестными, что заставляло ожидать открытия египетских рукописей чисто - математического содержания.

II.

Полвека тому назад, в 1877 г., наука обогатилась, наконец, точными сведениями о древнеегипетской математике из первоисточника: германским египтологом Эйзенлором был опубликован полный перевод одного папируса математического содержания вместе с его факсимиле1). Этот папирус был приобретен в 1862 г. в Египте английским египтологом Райндом, от которого он поступил в собственность Британского музея. Опубликование этого перевода, переизданного впоследствии еще два раза, составило эпоху в истории математических наук, вызвав многочисленную литературу о египетской математике. Исследованием его занялись на Западе М. Кантор, Роде, Фаваро и другие историки математики; ценные труды посвящены ему и покойным профессором Московского университета В. В. Бобыниным. Как выяснилось, папирус Райнда написан за 1700—2000 лет до нашей эры, в эпоху владычества над Египтом народа гиксов, и представляет собою копию еще более древнего математического сочинения. Шрифт папируса - иератический; он имеет заглавие: «Наставление, как достигнуть знания всех темных вещей.....всех тайн, содержащихся в предметах»... Далее говорится, что это сочинение составлено писцом Ахмесом при фараоне Ра-аус. Так как звание писца было присвоено в ту эпоху особому классу жрецов, то папирус Райнда представляет собою одно из произведений жреческой касты, которая одна только в Египте могла заниматься науками.

Обращаясь к содержанию папируса, мы находим в нем большое количество задач с решениями, относящихся, по современному разделению, к арифметике, алгебре, геометрии и даже тригонометрии. В этой последовательности мы и рассмотрим сочинение Ахмеса.

В области арифметики мы находим пользование десятичной системой счисления и вышеупомянутой иератической письменной нумерацией целых чисел и дробей. Для обозначения сложения и вычитания служит особый знак, представляющий изображение двух ног, идущих вперед в случае сложения и назад в случае вычитания. Как производились эти действия, в папирусе не указывается, но по другим источникам можно предполагать, что для них широко применялся инструментальный счет. Что касается умножения, то оно выполнялось при помощи многократного удвоения множимого и сложения полученных результатов; так, для умножения на 13, Ахмес умножает число на 2, 4 и 8 и складывает число и два

1) А. Eisenlohr. Ein mathematisches Handbuch der alten Aegypten. Leipzig, 1877.

последних результата; действительно #.13 = п (l-f-22+23). Деление производится путем попыток: делитель умножается последовательно на возрастающие числа, пока не получится произведение, равное делимому, или большее его, напр., при делении 1120 на 80 «умножь число 80 так, чтобы получилось 1120.»

Гораздо более подробное развитие, чем действия с целыми числами, имеет в папирусе Ахмеса изложение учения о дробях. При этом с полною ясностью проявляется уже упомянутый замечательный факт употребления египтянами простых дробей только аликвотных, т.-е. с числителем 1 ; исключение представляет дробь у' но и она часто заменяется суммою ~2 -f- -g- Поэтому в начале папируса находятся таблицы для разложения дробей вида 2п4-Ь 07 5" Д0 99 на аликвотные. Так, в них мы находим, напр.,

и т. д.

Этими таблицами египтяне пользовались при делении меньшего числа на большее, подобно тому, как мы в настоящее время пользуемся разными справочными таблицами: квадратных и кубических корней из чисел, процентов, логарифмов и пр. О происхождении этих интересных таблиц ничего неизвестно; повидимому, они были получены египтянами опытным путем, в результате работы многих поколений. В дальнейшем папирус содержит указания на способы производства действий с дробями, отличающиеся большой сложностью, и ряд задач с конкретным содержанием, приводящихся к действиям над дробными числами. Такова задача о делении несколько хлебов между 10 лицами, решаемая при помощи только дроби у и аликвотных дробей; в ней имеем:

из других задач следует отметить многочисленные задачи на прямо и обратно пропорциональные величины и пропорциональное деление разнообразного практического содержания.

К алгебре относятся задачи на нахождение неизвестного числа (по-египетски «хау» — куча), которые соответствуют современным задачам на составление и решение уравнений первой степени с одним неизвестным, напр.: «найти неизвестное число, которое, будучи сложено с ~ его частью, дает в сумме 19». Для решения рекомендуется способ, получивший впоследствии название способа «ложного положения»; именно для решения уравнения вида

следует подставить какое-либо х = хг\ пусть получится

тогда X = xt. -.-.Так в приведенной задаче предлагается испробовать х1 — 7; получим 7-[-1=8, а нужно 19, следовательно, взятое число 7 надо увеличить в отношении 19.8; будем иметь л: = = 16 -^- = 16 -j—^—j—. Задачам этого рода придается конкретное содержание, иногда довольно сложное. К области алгебры относятся также задачи на арифметические и геометрические прогрессии, напр., «разделить 10 мер хлеба между 10 лицами так, чтобы каждое последующее получило на -g- меры менее предыдущего». «Семь писцов имеют каждый по 7 кошек; каждая кошка ловит по 7 мышей; каждая мышь с'едает 7 колосьев, каждый посеянный колос дает 7 мер зернового хлеба. Сколько всего вместе писцов, кошек, мышей и пр.». Для решения подобных задач догматически указываются приемы, сходные с соответствующими современными формулами для прогрессий.

В области геометрии мы, согласно с ранее уже отмеченным практическим характером египетской науки, находим также ряд задач с решен ями. Они относятся прежде всего к вычислению площадей прямолинейных фигур: прямоугольника, квадрата, прямоугольного треугольника и прямоугольной трапеции. Заметим, что благодаря неудачным чертежам в папирусе Раунда для двух последних фигур, исследователи (М. Кантор, В. В. Бобынин1) и др.) склонны были видеть в двух последних случаях равнобедренный треугольник и равнобедренную трапецию, а потому считали данные для вычисления их площадей у Ахмеса формулы грубо ошибочными. Однако после работы Д. П. Цинзерлинга2) по этому вопросу, стоящей в связи с расшифрованием аналогичных мест из папируса Голенищева, можно считать строго установленным, что у Ахмеса идет речь именно о прямоугольных треугольниках и трапециях и что даваемые им формулы, совпадающие с современными, правильны. Неверной, однако, является даваемая Ахмесом формула для выражения площади четырехугольника произвольной формы со сторонами а, Ь, с, d, как произведение полусумм противоположных его сторон — • —^ но, как доказывает в той же работе Д. П. Цинзерлинг анализом надписей на египетских храмах, египетские землемеры обычно разбивали участки земли на прямоугольные треугольники и трапеции и лишь в случае невозможности это сделать, оставляли небольшие участки четырхеугольной формы, площади которых определяли по указанной приближенной формуле. Для решения знаменитой во все века задачи о построении квадрата, равновеликого данному кругу, предлагается строить квадрат со стороною, равною -^- диаметра круга. Отсюда легко найти египетское значение числа тг; действительно, мы имеем: —^— \~<Г / >откУда тс = —, или 7г = 3,16... Принимая во внимание, что у других народов древнего Востока: вавилонян, евреев, китайцев и др., было я = 3, а у наших предков — древних славян считалось я = 4, следует признать значение я у Ахмеса для рассматриваемой эпохи весьма точным. Из других геометрических указаний папируса Райнда можно отметить формулы, предлагаемые для вычисления об'емов египетских хлебных амбаров с прямоугольными и круглыми основаниями:

1) В. В. Бобынин. Древнеегипетская математика в эпоху владычества гиксов. «Журн. мин. нар. просв.», 1909.

2) Д. П. Цинзерлинг. Геометрия у древних египтян. «Изв. Росс. акад. наук.», 1925.

но так как форма этих амбаров до сих пор не известна, то является затруднительным сказать, насколько эти формулы правильны. Наконец, в статье, посвященной специально пирамидам, Ахмес касается важного, повидимому, с религиозной точки зрения, вопроса о наклонении боковой грани и бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды к плоскости ее основания и определяет эти углы по отношениям соответствующих сторон в прямоугольных треугольниках, что с современной точки зрения соответствует употреблению тригонометрических функций косинуса и тангенса.

Таково, в кратких чертах, содержание папируса Райнда. Оно показывает, что египтяне за много веков до нашей эры имели обширные и своеобразные математические познания, хотя и чисто-практического характера.

III.

Громадный интерес, вызванный в широких математических кругах переводом папируса Райнда, привел к поискам других древнеегипетских математических рукописей. Эти поиски имели некоторый успех, так как после опубликования труда Эйзенлора были найдены и расшифрованы некоторые и другие папирусы и отрывки их математического содержания. Однако разбор их прибавил мало существенно нового к тому, что стало известным о математике древнего Египта из папируса Райнда. Так, в так называемых кахунских папирусах, найденных в 1899 и 1890 гг. в Кахуне, близ Иллагунской пирамиды, содержатся те же разложения дробей вида 2п + 'Г на аликвотные> как и в папирусе Райнда, сходные задачи на прогрессии и пр.; отличием является лишь действие извлечения квадратного корня из целых и смешанных чисел, отсутствующее у Ахмеса. Кроме того, в этих папирусах и в одном отрывке, хранящемся в Берлине, встречается решение задач, приводящихся к простейшим квадратным уравнениям, причем применяется метод «ложного положения». Но в общем рассмотрение позднейших папирусов показывает, что древнеегипетская наука как бы стабилизовалась на многие столетия на одном и том же уровне математического знания. Особенно замечателен в этом отношении так называемый Акмимский папирус, найденный на одном кладбище в Акмиме, в верхнем Египте, и исследованный французским археологом Баллье1). (На русском языке ему посвящена работа В. В Бобынина: «Грекоегипетский математический папирус из Акмима»; «Физико-математические науки в их прошедшем и настоящем состоянии», т. XII, стр. 301—340) Эта рукопись написана уже в VII или VIII в. нашей эры, т.-е. спустя более 2000 лет после папируса Райнда, на греческом языке, тем не менее она не содержит чего-либо существенно отличного от труда Ахмеса. Так, в ней мы находим таблицу умножения целых чисел от 1 до 20 на аликвотные дроби от -у- до включительно и на -у-> причем результаты выражаются тоже суммою аликвотных дробей, напр.:

Кроме того, этот папирус содержит 50 арифметических задач на действия с целыми и дробными, отвлеченными и именованными числами, на

1) Baillet. Le papyrus mathématique d'Akhmim. Paris, 1890.

проценты, пропорции и пропорциональное деление, которые решаются с помощью упомянутых таблиц. Напр.:

Задача 9. От -г- отнять -r- + irr-

Решение. В каком вычислении есть -т- + -тг ? Это есть от 3. Но -^-.11 = 7-Г;71Г-3=41Г- 0т ^4- возьмите ±. Результат ±- + ^ + Jg.

В том же папирусе имеются три задачи геометрического содержания: на определение об'ема цистерны в форме усеченного конуса и об'емов сокровищницы и рва в форме параллелепипеда, но способы решения даются весьма не точные.

Выясняющийся из ознакомления с папирусами, написанными в течение многих веков, застой в области египетской математики обменяется тем, что наука в Египте не была свободной, а являлась привилегией касты жрецов, которые добываемые результаты вводили в свои священные книги, текст которых лишь с крайней медленностью подвергался изменениям.

Несравненно более интересным и важным по значению, чем только что упомянутые, является папирус Голенищева-Кутузова, к рассмотрению которого мы и переходим. В то же время он является и более древним, согласно мнению профессоров Б. А. Тураева и В. В. Струве, основанному на палеографических и др. данных; он написан приблизительно за 100 лет до папируса Райнда, так что является в настоящее время древнейшим письменным памятником не только египетской, но и всемирной математической литературы. По виду он представляет собою рукопись, не вполне сохранившуюся, длиною в 5,4 м1 и ряд фрагментов из нее: она сохраняется отдельными частями в рамах под стеклом. При этом папирус представляет собою палимпсест, т.-е. ранее на нем был какой-то другой текст, впоследствии выскобленный и замененный настоящим. Он написан иератическими письменами и, подобно другим папирусам, содержит ряд задач, числом 24, с догматически изложенными решениями. Из них перевод пяти задач геометрического содержания был выполнен еще Б. А. Тураевым, причем одна из них была опубликована им самим в 1915 г. в журнале «Ancien Egypt», прочие же четыре были помещены Д. П. Цинзерлингом в упомянутой уже статье «Геометрия у древних египтян», в «Известиях Российской академии наук», 1925 г. Об остальных задачах мы получили сведения из вышеупомянутого доклада В. В. Струве, которому удалось из разрозненных фрагментов восстановить текст новых 4 столбцов с задачами. Как и при обозрении папируса Райнда, мы рассмотрим содержание рукописи Голенищева по отделам элементарной математики.

В области арифметики и здесь применяется десятичная система счисления и иератическая письменная нумерация, однако встречаются следы и более ранней пятиричной системы; так, число 15 в одном месте выражается по формуле 2. 5-[-5. Числительные 10 и 12 местами обозначаются термином «много»; это, повидимому, указывает на те отдаленные времена, когда запас числовых представлений у египтян был весьма мал, и за указанными пределами они видели уже неопределенно большое число, подобно тому, как в более поздние времена аналогичную роль у греков играло слово «мириада», а у древних славян — «тма», буквально означавшие 10.000 и т. п. Что касается простых дробей, то, как и у Ахмеса, в папирусе Голенищева встречаются дроби лишь аликвотные, но, как увидим далее, разложения дробей вида 2 - _^ j здесь иногда иные, чем в папирусе Райнда. Из арифметических действий весьма распространенным и как

бы самостоятельным является нахождение целого по его части путем умножения на обращенную дробь; встречаются выражения вроде: «действуй с -у так, чтобы получить целое, найдешь -у-». Подобно папирусу Ахмеса, рукопись Голенищева содержит задачи практического характера, напр., относительно перевода хлеба в пиво, раздела зерна и пр., приводящие к пропорциональному делению. Но темы задач часто иные, чем у Ахмеса, напр., некоторые задачи касаются вопросов мореплавания: деления мачты, руля и т. п. Нижеследующая задача является примером на правило смешения 1-го рода, чего не находим у Ахмеса: «Задача сделать шебен (смесь), если сказано тебе: 20 (?) по — меры зерна, 4U (по ?) ~ м. зерна. Действуй: сделай -^- 20-ти, ибо (?) и есть будет 2-^- Действуй: сделай yg- 40, ибо (?) и есть будет 2-у. Действуй: сложи, будет 5. Действуй: сложи, будет 60. Раздели 5 на 60. Будет -^- ( описка, надо ) • Это и есть шебен. -~ найдешь хорошо». Много задач и на именованные числа, причем употребляемые меры не вполне совпадают с папирусом Райнда.

К области алгебры можно отнести, как и у Ахмеса, задачи на определение неизвестного числа, с аналогичным способом решения, но они здесь приводят к более простым уравнениям, напр.: «Число и его половина составляют 9, найти число». Соответствующие задачи имеют конкретное содержание. Из алгебраических действий встречается возведение в квадрат, что характеризуется термином «проходит мимо»: 4 проходит мимо и получается 16. Обратное действие, не встречающееся у Ахмеса,— извлечение квадратного корня,—обозначается словами «сделай угол» и имеет специальный значок в виде угла, похожий на наш радикал.

Что касается геометрии, то она представлена всего шестью задачами, но чрезвычайно интересными по содержанию и способу решения Заметим, что геометрическая терминология в папирусе Голенищева еще не выработана; так, прямоугольник называется «цыновка», полушар —«корзина». Под четыреугольником определенно разумеется прямоугольник, а под треугольником — прямоугольный треугольник.

Приведем наиболее замечательные задачи.

1) Задача сделать четыреугольник, площадь которого 12 сетов1), а ширина равна-y^-, т.-е. — длины.

Действуй. Сделай -^- > чтобы найти единицу. Будет 1у 1— будет 16. Сделай угол — будет 4 в длину; -у-у (этого) = 3 в ширину. Делай, как получится | — |3

В переводе на современные обозначения ход этого решения можно представить так:

Таким образом в этой задаче приходится решать квадратное уравнение и извлекать квадратный корень, что не встречается у Ахмеса.

2) Задача сделать треугольник, если сказано тебе: треугольник 20 (?) в своей площади, если дано тебе, длина твоя "j-^-^ïô ^T'~e'~f~)

1) Сет — мера площади около 2500 кв. м.

ширины. Действуй. Удвой 20. Будет 40. Сделай — , чтобы найти 1. Будет 2-^- раза. Сделай 40 два с половиною раза. Будет 100. Сделай угол его. Будет 10. Смотри —10 в длину. Сделай -^- — ^ десяти, будет 4. Смотри 4 — в ширину. Найдешь, что хорошо.

Здесь площадь прямоугольного треугольника удваивается для превращения его в прямоугольник, а далее задача решается подобно предыдущей. Поразительной особенностью является представление дроби у в виде суммы аликвотных дробей: , тогда как в папирусе Райнда та же дробь представляется под видом -g- +

3) Задала сделать усеченную пирамиду (на чертеже пирамида изображена в виде трапеции), если известно 6—высота, 4 — внизу, 2 — наверху.

Поступай как следует: возвысь в квадрат 4, что даст 16; удвой 4, что дасть 8, далее возвысь в квадрат 2, что даст 4. Прибавь к 16 8 и 4, что даст 28. Далее возьми ~ от 6, что даст 2; далее возьми 28 дважды, что даст 56. Это есть 56. То, что хотели найти — правильно.

Эта задача была первою из папируса Голенищева, сделавшейся известной благодаря опубликованию перевода ее в 1915 г. в журнале «Ancient Egypt» профессором Б. А Тураевым. В ней указывается совершенно правильный способ для вычисления об'ема усеченной пирамиды с квадратным основанием по формуле V = H (В-\-b-\-y/~B Ь). Принимая во внимание, что теоремы об об еме усеченной пирамиды нет еще в «Началах» Эвклида (III в. до нашей эры), приходится удивляться знанию ее египтянами за 1х/2 тысячелетия раньше греков.

4) Задача сделать корзину (определение поверхности полушара).

Устье корзины 4-^—

Возьми -1- от 9, ибо корзина есть половина, будет 1. Отними 1 от 9, будет 8. Возьми -^- от 8, будет -it-t-t-, т.-е. Сделай остаток (8 —Ц у будет 7~-. Умножь 7-^- на 4 будет 32 (ответ).

По об'яснению проф. Струве, блестяще справившегося с переводом этого трудного места, под устьем корзины следует ра уметь диаметр полушара, а предметом задачи является определение его поверхности. Указываемые в решении действия могут быть выражены формулой.

где d — диаметр полушара. Производя упрощения в этой сложной формуле, получим S = qT d*. Отсюда легко найти соответствующее значение для тх:

т.-е. то же самое значение числа ic, как и у Ахмеса. Если принять во внимание, что формула для поверхности шара дана только Архимедом

в III в. до нашей эры (предложение XXXV в сочинении «О сфере и цилиндре»), то открытие этой последней задачи проф Струве является еще более сенсационным, чем предыдущей. Поэтому остается еще раз пожелать, чтобы его полное исследование папируса Голенищева скорее появилось в свет и сделалось, подобно папирусу Райнда, основанием для дальнейших работ по истории науки.

К ВОПРОСУ О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ИНТЕРПРЕТАЦИЯХ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ.

Проф. Н. Агрономов (Владивосток).

1. Классическая интерпретация комплексных чисел, как известно, осуществляется на комплексной плоскости Коти. Подход к этой интерпретации может быть сделан следующим образом Берем прямую п9 на которой выбираем произвольную точку О за начало (черт. 1). Тогда с каждой точкой прямой можно связать взаимно-однозначно оино и только одно вещественное число. Равным образом с каждым отрезком ОМ, концами которого являются начало О и данная точка М< можно также связать взаимно-однозначно одно и только одно вещественное число. Таким образом или точка или отрезок с началом в качестве одного из концов отрезка, лежащие на одной и той же прямой, являются геометрическими интерпретациями вещественного числа.

Двойственность геометрической интерпретации вещественного числа порождает двойственную интерпретацию комплексных чисел. Связав с вещественными числами точки определенной прямой п или отрезки определенной прямой с концом в одной постоянной точке О этой прямой, мы оказываемся перед задачей дать числовые интерпретации или точек плоскости, не принадлежащих прямой, или отрезков с началом в О, но не лежащих на прямой п. Эта задача разрешается при помощи привлечения комплексных чисел, или чисел-пар.

Трактуя комплексное число как числовую интерпретацию точек Му мы за компоненты пары принимаем те числа, геометрическими интерпретациями которых являются проекции Мх, Му точек M на две взаимноперпендикулярные и проходящие через О прямые.

Трактуя комплексное число как числовую интерпретацию вектора ОМ мы за компоненты пары принимаем те числа, геометрическими интерпретациями которых являются отрезки ОМх, ОМу (черт. 2).

2. Совершенно естественным обобщением комплексной плоскости Коши является комплексная сфера Неймана. Идея комплексной сферы Неймана состоит в следующем1). К комплексной плоскости Коши пристраиваем касающуюся ее сферу (сферу Неймана). Пусть точка О является точкой касания, а точка Р^-точкой диаметрально противоположной точкой точки О. Возьмем на комплексной плоскости какую-нибудь точку М, которую соединим с точкой Я. Прямая РМ встретит сферу Неймана в одной и только одной точке m (черт. 3). Очевидно, что

Черт. 2.

1) Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, стр. 21-28.

между точками Мит существует взаимно-однозначное соответствие. Таким образом все точки сферы Неймана дают геометрические интерпретации комплексных чисел.

3. Менее распространено представление комплексных чисел при помощи других систем координат или при помощи прямых и плоскостей, хогя нам думается, что разнообразие геометрических моделей, осуществляющих область комплексных чисел, должно быть крайне желательно.

Примером подобной трактовки комплексных чисел является следующая схема. Возьмем пучок прямых, проходящих через одну точку (черт. 4). Выбирая один из лучей пучка за нулевой или начальный, пересечем этот пучок прямой л. Точку О, где нулевой луч встречает эту прямую, мы примем за начальную точку прямой п. Тогда, очевидно, каждой точке— числу числовой прямой и будет соответствовать луч —число числового пучка.

Равным образом, если на числовой прямой мы возьмем числа—отрезки, то в числовом пучке появятся числа—углы, отсчитываемые от начального луча.

Создав подобную интерпретацию вещественных чисел, перейдем к плоскости. Возьмем на ней две точки О, Ог (черт. 5). Назовем точку О началом пучка вещественных лучей, точку Ot—началом пучка мнимых прямых. Прямую ООх примем за нулевой луч того и другого пучка. Тогда, очевидно, каждая точка плоскости M может быть рассматриваема как точка пересечения лучей ОМ и ОгМ того и другого пучка, а если это так, то с каждой точкой плоскости свяжется два числа, значения которых определятся числовыми интерпретациями rex лучей, пересечение которых дало точку.

4. Если бы мы пожелали связать с комплексными числами прямые, то это мы могли бы осуществить так. На плоскости берем две точки О и О, и прямую М, с которой мы желаем связать комплексные числа.

Опуская из точек О и Ох перпендикуляры ОМх и ОхМу на прямую M (черт. 6), вводя соглашение о знаке этих перпендикуляров, мы связываем с прямой M пару чисел, т.-е. делаем M комплексным числом.

5. Бесконечное разнообразие координатных систем, в которых координатами точки и прямой является пара чисел, является началом бесконечного разнообразия геометрических интерпретаций комплексных чисел. Чтобы покончить с этим вопросом, я остановлюсь еще только на одном случае, а именно на геометрической интерпретации комплексных чисел в полярно-тангенциальной системе координат.

Пусть комплексное число задано модулем и амплитудой, т.-е числами гиф. Возьмем в плоскости прямую п и на ней точку О (черт. 7).

Черт. 3. Черт. 4, Черт. 5.

Черт. 6.

Каждая прямая M плоскости вполне определяется расстоянием точки до этой прямой и углом, образуемым прямой M с прямой п. Таким образом с прямой связывается г и <р, т.-е. прямая становится геометрической интерпретацией комплексного числа.

6. Все рассмотренные интерпретации комплексных чисел, однако, страдают одним общим недостатком, а именно: они непригодны для аналитической геометрии. Мы не может построить ни линий с комплексными коэффициентами, ни точек с комплексными координатами.

Вследствие этого в известный момент аналитическая геометрия отрывается от столь необходимой для нея графичности и начинается мало выразительная геометрическая фразеология. Появляются мнимые точки, мнимые прямые и круги и т. д. Как на интересный пример можно указать на определение фокуса криных второго порядка, данное Плюкером, а именно: фокус есть центр круга нулевого радиуса, имеющего с данной кривой двойное касание. Более интересные примеры на подобную фразеологию можно найти в статьях О. Vetter'a «Deux remarques sur les coniques imaginaires générales» (Prace matematizno-fisyczne, t. XXXIII, p.l — 8), «Le coniche e le quadriche imaginarie generali» (Giornale di mat., LXÏ, p. 149—156), в статьях I. Sobotva, например, в «Sur la construction de la courbe gauche du 3 ordre de la courbe gauche du 4 ordre et de la premiere espèce et de la surface du second degré un moyen du plus grand* nombre possible de points imaginaires conjuguées» (Bulletin International de l'Acad. Tchèque des Sciences XXVI) и т. д.

С достаточной силой убедительности жалуется на это обстоятельство П. Флоренский в своей брошюре „О мнимости в геометрии".

Настоящая заметка имеет своей целью внести некоторые коррективы в вопросы о мнимостях в геометрии.

7. Мы исходим из следующего положения: каждому вещественному числу на числовой прямой соответствует отрезок этой числовой прямой, имеющий в качестве одного из своих концов начало числовой прямой.

Допуская установление соответствия между числами (вещественными) и отрезками, имеющими начало числовой прямой в качестве одного из концов, мы ставим себе вопрос: какую числовую интерпретацию можно дать тем отрезкам числовой прямой, у которых начало числовой прямой не является концом отрезка, поэтому, какую числовую интерпретацию имеет отрезок ЛЛ(черт. 8). Вопрос, который мы себе предлагаем, является аналогичным тому, который мы предлагаем себе, когда дело касается числовой интерпретации точек плоскости Коши. Очевидно, и ответ должен быть аналогичным, а именно: различая на каждом отрезке АА числовой прямой вещественный А и мнимый А концы этого отрезка, мы считаем АА геометрической интерпретацией комплексного числа:

OA -j- ЮА

или пары

(OA, OA),

где OA и OA определяются по закону геометрической интерпретации отрезков числовой прямой, для которых начало числовой прямой служит одним из концов отрезка.

Черт. 7. Черт. 8

Таким образом числовая прямая делается носительницей отрезков— комплексных чисел или, что также является вполне допустимым, числовая прямая является носительницей комплексных чисел — пар точек.

8. Подобная интерпретация комплексных чисел на числовой прямой имеет ту ценность, что заключает в себе, как частный случай, интерпретацию вещественных чисел.

Кроме того, необходимо обратить внимание на то, что в этой интерпретации не только с отрезками числовой прямой связывается число, но и с отдельными точками.

В самом деле, вообразим себе, что точки А и А совпали. Тогда вместо отрезка мы получаем точку или нуль— отрезок. Очевидно, этот нуль—отрезок является геометрической интерпретацией числа

OA . (1 - /).

Таким образом предлагаемая нами интерпретация дает числовой смысл не только отрезкам числовой прямой, но и ее точкам.

9. Обращаемся теперь к плоскости. Перед нами возникает вопрос о том, какой геометрический смысл должен быть вложен в пару комплексных чисел, или, иначе говоря, какому геометрическому образу соответствует пара комплексных координат

(а, а), (Ь, 8).

Строим прямоугольную систему координат (черт. 9) и на оси Ох строим отрезок, соответствующий числу (а, а), а оси Oy — отрезок, соответствующей числу (b, Ь). Совершенно естественно, что за геометрическую интерпретацию пары

[(а, а), (6, Ъ)]

можно взять тот отрезок, который имеет проекциями отрезок

(а, а), Ъ).

Итак, за геометрическую интерпретацию пары комплексных чисел мы берем некоторый несв)бодный вектор плоскости сс.

10. Не трудно показать, что подобная интерпретация не противоречит основной идее представления точек координатами.

В самом деле, в аналитической геометрии за координаты точки M мы принимаем проекции вектора ОМ на координатные оси. Это означает, что в аналитической геометрии координируется не точка, а некоторый вектор с постоянным началом О. Очевидно, что наша интерпретация при

а = b = 0

охватывает классическое координирование векторов ОМ,

Мало того, она допускает сопряжение координат с точками, если последние считать нуль-векторами.

Само собой разумеется, что тройка комплексных чисел находит свою геометрическую интерпретацию в пространстве 3 измерений, а совокупность п комплексных чисел—в пространстве п измерений.

11. Не предполагая делать из настоящей заметки систематического исследования затронутого вопроса, остановимся только на некоторых примерах.

Черт. 9.

Задача 1. Построить пару (а, Ь).

Очевидно, это будет вектор ОМ (черт. 10-а)1).

Задача 2. Построить пару (ai, bï).

Очевидно, это будет вектор МО (черт. 10-Ь).

Задача 3. Построить пару (а-|- ai, b).

Решение дается чертежом (черт. 10-с).

Задача 4. Построить пару (a-{-ai, bi).

Решение дается чертежом (черт. lO-d).

12. Предположим теперь, что две пары комплексных чисел

связаны уравнением

Очевидно, что этим уравнением определится бесчисленное множество векторов. Однако, это не будет геометрическое место в смысле аналитической геометрии. Полученную совокупность мы назовем векторным полем, a f(x, у) = 0 уравнением векторного поля.

Черт. 10—а. Черт. 10-Ь. Черт. 10-с. Черт. 10—d.

Совершенно наглядные геометрические образы получатся у нас лишь тогда, когда мы станем ограничивать область изменения хну. Если области изменений х и у будут включаться в области вещественных чисел, то геометрическая интерпретация f(x> у) = 0 совпадет в общих чертах с обычной интерпретацией f(x, у) = 0. Возьмем, например, уравнение

x2-\-y2 = R2.

С точки зрения аналитической геометрии это есть линия—окружность, с той точки зрения, которую мы развиваем, это есть совокупность векторов, имеющих мнимый конец в начале координат и заполняющих площадь круга. Геометрический образ, соответствующий вещественным значениям х и у в уравнении f(x, у) = 0 мы будем называть вещественной частью поля f(xt у)=±0.

Таким образом изучение вещественных частей поля совпадает по об'ему с изучением линий, представляемых уравнениями.

Вещественной части поля удобно присвоить обозначение (R, /?).

13 Очевидно не только (/?, R) данного поля представляет интерес, но и изучение тех частей поля, которые соответствуют мнимым (чисто) значениям х и у в уравнении f(x, у) = 0. Эту часть поля мы обозначим через (/, /). Например, (/, /) поля с уравнением

x2+y2 + R2 = 0

дает нам совокупность векторов, имеющих вещественный конец в начале координат и заполняющих площадь круга с радиусом R. С точки зрения

1) Существование на векторах вещественного и мнимых концов определяет направление вектора. Можно считать положительным направление от мнимого конца к вещественному.

аналитической геометрии x*-\-y2-]-R2 = 0 трактуется как мнимый круг, лишенный графического образа.

На ряду с частями /?), (/, /), т.-е. вещественными и мнимыми частями поля, заслуживают внимания и части поля, которым удобно присвоить обозначения (/?, /), (/, R).

14. Чтобы закончить вопрос с представлением комплексных пар на плоскости, дадим еще одну иллюстрацию, а именно построим ту часть поля

у — exi = cosx-\-i sin х,

которая соответствует вещественным значениям х. Читатель без труда установит, что вещественный конец вектора опишет косинусоиду, а мнимый конец будет совершать свои движения по оси Oy.

15. Сущность предлагаемого метода, как теперь может заключить читатель, состоит в том, что мы производим своеобразное «уплотнение». Числовую прямую мы заполняем не только вещественными числами, но и комплексными. Вследствие этого уплотнения плоскость остается свободной для размещения чисел более сложной природы.

Принимая во внимание, что излагаемая схема не стоит в противоречии с общепринятыми положениями аналитической геометрии, мы приглашаем читателей поделиться своими соображениями на затронутую тему.

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ УРАВНЕНИЙ 4-й СТЕПЕНИ.

М. Горнштейн (Москва).

В связи с помещенной в № 1 «Математического образования» задача № 3 (решить уравнение: х* — 4л:3 -\-х26х-\-2 = 0) я хочу указать общий прием решения одного класса уравнений 4 степени, к которому принадлежит и данное.

Пусть дано уравнение

(1)

с целыми коэффициентами, не имеющее рациональных корней. Если левая часть его распадается на 2 множителя второй степени, т.-е. если имеет место равенство

где a, b, m и п — числа целые, то, очевидно, уравнение (1) будет иметь 4 корня вида

(3)

где а, и ßt—числа вещественные положительные или отрицательные.

Обратно: если числа (3) служат корнями уравнения (1), то левая часть последнего распадается на 2 множителя согласно формуле (2).

В самом деле, при этом условии имеем:

где положено

Установив это, мы можем легко решить уравнение (1) в случае, если оно имеет корни вида (3). Для этого раскроем левую часть равенства (2):

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях л*, мы прежде всего замечаем, что произведение тп свободных членов множителей правой части (2) равно свободному члену d\ данного уравнения. А потому, разложив каким-нибудь способом dx на 2 множителя, принимаем один из них за т, другой—за п. так что в дальнейшем эти числа будем считать уже известными. Дальше имеем:

(5)

Первые два из этих уравнений служат для определения а и Ь, третье же—для контроля правильности взятых значений для m и п\ если полученная из первых двух уравнений система значений для а и 6 не удовлетворяет третьему уравнению, то взятая нами система значений для m и п не годится, и мы испытываем тогда другую комбинацию множителей числа dv Если ни одна комбинация не удовлетворяет всем трем уравнениям (5), то это свидетельствует о том, что уравн-ние (1) не имеет корней вида (3). Впрочем, можно узнать, годится ли вторая система значений тип иначе. Именно: исключив из 3-х уравнений (5) а и Ь, мы получим условие, которому должны удовлетворять числа тип для того, чтобы уравнение (1) имело корни вида (3).

Из первых двух уравнений (5) получаем:

(6)

Поставив эти значения в третье уравнение, получим:

(7)

Это и есть условие, необходимое и достаточное для того, чтобы взятая система значений тип удовлетворяла тождеству (2), причем а и b определяется из (6).

Задача сводится к испытаниям: но если свободный член данного уравнения есть число простое, то число испытаний сводится только к двум и по формуле (Т7) совершается довольно быстро.

Для примера возьмем упомянутое уравнение:

х4 — 4x3 + x2 + 6x + 2=r:0........(8)

Положим m = 2, п = 1. По (7) имеем:

следовательно, эта система значений m и я не годится. Остается другая:

Условие (7) удовлетворяется. Значит, система (9) годится. Тогда из (6) получаем:

и по (2) имеем:

уравнение (8) распадается на 2 квадратных:

откуда

Можно определить корни непосредственно из формулы (4), откуда имеем:

<Ч = — ^ = ах2 — т\ а2 = — -у, (32 = аа2—л . . .(10)

Для данного случая:

at = l, ^ = 1+ 2 = 3; a2 = l, /32 = 1 +1 =2

и по (3)

xv в = 1 ± / 3, д:3,4 = 1 ± /7.

Возьмем еще пример: решить уравнение:

х* + 3х3 — Ах2 — \9х — 7 = 0......(11)

Здесь возможны такие 2 случая:

1) щ = — 7, 77 = 1

2) ттг = 7, п — — 1.

Для первого случад по (7) имеем:

(не годится).

Для второго случая:

(удовл.).

Тогда по (6):

из (10):

Следовательно, корни уравнения (11):

К ВОПРОСУ ОБ АРИФМЕТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ МНОГОЧЛЕНОВ.

В. А. Кудрявцев (Москва).

В 148 томе «Journal für die reine und angewandte Mathematik» (1918) имеется интересная статья Stäckel'я: «Arithmetische Eigenschaften ganzer Funktionen», в конце которой он доказывает следующую замечательную теорему: если коэффициенты целой целочисленной функции f(x) = aê-{--\-агх -\-а^х1-\-... -j- апхп по абсолютной величине не превосходят Л, и если имеется целое число к, большее по абсолютной величине, чем J-j-1, обладающее свойством, что / (k) число простое, то / (х) не может иметь линейного делителя с целыми коэффициентами с^-\-схх.

Stäckel замечает, что это предложение есть только первая ступень в ряду возможных подобных предложений. Действительно, пользуясь методами Stackel'я, мы докажем, что многочлен / (х), при тех же условиях, не может иметь двучленного делителя с целыми коэффициентами сь-\-стхт (0<^т^п— 2). Теорема Stackel'я получается, как частный случай при т — \.

Доказательство поведем параллельно доказательству Stackel'я.

Пусть

f{x) = aQ -f агх -j- а2х2 +... + апхп

многочлен с целыми коэффициентами aiy при чем | а. |-<Л. Допустим, что f(x) имеет делителя с целыми коэффициентами с0 -\-стхт. Тогда имеем

f(x) = (h + btx+... + bn_mxn m) (с, -f cmxm)

Предположим, что коэффициенты a0, b0, c0 положительны, что не нарушит общности.

Легко видеть, что

(1)

Отсюда

(2)

Пусть существует такое целое число абсолютная величина которого больше А-\-\ и для которого/\&) есть число простое Тогда возможны два предположения:

Сначала докажем, что первое предположение невозможно. В самом деле, мы имеем из первого предположения

сткт = ±\-сЛ (3)

Абсолютная величина левой части cmkm больше

\ст\

т.-е. больше, чем А-\-\.

Абсолютная величина правой части +1 — с0 не превосходит 1 -j- с0, т.-е. не превосходит Л-f-L Следовательно, равенство (3) невозможно, и первое предположение необходимо отбросить.

Рассмотрим теперь второе предположение. Из него следует

at -f ajt +... + an_xk«-* + ajf = ± (с, + cmkm) (4)

Докажем, что равенство (4) невозможно. Обозначим абсолютную величину k через Кш

Правая часть равенства (4) по абсолютной величине не превосходит

А (1 +/П (5)

С другой стороны, имеем

Отсюда имеем:

(6)

Сравнивая (5) и (6) имеем:

Отсюда имеем:

и, вводя обозначение

будем иметь:

(8)

Покажем, что (8) невозможно, т.-е. что при /С>Л-|-1 g(K)> О, причем знак = исключен.

Для этого напишем g{K) в таком виде:

Рассмотрим выражение в

при К>А-\-\ и т^п — 2 мы имеем

Следовательно, выражение в { } положительно (не нуль). Так же легко видеть, что Кт — К > 0. Следовательно,

«r(*)>o,

при чем знак = исключен.

Итак, равенство (4) невозможно, и, следовательно, второе предположение тоже невозможно. Мы получили такую теорему:

«Если коэффициенты многочлена

f{x) = я0 + агх -f а2х2 +... + апхп

все числа целые и по абсолютной величине не превосходят А и если существует целое число k, большее по абсолютной величине, чем

обладающее свойством, что f(k) есть число простое, то fix) не может иметь двучленного делителя с целыми коэффициентами

при чем m удовлетворяет неравенствам

0<т<я— 2.»

UEBER EINE ARITHMETISCHE EIGENSCHAFT GANZER FUNKTIONEN. Von W. A. Kudrjawtzew.

Man beweist den Satz:

«Wenn die Koeffizienten einer ganzen ganz-zahligen Funktion f(x) = ae + atx+..anxn

dem Betrage noch -< A sind und, wenn für eine ganze Zahl k, deren Betrag grösser ist als

/1 + 1,

durch f(k) eine Primzahl dargestellt wird, so kann f[x) keinen zweigliedrigen ganzzahligen Theiler

(0<т<л —2)

enthalten».

Für m=\ erhalten wir den Satz von Stäckel («Journal für Mathematik», 1918, Bd. 148).

О ДЕЛИМОСТИ ВЫРАЖЕНИЙ an+bn НА a+b.

Проф. Н. Агрономов (Владивосток).

Большинство руководств элементарной алгебры вопрос о делимости выражений ап ±Ьп на а±Ь ставит в связь с доказательством теоремы Безу. Между тем этот вопрос может быть разработан более элементарно, при условии если учащимся достаточно обстоятельно будет изложен метод доказательства от п к п -f-1.

В самом деле, возьмем случаи деления ап — Ьп на а — Ь.

Очевидно, что а — b делится на а — Ь. Предположим теперь, что aw_1—bn~v также делится на а — Ь. Далее представим ап — Ьп таким образом:

an — bn = an-1(a — b) + b(an-i — bn-1) Так как первое слагаемое:

делится на а — b по вполне очевидным соображениям, а во втором:

по предположению, то, ясно, что ап — Ьп также делится на а — Ь.

Таким образом делимость а — b на а — b повлечет делимость а2 — b* на а — Ь\ делимость а2 — Ь2 на а - b повлечет делимость cfi — bH на а — & и т. д.

Остальные случаи делимости разрабатываются аналогично. Как побочный результат получается частное от деления суммы или разности степеней на сумму или разность оснований.

ОБ ОСНОВНОМ СВОЙСТВЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ЯКОБИ.

И. М. Воронков (Москва).

Основное свойство функционального определителя Якоби, как известно, состоит в следующем: пусть мы имеем некоторое число функций от такого же числа независимых переменных, например, три функции трех переменных:

ui = ? 1 (х>У>*\' и2 = ?2 (х,у#);

= Ъ (x,y,z).........О)

Для того, чтобы между этими функциями существовало соотношение

вида:

Ф (ut и2 us) = 0, или, что то же: щ = W (uv и2), или, другими словами, чтобы из трех уравнений (1) возможно было исключить все три переменные xyy,z>—необходимо и достаточно, чтобы определитель, составленный из частных производных от этих функций (называемый определителем Якоби), тождественно равнялся нулю:

Теорема эта, как известно, играет весьма существенную роль в теории неявных функций, а также в аналитической механике при исследовании уравнений движения системы со связями.

Доказательство необходимости исчезания определителя D, излагаемое обычно в курсах анализа или в руководствах по теории детерминантов, весьма просто, но доказательство достаточности этого условия значительно сложнее.

В настоящей заметке я даю сначала простое геометрическое доказательство этой теоремы для случая трех функций от трех переменных, не лишенное, как мне кажется, интереса, в особенности, если иметь в виду, что геометрическая интерпретация всякой аналитической теоремы в значительной мере способствует ее уяснению для лиц, приступающих к изучению анализа. А затем основную мысль этого доказательства распространяю и на общий случай п функций.

/. Условие D = o необходимо.

Пусть между тремя функциями щ, и2, и% существует соотношение вида: ud = W (uv и2). Рассматривая переменные х,у, z, как декартовы координаты точки, проведем через произвольную точку ix0, у0, zQ) две поверхности:

их (х,у, z,) = ul (х0, у0, Zo) = Сг и и2 (X, yf z,) = и2 {x0,y0f zQ) = Q.

Эти две поверхности пересекутся по некоторой кривой (Г). Для всех точек этой кривой будем иметь:

щ = ЧГ (Cv С2) = Const.,

т.-е. вдоль кривой (Г) функция и3 сохраняет постоянное значение, и, следовательно, через кривую (Г) проходит третья поверхность us (х,у, z) = С3. В какой-нибудь точке кривой (Г) проведем нормали к указанным трем

поверхностям; так как кривая (Г) является общей для всех трех поверхностей, то эти нормали лежат в одной плоскости, а потому определитель, составленный из 9 направляющих косинусов этих нормалей, равен нулю; но направляющие косинусы нормалей к поверхности их — Сх, и9=С2, Щ = С9 пропорциональны частным производным от функций иг, и2, uz по соответствующим координатам; следовательно, будем иметь:

//. Условие D = 0 достаточно.

Проведем опять через произвольную точку A (x0,yQf z0) три поверхности: их = Cv и2, = С2, и% = С3; пусть две первые из этих поверхностей пересекаются по некоторой кривой (Г). В силу условия D = 0 заключаем, что нормали к этим трем поверхностям в точке А лежат в одной плоскости, и, следовательно, нормаль к поверхности ив = С3 перпендикулярна к касательной в точке А к кривой (Г), а потому будем иметь:

где ds—элемент кривой (Г). Так как это последнее равенство остается справедливым во всех точках кривой (Г), то отсюда заключаем, что функция щ вдоль этой кривой сохраняет постоянное значение, и поверхность w3 = C3 проходит через эту кривую. Мы видим таким образом, что всякой системе значений Сг и С2 функций щ и и2 соответствует определенное постоянное значение С3 функции и3, т.-е. щ является некоторой функцией от щ и и9:

Таким образом теорему об основном свойстве определителя Якоби на языке геометрии можно выразить так: пусть имеем три семейства поверхностей:

щ (х, у, z) = Сг; ий {X, у, z) = С2; иъ (х, у, z,) = С3,

тождественное обращение в нуль определителя Якоби функций и{, и2, иг является необходимым и достаточным условием того, что через линию пересечения двух поверхностей, принадлежащих к двум из этих семейств, всегда можно провести некоторую поверхность третьего семейства.

Переходя к общему случаю п функций от п переменных, приходится, разумеется, отказаться от наглядной геометрической интерпретации в пространстве 3-х измерений, но прием предыдущего доказательства можно распространить и на этот общий случай.

Пусть имеем п функции от п переменных:

Функциональный определитель этих функций попрежнему обозначим через D:

1. Условие D = Q необходимо.

В самом деле, пусть между данными функциями существует соотношение вида:

ип =w (Щ> Щ - • • • .......(2)

Дадим функциям щ, и% . . . . ип-х какие-нибудь постоянные значения:

(3)

При всех значениях переменных xv удовлетворяющих равенствам (3), функция ип, в силу равенства (2), сохраняет постоянное значение:

(4)

Диференцируя равенства (3) и (4), получим:

Так как диференциалы dxx отличны от нуля (по крайней мере некоторые из них), то определитель полученной системы линейных однородных уравнений должен быть нулем, т.-е. D = 0, что и т. д.

//. Условие D = 0 достаточно. Предположим для общности, что ранг матрицы

равен г, т.-е. что, по крайней мере, один определитель, принадлежащий этой матрице порядка г, отличен от нуля, а все ее определители порядка выше г исчезают. Пусть этот неисчезающий определитель есть определи-

тель, составленный из частных производных первых г функций их, ит .. . иг по г первым переменным xv х2 . . . хг. Дадим этим г функциям какие-нибудь постоянные значения:

(5)

Диференцируя эти равенства, получаем:

(6)

Присоединим к системе ур-ний (6) следующую систему п — /-уравнений:

(?)

Уравнения (6) и (7) представляют собой систему линейных однородных уравнений относительно диференциалов dxx\ по условию ранг матрицы, составленной из коэффициентов этих уравнений, равен г, а в таком случае, как известно из теории линейных однородных уравнений, каждое из уравнений (7) является следствием уравнений (6), и всякая система значений диференциалов dxly удовлетворяющая уравнениям (6), удовлетворяет также и уравнениям (7>. Так как, кроме того, все определители порядка выше г матрицы А исчезают тождественно, то заключаем, что при всех значениях переменных хл, удовлетворяющих уравнениям (5), и значениях диференциалов, удовлетворяющих уравнениям (6), будем иметь:

т.-е. функции #r4_j, . . . ип сохраняют постоянные значения при всех значениях переменных, удовлетворяющих системе (5):

(8)

Если обозначим через хг°, х\, х% .... хп° какую-нибудь систему значений переменных хп удовлетворяющую уравнениям (5), то:

Таким образом мы видим, что каждой системе значений Cv С2,. . . Сг величин их, и2 . . . ип соответствует определенная система (8) постоянных значений величин и «и _и .... ип, т.-е.

.....И» = ^п («X' «1 . . - - «r).

Итак, приходим к заключению: если ранг матрицы Л равен г, то между данными функциями существует п—г соотношений, не зависящих от переменных хг.

Если г=п—1, т.-е. если хотя один минор 1-го порядка определителя D отличен от нуля, то между данными функциями существует только одно соотношение вида:

«* = Y («г Щ • • ип-х)> 4 т- Д-В заключение укажем на следующий пример применения доказанной теоремы о функциональном определителе в механике. Пусть имеем систему п материальных точек с полным числом условий, т.-е. с Зп—1 связями, которые выражаются уравнениями:

где хх,уг, zy суть координаты точек системы, а С. — какие нибудь постоянные числа или нули. Пусть эта система находится в силовом поле с потенциалом U(xvyl,zt .... хп,уп, zn), тогда тождественное обращение в нуль функционального определителя функций /,, /2 . . . ./.<_nl, U является необходимым и достаточным условием того, что такая система будет находиться в состоянии безразличного равновесия, т.-е. в состоянии равновесия при любом положении ее точек, допускаемом данными связями. Это непосредственно следует из теоремы Лагранжа об условии равновесия системы.

МНЕНИЯ НЕМЕЦКИХ ПЕДАГОГОВ О ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКЕ В ШКОЛЬНОМ ПРЕПОДАВАНИИ.

Вопросы о связи школьной математики с жизнью, о насыщении ее практическим, прикладным материалом, о постановке приближенных вычислений, об использовании графиков и т. п., не раз волновавшие западноевропейскую педагогическую мысль, продолжают оставаться актуальными и до сего времени.

В этом отношении характерны тезисы, выставленные комиссией немецкого государственного математического об'единения (der Mathematische Reichsverband и опубликованные в «Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht aller Schulgattungen» за 1927 год в статье, носящей название «Прикладная математика в школьном преподавании».

В виду четкости мыслей, выраженных в этих тезисах, и полного почти их соответствия тем требованиям, которые стали основными для советской педагогики, считаем не лишним привести здесь их содержание.

I. Преподавательские силы.

1. Преподаватели математики, хотя бы они и не ставили себе целью сделаться специалистами по прикладным дисциплинам, все же должны во время своей подготовки прослушать важнейшие курсы прикладной математики (в особенности практического анализа) и проработать, по крайней мере, хотя бы один математический практикум.

2. Уроки счета в младших классах, математики и физики в средних и старших классах, равно как и уроки начертательной геометрии, должны находиться в руках одного преподавателя.

II. Цель и постановка преподавания.

Цель введения прикладной математики в школьное преподавание состоит в том, чтобы дать учащемуся представление о той важной роли, которую математика играет в действительности, и об области ее применения, показать ему, как разрешаются с помощью математики практические задачи и с каким приближением реальные отношения могут быть выражены математически; учащийся должен научиться из условий реальной задачи извлекать ее математическую суть.

Эти цели могут быть легко достигнуты без увеличения числа уроков, если только прикладные вопросы будут с самого начала оказывать влияние на постановку, ведение и выбор материала преподавания.

Из методических указаний по преподаванию прикладной математики следующие особенно заслуживают внимания.

1. Уверенность и ловкость в числовых расчетах следует считать за большое достижение со стороны учащихся.

Учащемуся нужно внедрить в сознание, что он ответственен за правильность своих результатов; он должен поэтому принять за обычай испытывать их, по возможности числовыми и графическими поверками.

2. Учащийся должен приучиться к аккуратному выполнению и наглядному расположению чертежей и вычислительных записей и при всяком удобном случае (как, например, в уравнениях со многими неизвестными, при логарифмических и тригонометрических вычислениях) прибегать к помощи математических таблиц, тщательно избегая, однако, несознательного и механического их употребления.

3. Еще до выполнения своих вычислений учащийся должен — и уже начиная с низших классов — ясно представлять себе порядок величины ожидаемого результата, производя для этого предварительную наметку вычислений в уме.

4. Учащемуся убедительно указывается на различие между точными и приближенными значениями величин. В особенности важно, чтобы часто бессмысленные «точные» вычисления были вытеснены вычислениями с приближенными значениями величин, записанными десятичными знаками.

5. Учащийся должен так вести вычисления, чтобы погрешности в конечном результате были возможно меньшими, помня, однако, что результат не может представлять большей точности, чем та, какую имели данные; поэтому точность вычислений и вспомогательных средств должна соответствовать точности данных.

6. Графики должны быть плодотворно использованы с самого начала обучения; при графическом изображении эмпириче ких функций следует исходить из того расчета, чтобы точность изображения соответствовала точности измерений.

7. При решении уравнений как алгебрических, так и трансцедентных, при вычислении поверхностей и об'емов и т. п. должны приниматься во внимание методы приближенных вычислений и приближенных изображений. Погрешность приближения при этом следует, по возможности, определять способом вычисления верхней и нижней границы.

III. Прикладные задачи.

Примеры из области приложений должны составляться не за письменным столом; они должны браться из самой действительности и возможно более соответствовать реальным соотношениям.

Однако решающим моментом в подборе реальных задач есть и остается их математическое содержание; поэтому задачи подбираются так, чтобы их материальная сторона не слишком отвлекала

учащихся и чтобы затрачиваемое па их решение время было наивыгоднейшим образом использовано в математическом отношении1). Технические же подробности должны обсуждаться на уроках механики и физики, что при параллельном прохождении их соответствующих отделов весьма легко может быть выполнено.

Перевел В. Б.

К ВОПРОСУ О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕРМИНОЛОГИИ.

Д. Волковский (Москва).

Неправильное употребление слов вводит путаницу в головы как учащих, так и учащихся. Поэтому необходимо устанавливать точность, ясность и определенность в понимании некоторых терминов. К числу таких терминов относятся арифметические понятия: счет, счисление, численные примеры и задача.

Под «счетом» в последнее время в русской методической и педологической литературе стали разуметь не то, что установлено под этим понятием в математической и лучшей методической иностранной и русской литературах.

Под счетом разумеется «сравнение двух совокупностей или замена одной (считаемой) совокупности другою совокупностью (натуральным рядом чисел)»2).

В последнее же время в нашей русской литературе под счетом разумеют не только счет в упомянутом, собственном смысле этого слова, а и умение производить действия над числами и даже решать задачи.

«Счет», понимаемый в таком смысле, в немецкой методической литературе обозначается словом Rechnen, каковому слову в русском языке более соответствует выражение счисление. Поэтому лучшие методисты, как, напр, А. И. Гольденберг, под счислением разумели все виды упражнений по арифметике для начальной школы, а именно: счет в собственном смысле слова, операции с действиями и задачи3).

Во французском языке слову Rechnen (счисление) соответствует слово calcul, которое академик Б. Я. Буняковский в своем «Лексиконе чистой и прикладной математики» переводит словом выкладка в применении к арифметике (calculs arithmétiques—-арифметические выкладки), а известный современный французский математик Э. Борель в своей книге «Arithmétique» под словом «calcul» разумеет все обучение счислению в начальной школе, отличая его от арифметики, которая впервые появляется в средней школе, и от счета в собственном смысле, каковое понятие Борель обозначает словом compte4).

В английской литературе точно так же различаются понятия «счет» и «счисление». Такой видный американский математик и методист, как проф. Д. Е. Смит (Smith) в своей статье «The Teaching of Arithmetic » слово «счет» обозначает термином «counting», а слово «счисление»— термином «computation», выражаясь: «counting always extends far beyond the needs of computation»5).

Точно так же в иностранной методической и педологической литературе (в литературе по тестам) нередко понятия «численные примеры» и «задача» отождествляются.

1) Курсив подлинника.

2) Ф. А Эрн. Очерки по методике арифметики. Рига, 1915 г. Стр. 21.

3) А. И. Гольденберг Беседы по счислению. Госиздат, 1923 г. Стр. 56.

4) Е. Borel. Arithmétique. Préface, p. V, VI.

5) Teacher College Record, 1909. № 1, p. 73.

Для примера сошлемся на следующие работы.

1) Dr. W. A. Lay. Führer durch den Rechenunterricht der Unterstufe begründet auf didaktische Experiment. Zweite, vermehrte Auflage. Leipzig. S. 140, 210, 233 и др.

2) D. E. Smith. Выше цитированная работа. Стр. 75 и др.

Под влиянием этой литературы и в нашей педологической литературе эти понятия иногда отождествляются1).

Между тем в русской методической литературе эти понятия ясно различаются, и надо сказать, что в русской методической литературе в этом отношении дело обстоит лучше, чем в иностранной.

Под численными примерами разумеются такие арифметические выражения, в которых арифметические действия и их порядок указаны знаками2). Напр., выражения: 4 + 2; 5 — 3; 2 X 3; 6:2 будут численные примеры (4 простых численных выражения).

А необходимыми частями в составе задачи являются: условие, численные значения и вопрос.

«Задачею в арифметике,—пишет авторитетный методист Ф. А. Эрн,— называется требование определить численное значение какой-либо совокупности или величины, зная численные значения других совокупностей или величин, которые находятся в совершенно определенной зависимости как между собой, так и с искомым»3).

ЗАДАЧИ.

28. Упростить дробь:

С. Адамович (Тула).

29. Показать, что при четном п

30. Найти предел суммы ряда

31. Доказать неравенство:

при чем знак равенства относится к Ь — а.

Д. П.

32. Построить треугольник по основанию и высоте, если один из углов при основании вдвое более другого.

33. Доказать, что, если при пересечении сторон четыреугольника с окружностью образуются четыре равные хорды, то суммы противоположных сторон четыреугольника равны между собою.

Н. Агрономов (Владивосток).

1) Е. В. Гурьянов, Н. И. Жинкин, А. А. Смирнов, М. В Соколов, П. А, Шеварев. Школьные тесты. Методическое руководство. Под редакцией А. А. Смирнова. М. 1928 г. Стр. 14.

2) А. И. Гольденберг Беседы по счислению. Госиздат, 1923 г. Стр. 66.

3) Ф. А. Эрн. Очерки по методике арифметики. Стр. 77.

34. Составить уравнение хорды, проходящей через точку, данную внутри параболы и делящейся в этой точке пополам.

35. Показать, что

36. Решить уравнение

И. Орлицкий (Katowice).

37. Найти сумму членов ряда

ЗАДАЧИ ИЗ «МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ» ЗА 1916 Г., ОСТАВШИЕСЯ НЕРЕШЕННЫМИ.

263. В данный круг вписать трапецию, у которой одна из параллельных сторон проходит через центр а боковая сторона относится к другой из параллельных сторон, как т: п.

264. Решить систему уравнений:

x +_у2 + Z3 = 21 x*+y* + z = 45 х*-\-у +*2 = 71

265. Даны 3 прямые m, п, р и три точки А, В, С, лежащие на одной прямой. Построить треугольник, вершины которого лежали бы на данных прямых, а стороны или их продолжения проходили бы через данные точки.

269. Даны три параллельные прямые, не лежащие в одной плоскости. Построить треугольник с вершинами на этих прямых и подобный данному.

273. Найти общие формулы для выражения в це ых числах ребер прямоугольного параллелепипеда, у которого боковая поверхность равновелика площади квадрата, построенного на его диагонали.

27w. Показать, что

х+у

где и и V—многочлены относительно х и у.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

10. К числу 617 приписать справа три цифры так, чтобы полученное число делилось на 7, 8 и 9.

Так как числа 7, 8 и 9 взаимно-простые, то искомое число должно делиться на их произведение, т.-е. на 504; в то же время оно должно быть менее 618.000. Разделяя это последнее число на 504, получим в остатке 96; поэтому для нахождения искомого числа нужно из 618.000 вычесть или 96, или (96-J-504), т.-е. 600; получим два ответа: хх = 617.904 и х2 — 61 7.400.

С. Ознецян. В. Хотимский Москва), В. Сакк (Верхнеднепровск), В. От.т (Весьегонск), И. Соловьев (Витебск), П. Сапунов, В. Зяблицкий, Н. Шемянов (Владимир), В. Подсыпанин (В.-Волочок), С. Кириенко (Жлобин), К. Верещагин (Козлов), /7. Орлов Новосиль), И. Чубинский Оренбург), К. Кирбятьев (Покровское), И. Кастровицкий (Сталинград), С. Чеславский (Сутково), С. Адамович (Тула), И. Колмогоров (Алма-Ата), И. Фивейский (Ржиев;. Н. Слетов (Рига).

11. Показать, что если а не делится на 5, то

а8 И- За4 — 4

делится на 50.

Разлагая данный трехчлен на множителей, имеем:

а8 + 3а4 —4 = (а4—1) (а4-|-4).

Так как 4-я степень всякого числа, не делящегося на 5, оканчивается или на 6, или на 1, то оба множителя делятся на 5, а произведение их— на 25. Замечая, кроме того, что один из множителей должен быть четным, заключаем, что предложенное число делится на 50.

Н. Соловьев (Витебск), В. Сакк (Верхнеднепровск), В. Зяблицкий, П. Сапунов (Владимир), В. Подсыпанин (В.-Волочок), К. Верещагин (Козлов), Е. Воскресенская (Павлов), В. Отт (Весьегонск), С. Адамович, С. Поляков (Тула), И. Кастровицкий (Сталинград), И. Чубинский (Оренбург), Н. Фивейский (Ржев), Р. Гангнус (Москва).

12. Решить уравнение

(a-fl— X) {{а — I)2 — л2] — 8 ах — 0.

Представляя уравнение в виде

хг— (а+1) X2 — (а2-[-6а + 1) * + (a-fl) (а —1)2 = 0

и испытывая подстановкою в уравнение множителей свободного члена, находим, что уравнению удовлетворяет xt = —(a-j-1). Понижая степень уравнения делением левой части его на x-j-(a-j-i), получим уравнение

X2 —2 (а + 1) х-\-(а— 1)2 = 0,

откуда находим еще два корня

х9 = а ~Т1 Н~ 2 Va и ^з==а + 1 — 2 у а.

B. Сакк (Верхнеднепровск), И. Соловьев (Витебск), В. Подсыпанин (В,-Ролочок), П. Сапунов (Владимир), К Верещагин (Козлов), И. Чубинский (Оренбург), Е. Воскресенская (Павлов), С. Адамович (Тула).

13. Решить уравнение:

0,64л:3 + 0,5л:2 — 4л: — 3,125 = 0.

Освобождая уравнение от знаменателя и сокращая, получим:

128л:3 +100л:2 - 800л: — 625 = 0 или 32л: (4л:2 — 25) + 25 (4л:2 — 25) = 0;

(32л:+ 25) (2л:+ 5) (2 х — 5)=0

откуда Xi = —j2;x^ = ±-.

C. Львов, С. Озенцян (Москва), О. Новикова (Богородицк), В Сакк (Верхнеднепровск), Н. Соловьев (Витебск), В. Зяблицкий, П. Сапунов (Владимир), В Подсыпанин (В.-Волочок), В. Omт (Весьегонск), Н. Милковский (Новозыбков), А. Цивчинский (Одесса), И. Чубинский (Оренбург), К. Кирбятьев (Покровское), П Милов (Люблино), П. Орлов (Новосиль), Э. Попатенко (Пермь), X. У. (Ростов на-Д), С. Поляков (Тула), М. Коновалов (Шебекино), Илларионов (Шемурша), Р. Гангнус (Москва), Н. Колмогоров (Алма-Ата).

14. Решить в целых числах уравнение:

1 + л: + л:2 + х3=:у2.

Представляя данное уравнение в виде

(1+х) (1+х2) = у2, положим 1 -{-x = ka2, I m

где числа a ß—взаимно простые; тогда у = ±ka$. Исключая из уравнений (I) х> будем иметь:

Ä?a4 — 2*aa+2 = Äß2 или k (ß2 — /га4 -f 2a2) = 2,

откуда é = l, или k = 2. При & = 1 уравнения (I) принимают вид:

1 -j- * =a2

второе из них показывает, что ß может равняться только ±1, тогда х= О и j/ = ±l. Полагая же k = 2, имеем систему

1 -f* = 2а2 1 -f-^2=2ß2,

исключая отсюда х, найдем:

ß2_2a4-f 2a2 = l, или a4-j-(a2 — l)2=ß2 (II).

Это уравнение имеет очевидные системы решений:

а —0. а = ±1;

ß = ±l; ^ = ±1;

соответственно чему найдем системы решений для данного уравнения

X — —1; Х—\\

У=0\ У = ±2\

Но уравнение (II) может быть еще представлено в виде:

(a2)2-f-(a2 — l)2 = ß2,

откуда следует, что входящие в него числа могут быть рассматриваемы как стороны рационального прямоугольного треугольника, при чем катеты его выражаются последовательными целыми числами вида а2 и (а2 —1). Последнему условию удовлетворяет единственно прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5; поэтому для системы (II) имеем еще решения: а2 = 4; ß2 = 25; отсюда, для уравнений (I) найдем систему решений: х = 7; j/ = ±20. Итак, данное уравнение имеет следующие решения:

х= 1 х = 0 х=\ х—7

у = 0 J/ = ±l J> = ±2 у = ±20

К. Верещагин (Козлов), И. Костровицкий Сталинград), И. Колмогоров (Алма-Ата), В. Сапунов (Владимир), Н. Фивейский (Ржев), В. Сакк, Н. Слетов (Рига).

15. Построить треугольник ABC, если даны основания Е и F двух его высот, выходящих из вершин В и С, и прямая MN, на которой лежат эти вершины.

Соединив точки Е и F прямой, восставим в ее середине D перпендикуляр и продолжим его до пересечения в точке О с линией MN. Из О, как из центра, радиусом EO = FO описываем полуокружность, пересе-

кающую прямую MN в точках В и С; продолжив прямые BF и СЕ до пересечения в точке А, получим треугольник ABC, который будет искомым, так как СЕ\_АВ и BE\_АС. Другим треугольником, удовлетворяющим условию задачи, будет ABC, где А - точка пересечения линий BE и CF.

2-е решение. Построив точки Е и F' симметричные с точками Е и F относительно линии MN, соединяем прямыми линиями EcFuFcE; прямые ЕF и FE пересекутся на линии MN в точке К В полученном треугольнике FKE делим углы F и Е пополам и продолжаем биссектрисы до пере ечения в точках С и В с линией MN; эти точки будут двумя вершинами искомого треугольника; затем проведем линии BF и СЕ до пересечения их в точке А, которая будет третьей вершиною искомого треугольника ABC (другим решением будет треугольник ABC, где А— точка пересечения линий BE и CF). Это построение основано на теоремах о том, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке, при чем деачт углы треугольника, вершинами которого служат основания высот, пополам.

В. Сакк (Верхнеднепровск), П. Сапунов (Владимир), С. Кириенко (Жлобин), П. Милое (Люблино), П. Орлов (Новосиль), К. Верещагин (Козлов), Н. Соловьев (Витебск), M Коновалов (Шебекино), И. Чубинский (Оренбург), Р. Гангнус (Москва), С. Адамович (Тула).

16. Построить треугольник по углу, периметру и радиусу вписанного круга.

Обозначим данный угол а, периметр треугольника 2р и радиус вписанного в него круга г.

Построим угол а с вершиною в точке А про едем его биссектрису и найдем пересечение ее с прямой, проходящей параллельно одной из сторон угла на расстоянии, равном г, эта точка О будет центром вписанного в треугольник круга, который и построим. На сторонах угла отложим отрезки AK=AN = p; из точки К восставим перпендикуляр КОх до пересечения с биссектриссой в точке Ох и из этой точки радиусом КОх опишем вторую окружность, которая коснется сторон угла в точках К и N. Наконец, к обоим кругам проведем общую внутреннюю касательную; пусть она пересечет стороны угла AN и АК соответственно в точках В и С; тогда треугольник ABC есть искомый. Действительно, если обозначим точку прикосновения линии ВС с кругом, проведенным из Ох через F, то, по свойству касательных, проведенных из одной точки, найдем:

BF=BN и CF=CK,

следовательно:

АВ-{- BC-\-AC = AB + BF+FC-\-AC=(AB-\-AN)-\-(CK-\-AC) =

= AN-{-AK= lp.

Построенный треугольник удовлетворяет всем поставленным условиям он может иметь два положения, так как внутренних касательных к двум построенным кругам в общем случае можно провести две.

В. Сакк (Верхнеднепровск), И. Соловьев (Витебск), П. Сапунов (Владимир), П. Милое (Люблино), Н. Орлов (Новосиль), В. Ефимов (Пермь), К. Верещагин (Козлов), В. Гурьянов, С. Адамович (Тула .

17. Найти sn 27° и es 27° без помощи таблиц. Так как 27°= 45°— 18°, то

С Львов (Москва), И. Соловьев (Витебск), В. Зяблицкий, П. Сапунов (Владимир), К Верещагин (Козлов), Э Попатенко (Пермь). X У (Ростов на Д.), П. Милов (Люблино), С Чеславкий (Сутково), В Игумнов (Чебоксары), Ai Коновалов (Шебекино), Н. Колмогоров (Алма-Ата), В. Сакк (Верхнедпепровск), И. Слетов (Рига), С. Адамович (Тула).

ЗАДАЧИ ИЗ «МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ» ЗА 1917 Г.

238. Показать, что при т> п

n _ n + k____

У m > \f m-\-k..........(1.)

В условии не наложено ограничений на m, n и k, но по смыслу задачи видно, что эти числа предпо 1агаются положительными, a n и k в частности - целыми, без чего неравенство в известных случаях было бы явно неправильным или не имеющим смысла. Итак, пусть /г>1, m > n и k>\\ приводя в обеих частях неравенс!ва (1) корни к одному показателю, видим, что оно равносильно неравенству

или

Но известно, что

при чем е = 2,71828..., следовательно, при т^>е

k

а потому и подавно

(2)

таким образом неравенство (1) при m > е доказано. Но можно убедиться, что оно верно и при т = 2\ действительно, тогда (i) примет вид

что также верно.

2-е решение

Пусть f (k) =у m -j-

покажем, что эта функция убывает с возрастанием k. Логарифмируя и диференцируя, имеем:

Здесь первые два множителя положительны; в выражении же в скобках уменьшаемое менее 1, а вычитаемое, при т>2, более 1; следовательно f (k)<^0 и данная функция убывает с увеличением k> имея наи-

большим значением у т.

К. Верещагин (Козлов), Л.,Лодыженский, С. Адамович (Тула), А. Цивчинский (Одесса), К Торопов (Оренбург).

299. Показать, что при целом и положительном /г>1.

1Г + 15П—[13 Л.(2Л-1 + 1) + 2" + 1]

делится на 169.

Представляя данное выражение в виде

(13 _|_!)»_}_(13+ 2)*— (13 я.2п~1 + 13H-j-2n-f 1)

и разлагая два первых слагаемых по биному Ньютона, получим выражение вида

(169 Л^+13л+1)+(169 Af-f-13/г 2П-1 +2М)—(13л. 2п~ 1 + 13/г-{-2я + 1),

что после приведения подобных членов дает 169 (N-\-M), т.-е. число, делящееся на 169.

А. Барсуков, А. В., В. Хотимский (Москва), П Сапунов (Владимир), С. Кириенко (Жлобин) К. Верещагин (Козлов), А Цивчинский (Одесса , Е. Воскресенская (Павлово), X. У. (Ростов наД), И. Костровицкий (Сталинград), С. Адамович (Тула), Филиппов (Чувашрабфак), К. Торопов (Оренбург), В. Сакк (Верхнеднепровск), Г. К. (Пенза).

305. Решить уравнение:

Освобождая уравнение от дробей, имеем

Применяя для решения его способ Феррари, придадим ему такой вид:

или, прибавляя к обеим частям по 4 а4 л:2,

Введем в скобки в левой части новое неизвестное количество у и соответственно сделаем изменения и в правой части:

Выберем теперь количество у так, чтобы правая часть, подобно левой, представляла полный квадрат. Известно, что для того, чтобы трехчлен Ах2 -\-Bx-\-C представлял полный квадрат, необходимо, чтобы В2 — 4АС = = 0, причем тогда

Поэтому в данном случае должно быть:

или

Раскрывая скобки и делая упрощения, получим

или

Таким образом вспомогательное кубическое уравнение относительно у (резольвента) оказывается двучленным; решая его имеем:

при чем достаточно взять один корень резольвенты

Подставляя это значение у в уравнение (1), представим правую часть его в виде квадрата:

после чего уравнение разбивается на два квадратных уравнения:

из которых найдем четыре корня данного уравнения.

Н. Колмогоров (Алма-Ата).

307. Определить в целых числах стороны треугольника, площадь и периметр которого выражаются одним и тем же числом (целым). Согласно условию составляем уравнение:

или, освобождаясь от корня и вводя обозначения

где х, у, z — отрезки сторон треугольника от вершин до точек касания их со вписанной окружностью, получим:

Легко видеть, что х, у и z не могут быть равны между собою, ибо тогда треугольник был бы равносторонним и не рациональным. Не могут быть равны и два какие-либо из отрезков х,у, z, ибо полагая, напр., z = у, имеем

здесь должно быть _у>2, но испытывая значения у=3, 4, 5, 6, 7, 8, мы не получаем целых значений для ху а далее х становится менее 1. Поэтому для определенности примем x^>y>z. Так как уравнение I симметрично относительно неизвестных, то для решения его можно любое из них выразить через прочие. Заметим еще, что все неизвестные одновременно не могут превышать 3. ибо 4 . 4 . 4>4 (4 -|— 4 —[— 4). Поэтому значения неизвестных можно испытывать, начиная от 1. Определяя из (I) х> имеем:

1. Пусть 2=1; х>у^>\, тогда целые значения для неизвестных получаются в следующих случаях

при дальнейшем увеличении у, х будет менее у.

Так как стороны треугольника получаются от сложения отрезков

a=y-\-z; b = zJrx\ с = х-\-у,

то при z — \ получим три рациональных треугольника.

II. При z = 2 имеем

1) при у = 3 имеем .

2) при у = 4 имеем

с дальнейшим возрастанием у, х становится менее у. Поэтому здесь будут 2 решения

эти оба треугольника—прямоугольные

III. При z = 3 имеем

Полагая у = 4, найдем х = 31/2, т.-е х < у. При дальнейшем увеличении ухи подавно будет уменьшаться. Поэтому условию задачи удовлетворяют только пять выше найденных треугольников.

Н. Колмогоров (Алма-Ата), П. Сапунов (Владимир), К. Верещагин (Козлов), Э. Хилькевич (Тюмень), Н. Шуйский (Владимир).

308. Построены: 4-угольник, 5-угольник, 6-угольник и т. д. Число диагоналей во всех многоугольниках 800. Сколько построено многоугольников?

_ п (п—3)

Так как многоугольник с п сторонами имеет —у——- диагоналей, то,

полагая, что в последнем из построенных многоугольников х сторон, имеем уравнение

или

но, по известной формуле,

поэтому уравнению можно придать вид

или

что после упрощений приводится к виду:

хд _ з Х2 _ 4Х _ 4788 _ о, или (д: —18) (л;2 + 15л;+266) = 0.

Действительным корнем этого уравнения служит # = 18; поэтому последний из построенных многоугольников имеет 18 сторон, а всего их построено 18 — 3 = 15 многоугольников.

Я, Воронов (Москва), N. Колмогоров (Алма-Ата), Н. Шуйский, П. Сапунов (Владимир), В. Сакк (Верхнеднепровск), А. Цивчинский (Одесса), Е. Воскресенская (Павлов), К. Верещагин (Козлов), Н- Мильковский (Новозыбков), И. Кастровицкий (Сталинград), В. Ефимов (Пермь), С. Адамович, Л. Лодыженский, С. Коляков (Тула), X. У. (Ростов на/Д.), N. Слетов (Латвия, Рига), В. Отт (Весьегонск), П. Кондэ (Шенкурск), N. Фивейский (Ржев), Р. Гангнус (Москва), Г. К. (Пенза), Н. Слетов (Рига).

ХРОНИКА.

Научная секция Московского научно-педагогического математического кружка.

(Краткий отчет с 1 января по 1 мая 1928 г.)

Научная секция образовалась к началу текущего года и имеет своею целью: 1) организацию обзорных докладов по не-общеизвестным отделам математики, 2) чтение и обсуждение докладов о самостоятельных научных работах членов кружка, 3) консультации по математическим вопросам. Временным президиум секции составился из председателя, проф. А. В. Васильева, зам. председателя Н. Ф. Четверухина и секретаря М. А. Юкина.

За отчетный период состоялись два заседания 26 февраля и 22 апреля, в которых были прочитаны следующие доклады.

B. В. Добровольский. О криволинейной перспективе. М. M. Пистрак. О взаимных свойствах эллипса.

Д. И. Перепелкин. О поверхностях второго порядка, как геометрических местах точек.

C. И. Зетель. О некоторых свойствах антипараллелей треугольника. И. М. Воронков. О формуле Машека.

Часть докладов будет напечатана в «Математическом образовании».

Отчет о заседаниях исторической секции научно-педагогического математического кружка.

1. Заседание 8-го апреля 1928 года. Присутствовало 45 человек. Председатель — И. И. Чистяков, Секретарь — М. К. Гребенча. Повестка дня: 1. А. В. Васильев: «Лобачевский и академик Фусс» 2. А. А. Глаголева: «Новейшая алгебра» Барсова (1797 г.) 3. N. N. Чистяков: «Математика древних египтян по новейшим исследованиям».

И. И. Чистяков открыл заседание небольшой речью, в который выразил надежду на плодотворную работу секции в дальнейшем. В частности перед секцией стоит

задача заняться не только вопросами истории математики вообще, но и вопросами истории русской математики, и в особенности математической библиографии.

В виду отсутствия А. В. Васильева первый доклад переносится.

А. А. Глаголева прочла доклад «Новейшая алгебра» Барсова (1797 г.)

Выступавшие в связи с докладом Н. А. Глаголев, Н. Ф. Четверухин, И. И. Чистяков и др. указывали на желательность организации такого рода докладов, ибо в старых, уже забытых, учебниках и руководствах имеется чрезвычайно интересный материал, не утративший своей научной и методической ценности.

И. И. Чистяков прочел доклад «Математика древних египтян по новейшим исследованиям». Вследствие затянувшегося заседания собрание просит И. И. Чистякова перенести продолжение доклада на следующее заседание в виду проявленного интереса со стороны собрания и желания выслушать доклад не в сокращенном виде. 2. В заседании 20 мая 1928 г., происходившем под председательством Г. Н. Попова, И. И. Чистяков окончил свой доклад «Математика древних египтян по новейшим исследованиям». Доклад помещен в настоящем № «Математического образования».

Доклады, читанные в Тульском математическом кружке 1927—28 уч. г.

Адамович, С.

1. Русские журналы, посвященные элементарной математике и ее преподаванию (историч. обзор).

2. Новый способ построения средней пропорциональной.

3. О системе уравнении х*-\-у=а, x+y2=b, ее связи с уравнением 4-й степени и об отыскании целых корней ее.

4. О разложении на множители (с целыми коэффициентами) многочленов 3-й и 4-й степени с одной переменной.

Гурьянов, В,

Тригонометрический ряд отношений и применение его к вычислению элементов треугольника (прием Торопова).

Лодыженский, Л.

1. О вычислении корней уравнений способами ложного положения и последовательных приближений (способ итерации) и в частности о применении их к решению уравнении 2х--\х\ 3*=10^=^=10.

2. Об изменении дроби при одновременном увеличении или уменьшении ее членов.

3. О графическом решении системы х2-\-у—а; х-\-у-=Ь, и об улучшении ее корней способом Ньютона.

4. Реферат статьи Kommerel'я «О математической одаренности» «über» mathematische Begabung» из «Zeitschrift fur pädagogische Psichologie».

Поляков, С.

1. Исторические элементы в учебном курсе математики.

2. Опыт популярного изложения значения геометрии Лобачевского.

Чернов, А.

Об одном случае элементарного решения полного уравнения 4-й степени.

Щербаков, А.

Ряд рефератов по неевклидовой геометрии.

1. Об основах элементарной геометрии.

2. Основания неевклидовой (гиперболической геометрии).

3. Основания гиперболической тригонометрии.

4. Основания неевклидовой аналитической геометрии. В течение года было 9 заседаний.

Доклады С. Полякова «Исторические элементы в учебном курсе математики», С. Адамовича «О разложении на множители (с целыми коэффициентами) многочленов 3-й и 4-й степени с одной переменной» и Лодыженского „О первом с'езде математиков в Москве", прочитанные в кружке V. 15. 1927 г. были повторены в более широкой аудитории преподавателей математики Тульской губ.

Председатель Тульского математического кружка Л. Лодыженский.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ.

F. Klein. Präzisions—und Approximationsmathematik. Берлин, 1928 г. Ц. 15 марок.

Эта книга, выпущенная в качестве III части обширной работы Клейна «Элементарная математика с высшей точки зрения1) (I часть хорошо известна русским читателям — под заглавием «Вопросы элементарной и высшей математики» — в переводе В. Ф. Кагана), представляет собой переработку литографированных лекций Клейна, вышедших двумя изданиями (1902 и 1907 г.) под другим заглавием2). Поэтому рецензируемая книга, появляясь в виде книги впервые, все же значится выходящей 3-м изданием. Книгу подготовил к печати и снабдил многочисленными примечаниями и дополнениями Фр. Зейфарт (Fr. Seyfart), руководившийся, как он сообщает, указаниями самого Ф. Клейна, полученными от него в последние месяцы его жизни.

В переводе на русский язык заглавие книги должно быть таково: «Математика точных и приближенных соотношений». В сущности Клейн имеет в виду обычное подразделение математики на чистую и прикладную, и новыми терминами желает только подчеркнуть то, в чем он видит характерные свойства этих двух частей математики. Он говорит, что Approximationsmathematik — это не «приближенная математика», а «точная математика приближенных соотношений» (стр. 5). «Математика приближенных соотношений есть та часть нашей науки, которую фактически используют в приложениях; математика точных соотношений является, так сказать, костяком (feste Gerüst) для математики приближенных соотношений». Только соединение обеих частей составляет, по мнению Клейна, целостную науку (ganze Wissenschaft).

Содержание книги Клейна составляет освещение ряда основных понятий анализа и геометрии с точки зрения чистой и прикладной математики. Последовательно рассматриваются: независимая переменная (гл. I), функция одной независимой переменной (гл. II), приближенное представление функций (гл. III и IV), функции двух аргументов (гл. V). Эти 5 глав составляют содержание I части. Часть 11 носит заглавие «Свободная геометрия плоских кривых» (термин «свободная» указывает на независимость от системы координат) и распадается на 4 главы, из которых две первые посвящены рассмотрению некоторых вопросов геометрии на плоскости (с точки зрения математики точных соотношений); в гл. III речь идет о практической геометрии, а именно о геодезии; в гл. IV—о «чертежной геометрии» (этим термином — «zeichnende Geometrie» —Клейн обозначает начертательную геометрию и номографию вместе). Часть III посвящена вопросу о наглядном изображении идеальных образов посредством чертежей и моделей; здесь речь идет о кривых двоякой кривизны и об алгебраических кривых.

Предназначая свою книгу для широких кругов читателей (стр. 6), Клейн подробно и с присущей ему ясностью изложения освещает некоторые трудные вопросы анализа и геометрии, преимущественно те, которые совсем не рассматриваются или только вскользь затрогиваются в обычных учебниках. Примерами такой блестящей популяризации труднейших вопросов чистой математики являются рассмотрение нигде не диференцируемой непрерывной функции Вейерштрасса, разложение функции в тригонометрический ряд, «азимутальная непрерывность» функции двух аргументов, рассмотрение примера зависимости второй производной от порядка диференцирования, пример точки поверхности, в которой все плоские сечения имеют максимум, а сама поверхность максимума не имеет, и много других.

Параллельно рассмотрению всех этих вопросов с точки зрения чистой математики Клейн рассматривает их и с точки зрения прикладной математики («математики приближенных соотношений»). Здесь мы и находим оригинальную и чрезвычайно интересную сторону книги, ее, так сказать, «гвоздь». Клейн рассматривает, какие изменения претерпевает каждое понятие чистой математики после его перенесения в область прикладной математики. В конце-концов каждая проблема прикладной математики формулируется в терминах чистой математики, что достигается надлежащей постановкой вопроса. Так, Клейн показывает, что вычисления с приближенными числами сводятся в конце-концов к операциям над функцией Е (х) (вернее, над некоторым ее видоизменением); рассмотрение приближенной функциональной зависимости сводится (в случае функции одного аргумента) к рассмотрению «функциональной полосы»; изучение эмпирических кривых приводит к изучению графиков «разумных» (vernünftige) функций, как Клейн называет, по примеру Якоби, функции одного аргумента, подчиненные некоторым ограничивающим условиям. Систематически рассматривая проблемы математики приближенных соотношений, Клейн дает целую программу работ в этой области. Интересно отметить, что он подчеркивает важность надлежащего развития теории конечных разностей. Он считает ее главой

1) «Elementarmathematik von höheren Standpunkte aus».

2) «Anwendung der Differential - und Integralrechnung auf Geometrie (Eine Revision der Prinzipien)».

зи математики приближенных соотношений и видит в ней связующее звено с математикой точных соотношений (стр. 167).

Довольно много места книга отводит вопросам философии математики, а именно вопросам связи математики и естествознания. Не имея возможности, за недостатком места, выяснить здесь взгляды Клейна, отмечу только, что, отдавая должное развитию чистой математики, имеющей дело с идеальными, реально нигде не существующими образами, Клейн придает громадное значение математическим проблемам естествознания и техники. Так, книга оканчивается призывом: «Назад к собственному живому восприятию, назад к природе, которая остается первоисточником знания (erste Lehrmeisterin)!» На стр. 163, говоря о математических проблемах, вытекающих из геодезических задач, Клейн высказывает сожаление, что за последние полвека, после смерти Якоби, Гаусса, Пуассона, Коши и т. д., чистая математика отвернулась от вопросов прикладной математики, как-будто они представляют собой что-то низшее.

В смысле трудности для понимания изложение далеко не равномерное. Общая тенденция сделать книгу доступной для широких кругов не вполне выдержана. Поэтому вряд ли было бы целесообразно переводить ее на русский язык полностью. Но крайне желательно издать на русском языке переработку этой книги (более элементарное изложение некоторых глав, частичное сокращение книги). Подобное издание имело бы большое значение для многочисленного круга лиц, имеющих дело с математическими проблемами, но специально математикой не занимающихся: инженеров, астрономов, статистиков, преподавателей математики. Особенно пригодилась бы она для студентов физико-технических отделений педвузов, имеющих согласно последним учебным планам ГУС'а семинарий «Элементарная математика с точки зрения высшей математики».

В. Брадис.

Е. L. Thorndike. The Psychology of Arithmetic. 1926 г. Стр. XVI+314.

Одной из важных заслуг психологии XX века служит то, что она обратила большое внимание на психологию школьных предметов, в частности на психологию арифметики. Правда, на психологическое обоснование обучения арифметике обращалось внимание и раньше как за границей, так и у нас, но специальных обширных научных работ по этому вопросу не было. Такие работы принадлежат немецкой и американской литературе XX века.

В американской литературе в этой области есть две замечательные работы:

1) Mczellan and Dewey. The Psychology of Number.

2) Thorndike. The Psychology of Arithmetic.

Мы обратим внимание на вторую работу, на «Психологию арифметики» Торндайка, считаемого в Америке отцом современной психологии обучения, ибо, во-первых, эта работа появилась в свет значительно позднее первой; во-вторых, сочинение Торндайка написано согласно новейшим течениям в области психологии, согласно так называемой динамической психологии и согласно новейшим течениям в области методики арифметики.

Основная цель работы Торндайка — психологически обосновать и конкретно выявить главные задачи и методы обучения арифметике.

В книге на ряду с общими и принципиальными положениями, касающимися обучения арифметике, весьма много практических указаний, основанных на большом количестве экспериментальных психологических исследований и иллюстрируемых яркими примерами.

Содержание книги Торндайка разнообразно и своеобразно. Вот вопросы, рассмотренные в ней: 1) природа арифметических знаний (глава 1); 2) измерение арифметических способностей (гл. II); 3) составные элементы арифметических способностей (гл. III и IV); 4) психология арифметических упражнений: прочность связей, количество практики и организация навыков (гл. V и VI); 5) распределение арифметических упражнений (гл. VIII); 6) психология мышления: абстрактные идеи и общие понятия в арифметике, рассуждение в арифметике (гл. IX и X); 7) природные склонности и дошкольные приобретения (гл. XI); 8) интерес к арифметике (гл. XII); 9) условия занятий по арифметике (гл. XIII); 10) условия обучения: установка на задачу (гл. XIV); 11) индивидуальные различия (гл. XV).

Признавая оригинальность и богатство содержания, научную обоснованность, практический характер книги и замечательную эрудицию автора, мы не можем не отметить в «Психологии арифметики» ряд поспешных суждений по вопросу о так называемых числовых фигурах (стр. 259, 261), об устной, умственной (?) и письменной арифметике (стр. 262 и след.) и по некоторым другим вопросам.

Отмечая большую эрудицию автора (один список книг на английском, немецком и французском языках, использованных автором, занимает 8% страниц), нельзя не указать, что автор иногда пользовался старыми изданиями, что не могло не отразиться на некоторых вопросах его труда. Так, напр., автор ссылается на известную

работу Lay'a-—«Führer durch den erster Rechenunterricht» в 1-м издании (1898 г.), между тем в 1914 г. вышло 3-е издание1), существенно переработанное и содержащее новые исследования и данные, касающиеся чисел первого десятка и основных арифметических действий. Если бы автор пользовался этим изданием немецкого педагога, то он (Торндайк) иначе отнесся бы к вопросу о числовых фигурах, а также более осторожно рассмотрел бы некоторые другие во росы, касающиеся обучения арифметике.

Нельзя также не отметить, что среди новых методов измерения успешности в виде стандартизированных тестов у автора нет ссылок на выработанные американскими педологами так называемые практические и рабочие тесты по обучению арифметике, как они представлены, напр., в следующих книгах: 1) H. М. Ruch, F. В. Knight, T. W. Studebaker. Arithmetic work — book, grade 4, 1925 г.; 2) F. W. Knight G. M. Ruch, T. W. Studebaker, grade 5, 1925 r.

Непонятно для нас то, что при ссылке на сочинения известного американского математика D. Е. Smith/a Торндайк не указывает работы Д. Е. Смита «The Teaching of Elementary Mathematics» в изд. 1907 г.

Но все это нисколько не препятствует тому, чтобы признать «Психологию арифметики» Торндайка за произведение капитальное, за труд первого ранга, поставив его наравне с упомянутой работой Лая, которая признается «первой экспериментальной работой, прокладывающей новые пути в методике арифметики».

При оценке названной книги надо учитывать, что автор выступает в ней не столько как методист, сколько как психолог, но и среди методических суждений у него встречаются такие, которые сделали бы честь любому выдающемуся методисту.

С внешней стороны книга издана великолепно: прекрасная бумага, хорошие рисунки и чертежи, удовлетворяющий всем требованиям гигиены шрифт слов и цифр, красивый переплет. К сожалению, цена книги с доставкой к нам недешева: выписка этой книги через Лейпциг обошлась нам в 2 доллара 30 центов, т.-е. почти 4 р. 50 к., не считая расходов на марки по переписке с издательством.

Перевод на русский язык «Психологии арифметики» Торндайка весьма желателен и своевременен.

Д. Волковский.

НОВЫЕ КНИГИ.

Проф. Н. Агрономов. Сборник статей и заметок по различным вопросам математики и ее преподавания. Владивосток. 1928. Ц. 2 р.

А. И. Шапошников. Новое для математического преподавания. Вып. i. М. 1928. Ц. 50 к.

И. Чистяков. 1) Опыт методики арифметики по графическому методу. 2) Некоторые новые положения геометрии, основанные на идее движения. 3) Вычисление длины окружности и кривых по некоторой новой формуле. Владикавказ. 1927.

Felix Klein. Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert. Teil I, 1927. Teil II, 1927. Berlin.

Проф. Д. Н. Головнин. О содержании предмета «графической математики» и о необходимости введения ее в высших учебных заведениях. Баку, 1928.

Проф П. М. Орлов. Землемерное дело. Гос. тех. изд. М. 1927 г. Ц. 70 к.

Проф. А Ф. Евстигнеев-Беляков. Основы обучения. (Организационные формы и методы). Изд. Высш. Пед. Курсов при М.В.Т.У. М. 1928. Ц. 80 к.

Отчет о деятельности математической конференции научно-педагог. о-ва Г.Ц.В. университета. № 8. Октябрь 1927—май 1928 г. Владивосток, 1928. Ц. 65 к.

Труды всероссийского с'езда математиков в Москве, 27 апреля — 4 мая 1927 г. Под ред. проф. И. И. Привалова. ГИЗ, 1928. Ц. 5 руб.

М. Берг. Приемы решения геометрических задач на построение. М. 1928 г. ГИЗ. Ц. 35 к.

1) Есть русский перевод этой книжки «Руководство к первоначальному обучению арифметике, основанное на результатах дидактических опытов». В России эта книга выдержала 5 изданий.

Ответственный редактор И. ЧИСТЯКОВ.

Главлит_№ А20559____Зак. № 1250._Тираж 1000.

Москва, тип. «Гудок», ул. Станкевича, 7.