МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

ЖУРНАЛ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

№ 3

1928

„РАБОТНИК ПРОСВЕЩЕНИЯ"

МОСКВА

Содержание.

Стр.

Памяти С. П. Виноградова..........................97

Проф. С. П. Виноградов. О рекуррентных рядах . ..............98

Проф. Д. Д. Мордухай-Болтовской. Из истории метода наложения в элементарной геометрии..............................107

П. Романовский. Элементарное построение непрерывной функции, не имеющей нигде производной........................... . 114

Проф. Н. В. Оглоблин. Вывод уравнений сечений круглого конуса.......116

С. Зетель. Об одном свойстве равных антипараллелей треугольника......117

Проф. Н. А. Агрономов. Вывод уравнений нормали и касательной к плоской кривой..........................,......120

Н. Путята. Тригонометрические мнемоничеокие круги........ .... 121

Д. Каплан. Из школьной практики ......................121

Ф. А. Эрн. Очерки по методике арифметики ....... .........124

Проф. А. А. Дмитровский. Приближенные построения правильного девятиугольника и радиана..............................128

Задачи .... ............................ 132

Решения задач........................ ........133

Хроника...................................138

Библиографический отдел.................. ........140

SOMMAIRЕ.

A la mémoire de M. S. Vinogradov......................97

S. P. Vinogradov. Sur les séries récurrentes....................98

D. D. Mordoukhai-Boltovskoi. Sur l'histoire de la méthode de superposition en géométrie élémentaire........................... 107

P. Bomanovsbi. Construction élémentaire d'une fonction continue n'ayant de dérivée en aucun de ses points..........................114

N. V. Oglobline. L'établissement des équations des sections d'un cône circulaire . . .116

S. J. Zettel. Sur une propriété des antiparallèles égales dans un triangle......117

N. A. Agronomov. Etablissement des équations de la tangente et de la normale à une courbe plane..............................120

N. A. Poutiata. Cercles mnémoniques trigonometriques.............121

Kaplan. Notes de pratique scolaire . ..................... 121

F. Em. Esquisses de méthodique d'arithmétique.................124

A. Bmitrovski. Construction approchée du polygoneregulier de 9 cotés et du radian . .128

Problèmes............ . ....................132

Solutions de problèmes ............................133

Chronique...................................138

Bibliographie.........................,.......140

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

ЖУРНАЛ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

№ 3

1928

ПАМЯТИ С. П. ВИНОГРАДОВА.

Год тому назад, 10 мая 1927 г., Московский математический кружок, а вместе с ним и русское математическое просвещение потерпели тяжелую утрату: не стало профессора Сергея Петровича Виноградова, талантливого и неутомимого деятеля на поприще математического образования. Педагогическая деятельность его продолжалась более 40 лет, сперва в должности преподавателя некоторых московских средних учебных заведений, а затем профессора университета и других высших учебных заведений Москвы. Избрав своею специальностью математический анализ, С. П. Виноградов начал свою деятельность в качестве приват-доцента Московского университета в 1891 г. чтением лекций по теории сферических и бесселевых функций, а затем читал много других курсов, в том числе обязательные курсы интегрирования диференциальных уравнений обыкновенных и с частными производными, вел разные практические занятия и пр. С возникновением в 1900 г. Московских высших женских курсов С. П. сделался деятельным членом физико-математического факультета этих курсов и во все время их существования ревностно служил делу высшего женского математического образования, оставшись и профессором преобразованного из этих курсов 2-го Московского государственного университета. Много энергии и сил потратил С. П. и на организацию и ведение преподавания математики в Московском коммерческом институте (ныне Институт народного хозяйства им. Плеханова). В последние годы С. П. читал лекции в 1-м и 2-м М. Г. У., Институте народного хозяйства, Промышленно-экономическом институте им. т. Рыкова и пр. За время своей долгой педагогической деятельности С. П. постоянно совершенствовал свое преподавание, результатом чего явилось издание им ряда прекрасных курсов по разным отделам математики. Так, его «Краткий курс аналитической геометрии и диференциального и интегрального исчислений» далеко не соответствует его скромному названию и является в настоящее время одним из лучших руководств по высшей матема-

тике на русском языке не только для экономических вузов, для которых он предназначался, но и для вузов технического уклона. «Повторительный курс алгебры» является лучшим у нас изложением эволюции понятия о числе и вместе с «Учебником элементарной тригонометрии» служит незаменимым пособием для лиц, желающих серьезно изучить алгебру и тригонометрию. Кроме этих книг, С. П. были изданы: «Теория детерминантов», «Элементы теории вероятностей» и ряд литографированных курсов его лекций по читанным им отделам математики. Предметом его занятий в последние годы были: теория гиперкомплексных чисел, а также теория непрерывных дробей, по которым он неоднократно читал специальные курсы в 1-м М. Г. У.

Со времени учреждения в 1889 г. при Московском университете педагогического общества С. П. был деятельным членом комиссии преподавателей математики этого о-ва, а затем возникшего из нее Московского математического кружка. При этом он часто выступал с интересными докладами как научного, так и методического содержания. Печатаемая ниже статья о рекуррентных рядах является как бы лебединою песнью Сергея Петровича — последним его докладом в Кружке перед болезнью, унесшей его в могилу. В лице Сергея Петровича мы потеряли человека редкой души, прекрасного педагога, учителя-друга, незабвенного товарища, руководителя.

О РЕКУРРЕНТНЫХ РЯДАХ.

С. П. Виноградов. (Москва.)

(Доклад, сделанный в Московском математическом кружке 2 декабря 1923 года.)

В русских учебниках алгебры учение о рядах обыкновенно ограничивается главой о прогрессиях и указанием приемов вычисления сумм одинаковых степеней натуральных последовательных чисел (показатели Степеней — натуральные числа). Сведения об этих рядах сообщаются без указанных возможностей их об'единения. Между тем все указанные ряды принадлежат к рядам, называемым рекуррентными или возвратными.

В математической литературе рекуррентный ряд явился в первый раз в 1202 году в сочинении «Liber abaci» Леонарда из Пизы, известного также под именем Фибоначчи1.

Теория рекуррентных рядов была разработана De Moivre'ом и Euler'ом2.

В английских курсах алгебры обыкновенно имеется глава, посвященная рекуррентным рядам3.

В настоящей статье излагаются основные сведения о рекуррентных рядах и указывается их связь с некоторыми другими вопросами алгебры.

§ 1. Определение.

Ряд иа+иг + Щ + . . . + Un +........(1 )

называется рекуррентным, если, начиная с некоторого п, члены его составляются по закону, выражаемому уравнением:

^=/V'n_i+/>2"n_2+ . . .+pkun__k.....(2)

1 См. Кэджори. История элементарной математики, Одесса, 1910, стр. 125, 126.

2 De Moivre. Miscellanea Analytica, London, 1730. Euler. lntroductio in analysin infinitorum.

3 См., напр., Todhrunter. Algebra, London, 1870 (5 edition). Chrystal. Algebra, an elementary text-book. Part II. London, 1900. Hall and Knight. Higher Algebra, London, 1910 (4 edition), Davison. Higher Algebra, Cambridge, 1912.

где р суть постоянные, т.-е. независящие от п> числа или выражения. Число к коэффициентов /?, входящих в уравнение (2) называется порядком ряда (1).

Например, геометрическая прогрессия

а + а# + ш?2 + .... A-aqn~x-\- . . .

есть рекуррентный ряд 1-го порядка, потому что соотношение между членами его дается уравнением un = qun_v в которое входит один постоянный коэффициент q; арифметическая прогрессия

a + (a + rf) + (a + 2rf)+. . .+[а + (ц —. . .

есть рекуррентный ряд 2-го порядка, потому что соотношение между членами выражается уравнением ип = 2ип_л—ип__2, в котором два постоянных коэффициента: 2и—1.

Для того, чтобы рекуррентный ряд порядка k был определен, достаточно знать k коэффициентов уравнения (2) и k его начальных членов, т.-е. рекуррентный ряд порядка k определяется 2k условиями. Вместо коэффициентов уравнения (2). можно дать, кроме k начальных членов, еще k последующих членов, т.-е. всего 2k начальных членов.

Например, определим закон составления членов для ряда

1-)-5+8-1—12 — 2+ . . . . ,

если дано, что он рекуррентный 3-го порядка. Этот закон выражается уравнением:

Un =рх ип^г-{-р2ип_о +Ps "п _ 3-

Полагая п = 6, 5, 4, находим:

_2 = -12Л-/72 + 8/;3 _12 = _А + 8Л + 5Л — 1 = 8/?j + 5р2 +/?з

Решая эту систему уравнений, получим:

/>i = 1> А = —2, Рз = 1-Искомый закон выражается уравнением:

ий = и»-1— 2ин_5 + ии_8.

§ 2. Степенные рекуррентные ряды.

Пусть имеем рекуррентный ряд, порядка k:

+ + • ' "f а»+(3)

члены его составляются по закону, выражаемому уравнением:

ап=РгаЛ_1+/?2а„_2+ . . .+/7Ая*_А. . . . (4)

Умножив члены ряда (3) соответственно на х°, х, х2,.....

получим степенной ряд:

aQ-\-a1x-\-a,x2-\- . . . .+апл;Л+. . . (5)

Этот ряд есть также рекуррентный ряд порядка k. Действительно, из равенства (4) имеем:

(6)

эта формула показывает, что каждый член ряда (5), начиная с (&-|-1)-го, является суммой k предыдущих членов, умноженных соответственно на ptx, p2x-, . . , ркхк, т.-е. на выражения, независящие от п. Следовательно, ряд (5) рекуррентный порядка k (§ 1).

§ 3. Скала отношения. Перепишем равенство (6) в следующем виде:

(6')

Многочлен

(7)

составленный из коэффициентов при членах ряда (5) в уравнении (6'), называется скалой отношения {scale of relation) или, просто, скалой ряда (5).

Например, для геометрической прогрессии

а + ах -f- cl x2 -f- . . . скала есть 1 — х\ для ряда

а + (a + d)x + {a-T2d)x2-\~ . .

скала есть многочлен: 1 — 2х-\-х2; для ряда

1 _[_ 5 x-f Sx2—xs — 12л:4 — 2х:> +......

скалой служит многочлен: 1—х-\-2х2 — х*.

§ 4. Суммирование рекуррентного ряда.

Для определения суммы п членов рекуррентного ряда существует прием, независимый от порядка ряда. Поэтому для ознакомления с этим приемом достаточно рассмотреть суммирование рекуррентного ряда какого-нибудь определенного, например, 2-го порядка.

Пусть имеем рекуррентный ряд

a0+atx+atjfi+. . .+ая*"+ . . (8)

2-го порядка, и пусть скала его такова:

Л—px-qx* ... (9)

Требуется найти сумму sn п первых членов его. Составляя sn9 —pxsn и — qx2sn, получим:

складывая почленно эти равенства, находим:

Так как по уравнению (6')

то

отсюда находим выражение для суммы п первых членов ряда (8):

(10)

§ 5. Образующая функция.

Из формулы (10) находим:

(11)

где

(12)

Уравнение (11) показывает, что разложение в степенной ряд функции

(13)

приводит к данному рекуррентному ряду. Поэтому функцию (13) можно назвать образующей по отношению к ряду (8). Разложением ее в степенной ряд можно получить произвольное число членов рекуррентного ряда (8).

При условии UmRtl — 0 ряд (18) представляет разложение функции

(13) в бесконечный ряд.

§ 6. Суммирование ряда (8) при помощи функции (13).

Для вычисления sn по формуле (10) нужно знать {п — 1)-ый и /г-ый члены ряда(8), т.-е. нужно знать выражение его общего члена. Эта задача решается легко, если разложение функции (13) в степенной ряд совершается просто. В частности это имеет место, если функция (13) разлагается на элементарные дроби.

Для пояснения сказанного рассмотрим два примера:

1. Найти сумму п членов рекуррентного ряда

(«)

Ряд

имеет скалу 1—х—2х2. Образующая функция его есть

Так как

то

Отсюда, полагая # = 1, находим выражение общего члена апряда(а)

а. = 2.+»-(-!)•.

Для определения суммы sn п первых членов ряда (а) в формуле (10) нужно положить:

сделав это, получим:

2. Найти выражение общего члена и сумму п членов ряда:

1+2 + 3 + 5 + 8 + 13+ . . . (а),

каждый член которого равен сумме двух предыдущих (ряд Фибоначчи). Скала соответственного степенного ряда

1 +2х + 3х2 + 5х3 + 8х4 + 13х5+ . . .

есть 1 —X - X2. Образующая функция такова:

Разлагая ее на элементарные дроби, получим:

где

Так как

то

Отсюда находим, что общий член ап ряда (а) выражается формулой:

а сумма sn его первых п членов формулой:

§ 7. Ряды вида:

Ряд, общий член ип которого выражается формулой:

где А0, Лг . . . , Ар не зависят от п, а п и р суть натуральные числа, есть ряд рекуррентный. Рассмотрим сумму

где

Умножив 5 на 1 —X, находим:

Коэффициент fp(n)—fp(n — 1) при хп есть целая рациональная функция п степени р—1; действительно:

fp(n)-fp(n-\) = Aû[r?-(n-np] + A1[rf-1-(n-l)i>-'']+ . . . ;

старший член второй части этого равенства есть Ajjrf-1. Полагая:

находим

Умножив это равенство на 1—;с, получим:

Разность f l(n)—f г(п — 1) есть целая рациональная функция п степени р — 2; обозначая ее через fp — 2 W, находим:

Из этого следует, что однократное умножение 5 на 1 — х приводит к ряду:

коэффициенты которого суть целые и рациональные функции п степени р — 1, а двукратное умножение s на 1 —х приводит к ряду:

коэффициентами которого служат целые и рациональные функции п степени р — 2.

Продолжая этот процесс последовательного умножения 5 на 1—х. мы получим, после р— кратного повторения его, сумму:

которая приводится к сумме:

где m есть постоянное число, равное значению целой и рациональной функции f0 (р) нулевой степени.

Кроме суммы (ß) в выражение (1—x)ps войдут ещер членов со степенями X, меньшими /?, и р членов со степенями х большими п (т.-е.

Обозначив сумму этих 2р членов через ®{х), получим:

Отсюда находим:

Это равенство показывает, что ряд:

есть ряд рекуррентный, которого скала равна (1 - х)р+ 1 (сравн. §§ 4 и 5)„

Пример:

Из этой формулы, посредством перехода к пределу при х-+\, получаем известное выражение суммы квадратов натуральных чисел:

§ 8. Связь рекуррентных рядов с непрерывными дробями.

Пусть F{x) и f(x) суть два целые рациональные многочлена, первый степени k, а второй степени k — 1.

р и а с индексами обозначают постоянные числа, a k есть натуральное число.

Посредством деления составим ряд тождеств:

причем f{(x) обозначает целую рациональную функцию переменного х степени i, а коэффициенты Ьг и сг определяются уравнениями:

Po = aobv\ Pi = alblJra0cv

Зная Ъл и cv легко найти коэффициенты функции fk-9(x) из первого тождества, а из последующих коэффициенты #2, с2 b.6, . .

Из написанных тождеств вытекает следующее разложение неправильнои дроби ->—в непрерывную:

Эта формула показывает, что рациональная неправильная алгебраическая дробь F(x)lf{x) разлагается в конечную непрерывную дробь, которой целая часть и знаменатели звеньев суть целые функции первой степени, а числители звеньев равны х2\ число звеньев непрерывной дроби равно степени числителя данной неправильной дроби.

Если

s = а0 + ахх + а.2х2 -}-■...+ сС\хп +.....

есть рекуррентный ряд порядка k и F(x) = \ — ргх—р2х2 . . —/Vе* его скала, то (§ 5) 5 является результатом разложения в ряд функции f(x)/F(x), где f(x) есть многочлен, степень которого не выше k — 1,т.-е.:

По доказанной теореме 1/s разлагается в конечную непрерывную дробь указанного выше вида с числом звеньев, равным порядку рекуррентного ряда.

Отсюда вытекает простой по идее способ решения вопроса о том, является ли данный ряд 5 рекуррентным. Если развертывая 1/5 в непрерывную дробь указанного вида мы получим конечную дробь, то ряд рекуррентный, число звеньев укажет порядок ряда.

Пример: Дан ряд

1 + 2 + 3 + 5 + 9 + 16 + 28 + 49 + 86+. . . .;

определить, рекуррентный он или не рекуррентный. Пусть

s= 1 +2x+3x2 + 5x34-9x4-r 16a:5 + 28x6 + 49x7 + 86a:8+ . . . Через деление 1 на 5 находим:

или

Через деление 5 на s' получаем:

Наконец, разделив s' на s", находим:

Следовательно,

Так как 1/s развертывается в конечную непрерывную дробь указанного выше вида, то данный ряд рекуррентный; его скала есть 1-— 2л; + + х2— л:3, потому что из последнего равенства имеем:

ИЗ ИСТОРИИ МЕТОДА НАЛОЖЕНИЯ В ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ.

Проф. Д. Д. Мордухай-Болтовской (Ростов-Дон).

§ 1. Эвклид и Лежандр.

Элементарный учебник геометрии в большей или меньшей мере представляет из себя методическую переработку Эвклидовых «Начал»1, правда, пополненных некоторым новым материалом. Можно сказать, что изучение геометрии мы начинаем с Эвклида. Но только этому положению следует придавать правильный смысл. Верно то, что мы изучаем те теоремы, что большей частью находятся у Эвклида, но если глубже вникнуть в Эвклидовы «Начала», то увидим, что мы далеко отошли от них в самом существенном, в понимании основной проблемы — доказательства выставляемых положений, образующих систему геометрии.

Понятие о сущности математического доказательства подверглось через толщу веков глубочайшему изменению, хотя это изменение и не было заметно самим исследователям так, как не заметно старение стареющему человеку. То, что Лежандр считает доказательством, не могло быть признано за доказательство Эвклидом и, с другой стороны, Лежандр не мог начать свои «Элементы» с построения равностороннего треугольника, как это делает Эвклид.

Не следует думать, что Лежандр2 в своих упрощенных доказательствах додумался до тех более простых доказательств, которые ускользнули от Эвклида. Эвклид, очень может быть, знал эти доказательства, но отверг их как негодные, как находящиеся в решительном противоречии с его взглядами на доказательство. Почему ему не поступать так, как Лежандр, при доказательстве основного свойства равнобедренного треугольника, состоящего в том, что углы, противолежащие равным сторонам, равны?

Ведь, кажется, нет ничего проще, как соединить середину стороны ВС — D с вершиной А и доказать на основании третьего случая конгруэнтности равенство треугольников ABD и ADC3.

Между тем Эвклид излагает другое более сложное доказательство (так называемое elefuga). Ответим: потому, что Эвклид признавал существование только тех объектов, которые могут быть построены.

Он потребовал бы от Лежандра указать построение точки D — середины отрезка ВС. Но построение это (пред. X, 1 книги) основывается на 9-м положении о делении угла на две равные части, последнее же на третьем случае конгруэнтности, а третий случай конгруэнтности доказывается от противного на основании 7-го положения4:

1 На русском языке: Эвклидовы «Начала», восемь книг, пер. Ф. Петрушевского, или «Начала Эвклида» в пер. Ващенко-Захарченко, Киев, 1880. Пользоваться в виду неточности перевода следует очень осторожно. Хороший перевод: Euclids Elementen fünfzehn Büches ubers. L. Lorenz, Halle, 1840.

2 Legendre. Elements de Geometrie, Paris, несколько изд., напр.. 183/. Русское издание в переводе Баландина и Бунтац Лежандр. Основание геометрии и тригонометрии СПБ, 1837, в другом издании «Элементарная геометрия Лежандра», СПБ, 1873, переработка Blanchet Legendre. Elements de Geometrie, 1813. Серьезная методическая переработка Лежандра—Lacroix. Elements de Geometrie à Pusage de l'ecole Centr. Paris 1814. Этот учебник в основе всей учебной литературы Лежандрова типа.

3 Это доказательство вошло в употребление значительно раньше -Элементов» Лежандра; см , например. Coeti. Euclidis elementorum sex libri, priores. 1697; «Элементы Лежандра», кн. I, пред. ХII.

4 «Начала» Эвклида, кн. I, пред. VII. «Элементы» Лежандра, кн. 1, пред X. В учебнике Киселева вместо медианы проводится биссектриса («Элементарная геометрия», Москва, 1914, стр. 27, § 38). Таким образом третий случай равенства общего типа треугольников заменяется первым случаем, равенства треугольников, причем теорема доказывается непосредственно наложением. Конечно, и это доказательство недопустимо с Эвклидовой точки зрения.

«Если мы соединим концы основания AB с двумя точками С и D> лежащими по одну сторону прямой AB, то расстояния CA и СВ точки С от концов основания AB не могут быть равны каждое каждому расстояниям DA и DB от тех же концов AB».

Для доказательства невозможности единовременного существования равенств AC = AD, DB = BC Эвклид (черт. 1), пользуясь elefuga, доказывает, что / ADC — / ACD и вторично применяя elefuga, что /^CDB = = /_ DCB, обнаруживает несовместность этих двух равенств углов, так как / ADB> /_ CDB и /_ £CD> /ACD (мы берем только тот случай, когда D вне ABC).

И только благодаря коренному изменению требований, предъявляемых к доказательству, Лежандр получает возможность упростить геометрическую систему и перевернуть порядок теорем. Он начинает с положения:

«Если две стороны одного треугольника равны соответственно сторонам другого и если в то же время угол между первыми более угла, заключенного между вторыми, то третья сторона первого будет больше третьей стороны второго».

Но это только 24-я теорема 1 книги «Начал» Эвклида, т.-е. весьма отдаленная от начала теорема, которая доказывается на основании третьего случая конгруэнтности треугольников.

Для доказательства того, что

Черт. 1.

Лежандр1, откладывая (черт. 2) угол /_ CAO = / FGH и AD = FG строит треугольник CAD, равный FGH (из. основании 1 случая конгруэнтности), проводит биссектрису АЕ угла BAD и соединяет Е с D и доказывает равенство треугольников ВАЕ и EAD CD < ED 4- ЕС, откуда CD < BE-{-ЕС, CD <ВС или ЕИ < ВС.

Черт. 2.

Эта теорема дает сейчас же возможность вывести (апагогически) третий случай конгруэнтности.

Доказательство это, конечно, не может быть принято Эвклидом, ибо построение биссектрисы является необоснованным.

Античное доказательство вовсе не чисто-логическое. Античный математик убеждает не одним силлогизмом, но и актом, вычерчивающим геометрическую сригуру.

Выражения Аристотеля2 очень напоминают Шопенгауэра3. Согласно

1 Legendre — Blanchet. Liv. 1 Prop. X (см. Давидов); у Legendre'a изд. 1837 теорема доказана иначе.

2 Aristotelis. Metaph. Lib. IX, стр. 9. Aristotelis. Opera omnia graece et latine, изд. Didot.

3 Шопенгауэр. Мир как воля и представление, пер. Фета, т. 1, § 15.

Аристотелю, свойства геометрических фигур открываются приведением к актуальному существованию геометрической фигуры, вызывающим разложение данных фигур. Если фигуры уже даны разложением, то свойство уже очевидно, оно просто видно глазу. Но если они не разложены, то находятся только в потенции (лучше было бы сказать—их знание в потенции).

Почему сумма углов треугольника равна двум прямым?

Потому, что сумма углов, образованных около данной точки на одной линии, равна двум прямым углам. Если образовать внешний угол, продолжая стороны треугольника, непосредственное доказательство очевидно.

Почему угол, вписанный в полуокружность, неизменно прямой?

Это потому, что имеет место равенство для трех линий: двух половин основания и прямой, проведенной от центра круга к вершине угла, противолежащего основанию: это то равенство, которое дает возможность познать свойство вписанного угла.

§ 2. Постулаты.

Эвклид тоже, как и Аристотель, не задавался целью вывести все свои положения силлогистически из немногих высказанных им определений постулатов и аксиом. Его целью было лишь убедить читателя в определенных истинах, но он вовсе не считал единственным способом убеждения формально-логический вывод положений из признанных читателем в начале истин. Очевидность (lux naturale, естественный свет) только рационалистами1 XVII века вполне определенно признан за критерий истинности положений, в аристотелевской же Логике2 он не играет этой роли.

За правильность предпосылок, с которых начинается цепь доказательств, говорит скорее общее их признание, вследствие чего аксиомы и называются xoivcti evoat (communes rationes). Доказательства Эвклида вполне отвечают схемам, выработанным софистикой.

В начале следует привести противника к признанию некоторых положений, отнюдь не апеллируя к очевидности, ибо противник мог бы поднять вопрос об относительности понятия очевидности и признать для себя не очевидным то, что для противника является вполне очевидным.

Более сильным фактором являлась общепризнанность необходимых для дальнейшего положений, необходимость противнику при их отрицании его встать в смешное положение. Отсюда стягивание аксиом к началу сочинения.

Но что такое постулаты, выставленные Эвклидом тоже в начале сочинения на ряду с аксиомами3?

Неправильно относить к аксиомам очевидные положения общего характера, т.-е. положения, относящиеся к величинам вообще, а не только к геометрическим, какова, например, первая Эвклидова аксиома: «величины, равные одной и той же, равны между собой», и отождествлять постулаты4

1 Очевидность как критерий истинности,—смотри: Descartes. De Prima Philosophia. IV, p. 25, 34, 39. Regulae ad dirigendum ing. 2 p. 4. (Декарт, 1596—1650. Виндельбанд. I стр. 134), см. также Arnoldi Geilinx. Logica fundamentalis. Lugd. 1662.

2 Аналитика Аристотеля. Есть франц. перевод. Dernières Analitiqiies. Logique d'Aristote trad, par Barthélémy Saint-Hlllaire, 1842. О логике Аристотеля см. новую книгу: Ziehen. Lehrbuch der Logik. Bonn. 1920. Bd. 1, §9.

3 Euclides-Heiberg. S. 9. 5 постулатов (пятый о параллельных иногда относится к аксиомам-11 аксиома).

4 О постулатах Эвклида см. Hauber. Christomatia Geometrica, Tubingen, 1820, § 127; также Savillus. Praelectiones tredecim Oxoniae, 1820; см. также Branschwigg. Les étapes de la philosophie mathématique. Paris 1912, стр. 89. Les postulats, там же библиография.

с геометрическими, аксиомами. 11-я аксиома фигурирует иногда 5-м постулатом, а 10-я (о равенстве прямых углов) 4-м, но 12-я (две прямые линии не заключают пространства) и 8-я (о равенстве совпадающих при наложении фигур) всегда аксиомы.

Только отказавшись от проектирования в прошлое современных формально-логических тенденций, мы будем в состоянии понять, что представляют для Эвклида постулаты. Эвклид геометрическим объектам вовсе не приписывает идеального существования. Доказывающий какую-либо теорему сам вызывал к существованию геометрическую фигуру, с какового момента она и начинала свое существование.

Признание возможности существования прямой, круга и т. д. являлось равносильным признанию акта, их производящего, что и представляет содержание постулата1. Более того, признание этого акта вынуждало признание некоторых истин, например, признание третьим постулатом возможности описания кругов вызывало признание пересекаемости кругов, проходящих через центры друг друга

Следующее объяснение дает Геминус2, согласное с нашим. «Постулат,—говорит он,—представляет требование найти или сделать (fabricari) то, что достигается просто и непосредственно, в чем ум не затрудняется ни в понимании, ни в построении».

Прокл, говоря о различии теорем и проблем и отмечая, что цель первых—познать, вторых—сделать, приводит в соответствие с первыми аксиомы, со вторыми постулаты, определяя последние близко к Геминусу. Гоббс3 вполне ясно выражает нашу мысль. То, что называется постулатами, это истинные принципы, но не доказательства, а построения поэтому не знания, а потенции.

§ 3. Метод наложения у Эвклида.

Большим диссонансом с общими тенденциями начал представляется метод наложения при доказательстве первого случая равенства треугольников, если этот метод понимать так, как мы обычно его понимаем.

Только здесь мы имеем идеальное существование не начерченных геометрических фигур с идеальным их перенесением с одного места на другое.

Но мне представляется, что как мы, так и целый ряд предшествующих поколений совершенно неправильно здесь понимаем Эвклида.

Положения 2 и 3, предшествующие положению, доказываемому наложением, наводят на мысль, что сам Эвклид здесь вовсе не разумеет наложение в нашем Лежандровом смысле.

Положение 2-е4: Из данной точки А провести прямую, равную данной прямой ВС.

1 Понимание постулата Кантом в Логике родственно Эвклидову. Постулатом, говорит Кант (логика I, 2 отд., § 38). называется практическое непосредственно-очевидное положение или принцип, определяющий возможное действие, в котором подразумевается, что способ его выполнения непосредственно очевиден.

2 Savilli Praelectiones. ОСавилли (1549—1622) см. Cantor. В. 11, S 664, р. 131, так же Kästner, 1, 249, 111, 19—26; Ball. History of mathematics at Cambridge, p. 29.

3 Hobbes. De Corpore, ch. VI, S. 13, Lond., 1839, p. 72. Brunschwigg, неправильно считая определения Эвклида номинальными, считает, что цель постулатов—придать им реальное значение, и в этом смысле неправильно понимает и Гоббса. Brunschwigg. Les étapes etc. Liv. Il, ch. VI, p. 91. О постулатах и аксиомах см. также Кэджори. История элем, математики. Одесса, 1917, где приводится резюме доклада Vailati, напечатанного в Verhandlungen der dritten intern. Math. Kongress in Heidelberg 1904; см.также Tannery, La Geometrie grecque.

4 Например, Arzet. Clavis Mathematica, 1635.

Почему Эвклид не делает так, как мы делаем и как рекомендовали это делать некоторые авторы ХVII века1: проведя через А какую-нибудь прямую, не переносят в нашем смысле отрезок ВС?

Почему он не может сделать с одним отрезком то, что в четвертом положении он делает с целым треугольником?

Отвечу: потому что он не признает в нашем смысле перенесения, потому что то, что мы считаем перенесением идеального треугольника,—для него является построением тождественного данному треугольника в ином месте, чем он задан.

Эвклид строи г на AB, на основании первой теоремы начал, равносторонний треугольник ABD, из В описывает радиусом ВС окружность до пересечения Ь G; из D описывает радиусом DG окружность до пересечения с AD в /С. Если бы мы желали „перенести" ВС на определенную прямую AL, проходящую через L, то пришлось бы описать еще третью окружность радиусом АК до пересечения с AL в L (согласно предл. 3).

Наложение DEF на ABC представляет:

1) построение на AB отрезка, равного DE, начиная с А,

2) проведение другой прямой под тем же наклонением к АВУ что АС (согласно 8 определению—угла), откуда следует, что DF пойдет по АС и

3) построение отрезка, равного DF на АС, откуда следует, что/7 совпадет с С. Легко видеть, что в этот момент, т.-е. при заключении, что соединение точек Е и F прямой, т.-е. построение третьей стороны EF дает AB, должен возникнуть скачок. Софист возразит: я позволил от одной точки к другой провести прямую, но откуда мы знаем, что в одном случае получится одна, в другом опять та же прямая. Здесь становится необходимым подчеркнуть еще одно общепризнанное положение — 12-ю аксиому: „Две прямые не могут заключать пространства".

Идеальное существование геометрических об'ектов — плод схоластического реализма2. Такое существование за ними закрепилось и в математической мысли XVI века. Математик XVI века понимает наложение уже в нашем смысле и обнаруживает тенденцию пользоваться им шире, чем Эвклид.

У Клавия мм находим разновидность этого метода, чуждую Эвклиду.

Верный духу своего времени, Клавий3 заменяет косвенное доказательство теоремы 60-й 1 книги (обратной elefuga) прямым наложением Д АСВ на Д ABC ( /_ В — /_ С), так, что треугольник подвергается мысленному раздвоению. Вместе с тем эволюционирует и само понимание равенства4. Это уже не равенство количества, по нашему равновеликость, а тождество форм и размеров; равные фигуры—это тождественные фигуры, помещенные в различных местах.

Аксиома 8-я обращается; наложимость является и достаточным и необходимым условием равенства.

На первый взгляд может показаться, что если Аристотель и Эвклид не могли бы признать наложение с переносом идеального треугольника, то такая операция могла бы оказаться во вкусе Платона,

1 Euclides—Heiberg, Vol. К p. 11.

2 О схоластическом реализме см. Haureau. De la philosophie Scolastique. Paris, 1850.

3 Euclidis elementorum libri XV auctore Christophoro Clavio.

4 В теоремах о равенстве треугольников Эвклид доказывает а) равновеликость, б) равенство сторон и углов. Euclides— Heiberg, s. 17: „et triangulus triangulo aequalis erit et reliqui reliquis aequales alter alteri".

об'ектировавшего идеи и геометрические формы. Видимо, Цейтен1 так и думает. Он говорит, что математические истины древним представлялись или как теоремы, или как проблемы. Первая точка зрения поддерживалась последователями Платона, думавшими, что проблема только устанавливает то, что уже предварительно существовало, независимо от того факта, строится оно или нет, более того, построить что-либо можно, например, равносторонний треугольник, только потому, что идея равностороннего треугольника имеет существование, предваряющее всякое построение.

Вторая точка зрения у учеников Эвдокса; для них существенное — обнаружение истины построением.

В «Началах» Эвклида Цейтен видит примирение этих точек зрения.

Но для того, чтобы Платон и его ученики понимали геометрию так, как понимал ее, например, Декарт, для этого мало ему было признать идеальное существование в каком-то другом мире (топос voyjto;), том мире, бледным отражением или тенью которого является настоящий, существование геометрических фигур. Необходимо было признать их в этом мире, в самих вещах. При методе наложения переносится не платоновский идеальный треугольник из другого мира, а на этот первый тот второй треугольник и не материальный, а идеальный, который, так сказать, живет в первом.

§ 4. Рационалисты против метода наложения.

С развитием рационалистической2 логики и гносеологии философы и математики XVII века становятся в явно враждебное отношение к этому методу доказательства. Этот метод, по их мнению, убеждает с помощью обращения к чувствам, а не к чистому разуму, который только один и является судьей.

Первый случай конгруэнтности доставляет много хлопот. Мы видим ряд попыток замены обычного доказательства наложением — другим без этой «механической операции», столь противной складу рационалистической мысли.

В «Элементах Эвклида» Дешаля3 Эвклидово доказательство 8-й теоремы I книги «Начал» предваряет другое, про которое, впрочем, и сам автор говорит: «В виду того, что это доказательство не представляется убедительным, привожу также и обычное (т.-е. наложением). В своем доказательстве Дешаль старается убедить, что расстояние между точками двух пересекающихся прямых может зависеть только от угла между ними и расстояния этих точек от вершины угла.

Томас Симпсон относит первый случай конгруэнтности к аксиомам совершенно также, как Гильберт4, который в группу аксиом конгруэнтности вводит: 1Н5. Если для двух треугольников ABC и ABC имеют место конгруэнции

АВ = А'В\ АС = А'С, l_BAC= /_BfАС

1 Zeuthen. Histoire des Mathématiques trad. par. Mascart. Paris, 1902, p. 72. Взгляды Платона — см. диалоги Тимей, Федон, Республика, Федр, Критон. Аристотель бесполезность идей. Met. II. 2. Et. 1,4 опровержение. Met 1, 9 XIII, 4, 9 VII. 6, 13. Brunschwigg. Les étapes. Liv. H Ch. IV, p. 67 см. Zeller. Die philosophie der Griechen, II Teil, 11 Abh. Die Dialektik der Ideenlehre.

2 О рационализме см. Boullller. Histoire de la philosophie cartésienne. 1814—16. О логике Декарта см. Ziehen, t. I Cap, 2, § 23. Классическое сочинение по логике рационалистического направления. Арно. L'art de penser (порт - роялевская логика).

3 Millet Dechales. Elementorum Euclidis, Libri Octo Lugundi 1675. Claude-Framois Millet-Dechales (1621 —1678). Его же. Cursus sen Mundus geometricus, см. Cantor 111 4 -6,15.

4 Гильберт. Основания геометрии (есть на русск. языке).

то всегда имеют место и конгруэнции

АВС = А'В'С\ АС В = А'С В'

Арно вводит новую аксиому: если две точки прямой равно отстоят от двух точек А и В, то то же относится и ко всем. Цель ее введения—не только установка Арнальдианского порядка1, но и освобождение от метода наложения, что достигается Арно тем, что ему приходится пользоБаться наиболее простым положением, относящимся к равенству прямоугольных треугольников, избегая слово треугольник, а именно о равенстве прямоугольных треугольников, у которых катеты равны, как чем то вроде более низкой степени очевидности аксиомой с об'яснением, повышающим эту последнюю.

Еще в XVI веке делают опыты построения доказательств равенства треугольников без метода наложения.

Доказательство Кандалы2 первого случая конгруэнтности треугольников, критикуемое Савилием, состоит в следующем. Так как по предположению в треугольниках aßy, oa^ прямые ajB и ое равны, то равны и расстояния точек (а и ß) и (о и г). (Здесь Кандала берет определение прямых Прокла, которое последний считает эквивалентным Эвклидовскому, а именно, что прямая линия между двумя точками равна их расстоянию).

С другой стороны, прямые (aß, oq) и (os, 8Ç), как содержащие равные углы, согласно восьмому определению Эвклида, равнонаклоненны. Так как равенство углов зависит от равенства наклонений, то следует, что (ß и у) (г и С) находятся в тех же расстояниях. Поэтому и прямые ßy и равны. Но если отдельные элементы (qualitates) треугольников aßy, SeC соответственно равны, то ajj*f и os^ равны по восьмой аксиоме. Поэтому и остальные элементы равны, т.-е. углы ,5 и j соответственно равны г и С

Не будем останавливаться на критике Савилия, смотрящего на это доказательство как на неубедительное, как основанное на положениях не более очевидных, чем доказуемое. Заметим только, что из защиты Савилия метола наложения видно, что при выработанной схоластическим реализмом об'ективации геометрических форм операция наложения сперва не представляется недопустимой. Идеальный треугольник переносится не в действительности, так как его нельзя взять в руки, но только в воображении.

По Савилию3 это вполне возможно в теореме (но не в проблеме), так как в теореме не требуется никакого действия, требуется только обнаружить истинное или ложное и нет ничего ложного в том перенесении, которое делаем только одним воображением, а не руками или операцией, употребляемой при построении.

К невозможности перенесения приводит лишь дальнейшее размышление об идеальных об'ектах, которые об'являются не только не ощущаемыми, но в собственном смысле и не воображаемыми.

Все действия над воображаемыми фигурами представляются как действия не над идеальными фигурами, а образами материальных тел.

Геометрия, наконец, об'является возможной без чертежа не только конкретного, но и воображаемого.

1 Arnaldus Nouveaux éléments de Géométrie. Paris, 1683.—Арнальдианские учебники Varignon. Elements des Mathématiques. Amsterdam, 1734. Rivard. Elements de Mathématiques. Paris, 1750. Camus. Cours de Mathématiques, 1735 и многие другие XVIII века.

2 Savilli. Praelectiones. Lib. X. p. 196.

3 Savilli. Praelectiones. Lib. IX, p. 170, p. I.

ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ПОСТРОЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ НЕ ИМЕЮЩЕЙ НИГДЕ ПРОИЗВОДНОЙ.

П. Романовский (Москва).

Рассмотрим ломаную линию L, составленную из равных отрезков с серединами на оси ОХ (см. черт.).

Ясно, что вершины этой ломаной линии имеют одинаковое расстояние h от оси ОХ, и составляющие отрезки образуют с осью ОХ одинаковый острый угол ср. Назовем h высотой и k — tgo наклоном линии L.

Легко видеть, что отрезок, соединяющий две какие-нибудь точки линии Z,, не более круто наклонен к оси ОХ, чем отрезки, составляющие L. Так как расстояние между двумя смежными проекциями вершины L на ось ОХ равно 2~ , то понятно, что по этой оси от всякой ее точки можно отложить (вправо или влево) отрезок длины^ , целиком умещающийся в промежутке между двумя смежными проекциями.

Пусть / (х) непрерывная функция, имеющая графиком линию L. Из сказанного следует, что наклон1 функции / (х) во всяком интервале по абсолютной величине не более k и что каждая точка х является концом (левым или правым) интервала длины—, в котором наклон функции f (or) по абсолютной величине равен k. Заметим еще, что наклон функции/(OcJ в каком-нибудь интервале длины Л по абсолютной величине не более —, ибо разность между всякими двумя значениями / (х) не более 2h.

Заметив теперь, что положительные числа h и k ничем не ограничены, т.-е. что существует линия L с произвольно предписанными высотою h и наклоном k, рассмотрим бесконечную последовательность таких линий с высотами Als /г2, /г3... и с наклонами kv &2, &3... причем на эти числа наложим сперва лишь ограничение: 1) ряд h^h^h^-{-... сходится. Пусть fx(x), f^x), fs(x)... непрерывные функции, имеющие графиками эти линии. Абсолютные неличины этих функций не более h19 h2, AR..., следовательно, ряд fi(x)-rft(x)-\-fz(x)-\-... подавно сходится, и сумма его есть непрерывная функция F (х), в чем нетрудно убедиться2. Из сказанного следует, что каждая точка х является концом (левым или правым) интервала длины -^, в котором наклон функции /п (х) по абсолютной величине равен kn, а наклон каждой функции fm (х) (т любое) по абсолютной величине не более k%l и не более —Следовательно, наклон

1 Наклоном функции j (х) в каком-нибудь интервале (х\ х") мы назовем число / (x")—f(x')~х"—х'——это есть угловой коэффициент хорды (графика / (х), концы которой имеют абсциссы х' и х".

2 Это частный случай основной теоремы: если ряд непрерывных функций сходится равномерно, то его сумма есть непрерывная функция.

функции F (х) в этом интервале по абсолютной величине не менее1

Поэтому, если ввести новое ограничение:

неограниченно возрастает, то (так как тогда kn подавно неограниченно

возрастает и, следовательно, !~ стремится к нулю) непрерывная функция

F (х) не имеет производной ни в какой точке; ибо каждая точка х является концом (левым или правым) как угодно малого интервала, на коем абсолютная величина наклона функции F (х) как угодно велика, следовательно, F (x')-F (х)

в каждой точке х отношение - - v - при стремлении х к х не стремится к определенному конечному пределу.

Итак, нам остается только подобрать fiv А2, и kv k2, k3... так, чтобы оба ограничения: 1) ряд /гг -f-A2 -\~К -f-... сходится, 2) неограниченно возрастает-были бы выполнены. Непосредственно убеждаемся, что для этого достаточно взять геометрическую прогрессию hv h>, /z3... знаменателя а < -у и геометрическую прогрессию kv k2l k3... знаменателя b >> 2 . -— Действительно, тогда 1—2. " ^1 1 равно 1—2 1 „ , 1 = \ _ 2 ------------= —-------и, следовательно, до постоянного положительного множителя равно

но неравенство

равносильно

следовательно, так как тогда и подавно Ь^>1, имеем нужное нам неограниченное возрастание. В частности можно взять:

1 Ибо при сложении функций наклоны также складываются и абсолютная величина суммы не менее абсолютной величины какого-нибудь слагаемого без абсолютных величин всех прочих слагаемых.

Таким образом непрерывная функция F (х), нигде не имеющая производной, построена. Непрерывная кривая y = F (х) не имеет касательной ни в какой точке, т.-е., выражаясь иначе, эта кривая нигде не имеет определенного (не вертикального) направления.

Вывод уравнений сечений круглого конуса.

Проф. Н. В. Оглоблин (Симферополь).

Предлагаемые мною ниже выводы уравнений сечений конуса настолько просты, что нужно удивляться, почему они отсутствуют в многочисленных русских и иностранных сокращенных курсах аналитической геометрии и введения в анализ наряду, напр., с весьма распространенным построением Dandelin'a, иллюстрирующим фокальные свойства конических сечений. Эти выводы удобны еще в том отношении, что для элементарного рассмотрения эллипса, гиперболы и параболы естественно положить в основу определение их, как конических сечений.

Вообразим коническую поверхность, образованную вращением бесконечной прямой около пересекающей ее оси, и плоскость, как-либо пересекающую эту поверхность, но не проходящую через вершину конуса. Примем за плоскость чертежа плоскость, проходящую через ось конуса и перпендикулярную к секущей плоскости. Рассмотрим следующие три случая, которые могут здесь представиться.

/. Эллипс. Пусть (черт. 1) SU и SV линии пересечения конуса с плоскостью чертежа. Предположим, в первом случае, что след ВАХ секущей плоскости пересекает образующие SU и SV по одну сторону от вершины. Через О, середину AB, и через произвольную точку сечения конуса проведем плоскости, перпендикулярные к оси конуса, и пусть COD и M PN следы этих плоскостей. Составим уравнение сечения, если ось абсцисс направлена по OA, а за ось ординат принято одно из направлений прямой пересечения плоскостей AB и CD. Пусть ОА = ОВ = а, ОР = х, ордината сечения в точке Р равна у, ордината в точке О равна Ь. Из подобия тр-ксв АРМ и ДОС, а также тр-ков BPN и BOD имеем:

Черт. 1.

Перемножая эти равенства и принимая во внимание, что сечения конуса плоскостями MN и CD — окружности, а по известному свойству окружностей РМ .PN=y2, ОС .OD = b2, найдем:

или

Подобным образом легко получить такое же уравнение сечения круглого цилиндра.

2. Гипербола. Пусть теперь (черт. 2) след В АХ секущей плоскости пересекает образующие SU и SV по разные стороны от вершины. Опять проводим круговое сечение ODC через О, середину AB, и произвольное круговое сечение MPN, встречающее кривую, и направляем ось абсцисс по OA. Как и раньше ОА = ОВ = а, ОР=х, и ордината сечения в точке Р равна у. Из подобия тр-ков АРМ и ЛОС, а также тр-ков BPN и BOD, получим:

Перемножая эти равенства, замечая, что РМ . PN = у'2, и полагая ОС. OD = b2, будем иметь:

или

Черт. 2.

Заметим, что в обоих рассмотренных случаях Ь2 есть абсолютная величина степени точки О относительно кругового сечения, плоскость которого проходит через эту точку.

3. Парабола. Последний случай состоит в том, что след АХ секущей плоскости параллелен образующей SV (черт. 3). Пусть SA = m, а а — половина угла USV растворения конуса. Проведем переменное круговое сечение MPN и направим ось абсцисс по АХ, так что АР=ху а ордината в Р равна у. Легко найдем: РМ=2х sin си, PN=2m sin cl. Перемножая эти равенства и замечая, что РМ. PN=^у2, получим:

или

где положено:

ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ РАВНЫХ АНТИПАРАЛЛЕЛЕЙ ТРЕУГОЛЬНИКА.

С. Зетель (Москва).

Пусть в треугольнике ABC (чертеж 1) из точки Д взятой на стороне AB, проведена прямая DF так, что /^BDF=/C и, следовательно, угол BFD равен углу А. Прямая DF антипараллельна стороне АС относительно других сторон. Будем называть DF антипаралле ью треугольника. Проведем из точек D и F прямые DL и KFсоответственно параллельные сторонам ВС и AB. Из точек L и К проведем прямые LM и KN антипараллельные AB и АС. Трапеции NDFK и DFML

Черт. 1.

равнобочны, так как |_ BDF= l_ANK= |_ С и |__ BFD = < LMC = [_ А. Итак, DF= NK= LM— равные антипараллели треугольника. Из двух отрезков, отсеченных данной антипараллелью на одной стороне треугольника будем в дальнейшем рассматривать тот, который является стороной треугольника, отсеченного антипараллелью. Таким образом антипараллель DF отсекает отрезок BF от стороны ВС и отрезок BD от стороны AB. На каждой стороне треугольника мы получаем два отрезка, отсеченные двумя антипараллелями, напр., на стороне ВС— отрезки BF и MC. Из подобия треугольников /\DBF и /\АВС имеем:

(1)

Из подобия ДУИС1 и ABC.

(2)

Перемножая равенства (1) и (2), получаем:

(3)

Отношение отрезков, отсеченных на стороне треугольника равными антипараллелями, постоянно, оно равно отношению квадратов прилежащих сторон.

Разделив равенство (1) на (2), получим:

BF.MC = l* (4)

Произведение двух отрезков, отсеченных равными антипараллелями на каждой стороне, равно квадрату антипараллели.

Выражая все шесть отрезков, отсеченных антипараллями на сторонах треугольника, через длину антипараллели и через стороны треугольника ABC имеем:

(5) (6)

Перемножая между собою равенства (5) и равенства (6), получим

BF. CL . AN = CM. AK. BD (7)

т.-е. шесть полученных отрезков удовлетворяют \словию теоремы Чевы для треугольника со сторонами av bv cv где al=BF+MCy bx = AK+ LC, сг == AN Л- BD. Покажем, что аи bv сх могут быть сторонами треугольника. Пусть стороны треугольника ABC удовлетворяют неравенствам а > b > с, тогда Ъх > аг ; bt > с{.

Это видно из следующих рассуждений:

Черт. 2.

Итак, Ьх— наибольшая сторона в треугольнике А{ В{ С, Покажем, что bt < ах + q Сложим наравенства

ас2 > а2£ > abc

Имеем:

ас2 + arc > fo:2 + я£с

Усилим наравенство

ас2-{-arc > bc(c — b) \ ab (а — Ь) ас2 + а-с > be2 — b2c + a2b — ab2 a (b2 -yc2)-\-c {a2 + b2)> b(a2-{- c2) Итак, bt<Cat + сл

Это можно было усмотреть и из чертежа 1. Из треугольника NAK и MCL имеем:

АК< AN CL<CM-\~l АК+ CL < AN+ CM + / Af{-\- CL<AN+CM-{-BF^- BD

*i<*i + *i

Итак, треугольник со сторонами ах Ьх сх можно построить (черт. 2). Вид этого треугольника определяется треугольником ABC и не зависит от длины антипараллелей.

Действительно, Sinax : Sin$l : Sin^ = a(b2 -f с2) : b (a2 -f- с2) : с (a2-f- ô2), где ar ßr — углы треугольника Аг Вх Сх

Построим треугольник AlBlCl и отложим на сторонах AlCl,AlB1 и Cj £t соответственно Ах Кг = AK, ■AlNl= AN и С1М1 = СМ.

Принимая во внимание равенство (7), заключаем, что прямые ВХКХ, Cj и УИг пересекутся в одной точке.

Так как Ах Кх .К1С1 = А, Nx .NXBX = Сх Мх .М1В1~ /2, то /—средняя пропорциональная между двумя соответствующими отрезками каждой стороны треугольника А1В1С1.

Отсюда следствия.

1) если на сторонах треугольника AlBiCi, как на диаметрах, описать полуокружности, и из точек Ki%MvNx восставить перпендикуляры до пересечения с соответствующими полуокружностями, то длина каждого перпендикуляра равна /;

2) если около треугольника Ах BtCx описать окружность, то степени точек KvMvNt относительно этой окружности равны, а потому эти точки лежат на окружности концентрической с окружностью, описанной около треугольника.

Радиус этой окружности — г, как легко видеть, связан с радиусом R окружности, описанной около треугольника AtBxCv соотношением:

r2 = R* — /2, где /2—степень точек KVMVNV

ВЫВОД УРАВНЕНИЙ НОРМАЛИ И КАСАТЕЛЬНОЙ К ПЛОСКОЙ КРИВОЙ.

Н. А. Агрономов (Владивосток).

1. В 1925/26 операц. году при чтении курса аналитической геометрии п государственном Дальневосточном университете мною сделана попытка востроения курса на основе определения прямых и плоскостей, как геометрических мест точек, равноотстоящих от 1 и 2 точек1.

С моей точки зрения эта попытка оказалась до известной степени удачной, так что некоторые приложения выбранной мною системы оказались целесообразными и в курсе геометрических приложений анализа. Как известно, обычный путь вывода уравнений касательной и нормали к плоской кривой слагается из вывода уравнения касательной и последующего вывода уравнения нормали, как перпендикуляра к касательной в данной точке. Не отвергая ценности этого приема, я позволю себе обратить внимание на следующий план изложения отдела о касательных и нормалях к плоским кривым.

2. Прежде всего мы приводим определение прямой, как геометрического места точек, равноотстоящих от 2 данных точек. Вместе с этим мы напоминаем, что через 2 точки можно провести одну и только одну прямую. Таким образом каждая пара точек определяет пару взаимно перпендикулярных прямых.

Предположим теперь, что на кривой

У-fix)

заданы две точки с координатами

*i. У\ ■

*i. Уч.

так, что

У, =/

y%—f (*»)•

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки, есть

о1

Уравнение прямой, равноотстоящей от двух данных точек, есть

или

(2)

или

(3)

Полагая

1 Н. Агрономов.—Курс аналитической геометрии. Часть 1. Владивосток. 1926 г.

мы перепишем уравнения (1) и (3) в следующем виде:

Совершая переход к пределу путем приближения точки (х2, у%\ к точке [xv xj), мы получаем одновременно уравнения и касательной и нормали в следующем виде:

y—yx=f (xt)(x—xt) 1 x — xx = -f (xx)iy—yx)j W

3. В одновременности получения уравнений касательной и нормали заключается ценность предлагаемого приема, но, конечно, при условии достаточной подготовки в определении геометрических элементов, как геометрических мест.

Предлагаемый план вывода может быть применен с успехом и при изучении поверхностей и кривых двоякой кривизны.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МНЕМОНИЧЕСКИЕ КРУГИ.

Н. Путята (Москва).

Левый круг дает соотношения между функциями круговой тригонометрии, а правый между функциями гиперболической тригонометрии.

Оба круга обладают нижеследующими свойствами.

1) Знаки -f-, — и—связывают две соседние функции в квадратичный двучлен, равный единице; причем стрелки указывают направление вычитания. Например, sin2a -f--j- cos2a = 1 ; cosh2a — sinh2a = 1.

2) Произведение двух диаметрально противоположных функций равно единице.

3) Произведение трех функций у вершин правильного треугольника равно единице.

4) Каждая функция равна произведению двух соседних.

5) Каждая функция равна частному от деления соседней на следующую в этом же направлении.

Примечание ред. Очевидно, приведенной интересной первой схеме Н. А. Путята удовлетворяют вообще 6 функций, из которых одна / (л*), соответствующая sin^, совершенно произвольна, а остальные по порядку суть: }/ \-fix), — JÇ^~^~' 1 1 fix)

ИЗ ШКОЛЬНОЙ ПРАКТИКИ.

Д. Каплан (Владимир. губ.).

Нередко приходится наблюдать, что два случая решения треугольников часто вызывают у учащихся большие затруднения, а именно: 1) решение треугольника по двум сторонам и углу между ними и 2) по трем сторонам.

Для первого случая необходимо вывести либо теорему косинусов, применение которой вызывает большую потерю времени, либо теорему тангенсов, для чего у учащихся должно быть предварительное знакомство или с суммой и разностью тригонометрических функций, или, по крайней мере, знакомство с геометрическим выводом формул Мольвейдэ.

Второй случай (решение треугольника по трем сторонам) точно так же требует от учащихся либо знания тригонометрических функций половинных углов ^s^n^» cos-^-...либо геометрического вывода тангенсов половины углов треугольника.

Избегая при начальном изложении тригонометрии учения о гониометрии и пользуясь исключительно натуральными таблицами тригонометрических величин, я убедился, что излагаемые ниже способы решения указанных случаев поддаются быстрому и ясному восприятию со стороны учащихся, а, сверх того, пользование сокращенными приемами вычисления дают точные результаты с наименьшей затратой времени.

1. Дано: а, b, найти: /_а [3, с.

Из треугольника BDC имеем:

BD = a sin 7 . . . . ...........(1)

DC = a cos у.................(2)

AD = AC~ DC=b — acosy..........(3).

Из треугольника ADB находим:

Подставляя сюда вместо BD и AD значения из (1) и (3), получаем

(4)

Опуская высоту на сторону ВС, находим для угла ß:

(5).

Определив из (4) и (5) углы аир, сторону С находим по теореме синусов.

Пример:

2. Дано: а, Ь, с; найти: /у.

Из соотношений

где F площадь треугольника, находим:

— Синус угла в треугольнике равняется удвоенной площади треугольника, деленной на произведение сторон, заключающих данный угол.

Обычно учащимся из курса геометрии известна формула площади Д-ка по трем сторонам:

F =Yp [р — а] [p-b] [р-с]........(8)

В крайнем случае можно учащимся предложить следующий тригонометрический вывод формулы (8).

Из треугольника ABD находим:

AB2 = AD2 -BD2

Подставляя сюда для AB, AD и BD их выражения из (1) и (3), получаем:

с2 ~(Ь — a cos у)2 -j- a2 sin2 у c2 = b2 — 2ab cos у + ß2cos2 y -j- a2sin2y = b2 -г a2 — 2ab cos y. Откуда

(9)

Далее, возьмем одно из соотношений (6), а именно, заключающее угол г:

Вставляя сюда для cos а его значение из (9), имеем

После обычных упрощений окончательно имеем;

Пример:

ОЧЕРКИ ПО МЕТОДИКЕ АРИФМЕТИКИ.

Ф. А. Эрн (Рига).

(Окончание.)

Совершенно таким же образом должно быть рассмотрено вычитание, как действие, цель которого—от данного целого отделить известную часть и узнать величину оставшейся части (остатка).

И здесь понятие о вычитании создается постепенно путем решения задач сначала с наглядными пособиями, потом без таковых.

Некоторые особенности задач и приемов вычитания, которые встречаются при выяснении понятия вычитания, заключаются в следующем:

1. При решении задач на наглядных пособиях для выяснения сложения даются всегда две совокупности, наглядно представляющие обе данные части (слагаемые). Для нахождения результата все единицы одного слагаемого присчитываются к единицам второго слагаемого, причем при вещественных пособиях предметы одной совокупности присоединяются к другой действительно, при графических пособиях —только в воображении.

При выяснении вычитания наглядно представляется только одно из данных, именно, данное целое (уменьшаемое); от него требуется отделить часть, которая наглядно не представляется конкретной совокупностью. Поэтому здесь отсчитывание сопровождается действительным отделением от данной совокупности одного предмета за другим, пользуемся ли мы конкретными или графическими пособиями, все равно: при вещественных пособиях нужное число отдельных предметов откладывается из данной совокупности в сторону, при графических пособиях—нужное число знаков зачеркивается (на бумаге) или стирается (на доске). Результат (остаток) представляется тогда наглядно в виде оставшихся в данной совокупности предметов или значков.

2. Для нахождения результата сложения в том случае, когда второе слагаемое больше первого и когда, следовательно, для нахождения суммы приходится проделать слишком много отдельных актов присчитывания (см. § 38 теоретической части), был указан прием, упрощающий вычисление путем применения переместительного свойства суммы. Вычитание, как известно, переместительным свойством не обладает, а между тем и здесь могут встречаться случаи, когда результат вычитания придется находить при помощи очень длительного двойного (обратного и прямого) счета. Это те случаи, когда вычитаемое сравнительно велико (5 или более 5), напр., 8 — 6 = ? 10 — 7 = ? и т. д.

Для упрощения производства вычитания в этом случае некоторые методисты предлагают пользоваться не отсчитыванием, а досчитыванием к вычитаемому отдельных еаиниц, пока не получится уменьшаемое, т.-е. вопрос о том: «Сколько останется, если от 10 отнимем 7?», заменится вопросом: «Сколько нехватает 7 единицам до 10 единиц?» Двойной счет в таком случае проходит следующим образом:

Основной счет или счет Контрольный счет

результатов

т.-е. вместо 7 актов отсчитывания происходит только 3 акта досчитывания, и процесс нахождения остатка значительно сокращается. Мы не считаем применение этого приема вычитания целесообразным и полезным. Может быть, отдельные, лучшие ученики поймут его и быстро им овладеют, но надо считаться с опасностью, что прием этот может затемнить

в сознании детей только-что выясненное понятие о вычитании. Это понятие о вычитании в сознании учащихся тесно связано с понятием об отделении от целого части и отсчитыванием единиц; а теперь им предлагают это самое вычитание производить при помощи досчитывания. Это во-первых. Во-вторых, трудно придумать задачу, решение которой об'яснило бы этот прием вычитания. Если взять обычную задачу на определение остатка, напр.: «Из сосуда, в котором было 10 стаканов воды, отлили 7 стаканов. Сколько стаканов воды осталось в сосуде?», то трудно будет навести детей на возможность решить вопрос об остатке путем досчитывания к числу отлитых стаканов неизвестного числа оставшихся стаканов. Можно, конечно, изменить условие задачи так, что досчитывание станет понятным и естественным. Можно, напр., задачу предложить в такой форме: «В сосуд налито 7 стаканов воды. Сколько стаканов надо прилить, чтобы в сосуде оказалось 10 стаканов?» Опыт показывает, что учащиеся решают такую задачу без особых затруднений, но даже лучшие из них, решив задачу досчитыванием, бывают убеждены, что они (для решения данной задачи) произвели сложение, а не вычитание. («Вычитание-дополнение» и его место в курсе?)

Другие методисты склонны в случаях большого вычитаемого рекомендовать прием упрощения производства действия, основанный на применении сочетательного свойства вычитания. Решая вопрос о том, «Сколько будет 10 стаканов—7 стак.?», учитель может провести с учащимися приблизительно такую беседу: «Вам надо от 10 стаканов отделить (отнять) 7 стаканов, но это трудно сделать сразу. Попробуйте отнимать по частям. Сколько вы сумеете отнять (отсчитать) без труда от 10 стаканов?—Ученики называют числа 2, 3, 4.—Ну, давайте отсчитаем сначала 3 стакана!—Дети отсчитывают 3 от 10 (3 акта счета) и получают 7.—«Сколько же нам нужно было отсчитать?» (7 стаканов.) «А сколько мы уже отсчитали?» (3 стак.). «Сколько же нам еще нужно отсчитать?» (4.) «Отсчитайте же теперь от 7 стак. еще 4 стак. Сколько останется?» (3 стак.)

При этом приеме, следовательно, вычитание 7 заменяется последовательно вычитанием 3 и 4, на основании тождества 10 — (3 4) = 10 — — 3—»-4, выражающего сочетательное свойство вычитания. Разумеется, и этот прием упрощения производства вычитания на этой ступени обучения может вызвать некоторые затруднения.

Пока таблица вычитания не усвоена основательно и для небольших вычитаемых, этот прием не сокращает числа отдельных актов отсчитывания, а наоборот, увеличивает их число: 10—3 = 7 (3 акта отсчитывания); 7—3 = 4 (3 акта отсчитывания) и 7 — 4 = 3 (4 акта отсчитывания). Выгода только в том, что это большое число отсчитываний производится не сразу, а по частям, и потому каждый раз приходится отсчитывать сравнительно немного единиц Насколько велика эта выгода, предоставляется судить каждому учителю.

Нам кажется, что единственным выходом из затруднения является такой порядок изучения вычитания: так как при выяснении понятия о вычитании числовая величина данных чисел не играет решающей роли, то в этом месте курса не следует вовсе брать задач и примеров с большими вычитаемыми. К этим случаям следует перейти только после составления учениками таблицы вычитания для небольших вычитаемых и основательного ее усвоения. Тогда вышеуказанный прием применения сочетательного свойства вычитания не будет, вероятно, представлять для учащихся значительных трудностей.

3. При выяснении понятия о вычитании, при помощи решения задач без наглядных пособий, необходимо, как и при сложении, придавать усло-

вию задачи определенную словесную форму. Вопрос задачи должен всегда быть одним и тем же: сколько останется? (или осталось?). Требование же отделения от данного целого известной части (или факт отделения) может быть выражаемо следующими глаголами: отдать, уплатить, потерять, с'есть, истратить, отлить, разбить, улететь, убежать, продать, подарить и пр.

Подчеркиваем еще раз, что на данной ступени обучения вычитание должно рассматриваться только как действие, имеющее целью от данного целого отделить известную часть и узнать величину оставшейся части. Ни уменьшение числа на несколько единиц, ни разностное сравнение здесь не должны быть затрагиваемы.

Хотя при выяснении смысла и цели сложения и вычитания детям приходилось находить результаты действий, однако нельзя признать, что тем самым они уже в достаточной степени ознакомились с производством сложения и вычитания. Те 20—25 задач, которые учащиеся за это время решили, выяснили им лишь, что сложение производится при помощи присчитывания по одному, а вычитание—при помощи такого же отсчитывания. Но детям необходимо еще много упражняться, чтобы усвоить технику присчитывания и отсчитывания и запомнить результаты сложения и вычитания в пределе 1-го десятка, т.-е. усвоить таблицы сложения и вычитания. Это достигается решением многочисленных числовых примеров и самостоятельным составлением учащимися таблиц сложения и вычитания.

Порядок этих упражнений может быть весьма различен; последовательность упражнений при составлении таблиц сложения и вычитания, напр., может устанавливаться двояким путем: здесь определяющим моментом может явиться 1) величина второго (присчитываемого) слагаемого и (при вычитании) вычитаемого и 2) величина получающейся суммы и (при вычитании) уменьшаемого.

В первом случае дети упражняются в прибавлении к любому числу и вычитают из любого числа 1-го десятка сначала 1, потом 2, затем 3 и т. д.

Таким образом таблицы сложения и вычитания возникают в такой последовательности:

Всего для каждого действия 45 результатов, считая суммы отличающихся порядком слагаемых за разные.

Во втором случае составление таблиц сложения и вычитания в пределе 10 разлагается на две или три части, напр., таблицы сложения и вычитания в пределе бив пределе от 7 до 10 или 1) в пределе 5; 2) в пределе 6—8 и 3) в пределе 9—10.

Разбивая составление таблиц сложения и вычитания на 2 или 3 части, полезно пользоваться при этом переместительным свойством суммы (применяя сначала наглядные пособия) и рассматривать каждый случай сложения одновременно и параллельно t соответствующим случаем вычитания

В таком случае таблицы, разбитые на 3 части, дадут для каждого действия тоже 45 случаев, расположенных, однако, в следующем порядке:

Составление и усвоение таблиц в таком порядке значительно уменьшает трудности при нахождении остатка при большом вычитаемом, о которых говорилось выше. В самом деле, найдя при помощи присчитывания, что 7 -j- 3 = 10, учащиеся отсюда сразу находят, что и 3 —|— 7 = 10; таким образом в их сознании утверждается факт, что 10 состоит из двух частей, 7 и 3; а отсюда уже делается выбод: если одну часть отделим от 10, то должна остаться другая, т.-е. 10 — 3 = 7 и 10 — 7 = 3.

Мы намеренно указываем различные приемы составления таблиц сложения и вычитания, чтобы каждый учитель мог выбрать из них тот, который, по его мнению, наиболее подходящ.

Затем мы ограничимся лишь несколькими замечаниями общего характера. Таблицы сложения и вычитания, конечно, не должны даваться учащимся в готовом виде для заучивания. Они должны составляться под руководством учителя самими учащимися; это совершенно необходимо не только для того, чтобы дать пищу для самодеятельности учащихся, но и для того, чтобы учащийся, забыв тот или другой результат сложения или вычитания, знал, как его найти, и умел бы это сделать.

Заставлять детей заучивать составленные ими таблицы, вообще говоря, не рекомендуется: они запоминаются сами собой, если будет проделано достаточно упражнений с числовыми примерами.

Эти числовые примеры на этой ступени обучения дают главный материал для самостоятельности классных работ учащихся в тех школах, в которых учителю приходится заниматься с двумя или тремя отделениями. Но, разумеется, те же примеры могут быть задаваемы и на дом.

При составлении и усвоении таблиц сложения и вычитания по частям не следует переходить к следующей части раньше, чем данная часть таблицы вполне усвоена путем решения достаточного числа задач и численных примеров.

Задачи на данной ступени обучения должны требовать для своего решения только одного действия, но в численных примерах могут встречаться и 2 последовательных действия (в конце изучения таблиц), напр., 3 —|— 3 -f- 2 = ? или 7 — 3 — 1 = ? и пр. Такого рода упражнения полезны между прочим и для выяснения учащимися сочетательного закона сложения и вычитания. Найдя, что 4-}-3-|—2=9 и что 4—|—5=9; что 8—3—2=3 и что 8 — 5 = 3, учащиеся соображают, что сумму двух чисел можно прибавлять и отнимать или сразу, или по частям (последовательно одно слагаемое за другим).

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ПОСТРОЕНИЯ ПРАВИЛЬНОГО ДЕВЯТИУГОЛЬНИКА И РАДИАНА.

А. А. Дмитровский (Москва).

(Доложено в заседании Московского математического кружка 4 ноября 1923 г.)

Задача о построении правильного девятиугольника принадлежит к числу задач, неразрешимых при помощи линейки и циркуля. Между тем эта задача, помимо самостоятельного интереса, важна еще благодаря той тесной связи, в которой она находится с задачей о делении окружности на градусы. В самом деле, если нам удалось тем или иным путем построить девятую часть окружности, т.-е. дугу в 40°, то, вычтя из нее легко строимую десятую часть, или дугу в 36°, мы получим дугу в 4°, откуда после двух делений пополам придем к дуге в 1°.

Построение девятой части окружности сводится в сущности к трисекции угла в 120° или в 60°, а потому все те разнообразные приемы, которыми решается общая задача о трисекции угла, могут быть применены и к этому частному случаю. Таким образом здесь возможны решения при помощи конических сечений, кривых высших порядков, трансцендентных кривых, при помощи специальных приборов — трисекторов и наконец, приближенные решения посредством линейки и циркуля с той или иной степенью точности. Но можно не прибегать к задаче о трисекции угла, а искать для построения девятой части окружности независимого решения. Существует несколько таких решений, дающих приближенное и могущее быть построенным выражение для какой-либо тригонометрической функции угла в 40° или в 20°. Наиболее древнее решение принадлежит Герону Александрийскому: полагая sina = -^-> мы получим:

т.-е. построив а, найдем приближенно дугу в 20° с ошибкой свыше полградуса.

Далее укажем решение Альбрехта Дюрера (XVI в.). Если принять tga=— = 0,36, то a^l9°47'56", так что здесь ошибка лишь около 12".

Более точное решение дано в XVIII в. Марпургом. Он полагает откуда a = 20°6'9", и ошибка составляет около 6'.

Наименьшую ошибку содержит решение, которое дал Лагерр (Laguerre) (XIX в.). Если положить sin а =—, то а = 4о°0;18",7; ошибка меньше 19".

Автор настоящей статьи поставил своей целью найти еще более точное решение, комбинируя в приближенном выражении тригонометрической функции рациональные числа и квадратные радикалы. Такое выражение удалось получить для tg 40°, причем ошибка оказалась поразительно малой.

Положим, что:

тогда будем иметь:

откуда tg а = 0,8391016 и а = 40°0/О",23, так что ошибка меньше четверти секунды. Такая малая ошибка (порядка звездных параллаксов) заставила признать указанное выражение для tga заслуживающим внимания; оставалось еще найти для угла a возможно простое построение. Из различных построений наиболее удобным представляется приводимое ниже. Предварительно преобразуем несколько выражение для tga:

tg a = 2 J Т - 2 ~ = 2 ( у У- 1 ) — -|- ■

Начертив круг (черт. 1) и приняв радиус его за единицу, проведем диаметр AB, отложим равные шестой части окружности дуги AC, AD и DE, проведем хорды CD и DE и на продолжениях диаметра, а также на хорде CD, отложим отрезки F A, BG и DH, равные радиусу. Хорда DE параллельна диаметру, а точка К (пересечения хорды CD с диаметром) есть середина радиуса АО. Очевидно, что прямые FD и GE касаются окружности в точках D и Е (FO«2=sec 60°, т.-е. касательная в D должна пройти через F). Если точку L их пересечения соединим с К, то прямая АХ на хорде DE отметит отрезок ME, равный — радиуса.

Это вытекает из пропорции:

Черт. 1.

Кроме того, CD= | 3 и СН = \ 3 —1. Поэтому, если перенесем отрезок ME на касательную LG, так что NE = ME, и от точки N отложим два раза отрезок СН до точки Р, так что NP=2 ( \ 3—1 ), то будем иметь:

а соединив Р с центром круга, получим дугу EQ, равную a Таким образом дуга EQ представит девятую часть окружности, причем теоретическая ошибка меньше четверти секунды. Все построение выполняется тремя раскрытиями циркуля:

Если бы мы пожелали теперь получить градусное деление круга, то к нему можно притти очень быстро. Так как, очевидно, НЕ = у 2, то, отложив DR=HE, будем иметь:

Если тем же радиусом НЕ = У 2 опишем дугу из центра С и пересечем ею диаметр в точке S, то OS будет стороной правильного вписанного десятиугольника1. Поэтому, отложив ET=OS, получим, что ^£У=36°; ^RT—6°\ ^TQ = 4°. Наконец, отложив TV—RT, будем иметь: WQV=2°, а разделив пополам дугу EV, равную 42°, и вычтя дугу QB, равную 20°, получим дугу в 1°.—

Попутно указанное построение может дать приближенно дугу, равную радиусу, или так наз. радиан, построению которого посвящена вторая часть настоящей статьи. Для этого придется лишь отложить на одной из касательных от точки прикосновения отрезок, равный DV, и найти дугу (3, для которой этот отрезок служит линией тангенса Мы имеем:

^Dl/=102°; tg/3 = 2sin 51°,

откуда j3 = 57°14'37",

тогда как радиан содержит 57°17'44",8, так что ошибка составляет около 3 минут.

Перейдем теперь к более точному построению радиана. В „Геометрии циркуля" Маскерони имеется хорошее построение дуги, равной радиусу, причем ошибка немного больше 2", хотя оно несколько сложно и требует проведения 12 дуг и 5 раскрытий циркуля. Кроме того, с точки зрения введения в школьный курс это построение неудобно тем, что в нем не видно руководящей идеи и для оценки погрешности приходится выполнить довольно сложное вычисление. Автор настоящей статьи и в данном случае задался целью подыскать возможно близкое выражение для какой-либо тригонометрической функции радиана путем комбинирования рациональных чисел и квадратных радикалов; такое выражение для тангенса радиана удалось найти. Если мы положим:

то будем иметь:

откуда

tgoc=1,5573593; a = 57°1741,,,9, так что, если принять a за радиан, то ошибка будет меньше 3 секунд.

Для tga можно дать удобное построение.

Представим выражение для tga в другом виде:

Черт. 2.

Начертив круг (черт. 2) и приняв радиус его за единицу, проведем диаметр AB, отложим равные шестой части окружности дуги AC, AD и

1 Это построение стороны правильного вписанного десятиугольника принадлежит Маскерони.

DE, проведем секущую CD и хорду DE и, отложив на продолжении диаметра отрезок BF, равный радиусу, проведем прямую ЕЕ, которая, как было выяснено раньше, будет касательною в точке Е\ на прямой ЕЕ также отложим отрезок ЕН, равный радиусу. Если теперь точку G пересечения прямых CD и ЕЕ соединим с центром, то прямая GO на хорде DE отметит отрезок ME, равный радиуса. Это вытекает из пропорции:

(так как DE \\ AB и точка К пересечения CD с AB есть середина радиуса АО). —

Отрезок ME легко перенести на диаметр, не меняя раскрытия циркуля, для чего достаточно из M описать дугу радиусом, равным радиусу круга, и этой дугой пересечь диаметр в точке N. Очевидно, что четыреугольник MNOE есть параллелограм и N0 — -у • Значит, NF=2^-

Проведя теперь прямую ОН, пересекающую круг в точке L, получим отрезок LH, очевидно, равный У2—1. Если этот отрезок отложим три раза по диаметру от точки F до точки Р, то будем иметь:

Осталось отложить на касательной EQ — NP и провести прямую OQ пересекающую круг в точке R. Дуга ER представит радиан с теоретической ошибкой около трех секунд. Все построение выполняется тремя раскрытиями циркуля:

Повидимому, вышеприведенное построение могло бы представить интерес и быть полезным для учащихся. Они много слышат и говорят об абсолютной единице для измерения дуг и углов, называемой радианом, выражают ее в градусной мере, но никогда ее не видят и не строят. Между тем, построив с большой точностью радиан, они могли бы получить ясное представление как о нем, так и вообще о дугах и углах, выражаемых целыми числами и дробями с знаменателем, равным степени числа 2. Можно было бы также на самой окружности указать, на какую дугу она длиннее шести и короче семи своих радиусов. Наконец, как применение построения радиана решим такую задачу: „построить круговой сектор, который с данным квадратом имел бы равный периметр и равную площадь". Если обозначим сторону квадрата через а, радиус сектора через г и угол его через ср, то будем иметь два уравнения:

Определив из первого уравнения ? и вставив во второе, получим:

Таким образом задача имеет единственное решение и мы получим его, если возьмем круг радиуса а, построим дугу, равную двум радианам, и соединим концы ее с центром. Построенный этим способом сектор обладает тем свойством, что из всех круговых секторов с одним и тем же периметром 4а он имеет наибольшую площадь. В самом деле, если периеетр сектора, или сумма 2r-f-r<p, сохраняет постоянную величину, то произведение 2г на лр, а стало быть, и площадь получит, как известно, наибольшее значение, когда оба слагаемые будут равны между собою т.-е. когда 2г = гу, или <р = 2 (так как г не равно нулю). Тогда из уравнения 2r-f-np = 4а найдем, что г==а. Радиусом наибольшего сектора будет четверть периметра, а дугой — два радиана.—

ЗАДАЧИ.

19. Замечая, что, напр., | 5 -^-=5 J найти общий вид чисел, допускающих подобное вынесение целого числа из-под корня любой степени.

20. Показать, что числа вида

я4 + 2/г3 + 11л2-|- 1 О/г при целом положительном п делятся на 24.

И. Кастровицкий (Сталинград).

21. Решить уравнение:

X4 — 4х3=1.

22. Построить отрезок х, удовлетворяющий уравнению

х-2 = а-2 —Ь--± с-2 + ... +1-\ где а, о, с... / — данные отрезки.

23. Найти значение:

А. В.

24. Найти отношение площадей, на которые разделяется площадь трапеции прямой, проходящей через центр тяжести трапеции и параллельной ее основаниям, если отношение большего из них к меньшему равно q.

Флавиан Д. (Самара).

25. Построить треугольник по углу и двум медианам, проведенным к сторонам, образующим данный угол.

А. Цивчинский (Одесса).

26. Показать, что если каждый из углов a, fi, у менее тс и cos2ol-\--\-cos2 ß-\-cos2 y= 1, то сумма синусов двух из этих углов более синуса третьего угла.

27. Основанием переменного треугольника служит большая ось данного эллипса, а центр вписанного в него круга перемещается по дуге данного эллипса; найти геометрическое место третьей вершины треугольника.

ЗАДАЧИ ИЗ «МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ ЗА 1916 г., ОСТАВШИЕСЯ НЕРЕШЕННЫМИ.

246. На данной прямой найти точку, из которой одна из двух данных концентрических окружностей видна под углом втрое большим, чем другая.

247. Через вершины треугольника ЛВС проведены прямые, образующие треугольник А В'С у подобный треугольнику ABC. Показать, что периметр и площадь треугольника АВГС достигают maximum'a, когда соответственные стороны обоих треугольников параллельны.

252. На сторонах треугольника даны три точки А,В\С. Найти такую точку О, чтобы четыреугольники АВ'ОС, ВС О А и САОВ' оказались равновеликими.

258. Построить треугольник ABC по стороне AB, биссектору BD и длине перпендикуляра, опущенного из вершины С на BD.

259. Определить двугранный угол при основании правильной четыреугольной пирамиды, если плоскость, делящая его пополам, разделяет об'ем пирамиды в отношении 3:5, причем большая часть находится при основании пирамиды.

261. Пересечь прямой параллелепипед плоскостью так, чтобы в сечении получился квадрат.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

2. Решить уравнение.

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

или 2х — 2 (х — 2 ) = 4,

т.-е. тождество, которому удовлетворяет любое значение х. Данное уравнение, являясь ветвью этого тождества, удовлетворяется тоже бесчисленным множеством значений х} однако не всевозможными, напр, х=\ ему не удовлетворяет. Произвольно заданное значение х удовлетворяет или данному уравнению, или аналогичному уравнению, отличающемуся от данного знаками при входящих радикалах. Полагая х = m2 -f-1, где m — целое число, можно получить бесчисленное множество целых решений данного уравнения при которых корни в левой части уравнения извлекаются.

А. В., А. Барсуков, Р. Гангнус, М. Юкин (Москва), Б. Авилов, А. Филиппов, К. Торопов, И. Чубинский (Оренбург), X. У., А. Попов (Ростов-на-Дону), С. Кириенко (Жлобин), А. Чернов (Тула), П. Николаев (Иесоченский зав.), К. Верещагин (Козлов). А. Никольский (Чернигов), И. Кастровицкий (Сталинград), О. Кирбятьев (Претория), Д. Александров (Чувашрабфак), В. Сакк (Верхнеднепровск), В. Игумнов (Чебоксары), Важенков (Кузнецово), Н. Павловский (Новоржев), Флавиан Д. (Самара), Н. Соловьев (Витебск), Милковский (Новозыбков), Н. Орлицкий (Польша, Katowice), П. Орлов (Новосиль). В. Отт (Весьегонск), С Адамович (Тула), Л. Гейвши ( Сураж).

4. Решить систему уравнений:

Эта система имеет бесчисленное множество систем тривиальных решений, если положить одно из неизвестных равным нулю, а два других равными между собою. Исключая их из рассмотрения и полагая, что неизвестные не равны нулю и друг другу, перемножим данные уравнения; получим:

а возводя данные уравнения в квадрат и разделяя поочередно на каждое из них предыдущее уравнение, найдем:

(А)

откуда следует:

или

отсюда найдем аналогично имеем

подставляя эти значения в первое уравнение системы (А) и принимая во внимание, что х ф 0, после сокращений получим:

Л. В.. А. Барсуков, М. Юкин, Р. Гангнус (Москва), J1. Гейвши (Сураж), К. Верещагин (Козлов), Флавиан Д (Самара), К. Торопов, И. Чубинский (Оренбург), А. Цивчинский (Одесса), X. У. (Ростов-на-Дону), А. Никольский (Чернигов), В. Сакк (Верхнеднепровск). Д. Александров, М. Филиппов (Чувашрабфак), П. Орлов (Новосиль).

7. Найти два рациональных числа, сумма которых равнялась бы: 1) сумме их квадратов, 2) сумме их кубов.

I) Уравнение х2 -\-у2 = х + у (1) имеет очевидные пары решений: (0,0); (0,1) и (1,1). Чтобы найти прочие решения, выразим из него х чрез у; получим

Отсюда между прочим видно, что каждому значению одного из неизвестных соответствует два значения другого, дополняющих друг друга

до 1. Действительно, хх 4- х2 = 1 ; в том же можно убедиться и непосредственно, подставляя в данное уравнение вместо х какие-нибудь количества а и 1 — а. Так как х должно быть рациональным, полагаем:

отсюда получим ух = утг~1; » вставляя это значение в выражение х, имеем

дополнительное значение для у будет:

Итак, уравнение (1) может быть удовлетворено любыми двумя из четырех чисел вида

где m—любое рациональное число; из них основными являются два первых.

2-й способ. Уравнение (1) можно представить в виде

(x-J>)4(x+J>-1)2 = 1.

откуда следует, что (х—у) и (х-\-у—1 ) могут быть выражены по формулам рациональных прямоугольных треугольников, т.-е.

откуда получим:

3-й способ. Рассматривая х и у как прямоугольные координаты точки на плоскости, заключаем, что уравнение (1) представляет собою окружность, т.-е. кривую уникурсальную; если известна хоть одна точка такой кривой с рациональными координатами, то любая прямая чрез нее с рациональным угловым коэффициентом пересечет ее в точке тоже с рациональными координатами. Но такой точкой на данной окружности является точка (0 , 0) ; проводя чрез нее прямую у = тх, получим

II) Уравнение х3-\-у'д = х-\-у может быть представлено в виде

(х + у) (х2 — ху -j- v2) = х Ar у ; оно имеет очевидные пары решений

X = k,у — — £;* = 0, j/ = 0;X = 0,у = ±1 î х = ± l;j/ = 0; х= l,j/ = ±l; чтобы найти другие решения, сократим его на х +у\ получим

отсюда

так как сумма корней этого уравнения xl -f- *а ^У» т0 отсюда следует, что каждому значению одного неизвестного соответствуют два значения другого, сумма которых ему равна; поэтому, если данному уравнению удовлетворяют х = а и у = Ь, то ему же удовлетворят и x = b - а и у = а — Ь. Так как х должно быть рационально, то положим

тогда получим

где m—любое рациональное число.

2-й способ. Уравнение (2) можно представить в виде:

тогда рациональные решения его могут быть прямо найдены по известным формулам:

откуда имеем:

3-й способ. Замечая, что уравнение (2j представляет собою уравнение эллипса, т.-е. уникурсальной кривой, проходящей чрез точку с рациональными координатами (0,1), полагаем

У = тх+1,

тогда выраженная последним уравнением прямая пересечет этот эллипс в точке тоже с рациональными координатами. Решая уравнение (2) совместно с последним, получим:

или

откуда

Эти формулы могут быть получены из ранее найденных, напр. (Л), полагая в них /// = 1 — 2п.

М. Юкин, А. Барсуков, Р. Гангнус (Москва), К. Верещагин (Козлов), К. Торопов, И. Чубинский (Оренбург), Е. Воскресенская (Павлов), А. Цивчинский (Одесса), А. Никольский (Чернигов), В. Сакк (Верхнеднепровск), Н. Колмогоров (Алма-Ата).

8. В круг вписан равносторонний треугольник АСВ, на дуге AB взята точка Р и прямые АР и BP продолжены до пересечения с продолжениями сторон СВ и CA в точках M и N. Показать, что ВМ. AN = = пост.

Замечая, что /_ANB измеряется полуразностью дуг (^CB — ^АР) или которою измеряется и /^ВАМ, заключаем, что /^ВАМ = /_ ANB. Аналогично найдем, что / ABN = /_ АЛ4В. Следовательно, треугольники ABN и ВАМ подобны. Отсюда имеем:

AN:AB = AB:BM

или AN. ВМ = АВ\ т.-е. это произведение не зависит от выбора точки Я, а постоянно.

А. Барсуков, M. Юкин, В. Хотимский, Р. Гангнус (Москва), П. Милов (Люблин), В. Сакк (Верхнеднепровск), Н. Соловьев (Витебск), К. Торопов, И. Ччбинский, А. Филиппов, Б. Авилов (Оренбург), X. У. (Ростов-на-Дону), И. Милковский (Новозыбков), В. Игумнов (Чебоксары), А. Цивчинский (Одесса), А. Никольский (Чернигов), К. Верещагин (Козлов), Флавиан Д. (Самара), С Илларионов (Шемурша), Л. Гейвши (Сураж), П. Никифоров, Александров Д. (Чувашрабфак), Н. Фивейский (Ржев), Г. К. (Пенза).

9. Решить уравнение:

Заменяя все входящие функции их выражениями чрез tgxy получаем:

или

откуда

беря только действительные значения корня, имеем

М. Юкин, А. Барсуков, Р. Гангнус, В. Хотимский (Москва), Э. Попатенко, В. Ефимов (Пермь), А. Попов, X. У. (Ростов-на-Дону), К. Торопов, И. Чубинский (Оренбург), А. Чернов (Тула), А. Цивчинский (Одесса), К. Верещагин (Козлов), В. Игумнов (Чебоксары), Е. Воскресенская (Павлов), Флавиан Д. (Самара), Н. Соловьев (Витебск), В. Сакк (Верхнеднепровск), П. Никифоров, М. Коновалов (Шебекино).

Из «М.О.» за 1917 г.

296. Найти два числа, зная их разность 66 и общее наименьшее кратное 66.

Обозначая искомые числа А и В, а их общего наибольшего делителя rf, имеем:

А — В = 66] AB = 360.d Полагая A = dx, B=dy, где х и у — числа взаимно простые, имеем:

(х— у) d=66 ху ,d = 360

Так как число (х—у) — взаимно простое с ху, то d есть общий наибольший делитель чисел 66 и 360, т.-е. d = 6. Отсюда х—j/ = ll; ху=60. Решая эти уравнения, получаем х=15, j/=4, и, следовательно,

А = 90; В= 24.

А. Барсуков, М. Юкин (Москва), В. Зяблицкий, Н. Шемянов (Владимир), Н. Дианов (Ефремов), К. Верещагин (Козлов), Е. Воскресенская (Павлов), Н. Соловьев (Нитебск). А. Цивчинский (Одесса), X. У. (Ростов-на-Д.), Важенков (Кузнецово), В. Игумнов (Чебоксары), К. Торопов (Оренбург), И. Кастровицкий (Сталинград).

297. Доказать, что при всяких а и b

[a^b)x<ß (a' + bl)

Легко видеть, что

0<5(я+ />)-+2tf 2 + 2/;-или 0 < 7cï2 -f- 1 Oab -j- 7 b-\

прибавляя к обеим частям неравенства по (а— Ь)\ получим:

(a—bf^S {а- + ab -f /;-) или после умножения на (а — by

(a — b)*<8(a° — b?>)(a-b) т.-е. а1 — 4ая6 + ба203 - 4ао3+ /;4< 8а* +8/;' — Sa*b — $ab\

откуда, после прибавления к обеим частям по 8a*b-{-$ab:\ имеем требуемое неравенство

2-й способ. Исследуя функцию

видим, что производная ее имеет действительным корнем только х=1. Вторая производная той же функции при х = 1 получает отрицательное значение, вследствие чего рассматриваемая функция при этом значении х достигает наибольшего значения, равного нулю. Следовательно,

(x-fl)4 — 8 (x-f 1 }4^()

полагая здесь х = -^-и умножая обе части неравенства на Z?4, получим

(а-{-Ьу<:8{а*-{- Ь4)

В. Хотимский, М. Юкин, А. Барсуков (Москва», Е. Воскресенская (Павлов). К. Таропов (Оренбург), Флавиан Д. (Самара), А. Чернов (Тула), А. Цивчинский (Одесса), К. Верещагин (Козлов), Н. Соловьев (Витебск), Л. Лодыженский (Тула), В. Отт.

301. Две стороны треугольника равны 9 и 10 м, а радиус вписанного в него круга 2 м, определить третью сторону.

Обозначая искомую сторону чрез х, имеем уравнение

или т.- е.

Представляя уравнение в виде

находим:

следовательно, искомый радиус равен 1 7 м или 1 -f- 2 ]/ 5 м.

М. Юкин, А. Барсуков (Москва), Я. Шуйский, В. Зяблицкий (Владимир), Е. Воскресенская (Павлов), А. Чернов (Тула), В. Ефимов, Э. Попатенко (Пермь), К. Торопов (Оренбург), К. Верещагин (Козлов), И. Милковский (Новозыбков), В. Игумнов (Чебоксары), Н. Дианов (Ефремов), Флавиан Д. (Самара), Важенков (Кузнецово). Д. Александров (Чувашрабфак), С Илларионов (Шемурша). Л. Ладыженский (Тула). С. Адамович (Тула , В. Отт (Весьегонск), И. Соловьев (Витебск), В. Подсыпанин.

ХРОНИКА.

Пленарные заседания Московского научно-педагогического математического кружка.

1. Заседание 29-го января 1928 г.

Председатель — проф. А. В. Васильев; секретарь — Н. Ф. Четверухин. Открывая заседание, А. В. Васильев поздравил членов кружка с новым подарком, каковым является выход в свет журнала «Математическое образование».

И. И. Чистяков произнес речь памяти скончавшегося члена кружка H. М. Соловьева. Память покойного почтена вставанием.

После чтения и утверждения протоколов заседаний Моск. научно-пед. мат. кружка № 7 (от 29/IX 1927 г.), № 8 (от 16/Х 1927 г.), № 9 (от 20/XI 1927 г.) и№10(от27/Х1 1927) собрание заслушало доклад С. И. Зетель на тему «О симедианах треугольника»1.

2. Торжественное заседание 25-го марта 1928 г., посвященное чествованию проф. И. И. Чистякова по поводу 35-летия его научно-педагогической деятельности.

По предложению Юбилейного комитета, почетным председателем торжественного заседания избирается проф. И. И. Жегалкин, который был товарищем И. И. Чистякова при прохождении курса в Московском университете.

А. В. Васильев отмечает, что присутствующие приветствуют в лице И. И. Чистякова не только истекшие 33 лет его славной деятельности, но и, как все мы надеемся, последующие 35 лет.

Собравшиеся дружескими аплодисментами приветствуют юбиляра, который говорит, что столь торжественная обстановка чествования не соответствует, по его мнению, его скромным заслугам.

Слово предоставляется И. И. Чистякову, который произнес речь на тему «Роль математических кружков и журналов в распространении математического образования», выслушанную с громадным интересом собравшимися2. После перерыва были прочитаны приветствия и поздравления юбиляру от следующих организаций:

1. Наркомпроса и Главсоцвоса — M. М. Пистрак.

2. Московского научно-педагогического математ. кружка — М. Ф. Берг.

3. Математич. общества и математич. предметн. комиссии 1-го М.Г.У.— И. И. Жегалкин.

4 2-го М.Г.У. и б. Высш. женск. курсов — О Н. Цубербиллер.

5. Секции научных работников М.В.Т.У. — М. И. Слудская.

6. Математической секции МОНО — М. А. Знаменский.

7. Преподавателей Тверского педаг. института —В. М. Брадис, который сообщил, что Тверской институт устраивает у себя и отдельное собрание для чествования юбиляра.

8. Слушателей Тверского педагогического института.

9. Преподавателей рабфака им. Покровского.

10. Слушателей рабфака, им. Покровского (вечерн. отделение).

11. Предметн. комиссии Моск горной академии — И. М. Воронков.

12. Преподавателей Рабфака им. Артема.

13. Слушателей рабфака им. Артема.

Были зачитаны телеграммы: от Общества ревнителей математич. образования (Ленинград), подписанные председателем об-ва проф. Богомоловым и секретарем об-ва Грацианским, от педагогического института им. Герцена, от проф. Д. Ф. Егорова, C. A. Чаплыгина, Г. К. Вебера, бывших слушателей и слушательниц Высш. женск. курсов и пр.

Проф. А. В. Васильев передает И. И. Чистякову поздравление от проф. Г. Г. Аппельрота.

И. И. Чистяков благодарил каждую делегацию и всех лиц, обратившихся к нему с юбилейными поздравлениями, и выразил надежду, что он сможет и в дальнейшем принести некоторую пользу во всех тех учреждениях, в которых он и до сих пор работал и работает с живейшим интересом, но которые, по его мнению, слишком преувеличили его заслуги.

Н. Ч.

1 Доклад будет напечатан в «Математ. образовании».

2 Речь эта будет напечатана в «Математ. образовании».

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ.

По поводу одной книги.

М. А. Белецкая, Ф. И. Лаван и Е. А. Штрауф. Лабораторный план в коммунистической школе. Под ред. Е. Брюнелли. Вып. III. Математика. Гиз. 1927. Ц. 1 р. 50 к.

Несмотря на то, что международное реформистское движение в учебной математике направляет школьные программы и регулирует методы преподавания уже более четверти века, что два всероссийских с'езда преподавателей математики прошли под влиянием идей этого движения, а учебные планы и программы советских школ стремятся отображать это движение»—в повседневной практике методы и содержание курсов далеко еще не отражают полноту реформистских стремлений и недостаточно проникают в самую сущность методических достижений реформистов. Показательно, что для школьного обихода все еще переиздаются старые учебники, а новые, не исключая и «рабочих книг», нередко повторяют и методы, и построение и содержание старых; только производственный уклон часто нарушает школьную традицию но это не идентично реформистской целевой установке.

Вот почему нельзя не приветствовать книгу Белецкой, Лавина и Штрауфа как опыта, построенного на идеях реформистов. Лозунги реформистов — пространственное мышление в курсе наглядной геометрии и в графиках, стержневое значение функционального мышления с зачатками анализа бесконечно малых и слияние всех отделов математики в одно методологическое целое (фузионизм); пространственное мышление тесно связано с функциональным, а числовое, графическое и аналитическое выражения функциональной зависимости обосновывают фузионизм; так определяется сущность реформистских усилий. Рассматриваемая книга основными принципами ставит:

1) стержень — функциональная зависимость, 2) изучение функциональной зависимости параллельно аналитическим и графическим методам, 3) число в аспекте неточного десятичного числа, 4) фузионизм. Школа, в которой производится опыт авторами, ограничивается, так сказать, пропедевтическою ступенью: целые, дробные и десятичные числа, пропорциональность, понятие о степени и корне, знакомство с алгебраической символикой, линейные уравнения, графики, фигуры, площади и об'емы. В этих границах авторы намечают этапы функционального мышления: 1-й — критическое отношение к задаче; 2-й — формулы арифметических задач и алгебраическая запись соотношений; 3-й — формула, как уравнение, выражающее зависимость между величинами, и решение этого уравнения относительно любого из переменных, 4-й — графики функций. Значение математики оценивается авторами с методологической точки зрения, как основного метода научного исследования; авторы стремятся дать «исследовательскую проработку теории» и развить «исследовательские навыки» на задачах «проектного типа». Таким образом методологический уклон реформистов у авторов углубляется до организации исследовательской работы.

Такая установка изучения математики обязывает авторов внимательнее отнестись к сущности математического метода. В книге мы находим указания на приемы сообщения математических знаний: 1) установление математических истин интуицией,

2) математический эксперимент—измерениями и на наглядных пособиях и 3) логический путь дедукции. Если задачей изучения математики ставится развитие навыков и умений математического исследования, то следует установить, во-первых, какие конкретные методы математического исследования будут рассматриваться и, во-вторых, определить сущность математического метода вообще. В установке методов авторы ограничиваются общими замечаниями: оценка числа, основные навыки решения задач, общая ориентировка при установлении функциональной зависимости. Конкретные выяснения математической интуиции, математического эксперимента и дедуктивного доказательства авторами сделаны несколько поверхностно: шаблонное дедуктивное доказательство не отображает индуктивный характер математического мышления, а математический эксперимент мыслится как физический эксперимент. С методологической точки зрения необходимо возможно отчетливее выявить индуктивный характер математического мышления особенно при развитии математической интуиции; ведь первые аксиомы, понятия и методы — индуктивного происхождения (Вундт). Математическая индукция, кроме того, обладает специфическими свойствами: «содержит в себе, так сказать, сконцентрированными в одной единственной формуле бесчисленное множество силлогизмов» (Пуанкаре); здесь нужен, если можно так выразиться, параметрический учет, учет постоянной функциональной зависимости, установка обобщающего момента на основании постоянства соотношений в разложениях и сочетаниях. Напр., чтобы установить свойство ряда равных отношений, можно вместо обычного вывода при помощи знаменателя отношений лучше вести мысль учащегося путем последовательного усложнения отношений: из ряда

Последовательно получить:

Математическая интуиция должна при выработке понятий и аксиоматических положений возможно шире использовать такой характер математической индукции: закономерное становление в рамках бесконечного процесса в развитии интуиции; авторы этого не учитывают.

Особенно существенным такое становление является в математическом эксперименте. Авторы, как пример математического эксперимента, приводят определение суммы углов треугольника графическим измерением и только, как дополнение к этим измерениям, ссылаются на действительно математический эксперимент путем разложения треугольника; первый устанавливает повторяемость факта, второй — постоянство отношений; первый есть физический эксперимент (непосредственные измерения, взвешивания, пересыпания или переливания) и не освещает «идеи математической бесконечности процесса».

Наконец, и путь дедуктивного доказательства должен быть согласован с общей целевой установкой, — тот метод доказательства целесообразен, который совпадает с методологической ролью устанавливаемого положения. Между тем авторы разбираемой книги нигде не обнаруживают стремления к конкретизации, детализации и разработке общих и частных методов науки. В их книге много уделено внимания методической стороне, много интересного в их методических исканиях, но все это — вопросы дидактики, а не методологии. Следует пожелать, чтобы авторы и в своем практическом опыте, и в последующих изданиях книги учли особенности методологического принципа в учебной математике. В общем же книга их заслуживает полного внимания со стороны учителей.

С. Поляков.

НОВЫЕ КНИГИ.

Проф. С. А. Богомолов. Эволюция геометрической мысли. С 66 черт. Изд. т-ва «Начатки знаний». Л. 1928. Ц. 1 р. 75 к.

М. Белецкая, Ф. Лавин и Е. Штрауф. Лабораторный план в коммунистической школе. Под ред. Е. Брюнелли. Вып. III. Математика. Гиз. 1927. Ц. 1 р. 50 к.

В. Брадис. Четырехзначные математические таблицы. Гиз. М. 1928. Ц. 45 к.

В. Г. Фридман. Возможно ли движение? Л. 1927. Ц. 2 р.

А. Якобсон. Очерк истории точных наук. Изд. «Раб. просв.». М. 1928. Ц. 1 р. 40 коп.

Проф. Н. А. Агрономов. Курс аналитической геометрии. Ч. I (на правах рукописи). Владивосток. 1926.

Отчет о деятельности математической конференции Педагогического о-ва государственного Дальне-Восточного университета за ноябрь—декабрь 1926 г. Владивосток. 1926. Ц. 30 к. Январь—сентябрь 1927 г. Ц. 50 к.

Ф. Г. Трубин. Аналитическая геометрия. Ч. II. Геометрия в пространстве. Пермь. 1927.

А. Круталевич i А. Мiцкевич. Трыгонемэтрыя. Менск (Беларусь. 1927. Ц. 2 р. 25 коп.)

А. Круталевич. Разьвязаньне лiкавых раунаньняу способам дэдукцыйной iтэрацыи. Менск. 1928.

Инструкция для проведения поверочных работ по математике в 5, 6 и 7 группах школы. Изд. МОНО. М. 1928.

Ответственный редактор И. ЧИСТЯКОВ.

Главлит № AI 6120 "" Зак. № 878 Тир. 1000

Москва, тип. Гудок», ул. Станкевича, 7.

ПРОДОЛЖАЕТСЯ ПОДПИСКА НА ЖУРНАЛ Московского научно-педагогического математического кружка

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

8 КНИГ В ГОД

Подписная цена на год - 6 руб, на полгода —3 руб. 50 коп. с пересылкой

Отдельные номера по 90 к. Заказы направлять: издательство „РАБОТНИК ПРОСВЕЩЕНИЯ", Москва, 19, Воздвиженка, 10.